ÍNDICE Capítulo
Pág.
1. Sistemas de medición angular ......................................................................................... 133 2. R. T. de un ángulo agudo ................................................................................................ 141 3. Triángulos rectángulos de ángulos notables y propiedades de las razones trigonométricas de los ángulos agudos .................................................................................................... 147 4. Repaso ......................................................................................................................... 157 5. Cálculo de lados - aplicación....................................................................................... ..... 161 6. Ángulos verticales .......................................................................................................... 169 7. R.T. de ángulos de cualquier magnitud I ........................................................................... 175 8. R. T. de un ángulo de cualquier magnitud II ...................................................................... 183
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TRIGONOMETRIA
Sistemas de medición angular Capítulo I • Ángulo trigonométrico Se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial hasta llegar a una posición final (todo en un mismo plano).
figura(1)
* Sub - unidades: 1' (minuto sexagesimal) 1" (segundo sexagesimal) tal que: 1° = 60' y 1' = 60" En consecuencia: 1° = 3600"
lad
Sistema centesimal (francés)
al in of
* Unidad: 1g (grado centesimal)
α 0
lado inicial
vértice
figura(2)
g tal que: 1 =
∠ 1 vuelta
→ ∴ ∠ 1 vuelta = 400g
400
* Sub - unidades: 1m (minuto centesimal) 1s (segundo centesimal)
lado inicial
0'
vértice
β
la do
tal que: 1g = 100m y 1m = 100s En consecuencia: 1g = 10000s
fin
al
Sistema radial o circular (o sistema internacional) * Unidad: 1 rad (radián)
Los ángulos "α" y "β" son ángulos trigonométricos con vértices en 0 y 0' respectivamente. El ángulo trigonométrico puede ser positivo, negativo o nulo En efecto, si la rotación se realizara en sentido antihorario se generará (por convención) un ángulo positivo, y si la rotación se realizara en sentido horario el ángulo resulta ser negativo. De la figura (1), "α" es un ángulo positivo (rotación antihoraria) y de la figura (2) "β" será un ángulo negativo (rotación horaria). Si no hubiera rotación alguna, estaremos hablando de un ángulo nulo.
Donde el radián es la medida de un ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia que contiene dicho arco.
A R 0
R
L
θ R B
• Sistemas de medidas angulares
θ : número de radianes del ángulo central
Sistema sexagesimal (inglés)
R : radio de la circunferencia
* Unidad: 1° (grado sexagesimal)
L : longitud del arco que subtiende "θ" Si : L = R → θ = 1 rad
tal que: 1° =
∠ 1 vuelta 360
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→ ∴ ∠ 1 vuelta = 360°
Además: ∠ 1 vuelta = 2π rad TRIGONOMETRIA
Observaciones: Comparando los tres sistemas de medición angular se concluye:
2. Halle "x", en función de "α", "β" y "θ".
B A
1. 1 rad > 1° > 1g 2. 360° = 400g = 2πrad 180° = 200g = πrad 3. Como: 180° = 200g 9° = 10g
C β
α
Conversión entre sistemas:
θ
x
D
0 Resolución:
Es el procedimiento mediante el cual la medida de un ángulo se expresa en otras unidades diferentes a la que posee. Para ello, procederemos como en los ejemplos siguientes:
Según las recomendaciones anteriores, trataremos de colocar los ángulos en sentido antihorario.
a. 30° a radianes α = 30 ° .
B
π rad π ⇒ α = rad 180 ° 6
A
-θ β
b. 72° a centesimales:
10 g β = 72° . ⇒ β = 80 g 9°
θ=
π 180° rad . 20 π rad
-α
= 9°
B C
π rad 200
D
3. Indicar la relación que se cumple entre "α" y "β".
d. 60g a radianes
φ = 60 g .
-θ=x-α+β x=α-β-θ
x
0
π rad a sexagesimales 20
c.
Por lo tanto:
C
g
⇒φ=
β
3π rad 10
α
0
Problemas resueltos
A
Resolución: Ordenando el gráfico:
1. Interpretar "x" en función de " " y "β".
B Por lo tanto:
A
B β
0
0
x α
C
-β
C
Resolución:
α
A
4. Del gráfico mostrado, indicar la relación que existe entre " ", " " y " ".
En primer lugar se debe tratar que los ángulos presentes aparezcan en el mismo sentido, de preferencia sentido antihorario. Por lo tanto el gráfico queda así:
A
B
Por lo tanto: -x=-β+α
-β -x α 0
x=β-α C
α - β = 90°
B
C β D
θ
0
α
A
8. Convertir 80g a (rad)
Resolución: Replanteando el gráfico a nuestra conveniencia.
Utilizamos: 200g = rad, entonces:
B
C
Por lo tanto:
β -θ
D
0
Resolución:
g
80 x
β - α - θ = 180° -α
π rad 2π rad g = 5 200
9. Del gráfico mostrado, hallar "x".
A
0
5. En el gráfico mostrado, ¿cuál es el valor de "x"?
A
(5x - 9)° g 160
B B
x
Resolución:
A
0
g
(5x - 9)° = -160 x
θ C Resolución:
9° g 10
5x - 9 = -144 → 5x = -135
Un nuevo gráfico:
x = -27
B
Por lo tanto: - θ + x - 90° = 360°
-θ x - 90° x
0
10.Del triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo "B" en radianes.
x = 450° + θ
A
B 9x°
C 6. Convertir 36° a grados centesimales.
10x 3
A
Resolución: 4
Utilizamos: 9° = 10g, entonces: 36° x
g
π x rad 30
g
g 10 = 40 9°
Resolución:
1
7. Convertir 15° a (rad)
A = Resolución: Utilizamos: 180° = πrad, entonces: 15° x
π rad π rad = 180° 12 12
10 x g 3
=
10 x g 3
.
9° 10 g
= 3x °
B = 9x°
C =
πx 30
rad =
πx 30
rad .
180° πrad
= 6 x°
C
→ A + B + C = 180° → 3x° + 9x° + 6x° = 180° Como: B = 9x° → B = 90° .
matemáticas superiores, y en general, en los trabajos científicos, donde se utiliza exclusivamente la unidad llamada radián.
x = 10
πrad 180°
∴ B =
π 2
rad
Medidas angulares (grados y radianes)
Consideremos las unidades de medida de los ángulos. Veamos su origen en primer lugar. ¿Por qué se emplea una unidad de ángulo que subdivide una vuelta completa en 360 partes? Existen muchas explicaciones, y hay una que parece ser especialmente aceptable. Los babilonios empleaban en muchos casos la subdivisión duodecimal o sexagesimal (es decir, en 12 o en 60 partes iguales). Considerando la duración de la rotación diurna (aparente) del Sol subdividida en 12 partes y haciendo corresponder a cada una, una desviación angular de 15 unidades (la cuarta parte de 60) se obtiene en total un valor de 180 unidades para la mitad de giro completo del astro luminoso alrededor de la Tierra. Es decir, que 360 unidades corresponden a una rotación completa.
El llamado transportador es el instrumento usual para medir ángulos. Es simplemente un arco (o el círculo completo) de una circunferencia que ha sido dividida en 360 partes iguales llamadas grados. Un transportador suele tener diferentes tamaños, desde los pequeños para uso escolar; hasta el modelo grande (generalmente de madera) para empleo en el pizarrón y que se utiliza en los salones de clase. Si se dispone de un transportador de tamaño cómodo podría entonces calcularse su circunferencia, y la magnitud lineal de las unidades de arco que se marcan en dicho instrumento solamente dependerá del radio elegido. Para definir el radián se emplea una circunferencia de radio igual a 1 y que se denomina circunferencia unidad (o unitaria). El radián es el ángulo que intercepta un arco igual al radio en longitud. A la circunferencia total corresponden radianes, de modo que 2 representa una vuelta completa o revolución (ángulo de 360°). La mitad de una revolución (ángulo de 180°) representa radianes, y en forma semejante, cualquier ángulo se puede expresar de esta manera. En el caso de un ángulo cualquiera, el arco interceptado es proporcional al perímetro de la circunferencia, y la medida de dicho ángulo será proporcional también a la amplitud de una revolución. De modo que: e
n
t
o
n
c
e
s
2
ángulo " θ" en radianes
=
2π Abreviando;
(rad) 2π
=
(°) 360
ángulo " θ" en grados 360 o bien:
(rad) π
=
(°) 180
π
d (ra )
180°
(°)
La unidad angular común, el grado no es necesariamente la mejor para medir ángulos. No es conveniente emplear unidades de medida no relacionadas para la longitud o distancia, y la dimensión angular. Cuando se establece un sistema de coordenadas, los ejes se marcan en "unidades de longitud". Dichas unidades se determinan según el caso, pero todos los ángulos mencionados anteriormente se expresaron en "grados". Si se hubieran empleado unidades relacionadas para las medidas lineales y angulares, el análisis hubiese resultado independiente de la unidad utilizada. Esto es, de hecho, lo que se hace en
Cualquier número real puede ser la medida en radianes de un ángulo, y en este caso se expresa como una cantidad en tales unidades angulares. Por ejemplo, 180° se expresa como π radianes, y π/2 radianes equivale a 90°. Si no se especifica ninguna unidad, se supone que se trata de radianes.
Problemas para la clase Bloque I 1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.
B
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
6. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 70g y 80°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero? a) 35° d) 38°
b) 36° e) 39°
c) 37°
b) 2 e) 5
c) 3
7. Hallar:
C
β θ
M=
0 α
b) α - β - θ = 360° d) β + α - θ = 360°
8. Siendo "x", "y" igualdad:
2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.
A
B α
D
C a) α - β = 90° c) β - α = 270° e) α + β = 270°
b) β + α = 90° d) α - β = 270°
3. En el gráfico mostrado, hallar "x".
b) 90° + α e) α - 90°
π rad = x° y' z"; obtener: Q = 17
b) 2 e) 5
c) 180° - α
3
x + y −z
c) 3
π rad = a° 3b' 1c" 21
Calcular: R =
b a−c
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
10.Si un ángulo se expresa como ab ° y también como g
(a + 1)0 ; calcular: a + b a) 3 d) 9
α
x
"z" números enteros, que cumplen la
a) 1 d) 4 9. Si:
β
a) 90° - α d) 180° + α
1°33'
a) 1 d) 4
A a) α + β + θ = 360° c) β - α - θ = 360° e) θ - α - β = 360°
3°6'
b) 5 e) 8
c) 7
Bloque II 1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.
4. Del gráfico mostrado, hallar "x".
(5x + 18)° 120°
g
120
α a) 15 d) 18
b) 16 e) 19
5. Calcular: A =
30 g + 9° π 15
rad
θ
c) 17
a) θ - α = 360° c) θ + α = 360° e) - θ = 240°
b) θ - α = 240° d) θ + α = 240°
2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.
a) 1 d) 4 8.
S
i e
7
β a) β - α = 270° c) β + α = 270° e) α - β = 90°
b) α - β = 270° d) β - α = 180°
B x
α
C
"
x
"
,
"
y
"
A b) α + β - 270° d) α - β - 270°
4. En la figura, hallar "x"
c) 3
"z" números enteros los cuales cumplen
rad = x°y'z" ; obtener: Q = b) 4 e) 10
y + z + 7
c) 6
π rad = 1a° b0' 4 c " 13
Calcular: R =
a c −b
a) 1 d) 4
β
a) 270° - α + β c) β - α - 270° e) 270° + α - β
o
a) 2 d) 8 9. Si:
3. En el gráfico mostrado, hallar "x".
d
la igualdad:
π
α
n
b) 2 e) 5
b) 2 e) 5
c) 3
° 10.Un ángulo se expresa como ab y también como g
b 0 . Calcular: a + b 4 a) 7 d) 6
b) 9 e) 8
c) 11
Bloque III 1. Si: 22,22° = T°E'A". Calcule: T + E + A
x°
a) 32 d) 47
π rad 7x + 1
b) 33 e) 40
c) 48
2. Un mismo ángulo es medido por dos personas: Marcos a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
5. Calcular: K =
40 g + 54° π 2
b) 2 e) 5
c) 3
6. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 80g y 70°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero? a) 35° d) 38°
b) 36° e) 39°
c) 37°
5°16' 1°19'
b) 80 e) 10
c) 90
3. Se ha creado un nuevo sistema tal que 50 grados "y" equivalen a un ángulo recto. ¿A cuántos minutos y segundos en el sistema sexagesimal equivalen 28,125 grados "y"? a) 50°37'30" c) 50°40'17" e) 50°11'14" 4. Un ángulo mide
7. Hallar:
M=
2x + 1 πrad. Halle 360 dicho ángulo en minutos centesimales. a) 70 d) 100
rad
a) 1 d) 4
o
7x − 1 y Luis encontró encontró 2
b) 50°39'15" d) 51°37'45"
2kπ
radianes. Calcule el ángulo en 45 grados sexagesimales, sabiendo que el suplemento de dicho ángulo es 4k grados centesimales.
a) 160° d) 144°
b) 60° e) 172°
c) 70°
Opinión
5. Siendo m° y ng ángulos suplementarios quienes se encuentran en la relación de dos a tres respectivamente. Calcule el valor de: 4n
E =
a) 12 d) 15
3
+m −7
b) 13 e) 16
c) 14
6. Siendo: α = (4a)° (2a)' ; = (6a + 34)g Además: α + β = 3πrad. Hallar "β" en radianes. a) 1,79πrad d) 1,82π
b) 1,80π e) 1,83π
a) 21°48' d) 23°48'
°
m g + n° + 9n'
b) 22°48' e) 24°48'
g
;m y n > 0
c) 20°48'
Hay que pensar que la medición de los ángulos y del tiempo en el mismo sistema sexagesimal proviene de un proceso convergente en el que la observación astronómica, en la que los primitivos pueblos agrícolas eran maestros, ocupa un lugar destacado, tal y como nos muestran las reliquias megalíticas supervivientes de esos pueblos, como las de Stonhengen en Inglaterra, empezado a construir hace 5000 años, las pirámides egipcias, mayas y aztecas o el intihuatana inca de Machu Picchu.
8. Hallar "x", a partir de la siguiente condición: 27 n°n' x = ∑ ( ) n' n =1
°
g
a) 1800° d) 1830°
b) 1810° e) 1840°
c) 1820°
9. Siendo: x = 1°2' + 2°3' + 3°4' + 4°5' + ... Calcule el mayor valor de "x", si es menor que:
a) 106°59' d) 109°59'
b) 107°59' e) 110°59'
2π 3
rad
c) 108°59'
10. Hallar la medida de tres ángulos en radianes, si la suma de los números de grados sexagesimales de los dos primeros es 36, la suma de los dos números de radianes del segundo 7π y tercero es y la suma del número de grados 40 centesimales del primero y tercero es 25. (indicar el mayor)
a) d)
π 15 5π 40
rad
b) e)
2π 15 π 40
c)
4π 30
Reconozco mi vieja perplejidad ante el hecho de que el tiempo y los ángulos se midan por un arcaico sistema sexagesimal, y máxime cuando es consubstancial a materias que van desde el electromagnetismo a la mecánica cuántica. Precisamente por conocer que este sistema proviene de la cuna de nuestra civilización, Mesopotamia, no entendía cómo no lo había desplazado el sistema decimal, irradiado en el mundo por los revolucionarios franceses tras el triunfo de la Ilustración. Puesto que ahora creo poseer algunas respuestas, me parece procedente comunicarlas. La primera referencia literaria al día, noche, mes y año, provienen del poema Gilgamesh, escrito en caracteres cuneiformes y que narra las míticas aventuras de este príncipe de la ciudad sumeria de Uruk, que vivió sobre el año 2750 a. de C. La escritura la habían inventado los sumerios sobre el 3300 a. de C. Posteriormente, en la Biblia hay además referencias a la semana y a la hora, y conocemos que los babilonios ya dividían el arco en grados y minutos.
c) 1,81π
7. Hallar el menor valor positivo de "a", si verifica:
m° + n g a = 10m'
La pervivencia del sistema sexagesimal
En primer lugar, hay que destacar la razón de ser de estas construcciones en su aplicación de calendarios, ya que un pueblo agrícola sin escritura necesitó conocer con exactitud la duración del año y de las estaciones, al objeto de prever labores tan vitales como la siembra y la recolección, lo cual no es difícil comprobando, al observar el Sol, que en los equinoccios el día tiene una duración igual a la noche en toda la Tierra (del 20 al 21 de marzo y del 22 al 23 de septiembre), mientras que en los solsticios, las duraciones del día son máximas respecto a las de la noche (21 al 22 de junio para el hemisferio norte), o mínimas (21 al 22 de diciembre). La duración exacta del día y de su noche podía observarse por la posición de las estrellas en el firmamento, pues hay un momento en la noche en el que las estrellas ocupan el mismo lugar a lo largo de todo el año, o día sideral, cuya duración es de 23 horas y 56 minutos; y para conocer los espacios del día, los sumerios empleaban ya en el 2025 a. de C. la sombra del gnomon, o barra clavada en el suelo. Al observar la Luna, resulta evidente comprobar que cada 29 días y medio (en números redondos, cada 30 días), existe luna llena. A este período lo llamaron mes. Un año comprendía 12 períodos de lunas llenas o meses, por lo que su duración era de 360 días. Aunque en realidad era
algo más de 365 días, había cuatro días al año en los que reajustar el calendario, por lo que el error estaba siempre bajo control. El hecho de que los calendarios megalíticos prevean hasta la determinación exacta de la fecha de los eclipses, mucho más de lo necesario para determinar los ciclos estacionales agrícolas, es debido a que al ligar la religión y los dioses a los astros, los sacerdotes debían conocer cuándo se ocultaban o manifestaban a los mortales, y cuál era el superior. El problema a determinar es por qué los sumerios, que partían de un año de 360 días y un círculo de 360 grados, dividieron los días en 12 horas dobles (24), la hora en 60 minutos, y muy posteriormente, el minuto en 60 segundos, cuya respuesta exige remontarse a una época ágrafa en la que se contaba con los dedos, de la que surgen no sólo los sistemas decimales, sino los de base duodecimal y los de base sexagesimal. Hoy en día, existen artículos que en occidente se compran por docenas, tales como los huevos o las ostras. Georges Ifrah al observar a pueblos actuales que aún cuentan con las falanges de los dedos de una mano en Egipto, Siria, Irak, Afganistán, Pakistán y algunas regiones de la India, mantiene la siguiente tesis: Si extendemos la palma de la mano derecha y contamos con el dedo pulgar cada una de las tres falanges de los dedos meñique anular corazón e índice, al acabar la cuenta tendremos 12 unidades, en lugar de las cinco obtenidas de contar exclusivamente los dedos. Si a cada 12 unidades asignamos un dedo de la mano izquierda, habremos obtenido 60 unidades al acabar la cuenta, con lo cual únicamente con 10 dedos tenemos la posibilidad de designar biunívocamente hasta 60 objetos con sólo señalar los dedos correspondientes de la mano izquierda, y la falange determinada de un dedo de la mano derecha. La base duodecimal y la sexagesimal quedan establecidas.
Los sumerios se encontraron con un mes de 30 días y 12 meses en cada año de 360 días. Obviamente, el círculo de 360 grados lo dividieron en 12 sectores de 30 grados cada uno (signos del Zodiaco), pues la posición de los astros eran parte de su mística y sistema de medir el tiempo. Era normal que el día lo dividieran en 12 horas, y posteriormente, en 24 (12 para el día y 12 para la noche). Cuando hubo que subdividir la hora o el grado, la segunda base prestó su apoyo, por lo que se estableció en 60 minutos, mensurables desde el año 2000 a. de C. gracias a la existencia de los relojes de arena y de agua. La necesidad de medir segundos fue muy posterior, pues la trigonometría no se inicia hasta el año 140 a. de C. con Hiparco, y hasta el siglo XI no se construye en China un reloj astronómico con un error de 100 segundos por día. En definitiva, los relojes europeos de pesas del S. XIII sólo anuncian las horas, y hasta 1656 Huygens no inventa el reloj de péndulo en el que se marca el segundo. No obstante, el reloj naútico de precisión para determinar la posición del buque no es operativo hasta 1680. Supongo que para los sumerios, obsesionados con las coincidencias numéricas, el hecho de que la división sexagesimal del minuto casi coincida con la frecuencia del latido del corazón humano, les confirmaría en la validez de un sistema en el que las apariciones en el firmamento de sus dioses cósmicos (Sol, Luna, Estrellas, Constelaciones), estaba en directa relación con el destino de la humanidad (astrología del zodíaco), con la vida del individuo y con las épocas de recolección y cultivo, a partir de las manos. Puro humanismo prehistórico. De hecho, cinco milenios después, por lo menos, el arcaico sistema sexagesimal para medir el tiempo y las posiciones angulares, no sólo sigue vigente tanto en la técnica, la ciencia (hasta el segundo, desde el que se pasa a decimal) y en el uso cotidiano, sino que es inmutable a los milenarios cambios culturales.
R. T. de un ángulo agudo Capítulo II • Definición
Son los distintos cocientes que se obtienen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos. Las razones trigonométricas de un ángulo "θ" se definen como sigue:
seno de θ : senθ =
cateto opuesto hipotenusa
tangente de θ : tan θ = secante de θ : secθ =
cateto opuesto cateto adyacente hipotenusa
cateto adyacente
coseno de θ : cosθ =
cateto adyacente hipotenusa
cateto adyacente cotangente de θ : cot θ = cateto opuesto cosecante de θ : cscθ =
hipotenusa cateto opuesto
Por ejemplo, de la siguiente figura:
α b θ
A
a b c cosθ = b
C a
entonces:
B
c
tanθ =
2 2 2 b = a + c (Teorema de Pitágoras) θ + α = 90º
Problemas resueltos 1. En un triángulo ABC (B = 90°); reducir: L = senA.cscA + cosA.secA
cotθ =
a c
cscθ =
b a
2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 13cm y 12cm. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo. Resolución: Uno de los lados mayores involucra a la hipotenusa, por lo tanto se puede graficar: C β
Resolución: Graficando tenemos:
13
A b
c
A i)
B
c a b secθ = c
senθ =
a
C
b +c . b → L=2 L= a . c b b a
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α
x B
12 2
2
2
169 = 144 + x → ii)
2
Pitágoras: 13 = 12 + x
x=5
A menor lado se opone el menor ángulo y viceversa, por lo tanto el mayor ángulo agudo es "β" 5 nos piden entonces: cosβ = 13 TRIGONOMETRIA
3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcular el seno del mayor ángulo agudo.
5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), de lados "a", "b" y "c", se cumple que:
tan A + tan C
Resolución: Graficando y respetando la condición:
Resolución: Interpretando la condición en función de los lados del triángulo rectángulo.
C β x α
A
a
2
Por Pitágoras: x = (a) + (2a) 2
2
2
2
b
2
2
x = a + 4a → x = 5a → ii)
i) reemplazando: a c + c a = 8 b c c b efectuando operaciones: ii)
C
B
2a 2
i)
= 8 , reducir: K = [cot2A + 2senA]cosC
sec A − senC
x = 5a
A
a
2
c
2
iii)
Por lo tanto: senβ =
a 5
→ senβ =
iii) Utilizando Pitágoras: a2 + c2 = b2 entonces queda:
2 5
4. Siendo " " un ángulo agudo, tal que: cos
=
2 3
b = 2 a 1
b b .bc 3 = 8 2 = 8 → a ac.a ;
determinar "sen ".
Comparando: b = 2n, a = n triángulo rectángulo inicial.
reemplazando en el
C
Resolución: Interpretando la condición:
2n
n
2 cosθ = = C.A. 3 H ∴ C.A. = 2a rectángulo.
A
H = 3a, entonces llevando a un triángulo
B
x 3n 2
C
2
i) Por Pitágoras: (2n) = (n) + x 2
3a
2
2
2
2
2
4n = n + x → 3n = x →
x
x = 3n
ii) Reemplazando en "K": A i)
θ
2a 2
2
2
2
2
2
9a = 4a + x → x = 5a → ii)
5a senθ = C.O. → senθ = 3a H senθ =
2
x= 5a
2
K = [cot A + 2senA] =
3n
K = [( 3) + 2( 1 )] → 2
K=2
2
B
Por Pitágoras: (3a) = (2a) + x 2
= 8
b 2 - c2 = a 2 ,
3
2
2
ac (b - c )
Mayor ángulo agudo "β" 2a
2
(a + c )bc
B
cosC
2
1/2
+2
n
6. Del gráfico mostrado; calcular: L = tanα.tan
C θ
5 3
A
α
M
B
n 2n
n/2n
Resolución: Del gráfico, sea: BC = n
AM = MB = m
8. Calcular: tan
θ 2
C
C θ n α
A
M
m
B
m
A
m n
i)
MBC : tanθ =
ii)
n ABC : tanα = 2m
m n →
n L= 2m
3m - 1
θ
B
4m + 3
Resolución: 2
2
ABC: (5m + 2) = (3m - 1) + (4m + 3)
1 L= 2
→ 2m = 6 →
m=3
Entonces, la figura queda:
C
7. En un triángulo rectángulo se cumple que la diferencia de las medidas de la hipotenusa con uno de los catetos es 8 y con el otro es 9. Calcular el valor de la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.
8
17 θ/2
Q
Resolución: Sea (a > b)
A
2
Efectuando: 2 2 2 25m + 20m + 4 = 9m - 6m + 1 + 16m + 24m + 9
Reemplazando en "L":
iii)
5m + 2
A
17
θ
15
B
tan θ = 8 = 1 2 32 4
θ c
b C
9. En un cuadrado ABCD, se traza BE y CF ("E" en CD y "F" en AD); tal que: FD = 3AF y CE = ED, si: ∠ BEC = α y ∠ CFD = β; calcular: J = 2cotα + 3tanβ
B
a
Resolución:
}
i) c - a = 8 → a = c - 8
ii) c - b = 9 → b = c - 9
además: 2 2 a +b =c 2
A a F
iii) Reemplazando: 2
2
2
2
(c - 8) + (c - 9) = c → c - 34c + 145 = 0 Factorizando: c = 29 ∧ a = 21
β
4a
3a D
2
c - 34c + 145 = 0 c -29 (c - 29) (c - 5) = 0 → c -5 por lo tanto: b = 20
B
2a
E
α 2a
C
i) Como: CE = ED ⇒ "E" : punto medio ii) Además: FD = 3AF ⇒ AF = a ∧ FD = 3a
Entonces: tan =
21 20
iii) Reemplazando en "J": J = 2 2a + 3 4a 4a 3a J=5
10.En un rectángulo ABCD, se ubican los puntos "M", "N" y "P" en BC , AD y AB respectivamente, tal que:
MC
BM = AP =
=
BP
=
5
d)
2
4a α
3a
R
2a
β
3a
N 2a
Q a D
i) Interpretando el gráfico: ii) BM = AP = MC = BP = ND = a 4 3 2 BM = a; AP = a; MC = 4a; BP = 3a; ND = 2a iii) Reemplazando: 5a 4a 5 J= + ;J= + 2 → J = 11 3a 2a 3 3 Problemas para la clase Bloque I 1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden: 1 y 3 . Determinar la suma de los senos de sus ángulos agudos.
a)
d)
3 +1 2 3 −1 2
b)
e)
1
c)
2
3 2
3
a) 1
d)
b)
2+ 7 3
e)
7− 2 3
e)
c)
3
5
b)
10
c)
7 3
2 3
3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del menor ángulo agudo.
2
c) 2 2
e) 2 10
5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "A", reducir: R = senB.senC.tanB.a2 a) a2 d) ab
b) b2 e) bc
c) c2
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) reducir: S = tanA.tanC + senA.secC + cosA.cscC a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
7. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) reducir: Q = cos2A + cos2C + csc2A - tan2C a) 1 d) 4
b) 2 e) -1
8. Siendo: senα =
a)
29 15 21
d)
2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 3 y 2 . Determinar la suma de los cosenos de sus ángulos agudos.
a) 1
2
C d)
P a A a
3
b)
4. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el triple de uno de sus catetos. Determinar la cotangente de su menor ángulo agudo.
Resolución:
M
2
ND
4 3 2 Si: ∠ PCD = α ∧ ∠ MNA = β, calcular: J = tanα + tanβ
B a
a)
2
9. Siendo: tanα =
a) d)
5 13 3 5
2 5 b)
; "α" es agudo, calcule "cotα"
29 25
12 b) e)
c)
21 23
21
e)
5
c) 3
5 ; "α" es agudo, calcule "senα"
12 13
c)
4 5
1 2
10.En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es el triple del seno del otro ángulo agudo. Determinar el seno de su mayor ángulo agudo. a)
1 2
b)
2 2 3
c)
2 3
10
d)
10
e)
a) 1 d) 4
3 10 10
1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden: 5 y 6. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulos agudos.
a)
61 16
d)
61
b)
e)
11 61
c)
14
a)
b)
3 5 +2
d)
3
e)
17
d)
10 2 2
3
c)
3+ 5
3
3
1 2
d) 2
b) e)
9. Siendo: tan α =
17 17
d)
15
e)
12
, "α" es agudo, calcule "cotα".
3
c)
4
3 7 7
4 3
, "α" es agudo, calcular "cscα".
15 8
c)
17 8
2 7
10.En un triángulo rectángulo, el coseno de uno de sus ángulos agudos es el doble del coseno del otro ángulo agudo. Determinar el coseno de su mayor ángulo agudo.
5
c)
3 3
b)
5
3
3 3
d)
2
e)
2 5 5
c)
3 2
2 5
Bloque III 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se traza la ∧ ∧ AN ("N" en BC) , tal que: CAB = y ANB = . m
e
d
i a
n
a
Calcular: K = tan .tan
2 3
b) b2 e) bc
8
b)
15
a)
a) 1
5. En un triángulo rectángulo, recto en "A", reducir: S = cosC.cotB.secB.b2 a) a2 d) ab
c) 2
c) 2 2
2
3
4
e)
3
a)
4. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el doble de uno de los catetos. Determinar la cotangente de su menor ángulo agudo.
a)
7
d)
3
10
3
b)
3
3
3 + 13
b)
e)
1
61
2 + 13
b) -1 e) -2
8. Siendo: cos α =
a)
3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple del otro cateto. Calcular la cosecante de su menor ángulo agudo.
a)
a) 1 d) 0
61
2. En un triángulo rectángulo los lados mayores miden 3 y 2. Determinar la suma de los cosenos de sus ángulos agudos.
2
c) 3
7. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reducir: Q = sec2A - cot2C + sen2A + sen2C
Bloque II
10
b) 2 e) 5
c) c2
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reducir: S = cotA.cotC + cosC.cscA + senA.secC
d)
1 2
b) 2 e)
c) 4
1 4
2. En un cuadrado ∧ ABCD se traza AE ("E" en BC) , tal ∧ que: BAE = y EDC = . Calcular: K = tan + tan a) 1
b) 2
c) 4
d)
1 2
e) 8
37
a)
3. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tan ".
M
B
7 1
d)
7 37
c)
37
37
5
e)
37
C
5 37
b)
37
7. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "C") se verifica:
a − 2b
N
= cos B − cot A . Calcular "cscA"
c
θ
A
D
2 3
a) 1 a) 2
d)
2 b) 3
2 5
e)
3 c) 4
3
d)
1 6
8.
S
i :
b) 2
2
e) 2 3
2 A
1
c)
B
=
B
C
,
c
a
l c
u
l a
r
:
Q
=
c
o
t
α - cscφ
A
4. Del gráfico, hallar: tan
B
m
5
M n
A n−m a) n+m
d)
φ
N n+m b) n−m
n−m n+m
e)
0
2n − m c) n+m
a)
c)
e)
2
a +m
b)
2
d)
a −m
2am 2
a + m2 a+m a−m
a−m a+m
6. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°) se verifica que:
a+b a−b
=
7 5
, hallar: senA + senB.
b)
2
d) -
2n − m 2n + m
2
2am 2
a)
2
C
3
C
5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se tiene como datos: el lado "a" y la diferencia "m" entre la hipotenusa y el otro lado. Calcular "senC".
a 2 − m2
β α
B
2
c) - 2
2
e) 1
2
9. Si " " es un ángulo agudo, tal que: cos θ = Calcular: K = tan .tan a) 4 d) 7
1 5
θ +3 2
b) 5 e) 8
c) 6
10. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormente con radios "R" y "r" (R > r). Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas circunferencias y la recta que une los centros.
a)
c)
e)
4Rr (R − r)
2
b)
2
d)
2Rr (R − r) Rr (R − r) 2
4Rr (R + r) 2 2Rr (R + r) 2
Triángulos rectángulos de ángulos notables y propiedades de las razones trigonométricas de los ángulos agudos Capítulo III •
Triángulos rectángulos notables
Ejemplos:
Son aquellos triángulos rectángulos; donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Van a destacar los siguientes triángulos:
a. De 30° y 60°
C
45°
2a
45°
5
3 B
3
C 60°
45°
3 2 A
C
45°
A
5 2
5 2 B
c. De 37° y 53°
a
C A
30°
B
a 3
Ejemplos:
30°
4 3
60° 4 30°
4 3
60°
C
2
37°
C
A
45°
a
C
53°
30 A
a 2
B
4a
Ejemplos:
2 3
b. De 45° y 45°
3a
37°
A 8
53°
5a
35
18 B
24
A
37°
28
45° a B
• Razones trigonométricas de ángulos notables (30°; 45°; 60°)
seno coseno tangente cotangente secante cosecante PAMER - CIENCIAS
30°
45°
60°
1 2
2
3
2
3
2
2 3 3
37°
53°
2
3 5
4 5
2
1 2
4 5
3 5
1
3
3 4
4 3
3
4 3
3 4
3
3
1
2 3 3
2
2
5 4
5 3
2
2
2 3 3
5 3
5 4 TRIGONOMETRIA
21 B
Observación: Una forma práctica para calcular las razones trigonométricas de la mitad de un ángulo agudo es la siguiente: Partimos de un triángulo ABC (recto en "C"). Si queremos las razones trigonométricas de (A/2) entonces prolongamos el cateto CA hasta un punto "D" tal que: AD = AB luego el triángulo DAB es isósceles, BDA = A/2. 2 A/ c A/2
D
A
c
A
b
sen.csc = 1 Ejemplos: sen10°.csc10° = 1 ; sen20°.csc20° = 1; sen25°.csc25° = 1 s
e
n
α.csc40° = 1 → α = 40°; sen50°.csc5α = 1 → α = 10°
B
tan.cot = 1
a
Ejemplos: tan25°.cot25° = 1; tan15°.cot15° = 1; tan35°.cot35° = 1
C
tanα.cot50° = 1 → α = 50°; tan40°.cot8α = 1 → α = 5°
A
Por lo tanto: cot
=
2
c +b
cos.sec = 1
a
entonces:
cot
Ejemplos:
A
=
c
2 a análogamente:
tan
A 2
=
a c +b
+
b
→
a
cot
A
= csc A + cot A
2
cos5°.sec5° = 1; cos23°.sec23° = 1; cos17°.sec17° = 1 cos35°.sec7α = 1 → α = 5°; cos7α.sec70° = 1 → α = 10°
=
c −b a
→ tan
A 2
= csc A − cot A
* Razones trigonométricas de ángulos complemen-
consecuencia de lo concluido es:
tarios
C 25a A
16°
74°
C 5 2a
7a B
24a
8°
A
82° a B
7a
C 5a A
53°/2 2a
R.T.( ) = Co-R.T. (complemento de " ")
C 10 a
a B
Cualquier razón trigonométrica de un ángulo es igual a la co-razón trigonométrica del ángulo complementario, si "a" es un ángulo agudo, entonces:
A
sen α = cos( 90° − α) tan α = cot( 90° − α) sec α = csc( 90° − α)
a
37°/2 3a
B
Ejemplos:
• Propiedades de las razones trigonométricas de ángulos agudos * Razones trigonométricas recíprocas
i) senα = C
a
b
ii) cosα = iii) tanα = iv) cotα =
A
α
c
B
v) secα = vi) cscα =
a b c b a c c a b c b a
π iii) secθ = csc 2 − θ
iv) cos40° = sen50°
1
π 5
= cot
3π 10
ix) cotα = tan(90° - α)
6
vi) csc(90° - φ) = secφ
1 vii) tan10° = cot80°
3
= cos
π
ii) sen
v) tan
1
π
i) sen20° = cos70°
viii) csc
π 8
= sec
3π 8
Problemas resueltos
CD 1 1 = sen30° , CD = BD . = 18 → ∴ CD = 9m BD 2 2
1. Calcular: Q = sen230° + tan37°
D
Resolución: Reemplazando valores en la expresión:
15°
2
3 1 3 1 Q = + ⇒ Q = + → ∴Q =1 2 4 4 4
15° 18
A
2. Evaluar:
B
30°
C
6. En la figura adjunta, se sabe que: AB = 12m, CAD = 30° y el CBD = 45°. Calcular la longitud "CD".
2
A =
9
18
sen 45° + cos 60°
D
csc 30°
Resolución: Reemplazando valores en la expresión: 2
2 + 1 1 1 + 2 2 2 A = → A = 2 2 2
A
→ ∴A =
C
B
1 2
Resolución:
D 3. Hallar: L = (sec53° + tan53°)cos60°
x
Resolución: Reemplazando valores:
4 1 5 L = + . 3 3 2
→
3 91 L = → ∴ L = 32 2
4. Hallar: T = (tan260° + 5sen37°)sen30° Resolución: Reemplazando valores:
T =
( 3)
2
1 3 1 + 5 . → T = (3 + 3) → ∴ T = 3 2 5 2
5. En la figura adjunta, se sabe que: AB = 18m, CAD = 15° y el CBD = 30°, calcular la longitud "CD".
30° 12
A Como en el
A
15° 18 m
B
C
Resolución: Podemos observar que el ADB resulta: 15°, luego el triángulo ABD resulta ser isósceles, por lo tanto: BD = AB = 18m, en el triángulo BCD, se tiene:
45°
C
x
BCD es isósceles: BC = DC = x
En el
ACD; por definición:
cot30° =
AC → DC
3 = 12 + x → x
x = 16,4 m
7. Se tienen dos círculos tangentes exteriormente cuyos radios son "r" y "3r" respectivamente. Calcular el ángulo que forma la recta que pasa por los centros de ambos círculos con una de las tangentes exteriores a ambos círculos. Resolución:
Se traza: 02Q // AC, en el
D
30°
B
senα =
01Q 2r = 4r 0102
senα =
1 → 2
C 3r Q
r 2r
01 3r
02Q01
α = 30°
α
B r r 02
α
A
8. Se tiene un triángulo equilátero ABC, inscrito en una circunferencia, si "M" es el punto medio del arco AC y "N" el punto medio del lado BC. Determinar el seno y tangente del ángulo MNC.
10.En el gráfico mostrado, hallar "tanθ"
B 135
8
Resolución:
A
θ
C
2
* Unimos los puntos "M" y "C", obteniendo el triángulo rectángulo MCN.
2
2
2 R + 3R = R 7 4 2
R
= 2 7 7
R 7 2
R
⇒ tanθ =
R 3 2
=
2 3 3
9. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tanx".
F
B
135
C
C
6
2 1 → tanθ = 8 4
11.Reducir:
sec 70° . cos 25° . sen50° csc 20° . sen65° . cos 40°
Resolución: Aplicando razones trigonométricas de ángulos complementarios. i) sec70° = csc20° ii) cos25° = sen65° iii) sen50° = cos40° Por lo tanto: Q=
E
sec70 °.cos25 °.sen50 ° csc20 ° . sen65 °. cos40 ° sec70 ° cos25 ° sen50 °
⇒
∴Q = 1
12.Reducir:
x A
θ
B
A
Q=
Entonces: senθ =
45
AQC: tanθ =
De la geometría: MC = 6 = R ⇒ NC = 3 = R 3 2 2 2
2
2 2
Sea: ∠ MNC = θ MC MC Luego: senθ = ∧ tanθ = MN NC
MN = MC + NC =
C
Resolución:
Q
N
θ
A M
B
6
37°
D
Resolución:
cot
π
. csc
3π
. cos
11π
10 8 24 π π 2π sec . sen . tan 8 24 5
A =
i)
ADE notable de 37° y 53°, entonces: AD = 16a ∧ ED = 12a
Resolución:
ii)
Por ser un cuadrado: AD = CD, entonces : EC = 4a
Por razones trigonométricas de ángulos complementarios.
iii) iv)
FCE notable de 37° y 53°, entonces: CE = 4a, CF = 3a, entonces: BF = 13a 13a 13 ABF: tanx = → tanx = 16a 16
i) sec
iii) tan
π 8
= csc
2π 5
3π
= cot
8 π 10
ii) sen
π 24
= cos
11π 24
Por lo tanto:
A=
.csc 3π .cos 11π 8 24 π π sec . sen . tan 2π 5 8 24 11 π cot π 3 π cos csc 10 24 8 cot
π
10
tan 35° + cot 70° tan 35° + cot 70° →A= →∴ A = 1 cot 55° + tan 20° tan 35° + cot 70°
A= ⇒
∴ A =1 complemento 16.Calcular el valor de la cotangente de "
13.Si: α = 15°, calcular: Q = senα.sen2α.sen3α.sen4α.sec5α
tanα =
3 − 2x
; tanθ =
7 − 5x
4x − 1
2
" sabiendo que:
,
siendo "α" y "θ" ángulos agudos complementarios.
Resolución:
Resolución:
Q = sen15°.sen30°.sen45°.sen60°.sec75°
1 2 3 Q = sen15° sec 75 ° → ∴ Q = 2 2 2 csc 15°
6 8
14.Si: secα = csc2φ.
α Hallar: R = tan 2 + φ + sec(330° - 3α - 6φ)
Como "α" y "θ" son ángulos complementarios
simplificando: x = -1 Entonces:
tanα =
5 3 - 2(-1) → tanα = 12 7 - 5(-1)
i) secα = csc2φ → α + 2φ = 90°
13
α + 2φ + sec [330° − 3 (α + 2φ) ] R = tan 2 90° + sec[330° − 3(90°)] R = tan 2 R = tan45° + sec60° ∴ R=3
12 Luego:
tan
α 2
= csc α + cot α ; tan
α 2
=
13 5
+
12 5
→ ∴ tan
α 2
=5
17. Si: α = 7°30' Calcular:
R = Resolución: sen(α - 20°) = cos(θ - 30°) → α - 20° + θ - 30° = 90° ∴ α + θ = 140°
5
α
15.Si: sen(α - 20°) = cos(θ - 30°), "α" y " " son ángulos agudos
α + θ α + θ + cot tan 4 2 A = cot (α + θ − 85°) + tan(α + θ − 120°)
tan = cotθ
3 − 2x 4x − 1 = → (3 − 2x)(10x − 2) = (7 − 5x)(4x − 1), 7 − 5x 10x − 2
Resolución:
Calcular:
10x − 2
α
senα cos 11α
+
cos 2α sen10α
+
sen3α cos 9α
+
cos 4 α sen8α
+
sen5α cos 7α
Resolución: Dato: α = 7°30' = 7,5°; reemplazando en "R":
Reemplazando:
140° 140° + cot tan 4 2 A = cot(140° − 85°) + tan(140° − 120°)
R=
sen7,5° cos 15° sen22,5° cos 30° sen37,5° + + + + cos 82,5° sen75° cos 67,5° sen60° cos 52,5°
i) ii) iii) iv) v)
sen7,5° = cos82,5° sen22,5° = cos67,5° sen37,5° = cos52,5° cos15° = sen75° cos30° = sen60°
Reemplazando:
R =
∴ θ + 2α + θ = 90° →
sen7,5° cos 15° sen22,5° cos 30° + + + + sen7,5° cos 15° sen22,5° cos 30° sen37,5° →∴ R = 5 sen37,5°
18.Si: Q = tan1° - cot1° + tan2° - cot2° + .... + tan89° - cot89° R = tan1° . tan2° . tan3° . .... . tan88° . tan89° S = sen1° - cos1° + sen2° - cos2° + ... + sen89° - cos89° Hallar: M = Q + R + S
De (1) y (2): α = 15° θ = 30° Por lo tanto: x 15° - 30°) + tan (2 x 30° - 15°) M
=
2
Q = tan1° + tan2° + tan3° + ...tan 87 88 89 ° + tan ° + tan ° cot 3°
cot 2°
cot1°
− (cot1° + cot 2° + cot 3° + ...+ cot 87 88 89 ° + cot ° + cot °) tan3°
tan2°
tan1°
∴Q=0 R = tan 1° . tan 2° . tan 3° . ... tan 87 ° . tan 88 ° . tan 89 ° cot 3°
cot 2°
cot 1°
∴R=1
S = sen1°+sen2°+ sen3°+... sen87° + sen88° + sen89° -
(cos 1° + cos 2° + cos 3° + ... + cos 87 ° + cos 88 ° + cos 89 °) sen 88°
e
n
(
4
∴ M=2
20.Si: sen(x + senx) = cos(y + cosy) Calcular:
A =
sen( x + y ) tan(senx + cos y ) + cos( senx + cos y ) cot( x + y ) + cos( x + y ) . csc( senx + cos y )
Resolución: Del dato: sen(x + senx) = cos(y + cosy) ⇒ x + senx + y + cosy =
π 2
Ordenando: π x + y + senx + cos y = 2 α θ
i) senα = cosθ iii) cscθ = secα
;
⇒ α+θ =
π 2
ii) tanθ = cotα
Reemplazando en "A":
S = sen1° - cos1° + sen2° - cos2° + .... + sen89° - cos89°
sen 89°
s
M = 2sen30° + tan45°
Resolución: Q = tan1° + tan2° + tan3° + ... + tan89° (cot1° + cot2° + cot3° + ... + cot89°)
2α + 2θ = 90° ..... (2)
sen 87°
sen3°
sen2°
senα
A =
cos θ
+ cos α . csc θ sec α
sen1°
1
→ M=1
Bloque I
0
19.Siendo "α" y "θ" los menores ángulos positivos que verifican las relaciones: senα.sec(3α + θ) = 1 .... (I) tanθ . tan(2α + θ) = 1 ...... (II) Determinar el valor de: M = 2sen(4α - θ) + tan(2θ - α)
1. Calcular "x" en la igualdad: xsen30° + sec260° = 4xtan45° + tan445°
a)
Resolución: d)
Como: sen =
cot α
Problemas para la clase
M= Q + R + S
sen .sec(3 + ) = 1
tan θ
Por lo tanto: A = 3
Por lo tanto: S = 0 ; entonces: 0
+
1 sec(3α + θ)
sen = cos(3 + ) α + 3α + θ = 90° → 4α + θ = 90° ...... (1) ∴ Además:
→ tan θ = cot(2α + θ)
5 4 5
b) e)
2 5
d)
17 2 23 2
b) e)
c)
3 5
6 5
2. Sabiendo que " " es tanα = sen45°. Calcular: A = 4sec2α + sen2α
a)
1 tan θ . tan(2α + θ) = 1 → tan θ = tan(2α + θ)
1
19 2 25 2
agudo
c)
21 2
y
además
3. Del gráfico mostrado, calcular "tanα".
7. En un cuadrado ABCD, se traza AN, ("N" en CD) tal que:
C
∠BAN = 53°. Si: ∠NMD = α, ("M" punto medio de AD) , calcular "tanα".
α
a)
37°
A
a) d)
1
b)
3 4
e)
3
B
D 2
3
a) d)
10
a) d)
53°
θ
21 b)
7 8
e)
15
3
c)
8
C
1 2
3
3
2
5
c)
C
C
a)
3 2
b)
3 3
d)
3 5
e)
3 6
tan α ; si los triángulos ABC y CDE tan θ son equiláteros; además: AB = 4CD.
10.Del gráfico, calcular:
5 4
B
8
b)
3
d)
5
e)
6
D
N
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que: ∠ A = 30°. Trazamos CM ("M" en AB ) tal que: AM = 2MB.. Si: ∠ CMB = , calcular "tan " 2
c) 4
3 4
c)
1
a)
D
A
θ
6
4
e)
7
M
e)
5
c) 2
3
θ
B
d)
3
15
5
7
b)
9. Del gráfico, calcular "tan ", si el triángulo ABC es equilátero.
3
4
8
7
4
b)
3
B
A
3
2
e)
8
5. Calcular "tan " del gráfico:
a)
2
centro "O" se traza la tangente PT, tal que: OPT = 53°. Calcular "tan ∠ OMT", si "M" es el punto medio de PT .
5
B
3
2
3
c)
8. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia de
4. Del gráfico, calcular "tanθ"
A
b) 2
d) 1
c) 1
3
1
A
M C
α
a)
3 19
b)
3 16
d)
4 15
e)
12 13
E
θ
c)
4 19
Bloque II
Obtener:
1. Si: tan3x.cot(x + 20°) = 1 Calcular: K = tan6x.tan(4x + 5°)
K =
a) 2 d)
b) 3
3 3
c)
e) 1
3
b) 2 e) 3,5
b) 5 e) 8
c) 3
d)
c) 6
b) 2
3 2
e)
c)
2
c) 1
e)
3
9. Calcular el valor de cotangente de "
x +1 x −2
∧ tan θ =
D =
cot z
a) 1 d) 4
+
d) 3 − 2 2
e)
2 3
8
3
a) 1
b) 2
c)
d)
3
e)
3
e) F.D.
2
Bloque III 1. Siendo "0" y "01" centros. Hallar "tan "
A
c) 5°
θ 01
sec( y + z) csc x
B
0 c) 3 a)
b) 2
c) 3 + 2 2
k =1
7. Sabiendo que: sen(2a+b).sec(12°-2c)=cos(a-2b).csc(78°+2c) Calcular: M = tan(2a + b + c). tan(a - 2b + c)
a) 1
" sabiendo que:
x +2
b) 3 + 10
d)
b) 2 e) 5
2
x +1
a) 3 − 10
6. Si: sen(x + y - 20°) . csc(70° - z) = 1 Calcular:
tan( x + y )
α
Calcular: E = ∏ tan(kx )
1 2
b) 10° e) 25°
b)
10.Siendo: sen(40° - x) . sec(5x + 10°) = 1
5. Calcular "x", si: sen(2x+10°).sen(50°-x)=cos(x+5°).cos(40°+x) a) 15° d) 20°
2
siendo "α" y "θ" ángulos agudos complementarios.
4. Si: tan7x = cot(2x + 9°) sen4x.csc3y = 1 Calcular: K = cos5x.cot4y.cot(4x + 6°) a) 1
2
a)
tan α =
3. Si: sen3x = cos2x Calcular: K = 4tan(2x + 1°) + 3tan(3x - 1°) a) 4 d) 7
cot(α − x − 10°)
d) 2
2. Si: sen4x.csc(x + 45°) = 1 tan3x.cot2y = 1 Calcular: M = sen(x + y - 10°) cot (y - x) a) 1 d) 2,5
sec(2x − 5°). tan(x + α + 50°)
c)
1 2
1
d)
1
1
b)
3
2
c)
2
2
e) 2 2
2
2. Siendo "0" centro y "P" punto medio de MN , hallar "tanθ".
A P
M
N
3
8. Si: sen(40° - x) = tan(20°+α).cos(50° + x)
θ 0
B
1
a)
b)
2 3
d)
3
c) 1
4 5
e)
2
6. Si: sen2α.csc(θ + 30°) = 1 tan(θ - φ) . tan(φ + α) = 1 Evaluar: A = sen(θ-10°)secθ+tan(α+5°) a) 1 d) 4
2
3. Si "M" es punto medio del arco AB y "O" es centro, θ". A b
t
e
n
e
r
e
l
v
a
l o
r
d
e
"
t
a
n
3
N
0
3
4
c)
3 3
e) 1
2
B
3
b)
8
d)
θ
c) 3
7. Si: tan3x.sen(35°+ ).sec(55°-α)=cot2x Calcular: B = cos(2x-6°).sen(x+12°)
a)
30°
o
b) 2 e) 5
8. Si:
a) 3 + 3
b)
d) 3 6 + 2
e) 2 − 3
abπ abπ = cos sen 4 4 .... (I) a = sen3θ . sen3α ............. (II)
c) 3 + 6
6 +2
4. Del gráfico mostrado, MB = MC = 2 y AB = 2
hallar
"AD",
si:
1 b
C
= cos3θ . cos3α ............. (III)
Hallar el valor de:
D
C =
M
a)
A
30°
6+ 2
b)
d) 2 + 3
c)
6+ 3
45°
θ B
a) d)
1 5 1 2
37°/2
b) e)
1 4 1 6
b) 2 e) 5
tan(60° − z)
1 3
tan(30° − z) tan(x − 30°) b)
d) 2
e) 2 2
2
c)
3
10.Si: sen(x + 2y) = cos(2x + y) Calcular:
[tan 3x + tan 3y ]2 − [tan 3x − tan 3y ]2 tan( x + y )
C
c)
=
a) 1
E =
H
c) 3
9. Calcular: tanx.tan(x-y).tan(30°-y), si se cumple que:
tan(60° − y)
e) 2 3 + 1
5. Del gráfico mostrado, calcular "tan ", si: AP = 8 2 y BC = 3. P
A
( θ + α)
a) 1 d) 4
B 6 +2
πsen(θ + α)
a)
4 3 3
d) 2 3
b)
2 3 3
e) 4 3
c)
3 3
Repaso Capítulo IV Problemas para la clase Bloque I 1. De acuerdo a lo mostrado en el gráfico, se puede verificar que:
a)
a+b a+c
b)
a+c a+b
d)
b+c a+b
e) 1
c)
6. Si " " es agudo, tal que: cos K = tan
β α a) α - β = 0° c) α - β = 90° e) α + β = -90°
b) α + β = 0° d) α + β = 90°
2. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 120g y /3 rad. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo? a) 12° d) 6°
b) 18° e) 8°
c) 16°
cot
a+b b+c
=
θ 2
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
1 ; calcular: 6
c) 7
7. Si " " es agudo, tal que: cscθ = tan60°; calcular el valor de: K = (cos2θ - sen2θ) (2sec2θ - 1) a) 1 d)
b)
3 2
1 3
c)
2 3
e) 3
8. Del gráfico; calcular "tan "
x + 90° 3. Del gráfico, calcular: S = y
C θ
g
5y a) 3
b) 2
3 d) 2
5 e) 6
7
3xº
c)
2 3
5
A a) 0,1 d) 0,4
b) 0,2 e) 0,5
17 8
b)
17 4
d)
15 4
e)
15 2
c)
a tan C + bsenA bsenC + c tan A
PAMER - CIENCIAS
c) 0,3
B
15 8
5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); señale el equivalente de:
K =
53º
9. Del gráfico, determine el valor de "sen "
4. En un triángulo rectángulo, un cateto es el cuádruple del otro. Calcular el producto de las secantes de los ángulos agudos del triángulo. a)
B
A a) 0,24 d) 0,96
φ
D b) 0,12 e) 0,36
37º
C
c) 0,48
10.Siendo " " un ángulo agudo, tal que: cos θ =
sen50 ° sec 40 ° 3 tan 10 ° tan 80 ° + 2 cot 20 ° cot 70 °
TRIGONOMETRIA
Calcular: S = tan a) 1 d) 4
a) 2,25 d) 3,75
θ tan 2
b) 2 e) 5
S =
b) 4 e) 32
c) 8
12.Si: tan5x.tan(30° - x) = 1; calcular: S = sec23x + sec24x a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
a) b d) a + c
b) a e) b - c
θ α
1 6. Si " " es agudo, tal que: cos = ; calcular: 7 θ S = tan tan 2
b) 3 e) 6
2 3 d) 4
b)
d)
π 5
-
A
= 180° = 90°
4
e)
c) 2
8. Del gráfico, determine el valor de "cot " b) d)
π b) 3
c) 5
4 3 e) 6
a)
2. En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden (7n + 3)° y (8n + 2)g. ¿Cuál es la medida circular del ángulo desigual? π a) rad 2
c) c
7. Si " " es un ángulo agudo, tal que: sen = tan30°; calcular: S = (2cos2 - 1) (csc2 + 1)
1. De acuerdo al gráfico, se puede verificar que:
+ = 180° - = 90° + = 0°
b − c cos A cos C
a) 1 d) 4
Bloque II
a) c) e)
c) 2,75
5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); simplificar:
c) 3
π π 11.Si: sen tan θ = cos cot θ ; señale un valor de: 4 4 2 2 S = tan + cot a) 2 d) 16
b) 3,25 e) 4,15
π c) 4
π 6
150º B
β 7 3
a) 3,5 3
b) 3 3
d) 4 3
e) 5,5 3
C
c) 4 ,5 3
9. Siendo " " un ángulo agudo, tal que: sec = 7tan20°tan70° - 3sen40°sec50°
x + 15 3. Del gráfico, calcular: S = y
Calcular: S = tan a) 7 d) 4
cot
θ 2
b) 6 e) 3
c) 5
10.Si: sen[(15tan )°] = cos[(15cot )°]; señale un valor de: S = tan2 + cot2
6xº g
15y a) 1,5 d) 2,25
b) 1,75 e) 2,75
a) 34 d) 23 c) 2,5
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el cuádruple de un cateto. Calcular el producto del coseno y cotangente del menor ángulo agudo de dicho triángulo.
b) 36 e) 21
c) 25
11.Si: tanx.tany = 1; calcular:
x + y x + y x + y S = tan tan tan 2 3 6
a) 2 3 − 1
b)
3 −1
c)
2 3 −1 3
d)
3 +1 3
e)
3 +1
a) 2 d) 5
b) 3 e) N.A.
c) 4
4. Si ABCD es un cuadrado, calcular: tanx.coty
B
Bloque III
E
C
1. Se tienen tres ángulos tales que al ser agrupados de a dos; las sumas de estas parejas resultan ser iguales a 2π 80g, rad y 50°. ¿Cuál es la media aritmética de las 3 medidas de los tres ángulos? a) 30°15' d) 40°30'
b) 20°30' e) 20°20'
c) 40°20'
6 k °(k + 1)' S= ∑ k =1 (k + 1)'
m=
c) 81
3. En el cubo mostrado, calcular: S = 3cot2 + 1 (CM = MD)
A' A
b) 6 e) 16
c) 9
2senα + cos β 3 y n= 3 sec β + 2 csc α
C'
θ
M D
a) m = n d) m + n = 2
b) m > n e) m - n = 2
c) m < n
6. Si: x + y = 90°; además: sen(senx + cosy) = cos(senx + cosy) Calcular: S = tan(2senx) + cot(2cosy)
C
B
D
entonces:
b) 72 e) N.A.
B'
a) 3 d) 12
A
5. Si " " y " " son ángulos agudos y complementarios; además:
2. Señale el valor de:
a) 71 d) 82
37º
x y
D'
a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
Cálculo de lados - aplicación Capítulo V Note que para hallar el lado desconocido, solo hay que lo que quieres dividir : R.T.(ángulo conocido); y de esta lo que tienes igualdad se despeja el lado desconocido.
• Cálculo de lados:
Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado conocido y un ángulo agudo también conocido. Vamos a distinguir tres casos:
C
C L
θ
A
B
L
B
θ
A
* Área de un triángulo: El área de un triángulo cualquiera se puede calcular como el semiproducto de dos de sus lados, multiplicados por el seno del ángulo que forman dichos lados.
B
C
a
c S
L
A
θ
B
BC = Ltan
*
AB = cot L
AB = Lcot
*
BC = sen L
BC = Lsen
*
AC = sec L
AC = Lsec
AC * =csc L AB =cos L
ca senB 2
S=
ab senC 2
1. Determinar "x".
x B
cθ Lcs
B
A
θ Lcotθ
C
BDC : BD = asenθ
L
PAMER - CIENCIAS
D
x θ
BAD : AB = asenθcosθ
B
asenθ
B
L
a
2. Hallar "x".
D
C
Lcosθ
C
A
Ltanθ
θ
θ
a
Resolución:
C
L
D
A
AB = Lcos
θ
A
S=
C
b
AC = Lcsc
cθ Lse
A
bc senA 2
Problemas resueltos
BC * = tan L
*
A
S=
C a
Lsenθ B
A
α
β x
B
TRIGONOMETRIA
θ
C
Resolución:
atanα
D
a
a
α
β
A
H atanα
acotβ
C
B
i)
DCB : CD = atanα
ii)
DHA : AH = acotβ
5. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide "2n" y los ángulos congruentes miden " ". Hallar la altura relativa al lado desigual. Resolución:
B
iii) AB = atanα + acotβ
BHC : BH = ntanβ h
3. Hallar "x".
h = ntanβ
x
β
n
C Q
x r
θ
B
C L/2
0
D rcscθ
Resolución:
r
i)
AQO : AO = rcscθ
ii)
CBA : AB = xcotθ
0 β
A
Lcosβ
L senβ 2 Q L cosβ L senβ 2 2 D
OQC: QC = L senβ 2 OQ = L cosβ 2
r(cscθ + 1) cotθ
→ CD = Lsenβ ∧ AD = Lcosβ
4. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos " y el cateto adyacente a este ángulo mide "m". ¿Cuál es el perímetro del triángulo? e
β β L/2
2β
L/2
iii) xcotθ = rcscθ + r x=
L/2
B
xcotθ
i d
C
6. En un rectángulo, las diagonales forman un ángulo agudo "2 " y miden "L". ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?
Resolución:
m
β
n
H 2n
r
θ
A
A
perímetro: 2L(senβ + cosβ)
"
Resolución: Graficando de acuerdo al problema:
A
7. Si ABCD es un cuadrado y PQ = 9AB. Hallar "tan + cot "
R A C
θ
m
B
ABC: AB = mtanθ AC = msecθ perímetro : m + mtanθ + msecθ
P
α
D
B
C
Q
Resolución:
Resolución:
R a α
A αa
P
D
B
5
a
a
α
C 9a
BCQ : CQ = acotα
ii)
ADP : PD = atanα como: PQ = 9AB
1
θ 34 26
Q
C 5 B
Q
i) SAEB = 1 AB . EQ 2 SAEB = 1 (4) (5) (forma geométrica) 2 ii) SAEB = 1 EB . AE . senθ 2 SAEB = 1 26 . 34 . senθ (forma trig.) 2
→ atanα + a + acotα = 9a tanα + cotα = 8
8. Hallar "tan ", si: AB = DE
Igualando:
D
1 1 (4) (5) = ( 26 ) ( 34 ) senθ 2 2 20 → ∴ senθ = 26 . 34
C A
E
A
i)
θ
3
D
37°
B
E
10.Hallar "BD".
B Resolución:
37°
2
4 2
D 37°
4atanθ
C
F A
θ
3atanθ
4atanθ + 3a = 4a
θ
1
4 2
D
C
iii) SABC = SABD + SDBC C Entonces:
5 A
37°
1 ii) ∆ DBC : SDBC = (4 2) (BD)sen37° 2
9. Del gráfico, hallar "sen ".
E
A
53°
i) ∆ ABD : SABD = 1 ( 2) (BD) sen53° 2
1 tanθ = 4
D
B 2
DE = 4atanθ + 3a ; AB = 4a
3
Resolución:
B
E
4a
C
D
3a
5a
37°
A
5atanθ
B
1 1 1 ( 2 )(BD)sen53° + (4 2 )(BD)sen37° = ( 2 )( 4 2 ) 2 2 2 5 2 → ∴ BD = 4
Problemas para la clase
a)
L cot θ + 1
b)
2L cot θ + 1
c)
L 2 cot θ + 1
d)
2L 2 cot θ + 1
e)
L cot θ + 2
Bloque I 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: CAB = . Hallar el perímetro del triángulo. A
B
a) b) c) d) e)
=
m
y
m(sen m(sec m(csc m(cos m(sen
+ cos + tan + cot + tan + cot
+ 1) + 1) + 1) + 1) + 1)
6. En un triángulo isósceles los lados congruentes miden ". Hallar el inradio de dicho triángulo. "
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: BC = n y BAC = . Hallar el área del triángulo.
L
"
c
a
d
a
u
n
o
;
y
l o
s
á
n
g
u
l o
s
c
o
n
g
r
u
e
n
e
n
d) Lcos cot
θ 2
c) Lcos tan
θ 2
c)
n2 cot α 2
d)
n2 tan α 2
e) Lsec tan
θ 2
e)
n2 sec α 2
"
7. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".
C θ
3. En un triángulo isósceles los lados congruentes miden "L" y los ángulos congruentes miden " ", cada uno. Halle el lado desigual. b) Lcos e) Lsec
c) 2Lsen
4. En el rectángulo mostrado, halle su área.
B
D
L
a) L2tan
b) L2tan
2 tan 7
b)
2 cot 7
d)
2 cos 7
e)
2 sen 7
A θ
R
P
S L
B
c)
3 tan 7
A
φ
θ L2 d) tan 2 2
Q
2
8. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".
θ 2
5. Del gráfico, hallar el lado del cuadrado PQRS en función de "L" y " ". B
D
5
a)
C
A
α
A
θ
θ L2 sen 2 2
i d
θ 2
n2 senα 2
e)
m
b) Lsen cot
b)
c)
s
θ 2
n2 cos α 2
2L2tan
e
a) Lsen tan
a)
a) 2Lcos d) 2Lsec
t
B
M
β
C
a)
2 sec θ − sen θ cos θ
b)
2 sec θ − cos θ sen θ
c)
2 csc θ − sen θ cos θ
d)
2 csc θ − cos θ sen θ
e)
2 cot θ − cos θ sen θ
9. En un triángulo ABC; se sabe que: AB = 8 y BC = 4; además CBA = 30°. Calcular el área del triángulo.
θ C
a) 12 u2 d) 8
b) 24 e) 32
c) 16
10.Del gráfico, hallar el área de la región sombreada.
B 2 θ D
5. Del gráfico hallar "AB", si el lado del cuadrado PQRS es "L". B
Q
L
R
7 θ
A
E
4
P
θ
S
C
1 A a) 17sen d) 28sen
C b) 14sen e) 16sen
c) 21sen
Bloque II 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: AB = n y ACB = . Halle el perímetro del triángulo. a) b) c) d) e)
n(sen n(sec n(csc n(cos n(sen
+ cos + tan + cot + cot + tan
+ 1) + 1) + 1) + 1) + 1)
2. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide "L" y cada uno de los ángulos congruentes mide " ". ¿Cuál es el perímetro del triángulo? a) L(1 + cos ) c) L(1 + sen ) e) L(1 + cot )
b) L(1 + sec ) d) L(1 + csc )
a) Lsen +
L cos 2
b)
L sen + Lcos 2
c) Lsec +
L csc 2
d)
L sec 2
e) Ltan +
L cot 2
6. En un triángulo isósceles, el inradio es "r" y los ángulos congruentes miden " " cada uno. Halle uno de los lados congruentes. a) r(cot + cot
θ ) 2
b) r(cot
c) r(csc + cot
θ ) 2
d) r(sec + tan
e) r(tan + tan
θ ) 2
C
B
A a) 3,5tan d) 4,5cot
e)
L2 tan 2
2
D
b) 4,5tan e) 3,5cot
B
c) 5,5tan
8. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".
C
H φ
2
c) 2L2cot
7
D
A a) L2cot
β
θ
L
2α
θ ) 2
C
b) L(1 + sen ) d) L(1 + cos )
4. En el rectángulo mostrado, halle su área.
θ + tan ) 2
7. Del gráfico, hallar "tan " en función de " ".
3. En un triángulo isósceles, los lados congruentes miden "L" cada uno y el ángulo desigual mide "2 ". Halle el perímetro del triángulo. a) 2L(1 + sen ) c) 2L(1 + cos ) e) 2L(1 + tan )
+ Lcsc
L cot 2 d) L2tan b)
A
a)
β
2
3 sec β − 2 cos β 2senβ
D
1
b)
B
3 sec β − 2 cos β senβ
2 sec β − 3 cos β c) senβ
2 sec β − 3 cos β d) 2senβ
x
9. En un triángulo ABC: AB = 4, BC = 8 3 y Hallar el área del triángulo. a) 8 u2 d) 32 D
e
C
3 csc β − 2senβ 2 cos β
e)
10.
3. Del gráfico, calcular "x".
l
g
r
á
b) 12 e) 64 f
i c
o
,
h
a
l l a
r
:
S
2
c) 24 - S1
12º
A
ABC = 60°.
B
20 cm
a) 32,1732 cm c) 30,2514 e) 24,1634
b) 20,4468 d) 26,8442
4. Del gráfico, calcular "x".
C
B
F
3
D
5
2 θ1 E S1
S2
A a) sen d) 4sen
b) 2sen e) 6sen
x 4 G 1 C
c) 3sen
12 cm
20º
A
B
a) 31,2507 cm c) 28,3007 e) 35,0857
b) 43,2104 d) 32,4306
5. Del gráfico, calcular "x".
Bloque III
C
1. Del gráfico, calcular "x".
10 cm
C 23 cm
A
21º
x B
a) 8,2425 cm c) 9,1724 e) 12,2312
b) 8,7234 d) 5,7432
10º
A
D
x
a) 42,9 cm d) 61,2
b) 47,9 e) 48,9
52º
B
c) 51,2
6. Del gráfico, calcular "x".
B
2. Del gráfico, calcular "x".
C 17 cm
A a) 14,4168 cm c) 13,1624 e) 12,5216
32º
x
14 cm A
50º
H
20º
C
x
B b) 17,5142 d) 6,2354
a) 32,3217 cm c) 50,2121 e) 59,2131
b) 46,1823 d) 53,1724
7. Del gráfico, calcular la altura "h" de la torre; si "M" es su punto medio.
9. Del gráfico, hallar la longitud de la piscina "P" en función de los datos mostrados.
θ
h
φ
d d a) cot α + 2 cot θ
c)
2d cot θ + 2 cot α
e)
2d cot α + cot θ
2d b) cot α + 2 cot θ d cot θ + 2 cot α
d)
d
L
α
θ
P a) b) c) d) e)
Lcos Lcos Lsen Lsen Lsec
+ d + (h + Lsen + d + (h + Lsen + d + (h + Lcos + d + (h + Lcos + d + (h + Lsen
)cot )tan )tan )cot )cot
10.Del gráfico, hallar "R" en función de los datos mostrados.
8. Del gráfico, hallar la altura "H" del poste vertical; si: QM = 2MP.
L
S
Q
α h
M A
β
α
P
R
d
B
d
a)
hcotα + d cscα +1
b)
h tan α + d csc α + 1
d)
h + d cot α 1 + sec α
a)
2(d − L ) 2 cot α + cot β
b)
3(d − L ) cot α + 3 cot β
c)
h + d tan α 1 + sec α
c)
3(d − L ) 2 cot α + cot β
d)
3(d − L ) 3 cot α + 2 cot β
e)
h cot α + d sec α + 1
e)
3(d − L ) 3 cot α + cot β
Ángulos verticales Capítulo VI Definición:
Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical; y que en la práctica son formados por una línea visual y una línea horizontal; como resultado de haberse efectuado una observación. En el gráfico tenemos:
isual linea v α
β
lin e
linea horizontal av
Problemas resueltos 1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste de 20 m de altura con un ángulo de elevación de 24°. ¿Cuál es la distancia a la que se encuentra el punto de observación de la base del poste?
isu al
Resolución: Línea visual: Une el observador con el objeto a observar.
Graficando:
Línea horizontal: Pasa por el ojo del observador y es paralela al nivel del suelo.
20 m 24º
Del gráfico anterior:
x = 44,92 m
x
ángulo de elevación ángulo de depresión Por ejemplo; si una persona de estatura 2m divisa lo alto de un edificio de altura "H" con un ángulo de elevación de 20°, estando a 40 m de su base. El gráfico sería:
x = 20cot24º x = 20tan66º x = 20(2,246)
2. Desde lo alto de un edificio, se ve dos objetos en tierra a un mismo lado del edificio, con ángulos de depresión " y " " ( > ). Si la altura del edificio es "H", halle la distancia que separa a los objetos. "
Resolución:
α
β
H H
20º
β
α
2m
x
Hcotα Hcotβ
40 m Otro ejemplo, sería así: Desde lo alto de una torre de 40 m se divisa un punto en el suelo con un ángulo de depresión de 40°. (Complete)
Del grafico: Hcotβ - Hcotα = x x = H(cotβ - cotα)
PAMER - CIENCIAS
TRIGONOMETRIA
3. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 37°. Si nos acercamos una distancia igual a la mitad de la altura de la torre, el ángulo de elevación es " ". Calcular "tan " y "θ" Resolución: Graficando:
Determinación de la inclinación del sendero de una montaña. 5. Un sendero recto con inclinación uniforme conduce de un hotel con una elevación de 8000 pies a un mirador, cuya elevación es de 11100 pies. La longitud del sendero es de 14100 pies. ¿Cuál es la inclinación del sendero? Resolución:
C
Hotel sendero 14100 pies
6
Hotel
elevación 8000 pies
37º 3
A1
A2
mirador 11100 pies
3100 pies
θ
B
5
i) Sea: BC = 6 ⇒ A1B = 8 BC ii) Pero: A1A2 = 3.... 2 6 tanθ = = 1,2 5 6 y θ = arctan = 50,1944285º 5 θ = 50º11'40" y tanθ = 1,2 Determinación del ancho de un río. 4. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto "C" en un borde del río y visualizando un punto "A" situado en el otro borde. Véase figura. Después de girar un ángulo de 90° en "C", se desplaza 200 metros hasta el punto "B". Aquí mide el ángulo "β" y encuentra que es de 20°. ¿Cuál es el ancho del río?
La figura ilustra la situación, buscamos el ángulo " ", como muestra la figura.
sen β =
3100 14100
con una calculadora determinamos que:
β ≈ 12,7° La inclinación del sendero es aproximadamente de 12,7° Determinación de una altura mediante el ángulo de elevación. 6. Para determinar la altura de una torre radiotransmisora, un topógrafo se sitúa a 300 metros de su base. Véase la figura. El topógrafo mide el ángulo de elevación y encuentra que es de 40°. Si el tránsito está situado a 2 metros de altura cuando se hace la lectura, ¿qué tan alta es la torre?
A b C
2m
= 20° a = 200m
B Resolución:
Resolución: Buscamos la longitud del lado "b". Conocemos "a" y "b", por lo que usamos la relación: tan =
b a
para obtener: tan20° =
b
200 ⇒ b = 200tan20° ≈ 72,79 metros el ancho es 72,79 m
La figura muestra un triángulo que replica la ilustración de la figura dada en el problema. Para encontrar la longitud "b", usamos la relación: tan = b/a. Entonces: b = atan = 300tan40° = 251,73 metros La altura real es: 251,73 + 2 = 253,73 m Determinación de la altura de una estatua sobre un edificio.
Determinación de la altura de una montaña 8. Para medir la altura de una montaña, un topógrafo toma dos visuales de la cima desde dos posiciones separadas entre sí 900 metros sobre una línea directa a la montaña. Véase la figura. La primera observación da un ángulo de elevación de 47° y la segunda uno de 35°. Si el tránsito está a 2 metros del suelo, ¿cuál es la altura "h" de la montaña?
7. Sobre la azotea del edificio de la Cámara de Comercio de Chicago, se encuentra una estatua de la diosa griega Ceres, diosa de la agricultura. Se hacen dos observaciones desde el nivel de la calle y a 400 pies desde el centro del edificio. El ángulo de elevación hasta la base de la estatua resulta ser de 45,0° y el ángulo medido hasta la parte superior de la estatua resulta ser de 47,2°. Véase la figura. ¿Cuál es la altura de la estatua?
h 35°
47°
900 m
Resolución:
47,2°
β = 45°
45°
β' = 47,2°
400 pies
h 35°
Resolución:
47°
β' = 35° β = 47°
900 m
b β = 45°
b' β ' = 47,2°
a = 400 pies
a = 400 pies
La figura muestra dos triángulos que replican la figura anterior. La altura de la estatua será: b' - b. Para encontrar b y b': tan 45 ° =
b 400
∧
b = 400tan45° = 400
tan 47 ,2° =
b' 400
b' = 400tan47,2° = 431,96
La figura muestra dos triángulos que replican la ilustración de la figura. A partir de los dos triángulos mostrados, encontramos que:
tan β' =
b
a + 900 b tan 35° = a + 900
tan β =
b a
tan 47° =
b a
Éste es un sistema de dos ecuaciones con dos variables, "a" y "b". Puesto que buscamos "b", escogemos despejar el valor de "a" en la ecuación de la derecha y sustituir el resultado, a = b/tan47° = bcot47°, en la ecuación de la izquierda. Obtenemos:
tan 35° =
b b cot 47° + 900
La altura de la estatua es aproximadamente de 32 pies.
b = (bcot47° + 900)tan35°
Cuando no es posible alejarse de la base del objeto cuya altura se busca, se requerirá de un procedimiento más imaginativo.
b = bcot47°tan35° + 900tan35° b(1 - cot47°tan35°) = 900tan35°
b =
900 tan 35° 1 − cot 47° tan 35°
=
900 tan 35° 1−
tan 35°
= 1816
tan 47°
La altura del pico desde el nivel del suelo es por tanto: 1816 + 2 = 1818 metros Problemas para la clase Bloque I 1. Desde un punto en tierra ubicado a 40 m de la base de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 40°. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 33,56399 m c) 38,2172 e) 29,1723
b) 42,5541 d) 26,3147
2. Desde lo alto de un acantilado se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 54°, a una distancia de su base aproximadamente igual a 410 m. ¿Cuál es la altura del alcantilado? a) 574,3279 m c) 610,1243 e) 617,2432
b) 564,3166 d) 528,2631
3. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste de altura "h" con un ángulo de elevación " ". Si nos acercamos una distancia "D" el ángulo de elevación es " ". Hallar "D". a) h(tan - tan ) c) h(cos - cos ) e) h(sec - sec )
b) h(cot - cot ) d) h(sen - sen )
4. Desde lo alto de un faro se ven dos barcos en direcciones opuestas con ángulos de depresión " " y " ". Si la altura del faro es "h"; halle la distancia que separa a los barcos. a) h(cos + cos ) c) h(tan + tan ) e) h(sec + sec )
b) h(sen + sen ) d) h(cot + cot )
5. Desde lo alto de un muro de 3,6 m se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 53° y su parte baja con un ángulo de depresión de 37°. ¿Cuál es la altura del poste? a) 10 m d) 9
b) 12 e) 8
c) 18
6. Desde lo alto de un edificio se ve la parte alta y baja de un árbol con un ángulo de depresión de 45° y 53°. Si la altura del edificio es 24 m, calcular la altura del árbol. a) 2 m d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
7. Desde un punto en tierra se ve la parte alta del sexto piso de un edificio con un ángulo de elevación de 37°. Calcular aproximadamente el ángulo de elevación con que se vería lo alto del noveno piso. a) 47°25'32" c) 48°21'59" e) 54°21'38"
b) 46°31'28" d) 49°17'38"
8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 20°. Si nos acercamos una distancia igual a la altura del edificio, el ángulo de elevación es: a) 32°27'45" c) 40°18'35" e) 26°42'50"
b) 29°46'50" d) 28°24'18"
9. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Nos acercamos una distancia igual a la altura del poste y el ángulo de elevación es "90° - ". Calcular: K = cot2 + tan2 a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
10.Desde el punto medio de la distancia que separa las bases de dos edificios, los ángulos de elevación son complementarios. Calcular el producto de las cotangentes de los ángulos de elevación con que se ve lo alto de cada edificio desde la base del edificio opuesto. a) 2 d) 8
b) 3 e) 16
c) 4
Bloque II 1. Desde un punto en tierra ubicado a 18 m de la base de un edificio, se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 70°. ¿Cuál es la altura del edificio? a) 49,4546 m c) 39,2872 e) 54,3624
b) 46,3218 d) 52,1728
2. Desde lo alto de una torre se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 20°; a una distancia de su base igual a 32 m. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 8,3216 m d) 10,2132
b) 11,1220 e) 14,2136
c) 11,6470
3. Desde un punto del suelo se ve una torre de altura "h" con un ángulo de elevación " ". Si nos alejamos una distancia "x", el ángulo de elevación es " ". Hallar "x". a) h(cot - cot ) c) h(cos - cos ) e) h(tan + tan )
b) h(tan - tan ) d) h(sen - sen )
4. Desde lo alto de un poste se ve un móvil, a un lado de él con un ángulo de depresión " "; después de que el móvil recorrió "L" y está ubicado al otro lado del poste el ángulo de depresión es " ". Hallar la altura del poste. a) L(tan + tan )
b) L(cot + cot )
L c) cot α + cot β
L d) senα + senβ
e)
L tan α + tan β
d)
3 4
e)
1 3
Bloque III 1. La torre Eiffel, terminada el 31 de marzo de 1889, fue la torre más alta hasta que inició la era de las torres de televisión. Encuentre la altura de la torre Eiffel (sin el mástil de televisión instalado en su parte superior) usando la información dada en la figura.
5. Desde lo alto de un muro de 9 m de altura, se ve las partes alta y baja de un edificio con ángulos de elevación y depresión de 45° y 37° respectivamente. ¿Cuál es la altura del edificio? a) 19 m d) 23
b) 20 e) 29
c) 21
6. Desde lo alto de una torre se ve la parte alta y baja de un muro con ángulos de depresión de 37° y 45° respectivamente. Si la torre mide 16 m, ¿cuánto mide el muro? a) 2 m d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
7. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 45°. Si nos alejamos una distancia igual al triple de la altura de la torre, el ángulo de elevación sería: a) 14°2'10" d) 10°10'4"
b) 16°2'18" e) 8°21'30"
c) 13°2'12"
8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un muro con un ángulo de elevación de 50°. Si nos alejamos una distancia igual al doble de la altura del muro, el ángulo de elevación mide: a) 18°21'42" c) 20°21'43" e) 18°32'14"
b) 9°24'13" d) 19°21'42"
9. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Nos alejamos una distancia igual a la altura del poste y el ángulo de elevación es 90° - . Calcular: K = tan2 + cot2 a) 1 d) 4
b) 2 e) 8
c) 3
10.Si desde un punto en tierra se ve las partes altas del cuarto y noveno piso de un edificio con ángulos de elevación "α" y "90° - α" respectivamente, calcular: tanα
85,361°
50 pies
2. Un barco, cerca de un acantilado vertical de 100 pies de altura, hace una lectura del borde del acantilado. Si el ángulo de elevación es de 25°, ¿qué tan lejos está el barco de la costa? 3. Suponga que se dirige hacia una meseta de 50 metros de altura. El ángulo de elevación a la meseta es de 20°. ¿Qué lejos está usted de la base de la meseta? 4. Un barco se encuentra en la bahía de Nueva York; desde él se toma una visual a la estatua de la libertad, que tiene aproximadamente 305 pies de altura. Si el ángulo de elevación a la parte superior de la estatua es de 20°, ¿qué tan lejos está el barco de la base de la estatua? 5. Para medir la altura de un edificio, se toman dos visuales desde dos puntos situados a 50 pies entre sí. El ángulo de elevación de la primera es de 40° y el de la segunda es de 32°. ¿Cuál es la altura del edificio? 6. Una de las siete maravillas del mundo antiguo, la gran pirámide de Keops fue construida alrededor del año 2580 a.C. Su altura original era de 480 pies 11 pulgadas, pero debido a la pérdida de sus bloques superiores, es ahora algo más baja. Encuentre la altura actual de la gran pirámide a partir la información dada en la figura.
40,3° 46,27°
a)
2 3
b)
3 2
c)
4 3
200 pies
7. Se debe hacer pasar un rayo láser a través de un pequeño agujero en el centro de un círculo de 10 pies de radio. El origen del rayo está a 35 pies del círculo (véase la figura). ¿Con qué ángulo de elevación debe dirigirse el rayo para que pase por el agujero?
11.Un carpintero va a techar un garaje de 20 x 40 x 20 pies. Coloca una columna de soporte de acero de 46 pies de altura en el centro del garaje. Para apoyar el techo, una viga se unirá a la parte superior de la columna (veáse la figura). ¿Qué ángulo de elevación tiene la viga? En otras palabras, ¿qué inclinación tendrá el techo? viga
46 pies
8. Dos observadores miden simultáneamente el ángulo de elevación de un helicóptero. Un ángulo resulta de 25° y el otro de 40° (véase la figura). Si los observadores están a 100 pies uno del otro y el helicóptero se encuentra sobre la línea que los une, ¿qué tan alto vuela el helicóptero?
20 pies 20 pies 40 pies
12.Determinación de distancias desde el mar. El navegante de un barco visualiza dos faros separados 3 millas entre sí a lo largo de un tramo recto de la costa. Determina que los ángulos formados entre las dos líneas visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la costa miden 15° y 35°. Véase la figura. a) ¿Qué tan lejos está el barco de la costa? b) ¿Qué tan lejos está el barco del faro "A"? c) ¿Qué tan lejos está el barco del faro "B"?
9. Un alambre sujetador de 80 pies de longitud está unida a la parte superior de una torre formando un ángulo de 25° con el terreno. ¿Qué tan alta es la torre?
A
10.Los ojos de un jugador de baloncesto están a 6 pies del piso. El jugador se encuentra en la línea de tiro libre que está a 15 pies del centro del borde de la canasta. (Véase la figura). ¿Cuál es el ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro del borde? (Sugerencia: el borde está a 10 pies arriba del suelo)
15°
3 millas P
35°
B
R. T. de ángulos de cualquier magnitud Capítulo VII
cuadrante II
cuadrante I
cuadrante III
R x
0 cuadrante IV
Obsérvese que los cuadrantes se enumeran siempre en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. (1) Las medidas se consideran positivas cuando se toman hacia la derecha del eje vertical o hacia arriba del eje horizontal. (2) Las medidas se consideran negativas cuando se toman hacia la izquierda del eje vertical o hacia abajo del eje horizontal. La posición exacta de cualquier punto del plano se acostumbra indicar por medio de dos números reales con signo (es decir, números precedidos por el signo + o el signo -). Debe sobrentenderse que el primero de dichos números indica siempre una medida hacia la derecha o hacia la izquierda del eje vertical, mientras que el segundo número indica una medida hacia arriba o hacia abajo del eje horizontal. Tal como sucede en álgebra, si un número no va precedido de signo se considera positivo. Consecuentemente, una pareja ordenada de números constituye las coordenadas de un cierto punto; cada una de las coordenadas recibe un nombre particular. La primera de estas medidas, hacia la derecha o hacia la izquierda del eje vertical, se conoce con el nombre de abscisa del punto, que es una palabra latina usada para designar un segmento de recta que "corta" a otra recta de longitud indefinida (del latín: ab, "desde" y scindere, "cortar") La segunda de estas medidas, hacia arriba o hacia abajo del eje horizontal, se conoce con el nombre de ordenada del punto. Es posible que a dicha medida se le asignara el nombre de ordenada debido a que se toma paralela al eje vertical PAMER - CIENCIAS
abscisa de P
0
abscisa de R
P
ordenada de P
Q abscisa de Q
ordenada de S
y
y
ordenada de R
Antiguamente los egipcios, y más tarde los romanos, señalaban la posición de los edificios dando sus distancias a ciertas rectas determinadas. Esas distancias (a rectas perpendiculares) se conocen hoy bajo el nombre de coordenadas rectangulares. Las dos rectas perpendiculares entre sí reciben el nombre de ejes. El eje horizontal se conoce como eje "X", el eje vertical como eje "Y" y su punto de intersección como origen. Dichos ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes que se enumeran como se muestra en la figura.
(los matemáticos del medievo llamaban a una recta paralela a otra línea applicata ordinata, "recta colocada en orden")
ordenada de Q
• Posición de un punto en un plano
x
abscisa de S S
En un sistema de coordenadas rectangulares: el origen es el punto de intersección de los ejes, la abscisa es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje vertical o eje "Y"; la ordenada es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje horizontal o eje "X". Antes de introducir a la trigonometría esas palabras abscisa y ordenada, debemos comprender claramente los principios establecidos anteriormente. Las figuras nos ilustran sobre ellos y deben ser estudiadas cuidadosamente. y
Cualquier punto sobre esta recta de trazos interrumpidos tendrá de ordenada +4 -3 0 Cualquier punto sobre esta recta de trazos interrumpidos tendrá de abscisa -3
4
2
Cualquier punto sobre esta recta de trazos interrumpidos tendrá de abscisa +2 x Cualquier punto sobre esta recta de trazos interrumpidos tendrá de ordenada -4
-4 y Q(+2,+4)
P(-3,+4)
x
0 R(-3,-4)
S(+2,-4)
TRIGONOMETRIA
•
El ángulo de cualquier magnitud
y
Para una mejor comprensión de la trigonometría, se requiere una definición más amplia de ángulo que la conocida de la geometría elemental: "es la figura formada por dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice". Consideremos un rayo OC girando alrededor de un punto fijo "0" que pertenece también al eje de abscisas (eje x)
•
C
0
x
x E
Figura "a"
Figura "b"
La magnitud del giro de OC, desde su posición original en OX, recibe el nombre de ángulo. Cuando el giro es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el ángulo es positivo; cuando el giro es en el sentido de las manecillas del reloj, el ángulo es negativo. La figura "a" muestra un ángulo positivo y la figura "b" muestra un ángulo negativo. El lado del ángulo, a partir del cual empieza el giro, se llama lado inicial. El lado cuyo movimiento genera el ángulo y determina su tamaño por la posición que ocupa al detenerse el giro, recibe el nombre de lado final (OC en la figura "a", OE en la figura "b"). Estos ángulos así obtenidos se van a denominar ángulos en posición normal o en posición canónica. Se dice que un ángulo pertenece a un determinado cuadrante cuando el lado final detiene su movimiento en dicho cuadrante. Si el lado final coincide con uno de los ejes, a 90°, 180°, 270° ó 360°, se dice que es un ángulo cuadrantal. •
x
y
y
0
0
Ángulos coterminales
En trigonometría se trabaja con frecuencia con ángulos mayores de una vuelta (mayor que dos ángulos llanos). Por consiguiente, el lado final de cualquier ángulo coincide con el de muchos otros ángulos. Consideremos un ángulo de 400° como el de la figura. El lado final de dicho ángulo está en la misma posición que el de un ángulo de 40° ó 760° (40° + 360° + 360°) ó 40° más un número cualquiera de revoluciones completas. Tales ángulos reciben el nombre de ángulos coterminales. Se observará que, excepto por el total de revoluciones que intervienen en la generación del ángulo, las propiedades de todos los ángulos coterminales son las mismas. Es fácil ver que un ángulo de -320° es coterminal con los ángulos de 40°, 400° y 760° mencionados arriba.
Definición de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal.
Nota: En trigonometría, se emplean, con frecuencia, letras del alfabeto griego para representar, de un modo general, el número de grados de un ángulo. Cuando se hace uso de ellas, el símbolo de grados (°) no necesita añadirse. Algunas letras griegas son: α(alfa), β(beta), γ(gama), θ(theta), φ(fi), ω(omega) Supongamos una recta OR sobre el eje horizontal, tal como se muestra en la figura "a". Cuando el lado inicial está en dicha posición se dice que el ángulo está en posición ordinaria. Ahora, si se gira en torno de "0", en sentido contrario al de las manecillas del reloj, determinará un ángulo positivo "θ" (figura "b")
y
y
R x 0
Figura "a"
0
θ
x
Figura "b"
Desde "R", un punto cualquiera del lado final, trazamos RP perpendicular al eje horizontal, de esta manera se forma un triángulo rectángulo en el cual el lado OP es la abscisa del punto "R", RP es la ordenada y OR se conoce como distancia del origen al punto o como radio vector. Si el punto "R" se tomara en la posición R1 o R2, las longitudes de los lados del triángulo variarían, pero las razones de lados homólogos continuarían siendo las mismas, puesto que los triángulos son semejantes para cualquier ángulo dado, "θ". La figura II muestra un ángulo en cada uno de los cuatro cuadrantes y en cada caso se ha trazado una perpendicular RP desde un punto cualquiera "R" del lado final, al eje horizontal. El triángulo formado por la abscisa, la ordenada y el radio vector, como se muestra en cada uno de los cuadrantes, recibe el nombre de triángulo de referencia. Considerando las razones entre dichos segmentos, definiremos las seis funciones trigonométricas para un ángulo de cualquier magnitud.
Estas definiciones nos permiten escribir expresiones para las funciones de ángulos de cualquier magnitud, ya que cualquiera que sea la posición del radio vector se tendrán los mismos valores para la abscisa y la ordenada.
Figura I
R
0
θ
R1
R2
•
P P1 P2
R
R
θ P
0
0
θ
P
Figura II
P
θ
θ 0
0
R
P
R
ordenada (de R ) PR sen θ = = radio vector OR abscisa (de R ) OP cos θ = = radio vector OR PR tan θ = = OP OP cot θ = = PR OR sec θ = = OP
ordenada (de R )
Signos de las razones trigonométricas para cualquier ángulo
Tan pronto como aplicamos estas definiciones a ángulos diferentes de los agudos, debemos considerar los signos ya que, con excepción del primer cuadrante, la abscisa, la ordenada o ambas coordenadas son negativas. El radio vector se considera siempre positivo. En el segundo cuadrante la abscisa es negativa, de tal modo que la razón que utilice la abscisa con la ordenada o el radio vector será negativa. En todas las funciones, excepto el seno y la cosecante interviene la abscisa, bien sea en el numerador o en el denominador de la razón. Por consiguiente, en el segundo cuadrante, el seno y la cosecante son positivas y todas las demás funciones son negativas. De modo análogo, en el tercer cuadrante, en el cual tanto la abscisa como la ordenada son negativas, sólo la tangente y la cotangente son positivas. En el cuarto cuadrante, donde sólo la ordenada es negativa, el coseno y la secante son las únicas funciones que son positivas. Las ilustraciones de la figura II muestran los signos del seno, del coseno y de la tangente de ángulos que pertenecen a diferentes cuadrantes. Los signos de la cosecante, de la secante y de la cotangente serán, naturalmente, los mismos que los de sus correspondientes recíprocas seno, coseno y tangente.
solamente
sen + csc
Todos +
Figura I
abscisa (de R ) abscisa (de R ) ordenada (de R ) radio vector abscisa (de R )
radio vector OR csc θ = = ordenada (de R ) PR
solamente
tan cot
+
solamente
cos + sec
Figura II
Problemas resueltos
3 senθ = + 5
Cuadrante II y
cosθ = -
4 5
3 tanθ = - 4
+5
1. Si el punto P(-3;2) pertenece al lado final de un ángulo canónico "θ"; calcular: A = senθ.cosθ Resolución:
C
θ
+3
x
-4
13 θ
A
Cuadrante I
senθ = + y
+5 θ +4
+3
3 4
x
ii) abscisa = adyacente
B
iii) r.v. = ord2 + abs2
2 13
A=
cosθ = + 4 5 tanθ = +
2
-3
3 5
i) ordenada = opuesto
Resolución:
5 β
A
y
-4 -3
senθ = -
3 5
cosθ = -
4 5
tanθ = +
3 4
θ x
i) ordenada = opuesto
-4 B
-3
C=
ii) abscisa = adyacente 2
iii) r.v. = abs + ord
2
5 -1 -4 ⇒ + C= -3 -3 3
3. Si el punto P(2;-5) pertenece al lado final del ángulo canónico "β", calcular: C = tanβ + cotβ Resolución:
+5
29 Cuadrante IV
senθ = -
y
+4 -3 +5
3 5
cosθ = + 4 5 tanθ = -
θ
-3 ⇒ -6 A= 13 13
2. Si el punto P(-3;-4) pertenece al lado final del ángulo canónico "β", calcular: C = secβ + tanβ
C
Cuadrante III
x
3 4
β
-5
C=
-5 2 ⇒ + C = -2,9 2 -5
2
4. Si el punto P(2;-1) pertenece al lado final del ángulo en posición normal "α", calcular: Q = secα.tanα Resolución:
x
5 α
-1 2
Q=
5 2
x
-1 ⇒ - 5 Q= 2 4
5. Si: senβ > 0
cosβ < 0, entonces "β" pertenece al:
Por lo tanto:
Resolución: i) Como: senβ > 0 → senβ: positivo, por lo tanto: β ∈ 2°C ó 1°C ii) Además: cosβ < 0 → cosβ: negativo, por lo tanto: β ∈ 2°C ó 3°C Como deseamos que ambas condiciones se cumplan, entonces: 2°C 6. Si: cosα < 0
( +) ( +) (−) (+)
→
∴ Q = (−)
10.Si: β ∈ IIC; IIIC y θ ∈ IVC Señale el signo de:
C =
tanα > 0; entonces "α" pertenece al:
senα − senβ tan β + tan θ
Resolución:
Resolución: i) Como: cosα < 0 → cosα: negativo, por lo tanto: α ∈ 2°C ó 3°C ii) Además: tanα > 0 → tanα: positivo, por lo tanto: α ∈ 1°C ó 3°C Entonces: α ∈ 3°C 7. Si: sen β =
Q=
1 3
i) ii) iii)
II C → sen : (+) IIIC → sen : (-) IVC → tan : (-)
Reemplazando:
C= , β ∈ II C , calcular "cosβ"
(−) − (+) (−) + (−)
=
(−)
= ( +)
(−)
Problemas para la clase
Resolución:
Bloque I
Como: β ∈ IIC → abs = (-) 3
ord = (+)
1
β
Por lo tanto: cosβ =
-2 2
1. Del gráfico mostrado, calcular: E = senφ.cosφ
y
-2 2 3
( 3, y)
5 8. Si: cos β =
tanβ : (-)
1 3
; β ∈ IVC, calcular "tan "
0
φ
x
Resolución:
Como: β ∈ IVC → abs = (+) 3
ord = (-)
-2 2
β 1
Por lo tanto: tanβ = -2 2
9. Señale el signo de:
Q=
tan 200° . cos 310°
d)
6 2 6 10
b)
3
200° ∈IIIC → tan200° : (+) 310° ∈IVC → cos310° : (+) 190° ∈IIIC → sen190° : (-) 250° ∈IIIC → cot250° : (+)
c)
5
e) 1
2. Del gráfico mostrado, calcular: E = cscα + cotα
sen190° . cot 250°
Resolución: i) ii) iii) iv)
a)
y α
(-7; -24)
x
6 5
3
a)
b) -
4 4
d) -
e) -
3
3
c)
4
9. Si: sen = -0,6;
4 3
a) 2
3 2
3. Del gráfico mostrado, calcular: E = tanθ + cotθ
10
S
i :
6
b) -
4 3 2
d) -
e)
2
a
n
ó
n
i c
o
3 2 4
c)
c) -3
(x; 5)
2
13
θ
2 3
b) 1,5 e) -2,5
c) -1,5
b) 0 e) -2
a)
3 2
d) -
3 4
b) e) -
3 2 3
c) -4
β 17
sen140 ° − cos 200 ° tan 110 °
a) (+) d) (+) y (-)
b) (-) c) (+) ó (-) e) No se puede precisar
a)
1 2
d) -
1 4
b) -
1
sen200° cos 100° − tan 140° sen300° cos 290° + sen216° b) (-) c) (+) ó (-) e) No se puede precisar
4
e) -4
3. Del gráfico mostrado, calcular: E = senα + cscα
y (x; 3) 2
a) (+) d) (+) y (-)
1
c)
2
8. Señale el signo de:
J=
(15; y)
b) II c) III e) Es cuadrantal
7. Señale el signo de: J=
4
4
6. Si: cscθ > 0 y secθ < 0. ¿En qué cuadrante está "θ"? a) I d) IV
3
c)
2. Del gráfico mostrado, calcular: E = cotβ - cscβ
5 senθ + tan θ
a) 4 d) 2
b) -5 e) 6
3 2
5. Si el lado final de un ángulo positivo en posición normal "θ" pasa por el punto (-1;2), hallar el valor de:
E =
φ ∈ IIIC, hallar el valor de:
1. Del gráfico mostrado, calcular: E = secθ + tanθ
"
a) 1 d) 2,5
φ = 0,25
Bloque II
x
4. Si el punto P(-12;5) pertenece al lado final de un ángulo "; calcular: M = sec + tan c
t
e) 3
a) 5 d) 3
( 2; y)
θ 3 2
o
1 2
c)
E = 17 cosφ + tanφ
y
a)
c
b) -2 1 2
d) -
IV C. Calcular: K = sec + tan
α
x
7 3
a)
b) -
4 7 3
d)
e) -
6
7 3 4
c)
7 6 3
a)
b) -
5 5
d)
e) -
4
a
n
ó
n
i c
o
6
a) 1
b) -1
d) 5
e)
5
c) -
4
4 5
4
1 a) 5
1 b) 5
d) -5
e) -
c) 5
2 5
7. Señale el signo de: sen200 ° + cos 110 ° tan 300 °
3 E = tanθ - secθ
a)
d) -
∧ θ ∈ IIC, hallar el valor de:
2 2
d 4
d) I = -d
b) I = e) I =
d 2
2 2
3
3. El punto P(x;y) está en el lado final de un ángulo en posición normal "θ" siendo "d" su radio vector, tal que: senθ + cosθ = d
3 2 2
d) -
3 2
b)
e)
5 3 2
c) - 2
c)
2
2 2
4. "θ" y "φ" son las medidas de dos ángulos en posición normal situados en diferentes cuadrantes, tal que: tanθ < cosφ < -cosφ < senφ
P = A =
e) 1
c) I = d
d
Hallar el signo de:
b)
2
x2 + y2 − x
Reducir: I = tanθ(cscθ + cotθ)
a)
b) (-) c) (+) ó (-) e) No se puede precisar
1
c) M = 3
2. "d" es el radio vector de un punto P(x;y) que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal "θ" tal
b) (-) c) (+) ó (-) e) No se puede precisar
a) (+) d) (+) y (-)
b) M = 4 e) M = 1
1 1 x − ;y − 2 2
cos 100° tan 200° − 1 sen130°sen290° + cos 100°
9. Si: senθ =
1. "c" es el radio vector de un punto P(a;b) tal que: asenθ + bcosθ = c, si "θ" es la medida de un ángulo en posición normal, hallar: M = tanθ + cotθ
Calcular el radio vector del punto: Q
8. Señale el signo de:
J=
5
Bloque III
a) I =
b) II C c) III C e) No se puede determinar
a) (+) d) (+) y (-)
c) -5
que: sec θ − cos θ =
6. En qué cuadrante se ubica " ", si: sen > 0 y cot < 0
J=
5 (sec β − tan β)
a) M = 2 d) M = 5
3
"
a) I C d) IV C
β ∈ IVC. Hallar el valor de:
3
E =
5. Si el punto P(-5; 12) pertenece al lado final del ángulo "; calcular: K = sec - tan c
2
7 3
4. Si el punto (-9;-40) pertenece al lado final de un ángulo negativo en posición normal "α". Hallar el valor de: E = cscα + cotα
4
10.Si: senβ = -
sen θ . sec(180° + φ) tan(270° + φ) sen(−θ) . cos( −φ) cot( −φ) + csc( −θ)
a) (+),(+) d) (-),(+)
b) (-),(-) e) N.A.
c) (+),(-)
Obtener el signo de:
Q= 1
1
1
1
+ + +2= cos θ 2 6 15 Hallar "x", si además:
5. Si:
cot θ =
a) d) -
y
IIC.
senθ + x
b) -
13 7
e)
15
6
c) -
13
5 11
b) (-) e) N.A.
| sec θ | + csc 3 θ
"n" tér min os
Hallar el valor de:
3n + 1
a) 0 d) 2
senθ cos θ
b) (-) e) N.A.
n+1
(tan θ − sec θ)
b) 1 e) -2
c) -1
10.Del gráfico mostrado, hallar "tan tanβ", en términos de "a" y "b", siendo ABCD un cuadrado.
c) (+) o (-)
C
7. Si se cumple:
y B(0;b)
2
senθ cotα − tan θ > 0 ∧ secα − cosθ < 0
D
Hallar el signo de: M = senα.cosθ + cotθ.tanα a) (-) d) (+) o (-)
c) (+) y (-)
1 1 1 senθ = − − − − .... ∧ cos θ < 0 3 5 35
E=
13
tan θ
a) (+) d) (+) y (-)
a) (+) d) (+) o (-)
7
6. Hallar el signo de la expresión:
K =
cos β − tan φ
9. Si:
cos θ + x
7
tan φ + senβ
b) (+) e) N.A.
8. Dadas las siguientes relaciones: cot φ cot φ − tan β < 0 sec β csc φ − sec β > 0
θ A(-a;0)
c) (+) y (-)
a a + 2b Rpta: b b + 2a
β
x
R. T. de un ángulo de cualquier magnitud II Capítulo VIII • Ángulo
cuadrantal
tan90° =
Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un semieje. En consecuencia no pertenecen a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantales son 0°; 90°; 180°; 270° y 360°; y todo ángulo cuadrantal tiene como medida un múltiplo de 90°.
cot90° = sec90° =
90°
csc90° =
I
II
0° 360°
180° III
Si "θ" es cuadrantal ⇒ θ = 90º.n; n ∈ Z
R.T. de ángulos cuadrantales
Y
y r x
r y
= =
0
0 y y 0
=
y y
Del gráfico, observamos que: x = 0
270°
360°
SEN
0
1
0
-1
0
COS
1
0
-1
0
1
TAN
0
ND
0
ND
0
COT
ND
0
ND
0
ND
SEC
1
ND
-1
ND
1
CSC
ND
1
ND
-1
ND
• Ángulos coterminales Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si sus lados finales coinciden.
Y
r = y; por tanto:
β α
(0;y) X
o
cos90° =
r x r
=
y y 0 y
Y
φ
=1
=0
X
"α" y "β" son coterminales
90°
=
=1
180°
Y
y
= no definido
90°
X
o
sen90° =
=0
1.
90°
y
= no definido
Ejemplos:
(x;y) r
x
y
0°
IV
Como ejemplo vamos a calcular las R.T. de 90°, análogamente se van a calcular las otras R.T. de 0°; 180°; 270° y 360°.
x
=
Análogamente:
270°
•
y
X θ "φ" y "θ" son coterminales
PAMER - CIENCIAS
TRIGONOMETRIA
2.
Y senα =
50°
cos α =
X
410°
tan α =
410° y 50° son coterminales
y r x r y x
∧
senβ =
∧
cos β =
∧
tan β =
y r x r y x
⇒
senα = senβ
⇒
cos α = cos β
⇒
tan α = tan β
Análogamente: cot = cot
Y
sec = sec csc = csc
120°
Ejemplos:
X
1. 2. 3. 4. 5.
-240° 120° y -240° son coterminales Propiedad La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un número entero positivo de vueltas. Si " " y " " son coterminales tal que: cumple que: -
= k(360°) ; k
>
750° y 30° son coterminales sen750° = sen30° 330° y -30° son coterminales cos330° = cos(-30°) 2200° y 40° son coterminales tan2200° = tan40° 80° y -1000° son coterminales cot80° = cot(-1000°) 400° y 20° no son coterminales sec400° ≠ sec20°
En general: Si " " y " " son coterminales entonces se cumple que: R.T. ( ) = R.T. ( )
entonces se Propiedad
ZZ
Si " " y " " son coterminales, tal que:
Ejemplos: 1. 750° y 30° son coterminales porque: 750° - 30° = 720° = 2 vueltas 2. 330° y -30 son coterminales porque: 330° - (-30°) = 360° = 1 vuelta 3. 2200° y 40° son coterminales porque: 2200° - 40° = 2160° = 4 vueltas 4. 80° y -1000° son coterminales porque: 80° - (-1000°) = 1080° = 3 vueltas 5. 450° y -90° no son coterminales porque: 450° - (-90°) = 540° ≠ # vueltas •
Razones trigonométricas de ángulos coterminales Y
>
R.T. ( ) = R.T. ( ) ....... (I) - = k(360°) = k(360°) +
pero:
Reemplazamos en (I): R.T. [k(360°) + ] = R.T.( ) Ejemplos:
1. sen1845° = sen(1800° + 45°) = sen45° = 2. cos630° = cos(360° + 270°) = cos270° = 0 3. tan900° = tan(720° + 180°) = tan180° = 0
(x;y) r α
β
4. sen125 = sen(124 + ) = sen = 0
X
" " y " " son coterminales, entonces se cumple que:
entonces:
3π 3π = cos10π + 2 = cos =0 2 2 6. tan12345 = tan(12344 + ) = tan = 0 5. cos23
π
2 2
Además: 4032° <
Problemas resueltos 1. Calcular el valor de:
E = (cos 270°) sen 90° −
De (2):
tan 360° cos 0°
+ (sec 180°) cot 270°
=
3
-
3
+
< 4608° .... (3)
, reemplazando en (1):
5
= 360°n
5
= 900°n
Resolución: Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales
E = (0)
(1)
−
(0) (1)
+ (−1)
0
→ ∴ E =1
reemplazando en (3) : 4032°<900°n + 4032° < 1440°n < 4608° Como:
2. Calcular el valor de:
E = tan[sen(cos
π 2
=
)] − cos[tan( senπ)]
"
Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales E = tan[sen(0)] - cos[tan(0)] E = tan[0] - cos[0] E = 0 - (1) ∴ E = (-1) 3. Hallar el mayor de dos ángulos coterminales, si la suma de ambos es 2480° y el menor de ellos está comprendido entre 304° y 430°. Resolución: Como son ángulos coterminales, entonces: - = 360°n por condición: α + β = 2480 °...(1) restando : 2β = 2480 ° − 360°n − β =360°n ...(2) α + β = 2480α°...(1)
restando : 2β = 2480° − 360°n →∴β = 1240° − 180°n α − β = 360°n ...(2)
entonces:
∴ 4,5 < n < 5,2
−810° − 180°
3
=
5
−936°
α β
2, ... < n < 3, ...
3
(2700°)
5
= 2700° = 1620°
" , cuando: 220° <
< 260°
α + β = 90° ...... (1) sumando : α = 180°k + 45° ...(3) α − β = 360°k... (2)
por condición: 220° < < 260° 220° < 180°k + 45° < 260° de donde: k = 1, en (3): = 180° (1) + 45° de donde:
α β
=−
∴ 0, ... < k < 1, ... = 225° ;
3
6. Siendo " " un ángulo en posición normal del IIC, calcular el valor de: E = 2sen - 3 sec , sabiendo que se cumple:
− 180°
3
− 1,5 sec θ =
2
1
+
1
4 +
1 4 +
α + β = 2480 ° sumando : α = 2140 ° α − β = 1800 °
Resolución: Reduciendo la fracción ilimitada
4. Hallar la medida de dos ángulos coterminales que están en la relación de 3 a 5 y la suma de ambas está comprendida entre 4032° y 4608°. Resolución: Sean los ángulos coterminales " " y " "
1
P =
1
4 + 3+
α
=
3 5
1 4 +
.... (2)
= -135°,
5
3+
β
∴ n=3
Resolución:
n=5
= 360°n .... (1); por condición:
900°n<4608°
= 900°(3)
reemplazando en (1) y (2):
-
5
5. Si: " " y " " son ángulos coterminales y suman 90°. Hallar
Resolución:
304° < 1240° - 180°n < 430°
= 900°n
3
1 3
1 3
resolviendo la ecuación: 1
3 + 3 P=2
1 3+P
4 +
3 P= - 3 2
3 2
1
4 +
1 1
4 + 3 3 + − + 2 2
A
1
θ
B
- 3
∴ K = −1
→
(a + b)
1 − = 2 a −1
3 +
−2 3 3 → ∴ sec θ = 3
1
∴ tan( −2060°) = −
Graficando:
2
−(a + b)
Resolución: tan(-2060°) = -tan(2060°) = -tan(260° + 1800°) = -tan(260°)
1
+
C
− (a + b)
8. Si: sec10° = a, entonces: tan(-2060°) es igual a:
3+
⇒ − 1,5 sec θ =
b
+
a+b
K =
(absurdo)
Luego se tendrá:
− 1,5 sec θ =
−a
2
a −1
reemplazando: E = 2senθ - 3 secθ E = 2.
1 2
- 3.
2 → - 3
260°
E=3
a
2
(- a -1;-1)
7. En la figura mostrada, ABCD: cuadrado, determinar: K = cot + tan
10 °
P=
reemplazando: K =
1
2
- a -1
Y
C
a
9. Si: cos3 =
b
B
. ¿A qué es igual: E = csc3 - cot3?
Resolución:
D α A
β
a
cos3 =
X
b
, notando que: 3
Y
Resolución: 2
b
b (0;a)
(-(a+b);b)
E = csc3 - cot3 E=
2
(a; b -a )
(-a;a+b) Y a
IIC
3
X
b 2
b -a E =
2
-
a 2
b -a
2
b-a b+a
a
b
α a
(b;0) b
β
X
10.Si " " y " " son dos coterminales y complementarios, tal que " " toma su máximo valor negativo, calcular:
θ E = cos 0,6π φ
Resolución:
5. Reducir:
i) por ser coterminales: sumando: 2 = 2n +
-
= 2n
π
; ii)
=n +
∴
2
+
=
π 2
π 4
* Pero " ", adopta su máximo valor negativo, que se obtiene dando a "n" el primer valor negativo.
π 3π = − , 4 4 π π 3π en (ii) θ = −φ= − − 2 2 4 5π →∴ θ = 4
∴ n = −1 → φ = − π +
Reemplazando:
5π 3 π E = cos . 4 = cos (−π) 3π 5 − 4
→
∴ E = −1
(a + b) 2 sen 90° + (a − b) 2 cos 3 180 °
L =
absen 270 °
a) 1 d) -4
b) -1 e) -ab
6. Hallar el menor de dos ángulos coterminales, si la suma de ambas es 1320° y el mayor de ellos está comprendido entre 900° y 1200°. a) 240° d) 320°
b) 260° e) 340°
a) 2016° y 576° c) 900° y 580° e) 1500° y 360°
b) 3600° y 1400° d) 1400° y 100°
8. Si "k" es un número entero positivo, calcular el valor de:
E =
Bloque I 1. Calcular el valor de:
a) -2 d) 1
cos 180°
b) -1 e) 2
− (csc 270°) sec 180°
3
a)
a) 2 d) 1
π
c) 0
6
d)
2
)] − cos[tan( senπ)]
b) 0 e) -1
3. La expresión: E =
α −1 +
Es real, hallar el valor de: M = cos - sen - cot cuando " " es ángulo cuadrantal. a) -1 d) -3
b) -2 e) 0
c) 2
e)
2
6 π
}
4
}
6
6
c)
3
6
3 4
9. Si " " y "φ" son ángulos cuadrantales. Hallar cuántos valores diferentes adopta:
cos[
c) -2
2−α
b)
6
2. Calcular el valor de:
E = sen[tan(cos
π
tan{(24k + 1) sec{(16k + 1)
cot(270°)
c) 300°
7. Hallar las medidas de dos ángulos coterminales, que están en la relación de 2 a 7 y la diferencia de ambos está comprendida entre 1200° y 1500°.
Problemas para la clase
E = (sen270°) csc 90° +
c) 4
a) 2 d) 5
3 2
(θ + φ)] b) 3 e) 6
c) 4
10.Del gráfico, calcular:
R=
senα + senβ cos( α − β) tan α + | senα | | tan β |
y 4. Si:
1 − cos θ + cos θ − 1 = senφ + 1 Hallar el valor de: E = tan + cot a) 0 d) 2
b) -2 e) 1
c) -1
α β
x
a) 3 d) -1
b) -3 e) 2
c) 1
Bloque II 1.
S
i :
a
=
c
o
s
(
t
a
n
(
s
e
n
π )) + sec(sen(cos )) 2
2
a) 1400° d) 1520°
d)
b) 1
3 2
S =
a) 1 d) 4
cos 2 180°
+ (csc 90°)
b) 2 e) 5
3. La expresión: E =
2sen3 360°
c) 3
θ − 2 + 4 − θ es real, hallar el valor
de: M = sen + tan + cos cuadrantal.
cuando " " es ángulo
a) 1 d) 2
c) -2
b) -1 e) 3
cos{(56n + 1)
3
a)
2. Calcular el valor de: K = (sen90°) 2sen270° +
2 6
d)
4
d)
1 2
e)
c) 3
2 3
(a + b) 2 sen90° − (a − b) 2 cos 2 180 °
a) 4ab d) 4b
asen 4 90° + b cos 3 270 °
b) 4 e) b
c) 4a
6. Halle el mayor de dos ángulos coterminales si su suma es 1520° y el menor está comprendido entre 200° y 250°. a) 1100° d) 1750°
b) 1200° e) 1800°
4
} }
b)
e)
6
c)
2
6 3
3 6
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
10.Del gráfico mostrado, hallar el valor de:
y
(-20;21) α
x
β
5. Calcular: Q =
3 π
E = tan + tan - tan( - )
csc θ + cos 2 φ K = 1 − senφ b) 2
π
9. Si " " y " " son cuadrantales; cuántos valores toma: sen( + ).
4. Si: 1 − senθ + senθ −1 = cosφ +1 " " y " " son positivos y menores que 1 vuelta, calcular:
a) 1
sen{( 48n + 1)
c) 2
e) 3
cot 90°
c) 1310°
8. Si "n" es un número entero positivo, calcular el valor de:
y P (-a; 5 ) pertenece al lado terminal, del ángulo " " en posición normal, hallar el valor de: A = 3cos + 2 a) 0
b) 1420° e) 1520°
c) 1300°
7. Dos ángulos coterminales están en la relación de 10 a 1. Si su diferencia está comprendida entre 1000° y 1200°, ¿cuánto suman los ángulos?
a) 2,1 d) -4,1
b) -2,1 e) 0
c) 4,1
Bloque III 1. Sabiendo que " " y " " son ángulos en posición normal mayores no positivos y cumplen la condición: sen + sec = 0 Calcular: α
− sen senβ 3 K = sec + 4(tan β) 4
a) 0 d) 2
b) 1 e) -2
c) -1
2. Calcular la suma de senos y cosenos de todos los ángulos π cuadrantales positivos y menores a 1110 7 a) 0 d) 2
b) 1 e) -2
c) -1
3. Si " " es un ángulo en posición normal del IVC, donde: tan4 - 7tan2 + 1 = 0, además " " y " " son ángulos coterminales. Calcular: E = | |tan | - |cot | | a)
2
b)
3
d)
6
e)
7
c)
2
a) -
8.
D
e
5
3
d)
5
f
i g
u
r
a
,
h
a
l l a
r
c)
5
2 5
4
e)
5 l a
3
b) -
5 "
4. Siendo "x", "y", "z" ángulos cuadrantales positivos menores o iguales que 360°; además son distintos entre sí, se cumple:
t
a
".
n
y
Q(a;b)
i) −1− senx+ cosy + secy = 2 − cosy − secy ii) 3 +| cosx |=| cotz − 3 |
Calcular: x + y + z a) 180° d) 720°
x
b) 360° e) 1080°
c) 540°
5. Sabiendo que: "a", "b" y "c" son positivos, donde: a > b, además: acot - c = b|cot | Hallar "tan " en términos de "a","b" y "c"
a)
d)
a−b
b)
c c−a
e)
b
b−a c
Q=
y
c)
b
a−c b−c
sen
x 2
+ senx + sen2 x + sen3x
a) 1
b)
2
d) -1
e)
3
c) - 2
1
<
2
<
3
<
4
<2
Calcular: A = sen 1cos 2tan 3cot
a−b b−a
4
a−b
c)
a a+b
a−b
e)
b+a
9. Si: cos(- ) = -
b
b)
a+b
1
, hallar "cotβ", si: β ∈ IIIC 3 son coterminales.
d)
2
b)
2 2
2
c)
" "y" "
2 3
e) 2 2
4
10.El lado terminal del ángulo (- ) en posición normal pasa por el punto (-4;-6). Hallar el valor de la expresión:
cos θ +
7. Siendo: |tan + cot | = 5|tan | además: " 1", " 2", " 3", " 4" son los valores de " " que cumplen con la condición anterior, donde: 0<
d)
a+b
a)
+ tan 4 y + tan 8 y + tan 16 y
4
a)
a−c
6. Siendo: 0 < x < y < 2 , además: cosy + cscx = 0, calcular:
tan
α
E = sen(−θ) +
a) 3 d) 1
Departamento de Publicaciones - Trilce COSI5SLITR1B-04
2 52 2
sen(−30°)
52
cos 420°
b) -2 e) 2
c) -1
