Algebra - Salvador Timoteo

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COLECCIÓN EL POSTULANTE

ÁLGEBRA

COLECCIÓN EL POSTULANTE

ÁLGEBRA

Editorial

ÁLGEBRA - C olección SaivadorTimoteo

E l P ostulante

© SaivadorTimoteo Diseño de portada: Miguel Bendezú Composición de interiores: Blanca Llanos Responsable de edición: Alex Cubas © Ed itorial San Marc os E. I. R. L., e d ito r jr . Dáv alos Lissón 13 5, Lima Telefax: 331-1522 RUC 20260100808 E-mail: [email protected] Primera edición: 2007 Segunda edición 2013 Tiraje: 1000 ejemplares Hecho el depósito legai en la Biblioteca Nacional del Perú Registro N.° 2012-11997 ISBN 978-612-302-919-7 Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización Impreso en el Perú /

escrit a de! au tor y de! edit or. Printed ir

Per ú

Pedidos: Av. Garciiaso de la Vega 974, Lima Telef ax: 424 -6563 E-mail: [email protected] www.editoriaisanrnarcos.com Com posici ón, aiagramación e imp resión: Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. j. L. RUC 10090984344

ÍNDICE Ley es de expon Polinomios

eníes

................................................................................................................................................................................

Productos notables Divi sión de polinom Factorlzación

ios

........................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

Logaritmos

9 17 23 28 37 43 49 54

..............................................................................................................................................................

60

...............................................................................................................................................................................

64

Desigual dades e inecua Progresiones

.........................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

Números complejos Ecuaciones

...............................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

Fracciones algebraicas Bi nomi o de Ne w ton Radicación

..........................................................................................................................................................

ciones

........................................................................................................................................

74

...........................................................................................................................................................................

85

.................................................................................................................................................................................

90

PRESENTACION Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando en las necesidades

académ icas de los jóvene s que a spir an a alcan zar una vacante en las univer

sidades,

institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional. La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para enfrentar no sol o los divers os ex ám enes de ad misión, si no a fi anza r l os saberes de su for ma ción esco lar y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria exitosa. Finalmente, deseam

os h acer un reconocimiento al st

aff de doce ntes lider ados po r Salvador

Timoteo, Pe

dro de Castro, Jorge Solarl y Nathali Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de los contenidos.

-EL E DI TOR-

LEYES DE EXPONENTES POTENCIACION Es aquella operación matemática donde, dados dos elementos llamados base (b) y exponente (n) se calcul a un tercer eleme nto llamado potenci a.

Exponente negativo SI x es un número real no nulo, y si n es un entero positivo, definimos 1/xn

Ejemplos: Notación: ( -

bn = P

b: base, b elE n: exp onen te, n e Z P: pot enci a, P E l

3~ 3 = —3 = — 27 l_ 4-2= 1 4 2 16

Ejempios: En 54 = 625, la base es 5, el expo ne nte es 4 y la potencia es 625. a3, aquí a es la base, 3 es el exp on en te y a3 es una potencia indicada.

2 )'

( - 2 ,3 1 (-3 r 2 = í-3.r

SI x e y son reales no nulos, n es un entero positivo i x r n / v \n entonces — - \ = — 1 y)

Ejemplos:

PRINCIPALES EXPONENTES Expo nente na tural . Si n e s cua lquier entero po sitivo y b es un número real, definimos.

Nótese que no hemos definido 0 n, esta expresión no tiene sentido:

n veces

pues si : 0 11= — = - = 3 entonce s 0 n no exist e. 0n 0

Ejemplos: 61 = 6

Teorema. Si x e y son números reales y m, n son enteros, tal que xm, xn, yn existen, entonces x'r- = X X X = X"’ x / 0 X

£F = V 3 H U 1 X 1X 1X 1 =± 16 \2¡ 2 2 2 2 ( - 2 ) 7 = (— 2) (—2)(— 2)(—2)(— 2 ){—2)(— 2) = - 1 2 8

(íí-H

(xy)n = xnyn

;y (í)

_1_ 16

(xm)n = xmn

(" 3 )4 = ( 3 )(—3 )(— 3 )(—3) = 8 1 - 3 4 = —(34 ) = -8 1

X -=xy-

Ejemplos:

- 2 3 = —(23) = - 8

Exponente cero.

62 5 16

riir

si n = 1 b; si n > 2

r b bn = b ' b x b ..

= 3 = 27

6 3 v 6 4 \ 62 x = 6 3 + (~4) * 2 = 6 1 = 6

Si a es cualquier núm

ero real n o

—

nulo,

= 3 2_ (~3> = 31 = 3

Ejemplos:

27f 92

( |) =1 ; ( -7) ° = 1; ( /5) ° = 1 ;( -| ) =1

3n " 2 = 3n x 32 = 9 x 3n

.

' 9

3(25") = 3(52") = 3(5")2 Nótese que no hemos definido 0°, esta expresión no tiene un significado útil.

Si b es un número real y m, n, p son enteros en tonces:

www.cienciamatematica.com

0

10 ¡ C

olección

E l P ostulante

Estas expre siones no están definidas en IR (no exis ten) , estas es tán en el cam po de los imaginari os. Es importante observar que "Va cuando existe, es un número real único.

Por ejemplo:

Teorema. Si n es un na tural, n > 2, x e y son reales tales que n /x y n/y existen, enton ces

RADICACION EN IR

n/x n/y n/x= y

iT e s el sí mb olo radi cal n es el índice; n e IN a n > 2 n/a = b a es el radicando (cantidad radical) b es la raíz enés ima Por ejemplo, en s/32 = 2, el índice es 5, el radican do es 32 y la raí z quinta es 2.

2.

f^-; si y A 0

1y

y las

raíces Indicadas existen x: n es imp ar [x|; n es par

Ejemplos: 4/8 4/32 = 4/8 ,. 32 = 4/256 = 4

Si a > 0 y n es un en tero positivo, n > 2; en ton  ces ex iste un ún ico r eal b 0, tal qu e bn = a. El número b se llama raíz enésima de a y se den ota p or n/a

- M = ¡ J M = 3/2 7 = 3 3f3 ' 3 3M

SI a < 0 y n es un entero positivo impar n > 3, entonces existe un b < 0, tal que bn = a. En este caso escribimo s b = n /a y la llam am os la raíz enésima de a.

= 12/2

3/ / 729 = 6Í729 = 3 V( —4 )2 = I 4 | = 4

EXPONENTES RACIONALES

Finalm ente n/0 = 0

1.

De las definiciones

Si x es un nú m ero real y n es un natura l (n > 2), entonces de finimos:

n e IN A n > 2

n(á = b si y so lo si bn= a

Cuando n = 2, es usual escribir /a en lugar de 2/a y llam ar a -la la raíz cuadrada de a. Al

„1/n _ nrVx

% 1 = 3, pues: 34 = 8 1 3'T_ 8 = -2 , pues: (~2 )3 = - 8

Nótese que no hemo s defini do n/a cuan do a < 0 y n es un en tero positi vo par . La razón de es to cons iste en que p ara todo n úm ero real b , b11es no neg ativo cuando n es par. Po r ejem plo: / - 4 ; 4/ - 5; 6V—1 0 0 ;...; 2rV(—T

que n¡x existe)

41,2 = 2/4 = 2

=2

g°, 5 = g1/ 2 = yg

= 3

3/64 = 4 64 81 1,4 = 4/8 1 = 3 2 7 1/3 = 3/2 7 = 3 27 16 025 = 16 1/4 = 4/T6 = 2

16

■Í9 = 3, pues: 32 = 9

(suponiendo

Ejemplos:

núm ero 3/a se le llama la raíz cúb ica de a. Ejemplos: 4/l 6 = 2, pues: 24 =

= n

n/y

"V W = mn/x ; si m es una n atural, m 5:2,

Observaciones: 1.

•

Sea m/n un número racional irreductible y n un natural (n > 2). Luego, si x es un número real, tal qu e n/x existe, de finimo s. x m,n =

Ejemplos: •

31 25 2'5 = ( 5/3 1 25 )2 = (5 )2 = (5)2 = 25


Á

= 2 - 5= ± = ± 2b

1.

C alc ula r el va lor de: [(1/3 )~2 + (1/2)~ 4]1/2 Resolución:

640,6 = 642/3 = Á642 = 42 = 16

Aplicando la propiedad de exponentes ne gativos:

85/3 = (3/8 f = (2) 5 = 32

[32 + 24]1'2 = [25]1'2 =

cYlota:

11

EJER CICIO S RESUELTOS

(~ 2 7 )2/3 = (3Á~ 27 )2 = ( -3 ) 2 4 - ^ . {^

|

lgebra

-------------------------

2.

Conjuntos numéricos

¡2 5 = 5

C alcular el valor de: [(1/2) 2 + 2(1 /3)~2 + (1/3)" 3 ]° 5 Resolución:

Aplicando la propiedad de exponentes negati vo s: [22 + 2 (3)2 + (3 )3]1'2 = [4 + 18 + 27 ]1'2 = [49]1,2 = 3.

Í4 9 = 7

R edu cir la expresión: X = (x m) 1/m _ (x 1 + 1/mJ m/ (m + 1) _j_ iry^2m

Resolución: ¡ U

E = (x)

I m + 1 \Im

\

—x m

2m

+ x m

E = x - x + x2 = x2

Propiedades: •

a° = 1

4.

Resolución: Realizando transformaciones equivalentes:

i a \n _ a^ \ b I ~ bn (an)m = anm a '"

•

— = am n

"/a" = a; n es impar

nlaTb = a nVb

n / I

"Va^ = ap/n

n/Á

M = nJ

2n + n2 n+2

VV2 —n‘

",

n(n + 2)

n+2 M = nJ —— — = " !¥ = n/4 2"

Vb

nH 7 = 22/ 7

’ =

Sim plifi car: M = n

(ab)n = anbn

5.

If a1/n = J _ = J _ a=1,n ÁÁ

Ha llar la fr acción decim guiente expresión: E =

al equ ivalente a

£ ______ ¡7 2 + Í 50 - Í8

Resolución:

Efectuando: E =


/2 73 6( 2) + /25(2) - /4(2)

la si

12

j C olección

E=

6.

E l P ostulante

Ü 6/ 2+ 5 / 2 -2/2

e=

.

J L =1 9/ 2 9

9.

Resolución:

E =

En ejercicios de potencias de exponentes en cadena se empieza las reducciones de la po tencia extrema. Así:

, ^

4

-

0 .5

1_

1_ _ _ J_

40,5

2

_

2(2" +3)

Resolución: Representando convenientemente:

Efectua r: P = 8

__4- o.5

2í2n'

S im plificar la exp resión : E ;

1 ;2

1

1

_

=^ =7^

10.

2n (24 —2)

14

2n(16)

S im plificar la exp resión : E

7

8

16 ,R t3 — 3(3n) 3 (3 n 1!

Resolución: Representando convenientemente:

1

_

2nx 24 - 2(2n )

3

^ 3n 33 - 3(3 n) 3n{27 - 3) E= —= 3 (3 n)(3 ) 3"

— ¿4

--------------------

27"

1 271'3

27“

1

1

3-Í27

3 11.

-1/3 _

1

_ _1_

8 1/3

3/ 8

P = 1/2 = 0,5

C alcu lar el va lor de: 2X+ 4 + 36Í2.X"2) E =2 x+ s _ 2 (2 XX 3) - 4 {2 X _1) - 6 (2 X~ 1) Resolución:

7.

Hallar el valor de x en:

=27 E =

Resolución: Realizando transformaciones

equival entes:

(16 )(2 X) + (9 )(2 X) (32 )(2X ) - (16 )(2X ) - (8)(2 X) - (3)( 2X)

__________

3 3 *.3 _ o3

vW = 2 7

2 x (24) + 3 6(2 x /22) 2X25 - 2( 2 X23) - 4 (2 X)(21 ) —6 (2x/2)

Identificando exponentes: 1 3 x/3

«2+1/x A

„

1=3

=> 0 = 2 + 1/x

Oo

, per o: 1 = 3U

E = ^ > 5(2")

c. E = 5

x = -1 /2 12. C alcu lar el valor de: E

8.

S im plificar: E = ab 23»,a 1b~2 la " 1b Resolución:

Eliminando radicales y escribiendo bajo la for ma exponencial : E = ab2a - 1/V 2/3a- 1/6b1/6 Reduciendo potencias de igual base: E = a

(i_ !_ !j ( 2- 2+1 ) 3 6 b ' 3 6/

Resolución: Transformando, para escribir en base 4:

(8 4,3P = [(23)4/3] = (24 r n= f(22)2] "= 4 Reemplazando en la expresión propuesta: E =

=> E = a lí2b 3''2 = la- Zb 3 = íablb E = blab

4 3 (8 4 V.nl2 [4'4

£

(4 3)( 4 -2n!

(4 3)( 4 -2n)

4 3 2n

(4 14 " n)2

(4 1""n )2

4 2 ' 2n

^ 3 —2n —(2 —2n) _ ^ 3 —2n —2 + 2n _


^

Á

Resolución: Desco m poniendo en fact E 

(3> 7)6(7

Resolución: Trabajando con el deno

21 6 x 353 x 80 3 154 x 149x 3 0 2

13. C alcu lar el va lor de: E ;

n-^¡4xW

¡

minador:

= c-i^ 4 1x 4 n'2 = ^ 4 1+n/2

ores pri mos: n+2U ~ r = n-4(2^r

"' 5 '3(2 4x 5)3

5f

(3 x 5 )4(2 x 7)9( 2 x 3 x

= 32^7-2

n+ 2

= 2"+2 = 2

Por propiedad: E =

lgebra

Reem pla zando y descom

3 S ■. 7 6 - 7 3 v 5 3 x 2 12 x 5 3 34 3 x 5£ 4xv,.2 o9x 7. x 2w o2 x 3w xq25 w c 2

p — n j2x2

poni endo:

nJTjñ . p — 2

Multiplicando potencias de bases ¡guales: E = 36 x 7 9 x 56 x 2 12 36 x 7 9 x 56 x 211 E = 2 /212,9 14.

11 _ o12 - 11 _ 0 1

= 2'

E=2

Resolución: Transformando el denominador:

C alc uia r el va íor de: E = { 3j3/ 3^ } Resolución: Es cribi endo ia ra íz pri ncipal en la

10n+ 15n + 6n n l J_ + ± + ±

forma exp o

5n

nenci al. E = |3 '3/ ”'3} Transformando

i i)

1.

- W 1

= ( 3 )3 6'

3"

( 10" + 15n + 6" E = n |6n+ 15n+ 10n 5nx 2 n.x3n V

1 3 -1/6

” (

3-I/6

2n

Dando común denominador en el denomina dor de la raiz:

lo s exponentes:

,3-116

E = 1(3)3

10n+ 15n + 6n 5~~n + 2~n + 3~n

17. C alcu lar: E = n.

1

36 E = n V ( 3 0 )n =

= 33° = 3 1

Il10n+ 15R+ 6n 1 I an 1 10n+ 15" + 6n f (5x2x3 y

30

E=3

15. Sim plificar la expre sión:

j- EJE RC IC IO S PROPUESTOS s j

E = { m _1[m (m 3)1/2]1/ Resolución: Efectuando operaciones:

1.

3 <3)(3)

33

3 i1/5

=>E = m 2m 5 m 5 = m i

Calcule:

55

+1

E= m

a) 73 d) 1 2.

x b) 12 e) 77

Ca lcule A y ES \- i

16. Ca lcular. P = n


c) 75

13

14

|C

olección

E l P ostulante

{(2 - 3~1 )2

9-2-V5°

a) 5; 2 d) 4; 7

a) x d) 5x

b) x2 e) 7x

c) 2; 3

b) 1; 2 e) 5; 9

.((x5)4)3

11. Si: x A 0, sim plificar: 3.

Ca lcule A, B y C: A = -/ s + /6 + /6 + .. . ; c = '¡

4.

c) 3x

B ='lnfn

a) 2 d) 1

c) 3

b) 05 e)

3/3

a) 3; ti; 3 d) 1; 71; 4

b) 1; jt; 2 e) 2: 71; 5

c) 1;

Si el exponente

final de: /x"/x7>T es 7/4, cal-

71;

5

(x2)(x4)(x6)(x8)(x10)

12. Si: x 4 0, reduc e:

(x)(x3)(x5)(x7)(x9)

b) x e) x‘

a) x5 d) x1'

c) 2x

cular n.

5.

c) 3

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

Ca lcule el va lor de x, en: a) 2 d) 1/4

2*-Í2 = 3/4 x

b) -3/2 e ) 5/3

c) 1/2

13. Si se cum ple: xx = 6, hallar: x6 a) 12 d) 12 14. Calcule:

b) 2 e) 18

c) 6

4/( - 2 ) 47°

a) 1 d) 2

b) -2 e) 6

c) 3

Reduce: a) 27 d) 20 7.

c) 49

b) 48 e) 30

Enc ontrar el valor de n, si después vn

5a) d1)

de reducir :

,(3/3 - 2 ) 3Í3

3TÓ® i 15. R ed uce : 13/9 ’ } a) 1 d) 12

b) 3 e) 81

c) 9

i n e IN, se obti ene: 4 1

4 b)

16. Si se cu m ple que: x '1/x = 2, calcular: /x

9c)

e) 10

a) 2 d) 5

Si: x2 2>!—2, ca lcule : x '/2x b) ¡5 e) 8

a) Í2 d) 2

c) 4Í2

a) 4 d) 10

b) 2 e) 12

c) 8

4c)

17. Calcule: r íi v 1 r £) [ \ 2 i \41

Si: aa = 2 halle: aa 3+1

3b) e) 6

a) 4 d) 40

--12

/ 1 '_3 + V1—2 5 /I ’ ó 1 8-f”1 / b)21 e) 20

1

c)30

18. SI xx = 5, indic ar el ex po ne nte de ax en: ax ixix/x

10. Reduce:

a) 45 d)

b) e) 37


c) 2

Á

19. Si: xy V O, sim p lificar A y B: A-

x

-2

-2

+ y — ; (xy)

8x3y 4

B=

4x ~ 1y2

a) x2 + y2; 2x 4y” 6 c) x - y; xJ/ y e) x + y: x3/y5

26. Si se cum ple que: xx

b) x + y; x3/y2 d) x + y; x/y

c) 3

b) 2 e) 8

a) 1 d) 5

lgebra

=3

calcule: x3 + x”3 + x6 + xx6 a) 21

b) 25

d) 42

e) 28

c) 37

20. Si: x v = 2, ca lcu le:
b) 3 e) 6

c) 4

27. Efectua r: 3

21. Efectuar A y B: A = ¡ 2 x 3/ 2 x 6¡2: a) 2; 3 d) 1:2

a) 1/2 d) 1/9

6/9 ■ 4Í9 , Á9 20/9 „ 5Í9 c) 7: 2

b) 5; 2 e) 4; 2

28. Simplificar:

a) 2 d) 9

¡3 + .27 + .12 /3

b) 5 e) 15

29.

30.

23. Si: n e IN y adem ás: 81 veces

(54)(250)(602)(702) b) 84 e) 90

c) 12

Sea : xx = 5; halle: (xx) a) 20 d) 28

c )7

c) 1/4

110 4 )(30 3 1( 4 2 3)

a) 20 d) 30

22. Indique e l va lor reducido de l a expres ión: (6/7 )

b) 3/7 e) 3/91

b) 35 e) 40

c) 25

Simplificar:

d i'3 ' 4 i ) ' 3 Í +(t

81 x 81 x 81 ... 81

a) 287 d) 123

b) 281 e) 435

31. Red uce: (5 a) 21 d) 26

5/ 5 X J5 5 - 10 /5) 1 2 ,

c) 235

10 veces calcule: n2 + 1 a) 20 e) 10

b) 30 e) 15

c) 40

24 . Si: aa = 2, ca lcu le: 3J (a a2 + aa* a )1/a 3)1 d) 4

c) 3

b) 2 e) 5

32. Simplificar:

b) 24 e) 30

c) 25

(105)(65)(24) (48 2)( 154 )(43)

a) 2 d) 4/3

b) 5/2 e) 3/8

c) 5/6

25. Halle el expo ne nte f inal de x 33. Se a x > 1 y ade m ás: xx = xx ' calcule: x3x

b veces (xa) bc(xbc ) V cxac.. '. xac xac . ((X 3a) bf

x* 0

a) 2 d) 5


b) 3 e) 7

c) 8

|

15

16

|C

34.

Simplificar:

olección

a) x7 d) x~5

35.

E l P ostulante

c) x

b) x3 e) x -20

Sim plif icar: o n -4_ n v —o n+2 2 x 2n

; x e 1N

£1) Ui s <

uJ

c) 1/3

b) 3 e) 1/5

a) 2 d) 1/2

; x e ¡R+

a a a b

8. a 9. a 10. b 11. d

15. c 16. a 17. a 18. a

22. 23. 24. 25.

c d b a

29. c 30. a 31. c 32. b

5. 6. bc 7. b

12. 13. ac 14. d

19. aa 20. 21. a

26. 27. db 28. b

33. ce 34. 35. d

1. 2. 3. 4.


X

POLINOMIOS Es la que permite diferen Notación matemática. ciar l as variables de las constantes. P(x; y; z) = 2 a x3 - 5bxyz variables

Sean: 4x7y; 57ix7y; abx7y

constantes

Expresiones algebraicas. Son aque llas expresio nes donde las operaciones que se usan son solo las de adición, sus tracción, m ulti plicación, divisi ón, potenciación, radicación entre sus variables, en un núm ero li mitado de comb inaci ones. Son ejem plos de expresiones

algebrai cas:

P(x) = x2 + 5x - y .

=» 4x7y + 57ix7y + abx7y = (4 + 5

Se define al polinomio como la expresión algebrai ca donde los exponentes de las variables son en teros positivos y está definido para cualquier valor que se dé a sus variables. Son ejem plos de poli nomios:

71

+6 Vxy Son ejemplos de expresiones no algebraicas lla madas también trascendentes:

+ ab)x7y

ji

POLINOMIO

Q (x; y) — ——————+ Í3 y — 5 R(x; y; z) = 3 + 5x + log2/xyz

•

Ell os se den om inarán términos sem ejant es y tie nen como propiedad que la suma de términos se mejantes se reducen a un solo término semejante y se obtiene sumando los coeficientes acompaña do de la misma parte variable, por ejemplo:

•

M(x; y ) = 5x2 y + (- 6 x 3y5) + 1 N(x) = x2 - 6x3 + 5x6 T(x) = x2 + 2x 2 + 7x2 +

2 4x 2

T (x; y) = ^

K( x) = cosx - 1

GRADO DE UN POLINOMIO

Es la característica que distingue a una familia de polinomios, este grado se halla según la cantidad de variables.

Polinomio de una sola variable. El grado está dado por e! mayor exponente de la va riable. Por ejemplo:

N(x) = xxX- 1 M(x; y; z) = 3 + 6x + logx/xyz R(x) = 1 + x + x2 + ...

P(x) = x4 + 3x 3 + 7x 6

es de grado 6;

Las expresiones algebraicas pueden ser raciona les o irracionales.

N(z) = x7 + 2 z 2 x  z3 (variable z )

Es aquella expresión alge Término algebraico. braica en la que no se enlaza a las variables me diante la adici ón y la sustracción, prese nta dos p ar tes que son el coeficiente y la parte literal o parte variable.

Monomios de varias variables. El grado o grado absoluto será la suma de los expo nentes de todas sus variables mientras que su grado con respecto a una variable o grado relati vo será el exp one nte de la variable en re ferencia. Por ejemplo:

N(x: y) = 57i x y 2,7 c oe fic ien te-

1

es de grado 3.

M(x; y) = 7x2y8es de grado absoluto: 10 respecto a x (GR): 2 respecto a y ( GR): 8

p a rtev a ria b le

Son ejem plos de término algebrai co: P(x) = - 6zx; Q(x: y) = 2000x 2y7

-

•

Vemos que las expresiones N y Q presentan di ferentes coeficientes pero la misma parte variable y dichas variables están elevadas al mismo expo

Polinomio de dos o más términos con una variable. El grado o grado absoluto está dado por el mayor grado de los monomios que in tervienen, mientras que el grado relativo (GR) lo dará el mayor exponente de la variable en

nente.

referencia. Por ejemplo:


18

|C

olección

E l P ostulante

Son ejem plos de poli nom ios mónicos : A(x ) = 1 + x2 + 3x; B(x) = 7 - 2x2 + x 3: C(x ) = x

P(x; y) = 7 x2y3 - 4x 5y6 + 6 x7y2 Grado absoluto (GA): mayor {5; 11; 9} = 11 Grado relativo (GR) GR (x) = m ayor {2 ; 5: 7} - 7 GR (y) = m ayo r {3; 6; 2} = 6

2.

Representación general de polinomios de una sola va riabl e P(x) = a 0 + a ,x + a2x2 + a 3x3 + ,. . . + anxn, don de: a0; ay ...: an: coeficientes an: coe ficiente principal, si a n A 0 a0: término indepe ndiente. Si a n = 1 =■ P(x) se ll am a m óníco Casos particulares n = 1: P(x) = a0 + a ^ poli nom io lineal ,sia A

0.

n = 2: P(x) = a0 + a,x + a2x2, po linom io cuadrático, si a2 A 0. n = 3: P(x ) = a 0 + a ,x + a 2x 2 + a 3x 3, si a3 A 0, polinomio cúbico.

IGUALDADES DE POLINOMIOS Dos polinomios son iguales o idénticos si son del mismo grado y poseen el mismo valor para cual quier valor asignado a su variable o variables (que deben ser equivalent es). Es decir, al ser Idénticos presentarán los mismos coeficientes en términos semejantes. P(x) = a0 + a-|X + a2x2 + ... + anxn es Igual a Q(x) = b0 + b-,x + b2x2 + ... + bnxn o sea, P(x) = Q(x) => a0 = b0 A a 1 = b-i A a2 = b2 A ... Aan = bn Por ejemplo: P(x) = x(x + 3) +

(2 - x)3 es I déntic o a

Q(x) = x2 + 6; pues P(1) = Q(1); 7 = 7 R(x) = 2x2 - 13x + 22 es idéntico a : T(x) = 22 - 13x + 2x 2 ya que l os coeficientes de términos semejantes son iguales.

POLINOMIOS ESPECIALES 1.

Po li nom io mó nico. Es un polinomio de una variable que ti ene co efici ente principal 1 se l e denomina mónico.

3.

4.

Polinomio hom ogéneo. Es aquel en ei que cada término tiene el mismo grado absoluto. Son ejemplos de poli nom ios homogéneo s: A(x; y) = 6x4y2 + 3 xy5 - y6 , su grado de h om o geneidad es 6. Polinom io com pleto. Es aquel polinom io que presenta todos sus exponentes desde el ma yor hasta el de término independiente. Son ejem plos de poli nom ios complet os: A(x) = 7 a 3x2 + x + 4x3 B(x; y) = xy2 + xy + x 2 es co m pleto resp ecto a y . C(x; y) = x3y + x2y2 + x + 2y3 es completo respec to a x y tamb ién respecto a y. Po li nom io ordenad o. Si los exponentes de una variable presentan un orden ya sea as cendente o descendente respecto a esta va riable será ordenado. Son ejemplos de po linom ios or denados: P(x; y) = yfix2 + y4x3 + y2x5 + x6y es ordenado descen dentem ente respecto a y mientr as que respecto a x lo es en forma ascendente.

<=}'lo ia :

_

----------------------------------------------------------------------------------------

; • En todo polinom io de dos o más términos la sum a de sus coeficientes se obtiene ¡ eva luan do el pol inomi o pa ra x = 1 . Es | decir , sum a de coe fi cientes es P(1) o | P(1 ; 1) o P(1; 1; 1) (seg ún la cantidad de | variables). I • En todo poli nom io su término indepe n diente se obtiene evaluando dicho poli noI mió para x = 0. Es decir: término inde pen  diente: P(0) o P(0; 0) o P(0; 0; 0) (según la cantidad de variables). ! • Aqu el polinom io que cum ple simu lt áne a mente con la definición 3 y 4 se denomi nan completos y ordenados, por ejemplo, P(x) = x3 + x2 + 4x - 2 es com pleto y or denado descendentemente mientras que R(x ) =1 - x - x2 - x3 - x4 es complet o y ordenado ascendentemente.


Á

2.

19

SI Q(x) = x° + x7 + 1, hallemo s Q (-x ), cam 

Ejemplo:

biando x por -x: =* Q( —x) = (—x) 5 + ( - x ) 7 + 1

Siend o P(x - 1) = x2 + 4, hall ar s u térm ino inde pendiente más la suma de coefi cient es. Aparen te mente este ejemplo parece obvio, pues se puede pensar que su término independiente es 4 y la su m a de coe ficien tes es 1 + 4 = 5, pero ¡cui dado! la var iabl e es ( x - 1) luego p ara calcular la suma de coefi ci entes hal lem (1) par a x - 1 = 1 =» x = 2 .-. P(1) = 22 + 4 = 8, asim ismo el t érm ino ind ep en diente: P (0) para x - 1 = 0 => x = 1

.-. Q (-x) = - x 5 - x7 + 1 3.

Si P(b) = 4b 2 - 8b3 + 4b - 1, hallemo s P(b/2) ; cambiando b por b/2:

a

4.

P(0) = 12 + 4 = 5

.

P(b/2) = b2 - b3 + 2b - 1

Si P(x - 1) = x2 + 9, ha llemo s P(x) Lo obtendremos cam biando a x por ( x - 1) ¡Cuidado! no iguale así : x = x - 1 pues lo puede confundir obtener absurdos.y llegará en algunos casos a Para realizar correctamente el cambio de va riable veam os dos formas:

CÁLCULO DE VALORES NUMÉRICOS Y CAMBIO DE VARIABLE EN POLINOMIOS Valor numérico. El valor numérico es el resultado que se obtiene al reemplazar la variable de un po linomio por algún número.

La variable que se desea cambiar (en este caso x - 1) se for ma en e l segundo m iem bro mediante un artificio. Así : P(x - 1) = (x - 1 + 1)2 + 9 r eali zando el cambio: (x - 1) por x obtendr em os: P(x) = (x + 1)2 + 9 =» P(x) = x2 + 2x + 1 + 9 A. P(x) = x 2 + 2x + 10

Ejemplo: Si P(x) = xb ^ 1- 2xb + 8; b e IN hallemos P(2) , lo obtendremos cuando su variable sea 2 es decir x = 2. P( 2) = 2b T ,- 2 / 2 b + 8 .-. P( 2) = 8

La variable que se desea cambiar, es de cir, ( x - 1) se igua la a una letra (disti nta de x) llevamos todo a esta nueva letra, es decir: x - 1 = b =* x = b + 1 reem plaz an do obtendremos P(b) = (b + 1)2 + 9 operando P(b) = b2 + 2b + 1 + 9 P(b) = b2 + 2b + 10 a. P(x) = x2 + 2x + 10

Si Q(x: y ) = 2x2 - 3xy2 + y; hallemo s Q(3; -1 ), lo obtendremos cuando la colección (x; y) sea igual a (3; -1), es decir, x = 3; y = -1 Q(3 ; -1 ) = 2(3) 2 - 3(3 )(-1)2 + (-1 ) a . Q(3 ; -1 ) = 8

CYLata¿:

.

------------------------------------

I En todo poli nom io cons tante siem pre se obi tiene n el mism o valo r num érico para cual¡ quier valor de su vari able, es deci r, si: P(x) = k => P(x0) = k, V x0 Con si ste en reem

|

Ejemplos: 1. Si P(x) = 3x + x2 + 6, cam biem os a x por (x - 1): => P(x - 1) = 3(x - 1) + (x - 1)2 + 6 => P( x - 1) = 3x - 3 + x2 - 2x + 1 + 6 A. P(x - 1) = x 2 -t- x + 4

En todo polinomio completo y ordenado el número de términos es su grado más uno, el polinomio P anterior es de grado 3 vemos que su cantidad de términos es 4 el polinomio R es de cuarto grado y posee cinco términos.

Cambio de variable.

lgebra

CVLota/:---

I

plazar va

\

i I ; ;

------------------

Al realizar un cam bio de varia ble en el po lino mió su grado; término indepe ndiente; coeficientes no se alt eran. Es decir, ob tend rem os polinom ios equivalentes.

riables por otras variables.


.

; ; ;

20

|C

E l P ostulante

olección

3.

Ejemplos: 1.

2,

P(x) = 3x4 al ree m plaz ar x po r z: P(z) = 3z4 o reemplazando x por (x - 1): P( x - 1) = 3(x - 1)4 o ree m plaz an do x po r x6 : P(x6) = 3(x°)4: todos ellos poseen el mismo grado 4: coeficiente principal 3. es decir, hemos obtenido polino mios equivalentes,

Resolución:

Como el polinomio está ordenado en forma descendente los exponentes disminuyen do desde el primero hasta eí van tercero. Además es completo, entonces el menor exponente que es igual a cero (por ser término inde pendiente) corresponde al tercero, el anterior igual a 1 y el primero igual 2, así:

Si: P(x) = 2x + 6 A Q(x + 1) = 2x + 8 vemos que Q(x + 1) = 2(x + 1) + 6 En este caso P(x) y Q(x) son equivalentes según la nota anterior. Sería erróneo plantear que P(x) es Idéntico a Q(x + 1) pues poseen diferentes variables.

b - p + 16 = 0 ...(1) m - p + 15 = 1 ... (2) m - 18=2=>m =20 En (2): 20 - p + 15 = 1 = > p = 3 4 En (1): b - 3 4 + 16 = 0 =sb = 18

EJERCICIOS RESUELTOS 1,

El grado del siguiente

mo nom io es 8:

4.

3x 6 9x 4 3/x m f 2 x^ hallar el valor de m.

Luego: f( x - 2) = 3( x - 2) + 4 = 3 x - 6 + 4 f(x - 2) = 3x - 2

(3 x6 )5/ 9 ( X4/5)xm/1 5(30/2 x)m/3°

3

l 30J2x

_

4

m

Si: f(x + 1) = 3x + 7; hallar: f(x - 2) Resolución: f(x + 1) = 3x + 7 | +3; +4 ]

Resolución: Eliminando radicales:

Red uciendo po tenci as de igual bas

H allar m, p y b para qu e el polinom io: P(x) = 5x m - 13 - 15xn ' r - 15 + 7 x í > - p - i 6 sea completo y ordenado en forma descen dente.

5.

e:

H allar m/n si el polinom io: P(x; y) = 3x myn(2x2 m 1 1 + 7y 6n + 1) es h om o géneo.

m

5+ 15+ 3 ü

De acuerdo al enunciado del problema, presión es de g rado 8, e s decir :

la ex

Resolución: Efectuando operaciones:

P( x; y) = 6 x 3m 4 1y n + 2 1 x :>l y 7n T 1

m = 12

6 + — 5+ —15+ — 30 t, ^ , x =é 1, ci= -1; hallar el valor

S i : f (x)=

+ c + c X- 1

X

Por dato: f(x) =

1 X -

Efectuando operaciones y reduciendo: x(c + 1l (c + 1)

e:

=> 3m + 1 + n = m + 7n + 1

3m - m = 7n - n => 2m = 6n

Resolución:

f[f (x)] =

Com o es homogéneo, se cumpl GA(t-i) = GA(t2)

de: f[f(x)].

t2

= x

1

m _ 6. m n _ 2'

o n

Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio: 4 bCa+t) i- o ~ K2 y '2 + — x 3 y^3 + —- ybd P(x; y) = ax + bx b a si es hom ogéneo.


Á

Resolución: Si es homogéneo, se cumple: GA(t,) = GA(12) = GA(t3) = GA(t4)

ab = bia a " b + 12 : (a)

(y)

Com o P[ Q(x )¡ = 2x - 1, 2Q(x) + 3 = 2x - 1

(«

Q (x) =

a b = b a =■ a = ba'b Haciendo: (p) = (y ) 12

:

...

16 =>

21

Resolución: P( x - 1) = 2x + 1 [ :<2 ; + 3 t

Haciendo: (a) = ()

Á'¡aTb

|

Si: P(x — 1) = 2x + 1 A P[Q(x)¡ = 2 x - 1 hallar: Q(x + 1)

3 + 13 = ba

(p)

lgebra

(P )

=* Q(x) = x - 2

=> Q (x + 1) = (x + 1) - 2 .-. Q(x + 1) = x - 1

..(a - b)/b .

j” EJERCIC IOS PROPUESTOS | ab

.(0)

a Sustituyendo (p) en (9) se obtiene: „a /b

.

b d'b

a/b

i lb/

1.

2.

(e)

Reemplazando (e) en (p) (2b ) = (b)21 2b = b2 En (e): a = 2(2) = 4

3.

La suma de coeficientes del polinomio es: a + b + a/b + b2/a = 4 + 2 + 4/2 + 4/4 = 6+ 2+1= 9

4.

es homogénea, hallar su grado absoluto. 5.

Resolución: Si es homogénea, los grados absolutos de cada término deben ser iguales, es decir: 3 + 3 + 3y + 3z 3 + 3 + 3x + 3z x+y+z 4 3 x+y+z+3

7.

c) 12

a

3: hallar: P(3)

b) 21 e )512

A pa rti r de: P(3x + 1) P(2x + 3)

c) 3 = 15x — 4; hallar:

b) 10x + 3 e) 10x + 6

c) 10x - 5

Si: F(x + 4) = 2x + 3: hallar: F(3x + 1)

Sí :

b)3x- 1 e)6x + 3

(x n ' 2i3 x n f4

c) 6x- 3

es de 6.° gra do ; hallar: n

(xnf

3 + 3x + 3y

x+y+z+3+x+y+z+3+x+y+z+3

GA(P)

6(3 + x + y + z! = G A(P )

Si: P(x5 + 2 ) = x 10 + x5

a )2x+ 1 d ) 6 x +2

= GA(P)

Usando la propiedad de serle de razones iguales:

3(x + y + z + 3)

b) 11 e) 14

a) 10x + 1 d) 1 0x - 6 6.

c) 3

Si: P(x 3 + 5) = x6 + x3 + 7: calc ular: P(7)

a) 10 d) 5

P( x:y:z ) —X2 y " 4JJy3z 3x3v 132 + x3z3y 3x' 32 + X3y3z3 x + 3y

3 + 3 + 3y + 3z +- 3 + 3 + 3x + 3z + 3 +

b) 0 e) 5

a) 10 d) 13

Si la expre sión:

3 + 3 + 3x + 3y x+y+z+3

Si: f(x) = x " + 24 3x9 4 + 2x + 6; hall ar: f(- 3 ) 8)1 d) 4

b = 2

c) 3

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

=4 = 2

de aquí: a/b = 2 =» a = 2b

7.

Si f(x) = x 41 + 51 2x 32 + 3; ha llar: f( —2)

.-. GA (P) = 2

8)1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

(xm+2) 4(x rnr 3 Si ( x 3 )2 — es ae 4 ' grado; hallar; m


22

¡C

olección

E l P ostulante

a) 1 d) 4 9.

*c) 3

b) 2 e) 5

El grado de M(x)N (x) es 1 0 y el grad o de M ( x )N3( x ) es 16 . C alcular el grado de: M 3( x ) - N2 (x ) a) 7 d) 21

b) 5 e ) 12

11

.

c) 3

b) 12 e) 17

c) 13

- 2x(a - x) = bx2 + 8x, cal cu-

.

a) -3 d) -7

b) 4 e) 10

c)

14. H allar a + b + c, si se sabe que el P(x)

+ x“

ordenado en forma descendente. b) 2 a) 1 d) 5 e) 7

P( x; y: z ) = xab + x 7 y ba + x 2Qz 12 es homogéneo, calcular: (a b )2 b) 3 e) 25

c) 9

Sab iendo que el poli nom io: P(x) = (ax + b)(x - 1) + c (x2 + x + 1) es Idén tico a : Q(x) = 2x2 + 5x - 1, calcular: a + b - c 1a) d )2

1

b)

c) 0

e )3

19 . Calcular: m + n + p, si x m + ’ y2 + x 2pyq P(x; y) = 5x m ‘ 2 es homogéneo de grado 7

c) -5

b) -4 e) -1

13. Ha llar m - n - p, si se sabe que el polinomio: P( x) — x m ~ 10 x m - n + 15 + x p - n + 6 0S o o m _ plet o y ordenad o en forma de scendente. a) 2 d) 8

= 0 c) 6

b) 4 e) 10

a )1 d) 16

x) ee bx2 + 10x.

Si se cum ple: 6x2 - 10x(a calcular: a + b

12 SI se cumple: x2 la r: a - b

a) 2 d) 8

n - 2) xy

17. Si el polinom io:

b) 2 e) 7

a) 10 d) 15

16. Hallar: (m 2 n2), en: (m + n - 3)x2 y + (m

c) 6

10 . El grado de M (x)N (x) es 7 y e l grado de M(x) a N(x) es 3. Ca lcular el grad o de: M(x) - N(x) a) 1 d) 5

c) 3

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

6

polinom io: es com pleto y c) 3

15. Ha llar m + n - p, en: (m - n - 2)x4 + (m + n ~ 5)x 2 + (p - 1) s 0

a) 5 d) 15

b) 7 e) 18

c) 8

20. Si: P(x + 3) = 5x + 7 P[Q(x) - 3] = 15x + 2, calcular: P[Q(1)] a) 32 d) 81 1. 2. 3. 4.

b) 35 e) 120 c b d d

5. e 6. c 7. d 8. b


9. b 10. d 11. d 12. d

c) 37

13. c 17. c 14. d 18. a b 15. d 19. 16. c 20. a

1y5

PRODUCTOS NOTABLES Ejemplo:

POLINOMI O PRODUCTO A pa rti r de l a m ulti plicación algebraica A(x)B(x) d finimos el producto como el resultado de la mul tiplicación algebraica, es decir, siendo A(x) y B(x) expresiones algebraicas obtendremos:

e

C(x) donde: A(x)B (x) = C(x ) Si A(x) y B(x) son polinomios C(x) se denominará poli nom io pr oducto cum pli éndose que: G[C(x)] = G[A(x)] + G[B(x)] Para el cálculo del producto usaremos la ley con mutativa y distributiva de los reales: ab = ba; a(b + c) = ab + ac Ejemplo: Multiplicar:

Siendo P( x) = (x3 + 2)3:Q(x) = (x4 - 1)5 y R(x) = (x7 - 2 f hallar el grado de P(x)Q(x) + Q(x)R(x) Resolución:

Recordem os que el grado de l a suma estará dado por el grado del mayor sumando, entonces halle mos: Grado de P(x)Q(x) = G[P(x)] + G[Q(x)] = 2 x 3 + 4 x 5 = 26 Grado de Q(x)R(x) = G[ Q( x) ] + G[ R( x) j = 4 x 5 + 7 x 2 = 3 4 Luego el grado de la suma indicada será 34.

A(x; y) = 2x2y + 3y: B(x; y) = 5x + 2x4y2 Obtendremos:

PRODUCTO NOTABLE

A(x; y)B(x; y) = (2x2y -

cación escribiendo directamente el resultado. Los principales productos notables son:

Es el producto que al adoptar cierta forma particu lar, evita que se efectúe la operación de multipli

3y)(5x + 2x4y2 )

= 10x3y + 4x6y3 + 15xy + 6x4y3 P(x) = (x2 - x + 1): Q(x) = x 3 + 4 Obtendremos: P(x)Q(x) = ( x - x + 1)(x 3 + 4)

•

Trinom io cuad rado perfect o. El desarrollo de un binomio al cuadrado nos da el cuadra do del prime r término, m ás el doble del pri me r término por el segundo término, más el cua drado del segund o término. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

P(x)Q(x) = x 5 + 4x 2 - x4 - 4x + x 3 + 4

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Teorema Si el grado de P(x) es

a con (a > 1), el grado de

Pn(x) será na con n e IN, n > 1 Prueba: Por ser n 6 IN y n > 1, Pn(x) está definida como el producto Pn(x) = P(x)P(x)P(x) ... P(x)

Consecuencias: •

a2 + 2a + 1 = (a + 1)2 a2 - 2a + 1 = (a - 1 f a2 + b2 = (a + b )2 - 2ab a2 + b2 = (a -

b)2 + 2 ab

Identidades de Legendre n veces

(a + b)2 + (a - b)2 = 2( a2 + b2)

luego el grado de P(x) será la suma de los grados de los polinomios iguales a P(x), es decir:

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

G P n(x) = G [P(x)] + G [P(x)] + G[P(x)] +

(a + b)4 - (a - b)4 = 8a b(a2 + b2)

... + G[P(x)]

Identidad de Lagrange . G[Pn(x)] = n G[P(x)]

(ax + by)2 + (ay - bx)2 = (a2 + b2)(x2 + y2)


C olección

E l P ostulante

Dif erencia de cuadrad os. El pr odu cto de dos binomios uno que presenta la suma de 2 ex presiones y el otr o la dif erencia de las m ismas expresiones es el cuadrado de la primera, me nos el cuadrado de la segunda.

por el segundo al cuadrado, más el cubo del segundo término. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3

(a + b)( a - b) = a2 - b2 (a m + bn)(am - bn) = a2 m - b2n

Consecuencias: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a - b)3 = a 3 - b3 - 3ab(a -

Consecuencias: •

x- y =

(Ix + /y)(/x

- /y): xeIR

+; ye IR+

(a - b)(a + b)(a2 + b2)( a4 + b4)(a 2n + h2"). .. nfl+1 ofl+1 = a2 - b2

Desarrollo de un trinomio al cuadrado. desarrollar un trinomio al cuadrado se obtiene la suma de los cuadrad os de los t res términos, más el doble de la suma de los productos to mados de dos en dos (productos binarios).

Al

• •

b)

(a + b)3 + (a - b)3 = 2a (a2 + 3b2) (a + b)3 - (a - b)3 = 2b (3a 2 + b2 )

Suma y diferencia de cubos (a - b)(a2 + a b + b2) = a3 + b3 (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

PROPIEDADES AUXILIARES (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + be)

Consecuencia: (ab + ac + be)2 = (ab)2 + (ac)2 + (be)2 + 2abc(a + b + c)

Multiplicación de binomios con un término en común. Al multiplicar dos binomios con un término en común se obtiene: el común al cuadrado, más el producto de la suma de no comu nes po r el común, m ás el pr oducto de no comunes, es decir:

Desa rroll o de un tri nom io al cubo (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c) (c + a) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b + c)( ab + be + ca) - 3ab c Producto de multiplicar binomios con un término común (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + be + ca)x + abe (x - a)( x - b)( x - c) = x3 - (a + b + c) x2 + (ab + be -i- ca)x + abe

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Consecuencias: (x + a)(x - b) = x2 + (a - b) x - ab (x - a) (x - b) = x2 - (a + b) x + ab • (x m + a )(x m + b) = x2!TI + (a + b) xnl + ab

Desarrollo de un binomio al cubo. Al de sarrollar un binomio ai cubo se obtiene: el cubo del primer término, más el producto del triple del primero al cuadrado por el se gund o, m ás el producto del tr iple del pr ime ro

Identidad trinómica (Argan’d) (X2 + x + 1 )(x2 - X + 1) =

X4

+ x2 + 1

(x2 + x y + y2)(x2 - xy + y 2) = x4 + x2 y2 + y4 En gene ral : (x2m + x my n + y2n)(x2m - x my n + y 2n) = X4m _ |_ x 2my 2n - f y 4n

Identidades adicionales (ident

idad de G auss)

a3 + b 3 + c 3 - 3ab c = (a + b + c)(a2


+ b2 + c2 - ab - be - ca)

Á

(a + b)(b + c)(

c + a) +

.

•

be + ca)

x4 + 4 = (x2 + 2x + 2)(x2  2x + 2 )

A =k x9

Igual dade s co nd ici on ales Si: a + b + c = 0 Se verif ican: a2 + b2 + c2 = 2 (a b + be + (ab A be

a3

•

(a2 + b2 + c2)2 = 2( a4 + b4

a

k + 1 /k + 2 = 7 + 2

ik a

=

ac) + (ca)2

\

Elevando al cuadrado: E2 =

1.

Ha llar el eq uiva lente de la exp resión: 1 + x(x + 1)(x + 2)(x a 3 ) Resolución: Efectuando los productos convenientemente: 1 a x ( x A 1)( x + 2)(x + f t t t

1 + (x2 + 3x)(x2 + 3x

3)

+

2)

Re alizando el cam bio de va riabl e: x2 + 3x = k Luego: 1 + k(K +

= 1 + k 2 + 2 k = (k + 1 f

2)

Reemplazando en: (k + 1)2 (x2 + 3x + 1)2 2.

Reducir:

(x +

A 3xz z+ 3y2 x + 3 y2 z +

3x3  3y3  3z3  3xy2 

3xz2  3yx2  3yz2  3zx2  3zy2 = 6xyz

9 3.

Sabiendo que la expresión: 4

— a — =7, x9 a

~

v x9

+

Resolución: Llamando E a la expresión dada y efectuando operaciones: E = x2 - 6xy a 9y 2 - 8y 2 A 4xy a 8 E = x2 - 2xy a y2 A 8 E = (x  y)2 A 8 Pero por condición: (x y) = 8 Reemplazando: E = 82 A 8 = 72

Ha llar el valor que asu m e la expresión: x 2 a y2 x a 2y 2y U x a 3y xy 2x x

Resolución: Desarrollando por productos notables y sim plificando términos semejantes: 3z2 x a 3z2 y + 6xyz 

2) => E = Í5

4 x a y

si: — A — = •

y + z )3 + 2(x3 + y 3 + z 3)  3(x + y + z)(x2 a y2 + z2 )

3x3 + 3y 3 + 3z 3 + 3x2y

A

Evaluar la siguiente expresión: (x - 3y) 2 - 4y( 2y - x) A 8 Si sabem os que: ( x - y) = 8

1 EJE RCICIO S RESUELTOS

hallar el valor de

y

Resolución: Hallando la relación entre x e y de la condición del problem a, se tie ne: 1 , 1_ X

yx A y

...(1)

¡ ik A -L A 2 l Vk

a5 + b5 + c5

a 7 + b7 + c7

3

4ik + 4J J Ik

Pero de (1): E2 = (3 I a 2 + b2 + c2 j| a 5 + b 5 + c5 \

=

ik

Se pide: E =

+ c4)

a 3 + b 3 + c3

9 => / k +-1

ik

b 3 a c3 = 3abc

/ a 2 + b2 + c2

=1 A k A  = 7 a k k

Además:

ca)2 = (ab)2 + (be)2

a

•

¡

Resolución: Haciendo el cambio de variable:

abe =

(a + b + c)(ab +

lgebra

4

^ (y + x>_ 15

xy

4___ ( x a y)

(x A y)2 = 4xy =» (x A y)2 - 4xy = 0 x2 - 2xy A y2 = 0 =» (x - y)2 =■- 0 Fina lment e: x ~ y = 0 => x = y Reemplazando en la expresión cuyo valor se pide, se tiene: a U = x2 + x 2 + _x 2x 2x x(x) 2x x a 3x U = 2 a ~ a— = 4

2


2

25

E l Postulante

26

| Co lección1

6.

S im plificar la exp resión:

E =

b) - 1 6 )1

a) -25 d) 25

2v z gx2 2v 2y2 + g x2

6.

Reducir: (x2 + 8x + 11)2 - (x + 1)(x + 3)(x + a) 2 d) 16

g* sabiendo que: y - z = R Resolución: Trabajando con el radicando:

7.

b) e)

1.

'" ]

propuestos

b) 5b 2 e) 4a 2

Si: a + b + c = 0; redu cir: (2a + b + c)3 + (a + 2b + c)3 + (a + b + 2c)3

r

3)2 + ( x  3)2 -

b) 16 e) -2 2

Reducir: (x + 3)2 - (: a) -4 d) -1

3.

2b) e )5

b)-x e)

y

x

2x c) 3

b) 2 e) 5

12. Si: (x + y)2 = 4xy calcular:

c) 0

2 xy

a) 1 d) 4

c) 3

2x

c) 10

+y

calcular: R

c) - 2

Red ucir: x2 - (3x + 1 )(3x + 2) + 2(2x + 1 a) -2 x d )x

x

\2

4

Si: - + - =

2

Efectuar: 4x2 - (2x + 1)2 - 4(x + 1)2 + (2x + 3)2 a)1 d) 4

4.

b) - 3 e) 0

I

b) 8 e) 1 4

5)2

(x +

c) -3a bc

a + 3c \2 + / 2b + 3c b

d) 12

c) —18

) 2 + (x + 4)2 

l

a) 6

5)

11.

2.

b) 3abc e) 0

/ a + 2b \2 i c

( x  4) (x 

a) -14 d) -2 0

c) 5c 2

10. Si: a + 2b + 3c = 0 ; reducir:

Efectuar: (x +

c) 9c

Efectua r: (a + 3b + c)2 + (a + 2b + c) 2 2(a + b + c)(a + 4b + c)

a) - 3 d) 3 [ " ejercicios

4 c) 8 20

b) 4c2 e) 16c2

a) 5a 2 d) 3a2 9.

5)(x + 7)

Red ucir: ( a + b + 5c)2 + (a + b + 4c)2 2(a + b + c)(a + b + 8c) a) c2 d) 25c2

8.

c) 49

f

P=

x2+ y2 xy b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

x + 3y 2x c) 3

13. Simplificar: (a + b)(a3 - b3) + (a - b)(a3 + b3)

5. Efectuar: (x + 1) (x - 2)( x + 3)( x - 4) - (x2 - x - 7)2

R =

2a4-2b4


Á

a) O d) 3 14. Simplificar:

c )2

b) 1 e) 4

a)1 d)4 c) 3

b) 2 e) 5

b)2 e)5

21. Calcular: P = (1 - x)( 1 +

X

c)3

+ x2) (1 + x)( 1 -

X

+

X2) (X6

15. Si

. x + y + xy xy

calcular: P = xy a) 1 d) 4 16.

a) 1 d) 4

x+y+ 4 y+x i 1

1

calcular: R = x3y3

17.

18.

19.

c) 3

b) 2 e) 5

24.

b) 3 e) 9

Si: x + y + z = O ix + y hallar: P = a) 1 d) 9

b) -2 e) 3

c) -3

25. SI: x4 - y4 = 6 A x2 - y2 = 3 hall ar: R = (x + y)2 + (x - y)2 a) 1 d) 4

c) 8

ID Lü

JL _+ _x _ x+z y+z

b) 3 e) 12

c) 3

(a + b)(a + c)(b + c)

a) -1 d) -5

c) 5

b) 4 e) 32

b )2 e) 5

Si: a + b + c = O calcular: P =

Si : x - 1 = Á 2 a y + 1 = 3¡2 calcular: R = x3 + 3xy + 3xy2 + y3 a) 2 d) 16

c) 3

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

Si: a = Í 2 + 1 A b = ¡2 - 1 calcular: P = a2 + b2 + 3ab a) 2 d) 7

c) 3

23. S¡! 9 + b + c — O (3a + b)3 + (3b + c)3 + (3c + a)3 calcular: R ¡ (3a + b)(3b + c)(3c + a)

Si: Á + .y Y x

a) 1 d) 4

a) 1 d) 4

c) 3

b) 2 e) 5

b) 2 e) 5

22. C alcular: P = 16V(3)( 5)(1 7)(2 57 ) + 1

+ -b \x y

c) 6

27

20. Si: a + b + c = O calcular: P = (a + b)(a + c)(b + c) + abe + 5

(x + y )2 - (x - y)2 xy

a) 1 d) 4

¡

lgebra

< J

u

1. 2. 3. 4. 5.

c) 3

b) 2 e) 5 c a d b a

6.d 7.d 8. b 9. b 10. e


11. d 12. d 13. b 14. d 15. b

16. b 17. e 18. d 19. d 20. e

21. b 22. b 23. c 24. c 25. d

+ + 1)

DIVISIÓN DE POLINOMIOS ¡DENUDAD

FUNDAM ENTAL DE LA DIVISION

Sean D(x), d(x) dos polinomios no constantes. Al efectuar D(x) + d(x) se obtienen dos únicos polino m ios q(x) y R(x) t ales que: D(x) = d(x) q(x) + R(x)

... (I)

polinomio dividendo poilnomio divisor polinomio cociente polinom io residuo o resto.

Además: R(x) e C = . G[R] < G[d] Si en (I): R(x) = 0 se dice que la división es exacta, luego se tendría: D(x) = q(x) d(x)

D(x) = d(x) q( x) Si en ( I): R(x) = inexacta, de aquí:

0 se dice que la división es

D(x) = d(x) q(x) + R D(x). q(x) d(x)

G[D] = 8 G[d] = 4

Lu eg o, G[ q] = 8 - 4 = 4 G[R]„

=4 -1 =3

Criterio general para dividir. Los polinomios divi dendo y divi sor deberán de en contrarse completos (caso contrario se representará con ceros a los términos que faltan y por lo general ordenarlos en forma descendente.

Donde: D(x) d(x) q(x) R(x)

2x - x + 6x3 5x4 + x + (

Ejemplo: El poli nom io: P(x) = 3x 5x3 + x6 - 8 e s equiva lente a: P (x) = x6 + Ox6 + Ox4 - 5x3 + Ox 2 + 3x - 8 y diremos qu e presenta a todos sus términos

MÉTODOS PARA DIVIDIR Método de Horner. Es el más generai y se utiliza para dividir polinomios de cualquier grado Esquema

(x)

R(x) d(x)

Ejemplo: De ¡a siguiente identidad: x3 + 2 = (x - 1)(x2 + x + 1) + 3 coeficientes del R(x) Se po dría afi rmar: D(x) = x3 + ; ! | G[D] d( x) = x - 1 3 q(x) = x2 + x + 1 R(x) = 3

j

1 G[R] < G[d] 0

Teoremas • •

G[q] = G[D] - G[d ] G [R]m áx = G [d] - 1

Ejemplo: En la siguiente división: ■

Ubicar la línea divisoria contando en el esquema, de derecha a izquierda tantas columnas como el grado del divisor.

G[d]

1

Ejemplo: Dividir:

4x4 + 9x3 + 6x5 x + 2 x3- 1

1

Resolución: Preparando ios polinomios:

D(x) = 6x5 + 4x4 + 9x3 + Ox2 + Ox d(x) = 2x3 + Ox 2 + x - 1


Á

Aplicando Horner:

lgebra

I

29

Resolución:

+ 3x - 1 = 0

3

i 2 ;

x = 1/ 3

i 3 3

i

X

1

2.

-

x

+

Dividir:

i  1

i 1i -6 3

i

1 -2 Coef. del q(x)

-1

2x - 1

x3 - 2x - 3 x—2

x- 2= 0

1

x = 2 2

Reg la de Ruffini. Es un caso pa rti cular del método de H orner y se usará cua ndo el divisor es de primer grado o transform able a un po linom io li neal . Esquem a de cocient es Sup oniendo que el divisor ti ax + b ; a / 0

5 1| !—2 i ' - 1 -3 ¡ 3

i —7

Resolución:

Además como: G[q] - 5 - 3 = 2 y G [R]m áx --= 3 -1 = 2, se tiene: x2

1 3 3

i+ +

Como G[ q] = 4 - 1 = 3, se tien e: q(x) = 1x3 + 1x2 - 2x - 1 = x3 + x2 Resto = 4

Como D(x) y d(x) presentan todos sus términos y están ordenados en for m a descendente, entonces q(x) y R(x) también deben presentar todos sus tér minos y est án ordenados descendentem ente.

q(x) = 3x 2 + 2x + 3 R(x) = 1 x 2 - 1 x -*-2 =

+

i 1 -3 :

i 0 i i -2 1 1 1

i 2i 2 1

1

2

l__4 1i 4 1 '2 _ _ lj 1 2

Coef. del q(x) Co mo : G[ q] = 3 - 1 = 2 Tenemos: q(x) = x2 + 2x + 2 Resto = 1

ene la for ma :

TEOREMA DEL RESTO coeficien tes d el D(x)¡ x= —

b a X

+

+

coeficientes

+ del q(x)

Finalidad. I | I

sin neces idad de e fectuar la divi

1.

Dividir:

sión.

Enunciado. Sea P(x) un polinomio no constante. El r esto de divi dir P(x) entre (x - m) viene dado por P(m).

Resto

En el esque m a de R uffi ni el r esto obtenido siem es una constante. Ejemplos:

Obtener el resto de ciertas divisiones

pre

Es decir:

P(x)

R = P (m )

R: resto

Ejemplos: P(x) 3x - 1

« R = P( 3)


Q(x) x+ 6

R = Q( —6)

30

IC

E l P ostulante

olección

3.

REGLA PRACTICA El divisor se ¡gu ala a cero (x - m = 0). Se despeja la variable (x = m). Se reemplaza en el dividendo obteniéndose el resto R = P(m).

4.

Los expo nen tes en cada uno de los términos del dividendo son iguales. Hay cuatro formas de cocientes notables, que se obti enen com binando los signo s: (t T ' T

Ejemplo:

ó

)

Com o consecue ncia se present 2x

Halle el resto en: Resolución: Hac iendo uso de x -2 = 0

x - 2 60

Estud i o del pr i mer c a s o :

x+ a

x+a=0

ica:

x = -a

R = ( -a )m + am = 0 Hay dos casos: Que m sea par, luego:

R = 2( 2 )5 + 2 - 6 0 =» R = 6 Corolario. Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de dividir P(x) entre (ax + b), donde a A 0, viene dado por ( - b/a) , es deci r:

=2am A 0 R = ( -a )m + am = a n No es cociente notable, porque el resto es diferen te de cero. Que m sea impar, luego:

P(x) ax + b

R = ( -a )m + am = - a m + am = 0 Si es cociente notable.

Ejemplo: 2 x ¿ + 5x + 7 Halle el resto de dividir:. ... . 2x - 1

Conclusión:

Resolución: Siguiend o con la r egla prácti ca, antes m encionad a.

•

--------------

Ap lican do el teorem a del resto, regla práct

la regl a prácti ca: • x=2

2x - 1 = 0

an 4 casos:

x = 1/2

X^ 3^

La forma

--------------

x + a

es impar. Estudio del segundo

es CN cuando m

—m

caso:

_m

x+ a

Cálculo del resto: •

R -2

(

+

5(

+

x+a=0 x = -a R = (- a )m - am Para que sea cero, m debe ser número par, así:

7

R = J - + ^ + 7 =* R = 10 2

2

R = a m - am = 0

COCIENTES NOTABLES (CN) Se deno m ina cocientes notabl es, a ciert os c ocien tes de tal form a que sin efectuar la divi sión, se pu e de escribir su desarrollo. Se caracterizan por ser cocientes exactos. Forma general de los cocientes notables. cociente notable se puede presentar de la siguien~ a"’ donde se observa: te forma general: 1. 2.

Todo

El dividendo y el divisor tienen cada uno dos términos. Las bas es del divide nd o y diviso r (x, a), res pectivamente, son iguales.

Conclusión:

La forma

es CN cuando m

x+ a

es un número par. Estudi o del ter cer ca s o :

-------------

x a

Cálculo del resto: x- a=0

x = a

R = ( a f + am = 2am + 0 Co m o el resto es diferente de cero, no es CN Conclusión:

La form a

table para ningún valor de m.


-------------

x - a

no es cociente no-

Á

w rn

Estudio del cuarto caso:

x a

x -a = 0 R = (a)m - am = 0

Conclusión:

La forma

• p irn

w f4"i

--------------

x - a

x= a

es cociente nota-

Des arrol lo del cociente notable. Para desarrollar el CN se realiza la división por Ruffini, aplicado a un caso, pero se generaliza para los tres casos de cocientes notables con las reglas prácticas que se hará al f inal de la dem ostración. Sea el CN

--------------

Dividiendo

por Ru ffini :

-a

X + 3

cVLata . El dividendo en ambos casos (a y b) puede se r (xm + a m) o (xm - am)

31

_

----------------

ble para cualquier valor de m.

x m+ a m

|

Cuando el divisor es de la forma (x + a) los signos de los térm inos de! cociente son alt ernados (+) y ( -) comenzan do po r (+). Cuan do el di visor es de la forma (x - a) los si gnos de los térm inos del cocien te son positivos.

—m

-------------

Cá lculo del resto:

lgebra

Ejemplos: 1.

x + a = x4 - x3a + x2a2 - xa 3 + a4

2.

^

para m = número Impar.

1

0

0

1 1

-a -a 1

+a2 - a 3 +a2 -a 3 ...

El cociente e s d e grado =

0

+am

..

+am _ 1

-a m 0

x+ a

= x5 - x4 a + x 3a 2 - x2 a 3 + x a 4 - a5

x  a x- a

3.

4

~

= —1—é



a

(x2) + (a 4)

x2 + a4

m- 1

= ( x 2 ) 4  ( x 2 ) 3 ( a4 ) +

(x2)2(a4)2 - (x2)(a4)3 + (a4)4

q(x) = xIT1 1 - xm ~ 2a 1 + xm - 3a2 - xm - 4a3 + ...

o en forma inmediata:

+ am ~ 1

v 10

,

_2 0

x + a . = x8 - x V + x4 a8 - x2a12 + a16

Determinación de un término cualquiera de un cociente notable. En forma general: Reglas prácti cas para escribir del desarroll cualquier cociente notable 1. 2.

3.

4.

5.

o de

El prime r término cocien te es i gual ciente entre el primerdeltérmino del dividendo y al co el prime r térm ino de l divi sor. El últi m o término del cocien te es I gual al co ciente entr e el segund o término del d ivi dendo y el segundo término del divisor. A partir del seg und o término del cocien te el expon ente de x comienz a a disminuir de 1 en 1 hasta el v alor final. Tam bién a partir del segu ndo término del co ci ente, aparece a con exponente 1 y en cada término posterior su exponente aumenta de 1 en 1 hasta m - 1. Para los signos de cada término se deb e tener

..m i x i

.m

a x±a

= x m .- 1 T x m -2a 1 + x m- 3 g2 + xm

4g3 +

-1 Deducción de la fórmula, para el término k. 1.er térm ino: (signo ) xm - 1a 1“ 1 xm - 2g2 ~ xm - 303

- 1

4.° térm ino : (s ign o) x17 10. ° térm ino: (signo ) xlr k.° térm ino: (signo) x7 .'.

tk = (sig n o) x17

en cuenta:


1

32

|C

olección

E l P ostulante

Regla para el signo 1. 2.

EJERCICIOS RESUELTOS

Cua ndo el divisor es de l a forma (x signo de cualquier término es positivo.

a) el 1.

¿C uál es el residuo de la sigu iente división? (3m6  2m 4 + 3m 3  2m 2  m  1) : (m 

Cu ando el divisor es de l a forma (x + a) el signo de los térm inos que ocup an un lugar par son nega tivos y los que ocupan un luga r im par

2)

Resolución: Aplicand o el t eorem a del resto : d =m- 2 D = P( m) = 3m5 - 2m4 + 3m3 - 2m2 - m - 1 Haciendo d = 0, es deci r: m - 2 = 0 ^ m = 2 R = P (2) = 3(2)5 - 2(2)4 + 3(2)3 - 2(2)2 - 2 - 1 .-. R = 77

son positi vos. Ejemplo: Hallar el t25 y t40 en el desarrollo del CN: x 150  a100

2.

x 3 + a2 Resolución:

Dando i a for ma de C N :

(x3)50 —(a2)50

; de donde:

Resolución: Si una expresión es divisible entre otra, esto implica que si se efectúa la división entre am bas el residuo será nulo.

-------------------------

(x )+ (a )

Dado el poli nom io: 6x3 - 3x2 - mx - 6 determinar el valor de m para que sea divisi ble por (2x - 3)

1.a bas e del divis or: (x3) 2.a bas e del divis or: (a2) m = 50 Pa ra k = 2 5: t25 = + (x3)5 0 ” 25(a2)2 5 ' 1

Aplicando el teorema del resto y una ha llado este residuo se iguala a cero, porvez condi ción de divisibil idad, y se calcula m.

t25 = + x75a48

Para h allar e l residuo se hace: d = 0, es de ci r: 2 x - 3 = 0 =» x = 3/ 2

Para k = 40: t4 0 = - ( x 3)5° - 40(a2) 40 “ 1 t40 = - x 30a78 Condición necesaria y suficiente para que el x m -j cociente =-=- sea notable. Establecidas las xp±aq _)_ g^ condi cione s de di vi si bil idad e l co cient e — i — xp±aq será notable cuando: xm + an = (x p)r ± (a q)r xp± aq xp±a q dond e: pr = m qr = n

=> r = m/p => r = n/q

Es dec ir, los cocien tes entre enteros e iguales.

Pero por condición de divisibilidad: R = 0 Efectuando e igualando a cero resulta: m = 5 3.

De termina r m + n para que el poli nom io: 4x4 + 2x3 - mx2 + 3x + n sea divisible por x2 - 2x + 1. Hallar : m + n Resolución: Por condición de divisibilidad: “Si.se dividen dos expresiones algebraicas divisibles, el re siduo deberá ser idénticamente nulo". Efec tuand o la divi sión po r Horner:

...( a ) ... (p) m/p y n /q, deben s er

1

4

Número de términos del cociente notable.

De

2

-m

8

2

-4 20

-1

P

3

n

i -1 0 . 2(16 - m) (m - 16)

(«) y (P):

— = - = número de t érminos de l coc ient e not abl e

| I

4

10

(16 - m) | (25 - 2 m) (m + n -16)

Q


Á

Entonces:

25 -2 m = 0 ... (1) m + n - 16 = 0 ... (2) De (2 ): m + n = 16 4.

R = (a - 1 )3 + m( a - 1 )3 + a2( a - 1)( m + 1) R = (a - 1)3 [1 + m] + a2( a — 1)[ 1 + m] R = (a — 1)(1 + m )(2a 2 - 2a + 1) Pero: R = 0 => m + 1 = 0 .-. m = -1

Horner.

7.

Simplificar: E= l + A + í: + 2f : + ... + j ^ + a a2 a3 a4 an ” 1 Resolución: Sum ando todos m

.-. R = 0 5.

xni

.

an - !(a -

enos el úl timo sum ando:

1

x

x2

xn

a

a 2

a3

a n+ 1

Q ué valores debe rán toma r a y b para que el polinomio: x5 - ax + b sea divisi ble ent re: x2 - 4 Resolución: Por condición de divisibilidad: "Si se dividen dos expresiones algebraicas divisibles, el re siduo será idénticamente nulo” Efectuando la divisi ón por Horner:

Escribi endo el num erador como 1_ +_x_ + >c + a g2 % 3

xn _ an + 1 -

CN: a- x gn +1

an+i —xn +1 — : sustituyendo en la o n +1

E =-

expresión:

v n+ 1

~ + . (a -x ) a n+ (a -x )

-------

-------

E = a^+ 1- x n+ 1+ xn 41 a ia - x) E Ento nces: 16 - a = 0 » a = 16 b = 0 => b = 0 6.

¡

¿Cuá l debe rá ser el valor de m para que e l polinomio: x3 + m (a - 1)x2 + a2 (mx + a - 1) sea di visi ble entr e x - a + 1? Resolución: Aplicando el teorema del resto para hallar el residuo en dicha división y por condición de

33

D = P(x) = x 3 + m(a - 1) x 2 + a2( mx + a - 1) d=x - a+ 1 = d = 0 =3 x - (a - 1 ) = 0 x = (a - 1 ) R = P( a - 1) = (a - 1 )3 + m( a - 1)(a - 1 )2 + a 2[m(a - 1 ) + (a - 1 )]

H allar el residuo de la división de: 2x5 + 7x4 - 50x3 - 173x2 - 22x + 60 ent re x2 - 2x - 15 Resolución: Efectuan do la divi sión po r el método de

lgebra

=

a 111! 1 f = — !— = an + (a - x ) a - x

(a

- X)" 1

Hallar el término independiente del cociente: ( x + a )n - a 11 x Resolución: Dando la forma de CN y desarrollando:

(x + a)n - a" (x + a) - a

_____

= (x + a)n

divisibilidad, se iguala el residuo a cero.


1 + (x + a)n

(x + a )n

34

IC

olección

E l P ostulante

El término independiente del CN es: P(0) = an ~ 1 + an 2a ' + an “ 3a 2 + ... + a 11“ 1

o 3.

n t érm inos = an ~ 1 + a n " 1 + an ’ 1 + ... + an “ 1 V n t érm inos

________________

a) 4 1d)

1

.-. P(0 ) = n a n “ 1 9.

4.

Simplificar: E _ x 78 + x 76 + x 74 - ... + x 4 + x 2 + 1 x38 + x36 + X34 + ... + x4 + x2 + 1 5.

E =— óx2 - 1!— ; efectuando y ( x2 )20  140

6. (x 4(!f - 1 2 x40 - 1

_ (x 40 + 1)( x40 - 1)

7. f- "E JE RCI CI OS propuestos

'" !

Indique verda dero (V) o falso (F) en las prop o sici ones siguient es: I. SI R(x ) = 0; D(x) = d(x )q( x) II. G[q(x)] = G[D(x)] + G[d(x)] III. Para efec tuar l a división, se com pleta dena en forma creciente al dividendo y al divisor.

2.

b) VVF e) FVF

y o r

8.

c) FVV

12x4 - 2x3 - 16x2 + 8x -3 2x2 + x - 3

e) 6x2 + 4x

c) —1

6x4 + 16x3 + 25x2 + Mx + N 1 + 2x + 3x2

b) 6x2 - 4x + 3 d) 6x2 - 4x - 3

_ 9.

b )- 2 e)d1

c) 3

El restoi de la divis ión:

x3 - 4x2 + px - p x - 3x - 2 es una constante, hallar dicho resto aumenta do en p. b)- 1 e) 2

------------------------------

c)0

SI los coe ficientes del coc iente de dividir : ax 2 + bx + c + 8x 4 + 18x 3 2x + 3 son números consecutivos y el residuo es (-8), señalar: (a + b + c)0,5 a)1

b)2

d)4

e)6

c)3

La sigu iente división: m x5 + n x4 - x3 + 7x 2 - 5x - 12 3x2 + x - 4 es exacta. Calcular: mn a) 10 d) 30

Ha llar el coc iente de dividir :

a) 6x2 + 4x + 3 c) 6x2 + 4x - 3

b) 2 e )3

Si la siguien te división:

a)1 d) 2

40

(x 40 - 1)

a) VF V d) VFF

—• 4 2 u— se obtiene por 2x + x -■ 1 rest o: R(x) = 8x - 4. Ca lcular: ab~1

a) 2 d) -3

simpli ficando:

------

1.

c) —1

tien e res iduo : R (x) = 0, se ña lar: 3
(x2l 40- 1 40

.

b) - 4 e )0

Al efectuar:

a) 1/50 d) 1/2

Resolución: Escribiendo el numerador y denominador como CN:

x 2- 1 E _ x 80- 1 c x40 - 1

2 - 5x + 6x 2 - 7x 3 + x4 , da r com o x3 - 5x + 4x - 1 respue sta la suma de coeficientes del resi duo.

Al dividir:

b) 15 e) 42

c) 24

. . , . .. . .. 25x4 + 5x3 + bx2 + 3(x + 1) A pa rti rde la divisi ón: 1 5x2 —3(x + 1) -------------------------------------------

calcular su cociente evaluado en 1, sablendoque su resto es: 5cx.


Á

a) 5 d) 8

b) 6 e )9

c) 7

1)(x2- x + 1)

16.

seña lar e l coeficiente del término lineal del co ciente. a) 2 d )9

b) 3 e )1 2

b) —11 e) 14

A -1

11. Pro po rcion ar el coc iente de dividir : x3 + (b - a)x 2 + (b - a)x + a - ab x- a

m

1 5 /7 +k

entre x -■17 , se enco ntró un residuo 3k Enc ontrar k .

8.

c)3

13 . De terminar el valor de a en la división: 25 x4 + (x + a)2 + 2 2 + 5x si el valor numérico de su cociente para x = 0 es igual a 2. a) 1 d) 3

b) 2 e )6

c) 4

14. De term inar el residuo de la división: px5 + 2qx4 + (3r - p)x 3 + (p - 2q )x2 + (2q - p)x + p _ _ _

si l a sum a de c oeficientes del cocien a) 15 d) 18

b) 16 e) 19

15 . Con siderando el 2 1 3

2

b3

te es 54. c) 17

siguient e esquem a de Hor ner: 1

b4

4 ¡ b-i b 2 I I I b5 ; 1

1

B

C

D

E

F

1

3

5

7

9

n

P

q

r

0

a) -2 5 d) 25

12. Al dividir:

b)2 e)5

c) 12

hallar la suma de coeficientes del dividendo.

a) x2 + ax + a b) x2 + bx + b c) x2 + ax + b d) x2 + bx + a e) x2 + bx + (b - a + ab)

a)1 d)4

35

La sigu iente división: A x5 + Bx 4 + C x3 + Dx 2 + Ex + F x+ 1 se reali za em plean do la r egla de R uff lni , obte niéndose el esquema:

c) 6

P(x) = x3 + (- 2 - */ 7) x2 + (2 /7 - 15)x+

|

calcular: b, + b2 + b3 + b4 + b5 a) 10 d) -1 3

10 . D esp ués de dividir : 6x 4+ 11x + 7(x+

lgebra

b) 50 e) -5 0

c) 0

17. Si al efe ctua r la división: (6x4 + Ax3 - 14x2 + Bx - 5) : (- 5 + x + 2x2) se obtuvo com o residuo al polinom io (3x + 5), calcular: "Va + B - 1 a)1 d) 4

b)2 e) 0

c)3

18. Ha llar el r esidu o de divi dir: am x3 + (an + b m )x2 + (ap + b n)x + bp ax + b a) 1 d) 2bn

b) -1 e) 0

c) bn

^

19. Ai efec tuar la división:

! 5x - 1

x +grado. 3x - Pro 4x + se obtiene un residuo de primer porcionar dicho residuo. a) 14x + 3 c) 7(2 x + 1) e) 7(2x + 3) -

X

b) 14x - 3 d) 7(2 x — 1) 20

20. Si: 15x4 + 7 x3 + Ax 2 + Bx + C se divide en tre 5x2 - x + 3, se obtiene un c ociente cuyos coefici entes v an di sm inuyendo de 1 en 1 a partir del principal y un resto 2x + 5. Calcular:

ir^c a) -3 d)2

b) -2 e)3


c) -1

36

|C

olección

E l P ostulante

27. Cuá l es el va lor de m para que la

21. Luego de divi dir: 6> <3 - 1gx2 + 19x - 16 3x - 2

a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

a)1 d)a+ 1

b) 2 e) 5

b)a e)- 1

(a 2 - b2)x3 ■+(2ab - 2b 2)x2 + 4a bx + 2 b2 - ab (a + b) x + b - a es exacta, hallar: (a2 + b2)(ab)~1 a) 0 d) 0, 5

b) 1 e )-0 ,5

2 c) 3

fi v3 _ 1Tv 2 _ % - 3 d iv id ir: 2x - 5

a) 8 d)0

a4

a5

3

-1 2

a7

a8

a9

a 10

an

b) 11 e)3

c) 5

30. Al efe ctua r la división: ax5 + bx4 + (c - a)x 3 + _(a _- b)x2 + (b - a)x + a el resto que se obtiene es 9. Señalar la suma de coe fici entes del cociente.

b)10y2 e) 6 y - 6

c)-1 0 y8

b) 21 e) 45

a) 15

b) a + b = 0 c) ab = 0 e) a + bi 1 = 0

26. Ca lcular a y b, si al efec tuar l a siguiente divisi ón: ax5 + bx4 + 2x 3 - x2 -JJx _+ _6 e| re s|duQ eg 3x2 + x - 2 Idénti cam ente nul o. a) 12 y -2 d) 8 y - 12

a2

c) 14

25. Si el residu o de l a división: 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + x5 + ax + b x2 - x - 1 es R(x) = 26x + 17, hallar l a alt ernativa correcta. a) a = b d )a + b = 1

a1

corresponde a la división de dos polinomios por la regla de Ruffini. Obtener: a0 + a4 + a8

------------

b) 12 e) 57

2

-5

a0 -6

a3

es de la forma mx2 + nx + p. calcular: m" ' p + (n + p)m a) 8 d) 17

c) - 1

29. El esquem a:

a6

24. Si el cociente de

c)- a

28. Si ¡a divis ión indica da :

c) 3

23. C alcu lar (m + 2 n), si el resto de: 4x4 - x2 + m x + n es: 2x + 5 2x + x - 3 a) 1 d) 4

dúo idénticamente nulo.

b) 2x2 - 5x + 7 d) 2x2 - 5x - 7

22. Ob tener la sum a de coeficientes del cociente disminuida con el resto de la división: 2 (x + 1)3 —3 x2 - x + 3

posea resi -

------------------------------------------------------------

ha llar la suma del coc iente con el residuo. a) 2x2 + 5x + 7 c) 2x2 + 5x - 7 e) 2x 2 + 5x

división:

x3 + m ía - 1)x2 + a2(mx + a - 1) x- a+1

c) 27

d) 36 ÜJ Lü > < j □

1. 2. 3. 4. 5. 6.

d b b b c d

7. d 8. d 9. d 10. b 11. e 12. d


13. 14. 15. 16. 17. 18.

e d b e b e

25. a 19. a 20. a 26. a 21. d 27. e 22. e 28. b 23. c 29. b 24. d 30. c

FACTORIZACIÓN FACTO R ALGEBRAICO

N(x) = x2 + n; (n > 0) N(x) es primo en © y I R

Se dice que N(x) es un factor algebraico de P(x) de grado n > 1; si existe un polinomio M(x) tal que P(x) = N(x)M(x), es decir, N(x) es un factor de P(x) si la división de P(x) entre N(x) es exacta.

• ' R(x) = x2 + p, p < 0; p no es cu ad rad o perfe cto Entonces R(x) es primo en ©

Ejemplos: P( x) = ( x + 1 )(x + 3 ) Sus factores algebraicos son: x + 1; x + 3: (x + 1)(x + 3) •

Propiedad es de lo s polinom ios irreducti un campo num éri co

Todo polinomio de primer grado es irreductible. Si el poli nom io P es irr edu cti ble lo es t am bién cualquier poli nom io cP donde c es un eleme n to de dicho campo (c 0). ■-/■

Q(x) = (x + 3)(x + 4)(x + 6) Sus factores son: x + 3; x + 4; x + 6: (x + 3)(x + 4), (x + 3)(x + 6); (x + 4)(x + 6): (x + 3)(x + 4)(x + 6)

FACTORIZACIÓN Factorizar un polinomio de grado n (n # 2) reducti ble sobre un campo numérico, es un procedimien to que consiste en transformar dicho polinomio, en una multiplicación indicada de factores primos

Teorema Dado el poli nom io mónic o: P(x) = (x + a) “ (x + b f El núm ero de factores algebraicos es: (a + 1)(p + 1)

sobre un campo num cYlatw I ;

:—

-------

—

bles en

— „

.................

No se cons iderará com o factor a la unidad o cua lquier cons tante.

Un polinomio P de grado Polinomio reductible. n > 1 es reduc tible en un cam po nu m érico si el po linomio se puede descomponer sobre este campo en la multiplicación de dos polinomios de grado menores que n.

l I

Ejemplo: Factorice P(x) =

éri co.

x4 -

1

Resolución: Aplicando d if erencia de cuadrados:

P(x) = (x2 + 1)(x2 - 1) => P(x) = (x2 t 1 )(x + 1)( x - 1)

CRITERIOS PARA FACTORIZAR Criterio del factor común.

Ejemplo: P(x) = x2 - 3 P(x) es reductible en IR, es decir: P(x) = (x + Í3)(x - ¡3 )

en ©

Consiste en buscar

factores comunes a todos los términos de un po linomio para luego extraerlos.

Ejemplos:

Polinomio irreductible. Un polinomio de grado n (n > 1) es irreductible sobre un campo si en cual quiera de sus descomposiciones uno de ellos es de grado cero y el otro de grado n. Ejemplos: P(x) = 3x + 12 Se transf orma en P(x) = 3(x + 4) P(x) es primo e n © y IR

Factorice: P(x: y) = 4x2y + 5xy2 + xy = x(4xy + 5y2 + y) P(x; y) = xy(4x + 5y + 1) Luego el polinomio presenta 3 factores pri mos: x; y; 4x + 5y + 1 Factorice: Q(x; y) = (x + 3)y + (x + 3)x + (x + 3) Q(x: y) = (x + 3)(y + x + 1) Luego,(x el+ polinomio dos factores pri mos: 3), (y + x presenta + 1)


38

|C

E l P ostulante

olección

Agrupaciones. Con sist e en agrupa r términos con venienteme nte tr atando que ap arezca algún factor común. Ejemplos: Factorice: P(x; y; z) = x2 + xy + zx + zy + x + y P(x; y; z) = x(x + y) + z(x + y) + (x + y) P(x; y; z) = (x + y)[x + z + 1] Luego, el polinomio presenta dos factores pri mos: (x + y); [x + z + 1] Factorice: P(a; b: c) = a2 + ab + ac + a3 + a2b + a2c P(a; b; c) = a(a + b + c) + a2( a + b+ c) P(a; b; c) = (a + b + c)[a + a2] P(a; b; c) = (a + b + c)a(1 + a) Luego, el polinomio presenta tres factores pri mos: (a + b + c); a; (1 + a)

Identidades.

Por identidades algebraicas.

Ejemplos: Factorice: P(a: b; c) = a2 + b2 + c2 + a + 2ab + b + 2ac + c + 2bc P(a: b; c) = (a2 + b2 4 c2 + 2ab + 2bc + 2ac) + (a + b + c) P(a; b: c) = (a + b + c)2 + (a + b + c ) . 1 P(a: b; c) = (a + b -i c)(a + b + c + 1) Luego, el polinomio presenta dos factores pri mos: (a + b + c): (a + b + c + 1) Factorizar: P(x; y) = x 4 + 2 x2y2 + y4 - (x2 + y2)(1 + y2) P(x; y) = (x2 + y 2)2 - (x2 + y2)(1 + y2) P(x: y) = (x2 + y2)[x2 + y2 - 1 - y2] P(x; y) = (x2 - y2) 2[x2 - 1] P(x; y) - (x2 + y2) (x + 1)(x - 1) Luego, el polinom io presenta tres f actores pri mo s: (x2 + y 2): (x + 1): ( x - 1)

Aspa simple. torizar.

se descompone los extremos tra Procedimiento: tando de buscar el término central. P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m a ,x

c,yn

a2xr Bxnym (térm ino c entral) Donde: Bxnym = (a2C! + a1c2)xllym Lue go: P(x; y) = (a ^ " + c 1ym)(a2 xn + c2 ym)

cVlota -: P(x) = ax2 + bx + c; a # 0 A a; b; c e © es fact orizable e n © o b2 - 4ac es un cuad ra do perfect o. P(x) = ax2 + bx + c; a A 0 a a; b: c e IR es factori zable en I R « b2 - 4ac > 0

Ejemplos: • P(x) = x2 + 5x + 1 Analizando el discriminante se tiene: A= 52 —4(1)(1) > 0 .-. P(x) es facto rizable en IR: pero p rimo en © • P(x) = 2x2 + 3x - 1 Ana lizando el discr iminante A = 32 - 4(2 )(1 ) => A = 1 Ejemplos: Factorizar: P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2 3xx 2y x - ^K ^+ 6 y

’20xy Luego: P(x; y) = (3x + 2y)(x + 6y), el polino mio presenta dos factores primos. Factorice: P(x) = 14x2 — 3x - 11 14 x \

* \ | í >/ r 111 1 = > x^ ^ -1

Forma general de polinomio a fac

P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m

2xy 1 18xy r (+)

1 1X j

-14X [ (+) —-3x

Luego: P(x) = (14x + 11 )(x - 1) El polinomio presenta dos factores primos.

P(x) = Ax2n + Bxn + C Donde: m; n

e

IN

Aspa doble. torizar.

Forma general del polinomio a fac


Á

t3

|

Ejemplo:

P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m + Dxn + Eym + F ti

lgebra

*4

t6

Factorice: P(x) = x4 + 3x3 + 7x2 + 7x + 6

Donde: m; n e IN Procedimiento: Se aplica dos veces aspa simple en los siguientes

Balance: Tenemos: 5x2 Fal ta : 7x2 - 5x2 = ( § )

términos: t-,, t2, t3 a t3, t5, t6 Finalmente solo para comprobar se aplica otra aspa simple con: t,, t4, t6

P(x) = (x2 + 2x + 3)(x2 + x + 2) El polinomio presenta dos factores cuadráticos pri mos (x2 + 2x + 3); (x2 + x + 2).

P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m + Dxn + Eym + F aix"

Í1

Luego : P(x;y) = (a ,x n + c ^ " 1+ L,) (a2 xn + c 2ym + f2)

Divisores binómicos. Se aplica para factorizar polinomios que admiten por lo menos un factor li neal. Raíz de un polinomio. grado n > 1.

Ejemplo: Factorizar:

Sea P(x) un polinomio de

a es raíz de P(x) « P(a) = 0 P(x; y) = 15x 2 + 11 xy + 2y 2 + 16x + 6y + 4 5x 2

Luego: P(x; y) = (5x + 2y + 2)(3x + y + 2) el polinomio presenta dos factores primos. Aspa doble especial. mio a factorizar.

Forma general del polino

Es decir, raíz es el valor que anula al polinomio. Ejemplo: P(x) = x3 + 7x - 8 x = 1 => P(1 ) = 0 => 1 es raíz de P(x) Posibles raíces racionales (PRR) Sea: P(x) = a0xn + a-|Xn ~ 1+ ... + an _ ,x + an Donde: a0: an ¿ 0

P(x) = Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E

PRR = ±

Donde: n e IN Procedimiento: Se descompone los extremos tratando de buscar un aproximado al término central: P(x) = Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E

[ D iviso res de I an I !— H Divisores de | a0 1 ----------------------

Ejemplo: P(x) = 2x3 + 5x2 - 4x - 3 P rr

_+ f

Divisores de 3 j [Divisores de 2j

PRR= H H H , ; ? 3 ;f l Balance: y Te ne m os : (a 1e2 + a2e1)x2 n \ Falta: (C - a1e2 - a2e 1)x2n = ( £ x ^ )= (f1x Il)(f2x n) Luego: P (x) = (a-ix211 + f.,x n + e 1)(a 2x 2n + f 2x n + e 2)

PR R = ±1; +

2

± 3; ± -

2

Luego el polinomio P(x) posiblemente se anule para algunos de estos valores. Si: x = 1 ^ P(1) = 0 => 1 es una raíz racional de P(x)


39

40

E l P ostulante

| C olección

Resolución: E = x 3y - x3z + x 2y2 - x2yz - y2z2 + yz3 xyz2 + xz3 E = x3 (y - z) + x2 y( y - z) - yz2 (y - z) xz2 (y - z) E = (y - z)[x3 + x2 y - yz2 - xz2 ] E = (y - z)[x2 (x + y) - z2 (x + y) ]

TEOREMA DEL FACTOR Sea P(x) un polinomio tal que grado de P(x) > 1 P(a) = 0 o (x - a) es u n factor de P(x ) Ejemplo: P(x) = x 3 + 2 x 2 - 4 x - 8 SI: x = 2 =3 P(2) = 0 =s (x - 2) es un factor de P(x) Luego el polinom io se puede exp P(x ) = (x - 2)Q( x)

E = (y - z)( x + y)(x2 - z2 ) E = (y - z)( x + y)( x + z)(x -

resar de la forma: 3.

Procedimiento para factorizar Sea P(x) el polinomio a factorizar primero busca mos una raíz racional (sea a dicha raíz). Luego P(a) = 0 y por e l teorem a del f actor (x es un factor de P(x) entonces el polinomio se pue de expresar de l a forma: P(x) = (x - a) q(x) Donde q(x) es el cociente de la siguiente división: P(x) en donde para hallarla se aplica Ruffini.

Factorizar

(b2 + 2bc + c2) - (a2 - 2ad + d 2) (b + c)2 - (a - d)2 Por diferencia de cuadrados: (b + c + a - d)( b + c - a + d )

a)

4.

Resolución: Buscamos las posibles raíces racionales.

5.

= + 1, ± 3

--

1 -2 3 1 1

-2 3 1

6.

-3

coef. de q(x) => P(x) = (x - 3)(x2 + x + 1)

2.

De scom pone r en fact ores: x3y + x 2y2 - x2yz + yz 3 - xyz 2 + x z3 -y 2z2 - x3z

x4 + 4y 4 = (x 2 + 2x y + 2y 2)(x2 - 2xy + 2 y2) Uno de los factore s de x4 + 2x2 + 9 es: Resolución: Se genera una diferencia de cuadrados qui tando 4x2 y poniendo 4x2. Así: E = x4 + 2x2 + 4x 2 + 9 - 4x 2 E = (x4 + 6x2 + 9) - 4x 2 E = (x2 + 3)2 - (2x)2 E = (x2 + 2x + 3)(x2 - 2x + 3)

3 0

P(x) = (x - 3)(x2 + x + 1) Luego el polinom io ti ene 2 factores primos.

De scom pone r el binom io x4 + 4y4 en el pro ducto de dos binomios reales. Resolución: Sum ando y restando 4 x2y2 , se tie ne: x4 + 4y4 = (x4 + 4 x2y2 + 4 y4) - 4x 2y2 x4 + 4y4 = (x2 + 2 y2)2 - (2x y)2

De aquí 3 es una raíz racional porque P(3) = 0 y por teorema (x 3) e s un f acto r de P(x ), luego: P(x) = (x - 3)Q(x). Hallando Q(x) por P(x) Ruffini, en la siguiente división: x- 3

3

Hallar uno de los factores de: x6 - x2 - 8x - 16 Resolución: Agrupando convenientemente: E = x6 - (x2 + 8x + 16) Planteando la diferencia de cuadrados: E = (x3 )2 - (x + 4 )2 E = (x3 + x + 4)(x3 - x - 4)

P(x) = x3 - 2x2 - 2x - 3

PRR = ±

Bu scar el equivalente de la expresión: b2 + c2 - a2 - d2 + 2ad + 2b c Resolución:

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

z)

7.

Fac torizar el siguiente polinomio: a2 + 2ab + b2 - 2a - 2b - 35 Resolución: Agrupa ndo con venientemente, se


logr a:

Algeb ra |

a) 5 d) 4

(a + b)2 - 2(a + b) - 35 (a+b) 7 (a + b) +5

9.

(a + b —7)(a + b + 5)

[^EJ ER C ICIO S PR OPUESTOS " I

1.

Factorl zar: 3a3 b - 4a 2b + 3ac - 4c, dar uno de sus factores. a) a2b + c3 d) 2a - 3

2.

Factorizar: factor.

b) ab + c e) 3a + 4

b) 2 + b e) b - 2

C uán tos factores a) 2 d)5

4.

5.

primos tiene: a7b5 - a 3b9

b)2 e)5

b)5a b - 1 e) ab - 1

c)2 a b- 3

Fa ctorizar: (x + y)4 - 5xy (x + y)2 + 6x2 y2, indi car uno de sus factores. b) 2x2 - 2y2 d) x2 + y2 + xy

Factor izar : F(x) = (x2 + x + 1) 2 - 16x(x + 1) + 23, señalar que factor no pertenece a F(x ). a )x - 3 d) x + 2

8.

c)3

Indicar la sum a de térm inos de los factores: 6a2b2 - 11ab + 3

a) x2 - y2 c) x2 + y2 e) x2 + y 2 - xy 7.

c) 4

Fa ctorizar: (a3 + b3 + c3 )3 - a3 - b3 - c3 e indicar el núm ero de factores primos

a) 5 a b - 4 d) 8ab 6.

c) 2b - a

b) 3 e)6

a)1 d)4

b) x - 1 e) x + 4

b) 6 c) 2 e) hay 2 respues tas.

Fa ctorizar: P(x, y) = (x + y + 3)2 + 7x + 7y + 3 e indique qu é factor es pri mo. a)x + y + 9 d) x + y + 1

b)x + y - 2 e) x + y + 10

c)x

+y+2

10. Fa ctorizar: H(x; y) = 54x 8 + 21 x4y2 - 20 y4 e indique un factor primo. a) 6x4 - 5x 2 d) 6x 4 + 4 y2

b) 9x4 - 4y 2 e) 3x 2 + 2y

c) 9x4 + 5 y 2

11. Fa ctoriz ar: F(x; y) = (x2 - y2)2 - (y2 - 1)2, in dicar un factor primo.

2a 3 + b3 - a2b - 2a b2 e indicar un

a) a + 2 d) a - b 3.

c) 3a - 4

41

c)x+ 1

Fa ctorizar: (x2 + 5)2 + 13 x(x2 + 5) + 42x 2 indique la suma de coeficientes de un factor primo.

a) x + y d) x2 + y

b) x - y e) y - 1

c) x + 1

12. Factorizar: R(x ; y ) = y2 - x2 + 6x - 9, Indicar el factor primo de m ayo r sum a de coe ficientes. a) y +

x - 3 b) y - x + 3

c )x + y + 2

d) x + 2y - 1 e) y + 2 + 3 x 13. Fa ctorizar: 81a4 + 9a2 + 1, da r el prod uc to de términos de uno de sus fact ores. a) 9a 2 + 1 d) a 3

. b) - 2 7 a 3 e) 27

c) 27a

14. H allar la diferencia de ios factores prim os de: P(x) = (x + 1)( x + 2)(x + 3)(x + 4) 3 a) x

b) 2

c) 1

d) 4

e) x2

15. H allar el factor pri mo qu e más vece s se r epit e: P(x) = x4 + 7x3 + 17x2 + 17x + 6 ad)) xx +-

13

b) e)xx+- 2 2

c) x + 3

16 . Factori zar: P( x) = x3 - 12x2 + 47x - 60 e i n dique la s um a de los t érminos independientes de sus factores primos. a) 10 d) 12

b) —14 e) —12

c) 19

17. Factorizar: (a - b)2 (c - d)2 + 2 ab(c - d)2 + 2 cd(a 2 + b2) e indicar la suma de sus factores. a) a 2 + b2 c) c2 a2 e) + b+ b2 + c2 + d2


b) c2 + d2 d) a2 - b + c

42

| C olección

E l P ostulante

18. Indicar la sum a de l os factores primos ob teni dos al factorizar: P(x) = 8x3 - 12x2 - 2x + 3 a) 6x d )9 x- 1

b) 6x - 3 e)6x - 1

25.

c) 8x + 1

a) 4a - 4b - 4c c) 4a + 3b + c e) 4a + 3b + 3c

19. Fa ctorizar: F(x) = 24x 3 + 17 x2 + 11x + 3 e In dique la suma de co efi cientes de sus fact ores primos. a) 3 d) 27

26. b) 15 e) 11

c) 7

b) 7 e )-3

a) a + 2c + d

b) d + 2b + c

d )a + b + d

e )b + c + d

b2 - acad primos. c) a + b

+ c

22. Fa ctorizar el po linom io: x2 - y2 + 2z2 - z2 - 8x + 16 , d e cómo res puesta la suma algebraica de los términos In depe ndientes de lo s fact ores pri mos. a )- 8 d) -4

b) 8 e) 0

b) 4 e)2

c) 4

23. Al es cribir el polinom io: x7 - 4x 6 + 2 x4 - 3x3 + x2 - 1 bajo la forma (x - 1)a (x + 1)b ha llar el va lor de a - b.

a) 2a 2 - b c2 c) 2a2 + b - c2 e) 2c2 - b + c

a) 1 b) 2 c) —1 d ) —2 e) 3 24. Indique uno de l os factores pri m os en : b3(a - c2) + c3( b - a2) + ab cfabc - 1) + a3( c - b2) b) c2 - b e) a2 + b

c) c2 - c

primos en:

b) 2a2 + b + c d) 2b2 - a - c

28. Indique el núm ero de factores pri mo s en: (x2 + 5 + 7 x) 2 + 3 x2 + 5 + 21 x a)1 d)4

b2) e)5

c)3

29. Indique uno de los factore s pri m os en: a3 + b3 - 6ab + 8 a) a + b + 3 d) a + b + 5

b) a + b + 2 e) a + b + 1

c) a + b + 6

30. Indique l a sum a de factores primos en (a2 - b2 - c2) 2 - 4b 2c2 a)

4a

b) 2a 0 e) 5a

d)

a) a2 - b d) a2 - c

c) 5

27. Indique la sum a de factores a4 + 5bc2 - a2b - a2c2 - 2b2 - 2c4

c)1

21. Factor izar : (a + b + c + d)2 - a2 indicar luego uno de los factores

b) 4a + 4b + 4c d) 4a + 3b + c

Indique el núm ero de f actores pri mos: (18c + 7b + 6a)(a + 3c + 3b) + 3 b2 a) 3 d)6

20. Se ña lar el va lor de m para que: P( x; y) = 2x2 + m xy + 3y2 - 5y - 2 pueda expre sarse como la multiplicación de 2 polinomios. a) 0 d) 5

Indique la sum a d e factores pri mos: 8(a + b + c)3 - (a + b )3 - (a + c)3 [b3 + 3bc(b + c) + c3]

1. c

7. c

2. d

8. e

14. d

3. d

9. d

15.a

4. c 5. a 6. c

10. e 11. c 12. b


13. b

16. e 17. c 18. b

:

c) a

19. e 20. b

25. b 26. e

21. b

27. a

22. a 23. a 24. a

28. c 29. c 30. a

FRACCIONES ALGEBRAICAS MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD) De dos o más expresiones algebraicas, es la ex presión de ma yor grado posible que está conteni como fact or, un núm ero entero de veces en dichas expresiones. Para determinar el máximo común divisor se factorizan las expresiones y se forma el

A = (x2 + y 2 f z2)(x2 + y 2 - z2) B = (x2 + y2)2 + 2z2(x2 + y2) + z4 B = (x2 + y2 + z2)2 C = (x4 + 2 x2z2 + z 4) - y4 = (x 2 + z 2)2 - (y2)2 C = (x2 + z 2 + y2)(x2 + z 2 - y2)*

da

producto de los factores comunes con su menor exponente.

MCD(A; B; C) = x2 + y2 + z2 M CM (A; B: C) = (x2 + y 2 + z 2)2(x2 + y2 - z2) (x2 + z2 - y2)

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) De dos o más expresiones algebraicas, es la ex presión de menor grado posible que contenga un número entero de veces como factor a dichas expresiones. Para determinar el mínimo común múltiplo se factorizan las expresiones y se forma el producto de los factors comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ejemplos: 1.

Ha llar el m áxim o com ún divisor y el m ínimo comú n mú ltipl o de:

3.

Ha llar el MC D y el MC M de : A = x3 + 5x2 + 8x + 4 B = x3 + 3x2 - 4 C = x3 + 6x 2 + 12x + 8 Resolución:

Factori zando cada expresión: A = (x3 + 2x2) + (3x2 + 8x + 4) factorizando por aspa simp le el segundo paréntesi s: 3x +2 +2

Resolución: En A: A = x4 (x - a) - a4 (x - a) Extrayendo factor común y desarroll ando x4 - a4: A = ( x - a)(x2 + a2) (x + a)(x - a); finalmente: A = (x - a)2 (x2 + a2)( x + a)

En B: extrayendo factor común: B = x(x3 - ax2 - a2x + a3) B = x[x2 (x - a) - a2 (x - a)] B = x(x - a)( x + a)(x - a) ; fi nalmente: B = x(x - a)2 (x + a ) MC D(A; B): ( x - a)2 (x + a) MC M(A; B): x(x - a)2 (x + a )(x2 + a2) 2.

Hallar el MC D y el MC M de: A = x2(x2 + 2 y2) + (y2 + z2)( y + z )(y - z) B =(x2 + y2)(x2 + y2 + 2z2) + z4 C = x4 a 2 x 2 z 2 + z 4 Resolución: Factorizando separadamente cada expresión: A = x4 + 2 x2y2 + (y2 + z 2)(y2 - z2) A = (x4 + 2 x2y2 + y4) - z4 = (x2 + y 2)2 - (z2) 2

A = x2(x + 2) + (3x + 2)(x + 2) A = (x + 2)(x2 + 3x + 2) Factorizando por aspa simple el segundo pa réntesis: -

+2

+1 : x A = (x + 2 )(x + 1 )(x + 2) = (x + 1)(x + 2 )2 B = x3 + 3x 2 - 4 = x 3 - x2 + 4x2 - 4 Factorizando en los dos primeros y en los dos últimos términos: B = x2 (x - 1) + 4(x2 - 1) B = x2( x - 1) + 4(x + 1)( x - 1) B = (x - 1)(x2 + 4 x + 4) = (x - 1 )(x + 2)2 C = x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x3 + 8) + (6x2 + 12x) = (x3 + 23) + (6x2 + 12x) C = (x + 2)( x2 - 2x + 4 )+ 6x( x + 2) C = (x + 2)(x2 - 2x + 4 + 6x) C = (x + 2)(x2 + 4x + 4) = (x + 2)(x + 2)z C = (x + 2)3 MCD(A; B; C) = (x + 2) MC M(A ; B; C) = (x + 2)3( x + 1)(x -


1)

44

I C olección

E l P ostulante

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Ejemplos:

1 2x + 3 y X

^4)(_2/ 44zb 5

X- z

Signos de una fracción. En una fracción tres signos: 1. Signo del num erado r 2. Signo del deno m inador 3. Signo de la fracción

se hall an

Cu ando no hay factores indicados. fr acción se puede cam biar dos de sus t nos y la fracción no se altera. Así: p +b

—3 +b

_

(

Simplificación de fracciones. Para simplificar una fracción se factoriza el numerador y el deno minador y se elimina los factores comunes que aceptan.

EJERCICIOS RESUELTOS Simplificar: x3 + (2a + b )x2 + (a 2 + 2 ab )x + a2b

CAMBIOS DE SIGNOS EN UNA FRACCIÓN 1.

1 ■ =0 a -b)( a -c)

1

(a-b)(a-c)

Es fracción algebraica toda aquella expresión que tiene por lo menos una letra en el denominador.

x3 + (a + 2b)x2 + (b2 + 2ab)x + ab2

En toda res sig

Resolución: Efectuando o

+3 - b

peraciones indicadas:

x3 + 2a x2 + b x2 + a 2x + 2ab x + a 2b x3 + ax 2 + 2b x2 + b2x + 2 abx + ab 2

Ejemplo: Simplificar: E

Orde nan do y fact ori zando: x( x 2 + 2 ax + a2) + b(x 2 + 2ax + a 2)

Resolución: Ca m biando de signo a la ib2-a 2)

x(x 2 + 2bx

(b2 - a2)

fr acción y al numera-

b2) + a (x2 + 2bx + b2)

Cada paréntesis es un binomio al cuadrado: (x + a )2 (x + b) ^ x +

-1

(x + b)2(x + a)

Cuando la fracción tiene factores indicados. En toda fracción si se cambia de signo a un núm ero p ar de factores, la fracción n o se altera; si se cambia de signo un número impar de factores, la f racción cam bia de signo. Así: Ejemplo: Simplificar: E

l-

2.

Sim plifi car: E =

a

x+ b ab íx2 + y 2) + x yía 2 + b 2) ab (x2 - y2) + xy (a2 - b2)

Resolución: Efectuando operaciones indicadas:

^ _ abx2 + aby2 + a2xy + b2xy

(a - b) (a - c) (b - a) (c - a)

abx2 - aby2 + a 2xy - b2 xy axíbx + ay) + by

Resolución: Cam biando de

fay + bx)

ax(bx + ay ) - by(ay + bx)

signo a l os dos f actores del de (b - a)( a - c) nom inador s e obti ene: E = (b - a)( a - c)

(bx + ay)(ax + by) (b x + ay)( ax - by)

ax + by ax - by

Ejemplo: Simp lificar: E = -,

1 (a-b)(a-c) (

.

1 a -b)( c-a )

3.

Sim plifi car: E =

(x+ 1 )(x2-9 )( x -5 ) + 27 (x + 2)(x 2 - 1 6 ) ( x - 6) + 48

Resolución:

Cam biando de se signo al factor ( c - a) en la se gunda fracción, obtiene:

Resolución: Descomponiendo la diferencia de cuadrados:


Á

6.

_ ( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x - 5 ) + 27 (x + 2)( x + 4)(x -

|

45

Ha llar el produ cto: E = ( i ± Á _J_zAyJL + 4 “ X 1 - x 1 + x /\4 x 4

4)( x - 6) + 48

(x + 1) (x - 3)(x + 3)(x -

lgebra

5) + 27

Resolución: Trabajando con cada factor: (1+ X )2-(1 -x )2 4x

~~ ( x + 2 )(x - 4)(x + 4 )(x - 6) + 48 Efectuando los productos de dos en dos: _ (x 2 - 2x - 3 )(x 2 - 2x - 151 + 27

(1 +x )( 1 -x ) 1 -x 2 3 + x2 - 4x2 3(1 ~ x 2) 4x 4x

(x2 - 2x - 8)(x2 - 2x - 24) + 48 Haciendo x2

- 2x = y:

(y-3 )(y-1 5 ) + 2 7 E= (Y - 8)(y - 24) + 4 8 y2 - 18y + 72 E= y2 - 32y + 24 0

+ 45 + 27 y2 _ 32y + 192 + 48 y218y

(y — 12)(y —6) (y - 20)(y - 12 )

y -

y - 20

E 1

6

7.

x2 - 2x ~ 6 x2 - 2x - 20

Reponiendo valores de y: E

Á 3( 1 x 2) \ = 3 4x —x¿

Reducir a su mínima expresión: E _ a + (a 2 - 1)1/2

a - (a 2 - 1)1/2

a - (a 2 - 1)1/2

a + (a 2 - 1)1/2

Resolución:

4.

Red ucir a su m ínima expresión: E =

Ha ciendo : (a2 - 1)1/2 = x

ab - b ab - a

ab

E =

Resolución: Representando conven ient em ente: c a2 - b2 b (a -b ) ab -a(a - b)

ab E

5.

Si x

b

e

(x + 1 )2(x2 - x + 1)2]2r( x - 1)2(x2 + x + 1)2 (x3 + 1)2

4 a (a 2 - 1)1/

simp lificación:

(X3~

1)2

(x 3 + 1)2

(X3

1) 2

4x2 + 2xy + y2 8x3 + y3 2V 2x +y 8x3 - y3

Resolución: Trabajando con cada la f racción :

uno de l os m iembros de

8x2 + 4xy + 2y2 - 8xy 4x + 2xy + y

(x 3 - 1)

(x3+ 1)

[1] 2 a P = 1

4 a (a 2 - 1)1'2

= 4 a(a 2 - 1)1/2

E =

(x 3 - 1)

Resolución: Trabajando en el interior de cada corchete:

A

4a x

Efectua r la siguiente

±1, ha llar el produ cto: (x + 1)2(x2- x + 1)2 ( x - 1)2(x 2 + x + 1)2

P = [I]2

(a + x) 2 - ( a - x )2

8xy

(x3+1)2

p =

a -x a+ x

Reponi endo: E :

8.

— =* a

a

E =

E = —7- ——r +  ab ab a

a

a+x a- x

D =

(2x + y)(4x2

2(4 x2 - 2xy + y2 ) (4 x 2+ 2xy + y 2

- 2xy + y2)

(2x - y)(4x 2 + 2xy + y2)

E = N/D = 2


2x - y 2x + y

46

|C

9.

Reducir:

E l P ostulante

olección

E -i f í a -i

E —-----------

1■

12. Simplificar: E

T -4 + 2 W [( a + -¿Mxd + a)l

2az "1 - a

1+a-

P2- Í Í > 4

Resolución: Efectuando operaciones, de abajo hacia arriba: 1

E = 1+

a (1  a ) (1 + a 2

-x-

Resolución: Factorizando las diferencias de cuadrados en el pri m er paréntesi s del num erador y denom nador:

(1 + a)

E = E = (1 + a 2) ;, (1 + a ) (1+a)

la 4

(1 + a2)

(1 + a ) . a _

(1 + a ) X (a2 + 1) _ a 10.

S im plificar la expre sión: 1- a 2 E = (1 + ax)2- ( a + x)2 Resolución: Trabajando con el denominador de la fracción y representando la diferencia de cuadrados: (1 + ax + a + x )(1 + ax - a - x)

K

E = ■

í i  i n

E=

Agrupan do y fact ori zando: [(1 + a ) + x( 1 + a)] . [(1 - a) - x(1 - a)]

a+¿

a 3

1 b

b+i a

b -1 a

-n

ab + 1 n ab - 1 b b ab + 1 ab - 1 a a

/ a ,° m = 1

E =

E = 1

(1 + a) (1 + x) (1 - a)(1 - x) => (1 - a2)( 1 - x2) To da la fr acci ón: E = 11.

1 —a2 1 —= (1 - a )( 1 - x ) 1 — x

H allar la exp resión equ ivalen te a:

-

I" - EJE RCI CI OS PRO PUESTOS'' |

1.

mi - m!n + m n2 _ n3

,- 27

3 /m

a) (x + 1)2 (x - 3)2 b )(x + 1)4 c )(x + 6)7 d) (x + 1)4(x - 3)4 e) (x + 1) (x - 1) (x - 3)

Resolución:

Sabemo s que: |m - n| = ^

- m_J2 + m n2 - n3 2.

Reemplazando:

E

Ha llar el MC D de: P(x) = (x + 1)2( x - 3)4 (x + 5)6 Q (x) = (x + 1)2(x + 1)3( x - 3)2 R(x) = (x + 1)4(x - 3)3 (x + 6)7

\ 3

Hallar el MC M de : P(x) = (x + 1)2 (x - 3)4 Q(x ) = ( x - 3)5( x + 4)2 a) ( x + 1)2 (x  3

)5(x + 4 )

b) x - 3) 6 c) (x + 1 )2(x - 3)5 (x + 4)2


i

Á

d) ( x - 3)4 e) (x + 1)2(x 3.

Q(x) = x 4 + 2x 3 - 7x2 + px + q es x2 - 5x - 6. Halle e l gr ado del MCM dichos polinomios.

+ 4)2

b) xn/abc e) xn ~ 1

a) 1 10.

c )x n ~ 3

d)abcxn~

4

b)

abe e )xn ~ 5

c)abcxn

~6

11.

Dados los mo nom ios: A(x , y, z) = xa ~ 3yb ~ 'z c - 1 B(x, y, z) = xa - 1yb + 3zc

b) x 8y 9z6 e) x 8y 6z 9

c) x 8y 10z6

7.

b) x - 1 e) x(x - 2)

b) x2 d) x2

9.

14.

c) x + 5

+x

8. ¿C uál de las expres iones que se dan MC D de (3x3 - 8x + 8) y (x 3 - 6x - 4) 7 a)x + 5 d) x + 2

b )x + 4 e) x + 3

c) x - 5

Si el M CD de los polinom ios: P(x) = x4 - 9x2 + m x + n

d) 6

x2 - x - 2 , x2 - 2x - 3 x2 - 4 x2 - x - 6

a) x + d) x

2 -

b) x - 2 4 e) x +

+

a) 0

b) x/y

d)

2 e)— 1

16.

1

x +

c) 1 4

c) y/x

x 

+ 1 1 x+ 1

b) x - 2 e) x 2 + 1

1

x 1

c) x + 1

(x + 2y)2 - y2 y2 Efectua r: P = - y (2 x + y ) - x x -( 4 x + y ) --------------------------

b )^ ± ^ 3x + y 1e)

Efectuar: 1,1,1 (a-b 2 )(a-c) a) abe c) ab + be + ac e) 0

es el

x2 + 4x x2 + 6x + 8

+ V ■■■- Á _ 1 xy + x y x

x2 xy + y

d) 15. 1

e) 7

b) 3/(x—2) d) 3

Efectuar:

a) -TT— — 3y + x

+x

de

^ x + 6 , x 2 + x - 20 x -x -

a) x 2 + 2 d) x 2 - 2

En contrar el MC D de los poli nom ios: P(x) = x 4 - 5x2 + 4 Q(x) = x3 + x2 - 4x - 4 R(x) = x3 - 2x2 - x + 2 a)x 2- x- 1 c) x2 - x - 2 e) x - 1

c) 3

Efectua r:

47

áÍ

13. Efe ctua r: M =

6. Siendo: A(x) = x2 + 3x - 10 B(x) = x4 - 25x2 C(x) = x 3 + 4x2 - 5x halle el MCDÍA; B; C). a) x - 2 d) x

Efectuar:

12. R e du ci r:

C(x , y, z) = xa ~ 2yb r2zc * 2 indique el MCM(A; B; C). a) x 10y6 d) x 7y 6z5

b) 2

a) 2/(x+ 1) c) (x-2)/(x +1 ) e )2

Hallar el MC D de las expresiones: axn ~ 3; bxn ~ 4; cxn ~ 5 a)abcx n~ 3

5.

x

Halla el M CD de las siguientes expresiones: a -1xn- 1; b Á " - 2; c -’x 11- 3 a) abcx" d )x n- 2

4.

3)4(

|

lgebra

1 x -1

a) x /(x-1 ) c) -2 /(x + 1 )2 e) 1


(b-a

c)

2x

3x + y

2

)(b-c)

' (c-a )(c-b)

b) a + b + c d) 1 2 2 x + 1 x 2-1

, x -1 (x+1)2

b) 1/(x+1)2 d) 3/(x+1)2

48

| C olección

17.

Efectuar: 11 a-7b E= 7b-11a a) 4

E l P ostulante

b) 3

x+y x2 - y3

, 2 x -3y -3y + 2x c) 2

1 x(x + y) n x(x + ny)

x+ y y3 - xz e)

d) 1

0 e)

18.

Efe ctuar:

E

d) 19.

0 2x - 1

b) e)

3

c)

(x2 + 2x 20.

Efectua r: N (x2+ 1 f - (x2 - 2x - 1)2 a)

2

d)

4

Ha llar el equ ivalen te de: 1 , 1 s= x(x + y) (x + y)(x + 2y) 1 . 1 (x + 2y) (x + 3y) (x + 3y) (x + 4y)

x(x + y) 1 d) x(x + ny )

n

x2 - 5x + 6 , x + 6x - 27 x 2- 9 , 2x+1 25 ■x2 9x + 20

a)

b)

. n fracciones

b )- i

1 x - 1 x + 1 1. a 2. c 3. c 4.e

e) 5. c 6. c 7. c 8. d


C)

X

+ 1 1

x + 1

9. d 10. e 11. c 12. e

13. a 14. e 15. e 16. c

17. e 18. d 19. c 20. a

BINOMIO DE NEWTON SIMBOLO FACTORIAL Dado un número entero positivo n, se define su factorial al producto de los factores consecutivos desde la unidad hasta dicho núm ero propuesto.

Propiedades del coeficiente binómico 1. Si el Indice inferior es cer o, el coe ficiente vale un o.

(o)-' 2.

Notación:

Si el índice i nferior es l a und iad, el coe fici en te es igual al índice sup erior:

Existen dos notaciones: n! y [n Ejemplos:

3.

1! = 1 2! = 1 > 2 = 2 31 = 1 x 2 x 3 = 6 41 = 1 x 2 x 3 x 4 = 2 4 51 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

Sum a de coeficientes

binómicos:

Q ( n T , ) c;í 4.

cYloia &/.-■

....................................

,

= m

)

Las propiedades sigui entes se cumplen cuan do los elementos son números naturales, de biendo ser la base m ayor o igual que el or den. Estos operadores también se denominan nú meros combinatorios y se les representa por:

a! = 1=» a = 0 v a ; a! = b! = > a = b a! = a (a - 1)!

C ” (n) '

C" “ ( n ) = n!(m X n"|"i

En general: •

n! = 1 x 2 x 3 x . .. x n : neIN

» ( ™ ) =( m h n )

COEFICIENTE BINOMI CO

•

Es un operador matemático, que se utiliza para re presentar los coeficientes que se obtienen al desa rroll ar la potencia de un b inomio.

• C T . Q -0 ; s ¡m

Notación: Un coeficiente binóm ico se represen ta I lee "coeficiente binómico m sobre n”.

2.

I que s e

Desarrollo general del coeficiente binómico m (m - 1) (m - 2)... (m - n + 1) n(n - 1) (n - 2).. . 1

Ejemplo: /1 2 \_ (12) (1 1)(1 0)( 9)( 8)

c i>

Se da este nombre a la potencia indicada de un binomio. Ejemplos: (a + b )5; (a - b)~2; (1 + x )M/3

índice su perior o base. Es el número que se ha representado con m y que tiene valor arbi trario. índice inferior u orde n. Es el número entero y positivo, designado con n, que indica el total de factores que hay en el desarroll o.

0 =

-n

BINOMIO DE NEWTON

Elementos: 1.

es- 0 - 1

(5)(4)(3)(2)(1)

= 792

DESARROL LO DEL BI NOMI O (a + b )n Regla práctica: un coeficiente cualquiera del de sarroll o, se obtiene m ulti plicando el coeficiente an terior al que deseamos calcular por el exponente de a, y luego dividiendo entre el exponente de b aumentado en la unidad. Ejemplos: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b )“ 2 = a -2 - 2a~ 3b + 3a~4b2 - 4a ~sb3 + .. . Observación: Si el exponente es entero negativo o fraccionario, el desarrollo admite infinidad de términos.


50

|C

E l P ostulante

olección

Resolución: Desa rr oll ando el n úmero com binator io y efec tuando cada sum a indicada se consi gue:

TRIANGULO DE PASCAL Nos sirve para obtener los coeficientes del desa rrollo de un binomio para exponente natural. 1 1

1

1

2

1

1 1 43 6 3 14 1 5 10 10 5

1 1

Término general del desarrollo de (a

(a + b)° (a + b )1 (a + b )2

m x x! m!(m + 1)(m + 2)(m + 3)... (m + x) _ ^RRn 3x(m + x ) ! . m . m . m .......m

(a + b)3 (a + b)4 (a + b)5

Transformando cada expresión indicada nemos:

x veces te

m x(x!)(m + x )l

xi x(x — 1)1 = x- = - 1680 3x(m + x)l m x 3x 3x

+ b)

(x - 1)! = 5040, es decir : (x - 1)! = 7! de donde: x - 1 = 7 =* x = 8 donde: (k

t

En contrar el valor de x que

1) es la posición del término.

verif ica:

Cy_4 + 2C x_3 + C *_2 Propiedades del desarrollo de (a + b)n, n 1.

El núm ero de términos que

2.

Los signos de los términos se quema: (a + b)n : +, + ,+ , + + (a - b) n: +, +, .... ±

resultan es n + 1 . definen del

Si n par: +, +, +, +, .... + Si n imp ar: -

3.

4.

Teniendo en cuenta que: 120 = 5! fácilmente deducimos que: C x: 4 + 2Cxl3 + Cxl 2= 10

5.

con la finalidad de utilizar la propiedad de re ducción para números combinatorios expre samos así: la igualdad dada: .......

c;:J + c;:J + c;:5 + c;:J = io

La sum a de l os coeficientes del desa rroll o de (aa + b p )n es: S = ( a + p )n (en el caso particu lar a = |i = 1 resulta S = 2n)

Lu ego : C x _ 3+ C x . 2 —C (' 2 — 10 De acuerdo con la propi edad de com plemento podem os establecer que :

La sum a de los exp one ntes del desa rroll o de (a“ + b1 ) es: Sexp = i

(a + (í)n(n + 1)

12 0

Resolución:

es

.........

(-a - b) n:

=

e 2Z+

L

(1)(2)(3)

La posición del término central o me dio del de sarroll o se c alculará con las relaci ones:

Es decir: (x + 1)(x)(x I x =4

10 = (5) (2)

1) = (5)(4)(3) J

______________

Si n par: n ^ ^ Si n impar:

n + 1 .n + 3

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Pro po rciona r el va lor de x de m 3x CT

1+ ±} U + 2_¡1 + —1. ..Í1 f i l = 1680 m m m l mJ

3.

Enc ontrar el valor de n para que el cuarto tér mino del desa rrol lo de (x2 - y)n conteng a a x10. Resolución: Po r co nd ición del prob lem a: t4 = x 10 ... (I) H allem os t4 del de sarro llo de (x2 - y)n segú n fórmula:

t4 = C3(x 2)n - 3(- y ) 3 = - C5 x2n 6y3

... (II )

Con (I) y (II) ten emos: 2 n - 6 = 1 0 ^ n = 8


Á

4.

Enco ntr ar el coefici ente del término que ad m i te a x20 como parte literal en la expansión de:

t 7= C§= C§ = M

quien c ontiene a x 20, luego po r fórmu la se ten drá: T k + k = C l2 (x 3)12 “ k(x " 1)k = c ; 2x 36 “ 4k Observar que el coeficiente pedido es: C i2

... (2)

(12)(11)(10)(9) (1)(2)(3) (4 ) 5.

En la ex pa ns ión de: (-/x3 + x~1/ 3)n, la su m a de todo s los coeficientes es igual a 128. H allar el término que conti ene a x5 .

,

H allar el va lor de n sabie ndo que l a difere n cia entre los grados absolutos de los térmi nos sext o y de cimose xto del desarroll o de

tk + -i = C k (Vx )

... (1)

(1)

t6 = C 2m(x4)2m ~5(yn)5 = C 2mx8m 20y 6n Ob servar que: G A(t6 ) = 8 m + 5n - 20

-1 0 n + 4 0 = 10 = > n = 3

2,

tk +

1=

4^~ :jk

con tiene a x en l a

= Ckx” 2

Q ué l uga r ocup a el término de desarrollo de: (x2 a y3)18 a) 10

b) 11

4 ■■■(e x)

Com o este t érmino no conti ene a x se deberá cum pli r que: 9- k 18 - 3k •= 0

d) 13

e) 14

b) 78 e) 154

c) 84

Ha llar a + k si se sa be que e! cua rto térm ino del des arrollo de (x + 2)a es u jx k. a) 6

4.

grado 48 en el

14=- +

a) 56 d) 126 3.

c) 12

□

Se ñale el valo r del término i nde pen diente del desarrollo:

de: I í x + — ' 4/ í

C k ^ *9~ k(

Ck

(2) (3) (4!)

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.

Resolución: Sea tk + 1el término pedido, es decir:

k

=

□

,. .(2)

Hallemos: t16 de (x4 + yn) así: +'16- _o p2 f'2mv 15 m (x /v4 ) \2m-15/.,n\15 (y ) - _u 15 x 8m-60 y w15n Ob serva r que: GA (t16)! = 8m + 15n - 60 ... (3) Sustituyendo (2) y (3) en (1) tenemos: 8m + 5 n - 20 - (8m + 15n - 60) = 10

En con trar el término que no

. 21 3k

(x 1/3f

Por condici ón: 21 ~ 3k - ^ = 5 2 3 = 63 - 11 k = 30 k= 3 Luego el término pedido es: t4

Hallemos t6 de: (x4 + yn)2m así:

expansión

t7= 84

térm ino de ( /x 3 + x~ 1/3) que con tiene a x 5, es decir:

(x4 + yn)2m es 10. Resolución: Por condición: G A(t6 )- G A (t1 6) = 10

6.

2 (1) (2)(3)

Resolución: De acu erdo co n la t eoría la sum a de todos ¡os coeficientes del desarrollo de ( ( x 3 + y.~V3f se consigue haciendo: x = 1; veamos: Sum a de coe ficientes = (1 + 1)n = 2n; Por co nd ición : 2 n = 128 => 2n = 27 De donde se deduce que: n = 7. Sea tk + , el

...(1)

Po r con dición: 36 - 4k = 20 => k = 4 Finalmente sustituyendo (2) en (1) tenemos:

51

Finalmente en (a) se consigue:

7.

Resolución: La potencia dada es: (x3 + x~1)12i sea Tk * ,

|

lgebra

b) 7

c) 8

d) 9

e) 12

En el desa rroll o de (x4 + x~3) 2n ~ 1 uno de los términos central es es indepe ndiente de x . H a lle el número de términos.


X 23

52

IC

E l P ostulante

olección

a) 6 d) 11

5.

14. Sim plif icar la expresión:

c) 12

p _ 1 (2 n) l 2n (1)(3)(5 ).. .(2n - 1)

c n+® Ha llar n: /-nn + 4= 1 un- 1

a) 1 6.

b) 8 e ) 10

b)2

a) n! d) n

c)

8 d) 4

Ha llar los valores de

e)

b) (n - 1)! e) n + 1

c) (n + 1)!

6

x que sati sfacen la Igual

15. Ha llar el término indep llo de: ^x2 - - ij

end iente en e l de sarro

dad: c 33 = C¡® a) {0; 2} d) {1: 2; 5} 7.

b) {2; 5} e) {2; 3; 4}

c) {0: 2; 5}

Para que va lor de n se verifi ca la siguiente Igualdad: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n — 1) = C q + + + .. . + C„ proporcionar la suma de a) 8 b) 15

8 . Reducir : E =

a) x 9.

b) x 2

c)

los 2 valores hallados, 12d )4

e)

6

+ 4 C ^ 1+ C^ +2 c) 2x

d) 3x

e) x

3

Re du cir: Ce,2 + C]? + C ]jj + a) 211 d )455

c) 462

10. H allar x: C6 = C 2X_ 16

11. H allarx: a) 7

b) 11 c) 12 e) hay 2 respue stas

c) 5

d) 4

a) 312 d ) 52 1

c) 2

d) 6

c) 672

/ 1 T^ 17. H allar el térm ino cen tral de: ^x - —j a) 252 d) x

b) -2 5 2 e) 1

c) 252x

18 . C alcu lar el tercer térm ino del de sarro llo de: (x + y r 2 b) x~4y

d)2 x~ 4y2

c) 3x~4y2 e )x "5 y2

19. A q ué expo nente debe elevarse el bi nom io (x + 2y) de manera que el cociente de los coeficientes de los términos de lugares 11.° y 10. ° res ulte 40. b) 110 e) 112

c) 209

luga r (k + 1) posee x k + 1. H allar dicho lugar, a) 5

b) 5

b) 215 e) 406

i i 1 \17 20. En el de sarro llo de ( x + — ) . el térm ino de

e) 3

12. Hal lar xe n: (- JL _ )C ; : ¿ + ( ^ ) C ; :2 = 1 5 a) 4

c) 9

16. Hallar el coeficiente del 7.° término del desarrollo de: (2x + y)9

a) 109 d) 208

C í _2 + ( ^ 2 ) 0 ^ 1 3 = 12 b) 6

b) 49 5 e) 61

a) 5x 2y

b) 189 e) 32 1

a ) 10 d) 9

a) 8 d ) 132

b) 7

c) 9

d) 11

e) 13

e) 7 21. Ha llar e l valor de n s i el térm ino de lugar 25 en

13 . Hallar el valor de n : a) 2 d) 6

b) 3 e) 8

2 n(n + 1 )! - = 3 ( 2 n)ü

/

9

1

el desarroll o de ^x + — j conti ene a x .

19

--------------

c) 4

a) 30 d)

b) 40 70

e) 78


c) 66

A

22.

H all ar el séptimo t érm ino sabiendo que es indepe ndiente de x en el desa rrol lo de:

b) 80 e )1

c) 84

53

b) 10 e13 )

25. Ha llar el l uga r que ocupa

c) 11 el TI de 154

23. En el de sarro llo de l a quinta potencia de un binomio se verifica que el cuarto término es -8 0 a 4b6x4 y e l últ imo -3 2 b 10. H allar dicho bi nomio. a) (ax + 2b)

b) (ax2 - 2b)

c )(a 2x + b2 )

d)(a x4 - b)

e) (a2 x2 - 2b 2)

|

24. De termina r el valo r de n para que l os términos de los lugares 9 y 10 de (x + 3)n tengan igual coeficiente. a9 ) d12 )

a) 50 d) 95

lgebra

( a72 ) d )112

w U J N *. > < J u

1. d 2. c 3. b 4. b 5. a

b) 98 e)113 6. c 11. d 7. e 12. b 8. e 13. a 9. e 14. a 10. e 15. b


c)111 16 c 17 18 19 20

b c e d

21. 22. 23. 24 . 25.

c c e c e

\

y

RADICACIÓN Radicación es la operación que consiste en hallar una cantidad algebraica q, llamada raíz, que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad dada A, ll ama da radicando o cantidad subradical. En ge ne ral: n/A = q => A = q 11

Elementos de una raíz: | sign o radica l ín d ice ^’’ nIÁ = q

Ejemplos:

La raíz de índice impar de expresiones alge braicas tiene el mismo signo del radicando. En resumen: ^ (T ) = (± )

^ V (-)

= Imag inar la

20

Transform ación de rad ical es dobles a radi cales simples o se ncil los. Todo radical doble se puede desco m pone r en l a suma o difer encia de dos radi cales simples. Deducción de la fórmula. En resumen la f órmula para descom doble en raíces simples es: i/ a

I—cantidad subradical o radicando

Signos de las raíces La raíz de Indice par de una expresión alge braica positiva tiene dos valores iguales y de signos contrar ios (+) y (- ). La raíz de índice par de una expresión alge braica neg ativa carece de valor rea! y se llama raíz Imaginaria,

• VT l - / l

¡5~+l24

Donde:

pone r un a raí z A -C

±V b =

C = I A2 - B

Es decir que, para transformar raíces dobles, en raíces si mp les, A 2 - B (cuadrad o perfecto) .

Ejemplo: Des com pone r en radi cales si mples:

Vi 1 + 6/ 2

Resolución: Previamente, Introduciendo el 6 dentro del radical interior, y aplicando la fórmula:

Vi 1 + V72 =

... (1)

¡2^ /(T ) = ( + ) Cálculo de C: C = Vi 12 - 72 = Vi 21 - 72

RAÍZ DE UN MONOMIO Para extraer la raíz de un monomio, se debe pro cede r así : Se la raíz de acuerdo con la ley extrae de signos paradellassigno raíces. Se extrae la raíz del coeficiente. Se dividen los exponentes de las letras entre el Índice de la raíz.

Ejemplos: •

= ¡49 = 7

Reemplazando en (1):

h -l +-Í72

= 3 + Í2

Observación: Este ejercicio y sus similares se pueden resolver dánd oie la forma de b inomio al cuadrado bajo e l ra dical y procediendo de la siguiente forma general:

4Í8 1 x 12y 8z 24 = 3 x3y2 z6

•

-2 x 2y4z5

= '¡(■la + Ib f = la ± Ib

Ap lican do al ejerci cio anterior:

RADICALES DOBLES Se denom ina radical dob le al que prese nta l a si guiente fórmula general:

la + b ± 2laE

Ía ±W

fn+ e¡2= U-l +172 =fñ~+Ux18 = fl 1 +2 -/ Í8


Á

¡11 + 2-ÍÍ8 =

/l

1

+ 2 J9V Í = Í9 +

2 + 2/9 x S

= Í9 + Í2

E = <3x + 1 + /2 x -3 3.

Simplificar:

E = // 2 - l(/ 56 + 40/2 - ^34+ 26/2 W23 + 37/2 )

+ /Í4 Ó -^ 8 + / 28 + Vi 1 - 2-/3Ó ¡7-2Í8

Resolución:

Transformando cada radical doble separada mente, haciendo que sean desarrollo de cua drado perfecto:

Resolución: Ninguno de los radicales dobles que tiene la expresión puede transformarse directamente a radicales simples, ¿por qué?, entonces, se realiza el producto de radicales: Efectuando: E = ¡( (I - 1)(56 - 40(2) - ¡(-Í2 - l)(34 + 26/2) + ¡(-Í2 - 1)<23 + 3 7 ( 2 )

1/4 x 35

= /7 + 5 + 2 /7 T Ír

= ¡7+

¡5

E = ^80 - 56 + 16- /2 -

1/52 -3 4 + 8/ 2 +

/74^23^

¡8 + ¡28 = ¡8 + M

y

¡r \~ ^ 2¡30 = ¡ 6 ~+ 5 - 2 -1 6 x 5 = ¡6 ¡ 7 - 2 Í 6 = ¡ 6 + 1 - 2/6 T T =

¡5

¡6 - ( i propuest a:

E = / 7 + / 5 - ( / 7 + / T ) + / 6 -/ 5 -(/ 6 -/ T ) E=( 7+ (5 -( 7 -1 + ¡6 -( 5 -( 6 + ( l E = 0

/ 24 + 16 /2 =

¡24+¡^¡(d8

¡24 + 16/2 = 4 + 2/2 /18 + 8/2

E2 = 5 x - 2 + 2/6x2-7

Í51 - 14/2

E = 4 x -2 + 2/ 6x2 - 7 x -3 Factorizando por el método del aspa al radical interior se obtiene:

¡5x - 2 + 2 /(3 x + 1)(2x — 3)

x -3

... (2) W xí ¡49 - ¡2

¡51~^U¡¡2 = 7 - (2 ...(3) Sustituyendo (1), (2) y (3) en la expresión: .-. E = 7

RACIONALIZACIÓN

6x2 + 7x - 3 = (3x + 1)( 2x - 3)

a = 3 x + 1;b = 2

= ¡ 51^2¡(

= (l 6 + (2

= ^ 4 9 + 2 -2 /4 9 x 2 =

Resolución: Al extraer la raíz cuadrada se tendrá:

ia¡Tb^~2

... (1)

= Vi 6 + 2 + 2 /1 6 x 2 ¡1 8+ 8 /2 = 4 i /2

x -3

yd =¡ 1 6 + (8

= /l8 + 2/ 32

Ha llar la raíz cuad rada de:

Dand o la forma de

T^

E = ^2 4 + 1 6 /2 -^1 8 + 8/ 2 + ^51 -1 4 /2 Transformando a radical simple, cada radical doble:

= ¡ w T JT ^M Sustit uyend o en la expresión

Sustituyendo:

u

7 = ¡7 + 1 + 2/7x1

= ¡7 + ¡1

2.

55

/( 3x + 1) + -l(2x - 3)

Vi 1 + 2-IÍ8 = 3 + 72

Vi2 + /l 4 0 = Vi2 +

|

1) + (2x - 3) + 2 /(3>TTT)(2>r ^Á3) =

P

Ejemplos: 1. C alcular el valor de: E = /l2

¡(3x+

2

lgebra

(ab , donde:

Es la operación que consiste en transformar un de nominador irracional en otro equivalente que sea racional.

Fracción irracional. Se llama así a una fracción en cuyo den om inador est á presen te una r aí z.


56

| C olecci ón

E l P ostul ante

Factor racionalizante. El factor racionalizante de una expresión ir racional, es tamb ién otra expresión irracional que multiplicada por la primera, la con vierte en una expresión racional. Cuando se racio naliza una fracción, desaparece todo signo radical del denom inador .

Se denominan expresiones conjugadas a dos ex presiones que están formadas, una por la suma y otra por l a resta de t érm inos iguales. Por ejemplo:

CASOS QUE SE PRESENTAN

Ejemplos:

Primer caso. Cuan do el deno m inador ir raci onal es un monomio. El factor racionalizante del denomi nador es un radical de igual índice, el radicando está elevado a un exponente igual a la diferencia entre el índice de la raíz y el exponente inicial del radicando.

1.

f i l a t a : .......................

-

(■Í5 + 12);(15

Se deb e recorda r q ue: (l a + lb )(l a - I b) =

E =

Racionalizar:

a-b

.

/a + b la + b - I a - b

Resolución: Multiplicando y dividiendo por el: FR = -la + b + la - b E_ ,

---,

...................

| Para racion aliza r se m ultipli ca y divide l a I fracción po r el fac tor racio nalizan te.

- Í 2 ) son expresiones conjugadas.

; ;

la + b la + b - I a-b

\l la + b + la - b A la + b + / a -b

Los denominadores son conjugados entre sí, es un producto de sum a por dif erencia que da dif erencia de cuadrados:

Ejemplos: 1.

R ac ion aliza r: E = ——-i "Ja* Resolución: m ulti plicando y divi E _

1

diend o por: FR =

"l ÜT 7*

'Va " “ q E _ "laT7*

"IJ r7*

nIU * ' " la r7 * 2.

la + b(/a + b + la - b) = a + b + /a 2 - b 2 ( la + b f - ( la - b f 2b

a

"JU

5&

E = - =— - 7= — p r I 2 + I 3+ I 5

Resolución: Multiplicando y dividiendo por el FR ={ l 2 + l z )-l 5

1

R ac iona lizar: E ==

Racionalizar:

3&

7i ?

E =

Resolución: El factor rac ionalizante es:

(■Í2 + Jzf - (IEf ~

FR = 5l7 23l b 7l ?

~ 5la 3 V b 2 7le* X Va2 3lb 7le 3

_ 5Ja 2 x 3Jb x 7le3

( I 2 + 13) + 1~5 ( I 2 + Iz )- JE 12(/2 + 13 - 15) _ 12(1 2 + l z

FR = 5J ^ 3Jb3^ 7I S Z*

Multiplicando y dividiendo por el factor racio nalizante: E _ 1 y 5l 7 % 7l ? '

(l2 + -Í 3) - -Í5

12

E

2

-JE)

+ 2 / 6 + 3- 5

12(/2 + /3 -IE) _ 6(/2 + IE - IE)

le

2/6

E= 6 ( / 2 + /3 -/5

)x /6 = ^

le

+ / T3 _/ 3Ó

le

e = 2 /3 + 3/2  Iz ó

abe

Segundo caso. Cuan do el deno m inador presenta radicales de índice dos, se racionaliza mu lti plicando y dividiendo por la conjug ada del den om inador,

j Tercer caso. Cua ndo el deno m inador ir raci onal es ; un binom io o tri nom io cuyo s radicales s on de tercer j orden de la forma:


Á lgebra |

v 3^ ± 3/ á b + 3lb~2 Se de be recordar que

3 3/2

Luego: A =

‘/ 2 (3^ - 3/2 + - |)

:

( 3^ ± 3/b)(3 / ? + 3^ b + 3^ ) = a ± b

3x1

Simplificando: A

Uno de los factores es el factor racionalizante del otro.

3V2^ - 3^ + 1

FR = 3/2 + 1

Ejemplos: 1. Hace r racional el den om inado r de: E =

57

Luego: A

2+ 1

-------

Á5+Á2

[ " ejercicios

PROP UEST OS " l

Resolución:

FR = V 52 - 3¡ 5 x 2 + V 2 2 M ult ipl icando num fracción por el FR: E = 2.

1.

erador y denom

7 (3Í25 - 3VTo + 3Í4 ) 5+ 2

inador de l a

a) 2 d) —1 2.

3.

3Í5 = 3/7 (3/3 + 3/5 ) -

2

— -------------3/3)(3/7-l)

b) /2 e) 0

b) 2 e) 3

4.

c) - 2

Efectua r: P = h + 2/Í 5 - Il 2 - 2/ 27 -

FR = (3/ 5^ - 3/5 x 3 + 3l^ ) ( 3f ^ + 3/7 + 1 ) Mu lt ipl icando num erador y denom fracción por el facotr racionalizante: E = 48(3/25 - 3/^5 + 3/g )(3/49 + (5 + 3)(7 -

V32 + 2/135

inador de l a

a) 3 d) 4

b) -1 e) N.A.

A=

5.

c) -3

Efect uar: T = Vi 3 + /48 -

1/15 - /200 -

¿ I7 + 4 /Í5 -1 a) ¡2 d )-/ T o

33/2 3/4 - 3/2 -

+ /3

+ -i)

1)

E = (3/ 25 - 3/15 + 3/ 9 )(3/4 9 + 3/7 + 1) b) /5

c) /ÍO e) 3

2

Resolución: Factorizando el denominador:

3/4-3/2-3/iJi=„

c )- /2

--------------

(3/5+

Ra cionalizar:

- 3/ 2

2

Efectua r: M = <¡x 2 + 2x + 1 + /x 2 - 2x + 1 siendo: 0 < x < 1 a) 2 x d) -2 x

(3/ 3 + 3/5 ) = (3/ 5 + 3/3 )(3/7 - 1)

5.

c) 5

E fe ctua r: I = 2 / 1 8- - /2 + 4/ í - — a) 3/2 d) —3 /2

Resolución: Factorizando el denominador:

Luego: E =

b) 3 e) 4 /2 - 1

3Í25 - VÜD + 3/4

Ra cionalizar el denom inador: 48 E = ■ a/2 i - 3/3 + 3/35 - 3/5

3/21 - 3l3 + 3/35 -

Efectuar: T = J(2 - /3 )2 + V( 2/ 2 - 3 )2 + <3 + 2/2

6.

3V 2 (3 ^ _ 3/2 + l)

Efe ctua r: E :

1/1+4^7+4^

a) 0 d )-/5


b) 1 e) 2

4/5 -2 c) <Í5

58

| C olección

7.

Efectuar:

E l P ostulante

_______

________

O = -Í2 x h + Í3 -

a)

1

d)

- 1

15. Red ucir: N

1/4 + / i~5 x /2 + /5

c) /5

b) ¿3 e) 10

a) 1 d) Í3 + ¡2

Efectuar:V =W + Í3 x VVl2 + 2/35 - k + 2 fi5

8.

a) 1 d) ¿3 9.

Red ucir: A = a)-1 d) 2

10. Efe ctua r: L =

b) e)

k +4 /5

-2 2

b) e)

a) d)

-1 1/2

b) e)

18.

5 -U

--I

- 1/ 2

7

19. o)1

14. Efectuar: : I =

b) e)

3/2 3

c)

/2 -1

20.

1

2Í2 + -Í6

c) /2

b) 1 e)2-Í2

Efect uar: B =

^

+

2

■¡7 - •Í3 ¿TO + ¿7 b) 3 e) 3/3

R acio na lizar: C =

2 /3 + ñO c) 2/3

Í2 + J 3 + I5 ’

b) e)

Ra cionalizar:

E=

a) d) 21.

c) 2

J(2Í3-3/2)2 + 1/(3b) - 1 e) 2

2

:+-

4 10

/ 2 +/5 + Í

c) 6

7 ’

señalar el denominador.

2/ 3f

I 27a) ~2 d) 1

¿2 /2

d)

a) 2 d) 8

13. Efectuar: T = V28  6/ 3  V 7  4/3 + V12 + 6/3 ^13-4/3 + J 21 - 12/3 + ^19 + 8/3 a) 1 d) 5/2

a)

2

I6 + Í2

señalar el denominador.

2

b) 3 /2 e) 1

2 + (2

a) /3 d) 9

12. Reducir: N = ^13 -2/40 + h + Í4Q + fn +6¡2 133 + 8/2 + h --Í8 + Vi 1 — V72 a) ¿2 d)3 ¿ 2-1

c) Í2

b )-1 e) 1/2

- 1/ 2 1

c) 1

U - -/Í5

11. Efec tuar: E : . V5 - -/2Í h--Í

A =

h - 124

-1 12 + 1

U--Í7

17. Ra cion alizar y reducir:

+ V13 - 47To

Í 4+~ / Í 2 a) d)

a) d)

1c) - 2

J3 + J2

+

-/63

3

U 4 -5 -Í3 + -¡2 - -Í3

ho-2Í21 -k-2fi5 h +2-114- ¿f + 2¿ Í0 b) e)

c)

b) 2 e) Í3 - -Í2

16. Efectu ar: A :

c) 3

2 ¡2

+Í72 -h-Í8 ¿14 - VÍ80 + Í6--Í2Ó ¿11

c) 0

6M

2 b) 4 8e ) 10

c) 6

R acion alizar: F

5 - -/ Í5 + ¿Í O - -Í 6 ’ señalar el denominador. a) 1 d) 6

22. Ra ciona lizar: F =

b) 2 e) 12

7 + ¿15" + ¿21 + ^35

Indicar e l denom inador.


c) 3

Á lgebra |

a) 1

23. Calcular

c) 4

b) 2 e) 8

d) 6

N = 3i l 6 3^16 3/T 6 !^

a) 1 d) 4

b) 2 5

c) 3

calcular: AB

c) 3

26 . Hallar x:

a) 1

b) 3

d) 15

e) 30

28. Calcular:

f í 0,3)

a) 16 d) 17

25. Calcu lar: E =

a) 2 d) 5

c) 2 -

27. Si: A = ^5^375/377 7 ; B = ¡3-¡5hK7.

24. Efectuar: a) 1 d) 8

b) 2 e) 2~9

a) 2 d ) 2"

59

c) 4

tn iii > «j u

c) 5

+ (0,25T 4 - (0,5T b) 13 e) 19

2

c) 15

1 .c 2. e 3. b 4. c 5. d

7. a 13. a 19. c 25. a . 8. b 14. c 20 . b 26. a 21.b 27. d 9. c 15. b 22. a 10 . d 16. e 28. c 17. b 11. a 23. d

6. c

12. e


18. e

24. b

__ y

NÚMEROS COMPLEJOS Resolución: Transformando las potencias:

NÚMEROS IMAGINARIOS Las cantidades imaginarias son las raíces de índi ce par de cantidades negativas.

E = 5( 1) - 3i 2 + 4 (¡)3- 8( 1) + 4 (¡)1 E = 5 - 3(—1 ) + 4 (—i) - 8 + 4 i = 5 + 3 4i - 8 + 4i E = 0

Ejemplos: 4^ l 6 ;

■TI;

Unidad Imaginaria: la cantidad P ^l s e ie deno m i na unidad imaginaria. Seg ún la notaci ón de G auss, la unidad imaginaria se representa por la letra i.

Sim plif icar: E =

P H , y por definición : i 2 = - 1

Por lo tanto i = Ejemplo:

P ^ 4 = f iP

l

Resolución: Efectuando las potencias indicadas:

= 2 P 1 = 2i

E = 1 + i + ¡ + (i2 )+ i = 1 + i + i - 1 + i = 3i i + 1 -1 + i-(i)3 i+ 1 -1 + i + i _ 3i E = 1

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA: (/

= ! )1

■ 2 I X I

=

= ¡ -

.4 I X I =

\2=p~\fri

.

I

i4 X i 3 =

- i

C M _

X

II

I

=

3.

II

>T C

II

X

í"l

) Ó

I

X

-— I ú

C alcular la expresión: ¡-5_

I

6

E = J

Transformación de potencia im, donde m es entero y positivo. Sup oniendo que se desea ca lcul ar im, donde m > 4, 1.° Se divide m en tre 4, de do nde se tiene: m = 4q + r .-. im = ir

1 i -1 -i

Conclusión: cuand o i está elevada a una potencia positiva, si el exponente es múltiplo de 4, el resultado es la unidad, si el exponente es igual a un múltiplo de cuatro más 1 el resultado es i, si es igual a múltipl o de cua tro más 2 el result ado es - 1 , y si es igual a m últi plo de cuatro m ás 3 el resultado es igual a -i. Ejemplos: 1.

Calcular: E = 5i 476 - 3i 258 + 4 ¡327- 8¡392+ 4i 441

¡-23

18 + ¡- 4 0 0 + 2 ¡ - 1 4 . ¡-35

¡- 441

¡15

!

¡49

!

1

¡18

1

1

¡400

L

1

1

1 , 1

2

¡14

— ;efect úa n -

-----------

1

do las potencias: 1 _J_ 1 1_ 1 2 . ' ~ i 3 + ¡ ( - 1 ) + 1 + ( - 1) r ' T ^ r r E= _ j ____

¡r = ¡r

0 => 1 => 2 => 3 =>

_r

-------------- --------- --------

do nd e: r = 0; 1; 2; 3 'r= ¡m — ¡r „ r = 1 1 r= _r=

¡—5 0

1 _ J_ + J ¡5

¡m = ¡4q + , = |4q x ¡r = (¡4)q x

+ ¡-49

Resolución: Transformando las potencias:

Se observa que los resultados de las potencias de la unidad imag inaria se repit en en pe riodos de 4 en 4 y estos valores son i, 1, -i, 1.

2=

¡-15

E

( - 1)

( - 1)

¡3

¡3

_ "

¡

NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos son aquellos que tienen una parte real y una imaginaria. Si Z = a + bi es un núme ro comp lej o donde a y b pueden ser números positi vos, nega tivos y aún nulos.

CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS

•

Complejo real: es aquel cuya parte imagina ria es nula. Co m plejo puro: es aquel cuya parte real es nula. Complejo nulo: es aquel cuya parte real y parte imag inari a son nulas.


„

Á

lgebra

¡

61

Complejo iguales: son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes imaginarias. Por ejemplo: Si: a + b i = c + d¡ =» a = c A b = d Compiejos conjugados: son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e iguales pero de signos contrarios sus partes imagi narias. Si:

Z f = a + bi ] Son dos complejos Z 2= a - bi conj ugados

Complejos opuestos: son dos complejos que tienen igual es, pero de signos c ontrari os, tantos las partes reales como las imaginarias. Si:

Z-i = a + bi I So n dos com plejos Z 2= - a - bi J opues tos

REPRESE NTACI ÓN GRÁFICA DE UN COMPLEJO R ep resen tación cartesiana

Calculo del módulo: en el triángulo rectángulo MNO: (M N )2 + (NO )2 = (MO )2 (por Pitágoras) =» b 2 + a 2 = r2 de do n de :

r=

ia^~~

Cálculo del argum ento o ángulo lo rectángulo MNO: tañe = b/a

9: en el triángu

0 = arctan(b/a)

. Se r eal iz a en un si s

tema de ejes rect angulares o cartesi anos en donde el eje x sirve para representar los números reales y el eje y para representar las cantidades imagina rias. Al plano formado por los ejes real e imagina rlos se le ll am a P lano de Gauss.

A poy ado en la figura, la forma polar de a + a + bi = rcosO + risenO a + bi = r(cos ya que: a = rsen

bi, será:

0 + isen9)j 0 y, b = rsen©

Ejemplo: Efectu ar: E = Resolución: Racionalizando

E =

En el eje y: i = unidad de medida de los valores imaginarios. En e l ej e x: 1 = unid ad de m edida de l os val ores reales.

1- i 10+ 3i 5 -1 2 1 169

la s dos pri m eras fracci ones:

(1 + i)(1 2 + 5i)

(1 - i) (5 + 121)

10 + 3i

12 i 12 - 25 ¡ E = 1 2 + 5Í + 12Í — 5 5 + 12Í — 5Í + 12 169 ~ 169

E = 7 + 1 7 Í- 1 7 -7 I + 10 + 3Í 169

Representación polar o tri gonom étri ca. Para re presentar u n com plejo de est a m anera es necesa rio cono cer el radi o vector, conocido con el nom bre de módulo y el ángulo que forma este con la parte positiva del eje x. r : radio vector o m ódulo 0 : ángulo o argumento del módulo.

1+i 12 — 5i

[ " ejercicios

a) 0 d )1


13i I 169 13

propuestos

b) i e) - 1

16 9 10 + 3Í 169

' l

c) -i

'

62

|C

2.

Ca lcular: B = i 4+ ¡“6 + i “8

olección

E l P ostulante

a) 0 d) I 3.

b) 4¡

c) “ 4

d ) -8

e ) 8i

a) a = 2 b d) a + b =

b) 0 e) -4 i

7.

d) - 4 i

e)

Cal cul ar : P = ió t i _ 1-i

8

15.

8.

Calcular:

9.

Re duc ir: M = a) 0 d) - 2

16.

I jlí 1+1 c) 21

b) 5¡ e) 4 2+ I

b) 4¡ e) 2i

b) 1 e) - i

c ) —1

Calcular: a) 0 d) 2i

b) 8 e ) 20

c) 10

12. Ca lcular b para que el com plejo: 3 + 4¡ Z = ^ sea ima ginario puro.

„3

b) 2 e) 16

c) 3

37 - 2 + 2i - 1 b) 1 e) i

= 6^ /=

c) - 2

Ii

b) 0 e)i

c) - 1

18. Ca lcular: S = i 5 + i 10 + I15 + i20 + ... + i200C b) 2000 I e) 0

a 1) d) 4

b) 2 e )5

c) 1 - i

c)3

20. Cuá ntos valores puede t omar: A = i " + r n; n e I N a) 2 d) 8

11. SI: z = 3 + 4i, calcu lar: Re(z )lm(z ) a) 6 d ) 12

c) 2

19. C alc ula r n, si: [(1 + i )9 + (1 - i)9]n = 1 024 c) 3

10. Efectua r: A = I 1 + i 2 + i 3 + i4 + ... + i 1999 a) 0 d )I

,3

a ) 2000 d) 1 1- i

(z2 )

A = 11 - - í- )/1 + ^

a) 1 d) - i c) 0

calcular: lm

Si: 3Jx + yi = m + ni

17. Reducir: R

M = (1 ± -!Í + \ 1 - i5 1 + i5 /

a) 2¡ d) 2

1

b) -2 ¡ ,e) 4

a) 1 d) 9

c)2i

b) 0 e) -4 1

c) a 2 = b 2

e) a - b =

. l i i i f +ll ^ ff b )-2 e) 4i

a) 4 d) -2

1

a) -4 d ) 4¡

calcular:

a) 3 d) 0

b) 2 a = b

14 . SI : Z-| — —2 + 3¡ y z 2 = i - z^

c) - 4

b) - 8 c) 4¡

6 . c i c u l a rR

c) -3 /2

Z = 5_LÉi se convierta en número real b + ai

C alcu lar: M = (1 + i )4 - (1 - i )4 a) 0

b) 2/3 e) -3 /4

13. SI a y b e IR, Indicar la condición para que:

Ca lcular: M = (1 + i )2 - <1 — i )2 a) 2i d) 4i

5.

c) 1 - i

1

Ca lcular: R = (2 + 2 ¡)2 a) 4

4.

b) i + e) 1

a) 1/ 2 d) 1/4

b) 3 e )n

c) 4

21. Sa biend o que: 3 ^4 - 2i = a + b ¡ calcular: a) 2 d) -4

M =

b4- a4 2a - b b) -2 e) 1


c )4

Á

22.

C alcu lar: E = /3~ +~4¡ + -13 - 4i a) 3 d) 3¡

23.

b) 4 e )4 ¡

b) 7 + 3i e) 2 + 9i

Indicar el m ódulo de: a) 10 d) 12

26.

b) 4 e) 1/4

b) 20

c) i

15i 64 i

b) 2 e)5

29. Reducir:

(1 + i )22

(1 + i )20

( 1 -¡ ) 20

( 1 - I )16

c) 3

(h + h + 12 + \¡ 2 - h + lí)

a ) - 2 15 d ) - 2 18

b ) - 2 16 e ) - 2 19

30. Ha llar k, para que: Z = Z -

63

- 1

b) 2 ¡ e) 1

a) 1 d)4

c) - 2

c) -

27

-§í + a + sea ,-je a+i 1 - al

la forma k¡. b) 3 e) 2

a) 1 d) 5

c) 25

c) 4 "N

e) 15

Indi car el mó dulo de: Z = a) ¡2 d) /3

11“

¡ 2W

|

28. H allar n en : [(1 + i )6 + ( 1 - i)5]" = -51 2

c) 12 - 5i

Sim plif icar: S = 0+ 1 1)(¡ + ^ (i - 7 f a) 2 d) 1/2

25.

a) 0 d) - 1

Sim plifi car: R = —§9— + — !— r _ ! _ 4 + 3¡ 1 - i 1 + i a) 9 — 6 i d) 4 + 6i

24.

27. Reducir : R = 12 Vi c) 5

lgebra

b) 2 e) ¡7

----3 + 770(1  I )

c )3

tn Ui > < j ü

1. 2. 3. 4. 5. 6.

c e e d b b

7.c 8. c 9.c 10 . c 11.d 12.e


13. c 19. b 14. a 20 . b 15. d 2 1 .a 16. e 22. b 17. d 23. a 18. e 24. d

25 . b 26. a 27. c 28. c 29. b 30. e

y

ECUACIONES Ejemplo: Halle el CS en cada caso: • 3x + 2 = (x + 1) + 2x + 1 => CS - IR

ECUACIÓN Es una igualdad entre dos expresiones matemáti cas en la que al menos e sté presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita. A (x; y; ...; z)

=

pri mer miembro Donde:

Vx - 2 =

h -2

=> CS = {x e IR / x > 2}

B(x ; y; ...; z) segundo

A y B : expresiones ma

miembro

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

temáticas

A las ecuaciones de acuerdo al número de soluciones po dem os clasi fi carlas en:

x; y; ...; z: incógnitas

Ecuaciones com pati bles. Son aquellas que po seen al menos una solución. Éstas pueden ser: 1. Determinadas: en una ecuación compatible determinada , sí es posible determ inar l a canti dad de sus soluciones. en una ecuación compatible 2. Indeterminada: indeterminada no es posible determinar la canti dad de sus soluciones.

Solución de una ecuación. Una solución de una ecuación es una colección de valores (de las In cógnit as), que al ser reem plazadas en la ecuación tr ansforman a est a, en una proposici ón verdade ra. Ejemplo: Sea la ecuación x 3 = x Si x = 0 => O 3 = 0 Si x = 1 => 13 = 1 S ix =  1 =» (1)3 = - 1 Lue go 0; 1 y -1 son solucione

S on Ecuaciones incompatibles (Inconsistentes). aque llas ecua ciones que no posee n soluciones, su 0 conjunto solución: CS =

s de la ecua ción.

Conjunto solución de una ecuación (CS). aquel conjunto formado por todas las soluciones de dicha ecuación. Si la ecuación no tiene solu ción, entonces su conjunto solución es el conjunto vacío 0 . Ejemplo: Sea la ecuación en x : (x - a)3 (x - b)5 (x - c

Es

Ejemplos: x + 3 = 5 t iene CS = {2} => Ec. com pa tibl e de terminad a. (x - 1)2 = x 2 - 2x + 1 tiene CS = IR => Ec. com patible indeterm inada pues tiene infi nitas s oluciones. x + 7 = x + 2 tiene CS = 0 => Ec. incompatible pues no tiene solución.

)7 = 0

S ix = a =>0 — 0 S ix = b = 0 = 0 S ix = c => 0 = 0

ESTUDIO DE LA ECUACIÓN PARAMÉTRICA EN x Sea: l Ax = B ]

CS = {a; b; c}

cY laia•/:

N

-----------------

I •

j I

En caso que la ecu ación no presen te soluciones entonces el conjunto solu ción será el conjun to nulo o vacío. Así: CS = 0 v CS = {} En caso la ecuación presente infinitas soluciones entonces el conjunto de valo re s en el c u a l e x is te la e c u a c ió n se le den om ina universo.

Caso I Si A ^ 0; x = B/A => CS = {B/A } La ecuación posee solución únic a. La ecuación es comp atibl e determinada. Caso II Si A = 0 A B = 0 : 0(x) = 0 => CS = C La ecua ción posee inf ini tas soluci ones. La ecuación es com patibl e indeterminada. Caso III Si A = 0 A B ± 0: 0(x) = B => CS = 0 La ecuación es Incompatible.


Á

Ejemplo: Sea la ecuación en x, con parámetro p: (p - 5) (p - 2) x = (p - 2) (p - 3) Si p = 2 ^ 0(x) = 0 =* CS = C Tenemos infinitas soluciones, luego sería una ecuación co mp ati ble indeter minada. Si p = 3 =» (—2)(1 )x = 0 =* CS = {0} Tenemos 1 sol uci ón, l uego seri a una ecuac ión com patibl e de ter minada. Si p = 5 =» 0 (x ) 6 i CS - 0

Igualando c ada fac tor a cero

No tenemos solución alguna, luego sería una ecuación incompati ble.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

ECUACIONES EQUIVALENTES Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

= 0 =» X1 = - 2 = 0 =» x 2 = - 2 = 0 => x 3 = - 2 = 0 => x 4 = 5 = 0 => *5 = 5 = 0

tí

XC D

I 0 0

lgebra

1 x = 5 es raíz de m ultiplij cid a d 2 o raíz doble. }x=

8 es raíz si mp le

Toda ecuación polinomial de coeficientes numéri cos posee po r lo menos una raíz que gene ral me nte es compleja.

Ejemplo:

Ei: f + T = 14 =>cs = í12}

Sean las raíces de P(x) polinomio de grado n con coeficiente principal a.

E2: 5 x - 36 = 2 x =* CS ={12} E3: x + 8 = 20 => CS = {12} Son ecuaciones equivalent es

x ,; x..: x . x4 ; x . : ...; x. el polinomio puede expresarse de la siguiente ma-

Forma general de una do n: P(x) = a 0xn + a ^ "

ecuación polinomial de gra 1 + ... + an = 0 / a 0 # 0 A n e Z +

Raíz de un polinom io. Diremos que a es una raíz de un p olinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 Consecuencia: a es raíz de P(x) si y solo s i (x - a ) es factor de P(x) . Ejemplo: Sea: P(x) = x 3 - 2 x 2 - x + 2 se observa que: P(1) = 0 ; P (-1 ) = 0; P( 2) = 0 Luego, - 1 ; 1; 2 son raí ces de di cho po linom io. Por t anto: (x + 1); (x - 1); ( x - 2) son factores de dicho polinomio. Un m étodo práctico para h allar las raíces de un po linom io es f actorizar sobre C al polinomio e igua lar cada factor a cero. Ejemplo: Hallemos las raíces de: P(x) = (x +

2)3(

x

- 5) 2(x -

P(x ) = a(x -

x,)( x - x2 )( x - x3) ... ( x - xn )

Ejemplo: Un poli nom io con raíc es {-2 ; - 1 ; 1; 2} es: P(x ) = (x + 2)( x + 1)( x - 1) (x - 2) Sea la ecuación polinomial P(x) = 0 Llamaremos raíces de la ecuación polinomial a las raíces de P(x). Toda raíz de la ecuación es también solución de la ecuación.

TEOREMA DE CARDANO  VIETTE Sea la ecuación polinomial de grado n P(x ) = a0 xn + a,xn

1 + a2 xn

Cuyas raíces son x-p x2; x3; ... xn Suma de raíces 51 = x-| + x 2 + x 3 + ... + x n =

¡ao Suma de productos binarios _ 32 5 2 = X-|X 2 + XtX 3 + X2X3 + ... = — a0 Suma de productos ternarios

a3 2 2 3 2 4 2 3 4 S = X-|X X + X-|X X + x x x + ... = - —a0 _

8)

65

x = - 2 es raíz de m ulti pli cidad tres o raíz tr iple.

Corolario. Toda ecuación polinomial de grado n tiene exactamente n raíces contadas con su res pectiva multiplicidad.

ECUACIONES POLINOMIALES CON UNA INCÓGNITA

I


66

|C

olección

E l P ostulante

Productos de raíces Sn = x,x 2x 3 ... xn = ( -1 )" ~ 3ü

«

1 tx) = l (- b )« x = - |

C S = {- |}

Teorema (de paridad de raíces ) Sea P(x) = 0 una ecuación polinomial, de grado no menor a dos, de coeficientes reales. El número complejo (a + b¡) es raíz de P(x) = 0 si y solo si

ECUACIÓN CUADRÁTICA (Ec. de 2.° grado)

(a - b¡) es raíz de P(x) = 0; b i= 0. Ejemplo: Construir una ecuación de menor grado, una de cuyas raíces es: 5 - 3¡

Resolución: 1 . Por factorlzación: Sea: 6x 2 - 17x + 12 = 0 » (3x - 4) (2x - 3) = 0 » 3x - 4 = 0 v 2 x -3 = 0 « x = 4/3 v x = 3/2 .-. CS =

Resolución: Por el teorem a si x, x 2= 5 + 3¡ tam bién lo ciones de m enor grado es x 2 - (Xt + x2 )x + x,x 2 x 2 - 10x + 3 4 = 0

= 5 - 3ie s raíz entonces será, luego una de las ecua : = 0

Teorema Sea P(x) = 0 una ecuación polinomial de grado no m eno r a dos, de coeficientes rac ionales. El núm ero Irracional (a + I b ) es raíz de P(x) = 0 si y solo si (a - -ib )es raíz de P(x) = 0 ; -i b e l Ejemplo: Si una de las raíces de la ecuación x (a; b} e © es 3 + Í2 . Halle a y b.

2 + ax + b = 0;

Resolución: Como los coeficientes de la ecuación son números racionales, aplicamos el teorema. Como X! = 3 + Í2 es raíz entonces x también es raíz; formaremos la ecuación x 2 - (x, + x2) x + x,x x 2 - 6x + 7 = 0 Comparándola con x a = -6 y b = 7

2 = 3 --Í2

2= 0 2 + ax + b se tiene:

ECUACIÓN LINEAL (Ec. de 1.° grado) Son aquellas ecuaciones polínomiales que se re ducen al a siguiente forma general. P( x) = ax + b = 0/ a Resolución: ax t b = 0 » ax + b + (-b) = « ax + 0 = -b « ax = - b (Como a + 0 => a

Forma general: P(x) = ax‘ + b x + c = 0 ; a

0

4 ,3 3’2

Las raíces de la ecuación son: x, = 4/3; x 2 = 3/2 Por fórmula: sea P(x) = ax 2 + bx + c = 0 / a # 0 podemos demostrar que las raíces de esta ecuación viene dada por: x 1: 2

- b ± Ib ? - 4ac 2a

Fórmula general de la ecuación cuadrática

Análisis de sus soluciones Sea la ecuación cuadrática: ax + bx + c = 0 a # 0 de coe fici entes reales Definimos su discrim inante (A) , asi: A= b - 4ac Entonces las raíces serán: - b + -ÍK. .. - b -IX x2 = 2a 2a

Caso I Si A = 0 : las r aíces son igu ales (x -i = x2) y real es. La ecuación posee solución única. Además a x 2 + bx + c, es un trinomio cuadrado perfecto. Caso II SI A > 0 : las raíces son dif erentes (x, ^ les. La ecuación presenta dos soluciones.

x2) y rea

^0

Caso III Si A < 0: las r aíces son com plejas no real es y con ju g a d a s . (x-i = u + vi =>x 2 = u - vi); v # 0 .

0 + (-b)

Propiedades: Sea la ecuación cuad

1 i 0) o a 1ax = a~ 1 (-b)

ráti ca: ax 2 + bx + c = 0; a # 0

de raíces Xt y x2:


Á lgebra

Su m a de raíces:

Prod ucto de raíces: I x 1x 2 = c/a Diferencia de raí ces: x 2 )2

Reconstrucción de la ecuación: x - (x, + x2) x + x,x

Observación: La ecuación ax 2 + bx + c = 0 / a x, y x 2 no nulas.

= 4

x 1x 2

--f-0, de raices

0: abe ± 0 0 ; mnp # 0

ECUACIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPERIOR Son aquellas ecuaciones polinomiales que se re ducen a la siguiente forma general:

Donde: a 0 7 0, n

e

Z

1 + ... + an _ ,x + an = 0 a

n

>

ECUACIÓN CÚBICA Llamada también ecuación polinomial de grado 3 cuya forma general es: 0; a 7 0

Me diante la susti tuci ón x por |x

0

En el presente capítulo, bajo ciertas cond iciones la resolución de algunas de estas ecuaciones hace uso de los siguientes teoremas:

Teorema I Toda ecuación polinomial dé coeficientes reales ad m ite raíz i m ag inaria (a + bi), si y solo sí (a - bí) 0.

(D

Para solucionar la ecuación anterior, definamos .. q. 3/ /i np >,3 —j + j . En tonce s las raíces de (I) serán: x, = ° f Y + I I + * ] - % - I I X2 = 3^ - | + /a W +

do nd e: w =

Para resolver est as e cuaciones se han des arrol la do una dive rsidad de técn icas y artif ici os, qu e en su mayoría permiten hallar los valores aproximados de sus raíces.

se puede

obtener la siguiente ecuación en x

3J - ^ - I a W

X3 = 3J -§ + V Á w 2+ ^ -| -/ Á v

2

Resolución:

es raíz imaginaria, donde b #

seguida analicemos algunas ecuaciones polino miales de grado s uperior muy import antes.

x 3 + px + q =

_a_ _ b _ c m~n_p

P(x) = a 0xn + a^x"

tendrá como raíces a: Ja de+ Ib, la - Ib; - la - Ib; - la + Ib si y solo si una ellas está presente (la, Ib son irr acion ales). En

a x 3 + b x 2 + ex + d =

m x 2 + solución. nx + p = poseen igual conjunto Se cumple:

Teorema III Toda ecuación polinomial de coeficientes ra cionales

2= 0

Posee raí ces simétri cas « Xt + x 2 = 0 Posee raí ces r ecípr ocas « x,x 2 = 1

Teorema Si las ecuaciones cuadráticas: a x 2 + bx + c =

67

Teorema II Toda ecuación polinomial de coeficientes raciona les tiene raí z (a + Ib), si y sol o si (a - Ib ) es raíz, donde a s ® , ib e l

x-, + x 2 = -b/a

( X i + x2 ) 2  ( x 1 -

j

Ejemplo: Resuelva: x

+ — i/i = 2 2

-P r

3 - 15x - 12 6 = 0

Resolución:

I .A = 62 ; H

 H

Xj = 5 t 1 = 6

' M

 i  f ,

 M .-. C S ={ 6; - 3 + 2 /3 i: - 3 - 2 /3 i}


68

|C

olección

E l P ostulante

ECUACION BICUADRADA Es aquella ecuación de cuarto grado que presenta la siguiente forma general: ax + bx 2 + c =

0 ; abe

X

1” va -

n 1k

eos

(2k+ 1)jt\ n

( 2 k + 1)7t||

) + ,se n

k = 0 ; 1 ; 2 ; ...; (n - 1 )

0

Teoremas

ECUACIÓN TRINOMIA

Sea la bicuadrada en x: a x 4 + b x 2 + c = 0 ; abe é 0 Si m y n son dos raíces no simétricas, entonces: —m y —n también lo serán.

Es aquell a ec uación de tres tér minos y que presen ta la siguiente forma general: ax2n + bxn + c = 0 , don de: abe ^ 0 n-eZ/\n >2 Para su resolución harem os un cam bio de variabl e: x 11 = y. formándose una ecuación cuadrática cuya solución es sencilla, proporcionando luego las so lucione s de y a l a variable srcinal x n srcinan do ecuaciones binomias, de resolución ya conocida. En la ecuación: ax 211 + b x 11 + c = 0 hacemos:

Luego: CS = { m; -m ; n; -n } m 2 + n 2 = -b/a m 2n 2

xr = y ay + b y + c =

simétricas). Una ecuación bicuadrada en x, donde dos de sus ra íce s son m yn (m + n /- 0 ) viene d ada por : (m 2 + n 2)x 2 + m 2n 2 = 0

de dos tér minos y que pre se n

ta l a siguiente forma general: donde: ab # 0; n

e

axn + b =

Lue go: s i: | < 0 => x =

x' “

'la

COSÍ

a

---------------

- b - ■lb2~- 4 a c 2a

^b^-_/b^-_4ac_ 2a

- b + I b 2 - 4ac 2a n-b

/ b 2^ 2a

POLINOMIO RECIPROCO

TL a n > 3

■X '1 =

. y, = - b + ib 2 - 4a c ; y 2 = 2a En (1):

0

Para resolver esta ecuación-podemos aplicar pro duc tos no tables o los crit erios de factorización, así como también las aplicaciones de los números complejos. En: ax;l + b = 0

- b ± I b 2- 4a c 2a

0 =>y1;2=-

- b + ib 2 - 4ac 2a

ECUACION BINOMIA Es aquell a ecuación

.. .( 1 )

Cono

Reconstruir una ecuación bicuadrada. ciendo dos raíces, cuya suma no sea cero, (no

Dado el polinomio P(x) no constante y de grado n con término independiente no nulo diremos que P(x) es recíproco si y solo si se cumple: P( x) = x n p (I '

=> x =

|( 1 ) =

nJ - ^ nf\

?k7T , 2 kit n +,sen(— )j

P(x) = 2x 3 - 7x 2 - 7x + 2 P(x) = 6x 4 a 35 x 3 + 62x2 + 35x +

6

ECUACIÓN RECÍPROCA

k = 0; 1; 2; ...; (n - 1)

Es aquella ecuación cuyos coeficientes de los tér minos equidistantes de los extremos son de igual valor: presentan la siguiente forma general:

Sí: b/a

Donde: n

o - x = ^ |(- i) =nj | . nr i

e

TL I n > 2


4ac

Á

Estas ecuaciones si presentan como solución a m, entonces también aceptarán como solución a x = 1 /m, como m y 1 /m son recíprocos y raíces de la ecuación, a est a singu lari dad se debe el nom bre de ecuación recíproca. Para la resolución se debe agrupar los términos equidistantes de los extremos, factorizar x n/2 (si n es par) para luego realizar el siguiente cambio de variable: r x 2 - 1 /x 2 = y 2 - 2 x + 1 /x = y => 4 , „ , , , „ [ x + 1/ x 3 = y 3 - 3y

ax4 + bx3 + ex2 + bx + a = 0 ax6 + b x 5 + ex 4 + d x 3 + ex 2 + bx + a =

0

Ecuación recíproca de grado impar. Como ca sos particulares se tienen ecuaciones de la forma: bx5 + bx 4 + ex 3 + ex 2 + bx + a = 0 a x 7 + b x 6 + ex 5 + d x 4 + d x 3 + ex 2 + bx + a = 0 Esta ecuación ti ene com o solución a : x = 1 v x = -1 , entonces se podrá aplicarla regla de Ruffini para tener una ecua ción de grado m enor a l a respuesta.

ECUACIÓN FRACCIONARIA Es aquella que se presenta

como la divisi ón d e dos

polinomios, cuya forma general es:

M

h(x)

= 0

Ejemplo: x+y= 2 x- y= 4

es un sist em a lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

iere seguir , los

f (x) Asegurar l a exist encia de l a expresi ón — -, h(x) para lo cual s e debe aseg urar que n(x) A 0. De aquí se obtiene un conjunto de valores que puede asumir ia incógnita. Procurar, en lo posible, transformar la fraccio naria, en una polinomial; cuya resolución la conocemos obteniéndose un conjunto solu ción. Finalmente el conjunto solución de ¡a ecua ción fraccionaria, es la intersección de los conjuntos obtenidos en los pasos anteriores

=>

es un sistema lineal de 3 ecua ciones con 3 incógnitas

Sistema linea! homogéneo. Es aquel sistema donde sus términos independientes son iguales a cero. Ejemplo: 2x + 5y = 0 3x - 7y = 0

=> sistem a lineal ho m og én eo

5x + 7y + 2z = 0 2x - y - z = 0 3x + y + z = 0

=> sistem a lineal ho m ogé neo

Solución de u n sistema d e ecuaciones lineales Es una colección de nú me ros que verif ican en forma simultánea a un conjunto de ecuacione s li neales. Ejemplo: El par orden ado (2; 3) es solución dei sist

ema :

x+y=5 2x + y = 7 pues si asignam

Para reso lver est a ec uación, se sug siguientes pasos:

69

Se llama así al conjunto de ecuaciones lineales con dos o m ás incógnitas, ias cuales pued en ve rif i carse para algunos valores asi gnados a sus i ncóg nitas o tal vez nunca se verifique:

donde h(x) es un polinomio no constante. Resolución:

|

SISTEMA DE ECUACIONES

x + y + 3x = 5 2x + y - z = 4 7x + 9y - 2z = 14

Ecuación recíproca de grado par. Como casos particulares podemos indicar las siguientes ecua ciones:

lgebra

os a x e l valor de

2 y a y el valor de

3, entonces se verifican ambas ecuaciones. Solución trivial de un sistema lineal. Se llama así cuando la colección de números está formado por ceros. Por ejemplo: (0: 0), (0: 0; 0), (0; 0: 0; 0), etc.: son soluciones triviaíes. Sist ema de ecuaciones que p resent an so luciones triviales. Los sistemas de ecuaciones lineales que son ho mogé neos, son ios que presentan solu ciones tri vales, así por ejemplo: 3x + 2y + z = 0 x+y+z=

0

x-y -z =

0


70

|C

olección

E l P ostulante

Es un sist ema de ecuaciones lineal es hom ogéneo que tiene como solución ( 0 ; 0; 0).

EJERCICIOS RESUELTOS

El conjunto soución de un sistema de ecuaciones. Como el conjunto formado por las soluciones del sistema lineal.

Hallar las raíces de la ecuación: x( x - 2 a) ^ a _ x a - x

Conjunto solución de un sistema lineal que no

Resolución: Mu lt ipl icando am bos m iembros de por Ibc . se obtiene:

presenta solución. Es el conjunto nulo o vacio, es decir: CS = { } o CS = o

x(x  2a) +

DE ACUERDO A LA CANTIDAD DE SOLUCIONES, ¿QUÉ CLASES DE SISTEMAS DE ECUACIONES EXISTE?

a

Ibc la ecuación

le (a  x) =

x) 

Ibc

 a2

x2 +

(le - Ib -

-

ale

2a)x + a Ib

-

+■ a c) = 0

[x  (a + V b )][ x  (a  Ve) ] = 0 Igualando a cero los factores xi = a + Vb a

2.

|an = bm a bp = nc ¡cuando tiene infinitas so luciones (c. indeterminado)

3.

ja n = bm A bp # nc I cuand o no ti ene solución (incompatible)

2.

REGLA DECRAMER

ax + by = c mx + ny = p

Se define:

3. la el pm

Donde: As: determinante respecto al sistema Ax: determ inante respe cto a l a incógnita x Av: determ inante respe cto a l a incógnita y Para hallar los valores de x e y se utiliza las si guientes relaciones: y = A y/A s

y. despejando:

x2 = a  Ve

¿C uáles son l os valo res de p y q, para que las raíces de la ecuación: x 2 + px + q = 0 , sean también p y q ? Resolución: Sean x, y x 2 raíces de la ecuación: x 2 + px + q = 0 Po r dato: x, = p; x 2 = q Por propiedad de las raíces de una ecuación de 2 .° grado: Xi + x 2 = - p x ,x 2 = q Reemplazando los valores de Xí y x 2 por ra zón de enu nciado: p + q = -p =» q = - 2 pq = q =5 p = 1

Sirve para resolver sistemas de ecuaciones linea les con 2 o más incógnitas.

x = A x /A s

1

=

x2 + (V c V b 2 a )x + (a + Vb)(aV

Entonces se cumple: bm | cu a n d o se tie n e s o lu ció n ún ic a (c. 1 . ja n determinado)

A=x AS = I a b I Im n | ’

■

Ordena ndo e igualando a cero:

Propiedades Sea el sistema de ecuaciones lineales: ax + by = c mx + ny = p

I c b •A =y IP| n

Ib (a 

Ib

x2  2ax + a Ib  Ibx

Existen las compatibles determinadas, compati bles indeterminadas e incompatibles.

Sea el sistema siguiente:

IE

Vbc

¿Q ué va lor debe t en er c, en l a ecua ción: x 2 + 8x + c = 0 para que una raíz sea inversa de la otra? Resolución: La ecuación: x 2 - 8x + c = 0 Sean sus raíces: x, y x 2 Por propiedad de las raíces en una ecuación cuadrática: x,x 2 = c / 1 ... (I) Por dato del problema : x-,x 2 = 1 (El producto de dos cantidades siendo una la

inversa de la otr

a siem pre es la unidad)


Á

4.

Reemplazando en (I): 1 = c /1 => 1 = c

- 8x -1 2 /7 = -64

...(I II)

8x - 2 /7 = 36

...(I V)

En la ecu ación : 2x 2 - (m - 1)x + (m + 1) = 0 , ¿qué valor positivo debe darse a m par que las raíces difieran en uno?

Sumando (III) + (IV): -1 4 /7 = - 28 => ¿7 = 2 7.

Resolución: Sean x 1 y x 2 las raíces de la ecuación: 2 x 2 - (m -

1 )x + (m +

Xi + X 2 — —

1) = 0

1)

sistema de ecuaciones:

encontrar el valor de (x + y). Resolución:

de las raí ces: - (m -

El sistem a: 5 /x -3 /7 = 3 25x - 9y = 81

(II)

De (II): (5/x m + 1

Sumando (I) + (II), se logra: x, =

x

-3 /7 ) = 81

D e (l):5 /x + 3 /7 = 27

...(III)

Re em plazan do e ste valor en (I II), se logra: x 2 = 2

Sumando miembro a miembro (I) + (III)

Reem plaz ando x 1 y x 2 en (II): m A 1 , hO2 = m---------— 1 , donde: m = — 4 2

Se logrplazan a: 10 Re em De donde: y = Se pide: x +

-1* 111

H allar el prod ucto de las raíces de l a ec ua  ci ón: Vx + 3 - /x - 2

= 5

Resolución:

Se tiene: /x + 3 También:

fx~^2

■Ix + 3 = 5 +

= 5

-Ix - 2

Elevando al cuadrado: x + 3 = 25 + 10

6.

...(I) ... (II)

)2- ( 3/7 )2 = 81

( 5 / x +3/7).(5/

5.

. .y = 4

5 Ix -3/7 = 3 25x —9y = 81

Por dat o: x, - x 2 = 1 ... (I) Por propiedad

Dado el siguiente

l x -2 + x

8.

/x e n= (II): 30 ^ 25(9) x = -9 81 = 9 y do 16 y = 16 + 9 = 25

Dado el sistema de ecua ciones: x - y = 1, 3 /TÓ x - /To7 = 1, 0 enc ontrar el valor de (x + y) Resolución: El sistem a: x - y = 1,3

- 2

... (I)

/ÍOx - /Í Ó 7 = 1

=» - 2 0 = 1 0 /x - 2 .-. - 2= h -2 La ecuación no tiene solución pues no existe ningún número real tal que su raíz cuadrada sea negativa.

De (I): ( /x + /7 ) ( /x - /7 ) = 1,3

¿Cu ál es el valor de y en el sist em a de ecu a ciones simultáneas: 2 x + 3 /y = 16

Re em plazan do (IV) en (I II):

8x - 2 /y = 3 6

Resolución: Sistema: 2x + 3 /7 = 16

.... (I)

8x - 2 /y = 36

... (II )

Multiplicando la (I) por -4:

lgebra

.. .( II ) ...(I II)

De (II): ¿T o(/x - Jy) = 1 (¿T -/ 7

( / 7 + / 7) 1 =

)= ~

-(IV)

¿10

1,3

/10

(/x + /7)= 1 , 3/10

,..(v)

Sumando (V) + (IV) miembro a miembro: 2 /x = 1 ,3/10 - ■ Se pide:

1 ¿To

x = 4,9; y = 3, 6

x + y = 4,9 + 3,6 = 8,5


|

72

|C

olección

E l P ostulante

I DEJERCICIOS PROPUESTOS 1 1.

Resolver: -3(2x + 7) + (-5x + a) 2 d) 5

2.

6) - 8(1 - 2x ) - (x - 3) = 0

Reso lver : x - (5 - x) = 3 - (-2 x +

4.

Resol ver : - — 5- = 2 -

6.

7.

8.

9.

10.

2 /x + 2 \ 3V 6 /

c) 7/19

d) O

Reso lver: (4 - 5x)(4x - 5)

Re so lve r: x - 5 h

c) 1

c)x = 1/3

3 +-—i

a) 4

b) 3j

d) 3

e) 1

1 4

a)

e) 7

a)

c) 1/35

d) 2

x - 6= 7 - x +

( 2 n + 1) --------------

2

e) - 2 ^x - 6

c)2]

(n + 1 ) b) — -— 2

e)

d)

= (1 Ox - 3)(7 - 2x)

b) 2/35 e) 3/17

b) - 1

x -2

b) x = 0 e) x = 3/2

o)

c2 c +a- b

e)

abe a+b+c

3n 2

x- a_x - b_ x- c ab ac be b)

a+b - c

c) —

( n - 1)

15. Ha llar el va lor de x en:

Res olver: ( x + 3 )3 - x 3 - 9 x 2 = 54 a) O

(x + 1) —4 — x -2

14 . En la siguiente ecuación: (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + n) = n donde: ne TL A n > 2 000; el valor de x es:

c) 3/2

3x - 1\

c) 1

a) 1/15 d) 4/9

5

— x- 2

13. Resolver:

c) 3

b) 2/13 e) 19/23

b) 2

d) indeterminado

i -

Reso lver: (x - 2 )2 = 1 + ( 3 - x )2 a) 3

-6 y 6 c) incompatible e)

3 + — !—

b) 18/5 e) 18/15

a) 1/13 d) 13/15

8 - x + { 20 - 4x

b) - 6

a) x e IR d) x e IR - {2}

R eso lver: — (x + 3) + = - 1 (x - 1) - (x - 3) 3 6 2

Resolver : 2x - (2x

- 4 + 2 {5 - x =

a) 6

+2

c) 3/8

b) 2 e) 5

a) 13/5 d) 8/5

b) - 6 d) indeterminado

12. Ha llar el valor de x en:

x- 2 x -3 _ x- 5 b) 5/7 e )11 /7

a) 1 d) 4 5.

8)

b) O d) indeterminado

Resolver: . x - 1 3 )1 d) 2/9

11. Resolver: x

c) 4

b) -3 e) 7

a) 5/2 o)1 e) incompatible 3.

a) 6 c) 6 y - 6 e) incompatible

J

d)

a+b - c b +c- a

Jy | T | O JC 16 . Lueg o de resolver : i — —— = 3 indi que /x~Tl - 2 Í k el valor de ^x

1+ 1


2

Á

a) 4 d) 2,5 17.

b) 3,5 e) 2

, a (a -x ) R e s o lv e r:—5— a) a + b d) b

a) d) 19.

a) d) 20.

a + b

Resolver:

calcular xy a) 1 d) 4 21 .

-W x

2x + 3y = 8 b) e)

A

d)

24 x + 47 y = - 2 2 c) -15

x — 1 = 1/y

a

b) -3

3/4

c) 12

e) 1/4

c) a + b 25.

c)

A

a) d)

3

5x + 7y = 11

U) ai
c) 15

Re so lve r: y + = 2

a

x

- y =■

calcular: x + y

4x + 5y = 14

2 5

b) 10 4 e )3

A

b) -2 e) -6

8)“ Á

—- — — 1 = — — ^— + 2 x+ a-b x - a+ b

73

c) -1

24. Resolver : x + 1 = 1/( 2y) hallar: xy

c) a

|

2 x -1 6 = 5y

b) 1 e) 18

a) 5 d) -1 8

1

ab

b) (a - b)2 e) ab

A

23. Resolve r: 30x - 23y = 136 hallar xy

c) a

-fla\

Reso lver : 2x + 3y = - 2 hallar x + y. a ) -2 0 d)

a) -6 d) 15

= x

b) a - b b e)

a- b (a + b)2

Resolver:

b( b + x) 5

----- ------------

b) a - b e) ab

1 8 . R eso lver: ^ Í1 - -W x>

22. Si : 7x - 9y = 39 indique xy

c) 3

lgebra

j

u

3 12 i .d 2.d 3.b 4.e 5.d

b) 715 e) 6. c 7.a 8.c 9.c 10. e


11. e 12.d 13.a 14.c 15. b

c) 10 16. a 17. b 18.a 19.b 20. b

21. 22. 23. 24. 25.

c a e d c

y

DESIGUALDADES E INECUACIONES Prueba. Sean a y b números reale s, entonces (- b ) tam bién es real, luego por l a Ley de Clausu ra para la adi ción (+ ) en I R se ti ene q ue a + (- b ) es rea l, es decir (a - b) e IR. A plicando la Ley de Tri cotom ía para (a - b) e IR:

DESIGUALDADES Es aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos: <; <; >; > Luego, sean a, b e IR Si: a > b se lee a es ma yor que b a 0 equivalente mente (por las definiciones ( 1 ), ( 2 ) sobre < ; >, y por el principio: la diferencia de dos números es cero si y solo si son ¡guales). ab

a > b se lee a es ma yor o i gual que b a y< Dados a, b e IR 1 . a > b si y solo si a - b es positi vo 2 . a Y < Dados a, b, c, d

Ejemplos: 3 < 5 porque 5 - 3 = 2 y 2 es positi vo -10 < - 6 porque - 6 —( —10) = 4 y 4 es positi vo. 7 > 2 po rqu e 7 - 2 = 5 y 5 e s po si tivo . -2 > -7 por que -2 -( -7 ) = 5 y 5 es po si tivo . 3 2 3 2 1 1 — > - porq ue ^ - ■= = — y — es posi tivo 4 3 4 3 12 12 Defi ni ci ón de < y > Dados a, b e IR 1 . a b si y solo si a > b o a = b

re de desigua

a > 0 si y solo si a es positivo a < 0 si y solo si a es negativo

IR,

1. 2. 3.

SI a + 0 y b > 0, en tonc es a + b > 0 SI a > 0 y b > 0, enton ces ab > 0 Si a 0, en tonce s ac < be 7. Si a be La propiedad (1) anterior establece que la suma de dos números positivos es positiva, y la propiedad ( 2 ) establece que el producto de dos núme ros po sitivos es positivo.

INTERVALOS Sea I un subconjunto de IR (I

Las propiedades a < b, a > b, a b se denominan desigualdades. En particular, a b se llaman desigualdades estrictas, mientras que b y a > b reciben el nomb des ano< estrictas. De la definición de < y >

e

c

IR).

Decimos que I es un intervalo, si y solo si es el conjunto de todos los números reales que están lda

com prendidos entr e dos extr em os (que pueden ser finitos o ideales), llamados extremos inferior y ex tremo superi or.

CLASES DE INTERVALOS

LEY DE TRICOTOMÍA Para cualquier número real “a”, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple: a < 0v a = 0 v a > 0 Corolario. Para cualesquiera dos elementos a, b e IR, una y solamente una de las siguientes rela ciones s e cum ple: a b

Si I es un Intervalo, puede ser: acotado o no aco tado. Intervalo acotado. Es aquel intervalo cuyos extre mo s son finit os. El conjunto de los núme ros x que sati sfacen la des intervalo abierto igualdad a < x mientras que la figura 4 presenta el intervalo (-cc; b). Ob serve que (-cc; +oc) representa el conjunto de to dos los números reales.

[a; b] = {x / a < x < b}

a

b

75

Figura 4

El int ervalo cerrado de a a b es el Intervalo abierto (a; b) junto con los dos extremos del segmento a y b, y se denota por [a; bj. Así:

El intervalo semiabierto por ia izquierda intervalo abierto (a: b) junto con el extremo dere cho b. Este intervalo se denota por (a: bj; de modo que

?

*

|

x e (a; b]

Para cada uno de los intervalos (a; b), [a; b], [a; b) y (a; b] los núm eros a y b se deno m inan extremos del intervalo. El intervalo cerrado [a; b¡ contiene a los dos extremos, mientras que el intervalo abier to (a; b) no contiene a ninguno de sus extremos. El intervalo [a; b) contiene a su extremo izquierdo pero no al derecho, y el intervalo (a; b] contiene a su extremo derecho pero no al izquierdo. Un intervalo abierto puede considerarse como el intervalo que no contiene a sus extremos; por el contrario, un intervalo cerrado puede conside rarse como el intervalo que contiene a todos sus extremos.

Figura 1

Se define el int ervalo se m iabiert o po r l a derecha de m anera sim ilar y se denota por [ a; b). Así : [a; b> = {x / a < x < b} x e [a; b) Figura 2

OPERACIONES CON INTERVALOS

El intervalo (a; bj se muestra en la figur a 1, y el intervalo [a; b) se pres enta en la figura 2. Se utili zará el símbolo +cc (infinito positivo o más infinito) y el símbolo -oo (inf init o n egativo o m enos inf ini to); sin embargo, tenga cuidado en no confundir estos símbolos con números reales, ya que no cumplen las propiedades de dichos números. Intervalos no acotados. al m enos un extremo es (a; +oc) = {x / x > a} (-cc ; b )= {x / x < b} [a; + cc )= {x / x > a} (-c o ; b]= {x / x < b } ( —cc; + oo )— IR

Es aquel intervalo donde el i deal o - cc.

Sea n A y B i ntervalos, se definen y se deno

tan:

AuB={xElR/xeAvxeB} AnB ={xeE/xeA AxeB } A - B = {x e IR / x e A a x í B} CA = Ac = A' = {x e IR / x £ A} A' = complemento de A respecto a IR A 1 = IR - A Teoremas

adici onales.

Sean a, b, c, d, x eIR

Va e IR; a 2 > O v a, b, c, d e IR + / a v b a c < d => ac < bd ab > O « (a > O a b > 0 ) v (a < O a b < 0 ) ab < O <=> (a > O a b < 0 ) v (a < 0 a b > 0) x

3 Figura 3

En como consecuencia, el intervalo +oc) secontiene considea ra un intervalo cerrado[a;porque su único extr em o a. De forma sem ejant e, ( - 00; b] es un intervalo cerrado, en tanto que, (a; b) y (-co; b) son abiertos. Los intervalos [a; b) y (a; b] no son ab iertos ni cerrados . El intervalo ( — 00¡ + 00) no tiene extremos, y se considera tanto abierto como cerr ado.

+00

g

(a; +co)

a > 0 o — >0 a a < 0 » — a <0


76 ¡C

olección

E l P ostulante

Si a y b t iene n el m ismo signo:

3x + 3 > 2x + 5 o

3x + 3 + (-3 ) > 2x - 5 + (-3) o 3x >2 x + 2

=> a ' x ' b o - > - > ■ ! a x b a
« 3x + (—2x) > 2x + (— 2x) + 2 si 0 < a 2 Gráficamente: '2 +oc e IR / x > 2} = (2; +cc)

■y

a+->2;VaeIR+ a

Luego: CS = [x

b + - < 2; V b < : HT b

INECUACIÓN LINEAL

a + b > 2 ab; V a, b effi. a 2 + b 2 + c 2 > ab + ac + be; V a, b, c

e IR

INECUACIÓN Es una desigualdad que se establece entre dos ex presiones m atemá ti cas las cuales ti enen por l o me nos una variable, la cual se denominará incógnita. Esta desigualdad solo se verifica para algunos valores determinados de las incógnitas o tal vez nunca se verifique. Por ejemplo, la desigualdad: 2x + 3 > x + 5 es una inecuación porque ti ene una incógnita x, y se verif ica para valores de x m ayores que 2. También, la desigualdad: sen(x) + 2 > 5, es una inecuación que nunca se verifica, porque los valores del sen(x) están comprendidos en el int ervalo [ - 1 ; 1 ] para todo x real, en consecuencia sen(x) + 2 está en el intervalo [1; 3] y ningún valor de este intervalo es mayor o igual que 5.

Solución particular. Es aquel valor (o valores) de la i ncó gnita (o incógn it a) que ve rif ica la i necu ación. Por ejemplo, en la inecuación 2x + 3 > x + 5, una solución particular es x = 5, pues 2(5) + 3 > 5 + 5 es cierto. También en l a i necuación x + y > 2, para x = 1 e y = 1 la inecuación se verifica, pues 1 + 1 > 2 es cierto, luego ( 1 ; 1 ) es una solución particular. Conjunto solución. Es aquel conjunto denotado por CS que agrupa a t odas las soluciones pa rt icu lares (s i existen) de un inecua ción. Si la inecuación no tiene solución, entonces diremos que el CS es el conjunto vacio. Resolver una inecuación. Signifi ca hallar un con ju n to s o lu ció n . La re s o lu c ió n se re a liz a s o lo e m  pleando pasos equivalentes, por ejemplo, si que remos:

Form a gen eral:

P(x) = ax + b S 0 |; a

f- 0

siendo: a, b e=K

Ejemplo: De ter mine x en ax + b > 0; a < 0 Resolución: ax + b > 0 => ax + b + (-b ) >

0 + (—b)

=> ax > - b ; a < 0 => “ ( a x ) < ^ (— b); pu es I <0 d d d « x<-b

a

Gráficamente:

-b/a Luego: CS =

j x e IR / x < --|

j

= /-

x; -

Criterio de los puntos críticos. Es utilizado para analizar la variación de los signos de los factores lineales (de coeficientes reales) en una multiplica ción indicada.

Ejemplos: 1. Sea P(x) = (x - 2 )( x - 7) Las raíces del polinomio son: 2 a 7 Ubiquemos esos valores en la recta real.

— CC

2

7

+ 00

Las raíces del polinom io pa rti cionan la rect a IR en 3 zonas (intervalos): • x e (-ce; 2 ) =»x< 2 =» x- 2 < 0 A x - 7 < -5 < 0 , l ueg o: ( x - 2) (x - 7) > 0


Á

(2;7)=*2< x <7=»0< x -2<5 - 5 < x - 7 <0 , lueg o: ( x - 2) (x - 7) < 0 x e (7; +oo ) x > 7 s x -2 > 5 x - 7 > O, luego: (x - 2)(x - 7) > O Gráficamente: P(x) = (x - 2)(x - 7)

x e

—ce 2.

2

a a

siendo: a, b, c

—1

4

7

+00

Co m pletando cuadrad

x - 7

P(x)

-

-

-

+

-

+

Factor x- 4

x+

- 1< x 4

-

4
+

+

-

-

x >7

+

+

+

+

-ce

4

7

+cc

SI se tratará de resolver: P(x) > O, tendríamos que: el CS = (- 1 ; 4) u (7; +oc) Cuando formamos la Inecuación polinomial ¡os valores de las raíces del polinomio toman el nombre de puntos críticos. 3.

Sea P(x) = (7 - x)(x - 4) Las raíces son: 4 y 7 pero las variaciones de signo cambian.

—oo

4

7

INECUACIONES CUADRÁTICAS Son aq uell as inecuaciones de

0

os dentro de!

paréntesi s.

'2a/

x

+ b '2

4a2 4a

/ b 2 - 4ac \ 4a

a i

j S O .. . ( a )

Pero recuerde que b 2 - 4ac es el ¡Discri minante!, denotado por A = b 2 - 4a c. Vamos a reemplazar en ( a ) y tendremos:

1

Zona x < -1

entr e

a ( x2+ 2x(A \ + ^ i_ ^ L + £ )í0

2a /

Las raíces de! polinom io pa rti cionan a la r ecta IR en 4 zonas (intervalos) Analicem os las vari aciones.

77

IR A a 7A O

a ( x 2+ |x + -|)s

a|í

-00

e

Resolución: Co mo (a 0) divi dimo s a am bos m iembros a, teniendo cuidado el posible cambio en el sen tido de la inecuación, entonces tenemos:

Sea P( x) = (x - 4)(x + 1)(x - 7) , la s rai ces son: -1 , 4, 7. Ubiquemos estos valores en la recta real.

|

P(x) = ax 2 + bx + c S O

+co

5

lgebra

la for ma:

+cc

Comenzaremos con el análisis de los casos posi bles que depen den del di scri minante.

Caso I. S i A = O reemplazando en (I), nos queda: / b \2 a x+ — SO cancel o a cui dándose de la vari a2a / ción de signo. En este caso tenemo s por ejemplo: (x - 2 )2> O =» CS = IR, pue s V x eIR, cumple al ser reemplazada en la inecuación. x 2 - 4 x + 4 >0 o (x - 2 )2 >0, notamos que se verifica x eIR, excepto cuando x = 2. .■. C S = IR - {2 } x 2 - 6x + 9 < O o ( x - 3 )2 < O, obviam ente la inecuación ti ene el símbolo qu e hace que esta inecuación sea no veriflcable para algún valor real. CS = 0 (x - 7 )2< O » (x -7 )2= O, entonces tenem os que la única solución es x = 7. .-. CS = {7}

Caso II. Si A = b 2 - 4a c > O, reemplazando en (I), tenem os luego de elevar al cuadrado y tom ar r aí z. x+f f - ^ js O 2a I 4a 2 1


78

|C

olección

E l P ostulante

Vamos a multiplicar por el inverso multiplicativo de a y aprovechando la diferencia de cuadrados, quedará: b , Va , b V a \-,0 x + t^ + — x+ „ ' 2a 2a A 2a 2 a

4.

Sea (3 - x)( 5 - x) < 0 o (x - 3) (x - 5) < 0

y para resolve rlo aplicarem os el m étodo de ¡Puntos crít icos! , vam os a verlo m ejor en algunos ejem plos:

.-. CS = <3; 5)

Ejemplos: 1 . Se a x - 5x + 4 > 0 , fact or izan do por as pa simple, se tiene (x - 4)(x - 1) > 0. Los puntos críticos serán: 1; 4 (que son valores que anu lan cada factor). Reem plazamos en l a rect a num éri ca.

En lo posible, usted, ha visto las variables, ahora anali cem os que pasa cuando (A < 0). En el teorema siguiente: Teorema (trinomio positivo). Sea: a a V 0 P(x) = ax 2 + bx + c, donde a, b, c eIR AA<0 Se cum ple que: P(x) > 0, V x e IR » a > 0 Demostración: P(x) = ax 2 + bx + c :

Empezamos de derecha a izquierda con el signo +, pues los coeficientes de x son positi

_b _'2 2a

Tenemos que a > 0 y en el binomio: (-

vos, además la parte el símbolo en tomamos la inecuación es >.positiva, pues Luego CS = (-cc; 1] u [4; +oo) 2.

Sea x 2 - 4x - 5 < 0 , fact ori zando que da: (x - 5)(x + 1) < 0 =» Pu ntos críti cos: 5; -1

4ak

'2 2ba

4a2 (+

El signo menos con el signo del discriminante se hará todo positivo y suma de positivos harán que P(x) sea siempre posit ivo, cualquiera que sea x e

IR.

Ejemplos: 1.

x 2 + 2x + 3 > 0 A = 2 - 4( 3) = pal es positivo.

2.

x 2 + 4x + 7 < 0 => Su CS =

.-. CS = (- 1 ; 5) Sea (x -

2)( 3 - x) > 0 entonces lo

s punt os

críticos 3, 2. Cuando reemplazo recta noson: empezare la variación con (+),ensinola con (-), ¿por qué?

Su CS = I R, pues - 8 < 0, y su coe fici ente princ i 0 , pues

A = 4 2 - 4(7) < 0 y su coefici ente princi pal es positivo =>0 0 < 0 ¡Ab surdo! CS = o Otra forma: x 2 + 4x + 7 = x 2 +4x +4 + 3<0 (x + 2 )2 + 3 < 0 => CS = 0

Note que es posi ble multi pli car por (- 1 ) a am bos miembros y nos quedará (x - 2)( x - 3) < 0, ahora tenemos en la recta.

CS = [2; 3]

Un teorema análogo será el siguiente: V x eIR a; b ; c eIR; a V 0 a x 2 + bx + c > 0, o a >0 a A <0 Teorema (trinomio negativo). Sea: P(x) = ax 2 + bx + c, siendo a, b, c e IR, a V 0 Se cumple que: P(x) <0, V xel oa<0 Notemos que el producto:


a

A<0

79

Álgebra |

{a<0)

A

(x l

+ A ) 2_ A

2a /

... P(x)

>o

4a 2

<

es un valor que anula el factor y que reempla zando en la inecuación srcinal tendríamos el absurdo (0 < 0 ), esto quiere decir que x = un valor no solución.

0

Inecuación polinomial de grado superior. Q ue tal si consideramos el polinomio de grado n: P(x) = anxn + an _ 1x 11 1 + ... + a-,x + a 0 a 0 donde e IR; i = {0; 1; 2; 3; ...; n} an A 0, además cada a¡ Como nosotros recordamos por un corolario del Teorema Fundamental del Álgebra, se tienen n raí ces las que llamamos x,, x2, x3, x 4 x n.

.-. CS = (- 2 ; 3) - {1 } Lo mismo pasa con x = 7, pero como no está en el CS no le afecta. 3.

Bien, si es que todas son reales, podemos facto rizar: an(x - x, )( x - x2 )(x - x3 ) ... (x - x „ ) í O Entonces para resolverla le aplicaremos el método de puntos críticos. Pero en general previamente ¡simplificar, algunos factores de los que ya conocemos el signo! Para ello notemos que: Teorema. 1. 2.

Prueba. Si: (x - a)2 n + 1 > 0 » (x - a) 2n(x - a) > 0 Pero (x - a)2n > 0 => x - a > 0 Si: (x - a) > 0 mu lt ipli cand o por (x - a)2 n > 0 => (x - a )2n + 1 > 0 Por ej em plo podem os resolv er: 1. (x — 1)(x — 2)(x - 3)(x - 4) > 0 Los puntos críticos son; 1; 2; 3; 4.

—00

1

2

34

+GC

(x - 1)2 (x - 3)( x + 2)( x - 7 )4 < 0. Simplifican do ( x - 3)( x + 2) < 0 Los puntos crí ticos son: - 2 : 3.

—00

—2

3

-2

- 112

+00

Notemos = elado (- 2 ; 3), peroa¡cu el factor que (x - el 1 )2,CS canc , tiene x = idad 1 , o!que

6

Lue go el CS = (-*> ; - 2 } u (-1; 1} u (2; 6 ) Antes de estudiar la inecuación fraccionaria e irracional, veamos un concepto previo:

CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (CVA) Es aquel conjunto formado por todos los valores que garantizan que una expresión matemática quede bien definida; así se tiene los siguientes casos: Expresiones poli nom ial es P(x) = a 0xn + a^x3 ~ 2 + a 2xn “ 1 + ... + an; a 0 V 0; n e ZT =s. CVA = C = {x + y i / x e I R

de l o cual CS = ( - 00; 1] u [2; 3] u [4; +oo> 2.

(x 2 - 4) (1 - x) (x 2 + x + 1 ) 27(x 2- 5x - 6 ) > 0 Simplificando (x 2 + x + 1)27, pues x 2 + x + 1 es positivo, nos quedaría (x 2 - 4) (1 - x) (x 2- 5x - 6) > 0, pero podem os factorizar y nos queda: (x + 2 )(x - 2)(1 - x)(x - 6)(x + 1 ) > 0

“x

Sean: x, a eIR

SI: (x - a) 2n + 1 > 0 « (x - a) > 0 ; n elN Si: (x - a) 2n + 1<0 « (x-a)<0 ;neIN

1 es

A y
Expresiones fraccionarias. Como la división por cero no está definida, entonces el denominador no puede ser cero. Píxt Así: f (x) = -Á -L =» CVA = {x e I R / Q(x) V 0} Q(x) Expresiones irracionales. Estas expresiones están definidas sobre los reales IR, de modo que: n/f(x ) e IR a. b.

Cua ndo n es par a n e 2 + a n > 2 A f(x) > 0 Cu an d o n es imp a r A n e Z + A n > 3 A f(x)
INECUACIÓN FRACCIONARIA Son aquellas inecuaciones que se reducen a la si guiente forma general:


80

|C

olección

E l P ostulante

f(x)=

.-. CS = [2; 5) Notar que en 5 es a bierto por el CVA.

^ £ tg 0 ; ü[Q(x)! - 1

ECUACIÓN IRRACIONAL

dond e P y Q son poli nom ios. °[Q(x)]: Grado de Q(x)

Son aq uell as e cuaciones de

la f orma: | P(x ) = 0 1

Resolución:

donde P es una expresión irracional.

2(x) > 0 Como Q(x) # 0 =s Q Multiplicando a ambos lados de la inecuación siP(x) gui ente: ^ ~ - > 0 por Q 2(x) se tiene:

Resolución: Primeram ente se determina el CVA, l uego la ecua ción srcinal se reduce a otra equivalente más simple y la solución o soluciones de esta última ecuación se analizan si está o no considerado en el CVA.

Q 2(x )

5$ ) >Q2(X,<01 Con lo cual el sentido de la desigualdad no se al tera. Luego, simplificando se tiene: Q(x)P(x) > 0. Esto último sería inecuación polinomial, siempre que Q(x) /- 0. En resum en una Inecuación fraccionaria de

INECUACIÓN IRRACIONAL Es aquella inecuación que se reduce a la siguiente forma general: la f or-

ma: —P(X) — 5 0 c on Q(x ) V 0 U(x) Será eq uivalente a una Inecuación polinomial Q (x)P(x) tí 0: con Q (x) V o. Ejemplo: Resuelva:

:

3x + 2 < 0 6x + 5

Resolución: Factorizando el numerador y denominador se tie(x — 5) (x — 1) Los valores admisibles serán todos los x e IR, ex cep to 5 y 1 . Es decir : CV A = IR - {5; 1} x - 5

< 0

Resolución: Halle el CVA de P Mediante pasos equivalentes reducir ¡a ine cuación srcinal y obtener un conjunto solu ción al cual le podemos llamar solución parti cular (Sp). Para hallar el conjunto solución final intercep tar el CVA con la solución particular (Sp); es decir : CS = Sp n C V A

Teoremas.

/a< b »

Sean a, b & IR, entonces: 0 < a a 0 < b a a a b2

ia
Ah ora t ransform am os a una poli nom ial ubicando el den om inador en f orma práctica al lado d el num era dor, de modo que este multiplicando: (x - 5) (x - 2) < 0 Esta i necua ción se resuelve en base al m los intervalos para una inecuación cuadrática:

dond e P es una exp re

Para la r esolución de inecuaciones do nde interven gan raíces cuadradas p odem os ap licar l os si guien tes teor em as:

(X-2KX-J)

Procede m os a s impli ficar:

P(x ) 3 0

sión irracional.

étodo de

b< /a»(0
<0)v(0
0
b2

Además podemos aplicar la siguiente propie dad: cuando una expresión n /f(x ) se encuentran multiplicando a otras expresiones matemáticas en un solo miembro y se tiene cero en el otro miembro, entonces: Si n es par , se sim plifi ca toda la exp resión por ser p ositi va.


)

Á

Si n es impar, se reemplaza n/f (x ) por el ra dicando f(x); es decir se elimina el símbolo radical.

lgebra

I

81

Es decir, el resultado de aplicar valor absoluto a una expresión matemática nos dará como resulta do siempre una expresión positiva. En tal sentido, enunciamos las siguientes propiedades:

Ejemplo: Á c -2 (x 2 - 3x + 2) > 0 Resolución: a) CVA: x - 2 > 0 s x > 2 => CVA = [2;+co> b) V x -2 (x 2 - 3x + 2) > 0 « x2 - 3x + 2 > 0 « (x - 2)(x - 1) > 0 » x e ( —oo¡ 1] u [2; +oo) = Sp CS = Sp n CVA = [2; +oo)

1. 2. 3. 4.

|x| > 0 ; V x g IR |x |2= x 2;vx e l |x| > x ; V x e E |- x| = |x| ; v x e l

5.

/ x 2 = |x| ; v x eIR Además, si x, y eIR, entonces:

6.

X

<

I

~ x ~

7.

Ejemplo: Resuelva: Á x - 1

5-lx - 2<0

Resolución:

Eliminamos los radicales por ser de índice impar, así: (x - 1)(x - 2 ) < 0 CS = [1; 2]

I- = — ;y + o M Iy I x, y e E 8 . |x + y | < |x| + | y| « 9. |x + y| = |x| + |y| « xy > 0 0 1 0 . |x + y| < |x¡ + | y| « xy < Ecuaciones con valor absoluto. Son ecuacio nes que se reducen a la siguiente forma general:

VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x, se define como aquel nú mero real no negativo que se denota por |x|: donde: J x; si x es positivo o cero 'x' { -x ; si x es negativo

| A(x) = 0 | donde A es

una expresión con

valor absol uto.

Se pueden usar lo s siguient es teoremas: 1 . |x| = a « (x = a v x — ~a ) a a > 0 2 . |x|= |b| « x = b v x = -b

Ejemplos: |5| = 5; solo se borran las barras, pues 5 es positivo. |—3| = - ( - 3 ) = 3; al borrar las barras se cam bia de signo, de - 3 a 3, pues - 3 es negativo.

Observación: Sea x = g - a, reemplazando en la definición, se tiene: r g - a; si (g - a) es posit ivo o cero |g - a| = j _ s¡ ^ _ a) es negativ0

ay

Entonces: r g - a ; g es mayor que a p; p es menor que a

a' ~ { aEjemplo:

-Í2- 11= fl - 1; pues (2 es mayor que 1 ¡1 - Í3 | = /3 - 1; pues 1 es menor que ¡3

Inecuaciones con valor absoluto. Son aquellas inecuaciones que se reducen a la siguiente forma general: A(x) S 0 Donde A es una expresión con valor absolut o. Aq uí t en er e n cuen ta los siguientes teorema 1. |x | 0 A -b < x 0 A —b < x b o x > b V x < -b 4. |x| > b o x > b v x < -b Ejemplos: Resuelva: 1. |x| < 5 « —5 < x < 5 o CS = (— 5; 5) 2. |x| > 7 o x > 7 V x <  7 C S = ( —co; —7) U (7; +oo) 3. |x + 3| < 9 o -9 < x + 3 < 9

|

4.

|xo-12< - 2| > 5 »x< x -6«2 >CS 5 v= x[—12 -2 <; -56]


s:

82

|C

E l P ostulante

olección

Resolución:

o x> 7 v x < - 3 o x > 7 v x < -3 C S = { — —3] u [7; +nc)

Dando común denominador y multiplicando . 2 x 2+ 9x + 16 . n por- 1 : — >0 (« ) x + 2x + 6

Para eli m inar un valor absolut o ge neralme nte este debe elevarse al cuadrado, así tenem os el siguien te teorema:

|x| £ íy| «

3x + 2 - 3< 0 x 2 + 2x + 6

Efectuando:

x 2 í y2

Además: x 2 + 2x + siempre es positivo. EJERCICIOS RESUELTOS 1.

También: 2x 2 + 9x + 16 = 2 [( x 2+ |x +

[\

Sixesmúltiplode17quesatisfacelass¡gu¡entes

Hallar el valor de x. Resolución: Representando convenientemente: 0

5 ( x - 120 ) (x + 5 ) x(x + 5)

4. ■

5(x - 12 0)

>0 = x

----------------------------

120

Resolución: Se tiene: - x 2 + 8x - 7 >0 Mu ltipl icando la desi gualdad por -1 : x 2 - 8x + 7 < 0 A (x —7)(x — 1) < 0 Posibilidades: x- 7>0 A x - 1< 0 x 7 x< 1 • x - 7 < 0 a x - 1 >0 x<7 x> 1 So lucionan do l a inecuac ión: x < 7; x > 1 CS = (1; 7) 3.

Re solver la inecuación:

x 2 - 3x + 2 x2 + 2x + 6 < 3

or

< - 1 : donde; x =7 1

(x — 1 ) De donde: (4x + 8)(x + 1) + 1 < 0 Me jor aún: 4x 2 + 12x + 9 < 0 Qu e se puede escri bir: (2x + 3 )2 < 0 Lo cual es absurdo ya que para t odo nú me ro a l cuad rado siemp re será ma yor o i gual que cer o.

< 1 =* x < 15 0

Ha llar la solución de la inecuación: - x 2 + 8x - 7 > 0

16 J

x- 1 Resolución: Expresando convenientemente: (4x + 8 )(x + 1)(x — 1) + 1 < Q

Entonc es un mú lt iplo de 17 en el i ntervalo: 120 x 150 será : .-. x = 136 2.

+  7 Á]

1 6/

Ha llar la solución de la des igualdad: (4x + 8 )(x 2 - 1 )

< 1

Simplificando y teniendo presente que x es múltiplo de 17 positivo: 5(x - 12 0)

2

(2 x 2 + 9x + 1 6) = 2 (x + f f + ^ 4/ 18’ entonces siempre es posit iv o. (a) siempre se cu mp le para cualquier val de x número real.

5(x2 - 11 5x —600 ) ■< 1 0< ■ x(x + 5)

desigualdades:

6 = (x + 1 )2 + 4, entonces

5.

Ha llar los valores reales

de x que satisfacen

simultáneamente 3x 2+ 2x > 0 y lasx desigualdades: 3 + x2+ x < 0 Resolución: Expresando convenient emen te: ...( 1 ) x(3x + 2) > 0 1 \2 3 < 0 X+ 2 ) + 4

...( 2 )

De (1): x 0 A 3x + 2 =* x > 0 x<0

A

3x + 2 < 0 ;x<


X

> 0

A X >

0 a x < -|

Á

De (2): x

< O

Siempre será positivo. Entonces la solución única: x < 0 De (1) y ( 2): i ntersectan do so luciones: 2/3 -o —

o

a) x E (5: c) x g [-5 e) N. A.

; +co )

Resolver:

3ax a2  1

1.

EJERCICIOS

a) x

-

b) 5 e) no existe

Re sol ver : ^ — i + -5x 4 2

" !

9.

- 2

5.

b) a + b e) - b

Re solver: 0 < a 0

c) -

g

2 + 5x -

12 < 0

(-4; 3/2) —3/2) u (4; -feo) ( —cc; —4) u (3/2; +cc)

g ( —ce; g g

. 11. Resolver : x - 14x < - 49 a) x e (7; +oc) c) x e (-cc ; 7) e) x g o .

12. Resolver: x

b) x d) x

a)x

g[ -1 -

(-7;

+cc)

g ( —oc;

-7 )

g

2 - 20x < - (25 + 3x2 )

a) x g IR c) x g o e) x g IR - {2/5}

IR - {5/2} d) x g {5/2} b; x G

13. R eso lver: x 2 + x < 1 - x

/ a + b r1 , , a -

g

— x- 3

d) x A.IR e) N.

c) a

Resolver: a( x - b) - b( x - a) < a 2 - b2 ; a 1

a) x g (-cc; 2 ) u ( 8 ; +oo) b)xe(2; c ) x g IR 8) d) x g (-2; - 8) e) N. A.

Resolver: a(x + b) + b(x - a) > a 2 - b2 ; a < b < 0 Señaland o el may or val or que puede tener x

4.

oo;

— -— < 7 - x H x- 3

a) x g [ 6 ; 9) c) x e [9; 9] e) N. A.

c) 3

b) 2 e) 1

a) -a d) 2

( -

Resolver : x - 8

Se ñale un v alor que la veri fica. a) -1 d) 0

g

-

(9; 10) e) x e (3; 5)

Re s o lv e r: Á2+ Á 3+ Á 4< i 6 + 5 Indique el ma yor valor entero qu e la veri fica. a) 0 d) 6

a- 1

5

d)<-cc; 1]

c)xe

propuestos

'

5) -5;

e(-oc; e(-oo;

b) x g o

a) ( 1 ; +oc) c) IR — [1; +oo) e) N. A. Res olver: 2x

□

a+ 1

83

Señale su conjunto solución.

- 2/3 o—

Soluci ón del si stema: x < -

b) x d) x

+oo)

|

lgebra

Í2\ - 1 + Í2\


84

¡ C

olección

b) xe

E l P ostulante

(- 0 0 ;

c)xe

- 1-/2

1-[-1 -/

14. Resolver: x

+12]

2;-1

d) x e IR -{ -1 -/ 2 ;1 e) Hay 2 co rrectas

a) -21 d) -2 4

)u [-1 +/2 ;+oo ) + Í2)

c)xe(-3;+oc) e) N.A.

a) x e { - 5 - - Í2Í; - - 5 + V 21) c) xe

d)xe

e) N.A

15. Resolver: 3x

2+ x +

20. Reso lver: |x + 1 | > 2 seña lar el me nor valor entero p ositi vo qu e verifica la i necuación. a) 0 d)3

8> 0

b) 1 e)4

c) 2

21. Reso lver : |2x + 3 | > 7, determ inar el núm e ro de valores enteros que no verifican la Inecuación. a)1 d)

2 -2x + 1 0<9

a) -1 d) —10

c)4 e)

6

b) -3 e ) —12

c) - 6

23. Re solver: ¡3 x + 4¡ < 5 se ña lar la m eno r solu ción entera.

17 . Reso lver : (x - 1 )2 - x 2 > - (x - 2 )2 dar el conjunto no solución. b) x e [5 ; d)xe(-o=;5]

b )2 5

22. Re solver: |2x + 5 | < 3; Indicar l a sum a de las soluciones enteras.

a) x eIR b) xe (l- Í3 ;1 + V3> c) xg IR - (1 - Í3 ; 1 + Í3 ) d) x G 0 e) N.A.

a) x e [1 ; 5] c)xe(-co; 1] e) x g {1 , 5)

djxeIR

5 - / 2 Í 5 + / 21

a) x e (1 - <2\ 1 + ( 2) b) x eIR c) x e 0 d) x gIR -{1 - Í2 \ 1 +12} e) x e I R - {2} 16. Resolver: 5x

b)xe(-3;3>

a)xe<2;+oo)

b) x eIR

c) -2 3

7- < 3 19. Resolver: x —3> ' x + 2x + 5

2 - 5x + 1 < 0

0

b) -2 2 e) N. A.

a) -5 d) - 2

b) -4 e) - 1

c) -3

+00)

tn y

18. R eso lver: (x + 21 )2 + (x + 22 )2 > (x + 23)2dar como respuesta el men or val or entero que no verifica la inecuación.

>< j U

1. b 2 .b 3. e 4. b 5. a

6. c 7. d 8. b 9. a 10. a


11.e 12. d 13. a 14. c 15. b

16. d 21. e 22. d 17. e 18. a 23. d 19. d 20 . b

N

PROGRESIONES PROGRESION ARITMETICA (PA) Es una sucesión de números, en la cual cada uno de ell os se obtiene sum ándo le al anterior una can tidad constante llamada razón. Símbolos: tp primer t érmino tn: término d e luga r n o enésim o término r: razón n: número de términos Sn: sum a d e n prim eros términos. Re presentación de

una progresión arit

^ ti, l 2. *3. Por definición: tn = tn _ -i + r De do nd e:

mética:

tn - 1 . tn

1 +(n-1)r]i

Medios aritméticos o diferenciales: son los tér minos de una PA, comprendidos entre sus extre mo s: -t t , t„ ....................

m medios aritméticos

Interpolación d e me dios arit m éti cos: es la ope raci ón que consiste e n forma r una PA conociendo los extremos y el número de medios a interpolar. Sean los extremos a y b y m el número de medios. a m + 1

| r = tn — tn _ |

PROPIEDADES

Valor de un término cualquier tn = t, + (n -

a: 1 )r

En una PA la suma de dos términos equidis tantes de los extremos es igual a la suma de los extr em os. S ea la PA: e t, ... tp ... tq ... tn Siendo tp y tq equidistantes de los extremos: ti + tn - tn + t n 3.

S n= [2 t

La razón de interpolación es:

La progresión aritmética es creciente cuando la y es decreciente cuando la r a razón es positiva zón es ne gati va

1.

S n= (ti +t „ ) i

En una P A de u n núm ero i m par de término s el término central es igual a la semisuma de los ti + tn extremos: tcentrat En una PA de tres t érm inos, el seg und o térm i no es media aritmética entre los otros dos. Se a la PA: 3- t1f t2, t 3 ti + h

Ejemplos: 1. En una PA se cono ce:

t 3 + t 6 = 57 t 5 + t 10 = 99 hallar l a razón y el pri m er término.

Resolución: Por la f órm ula t 3 = t, + 2 r t 6 = ti + 5r

tn - l1 + (n - 1 )r: +

t 3 + t g —2 ti + 7r -

57 +

tí - ti + 4 r tío =

tg + t 3o — 2t-i + 13 r — 99

...(2)

Re stando (2) - (1) : 6r = 42; r = 7 En (1): 2t, + 7 X 7 = 57; 2t, = 8 ; t, = 4 r = 7, t -i = 4 En la PA: e ..., 5, 47, . ... 159, el nú m ero de términos que hay entre 47 y 159 es triple del núm ero de términos qu e hay entr e 5 y 47. Ha llar l a razón de es ta progresión. Resolución: Considerando la PA de razón r: Por dat o: - r 5 , 47, , 15 9 ......

5.

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los extremos, multiplicada por el número de términos. Es decir:

...( 2 )

n

3n

De intervalo con extremos 5 y 47 4 7 -5 = 42 r= n+ 1 n+ 1 O)


86

|C

olección

E l P ostulante

Del Intervalo con extremos 47 y 159: 159-47 112 ...(II) 3n + 1 3n + 1 como se trata de la misma P.A. (I) y (II) son 42 112 ; de donde: iguales, entonces: n + 1 3n + 1 42 = 7 .-. r = 7 n = 5; su st. en (I ): r 5+ 1 El guardián de un pozo de una hacienda ha plantado a partir del pozo, cada 5 metros y en la dirección norte, un total de 27 árboles y puede sacar agua del pozo cada vez para el riego de un solo árbol. ¿Cuánto tiene que anda r para regar lo s 27 árboles, sabiendo que de pozo al prime r árbol hay 8 m de distancia?

Sn: suma de n términos. Pn: producto de n términos

Representación de una progresión geométrica; ■H- t| : 2t : t 3 : ... : tn _ i : tn tn

cYlota/:La razón de una PG se halla dividiendo dos términos consecutivos.

PROPIEDADES Un término cualquiera:

Resolución:

3-

„ —1-5 m— (-5 m—1-5 m— |-

S 27 = (2 v 16 + 26 S 27 = 3942 m.

x

3.

os

En una PG de un núm ero i m par de términos e l término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

En una PG de tres t érm inos, el segundo térm no es media geométrica entre el primero y el tercero. Sea: +- t-i : t 2 : t 3

i

t 2 — Vt-j t 3 5.

Es una sucesión de números en la cual el primer término es distinto de cero y cada uno de los tér minos siguientes se obtiene multiplicando al an terior por una cantidad constante, llamada razón de ¡a PG. Símbolos: t¿ primer término tn: término d e lugar n o t érm ino enés imo q: razón n: número de términos

(1)

t-| tn

tp tq

10) 27/2; efectuando:

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (PG)

tn = tiqn

La razón de un PG el producto de dos térmi nos equidistantes de los extremos es igual a producto de los extremos. Sea la PG: = t,. t 2 tp .... tq .... tn _ -|. tn dond e tp y tq son equidistan tes de los extrem

, .............................

1. El es pa cio que reco rre para l leva r agua al primer árbol y regresar al pozo es: 8 + 8 = 16 m. 2. El esp acio que recorre para l levar agua al segundo árbol y regresar al pozo es: 13 + 13 = 26 m. 3. Para el terce r árbol: 26 + 10 = 36 m. Así, sucesivamente. La distancia total recorrida es: S = 16 + 26 + 36 + ... Com o la suma es de 27 sumandos: S 27 = (2t, + 26r) 27/2; sust. datos:

tn

P or de finic ión : tn = t n _ -¡q

En una PG limitada de n térm inos, el prod ucto de sus térm inos es igual a la raí z cuadrad a del producto de sus extremos, elevado al número de términos de la PG. J( ti t n)n

6.

La sum a de l os n primeros t érm inos de una PG limitada, es: qtn ~ t;


q —1

(2 )

Á

Resolución: Por fórmula: t

Sustituyend o (1) en (2), se obtiene otra fórmula: tid n~ 1q - ti Sn = — ; de donde: q- 1

2 56 = j-iy

la razón:

/2 )'

sustituyendo: ,n - 1

n -1

512 = (/2 )r'n 1 =, 29 = ( 2 ) 2 ; de dond e:

9=

ti SL= 1 -q

para una PG decreciente: 0 n -> co (se lee: n tiende a Infinito).

18 = n - 1 .-. n = 19

q < 1 cuando

En una PG el primer término es 7, el último es 448 y la sum a 889. H allar la razón y el núm ero de términos.

son los

Resolución: Por l a fórmu la: tn = ^ q " “ 1; sustit uyend o datos:

Medios geométricos o proporcionales:

87

= -Í2

Po r la fórm ula : tn = t-i qn

El límite de l a sum a de los término s de una PG de crecien te ili m it ada es igual a l primer tér mino dividido e ntre la diferencia de la unidad y

|

3 = L q2

Sust. dat os: 1 = —q 2 => 2

qn - 1

7.

lgebra

términos de una PG comprendidos entre sus ex tremos: :: t' ^ - t ,-

448 = 7 qn “ 1 => 64 = qn/q, de donde: qn = 64q ...(1)

m medios geométricos

/ nn - 1 \ Por l a fórm ula: Sn = t 3 ÁL ' q —1

Int erpolar medios geom étri cos e ntr e dos núm eros dados. Es formar una PG entre dichos núme

Sust. datos : 889

ros . Sean los núm eros a y b y el núm ero de m edios :b m, l a progresi ón ge om étri ca será. + a : .......

127 :

qn-

1

q-1

qn - 1 \ 1

...( 2 )

64 q - 1

La razón de Interpolación es:

Susti tuyendo ( 1) en ( 2) : 12 7 = — — — ; de

Ejemplos:

donde: q = 2 Sustituyendo en (1):

1.

2n = 64 x 2 = 12 8 = 2 7 .-. n = 7

q-1

H allar el térm ino de l ug ar 1 6 en l a PG: 1 . 1 . 1 . „ 256'128'64""

4.

Resolución: Datos: t, =

n = 16; q =

25 6

Ap licando la fórmula: Se tiene: t1B =

2

tn = t,qn

1 t/o \1 6 - 1

/ 1

tío = 128 2.

El limite de l a sum a de los infi nitos térm i nos de una PG decreciente es el doble de la suma de sus n primeros términos. Hallar la razón. Resolución: El límite de la suma de los términos de la PG ti ...( 1 ) infinita es: lim S = 1 -q siendo la suma de los n primeros términos:

En una PG se con oce que: t, = 1/2, t 3 = 1 y tn = 256, h allar l a razón y el núm ero de tér minos.

Sn =

t ,(1 - q n) 1-q

...( 2 )

Por cond ici ón del problem


a: 2S n = llm S

88

|C

olección

E l P ostulante

Sustituyendo (1) y (2) en esta condición del 2 t-, M -q n ) 1- q /

problema:

2(1 - qn) = 1

q = 1

,

1 -q " =

6.

ti simplificando: 1- q

a) n d) -4n 2 7.

q" = L ; de donde:

□

q = nJ í

b) 1,2 e) 3

□ 8.

c) 1,5

9.

a) 4 d) 15

b) 16 e) 32

c) 20

Los términos de lugares 2a y 2b de una pro gresión geométrica son, respectivamente, m y n2, ¿Cuál es el término de lugar a + b? a) mn d) (m - n )2

b) (mn )2 e) m 2 n‘

c) mn /2

De una P.Ase tiene: Sn - an = (n - 1)( n + 3); donde: an: término general Sn: suma de los n pr ime ros términos SI n es impar, proporcionar el término central. a) n + 1 d) n + 4

b) n ■ e) n

b) 39 e) 32

c) 38

b) 9 e) 14

c) 11

10 . Indicar el m enor de 4 núm eros en P .G. sab ien do que la suma de sus extremos es 140 y la suma de los términos centrales es 60.

Según: (x - 3 ): x : (x + 12) y: Jx : (y + 3) 2 y : 2 x : z; ca lcu lar z a ) 12 d) 24

c )1

Las edades de un padre y sus dos hijos es tán en progresión geométrica; el producto de todas las edade s es 1331. Indicar l a edad del hijo mayor. a) 7 d) 13

b) 10; 30; 60, 90 d) 120, 90; 60, 30

b) 4 e) 1/4

El térm ino en la pos ición 17 de: te 8 : 32 :128 :... es igual a 2k. Señalar el valor de k. a) 41 d) 35

M ostrar los cuatro m edios geom étricos inter polados en tre 160 y 5. a) 5: 10, 20; 40 c) 80, 40, 20, 10 e) 10, 30, 90, 120

c) 6n

Da da la progres ión aritmética: 1 , obtener: 1 1 -b b + c c + a a) 2 d) 1/ 2

Si a los números 3; 7 y 13 se les suma una misma cantidad resulta, en ese orden, una progresión geométrica. Determinar la razón de dicha progresión.

2.

b) -3n 2 e) 1 2 n 2

~

EJERCICIOS PROPUESTOS

a) 0,6 d) 2,5

En l a progresión : + a, b, c, d la sum a de sus térm inos es n y la razón es 2n. Hallar: a 2 - d2

c) n + 3

b) 5 e) 45

c) 10

11. En una progresión ari tmé tica se conoce que: a 7 = 10 y a 10 = 7. Ca lcular el término a 15

2

a) 3 d) -3

c) b) e) 20

-2

12. Ha llar la sum a: S = 7 + 13 ( 6n + 1 ) a) n 2 + 2 n d) 2n 2 - 3n

b) 2n + 3n e) 3n 2 - 4n

13. De una progresión arit a3 + a5 = 57

19 + 25 c) 3n 2 + 4n

m ética se sabe que:

a5 + a 10 = 99

¿A qué Interval a) [0; 6 > d) < 6 ; 7]

o pertenec e la razón? b) <0; 5] e) < -1 ; 0>


c) <5; 7>

Á

14. En una P. A la razón y e l núme ro de término s son ¡guales, l a sum a de los término s es 156 y la diferencia de los extremos es 30. Calcular el últi m o término. a) 29 d) 39

b) 35 e) 41

c) 37

15. Prop orcionar l a suma de l os 20 primeros tér minos de la siguiente progresión decreciente: -^x2, 2x, 3, ... a) -50 0 d) -39 0

b) -42 0 e) -28 0

c) -40 0

a) 2 d)5

b) 3 e )6

c) 4

17. En la prog resión : a3, 30 p el núm e ro de t érminos com prendidos entr e 3 y 30 es ig ual al número de lo s c om prendidos entre 30 y p. C alcular la razón si además lasuma de todos los términos es 570. a) 6 d )3

b) 5

c) 4

|

89

18. Si: a; b; c; d está n en pro gre sión ge om étri ca, ade m ás: a - d = 7, calcular: (a - c )2 + ( b - c )2 + (b - d )2 a) 91 d) 19

b) 49 e) 14

c) 34

19. Si al soltars e una pelotita de sde 1 m etro de altura, esta adquiere en cada rebote los 3/4 de la altura anterior, calcular la distancia que recorre hasta que se detiene. a) 7 m d) 4 m

16. Se inter polan 5 me dios ari tméticos entre l os núm eros 4 y 22. C alcular la razón de int erpo lación

lgebra

b) m6 e) 3 m

c) 5 m

20. Sumar: 1 + /l_iU (i-lW 2 3 1 \4 6/

a) d)

2/3

1 .c 2. c 3. e 4. a

1 1''/1 \ 8 12 / \ 16

b) 4/3 2 e) 3 5. d 9. c 13. c 6. b 10 . b 14. e 7. d 1 1 .b 15. d 12. c 16. b 8. d

e )2


1 '> 24 /

c) 8/3

17. d 18. b 19. d 20 . b

LOGARITMOS LOGARITMOS EN LOS REALES

Sea n A real, n

Teorem a de existencia y unici dad del logaritmo Para todo par de números reales a y b tales que a > 0 , a # 1 y b > 0 , existe un único número real x, que cumple: ax = b. Definici ón de logaritmo. Sean los números reales a y b, si a > 0 , a # 1 y b > 0 , el número real x se deno m ina logarit m o del núm ero b en base a y se den ota por logab si y solo si ax = b.

g

IN tal que A n > 0

log aA n = nlo ga|A| 4.

Se a A real, tal que A > 0, n

g

IN, n > 2

l°9an ÍA = ^logaA

5.

Se a A real, tal que A > 0, m

g

IR AnGlR

loganA m = — loga A; n ¿ 0

: lo g ab <=> ax = b

Corolario. Si se eleva a un mismo exponen te m (o se extrae raíz enésima) la base y nú mero del logaritmo, el valor del logaritmo no se altera.

Donde: a: base del logaritmo b: número del logaritmo x: logaritm o de b en la base a

loga A = log amAm = log n - n/A ; A > 0 Ejemplos: 6.

1.

2 = log3 9 o 3 2 = 9

Si A > 0

A

B >0

loga A = l oga B » A = B Cambio de base: Dado logab eIR Sea: c > 0

a

c/ 1

logab =

logcb logca

PROPIEDAD lo g a1 = 0 logan a = 1/n !ogaa = 1

logaan = n loganam = m/n

logba = (logab) Reg la de la cadena.

Identidad fundamental del logaritmo Si a > 0, a #1

a

a logab = b

• ( 2 x)log 2xa = a

Teoremas. Sea la bas e real a, tal que a > 0 1. Sean A y B reales, tal que: AB > 0 logaAB = loga|A| + ¡oga|B| 2.

logab

a #1

Si:

a > 0 , a / 1, b > 0 , b # 1 , c > 0 , c # 1 A d > 0

b > 0 se cu mple:

3 '°a35 = 5

1

Sea n A y B reales, t al qu.e: A/B > 0 loga (A /B )= log a|A| - loga| B|

a

Se cumple:

logablogbclogcd = logad

SISTEMAS DE LOGARITMOS a# 1

Cada base de logaritmos determina un sistema de logaritmos en consecuencia existen infinitos sistemas de logaritmos para una base positiva y diferente de 1. Los sistemas más importantes son: Sistema decimal o de Briggs. Es aquel sistema de logaritmos en el cual l a base es 10 . Notación:

log10N = logN


Á

Se lee: logaritmo de N En gene ral: logN = Parte Parte entera decimal A ■? (características) (mantisa)

Teorema.

PROPIEDADES

parte entera viene dado por: número de cifras N = característica + 1

2 , 7182818.

Sea a un núm ero real positivo y dif

La func ión f: IR -> IR de finida por: f(x) = ax Se denom ina f unción expo nencial de base a. El dom inio de esta función es Df = IR y su rango es

log log a1 == c 0« log 10 = 1

1 0C= a

y y = ax

i a -1 0

log 1 0n = n

Cologaritmo. Se define como el logaritmo en base b del i nverso m ulti plicati vo de un nú me ro x. Así: b > 0; b # 1 ; x > 0

a

______ 1 í

x

-1

b > 0 ,b y i, x > 0

1/ai 1

a > 1 Figura 2

2. 3.

Si a > 1 , la func ión f (x) = ax es crecien te en todo su dominio. La gráfica de la función expon enc ial de base a pasar po r el punto ( 0 ; 1 ). Si 0 < a < 1, en tonce s: lím a x = +oc ; lím a x = 0 X — -oo

5.

X — +oo

Si a 1, en ton ce s lím a x = 0 ; lím a x =

Antilogaritmo. Se define como e! operador inverso del logaritmo y se denomina también exponencial.

6.

ax 4 z = axa 2

Así :

7.

ax z = — ; a A 0 az

ant ilogb x = bx ; b > 0 , b # 1 ; x e I R

0

Propiedades de la función exponencial 1. Si 0 a < 1, la func ión f(x) = ax es de crec iente en todo su do mini o.

4.

Corolario: cologb x = -lo g bx:

y = ax.

0< a < 1 Figu ra 1

DEFINICIONES

cologb x = logb| l

y

1/a

loga = logba logb

logx = ÍD í_ ; x > 0 a In 10

1.

eren te de 1.

Resp ecto a l a gráfi ca co nsideram os dos casos: Si 0 a < 1, la gráfica se mu estra en la figura 1 Si a 1,1a grá fica se m ue stra en l a figura 2 .

Resultados importantes

logx Inx = ;x > 0 loge

FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a

Rf = (0; +oc)

logeN = InN

In Ine1 == 01 Ine" = n; n g IR Ine® = e elnx = x; x a o

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Estas funciones se denominan trascendentes ade más se caracterizan por ser una inversa de la otra.

Sistema hiperból ico o neperiano. Es aquel sis tema cuya base es el número trascendente de Euler:

Notación:

91

Sea b > 0, b A 1 an til og b(logb x) = x; v x eIR 4 logb(antilogbx) = x; V x eIR antilogbxantilogby = antilogb(x + y)

Sea N > 1; el número de cifras en su

- = — + ± + 1 + 1 + ... = ,k! 0! 1! 2! 3!

¡

lgebra

X — —oo

X — +oo


X

92

|C

E l P ostulante

olección

FUNCION INVERSA DE EXPONENCIAL 0 FUNCION LOGARÍTMICA De las propiedade s 1 y 2 dedu ce que la función exponencial de base a dada por f(x) = ax don de a > 0 a ^ 1, es inyec tiva en su do m inio (I R) y por tanto admite función inversa que es llamada función logarítmica de base a y está definida por: g: (0; +oo) -> IR tal que g(x) = loga x (logaritmo de x en base a) Dg —(0; +oo) y Rg = IR En la figura 3 se muestra la gráfica de g(x) = logax, si 0 < a < 1 y en la figura 4 se m ues tra la gráfica de 1. g(x) = logax, si a >

LOGARITMOS NATURALES Y DECIMALES Com o e es un núm ero po siti vo y diferente de 1, l funciones definidas por f(x) = ex (función exponen cial de base e).

as

g(x) = loge x (función de base e) Son tales que: 1. Df = IR, Rf — (0; +oc) Dg = (0; +oc); Rg = IR 2. Una es inversa de la otra. 3. 2 < e < 3 4. Sus gráficas se m uestran en la siguiente figur a.

Ariano logedex se loga ritomInx o natural o nepex y denom se denotainacom . A log1 0x se deno m ina logaritmo de gar de x y se denota con log x.

0
Figura 4

cima l o vul

1.

f(g(x)) = x, Vx e ( 0; +oc) o al 09ax = x; vx e ( 0; +oo)

Por la fórmula de cambio de base, la relación entre Inx y logx, está dada por: logx logx = -!ní- o Inx ; de donde: a In10 loge

2.

g(f(x)) = x, Vx eIR o loga( ax) = x, v x eIR

logx = 0,4343 Inx o Inx = 2,3026 logx

Por definición de función inversa, tenemos:

IV.

En r esum en: ay = x » y = l oga x Por ejemplo, 3

4 = 81 » 4 = log3 (81)

Propiedades de la función iogarít mica de base a 1. Si 0 < a < 1 , la función g(x) = logax es decre ciente en su dominio (IR+). 2.

Si a > 1, la func ión g(x) = logax es crec iente en su dominio (IR").

3.

La gráfica de toda función l oga rít m ica pasa por el punto ( 1 : 0 ).

4.

SI 0 < a < 1, enton ces : lím logax : +oc y lím log ax = X—+oo x -0*

-o o

SI a > 1, entonces: -oo

xlím - 0*logax :

Aunque estas funciones son casos particula res de las funciones exponenciales y logarít micas es necesario recordar lo siguiente: 1.

In( ex) = x

2. e

= x

EJERCICIOS RESUELTOS Ha llar una expresión K = log f

equiva lente a:

x + /x 2 - 1

x-/x2Resolución: Realizando transformaciones

1

(x + Vx2 — i) (x + Vx2— i)

(x + Vx

convenientes: 2— 1 )

+ oo

y X—-foc lím loga x =

( x - / x 2- i) ( x + ix2-


1>

X2 -

( h 2 - 1f

I

Álgebra

log

K - logX —

K = iog[x

Vx 2 — 1

2 + 2 x I x 2 - 1 + ( ’I x 2 - 1 ) ]

x - l x 2~

f

1

Finalmen te, se pide: K = 2 log(x + 2.

De donde: 10x 2 - x - 2 = 0 (5x + 2)( 2x - 1) = 0 O \ x = - - ; x = - +: pe ro x > 0 (por def. de logx) 5 2

x 2 + 2x J x 2 1 + x 2 - 1 x 2 - x2 + 1

^ K = l o 9 Á + í x-2.-J . ^ | n n ( x + / ^

Ha llar el valor de b que satisface l (!ogb9 )2 - 4(!ogb 9) + 4 = 0

•Ix2 -

i)

5.

Resolución:

Resolución: Haciendo: logb9 = x

3.

logf/x 3 + 37) — = 3 log(Vx + 1 )

Se ti ene: )2 = 0

Representando convenientemente: Iog(Vx 3 + 37) = Iog

(Ix +

1)3

Por definici ón: b 2 = 9

tomando antilogaritmos a ambos miembros:

Finalmente: = +-/9soluci ; b = ±3ón:=>bb== 3- 3 ya que l a Se el imina bcomo base nunca es negativa.

Ix 2 + 37 = ( Ix + 1)3 haciendo: Ix - a, se tiene: a 3 + 37 = (a + 1 efectuando: a 2 + a - 12 = 0 de donde: (a + 4)(a - 3) = 0

¿Q ué va lor m ayo r de 7 resue lve la siguien te ecua ción: Io g 16 + logx + log(x 1) = log(x 2 - 4) + Iog 15

a = -4 , o se a

Levantando logar

I" - EJERCICIOS PROPUESTOS |

itmos: 16x( x - 1) = 15(x 2 - 4)

x 2 - 16x + 60 =

0

1.

==>x(x= - 110 v x- = 6 )6= 0 0 )(x x = 10 2.

3

b) 4

log(x + 2 ) = 0

Luego: Iog10 + logx

2 - log( x + 2) = 0

Iog 10 x = Iog 1 x+ 2

d) 7

e) 10

ecuación: 3 Iog (Iog x)

a) d) 3.

10 x = x+ 2 1

c) 2

Re solver la siguiente [Iog (Iog

Resolución: Se ti ene: 1 + 2logx -

Levantando logaritmos:

Resolver: 2 log7 = 3 l0974 Indicar el m ayor valor . a)

R eso lver la ecua ción: 1 + 2 logx - log( x + 2 ) = 0

I x = -4 (abs urdo )

a = 3, o se a Vx = 3 => x = 9 la única solución será 9.

Resolución: Realizando transformaciones equivalente de com posición: l og[16x(x - 1)] = log[15(x2 - 4)]

4.

log(Vx® + 37) — = 3 log(/x + 1 )

Consider am os la ec ua ción : Ha ll ar l as soluc iones real es.

a ecuación:

Se ti ene: x 2 - 4x + 4 = 0 ; (x - 2 =s x - 2 = 0 ; x = 2 Reponiendo: logb9 = 2

93

x ) jlos[| oa(| 09x)l

b) 10 4 e) 10 b

102 103

Si: log (|x| - 1) = 1 + mar que:

= 27

4/¡ V¡ -


1

2 lo g 3^ l2se

c) 10

puede afir

)3

94

| C olecc

i ón

E l Postulante

a) Es un número irracional. b) Es un número negativo. c) Es un número impar. d) Es m últi plo de 4 . e) Es un número par.

calcular: J = 2—£/cd a) 6

Si: log (10 + 2V2i) ( ff + - Í 3f - 8 ,

5.

a) Í2

b) -Í3

d) Vio

e)2

resolver: xxX = n

b) 2

c) 4

d) 3

e) d1

12. Si: loga =- /i~3 - -Í7 logb = -Í7 - /Tí log c = -/ T T-/T 3

c) 17

log3a + log3b + log 3c

calcular: P

C alc ula r E, si x = 10/3

a) 3

loga logblogc 1 b) 1

c) 2

d) 1/3

e) 0

E = logx(3lo9L3x + 4| 092x + 6iog.'6x ) a) 11 d) 9 6.

b) 3 e) 12

c) 10

13. Reducir: logn{logn a) 1

2—4 /n ^ /ñ } siendo n > 1 .

b) 1/2 c) n

d)

e) - 2

-1

C alcu lar x, si: 3logx16 + 7logx8 = 22 14. Si: m, n e IR +

a) - -Í8 d) 2 -Í2 Luego de resolver: indique lo correcto:

Resolver:

b) x 2 = x + d)x = 1

b) -3 e) 0

15. Indica r el va lor de verdad en: I.

c) 3

b) 4

d) 7

e) 7(A

11. Si se sa be que: a = l og 2b b = log2c c = log2d bcd = 128 b+c= 6

(3) (4) (5)

b) FFV e) VFV

c) FVV

II

c) 7Í2

( 1)

a e IR

log 3 ¡2 = 2 lo g 32 1 III. log57 ^ log75

e) 1

(2 )

a

(V) o falsed ad (F)

16. Indic ar el va lor de verda d (V) o falsed ad (F) en: I. log 215 = log 2(-5 ) + lo g 2(—3)

10. Re solver: logxlog x7/4 = 7 a) 2

a logab = b, b > 0

a) FVF d) VVF

d) 2

c) 6

II. !ogs12 - log5 4 = log 58 III. log 46 = log642 1 6

c) - 2

l09 j a b |9b

b) 4

b) -10 e) 7

1

lo g /35 / log5 4 xlog 4/27 1 logabn -

Reducir: F

a) 5

a) - 6 d) -7

1 1 = log74 l° 9 ( x - 2)7 lo g (x + 1)7

a) 3 d) - 1

logm nrn = 3 calc ular el valor de:

loga

3 1 + logx + 3 2 + logx = 2 3 + |O0X

a) x = 0,04 c) 10 x - 1 = 0 e) 1 /x = 100

a

c) 2 Í3

b) 2 e) 3/2

a) FVF d) FFV 17.

b) VFV e) FFF

C) VVV

En con trar el valor de: |0g 75!og5343 + |0g 2-9log9128 - l 0g 51 3 log1325 a) 12 d) 5

b) e)


10 9

c)

8

Álgebra

18 . Calc ul ar: M = log4 49 log5 2log27 12 5 log /73 a) 7 d ) 14

b) 2 e) 49

a) 9 d) 1 20.

b) e)

6 27

+ ~ ) + ! ° 92(1 + n + g j

c) 1

19. Calcul ar x e n l a i gual dad: x |ogxx3 + 2 7 x iogxx = 9 x iogxx2

log2 n + log2|l

+ 27 (x > O A x # 1) c) 3

Calcul ar el valor de n que cumpla l a ecuaci ón:

|

log2 1 a) 62 d) 44 1. b 2.d 3. e 4. e

b) 4 8 e ) 56 5e 6.d 7. c 8. e


9. c 10. c 11. c 12. a

c) 52

13. d 17. c 14. b 18. b 15. b 19. c 16. d 20. c

95

Aritmética Álgebra Geometría Trigonometría Física Química Razonamiento Matemático Razo nam Verbal iento Verb al Fiabilidad Economía y Ed. Cívica Ló gica y Filosofí a Historia del Perú Historia Universal Geografía _engua Literatura Anatomía Psicología Biología

ISBN:9786123029197

Algebra - Salvador Timoteo

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