Álgebra Multilineal

´ Apuntes de Algebra III Versi´ on Corregida

Dr. Carlos Lizama Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Matemática y C.C.

Introducci´ on ´ ´ El presente texto de apuntes de Algebra III (o Algebra Lineal II) tiene el objetivo de servir de apoyo y gu´ıa de estudios para el estudiante de las carreras de Licenciatura en Matemática y Computación y Licenciatura en Matemática de la Universidad de Santiago de Chile. El contenido está basado en el respectivo programa de estudios, que constituye la continuación de ´ la clásica asignatura de Algebra Lineal, y fué desarrollado mientras el autor impartió el curso durante el primer y segundo sementre del a˜ no 2000. Versiones corregidas y mejoradas han sido utilizadas desde entonces tanto por el autor como otros académicos de la USACH para dictar esta asignatura. La presente versión, recoge las sugerencias dadas por los profesores que han impartido esta cátedra. Se espera que el texto siga siendo perfeccionado durante el transcurso de los periodos lectivos siguientes, y desde ya el autor agradece a quienes deseen hacer sugerencias y aportes para este fin. El texto consta de tres cap´ıtulos, divididos en secciones.

El primer

cap´ıtulo está orientado a dar al lector el material básico concerniente a espacios vectoriales con producto interno. La mayor´ıa de este cap´ıtulo, as´ı como ´ la primera parte del segundo, son materia conocida del curso de Algebra Li neal y como tal debe ser abordado por el profesor de cátedra a fin de conciliar lo aprendido por el estudiante con los nuevos conceptos. En este sentido, el presente texto de apuntes no es autocontenido y requiere del manejo preciso que de él pueda hacer el catedrático a cargo del curso. El concepto más importante del primer cap´ıtulo es el Teorema de re presentación de Riesz (Teorema 10). Es muy necesario aqu´ı, como en va rios resultados posteriores, remarcar que éstos son válidos en dimensión no 2

necesariamente finita, de manera de preparar y orientar al estudiante a un curso superior (Análisis Funcional, Análisis Armónico, Análisis Numérico, Ecuaciones Diferenciales) y justificar as´ı, debidamente, el análisis de una variedad de conceptos que en principio pueden parecer meramente abstracción matemática. Varios resultados del primer cap´ıtulo son claramente ejercitables de ma nera fácil y entretenida. Por ejemplo, el valor del determinante se explaya a través de la definición de ángulos, volumenes y finalmente como una elegante forma de definir el producto cruz de vectores en dimensión tres. El cap´ıtulo II, que es la parte central de estos apuntes, está dedicado a un estudio exhaustivo de trasformaciones lineales, o matrices en el caso de dimensión finita. El concepto principal, en el contexto de espacios vectoriales normados, es el de transformación lineal acotada. A este universo de opera dores se analizan sus partes: Transformación lineal autoadjunta, Normales, Antisimétricas, Proyecciones e Isometr´ıas. La herramienta principal es el concepto de adjunto de un operador. Asimismo se estudia un isomorfismo fundamental: la correspondencia lineal y biyectiva entre transformaciones lineales y bilineales a través de una transformación canónica, definida en la sección 2.2.3 y que es fundamental en el estudio de formas cuadráticas en la u ´ltima sección del cap´ıtulo. También, para una mayor y mejor comprensión del cap´ıtulo II, es fundamental aprender las formas canónicas que adquieren, bajo un cambio de base apropiado, los diferentes tipos de transformaciones lineales en el caso de dimensión finita. El Teorema 49 del cap´ıtulo II en este sentido es uno de los principales de este texto. La elegante demostración basada en aspectos tanto algebraicos como anal´ıticos corresponde al libro de W. H. Greub citado en 3

la bibliograf´ıa. Por otra parte, las formas canónicas de los diferentes tipos de transformaciones lineales son fácilmente asimilables por medio de la comparación con el cuerpo de los n´ umeros complejos. As´ı, si z ∈ C representa una transformación lineal y z, el conjugado de z, la transformación adjunta, entonces una transformación lineal autoadjunta significa z = z y, luego, se podr´ıa representar como los elementos del eje real del plano complejo. Una función (o forma) cuadrática ψ se puede también entender muy fácilmente viendo su representación geométrica en R2 y R3 . As´ı, por ejemplo, la ecuación : ψ(x, y) = 1 representa una elipse (o c´ırculo) o hipérbola en el plano. De esta manera, la signatura resulta ser un invariante geométrico y, el proceso de diagona lización, un método de llevar formas cuadráticas en formas estándar. Finalmente, el cap´ıtulo III cierra estos apuntes mostrando que cualquier forma multilineal puede ser considerada como una transformación lineal, mediante un isomorfismo apropiado. Para este fin, resulta fundamental el concepto de producto tensorial de espacios vectoriales, que en este texto sólo se aborda en su definición y análisis de propiedades básicas.

Dr. Carlos Lizama

Noviembre de 2000

4

Pr´ ologo a la versi´ on corregida Esta versión introduce varias modificaciones al texto que han sido su geridas al autor, por profesores de la cátedra, en el transcurso de dos aˆ nos de dictar la asignatura a través de estos apuntes . El cambio más importante se refiere a la introducción de una gran cantidad de ejercicios propuestos en los cap´ıtulos 1, 2 y 3. La mayor´ıa de estos ejercicios corresponde a problemas planteados en pruebas y controles de cátedra. También se agrega al final del tercer cap´ıtulo una sección correspondiente a la noción de producto exterior, a fin de completar las ideas involucradas en los cap´ıtulos precedentes y dar las herramientas necesarias para un curso posterior donde se requiera utilizar formas diferenciales. Mis agradecimientos a Verónica Poblete por sugerir varios de los cambios realizados en el texto y aportar con una gran cantidad de ejercicios. También mis agradecimientos a Maricel Cáceres que escribió estos apuntes en Latex y les dió un formato más agradable para su lectura.

Dr. Carlos Lizama

Octubre de 2002

5

Índice General 1 Espacios con producto interno 1.1

El producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1

1.2

1.4

Espacios Duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Transformaciones Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . 20

Función Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.1

Funciones Determinantes Duales . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.2 1.3.3

Funciones Determinantes Normadas . . . . . . . . . . 29 ´ Angulos en el plano orientado . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.4

El determinante de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3.5

El volumen de un paralelep´ıpedo . . . . . . . . . . . . 33

1.3.6

Producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Ejercicios de recapitulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Transformaciones lineales 2.1

46

Espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1.1

2.2

8

Bases Ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1

1.3

8

Transformaciones lineales acotadas . . . . . . . . . . . 47

Transformaciones lineales en espacios con producto interno . . 50 2.2.1

Transformación adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.2

Transformación lineal adjunta . . . . . . . . . . . . . . 51 6

7 2.2.3

La relación entre transformaciones lineales y funciones bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3

2.2.4

Transformaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.5

Transformaciones autoadjuntas . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.6

Vectores propios de funciones bilineales . . . . . . . . . 60

2.2.7

Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.8

Suma de dos proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Isometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3.1

Comparación con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.3.2

Aspectos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.3.3

Transformaciones antisimétricas . . . . . . . . . . . . . 80

2.3.4

Forma matricial (o canónica) de una transformación antisimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.3.5

Funciones bilineales simétricas . . . . . . . . . . . . . . 86

2.3.6

El caso de dimensión finita; forma diagonal de una función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.4

Ejercicios de Recapitulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3 Producto tensorial 3.1

106

Transformaciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.1.1

Propiedades del producto tensorial . . . . . . . . . . . 112

3.1.2

Producto tensorial de transformaciones lineales . . . . 121

3.1.3

Transformaciones Multilineales . . . . . . . . . . . . . 122

3.1.4

Producto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Cap´ıtulo 1 Espacios con producto interno 1.1

El producto interno

Definici´ on 1 Sean E y F espacios vectoriales. Una función φ : E×F −→ R se dice bilineal si: φ(λx1 + µx2 , y) = λφ(x1 , y) + µφ(x2 , y) ; x1 , x2 ∈ E ; y ∈ F y φ(x, λy1 + µy2 ) = λφ(x, y1 ) + µφ(x, y2 ) ; x ∈ E ; y1 , y2 ∈ F. Definici´ on 2 Un producto interno en un espacio vectorial E es una función bilineal h, i que tiene las siguientes propiedades : (i) Simetr´ıa : hx, yi = hy, xi. (ii) Positiva definida : hx, xi ≥ 0 y hx, xi = 0 s´ olo para x = 0. Un espacio vectorial en el cual se define un producto interno (p.i.) se llama un espacio producto interno (e.p.i.). Un espacio producto interno de dimensión finita se llama Espacio Euclidiano. 8

1.1. EL PRODUCTO INTERNO

9

La norma kxk de un vector x ∈ E se define como : kxk =

p hx, xi.

Un vector unitario es un vector con norma 1. El conjunto de todos los vectores unitarios es llamado la esfera unitaria. Se sigue de la bilinealidad del producto interno que : kx + yk2 = kxk2 + 2hx, yi + kyk2 de donde

1 hx, yi = (kx + yk2 − kxk2 − kyk2 ). 2

Esta ecuación muestra que el producto interno puede ser expresado en términos de la norma. La restricción de la función bilineal h, i a un subespacio E1 ⊆ E tiene otra vez las propiedades (i) y (ii) y, luego, cada subespacio de un e.p.i. es en si mismo un e.p.i. Ejemplo :Rn es un e.p.i. con hx, yi =

X

xi yi , donde x = (x1 , . . . , xn );

i

y = (y1 , . . . , yn ).

Definici´ on 3 Dos vectores x ∈ E, y ∈ E; x 6= y se dicen ortogonales si hx, yi = 0. Observaci´ on : Sólo el vector cero es ortogonal a si mismo : En efecto, hx, xi = 0 si y sólo si x = 0. Proposici´ on 4 Un conjunto de n vectores xj 6= 0 en donde cualesquiera dos vectores xi y xj (i 6= j) son ortogonales, es linealmente independiente. Demostraci´ on. Si

P i

αi xi = 0 entonces αj hxj , xj i = 0 para j = 1, 2, . . . , n.

Luego αj = 0 para j = 1, 2, . . . , n.

CAPÍTULO 1. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

10

Dos subespacios E1 ⊆ E y E2 ⊆ E se llaman ortogonales, lo cual se denota E1 ⊥E2 , si cualesquiera dos vectores x1 ∈ E1 y x2 ∈ E2 son ortogonales. Teorema 5 (Desigualdad de Schwarz) Sean x, y ∈ E. Entonces hx, yi2 ≤ kxk2 kyk2 . Adem´ as, la igualdad vale si y sólo si los vectores son linealmente dependientes. Demostraci´ on. Consideremos la función f (λ) = kx + λyk2 ; λ ∈ R. Como el p.i. es positivo definido se tiene que f (λ) ≥ 0 para λ ∈ R. Por otra parte, f (λ) = λ2 kyk2 + 2λhx, yi + kxk2 ≥ 0 de donde se deduce que el discriminante de la expresión cuadrática anterior es ≤ 0. Luego, hx, yi2 ≤ kyk2 kxk2 . Ahora supongamos que vale hx, yi2 = kyk2 kxk2 . Entonces el discriminante de la ecuación f (λ) = λ2 kyk2 + 2λhx, yi + kxk2 = 0 es cero; luego, la ecuación (1.1) tiene una solución real λ0 (=

(1.1) −hx,yi ); kyk2

esto es :

f (λ0 ) = kx + λ0 yk2 = 0. Por lo tanto, x + λ0 y = 0, es decir, x e y son L.D. Rec´ıprocamente, si x e y son L.D. entonces x = αy. Luego, hx, yi = αhy, yi = αkyk2 y kxk2 kyk2 = α2 kyk2 obteniendose la igualdad. Dados x 6= 0, y 6= 0; por la desigualdad de Schwarz : −1 ≤

hx, yi ≤1 kxk kyk

entonces, existe ω; 0 ≤ ω ≤ π tal que cos ω =

hx, yi . kxk kyk

Definici´ on 6 El n´ umero ω se llama el ángulo entre los vectores x e y.


11

Observaciones:

π . 2 2) Supongamos que x e y son L.D. Entonces, y = λx. Luego : 1) Si x e y son ortogonales, entonces cos ω = 0 luego ω =   1, λ cos ω = = |λ|  −1, Por lo tanto,

  0, ω=  π,

3) Ya que cos ω =

si λ > 0 si λ < 0

si λ > 0 si λ < 0

.

hx, yi entonces, de la fórmula kxk kyk kx − yk2 = kxk2 − 2hx, yi + kyk2

obtenemos : kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2kxk kyk cos ω ecuación conocida como Teorema de los Cosenos. 4) Si x e y son ortogonales, entonces el teorema anterior se reduce a : kx − yk2 = kxk2 + kyk2 conocida como Teorema de Pitágoras.

Teorema 7 (Desigualdad Triangular) Sean x e y ∈ E. Entonces kx + yk ≤ kxk + kyk donde la igualdad vale si y sólo si x = λy; λ ≥ 0


12

Demostraci´ on. Se sigue de la desigualdad de Schwarz que : kx + yk2 = kxk2 + 2hx, yi + kyk2 ≤ kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 . La igualdad vale si y sólo si x = λy; λ ≥ 0. En efecto : Supongamos que kx + yk = kxk + kyk entonces kxk2 + 2hx, yi + kyk2 = kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 , de esta manera hx, yi = kxk kyk

(1.2)

Luego por Teorema 5, los vectores x e y deben ser L.D., esto es : x = λy

(1.3)

reemplazando (1.3) en (1.2) se obtiene : λkyk2 = |λ| kyk2 luego λ = |λ| ≥ 0. Rec´ıprocamente; supongamos que x = λy, λ ≥ 0. Entonces kx + yk = k(λ + 1)yk = (λ + 1)kyk = λkyk + kyk = kxk + kyk.

Dados tres vectores x, y,z; la desigualdad triangular se puede escribir como kx − yk ≤ kx − zk + kz − yk

(1.4)

pues kx − yk = kx − z + z − yk ≤ kx − zk + kz − yk. Una generalización de lo anterior es el siguiente : Teorema 8 (Desigualdad de Ptolemy) Sean x, y, z ∈ E. Entonces kx − yk kzk ≤ ky − zk kxk + kz − xk kyk

(1.5)


13

Demostraci´ on. La desigualdad es claramente válida si uno de los tres vectores es cero. Luego, podemos asumir x 6= 0,y 6= 0, z 6= 0. Se definen vectores x0 , y 0 , z 0 por: x0 =

x y z ; y0 = ; z0 = . 2 2 kxk kyk kzk2

Entonces kx0 − y 0 k2 = kx0 k2 − 2hx0 , y 0 i + ky 0 k2 1 2hx, yi 1 = − + 2 2 2 kxk kxk kyk kyk2 kxk2 − 2hx, yi + kyk2 = kxk2 kyk2 kx − yk2 , = kxk2 kyk2 esto es, kx0 − y 0 k = obtiene :

kx − yk . Aplicando (1.4) a los vectores x0 , y 0 , z 0 se kxk kyk kx0 − y 0 k ≤ kx0 − z 0 k + kz 0 − y 0 k

o equivalentemente, kx − yk kx − zk kz − yk ≤ + . kxk kyk kxk kzk kzk kyk Multiplicando esta u ´ltima desigualdad por kxk kyk kzk se obtiene (1.5).

Ejercicio:

Sea X := C[0, 1] = {f : [0, 1] −→ R / f es continua }. De-

muestre que

Z

1

hf, gi =

f (t)g(t)dt 0

es un producto interno en X.


14

1.1.1

Espacios Duales

Sean E, E ∗ espacios vectoriales. Supongamos que existe una función bilineal h, i definida en E ∗ × E tal que satisface lo siguiente: 1) hf, xi = 0 para todo x implica f = 0 2) hf, xi = 0 para todo f implica x = 0 (en tal caso la función bilineal se dice no degenerada ). Entonces E y E ∗ se llaman duales con respecto a la función bilineal h, i. El n´ umero hx∗ , xi se llama el producto escalar de x∗ y x. La función bilineal h, i se llama el producto escalar entre E ∗ y E. Ejemplos 1) Si h, i es un producto interno, entonces es una función bilineal no degenerada. 2) Sea E = E ∗ = R. Se define : hλ, µi = λµ ; λ, µ ∈ R. Claramente la forma es bilineal y no degenerada pues hλ, µi = 0 ∀µ implica λ = 0. Análogamente hλ, µi = 0 ∀λ implica µ = 0. De esta manera se dice que el dual de R es R; o que R es auto-dual o es dual a s´ı mismo. 3) Sea E = E ∗ = Rn y definamos : hx∗ , xi =

X

x∗i xi ;

i

donde x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) y x = (x1 , . . . , xn ). Claramente la forma bilineal es no degenerada por Ejemplo 1. Luego Rn es dual a s´ı mismo. Recordemos que L(E) := {f : E −→ R / f es lineal }. Proposici´ on 9 Si E tiene dimensión finita, con producto interno h, i; entonces existe un isomorfismo τ : E −→ L(E).


15

Demostraci´ on. Se define τ (x)(y) := hx, yi ; x ∈ E , y ∈ E. (a) τ es lineal : Para cada y ∈ E τ (λx1 + x2 )(y) = hλx1 + x2 , yi = λhx1 , yi + hx2 , yi = λτ (x1 )(y) + τ (x2 )(y) = (λτ (x1 ) + τ (x2 ))(y). Luego, τ (λx1 + x2 ) = λτ (x1 ) + τ (x2 ). (b) τ es inyectiva : Sea x ∈ E tal que τ (x) = 0. Entonces τ (x)(y) = 0 para cada y ∈ E, esto es, hx, yi = 0 para cada y ∈ E. Ya que h, i es no degenerada, lo anterior implica que x = 0. (c) Veamos ahora que el hecho de poseer E dimensión finita implica que τ es sobreyectiva. Para esto vamos a probar que dim L(E) = dim E, lo cual prueba la sobreyectividad (Ejercicio). Sea {x1 , x2 , . . . , xn } base de E. Definimos en L(E) las funciones :   1, si i = j f j (xi ) = δij = ; j = 1, 2, . . . , n  0, si i 6= j Entonces {f 1 , f 2 , . . . , f n } es una base de L(E). En efecto : Supongamos que α1 f 1 + α2 f 2 + · · · + αn f n = 0 entonces α1 f 1 (x1 ) + · · · + αn f n (x1 ) = 0 implica, por definición, α1 = 0. Análogamente, α1 f 2 (x2 ) + · · · + αn f n (x2 ) = 0 implica α2 = 0. Deducimos as´ı que α3 = 0, . . . , αn = 0. Esto prueba que el conjunto es L.I. Sea ahora f ∈ L(E). Entonces f (x) = f (α1 x1 + · · · + αn xn ) = α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ).


16 Notar que

f 1 (x) = f 1 (α1 x1 + · · · + αn xn ) = α1 f 2 (x) = α2 .. . f n (x) = αn . Luego : f (x) = f 1 (x)f (x1 ) + · · · + f n (x)f (xn ) X = βi f i (x) donde βi = f (xi ).

Esto prueba que L(E) es generado por el conjunto

{f 1 , . . . , f n } y por lo tanto es una base. En particular, dim L(E) = dim E. Observaci´ on : La base {f 1 , . . . , f n } de L(E) definida en la demostración del teorema anterior es llamada base dual. El resultado más importante de esta sección es el siguiente. Teorema 10 (Teorema de Riesz) Si E es un espacio con producto interno h, i de dimensión finita y f : E −→ R es una función lineal, entonces existe un u ńico vector a ∈ E tal que f (x) = ha, xi ∀ x ∈ E. Demostraci´ on. Por hipótesis f ∈ L(E). Como E es de dimensión finita, E y L(E) son isomorfos v´ıa τ (x)(y) = hx, yi. En particular, τ es sobreyectiva o sea existe un u ńico a ∈ E tal que τ (a) = f.

1.2. BASES ORTONORMALES

17

Luego f (x) = τ (a)(x) = ha, xi ∀ x ∈ E.

Ejercicios 1. Sea φ : R2 × R2 → R definida por φ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x1 x2 − y1 x2 − x1 y2 + 3y1 y2 . Demuestre que φ es bilineal y definida positiva. 2. Sea l2 := {(x1 , x2 , . . .) /

P i

x2i < ∞}. Demuestre que

P i

xi yi con-

verge y que la función bilineal φ(x, y) =

X

xi yi

i

donde x = (x1 , x2 , . . .), y = (y1 , y2 , . . .); es un producto interno en l2 . 3. Sean E1 , E2 espacios con producto interno. Demuestre que se puede definir un producto interno en : E1 × E2 por h(x1 , x2 ), (y1 , y2 )i = hx1 , y1 i + hx2 , y2 i

; x1 , y1 ∈ E1 , x2 , y2 ∈ E2 .

4. Sea E espacio vectorial y E ∗ = L(E) = {f : E −→ R / f es lineal }. Definamos: hf, xi := f (x)

; f ∈ L(E), x ∈ E.

Pruebe que es un forma bilineal. Además, es no degenerada. (Esto prueba que el dual de E es L(E). )

1.2

Bases Ortonormales

Definici´ on 11 Sea E e.p.i. de dimensión n. Sea {e1 , . . . , en } base de E. La base {ei } es llamada ortonormal si los vectores ei (i = 1, . . . , n) son mutua-


18

mente ortogonales y tienen norma 1; esto es : hei , ej i = δij

∀ i, j = 1, . . . , n.

Proposici´ on 12 Sea E e.p.i. de dimensión n y sea {e1 , . . . , en } base ortonormal de E. Entonces para cada x, y ∈ E : P hx, yi = i xi yi donde x =

P

i xi ei , y =

P i

(Igualdad de Parseval)

yi ei .

Demostraci´ on. X X XX XX X hx, yi = h xi e i , yj e j i = xi yj hei , ej i = xi yj δij = xi yi . i

j

i

j

i

j

i

Corolario 13 Si E es un e.p.i. de dimensión finita y {ei } es base ortonormal de E entonces para cada x ∈ E P kxk2 = i x2i

(Igualdad de Bessel).

Demostraci´ on. Tomar y = x en la proposición anterior. Corolario 14 Si E es un e.p.i. de dimensión finita y {ei } es base ortonormal de E entonces, para cada x ∈ E hx, ei i = xi ; i = 1, . . . , n

(Coeficientes de Fourier).

Demostraci´ on. Tomar y = ej en la proposición anterior. Corolario 15 Si E es un e.p.i. de dimensión finita y {ei } es base ortonormal de E entonces para cada x ∈ E, el ángulo θi entre x y ei es : cos θi =

xi kxk

(i = 1, 2, . . . , n).


19

hx, ei i Demostraci´ on. Por Definición 7 y Corolario 14 tenemos : cos θi = = kxk kei k xi . kxk Observaci´ on : En particular, si kxk = 1, entonces cos θi = xi . Teorema 16 (Proceso de Ortogonalizaci´ on de Gram-Schmidt) Sea E e.p.i. de dimensión finita. Entonces E siempre posee una base ortonormal. Demostraci´ on. Sea {a1 , . . . , an } base de E. Vamos a construir una nueva base {b1 , . . . , bn } cuyos vectores son mutuamente ortogonales. Sea b1 = a1 y definamos b2 = a2 + λb1 donde λ es un escalar que se determina de manera tal que hb1 , b2 i = 0. Con esto se obtiene : 0 = ha1 , a2 + λb1 i = ha1 , a2 i + λha1 , b1 i = ha1 , a2 i + λha1 , a1 i. −ha1 , a2 i . Notar que b2 6= 0 (si no α2 = ha1 , a1 i y a2 son L.I. lo que es una contradicción). Para obtener b3 , definimos

Como a1 6= 0 , se tiene que λ = −λa1

b3 = a3 + µb1 + νb2 donde µ y ν se determinan de manera que hb1 , b3 i = 0

y

hb2 , b3 i = 0.

Con esto se tiene que 0 = hb1 , a3 + µb1 + νb2 i = hb1 , a3 i + µhb1 , b1 i 0 = hb2 , a3 + µb1 + νb2 i = hb2 , a3 i + νhb2 , b2 i ya que b1 6= 0 y b2 6= 0, estas ecuaciones se pueden resolver con respecto a µ −hb1 , a3 i −hb2 , a3 i y ν. Más precisamente, µ = , ν= . hb1 , b1 i hb2 , b2 i La independencia lineal de a1 , a2 , a3 implica que b3 6= 0.


20

Continuando de esta manera se obtiene finalmente un sistema de n vectores bj 6= 0; j = 1, . . . , n tal que hbi , bj i = 0

∀ i 6= j.

En particular, {bi } son L.I. y luego forman una base para E. En consecuencia los vectores ei =

bi kbi k

i = 1, . . . , n

forman una base ortonormal.

1.2.1

Transformaciones Ortogonales

En esta sección queremos responder a la pregunta:

Si tenemos dos bases

ortonormales, ¿cómo se relacionan entre ellas?. A fin de dar una respuesta, requerimos recordar la siguiente definición: Definici´ on 17 Sea A = (αij ) una matriz de n × n. A se dice ortogonal si AAT = I. Finalmente, la relación entre matrices ortogonales y bases ortonormales está indicada en el siguiente resultado. Proposici´ on 18 Sean {xi } y {xj } bases ortonormales de E. Entonces existe P una matriz ortogonal (αij ) tal que xi = j αij xj . Rec´ıprocamente, si {xi } es una base ortonormal de E y (αij ) es una matriz ortogonal, entonces xj = P en una base ortonormal de E. i αji xi es tambi´


21

Demostraci´ on. Ya que {xj } es base, para cada xi existen escalares αij , (j = P 1, ..., n) tales que xi = j αij xj . Veamos que (αij ) es una matriz ortogonal. En efecto : Como hxi , xj i = δij y hxi , xj i = δij entonces X X δij = hxi , xj i = h αip xp , αjq xq i =

XX p

=

X

p

q

αip αjq hxp , xq i

q

αip αjp

p

lo cual muestra que (αij ) es ortogonal. Inversamente, si {xi } es base ortonormal de E y (αij ) es matriz ortogonal, entonces X X αip xp , αjq xq i hxi , xj i = h p

=

XX p

=

X

q

αip αjq hxp , xq i

q

αip αjp

p

= δij lo que indica que {xi } es base ortonormal. Definici´ on 19 Sea E e.p.i. y E1 un subespacio de E. El conjunto E1⊥ := {x ∈ E / hx, yi = 0 ∀ y ∈ E1 } es llamado el complemento ortogonal de E1 . Observaciones: 1) E1⊥ es un subespacio de E. 2) E1⊥ ∩ E1 = {0}. 3) Si E tiene dimensión finita : dim E1 + dim E1⊥ = dim E

22


en particular, E = E1 ⊕ E1⊥ .

(1.6)

En efecto: Sea {yk }m k=1 una base ortonormal de E1 . Entonces existen vectores {ym+1 , ..., yn } tal que {yk }nk=1 es una base ortonormal de E (completación de la base). Entonces {yk }nk=m+1 es una base de E1⊥ y luego cada x ∈ E se escribe como

m n X X x= hx, yk iyk + hx, yk iyk , k=1

k=m+1

lo cual muestra que la suma es directa . Definici´ on 20 Sea x ∈ E. Sea {yk }k=m k=1 base ortonormal de E1 . El vector m X hx, yk iyk p= k=1

se llama la proyecci´ on ortogonal de x sobre E1 . Observaciones : 1) La idea en la definición anterior es la siguiente : Si x ∈ E entonces por (1.6) x = p + h;

p ∈ E1 , h ∈ E1⊥ .

Como {yk }m k=1 es base de E1 y p ∈ E1 : p=

m X

αk yk .

k=1

Notar que : hp, yj i =

m X k=1

αk hyk , yj i =

m X

αk δkj = αj

k=1

y hp, yj i = hx − h, yj i = hx, yj i

(1.7)

´ DETERMINANTE 1.3. FUNCION luego

23

m X p= hx, yk iyk . k=1

2) De (1.7) obtenemos kxk2 = hx, xi = hp + h, p + hi = kpk2 + khk2 . En particular : kpk ≤ kxk; esto es, m X | hx, yk iyk | ≤ kxk k=1

llamada desigualdad de Bessel. Notar que la igualdad vale si y sólo si khk2 = 0 i.e. h = 0; esto es, si y sólo si x ∈ E1 (lo cual se sigue de (1.7)). El n´ umero khk se llama la distancia a x desde el subespacio E1 .

Ejercicios 1. Dada la base {(1, 0, 1), (2, 1, −3), (−1, 1, 0)}, construir una base ortonormal por el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. 2. (dificil) Sea E = C[0, 1] con el producto interno Z 1 hf, gi = f (t)g(t)dt. 0

Sea E1 = C 1 [0, 1] subespacio de E. Demuestre que E1⊥ = {0}.

1.3

Funci´ on Determinante

Definici´ on 21 Sea E e.v. de dimensión n. Una función determinante es una función ∆ : E · · · E} −→ R tal que | ×{z n−veces

24


(a) ∆ es lineal con respecto a cada argumento (multilineal), esto es : ∆(x1 , . . . , λxi + µyi , . . . , xn ) = λ∆(x1 , . . . , xi , . . . , xn ) + µ∆(y1 , . . . , yi , . . . , yn ) con i = 1, 2, . . . , n. (b) ∆ es antisimétrica con respecto a todos sus argumentos, más precisamente ∆(xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = ²σ ∆(x1 , . . . , xn ) donde

( ²σ =

1 −1

para una permutaci´ on σ par para una permutaci´ on σ impar

Observaci´ on : Ya que el intercambio de dos n´ umeros (ij) es una permutación impar, se obtiene de la propiedad (b) : ∆(x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xn ) = −∆(x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xn ). En particular, si xi = xj = x ; ∆(x1 , . . . , x, . . . , x, . . . , xn ) = 0

(1.8)

Esto es, una función determinante asume el valor cero siempre que dos de sus argumentos coinciden. Más generalmente : Proposici´ on 22 Si dos argumentos de una función determinante son L.D. entonces ∆(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0. Demostraci´ on. Sin pérdida de generalidad, supongamos que xn es L.D. con respecto a x1 , . . . , xn−1 . Entonces xn =

n−1 X i=1

αi xi .

´ DETERMINANTE 1.3. FUNCION

25

Luego, por (1.8) : ∆(x1 , x2 , . . . , xn ) =

n−1 X

αi ∆(x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn−1 , xi ) = 0.

i=1

Observaci´ on : Observemos que el valor de una función determinante no cambia si un m´ ultiplo de un argumento xj se suma a otro argumento xi , (i 6= j). En efecto : Por (1.8) (si i < j) ∆(x1 , . . . , xi + λxj , . . . , xj , . . . , xn ) = ∆(x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xn ) + λ ∆(x1 , . . . , xj , . . . , xj , . . . , xn ) | {z } =0

= ∆(x1 , . . . , xn ). Los ejemplos anteriores nos muestran existencia de funciones determinantes en un espacio E. Qué hay con respecto a la unicidad ? En efecto, note que en un espacio vectorial E se podr´ıan, eventualmente, definir más de una función determinante. Proposici´ on 23 Sean ∆ y ∆1 dos funciones determinantes en E, ∆1 6= 0. Entonces existe λ ∈ R tal que ∆ = λ∆1 . Demostraci´ on. Sea {ei }ni=1 base ortonormal de E. Entonces, dado (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ E × E · · · × E =: E n se tiene que cada xi se escribe como n X xi = αij ej . j=1

Luego: ∆(x1 , . . . , xn ) = ∆(

X

α1j1 ej1 ,

j1 =1

=

XX j1 =1 j2 =1

X j2 =1

...

X

α2j2 ej2 , . . . ,

X

αnjn ejn )

jn

α1j1 α2j2 . . . αnjn ∆(ej1 , ej2 , . . . , ejn )

jn =1

= ∆(e1 , . . . , en )

X σ

²σ α1σ(1) . . . αnσ(n) .


26 Análogamente,

∆1 (x1 , . . . , xn ) = ∆1 (e1 , . . . , en )

X

²σ α1σ(1) . . . αnσ(n) .

σ

Sea λ :=

∆(e1 , . . . , en ) entonces ∆1 (e1 , . . . , en ) ∆(x1 , . . . , xn ) = λ∆1 (x1 , . . . , xn )

lo que prueba la proposición.

Ejercicios 1. Sea E = R2 y ∆ : R2 × R2 −→ R definida por : Ã ∆((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x1 y2 − x2 y1 = det

x1 x 2 y1 y2

! .

Pruebe que ∆ es multilineal(bilineal en este caso) y antisimétrica con respecto a sus argumentos. 2. Sea E = R3 y ∆ : R3 × R3 × R3 −→ R definida por :   x1 x2 x3    ∆((x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ), (x3 , y3 , z3 )) = det  y1 y2 y3  . z1 z2 z3 Pruebe que ∆ es trilineal y verifica la propiedad (b).

1.3.1

Funciones Determinantes Duales

Proposici´ on 24 Sean E ∗ y E un par de espacios vectoriales duales con dimensión n (i.e. existe una función bilineal no degenerada h, i definida en


27

E ∗ × E). Sean ∆∗ 6= 0 y ∆ 6= 0 funciones determinantes en E ∗ y E respectivamente. Entonces 

 hf1 , x1 i . . . hf1 , xn i   .. .. ; ∆∗ (f1 , . . . , fn )∆(x1 , . . . , xn ) = α det  . .   hfn , x1 i . . . hfn , xn i

(1.9)

donde fi ∈ E ∗ , xi ∈ E y α ∈ R. ∗ · · × E} −→ R definida por: Demostraci´ on. Sea Ω : E · · × E}∗ × E | × ·{z | × ·{z n

n



 hf1 , x1 i . . . hf1 , xn i   .. .. . Ω(f1 , . . . , fn , x1 , . . . , xn ) = det  . .   hfn , x1 i . . . hfn , xn i Es claro que Ω es lineal con respecto a cada argumento. También es claro que Ω es antisimétrica con respecto a los vectores fi y con respecto a los vectores xi (i = 1, . . . , n). Luego, Ω es una función determinante y, por unicidad (con respecto a los argumentos x1 , . . . , xn ; dejando f1 , . . . , fn fijos) Ω(f1 , . . . , fn , x1 , . . . , xn ) = α(f1 , . . . , fn )∆(x1 , . . . , xn ).

(∗)

Esta relación muestra que α(f1 , . . . , fn ) es lineal con respecto a cada argumento y antisimétrica. En efecto ; por ejemplo con respecto al primer argumento tenemos Ω(λf1 + g1 , . . . , fn , x1 , . . . , xn ) = α(λf1 + g1 , . . . , fn )∆(x1 , . . . , xn ) o equivalentemente λΩ(f1 , . . . , fn , x1 , . . . , xn ) + Ω(g1 , . . . , fn , x1 , . . . , xn ) = α(λf1 + g1 , . . . , fn )∆(x1 , . . . , xn )


28 esto es,

λα(f1 , . . . , fn )∆(x1 , . . . , xn ) + α(g1 , . . . , fn )∆(x1 , . . . , xn ) = α(λf1 + g1 , . . . , fn )∆(x1 , . . . , xn ). como ∆ 6= 0 obtenemos λα(f1 , . . . , fn ) + α(g1 , . . . , fn ) = α(λf1 + g1 , . . . , fn ) lo que prueba que α es lineal con respecto al primer argumento. Veamos que es antisimétrica : De (*) obtenemos: Ω(fσ(1) , ..., fσ(n) , x1 , ..., xn ) = α(fσ(1) , ..., fσ(n) )∆(x1 , ..., xn ). Equivalentemente, puesto que Ω es una función determinante: ²σ (f1 , ..., fn , x1 , ..., xn ) = α(fσ(1) , ..., fσ(n) )∆(x1 , ..., xn ). Aplicando (*) otra vez al lado izquierdo obtenemos: ²σ α(f1 , ..., fn )∆(x1 , ..., xn ) = α(fσ(1) , ..., fσ(n) )∆(x1 , ..., xn ). Finalmente, dividiendo por ∆ se obtiene: ²σ α(f1 , ..., fn ) = α(fσ(1) , ..., fσ(n) ). Luego, otra vez por unicidad : existe β ∈ R tal que α(f1 , . . . , fn ) = β∆∗ (f1 , . . . , fn ). Combinando se obtiene : Ω(f1 , . . . , fn , x1 , . . . , xn ) = β∆∗ (f1 , . . . , fn )∆(x1 , . . . , xn ).

(1.10)


29

Sean ahora {fi∗ } y {ei } bases duales en E ∗ y E respectivamente, esto es hfi∗ , ej i = δij ; entonces β∆∗ (f1∗ , . . . , fn∗ )∆(e1 , . . . , en ) = Ω(f1∗ , . . . , fn∗ , e1 , . . . , en )   1 0 ... 0    0 1 ... 0    = det  . . =1 . ..   .. ..   0 0 ... 1 pues hfi∗ , ej i = δij por definición. Luego, β 6= 0 . Sea ahora α := β −1 entonces, de (1.10) se obtiene la relación (1.9) que queriamos probar. Definici´ on 25 La funciones determinantes ∆∗ y ∆ se llaman duales si el factor α en (1.9) es igual a 1, esto es : ∆∗ (f1∗ , . . . , fn∗ )∆(x1 , . . . , xn ) = det((hfi , xj i)ij ).

1.3.2

Funciones Determinantes Normadas

Sea E e.v. con producto interno h, i, de dimensión n. Como E es dual a si mismo con respecto al producto interno, entonces, si ∆0 es una función determinante en E se obtiene por (1.9) : 

 hx1 , y1 i . . . hx1 , yn i   .. .. ; ∆0 (x1 , . . . , xn )∆0 (y1 , . . . , yn ) = α det  . .   hxn , y1 i . . . hxn , yn i donde α ∈ R. Si hacemos xi = yi = ei , donde {ei } es base ortonormal de E, se obtiene : ∆0 (e1 , . . . , en )2 = α.


30

Luego, α > 0. Se define

∆0 ∆ := ± √ α

(1.11)

Entonces 

 hx1 , y1 i . . . hx1 , yn i   .. .. . ∆(x1 , . . . , xn )∆(y1 , . . . , yn ) = det  . .   hxn , y1 i . . . hxn , yn i

(1.12)

Definici´ on 26 Una función determinante en un espacio con producto interno que satisface (1.12) se llama una función determinante normada. Observaciones: 1) De (1.11) concluimos que existen exactamente dos funciones determinantes normadas ∆ y −∆ en un e.v. E. 2) Si se define una orientaci´ on en E, entonces una de las funciones ∆ y −∆ representa la orientación. En consecuencia, en un e.v. con p.i. orientado existe una u ńica función determinante normada que representa la orientación.

1.3.3

´ Angulos en el plano orientado

Con ayuda de una función determinante normada es posible dar un signo al ángulo entre dos vectores de un espacio con producto interno, orientado, de dimensión 2. Consideremos la función determinante normada ∆ que representa la orientación dada. De la identidad ∆(x1 , . . . , xn )∆(y1 , . . . , yn ) = det(hxi , yi i) obtenemos, usando (1.12), que para cada x, y ∈ E, con dimE = 2: kxk2 kyk2 − hx, yi2 = ∆(x, y)2 .

(1.13)


31

Supongamos ahora que x 6= 0 e y 6= 0. Dividiendo (1.13) por kxk2 kyk2 obtenemos:

ó

hx, yi2 ∆(x, y)2 + =1 kxk2 kyk2 kxk2 kyk2 µ

hx, yi kxk kyk

¶2

µ +

∆(x, y) kxk kyk

¶2 =1

ya que cos2 θ + sin2 θ = 1, se concluye que existe un u ńico θ ∈ (−π, π) tal que cos θ =

hx, yi , kxk kyk

sin θ =

∆(x, y) . kxk kyk

(1.14)

umero θ(= θ(x, y)) se llama el ángulo orientado entre x Definici´ on 27 El n´ e y. Observaci´ on : Si se cambia la orientación, ∆ se reemplaza por −∆ y luego θ cambia por −θ. (Ejercicio).

1.3.4

El determinante de Gram

Definici´ on 28 Dados p vectores x1 , . . . , xp en un espacio con producto interno E, el determinante de Gram G(x1 , . . . , xp ) se define por  hx1 , x1 i . . . hx1 , xp i   .. .. . G(x1 , . . . , xp ) = det  . .   hxp , x1 i . . . hxp , xp i 

Proposici´ on 29 G(x1 , . . . , xp ) ≥ 0 y la igualdad vale si y sólo si los vectores {x1 , . . . , xp } son linealmente dependientes.


32 Demostraci´ on.

Caso 1 : Los vectores {x1 , . . . , xp } son L.D. Entonces existen escalares α1 , ..., αn no todos cero tales que α1 x1 + ... + αn xn = 0. Luego, para cada i = 1, ..., n se tiene: 0 = hxi , α1 x1 + ... + αn xn i = α1 hxi , x1 i + ... + αn hxi , xn i. Entonces las filas de la matriz  hx1 , x1 i . . . hx1 , xp i  .. ..  . .  hxp , x1 i . . . hxp , xp i

   

son también L.D.; luego, G(x1 , . . . , xp ) = 0. Caso 2 : Los vectores {x1 , . . . , xp } son L.I. Sea E1 el subespacio generado por x1 , . . . , xp con el producto interno de E. Sea ∆1 una función determinante normada en E1 . Entonces de (1.13) ∆1 (x1 , . . . , xp )2 = G(x1 , . . . , xp ). La independencia lineal de x1 , . . . , xp implica que ∆1 6= 0. Luego G(x1 , . . . , xp ) > 0. Esto prueba G(x1 , . . . , xp ) ≥ 0. Además, por lo anterior, es claro que, si {x1 , . . . , xp } son L.D. entonces G(x1 , . . . , xp ) = 0 y, si G(x1 , . . . , xp ) = 0 entonces, si se supone por absurdo que {x1 , . . . , xp } es L.I. se tiene, por caso 2, que G(x1 , . . . , xp ) > 0 en contradicción. Observaci´ on : Si p = 2, se deduce de la proposición anterior la desigualdad de Schwarz (i.e. la Proposición 29 es una generalización del Teorema 6).


1.3.5

33

El volumen de un paralelep´ıpedo

Definici´ on 30 Sea {a1 , . . . , ap } un conjunto de p-vectores L.I. en un espacio vectorial E. El conjunto P =

( p X

) αi ai / 0 ≤ αi ≤ 1

i=1

se llama paralelep´ıpedo p-dimensional generado por los vectores {a1 , . . . , ap }. Ejemplo: Si p = 2 entonces P = {αa + βb : 0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1}.

Definici´ on 31 El volumen V (a1 , . . . , ap ) del paralelep´ıpedo se define como: V (a1 , . . . , ap ) = |∆1 (a1 , . . . , ap )|

(1.15)

donde ∆1 es una función determinante normada definida en el subespacio generado por los vectores {a1 , . . . , ap }. Observaciones : 1) En vista de la identidad 

 hx1 , x1 i . . . hx1 , xp i   .. ..  ∆2 (x1 , . . . , xp ) = det  . .   hxp , x1 i . . . hxp , xp i se tiene que el volumen de un paralelep´ıpedo se puede también escribir como:   ha1 , a1 i . . . ha1 , ap i   .. ..  (1.16) V (a1 , . . . , ap )2 = det  . .   hap , a1 i . . . hap , ap i

34


2) Si p = 2, se obtiene de (1.16): V (a1 , a2 )2 = ka1 k2 ka2 k2 − ha1 , a2 i2 . Ahora, si θ denota el ángulo entre a1 y a2 entonces cos θ =

ha1 , a2 i ka1 k ka2 k

cos2 θ =

ha1 , a2 i2 ka1 k2 ka2 k2

luego

pero cos2 θ + sin2 θ = 1, de donde 1 − sin2 θ = sin2 θ = 1 −

ha1 , a2 i2 luego: ka1 k2 ka2 k2

ha1 , a2 i2 ka1 k2 ka2 k2 − ha1 , a2 i2 = ka1 k2 ka2 k2 ka1 k2 ka2 k2

lo que implica que ka1 k2 ka2 k2 sin2 θ = ka1 k2 ka2 k2 − ha1 , a2 i2 de aqu´ı se obtiene, finalmente: V (a1 , a2 )2 = ka1 k2 ka2 k2 sin2 θ o sea, V (a1 , a2 ) = ka1 k ka2 k sin θ que es una fórmula conocida para calcular el área de un paralelógramo.

1.3.6

Producto cruz

Sea E un espacio con producto vectorial de dimensión 3, orientado, y sea ∆ la función determinante normada que representa la orientación. Sean x ∈ E, y ∈ E y consideremos la función f : E −→ R

(1.17)


35

definida por f (z) = ∆(x, y, z). Claramente f es lineal, esto es, f ∈ L(E). En vista del Teorema de Representación de Riesz (Teorema 10), existe un u ńico vector u ∈ E tal que f (z) = hu, zi.

(1.18)

Definici´ on 32 El vector u obtenido anteriormente se llama el producto cruz de x e y y se denota x×y := u. En vista de (1.17) y (1.18) se tiene la relaci´ on hx × y, zi = ∆(x, y, z)

(1.19)

Observaci´ on: El producto cruz depende claramente de la orientación de E. Si la orientación es cambiada (i.e. ∆ por −∆), entonces el producto cruz cambia de signo. En lo que sigue veremos algunas propiedades del producto cruz.

Proposici´ on 33 El producto cruz es distributivo: (i) (λx1 + x2 ) × y = λx1 × y + x2 × y. (ii) x × (λy1 + y2 ) = λx × y1 + x × y2 .

Demostraci´ on. Para cada z ∈ E se tiene: h(λx1 + x2 ) × y, zi = ∆(λx1 + x2 , y, z) = λ∆(x1 , y, z) + ∆(x2 , y, z) = λhx1 × y, zi + hx2 × y, zi = hλ(x1 × y) + x2 × y, zi


36

Luego, como el producto interno es no degenerado; se obtiene (i). Análogamente, para cada z ∈ E se tiene: hx × (λy1 + y2 ), zi = ∆(x, λy1 + y2 , z) = λ∆(x, y1 , z) + ∆(x, y2 , z) = λhx × y1 , zi + hx × y2 , zi = hλ(x × y1 ) + x × y2 , zi lo cual prueba (ii). Proposici´ on 34 (a) x × y = −y × x (b) hx × y, xi = 0, hx × y, yi = 0. (c) x × y 6= 0 si y sólo si x e y son L.I. Demostraci´ on. (a) Sea z ∈ E: hx × y, zi = ∆(x, y, z) = −∆(y, x, z) = −hy × x, zi = h−y × x, zi

(b) hx × y, xi = ∆(x, y, x) = 0 ; hx × y, yi = ∆(x, y, y) = 0 (c) Supongamos que x × y 6= 0. Entonces, si suponemos por absurdo que x e y son L.D. tenemos: x = λy ; λ ∈ R ; λ 6= 0.


37

Luego, por (a) se tiene que x × y = λy × y = λ(y × y) −y × x = −y × λy = −λ(y × y) lo que implica que y×y = −y×y. Luego y×y = 0, lo que es una contradicción pues 0 6= x × y = λ(y × y). Inversamente, supongamos que x e y son L.I. Sea z ∈ E tal que {x, y, z} es base de E. Entonces hx × y, zi = ∆(x, y, z) 6= 0. Luego, x × y 6= 0. Proposici´ on 35 hx1 × x2 , y1 × y2 i = hx1 , y1 ihx2 , y2 i − hx1 , y2 ihx2 , y1 i. Demostraci´ on. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que x1 y x2 son L.I. (de otro modo el lado izquierdo es cero por (c) de la proposición anterior, lo mismo que el lado derecho). Se tienen las relaciones: hx1 × x2 , x3 i = ∆(x1 , x2 , x3 ) ; x3 ∈ E hy1 × y2 , y3 i = ∆(y1 , y2 , y3 ) ; y3 ∈ E. Como ∆ es una función determinante normada se tiene: hx1 × x2 , x3 ihy1 × y2 , y3 i = ∆(x1 , x2 , x3 )∆(y1 , y2 , y3 )  hx1 , y1 i hx1 , y2 i hx1 , y3 i  = det   hx2 , y1 i hx2 , y2 i hx2 , y3 i hx3 , y1 i hx3 , y2 i hx3 , y3 i

  . 


38

Sea y3 := x1 × x2 . Note que por proposición 34 parte (b) tenemos hx2 , y3 i = 0 y hx1 , y3 i = 0. Si calculemos ahora el determinante derecho por la u ´ltima columna, obtenemos: Ã hx1 × x2 , x3 ihy1 × y2 , x1 × x2 i = hx3 , y3 i det

hx1 , y1 i hx1 , y2 i

!

hx2 , y1 i hx2 , y2 i

Luego, hx1 × x2 , x3 ihy1 × y2 , x1 × x2 i = hx3 , x1 × x2 i[hx1 , y1 ihx2 , y2 i − hx2 , y1 ihx1 , y2 i]. (1.20) Como x1 y x2 son L.I. se tiene que x1 × x2 6= 0. Luego, se puede elegir x3 tal que hx1 × x2 , x3 i 6= 0. Simplificando este término en ambos lados de (1.20) se obtiene la proposición. Corolario 36 kx × yk2 = kxk2 kyk2 − hx, yi2 . Demostraci´ on. Tomar x1 = y1 = x y x2 = y2 = y en la proposición anterior.

Observaci´ on: Si θ es el ángulo entre x e y se puede reescribir el corolario anterior como kx × yk = kxk kyk sin θ. Proposici´ on 37 Sea {e1 , e2 , e3 } una base ortonormal positiva de E (i.e. ∆(e1 , e2 , e3 ) > 0). Entonces e1 × e2 = e3

;

e2 × e3 = e1

;

e3 × e1 = e2 .

Demostraci´ on. Por (b) de la Proposición 35: he1 × e2 , e1 i = 0 , he1 × e2 , e2 i = 0


39

i.e. e1 × e2 es ortogonal a e1 y e2 por lo que se obtiene: e1 × e2 = λe3 . Luego, ∆(e1 , e2 , e3 ) = he1 × e2 , e3 i = λhe3 , e3 i = λ. Pero: 

 he1 , e1 i he1 , e2 i he1 , e3 i



 1 0 0

     = det  0 1 0  = 1. ∆(e1 , e2 , e3 )2 = det  he , e i he , e i he , e i 2 1 2 2 2 3     he3 , e1 i he3 , e2 i he3 , e3 i 0 0 1 Con lo que λ = 1, pues ∆(e1 , e2 , e3 ) > 0. Análogamente se prueban los otros dos casos.

Corolario 38 Si x =

3 X

αi ei , y =

i=1

3 X

βi ei ; entonces

i=1

x × y = (α2 β3 − α3 β2 )e1 + (α3 β1 − α1 β3 )e2 + (α1 β2 − α2 β1 )e3 . Demostraci´ on. Ã 3 ! Ã 3 ! X X x×y = αi ei × βj ej i=1

=

3 X 3 X

j=1

αi βj ei × ej

i=1 j=1

= α1 β1 e1 × e1 + α1 β2 e1 × e2 + α1 β3 e1 × e3 + α2 β1 e2 × e1 + α2 β2 e2 × e2 + α2 β3 e2 × e3 + α3 β1 e3 × e1 + α3 β2 e3 × e2 + α3 β3 e3 × e3 = (α1 β2 − α2 β1 )e1 × e2 + (α1 β3 − α3 β1 )e1 × e3 + (α2 β3 − α3 β2 )e2 × e3 = (α1 β2 − α2 β1 )e3 − (α1 β3 − α3 β1 )e2 + (α2 β3 − α3 β2 )e1


40

Observaci´ on: La anterior se toma a veces como definición del producto cruz en R3 donde e1 = i, e2 = j, e3 = k. Observaci´ on : El resultado anterior también se escribe: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ e1 e2 e3 ¯ ¯ ¯ x × y = ¯¯ α1 α2 α3 ¯¯ ¯ ¯ ¯ β1 β2 β3 ¯ como una manera nemotécnica de recordar la fórmula del Corolario 39.

1.4

Ejercicios de recapitulaci´ on

1. Sea V un espacio vectorial sobre R. Demuestre que la suma de dos productos internos sobre V es un producto interno sobre V . ¿ Es la diferencia de dos productos internos un producto interno? Mostrar que un m´ ultiplo positivo de un producto interno es un producto interno. 2. Dados los vectores α = (x1 , x2 ) y β = (y1 , y2 ) ∈ R2 se define hα, βi = x1 y1 − x2 y1 − x1 y2 + 4x2 y2 . (a) Demuestre que h, i es un producto interno en R2 . (b) Pruebe que |x1 y1 −x2 y1 −x1 y2 +4x2 y2 | ≤ ((x1 −x2 )2 +3x2 )1/2 ((y1 −y2 )2 +3y 2 )1/2 . (c) Muestre que en R2 con este producto interno los vectores (x, y) √ 1 y (−y, x) son ortogonales si y sólo si y = (−3 ± 13)x . 2

´ 1.4. EJERCICIOS DE RECAPITULACION

41

3. Suponga que h, i es un produnto interno sobre R3 . Sea T : R3 → R3 una transformación lineal definida por T (x, y, z) = (3x + z, −2x + y, −x + 2y + 4z) . (a) Demuestre que T es invertible. (b) Demuestre que pT ((x, y, z), (x1 , y1 , z1 )) = hT (x, y, z), T (x1 , y1 , z1 )i es un producto interno sobre R3 . (c) Considere h, i el producto interno usual en R3 . Con respecto al producto interno pT dado en (a), calcule el ángulo entre los √ vectores (−1, 0, 2) y (0, 3, 3). 4. Demuestre que, un conjunto de n vectores xj 6= 0 donde cualesquiera dos vectores xi y xj (i 6= j) son ortogonales, es linealmente independiente. 5. Sean V y W espacios vectoriales sobre R y suponga que h, i es un produnto interno sobre W . Si T es una transformación lineal invertible de V en W entonces pT (α, β) = hT (α), T (β)i es un producto interno sobre V . 6. Sea B = {(1, −4, 2), (0, 3, 7), (−1, 0, 5) } base de R3 . A partir de B encontrar una base ortonormal de R3 . 7. Sea A una matriz de 2 × 2 con coeficientes en R . Considere X e Y en M (2 × 1 , R) , se define hX, Y iA = Y t AX (a) Demostrar que h, iA es un producto interno en M (2 × 1 , R) si y sólo si A = At , a11 > 0 , a22 > 0 y det(A) > 0 . Ã ! Ã ! Ã 1 −1 4 (b) Calcular el ángulo entre y para A = 2 1 1

1 2

!


42

8. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno h, i. Se define T : E → L(E) como: T (y)(x) = hy, xi. a) Demuestre que T es lineal. b) Demuestre que T es inyectiva. c) Demuestre que T es sobreyectiva. 9. Sea E un espacio vectorial con producto interno h, i. Sean x, y ∈ E. a) Demuestre que kx + yk ≤ kxk + kyk. b) Demuestre que kx + yk = kxk + kyk si y sólo si x = αy, α ≥ 0. 10. Se define la función h, i : R2 × R2 → R como h(x1 , x2 ), (y1 , y2 )i = x1 y1 + 3x2 y2 . (a) Demuestre que h, i es un producto interno para R2 . (b) Con respecto al producto interno en a), calcule el ángulo entre √ los vectores (0, 2) y (3, 3). (c) Con respecto al producto interno en a), calcule el ángulo orientado √ entre los vectores (0, 2) y (3, 3). (d)

Con respecto al producto interno en a), encuentre una base ortonormal para R2 .

11. Pruebe que (a × b) × c =< a, c > b − < b, c > a . 12. Sea P2 [0, 1] = { p : [0, 1] → R : p(x) = a + bx + cx2 ; a, b, c ∈ R } . Considere el producto interno definido por Z 1 hp, qi = p(x) q(x) dx 0


43

(a) Calcular el volumen del paralelep´ıpedo: V (1, x) . (b) Sea E = h{1, 2x + 3}i , calcular E ⊥ . (c) Dados x1 = 3 + x2 , x2 = 1 − x , x3 = 1 + x + x2 , x4 = x + 4x2 , en P2 [0, 1] , hallar el determinante de Gram G(x1 , x2 , x3 , x4 ) . 13. Sea B una función bilineal con la propiedad que B(A) = 0 para todas las matrices A ∈ M (2 × 2, R) que tienen filas iguales. Demuestre que B es antisimétrica. 14. Sea T un operador lineal sobre Rn . Defina DT (α1 , . . . , αn ) = det(T (α1 ), . . . , T (αn )) (a) Demostrar que DT es una función determinante. (b) Si c = det(T (e1 ), . . . , T (en )) demostrar que para n vectores α1 , . . . , αn arbitrarios se tiene det(T (α1 ), . . . , T (αn )) = c det(α1 , . . . , αn ) . 15. Sean {xi } y {ˆ xj } bases ortonormales de un espacio vectorial E, con producto interno y de dimensión n. Demuestre que existe una matriz X ortogonal A = (aij ) tal que xî = aij xj . j

16. Sean ∆ y ∆1 dos funciones determinantes en un espacio vectorial E, ∆1 6= 0. Demuestre que existe λ ∈ R tal que ∆ = λ∆1 . 17. Demuestre que el determinante de Gram de un conjunto de vectores {x1 , x2 , ..., xn } es cero si y sólo si el conjunto {x1 , x2 , ..., xn } es linealmente dependiente. 18. Una forma bilineal φ : E × E → R se dice antisimétrica si φ(x, y) = −φ(y, x) para cada (x, y) ∈ E × E. Demostrar que cualquier forma bilineal φ : E × E −→ R es la suma de una forma bilineal simétrica y una forma bilineal antisimétrica.

44


19. Sea ∆((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x2 y1 − x1 y2 . (a) Demuestre que ∆ es una función determinante. (b) Sean x = (1, 1), y = (−1, 0). Encuentre el ángulo orientado entre x e y. 20. Sean x = (1, 1, 1, 1), y = (−1, 1, −1, 1) dos vectores en R4 . (a) Calcule el ángulo entre x e y. (b) Encuentre la proyección ortogonal de R4 sobre E1 , el subespacio generado por {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}. (c) Encuentre E1⊥ . (d) Verifique que E1⊥

T

E1 = {0}

21. Considere el espacio vectorial R3 con el producto interno usual. (a) Demuestre que hu × v, wi = hu, v × wi. (b) Calcule el volumen del paralelepipedo determinado por los vectores e1 + e2 , 3e1 − 2e3 , −7e2 + 3e3 . 22. Sea P1 [0, 1] = {p : [0, 1] → R : p(x) = a + bx; a, b ∈ R}. Dados los vectores {1, x} en P1 [0, 1] , construir una base ortonormal para P1 [0, 1] con el producto interno definido por hp, qi = a1 a2 +

a1 b2 + b1 a2 b1 b2 + , 2 3

donde p(x) = a1 + b1 x y q(x) = a2 + b2 x. 23. Sea T : P1 [0, 1] → R tal que T (p) = 2a + b; donde p(x) = a + bx. Sea h, i el producto interno para P1 [0, 1] definido en el problema anterior. Encuentre q ∈ P1 [0, 1] tal que: T (p) = hq, pi para cada p ∈ P1 [0, 1].


45

24. Sea E un e.v.p.i. Sean x, y, z ∈ E. Demuestre que kx − ykkzk ≤ ky − zkkxk + kz − xkkyk. 25. Calcule el volumen del paralelepipedo generado por los vectores {(−5, 6), (1, 7)}.

Cap´ıtulo 2 Transformaciones lineales 2.1

Espacios vectoriales normados

Definiremos por medio de tres axiomas lo que entenderemos por una norma, concepto ya conocido. Definici´ on 39 Sea E e.v. sobre R de dimensión finita o infinita. Una norma en E es una función k · k : E −→ R con las siguientes propiedades : N 1 : kxk ≥ 0

∀x ∈ E

y

kxk = 0 ssi x = 0

N 2 : kx + yk ≤ kxk + kyk N 3 : kλxk = |λ| kxk. Un e.v. donde se define una norma se llama e.v normado. La distancia entre dos vectores x e y en un e.v. normado se define por d(x, y) = kx − yk. 46

2.1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS

47

Observaci´ on : N 1, N 2 y N 3 implican, respectivamente : d(x, y) > 0 si x 6= y d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (Desigualdad triangular) d(x, y) = d(y, x). Esto dice que d es una métrica en E y define una topolog´ıa en E. Ejemplos 1) Cada espacio producto interno es un espacio normado, con la norma definida por kxk =

p

hx, xi.

2) Si C = C[0, 1] entonces una norma se define por kf k := sup |f (t)|. t∈[0,1]

3) Sea E e.v. de dimensión n. Sea {en } base de E. Se define la norma de un P vector x = ni=1 αi ei por X kxk = |αi |. i

2.1.1

Transformaciones lineales acotadas

Definici´ on 40 Sea E e.v. normado. Una transformaci´ on lineal ϕ : E −→ E se llama acotada si existe un n´ umero M tal que kϕ(x)k ≤ M kxk

; para cada x ∈ E.

CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES LINEALES

48

Proposici´ on 41 Una transformaci´ on lineal es acotada si y sólo si es continua. Demostraci´ on. Sea T : E −→ E una transformación lineal. Supongamos que T es acotada. Sea xn −→ x entonces kT (xn ) − T (x)k = kT (xn − x)k ≤ M kxn − xk −→ 0. Por lo tanto, T es continua. Reciprocamente, supongamos que T es continua. Entonces para ² = 1 existe δ > 0 tal que si kxk < δ entonces kT (x)k < 1. y δ Sea y ∈ E. Entonces para x := se tiene que kxk < δ. Luego kyk 2 ° µ ¶° ° 2kyk ° 2kyk 2 kT (y)k = ° x ° ≤ kT (x)k ≤ kyk = M kyk. ° °T δ δ δ Por lo tanto, T es acotada.

Observaci´ on : Se define el conjunto B(E, E) := {T : E −→ E / T es lineal y acotado }, el cual es un subespacio de L(E; E) := {L : E −→ E / T es lineal }. Sea ϕ ∈ B(E, E). Entonces el conjunto {kϕ(x)k : kxk = 1} es acotado. Denotemos : kϕk = sup kϕ(x)k. kxk=1

Notar que kϕ(x)k ≤ kϕk kxk. Proposici´ on 42 k · k es una norma en B(E, E).

2.1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS

49

Demostraci´ on. N 1 : kϕk ≥ 0 es obvio por definición. Si kϕk = 0 entonces sup kϕ(x)k = 0, kxk=1

esto implica que ϕ(x) = 0 para todo x, kxk = 1. Luego, ϕ ≡ 0 (Ejercicio). Inversamente, si ϕ ≡ 0 entonces kϕk = 0 evidentemente. N 3 : kλϕk = sup |λϕ(x)| = |λ| sup |ϕ(x)| = |λ| kϕk. kxk=1

kxk=1

N 2 : Para cada x ∈ E, k(ϕ + ψ)(x)k = kϕ(x) + ψ(x)k ≤ kϕ(x)k + kψ(x)k ≤ (kϕk + kψk)kxk; por lo tanto,kϕ + ψk ≤ kϕk + kψk.

Observaci´ on : k · k tiene la propiedad adicional : kψ ◦ ϕk ≤ kψk kϕk.

Ejercicios 1. Una sucesión infinita de vectores (xn ) en un e.v. normado E se dice convergente a x si : ∀ ² > 0 ∃ N tal que kxn − xk < ² ∀ n > N (a) Demuestre que cada sucesión convergente satisface el siguiente criterio de Cauchy : ∀ ² > 0 ∃ N tal que kxn − xm k < ² si n > N , m > M. (b) Demuestre que cada sucesión de Cauchy en un e.v. normado de dimensión finita es convergente. (c) De un ejemplo que muestre que (b) no es cierto si la dimensión es infinita.


50

2. Un e.n. se llama completo si cada sucesión de Cauchy es convergente. Sea E e.n. completo y ϕ : E −→ E una transformación lineal tal que P∞ n kϕk ≤ 1. Demuestre que la serie n=0 ϕ es convergente y que la transformación lineal ψ=

∞ X

ϕn

n=0

tiene las siguientes propiedades : (a) (1 − ϕ) ◦ ψ = ψ ◦ (1 − ϕ) = 1 1 (b) kϕk ≤ . 1 − kϕk

2.2

Transformaciones lineales en espacios con producto interno

En todo lo que sigue se supone que los espacios vectoriales son de dimensión finita.

2.2.1

Transformaci´ on adjunta

Sean E, F e.v. Sea ϕ : E −→ F lineal. Sean E ∗ , F ∗ e.v. duales de E y F respectivamente. Entonces ϕ induce ϕ∗ : F ∗ −→ E ∗ una transformación lineal definida por hϕ∗ (y ∗ ), xi = hy ∗ , ϕ(x)i ; x ∈ E , y ∗ ∈ F ∗ . En el sentido anterior ϕ∗ y ϕ se llaman duales.

2.2. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO51 Definici´ on 43 ϕ∗ se llama la transformaci´ on adjunta. Si E y F son e.v. con producto interno; reemplazando la dualidad h, i por el producto interno, se obtiene la relación hϕ(x), yiF = hx, ϕ∗ (y)iE

;x ∈ E , y ∈ F

(2.1)

de esta manera cada ϕ : E −→ F determina una transformación lineal ϕ∗ : F −→ E. Observaci´ on : (ϕ∗ )∗ = ϕ. Demostraci´ on. ϕ∗ y (ϕ∗ )∗ están relacionadas por : hϕ∗ (y), xi = hy, (ϕ∗ )∗ (x)i

(2.2)

luego, de (2.1) y (2.2) se tiene que hϕ(x), yi = h(ϕ∗ )∗ (x), yi

∀y ∈ F , x ∈ E

con lo que ϕ∗ ∗ = ϕ.

Ejercicio : Mostrar que, con respecto a bases ortonormales, la matriz de una transformación adjunta corresponde a la matriz traspuesta.

2.2.2

Transformaci´ on lineal adjunta

Sea E e.v. con producto interno y consideremos el caso F = E. Entonces a cada transformación lineal ϕ : E −→ E le corresponde una transformación


52

lineal adjunta ϕ∗ : E −→ E. Si e y ee son vectores propios de ϕ y ϕ∗ respectivamente. Entonces ϕ(e) = λe y ϕ∗ (e e) = µe e. Pero, por definición hϕ(e), eei = hλe, eei = λhe, eei y he, ϕ∗ (e e)i = he, µe ei = µhe, eei lo que implica que λ = µ si he, eei 6= 0. Por lo tanto, si ϕ(e) = λe entonces ϕ∗ (e e) = λe e.

2.2.3

La relaci´ on entre transformaciones lineales y funciones bilineales

Sea ϕ : E −→ E una transformación lineal. Sea E e.v. con producto interno h, i. Entonces se puede definir una forma bilineal : φ(x, y) := hϕ(x), yi. De esta manera es posible definir una función ρ : L(E; E) −→ B(E × E) = {b : E × E −→ R / b es bilineal } por ρ(ϕ) = φ. Esto es, ρ(ϕ)(x, y) = hϕ(x), yi, para cada x, y ∈ E. Teorema 44 L(E; E) ∼ = B(E × E).

2.2. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO53 Demostraci´ on. Probaremos que ρ es un isomorfismo. 1) ρ es lineal : Para cada (x, y) ∈ E × E, ρ(λϕ + ψ)(x, y) = h(λϕ + ψ)(x), yi = hλϕ(x), yi + hψ(x), yi = λρ(ϕ)(x, y) + ρ(ψ)(x, y) = (λρ(ϕ) + ρ(ψ))(x, y). 2) ρ es 1-1 : Si ρ(ϕ) = 0 entonces ρ(ϕ)(x, y) = 0 ∀ x, ∀ y. Luego, hϕ(x), yi = 0 ∀ x, ∀ y. De esta manera ϕ(x) = 0 ∀ x. Por lo tanto, ϕ ≡ 0. 3) ρ es sobreyectiva : Sea φ ∈ B(E × E). Sea x ∈ E fijo y definamos fx : E −→ R por fx (y) := φ(x, y) entonces fx ∈ L(E). Por Teorema de Representación de Riesz (Teorema 11), existe un u ńico ax en E tal que fx (y) = hax , yi ∀ y ∈ E. Sea ϕ : E −→ E definida por : ϕ(x) = ax . Entonces ϕ es lineal (Ejercicio) y hϕ(x), yi = hax , yi = fx (y) = φ(x, y) o sea ρ(ϕ)(x, y) = φ(x, y) ó ρ(ϕ) = φ con lo que se prueba el teorema. As´ı, existe una correspondencia inyectiva entre las funciones lineales y las bilineales en E. En particular, la identidad (en L(E; E)) corresponde al producto interno (en B(E × E)).


54

Nota : Se tienen las correspondencias siguientes : ρ

L(E; E) ←→ B(E × E) I ←→ h, i ϕ ←→ ρ(ϕ) := φ ϕ∗ ←→ ρ(ϕ∗ ) Sea φe la función bilineal que corresponde a la transformación adjunta. Entonces e y) = hϕ∗ (x), yi φ(x, = hx, ϕ(y)i = hϕ(y), xi = φ(y, x). Luego, φe es igual a φ pero intercambiando los argumentos (esto es, simétrica, lo cual será estudiado en detalle posteriormente.)

2.2.4

Transformaciones normales

Definici´ on 45 Una transformaci´ on lineal ϕ : E −→ E se dice normal si ϕ∗ ◦ ϕ = ϕ ◦ ϕ∗ . Proposici´ on 46 Son equivalentes : (a) ϕ es normal (b) hϕ(x), ϕ(y)i = hϕ∗ (x), ϕ∗ (y)i ∀ x, y ∈ E.

2.2. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO55 Demostraci´ on. Si ϕ es normal se tiene que hϕ(x), ϕ(y)i = hx, (ϕ∗ ◦ ϕ)(y)i = hx, (ϕ ◦ ϕ∗ )(y)i = hϕ∗ (x), ϕ∗ (y)i. Rec´ıprocamente, supongamos que (b) vale, entonces : hy, (ϕ∗ ◦ ϕ)(x)i = hϕ(y), ϕ(x)i = hϕ∗ (y), ϕ∗ (x)i = hy, (ϕ ◦ ϕ∗ )(x)i ∀ y. Luego, (ϕ∗ ◦ ϕ)(x) = (ϕ ◦ ϕ∗ )(x) ∀ x. Por lo tanto, ϕ∗ ◦ ϕ = ϕ ◦ ϕ∗ . Corolario 47 Si ϕ es normal, entonces kϕ(x)k = kϕ∗ (x)k para cada x ∈ E. Demostraci´ on. kϕ(x)k2 = hϕ(x), ϕ(x)i = hϕ∗ (x), ϕ∗ (x)i = kϕ∗ (x)k2 .

Ejercicio:

Suponga que E es un espacio vectorial con producto interno.

Pruebe que si kϕ(x)k = kϕ∗ (x)k ∀ x ∈ E, entonces ϕ es normal.

2.2.5

Transformaciones autoadjuntas

Definici´ on 48 Una transformaci´ on lineal ϕ : E −→ E se dice autoadjunta si ϕ∗ = ϕ. Teorema 49 Sea E e.v. con producto interno de dimensión finita. Sea ϕ : E −→ E autoadjunta. Entonces E posee una base ortonormal de vectores propios.

56


hx, ϕ(x)i , x 6= 0. kxk2 Claramente F es continua. Como {x ∈ E / kxk = 1} es un subconjunto Demostraci´ on. Sea F : E −→ R definida por F (x) =

cerrado y acotado de E, se tiene que inf F (x) se alcanza en el subconjunto, kxk=1

esto es, existe e1 ∈ E, ke1 k = 1 tal que F (e1 ) = inf F (x).

(2.3)

kxk=1

Luego : F (e1 ) ≤ F (y) para cada y ∈ E, kyk = 1. Más a´ un F (e1 ) ≤ F (x)

∀ x ∈ E.

En efecto : Si x ∈ E, x 6= 0 y se define y :=

(2.4)

x , entonces kyk = 1 y luego kxk

por (2.3) : F (e1 ) ≤ F (y) = hy, ϕ(y)i ¿ À x x = , ϕ( ) kxk kxk hx, ϕ(x)i = kxk2 = F (x). Afirmaci´ on : e1 es un vector propio de ϕ. Más a´ un, probaremos que el valor propio es he1 , ϕ(e1 )i. Esto es : ϕ(e1 ) = he1 , ϕ(e1 )ie1 .

(2.5)

En efecto: Sea y ∈ E. Definamos f : R −→ R por f (t) = F (e1 + ty). De (2.4), f (0) = F (e1 ) ≤ F (x) ∀ x ∈ E. En particular, para cada e1 +ty ∈ E. Esto es : f (0) ≤ F (e1 + ty) = f (t)

∀ t ∈ R.

2.2. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO57 Esto dice que f (0) es un m´ınimo de f (recuerde que f 0 (x) = 0 si y sólo si x es punto critico, esto es máximo o minimo, de f ) . Luego : f 0 (0) = 0

(2.6)

De la definición de F obtenemos : he1 + ty, ϕ(e1 + ty)i he1 + ty, e1 + tyi he1 + ty, ϕ(e1 ) + tϕ(y)i = . he1 + ty, e1 + tyi

f (t) = F (e1 + ty) =

Derivando esta función y evaluando en t = 0 se obtiene : f 0 (0) = he1 , ϕ(y)i + hy, ϕ(e1 )i − 2he1 , ϕ(e1 )ihe1 , yi

(2.7)

En efecto: Se tiene la igualdad : he1 + ty, e1 + tyif (t) = he1 + ty, ϕ(e1 ) + tϕ(y)i o equivalentemente (1+2thy, e1 i+t2 hy, yi)f (t) = he1 , ϕ(e1 )i+the1 , ϕ(y)i+thy, ϕ(e1 )i+t2 hy, ϕ(y)i. Derivando con respecto a t, obtenemos (2hy, e1 i + 2thy, yi)f (t) + (1 + 2thy, e1 i + t2 hy, yi)f 0 (t) = he1 , ϕ(y)i + hy, ϕ(e1 )i + 2thy, ϕ(y)i. Evaluando en t = 0 : 2hy, e1 if (0) + f 0 (0) = he1 , ϕ(y)i + hy, ϕ(e1 )i. Notar que f (0) = F (e1 ) = he1 , ϕ(e1 )i luego, f 0 (0) = he1 , ϕ(y)i + hy, ϕ(e1 )i − 2hy, e1 ihe1 , ϕ(e1 )i


58 lo cual prueba (2.7).

Teniendo probado (2.7) y usando el hecho que ϕ es autoadjunta se tiene: f 0 (0) = 2hϕ(e1 ), yi − 2he1 , ϕ(e1 )ihe1 , yi. Usando ahora (2.6) da: hϕ(e1 ), yi = he1 , ϕ(e1 )ihe1 , yi = he1 he1 , ϕ(e1 )i, yi de esta manera hϕ(e1 ) − he1 , ϕ(e1 )ie1 , yi = 0 ∀ y ∈ E. Por lo tanto, ϕ(e1 ) = he1 , ϕ(e1 )ie1 . Esto prueba la afirmación. Veamos ahora como se construye una base de vectores ortonormales. Sea F1 := he1 i el subespacio (de dimensión 1) generado por e1 . Entonces ϕ(F1 ) ⊆ F1 pues ϕ(e1 ) = λe1 . Esto, y el hecho que ϕ es autoadjunta, implica que ϕ(F1⊥ ) ⊆ F1⊥ . (En efecto: Sea y ∈ F1⊥ entonces < y, f >= 0 para cada f ∈ F1 . Luego, para cada g ∈ F1 se tiene < ϕ(y), g >=< y, ϕ(g) >= 0 donde ϕ(g) ∈ F1 . Esto implica que ϕ(y) ∈ F1⊥ ). Sea ϕ1 : F1⊥ −→ F1⊥ definida como la restricción de ϕ a F1⊥ . Claramente ϕ1 es autoadjunta y luego se puede aplicar la construcción anterior para obtener un vector e2 ∈ F1⊥ . As´ı he2 , e1 i = 0. Continuando de esta manera se obtiene un sistema de n vectores e1 , e2 , . . . , en tales que hei , ej i = δij . estos vectores {ei } forman una base ortonormal de E. En esta base, la aplicación ϕ toma la forma : ϕ(ei ) = λi ei

2.2. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO59 donde λi es el valor propio de ei . Esto prueba el teorema. Definici´ on 50 Sea λ un valor propio de una transformaci´ on lineal ϕ : E −→ E. Se define el espacio propio correspondiente al valor propio λ como el conjunto E(λ) := {x ∈ E / ϕ(x) = λx}. Proposici´ on 51 Sean λ1 y λ2 valores propios de una transformaci´ on lineal autoadjunta. Si λ1 6= λ2 entonces E(λ1 )⊥E(λ2 ) (i.e. espacios propios correspondientes a valores propios diferentes de una transformaci´ on lineal autoadjunta, son ortogonales). Demostraci´ on. Sea e1 ∈ E(λ1 ) y e2 ∈ E(λ2 ). Entonces ϕ(e1 ) = λ1 e1 , ϕ(e2 ) = λ2 e2 . Luego : (λ1 − λ2 )he1 , e2 i = hλ1 e1 , e2 i − he1 , λ2 e2 i = hϕ(e1 ), e2 i − he1 , ϕ(e2 )i = hϕ(e1 ), e2 i − hϕ(e1 ), e2 i = 0 como λ1 6= λ2 entonces he1 , e2 i = 0. Proposici´ on 52 Sean {λ1 , . . . , λr } los valores propios diferentes de ϕ (autoadjunta) entonces E = E(λ1 ) ⊕ · · · ⊕ E(λr ). Demostraci´ on. Claramente E(λi ) ∩ E(λj ) = {0} (pues E(λi )⊥E(λj )) ∀ i 6= j. Por otra parte, si x ∈ E; como existe una base ortonormal de vectores propios, digamos {ei }, se tiene : x = hx, e1 ie1 + · · · + hx, en ien | {z } | {z } ∈E(λ1 )

∈E(λr )


60

esto prueba la proposición.

2.2.6

Vectores propios de funciones bilineales

Recordemos que L(E; E) := {ϕ : E −→ E / ϕ es lineal}. Vimos que L(E; E) ∼ = B(E × E) siendo el isomorfismo expl´ıcitamente dado como ρ : L(E; E) −→ B(E × E) tal que ρ(ϕ)(x, y) = hϕ(x), yi. En particular, a cada función bilineal b ∈ B(E × E) le corresponde ϕ ∈ L(E; E) tal que se verifica la siguiente relación hϕ(x), yi = b(x, y)

∀ x, y ∈ E.

Usando esta relación se definen vectores y valores propios para b ∈ B(E × E) como los que corresponden a ϕ. En otras palabras : λ ∈ C es un valor propio para b si lo es para ϕ, donde ϕ es la u ńica transformación lineal tal que hϕ(x), yi = b(x, y). Análogamente se pueden definir vectores propios (Ejercicio). Como una aplicación de lo anterior se tiene el siguiente resultado.

Teorema 53 Sea b una función bilineal simétrica (i.e. b(x, y) = b(y, x)) en E × E. Entonces existe una base ortonormal {en } de E tal que b tiene una forma diagonal. Esto es, existen escalares {λi } en C tal que b(ei , ej ) = λi δij .

2.2. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO61 Demostraci´ on. Sea b bilineal. Entonces existe una u ńica ϕ en L(E) tal que b(x, y) = hϕ(x), yi. Como b(x, y) = b(y, x), entonces hϕ(x), yi = hx, ϕ(y)i. Luego; ϕ = ϕ∗ (i.e. ϕ es autoadjunta). Por lo tanto, existe una base {en } de E que consiste de vectores propios de E. Sean {λn } los correspondientes valores propios. Entonces ϕ(en ) = λn en . Luego : b(ei , ej ) = hϕ(ei ), ej i = hλi ei , ej i = λi hei , ej i = λi δij .

2.2.7

Proyecciones ortogonales

Sea E un e.v. con producto interno h, i, no necesariamente de dimensión finita. La siguiente definición generaliza el concepto de proyección. Definici´ on 54 Una transformaci´ on lineal π : E −→ E se dice una proyección ortogonal si es autoadjunta y satisface π 2 = π. Ejemplo. Sea e ∈ E tal que ||e|| = 1. Se define P : E → h{e}i =: E1 tal que P (x) = hx, eie. Es claro que P es autoadjunta pues: hP (x), yi = hhx, eie, yi = hx, eihe, yi = hy, eihx, ei = hx, hy, eiei = hx, P (y)i. Además, P 2 = P pues: P (P (x)) = P (hx, eie) = hx, eiP (e) = hx, eihe, eie = hx, eie = P (x).

62


Proposici´ on 55 Si π es una proyecci´ on ortogonal entonces E = ker π⊕imπ.

Demostraci´ on. Sea x ∈ ker π ∩ imπ. Entonces π(x) = 0 y existe z en E tal que x = π(z). Luego, 0 = π(x) = π 2 (z) = π(z) = x. Por lo tanto, ker π ∩ imπ = {0}. Por otra parte, dado x ∈ E escribimos : x = (x − π(x)) + π(x). Entonces x−π(x) ∈ ker π pues π(x−π(x)) = π(x)−π 2 (x) = π(x)−π(x) = 0 y π(x) ∈ imπ por definición. Hemos probado la proposición.

Observaci´ on : La restricción de π a im π es la identidad, esto es : ∀ y ∈ im π ; π(y) = y. En efecto : Si y ∈ im π entonces y = π(x), x ∈ E. Luego, π(y) = π 2 (x) = π(x) = y. Proposici´ on 56 Sea E1 un subespacio de E. Entonces existe una u ńica proyecci´ on ortogonal π : E −→ E tal que imπ = E1 . Demostraci´ on. Se define ( π(y) =

y

si y ∈ E1

0

si y ∈ E1⊥

y es fácil verificar que π 2 = π y π ∗ = π (Ejercicio).

2.2. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO63

2.2.8

Suma de dos proyecciones

Sean π1 : E −→ E1 , π2 : E −→ E2 proyecciones ortogonales (i.e. E1 = imπ1 , E2 = imπ2 ). Queremos saber si la suma π1 + π2 es una proyección ortogonal. Como una preparación para el resultado que nos da la respuesta, veamos la siguiente : Proposici´ on 57 Sean E1 , E2 subespacios de E y sean π1 : E −→ E1 y π2 : E −→ E2 las proyecciones ortogonales. Entonces π2 ◦ π1 = 0 si y sólo si E1 ⊥E2 . Demostraci´ on. Si E1 ⊥E2 entonces dado x ∈ E se tiene que hy, π1 (x)i = 0 para todo y en E2 . Luego, π1 (x) ∈ E2⊥ . Notar que π2 (z) = 0 si z ∈ E2⊥ . En efecto: kπ2 (z)k2 = hπ2 (z), π2 (z)i = hz, π22 (z)i = hz, π2 (z)i = 0. Esto implica que π2 ◦ π1 (x) = 0. Inversamente, si π2 ◦ π1 = 0 entonces π1 x ∈ E2⊥ para todo x en E. En efecto: Si π2 (π1 (x)) = 0 entonces π1 (x) ∈ ker π2 . Como E = ker π2 ⊕ im π2 se deduce que E2⊥ = (im π2 )⊥ = ker π2 . As´ı, π1 (x) ∈ E2⊥ . Luego, E1 ⊂ E2⊥ . En efecto: Si z ∈ E1 = im π1 entonces z = π1 (x), x ∈ E, luego z ∈ E2⊥ . Sean ahora x1 ∈ E1 (luego, x1 ∈ E2⊥ ,) y x2 ∈ E2 . Entonces hx1 , x2 i = 0. Por lo tanto, E1 ⊥E2 . Teorema 58 π1 + π2 es una proyecci´ on sobre E1 ⊕ E2 si y sólo si E1 ⊥E2 . Demostraci´ on. Sea π := π1 + π2 . Vamos a ver que π es la proyección de E sobre E1 ⊕ E2 . Claramente π es lineal, pues es la suma de transformaciones lineales. También π es autoadjunta, por lo mismo. Resta ver que π 2 = π. Para esto, vamos a


64

ver que π(x1 + x2 ) = x1 + x2 en E1 ⊕ E2 y π(x) = 0 en (E1 ⊕ E2 )⊥ . Esto probará que π es la proyección de E sobre E1 ⊕ E2 . En efecto: Por linealidad, si x1 + x2 ∈ E1 ⊕ E2 se tiene: π(x1 + x2 ) = π(x1 ) + π(x2 ) = (π1 + π2 )(x1 ) + (π1 + π2 )(x2 ) = π1 (x1 ) + (π1 + π2 )(x2 ) = π1 (x1 ) + π2 (x2 ) = x1 + π2 (x2 ) = x1 + x2 . Por otra parte, observemos que: (E1 ⊕ E2 )⊥ = E1⊥ ∩ E2⊥

(∗)

Luego: Si x ∈ (E1 ⊕ E2 )⊥ entonces x ∈ E1⊥ y x ∈ E2⊥ , de esta manera x ∈ ker π1 y x ∈ ker π2 . Por lo tanto, π(x) = π1 (x) + π2 (x) = 0 + 0 = 0. Verifiquemos (*) : Sea x ∈ (E1 ⊕ E2 )⊥ entonces hx, x1 + x2 i = 0 ∀ x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2 . Luego, hx, x1 i = 0 (con x2 = 0) y hx, x2 i = 0 (con x1 = 0) lo que implica que x ∈ E1⊥ y x ∈ E2⊥ . Por lo tanto, x ∈ E1⊥ ∩ E2⊥ . Inversamente, sea x ∈ E1⊥ ∩ E2⊥ . Entonces hx, x1 i = 0 ∀ x1 ∈ E1 , hx, x2 i = 0 ∀ x2 ∈ E2 . Sea y ∈ E1 ⊕ E2 . Entonces y = y1 + y2 ; y1 ∈ E1 , y2 ∈ E2 . Luego: hx, yi = hx, y1 i + hx, y2 i = 0 + 0 = 0. As´ı x ∈ (E1 ⊕ E2 )⊥ . De esta manera, hemos probado que π1 + π2 es una proyección sobre E1 ⊕ E2 . Supongamos ahora que π1 + π2 es una proyección ortogonal. Vamos a probar que E1 ⊥E2 . Para esto probaremos, equivalentemente por Proposición 58, que π1 ◦ π2 = 0. En efecto: Por hipótesis, (π1 + π2 )2 = π1 + π2

2.2. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO65 o equivalentemente (π1 + π2 ) ◦ (π1 + π2 ) = π1 + π2 o sea, π12 + π1 ◦ π2 + π2 ◦ π1 + π22 = π1 + π2 lo que es equivalente a π1 + π1 ◦ π2 + π2 ◦ π1 + π2 = π1 + π2 de esta manera, π1 ◦ π2 + π2 ◦ π1 = 0

(2.8)

componiendo por π1 a la derecha tenemos: π1 ◦ π2 ◦ π1 + π2 ◦ π1 = 0

(2.9)

y componiendo en (2.8) por π1 a la izquierda tenemos : π1 ◦ π2 + π1 ◦ π2 ◦ π1 = 0. Luego, sumando las expresiones anteriores da : π1 ◦ π2 ◦ π1 + π2 ◦ π1 + π1 ◦ π2 +π1 ◦ π2 ◦ π1 = 0 | {z } =0 por (2.8) as´ı, π1 ◦ π2 ◦ π1 = 0 y reemplazando esto u ´ltimo en (2.9) obtenemos : π2 ◦ π1 = 0 esto prueba el teorema. Lema 59 Si π : E −→ E1 es una proyecci´ on entonces I − π es proyecci´ on sobre E1⊥ .


66

Demostraci´ on. Sea ψ := I − π. Es claramente autoadjunta y ψ 2 = (I − π)2 = I − 2π + π 2 = I − 2π + π = I − π = ψ.

Resta ver que im ψ = E1⊥ . Sea x ∈ im ψ = im (I − π) entonces x = y − π(y). Sea z ∈ E1 = im π entonces z = π(w) y: hx, zi = hy − π(y), zi = hy − π(y), π(w)i = hπ(y) − π 2 (y), wi = hπ(y) − π(y), wi = 0 esto implica que x ∈ E1⊥ . Inversamente queremos probar : E1⊥ ⊆ im ψ, equivalentemente: (im ψ)⊥ ⊆ E1 esto es ker ψ ⊆ E1 . En efecto: Sea x ∈ ker ψ entonces ψ(x) = 0 esto es, (I − π)(x) = 0 o sea, π(x) = x. Por lo tanto, x ∈ im π = E1 , lo cual prueba el lema.

Teorema 60 π1 − π2 es una proyecci´ on si y sólo si E2 ⊆ E1 .

2.2. TRANSFORMACIONES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO67 Demostraci´ on. E2 ⊆ E1 ⇐⇒ E1⊥ ⊆ E2⊥ ⇐⇒ E1⊥ ⊥E2

(Ejercicio)

⇐⇒ (I − π1 ) + π2 =: ϕ

es proyección (Teorema 59 y Lema 60)

⇐⇒ I − (π1 − π2 ) =: ϕ

es proyección

(∗)

⇐⇒ π1 − π2

es proyección .

(*) Si ϕ es proyección, entonces I − ϕ = π1 − π2 es proyección. Inversamente, si π1 − π2 es proyección entonces I − (π1 − π2 ) =: ϕ lo es (por Lema 60). Veamos ahora el comportamiento del producto de proyecciones. Teorema 61 Sean π1 : E −→ E1 y π2 : E −→ E2 dos proyecciones ortogonales. Entonces π2 ◦ π1 es una proyecci´ on sobre E1 ∩ E2 si y sólo si π2 ◦ π1 = π1 ◦ π2 . Demostraci´ on. Supongamos que π2 ◦ π1 = π1 ◦ π2 . Vamos a ver que π2 ◦ π1 : E −→ E1 ∩ E2 es una proyección mostrando que: (a) (π2 ◦ π1 )(x) = x

para cada x ∈ E1 ∩ E2 .

(b) (π2 ◦ π1 )(x) = 0

para cada x ∈ (E1 ∩ E2 )⊥ .

En efecto: (a) Sea x ∈ E1 ∩ E2 entonces π2 (π1 (x)) = π2 (x) = x

pues x ∈ E1 pues x ∈ E2 .

(b) Primero observamos que (E1 ∩ E2 )⊥ = E1⊥ + E2⊥ (Ejercicio). Luego, si x ∈ (E1 ∩ E2 )⊥ entonces x = x1 + x2 ; x1 ∈ E1⊥ , x2 ∈ E2⊥ .


68 En consecuencia

π2 (π1 (x)) = π2 (π1 (x1 )) + π2 (π1 (x2 )) = π2 (0) + π1 (π2 (x2 )) = 0 + π1 (0) = 0. Supongamos ahora que π2 ◦ π1 es una proyección. Entonces π2 ◦ π1 = (π2 ◦ π1 )∗ = π1∗ ◦ π2∗ = π1 ◦ π2 esto prueba el teorema.

2.3

Isometr´ıas

Definici´ on 62 Sean E, F e.v. con producto interno. Una transformación lineal ϕ : E −→ F es llamada isometr´ıa (o unitaria) si hϕ(x1 ), ϕ(x2 )i = hx1 , x2 i

; x1 , x2 ∈ E.

Una caracterización la tenemos en el siguiente resultado. Proposici´ on 63 ϕ es una isometr´ıa si y sólo si kϕ(x)k = kxk para cada x ∈ E. Demostraci´ on. (i) Suponer que ϕ es una isometr´ıa y tomar x1 = x2 = x. (ii) 2hϕ(x1 ), ϕ(x2 )i = kϕ(x1 + x2 )k2 − kϕ(x1 )k2 − kϕ(x2 )k2

2.3. ISOMETRÍAS

69 = kx1 + x2 k2 − kx1 k2 − kx2 k2 = 2hx1 , x2 i.

Observaci´ on : Si ϕ es una isometr´ıa, entonces ϕ es inyectiva. Proposici´ on 64 Supongamos dim E < ∞ y sea ϕ : E −→ E una isometr´ıa. Entonces ϕ es un isomorfismo. Demostraci´ on. Es claro que ϕ es inyectiva. Para ver que es sobreyectiva, notar que dim(im ϕ) + dim(ker ϕ) = dim E luego, im ϕ = E pues ϕ es inyectiva. (Teorema de dimensión).

Observaci´ on : En particular, en las condiciones anteriores, existe ϕ−1 . Proposici´ on 65 Sea dim E < ∞ y ϕ : E −→ E. Entonces ϕ es una isometr´ıa si y sólo si ϕ−1 = ϕ∗ . Demostraci´ on. (i) Sean x ∈ E, y ∈ E. Si ϕ es una isometr´ıa entonces hϕ(x), ϕ(y)i = hx, yi. Sea z = ϕ(x) entonces ϕ−1 (z) = x. Por lo tanto, hz, ϕ(y)i = hϕ−1 (z), yi luego, hϕ∗ (z), yi = hϕ−1 (z), yi ∀ y. De esta manera, ϕ∗ = ϕ−1 . (ii) Supongamos que ϕ∗ = ϕ−1 . Entonces, para cada x ∈ E, y ∈ E: hϕ(x), ϕ(y)i = hx, ϕ∗ ϕ(y)i = hx, ϕ−1 ϕ(y)i = hx, yi.


70

Definici´ on 66 Una isometr´ıa ϕ : E −→ E, donde dim E < ∞, se llama una rotaci´ on. Recordemos que si φ : E → E es una transformación lineal, donde E es un espacio de dimensión finita, entonces la matriz de φ con respecto a cualquier base de E tiene el mismo valor del determinante. De esta manera, convenimos en denotar detφ a ese valor, y lo llamaremos el determinante de la función φ. Observaci´ on : En vista de la fórmula ϕ∗ = ϕ−1 , esto es, ϕϕ∗ = 1, se tiene (det ϕ)2 = 1 esto es, det ϕ = ±1. Definici´ on 67 Una rotaci´ on se llama propia si det ϕ = 1, e impropia si det ϕ = −1. Proposici´ on 68 Sea E un e.v. sobre R. Los valores propios de una rotación son +1 ó -1 . Demostraci´ on. Sea λ valor propio de una rotación ϕ : E −→ E con vector propio e. Entonces ϕ(e) = λe. Luego kϕ(e)k = |λ|kek pero, como ϕ es una isometr´ıa, se tiene que kek = |λ|kek. De esta manera, λ = ±1. Proposici´ on 69 El producto de rotaciones es una rotaci´ on. Demostraci´ on. Ejercicio. Proposici´ on 70 La inversa de una rotaci´ on es una rotaci´ on.

2.3. ISOMETRÍAS

71

Demostraci´ on. Ejercicio.

2.3.1

Comparaci´ on con matrices

Si Q es una matriz correspondiente a una rotación ϕ : E −→ E; entonces la condición ϕ∗ = ϕ−1 es equivalente a decir que Q es invertible y Q−1 = QT donde QT es la matriz traspuesta (suponiendo coefientes reales, de otra maT

nera, Q∗ = Q ). Este tipo de matrices se llaman también ortogonales. El siguiente resultado nos indica como construir matrices ortogonales (o rotaciones). Teorema 71 Una matriz Q de n × n es ortogonal si y sólo si las columnas de Q forman una base ortonormal para Rn . Demostraci´ on.     Sea Q =   

 a11 a12 · · ·

a1n

a21 a22 · · · .. .

a2n

an1 an2 · · ·

ann





a a ···   11 21   a12 a22 · · ·   . Entonces QT =  .   ..   a1n a2n · · ·

Sea B = (bij ) = QT Q; entonces bij = a1i a1j + a2i a2j + · · · + ani anj =

n X

api apj

p=1

= h(a1i , a2i , . . . , ani ), (a1j , a2j , . . . , anj )i

(∗)

an1

 an2   .   ann


72

Si las columnas de Q son ortogonales : ( 0 si i 6= j bij = 1 si i = j

(2.10)

es decir, B = I. inversamente, si QT = Q−1 , entonces QT Q = I = B, de manera que vale (2.10) y (*) muestra que las columnas son ortonormales.

Ejemplos

√ √ √ √ √ 1) Es fácil ver que los vectores (1/ 2, 1/ 2, 0), (−1/ 6, 1/ 6, 2/ 6), √ √ √ (1/ 3, −1/ 3, 1/ 3) forman una base ortonormal en R3 . As´ı, la matriz  √ √ √  1/ 2 −1/ 6 1/ 3  √ √ √   1/ 2 1/ 6 −1/ 3   √ √  0 2/ 6 1/ 3 es ortogonal. Ã 2) La matriz

√ √ ! 1/ 2 1/ 2 es ortogonal. √ √ 1/ 2 −1/ 2

Ejercicios 



2/3 1/3 2/3    1. Demuestre que Q =  1/3 2/3 −2/3   es ortogonal. Halle la −2/3 2/3 1/3 3 3 rotación ϕ : R −→ R asociada. 2. Sea ϕ1 : R2 −→ R2 definida por ϕ1 (x, y) = ( √12 x − 2

2

ϕ2 : R −→ R definida por

( 13 x

−

√ √ 8 8 y, x 3 3

+

1 y) 3

√1 y, √1 x 2 2

+

√1 y) 2

y

2.3. ISOMETRÍAS

73

(a) Verifique que ϕ1 y ϕ2 son rotaciones. (b) Verifique que ϕ1 ◦ ϕ2 es una rotación. 3. Demuestre que para cada t ∈ R, la matriz Ã ! sin t cos t A= cos t − sin t es ortogonal. Halle la transformación de rotación asociada. 4. Sea Q una matriz ortogonal y v, w ∈ Rn . Demuestre que ](v, w) = ](Qv, Qw).

2.3.2

Aspectos geom´ etricos

(a) R2 . Sea {e1 , e2 } la base canónica de R2 Y 6

e2 •

• -X e1 Si se rotan los ejes en un ángulo θ en sentido positivo alrededor del origen, entonces e1 rota a un vector v1 y e2 rota a un vector v2 tal que {v1 , v2 } es una base ortonormal para R2 .


74

Y 6

v2

e2 •

v1 = (x, y)

@ I @

@

@

¡

¡ @¡ θ

µ ¡ ¡

• e1

-X

Sea T : R2 −→ R2 tal que T (e1 ) = v1 , T (e2 ) = v2 . Entonces T es una rotación pues la matriz correspondiente es ortogonal ya que {v1 , v2 } son las columnas de la matriz unaÃbase ortonormal. ! ! Ã y forman − sin θ cos θ . , v2 = Notemos que v1 = cos θ sin θ En efecto :

6

• b

(a, b) @ I @ ¾

@θ @

• a

@

Note que v1 = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) donde r = 1 (ó se puede ver como: cos θ =

Análogamente cos θ = v2 = (a, b) = (− sin θ, cos θ).

x cat. op. y cat. adj. = , sin θ = = ). hip. 1 hip. 1

cat. adj. cat. op. = b , sin θ = = −a luego hip. hip.

2.3. ISOMETRÍAS

75

Luego: T (e1 ) = (cos θ, sin θ) , T (e2 ) = (− sin θ, cos θ). Por lo tanto, Ã [T ] =

cos θ − sin θ sin θ

!

cos θ

.

(b) R3 . En R3 se puede rotar en sentido positivo alrededor del eje x, eje y o eje z (as´ı, los ejes x, y y z forman un sistema coordenado de la mano derecha).

Ejercicios 1. Una rotación positiva en un ángulo θ alrededor del eje z producirá una base {v, w, e3 } donde v es vector obtenido al rotar e1 y w es el vector obtenido al rotar e2 . Demuestre que    − sin θ cos θ      v=  sin θ  , w =  cos θ 0 0

  . 

Encuentre Y : R3 −→ R3 la rotación correspondiente. 2. Una rotación positiva en un ángulo α alrededor del eje x producirá una base {e1 , v, w} donde v es el vector obtenido al rotar e2 y w es el vector obtenido al rotar e3 .  0   v =  cos α sin α

Demuestre que     

,



0    w =  − sin α  . cos α

Encuentre R : R3 −→ R3 la rotación correspondiente.


76

3. Una rotación positiva en un ángulo ϕ alrededor del eje y producirá una base {v, e2 , w} donde v es el vector obtenido al rotar e1 y w es el vector obtenido al rotar e3 . Demuestre que    cos ϕ sin ϕ     , w= 0 v= 0    − sin ϕ cos ϕ

  . 

Encuentre P : R3 −→ R3 la rotación correspondiente.

Sean Y , R y P las transformaciones de rotación de los ejercicios 1, 2 y 3. Las matrices Y , R y P para cualesquiera tres ángulos tienen interpretaciones geométricas similares a la de una matriz de rotación en R2 . Sea M cualesquiera de estas matrices de rotación. Sea u = ae1 +be2 +ce3 ∈ 3

R . Entonces r = M u dará las coordenadas del vector obtenido al rotar el vector u. Por ejemplo : Y R(u) representa una rotación positiva en un ángulo α alrededor del eje x seguida de una rotación positiva en un ángulo θ alrededor del eje z. Recordemos que E1 se dice un subespacio estable de E si ϕ(E1 ) ⊆ E1 . El principal resultado que caracteriza las rotaciones es el siguiente: Teorema 72 Sea ϕ una rotaci´ on. Entonces existe una descomposici´ on de E en subespacios estables de dimensión 1 y 2 . Esto es, E = E1 ⊕ E2 ⊕ · · · Er donde dim Ei = 1 ó 2 ∀ i = 1, . . . , r y

Pr i=1

dim Ei = dim E.

La demostración de este teorema se hará en pasos sucesivos:

2.3. ISOMETRÍAS

77

Proposici´ on 73 Sea p : E −→ E una rotaci´ on. E espacio vectorial sobre R. Sean E1 y E2 los espacios correspondientes a los valores propios 1 y -1 respectivamente. Entonces E1 ⊥E2 . Demostraci´ on. Sea x1 ∈ E1 y sea x2 ∈ E2 . Entonces ϕ(x1 ) = x1 y ϕ(x2 ) = −x2 . Luego, hx1 , x2 i = hϕ(x1 ), ϕ(x2 )i

pues ϕ es isometr´ıa (rotación)

= hx1 , −x2 i = −hx1 , x2 i. Por lo tanto, hx1 , x2 i = 0. Notar que, en particular, E1 ∩E2 = {0} pues si x ∈ E1 y x ∈ E2 , entonces −x = ϕ(x) = x, lo que implica que x = 0. Consideremos la suma (directa, ya que E1 ∩ E2 = {0}) de E1 y E2 : E1 ⊕ E2 , entonces E1 ⊕ E2 es estable bajo ϕ. En efecto : Si x ∈ ϕ(E1 ⊕ E2 ) entonces x = ϕ(x1 + x2 )

;

x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2

= ϕ(x1 ) + ϕ(x2 ) = x 1 − x2 ∈ E 1 ⊕ E 2 . Por lo tanto, ϕ(E1 ⊕ E2 ) ⊆ E1 ⊕ E2 . Note que E1 = E11 ⊕ · · · ⊕ Ep1 donde p es la multiplicidad del valor propio 1; y E2 = E12 ⊕ · · · ⊕ Eq2 donde q es la multiplicidad del valor propio -1. Además, dim Eij = 1 ∀ j = 1, 2; para cada i (Ejercicio). Proposici´ on 74 Sea ϕ : E −→ E una rotaci´ on. Si F es estable bajo ϕ, entonces F ⊥ es estable bajo ϕ.


78

Demostraci´ on. Queremos probar: ϕ(F ⊥ ) ⊆ F ⊥ . Sea x ∈ F ⊥ . Entonces, para y ∈ F : hϕ(x), yi = hx, ϕ∗ (y)i = hx, ϕ−1 (y)i. Notar que ϕ−1 (y) ∈ F pues ϕ(F ) ⊆ F . En efecto: ϕ : F → F implica que ϕ−1 : F → F . Luego, hϕ(x), yi = 0, por lo tanto, ϕ(x) ∈ F ⊥ . En particular, concluimos que, si F := (E1 ⊕E2 )⊥ , entonces F ⊥ = E1 ⊕E2 es estable bajo ϕ (por lo visto antes), luego: ϕ(F ) ⊆ F

( pues F ⊥⊥ = F ).

En lo que sigue, denotaremos F := (E1 ⊕ E2 )⊥ . Proposici´ on 75 La dimensión de F es par. Demostraci´ on. Supongamos que dim F es impar. Notemos que ϕ : F −→ F sigue siendo una rotación (por la Proposición 76). Consideremosla como una matriz. Entonces cuando calculamos los valores propios de ϕ debemos calcular las ra´ıces del polinomio p(λ) = det(ϕ − λI) = 0. Ahora, si el espacio vectorial es sobre R, entonces en dimensión impar hay que ver si un polinomio de grado impar tiene o no ra´ıces en R. Pero sabemos que tal polinomio tiene al menos una ra´ız, digamos λ0 y λ0 = ±1 pues ϕ es rotación. Sea e0 ∈ F el vector propio asociado, esto es : ϕ(e0 ) = λ0 e0

,

e0 6= 0.

(2.11)

Notar que e0 ∈ F = (E1 ⊕ E2 )⊥ . Pero, por (2.11), e0 ∈ E1 ó e0 ∈ E2 ; lo que es una contradicción. Por lo tanto, la dimensión de F es par. En particular, note que ϕ no tiene vectores propios en F .

2.3. ISOMETRÍAS

79

Consideremos ahora la transformación : ψ = ϕ + ϕ∗ = ϕ + ϕ−1 : F −→ F. Notar que ψ es autoadjunta : ψ ∗ = ϕ∗ + ϕ∗ ∗ = ϕ∗ + ϕ = ψ. Luego, existe un vector propio para ψ. Sea λ el correspondiente valor propio, entonces ψ(e) = λe, e ∈ F, e 6= 0, esto es : ϕ(e) + ϕ−1 (e) = λe

, e ∈ F.

Luego, multiplicando por ϕ, se tiene ϕ2 (e) = −e + λϕ(e)

, e ∈ F.

(2.12)

Ya que ϕ no tiene vectores propios en F , entonces {e, ϕ(e)} es L.I. En efecto : Si fueran L.D. entonces e = αϕ(e) esto implica que ϕ2 (e) = −αϕ(e)+λϕ(e) = (λ − α)ϕ(e). Luego, ϕ(ϕ(e)) = (λ − α)ϕ(e). Por lo tanto, ϕ(e) es vector propio de ϕ en F . Sea F1 := subespacio generado por {e, ϕ(e)} =: h{e, ϕ(e)}i. Claramente, dim F1 = 2. Proposici´ on 76 ϕ(F1 ) ⊆ F1 . Demostraci´ on. Sea x ∈ F1 entonces x = αe + βϕ(e). De esta manera, ϕ(x) = αϕ(e) + βϕ2 (e) = αϕ(e) + β[−e + λϕ(e)]

por (2.12)

= αϕ(e) + (−βe) + βλϕ(e) = (α + βλ)ϕ(e) − βe ∈ h{e, ϕ(e)}i = F1 . Luego, se puede definir ϕ : F1 −→ F1 . Claramente ϕ es otra vez una isometr´ıa. As´ı, ϕ(F1⊥ ) ⊆ F1⊥ y se puede repetir la construcción para F1⊥ .


80

Continuando de esta manera, se puede finalmente obtener una descomposición ortogonal de F en subespacios estables mutuamente ortogonales, esto es: F = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fr

X

y

dim Fj = dim F = par .

Luego, (F = (E1 ⊕ E2 )⊥ )

E = E1 ⊕ E2 ⊕ F

= E1 ⊕ E2 ⊕ F1 · · · ⊕ Fr . Claramente dim Fi = 2 ∀ i = 1, . . . , r y E1 = E11 ⊕ E21 ⊕ · · · Ep1 ; dim Ei1 = 1 , i = 1, . . . , p , E2 = E12 ⊕ E22 ⊕ · · · ⊕ Eq2 ; dim Ej2 = 1 , j = 1, . . . , q. Esto prueba el teorema. Observaci´ on : La matriz de rotación tiene la forma canónica (en general)

                



ε1 ..

. εp

0 cos θ1 sin θ1 − sin θ1 cos θ1

0

..

. cos θn sin θn

         ; con εi = ±1.       

− sin θn cos θn

2.3.3

Transformaciones antisim´ etricas

on lineal ψ : E −→ E se llama antiDefinici´ on 77 Una transformaci´ simétrica si ψ ∗ = −ψ.

2.3. ISOMETRÍAS

81

Proposici´ on 78 ψ es antisimétrica si y sólo si hψ(x), yi + hx, ψ(y)i = 0 para todo x, y ∈ E. Demostraci´ on. =⇒)hψ(x), yi+hx, ψ(y)i = hx, ψ ∗ (y)i+hx, ψ(y)i = hx, −ψ(y)i+hx, ψ(y)i = 0. ⇐=)h(ψ ∗ + ψ)(x), yi = hψ ∗ (x), yi + hψ(x), yi = hx, ψ(y)i + hψ(x), yi = 0 para todo y. Esto implica que (ψ ∗ + ψ)(x) = 0 para todo x. Por lo tanto, ψ ∗ = −ψ.

Proposici´ on 79 ψ es antisimétrica si y sólo si hx, ψ(x)i = 0 para todo x. Demostraci´ on. =⇒) Tomar x = y en la proposición anterior. De esta manera, se obtiene hψ(x), xi + hx, ψ(x)i = 0; esto es, hx, ψ(x)i = 0. ⇐=) Reemplazando x por x + y, obtenemos hx + y, ψ(x + y)i = 0 esto es: hx, ψ(x)i +hx, ψ(y)i + hy, ψ(x)i + hy, ψ(y)i = 0, | {z } | {z } =0

=0

luego hx, ψ(y)i + hy, ψ(x)i = 0. Por lo tanto, ψ es antisimétrica por proposición anterior.

La siguiente proposición nos dice acerca de los valores propios de una transformación lineal antisimétrica. Proposici´ on 80 Si ψ es antisimétrica y λ es valor propio de ψ entonces λ = 0.


82

Demostraci´ on. Sea λ valor propio de ψ. Sea e 6= 0 tal que ψ(e) = λe, entonces 0 = he, ψ(e)i = he, λei = λhe, ei. Por lo tanto, λ = 0. En la siguiente proposición dim E < ∞. Proposici´ on 81 Si ψ es antisimétrica entonces det ψ = (−1)n det ψ. Demostraci´ on. Como ψ ∗ = −ψ entonces det ψ ∗ = (−1)n det ψ. Luego det ψ = (−1)n det ψ.

Corolario 82 Si ψ es antisimétrica y dim E es impar, entonces det ψ = 0. Proposici´ on 83 Si ψ es antisimétrica entonces ψ es normal. Demostraci´ on. ψ ∗ ψ = −ψψ = ψ(−ψ) = ψψ ∗ .

2.3.4

Forma matricial (o can´ onica) de una transformaci´ on antisim´ etrica

Sea ϕ := ψ 2 , donde ψ es una transformación antisimétrica. Entonces ϕ∗ = (ψ 2 )∗ = ψ ∗ ψ ∗ = −ψ(−ψ) = ψ 2 = ϕ; esto es, ϕ es autoadjunta. Luego, existe una base ortonormal {en } de E que consiste de vectores propios, digamos {λn }, de ϕ. As´ı: ϕ(en ) = λn en .

2.3. ISOMETRÍAS

83

Más precisamente, ϕ tiene forma matricial diagonal:       

 λ1

0 λ2 ..

.

0

   .  

λn

Veamos ahora que en este caso especial (ϕ := ψ 2 con ψ antisimétrica), se tiene: λi ≤ 0 ∀ i. En efecto: λi = hei , λi ei i = hei , ϕ(ei )i = hei , ψ 2 (ei )i = hψ ∗ (ei ), ψ(ei )i = h−ψ(ei ), ψ(ei )i = −hψ(ei ), ψ(ei )i ≤ 0. Reordenemos ahora los vectores {ei } con i = 1, 2, . . . , n, de manera tal que: λi < 0 (i = 1, 2, . . . , p) y λi = 0 (i = p + 1, . . . , n). Observaci´ on: p debe ser par. (Ejercicio). Definamos una nueva base {an } en E como sigue: a1 = e1 , a2 = √ a4 = √

1 ψ(e1 ) , a3 = e2 , −λ1

1 ψ(e2 ) , . . . , ap+1 = ep+1 , ap+2 = ep+2 , . . . −λ2


84

Entonces {ai } es una base ortonormal (Ejercicio), además p ψ(a1 ) = ψ(e1 ) = −λ1 a2 p p 1 1 λ1 ψ(a2 ) = √ ψ 2 (e1 ) = √ ϕ(e1 ) = √ e1 = − −λ1 e1 = − −λ1 a1 −λ1 −λ1 −λ1 p ψ(a3 ) = ψ(e2 ) = −λ2 a4 p p 1 λ2 1 ψ 2 (e2 ) = √ ϕ(e2 ) = √ e2 = − −λ2 e2 = − −λ2 a3 ψ(a4 ) = √ −λ2 −λ2 −λ2 .. . Por lo tanto, la matriz toma la forma:  0

 √  −λ1    0   0   ..  .  0 o, si definimos Kj := 

0

  K1    0   0            

p



√ − −λ1

0

0

0

0

0 √ − −λ2

0

√

0 .. . 0

0

···

−λ2

0

0

0

..

0

0

0

0

.

          

0

−λj :

−K1

0

0

0

0

0

0

0

−K2

0

K2

0



..

         .         

. 0

−Kp

Kp

0 ..

. 0

2.3. ISOMETRÍAS

85

Ejercicios 1. Sea ψ una transformación antisimétrica. Sea ϕ = (ψ + I) ◦ (ψ − I)−1 . (a) Demuestre que ϕ es una rotación. (b) Demuestre que -1 no es un valor propio de ϕ. 2. Suponga que ϕ es una rotación y que -1 no es valor propio de ϕ. Demuestre que ψ = (ϕ − I) ◦ (ϕ + I)−1 es antisimétrica. 3. Sea ϕ : R2 −→ R2 una transformación normal. Muestre que existe λ > 0 y ψ rotación tal que ϕ = λψ. 4. Sea ϕ una rotación. Demuestre que existe una familia continua ϕt (0 ≤ t ≤ 1) de rotaciones tales que ϕ0 = I y ϕ1 = ϕ. 5. Sea p(λ) el polinomio caracter´ıstico de una rotación propia. Demuestre que p(λ) = (−λ)n p(λ−1 )

; λ ∈ R.

6. Sea ϕ : R2 −→ R2 antisimétrica. Muestre que hϕ(x), ϕ(y)i = det ϕ · hx, yi. 7. Sea ϕ : E −→ E una transformación lineal. Demuestre que ϕ = ψ1 + iψ2 donde ψ1 y ψ2 son autoadjuntas.


86

8. Sea ϕ : E −→ E una transformación lineal que satisface ϕ∗ = λϕ, λ ∈ R. Demuestre que ϕ es autoadjunta o antisimétrica.

2.3.5

Funciones bilineales sim´ etricas

Definici´ on 84 Sea E e.v. sobre R y φ : E × E −→ R una función bilineal. φ se dice simétrica si φ(x, y) = φ(y, x)

∀ x, y ∈ E.

Proposici´ on 85 Sea φ bilineal simétrica. Se define la función ψ : E −→ R (no lineal) por : ψ(x) = φ(x, x). Entonces ψ satisface la identidad del paralelogramo : ψ(x + y) + ψ(x − y) = 2(ψ(x) + ψ(y)). Demostraci´ on. ψ(x + y) = φ(x + y, x + y) = φ(x, x) + φ(x, y) + φ(y, x) + φ(y, y) = φ(x, x) + 2φ(x, y) + φ(y, y)

pues φ es simétrica

= ψ(x) + 2φ(x, y) + ψ(y) ψ(x − y) = φ(x − y, x − y) = φ(x, x) − φ(y, x) − φ(x, y) + φ(y, y) = φ(x, x) − 2φ(x, y) + φ(y, y) = ψ(x) − 2φ(x, y) + ψ(y). Sumando obtenemos : ψ(x + y) + ψ(x − y) = 2(ψ(x) + ψ(y)).

2.3. ISOMETRÍAS

87

Definici´ on 86 Una función ψ : E −→ R continua que satisface la identidad del paralel´ ogramo se llama una función cuadrática. Cada función bilineal simétrica da origen a una función cuadrática (tomando x = y). Veremos que, inversamente, cada función cuadrática puede ser obtenida de esta forma. Teorema 87 Sea ψ : E −→ R una función cuadrática. Entonces existe una función bilineal simétrica φ : E × E −→ R tal que ψ(x) = φ(x, x). Demostraci´ on. Sea 1 φ(x, y) := {ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)}. 2

(2.13)

Probaremos que φ es bilineal y simétrica. Luego a fin de ver que ψ(x) = φ(x, x), definimos ψ1 (x) := φ(x, x) y se tiene: ψ1 (x + y) = φ(x + y, x + y) = φ(x, x) + 2φ(x, y) + φ(y, y) = ψ1 (x) + 2φ(x, y) + ψ1 (y). Luego, φ(x, y) = 12 {ψ1 (x + y) − ψ1 (x) − ψ1 (y)}. De esta manera, por (2.13) ψ1 (x + y) − ψ1 (x) − ψ1 (y) = ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y) ∀ x , ∀ y. Además, con x = −y tenemos ψ1 (0) − ψ1 (x) − ψ1 (−x) = ψ(0) − ψ(x) − ψ(−x)

(∗)

pero ψ(0) = 0 y ψ1 (0) = 0 ya que ψ y ψ1 satisfacen la identidad del paralelógramo . En efecto, ψ(x + y) + ψ(x − y) = 2(ψ(x) + ψ(y))


88

Sea x = y = 0 entonces 2ψ(0) = 2(2ψ(0)) = 4ψ(0) luego, 2ψ(0) = 0. Por lo tanto, ψ(0) = 0. Luego, ya que ψ(x + y) + ψ(x − y) = 2(ψ(x) + ψ(y)) con x = 0 se tiene ψ(y) + ψ(−y) = 2(ψ(0) + ψ(y)) ψ(y) + ψ(−y) = 2ψ(y) ψ(−y) = ψ(y). As´ı concluimos de (*) que 2ψ1 (x) = 2ψ(x), esto es, ψ1 (x) = ψ(x). Esto prueba que : φ(x, x) = ψ(x). Resta ver que φ es bilineal y simétrica. (a) Simetr´ıa. 1 1 φ(y, x) = {ψ(y + x) − ψ(y) − ψ(x)} = {ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)} = φ(x, y). 2 2 (b) φ(x1 + x2 , y) = φ(x1 , y) + φ(x2 , y). En efecto, de (2.13) : 2φ(x1 + x2 , y) = ψ(x1 + x2 + y) − ψ(x1 + x2 ) − ψ(y) 2φ(x1 , y) = ψ(x1 + y) − ψ(x1 ) − ψ(y) 2φ(x2 , y) = ψ(x2 + y) − ψ(x2 ) − ψ(y). Luego, 2{φ(x1 + x2 , y) − φ(x1 , y) − φ(x2 , y)} (∗)

= {ψ(x1 + x2 + y) + ψ(y)} − {ψ(x1 + y) + ψ(x2 + y)}

− {ψ(x1 + x2 ) − ψ(x1 ) − ψ(x2 )}

2.3. ISOMETRÍAS

89

Como φ satisface la identidad del paralelogramo, por hipótesis, se tiene: 1 ψ(x1 +x2 +y)+ψ(y) = {ψ(x1 +x2 +2y)+ψ(x1 +x2 )} ( con x = x1 +x2 +y , y = y) 2 (2.14) y 1 ψ(x1 +y)+ψ(x2 +y) = {ψ(x1 +x2 +2y)+ψ(x1 −x2 )} ( con x = x1 +y , y = x2 +y). 2 (2.15) Restando (2.14) y (2.15) se obtiene; usando otra vez identidad del paralelógramo: {ψ(x1 + x2 + y) + ψ(y)} − {ψ(x1 + y) + ψ(x2 + y)} 1 {ψ(x1 + x2 ) − ψ(x1 − x2 )} = 2 1 = {ψ(x1 + x2 ) − [2(ψ(x1 ) + ψ(x2 )) − ψ(x1 + x2 )]} 2 1 = {2ψ(x1 + x2 ) − 2ψ(x1 ) − 2ψ(x2 )} 2 = ψ(x1 + x2 ) − ψ(x1 ) − ψ(x2 ). esto es, {ψ(x1 +x2 +y)+ψ(y)}−{ψ(x1 +y)+ψ(x2 +y)} = ψ(x1 +x2 )−ψ(x1 )−ψ(x2 ). (2.16) Si ponemos (2.16) en (*) obtenemos : φ(x1 + x2 , y) − φ(x1 , y) − φ(x2 , y) = 0 lo cual verifica (b). (c) φ(λx, y) = λφ(x, y); λ ∈ R. En efecto : Colocando en (b) x1 = x y x2 = −x se obtiene: φ(0, y) = φ(x, y) + φ(−x, y) pero, φ(0, y) = 12 {ψ(y) − ψ(0) − ψ(y)} = 12 {ψ(0)} = 0 (pues ψ cuadrática implica ψ(0) = 0). Luego, φ(−x, y) = −φ(x, y).

(2.17)


90 Concluimos que:

φ(−kx, y) = −kφ(x, y)

∀ k ∈ Z+ .

(2.18)

En efecto : de (2.17) y (b) : φ(−2x, y) = φ(−x−x, y) = φ(−x, y)+φ(−x, y) = −φ(x, y)−φ(x, y) = −2φ(x, y). Por inducción se obtiene (2.18) (Ejercicio). Análogamente concluimos que φ(kx, y) = kφ(x, y)

∀ k ∈ Z.

(2.19)

Sea λ ∈ Q. Entonces λ = pq , p y q enteros. Entonces p p qφ( x, y) = φ(q · x, y) = φ(px, y) = pφ(x, y). q q Luego, p p φ( x, y) = φ(x, y). q q

(2.20)

Sea λ ∈ R. Entonces existe una sucesión λn en Q tal que λn → λ. Ahora notamos que como ψ es continua entonces φ es continua y, luego, como φ(λn x, y) = λn φ(x, y)

por (2.20)

se obtiene, haciendo n → ∞, que φ(λx, y) = λφ(x, y). Esto prueba el teorema.

Observaci´ on: De esta manera probamos que hay una correspondencia inyectiva entre funciones bilineales simétricas y funciones cuadráticas.

2.3. ISOMETRÍAS

2.3.6

91

El caso de dimensi´ on finita; forma diagonal de una funci´ on cuadr´ atica

Sea E e.v. de dimensión finita y φ : E × E −→ R una función bilineal simétrica. Sea {ei } una base de E. Entonces, dados x, y ∈ E: x=

X

xi ei

Luego: φ(x, y) =

,

y=

XX i

X

yj e j .

xi yj φ(ei , ej ).

j

Si ponemos x = y obtenemos la función cuadrática: ψ(x) =

XX i

xi xj φ(ei , ej )

j

lo cual se puede reescribir como:  ³ ψ(x) =

x1 · · ·

(2.21)

´  φ(e1 , e1 ) · · · .. xn  .  φ(en , e1 ) · · ·

  φ(e1 , en ) x1  .  ..   ..  . .   φ(en , en ) xn

Esta u ´ltima representación de ψ se llama forma cuadrática (en dimensión finita). Nótese que, como φ es simétrica, entonces la  φ(e1 , e1 ) · · · φ(e1 , en )  .. .. A= . .  φ(en , e1 ) · · · φ(en , en )

matriz    

es autoadjunta (pues φ(ei , ej ) = φ(ej , ei ) por definición de bilineal simétrica). Recordemos ahora que, para funciones bilineales simétricas, existe una base ortogonal {vn } de E tal que φ tiene forma diagonal, esto es: φ(ei , ej ) = λi δij


92   1 donde δij =  0

si i = j

. si i 6= j En consecuencia: Existe una base ortonormal {vn } de E donde   A= 

λ1

0 ...

0

  . 

λn

En tal caso, se escribe:  ³ ψ(x) =

x1 · · ·

´ xn  

λ1 0



 x1  .  ..   ..  .   λn xn 0

= λ1 x21 + λ2 x22 + · · · + λn x2x . esto es, el polinomio cuadrático que representa a ψ no tiene ”términos mixtos”. Además, cualquier forma cuadrática tiene una representación diagonal de esta forma. Ejemplo: Consideremos la siguiente forma cuadrática sobre R2 : ψ(x1 , x2 ) = 2x21 − 12x1 x2 + 5x22 . Entonces

³ ψ(x1 , x2 ) = Ã

donde A =

2

−6

−6

5

´ x1 x2

Ã

2

−6

−6

5

!Ã

x1

!

x2

! = (aij ).

Una forma de diagonalizar ψ, esto es, escribirlo como polinomio sin términos mixtos, es la siguiente:

2.3. ISOMETRÍAS

93

Caso 1. Si a11 6= 0 hacemos la sustitución: x1 = y1 −

1 (a12 y2 + · · · + a1n yn ) a11

x2 = y2 .. . xn = yn lo que lleva a la ecuación ψ(x1 , . . . , xn ) = a11 y12 + ψ1 (y2 , . . . , yn ) donde ψ1 es también un polinomio cuadrático. Caso 2. Si a11 = 0 pero, por ejemplo, a12 6= 0, hacemos la sustitución x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , x3 = y3 , . . . , xn = yn lo cual lleva a la ecuación ψ(x1 , . . . , xn ) =

X

bij yi yj

(∗)

donde (b11 , b22 ) 6= (0, 0) y se puede aplicar el caso 1. (Note que puede ser a´ un b11 = 0). Caso 3. Para realizar un cambio en el caso a11 = 0, pero aij 6= 0 con i 6= j, se hace xi = y i + y j xj = yi − yj xp = yp si p 6= i , p 6= j Esto lleva a una forma como (*) con (bii , bjj ) 6= (0, 0) ( o sea bii 6= 0 o bjj 6= 0).


94

Ã Usemos este método en el ejemplo anterior: All´ı

a11 a12

!

a21 a22

Ã =

2

−6

−6

5

luego hacemos la sustitución 1 x1 = y1 − ((−6)y2 ) = y1 + 3y2 2 x2 = y 2 , obtenemos ψ(x1 , x2 ) = 2(y1 + 3y2 )2 − 12(y1 + 3y2 )y2 + 5y22 = 2[y12 + 6y1 y2 + 9y22 ] − 12y1 y2 − 36y22 + 5y22 = 2y12 + 12y1 y2 + 18y22 − 12y1 y2 − 36y22 + 5y22 = 2y12 − 13y22 que es la forma diagonal pedida. Veamos otro ejemplo: Sea ψ(x1 , x2 , x3 ) = 2x21 − 8x1 x2 + x22 − 16x1 x3 + 14x2 x3 + 5x23 entonces la matriz simétrica perteneciente a la forma cuadrática    a11 a12 2 −4 −8     A= 7   =  a21 a22  −4 1 −8 7 5 a31 a32

anterior es:  a13  a23  . a33

La idea para obtener A es la siguiente: La matriz autoadjunta A = (aij ) que representa a ψ(x1 , x2 , x3 ) tiene las componentes aii de la diagonal iguales a los coeficientes de x2i y las componentes aij y aji iguales cada una a la mitad del coeficiente xi xj . Diagonalizemos ahora a ψ: Como a11 6= 0 hacemos la sustitución: 1 x1 = y1 − ((−4)y2 + (−8)y3 ) = y1 + 2y2 + 4y3 2 x2 = y 2 x3 = y 3 .

! ,

2.3. ISOMETRÍAS

95

Luego:

ψ(x1 , x2 , x3 ) = 2(y1 + 2y2 + 4y3 )2 − 8(y1 + 2y2 + 4y3 )y2 + y22 − 16(y1 + 2y2 + 4y3 )y3 + 14y2 y3 + 5y32 = (y1 + 2y2 + 4y3 )[2y1 + 4y2 + 8y3 − 8y2 − 16y3 ] + y22 + 14y2 y3 + 5y32 = (y1 + 2y2 + 4y3 )(2y1 − 4y2 − 8y3 ) + y22 + 14y2 y3 + 5y32 = 2y12 − 4y1 y2 − 8y1 y3 + 4y1 y2 − 8y22 − 16y2 y3 + 8y1 y3 − 16y2 y3 − 32y32 + y22 + 14y2 y3 + 5y32 = 2y12 − 7y22 − 18y2 y3 − 27y32

esto es: ψ(x1 , x2 , x3 ) = 2y11 − (7y22 + 18y2 y3 + 27y32 ) = 2y12 − ψ1 (y2 , y3 ) donde ψ1 (y2 , y3 ) = 7y22 + 18y2 y3 + 27y32 es un polinomio cuadrático donde volvemos a aplicar la sustitución. Aqu´ı

Ã A1 =

7

9

!

9 27

luego, sea

y1 = z1 1 9 y2 = z2 − (9z3 ) = z2 − z3 7 7 y3 = z3


96 entonces

9 9 ψ1 (y2 , y3 ) = 7(z2 − z3 )2 + 18(z2 − z3 )z3 + 27z32 7 7 9 = (z2 − z3 )[7z2 − 9z3 + 18z3 ] + 27z32 7 9 = (z2 − z3 )(7z2 + 9z3 ) + 27z32 7 1 = (7z2 − 9z3 )(7z2 + 9z3 ) + 27z32 7 1 = (49z22 − 81z32 ) + 27z32 7 81 81 = 7z22 + z32 + 27z32 = 7z22 + ( + 27)z32 . 7 7 Por lo tanto, ψ(x1 , x2 , x3 ) = 2z12 − 7z22 − ( 81 + 27)z32 es la forma diagonal 7 pedida. El siguiente resultado es fundamental para la próxima definición. Teorema 88 Sea φ una forma bilineal simétrica en E. Entonces existe una base de E en la cual φ se representa por una matriz diagonal. Adem´ as, cualquier otra matriz diagonal tiene el mismo n´ umero P de componentes positivas y el mismo n´ umero N de componentes negativas. Demostraci´ on. Sabemos, por teorema anterior, que existe una base {u1 , . . . , un } de E en la cual φ se representa por una matriz diagonal, por ejemplo, con P y N componentes positivas y negativas respectivamente. Supongamos ahora que {w1 , . . . , wn } es otra base de E en la cual φ se representa también por una matriz diagonal, por ejemplo, con P 0 y N 0 componentes positivas y negativas respectivamente. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que en cada matriz aparecen primero las componentes positivas. Como P + N = P 0 + N 0 (dim(ran φ)) es suficiente probar que P = P 0 . Sea U := subespacio generado por {u1 , . . . , up } y W := subespacio generado por {wP 0 +1 , . . . , wn }. Entonces : φ(v, v) > 0 para todo v ∈ U y φ(v, v) ≤ 0

2.3. ISOMETRÍAS

97

para todo v ∈ W , con v 6= 0. Note que : U ∩ W = {0} y observemos que dim U = P y dim W = n − P 0 . Luego, dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W )

(Teorema de dimensión)

= P + (n − P 0 ) − 0 = P − P 0 + n. Pero : dim(U + W ) ≤ dim E = n; luego P − P 0 + n ≤ n ó P ≤ P 0 . Similarmente, P 0 ≤ P (intercambiando el rol de P por P 0 en el argumento anterior). Luego, P = P 0 .

Corolario 89 Cualquier forma cuadrática (real) ψ tiene una representaci´ on u ńica en la forma ψ(x1 , . . . , xn ) = x21 + · · · + x2s − x2s+1 − · · · − x2r . Observaci´ on: El resultado anterior a veces se enuncia como la Ley de Inercia o el teorema de Sylvester. Definici´ on 90 La signatura de una forma cuadrática es el n´ umero de componentes positivas menos el n´ umero de componentes negativas. Definici´ on 91 Una forma bilineal simétrica φ se llama semidefinida no negativa si ψ(x) = φ(x, x) ≥ 0 ∀ x ∈ E y se dice que es definida positiva si ψ(x) = φ(x, x) > 0

∀ x ∈ E, x 6= 0.


98 Ejemplos

1) La forma bilineal ψ(x1 , x2 ) = 2x21 − 12x1 x2 + 5x22 se escribe en forma diagonal como ψ(x1 , x2 ) = 2y12 − 13y22 ; luego P = 1 y N = 1. Por lo tanto, S = 0. 2) La forma bilineal ψ(x1 , x2 , x3 ) = 2x21 − 8x1 x2 + x22 − 16x1 x3 + 14x2 x3 + 5x23 se escribe en forma diagonal como ψ(x1 , x2 , x3 ) = 2z12 − 7z22 − (

81 + 27)z32 7

luego P = 1 y N = 2. As´ı, S = −1. 3) Hallar una transformación de coordenadas que diagonalice la forma cuadrática ψ(x1 , x2 ) = 2x21 − 4x1 x2 + 5x22 . Ã La matriz simétrica que representa a ψ es A =

2

−2

−2

5

! .

Método 1. Hacemos la sustitución 1 x1 = y1 − (−2y2 ) = y1 + y2 2 x2 = y2 . Luego: ψ(x1 , x2 ) = 2(y1 + y2 )2 − 4(y1 + y2 )y2 + 5y22 = 2[y12 + 2y1 y2 + y22 ] − 4y1 y2 − 4y22 + 5y22 = 2y12 + 4y1 y2 + 2y22 − 4y1 y2 − y22 = 2y12 + y22 . As´ı, P = 2 y luego, S = 2.


99

Método 2. Buscamos los valores propios de la matriz A : Ã ! λ−2 2 p(λ) = det(λI − A) = det 2 λ−5 = (λ − 2)(λ − 5) − 4 = λ2 − 7λ + 6 = (λ − 6)(λ − 1). Los valores propios son λ = 6 y λ =Ã1. Como ! son diferentes, se tiene que 6 0 existe P invertible tal que P −1 AP = . Más precisamente: 0 1 ψ(z1 , z2 ) = 6z12 + z22 . De esta manera, S = 2. Nótese que el cambio de coordenadas con respecto al método 1 es diferente.

2.4

Ejercicios de Recapitulaci´ on

1. Sea E un espacio vectorial con producto interno h , i. Recuerde que L(E; E) = {f : E → E : f es lineal } y B(E × E) = {b : E × E → R : b es bilineal }. Sea ρ : L(E; E) → B(E × E) definida como ρ(φ)(x, y) = hφ(x), yi. a) Demuestre que ρ es lineal. b) Demuestre que ρ es inyectiva. c) Demuestre que ρ es sobreyectiva. 2. Sea φ : E → E una transformación lineal autoadjunta. Sean λ1 , λ2 valores propios de φ. Suponga que λ1 6= λ2 . Demuestre que E(λ1 )⊥E(λ2 ).


100

3. Sea π una proyección ortogonal definida en un espacio con producto interno (E, h , i). Demuestre que E = Kerπ ⊕ Imπ. 4. Sea ϕ : R3 → R3 una transformación lineal cuya representación matricial es R , con 

cos(135◦ )

sen(135◦ ) 0



cos(30◦ )

0 sen(30◦ )



   ◦ ◦   R= −sen(135 ) cos(135 ) 0 0 1 0    ◦ ◦ 0 0 1 −sen(30 ) 0 cos(30 ) Demuestre que ϕ es una rotación. Interprete esta rotación geométricamente. 5. Sea π : R2 → R2 definida por φ(x, y) = ( √12 x −

√1 y, √1 x 2 2

+

√1 y). 2

Demuestre que φ es una rotación. 6. Sean E un espacio vectorial de dimensión finita y ϕ : E → E una transformación lineal. (a) Demuestre que (Ker(ϕ∗ ))⊥ = Im(ϕ) . Concluya que M E = Im(ϕ) Ker(ϕ∗ ). (b) Si ϕ es normal entonces Ker(ϕ) = Ker(ϕ∗ ) . Concluya que M E = Im(ϕ) Ker(ϕ). (c) Si ϕ es normal y v es un vector tal que ϕ2 (v) = 0 entonces ϕ(v) = 0 . 7. Sea φ : E → E una transformación lineal definida en un espacio E con producto interno. (a) Suponga que φ es normal. Demuestre que φ − λI es también normal.


101

(b) Demuestre que (kerφ∗ ) = (Imφ)⊥ . (c) Demuestre que Imφ∗ ⊆ (kerφ)⊥ . 8. Sea φ : R2 → R2 una transformación normal. Demuestre que existe λ > 0 y una rotación ψ tal que φ = λψ . 9. Sea E = C con el producto interno hz, wi = Rez w¯ . Sea z ∈ C y Mz : C → C definido por Mz (w) = zw (a) Verifique que Mz es lineal. (b) Demuestre que (Mz )∗ = Mz¯ . (c) Para qué n´ umeros complejos z es Mz autoadjunto? (d) Para cuales z es Mz una rotación? (e) Para cuales z es Mz antisimétrica? 10. Sea T : C2 → C2 definida por T (e1 ) = (1+i, 2) , T (e2 ) = (i, i) , donde {e1 , e2 } es la base canónica de C2 . Hallar T ∗ . ¿ Es T normal ? ¿ Es T autoadjunta ? 11. Sea E espacio vectorial con producto interno, dim E = n. Sea ϕ : E −→ E. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) ϕ es autoadjunta y hϕ(x), xi ≥ 0 ∀ x ∈ E. (ii) ϕ = ψ 2 , para alg´ un ψ : E −→ E autoadjunto. 12. Sea T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x + 2y, 2x − y). Calcule kT k. 13. Sea T : E → E una transformación lineal, demuestre que T = R + iS donde S y R son autoadjuntas. 14. Sea E espacio vectorial de dimensión n sobre R. Demuestre que el polinomio caracter´ıstico, p(λ), de una transformación lineal antisimétrica


102

satisface la ecuación: p(−λ) = (−1)n p(λ). 15. Sea E espacio vectorial sobre C, con producto interno. Sea ϕ : E −→ E normal. (a) Sea x ∈ E. Demuestre que ϕ(x) = 0 si y sólo si ϕ∗ (x) = 0 . (b) Demuestre que ϕ − λI es normal (λ ∈ C). (c) Demuestre que cada vector propio de ϕ es un vector propio de ϕ∗ . 16. Suponga que E es un espacio vectorial con producto interno h, i . Demuestre que una transformación lineal T : E → E es normal si y sólo si kT (x)k = kT ∗ (x)k para cada x ∈ E . 17. Sea φ : E → E . Suponga que φ2 = φ . Demuestre que φ es autoadjunta si y sólo si φ es normal. 18. Sea T : C2 → C2 definida por T (e1 ) = (1, 2), T (e2 ) = (i, −1) , donde {e1 , e2 } es la base canónica de C2 . Hallar T ∗ (x, y) . 19. Sea T : C2 → C2 definida por T (e1 ) = (1 + i, 2), T (e2 ) = (i, i). Hallar T ∗ . ¿Es T normal ? 20. Sea E un espacio vectorial sobre C con producto interno. Sea φ : E → E una transformación lineal autoadjunta. (a) Demuestre que kx + iφ(x)k = kx − iφ(x)k para cada x ∈ E. (b) Demuestre que x + iφ(x) = y + iφ(y) si y sólo si x = y . (c) Demuestre que −1 no es valor propio de I + iφ . (d) Demuestre que −1 no es valor propio de I − iφ .


103

(e) Demuestre que ψ := (I − iφ)(I + iφ)−1 es una rotación. 21. Sea E un espacio vectorial con producto interno h , i . Sea T : E → E una transformación lineal. Entonces ρ(x, y) := hT (x), yi es también un producto interno en E . Sea U : E → E un operador lineal y U ∗ : E → E su adjunto con respecto a h , i. (a) Suponga que U es una rotación con respecto a ρ . Demuestre que T = U ∗ T U . (b) Suponga que T = U ∗ T U . Demuestre que U es una rotación con respecto a ρ . 22. Sea E = R4 y E1 = subespacio generado por {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}. Encuentre P : E → E proyección ortogonal tal que ImP = E1 . 23. Sea E espacio vectorial con producto interno. Sean P , Q : E → E proyecciones ortogonales. Demuestre que P ◦ Q = 0 si y sólo si ImP ⊥ImQ . 24. Sea E un espacio vectorial con producto interno. Sea π : E −→ E1 una proyección ortogonal y J ⊆ E un subespacio. (a) Suponga que J es estable bajo π (esto es, π(J) ⊆ J). Demuestre que J = J ∩ E1 ⊕ J ∩ E1⊥ . (b) Suponga que J = J ∩ E1 ⊕ J ∩ E1⊥ . Demuestre que J es estable bajo π . 25. Si π : E → Imπ es una proyección, demuestre que I − π es una proyección sobre (Imπ)⊥ .


104

26. Sea Q : R2 → R2 definida por Q(x, y) = (ax + by, cx + dy). Suponga que Q es una rotación. Demuestre que b = ±c . 27. Sea T : C2 → C2 definida por T (z, w) = (z + iw, z − iw). (a) Hallar T ∗ . (b) Demuestre que T ∗ T = T T ∗ = 2I. (c) Encuentre explicitamente T1 y T2 operadores autoadjuntos tales que T = T1 + iT2 . (d) Demuestre que, en general, un operador lineal T es normal si y sólo si T1 T2 = T2 T1 . 28. Una forma bilineal φ : E × E −→ R se dice antisimétrica si φ(x, y) = −φ(y, x) ∀ x, y ∈ E. Demuestre que φ es antisimétrica si y sólo si φ(x, x) = 0 ∀ x ∈ E . 29. Mostrar que cualquier forma bilineal φ : E × E −→ R es la suma de una forma bilineal simétrica y una forma bilineal antisimétrica. 30. Hallar la matriz autoadjunta y la signatura que corresponden a la forma cuadrática: ψ(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 . 31. Sea a ∈ R y sea b : R2 → R2 la función bilineal simétrica definida como b((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = x1 x2 + ay1 x2 + y1 y2 . Demuestre que b es definida positiva si |a| < 2 . 32. Demuestre que una función bilineal simétrica b : E ×E → R es definida positiva si y sólo si el operador lineal autoadjunto T asociado a b tiene sólo valores propios positivos.


105

33. Sea b(x, y) = 5x2 + 6xy + 4y 2 . Encuentre T ∈ L(R2 ; R2 ) tal que ρ(T ) = b, donde ρ es el isomorfismo entre L(R2 ; R2 ) y B(R2 × R2 ) . 34. Encuentre la signatura de la forma cuadrática definida por T (x, y) = 2x2 − 12xy + 5y 2 . 35. Hallar la matriz simétrica que corresponde a cada una de las siguientes formas cuadráticas. (a) ψ(x, y) = 4x2 − 6xy − 7y 2 . (b) ψ(x, y) = xy + y 2 . (c) ψ(x, y, z) = 3x2 + 4xy − y 2 + 8xz − 6yz + z 2 . (d) ψ(x, y, z) = x2 − 2yz + xz. 36. Hallar la signatura de la función bilineal simétrica asociada a la forma cuadrática definida por medio de la matriz   0 1 1   . A= 1 −2 2   1 2 −1 Idea: Aplicar el cambio de variables x1 = y 1 + y 3 x2 = y 2 x3 = y1 − y3 . 37. Sea φ la forma bilineal simétrica asociada con la forma cuadrática ψ(x1 , x2 ) = ax21 + bx1 x2 + cx22 . Demuestre que φ es definida positiva si y sólo si a > 0 y b2 − 4ac < 0 . 38. Hallar la matriz simétrica y la signatura perteneciente a la forma cuadrática ψ(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 .

Cap´ıtulo 3 Producto tensorial 3.1

Transformaciones multilineales

Definici´ on 92 Sean E, F y G tres espacios vectoriales. Una transformación ϕ : E × F −→ G se llama bilineal si satisface las siguientes condiciones: ϕ(λx1 + x2 , y) = λϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y)

; x1 , x2 ∈ E, y ∈ F ; λ ∈ R ´ oC

ϕ(x, λy1 + y2 ) = λϕ(x, y1 ) + ϕ(x, y2 )

; y1 , y2 ∈ F, x ∈ E; λ ∈ R ´ o C.

Observaci´ on: Si G = R ó C, ϕ se llama una función bilineal. Sea ϕ(E × F ) := {z ∈ G / z = ϕ(x, y) ; x ∈ E , y ∈ F }. Entonces ϕ(E × F ) no es necesariamente un subespacio de G. Por lo tanto denotamos: im ϕ = hϕ(E × F )i ≡ subespacio generado por ϕ(E × F ). Además, denotamos B(E, F ; G) := {ϕ : E × F −→ G / ϕ es transformación bilineal }. Si definimos (ϕ1 + ϕ2 )(x, y) = ϕ1 (x, y) + ϕ2 (x, y) 106

; x ∈ E, y ∈ F

3.1. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES (λϕ)(x, y) = λϕ(x, y)

107

; x ∈ E, y ∈ F, λ ∈ R ó C.

Entonces B(E, F ; G) es un espacio vectorial. Observaci´ on: Si G = R ó C, B(E, F ; G) ≡ B(E × F ) es el espacio de todas las funciones bilineales de E × F en R ó C. Definici´ on 93 Sean E, F y G espacios vectoriales y sea ϕ : E × F −→ G una transformaci´ on bilineal. El par (G, ϕ) se llama un producto tensorial para E y F si se satisfacen las condiciones siguientes: ⊗1 : im ϕ = G. ⊗2 : Si ψ : E ×F −→ H es una transformaci´ on bilineal de E ×F en cualquier espacio vectorial H, entonces existe una transformaci´ on lineal f : G −→ H tal que ψ = f ◦ ϕ (Propiedad de factorización). Observaci´ on: En forma de diagrama, ⊗2 dice que el diagrama: ψ

E × F −→ H ϕ

↓ G

puede siempre completarse a un diagrama conmutativo: ψ

E × F −→ H ϕ

↓

%f

.

G Proposici´ on 94 Las condiciones ⊗1 y ⊗2 son equivalentes a la condici´ on : ⊗: Si ψ : E × F −→ H es una transformaci´ on bilineal en cualquier espacio vectorial H, entonces existe una u ńica transformaci´ on lineal f : G −→ H tal que ψ = f ◦ ϕ (propiedad de factorización u ńica).

CAPÍTULO 3. PRODUCTO TENSORIAL

108 Demostraci´ on.

(i) Sea ψ : E × F −→ H y supongamos que existen dos transformaciones lineales f1 : G −→ H y f2 : G −→ H tales que ψ = f1 ◦ ϕ

y

ψ = f2 ◦ ϕ.

Entonces (f1 − f2 ) ◦ ϕ = 0. Lo cual implica que f1 = f2 . En efecto: Sea x ∈ G. Por ⊗1 , x ∈ hϕ(E × F )i, P esto es, x = λi ϕ(xi , yi ); donde xi ∈ E, yi ∈ F . Luego: X λi (f1 ◦ ϕ)(xi , yi ) − λi (f2 ◦ ϕ)(xi , yi ) X X = λi ψ(xi , yi ) − λi ψ(xi , yi )

(f1 − f2 )(x) =

X

= 0. (ii) Supongamos que el par (G, ϕ) satisface ⊗. Entonces ⊗2 se cumple. Debemos probar ⊗1 . En efecto: se define la aplicación bilineal ϕ∗ : E ×F −→ im ϕ por ϕ∗ (x, y) = ϕ(x, y) (esto es, tomamos H = im ϕ) ϕ∗

E × F −→ im ϕ ϕ

.

↓ G

%f

Por hipótesis existe f : G −→ im ϕ tal que f ◦ ϕ = ϕ∗ . Sea j : im ϕ −→ G la inclusión canónica (i.e. j(x) = x ∀ x, pues im ϕ es un subespacio de G). Entonces j ◦ ϕ∗ = ϕ. Además, (j ◦ f ) ◦ ϕ = j ◦ (f ◦ ϕ) = j ◦ ϕ∗ = ϕ.

3.1. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES

109

Pero, por otra parte, i ◦ ϕ = ϕ, donde i : G −→ G es la identidad (i.e. i(x) = x ∀ x). Luego, por unicidad, se debe tener: j ◦ f = i. Esto implica que j : im ϕ −→ G es sobreyectiva (En efecto: Si z ∈ G entonces existe f (z) en im ϕ tal que j(f (z)) = i(z) = z). Por lo tanto, im ϕ = G.

Notaci´ on: Si el par (G, ϕ) es un producto tensorial para E y F , escribimos G como E ⊗ F y ϕ(x, y) como x ⊗ y. Luego, la bilinealidad se expresa en la siguiente forma: (λx1 + x2 ) ⊗ y = λx1 ⊗ y + x2 ⊗ y x ⊗ (λy1 + y2 ) = λx ⊗ y1 + x ⊗ y2

; x1 , x2 ∈ E, y ∈ F

; x ∈ E, y1 , y2 ∈ F, λ ∈ R ó C.

Ejemplos 1) Sea E u e.v. sobre R y se define una transformación bilineal ⊗ : R×E −→ E como λ ⊗ x = λx. Entonces el par (E, ⊗) es un producto tensorial de R y E. En efecto: Veamos ⊗1 : ⊗(R ⊗ E) = R · E = E, luego, es claro que im ⊗ = E. Veamos ⊗2 : Sea ψ : R × E −→ H bilineal y definamos f : E −→ H como f (x) := ψ(1, x) y tal que ψ

R × E −→ H ⊗

.

↓

E

%f

Entonces f (λ ⊗ x) = f (λx) = ψ(1, λx) = λψ(1, x) = ψ(λ, x); esto es, f ◦ ⊗ = ψ. Esto prueba ⊗2 .


110

Concluimos que el par (E, ⊗) es un producto tensorial de R y E. Esto es: R ⊗ E = E. En particular Γ ⊗ Γ = Γ con λ ⊗ µ = µ. 2) Sea β : Rn × Rm −→ Mn×m (R) definida por 

x1 y 1 · · ·  . . β((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , ym )) =   . xn y 1 · · ·

 x1 ym ..  .   xn y m

. n×m

Probaremos que (Mn×m (R), β) es un producto tensorial para Rn y Rm (luego, Rn ⊗ Rm = Mn×m (R)). m En efecto: Veamos ⊗1 : hβ(Rn × R )i = Mn×m (R). Sea A ∈ Mn×m (R) tal α α12 · · · α1m  11   α21 α22 · · · α2m    que A =  .  entonces . . .. ..   ..   αn1 αn2 · · · αnm

β((α11 , α21 , . . . , αn1 ), (1, 0, 0, . . .)) + β((α12 , α22 , . . . , αn2 ), (0, 1, 0, . . .)) + · · · + β((α1m , α2m , . . . , αnm ), (0, 0, . . . , 1))    α11 0 · · · 0 0 α12 0 · · ·     α21 0 · · · 0   0 α22 0 · · ·    =  . + .. ..  .. ..  ..   ... . . . .    αn1 0 · · · 0 0 αn2 0 · · ·   α11 · · · α1m  . ..  . =  .   .  αn1 · · · αnm





       + ··· +     

 0 ···

0 α1m

0 ··· .. .

0 α2m .. .. . .

0 ···

0 αnm

o sea: Dado A ∈ Mn×m (R), existen xi ∈ Rn , yi ∈ Rm tales que A=

X

β(xi , yi ).

     


111

Por lo tanto A ∈ hβ(Rn × Rm )i. Veamos ahora ⊗2 : Sea ψ : Rn × Rm −→ H bilineal. Rn × Rm β

↓

ψ

−→ H %f

.

Mn×m (R) Por ejemplo: con n = m = 2, definamos: Ã f

a b c d

! = ψ((1, 0), (a, b)) + ψ((0, 1), (c, d)).

Entonces f lineal: Ã Ã f

λ

a1 b1

!

Ã +

c1 d 1

a 2 b2

!!

Ã =f

c2 d2

λa1 + a2 λb1 + b2

!

λc1 + c2 λd1 + d2

= ψ((1, 0), (λa1 + a2 , λb1 + b2 )) + ψ((0, 1), (λc1 + c2 , λd1 + d2 )) = ψ((1, 0), λ(a1 , b1 ) + (a2 , b2 )) + ψ((0, 1), λ(c1 , d1 ) + (c2 , d2 )) = λψ((1, 0), (a1 , b1 ))+ψ((1, 0), (a2 , b2 ))+λψ((0, 1), (c1 , d1 ))+ψ((0, 1), (c2 , d2 )) = λ[ψ((1, 0), (a1 , b1 ))+ψ((0, 1), (c1 , d1 ))]+[ψ((1, 0), (a2 , b2 ))+ψ((0, 1), (c2 , d2 ))] Ã = λf

a1 b1 c1 d1

Finalmente,

!

Ã +f

a2 b2 c2 d2

!


112 Ã (f ◦ β)((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = f

x1 y1 x1 y2

!

x2 y1 x2 y2

= ψ((1, 0), (x1 y1 , x1 y2 )) + ψ((0, 1), (x2 y1 , x2 y2 )) = ψ((1, 0), x1 (y1 , y2 )) + ψ((0, 1), x2 (y1 , y2 )) = x1 ψ((1, 0), (y1 , y2 )) + x2 ψ((0, 1), (y1 , y2 )) = ψ(x1 (1, 0), (y1 , y2 )) + ψ(x2 (0, 1), (y1 , y2 )) = ψ((x1 , 0), (y1 , y2 )) + ψ((0, x2 ), (y1 , y2 )) = ψ((x1 , 0) + (0, x2 ), (y1 , y2 )) = ψ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )). Luego, f ◦ β = ψ. La generalización se deja como ejercicio.

3.1.1

Propiedades del producto tensorial

1.- a ⊗ b 6= 0 si a 6= 0 y b 6= 0. Demostraci´ on. Si a 6= 0 y b 6= 0, existen f : E −→ R lineal y g : F −→ R lineal respectivamente tales que f (a) 6= 0 y g(b) 6= 0 (sino: f (a) = 0 ∀ f ∈ E ∗ entonces a = 0 pues la forma bilineal hf, ai es no degenerada). Consideremos ahora la función bilineal p : E ×F −→ R definida por p(x, y) = f (x)g(y). p

E × F −→ R ⊗↓ E⊗F

%h

.


113

En vista de ⊗2 , existe una función lineal h : E ⊗ F −→ R tal que h ◦ ⊗ = p esto es, h(x ⊗ y) = f (x)g(y)

para cada (x, y) ∈ E × F .

Luego: h(a ⊗ b) = f (a)g(b) 6= 0. Por lo tanto, a ⊗ b 6= 0. P 2.- Sea z ∈ E ⊗ F , z 6= 0; entonces z = ri=1 xi ⊗ yi donde {xi } y {yi } son L.I. P P Demostraci´ on. Sea z ∈ E ⊗ F entonces z = ri=1 λi wi ⊗ yi = ri=1 xi ⊗ yi donde xi ≡ λi wi ∀ i y r es el mínimo de manera que la descomposición anterior se cumple. Si r = 1 entonces x1 6= 0 y y1 6= 0 (por la Propiedad 1), en consecuencia {x1 } y {y1 } son dos conjuntos de vectores L.I. cada uno. Supongamos que {xi }ri=1 son L.D. entonces, sin pérdida de generalidad, xr =

r−1 X

λ i xi

i=1

luego, z = = = =

r−1 X i=1 r−1 X i=1 r−1 X i=1 r−1 X

xi ⊗ yi + xr ⊗ yr =

r−1 X

xi ⊗ y i + (

i=1

xi ⊗ yi +

r−1 X

r−1 X

λi xi ) ⊗ yr

i=1

λi (xi ⊗ yr )

i=1

xi ⊗ (yi + λi yr ) xi ⊗ yei

i=1

lo cual contradice la minimalidad de r. En la misma forma se puede mostrar que los vectores {yi }ri=1 son L.I. Esto prueba la propiedad. 3.- Sean {aj }rj=1 ⊆ E y {bj }rj=1 un subconjunto de vectores L.I. de F . EnP tonces la ecuación rj=1 aj ⊗ bj = 0 implica que aj = 0 ∀ j = 1, . . . , r.


114

Demostraci´ on. Ya que {bj } es un conjunto L.I. de vectores en F , se pueden definir g1 , . . . , gr : F −→ R funciones lineales tales que: gi (bj ) = δij P (e.g.: ge : h{b1 , . . . , br }i −→ R tal(que g1 (x) = g1 ( ri=1 λi bi ) = λ1 . Luego: ge1 (x) , x ∈ h{b1 , . . . , br }i Sea g1 : F −→ R tal que g1 (x) = 0 , otro caso entonces g1 (b1 ) = 1 y g1 (bj ) = 0 ∀ j = 2, . . . , r. ) Consideremos ahora la función bilineal F (x, y) =

X

fi (x)gi (y)

i

donde fi : E −→ R son funciones lineales (cualesquiera) en E. E × F −→ R ⊗↓

.

%h

E⊗F Por ⊗2 , existe h : E ⊗ F −→ R lineal tal que: h(x ⊗ y) = F (x, y) =

X

fi (x)gi (y)

i

luego, r X X h( aj ⊗ bj ) = h(aj ⊗ bj ) j=1

j

=

XX j

=

r X i=1

fi (aj )gi (bj )

i

fi (ai ).

3.1. TRANSFORMACIONES MULTILINEALES Ahora, por hipótesis:

Pr j=1

aj ⊗ bj = 0; por lo tanto,

115 Pr i=1

fi (ai ) = 0.

Como los fi son cualesquiera, elegimos fi ≡ 0 para cada i 6= k (por cada k = 1, . . . , r fijo), esto da: fk (ak ) = 0. Como fn sigue siendo arbitrario, se tiene que ak = 0 (k = 1, . . . , r). Corolario 95 Si E y F tienen dimensión 1, entonces E ⊗F tiene dimensión 1. Demostraci´ on. Ejercicio. 4.- E ⊗ F ∼ = F ⊗ E (conmutatividad del producto tensorial). Demostraci´ on.

ϕ2

E × F −→ F ⊗ E ϕ1

↓

%f

E⊗F esto es: ϕ1 (x, y) =: x ⊗ y y ϕ2 (x, y) =: y ⊗ x. Luego, debemos demostrar que ϕ1 = ϕ2 . Ya que ϕ2 es bilineal, existe f : E ⊗ F −→ F ⊗ E lineal tal que f ◦ ϕ1 = ϕ2 . Esto es: f (x ⊗ y) = y ⊗ x. De la misma forma

ϕ1

E × F −→ E ⊗ F ϕ2

↓

%g

F ⊗E existe g : F ⊗ E −→ E ⊗ F tal que g ◦ ϕ2 = ϕ1 ; esto es: g(y ⊗ x) = x ⊗ y.


116 Entonces:

g ◦ f ◦ ϕ1 = g ◦ ϕ2 = ϕ1

y

f ◦ g ◦ ϕ2 = f ◦ ϕ1 = ϕ2

g ◦ f ◦ ϕ1 = ϕ1

y

f ◦ g ◦ ϕ2 = ϕ2

y

(f ◦ g)(y ⊗ x) = (y ⊗ x).

esto es:

o equivalentemente: (g ◦ f )(x ⊗ y) |{z} = (x ⊗ y) (1)

Como im ϕ1 = E ⊗ F se tiene que g ◦ f = I. En efecto: Sea v ∈ E ⊗ F . P Entonces v = λi xi ⊗ yi , luego: X (g ◦ f )(v) = (g ◦ f )( λ i xi ⊗ y i ) X = λi (g ◦ f )(xi ⊗ yi ) X = λi (xi ⊗ yi ) de (1) = v. Análogamente: f ◦ g = I. Esto prueba que f (ó g) es 1-1 y sobreyectiva. Por lo tanto, E ⊗ F ∼ = F ⊗ E.

5.- Unicidad del producto tensorial. e son productos tensoriales de E y F . Entonces Supongamos que E ⊗F y E ⊗F E⊗F ∼ = F ⊗ E. Demostraci´ on.

ϕ2

e E × F −→ E ⊗F ϕ1

↓

E⊗F

%f


117

e luego, ϕ1 (x, y) = x ⊗ y y ϕ2 (x, y) = x⊗y. Ya que ϕ2 es bilineal, la propiedad de factorización implica que existe f : e lineal tal que: E ⊗ F −→ E ⊗F f ◦ ϕ1 = ϕ2 . Análogamente: ϕ1

E × F −→ E ⊗ F ↓ e E ⊗F

ϕ2

%g

e −→ E ⊗F tal que g ◦ϕ2 = ϕ1 . Combinando ambas relaciones existe g : E ⊗F se obtiene: (g ◦ f )(x ⊗ y) = x ⊗ y

y

e = x⊗y. e (f ◦ g)(x⊗y)

e se obtiene que f ◦ g = i Nuevamente, como im ϕ1 = E ⊗ F y im ϕ2 = E ⊗F y g ◦ f = i, de donde sigue el resultado. 6.- Asociatividad del producto tensorial: (E ⊗ F ) ⊗ G ∼ = E ⊗ (F ⊗ G). Demostraci´ on. Sea z ∈ G fijo. Definamos βz : E × F → E ⊗ (F ⊗ G) por βz (x, y) = x ⊗ (y ⊗ z). Es claro que βz es bilineal: En efecto, βz (λx1 + x2 , y) = (λx1 + x2 ) ⊗ (y ⊗ z) = λx1 ⊗ (y ⊗ z) + x2 ⊗ (y ⊗ z) = λβz (x1 , y) + βz (x2 , y) βz (x, λy1 + y2 ) = x ⊗ (λy1 + y2 ⊗ z) = x ⊗ [λy1 ⊗ z + y2 ⊗ z] = x ⊗ (λy1 ⊗ z) + x ⊗ (y2 ⊗ z) = λx ⊗ (y1 ⊗ z) + x ⊗ (y2 ⊗ z) = λβz (x, y1 ) + βz (x, y2 )


118

Por definición de producto tensorial, el siguiente diagrama es conmutativo: βz

E × F −→ E ⊗ (F ⊗ G) ⊗

↓

%hz

E⊗F esto es, existe una u ńica transformación lineal hz : E ⊗ F → E ⊗ (F ⊗ G) tal que hz ◦ ⊗ = βz , esto es: hz (x ⊗ y) = βz (x, y) = x ⊗ (y ⊗ z) ∀ x ∈ E, y ∈ F. Sea ψ : (E ⊗ F ) × G → E ⊗ (F ⊗ G) definida por: ψ(x ⊗ y, z) = hz (x ⊗ y). Entonces ψ es bilineal: En efecto, ψ(λ(x1 ⊗ y1 ) + (x2 ⊗ y2 ), z) = hz (λ(x1 ⊗ y1 ) + (x2 ⊗ y2 )) = λhz (x1 ⊗ y1 ) + hz (x2 ⊗ y2 ) = λψ(x1 ⊗ y1 , z) + ψ(x2 ⊗ y2 , z) Además, por unicidad, hλz1 +z2 = λhz1 + hz2 de donde sigue la linealidad en la segunda componente (Ejercicio). As´ı, el siguiente diagrama es conmutativo: ψ

(E ⊗ F ) × G −→ E ⊗ (F ⊗ G) ⊗

↓

%g

(E ⊗ F ) ⊗ G esto es, existe una u ńica transformación lineal g : (E ⊗F )⊗G → E ⊗(F ⊗G) tal que g ◦ ⊗ = ψ, esto es: g((x ⊗ y) ⊗ z) = ψ(x ⊗ y, z) = hz (x ⊗ y) = x ⊗ (y ⊗ z)

(3.1)


119

Sea ahora x ∈ E fijo. Definamos αx : F × G → (E ⊗ F ) ⊗ G por αx (y, z) = (x ⊗ y) ⊗ z. Claramente αx es bilineal. El siguiente diagrama es ahora conmutativo:

α

x F × G −→ (E ⊗ F ) ⊗ G

⊗

↓

%bhx

F ⊗G esto es, existe una transformación lineal b hx : F ⊗ G → (E ⊗ F ) ⊗ G tal que b hx ◦ ⊗ = αx esto es: b hx (y ⊗ z) = αx (y, z) = (x ⊗ y) ⊗ z. Sea ψb : E × (F ⊗ G) → (E ⊗ F ) ⊗ G definida por b y ⊗ z) = αx (y ⊗ z). ψ(x, Entonces ψb es bilineal y el siguiente diagrama es conmutativo: b ψ

E × (F ⊗ G) −→ (E ⊗ F ) ⊗ G ⊗

↓

% gb

E ⊗ (F ⊗ G) b esto es, existe una u ńica gb : E ⊗ (F ⊗ G) → (E ⊗ F ) ⊗ G tal que: gb ◦ ⊗ = ψ, esto es: b y ⊗ z) = (x ⊗ y) ⊗ z. gb(x ⊗ (y ⊗ z)) = ψ(x,

(3.2)

Luego, de (3.1) y (3.2) : (g ◦ gb)(x ⊗ (y ⊗ z)) = g((x ⊗ y) ⊗ z) = x ⊗ (y ⊗ z) y (b g ◦ g)((x ⊗ y) ⊗ z) = gb(x ⊗ (y ⊗ z)) = (x ⊗ y) ⊗ z. Por lo tanto, g ◦ gb = id y gb ◦ g = id, luego g es un isomorfismo y, por lo tanto, (E ⊗ F ) ⊗ G ∼ = E ⊗ (F ⊗ G).


120

Teorema 96 (Reducci´ on de transformaciones bilineales a lineales). Sean E y F e.v. y E ⊗ F un producto tensorial. Entonces L(E ⊗ F ; G) ∼ = B(E, F ; G) para cada espacio vectorial G. Demostraci´ on. Se define φ : L(E ⊗ F ; G) −→ B(E, F ; G) como: φ(f ) := f ◦ ⊗

∀ f ∈ L(E ⊗ F ; G)

i.e. φ(f ) : E × F −→ G tal que φ(f )(x, y) = f (x ⊗ y). Claramente φ es lineal: φ(λf1 + f2 )(x, y) = (λf1 + f2 )(x ⊗ y) = λf1 (x ⊗ y) + f2 (x ⊗ y) = λφ(f1 )(x, y) + φ(f2 )(x, y) = (λφ(f1 ) + φ(f2 ))(x, y). i) φ es sobreyectiva. Sea b ∈ B(E, F ; G), entonces b : E × F −→ G es bilineal. Luego, por ⊗2 , existe f : E ⊗ F −→ G tal que es lineal y f ◦ ⊗ = b, esto es, φ(f ) = b. ii) φ es inyectiva. Como φ es lineal basta ver que φ(f ) = 0 implica f = 0. En efecto: Sea φ(f ) = 0, entonces (f ◦ ⊗)(x, y) = 0 ∀ x ∈ E, y ∈ F , esto es: f (x ⊗ y) = P 0 ∀x ∈ E, y ∈ F . Sea z ∈ E ⊗ F . Entonces z = xi ⊗ yi . Luego: P f (z) = f (xi ⊗ yi ) = 0. Por lo tanto, f ≡ 0.


121

Ejercicios 1. Suponga que a ⊗ b 6= 0. Demuestre que a ⊗ b = a0 ⊗ b0 si y sólo si a0 = λa y b0 = λ−1 b; λ ∈ R, λ 6= 0. 2. Sea (G, ϕ) un producto tensorial de E y F . Sean E1 ≤ E, F1 ≤ F . Sea ϕ1 : E1 × F1 −→ G la restricción de ϕ a E1 × F1 . Entonces (im ϕ1 , ϕ1 ) es un producto tensorial para E1 y F1 . 3. Sean {ai } y {bi } bases de E y F respectivamente. Entonces {ai ⊗ bj } es una base de E ⊗ F . 4. Demuestre que dim B(E, F ; G) = dim E dim F dim G. 5. Sean E1 y E2 subespacios de E. Sea F e.v. de dimensión finita entonces (E1 ⊗ F ) ∩ (E2 ⊗ F ) = (E1 ∩ E2 ) ⊗ F. 6. Sea E = E1 ⊕ E2 y F = F1 ⊕ F2 . Entonces E ⊗ F = E1 ⊗ F1 ⊕ E1 ⊗ F2 ⊕ E2 ⊗ F1 ⊕ E2 ⊗ F2 .

3.1.2

Producto tensorial de transformaciones lineales

Sean E, E 0 , F , F 0 cuatro espacios vectoriales. Consideremos dos transformaciones lineales : ϕ : E → E0

;

ψ : F → F 0.

122


Queremos definir una transformación lineal ϕ ⊗ ψ : E ⊗ F → E0 ⊗ F 0 para esto procedemos como ilustra el siguiente diagrama: p

E × F −→ H ⊗

↓

%f

.

E⊗F Dados E y F , existe el producto tensorial E ⊗ F . Por definición, sabemos que dada cualquier función bilineal p : E × F → H, H cualquier espacio vectorial, existe una u ńica f : E ⊗ F → H tal que f ◦ ⊗ = p (propiedad de factorización u ńica). Escojamos p : E × F → E0 ⊗ F 0 definida por p(x, y) = ϕ(x) ⊗ ψ(y). Claramente p es bilineal. Luego, existe una u ńica función lineal γ : E ⊗ F → E 0 ⊗ F 0 tal que γ(x ⊗ y) = p(x, y). Se define: γ ≡ ϕ ⊗ ψ. Luego, por definición: (ϕ ⊗ ψ)(x ⊗ y) = ϕ(x) ⊗ ψ(y) y se llama el producto tensorial de las transformaciones lineales ϕ y ψ.

3.1.3

Transformaciones Multilineales

Sea E un espacio vectorial y consideremos T k (E) := {f : E · · × E} → R / F es multilineal } | × ·{z k−veces


123

el conjunto de todas las funciones que son multilineales. Los elementos de T k (E) los llamaremos tensores de orden k. Problema: Definir un producto en T k (E) y estudiar este espacio. Recordemos el isomorfismo: T k (E) ∼ = L(⊗k E; R) definido en la sección anterior. Aqu´ı, ⊗k = E | ⊗E⊗ {z· · · ⊗ E}. k−veces

Consideremos ahora dos transformaciones lineales: T : ⊗k E → R

S : ⊗l E → R.

De acuerdo a la sección anterior, podemos definir una u ńica transformación lineal T ⊗ S : ⊗k E ⊗ ⊗l E → R ⊗ R, esto es: T ⊗ S : ⊗k+l E → R, tal que (T ⊗ S)(x ⊗ y) = T (x)S(y). Notar que T (x) ⊗ T (y) = T (x)T (y) pues se trata del producto tensorial en R y R ⊗ R ∼ = R. Más precisamente, (T ⊗ S)(x1 ⊗ · · · ⊗ xk ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yl ) = T (x1 ⊗ · · · ⊗ xk )S(y1 ⊗ · · · ⊗ yl ) donde T ⊗ S ∈ L(⊗k+l E; R). Ya que L(⊗k+l E; R) ∼ = T k+l (E), lo anterior se puede traducir en términos de funciones multilineales, esto es, se puede definir un (´ unico) producto de funciones multilineales (o tensores de orden k). Más precisamente, si T ∈ T k (E) y S ∈ T l (E), entonces la definición (T ⊗ S)(x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl ) = T (x1 , . . . , xk )S(y1 , . . . , yl )

(∗)

produce una función T ⊗S ∈ T k+l (E) llamada el producto de tensores T y S .


124 Ejemplos de Tensores

1. Una función determinante es un tensor. En efecto, basta recordar la definición de la sección 1.3: Es una función ∆ : E × · · · × E → R multilineal y antisimétrica. 2. Un producto interior es un tensor de orden 2. En efecto: Recordemos de la sección 1.1 que un producto interior en una función h, i : E × E → R bilineal, que es además simétrica y definida positiva. Proposici´ on 97 (Propiedades del producto de Tensores) a) (S1 + S2 ) ⊗ T = S1 ⊗ T + S2 ⊗ T b) S ⊗ (T1 + T2 ) = S ⊗ T1 + S ⊗ T2 c) (aS) ⊗ T = S ⊗ (aT ) = a(S ⊗ T ) d) (S ⊗ T ) ⊗ U = S ⊗ (T ⊗ U ) Demostraci´ on. Usando la definición (∗), se probará (a). Las partes (b), (c) y (d) quedan de ejercicio.

[(S1 + S2 ) ⊗ T ](x1 , x2 , . . . , xk , y1 , y2 , . . . , yl ) = (S1 + S2 )(x1 , . . . , xk )T (y1 , . . . , yl ) = [S1 (x1 , . . . , xk ) + S2 (x1 , . . . , xk )]T (y1 , . . . , yl ) = S1 (x1 , . . . , xk )T (y1 , . . . , yl ) + S2 (x1 , . . . , xk )T (y1 , . . . , yl ) = (S1 ⊗ T )(x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl ) + (S2 ⊗ T )(x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl ) = [(S1 ⊗ T ) + (S2 ⊗ T )](x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl )

Supongamos que E tiene dimensión finita. El siguiente resultado nos dice como es T k (E) internamente:


125

Teorema 98 Sea {e1 , . . . , en } base de E y sea {f1 , . . . , fn } la base dual (esto es, la base de L(E; R), que verifica fi (ej ) = δij ). Entonces el conjunto de todos los productos tensoriales de k-factores: fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik

;

1 ≤ i1 , . . . , ik ≤ n

es una base de T k (E), que además tiene dimensión nk . Demostraci´ on. Es claro que, por definición (fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik )(x1 , . . . , xk ) = fi1 (x1 )fi2 (x2 ) · · · fik (xk ) es una función k-lineal, esto es, un elemento de T k (E). Además (fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik )(ej1 , ej2 , . . . , ejk ) = fi1 (ej1 )fi2 (ej2 ) · · · fik (ejk ) = δi1 ,j1 δi2 ,j2 · · · δik ,jk ( 1 si j1 = i1 , j2 = i2 , . . . , jk = ik , (∗) = 0 otro caso Veamos que el conjunto de vectores genera T k (E). Sea T ∈ T k (E). Entonces T : E × · · · × E → R es multilineal. Sean w1 , . . . , wk ∈ E; entonces para cada wj : wi =

n X

aij ej

(∗∗).

j=1

Luego : T (w1 , . . . , wk ) = T (

n X

a1j1 ej1 , . . . ,

j1 =1

=

n X

n X

akjk ejk )

jk =1

a1j1 · · · akjk T (ej1 , . . . , ejk )

(∗ ∗ ∗)

j1 ,··· ,jk =1

Ahora, de (∗) y (∗∗) notemos que: (fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik )(w1 , . . . , wk ) = fi1 (w1 ) · · · fik (wk )


126 donde, por ejemplo,

n n X X fi1 (w1 ) = fi1 ( a1j ej ) = a1j fi1 (ej ) = a1i1 . j=1

j=1

As´ı, (fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik )(w1 , . . . , wk ) = a1i1 a2i2 · · · akik ; por lo tanto insertando esto en (∗ ∗ ∗) se obtiene: n X

T (w1 , . . . , wk ) =

T (ei1 , . . . , eik )(fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik )(w1 , . . . , wk )

i1 ,...,ik =1

luego ,

n X

T =

T (ei1 , . . . , eik )(fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik ).

i1 ,...,ik =1

Esto prueba que el conjunto genera T k (E). Veamos ahora que el conjunto es L.I. Supongamos que existen escalares ai1 ai2 · · · aik tales que n X

ai1 ai2 · · · aik (fi1 ⊗ fi2 ⊗ · · · ⊗ fik ) = 0.

i1 ,...,ik =1

Aplicando el vector de la base (ej1 , . . . , ejk ) se obtiene de (∗) que todos los elementos de la suma son cero excepto cuando j1 = i1 , j2 = i2 , . . . , jk = ik , esto es: aj1 , aj2 , . . . , ajk = 0. Esto prueba que el conjunto es L.I. Se deja como ejercicio para el lector probar que esta base tiene nk elementos.


3.1.4

127

Producto Exterior

Consideremos el tensor ”determinante”∆ ∈ T k (E). Este tensor es importante pues, como vimos, permite entre otros definir el producto cruz en espacios de dimensión 3 y la noción de orientación de un espacio de dimensión finita. Recordemos que, por definición, un determinante no sólo es una función multilineal, sino también alternada. Consideremos el conjunto (de todos los determinantes) Λk (E) = {f : E × E × · · · × E → R / f es multilineal y alternada }. Es claro que Λk (E) es un subespacio de T k (E). A fin de estudiar de mejor manera esta parte de T k (E) se define la siguiente función: Alt : T k (E) → T k (E) como Alt(T )(v1 , . . . , vk ) =

1 X sgn σT (vσ(1) , . . . , vσ(k) ) k! σ∈S k

donde sgn σ es +1 si la permutación σ es par y es −1 si es impar. Además, Sk es el conjunto de todas las permutaciones del conjunto de n´ umeros {1, 2, . . . , k}. Teorema 99 (1) Si T ∈ T k (E) entonces Alt(T ) ∈ Λk (E). (2) Si w ∈ Λk (E) entonces Alt(w) = w. (3) Si T ∈ T k (E) entonces Alt(Alt(T )) = Alt(T ). A fin de tener una mejor visualización del Teorema anterior, consideremos el caso k = 1 y k = 2. Para k = 1 se tiene: Alt : T 1 (E) → T 1 (E) tal que Alt(T )(v) = T (v); esto es, Alt(T ) = T o Alt ≡ Id.


128

Para k = 2 se tiene: Alt : T 2 (E) → T 2 (E) tal que 1 Alt(T )(v1 , v2 ) = [T (v1 , v2 ) − T (v2 , v1 )]. 2 En lo que sigue probaremos el teorema en el caso k = 2. El caso general queda de ejercicio para el lector. (1) Sea T ∈ T 2 (E) entonces es claro que Alt(T ) está en T 2 (E) (i.e. es bilineal) pues, por ejemplo, 1 [T (λv1 + w1 , v2 ) − T (v2 , λv1 + w1 )] 2 1 = [λT (v1 , v2 ) + T (w1 , v2 ) − λT (v2 , v1 ) + T (v2 , w1 )] 2 1 1 = λ [T (v1 , v2 ) − T (v2 , v1 )] + [T (w1 , v2 ) − T (v2 , w1 )] 2 2 = λAlt(T )(v1 , v2 ) + Alt(T )(w1 , v2 )

Alt(T )(λv1 + w1 , v2 ) =

Veamos que además es alternada: Alt(T )(v1 , v2 ) = −Alt(T )(v2 , v1 ). En efecto: 1 [T (v2 , v1 ) − T (v1 , v2 )] 2 1 = − [T (v1 , v2 ) − T (v2 , v1 )] = −Alt(T )(v1 , v2 ). 2

Alt(T )(v2 , v1 ) =

(2) Sea w ∈ Λ2 (E). Entonces 1 [w(v1 , v2 ) − w(v2 , v1 )] 2 1 = [2w(v1 , v2 )] pues w es alternada ssi w(v1 , v2 ) = −w(v2 , v1 ) 2 = w(v1 , v2 ).

Alt(T )(w)(v1 , v2 ) =

Por lo tanto, Alt(w) = w. (3) Sea T ∈ T 2 (E). Entonces por (1) w := Alt(T ) ∈ Λ2 (E). Luego, por (2): Alt(Alt(T )) = Alt(w) = w = Alt(T ).


129

El problema siguiente es determinar la dimensión de Λk (E). Para ello se necesitará un teorema análogo al visto para el caso T k (E). Por esto, necesitamos definir un producto en Λk (E), el cual llamaremos producto exterior, y que se define como sigue: Dados w ∈ Λk (E) y η ∈ Λl (E), se define ω ∧ η ∈ Λk+l (E) como: ω ∧ η :=

(k + l)! Alt(ω ⊗ η). k!l!

Observaciones: 1) Note que, efectivamente, ω ∧ η ∈ Λk+l (E) gracias a que por el Teorema anterior parte (1), si ω ⊗ η ∈ T k+l (E) entonces Alt(ω ⊗ η) ∈ Λk+l (E). 2) El producto ω ⊗ η no sirve pues no está en Λk+l (E) necesariamente. Proposici´ on 100 (Propiedades del Producto Exterior) a) (ω1 + ω2 ) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η b) ω ∧ (η1 + η2 ) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2 c) aω ∧ η = ω ∧ aη = a(ω ∧ η) d) ω ∧ η = (−1)kl η ∧ ω. Probaremos la propiedad (a), el resto queda de ejercicio. (k + l)! Alt((ω1 + ω2 ) ⊗ η) k!l! (k + l)! = Alt(ω1 ⊗ η + ω2 ⊗ η) k!l! (k + l)! (k + l)! Alt(ω1 ⊗ η) + Alt(ω2 ⊗ η) = k!l! k!l! = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η.

(ω1 + ω2 ) ∧ η =

(Ejercicio)


130 Teorema 101

(1) Si S ∈ T k (E), T ∈ T l (E) y Alt(S) = 0, entonces Alt(S ⊗ T ) = Alt(T ⊗ S) = 0. (2) Alt(Alt(ω ⊗ η) ⊗ θ) = Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) = Alt(ω ⊗ Alt(η ⊗ θ)) (3) Si ω ∈ Λk (E), η ∈ Λl (E) y θ ∈ Λm (E) entonces (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ) =

(k + l + m)! Alt(ω ⊗ η ⊗ θ) k!l!m!

Demostraci´ on. Veámoslo para el caso k = l = 1 (1) 1 [(S ⊗ T )(v1 , v2 ) − (S ⊗ T )(v2 , v1 )] 2 1 = [S(v1 )T (v2 ) − S(v2 )T (v1 )] 2

Alt(S ⊗ T )(v1 , v2 ) =

Como, Alt(S)(v) = S(v) = 0 se obtiene que Alt(S⊗T )(v1 , v2 ) = 0. Análogamente se demuestra que Alt(T ⊗ S) = 0. Las partes (2) y (3) quedan de ejercicio para el lector. Teorema 102 Sea {e1 , . . . , en } base de E y {f1 , . . . , fn } base dual. El conjunto fi1 ∧ fi2 ∧ · · · ∧ fik

1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n

es una base para Λk (E), que tiene dimensión: Ã ! n n! = . k!(n − k)! k Demostraci´ on. Ejercicio.

Bibliograf´ıa [1] W. H. Greub, Linear Algebra, Springer-Verlag, vol. 97, BerlinHeidelberg, 1967. [2] W. H. Greub, Multilinear Algebra, Springer-Verlag, vol.136, BerlinHeidelberg, 1967.

131

Álgebra Multilineal

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