. -> ip(xi, ...,x p) = / 1 (i i ) / 2 (i 2 ) - “ / p(xp) es una for ma p-lineal. A la aplicación ( f l , f 2 , f p) ►-* f l ® f 2 ® ® fp = se le llama el producto tensorial de las p formas lineales / ' ; ¿ip es un tensor simétrico? Más tarde definiremos el producto exteriof de p formas 1 -lineales ( / * i ■··) / p ) / * A f 2 a . . . a f p como un tensor antisimétrico. El trab ajo doméstico del físico se hace generalmente con formas 2-lineales, es decir, tensores de orden o rango 2. Afortunadam ente la naturaleza en sus exigencias es generosa al no reclamar tensores de rango más alto o formas multilineales de grado más elevado. La teoría de la relatividad se caracteriza por unificar y sintetizar elementos que antes aparecían artificialmente dispersos, como ruedas sueltas; gracias a ella, ahora son engranajes. E sta síntesis se realiza gracias a los 4-vectores y = 0. iii) f(x,y)= 0 (Vy e E ) = > x = 0. iv) La aplicación ¡p de E en E* asociada a f es un isomorfismo de espacio vec torial. v) d e t(a y ) / = [|* > ] ( |* )) . Pero o, H 3 |$ ) * (tf| Recordemos que )) = dimi¿>(£). Pruebe que tp es inyectiva si, y sólo si, ip es biyectiva. 36) Demuestre el siguiente teorema: sea / una forma bilineal simétrica sobre el espacio E de dimensión n y (a¡j) la m atriz asociada a / con relación a una base de E . Entonces, las siguientes propiedades son equivalentes: a) / es no degenerada sobre E. b) /( x , y) = 0 -> x x ' + y z ' , es una forma bilineal / degenerada. Encuentre los núcleos de los dos homomorfismos asociados canónicamente a / . / 77) D ada la matriz , de U' —* /l p(Rn ,R) la cual se llama forma diferencial deducida de u por el cambio de variable tp : U' —* U . tp,u> está dada por la fórmula (llamada del cambio de variable): (tp ,u )(M '\ y i , . . . , yp) = w ( .(# ) = d [tp ,f). f) Si tp : U' —► U es de clase C 2 y lj : U —* >4p(Rn ,R ) es de clase C l , entonces pruebe que tpt (cLj) = d(tp0 cj). ¿Cuál es la clase de tpt ui y de dui? g) Como la escritura canónica de u E Qpl\ U , R), U abierto de Rfc, es una sum a de p-formas del tipo .4 (i) d x ix a · · · a dxx¡¡, entonces calcu le tp ,u en el caso en que u> = A ( X ) d x it a · · · a d xj . Pruebe que tpt w = tp^A(X)d{tpMx ix) A · · · *dtpmx ip y obtenga tp^w = A(tp(Y))(dtpu ) a • • • a + (j)-lineales (í/)] ( i) = f y(x) = f ( x , y ) = ( i |y ) . Por consiguiente este isomorfismo permite identificar (como ya lo vimos con las formas bilineales simétricas no degeneradas en lassecciones 2.13 y 2.14) la ortogonalidad entre x e E y y e E * , (i|y ) = 0, con la ortogonalidad de E relativa a /: / ( x , y ) = 0. De aquí la siguiente proposición: P ro p o s ic ió n 3: Consideremos una forma hermítica no degenerada f sobre nE, y F un subespacio vectorial de E . Entonces para F ^ , relativo a f , se tiene d im F -1- = dim E — dim F y (F 'L)'1' = F. E je m p lo : La forma de Lorentz es no degenerada puesto que su matriz con relación a la base canónica de R4 es la m atriz invertible (c # 0) , (? = 6„ es un isomorfismo entre E y £ * ? f) Demuestre el recíproco de o): dada la forma lineal / sobre un espacio hermítico nE (de dimensión finita), existe un vector único i e n E tal que f ( y ) = (y |x ) para todo y de „ £ . , es decir, = P (1 )Q (1 )-P (0 )Q (0 ). Con Q fijo, / ( P ) = P(1)Q (1) — P(0)Q (0) es la forma evaluación y no se puede concluir que / ( P ) = (P |fi> , a menos que / = 0. Si D^Q existe, entonces con R = D^Q 4- D Q se tiene que / ( P ) = ( P |P ) y Q(0) = 0 = Q (l) = 0. Si existe un polinomio apropiado D^Q, im plicaría que Q(0) = Q (l) = 0. Recíprocamente, si Q(0) = Q (l) = 0, el po linomio D*Q = —DQ satisface (£>P|Q ) = < P |D fQ ) V P . Si se elige cualquier Q para el que Q(0) ¥= 0 o Q (l) # 0 no se puede definir propiam ente D*Q. 118) Existe una serie de Taylor de /(A ), con / ' = [A ,/(A )], f “[A[A, /(A )]l, etc. A A2 Puesto que /( 0 ) = B => /(A ) = B + —[A, B] + - y [A, [A, 5 ]] -I-----, si A = 1, entonces encontram os la fórmula pedida. 121) b) Use el producto hermítico canónico y la m atriz de 122)
(1.5)
b) Si n > 1 y K # Z/2Z, muestre que, entonces, existe un automorfismo u de E que no verificará la relación precedente (1.5). P ara ello tome u tal que u(y) = Ay (con A 0, A ^ 1) y u(x) = x. c) Si n > 2 y K es cualquiera, pruebe que entonces existe un automorfismo u de E que no verifica a (1.5). P ara ello considere i y* 0 y F subespacio de E ortogonal a tp{x), y pruebe que se puede tom ar y $ F, u(y) e F, u(x) = x. d) Estudie detalladam ente el caso del espacio vectorial K 2 sobre el cuerpo K = Z/2Z. 74) Es sabido que si un espacio vectorial E sobre K , es de dimensión finita, en tonces E y s u bidual £** son isomorfos canónicamente y E = E * * . Esto se realiza gracias al isomorfismo canónico x >-> x. Pero si E es de dimen sión infinita sobre K , entonces la aplicación x >-* x siempre es inyectiva pero nunca sobreyectiva. El objetivo del presente ejercicio es establecer este hecho. Sea E de dimensión infinita, (e¡) i e I (conjunto de índices) y su dual E * . Vx e E se tiene x = sólo un número finito de escalares x l son diferentes de cero. Sea e* la forma lineal tal que e'(x) = x ‘. a) Deduzca que (e')(¿ 6 I) es un conjunto linealmente independiente de E * pero no engendra a E * . P ara ello considere la forma lineal / tal que Vi e I, f{ei) = 1. b) Encuentre que el x x de E en E** es inyectivo pero no sobreyectivo. De aquí infiera que la parte del bidual descrita por x, cuando x recorre E, es un subespacio propio del dual.
2
F o rm a s bilineales y c u a d rá tic a s Un ejemplo banal de aplicación bilineal y de uso corriente en física es el producto vectorial. U na ilustración trivial de forma bilineal es el producto escalar. Este último permite definir un espacio euclidiano; gracias al producto escalar se puede calcular el módulo de los vectores, medir longitudes y ángulos, calcular componentes, subir y bajar índices. El producto escalar, al definir una métrica, generaliza la definición de límite, continuidad y convergencia; en una palabra, en un espacio que posea esa métrica (espacio métrico) se podrá hacer análisis matemático. El espacio euclidiano es el ancestro y modelo de todos los demás espacios generalizados y abstractos que más tarde se construyeron por necesidades físicas o razones matemáticas. Unidos a estos espacios euclidianos están los grupos de transformaciones isométricas que al operar sobre los espacios los conservan y dejan invariantes las formas bilineales y cuadráticas. E ste hecho es capital en to d a la física. Cada capítulo de la física tiene su grupo específico de invariancia y por consiguiente su geometría concomitante particular. De allí se derivan las leyes de conservación. La física es una geometría. Las formas bilineales no sólo son im portantes en los espacios euclidianos (fí sica clásica) sino en los espacios pseudoeuclidianos y en los espacios de Minkowski (física relativista). Las geometrías que allí se construyen forman el cuadro natu ral para la interpretación de los fenómenos físicos. La geometría y los espacios de Riemann (estos últimos no son sino una infinidad de espacios euclidianos locales yuxtapuestos que cubren una región con retazos) generalizan a los anteriores y for man la columna vertebral de la teoría relativista de la gravitación y de la cosmología y astrofísica modernas.
Las formas bilineales permiten el desarrollo en serie de funciones ortogonales y de polinomios ortogonales muy usados en la física m atem ática y en la solución de ecuaciones diferenciales. También las cónicas y las cuádricas son casos particulares de formas bilineales. Ya estudiamos las aplicaciones y formas lineales sobre un espacio vectorial, como funciones de un solo vector, con valores en otro espacio, en el cuerpo de base. Ese estudio constituye el álgebra lineal. Ahora se tr a ta de definir, con más generalidad, aplicaciones y formas bi, tri, tetralineales, y en general p-lineales o multilineales, que son funciones de 2, 3, 4, o p vectores. Estáis funciones multilineales dependen linealmente de cada vector (argumento) y se llaman, también, aplicaciones o for mas multivectoriales; más comúnmente se les llam a tensores. Examinaremos sus propiedades m atem áticas y sus aplicaciones físico-matemáticas. En esto consiste el álgebra bilineal, trilineal y, en general, multilineal. E sta últim a constituye el sustra to de las teorías físicas modernas. En este capítulo estudiaremos el caso particular, muy interesante en física, de las formas bilineales simétricas y sus formas cuadráti cas asociadas; estudiar las primeras o las segundas es casi equivalente. Esas nociones generalizan el conocido producto escalar. También estudiaremos los grupos de si metrías o invariancias (grupos ortogonales) asociados a esas formas; estos grupos juegan un papel decisivo en las geometrías, en las mecánicas, y en general en toda la física; por ejemplo, grupos de transformaciones isométricas y ortogonales como el grupo de rotaciones y el grupo de Lorentz. Finalizaremos con el estudio de las formas bilineales reales y los espacios euclidianos de n dimensiones. A las formas bilineales tam bién se les llama tensores covariantes de rango dos, o diadas.
2.1.
D efin iciones
Iniciamos esta sección con una serie de definiciones preliminares. Sean tres conjuntos A, B y C. La aplicación f : A x B C, definida por (x , y ) >-► /( x , y), se llama función o aplicación de dos variables o de dos argum entos x, y. E je m p lo 1: La función primera coordenada, n otad a p r i, es la aplicación de A x B en A definida por (x , y ) >-* x. De m anera similar se define pr?. Entonces: pr i ( x , y ) = x,
W2(x,y) = y-
E je m p lo 2: R 3 >-► R, f = (x, y , z ) *-* x es simplemente la proyección sobre el eje O X . A partir de una aplicación / de A x B en C se puede definir una familia de aplicaciones de A en C; para ello se fija una variable, por ejemplo y. Entonces la aplicación de A en C, definida por x i-* f ( x , y ) depende de y. A esta aplicación se
le llama aplicación parcial definida por / relativa al valor y del segundo argumento. Se nota por f y o / ( · ,y), de manera que tenemos f y : A >-> C
con
f y(x) = f ( x , y).
De la misma manera se define f x : B >-* C
con
f x (y) = f { x ,y ) .
También se define B >-» A ( A ,C ) , aplicación definida por y i-* f y. Lo mismo A ~ A ( B , C), x ~
con A ( A , C) = { f\A -L C ).
E je rc ic io 1: Sea E un conjunto y A c C, es decir, A 6 p(E); la aplicación
se llama la función característica de la parte A de E. Demuestre que
0 =
E je rc ic io 2: Con ayuda de la aplicación pry. E\ x E i >-» E \, dé un ejemplo donde / ( X ! o X a) * / ( X i ) n / ( X 2), para X l t X 2 c E¡. Una función o aplicación de n variables x i, x 2, ·.., x n , que generaliza el caso inicial, es una aplicación / de E \ x F 2 x · · · x En en F , (x l t . . . ,x „) i-> / ( x i , . . . , x n ), donde E \ , F 2, ..., E n , F son n + 1 conjuntos dados. La aplicación de £ i x £ 2 x · · · x £ „ en £ ¡ definida por ( x i , . . . , xn) ·-* Xi e £ ¡ se llama la i-ésima función coordenada y se nota pr¡. D ada una aplicación de x j F , en F , se puede definir una, y sólo una, aplicación g de Ei en F para cada valor de la n-tupla (x i, . ..,x i_ i,x j,x ¡ +i, ...,x n), por la igualdad Xi
* í7(-£i) ~ f(.X 1) *"I X<—1>x i i x i+1, ···, Xn)·
La función g se llama la aplicación parcial de F , en F asociada a / , y se nota / ( x i , . ■ ■ , Xi—1, -Xi+1, —,Xn)· Repasemos ahora algunas definiciones referentes al grupo simétrico. Se sabe que el conjunto de permutaciones de n objetos {a¿}i4 ¡$n (biyecciones sobre un conjunto finito) forma un grupo, llamado el grupo simétrico S n. Una transposición t es una permutación tal que para toda i ¥= j , se tiene t(ai) = aj,
t(aó) = a<
y
t( ak) = ak ,Vk ^ i,Vk * j.
H
Sea p e S n una permutación de { 1 , 2 , diferente de la identidad. Entonces para i < j se tiene p(i) < p (j) o p(i) > p(j), en el último caso se dice que los elementos p(i) y p(j) presentan una inversión. Si llamamos I(p) el número total de inversiones presentadas por los elementos de {p(l), ...,p(n)} tomados dos a dos, entonces llamaremos signo o paridad de una permutación a la aplicación de S n en { 1,-1} definida por p — - £(p) = ( - i ) /(p) ■ Si e{p) = +1 se dice que la permutación es par. Si e(p) = —1, que es impar. E je rc ic io 3: Demuestre que to d a transposición es impar. Verifique que el signo £ es un homomorfismo sobreyectivo (especifique los grupos). Muestre que el producto de dos permutaciones de la misma paridad es una permutación par y que p y p _l tienen la misma paridad. Pruebe que el conjunto A n de permutaciones pares forma un subgrupo de S n , A n , se llama el grupo alternado. Justifique que ker(e) = A n . Demuestre que A n es un subgrupo invariante de S n y deduzca que el cardinal de A n es y · Teminemos particularizando estas deifiniciones generales. Si ponemos E \ = E i — ■ · · = E n = E se dice que / , aplicación de E n — x en F, es simétrica si p ara todo elemento ( x j , . . . , xn ) de E n y para toda permutación p e S n se tiene que f (x p(l) ix p ( 2) i···) x p ( n ) ) ~
f (X 11x 2, ·■·jX n ) ·
Si la precedente igualdad es válida únicamente para la transposición que cambia i en j (i # j) , entonces, se dice que / es sim étrica respecto de las variables x¡ y Xj . Si F es un grupo aditivo, / de E n en F es antisim étrica con relación a las variables x¡ y Xj (i ^ j ) si para todo elemento ( x i , . . . , xn ) e E n se verifica que / ( * t ( l ) i x t(2 ) ) · · · ) x t ( n ) ) =
f ( x 1 , ^ 2 í ■·· , Xn)·
Se dice que / es antisimétrica si lo es con relación a toda pareja (x,, Xj), (i ^ j ) de n variables Xfc(1 ^ k ^ n)\ es decir, cuando, y sólo cuando, p ara todo p e S n f
(xp( 1) ’Xp(2) J*··) x p(n)) =
E ( p ) f {x l i
Xn)·
Se dice que / es alternada si su valor se anula para todo elemento x = ( x i , . . . , x n) e E n que tiene dos argumentos iguales. E je rc ic io 4: Demuestre que las aplicaciones simétricas, antisimétricas y alternadas son subespacios vectoriales.
2.2.
A p licaciones y formas biiineales y m ultilineales
Sean ahora tres espacios vectoriales E i , E 2 y F sobre el mismo cuerpo conmutativo K . Se llama aplicación bilineal sobre Ei y E 2 a to d a aplicación / de E\ x E 2 en F que es lineal con respecto a cada una de las dos variables, es decir /(x i + x \ ,y ) /( A i, y)
= /(x i,y )+ /(x í,y ), = A /(x, y),
f{x,V2 +y2) = f(x,V2 ) + f{x,y2) y f{ x ,n y )
= n f(x ,y )
para todo x i . i j e E \ , y2, y 2 G E 2; A,/i 6 K . E je m p lo 1: El producto vectorial ( a ) sobre el espacio vectorial de los vectores libres del espacio real R3 es una aplicación bilineal. Aquí E \ = E 2 = F = R3 y R3 x R3 = (R3)2 R3. Se dice que / es una forma bilineal si / es una aplicación bilineal de E i x E 2 en K . Aquí estudiaremos las formas biiineales de E 2 — E x E en K . En este último caso, para combinaciones lineales se tendrá: /
n
m
f f 2 AtX¡, 2 \¿=1
j=l
\
n
^yyj I = 2 )
m
2
A·H if{ x \,y j) i
i= lj =l
cualesquiera que sean los vectores x i , ..., x n , y\, ...,ym , de E y los escalares A i,. . . An, H i , . . . , n m . A una forma bilineal o forma 2-lineal la llamaremos tensor dos veces covariante o tensor covariante de rango 2. E je m p lo 2: El producto punto o escalar (·) es una forma bilineal sobre R3:
Es decir, el producto punto, como función, es un tensor covariante de rango dos. Las definiciones precedentes se extienden a las aplicaciones y formas trilineales, tetralineales, etc., y en general se tiene la siguiente definición: D e fin ic ió n 1: Dados n + 1 (n e N* = N - {0}) espacios vectoriales E i , ... ,£ n , F sobre el mismo cuerpo conmutativo I( , una aplicación / n-lineal es una aplicación de x*=lE i en F definida por ( x i , . . . , x „ ) >-► / ( i i , . . . , x n ) tal que cada aplicación parcial de Ei en F asociada a / es lineal.
Una forma n-lineal es una aplicación ( * i , . . . ,x „ ) >-► f ( x \ , . . . , x n ) de E n en K , lineal con respecto a cada variable. El índice n es el orden de la forma. Cuando no se especifica el entero n se dice, para n ^ 2 , que / es una aplicación o forma multilineal. Si / es una forma trilineal sobre E , llamada también forma 3-lineal o tensor covariante de rango tres, entonces: /
n
m
/ f2
p
\
n,m ,p
2 Vk*k ) =
\¿»1 Si (e,)íe[¡
; = 1
fc= l
/
At/iji/fc f ( x i , y j , z k). 4
«,jF, e
es una base de n E, entonces para todo x , y , z e E s e tiene n
f ( x , y , z ) = f ( x ' e i , y ]e j , z kek) =
x V 2 */(e¡,e^, ek ) = x ' y 3z ka i j k.
E sta forma 3-lineal está perfectamente determ inada por el conocimiento de los (n 3) números a y * y, recíprocamente, cualesquiera que sean los escalares a y * , la fórmula precedente define una forma trilineal sobre E. Así se construyen todas las formas trilineales sobre nE. Esto se generaliza a una forma p-lineal: en este caso hay que dar n p números a Mi¡j....o m atriz en p dimensiones. Si Xi, j/¿ recorren a Ei y A e K , entonces para todo i e [1, n] y / n-lineal se tiene: / ( x i , ..·, X¡—1, Xi 4" J/i, X t+ 1, ··., X n)
=
/ ( x i , ···, X¡—1, X t, X j+ 1 , ···, Xn )
/ ( x 1 *···» X»—l , Vii Xi+1 , *··, Xn) / ( x i ...... x í - i , 0 , x « + i , ··■>,Xn)
=
0
06
Ei,
0 e K.
N o ta : Ciertos autores llaman a una forma n-lineal una n-forma o funcional lineal n-dimensional. Aquí no utilizamos esta terminología. Una forma multilineal de orden p (forma p-lineal) es un tensor covariante de rango p, es decir, una forma multivectorial que depende linealmente de cada uno de los p vectores que son sus argumentos.
2.3. Ejemplos 1)
El trab ajo es una forma bilineal, lo mismo que la potencia.
2) El tensor “¿ y ” y el tensor métrico “s y " , o potencial einsteiniano de gravita ción, son formas bilineales. 3) Un determ inante de orden 18 es una forma 18-lineal. Es un tensor covariante de rango 18.
4) En general, los tensores y determinantes son formas multilineales. El producto mixto es una forma trilineal. 5) La masa, la carga y los invariantes absolutos de la física newtoniana son formas O-lineales, es decir, números, escalares. 6)
El campo electromagnético es una forma 2 -lineal o tensor de orden 2 anti simétrico; lo mismo la aplicación producto vectorial.
7) Las constantes £q, /¿o, e, n y el índice de refracción de la luz, son, en general, tensores de orden 2 . 8)
Un elemento de línea dx, un elemento de superficie d S y un elemento de volumen d x d y d z son formas 1-, 2- y 3-lineales, respectivamente; o tensores de rango 1, 2 y 3 respectivamente.
9) La aplicación de E x E* >-* K definida por (x,x *) ·-*
(cuadrivectores), que son formas lineales ( 1 -lineales) sobre R4*, y a las for mas biiineales (tensores de orden 2) sobre M 4 . No olvidemos que todos los trivectores de la física clásica son formas lineales (covectores) sobre R3* = R3. N o ta
1:
No existe relación funcional entre x* y x : x* ►)-» x.
N o ta 2: Lo anterior se traduce en mecánica cuántica diciendo que no a todo bra le corresponde un ket: ($ | ¡<£). N o ta 3: Sí existe relación funcional entre l y i : £ 3
1
>-> i e E * *.
N o ta 4: No debe confundirse una forma n-lineal sobre E n y una forma lineal sobre E n . Por ejemplo, sea / bilineal: E 2 —* K , entonces f ( n + A i 2 ,Vi +MV2 ) = / ( * í.y i) + A /(x 2 ,y i) + p / ( x i , y 2) + M A /(x 2 ,y2). En cambio, si g es lineal de E 2 —* K , se tiene 9
2.4.
[A(xi + x2, yi + y2)]
=
Ay [ ( n , y i ) + (x 2 ,y 2)]
=
> y (s i,y i) + Ay(x2,y2)
El espacio de aplicaciones y formas multilineales
Se define, como de costumbre, la sum a / + g de aplicaciones multilineales y la mul tiplicación por un escalar, A /, (lo mismo para las formas); éstas son aplicaciones (o formas) multilineales. De aquí resulta la proposición: P r o p o s ic ió n 1 : Si E ít £ 2, . . ., E n y F son n + 1 espacios vectoriales sobre K , el conjunto de las aplicaciones (respectivamente, las formas) n-lineales definidas sobre E¡ x · · · x E„ = con valores en F (respectivamente K ) forman un espacio vectorial notado L n( E i , . . . , E n \F ) (respectivamente L n( E \ , ..., En ; K ) ) ; y L n ( E \ F ) (respectivamente L „ ( E ; K ) ) si E i = £ 2 = · · · = E n . De la misma manera que el álgebra lineal estudia a L i ( E \ F ) y L \(E \ K ) y sus diferentes representaciones matriciales, el álgebra multilineal estudia, en ge neral, a L n{ E \ ,..., E n ; F) y a L n( E ; K ) y sus diversas representaciones matriciales(componentes de las aplicaciones y formas multilineales). El espacio L n {E\ K ) es el espacio de tensores covariantes y se nota T%(E). E je rc ic io 1: Demuestre que el espacio vectorial L2( £ , F; G) es isomorfo al espacio vectorial L \(E \ L (F \ G)) y a L¡(F; L (E \ G)).
E je rc ic io 2: Deduzca del ejercicio anterior que L 2 {E, F ; K ) es isomorfo a L (E \ F * ) y a ¿ ( F ;F * ) . E je rc ic io 3: Si / es una aplicación multilineal de L n{E\ K ) , calcular / ( A x j,. . . , Axn) y f ( x i + y i , x 2 + m , - , X n + yn )· Los elementos de nE se llaman vectores en general, los de 3 E y 4 F se lla man en física trivectores y cuadrivectores, respectivamente. Recordemos que un vector es también un elemento de nF**, ya que E = L ( E * , K ) = F**. A los elemntos de L q { E \K ) se les llama formas O-lineales y son los escalares de K . A los elementos de L l ( E ; K ) = F*; L 2 ( E , K ) ; L 3 (F;/C ); L n{ E \ K ), deno minados forméis 1 , 2 , ..., n-lineales, también se les llama tensores covariantes de rango 1 ,2 ,3, . . . , n , respectivamente. A los elementos de F = F** = ¿ i ( F * K); L i(E * ; K ), . . . , L n {E* \ K ) se les llama tensores contravariantes de rango 1 , 2 , . . . , n; o también formas 1, 2, ..., n-lineales. A las formas multilineales (exactamen te p +
2.5.
Formas bilineales
Sea / una forma bilineal sobre n F , esto es / e L 2 {E\ K ); sabemos que / aplica F x F en K linealmente con relación a cada una de las variables. Sea (ei) una base de „F ;
se construye / explícitamente si se dan n 2 escalares a y ( 1 < i ^ n, 1 ^ j < n). Cualesquiera que sean x = x‘e¡ y y = j/'e*, pongamos f { x , y ) j a y x ‘j/J (a menudo pondremos a y = / y = Ty). Entonces f ( e i , e¡) = a y = / y y / es una forma bilineal sobre E; a cada elemento a y de K n se le asocia una forma bilineal y viceversa. T oda / permite determinar n 2 escalares a y que verifican la relación f { x , y ) = a y x * 2/j = f i j x ' y \ Vx, y e £ . T oda forma bilineal sobre £ se puede obtener por este procedimiento. La prece dente correspondencia o asociación es inyectiva, ya que si los sistemas de números a y y ct\j definen la misma forma bilineal se tiene a y = / ( e i , e 3) = a y ( V i,j), y por tan to a y = a ' ; . Además, es sobreyectiva. Veamos: para / 6 L2(£ ; Á') ponga mos f( e ¡ ,e j ) = QtJ; sea también / ' e L 2( E \ K ) correspondiente a ay·; esto implica que para todo x = x'e, y y = yJe,·: / ( x ,y ) = * V / ( e i . « i ) = x V 'a y = / '( x , y ) y entonces / = / ' . De aquí concluimos: P r o p o s ic ió n 2: La aplicación a y f de K " 7 en el conjunto de las formas bilineales sobre E , L2( £ ; /C), es biyectiva. Sean el espacio vectorial „ £ sobre un cuerpo K , (e,) una base de „ £ y / 6 L i{ E \ K ) . Se llama matriz de / , con relación a la base ( e i , . . . , en), la matriz ( a y ) de orden n x n definida por a y = /(e ¡, ej). Ya vimos que L 2( E ; K ) 3 f >-* a y e M /f(n ,n ) es biyectiva; luego, L 2 {E\ K ) y M«-(n, n) son isomorfos, lo cual denota remos como M ni{ K ) = A íx(n x n). P r o p o s ic ió n 3: M = ( a y ) es /a matriz de f con relación a la base (e,). Sea ( e 'i, . . . , e'„) otna base de E y M ' = a'^ /a matriz de f con respecto a la nueva base (e'), que se deduce de (e¡) por la matriz de cambio de base P de (et) a (e'). Entonces M ‘ = 'P A / P . D e m o s tra c ió n :
«í
=
¿ fc=l
=> a'y = / ( e ' , e ' ) = / ( ¿ P fcie*. ¿ P y e ,) \fc=l (= 1 /
=
Z PjciPy/(eic, ei) = ^ fcí kl
=
^ ( P i J f c W í P l j =a'y.
#
kl E je m p lo : En R3, x = (x 1 ,x 2 ,x 3) y y = ( y 1, y 2, y 3), las formas bilineales son las funciones
(*. y) *-» /(*> y)
= «11* 2/ + «12* y + «13* y +«21* y + «22* y +Q23*2y3 + «31*3yl
+ »32 + « 33* 3 y 3 «11 «12«13 «21 a22«23
(
«31 =
«32«33
lX M Y = ‘Y lM X = ‘Y M X .
La última expresión es válida si M es simétrica. P ro p o s ic ió n 4: £ n general, si X = iY/(X, (e¡)), y = A'/ÍY’, (e*)) se ítene /( x , y) = ‘X A /y = ‘y ‘A /x
y Ai = Asf( /, (e¿)),
ya que /( x ,y ) es una matriz 1 x 1 y es tyuai a su transpuesta.
s
E je rc ic io 1: Si £ = /Cn , estudie la matriz asociada a la forma bilineal definida sobre E 2 por /( x , y) = x*yl + - ■ · + x ny n. E je rc ic io 2: Sea G L„ (E ) el grupo (álgebra) multiplicativo de los de E . Estudie las analogías y diferencias entre M ' = l P M P y A' = P ~ l A P con >1 = A /( / 6 L (E , E ), (e¿))· Demuestre que en A'//f(n, n) la relación “existe P 6 G L n(E) y Q e G L n(E ) tales que .4' = ‘Q A P ” es una relación de equivalencia. En este caso se dice que A y Al son equivalentes.
2.6.
Base de L2(£; K) = T¡(E)
P ara construir una base de L-¡(E\ K ) procederemos así: considérense n 2 formas biiineales = e * (i, = l , 2 ,...,n ) definidas por
j
ya que e‘ ®
ey ) = e, (e¿.)ej (ej.) = (e ‘|e¡.) (cJ'|c¿>) = á.'xSj,.
Con esta definición se tiene e’5(x,y ) = x V l y para tod a forma bilineal arbitraria / de L i(E ; K ) , o tensor T , tenemos
T{x,y) = /(x,y) = £ a y ey(*,y) = Y i fij e'3(xly) = Tye^z.y)
para todo x , y e E; por consiguiente, simplificando por ( x ,y ) llegamos a T = / = 2í*j otije'i = L u f a * . esto es, una combinación lineal de los vectores (e'3). Así queda probado que las n 2 formas bilineales (e‘3 = e '® e J ) generan a L i{E \ K)\ ellas son linealmente independientes ya que la combinación lineal / = A ye° igual a cero para todo i' y todo j ' en [1, n], entonces implica: — AijS¿ióy = A*ijf = 0. Por consiguiente: T e o r e m a 1 (d e la r e p r e s e n ta c ió n ) : Sea dim ¡
A las formas bilineales o tensores covariantes de rango dos, también se les llama diadas. En R3 se llaman noniones. Por el isomorfismo entre Li{E\ K ) y M k ( t i 2) se dice que un tensor 2 veces covariante “es” una matriz, mejor dicho, tiene una representación matricial. Lo recíproco no es cierto: toda m atriz no es, en general, un tensor covariante de rango dos.
2.7.
Formas bilineales sim étricas
Las formas bilineales simétricas son definidas por V(x, y) 6 E 2,
/( x , y) = /( y , x);
ellas forman un subespacio vectorial S ( E ; K ) c L i( E \ K ) . La matriz cuadrada , ( i,j) e [ l,n ] x [ l,n ] , con relación a la base ( e i , . . . , e n) de nE , asociada a toda forma 2-lineal simétrica, a i, = / ( e ,, e; ) = ¡ ( e j,e i) = c¡JX, cumple con la propiedad que se enuncia en la siguiente proposición: P rop o sición 5: / es sim étrica si, y solamente si, a tJ es simétrica. Entonces, se puede escribir n
/ ( z . y ) = f ( z ie i ,y í ej ) = Y Xiy ia ii + ^ ¿S»l 1
( x V + y ' * ) Q¿j·
Corolario 1: Si / es una forma bilineal simétrica, entonces, /( x ,y ) = ‘X M Y . Las formas bilineales antisim étricas son tales que para todo (x,y) e E 2 / ( x , y) = —/( y , x). / es antisim étrica cuando, y sólo cuando, es una matriz antisimétrica. / es antisim étrica si, y sólo si, / es alternada, es decir que para todo x e E /( x , x) = 0. El conjunto de las formas bilineales antisimétricas forma un subespacio vectorial A7 ( E - , K ) c L 2 (E ,K ). E jem p lo 1: El producto escalar clásico entre vectores libres es una forma bili neal simétrica. Por esta razón to d a forma bilineal sim étrica se llama a menudo un producto escalar y se nota (x, y) >-» x · y. Calcular la m atriz de la forma 2-lineal “·” . E jem p lo 2: El producto vectorial es una aplicación bilineal antisimétrica. E jem p lo 3: Sea E = K n. La aplicación ((A j,. . ., An), (a*i, · · · >Mn)) H---- + A e s una forma bilineal sim étrica llamada producto escalar canónico so bre K n.
E je rc ic io 1: Sea E el espacio vectorial de funciones reales y continuas en [a, 0] c R. M uestre que la integral definida, como aplicación de / en R, definida por
Ja es una forma bilineal sim étrica sobre E , es decir, un tensor simétrico. Se entiende que t >-* z(t) y t *—* y(t) son elementos de E. Note que la integral definida, como las diferenciales, es un tensor. E je rc ic io 2: Demuestre que S 2 ( E , K ) y A 2 ( E , K ) son suplementarios, es decir, que L 2 (E\ K ) = S 2 (E\ K ) © A 2 (E; K ). E je rc ic io 3: En todo el texto se supone que K es de característica diferente de 2. Examine si el ejercicio anterior subsiste si K es de característica 2. E je rc ic io 4: Si diin*- E = n, calcule d im S 2 y d i m ^ .
2.8.
Isom orfism o entre L i [ E ; K ) y L ( E ; E *)
Si fijamos x e E, entonces, a to d a forma bilineal / sobre E se le puede asociar la aplicación parcial f ( x , ·) que notamos /*; por la definición de bilinealidad, f x e L ( E ; K ) = E * . Usando la forma bilineal canónica definida sobre E x E * , tenemos que para todo ( i, y) 6 E 2 y todo / € L 2 (E; K ) se cumple que ( y \fx) = fx(y) = / ( z , y)· Llamemos a la aplicación de E en E* definida por x >-» ¡p(x) = / x; es visiblemente lineal, es decir / IJ+ \ Z7 = f Xl + A/I3 . De manera que a todo elemento / de L 2 {E\ K ) asociamos un elemento de L (E , E*); llamaremos a esta aplicación, © : L 2 ( E \ K ) >-* L ( E , E * ) , f <-» © ( /) = Se dem uestra de manera trivial que © es un isomorfismo de espacios vectoriales, ya que © es lineal, inyectiva y sobreyectiva, lo que resumimos así: P r o p o s ic ió n 6: sea f una form a bilineal sobre E definida por (x , y ) ►-* f ( x , y ) , la aplicación ip de E en E* definida por
de £ en (z |f y) = simétrica ip = í 1, y
C o r o la rio 2: Si f es una forma bilineal simétrica sobre E , las dos aplicaciones lineales parciales y 'b de E en E* definidas por x
«¿> — /(fi*i =
—Pike (ej )
(3ik (ek \ej ) = p , k5kj =t3ij.
El determ inante de la m atriz A = (a¡¿) asociada a la forma bilineal / se llama discriminante de / respecto a la base (e*). Este determ inante depende de la base escogida, det A ¿ d et(‘P A P ), pero det A yt 0 si, y sólo si, det(‘P A P) # 0. E je rc ic io 1: Si d im (£ ) < oo, lo cual implica E = £ ** , verifique que las aplicaciones ip y '1' son m utuam ente transpuestas. E je rc ic io 2: Si d im (£ ) < oo, demuestre, usando la proposición precedente, que ¿ 2 (£ ; K ) y L (E \ E*) son isomorfos. E je rc ic io 3: Demuestre, a partir de la proposición anterior, la siguiente propiedad: si P es la m atriz de cambio de base de (e<) a (e't) entonces ‘P es matriz de paso de (e‘) a («*').
2.9.
Form as cuadráticas
* D e fin ic ió n 2: Sea / una forma bilineal cualquiera. Se llama forma cuadrática asociada a / , a la aplicación q de E en K definida por Vi 6 E
x *-► q(x) = f ( x , x ) .
Si E 3 i = x 'e it entonces x = (x l , . . . , x n) < — q(x) = Q ijx'x3·, aquí q aparece tam bién como una aplicación de K n en K . Como la palabra “forma” es sinónimo de polinomio homogéneo, entonces q es una función polinómica homogénea de grado 2; de allí el nombre de cuadrática.
w w w .else
D efin ic ió n 3: E sta definición se basa en el último comentario y es equivalente a la anterior: una forma cuadrática es una aplicación de E en K tal que: 1) para una cierta base (et) de E, la expresión q{xl e¡ + · · · + z " e n), ( z ‘ e K ), es un polino mio homogéneo de segundo grado con relación a x 1, x 2, ..., xn ; 2 ) esta propiedad algebraica se preserva cualquiera que sea la base ((e‘ ) por ejemplo). E sta segunda definición se comprende ya que q(x) = q(x'ei) = p ijx 'x i = pya¿i a¡k x 11 x lk = p\kx '1x 'k - Q(x>' eí) es un polinomio de grado 2 homogéneo, donde los escalares constantes a y son los elementos de la matriz P del cambio de base y los números constantes py y p '; son los coeficientes de los polinomios. Se constata que el conjunto Q{E) de las formas cuadráticas sobre E , con las operaciones “+ ” y “A·” , forman un espacio vectorial sobre K . La aplicación de L i(E ; K ) en Q[E), definida por f <-* q, es un homomorfismo sobreyectivo pero no inyectivo. E je rc icio 1 : Pruebe la no inyectividad mencionada en el párrafo anterior, mos trando que a dos formas bilineales / y f + a, con / cualquiera y a 6 A 2 ( E ; K ) , está asociada la misma forma cuadrática q. E je rc ic io 2: Si ahora / es una forma bilineal simétrica y q su forma cuadrática asociada, calcule q(x -t-y) para (z,y) e E 2 y deduzca que f [ x , y ) = + y) - ? ( * ) - ?(v)] E je rc ic io 3: Verifique que si la misma forma cuadrática q está asociada con dos formas bilineales simétricas j \ y / 2 , entonces / 1 = / 2 · Los ejercicios
2
y 3 se resumen en la siguiente proposición:
P ro p o s ic ió n
8
: Sea f una forma büineal simétrica, es decir f e
K );
i) si q,{x) = f ( x , x ) entonces q¡ e Q(E). ii) Sea q 6 Q (E), para todo (1 , y)
6
E 2 pongamos
fq(x>y) = \ [i(x+v) -
eso se dice que f y q, son asociadas la una de la otra. También se dice que f q es la forma polar de q. C o ro la rio 3: Si q es la forma cuadrática asociada con f , forma bilineal simétrica sobre E , las relaciones q = 0 y f = 0 son equivalentes; por consiguiente, gracias a la proposición precedente, hay equivalencia completa entre el estudio de las formas cuadráticas y el estudio de las formas bilineales simétricas. A s í la matriz de f respecto a la base (ej) de E se llama matriz asociada a q (respecto a ( e ¡ ) s u determinante se llama el discriminante de q. Como (otij) es simétrica ( ta = a ), entonces n
g(x) = otijx'x3 = ^ a¿i(x ' ) 2 + 2 i= 1
£
ay -x V .
Se dice que a u ( x ') 2 es el término cuadrado y 2 a y z * iJ" el término rectangular. El vocablo es un típico abuso de lenguaje ya que a « ( x ‘ ) 2 no es un cuadrado en K , excepto si a « lo es: siempre será un cuadrado en C pero no en R. La forma matricial de la fórmula operatorial de q es q{x) = lX A X .
2.10. 1)
Ejem plos
Si dim E = 3, la forma bilineal sim étrica más general sobre E es F ( x ,y )
=
F (x e i + ye2 + ze3, x ’e i + y ' e 2 + z'e3)
=
a xx ' + b(xy' + yx') + cyy' + d (xz' 4- zx') + e(yz' + zy') + f z z '
La forma cuadrática asociada a F es q(xet + ye2 + ze3) = a x 2 + 2 bxy + cy2 + 2d xz + 2eyz + f z 2. 2) En el ejemplo anterior (n = 3) se dice que la forma cuadrática es ternaria. Si n = 2, q es binaria, y con E = R 2 se ve la relación estrecha con las curvas cónicas, en este caso q(x) = q ( x i+ y j) = a x 2 + 2bxy + cy2. La ecuación general de una cónica es g (x ,y ) = a x 2 + 2bxy+ cy2+ 2 d x + 2 e y + f. Según el valor de los coeficienes y su discriminante, g contiene la geom etría de las circunferencias, las elipses, las parábolas y las hipérbolas (consultar un texto de geometría analítica), g se compone de una forma cuadrática (tres primeros términos), de una forma lineal (los dos términos que siguen) y de un término independiente. Gracias a translaciones y rotaciones se pueden eliminar los términos lineales y rectangulares. Entonces se dice que la ecuación general de la curva de segundo
í grado se ha reducido a su forma diagonal o canónica o a sus ejes principales. De esa manera se reconoce fácilmente la forma, posición y orientación de la curva. En R3 se definen las formas terciarias —como la del ejemplo 1—, y las superficies resultantes se llaman cuádricas; y tenemos, en q, la esfera, los elipsoides, los hiperboloides de una o dos hojas, los paraboloides, etc. Con n = 4 tendremos una geom etría analítica de los “sólidos” en cuatro dimensiones del espacio euclidiano tetradim iensional o del espacio de Minkowski: el país de las maravillas (puede verse La cuarta dimensión, Rudy Rucker, Salvat, 1987). Con n = 5 tendremos el universo de Kaluza-Klein del campo unificado de Einstein, y así sucesivamente. 3) Si tomamos en K n el producto escalar canónico, f ( x , y) = x ly x H-------1- x "y n , tendremos la forma cuadrática canónica q (x l , . . . , x n) = (x 1)2 + ■ · · + (xn)2· K n puede ser Rn y entonces q ( x l , . . . , x n) d a el teorem a de Pitágoras en n dimensiones. Esto m uestra que una forma cuadrática genera una distancia o métrica en el caso euclidiano. Con su ayuda se podrá hacer análisis matem ático en Rn . 4) Particularizando a E = R3, la forma cuadrática asociada al producto escalar de vectores v ■ w no es o tra cosa que el módulo al cuadrado de un vector, q : v i - · q{v) = v ■ v = |ü|2. De aquí que la forma cuadrática sirva para medir longitudes, módulo de vectores e intensidades de m agnitudes vectoriales, de acuerdo con la ecuación Mód(x) = ^ /q (x), donde Mód(x) simboliza el módulo de i . 5) E n R" con base cartesiana (o rectangular) se tiene n
/(x ,y) = 6ij xixj = £ * V . i-l
n
q(x) = 5<¿xV = E í 1’ )2· im l
Esto m uestra que <5, el tensor de Kronecker, es la m atriz de la forma cuadrática o forma bilineal simétrica producto escalar. La forma cuadrática diferencial o “de ese dos” se define así: ds2 = 5i}d x ld x 3 = 1( d i ’)2, y da la distancia infinitesimal entre dos puntos cercanos de R" (x 1, . .. ,x n) y (x 1 + d x 1, . . . ,x n + d xn). E ste espacio euclidiano queda com pletamente caracterizado por 6 ¡j, por su tensor métrico 6 . Si la base es oblicua (no ortogonal) se tiene f ( x , y ) = g i j i ' y i , q(x) = g,_,x‘x3 y (dx‘)■ (dx1) = ds2 = g ijd x 'd x 1 = (dx’|c¿x3). Veremos que siempre es posible hacer en R3 (y en Rn ), por escogencia de coordenadas,
En las coordenadas rectilíneas oblicuas de R2 (véase figura 2.1), obtenemos:
ds2
=
q ( d f) = d f d f = (d x iei\dxi ei ) = ( ( J ) | ( J ) )
= <* *)(2 2 ) ( í ) · y' ▲
Figura 2.1.
Se tiene finalmente ds 2 = d x 2 + 2 eos ddx dy + dy 2 = gijdx'dy*, con -/(C i.e ,)
-
* / e t · ei ei · é2 \ ( 1 ^^ e2 . é2 / ~ \ eos ®
cos0 \ 1) '
donde si 9 —* \ entonces g,¿ = <5¿j. Este ejemplo banal, convenientemente generalizado en su cerebro, dio a Einstein la pista de su teoría de la gravitación.
E je rc ic io 1: Encuentre la m atriz P de cambio de base e, —* e' que diagonalice a g.
6)
En el espacio de Minkowski A/ 4 o pseudoeuclidiano también se tiene / ( z , y) =
1 0
0 -1
0
0 0
0 0 -1 0
0 0
^
0 -1
)
según otras convenciones, tiene otras formas: ( 1 , 1 , 1 , —1 ) o ( 1 , 1 , 1 , 1 ). 7) Los espacios de Riemann se definen poniendo por teorema de Pitágoras esto: ds 2 = gtiU{x)dxtld x v . Entonces depende del tiempo, varía con el punto o posición espacial y es función continua y derivable. Localmente es posible hallar <7Mi, ( z ) igual al 77^ minkowskiano. No olvidemos que un espacio de Rie m ann se com porta como una m ultitud infinita de espacios euclidianos locales yuxtapuestos (retazos). 8)
En general, un espacio está definido por una forma cuadrática particular. Eso lo veremos en los espacios de Hermite y de Hilbert. Sus geometrías están definidas por un espacio y un grupo que deja invariante las formas cuadráticas que los definen.
E je rc ic io 2: Sea E el espacio vectorial de funciones reales y continuas z sobre [ í , , t 2]; demuestre que la integrad definida por z >-*
Jt,
[x( 0
]2
d*
es una forma cuadrática. E je rc ic io 3: Sea u e H o m [Li(E; K ) , Q(E)] definido por u ( / ) = q. Determine el ker(tt). E je rc ic io 4: Sea dim(¿J) = n y z = z ‘e, 6 E . Justifique que si la aplicación q de E en K definida por z q (x l , . . . , z n) es un polinomio homogéneo de segundo grado en i 1 .........z " , entonces también lo será en to d a base de E. Deduzca que q es una forma cuadrática sobre E y que toda forma cuadrática sobre E puede definirse de esa manera.
E je rc ic io 5: Con la notación del ejemplo precedente, verifique que la forma polar de q, notada así: ( r 1, . . . , i n, y l , . . . , V n) -» / ( x 1, . . . , x n, y I, . . . 1yn), está dada por la fórmula f ( x \ . . . , x n , y l , . . . , y n) = ^ ¿ x ,9Íi (y1, - . . , y n); 1 .=1 donde q'x . es la función derivada de q relativa a x¡. E je rc ic io
6
: Demuestre que el discriminante de q relativo a la base (e¡) es el
determ inante de n formas lineales definidas por x >-* -<7Í t, i
6
[l,n ].
E je rc ic io 7: Vamos a desarrollar con más detalles el ejemplo 5 de este capítulo. Nos situamos en el plano R2, usaremos coordenadas oblicuas y allí calcularemos componentes contravariantes y covariantes y veremos sus diferencias geométricas. Sea el vector X . A partir del extremo de X , se trazan paralelas a los ejes oblicuos óé¡ y oet, las intersecciones con ellos se llaman las componentes contravariantes x 1, x 2 de X : X = x ‘e¡. Figura 2.2.
►
Figura 2.2.
e,
Si se trazan perpendiculares a los ejes oe¡ y Sel se obtiene, entonces, por defini ción, las componentes covariantes z j y x 2 del mismo X : z¿ = X · ¿i. a) Calcule el tensor (o su m atriz) g3, = g¡j = ej · ej. b) Verifique que x¡ = X ■ e¡ = z 1 + z 2 eos 9 = z 1 + z 2p i2 = |X | eos9. c) Deduzca trigonométricamente que Zi = z 1 + z 2 eos#. Lo mismo para x 2d) Halle para z 2 unas relaciones parecidas a las encontradas en (b) y constate que z¿ z \ e) Pruebe que |X | = z 1 cosfli + z 2 eos 92, por proyección de componentes con travariantes sobre X . f) Del punto anterior deduzca que |X | 2 = z i z 1 + z 2 z 2 = z , z ' = g ^ x ' x 1. g) Del punto (6) obtenga |X |2 = ( z 1) 2 + (z 2 ) 2 -t-2 z 'z 2 cos0. También hágalo por trigonometría. h) Calcule X ■ Y en función de z ‘, y' y 9. Deduzca que X ■ Y = g tj x 'y i , y de allí calcule de nuevo g¡j. Exprese el ds2. i) Discuta, con detalle, todo lo que sucede si 9\ + 92 = ir/2 (ejes cartesianos). j) Demuestre que z , = g¡jX* (gt] b aja índices). Considere esto como un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas z·'. Resuélvalo por el método de Cram er y obtenga las z J . Poniendo z 1 = gllx 3 (g'’ sube índices), calcule el nuevo tensor g'1. k) Calcule g = det(p,3) y g' = det(p'·') = g ~ l . Pruebe que i, 9
menor (
menor (, = ------ -------9
1) Com pruebe que 9 n 9 jk
= <5* = gk ,
g g ' = 1.
¿Cuándo g " = ^77? Observe que gij[9), g, j (9), Xi(9), x j (9), g(9), g'(9), dependen de 9. m) O btenga las siguientes relaciones de análisis tensorial: 9l} = 9ik9íl9ki\ 9ijdgik = -g^dgij-, dgij = - 9ik9jidgk t; dg'J = - g ikgjt dgki\ dg = ggljdgij = - g g , , d g i].
2.11.
O rtogonalidad
D efin ic ió n 4: Sea una forma bilineal sim étrica / e S¡(E; K ) y q 6 Q ( E ) su forma cuadrática asociada. Dos elementos x , y e E son ortogonales respecto de / o de q si /( x ,y ) = 0 . E sta relación entre x y y es simétrica. Dos partes A y B de E son ortogonales si todo elemento de A es ortogonal a todo elemento de B. Si A y B son ortogonales entonces toda combinación lineal de elementos de A es ortogonal a to da combinación lineal de elementos de B\ de aquí que el conjunto de vectores de E ortogonales a A sea un subespacio vectorial de E que se llama, por abuso de lenguaje, el subespacio vectorial de E ortogonal a A y se representa por A x . Un vector x de E se llama isótropo respecto de / o de q si es ortogonal consigo mismo, es decir si / ( x , x) = 0 o q(x) = 0 . E je m p lo 1 : El vector 0 es isótropo, pero no es el único vector con esta propiedad, como sí ocurre en IR3. En general, tomemos en R" la forma cuadrática definida por q(x) = (x 1) 2 + · · · + (xn )2, la cual define la distancia entre dos puntos de Rn ; q(x) - 0 implica que x 1 = · · · = xn = 0 , es decir, x = 0 . E je m p lo 2: En el espacio de Minkowski M 4 , ds2
=
T]^dx^dx"
=
( d x 1)2 + (d x 2)2
+
( d x 3)2
—
(d x 4)2 = q (d xu ).
Por definición x 4 = c t (c = velocidad de la luz; t es la coordenada temporal), entonces, para un rayo de luz se tiene ds = 0 , es decir el vector d x v ^ 0 es isótropo y se dice que el intervalo ds es luminoso. E je rc ic io 1 : Si tomamos E = Cn con la base canónica y la forma cuadrática q definida por
<,(x) = (x l )2 + (x2)2 + (x 3)2 - ( x 4)2 que define una distancia o métrica, el 4-vector ( 1 ,0 ,0 , 1 ) 0 es isótropo. Dé las coordenadas de todos los vectores isótropos en función de tres parámetros reales. En el ejemploS y el ejercicio 2 se ve que R 4 tiene o no vectores isótropos, según su forma cuadrática, es decir, según la métrica r¡. M* es un espacio R 4 pseudoeuclidiano si sus métricas son
\
/ 1 -1
7f " =
y
-1 \
/ 1 1f v =
- 1
\ 1 1
V
-1 )
Con la métrica r f " = <5'“ ' = I, R 4 es un espacio verdaderamente euclidiano y este M 4 = (R4, ííjjty) no tendrá vectores isótropos diferentes de 0. En este caso se tiene x 4 = ict — tx°.
2.12.
Form as no degenerad as
Sea una forma bilineal sim étrica / 6 S-2 ( E \ K ) y q e Q{E) su forma cuadrática asociada; se llama núcleo de / o k e r(/) (o de q) al conjunto de los elementos de E ortogonales a todos los vectores de E. El k e r(/) es un subespacio de E. Una forma bilineal sim étrica / (o q) es degenerada si k e r(/) / {0 }, es decir, si existe xo ^ 0 tal que / ( x o, y) = 0 para todo y e E. E je m p lo nerada.
1:
El producto escalar usual es una forma bilineal sim étrica no dege
E je m p lo 2 : Si E y F son espacios vectoriales sobre K , la aplicación (x, y) >-» 0 de E x F en K es una forma bilineal sim étrica degenerada, excepto si E = F = {Ó}. Observemos que x = xle< 6 k e r(/) si, y sólo si, /( x 'e ¡ ,e 3) = x*/(e¿,ej) = x'ciij = 0 para todo j e [ 1 , n], Y / es degenerada si, y sólo si, el sistema homogéneo sin segundo miembro x ' a t] = 0 ( j e [ l,n ] ) tiene soluciones diferentes a la solu ción nula y esto equivale a decir que d e t(a tJ) = 0. Hemos dem ostrado la siguiente proposición: P ro p o s ic ió n 9: Sea (e¿) uno base de nE , f una forma bilineal simétrica y a y su matriz respecto de (e,). a) Para que el vector x 'e , = x pertenezca al ker( / ) es necesario y suficiente que x * a n + x 2 « 2 i + ■ · · + x"ctni = x * a i 2 + x 2 a 22 + . .. + x " a „ 2 = x 'a i n + x 2 a 2„ + · · · + xna nn =
0 0
0.
b) Para que f sea degenerada es necesario y suficiente que d et(a¡j) = 0.
rio.net
El determ inante d e t( a l ; ) se llama discriminante de / (o de q) con relación a la base (e¿). E ste determ inante depende de la base escogida, pero el hecho de que sea nulo o no nulo es una propiedad intrínseca de / según la última proposición. E j e r c i c i o 1 : Pruebe que definir ker(/) (o ker(g)) como se hizo anteriormente equi vale a definir ker(v?) = (x/v?(x) = 0 } donde ip e L(E \ E *) está dada por ¡p(x) = /*, y es el conjunto de las x tales que
2: En el e j e m p lo 1 d e la s e c c ió n p r e c e d e n t e d e t e r m in e el ker(
E je r c ic io que
E je rc ic io 3: Basándose en la vectorialidad y en la bilinealidad, demuestre que ker(/) s4 A c E 7, donde A está descrito por (x,y ) tales que /( x ,y ) = 0. E je rc ic io 4: Justifique la compatibilidad y la equivalencia de la siguiente definición con la que hemos dado antes: la forma bilineal sim étrica / (o q) es no degenerada si, y sólo si, ker((p) = {Ó¡; es decir, cuando, y sólo cuando, ip es inyectiva. E je rc ic io 5: Si dim (E ) = n, se llama rango de / (o de q),rg( /) , al rango de ip, es decir, a la dimensión de Im (<¿>) = ip(E). Demuestre que < pes inyectiva si, y sólo si,
0
.
,
Si / es una forma bilineal sim étrica sobre E entonces siempre es posible reducir su estudio al de una forma bilineal sim étrica no degenerada.
2.13.
Identificación de nE y nE* usando una forma bilineal
Ya nos hemos referido a esta identificación (secciones 1.7, 1.8 y 1.13). A hora la vamos a realizar con una forma bilineal sim étrica no degenerada / sobre E y con el siguiente teorema: ^
|
-f· l v
• ¡
72 /Algebra multilineal
T e o r e m a 2: i) Para todo x E E la aplicación y h-» / ( x ,y ) de E en K es una forma lineal sobre E (denotada por f x). ii) La aplicación x & f x =
Vx £ E.
Es decir, todo elemento x e E se puede considerar simultáneamente: 1) como un “vector” de E, x 6 E-, 2) como un “covector” , una forma lineal sobre E, x = x* e E * , a saber, la forma lineal y >-» f ( x , y) = /( y , x). Entonces, si x, y e E, el símbolo (x|y) puede tener dos significados:
1) (/*\y) = {
=
(x|y*)
=
[
Y como ip(y) = y resulta (x|y) = /( x ,y ) . N o ta : Ya afirmamos que no existe en general un isomorfismo tp de E sobre E* tal que para todo automorfismo u de E se tenga, p ara todo x y todo y: (x|i(5(y)) =
w.
iionario.net
fe;'. (u(z)|(<£> o u)(y)). No obstante, esta igualdad sí existe cuando ip es el isomorfismo asociado a la forma bilineal sim étrica no degenerada / , para todos los automorfismos de E que verifican (para todo x y todo y): f [ x , y ) = / (u(x),u(y)). Sabemos que el grupo G L n (E) = (A u t(£ ),o ) es isomorfo a (A/, n 2, x) que con tiene otros dos subgrupos On {E) r> S O n (E), donde On(E) es el grupo de matrices ortogonales y S O n (E) el grupo de matrices ortogonales unimodulares (det = 1 ), pero esta afirmación implica adelantarnos. Como veremos más adelante, estos úl timos automorfismos describen un grupo, llamado el grupo ortogonal 0 ( E ) de / , que deja invariante a / . La contradicción entre las dos afirmaciones se aclara, ya que aquí
6
XW ,
|<¡É
í : R 3 w C tales que |
2.14.
Ver secciones 7.1, 7.5,
8.1
y 8.5.
\
O rtogonalidad de elem en tos de E y de E *, y ortogon alid ad en E resp ecto de /
Consideremos / , una forma bilineal simétrica no degenerada sobre nE. ip permite identificar E y E X y también permite identificar las dos nociones de ortogonalidad ya definidas:
WWW.
1)
Ortogonalidad entre x e E y f v = y =
2) Ortogonalidad entre x y y e E respecto a / si, y sólo si, /( x ,y ) = 0; así 1) <=> 2), es decir, x 1 y <=> x 1 f y. Gracias a y>, que identifica y con Jy = ip(y) (o x con f z ), se tiene una sola termino logía. Así se tiene la propiedad ya vista: si dim E = n y dim (F c E ) = k, entonces dim F 1 — n — k y (.F^) = F. Además el isomorfismo
V (t,j = l , . . . , n ) .
Se dice entonces que las bases (e,) y (e*) son duales la una de la otra respecto a / . La base dual de ( e*j , . . . , e*n) es ( e j , . . . , e„)· E je m p lo : En R 3 con el producto escalar, sean (¿ 1 , 6 2 , 6 3 ) y (e 1*,¿'2* ,e 3*) dos bases duales (recíprocas); ¿ 7 es ortogonal a ¿ 2 y ¿ 3 y forma un ángulo agudo con C i , ya que ¿1 · e * = 1 > 0. Repitiendo el mismo razonamiento para y ¿^, se tiene que dos sistemas de ejes engendrados por ( ¿ i , ¿ 2 , ¿3) y por (c 1*,c 2*,¿'3 *) forman dos sistemas de coordenadas suplementarias (ver ejemplo 14 de la sección 1.9).
2.15.
B ases ortogon ales y orton orm ales
Ahora se tra ta de estudiar un espacio vectorial nE equipado con una forma bili neal simétrica, que ulteriormente será no degenerada; así se enriquece la estructura de E. Sea n E un espacio vectorial de dimensión n sobre el cuerpo K , f una forma bilineal simétrica sobre E y q su forma cuadrática asociada. D efinición 5: Una base (e i)i$ i$n de E es ortogonal respecto de / o de q si i / j implica f ( e i ,e j) = 0; es decir, si los e, son ortogonales dos a dos. U na base (ei) de E es ortonormal u ortonorm ada si / ( e i , e ; ) = áy Vi, j.
T e o r e m a 3: En todo espacio vectorial E de dimensión finita existen bases orto gonales respecto de toda forma bilineal simétrica f sobre E. D e m o s tra c ió n : Procederemos por inducción. P ara d im (£) = 1 el teorema es evi dente. Supongamos que es válido para dim (£ ) = n — 1. Examinaremos el primer caso donde todos los vectores de E son isótropos, es decir, Vx q(x) = /( x , x) = O implica / = O, por consiguiente toda base de E es ortogonal respecto de / = 0. En el segundo caso, supongamos / ^ 0, entonces existe al menos un xo e E que no es isótropo, /( x o ,i o ) ^ 0. Llamaremos H al conjunto de vectores x e E tales que /(x o ,x ) = 0; entonces H es un hiperplano de dimensión ( n - 1 ) y xq 0 H. Existe una base ortogonal ( c i , . . . ,e n_ i) de H\ de aquí que ( e i , . . . ,e„_i,X o) sean linealmente independientes y formen una base ortogonal de E (teorema del reordenamiento o de Steinitz o de la base incompleta). s C o r o la rio 4: Si f es una forma bilineal simétrica de rango r # 0, existen bases (e,) tales que i* j l ^ i ^ r r + l < i ^ n
= > / ( e i ,e > ) = Q í , = 0 = > /(e¿,e<) = a u *
0
= > /( e ¿ ,e ¿ ) = 0 ;
con relación a esas bases se tendrá: / ( z . y) = ¿ a « * V , i=l
<7(z) = ¿ a ¡í(x ‘)2·
La demostración es directa: use la definición del k er(/), la proposición 9 de la sección 2 . 1 2 y el hecho de que dim k e r(/) = n —r. # E je rc ic io
1:
Demuestre el corolario precedente.
C o r o la rio 5: Si (e¿) es una base ortogonal para f se tiene: rí."
i) Vx = x'e*
6
E, Vy = y j ej
6
/(x ,y ) = ¿ Q « x V , i—l
E
* f e S 2( E , K ) .
ii) El núcleo de f es el subespacio vectorial generado por los e, tales que a u = ni) Para que f sea no degenerada es necesario y suficiente que a u # 0
0
.
Vi.
La prueba de i) es evidente ya que a u ^ 0, a , ; = 0. El núcleo de / está formado por los x = x'ei tales que (Vy 6 E ) f ( x , y ) = 0 si, y sólo si, O n x 1 = · · · = a nnx n = 0,
lo que implica x ' = su vez implica iii). E je rc ic io
2
0
para todos los i tales que
t 4 0 ; esto prueba a ¿i), lo que a #
: Detalle la demostración precedente (ver proposición 9).
E je m p lo 1 : La base canónica de K n es ortogonal para / definida por f { x , y ) = Z¡?=i x 'y ' (producto escalar canónico). E je m p lo 2: En el espacio ordinario R 3 dotado del producto escalar usual, tres vectores v i, v?, £>3 no nulos y perpendiculares dos a dos forman una base ortogonal; además, si |t?i| = |{¡2 | = |t73 1 = 1, esta base es ortonorm al y se nota (i, j , k). E je rc ic io 3: Demuestre que to d a familia de vectores ( e j , · · · ,e p) ortonorm al es linealmente independiente. E je rc ic io 4: Muestre que si (e¡) es una base ortogonal de n E, entonces los números /( * , et) son las coordenadas de x 6 E con relación a esa base. E je rc ic io 5: Estudie y aclare la siguiente observación: sea una base cualquiera (e,) y M = M ( / , e¿) la m atriz cuadrada de / . Con respecto a una base ortogonal (ej) la m atriz M ' asociada a / es diagonal, pero no se tr a ta de la diagonalización común y corriente ya que M ' = lP M P (véase proposición 3 de la sección 2.5). Si M estuviese asociada a la aplicación lineal ip se tendría M = M(
Entonces ( e i , · · · ,e n ) es todavía una base ortogonal de E: f { e x,e }) = O si i ¿ j\ además, p ara 1 ^ i ^ r s e tiene /( * ,« ) - - ¿ = - í= /( « í,4 ) - — / Olii
Oli i
También se ve que
Í..1 pero como / es no degenerada, forzosamente r = n = r p ( /) y así, de la base ortogonal (e'), 1 ^ t ^ n, hemos construido la base ortonorm al (e,), i e [l,n ] y f ( x , y ) = Y , x ' y \ q(x) = X¡(x’)2> 1°
Yj)(y)].
Como ejercicio justifique este último paso. Concluimos que / permite asociar al endomorfismo u el endomorfismo único de E u* = ohioip) : E-?-*E*-^+E*^—>E (note que $ L ( E *) pero u* e L(E )). Es decir, hemos extendido, gracias al ¡somorfismo
V x ,y e E .
D efin ic ió n 6 : El operador lineal u f se llama el endomorfismo adjunto de u respecto de / . El adjunto ■ut está definido por: (V(x, y) e E 2) f [ u ( x ) , y \ = / [ x , u f (y)]. Sí se hace con ( | ) y u* se hace con / ( , ). u* es a / lo que ‘v. es a ( | ). La operación u i-» se llama la adjunción. N o ta : También el operador adjunto u f verifica (u(x)|y) = (x|u*(y)). Gracias a la identificación de E y E* por intermedio del isomorfismo
(u + v)^ =
2)
(Au)* = Auf .
+ v*.
3) (u o v ) f = v * ou*. 4) Si u es inversible entonces u* es inversible. 5)
(u t ) - i = (w- i ) t .
..·}
%
6)
= t».
7) det 8)
= d etu .
rg(u*) = rp(u).
9) Si M es la matriz de u con relación a la base (ej) de E , entonces lamatriz de ti* es l M con relación a la base dual (e%) respecto de f . 10) Si existe una base ortonormal (e¿) respecto de f , y si u tiene por matriz a M con relación a esa base, entonces u* tiene por matriz a lM con relación a la misma base ortonormal (e¡). Ejercicio 1: Basándose en la definición del adjunto u* de u demuestre el teorema anterior. Ejercicio 2: Demuestre que si F es un subespacio de E estable por u (es decir, u (F ) c F que equivale a x e F implica u(x) e F) entonces F L es estable por ti*. Ejercicio 3: Sea K n con la forma cuadrática canónica q(xj , . . . , xn) = x¡ + · · · + x 2 . Muestre que si u 6 L ( K n) tiene a M por m atriz con respecto a la base canónica, entonces u f tiene por m atriz a ‘M con respecto a la misma base.
2.17.
G ru p o lineal
U na aplicación lineal i entre dos espacios F y F sobre el mismo cuerpo de base K es tal que 1) ¿(x + y) = ( ( x ) + í ( y ) , 2) £(Ax) = A£(x); y l es también un homomorfismo de espacios vectoriales: t e L ( E , F ) = H om (F, F ). La condición 1) significa que ( es un homomorfismo del grupo E en el grupo F . La condición 2) significa que ( es homogénea y de grado uno. (L (F ; F ), + , A·) es un espacio vectorial. H om(F; E ) = L (E \ E ) = E n d (F ) = L (F ) es un álgebra con la composición de aplicaciones. Si u es biyectiva, u ~ l es o tra aplicación lineal y u se llama un isomorfismo de F o automorfismo. El conjunto de automorfismos de F , A u t(F ), forma un grupo para la composición, es decir, el grupo de los endomorfismos u operadores inversibles. E ste grupo se llama el grupo Lineal de E y se nota G L k ( E ) o G L (F ); no es o tra cosa que el grupo de elementos inversibles del anillo o álgebra L(E). Cualquiera que sea E de dimensión n sobre K , el grupo linead de F , G L (E ), es isomorfo al grupo lineal de K n . Como esta últim a estructura de grupo, única, está completamente definida por K y n, se le nota G L (n , K ) o G L n( K ) y es idéntica a G L(E ). Tenemos el cuadro Automorfismos 4 Endomorfismo
=>
Isomorfismos JJ Homomorfismo
Una representación lineal de un grupo Q en el espacio E es un homomorfismo de Q en G L (E ), es decir a un elemento del grupo se le asocia un operador lineal sobre E; en otras palabras, el grupo Q realiza sus aspiraciones sobre E a través de endomorfismos de E o de sus matrices que son sus coordenadas. E se llama espacio de representación. G L (E ) ocupa en física teórica relativista y cuántica un lugar destacado, lo mis mo que sus representaciones. Por ejemplo, las transformaciones geométricas sobre los sistemas físicos, tales como las traslaciones, evoluciones temporales, rotaciones, homotecias y similitudes forman subgrupos de G L (R3). De estas transformaciones, las que dejan al sistema invariante se llaman simetrías y conducen a leyes de con servación. Sin temor a exagerar ni a equivocarnos, podemos afirmar que la física se reduce en buena parte al estudio de los grupos lineales. Como existe un isomorfismo entre el álgebra ( L ( nE ), + , A·, o) y el álgebra de matrices (M n( K ), + , A·, x), cada operador de aquélla se identifica con una matriz. De aquí que se diga que una representación linead “es” un operador de L (E ) y que G L n(E) “es” el grupo de matrices (n x n) inversibles con respecto a la base de nE. Si se especifica el cuerpo K se usa la notación G L n {n, K ). Por ejemplo, G L(n, C) y G L(n, R3) para los grupos lineales de matrices complejas o reales n x n regulares. La letra G también se interpreta como “general” . E je m p lo 1: Como x e R es una m atriz escalar l x l , resulta la representación trivial i >-» i , que es exactamente la aplicación homomórfica identidad. Así todo número real viene representado por él mismo, es decir por su matriz escalar. E je m p lo 2: Una representación de f e s
y |; una representación de la forma
lineal / es (q i · ■ · q „). Una representación de una rotación en el plano ( i , y) “es” la matriz v
=
(y sen# cosdñ
~ eos# sen/ V J
E je m p lo 3: Una representación del grupo R e s R s i i - * ^ J tación del grupo C es C a :
|
*
1 )
rePresen"
^ ^ = a + tb ;es decir, los números reales y
complejos tienen representaciones matriciales. N o ta : P ara los físicos, una representación lineal es toda colección de objetos abs tractos o concretos que se transform an los unos en los otros bajo los elementos u operaciones de un grupo. Este abuso de lenguaje y de notación se ha hecho mayor al decir que “E ” (el espacio E de la representación) es una representación del grupo.
Por ejemplo, se dice que el protón y el neutrón (lo mismo que los quarks), como vectores, son representaciones de ciertos grupos específicos. Se debe decir rigurosamente que el protón, el neutrón y los quarks generan un espacio de la representación; esta últim a es un homomorfismo que a su vez está representado por una matriz. La teoría de la representación lineal es fundamental en física. Más tard e veremos los subgrupos más relevantes de G L (E ) en la física; según la especificidad y características de ellos, se genera un capítulo diferente de esta disciplina. La física es un grupo, una geometría. La mecánica, el electromagnetismo, la relatividad y la teoría cuántica son casos particulares de G L(E ), son subgrupos.
2.18.
G ru po ortogon al
En esta sección nE estará equipado con una forma bilineal simétrica no degene rada / . P r o p o s ic ió n 13: Para todo endomorfismo u de E , u dades siguientes son equivalentes: i) Se conserva a f , es decir, f ( u ( x ) ,u ( y ) ) — / ( x ,y ) ii) u conserva a q si, y sólo si, q [u(x)] = q(x)
6
L (E ), las cinco propie Vx,y
6
E.
Vx 6 E.
iii) u * o u = idgiv) u o
= ids-
v) u es inversible. ■vi) u es un automorfismo. vii)
u -1 = u*.
D e m o s tra c ió n : i) «=* ii) ya que las aplicaciones (x ,y ) >-» / ( x , y) y (x ,y) ·-► /[ u (x ) ,u (y ) ] tienen la misma forma cuadrática asociada, por eso son iguales. i) <=> iii) ya que / [u(x), u(y)] = / [u* u(x), y] = / ( x , y); por consiguiente / [itf u(x) —x, y] = 0 y u* u(x) —x es ortogonal a todo vector y, y (puesto que / es no dege nerada) es nulo, de aquí que u* u (x) = x, Vx 6 E. iii) ii) ya que Vx, /[ u ( x ) ,u ( y ) ] = / [uf u (x),y]. La demostración de las restantes equivalencias es directa. a D efin ic ió n 7: El operador que verifica una de las cinco propiedades del teorema anterior se llama automorfismo ortogonal de E respecto de / (o q). También se le llama endomorfismo u operador ortogonal.
N o ta : También un operador u es ortogonal si verifica (u (i)|u (y )) = (x |y ) . El conjunto de operadores ortogonales de E en E se nota 0 n( E ) por operar sobre E. A un operador ortogonal, que de hecho es un automorfismo, se le llarna automorfismo de / (o de q). Por eso On(E ) también se simboliza como G L (¡) o GL(q). C o ro la rio
6
: On(E) es un subgrupo de G L ( E ).
D e m o s tra c ió n : Por la parte v) de la proposición 12, On (E) c G L(E )\ por i), si u i, u-i e On(E) = 0 ( n , K ) tenemos u Lu 2 e On ( E ) y uj " 1 e O n(E). Si u e On(E) = > On{E) a u t = u “ 1. D e fin ic ió n 8 : Al grupo On(E) se le llama grupo ortogonal de / (o q). Por ser E isomorfo a K n , también se no ta On {E) — 0 ( n , K ) u On( K ) c G L ( n ,K ) \ f es la forma canónica. E je m p lo 1 : En mecánica clásica y electromagnetismo los grupos juegan un papel preponderante, lo mismo que en cristalografía.
02
(R) y C>3 (R)
E je m p lo 2: En física relativista se tiene el espacio M* real de dimensión 4; allí el grupo ortogonal de la forma diferencial cuadrática d s 2 = iq ^ d x^ d x '' se llama grupo de Lorentz. Es un grupo de sim etrías que preserva todas las leyes de la física; por eso es el grupo fundamental de la invariancia relativista, o mejor dicho, de la física absolutista. Ese grupo 0 4 (R) deja invariante a M 4 , al ds2, a la m étrica al principio de causalidad y a todas las ecuaciones de la física relativista (absolutista). La teoría de la relatividad especial es 0 (4 , R) c GL(4, R). P ro p o s ic ió n 14: Si u e On(E ) entonces det(u) = ±1. D e m o s tra c ió n : La prueba es trivial = id e = >
1
= det(id£)
=
d et(u ■ u f) = (d e tu )2 ==> (d e tu )2 — 1
=
(d e tu — l) ( d e tu +
1)
=
0.
#
D e fin ic ió n 9: Los elementos de On(E ) con determ inante +1 se llaman rotaciones respecto de / , forman un subgrupo de On ( E ) llamado grupo especial ortogonal o unimodular ortogonal, que se nota S O n (E) o S O n(K)·, a este subgrupo se le llama simplemente, grupo de rotaciones en n dimensiones. Si K = R se obtiene SOn (R) y sus elementos son automorfismos de R n que conservan el producto escalar, el módulo o longitud de vectores y la orientación de las bases, por eso se les llama isometrías.
E je m p lo 3: En R2, R 3 y R 4 tenemos S O 2 , S O 3 y S O 4 de im portancia capital en física. La m atriz M ( 8 ) e S O 2 , como se ve en el ejemplo 2 de la sección 2.17, es ortogonal y unimodular. E je m p lo 4: U na sim etría S respecto al origen de coordenadas de R 3 conserva el producto escalar; S e O 3 pero S $ S O 3 porque no conserva la orientación de la base. Los grupos S O n pueden tener propiedades topológicas y diferenciales, obteniéndose así no sólo estructuras algebraicas sino analíticas muy usadas hoy en la física nuclear y de partículas elementales. P r o p o s ic ió n 15: Sea nE con una base ortonormada (e<)i$¡£n pora f . Sea u g L (E ). Las condiciones siguientes son equivalentes: i) u es ortogonal. II'·
. iij (u (e \), u(e 2 ), ■ ■ ' ,u (en)) es una base ortonormal de E . ni) (tx(e,)} es un conjunto ortonormal.
D e m o s tra c ió n : ¿) ==> »«). /M e ¿ ) ,u ( e j) ] = f [ e u u 'u {ej )] = /(e< ,ej) = í y . ti) ==> i), sea [u(e¿)] una base ortogonal, es decir /[u (e ¡),tt(ej)] = ¿y
=>
/[u (x ),u (x )] = f[ u { x 'e i) ,u ( x 1 ej )] = /[x 'ti(e j),a r, u(e¿)] = x ' x ] f[u (ei),u (e j)] = x V 'í y = x V /ÍC i.e ,) = ^ í
==>
1 ') 2
= f ( x ’x ) =
-u es ortogonal según ¿1) de la proposición 13.
t) ==» iii) se deja como ejercicio.
s
Concluimos que transformaciones ortogonales cambian bases ortonormales en bases ortonormales. Recíprocamente, si este cambio se realiza,así es porque u es ortogonal. De allí la im portancia de ese grupo On (R) y S O n (R) en física: mecánica, cristalografía, física atómica, espectroscopia, física nuclear, física corpuscular, etc.
2.19.
M atrices ortogonales
Ya definimos un operador u ortogonal como aquel que cumple con la relación u = id s o u f = u ~ l . Como a todo operador se le asocia una m atriz con respecto a una
base, a u ortogonal le corresponde una matriz ortogonal M , que por definición es aquella que verifica 'M M = I o l M = M ~ l . Más generalmente se tiene: P ro p o s ic ió n 16: Sea M una matriz de orden n x n con elementos en K ; las siguientes propiedades son equivalentes: i) lM M =
1
.
ii) M ‘M = I. iii) M es invertible (o regular o no singular) y A /-1 = lM . Si se equipa a K n con el producto escalar canónico, estas condiciones son todavía equivalentes a: iv) Las columnas de M forman un conjunto ortonormal. v) Las filas de M forman un conjunto ortonormal. D e m o s tra c ió n : Sea u e L ( K n) asociado a M , entonces el elementó de L ( K n) asociado a lM es ti* (ejercicio 5 de 2.15), luego la equivalencia de las propiedades ¿), ii) y ü¿) resulta de la equivalencia de las condiciones iii), iv) y v) de la propo sición 12. t) <=> iv) proviene de la proposición 14. Finalmente, ii) o v) se deduce reemplazando M por lM . Si M = (M y) se tendrá n i * j = > 2 M kiM kj = 0 ;
(i = 1,2, ...n)
k=\
y
¿(A/i/c)2 = 1.
·
km 1
D e fin ic ió n 10: Una m atriz M que verifica cualquiera de las condiciones equiva lentes de la proposición 16 se llama m atriz ortogonal. Ya vimos que la matriz de con relación a la base ortonorm al (e,) es l M (numeral 9, teorema 4, sección 2.16). Resulta entonces: u es ortogonal <=> uu* = 1 <=> M lM = I o · M ortogonal. Esto se enuncia así: P r o p o s ic ió n 17: Sea f una forma bilineal simétrica no degenerada sobre E. Supon gamos que existen bases ortonormales (e¿) para f . Sea u e L (E ). Entonces, u es ortogonal cuando, y sólo cuando, su matriz M con respecto a la base (e¡) es orto gonal.
Toda m atriz de cambio P de una base ortonorm al (e¡) a una base ortonormal (e'), es ortogonal. Pongamos X = M (x, (e¿)), X ' = M (x, (ej)) y X = P X '\ entonces / ( * , * ) = q(x) = £ ( x ’)2 = ‘X X = £ ( x ' ? = ‘X 'X ', de donde
i « i* « » )-* » -
(
eos 6 rsen,9
U(J)
i
—sen 9 Teos /9 )
·
M (9 ) 6 S O 2 , ya que es ortogonal y de determ inante +1 (véase figura 2.3)
E je m p lo 2: De forma similar la m atriz eos 8 sen 8
—sen 9 eos 8
o
o
(
0 \ 0 ) e SO3. 1 /
E je m p lo 2: El grupo S O n (R) de matrices reales n x n ortogonales y especiales se usa en física para cambios de bases en R n que conservan el producto escalar, las leyes físicas en R3, la ortonorm alidad de las bsises y el momento angular. E je m p lo 4: O tro tipo de matrices tales como los grupos S L (n , C) de matrices complejas n x n y unimodulares (especiales) son de uso corriente, sobre todo el grupo S L (2 ,C ), que realmente es el grupo de invariancia de la física relativista. E je rc ic io 1: Demuestre que el grupo de rotaciones de S O (E ) relativas a / , es un subgrupo distinguido o invariante de G L (E ) = G L ( f) . P ara ello estudie el homomorfismo u ·-» det u, y su ker. E je rc ic io 2: Escriba las relaciones que verifican los elementos de O n(K ) y de S O n ( K ) para n = 2 y n = 3.
2.20.
O peradores a u to a d ju n to s
Consideremos a un espacio vectorial n E con una forma bilineal sim étrica no de generada / . Se tr a ta de buscar operadores que cum plan con la condición ti = u f ; a estos operadores se les llama simétricos (por ejemplo el transpuesto: ‘u = ti) o autoadjuntos respecto de / (o de q). Forzosamente tendremos para todo ( 1 , y) e E 2: / [ u ( x ) ,y ] = / ( x . u ^ y ) ] = / [*, u ( y ) ] ; y, recíprocamente,
/ M * ) . y] = / [*. “ (y)] = / [“ r (x). y] implica que (u(z) —u*(z)) es ortogonal a todo vector y, por consiguiente es nulo; entonces u(x) = u*(x) V i € E\ simplificando por z tenemos u = Concluimos: P r o p o s ic ió n 18: Sea el endomorfismo u e L ( E ; E ) . Las condiciones siguientes son equivalentes: i) u* = u. i i) V(z, y) e E 2
/[ ti( z ) ,y ] = / [ z ,u ( y ) ] .
D efin ic ió n 11: Un endomorfismo u que verifica una de las dos condiciones ante riores se llama endomorfismo simétrico o autoadjunto respecto de / (o de q). Las aplicaciones lineales simétricas de E en E forman un subespacio vectorial S f ( E ) de L (E ). Si E tiene bases ortonormales (e¡) relativas a / se tiene: M = M (u, (ei)), u simétrico «=> u = u* <=> M = lM o- M es simétrica. Es decir: P r o p o s ic ió n 19: Si existen bases ortonormales ( d ) para f , para que u e L (E ) sea simétrico, es necesario y suficiente que su matriz M con relación a (e¿) sea simétrica. N o ta : También por definición, un endomorfismo (u operador) autoadjunto es aquel que verifica la relación (u(x)|y) = (x|u(y)).
2.21.
P rob lem as
1) Pruebe que el producto escalar canónico sobre Rn definido por f{ x , y) = x ■ y =
+ · · · + x nyn
con x « ( i | ........x n) y y = (yi, · · · i yn) es una forma bilineal simétrica positiva no degenerada. 2) Con el producto escalar canónico anterior pruebe la desigualdad de Schwarz: ((*|y))2 ^ (*!*) (y|y> · 3) Demuestre que el conjunto de las formas bilineales L,2 { E ,K ) = T ° (E ) es un espacio vectorial sobre K . Pruebe que también lo es Q{E). Verifique que S i(E ; K ) y A j( £ ; K ) son subespacios vectoriales de L2(£ ; K). 4) Sea / 6 L,2 ( E ; K ) , pruebe que f x definida por f z {y) = f { x , y ) implica f z € L \(E ; K ) — E*. 5) Considérense un espacio vectorial E y su dual E ' sobre K . Pruebe que la aplicación de E* x E K , definida por (f * , x ) >-* (/* |x ), es una forma bilineal canónica no degenerada. 6) Muestre que la aplicación (x,y ) >-* 0 de nE x mF en K es una forma bilineal degenerada; en cambio la forma bilineal canónica sobre K n no es degenerada. 7) Considérese una forma bilineal / de E x F en K . Fije provisionalmente la x de la imagen f ( x , y ) .
a) Demuestre que la aplicación definida por y~
f z (y) = f ( x , y )
es un elemento de F *. b) Justifique que se pueda designar f x por u(x), f z = ti(x), y poner f ( x , (u(x)|y) Vx e F ,V y e F.
y)
=
c) Muestre que u es un homomorfismo de E en F *. u se llama el homomorfismo de F en F * asociado o definido canónicamente por / . d) Reproduzca los puntos anteriores para el homomorfismo v de F en F* definido canónicamente por / . 8) Demuestre la siguiente proposición: sea / una forma bilineal sobre F x F y sean los homomorfismos definidos canónicamente por f : u : E <-> F*, v . F <-> E * . Las propiedades siguientes son equivalentes: i) / es no degenerada. ii) u y v son inyectivos. 9) Pruebe la siguiente proposición: se suponen las hipótesis de la proposición del problema 8, y, además, se supone que / es no degenerada y E de dimensión finita. Entonces: a) F es de dimensión finita y dim F = dim E. b) u y ti son isomorfismos. E sta proposición es muy útil ya que permite identificar F con F* me diante el isomorfismo u y F con E* mediante v, y por consiguiente F y F se consideran el uno como el dual del otro y para x 6 F , y 6 F se tiene: /(x> y) = (x|y> = (y|x) = / ( y , x )· 10) Pruebe la identidad de Euler para una forma cuadrática q real x '^ P T ^ = 2g(x), ox
x = x ‘e¡ e E.
11) Considere una m atriz cuadrada A sobre K . Pruebe que la aplicación / : K n x K n >-. K dada por / ( x ,y ) = ‘X A Y es una forma bilineal. 12) Sea una forma bilineal / de m atriz A tal que /( x , y ) = lX A Y . Verifique, con esta fórmula, que / es una forma bilineal simétrica cuando, y sólo cuando, A es simétrica.
13) Demuestre que la matriz (
0 Aj
...
0
o
0
...
0 \ 0
A = l
Xn J
de una forma bilineal / es diagonalizable si, y sólo si, la base que la diagonaliza es ortogonal. Calcule los A<. 14) Muestre que una condición necesaria y suficiente para que una forma cuadrá tica q, de m atriz A, sea no degenerada es que su matriz A sea no singular (es decir, det A ^ 0). 15) Pruebe que una forma cuadrática q es degenerada si, y sólo si, su m atriz es singular (es decir, no inversible). 16) Verifique que para que una forma cuadrática sea no degenerada es necesario y suficiente que su rango sea igual a la dimensión del espacio; y para que sea degenerada, el rango sea menor que tal dimensión. 17) Demuestre que el rango de una forma cuadrática es el rango de cualquiera de las matrices congruentes que la representan. 18) Verifique que los elementos de toda m atriz ortogonal diagonal valen 1 o —1. / 1 a c \ 0 1 6 \0 0 X) con a , 6,c e K , constituye un subgrupo de G L ( 2 ,K ). Generalice para n = 4, y n arbitrario.
19) Pruebe que el anillo conm utativo de las matrices 3 x 3 de la forma
20) Si / es una aplicación bilineal, verifique que / definida por f ( x , y ) = f ( x , y ) + f ( y , x) es una forma bilineal simétrica. * 21) Sea F = {(0,0, z ) |r e R} c R3. Calcule F L. 22) Considérese el espacio vectorial n-dimensional nE equipado con una forma bilinealsim étrica / = ( | ) (n > 1).C onstruya un isomorfismo entre E y E* y verifique que si / * e E * ,entonces existe un vector único x e E tal que /* (y ) = / ( * , y) = (x|y>. Vy e E. 23) Sea una m atriz M , n x n , real y ortogonal M e 0 ( n , R). Pruebe que, para el espacio euclidiano Rn , las filas de M forman una base ortonormal.
90 /Algebra multilineal
24) Sea la transformación lineal de R2 cuyas coordenadas son representadas por cio\ - ( 10 \ / eos# W ^ 0 - 1 ) \ senÉ»
—sen# \ cosd ) '
Muestre que S(0) es ortogonal y es una rotación. Estudie cada factor, identifíquelo geométricamente y dem uestre que uno es una rotación y el otro no. 25) Por la invariancia de la forma bilineal sim étrica no degenerada / = ( | ) (pro ducto escalar) respecto del operador R(9) : R2 >-► R2, definido por R (9 )(x,y) = ( ic o s 9 — y sen 9, x sen 9 + y eos 9) pruebe que R(9) es ortogonal. ¿Qué representa geométricamente? 26) Sea el operador u : n E —* nE definido por u ( i) = 3 i. Pruebe que u conserva la ortogonalidad de vectores (las imágenes), pero que u no es un operador ortogonal. 27) Pruebe que toda m atriz 2 x 2 / ? = ^ ^
^ J ortogonal y unimodular, es decir
R e 5 0 (2 ), puede escribirse bajo la forma R(9)
■(
eos 9 sen 9
— sen 9 eos 9
para algún número real 9. 28) Teniendo en cuenta la característica de un cuerpo: a) Demuestre con un contraejemplo que tod a forma bilineal antisimétrica no es alternada. ¿Por qué esto sí es verdad para R o C? b) Verifique, en cambio, que si es alternada implica que es antisimétrica. 29) Pruebe el isomorfismo que existe entre los espacios L,2 ( E \ K ) y M n(K). 30) Compruebe que, cualquiera que sea la m atriz B real no singular, lB ■ B es simétrica. 31) Considérese una forma cuadrática real q(X ) = q (i, y) = a i 2 + bxy + cy2 asociada a una forma bilineal sim étrica / . a) Pruebe que / es no degenerada cuando, y sólo cuando, 62 —4ac * 0. b) Compruebe que / es definida positiva si, y sólo si, a > 0 y 62 —4ac < 0.
32) Se dice que una m atriz M es congruente con la matriz N si existe una matriz P no singular (inversible) tal que M = ‘P N P . Demuestre que la congruencia es una relación de equivalencia. 33) Sea u un operador sobre n E y / una forma bilineal simétrica sobre nE. a) Demuestre que la componente i j de la m atriz M de u, en la base ortonormal (e¿), es / [ u(e¿),e¡] = ( u ^ l e i ) . b) Deduzca que la m atriz se escribe entonces
34) Demuestre que toda m atriz M n x n sobre K puede considerarse una repre sentación de una forma bilineal / sobre K n , o de un tensor dos veces covariante. 35) Sea / una forma bilineal sim étrica sobre E y ¡p la aplicación lineal de E en E * definida por
Vx G E =*· y = 0.
c) f { x , y ) = 0
Vy e £ =^· x = 0.
d) La aplicación de E en E* asociada a / por { fx \y) = ( x |/v) = (
37) Considere un cuerpo conmutativo K de característica # 2. Sea la forma cua drática sobre K n \ n
2
«,J= 1 a) Suponga que f u # 0 , demuestre entonces que existe una forma lineal /* sobre K n tal que <7(z) = f u [ / * ( i ) ] 2 +<¡i(x), donde la forma cuadrática q¡ no depende de la variable x i. b) Ahora suponga que f u = 0, pero / 1 2 =A 0, y escoja como nuevas coorde nadas en K n las siguientes formas lineales: Vi = i ! + x 2,
1/2
= Xi —X2 ,
yi = x»
(3 < i ^ n)
Pruebe que, entonces, se tiene q(x) = £ " J=l V«3/i con 9 u ^ 0, y que se cumple en el nuevo sistema de coordenadas la afirmación mencionada en a). Este método de diagonalizar se conoce con el nombre de “completar el cuadrado"; es una generalización de reducir a cuadrado perfecto la ecuación de segundo grado, forma canónica muy usada en bachillerato. c) Se dice que una forma cuadrática q es diagonal o se ha reducido a una suma de cuadrados si con respecto a una base q tom a la forma n
q(x) =
2
i=I
n
f a x i x i = Y j fi x ] = f \ A + / 2 x 2 + · · · + U x l , 1=1
donde fi = / „ son los nuevos elementos de la matriz ( / y ) diagonal de q. Demuestre que para que una base, de cualquier espacio vectorial, sea ortogonal con respecto a una forma bilineal sim étrica / es necesario y suficiente que la forma cuadrática q asociada a / sea diagonal. d) Basándose en literales los a), b) y e ) , de este problema, obtenga méto dos prácticos correspondientes para resolver cada uno de los siguientes problemas: i) Reducir una forma cuadrática a la forma diagonal (también se dice reducida a sus “ejes principales” ). ii) Construir una base ortogonal para una forma lineal simétrica dada. e) Tomemos ahora a Q como cuerpo de base. Dadas las siguientes formas cuadráticas: i) x] + x l + 3 x 3 + 4 x i x 2 -I- 2X [X 3 4- 2 i 2 X3,
Ü ) X ¡ + 5l2 — 4X3 + 2xjl2 — 4XiX3,
iii) x j + 2 x 2 + x¡j + 4 x ix 2 + 4 X1X3 + 2 x ix 4 + 2 x 2 X3 + iv) 3x 2 —2 x \ + 2x 2 + 4 x i i 2 —3 x i i 3 —X2 X31
2 x2x4
+ 2 x 3x 4 ,
redúzcadas a la forma diagonal (o sum a de cuadrados) utilizando a) y b). Indique claramente en cada caso el cambio de coordenadas. 38)
a) Pruebe que el conjunto D de las matrices ^ ^
^ con x e R es un
grupo multiplicativo isomorfo con el grupo aditivo R. b) Compruebe que D es una representación lineal de dimensión dos del grupo R. c) Construya otras representaciones matriciales de dimensión 3 y 4 del gru po de los números reales. Obtenga una conclusión. d) Demuestre que el conjunto D de las matrices de la forma
U
‘ )
con a, b e R, es una representación lineal del grupo aditivo y multiplica tivo C, donde C 3 z = (a, 6 ) = a + ¿6 (i = V —T). 39) Muestre que las matrices D de la forma lineal del grupo aditivo
£3
Í X\ y
forman una representación
de vectores libres.
40) Verifique que el conjunto D de las matrices de la forma eos 6
(
0
sen 9
— sen 9 \
0
1
0
0 eos 9
J
forman una representación del grupo de rotación en el plano (x, z) que dejan al eje y invariante. 41) Pruebe que existe un isomorfismo canónico entre L (£ ; LP( E ; F)) y LP+l( E\F). 42) Compruebe que L ( K \ E ) es idéntico a E. 43) Calcule el discriminante del producto escalar en Rn y demuestre que éste es una forma bilineal sim étrica no degenerada. 44) Demuestre que el grupo G L k ( E ) no es otra cosa que el grupo de los elementos inversibles del anillo de operadores L(E\ E) de E en E.
45) Sean E y E ' dos espacios vectoriales sobre K isomorfos. a) Muestre que L k ( E \ E ) y L k ( E ',E ') son isomorfos. b) Demuestre que C L k {E) y G L k (E ') son isomorfos. c) Verifique que si dim E = n, entonces G L k (E ) y G L f({ K n) son isomorfos. d) Deduzca que la estructura del grupo de automorfismos de nE queda enteramente determ inada por K y n; de allí la notación G L n(K ). 46) Compruebe que toda forma bilineal / sobre E es la suma de una forma bilineal sim étrica y una forma bilineal antisimétrica. 47) Tómese un espacio vectorial nE de dimensión finita sobre K conmutativo, n E* y sus respectivas bases (e,) y (eJ ), 1 < i, j ^ n. Considérese un isomorfismo tfi de E en E* definido por r f e i ) '= e '
V» e [ l,n ] .
a) Halle todos los automorfismos u de E , u 6 G L k (E ), tales que para cualquier forma bilineal sim étrica / se tenga / [<¿>(z). y] = (v>(z)|y) = (('P 0 «X aO M y»
para todo (x, y) e E 2.
b) Dé una interpretación geom étrica a { | ) y a u. c) ¿Qué conserva u? ¿Qué efecto producen tp y u? d) Justifique que ip_ l o tu o i p o u = id e y construya el diagrama de los espacios y las aplicaciones respectivas. e) Compruebe que u fu = id s; es decir, u es un automorfismo ortogonal. 48) Si K es un cuerpo finito con m elementos, entonces determine el número de elementos del grupo lineal G L ( n } K ). 49) Sea G n (para todo entero n > 1) el conjunto de matrices ^
^ ^ tales que
a, b, c, d e Z y ad — be = n. a) Demuestre que G¡ es un subgrupo de G L (2,Z). ¿Sucede lo mismo con Gn , para n > 2? b) Muestre que si M e G „, entonces U M V e C i, V U ,V e G¡. c) Pruebe que, VAí g M n, existen U ,V e G¡ tales que U M V es diagonal. 50) Demuestre que 0 ( n , K ) es un subgrupo de G L ( n ,K ) .
Muestre que la matriz *A es ortogonal si A lo es. Pruebe que el producto de dos matrices ortogonales es ortogonal. Verifique que si T es un operador ortogonal, y = T (x) implica
x = lT(y).
Compruebe que si A y B conmutan, entonces P A 1P y P B l P conmutan si P es ortogonal. Demuestre que toda matriz ortogonal R 3 x 3 puede representarse por el producto eos 6 3 sen 83 — se n 83 eos63
(
O
O \ / eos 6 2 O Jí O 1 \ se n fc
0
O
1
—sen 6 2 \ / O 11 O
0eo s 82
J\
0
1
O eos 8\
—sendi
O \ sen(?i 1= R. cosfli J
Interprete geométricamente esta descomposición. Sean E y F dos espacios vectoriales sobre K conmutativo y / un ¡somorfismo de E sobre F. Defínase la aplicación / así: / = ( ' / ) - 1 = ‘( r 1)· a) Pruebe que / es un isomorfismo de E* en F ' el cual corresponde canó nicamente a / . b) Compruebe que si g es otro isomorfismo entre E y un tercer espacio vectorial G, entonces g o f = p o / . c) Verifique que si / es un automorfismo de E (dimensión finita), entonces la aplicación / >-* / es un isomorfismo de G L(E ) sobre GL(E*). Considérese el grupo unimodular (o especial) S L ( 2 , R) de matrices M unimodulares reales
2
x 2 , es decir, M = ^ ^
a) Si |T r(M )| >
2
d ) ^ det ^
= ^ P 1116*36 Que
entonces existe una matriz P e 5L (2,R ) tal que
p M p " - { eo 2 - ) con 8 € R, 8 ^ 0 , hiperbólica.
8
^ 1 y 9 ^ —1. E n este caso se dice que M es
b) Si T r(M ) < 2, esto implica que existe P e SL(2,C ) tal que P M P -' =
(
C0S90
\ sen 9
~ Senoe ) eos 6 J
con 9 e R. En este caso se dice que A/ es elíptica.
c) Si M es diferente / 2 , de —I 2 y si T r ( M ) = +2, entonces 3P e SL (3,R ) tal que P M P ~ l es igual a una de estas matrices
(o!)·
( o - ! ) ·
(o
! ) ’(
o —í ) ·
Se dice que M es parabólica. d) ¿Puede justificar los nombres dados? 58) Sea el subgrupo S O (2,R ) de S L (2,R ) formado por las matrices de la forma /e o s 6 a ^ sen 0
-sen ff \ . a cosff J
con
6 6
R,
y el subgrupo T de S L (2,R ) constituido por las m atrices de la forma
( 0
A-> ) ’
Al # í 6 R
y
A>°·
Deduzca que todo elemento de S L ( 2,R ) se escribe de m anera única como: R S, con R 6 5 0 ( 2 , R) y S 6 T . 59) Sea la aplicación 1p : L ( E , F ) x F* —* E *, tal que ^ (/iJ /* ) =
= V* ° í ■
a) Pruebe que
112
y V3 , verifique que w es
61) Sean los vectores vi, V2 y la base B = ( e i,e 2 ,e 3 ) del espacio euclidiano R 3, dados por
a) C onstruya un vector unitario ortogonal a vi y v2b) Fabrique dos vectores ortogonales entre sí y ortogonales a v \ . c) Con ayuda del proceso de Gram -Schm idt y a p artir de la base B , obtenga una base ortonormal.
62) Sea una forma cuadrática cuyas componentes son los elementos de la siguiente m atriz, con respecto a la base canónica de Rn :
Al realizar un cambio de base, se obtiene esta nueva base:
a) Calcule la m atriz P del cambio de base. b) Encuentre los valores y vectores propios de A y diagonalice A, es decir halle D = ‘P A P congruente con A. Establezca conclusiones. 63) Considérese a R3 con su base canónica. a) Muestre que los vectores
V 3(1,1,1)’ >/6( 2,1,1)'y V 2(0’ 1,1} forman una nueva base ortogonal. b) Halle la m atriz P que cambie esta base en la canónica. c) Verifique que P es ortogonal. 64) Sea la forma bilineal ternaria / sobre R3 definida por el siguiente polinomio de segundo grado homogéneo: f(X ,Y )
=
/ ( ( x i,x 2 .x3 ),(i/i,y2,y3))
=
3xiVi - 2xij/2 + 5x2yi + 7x2y2 - 8x2y3 + 4x3y2 - X3y3·
a) Calcule la matriz A de f para que f ( x , y ) = ‘X A Y . b) Deduzca una regla nemotécnica para ese cálculo. 65) D ada la forma bilineal / sobre R3: f ( x , y ) = / ( ( i i , X 2 ),(yi,V 2 )) = 2xiyi - 3xiy2 + xiVia) Calcule, en la base (e¡ = (0,1) ,e 2 = (1,1)), la matriz M de / :
b) Encuentre la matriz M ' de / en la base (e\ = (2,1), e'2 = ( 1 , - 1 ) ) . c) Halle la m atriz P del cambio de las bases (e¿) a (e'). d) Compruebe que M ' = lP M P. 66) Sean las siguientes aplicaciones lineales sobre R2 con X = (x, y, z): a) f { X , Y ) = 2 x i + x j . b) f ( X , Y ) = 3i i i 2 - y i y 2. c) f ( X , Y ) = 0. d) f ( X , Y ) = 1. e) f ( X , Y ) = 2 n y , . f)
f [ X , Y ) - x iyt.
g) f ( X , Y ) — 3 i i y 2 + 5 i 2!/i· Diga cuáles son formas bilineales. 67) Dadas las siguientes formatí cuadráticas sobre R3 con X = (x , y , z ): a)
7 (X )
= xy + y2 + 4xz + z2. Calcule su matriz y deduzca una regla nemotécnica para ese cálculo.
68) Sea la forma cuadrática q : R3 —» R definida por l { X ) = 9 (í1 - y, *)) = x 2 - 2xy + 3y2 + 4yz - z2. a) Halle la matriz A tal que
e'2 = (1,1,1)
e'3= (0,1,1),
calcule las matrices de cambio de base P y P ~ l y la nueva matriz simétri ca A'. c) Verifique la invariancia de q( X) con X = (1,2,3).
69) Resuelva el problema 68 con q ( X ) = q ((x, y, z)) = x 2 + 6xy —2xz + 4yz + z2 y con e\ = (1,1,0), e'2 = (0,0,2), ejj = (2,1,0) como nueva base. Evalúe con X = (1,1,2). 70) Considérese una matriz ortogonal M n de orden n; demuestre la ortogonalidad de la siguiente m atriz de orden n + 1: / 1 0 0 Mn+l —
···
0 \
Mn \ o
/
71) Encuentre una matriz ortogonal cuya prim era fila sea
/l = ( ¿
Vi)·
72) Calcule la matriz ortogonal cuya prim era columna ( 1, 1, 1).
sea proporcional a
73) Halle una matriz ortogonal simétrica cuya primera fila sea
a -G
i I)·
74) Considérese el espacio vectorial Mi(W) de las matrices reales 2 x 2 con la base (e1,e 2,e 3,e 4), donde
- ( 1
$ ) ■ - ( · ¡)— (! ! ) · - ( ! ! )
y una matriz A = ^ ^
^ . Sea la aplicación / de [AÍ2 (R)]2 en R definida
por (M, N ) >-♦ /( M , N ) = 7Y(‘JV/ A M ). a) Compruebe que / es una forma bilineal. b) Estudie la sim etría y el degeneramiento. c) ¿Es / un producto escalar?
«T' '
w w w .e lso lu iionari
100
/Á lgebra multilineal
d) Calcule la m atriz F de / : F
=
^ o t i j = f i:¡ = T r [ teiAej ] í /(e i,e i)
/ ( e i , e 2)
f { e u e3)
f { e i , e 4) \
\ / ( e 4 ,e i)
/ ( e 4 ,e 2)
/ ( e 4 ,e 3)
/ ( e 4 ,e 4) /
e) ¿Es F simétrica? ¿Qué concluye? 75) Considérese un espacio vectorial E de dimensión n sobre bilineal canónica sobre E* x I?. a) Justifique que si se tom a 0 /* ( x ) # 0 y ¥>(/*,x) # 0 .
y sea
95
la forma
/* e E*, entonces existe u m e f tal que
b) Si x 0, deduzca que existe una base ( e i , . . . , e n ) de E que comienza por e\ = x. c) Pruebe que la aplicación Ajej 4 - ... + Ane >-► Aj es una forma lineal sobre E tal que
1 1
\ de una forma bilineal / sobre R3, calcule el
2 - 1
0 —2
\ 0 1 1 / valor de f ( X , Y ) y de q{X)· Halle además la matriz de la misma forma pero con respecto a la base
( (1 ,1 ,1 ),(1 ,1 ,0 ),(1 ,0 ,0 )). 78) Calcule la matriz de la forma cuadrática q sobre R 3 cuyo valor es: q ((z, y 1 z)) = 3x 2 -
8 x 1/
-I- 2 y 2
79) Considérese el espacio vectorial de matrices reales m x n; muestre que la aplicación (M , N ) —► T r ( lN M ) es una forma bilineal. Estudie la simetría y el degeneramiento. ¿Es esta aplicación un producto escalar? 80) E n este problema se dan las ecuaciones cuadráticas (A), (B), (C) y (D), de curvas cónicas centradas, las cuales, a primera vista, no dicen a qué gráfica corresponden (además sería engorroso graficarlas).
A) q{X ) =
q (X ) = q(x, y) = 2xy = 1.
Figura 2.4.
C) 5x 2 4- 4xy 4- 8 y 2 = 36. D) 10x 2 4- 24xy 4- 17y2 = 26. Las ecuaciones cuadráticas binarias dadas, con respecto a la base canónica ( 6 1 , 6 2 ), (ejes x ,y ) , se quieren reducir o simplificar al hacer desaparecer los términos cruzados. P a ra ello: a) Calcule la matriz A de la forma cuadrática asociada a cada ecuación. b) Halle una base propia ortogonal nueva (e'^e^) (o ejes principales) que diagonalice a A. c) Dé la forma diagonal A ' de A. d) Calcule la matriz P ortogonal del cambio de base. e) Dé la nueva ecuación de la forma cuadrática en la nueva base ( e j , ^ ) (nuevos ejes x', y'). f) Teniendo en cuenta la invariancia de q, respecto del cambio de base P, dé la nueva ecuación de la curva cónica (figura invariante). g) Determine los parámetros, grafique la curva en la nueva base (e'lt e'2) (ejes principales x ',y ') e identifíquela. h) Dé a P la forma de una rotación de ejes en R 2 y calcule el ángulo 9 de la rotación.
102 /Á lgebra multilineal ■ »
« 81) En este problema se dan las complicadas ecuaciones de segundo grado de su perficies cuadráticas (A), (B), (C) y (D), las cuales están asociadas a forméis cuadráticas ternarias (en R3). Se quiere reducirlas a sólo suma de cuadrados en bases nuevas apropiadas (e\ , eó, e'3) o ejes principales ( x ', y ',z ') a partir de la ecuación original en la base canónica ( e i,e 2 ,e 3 ) o ejes (x , y , z ). Se procede como en el problema anterior. Responda a las preguntas del problema 80. El punto d) se complementa dando las nuevas coordenadas (x ', y ', z') en fun ción de las viejas (x , y , z ). El punto g) debe tratarlo analizando el sólido o superficie resultante por medio de cortes o secciones transversales, de manera que resulten gráficos fácilmen te reconocibles en cada plano. Por ejemplo, haciendo z ' constante o cero se obtiene una figura en el plano z ', y' y se continúa por permutación circular.
Figura 2.5.
a) q (X ) = q(xei + ye2 + ze3) =
w w w .e lso lu cio n a rio .n e t
un supergrupo del grupo lineal que deja invariantes las longitudes. E sta geometría euclidiana es la base de la mecánica y de la electrodinámica. Es menester señalar que la preservación de esta rigidez es válida localmente y en campos gravitatorios débiles. Si se enriquece el grupo de Euclides con las transformaciones de Galileo, se obtiene el grupo de Galileo, el cual preserva las leyes de la mecánica y está íntimamente unido a una de las teorías de la relatividad. En un espacio euclidiano, además de los vectores, se pueden construir otros objetos (espinores y tensores), los cuales dan origen a otras geometrías, álgebras y análisis respectivos. Si los grupos de transformaciones que allí operan gozan de propiedades topológicas y analíticas, entonces se am plía enormemente su radio de acción. La física se beneficia en gran medida de estas estructuras minkowskianas, riemanianas, tensoriales generalizadas y diferenciales. Esto repercute en el nacimien to de otras versiones de mecánicas, electrodinámicas y, en general, de otro tipo de físicas. Que esta introducción sirva de abrebocas p ara los insaciables y curiosos es tudiantes de la carrera de física, p ara ensanchar sus horizontes y determ inar sus orientaciones futuras. . ¿
3.1.
Formas bilineales sim étricas reales
V i » f '1 ¡ A hora nos vamos a ocupar en este capítulo del caso en que K = IR, en el cual una forma bilineal simétrica / o su forma cuadrática q se llam arán reales. D e fin ic ió n 1: Una real asociada q son negativas se definen —q) es positiva; por
forma bilineal sim étrica real / sobre £ y su forma cuadrática positivas si f { x , x ) = q(x) í 0 p ara todo i e E. Las formas por f ( x , x) = q{x) ^ 0. / (o q) es negativa si, y sólo si, —/ (o consiguiente, sólo estudiaremos las formas positivas.
E je m p lo 1: El producto escalar usual es una forma bilineal simétrica positiva. E je m p lo 2: En E = K n la forma definida con respecto a la base canónica por / (x, y) = i ' y ' es una forma bilineal sim étrica positiva no degenerada. •« ..·*·■ ■**·>/ · * >'<·'“ · E je m p lo 3: La forma definida en las mismas condiciones del ejemplo 2 por g(x, y) = ÜCÍÜi x 'y ' (m < n ) es una forma bilineal sim étrica positiva no degenerada. P r o p o s ic ió n 1 (D e s ig u a ld a d d e S ch w arz): Sea / una forma bilineal simétrica positiva sobre E . Para todo ( x ,y ) e E 2 se cumple [ /( * ,y ) ] 2 « s / ( z , z ) - / ( y , y ) ·
D e m o s tra c ió n : P ara todo A 6 R y (x,y) e E 7 se tiene q(x + Ay) = / ( i + Ay, x + Ay) = A2/( y , y) + 2 A /(i, y) + / ( x, x) ^ 0. 1) Si /( y , y) = 0, la precedente desigualdad no puede ser válida para todo A e R, a menos que /( x , y) = 0; entonces, la proposición es inmediata. 2) Si /( y , y) ^ 0, más exactam ente si /( y , y) > 0, entonces q(x + Ay) > 0 es un polinomio de segundo grado en A con coeficientes reales, siempre positivo; esa desigualdad no puede cumplirse para todo A € R ya que es imposible que exis tan dos raíces reales distintas. Forzosamente su discriminante A será negativo o nulo, es decir, A = ( /( x , y))2 - / ( x , x ) /(y , y) ^ 0
.
En la figura 3.1 se presenta la gráfica del trinomio de segundo grado, sus raíces y su discriminante.
q (x + Ay)
Figura 3.1. C o r o la rio 1: Si f es una form a bilineal simétrica positiva y q su forma cuadrática positiva asociada sobre E , entonces, para todo (x,y) e E 2,
[fix
De la proposición anterior se deduce que para to d a pareja (x ,y) de E 2: q(x+ y)
=
f ( x + y , x + y) = f ( x , x ) + 2 f { x , y ) + { ( y , y )
<
f(x
=
isto implica la siguiente proposición: ’r o p o s ic ió n 2 (D e s ig u a ld a d d e M in k o w sk i): Si f es una form a bilineal simérica positiva sobre E , entonces para todo (x , y) e E 2 se tiene y / f ( x + y , x + y) sí y / f ( x , x ) + V /( v .y ) · Corolario 2: Si q es una forma cuadrática positiva sobre E , para todo (x, y) e E 2 e tiene y/q {x + y) s$ y/q(x) + V íÜ /)· Djemplo 4: Si tomamos / como el producto escalar usual, se tienen los casos partiulares en R3: (v ■ t¡7)2 $ |tT|2|iü|2, lo que equivale a: Mód(í7· w) ^ Mód(tT) · Mód(tü). También se tiene |ü · ú7| = |t7| ■ |tü| · cos(t7,tü), lo que implica la desigualdad anterior, finalmente tenemos la desigualdad triangular, muy conocida, |v + t¿J| < |t7| + |tü|, on |v| = s j f ( v , v) = \Jv v. Se definió el núcleo de / como el conjunto k e r ( / ) s ( i e E / x ± y,Vy <=> /( x ,y ) = 0 } , ntonces, si i 6 k er(/), x es isótropo. Recíprocamente, si / ( x ,x ) = 0, entonces 1< /( x , y)2 < f { x >x ) f { y. y) = 0 y / ( x , y) = o para todo y e E , es decir, x e ker(/). lesumiendo, tenemos: P ro p o sició n 3: El núcleo de una forma bilineal simétrica positiva f es idéntico al onjunto de los vectores isótropos por f . C orolario 3: Sea f una forma bilineal simétrica positiva no degenerada sobre E. i) El único vector isótropo es el vector 0, esto es, ker( / ) = {0}. ii) Si F es un subespacio vectorial de E , la restricción g de f a F es positiva no degenerada. D e m o stra ció n : i) resulta de la proposición 3. P a ra ii) si x 6 F es isótropo por g, tntonces x es isótropo por / y así x = 0, luego / es no degenerada. #
E je rc ic io 1: Pruebe que la forma bilineal sim étrica definida por rlJ (x ,y ) > -J
x ( t) y { t ) d t
(ver sección 2.7) es no degenerada positiva. E je rc ic io 2: Demuestre la desigualdad de Holder
f x(t)y(t) dt
Ja
< f [x(t)]2 dt ■ f [y(t)]2 dt. Ja
Ja
E je rc ic io 3: Verifique la desigualdad de Minkowski
{/: [x(0 + V(O]2 dt\
< ( f [x(í)]2 dt\ +
[y(t)]2 dt
N o ta : Algunos autores designan la forma bilineal sim étrica no degenerada positiva con el nombre de forma bilineal simétrica definida positiva.
3.2.
B ases ortogon ales y ortonorm ales
T e o r e m a 1: Sea f una form a bilineal simétrica positiva en E. Entonces existen bases ortogonales ( e i , . . . ,e„) de E tales que / ( e i , c i ) = l , . . . , / ( c r ,c r ) = l , / ( e r+1,e r + i) = · · · = / ( e „ , e „ ) = 0 .
D e m o s tra c ió n : Según el teorema 2, sección 2.15, existe una base ortogonal (e ',,. . . , e'n). Pongamos / ( e ', e') = a , ^ 0 . O rdenando convenientemente los e \ ten dremos <*i > 0 , ...,ar > 0,
a r + i = ■·· = a „ = 0.
%
g( Si definimos una nueva base por e, =
para 1 < t ^ r, y e¡ = e\ para
r + 1 ^ i ^ n, esta nueva base (e,) posee las propiedades del teorema.
#
T e o r e m a 2: Todo espacio vectorial real E de dimensión finita tiene bases ortonor males para toda forma bilineal simétrica positiva no degenerada sobre E. La demostración de este teorem a se basa en el teorema anterior. Una de sus con secuencias es que en una base ortogonal (et) de nE se tiene /( x , y) = / ( x ‘e¿, yJe¿) =
E ’l , x ' y \ p ara to d a forma bilineal simétrica positiva no degenerada / sobre nE; además, q(x) = £ " = l( x ') 2· Por consiguiente, sobre un espacio vectorial real de di mensión n existe (salvo isomorfismo) una única forma cuadrática no degenerada positiva. E je m p lo 1 : El producto escalar es una forma bilineal simétrica positiva no dege nerada y define bases ortonormales. C o n s e c u e n c ia : Si se tiene un conjunto {e¿}ií¿$r
= ···
= f(e „ e ,) =
/(^ a + l » 1) / ( c j + t + i , ej+ t+ i)
“ — ***
= /(ej+ tiS a + t) = ^ = f { e n , en) — 0 .
1
D e m o s tr a c i ó n : Se sabe que por ser / un forma bilineal simétrica existen bases ortogonales p a ra f , ( c i 'p- · · , e n'). Pongamos /( e ',e 't) = a¿<. Ordenando se puede suponer que Qn
> 0 ,...,a „ > 0 ,
a J+ U + l
< 0 , .. ., QJ+t J+t
a )+t+!j+l+l
=
< 0,
’ · ’ = O n n = 0.
a!· Definamos la nueva base por e( = —p=z para
1
< i ^ s, e, =
s/oü
-
e'
1 y/— ota
para
s + 1 ^ i $ s + í y e¡ = e' para s + í + 1 < t < n. De esta manera los ej sxisten: se construyeron y cumplen con las propiedades del teorema. # C o r o la rio 4: Si f es una forma bilineal simétrica real sobre nE, espacio vectorial de dimensión n sobre R, entonces existen bases ortogonales (e,) para f , y dos enteros naturales s y t tales que con relación a esa base se tiene / ( * . y)
g{x) s+ t
= f i x ' e i . y t e j ) = £ x 'y ' £ *V > t= 1 j = s +1 = ¿ ( i 1)2 - 2 »= 1 j = 3+ 1 = r = r g ( f) .
y
Por abuso de lenguaje se dice que a « ( * J )2, (« j, < 0 ) y (i·’ ) 2 son cuadrados nega tivos; se dice correctamente que Q u (x')2, (a « > 0 ) y ( i 1) 2 son cuadrados positivos. T e o r e m a 4 (Ley d e in e rc ia ): Sea „E un espacio vectorial sobre R de dimensión n; sea f una forma bilineal simétrica real sobre nE y sean (e,), (e¡) dos bases ortogonales para f . Si para s, t, s', t‘ C N se cumple que 9 f i x
=X ¡xV t= 1
5+ t £ *V . J*=3+ 1
=
E O^
y
)2
i=l = r = rg ( f) .
y, por otra parte, f{ x ,y )
=
¿
-
1=1
2
x,Jy/J
>=*'+1
= ¿ o O 2E ¿=í j= í' + l
i
= r = r g ( f) .
entonces s = s’, t = t!. Es decir, los enteros s y t del corolario 4 sólo dependen de la forma / y no de la base ortogonal escogida para / ; s y í son invariantes. D e m o s tra c ió n : Sean los dos subespacios siguientes de E: F engendrado por (e(, . . . , e,) (dim F = s) y F ‘ engendrado por ( e '+ l, . . . , ¿n) (dim F ' = n —$'). Si x e F entonces q(x) J 0; si además x 0, entonces existe i , ^ 0 con 1 ^ i $ s; es decir, q(x) > 0 para todo i / 0 en F . Si i € F ' entonces q(x) ^ 0 y así F n F ' = {0}; pero dim F + dim F ' = dim (F + F ') + d im (F o F ') = dim (F + F ') í dim E\ de donde j + n - ^ n . o j ^ / . Finalmente, si se perm uta el papel de ¡as bases (e¿) y (e't) se dem uestra que s' ^ s, de donde s = s'. Además s + t = r = s' + t' = r g ( f) , luego t = t‘. Esto último también se obtiene cambiando / por — a Si / es una forma bilineal simétrica no degenerada, entonces s + í = n. Si / es una forma bilineal simétrica positiva entonces t = 0 y s = r = rg ( f) . Así, / es una forma bilineal simétrica no degenerada positiva si, y sólo si, s = n; de donde tenemos la consecuencia del teorema 2 .
La pareja de enteros naturales (s, i) se llama la signatura de / o de q. E je m p lo 2: En R 4 la forma cuadrática definida por q(x) = ( x 1) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 + (x 4 ) 2 = Sijx'x* es de signatura (4,0); también se dice que la m étrica ó es de tipo elíptico. Históricamente fue Poincaré quien introdujo (1905) este espacio euclidiano tetradimensional, antes que Minkowski (1908), en su descubrimiento de la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell bajo las transformaciones del grupo de Lorentz. E je m p lo 3: M 4 es el espacio de la relatividad especial (que es un espacio afín real de dimensión 4) en cuyo espacio vectorial asociado se definen las formas cuadráticas q de signatura ( 3 , 1) y (1,3). Esto es, existen bases (eM) y (e„) (¿i, v = 0 , 1,2,3) de tales que q(x)
=
í ( x % ) = (x 1) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 - (x 0 ) 2 = n t¡\ x tíx x
q(x)
=
q{xv eu) » (x 0 ) 2 - (x 1) 2 - (x 2 ) 2 - (x 3 ) 2 = r)uax vx ° .
Estáis formas cuadráticas q o métricas r¡ (o tensores métricos de componentes covariantes t?0/?), aunque diferentes, son totalm ente equivalentes desde el punto de vista físico para la descripción de las leyes de la naturaleza: las leyes físicas son invariantes respecto a la métrica. A la última métrica de signatura (1,3) se le llama métrica hiperbólica y es la que se usa más en relatividad. Según esta métrica un vector x se llama tem poral (temporaloide o de género tiempo) si q(x) > 0 ; x se llama vector espacial (espacialoide) si q(x) < 0 , y x es un vector luminoso si q(x) = 0 . Esta últim a denominación proviene del hecho de que un rayo luminoso no recorre distancia espacio-temporal alguna (ds 2 = 0) en relatividad especial y general. La uz es un vector isótropo y por eso el fotón tiene, en reposo, m asa cero.
3.3.
Espacios euclidian os de d im en sió n n
Sea R+ los números reales positivos. Comencemos por dos definiciones fundamen;ales: D efinición 2: Sea E un conjunto dado. Toda aplicación de E x E en R + se llama jna distancia si verifica los tres axiomas siguientes: 1)
x = y si, y sólo si, d (x ,y ) =
0.
2) d(x, y) = d (y,x) p ara todo x ,y
6
E (simetría).
3) d (x ,y ) < d ( x ,z ) + d ( z , y ) p ara todo x, y, z
6
E (desigualdad triangular).
Se llam a espacio métrico (E , d ) a todo conjunto E con una distancia d. Por abuso de lenguaje se dice que x y y tienen por distancia a d(x, y). D efin ició n 3: Sea E un espacio vectorial sobre K . Toda aplicación || · || de E en R + se llama una norma si cumple las tres propiedades siguientes: 1)
||x|| =
0
si, y sólo si, x =
0.
2) ||Ax|| = |A|||x|| para todo x 6 E y todo X e K. 3) ||x + y|| ^ ||x|| + ||j/|| para todo (x,y) e E 2 (desigualdad triangular). Un espacio vectorial E provisto de una norma se llama espacio vectorial normado, ( £ , || · fl). Por definición, d (x ,y ) = || x - y ||. Ejercicio 1: Verifique que R y Q con d(x, y) = |x —y| son espacios
métricos.
E jercicio 2: Demuestre que en R", descrito por ( i j , . . . , xn), las aplicaciones sigui entes de R" x Rn en R+ son distancias: 1)
d \( x , y ) =
|xí —y»l-
2) d 2 ( x ,y ) = sup ie[1 n] |x¡ —y¿|. 3) «¿3 ( 1 , y) =
—y·)2] ^ (distancia euclidiana). d
E jercicio 3: Pruebe que si d es una distancia definida en E , también lo es -j— ^ . E jercicio 4: Demuestre que Q, R y C con x >-► |x| son espacios normados. E jercicio 5: Muestre que, en Rn, las aplicaciones siguientes de Rn en R + son normas: 1) x ~ IIx I j = 2 ? .! 1**12)
x — IM 2 = sup líi< n |*‘|.
3) x <-* ||x ||3 = [ S iL i í1 *)2]^ (norma euclidiana). E je rc ic io 6 : Si E es un espacio vectorial normado, demuestre que la aplicación de £ x E e n R + , definida por (x,y) >-♦ ||x —y||, es una distancia sobre E. Ejercicio 7: Si E = C[a, /3] es el espacio vectorial de funciones reales y continua-s sobre [a, /3] c R, demuestre que las aplicaciones siguientes son normas:
1) * - l * l i - j f l * ( O I * · 2)
i — |i |l 2 = supQ
3) * - » | * | 3 - [ £ [ * ( « ) ] * * ] * . Sea / una forma bilineal simétrica positiva no degenerada. Vamos a norma asociada a su forma cuadrática positiva no degenerada. Tenemos todo (x,y) 6 E 2 y X e R: q(Xx) = X2 q(x), entonces \/q(Xx) = *Jq(x + t) < y/q(x) + y/q(y). El único vector isótropo es 0: q(x) = 0 si, x = 0. De donde se obtiene la siguiente proposición:
definir la que para Además, y sólo si,
P ro p o s ic ió n 4: Sea q una forma cuadrática asociada a una forma bilineal simétri ca positiva no degenerada sobre E real. La aplicación de E en R+ definida por x — ^/q(xj\\x\\ es una norma sobre E. D efinició n 4: Un espacio real E provisto de la norma ||x| = \fq(x), donde q es una forma cuadrática positiva no degenerada sobre E, se llama, en el caso general, un espacio pre-hilbertiano real. D efinición 5: Un espacio pre-hilbertiano de dimensión finita se llama espacio euclidiano. Algunos autores dan otra definición de espacio euclidiano, a saber: D efinición 6 : Se llama espacio euclidiano a un espacio ¿ afín de dimensión finita tal que el espacio vectorial asociado E está provisto de una forma cuadrática positiva no degenerada (el producto escalar).
3.4.
Propiedades de los espacios euclidianos
Sea „ £ un espacio euclidiano de dimensión n, es decir un espacio vectorial de dimen sión n sobre R equipado con una forma bilineal simétrica positiva no degenerada. Cualquiera que sea esta forma / , siempre tendremos, con relación a una de sus bases ortogonales, lo siguiente: x = x'e¡, y = y 3 eJt implica n
/ ( x >y) = 2 x ' yl = 1=1
n
= x 'yi>
= ***<.
1=1
Además, nE es isomorfo con Rn . Lo anterior permite afirmar: Existe una sola estructura de espacio euclidiano de dimensión n, y es Rn. Este espacio R 71 se llama espacio de Euclides o euclidiano de n
dimensiones. Con el fin de estudiar las propiedades de esa estructura, escogemos una forma bilineal simétrica positiva no degenerada, que notaremos /o y que llamaremos la forma fundamentad del espacio euclidiano E. Su forma cuadrática asociada <70 será la forma cuadrática fundamental. Entonces, las bases ortonormales de E serán las bases ortonormales relativas a /o ( o a
||x ||e
= V i * 1)2 + ' · · + (*n)2·
La forma diferencial cuadrática fundamental o ds2, o simplemente métrica, de este espacio euclidiano, es n
d s 1 = qo(dx) = Sijdx'dx* = ^ ( d x ' ) 2 = dx'dx¡, 1-1
con dx = dx'e¡, i e [ 1 , n]. Por abuso de lenguaje, los físicos confunden la forma cuadrática con los coefi cientes ¿ij o matriz de la forma cuadrática; y aquéllos (componentes) con el tensor métrico <5. Como la forma fundamental / 0 es positiva no degenerada, el único vector isótropo de un espacio euclidiano es 0 ; de aquí que si para todo y 6 E se tiene z · y = z / · y, entonces z = z '. El operador adjunto u* del endomorfismo u de E se definirá con ayuda del producto escalar, así: (V z , j e E), u(x) ■ y = z · u*(y). Un operador ortogonal se definirá de esta manera: (V (x , y ) e E 2), u(z) · u(y) = z ■ y. Es decir, u preserva el producto escalar y la longitud de un vector: u(x) ■ u(x) = z · z = |x |2; de allí que u se llame también una isometría. Un operador autoadjunto o simétrico es ta l que Vx,y e E, se tiene u(x) y = z · u(y). La totalidad de estas definiciones son relativas a la forma fundamental escogida / 0 .
Como ya lo vimos en el caso general, en este caso particular el grupo orto gonal O (fo) = On (E) es isomorfo (se confunde) con el grupo 0 ( n ,R ) = On de matrices reales ortogonales de orden n. Los físicos particuleros llaman a este último la representación defininitoria de On . El grupo de rotaciones o grupo de opera dores ortogonales unimodulares será S O (,R ); “es” tam bién el grupo de matrices ortogonales especiales de orden n y de determ inante + 1 : el grupo más general de transformaciones del espacio euclidiano es el grupo afín (G A ( E )) formado de automorfismos y traslaciones. Estos desplazamientos forman un supergrupo de G L ( E ): G A (E ) 3 G L{E ) d O (E ) zd SO {E ). En MU, el grupo afín se llama grupo de Poincaré y contiene el grupo de Lorentz, las rotaciones, las traslaciones y las simetrías espacio-temporales. Como el espacio euclidiano n E es real, se puede “orientar” , es decir, definir triedros coorde nados derechos (dextrógiros, sacacorchos derecho) o izquierdos (levógiros, tornillo inglés...). Resumiendo tenemos: en un espacio euclidiano de dimensión n to d a ma triz de cambio de base ortonorm al de igual orientación es una m atriz del grupo S O n . E je rc ic io 1 : Demuestre que todo conjunto de vectores no nulos y ortogonales dos a dos de un espacio euclidiano es linealmente independiente. E je rc ic io 2 : Sea (a;)te[i,n] una base cualquiera del espacio euclidiano nE . Mues tre que existe una sola base ortogonal ( 6 ¿) (usando el ejercicio anterior y ponien do bi ■ fej = · · ■ = bi ■ bj_i = 0 p ara i = 2 ,3 ,...,n , cuyos vectores son de la forma bx = a i, b2 = a 2 + A}f>i, . . 6 ¡ = a¡ + \ } b x + · ■ · + A|_ 16 ¡_ i,· ■■ ,bn = an + Ajjbi + ■ · ■ + A"- 2 bn_i). E je rc ic io 3: Con lo anterior pruebe el procedimiento de ortogonalización de Schmidt que estipula: dada una base cualquiera (e¿) del espacio euclidiano n E, existe una base ortonorm al única (e¡) de E tal que VA; e [l,n ]: 1)
El subespacio generado por (ei', · · · ,e n') es idéntico al subespacio generado por ( e i , . . . , e n).
2)
e'fc · ek > 0 .
E je rc ic io 4: Sea un conjunto de vectores {i>}ie[i,m
· · · + I n ||2 =
¡T il2 +
··· +
I M
2.
El estudio de los espacios euclidianos orientados se complementa con las nociones (que no tratarem os aquí) de producto mixto y producto vectorial, la definición de ángulo entre dos vectores, estudio de isomorfismo entre S 0 2 y el grupo U de números complejos de módulo 1, la medida de un ángulo módulo (27r), amén del análisis en Rn .
3.5.
D iagon alización de operadores autoad jun tos reales
Sea u un operador simétrico del espacio euclidiano n E real. Sea M su matriz con relación a una base ortonorm al de E. Se tra ta de mostrar que todos los valores propios de Ai, y por consiguiente de u, son reales, y de probar que M y u son siempre diagonalizables en sus bases propias ortonormales. Algunas demostraciones son largas y pesadas; se llega al mismo resultado con demostraciones más cortas y elegantes, pero utilizando operadores hermíticos sobre espacios de Hermite, como lo veremos en el capítulo 8 . Resumiendo: una m atriz simétrica siempre será diagonalizable, su espectro será real y sus vectores propios, ortogonales. N o ta : La presente sección y la siguiente, figuran en el programa de álgebra lineal; por consiguiente el profesor de álgebra multilineal puede prescindir de ellas y con formarse con enunciar los teoremas y proposiciones sin demostrarlas. Primero probaremos que todos los valores propios del endomorfismo simétrico u son reales. Más exactamente establezcamos el siguiente teorema: T e o r e m a 5: Sea M una matriz real y simétrica cuadrada n x n; sea P ( X ) su po linomio característico, que tiene coeficientes reales. Entonces, las raíces de P ( X ) son reales. D e m o s tra c ió n : Consideremos a M (u ) = (a¡j) como una m atriz compleja de u € L(Cn ) y a A e C una raíz de P ( X ) . Sabemos que existe un vector x ^ 0 , i = ( i i , . . . , x n) 6 Cn tal que u (x) — Xx, es decir, q ‘ = Ai*. Entonces se tendrá: n
n
A l'ij =
i= l
^
n
Otjix'x3 =
*J = 1
O tu x' x' +
t= 1
^
O j ^ x ' x 3 + x ^ x').
U ¿ < j^ n
La b arra significa complejo conjugado; además otij = o¡j,. Ahora bien, otij e R,
i ’í ' e R
y
x x3? + x?xx e R;
entonces A2 ? = i x%x‘ e ® Y como 0 # 2 ?= i x ' x '
6
entonces A e R.
s
Ya vimos que nE siempre tiene bases ortonormales (ej) para / . Además M M ( f , (e*)) es simétrica. Sea A e R una raíz del polinomio característico de M (too rema fundamental del álgebra de D ’Alembert-Gauss). Entonces A es un valor propio de u que tendrá un vector propio no nulo; de aquí se obtiene:
P ro p o sic ió n 5: Sean nE real, f una form a bilineal simétrica positiva no degenera da sobre nE y u un operador simétrico sobre E. Entonces existe al menos un vector propio no nulo para u. P ro p o sic ió n 6: Sea u un operador simétrico sobre un espacio nE real. Entonces, el subespacio ortogonal a todo vector propio no nulo de u es estable por u. D em o stra ció n : Sea u(x) = Ai, con x 6 nE y A valor propio de u. Partiendo de x - y tenemos x u(y) = u(x) y = A (i-y) = 0, lo que dem uestra que si y es ortogonal a x, vector propio de u, u(y) también será ortogonal a i . # Si x\ y x 2 son dos vectores propios de u simétrico, asociados respectivamente a los valores propios Ai y A2 diferentes, entonces u ( i i ) · i 2 = i i · u ( i 2) = 0 = A i i i i 2 —A2i i i 2 = (Ai —A2) i i · i 2; lo que m uestra que i i y i 2 son ortogonales, lo mismo que sus subespacios propios Ex, y E x , . Más generalmente tenemos: T eo rem a 6 (e sp e c tra l): Sean nE real, f una forma bilineal simétrica positiva no degenerada sobre E, y u un operador simétrico sobre E . Sean Ai, . . . , Ar los valores propios distintos de u; sean E x ,, . . . , E \ r los subespacios propios respec tivos. Entonces los £ \ , son dos a dos ortogonales, y E es la suma directa de los E x¡. D em o stra ció n : a) Tomemos i i e E x, y i 2 e E x esto conduce a / [ u ( i i ) , i 2] —/ [ i i , u ( i 2)] = 0 = / ( A i h , i 2 ) - / ( i i , A 2 i 2 ) = ( A 1 - A 2 ) / ( i i , i 2 ) = 0; entonces / ( i i , i 2) = 0, es decir, E x , 1 Ex,. En general, E xx J. E \ j para i * j. b) E \ t es ortogonal con E x, , . . . , E x r y con E x, + Ex, H------- 1- E \ r . Por consi guiente, todo vector de Ex, c\ (Ex, H------- l· E xr) es ortogonal consigo mismo, y por lo tanto es nulo. Esto implica que Ex, n ^X¡J«2 E x ^ = (0} y prueba q u e £ A. n ( j Z ^ . E x ^ = {0 }. c) Poniendo F = Exiy se tiene F = Ex, © ■ · - ® E x r. Probemos que F = E. Por la proposición 2 los E xi son estables por u, lo mismo que F y F L\ esto último se debe a que si i 6 entonces / [ u ( i ) , j/] = / [ i , u(y)] = 0 para todo y 6 F; si u(y) e F, entonces u(x) 6 F L . Resulta que la restricción de / a F L es una forma bilineal sim étrica positiva no degenerada, ya que el único vector isótropo es 0. La restricción de u a F es simétrica, y si F 1 {Ó}, la proposición 1 garantiza la existencia de i # 0 y i 6 F l tal que x es vector propio de u; entonces x pertenece a uno de los E xt y por consiguiente a F. Concluimos que i e F o F x es absurdo, por consiguiente F L = {0}, y así F = ( F 1 )
= E.
0
El nombre de espectral se debe a la descomposición o fragmentación de E en subespacios ortogonales, disjuntos e invariantes (ver figura 3.2).
Figura 3.2. El prisma descompone espectralmente la luz blanca.
T e o r e m a 7 ( D e sc o m p o sic ió n e s p e c tr a l) : Sean un espacio euclidiano nE y u un operador simétrico de nE . Entonces existen bases ortonormales de E formadas de los vectores propios de E (bases propias ortonormales) con respecto a las cuales la matriz de u es siempre diagonal. D e m o s tra c ió n : Se obtienen las bases ortonormales si se reúne una base ortonormal para cada E a, (t = 1 , . . . , r). # La m atriz M (u, (e')) en una base propia ortonorm al (e') tom a siempre la forma diagonal, cuyos elementos son los valores propios de u, (A i,. . . , An), asociados a los elementos de la base (e\, ■ ■ ■ ,e'n). Como las dos bases (e,) y (ej) son ortonormales, la m atriz de cambio de base P es forzosamente ortogonal. Esto induce el siguiente corolario: C o r o la rio 5: Para toda matriz simétrica real M de orden n x n, existe una matriz P ortogonal, real y de orden n x n tal que P ~ l M P = M ' es diagonal. D e m o s tra c ió n : Sea u e L(Rn) asociado a M . Equipemos a Rn de la forma bilineal sim étrica positiva no degenerada ((x l , . . . , xn ), (y1, . . . ,y n)) *-♦ £ x * y '- La base canónica (e,·) de R" es ortonormal. M simétrica implica u simétrica, luego existe una base ortonorm al (e\, ■ ■ ■ , e'n) de Rn (Teorema 3) tal que la matriz de u, M (u ), en ella es diagonal. La transformación lineal P que cambia, e¡ en e'lt . . . , e„ en e'n es ortogonal, luego P es ortogonal. a
3.6.
R ed u cción de form as cuadráticas reales
T e o r e m a 8: Sea n E un espacio vectorial real y fo una forma bilineal simétri ca positiva no degenerada sobre E . Sea f una form a bilineal simétrica cualquiera sobre E . Entonces existe una base de E que es ortonormal para fo y ortogonal para f . D e m o s tra c ió n : a) Sea x e E. La aplicación y <-* f ( x , y) es una forma bilineal sobre E. Existe, y es único, un x! e E tal que f ( x , y) = /o (x ',y ). V y e E. Ese vector x! depende de z; lo llamaremos z ' = u (z). Hemos asociado, pues, de manera biyectiva, a / un operador simétrico u e L [E ) tal que f ( x , y) = u (z) · y = z ■ u(y) = l( A X ) Y = ‘X A /
(V(z, y) 6 E 2).
b) u es lineal: sean z j , z 2 e E , entonces p ara todo y e E y todo A e R se tiene 0
=
/ [(*i + Az2), y] - fo [(*i + Ax'2), y]
=
fo M z i + Az2),y ] - f o { x \,y ) - A/0(z2,y)
=
fo [u(zi + Ax2), y] - f 0 [u (z i),y ] - fo [Au(z2),y]
=
fo [u(z! + Az2) - u ( z i) - Au(z2), y]
=
0;
pero fo es no degenerada y por lo tanto u {x\ + Az2) = u (x \) + Au(z2). c) u es simétrico para / : /o [x ,u (y )]
=
/o [u (y ),x ]
=
/( x .y ) = /( y ,x )
=
fo [«(*). y]
d) Por el teorema 7, existe una base (e¿) de E ortogonal para / tal que it(e¿) = A,e,. Entonces para i ^ j se tiene f ( ei
,
C o r o la rio 6: Sean M y M ' las matrices de f con relación a dos bases ortonorma les para f o . Entonces M y M ' son semejantes y por consiguiente tienen el mismo polinomio característico.
D e m o s tra c ió n : Sean (e¡) y (e'J las dos bases ortonorm ales para / 0 ; sea P la ma triz ortogonal de cambio de base de (e,) a (e'). Tenemos, pues, A/' = l P M P , pero l P = P ~ l , o sea, M ' = P ~ l M P , puesto que u es ortogonal con u(e.) = e' si, y sólo si, P es ortogonal. # Si escogemos (e'¡) tal que f ( x , y ) = / ( z ’eí.y-’e ') = X ^ A iZ 'y * y q(x) = S L i A ,(i1)2, Ai, . . . , An serán las raíces del polinomio característico de M y de M '\ reordenando la base se tiene (si r g ( f) = r): /( x ,y ) = 2 A¿XV
y
?(*) = ¿ A<(*·)2;
1=1
Ai
0 , . . . , A r 96 0.
1=1
La operación precedente se llama reducción de las formas cuadráticas en una base ortonorm al para / 0 de E. E je rc ic io : En E = R 3 con la base canónica se considera la forma bilineal asociada a la forma cuadrática definida por q{x) = - [(z 1)2 + (z2)2 + (z3)2] +
2 (z 2z 3
+ z 3z* + z V ) .
Verifique que existe una base ortonorm al de E tal que ?(z) = (z/ l )2 —2 [(z ,2)2+ ( z '3)2] . Dos formas cuadráticas reales q y g son congruentes cuando sus matrices repre sentativas A y B son congruentes: q(x) = lX A X , g(x) = lX B Y , B = ‘P A P. Si P es ortogonal, se dice que <7 y g (o A y B ) son ortogonalmente congruentes o semejantes si:B = P ~ l A P .
3.7.
P rob lem as
1) Demuestre el teorema de Pitágoras flz + y||2 = ||z||2 + |y||2. 2) Deduzca que —||z||||y|| < < z |y > < ||z||||y||, donde < | > = escalar o forma bilineal sim étrica positiva no degenerada.
/ es un producto
3) Verifique que en todo espacio euclidiano se cumplen las siguientes propiedades: a) | s - y | > | | * | - | y | | .
b) ||z -
y\\ 2 flx|| -
||y||-
c) ¡ i + Ay|| ^ ||x||
(VA 6 R) <=> z es ortogonal a y.
-y-
d) H 2 + l|y|2 = I 1 + y ¡2 =*■
e) | < x |y > | = ||zj|||y|| <==> z y y son linealmente dependientes. f) ||z + y ||2 + ||z —y ||2 = g)
«x ¡ 2
2 ||x ||2
+
2 ||y ||2
(teorem a del paralelogramo).
= IIyII2 + II2 «2 —2 1y | · ||z|| c o s(y ^ ).
h) flx —y ||2 = ||z|| + ||y ¡ 2 si z es ortogonal a y (teorem a de Pitágoras). i) Si ||z|| = ||y|| = > (z + y) perpendicular a (z —y), j) < z |y > = i ( |x -i- y | 2 - |z - y |2) . 4)
a) Pruebe que, en todo espacio euclidiano, las diagonales de un rombo (di = x + y> = x —y) son perpendiculares. b) Si el vector z de módulo 1/2 forma un ángulo de 60° con el vector y, halle el módulo de éste para que y —z sea perpendicular a z.
5) Sea el espacio euclidiano R 3 con la base Z\ = (1 ,1 ,0 ), e 2 = ( 3 , 0 , 0 ), £ 3 = (0,0,1) y los vectores (con respecto a la base canónica ei, e2 ,e 3 ) z i = (A,¿¿, i/), Z2 = ( a ,/ 3 , 7 ),Z 3 = (1,1,3) y z 4 = (1,1,4). Con ayuda del producto escalar entre vectores en la base (£¡), z i | e¡ · Z2 |£j: a) Calcule | i | | . | * 3 | . | t i | . | e 3| y |c 3|b) Halle d ( z 1 , z 2 ) ,d ( z 3 , z 4) y d(eu e2). c) R epita los cálculos anteriores utilizando la base canónica. d) C onstate las diferencias y explíquelas. 6)
Dados el espacio R [X ] de polinomios de primer grado con la base £1 = 2x, £ 2 = z + 1 y los polinomios P\ = a + 6 z, P 2 = c + dx y P3 = 2z + 3. Con el producto escalar en la base (£,): a) H a U e l l A M f t l J f i t f l y l£ 2 l. b) Calcule d(P i} P 2 )t d(P 3 ,£i) y c¿(£i,£2).
7) Considere la aplicación de R 2 en R 2 definida por / ^ ( x i , Z2 ), (y i,y 2 ) j = z (yi — z iy 2 - 2 z2yi + 5 z 2 y2 · a) Com pruebe que esta aplicación es un producto escalar sobre R2. b) Calcule ||( 1 , 2)|| según este producto escalar y también según el producto escalar canónico. 8)
Sea en R 2 / ( ( z l t Z2 ) ,( y i,y 2 )) = z iy i - 3 z iy 2 - 3z2yi + cz 2 y2 ·
a) ¿P ara qué valores de c, / es un producto escalar en R2? b) ¿P ara qué valores de a , b , c , d e R es el siguiente polinomio un producto escalar sobre R2?: /((zi.X2).(s/i.y2)) =
9)
a x iy i
+¿>xiV2 +
cx2yi
+
d x 2 y2.
a) Pruebe que la aplicación (Ai, ./V) i— ►< M \ N > = T r ( l N M ) es un pro ducto escalar en M n(R). b) Compruebe que A [o
ON f o o J ’ {o
l\ /0 0 J ’ \1
o\ /0 o j'\o
o\ l)
es una base ortonorm al de A/n (R). c) Sean D 6 A/„(R) el conjunto de las m atrices diagonales y 5 c M n(R) el de las matrices simétricas. Calcule para D 1 y S x sus bases y dimensiones. 10) A partir de la desigualdad de Schwarz, aplicada en un espacio euclidiano con el producto escalar /( x ,y ) = < x\y > = tX ■ Y , obtenga la desigualdad de Hólder:
g ì* * )’ « (g*?) (¿ v f 11) Considérense un espacio euclidiano E con su forma bilineal simétrica positiva no degenerada / = < | > y un endomorfismo inyectivo u e L(E , E). Pruebe que entonces la forma bilineal g : E 2 — > R definida por g ( x ,y ) = < x|y > < xt(x)|u(y) > es también un producto escalar. 12) Muestre que la forma bilineal / = < | > : R 2 x R 2 — ► R definida por f { x , y ) = < x|y > = lX A Y (V x,y), no es un producto escalar (o interior) de R2 si
- G pero sí con A
°)
°
’) ■
- ( i D-
13) Consideremos el espacio vectorial C([—rr, ir], R), de las funciones reales conti nuas definidas en el intervalo [ -ir , tt], equipado con el producto escalar
a) Demuestre que el conjunto ( 1 , cosz, co s 2 x, . . . , sin x , s in 2 x, ...} es or togonal. b) Este conjunto sirve de base para las series de Fourier. Calcule d ( f 14) Sea la aplicación / : C ([0,1], R) x C ([0 , 1 ], R) — ► R, definida por (/i./a ) — * f ( í \ , h ) = < h \ h > = í fi[x)h (x )d x . Jo a) Demuestre que / es una forma bilineal, sim étrica positiva y no dege nerada; es decir < | > es un producto escalar que da a C([0,1],R) la estructura de espacio vectorial euclidiano. b) Calcule d ( / i , / 2 ). c) Halle los siguientes valores: < x 2 + l|2 x > , ||x 2 — 1||,<¿(x + l,3 x — 1). 15) Considérese el espacio C ([0, 1 ],C ) con < / 1 I/ 2 > = f i ( x ) h { x ) d x . Verifi que que las funciones complejas de variable real e„ = e2n,nx = cos27rnx + tsin27rnx son ortonormales (< |e* > = Sjit). 16) Considere M n(C) como un grupo multiplicativo de orden finito y sea A un elemento. Deduzca que los autovalores A de A verifican la relación Ap = 1 , donde p e N —{0}. 17) Sea el espacio vectorial real C ([0,1]; R) y una aplicación de C ( [0 , 1 ]; R) en el mismo definida por C ([0, 1 ]; R) 3 / — » u ( /) ( x ) = f Jo
Vx e [0 , 1 ],
a) Deduzca que u es un operador lineal en C ([0, 1 ]; R). b) Busque /m (u ) = u ^ (C [0 , 1 ]; R)^. c) Calcule los autovectores de u. d) Tomando las definiciones 11/11 = SupI 6 [0 il]|/ ( x ) | y M | = Sup 1/ | = 1 ||u ( /) |, calcule ||u¡. 18) Sea A e Mn(C) inversible; pruebe que, entonces, los valores propios de A - 1 son los recíprocos de los autovalores de A con las mismas multiplicidades. Estudie los autovalores de (M + N ) en donde M y N son matrices simétricas reales, cuyos autovalores son positivos o cero.
19) Considere los operadores / y g sobre nE complejo. / (o g) tiene n autovalores distintos. Pruebe que f o g = j o / <=> f y g tienen los mismos autovectores. 20)
Sea C ([a, 6 ];R ) = C. Considere una forma 4> bilineal simétrica positiva y no degenerada sobre C2, definida por
a) Pruebe que la función d definida por
d(/i, h ) = ||/i -
h\\
= V tf(/i-/a ,/i-/a ) > 0
es una métrica o distancia sobre C. b) Sea (<7i,...,Sn) una familia ortonorm al con respecto a ip , es decir, ip(g,,gj) = Sij] considere g = Xogo + . . . + Ang„. Muestre que 11/ - g f = ll/ll2 - (a§ + . . . + a l ) + (Ao - a o ) 2 + . .. + (An - a n )2, donde a , = ip(f, g¡). d) Si se quiere que \\ f—g|| tenga el vador mínimo, ¿qué valores habrá que dar a Ao,. . . , An? Deduzca que q§ H------ hQ2 í ||/||2. ¿Puede existir igualdad? 21) Dadas las siguientes funciones Q sobre R 2: a) Q (x) = + x$. b) Q (z) = ax 2 + 2 6 x i i 2 + ccj. c) Q(x) = x 2 + 6 X1X2 + 9x2· d) Q (x ) = x 2 + 6 x 1 x 2 + l l x 2. Diga en qué casos Q d a a R 2 la estructura de espacio euclidiano. 22) Consideremos una m atriz A de A/n(R), sus elementos los notaremos Q ij(A ) con (i, j ) e [ l,n ] x [ l,n ] . Definamos N ( A ) = |i4 | = nS up |a„(i4 )|. a) Pruebe que N (A ) es una norma sobre el espacio vectorial A/„(R). b) Compruebe que ¡A S I ^ ||>1|| · ||B |. c) Muestre que | (A + B ) r - Ar || í [||A|| + ¡B ||]r - ||A||r Tome
con r e N.
d) Demuestre que las siguientes propiedades son equivalentes: i) Existe una m atriz B e Mn (R) tal que lím flfí - B„|| =
0.
n->+oo
ii) P ara toda pareja (i, j ) e [ l,n ] x [ l ,n ] ,a j j ( B n) tiene un límite cuando n — ► +QO. e) Poniendo a = Sup|a¿¿(.A)| y B = eA, verifique que |e A + s - e
4
|.< e ·4·
f) Calcule efectivamente eA para
;)· 23) Sea mF un subespacio euclidiano de n E , espacio euclidiano a su vez, con m < n. Muestre que entonces existe un vector x e nE y x $ mF tal que x es ortogonal a mF. 24) Compruebe que la forma bilineal / sobre R 2 definida por /((x i,2 /i). (*2.3/2)) = xiS/i - XiVi no es positiva pero es antisimétrica. 25) Deduzca que la aplicación bilineal
(Pi , P2) I— ► < P ,|P 2 > =
í
xP i(x )p 2 (x )d x
Jo
define un producto escalar en el espacio vectorial R(x) de las funciones polinómicas definidas sobre [0,1] c R. 26) Considere un espacio vectorial real E con u na función módulo o longitud definida por i ■— * |x| que verifique la relación |x + v | 2 + |x - y | 2 =
2 ( |x | 2
+ |x |2)
para todo par x, y de E. a) verifique que la función / definida por / :E x E
3
(x , y ) ►— ► /( x , y) = |x + y | 2 - |x - y |2
satisface la propiedad siguiente: f { x + x ',y ) = / ( x ,y ) + / ( x ', y ) .
b) Estudie la posibilidad de que E devenga un espacio euclidiano. 27) Sean nE un espacio euclidiano y n£ a V = A‘V¿ una combinación lineal del conjunto de vectores {V¡} = (Vj, V2 , V3 , . . . , V„). Muestre que X1 = < V\V 3 > ||V¿||- 2 si {V¡} es un conjunto ortogonal. Si {V¡} es una base de ,,E, demuestre que ella es una base ortonorm al si x = x'Vi, y = yJ V} = > < x\y > — x'y¡. 28) Aplicando a Gram-Schmidt, ortonormalice la base
.) { ( ! ) , ( ? ) }
^ R.
b) Consideremos el espacio vectorial euclidiano de los polinomios reales de grado ^ 2 y el polinomio nulo, con el producto escalar < P \Q > = P ■ Q = J l P (x)Q (x)d x. Aplique el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt para que la base (Pi = 1 , P 2 = X , P3 = X 2) se transforme en la base ortonormal
Las funciones (polinomios) ortonormales que se obtienen se llaman poli nomios de Legendre. 29) Considere el espacio vectorial R4, sobre el cuerpo R, y su base canónica e = ( 1 , 0 ,0 ,0 ) , i = ( 0 ,l , 0 ,0 ) ,j = ( 0 , 0 , l , 0 ),fc = (0 , 0 , 0 , 1 ). Defi na en R 4 la siguiente multiplicación: e2
=
. e , i-2 = ]-2 *= k1.2 = —e ,e i. = te =. 1, e. j =. j e .= ]
ek
=
ke = k , j k = —k j = i , k i = —ik = j , i j = —j i = k.
a) Ponga esta operación en forma de tabla pitagórica de multiplicación. b) Demuestre que así queda definida una estructura de álgebra de dimensión 4 real; ésta se llama el álgebra Q de cuaterniones. c) Muestre que los elementos de la forma (s, 0 ,0 ,0 ) con s subálgebra de Q isomorfa con R, la cual se identifica e = (1 , 0 , 0 , 0 ) = 1 .
e R definen una con R poniendo
d) Pruebe que todo cuaternión x = (s,a , b, c) se escribe de manera única así: x = s + ai + bj + ck.
e) ¿Qué similitudes y diferencias encuentra entre Q, C y M 4 ? ¿Los cuaterniones, como los cuadrivectores, se pueden utilizar en la física, en la teoría de la relatividad? f) Defina para x ,x ! 6 Q la multiplicación xx ' = (s + ai + bj + cfc)(s' + a'i + b'j + d k ) = S + Ai + B j + C k. Calcule 5, A, B ,C , en función de s ,a ,...,f/,d . g) Justifique que se puede escribir: Q 3 x = (s, v), x' = (s', v') si xx ' = (S, V ), con s ,s ' y 5 e R y v ,v ' y V g R 3. Halle S y V con ayuda del producto escalar y del producto vectorial de v y ti'. h) Dado el cuaternión x = s + ai + bj 4- ck, se llam a cuaternión conjugado a x = s —ai — bj — ck. La conjugación, ¿es un operador lineal de Q en <5? ¿Es un homomorfismo de álgebra? ¿Es un automorfismo de cuerpo? i) Sea la aplicación N sobre Q dada por N ( x ) = x x . Compruebe que R N (x ) ^ 0 , que N ( x ) = 0 <==> x = 0 y que N ( x y ) = N ( x ) N ( y ).
3
j) Verifique que N es una norm a sobre Q y que Q es un cuerpo no conmu tativo. k) Sustente que todo cuaternión x 4= 0 puede escribirse como x = r(cos$, ü sin 9), donde ü es un vector de R 3 tal que ||üj| = 1 y r es un número real estrictam ente positivo. Estudie la unicidad de esta representación. Com pare con la fórmula de Euler de representación de un número complejo z = r(c o s 0 , t s i n 0 ) con ¡|t|| = 1 . 1) Calcule xn = p(cos<¿>,üsini¿j) (p > 0, ||v|| = 1). Dé v?, p, y v. m) Resuelva las ecuaciones x 2 = —1 , x 2 = i en Q. 30) Sean dos vectores Vi y V2 (Vi # V2) del espacio euclidiano orientado 3 E. Pruebe que el producto vectorial W = V 1 a V2 se puede obtener si se efectúan sucesivamente las siguientes tres operaciones: a) Proyección ortogonal de V2 sobre el plano ortogonal a Vt que contiene el origen. Llámese V2 al vector obtenido. b) Rotación de V2 alrededor de obtenido. c) m
de ángulo -t-f. Llámese V2" al vector
= ivki · \ v f i
31) Sea R n o Cn y la forma bilineal f { x , y ) = 2 ? » i z ‘v‘ con x = (z ii · · · >z n) y y = ( 2/ 1 , ■ · · ,Vn)· Pruebe que el grupo que preserva a / es el grupo ortogonal n-dimensional real o complejo 0 ( n , R) ó 0 ( n , C); y que también conserva a
32) Consideremos M e 0 ( n , C) tal que i ' = invariancia £ x? =
Mj^Xk Pruebe
que existe la
x 'j = invariante.
33) Sea una forma bilineal sim étrica / sobre Rn cuya forma cuadrática asociada es q (X ) = q ( x i , . . . , x n) =
x] -
¿
x ).
j-p+í
a) Pruebe que / es no degenerada y de signatura 2p —n. b) El grupo de matrices o transformaciones que preserva a / o q se llama el grupo seudoortogonal y se denota Sp(p, n ;R ). Cuando p = n, ¿en qué grupo particular se convierte Sp(p, n; R)? c) P ara cada uno de los (n + 1) valores p = 0 ,1 ,2 ,. . . , n seobtienen dife rentes formas. ¿Por qué para p = k y p = n — fclas formas / son opuestas unáis de otras y tienen el mismo grupo de invariancia? d) Examine los casos de n par e impar. 34) Considérese el grupo ortogonal complejo 0 ( n , C) y M una matriz de él. De muestre que los siguientes elementos tam bién pertenecen a 0 ( n ,C ) : l M , M , M \M \ y A/', m atriz semejante a P. 35) Sea el grupo de operadores 0 ( n , C). Demuestre las siguientes afirmaciones: a) Si M e M n(C), cuyas columnas son M i, M i , . . . , M n, entonces M e O (n .C ) si y sólo si, ‘M jM k = 5jkb) Sea M 6 Mnx i(C); entonces, existe una m atriz de 0 ( n , C) cuya primera columna es M . Dé las condiciones para que esto se cumpla. Halle una matriz de 0 (3 , C) cuya primera fila sea (2t,2i, 3). c) Si X e M nx i(C ) tal que lX X — 1 y 1¿ es la j-ésim a columna de la matriz unidad 1, entonces pruebe que existe una m atriz M 6 0 ( n ,C ) tal que M X = l j . d) Con las condiciones dadas en (c) si X tiene elementos reales, pruebe que entonces existe una matriz M e 0 ( n ,C ) con la propiedad de que M X = lj . 36) Considere el espacio A/n x i(C ) y el grupo ortogonal de matrices complejas 0 ( n , C). Establezca lo siguiente: a) Si / es una forma bilineal sobre Mn x i(C ) dada por f ( X , Y ) = CX Y y M 6 0 ( n ,C ) , entonces existe una m atriz de / en la base de M nx i(C) formada por las columnas M i , M 2, . . . , M n de M . Exhiba dicha matriz.
b) Si / es una forma bilineal sobre Ain x i(C) dada por f ( X , Y ) = ‘X A Y con A e Ain(C), entonces pruebe que / es invariante (se conserva) por 0 ( n ,C ) si, y sólo si, A conm uta con todos los elementos Ai de 0 ( n ,C ) : [A, Ai] = A M - M A = 0. 37) Halle todas las formas bilineales sobre el espacio matricial Ainx i(C) que son invariantes por 0 ( n , C) y todas las formas bilineales sobre Ain x i(R) que son invariantes por 0 (n, R). 38) Sean A/„(C) y A i'(C ) el conjunto de todas las matrices que conmutan con cada elemento de Ai„(C). Infiera que A i'(C ) es un álgebra compleja. 39) Dadas una m atriz inversible A 6 Ai„(C'), donde C' es un subcuerpo de C, y una forma bilineal / sobre el espacio AÍ,,x i(C ') dada por f ( X , Y ) = tX A Y , demuestre que una condición necesaria y suficiente para que Ai 6 Ain (C') preserve a / es que A - 1 £AiA = A i- 1 . 40) Dada la siguiente forma bilineal / sobre C 2: C2
3
( ( i i , x 2 ) ,(y i,t/ 2 )) — * / ( ( x i , x 2 ) ,( y i,y 2 )) =
x i Ví
-
x í Vi ,
deduzca lo siguiente: a) Si u es un operador sobre C 2, entonces /[ u (x ),u (y )] = ( d e t( u ) )f( x ,y ) para todo ( x l t x 2 ) = x y ( y i,y ¡ ) = y de C 2. b) u conserva a f o det(u) = ± 1 . c) Aplique la definición ( 6 ) al caso del grupo de matrices Ai 2 x 2 , tales que lM A M = A, con A =
^
41) Considérese un endomorfismo u sobre C 2 (operador) que deje invariante (pre serve) a la forma cuadrática q definida por q(x) = x 2 = x 2. a) Muestre que det(u) = ± 1 . b) Demuestre que los elementos Uij de m atriz de u en la base canónica verifican: u n = ± 1222 ,^12 = ± « 2 1 y « n —u 22 = *· c) Verifique que si det(-u) = ± 1 , entonces existe A 6 C, A =f= 0 tal que
42) Sean un espacio pre-hilbertiano real E y un subespacio de dimensión n finita nV . Definamos una aplicación Pv sobre E así: n
E 3 x — ► P v (x ) = ^
< x|e¡ > e¡.
1=1
Pv se llama proyección ortogonal de x sobre V. a) Demuestre que P v existe, es lineal e independiente de la elección particu lar de la base ortogonal (e¿), ¿ = 1 , 2 , . . . , n, de V. b) Muestre que Py = P v ° P v — Pv \ por esta razón P v se llama un pro yector. c) Con la operación de proyección ortogonal examine la idea esencial del proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt: construir ek+i a partir de u*+ i , restando de este último su proyección ortogonal sobre el espacio subtendido o generado por u i, . . . , u k . d) Pruebe que < /V ( x )\y > = < x \P v (y ) > para todo x ,y Pv', P v es autoadjunto)
6
E. (<=> P y =
e) Compruebe que P v{x ) es el único vector en V tal que x — P v (x ) es ortogonal a V. f) Deduzca que P v ( x ) no depende de la elección particular de la base orto gonal empleada en V. 43) D ada una m atriz no nula de S n(R), encuentre que la traza de su cuadrado siempre es estrictam ente positiva. 44) Sean M una m atriz ortogonal real n x n, M de M asociado al autovector X . a)
Muestre que Xl X = l X * M y |A| =
b) Verifique que 'M (7 - M ) = c) Pruebe que si det(A i) = 1 un autovalor de Ai es igual a es —1 . 45) Considérese / 1 2 2 3 3 4
6
S 2 (R3) de matriz
3\ 4 5/
en la base canónica.
6
0 ( n , R) = 0 „ (R ) A un autovalor
1.
—*(/ - Ai) y lM ( I + Ai) = ' ( / + Ai). 1,
y n = 2p + 1, o det(Ai) = —1 y n = 2p, y, si det(Ai) = —1, un autovadorde Ai
a) Calcule el núcleo K e r ( f ) . b) Dado a = (0 1 , 0 2 , 0 3 ) =j= 0, halle el subespacio vectorial de R3 ortogonal al subespacio generado por a. 46) Si X - ♦ q ( X ) = I 1X2 es una forma cuadrática sobre C 2, encuentre una base ortonorm al p ara q. 47) Sea el espacio euclidiano R" con una forma cuadrática q cuya forma bilineal sim étrica asociada adm ite por m atriz a M ■ 'A i con M e A/n(R) inversible. Deduzca que a) q(x) ^ 0. b) q(x) = 0 <=> x = 0. 48) Sea A/ un a m atriz real n x n antisim étrica con ( / + Af) inversible. a) M uestre que [ / + M, I — M ] = 0. Aquí [ , ] es el conmutador: [A/, N] = MN -N M . b) Demuestre que ( I + M ) ( I — M ) ~ l es ortogonal. 49) Dado un espacio vectorial E de dimensión finita, sobre K de característica diferente de 2; sean, sobre E , una forma bilineal sim étrica no degenerada y un operador lineal u, ortogonal con u 2 = id.£. a) Demuestre que u es autoadjunto. b) Si u ± = \(id.E ± u), concluya entonces que v +(E ) es el conjunto de los elementos de E invariantes por u. c) Deduzca que u +(E ) y u _ ( £ ) son ortogonales, y por consiguiente E = u+ (E) © u _ ( £ ) . 50) Dado un espacio E real de dimensión n ^ 2 de base (e¡); sea la correspondencia (X , Y )
f ( X , Y ) = XnVn - X l V l - I 2 y j , . . . , * n - i y n - l ·
a) Establezca que / es una forma bilineal sim étrica no degenerada de E. b) Si T es un vector tem poral (i.e .q ( T ) = f ( T , T ) > 0) de E , encuentre que los vectores X no nulos ortogonales a T son vectores espaciales (q(X ) < 0). Si, además, q(T) = 1, deduzca que entonces todo vector X e E puede representarse en la forma X = f(T ,X )-T + Y
con
f ( T , Y ) = 0.
7'JÍ.
51) En R4, con la base canónica (e¡), se tiene la forma cuadrática X '— ► q ( X ) = q(x, y, z, t) = x y + zt. a) Halle la forma / e S 2 (R4) asociada a q y el discriminante de q. b) Pruebe que (ej + e^.ei —e2, e 3 + e4, e 3 — e4) es una base ortogonal para q. Halle la signatura de q. c) Sea el operador u sobre R 4 de m atriz (A/,>) en (e,). Encuentre las condi ciones necesarias y suficientes que deban cumplir los Afy para que u sea ortogonal. 52) Considérese, sobre un espacio vectorial real de dimensión finita E, una for m a bilineal simétrica / y la posibilidad de que existan x i,Z 2 6 E tales que / ( i i , i i ) > 0 y / ( x 2 , 1 2 ) < 0. Demuestre que se puede construir una base E , formada de vectores isotrópicos. 53) Dos formas cuadráticas reales / y g, de m atrices M y N respectivamente, son ortogonalmente congruentes cuando, y sólo cuando, tienen el mismo espectro con las mismas multiplicidades. 54) Demuestre que toda forma cuadrática real / , de m atriz A con espectro A i , , An , es ortogonalmente congruente a la forma cuadrática g tal que g(y) = E T -i-W · 55) Pruebe que to da forma cuadrática real con índice de positividad p y r =rango de la matriz A de f , es congruente con la forma cuadrática g tal que
9(y) = y? + y\ + · · · + vi - yjUi - ■ ■ ■ - v i sea la forma canónica de / . 56) Muestre que una forma cuadrática real es positiva si, y solamente si, el espectro de su matriz es positivo. 57) Verifique que si una forma cuadrática real es positiva, esta propiedad es inva riante, a saber, se conserva en un cambio de base. 58) Pruebe que si la forma cuadrática q (X ) = lX M X es positiva, también lo es q '(Y ) = ‘Y M ~ l Y . Sea q una forma cuadrática positiva sobre Rn definida por q (X ) = l X M X . considere una forma cuadrática q' definida por q '(X ) = *X M ' X sobre R3. Pruebe que, entonces, existe un cambio de base o transfor mación de coordenadas que las reduce simultáneamente a q (Y ) = y j + . . . + y* q'(Z ) = Al z? + . . . + A„z2.
59) Demuestre que un operador u (endomorfismo) de un espacio euclidiano nE orientado es una rotación si existen dos bases ortonormales (e,·) y (e'J con la inisma orientación, tales que u(e¿) = e$ (1 < i < n). Encuentre por inducción el número máximo de parám etros reales pn de los cuales depende una rotación de n E. Dé los valores de P2 .P 3 .P 4 60) Sean ( i , j , k ) y (i ' , j ' , k ') dos bases del espacio euclidiano 3 E con la misma orientación. Considere una rotación R definida por R (i) = i', R (j) = j ', R (k ) = k'. a) Demuestre que existen tres rotaciones R lt R?, R 3 tales que R = R 3 o R 2o R u definidas así: Ri es la rotación del ángulo ¡p alrededor de k que lleva (i , j , k ) a (¿1 , j i , ki), R i es la rotación del ángulo 9 alrededor de ¿1 que lleva en k 2)\ y, R¡ es la rotación del ángulo 4 >alrededor de k 2 que lleva ( 12 , Í 2 >^ 2 ) a (i ' , j ' , k '). b) Calcule la matriz M (R ) de R con relación a la base (t, j, k) en función de los tres parám etros ip,9,ip, llamados ángulos de Euler de R o de M (R ). Se tom a i 1 en la intersección de los planos definidos respectivamente por (*,j) é ( * ',/) . 61) Considérese un espacio vectorial real finito dimensional nE t que tiene una for ma bilineal simétrica / notada también < | > , su forma cuadrática asociada q y una base ortonorm al (e\ , . . . , e'n). Llámese / ( e ', e') = < e '|e ' > = ot¡. a) Demuestre que existe una base ortonorm al ( e , , . . . , en ) tal que e< = e' si q¡ = 0, et = a ~ ^ 2 eJ si a* > 0 y = (—a<)“ l/ 2ej si a¡ < 0. b) Muestre que existen dos enteros positivos s y t tales que a , , a 2, . . . , a , > 0; O j + i , o i j + í < 0 ; Q j + t + i , . . . , otn 0. c) Encuentre que el valor de q, q{x), en (e,) se compone de s términos po sitivos, t términos negativos y (n — s —í) términos anulados. Calcule q en función de a* en (e') y (e¿). d) Verifique que los números s y í son independientes de la base ortogonal elegida, s se llama el índice de positividad; s — t se llama la signatura de q y (n — s —t) el índice de nulidad. 62)
a) En R verifique que el producto escalar es la multiplicación de reales. b) ¿A qué corresponde ||x¡, x e R? c) Calcule <¿(x, y); x, y e R. d) Interprete la desigualdad de Minkowski.
63) Se llama m atriz de Lorentz aquella matriz L = (L¡3) i, j = 1 ,2,3 ,4, tal que la transformación lineal asociada y —* L y = x deja invariante a la forma cuadrática Q (x) — x 2 —x 2 —x 2 —x 2, a saber Q{x) = Q{y) (el valor de Q). Compruebe que el producto de matrices de Lorentz es también o tra matriz de Lorentz. Compruebe que Xj + /3i 2
yi
\A -0 2 x 2 + /3xi
Vi V3
y4
= =
VI-/32 X3 x 4 (0 < 0
= parám etro de rapidez)
(0
1
<1)
es una transformación de Lorentz. 64) Pruebe que para que exista una m atriz U e G L(n, Z) que tenga la primera fila (o columna) d ada por a n a n . . . Qin, es necesario y suficiente que esos enteros sean primos entre sí. ¿Podría escoger U £ S L (n , Z)? Construya una matriz de S L ( 3 , Z) cuya primera columna sea 2 , 3 , 4. Fabrique otra cuya segunda columna sea 2 ,3 , 4. 65) Sea en R2 una forma cuadrática q(x) = 1X Q X con Q = ^
^
y la trans
formación linead x -* Q X . a) Estudie el lugar geométrico de ecuación q(x) = 1, en los casos a > 0 y ¿>>0;a>0yb>0. b) Si 0 < a b > 0, busque una relación cualitativa que tenga que ver con los autovectores de longitud 1, la función x —» < T (x )|x > y los ejes. 66) Se d a la forma cuadrática X —* q (X ) = q ( x ,y ,z ) = 2x2—y2+ 2 z 2+ 4 x y —2xz-t4yz sobre R 3 con la base y producto escalar canónico. Calcule los autovectores y los autovalores de la matriz asociada a q, la nueva autobase que diagonaliza, y escriba q en esa nueva base. 67) Sea sobre R3 la forma bilineal simétrica definida por f ( x , y ) = X1X2 +X2J/2 — X 3 1 / 3 ; además, sea u 6 L(R3;R 3) de matriz M (a) = (M y), 1 ^ i , j $ 3 , con respecto a la base canónica. Calcule u* en esta base. 68) Se dan la matriz M = ^ Halle el espectro de M S .
^
y una matriz S real simétrica, S e S 2 x 2 (R)·
69) Sea (nE , / ) un espacio euclidiano, con la aplicación 9 (x, y) =
+
Vf ( y < y ) - V f ( x + y , x + y)·
a) Halle una condición necesaria y suficiente para que g ( x ,y ) = 0. b) Si E ' c E es un subespacio de E, deduzca que, para todo x e E, existe yx 6 E ' tal que x — yx e E ■L. c) Se define la métrica d { x ,E ') = infy z E ' V f i x - V ’X - y ) · Verifique que d ( x , E ' ) = d(x, y x). 70) E n IR4 se define la siguiente forma cuadrática q de Lorentz (de la relatividad especial) q(x) = x¡ + x \ + x \ —x 2. Establezca que, entonces, existe una base de R 4 formada de vectófes isótropos para q. 71)
a) Considere el espacio euclidiano (R2, J) y el operador u e L (R 2, R 2). Halle todas las matrices ortogonales de u en la base canónica. b) Si R 2 tiene la forma bilineal simétrica dada por f ( x , y ) = x i y\ — X2 J/2 . determine la m atriz de u cuando ésta sea ortogonal.
72) Sea nE sobre K conmutativo y / 6 A 2 (E). Supongamos que el único vector a e E tal que / ( a , x) = 0 Vx 6 E, es a = 0; vale decir que f es no degenerada. Sea, además, A = M ( f , (e¿)) = ( / ( e ^ ) ) . a) Pruebe que / es no degenerada <=> A si, y sólo si, inversible (piense en Cramer). b) Considere a, fe 6 E tales que / ( a , fe) =}= 0, y sea / ( a , x) = f a(x) y /(6 , x) = /b(x). Compruebe que f a y /¡, son formas lineales y no proporcionales sobre E. c) Verifique que el conjunto de los x e E tales que / a (x) = /¡>(x) = 0 forman un subespacio vectorial E ' de dimensión n — 2. d) Si se designa por P el plano generado por a y fe, compruebe que E = P © E'. e) Deduzca que la restricción de / a E ' es no degenerada. f) Deduzca, por inducción sobre n, que si existe sobre E una forma bilineal antisimétrica no degenerada, entonces d i m E es par. Sea 2p = d im E .
g) Si / e A 2 Í2 PE ) es no degenerada, encuentre que, entonces, existe una base de 2pE con relación a la cual
donde 0P y l p son las matrices nula y unidad, respectivamente, de orden p cuadradas. h) Sea la m atriz A 6 M n( K ) de elementos ( A i j ) e K . Verifique que A es antisim étrica [l A — —A) <=> ( A u = 0 y A ^ + A j i = 0). Demuestre que tal m atriz no es inversible si n es impar. i) Sea A, antisim étrica con n = 2p; si A es inversible, entonces, existe una matriz U e G L(n, K ) tal que
73) Considérese n E real, / 6 S 2 (E) positiva no degenerada y U un automorfismo de / . Se supone que los únicos subespacios de E estables por U son E y {0}. Pruebe que existen dos casos: a) dimE = 1 y U = ±Úe b) dim E = 2 y existe una base ortonorm ada (e,) con relación a / tal que
donde < p es un número real no múltiplo de 7r. 74) Sean nE real, / 6 S 2 (E) positiva no degenerada y u un automorfismo de E. De muestre que, entonces, existe una base (e¡) de E, ortonorm al para / , tal que
\
/1 1
o 1
M (U , (e¡)) = cosici sen ili
—se n tii cosici
0
V donde los tp son números reales no múltiplos de n.
cosípn sen p n
—sen
/
75) Dados A e M n(C) y su comatriz B , pruebe que si x es un autovector de A con autovalor A, entonces existe un autovalor n de B tal que x es su autovector. Considere los casos: a) A es inversible. b) A no es inversible y A 4= 0. c) A = 0 es raíz simple del polinomio característico de A. d) A = 0 es raíz múltiple de aquel polinomio. 76) Considere la m atriz A e M n(C),
(
ai a0
.
■
O n -lN
an
.
•
< * n -2
Va !
d2
■
d o
a0 )
y la m atriz de orden n P = (Pki) = exp
■
a) Encuentre P P , deduzca que P es inversible y calcule P ~ x. b) Sea u la raíz n-ésima de la unidad. Averigüe si el vector de componentes ( l , w , . . . ,uin -1 ) es autovector de A. Determine su autovalor. c) Calcule P ~ l A P . 77) Sea el operador U de un espacio E sobre K y sea Xh, con (1 ^ h $ m), un conjunto de autovalores, todos distintos, de U . Se d a una familia kh, con ( l ^ / i $ m ), de enteros positivos no nulos, y un conjunto de vectores x/, de E no nulos, tales que h = 1 ,2 ,3 ,. . . , m
(u - XkidE)kk(.Xh) = 0.
Deduzca que x j , . . . , x m son linealmente independientes. 78) Sea la forma cuadrática binaria q definida por X — > q (X ) = q(x, y) = 3x2 + 10x y + 3y2. Halle la m atriz ortogonal que diagonaliza a q y escriba q en forma diagonal o reducida: q (x',y') 79) Halle el cambio de coordenadas que diagonaliza la forma cuadrática definida por q (x, y) = 2x2 — I2 xy + 5j/2, por el método de completar el cuadrado.
80) Reduzca a la forma canónica la forma cuadrática real definida por q : R2 — ► R, q(x, y) = z 2 —2xy + y 2. 81) Verifique que las formas cuadráticas definidas por q(x) = 3z2 —2xy + 2y2,q \ x ) = 2z2 + y2 + 3z2 —2xy - 2yz son positivas. 82) D ada la forma cuadrática X — ► q{X ) = 2x2 —2\/6xy + 4y2 sobre R 2, calcule la matriz ortogonal P del cambio de base que diagonaliza a q y escriba la transformación de coordenadas concomitante. 83) Diagonalice la forma cuadrática
—►
calcule sus rangos y sus signaturas. 85) Dados los siguientes polinomios, diga cuáles definen formas cuadráticas y halle su forma matricial. a) 2xy + 4yz + 3zz. b) 2 z2 —4yz + 2zyz —3z2. c) 2z2 + 3zy + 4zz + 6yz + 3z2. d) 3z2 + 4zy + 3. e) 3z2 + 3zy + 5yz + z2. 86) Calcule los valores propios y los vectores propios de las aplicaciones lineales / y g definidas por / : R2 — ► R2,
(x.y)
g : R3 — * R3,
(x.V, z)
·-»
/ ( x ,y ) = (4z + 3 y , 3 z - 4 y ) , /(x ,y ,z ) = ( 2 y - z , 2 x - z , 2 x - y ) .
87) Diagonalice las siguientes matrices. Además encuentre sus valores y vectores propios:
«G « U
V)·
Gi)·
-ï).
(ï
G " ■) ·
/0
1
0
0 0
0 0
1 0 0 1
0\
\1
0
0
0/
Diagonalice las matrices M i, halle sus vectores propios, calcule la matriz P de cambio de base y verifique que D = P ~ l M ,P para 1 2 l·1 Vi 0 /1
M2
M4 =
(-A 0 v5
0 1 1
°\ 1 ■
V -2 \
°
3 1
89) Pruebe que la matriz
m
'c o s t
= ('i sent
sen# —eos#
admite un vector propio de R 2, cualquiera que sea el ángulo real 9. Calcule X tal que R (9 ) X = X . Halle la interpretación geométrica. Calcule Y tal que R (9 ) Y = —Y (*). Demuestre que “X es ortogonal a Y " es una condición suficiente de (*); dé una interpretación geométrica. 90) Calcule la m atriz ortogonal que diagonaliza a 91) Calcule las bases ortogonales propias de ^6 0A ( 2 -2 > ^0 6 ] J V—2 2
s/2
que diagonalizan a las matrices
92) Verifique que la matriz M m atriz P D 1' 2
es definida positiva y calcule la (V 2 4 tal que M = ( P D ll 2 Y ( P D ll2). 0 2\ 0 6 0 1, halle su descomposición espectral. 2 07
/1 0 93) D ada la matriz
\
'•t
/ :■$·
94) Sea R2 con la base
, e2 =
· Considere los vectores siguientes,
con respecto a esta base: X = (x,y), Y = (z , u ), Z = (3,1) y U = (2,0). Calcule ||X||, ||Z||, ||e' ||, \W2 l d ( X , Y ),d (Z , U) y d (e',e '2) en la base (e',e '2) y en la base canónica ( e i,e 2 ) (use la matriz P que cambia la base canónica en W ,e '2)). 95) Considere el espacio vectorial E de los polinomios en x con coeficientes reales de grado ^ 2n. Sea / un operador de E definido por E 9 P >-* f { P ) = (x2 - l) P '( x ) - 2(nx + b)P{x), donde P ' es la derivada de P y b 6 R. Calcule los autovalores y sus autovectores. Con estos resultados demuestre que la matriz de / es semejante a una matriz diagonal. 96) Si / y g son dos operadores de nE sobre C, tales que / (o g) tiene n autovalores diferentes, pruebe que f ° g = g ° } <=> f y g tienen los mismos autovectores. 97) Muestre que para todo operador u simétrico, sobre un espacio euclidiano E , si u tiene un vector propio x 6 E que es ortogonal a y e E , entonces x _L u(y). 98) Demuestre por inducción m atem ática que todo operador simétrico sobre un espacio euclidiano de dimensión n ^ 1 posee bases ortogonales propias. Mues tre que entonces to d a m atriz simétrica real es diagonalizable por medio de una m atriz ortogonal. 99) U na matriz es definida positiva si sus valores propios son reales. Pruebe que to d a matriz A sim étrica y real es definida positiva cuando, y sólo cuando, existe una matriz Q, no singular, Q = P D 1/2 tal que A = Q -l Q. Aquí D = P ~ l AP. 100) Compruebe que la m atriz A = B ■ lB es definida positiva si B es real y detB =f= 0. 101) Pruebe que si A es una m atriz real diagonalizable con el espectro Ai, A2, . . . , Ar de multiplicidad m i , m 2, . . . ,m r , entonces A puede descomponerse espectral mente en la forma
1=1 y se verifica que:
a) Ai ■ A j = SijAi. b) A y Ai conmutan. c) 2 1 - ! * - / ,
V i , j = 1 , 2 , 3 , . . . , r.
102) D ada la descomposición espectral de la matriz A, verifique que [A, B] = 0 cuando, y sólo cuando, [£?, v4¿] = 0 Vt = 1 , 2 , . . . , r. Pruebe que si A es inversible entonces (A- 1 ) = 2 1 « i 103) Compruebe que si la m atriz A es simétrica, entonces A + e A es definida positiva para e suficientemente pequeño. 104) U na m atriz A simétrica real de orden n se llama definida positiva si lX A X > 0, para todo vector columna X e R n, X 4= 0. Considere una m atriz B arbi traria, real no singular. Compruebe que lB B es definida positiva. 105) En R n , con su producto interno canónico, demuestre la desigualdad de CauchySchwarz de la siguiente manera: a) Desarrolle ||Ax + y ¡2 ^ 0; b) pruebe que si a ,b ,c 6 R son tales que el trinomio de segundo grado es aA2 + 6A + c > 0, VA e R, entonces 62 - 4ac ^ 0. 106) Compruebe que si la desigualdad de Schwarz se reduce a una igualdad, |
e) Si M n = / , entonces A" = 1 (n es un entero positivo). f) Si M es nilpotente, entonces A = 0. 110) Compruebe que todas las raíces características de una matriz ortogonal tienen valor absoluto 1. 111)
a) Pruebe que las raíces características de toda matriz antisimétrica son o ceros o imaginarias puras. b) Compruebe que la sum a de dos productos escalares es un producto es calar. c) Compruebe que un múltiplo positivo de un producto escalar es un pro ducto escalar.
112) Muestre que: a) si todos los valores propios de una m atriz son no nulos, entonces dicha matriz es no singular. b) Una matriz es singular cuando, y sólo cuando, tiene algún valor propio nulo. c) Si A es un valor propio de una m atriz A no singular, entonces A-1 es un valor propio de A- 1 . 113)
a) A partir del producto escalar de dos vectores X y Y de R" y de sus normas, halle la fórmula que da el coseno del ángulo entre ellos. b) Calcule el coseno del ángulo 9 entre X y Y si: i)
X = ( 1 ,- 3 ,2 ) y y = ( 2 ,1 ,5) en R3 con el producto escalar canónico.
ii)
X = 2t - 1, Y = í2, con < X \ Y > =
X (t)Y { t)d t.
ii¡) X = (3 - l ) ’ Y = (2 í ) en M2(R)' COn <
>= Tr(tXY)·
114) Sobre nE de cuerpo K se dan dos operadores A y B cuyos n autovalores son distintos dos a dos en K . Pruebe que [A, £ ] = 0 si, y sólo si, A y B tienen los mismos vectores propios. 115) Sea la sucesión ([/„), n 6 N’ = N - {0}, definida por C/n+2 = Un + 1 + Un, con Ui =
U2 = 1. Sea, además, un operador de L (R 2) de matriz A = ^
respecto a la base canónica definido por A =
^ =
con
· Calcule Un .
116) Considérense k sucesiones complejas (ui,n ). · · ·. (“ *,»)> que verifican Vn e
üa.n+1
i
W .n \ ^ ,n
V^*,n+1/ donde /1 6 A/*(C) es independiente de n. Calcule para /i = 1 , 2 , 3 , . . . , k, en función de Ui,o ,. . . , de n y de j4 y , cuando los autovalores de A son todos distintos. 117)
a) Halle los valores y vectores propios de la matriz A =
b) Encuentre la forma diagonal D de A. c) Demuestre que existe una base propia. d) Calcule la matriz P de cambio de base. e) Verifique que D = P ~ lA P . f) Resuelva los literales b) c) d) y e) para la m atriz
118)
a) Halle los valores propios y los vectores propios de la m atriz
b) Encuentre la forma diagonal D de A. c) Demuestre que existe una base propia. d) Calcule la m atriz P de cambio de base. e) Verifique que D = P ~ l A P . 119)
a) Resuelva el ejercicio 118 usando la m atriz
*
b) Haga observaciones sobre S y P. c) ¿Es diagonalizable la siguiente matriz?: -4 0 5
O —2 \ 1 0 ) . 1 3 /
w w w .elso l
.è
F o rm as m u ltilin eales Esta sección, generosamente cargada, ilustra la potencia e importancia que tienen las formas multilineales, tanto en la m atem ática como en la física, ora como elemento primitivo fundamental, ora como instrumento elegante de unificación de diversos campos matemáticos, ora como artilugio geométrico de razonamiento por excelencia. Exhibamos su filosofía. Ya el lector “conoce” los determinantes a través de cálculos hechos con las ma nos al resolver explícitamente sistemas de ecuaciones lineales y al operar con crite rios sobre la independencia lineal. Sabemos lo que “es” un determinante por una “fórmula" o “receta” definitoria, la cual nos proporciona el modus operandi. Aun que pedagógicamente es valioso saber servirse de una cosa sin saber qué es o cómo se define, es necesario subsanar tal deficiencia, y éste es uno de los objetivos del presente capítulo. La primera aplicación de las formas multilineales se dirige a definir rigurosamen te los determinantes. Curiosamente, éstos —a pesar de su naturaleza multilineal o multivectorial— sirvieron para exposiciones clásicas del álgebra lineal, pero luego se mostraron impotentes en los llamados teoremas de existencia; de allí la necesidad de elaborar una teoría autónom a de los determinantes, la cual se obtiene usando masiva y totalitariam ente el método geométrico (uso masivo de espacios vectoria les), más simple, más general y más unificador. Este método era enseñado hace más de un siglo por Kronecker en la Universidad de Berlín. El método geométrico usa las formas multilineales alternadas que permiten invertir el problema tradicional, mecánico y operativo, de dar la fórmula para calcular un determinante y luego dedu cir sus propiedades; con el razonamiento geométrico (independiente de todo proceso operacional) primero se define intrínsecamente el objeto en cuestión (absolutista), luego se deducen sus propiedades y por último se derivan las reglas de cálculo con relación a una base o un sistema de coordenadas (relatividad).
-------------------m
w w w .e lso lu
Este “viejo” método empezó a implementarse en la m atem ática “moderna” al niciarse la P rim era G uerra Mundial. La teoría general de la relatividad le suminisró una segunda inspiración, ya que para ella la definición de un objeto debe ser un ibsoluto universal (valga la redundancia); los cálculos dependen de bases, sistemas le coordenadas y representaciones matriciales, es decir autoriza la relatividad de :ada uno de nosotros. Lo absoluto concierne a todos nosotros. Finalmente, el determ inante se interpreta geométricamente como el volumen de :iertas figuras en cualquier dimensión. El determ inante de un operador expresa, ¡eométricamente, el cambio de volumen producido por una transformación o endonorfismo. La prim era aplicación de las formas multilineales cobijará la teoría de los deterninantes, los cuales estudiaremos bajo tres aspectos: determ inantes de vectores, de :ndomorfismos y de matrices. Los cálculos mecánicos y otras propiedades no serán ratados por ser de conocimiento de los estudiantes. En cambio, se consideran las iplicaciones a problemas de carácter geométrico, como la inversibilidad de un opeador, la independencia lineal, el rango y la orientación de una base y de un espacio. En cuanto a esto último, es bien sabido que la orientación de un espacio por baes orientadas carece totalm ente de sentido. No obstante, escoger bases en el espacio uclidiano concreto M2 o R 3 con la ayuda de la mano derecha o izquierda tiene que rer con la física y no con la m atem ática. P ara esta última, la distinción entre base lerecha e izquierda no tiene sentido. En el ámbito de la física clásica (la física de los abuelos) la izquierda y la dereha son equivalentes. Pero el descubrimiento del com portam iento anómalo de ciertos enómenos en el dominio de la física cuántica (la física de papá), hizo aflorar la denoníaca lucha entre la izquierda y la derecha. De m anera que hoy, apoyándose en :xperimentos, se considera generalmente que en el terreno de la física no hay equivaencia general entre la izquierda y la derecha: la mano izquierda ignora lo que hace a mano derecha; algo así como los izquierdistas que tienen el corazón socialista a a izquierda y la billetera en el bolsillo derecho. Como el estudiante tiene ya mucha práctica en la operatividad de los determilantes, nos contentaremos con exponer la teoría de los determ inantes y así quelará exhibida una aplicación del álgebra multivectorial. Además, estudiaremos, en ¡articular, las formas multilineales alternadas, y así prepararem os el terreno para 1 capítulo próximo, donde se estudiarán las formas exteriores o tensores antisiméricos.
i.l.
G en eralid ades sobre las formas m ultilineales alternadas
lean E un espacio vectorial y ( z i , . . . , x ¡ ,. . . , z p) >-* f ( x i , . . . , x v) una forma mulilineal. Ya vimos que / es alternada o antisim étrica si / ( z ¡ , . . . , x p) = 0 cada vez
que dos vectores
sean iguales. Por definición / es alternada si
/(aV (i).*ir( 2 ). · · ·. Ztt(p)) = e W / ( i i ,
arP)
con tt e Sp.
P r o p o s ic ió n 1: Si f es una form a multilineal antisimétrica, entonces f ( x \ , ...,xp) = 0 cuando los x \ , x 2, x p son linealmente dependientes. D e m o s tra c ió n : Si los x \ , x 2, ■■■, x p son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos, por ejemplo x¿, será combinación linealde los otros, esto es Xi — A^x^ -t- · · · “f· A¿—\Xi—j
Aí-fl-iXt+i -f· · · · "f· Apxp
con Xj 6 K (t r¡t j) . Por ende, / ( x i , .. ., x p) = 2 A j / ( x i , . . . , x ¡ - i , x j , x ¡ + i , . . . , x p) = 0 , •/7 ya que cada término / ( x i , . . . , x¿_i, Xj, x »+ i,.. ·, x p) es nulo, puesto que Xj es igual a uno de los vectores x i , . . . , x¿_i, x ; + i , . . . , xp. # P r o p o s ic ió n 2: Sea / una form a multilineal antisimétrica. Entonces f ( x i , .. ., x p) no cambia cuando se agrega a uno de los x¡ una combinación lineal de los Xj de índices i # j. D e m o s tra c ió n : Pongamos y como combinación lineal de los x 3 de índices i # j, entonces f { x \ , . . . , x ¿_ i, x, + y,x<+ i , . . . , xp) = 0 (proposición 1). Por consiguiente / ( x i , ■. ■ , x¿—i , y “t" x¿+i, · · · , Xp)
=
/ ( x i , ■ - · , x ¡-i,x » ,x t+ i, ■ ■ · ,x P)
=
/ ( x i , ■ ■ - , Xi—1, X», Xt+l, · · · i Xp)
+ / ( x i i ■ · · , x»—i »V)x ¿ + i , · · · , Xp)
^
El conjunto de las formas multilineales antisimétricas (respectivamente de apli caciones multilineales alternadas) definidas sobre E p = X f _ ¡E ' con valores en K (respectivamente en el espacio vectorial F) es un espacio vectorial, el cual notamos A P(E; K ) (respectivamente A P(E\ F )), subespacio de L P(E\ K ) (respectivamente de L P(E ;F )). E je rc ic io : Pruebe que si K es un cuerpo de característica diferente de 2, entonces / 6 L i ( E \ K ) es una forma bilineal alternada cuando, y sólo cuando, / es anti simétrica.
4.2. Form as n-lineales alternadas sobre un espacio vectorial de d im en sió n n Realicemos algunos cálculos preliminares para dos casos, en E n : a) Caso n = 2. Sean una base ( e j,e 2) y los vectores x = x*ei + x2e2 = (x l , x 2) y y = y 1 e¡ + y2e2 = (y*, I/2)· Si / es una forma bilineal antisim étrica sobre E, tendremos: f(x ,y )
=
x V / ( e i , e i ) + x V / ( e i , e 2) + x2y l / ( e 2, e 1)
=
( x 'y 2 - x 2y l ) / ( e i , e 2)
+ x 2y2/ ( e 2, e 2)
y 1 y2
/ ( e i , e 2) = / ( e l ,e 2)det(x ,j/).
La aplicación (det) de 2£ 2 en K definida por (x, y) >-» d et(x ,y ) = x*y2 — x 2y 1 es visiblemente bilineal. Además d e t(e i, e2) = 1. Concluimos la siguiente proposición: P ro p o s ic ió n 3: i) Existen formas bilineales antisimétricas no nulas sobre 2£ 2. ii) Si f es una forma lineal antisimétrica sobre 2£ 2 entonces f puede escribirse como f = A(det), con A e K . iii) Para todo escalar A e K existe una única forma bilineal antisimétrica F tal que f ( e i , e 2) = A.
C o ro la rio 1: El espacio vectorial de formas bilineales antisimétricas definidas so bre 2 E 2, í42(2£ ) , es de dimensión 1. b) Caso general. Se usará el mismo mecanismo operativo que en el caso anterior, pero el cálculo es más complicado debido a la n-linealidad. Sea (e„) una base de n E y / una forma n-lineal antisimétrica. Consideremos n vectores de E: = (x }, x 2, . . . , x ? ) = x\e¿ x 2 = (x2, x 2, . . . , x 2) = x2e< *1
X" = (xñ.X2 .---.X n ) = < « < ·
De manera genérica, x / = x¡‘ e,, con / 6 [1, n] y t; e [1, n]. Ahora desarrollamos el escalar f { x \ ' e i,, x 2 eíi >■ · · , x ‘n" ein) con la multilinealidad de / . Encontramos una sum a de n " términos x i' x 2 , ' ' 1» / ( e«ii c« j,···>«<»), donde los multi-índices t i , ..., son elementos cualesquiera de {1,2, Como / es alternada, los términos anteriores son nulos salvo si i i,...,t„ son todos distintos, es decir, si t, = p( 1), i2 = p(2), ..., t„ = p(n), con p e S„. Por consiguiente, teniendo en cuenta que las permutaciones p e S„ sólo cambian el orden de los n enteros {1,2, ..,n ) sin repetirlos, se tiene: f ( x i , x 2, . . . , x „ ) = ^ I ! <1)l2 (2>- " I n n)/(ep
2 e(P)I i<1>í be5„
.P(2) .. .T-p(n)
/ ( e i , e 2, . . .,e „ ).
Nótese que la sum atoria se extiende sobre todas las permutaciones posibles de los enteros {1,2, Recíprocamente, dad a una base (e„) de nE construyamos una aplicación, que Llamaremos determinante, de n E n en K , simbolizada por (det) y definida así: ( x i , . . . , x „ ) I— (d et)(x 1, . . . , x n) = ,peS„ (Al construirla estamos probando su existencia). E sta aplicación goza de los siguientes atributos: 1) existe; 2) es n-lineal, ya que cada término de £ depende Linealmente de cada uno de los vectores X \ , x 2 , . . . , x „ ; 3) no es nula, ya que ( d e t)(e j,. . . , e„) = 1 implica (det) * 0; 4) es alternada; 5) / = A · (det), lo cual proviene de poner f [ e \ , . . . , en) = A e K , entonces / ( x i , . . . , x „ ) = A(det)(x1, . . . , x n), V ( n , . . . .x » ) e E n y 6) es única, ya que en particular si / es una forma n-lineal alternada sobre E tal que f ( e i , . . . , e n ) = 1, entonces / = (det). Estas afirmaciones se resumen en el siguiente teorema:
-------------------- "T
www.elsolu
f
152 /Algebra multilineal
i f T e o r e m a 1: Sea nE un espacio vectorial y (en ) una base. Para todo sistema de n vectores de E , Xi = eix, x 2 = Xj’ ej,, . . . , x n — xj,ne
£(p )x
■ ■ ■ x n n)■
p€:S n
Entonces: i) Existe una form a n-lineal alternada única llamada determinante fdetj sobre E tal que d e t ( e i , . . . , e n) = 1. ii) Si f es otra forma n-lineal alternada sobre E, y si ponemos f ( e \ , . . . , e„) = A, se tiene f ( x i , . . .,x „ ) = A d et(xx,.. . ,x „ ) o · / = A ■ det, V (x i,. . . ,x n) e E n . iii) La dimensión del espacio vectorial de formas n-lineales antisimétricas defini das sobre E n es 1 : dim i4n (n £ ) = 1. La base de A n (n E ) es la forma (det). iv) Para todo escalar dado A e K , existe una forma n-lineal antisimétrica única f tal que f ( e i ........en) = A. v) Si una forma n-lineal antisimétrica sobre E n toma un valor diferente de cero para una base, ella toma un valor diferente de cero para cualquier base de E. E je rc ic io 1: Sea / una forma bilineal antisim étrica sobre nE 2. Sean x = x'e¿, y = y ie j y = f(e¡, e^); demuestre que f(x,y)=
[xiy j - x j y i)a i j .
E je rc ic io 2: Recíprocamente, m uestre que la fórmula precedente, cuando se dan arbitrariam ente los escalares a y (1 ^ i < j < n), define una forma bilineal anti sim étrica sobre nE 2 . Calcule la dimensión de A 2 (n E). E je rc ic io 3: Encuentre la dimensión de y4m(n£ ) con m < n.
/> $ *
E je rc ic io 4: Sea / una forma n-lineal sobre E n . Verifique que la aplicación g de E n en K definida por p ( x i , . . . , x n) =
e ( p ) /( x p(l),Xp( 2 ) ,- ·· ,Xp(n)) p€Sn
yir® •Uf -•v
es una forma n-lineal antisim étrica sobre E n . Se dice que la forma alternada g ha sido obtenida por antisim etrización de la forma n-lineal / y se escribe g = A f . A se conoce como el antisim etrizador. N o ta : En el caso A n(n E ) se habla de formas n-lineales alternadas de grado máximo. El determ inante, como función es, pues, un tensor covariante completamente antisimétrico.
4.3.
D e te r m in a n te s
4.3.1.
D eterm inante de un sistem a de vectores con relación a una base
Calculemos el determ inante de un sistema de vectores. Sabemos que existe una única forma n-lineal antisim étrica que tom a el valor de 1 para una base de un espacio vectorial. E sto justifica la siguiente definición:
».
D e fin ic ió n 1: Sea nE sobre K y una base (en). El valor escalar de la forma n-lineal antisimétrica anterior sobre n vectores x \ , ..., x n de E , se llama determinante de xi, x n con relación a la base (en ), y se nota d e t ^ j ( x j, . . . ,x n ) o simplemente det(a¡i,. . . ,x „ ). El valor es, por definición, d e t(x 1, . . . , x „ ) = ^ £(p)xp(1) • •• x p(n); P€5„ tenemos que det(eji)(el t . . . ,e n ) = 1. P or abuso de lenguaje se llam a determ inante (respecto a la base (en)) la apli cación det(e>i) de E n en K , la cual es una forma n-lineal antisimétrica. Tenemos la notación
xi ■ · · x? det (en) (Xl >· · · »Xn) —
íf’í". De todo lo anterior se obtiene el siguiente conjunto de propiedades, ampliamente conocidas, las cuales se deducen directa y exclusivamente de la multilinealidad:
T e o r e m a 2: Sean n E un espacio vectorial de dimensión n sobre un campo conmu tativo K , S n el grupo simétrico, e(p) el signo de la permutación p y n vectores de nE : ( * i , . . . , x n ) e E n . Entonces: 1)
d e t ( i l t . . . , i n ) depende linealmente de cada x¡.
2)
d e t ( i ] , . . . , x n) = 0 cuando dos de los x, son iguales, o un vector es cero.
3) S i p e S n entonce« d et(zp(i),. . . , ! ( „ ) ) = e ( p ) d e t ( z i ,. .. , x n). 4)
d e t ( z i , . . . , x n) no cambia si se agrega a uno de los vectores una combinación lineal de los otros.
5) Para que d e t ( z j , . . . , z n ) sea nulo es necesario y suficiente que x i, linealmente dependientes. 6)
x n sean
Sean ( e i , . . . , e„) y ( e 'i , . . . , e 'n) dos bases de n E y ( z j , . . . , z n ) e E n . Se tiene entonces det (e^ j ( z i ,. . . , z n) — det (Cn) ( z i , . . . , z n) · det
· · ·» en).
7) La siguiente regla de la dualidad se cumple:
La demostración de este teorema es directa y se deja como ejercicio. N o ta : La propiedad 7) permite escribir un determ inante de las siguientes maneras, todas equivalentes y para todos los gustos según los autores:
■
; zn
·■
XH
n
Xy\ 1 *** Xnj
*** *Em
Xi 1
De m anera, pues, que filas y columnas serán equivalentes o intercambiables, y por cada teorema o propiedad concerniente a las filas tendremos otro idéntico para columnas; es decir, los teoremas se duplican, son duales las filas y columnas. Ejercicio 1: De la fórmula / ( x i , . . . , x „ ) = A d e t(x i,x 2 , . . . ,x „), V x i,...,x n (teo rema l(it)), muestre que existe un escalar A, independiente de x i, ..., x„, tal que det(ei j .. e'„ )(x i, · · ·, Xn) = A det(e, .... en)(x i, · · ·, Xn)· Ejercicio 2: Calcule el valor de A mencionado en el ejercicio 1. E jercicio 3: O btenga la fórmula 6 del teorema 2. E jem p lo 1: Calcule un determ inante de orden 2. Solución: Tenemos que card(5„) = 2! = 2; existen sólo dos permutaciones: ^ par y Q
^^
impar, las cuales corresponden a la identidad y a la transposición.
Por consiguiente, x_ ,i
-2 x,
x\
x\
= l \ x \ — X*X2 -
E jem p lo 2: Calcular un determ inante de orden 3. Solución: Tenemos que card(S„) = 3! = 6. Las tres permutaciones pares son
/1 [l
2 3 \/ l 2 3H
2
2 3\ 3
A
l j ’ ^3
2 3\ .
.
/1 2
1 2J i r i r e s impares son ^
3
3\
(l
2j , ^
2 3\ 2
2 1
3 . De donde 3
rjl2
x
_2 x 9
2 = x \ x \ x \ + x \ x \ x \ 4- X3 XÍX2 - i.x \ x l x l +
_3 x
+ ^ í^ )·
desarrollo de este determinante de orden 3 equivale a la regla de Sarrus. erc icio 4: Calcule
y2
x 1 1
z2
1
1
1 1 1
X
1
1 1
X
z y
z y x
x z
e rc ic io 5: Demuestre que un determinante triangular es igual al producto de los :mentos diagonales.
.4.
D e te r m in a n te de una m atriz cuadrada
:a la m atriz n x n (cuadrada) con elementos en K xl \ M =
-
v4
xl
("0
■
< )
os n 2 escalares xj definen, por medio de las columnas de M , n vectores x i, ..., xn e K n cuya base canónica llamamos B , o por medio de las fórmulas i ; = se enen vectores de un espacio E con base (e¿). )efinición 2: Se llama determinante de la m atriz cuadrada M al escalar d e te (x i, .. ,x n), y se le nota det M . Tenemos pues
det M = det(x’ ) =
= ^ ¡ £(p)x?(1) . . . x ^ . p€5
El determ inante sigue siendo un escalar igual a la suma de n! términos e(p) x p^ .. x pn(n). Si M es de orden n se dice que det M es de orden n, y se forma con los nismos n 2 elementos x*· de M.
Si Ai es una matriz l x l igual a A £ K , entonces det M = A. Si / es un endomorfismo cuya m atriz es Ai, con respecto a la base (e,), es decir, jlí = M ( / ( e ;)) = M¡j, con f ( e j ) = A/ye*, entonces det Ai = d e t M ( / , (e¿)) = det(ei)( / ( e i ) , . . . , / ( e „ ) . En particular, cualquiera que sea la base se obtiene la propiedad conocida: det I n = det M { I d s , (e¡)) = d e t ( e i , . . . ,e n) = 1. (e¡) Las propiedades del determ inante de una matriz, que se derivan de la definición anterior y del teorem a 2, o sea de las propiedades de las formas multilineales anti simétricas, las condensaremos en el siguiente teorema: T e o r e m a 3: Sea la matriz cuadrada con elementos en K . Entonces 1)
det Ai conserva el mismo valor cuando se trasponen las filas y columnas.
2)
det Ai = d e t ‘Ai.
3) Las propiedades para los vectores columnas cl son todas válidas para los vec tores filas lj (regla de dualidad): det(c1, . . . , cn) = d e t ( / i , . . . ,¿n ). Es decir: 4)
d e t M es el determinante de los vectores filas de M , elementos de (K n)* con relación a la base dual canónica de K n . M utatis mutandis para los vectores columnas.
5) det M depende linealmente de cada columna (o fila), a saber, det(c1, . . . ,c l + Ac/l, . . . ,cn )
=
d e t ( c ', . . . , c*,. . . ,c n) -I- A d e t( c ',. . . ,c/l, . . . ,cn);
d e t ( / i,. . . ,li + ¡xl'i, . . . , /„)
=
d et(¿ j,. . . ,U, . . . , ln) + p. det(Zi, . . . , l j , . . . , ¿n)i
con A 6 K . 6)
det M = O cuando dos columnas (filas) son iguales o proporcionales y, en general, cuando las columnas (filas) son linealmente dependientes. También cuando una columna (fila) es nula.
7) Toda permutación p de las columnas (filas) de M transforma a det Ai en e (p )d etA i. Si p es una transposición, det Ai cambia de signo.
8)
det M no cambia si se adiciona a una columna (fila) una combinación lineal de las otras columnas (filas). En general, para toda familia de escalares (Xk) o (fik) (1 ^ k < n) tenemos d e t / c 1, . . . , ^ - 1, ¿ Akck ,c ,+ i ......... c A = ' k= 1 / det í ¿ i , li—i, ^
A' d et(cl ..................c S —.c");
tLklki i»+i, ■··, ln ) =
det (¿i,
..., l{,
/n )·
Si se quiere conservar el valor de un determinante reemplazando una columna (fila) por una combinación lineal de columnas (filas), es necesario que el multiplicador de la columna (fila) reemplazada sea 1 . E je rc ic io : Demostrar el teorema 3.
4.5.
D e ter m in a n te de un operador
O tras im portantes propiedades de los determinantes (ya conocidas) se derivan di rectam ente de las características del determ inante de un operador, el cual vamos a estudiar. Tomemos u 6 L ( nE ) y la aplicación n E " 3 ( x i , . . . , xn ) ►— ► [ u ( x i) ,. . . , u(xn )] e „ r . E je rc ic io 1: Estudie la multilinealidad de esta última aplicación. La aplicación ( x j , . . . , xn ) ►-» det(Ci) [“ (xi)> · · · ,tí(x n)] 6 K es n-lineal alternada porque Xi = xí = > u(x¡) = u (x'). Como ya vimos que la función det(e.j es la base de A n (n E), entonces det(e-) [u(xO, . .. ,« ( x „ ) ] = Adet(ej)( x i , . . . , x „ ) , V ( x i ,. .. ,x „ ) e E ". Esto, además, quiere decir que en A n (n E) dos formas n- lineales antisimétricas son siempre proporcionales. La existencia de A e K está asegurada por el teorem a 1 ii). Además, A es independiente de ( i ! , . . . ,x „ ) y de la base (e¿); sólo depende de u. E sta afirmación se prueba e^í: Sea o tra base (e') de E. Tendremos en este cambio de base, con la ayuda del teorema 2, numeral 6, lo siguiente: det (e
=
d e t (ei) [ u ( n ) , . . . ,u (x „)] · det (««)(«i,. . . ,e„)
i; : ¡V
—
=
A det A det
) (x i ,
x n ) · det . . . , x n)·
. . . ,
j (e i ,
· · ·
t en )
es decir, la igualdad d e t (e.j [ u ( x i) ,...,u ( x „ ) ] = A d e t (ei)( x i , . . . , x „ ) siempre se cumple, cualesquiera que sean los vectores x, y la base (e¡). Por otro lado, A es único, ya que det («,
[u(ei), . . . , u ( e n )] = A d e t (e, .....en)( e i........ e„) = A.
De donde: P r o p o s ic ió n 4: Sean nE, y u un operador sobre E. Existe un escalar A, y sólo uno, tal que cualesquiera que sean los vectores X\, xn y cualquiera que sea la base (e¡) de E, se tiene d e t («i) [u ( * i ) i - ■·!«(*»«)] = A d e t ^ x , , . . . , * « ) . D e fin ic ió n 3: El escalar A de la proposición 4 se llama el determinante del operador u y se nota det(u). A = det(u) sólo depende de u. Entonces, cualesquiera que sean los vectores z i, x„ y la base (e¿) de E: d e t (e.) M z i ) ........u (x n)] = (det u ) d e t(
P ro p o sic ió n 5: Sean u y v 6 L (E ); entonces det(u o v) = det(uu) = (d e tu ) · (det v). D em ostra ció n : d e t («0 [ ( “ 0 v ) ( e i ) . - - - ,
° w )(er.)]
=
det ( u [ i/( e ,) ] , . . . ,u [u (e „ )])
= = =
( d e t u ) d e t (ei)[v(e1), ...,v ( e „ ) ] (d etu )(d eti> )d e t(e.)(ej) det u · det v.
,
C orolario 2: Sean la matrices M y N . Entonces: d e t( M N )
= =
d e t ( N M ) = det A f · det N = d e t(N l M ) det(Aí lN ) = d et(‘Af *N) = d et(W lM ) = det(W A Í).
No hay resultado simple concerniente con det(u + 1>). T eo rem a 4: Si u e L (E ) y (ei) es una base de E, las siguientes propiedades son equivalentes: i) u es inyectivo. ii) u es sobreyectivo. iii) u 6 G L (E ), es decir, u es automorfismo u operador inversible. iv) d e tu * 0. v) d e t(u _ l ) = ( d e tu ) - 1 . vi) M = M (u, (ei)) es inversible. vii) det M * 0. vi ii) det A /-1 = (det A i)- 1 .
Ejercicio 3: Demuestre el corolario 2. Ejercicio 4: P ruebe que, si K es de característica diferente de 2, el determinante de to d a m atriz antisim étrica de orden impar es cero. E jercicio 5: Demuestre que si A/y es una m atriz n x n (de orden n) tal que para todo i , k e [1, n] £ AfyAÍ,·* = <5^, entonces det(A f2) = 1.
E je rc ic io 6: Dé la prueba del teorema 4. Utilice la siguiente cadena de equivalencias: u es inversible
·»
u es inyectivo.
o
(u(ei), ...,ti(en )) son linealmente independientes.
■*> d im u (£ ) = n <=> u es sobreyectivo. ·»
d e t(ei) [ti(e i),...,u (e n)] # 0.
■e>
d e t ti & 0 .
<=> det M
0.
M ■ M ~ l = I. o
det M ■ det M = 1.
E je rc ic io 7: ¿Qué comentarios puede hacer de la aplicación ti <-* det u de L (E ) en K , o de G L „ (K ) en K ? P r o p o s ic ió n 6: Todas las matrices semejantes tienen el mismo determinante. D e m o s tra c ió n : Existe una P inversible para M P ~ l M P; entonces
y N semejantes tal que N =
det N = det P -1 · det M ■ det P = det P -1 · det P · det M = det M.
#
También se puede razonar así: dadas M y N semejantes, existen un espacio vectorial E , un operador u e L (E ) y las bases ( C j ) y (e\) tales que M y N sean matrices de ti con respecto a (e¡) y (e'), respectivamente. Entonces det M = det ti = det N . N o ta : El determ inante de un sistem a de vectores depende de la base. El determi nante de un operador es independiente de la base, es un invariante, lo mismo que el determ inante de una matriz. El determinante de un operador o de una matriz es un invariante.
4.6.
Cálculo de d eterm in a n tes
En esta sección nos limitaremos a reseñar y com entar los diversos procedimientos del cálculo práctico de un determ inante, ya conocidos por todos. P ara determinantes de orden n > 3, la aplicación de la fórmula general dada en las definiciones 1, 2 y 3 es, en general, dispendiosa; por eso se recurre a otros mecanismos, todos justificables y deducibles de la multilinealidad del determinante.
4.6.1.
Cálculo de un determinante por bloques
Consideremos una matriz M de tipo (ni + n 2, n i + n 2) de la forma n i —* *— n 2
\
(
t
ni M = 1 T n2
Mi
M i
0
M2
\
i
/ donde las submatrices A/i, M 2, M¿ y 0 son de órdenes n i x n i, n 2 x n 2, n i x n 2 y n 2 x n i, respectivamente. Entonces det M = det M i x d e tM 2 · La demostración parte de la definición 1. Sean ahora los m enteros positivos n i, n 2l ..., n m . Sea la m atriz M en forma de bloques triangulares superiores: (M u
M 12 M 22
··· ■■·
M lm \ M 2m
M = \ 0
MnxmJ
donde las submatrices M ,j son de orden n, x n 3. Entonces m det M = det M u ■ det M 2 2 ............. det M mm = ^ d e t M , . ¿ sal
La demostración se obtiene por inducción m atem ática. Como caso particular tenemos: el determ inante de una m atriz triangular superior es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. Los dos procedimientos son válidos en el caso triangular inferior.
4.6.2.
Desarrollo de un determinante según los elementos de una fila o de una columna
Sean M = ( a l;) una m atriz de orden n y M ,j la m atriz deducida de M suprimiendo la i-ésima fila y la j-ésim a columna; el determ inante correspondiente a M y se llama el menor asociado al elemento a y . El escalar i4y = (—1)‘+3 d e tM y se llama el cofactor de índice i , j en M . Se dem uestran las siguientes propiedades: Si Ay es el cofactor de índices i, j en M , entonces cualquiera que sea el entero i comprendido entre 1 y n se tiene det M
=
a i jA u + a 2 iA 2i + · · · + a„¿A ni
(4.1)
d e tM
=
a jí Ají + a<2 Aj2 + · · · + ciinAin.
(4-2)
La prim era expresión es el desarrollo de un determ inante por los elementos de la i-ésima columna; la segunda es el cálculo del determ inante por la ¿-ésima fila. Estas dos fórmulas reducen el cálculo de un determinante de orden n a otro de orden n —1. Además, si t y k son enteros diferentes comprendidos entre 1 y n, entonces tenemos: Orifcj4|í + a-¡kA.2 i + · · · + Oínik-^ni
=
0
(4.3)
+ Qr*2>4i2 + · · ■ + OíknAin
=
0
(4-4)
Gracias a la regla de la dualidad las 4 fórmulas anteriores se resumen en: n n £ otijAik = íj* (d et A/) = ctijAk, = 5¡*(det M ). i=l j=\ Ejercicio: Demuestre las cuatro fórmulas anteriores.
4.7.
A p licaciones
De las variadísimas aplicaciones de los determinantes, sólo mencionaremos esquemá ticam ente unas pocas. P ara tener una vaga idea, por decir lo menos, de la generosa y lujuriosa aplicación de los determinantes, sería recomendable hojear el texto Ele menta de la Théorie des Déterminants, de G. Doster (1883). Tiene aplicaciones al álgebra, a la geometría analítica del plano y del espacio, y a la trigonometría, entre otras. a) Inversión de u n a m atriz. De las fórmulas precedentes se deduce (si se considera a lA ij, llamada comatriz o transpuesta de la m atriz de cofactores) la expresión M ■ (lA ij) = det Ai. De donde Ai-1 = (detA Í)-1 ‘A,j. E sta última fórmula permite calcular la inversa de una matriz. b) C riterio de in d e p e n d en cia lineal. Un sistem a de n vectores Xi, xn de nE cumple con los siguientes criterios de independencia (o dependencia) lineal: t) det(e.) ( x i,. . . , 2 „) ^ 0 implica que los (x¿) son linealmente independientes. ii) det(e. ) ( i i , . . . , xn ) = 0 implica que los (xt ) son linealmente dependientes. ni) P ara que (x t , . . . , xp) sean linealmente independientes (p ^ n) es necesario y suficiente que se pueda extraer de la m atriz formada por las columnas x j, x ¡ , ..., x" de las coordenadas de los (x¿), i = l,2 ,...,p , una matriz de orden p tal que su determ inante sea diferente de cero. Ejercicio: Demuestre lo anterior. P ara üt) use el teorema de la base incompleta (Steinitz) y la sección 4.6.
c) C á lc u lo d el r a n g o d e u n a m a tr iz . El rango de una matriz, por definición, es el entero r más grande tal que exista al menos un menor de orden r no nulo en la matriz dada. El rango es un invariante. El rango se determ ina calculando todos los menores; o de manera más prácti ca, haciendo transformaciones elementales sobre sus filas o columnas hasta llevar la matriz dada a la forma triangular T tal que sus elementos t¡k sean nulos para k = 1,2, ...,n , cuando el elemento diagonal sea nulo; entonces el número de elementos diagonales t u , Í 22 , ···, no nulos es el rango. E je rc ic io 1: Pruebe que la definición de rango es equivalente a éstas: a) Si M = M ( f , (e*)) entonces r g ( f ) = d im lm ( /) = r. b) r — número máximo de vectores columna linealmente independientes. c) r = número máximo de vectores fila linealmente independientes. E je rc ic io 2: Detalle el siguiente ejemplo: A=
/1 2 \1
3 —2 \ (l 3 5 -2 — 0 - 1 1 6 ) \ 0 —2
—2 \ /1 3 2 — 0 -1 8 / \0 0
-2 \ 2 ; 4 )
Además, compruebe que rg(A) = 3 = rg(lA). d ) P r o d u c t o v e c to r ia l. Sean los vectores v = (vx , v y i v z ), u = (u x , u y , u z), w = (wz , w y, w z). El producto vectorial es, en notación abusiva: i
U A V = Ux vx e)
i uv vy
k u. vz
P r o d u c t o m ix to . El producto mixto es el invariante
(u
a
ux v) ■ w = det(u, v, w) = vx wx
uv vy wy
uz Vz Wz
E je rc icio : Pruebe estas fórmulas.
4.8.
O rientación m a te m á tic a del espacio
P ara definir los anteriores productos es necesario conocer lo que se entiende en matemáticas por orientación de una base y de un espacio. Aquí las bases de nE
y
serán n-tuplas ordenadas B = ( e i , . . . , en). Si se tiene o tra base B ' resulta siempre: detb [B ') ^ 0, con d e t^ - S ') > 0 o d e ta ( S ') < 0. D e fin ic ió n 5: Se dice que las bases B y B ' de nE tienen la misma orientación, o sentido, si d e t b (B') > 0. Tienen sentido contrario si d e ta (B ') < 0. La relación binaria entre B y B ' , 7Z (B ,B '), definida por d e ta (B ') > 0, es una relación de equivalencia. En general, en el conjunto de bases B de nE, la relación “B y B ' tienen la misma orientación" es una relación de equivalencia. E je rc ic io 1: Demuestre las dos aserciones anteriores. Si se escoge una base B q de E, se induce una partición de B en dos clases de equivalencia: 1) las bases B que tienen el mismo sentido de B q; 2) las bases B ' que tienen orientación contraria a la de B q. D e fin ic ió n 6: Orientar un espacio nE es escoger una de las dos clases de equi valencia en B. Las bases que pertenecen a una de las clases se llaman directas o de sentido positivo. Las bases que pertenecen a la o tra clase se llaman retrógradas o de orientación negativa. P a ra orientar un espacio se escoge una base B q y se decreta que las bases directas o positivas tienen la misma orientación. Si ( e i , . . . , e n ) es una base de nE y p e
tales que e' = Ae. Entonces d ete(e') = A dete(e) = A. Según que A sea positivo o negativo, las bases tendrán el mismo sentido o sentido contrario. U na de las clases de equivalencia en B se compone de todos los vectores deducidos de e por una homotecia de razón A > 0; la o tra se compone de todos los vectores deducidos de e por homotecia de valor A < 0. La escogencia de una de esas clases corresponde a la intuición física de orientar una recta. E je m p lo 2 : Sea dim .£ = 2 ( E es el plano) y sean las dos bases B = ( e i.e j) y B ' = (e'j, e'2) (ver sección 2.10, ejemplo 5), con (o, b) coordenadas de e 2 con relación a B. Se tiene la matriz: 1 0
a _^_ b
1 0
eos# = sen#. sen#
Esto implica que B y B ' tienen la misma orientación si, y sólo si, b > 0, es decir, si e 2 y e 2 están de un mismo lado de la recta que contiene e\. E je m p lo 3: Sean d im £ = n, B = ( e i , . . . , e „ ) y B ' = ( e 'i , . . . , e'„) dos bases ortogonales; entonces, det(t)i...iei>) ( e 'i , . . . ,e '„ ) = ± 1 , ya que existe un u e L (E ) tal que u(ei) = e\, . . . , u(e„) = e'n y u es forzosamente ortogonal; por consiguiente d e tu = d e t(......... [u(e 1 ) , . . . , u ( e n)] = ± 1 .
4.9.
O rientación física del espacio
En R" se decide convencionalmente que la base canónica tiene el privilegio de ser directa o positiva y se escogen de m anera natural las bases del mismo sentido que ésta para designarlas como positivas. Pero en un espacio real „ £ no existe en ge neral ninguna base cuya escogencia se im ponga de m anera natural y privilegiada con relación a las otras. La naturaleza m atem ática es indiferente a ello; por consi guiente, la escogencia de una base calificada de derecha es arbitraria. Por ejemplo, los polinomios de grado inferior o igual a 1 con coeficientes reales forman un espacio vectorial de dimensión 2 sobre R; una de sus bases está formada por ei = x — 1 y e 2 = x + 1 . Decir que e 2 está a la izquierda de e\ carece de sentido en este humano mundo maniqueísta. Por otro lado, en el espacio físico, real, concreto, de dos o tres dimensiones, la escogencia, por p arte de los físicos, de bases directas con ayuda de la regla de los tres dedos de la mano derecha o con la regla de Ampère, es de la com petencia de la física y no de la m atem ática. Sin embargo, no es un problema simple, ni mucho menos trivial. Piénsese en la desviación de una aguja im antada por una corriente (expe rimento de Oersted) que siempre es hacia la izquierda. Este hecho impresionó hon dam ente al físico y filósofo E. Mach (1838-1916) — fundador del empiriocriticismo o neopositivismo— , quien cuenta que le causó un choque emocional e intelectual
duradero. El famoso aforismo del asno de Buridan (1300-1358) quedó violado por el fenómeno de Oersted (1777-1851). Los físicos definen las bases orientadas positivas —o de mano derecha o dextrógiras o del sacacorchos— , a partir del producto vectorial y la regla de Ampère o convención de Maxwell. Estos triedros directos no tienen sentido matemáticamente; la única noción concreta es la de dos bases o triedros de la misma orientación o de orientación contraria, como se deduce de la teoría de los determinantes. Ya vimos que dado un espacio vectorial cualquiera, no existe ningún medio na tural, intrínseco o canónico de escoger una orientación. Así, la noción de base directa o derecha proviene de una elección arbitraria y no tiene carácter absoluto. Esto es conforme a la naturaleza de la m atem ática. Pero la física tam bién es indiferente a esa arbitrariedad: las leyes físicas son igualmente válidas en todos los sistemas de coordenadas, dextrógiros o levógiros; por consiguiente, no se puede distinguir entre una base derecha y una base retrógrada, entre la mano derecha y la izquierda. En esto consiste el sacrosanto principio de la paridad. No obstante, la naturaleza ha creado caracoles, ADN, tela de arañas, azúcar levógira, en donde el sentido de la rotación está privilegiado. El hombre tam bién ha creado una distinción entre la “izquierda" (Sinistra) y la derecha: 1) entre zurdos y derechos; 2) sólo hay tijeras para derechos; 3) “los zurdos tienen tendencias criminales” (sic) se afirmó irresponsablemente hace tiempo; 4) abotonaduras de camisas para hombres y para mujeres, 5) los conservadores ingleses manejan a la izquierda, 6 ) lo que hace la derecha lo ignora la izquierda. La ilusión de que en el espacio físico el sacacorchos de Maxwell o el observador de Ampère definen un procedimiento natural para distinguir las bases derechas o izquierdas resulta invalidada, ya que esto no tiene ningún sentido matemático; no obstante, de ello se habla en los textos de física. Los únicos espacios donde es posible escoger canónicamente o de m anera natural una orientación positiva es en los espacios euclidianos Rn . Con base en este principio se declara derecha toda base que lo es respecto a la base canónica de R'*. Pero el físico olvida que el espacio físico E j es sólo isomorfo con R 3 y no es idéntico a Rn ; además, no se puede definir un isomorfismo entre Es y R 3 sin antes haber escogido una base en £ 3 (véase nota de sección 1.7). A todo este oscuro y confuso problem a de izquierda y derecha se agregó en 1956 uno de los descubrimientos más famosos y excitantes de todos los tiempos: la paridad sí se viola. En efecto, en el dominio atómico y nuclear sí hay privilegio de la izquierda sobre la derecha (en la radioactividad). En este nivel la naturaleza discrimina la izquierda y la derecha; abandona la sacrosanta neutralidad que dogmáticamente se le había conferido. La cosa no queda allí y se complica con la intervención del análisis m atem ático y la geom etría diferencial. Esas disciplinas estudian, en particular, la orientación de superficies al conocer localmente el sentido de recorrido de las curvas. Superficies como la curiosa cinta de Möbius (véase figura 4.1) no tienen orientación,
ya que no se pueden fijar sus dos caras; globalmente sólo tiene una cara, aunque localmente tenga dos caras. Una mano derecha sobre esa superficie después de una vuelta regresa al punto de partida transform ada en mano izquierda. Un avaro quizo beneficiarse de las sorprendentes propiedades topológicas de la cinta de Möbius: para dorm ir feliz y sin preocupaciones de saber si había metido su dinero bajo la sábana o lo había olvidado sobre ella, se compró una sábana en forma de cinta de Möbius, con una sola cara. Un m atem ático tuvo mucha dificultad para m ostrarle que su solución era errónea, ya que, argüyó, su dinero no cubría la totalidad de la sábana (globalmente) y, además, que localmente sí existían dos lados en la sábana...
Figura 4.1.
El interrogante que más desvela a los físicos es el siguiente: ¿nuestro universo físi co es un espacio orientable? Según ciertas leyes físicas, ¿podemos orientarlo? Algu nos piensan que no existen evidencias que indiquen que el universo no es orientable, es decir, que violaría el principio de la conservación de la paridad. Ya mencionamos la radioactividad como fenómeno físico que perm ite orientar el espacio. Supongamos que efectivamente el universo no sea orientable. Entonces existirían ciertos senderos, en forma de cinta de Móbius, con desorientaciones encantadas. U na persona que hiciese un paseo partiendo de un punto inicial con orientación definida y regresase al mismo punto inicial, después de prolongar continuam ente esa orientación, se encontraría con una orientación opuesta. Su corazón estaría a la
derecha, su hígado a la izquierda, sería zurdo, sus notas estarían escritas de derecha a izquierda y su perro daría una vuelta en sentido opuesto para orinar; su brújula estaría invertida con el polo norte indicando el sur, y viceversa. Como el viajero no ha sufrido transformación alguna, se sentiría incambiado y normal, y afirmaría que ha encontrado todo invertido: fenómenos físicos y cosas. Pero si nuestro viajero realiza un segundo paseo desorientador y regresa a su punto de partida, encuentra que todo es normal, lo mismo que él, y que nada ha cambiado: todo se ha preservado. Este curioso fenómeno se relaciona de m anera inesperada con el grupo de rotaciones y el espín. E ste sencillo experimento m ental basta para m ostrarnos las bases frágiles sobre las que reposan todas las nociones de orientación descritas en libros de física y de m atem áticas enseñadas en el bachillerato, el pregrado y el posgrado de física... G randes pensadores como P asteur, Mach, Pauli y Feymann fueron desorientados sin necesidad de esos paseos. Se prueba que los enunciados de la regla de Ampére y del sacacorchos de Max well son válidos en un espacio £ 3 orientado, pero no tiene rigurosamente ningún sentido si no se adm ite a priori una izquierda y una derecha universales; en términos m atem áticos eso quere decir: si no se adm ite una orientación. Un análisis detenido m uestra que la brújula del experimento de Oersted no se ha desorientado; la desorientación es aparente. Esto está ligado al hecho de que el magnetismo, al contrario del campo eléctrico, es un vector axial asociado a rotacio nes y que depende de la orientación. E n últim a instancia, esto proviene del hecho de que el campo electromagnético (indivisible, verdadero átom o relativista) es un tensor antisim étrico de segundo orden con 6 componentes; más exactamente, es una forma diferencial exterior de grado dos (2-forma). En conclusión, el viajero, después de una vuelta desorientadora, encontraría las leyes del electromagnetismo incambiadas. Es decir, esas leyes no exigen que el espacio sea orientable, son indiferentes a la izquierda y a la derecha. En cambio, las leyes de la radioactividad sí obligan al espacio a estar orientado. La radioactividad discrimina la derecha de la izquierda. El macrocosmos está desorientado. El microcosmos está orientado. El macrocos mos es irreversible. El microcosmos es reversible. Sin embargo, el estudio de la radioactividad es local, y aunque define una izquier da absoluta, esto no impide que en regiones muy alejadas exista o tra manifestación radioactiva sim étrica que defina más bien la derecha y se restablezca así la sim etría izquierda-derecha. Por ahora conocemos lo local muy bien, pero bien puede suce der que la idea global que tenemos del universo sea imperfecta, aproxim ada y muy alejada de la realidad, y entonces la noción de orientación carezca absolutamente de sentido. Sobre este apasionante tem a es instrutiva la lectura excitante del ma ravilloso libro de M. G ardner Izquierda y derecha en el cosmos, Salvat, Barcelona, 1986.
f f 1111
170 /Algebra multilineal
4.10. 1)
P ro b le m a s
Establezca la equivalencia entre la definición de determ inante de orden n dada aquí y la definición clásica: “el determ inante de n 2 cantidades o elementos es la sum a algebraica de todos los productos posibles que se pueden formar con esos n 2 elementos tom ados n a n , de m anera que cada producto o térm ino sólo contenga un elemento de cada fila y de cada columna” . De esta defini ción deduzca que un determ inante es una función lineal y homogénea de los elementos de una misma fila y de una misma columna.
2) Sean los determ inantes ai
¿>1 Cl
A = a2
b2
C2
“3
63
C3
, B =
ai + qi
ai
bi
Cl
a2
b2
C2
Q3
í>3
C3
, y C =
a2 a3
+ o¡2 + a3
b1
Cl
b2
c2 C3
b3
a) Verifique que C = A + B (regla para sum ar determ inantes). b) Pruebe, con ayuda de las formas trilineales, que C = A + B. c) Con la ayuda de las técnicas de las formas multilineales, dem uestre que, en general, se tiene el teorema: cuando los elementos de una fila o de una colum na de un determ inante son cada uno la sum a (o diferencia) de dos elementos, el determ inante puede descomponerse en una sum a (o dife rencia) de dos determ inantes. Recíprocamente, cuando dos determ inantes sólo difieren por una fila o por una columna, esos dos determ inantes pueden componerse en un solo determ inante. 3) Com pruebe que a) A = B + C —D, donde a i+ a i-P i A = a 2 + C*2 — 0 2 a 3 + &3 — 0 2
B =
a i 61 a 2 ¿2
Cl
bs
C3
03
C2
»1 ,
c = a2 a3
b¡
cx
l>2 63
C2 C3
bi Cl Px b2 C2 , D = 0 2 í>3 C3 03
bi ¿>2
Cl
63
C3
c2
b) E = F + G — H - I , donde, a( + ai E = 02 + a 2
bi -
H =
4)
“ 1 bx
Cx
a2
¿>2
C2
“3
í*3
C3
«i
01
Cl
a2
01
C2
a3
03
C3
i
b 3 — 03
a3 + a3
F =
0
62 — 02
,
»1 bx G = a 2 b2 a 3 ¿3
cx
Û1 / = a2
Cl
,
Q3
P\ A 03
C2
C3
C2
C3
a) Establezca, invocando las propiedades de las formas multilineales, que en el problema precedente A = B + C — D y E = F + G — H — I. b) Enuncie y demueste un teorema más general que el del problema 2c, donde sum a y diferencia se reemplacen por combinación linead.
5) Verifique que ai bx a2 bi a3 63 6)
ci «i c2 ± 02
A 62
71
a3
63
C3
C3
C2
ai =
±ai
61 ±/3i 62
Cl ± 7 1
a2 03
í>3
C3
C2
a) M uestre que 6c ca ab
a
a2
1 a2
a3
fe fe2 = 1 fe2 fe3 c
c2
1
c2
c3
b) Demuestre que agregando al primer determ inante el determ inante b+c c+a a+b después de haber multiplicado las tres filas respectivamente por a, 6, c, se obtiene 1 a a2 1 a2 a2 e b2 1 fe2 fe3 = (afe + ac + fec) 1 f 1 c c2 1 c2 c3
' Ii
7) Pruebe que ai a2 a3
¿2
0 0
f>3
C*3
0.4
64
a 4
fe1
0 0 03 04
a1 0-2
fe!
b2
O3 Q4
03 04
8) Compruebe que a 1
0-2 o-3 “4 “5 “6
bi Cl b2 C2 £>3 C3 fe4 C4 ¿5 C5 f>6 C6
0 0 0 a4 05
0 0 0 04 05
«6
06
0 0 0 74 75
ai
fei
0-2 b2 0-3 t>3
Cl C2
X
C3
a4
04
74
05
A
75
Qe
A¡
76
76
Este problema y el anterior confirman el lema general que dice: cuando un determ inante de orden par 2n se puede descomponer en cuatro determinantes de grado n por dos líneas, una horizontal y una vertical, trazadas por el medio, y si además, los elementos de uno de esos cuatro determ inantes son iguales a cero, entonces el determ inante propuesto será igual al producto de los dos determinantes menores que son adyacentes al determ inante menor que tiene ceros. 9) Muestre que “1 02
fel X a i ¿2 02
OiOi + 0202 a-101 + 0.2 P2
01 02
felOl + b2Ct2 biPi + b2p 2
10) Demuestre que a 1
fei
Cl
a2
fe2
C2
03
¿3
C3
«1 x
02 «3
01 02 03
7i 72 73
a i a i + a.2 Ct2 + 0 3 0 :3 feiai + 6 2 a ? + ¿ 3 0 3 ü \0 \ + 0.202 + 0-303 bi/3i + b202 + l>303 o-171 + a 272 + 0 3 7 3 ¿>i7i + ¿>272 + ¿>373
cjQi + C2 O2 -IC1P 1 + C2 P2 + C171 + c272 +
C3 Q3 C3 P3 C373
Estos dos problemas ilustran la regla o teorema para multiplicar determi nantes del mismo orden: el resultado es un determ inante del mismo orden, elementos de los productos son las sumas de los productos que se obtienen multiplicando los elementos de cada columna en uno de los determinantes por
los elementos correspondientes de todas las columnas sucesivas del otro. Di cho informalmente: para multiplicar determinantes se multiplican columnas por columnas. 11) Si en un determ inante D de orden n se reemplazan los diversos elementos por sus determinantes menores respectivos, obtenemos un nuevo determinante M = Pruebe esta propiedad en el caso particular de n = 3. 12) Confirme que el producto de dos determinantes A y B efectuado multiplicando los elementos a) de cada fila de A por los de todas las filas de B, b) de cada fila de A por los de todas las columnas de B , c) de cada columna de A por los de todas las filas de B , d) de cada columna de A por los de todas las columnas de B. Se obtiene el mismo resultado. T rabaje con el orden 2. 13) Deduzca que
bi
cl2
bo
Û3
b3
Cl c2 c3
=
1
0
0
*1
a. a2 a3
Cl 61 ¿>2 C2 b3 C3
12
x3
0
ai a2
b1
a3 0
C5 -O
ai
Cl C2 C3
y\ V2 y¿
0
0
1
62
bl c 1 Ui vi a2 62 C2 u2 V2 a 3 ¿3 C3 U3 v3 ) 0 0 1 V4 0
ai
0
0
0
0
1
, Vi, u¡, i = 1,2, 3, y Vj j = 1,2, 3,4 14) Verifique que ai a2 a3
bx b2 L 03
Cl ai C2 X a 2 C3
Pl 02
bi ci 1 O b2 c¡ x O ai i>3 C3 O a2 bicti + ciPi b2a i + c2pi + c3 /3i
O Pl p2
biOc2 + Cx/?2 b2 ot2 + c 2 /32 f)3a 2 + C3/02
15) Calcule 1 0 0 0 1 a 0 1 6 0 1 c
0 a X P 7
0
1
1
0
1
0 0
1
0 a b c
0 a P 7
16) Calcule 1 a2 + a 2 1 b2 + p 2 1 c2 + 7 2 1 ,P + 62
-2 a -2 6 -2 c -2 d
a2 + a 2 - 2a -2 P b2 + p 2 X c2 + 7 2 -2 7 -26 cP + S2
1 1 1 1
a 6 c d
a P 7 6
17) Sean los determ inantes complejos a + ib c -t- id
—c + id\ a — ib
,a' + ibf d + id!
y
—d + id 4 o ' —ib'
■
Demuestre que se obtiene la siguiente identidad: (a2 + b2 + c2 + c¿2) (a '2 + 6'2 + d 2 + d'2) = ( a a ' —66' + c d — d d ' ) 2 + (a 6 ' + ba' + cd! + d d ) 2
l
+ { a d + 66' — c a' — d b ' ) 2 + (a d' — b d — c b ' + d a ' ) 2 Esto prueba el teorem a siguiente: el producto de dos sum as de cuatro cuadra dos es la sum a de cuatro cuadrados. 18)
a) Calcule
ai
6i
02
62
b) O btenga (a? + al)(b 2 + 6 3 ) = (0 1 6 2 —a 26 i ) 2 + (ai&i + aib?)2·, es decir, pruebe que el producto de la sum a de dos cuadrados es la sum a de dos cuadrados. c) Dé los cuatro determ inantes correspondientes al determ inante en a).
19) Halle
IB
¥
■■■
|2
ai
61
02
62
ci C2 . Observe la sim etría aquí y en (18).
1
03
63
C3
h.·
ai 20) Sea el determ inante D = a2
61
ci
6o
C2
a3
63
C3
. Calcule las derivadas con respecto a
los elementos a t , 6¡, Cv, es decir, D'a, D'b, D'c. O btenga la derivada total. ■
It
21) Resuelva la ecuación a i x + dt d2X + d.2
62
b¡
CI3X + C¿3
63
= 0.
22) Resuelva la ecuación a2 — x ab — x eos 9
ab — x eos 9 b2 — x
= 0.
23) Resuelva e interprete geométricamente la ecuación X
a
b
c
a
X
0
0
6
0 0
X
0
0
X
c
= 0.
24) Sea 1
1
1
1
X
a
0
0
X
0
b
0
X
0
0
c
= 0.
Halle la solución e interprétela geométricamente. 25) Proyecte sobre cada uno de los tres lados de un triángulo los otros dos lados; encuentre que la relación entre los cosenos de sus tres ángulos A, B , C es —1 eos C eos B
eos C —1 eos A
eos B eos A = 0. —1
26) Pruebe que la condición necesaria y suficiente para que tres rectas Oa, 0 6 y Oc, que salen del mismo punto O, estén situadas en el mismo plano es 1 eos C eos B
eos C 1 eos A
eos B eos A = 0, 1
donde A = aOc, B = bOc, C - aOb.
27) Sirviéndose de los determ inantes, obtenga la conocida relación entre los tres lados a, b, c de triángulo y el ángulo A opuesto a uno de ellos, a 2 = 62 + c2 — 2b ecos A. 28) P ruebe que el determ inante 1
x
1
xi
Vi = 0
y
1
X2
1/2
es la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados; y es tam bién la condición necesaria y suficiente para que tres puntos (x ,y ), (x i,y i), (x2>J/2 ) estén en línea recta. 29) Com pruebe que la condición necesaria y suficiente para que cuatro puntos (x ,y ), ( x i,y i), (x 2 , y i) y (x 3 ,y 3 ) estén sobre un mismo círculo es 1
x
y
x2 + y2
1
xi
yi
x2 + yf
1
x2
y2 x 2 + y2
1
X3
V3
X3 +
= 0.
1/3
30) M uestre que la superficie 5 de un triángulo de lados a, b, c vale
a) (4S ) 2 =
1 x b) 2 5 = 1 X! 1
donde (x ,y ), ( x i,y i) y (X 2.Í/2) son las coordenadas de
X2
sus vértices. 31) Demuestre que una esfera pasa por cuatro puntos de coordenadas ( x i,y i, zi), (x 2 .y 2 .z 2 ), (x 3 .y 3 .z 3 ) y (x 4 .y 4 . 2 4 ), cuando, y sólo cuando, 1 x y 1 xi yi 1 X2 Vi 1 X3 y3 1 X« y \
x 2 + y2 + z2 zi
x? + y? +
z jf
z2 x \ + y \ + z | z3 x \ + y l + z \ Z4
X4 + y 4 +
z|
32) La siguiente expresión:
Xo D(x0 , - . . , x n)
X l
(xo)2 (xi)2
X n
(X n
=
)2
·· ■ ·' •
(xo)' (xi)'
·· •
(X n )
se llam a determ inante de Vandermonde. Su orden es n + 1. a) Pruebe que D es homogéneo de grado total b) Com pruebe que D es divisible por x* —x¿ (t # j). c) Deduzca de lo anterior que D ( x o,...,x „ ) =
[~[
(x j-n ).
0
d) Aplique el binomio de Newton a la fórmula de Moivre eos n x + i sen n x = (eos x + i sen x )n y encuentre el siguiente polinomio trigonométrico: co sn x
(cosx)" —C 2(cosx)n - 2 (senx) H----+ (—l ) pC 2p(cosx)n~2p(senx)2p + · · ·
=
Halle los pohnomios c o s 2 i y cos3x en función solamente de cosx. e) Calcule el determ inante cuya fila k (0 ^ k ^ n) es 1
cosx*
cos2x*
···
cosnx*.
f) Calcule ese determ inante para cosx* = x*. ¿Qué encuentra? 33) Considere la m atriz M formada de cuatro bloques o submatrices M i,
y M 3: V o
m2
) ■
Las subm atrices asociadas son cuadradas de orden n\ y n 2 respectivamente. Demuestre que det M = det M \ ■ det M 2.
34) Generalizando el caso anterior, considere la m atriz cuadrada n x n: (M u M =
Ma M 22
··· ·■■
M ln \ M 2n
V 0
M = (My).
M ,nnJ
Las submatrices My son tales que para t > j la subm atriz M ij es cero, y para ¿ = l , . . . , n M u es una m atriz cuadrada. Muestre, por inducción matem ática, que n
det M = det M u ■ d et M 2 2 ........ det M nn = ]~J det M u.
»=1 35) Deduzca que las matrices U e M n{K ), K anillo conm utativo, tales que det U = 1, forman un subgrupo del grupo lineal G L ( n ,K ) . Ese subgrupo se nota S L (n , K ) y se llama el grupo especial lineal con n variables sobre el anillo K (o de operadores o matrices). 36) Averigüe el número de inversiones de la perm utación siguiente:
G
2 3
3 5
··· ···
n 2n — 1
n + 1 2
n + 2 4
■·· ···
2n^ 2n ¡
37) De todas las permutaciones posibles de los enteros 1, 2 , . . . , n, ¿Cuál es aquélla cuyo número de inversiones es máximo? 38) Sean las clases residuales módulo 2, Z/2Z, y el espacio vectorial E = Z /2Z sobre el cuerpo K = Z/2Z. Tómese la aplicación / de E x E en K por la relación f ( x , y ) = xy. Deduzca que / es una forma bilineal sobre E tal que f i x ,y) = —f ( y , x ) V(z,y) £ E 2, pero que / no es alternada. 39) Pruebe que una condición necesaria y suficiente p ara que una forma bilineal / de m atriz a ¡ ¿ sea alternada es que a y = —a t j i y a¡¡ = 0 Vi, j = 1 , . . . , n . 40) Se dan las matrices x y y e M n(C) y el elemento (k, j ) del producto z = ly x = y tx .
a) Verifique la relación Vf cZj 1 +
· - · +
v £ z "
=
{X j\yk) .
( | ) es el “producto anterior” de la j-ésim a colum na de z por la fc-ésima columna de y.
b) Establezca que det z = det b ■ det a. c) Deduzca, con x = y, el determinante de Gram. 41) Se d a una forma bilineal alternada no degenerada / sobre el espacio nE sobre el cuerpo K . Compruebe que si para (a, 6) e E 2 / ( a , b) * 0, y si definimos /a (x ) = / ( a , x) y fb[y) = f( b ,x ) , entonces f a y /(, están en E* y son lineal mente independientes. 42) Muestre que ^ Dn(x) _ ^ p n_ l para n ^ 2 y calcule el valor de dx
Dn(x) =
1+ x 1 1
1 1+ x 1
1 1 1+x
1
1
1
··
1 1 1 1+ x
43) Sean los vectores A, B, C, D y E del espacio vectorial de los vectores libres del espacio ordinario, orientado. a) Pruebe que (A
a
B)
a
C = (A ■ C ) B - {B ■ C)A.
b) Compruebe que (A
a
B)
a
(C
a
D) = [(/1
a
C) ■ D] ■ B - [(B
a
C) ■ D] ■ A.
44) Sea E el espacio orientado de vectores libres del espacio ordinario, de ori gen O. a) Demuestre que existe una base ortonorm al de sentido positivo ( i,j, k). b) Muestre que si la base (i, j, k) fuese de sentido negativo bastaría sustituir i por —i para volverla positiva. Halle la relación con la reflexión en un espejo (simetría especular). Relacione todo esto con la operación pari dad (simetría con respecto al origen O) y una rotación adecuada de án gulo 7T. c) Sik ') es o tra base ortonorm al positiva, verifique de manera trivial que [det(i>ít*)( i \ j , ,fc/)]2 = 1.
f
d) Tome los vectores V, V', V" de E. P ruebe que el número d e t
= _ (
f) Dé las condiciones necesarias y suficientes para que (V {V a V") · V " > 0 y ( V a V") · V" < 0.
a
K
V ') · V " ^ 0,
45) Sea E como en el problema anterior. Fije V y V ' en E. a) P ara W variable, pruebe que la aplicación W lineal de E * .
(V ]V '|W ) es una forma
b) Compruebe que existe un vector único A tal que (V |V 'lW ) = A ■ W (V W ). Ese vector único A depende de V y V ' , se llam a producto vectorial de V y V ' y se nota V a V ' = A. c) Deduzca que V a V ' = 0 si, y sólo si, V y V ' son linealmente dependientes. d) M uestre que V e) Verifique que V
V = 0
a
V V.
V ' = —V '
a
a
V y que V
a
V ' es ortogonal-a V y a V ' .
f) Demuestre que si V y V ' son linealmente independientes, entonces los tres vectores (K, V', V a V ') forman una base de sentido positivo. g) Tómese una base ( i,j, k) ortonorm al ortientada en sentido positivo. Sean ( K · V'y, V,) las com ponentes de V , y (V', Vy', V.') las de V con respecto a (t , j , k ) . Encuentre que las componentes de V a V ' son (Vy V ' — VJ), (Vt V ¿ - V x V:),(Vx V ¿ - V v V ¿ ) y
V' = vz
vy
k Vz
y¿
v*
yi
t
V
A
j
h) Establezca que \V
a
V'\ = \V\ |V '|se n # ,
6
= (V^V7).
46) Considérese el cuerpo conm utativo K cómo un anillo y sea M n( K ) el anillo unitario de matrices cuadradas de orden n sobre K . Sea la aplicación det : M n ( K ) —* K , tal que a la m atriz A 6 M n( K ) le asocie su determ inante: A i—» det(A).
K
jcionario.net
a) P ruebe que det es un homomorfismo multiplicativo. b) ¿Es det un homomorfismo de grupo? M uestre que det no es un homo morfismo de anillo. ¿Qué es det(A + B)? c) R epita los puntos a) y b) para L ( E ; E ) 3 u >-* det(u) e K . 47) Encuentre que el determ inante de una m atriz nilpotente, sobre K conm utati vo, es cero.
f >·■·' 48) Si P = (x — AO*1 · · ■ (x — Ak)dk es el polinomio característico de la m atriz M 6 M n{K), muestre que, entonces, Aidi +A 2 í¿2 + ‘** + A*c¿a: = 7V(/t). 49) Dadas dos formas lineales f i y
/2
sobre el espacio E , sobre K :
a) Demuestre que si / i ( x ) / 2 (x) = O Vx 6 E, entonces al menos una de las dos formas es cero. b) M uestre que ninguna forma bilineal alternada sobre E puede descompo nerse en el producto de dos formas lineales. 50) Usando la propiedad de que una perm utación es un producto de transposicio nes, y el caso del producto de transposición entre enteros consecutivos, pruebe que el número de inversiones de la perm utación (6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ) es 15. 51)
a) Construya todas las formas bilineales alternadas sobre R4. ¿C uántas can tidades hay que conocer? b) Sean x = (1 ,1 ,1 ), y = (2 ,3 ,4 ), z = (4,9,16) elementos de R3.Verifique que det(ei)(x, y, 2 ) = 2, donde (e*) es la base canónica de R3. c) ¿Es (x , y , z ) una base?
52) Demuestre que d e t (e4)( e 'i , . . . , e'„) · d e t (« < )(« !,...,e„) = 1, donde (e¡) = (et , . . . , e„) y (e') = (e't , . . . , e'„) son sus bases vectoriales dadas. 53) Pruebe, con el uso del determ inante, que los vectores de R4 ( 1 ,2 ,0 ,—1), ( 3 ,2 ,—1 ,- 1 ) , (—1 , 2 ,1 ,- 3 ) son linealmente dependientes y halle la relación lineal que los liga. 54) Establezca que, en el plano R2 con un origen O, la operación de sim etría con respecto a O conserva la orientación de ese espacio, pero que la sim etría con relación a una recta que pasa por O la invierte.
j ; m i i i i i u i u u u m
m
182 /A lgebra multilineal
55) Resuelva el mismo problema en el espacio R3. 56) Considérese una matriz M del espacio vectorial M n (K ) y U\¡ una aplicación de M n ( K ) en el mismo, definida por Um ( N ) = N M . Averigüe si Um es un operador lineal sobre M n( K ) y si det U m = (det M ) n . 57) Verifique que 3 1
1 4
lím
= co.
n —»oo
1 1 58)
1 1
n + 1 1 1 n + 2
a) Pruebe que el determ inante de to d a m atriz antisim étrica de orden impar es nulo. b) Sean / y g dos funciones reales de una variable real que poseen derivadas 9 , entonces D' — f 9 primeras y segundas. Pruebe que si D = f { ' 9' ! " 9"
59) Considere una permutación p e S„ y el cuerpo K . Pruebe que la aplicación f ( x x , .. , , x ) = f { x p(i ) , . . . , x P(n)) es un operador lineal sobre K n. 60) Sean el espacio M„(C) y un elemento B. Considere los operadores sobre M „(C ), D b y L g definidos por D b (A) = A B y L b (A) = B A . Encuentre que d e t L e = det D a = ( d e t S ) n. 61) Sea M e tal que A 2 = 0. Deduzca que para todo escalar A e K , d e t(c / — Ai) = A2. 62) Sea la aplicación / sobre M $ (K ) definida por -
m
M ,( K ) s M ^ J I M ) - A/,
Encuentre que / es 3-lineal alternada, como función de las columnas de Af. 63) Sea una aplicación / 2-lineal alternada sobre M i ( K ) . Pruebe que /(A f) = ( d e tA /) /( /) , VA/ 6 M i( K ) . De aquí deduzca, sin cálculos, que det(A/ N ) = det (A/) det(iV), cualesquiera que sean M , N e M ^ K ) .
64) Tome M 6 A /^ /í) . Demuestre que d e t(I + M ) = 1 + det A/ si, y sólo si, T r(A f) = 0.
j
65) Por definición, una m atriz M e M n( K ) es triangular cuando M t] = 0 si i > o cuando M y = 0 siempre que t < Compruebe que si M es triangular, det M = M u AÍ22 ■ · - M nn.
j.
66)
Considere M e Ma(C), y forme la nueva m atriz N — x l — M con elementos polinomiales tal que N t] = xJ ¡3 — Aíy. Si D = d e t(x / — M ), muestre que D es un polinomio monómico del tercer grado. Pruebe que si se pone D = (x —A i)(x —A2)(x —A3 ), con Ai, A2 , A3 e C, entonces Ai + A2 + A3 = T r(M ) y AiA2 A3 = det Ai.
WWW.
Á lg e b ra y análisis e x te rio r El presente capítulo es una continuación lógica del anterior. Su im portancia funda mental, tanto desde el punto de vista matem ático como del físico, ha sido comentada marginalmente al principio del capítulo 4, en lo que a los determinantes se refiere. La parte algebraica no presenta mayores dificultades y la relacionaremos estrecha mente con el concepto de determ inante y con la teoría generalizadora, unificadora y fecunda de la potencia exterior. E n cuanto a la parte analítica, su presentación es más delicada y apela a una buena dosis de abstracción y generalización; de allí que su aspecto sea más abstruso. Me refiero al largo paréntesis (véase la sección 5.7) con que se inicia el cálculo diferencial exterior. Este capítulo explora más a fondo las propiedades de las formas multilineales alternadas en su aspecto algebraico; mientras que el aspecto analítico se toca tan gencialmente. E stas dos facetas complementarias de la m atem ática (operaciones finitas, vale decir, algebraicas; e infinitas — infinitesimales— , es decir, analíticas) han hecho que el álgebra exterior y el anáfisis exterior constituyan en la actualidad dos disciplinas autónomas dignas de textos separados. El físico de hoy trab a ja con esta álgebra y este análisis exteriores (cálculo ex terior, en el sentido operativo; cálculo absoluto de C artan en el sentido intrínseco) aún si no se da cuenta, y desde el nivel más elemental: el de diferenciales e in tegrales rectilíneas, curvilíneas y de superficie. P ara que el físico disponga de una herram ienta flexible y operativa apropiada a sus necesidades prácticas, hemos hecho una presentación simple y pedagógica, dejando de lado mucho material que no es indispensable para la buena comprensión. Sin embargo, el estudiante debe repasar cuidadosamente la sección 5.7, donde encontrará dilucidadas las nociones de fun-
w
Yiwuummimummmm
186 /Álgebra multilineal
ción diferenciable y de diferencial de una función. E sta sección, que no está en el programa, es capital para aclarar el concepto, más general, de forma diferencial. Primero se definirá el producto exterior o producto cuña (wedge) entre formas lineales. Esto generaliza el producto vectorial usual. El resto del capítulo se dedica a una segunda aplicación (la prim era se vió en el capítulo anterior, al caso de los determinantes) de las formas multilineales alternadas. De nuevo encontramos una definición intrínseca de determinante. Si se introdu cen las diferenciales —las cuales son formas lineales— se enriquece la estructura del álgebra multilineal exteriores y aparecen las formas diferenciales exteriores, base del análisis exterior. En el caso más sencillo, una forma diferencial es equivalente a un campo vectorial, y en el caso general, es un campo de formas multilineales antisimétricas; en otras palabras, una forma diferencial será un campo tensorial totalm ente antisimético covariante. Las formas diferenciales, como aplicaciones, ge neran un cálculo exterior que es intrínseco y contiene, como caso particular, al análisis vectorial. Aquél, a su vez, es un caso particular del cálculo tensorial. En esta estructura exterior nos limitaremos a una simple introducción. Sobra decir que el álgebra y el análisis exteriores son teorías muy usadas en mecánica clásica, rela tivista y cuántica, term odinám ica y electromagnetismo. Además, son la base de la teoría cuántica de campos, de la electrodinám ica cuántica, y de las modernas teorías de gauge (o de calibre) en espacios fibrados. Desde 1924, C artan había logrado, sin tetizar las cuatro ecuaciones de Maxwell de forma intrínseca y absoluta en sólo dos ecuaciones. Se trata, a fin de cuentas, de generalizar la noción de diferencial y de realizar aproximaciones locales por objetos lineales gracias a una simbiosis entre el álgebra y el análisis.
5.1.
A n tisim etrizad or
Nos ocuparemos aquí, tanto en general como en detalle, de formas p-lineales alter nadas sobre nE y definiremos estructuras algebraicas y analíticas. Veremos cómo el análisis vectorial es un caso muy particular del análisis exterior. De paso recordemos que en los determinantes estudiamos el caso p = n. A hora tratarem os el caso p < n. Ya vimos que para construir una forma multilineal alternada se usan permu taciones con su signo. Así, si tenemos una forma p-lineal arbitraria sobre nE, se puede obtener una forma p-lineal alternada, notada / , de acuerdo con la siguiente definición: D efin ic ió n 1: Sea / una forma p-lineal sobre n E , entonces: £ (ir)f(x* (i)........ *»(?))·
E ” 3 ( x i , . . . ,x p) - - f ( x u . . . , x p) = neSp
Se dice que la forma p-lineal alternada / se deduce de la forma p-lineal / por antisimetrización. El operador > 1 = 2 c(tt) se llama antisim etrizador o alternador; de manera *6s p que el antisim etrizador es un promedio sobre las permutaciones. Además, se usa la notación / > - » / = A ( f ) — A f . E je rc ic io 1: Demuestre que A ( f + Ag) = A ( f ) + A.A(g) y que A (A (} )) = / . E je rc ic io 2: Calcule A f ( x , y ) , con / e Z/2 (R3) y ( x ,y ) £ R3x2. Sea ahora ( ¿ i,. . . , i p) una sucesión de p enteros diferentes (p $ n) que pueden tom ar los valores 1, 2, . . . , n. El símbolo ( 11 V | denota la permutación n que \ J a la sucesión ( ¿ i,. . . , í p) asocia la sucesión (rr(ii),. . . ,7r(ip)) = P ara dos sucesiones cualesquiera ( ¿ i , . .. , i p), ( ji, ■ ■ · , j p) de p enteros, definiremos el símbolo +1 -1 iPy-ip _ •i—*»
0
si se pasa de a ( ji. --.Jp) por permutación par. si se pasa de (» i,. - - , ip) a ( j i ........j p) por permutación impar. en cualquier otro caso, es decir, si una de las sucesiones tiene elementos repetidos o elementos diferentes de los del otro.
El producto o composición de permutaciones es, por definición,
E je rc ic io 3: 1) Demuestre que ¿¿".'.’l £k \ ' X = < ·. .* , · 2) Teniendo en cuenta que / \
ki- kp mi"-mq \ * * ■ ¿p
^p+i***^p+9 /
/
ji ··· jp
\k\···kp m r
\
-m ,
J
í j \ ” ’j P \ \ ^1 **‘ ^p l’p+ l"“ lp+q / y que = C
t -
(definición de S)
pruebe que
3) Verifique que
4) Com pruebe que A f ( Xj> , . . . , x Jr) =
^
* j t " X /(**» · · · · >**,)·
E je rc ic io 4: Estudie el tensor de Levi-Civita séntelo como una m atriz cúbica.
totalm ente antisimétrico. Repre
N o ta : En las sum atorias los índices ij , . . i p van de 1 a n.
5.2.
P r o d u c to exterior de form as lineales
Sea el conjunto / i, f-¡, . . . , f p de p formas lineales sobre nE (1-lineales); la apli cación de E p en K: (X l , . . . , i p) — f ( x i , . . . , x p) = f i ( x i ) · · · f p(xp) es una forma p-lineal. La forma p-lineal alternada deducida de / por antisim etrización, se llama el producto exterior de las p formas f \ , / 2 , . . . , f p, y se nota / 1 a / 2 a . . . a /p: £ , p 3(/l,...,/p) ~
/, A
/2
A· ·· A/ p.
D efin ic ió n 2: Por definición, el producto exterior es una ley de composición tal que (ijX p ) ♦—» (/i A ·· · A f p ) { x 1 1 . . . , X p )
*eSp
El producto exterior de formas lineales es, pues, una forma multilineal alternada. E je m p lo : El producto exterior de las dos formas í i y Í antisim étrica: ( Íia Í jK ii.ij)
2
es una forma bilineal
=
í'i( a :i) í'2 ( i2 ) - ^ 1 ( 1 2 ) ^ 2 ( 1 1 ) =
=
d et['& i(zi),'& 2(z3)]·
'I'i(xi) ’M x i )
<&i(*a) ^ 2 ( 3:2 )
En este ejemplo se ve que el producto exterior está íntim am ente em parenta do con la teoría de los determ inantes, lo cual no debe sorprender puesto que un determ inante de orden 2 es una forma bilineal antisim étrica. De allí que resulten las siguientes propiedades generales: P ro p o s ic ió n 1: Sean, sobre n E , las formas lineales f \ , f i , 1)
Si dos de las /¡ son iguales, entonces f \
2) Si n e S p, entonces f„(¡)
a
-·
·
3) La aplicación ( / i , . . . , /„ ) ·-* f \
a
···
a
/ , ( p) = e(ir)fi
a
a
···
a
/p = a
···
, /p 6 E*. A?=i
a
/« = 0-
f p.
f p de ( E ' ) p en A p(n E) es p-lineal.
E je rc ic io : D em ostrar esta aserción. N o ta : El ejemplo y la proposición anteriores tienen amplias aplicaciones en la teoría de las partículas. En mecánica cuántica a las '1' ¡ se les llama las funciones de onda o de estado y las Xj se llaman partículas idénticas; el determ inante que resulta (en el ejemplo, es de orden 2) se llam a determ inante de Slater, el antisim etrizador se llam a intercam biador y el contenido físico se llam a principio de exclusión de Pauli.
5.3.
P r o d u c to exterior y d eterm in a n tes
La siguiente proposición establece el puente teórico entre el producto exterior y los determ inantes, de m anera que la teoría de determ inantes es un caso particular de la teoría del álgebra exterior. P ro p o s ic ió n 2: Sean ( e i , . . . , e n) una base de E , (el , . . . , e n) la base dual de E * , e ¿i, . . . , ip enteros comprendidos entre 1 y n; sean además, f = e‘‘ a ··· a e'r una forma p-lineal antisimétrica construida antisimetrizando p covectores de la base dual y, finalmente, los p vectores de E: xl = X2 =
x{ei + · ·■ · + x"en x \ e \ + · · • + x£en
= x i ‘e¡, = xifei,
=
x},ei + · ■· + x pe„
= i p e ip
Xp
Entonces:
lint
190 /Algebra multilineal
1)
/(Ii,...,xp )
=
(e*1 A ··· A
e'r ) ( x 1 ■ ■ ■ x p) =
— det (en)(X |,.. ■ , x p). 2) Supongamos que ¿i < · · · < ip (orden estricto creciente) y sean también, j i < · · · < j p, p enteros comprendidos entre 1 y n. Entonces (e"
a
- A í i»)(íjll...1eJf)
= 0.
3) Si i \ , . . . , i p y j i , . . . , j p son enteros en las condiciones del numeral anterior, y además, i¡ = j i , i 2 = j ¡ , . . . , i p = j p, entonces: 0
1
(e*1 a · · · A « i» ) ( e ¡ „ . . . , e ¡ J =
4)
=1
En síntesis (e‘> a ·· ■ a e1’)(«,·,.... e, ) = 5 *'
\
” J"
1 ‘r ’
» J«(i) <5' J«(j)
D em o stra ció n : Del numeral 1 por la definición de (base dual) se tiene f [ x i , . . . , x p)
= =
-
(e'1 a · · ·
2
neSp
dct
a
· · ■S V
],(P) .
a
y las formas coordenadas e‘
e‘' ) ( x ¡ , . . . , x p)
e("’)c<1(*ir(i)) ei í (x»(2) ) - - . c i» (x ,(p))
e (* )K \l) " ’ X n(p)
j( x i, . . . , Xp).
~
El numeral 4 contiene a 2) y 3), y su demostración es ( e *' * · · ' * e ' r ) ( e i i , ■ ■ ■ , « * , ) 2 e 0 0
(e*1|c>„0 )> · · ■ <«*'!«>.<„)
Si uno de los índices j \ , j p no pertenece a { i j ,. . . , ip}, todos los términos de esta sum a son nulos, por consiguiente / ( e 3, , . . . ,e lp) = 0. Supongamos ahora que j u · · · · íp pertenezcan a { ¿ i , . . . , i p}, si tenemos ¿i < i? < · · · < ip y j \ < j i < · · · < jp, entonces forzosamente es la misma ordenación creciente y »i = j \ , . . . , ip = j p ¡ Por consiguiente en la sum a precedente al único término no nulo corres ponde n — e = Id = identidad, y este término es igual a uno. a Con esta proposición queda demostrado que al lado de la teoría de los determi nantes, como funciones multilineales alternadas, existe o tra teoría paralela rigurosa y legítima, pero elaborada con base en el producto exterior.
5.4.
B ases de A p (nE)
*: El conjunto de las formas p-lineales alternadas sobre nE se nota Ap(n E ) = L °(E ) y forma un espacio vectorial (A p(nE ), + , A·). Con la operación a a ese espacio se le puede dar estructura de álgebra, que detallaremos más adelante. El álgebra exterior es el conjunto de las formas multilineales con la suma, produc to por un escalar y producto exterior. Construyamos las bases del espacio vectorial A P(„E) y calculemos su dimensión. T e o r e m a 1: Sean (e,) una base de nE y (e') la base dual de nE * . Entonces los productos exteriores e*1 a · · · a ex* (los índices i i, . . . , tp toman todos los valores 1 , 2 , · . . , n, tales que ¿i < - · · < i p), forman una base del espacio vectorial A p(nE) de las formas p-lineales alternadas sobre E. D e m o s tra c ió n : 1) Probemos la independencia lineal de esos productos exteriores. Partim os de la igualdad Y A¿,i,...ipe'' a · · · a e'- = 0, «!<■· <¿, donde los A¡,¿2. son escalares con multi-índices i¡, . . . , ip. Mostremos que todos estos escalares son cero: para toda sucesión estrictamente creciente ( Íl. · · ■ . jp) de enteros comprendidos entre 1 y n se tendrá por la proposición 2, numeral 4,
^ •i<—
(e 1 A ‘ ‘ ‘ A e p)(Bj 1 , . . . , ejp) — Aj,
—O
).
2) Probemos que los productos exteriores son generadores, es decir, que to da forma p-iineal alternada sobre E es combinación lineal de las e1' a · · · a e La m atriz de / la notaremos así: / ( e ¡ , , . . . , e ^ ) = i, 6 K . Probemos que /=
2
/i,...) / A - A tV
»1 < — < t p
Sean x i, xp p vectores de E , hay que probar que los dos miembros de la fórmula precedente tom an los mismos valores para x i, xp. Pero no olvidemos que ambos son formas p-lineales; basta hacer la demostración cuando i i , xp son ciertos vectores de la base ( e i , . . . , e n). Finalmente, como los dos miembros son formas alternadas, es suficiente hacer la demos tración sólo cuando Xi = e^,, xp = ejp, con j i < · · · < j p. A hora bien, f ( e j l , . . . , e j p) = fj,...jp por definición de las componentes o m atriz fj,...jp', y finalmente
•l<""<*P C orolario 1: Toda forma p-lineal alternada f de A p(nE ) se escribe de manera única como combinación lineal de la base (e1· a · · ■ a e'») así: f~
2
/ i , V , A '" A e '» l
donde los elementos de la matriz fi,.. lp son los componentes o coordenadas de f en esa base. C orolario 2: Sea E un espacio vectorial de dimensión n. 1)
S i p = 1 ,2 ,. . . ,n , entonces el espacio vectorial A p(nE ) de las formas p-lineales alternadas sobre E es de dimensión C¡¡ = n! [p!(n —p)!]_ l .
2)
Si p > n entonces A p(nE ) = {0}.
r*V
dibnario.net
Álgebra y análisis exterior / 193
D e m o s tra c ió n : Si p ^ n, entonces el número de sucesiones estrictamente crecientes < . .. < ip en { 1 ,. . ., n} es igual al número de subconjuntos de {1 ,. . . , n} con p esto y el teorema 1 , que asegura que e‘‘
elementos, es decir C%
a
···a
e*'
es una base, implican 1 ). Si p > n, p vectores de E son siempre linealmente dependientes, de lo cual se tiene 2 ); además, al menos dos vectores de la base serían iguales, ya que al menos dos de los índices ¿i, . . . , ip 6 { 1 ,. .. , n} serían iguales y e** a · · · a e‘>· = 0 . # C o ro la rio 3: E n particular, n = p implica que dim A n (nE) = C ” = 1 y su base está formada por el elemento único no nulo e l a e 2 a . . . a en , que es una forma n-lineal alternada y es la base; justamente, la base es (det) = e 1 a e 2 a . . . a e", y toda otra form a multilineal alternada sería proporcional a ella. El valor de la forma e 1 a ■ · · a en para n vectores cualesquiera será exactamente (el
a
···
a
en)(x , , ei 1 ,x 2, eil>. .. ,z ñ " e ij
= det(x)).
E je m p lo : Sean d i m £ = 5, ( e i , . . . , e s ) una base de 5 E y (e 1 , . . . , e5) la base de 5 E * . Estudiemos el espacio vectorial de formas trilineales alternadas sobre E; dim A i ( s E ) = 10. Busquemos todas las formas que constituyen la base de dim A 3 {aE), la cual está formada por los elementos (formas trilineales):
El valor de una forma 3-lineal alternada / , para tres vectores arbitrarios A‘e¡, p'e¿, i/‘e¿ i = 1 , 2 , . . . , 5 , será / ( V e 1 H--------- h A s e 5 ,
f i l e 1 H--------1- p 5es, i / l e¡ H---------- l· v ses) =
A1 5 123 ly1
A2 M2 !/2
A3 M3 I/3
A1
A2
V1
M2 I/2
+ /1 2 4
A4 M4 í/4
+ · • + /3 4 5
A3 M3 í/3
A4
A5 A1*
1/4
I/5
E je rc ic io : Detalle rigurosamente el desarrollo y solución de este ejemplo.
5.5.
P r o d u c to exterior de formas m ultilineales alternadas
Sean / y g formas p-lineales y q-lineales alternadas, respectivamente, sobre E: f € Ap(nE ), g 6 A q(n E). También se dice que son de grado p y q, respectivamente. Se tr a ta de multiplicarlas exteriormente; para ello habrá que definir una forma (p + q)lineal alternada sobre E , que llamaremos provisionalmente f Kg e A p+q(nE). S p+q
denotará el grupo simétrico de permutaciones de ( 1 ,2 ,... ,p-t-g} objetos, o números enteros. También consideremos el conjunto A de elementos ir de Sp+q tales que 7r(l) < tt{2) < · · · < :r(p),
7r(p
+ 1) < 7r(p + 2) < · · · < 7r(p -t- q).
D efinición 3: Con la notación introducida arriba, la operación Á entre / y g, ( f < 9 ) *-* / Ág; que es una aplicación de E p+q en K se define por la fórmula (xx, . . . , Xp+q)
(/Á g )(x i,. . ., Xp+q) — Y , £ [x )f (x n(l)i ■ · · i x w(p))9Íx *(p+l)i · · ■ i x *(p+q))· ireA
Según la construcción, es evidente que / Ág depende linealmente de x i, . . . , Xp+q, por ende /Ág es una forma (p + g)-lineal. Más tarde veremos que es, además, alternada. E je m p lo 1: 1) Si p = 0, entonces / es un escalar A y /Á g = Ag. 2) Si g es un escalar /j, entonces /Á g = n f . E je m p lo 2: Si / y g son formas bilineales antisimétricas tenemos (/Á g)(xi, 1 2 , 1 3 , 1 4 ) =
f ( xl, xl)9(x3
Entonces / Ág es 4-lineal (tetralineal) y alternada. E jercicio 1: Si / , / 1 ,/2 e ¿,>(n£) y g ,g i,g 2 e A,(r>£) y X e K . Verifique que 1) (/i + / 2 )Ág = /iÁ g + / 2Ág; 2) /Á (g 1 + g2) = /Ág! + /Á g2; 3) (A/)Ág = A(/Ág); 4) /Á(Ag) = A(/Ág). Una propiedad importante, base de numerosas demostraciones, aparece en el si guiente lema: L em a: Sean / 1, . . · , / p, / p+i, · ·., f P+q (p +
D e m o s tra c ió n : Sp+q contiene los subgrupos S p y S q; el primero está formado por las permutaciones que intercambian los enteros 1, 2, p entre sí y dejan fijos a p + 1 , . . . , p+q\ y la permutaciones del subgrupo 5 , hacen lo contrario: intercambian p + 1, . . . , p + q pero dejan fijos a 1, 2, . . . , p. De esto resulta que todo elemento S p+q se escribe de m anera única bajo la forma mr'n" con ir' e S p, it" e S q y n e A. Consideremos ahora x j, X2 , . . . , x p+q 6 E. Tenemos ( f i a · · · a / p + , ) ( x i , . . . , x P+ q)
=
^
c(7T7r 7T )fl{ X n n ,n,,(\)) ' **fp+q{x ir*,Tr"(p+
7r6i4I7T/6«Sp,TT"€*S9 · *·f p ( x « n ’( p ) )
E
JT€y4,ir/€*Sp,ir"€*S, x /p+l(xw7r"(p+l)) ** *f p + q { X K n " ( p + q ) )
■^7TJT'(i)) · · / ? ( * irw'(p)) ir'6 5 ,,
E
» "6 5,
e(7r )/p+l(x »>r"(p+l)) ‘'‘f p + q i x * * " { p + q ))
}·
Lo último resulta después de haber reagrupado términos. Finalmente con las defi niciones 3 y 4 y el hecho de que ir, ir1 y 7r" conmutan, se llega a la igualdad
(A>)
(* i .
2
=
(Z »(l)>· ·■ >X *(p)) (A j=p+l/.7') (x ir{p+l)i ···, x * ( p + q ) )
neA
=
Á ( a £ ¡ ¡ + 1/ 3) ( x l , . . . , x p+, ) .
#
Ahora examinaremos la antisim etría asociada al producto Á. Tomemos / e i4p(n£ ) y g e A ,(„£■). El teorema 1 nos autoriza a escribir, con . . . , g3, g ', g", . . . , formas lineales sobre E , la siguiente combinación, por ejemplo, /
=
/ l A · · · A /p + /{ A · · · A / ' + f " A · · · A / * + · · ·
g
=
Pi
a
··-
a
gq + g[
a
···
a
g'q + g"
a
···
a
p" + - ■ ·
Según el ejercicio 1 precedente, f k g es una sum a de térm inos de la forma ( / i a · · · a fp) Á(Si A · · · a g9) y cada uno de ellos es una forma (p +
P r o p o s ic ió n 3: Sean f una forma p-lineal alternada y g una forma q-lineal alter nada sobre E . Entonces f / \ g es una form a (p + q)-lineal alternada sobre E. Esto nos asegura que la operación a es una ley de composición interna en el conjunto de todas las formas multilineales antisim étricas sobre E , de manera que si / , g, h, k son formas multilineales alternadas sobre E tenemos la siguiente definición: D e fin ic ió n 4: /Á p Á /i = /Á (p Á /i), f Á g / \ h / \ k = /Á [pÁ(/iÁ/c)]. La definición anterior se extiende de manera natural a un número cualquiera de formas. En general, si f i , . . . , f p son formas lineales sobre E, un razonamiento por inducción sobre p nosda: si p = 1 es el caso trivial. Supongamos que para p — 1 tenemos la validez de f \ a / 2 Á · · · á / p_ 1 = f \ a · ■· a / p_ 1 . E ntonces, por la definición 4, por inducción y el lema 1 tenemos: /iÁ ---Á /p
=
/ i Á ( / 2Á · · ■ Á /p)
=
/ i Á ( / 2 a · · · a f p)
=
/ l A / 2 A · · · A f p.
E ste desarrollo se enuncia así: P r o p o s ic ió n 4: Si f \ , . . . , f p son formas lineales sobre E , entonces /1
Á /2 A ■ · · Á/p =
/1
A/2A
A fp.
E sta proposición nos faculta para abandonar el símbolo Áen beneficio exclusivo del símbolo a , sin el mínimo riesgo y para hablar en los dos casos del “producto exterior” . E n general tenemos el siguiente enunciado: P r o p o s ic ió n 5: Si para i = 1 ,2 ,. . . , r , g¡ son formas pi-lineales alternadas sobre E , entonces g\ a p2 a · · · a gr es una form a (pi + p 2H---- p r)-lineal alternada sobre E, llamada, por definición, producto exterior de g i , . . . , g r , el cual depende linealmente de cada g¡. C o r o la rio 4: El producto de una form a por un escalar (forma 0-lineal) es un caso particular del producto exterior: A a / = A /. C o r o la rio 5: Si p\ = p 2 = · · · = pr = 1 , entonces recuperamos el enunciado preli minar, particular y simplificado de la definición 3. Si / 1 , f i , · · · ; Si, 5 2 , h i, h2, ...s o n elementos de E * , por el teorema 1 se puede suponer que tres formas multilineales alternadas cualesquiera / , g, h se
e s c r ib e n así:
f
fi a
=
··· a
f p, p — g i a
··· a
gq, h
=
h\ a
··· a
hT.
E n ton ces,
a p lic a n d o d o s v e c e s el l e m a 1 s e t ie n e
/ a p a /1
=
( a ?=1/¿) a [ ( a J . , ^ · ) a ( a Í _ , / i*)]
=
(A U U ) A ( a ] =iSj A A ¡mlhk) f \ A ■ · · A fp A gi A · · · A gq A h\ A · · · A hr.
= Si t r a t a m o s a ( / a
g) a h c o n
el m i s m o p r o c e d i m ie n t o se lle g a al m i s m o re s u lta d o ;
d e a q u í el e n u n c i a d o s o b r e la a s o c i a t i v id a d d el p r o d u c t o exterior:
P r o p o s ic ió n 6: Si f , g, h son formas multilinecdes alternadas sobre E, entonces
f a (g a h) = ( / a g) a h = / a j a / i . E l n iv e l d e g e n e r a liz a c ió n al q u e h e m o s lle g a d o — g r a c ia s a las p r o p o s ic io n e s 4, 6 y a la p r o p o s ic ió n - d e fin ic ió n 5, a s í c o m o a lo s c o r o la r io s 4 y 5 — p e r m ite j u s t a m e n t e q u e e s t o s e n u n c ia d o s f a c ilit e n a b s o r b e r a la s a s e r c io n e s c o n t e n i d a s e n el le m a 1 , en la s p r o p o s ic io n e s 3 y 4, la d e f in ic ió n 5 y e n el e jercicio 1 d e la se c c ió n 5.5; e s t e ú ltim o c o n j u n t o d e p r o p ie d a d e s s e p u e d e c o n sid e r a r , p u e s, c o m o s im p le lem a . D e s p u é s d e la a s o c i a t i v i d a d d e a , v e a m o s lo r e fe r e n te a la c o n m u t a t i v id a d d e c o n / 6 AP(E) y g e Aq(E). P o r el t e o r e m a 1 t e n e m o s q u e f = a ] =19j, c o n fi y g, e E *. E n t o n c e s / a j = ( a pi=lf¡) a ( a J = 1^ ) y g a / = ( A ’ _ i 9j) a ( a j / i ) y p o r la p r o p o s ic ió n 1 n u m e r a l 2 , g a / = e ( 7r ) / a <7, c o n 7r e S p+q d e fin id a por: / a j
9 =
a
7r(l)
=
p+1,
ir(
=
1,
ir(g) = p + q,
Tr ( 2 ) = p + 2
7r(g
+ 2) = 2
7r ( g + p ) = p .
j) t a l e s q u e 1 < t < j ¿í p + q y 7r(t) > n(j) s o n ^ i ^ q, q + 1l < j ^ q + p, e n t o n c e s el n ú m e r o d e in v e r s io n e s d e n e s pq, d e d o n d e e(tt) = ( —l ) p') . A s í, h e m o s d e m o s t r a d o la s ig u ie n t e
A d e m á s , c o m o la s p a r e ja s ( i , la s p a r e ja s (t, j) t a le s q u e 1 afirm a ció n :
P r o p o s ic ió n 7: Sean f y g dos formas lineales alternadas sobre E, de grado p y q
respectivamente; entonces f A p = ( - l) " p A /. ip a = 0. E s t a p r o p ie d a d n o se
N o t a : E n el c a s o d e f o r m a s lin e a le s t e n í a m o s g e n e r a l i z a si e jem p lo :
S e a n 4 E, ( e i , 6 2 , 6 3 , 6 4 ) y ( e 1 , e 2 , e 3 , e4). T o m e m o s t o n c e s , v? a
= 2 e ‘ a e2 a e3 a e 4
y, además, es base de A ^ E ) , espacio vectorial de formas 4-lineales alternadas so bre E. Sean dos espacios vectoriales E y F, u e L ( E , F ) , f e A p(F) y g e Aq(F). Ya vimos en la sección 2.4, ejercicio 4, la definición de / ' = u . / y g' = u , g , imágenes recíprocas de / y g, respectivamente. Se tiene la sigiente afirmación: P ro posición
8
: La imagen recípivca h de f a g por u es igual a / ' a g' .
D em ostración: Sea A c •Sp+q (ver el principio de la sección 5.5). P ara todo ( x i , . . . , x p+q) se tiene w ( x i ,...,x p+,)
=
( / A j ) [ t i ( x 1 ) , . . . , u ( x l,+,)]
=
£ « ( " ■ ) / [« (x » (l)).---,« (x ,r(p ))]
6
E p+q
xg [^(^ir(p+l))i · · · J^(^(p + g))] =
£
£(?r) / [z » (i)i· · · ^ » (p í] g [z it(p+i)>· · · >z *(p+í)]
neA
=
( / A 9 )(*^1 »· · · i ^p+g)·
Simplificando por ( i j , . . . , Xp+<,) tenemos u = u , ( / a j ) = ( ii,/) a ( u ,} ) = / ' a
9 /.
,
E jercicio 2: Sean nE real, }\, . . . , f p, p formas lineales independientes (p < n) y g i, . . . , gp p formas lineales tales que }\ a j i + - " + / p a j p = 0. Demuestre que para i = 1 , . . . ,p se tiene gt = £ " =1 A i j f , con Ay = Aji (Utilice el teorem a de la base incompleta). E jercicio 3: Consideremos una forma multilineal alternada w y r u n entero, ponga mos w r = uj a · · · a ui (r veces). 1) Se dice que una forma multilineal alternada a es divisible por la forma /3 si existe otra forma 7 tal que a = /3 a 7 . Demuestre que si la forma a es de grado impar o si ella es divisible por una forma de grado impar, su cuadrado es nulo (a a a = 0 ). 2) Calcule el cuadrado de la forma d x 1 3) Si p es un entero, calcule (0 4- a a es una forma de grado 1 .
a
7
a
dx 2
a
dx3
a
dx 4 de R4.
)p, donde 3 es una forma de grado par y
I Algebra y análisis exterior / 199
4) Sea, sobre K" a i , . . . , a „ n formas lineales independientes, y sea üj la forma bilineal antisim étrica üj = £ a,¡a, a a¡, donde las a¡j son constantes y los índices i , j tom an todos los valores de 1 a n. M uestre que se puede encontrar dos formas lineales 0 i y 0 2 tales que las n formas 0 \, 0 2 , » 3 , · · · , «n sean independientes y que ¿ j — 0 \ a 0 2 se exprese únicamente por medio de las formas a 2, a n. 5) Deduzca del resultado precedente que la forma ú puede escribirse así: <¡> = „ „ _ n n —1 . 01 a 02 4* 0s a P 4 ·+’ · · · + 02r—i A 02r con t ^ - , si n es par; r ^ —— si ti es im par. Calcule ü)r y <2ir+1.
5.6.
P o te n c ia exterior de un espacio vectorial
Recordemos que nE = nE " (ver la sección 1.13); esta identificación nos permite considerar los elementos de E como formas lineales sobre E * . Consideremos aho ra las formas p-lineales sobre E ' , ellas forman un espacio vectorial de dimensión n! [p\(n —p)!]-1 al que llamaremos la potencia exterior p-ésima de £ y denotaremos por APE. Si p > ti, entonces APE = {0}; si p = 7i entonces dim A "(n£ ) = 1. Además, A‘E = E y A° E = K . Los elementos del espacio APE se llaman p-vectores. Si p = 1 se llaman simplemente vectores, si p = 2 se llaman bivectores, si p = 3 trívectores, si p = 4 tetravectores o 4-vectores, etc. En general se llaman multivectores. Las siguientes propiedades de los multivectores se derivan simplemente trad u ciendo las propiedades de las forméis multilineales alternadas, que ahora llamaremos m u ltifo rm e alternadas: 1) El producto exterior de varios multivectores depende linealmente de cada uno. 2) Si x es un p-vector y y un q-vector entonces su producto exterior x (p + q)- vector y x a y = (—l ) p,j/ a x .
a
3) El producto exterior de p-vectores es asociativo: x
y)
a
(y
a
z
)
= (x
a
y es un
a z.
4) Sean x j, xm elementos de E. Si dos de ellos son iguales entonces x i • · · a x m = 0. 5) Sean ( x i , ... , x m) e
£ m ,entoncesx*^) a x i(2)a ·· -Ax„(m) =
e(7r)x! a
a
··-Axm.
6) Si ( e \ , . . . , en) es una base de n E, entonces los productos e<, a et, a · · · a e ^ , en los cuales imponemos 1 4 ¿i < i 2 < ■ ■· < ip í ti, forman una base del espacio de p-vectores APE. Si intercambiamos los papeles de E y E * , entonces podremos considerar la potencia exterior de E *, la cual será por definición, el espacio APE* cuyos elementos serán las llamadas formas multilineales sobre E, ya estudiadas y a las cuales tam bién podemos llamar ahora, multiformas.
f
i ;j D e fin ic ió n 5: Si ponemos A°(E) = A0 = K , A 1(E) = A 1 = E , AP(E) = Ap, etc., se llama álgebra exterior de E al espacio que resulta de la serie de sumas directas A = A° © A1 ® · · ■ © Ap ® · · - © An = ©"„ qAV El álgebra exterior de grado p de n E es Ap(nE ), y se le llama potencia p-ésima exterior de nE \ tiene por base a (e¿, a · ■ · a e ^ ) y su dimensión, para p = 1 , 2 , . . . , n, es C p. Si p > n, entonces Ap(nE ) = {0}. si ponemos A = A (n E ), su dimensión es: dim*: A = dim fc A(nE ) = £ p =0 C p = 2n . Los elementos de grado p de AP(E) son los p-vectores. Si hacemos la suma directa de todos los espacios AP(E) resulta el nuevo espacio A(E), el cual consiste de todas las (n + l)-adas (xo, Xi, ··., xn) donde la p-ésima componente x p es un elemento de AP(E)·, o tra notación sería A(E) = ®p=0 A p(E). A(E) tiene las operaciones + , A-, y a, y se llama álgebra graduada sobre K , es unitaria, asociativa y anticonm utativa. En esta álgebra A(E ), el producto exterior a es una ley interna que cumple x a x = 0 , si, y sólo si, x a y — — y a x; A(E) es generada por el elemento unidad 1 y por los vectores de E o elementos.de grado 1. Además, A(E) es un grupo aditivo abeliano, tiene producto por escalares de K y es un anillo para el producto exterior, por eso al cuadruplete (A(E), + , A·, a ) , se le llama álgebra. En A P(E) = AP(E) no se puede definir una operación interna a , ya que AP(E) estallaría, lo cual no sucede con A(E), donde la adición se define por (x 0 , x i , . . . , x n ) + (yo ,y \,---,V n ) = (Xo + Vo,x¡ + y ¡ , . .. ,x„ + y n ) y el producto
a
está definido por
( i 0, x t , . . . , i n) a (yo, Vi, ■ ■ ■, yn ) = (¿i , ■ · ■ , * « ) donde zp = £ p=0 Xi A y p_j. De la misma m anera se construye el álgebra graduada de nE*'· A(n£ * ) = A 0( £ * ) © A 1( £ * ) f f i - - - © A n(£ * ) = © £ =0AP(£ * ). Todo elemento de grado p de (E*) se llama una forma p-lineal alternada, de allí la palabra “graduada” . El cuadro sinóptico (página siguiente) resume la jerarquía y la sim etría de los papeles jugados por nE y nE *: N o t a 1 : Obsérvese que A4£ ^ M 4 , aquí los 4-vectores son muy diferentes de los 4-vectores de Minkowski, de Universos o de Lorentz. E je rc ic io 1: Demuestre que los vectores x i , . . . . x p de n E son linealmente inde pendientes cuando, y sólo cuando, X\ a · · · a x p ^ 0 .
f
E je rc ic io 2: Sean x \ , . . ., x p y j/i, . . . , yp elementos de E linealmente indepen dientes. Sean X y Y subespacios vectoriales generados por los y los y i, respecti vamente. Pruebe que entonces X — Y si, y sólo si, x \ a · · · a x p y yi a · · · a yp son proporcionales. Con el álgebra APE se pueden dem ostrar muchos teoremas, por ejemplo sobre el rango de una matriz, la resolución de sistemas lineales cualesquiera, sistemas de Cramer, etc. AÜE = K , A XE = E ,
escalares vectores
Au£ · = K , A‘£ * = K ,
A2E A3E A*E
bivectores trivectores tetravectores o 4-vectores
A2 E* A 3 E* A* E m
A PE
Álgebra exterior de E de grado p; p-vectores o tensores completa mente antisim étri cos contravariantes de rango p. = E A ·-· A E
ApE*
AnE
n-vectores o multivectores
AnE*
escalares covectores o formas lineales o formas 1-lineales formas biüneales antisimétricas formas trilineales alternadas formáis 4-lineales alternadas
Álgebra exterior de E* de grado p; formas p-lineales alternadas o tensores com pletam ente antisimétricos covarientes de rango p. Formas diferenciales exteriores de grado p •
<
< » KJ II
Formas n-lineales alternadas. Determinantes de orden n.
0
0
E je m p lo 1: Sea el siguiente sistem a de Cramer:
«ai1+ a\2x2+ -- l-aina:n = CÜ 21 S1 + OC2 2 X 2 +
· ·
·+
Ot2nXn
y1
=
OnlX1 + Oln 2 X2 + ' · '+ OtnnXn =
Vn
Sabemos que si el rango de la matriz ( a y ) es n, su determ inante es diferente do cero y existe una solución única cualquiera que sea y 1, . . . , y n. Consideremos en K n los vectores
=
( O n 1Ü 2 l , . . . , t t n l )
Í2
=
(<*12, <*22, . . . , a n 2 )
Xn
—
(<*ln, <*2n, · · · , <*nn)
"v =
(yl ,y2,-.-,vn)·
Entonces, el sistem a de C ram er inicial es equivalente a la siguiente ecuación vectorial x 'x i + x2x2 H------- 1- x nx n = VP ara resolver el sistema, es decir, despejar las x’, se procede así: consideremos el producto exterior siguiente X¿ A ... A X¡_1 A -y\ X i+1 A ... A X n — X \ A ... A Xj_l A
(x lxi
H----- 1- X n X „ ) A Xi+l A .. . A X n
= x'll A X 2 A ··· A X n .
En K n tenemos la base c a n 'a ic a (e,) y en An( K n) tenemos la base única for m ada por un solo multivector S \ a e2 a . . . a en . La últim a igualdad vectorial se traduce, tom ando las com ponentes de los dos miembros sobre la base, en x* A = A ’, donde A es el determ inante de la m atriz a y y A 1 es el determ inante de ( a y ) en el cual se ha reemplazado la t-ésim a colum na por las com ponentes y 1, . . . , y n del vector y. De donde se obtiene la conocida f'em ula de C ram er x ‘ = A 1 · A - 1 . E je rc ic io 3: Desarrolle (ver los ejercicios anteriores) todos los pasos, cálculos y simplificaciones anteriores y justificarlos rigurosam ente hasta obtener efectivamente la f'om ula de Cramer. Examinemos ahora la dualidad en el 'fcgebra exterior. Se puede dem ostrar que existe un isomorfismo entre los dos espacios (APE)* y Ap(£ * ); para ello se tom a un elemento / de (AVE ) * , es decir, una forma lineal sobre KPE y se pone por d efin id 'a / ' ( x i , . . . ,x p) = /(i! a . . . a x p), donde x i, . . . , x p € E , y Xi a ··· a x p e APE. Se prueba que / ' es una forma multilineal alternada, por consiguiente / ' e AP(E*) y / e (KPE ) * . Se ha definido así una aplicación lineal isom 'ofica de (Ap£ )* en i\p( E *) que transform ar'abases del primer espacio en bases del segundo. Gracias a este isomorfismo ip, se identificarán de ahora en adelante los espacios AP(E*) y (APE)* y sólo usaremos la n o ta c i'n Ap£ * . De m anera que una forma lineal sobre APE será tam bién una forma p-lineal sobre E y recíprocam ente.
L a s b a se s (e*, a · · · a e ^ ) d e A PE y ( e ‘l a · · ■ a e 1' ) d e A PE* s o n e n t o n c e s d u a le s la u n a d e la o tr a . d e A PE y un e le m e n t o 'P d e
E j e m p l o 2: Si a h o r a c o n s i d e r a m o s u n e le m e n t o A PE* s e p o d r á escrib ir c o n la a y u d a d e la d u a lid a d ,
xp e E y y * , . . . , y * 6 E* el s ig u ie n t e p r o d u c to K d e fin id o por
F in a l m e n t e , t e n d r e m o s p a r a x i , . . . , e s c a la r A P(E*) x A P(E) —*
(xi a ··· A X p |y * ! a ··■ a y * p)
=
(y*,
=
( » * , A · · · A y * p)(X ! A · · · A X p )
=
£
a
···
a
y % |x i
a
···
a
x p)
e ( * ’) » * ( x « ( i ) ) y 2 ( ® t r ( a ) ) " - y ; ( x W(P))
*65,
=
( * i|y * )
( * i|y 2 ) · · ·
( z i|y ;>
(x 2 ¡y ? )
(x a jy j) · · ·
( z 2 ¡y ;)
(^ p ly í)
(z p |y 2*) · · ·
( ^ p ly ^ )
d e t (y 4* | x 3) = d e t y ? ( x , ) .
C o m o s e v e, e s t e p r o d u c t o e s c a la r e n A P{E*) y A P{E) e s u n p r o d u c to t e n so r ia l a n t is im e tr iz a d o , el c u a l d a u n d e t e r m in a n t e . E l p r o d u c to te n so r ia l se h a c e en tr e lo s t e n s o r e s
X\ a · · · a x p y y * a · · · a y * . E n m e c á n ic a c u á n t ic a d e v a r io s e le c t r o
n es, e s t o c o r r e s p o n d e al d e t e r m in a n t e d e S la te r , e l c u a l g e n e r a liz a el e j e m p lo d e la s e c c ió n 5 .2 . S e d ic e q u e la f u n c ió n d e o n d a d e v a rio s e le c t r o n e s in d e p e n d ie n t e s se o b t i e n e a n tis im e tr iz a n d o e l p r o d u c t o d e la s f u n c io n e s d e o n d a in d iv id u a le s . N o t a 2 : A r r e g lo s c o m o é s t o s (m a t r ic e s ) s o n c o r r ie n te s e n m e c á n ic a c u á n t i c a p a ra d e n o t a r la o r t o n o r m a lid a d d e e s t a d o s d e s i s t e m a s o p a r a c a lc u la r e l e m e n t o s d e m a tr iz . L a s á lg e b r a s g r a d u a d a s s o n a m p lia m e n t e u tiliz a d a s e n m e c á n ic a c u á n t i c a a v a n z a d a ( s e g u n d a c u a n t i z a c i ó n ) , t e o r ía d e la s p a r t íc u la s e le m e n ta le s y e n t e o r ía d e c a m p o s c u á n t ic o s r e la t iv is t a s . E j e r c i c i o 4: D e m u e s t r e q u e d i m / f
5.7.
A(nE) = 2".
C álculo diferencial exterior. G eneralidades
E n e s t a s e c c ió n y la s ig u ie n t e n o s lim it a r e m o s a d efin ir a lg u n a s n o c io n e s f u n d a m e n t a l e s y e s b o z a r , s in d e m o s t r a c i ó n , a lg u n a s p r o p ie d a d e s s o b r e la s fo rm a s d ife r e n c ia le s
y la derivada exterior. Esto es el comienzo del llamado cálculo o análisis exterior, que contiene, además, los procesos generalizados de integración y desemboca felizmente en el famoso teorema de Stokes o fórmula fundamental del cálculo. La profundización de estas secciones se dejará para otros cursos y seminarios de especialización. El concepto de diferencial es más difícil de definir, asimilar e interpretar que el de derivada parcial; a pesar de eso, la diferencial es más natural de concebir y proporciona fórmulas más cómodas. Por esta razón en la sección 1.9, dimos unos ejemplos (6 y 15) tendientes a preparar el terreno. Prim ero nos situaremos en R, luego en R3 y Rn , y finalmente en espacios vectoriales cualesquiera E y F. La idea esencial de diferenciación es hacer una aproximación local, gracias a objetos lineales (en general afines). De allí la im portancia del álgebra lineal y multilineal en el dominio del análisis matemático. E n el caso de un espacio E, el estudio de una aplicación / no lineal sobre él, es, en general, difícil de abordar. El objetivo de la teoría de las diferenciales es, precisamente, reemplazar una aplicación no lineal / por una aplicación lineal l que posea propiedades muy vecinas a las de / , lo que perm itirá sustituir el estudio local de / por el de l, más fácil y directo. Prim ero veamos un repaso detallado de la definición exacta del concepto de di ferencial de una función, que complementa los ejemplos 6 y 15 de la sección 1.9, y a la vez desmistifica la “definición” que dice que la diferencial dx de x es una “cantidad infinitamente pequeña” y fija, que se distingue de A x porque ésta última es (tam bién un incremento pequeño) variable y tiende a cero. E sta definición de diferencial es confusa, oscura, metafísica y casi no dice nada.... Por causa de esos “infinitésimos” , o “d x " , el cálculo diferencial tuvo en su comienzo a muchos reti centes y contradictores célebres como Berkeley: .. las derivadas son fantasmas de cantidades desaparecidas.. . ” , decía. Hoy están felizmente dilucidadas en el análisis matem ático gracias a Cauchy, Fréchet y G ateau. En el moderno análisis no-estándar todo queda afortunada y definitivamente aclarado. Lo que sigue es un repaso, una digresión (hasta la definición 15 excluida) y no forma parte del curso.
5.7.1.
Caso 1
D e fin ic ió n 6: Consideramos una función / real de una variable real, / : R —* R, definida en una vecindad V ( x q ) de x q . Se dice que / es diferenciable en x q si en V (x0) / puede ser aproxim ada por una función afín. Más exactamente, / es diferenciable en xo si existe un intervalo ]xo —a ,x o + a [ ( a > 0) tal que p ara todo x = xo + /i, de ese intervalo, podamos escribir / ( x 0 + h ) = f (x0) + / '( x o)h + Exo(h.)hl donde /'(x o ) es un número real único independiente de x y lím £Xo{h) = 0. h— *0
D e fin ic ió n 7: La derivada de / en xo es el número / '( x o). También podemos decir que / es diferenciable en xo cuando, y sólo cuando, Ve > O, 3rj > O tal que p ara todo h que verifica |/i| < r\ se tenga |/( x o + h) - / ( x 0) - f \ x 0 )h\ < e|/i|. D e fin ic ió n 8: Se llama diferencial de la función / en el punto Xo a la función lineal (forma lineal) y continua, de R en R, h ►-* f'(x o )h . La diferencial se nota df l 0 o d f( x o), de m anera que h ~
dfX0 (h) = /'(x o )/..
Así, pues, la diferencial de / en xo, dfzo, es una forma lineal continua real de variable real: dfZo : R -* R, la cual asocia a un número real otro real. Tenemos la notación estándar: / ( x o + h) = / ( x 0) + dfXo(h) + exo[h)h. Decir que la función / es diferenciable en Xo es equivalente a decir que la función h [ /( x o + h) — /(x o )] h ~ l tiene un límite en el punto h = O, y este límite es pre cisamente la derivada /'(x o ) de / en xo- E n este caso de / : R —» R hay equivalencia total entre diferenciabilidad y existencia de la derivada en un punto. Nótese que la función dfXo es un símbolo único, un todo, y no tres cosas.
5.7.2.
Caso 2
D e fin ic ió n 9: Ahora definamos la diferencial para / : Rn —► R, definida sobre una vecindad V (x ) de x = ( x i , . . . , xn ). Sea h = (A j,. . . , hn) e Rn ; x + h e V'(x). La función / es diferenciable en el punto x si, y solamente si, existe una única forma lineal y continua de R" en R para x fijo, h t-> dfx(h), y una aplicación h. —♦ ex(li) de Rn en R que verifica límh_.o ex (h) = O, tal que podamos escribir / ( x + h) = f ( x ) + dfz (h) + £*(/i)||/ifl. Si / es una aplicación de Rn en R, diferenciable en x e R", entonces se llama diferencial de / en x a la forma lineal continua de R n en R h = ( h l ........hn) ~ d f x ( h ) = d f{ x ) ( h ) . Así, pues, la diferencial dfx asocia a un vector h e R" un número real; es por tanto, una función escalar de variable vectorial. dfx es un símbolo único. Si referimos R" a la base canónica (ei), y escribimos dfx (e,) = otí(x) 6 R, enton ces <¿/i(/i) = dfx (h l , . hn) = dfx (h'e{) = h 'd fx(ei) = h 'a ^ x ) . De manera que si / es diferenciable en x e Rn se tiene / ( x + /i) = f ( x ) + Y Jh 'a i( x ) + £ x (h)\\xl
se tienen n funciones coordenadas (proyecciones) fi tales que /; (x) — x', la difeicial de estas funciones es la forma lineal que a h asocia dfix (h) = h'. Por abuso notación (como en el caso R — >R) se nota a la diferencial de /¡ con dx¡; de maa que d x ¡ es la forma lineal de Rn en R tal que h — ( h l , . . . , hn ) >-» dx¡(/i) = hl . evamente dx, es un símbolo único, no dos cosas. am pio: La función identidad I d : R —► 1 , x >-► Id(x) = x, es diferenciable. ercicio: Demuestre la afirmación anterior. Halle la diferencial de I d : d l d x , lánto vale? >ta 1: La m atriz fila ( a i ( x ) . .. a n (x)), la cual es exactam ente un campo matricial, á formada por las componentes del tensor dfx con respecto a la base (e¡). El or del campo tensorial dfx para el vector h es, pues, dfx (h) = /i'a¡(x ) (véanse las ciones 1.8 y 1.9). Tomemos la función “x ” : R —* R como la identidad, x >->“x ” (x) = x. Entonces ;ún el ejercicio anterior tenemos, d “x ”= I d = “x ” . La base canónica .de R es = 1, la base dual de R* es d “x ”, que llamaremos simplemente d x 1 : (d x ^ e i) = l (ei) = e\ = 1. Lo mismo se hace para las formas coordenadas dy - dx2 y = dx3. Con la anterior simbología se tiene la notación práctica p ara la función diferencial n dfx = ^ &i(x)dx,, i= 1 u valor p aja h = (/i1, . . . , hn) es n
h
» dfx (h) = ^ cci(x)dx i (h) = /i‘a¡(x). i=l
n esto se dem uestra que toda diferencial (forma lineal) es una combinación lineal las dx1; es decir, que (dx1, . . . , dxn) generan a dfx . Como las (dx') son linealmente lependientes, forman una base. Toda función de Rn en R diferenciable en un punto x = (x 1, . . . , xn ) tiene en este nto derivadas parciales con respecto a las diferentes variables x ' (i = l , 2 , . . . , n ) : A /(x ) = ^ )r consiguiente
=
a
i (x).
Si ponemos n = 3 tendremos la siguiente expresión, ya encontrada en la sección 1.9, ejemplo 15: d f { x , y , z ) = /í ( x , y, z)dx + f'y( x , y , z ) d y + f'z ( x , y , z ) d z . N o ta 2: Teniendo en cuenta lo dicho en la nota anterior, vemos que matricial fila
elcampo
) está formado por las componentes del tensor dfx
con respecto a la base dual (d x l ). P ara n = 3, la m atriz ( / ' / ' / ' ) contiene las componentes de dfx .
5.7.3.
Caso 3
D efin ic ió n 10: En el caso general se dice que / : Rn —* Rp es diferenciable en el punto x e R " si existe una aplicación lineal continua, notada dfx o df(x) de Rn en Rp, tal que f ( x + h) = /( x ) + dfx {h) + £x(/i)||/i||, en donde, para x fijo, la aplicación h >-* ex (h) es una función de R n en Rp que cumple lím/,_,o £x(h) = 0. La función dfx asocia a h, un vector de Rp; la diferencial es, desde luego, una función vectorial de variable vectorial. La igualdad en la definición precendente de diferenciabilidad serealiza entre vectores de Rp y es equivalente a las siguientes p igualdades numéricas entre com ponentes: ( /( x + h)Y = ( f ( x ) Y + (dfx (h)Y + (ex (h)Y |/ i |
¿ = 1 , 2 ,. .. ,p.
En forma vectorial tendremos h = ( h \ . . . , hn) — df'x (h) = X ¡ a j ( x ) y . Con las representaciones matriciales
h =
n: W
> dfx =
( df*\ = > )-i h dfx —(h)
= a(x)h,-
W xV
tendremos la forma matricial: dfx (h) = a(x)h, con a = ( a ‘ ) = esta m atriz J dx] con p filas (i — 1, , p) y n columnas (j = 1 , . . . , n) se llama m atriz Jacobiana de / y es la m atriz de la aplicación lineal dfx de Rn en R p con respecto a las bases canónicas. Si n = p, det(a*·) se llam a el Jacobiano de dfx . Ya vimos que para / : R —► R la noción de derivada parcial se confunde con la simple derivada y ambas son equivalentes a la diferenciabilidad. Pero esto no es
cierto en el caso de funciones de variable vectorial (Rn —» R), es decir, de varias variables. En este caso, si la función tiene derivadas parciales en un punto, esto no implica necesariamente que / sea diferenciable en ese punto ni que / sea continua. No obstante, tenemos el resultado siguiente: Toda aplicación / de Rn en R definida en V(x) (x e Rn) que tenga derivadas parciales continuas en V(x) es diferenciable en ese punto. U na función que tenga derivadas parciales continuas se dice que es continua mente diferenciable o de clase C 1. La noción de derivada parcial se generaliza de m anera trivial. D e fin ic ió n 11: Definimos la derivada en la dirección del vector unitario ü (||ü|| = 1) de la función / de R" en R, en x, como el límite en el punto A = 0, si existe, de la t .. , /(x + A ü )-/(x ) y se nota función A —» —-------- ^ A
De manera que la derivada parcial D ¡/(x ) en x = (x 1, . . . , x ") relativa a la variable x ‘, es un caso particular de la derivada de / en la dirección del vector e¡ de la base canónica de Rn , [De. f = D i f ) . Se dem uestra que si una aplicación / de R n en R es diferenciable en x G Rn , entonces tiene derivadas parciales en todas las direcciones, y para todo vector unitario ü se tiene Ds f ( x ) = d/f(ü). Además, si / : Rn —► R tiene derivadas parciales continuas en un punto de R n , entonces tiene en ese punto derivadas parciales en todas las direcciones. No es, desde luego, de extrañar que la existencia de las derivadas parciales no sea suficiente para implicar la diferencibilidad, ya que ésta supone la existencia de la derivada en todas las direcciones; mientras que las derivadas parciales son solamente las derivadas en las direcciones de los vectores de la base canónica de R'*.
5.7.4.
Caso 4
D e fin ic ió n 12: / : R —► Rp es diferenciable en í e R si existe una aplicación lineal dft de R en Rp tal que f ( t + h) - f ( t ) = dft (h) + £t(/i)|/i|
con
lím et (/i) = 0. h— *0
Con relación a la base canónica de Rp esta aplicación lineal dft está definida por sus componentes o m atriz (A¿(í)) con p filas y 1 columna. Si se representa por A(t)
al vector de Rp de componentes Ai(t) con relación a la base canónica, entonces dft (h) = hA( t ) 6 Rp; h e R. De aquí que f ( t + h) — /( ( ) = hA( t ) + e,(/í)|/i|. Tenemos, necesariamente, para la aplicación de R en Rp h ~
+ hl ~ — A{t) e Rp. h h—*0
Recíprocamente, si la aplicación de R en Rp h >-*
tiene un límite h. A(t) para h = 0, entonces la aplicación t ·-* f( t ) es diferenciable en el punto t . A(í) se llama la derivada de / en t. Su diferencial es la aplicación lineal de R en Rp h * — dft(h) = A(t)h. En este último caso, la diferencial dft es una función vectorial de variable escalar (de una variable). La aplicación / adm ite una derivada A(t) en t cuando, y solamente cuando, sus p aplicaciones componentes / , de R en R: R 9 1 ■— ► ( / i ( t ) ......... /»(*)> · - i / p ( 0 ) e R p .
tienen derivadas en t, y ellas son las componentes A i(t) del vector A(t); si / tiene derivadas en R, se define la aplicación t >-» A(t) = / ' = ( f \ , ■ . . , f ' p) de R en Rp.
5.7.5.
Caso 5
D e fin ic ió n 13: De m anera más general, sean E y F dos espacios vectoriales nor mados sobre K y / una aplicación de una parte abierta de £ en F ; se dice que / es diferenciable en x e E, si existe una aplicación D f ( x ) lineal y continua única de E en F tal que
/ ( * - A ) - / ( * ) - D/(*)(ft)+e,(ft)|fc|· Con £x(h) e F y lírn e(/i) = 0. La aplicación D f ( x ) = D f x se llama la diferencial de / en x e E. Llamemos V al espacio vectorial de funciones de E en F diferenciables en un punto. Entonces tenemos las siguientes aplicaciones diferentes: V x E 3 ( /, h) ►-* D /(x )(/i) F que es bilineal; D f ( x ) : E —* F, h>-* [D f(x)] (h ) = D f ( x , h ) , bilineal y continua; D f : E —* L(E\ F), x D f ( x ) , lineal; y finalmente, / D f. E je rc ic io : Demostrar las aserciones precedentes.
En el caso de Rn —» R, tenemos la forma bilineal V x R —* R, (/, h) >-* dfz (h) que tom a el valor
El vector asociado al punto ( z j , . . . ,z „ ) = z, de componentes — , con respecto dx' a la base canónica de Rn, se llama gradiente de la función / en el punto x y se denota por grad f x o por V f ; entonces dfx (h) = g r a 3 /z h = V { -h. Si / es diferenciable en todo punto de una parte U de Rn , se puede definir un campo de vectores gradientes de f asociado a cada punto de U. En coordenadas cartesianas, el operador “nabla” , V = ( f — + j — + k — ], asocia a una función \ dx dy dz) escalar / el campo vectorial V f . H asta aquí este largo paréntesis destinado a recordar la definición de diferencial de una función / de Rn en Rp: si en U, una parte abierta de Rn , / es diferenciable, entonces la aplicación lineal (d f) : Rn o U —► L (Rn ,R p), llam ada diferencial de / en U, es tal que x <-* d f(x) = dfz . Simbólicamente, Rn R"d í / 3
i
«
dfx 6 | L(Rn, Rp). Rp
Si df(x) depende continuamente de x en U, se dice que / es continuamente dife renciable en U. Si n = p, la función x —» det [d/(z)] se llam a Jacobiano de / en U.
5.8.
Form as diferenciales exterio res de grado 1
A hora queremos generalizar la noción de diferencial de una función de manera que si asociamos a cada punto de Rn (o de cualquier espacio) una forma p-lineal alternada sobre Rn , se obtendrá lo que llamaremos por definición, una forma diferencial de grado p. A estas formas diferenciales las llamaremos en generad, no dfz sino, ui y no serán más que “campos” de formas diferenciales en R". Esto lo haremos en la presente sección y en las siguientes. Comenzamos por R3 3 U -* R. Nos limitare mos al caso R3 por razones físicas evidentes. R4 estará a la vuelta de la esquina. D e fin ic ió n 14: Sea U una parte abierta de R3. Se llama forma diferencial exterior de grado 1 en U, a una aplicación ui de U en el dual de R3; uj : R3 u U —► R3*. A un punto M = (z, y, z) de U c R3 se le asocia w (M ), lo cual viene a ser una forma
1-lineal sobre R3 (un campo de formas 1-lineales, es decir, a cada punto M se le asocia la forma lineal u'(M)). Jerárquicam ente tenemos: w üj( M
)=
[w (A /)](X )
6 ,4(R3;R 3*) e L(R3; R) = R3*
M = ( i , y , z) e R3
eR
X e R3
Gráficamente tenemos: R3 R3 z> U e
= /* 6 R3* : |
w 6 >t(R3; R3*)
R E jem p lo 1: Si / es una función real / : R3 -* R, diferenciable en JJ c R3, entonces df = ui es una forma diferencial exterior de grado 1, ya que dfx e R3*. Se pone dfz = dfM = u¡mE jem p lo 2: Si se tom a a x, y y z como las funciones coordenadas en R3, x* : R3 —* R (ver la sección 1.9, ejemplos 5, 6 y 15) tal que x = ( x .y .z ) = (x 1, ! 2, ! 3) i-* x(x) = x; y(x) = y y z(x) = z. Entonces dx, dy, dz son formas diferenciales exte riores de grado 1 en R3. E jem p lo 3: Como dx, dy, dz son formáis 1-lineales coordenadas, las cuales forman la base dual de R3*, se deduce que R3* 3 d f = a \ d x -I- ctidy + a 3 dz. Esto está de acuerdo con la definición 10: d f = ctidx1, para n = 3. E jercicio 1: Demuestre que la función identidad I d : R —» R es diferenciable y derivable. Ejercicio 2: Pruebe que d(Id) = Id. E jercicio 3: Verifique la relación dx = d(Id). Vemos que dx se interpreta como un número, como una variable, como una función, como una base y como una componente numérica del vector posición dr. E n general se tiene (de ahora en adelante omitiremos la palabra exterior) el enunciado: P r o p o s ic ió n 9: Si u) es una forma diferencial de grado 1 en U c R3, existen tres funciones reales únicas P, Q y R definidas en U tales que i*>(x, y, z) = P (x , y, z)d x + Q (x ,y , z)dz + R (x, y, z)dx.
Ü
D e m o s tra c ió n : u es una forma diferencial de grado 1,entonces para todo M e U, uiM es una forma 1 -lineal, es decir, la forma U 3 ( u i ,u 2 ,it 3 ) ■-» P ( M ) u \ + Q ( M ) u 2 + R ( M ) u 3 , con P { M ) , Q { M ) y R ( M ) números reales determinados de m anera única. Pero d x ( M ), d y ( M ) y d z ( M ) son tres formas 1 -lineales (ver la sección 1.9 ejemplo 15): ( u l t u 2 ,u 3)
d x ( M = ( u i ,u 2 ,u 3)) = « i;
( u i ,u 2 ,u 3)
- ► d y ( M = ( u i ,u 2 ,u 3)) = u 2;
( u i,u 2 , u 3)
p-* d z [ M = ( u ^ ^ . u s ) ) = u 3;
de aquí que existan tres números únicos reales P { M ) , Q ( M ) y R ( M ) tales que u (M ) = P (M )d x(M ) + Q (M )dy(M ) + R (M )dz(M ).
.
Observemos que u(iV/) = (P, Q, R), donde las com ponentes están en relación con la base ( d x ,d y,d z), de m anera que a to d a form a diferencial de grado 1 se le asocia un vector o campo vectorial u>(M) ·-* (P ( M ) , Q ( M ), R (M ) ). Un campo vectorial es una aplicación que a puntos asocia vectores, es decir, una aplicación del espacio afín (puntual) Rn en su espacio vectoriad asociado Rn de vectores libres. E je m p lo 4: Si / es una función real diferenciable en U, se tiene en M = (x, y, z) tf ( M ) = f ' A M ) d x + f'v(M ) d y + f't {M)dz. Si las funciones P, Q y R son continuas, entonces se dice que ui es continua. Si P, Q y R son continuam ente derivables, entonces ui tam bién lo es. E ste ejemplo destaca la distinción que hay entre diferenciales y formas dife renciales y m uestra que aquéllas son casos particularísim os de estas últimas. Las formas diferenciales de grado 1 serán denotadas, a veces, por *w. En general, una forma diferencial exterior de grado 1 se llama forma diferen cial de Pfaff. Veamos las operaciones que se pueden definir en el conjunto {*cj} = {'<¿>1 , . . . , lWj,...} de formas diferenciales de grado 1 en U. Prim ero, la suma: la aplicación u>i -t- cj2. Si se tienen las componentes ( P i , Q i , R i) de u>i y (P 2 ,Q 2 , / Í 2) de u/2 , entonces: (w 1 + w 2 ) (z ,y ,z ) = (Pi + P 2 )(x, y, z)dx + (Q i + Q 2 )(x, y, z)dy + (Ri + R 2 ){x, y, z)dz. La sum a “+ ” le da al conjunto {u>i, w2, ...} la estructura de grupo abeliano aditivo. Si wi y ui2 son continuas o continuam ente derivables entonces u»i + w2 será con tinua o continuam ente derivable. Se dice que u>i y u/2 son de clase C 1.
Segundo, definamos el producto de u por una 0-función real 0 / definida en U: la aplicación M >-* f ( M ) u j ( M ) es una forma diferencial de grado 1 en U notada fui. A u , de componentes (P,Q, R ), se le asocia (/w )(x , y, 2 ) = ( /P ) ( x , y, z)dx + (/Q )(x , y, z)dy + (f R ) { x , y, z)dz. E sta operación es distributiva con respecto a la sum a y cumple con otras tres propie dades del producto por un escalar, y A·, de los espacios vectoriales; además, si / y ui son continuáis o continuam ente derivables, entonces fui es continua o continuamente derivable. Las operaciones “+ ” y “/ · ” hacen que el conjunto de formas diferenciales de grado 1 en U tenga una estru ctu ra de módulo sobre el anillo de funciones reales en U, (T { U —► R ) ,+ ,o ), que reem plaza al cuerpo K de base. El espacio vectorial de las formas diferenciales de grado uno y de clase C l definidas en U y con valores en R se denota ü [ l\ U , R). E n vista de las operaciones (ui¡ + 0J2 ) y (/<*>) el resultado de la proposición 10 se escribe, en general, así: u> = P d x + Qdy + Rdz. N o ta 1: H asta ahora se han estudiado las formas diferenciales reales de grado 1. Puede suceder que u ( M ) no sea una forma lineal de R3 en R, sino una aplicación lineal de R3 en C. de esa m anera se obtienen las formas diferenciales de grado 1 complejas, las cuales forman un módulo sobre el anillo de funciones complejas denotadas por J - ( f : U —» C). Entonces to da forma diferencial de grado 1 compleja uj se escribirá de m anera única como cj = -t-iu 2 , con u>i y cj? formas diferenciales de grado 1 reales, y tam bién se escribe de m anera única: u> = P d x + Qdy + Rdz, con P, Q y R funciones complejas de variables reales. Generalizando aún más, se pueden definir las formas diferenciales de grado 1 en R rl. Tenemos en este caso general el siguiente resultado: 1
C o ro la rio 6: Si x 1, . . ., x n son las funciones coordenadas en R ", toda forma dife rencial de grado 1 en una parte abierta U de Rn se escribe de manera única u> = A (dx* -l- A i d x 1 + ··■-(- A nd x n = A¿dx' con A i , . . . , A n funciones reales o complejas en U, de imagen A i ( x i , . . . ,x „ ). E ste corolario generaliza el caso R3 a Rn . N o ta 2: A la forma diferencial exterior lui = w, de grado 1 en U también se le llama simplemente “una 1-forma” ; es una simple combinación lineal de diferenciales o un
polinomio de primer grado en las dx'. Algunos autores ponen, p ara ui e R), u ( M ) = UIM . No se debe confundir una forma 1-lineal f * con una 1-forma u>. En el siguiente diagram a se ilustra una 1-forma w: R" R"
f/ 3 x = (x 1........xn ) — u«(x) e R"* | ;w e A (R n ; Rn*).
3
R Una forma lineal sobre Rn está completamente determ inada si se dan n valores que ella tom a para los elementos de una base de Rn (la base canónica, por ejemplo). Escojamos la base dual (e**) = (dx1) (i = l , . . . , n ) de la base canónica (e¡) de Rn . Entonces: (d x '\e j) = dz'(e¿) =
para
V x = z'e< e R n ,
y se tiene dx'(x) = x ‘ = (d x '\x ) . Las coordenadas de la 1-forma u>z , la cual es una forma 1-lineal sobre R " asociada al punto x e Rn , son los A,(x) con relación a la base (dx'). Rn*
3
u x = A i t f d x 1 = > wx (h) = A i t f d x ^ h ) = A i(z )h i G R ,V /ie R n .
Las componentes Ai = (cj^e,) son justam ente las funciones z ►— ► A i(z) = ( A i ( z ) , . . . , A n (x)) de U c Rn en R. La 1-forma ui en U puede ser definida dando las n aplicaciones Ai : x >-* A ,(i). Por eso se dice que dar una 1-forma cj de grado 1 es equivalente a dar un campo de vectores ( A i ,. . . , An ) sobre U : a todo z 6 U se asocia el vector cuyas componentes en la base canónica de Rn son los números A ,(x) e R, Ai e R"*. De aquí que ui s ( A i , . . . , A„). Ya hemos visto que si / es diferenciable en U c R n , entonces en todo punto z 6 U, su diferencial: dfx = D i f ( x ) d x ' =
dx' = d if ( x ) d x ', es una forma dx' 1-lineal de Rn*, luego dfx es una 1-forma de U . Recíprocamente, una 1-forma sobre U c R “ se llamará forma diferencial exacta si es la diferencial de una función diferenciable sobre U. En general, si se da una 1-forma u> sobre í / c R " podemos preguntarnos si es exacta y, en caso afirmativo, querríamos determ inar una función de la cual ella (ui) sea la diferencial. La función será única (salvo una constante aditiva arbitraria). Más adelante volveremos sobre las formas diferenciales exactas. Tomemos el caso n = 1 (una variable). U na 1-forma asociada ai punto z 6 R se escribirá l j ( x ) = A(x)dx\ ésta será exacta si existe una función / tal que ui(x) =
d f = f ' ( x ) d x , es decir, tal que f ' ( x ) = A(x). Luego, determinar si A es exacta, equivale a encontrar una función conociendo su derivada; por integración de A , que es continua, el problema tiene una infinidad de soluciones que se diferencian en una constante aditiva. Pasemos ahora al caso de varias variables (n > 1). Sea ui una 1-forma defi nida en el punto x por u z = A l( x )d x ‘. Si ella es exacta, entonces existe una función f : x = ( x t , . . . ,x „) >-► /(x i» ■ ■ ·, Xn)i y se tendrá j4¿(x) = £>i/(x) para i = l , 2 , . . . , n . Si las funciones Ai son continuas y tienen derivadas parciales continuas, entonces las derivadas parciales del segundo orden de / son continuas y se cumple D ijfíx ) = D jifíx), 1 1 ' },JK "
es decir
d2f d2f . -■ = . .. d x 'd x i d x ’ dx'
dA ■ dA Debemos tener: D ,A , = D .A i, es decir ——- = -r-4· dx' dx] Hemos establecido que, cuando las funciones Ai son continuas, lo mismo que sus derivadas parciales, entonces las condiciones D ,A j( x ) = D jA ,(x ) son condiciones necesarias para que la forma diferencial lj = A td x' sea exacta. Una 1-forma que verifica estas condiciones se llama forma diferencial cerrada. Así, una condición ne cesaria p ara que 1-forma de U sea exacta es que sea cerrada. En el lenguaje de los campos vectoriales, u es exacta si su campo vectorial asociado es un campo de gra dientes, es decir, A ,(x) = D if( x ) . Como dicen los físicos, el campo es conservativo y deriva de un potencial. Recíprocamente: sean (x ,y ) *-» P ( x , y ) y (x, y) *-* Q (x,y) funciones continuas con derivadas parciales continuas sobre el rectángulo U = [a ,6] x [a,/?] de R . Supongamos que la 1-forma u>(x, y) = P ( x ,y ) d x + Q (x ,y )d y sea cerrada en £/; es decir, VAÍ(x,y) € U se tenga
oy dx En tal caso se dem uestra que esta forma diferencial es exacta en U, es decir, que existe una función (x, y) >-» F (x , y) continua y con derivadas parciales continuas en U tal que ^
= P (x ,v ),
V).
El resultado anterior se generaliza a Rn: cuando una 1-forma, cerrada en un rectángulo n-dimensional U de R n, cuyos coeficientes son funciones continuas con derivadas parciales continuas sobre U, es exacta en U. E je m p lo 5: La 1-forma definida sobre R2 por u ( x , y) = yd x — xdy no es cerrada y no es exacta.
ü je rc ic io 4: Determine los campos de vectores grad (r) y graá ( i ) con r 2 = :2 + y 2 + z 2. S jercicio 5: Pruebe que la 1-forma (3x2y + 2x + y 3)dx + (x3 + 3x y 2 — 2y)dy es :xacta y calcule la función de la cual ella es la diferencial. S jercicio 6: Sea uj(x,y) = P ( x , y ) d x + Q (x ,y )d y una 1-forma. Se llama facor integrante a toda función (x, y) i-» tp(x, y) tal que la 1-forma (ipui) (x, y) = ? ( x , y ) P ( x ,y ) d x + ip(x,y)Q (x,y )dy sea exacta. D em ostrar que ¡p verifica la ecua:ión: dx
dy
\d x
dy J
E jercicio 7: Encuentre las condiciones que deben verificar las funciones (x, y) I— P (x , y), >ara que la 1-forma le x (o sólo de y).
uj
(x, y) >- Q { x , y) = P dx + Q dy adm ita un factor integrante que dependa sólo
E jercicio 8: Sea la forma diferencial ui(x, y) = (x2 + y 2 4- 2x ) d x + 2ydy. Muestre [ue ella adm ite un factor integrante que sólo depende de x y encuéntrelo. Determine :ntonces una función F que adm ita a
5.9.
Form as diferenciales exteriores de grado p
\.hora se tra ta de generalizar la definición de formas diferenciales exteriores de grado . en U al caso de formas p-lineales alternadas o antisim étricas. En todo lo que si;ue, Rn se referirá a la base canónica y Rn* a la base (d x *), dual de la canónica (e¡). D efinición 15: Sea U una parte ab ierta de R n . U na form a diferencial exterior le grado p sobre U es una aplicación w de U en el espacio vectorial de las fornas p-lineales alternadas sobre Rn . P or abreviar, se dice que ui es una p-forma so)re Rn . E n general, se dice que ui es una multiform a, y la denotarem os, a menudo, >or puj. Si p = 1 encontramos la definición 15 de la 1-forma, es decir, el caso particular leí cálculo diferencial clásico. Si p = 0 tenemos O-formas, y como una forma 0ineal antisim étrica es simplemente un escalar, entonces las formas diferenciales
de grado O en U son sencillamente las funciones reales definidas en U, objeto del análisis matem ático. De m anera que los casos p = O o p = 1 corresponden al análisis m atem ático clásico; si p > n entonces to d a p-forma en U es cero. El espacio vectorial de las funciones continuas reales de clase C n se denota R). El caso p < n corresponde al análisis m atem ático exterior (véase la sec ción 5.7). A todo punto x = (x 1, . . . , x n ) e U se le asocia una forma p-lineal alternada, elemento de A p ( R n ) = A p ( R n *) = R n * a . . . a R " * (p factores): (Rn)p Rn
U 3
e A p{Rn) :
| R
u e i ( R V p ( R '') ) ·
Jerárquicam ente tenemos pu
=
w e _A(Rn ,>lp(Rn))
w (M )
=
U M 6 A p( R n )
M = (x 1, . . . , x n) 6 Rn
X = (X i) = (X 1, . . . , X p) 6 ( R n)p wt í ( X ) e R
X ;s R n
Si x = ( x i , . .. , x n ) son las funciones coordenadas de R", entonces sabemos que las C p formas prlineales antisim étricas d x H a · · · a d x lp, con (ij < i 2 < · · · < ip), forman una base del espacio ,Ap(Rn) = Ap(Rn*). Por consiguiente, existen números reales únicos, bien determ inados, A , l¡2 ,,Ap(x) que son, por definición, las com ponentes de uj( x ). De donde puede establecerse el siguiente teorema: T e o r e m a 2 (d e la r e p r e s e n ta c ió n ) : Sea puj una forma diferencial exterior de grado p o p-forma en U. Existen C p funciones reales j4í,.,.í (¿i < i 2 < . . . < ip) definidas en U determinadas de manera única, tales que plj
= u =
^
A i i '" {pd x tl a ■ · · a d x , p ;
u e ^ ( R íl; A p ( R n ) ) .
t| <...<Íp
Algunos autores utilizan la notación convencional w=
2
A i i - i pd x n ■ ■ ■ d x lp.
E stas son diferentes m aneras de escribir una p-forma, la cual, al punto x e U, asocia la forma p-lineal antisim étrica w (x) =
£ A u ...ipd x il ti<. ..
a
■ ··
a
d x ip-,
w ( i ) e i p(R n )
= A p ( R n *).
El valor de ésta última, en el punto x, para un sistem a de p vectores (X¿) = ' X u . . . ,, X k = X X'k"eik, t ei . . . , X p) 6 (Rn )p (t* = 1 ,2 ........n), es:
......... X , )
=
£
2 «I<.
x[·
X?
Xv
A < ,...< „ (* )
¿i < . . . < i p
=
X \'
Ail...i,{ * )d e t[X 1, . . . , X p] 6 R .
E je rc icio 1: Demuestre paso a paso la fórmula anterior. N o ta : No se debe confundir el punto x = (x 1, . . . , xn ) e R", con los vectores X¡ de y los p vectores ( X i , . . . , X P) de (Rn )p. Los coeficientes, componentes o coordenadas de la p-forma son los valores de las funciones x Aí,í,...íp(x) de R n 3 U en R, y éstas definen un campo de formas »-lineales alternadas ya que u se identifica con es decir, una p-forma es un :am po de formas p-lineales alternadas o, como lo veremos, un campo de tensores covariantes antisimétricos. Supondremos que las -4», ,..»p son de clase C x (es decir, que tienen derivadas parciales continuas de todos los órdenes). E je m p lo 1: Sea 2ui = ui una forma diferencial exterior de grado 2, o una 2-forma, definida sobre un abierto U de R 2; ui e A (R 2; .A2(R2)) asocia al punto M de coor denadas (x ,y ) una forma bilineal antisim étrica que notaremos u « o u ( M ) y se escribirá de m anera única, así: Mi
•
= f(x ,y )d x
a
dy
G
A2(R2),
C\ = 1
con (x , y ) ·-» / ( x , y) función de U en R, la cual es el campo de covectores asociado a uíjm; / permite definir una 2-forma. A hora bien, el valor de u¡w : R2 x R2 <-» R para la pareja de vectores (Vi.V^). de componentes respectivas (X i.Y j) y (X 2 ,Y i),e s R 3WM(Vi,V2)
=
u,(x,y)(V u V2) = f ( x , y ) ( d x * dy)(Vu V2)
= /(x,y)(dxAdy)[(Xl i yi),(Jf2iya)] =
/ ( x ,y ) (dx(V l )d v(yi ) - dx(Vi )dy(Vl ))
=
/ ( x , y ) ( X , y 2 - X 2y 1) = / ( x , y ) X l
=
/ ( x . y ) d e t w (V l t Va ) € R .
X2
E je m p lo 2 : Tomemos a x , y y z como I els funciones coordenadas sobre R3 y u / e ,4(R3;R 3*). U na 1-forma definida sobre un abierto U de R 3 asocia a cada punto
M ( x , y , z) e R3 una forma lineal u>m sobre R3 : R3 B ( x , y , z)&ui(x, y, z) e R3*; u m se escribe de manera única así w (x , y,
z) = f(x ,y ,z )d x + g(x,y,z)dy + h(x,y,z)dz,
donde f , g y h son funciones reales sobre U c R3. A u m está asoci.ido el campo vectorial de componentes ( / ( x , y , z ) , y ( x , y , z ) , / i ( x , y , z ) ) . U na O-forma, o forma di ferencial exterior de grado O, es una función real sobre U. Entonces f , g y h son tres O-formas. A una O-forma se le asocia un campo escalar de única componente / ( * . y,*)· E je m p lo 3: En R3 todavía, una 2-forma sobre U asocia a cada punto M (x, y, z) 6 U una forma bilineal antisim étrica u m sobre R3: R3 3 M «u> (x,y, r) e A2(R3; R) = /12(R3); w e A (R3; A2(R2)); um se escribe de m anera única así: um = / ( x , y ,
z)dx a dy + g(x, y , z)dx a dz + h(x, y , z)dy a dz
= / ( x , y, z)dy a dz + g(x, y, z)dz a dx + h(x, y, z)dx a dy e A2(R3).
E sta últim a forma exhibe la sim etría circular (permutaciones cíclicas) entre x, / i 5. h son funciones reales de tres variables o O-formas. El valor de la 2-forma w ( x , y , z ) para dos vectores V1 ( X l ,Y¡, Z i) y V2 ( X 2 , y2,Z 2) e s
y,
w (x,y, z) H i X u Y u Z i ) , (X 2, Y2, Z 2)] = { /(* , y, z) ( Y iZ 2 - YaZ¡) + g(x, y, *) ( Z t X a - Z2X ,) + /,(x ,y ,:)( W - W ) ! f(x,y ,z) Xi x2
g(x
/i(x ,y ,z) Zx e R. Z2
E je rc ic io 2: Pruebe las afirmaciones de los ejemplos anteriores. A la 2-forma u (x, y, z ) precedente está asociado un campo de vectores, es decir, el campo de vectores de componentes ( /( x , y, z ),g (x , y, z ) , /i(x, y, z ) ) . En otras palabras: r
;
r3
3 (Z)J, Z) ,— „ ( /( x ,y ,z ) ,y ( x ,y ,z ) ,/ i( x ,y ,z ) ) 6 R3.
E je m p lo 4: Una 3-forma sobre U c R3, w e ^ (R3; ^ ( R 3)), se escribe de manera única
«m
=
Xly,z)
=
f{ x ,y ,z )d x
a
dy
a
dz
€
4 3(R
),
C3
= 1
donde / es una función real sobre £/; la 3-forma W(*,Vlx) asocia a cada punto M una forma 3-lineal alternada (o forma trilineal alternada) sobre R3: U 3
e A3(R3).
A w m está asociada la única función / : ( x , y , z ) <-* f ( x , y , z ) o campo escalar de componente única f ( x , y, z). El valor de para tres vectores V tiX u Y u Z i), por ser
uim
V2 ( X 2 l Y 2 , Z 2)
y
V3 ( X 3 ,Y 3 , Z 3),
un forma 3-lineal alternada, es Xl
W(r,y>*)(Vi, Vj.Vj) = f ( x , y , z )
Yl
ZI
x2 y2 z2 6 R. x3 y z3 3
Las formas diferenciales de grado 4, 5, 6, . . . , sobre U e R3 son todas nulas. E je rc ic io 3: Pruebe las afirmaciones del ejemplo anterior.
5.10.
P r o d u c to exterior de formas diferenciales
Exam inarem os las operaciones + , “/ · ” (producto por una función) y a en el con junto de las formas diferenciales exteriores. Si ui\ y ui2 son dos p-formas en U, se define (ui\ + 0 ^2 ), la cual es todavía una p-forma en U , por la fórmula M 1— ► (¡¿i + W2 )(Af) a u>i(M) + w2(M ),
VM e U c Rn .
Si w es una p-forma en U y si / es una 0-forma (o función real definida en U), se define (/u>), la cual es una (p + 0)-form a o p-forma, mediante la fórmula M —
(/w )(A f) s f { M ) ■ w(AÍ),
VA/ e U c R*.
Las operaciones + , y “/ · ” le dan al conjunto de las p—formas una estructura de módulo sobre el anillo de funciones reales en U . El espacio vectorial de las p-formas de clase C n definidas en U y con valores en R, se denota Qpn\ U , R). Sean wj una p-forma y u>2 una q-forma de U c R " . Tenemos que, para todo A/, es una forma p-lineal antisim étrica sobre Rn y u 2 ( M ) una forma g-lineal alternada en Rn . De aquí la siguiente definición:
D e fin ic ió n 16: El producto exterior de uii y ojo, notado u j ¡ a u i 2, es la forma diferencial de grado p + q (o (p + (j)-forma) que a todo punto M 6 U asocia la forma (p + q)-lineal alternada sobre R " definida por M 1— ► (U\
= Ull(M)
A
a
ui2 (AÍ)·
Como se ve en la definición, u ¡ ( M ) a u i {M ) es el producto exterior de dos formas multilineales alternadas, que ya hemos considerado en la definición 4 y las proposiciones 4 y 5. El producto de una O-forma / por una p-forma u> es un caso particular de la definición 17 del producto exterior (ver el corolario 4). E je rc ic io 1: Pruebe que / a ui = fui. Verifique que (/« )(A i ) -
£
/( x M u ...^ *
A-.-Adl*'.
t| <-..
Debido a las proposiciones sobre las formas multilineales antisimétricas (propo siciones 1, 4, 5, y 7, y la definición 5) tenemos el siguiente enunciado: T e o r e m a 3: 1) S e a n u i y dos pi-formas; u>2 yut¡ dos p?-formas y f \ y / 2 O-formas (ó fu n ciones reales) todas en U c R n . Entonces (li>l + U j \ ) A Ul2
=
Uli A (cJ2 “l" ^ 2 )
“
(/l A W l ) A W 2
=
W1
A ( / 2 A w2 )
U»l A ¡J2 +
a u»2.
A ^2 + ^1 A ^2* /l(<**lAWj).
= / 2 ( ^ 1 A w2)·
5ean wi una pi-forma, ui2 uno p?-forma y
013
U/¡ A (w2 A UI3)
=
(ü>l A U/2) A UI3 =
U ] A Ui
=
(— l)PlP1Ull A U>2 ·
una p3-forma en U . Entonces AU2AU3
3) Sean las q 1 -formas en U w i, oj2, · - ·, w,. Si dos cualesquiera de las u/¡ son iguales entonces LJl A U>2 A ·· ■ A U q = 0 .
4) Sean las mismas formas diferenciales que en 3) y n 6 S q. Entonces w *(i) A w ir(2) a · ·· a <*>„(,) = £(7r)u;i a u;2 a · ·· a u iq .
*3 D efin ic ió n 17: Una p-forma ui en U c I " es reducible si existen p funciones ( f u . . . , f p ) diferenciables definidas en U tales que u> = d f i A
d/2
A · ■· A d f p .
N o ta 1: Por analogía con la sección 5.6
i
@ n< ,n>(í/,R) = PÍO es, por definición, el álgebra graduada anticonm utativa de G rassmann. Aquí el pro ducto exterior es la aplicación fi( , " > ( í /, R ) x n ( " > ( i / , R )
n ^ ,({/,R ).
E je rc ic io 2: Definamos en U c R2 dos 1-formas en todo punto M 6 U dadas por u>i(M) = f i ( M ) d x + g \( M ) d y y w2(M ) = / 2(Aí)dx + g2 {M)dy. Pruebe que UJ\ A CJ2 ==
/l
/2
01
02
dx a dy.
E je rc ic io 3: Sean dos 1-formas definidas en todo punto M (x ,y ,z ) 6 U c R3 por u>\ = f \ d x + g\dy + h¡dz y u 2 = / 2dx +
a w2) aí
=
/i ( M ) Ui(,M)
/ 2(M ) /i(M ) dx a dy + g2 ( M ) /11 (M ) gi(M ) Ai(AÍ)
9 2 (M) dy /i2(M )
a
/ 2(M ) dx /i2(M )
a
dz
dz.
E je rc ic io 4: Si f \ , . . . , / p son p funciones diferenciables sobre U c Rn , verifique que la p-forma df\ a · ■ ■ a dfp está dad a en todo punto x = ( x i , . . . , x„) por (d/, A . . . A d/p)(x) =
V
dx,, A . . . A d x .„
i,< <¡p donde
^ es el Jacobiano (ver definición 10, sección 5.7.3) de las fun\X*i 1 . · · 12 ;,) ciones / 1 , . . . , / p, con respecto a las variables (x ¡,, . . . , x¿p), calculado en el punto x = ( x i,...,x „ ) .
N o ta 2: La p-forma u = £ A u ,pd x 1' a · · · a d x ‘p es continua (respectivamen te continuam ente derivable) si las funciones A, l l p son continuas (respectivamente continuam ente derivables). La sum a y el producto exterior de dos formas diferencia les continuas (respectivamente continuam ente derivables) son formas diferenciales continuas (respectivamente continuam ente derivables). N o ta 3: Ya hemos visto que si en U c Rn , w es una p-forma, entonces ui(M) es una forma p-Lineal alternada. En general, ui(M) puede ser una aplicación p-lineal altercad a de R" en C, y u se llam ará forma diferencial compleja de grado 1 en U; en tal caso .A«,...i, son funciones complejas. T oda la teoría aquí desarrollada puede generalizarse y se puede reemplazar R" por un espacio E, de m anera que la definición generalizada de p-forma diferencial exterior w será £ c l/^ B 3 u (M )
K = R ,C .
E puede ser Rn o C, un espacio afín, de Banach, topológico, una variedad diferenciable o un espacio fibrado. B puede ser Ap(Rn ; R), L(E \ K ), A P(E\ K ) ó A P(E\ F), donde F es un espacio vectorial cualquiera. Con estas escogencias se obtienen va riadas teorías exteriores.
5.11.
D erivada exterior
Ya hemos visto que si / es una 0-forma de clase C l definida sobre U c Rn, es decir, una función diferenciable de U en R, entonces su diferencial d f define en U una 1-forma. Ahora nos proponemos generalizar el concepto de diferenciación de una función; más exactam ente, queremos definir una operación que a to da p-forma w de clase C T (r > 1) asocie una (p + l)-form a dui de clase C ~ l . Proponemos la siguiente definición: D e fin ic ió n 18: Sea U una parte abierta de Rn . Sea, además, ui = £ il< „.
^
«¿Aj,...^ a
d x tl
a ··· a
d x lp.
·»<—« p A du tam bién se le llama el coborde de u. E je m p lo : Sea / una 0-forma continuam ente derivable en U . Su derivada exterior df no es o tra cosa que la diferencial de / . Tenemos la siguiente proposición parau>i y u>2 , dos p-formas continuam ente de rivables:
P ro p o s ic ió n 10: La aplicación u>>-+ cL· satisface a 1) d(wj -t- ^ 2 ) = d u \ + dui2. 2) d(u>\ a
012 )
= (du>i) a u j + (—l ) pu»i a dw2.
D e m o s tra c ió n : 1) es evidente. 2) C a so a) Sea / una función continuam ente derivable en U. Tenemos la igualdad d ( fd x { x a · · · a d i i p) = df a d x'' a · · · a d x 'r , aun si la sucesión de enteros (tl t . . . , tp) no es estrictam ente creciente. Todos los razonamientos que siguen para probar el numeral (2) se apoyan en el teorem a 3. Si dos de los enteros ¿1 , , ip son iguales, los dos miembros de la igualdad anterior son nulos. Supongamos esos enteros distintos dos a dos y 7r 6 Sp tal que ¿„(j) < · · · < ¿*(p); entonces, d ( f d x i, a . ■ ■ a d xip) = d [e (n ) fd x iw0) a ·· ■ a d z iw(|>)] = e(ir)df a dx¿.(1) a · · ■ a dz¡„(>) = d f a d x <, a · · · a dxip. C a so b ) Según 1), basta tom ar y ui? representadas por = f d x i, a · ■ · a dxip y u 2 = gdz¿, a · · · a d x j . con *1 < · · · < ¿p y Ji < · · ■ < j p para que (2) quede demostrado. Finalmente d(u>1 a u>2)
=
d ( fg d x il a · · · a dx{p a d z ;i a · · · a d x j . )
=
d(Jg) a dx i, a ■ · · a d i i p a dzj, a · · ■ a d x jr,
=
[ W ) g + f(dg)] a d x i, a · · · a d x ip a dz.,, a · · · a dz>p,
=
d f A dZi, A · · · A d z ^ A jd Z j, A · · · A d l j + f ■ (—l ) p · dz¡, a · · · a dzjj, a d g d ijl a - · · a dx¡fl )
=
(du/i) A W2 + (—l ) Pii»l A (duj).
a
La proposición anterior permite calcular por pasos la derivada exterior de un pro ducto de varias formas diferenciales. E je rc ic io 1: P ara las formas ui, u/, w" de grados p, p' y p", respectivamente, verifique d(Ul A u / A Ul”) = (du) A u/ A U»” + ( —1)PW A (
P r o p o s ic ió n 11: Si w es una forma diferencial dos veces continuamente derivable en U , entonces d(duj) = d2u) = 0. D e m o s tra c ió n : C a s o a) Si / es una 0-forma dos veces continuamente derivable en U se tiene
si i = j , entonces d i 3 a dx, = 0. Si t # j , entonces d ij
a
dx¡ = 0.
Q ueda establecido que d2f = 0, y se han usado en el razonamiento, además del teorema 3 y la definición 19, las dos propiedades siguientes: 1) Si la función ( i t , . . . , x n) <-* f { x \ está definida y tiene derivadas parciales primeras y segundas continuas en U c R, entonces d fj f = d ^ f . 2) La derivada exterior de una 0-forma / es la diferencial de / . C a s o b ) Si ui = f d i i t a · · · a d x ir, la proposición sedemuestra haciendo uso de la definición 19 y de la proposición 10: d(du>)
= d{df a d i i x a ·· · a dxip) =
d(df) a d x i, a · · - a d i i p“ df a d(dx¿,) a dxi, a · · · a dx¡p + df a d i i , a d(dxit) a · · · a dxjp — . . .
y todos los térm inos de esta suma son nulos.
s
P r o p o s ic ió n 12: La derivada exterior de toda form a diferencial reducible es nula. D e m o s tra c ió n :
C a so a) Si ui es una 1-forma reducible, entonces existe una 0-forma / (función) diferenciable en U tal que u> — d f = f d x ' , entonces du> = d2/ = d (d if) a dx' = 0. C a so b ) Partam os ahora de la hipótesis de que para to d a (p — l)-form a 9 reducible se tenga d9 = 0. Como to d a p-forma ui reducible se puede escribir así: u = 9 a df, entonces dui = d9 a d f 4- (—l ) p-10 a d2/ = 0. # E je rc ic io 2: Dem ostrar rigurosamente que a partir del caso a) en la demostración precedente, dui = d (d if) a dx'
=
(d jd i})d x 3 a dx'
=
Y , ( d i d j f - d jd t ftd x ' a dx 3 i
=
E (d* jf - t f i f ) dx ' A dx 1 = 0
Ahora generalicemos las definiciones de forma cerrada y exacta que ya dimos para las 1-formas. D e ñ n ic ió n 19: U na p-forma u en U c R n es cerrada si dui = 0. Se dice que ui es exacta si existe en U una (p — l)-form a a tal que da = u>. Entonces se dice que la forma a es una primitiva de u. Esto exige que a sea continuam ente derivable. Examinemos varios casos. Comencemos por el más interesante, que ocurre cuan do q es una 0-forma de U C R, es decir, un a función F sobre R y u una forma de grado 1; entonces u = f d x donde / es una función. La forma a de grado 0 es una primitiva de ui si F es continuam ente derivable y si F 'd x = f d x , o sea / = F'. Así llegamos al caso clásico de las funciones continuas y sus integrales de Riem ann indefinidas o primitivas. P a ra U c R n tenemos u>x = A ,( x ) d x ‘, entonces du¡x = £ i<3 (d jA i(x) — diA j(x)) d x ‘ a dx>. Por tanto, la condición d u = 0 se tra duce por diAj = d jA , y recuperamos la definición de forma cerrada dada en las sección 5.8. Volvamos al caso general en Rn . Como en el caso de una variable, se originan dos problemas: ¿dada una forma diferencial ui en U, tiene ui una primitiva? Si la respuesta es afirmativa, ¿esta primitiva es única? Las respuestas a este problema de existencia y unicidad son muy diferentes a las que dimos para n = 1. Sea una forma diferencial ui exacta en U c Rn ; u = da es claramente una sum a de formas reducibles, por consiguiente d2a = 0. En general si u> es de grado p ^ 1, continuamente derivable en U y posee una primitiva dos veces continuamente derivable, entonces, por la proposición 11, d2a = 0 y d u = 0. De manera que el problema existential está resuelto por el siguiente enunciado:
ioionario.net
P r o p o s ic ió n 13: Una condición necesaria para que una forma diferencial sea exac ta es que sea cerrada, es decir, que exista a tal que da = u , y en tal caso, dui = 0. Recíprocamente, supongamos que dw = 0, esto no implica, en general, que ui po sea una primitiva a en U. La implicación es v 'h d a si U es con tr'atil. Por d efin id 'o un espacio métrico es contr 'atil si existe un punto A/o 6 U y una aplicaci 'a g conti nua (M ,t) g { M ,t) de U x [0,1] en U tal que g (M ,0 ) = M y g(M , 1) = Mo, para todo M 6 U . Intuitivamente, U es co n tr'atil si se puede deformar continuamente, en U , hasta convertirse en un punto (también se dice que U es homótopo a cero). Demos o tra definición suplementaria: Un espacio métrico U, es conexo por arcos si, dados dos puntos cualesquiera M¡ y M i de U , existe un arco continuo en U que tiene a M \ por origen y a M 2 por extremo. Intuitivamente, U es arco-conexo si U es de una sola pieza. Se dem uestra, recíprocamente, que si ui es cerrada, entonces u> es exacta, gracias al siguiente teorema: T e o r e m a 4 (d e P o in c a r é ) : Si u es una p -forma cerrada definida sobre un cubo n-dimensional abierto U de Rn , existe una (p — 1)-forma a definida en U tal que d a = uj. No demostraremos este teorema. Por cubo n-dimensional abierto de centro a y lado 2r se entiende un conjunto de puntos x tales que | i , —a,| < r, es decir, que, para todo índice i, x, e]a< —r, a< + r[. E ste cubo equivale a un producto cartesiano de n intervalos abiertos de R. En cuanto a la unicidad notemos que si ui, de grado p ^ 2, tiene en U una primitiva ui\ de grado (p —1), entonces u>i +du >2 es todavía una primitiva de u para to d a (p —2)-forma ui2 dos veces continuamente derivable en U, ya que d(uj\ + du/?) = d ( v 1) + d 2 uji = du>1 = 0. E n el caso general de Rn vemos, desde luego, que en los problemas de primitivas aparecen fenómenos y condiciones nuevas con relaci'o al caso simple ya conocido de una sola variable. En esta nueva situ aci'n , toda forma diferencial de grado í 2 es nula. P ara tra ta r los problemas físicos de interés, donde se aplica el análisis exterior, examinaremos la cuestión im portante de las primitivas sólo en las formas diferencia les de grado 1, que serán funciones continuamente derivables. Aquí las propiedades fundamentales enunciadas en la proposición 13 y el teorema de Poincaré se reducen al siguiente teorema: T e o r e m a 5: Sea U una parte abierta de R n y w = f \ d x \ H------ 1- f nd x n una 1 -forma en U continuamente derivable. 1)
Consideremos las condiciones siguientes:
a) u tiene una primitiva en U ; b) d u = 0; f* = — df i para todo i■, j ■. c). -9 — UXj
0 X{
Entonces a) => b) o c). Además, si U es contráctil, las tres condiciones precedentes son equivalentes. S) Supongamos que ui tenga una primitiva F. Entonces, si U es conexo por ar cos, las primitivas de ui son las funciones F + A, donde A es una constante arbitraria. D e m o s tra c ió n : La prueba que daremos será parcial, paira com pletarla consúltese, por ejemplo, la referencia [8] de la bibliografía. dF Si ui tiene en U una primitiva F, entonces /¡ = - — para será dos OX{
veces continuamente derivable, y así dui = 0. Ahora, si dui = 0 y si U es contráctil, entonces u tiene una primitiva en U. La equivalencia de ii) y iii) es directa, puesto que d u = Y ^ d f i * dxi
=
-
^ ■d ij'j
2
a
d ii
(i*-j|)
Finalmente, d (F + A) = d F + dX = d F = ui.
#
E je rc ic io 3: Pruebe que la forma diferencial w = yd x — xd y no tiene primitiva en R, el cual es contráctil. E je rc ic io 4: Sea u> = (3z2 + 2xy + y2)dz + (z 2 + 2zy + 3y 2 )dy. Demuestre que ui tiene una primitiva a. Calcule a . Proceda así: determine — -^r ’- - : evalúe, para dx y fijo, a [ x ,y ) con una constante de integración A(y). Luego halle dQ(x ’ ^ y, finaldy mente, evalúe a A(y). Compare con la respuesta a ( z , y) = z 3 + z 2y + zy 2 + y 3 + C. E je rc ic io 5: Sea u> = - — — definida en R2 — {(0,0)}, i = \ f —l. Pruebe que z + ly du = 0; compruebe que u no tiene primitiva en R2 — {(0,0)}.
E je rc ic io 6: Calcule dui para ui
=
I x y d x + x 2 dy\
lj
=
—x y 2dx
¡jj
=
zd x
a
a
dy —y 2zd x
dy — y d x
a
a
dz + x 2 z 2dy
dz + xd y
a
a
dz;
dz.
E je rc ic io 7: Sea en R2 ui(x,y) = ydz a dy. Muestre que w es cerrada y calcule todas las formas ot(x,y) = P ( x ,y ) d x tales que da = u . Encuentre todas las formas /3(x,y) = Q (x ,y )d y tales que d/3 = w. E je rc ic io 8: Sea ui = yd x a dy —xdz calculando a = P d x + Qdy + Rdz. E je rc ic io 9: Sea ui(x,y, z) = yd x Q (x, y)dy tal que d a = u .
a
a
dz + zdy
dz + xd y
a
a
dz, demuestre que es exacta
dz. Halle ot(x,y, z) = P { x ,y )d x +
E je rc ic io 10: Calcule la prim itiva de w = (z3 —x 2 z)d x 3x z 2)dy a dz.
a
dy —x 2yd x
a
dz + (3y2z —
E je rc ic io 11: Sea V un campo de vectores definido sobre R3 — {(0,0,0)} por sus componentes ( x r ~ n , y r ~ n , z r ~ n ), donde x 2 + y 2 + z 2 = r 2. Determine dwi y do<2 , donde wi y u»2 son respectivamente la 1-forma y la 2-forma asociada a V. ¿Para qué valores de n se tiene dw\ = 0 y du>2 = 0? H asta aquí sólo se ha dado una breve y básica introducción al análisis (y el álgebra) exterior. E ste análisis tr a ta con otras operaciones como la coderivación, el cálculo de la imagen recíproca, la integración de formas diferenciales sobre trayec torias, superficies (o integrales curvilíneas y de superficies) y conjuntos específicos (variedades). Todo lo anterior, es una generalización de la teoría de las integra les múltiples, escalares y vectoriales. El análisis exterior también tiene relación estrecha y jerárquica con el álgebra vectorial y el análisis vectorial (fórmulas de Green-Riemann, de Ostrogradski, Green y Stokes, circulación y flujo).
5.12.
M iscelán ea
Los tem as citados aquí, no los vamos a tra ta r de m anera exhaustiva y académica; sólo los veremos a título de ejercicios y como ejemplos, con una m arcada aplicación dirigida a la física y a la matem ática. Vamos a extrapolar el ejercicio 4 de la sección 2.4. Recordemos que la diferencial d $ x, en el punto x = (x l , . . . , x n), de una función $ continuamente diferencial)!« de un abierto U c Rn en el abierto V de Rp, es una apÜcación lineal de R" en R1’
cuya m atriz (con respecto a las bases canónicas (e„) y (ep)) es la m atriz Jacobiana (dj$x(x)), donde ¡ = 1 ,2 ,. . . ,p es el índice de las filas, y j = 1 ,2 ,. . . , n el índice de las columnas. Hagamos la siguiente construcción: A toda función diferenciad / de U en R, la aplicación $ permite asociar una nueva función, que denotarem os por $ » / , de U en R definida por
es una forma g-lineal antisimétrica, y por consiguiente la aplicación x 1-* (
6 R entonces
E n particular 3>,(wi + 0 /2 ) = ^ • ( ‘*'1) + $*(<*>2 )· 2) Si / es una función diferenciable sobre V y u una q-forma en V, entonces
$*(/w) = $./$>.<■■'·
3) Si uij y u >2 s o n d o s fo r m a s d e g r a d o
q¡ y q2 e n V, e n t o n c e s
a W2 ) = ( $ . < ¿ 1 ) a ($>,U/2)· 4 ) Si /
e s u n a fu n c ió n c o n t i n u a m e n t e d e r iv a b le e n
en tonces, $ , ( d / ) =
V y s u p o n e m o s u> = df,
d( f o $ ) . dx'1 a · · · a d i ' * , e n t o n c e s ,
5 ) S i u; = «1<—< t ,
$.W=
2
O Í ^ T i , 0 $ ) A · · · A d (li, 0 $ ).
»1<···<», 6) Si $ se escribe explícitamente como
Vi = í > ( ii , . . . , z „ ) ....... yP= $ p ( ii,...,a :„ ) y uv=
Z
¿ ¡ . . . ¡ „ ( y í d y * 1 a · · · a dj/‘\
*l< ··<·, m uestre que
"
‘. A - A
d$if=
2
..........
d i , , A . . . A dXj,
( v é a s e el ejerc ic io 3 d e la s e c c ió n 5 .1 0 ). D e m u e s t r e las s ig u ie n t e s ig u a ld a d e s: ($ .u )x
=
($ .w )x
=
i V . . ^ [$ (x )]d $ < ,
a
· · · A d $ j(,
A-'VXj, , . . .
,
A , „ . . i , [ $ ( l ) ] A■
»1 < · · · < 1 , Jl < ■ ' 1 < ( $ .w )( J V f )
=
donde J ( M ) =
J(A Í)w [ $ (A Í )] .
D($
. . .
D (Xjx, . . . , i j , )
7) D em u estre que ten d r em o s
d [<í>,w] = < 5 ,(d w ) si w e s c o n t in u a m e n t e d e r iv a b le y
si la s c o o r d e n a d a s d e <Í>(M) s o n fu n c io n e s d o s v e c e s c o n t in u a m e n t e d e r iv a b le s d e la s d e
M.
■ ■ A dz>
8) Sean U, V y W partes abiertas de ¡Rm, R n, Rp y : £/ —* V y '$! ·. V -* W aplicaciones continuamente diferenciables. Si ui es una forma diferencial en W , entonces pruebe que (í» o $ ) ,w = ,o;). 9) Si $ es la biyección definida por x = r e o s 9, y = r s e n 9, que transform a coordenadas polares en cartesianas, del abierto l / c R ! (conjunto de puntos (r, 8 ) tales que r > 0, —^ < 0 < =y) sobre el U' c R2 (complementario del conjunto de puntos (x,y) de R2 tales que x = 0 y y $ 0). Pruebe que $ ,(d x
a
dy = ut) = r dr
a
d9.
Interprete esta igualdad geométricamente. _ , , . , , x d x — y dy Calcule 9 0 u> con u = x d x + y d y y con u = — ^ =— . x l + y¿ 10) Sea $ la transformación biyectiva de coordenadas esféricas a cartesianas: x = r sen 9 eos y = r sen 9 sen ip, z = r eos 9 de U = j(r,0,v>) /r> O,0e ]O ,7r[ ;v>e
_ ^ , ^ j c R3
en £/' c R3, complementario de { (x ,y ,z ) € R3/ x = 0 ,y
0} .
Pruebe que <í>, (dx
a
dy
a
dz — ui) = r 2 sen 9dr
a
d9
a
dtp.
Dé la interpretación geométrica. / ' • i i a j . j . j x d x + y dy + z d z Calcule
1 d2F r 2 d8 2
para ui en U definida por
Usando la relación del punto 7):
\11u111 m u
Algebra y análisis exterior / 233
A = A ° © A ' © • • • © A p.
111111
(véase la tab la de la sección 5.6). A es un álgebra graduada (A ,+,A ·, a ) . Pero también es un módulo por la operación / 6 A° : / a ui = fui. De aquí que (A,u/ + o/, Aíj, ui a u ' , / a u = fui) sea exactamente un álgebra bigraduada. Finalizamos esta sección con conceptos fundamentales íntimamente ligados a la diferencial o derivada exterior. Sabemos que la diferencial exterior d cambia en una unidad el grado de una forma diferencial: pui >-* (p+l^d(pui). Necesitamos un operador S que, inversamente, baje el grado: pui >-> < ~p~ l ^S(pui). Observemos que la dimensión del espacio ¡\p(nE ) de p-formas pui sobre nE es C p y es la misma dimensión para el espacio A^a -p ) („ £ ) de las (n —p)-formas. Esto se debe a la siguiente propiedad: C p = C "~ p. E je rc ic io 1 : Demuestre la propiedad anterior. La observación precedente permite definir un operador único que convierte el espacio Ap en otro An -P , el cual se llama transformación de dualidad u operador · de Hodge. En un espacio euclidiano está definido por
E sta operación dual permite escribir d(*pui) ~ *
=
*( 1 ) = dx a dy a dz = 3 u»;
*{lui)
=
*(dx, dy, dz) = (dy a d z ,d z a d x , d x a dy) = 2 ui\
*( 2 u>) ♦ ( 3W)
= =
(dx, dy, dz) = lui\ i = ° w.
Con la ayuda de d y * se define un nuevo operador 6 que baja el grado en unidad de una forma diferencial por la siguiente igualdad: 6
= ( - l ) np+n+1*d*.
1111«
11111 l u m i
* (dx" a · · · a d x ‘p) = [(n —p)!]~l e M...i»¿1.+i...tn<:^r l' +I a · · · a dx
z u iim u iin i uní tu ti m u
234 /A lgebra multilineal
El operador ó se llama codiferencial o coderivada exterior, o también operador ad junto de la diferencial exterior. Si Sui = 0 se dice que ui es cocerrada. Si existe o tal que u = 6 a se dice que u> es cohomólogo con cero. E je rc ic io 2: Pruebe que , *(pw) = (—l ) p(n~p)(pu>), es decir, ** ~ 1. E je rc ic io 3: Muestre que ó2 = 0. E je rc ic io 4: Compruebe que 6 (A ■ ds) = —d iv A E je rc ic io 5: Justifique que d2 = 0 implica, en componentes, que div rot = 0. E je rc ic io 6: Muestre que el laplaciano A se define también por A = (d + dS + 6 d , y transform a p-formas en p-formas: Ap —* Ap.
5.13.
6 )2
=
Formas sim plécticas
Aquí tratarem os algunos detalles estructurales de formas bilineales antisimétricas muy utilizadas modernamente en mecánica clásica y mecánica estadística. Consideremos una forma bilineal antisim étrica sobre un espacio vectorial E. Los elementos x y y son ortogonales por / si / ( x ,y ) = 0. Como f ( x , y ) = —/ ( y ,x ), entonces resulta que esta relación entre x y y es simétrica. Las nociones, ya vis tas, de subconjuntos ortogonales y subespacio ortogonal, núcleo, forma degenerada, propiedades sobre la dimensión del ortogonal, la proposición 9 de la sección 2.12 y otras propiedades de la sección 2.15 son de nuevo válidas y fácilmente extendibles aquí. También se concluye que el estudio de las formas bilineales antisimétricas se reduce al estudio de las formas bilineales antisim étricas no degeneradas. P r o p o s ic ió n 14: Consideremos una form a bilineal sobre el espacio vectorial E de dimensión par, 2p, con la base { e \ , . .. , e i p) 1)
Las propiedades siguientes son equivalentes: a) Los escalares /( e ¡ ,e ,·) son nulos excepto los siguientes: / ( e i , e2) = - / ( e 2, c t ) = 1,
/ ( e 3, e4) = - f ( e 4, e3) = 1
• ■ • . / ( e 2p- i , e 2 p ) = —/ ( e 2 P, e2P_ i ) = 1.
b) Cualesquiera que sean x = • · · + y2pe2 p, se tiene f(x ,y )
=
x l e? + · · · + x 2 pe-iv y y
( x V - x V ) + ( x V - x V ) + ··· + (x 2p- y p - x 2py2p- ‘).
=
y 1e 2 +
c) f = e l
a
e2 + e3
a
e4 H---- + e2p-1e2p.
2) Si estos condiciones se verifican, f es antisimétrica no degenerada. D e m o s tra c ió n : Sabemos que ( e 1 a e2)(x’ei,y j eJ ) = (x*y2 - x2y ‘) =*■ [(b)
(c )].
Es fácil ver que b) => a). Recíprocamente, a) implica b): =
/ ( x l e i ,y 2e2) + / ( x 2e2, y ‘e i ) + · · ·
=
x l y2 —x2y* H-------l· x 2p_1y2p — x2py2p_1.
+ / ( x 2p- 1e2p_ i , y 2pe2p) + / ( x 2pe2p,y 2p_le2p_ i)
Esto term ina la prueba de 1. La condición c) implica que / es antisimétrica. La condición b) implica que, si un vector x 6 E es ortogonal a todo vector y e E, entonces todas las coordenadas de x son nulas y por ende / es no degenerada. # D e fin ic ió n 20: Si una base verifica las condiciones a), b) y c) de la precedente proposición, se llama una base simpléctica para / . U na 2-forma no degenerada w de E se llama una forma simpléctica sobre E. La pareja (E,u>) se llama un espacio vectorial simpléctico. Se definen aplicaciones simplécticas entre espacios simplécticos, el grupo simplécti co de endomorfismos y el grupo de matrices simplécticas (subgrupo de S L real o complejo). Todos estos aspectos estructurales e invariantes son estudiados por el álgebra simpléctica y la geom etría simpléctica. Si se considera una forma bilineal antisim étrica no degenerada / sobre E, puede probarse que existen bases de E simplécticas para / y que la dimensión de E es necesariamente par. Resulta entonces que en un espacio vectorial de dimensión 2p existe (salvo un isomorfismo) una sola forma bilineal antisimétrica no degenerada.
5.14. P rob lem as 1) E n nE * , desarrolle y simplifique las expresiones: a) (2e* —e2) b) e21
a
a
(3e2 + e3);
e23;
c) (el —e2 + 3e3)
a
e21;
d) (e23 + e31)(5el —e2). Lo mismo para ¡E*:
:.
b) (e2 + e5)
a
e31
a
(e5 — e4).
2) Dados los 1-covectores i y y y u i =
X A y ,
pruebe que u j; =
3) Verifique que a A 6 + 6 AC + C A d = (a —6)
a
x,y j
—x ¡ y ^
(6 —c).
4) Muestre, utilizando el producto exterior, que 2ei + 3e2 —e3, e¡ + 2e2 y e¡ —2e3 son linealmente dependientes. 5) Verifique, usando a , que (e\ +3e3, e2—e3) es una base ordenada para el mismo subespacio vectorial de dimensión 2 de 3 E. 6) Sea u = i A y . Pruebe que Wy Uij Xj Vi
Ulik LJiic w Vuu Xic X[ = 0 Vk yi
y que WyWfcj + u ikujij +u¡iUjie = 0. 7) Calcule los siguientes productos escalares en \ E y $ E *: a) (e1 + e 2) -(e i + e 2). b) e 12 e 3 4. c) (e1 — e4)
a
(e2 + e4) · (ej + 2 e4)
a
(e2 — 2e4).
8) Por intuición geométrica, calcule el área de los triángulos cuyos vértices están en a) 0, 3ei + « ¡ y e 3 - e2; b) 2e3, ei —e2 — 2e3 y e t + 3e3. 9) Por intuición geométrica, calcule el volumen de una figura, en R4, con vértices en 0, e¡ — e3, e2, e3 + 2e4 (divida por 3!). 10) Demuestre que las funciones proyecciones de R" en R son diferenciables. 11) Sean n funciones reales / i , de una variable real, diferenciables sobre [ a ,6]. Sobre el cubo n dimensional U{a < ^ b ,i = l , . . . , n ) de R" se define la aplicación / de Rn en R escribiendo, para todo z = ( i i ,x„) e U: f ( x ) = 2 r = i />(I i)· Pruebe que / es diferenciable en todo punto de U. 12) Se dan n aplicaciones f u . . . , f n de Rn en R definidas en una parte de R'1. Suponemos que p ara i = 1 ,. . . , n tenemos
Pruebe que la aplicación / de Rn en R definida por / ( i ) = £ " =1 fi(x ) es diferenciable en el punto x. 13) Considere la 1-forma u>(x,y) = P ( x ,y ) d x + Q (x ,y )d y , se llama factor inte grante a toda función (x, y) i-» g(x, y) tal que la 1-forma (9
w)(x, y) = g(x, y ) P ( x , y )dx + p(x, y)Q (x, y)dy
sea exacta. Encuentre que la función g debe verificar la relación
14) Tomemos por w la función / : U -» R, / e Qgn\ U , R). A partir de la definición de diferencial / en el punto M = x e U, dfx (h) = (d/)(x, h) = f ' ( x ) - h , pruebe que la aplicación d f : U —* L (R ,R ) es la aplicación derivada / ' . Observe que: R U 3 x S + d f z e L{R, R ) : |
R 3 h - d/x(/i) e R.
R Entonces d/x e R*. 15) Se da la aplicación ip : E *2 - ► A i ( E \ K ) definida por (/* ,p * ) —* / * a j* . Compruebe que y es bilineal alternada. 16) Calcule la forma diferencial exterior
cjp
y wp+1 para la 2-forma
ijj = d x i a d i2 + d x 3 a dx4 -)-i- d x 2 p- i a d x 2p sobre Rn , con 2p ^ n. 17) Sea / e Ap(£ ; K ) y g K definida así:
6
A q(E\ K ). Asociemos a f y g \ a aplicación h : E p+q -»
h ( x i , . . . , x p+,) = $ ( / ( x 1, .. ., X p ) ,s ( x p+1, . . . 1x ,)) , donde <í> es una forma bilineal de K 2 —► ÍC. a) Deduzca que /i es una forma (p + (j)-lineal pero no es alternada. b) Establezca que el conjunto de las h formas es un espacio vectorial, el cual denotaremos A p%q(E\ K).
c) Verifique que el producto exterior de / y g es la aplicación A p q(E; K ) —» A p+q(E; K ). ¿Cómo se obtiene este producto? 18) Calcule la diferencial exterior de a) x 2y dx - x y 2 dy\ b) cos(xy2) dx <0
a
dz;
/( x ,y ) d x ;
d) x dy
a
dz ■+■ y dz
a
dx + z dx
a
dy;
e) ui = 2 d x + z 2 dy + x 2y dz; f) u) = / d x 1
a
···
a
dxn .
19) Halle la diferencial exterior de a) dwi
a u j
-
wi a
dui2 , y
b) du>i a u>2 a W3 + wi a du>2 y W2 sean de grado par.
a
U3 +
a
U2
a
duis con la condición que uii
20) Calcule la diferencial exterior, du>, de la forma diferencial en R n dada por:
lj
de grado (n — 1 )
n
Ul = ^ ( —l)'x ¡d x i A · · · A d
x A d x ¡+ 1 A · · · A dx„.
21) Considere la 2-forma u¡ = A dy a dz + B dz a dx + C dx a dy con A, B, C # 0 reales. Deduzca que es posible encontrar dos 1-formas a y /3 tales que uj—o / \ ¡3 no contenga dx ni dy. 22) En R3, con las co o rd en ad as!, y, z, seaw = P d x + Q d y + R d z , ui e í2Íl*(l/,R). Calcule du y obtenga su escritura canónica dw
=
(dR
d Q \J
{ * -
7 7
(dQ
.
(dP
dR\
) i y * d,+ { j ; - - s ; }
dP\ .
dz
a
dx
.
23) Consideremos la aplicación Q¡,n\ U , R) 3 ui : U —► ,4p(R,R) de clase C n . Además, consideremos la siguiente aplicación derivada (de clase C " - 1 ) ui' : U —* L (R; A p(R ,R )) tal que para el punto M e U se tenga K # · * 0 ) · ( X i , . . . , X P) € R.
a) Muestre que la aplicación derivada es (p +
o u>' esté definida
por la fórmula explícita de du/ 6
n < ;- 2)([/,R ): (du)(M -,Xo........Xp)
= (du/)M(*
a
cj2)= dui¡
a
24) Tomemos ui 6 Q ^ ( U , R). a) Demuestre que (du){M ;X u X i)
= dwM(* i , * 2) =
( w '( A Í ) A ’1) - X a - ( w ' ( M ) - * 2 ) * i .
b) Pruebe que una condición necesaria y suficiente para que du = 0 es que para todo M e U la aplicación bilineal ( * i , * 9) » » ( u >'m ( M ) X x ) X 2 sea simétrica. 25) Considere un espacio vectorial „ £ y sea e L (R n , R) la i-ésima forma coor denada. Dado un abierto !/ c R ", llamemos la restricción de u, a í/, considerada como una aplicación diferenciable x¡ : U —► R. a) Demuestre que la diferencial dx{ de la función x¡ es la aplicación cons tante U —» L (R n, R) cuyo valor es el elemento e Rn*. b) Si lj 6 fijn*(í/, R) tiene la forma canónica £¡*-i A ,( X ) d x i = ui. Calcule el valor w(AÍ; X ) para X = ( x i , . . . , xn ) e R" y M e U c Rn . c) Pruebe que si f e ÍIq^(U, R), entonces, la escritura canónica de df es
2 6 ) D e m u e s t r e p or in d u c c ió n q u e s i t e n e m o s u i = ui ¡ a · ■ · a w „ , d o n d e c j, e s u n a P i- f o r m a (u/¡ G íi[n\ U , R ) ) , e n t o n c e s , cLj
=
H--------- h ( — l ) , , , + p , + ” , + p » - , u )1 a -
27) Sea Í2pn*(l/, R) 3 ui = A ( x ) d x i¡ pruebe que
···
a
a
a
a
a ··· a
d z,p.
a u m
a
duin.
dzj ; con el resultado anterior
dz;p.
Luego obtenga la forma canónica djjj =
^
j-i
^ - d l j
a
d z¿1
i
28) Consideremos dos funciones / y g de R 3 con derivadas primeras y segundas continuas, tales que definan los siguientes determ inantes Dx=
f'y 9y
n g'z
D 2 = f'r g'x
a) Pruebe que w = df
a
f'z 9z
dg = D zdx
d
a
3 = fí 9x
dy + D id x
f'y g'y a
dz + D \d y
a
dz.
b) Calcule du y obtenga una relación entre las derivadas parciales D i, D i
y Z>3 . 29) Sea la 1-forma ui sobre R 4 tal que ui dx\ a d i 2 a d z 3 a dz« = 0. Halle una 3-forma w' tal que ui a o;' = d zi a d z 2 a d z 3 a d x 4 . 30) En la forma diferencial u> = x d y —y d x , haga el cambio de variables x — r eos 9, y = r sen 9 y exprese w en función de r, 9, dr y d9. 31) Consideremos la siguiente forma diferencial w = P (z , y) dx + Q[x, y) dy, donde P , Q,
^ son funciones continuas en un abierto U de R2. Deduzca dy dx que si ui es la diferencial de una función / real, definida y con derivadas • , · J rr dP dQ parciales primeras y segundas continuas en U, entonces — = -r—. En este dy dx caso se dice que ui es exacta.
32) Sea
la forma diferencial u = (1 + e y) dx + (x —2) dy.
a) Pruebe que u no es exacta, es decir, que no existe una función / con derivadas parciales primeras y segundas continuas en S 2 tal que u = df. b) Com pruebe que existe una función g dada por g{y) = ey de la variable real y, con derivadas continuéis en R, tal que g(0) = 1,de m anera que g(y) ■ u sea la diferencial de una función definida en R2. c) Verifique que f ( x , y) = (x —2)(ev — 1) + C, C e R, determ ina todas las funciones / tales que df(x, y, z) = g[y)u. 33) Sea la 1-forma cj = P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z definida en un abierto U de R3. Se supone que P, Q y R son tres funciones reales, continuas y con derivadas parciales continuéis en R. Se supone, además, que existe una función / continua que tiene derivadas parciales continuas en U y es tal que f ( x , y , z ) u es la diferencial de una función F. Demuestre que, entonces, se tiene la relación
34) Se dan f¡ (i = 1 , . . . ,p < n) p formas lineales independientes y g, (i = 1, . . . , p) p formas lineales, todas sobre el mismo espacio nE real, tales que £ ?= i f i a gt = 0. Deduzca que existen los p2 escalares g¡j = g3i de m anera que g, = ( g,}f, (i = l , . . . , p ) . 35) Sea nE y una forma multilineal alternada / sobre nE. Se dice que / es divi sible por una forma multilineal alternada g, si existe otra forma multilineal alternada h tal que / = j a / i , Pruebe que / a / = 0 en cada uno de los casos siguientes: a) / es p-lineal alternada con p impar; b) en que / es divisible por una q-forma alternada con q impar. 36) w (x,y) = y dx — x d y es una 1-forma. Pruebe que no es cerrada, y que por consiguiente, no es exacta. 37) Verifique directam ente que la 1-forma w =
2x
l d x 1 H-------h 2xn d x n es exacta.
38) Compruebe que si wi y lj? son dos formas diferenciales cerradas, entonces uii a ui2 es cerrada. M uestre que si lj\ es cerrada y U2 exacta, entonces u/i a wj es exacta. 39) Establezca que si la forma diferencial ui tiene un factor integrante / , entonces, necesariamente f u e s cerrada, y u a du = 0.
40) Justifique las siguientes afirmaciones: a) E n general, un multivector no es un vector multidimensional. b) E n particular, los cuadrivectores de M4 (los 4-vectores de la relatividad) no son los 4-vectores del álgebra exterior de M4. c) ¿Hay abuso de notación y lenguaje para los cuadrivectores de M4? E x plique. 41) Sean / , g, h e nE* sobre K . a) Pruebe que f , g y h son linealmente independientes si, y sólo si, / /i* 0 . b) Compruebe que las componentes de / son los escalares
CXijlc =
/(«<) 9 {et ) /i(e¡)
/(«>) g{e¡) /i(e3)
a
g
a
a
g
a
h, con relación a la base (e; ),
fM g(ek) h{ek)
42) Consideremos nE sobre K conmutativo, con la base (e*), / e A i{ E ) y g e £ * . Calcule las componentes de / a g e A${E), con relación a (e¿), y pruebe que son los escalares Q ijk = / ( e i , e j ) g ( e k ) +
f ( e jt
e k)g(ei) +
f{ek, e i) g { e j) .
43) Se dan dos formas exteriores u>i y ui? continuam ente derivables en un abierto de Rn. Se dice que ¡j¡ es un cocido si du\ = 0. Se dice que u¡2 es un coborde si ui2 es de la forma dui. Demuestre las siguientes afirmaciones: a) Un coborde es un cocido. b) El producto exterior de dos cocidos es un cocido. c) El producto exterior de un cocido y de un coborde es otro coborde. 44) Sea una aplicación / de R4 en R 4 dada por f( x ,y ,z ,t) = (X ,Y ,Z ,T ), donde
= A ^
^ , con A = ^
. Pruebe que si det A = 1
entonces la 2-forma d x d z es invariante respecto de / , es decir, se conserva: d x d z = d X dZ.
45) Dado el espacio vectorial Q real de las formas diferenciales de primer grado u = P ( x ,y ) d x + Q (x ,y )d y continuamente derivables en U = R2 — {(0,0)}, dem uestre las siguientes propiedades: a) El conjunto C de las formas diferenciales cerradas, y el conjunto E de las formas diferenciales exactas son subespacios vectoriales de Q; además E
46) Considere la p-forma ui e fípfc*(£/, R), u : U —* i4p(Rn,R). Si tenemos la aplicación tp : U' —» U de clase C k+l del abierto U' de Rn, se podrá, entonces, definir una p-forma de clase C n , notada
e
· y i. · · · , ¥>'( M ') · yp)
U' y los vectores ( y i , . . . , y p) e Rnp. tp’( M ')
e
a) Pruebe que p ara p = 0 existe una función / de clase C k y, entonces, / ’-* V· / = / 0
envía linealmente f
R) en n ' k)( t/',R ).
b) Haga todos los posibles diagramas de las aplicaciones del enunciado de este problema y busque una composición de aplicaciones interesante. c) Deduzca que la fórmula del cambio de variable tp^ui asocia a toda forma diferencial u e f i ^ '( í / , R) otra forma diferencial tpt ui e ?Ú p\U ', R). d) Pruebe que la aplicación
h) Pruebe que finalmente p ara obtener la escritura canónica de ip^cu hay
del literal precedente y desarrollar. i) Deduzca la siguiente regla práctica p ara la escritura canónica de (pt ui: i)
Escribimos la transformación <-p expresando las coordenadas ( x i , . . . , i k ) = Ai de
a
■·■
a
, como combinación lineal de
d x ¿p; demuestre, con la regla anterior,
48) Si suponemos que k = h = p y damos la p-forma u = A (x) dx\ probar, por la regla anunciada en (i), que
a
a) dx 1 a · · · a dxp = J dj/i a · · · a dí/p. b)
93, 0;
= A[v?(y)]
dj/i
a
· · · a
dyp donde
Jacobiano de
···
a
d x p,
6 A lg e b ra te n s o ria l Por último estudiaremos una aplicación de las formas multilineales a la teoría de los tensores. Los tensores son sencillamente formas multilineales, es decir, funciones multivectoriales con valores numéricos: el tensor transform a vectores y covectores en números. En general, el cálculo tensorial estudia la representación, en forma simbólica y condensada, de los procesos que tienen lugar en las transformaciones generales de coordenadas. Prácticam ente los objetos físicos se clasifican en tensores y espinores. Aquí no.nos referiremos a los segundos, sino a los primeros que abarcan desde los simples números hasta los tensores propiam ente dichos, pasando por las diferenciales, formas diferenciales exteriores, elementos de superficie y de volumen, vectores, covectores, diadas, etc. (Véase la sección 5.6.) El cálculo tensorial, tr a ta del álgebra y del análisis tensorial; también se le conoce con el nombre de cálculo diferencial absoluto. El adjetivo absoluto será explicado más adelante, y su uso hizo que el cálculo tensorial también se llamara teoría de los invariantes.
6.1.
Relativo y absoluto
Ahora expondremos el concepto de tensor y exhibiremos su esencia epistémica y ontologica, desde el punto de vista físico y matemático. Prim ero examinemos el carácter físico de los tensores. P ara confeccionar las leyes físicas de la naturaleza, el físico debe proceder irremediablemente a la realización de; experiencias legítimas y cuidadosas, las cuales implican la ineludible opción de dos cosas: 1) la elección de un sistem a de referencia (patrón de medidas, coordenadas, bases, representaciones, etc.) y 2) la escogencia de un a escala de tiempo (reloj). Ca-
da observador gozará de licencias (relatividad) para disponer a su m anera de tales instrum entos, de tal modo que en el estudio de un fenómeno particular aprehen derá las m agnitudes físicas por sus componentes (relatividad m étrica), las cuales dependen forzosamente del sistem a de referencia elegido o, m ás prosaicamente, del observador. Por observador se entiende en física a un sujeto ideal, inm aterial, neu tro, imparcial, anti-antropocéntrico y receptor sin interacción, que está ligado a un sistem a de referencia y está equipado con un m etro para medir intervalos espaciales y un reloj para observar coincidencias. Lo esencial y legítimo en las observaciones es buscar la esencia, la ¡nv&riancia, la perseverancia, la constancia, el objeto; atributos todos ocultados por las apariencias, por la m ultitud de información y manifestaciones, y por la diversidad de relaciones concomitantes con otras cosáis. De esto resulta que, como ya hemos comentado, el físico oriente su interés por las propiedades de los objetos físicos que son absolutos, intrínsecos y no por sus simples apariencias o manifestaciones como son las com ponentes o coordenadas que son arbitrarias, accesorias, contingentes y relativas a cada observador o sistem a de referencia. En otros términos, el objeto apetecido por el físico es aquel que tiene una m odalidad existencial independiente del observador y de su estado de movimiento. Esto constituye esencialmente el principio de relatividad (mejor dicho, de absolutividad): La relatividad propia a cada individuo y región, lo autoriza a definir objetos intrínsecos e invariantes y a elaborar con ellos estructuras covariantes que serán los soportes de la realidad objetiva que pretende describir. Los mencionados objetos y sus relaciones son los únicos criterios de veracidad (aparte, naturalm ente, de la sanción experimental). El discurso relativista persigue absolutivizar, objetivizar, unificar y unlversali zar las diversas modalidades fenomenológicas de la experiencia; además, obliga al sentido común primario a rendirse ante la firme y paradójica existencia del espíritu dialéctico y la naturaleza compleja: relatividad equivale a absoluto.
6.2.
Invariantes y rep resentacion es tensoriales
Las entidades físicas invariantes o estados del universo que se presentan para descri bir los aparentes estados de un sistema, nunca entran directam ente en las ecuaciones m atem áticas. Ellas sólo hacen acto de presencia a través de sus medidas relativas o manifestaciones métricas. De aquí que todo número o grupo de números susceptibles de hacernos conocer, de una m anera única, tales estados del universo, puede ser considerado como una medida representativa del estado. Podemos, por consiguiente, elegir entre los diferentes puntos de vista el que nos plazca y asociar a cada estado un número-medida. El caso más simple es aquel en donde la entidad física se encuentra plenamente definida —identificada— por un sólo número (por ejemplo: el intervalo ds2, la fase de una onda, la entropía, la masa, la carga, etc.). En este caso, y sólo en él, la
transform ación que hace pasar de un modo de determinación del número-medida a otro correlativo, tom a el nombre de cambio de unidad. Entonces las ecuaciones que resultan entre estas entidades serán independientes de las escalas de medida (métrica) y de las unidades. E sta invariancia primitiva corresponde al hecho de que diferentes ecuaciones aritm éticas, que se asocian a los diferentes modos o manifes taciones de la determinación del número-medida, se confunden todas en una única expresión algebraica invariante. Tenemos lo que se conoce con el nombre de una representación escalar del estado. El escalar mismo es el soporte o portador de la representación. O tra categoría de entidades físicas necesitan esencialmente de un grupo de tres, cuatro o más números-medidas para ser determinadas. En este caso el número de modos de determinación del conjunto de números-medidas es ¡incomparablemente más rico que el precedente. El paso de uno de esos modos a otro correlacionado específicamente constituye una transformación de componentes, o cambio de ob servador, o sustitución de punto de vista equivalente. De aquí resulta la llamada representación vectorial. Los portadores de esta representación son los vectores. El procedimiento anterior se generaliza al caso de entes del universo más com plejos que exigen, para su determinación exhaustiva, grupos de diez y seis, veinti cuatro, doscientos cincuenta y seis, o más, número-medidas o funciones. Esto con duce a la llamada, en general, representación por medio de tensores. Estos son los acarreadores de la representación. Fue por el anterior prodecimiento generalizador, que el físico W. Voigt (18501919), trab ajan d o hacia 1896 con la física de los cristales, orientó sus investigaciones tendientes a generalizar ciertas nociones conocidas en la teoría de las tensiones en los medios continuos materiales, y fue conducido a crear la teoría física de los tensores y a propagar su uso fecundo en otros terrenos. Ahora comprendemos que el objetivo del cálculo tensorial es clasificar las diferentes magnitudes físicas según las leyes determ inadas de variación de sus componentes cuando hay cambio de referencial o de sistem a de coordenadas o, más humanamente, de observador. Es un cálculo absoluto porque tra b a ja en un marco intrínseco, válido en cualquier espacio, independiente de las coordenadas e indiferente a las dimensiones. Nos liberamos así de esos detalles contingentes, relativos y accidentales. Pero el anterior proceso de generalización no fue un simple paseo idílico por los senderos de la evolución del pensamiento. Fue muy arduo para el físico llegar a comprender este mecanismo, aquí simplificado a posteriori. Sobre todo que el físico se interesaba exclusivamente por el estudio de los campos o funciones tensoriales de variable vectorial, sin saber de antemano qué era un tensor. De allí la célebre anécdota que n arra la respuesta que dió el astrónomo A. S. Eddington (1882-1944) a alguien quien, hacia 1920, le comentó seriamente que fuera del propio Einstein, sólo había en el mundo tres personas que entendían la teoría de la relatividad, Eddington preguntó: “¿Quiénes son los otros dos?". Evidentemente, esto era una
exageración, ya que un simple conteo de físicos, que comprendían, trabajaban y publicaban sobre relatividad en 1920, eleva ese número a unas veinte personas. Pero los físicos no estaban solos en sus angustias sobre la comprensión y asimilación de los tensores, los matemáticos lograron los fundamentos modernos (claros, distintos y transparentes) de la teoría m atem ática de los tensores sólo a partir de 1930.
6.3.
Tensores
Veamos ahora el punto de vista estrictam ente matemático. La actitud del m atem á tico es la de hacer corresponder a cada uno de los diferentes sistemas de coordenadas un conjunto particular de números o funciones según dos reglas de variancia: cova riantes o contravariantes. En cambio, el físico procede inversamente, él hace corres ponder los sistemas de coordenadas a su conjunto de números-medidas apoyándose en las mismas reglas vectoriales. N aturalm ente, los dos puntos de vista, matem ático y físico, son equivalentes, indistinguibles. Por ejemplo, el matemático escoge cuatro números Vj, V3 y V4 asociados a cierto sistem a de coordenadas ( i l ,X 2 , 1 3 , 1 4 ). P a ra otro sistem a de Coordenadas (z'i, x'j, z'3,' x4) se tendrá V{, V2', V¿ y V{. Al generalizar, designamos por el mismo símbolo V al grupo de esas cuatro cantidades. En vez de definir todos los elementos de V en cada número infinito de sistemas de coordenadas, el m atem ático se da la regla general de transformación de V al cambiar de coordenadas; es decir, que per mite encontrar los cuatro valores anteriores para un cierto sistem a de coordenadas, cuando los conoce en otro sistema de coordenadas. Un tensor generaliza la noción de vector, y es una función numérica de va rios vectores. Un vector es un objeto general que sirve para designar conjuntos de cantidades o funciones; cada conjunto corresponde a un sistema particular de la infinidad de sistemas coordenados. Un campo tensorial es una función la cual, aparte de depender linealmente de vectores, depende también de los puntos del espacio. Un objeto con múltiples determinaciones se llama un invariante con respecto a to d a transformación de coordenadas si conserva alguna propiedad. De manera que, los vectores, tensores y espinores son invariantes. Las múltiples determinaciones son las componentes, las cuales son covariantes o contravariantes. La covariancia de las leyes de los fenómenos físicos perm ite escribir sus ecuaciones sin presuponer cualquier sistem a de coordenadas particular. E n las ecuaciones tensoriales entran los tensores físicos absolutos, los cuales no son contravariantes ni covariantes. Sólo tienen las componentes contravariantes y covariantes como una generalización de una cantidad física. Esa dimensión tensorial o variancia debe ser la misma para todos los términos de una ecuación general. La contravariancia y la covariancia son diversos modos de existencia de un único y mismo objeto, son las manifestaciones de un mismo ser que se proyecta paralela
o perpendicularmente a los ejes coordenados. Según una ley que escoja el físico, éste identifica las entidades físicas con vectores contravariantes o vectores covarian tes. Por ejemplo, el desplazamiento infinitesimal entre puntos cercanos se considera un 4-vector contravariante con transformación de componentes determinada. Esto induce la introducción de sistemas de coordenadas en el universo. Resulta, pues, una correlación geométrica entre el sistema de medidas que da la magnitud del desplazamiento, y el sistem a de coordenadas que lo localiza. A través de la m ultitud de índices de una magnitud física, ésta se relaciona con la m ultitud de referenciales que los observadores escogen y usan para reportar los fenómenos. Es aquí en esta etap a donde los observadores intervienen en la elabo ración de I « leyes físicas; éstas se traducen por ecuaciones covariantes (es decir, que guardan siempre la misma forma) entre objetos invariantes. A veces se tom a invariante y covariante como sinónimos. En las fórmulas se hacen desaparecer los índices, los cuales como detalles accesorios y contingentes traducen la intervención del sistem a de referencia u observador. Ya vimos que toda ecuación que expresa un estado tendrá una infinidad de formas auténticas, correspondientes a los diferentes modos de determinación. Toda ecuación física expresa la identidad de dos aspectos diferentes o manifestaciones separadas del mismo estado. U na ecuación verdaderamente general, universal y absoluta no debe, pues, depender del modo de determ inar los números-medida. E sto se preserva cuando los números-medida de cada uno de los términos de la ecuación se transform a según la misma regla. O tra manera equivalente de decir esto, es afirmar que deben tener las mismas dimensiones físicas y el mismo grado de variancia, es decir, de contravariancia y covariancia. Una ecuación es legítima si no viola esta doble homogeneidad y, por ende, conserva siempre la misma forma frente a to d a transformación de coordenadas; decimos que la ecuación es, entonces, covariante. La evolución de un fenómeno está regido por ecuaciones que gobiernan el compor tam iento de objetos o símbolos. E sta descripción no queda influenciada, en principio, por la m anera particular de cómo se obtuvo la medida. La modalidad, apariencia o manifestación no debe figurar directamente en la fórmula. En esto consiste el análisis objetivo que el cálculo tensorial ha legado a la física.
6.4.
Form as m ultilineales y ten sores
Fue sólo a partir de 1930 cuando la noción de forma lineal y multilineal comenzó a invadir el terreno propiamente matemático y permitió dar la definición correcta de tensor. Es bien sabido que el físico se interesa exclusivamente por la noción de campo tensorial (función tensorial de variable 4-vectorial, es decir, se asocia a cada punto o evento de MU el valor de un tensor de especie dada). Al físico le tomó mucho tiempo para poder asimilar, de manera genuina y geométrica, la noción de tensor
ya que él se interesaba por funciones tensoriales sin conocer muy bien lo que era un tensor. Reinaba una confusión abom inable entre tensor, valor de un tensor y función cuyos valores son tensores (campo). Hoy día la situación anterior se ha superado felizmente gracias al álgebra multi lineal. Todavía los físicos dan la “fórmula" o “receta” de definición de tensor, pero aunque allí se usen coordenadas, de hecho el tensor es independiente del sistem a de coordenadas escogido para definirlo. La ley fundam ental de la física es que los siste mas de coordenadas sólo se reducen a instrum entos métricos para estudiar objetos que, teniendo una significación intrínseca, devienen aptos para relativizar las medi das y absolutivizar las leyes y ecuaciones tan to de la geom etría, como de la física. No hay que olvidar que el cálculo tensorial nació en m atem áticas con el estudio de la geom etría infinitesimal (tam bién llam ada geom etría diferencial); y en física con el estudio de la elasticidad. Una forma 1-lineal, 2-lineal, o multilineal invariante es dada de una vez por todas sin particularizar los sistemas de coordenadas sino los espacios de salida y llegada. Por esta razón, una forma cuadrática de diferenciales es invariante, su valor es in dependiente del sistem a de coordenadas y ella b asta para definir y especificar un espacio, independientemente del sistem a de representación. Según la naturaleza del espacio aparecen tensores específicos. Por ejemplo, si el espacio es euclidiano, enton ces la teoría de la invariancia de los tensores se establece con relación al grupo de transformaciones ortogonales que conectan los diferentes sistem as de coordenadas. En este caso los coeficientes o elementos de m atriz de la transformación —cambio de base— son constantes con la ortogonalidad de los vectores filas y columnas, respectivamente. Tam bién se pueden usar otros grupos de transform aciones continuáis y derivables, entonces aparecen matrices variables, continuas y diferenciables con tipos de espacios y geom etrías más generales. Concluimos, pues, que el objetivo fundamen tad de la teoría de los tensores o teoría de los invariantes, es considerar expresiones algebraicas y analíticas que se preserven frente a todas las transformaciones lineales homogéneas (aquí se engloba el caso restringido de las transformaciones ortogona les), y aún, transformaciones no lineales arbitrarias. E sta teoría geom étrica de los tensores (invariantes) estudia las propiedades intrínsecas y las relaciones entre los tensores. Además, permite dar a lais ecuaciones de la geom etría y de la física una forma independiente de la escogencia de las coordenadas (forma covariante). En general, una m agnitud física o geom étrica será un tensor si ella determ i na unívocamente y sin arbitrariedad una forma algebradca multilineal, cuyo valor depende del sistem a de coordenadas de una m anera específica, y a la que, inver samente, el conocimiento de dicha forma determ ine com pletamente. En efecto, al depender linealmente (la magnitud en cuestión) de una o varias series de variables ella se encuentra com pletamente caracterizada por la forma mencionada. Las diver sas variables de cada serie se transform an cuando se pasa de un sistem a de vectores de base a otro.
de base a otro. H. Weyl, desde 1918, comenzó a despejar la base algebraica de los tensores en física, aportando claridad y transparencia meridiana. Paradójicamente, Einstein confesó que no entendía un célebre libro de Weyl, Espacio, tiempo y materia (1919), donde da la siguiente definición: “Una forma lineal [sic] de varias series de variables que dependen de un sistem a de coordenadas escogidas, es un tensor, si ella conserva un valor independiente de ese sistem a cuando en ella se reemplaza cada serie de va riables contragredientes por las componentes de un vector contravariante arbitrario, y cada serie de variables congredientes por un vector covariante cualquiera” . Más concisa y modernam ente, un tensor de rango p es una función, la cual asigna a p argum entos vectoriales, valores numéricos que dependen linealmente de cada vector.
6.5.
Tensores y representación de grupos
O tro aspecto fundamental de los tensores es la representatividad. Las m agnitu des físicas y geométricas son escalares, vectores, y en general, tensores, con ayuda de los cuales se expresa la naturaleza m atem ática del espacio en sus modificacio nes representativas. Son exactam ente, objetos de representación de los diferentes grupos de transformaciones. Por abuso de lenguaje, se dice que los tensores son representaciones de grupos, de los grupos lineales. Luego, el cálculo tensorial es una extensión de la teoría de los grupos de transformaciones a las relaciones algebraicas no holónomas. El espacio es la forma de los fenómenos; aquél debe ser forzosamente homogéneo en su globalidad. En física, la utilidad esencial del cálculo tensorial, o teoría de invariantes, no es únicamente la de representar el estado métrico del espacio, sino la de construir campos tensoriales de estados físicos sobre él. Es bien sabido que un espacio está definido por el “ds” , o forma cuadrática diferencial de coordenadas, el cual es invariante por definición. Al no cambiar “ds” , la imagen del espacio es aplicable totalm ente sobre el espacio inicial; es decir, espacio e imagen son físicamente indiscernibles, por la invariancia del “ds” con respecto al cambio de coordenadas. Se pasa de un “ds” a otro con una relación diferencial de la forma d i = A dy no integrable, es decir, una ligadura no holónoma. El ds2 al tom ar una forma independiente de todo elemento extraño, permite dar universalidad y legitimidad a la física y a la geometría. La descripción por los intervalos ds es indiferente a la descripción por las coordenadas. El ds está con trolado por la experiencia, no se da “a priori” ; pero una vez dado, su imperio no conoce límite de validez y define un sólo universo real dentro de todos los universos posibles, imaginables y quiméricos. En ese universo único, lo que no está prohibido es obligatorio. En los párrafos precedentes se ha hecho uso de la hipótesis tácita que afirma que
todo lo que, en la ciencia experimental, depende de la situación de eventos (todo lo que podemos saber de su configuración) está contenido en la relación que une esos eventos dos a dos. E sta relación es justam ente el intervalo. El invariante, absoluto, preserva su naturaleza la cual permanece independien te de la m odalidad del referencial, aunque paradójicam ente to d a m agnitud física o geom étrica invariante es alcanzada directam ente por medio de sus componentes, relativas, dependientes de los sistemas de referencia. Estos se encuentran interconectados por grupos de transformaciones o de movimientos, llamados grupos de invariancia o simetrías. La característica intrínseca se describe por un cierto núme ro de com ponentes las cuales se transform an por reglas bien determ inadas y fijas. Las com ponentes se conocen en todos los sistem as de referencia.
6.6.
R elativid ad y ten sores
La relativización busca la homogeneidad absoluta y to talitaria a través de la vectorialización y de la tensorialización. De esa m anera se elimina todo antropocentrism o mezquino y to d a concepción antròpica perniciosa. Así se tem pera y re'mterpreta el alcance del aforismo protagórico: “el hombre es la m edida de todas las cosas” . Que da así extirpado el relativismo vulgar y sofista en favor exclusivo de lo impersonal, del relativismo físico. De m anera que el estado cinético particular del observador tam bién es excluido. Se llega al aforismo galileano: “el movimiento es como na da” . En forma m oderna se llega al relativismo físico positivo: la descripción de los fenómenos no es alterada por la posición ni por el movimiento. O bien, su forma negativa: el movimiento absoluto es indetectable, por principio. La relatividad cobra ahora un sentido ontològico al renunciar a to d a descrip ción subjetiva en beneficio de la realidad objetiva intrínseca. Desde el punto de vista físico, la relatividad sintetiza, reconstituye y totaliza los diferentes puntos de vista y perspectivas fenomenológicos. M atem áticam ente hablando, la relatividad generaüza y extiende el dominio de validez de las leyes y estructuras. El resultado espectacular es, en definitiva, la aparición de una inercia absoluta, generalizada y universal, es decir, el observador libre absoluto. Volvamos al proceso experimental de m edida de una sola m agnitud, la cuad so metemos a diversas observaciones que pueden provenir de un mismo referencial o de referenciales (u observadores) diferentes en movimiento relativo. P ara em anciparnos del fenómeno, de lo pasajero, de lo aparente, debemos extraer y guardar sólo aque llo que durante el cambio o evolución se preserva en absoluto y las relaciones que conservan su forma invariante (covariancia), y son susceptibles de constituir una legítima ley física. La covariancia de las leyes físicas entre objetos invariantes es el resultado definitivo y apoteósico del principio de la relatividad del movimiento del observador en el sentido fuerte. Así se exorcisa o aleja el fantasm a de erigir en ley universal lo que sólo son percepciones individuades u opiniones subjetivas. E sta reía-
tivización to talitaria de la física se obtiene y garantiza gracias al álgebra y al análisis tensorial, que son los instrum entos naturales para consumar la absolutización de la física. Ellos proveen las entidades geométricas que son los escalares, los espinores, los vectores, los tensores y los twistores; y la física encontrará las respectivas ecua ciones escalares, espinoriales, tensoriales, etc. de los fenómemos naturales. De esta manera, el aparente y caótico mundo físico adquiere orden, belleza, sim etría y ar monía; llega a ser el cosmos de los antiguos griegos. Así queda eliminada la vanidad de los hombres y el capricho de los dioses.
6.7.
H o m ogen eid a d , uniform idad y tensores
La últim a m anera de ver los tensores es la siguiente. La teoría de los tensores es una extensión de la teoría física de la homogeneidad. Toda ecuación que exprese una propiedad física o geom étrica debe necesariamente ligar cantidades de la mis ma naturaleza física o geométrica, las cuales deben reaccionar de la misma m anera a todo cambio de unidad o de calibración de las coordenadas. En esto consiste la independencia de calibración o norm a ( “gauge”). Pero los tensores obedecen a otro tipo superior de homogeneidad, diferente de la calibración métrica de los ejes. Ellos responden de cierta m anera no al cambio de unidad, sino al cambio absolu tam ente arbitrario de los procedimientos de referencia, es decir, a transformaciones cualesquiera. L a teoría especial de la relatividad, por medio de su principio de relatividad especial, refleja exactam ente la uniformidad e isotropía de la métrica minkowskiana. Es la m áxim a uniformidad, es decir, la equivalencia de los puntos e instantes, la equivalencia de las direcciones y la equivalencia de los referenciales inerciales. E sta uniformidad to talitaria es consecuencia de la existencia de grupos de trans formaciones que dejan invariante al ds2, el cual es un absoluto lorentziano. Este es otro aspecto de la contingencia y necesidad paradójica de las coordenadas. El lenguaje apropiado para expresar estas modalidades es el del cálculo tensorial, el cual construye relaciones absolutas y universales, válidas en todos los rincones del espacio. La uniform idad máxima precedente es destruida, cuando no malograda irreme diablem ente, por la presencia de un campo de gravitación (omnipresente); en otros términos, con la m étrica riem anniana se pierde inexorablemente la uniformidad e isotropía del espacio “vacío” de Minkowski. En la teoría general de la relatividad, la cual justam ente estudia los fenómenos gravitatorios, existe una relatividad debi litada; dicha teoría tiene menos relatividad; es, paradójicamente, menos general. La uniformidad m áxim a de la relatividad especial se extiende sólo a regiones infinitesi males, es decir, se abandona la uniformidad global en beneficio de una uniformidad local (a retazos) que tiene una ley de empalme o conexión determinada. El espacio de Riemann, no es ciertamente, uniforme. La teoría especial de la relatividad es
sinónimo de teoría de la uniform idad del espacio-tiempo de Minkowski. La teoría general de la relatividad es sinónimo de uniform idad local, restringida. Por eso al gunos físicos sostienen que la teoría general de la relatividad no es relatividad, sino teoría de la gravitación, ya que abandona a Euclides en provecho de Riemann.
6.8.
P r o d u c to ten sorial de formas m ultilineales
Ya tuvimos la oportunidad de familiarizarnos con el producto tensorial de formas lineales (véanse las secciones 1.3 y 1.4). A hora se tra ta de generalizarlo a las formas multilineales, no sin antes hacer algunos desarrollos previos. Tomemos los p espacios vectoriales sobre K , E \, . . . , E p y una forma lineal / , en cada / , e L(E,\ K ) - E*, Vi = 1,2, . . . , p . Entonces por definición tenemos la siguiente aplicación ( x i , . . . , x p)>— ♦ / ( * ! , . ...X p ) = ( f i \ n ) { h \ x 2 ) - - - { f P\xP) e K
V xísE í.
La función / es una forma p-lineal sobre E \ x · · · x E p = x f = JE i. llam ada producto tensorial de las p forméis lineales f \ , . . . , f p y la denotarem os
E je rc ic io 1: Pruebe que este producto tensorial es asociativo, no conm utativo y distributivo con respecto a la suma. M ostremos que to d a forma multilineal sobre x?=1£ ¡ es una sum a de productos tensoriales de formas lineales; más exactam ente: P ro p o s ic ió n 1: Consideremos p espacios vectoriales E \ , . . . , E p de dimensión n¡ (1 < j ^ p) sobre K ; para las p bases tomemos la base genérica (eJnl, . . . , t j nJ) de E j. Sea además, f una aplicación de x 1 en K . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) f es multilineal. ii) Existen constantes / ( i 1 ,. . . , Xp) =
6 K ft. < ¿i ^ n i, . . . , 1 < ip $ n p) tales que 2
X 'l ■ ■ ■ x 'p f i l
ip
l<>p
cualesquiera que sean los vectores Xj = 2 i í i j í n j = / ( e i «i >■ · · >epip)·
e Ej (\ ^ j ^ p )
D e m o s tra c ió n : i) implica ¿i), ya que un cálculo sencillo y directo basado en la multilinealidad de / , que generaliza el caso p = 2,3 de la sección 2.2 conduce a ¿i). Recíprocamente, si / está dada por la fórmula en ü ) es suficiente, para probar la multilinealidad de / , verificar que el término general cl
Xp J l l - t p
de la sum a de ii). es una forma p-lineal de Z i, . . . , z p. Pero como f i v ..ir es indepen diente de i i , · · · , z p, b asta verificar que la expresión z'j1 ■ ■ - x'p es p-lineal. Ahora bien, esto es fácil de ver tom ando las rij formas coordenadas (ej, e2, . . . , e"J) del espacio vectorial Ej (donde cada eV es una base de £ * ). Con relación a la base (e}¡, — , e¡ n ¡) tenemos Z j 1 * · * Zpp
=
( e i , | x 1) - - - ( e j » | z p )
=
(e*!1 ® - - - ® e J f ) ( z i,...,Z p )
De aquí resulta que la función ej1 ® p-lineal; por tanto f(.X\ 1 · · · TZ p )
fi |. . .
—
® ep =
, e ’ = e’1" 1'’ es una forma
ipfif ® ‘ * * ® CpP ( l l | · · · , Z p ) ,
*i‘ KiCp lo que prueba i), es decir, que toda forma multilineal es una combinación lineal de los productos tensoriales de las bases duales. Finalm ente, ti) implica iii) ya que de ii) y de la antepenúltim a relación se deduce que /(e i*i i - ·
f
· i e p i P)
=
7l(Vleii,)···
(epr |ePi .)
fh ,...h .
Los n in 2 . . . n p elementos / i , ...¡p de K se llaman los coeficienes, componentes o coordenadas de / con relación a las bases (e¡,), (e¡2), . . . , (e¡p) de £ lt . . . , E p. En el caso, más interesante para nosotros, E \ = - · ■ = E p = E , se emplea la misma base (e<) en £ i , . . . , E p. Entonces la fórmula en ii) no cambia y a /¿ ,...< = / ( e ¡ , , . . ., e< ) se les llama las componentes de la forma p-lineal / e L P(E\ K ) con relación a la base (e¿) de £ o del tensor T p veces covariante.
C o ro la rio 1: La dimensión del espacio vectorial L ( E \ yE i , - - - , E p\ K ) , de las for mas multilineales, es ■ ■ ■ n p; las n \ n 2 · · · n p formas p-lineales e*,1 ® ® ep conforman una base y toda forma multilineal, o tensor covariante, se escribe de manera única así: L (E i, . . . , E P\ K ) 3 f = T = f ili2...ipe\' ® ■ · E je rc ic io 2: Demuestre el corolario anterior. N o ta 1: La proposición 1 es sorprendente porque nos ha dado una cantidad de información inesperada e impresionante: dimensión, base, componentes, descompo sición, etc. C o ro la rio 2: dim/e L p(n E\ K ) = n p, su base es (e '1®· ■ se escribe de manera única T = f =
/ ¡ 1 ...ip e ' 1
y toda f e L p(n E-, K )
® - · ·
E je rc ic io 3: Pruebe la propiedad anterior. N o ta 2: El álgebra multilineal estudia los espacios vectoriales. L ( E u . . . , E p-,F),
L ( E i , . . . , E P] K ) ,
Lp(nE , K )
y sus diversas operaciones. Cuando p = 0 ,1 ,2 , encontram os, respectivamente todo lo estudiado en K , en álgebra lineal y en álgebra bilineal, como casos particulares. El siguiente cuadro sinóptico nos ilustra lo dicho (el espacio de llegada es F o K): Á lg e b ra s p — 0:
L q(E\ K ), álgebra de K .
p = 1:
L \ ( nE\ K ) , álgebra lineal (transformaciones lineales y matrices).
p = 2:
L 2 {nE ] K ) , álgebra bilineal (producto escalar, formas cuadráticas).
p = 3:
L s ( E \ K ) , álgebra trilineal (producto mixto).
p ^ n:
A p(n E \ K ) , álgebra multilineal alternada (determ inantes, álgebra exterior A(E), A*(E)).
P-
L p(nE\ K ) , álgebra multilineal (tensores
®¿?*).
Este último caso general contiene el resto. E sta tabla jerárquica ilustra la insistencia con que se dijo, desde un comienzo, que el curso era la apertura de una vasta ventana para desde lejos com tem plar un
r
:
Algebra tensorial / 257
panoram a m atem ático sin horizontes definidos, donde nos invade la nostalgia y la desesperación obsesionantes de que los bosques y follajes nos oculten los árboles, sus frutos y las mariposas. De ahora en adelante, para simplificar, tomaremos siempre E\ = E 2 = . . . = E p = E . Definamos en seguida el producto tensorial de formas multilineales, o de tensores covariantes. D e fin ic ió n 1: Sea / una forma p-lineal y g una forma q-lineal sobre E. Se llama producto tensorial de esas dos formas y se representa por / ® g, a la forma (p + q)lineal: f ® g : E x · · · x E = E p+q — > K (p+9 )veces definida por E P ^
3
( i ! , · . · , X p , Xp+\, . . . , Xp+q) ' * ( / ® í ? ) ( x i , . . . , Xp-fq)
“
/ ( ^ l i · · · , x p)g{x p+l Í · · · 1 Xp+q)·
P ro p o s ic ió n 2: Si f y g e L p( E ; K ) y h £ L q(E\ K ) tenemos: ( / + 5 )® /1 f ® { g + h) f®(g®h) En general,
f® g
= = = *
f ®h + g® h f® g+ f® h (f®g)®h = f® g ® h 5®/
(distributividad) (distributividad) (asociatividad) (no conmutatividad)
N o ta 3: E n la definición de / ® g es esencial, para que tengamos como resultado una forma multilineal, que las variables o argumentos x \ , . . . , x p y x p+\, . . . , x p+u sean independientes. E je m p lo : Si / y g e L ( E \ K ) , entonces f{x )g (y ) es una forma bilineal sobre E 1, pero la función f( x )g (x ) no es, en general, una forma lineal sobre E. E je rc ic io 4: Verifique las aserciones anteriores.
u u iu m u u n n n in n n n m
I:
E je rc ic io 5: Sean / y g dos formas p y g-lineales antisimétricas, respectivamente, (p ^ n, q ^ n, p + q ^ n). Pruebe que / a g = A (f® g )·, dé el resultado, para (p + q) vectores, en función de
£ 1' i’p + o ' ' · A
es el antisim etrizador.
E je rc ic io 6: Desarrolle los ejemplos y ejercicios de la sección 5.5 utilizando A.
j;
L ±
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
258 /Álgebra multilineal
6.9.
Tensores
Sean n E y n E m sobre K y p, q ^ 0 dos números enteros positivos dados. D efin ició n 2 : Se llama tensor T sobre E, p veces contravariante y q veces cova riante, o tensor mixto (£), a toda forma (p +
q—veces *-*
x i , . . . , x q) e K.
Observemos que T e L p+q(E). El conjunto de los tensores Lp+q(E) de tipo (''), también llamados mixtos, lo denotaremos por T p(£ ). Según la naturaleza del espa cio £ se tendrán tensores afines, euclidianos, cartesianos, minkowskianos, hermitianos, riemannianos, sobre variedades, etc. E je m p lo 1 : Las formas lineales son de tipo (°), también lo son las diferenciales; las forma q-lineales son tensores de tipo (°), es decir tensores q veces covariantes, de allí el nombre de covectores. E je m p lo 2: Los escalares (números), son tensores de tipo (¡j); los vectores son tensores de tipo (¿). E je m p lo 3: Las bases (e,), (eJ) y d x k son tensores de tipo (¿), (°) y (°), respecti vamente; dx a dy es un tensor de tipo (°). E je m p lo 4: Dadas las bases (ei) y (e5) de „ £ y „£ * , respectivamente, dos covec tores /* = f i e \ g * = gye·’ y el vector x = x*e* con i , j , k = 1 , 2 ....... n, entonces el tensor T de tipo (2), o mixto, tiene por valor o imagen en /* , g* y x a T { f * , g m, x ) = T { f iei,gj ej , x kek) = fi gj x kT ( e ' tei , ek) = inv. E sta invariancia indica que el valor de un tensor es independiente de la base. E je m p lo 5: Una diada es un tensor de rango dos. Un determinante es un tensor covariante antisim étrico de rango n. A la contravariancia y a la covariancia se les llama, en conjunto, la variancia o rango del tensor. E n el ejemplo 4, el tensor T es de variancia o rango 3, vale decir, T es una forma trilineal.
\
N o ta 1 : O tros autores dan una definición de tensor ligeramente diferente, la cual afecta sólo la variancia; aquí damos una definición que respeta la tradición en cuanto a la contravariancia de los vectores y a la covariancia de las formas y seguramente será del agrado de los físicos. De ahora en adelante suprimiremos los asteriscos para indicar las formas o covectores, ellos tendrán índices inferiores en las com ponentes y ésto será suficiente para identificarlas, tam bién eliminaremos los asteriscos en las bases duales, e *1 = e'. En el cálculo del valor del tensor T ( f , g , x ) , del ejemplo 4, resultó un conjunto de n 3 números T ( e ' , e i , e*); a ellos se les llama las componentes o coordenadas del tensor T , con respecto a la base (e¡) de E y se notan Tk = T ( e ' , e ’ , e*). La existencia de las com ponentes de un tensor viene asegurada por la proposición 1 . Un tensor mixto (3) de componentes T ¡ £ se dice que es simétrico en sus índices i j y en los índices lm si T ¡ £ = T¡^¡; y es antisim étrico en i j si T ¡ ^ = —T j £ . Esto se generaliza a cualquier tipo de tensor. La sim etría o antisim etría de un tensor es una propiedad intrínseca, vale decir, invariante o absoluta. Por ejemplo da: a dy es un tensor de tipo (°) antisimétrico. Los multivectores (p-vectores, ver sección 5.6) son tensores contravariantes totalm ente antisimétricos, las multiformas son tensores covariantes com pletamente antisimétricos, lo mismo que las p-formas diferenciales. Los m ultivectores (p-vectores en la sección 5.6) son tensores contravariantes to talm ente antisimétricos, las multiformas son tensores covariantes completamente antisimétricos, lo mismo que las p-formas diferenciales. E n general, tomemos p covectores f k = / t , e ' y q vectores x/, = x£e} con i , j = 1 , . . . , n; k — 1 , . . . , p, h = 1 , . . . , q. El valor del tensor T de tipo (p) es un invariante:
■ fe • r>
donde = T (e u , . . . , e ,'’,e j1, . . . , e ¿ t ) son, por definición, las componentes de T , y son escalares relativos; en cambio, T ( f ¡ l t . . . , f i p . . . x ’1, . . . .x * '), el valor numérico de T , es un escalar intrínseco. ...
N o ta 2: Un tensor T es un objeto geométrico absoluto, invariante y definido in trínsecam ente. En la definición dada, algunos autores invierten la variancia, esto conduce a o tra definición, pero en el fondo, la teoría es la misma, es una teoría invariante e independiente del autor. El tensor es una función multivectorial (o polivectorial) que dice cómo debe operarse con formas lineales y vectores para fabricar números. E n este sentido el tensor es pariente cercano de los operadores; éstos, por definición, envían un espacio en él mismo; similarmente, el tensor opera sobre un espacio p ara enviar sus covectores y vectores a otro espacio: el cuerpo K.
N o t a 3: Abusivamente se identifica el tensor T (absoluto, “per se” ) con sus com ponentes (relativas a bases) y se dice por abuso de lenguaje “sea el tensor ”, cuando en realidad debe decirse “sea el tensor T de componentes T ¡ ^ con respecto a una base". Debemos pues distinguir entre T y T ¡ £ ; por ejemplo véase la sección 1.5. N o ta 4: La variancia, vale decir, la contravariancia y la covariancia, sólo afectan las componentes del tensor, y no al tensor mismo —eso lo veremos en el cambio de bases— , por consiguiente es un abuso de lenguaje hablar del tensor de tipo (p) o decir “el tensor mixto T (£)” . E ste tipo de abuso de lenguaje no debe tole rarse en los espacios métricos, donde existe una m étrica g p ara subir y bajar índices. N o ta 5: En los espacios afines no existe m étrica por definición. En ellos un tensor es definitivamente contravariante, o completamente covariante o mixto to da su vi da, y es imposible cambiar la variancia, porque al no existir m étrica no se puede bajar ni subir índices arbitrariam ente. En los espacios afines la contravariancia y la covariancia son intrínsecos, son absolutos, por consiguiente el abuso señalado en 3) es obligatoriamente tolerable. N o t a 6: Los físicos se interesan exclusivamente por los campos de tensores, que son aplicaciones del espacio M4 en el conjunto de tensores de un tipo dado, definidos sobre M4; en otras palabras, un campo tensorial es toda función sobre M4 cuyo va lor en cada punto de M4 es un tensor especificado sobre M 4. Por ejemplo, el campo tensorial de tipo Q de componentes (x,y, z , t ) cuyo valor es un tensor depen diente del espacio y del tiempo. Muy diferente es el valor del tensor (,) T ( f , g , x ) cuyo valor es un número intrínseco. Desde luego, hay que distiguir de manera clara y transparente: a) el tensor T , b) las componentes
,
c) el valor del tensor T ( f \ . . . f p, x \ . . . x q), y d) el valor del campo tensorial T , el cual es T ( x ,j/,z ,í) con (x,y , z, t) e M4, un punto espacio-temporal. N o ta 7: Los abusos de notación señalados con anterioridad y la no observancia de la distinción anotada, hizo imposible a los físicos entender y asimilar desde un principio los tensores y la teoría relativista de la gravitación de Einstein. De allí el chismecito sobre la existencia de sólo tres mortales que podían entenderlas. La di ficultad residía en que el físico no distinguía entre un tensor (función, en el sentido dado a ese concepto en la definición) y una función tensorial cuyos valores son ten sores. Así se creó una situación análoga a la que se presentó al hablar los físicos
de diferenciales inexactas (en lenguaje moderno, formas diferenciales exteriores) sin saber con precisión lo que era una diferencial exacta . . . o al referirse a las funciones de variable vectorial con valores vectoriales sin haber primero definido lo que es un vector. Hay que señalar, en favor de los físicos, que sólo a partir de 1930 los m atem áticos desenredaron este estado de cosas confusas, por decir lo menos. N o ta 8: Afortunadam ente podemos convivir con estos abusos; la teoría de los ten sores es invariante e independiente de las interpretaciones, comentarios y opiniones. Por consiguiente seguiremos usando el lenguaje abusivo que la tradición de los físi cos ha consagrado, naturalm ente, a pesar de denunciarlo. N o t a 9: Si el espacio E es sobre el cuerpo de los números complejos (es un espacio, por ejemplo, de Hermite o de Hilbert —véase capítulo 8— ), entonces, pueden existir, y se definen, un determinado tipo de tensores que serán lineales en algunos vectores y antilineales en otros. Así, este tensor sería una forma multilineal y antimultilineal. La noción de tensor se puede, por supuesto, generalizar aún más si se remplaza el cuerpo K ( R o C ) por un espacio vectorial arbitrario F, o por un álgebra específica, de manera que éstos tensores generalizados, T , son aplicaciones multilineales con valores no escalares, sino .vectoriales o algébricos. E je rc ic io 1: Pruebe que to d a matriz M j de representación de un operador lineal A del espacio E, siempre se puede considerair como el conjunto de las componentes Tj de un tensor T mixto de segundo rango. P ara ello tome un vector x e E, representado por (x1) y una forma lineal /* e £ * , representada por (/i), y estudie la forma bilineal siguiente: E m x E 3 ( / * ,i ) = T — ► M ¡ fi xi .
E je rc ic io 2: Compruebe que p ara toda matriz namiento parecido al anterior.
se puede construir un razo
E je m p lo 6: El vector posición f 6 R3 es un tensor de rango 1, de componentes contravariantes (z ,y , z) de tipo (¿). f = i ‘e, = r'e, = x T + y j+ zk , con (z, y, z) g R3: r 3 ,- ^ - r
.
Tomemos un covector X * = (X , Y, Z ) e R3*. Entonces el valor del tensor r s e r á f(X * ) = f ( X 4e*) = Xifie*) = = X ix i = z ‘ (e^X *), V X * . De donde, simplifi cando por X * tenemos f = z ‘e, = inv .
Pero R 3* = R3, por consiguiente e' = e¡ y z* = r*, componente contravariante de f, tendrá una contraparte z, = r, covariante. El mismo vector f será un covector, es decir, también se manifestará como un tensor de tipo (®), r = r,e' = z ,e '. Veámoslo: R3- ^ R . Tomemos un vector X = (X , Y , Z ) e R 3, X = X*e¡. Evaluemos el tensor f o la forma lineal f, r (X ) = fl( X ^ ,) = X ‘rtc i) = X V ; = X ^ = z¡ (e‘|X> = Z jC * ^ ), VX y simplificando por X tenemos f = z¡e* = inv. N o ta 1 0 : Si el ejemplo precedente tiene una apariencia complicada y confusa, esto se debe a dos cosas: a la mala costumbre de razonar sobre objetos de los cuales no se tiene una definición rigurosa, ni una idea transparente, y a la tradicional jerga abusiva y obsoleta. El ejemplo anterior nos m uestra a un objeto, el vector r , que tiéne existencia propia, independiente de los observadores, pero que se nos manifiesta en dos versio nes: una con componentes contravariantes y o tra con componentes covariantes; es decir f es un vector y a la vez un covector o forma lineal. E sto explica por qué los físicos no hacen distinción entre la fuerza como vector o como forma lineal, cuando escriben el trab ajo W = F · r; correctam ente sería W = F · r ó F ■ r , esto da un invariante o número intrínseco en Julios. Los físicos hacen todo el tiempo la identificación R 3 = R3* sin apercibirse y sin teoría, directamente. Las componentes covariantes se calculan proyectando a r perpendicularmente a e,: Xi = (e,|f) = e, (f) = e, · r; es decir, multiplicando f por los elementos e, de la base. Las componentes contravariantes son, en cambio, proyecciones paralelas a los ejes de la base. Esto se visualiza usando coordenadas oblicuas, ver el ejemplo 5 de la sección 2.10 y la figura 2.2. Pero x¡ = - f = e
9 ij
E je rc ic io 4: Detalle y analice, los cálculos y razonamientos del ejercicio 3.
6.10.
Á lgeb ra de tensores
El conjunto de tensores de tipo (p), sobre el espacio vectorial E, L p+q(E) = T p(£ ), es un espacio vectorial para las operaciones + y A·, ya que el conjunto L p+q(E) de las formas multilineales forman un espacio vectorial. P ara sumartensores de un mismo tipo (p), en la práctica, se suman sus componentes. P ara multiplicar un tensor por un escalar A, se multiplican todas sus componentes por A. Por ejemplo, para los tensores R y T de componentes R ' ^ y se tiene +T =
=
\T ~ X l£ .
E je rc ic io 1: Usando bases, pruebe las afirmaciones anteriores. Existe una tercera operación (más tarde refinaremos su naturaleza de operación interna) entre tensores de tipos diferentes. Se llama el producto tensorial y se nota ®. El producto tensorial de dos tensores de tipo (p) y Q está definido por el producto tensorial de las formas multilineales R y T (que ya vimos en la sección 6 .8 ). R
®
t
= p o
r ^ t ;*
= p¡£’
de tipo ( 3 ). E je rc ic io 2: Usando bases, pruebe la afirmación anterior.
ww w .elsoluc olueT i
P r o p o s ic ió n 3: Consideremos los tensores A, B y C y el escalar A. Entonces .4 ® (B ® C) = ( A ® B ) ® C = A ® B
®C
A ® (B + C ) = A ® B + A ® C
(asociatividad) (distributividad)
(B + C ) ® A = B ® A - h C ® A
(distributividad)
A A ® B = A ® B A = A(A ® B )
(Asociatividad con escalares)
En general,
A®B*B®A
(no conmutatimdad)
E je rc ic io 3: Demuestre la proposición precedente usando la proposición 2. E je m p lo 2: Consideremos dos vectores V y W de E y tres formas lineales f , g, h de E* \ se puede definir el tensor V ® / ® g ® h = T de tipo (3), el cual es una forma pentalineal de dos formas lineales u*, » ' £ £ ' y de tres vectores x, y, z 6 E. Por consiguiente T ( u * , v * , x , y , z ) = V (t? ) W ( v * ) f( z ) g ( y ) h { z ) .
E je m p lo 3: Tomemos el tensor anterior T de tipo ( 3 ), las bases e, y e*, los vec tores x = x'ei, y = z = z'e^ y los covectores u = Qje*, u = /3,e‘. El valor de T será T (u,v,x,y,z)
= aifijXky hz l T {e \e^ , e k, e h,ei) = a i0j x ky >'z lT¡c3ll¡.
Si hubiésemos querido calcular separadam ente el producto tensorial de U ® F = T de tipos (0) y ( 3 ), entonces tendríamos T ( u , v , x , y , z) = U (u ,v ) ■ F ( x , y , z ) . Las componentes T¿jm = T (e , ,e·’ ,e * ,e i,e m) serán dadas por T¿jm = U ^ F u m · Esto se extrapola al caso general. - N o ta : Comenzamos por definir tensores intrínsecamente y ahora comenzamos a trab a ja r con sus componentes. Hay que decir que el cálculo tensorial es más fácil intrínsecamente que con componentes. Lo que sucede es que, como el genio gusta de lo sencillo y el ingenio de lo complicado (Buffon), a los físicos les gusta trabajar con componentes, es decir, con un diluvio de índices para que las fórmulas tengan un aspecto extraterrestre, esotérico y divino. E je rc ic io 4: En n E con la base (e*) i = 1 , . . . , n demuestre que ej, ® · · ·
® e1».
E je rc ic io 6 : Pruebe que e¿, ® linealmente independientes.
® e
Existe una cuarta operación llam ada multiplicación contraída de tensores o pro ducto interno. Consiste en multiplicar las componentes de los tensores e igualar sus índices, superiores e inferiores (lo que de acuerdo con la convención de Einstein significa sum a sobre los índices igualados). Indicaremos esta operación con ®c. E je m p lo 4: Sean los tensores T y S de componentes T ' ]k y S0|>. La multiplicación contraída T ® c 5 da un tensor de componentes T 'i k Sij = R k \ es decir, da un vector R de componentes R k . E je m p lo 5: El producto tensorial contraído de un vector con un covector, v y w , v®° w que tiene sus componentes v'w¡, es exactam ente el producto escalar o interno. En estos casos se dice que el producto tensorial está totalm ente contraído: todos los índices, superiores e inferiores, se igualan por parejas; se dice que se saturan los índices. E je m p lo 6 : Sean los tensores T y 5 de componentes T x,k y Satc· El producto totalm ente contraído tiene por componentes T ' i kSijk = invariante; es un número. En los ejemplos 2 y 3 se dice que se han saturado los índices. Lo mismo en el siguiente ejemplo: ds 2 = g
Si en un tensor de especie (p) se contraen todos los índices resulta un número. Se dice que se han saturado todos los índices. E je m p lo 9: T j da en R3: T* = T / + T 2 + T 3 = escalar.
E je rc ic io 7: Pruebe que T j l = C ‘ = P¡, P j . Q f E je rc ic io
6.11.
8
= P ',T t'Y =
.
: Compruebe que Traza (T*) = T¡ = invariante absoluto.
B a ses tensoriales
Tomemos en n E una bae (e„), dos vectores x = x ‘e,, y = y 1 e¡ y un tensor T dos veces covariante. Entonces, por ser T una forma bilineal sobre E se tiene que: T (x ,y )
=
x Y T ^ . e ; ) = T y i V = Ty (e^ x) < ¿ |y )
=
T y e ‘ ® e J (x,y ) = T0 el , (x,y)
Luego T = T y e 1 ® eJ = T y e‘> = invariante. E sta invariancia indica que el tensor per se, es independiente de la base, es un ser geométrico. Ya en la sección 2.6 vimos que e‘® eJ = e'·’ era una base del espacio vectorial L 2 ( E ) = T?(E). Este caso se puede extender a nE * con base (e‘). Sean dos covecíores / = f,e ' y g = gjeJ de E ’ , un tensor T dos veces contravariante es una forma bilineal sobre E* y se tiene T ( f , g)
= =
e#) = r * f i9j = T y (/|e<) (y|e;> = T iú i ® e j ( f , g ) = T iU i i U ,g )
(e<|/>
|s >
(V f,g e E ·)
Luego T = T ‘Je, ® = T 'Jei} = inv . De manera que las formas lineales sobre E *, e¡ y e> multiplicadas tensorialmente forman también la base ey = e< ® e, de L 2( £ · ) = T02(£ ). Además, la descomposición de T = T y e‘ ® e·* y T = T ' 3 el ® es única. Esto implica que las n 2 formas bilineales e' ® e1 y las n 2 formas bilineales e, ® e., son las bases de los espacios T $(E ) y T q(E ) respectivamente, cuya dimensión es n 2. Tomemos ahora un tensor T de tipo ( 3 ) , es decir 2 veces contravariante y 3 veces covariante. Entonces reuniendo los casos anteriores tenemos, p ara todo f * , g* e E *, y todo x, y y z e E: T (f*,g*,x,y,z)
luego T = T'¿mei ®
=
figjX ky lz mT ( e ',e 1,e k ,e i,e m )
= ~
* í¡ m /.P ;x V 7fclme>® e> ® e* ® e‘ ® em( / * . 0* . x . y . 2)
® e* ® e( ® em =
= invariante.
son las componentes numéricas del tensor T; es un tensor. De manera general tenemos el siguiente enunciado (véanse las secciones 6 . 8 y 6.9): T e o r e m a 1 (d e la r e p r e s e n ta c ió n ) : Sea nE un espacio vectorial con base (e,) y su dua/ nE* con base (eJ ).
a) El espacio tensorial T P(E) de tensores p veces contravariante y q veces cova riante es de dimensión n p+q; b) Una base de
T P(E) es el conjunto
de las n p+q formas (p + q)-lineales
eV " j ' = ej, ® ■ · · ® eip ® e3' ® · · · ® e3" ;
c) Todo tensor t
T
e L p+q{E) = T P(E)
=
se escribe de manera única, así:
® · · · ® e,, ® e>> ® · · ■ ® e·»«
Xi i —U
la cual es un tensor de T P(E) cumple con la condición:
(e‘i ........e' ^ ei \ ......... e¿;) = eit ® — ®Cí„ ®e?' ® - - e <'( e ,' 1. . . l e,' , e i-l , . . . , e j .) = (e¡, le4' ) · · · ( « ¡ J e ·- ) (e3' ^ ) - - - ( e 3'\e y^ =
lP J|
Jq
D e m o s tra c ió n : Generalizar el caso de la sección 2.6: ei3 ( e , , e r ) = ei(eI-)eJ (ey ) = ( e ^ , ) (e3^ ) = á\,S3.. E je rc ic io : Complete la demostración del corolario precedente.
6.12.
Cam bio de bases
Ahora consideremos un cambio de bases en nE: de la base vieja (e¡) se pasa a la base nueva prim ada (e'): e, «— > e\ = e,-, por una m atriz inversible de cambio de
base P ; de tal m anera que la nueva base sea combinación lineal de la vieja base, es decir, D e fin ic ió n 4: Sea e, una base de n E , sea P una m atriz invertible. n ei -» ei- :
c<' = £
Phj
y recíprocam ente n
e.- -* e> :
ej = £ Q j e.' i' = l
con Q = P ~ l . P ara representar la convención de Einstein se puede poner P,i· =
p¡., Qi'i
= Q) ■
E je rc ic io 1: Verifique que Pk,Qk = <5J. Conociendo las matrices P y Q de la definición 4, se pueden hallar las compo nentes de cualquier vector x e n E en cualquier base, a partir de las componentes en una base dada. A hora queremos saber cómo se cambian las bases duales (e1) y (e1 ) de „ £ * : e1 «— > e' = e P ro p o s ic ió n 4: Sean las bases duales vieja (e*) y nueva (e' ) de nE * . El cambio de bases duales e' -— ► e‘ se realiza asi: ei' = Q ’'e>,
e* = P ¡ , ^ ' .
D e m o s tra c ió n : Sabemos que V/* e E* = L (E ) = T ° (E ) , se tiene /* = fie' = ( f* \e i)e ' = /* (e j)e ‘ = /*(e¿<)e‘ = invariante con respecto a las bases e‘ y e' . Pero por ser justam ente e‘ una forma lineal de T f ( E ) , e'"
=
( e <'|e J) ^ = e i' ( e , y = ( e i'|Q Í'e * ,)e ^
=
Q f ( e ' \ e k. ) e* = Q ? S Íe * = Q)e>.
C o r o la rio 4: Las matrices del cambio de base dual son Q'j =
H =
k ■'·
fe E je rc ic io 2: Verifique el corolario anterior. Entonces, conociendo P y Q, se pueden hallar las componentes, en cualquier base, de una forma lineal arbitraria; basta conocer sus componentes con respecto a una base para poder calcularlas en otras bases. E je m p lo 1: Tomemos un tensor T de especie (3) de componentes T'h\ k respecto de la base vieja (e¡), es decir, Tj¿k = T ( e ',e , 1e*,e/,,ei). Si ahora cambiamos de base y queremos calcular las com ponentes del mismo tensor en la nueva base (e¡<), se tiene, por definición, T l Í k = T ( e‘ > e /,e * ,€/,<,€(·); cam biando las bases (e' ), (e·’ ), (e* ), (e/,<) y ifiv) por la definición 4, tenemos las nuevas com ponentes T'K,\,k en función de las viejas T'h]k: T Ü k‘
= T ( q { V , Q jV , Q k‘ek , P£.eH, P{,e¡) = Q \ Q ¿ Q Í P ! : . P l . T ( e \ ¿ , e k , e h,el).
Es decir T t f / = Q ÍQ 'Q ÍP W T tf. Este ejemplo se generaliza y conduce a la siguiente propiedad general: T e o r e m a 2: Todo tensor T de especie (£) de componentes Tj ¡ ’j ' con respecto a la base (e¿), tendrá componentes T
j , respecto a otra base (ei<) y la fórmula de
cambio de base que conecta esos dos conjuntos de componentes es T *’i
.
_
q 'i
s) ' p p j i
i> ' r i',ii - j . ·
i'i-y,
I
N o ta 1: La anterior fórmula general es una consecuencia directa de la definición de tensor. Las matrices P y Q pueden ser constantes (por ejemplo en el caso de cambio de ejes por rotación), en general son variables y dependen del punto del espacio; y representan transformaciones arbitrarias o cambio de coordenadas generales. N o ta 2: En un cambio de coordenadas de ( i 1, . . . , x ") a los ejes primados (x1 , . .. , x " ) cada sistem a es función del otro. Se escribe entonces: z 1'
=
f \ ( x l , - - - , x n ) = x l\ x l , - - - , x n )
Xn'
=
/n ( x 1, . . . , x n )
2
x " '( x \ . . . , x " ) .
UIIIIIUUUUUUUUIUIJJ
Álgebra tensorial / 269
Por ser dx' = ^ —dxj se ve que 0 ¡' = ^r— · Recíprocamente, dxi> = - ^ - 7 d x ,, de dx1 dx1 dx1 dx^ donde, Pj, = -5—7 . 1 dx> N o ta 3: Teniendo en cuenta la observación 2, podemos enunciar el teorem a 2 diciendo que, en un cambio de sistem a de coordenadas, las componentes de un tensor de especie (p) obedecen a la siguiente ley de cambio de componentes: T i\...i-r = dx'' i J » dx'1
dx*’ dxil dxi ' T il ...i, dx'p d x d i 3* Jl
N o ta 4: Según esto, la definición de un vector de com ponentes v' sería, por la ley del cambio de sus componentes, , . v* = P¡ v \ *
o
vl =
dx'' ■ dx1
La definición de covector de componentes ni v¿. = Q^Vi,
o Vi· = j - r Vi
sería
dx{
De aquí se concluye que, en un tensor, las componentes contravariantes se trans forman como el producto de vectores, con Q, y las componentes cova-riantes se transform an como el producto de covectores con P. E sta es la regla nemotécnica para escribir T J‘, 1‘■••J "Vt/ (Teorema 2 , nota 3 y definición 5). N o ta 5: H a sido una tradición de los físicos relativistas usar la fórmula del teorem a 2 o de la nota 3 para definir un tensor. E sta definición se da así: D efin ic ió n 5: Un tensor p veces contravariante y q veces covariante es un conjunto i - i p'p de n p+q números o funciones de las coordenadas x 1, . . . , x n que se dan en Tr i'‘1 i-i. un sistem a de coordenadas o base; estas cantidades T ‘¡ "j* en un cambio general de coordenadas se transform an como el producto de p vectores y de q covectores según la ley
i l-j
1
_ dx^_ dxX{
dx^dx^_ dxlp dx3>x
dx1" dx3'q í x"'Íq
E sta definición es equivalente a la definición 2. N o ta 6 : U na m atriz arbitraria o un arreglo cualquiera de magnitudes no son au tom áticam ente las com ponentes de un tensor, aunque los tensores de segundo rango
i I
-
Algebra tensorial /2 7 1
j se representan por matrices. Por ejemplo, las siguientes relaciones ey = Pye¡ T W
x y = P¡,x,
x>‘ = Q{
x'
= Q Í C^jQk P¡>P Z T ¡ £
se parecen a productos tensoriales contraídos, donde las magnitudes Py y Q ‘ no son tensores. Ya vimos que las componentes de un tensor están asociadas sin am bigüedad a una base bien definida. E n cambio las matrices P y Q, arriba señaladas, por definición, se encuentran a caballo entre dos bases (e¡) y {ey), estableciendo una conexión entre estas, y por consiguiente representan un cambio de base o tran siciones. Entonces, hay que tener cuidado con las operaciones arriba indicadas, las cuales a pesar de su engañosa analogía formal, no son multiplicaciones contraídas de tensores. No hay, pues, que confundir una matriz con un tensor. En general las matrices “son” —o mejor dicho, representan— operadores, y , por ende, no tienen valor vectorial o escalar. Las matrices cambian de una base a otra, no son invariantes. En cambio el tensor es una función multilineal que tiene un valor escalar invariante, y además, es un invariante, es una m agnitud física medible. Los tensores son a las magnitudes escalares invariantes o absolutas, lo que las componentes (de vectores o tensores) y las matrices son a las magnitudes escalares covariantes. Por ejemplo, las rotaciones espaciales y las transformaciones de Lorentz no son tensores. En cambio sí lo son las métricas (matrices) 5, r¡, y g. No obstante, la definición 2 es puram ente algebraica e independiente de las bases ya que el objeto geométrico T es intrínseco, absoluto. En cambio la definición 5 contie ne ingredientes del análisis, hace entrar las coordenadas y da la definición a partir de las componentes que son contingentes o relativas; a pesar de estas diferencias, de hecho la fórmula definitoria (definición 5 y teorem a 2) es independiente del sistema de coordenadas escogido para definir el tensor; aquéllos son simples instrum entos para representar objetos invariantes únicos susceptibles de poder expresar una rea lidad física cualquiera. N o ta 7: No todo conjunto de cantidades T ¡ £ " es un tensor. P ara saberlo se aplica (además de la definición 5) el siguiente criterio de tensorialidad, también llamado ley cociente: todo conjunto de cantidades T¡ ? q u e multiplicadas contraídamente (internamente) por vectores x l o covectores j/¡, dé un escalar o un nuevo tensor, es un tensor (véase los problemas 153 y 154). E je m p lo 2: g,j “es un tensor" porque g ^ d x ' d x 1 = ds2 = invariante. El criterio general de tensorialidad se enuncia así: para que el sistema de canti dades T ijW· con relación a una base ey ki... defina un tensor es necesario y suficiente que para todo tensor el sistem a de cantidades T¡jkl " Ski... sea un tensor.
E je m p lo 3: Si B ,k es un tensor no nulo, y A , k B ' k = A i ' k - B ‘‘k' = invariante, entonces, — P ¡ , P k, A ¡ k ) B ‘ k = 0 y A|<*. es un tensor. E je rc ic io 3: Demuestre que para que un sistem a de n p cantidades T*1·■·'», con respecto a uua base, sean las componentes de un tensor p veces contravariante es necesario y suficiente que cualesquiera que sean los p vectores x i = x¡,e*1, xp = la cantidad I = T lx" ', Xix . . . x Xp sea un invariante. E je rc ic io 4: Enuncie y demuestre una propiedad parecida para T í ,... í con Xj = x , = x ‘’ e¡t . E je rc ic io 5: Como to da m atriz M = (Aíj) se identifica con un tensor mixto, de muestre que tenemos en notación inatricial, la conocida relación del cambio de base M ‘ = P~l MP.
N o ta 8 (s o b re la c o v a ria n c ia y la c o n tra v a r ia n c ia ): Resumimos las formuléis del cambio de bases y cobases; y el cambio concom itante de componentes covariantes y contravariantes: e,’ = P ’.e,
b)
X»' =
d)
e‘ =
P),e?'
d')
ej ‘ = Q i e‘
<0
X\* = P¡,Xj
V)
Xj = QjXi·
II
H va.
ej ~ Q j *·' QJ. x 1
d)
c)
Se observa que a') y b') adm iten, respectivamente, las mismas matrices P y Q, de cambio de base, que a) y b), por eso se llama a x y y x, componentes covariantes ya que varían como las bases, respectivamente, a) y b). E n coordenadas oblicuas, las componentes covariantes son proyecciones perpendiculares a los ejes. En cambio, c) y d) adm iten, respectivamente, las mismas matrices P y Q pero de a) y b). Por esta razón se llaman x ’ y xJ com ponentes contravariantes (o contragradientes, las proyecciones paralelas a ejes oblicuos), ya que ellas se transform an de m anera contraria a las base a) y b). Parece más lógico llamar componentes covariantes a las que se transform an según la ley c); es decir, a las que vairían como la vairiable fundam ental x*. Fue lo contrario lo que se escogió. O tro abuso de lenguaje, otro idola tribu. No hay que olvidar que las com ponentes contravariantes (x‘) son una sucesión de números, en cambio el índice i de la base (e¡) tiene que ver con una sucesión de vectores. Por eso x ‘ y se transform an de m anera contraria (contravariante) y según esquemas diferentes: e¡ se transform a con Py (es covariante) y x ‘ se transform a con Q\ = l{Py) (contravariantemente).
6.13.
P o te n c ia tensorial de un espacio
Aquí presentam os una m anera alternativa de construir y presentar la teoría de los tensores. Se basa en la definición de producto tensorial de espacios vectoriales. Ya sabem os construir el producto tensorial ® de dos formas de £ * , / * = f i e 1 y g* = pjeJ , el cual da E *2 3 ( /, g) >-* f ® g = /¡Pie* ® eJ e L2(£ ); es decir, es una aplicación E 2^ * K , de tal m anera que /* ®g* (x,y) = /*(x)i?*(y) e K . El espacio vectorial que resulta de /* ® g* se nota £ * ® £ * = ®2=1£ * = L2(£ ), y se llama segunda potencia tensorial de £ * . El elemento más general de E * ® E ' se escribe así: T = T ye' ® eJ = Tl;e‘3, y es un vector covariante, (°), de m anera que los elementos de ®2_ , £ * = ®2£ * son los tensores dos veces covariantes. Por asociatividad se puede construir el producto tensorial de q formas lineales / , ® · · · ® / , y llegar al caso general de E * ® · · ® £ * = ®?=1£* = ®, £* llam ada la potencia tensorial g-ésima. Sus elementos son los tensores (°), q veces covariantes, es decir, las formas q-lineales sobre E. U na base de ®qE* son los n q elementos e*1 ® · · · ® e1’ . A hora repitamos todo lo anterior para E. P ara ello tomemos en E los vectores x = x ‘e¡ y y = y Jer El producto tensorial de x y y (formas lineales sobre £ ’ ) se nota x ® y y es por definición: E 2 3 (x, y) >— » x ® y = x’y-’e, ® e,. El nuevo espacio vectorial engendrado por todos los x ® y se nota E ® E = ® 2=1£ i = ®2E = L 2(E*), y es el espacio vectorial producto tensorial de E por E o segunda potencia tensorial, y a su vez es engendrado por x \ ® Vi +
*2
® Di + -----h x p ® y p + . . .
Resulta, pues, que ® es una aplicación bilineal de E 2 en ® 2E , que tiene las propie dades axiomáticas siguientes: (Ax) ® y i ® (Ay) ( i i + x2) ® y z ® ( y i + y 2)
= = = =
A(x ® y) A(x ® y) x i® y + x2® y x ® y i + x ® y 2.
La dimensión de n E ® „ E es n 2. Se tiene, además, la dualidad (£ ® £ )*
=
£ * ® £ * = (®2£ ) * = ® 2£ * = L2(£ );
(£ * ® £*)*
=
£** ® £** = £ ® £ = ® 2£ = L 2{E*).
De la misma m anera que las n 2 formas «' ® e; forman una base de £ * ® £ * , los n 2 vectores e¿ ® e, forman una base de £ ® £ . Por ende, el elemento más general de
274 /A lgebra multilineal
®2E se escribe: T = T ' 1e , ® e j = T iieii. T es entonces un tensor (q) . De m anera que T ' 3 = x ' y 1 son las componentes del producto tensorial de x y y en la base (e¡). Como aplicación de la no conm utatividad del ® vemos que por definición
De aquí vemos que 2
a
y es un tensor contravariante antisim étrico que se escribe así
x a y = T = Y T , j e i a e.j. >-» xj ® • • ■® xp = T = ®f=1x¿· Estos elementos generan el espacio producto tensorial E ® · · · ® E = ®f_ [ E, = ® PE, que contiene a los tensores (£) o formas p-lineales sobre E * . Además, (®q E ) ' = ® qE * . La base de ® PE es e¿, ® · ·
® e ip.
N o ta 1: En general un tensor no se puede descomponer en el produto ® de dos o más vectores. También podemos considerar el producto m ixto tensorial de espacios, como por ejemplo, E ® E m = L,2 ( E * ,E ; K ) , cuyos elementos son los tensores (¡): T = T je i® e * . En el caso de los tensores T de rango dos, estos vienen representados por matrices (n x n) T 'j , Tij, T j, que son simplemente tensores de especie (^), (°), ({), llamados tensores diádicos por los físicos o simplemente diadas. Un tensor de rango 3 sería una triada. Se usan las notaciones generales: L q( E)
=
Tf(E)
= E*®’ ; L P{ E ' ) =
Tg(E)
=
E®?.
El caso mixto se generaliza de la siguiente forma: E ® --® E ® E '® -® E *
= =
(
Sus elementos son
·■··' Xi ® ■ -® Xp ® x , ® · ·· ® x*.
La base está formada de n p+q elementos: e¿, ® · - · ® ejv ® e·*1 ® · · · ® e*'». De aquí resulta una nueva definición: un tensor sobre E de especie (£), es un elemento de (®p£ )® (® , £ * ) = & ’E , que es, como ya vimos, una forma (p-t-g)-lineal sobre E *p x E q. E je m p lo : T = T'Jei <8>e,
6.14.
Análisis tensorial
Sólo vamos a decir algunas palabras sobre esta im portante ram a del cálculo tensorial cuyo uso en física, sobre todo en física relativista, en la teoría relativista de la gravitación y en la teoría del campo unificado de Einstein, nunca se podría ponderar demasiado. Los tensores se pueden someter a las operaciones propias del análisis y hablar de sucesión, serie, límite y convergencia de tensores; los tensores pueden ser continuos,
derivables e integrables. La noción de derivada de un tensor adquiere una impor tancia e interpretación en coordenadas curvilíneas, en geom etría de Riemann, en la teoría general de la relatividad, en las teorías de gauge y en las teorías unificadoras. Es una costumbre (la tradición no es ley o cosa definitiva) presentar el análisis tensorial sólo como introdución en los cursos de teoría general de la relatividad. Así se hará oportunam ente, aunque ya es tiempo de que se busque un espacio en los cursos de cálculo, de manera que el análisis tensorial forme parte del bagage mínimo, básico y estricto de un físico. En este libro hemos tratado de iniciar al estudiante en el arte del análisis tenso rial, para ello se han confeccionado varios problemas, correspondientes a este capítu lo; dichos problemas representan nuevo m aterial sobre los tensores, sobre todo las cuestiones analíticas.
6.15.
P ro b lem as
1) Sea un espacio vectorial „ E con dos bases (e¿) = ( e i , . . . , e n ) y ( e ') = ( e , , . . . ,e'n). Si (PtJ) es la m atriz del cambio de base (e¿) — » (e' ) y (P[j) la m atriz del cambio de bases duales (e‘ ) — ► (eJ) a) demuestre que las siguientes propiedades son equivalentes i) (P ij) es la m atriz n x n cuya j — ésim a columna está formada por las componentes de e' respecto de la base (e,). ii) (Pij) es la m atriz respecto de la base (e¿) de la aplicación lineal que transform a e, en e ' . iii) (P¡j) es la m atriz de la aplicación lineal idg respecto de las bases (e'j) y (e¡) (ese orden es esencial): (P y ) = (id £ ,( e ',),(e ¿ ) ) b) Pruebe que si Qij es la m atriz que cambia la base ( e ') en (e,), entonces (Qij) = M ( i d E , (e¿), (e'j)) y P Q = M ( i d E , (e;)(ej) = 1, P es inversible y Q = P ~ l. c) Demuestre usando iii) que si (z*) = M ( X , (1), (e¡)) y (x‘ ) = M ( X , (1), (e¡)), entonces (z ‘) = P (x J ). Muestre usando b) que (x 3 ) = p -V ). d) Verifique que P ' = (lP ) ~ l
= [
( P ~ l ).
e) Sean u e L(n £ i , „ £ j ) , (e.) y (e ') bases de £ \ con la m atriz de cambio de base P t ; (e¿) (£ ') bases de E? con m atriz de cambio de base P 2 . Si M (u ,(e i),(E j)) — U, demuestre con la ayuda de üi) y b) que U' = M ( u ,( e') , ( £') ) = P 2- 1C/Pl . f) Describa con detalles lo que sucede si E \ = E 2 en e).
g) Calcule P y P ' , aplicando lo anterior, al cambio de la base
a la base canónica (e¿) en R3, y viceversa para P
(e¡) — * (e't).
h) Haga lo mismo para
e‘=( ( 2)’ 0 ) ): (e'i)=( ( 1’) i«) ) (e>) = ( ( (e;) = (1 +
4
1
) ·
(
2
) ) ’
l . * . * 3)
, 1 + 2x, 4 + x + x2)
Sea nE un espacio vectorial y su dual nE m con las bases (e¡) y (e·’). a) Demuestre que ® ... ® ® e*‘ ® ® e lq es una base del espacio tensorial Tjj(E). Aquí ¿ i , . . . , j q tom an todos los valores de 1 a n. b) Pruebe que d i m x T * (E ) = n p+q. c) Sea u e G L (E ) un automorfismo de E. Dado un tensor T 6 T£(E ), consideremos la aplicación T ' sobre { E ' ) p x ( E ) q dada por r u * . · · · . / ; . * ! ........* ,) =
« - » ( « o ........« - ‘ (x,)] V/* e £ * , V i; e £ .
Verifique que T ' 6 T P(E). d) Pruebe que la aplicación T ·-* T ' sobre T g(E ), que notaremos T p(u), es lineal. ( T , » [ T ] = T '). e) Verifique que T¡¡(vou) = T p(v)o T p(u), Vu,u e G L (E ), y que la aplicación u >-» T¡¡(u) es un homomorfismo del grupo de automorfismos G L(E ) de E en el grupo de automorfismos G L [T P(E)] de T P(E). f) Si la m atriz de ti es con relación a la base ( d ) de n E, es decir, u(ej) = Calcule la matriz de T p(u) con relación a la base de T P(E) dada en a). g) Calcule el determ inante del automorfismo T p(u) de T P(E) en función de det(ix).
3) Sea ahora u un endomorfismo de E. Dado un tensor T e T p(V), definamos una nueva función T" sobre ( E ' ) p x E q así: T ” (f* , ■ ■ ■ , / ; , X l t . . . , X q ) —
X¡
TVi*· · · · / * - 1, ‘« ( / n . / i V i . -
y ,
T [ / i i . . . , / p , X i , . . . , X j _ j , u ( x j ), Xj + i , · · · , X , ]
. * 1 . ■··.* ,]-
a) Demuestre que todavía T 6 T P(E) y que, además, la aplicación T — » T" de T P{V) en él mismo, notada D p(u), es lineal. b) Muestre que: Dp(u + v) = D p(u) + D p(v),
D J(uot)-vou) = D p(u) o D p(v) -
D pq { v )
o D p( u)
Cualquiera que sean los operadores u y t> de E. c) Calcule la m atriz de D p(xi) con relación a la base de T P(E), dada en a), si se da la m atriz (U¡j) de u con relación a la base (e.) de nE. 4) Tomemos el tensor T dos veces covariante y dos veces contravariante. Pruebe que el escalar J ín T V es independiente de la base escogida para definirlo. 5) Consideremos el espacio vectorial nE sobre K , y el tensor A e T23(£ ). Demues tre que existe un único tensor B e T 2(E), cuyas componentes con relación a cualquier base de E están dadas, en función de las A, por la relación 1
Z
A% -
Interprete esta operación llam ada contracción del tensor A con relación al segundo índice covariante y al tercer índice covariante, considerando a A y B como formas multilineales. 6) Sean x 6 nE y y £ mF, donde nE y mF son dos espacios vectoriales sobre K . a) Demuestre que la aplicación de E x F sobre E ® F definida por ( x ,y) x ® y es bilineal. b) Muestre que los productos tensoriales x® y engendran al espacio vectorial E®F. c) Sea / una aplicación de E x F en el espacio vectorial G. Pruebe que para que / sea bilineal es necesario y b asta que exista una aplicación lineal única g : E ® F — ► G tal que / ( x , y) = g(x ® y)
Vx e E
y
Vy e F.
d) ¿Por qué los productos tensoriales de espacios vectoriales sirven para reducir el estudio de aplicaciones bilineales al de aplicaiones lineales? 7) Sean los automorfismos u e G L ( nE) y T £(u) e GL[T?{E)\ (véase el proble m a 2). a) Demuestre que si u es diagonalizable también lo es T£(u). b) Deduzca que si el operador u sobre E es diagonalizable también lo es el endomorfismo D p(u) sobre T f( E ) . c) Calcule en cada uno de los casos anteriores los autovalores del operador considerado sobre Tg(E ) en función de los autovalores de u. 8) E scoja una base (e¿) de E y considere el grupo de automorfismo de E, G L (E ), cuyas matrices con respecto a la base escogida son diagonales. Determine una base del espacio T H E ) con respecto a la cual la m atriz de T p(u) sea diagonal para todo u e G L(E). 9) Pruebe los siguientes isomorfismos: a) T?(E ) ~ E. b) T y (E ) ~ E * . c) T ° ( E ) ~ L ( E ; E · ) . d) T } (E ) ~ L ( E \E ) . 10) Consideremos el espacio M n( K ) de matrices, y los subespacios Sn ( K ) de ma trices simétricas y A n (K ) de matrices antisimétricas. Deduzca que M n( K ) = Sn ( K ) ® A n (K ). H aga algo similar para los tensores de especie ^
2
) ^ ^ 0 ) ’ s' m®tr ' cos y
antisimétricos. 11) Sean los espacios nE y m F sobre el mismo cuerpo de base K con sus bases respectivas (ej) y (c3) con 1 í i 4 n y 1 í j < m. a) Pruebe que los productos e, ® £¡ forman una base de E ® F. Deduzca que d im ( E ® F ) = dim E ■ dim F = nm . b) Verifique que existe un único isomorfismo de E ® F sobre F ® E que asocia x ® y con y ® 1 , Vx 6 E, y e F. 12) Consideremos cuatro espacios vectoriales n E , m F, n' E \ m-F' sobre K, y los dos homomorfismos u : E — > E ' y v : F — » F ' .
T www.elsolyc
a) Demuestre que existe un homomorfismo único / : E ® F — » E '® F ' tal que f { x ® y ) = u ( x ) ® u ( y ) , Vx € E , y e F . b) Muestre que el segundo miembro de la igualdad en a) es una función bilineal de x y y. c) En a) se dice que / es el producto tensorial de los homomorfismos u y t; y se denota / = u ® v . Discuta la situación ambigua en que u ® v e H o m ( E , E ') ® H o m (F , F'). d) Dadas las respectivas bases (e¡), (e,·), (e'fc), (e'h) de los espacios n E , m F, n’E ' , m 'F 1 y las de E ® F y E ' ® F ' , e¡® £j y e'k ® £,ti, calcule la m atriz de la función u ® v, M ( u ® v, (e_, ® £ h ) , (e'¡ ® £*)) con relación a esas bases en función de las matrices de u y ti (con relación a las bases de n E , m F , n.E ' y m.F ') U» y Vhk. 13) Sean dos matrices U = (í/¿j)mxn> 1 ^ J < n, l < t í m y V f = {Vkh)m>xn., 1 < k ^ m ', 1 < h < n ' con elementos en K . Se llama producto tensorial de dos matrices U y V (o también producto directo o producto Kroneckeriano), y se nota U ® V, a la m atriz (U ® V)(n„.)x(mm.) con n n ‘ líneas y mm! columnas definida así: se etiquetan las columnas del producto tensorial con ayuda de las parejas (i, k) tales que l ^ f c ^ m ' y l a s filas con la ayuda de las parejas (j , h) tales que 1 ^ j < n, 1 ^ h ^ n', de m anera que el térm ino de la matriz U ® V situado en la intersección de la columna de índice (i, k) y de la fila de índice (j, h) sea por definición (U¡jVhk) Calcule
(° - H í
i
P a ra ordenar las parejas (i, k) use el orden lexicográfico, a saber, (i , j ) precede (k , h) si i ^ h o bien si i = k y j < h. Pruebe que esta definición de producto tensorial entre matrices es compatible con la m atriz del producto tensorial de homomorfismos. Esboce un homomorfismo entre los anillos (E n d (£ ), + , ®) y (M n(K ) , + , ®) (observe el homomorfismo de los anillos (E nd(£’) ,+ ,o ) y (M n( K ) , + , x)). 14) Tome seis espacios vectoriales E , E ' , F, F', y G y G' sobre K y los homo morfismos u ' : E — ► E ' , u" ·. E ' — ► F\ v' : F' — ► G y v" : G — ► G'. a) Verifique que (u" o u') ® (y" o v') = (u" ® v") o (u' ® v'). b) Demuestre que si A' , A", B ' y B " son matrices en K entonces (A " · A') ® (B " ® B ') = (A " ® B") ■ (A ' ® B '), a condición que esta expresión tenga sentido.
vl-
15) Considere tres espacios vectoriales £ , F y G. Muestre que existe un isomor fismo único (E ® F) ® G — ► E ® (F ® G) que, Vx 6 £ , y e F, z e G, aplica (x ® y) ® z en x ® (y ® z). Es la asociatividad del producto tensorial. 16) Sean E i , . . . , E p, p espacios vectoriales sobre K . Se construye el espacio pro ducto tensorial entre ellos : Ei
® £2 ® ■· · ®
Ep
=
® ( E- í ® ... ®
Ei
Ep)
= ®f=1£¿.
Sea también / una aplicación de x?=1£ i en el espacio vectorial E. a) Pruebe que / es una aplicación p - lineal, cuando, y sólo cuando, existe un homomorfismo g de espacios: 9
'■ x ü i- E » — * E ,
tal que / ( x i , . . . ,x P) = fl(xi ® . . . ® xp)
Vx¡ e Ei, el cual queda exactamente determinado por / . 17) Sea un espacio nE sobre K . Consideremos el espacio vectorial E ® E ® £ * . a) Demuestre que existe un homomorfismo único ¿: £ ® £ ® £ * — ► T ?(E ) tal que Vx,y e E y /* e £ * , i aplica el elemento x ® y ® / * e £ ® £ ® £ * sobre el elemento x ® y ® /* 6 T {(E ). b) Muestre que x ® y ® /* es una forma trilineal sobre E* ® £ * ® E cuyo valor en (h * , 3 *, 2 ) 6 £ * ® £ * ® £ es h , (x)g * (y )f* (z). c) Pruebe que l es biyectivo. 18) Tome los datos del problema precedente. a) Generalice lo anterior a V a V ¡(E) b) Como caso particular tomemos el anillo de los enteros y las clases residua les módulo p : K = Z y £ = Z/pZ. Pruebe que T¡¡ (Z/pZ) = {0}; verifique que Z /pZ ® Z /pZ 4= {0}. Demuestre que el homomorfismo ( no es biyectivo y es nulo. c) Halle conclusiones interesantes sobre este último punto. 19) Sean n£ 1 y m £ 2 dos espacios vectoriales reales. Con x e £ 1 y y € la operación producto tensorial de x y y, n otada x ® y así:
£2
definamos
£ * X £ 2* 9 (/*,e R f:
a) Pruebe que la aplicación E\ x E 2 — ► E\ ®E?, ( x ,y ) ►-» x ® y es bilineal. b) Compruebe que dadas las bases (et) y (e} ) de E 1 y E-¡, respectivamente, entonces e, ® Ej es una base de E \ ® E 2 · c) Verifique que E i ® E 2 está en el espacio de aplicaciones bilineales £ * x £ 2* — ► R. d) Estudie el caso x ® y ® /* . 20) Sean los espacios vectoriales nE y mE ' y A e L [ E ,E ') . a) Deduzca que A define para cada p = 0 , 2 , . .. una aplicación lineal única del espacio Tq (E) en el espacio T q (E') tal que ® . . . ® i p) = A ( x \) ® . .. ® .4(xp) V x i,. . . , x p e E. b) Encuentre que A define, para cada
'¿ ( /O ® . . . ® '> !(/,) V /,......../ , e É * .
c) Establezca, que A induce las aplicaciones lineales A : T q (E) — » T q (E') y A(q) : T ^ ( E ') — ► T%(E) definidas en a) y b). Pruebe que si A no es un isomorfismo, entonces no induce transformaciones de los espacios de tensores mixtos T?(E). 21) Sean las matrices A e M n( K ) y B e M m (K ), donde K es un anillo conm utati vo, y su producto tensorial o Kroneckeriano A ® B e M nTn{K). Demuestre que det(/4 ® B) = det(A )md e t( £ ) n . 22) Sobre los espacios vectoriales complejos E y F se da una aplicación R-lineal / : £ — £. a) Demuestre que / adm ite una descomposición única del tipo /
1f 1, 2 + 2
donde f±{x) = /( * ) ± ¿ /(» x ) b) Si F = C pruebe que /+ = / _
c) Dé una definición de tensores de especie ^ P ^ sobre nE complejo, con valores en el espacio vectorial F como T e L(p+q) ( E ' , E\ F), donde E* es el espacio dual complejo de todas las aplicaciones C-lineales de E en C. 23) Se dan T y y T¡J sim étricos y u \ u' tales que (T y -A T ¿K = 0
i , j = 1 ,2 ,...,n
(T y -V T ^ K = 0
A =¡= A'
P ruebe que a) T y tiV = TljU'rP = 0. b) A es un invariante. 24) Si T ' 3 y Tij son dos tensores simétricos recíprocos, y si u, es un covector a) P ruebe que, T ' 3UiUj = T y u 'u 5, con u’ = T ' 3u3. b) Si T 'i es antisim étrico pruebe que T ' 3u tuj = T y u ’u3 = 0. 25) Sea T ' 3 antisim étrico y el covector gradiente d,, pruebe que dtd , T '3 = 0. 26) Demuestre que L (E , F) se puede identificar con E* ® F. 27) Consideremos / e L P( E \ F ) , es decir, / p-lineal de E p en F. Deduzca que existe una aplicación lineal única /o € L (T g(E ), F) tal que f ( x i , . . . , x p) = fo(.xi ® ·· · ® x P) V x i , . . . , i p 6 E. 28) Sean los vectores U, V, W de componentes ua , v ° , w a respectivamente. Las nuevas componentes en un cambio de coordenadas son i a * = J5 S · .
i dy{ Q - =
dxa " ~dy*
a) Demuestre que T = U ® V de componentes T a0 = u au ° es un tensor y dé su variancia. b) Haga lo mismo para las siguientes expresiones: U0Va , 11*10«, Ua Vl3Wy, UcVffW^. 29)
(i>
a) Pruebe que el elemento de curva di en n dimensiones es un tensor Lo mismo para el campo de velocidad v = gf.
b)
Demuestre, por dos métodos diferentes, que el gradiente de una función escalar / (función de punto) es un tensor
30)
dxi ¿ a) Demuestre que las matrices PJ = — - y Q ¡
dyJ
no son tensores, aun
que sean n 2 componentes. b)
Pruebe que en cambio
.i
,
dx' dy3 — 7 y — - si son tensores dx' dy1
31) Pruebe que 6 y , <5'J , son tensores. 32) Muestre que s ' 3 y s ',k son tensores com pletamente antisimétricos. 33) Verifique que
i 5j
=
dy' dxa
^
^
7
·
34) Los tensores de rango dos son matrices. ¿Son tensores las matrices y determi nantes? 35) Demuestre que, para una misma base y un mismo punto, la sum a de tenso res, el producto por un escalar, la multiplicación tensorial, la multiplicación contraida (o interna) y la contracción son tensores. ¿Qué puede decir de la división tensorial? 36) Explique por qué dx3 dyk _ dy^_ _ dy3 dx0 dx3 * 37) Pruebe que r ^ / 4 Q - Y%a A a = 0. (Si T es simétrico en a y /3, esto último se indica así: T ^ ) 38) Com pruebe que si di es un vector (en particular el vector gradiente 3 s ¿ = V¡) entonces dtd j T ij = 0 si T ' 3 es antisimétrico en t y j. E sta antisim etría se indica así: T ' 3 o Tl ; . Pruebe que T XJf ' 3 = 0. 39) Consideremos / , g
e L{E\ E 1) las cuales inducen las transformaciones del tipo
/ (p) : TS(E) — T0P(£ ') y / (p) : T^(E') — > T?(E) p ara p =
1 , 2 , . ..
a) Deduzca que (f g ) ^ = /
9 (P) /( P)·
b) E xhiba un método para obtener la matriz de / ^ y /( p) a partir de la m atriz M ( f , (e;), (e-)), donde (e¿) y (e') son bases de E y E ' respectiva mente. 40) ¿Qué
relación existe entre las matrices y los tensores de especie ^
2
)
que también se llaman diadas o tensores diádicos? 41) Halle o describa explícitamente todos los tensores sobre el espacio 2 E comple jo, T ·. E 2 — ► C, tales que sean: a) Bilineales y antisimétricos. b) Lineales en la prim era variable y antihermíticos, es decir: T (z , y) = - T ( y ,x ) . 42) Dados R3,R 3*, las bases duales (e*), (e^) y las formas lineales /; e R3** que hacen corresponder fi(g) = g ‘ a la forma lineal g = g,e', consideremos el tensor de especie ^
^ sobre R3, T = T je, ® e \ donde T j = T ( e l, e¿), y las nuevas
bases de R3 (ei) y (£■'), donde T = T kek & E l , con Tek = T(£*,e<). Pruebe que el tensor contraido, que sum inistra los números 7?, es independiente de la base («;) de R3. 43) Com pruebe que las expresiones = d ^ A u —d^A^ y duFP)1, se transform an como tensores.
+ dpF
+
44) Dados / y g, formas lineales sobre nE complejo, y g una forma antilineal, tal que g(x) = g[x) V i e E , pruebe que / ® g es una forma sesquilineal y / ® / es una forma hermítica. Demuestre que toda forma sesquilineal h se escribe de m anera única así: h =
¡)e'
45) En nE se definen /* y / 2* e E*. Deduzca que la igualdad T (x ,y ) = /,*( x ) / í (y) - A * ( ! /) / 2*(*) define un tensor T antisimétrico de tipo ^
2
) so*3re &· ¿Qu®puede decir de
T - } '
46) En n E, sobre un subcuerpo de los números complejos, suponga que hay un tensor antisimétrico T dos veces covariante. Si considera a T como una forma bilineal antisimétrica, pruebe que T tiene rango 2 (rg(T) = 2) si, y sólo si, existen dos formas lineales f \ y / 2 de £ * , linealmente independientes tales que T (x, y) = f i ( x ) h { y ) - f \ ( y ) f i ( x ) · ¿Qué puede decir de e'® eJ - e J ®e' y de e , ® e j —ej ®e¡? Verifique que en R 3 cualquier tensor T del tipo precedente se escribe así: T (x ,y ) = h ( x ) h { y ) - f i ( y ) h ( x ) · Dados R 3 , R3*, y sus bases (e,), (eJ ) y dos elementos de £*, / = ( / 1, / 2 , / 3 ) y = (ff1 .ff2 .S 3 )> halle el tensor cuyas componentes son
9
Ti j = f,g j —9 ifj47) Consideremos el espacio E = M m xn(K ) y una matriz A e Mm(K). Sea la función sobre E 2 ( x , y ) ^ T A( x , y ) = T r C X A Y ) . Pruebe que TA es un tensor dos veces covariante sobre E para el caso AÍ2 x2 (R)> exhiba la base de AÍ2 (R) y la base tensorial de T ^ A ^ R )]. Estudie el caso n = 1. 48) Halle todos los tensores de especie ^
2
) so^ire e' espacio K 2 donde K es un
cuerpo. Generalize a un espacio nE. 49) Sitúese en R2. Sea el tensor T definido por T((xi,x-¡),(yi,y 2 )) = X1J/1 +X 1J/2 + XiVl + X2V2 . 1· a) Calcule las componentes Tii en la base canónica («1 , 62 ). b) Si definimos o tra base por e\ P del cambio de base.
= ( 1 ,- 1 ) y
= (1,1). Calcule la matriz
c) Calcule las nuevas componentes del tensor T't]. d) Calcule en la nueva base el valor del tensor T(x,y). e) ¿Cuál es el rango de la m atriz (T^)? 50) Describa explícitamente todos los tensores simétricos y antisimétricos en R3 y R2 respectivamente. 51) Sea un tensor T dos veces covariante sobre Deduzca que T (x,y) = /* (x )/* (y ), con / * , / 2 6 E ' (es decir T es el producto de dos formas li neales) si, y sólo si, T como forma bilineal tiene rango 1. ¿De qué tipo de producto se trata?
-Mr
52) Desarrolle las siguientes expresiones: a) a¿jb'3
i = 1 ,2,3 j - 1,2.
b) a u d x 'd x ', a ijd x'd x; , UijSijdx'dx 1 i , j = 1,2,3,4. c) e ' i x f x j i , j = 1,2; £'ikx ¡ x j x l i, j , k = 1 ,2 ,3, e es el símbolo de simetría, de spin o de Levi-Civita. 53) Explique por qué (ajfrj)3 = a 'b í x a\b’k x a\b‘k * (a’ )3(fr¿)3. 54) Si aaPyx ax 0 x~’ = O, demuestre que + Qfcíj + Qjki + Ojik + akji + o.ikj = 0. 55) Considerando el cambio de base como de coordenadas ( z i , . . . , i n ) «— ► (S/i, · · ·. Vn), entonces demuestre con la ayuda de diferenciales que las matrices de cambio de base son =
r
=
........r>.
56) Use la definición de tensor con las matrices variables del ejercicio 55 para dem ostrar que las siguientes cantidades son tensores y dé además sus variancias: . . dx', dy1, (e,) base, (e3), v' vector, Ui covector. 57) Verifique que d2 y' dxa dx 0 d x ° d x 0 dy 1 dyk
a··
b)
d2xM dykdyi
dy' d 2 x ° _ d xa dy‘dyk
dxa dx 13 dx** d 2 y' dy3 dyk dy' dx0 dxa
tt n d2x d2y c) Halle una relación entre — r y -p-r para y = f(x)· dy¿ d x 1
58) El símbolo o delta de Kronecker generalizado es ÍIÍ2Í3■■
y se define así: los subíndices y los superíndices pueden tener cualquier valor de 1 a n. Si al menos dos subíndices o al menos dos superíndices son iguales,
o si los subíndices no son el mismo conjunto de números que los superíndices, entonces el símbolo generalizado de Kronecker es cero. Si todos los subíndices y los superíndices son distintos separadam ente y los subíndices son el mis mo conjunto de números que los superíndices, el delta vale +1, o —1 según que se necesite un número par o impar de permutaciones para acomodar los subíndices en el mismo orden de los superíndices. Calcule los siguientes deltas generalizados: cl23 °123·
rl23 °213>
cl73 0 153>
rl23. °iij >
rl23 °231>
rl23 °221>
rl348 °1438>
¿122 °123>
r312 °323·
59) Pruebe que rl23...n
_
..»n
123...n
60) Compruebe las siguientes igualdades:
,J dx 13
d fi
3fj
dx 1
dx'
= ai]k + ajki + akij - ak]i - ajik - a'k j. 61) Sea el sistema de componentes £rst com pletamente antisimétrico definido así:
t = £rít =
0
si dos índices cualesquiera son iguales.
+1
si r,s,t es una permutación par de 123.
—1 si r,s,t es una perm utación impar de 123. Definamos el símbolo de Kronecker 6 ^f‘ así: rrjt
°mnp
__ - r a t _
cmnp
a) Calcule el valor de 8 ™^p. b) Dé la expresión de <5” pp. c) ¿Qué valores tom a 8 %n y d) Muestre que
« j-5 # -
5 ( 3 1
y deduzca el valor de ¿ j .
+$ +$ ) .
e) ¿Cuánto vale ¿j? 62) Verifique las siguientes relaciones: S\ = 3 ,
SX, = 2C ,
5"{ = 3!,
63) Demuestre las fórmulas siguientes: <5}^ = A \
6 '¿eB
ke = B ij - B ji
^ijk rj^mnp _ -j*ijk __
_ rp*cji
64) Muestre las siguientes igualdades: W npW = O m ni « Ü PÜ
= 2 !á^ ^ ;
65) Compruebe que
66) Pruebe que todos los deltas ( 6 ) de Kronecker son tensores absolutos:
67) Si K es un invariante de peso 1 (un seudoescalar) y T jk un tensor de peso M , deduzca que ( K ~ MT'^k) es un tensor absoluto. Saque una conclusión que relacione tensores relativos y absolutos. Ver los problemas 98-102, 108, 109. 68) Muestre que e'l k , llamado símbolo de Levi-Civita, es un tensor relativo de peso +1. Se le llama densidad tensorial de Levi-Civita y es un seudotensor. 69) Demuestre que el símbolo de Levi-Civita £XJk es un tensor relativo de peso —1. Se le llama capacidad tensorial de Levi-C ivita y es un seudotensor. 70) Verifique, a partir de los problemas 67 y 68 que los deltas de Kronecker son tensores absolutos.
71) Si TJk es un tensor relativo de peso M (se dice tensor ponderado) muestre que T]k = Q MP'mQ''J Qt‘k T'™. 72) Pruebe los siguientes enunciados: a) Si todas las com ponentes de un tensor relativo (o de un tensor absoluto de peso cero) se anulan en un sistem a de coordenadas, entonces ellas se anulan en cuadquier otro sistema. b) Si todas las com ponentes de dos tensores relativos del mismo rango y peso son iguales en una base, entonces las componentes seguirán siendo iguales en cualquier o tra base. c) Si todos los cofactores de los elementos de det(Ty ) se anulan en un sistem a de coordenadas (o variables), entonces lo mismo sucede en cual quiera otro sistem a de coordenadas. 73) Sea TU un tensor absoluto. a) Pruebe que det(T j) = ¡T^| es un invariante absoluto. b) Com pruebe que los cofactores de el determ inante |T j| son tensores abso lutos. c) Verifique que si
es el cofactor de Tj en |T;l|, dividido por | | , entonces
t\ es un tensor absoluto. 74) Sea TV, un tensor covariante absoluto. a) Deduzca que |T¿^| es un invariante de peso 2. b) Pruebe que los cofactores de |T i,| son todos tensores relativos de peso 2. 75) Sea T ' 1 un tensor absoluto contravariante. Demuestre que |T tJ| es un inva riante de peso —2 . 76) Si T = ITijI y T 'i es el cofactor de es un tensor absoluto contravariante.
en T , dividido por T , pruebe que T ,J
77) Consideremos el tensor absoluto T x¡ tal que T = |TU| > 0. Demuestre que v/TCyfc
y
J = e ·^
son tensores absolutos. 78) Considere el conjunto de tres vectores absolutos contravariantes x \ , x \ y X3 ·
a) Deduzca que |x*| es un invariante de peso —1. b) Demuestre que si x{ es el cofactor de x ‘ en |xj | dividido por |x*j, entonces r j son tres vectores absolutos covariantes. 79) Si x}, x f , x3 son tres vectores absolutos covariantes, muestre que |x¡| es un invariante de peso +1. 80) Demuestre que el indicador de Levi-Civita es una densidad tensorial. ey.„ es la densidad tensorial de Levi-Civita, lo mismo e'3 " . 81) Pruebe las siguientes afirmaciones: a) La sum a o la diferencia de dos densidades del mismo rango y peso es una densidad del mismo rango y peso. b) El producto de un tensor por una densidad es una densidad. Estudie el rango y el peso. c) En una base ortogonal los tensores y densidades de peso 1 pueden diferir en el signo para ciertos cambios de base. d) El producto de dos densidades es un tensor. e) Una densidad contraida es un densidad. f) La derivada parcial de una densidad con respecto a x ‘ es o tra densidad. 82)En R3 pruebe que EiktEikm = 2<5
- <5*n<5fm·
a) Demuestre que el valor de £tJt;£lmn es 1, si i, j , k son todas diferentes y ( tm n ) es una permutación impar de i j k \ -1, si ¿, j , k son todas diferentes y (i m n ) es una permutación im par de i j k y 0 en los otros casos. b) Deduzca que
EijkEfmn
—
^nSjrn^kn
8inSjg6krn 6in\8jl8kn·
c) Deduzca que
= fijmfikn
^km
84) Sea nE. Pruebe las siguientes afirmaciones: a) P ara que un escalar, función de la base utilizada en „E, sea la componente de un tensor de rango n com pletamente antisimétrico y com pletamente contravariante, es necesario y suficiente que el escalar sea una capacidad escalar (tam bién se dice un escalar contram odular). b) Toda densidad escalar (también se dice escalar comodular) es la compo nente de una forma exterior de grado n (un tensor de rango n com pleta mente antisim étrico y com pletamente covariante).
85) Dé la definición de un escalar p veces comodular (densidad escalar) y de un escalar p veces contram odular (capacidad escalar). Pruebe que el producto de un escalar p veces comodular por un escalar p veces contram odular es un escalar intrínseco. 86) Demuestre que un tensor de especie ^
q
) 0 ( 2 ) ^ Ue l *ene n * cornPonen·
tes, posee solamente n (n + l) /2 componentes independientes si es simétrico y n (n — l) /2 si es antisimétrico. 87)
a) Elabore la definición intrínseca de tensor simétrico y antisimétrico. Lo mismo de la contracción; además muestre que ésta es un aplicación lineal de T P(E) en T ^ ( E ) . b) Demuestre que la sim etría y la antisim etría son invariantes con respecto al cambio de bases o de coordenadas.
88) Sean t e T P(E) y / 6 T¡¡(E) y definamos el producto escalar entre í y / por una sum a de n p+q términos < t |/ > = < / i donde se ha escogido la base (e¡) de E que da las respectivas componentes de tyf: ........«‘' . e * . y - / ( « * * ..............................*e,). a) Pruebe que este producto escalar es una forma bilineal T P(E) x T<(E) —
R.
b) Com pruebe que (T P(E))* = Tj¡(E) y viceversa. c) Demuestre que
<í|l( ®
® i , ® / * ® ... ® /*> = t ( / r ..
Zi, . . . , i , )
y deduzca que < í|/) no depende de la base escogida. d) Analice las afirmaciones: Un p-vector (p = 0 , 1 , 2 , . ..) del espacio vecto rial E es un tensor antisimétrico de T q {E)·, es un elemento de a pE. Una p-form a sobre E es un tensor antisimétrico de T^(E ); es un elemento del espacio a pE ' . Por o tra parte deduzca que las p-form as sobre E son iguales a los p-vectores sobre £ * , y viceversa.
e)
Verfique que los elementos e*,a . . . a eip con (tj < . . . < ip) forman una base de a pE (p = 1,2, . . . , n ) y los elementos eJ1 a . . . a , con j i < . . . < j q, una base de a pE* (p = 1,2 , . . . ,n).
f) Tomemos / = xi ® . .. ® x p ® / i ® . . . ® / ,
y 9 = yi ® · · · ®
yP® si ® · ® gq
en T P(E)\ pruebe que el producto escalar ( | ), en T P(E) se puede definir a partir del producto escalar ( | ) de E , de esta manera: = O i|y i> ■ · ■
a£
y estudie sus propiedades.
b) Defina un producto exterior y estudie sus propiedades. c) Lo mismo para el producto por un escalar A. d) Deduzca que aIs es un álgebra, llamada el álgebra exterior de Grassmann del espacio E. 90) Sean T y T ' aplicaciones lineales entre espacios de dimensión finita: T : E — « F y T ' : E ' — > F ' . Pruebe que T y T ' inducen una aplicación lineal única, llamada producto tensorial y denotada T ® T ', definida así: T ® T ' : E ® E ' — > F ® F ' tal que T ® T '(x ® x') = T (x) ® T '(x ') para todo x e E y x' e E ' . 91) Dé la m atriz de x ® y , donde x, y 8 nE. 92)
a) Calcule la m atriz de x a y, donde x , j e R 3. b) Verifique que (x a y ) ,j son las componentes covariantes de un tensor antisimétrico de rango 2. Calcule el número total de sus componentes y el número de componentes independientes si el espacio es nE.
c) Encuentre que, en el caso n = 3 ( 3 E ) , (X
A
y ) k = EkijXV ,
es decir, el bivector o 2-vector x a y sólo tiene 3 componentes efectivas; compruebe además que es un seudovector. E ste es un caso particular muy conocido: el producto vectorial de dos vectores es otro vector, en otras palabras es un seudovector o vector axial. d) El tensor dual de un tensor7,'“/A ■■ completamente antisimétrico es por definición
tu... = £O 0..^T^··. Si T es p-veces contravariante, T* es (n — p)-veces covariante en „E. Calcule para T y T* el número de componentes no nulas. e) Deduzca que el dual del producto exterior (vectorial) de dos vectores po lares en R3 es un vector axial, es decir, depende del triedro de referencia. f) Verifique que el símbolo o indicador de Levi-Civita no es un tensor. En conclusión el producto vectorial es en general, un tensor completa mente antisimétrico. Pero en R3 este tensor (bivector) se reduce a un vec tor axial. Por ejemplo, el campo magnético H es un tensor antisimétrico, el cual al tener sólo 3 componentes independientes se llama vector axial campo magnético y se nota H ° H93) Tomemos una forma lineal F (covector o tensor ^ ^ ^ ) de componentes F¡. A ella se le hace corresponder un campo vectorial ^
2
) Ham ado rotacional
de F: ro tijF = dxF¡ — d}Fx a) Verifique que esta definición de rotacional de F conduce a la relación: Rot F = diFje'
a
e* = rotijF e' ® e J ,
es decir, el rotacional hace corresponder una 2-forma una 1-forma. b) Con el indicador de Levi-Civita, en R3, pruebe que el rotacional de un covector (forma) o de un vector es un seudovector o vector axial. 94) Halle los ángulos 0y entre los ejes coordenados i y j en función de gt]. 95) Encuentre las componentes gxj del tensor métrico en coordenadas cartesianas oblicuas, en función de 0 ,,.
96) Si ei entero p tom a los valores p = 0 , 1 , 2 , . . . , se dice que un p-vector del espacio nE es un elemento antisimétrico de T q (E). El espacio de los p-vectores se notará a pE. Se dice que una p-forrna sobre E es un elemento antisimétrico de T ^(E ). Su espacio es a PE * . Por definición, a ° E = K = a °E*. a) Pruebe que tanto a pE como a pE* son espacios vectoriales. b) Compruebe que las p-formas sobre E son iguales a los p-vectores sobre E * para abreviar se pone Tp (E) = Tp y T q (E) = T £ . c) Muestre que el antisimetrizador A es una aplicación lineal de T£ en a pE o de en a p£* . d) Demuestre que si / es una forma multilineal antisimétrica, entonces A f = / . Deduzca que A 2 = A. e) Demuestre que si un elemento T de T q es simétrica en alguna pareja de índices, entonces, A f = 0. f) Verifique que para p vectores x i , . . . , xp de E se tiene Xl A . . . A Xp = A (xi ® . . . ® Xp). g) Verifique que para T \ e T p,' y T2 e T PJ se tiene Ti a T i = A ( T \ ® T j). h) Pruebe que a . . . a e* y e*1 a . . . a e * ', con n < . . . < i p, son las bases de a PE y de a p£ * , respectivamente. Infiera que d im a p E = d im a p £ * = n![p!(n —p)!]_ l . 97) Consideremos de a pE (p = 0 ,1 ,2 ,...) ; juntando estos espacios generaremos el nuevo espacio a E formado por todas las (n + l)-a d a s (7 o ,. . . ,T P, .. , Tn) donde la p-ésim a componente Tp pertenece a a pE. Definamos en
a
E la adición así:
(To........Tn) + (T¿.........T'n) = (T0 + T ¿ , . . . , T n +Tñ); y la multiplicación
a
así:
(To........T„) a (T ¿ ,...,7 X ) = ( T ¡ , . . . , T ñ ) , donde t;
=
t0 a t ;
+ ... +
tp a
T¿
a) Demuestre que, con estas operaciones, conmutativo. b) Pruebe que a E es un álgebra. álgebra de Grassmann.
a
a£
es un anillo asociativo y no
E se llama el álgebra exterior de E, o
98) Denotemos con k los enteros 1 , 2 , . . . , y con n E un espacio vectorial. Sea B = (e, ) una base de n E. Sean los espacios (k(E ) = ( a " E ) ®
® ( An£ )
(k factores)
donde fc = 1 , 2 , . . . y £_*(£) = (An£ , ) ® . . . ® ( A n £ · )
(k factores).
a) Deduzca que £*(£) y C-k(E) tienen dimensión 1, independientemente del valor de k. b) Tomemos e = e¡ a . .. a e„ y e* = e 1 a . . . a en y pongám os o s ) = e © ... © e
(A: ueces),
l - k ( B ) = e’ © . .. ©e *
(/c tieces).
Pruebe que si a cualquier base B de nE le corresponde un vector de base i k { B ) en tk (E ) tal que un cambio de base B — ► B ' tenga m atriz P, entonces, se obtiene un cambio de bases t-k{B) — ► Ik(B ') dado por t k(B') = (det (P ))k(k (B). El entero k se conoce con el nombre de “peso” . c) Por definición, una densidad tensorial T sobre E de especie peso k es una forma (1 + p 4- g)—lineal
( 0 ,d·
T - . í k j E ) x E* x . . . x E* x E x . . . x E — > K. p
i
Pruebe que las componentes de T están deudas, para la base B = (e¿), por
A una densidad tensorial tam bién se le llama seudotensor.
p
d) Demuestre que a un cambio de bases B — ► B' le corresponde la siguiente ley de transformación de las componentes de una densidad tensorial T
E sta definición de densidad tensorial, con la definición (c) corresponden a la definición más general de tensor con valores en K . 99) Si P¡ = corresponde al Jacobiano, demuestre que tenemos otra definición de densidad tensorial de peso k, equivalente a las definiciones c) y d ) del pro blema anterior, pero más general ya que el cambio de base corresponde a una función arbitraria x' = x'(x), en general no-lineal, del cambio de coordenadas. Debe hallar
dx'ii P' - P* Si k = O se dice que el tensor (o campo tensorial) es absoluto. Si k =f= O el tensor es relativo de peso k. 100)
a) Compruebe que los vectores y formas lineales hasta ahora estudiados son vectores absolutos, b) Verifique que el delta de Kronecker, <5* es un tensor mixto absoluto.
101) Consideremos el invariante ds 2 = gfivdx,íd xv, a) Compruebe que
b) Si g^u = Si/m» pruebe que f)T Q r)t P
c) Deduzca que dx es decir, que ^fg es una densidad escalar de peso 1. ¿Qué tipo de densidad tensorial o seudotensor es g?
T
www.elsolucji
d) Pruebe que si h = det g*v entonces h es un seudoescalar de peso —2 o una capacidad tensorial de peso 2. 102) Sean T* las componentes contravariantes del vector T . Consideremos la ex presión D l = yfgT'. Pruebe que éstas son las componentes contravariantes de una densidad vectorial de peso 1. Por este procedimiento se transforman tensores absolutos en tensores relativos o densidades. 103) Demuestre que si T es una densidad escalar, entonces T /^ /g es un invariante. Se supone que g es positivo, si no, use T /sf\g\· 104) Del tensor relativo de componentes X* de peso fc,obtenga un escalar relativo de peso k. 105) Si T'k\ son las componentes de un tensor mixto de peso p, muestre que T k¡ es un tensor mixto de peso p. 106) Sean los vectores de componentes (d x l , 0 , . . . , 0 ) , (0,d x2, 0 , . .. ,0), ( 0 , . . ., 0, dxn). Bajo un cambio de base se obtendría para el primero (d x 1 i dx2 ! dxn A [ d ^ d x ' l ^ d x ' - ' - d ^ dx ) '
. .. ,
etc.
demuestre que a) dx l dx 2 . . . dx n =
dx' d xldx2 . . . dxn , dx
es una densidad escalar de peso —1 o seudoescalar de peso —1. b) Interprete geométricamente la igualdad dr = d x 1. . . dx" c) Demuestre que ^[g dr es una densidad escalar invariante. d) Justifique que
107) El elemento de volumen dr = d x 1 a ... a d xn es tisimétrico cuyo valor varía de un punto a otro. d V — ^Jg ■ dr es un invariante. Justifique que d V es rrespondiente a dr. Pruebe que yfg es una densidad
un tensor totalm ente an Muestre que, en cambio, la medida de volumen co de contenido volumétrico.
108) Pruebe que una densidad tensorial D'*k es una magnitud tal que D']k/^ /g se transform a como un tensor T ' ]k. 109) Sea A un escalar y T ¿x un tensor; demuestre que una densidad escalar d es d = ^JgX. Muestre que sfyT'k3( es una densidad tensorial. 110) Se define el tensor e de Levi-Civita así: ,i|
v
a) Pruebe que
,
.
.
*12 ..n
= £*»'*—*·«.
b) Compruebe que | x‘ | = d e t ( x ‘ )
= _ “
ei,i,...i„x,i, x 21 · · ■ xÍT -¡lij . ú - l _2 n t »1 *2 *** »« *
c) Deduzca la ley de multiplicación de determinantes del mismo orden:
K llty = £ixn-. i Á x
= lc>l- con cj = < br
a) A partir del invariante ds 2 = g ^ d x ^ d x 1' = g '^ d x pdx v pruebe que dx'° dx ' 0 9¥* ~ l h ¿ l h " 9aP' b) Pruebe que y / W = ||^ |v 1 ® i ·
con Isl = det g ^
c) Compruebe que , dxa dx 0 dx° d x0 , 9ii = l h ^ d 7 > 9 a 0 ** 9,5 = dx' dx’ 9a0' 112) Deduzca que el ángulo 9 entre dos vectores >1‘ y B 1 está dado por eos 9 =
g ,jA 'B j
(gijA 'A i ) V 2 (gijB 'B > y /2 '
Estudie los casos eos 9 = 0 y | eos 9\ ^ 1, para ello use el razonamiento utilizado para establecer la desigualdad de Schwarz.
.
113) Demuestre que la diferencia entre las componentes de un vector V , en un punto arbitrario P, y las componentes en otro punto P', también arbitrario, de un mismo sistem a de coordenadas rectilíneas es un vector. P ara ello defina el vector por su ley de transformación en un cambio de coor denadas rectilíneas x ° —» y' a , i = 1 , 2 , . . . , n; note que el vector está ligado a un punto y que sus componentes son relativas a un referencial dado y concluya que
[ ( V V - ( V > ] = ^ [ ( ^ Q)p· - (V“ )p]. 114) Generalice el ejercicio anterior a un tensor cualquiera. 115) Demuestre que, en un sistem a de coordenadas curvilíneas, la diferencia de componentes de un vector en los puntos P y P ' no es un vector. Generalice a un tensor. Como se ve, no se puede com parar los valores de un tensor en dos puntos arbitrarios. Afortunadam ente hay un mecanismo para suplir esa deficiencia: el llamado transporte paralelo o geodésico. 116) Sea el tensor T jk función de la variable x l . Después de un cambio de base p d T 'ijk e, — ► e ' , c a lc u le----- — y muestre que esta últim a expresión no es un tensor. dx' Felizmente, existe un mecanismo fino para superar este obstáculo: la diferen cial absoluta o derivada covariante.
117) Si T']k es un tensor cuyas componentes dependen de un parám etro variable í, dem uestre que la derivada del tensor con relación a í es un tensor del mismo rango y peso. 118) Pruebe que si T']k es un tensor (con relación a transformaciones lineales, G L ( E )) cuyas componentes son funciones de la variable x e, entonces, las derivadas parciales , . forman un nuevo tensor cuyo rango se aum enta en un dxc índice covariante. 119) Sea la expresión T = T ijx 'x 3. a) Deduzca que
^ d x'd xi
,;
j '·
b) O btenga que, si T es un invariante, entonces (T,j -t- TJX) es un tensor covariante respecto a las transformaciones lineales.
120) Considere el espacio euclidiano 3 E de vectores y su base ortonormal (ei, e 2 , ej). Definamos la cantidad £ dependiendo de la quiralidad o de la base (e¡); es decir, dependiendo de si (e,) es una base derecha (dextrógira o de sen tido positivo) o izquierda (levógira o sentido negativo). £ se define así £ = +1 si la base (e,) es derecha y £ = —1 si (e,) es base izquierda. Ahora definamos el símbolo antisimétrico de Kronecker £t]k (o densidad de Levi-Civita) el cual depende de la escogencia de las bases y vale £ 1 2 3 = £231 = £ 3 1 2 = £
; e213 = ¿132 = £321 = — £ >
si todos los índices son diferentes (el valor ±£ depende de la paridad de la permutación) y ey* = 0 si dos de los índices i , j , k son iguales. a) Verifique la relación a e3 = Eijkek =
® e,) = e, ® e, - e, ® e<,
A (e,
donde a es el producto exterior o vectorial y A es elantisimetrizador. Aquí hay sum a sobre el índice repetido k. b) Demuestre que la relación anterior es independiente de la quiralidad o lateralidad de las bases. c) Calcule el bivector
a
e¡ para la base dual e'.
d) Verifique que ei a e2 = £ t z —e 3 , si la base es izquierda.
=
e3 , cuando la base es derecha y
e\ a
e2
=
e) Demuestre que P = X
A
Y = £ijkx'y>ek <*> Pk = £i i k n y j ·
¿Cuántas componentes independientes tiene P = Ptle'
a
eJ (i < j ) l
f) Verifique que
to
II >·, < *
e\
62
e3
II
12
13
í/l
3/2
V3
g) ¿Por qué es indiferente escoger índices superiores o inferiores en a), <:), y/)? h) Discuta la situación que se presenta en cuanto a la definición del producto vectorial. En este problema se ha dado una definición independiente
(vector polar) sino un vector axial o seudovector; éstos cambian de signo al cam biar de quiralidad, los vectores polares no cambian en las mismas circunstancias. 121)
Consideremos el espacio euclidiano 3 E ortonorm al con su base (et). a) Pruebe que el producto mixto o triple producto escalar da la siguiente relación: (ei x ej ) ■ ek = £i jk = [e¿, ej t ek ].
b) Com pruebe que [X, Y, Z] = £,jkXiVjZk
VX, Y , Z
6 3 E.
c) Verifique que
[X ,Y,Z] = £
Xl
X2
yi
j/2 y3
13
Zl
z2
z3
d) Pruebe, de dos maneras, que el producto mixto es invariante bajo cambio de bases. 122) Demuestre la invariancia, respecto del cambio de base, del producto escalar, la longitud de un vector y el coseno del ángulo entre dos vectores. 123) A hora se tra ta de probar la invariancia del producto vectorial. a) Si en un cambio de base e, «— ► e', de m atriz (P,j), se tiene, por defini ción, para Ey*: £i'j'k' ~ Halle la ley de transformación de £y*. b) Por un cálculo muestre que £ i' 2' 3 > = (d e tP y ) £ ] 2 3 y e' = |P |£
si
d et(P y ) = |P | = detP.
c) Exam ine los cambios en e si la quiralidad de la base es invertida. d) De V = x a y o Vk = £ijkXiyj deduzca la invariancia de esta expresión, vale decir, del producto vectorial, cuando se realiza un cambio de base. 124) Si una m atriz A cumple con la condición A 2 = I se dice que es involutiva. A es idem potente si A 2 = A. a) Halle todas las matrices involutivas.
b) Exam ine la idempotencia de las matrices
c) Demuestre que si una m atriz goza de dos de las tres propiedades: ser simétrica, ser ortogonal o ser involutiva, entonces, tiene la tercera. 125) Si un tensor T¡jk... es simétrico en todos sus índices (totalm ente simétrico) se nota así T(,_,·* ) ; si es totalm ente antisim étrico (antisimétrico en todos sus índices) lo notaremos T[ijJc ]. Demuestre que un tensor ne así
2 T ijk
=
T (ijk) + T [ijfc ]
+
2 +
i jC f y j) * ~ T k (il))·
126) Averigüe si la proyección sobre la dirección de un vector 5, Pra, es un tensor idempotente. 127) Sean / y g dos tensores covariantes de rango uno, con representación matricial f t y gi respectivamente con relación a una base ortonorm al ( e i,e 2 ,e 3 ) de 3 E. a) Pruebe que el valor del tensor / ® g es
(/®s)(*. y) = figjx'y1· b) Justifique que la representación matricial del tensor (o forma bilineal) f ® g es
c) Defina el producto tensorial de matrices (llamado también producto di recto o Kroneckeriano) i l i ) ® ( g i ) = (/ 1 / 2 / 3 ) ® (9lfl2fl3)·
d) Calcule el siguiente producto tensorial de matrices:
Examine la conm utatividad, la asociatividad y la distributividad.
e) Calcule el producto tensorial de la representación m atricial de dos vec tores
X1 ^ i( X2 ® X3 ) 1 !{
y1 y2 y 3
128) Sea la forma bilineal / . Realize las operaciones de simetrización y de antisimetrización; halle la descomposición de / en sus partes simétricas y antisim étri cas. 129) Consideremos un operador T del espacio euclidiano 3 E. Sea u = A(y). a) Pruebe que / ( x ,y ) =
1
· u = (x|v4(i/)) define una forma bilineal.
b) Pruebe que la m atriz de T coincide con la m atriz de los coeficientes de la forma bilineal / . c) Demuestre que una m atriz (T¡j) es la matriz de una transformación lineal T si, y sólo si, Tij es un tensor de segundo orden. 130) Consideremos el tensor T de m atriz
(Ty) = Descompóngalo en su parte sim étrica S(y) = S y y en su parte antisim étrica A[y] = Ai] y calcule: a) SijA ij. b) SijXi.
e) A tj Sij.
c) S,jX ,X j.
g) AijXi con x = I
f)S y í y .
( 32 V
h) AijXiXj con x =
131) Todo tensor de rango 2 es una matriz. Justifique que la recíproca no es cier ta estudiando el contraejemplo de (P,< ¿), m atriz de cambio de bases ¿por qué (P í-í ) no es un tensor? 132) Sea A un operador lineal del espacio euclidiano 3 E con la base ortogonal (e¡). La imagen de la base será Aei = a, = a ^ e j .
a) Verifique que la expansión de la imagen de un vector X respecto de los vectores a, tienen los mismos coeficientes que la expresión del vector X con respecto a la base (e¡).
0 ·!
b) Pruebe que el cubo unidad orienteado Vt construido sobre la base e = ( e i , e 2 , e 3 ) vale Ve = e (véase el problema 120). c) Compruebe que, bajo la transformación A, el cubo construido sobre los vectores (e,) se cambia en un paralelepípedo Vn, en general no rectanguiar. d) Justifique que K. = [ a i , a 2.a3] = £ e) Deduzca la fórmula Va = e |/l| = e det.A = \A\VC. f) Interprete geométricamente el determinante de la transformación, el cual es un invariante respecto del cambio de base. g) Estudie los volúmenes de los paralelepípedos orientados Vz y Vy construi dos sobre los vectores i i , x 2 ,x 3 y sobre sus imágenes por A y, = Ax,. Halle su relación, dé una interpretación geométrica de |.A| y diga cuándo se preserva la orientación de los vectores. 133)
Sea una forma multilineal T de grado p de valor T ( x \ , x 2 ,xz, ■ ■ ■ , X p ) · Reem placemos dos argumentos cualesquiera, por ejemplo, Xi y 1 2 por los vectores de base e¡ y e¡. Pongamos = T*(e¡, C j ,x 3 ,2 4 ,...,Xp),
a) Sustente que T y es una función lineal en X3 ,X<|,. . . ,x p, pero no es una forma bilineal en e¿, ej. b) Cambiemos de base a través de la matriz P,·, y escribamos T i'ji = T(ej», e y , X 3 ,. . . , x p),
Pruebe que X¡>j = Pj>«Py7y
(hay sum a en i, j ) .
c) Pongamos i' = j ' . Deduzca que Tu = 7V¡>. d) Discuta el grado y la invariancia que resulta de c). e) Explique por qué la expresión para las componentes del tensor de rango (p — 2), determinado por la forma TH = Tuk...mX3 · · - XJT en términos de las componentes Tyjt...m del tensor T de rango p, se obtiene por contracción de los índices i, j, k del tensor T : Uk...m — Tiik...m = Tiilc . m + T^2k . m + · · · + T 3 3 *,. m-
(
f) Se supone que esta teoría se ha establecido en el caso del espacio eucli diano 3 E = R3. Reconstruya la teoría, con las correcciones pertinentes en el caso de un espacio cualquiera. 134) Se sabe que a toda forma bilineal arbitraria / le corresponde una sola forma cuadrática q, pero la misma forma cuadrática puede ser generada por diferen tes formas bilineales. a) Construya un contraejemplo a partir de / . b) Si / es sim étrica (llam ada forma polar de / ) , dem uestre que su forma cuadrática q está únicamente determ inada por su forma cuadrática asociada. c) Demuestre que entre los tensores simétricos de segundo rango y las formas cuadráticas hay una correspondencia biyectiva. 135) Sea un tensor T^* simétrico en los índices i y j y antisim étrico en los índices j y k. Pruebe que Tijk = 0. 136) Dados los tensores S tJ simétrico y A t] antisimétrico. P ruebe que S¡j.4¡j = 0. 137) Sea el tensor T^* simétrico en i j que, además, satisface la relación T ijk x 'x j x k = 0
Vx = x'e¿,
deduzca que T¡j* -I- Tjki + Tjtij =
0.
138) Sea el tensor T¿; tal que T,jXJ = Aij, cualquiera que sea x = x 'ej, A es independiente de x. Deduzca que T , j = A<50 . 139) Sea una forma trilineal / de E 3 en K . Se llama forma cúbica C asociada a / a la aplicación C : E — ► K tal que / ( x ,x , x ) = C(x). a) Pruebe que existe una correspondencia biyectiva entre las formas cúbicas, formas trilineales simétricas y tensores sim étricos de tercer orden. b) En términos de vectores x = x 'e, y tensores sim étricos fijk verifique que C(x) = fi j k x 'x 3x k c) Detalle el desarrollo de la fórmula precedente. d) Generalice la relación anterior para una forma p-lineal y obtenga propie dades de formas p-icas.
140) Consideremos R3 y el origen O. Sea x — O P el radio vector de un punto variable P de R3. Dado cualquier tensor T tJ simétrico ^
2
) COn SU ^orma
cuadrática q asociada, denotemos con S el lugar geométrico de todos los puntos P cuyos radios vectores x satisfacen la ecuación q(x) = 1. Este lugar geométrico 5 se llama la superficie característica del tensor T¡¿ y da una interpretación geom étrica de T , ,. En una base ortonorm al se tiene la ecuación de S T i j X i X j = 1 . S será una superficie cuádratica centrada cuyo centro de sim etría coincide con el origen. La superficie característica de un tensor simétrico de orden 3 es TijkXiXjXk — i 1 y así se generaliza. Halle las superficies características de los siguientes tensores sim étricos en R3: i r i>.;
í l
a) Si,. b) TiTj. c) ASij, llamado tensor esférico. d) De la homotecia, h \. e) De
A iB j + A j B , )
con los vectores,
Ai = ( A i , A 2 , A 3) y
B , = ( B l , B 2 , B 3) ortogonales.
141) E n R 2, hallar las curvas características de los tensores simétricos de tercer orden cuyas componentes se dan en cada caso: a) T in = T222 = 1 ,
X112 = T122= 0
b)
Tn
Tin
= X
222
= 0,
2
= T
122 =
3
c) T in = 1, T 22 = —1, T 112 = T 122 =
0
142) Consideremos la superficie característica £ del tensor de una aplicación linead sim étrica S, es decir, la superficie característica de una aplicación li neal sim étrica S; £ está definida por SijXiXj = 1 o equivalentemente por (x|S (x)> = 1. Dado cualquier vector x cuya dirección sea la del vector OP, donde O es el origen y P 6 (véase figura 6.1), deduzca que entonces el vector u = S(x) tiene la dirección de la normal a 5] en el punto P .
143) Sea la aplicación S de 3 E tal que S ( x = x 'ej) = 2?= ! A¿x'ei.
Figura 6.1.
a) Calcule la m atriz de 5. Interprétela geométricamente. Discuta los casos Ai = A2 = A3 y Ai = A2 =)= ^3b) Halle la
forma bilineal o tensor T asociado a S.
c) Demuestre de S y T son simétricos. d) Halle la
forma cuadrática correspondiente a S.
e) Halle la
superficie característica 2 de 5 y diga de qué tipo
es.
f) Clasifique las superficies resultantes según el signo de los números Aj: i)
Todos los A* son positivos,
ti) Dos de los A, son positivos y uno es negativo. iii) Uno de los A¡ es positivo y los dos son negativos. iv) Todos los A¡ son negativos. v) Dos de los A¿ son iguales, ui) Ai = A2 = A3. 144) Muestre que si A es una aplicación lineal de 3£ tal que u = A(y), entonces la m atriz de A coincide con la m atriz de la forma bilineal / definida por f [ x , y ) =
146) Sea una aplicación lineal sim étrica (o autoadjunta) 5 de 3 E, es decir, ( i|S ( y ) ) = (S(z)|t/> = < y |S (i)); deduzca que S define un tensor o forma bilineal simé trica. 147)
a) Pruebe que la m atriz (S y) es la m atriz de una aplicación lineal simétrica 5 de 3 E si, y sólo si, (5,j) es un tensor simétrico de segundo orden S. b) Deduzca que existe un isomorfismo entre las aplicaciones lineales simé tricas y los tensores simétricos de segundo orden.
148) Verifique que existe un isomorfismo entre los tensores simétricos de segundo orden, las formas cuadráticas y la aplicaciones lineales simétricas. 149) Sea S es una transformación lineal sobre 3 E tal que S (z) = S (z ie i + z 2 e2) = Aixjei + A2 z 2 e2. a) Calcule su m atriz y dé una interpretación geométrica. b) Estudie el caso donde A] y A2 son negativos alternativamente. c) Examine los casos X\ = 1, A2 4= 0 y Aj = 1, A2 = 0. d) Discuta el caso del desplazamiento en R 2 A (x) = (z i + Az2)ei + z 2 e2; halle su matriz, interprételo geométricamente, estudie la sim etría de A y encuentre el tensor T de rango dos asociado. Calcule A f e interprételo geométricamente. 150) Consideremos en el plano R2, verifique la sim etría de las siguientes aplicaciones lineales; encuentre la correspondiente forma cuadrática y encuentre las curvas características: a) S ( x ) = x¡e¡ b) S (x) = —x c) S ( x ) = z i e j + Ax2 e 2 d) S(x) = AiZiei + A2 z 2 e 2 e) S (z) = x \e \ + 3z 2 e 2 f) S (z) = z i e j - z 2 e 3 151) Consideremos el espacio R3. Verifique la sim etría de las siguientes aplicación)* lineales considerando R 3 3 z = Ziei + z 2 e 2 + Z3 e3 , donde a = ( a i , a 2 , a 3) y
6
= (b¡ , 6 o, 6 3 ) son vectores fijos ortogonales:
I . 310 /Algebra multilineal
a) S ( x ) = X2É2 b) S(x) = x ie i +X2e2 c) S(x) = X(ei -1- 12^2 d) S(x)
=
+ X 3 e3
—Xiei + 2X2^2
— X 3 e3
e) S (x) = (d ■ x)a f) S(x) = (a ■ x)a + (b ■ x)b 152) Halle la forma bilineal o tensor de rango dos T , correspondiente a las siguientes aplicaciones lineales o transformaciones lineales de 3 E\ analice también su sim etría: a) La identidad I d 3£ de
3
E.
b) La homotecia h \ de razón A. c) L a rotación Re de valor 9 > 0 en el plano R 2 = 2 E alrededor del origen. ¿A qué corresponde el operador adjunto o sim étrico Rg? 153) D emuestre el criterio de tensorialidad o ley cociente, en el siguiente caso par ticular: Si se d a una m agnitud con n 3 com ponentes A(a(3-y) = A con q , P, 7 =
1,2 ,3
, . . . ,n , ésta es un tensor ^
^ s' multiplicada contraídam en
te por el vector B ° da el tensor CJ. (Todo debe hacerse con la misma base.) 154) Diga por qué en la relación dy' =
d x a falla la ley cociente. ¿Hay multi
plicación contraída? Exam ine con detalle esta anomalía. 155) Pruebe que la sim etría y la antisim etría de un tensor son invariantes (se con servan) en un cambio de coordenadas. 156) Del tensor absoluto T ¡ , demuestre que obtiene el invariante escalar T-. Pruebe dT J que — t no son las componentes de un tensor mixto. dx 157) Si Tij es un tensor absoluto y si T xlT}k = S'k , deduzca que T*J son las compo nentes de un tensor contravariante absoluto llamado el recíproco de T]k. 158) Halle que los cofactores del determ inantes |T¿,| son las componentes de un tensor relativo de peso 2 , si T¡j es absoluto.
7 F o rm a s sesquilineales En estos últimos capítulos nos ocuparemos de espacios de dimensión finita, y even tualm ente infinita, pero exclusivamente sobre el cuerpo de los números complejos C. De m anera que „ £ será siempre un espacio vectorial complejo. La teoría que vamos a presentar, consiste en definir formas de E 1 y de E en C, y tendrá propiedades formalmente vecinas de las formas bilineales simétricas. Pero trab a ja r con K = C da más generalidad y am plía las aplicaciones no sólo en álgebra y análisis, sino en física. Muchos teoremas algebraicos sobre las formas bilineales sim étricas poseen una demostración directa tediosa y bastante artificial; en cambio, ellos se derivan de m anera simple y natural de las formas sesquilineales. En el caso de dimensión infinita, las aplicaciones al análisis son muy potentes, por ejemplo en la teoría del análisis armónico o series de Fourier. E ste capítulo nos servirá de preludio para la definición de los espacios de Hilbert y su introducción en la física, en donde serán los instrum entos y matrices naturales para acomodar los fenómenos físicos elementales, comúnmente llamados fenómenos cuánticos a pequeña, y también, a gran escala. Además, todo lo tratado anterior mente en relación con las formas bilineales sim étricas será un caso particular en este capítulo, lo que m uestra que las formas sesquilineales son objetos más generales. Si tomamos, por ejemplo, sobre nE = C n , el espacio de Hermite, una forma bilineal sim étrica definida por (x ,y ) *-* YJTly ‘, necesariamente será no degenerada; pero nE tendrá vectores isótropos no nulos, es decir, i # 0 puede implicar S í 1 ') 2 = 0. Además, consideremos una aplicación / de E 2 en € definida por E 2 3 ( i , y) >-» / ( i , y) = £ x ‘y', donde la barra significa complejo conjugado. Entonces, /( x ,x ) = £ x ’x ‘ = 2 | x ‘|2 ^ 0 y /( x , x) = 0 si, y sólo si, x = 0. Pero infortunadamente, / no es una aplicación bilineal de E 2 en C. E ste ejemplo nos m uestra que debemos elaborar una teoría que contenga el
caso general de espacios vectoriales complejos y las funciones que tengan sentido y fecundidad en él; también nos incita a dar una nueva serie de definiciones, las cuales, ya sabemos, desempeñan un papel, en m atem ática y física cuyo interés exclusivo es conducirnos a teoremas no triviales. La elaboración de nuevas definiciones y la generalización cada vez más osada de los conceptos de espacio y de función han conducido a la creación de las matem áticas contemporáneas. El presente es una generalización del capítulo 2. En donde se estudiaron las formas bilineales o 2-lineales, L 2 (E), ahora estudiaremos las formas sesquilineales que podríamos llamar algo así como 2.5-lineales (dos y media lineales): L i¿ ( E ) .
7.1.
Formas antilineales
Si tomamos dos espacios vectoriales E y F sobre C, podemos considerar aplicacio nes f de E en F tales que sean lineales parcialmente, es decir que Vi, x' 6 E y VA e C se tenga f ( x + i ' ) = / ( i ) + / ( * ') y /( A i) = Á /(i ) . Esto nos induce a dax la siguiente definición: D e fin ic ió n 1: Se llama forma antilineal a to d a aplicación / de E en C tal que / ( i + A i') = / ( x ) + Á / ( x ') . N o ta : E sta forma / es llamada, por los físicos, antilineal; también se le conoce con el nombre de semilineal o forma lineal conjugada entre los matemáticos. E je rc ic io 1: Pruebe que el espacio vectorial E tiene o tra estructura de espacio vectorial complejo E con la ley de composición externa C x E 3 (A, x) »-* Ai. E se llama espacio vectorial conjugado de E. E je rc ic io 2: Verifique que la aplicación de
7.2.
Formas sesquilineales
Sean dos espacios vectoriales E y F complejos. Entonces tenemos la siguiente defi nición: D efin ic ió n 2: Una forma sesquilineal es la aplicación / de E x F en C que verifica, Vx, x' e E , Vy, y' e F , y VA e C: / ( x ' + x ,y ) = / ( x , y ) + / ( x ', y ) ,
/(A x,y ) = A /(x ,y ),
(Lineal en x)
/ ( x , y + y') = / ( x ,y ) + /(x ,y ')>
/ ( 2 . *2/) = ^ /( * .y ) ·
(Antilineal en y)
En otras palabras, las aplicaciones parciales son tales que / v = / ( - , y ) es una forma lineal sobre E y f x = /( x , ·) es una forma semilineal sobre F . De allí el nombre de sesquilineal equivalente a una vez y media lineal. Por consiguiente f y e E* y f x e F * . Es fácil construir todas las formas sesquilineales sobre n E y mF; tomemos las bases (e¡) y ( /;) de E y F, respectivamente. Entonces
/(x,y) = donde C 3 a y = / ( e ,, f j ) son los elementos de la matriz compleja A = (a y ) asociada a la forma sesquilineal f ■ Á = (5¿J) se llama la m atriz conjugada de A. Si X = M (x, (e¡)) y Y = M (y , ( fj) ), se tiene /( x ,y ) = lY A X = ‘X ‘A Y . E je rc ic io 1: Muestre que para todo a y 6 C, la función anterior / es una forma sesquilineal sobre nE x m F. E je rc ic io 2: Pruebe que el conjunto de las formas sesquilineales sobre nE x mF es un espacio vectorial complejo. Calcule su dimensión.
7.3.
Formas herm íticas
Tomemos E = F. E ntonces se podrá considerar simultáneamente a f ( x , y) y /( y , x). La relación /( y , x) = / (x, y) V(x, y) 6 E 2 se llama, por abuso de lenguaje, sim etría hermítica, aunque no haya legítima sim etría entre x y y, los cuales juegan roles diferentes. D e fin ic ió n 3: Una forma / sobre E se llama forma hermítica si es una forma ses quilineal definida sobre E 2 con sim etría hermítica.
314 /A lgebra multilineal
E sta definición es equivalente a esta otra: / es hermítica si / es lineal en x y posee sim etría hermítica. E je rc ic io 1: Verifique que si / es hermítica, entonces f ( x , x) 6 R, f ( x , 0) =
/(0, y) = 0. D e fin ic ió n 4: Sea / una forma sesquilineal con sim etría hermítica, es decir, un a for m a hermítica sobre E 2. La aplicación q de E en R definida por q(x) = / ( x , x) e R, Vx, se llama forma cuadrática hermítica asociada a la forma herm ítica / ; esta últi ma se llama forma polar de q. A menudo q se llama simplemente forma hermítica ya que ésta no es una forma homogénea o función polinomial homogénea de grado dos, como se ve en q(Ax) = |A|2q(x) 6 R. Un cálculo sencillo basado en las definiciones precedentes nos da la siguiente proposición: P r o p o s ic ió n 1: Si f es una forma hermítica y q su form a cuadrática hermítica asociada, entonces, Vx, y 6 E se tiene
4/(x,y)
=
f(x + y,x + y)-f(x-y,x-y) +i [ f( x + i y , x + iy) - f ( x - i y , x - ¿y)],
f(x, y) = ~[q(x+ y) - q(* -
»)] + ^
+ *y) - í í 1 - ¿y)] ·
E je rc ic io 2: Calcule q(x + Ay) =
V/ í [ , . . . , / í ,
/ ( E AiXil E V iV i) = £ \i= l 3=1 /
Y,
D efin ic ió n 5: Tomemos una base (e.) de n E\ se llama m atriz de la forma herm ítica / con relación a la base (e¡), i = l , . . . , n , a la m atriz compleja n x n A = (a¿j) definida por a i; = /(e¡,e ¿); A 6 M „(C ). La m atriz A = (a¡j) es hermítica cuando ‘A = Á. La m atriz l Á se llama la matriz conjugada herm ítica o m atriz adju nta hermítica, o simplemente adjunta, y se nota A f = (Á. A los a t] tam bién se les llama coeficientes o componentes de / con respecto a la base (e¡). Forzosamente tenemos que a lt e R. Toda m atriz simétrica real es hermítica. Si A es hermítica entonces a , 3 = / ( e t,e^) = / ( e ^ , e,) = a j í = ‘a iJ = ( a ^ ) ', es decir, A = A* = lÁ. Vemos inm ediatam ente que / es una forma hermítica cuando, y sólo cuando, su m atriz es hermítica. Es decir, la m atriz de una forma
herm ítica con relación a cualquier base es hermítica. Entonces f ( x , y ) = ‘Y A X = Y* A X = q(x) = f ( x , x ) = lX A X = X* A X . Una m atriz es antihermítica si = —A. El cuadro sinóptico siguiente resume todo lo referente a formas y aplicaciones, además de uniformizar un lenguaje, notación y terminología que se halla lejos de ser estándar en los diversos libros (ver la bibliografía). Los diferentes autores no han depurado ni unificado el lenguaje y las definiciones. U II
Espacio
K = R
E
Aplicación (forma lineal)
Aplicación (forma) antilineal o semilineal
E xE
Forma bilineal
Forma sesquilineal o antibilineal
E xE
Forma bilineal simétrica
Forma hermítica
E
Forma cuadrática
Forma cuadrática hermítica
E je rc ic io 4: Demuestre que el conjunto de formas hermíticas sobre nE y el conjunto de matrices complejas hermíticas n x n son isomorfos para +, A·, y x . ¿Qué condi ción exige la última operación multiplicativa? E je rc ic io 5: Poniendo E = C n , pruebe que la aplicación ((A j,. . . , An), ( /íj, . . . , /in ))
1
n * ^ Aj/ij ¡=i
es una forma hermítica. Dicha forma se llama forma hermítica canónica sobre Cn . ¿Cuál es su m atriz hermítica en la base canónica? E je rc ic io 6: Sea E el espacio vectorial C([a, 6]; C) de funciones complejas conti nuas, de variable real, t e [o, 6] c R. P ara x , y 6 E definamos la siguiente aplicación f ( x , y) = x(t)y(t) dt. Muestre que / es una forma hermítica sobre E. Los físicos usan la notación f ( x , y ) = (x|y) = (x|y) = x - y y llaman a / producto hermítico, muy usado en mecánica cuántica y en series de Fourier. / se conoce tam bién con el nombre de producto interno o producto escalar. Más adelante daremos detalles y definiciones para ese producto. E je rc ic io 7: Verifique, usando la igualdad A' = lQ A P , que si la matriz de una forma sesquilineal sobre E x E es hermítica en una base, lo seguirá siendo en cual quier otra. E je m p lo 1: E n la teoría especial de la relatividad, la forma bilineal simétrica sobre R4 es dada por f ( x , y ) = c2t ' t 2 — x 1 y l — x 2 y 2 — x3y3, con x = ( t‘ , x ¡, x 2 , x 3) y
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con y = (t2, y 1, y2, y3), donde c es la velocidad de la luz. A / se le llam a forma de Lorentz, y su m atriz, llam ada de Lorentz, es hermítica; más exactam ente, es sim étrica e invertible; su valor con respecto a una base ortogonal canónica es
>
fe2
0
0
-1
0
0 0
0
0
-1
0
0
0
-y
0
E je m p lo 2: Con C ([a, 6];
í f
x(s)y(t)K (s,t)d sd t,
Ja J a
donde K ( s , t ) , llamado núcleo, es una función definida y continua en el cuadrado a $ s, £ g b. E ntonces / es una forma sesquilineal herm ítica si, y sólo si, K verifica K ( t , s ) = K ( s , t ) , Vs,t. E sta forma y la del ejercicio 3 originaron la creación de los espacios de H ilbert y del análisis funcional; este último influyó mucho en el desarrollo del álgebra lineal, cuando nos hubiésemos esperado lo contrario. E je rc ic io 8: Pruebe las aserciones enunciadas en los dos ejemplos anteriores. Algunos conceptos, definiciones y teorem as se alteran profundam ente debido al paso de la sim etría ordinaria a la sim etría hermítica, y de la transición de formas bilineales sim étricas a formas hermíticas. Veamos algunos conceptos esenciales.
7.4.
O rtogonalidad
Se recomienda repasar las secciones 2.15 y 3.2. Sea / una forma herm ítica sobre un espacio vectorial complejo E. Dos elementos x y y de E son ortogonales con relación a / si /( x , y) = 0. E sta relación es simétrica. Un elemento de E es isótropo si es ortogonal consigo mismo. E je rc ic io 1: Demuestre el siguiente teorem a de Pitágoras: si ( i i , . . . , x n) son n vectores dos a dos ortogonales de un espacio vectorial E y / una forma herm ítica sobre E. Entonces: / ( x i + x 2 + · · · + X „ ,X i + x 2 + · · · + x „ ) = / ( x i , x i ) + · · · + / ( x „ , x „ ) .
Dos partes A y B de E se llaman ortogonales si todo elemento de A es ortogonal a todo elemento de B. Si A y B son ortogonales, lo cual se simboliza por A 1 B, entonces toda combinación lineal de elementos de A es ortogonal a toda combina ción lineal de elementos de B. E je rc ic io 2: Demuestre esta últim a propiedad. El conjunto de los vectores de E ortogonales a A es un subespacio vectorial de E llamado, abusivamente, el subespacio vectorial de E ortogonal a .4 y se denota por A 1 . A 1 es el ortogonal de A con relación a / . Siempre se tiene la inclusión A c (-d1 )·1-. E je m p lo 1: Si consideramos R3 con el producto escalar, entonces si A es una recta (un plano) que pasa por el origen, A 1 es el plano (la recta) perpendicular a A que pasa por el origen. A , subespacio de E , es isótropo cuando A n A 1 ^ {0}. No es isótropo si A r \ A l = {0}. E je m p lo 2: Si A es la recta engendrada por un vector a e E, es claro que A es isótropo cuando, y solamente cuando, /( a , a) = 0, es decir, cuando a es isótropo por / ; el conjunto de estos vectores (reunión de las rectas que pasan por 0) se llama el cono isótopo de / . Cuando / es la forma de Lorentz, este cono, llamado luminoso, es el conjunto de (t, x, y, z) e R4 tales que t 2 —x 2 —y 1 —z2 = 0. En el caso de R3 con el producto escalar, el único vector isótropo es 0, y si tres números reales x, y, z verifican la relación i 2 + y2 + z2 = 0 tenemos forzosamente x = y = z = 0. En cambio esta relación tiene soluciones complejas no triviales.
7.5.
Form as herm íticas no degeneradas
Se recomienda repasar la sección 2.12. Se llama núcleo de una forma herm ítica / al conjunto N de elementos de E ortogonales a todo E\ N es un subespacio de E. Si N ± {0} se dice que / es degenerada. O tra m anera más práctica para decir que / es degenerada es: 3 io ^ 0 e E tal que } [x o,y ) = 0, Vy e E. También que 3 yo * 0 de E tal que /(x ,y o ) = 0, Vx e E. Se puede construir el espacio vectorial cociente E / N y a través de éste, / define una forma herm ítica no degenerada (como en el caso de formas bilineales simétricas). Esto permite siempre reducir el estudio de una forma herm ítica al caso de una forma hermítica no degenerada (una forma bilineal
\
| !
318 /Algebra multilineal
sim étrica se puede tam bién reducir al estudio de una forma bilineal sim étrica no degenerada). Si (q¡j) es la m atriz de / , forma herm ítica, con relación a la base (e¡), el número complejo d et(a ¡j) se llama el discrim inante de / con relación a (e¡). E je rc ic io 1: Demuestre que para que la forma herm ítica / sea degenerada es ne cesario y suficiente que el discrim inante sea nulo. Volvamos a considerar una forma herm ítica / . Como ya vimos en las secciones 2.8 y 2.13, definimos la aplicación E 3 x · — ‘ / y(x) = / ( x , y ) e C ,
Vy 6 E ,
f y eE*.
Se puede m ostrar que ¥>(yi + Ay2) = f y¡+\ y, = y?(yi) + V ( y 2) = f yi + X f y2. E je rc ic io 2: Pruebe la antilinealidad de tp : y >-> ¡p(y) = f y. Tenemos que ip es una aplicación antilineal de E en E* y por consiguiente
|>(y)](x) = f y(x) = f ( x , y ) = 0] => y = 0}
2) |/ ( x , y ) = 0 => i = 0 V y e £ j . 1) y 2) son equivalentes. Lo anterior implica que si k e r'p = {0}, 'p 6 L(E; E*) es inyectiva y biyectiva, ya que dim E * = dim E = n. En este caso se dice que / es no degenerada. Si ahora tom amos A = (a
1) f es no degenerada sobre E. 2) Si f { x , y ) = 0 (Vx e E), entonces y = 0. 3) Si f ( x , y ) = 0 f i y e E ), entonces x = 0. 4) La aplicación antilineal ip de E en E * definida por
0
0 0
-1
Vo
7.6.
0 0
0 0 -1
°\ 0 0
0
- v
B ases ortogonales
Se recomienda repasar las secciones 2.15 y 3.2. Consideremos una forma hermítica sobre n E complejo. Un conjunto de vectores ( e i , . . . , e n) se llama ortogonal res pecto de / si los e\ son dos a dos ortogonales. Este conjunto se llama ortonormal
respecto de / si, además /(e¡,e<) = 1, Vi; es decir, si /(e ¿ ,e ; ) = mismo: la m atriz de / es la unidad I.
6 ¡j,
o lo que es lo
E je m p lo : La base canónica de R 4 es ortogonal con respecto a la m atriz de Lorentz. T e o re m a 1 : En todo espacio vectorial complejo E de dimensión finita n, siempre existen bases ortogonales respecto de toda forma hermítica f de E. D e m o s tra c ió n : E sta prueba es parecida a la de las formas bilineales simétricas (véase la sección 2.15). Escojamos una base ortogonal (e'l t . . . , e'„) y pongamos / ( e ',e ') = a¡ e R. Podemos ordenar los a¡ cambiando la numeración de los e' y suponer que c*i > 0 , . . . , a , > 0 , a J+i < 0 , . . . , a , +¡ < 0 y a , +t+l = · · · = a n = 0 . Definamos e¡ = —7 = para 1 < i ^ s; = J -— para s + 1 ^ i < s + 1 y = e< sj&i yJ-Oíi para s + t + 1 ^ t < n. De aquí resulta que ( e i , . . . , e „ ) es una nueva base ortogonal de E tal que /(e i) = · · · = f ( e „ e . ) = 1 ; / ( e J+i , e , + i ) = · · · = / ( e J+t, e J+e) = - 1 y / ( e J+t+i> Cj+t+i) =»·· · = f ( e n ,e n) = 0. , C o ro la rio 1: Cualesquiera que sean los números complejos Ai, . . . , An y Hi, ■ ■ ■ , ¡xn , tenemos /
n
n
\
a
í+t
/ ( £ A
)= 1
/
1=1
Y
X¡¡i¡.
t=s+l
C o ro la rio 2 : Si ( e i , . . . , e n ) es un conjunto ortogonal, entonces los (e<) son lineal mente independientes. C o ro la rio 3: En una base ortonormal (e¡), x = A‘e¡ 6 E verifica f{ x ,e i ) = A*. Los números f ( x , e¿) son las componentes de x con relación a la base (e¡). E jercicio
1
: P robar los corolarios 1 , 2, y 3.
Como en el caso de las formas bilineales simétricas (véase la sección 2.15) se tiene el resultado siguiente: C o ro la rio 4: Si f es una form a hermítica de rango r sobre un espacio vectorial complejo de dimensión finita E , entonces siempre existen bases de E tales que i* } 1
$ i ^ r
r + l ^ t ^ n
=>
/(e « ,e ,) = 0,
=>
/(e¿, e¿) *
0,
=>
/(e j,e ¿ ) =
0.
En tales bases tenemos /( x ,y ) = 2 ,r=1 a u x 'y ' y q(x) =
a u x'x'.
Como O ^ cu, 6 R con 1 $ i < r , tenemos que los enteros s y í del corolario 1 no dependen de la escogencia de las bases ortogonales sino únicamente de / . Más exactamente tenemos el siguiente teorema: T e o re m a s 2 (L ey d e in e rc ia ): Consideremos la forma cuadrática hermitica q asociada a una forma hermitica f sobre nE complejo. Entonces: 1)
Existe una base ortogonal (e,) y dos enteros naturales s y t tales que con relación a esta base (e,) se tiene: J + t
S
q(x) = f ( x , x ) = ^ x ' x •=1 2)
1
— ^ x*& , j=J+l
donde
[s +
i
= r = rg (f)].
Si existe una segunda base (e') y dos enteros naturales s' y t' tales que con relación a (e[) se tenga >' j'+t' q(x) = f ( x , x ) = ^ x ' ' x 11 — ^ x 1*X1*, donde [s' + í' = r = r y ( /) ] , »= l jss*' + l entonces s = s' y t = t'.
La pareja (s, t) se llama la signatura de la forma hermitica / . E je rc ic io 2: Demuestre el corolario 4 y el teorem a 2. N o ta : Los eJ+l+i , . . . , e„ pertenecen al núcleo de / , por consiguiente si / es no degenerada, tendremos s + t = n.
7.7.
P rob lem a s
1) Averigüe la hermeticidad de las siguientes matrices:
Vr.V
f a
=
2 —i 3 6 2 —»
c
r
=
>
3 j
2
2 + 3¿
4 - S i)
2 —3i
5
6 + 2¿
^4 + 5i
1
f
¿
t
1
^4 + ¿
f l
4 + i''
7
B =
-3
-3
4^
2
1
1
3)
Diagonalice y dé la m atriz de cambio de base P , de las siguientes matrices hermíticas:
2) Sea / una forma hermítica sobre nE complejo, cuya matriz en una base (e*) es A. Llamaremos X y Y a las matrices columnas en la misma base (e,) de los vectores x y y. a) Deduzca que f ( x , y ) = Y * A X . b) Pruebe que existe una m atriz cuadrada compleja inversible P tal que P t A P es diagonal. Note que p t A P es la m atriz diagonal (a¡¿) en una base ortogonal, según el corolario 4 de la sección 7.6; dicha P no es la m atriz del cambio de base. Esto no es la diagonalización tradicional donde lP A P = D es diagonal en una autobase. Utilice la existencia de una base ortogonal relativa a / . 3) Tomemos una forma hermítica / no degenerada sobre nE complejo, un ope rador u y una base (e¿). Sean las matrices P = ( / ( e i ,e J·)),
A = /( « ,( * ) ),
y A ' =/(«*,(*))·
Verifique si A! = P ~ i A^P. 4) Consideremos el espacio vectorial real
C r .
a) Pruebe que (x |y ) = parte real de (x y ) es una forma herm ítica no dege nerada. b) Exhiba un isomorfismo del espacio
C r
sobre el espacio euclidiano
R 2.
c) Definamos para cada x e C r un operador u x así: u x (y) = xy. Halle la m atriz de u x en la base (l , t ). Calcule det(uI ). ¿P ara qué vectores x es u x positivo ? 5) Consideremos el espacio real AÍ2 x 2 (C) de matrices hermíticas que llamare mos H . a) Muestre que la igualdad detA = q(A) para A 6 H define una forma cuadrática q sobre H.
b) Si 5 es el subespacio de H formado por las matrices de traza nula, pruebe que, la forma bilineal / asociada a q es definida negativa en S (es decir, /( x , x) < 0 para todo x 4= 0 en S). 6) Consideremos el espacio R[X] de polinomios de grado menor o igual a 3 equipado con el producto escalar
a) Halle el polinomio S x e R[X] tal que ( P \S Z) = P (x) para todo P e R[X]. b) Halle el adjunto del operador lineal derivación sobre R[X]. 7) En el espacio C([0,1];R) consideremos los productos hermíticos
< /|fl)i
=
í /(x)g(x)<£r, Jo
< /|s >2
=
í f ( x ) g ( x ) x 2dx JO
y el operador lineal u dado por
[«(/)] (x) =
xf(x)·
a) Demuestre que u preserva los productos escalares dados, es decir, que
10) Determine si la ecuación = T r ( u f u j) define un producto hermítico en el espacio de las formáis sesquilineales; para tod a base ortonorm al (e¡) se tiene <.f\9'> = ' Y f ^ k , e j )g(ek ,e j ). ik 11) Compruebe que si en un espacio complejo E hay una forma sesquilineal / tal que f ( x , x ) sea real para todo x, entonces / es hermítica. 12)'U n a forma sesquilineal / en un espacio complejo o real E es no negativa si / es hermítica y / ( x , x) ^ 0 para todo x e E. La forma / es positiva si / es hermítica y f ( x , x ) > 0 p ara todo x 4= 0. Demuestre las siguientes afirmaciones: a) /
es no negativa si, y sólo si, A = Af (autoadjunta) A k j i j x k > 0 para todos los escalares x 1,. ■ ■ , x n . (x = x'e¿).
y
fc) P ara que / sea positiva la anterior desigualdad debe ser estricta para todo ( x 1, . . . , x n) =}= 0. c) / es una forma positiva cuando, y sólo cuando, g ( x ,y ) = Y * A X es una forma positiva en el espacio de las matrices columnas sobre K . 13)
Consideremos A e M n(K ). Definamos la aplicación g así: g{x,y) = Y * A X ; pruebe que g es una forma positiva sobre M n {K) cuando, y sólo cuando, existe una m atriz inversible P con elementos de K , tal que A = P*P.
14) La sum a directa de operadores A y B se nota A © B y es un nuevo operador cuya m atriz es la suma directa de sus matrices. Si
/% A =
···
o\
: ' · . · = \0
···
A! © . . . © A i t ,
A kJ
es la descomposición de la m atriz A , en sum a directa de las submatrices
Ai...... A*. a) Examine la invariancia de los subespacios vectoriales de las representa ciones E i , . . . , Ek ■ Explique porqué
A(x) = A ^ x W + A<2>x(2>+ . . . + A«x<*>.
b) Examine la igualdad / cos 9
sen 9
—sen 9
cos 9
(
cos 9
sen 9
—sen 9
cos 9
V
o
0 :
0
0 : 1 /
en R2,R , y R3. c) Pruebe que: (/l« 1»® ¿ ( 2>) ( b <‘>®
b
<2>) =
® ¿<2>fi<2>.
d) Verifique que T r ( ^ A ^ © A^2^ = T r A ^ + T rA ^2K e) Deduzca que d e t ^ / ^ 1) ©
= detA ^) · detA^2*.
Sea una forma / bilineal sim étrica y positiva sobre un espacio complejo E , entonces pruebe que todos los vectores de E son isótropos. Sea PE un espacio de Hermite. Diremos que una sucesión ( M n = M , j ( n ) ) n € N de matrices de MP(C) tiende hacia una m atriz M = M i cuando n tiende al infinito, si la sucesión A/y (n) tiende hacia Aíy para todos los i y j fijos. Si A es una m atriz herm ítica de M p ( C) compruebe entonces que A n, con n e N —{0}, es hermítica y halle una condición necesaria y suficiente para que la sucesión (A ") tenga un límite cuando n tienda al infinito. Por definición, un operador lineal t¡ sobre un espacio de dimensión finita E con un producto interno, es no negativo si u = u* y (u(x)|x> J 0, para todo x e E . Un operador u es positivo si u = y (ti(x )|x ) > 0 para todo x + 0. La m atriz A e Mn (C) es positiva si, y sólo si, £ k A kjX3x k > 0 siempre que x *, x2, . . . , xn sea complejos no todos nulos. Pruebe que las siguientes propiedades son equivalentes: a) A es positiva. b)
=
Y^AX
es una forma herm ítica positiva en el espacio
i) A es positiva. ii) A = A* y Xij k A k 1 x kx 1 > 0 siempre que ( z ‘) sean números reales no todos nulos. iii) < X |Y ) = l Y A X es un producto escalar sobre A/n x i(R). iv) El operador X >-* A X es positivo respecto del producto escalar (in terno) canónico (XIV') = ‘Y X sobre A/n x l (R). v) Existe una m atriz P inversible de A/n (R) tal que A = 1 P P . 18) Encuentre que toda m atriz positiva es cuadrado de una m atriz positiva. 19) Pruebe que el producto de operadores positivos es positivo si, y sólo si, con mutan. 20) Sea C 2 con el producto escalar canónico. Halle los vectores x de C 2 tales que exista un operador lineal positivo u tal que u(ei) = x. 21) Determine si < (x i,x 2)|(yi, j/2)> = XliTT + 2X2Í7Í + 2 x iy j + x 2y2 es una forma sesquilineal positiva sobre C2. 22) Halle los valores del ángulo 9 p ara los cuales el operador Rg de rotación de ángulo 9, en R2, con el producto escalar canónico, definido por Re(x, y) = (x eos 9 — y sen 9 , x sen 9 + y eos 9) es positivo. 23) Consideremos E = A/nx i(C) con el producto hermítico ( X |K ) = Y ^ G X , con G e M n(C) que haga posible la existencia de ( | ). Sea A 6 AÍ„(C) la matriz del operador u tal que u(x) = Ax. a) Calcule u f . b) Si Y es un elemento de E fijo, halle Z e E que determine la forma lineal * _ Y ' X = (X \Z). 24) Se da una forma hermítica / sobre E complejo. P ara cada y G E definimos una aplicación gy de E en C así: x ~ p y(x) = /( x ,y ) . a) Demuestre que gy e E * .
b) Muestre que Sy+Ay' =
9y
+ *9v'
V c E > VA 6 C
c) Deduzca que la aplicación y ►-» gy de E en E* no es lineal. d) Dotemos a £ de la siguiente ley de composición externa: la multiplicación por un escalar definida así (A, z) >-► Az. Compruebe que E es un nuevo espacio vectorial complejo, que se llama el conjugado de E y se nota E. e) Pruebe que la aplicación y >-* gy es una aplicación lineal de E en E * . f) Concluya que si / es no degenerada y E es de dimensión finita, entonces la aplicación y >-* g^ es un ¡somorfismo canónico de E en E * , el cual permite identificar E con E *. 25) Consideremos el espacio euclidiano nE y su base ortonormal (ei). Si P re¡ es la proyección en la dirección del vector e¿. a) Demuestre la desigualdad de Bessel *
tí
Pr..(X)
a - X
{k < n), VX 6 nE.
1=1
b) Deduzca que se obtiene la igualdad de Parseval si, y sólo si, k = n:
Pr«.(X) = X X
V X e nE.
26) Considérese la m atriz antihermítica A e M n(C) tal que eA = B. Pruebe las siguientes afirmaciones: a) d e t£ = eTrA b)
= e-*
c) B es unitaria. 27) Pruebe que una forma sesquilineal no es bilineal, a menos que sea la forma nula. 28) Pruebe la antilinealidad de la aplicación / : C" >-> C definida por
29)
a) Estudie la linealidad y la antilinealidad de la siguiente aplicación de C 2 en C definida por (1 1 , 1 2 ) >-» Xi + x-i según que A pertenezca a R o a C (nos referimos al A que define la homogeneidad). Haga lo mismo para las aplicaciones. b) R2 1-* C 3 dada por ( x i.x j) >-► ( x i , 0 , 1x 2 ) c) / : C 3 C 3 dada por ( x i,x 2,x3) ·-* /( x i,X 2 .X 3 ) = (x 3 . x 1 .x 2 )· Además, estudie f 3 = f ° f ° f y f 6·
30) Consideremos la aplicación lineal / : £ ■ - » C tal que / tom e sólo valores imaginarios puros, pruebe entonces que / = 0. 31) Una forma sesquilineal / se llama no degenerada a la izquierda si 0 es el único vector x tal que / ( x ,y ) = 0 para toda y. Se supone que el espacio tiene producto interno. a) Pruebe que una condición necesaria y suficiente para que / sea no dege nerada a izquierda es que el operador u / asociado a / sea no singular. b) Defina la no degeneración a la derecha. c) Pruebe que / es no degenerada a la izquierda cuando, y sólo cuando, / es no degenerada a la derecha. 32) Sea un espacio de dimensión finita E con una forma / sesquilineal no degene rada, y una forma lineal a sobre E. a) Demuestre que existe un vector único y e E tal que g(x) = /( x , y) para todo x e E. b) M uestre que cada operador lineal u tiene otro operador lineal asociado ti*, llamado el adjunto respecto de / , tal que /( u ( x ) ,y ) = /( x ,u ( y ) ) para todo (x,y) 6 E 2. 33) Deduzca que para cualquier operador lineal u, el operador ( u + u f) es hermítico y (u —u f) es un operador antihermítico. 34) Demuestre que si los operadores u y v son autoadjuntos, entonces uv es autoadjunto si, y sólo si, ellos conm utan. 35) Consideremos un espacio hermítico E. Pruebe que si (u (x )|x ) es un número real p a ja todo x 6 E, entonces u es hermítico. 36) Sea u un operador hermítico a) Pruebe que u 2(x) = 0 implica u(x) = 0 b) Compruebe que un (x) = 0 implica u(x) = 0 para n > 0
37) Una m atriz A G M n(C) es antiherm ítica si A 1 + A = 0. a) Pruebe que A es antiherm ítica cuando, y sólo cuando, iA es hermítica. b) Com pruebe que toda m atriz M de M „(C) se escribe de m anera única bajo la forma M = H + A ó M = H + iH ', donde A es antiherm ítica y H y H ' son hermíticas. c) ¿Qué condición es necesaria y suficiente resulta para que [H, H'] = 0? 38) Sea la m atriz A cuadrada sobre C. Pruebe que si A es hermítica entonces la aplicación / : C n x Cn —* C definida por / ( x ,y) = *X A Y es una forma hermítica sobre C. 39) Pruebe que el producto escalar canónico sobre Cn definido por /( x , y) = x · y =
y = ( y i,...,y n ) ,
es una forma herm ítica sobre Cn positiva no degenerada. 40) Con el producto escalar canónico precedente, demuestre la desigualdad de Schwarz-Cauchy: |( x ,y ) |2 «i (x ,x )(y , y)· 41) Demuestre que toda matriz hermítica real es simétrica. 42) M uestre que si A ·+- iB es herm ítica con A y B matrices reales, entonces A es sim étrica y B antisimétrica. 43) Pruebe que toda m atriz M se puede escribir de m anera única en la forma M = H + A, donde H es hermítica, //* = H, y A es antiherm ítica (A es antiherm ítica si -4f = - A , por definición). 44) Compruebe que todas las raíces características de una matriz unitaria, tienen valor absoluto 1. 45) Verifique que H = AA^ es definida positiva si la matriz compleja A es no singular, (det¿4 4= 0). 46) Se dice que la m atriz M es congruente hermíticamente con la matriz N si existe una matriz no singular P tal que M = P ^ N P . Pruebe que la congruencia hermítica es una relación de equivalencia.
47) Dé un ejemplo de m atriz A lo sea.
6
M n{K ), tal que A 2 sea normal, pero que A no
48) Considérese el espacio vectorial de matrices complejas m x n; determine si la aplicación (M , N ) —* t r ( N M ) es una forma hermítica. 49) Consideremos las raíces n —ésimas de la unidad k = 1 , 2 , 3 , .. , , n — 1 , y la m atriz A
u =
1 7i
•
7 r ‘
1
72
•
72n _ 1
7 n —1
= e 3^ 1 y
7*
= e 1^ 4 ,
1 \
1
V
71
· •
7 n —1i
a) Pruebe que - ^ U es unitaria. b) Si tenemos el siguiente cambio de coordenadas, llam ada transformación finita de Fourier, n —l
e " Vj, }=o muestre que Vk 3=0
c) Compruebe que Z
M a = E Ivfcl2·
k-0
k=0
50) En el espacio de las funciones reales y continuas en [—1 , 1 ], C ([—1 , 1 ];R ), definamos el producto escalar o interno así r+ i
< Pi|P 2> = J ; P i(x)P 2 {x)dx. Consideremos la sucesión de funciones polinomiales (Pn (x)} reales definida por las condiciones: Po(x) = 1/2; P„(x) sea de grado n, y la condición de ortogonalidad:
a) Compruebe que (P n |x m) = 0 para 0 $ m ^ n — 1. b) Construya los primeros términos de la sucesión de los polinomios {Pn } con las condiciones anteriores. c) Pruebe que < ^ {1 - *2)n|*m) = °,
( O ^ m ^ n — 1).
dn d) Escriba P„ en términos de la expresión - — (1 —x2)n . Así ha obtenido, axn salvo factores constantes, los conocidos polinomios Pn de Legendre. 51) Consideremos en C([0,oo[;R) el producto escalar
(0 $ m < n — 1).
b) Construya los primeros términos de la sucesión de polinomios {Ln }· c) Pruebe que
dxn
e_ I x " |x m> = 0,
(0
d) Calcule L n en términos de la expresión e~x jp ; ( e ~ z x n). Así ha obtenido, salvo factores constantes, los clásicos polinomios Ln de Laguerre. 52) Sea en C (] —oo, oo[; R) < P .|P 2) =
P e~z*Pi(x)P¡{x)dx. J -co
Definamos la sucesión de polinomios {Hn(x)} por líis condiciones: H0(x) = 1; grado (H n( x )) = n y que sean polinomios ortogonales: ( H m(x)\H n(x)) = 5mn. a) De lo anterior deduzca que
b) Construya los primeros térm inos de la sucesión {//„}· c) Muestre que = 0,
d) Calcule Hn en térm inos de e **
(n $ m ^ n — 1).
***")· Así se obtienen, salvo fac
tores constantes, los conocidos polinomios de Hermite. 53) Se da el siguiente sistema de funciones trigonométricas, 1, cosí, sen t, cos2í, sen2i, . . . , cosnt, s e n nt, . . . en el espacio C ([—7r, 7t]; R). Pruebe que este sistem a es ortogonal con relación a un producto escalar que ud. indicará. 54) Llamaremos (n+i)E el espacio euclidiano de todos los polinomios de grado no mayor que n, con coeficientes reales, R[X ], El producto escalar de dos polinomios Py, P 2 e (n+ i)E es, por definición, +1
a) Deduzca que el siguiente sistem a de polinomios de Legendre, forma una base ortogonal de („+i )E: =
l)k,
*= = 1 .2 ........ n.
b) Calcule la longitud del vector Pk{t). c) Escriba detalladam ente los polinomios de Legendre para k = 0 , 1,2,3
y 4. d) Calcule Pk ( 1). e) Determine el grado de Pk{t)· f) E xpanda Pj-(£) en serie de potencias de t. 55) Sea A/2 *i(R ) con el producto escalar ( X |Y ) = lY G X con
_ (1 G = I l
A *| ,
m atriz positiva
a) Aplique el proceso de Gram-Schmidt para encontrar una base ortonormal de AÍ2 xi(R ) a partir de la base j ^ j , M
J.
b) Encuentre la m atriz P inversible de M 2xi(R ) tal que l P P = G. 56) D etermine cuáles de las siguientes matrices son positivas:
1
2\
/1
3
4/ ’
VI - i
1+ i 3
(1 -! A
/
1
2 -1 1 1 1/2 \ V3 -! ij
1/2
l/3 \
1/3
1/4
57) Sean los vectores x = (x \, 1 2 ) y y = (y i , y2). Determine cuáles de las siguientes funciones / son formas sesquilineales en C 2: /(x .y ) /( x , y)
= 1 = x i y 2 - x 2yi
/( x ,y )
= ( x i - y t )2 + x 2y2
/(x.y)
=
(xi+Vi)2-(xi-Vif-
58) Sobre A/2xi(C ) sea la función g definida por g (x ,y ) = Y * M X , con M = 1
*>
. - i
2 1
. Estudie la sesquilinealidad y la sim etría hermítica de g.
59) Consideremos un espacio complejo nE de dimensión n; sea su dual, es decir, el espacio de formas R-lineales con valor en los complejos / : E —► C. a) Pruebe que / se puede expresar de m anera única así: / = / 1 + t / 2, donde / 1 y / 2 son formas R-lineales E —* R, elementos del dual de E , conside rado como espacio vectorial real (dim ^F = 2n), el cual denotaremos con E *. Deduzca que = £* + 1£ * , donde iE* es el espacio de las formas ig con g 6 E * . b) Deduzca que los espacios E * e i£ * son reales, y calcule sus dimensiones, lo mismo que la dimensión de £® sobre R y sobre C. c) En el caso de £ complejo, demuestre que cualquier forma C-lineal o antilineal £ —· C es R—lineal y está en £®. Deduzca que los espacios complejos £ * , y ~E* son subespacios complejos de £®, de dimensión n, sobre C; y £® = £ * © £ * .
ìnnm nnnm m m m
60) Sea un espacio vectorial complejo E] su espacio conjugado E se define como el mismo conjunto de elementos de E con la misma adición aunque con una nueva multiplicación (operación externa) por un escalar, notada AT, definida así: C x E —» E, (A, i ) —* X'x = Xx. a) Determine si E es un espacio vectorial, si E = E y cuándo E = E. b) Sea E @ E = Eo; pruebe que este nuevo espacio complejo puede identifi carse canónicamente, de manera natural, con su conjugado E o, es decir, que entre E © E y E , hay un isomorfismo C-lineal, ( E © E s £<>)■ c) Demuestre que E® (del problema anterior) es isomorfo canónicamente con el dual E q de Eo = E © E. d) Muestre que el antidual E* de E se puede identificar con el conjugado de E * y así E* es el dual de E.
8 E sp acios de H ilb e rt Los espacios de Hilbert son herramientas fundamentales en el análisis clásico, en el análisis armónico y en general en el análisis funcional; además, los espacios de Hilbert son espacios más generales que contienen a los espacios euclidianos, minkowskianos y hermíticos como simples casos particulares. Veamos, no obstante, su aspecto físico. De la misma manera que los espacios euclidianos, minkowskianos y riemannianos son los marcos naturales para estudiar los fenómenos físicos a la escala de la vida diaria (mesocosmos y macrocosmos), los espacios de Hilbert forman la m atriz natu ral para el estudio de los fenómenos a escala genética, molecular, atómica, nuclear, y psíquica (el microcosmos) .. .y también el macrocosmos. E n física clásica el estado de un sistema físico se caracteriza por vectores y formas lineales, en particular, por los parámetros posición y velocidad; éstas son las dos condiciones iniciales para que el problema de Cauchy de las ecuaciones de Newton tenga sentido y solución. En el mundo infinitamente pequeño aquellos parámetros no son suficientes, son difíciles de medir y, aún peor, son incompatibles. Por otro lado, las magnitudes que estudia la física clásica son funciones reales de variable real, es decir campos escalares; por consiguiente son operadores proporcionales a la función identidad y por ende tienen una sola componente. Es decir son mag nitudes matriciales, de una fila y una columna, que conm utan o perm utan entre sí necesariamente. En teoría cuántica el estado de un sistema se caracteriza por un vector Jcet que pertenece a un espacio vectorial, llamado de los estados, equipado con una forma hermítica. Las componentes del kec o vector de estado, con respecto a una base, se llama función de estado, o por abuso de lenguaje, función de onda. E sta función de onda compleja es una componente funcional y pertenece a un espacio vectorial
I
llamado espacio de Hilbert, también equipado con una forma hermítica. Por ser la función de onda un número complejo, no se mide en los laborato rios, pero su módulo se interpreta físicamente como una probabilidad de presencia espacial y temporal. Es sólo un elemento de previsión estadística que refleja la estocasticidad o aleatoriedad irremediable del inquieto microcosmos. Lo que mide el observador son magnitudes reales que se asocian con los operado res del espacio de los estados o del espacio de Hilbert que le es isomorfo. De manera que las magnitudes observables o medibles en la teoría cuántica se asocian con ope radores y matrices. El espectro real de éstos contiene los únicos valores aprehendibles por las medidas perturbativas (u observaciones), las cuales sólo filtran un número compatible de operadores que conm utan multiplicativamente, y por consiguiente, son diagonalizables sobre la misma base propia formada por los kets. De esta m anera hemos resumido y motivado el estudio de los espacios de Hilbert que constituyen la herram ienta del físico cuántico. Estos espacios vectoriales son métricos y permiten hacer álgebra lineal y bilineal (álgebra ketorial). También se prestan para el álgebra multilineal y el desarrollo del álgebra tensorial y exterior, muy utilizadas a medida que se penetra más y más profundamente en el microcos mos. También, por la metricidad, se puede desarrollar el análisis m atem ático clásico, no-estándar, tensorial y exterior. Los espacios de Hilbert perm iten cuantizar, en un primer nivel, es decir, transform ar las variables dinámicas en operadores, y decir que la mecánica cuántica es una teoría de la medida perturb ada sobre un álgebra no conmutativa. Esos espacios se generalizan a espacios graduados llamados espa cios de Fock, los que permiten realizar una segunda cuantización, es decir, volver operadores a los campos escalares, vectoriales, espinoriales y tensoriales y así poder tra ta r muchas partículas o grados de libertad infinitos. En una palabra, la física cuántica es una teoría cuantizada (operatorizada) de m anera totalitaria gracias a los espacios abstractos de los estados y de los campos. A barca desde la modesta mecánica cuántica h asta la teoría cuántica de los campos relativistas. Esto nos d a un panoram a de las nociones físicas asociadas al complicado aparato m atem ático que ahora expondremos. Este capítulo es una generalización más del capítulo 3 de los espacios euclidianos.
8.1.
E sp acios p re-h ilb ertianos com p lejos. Espacios de H er m ite
Ya vimos que p ara to d a forma hermítica / sobre E complejo, / ( x , x ) = q{x) es un número real. Como en el capítulo anterior, de ahora en adelante E será siempre complejo. D e fin ic ió n 1: U na forma hermítica / y su forma cuadrática herm ítica asociada q son positivas, si para todo x € E , / ( x , x ) = q(x) J 0. De m anera análoga se definen
las formas hermíticas negativas. Tomemos una forma hermítica positiva / , y calculemos su valor para toda pareja (x,y) 6 E* y todo A e C: q( x + Ay) = / ( i + Ay, x + Ay) = /( x , x) + Á /(x, y) + A /(y , x) + AÁ/(y, y); multiplicando esta expresión por /( y , y) > O, ordenando y factorizando tenemos o < [A/(y, y) + / ( x , y)] · [Á/(y, y) + / ( x , y)j - / ( x , y )/(x , y) + /( y , y )/(x , x). Se presentan dos casos: 1) Si /( y , y) ¥> O, por ser A arbitrario lo escogemos poniendo A = —/( x ,y ) [ /( y .y ) ] ~ l y entonces obtenemos |/ ( x , y ) |2 $ f ( x , x ) f ( y , y). Si / ( x ,x ) * O entonces intercambiamos a x y y y volvemos a obtener el mismo resultado. 2) Si / ( x , x ) = / ( y ,y ) = O obtenemos O ^ A/(x,y) + Á/(x,y). Escogemos A como A = —/ ( x , y ) y obtenemos: | / ( x , y ) | 2 í O, es decir, f ( x , y ) = 0. Es decir que obtenemos el siguiente resultado: P r o p o s ic ió n 1 ( D e s ig u a ld a d d e S ch w arz): Tomemos una forma hermítica po sitiva f sobre E. Cualesquiera que sean x y y de E tenemos \ f ( x , y ) i 2 ** f ( x , x ) f ( y , y ) ·
Efectuemos el siguiente cálculo donde / es una forma hermítica positiva, usando la proposición anterior y la parte real 71: q(x + y)
=
/(x + y,x + y) = /(x,x) + /(i,y ) + /(x,y) + /(y,y)
=
f ( x , x ) + 2 !R /(x ,y ) + /( y ,y )
$
/ ( x ,x ) + 2 |/ ( x , y ) | + /( y ,y )
4
/( x , x) + /( y , y) + 2 V /( x , x)-y/ / ( y , x) = [ V / ( x , x) + V /( y , y)]
De aquí resulta la siguiente proposición:
P ro p o s ic ió n 2 (D e s ig u a ld a d d e M in k o w sk i): Tomemos mía forma hermítica positiva f sobre E . Cualesquiera que sean x y y e E , tenemos y / f ( x + y , x + y) sí y / f { x , x ) + y / f ( y , y ) . C o ro la rio 2: Si q es la forma cuadrática hermítica asociada a f , forma hermítica positiva, la desigualdad de Minkowski toma la forma V
+ V^Ü/)
Vx,y 6 E.
P ro p o s ic ió n 3: Considérese una form a hermítica positiva f . Entonces: i) ker( /) es idéntico al conjunto de vectores isótropos para f . ii) Si f es no degenerada, el único vector isótropo es el vector 0. iii) Si f es no degenarada y F es un subespacio vectorial de E , la restricción de f a F es positiva no degenerada. E je rc icio 1: Probar la anterior proposición (véase la sección 3.1). E je rc ic io 2: Tomemos nE = C". Pruebe que la forma hermítica definida en la base canónica de E por f ( x , y ) = x 'v ' (m ^ n ) es positiva. Verifique que / es no degenerada positiva si, y sólo si, m = n. E je rc ic io 3: Demustre que la forma hermítica definida por /( x , y) =
f
Ja
x{t)y (t)d t
es no degenerada positiva. Toda forma hermítica positiva f sobre E determina una aplicación de E en R + definida por E 3 x >-► y/q (x) = y / f ( x , x). Además, VA 6 C se tiene y / q ( \ x ) = yA A q(x) = lA lV ^x ); y V(x,y) 6 E 2, y /q (x + y) ^ y/q{x) + \/q (y )· Si además suponemos que / es no degenerada, entonces q(x) = f ( x , x) = 0 si, y sólo si, x = 0. Esto nos conduce a la siguiente propiedad: P ro p o s ic ió n 4: Considérese a q como una forma cuadrática hermítica asociada a una forma hermítica no degenerada positiva sobre E . La aplicación de E en R + definida por x ►-> y/q (x) es una norma sobre E , que notaremos x t— ► |x | = ^/q{x) y que se llama norma hermítica o norma hermitiana.
D efin ición 2: Un espacio vectorial complejo E equipado con la norm a x >-► |x | = ■*Jq(x), donde q es una forma cuadrática hermítica no degenerada positiva sobre E, se llama, en el caso general, un espacio pre-hilbertiano complejo o espacio preHilbert. D efinición 3: Se llama espacio de Hermite o espacio hermítico a un espacio prehilbertiano de dimensión finita. D efinición 4: Se llama espacio prehilbertiano a un espacio vectorial complejo pro visto de una forma hermítica positiva. Si esta forma es no degenerada, el espacio prehilbertiano es llamado separado por algunos autores. N o ta 1: Ciertos espacios prehilbertianos particulares se llaman espacios de Hilbert, y los veremos más adelante. Si bajo las nuevas circunstancias examinamos y modificamos la ley de inercia (teorema 2 del sección 7.6) tenemos: t = 0 si, y sólo si, la forma hermítica / es positiva. En este caso rg( f ) = r = s; por consiguiente, s = n si, y sólo si, la forma hermítica / es no degenerada positiva y en este caso la base encontrada es ortonormal; de donde resulta el siguiente teorema (ver la sección 3.2): T e o re m a 1: Todo espacio vectorial complejo de dimensión finita tiene bases ortonormales para toda forma hermítica no degenerada positiva. Es decir, todo espacio hermítico (separado) tiene bases ortonormales. Una consecuencia del teorem a es que en todo espacio hermítico separado nE se tiene en la base (e¡) ortonorm al la siguiente igualdad: n
f ( x , y ) = ñ x ' e u v ’ej) = x ‘yJ5¡j = x'y<;
De aquí se desprende el siguiente teorema (ver las secciones 2.15 y 3.3): T e o re m a 2: Salvo un isomorfismo, existe una sola estructura de espacio hermítico (separado) de dimensión n, a saber, Cn provisto de una forma hermítica no dege nerada positiva. N o ta 2: En este teorema existencial se puede reemplazar, evidentemente, la frase espacio hermítico separado de dimensión n por espacio prehilbertiano separado de dimensión n. Cn se llama el espacio de Hermite, el espacio hermítico o el espacio hermitiano de n dimensiones.
-T!
www.elsoluci
P ara el estudio del espacio hermítico E se escoge, análogam ente al caso euclidiano (véase la sección 3.4), una forma herm ítica no degenerada positiva /o sobre E que llamaremos forma fundamental del espacio hermítico E\ de m anera que las bases ortonorm ales de E serán las bases ortonorm ales de /o- El valor / 0 ( 1 , y), de esa forma fundamental para dos vectores x y y del espacio hermítico (o de un espacio prehilbertiano), se nota de varias m aneras, por ejemplo: /o (x ,y ) =
(x|y) = (x|y) =
Se dice que (x |y ),o cualquiera de sus equivalentes, es el producto interno, o producto escalar, o producto escalar hermítico de x y y. Se llam a norm a herm ítica de x al número real positivo 1*1 = V (* l* ) = V(*l*>· En una base ortonormal cualquiera de / 0 tenemos (x|y) = x 'y '- l----- l-xnyn ; |x | = V |x * |2 H------- |x " |2· Además, la desigualdad de Schwarz se escribe | (x|y) | $ |x | ■ |y |, la desigualdad de Minkowski se representa por ||x + y|| < |x | = ||y||'(desigualdad triangular) y si el espacio hermítico es separado, entonces x = 0 si, y sólo si, |x | = 0. N o ta 3: Los físicos llaman simplemente producto hermítico al producto escalar hermítico (x|y). Al corchete ( | ) lo llaman bracket o bracket de Dirac, de m anera que (x| es el vector bra (covector) y |y) el vector ket. Además en los textos de m ecánica cuántica la semilineahdad se le adjudica al primer argum ento de /( x ,y ) , es decir a las x. De m anera que se escribe
J>
x(t)y(t)dt.
( x | y ) - * y + ·..+*"»" 1
Estos cambios son detalles tipográficos de poca im portancia para la teoría fisico m atem ática. Un espacio complejo con el producto hermítico ( | ) se llam a a menudo espacio unitario (espacio hermítico). N o ta 4: Hemos convenido en llamar un vector x con el nombre de k etx , notado | x); y una forma lineal /* la hemos llamado bra, notada ( / * |. Esto con el fin de unificar el lenguaje y notación, y no diferenciar entre el corchete de dualidad y el corchete cuántico o bracket de Dirac. Es como la palabra unificadora producto esca lar que se usa con diferentes objetos, entre: vectores, formas, funciones, vectores de estado, etc.; todos ellos también llamados vectores. Hay, sin embargo, unas sutilezas que debemos aclarar para evitar confuciones.
N o ta 5: El bra | de la notación cuántica no es una genuina forma lineal, es exactam ente una forma antilineal o semilineal, como lo vimos en el capítulo 7. N o ta 6: P ara los vectores o k e t s i del espacio E, tendremos x = | i ) e E; para las formas lineales o bras / * , tendremos: /* = ( f * |e E * . N o ta 7: P ara los kets í del espacio Ti tendremos: 'I1 = | '!>) e Ti. N o ta 8: Como ya dijimos en 1) que (J* |, entonces, |£ H * . Vimos que | pertenece a otro espacio, H * , llamado espacio antidual, también llamado dual conjugado de Ti o espacio complejo de H * . N o ta 9: Ahora puede comprenderse el énfasis que pusimos en la nota del párrafo §1.6; en el ejemplo 13 del §1.9; en las notas del §2.3; en el ejemplo 2 del §2.13; y en §3.4; §7.5; y §8.5. Ver en el §7.7 los problemas 59 y 60. E je rc ic io 4: Pruebe que toda familia (z¡) de vectores no nulos ortogonales dos a dos de un espacio hermítico es linealmente independiente. E je rc ic io 5: E xtienda al espacio hermítico el proceso de ortonormalización de Schmidt (véase la sección 3.4). E je rc ic io 6: Extender a los espacios hermíticos el teorem a de Pitágoras (véase la sección 3.4). E je rc ic io 7: Verifique que si Cn tiene la forma herm ítica canónica, entonces es un espacio prehilbertiano separado. E je rc ic io 8: Demuestre, en un espacio prehilbertiano separado, las desigualdades de Hólder y de Minkowski: 2 1 cb
rb
x (t)y (t)dt
r1
|x ( t)|
4S
dt Ja
q
- i
‘ rb
J
l* (0 + y (0 l
dt
rb $
o
1
I |i(í)| dt
N o ta 10: Véase nota 8 de la sección 6.9.
r
|y(O I
dt
8.2.
D esiguald ad de B e sse l e igualdad de Parseval
H asta ahora nos hemos ocupado exclusivamente de espacios hermíticos E de dimen sión finita n que necesariamente tienen bases ortonormales ( e i , . . . ,e n), de manera que x e E está representado por una serie finita de la forma x = x'e¡ = (x|e¡) e, (i = 1 ,. . . ,n ). Cuando £ es de dimensión infinita, es decir, E es un espacio prehilbertiano, todavía existen bases ortonormales infinitas, pero numerables, que se pueden obtener por el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. Estas bases ortonormales con un número infinito numerable de elementos se conocen con el nombre de sistema U ortonorm ado de elementos de E. Con U podemos aún formar el conjunto numerable de números x ‘ = (x|e,) # 0, Vei 6 U. Entonces x se genera por una serie 2 ” { x'e, que puede converger o no hacia x. Las componentes (x|e¿) de x, en este caso, se llaman coeficientes de Fourier de x. La expresión (x le·) e« se llama entonces serie de Fourier. Por ejemplo, las funciones e„ definidas por e„(í) = e x p ( in t), para n entero positivo, negativo o cero, forman un sistema ortonorm ado U, el cual será la base para desarrollar en serie de Fourier. El caso más complicado de bases U, con infinitos elementos no numerables, lo tratarem os en la sección de los espacios de Hilbert. Las propiedades que ahora vamos a dem ostrar bien se pueden aplicar al caso de bases finitas, infinitas numerables e infinitas no numerables. T e o r e m a 3 (d e P itá g o r a s ) : Si los vectores x i, . . . , x„ son dos a dos ortogonales se tiene l * i + - - - + * n | 2 = J x i l 2 + · · ■ + ||x „ ||2 .
E je rc ic io : Probar este teorema para n = 1 y luego para n arbitario. N o t a 1: La recíproca no es cierta en general; si lo es, entonces, E es vectorial real.
un espacio
P r o p o s ic ió n 5: Consideremos un espacio E prehilbertiano (separado), F un subespacio n-dimensional de E y x e E . Entonces: i) x se descompone de manera única en la forma x = xi + x2 con x i e F y xi e F L. ii) Vy e F, y ^ x \ se tiene ||x —xi|| ^ ||x —y |. iü) Si (e„) es una base ortonormal de F, entonces Xi = (x|ei) ej H------(- (x|en) en .
D e m o s tr a c ió n : Pongamos x i = (x|ei) e¡ H-----+ {x|en) Cn. X2 = x x = x i + X2 , xi 6 F y x j 1 e¿ (Vi); por ende x 2 1 i 7, puesto que
—X\-Entonces
( i 2 |ei) = (x|e¿) - (xi|e¿) = (x|ei) - (x|e,) = 0; de aquí se infiere la existencia de X\ y x2 para i). Si x = x \ + x >2 con X, e F y x 2 £ F x ; entonces, Xi - xí = x 2 —Xje F n F 1 ; por ende xi = x\ y x 2 = x 2; de aquí resulta ii) y simultáneamente iii). Ahora sea F 3 y # x, entonces x - y = (x - x i) + (xi - y) = x 2 + (xi - y), con Xi —y € F ; de aquí obtenemos:
II* - vil2 = IN II2 + ||xi - y f > N I 2 = ||x —x ill2, es decir ii).
s
T e o r e m a 4 ( D e s ig u a ld a d d e B e sse l): Sea {e¿}, i = l , 2 . . . , f c , un conjunto ortonormal en un espacio prehilbertiano (separado) E, y x 6 E. Entonces el conjunto de números |(x|e¡)|2 es de suma convergente y ¿
|(x|e¿)|2 « ||x||2·
im l
D e m o s tra c ió n : La proposición 5 permite afirmar que x = x2 1 Cj Vi = 1 , . . . , k. Además el teorema 3 de Pitágoras permire escribir: N
^ S K 1=1
^ ^
(x|et)e< + x 2, con
+ IN f^ S K x M I2· ts l
N o ta 2: El teorema es válido en espacios prehilbertianos y hermíticos. N o t a 3: U na prueba directa de la desigualdad de Bessel sin pasar por las proposi ciones anteriores se obtiene así:
k
1 -
Y
||2 (x le*) e<|
=
k (x~ Y \
=
(*l*> ~ ( *
/
e* 1 -
·=!
Y
k
Y (*|e¡) e.
(zM
Y (x le‘>e'
«a 1
ti) ~ (
2 (xle¡) e¡
= NI2- E
~ E
i-1
E
tal
(i|e i) (x|ej) (e,|ej)
ij= l
= |x |3 - 2 | (x|e<) |a - ¿ | t-l
E
.
Ia +
tal
= Jx||l - 2 2 I (*|e<> I2+ tal
E
I (x le‘ >I2 ^ 0 '
¿al
de donde
¿ I <*l*i> Ia < |x |2i=l T e o re m a 5 ( Ig u a ld a d d e P a r s e v a l ): Si E es un espacio hermítico con la ba se (en) tal que E 3 x = £ " =1 x
NI = E K*MI2 = E M2· tal
tal
D e m o s tra c ió n : i = 2 ? a i z *e* = 2 ? * ! (x le*)e*» entonces,
H 2 s
(i|x) = ¿ (xle·) (c,-|x) (ei|e>) 1,3 = 1
=
¿
>,¿=1
( * |e < ) J x \ é j ) 6 i j
=
¿
l< x | « i ) | 2 =
i= l
¿
l * i | a-
·
i= l
N o ta 4: E ste teorem a tiene implicaciones cuánticas muy im portantes (véase la sección 9.8).
8.3.
O peradores adjuntos
E sta sección es la análoga a la de la transpuesta. Las proposiciones que vamos a enunciar son válidas para espacios E prehilbertianos, hermíticos y también para espacios de H ilbert (éstos serán definidos más adelante); en todo caso, especificaremos el tipo de espacio al cual se aplicarán las
propiedades enunciadas. Las aplicaciones lineales que vamos a estudiar serán endomorfismos, conocidas con el nombre de operadores lineales; si son biyectivas se llam arán transformaciones. P ara el operador u o para A usaremos las notaciones u(x) = u |x > o A('I') = |J4('I')) = l/M ) = con i y i £ £ . O tros ponen simplemente A x , ux. Considérese un espacio E prehilbertiano (separado) de dimensión finita, es decir, E es un espacio hermítico. Su aplicación fundamental /o es no degenerada; la apli cación asociada ip de E en E * es biyectiva, (es un isomorfismo) y permite identificar E con E *. Además, si tom amos un operador o endomorfismo u e L ( E \ E ) , lu se identifica con un elemento de L ( E ; E ) que notaremos u f (véase la sección 1.11). En otras palabras, como en la sección 2.16, a un operador lineal u de E se le puede asociar otro operador único de E que llamaremos el operador adjunto de u, y que notarem os u* (léase u cruz o u daga). De m anera que con la notación de Dirac, fo {x ,y ) = (x|y), tendrem os la siguiente definición: D e fin ic ió n 5: El operador adjunto tif , único, asociado a cada operador ti de E, espacio vectorial hermítico, se define por la relación: (u (i)|y ) = ( x |u f (y))
V ( x , y ) e £ 2.
La m atriz M * de u f se llam a la matriz adjunta y es por definición A/· = lM . Si M* = M se dice que la m atriz M es autoadjunta o hermítica. Ya dijimos que si M* = —M , entonces M es antiherm ítica o antiautoadjunta. N o ta 1: O tra m anera de definir u* sería evidentemente por la igualdad
/o [u (x )> y ] = /o [ x , « f (y)] · Los físicos llaman a u * o Ai* el adjunto hermítico o conjugado hermítico. O tra notación em pleada por los físicos es (x|u(y)) = (x|u|y) o (x|u*(y)) = (x|u^|y). Inm ediatam ente se puede obtener una serie de propiedades que se demuestran di rectam ente utilizando la transpuesta. Por ejemplo, .
= = =
((Au)(x)|y) = (Au(x)|y) A (u(x)|y) = A (x |u f(y))
¡V Vx e E.
Entonces (Au)^(y) = (Xu*)(y) (Vy), y por tanto (Au)* = AjA En general tendremos el siguiente resultado: . .y-t T e o r e m a 6: Sean los operadores u y v 6 L (E ) y X e C, entonces 1)
(u + v)* =
+ v*.
■*«»*· » :
'''■ V ' *
2)
(A u)^ =
 «t.
3) ( u v ) 1 = tAuf .
n
4)
(u*)* = u.
5) rg (u f) = rg (u).
n
6)
(IdEÿ = IdE .
7) Si u es inversible, entonces u f es inversible y (u*)-1 = (u _1)f .
n
8)
d e tu t = detw.
9) Las matrices de u y u* con respecto a una misma base (e<) ortonormal de E son adjuntas la una de la otra, es decir,
m
M [« * , ( * ) ] = { A / K ( e * ) ] } 1 = 1 { m [u , ( e , ) ] } ·
m
E je rc ic io 1: Dé la prueba com pleta de este teorema, sobre todo, pruebe con rigor el litera! 9). E je rc ic io 2: Verifique que si F es un subespacio vectorial de E invariante por u (o estable por u), entonces F 1 es invariante por u f.
m
E je rc ic io 3: Demuestre que si (u(x)|y) = (t>(x)|y), V(x,y) que si (x|u(y)) = (x|i>(y)), V(x,y) e E 2, entonces u = v.
e E 2, entonces u = v y
n
Del teorema anterior, referente a los operadores, resulta otro teorema referente a las matrices de los operadores. Es decir, se tiene el siguiente teorema: T e o r e m a 7: Si A y B son matrices complejas cuadradas de orden n 2: A, B e M n 2 (C), y A 6 C, entonces:
m
1) (A + B )f = A ' + B f . 2)
(AA)t = XA*.
3 ) (A B ) ' = B ' A K
m
4)
= A.
5) r g A * = rgA.
m
6)
F = I.
7) Si A es inversible, entonces A* es inversible y
= (,4- l )t.
8)
d e tA f = det A.
9) d e tÁ = deti4. La prueba se deriva del anterior teorema y se se deja como ejercicio. N o t a 2: Cabe señalar aquí dos operaciones entre operadores (y sus matrices) de mucho uso en física cuántica. Se llama conmutador de dos operadores A y B al nuevo operador A B — B .4, notado [A, B] s A B — B A. Se dice que dos matrices u operadores conmutan (o permutan) si su conmutador es cero: [A, B] = 0 (es decir, A B = B A). En tal caso, también se dice que A y B son conmutables o permutables. Se llama anticonmutador de dos operadores (o matrices) A y B al nuevo operador A B + B A, que se nota {A , B } = A B + B A = [>4, £ ]+ . Se dice que dos operadores anticonm utan si su anticonmutador es nulo: { A ,B } = [/4, B ]+ = 0 (o sea A B = —B A).
8.4.
G ru p o unitario
E sta sección generaliza al grupo ortogonal. Estamos trabajando aquí con matrices complejas cuadradas, que son las coor denadas o componentes de los operadores de un espacio hermítico. Ahora vamos a estudiar un subgrupo del grupo lineal G L (E ) el cual es fundamental en la teoría cuántica. Ese grupo, que se llama grupo unitario, deja invariante a los conm uta dores, a las probabilidades y a los valores medios que se calculan en la mecánica cuántica. Ese es el grupo de invariancia de los espacios de Hermite y de los espacios de Hilbert, a los cuales da estructura geométrica en el sentido de Klein, originando la geometría de Hermite y la geometría de Hilbert. De manera que la mecánica cuántica es una geometría más, un caso particular de la geometría de Hilbert. De allí que podamos llamar a la mecánica cuántica, geometría cuántica (no confundir esto con la cuantización geométrica que es otro hermoso capítulo de la física de la década de 1970). El grupo unitario es a los espacios de Hermite (y de Hilbert) lo que el grupo ortogonal es a los espacios de Euclides (y de Minkowski). El grupo unitario unimodular es a aquellos espacios lo que el grupo ortogonal unimodular es a éstos. Las matrices unitarias (y unimodulares) son al caso complejo lo que las matrices ortogonales (y unimodulares) son al caso real. Todo lo unitario (y unimodular) es a la física cuántica lo que lo ortogonal (y unimodular) es a la física clásica y lo que lo lineal y unimodular es a la física relativista. De nuevo tropezamos con el hecho que la física se reduce a un estudio de grupos, a un estudio de geometrías. Estos grupos conservan (dejan invariantes) a las leyes físicas, a magnitudes medibles, a conceptos abstractos, a relaciones de conmutación o anticonmutación, a los obje-
tos que representan magnitudes físicas concretas o abstractas, a las ecuaciones de campos, etc. Lo que aquí vamos a estudiar tiene un gran paralelo con lo visto en las secciones 2.17, 2.18 y 2.19. Consideremos un operador u de un espacio métrico, u e L (E ), tal que V(x,y) G E 2 tengamos (u(x)|u(y)) = (x|y); por definición, se dice que el operador u conserva el producto hermítico; es decir, a la forma fundam ental /o- Por consiguiente u conseva la forma cuadrática herm ítica 70 asociada a / 0 , es decir, que la relación definitoria precedente implica que para todo x 6 E se tiene |u (x )|| = |x |. E je rc ic io 1: Pruebe esta últim a declaración. El análisis anterior se resume en la siguiente afirmación: P ro p o s ic ió n 6: Consideremos un espacio hermítico E ; para todo operador u e L (E ) las cinco propiedades siguientes son equivalentes: i)
V(x,y) e E 2.
ii) |u (x )|| = |x | Vx 6 E (conservación de la norma hermítica). ■■ iii) u*u = IdE. iv) u
= IdE.
v) u es inversible y u " 1 =
.
D e m o s tra c ió n : Es análoga a la dada para la proposición 13, sección 2.18, del caso del grupo ortogonal, salvo para la implicación ii) => i) que se tra ta así: Tomemos /( x , y) = (x|y) y p(x,y) = ('“ (x)|u(y)) Vx,y e E, entonces / y g son dos formas hermíticas. Si la condición ii) se verifica, tenemos /( x , x) = y (x ,x ), Vx e £ y por ende /( x , y) = g ( x , y), Vx, y e E. # D e fin ic ió n 6: Todo operador o endomorfismo del espacio hermítico E que cumple con una de las cinco condiciones equivalentes de la proposición precedente, se llama operador unitario, o endomorfismo unitario, o isometría. Se dice entonces que u es un automorfismo (lo es porque u es unitario) de la forma herm ítica / 0 o de la forma cuadrática herm ítica asociada. La proposición anterior m uestra que para to d a m atriz M asociada a un operador unitario, respecto de una base ortonorm al de £ , se tiene = /„ si, y sólo si, A /-1 = M f = tM . De m anera general, to d a m atriz del álgebra de matrices n 2, A/nj(C ), que verifica una de las cinco condiciones equivalentes que aparecen en la siguiente proposición, se llama m atriz u nitaria de orden n (n 2): P ro p o s ic ió n 7: Considérese una matriz M compleja de orden n. Las siguientes propiedades son equivalentes:
i) M ' M = /„ . ii) M M ' = / n . m j M es invertible, y A /-1 = . Si equipamos a C n con la forma hermítica canónica, estas condiciones son todavía equivalentes a las siguientes: ivj Las columnas de M son ortonormales. v) Las filas de M son ortonormales. E je rc ic io 2: Demuestre esta proposición (ver la proposición 16, de la sección 2.19). Se dem uestra fácilmente que toda matriz de cambio de una base ortonorm al a o tra base ortonorm al, en un espacio hermítico, es necesariamente unitaria; más técnicam ente se tiene el siguiente resultado: P ro p o s ic ió n 8: Considérese la base ortonormal de E, ( c i , . . . , c n), y u e L(E). Las condiciones siguientes son equivalentes: i) u es unitario. ii) ( u ( e i) ,. .. ,u (e n)) es una base ortonormal de E. E je rc ic io 3: Pruebe la propiedad anterior. E je rc ic io 4: Demuestre que toda m atriz unitaria real es ortogonal. E je rc ic io 5: Pruebe que un operador es unitario cuando, y sólo cuando, su matriz con respecto a una base ortonorm al es unitaria. E je rc ic io 6: Justifique que si u es unitario, entonces u f esunitario. A hora podemos m ostrar sin dificultad que el conjunto de aplicaciones lineales unitarias de £ en £ forman un grupo, más exactamente: D e fin ic ió n 7: El conjunto de los operadores unitarios de un espacio hermítico de dimensión n forma un subgrupo del grupo lineal G L(C ), llamado grupo unitario y notado por Un(C), o tam bién Un . La dem ostración se deja como ejercicio. P ro p o s ic ió n 9: Un(C) es también, por definición, el grupo de matrices complejas n x n y unitarias. Estas matrices, o los operadores representados, verifican el cálculo siguiente: det(uu^)
=
d e tu · det u = | d e tu |2 = d e tu · d e t u f
=
d e t(iiu f) = det (IdB) = 1.
(8.1)
Por consiguiente tenemos la siguiente proposición: P ro p o s ic ió n 10: El determinante de todo operador unitario, o de toda matriz unitaria, es un número complejo de módulo 1 : |d e t u | = 1. D e fin ic ió n 8: Un operador o m atriz de determ inante +1 se llama operador o m atriz unim odular o especial. El conjunto de los operadores o matrices unitarias unimodulares forma un subgrupo del grupo Un(C) que se llama el grupo unitario especial (o unimodular) y se nota SU n(C). E je rc ic io 7: Demuestre que SU n(C) es un subgrupo distinguido de {/„(C). Estudie el homomorfismo u >-» det u. E je rc ic io 8: M uestre que todo valor propio de un operador unitario es de módulo 1. Hemos usado la notación Un (C) y SU n(C) para indicar que el espacio es complejo y es Cn , isomorfo a E. Pero tam bién se usa la notación Un(E) y S U n(E). Los físicos corpusculares usan la notación simplificada Un y SUn , donde Se sobreentiende K = C. En física cuántica, en física relativista y en física de partículas se usan grupos de baja dimensión tales como U\, S U 2 , SU 3 y SU 4. Estos grupos han perm itido realizar grandes avances en la física teórica, sobre todo, desde el momento en que se utilizaron masivamente, en la década de los años sesenta, para clasificar el zoológico de las 400 partículas elementales y en las teorías de campos independientes de la norm a (llamados campos de gauge) y en el program a de unificación. Como en los procesos de razonamiento y de cálculo, el físico se interesa por el anáfisis sobre estos grupos, entonces se le añaden a í / n y a SU n propiedades topológicas (vale decir de continuidad) y analíticas (es decir, derivabilidad y series de Taylor); con estos ingredientes, a Un y SU n se les llam a grupos de Lie. Estos constituyen inapreciables herram ientas en relatividad, teoría cuántica, partículas, geom etría diferencial, teoría de la representación lineal, teoría de las transformaciones, etc. Lapidariam ente podemos afirmar que el grupo fundam ental de la mecánica cuántica es S Í/ 2 Í es decir, el conjunto de matrices complejas 2 x 2 unitarias y uni modulares, que a la vez forman la representación definitoria (más baja) del grupo abstracto SU 2 · El grupo cuántico SU 2 gobierna al momento angular, al espín, al isospín, al espacio de los espinores, el isospín débil, etc. El grupo SU 2 es a la mecánica cuántica lo que el grupo S O 3 es a la mecánica clásica y lo que el grupo S L ( 2,C ) es a la mecánica relativista. SU 2 contiene más física, más ciencia y más m atem ática que S O 3 , así como S L contiene m ás ciencia que el grupo de Lorentz. El grupo SU 2 asegura que un cambio de bases deje invariante al espacio de la mecánica cuántica, no afecte las probabilidades de transición, los conmutadores,
los valores medios, las ecuaciones de evolución ni las diferentes representaciones y descripciones (pictures). Es pues, ese grupo extraordinario el que asegura la invariancia de la geom etría de la mecánica cuántica.
8.5.
O peradores herm íticos
Se llama operador hermítico de un espacio E, a todo operador u autoadjunto, es decir, tal que u = u t, donde u* es el operador adjunto de u respecto a la forma fundam ental fo de E. Esto se generaliza a los operadores simétricos. Las propiedades de los operadores autoadjuntos o hermíticos se derivan así: u = u f o (u(x)|y) = (x|u(y)) Vx,y 6 E. La hermiticidad de u se asegura si, y sólo si, en una base ortonorm al (e¿) M (ti, ( « ) ) = [A/(u, (ei))]t = ' [ %
M
] ,
es decir cuando, y sólo cuando, M (u, (ej)) sea herm ítica o autoadjunta. También tenemos el hecho que: Vx e E, (x|u(x)) = (u(x)|x) = (x|t¿(x)). Recíprocamente, tomemos un operador u del espacio hermítico E tal que (x|u(x)) sea real Vz e E\ además, consideremos la aplicación / u e E 2 en C definida por (x,y) ·-* /„ (x ,y ) = (x|u(x)). A simple vista se observa que /„ es lineal en z y antilineal en y, es decir, f u es una forma sesquilineal. Es más, como para Vz 6 E / u(z, y) e R, entonces al desarrollar / u(z + y ,z + y) y /„ ( z + ¿y, x + iy), tendremos que / u(z,y ) +· / u(y, z) es real y / u(z, y) —/ u (y, x) es imaginario puro. De aquí resulta finalmente: / u(y, x) = / u(x, y), por consiguiente /„ es herm ítica y (x|u(y)) = (y|u(x)) = (u(x)|y) y u es un operador hermítico. Todo lo anterior queda contenido en la siguiente proposición: P ro p o s ic ió n 11: Consideremos un espacio hermítico E. Para todo operador her mítico o autoadjunto u, las siguientes propiedades son equivalentes: i) ti* = u. ii) (u(x)|y) = (x |u (y )), iii) (x|u(x)) 6 R,
V(x,y) 6 E 2.
Vx 6 E.
iv) La matriz M = M (u , (e^)) asociada a u en una base ortonormal de E , es hermítica o autoadjunta, es decir, M* — M . Cualquier aplicación lineal de E en E que verifique una de las cuatro condiciones de la proposición precedente se llama operador hermítico o autoadjunto. N o ta : Los físicos definen un operador A como hermítico por la relación (x|A|y) = (y|A|x) o por ésta más simple (x|.4|x) = (x|A |x). A la expresión (x|A |x) la llaman el valor medio (o valor esperado) de A y lo notan (A).
E je rc ic io 1: Sustente por qué una m atriz sim étrica real es un caso particular de m atriz hermítica. E je rc ic io 2: Justifique por qué si u y v son hermíticos y A e R, entonces u + v y Ati son hermíticos, y (Ati)* = Au = Au. E je rc ic io 3: Verifique que el conjunto V.(E) de operadores hermíticos de E no es un subespacio vectorial del espacio vectorial L (E ). Verifique que 'H(E) es un subespacio vectorial del espacio vectorial L(E). E je rc ic io 4: Llamemos H (E \ C) al conjunto de las formas hermíticas de E. Demues tre que la aplicación de 'H.(E) 3 u >-» / u e H (E ) , definida por / u(x,y) = (x|u(y)), es biyectiva y que / u 6 H (E ) (use bases ortonormales). E je rc ic io 5: Pongamos X = M ( x , (e<)); Y = M (y ,( e i)) y A = M (u , (e¿)); pruebe que / u(x, y) =
8.6.
Diagonalización de op eradores herm íticos y reducción de formas herm íticas
El proceso de diagonalización de los operadores simétricos o autoadj untos en un espacio euclidiano tiene su contraparte en los espacios hermíticos, por consiguiente las proposiciones son análogas. Es más, las demostraciones en los espacios hermíticos son más sencillas que en los euclidianos, lo que hace que los teoremas relativos al caso euclidiano —que es un caso particular de los espacios hermíticos— se puedan dem ostrar directa y sencillamente con la terminología y herramientas hermíticas. Veamos las razones del paralelo de esta sección con la sección 3.5. Si consideramos un operador hermítico u de un espacio E hermítico de dimensión n, habrá exactamente n valores propios, que “a priori” serán números complejos. Sea A uno de ellos y x su vector propio no nulo asociado a A. Como (i|u (x )) es real, entonces u(x) = Ax (x ¿ 0), y así (x|u(x)) = A||x||2 e R. Por ende ||x||2 # 0 y A e R. Además, como to d a matriz sim étrica real es un caso particular de matriz hermí-
tica, resulta que (ya lo vimos) su espectro es totalm ente real. Por otro lado, (x|y) = O implica (u(x)|y) = (x|u(y)) = (Au|y) = A(x|y) = O, es decir, si y 1 x (con u(x) = Ax), entonces ti(y) X x. Todas estas propiedades las recogemos sintéticamente en el siguiente teorema espectral generalizado: T e o r e m a 8 ( e s p e c tr a l) : Para todo operador u hermítico de nE con A], . . . , Ar valores propios distintos de u tenemos: i) Los valores propios A, de u son todos reales. ii) El subespacio ortogonal a todo vector propio no nulo de u es invariante por u. iii) Sea V^. el subespacio propio de u corres-pondiente a Ai, entonces los correspondientes a valores propios distintos son ortogonales dos a dos y E es la suma directa de los : E = ©[_ t V\ t . D e m o s tr a c ió n : Tomemos O ^ x e VA. y O *¡ (x|y)
= =
y 6 V\ j , entonces tenemos
{Kx\y) = (u(x)|y) (*l«(y)) = (x|Ajy) = Á,· ( x |y ) .
Si tomamos ahora i = j , entonces poniendo y = x se concluye que \ i = Á< e R. Esto prueba i). La prueba de ii) ya la dimos arriba. Hemos probado que (A¡ — A,) (x|y) = O lo que implica, si A< # Aj (i * j) , que (x|y) = O, es decir, que los V\t son dos a dos ortogonales. De m anera que V*. es ortogonal a , de donde todo vector de V\( ^ es ortogonal a él mismo y, por ende, nulo (proposición 3, numerad ¿i)). De aquí que V*, n = {0}. P ara finalizar la demostración de iii) pongamos, basados en lo anterior, F = ©J'=1Vxj (r ^ n) y probemos que F = E. Los V \f son invariantes por u, por {0}, la restricción de u consiguiente F y F 1 son invariantes por u. Ahora, si F 1· a F l adm ite al menos un valor propio x / 0 (esto es una propiedad de los espacios vectoriales nE complejos, lo cual se obtiene al aplicar al polinomio característico de u el teorema fundamental del álgebra, de D ’Alembert-Gauss, ver la proposición 5 de la sección 3.5). De aquí que x pertenezca a uno de los VAi es decir, a F\ por consiguiente x e F r> F 1 , lo que es visiblemente absurdo. Queda, pues, F 1 = {0} y por esto F = ( F 1 )1 = {O}1 = E. # Como ningún vector no nulo es isótropo en un espacio hermítico E, entonces la demostración de la diagonalización de todo operador hermítico es idéntica a la dada para espacios euclidianos y operadores simétricos (teorem a 7, sección 3.5). En otras palabras, se puede obtener una base ortonormal de vectores propios si se toma una base ortonorm al de VAl, o tra de V*,, . . . , y finalmente otra de , cuya existencia
está asegurada, y el todo se reúne en una sola base de E. Enunciemos estos hechos como un teorema: T e o re m a 9 (d e sc o m p o sic ió n e s p e c tr a l) : Sea u un operador hermítico de nE hermítico. Entonces siempre existen bases ortonormales propias de E formadas por los vectores propios de E , con respecto a las cuales la matriz de u es siempre dia gonal. E ste teorem a también se conoce con el nombre de teorem a del eje principal. Toda m atriz de cambio de bases ortonorm ales de E hermítico debe ser entonces unitaria: P ro p o s ic ió n 12: Para toda matriz hermítica AI de orden n 2 existe una matriz unitaria U de orden n 2 tal que M ' = U ~ l M U es diagonal real. D e m o s tra c ió n : Llamemos v la aplicación lineal de C n en C " asociada a M y equi pemos a Cn con la forma herm ítica canónica y con la base canónica ortonorm al (e,). Como AI es hermítica, v es hermítica; por consiguiente existe una base propia ortonorm al (e¡) de C" con relación a la cual la m atriz de v es diagonal. La aplica ción lineal que transform a (e¿) en (e') debe ser unitaria con m atriz U unitaria, de m anera que la m atriz de v con relación a (e¡) es U ~ l AI U . # Muchas de las propiedades de las secciones 3.5 y 3.6 (teorem a 5, teorem a 6, teorem a 7 de descomposición espectral, proposición 5, corolario 5 y 6, tam bién el teorem a 8 que en apariencia es muy particular) de hecho, son propiedades generales que ahora vamos a enunciar, y dem ostrar en esta situación: P ro p o s ic ió n 13: Considérese un espacio hermítico E de dimensión n, una forma hermítica no degenerada positiva fo sobre E, y una form a hermítica cualquiera f sobre E. Entonces siempre existen bases ortonormales para fo y bases ortogonales para f . D e m o s tra c ió n : Ya vimos que a toda forma herm ítica / se le puede asociar, de manera biyectiva, un operador hermítico u tal que V(x, y) e E 2, /( x , y) = (x|tí(t/)) = ‘Y A X , donde la m atriz hermítica está asociada a / y a u en una misma base ortonorm al de E . Si se escoge una base ortonorm al formada por vectores propios se tendrá, con B diagonal: n
/( x , y) = lY B X = £ ¡ AjX*y‘, ¡=1
n
q(x) = / ( x ,x ) = £ A ^ x f . i=t
E ste procedimiento se llama reducción de formas hermíticas en una base ortonorm al de E, con relación a la forma herm ítica fundamental fo de E. La base en la cual la m atriz de / (o de u) es diagonal es, por consiguiente, ortonorm al para fo y ortogonal para / . .
8.7.
E spacios de H ilbert
H asta aquí nos hemos ocupado de las propiedades puramente algebraicas de los espacios de Hermite £ y de los operadores que allí actúan. E sta álgebra de £ y L{E) exige un tratam iento con los conceptos analíticos y topológicos de compa cidad, convergencia, continuidad, completez, diferenciabilidad e integrabilidad. En una palabra, esto exige que hagamos análisis m atem ático en £ : sus elementos serán sometidos a estos procesos de naturaleza analítica. Un espacio hermítico o pre-hilbertiano ya tiene amplias y suficientes propieda des algebraicas para servir a los propósitos de la mecánica cuántica, y en general de la teoría cuántica, y no menos im portante, para construir un marco m atem ático y teórico idealizado para expresar de m anera adecuada y natural el discurso cuántico sobre el modelo humanizado del microcosmos. Un espacio de Hilbert dará muchas más propiedades analíticas esta vez, para que el discurso cuántico sea completo, coherente y autoconsistente. Tanto los espacios prehilbertiano, como los de Hermite y de H ilbert son casos particulares de espacios normados. Comencemos por un recorderis de análisis matemático. Una sucesión {xn } de vectores de un espacio normado se llama sucesión de Cauchy cuando, y sólo cuando, Ve > 0 BiV : n > N y p > N => flzn - z p( < £ es decir, lím„,p_.oo(zn —x p) = 0. De aquí se concluye que toda sucesión convergente es necesariamente una suce sión de Cauchy. Esto no es condición suficiente, es decir, la propiedad recíproca no es cierta. Con las sucesiones de Cauchy se construye el cuerpo de los números reales R a p artir del cuerpo de los racionales Q. Un espacio normado £ donde to da sucesión de Cauchy de sus elementos es convergente hacia un vector de £ se llama espacio completo o espacio de Banach. Tenemos, pues, que un espacio de Banach sobre K es un espacio vectorial sobre K normado y completo. E je m p lo 1: Q no es completo. E je m p lo 2: R es un espacio de Banach. E je m p lo 3: El espacio O de sucesiones {xn } e R tales que gente, es completo.
t |z ¡|2 sea conver
E je m p lo 4: El espacio Lr de funciones complejas / de variable real tales que St2 l / M I 2 dx sea convergente, es decir, exista en el sentido de Riemann, es un espacio de Banach.
D efin ic ió n 9: Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo con relación a la norma hermítica. Es decir, un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano y de Banach para la topología definida por la norm a hermítica. E je m p lo 5: R, R2, y en general, R" son espacios de Hilbert; el producto escalar origina la norma euclidiana. De m anera que los espacios de Hilbert generalizan los espacios euclidianos R", los cuales, a su vez son espacios de Banach. E je m p lo 6: C es un espacio de Hilbert, ya que dispone del producto escalar canónico. E je m p lo 7: £2 y L 2 son espacios de Hilbert. Un espacio de Hilbert es, pues, un espacio de Banach particular cuya norma se puede definir a partir de un producto escalar hermítico. E je m p lo 8: En la teoi ía cuántica se usan diversos espacios funcionales que son con juntos topológicos cuyos elementos son funciones, con valores en el espacio métrico de los números complejos; en particular, en la mecánica cuántica el espacio Ti de las funciones de onda (o estados) es un espacio funcional de Hilbert, y a la vez es subespacio de L 2, ya que a las funciones de onda de H se les restringe al exigir que sean finitas, uniformes, continuas y con derivadas continuas en las regiones de empalme. E je rc icio : Demuestre que si xo es un elemento de un espacio de Hilbert E , entonces el producto hermítico (x|xo) es una forma lineal continua sobre E. Como hemos visto, los espacios de Hilbert generalizan los espacios euclidianos, minkowskianos y hermitianos. Por consiguiente muchas de las propiedades de los espacios hermitianos son válidas para los espacios de Hilbert. En particular, en los espacios de Hilbert (que no son de dimensión infinita) existen bases ortonormales, se cumplen, el teorema de Pitágoras, las desigualdades de Schwarz, de Minkowski, y de Bessel; la igualdad de Parseval, y el proceso de ortonormalización de Schmidt. Además, en los espacios de Hilbert se definen operadores lineales, operadores y matrices adjuntas, hermíticas y unitarias y existe el grupo unitario. O pera el proceso de diagonalización de todo operador y matriz hermítica. Se dem uestra el teorema espectral y el teorema de descomposición espectral. Finalmente, se definen series de Fourier e integrales de Fourier en espacios de Hilbert, lo mismo que grupos de invariancia o simetrías.
8
.8.
P ro b le m a s
1) Demuestre que en un espacio hermítico real el operador adjunto (o adjunto hermítico o conjugado hermítico) es el traspuesto, y todo operador hermítico es simétrico (ambos son autoadjuntos). 2) Verifique que un espacio hermítico se transforma en espacio euclidiano si cam biamos el cuerpo de base por R. 3) P ruebe que A B es hermítica si [A, B] = 0. 4) Sea E un espacio hermítico. Partiendo de las expresiones 0 < / ( Az + fxy, Xx + Hy) =
A =
1
1- i ^ —2i
1 +
i
\
4
2 - 3t
2 + 3¿
7
j
13) Consideremos sobre C3 los operadores u¡ y u? definidos por u i( z , y, z) = (z - (1 + ¿)y, (1 + 2¿)x - ¿z),2¿x + (2 - 3t)y + 3z), U2 (z, y, z) = (2¿x + (1 + 2i)y, z - (1 - t)z, (2 + 3i)y —2tz) Calcule los adjuntos u \ y u\.
14) Encuentre una m atriz unitaria cuya prim era fila f i sea un múltiplo de (1 ,1 —i). 15) Calcule una m atriz unitaria cuya prim era fila sea
16) Sean dos números complejos a y 6, A una m atriz fila de orden ( l ,n ) cuyos elementos son iguales a a, y B una m atriz columna de orden (n, 1) cuyos elementos son iguales a b. Encuentre los autovalores de AB . 17) Tomemos E = C([—1,1], R) con el producto interno
Sea F el subespacio de las funciones impares, es decir las funciones que satis facen / ( —x) = —f ( x ) . Halle F x . 18) Dadas las m atrices
m ostrar que existe una m atriz unitaria U tal que R y S son semejantes o congruentes, es decir, S = U^RU. Calcule U. 19) P ruebe que el operador U t es unitario si lo es U. 20) M uestre que el producto de matrices unitarias es unitario. 21) Verifique que si T es un operador unitario, y = T ( x ) implica x = T f(y). 22) ¿Es ortogonal una m atriz real unitaria? 23) ¿Es un itaria una m atriz compleja ortogonal? 24) Analice y compare la m atriz (uy) escrita en la sección 9.8 con la m atriz del problem a 2 del Capítulo 1.
(Ay)
25) Com pruebe que si A y B son m atrices sim étricas, las raíces características de A B son reales. 26) P ruebe que si A y B son m atrices sim étricas, las raíces características de [A, B ] son imaginarias puras.
27) Sea la aplicación de C 2 en C 2 definida por / ( ( * l . * 2 ) , ( W | , W 2 ) ) = ZlíÜT + (1 - l - i j z ! ^ -I- (1 - t)z2tÜT + 3 z 2tZ^.
a) Com pruebe que / es un producto escalar o interno en C2; es decir, que / es una forma herm ítica positiva no degenerada. b) Calcule |( 1 —2i, 2 + 3 i)| con respecto a / y al producto escalar canónico. 28) Un operador u se llam a normal si conm uta con su adjunto u \ es decir, si tiu* = u^u, lo que equivale a decir que el conm utador de u y ti* es cero: [u ,tif] = 0. Consideremos un operador u normal sobre un espacio hermítico. a) Demuestre que u(x) = 0 ·*=> u*(x) = 0 b) Muestre que (u — Ai y = u* — XI c) Pruebe que el operador de la diagonalización (u —XI) es normal. d) Com pruebe que cualquier vector propio de u tam bién lo es de u*. 29) Sea un operador ti sobre un espacio hermítico E. Demuestre que las siguientes tres propiedades son equivalentes. a) u = v 2 para algún operador hermítico u (v = +\fü). b) u = uflw para algún operador tu. (Se dice entonces que u es positivo). c) ti es hermítico y (ti(x )|x ) > 0 Vx 6 E. Esto da las diferentes definiciones de operador positivo. Por o tra parte, muestre que el operador v definido por tí(xj) = \A 7xj (i = 1 , 2 , . . . , n), es positivo y es el único operador positivo tal que v 2 = ti; v se llama la raíz cuadrada positiva de u. 30) Sea un operador u sobre un espacio hermítico E. Pruebe que las siguientes condiciones son equivalentes. a) u = v 2 para algún operador hermítico v no singular (detv 4= 0) b) u = vflw para algún operador w no singular (se dice entonces que u es un operador definido positivo). c) ti es hermítico y (u (x )|x ) > 0 V(x =)= 0) 6 E. Esto da las diferentes definiciones de operador definido positivo. 31) Un operador B se llama antihermítico o antiautoadjunto si fí* = —B. Pruebe que cualquier operador C es la suma de un operador autoadjunto (o hermítico) y de un operador antiautoadjunto o antihermítico.
32) Consideremos el producto escalar < P ,|P 2) =
í P ,(x )P 2( x ) d x Jo
en
R[X]
y el operador D de derivación sobre R [X ], D (P ) = P' Pruebe que D no tiene adjunto £>f . Es decir, no existe D f tal que < D »(P ,)|P 2> =
V P|, P 2 e R[X].
Com pare esto con el problema 23 del capítulo 1. 33)
a) Compruebe que la m atriz M =· I
) es normal. i
2
b) Calcule una m atriz unitaria U tal que M sea equivalente unitariam ente a una m atriz D diagonal, es decir, W M U = D. c) Pruebe que si u es normal, entonces u y u* tienen el mismo núcleo y la misma imagen. d) Demuestre que los operadores hermíticos, antiherm íticos, unitarios, y antiunitarios (ortogonales) son normales. e) Muestre que si u es normal y si [u,v] = 0, entonces [u,u*] = 0. 34)
a) Verifique que si u es un operador normal sobre un espacio E hermítico, entonces ¡|u (x )|| = ¡ m^ 1 )! Vx 6 £ , y recíprocamente. b) Deduzca que si [u, v] = 0 y esos operadores son normales, entonces u + v y un son tam bién normales.
35) Demuestre que si u y v son dos operadores normales sobre un espacio E hermítico, entonces existe una base ortonorm al de E formada por vectores propios de u y v. En otras palabras, u y v se pueden diagonalizar sim ultánea mente. Enuncie convenientemente el recíproco y demuéstrelo. E ste teorem a es muy im portante en mecánica cuántica. 36) M uestre que la sum a de dos operadores positivos (definidos positivos) es po sitiva. 37) Pruebe que si un operador es positivo y unitario, entonces ese operador es la identidad. 38) P ruebe que los valores propios de un operador unitario tienen módulo unidad. 39) Considérese un espacio hermítico E con un operador u y una aplicación / : E 2 — > K definida por f { x , y ) = (u(x)|y>. Pruebe que / es un producto escalar sobre E cuando, y sólo cuando, u es definido positivo.
40) Consideremos un operador u normal en un espacio hermítico. a) Deduzca que existe un polinomio P e C [X ], tal que u* = P(u). b) Si u es, además, nulpotente, muestre que u es el operador nulo. c) Com pruebe que una condición necesaria y suficiente para que u sea normal es que pueda descomponerse de la siguiente forma: u = ni + iui, donde u¡ y u 2 son operadores hermíticos que conmutan. d) Usando el teorem a de descomposición espectral, pruebe que u es hermíti co, unitario o positivo según todos sus autovalores sean reales, de módulo uno o positivos. 41) Sean los operadores A y B los cuales conm utan. Pruebe las siguientes rela ciones: a) [ X ,B n] = n B n- l [A ,S]. b) [ /P .B ] = n A n~ 1 [A,B]. c) Si f ( x ) es analítica, A = x y B = p = —tñV , entonces
d) eAe B = e^+ s+ il*.® ) e) eAeB = eA+B. 42) U na m atriz M = (A/y) real o compleja cuadrada de orden n, se dice positiva, si M , considerada como un operador lineal sobre K n, es positivo. De m anera análoga, se define lo que es una matriz definida positiva. a) Justifique esas dos definiciones de m atriz positiva y de m atriz definida positiva. b) Verifique que una m atriz M es positiva si, y sólo si, M es hermítica ( M u - Mji) y M ijX ii j > 0 para todo ( * i , i a , . . . , i B) en K . c) Com pruebe que una m atriz M es definida positiva si, y sólo si, Ai es autoadjunta (o hermítica, Aíf = M ) y '£1MijXÍXj > 0 V(x\,x-i........*n) 6 K n. 43) Demuestre que para que una m atriz M = necesario y suficiente que: i) M sea hermítica.
ii) a, d y (ad — be) sean números reales no negativos. 44) Dadas las siguientes matrices, determine cuáles s o n positivas y definidas po sitivas:
í m
45) Pruebe que una condición necesaria y suficiente p a r a que una matriz diagonal sea positiva (definida positiva), es que las com ponents de la diagonal sean números no negativos (positivos). 46) Una matriz compleja hermítica (respectivamente, real simétrica) de orden n es positiva si en una base de nE complejo (respectivam ente real) está asociada a una forma hermítica (respectivamente bilineal sim étrica) positiva.
m
a) Si A 6 M n(C), pruebe que A* A es una m a triz hermítica positiva. Estudie los valores propios de A M . b) Recíprocamente, pruebe que si H es una m atriz hermítica positiva, en tonces, existe una m atriz compleja A tal q u e H =& A*A.
m
c) Estudie las preguntas a) y b) para una m atriz S real, simétrica positiva. 47) Sea la matriz H = í
\ l + i
3
)
). Verifique que existe una sola matriz
n
hermítica positiva A tal que H = A 2. Calcule A (use el problema precedente).
n
48) Si H es una matriz hermítica positiva, pruebe q u e entonces existe una matriz hermítica positiva única A tal que H = A 2. Note que [//, A] — 0. Se dice que A es la raíz cuadrada positiva de H y se escribe A = \ f H . 49) U na matriz compleja A es normal si, y sólo si, [A, A f] = 0.
u
a) Si dos matrices A y B son normales y conm utan ([A, B] = 0) pruebe que existe una matriz U unitaria tal que U ~ lA U y U ~ lB U son diagonales.
u
b) Tomemos < x|y> = £ 1 ' ^ con x = {xu x2, ■ ■ ■ ,Xn) y y = ( y i , y 2 , • • • , y n ) e Cn . Compruebe que A es normal, si y sólo si A y A* tienen los mismos autovectores y sus autovalores son conjugados.
m
50) Consideremos un espacio hermítico E y sobre él un operador / . Pruebe que las siguientes aserciones son equivalentes:
a) / es normal. b) / =
/1
c) Si
6 E y A 6 C es un vector y un valor propio de / , entonces f*(x) = Ai.
1
+ */ 2 , donde
y
/1
/2
son hermíticos y [ / 1 , / 2 ] = 0.
d) Todo subespacio invariante por / lo es también por / (. e) / = vu, donde ti es no negativo, u unitario y [u,v] = 0. f) / =
2 2 .1
A<£«, donde £ * =1 £¿ = / , £ , £ , = 0 si i * j y £ 2= £y= £ j.
51) Pruebe las siguientes relaciones: / d \t _ \d i/
d d i’
/ d2 \ t v d i 2/
_ d2 d i2'
/. d \ t V d i/
_ .d di
52) Pruebe las siguientes relaciones entre operadores: d2 ( d \ d i 2 V dyJ
d3 n d2 + 2 Idxdy dx2dy dV
h ) x (
d
C°n V(X'V'Z)·
,
C) dí-I = Idí+1· d) [ ¿ ■*·*£]- 1· e) [¿ + 1- ¿ _1] = °· 53) Sea el espacio funcional £ = C([0,1],C) con el producto hermítico j(interno o escalar) < /ls > = í f{x )g{x )dx , Jo tomemos las sucesiones de £ definidas así: / „ ( i ) = \/2 cos27rni
y
gn (x) = -v/2 sen27rni.
a) Pruebe que (1, / 1 , g\, / 2 , 9 2 , · · ·} es un conjunto infinito ortonormal. b) Demuestre que existe otro conjunto infinito ortonormal formado por las sucesiones de funciones {hn}, definidas por hn(x) = e27tmi n e Z.
c) Establezca las siguientes desigualdades: ¿
I f H x ) e - ^ ' k l d x \2 tí f ‘ \f ( x ) \ 2 dx,
J ' l ¿ Ck e2*i k l ( d x = ¿ |C*|2, Jo 't r r n 1 kt t n
í ( \Í2 cos27ri + \¡2 sen2jri)2dx = 1 + 1 = 2 . Jo 54) Sea un espacio de Hermite H con una base ortonorm al (ei). Muestre que los elementos de la matriz A ,} de un operador lineal ti sobre H , en esa base, se pueden calcular así: A n = (fii\Aei) = ¿En qué casos se obtendrá Aij = (.Aei|e¿)? 55) Se dan los operadores (h = constante, t = \ / —T): Li = L t = - i h [ y j - - * 1 ] ,
¿3
= £-: = —
L2 = L y = - t A [ z ¿ - , 1 ] ,
— y ^ -l|
i oy
con
oi J
p = —t/iV,
a) Calcule el conmutador [£ x, L y]. b) Sea el operador, llamado hamiltoniano, „
ñ2 r <92 i 2 ^ [ á s 2 + ay2 + ^ 2] +
Calcule [ 1 , , / f ] ,
con
( l ,í / ,2 ) ·
V ( x , y , z ) = V(\r\).
c) Demuestre que [Ly, Z,*] = ti« , con j, k , ¿ = 1 ,2,3. d) Pruebe que [L>,Pj] = 0, y que [L,,p*] = ipt e) Muestre que r
n / - .i
A5F y
f) Deduzca que
. _ 5G [l<' G { p l l = p x ^ :
L = rxp
56) Sea la transformación lineal |i/i> — ► |i//) = B\tp} que conserva el bracket |(0'|i/;')|2 = |( 0 |^ ) |2 = invariante. a) Demuestre que esta relación tiene dos soluciones: i) B = U, donde U es un operador unitario. ii) B = A, donde A es un operador antiunitario, es decir: A es unitario y antilineal. b) Pruebe que de ü ) se obtiene la solución deduzca que forzosamente A es antilineal y unitario.
= (ip\
57) Halle el adjunto o hermítico conjugado de a) El operador ÁB\ii)(y\C. b) El ket ,4fl|uXv|C|t¿>). c) Del escalar (£|Á fi|uX u|C |ui). 58)
a) Demuestre la siguiente afirmación: Sea „ £ u n espacio euclidiano, la trans formación E e y — ► |y) e E * , donde la forma lineal |x) está definida por x —* (x |y ), es un isomorfismo canónico (natural, sin que sea indispensable usar base alguna de E para definirlo) de E en E * (E = E*). b) Este isomorfismo particular, distinguido o privilegiado (únicamente de pende de la estructura de espacio vectorial) sólo es posible por la existen cia del producto escalar ( | ). Si no fuese por eso, el isomorfismo e¡ —* e' no sería preferente y sí dependería fuertemente de la base. Pruebe que si nE tiene la base (e¡) y la dual (e‘), existe un isomorfismo único (no natural) entre E y E * . Construya el nuevo isomorfismo asociado a la base (ei + e2, e 3, . . . , e n).
59) Veamos la contraparte compleja del problema anterior en el caso real. Sea un espacio n E hermítico, E* su dual y E su antidual. a) Pruebe que / está en el dual E *, entonces / es un elemento del antidual E , y recíprocamente: si / es una forma antilineal, entonces / es una forma lineal. b) Compruebe que la aplicación
d) Sustente por qué en el caso de 4> C-lineal, el isomorfismo depende esen cialmente de la base, de manera que no existe un isomorfismo canónico entre E, E* y E * . e) Demuestre que la aplicación |y> que envía x en (x |y) es una forma Clineal sobre E , con |y) e E * . f) Deduzca que la aplicación y —> |y) es una aplicación biyectiva antilineal de E en £ * ; se dice que E y E* son anti-isomorfos. g) Pruebe que la aplicación (x| que m anda y en (x|y> es una forma antilineal sobre E, (x | e E *. h) Halle que la correspondencia x —*
. f) Muestre que V'(A)-1- es estable por u y u*. g) Pruebe a partir de los resultados anteriores, que para todo operador normal de nE existen bases ortonormales propias. (Lo mismo sucede si u es hermítico, y también vale si u es unitario). h) Si u y v son normales y conmutan, muestre que su producto es normal. / o 62) D ada la matriz M
-i/ 0
y -n x
l··u \ , con A, /i, i/ e C. Determine en -A
o qué casos M es hermítica, antihermítica y unitaria.
crj =
J f[r)g{r)dr =
Í9,
donde r — (x , y , z). Se dan los operadores A ( r ) , f y px = —ih j¿ = pi. a) Pruebe que \px , A (r)] = —i h dA^
.
b) Calcule \px ,p y], [r¡, r fc] y [pj t pk] con j , k = 1,2,3. c) Compruebe que [rj,pk] = ihójkd) Demuestre que pi es un operador hermítico si f ( r ) f ( r ) se anula en el infinito. Es decir, pruebe que (p,/| ±oo, «Im perador ((h /i)(d /d x ) ) n + 1 no es necesariamente hermítico. 64) Con la notación del problema precedente, demuestre por integración por par tes que (¿Pi)* = pxx. Se considera que el operador x significa sencillamente multiplicar por x. 65) Dado un operador arbitrario B, a) Verifique que el operador H = BJf2B'· es hermítico o autoadjunto. b) Compruebe que el operador A = a ~ flT es antihermítico o antiautoadjunto. c) Demuestre que B se puede descomponer en sus partes hermítica y antihermítica: B = H + iA. Así todo operador admite esta descomposición única. 66) Pruebe que el operador i = V —T es antihermítico. 67) Demuestre que el operador i(B — B t) es hermítico, donde B es cualquier operador.
68) Pruebe el siguiente teorema: el conm utador de dos operadores hermíticos es antiherm ítico. ¿Qué puede hacer para que dicho conm utador sea hermítico? 69) Demuestre la siguiente afirmación: Si el valor medio,
m
| = | W
,
de un operador hermítico es cero para un ket arbitrario i¡j , entonces Hip es idénticamente cero para todo ip y H = 0. 70) Consideremos el conjunto 12 de las sucesiones x = (xn ), n e N tales £ « = o lz " l2 es convergente. a) Establezca que
(2
que
es un espacio vectorial complejo.
b) Deduzca que la aplicación / de í 2 x en € dada por /( x , y) = es una forma herm ítica positiva no degenerada.
xnj/„,
c) M uestre que i 2 es un espacio de Hilbert. d) Sí tom amos la sucesión a = (an) e E tal que |a n | í X, cualquiera que sea n e N, y la aplicación u„, de E en E , definida por ua(x) = (anx„), pruebe que u a es un operador lineal de ¿2 . e) Halle u£, ¿Cuándo se cumple u£ = 71) P ruebe que una condición necesaria para que dos operadores sean diagonalizables sim ultáneamente sobre la misma autobase es que conmuten. Se dice que los operadores son compatibles o que forman un conjunto completo de observables que conm utan (c.c.o.c.). ¿Se cumple la recíproca? 72) Establezca las siguientes fórmulas para el conm utador de operadores A , B , C : a) [A ,B ] + [B,A] = 0. b)
[A ,B + C ]
= [A,B] + [A,C],
c) [A + B ,C ]
= [A ,C] + [B,C].
d) [A B ,C ] = [A ,C ]B + A[B ,C ]. e) [A, (B, C]]
+ [C, [A, B]] + [B, [C,
A]]= 0.
73) P ruebe que un operador u, sobre un espacio de Hermite, es hermítico si, y sólo si, (u (x )|x ) es real para todo x del espacio. 74) Tomemos el espacio M n (C) con el producto herm ítico (A |B ) = T r ( A B ' ) . Consideremos una m atriz inversible P e M „(C ), y el operador u p de M n(C) definido así: A ~ u p (A) = P ~ l AP.
a) Calcule u j,. b) Si u p es definido por u p (A) = P A , deduzca que tij, = u " 1 <=> P f = P - 1 . 75) Demuestre que la m atriz escalar A 6 M ixi(C ) es unitaria cuando, y sólo cuando, AA = 1 (|A | = 1), que en tal caso existe 6 e R tal que A = e'°. 76) Encuentre una m atriz unitaria que no sea ortogonal y una m atriz ortogonal que no sea unitaria. 77) Consideremos el espacio vectorial real C r y el operador x —* u y(x) = y x para cada y e C r. a) ¿P ara qué números complejos y, es u y hermítico, unitario y positivo? b) M uestre que tí* = t»r· 78) En M2(C) consideremos las siguientes matrices, llamadas de Pauli:
a) Calcule: \
o yo z.
b) Pruebe que las matrices dadas son hermíticas, unitarias y unimodulares
(su2). c) Cadcule el anticonm utador de las matrices a. 79)
a)
Verifique que todas las matrices del grupo S Í/2(C) tienen la forma
M = ( -i a ) = donde a y b son dos números complejos ligados por la relación aa+bb = 1. b) De lo anterior concluya que existen tres parám etros reales a , 0, <¡>, lla mados parám etros de Klein, tales que en función de ellos se tiene (
e'a eos tf>
y —e
10
e ' 13 sen
sen
c) Calcule det M(a,0,
e) Muestre que los valores propios de M son e‘° y e lU con eos 6 = eos a eos
j. k
82) Sea E un espacio hermítico con un operador unitario u tal que u(x) = x implica que x = 0. Consideremos /( z ) = i( l + z )(l - z)-1
( z 4= 1).
Pruebe las siguientes afirmaciones: a) / ( u ) = ¿(1 + u ) ( l - u ) “ 1;
b) / ( u) es hermítico; c) P ara todo operador hermítico v sobre E, el operador u = ( v —i l ) ( v + i l ) ~ l es unitario y tal que v = f( u ). 83) Consideremos un operador u lineal, unitario y positivo sobre un espacio E de Hermite. M uestre que u = id.E = I. 84) Sea un operador u representado en la base canónica por la m atriz sobre el espacio de Hermite C 2. Se supone que el producto hermítico es el canónico. Pruebe que u es normal y halle una autobase ortogonal de u. 85) Un operador P se llam a proyector si es un endomorfismo sobre un espacio vectorial nE y que cumple: P 2 = P (P es idempotente) a) Verifique que la relación de completez define un proyector. b) M uestre que P es un proyector cuando, y sólo cuando, id s — P es un proyector. c) Establezca las relaciones que hay entre las imágenes y los núcleos de P y de i d e — P. d) Demuestre que si P es un proyector, entonces, E = I m ( P ) (B K er(P ).
e) Calcule el espectro de P sobre nE complejo. f) Pruebe que P = P* equivale a [P, P f] = 0. 86)
a) Deduzca que un proyector P perm uta con todos los endomorfismos / , tales que /m ( P ) y K e r ( P ) sean estables por / . b) Si P 1 y P2 son dos proyectores, encuentre la condición necesaria y sufi ciente para que Pi + P2 sea un proyector. c) Encuentre todas las matrices P de M2(R) tales que P 2 = P .
87) Sea / un operador sobre E de cuerpo K conm utativo de característica nula. Un operador / es idempotente cuando / 2 = ids- Encuentre que / es idempotente si, y sólo si, ( / + i d s ) / 2 es un proyector. 88)
a) Considérese el operador / sobre E de dimensión finita sobre K conmu tativo. Deduzca que E = Im (f) © K er(f) ^
I m ( f ) = 7 m ( /2).
b) Exhiba un ejemplo de un operador / de R2 que cumpla con cualquiera de las dos condiciones equivalentes enunciadas en a), pero que no sea un proyector. 89) Un operador / se llama nulpotente si f 2 = 0 (¡/ 0!). En general, un operador f es nulpotente de índice p, si existe un p > 1 tal que / p_1 ;* 0 y f p = 0. La m isma definición vale para una matriz. a) Tomemos dim E = n. Pruebe que una condición necesaria y suficiente para que K e r f = I m f es que / sea nulpotente, / ^ 0, n par y rg ( / ) = n/2. b) Calcule el espectro de / nulpotente de índice p sobre nE complejo. Es tudie el caso p = 2. 90) Calcule el espectro de un operador / sobre n E complejo, tal que existe k e que verifica f k = id s , f k~ l + Estudie el caso k = 2. 91)
N
a) Deduzca que si / es un operador nulpotente sobre E k y existe A e K y x 4= 0 de E, tales que f ( x ) = Xx, entonces A = 0. b) M uestre que si / es nulpotente de índice p, y z es tal que / p_1(z) 4= 0, entonces los vectores z = /° ( z ) ·
/* (* ).
son linealmente independientes.
c) Demuestre que / es nulpotente de índice p si, y sólo si, existe una base (e¿) de E tal que la m atriz M = M ( f , (e¡)) = (A/y) tiene los elementos M i j nulos, salvo A / ¡ + i ¿ — 1 para 1 < i ^ ( n — 1 ). 92) Si M es una matriz nulpotente de índice p de M n(k) pruebe que, I n - M es inversible y que (/„ - M ) ~ l = /„ + M + M 2 + . .. + Ai'’" 1. 93) Consideremos el espacio real C ([0,1],R ) con la función N definida así: / _
/ / ( / ) = [J f \ x ) d x ] U\
Demuestre que, cualesquiera que sean / i , / 2 , Si,
97
£ E, tenemos
| | Ql /,(x)/a(x)pi(x)ff2(*) dx\ tí N U l ) N ( h ) N ( g l ) N ( g 2). Deduzca que E es un espacio normado por N . 94) Sea un espacio de Hilbert E con el producto =
\7 g .
Demuestre que las siguientes 4 propiedades son equivalentes: a) A es un operador hermítico de E. b) ( f \ A g ) = ( A f \ g ) . c) ] ( A f ) g = \ f ■ A(g). d) < j \ m = a m ó · Pruebe además que si A es hermítico entonces
x<|et>
c) Deduzca que ¿
1=1
K X e i| - ¿
|* X * |·
(1 )
i'=l
A
E sta relación se llam a relación de complétez. Compárela con la relación de ortonorm alidad: (2 )
d) Escriba las relaciones (1) y (2) de c) en forma matricial y explique sus diferencias. e) Pruebe que la componente ij de un operador u sobre E es (u(e¿)|ej) y compruebe que
Aí(u, (e¡)) =
(
< * (e „ )h > \
...
f) Compruebe que M ( u ( ei))' = ( < ) = !
(enlM e])) \
\
...
J
Sea nE un espacio hermítico de dimensión finita con su producto escalar hermítico < | ). a) Justifique que cada elemento i e E determ ina una aplicación f z defini d a por i
<(>{x) = f x : y ~ fx{y) = < y|i>.
b) Pruebe que f z es una forma lineal sobre n E. c) Compruebe que
97) Dadas las siguientes formas lineales / de E en K: i)
/1
: R3 —* R,
ix)
/2
: C 3 -* C, / 2(x, y, z) = ix + (2 + 3¿)y + (1 - 2¿)z
/1 ( 1
, y, z) = x + 2y —3z.
a) Hallar un vector único x del espacio de salida para todo y e E.
E tal
. que f ( y ) = (y |x )
b) Dado A'[R] de grado $ 2, con su base (1 = X 0, X l , X 2), y con el pro ducto interno
(P.,P2) -
Calcular con el proceso de ortonormalización de G ram -Schm idt una base ortonormal (e i(X ), e2(X ), e 3 (X )). c) D ada la forma /3: A[R] -» R definida por f 3 (P) = P ( 1), calcule el vector P, polinomio de la pregunta a), en la base ortonorm al hallada en b). 98) Sea R[X] el espacio vectorial de los polinomios con una indeterm inada X , sobre R, con el producto hermítico
(Pl\P2>= f A (x )ft(x ) dx.
Jo
a) Pruebe que R[X ] es un espacio de Hilbert de dimensión infinita. b) Compruebe que la aplicación / definida por P —» f( p ) = P ( 0)esuna forma lineal sobre R[X ] que envía P en un término constante. c) Justifique por qué siempre / + 0* y calcule } { X P ) . d) Supongamos que existe un polinomio Q tal que f ( P ) = P (0) =
V P eR [X ], VP, y ¡XQH = 0.
e) Deduzca que Q = 0 y / = 0* VP. f) De todo lo anterior infiera que hemos demostrado, por reducción al ab surdo, el siguiente teorema: D ada una forma lineal / sobre un espacio ooH de Hilbert (de dimensióm infinita), no existe un vector x e X H tal que /( y ) =
a) Interprete y justifique (piense en la traspuesta) el siguiente diagrama: u nE* = nE
u(x)
X
nE = J E *
b) Pruebe que la aplicación g definida por x >-» g(x) = x*[u(x)], es una forma lineal.
x* e E * ,
c) Teniendo en cuenta las formas lineales x* y g sobre nE dadas, y con ayuda del literal / ) , demuestre que existen dos vectores y y y' tales que x*[u(x)] =
Vx e E.
d) Si definimos el operador u t de E en E por u*(y) = y', demuestre el siguiente teorema: dado un operador lineal u sobre un espacio hermítico nE, existe un operador lineal único u*, llamado el operador adjunto de u, sobre E tal que
Vx, y e E.
es un operador lineal.
f) Del diagram a deduzca que ¿) u^(x’ ) = x* ou; ¿j) u f(x*)(y) = (x* ou)(y); m )
100) Calcule los operadores adjuntos de la identidad y del operador nulo. 101) Demuestre que si un subespacio F de un espacio hermítico E es invariante por un operador u, a) lineal, b) unitario, c) ortogonal, entonces F x es invariante: por u * en el caso a), por u en los casos b) y c). 102) Considerando los vectores filas ( /i) y los vectores columnas (c,) de una matriz M , pruebe que, en cuanto a las componentes ij , se tiene = ( / í|/,) y (M t A /)y =
103) Demuestre que toda m atriz ortogonal M de orden 2, unimodular, es de la
104) Pruebe que u f u = 0 ==> u = 0. 105) Consideremos el grupo unim odular (o de la relatividad especial) S L ( 2,C ) de matrices M unimodulares, complejas 2 x 2 , con det M = 1. a) Demuestre las siguientes afirmaciones: t) Si T r(A Í) 4= 2 y T r ( M ) + —2, entonces 3P 6 S L (2,C ) tal que
ii) Si Μ
Φ ¡i ó Μ
φ ~ h y si T r ( M ) = 2 o T r ( M ) = - 2 , entonces, 3P e
b) Sean las matrices de la forma
t) Pruebe que U es unitaria y que U e S U ( 2,C ). ii) Deduzca U , usando el hecho que la matriz es unitaria. c) Sea el conjunto T de matrices de la forma c = 0 y con a y d números reales estrictam ente positivos. i) Verifique que S U ( 2,C ) y T son subgrupos de SL(2,C ).
it) Pruebe que todo elemento de S L ( 2,C ) se expresa de manera única bajo la forma U S con U e S U ( 2,C) y S e T. 106) Sea un espacio hermítico en donde se define la longitud de un vector, en función del producto escalar, como noción fundamental: |x| = y ( x |x ) . Se pueden invertir los papeles y considerar como fundamental la longitud de la cual derivaría el producto escalar. Pruebe entonces que
d) Pongamos y = x — z 4= 0> de manera que (yP) = 0 para cualquier P. Evalúe en ese caso la integral í y( x )P ( x ) Q ( x ) dx.
Jo
e) Calcule de nuevo la
integral para P = yQ.
f) Deduzca que Q = 0
e infiera que Q no existe.
g) Reflexione sobre este problema y halle conclusiones importantes. h) Estudie el caso en que / sea una combinación linead de evaluaciones puntuales, es decir que se eligen n números complejos z i .......... z„ y n escalares Ai, . . . , An y se pone
R epita el razonamiento anterior con y = (x — z i ) . . . (x —z„) y demuestre que no existe Q tal que f ( P ) = ( P |Q ), a menos que Aj = A2 = . . . = A„ = 0 . 108) Consideremos el espacio vectorial AInx i(C) de las matrices complejas de n filas y una columna con el producto hermítico = B ' A . Si M e M n (C), dem uestre que el adjunto del operador A -» Ai A es el operador A - MM. 109) Consideremos A/„(C) con el producto hermítico (<4|B) = T r(B * A). Se llama multiplicación a la izquierda por AI e A'/„(C) al operador lineal f M definido por f M(A) = Al A. Pruebe que el adjunto de la multiplicación a la izquierda por AI es la multiplicación a la izquierda por A
= f T es la multiplica
b) Interprete operativam ente el polinomio P. 111) Se sabe que todo operador, en un espacio vectorial E complejo de dimensión finita con producto hermítico (interno), tiene un operador adjunto en E. En el caso de dimensión infinita, esto no siempre es cierto. El problem a anterior en C [X ], de dimensión infinita, m uestra que el adjunto existe, aunque en general no existe. Veamos un ejemplo. Sea C[X ] con el producto hermítico anterior y el operador lineal de derivación D en C [X ]. Después de integrar por partes se obtiene:
112) Consideremos en el espacio hermitico C3, un operador u representado, en la base canónica ordenada, por la m atriz Ajk = (i2 = —1). Encuentre una base para K e r (u f) (el espacio nulo de u*). 113) Dado un espacio hermitico £ y un subespacio F. a) b)
Deduzca que E = F © F 1·. Demuestre que el siguiente operador u definido x e E , y e F y z e F 1 , es hermitico y unitario.
por u(x) =y —z, con
c) Si E es el espacio euclidiano R3 y F el subespacio generado por elvector (1 ,0 ,1 ), halle la m atriz de u en la base canónica ordenada. 114) Sean n E y „ F dos espacios de Hermite, con la misma dimensión, isomorfos por la transformación lineal T. a) Pruebe que la aplicación / — * T } T ~ l es un isomorfismo entre los espa cios L(E , E ) y L (F , F ). b) Com pruebe que T r ( T f T ~ l ) = T r ( / ) , V / 6 L { E ,E ). c) Verifique la relación ( T / T - 1 )* = T d) Si L (E , E) y L(F, F ) están equipados con el mismo producto hermítico < /|g ) = T r ( f g l ) , deduzca que, / — ► T / T _l es un isomorfismo de espacios de Hermite. 115) Si A , B y C son operadores de un espacio complejo, a) calcule [A, BC] y {-4, B C }. Por definición [A, B] = A B —B A y {A, B} = A B + BA. b) M uestre que ¿[A, B] y {A, B } son operadores hermíticos. 116) Dados un espacio de Hermite E y un operador autoadjunto u sobre E , pruebe las siguientes afirmaciones: a) ||x + ¿u(x)¡ = ||z —¿ u (z )||, b) x 4- tu(x) = y + iu(y)
Vx e E. x = y.
c) [ ± i u no es singular. 117) Sea E un espacio de Hermite con un operador u z ¡/ definido para cada (x,y) así: z »-► u x,v(z) =
d) Indique las condiciones en que T¡ y = Tr ,v. e) Demuestre que existe un producto escalar único en L{E\ E) tal que K J 2 = N ñ M I 2· Vx,y e E. f) Establezca un isomorfismo T entre L(E \ E), con el producto escalar men cionado en e), y M n(C) con el producto escalar ( A \ B ) = T r ( A B ' ) . g) M uestre para el isomorfismo T que T u z¡yT ~ l = Ut(i),T(v)· 118) Sean los operadores A y B. Pongamos eA = Y ^ =l ^ · Consideremos la función analítica /(A ) = eXAB e ~ XA. a) Pruebe que eAB e ~ A = B + [A ,B] + ± [A , [A, B]] + i [ A , [A, [A, B]]] + . .. b) Si [A ,B] = X B , muestre que eAB e ~ A = ex B. 119) Demuestre el siguiente teorem a espectral: Sea / un operador normal sobre un espacio hermítico o un operador autoadjunto sobre un espacio euclidiano E. Sean A i , . . . , A* los autovalores distintos de / . Sea Vj el espacio propio asociado a Xj y Ej la proyección ortogonal de E sobre Vj. a) Pruebe que, Vj es ortogonal a V¡ si i 4= jb) M uestre que E = Vi © . . . © V*. c) Verifique que / = A i£ i + . . . + AkEi<. E sta últim a fórmula se conoce con el nombre de descomposición espectral de / , o resolución espectral de / . La relación E i + . . . + E k = I se llama la descomposición de la identidad definida por / . 120) Sea en el espacio C ^ l.O jíK ’), donde K = R o C, el siguiente producto hermítico
-121) Consideremos el espacio hermítico C 2 con el producto hermítico canónico. Sean, sobre C2, los operadores u y v dados por u (ei) = (1,2)
u(e2) = ( i , - l ) ,
v(ej) = ( 1 + ¿,2) a) Calcule
i>(e2) = (i, 1).
)·
b) Halle la m atriz de uL c) Calcule [u ,« f]. 122) Sean nE un espacio hermítico con una base ortonorm al (e¿), y (t»x,. . . .v,,) un conjunto de n vectores de n E. Sean, además, la m atriz A = (a y ), con a,j = (viliij), 1 ^ t, j $ n, y h una forma sesquilineal de E 2 en C representada por la m atriz A en la base (e,). Demuestre las siguientes asersiones: a) A es hermítica. b) h ( x ,x ) ^ 0,
V i e E.
c) i e N <=> 'iy e E, h ( x ,y ) = 0, con N = {i e E \h ( x , x ) = 0}. 123) Sea un espacio de Hermite con ( f \ g ) = J fg . El valor medio o esperado de un operador A es, por definición (.4) = ( f \ A g } = J }A g . a) Demuestre que si A es hermítico, entonces (A ) es real. b) Interprete a <Á) si A 6 C. c) Deduzca que el operador A es autoadjunto si, y sólo si, A es real. 124) Sea nE un espacio hermítico con una aplicación u lineal de E en E antihermítica. Deduzca que u —i d s es inversible, y que si v = (u + id £ )( u + td £ ) -1 entonces |v ( x ) | = *, V i e E. 125) Considérese un espacio de Hermite con el producto hermítico < /|S > = 1 7(r)g(r) dr, Sea además, el operador pz =
r = (x, y, z). = P i■
a) Verifique que el operador p2 es igual a —/i2V 2. 2
b) M uestre que los operadores pf y hermíticos. (p2 = p2 + p2 + p2).
donde m es una constante, son
c) Demuestre que los operadores p? y ^ para f ( r ) = e ~ ^ h^p r .
conm utan y halle sus autovalores
126) Dé una condición necesaria y suficiente para que AA sea un operador hermítico, si A es autoadjunto y A 6 C. 127) Si A es hermítico, pruebe que i A es antihermítico. (i — V —T). 128) Si A es antihermítico deduzca que iA es hermítico. 129) Si A es hermítico, pruebe que e~ 'A es un operador unitario; y det e~iA = e - ' TrA. 130) Consideremos la matriz A de G L n (C) y la matriz hermítica A* A positiva. a) Demuestre que existen una matriz unitaria U y una m atriz hermítica H positiva con det H 4= 0, tales que A = U H (use la m atriz hermítica positiva B : A M = B 2). b) Calcule U v H para A =
(
2
\ 2 + 3i
i 1- i
131) Consideremos una matriz H compleja hermítica de orden n. a) Muestre que H — i l n es inversible y que U = (H + Hn){H — i l + n ) -1
es unitaria.
b) Calcule los autovalores de U y sus módulos en función de los
de H .
c) Verifique que U no tiene el autovalor 1 y que H = i(U + I n)(U — / n)-1 es hermítica. La fórmula precedente que liga U unitaria y H hermítica se llama Transformación de Cayley. 132) Consideremos el espacio vectorial E = C ([0,1]; R) dotado de la norma |¡/|| = So l / M I 1^1 · y una sucesión ( / n) de funciones reales definidas así / n(x) = 1 si
1 6
[0,1/2];
f n(x) = —n x + ^ + 1 si x e ] l / 2 , 1/2 + 1/n[; / n(x) = 0 si x e [1/2 + 1/n, 1] n 6 N, n ^ 3. a) Pruebe que (/„ ) es una sucesión de Cauchy respecto de la norma dada. b) Compruebe que /„ e E. Pruebe que dim E = oo.
c) M uestre que (/„ ) converge hacia una función / definida por: f ( x ) = 1 si z e [0,1/2] , / ( z ) = 0 si z e ] 1/2,1], d) Demuestre que } 4 E. e) Verifique que no toda sucesión de Cauchy de elementos de E converge hacia un elemento de E. (E no es completo, no es un espacio de Banach). 133) Consideremos dos operadores A y B conmutables de un espacio vectorial E sobre K conmutativo. a) Pruebe que todo subespacio propio de A es estable por B. b) Compruebe que si nE es un espacio de Hermite, entonces existe un vector propio z 4 0 común a A y a B. Debe razonar por inducción sobre n. 134) Sean A y B dos operadores conmutables de un espacio de Hermite. a) Muestre que si A y B son diagonalizables, entonces existe una misma base (ej) tal que las respectivas matrices de A y B , M (A ,(e¡)) y A/(fi,(e¿)), son diagonales. b) Demuestre que si A y B son reducibles a la forma triangular, entonces existe una misma base (e¡) tal que Ai (A, (e,)) y M ( B , (e¡)) son triangu lares. ¿t1135) Tomemos dos matrices H \ y H i hermíticas del mismo orden. Pruebe que las siguientes propiedades son equivalentes: a) H\ y H 2 permutan [ / f ^ J / j ] = 0. b) HiH? es hermítica. c) Existe una matriz unitaria U tal que U ~ l H \U gonales. (use el problema precedente)
y
U ~ l H 2 U son dia
136) Consideremos un espacio prehilbertiano E con un conjunto (£ 1 , . . . ,£p) de E tal que (£¡|£j) = Jy , 1 $ i , j < p. A todo vector z e E se le asocian los escalares yt =
137) Se d a la matriz
M 9·
con A1,A2,A 3 ,A 4 e C, y los vectores X = ( 1 1 , 2:2 ) y Y = (l/i»1/2 ) de C2. Considere la aplicación / , de C 2 x C 2 en C dada p o r / J(A’,K ) = (ziX 2 ) S ^ | i Si deí S = 1 y Ai > 0, muestre que f¡ es una forma hermítica positiva no degenerada. 138) Sea / una forma hermítica positiva sobre el espacio E complejo. a) Verifique que la desigualdad de Schwarz se transform a en igualdad si los vectores z y y que figuran en ella son linealmente dependientes. b) Escribamos el número complejo / ( z , y) en la forma exponencial / ( z , y) = |/ ( z , y)|e‘9, donde 9 es uno de sus argumentos. Si r es un número real arbitrario, muestre que / ( x + r e ‘#y ,z + re. ' 9 y) = / ( z , z ) + 2 r |/ ( z , y)| + r 2/( y , y). c) Utilice esta últim a relación para probar la desigualdad de Schwarz cuando / es no degenerada. d) Pruebe que si la desigualdad de Schwarz es una igualdad, con / no de generada, entonces z y y son linealmente dependientes.
A plicaciones a la m a te m á tic a y a la física En este capítulo intentamos dar una serie de aplicaciones complementarias del con tenido del curso, las cuales irán dirigidas hacia la m atem ática y la física. En con creto, aplicaremos los conceptos de forméis diferenciales exteriores (o diferenciales inexactas como la llaman los físicos), producto exterior y derivada exterior; también aplicaremos la noción de tensor, los productos tensoriales con contracción y la de rivación tensorial. Se trata, pues, de aplicaciones del álgebra y del análisis exterior y tensorial. Litó partes de la física que se beneficiarán son: la termodinámica, la electro dinámica y la teoría relativista de la gravitación de Einstein. Haremos alusión sola mente a la mecánica cuántica. A lo largo del curso se han dado numerosos ejemplos y algunos problemas sobre espacios euclidianos y minkowskianos, es decir, se ha tocado tangencialmente la mecánica clásica, la mecánica relativista especial y la mecánica cuántica. El objeto de este capítulo es dar, con más detalles, unas apli caciones modelos que perm itan al estudiante, avanzado y entusiasta, estimularse y ponerse en contacto con los métodos matemáticos aplicados a las grandes teorías físicas. Advertimos que este capítulo solo es un abrebocas para ulteriores estudios, con base en él se han diseñado programas universitarios más amplios orientados hacia las aplicaciones del álgebra multilineal a la física. Dichos programas en la actuali dad incluyern contenidos básicos como: la mecánica clásica, la mecánica relativista, la gravitación relativista, la electrodinámica cudridimensional y la termodinámica clásica.
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386 /Algebra rnultilineal
La parte de aplicación a la m atem ática se refiere al álgebra y al análisis vectorial y al enunciado del teorema de Stokes —no dem ostrado— que representa el objetivo, no confesado, del análisis matem ático. Con este capítulo se dem uestra la im portancia capital del álgebra rnultilineal en la elaboración de teorías físicas que den cuenta cabal, por medio de conceptos y síntesis abstractos, de toda la fenomenología que nos rodea. Así se realiza el isomorfismo, ya mencionado, entre el mundo del m atem ático, el mundo del físico y el mundo del fenomenólogo. Con esa triple correspondencia, los fenómenos se dejan tra ta r por medio de símbolos y conceptos abstractos que sirven de infraestructura a modelos físicos profundos y simplificados que idealizan el com portam iento de lo pasajero y de lo aparentem ente superficial.
9.1.
Á lgebra vectorial
9.1.1.
Producto vectorial
F... - ·
Ya vimos en el ejercicio 2 de la sección 5.10, que para dos I-forman u>i y u>2 en R3 definidas por
“ 2
= =
■4 ¡V. --
f i ( x , y , 2 )dx + g ¡(x,y, z)dy + h l { x , y , z ) d z f 2 { x , y , z ) d x + g 2 [ x ,y ,z ) d y + h 2 ( x , y , z ) d z
donde ( f i ( x , y , z ) , gi( x ,y , z ) ,h ¡ ( x , y ,z ) ) = ( f ¡ , g i , h i ) y ( f 2,g 2,h 2) son las componentes de los dos campos vectoriales Vj y V2, definidas en U c R3 p u ji a u »2 es una 2-forma en R3 dada por UJ\ A LJ2
—
g\
dy
dz +
a
g2 h 2 dy =
a
dz
dz
a
h
gi
h
gi
dx
/i
hi
h
h2
dx
a
hi h2
dx
a
dz +
/.
gi
fl
92
dx
a
dy
dy 6 A (R 3; í42(R 3)) . fe*·.
Analizando este último determ inante vemos que el campo de vectores asociado a la 2-forma ui\ a uj2 en R3 es el producto vectorial V\ a V2l es decir, el campo de vectores M >-» Vl (M ) a V2 {M). Por esta razón el producto vectorial y el producto exterior tienen el mismo símbolo; a . La asociación o síntesis unificadora entre “u>i m ultiplicada exteriorm ente por ui2" y “Vi multiplicado vectorialmente por V2" se ve de m anera impresionante si procedemos a usar las bases recíprocas (véase sección 1.9, ejemplo 14) y el hecho que R3 — R3* = R3**. Tenemos ei = f °, e 2 = J ° , e3 = k° y f 0 = dy a dz = dx,
·;
B
ya que dx =
j °
a
fc°/det(e)(i°, f ° , k°) = J °
k°. Y los otros vectores unitarios se
a
obtienen por perm utación circular: dy = k° a T 0, dz = i ° a J°. De m anera que las bases ( i ° tj 0 ,k°) y (d x , d y , d z ) son mutuamente duales o recíprocas; por consiguiente
U)1
A C^2 —
dx
¿9
dz
/1
9i
hi
92
h?
/2
=
r°
J°
/1
9i
/»1
/2
92
/12
= V,
V,.
a
Observemos que dy (ull A UI2)(AÍ)
a
dz
dz
=
a
dx
dx
9i(x,y,z)
a,
dy
/ii(x,V ,z)
/ 2(2:, y , z) 92(x,y,z) h 2 ( x , y , z ) =
Vx( x , y , z )
a
V2 ( x , y , z ) e -42(R3)
E je rc ic io 1: Demuestre que el valor de (a»i ac j 2 )(z, y, z) para una pareja de vectores X = ( X l l Yl , Z , ) y y = (X2,y2,Z2) es: R
3
(u>!
A «2)(x,,,*)(./?, y )
{ d y A d z)(X ,Y )
(d zA d x)(X ,Y )
(d x A d y )(X ,Y )
/í ( x .y .z )
9i(x>y.z)
M x .y .z )
/ 2 ( 1 . y. z)
9 2 (1
/»2(1 , y-z)
, y ,z )
n
y¡
Zi
Z2
X!
*2
Zi
Z2
X,
X2
Yi
Y2
/ i ( x ,y ,z )
9 i(x .y ,z )
h \(x,y,z)
h (x,y,z)
92(1 , y, z)
M * . y ,z )
( X a y ),
( X a Y) v
( X a y),
/i ( x .y ,z )
p i( i,y ,z )
/x ^ x .y .z )
/ 2 (2 , V, z)
9 2 (1
/12( 1 , y, z)
, y, z)
E je rc ic io 2: Com parando con el ejemplo 3 de la sección 5.9, construya una 2forma u i tal que u i = u i¡ a u>2 - ¿Cuál será el campo de vectores asociado a u i ? ¿A qué correspondería ( / i , 9 i,/ii) y ( / 2 , 9 2 , ^ 2 )? Compare con lo dicho anteriormente.
9.1.2.
Producto escalar
Ahora tomemos, todavía en R3, una 2-formauii definida en todo punto /V/ 6 U c R3 por u>i(M) = f i ( M ) d y a dz + g \( M ) d z a dx + hy(M )d x a dy y una 1-forma u/2 definida por w2(M ) = f i { M ) d x + g2(A/)dy + /i2(A/)dz. El producto exterior u>i a w 2 es una 3-forma y vale: (ui|
a
w2)(A/) = [ / i ( M ) / 2(M ) + yi(A /)y2(A/) + hi(A /)/i2(A/)] dx
a
dy
a
dz.
En el paréntesis rectangular reconocemos el producto escalar de dos vectores V\ y V2, los cuales son los campos de vectores asociados a u | y a a 2 respectivamente. De manera que la 3-forma wi a ui2 = ui define la función producto escalar · l/2, es decir, la aplicación
definida sobre U con valores en R :
( 9 i ( M ) \ V 2 ( M ) y Vale decir,
■ V^(M) =
La forma bilineal sim étrica es
el producto escalar, “·” = ( | )·
9.1.3.
Producto mixto
Finalmente, tomemos en R3 tres 1-formas: lji = f \ d x + g\dy + h \d z, oj2 = f 2dx + y2dy + /i2dz y u»3 = / 3 d i + g3dy + h 3 dz. Tenemos
A U>2 A ^3 —
/1
9i
hi
/2
92
^2
/3
93
^3
dx
a
dy
a
dz.
E je rc ic io : Realice el siguiente cómputo: Si V'i, K2 y V'3 representan los tres campos asociados respectivamente a u \ y u>2 y 0 /3 , entonces la función
, V2,
= det(e)(Vll (?2) 1/3) o producto m ixto de tres
campos vectoriales está asociada a la 3 -forma u)| a u 2 a W 3 ; vale decir,
M ·—
[ v \ ( A Í ) , V ^j(A /), V3( M ) ] = K , ( M )
a
Ü2( M ) · V3(M).
Con esto hemos ilustrado el hecho fantástico de que el análisis exterior ya contiene el álgebra vectorial como caso particular. Aquel es más general, sintético y unificador: a
L· —> —* a :
*w a a 1w a
producto vectorial
—► · :
producto escalar
—f a · :
producto mixto
9.2.
Análisis vectorial
Ahora vamos a estudiar en esta sección la relación íntima y jerárquica entre el análisis vectorial y el análisis exterior. El análisis exterior es un análisis multilineal que contiene como caso particular al análisis lineal y al análisis vectorial. También aquí mencionaremos algunos campos de vectores de uso corriente en física; además, enunciaremos algunos teoremas o fórmulas muy apetecidos por los físicos. De paso, toparemos con las integrales de formas diferenciales y con integrales escalares cur vilíneas y de superficie. La mayor parte de los razonamientos se harán en R 3 para mayor simplicidad, pero todo tiene un significado absoluto e intrínseco.
9.2.1.
Gradiente
Ya tuvimos contacto (sección 5.7 caso 5) con el primer campo de vectores, funda mental en física: el campo de vectores gradiente de una función / (campo escalar) de Rn en R, diferenciable en z e U c R " , que se nota g raá . Este operador asocia a / , función de punto o campo escalar de variable vectorial, un vector notado grad / , el cual a su vez, como campo vectorial, asocia a cada punto de U c Rn un vector libre de R". Además, en el sentido de derivada direccional, el gradiente de un campo escalar da la dirección, sentido y magnitud en los cuales la rapidez de variación de / es máxima: máxima derivada direccional entre puntos. En el caso más general de un espacio afín A, real y de dimensión finita (conjunto de puntos Rn y M 4 ) con su espacio vectorial asociado E (espacio de vectores libres o cuadrivectores libres) y equipado este último con una forma bilincal simétrica posi tiva no degenerada (el producto escalar de vectores libres), se tiene que E y E ” son canónicamente idénticos. Por consiguiente un campo de vectores (aplicación de un abierto U c A en E ) en U se identifica con una forma diferencial de grado 1 . Como ya vimos, el isomorfismo canónico identificador transforma toda base ortogonal (en ) de E en una base (en) de £ * , de manera que todo vector z 'e , se transforma en el covector Zj-eJ . Escojamos un origen en A y sean z 1, . . . , x " las funciones coordenadas en A. Entonces e 1 =
lo que implica
... m
i)
Así, en R n la forma lineal d f( M ) e R"*: R" 3 1 « , . . . , x _ | ^ - ( A / ) u , + · · · + p - (M ) u n e R OX1
OXn
está asociada canónicamente al vector ( grad f ) { M ) e Rn . E je rc icio : Las siguientes propiedades son básicas y su demostración se deja como ejercicio al lector. gra3 (A /)
=
Agrad / ;
g r a 3 ( / + ff)
=
gra3/
gra 3 (/p )
=
/ grad $ +
g r a 3 (/~ l)
=
- ( / ) ~ 2 g rá 3 /;
Í r á 3 ( / 5 -1 )
=
( ) ~2
+grad <7;
g
gra3 / — / gr a3
El teorema 5 de sección 5.11 en Rn , en la nueva situación de un espacio E que generaliza a R, adopta la siguiente versión parcial: T e o r e m a 1: Sea E un espacio vectorial con una forma bilineal positiva no dege nerada, y M X ( M ) un campo de vectores continuamente derivable en U c E. Escojamos un origen y una base ortonormal en E . Sean x Ll . . . , x n las funciones coordenadas en E y sean , X n las coordenadas de X . 1)
Consideremos las condiciones siguientes: i) X es el gradiente de una función continuamente derivable en U c. E; ... dX i
dX¡ to '
V i,j.
Entonces i) implica ii). Si U es contráctil, necesariamente i) o ii). 2) Supongamos que X sea el gradiente de una función continuamente derivable V . Entonces, si U es conexo por arcos, las funciones continuamente derivables F en U tales que grad F = X son las funciones V +A, donde A es una constante cualquiera.
Se dice que X deriva del potencial escalar (—V) y se nota X = —gracl V. El vector —graa (V) está orientado en el sentido de V decreciente, tiene un sentido geométrico intrínseco, nos informa en cada punto sobre la variación espacial de la función / , nos indica la dirección en la cual hay que moverse para obtener la variación más rápida, precisa el sentido del movimiento que corresponden a los valores decrecientes y, finalmente, da el valor de la derivada normal.
9.2.2.
El rotacional
P ara el resto de esta subsección tomaremos A = R3 (espacio ordinario) y E = R3 (espacio de los vectores libres del espacio ordinario orientado con el producto escalar usual como forma bilineal sim étrica positiva no degenerada). Los campos de vectores en U c R3 se identifican canónicamente con las 1-formas en U. Escojamos la base ortonorm al ( e i,e 2,e 3) = (*°.J°>£0) y un origen en E = R3, y tomemos x, y y 2 como las funciones coordenadas de A = R3. Entonces, el campo de vectores R3 o £/ 3 M —► P ( M ) e i + Q ( M ) Í 2 + R (M ) ¿ 3 , de componentes P { x ,y , 2 ), Q ( x , y t 2 ), R ( x , y , z ) en el punto M = (x, y, 2 ), se identifica con la 1-forma ui = P dx + Q dy + R d z . E je rc ic io 1: Demuestre que el producto mixto de tres vectores Vi, V2 y V3 de R3, [Vi, V2, V3] = (V! a V2 ) · V3, es una forma 3-lineal alternada sobre R3. E je rc ic io 2: Definamos para todo V e R3 la aplicación f v e A2(R3) por (R3)2 3 (V,, V2) — f v ( V u V7) = (V
a
V,) · V2 e R - {0}.
Pruebe que la aplicación V —* f v es un isomorfismo, es decir, las tres propiedades: i) linealidad: f v + x v = f v + Af v ; ii) inyectividad: tome V # 0, complete una base y pruebe que f v ^ 0 y calcule ker(V - f v ); iii) sobreyectividad. Calcule rg(V —» f y ) .
E je rc ic io 3: Calcule f c,(e 1 , e2), / e, ( e i,e 3), / e,(e 2,e 3), (e2 a e3)(e i,e 2), (e2 a e3) ( e i, e3), y (e2 a e3)(e2, e3). E je rc ic io 4: Verifique que / e, = e2 a e3, / , , = e3 E je rc ic io 5: Calcule (eJ
a
e2
a
a
e 1 y / e3 = e1 a e2.
e3)(e i,e 2,e 3) en una base positiva.
E je rc ic io 6: Demuestre que el producto mixto, como función, es igual a (e1ac 2 Ae3). Del ejercicio 2 se colige que R3 y / ^ ( R 3) son canónicamente isomorfos, idénticos. Por consiguiente los campos de vectores en U c R3 se identifican también con las 2-formas en U. En una base ortonorm al positiva el mismo campo de vectores se identifica con la 2-forma R3 9 M — * P ( M ) e 2
e3 + Q [M )e 3
a
a
e1 + R (M )el
a
e2,
es decir, con la 2-forma w =
P dy
a
dz
+
Q dz
a
dx
+
Rdx
a
dy
(esta afirmación se basa en los ejercicios precedentes 3 y 4). D e fin ic ió n 2: Sea X un campo de vectores continuamente derivable en U y u> su 1-forma asociada. Se llama rotacional de X , y se le nota rotX , al campo de vectores en U asociado a la 2-forma Si escogemos un origen y una base ortonorm al de sentido positivo y llamamos a P (M ) , Q ( M ) y R ( M ) las coordenadas continuamente derivables en U de X ( M ) , entonces su 1-forma asociada es ui = P dx + Q dy + R d z y dR dy
= 0
r d_ dx P
dQ\ dy dz ) I d_ dy Q
k d_ dz R
=
Í5Í(J?) = V a I
E je rc ic io 7: Pruebe las anteriores igualdades. E je rc ic io 8: Verifique en R2 que
ckii = d ( P d x + Q d y)
d_ dx P
d_ dy Q
dx
a
dy.
N o ta : El rotacional no es un vector propiamente dicho (vector polar), es un seudovector o vector axial, como lo es el producto vectora!. Por eso se usa la notación roí para hacer esa distinción. Aquí usaremos la notación roí. La costumbre es no poner ningún tipo de flecha: ni recta ni curva.
Las coordenadas que determinan el campo de vectores roe X son: (dR _ dQ\ \ dy dz ) '
(dP _dR \ \ dz dx ) '
(dQ _ d P \ \ dx dy )
El rotacional es un operador que asocia a un campo vectorial otro campo vectorial. Una adaptación de los teoremas 5 de la sección 5.11 y 1 de la sección 9.2 es: T e o re m a 2: Sean las afirmaciones siguientes: i) X es el gradiente de una función V continuamente derivable en U, X = —grad V . ii) r o t X = 0. Entonces i) implica ii). Si U es contráctil i) <=> ii). Un campo con rotacional cero se llama campo irrotacional o laminar. La defini ción 2 del rotacional es intrínseca.
9.2.3.
Divergencia
La operación producto mixto, por ser una forma 3-lineal alternada también es igual a una base del espacio A-¡(R3) de las formas 3-lineales alternadas sobre R3; dicha base es la forma 3-lineal alternada e 1 a e 2 a e3. E je rc ic io 1: Demuestre la aserción precedente. P ara ello pruebe que en la base canónicaortonorm al ( e i,e 2 ,e 3 ) de R3, (el Ae 2 Ae 3 ) ( e i,e 2 >6 3 ) = 1 y (e\ Ae 2 )-e 3 = 1 (producto mixto). Dado que en R 3 dos formas 3-lineales alternadas siempre son pro porcionales, entonces el producto mixto es igual a e l a e 2 a e 3 (véase los ejercicios 1.5 y 1.6). Por lo anterior, toda forma 3-lineal alternada de A 3 (R3) se identifica canóni camente con una forma 0-lineal, es decir, un escalar, un número. Por ende, todas las 3-formas en U se identifican canónicamente con las funciones escalares (campo escalar) en U. Tenemos, pues, que la función escalar o campo escalar R 3 o U 3 M « f ( M ) 6 R es idéntica, canónicamente, a la forma diferencial M —* /( A í) e l a e 2 a e 3 G ^ ( R 3); es decir, a la forma diferencial w = / dx a dy a dz. D e fin ic ió n 3: Sea X un campo de vectores continuamente derivables en U . Sea w la 2-forma correspondiente. Se llama divergencia de X , y se nota divX, la función en U asociada a la 3- forma dui.
ww w .e Is o Iu cicBsíri o
394 /Algebra multilineal
Si P (M ), Q (M ) y R ( M ) son las componentes continuam ente derivables en U de X ( M ) (un origen y una base ortonorm al se han escogido en R3), entonces ui = P dy
a
dz
+
Q dz
a
dx
+
Rdx
a
dy, de donde dui
=
( $ 7
+
+ §r)
di
a
dy
a
dz.
E je rc ic io 2: Verifique la precedente implicación. De aquí, que la definición de la divergencia del cam po X sea la función = d P (x ,y ,z ) + di
(*>!/.*)
8
Q {x,y,z) + d R (x ,y ,z ) = y dz
^
E je rc ic io 3: Deduzca rigurosamente esta definición. La definición 3 de divergencia es intrínseca. T e o re m a 3: Supongamos que X sea el rotacional de un campo de vectores dos veces continuamente derivable en U . Entonces divX = 0. Si divX — 0 y U es contráctil entonces X es el rotacional de un campo de vectores A continuamente derivable en U : X = rotÁ. N o ta : La notación X significa que X es un vector axial o seudovector. Se dice que X deriva del potencial vectorial A (o que X es un campo solenoidal o no diveregente) si divX = 0. D e m o s tra c ió n : Se basa en las definiciones 2 y 3 y en el hecho que a X le corres ponde la 1-forma ui y la 2-forma du> = rot.4 = X = a ; pero a X le corresponde tam bién la 2-forma a y la 3-forma da = d iv A De aquí que da = 0 = cPu>. m El potencial vectorial no está determ inado de m anera única (como V, el poten cial escalar), su forma general es ^4 + graá / , donde / es una función dos veces continuam ente derivable. E je rc ic io 4: Pruebe las siguientes propiedades: di v(A + B ) 5Tv(/,4)
= =
dlv( graá / )
=
AA
=
div/4 + divf?' /d iv A + gra3 / · A; d2f d2f d2f V ' (V /) dx2 + dy 2 + d z 2 V 2/ = A / = Laplaciano de / ; — Hi j 7* a \ — t i —t gr¿a ( d.vA) - Í5l( Í5ÍA) = _d2A
r··
+ _d2A + d2A
*. , d 2A , . d2P d2Q d2R . . . (Aquí -T-T es el vector de componentes - r- « , -r-T» - r - r , . . . , y A.4 es el laplaciano ox¿ oxz ox¿ ox£ vectorial).
E je rc icio 5: Verifique las siguientes relaciones: r o í( / A)
roí A
/
=
roÍA ■ B — A
róí( grad / )
=
0;
dlv(roÍA )
=
0;
roí( ro í A)
=
gracl dlvA —A A;
=
A divB — B divA
roí(A
a
a
B)
+
gra3 /
=
B)
dív(A
■
a
A;
róÍB;
+
(B g ra d )A — (A g rad )B .
E je rc ic io 6: Calcule el grad (r) y gra3 ( r - 1 ) con r 2 = x2 + y2 -t- z2. Dé las inter pretaciones geométricas y físicas. La solución de estos ejercicios se puede obtener por varios métodos: 1) por el empleo de V; 2) por el empleo masivo del análisis exterior, en particular de la derivada exterior. Pedimos usar este último método intrínseco. Sugerencia: usar la igualdad d { { u>) = f d u j + d f / \ u j , d (u > i a u j ) ~ du>i a w j - a<¿j y d ? u i = 0, y las interpretaciones que se pueden hacer de los objetos asociados a w, d u i , Ui a ti>2 y d f . Los operadores que hemos deducido, gradiente, laplaciano para campos esca lares y el rotacional y la divergencia para campos vectoriales, sirven justam ente para caracterizar dichos campos, describir sus influencias y estudiar sus variaciones espaciales y propiedades diferenciales. El siguiente esquema resume lo dicho: Cam po vectorial
9.3.
— ► °w — » ld°ui = gracl __t A — ►— ► d ui = rot , . . — ► ‘ lj — ► = div
'ui = i-forma 'd3ui = i-forma
M ecá n ica
Después de que se estudia la teoría boreliana de las integrales múltiples sobre par tes de R ", se pasa a tra ta r las integrales escalares y vectoriales pero sobre curvas o hipersuperficies de R". Lo que se integra ya no son funciones sino formas dife renciales. Aquí nos limitaremos al caso de R3. A través de ejemplos en mecánica y electromagnetism o veremos cómo, sin de ninguna m anera elaborar la teoría bore liana, el trab ajo y el flujo son simples casos particulares de la integración de formas diferenciales, llamados respectivamente integral curvilínea (circulación) e integral de superficie (flujo).
Tomemos una p-forma de R ", tu = ydxtl a ■ · · a d x ' ” , donde el paréntesis significa la convención de Einstein pero con ij < · · · < ip: <„. es un número llamado integral de superficie. En la primera se integra a lo largo de una curva C regular o camino param etrizado. Tenemos, pues, la integral curvilínea R 3 C = u>, la cual es la integral de ui de a a b por el camino C. El número C depende ae a, b y de la curva C. No depende de la param etrización particular (cambio de parám etro). La integral de superficie R 3 $ = u>, es la integral de w a través de la superficie S. Depende de S y del borde o frontera de S = OS, pero no de la parametrización de la superficie de integración (cambio de variable). Si tenemos u> = A id x 1 -l----- + A „ dxn , 1-forma continua en U c Rn y C : R z> [a, 6] 3 t (ci(í), C2 (í)i · · · >Cn(t)) un arco de curva continuam ente derivable en U definida en [a, 6] (curva de extremos a y b). Entonces, uj es integrable con relación a la curva C y
\ C UJ = \
{Al tCl(£) ' ' ' ' ·*«(*)] ¿A t) + ~ + A n [ c ,( í) ,. . . , c W ] <4(t)} dt.
Se dice, entonces, que se ha param etrizado la curva para poder integrar a ui. N o ta : La curva C puede ser continuam ente derivable por pedazos (o trozos) y todavía ui es integrable en [a, 6], Lo que hemos afirmado p ara p = 1 es extrapolable a p = 2 (superficie) y genera lizaba p a ra p > 1 arbitrario (hipersuperficies), naturalm ente con las modificaciones apropiadas. Las justificaciones rigurosas son tem as de la teoría boreliana de la in tegración de formas diferenciales. Existen técnicas para reducir ciertas integrales de formáis de R n en integrales en Rn_1. Después de estas generalidades pasemos a los ejemplos de aplicación, siempre en R3.
9.3.1.
Circulación
Sean F un campo de vectores continuo en U c R3 y C : [a, 6] —► U un arco continuam ente derivable por tram os. Al campo F está asociado canónicamente una 1-forma u; continua en U . Entonces u> es integrable con relación a C. La integral curvilínea C = $c cj se llama la circulación del campo F con relación a C; este
número C vale C c (F ) “ J" w
^ tc(0 ] ¿ ( 0 dt.
i) E n mecánica, F es un campo de fuerzas y la circulación Cc(F) se llama el trab a jo W c{F )\ este depende de F, de a y b, y del camino C. El trabajo WC(F) no es una propiedad del sistema, no es una función de estado intrínseca, de m anera que d W no es una variación, sino una cantidad pequeña, una 1-forma asociada a un arquito de la trayectoria C; la sum a de esos trabajos elementales da el trab a jo total W c ( F ) (ver figura 9.1). Como d W no es una diferencial exacta, los físicos lo indican poniendo SW , d 'W o Í W . Escogiendo un origen y una base ortonorm al en R3 con respecto a la cual en M = f = (x , y , z ), F ( x , y , z ) tenga las coordenadas P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , y R ( x , y , z), obtenemos: W = J
P d x + Q dy + R dz = ^ F -dr.
C(a) Figura 9.1. n) Si d 'W = lj es una forma diferencial exacta de clase C 1 en U , entonces existíuna función potencial V: U 3 M >-* V (M ) tal que —d V ( M )
= = =
= P (M )d x + Q (M )dy + R (M )dz e j - = d— V Jdx + - r - jd y + 9V . F ■ dr -r—dz dx dy az —grad V ■ df\
de aquí que F = —grad V = —V · V . Se dice entonces que el campo de fuerzas F deriva de un potencial V. Si V es una función uniforme (que tenga en cada punto un sólo valor), entonces b W
=
b
Jw oC
=
b
= jF -(if= J aC
- í
F [c(t)] c'(t)dt
° C
¿ (t)d t = - [ V V
Ja
dr = V ( a ) - V ( b ) = Va - V b.
Ja
A hora por ser d 'W — ui exacta, o dui una diferencial total, ui es integrable; el trabajo o circulación es independiente de la trayectoria, lo mismo que la variación del potencial o se dice también que el campo es conservativo. La circulación o trabajo de una fuerza a lo largo de un camino cerrado es cero: §c F ■ d f = 0, ya que el trab a jo sólo depende de los puntos inicial y final (a ,b ). Esto asegura la conservación de la energía, porque el trabajo recibido es igual a la disminución del potencial (Vi — Va) o a su crecimiento negativo, —(Va — V¡,). Se supone que no hay fricción ni disipación de calor. Además, las curvas con F tangente, llamadas líneas de campo o de fuerza, son ortogonales a las superficies con V ( M ) constante, llamadas superficies equipotenciales. El campo E es irrotacional, es decir, ro tÉ = 0. Los casos i) y ii) satisfacen el “teorem a” de Stokes, (o “fórmula” en R3) que per mite transform ar una integral doble en una simple, y además, provee una definición de roí. El teorem a es:
s
donde d S es un elemento de la superficie de integración S, de frontera 55; cj es de clase C 1. El teorem a resulta de un cálculo sencillo pero laborioso. P ara el caso ii) tenemos rol F = 0, entonces
S
El teorem a de Stokes se escribe también así:
9.3.2.
=
J"Jj s ■ fdP
dy dR\ ,
,
a
dz
+
fdQ
dP\,
,\
El flujo
Supongamos R 3 orientado, X un campo vectorial continuo en U c IR3 y S una superficie. A X le corresponde canónicamente una 2-forma continua ui en U. Si tu es integrable en 5, el número llamado flujo de X a través de S, es por definición <í>
-JJ
u.
s
Escogiendo un origen y una base ortonormal en R3 y tom ando a P (x , y, z), Q(x, y, z) y ñ ( x , y, z) como coordenadas de X (x, y, z), se tiene
{Pdy
a
dz + Q dz
a
dx + R d x
a
dy].
En mecánica de fluidos el campo de vectores X es J = (pv) llamado densidad de corriente donde p es la densidad y v el campo de velocidades. Tomemos una superficie S bilateral dividida en una infinidad de elementos infi nitamente pequeños dS. Sea n° el vector unitario normal al elemento dS, de sentido positivo, de manera que dS = d S ■ ñ°; dS puede ser confundido con el plano tan gente a 5 en M . El flujo de J a través de S será la sum a de los flujos elementales d $ d§ ( j ) = J ■ d S a través de cada d S ( M ) (ver figura 9.2). $ S (J ) = J J / ■ d S =
· dS.
N o ta : El sentido positivo de la normal ñ° en los diferentes puntos de S se define por continuidad a partir de uno de ellos. Si J tiene por componentes a P , Q y R, y ñ° tiene como cosenos directores a , 0 y 7 , las proyecciones de d S serán a d S — dSy¡ = dy a dz, fidS = d S x: = dz a dx y 7 d S = d S xy = dx a dy, con relación a los tres planos coordenados. Entonces: * s ( J ) = í f {P dy
a
dz + Q dz
a
dx + R dx
a
dy}
Figura 9.2. Un cálculo sencillo, pero laborioso, nos conduce al teorem a de la divergencia o de Green-Ostrogradsky-Gauss: |í 'd S
= JJJ div X dV,
dV
v
donde d V es un elemento del volumen V encerrado por la superficie cerrada (fron tera) d V , y el campo vectorial X tiene componentes continuéis y derivables. Este teorema, que nos provee tam bién una definición de divergencia y permite reducir integrales triples a dobles, se puede expresar así:
JJK
d P (M ) dx
dQ (M ) dy
dR (M )\ clx dz )
=
a
a
dy
a
dz
dz + Q (M )d z
a
dx + R ( M ) d x
a
dy).
dV
Cuando se tom a una superfice cerrada 5 (o dV) se orienta de tal manera que ñ° orientado se dirija siempre al exterior de V. Tomemos 5 cerrada, fija y arbitraria que contenga una masa de fluido con p ( x , y, z, í) y v(x, y, z, £), densidad y velocidad
en cada punto y en cada instante respectivamente. Si entra fluido en S, entonces la masa m crece y lo que fluye vale
I I * . - i
jptv - f
| /■ « í . - J J J ® J * .
!···
S
V
entonces
J ( | + S / ) j v . o , vs. De donde ^ + d íí/= 0 . dt E sta relación se llama ecuación de continuidad y traduce la conservación del flujo o de la masa. Se usó la derivación que es local (r fijo); si en vez de esto se usa la rapidez de cambio , esto implica que a lo largo de la trayectoria o línea de movimiento, de la partícula fluida, tan to x = x(<), y = y(t), z = z(t) como la densidad p(x, y, z, t) se convierten en funciones de £ solamente. Entonces por la regla de la cadena se tiene dp dt
dp dp dx dt dx dt
dp dy dp dz dy dt + dz dt
= Del razonamiento anterior se obtiene una expresión general válida cualquiera que sea la naturaleza de la m agnitud F (f , í): dF dF — , . — = — +V.^ F ( r ,í) . Los tres términos se llaman, respectivamente, rapidez de cambio total, local y cons tante. El operador — + v ■ V se llama derivada convectiva. E sta es la técnica de ot partida para obtener las ecuaciones de Euler de un fluido perfecto. En el caso de ser A' el campo electrostático, sepuede hacer una aplicación del concepto de flujo de dicho campo y se obtiene una ecuación de continuidad o de conservación de la corriente eléctrica..
9.4.
T erm od in ám ica
Ya tuvimos la ocasión de mencionar la termodinámica, como ejemplo en este curso (sección 1.9, ejemplo 6), la cual al estudiar las relaciones entre las acciones exte riores mecánicas y los cambios interiores térmicos de un sistema, en un proceso
termodinàmico, identifica las acciones con un trab ajo W y los cambios interiores con el calor Q. Pero un sistem a puede dar o recibir trab a jo y calor que dependen de las trans formaciones o procesos, en particular de la trayectoria que siga el sistema. W y Q no son propiedades del sistem a sino del proceso, por consiguiente no tiene sentido hablar del trabajo o calor de un sistema, no están unívocamente determinados. La anterior constatación implica que d\V y dQ no sean diferenciales exactas y su inte gración dependa del camino de integración C y de los puntos iniciales y finales M \ y Mi'. c dW, dQ- E sta curva C corresponde al proceso o transform a ción term odinàm ico reversible que lleva al sistem a term odinàm ico del estado M \ al estado M i· Las 1-formas d W y dQ se escriben poniendo x, y, z como coordenadas termodinámicas: dW = X d x + Y d y + Z dz,
dQ = X ' d x + Y ' d y + Z 'd z \
donde X , Y , Z y X ', Y ', Z ' son funciones de x, y, z. Después de param etrizar la transformación term odinám ica C de M j —► ¿Vi2 , se tiene W (M u M i,C )
=
f
X d x + Y d y + Zdz,
Q
=
f
X ’ dx + Y ' d y + Z ’ dz.
Además tjc d W 0 y §c dQ # 0. d W y dQ no indicarán pequeños cambios o variaciones, por no existir un valor único; más bien significan pequeñas cantidades de trabajo o calor, son formas diferenciales o diferenciales inexactas. Pero U = W + Q, la energía interna, sí es una característica del sistema, una función de estado. La sum a de W y Q sólo depende de los estados iniciales y finales y no de los estados intermedios, por eso dU = d W + dQ. Las 1- formas d W y dQ harán que dU sea una diferencial exacta y §c dU = 0, VC. O tro tanto se puede afirmar de la entropía, que por definición es S = d Q T ~ l , donde T es la tem peratura o factor integrante: §c d S = 0, VC. La función entropía es, por definición, la relación entre el calor y la tem peratura, y es una función de estado que caracteriza ad sistema. El primer y segundo principios de la term odinám ica se limitan a decir m atem á ticam ente que d W +dQ y dQ T -1 son diferenciales exactas, es decir, que existen las funciones de estado U y S tales que dU = d W + dQ y d S = d Q T ~ l . Físicamente esto quiere decir, respectivamente, que la energía se conserva, y que gracias al factor integrante existe la entropía, la cual crece irreversiblemente. Cuando un sistem a se aisla térm icam ente, Q = 0, y queda dU = d W . lo cual dice que ahora el trab ajo d W del proceso en el sistem a sí es una diferencial exacta, una variación entre estados iniciales y finales bien determ inados y W = J d W sólo depende de aquellos; § d W = 0.
fnario.net
O tro tanto se puede decir de dQ = dQ si los parám etros externos de un sistema se mantienen fijos, es decir, si se aisla totalm ente al sistem a de la influencia exterior; ello implica § dQ = 0. Como vemos, es la presencia sim ultánea del trabajo y el calor lo que hace que las diferenciales individuales sean inexactas (véase la sección 9.4). Tomemos la 1-forma dQ = dU —d\V = dU + P dx dy dz = dU + P dV, donde P es la presión a la que está sometido el volumen V del sistema. La expresión dU + P dV se llama forma diferencial de Pfaff o forma diferencial pfaffiana. La integrabilidad de esta forma diferencial pfaffiana (es decir, dQ) que depende de sólo dos variables independientes U y P se debe a que existe un factor integrante T ~ l . Si existiesen más de dos variables, entonces una forma pfaffiana no sería integrable en general; pero en el caso exclusivo de dQ con varias variables independientes, siempre existe un factor integrante, función que sólo depende de la tem peratura. Esto asegura la existencia de la entropía y autoriza el enunciado del segundo principio de la term odinám ica como un hecho físico legitimado por la m atem ática. En resumen f A/j S ( M i , M 2) = d S = - S ( x í t y i , z i ) + S { x 2 , y 2 , 2 2 y, Jm , U ( M u M 7)
=
d i / = - f / ( i 1, Vl, z 1) + t / ( i 2,y 2, 22) Jm i
y U y S son independientes del proceso C. Esto se traduce analíticam ente p o r las expresiones dU
=
ds
=
[ X + X ') d x + ( Y + Y ')d y + ( 2 + Z')dz
y
El primer y segundo principios de la term odinám ica nos declaran de m anera sencilla y m atem ática que dU y d S son formas diferenciales exactas o diferenciales totales. Analíticam ente esto se traduce por las ecuaciones V·'
d{X + X ' ) d(Y + Y ') dy dx d{Z + Z') dx
d(Y + Y ') ’ dz
d{Z + Z') dy
d{X + X ') dz ’
r'·r
.y· T dy
T dx ’
y· T dz
^ z' T dy
y' T dx
y ' T dz
Este último grupo de seis relaciones debe ser satisfecho por todo sistema termodinámico en cualquier circunstancia. Estas relaciones constituyen tam bién el enun ciado m atem ático (un poco complicado, ciertam ente) de los aludidos principios.
Si notamos X al vector de componentes ( X + X ' , Y + Y ', Z + Z 1) y X ' al de coor denadas ( X 1, Y ', Z ') y aplicamos el teorem a de Stokes en R3 con dr = (d x , d y , d z ) (véase sección 9.3.1), tendremos:
S1
es·
=
"J ró tX ' ■ d S = 0 s·
(5 ' = superfice). Es decir, el primer y segundo principio de la term odinám ica se pueden enunciar diciendo que 7 ¿ Í ( X + X ' , Y + Y \ Z + Z ') = 0
y
F5t
= Ó;
por consiguiente existen potenciales term odinám icos de los cuales derivan los vec tores X y X '. Ya afirmamos que, en el caso general, de tres variables term odinám icas (R3), la forma diferencial pfaffiana Í Q correspondiente a Q no se puede transform ar en una forma diferencial exacta dQ, con la ayuda de un factor integrante tp(x, y, z) de m anera que se asegure la integrabilidad. P a ra que tal factor o función exista se necesitan unas condiciones sobre las com ponentes ( X ' T ~ l , Y ' T ~ l , Z ' T ~ V) y es que X ' sea ortogonal al vector ro tX ': X ' · ÍS ÍX ' = 0. E je m p lo : O btener las condiciones para que las líneas del campo de vectores X (x , y , z ) = ( X ( x , y , z ) , Y ( x , y , z), Z ( x , y , z)) dadas, estén asociadas a un campo de potencial escalar V ( x , y , z). S o lu ció n : Sabemos que existe V si, y sólo si, ro tX = 0. Pero al darse sólo las líneas de campo, sólo conocemos las razones X : Y : Z , y por ende, existe un multiplicador escalar A indeterminado. El ejercicio propuesto se reduce a este: ¿Es posible escoger un A tal que para X exista un potencial? La respuesta es positiva a condición de que exista un vector unitario X o pa ralelo en todo punto a las lineáis de campos dadas, es decir, que satisfaga a las razones dadas, y cum pla con las condiciones necesarias X o es ortogonal a ro lX o. La justificación de la respuesta hela aquí: Necesariamente tenemos X = X X o. Luego ío tX = 0 = A ro lX ° + ( grad A) a X o. Si ahora multiplicamos escalarmente por X o se tiene 0
= =
X o · ?5tX = AX° · rolX ° + [X o · (VA VA · (X o a X o)] = AX° ro íX 0 = 0.
a
X o)
Por consiguiente se tiene la condición necesaria de ortogonalidad: X o ■ Í5 ÍX 0 = 0. Queda así, asegurada la existencia de V tal que X X o = grad V. Cualquiera o tra función V ' de V, es también un potencial asociado con el multi plicador A' = X§^ 7 , ya que dV ' = grad V ' d f = V V ■ dr = X - d f = X 'X ° ■ d f = AX od f -
V X °, Vdf; entonces
(y -* í£ ) En el caso de R 2 y para la 1-forma asociada al calor dQ = X '{ x , y) dx + Y ' ( x, y) dy , el segundo principio postula que, físicamente, existe un factor integrante ip = T ” 1 (y la m atem ática aquí es formal en legitimar esta existencia) tal que
M »
m * m * m rn W Èé
:
m
:
b· b· - *
m - · - ·
- · W *
- ·
4) Finalmente, se expresa el hecho que dU y dS son diferenciales exactas y se combinan las relaciones así obtenidas. Todo lo anterior aclara la esencia m atem ática de los principios primero y segundo de la termodinámica. Ahora vamos a finalizar esta sección con algunos comentarios, menos prosaicos, sobre la esencia física y filosófica del segundo principio entròpico en la evolución temporal de un sistema cualquiera, aun en el caso del universo tomado como un sistema único en su conjunto. A diferencia de los otros principios de la física, el que corresponde al segundo de la termodinámica no hace referencia a ningún principio de conservación sino más bien a la evolución de la entropía, la cual no se conserva en el curso del tiempo sino que, como se dem uestra matemáticamente, no hace sino crecer, y en el mejor de los casos, permanecer estacionaria, pero nunca disminuir. La entropía se origina en los intercambios de la energía. La entropía es una medida del rendimiento o medida del valor de la energía inutilizable. Además, usar energía con rendimiento es convertir movimiento desordenado en movimiento ordenado a través de una máquina que trabaje entre dos niveles diferentes de tem peratura, justam ente ese desequilibrio lo crea la máquina. De aquí que la entropía sea una medida del desorden o ausencia de organización: a mayor organización menor entropía, e inversamente. Al desorden total o caos le corresponde una entropía máxima. El hecho de que toda organización de m ateria deba acompañarse de un aumento espontáneo en la entropía, es decir, del desorden del universo, m uestra la conexión íntim a entre entropía y organización. La información también tiene lazos íntimos con la entropía. Aquélla es el número de datos que debe darse, para describir com pletamente un objeto, a alguien que no lo conoce. La información es proporcional a la cantidad de entropía disponible, cuanto más elevada es la información de que disponemos, más grande es la posibilidad de utilizar la energía. Si la información aumenta, entonces la entropía disminuye (llamada negentropía, la cual aumenta). Al principio fue el caos, no existía vida, sólo existían las leyes naturales del desor den. Luego el cosmos se estructuró y organizó, como el lenguaje, se volvió complejo en virtud de la información ordenada que ha necesitado almacenar para evolucionar a partir del caos primordial. En el proceso unidireccional: caos —* organización —> información —* entropía, ésta última desvaloriza la energía al hacerle perder, no can tidad, sino cualidad, transformándola en energía de b aja calidad, desaprovechable, menos noble. De allí se sigue un deteriorio inevitable y mortal. Lo anterior originó el concepto de muerte térm ica del universo, el cual generó a su vez pánico y pesadilla en las gentes de finales del siglo XIX. La muerte térmica del universo por aum ento de entropía proviene de una desvalorización o inutiliza ción ineluctable de la energía, la cual se degrada y por consiguiente, al final todo movimiento llegaría a ser imposible por una homogeneización de la tem peratura universal, la cual no permitiría paso de calor de un sitio a otro. Irremediablemente avanzamos hacia una inercia final universal cada vez más grande y definitiva. Ya
:¡onario.net [.-.y
la muerte individual es un signo premonitorio. La vida la reducimos a una impla cable lucha contra la muerte, a sabiendas que al final seremos vencidos. La muerte universal es acelerada por el propio hombre con su desenfrenado despilfarro. Parece que el destino nos hubiera hecho venir para acelerar la agonía universal. El ser humano voluntaria y agresivamente actúa de modo irreversible para aca bar con el orden inicial, crea y hace aumentar la entropía del universo, degrada el ambiente, acelera la destrucción, desintegra estructuras no integrables ulteriormen te, devaluando en una inflación galopante la calidad de la energía y de la materia. Vinimos para acrecentar la entropía. Con sobrada razón el sociólogo francés C. LéviStrauss afirmó que el estudio del hombre, en vez de llamarse antropología, debería llamarse entropología.
%
Según la teoría del big bang, en el momento inicial la tem peratura era terrible mente alta. Hoy en día la tem peratura es baja y uniforme. Eso hace que la entropía engendrada por las estrellas y por el conjunto de todos los fenómenos, sea muy débil frente a la entropía generada por la expansión del universo. La ley de la deteriorización de los sistemas estructurados, en el transcurso del tiempo, hizo pensar que debió existir un pasado más organizado. De aquí surgió la idea de un universo pri mitivo bien organizado al principio. Hoy se cree lo contrario: existió inicialmente un universo caótico, muy caliente, homogéneo, isotrópico, isotermo y con alta entropía, que evolucionó expansivamente hacia estructuras ordenadas, contrastadas y frías. Esto hace pensar (según algunos) que nos alejamos de la inercia universal definitiva, isotermía o muerte térmica del universo, ésta no se situaría en el futuro sino en el lejano pasado. La organización y superación de la materia inerte en forma de materia viviente y pensante en un universo en desorganización y degradación constantemente en au mento, parece a primera vista, contradecir el principio de la entropía. Pero la física y la astrofísica explican hoy día por qué a pesar de eso se creó vida, se organizaron células, se originó el código genético inmortal y se desarrolló el cerebro. La pre gunta que plantea la física al desafío de la vida perfeccionada frente a la entropía desorganizadora es muy sutil como vamos a ver. Se sabe que la entropía también es proporcional al número de elementos de un sistema. P ara aum entar la entropía se necesita aum entar, por consiguiente el número de partículas de un sistema. Aho ra bien, la luz emitida por las estrellas es la sustancia más desorganizada, la más entròpica, que se conozca. Entonces, como el desorden se mide en la práctica por la cantidad de luz, hay que aum entar ésta para crear entropía, es decir, crear fotones, y esto de dos maneras: calentando o transformando m ateria en energía. E sta multi plicación de fotones hace aum entar la entropía del universo, es decir, este se ordena y organiza por la emisión de luz de las estrellas. Al nacer una estrella hay un descenso en la entropía, pero en su vecindad debe haber un aumento compensatorio de entropía, al menos igual al perdido por la estrella. A partir del momento en que la estrella se enciende, por ser la emisión de
luz un proceso muy entrópico, la entropía, de la estrella disminuye. De manera que las estrellas contribuyen a la entropía del universo, entropía que se origina en los procesos gravitatorios, electromagnéticos y nucleares. El proceso de la vida se debe a una revalorización de la energía luminosa, la cual nos llega en forma de fotones energéticos que son re-emitidos, con b aja energía, y más numerosos, en forma de luz infrarroja. E sta multiplicación de fotones permite que el ser viviente resista con éxito, relativamente pírrico, a la muerte, gracias a los rayos infrarrojos. Así el esquema pesimista de Lévi-Strauss (—0 0 )
orden
( + 00)
caos
se transform a en el cuadro astrofísico moderno y optim ista que dió origen a la vida . , (—0 0 )
9.5.
tiempo . caos — f ( + 0 0 )
. , orden.
M a te m á tica . El te o r e m a de Stokes
En este cuarto ejemplo m atem ático resumiremos todas las fórmulas anteriores y situaciones físicas concomitantes. La cúspide del análisis clásico es el resultado concerniente a las funciones reales y continuas de una variable real e integrables en el sentido de Riemann. Este resultado se conoce con el nombre de teorem a fundamental del cálculo integral y lo enuncia la fórmula: J * / '( z ) dx => /( 6 ) — /( a ) . El análisis exterior va más alia y generaliza esta fórmula para el caso de varias variables reales con el nombre de teorem a o fórmula de Stokes, el cual contiene al teorema y fórmula anterior como caso particular. Este célebre teorema es la culmina ción apoteósica del cálculo exterior y es de una fecundidad y generalidad inauditas. En muchos textos se pretende demostrarlo, cuando en general, lo que se hace es una simple verificación basada sobre vagas intuiciones geométricas; dicha “demos tración" no es satisfactoria. P ara su demostración —el enunciado es simplísimo, natural e intuitivo— se necesita m ontar toda una m aquinaria m atem ática bien so fisticada y bien engrasada. Sólo para enunciarlo se necesitan intensos preparativos. Nosotros nos contentaremos con sólo enunciarlo, contemplarlo desde lejos -com o la tierra prom etida-, y aplicarlo. De la misma manera que el cálculo clásico danza alrededor del teorema funda mental del cálculo, paxte de este curso de álgebra multilineal revolotea realmente alrededor de la “fórmula de Stokes", la cual alcanza pero no demuestra.
P ara generalizar la prim era fórmula, en el caso de varias variables, hagamos la transición siguiente: Los papeles representados por la función continuamente diferenciable / y su derivada / ' serán protagonizados por una forma diferencial lj y su derivada exterior du>. Las funciones desempeñadas por el intervalo cerrado [a, b] y sus extremos a, b estarán a cargo de una parte de un conjunto V y por su borde o frontera dV orientada. Con este principio de correspondencia, la fórmula precedente se transform a en la “fórmula de Stokes” que se escribe así: f dLJ= ¡ Ui. Jv hv E sta es la celebérrima, mágica y maravillosa fórmula que resume los resultados del análisis exterior, contiene a todo el análisis matem ático clásico, al análisis vectorial, a gran parte de la física y mucho más . . . En cambio el enunciado y demostración rigurosos, del “teorem a de Stokes” asociado a esa fórmula no son fáciles; daremos algunos preparativos elementales e intuitivos para enunciarlo y no lo demostraremos. P artim os de un espacio afín A real de dimensión n; A puede ser R, por ejemplo. Una subvariedad V de dimensión p $ n de A es un conjunto de A donde la vecindad de cada uno de sus puntos es aproxim adamente un subespacio afín de dimensión p. Más o menos técnicamente, cada vecindad de x e V está conectada con un abierto de V a través de un difeomorfismo (un difeomorfismo / es una aplicación biyectiva tal que / y f ~ l sean continuam ente diferenciables). Por ejemplo, en el espacio afín R3 de dimensión 3, un hemisferio es una subvariedad (superficie) de dimen sión 2, ya que el entorno curvo de cada punto se puede imaginar aproximadamente plano (localmente el plano tangente); como si cubriésemos con retazos pequeños y planos a una superficie curva. Las curvas y superficies son subvariedades de R3. Aquellas, los hiperplanos e hipersuperficies son subvariedades de M4. Una pieza P de una subvariedad V de un espacio afín A es una parte abierta de V con algunas especificaciones. P tendrá su interior y su borde o frontera. E je m p lo : La subvariedad V c A es también una pieza de V, su interior es el mismo V, su borde es el vacío. O tro ejemplo: un anillo P de R 2. Consideremos dos números a y b tales que 0 < a < 6 y los siguientes conjuntos: P
= {(z, y) e R 2/ a ^ i 2 + y2 ¡S 6}
Po
= {(*, y) 6 K2/ a < x 2 + y2 < b}
Pi Pi
= {(*. y) e R2/*2 + v2 = Q} {(z, y) 6 R2/x2 + y2 = b)
=
Entonces se puede probar· que P es una pieza de R 2, de interior Po y de borde P \ U P i-
w w w .e ls o li
410 /Algebra multilineal
Figura 9.3. Un conjunto A es compacto si es cerrado (contiene su frontera) y de tamaño finito. En el caso A c Rn , A es compacto si es cerrado y acotado, ó-si en A se cumple el teorema de Bolzano-Weiertrass. El borde dP de una pieza P se puede orientar y su interior también. Por ejemplo tomemos un disco P cerrado de R2: Po - {(x , y ) / x 2 + y 2 ^ r 2} de centro (0,0), de radio r > 0. P es una pieza de R 2. Su interior será el disco abierto Pq = { (x ,y )/x 2 + y2 < r 2} y el borde es el círculo P\ = { (x ,y )/x 2 + y 2 = r 2}. El círculo P¡ está orientado en sentido directo (sentido trigonométrico, o contrario al movimiento de las manecillas de un reloj). P¡ tiene o tra orientación opuesta o retrógrada. Con los vectores c'(í) = (r'(£), y'(í)) se define una orientación de P. Con estas definiciones intuitivas estamos en capacidad de exponer y dar sentido al enunciado general del teorema de Stokes. T e o r e m a 4 (d e S to k e s o F ó r m u l a d e S to k e s): Sea A un espacio afín real de dimensión n, V una s'abvariedad orientada de dimensión p, p > 0, P una pieza compacta de V, I su interior orientado y B su borde orientado. Sea, por otro lado, u una (p — 1) -forma continuamente diferenciable en una parte abierta de A que contiene a P. Entonces uj es integrable sobre B , dui es integrable sobre I, y
L “ * í,
du>.
La fecundidad del teorema la vamos a exhibir extrayendo la información posi ble que está latente en él y enunciándola como simples corolarios, los cuales nos probarán rigurosamente todo lo que afirmamos en estos numerosos ejemplos, tanto desde el punto de vista físico como matemático. El teorema sirve como fundamento para la reducción de integrales de Rn a Rn_1.
P
io nario.net
C o r o la rio 1: Sea /1 = R3, C una curva; R 3 [a, 6] —* R3 continuamente derivable con dC(t) inyectiva. P = C([a, b]) es una pieza de borde B = {C (a ), C(6)}, y de interior I = C(]a, 6[), éste lo orientaremos con la ayuda del vector velocidad d(t). Sea finalmente V una función continuamente diferenciable en una parte abierta de R3 que contenga a P. Entonces, W ( F ) = Trabajo { de F = —grad V a lo largo de I } = V(a) - V(b). D e m o s tra c ió n : Tomemos a V como una O-forma lj, entonces V = \b u = V(b) — V'(g) (por convención definitoria). d V = du> se identifica con el campo vec torial grad V. Ya sabemos que el trabajo o circulación de —grad V a lo largo de I es - í dV = - í Jr
dw = W ¡ ( -
V).
Jp0=i
Aplicando ahora el teorema de Stokes se tiene la propiedad enunciada, que concierne los campos conservativos ( o que derivan de un potencial) o llamados irrotacionales o laminares (teorema 2). # C o r o la rio 2: Sea R3 orientado, V una subvariedad orientada de dimensión 2, P una pieza compacta de V, I su interior orientado y B su borde orientado. Sea X un campo de vectores continuamente derivables en una parte abierta de R3 que contenga a P. Entonces W g ( X ) = trabajo (de X a lo largo de B ) = (flujo de rotX a través de I ) — í>/( rotX). D e m o s tra c ió n : X es igual a una 1-forma ui, roLY es idéntico a du¡. Por definición W b {X ) = X df = ui y í>/( roíX ) = ^ rotX d S = du>\ aplicando la fórmula de Stokes queda term inada la demostración. s Este corolario no es ni más ni menos que el conocido teorema de Stokes en R (ver sección 9.3.1). C o r o la rio 3: Tomemos a R3 orientado, P una pieza compacta de R3, 7 su interior orientado y B su borde orientado. Sea X un campo vectorial continuamente deri vable en una parte abierta de R3 que contenga a P. Entonces $ b ( X ) = flujo de X a través de B — integral de divX en I. - = $, D e m o s tra c ió n : X es idéntico a una 2-forma ui. Por definición $ b {X) Si escogemos un origen y una base ortonormal en R3 con x, y y z como funciones coordenadas, entonces: dui = ( d iv X ) d x a dy a dz y du> = ( divA')c¿r a d y a dz. Finalmente aplicamos el teorema de Stokes y queda demostrado el enunciado. s N o ta : / está definido independientemente del origen y la base ortonormal. Este
corolario no es más que el teorem a de la divergencia o de Green-OstrogradskyGauss. C o r o la rio 4: Consideremos una pieza compacta P de R2, / su interior y B su borde orientados. Sean P ( x , y ) y Q (x ,y ) los valores de dos funciones complejas de variable real continuamente derivables en una parte abierta de R2 contenida en P (ver figura 9-4). Entonces
Figura 9.4.
i D e m o s tra c ió n : Definamos la 1-forma u¡, por cj = P dx + Q d y , entonces
d“- (S - % ) di a*—í
, -
íf (S -
i í
) **
ady-
Este corolario es sencillamente la fórmula de Green-Riemann en R2, caso particular del teorema de Stokes (corolario 2) en R3. C o r o la rio 5: Sea una subvariedad orientada V, una pieza P con su interior I y borde B orientados, con la normal ñ °(M ) bien definida en cada punto M = ( x , y , z ) 6 R 3. Consideremos, finalmente, las funciones M >-*
dS =
JJJ ip ( M ) V il>{M)dxdydz + 1 V
1
'
r/j(M )dxdydz,
§[
v W m
dn
ñ
. ^
m
¿771
iS
= JJJ [
4 >{M)V*
dyd.z·,
donde V 2 = A =es el laplaciano. Estas dos fórmulas se conocen con el nombre de primer y segundo teorema de Green. E je rc ic io : Demuestre este teorema por análisis exterior y por los métodos clásicos. Tome el vector ip grad ip y aplíquele el teorema de la divergencia. Luego intercambie ip y tp . C o r o la rio 6: Consideremos una pieza P compacta de ¡R3, su interior I y su borde B orientados. Entonces A ( I ) = Area (/) = J x d y = —j
ydx = i j { x d y —ydx ).
D e m o s tr a c ió n : En la fórmula de Green-Riemann hagamos P (x, y) = 0 y Q(x, y) = x. Entonces,
J
x dy =
JJ dx
a
dy =
J"J d x d y = A(I).
S i P = y y Q = 0 entonces ^g y d x = —A (I).
m
H asta aquí se han estudiado integrales escalares (reales) donde el integrando es un escalar. E sta integral se generaliza a las integrales vectoriales (curvilíneas y de superficie) que asocian a una función vectorial un vector. Existen también procedimientos de reducción, de interés para el físico En resumen: el teorema de la divergencia de Green-Ostrogradsky-Gauss dice que si las coordenadas de un vector son las componentes de una 2-forma, entonces div es el coeficiente de la 3-forma, obtenida cuando se opera con la derivación exterior d sobre la 2-forma. La relación entre la derivada d y los operadores diferenciales g r a d , div y rot, en lenguaje vectorial es simple: el operador V cambia un escalar en un vector ( g ra d ) y un vector en un escalar (div) o en un vector axial (ró t). En cambio, el operador tridimensional laplaciano V 2 = A, o su homólogo tetradimensional, ni D ’alembertiano o , no cambia la naturaleza vectorial sobre lo cual opera: V 2y u son escalares si ¡b lo es; V 2.4 y o .4 son vectores si A lo es.
9.6.
E lec tro m a g n etism o
9.6.1.
El campo eléctrico rotacional
Consideremos una carga positiva (negativa) estática, fuente (sumidero) (ver fi gura 9.5). Su campo vectorial lo llamaremos campo electrostático E y tendrá líneas de campo radiales divergentes (convergentes), tenemos un campo irrotacional. La divergencia de un campo vectorial en general, da la medida de la densidad de la fuente escalar que da origen a la parte irrotacional del campo vectorial, y por con siguiente mide la intensidad de la fuente.
Figura 9.5. Si div ( E ) > 0, entonces el flujo que atraviesa una esfera que contenga la carga es positivo. Un cálculo en electrostática nos d a el teorema de Gauss-Coulomb: 3 I v £ (x ,y ,z ) = p ( x , y , z ) , donde p es la densidad volumétrica de carga. Si la carga está en movimiento per manente o fluctúa, entonces ya el campo no es irrotacional, y se tiene § E -dr ^ 0 y E / —VV, es decir, el campo E eléctrico no deriva de un potencial escalar V (ver figura 9.6). El movimiento de la carga origina efectos magnéticos variables en forma ro ta tiva (inducción electromagnética) que hacen que tengamos el teorema de FaradayMaxwell:
Figura 9.6.
i r·...
5fc,·
Aquí B es el campo de inducción magnética variable en el tiempo. Esto mues tra que el campo E , con carga en movimiento, sí tiene rotacional; esto compensa cualquier violación de la conservación de la energía, porque ese teorema autoriza la aparición de generadores ( “bombas”) para mantener la corriente permanente de cargas en contra del frotamiento y pérdidas térmicas. Los campos E y B se identificarían con 1-formas w, pero es mejor considerarlos como dos componentes o aspectos de un sólo y mismo objeto, llamado campo elec tromagnético, con seis componentes. Este corresponde a una 2-forma que notaremos F, que tienen C j = 6 componentes con respecto a la base (dy A d z , d z /\dz, dx /\dy). Entonces el campo electromagnético (E, B) es una forma diferencial F de grado 2, que a veces se manifiesta como E o B o los dos juntos, según el movimiento relativo del observador. En cambio el objeto geométrico F es absoluto, invariante ya que tiene existencia propia, intrínseca en ausencia de coordenadas y de observadores.
9.6.2.
El campo magnético no divergente
Consideremos un campo B remolineando alrededor de un punto M , es decir, que sea solenoidal: rotB ^ 0 o § B - d r ¿ 0 (teorema de Stokes) y div(B) = 0. Para B no existen fuentes ni sumideros. Su flujo es conservativo a través de cualquier superficie cerrada. Las líneas de campo de B son cerradas (ver figura 9.7). De la figura 9.7 se puede observar 1) Alambre perpendicular al papel recorrido por una corriente I que crea a B; 2) y 3) Imanes;
4) Electroimán y 5) Un conductor circular con corriente I que crea a B.
(1)
(3)
if e i N " ....................... *" (2 )
S
Figura 9.7.
Todas estetó situaciones se traducen diciendo que no existen polos o cargas (masas) magnéticas aisladas (monopolos), o que un imán dividido da siempre dos imanes (ver figura 9.8). La traducción m atem ática de este hecho es el teorem a de Gauss: dlv¿}(x, y , z ) = 0 El teorem a de Gauss traduce la existencia de un potencial vectorial A tal que B = rot<4. Ahora bien, el rotacional de un cam po vectorial es la densidad de la fuente vectorial responsable de la parte solenoidal de un campo vectorial, y mide la intensidad de la fuente (ver figura 9.9). E sto implica que rolB es igual a la densidad de corriente J. Pero se violaría la conservación de la corriente eléctrica ( | f + v - J = 0 ), para evitar eso hay que disponer de un térm ino complementario, de m anera que resulta el teorem a de Ampére-Maxwell:
rólB = J +
dt
N o ta : El campo de inducción m agnética B , lo mismo de le campo magnético H, no son verdaderos vectores ya que dependen de la orientación derecha o izquierda de
Figura 9.9.
... « 1 ( t las coordenadas escogidas. Se dice que B es un seudovector o vector axial,.por eso se le pone una flecha curva B , B o B. En cambio, el campo eléctrico E, lo mismo que la inducción eléctrica D , si son vectores, también llamados polares, y llevan una flecha recta. E sta sutileza se pasa a menudo en los textos de física. Algo similar con el momento lineal y el angular. . uoií.atqmi fiJ
9.6.3.
, ^ Tii3I) síisH .H Electrodinámica. Ecuaciones de Maxwell .
El conjunto de las ecuaciones de Maxwell es el modelo de las teorías clásicas1dé los campos físicos. En la elaboración de las ecuaciones, (1865), Maxwell réspetó'és^ crupulosa e involuntariamente los preceptos relativistas; ellas tienen un relativismo innato y oculto que más tarde a l descubrirse originó las b a s e s de-la teoría de lá relatividad. Estas ecuaciones representan l a apoteosis de la f í s i c a clásica. Su validez
es tal que no sólo sirvieron de paradigma para otros campos, sino que unidas a la mecánica cuántica han dado la teoría más exacta e incontrovertible de que disponga el físico moderno. Las ecuaciones de Maxwell son leyes locales que nos dicen cómo se crean los campos eléctrico y magnético gracias a su fuente, que son las cargas y corrientes; además, controlan la evolución de esos campos en el tiempo. Esta ecuaciones go biernan todos los fcnómemos eléctricos, magnéticos, ópticos, de radio, químicos, nerviosos, psíquicos, la vida, amén del odio, el amor, el sexo, el hambre, la megalo manía, etc. Las ecuaciones maxwellianas son en total cuatro: dos vectoriales y dos escalares. Reuniendo, las relaciones que ya escribimos en las secciones 9.6.1 y 9.6.2 precedentes, (está dada la interpretación gráfica) tenemos las cuatro ecuaciones de Maxwell en unidades apropiadas: dos homogéneas, 1) Ley de Gauss: no existen cargas o monopolos magnéticos: d iv B = 0 2) Ley de Faraday. campos magnéticos variables producen campos eléctricos: rolÉ +
dt
= 0.
Dos inhomogéneas, 3) Ley de Gauss-Coulomb: existen fuentes eléctricas cargadas: d i v £ = p. 4) Ley de Ampére-Maxwell: campos eléctricos variables producen campos mag néticos: Í E ÍB -^ - = /. dt La impresión que causaron las ecuaciones de Maxwell fue profunda y mística. H. Hertz (1897-1894) dijo, refiriéndose a ellas, que sabían más que nosotros y que contenían mucho más de lo que se les adjudicó al principio. L. Boltzmann se pre guntó si fue Dios quien las escribió. Ahora les vamos a asociar formas diferenciales y más tarde tensores —cosas equivalentes— para hablar de un sólo y único campo geométrico con diferentes manifestaciones contingentes, eliminando así la diferencia esencial entre E y B . Este método de la notación libre de coordenadas lo imple mento en la física E. C artan, en 1924, reduciendo el electromagnetismo a un capítulo
d e la g e o - m e t r í a d ife r e n c ia l, p o r in te r m e d io d e la s fo r m a s d ife ren c ia le s y el c á lc u lo e x t e r i o r , t a m b i é n lla m a d o c á lc u lo d e C a r ta n . N o ta
1: H e m o s o m i t i d o v o lu n t a r ia m e n t e e n la s e c u a c i o n e s d e M a x w e ll y e n las
p r e c e d e n t e s c ie r t a s c o n s t a n t e s (eo,
no- ver e j e m p lo 7 d e la se c c ió n 2 .3 ) c o n el fin d e
h a c e r u n a p r e s e n ta c ió n d e la s f ó r m u la s m u y s im p lific a d a , h o m o g é n e a y c o n c e p t u a l. C o n s u l t a r la b ib lio g r a fía r e feren te a a p lic a c io n e s a la física. A n t e s d e escrib ir, e n el le n g u a j e g e o m é t r i c o d e la s fo rm a s d ife ren cia les, las e c u a c io n e s d e M a x w e ll, p r e p a r e m o s y a b o n e m o s el t e r r e n o m a t e m á t ic o . P a r a n u e str o p r o p ó s i t o n o s s i t u a r e m o s e n el e s p a c i o - t i e m p o ( M ^ , tj) d e M in k o w sk i o r ie n t a d o y
e?, e a) ( l la m a d a p o r lo s físico s r e feren cia l d e L o r e n tz ). U n p u n to x = ( x° = t , x l , x 2, x 3), t sig n if ic a el tie m p o ; se h a t o m a d o la v e l o c i d a d d e la lu z c = 1 . ( M 4 , r¡) es un e s p a c i o m é tr ic o , la m é tr ic a se r á u n a fo r m a c u a d r á t i c a r¡ d e m a tr iz 77'“' c u y o s e le m e n t o s v a le n r;00 = 1 = —t)u = —tj22 = —t/33 y T)'3 = 0 si i ^ j\ los ín d ic e s p., v vald rán : p, i> = 0 , 1 , 2 , 3 , y i , j = 1 , 2 , 3 . E l n ú m e r o rea l r¡(x,y) s e r á in d efin id o , n o d e fin id o p o s it iv o . E l s ím b o l o o t e n so r d e L e v i- C i v i t a
c o n b a s e (eo, c j ,
d e M 4 s e n o t a r á así:
£ t o t a l m e n t e a n tis im é tr ic o s e d efin e así: si la p a r id a d d e lo s ín d ic e s e s par
1
si la p a r id a d d e lo s ín d ic e s e s im p a r
—1
si d o s ín d ic e s e s t á n r e p e t id o s
1
P a r a M 4 e s t e t e n so r e se r e d u c e a “e Ml,pa". T a m b i é n e e s u n a 4 - fo r m a y s u s c o m p o n e n t e s fo r m a n e l t e n s o r d e L e v i- C i v i t a , d e c o m p o n e n t e s e^
^·
a e„ a ep a e CT = e3. D e e s t e 4 - v e c t o r ú n ic o se d ic e q u e g e n e r a los e l e m e n t o s d e v o lu m e n
L a b a s e d e A ^ M U ) e s t á fo r m a d a p o r un s ó lo e le m e n to : eo a e i a e j a de M 4 .
L a s c o m p o n e n t e s d e e s e c a lc u la n e v a lu a n d o la 4 - f o r m a e so b r e la b a se
“¡ivpo “
a
eu a Cp a e „ ) .
L a b a s e ( d u a l) ú n ic a d e A 4 ( M * ) e s
dx^ a dxv a dxp a dx” = dx° a dx l a dx2 a d i 3 .
E s t e 4 - c o v e c t o r ú n ic o g e n e r a lo s e l e m e n t o s d e v o lu m e n d e ¡VI,* y se l la m a “4 - fo r m a ” . L a ú n i c a c o m p o n e n t e c o v a r ia n t e d e
£ s e d e b e a la b a se d u a l
( e |e o a fij a € 2 a 6 3 ) = £ 0 1 2 3 = + 1 · E s t a c o m p o n e n t e d e t e r m in a c o m p l e t a m e n t e — d e fin e — el t e n s o r
£ d e L e v i- C i v it a
(su v a lor y p r o p ie d a d e s d e s im e t r í a ) . E j e r c i c i o 1 : C a lc u le la s 4! c o m p o n e n t e s p o r c o m p o n e n t e s , d el t e n s o r e .
£,,„piT d e £ y o b t e n g a e n t o n c e s la d efin ició n ,
N o t a 2: No confunddir los 4-vectores (puntos, vectores de M4) con los 4-vectores, 4-covectores y 4-formas de A4(M 4) o de A4(M*) (véase la sección 5.6). El símbolo de Levi-Civita £ se puede considerar como el “tensor e ^ p
= = = =
^ E s p e d í *1 a d x u a d x p fÁ
a
dx°
En general, cualquier 4-forma es proporcional a e. E je rc ic io 2: ¿Por qué lo anterior? Cuando se realiza una transformación de Lorentz, las componentes de e cambian, sólo para cierta categoría de estas transformaciones; las componentes no cambian absolutamente, teniendo el mismo valor en todos los referenciales de Lorentz (o referenciales inerciales, es decir, moviéndose rectilínea y uniformemente). Volvamos a Maxwell. É = ( E l , E 2 , E 3) y V x B = (B l , B 2, B 3) representarán a los vectores campo eléctrico y magnético, respectivamente. L a primera unificación entre electricidad y magnetismo se hace considerando el conjunto de componentes (la razón de su existencia la veremos más adelante, aceptémoslo por ahora) de un objeto físico F , dado en la forma matricial contravariante y antisimétrica: <0
-E l
- E2
El
0
E2
B3
0
-B 2
Bl
\E
3
-B
3
- E 3\
( 0
B2
Ez
-B 1
Ey
o )
\E Z
-E x
~EV
- E z\
0
-B z
Bz
0
By -B z
Bx
0
La forma covariante será Ex
Ey
-B x
0
-Bz
By
-E y
Bz
0
-B x
\~ E*
~By
Bx
( 0
Ez
\
o )
Gracias a lo anterior, el campo electromagnético ( E y B mezclados íntim a m ente por las matrices precedentes) puede ser perfectamente representado por una 2-forma, llamada 2-forma (o tensor) F de Faraday; la cual, por definición, tiene por
componentes a las coordenadas dadas por las matrices anteriores. Entonces:
F = ^
F^dx^
a
d i"
=
—
^-F ^^dx*
a
d i".
ix
Desarrollando tenemos:
F
=
Foi dt a dx ·+■ F 02 dt a dy + F 03 dt a dy+ F \2 dx a dy + *13 d i a dz -f- / 2 3 dy a dz (E z dx + E vdy + E zdz) a dt + B zdx a dy + B xdy
=
a
dz 4- B ydz
a
dx
E je rc ic io 3: Compruebe el cálculo anterior. H asta aquí hemos establecido la identificación del campo electromagnético -la pareja de 3-vectores ^É, É'j - con las componentes de la 2-forma F de Faraday. Derivando exteriorinente a F se tienen 12 términos:
dF
=
dE x . . . dE x . . . dEy . . . ——dy a dx a di H— 5—dz a dz a di + ——d i a dy a di dy dz di dFv 5F* dEt H—j-^d z a dy a dt 4- ——d i a dz a di + —— dy * dz /\ dt dz dx dy dBz . . . + ——dz a a x a dy + —— dx a dy a az + - —¿-ay a dz a d i dz dx dy dBz dfíx d¿?y + —-—di a d i a dy H— -—dt a dy a dz H— r-^-dt a dz a dx di di di
Y dFz A (dE x
dfíy dt v dz ( dEy _ dEx \ : d y ) + dt A\ dd ii
dy * dz
a
dt
dz
a
dx
a
dt
dx
a
dy
a
di
— ( d i v B )d x
=
a
dy
a
dz
+ ( rolÉ + - j - ) xdy dt
a
dz
a
dt
+ (rót£ + ^
)ydz
a
dx
a
dt
+ ( rolÉ + ^ ) ¡ d x dt 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
a
dy
a
dt
A p a r e c e n a q u í la s d o s p rim e r a s e c u a c i o n e s h o m o g é n e a s d e M a x w e ll , l a s c u a le s s e u n ifican y s in t e t i z a n e n u n a s o l a e c u a c ió n in tr ín s e c a , g e o m é t r ic a , lib re d e c o o r d e n a d a s u o b s e r v a d o r e s; la c u a l es
d F = 0. E j e r c i c i o 4 : N o t a n d o e n el d e sa r r o llo d e
F q u e F = d ( lc) + d ( 2 $ ) , d o n d e lc e s u n a
1 -fo r m a y 2
- ^ F tlí/*{dx>i a d x 1').
* F , q u e s e l l a m a la 2 - f o r m a d e M a x w e ll,
( p o r d e fin ic ió n )
H a c ie n d o el d e s a r r o llo c o n la m a tr iz F M„ s e t ie n e *F =
—( E z dy a dz + Eydz a dx + E zdx a dy) + ( B Tdx + B ydy + B zdz) a dt.
E j e c i c i o 5: D e s a r r o lle el c á lc u lo a n te rio r. A h o r a d e f in im o s la 3 - fo r m a J , l l a m a d a 3 - fo r m a d e n s i d a d d e c o r r ie n t e , p or
J = (Jx dy a dz + J y d z a d x + J z dx a dy) a dt —p d x a dy a dz = *
/
D e t o d o lo a n te rio r s e d e d u c e q u e la p a r e ja (3 ) y ( 4 ) d e la s e c u a c io n e s d e M a x w e ll
tro*··:
$
e s t á c o n t e n i d a e n la e c u a c ió n
d* F = J.
s e c a m e n t e , e n el l e n g u a je d e la s fo r m a s d ife r e n c ia le s, así:
dF = 0,
d*F = J.
'»*»· ■ · ) ■
F in a l m e n t e , v e m o s q u e las c u a t r o ( o c h o ) e c u a c io n e s d e M a x w e ll s e e s c r ib e n in tr ín
N o ta 3: El campo electromagnético es un bivector o una 2-forma con 6 componen tes { É ,B ) . En el espacio de Euclides y de Minkowski, el recíproco del teorema 8 de Poincaré afirma que toda forma diferencial cerrada es exacta. En nuestro caso, d F = O implica que existe 1ui = A tal que F = dA. En la base d i* tenemos que A = A ^ d i * . Los coeficientes de la 1-forma A forman las componentes covariantes del 4-vector, llamado 4-potencial electromagnético “A ^ ”. La 1-forma A se llama 1forma potencial electromagnético. N o ta 4: La existencia de la 1-forma primitiva A equivale a decir: F = dA = rot(A A) = d^Au - d„Ap. El significado geométrico profundo de la 1-forma potencial electromagnético A es que traduce la existencia de la forma llamada conexión, ya que conecta o empalma bases o referenciales infinitamente próximos (bases locales naturales de las coordenadas curvilíneas generalizadas) en los espacios euclidianos, minkowskianos y riemannianos. E sta conexión .4 es muy usada en la derivada co variante de la relatividad general y en las modernas teorías de campos gauge. De esta m anera, la presencia del electromagnetismo (por intermedio de A) origina las derivadas covariantes y A es el campo de gauge o, geométricamente hablando, la conexión o símbolo de Christoffel. La 2-forma F = dA se llama 2-forma curvatura, y la identidad maxwelliana d F = O se conoce con el nombre geométrico de identidad de Bianchi. N o ta 5: Tenemos d2' F = d J = O y esto es justam ente, en lenguaje geométrico (independiente de referenciales), la conocida ecuación de continuidad. N o ta 6: Tomando ** se obtiene la 1-forma dual de la 3-forma *d(*F) = *d*dA = J = &A la cual es conocida como la ecuación de onda de D ’Alembert del potencial A. N o ta 7: O tra forma geométrica simétrica de las ecuaciones de Maxwell es, d F = O,
6F
= J.
p E je rc ic io 6: Pruebe las relaciones precedentes. E je rc ic io 7: Demuestre que d A = Ad.
Ík E je rc ic io 8: Verifique que A* = *A.
9.7.
A p licaciones de los ten so res
El álgebra y el análisis tensorial se aplican en la teoría de la elasticidad, en la mecánica de sólidos, en la teoría del electromagnetismo, en la teoría de la gravitación de Einstein, en mecánica cuántica, etc .. .en toda la física, amén de la matemática. Aquí daremos un mini esbozo rápido de dos aplicaciones principales, con lo cual buscamos ilustrar el uso de los tensores. Las aplicaciones serán demasiado esquemáticas y muy conceptuales, ya que no buscamos desarrollar la teoría física completa, ni siquiera dar una introducción; para ello existen artículos didácticos y textos que el lector puede consultar en la lista bibliográfica.
9.7.1.
Teoría electromagnética de Maxwell
Retomando el contenido de la sección 9.6, nos vamos a dirigir ahora a dar una forma sintética y compacta, es decir, una forma tensorial a las ecuaciones de Maxwell, que de 4 se van a reducir a 2. Nos situaremos en el ámbito del espacio-tiempo de Minkowski, usaremos los conocimientos del álgebra tensorial y supondremos que sabemos derivar tensores como se hace con las funciones ordinarias. P ara más detalles ver las referencias de la bibliografía. Finalmente, no olvidemos que la luz es una onda electromagnética, y por con siguiente la luz y la óptica son casos particulares, explicados por las ecuaciones de Maxwell. Las ecuaciones homogéneas de las leyes (1) y (2) de Maxwell implican la exis tencia de potenciales vectorial A y escalar V, tales que d iv B = 0 + £ íó L Í = Fot ( £ +
= 0
=>
3^4 : d ív B = roíÁ
=>
3V : É + 2 £ = - V V
de donde É = - 4d - W . dt Reunamos A y V en un sólo objeto geométrico: el 4-vector A ** = [V ,A) = (/Io, .4), Ahora queremos derivar un rotacional de A* que nos dé un tensor cuyas componentes sean E y B. En componentes tendremos: E,
,
Bt
-
dy
dz
donde hemos usado el operador gradiente en cuatro dimensiones
E je rc ic io 1: Pruebe que
= o = d ’alembertiano.
Las componentes anteriores muestran que los campos eléctrico y magnético son las componentes de un tensor de segundo rango antisimétrico, llamado tensor campo electromagnético F o tensor de Faraday F, cuyas componentes son: F »v = d M 1' - duA'í = Rot (A»). E sta últim a ecuación, que da a F*“' como el rotacional cuadridimensional de í4a , es equivalente a las leyes (1) y (2) homogéneas, las contiene. Las componentes de F*“' en forma de representación matricial son (
F ,IU =
0
- E x
~Ey
Ex
0
- B z
By
Ey
Bz
0
-B z
~By
Bx
0
[ e z
-E ,)
)
Del cuadrirrotacional anterior se deduce la primera ecuación tensorial de Maxwell: dxF >ÁV + dflF ‘,x + duF ^ = 0.
(9.1)
E sta es una relación tensorial de tercer rango completamente antisimétrica. Las componentes con A ^ p. ^ u no son nulas y sólo quedan cuatro ecuaciones distintas, que con la matriz de F " 1' dan las leyes (9.1) y (2). N o ta 1: En la sección 9.6.3 vimos que el campo electromagnético, o pareja de 3vectores (É, V x B), se identifica plenamente con las componentes FM„ del tensor de Faraday F . Además, vimos que estas componentes son las mismas que la 2-formu asociada al tensor F . De esta manera el campo E deriva de un potencial. Al escribir dF = 0, en términos de componentes se tiene dF = 4d ^ · a dx* a dxv a dxx = 0.
dxA
E sta ecuación se puede escribir así: dFu -¡p r *
que son equivalentes, ya vimos, a las cuatro ecuaciones representativas de las dos ecuaciones homogéneas de Maxwell. La ecuación (9.1) puede escribirse en forma más compacta. Para ello se define el tensor dual del tensor F de Faraday, el cual se llama tensor de Maxwell, y es por definición: • pn* = \c>x'/Pa Fpa Su representación matricial es -B x
~By
Bx
0
Ez
~Ey
By
~EZ
0
Ex
Ey
—E x
(0 •
—
\B «
-Bz\
0 )
Obsérvese que el tensor dual * F ,l¡/ se obtiene del tensor F '“' haciendo la sustitución B —* —E y E —♦ B. También se nota que las componentes de la 2-forma dual *F, en la base d i*
a
d x u, son justam ente —- (* F ^ W), de manera que
* F = - ^ ( * F MI/) d i M a d i" . Por ser e'1*''*' totalm ente antisimétrico, * F '“/ es antisimétrico y esto implica que *F tíU = 0 . E je rc ic io 2: Pruebe esta relación. E je rc ic io 3: Demuestre que esta relación es equivalente a las cuatro ecuaciones (9.1) precedentes. P ara la formulación tensorial de las ecuaciones inhomogéneas, leyes (3) y (4), se procede así: Definamos la 4-corriente por = (p, J) donde p es la densi dad volumétrica de carga y J la densidad superficial de corriente. Las ecuaciones inhomogéneas (3) y (4) son equivalentes a la relación ¿ F»“ ' =
f.
La prueba es sencilla. Por ejemplo calculando con u = 0, encontramos a (3): dEy d i F 10 + d2F 20 + d3F 30 = p = ^ i + ^ + ^ i = V £. dy ex oy oz
B
Calculando con u = 1, se tendrá la componente x de (4):
a P21 +, daaFr-3i = j,i _= dEz doF» +. da2F _ + dBz
dBy
Definitivamente tenemos que las ecuaciones de Maxwell, en forma covariante (tensorial en el formalismo cuadridimensional del espacio-tiempo de Minkowski), son dos dxF
+ d,1 F vX + dvF >“1
dpF*“'
=
O
= jy
o, de manera más sintética y económica, ^ ’ F “' = O,
d» F ^ = f .
N o t a 2: Esta presentación condensada, económica, covariante y maximalista de las ecuaciones de Maxwell no agota todo, ya que tiene el defecto de usar índices covariantes y contravariantes, así que todavía no es, “stricto sensu” , una presen tación covariante o intrínseca, porque los índices indican que irremediablemente se usa un sistema de coordenadas particular u observador. Aunque sea ya un gran paso en economía de ecuaciones (las ocho originalmente se han reducido a dos, m agra economía que es, en últimas, una victoria pírrica, ya que V · B es más económi ca que V'¿?¡!), a pesar de esa síntesis no hay absolutividad (¡no hay relatividad!). E sto último se obtiene cuando las ecuaciones de Maxwell se escriben con formas diferenciales exteriores libres de coordenadas (cálculo exterior absoluto de Cartan): dF = O,
d * F = J.
E stas dos últimas ecuaciones (véase la sección 9.6.3) sí exhiben transparentemente la independencia del sistema de coordenadas -la carencia de índices lo anuncia-. F es un objeto, lo mismo que *F, que existe “per se” , aunque no existan sistemas de coordenadas, bases o personas. Si desaparece el género humano, F, *F y las ecuaciones de Maxwell seguirán existiendo. Bíblicamente, Dios dijo: “Háganse las ecuaciones de Maxwell y la luz se hizo". Humanamente, Maxwell inventó sus ecuaciones, y éstas nacieron prematuramente relativistas, de esto se percató felizmente a tiempo Einstein, para fortuna de los mortales.
9.7.2.
Teoría relativista de la gravitación de Einstein
E sta teoría de la gravitación de Einstein también se conoce con el nombre de teoría general de la relatividad, ya que generaliza los resultados de la teoría especial de la
relatividad -é s ta sólo es válida en referenciales inerciales y en espacios euclidianos-, para el caso de referenciales arbitrarios en espacios de Riemann. A hora aprendam os relatividad general en un día. Un primer hecho físico bien conocido, descubierto por Galileo, expresa que en el vacío todos los cuerpos caen libremente, a partir de un mismo punto, con la misma velocidad. Es decir, que en un campo gravitatorio todos los cuerpos caen libremente con la misma aceleración. El campo gravitatorio no distingue entre la masa inercial m, ( F = m¿a) y la masa gravitacional m 9 ( F = —G m gm'gr~ 2). Existe, pues, identidad entre esas masas. El hecho anterior motivó a E instein (en alemán, ei n ste in significa uno piedra) para enunciar su principio de equivalencia, el cual afirm a que no se puede distinguir un referencial acelerado de un referencial quieto en un cam po de gravitación. De esta m anera se puede anular, o modificar, o crear un cam po de gravitación con la ayuda de un referencial acelerado. Eso es verdad, ya que todos hemos experim entado sensaciones curiosas en un bus, en un ascensor y en una m ontaña rusa. Los suicidas lo saben muy bien, y los m alhadados que fallecen en accidentes de tráfico o en un ascensor, cuando se rompe el cable. De todo lo anterior concluyó E instein que la física es la misma, en particular la relatividad especial, en un referencial en reposo, en movimiento arbitrario o en un campo gravitatorio; esto es en esencia el Principio de Equivalencia. De ello dedujo la desviación de los rayos luminosos en un campo de gravitación, como si la luz tuviera peso. Con base en lo anterior enunció el principio general de relatividad el cual afirm a que las leyes y ecuaciones de la física son las mismas en todos los referenciales o sistem as de coordenadas. Un segundo hecho físico analizado por Einstein tiene que ver con el fenómeno de contracción de la circunferencia de un disco rotante. Su radio que es perpen dicular al movimiento de rotación no se contrae paradójicam ente. Además, relojes distribuidos sobre el disco rotante se desincronizarían irremediablemente. De esto concluyó Einstein que el espacio-tiem po euclidiano de un disco en reposo se tran s formaba en un espacio no euclidiano, cuando se ponía en rotación. Su geom etría es exactam ente riem m aniana, esto quiere decir que existe un campo de tensores métricos g(f, t) de componentes í). Ese espacio de Riemann viene caracterizado por un tensor R p ^ , llamado de Riemann-Christoffel. (que se anula en el caso euclidiano por ser g = <5 = constante), el cual se calcula con las derivadas espaciotem porales de g^u. U na prim era contracción nos da el llamado tensor de Ricci: y una últim a contracción da el es calar, llamado curvatura escalar del espacio-tiempo: R£ = R. De aquí el nombre de espacio curvo. E sta es una propiedad físico-m atem ática que no tiene representación sensible y no debe imaginarse, ni soñarse, como un espacio embombado. Finalm ente, un tercer hecho físico-m atemático es que en un espacio de Riemann
sólo pueden usarse coordenadas curvilíneas (y"). Sólo localmente existen coorde nadas rectangulares. C ada vecindad de un punto tiene un sistema de cordenadas (y"), y cuando uno se mueve a otro punto, entonces el sistem a varía y para realizar el em palm e o conexión entre dos sistem as coordenados infinitamente próximos se usa la conexión T, llamado símbolo de Christoffel. de tres índices, de manera que la variación de un vector x* es A
xa
= —
dyv = —uixdyu.
Las conexiones T se dan en función de las derivadas de gtiu * constantes. Aquí lj es una 1-forma diferencial exterior. Esto hace que, al calcular la ra ta de cambio (derivada), haya que tenerse en cuenta la variación del referencial (base), lo cual introduce un térm ino complementario que da origen a la llamada derivada covariante, la cual transform a tensores en tensores. Al realizarse un paseo en un espacio de Riemman (ver figura 9.10), se llega a casa con la misma estatu ra pero desorientado, los vectores han cambiado sí en dirección, pero no en módulo. Este hecho insólito se expresa en el cambio que sufre una base ep: ^ e „ - R ^ x d S vXep ft
0
,
donde d S es la superficie barrida. Por eso se dice que un espacio de Riemman tiene curvatura, hace “curvar” , desviar o rotar los vectores depués de recorrer un camino cerrado (no holonomía).
Figura 9.10. Notemos que que en general
se da tam bién en función de T y sus derivadas, de m anera
¿il/ - R x„p -> R up -
R.
Ahora hemos llegado a la anunciada teoría de la gravitación de Einstein. Prim ero vemos, que aquí se ha trabajado con geometría pura ( g ^ ) ; segundo, en la geom etría de Riemann una línea “recta” se llama geodésica (figúrese una “recta sobre una superficie esférica, que es un espacio de Riemann bidimensional), y es a los espacios de Riemann lo que la recta “verdadera” es a los espacios euclidianos. Tercero, un rayo de luz es tal que ds = 0, es decir, es un vector isótropo o luminoso; en general el camino recorrido por un cuerpo en un campo gravitatorio será mínimo (geodésica) y es como si fuese en línea “recta” pero en un espacio riemanniano desprovisto de fuerzas. Finalmente, cuarto, hay que dar las ecuaciones de campo, que digan cómo se crea y evoluciona cuando hay m ateria y energía en el espacio; éstas se representan por el tensor TMI/, llamado tensor de energía-materia. En la teoría newtoniana de la gravitación esta situación se expresa con la ecua ción o ley de Poisson W ( r ) = 4tt p(f), donde V es el potencial escalar creado por la distribución de m ateria de densidad p(f) y V 2 es el laplaciano. E sta ley de Poisson guió a Einstein en la deducción de su ley de gravitación. Einstein resume su teoría relativista de la gravitación en dos puntos: P r i m e r a ley: Los cuerpos se mueven libremente en los campos de gravitación, como si no existiesen fuerzas, por efectos de una inercia generalizada, y describen una geodésica de ecuación: r d^x^ ds* dsv Trayectoria mínima: <=> ó I ds = 0 <=> = —r í „ —t— · —r—· J ds 2 ds ds S e g u n d a ley: D ada una distribución de m ateria y energía T ^ u, las ecuaciones de Einstein, que describen la gravitación por intermedio del campo métrico (^ „ (r, t), son R ^
—g¡n/R =
Nótese que el primer miembro, llamado tensor de Einstein, es geom etría pura proporcional (x = constante de Einstein) a la existencia de la materia-energía. Resolver las ecuaciones de campo de Einstein es hallar gtl¡/ cuando se conoce la distribución de m ateria T ^ , o viceversa. La m étrica g^u contiene la geometría. Los componentes se llaman los po tenciales de gravitación, y los componentes R ^ el campo de gravitación, que en realidad es una 2-forma diferencial exterior. Varias comprobaciones experimentales han verificado las ecuaciones de Einstein, que además contienen la primera ley del movimiento y predecir la existencia de ondas de gravitación, aún no detectadas experimentalmente (serían como ondas de geometría).
Con esto hemos esbozado el aspecto algebraico de la teoría de Einstein. El as pecto analítico no se ha tocado. P ara más detalles y exactitud véanse las referencias de la bibliografía. N o ta 1: David Hilbert obtuvo las ecuaciones del campo de gravitación antes que Einstein, por métodos de análisis variacional rigurosos. N o ta 2: Einstein prácticamente adivinó de forma genial sus ecuaciones. Fue Elie C artan en 1924 quien demostró la existencia y construcción de dichas ecuaciones, de manera rigurosa y deductiva.
9.8.
A plicaciones a la m ecánica cuántica
Los espacios de Hilbert fueron presentidos en la Física cuántica por Dirac, quien elaboró una notación muy ingeniosa y sugestiva, la cual es de uso corriente en la física de hoy: Los vectores de estados de un espacio de Hilbert se llaman kets, y las formas cuasilineales se llaman 6ras estos son exactamente formas antilineales que tienen sus particularidades que no señalamos aquí (ver en el capítulo 8 los problemas 54 a 57). El producto escalar Hermítico (o interno) se llama bracket y los elementos de la matriz de un operador con un mismo ket se llaman valores medios o esperados. La teoría abstracta y codificada de los espacios de Hilbert fue obra de J. Von Neumann, quien definió axiomáticamente los espacios de Hilbert. “Aprenda mecánica cuántica en 10 días” es un ejercicio que seguiría el siguiente derrotero: 1) Todo sistema físico tiene una descripción cuántica mediante una función com pleja '1' que pertenece a un espacio de Hilbert restringido, H c L 2, de los estados posibles; además, '1* contiene la información máxima del sistema y tiene una interpretación física (inspirada en la igualdad de Parseval y la teoría espectral de la luz) puramente estadística: ||'I'||2 = da la probabilidad de presencia espacio-temporal del sistema cuántico. '1' no es una onda físi ca, es una función compleja, mal llamada función de onda, *¡!(x,y,z,t) e C, (x , y , z , t ) 6 R4. 2) Se escoge un conjunto de magnitudes físicas medibles y se representan por ope radores hermíticos conmutantes. Ese conjunto compatible se llama conjunto completo de observables que conmutan (C.C.O.C.). 3) Dos observables fundamentales primitivos del C.C.O.C. son el momento lineal p y el hamiltoniano H del sistema. Otro operador, que no hace parte del C.C.O.C., es la posición r = ( x ,y , i , ) cuyas coordenadas sólo servirán de índices continuos.
4) Se llam a prim era cuantización a la receta de correspondencia y conm utación de p y r. f- * f= ( x ,y ,z )
p —► —ih graá
= iFi6tj 5) Se diagonaliza el C .C .O .C ., es decir se busca una base propia ortonorm al com ún correspondiente al autoproblem a H<Í!(x,y,z) = E'If(x,y,z),
H = ^
+ V(x,y,z),
en cuya base p y H y el resto del C .C.O .C. son sim ultáneam ente diagonales y sus espectros son reales y son los únicos resultados experim entales observables en laboratorios. V es la energía potencial. 6)
'¡'(x .y , z) se puede escribir como una serie o com binación lineal en la base propia; se postula que la dependencia tem poral de í verifica la ecuación de Schródinger: « A ¿ |* (0 > = £ |* (t)>
La representación particular resum ida de 1) a 6 ) se llam a m ecánica ondu latoria, la cual es un caso particular de la m ecánica cuántica. Existen otras representaciones o mediciones de la m ecánica cuántica, según la escogencia de operadores, m étricas o coordenadas. A hora quedan abiertas las puertas prin cipales del paraíso de la teoría cuántica y de la teoría de la relatividad, el cual ya divisábam os desde el limbo de la física clásica, que aún no se ha term inado de explorar. N o ta 1 : En la notación de D irac, una m atriz del operador u entre los estados \4>) y |ipy se escribe así: C uando se especifica una base (ei) de Ti., entonces un elem ento de m atriz Uij del operador u se escribe así:
“tí
=
«12
...
U ln''
1X22
···
^2n
\< en |u |ei>
< ei|u |e2>
< e,|u |en>^
(e 2 |u|e„>
< e„|u|e2> . . .
N o ta 2: E n la igualdad de Parseval (sección 8.2) (caso directo) se puede tom ar el conjunto de los sum andos parciales positivos 0 < |x ; | 2 < 1 (o en el caso continuo \t¡i\2 de la notación de la m ecánica cuántica) como las probabilidades parciales; y ||X || = 1 (o HV'II = 1 ), es decir, la norm alización a la unidad, como la probabilidad to tal (de valor 1 , vale decir, certeza) de hallar el sistem a cuántico -u n a partícula, valga el ejem plo-, representado por el ket |x ) (o |i/j)), en algún estado cuántico -u n a localización-. E n el caso continuo, la igualdad de Parseval se escribe = 1 1*1 = í \tl>(x)\7dx I Jr»
E sta norm alización de la función de estado o “de onda” , a la unidad, perm itió aislar el integrando o “sum ando parcial continuo” ip(x) e interpretarlo estadísticam ente. E sta herm enéutica analógica, debido al físico M ax Born en 1927, perm ite interpretar la función “de onda” tJi (x ) como la am plitud de probabilidad para hallar la partícula en cualquier sitio del universo (R3). E sta m odalidad interpretativa probabilista o estocástica, se conoce como intrerpretación estadística de la función de onda ip, o interpretacvión de la escuela de Copenhague de la m ecánica cuántica. El lenguaje coloquial, no más esotérico que galim ático, pero ciertam ente, muy elípti co, podem os resum ir la m ecánica cuántica con esta aserción: la teoría cuántica, como sistem a de conocim iento científico no casual, no determ inista y estadístico, sólo puede calcular: 1 ) el espectro de valores de cantidades medibles (observables u operadores herm íticos) com patibles (conm utantes); 2) los valores promedios y 3) las probabilidades de presencia generalizadas (no solo de ubicuidad), las probabilidades de transición y de dispersión. En un lenguaje menos prosaico y más ténico, la m ecánica cuántica se plantea este sólo problem a: Supongam os que disponemos de un sistem a físico preparado en el tiem po ¿o, y tal que en él, una propiedad física observable (m agnitud medible), representada por el operador herm ítico A(io), tenga el valor a. Se supone, adem ás, que el estado inicial está representado por el eigenket norm alizado a la unidad |a, to), ta l que cum pla la autoecuación
Á ( í0 )|a ,ío > = a |M o > A dm itido lo anterior, la única pregunta que fórmula el físico cuántico es la siguiente: ¿C uál es la probabilidad V de que la observación del sitem a anterior en el tiem po uilterior t\ dé el resultado b p ara alguna propiedad medible representada por el operador herm ítico B ( ti)?
Si tomamos el eigenbra normalizado a la unidad ( 6 , f i|, que cum pla con el autoproblema
entonces, la única respuesta a la pregunta de nuestro problem a es: 7> = |< M ,|a ,t0>|2. Así las cosas, enunciadas con su despiadada lógica cuántica, su inflexible sintaxis cuántica, su cartesiana semiótica cuántica, y su adecuada herm enéutica cuántica, el físico sólo tiene que hallar la función de transformación, o am plitud de probabi lidad, (b, í||a , í0>. En lenguaje sencillo, ésto es simplemente la proyección de un estado a otro, un solapamiento, un caso de representación. Así se llega a una verdad o certeza cuántica contrastable con la experiencia. N o ta : P ara complementar, ver los problemas 41, 51, 52, 55, 56, 63, 64, 72, 78, 95, 118, 123, y 125 del capítulo 8 .
9.9. 1)
P roblem as
Sea la ecuación de una curva cualquiera x' = x ‘(s), s es el parám etro; sean las ecuaciones covariantes de las geodésicas p ara dos sistem as de coordenadas (x‘) y (y*), en un espacio dado: d V
<
ds 2
dx^dx^ da ds
d2y' ds 2
<
dy1 dyk ds ds
a) Halle las siguientes relaciones dy' ds
dy' dxa dx° ds '
d2y' ds2
d2y' dxa dxa dx°dxa ds ds
dy' d~xa dx° ds2
b) Con la ayuda de la segunda ecuación de la geodésica encuentre dy' d?xa dx° ds 2
d2y' dxa dxB dx^dx0 ds ds +
dy* dyk dxa dxa _ lk dxa dx13 ds ds
,,
c) Con la ayuda del factor | | r y la sum a sobre i, deduzca la siguiente fórmula que da la relación entre T']k y r '* fc : i = dy<>_ dy^ d¿_ }k dx3 dxk dya ^
d2y a dx1 dx1dxk dy”
d) Concluya. 2)
Se pide diferenciar, con respecto a y * , la relación: dxa dx0 9i> = l ^ " d y i 9 a l3 a) O btenga dg'idgaa dx'1 dxa dx0 ---------------------------------- + ÍM dyk dx7 dyk dy' dy3
( dx° d2x0 dx0 d2x° \ -j TT aiT-j - r + ---------------\ dy' dykdy]dx3 dykdy‘ J
b) Calcule otras dos derivadas haciendo, en la anterior, una permutación cíclica de ¿, j, k, luego súmelas y reste la precedente, y obtenga la conocida ley de transform ación de los 3)
a) Demuestre que existen transformaciones, e identifíquelas, las cuales cam bian la relación tensorial ,
dxa dx0
t “
b) Con el factor
dx° dx0 r
S ,,' W
W
’S
y sumando sobre i, verifique que
dy3 dx0 _ . dx0 _ dx“ ~dx¿ ~ 0,0 » lh¡i ~ 110 dy3 ~ ~dyi c) Deduzca que en este caso, la contravariancia y la covariancia son idénti cas, es decir, que A^ p L AO = y ^ L Aa = A J J l = K dxa dy' dy' d) ¿En qué tipo de espacio esto sucede? 4) Démonos un covector por su ley de transformación V =
'
T
dy* 1'“
a) Diferenciando obtenga dT[ dy3
dx° dx0 dTa dy' dy3 dx0
d2xa TQ dy'dy1
b) Concluya que la derivada de las componentes de un covector no es un covector. c) Con ayuda de la fórmula del literal a), y de la ley de transform ación no tensorial de multiplicando por T'Q, obtenga:
\d y i
i3 °)
dy* dy3 \ d y *
a0 p)
d) Deduzca la siguiente expresión, llam ada derivada covariante (o absoluta) de T í :
= (?1L
6y3 ~ \ d y 3
-r.
'3 ° J ~
,J
e) Verifique la relación , _ dxa dxp r 1 ^ ~ dy* dy 3 ° 0 5) Tomando el determ inante (= | |) del tensor <5* halle que
}
dy3
dy 1 d x a dxa dy3
dy ' d x a dxa dy3
dy dx
dx dy
=
1
6)
a) Si los elementos del determ inante |d| son funciones de las variables x 1, . . . , x ", establezca que
d\d\ di*
daj 0 dx»
donde Dp son los cofactores de a0 en | a | . b) Sea la m atriz JacobianaaJ =
con y* = y‘( x l , . . . , x n) y | a | = j | ¿ | =
I §* I * 0. De la ecuación 6) = f £ r § ^ , despeje 6° ^cofactor de |j¡7 en | f í | ) H 1
1
^cofactor de §£r en
|f í |)
y obtenga
c) Con ayuda de a) obtenga
dM dx*
dy dx° dx dy0 dx>‘dxa
óy dx
dx*
7) Tomemos una densidad escalar (seudoescalar) A de peso p. Aquí determ inante.
significa
a) Verifique que A' = ||^ j A b) Calcule la derivada de A' y obtenga
dy3
p dX dx° dx + P dxa dy3 dy
p-l
d \rv \ dy3
c) Con ayuda del problem a anterior, encuentre 5V dy3
p dxa dX +p dy3 dxc
p dya d2x0 , dxl¡ dy3dya
d) Use la ley de transform ación de T'ik m ultiplicada por pA' y réstela de la expresión anterior c) y halle ( i * - * - x \ - \ Jd í PdJ l ( l h - - PT‘’ x \ W p i a )~\dy d yi\d x ° pla3J e) Concluya que la expresión j ~ = A —p r ° QA), llam ada deri vada covariante del escalar relativo A, es un vector covariante relativo (densidad) de peso p. 8) a) Si X es un campo vectorial continuam ente derivable y si se da una función / real con derivada continua en R3, establezca la relación r o t ( f X ) = f ( r o t X ) + ( grad / )
a
X
Si el campo de vectores X , en R3, está definido por
X{M ) =
zx \x y )
b) M uestre que exite un cam po de vectores Y tal que X = ro t Y . c) Dem uestre que existe, y exhíbala, una form a diferencial u tal que cLj
=
yzd y
a
dz
+
zx d z
a
dx
+
xy d x
a
dy
9) Sean A (x ,p ) y B (x ,p ) dos funciones analíticas de i y p, es decir, adm iten series de Taylor, no conm utables, pongam os [x,p] = ih, con i = V —T y h = constante. Pruebe por m étodos m atriciales que
Por definición [A ,B ] =
~
es e* corchete de Poisson,
calculado como si x y p fuesen no operadores (variables clásicas). 10) En un espacio E (euclidiano o herm ítico), se llam a m ovimiento rígido (o isom etría) a una transform ación T de E en E (no necesariam ente lineal) tal que se conserve la norma: ||T (x ) — T (y )|| = ||x —y || para todo ( x ,y) e E 2 . Supondrem os E = R 2 (euclidiano). a) D eduzca que los m ovim ientos rígidos form an un grupo para la compo sición. b) Averigüe si un operador lineal ortogonal es un m ovimiento rígido. c) Exam ine, en el caso com plejo, si un operador unitario es un movimiento rígido. d) Verifique que la rotación Rg de ángulo 8, es un movimiento rígido. e) D em uestre que la traslación de vector a, Ts , definida por x — » T 5 ( í) = x -l- a, es un movimiento rígido. f) M uestre que todo movim iento rígido T , tal que T (0) = 0, es un operador lineal unitario. g) Pruebe que todo movim iento rígido de R 2 es una traslación seguida de una rotación, o una traslación seguida de una sim etría seguida de una rotación. h) De / ) infiera que todo m ovim iento rígido de R ¿ se compone de una tras lación, seguida de un operador unitario. 11) En el espacio-tiem po de Minkowski M 4 con la m étrica t¡ se define la siguiente form a cuadrática fundam ental M.( 9 X — ► q(X ) = t 2 — x 2 — y 2 — z 2 = ||(x ,y , z ,t ) ||2. Querem os estudiar los operadores L que la dejan invariante o la preservan. E stos operadores inversibles L se llam an transform aciones de
Lorentz y se definen así (una de las numerosas y variadísim as definiciones): ||L (X ) | | 2 = ||X | | 2 para todo cuadrivector X de M<|. De m anera que las trans formaciones de Lorentz son operadores que preservan a q o la forma bilineal asociada. a) D em uestre que el conjunto de las transform aciones de Lorentz L forman un grupo para la composición, llam ado grupo de Lorentz, notado C. b) Sea la aplicación de M,| sobre el subespacio H c A/2 x 2 (C) (m atrices herm íticas), definida por X = ( x , y , z , t ) — ► U ( x ,y ,z ,t) = f t + x y y — iz
y + lz t —x
M uestre que U es un isomorfismo. c) Averigüe si U es herm ítico y unitario. Calcule det U. d) ¿Es U
e S U (2) c M 2x2(C) ?
e) Com pruebe que q (X ) = ||X | | 2 = d e tU (X ). De m anera que se pue den estudiar las transform aciones de Lorentz sobre M.| estudiando (es equivalente) los operadores sobre H que preservan (dejan invariante) los determ inantes. f) Si P es un operador lineal real sobre el subespacio H c M 2 X-¡{C) m a trices, pruebe que L = U ~ l PU es una transform ación de Lorentz de M 4 (operador lineal), a condición de algunos requisitos que usted indicará. g) Tomemos cualquier N 6 Verifique que T n (A ) = A N defi ne un operador lineal T,v sobre H . ¿Es T ^ (A ) herm ítico? ¿Debe ser A hem ítica? h) Si M 6 M 2 x 2 (€ ) es tal que |det A/| = 1 , muestre que L m = U ~lT \tU es una transform ación de Lorentz de M 4 . ¿Es M e S L (2,C )? i) Veamos más detalladam ente cuándo es cierto que T m preserva los deter m inantes, es decir, pruebe que detT,v/(A) = det A para tod a m atriz A de H , ¿cuándo |det jl/| = 1 <=> M e S L (2C)? j) Si N \ y N i 6 M 2 x 2 (C) y son inversibles, encuentre que T,v, = N 2 = AJVi, A escalar.
<=>
k) D eduzca que si M i y M i € S L (2,C ) (son unim odulares) tales que M \ ±A^2 , entonces ¿ a íi ^ ■ 1) Concluya que no to d a transform ación de Lorentz pude obtenerse por el mismo m étodo (h). Encuentre una transform ación de Lorentz que no sea un L m de (h). Conclusión: con m atrices especiales o unim odulares de
S L ( 2C) se pueden construir transformaciones de Lorentz. E ste problem a exhibe la relación trascendental e inesperada entre el grupo de Lorentz C y el grupo S L ( 2C), llamado el recubridor universal. E ste es el punto crucial, esencial y profundo de la física relativista. 12) Considérese el espacio-tiem po de Minkowski (M4. r¡) como el espacio vectorial de los hechos, sucesos o eventos físicos representados por cuadrivectores X = (x*1) = (x°, x 1, x 2, x 3). a) Demuestre que la aplicación / : M 4 — ► R definida por [X , Y ) — » f ( X , Y ) = < X |y > = X . Y = r)tll/x ,‘y'/ = x°y° - x l y l - x 2y2 - x 3 y3, es una forma bilineal, sim étrica, no positiva y degenerada. E sta forma se llam a forma m étrica de Lorentz. b) M uestre que, en cambio, se cumple la condición |(X |K ) > 0 y <0 |0 ) = 0. La forma / ó < | ) de Lorentz con la condición anterior se le llam a seudoproducto escalar. Su form a cuadrática asociada q define una seudonorm a
11*11 = v ^ W i = V P T * > Í = v i / ( * . * ) l = V i ^ T i · c) Dé varios ejemplos numéricos de 4-vectores espaciales, tem porales e isó tropos con la m étrica indicada (a). Dé ejemplos de X ^ 0 y ||X || = 0 . d) Verifique que la seudonorm a (o norm a minkowskiana de M 4 || |] : M 4 — » R + definida por X — * ||X || = \ / k ( * ) I cum plen con las siguientes pro piedades, las cuales constituyen su definición N¿)
||X || » 0 y HOII-O;
N 2)
N 3)
\\X + Y\\ ^ ||X || + ||V||.
||A X || = |A| ||X ||;
e) Por tener M 4 un seudoproducto escalar y una seudonorm a se le llama un espacio seudoeuclidiano. En él se define tam bién una seudodistancia entre dospuntos de M 4 o entre los extrem os de dos 4-vectores, por la relación d(X, Y )
-
IK * -
r > || =
y/\(X -Y\X -r>\,
V
X, Y e
m 4
Com pruebe las siguientes propiedades definitorias de la seudodistancia d : M4 — ► R + d i) d(X , Y ) > 0 si X * Y y d { X , X ) = 0; da) d(X , Y) = d(Y, X );
d3) d(X , Z) $ d ( X , Y ) + d(Y, Z)
f) ¿Cuándo el ds2 en M 4 sería una distancia infinitesimal o intervalo de M 4? Dé ejemplos de intervalos espaciales, tem porales y luminosos. M uestre casos de d ( X , Y ) = 0 con X ^ Y . Com pare la distancia d ad a en la sección 3.3 y concluya.
g) P ruebe que todo 4-vector de la form a X = (x, x ,0 ,0 ) ^ 0 es isótro po. Calcule d(0, X ). Interprete esto y relaciónelo con la luz si x° = ct. Dé otros dos cuadrivectores isótropos parecidos al anterior. h) Halle la velocidad de un hombre (punto de M 4 ) que tom a la siguiente trayectoria espacio-tem poral {X = ( x ,x ,0 ,0) / 0 $ x $ 9} en un viaje interestelar. Verifique que si un hombre queda fijo en la T ierra, entonces, su evento o 4-vector tem poral es (x°, 0 ,0 ,0 ). 13) Problem a de los gemelos paradójicos de Langevin. Sean dos gemelos que, des pués de nacidos, se alejan; el uno queda en la T ierra (el sedentario) donde vive 10 años, el o tro (el viajero) lo em barcan en una nave espacial con una velocidad cercana a la de la luz, c, para realizar un viaje interestelar rectilíneo hacia un paraje, cercano a la estrella Alfa C entauro -la más cercana a la T ierra-, distan te 4.9 años-luz de la T ierra. Después de llegar regresa inm ediatam ente a la T ierra para encontrar a su herm ano. Se tom a c = 1, de m anera que x° = ct = t en años. X<¡
o
Evento B (10,0,0,0) Regreso a Tierra del viajero y encuentro rrtn ol c o H o n la rin
Evento B (5,4,9.0,0) Llegada del viajero a la cercanía de a-Centauro
/y
X
Tierra Evento A (0.0,0,0): estancia del sedentario y partida del viajero
A (0,4.9.0,0) Evento a-Centauro para el sedentario a distancia fija desde la Tierra
a) Si la dirección del viaje es x 1 = x, ¿por qué puede utilizar un espacio tri dim ensional M2 de Minkowski? Grafique el diagram a del espacio-tiem po bidim ensional de los gemelos sedentario y viajero. (Figura 9.11) b) Explique y escriba, p ara el gemelo sedentario, los 4-vectores de los even tos correspondientes al despegue O y al regreso B de su hem ano el viajero.
Figura 9.12. c) Explique y exprese, p ara el gemelo viajero, los 4-vectores de los eventos correspondientes al despegue O llegada al paraje A y su regreso B a T ierra. d) La seudodistancia del espacio-tiem po d en tre los puntos X y Y de MU, d (X , Y ) = ||X —K ||, se in terp reta físicam ente como el tiem po efectivo y real medido por el viajero a lo largo de la trayectoria que va de X a Y . Dé una explicación m étrica, algebraica y física de esto. e) Calcule d{0,A ) = ||A || y d(A , B ). f) Halle el tiem po to tal vivido por el sedentario g) E ncuentre el tiem po to tal de ida y regreso vivido por el viajero. h) Explique por qué las seudodistancias d(0, B ) y d(0, A) + d(A , B ), relativas a la T ierra y a la nave espacial respectivam ente, son físicam ente diferen tes. Explique por qué estos gemelos de Langevin tienen paradójicam ente 8 años de diferencia. Com ente los procesos biológicos y sicológicos de los gemelos. Y de sus horóscopos, ¿qué? ¿Hay pruebas experim entales que confirm an esta paradoja de los gemelos de Langevin?
14) P artim os del espacio afín Rn con un origen O y la base canónica. Una tran s formación T del grupo lineal-afín está caracterizada por i) el punto M e R en el cual ella transform a el origen O e Rn ; ii) por la nueva base B ' = (e ( , . . ., en) imagen que la transform ación lineal homogénea asociada a T da de la base canónica B = (1 ,0 , .. . ,0 )___, (0 ,. . . , 0 , 1) de Rn . Desde luego d e tg (e i, . . . . en) ^ 0. Se llam a referencial afín de origen M al conjunto (Ai, e¡, . . . , en) = r ta l que d e ts B ' # 0. El conjunto {r} de referenciales afines es un abier to U cz RrL(n + l). Un referencial afín r e U puede depender de uno o varios parám etros reales y se llam a, entonces, referencial móvil. a) Sustente que M , e \ , . . . ,e n son las funciones U — > Rn , diferenciables inducidas por las (n + 1) aplicaciones de proyección de (R ")n+1 sobre los (n + 1) factores R n. b) E n el caso particular en que se tom a como parám etros las coordenadas del punto r 6 U c Rn(n + l\ justifique que, entonces, esto es equivalente a considerar r como función de él mismo, vale decir, del punto r e í / . c) M uestre que dM , de i , . . ., den son (n + 1) 1-formas diferenciales sobre el abierto U de los referenciales con valores en Rn , es decir, elementos de f !i( t/,R n ). Com pruebe que cada una de esas 1-formas tiene n compo nentes reales que son formas diferenciales con valores escalares. d) P ara las (n + 1) formas dM , d e i,. . . ,d e n, que llam arem os funciones ui, establesca que son funciones de la variable r 6 U y funciones lineales de la variable X e Rn('*+1), para cada r e U, con valores en R '1. e) Justifique que, para un r € U dado, entonces ( e i( r ) ,. .. ,e„(r))es una base de Rn y, por ende, el valor de w (r, X ) se expresa de m anera única como £ " =1 A ,ei(r). f) D em uestre que los escalares Aí(t-), para r dado, son formas lineales de X ; de allí deduzca que las funciones reales A,(r, X ) son 1-formas diferenciales en U con valores escalares. g) P ara cada referencial r e U, la notación e, designa el valor e,(r) del i-ésimo vector del referencial r. Deduzca que podemos definir n (n + 1) 1formas en U con valores escalares y (1 ^ i, ] ^ n), tales que dM = y de, = ui, y w¡3· definen el llam ado desplazam iento infinitesim al del referencial móvil r e U cuando r varía. h) D em uestre las siguientes relaciones
(Ljj = 2
“ 'i A W y
d jij =
i
(1
i,j,
a UJkj k
k ^ n)
i) Pruebe que los siguientes enunciados son equivalentes: i) La transformación lineal afín T definida por el referencial r es un desplazam iento euclidiano. ii) La transform ación lineral homogénea asociada a T es un elemento del grupo ortogonal (grupo de operadores lineales homogéneos que conservan el producto punto). til) La base ( c i ,. . . , en ) es ortonorm al. iv)
Vi ,j;
= 0
Vi
m) Verifique que d e t( e i,. . . , e„) = ±1. Cuando se escoge det(e,) = + 1 se dice que el referencial es directo y define un desplazam iento directo. El conjunto de los referenciales directos será notado SO, este conjunto forma una de las componentes conexas de la variedad O de todos los referen ciales ortonorm ados. n) Las 1-formas u>, y ¡jj\ las escribimos canónicam ente así (funciones lineales de dyi). w* = dy,
= r 3ikdyk .
Pondremos TLgu = T,k,i, g{o 6) es la m étrica. Además usaremos las notaciones = d j M — y las condiciones
Aplicaciones a la matemática y a la física / 445
Demuestre las siguientes relaciones: Fikei = ^ í ¡ e]
Hk =
r iik + Víkj = ñ) Halle el valor de
Ti*,! = r , t, r >ifc + r ifci =
=
-d 0
= r fciJ + r fcji.
. el cual se llama el símbolo
5
de Christoffel.. P ruebe que no es un tensor. 15) El referencial de Frenét. El problem a precedente tra ta lo que se conoce con el nombre de teoría del referencial móvil (de E. C artan). Ahora vamos a aplicarla al caso de una curva trazada sobre la variedad S O de referenciales, es decir, vamos a estudiar una familia interesante de referenciales ortonorm ales directos que dependen diferencialmente de un parám etro real t. y wy son 1-formas uniparam étricas (una sola variable a) Pruebe que si t) entonces las fórmulas que dan dujj y duiij son inútiles. b) Una curva C está definida por una función diferenciable M (t) , de la variable real i, con valores en R3. Por definición, a cada í se asocia el referencial siguiente: su origen es el punto M (f) de C y el vector e¡(t) es el vector unitario tengente a C, en el punto de parám etro t, orientado en el sentido de los valores de í crecientes. Justifique la relación d M = ui\ey. c) Establezca las relaciones: de 1 dei = u>i2 e 2 —<¿3163 ^ ^ ( t ) ;
de 1 62 = ^~dt '
W31
= ®
d) Con esto se ha dem ostrado la existencia de un referencial ortonorm ado directo ( M , e i , e 2, e 3 ), llamado referencial de Frenét, (ha sido asociado a cada valor de t) de la curva C en el punto t. Deduzca las ecuaciones de movimiento del referencial de Frenét, las cuales son: de 1
=
ui n e 2
de 2
= ~ ^ i 2 e\ + uJ23e3
de 3
=
—'^2 3 ^ 2
e) O btenga = A(i)ei y halle la longitud del vector - j f (supondremos uii = X(t)dt). Interprete geom étricam ente A(t)dt. f) Si escogemos como parám etro t al arco s de la curva C, y si ponemos u>i2 = b(s)ds y u/23 = c(s)ds, donde las funciones b y c sobre la curva O
(se llaman respectivamente la curvatura y la torsión, notados, ¿ y £), obtenga las ecuaciones de movimiento del referencial de Frenét: dM de i 1 de 2 1 1 — 7— — e i; - j— ~ e i; ■ yp = — t e i + - e a; as ds = p ds
de 3 1 tds " = — e2· t
16) El referencial de Darboux. O tro ejemplo, del problem a general (14) del refe rencial móvil, es el siguiente referencial ( e i,e 2 ,e 3 ). Se orienta una superficie S (conexa y de clase C k ) con ayuda del plano tangente (análoga a una curva con vector tangente), es decir, escogiendo continuam ente uno de los dos vectores unitarios normales a S. Tomamos por e\ al vector unitario tangente a la curva C (orientada, trazad a sobre 5 orientada de R3) en el punto M , como el ei de un referencial de FVenét. El vetor e 2 , unitario tangente a 5 en Ai, será ortogonal a e* de m anera que con e 3 se tiene d e t(e i,e 2 ,e 3 ) = + 1 . (e 3 orientará la superficie de S). De esta m anera, la curva C trazada sobre S define una familia uniparam étrica de referenciales, vale decir, una curva en la variedad SO. Las ecuaciones de movimiento del referencial de D arboux de C con respecto a S son d M = uj¡e¡,
de¡ = u>i2 e 2 + ^ 13 ^3 ,
de 2 = —uji 2e\ + 1^ 2 3 6 3 ,
de 3 = —wi3e\ — 0 /2 3 6 2 ·
Tomando como parám etro el arco s de C tendrem os las definiciones de u>i = ds, U 12 = ads, cj¡3 = bds, u 2 3 = cds\ donde a, b, c funciones sobre C, se llaman a
= —^— = curvatura geodésica ds
b
= - 7ds
c
= — = torsión geodésica ds
= curvatura normal
Dé los detalles, desarrollos y propiedades de este problema.
A lg u n as su gerencias y soluciones p a r a los p ro b le m a s Capítulo 1 3) b) Calcule
= = =
Aquí I = Jn es la identidad. c) Uno es escalar y el otro es operador. (e*|ej)|x> = l|x ) . |e<> ( e '|x ) = x ‘|eí) es un vector.
d) E?=i lei>
(e í1) = S L i x‘lei> =* x
g) E " _ , h >
< « * ! ( /·) = I / · ;
=b·
H E ? - ! h > <«M)
= £ < / * 1 0
f i e> 8)
Tome la definición de base dual con ( | ).
9) /( x ,í/) 12)
2x
+ 5y.
e? (x ,y ) = - | + y
; e j(x ,y ) = | - y .
13) e* (x ,y ,z ) = x, e j íx .y .z ) = y, e |( x ,y ,z ) = z- Conclusión: e*= i-ésima forma coordenada. > x 2 y z
« i ( * . y . * ) - 5 - T + g.
,
x
5y
z
e2 = 2 _ T _ 2 ’
14) ei(x ) = 2(1 - x), e 2 (x) = - i + x.
x 3 y z
®3 =
10 + 10 + 10'
3
v "2
16) Tome P [X ] = a + b X + b X 2 = e¿(P), e ^ X ) = Z X - —
.
17) .
i
2
**<*>-
—(fi + v) x + fiL>
. .
(»-„)(»-„) e»w
x 2 — (A 4- i/)x + Ai/
**<*>-
x 2 - (A + m) + Am l» -A )0 -ri
18) Aplique la definición de base dual. 19) No. 20) e, = ( - 1 8 , 7 ,5 ) , 21)
e2 ( 5 , - 2 , - l ) ,
e3 - ( 3 . - 1 . - 1 ) .
a) (Al t Aa)*(e,) = (Al>Aa)* ( J = A,; 0J b) Ponga x =
= x 'e t + x 2 e2,
(A1 ( Aa) ( ° ] = A2 \lf <(Al t A2 )*|x|> = x ^ A i , A2 )*|ei> +
x 2 <(A!, A2 )*|e2>. c ) . ; - ( i
23)
o),
. 5 - ( o
b) f P : R[X] — . R [X ]‘ ,
i);
« ; - ( - í
| ) « 5 - Q
- i ) ·
f p +xp' = f p + x f p :
c) Estudie cuándo: ker( f p ) = 0, ker(u) = 0 , u es inyectiva cuando P — * f p es biyectiva. d) < /p |l> = ( f p \ X ) = 0, entonces P (x ) = A(6 x 2 —6 x + 1), 25)
0
A e R.
Considere la definición de la independencia lineal o p arta de g :E — ► K p tal que g ( X ) = ( / ‘( X ) , . . . , f p ( X ) ) y use la base canónica.
26) Describa los conjuntos dados y aplique la definición de ortogonalidad * /—l (V) c F*. 27)
y
1)
P ruebe que ( Ei + £ 2)x c E ,1 n E £ , tome /* e (£ [ + £ 2)x , esto implica f{e E tr\E £ .
2)
Pruebe que E x n E k c ( E\ + £ 2)1 , tom e que / 2* 6 (E i + E 2) 1 .
/2
e E x r\ E ? , lo que implica
31) a) Los Pi son linealmente independientes si, y sólo si A,P, = 0, implica AiPi(j) = Ajá.j = A¡ = 0 Vi. Son generadores.
b) Base dual si, y sólo si ( P ’ \Pj} =
pá
P* '■ P
— *
P,*(P)
=
P (i)· Luego
o = ««
c) P (* ) = Z : = 1< P ’ |P(*)>P. =
B(¿)Pi(x).
d) P ( x ) = ^ - 1-),>^ x ( x - l ) - - - ( x - » + l ) ( x - ¿ - l ) - - - ( x - n ) t! (n —1)\ 32) Tome X¡ base de F c E. f i ( X j ) = (X ’ )
F,
F *-^*E \
<‘0(y*)|x> =
34) « - 1 , u ~ 2 y ti - " están definidos. De !(u2) = (*u) 2 se generaliza ‘(u o u n_1) = ‘(u)n_l o (‘u )1 . 35) C 2 x 3 C /( x , y, 2 ) = x iy i z kf ( e i, ej , e k) = /y * xV * * · Conocido el conjunto de 2 3 coeficientes /¿j* queda fijado / y reciprocamente; es de cir, dando / ( e i , e i , e i ) , / ( e 1 (e 2 ,e i), / ( e i , e i , e 2), / ( e i , e 2 ,e 2 )·. / t e . e i . e i ) , / ( e 2 ,e 2 ,e i), / ( e 2 , e i , e 2 ), / ( e 2 ,e 2 ,e 2). 36) La m atriz nula (O). Pruébelo. 38) ax; —ay + bx\ a(x —y) + 6 (x + y). 39) <‘D /|P > = /[ D (P )] = £ D P ( x ) d x . 40) <£u(Tr)|A/> = Tr[u(AÍ)] = Tr(AÍ, N], 41) ( 'u /* |x > = , 43)
Vx, entonces ‘ti/* = A/*.
x # 0 , luego (x, e 2 , · · · ■ «n) en base (teorem a de la base incompleta o del reemplazo de Steinitz). Por el lema 1 existe una / única de E en K tal que /( x ) = 1 y /( e .) = 0 , para i = 2 , 3 , . . . n.
52) /* ( x ,y , z , t) = 5x —y +
2,
54) 7 ( y * ) ( x ,y ,z ) = 3x + y -
/ 2* (x ,y , 2 ,í) = 2 y - í . 22,
F -1· c E *
‘/(y * )(x , y, 2 ) = - x + 5y + 3z.
60) Aplique las definiciones.
64) No existe para c), d), e), f) y g).
a l (un )=
65) / ( r ) = f ( x , y , z ) = x - y + 3z. 66)
67)
Use determ inantes o el problem a (25). b) Itn (/* ) = /* ( F ) = {0} c K , dim Im (/* ) = 0. W L es subespacio de F *. c) F subespacio: d im F + dim F 1 = dim E.
68)
a) K n*, /* = polinomio de prim er grado homogéneo, b)
/* (¿ 0
=
0
c) El anulador del espacio fila es /* : S = { / * / / ’ (í¡) = 0}. F , el espacio fila: K n , F L = S, F = S L = { /* //* (/< ) = 0}, S = (A '")1 y K n = S L. 69) L [F ]
3 i
=
i
' / i +
’" + ^ r /r! / ■ generador de F .
/ * ( i ) = £ z ‘/(e i) = 0x* + - - + 0 x r
= 0
Vx,
(L [F ])X c F * .
70) Base de P x = (/* (x ,y , z) = —x + y + z) 71)
a) Aplique L = A ,/' = 0 a la base form ada por las siguientes funcio nes polinomios 1, X , X 2. O btenga el sistem a lineal homogéneo con Ai incógnitas: =
0
A ixi + A2 x 2 + A3 X3 =
Ai + A2 + A3
0
Atx 2 -(- A2 i
0
2
+ A3 X3 =
b) d im F = 3 = d im F * . c) Use / ‘(F j) = P j(x i) = f) Por lema 1 existe una f única de R en R, / = P ta l que f( x i ) = q ,, f(P i) = « i = F (x ') lo que im plica que existe un P único ta l que P = a 1 + a 2 P 2 + CÍ3 P 3 con
a) Calcule P + AF* b) ei(P ,) = P i( ij) = S0 d) P = X'Pi = < e '|F )F ,, entonces A‘ =
73)
a) M irando el diagram a tiene sentido (x, y) 1— ► (($ o u)(x)|u(y)> . b) <(tf> o u)(x)|u(y)> = A<(x)|y> * <>(x)|y>. c) <<¿(x)|ii(y)>.
Capítulo 2 1) < X |X ) = 7)
i
? , . . . , i 2 > 0 V i * 0.
a) f z . F — * K , entonces f x e F * b) i — ► / i = u ( i); f ( x , y ) = f x(y) = (u (i))[y ] =
8) i) equivale a ii). Por definición / es no degenerada si, y sólo si, V i e E , 3y e F ta l que / ( i , y ) ^ 0 si, y sólo si, / ( i ,y ) = < u(x)|y) * 0 si, y sólo si u(x) * 0 si, y sólo si, u es inyectiva. Lo mismo se hace con v, y lo mismo para Vy' 6 F y y' * 0, 3 i' 6 E tal que f( x ',y ') 5* 0. N o ta : i) por el problem a anterior v es inyectivo, luego / es isomorfo con v (F ) c E ·, y como dim E * es finita, entonces dim F = dim v(F ) < dim F * = dim E . Si se concidera, de la mism a m anera a u se tiene: dim E = dim u (E ) < dim F * = dim F ^ dim E y dim £ í dim F , por consiguiente dim E = dim F . ii) dim v ( f) = dim E *, entonces v (/) = £ * luego v es sobreyectiva e inyectiva. Lo mismo para u. 29) L,2 ( E ,K ) 3 / — > M ( f) e Mn y / está determ inada por /(e ^ .e j) = a ¡j = M ( f) . Además ( / + Ag)(et , e3) = cr¿j + A^,j 34) Considere los elem entos M y e interprételos correctam ente. 35)
a) Ker (>p) = {i|¥>(i) = f x = 0} si, y sólo si, [(Vy 6 E ) f x(y) = / ( x ,y ) = 0 = / ( y ,i ) ] · Ker (v?) = {y|y>(y) = /„ = 0} si, y sólo si, [(V i 6 E ) fy{x) = f ( y ,x ) = 0 ], b) N orm alm ente el Ker es un subespacio, pero A no lo es, ya que / es bilineal y no sim plem ente lineal. c) Ker (¡p) = Ker ( /) = {0} si, y sólo si,
biyectiva si, y sólo si,
inyectiva.
37) a) E scriba q(x) como un trinom io de segundo grado en i i , cuyos coeficientes dependerán de i j , . . . , i „ , y luego poner ese trinom io bajo la forma canónica, la cual conducirá, en el caso particular de la ecuación de segundo grado a su solución.
c)
1
1 x
0
0
1
0
0
1
( 1
0
0
0\
0
1 0
0
0
1 x
0
\ 0
0
0
1) ( x‘ \
( x )
39)
£3
3 x, x ¿' . x + x 1 — ♦
+
y
y'
{ 2 )
l
^ =
)
X
+
y + \ z
+
x' ^
y' z1 )
41) Ya se vióque L (E \ L (F \ G)) es ¡som orfocon L,2 ( E x F \G ) , /( x ,y ) = (/i(x))(y). Tome g e L (E , L P(E \ F )) y defina / e Lp+ i(E ,F ) por / ( x ( , . . . ,x p+i) = p (x p + i)(x i,. . . , xp). Así g — ► / es lineal y biyectiva. 42) A / 47)
e L {K \ E ) le corresponde /(1 ) e E .
a) Defina u por sus com ponentes (u,3) tales que u(e_,) = 2 " =1u y e i, co* loque < | ) y halle las relaciones entre los u ir
*V
= X > y< s¿j =. 5 > V . si- y
b) ( | ) = producto escalar canónico. lu u = id, entonces u = ortogonal, x es una rotación y M (u ) es una m atriz ortogonal, es una rotación. c) u conserva a ( | ), u es una rotación, ¡p : x — ► x * . d) <(sí,-U “ ° ¥ , ° u ) (z )|y ) = 0 Vx,y. E - tU E - ^ E ’ - ^ + E '^ E e) Ponga por definición tt* =
V
56) / es lineal, calcule <‘( / —l )(a:*)|y> con x* e E *, y 6 F . Encuentre que / es inyectiva y sobreyectiva. 59)
b) v>(/, ·) = tpf ,¥>(·, y*) =
C)
F* E '
63) b ) P = ^
/ ^
64) <4 =
y·
— v (/,y ·) = ‘/(y ’) = y* ° /■
( sÍ 2
-2
>/2 ^ n/2
1 1
—2 0 ^ -7 -8 4 -1J
0 \ -3 3
)
Algunas sugerencias y soluciones para los problem as / 453
65) M =
2
-1
2
O
e'x=
ei + e2
e 'i=
2ej —e2
E ntonces, P = 66)
3
,M' =
' 1
2
1
-1
9
O 6
1
‘P =
1
2
-1
1
0 ^
1
1
a) No b) No c) Sí d) No e) Sí g) Sí h) Sí '
1
-1
- 1 3
68) A =
2
1 ° A! =
i-
2
2
4 4
4
5 5
4
5 6
1
3
3
69) A =
A' =
( l
0 N ,P =
, p -1=
0
1
1
-1
V _1
1° 1
- 1 )
1
- l \ 1
0 )
, q {X ) = 24.
-1> 0 2 ,P 2 1 /
' 7
2
11 \
2
4
0
V 11 0
1
'
0 2N 1 0 1 ,P~l 1° 2 0 )
( =
1
=
(-1 2 0 ^ 0 1/2 0 l 1 -1 0 )
= 15.
16 )
71) Halle la segunda fila tom ando un vector f 2 = {x ,y , z) * O ortogonal a S\ '■ ( / 1 I / 2 ) = O, entonces /ó norm alizado es 1
2
\
Ti 2
75
-1
~ÿÿs /
/2
=
Respuesta:
1 73
72) El mismo procedim iento anterior .
i-i
\ 73
/ i3
1 75
-1 Ve
-i
75 Ve / 23
73) El mismo procedim iento anterior .2 \
74
3
1
^2
3
3
/
b) No sim étrica l M A N ^ l N A M \ degeneram iento, A ■ B = 0 con A & 0, B * 0 / 1 c)
0
2 0 \
0
1 0
3
0
4 0
2
\ 0
3
0 4 /
d) No, im plica que / es no sim étrica. 75)
b) Teorem a del reem plazo de Steinitz, z ^ 0, es linealm ente independiente, c) Trivial.
76) P ara los núcleos se tiene: K er(u), u - l (0) es generado por (0 ,0 ,1 ); ker(v), t?- 1 (0) es generado por (0 ,1 ,0 ). Si z e K er(u) si, y sólo si, u (x) = 0 si, y sólo si, (u (z )|y ) = /( z ,y ) = 0 = x x ' + y z '\ las posibilidades de anulación dan el Ker. 80)
a) A = 2 A! =
2
^ . Base o ejes principales
e\
= ^
, e'2 = ^7? ^
^ ,
p -
'A P ~ ( o ve'2) = (uv)A '
° ) , P · (■
"» )',(I ‘ r 'X ~
= q{u,v); 6u2 + v2 = 4;
4.
+
¡^- = i ; a = 4 eje
u e2; / ou =eje· m enor= o2■J/ 2| sobre u e\\> Pn = í cos9 mayor sobre v y sen#
-sen9 I\, co s 0
J
© = a r c c o s ^ . Una rotación de ángulo ©. Así se sim plifica la posición de la figura con respecto a los antiguos ejes, (base vieja).
/
i 72
-i \ 73 . Ecuación u2 —v2 = 1.
b) A = V 75
75 /
H ipérbola equilátera con respecto a i , y.
9u2 + 4u2 = 36. Elipse. 10
d) A =
(S " ) ' - * ( -4
II
f 00 ►—*
12
3
-4
4
3
1
*1
26 0 V O I
I -E je s
5 V4
; 26u2 + v2 = 26. Elipse.
2 - 2
- 2
0
1
\ ° q(x = u e \
(
^
- 2
0
i
M' =
- 2
0
N
'
P a l >^ 3
0
1 °
+ ve '2
0 0
- 2
l
- 2
1
-1
2
2
2 > - 2
2
+ w e '3 = P i X ) = q (u ,v ,w ) = (u v w )A '
v
1w .7 u2 + 2v2 + 4tu2 = 4, entonces ^ — y + w2 = 1. Sección tu = 0: hipérbola ¡j· — y = 1. Sección v = 0: elipse ^
^
= 1. Sección u = 0: hipérbola
~ T + T* = 1· Gráfica: hiperboloide de un manto. 1 b) A =
-2
-2 0 -2
( -2
0
2 -2
, A' =
3
q (X ) = 2u2 + 5v2 — w 2 = 10;
0 y
0
0 ,P = -9
v
=3
x — 2y
1
1 2 ^ -2
2 2
y / u \ í- 2 x + y-2 z'\ \w j
boloide de un m anto.
0
45
2 1
+ 2 z. C ortes: hi per-
y 2x + 2y + z )
1 7!
0
f
o -4
- e3 = 575
2 V2
-3
1 N
0
n/2
, p =
-4
v 2V2 3 w —2u2 -I- 7v2 + 7w2 = 14; hiperboloide de un m anto —j - + £ + ^ /
2
2 \
—2
—2
2
5
- 4
V
> 5 j
4
^
^
.
1
—
45
6x +
3z
—2 x + 5 y +
= 1.
^ 4í
;
\ / 5 x — 2 \JE y + 2 \ f b z j
[w j
u 2 + v 2 + lOtu2 = 10. Elipsoide. 82)
b) d = -1 0 . c) Las ecuaciones de los vectores de la form a A (l, 1,1), con A e R.
Capítulo 3 3)
a) Calcule con y + z. d) Calcule con || ||2. e) Use la dependencia lineal y la equivalencia lógica. f) A plicar el teorem a del coseno a y = x + z.
5) U ní = V¿>2 + 4(a - b)2 + 1 2 l|x3[| = n/ T o , 1 = |e t | = |g a| = | e, | . d(A'i,A'2) = y/{b - f )2 + 4 (a - e - 6 + i )2 + (c - g)2, d ( X 3,X<) = 1, d{£ I,£ i) = \ñ ·.
6) |A | = V ^ + a 2,
1 = INI = l*»l
d{P x, P t) = ^ ¡ ^ ± £ 1 1 + (a _ ¿ í , 7)
d ( f t , e i ) - 2 # , d(£ l,e 2) = V2
a) Exam ine su m atriz sim étrica. q(X ) = x2 —4xy + 5y2, x = l±>^ 162^ luego \/4 —5 e C y / es positiva. b) |( 1 , 2 ) |- > /1 3 ,
¡(1,2)1 = V 5 .
8) D iscrim inate c > 9; discrim inate a > 0, d > 0, ad — bc> 0.
e)B“” Dii((o j) ·(° o));b“ S1;(í "») 13) d U u h ) =
- / > ) ’ (*) d*.
14) d U u M - y / H f x - W W d x ,
3/2,
V S /Í5 ,
V V 3·
16) A /„(C) es un grupo finito de orden p, entonces 'iA e M „(C ), A p = 1. Si X A PX = X = XPX .
O,
17) u(C) = subespacio de C ([0,1],R ), form ado de funciones con derivadas conti nuas sobre [0 ,1] y nulas en el origen, u no tiene vectores propios. ||u|| $ 1 y flu|| = 1 para / ( x) = 1 Vx e [0 ,1], 18) Todos los autovalores de A son A ^ 0. Los valores propios de (M + N ) son positivos o nulos. 19) Si [/,
i) Es un autom orfism o. j) Con Ker N = {0},
xx = xx.
33) d) P a ra n par tenem os (n + 2 )/2 grupos pseudo-ortogonales de m atrices n x n. P ara n im par hay (n + l)/2 grupos pseudo-ortogonales de m atrices n x n. 36) M e 0 ( n ,C ), V X ,r e A/nxi(C ), entonces F (M X , M Y ) = lX lM A M Y = ‘X 'M M A Y = ‘X A Y . 42)
d) Ponga Xj =
Se observa que ( P v{x )\y) = 2 ”= i x¿v¡ =
a) (Á A -1 )‘X X = 0.
■T ir·
b) Tenemos que [detjVf —(—l) n]d et(l —M ) = 0. c) d et(I + M ){det M - I) = 0. 45)
a) K er( /) = N . T iene el vector base (1, —2,1). b) a e N , im plica {a}1 = R3; si a $ N , ecuación f( x ,a ) = 0, x 6 R3.
46) e\ = ( 1 ,1), e2 = (¿, -» )·
{a} es el hiperplano de R ! «1«
458 /A lgebra m ultilineal
47) q(X ) = ‘X (M ‘M )X = l(‘M X ) ■ (l M X ) = l Y Y = y \ + . . . + y l > 0 ya que lM X es de tipo n x 1 unicolumna. 51)
a) La form a bilineal sim étrica de q es !¡(xy' + y x ' + z t' + tz '). d etg = i . b) Signg = (2,2). c) (colum na)j ■ (colum na)’ = Sj;
(filas),(filaLs)J = ój.
52) Esa base existe (e¡ , . . . , e„), ta l que /(e¡,e< ) = 1 con 1 < i ^ s; /(e^ .e^ ) = - 1 con s + 1 ^ j í s + t y f ( e k, ek) = 0 con s + t + l ^ k ^ k , k ^ n. Entonces los vectores apropiados son e' = e< + ea+ l, 62) ||x | = |x |,
e' = - e , + ejt
d (x ,y ) = | x - y | ,
e'k = e*.
|x + y| $ |x | + |y|.
65) Elipse, hipérbola. Los vectores propios de T de longitud 1 son los vectores unitarios sobre los cuales la función x >— ► (T (x)|x> alcanza su m áximo y su mínimo, y estos corresponden a los ejes mayor y menor. f
2
66 )
\
2 - 1
2 - 1
2
- 1 2
2
A( = —3;
A2 = A3 = 3;
vi = (1, —2 ,1) de —3.
V El subespacio propio A = 3 es de ecuación x —2y + z = 0 de él se tom an dos vectores ortogonales y q ( x ',y \ z') = —3x'2 + 3y'2 + 3 z '2. ! Mu 67) M =
M\2 \ —M i 2
68) M S = Si 69)
a 2 + be
Mu
—M u
M22
“ Ai32
— A /2 3
b
M33
. Si a2 + c2 > 0 los autovalores satisfacen a Ai = —A2 e R.
< 0, entonces, Ai = A2 6 C;
a2 + 6c = 0 = > Ai = A2 = 0.
a) y (x ,y ) = 0 /( x ,y ) = - ^ //(x ,x ) /(y ,y ) Schwarz). Si x * 0 y y * 0 => - j f i — =
x + Ay = 0 (Desigualdad de - jJ L x° = y°.
b) E ' tiene bases ortonorm ales ( e j , . . . , em) m ^ n. x - yx e E ' si, y sólo si / ( x - yx , e¡) = 0 V i: 1 $ i < n. Vx = E l i /(x,e¡)e< . c) d ? (x,y) = ||x - y z + y x - y||2 = ||x - yx||2 + ||y, - y||2.
70) e , ( l , 0 ,0 ,1 ),
e2( 0 ,1 ,0 ,1 ),
e3 - (0 ,0 ,1 ,1 ),
e4 =
(o,
l) .
71)
M (u )
=
M (u)
=
eos 9
—sen 9
(—1)*+ I sen0
( —1)*+ I cos0
e cosh 9
senh 9
ee' senh 9
a’ cosh 9
/ 83) q (x', y') = x '2 + 3y'2,
> 72
‘ \ Ti
P = \~ T i
85)
a)
a)
^0
1
^
1
0
2
2
O)
,rí
|
2\
i
o
3
\2
3
3J
^3
4
0^
4
0
0
ER,
0 e R,
fee N
£,£' = ±1.
x ' + y' - x ' -I- y ' x = — — . y = V2
T i)
b) No c)
d) No. e)
Vo 0 V 94) y / ( x - y y + y 2,
n/5,
1;
1,
1,
n/2.
95) Se resuelve la ecuación diferencial (x2 - 1)P ‘ - (2nx + 26 + A)P = 0. Valores propios Am = —2(m + 6) con —n ^ m ^ n . Vectores propios Pm(x) = (x + l ) n+m(x - l ) ’*-m . 99) A sim étrica y real es diagonalizable y entonces existe P tal que D = P ~ l A P A = P D P -K E xiste Q = P sfD tal que A = P sfD ■ sÍD 'P = Q lQ-
104) Como existe 0 <
1,
B
entonces p ara todo 0 = ‘( B X K B X ) =
(B X \B X )
/
X
e ¡R "
‘X ( ‘B B ) X
se tiene > 0.
B X
=
Y
^
0,
U seco s(íT y )·
111)
· = ( | > es una form a bilineal, sim étrica, positiva y no degenerada.
113)
a) X
Y = |X || · 11^11 eos<9 =» eo s6 =
b)
eos 8 =
c)
eos 8 =
d)
eos# =
9 V42Ó' v is 6 '
2 v/210'
120) c) No.
Capítulo 4 7) Intercam bie la prim era y la tercera colum na, luego la segunda y la cu arta, después, desarrolle por la prim era colum na; finalm ente, factorice. 8)
D esarrolle por la cu arta colum na en dos etapas; factorice.
9) P a rta de la identidad a i
ai
61
Q.2
¿>2
X
í »i
-1
0 -1
ai
0\
a 2
í>2
0
Q2
02
0
0
« i
0
0
a 2
01 02
Luego a la prim era colum na sumemos a i veces la tercera más a 2 veces la cuarta; finalm ente a la segunda, sumemos b\ veces la tercera m ás 62 la cu a rta
columna; obtendremos: 0
0
0
0
-1
Ojú! +
02012
blQl +
0-i.fil
0 .2 0 2
b\ 0 \ + b2 0 2
+
62 Q2
0
0
-1
Û1
02
A
02
CLlOtl + G2 OC2
b iQj +
a i/?i + 0.2 P2
b\ 0 \ + &2 Æ2
6202
-1
J l
0
0 -1
10) El producto propuesto es equivalente a: -1
0
0
-1
0
ai
Í>1
Cl
a2
62
C2
03
63
c3
0
0
-1
0
0
0
ai
a2
Û3
0
0
0
01
02
03
0
0
0
7i
72
73
0
Luego se agrega a la prim era columna la sum a de los productos de las tres últim as columnas por 0 1 , 0 2 , 0 3 respectivamente; a la segunda columna, la sum a de los tres productos de las tres últim as columnas por 6 1 , 6 2 , 6 3 respec tivamente; a la tercera columna, la sum a de los productos de las tres últimas columnas por c i , c 2 ,c3, respectivamente. O btendrá: 0
0
0
-1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
-1
ÚlCki + Û2Û2 + CI3Q3 d iP i
+ 0.202 + a 303
a i7 i + °272 + a 373
0
b \c t i
+
+
630:3
C1 Q 1 + C2 Q2 + C3 Q3
«i
02
03
b \0 i
+ b202 +
63 /Î3
C \ 0 \ + C202 + C303
01
02
03
f>l7l + *>272 + í>373
Cl7l + C272 + C373
7l
72
73
6202
De aquí obtenemos la respuesta. Existe otro método para calcular el producto de determ inantes. 11) Exam ine la diagonal y los otros elementos de M y observe que ( D
0
0 ^
12) ai
61
y
Pi
aiQ , + bi 0 i
a 1Q2 + b i02
a 2 02
a 2a i + b20 i
a 2a 2 + b20 2
<*1
A
OL2
62 UlCkl
4· a 20 \
O lO o +
b \Q
+ b20 \
¿lC* 2 + b20 2
+02*2
a l 0 l + <*202
1
CllQl 6
lQl +
6 2 Q2
a 202
a i a i -+· b\0c2
a i0 i + b \0 2
a 2 Q( +
0.201 + b20 2
¿201
+ b20 2
= CL\b2 {a\P 2 ~ &20 \) ~ a 2<>l(ai/32 - OI2P1) = (a 162 - a 2 bi) x ( o \02 - a 2 /?i).
18) (<»162 - a 2bi )2 = (a2 + a ^ í ^ i + ^2) — (a i^i + °2fc2)2· 20 )
D ' = D'a + D'b + D'c =
al a 2'
b\
Ci
62
C2
“3
i>3 c 3
+
ai
6 '.
0-2
b'2 C2
a 3
b3'
Ci
C3
+
a i
61
a 2
b2
03
63
cí
£3
22) z ( z sen2 9 — a 2 —62 + 2 ab eos 0) = 0. 23) x (z 2 — a 2 — 62 — c2) = O, entonces x = ± V a 2 + 62 + c2 =diagonal de un paralelepípedo.
24) abe — x(bc + ca + ab) = O, entonces j
¿ + 5 + j , si a, 6, c son los radios de los tres círculos circunscritos a un triángulo dado, z será el radio del círculo inscrito en él.
26) Use la relación del problema precedente y multiplique por —1 ciertas filas, y una columna apropiadas.
27) En el problema ( 4.25) se obtuvo —a + b eos C + ecos B = O, a eos C — b + c eos B = O, a eos B + b eos A — c = 0 . Tome como incógnitas los ángulos B y C y obtendrá: a
6
a2
c
6 - c eos A
a
0
c —b eos i4
0
a
= 0=
b
c
6 —ccos A
1 0
c — b eos A
0
1
de allí se sacará: b
c
0
b
c
—c eos A
1
0
b
1
eos A
c — b eos A
0
1
c
eos A
1
0
a2 = —
6
32) Un polinomio f ( x \ , . . . , xp) de p variables es homogéneo de grado n si es la su m a de monomios de grado n, vale decir, si / ( A x i , . . . , Axp) = An / ( x i , . . . , x p). b) Desarrolle el binomio en el segundo miembro e iguale la parte real e imaginaria. e) Exprese eos X* como polinomio de eos x*, entonces el sólo conocimiento del monomio de más alto grado permite el cálculo. f) Tropezará con el determ inante de Vandermonde. 33) Ponga M = (A^), M \ = (B¡) y Ai2 = (C'y) y cuando escriba la definición de determ inante verá que entre todos los térm inos e(j>)AP y . . . A ^ ™ + * ^ sólo se tom an en cuenta los térm inos que corresponden a la permutación p que cumple con las condiciones: 1)
p(i) e {1
2)
p (n t + t')
,
para i *
2
{ni + l , n i +
6
1 , 2 , . . . , n;
2 ,...
o
, n i + »12 } para i =
1, 2 ,...,
n i.
El resto de los térm inos son nulos. 44)
c) d e t/jj fcj( » ', / ,£ ') > 0 porque las dos bases tienen la misma orientación. Sean ( x i , y i , z i ) , ( i 2 .V2 . 2 2 ) y ( i 3 . y 3 . 2 3 ) las componentes de ( ' ) con respecto a ¿, j, k, luego *1
yi
21
*2
y2
22
I 3
V3
23
xi +
xi
X2
x3
yi
y2
y3
21
22
23
=
y? + z ?
*2*1 + ViVl + 2221 13*1 +y3Vl232l 1
o
o
o
1
o
o
o
1
i i ï 2 + y i y 2 + Z122 A + vi +
z2
X3 X2 + yzV2z3z2
Z 1Z3 + yiV3+ 2 t 2 3 *2*3 + y m + 2223 x l + y ì + z3
d) Tomemos o tra base (i ' , j ' , k ') ortonorm al positiva. Tenemos d e W K , V ', V ") = d e t(i,
V , V ") · [d et(
e) det es una forma m ultilineal alternada, aplique el teorem a. f) Que V, V ', V " sean linealm ente independientes, que formen una base de sentido positivo, que formen una base de sentido negativo.
Capítulo 5 1)
a) 6e*
a
e2 + 2e*
a
e3 —e2
e3.
a
b) 0. c) —3e* d)
4el
e23.
a
a
e23.
e) e 1234S.
n gl23S _ c 1234 _ g134S 7)
a) 2. b) 0. c) - 3 .
8)
a) ¿ 3 . b) #
9) 1/2. 10) Sea Pi(x) = x , entonces p¡(x + h) - p(x) = hi con A t = 1, £ = 0. 16) u p = p ld x i
d i2
a
a
■··
d xPl
a
a
dxp
,
= 0 p ara j
i,
wp+1 = 0.
17) h es sólo altern ada para i i , . . . , x p separadam ente. Lo mismo p ara x p+i , . . . , 18)
a) 4xy dx
dy.
a
b) 2x y sen(xy2) dx c) —f d x
a
d) 3 dx
dy
a
e) 2z dx f) 0.
a
a
dy
a
dz.
dz a
dz
dy + 2xy dx
a
dz + x 2 dy
a
dz.
19)
a) O si r es par, —2dw j
dw2 si r es im par,
a
b) 0. 20) dw 21) q
a
=
—
n
dx¡
a
... a
dx¿_ i
a
dxi
/3 = (C dx — A d z)(dy —
dx¿+i
a
a
... a
d xn .
dz).
24) Tome la definición anterior. 25)
b) d x i(M ,X ) = = ¿ A í (x ) x í .
U i(X )
=
x, ¡dependiente de M , entonces cj m (X )
c) d f : U — ► Rn* es la aplicación derivada / ' y, por el cálculo diferencial, se tiene
n
f'( M ) X = V f x l (M )x i,
26) Aplique d(cjj
=
(d /)(A Í;X ) = ^
()f
——(M )x¡.
a w 2) = d u i i a u /2 + (— l)pwi a c L j 2.
27) Use tam bién d (fui) = d f
du
entonces
¿4
a
dx i
a
cj + / du
a
···
H-----± A d x ix
a
a
dx¡p + .4 d(dx<,)
···
a
dxíp_,
a
a
dx¡,
a
···
a
dx¿p
d (dxir)
Pero d(dxi) = 0 , . .. ,d ( d iip) = 0, entonces
28) 29)
b) dw = 0
dD\ dx
dDi dy
dDi = 0 dz
u>i d x ', u ' = u/í dx2 a dx3 a d x4 + w 2 dx1 a dx3 a dx4 + Wj d x 1 a dx2 a dx4 -t- u>4 d x 1 a dx2 a dx3. Entonces w a w' = (uiiuij — w 2 u/ 2 + — CJ4 CJ4 ) d x 1 a dx2 a dx3 a dx4
u) =
9)
A s í ( A + l A) + ^ ( A - t A).
12) P a rta de u(e3) ® i'(efc) y use E/y y V»,*. 16) Razone por inducción m atem ática sobre p, fijando una de las variables que están en / . 17) Considere la aplicación (z, y) ■— ► z · y de M 2 en M como multiplicación de enteros módulo p. 18) Razone en los casos: E *
R, E* x
£ 2
T®'J· R , E x F —
R.
19) Si (e¡) es base de E, entonces A(e¡, ® · · · ® e ^ ) = -¿(e*, ® · · · ® A(e‘, )) Pero e y ® · · Oe;,, es base de T£(E), así A está bien determ inada en forma única por linealidad. A ^ existe: A(p)( / ) = A ^ i r
^ d , ® - · ■ « * , ) = / i , - i' e l l i4(eÍI) ® · . · ® A{eip).
41) El cambio de base con P da: e* = Pjef, e¡ = Q ^t h, entonces
¿ T ; = ¿ T ( e‘, e<) i= 1
=
t= 1
Y ¡ T « E l ® E m (ei , e i) i,l,m
=
T ’i P Í Q T = T * 5 lm = 2 IT' = invariante.
X¡7V = ^ T ^ S u S m , = T ^ á ím = T¡ = invariante. 45) Los números /,P j son las componentes del tensor /® g , g ,/j las del tensor g ® /, entonces los números Ty son las componentes del tensor / ® g ~ 9 ® f = / a j . 46) Calcule T ^(A iX + Z, + 2 ') , use la linealidad de la traz a y de la traspuesta, n = 1 : T A( X , Y ) = £ A y z lVj e M l x l ( A). 47) Calculemos T ( z , y ) = T ( ( z ! ,z 2), (j/i.y í)) = £ T y z ¿ y j = ‘•XTY con T
6
M 2 ( K ) esto d a T , el cual está com pletam ente determ inado por los cuatro escalares Ty = T ( e iyej) o m atriz 2 x 2, y recíprocam ente nE es finito y T (z , y) = ‘X T Y este es el valor de todo tensor p ara alguna m atriz T e M n( K ) y recíprocam ente: a toda m atriz T e M n ( K ) corresponde un tensor T tal que T [ti, ej) = T y.
b) P =
1
1
-1
1
O O
c) V = l P T P =
O 4
d) T (x ,y ) = 4x'2;¿ con x = ( i'l , i '2) y y = (y í.y i)· .
·
.
·
.
.·
t
t
55^ d x ' = ¡fy7' y3' y' = &F ’ = t e * 6’6j = 5y>Ci’ U = U 6 ‘ = u'Q{e'j = d ’ e’j = a J P )'e , ■» u* = P j u 3,u J = Q\v-X. 56) Tomemos y' = y ( x 1,· ■ ■, x")> 5y'
dx° d 2 y' dy 1 dx 0 dx°
dx 1 dy
b) Luego se multiplica por -r— y sumamos £ . oy' i c) Caso especial y = /( x )
d2x _ ’ ¿y 2
/ d xx \^ \¿ y /
3
d^y dx 2
57) 1, - 1 , 1, 0, 0; 0, - 1 , 0, 0, 0.
60)
0
cuando dos o más subíndices o superíndices son iguales.
+1
cuando r st y m n p difieren por un número par de
—1
permutaciones. cuando rs t y m n p difieren por un número impar de
a) ¿S* =
permutaciones. b) SXS, = = C n l + «K22 + C n3c) ^mn = ^mn3 ^ 0 si m y n es una perm utación de {1 , 2 }, vale + 1 ( - 1 ) para pares (impares). ’0 cuando dos de los subíndices o superíndices son iguales o cuando los superíndices no tienen los mismos valores que s ra = umn
+1
los subíndices. cuando rs y m n son la misma permutación de los mismos dos números.
—1
[
6i) d)
cuando rs y m n son la misma permutación opuesta de los mismos dos números.
- 1w i+ « ) - { ; ¡ j ; ; .
e)áj = í °
S[l* j .
[ 1
si i = i
62) <5M, con t = /, j = J , S¡.¡ 0 si kl tom a los valores I, S /j —ó'/i = 1, entonces ó l / B kt = 6 ¡ jT ,J + 6 jJr T JI = B ,J —B J t . 66) K ' = P K t entonces K 'M = ( P ) MK M . T jí = P MQ im P?P£T?p de aquí que ( K '- MT')C) = Q'mP ? P k {K ~ MT™p). Esto perm ite transform ar tensores relativos en absolutos y tra ta r siem pre con éstos últim os. El Jacobiano es ijk d x 1 d x 1 dx3 = £ J — — t- t, d y' d y1 oy
J =
entonces
Je
rjt
d xr d x’ d xl ijk d y' dy] oy
= - ^ — -T— ^ - r S 1 ·
67) |Q |ev »‘ = d et P = |P | = |Q | = 1. Entonces e 'rjt = l-P|QrQJQfc£lJ,Ci ^ Y £ tienen las mism as com ponentes cualquiera que sea el sistem a de coordenadas. 68) |P |£ r„ = P rmPsnP (p£mnp, entonces £r„ = \P \~ l P¿Pj Ptk£l¡k. e' y e tienen las mismas com ponentes independientem ente de las coordenadas. 79) £\2. ..N = \ J \ Q u Q 2 j - - Q Nn£ij...n = |^ |2 = 1, así £ tiene las mismas com po nentes en todos los referenciales. 86) Tomemos T* 9 T — ► T ( x i , . . . , x p, / 1 , . . . , / , ) , T es sim étrico para las com po nentes x a y xg si T no se a lte ra por el cambio x a «— ► x¡¡ y se tiene T ,; = 7^*. Se cam bia de signo es antisim étrico y ^
m¿l
...ip
Tiene que especificar la sim etría (o antisim etría) con respecto a qué índices. 87)
a) Trivial. b) ( | ) define a cada espacio como el dual del otro; al dem ostrarlo proce demos así: tom emos u n a form a lineal /* : T £ (E ) — ► IR /* e [T ^ E )]* , probarem os que entonces existe un tensor único / e T £ (E ) asociado a /* , de m anera que la form a sobre T *(E ): t — ► ( í |/ ) = /* ( 0 se identifique con /* , Vt. Pongam os en la definición de /* su im agen en una base r
k
® · · · ® e ,, ®
® ■ · ·
) = //;·/;
Tam bién / queda perfectam ente definida por
f
=
f t ::!;e» ® · · · ® e*. ® e<‘ ® ■ · · ® ei" 6 T^ E'>-
Ve
jnario.net
Entonces
b) (Vo, ···,¥> -.) + (V 'o,-..,V 'n)
=
{
{
=
(nO>V2, ■ ■ ■ , V n )
a
{ x p o ,···,^)
(grupo)
con r}q = 1^0 A t/>, H-----+ tfiq xjj0. E ste últim o es distributivo respecto a la sum a, y no com utativo si d im £ > 1. 91) (x a y ) i j
=
A ( x ® y) = A { x 'y i ) = x V ~
(
0
x*y2 —x 2y i
—(x ly2 - x V )
0
- ( x l y3 - x3y ‘)
—(x2y3 - x3y2)
n (n -
c 2=
2!(n - 2)! (V12,VÍ3,V'3i)CP = C r p.
1)
2
92) R3 = R3* es un espacio euclidiano orientable. ro t,j(V )
=
diVj — djVi
(ro t V)*
=
ro t‘ V = e ^ r o tÿ V .
93) c o s#¡j =
9ü \j9 n 9 ii 1
CO S # 1 2
COS $ 1 3
CO S # 2 1
1
COS # 2 3
COS 0 3 1
COS # 3 2
1
en base ortonorm ales
X l y 3 — x 3y 1 ^
x2y3 —x3y2
/
mumiiiiumiuiwuiuuu
j
w w w .elso luck
472 /A lg eb ra m ultüiaeal
97) Por ser lineal en los 1 + p + q argum entos o com ponentes. Razone por analogía con T del teorem a 15. Use la definición 33. 99)
a) k = 0.
1 1 dx'a dxi 100)
dx'° dxi
°
a'
a) dx* = ?T T-dx». dx ** dx^ dx^ i » t 9a0d 7 ¿ d ¿ ¿ d x> ld x'' = 9 ^ d x ^ d x v. o) d e .
. de, w
L »
V
d„ g j .
y' = J 2g seudoescalar (peso 2), densidad escalar, d) hg = 1 = h ~ lg', entonces /i' = J ~ 2h = Jfe2/i. 101) D ' =
102)
dx dx 1 D>. dx'
T
(-
sTa
~
105) d T =
dx 5x' dx>
= Vff
dx1
0
0 0 0
0
0
dx2
0
0
0
dx3
0
0
0
dx4
= d x 1 a d x 2 a dx3
a
dx4 = dx1dx2dx3dx4.
106) V ^ d T = ^ d T . 108) Se transform a como 109) c) K llt y
en un cambio de base o referencial.
112) ( V ° ) P y (V a )P. son las com ponentes respectivas del vector V“ en los puntos P y P '. Por definición
S '- g v .
P ' V - ( | £ ) />
Como estam os en coordenadas rectilíneas, entonces el cambio de coordenadas es una transform ación lineal y para las m atrices del caso se tiene dy - = m ( & \ dx'a \á x a ) p \ d x a ) pp·,
constante.
De allí que [(V '°)p — (V a ) p,] es un vector (tensor) de la misma variancia, es decir, contravariante. 114) En coordenadas curvilíneas y ' es función de Xa en general no lineal, entonces dy1 f dy1 \ la m atriz - — no es constante en todos los puntos considerados: - — * dxa \3 x a J p Entonces p· D - < W
- (V V
- ( g ) ^ ( V ) ,. - ( | ¿ ) p I V ) ,.
De aquí se infiere que D no cumple la ley que define a un vector o tensor. 115) =r d xr d xn d xp 3t d xm d xs d x1 np dT^t _ dxr d x" dxp d xq dT™p ^ d xr d x n d2x p d xr d2x n dxp dxu d xm d x3 d x1 d xu dxq + dxm d x1 d xld x u np + dxm d x‘ dxu d x‘ np d2x r dxn dxp d xq , ' m Tn n · dxmdxq dx1 dx1 dxu np E sta relación no es la ley de transform ación de los tensores. dT' dTm 116) - £ ■ = (P n )P ^ Q Jn Q ? ^ f , P y Q constantes. 119)
d)
e i a e -i = £ i 2 * e * = S m e i + £12262 + £12363 = e 3 ·
P¡j f)
120)
x
XiVj y
A
=
XjVi'
e[(x2í/3 - X3Vi)ei + (x 3y i - x m ) e 2 + (x1y2 - X2Vi)e3]
a) [eie 2 e3] = e ^ e i · ek = eijk. d)
(x a
y)-z es invariante en
a
y ·. Se prueba que £ijkXiyjZk = £i'j‘k'Xi-yj‘Zk·.
121) P,j es la m atriz del cambio de base. Entonces Xi'Vi- = P i'iX iP i'jyj = P i'iPjj'XiVi = SijXiyj = x,y, = invariante. (Aquí se ha usado la convención de Einstein con índices repetidos pero en la misma posición inferior). 122)
a) e¡< =
entonces £i>j-k’ = P i'iP y jP k'k£ ijk .
b) £' = £i>2<3 > = (Pi'iP2'2P3'3 + P i ' i P v z P y i + P r3p2'iP 3'2 — P y i P v i P y i — P l ' l P 2 ' 3 P 3 ' 2 ) e i 23
P*i =
P l 'l
P l '2
P l -3
Pv
1
P 2 '2
p 2'3
P 3 <1
P 3 <2
P j '3
= (fy
)-1
/
c) c cam bia de signo. d) Xi - PijXi-, Vk = £ijkXiyj = Pkk'Zk· = £¡jk Pti>P^-Xj
V!· —£ijk P it
123)
a) ±1 y
a
b
c
—a
con a, b, c arbitrarios que satisfacen la relación a 2 +
be = 1.
b) Ambas. 125) Sí, ya que
y P r. ( s ) = «
127) / s(x, y) = i ( / ( x , y) + / ( y , x)); /( x . y) = /»(x, y) + /a (x , y)) 128)
= - g ,
(P r. ) ’ = Pr„
/„ (x , y) = i ( / ( x , y) - / ( y , x)) v (x, y) = > / = / , + / a .
b) Sea la base ortonorm al (e<) y x, y, u. Entonces u* = T ^ y , , y /( x - y ) = XiUi = TijXiyj = x
7Y,
= M (T , (e¿))
£ ■
c) Si T es una transform ación lineal de la m atriz ( l y ) , entonces TXJ es la m atriz de una forma bilineal o tensor de especie
Tij es un tensor
. Recíprocamente, si
y x e 3E un vector arbitrario, entonces, u, = TijXj
son las com ponentes de un nuevo vector u. A(x) = u es lineal y A es la transform ación lineal de m atriz T tJ. 129)
a) ( 4 ,4 1 ,- 3 ) b) (- 1 , 2 , 1 ) c)
0
d)
0
e) 143 f) 9 g) h)
6 0.
130) Los índices i e i' pertenecen a coordenadas diferentes. P no define una forma bilineal, sobre 3 E. 131)
a) A X = A x 'e i = x 'A e i = x *a<. b) V = ± [e ie 2 e 3 ] según la quiralidad del triplete de base. f) det A es justam ente la magnificación (homotecia) del volumen bajo trans formación. V Vx V g) y - = y - => y - = |.4| = medida de magnificación de los volúmenes como resultado de una transformación. Si |A| > 0, entonces Vx y Vv tienen el mismo signo, entonces se preserva la orientación de los vectores. Si |A| < 0 , la transform ación A cam bia la orientación de los vectores en la orientación opuesta.
132)
a) Ya depende de la escogencia de una base. b) e*- = Pi.id. c)
P i’i P i ’j
=
5¡ j ,
T i-ji
=
S ijT ij =
Tu.
d) Tu es (p—2 ) lineal en x 3, . . . , x p, y no depende de la escogencia de la base. Si x 2 = x'2ei etc., entonces 7 ( 1 ! , x 2 , . . . , x p) = xj • • • x^T( e¿ , e 3 , efc........ em). Pero T¡j = x j · • ■ T ijk...m ya que x \ = x 2 = 0 si q ¿ j.
1,
x f = 0 si » * p y x j =
1,
133) Si sim etriza / : / , = j[ /( x ,y ) + /( y ,x ) ] , entonces /( x ,y ) = f ,( x , x) = q(x) => f * fa134) Obsérvese que T ijk = Tjik = - T jk , = - T k}, = Tkij = Tik j. 135) Estudie separadam ente los térm inos con i = j y i ^ j . 136) A grupe térm inos sim ilares; disponga los coeficientes de distintos Xi\)jZk iguales a 0 y use la sim etría T ,jk . 139)
a) SijXiXj = 1 = x 2 + x 2 + x 2 = 1: esfera unicidad (radio 1). b) TiTjXiX j = 1 = (T¡x¡)2, entonces T,x¡ = ± 1 : par de planos paralelos sim étricos con respecto al origen. c) x 2 + x 2 + x 3 = jj: esfera de radio
real o com pleja.
d) A xjij = A|x | 2 = 1, esfera de radio -j-, e) (A iX i)(B jX j) = 1 o xi
adem ás, /( x , y) = SijX iX j => —
142) a) S =
/ Ai
0
0 \
0
A2
0
= 2SijX j =
2 tij.
\ 0 0 A3 J Son tres dilataciones o contracciones sim ultáneas del espacio a lo largo de los ejes ortogonales e i,e 2 ,e 3 , con coeficientes de dilatación Ai, A2, A3 . Si Ai = A2 = A3, S es una hom otecia. Si Ai = A2 =f A3 , 5 es una hom otecia en el plano de los vectores ei y e2. b) T (x, y) =
d) T (x , y) = A jif + X2 X2 + A3 I 3 . e) A izj + A2 I 2 + A3 I 3 = 1 : ecuación de una superficie cuadrática centrada, los ejes de sim etría son los ejes coordenados. f) i) La superficie es un elipsoide; ¿i) hiperboloide de un m anto; ¿ti) hiper boloide de dos hojas; iv) elipsoide im aginario; v) superficie de revolución; vi) esfera. 143) Tomemos la base ortonorm al (e¡) y los vectores x = (i* ), y = (y‘), u = (u '), = A ijy j, f ( x ,y ) = Xí Uí = A ijX iyj. 144) Si g es una aplicación lineal con m atriz (A y), entonces (A y) es la m atriz de la forma bilineal: /( x , y) = (x|A (y)> y A ,, es un tensor T . Inversam ente, dém osnos el tensor de segundo rango (A y) y x e 3£ , entonces, u, = A yiy son las com ponentes del nuevo tensor u = = /( x , y) =
1 J , dilatación o contracción en el plano, a lo largo de los ejes \ 0 A2 J e\ y e 2 ortogonales, los coeficientes de dilatación son Ai, A2 .
b) Hay dilatación acom pañada de reflexión con relación al eje e 2 - Lo mismo para A2 < 0 . f i o c) I 0 A
: dilatación en la dirección e 2 .
1 0 0
0
d) 5 = ( ^
proyección paralela a ei.
^ ] : desplazam iento no sim étrico.
T (x , y) =
1:
^ ^ : desplazam iento en la dirección de e2.
un par de rectas paralelas a t 2 -
b) T = - x j —X2 , x \ +x% = —1: círculo de radio im aginario. c) T = x | + 3x2, X2 + 3x2 = 1: elipse con semiejes 1 y d) T = x f —x \ = 1: hipérbola equilátera.
e) T = A li2 + A2 I 2 , A li2 + A2 X2 = 1; elipse si Aj > 0, A2 > 0; hipérbola si AjA2 < 0; elipse im aginaria si Ai < 0, A < 0. f) T = i j + X x\ = 1: elipse si A > 0; hipérbola si A < 0. 150)
a) T =
= 1: par de planos paralelos al plano ( e i,e 2).
12
b) T = x \ + x \ = 1: cilindro circular recto. c) T — x2 + x \ —X3 =
1:
hiperboloide de revolución de una hoja.
d) T = —x , + 2x2 —X3 = 1: hiperboloide de revolución de dos hojas. e) T = a,i
a) T ( x ,y ) =
—se n 9 \ eo s9
J
; no sim étrica.
=
=
(xiV \ + X 2 y 2 )c o s 9 - (x iy 2 - X 2 y i) s e n 0 .
T no sim étrica
—sen 9
d) A = I
0
T ( x , y)
A» =
1
eos 9
H-0) = «(9)·
) no sim étrica, su T asosiada es no sim étrica y es tal que
= <*|A(y)> = Xiyi + Ax,y2 + x3y3·
tA
= ^
° j es, geom étricam ente, un desüzam iento en la di
rección de e 2 152)
A — ► A debido al cambio de coordenadas (base) A ■ B ' = C ?. E sto opy ijk ' ' ijk 3 dy' _ dyh dx^ dyk dx^ implica: i - — B ° = -----= —--------------- r—r .4 B a . A hora m ultiplicam os ¡jk dxa dxy dy> p dx’1 dy> ap-,
, . , dxa dy' dxa , „ cada m iem bro por -z— B a y — ------- = 1. Se tiene dy' 1 d xa dy' A íjk
A d y ' d i'1 dyi affi
K p-
153) dx y dy son tensores de especie [ _ ) con realción y diferentes bases, — g es de especie
Capítulo 7 1) P =
lP A P =
0
lP A P =
-1 4
o N P =
o -4 j
7)
b) u(C) ft C. d) dim C = oo.
9) Fije y, ponga z ■-* f ( x , y ) e E * . Existe un vector único y' e E tal que / ( z , y) = (z |y ), luego defina u 6 L (E ,E ) así: u(y) = y'. L a unicidad le da / ( i , y ) =
y
15) Tenemos x e £ , /( tx ,tx ) + f ( x , x ) =
0 , ¿2
= -
1.
16) Existen bases ortonorm ales. A herm ítica implica que es diagonalizable, y existe una m atriz unitaria U tal que U ~ l A U es diagonal. A n tiene límite, esto implica que U ~ l A nU tiene límite. Si A i , . . . , Ap e R son los autovalores de A, entonces A, = 1 o |A¡| < 1 para 1 < i < p. 30) Sea /( x ) = A; f ( i x ) = ¿A, pero A y ¿A no pueden ser al mismo tiempo imagi narios, al menos que / = 0 . 39) f ( x , x ) = |x i | 2 + · · · + |x „ | 2 > 0 Vx * 0. 59)
b) dim r E* = dim r ( í £ * ) = 2n (sobre R). dim r E® = dim s ('E * ) = 2n (sobre R). c) Si / 6 E* y f e £ * , entonces / ( Ax) = A /(x) ya que / es C -lin e a l, pero / ( Ax)_= Á /(x), ya que / es antilineal, esto implica (A — X )/(x ) = 0 y (A — A) e C, de m anera que / = 0, y el espacio subtendido o generado por E * y E* en E® tiene dimensión, sobre C, 2n y es todo'\E.
60)
b) Sea: Eo 3 (x , y ) >-* (x,y) G E © E esto es un isomorfismo
C —lineal.
c) V / 6 E* tenemos / = / i + / 2 donde f \ es C —lineal y / 2 es antilineal, esta últim a es tam bién una aplicación C —lineal: Ü — > C, por consiguiente ( / 1 . / 2 ) define una aplicación C -lin e a l /* : E 0 — * E 0 dada por /( x , y) = / 1 (1 ) + / 2 ( 1/). con x e_E y y e E\ de m anera que /* e E¡. La aplicación : E® 3 / — ► ip ( f ) = /* e E ¡ tiene Ker (y>) = (0}, de donde dim £® = dim E¿ = 2 n. d) W = E \ ( £ ) · = £ ' .
Capítulo 8 ( 12) D = 1
1
0
0
2
0
°
0
-3 8 )
13) U ¡( x,y , z) =
0
[1
+
(1
(
^ ,P =
/2
0
-1
+t 1
5 + 9t ^ —5i
0
2
/
- 2t)y - 2»2 , (i - l) x + (2 + 3 i)i, iy + 3z].
14) La fila / [ se normaliza, memos el vector
1
/1
=
^ / 3 ) eSt°
*a ProPorc‘onal*cla d · To-
= (x, y) * 0 tal que = 0 = -^= + l-—^ y · De V3 \/3
allí i =
+ t), y = - 1. Se normaliza y f 2 — > f i =
(1
De donde V3
1
i- i
V3
V3
f
+t
1
V
V3
\
-1
n/5
V3
15) El mismo procedimiento /
i
1
-i
I 2
2
2
i
-1
A u
V
V2
V
2
1
—¿
2
Y
^ -7 2 i
i2
72» )
27)Examine la m atriz de / . 28)
1
/
. b) || ||= 5 7 2 , |¡ || = 3\/2.
a) Tomamos 0 * ||it(x ) | | 2 = (u (x )|u (x ) = < x|utu(x)) = (x litu ^ x )) =
29)
(a) <=> (b): u = v 1 = vv
=
(b) <=> (c): u = vjf w t / = (w^wY — w*w
(autoadjunto), (u (x )|x ) =
(c) « ■ (a): u hermítico o u digonalizable, u(x¡) = A,x,; i , base propia, 0 $ Aj 6 R, además, 0 ^ (u(z¡)|x¿) = A ,(x,|x,) = A;, todo esto equivale a decir que existe \fX[ y existe un operador autoadjunto tal que v(x,) = 7A¿x> para i = 1 , 2 , . . . , n; entonces v es autoadjunto y t>2 (x¡) = A¿x¡ = u(x¿). De donde v 2 = u. 30) Proceda como en el caso anterior mutatis mutandis.
31) C = A + B , con A* = A y B^ = - B . Sea C = Al =
V
2
/
32) < D t(P ,)|ft>
=
(C + C t) - (C - C f)
= £ ± £ L = 4· m = ( c ~ c t)t = _ £ z £ 2 2 2
=
J
P ,( x ) ^ d x
=
= A + B.
= _p
f i ( * ) f t ( * ) |‘ -
l· 33)
-^ (1 :1 )·—
(T
34) Tomemos ¡u (x )||2 = (u (x )|u (x )), y |u f (x )| = (ti* (z)|u t(x )). 40) R epresentar a u por una m atriz diagonal y deduzca P . 41) P artam os de /(A ) = eXAeXBe~H ^+B) y obtengam os ~
= A[j4, B ] f e integre.
CLÁ
44) a) Positiva y definida positiva, c) Positiva; las o tras no. 49)
b) Nótese que
53) b) Poner hn = ^ = ( /n + ¿í?n), n e N. 55) a) ih L z . b) d3 ’ dyd x2
Ü
'd y 3
d3 d yd z2
Ü . 1dx3
d3 d3 d3 a3 a3 -y d x d z2 d xd y2 d yd x2 dy3 d yd z2 «?3 d3 _ J P _ + J M _ a3 + y. d xd z2 dxdy dydxJ y d x3 + J dydx/2
y
ih ih
dV X dy
dK lJ dx
= "5¡d7(xv- J/l)=0·
Ya que V (x , y, z) = V^lñl) y dV_ _ d r d V _ yd_V_ dy dy dr r d r'
dV __xdV _ dx s ds
56)
a) C t|í/> < C /|B M t> . b) < W |C >|Í/) ( í/I B U t) . c)
58) (x|y> es bilineal. Si fijo y, tenem os la aplicación lineal de E en R : x >-» (x |y ), la cual denotam os por |y ) e E* : x (|y ))(x ) =
a) f ( x + Ay) = / ( x + Ay) = f( x ) + A/( y ) = /( x ) + Á /(y ).
b) / — v>(/) = 7 ,
y calcule
[pz , A (r)]/(r) =
pz A (r )f(r )
-
f( r ) p x A (x) -
ih{ é A{r)nr)- Mr)d~ i r } · d) P ara ¿ = 1, x : (p x/ |s ) = ¿fi J -9£ g = f) <[?*· z ]> =
~ ih- =
J 7 „(P xX -
xPx)fP =
- ih
= ·
(P - P) J 7 pi / p = 0.
g) p = - p = - p t. 69) < //) = 0, con i¡> = \¡>\ +
arbitrarios da:
J
+
JW
i
= o.
Reemplacemos V*i por e'xipi. Entonces e~ ,x aquí que la integral es cero. J se obtiene
2)
= 0V
VA. De y $ 2· Si escogemos Vi = H4>i
= 0||WV'aJ| =*■ Hi ¡>2 = 0 V ^i y H = 0.
70) De la desigualdad |a;„yM| <
- se obtiene:
a) (*n) + (y«) = (xn + TJn) 6 E. b) La misma desigualdad no dice que / sea una aplicación de l2 en € . d) C/](* ) = (anx n ). e) Ul = U ~ l si OnOn = 1 V n
e N.
81) < £ ‘í|E " > = T r ( E íjE kl) = 6s¡ T r ( E ik) = SjtSik = T r ( £ £ t ) = T r ( E 'E ) . 93)
a) Apliquemos la desigualdad de Schwarz a las dos funciones f i f i y P 1 5 2 , y luego a las funciones / 2, / 2.3? >y\b) Utilicemos tres veces la desigualdad de Schwarz.
94) c) <4 es herm ítica p ara / -f \ g V A e C. Además R a
J(/
+ Í J M < / + AS) =
J f A f + |A|2 j g A g + a J f A g 4- Á j" g A f . Como las dos útim as integrales deben ser complejas conjugadas, la una de la otra, entonces las dos primeras son reales y
J7* 96) f) Tomemos x = £ /(e i)e j, entonces, existe f x tal que f z (y) = (y|x> Vy € E. Calculemos /r ( e 0 =
b) x = (—i, 2 — 3i, 1 + 2t) c) x = (1, 2, - 3 )
A/gunas sugerencias y soluciones para Jos problemas / 485
6 i 2 —6 i + 1 V5
c) f ( x P ) = 0. e) ( xQ \x Q } = 0 si en particular P = xQ 0 1*90 = 0 = » i Q = O y Q = 0. f ( P ) - <^IQ> =
/ * 0 · => jQ, VQ =* /* - o*.
=* ¡ = o*.
h) Dimensión finita de E y la infinita de H. ) N a =
=
=»
=/
< 0 ( i ) | y ) = ( 0 | y > = O = < x |y > = < x | 0 ( y ) > = <1 )0 * (y )>
101) a)
y
e Fx, i e F = >
u{z)
u*(y) e ^ (in v a r ia n te ) ,
=>
O f = O.
e F( invariante) ; ( n ( x ) | j / ) = ( x | i í f ( y ) ) = O => = ti- 1 .
b) u (F ) = F, 'i y e F, 3 y ' 6 F: u(y') = y; con i e f 1
(M M %
=
Y ¡ M ,kM j k ^ M i í M j i + - - + M inM in = ( ( M u , . ■ ■ , M m )\(Mj U . . , M jn )) = !/;> Tt
< (W ii........M n í)|(M 1¿, . . . . Mni)> = ^ I C i ) ’Q2 + ¿>2 = 1
a d ~ be =
1
(a = 0) => b2 = 1, c = —b ■= +1; (d = 0) => M =
7T
7T
existe 9 = — , 9 = —. 2 2
(a ¿ 0 ) => c = - — => 62d2a -2 + d2 = 1 a = ±d. a Si a = —d = > c = b=> —a 2 —c2 = 1 imposible, entonces a = d. Si 6 = —c => M = ( V c c = sen #.
] . Existe 0 con a 2 + c2 = 1 => a = eos#, a /
104) < í/tí/(x )|x > = <{/(x)|t/(x)> = ||i/(x)|| = 0 => E/(x) = 0 Vx í/(x ) = 0. 106) |x + y |2 = (x + y|x + y> = |x |2 + |y |2 +
4lm
De estos cálculos se obtiene la expresión que se busca. 107)
a) dim C[x] = oo. b) Tomemos una base (e¡) ortonorm al de £ y construya y = £ f ( e j ) e j , y definamos f v por / y(x) = (x |y )· Entonces n f y (ek) =
Ve* => / = /„.
La unicidad proviene de suponer otro vector z 6 E tal que (x|y> = (x |z ) V x. E sto implica que de ((y — z)|(y — z)) = 0, se tiene y = z. d) Cero, cualquiera sea P.
e) í |y(x)l2l<2(x)l2<& = o.
Jo f) yQ = 0 => Q = 0, pero / # 0, entonces Q no existe.
g) La dim C[x] = oo y la propiedad b) no se aplica. 108) ( M A \ B ) = B ' M A = ( M f B ) M = ( A \ M * B ) . 109) < /m (.4)|S> = T r ( B * ( M A ) ) = T r ( M A B ' ) = T r { A B ' M ) = T r ( A { M ' B ) ' ) = ( A \ f w (B)) = ( A \ f l ( B ) y
110)
a) ( f p ( Q ) \ R ) =
PQR
=
J' P(t) Q (t) R(t)
= J l Q( 0 (-P(í)i2(í))^
=
<1Q \P R > = ( Q \ f P( R ) ) =
entonces, P = ^ a n i k, así P es el polinomio cuya k k función polinómica conocida es la compleja conjugada de P: P(t) = P (t), (t real).
111) Si tal D*Q existe, se debe tener que < P |D fQ ) = P (1)Q (1) - P (0)Q (0) -
en la base canónica.
a) o u = (U,\U,y = < í/,|t/3> = a,,.
2 b) V x = x ’e,· => h(x, x) = ^ x'Ui > 0. *-i c) h ( x , x ) = 0 implica que (Vi > 0,Vy e E ) se tiene /i(x + t y , x + ty) = 2í Re[/i(x, y)] + t2/i(y, y) > 0 => l*m2 Re[/i(x,y)] + th ( y,y) = 2 Re[/i(y,y)] = 0 Cam biando y por —y, ¿y por —¿y se tiene h ( x , y ) = 0. 124)
a) Tomemos x e E tal que (U —idc)(x) = 0 ( x lt/^ x ) ) = —( x |i ) . De donde ¡x|| = 0.
(C/(x)|x) = (x |x ) = ||x j2 =
b) (U — ícLe ) es biyectiva, esto implica que existe un y 6 £ único tal que y = ( U - i d E) - ' ~ ( ( U - i d E) ( y ) \ ( U - i d E)(y)) = « U - i d E) ( y ) \ ( U - i d E)(y)).
137) d et S = 1 => -Xi > 1 y Ai - A^ > 0, entonces (Aj —A2) / s ( X , X ) = |(Ai - A j) ii + (As —iA ^ xal2 138)
|x2|2·
a) R esulta x = Ay. c) El discrim inante de este trinom io es r es < 0. d) Como el discrim inante es nulo, existe r 0 ta l que f{ x + r 0e,tfy, x + r0e 'ey ) = 0.
Capítulo 9 8)
a) La 1-forma íí asociada al campo f X es fi = f A \d x + fA z d y + fA s d z , O btengam os la 2-form a dCí = f
divX = 0.
c) u = ~ [x (z2 - ii2)dx + y (x2 - z 2)dy + z(y 2 - x 2)dz]. 11)
h) q(L nX )
=
q {U -lT MU ) ) = A e t\U U - xT MU {X )]
=
det [TMt/(X )] = d et U (X ) = q (r).
i) det T¡¿(A ) = d et (A /M A Í) = det A íf · det M ■ det A = det M · det M ■ det A = | det M \2 det A = det A. 12)
a) C onsulte las secciones 2.11; 2.12; 3.2; 7.4; 7.5; y 7.6. c) 4-vectores espaciales: (0,1, 2,3), (1 ,1 ,2 ,0 ), tem porales: (5 ,1 ,2 ,3 ),; isótro po i = (5 ,0 ,3 ,4 ). f) x = ( 5 ,4 ,3 ,o ) # r = (0 ,0 ,0 ,0 ). g) ( x , 0 , 1 , 0 ), (x ,0 ,0 , x). y
h )v = — = ^ = t xu v =■ c.
— = c . Tam bién así: d2 = x2 —x 2 « 0, x 2 = c2t 2 x
Por estar el hom bre en reposo x 1 = x 2 = x 3 = 0, solam ente avanza en e) tiem po x° => constante. 13)
a) No existe m ovimiento en las direcciones x2 = y, x3 = z de m anera que se tom a x2 = x3 = 0. b) El sedentario A está en reposo, sólo avanza en el tiem po. Tendrem os 0 (0 ,0 ,0 ,0 ) y jB(10, 0 ,0 ,0 )
c) El vajero se ha movido en espacio x 1 y en el tiem po t. A (5 ,4 .9 ,0 ,0 )y 5 (1 0 ,0 ,0 ,0 ).
0
(0 , 0 , D,0 ),
d) Ver el problem a precedente, d ^ 0, d es invariante por transform aciones de L orentz, d es tem poraloide, y i ° = ( tiene unidades de tiem po, años. e) d (0 , A ) = || A | = ¡(5,4.9,0,0)11 = -v/|25 —24| = 1 año en el cohete. d (A ,B ) = ¡|A —i?|| = ||(—5 ,4 .9 ,0 ,0 )|| = 1 año en el cohete. f) d (0 , B ) = |B || = 10 años, con respecto a la tierra. g) d (0 , A) + d(A , B ) = d(O t B ) — 2 años, con respecto al cohete. h) Son distancias invariantes absolutas m edidas en dos referenciales lorentzianos diferentes. Los intervalos de tiem po no son invariantes, son relativos a los referenciales (lo mismo que las longitudes). La perspectiva que da la relatividad de Einstein es muy diferente y sorprendente con relación a la de Newton: al encuentro los gemelos deben tener la misma edad universal. E instein dem uestra que no tendrán la mism a edad y no hay paradoja, es sólo aparente. ¡Viaje y rejuvenecerá!, este es el elixir de la etern a juventud faustiniana. H ay confirmación experim ental con partículas subatóm icas y con relojes atóm icos m ontados en aviones. 14)
h)
e ,(r) es base de R ".
k) w¿ es una función real, (r, X ), r e U y X e Rn(,1+1) para r fijo, es una función linea] de X . La forma inducida por w, es la restricción de esta función a los r 6 O y a los X tangentes a la variedad O en el punto r. 15)
a)
es 1-forma,
es una 2-forma en R, du>i y dw¡y idénticam ente nulas.
b) —r~~ 0, es paralela a ei (proporcionales). Además újj = U3 = 0. dt dt c) = 0 = ¡i>i3 + UI3 1 . d) Vea el problem a precedente. d M = wiCi = (Ae)e «*> v i = Ad£, 0 < A(í) = e) A(t)d t = ds del arco s de c.
dM dt '
" ■
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Indice analítico 1-forma, 213, 218, 388, 389, 397, 429 2-forma, 218, 219, 386, 392, 399, 421 3-form a, 219, 388 3-vector, 421, 425 4-corriente 426 4-covector, 419 4-forma, 419, 420 4-form a elem ento de volum en, 419 4-gradiente, 425 4-potencial, 423 4-vector, 53, 69,199, 200, 249, 419, 423 4-volumen, 420
A bsolutividad, 246 A bsolutivizar, 246, 250 A bsoluto, 6, 53, 105, 148, 167, 245, 246, 252, 259, 260, 266, 271, 389 lorentziano, 253 A buso de lenguaje, 4, 5, 13, 58, 63, 69, 80, 111, 113, 115, 153, 251, 260, 272, 313, 335 A djunción, 78 A djunto, 78, 79 endom orfism o, 77 herm ítico, 345 Aforismo de Galileo, 252
de P rotágoras, 252 A lgebra bigraduada, 233, 275 bilineal, 48, 256 de autom orfism o, 57 de cuaterniones, 127 de endomorfismos, 2 de G rassm ann, 222, 275, 293 de operadores, 1 exterior, 15, 185, 189, 191, 200202, 233, 256, 275 graduada, 200, 203, 222, 233, 275 L {E ), 26, 79, 80 lineal, 1, 48, 54, 117 m atricial, 26 m ultilineal, 1, 48, 54, 186, 256 sim pléctica, 235 tensorial, 275 trilineal, 48, 256 un itaria, 2 vectorial, 1, 386, 388 A lternador, 187 A m bilinealidad, 7, 13, 23 Análisis exterior, 15, 185, 186, 204, 227, 388, 389 tensorial, 68, 275 vectorial, 186, 389 Anti-isom orfismo, 366
m iim uiiuiiiuuj/i
496 /A lgeb ra m ultiüneal
A ntiautoadjunto, 359 A nticonm utador, 347 A ntiherm ítico, 352 Antilineal, 312, 315, 319 A ntisim étrico, 186 A ntisim etrización, 187, 188 A ntisim etrizador, 153, 186, 187, 295 A ntiunitario, 352 Anulador, 29 Aplicación adjunta, 23 antisim étrica, 50, 59 bilineal, 47, 51 C-lineal, 283 derivada, 15 dual, 23 lineal, 2-4, 7, 13, 16, 20, 21, 48, 54, 76, 78, 79 n —lineal, 51 parcial, 49, 51, 53, 60 R-lineal, 282 sim étrica, 50 sim pléctica, 235 Asno de Buridan, 167 A utoadjunto, 87 A utoecuación, 433 Automorfismo, 2, 3, 72, 73, 79, 81, 82, 116, 160, 165, 312, 348 A utoproblem a, 432
B ajar índices, 3, 47, 260, 262 Base de R3*, 14 bidual, 28 canónica, 10, 12, 13, 20, 106, 166, 167, 214 canónica de K , 10, 76 de A P{E ), 191 de L 2(E -K ), 57 derecha, dextrógira, 18, 167
dual, 1, 2, 5, 6, 10, 11, 14, 16, 18, 19, 27, 28, 61, 74, 189 izquierda, levógira, 167, 301 orientada, 148, 167 ortogonal, 18, 85, 319 ortogonal con respecto a una for m a bilineal sim étrica, 74, 109 ortonorm al relativa a una forma bilineal sim étrica, 75, 109 ortonorm al relativa a una forma herm ítica, 339 propia, 117 recíproca, 17, 18, 28 sim pléctica, 235 tensorial, 58, 266, 286 Bidual E **, 4, 26 Bilinealidad, 7, 60, 71, 72 Bivector, 199, 201, 301, 423 Borde de una pieza orientada, 409-413 Bra, 16, 17, 54, 115, 340, 431 Bracket, 16, 17, 340, 431
C -lineal, 283 C.C.O .C, 368, 431, 432 Cálculo absoluto, 185 diferencial absoluto, 245 exterior, 185, 203 exterior, 186 ketorial, 17 tensorial, 186, 245, 247, 250, 253, 275 Cambio de base, 267 Campo conservativo, 215, 398, 411 de formas diferenciales, 210 de fuerza, 397, 398 de gradiente, 210, 215, 389 de velocidad, 283 de velocidades, 399
electromagnético, 53,169, 415, 420, 421, 423, 425 escalar, 336 geométrico, 418 gravitatorio, 106, 253, 428, 430, 431 irrotacional, 393, 398, 411, 414 lam inar, 393, 411 magnético, 294, 415, 418, 420 métrico, 430 que deriva de un potencial, 215, 391, 394, 398, 425 solenoidal, 394, 415 tensorial, 186, 206, 218, 248, 249, 251, 260, 297 vectorial, 186, 210, 212, 215, 219, 294, 336, 386, 388, 389, 393, 395, 400, 411, 414, 416 Capacidad escalar, 291, 292 tensorial, 298 tensorial de Levi-Civita, 289 Cinta de Möbius, 167, 168 Circulación, 395-398, 411 Co-covector, 28 Cobase, 2, 6, 10, 11, 28, 272 Coborde, 223 Cocerrada, 234 Coderivada exterior, 234 Codiferencial, 234 Coeficientes de Fourier, 342 Cofactor, 162 Com atriz, 138, 163 Combinación lineal, 8, 19, 29, 30, 51, 58,69, 149,154,158,192,206, 213, 244, 255, 268, 317, 432 Comodular, 291 Compacto, 410 Completez, 32, 355, 370, 373 Componentes contragradientes, 272
contravariantes, 4, 67, 68, 262, 272 covariantes, 67, 112, 262, 272 de un tensor, 58, 206, 259, 260 de un vector, 2, 11, 14 de una p-forma, 217, 218 de una forma p-lineal, 255 de una forma bilineal, 58 de una forma lineal, 11 Conexión, 253, 271, 406, 423, 429 Cónicas, 48, 63, 100 Conjugación hermítica, 345 Conjunto ortogonal, 319 Conm utador, 132, 347 Cono isótropo, 317 luminoso, 317 Conservación de la corriente eléctrica, 401, 416 de la energía, 398, 415 de la masa, 401 de la orientación, 165 de una forma, 3 del flujo, 401 del producto hermítico, 348 Contracción de índices, 265 tensorial, 278 Contram odular, 291 Contravariancia, 3, 16, 248, 249, 258260, 272 Contravariante, 1, 6, 55, 201, 248, 249, 251, 262, 272, 420 Convención de Einstein, 6, 265, 268, 396 de Maxwell, 167 Coordenadas cartesianas, 105, 210, 232 contravariantes, 18 covariantes, 6, 18 curvilíneas, 105, 276, 423, 429 oblicuas, 3, 65, 67, 105, 262, 272
rectangulares, 429 rectilíneas, 300 term odinám icas, 402 Corchete cuántico, 340 de Dirac, 7 de dualidad, 1, 6, 14, 22 Covariancia, 3, 6, 15, 16, 248, 249, 252, 258-260, 272 Covariante, 1, 5, 6, 16, 186, 249, 262, 272 Covector, 4, 6, 14-16, 28, 53, 72, 73, , 2 0 1 ,2 5 8 ,3 4 0 ,3 8 9 Criterio de tensorialidad, 271 Cuádricas, 48, 64 Cuadrirrotacional, 425 Cuadrivectores, 54, 55 Cubo n-dimensional, 227 Cuerpo de base K , 32 C urvatura, 428, 429, 446
D’alem bertiano, 413 D elta de Kronecker, 3 Densidad, 399 de corriente (pv), 399 escalar, 292 tensorial de Levi-Civita, 289, 291 Derivación, 15 Derivada absoluta, 436 convectiva, 401 covariante, 429, 437 direccional, 389 exterior, 204, 223, 225 normal, 391 parcial, 18, 204, 207 Desigualdad de Bessel, 327, 343 de Holder, 109, 341 de Minkowski, 108, 338, 340, 341 de Schwarz, 87, 106, 299, 337, 340
de Schwarz-Cauchy, 329 triangular, 108, 112, 113, 340 Desorientación, 169 Determ inante, 153 cálculo de un, 153, 161 de Slater, 189, 203 de un operador, 158, 159 de una m atriz, 61, 156 de Vandermonde, 43, 177 de vectores, 153, 159 multiplicación de, 172, 173 Diada, 48, 59, 258, 274 Diagonalización de un operador autoadjunto, 117 Difeomorfismo, 409 Diferenciable, 204, 208 Diferencial, 186 de E — F , 209 de IR — R, 205 de R -* Rp, 209 de R" — R, 205 de R " — R p, 207 dx, 14 dx, dy y dz, 211 en R3, 18 exacta, 14, 261, 397 inexacta, 261 total, 398 Disco rotante, 428 Discriminante de una forma bilineal, 61, 71 de una forma cuadrática, 63 de una forma herm ítica, 318 Distancia euclidiana, 64, 112, 113 infinitesimal, 64 Divergencia, 393 Dual, 17, 22, 26, 28, 72 Dualidad, 7, 24, 28, 273
Ecuación
de campo, 16 de continuidad, 401, 423 de Maxwell, 112, 186, 417 de Maxwell con formas, 427 de Poisson, 430 de Schrödinger, 432 de una geodésica, 434 diferencial, 48 lineal, 13 tensorial, 248 Ejes principales, 64 Electrom agnetism o, 81, 82, 169, 186, 414 Endomorfismo, 2, 3, 77, 79, 81, 86,115, 117, 157 unitario, 348 Energía degradación de la, 406 interna, 14 Entropía, 15, 402 Epimorfismo, 3 Espacio £2, 355 A P( E ; K ) , 149 adjunto, 4 afín, 3, 12, 15-17, 105, 112, 114, 115, 212, 223, 389 antidual, 16, 312 conjugado, 4, 327 convexo por arcos, 227 curvo, 428 de Banach, 223, 355 de euclides, 114 de Fock, 336 de formas L P( E \ K ) , 55 de formas bilineales L,2 ( E \ K ) , 58 de formas multilineales L P(E), 255 de funciones continuas, 15 de Hermite, 117, 336, 339 de H ilbert, 1, 12, 16, 17, 66, 73, 311, 316, 336, 339
de Minkowski, 1, 3, 12, 16, 17, 47, 64, 66, 69 de representación, 80 de Riemann, 3, 16,17, 47, 66, 253, 428, 429 dual £ * , 4-6, 11, 24 dual conjugado, 16, 318 euclidiano, 3, 12, 15, 16, 18, 47, 48, 64, 66, 70, 105, 106, 112, 114, 115, 356 hermítico, 339, 340 L 2, 355, 356 L 0 (E\ K ) , 55 L 2 [ e ; R), 55 L n{ E \ K ) , 54 L P(E-,K), 149 métrico, 3, 17, 47, 105, 113, 419 norm ado, 113 nulo, 29 ordinario R3, 115, 391 ortogonal, 317 pre-hilbertiano, 114, 339 pre-hilbertiano complejo, 336, 339 pre-hilbertiano real, 114 pseudoeuclidiano, 47, 66, 69 Q{E), 62 real, 114 separado, 339 simplético, 235 tensorial, 6, 267 vectorial, 3, 5, 10, 24, 27, 28, 48, 54, 58, 62, 66, 73, 79 vectorial complejo, 76, 311, 312 vectorial de endomorfismos Í<(E), 345 vectorial real, 105 Espacio-tiempo, 254, 419, 428 Espectro, 117 Espinores, 106 Estado físico, 115 Experim ento de Oersted, 166
Factor integrante, 216, 237, 402 Fenómeno cuántico, 311 Flujo, 395, 399 Form a (s) 0-lineal, 53, 55 2-line al, 51, 53 3-lineal, 52, 220, 391 alternada, 50, 59, 149 antilineal, 312 antisim étrica, 50, 149 bilineal, 47, 48, 51, 52, 55-58 alternada, 149 antisim étrica, 59, 188, 201, 219 canónica, 53, 60 no degenerada, 71 sim étrica, 48, 53, 59, 62, 63, 66, 6 9 ,7 0 ,8 1 ,1 0 5 ,1 0 6 ,1 1 0 ,3 1 1 , 388 binaria, 63 canónica, 64, 76, 82 coordenada i*ésima, 14 cuadrática, 47, 48, 61-64, 66, 69, 70, 81, 106, 112 cuadrática asociada al producto escalar, 64 cuadrática canónica, 64, 77, 79 cuadrática de Lorentz, 136 cuadrática diferencial, 64, 251 cuadrática herm ítica, 314, 336 de Faraday, 421 de Lorentz, 316, 317, 319, 440 de Maxwell, 422 definida positiva, 109 degenerada, 70 densidad de corriente, 422 diferencial, 169,186,201, 203, 389, 415 cerrada, 215 com pleja de gado 1, 223 cuadrática, 82 de grado 1 compleja, 213
de Pfaff, 212, 403 exacta, 214 exterior, 15, 186, 261 exterior de grado p, 216 exterior de grado 1, 210 dual, 422 fundam ental / 0, 115, 340, 351 herm ítica, 313, 336 herm ítica canónica, 315, 341 herm ítica no degenerada, 317 integral, 316 lineal, 1-5, 9, 11-16, 18, 19, 27, 28, 31, 48, 54, 63, 72, 73, 80, 186, 201, 205, 211, 390 lineal conjugada, 312 m ultilinea!, 48, 51-54, 245, 250, 255, 263 rnultilineal alternad a, 193 n-lineal, 52, 54, 150 p-lineal, 48, 52, 53, 186, 188, 192, 201, 254 polar, 63, 67, 314 sem ilineal, 312 sesquílineal, 285, 313, 351 sesquilineal herm ítica, 316 sim pléctica, 234, 235 tern aria, 63, 64 trilineal, 52, 53 Fórm ula 1 y 2 de G reen, 413 de C ram er, 202 de G reen-Riem ann, 398, 412 de interpolación de Lagrange, 43 de Stokes, 408, 409 Fuerza F , 15, 16, 19 Punción característica, 49 coordenada t-ésim a, 49 de dos variables, 19 de estado, 189, 335, 402, 433 de onda, 189, 203, 335, 431, 433
de varias variables, 49, 208 derivada, 67 diferenciable, 212 lineal, 4, 18, 170, 205 m ultivectorial, 48 polinomio, 43 tensorial, 249 Funcional lineal, 4 n-lineal, 52
Gauge, 253, 276 Gemelos de Langevin, 441 Geodésica, 430 G eom etría afín, 16 de R iem ann, 430 diferencial, 167, 250, 419 euclidiana, 16, 106 m inkowskiana, 16 riem anniana, 16, 276 sim pléctica, 235 G radiente, 16, 210, 389, 390 Grupo afín, 105 alternado, 50 de autom orfism os, 57, 79 de Galileo, 106 de invariancia, 347 de Lie, 350 de Lorentz, 48, 82, 112, 116, 439 de m atrices SO n (if), 85 de m atrices ortogonales S O (R ), 116 de m atrices reales On , 116 de Poincaré, 116 de rotaciones, 48, 82, 85, 169 especial lineal S L (n ,K ) , 178 euclidiano, 105 lineal O L (E ), 57, 73, 79-82, 116, 165, 347
lineal de K n G L(n, K ) = G L n (K ), 79, 80, 85 ortogonal, 347 0 ( E ) de una forma, 73, 82 O (E ) de una forma cuadrática, 82 especial SO n (E ), 73, 82 seudoortogonal, 129 sim étrico S„, 49, 193, 366 sim pléctico, 235 unim odular SU n, 350 unitario Un , 349
H am iltoniano, 364, 431 H iperplano, 31, 75, 409 H omogeneidad, 3, 253 Homomorfismo canónico, 53 de espacios vectoriales, 79 de grupos, 3, 79 Hom otecia, 80, 159, 166 Hom ótopo, 227
Idem potente, 370, 371 Identidad de Euler, 88 Identidad de Bianchi, 423 Identificación canónica entre E y £ * , 71 Igualdad de Parseval, 327, 344, 431, 433 Im agen recíproca, 55 de u na forma diferencial exterior, 230 Independencia lineal, 163 Indicador de Levi-Civita, 291 índice contravariante, 2 covariante, 2 de nulidad, 134
de positividad, 134 libre, 12 mudo, 2 Integrai curvilinea, 396 de forméis diferenciales, 396 de superficie, 395, 396 definida, 15 vectorial, 413 Intensidad, 115 Intercam biado^ 189 Intrínseco, 246, 247, 252, 259, 271, 389 Invariancia, 47, 82, 86, 112, 246, 251, 258, 266 Invariante, 58, 73, 80, 82, 111, 161, 164, 165, 248-253, 259 Inversión, 50, 163 Isom etría, 73, 83, 115, 348 Isomorfismo, 3 canónico, 27, 28, 53, 72 canónico en tre E y £ * , 72, 345 entre álgebras, 80 entre espacios, 202
Jacobiano, 207, 210, 222
Kernel, 70 K et, 16, 17, 54, 115, 335, 336, 340, 431
Laplaciano, 394, 413, 430 Ley cociente, 271 de Ampère-M axwell, 418 de Faraday, 418 de Gauss, 418 de Gauss-Coulom b, 418 de inercia, 321 de inercia de Silvester, 111 Líneas de cam po o de fuerza, 398, 414
M étodo de C ram er, 68 M étrica de tipo elíptico, 112 de tipo hiperbólico, 112 m inkowskiana r¡, 66, 69, 112, 253 riem anniana, 253 M ódulo, 82, 115 de un vector, 47, 64 M agnitud, 64, 115, 250 M asa gravitacional, 428 inercial, 428 M atriz ad junta, 25, 314, 345 adju nta herm ítica, 314 antiau toadju nta, 345 antiherm ítica, 315, 345 auto adjun ta, 345 com pleja, 117 conjugada, 313 conjugada herm ítica, 314 de cambio de base, 56, 62 de la form a herm ítica, 314 de Lorentz, 135, 316, 320 de Pauli, 369 de un covector, 20, 22 de un vector, 20, 21 de una aplicación lineal, 2, 25 de una form a, 56 de una form a bilineal, 56, 61 de una form a cuadrática, 63, 64, 115 de V anderm onde, 43 definida positiva, 142, 361 dual, 25 en bloques, 162 escalar, 80 fila, 206 herm ítica, 345 inversa, 163 Jacobiana, 207, 230
norm al, 362 nulpotente, 371 ortogonal, 83, 84 positiva, 361 real, 117 sem ejante, 121 sim étrica, 63 sim pléctica, 235 transp uesta, 57, 163 triangular superior, 162 una por una l x l , 157 unicolum na, 20 unifila, 22 unim odular, 85, 350 unitaria, 348 M ecánica clásica, 82, 186, 234, 350 cuántica, 16, 17, 32, 54, 73, 186, 189, 203, 312, 315, 336, 340, 347, 350, 432 ondulatoria, 432 M enor de un determ inante, 162 M omento angular, 86, 350 lineal, 431 M uerte del universo, 406, 407 M ultiform a, 199, 216 M ultiplicación contraída, 265 M ultivector, 199, 259
N abla, 210 N eutrón, 81 Noniones, 59 N orm a euclidiana, 113, 115, 356 herm ítica, 338, 340 N otación de Dirac, 16, 17, 432 Núcleo, 108, 316 de una forma bilineal sim étrica, 70
de una form a herm ítica, 317, 318
O bjeto geom étrico, 415 m atem ático, 6 O bservador, 336 O nda de D ’A lem bert, 423 O perador adjunto, 78, 115, 234, 328, 345, 351 antiautoadjunto, 359 antiherm ítico, 352, 359 antiunitario, 352 autoadjunto, 86, 87, 115, 351 de Hodge, 233 definido positivo, 359 endom orfism o, 77 especial, 350 herm ítico, 117, 351 inversible, 3, 160 lineal, 3, 6, 78 norm al, 359 nulpotente, 371 ortogonal, 81, 83, 115 positivo, 359 sim étrico, 86, 115 transpuesto, 86 unim odular, 350 unitario, 348 O rden de una forma, 52 O rientación de la base, 83, 148 física del espacio, 166 m atem ática del espacio, 164 O rtogonalidad, 1, 29, 69, 316, 405 entre partes, 317 O rtonorm alidad, 17, 86, 203 O rtonorm alización de G ram -Schniidt, 127
p- forma, 217, 259 p-vector, 199 Parametrización, 396 Parám etros de Klein, 369 Paridad, 50 de una perm utación, 50 P artículas elem entales, 83, 203, 350 Perm utación, 2, 17, 49, 50, 157, 187 im par, 50 par, 50 Perm utador, 12 Peso, 296 Polinomio característico, 117 de H erm ite, 332 de Lagrange, 43 de Laguerre, 331 de Legendre, 127 homogéneo, 13, 61 Potencia cartesiana de un espacio, 2 exterior de un espacio, 199 tensorial de un espacio, 273 Potencial de gravitación, 16, 430 einsteniano de gravitación, 52 termodinámico, 404 P rim era cuantización, 432 Principio de equivalencia, 428 de la relatividad, 252, 253 de paridad, 167, 168 de Pauli, 189 P roducto cartesiano, 263 de permutaciones, 50, 187 de un tensor por un escalar, 263 directo, 280 escalar, 12, 13, 17, 47, 48, 51, 59, 70, 73, 82, 86, 105, 106, 108, 114, 115, 203, 315, 340, 388
canónico, 59, 64, 76, 84 exterior, 53, 186, 189, 196, 197, 199, 221 de formas diferenciales, 220 de formas lineales, 188 de formas multilineales, 193 externo, 263 hermítico, 315, 323, 340, 431 interno, 115, 265, 315, 340 kroneckeriano, 280 mixto, 17, 53, 164, 180, 388 por un escalar, 54 punto, 115 tensorial, 53, 203, 263 ® de formas lineales, 4 contraído, 265 de formas multilineales, 254, 257 de matrices, 280 de tensores, 263 de vectores, 273 vectorial, 47, 51, 53,164, 167,180, 386, 392 Protón, 81 Proyector, 33, 131, 370
Quarks, 81
Radioactividad, 167, 169 Rango de la forma hermítica, 319 de un tensor, 6, 258 de una forma bilineal simétrica, 71 de una matriz, 164, 201 Reducción de formas hermíticas, 354 de una forma cuadrática, 121 Referencial afín, 443 de Darboux, 446
de Frenét, 445 de Lorentz, 419 móvil, 443 Regla de Ampère, 166, 169 de la mano derecha, 166 de los tres dedos, 166 de Sarrus, 156 Relación de com pletez, 32, 373 de ortonorm alidad, 373 R elatividad m étrica, 246 Relativism o, 252, 417 Relativo, 105 R epresentación de una form a lineal, 11 escalar, 247 lineal de grupos, 80 m atricial, 54, 80 tensorial, 247 vectorial, 247 Rotación, 63, 85, 105 R otacional, 294, 391, 392
izquierda-derecha, 169 Sistem a de Cram er, 201 de ecuaciones lineales, 21 físico, 80, 431 lineal, 13 Subespacio invariante, 119 isótropo, 317 ortogonal, 29, 69 Subgrupo, 80 Subíndice, 2 Subm atriz, 162 Subvariedad, 409 Sucesión de Cauchy, 355 Suma de p-formas, 243 de determ inantes, 170 de formas lineales, 54 directa ©, 118, 200 Superficies equipotenciales, 398 Superíndice, 2
Saturación de índices, 265 Segunda cuantización, 203, 336 Series de Fourier, 124, 311, 315 Seudotensor, 289, 296 Seudovector, 294, 392 Signatura de la forma herm ítica, 321 de una form a bilineal sim étrica,
Tensor antisim étrico, 53, 169 cartesiano, 73 contraído, 265 contravariante, 4, 55, 259, 274 covariante, 4, 11, 20, 48, 51, 52, 55, 58, 59, 153, 255, 257-259 de curvatura, 423 de E instein, 430 de Faraday, 420, 425 de Kronecker, 3, 16, 52 de Kronecker, 64 de Levi-Civita, 188, 419 de m ateria-energía, 430 de Maxwell, 426 de Minkowski, 66 de rango cero, 2
112
de una form a cuadrática, 112, 134 Signo de una perm utación, 50, 154 Símbolo de Christoffel, 423, 429, 445 de Kronecker, 287, 288 de Levi-Civita, 289, 420 Sim etría herm ítica, 313
de Ricci, 428 de Riemann-Christoffel, 428 de tipo (£), 258, 259 diádico, 274 dual, 294, 426 electromagnético, 425 esférico, 307 métrico, 16, 52, 64, 66, 112, 115, 262 mixto, 55, 258, 260 simétrico, 53, 259 Teoría cuántica, 1, 81, 186, 335, 347 de Einstein, 65 de la relatividad, 1, 53 de la relatividad especial, 16, 82, 112, 253, 315 de la relatividad general, 16, 112, 148, 253, 276, 427 electrom agnética de Maxwell, 424 relativista de la gravitación, 47, 260, 275, 427 Teorema de Ampére-Maxwell, 416 de Bolzano-Weiertrass, 410 de descomposición espectral, 354 de Faraday-Maxwell, 414 de Gauss, 416 de Gauss-Coulomb, 414 de Green-Ostrogradsky-Gauss, 400, 412 de la divergencia, 400, 413 de Pitágoras, 64, 66, 69, 105, 341, 342 de Poincaré, 227 de Stokes, 204, 398, 399, 408, 410 espectral, 119, 353 fundam ental del cálculo integral, 398 uno y dos de Green, 413 Termodinámica
primer principio, 15 segundo principio, 15 Terna, 18 Tetravector, 199 Torsión, 446 T rabajo, 14-16, 20, 52, 262, 397, 411 Transformación de Cayley, 382 de Lorentz, 439 finita de Fourier, 330 lineal, 2, 3, 444 ortogonal, 250 TYansporte geodésico, 300 paralelo, 300 Transposición de permutaciones, 157 T ranspuesta de una aplicación lineal, 22, 26 de una m atriz, 25, 26 Traza, 36, 266
Uniformidad, 253
Variancia, 6, 15, 16, 73, 249, 258-260 Vector axial, 294 contravariante, 15, 249 covariante, 15, 249 de estado, 335, 431 espacial, 112 isótropico, 69, 108, 112, 115 isótropo, 69, 353, 430 luminoso, 112, 430 ortogonal, 18, 29 propio, 352-354 tem poral, 112 unitario, 18, 115 Vectorialidad, 71 Versor, 115
*
Ind ice de ono m ástico Ampère, André-M arie, 166, 416 Aristóteles, 105
Banach, Stefan, 355, 356, 383 Berkeley, George, 204 Bessel, Friedrich Wilhelm, 327,342,343, 356 Bianchi, Luigi, 423 Boltzm ann, Ludwig, 418 Bolzano, B ernhard, 410 Born, Max, 433 Buffon, Georges, 264 Buridan, Jean, 167
C artan, Elie, 185, 186, 418, 419, 427, 431, 445 Cauchy, Augustin-Louis, 142, 204, 329, 335, 355, 382, 383 Cayley, A rthur, 382 Christoffel, Elwim Bruno, 423, 428, 429, 445 Coulomb, Charles A, 414, 418 Cram er, Gabriel, 136, 201, 202
D ’Alem bert, Jean le Rond, 117, 353, 423 Darboux, Jean G aston, 446
Dirac, Paul Adrien Maurice, 7, 16, 17, 340, 345, 431, 432 Doster, G, 163
Eddington, A rthur S, 247 Einstein, A lbert, 2, 6, 16, 64, 251, 260, 265, 268, 275, 385, 396, 424, 427, 428, 430, 431, 506 Euler, Leonhard, 88, 128, 134, 401
Faraday, Michel, 414, 418, 420-422,425, 426 Feymann, Richard P, 169 Fock, Vladimir, 336 Fourier, Jean-B aptiste, 124, 311, 315, 330, 342, 356 Fréchet, Maurice, 204 Frenêt, Jean-Frédéric, 445, 446 Galilei, Galileo, 106, 252, 428 G ardner, M artin, 169 G ateau, 204 Gauss, C arl Friedrich, 117, 353, 400, 412-414, 416, 418 Gram, Jörgen Pedersen, 96, 127, 131, 179, 333, 374 G rassm ann, Hermann, 222, 275, 293, 296
ìreen, George, 229, 398, 400, 412, 413
lerm ite, Charles, 66, 117, 261, 325, 332, 379, 381, 383 lertz, Heinrich Rudolf, 418 ■filbert, D avid, 1, 16, 17, 66, 73, 261, 311, 316, 335, 336, 339, 342, 344, 347, 355, 356, 367, 368, 372, 374, 431 iodge, 233 iölder, O tto Ludwig, 109, 123, 341
(aluza, T heodor, 64
Lagrange, Joseph Louis, 43, 44, 105 Laguerre, Edm ond Nicolas, 331 Langevin, Paul, 441, 442 Legendre, A drien-M arie, 127, 332 Levi-Civita, Tullio, 188, 287, 289, 291, 294, 299, 301, 419, 420 Lie, M arius Sophus, 350 Lorentz, H endrik A ntoon, 82,135,136, 200, 271, 316, 317, 319, 320, 350, 420, 439, 440
Neum ann, Johann Von, 431 Newton, Isaac, 177, 335 O ersted, C hristian, 166, 167, 169, 499 O strogradsky, Michel, 400, 412, 413 Parseval, M arc Antoine, 327, 342, 344, 356, 431, 433 P asteur, Louis, 169 Pauli, W olfgang, 169, 189, 369 Pfaff, Johann Friedrich, 212, 403 P itägoras, 64, 66, 69, 116, 121, 122, 252, 316, 342, 343, 356 Poincare, Jules H enri, 112, 116, 227 Poisson, Denis, 430, 438 R icci-C urbastro, G regorio, 428 R iem ann, Geeorg Friedrich B ernhard, 3, 16, 17, 47, 66, 226, 229, 253, 254, 276, 355, 398, 408, 412, 413, 428, 430 Rücker, Rudy, 64 Sarrus, Pierre-FVederic, 156 Schm idt, E rhard, 96,116,127,131, 333, 356, 374 Schrödinger, Erw in, 432 Schwarz, H erm ann A rm andus, 87,106, 123, 142, 299, 329, 337, 340, 356, 357 Slater, John Clarke, 189, 203 Steinitz, E rn st, 75, 163 Stokes, George G abriel, 204, 229, 386, 398, 399, 404, 408-412, 415
Mach, E rn st, 166, 169 Maxwell, Jam es Clerk, 112, 167, 169, 186, 414, 416-420, 422-427 Minkowski, H erm ann, 1, 3, 16, 17, 64, 66, 69,108,109,112, 200, 253, Taylor, Brook, 350 254, 338, 340, 341, 347, 356, 419, 423, 424, 427 Möbius, A ugiist Ferdinand, 167, 168 Vanderm onde, A lexandre Theophile, 43, Moivre, A braham de, 177 44, 177
índice de onom ástico / 509
Voigt, W aldem ar, 247 W eiertrass, K arl T heodor VVilhelm, 410 Weyl, H erm ann, 251
Indice de notaciones, sím bolos y a b re v ia tu r a s ® ? .i /.. 254 A ? -i/i = /i a — (ó | u | ^>, 432
a
/ p , 189
( . )7 II i ||= V5ÜÓ. 114, 338, 339 V 2 = A, 234, 413 ®, 58 ®, 4
....ipi 52 Otijki a y = / ( e i . e j ) e A//c(n,n) = M n* ( K ) , 56
C 00, 218 CP = n! [p !(n - ? ) ! ] - * , 193, 233 Cc ( ñ = J w, 397
210
C ( [ a ,6 ] ;C U l5 C ([0 ,1 ];R ), 15
0 -2 5 8 a , 413, 425
D J (x ) = ^ , 2 0 6 , 2 1 0 i4 (* )
=
/M ,
345
A = S £(7r)· I 87 weS, A x B , 48 A " = (V ,/í) = (A0, i ) , 424 69
A2(£¡A·), k p(£7; A-), AP( £ ;F ) , A2(2£), 59, 149, 150 A„(n£ ), Ap(„£), 152, 153, 158, 189, 191 ■A«,...!,, 217 A u t(É ), 79
A(R3;R 3*), 218 A (A ,C ), 49
P ([0 ,1 ];R ),1 5 <5* = 0, 234 Su = sü = 6 ¡= 6), 12 5, 3, 10 d e t ( i i , . . . -1") = Z p€5 „ £( p K (,)- i 5i· 153 d et(u) = det u, 159 dív, 393 dim ^-E = n, 9 det M = d e t(z j), 156 d (x ,y ), 112 d f, 19 d f(M ) : R3 9 (u ,v ,w ) >-»
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eal es la he rram ienta teórica y práctica por excelencia para el lorciona el sustrato alge braico necesario para estu dia r los diferenje o m e tría s utilizados en su disciplina. Este texto desarrolla, con los dos tem as fun d a m e n ta le s del álgebra multilineal real y corn os y los e sp acios m étricos, contenidos que constituyen la antesala esaria para abord ar sin problem as el estudio de las teorías de la a cuántica, de los cam p os y partículas, así com o las teorías de ulogía y otros d o m inios de la física. Estos tem as se c o m p lem e ntan que sirven de introducción a cursos a va nza dos de las carre ra s de :ica. ires y estu dia ntes de estas carreras en contrarán en esta obra, ¡posición teórica, ejem plos e ilustraciones operativas, al igual que 3mas y tareas para dar soporte a la enseñ anza y d e s a rro lla r en el en el p ro ced im ie nto op erativo y dem ostrativo, estim ularlo a estuo e iniciarlo en el arte de investigar.
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