UNIVERSIDAD NACIONAL “FEDERICO VILLARREAL”
FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS HUMANAS ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA ESPECIALIDAD: MATEMÁTICA - FÍSICA
GUÍA DE PRÁCTICA
FERNANDO GAMARRA MORALES
[email protected] celular: 952-290888 R.P.M:*122826 R.P.M:*122826
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PRESENTACIÓN Cuando a finales del siglo XIX y principios del siglo XX la matemática sufrió una crisis de fundamentos, la comunidad académica matemática mundial inició una titánica tarea de precisar las bases que sostenían esta ciencia. Muchos fueron los esfuerzos por no permitir que la matemática s e desplomara por carencia de sustento en sus principales fundamentos. Las contribuciones no se dejaron esperar. Entre éstas las más importantes están la creación de la teoría de conjuntos, por parte de George Cantor y la construcción de la teoría de los números por parte par te de Bertrand Bertra nd Russel, en su obra Introducción Introducción a la Filosofía de la Matemática. Matemática. A partir de entonces, se ha intentado, con mayor énfasis, que todo conocimiento matemático se encuentre bien estructurado estructurado y sostenido por un proceso proceso lógico deductivo que no facilite, y menos permita, la posibilidad de hacer tambalear el edificio construido tomando como base ese conocimiento. Más adelante, en los inicios de la segunda parte del siglo XX, los matemáticos intensifican su tarea en la búsqueda de organizar las ideas y los conceptos utilizando la teoría de conjuntos y las relaciones que se pueden construir dentro de éstos, especialmente las relaciones que se reconocen como operaciones, o leyes de composición, dentro de los conjuntos. Esta búsqueda da como resultado una tendencia que lleva a pensar que la matemática es la ciencia de las estructuras. La idea de estructura es bastante amplia, como lo señalan Bouvier y Le lionnais (1984): “Se dice que un conjunto está provi pr ovisto sto de estructura si se dan una o varias relaciones, r elaciones, una o varias leyes de composición internas o externas, una o varias topologías sobre este conjunto”. Entre el gran número de estructuras del Álgebra, más frecuentemente estudiadas, se encuentran, desde las más simples a las más complejas: grupiode, monoide, grupo, anillo, campo, espacio vectorial. El esfuerzo realizado por el profesor Fernando Gamarra Morales es muy significativo, en tanto que las estructuras matemáticas son entidades totalmente abstractas y que, como tal, no son fáciles de enfrentar y menos aún de tratar o manejar con lenguaje, tanto retórico como simbólico, sencillo que llegue a ser comprendido y trabajado por quienes se están iniciando en el estudio de la matemática a un nivel primariamente avanzado. El profesor Gamarra fue un destacado estudiante de matemática en las aulas universitarias y su intuición matemática lo condujo a formar parte del cuerpo de docentes que se dedicaban a formar profesores de matemática en las aulas a ulas de su alma mater , como asesor y jefe de prácticas prá cticas de Álgebra Moderna. Considero que lo que hoy nos alcanza es fruto de ese trabajo silencioso pero fructífero, al fin. Siempre quedará cargo del lector la búsqueda de situaciones y contenidos que se enmarquen dentro de las estructuras que aparecen en este documento. Porque es claro que no hay obra que esté totalmente terminada y que su autor todavía se encuentre entre nosotros. Me permito invitar a los acuciosos lectores a trabajar este documento con lápiz y papel a la mano, de manera que todo lo que encuentren de interesante puedan, inmediatamente, trabajarlo para lograr los mejores resultados de su búsqueda.
Lima, marzo de 2014. Dr. Luis Palomares Alvariño.
Profesor: Fernando Fernando Gamarra Morales. Morales.
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INTRODUCCIÓN Este es una guía de práctica de álgebra moderna que escribí hace algún buen tiempo atrás y que ahora, gracias a la tecnología, se pone a disposición para el servicio de la educación educación superior. El álgebra es la parte de las matemáticas que se centra más específicamente en la estructura de las operaciones que se definen en conjuntos particulares. En el origen de esta disciplina está la resolución de ecuaciones polinomiales y gran parte de la disciplina se desarrolló desarrolló con co n este objetivo. El estudio de las estructuras algebraicas nació a inicios del siglo IXX relacionándolo con la teoría de ecuaciones, definiéndolo posteriormente como un conjunto dotado de un procedimiento procedimiento que permite permite combinar sus elementos de acuerdo con unas leyes. Actualmente el concepto de estructura algebraica se define como un conjunto X dotado dotado de una o varias operaciones (funciones f : : X × X → X ) ) que satisfacen satisfacen ciertas propiedades. Esta teoría desempeña un papel muy importante en la matemática y en las ciencias, ya que aparecen en materias que aparentemente no están relacionadas entre sí, como en la mecánica cuántica, la geometría y topología, en el análisis y algebra, física, química y aún la biología misma. El estudio de las estructuras algebraicas es muy interesante; existe mucha investigación y dedicación de un gran número de matemáticos al respecto, esto también desarrolla mucho la imaginación. El objetivo de esta guía de práctica es facilitar el estudio de las estructuras algebraicas, cada tema tiene una serie de definiciones y/o conceptos de modo que el lector pueda tener una visión de conjunto de cada tema, seguido seguido de una serie de ejercicios que ayudarán a reforzar la comprensión concreta de los mismos.
Fernando Gamarra Morales. Tacna, enero de 2014.
Profesor: Fernando Fernando Gamarra Morales. Morales.
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LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA
I. DEFINICIONES.1. Función: Si f es una una relación no vacía vacía de A en B Entonces f es una función de A en B si y sólo si x , y, z;
x, y f
x, z f
y z
2. Aplicación: Si f es una función de A en B Entonces f es una aplicación definida de A en B si y sólo si x A ; y B
/ x, y f
3. Ley de Composición Interna: Si * es una función de AxA en A Entonces * es una L.C.I. definida en A si y sólo si * es una aplicación de AxA en A 4. Propiedades: Si * es una L.C.I. definida en A Entonces * es conmutativa en A si y sólo si a, b A ; a b b a
Entonces * es asociativa en A si y sólo si
a , b, c A ; a b c a b c
Si * y & son L.C.I. definidas en A Entonces * es distributiva con respecto a & en A si y sólo si a , b, c A ;
a b & c
a b & a c b & c a b a & c a
Profesor: Fernando Fernando Gamarra Morales. Morales.
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5. Elementos Notables: Si * es una una L.C.I. definida en A n A Entonces n es elemento elemento neutro para * en A si y sólo si a A ; a n a n a
Si * es una una L.C.I. definida en A n es neutro para * en A a A, a A Entonces a’ es elemento simétrico de a para * en A si y sólo si '
a a' n a ' a
Si * es una una L.C.I. definida en A e A Entonces e es elemento absorbente para * en A si y sólo si a A ; a e e e a
Si * es una L.C.I. definida en A e es elemento absorbente para * en A a A Entonces a es elemento nilpotente para * en A si y sólo si aa e
Si * es una una L.C.I. definida en A a A Entonces a es elemento idempotente para * en A si y sólo si a a
a
Si * es una una L.C.I. definida en A a A Entonces a es elemento regular para * en A si y sólo si x , y A ; a x a y x y x a
y a
x
y
Si * es una una L.C.I. definida en A a A Entonces a es elemento central para * en A si y sólo si x A ; a x x a
Profesor: Fernando Fernando Gamarra Morales. Morales.
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II. EJERCICIOS.1. Sea Q* = Q - {0}. Explicar que la división (denotada generalmente por : ) es una ley de composición interna definida en Q*. Comprobar si las siguientes proposiciones se verifican para la división en Q*. a) a : b = b : a b) (a : b) : c = a : (b : c) c) a :b:c: d d) a : b = a : c e) b : a = c : a
a : b: c : d
b = c b = c
2. Sea * una una ley de composición composición interna definida en Q por: a)
a b
b)
a b ab ab
a b
a b ab
2
c)
a b
a b
3
Determinar cuales de estas operaciones binarias verifican las propiedades conmutativa y asociativa. 3. ¿Define la siguiente tabla “ pitagórica” una {1,2,3,4}? & 1 1 1 2 2 3 1
ley de composición interna en {1,2,3}?, ¿en 2 3 1 3
3 4 3 2
4. Cuando se construye la tabla “ pitagórica” de una ley de composición interna en un conjunto finito. a) ¿Pueden quedar quedar casilleros vacíos? ¿Por ¿Por qué? b) ¿Un casillero puede contener contener más de un elemento? ¿Por qué? qué? 5. ¿Cuántas operaciones se pueden construir en un conjunto de 3 elementos?, ¿en un conjunto conjunto de n elementos? 6. Considérese el conjunto F , de las aplicaciones f i (i = 1, 2, ……6) ……6) de de R - {0, 1} en R definidas por: f 1 : x
f 4 : x
x 1
x
f 2 : x
f 5 : x
1
f 3 : x
1 x 1
f 6 : x
x
x 1 x x 1
x 1
Demostrar que la composición de aplicaciones es una ley de composición interna definida en F. 7. En Z se define define * por medio de a b = 2(a + b). Estudiar las operaciones con sus propiedades y la existencia de elementos distinguidos (elementos notables). 8. Analizar las propiedades propiedades y elementos elementos distinguidos de
: R 2 R definida por a b 0 .
9. Formar la tabla de composición de aplicaciones biyectivas de A = {1, 2, 3} en si si mismo. 10. Se sabe sab e que
*
es una
ley de
composición interna en A, que satisface: sat isface: a , b, c, d A ; a b c d a c b d . Demostrar que es asociativa y conmutativa, si existe elemento neutro. 11. {0}, {0, 1}, {1}, {-1, 1}, {-1, 0, 1} son partes del conjunto de los enteros. ¿La multiplicación es cerrada para cada una de ellas? Profesor: Fernando Fernando Gamarra Morales. Morales.
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12. Con las partes del conjunto de los enteros del ejercicio anterior construir la “tabla pitagórica” con las operaciones de , y . Verificar si existen elementos notables en cada uno de ellos. 13. Examínese el conjunto de los números naturales pares para las leyes de composición internas: b a b , a b , a . 14. Sobre Sobre el conjunto E = {1, 2, 3, 6} designamos designamos a-b al MCD de a y b. Tabúlese Tabúlese y estúdiese esta esta ley. 15. Sobre el conjunto E = {1, 2, 5} se designa con a b el resto de la división a b entre 3. Tabúlese esta ley. ¿Qué propiedades cumple? ¿Tiene elementos distinguidos? 16. En N, ¿será o no ley de composición interna? La ley: a + b + ab ¿es ¿ es conmutativa?, ¿es asociativa?, ¿tiene elementos notables? 17. Demostrar si son leyes de composición interna: a) La reunión en P (E). b) La intersección en P (E). c) La diferencia diferencia simétrica en P (E). ¿Tienen elemento neutro?, ¿tienen elementos absorbentes?, ¿existen elementos simetrizables? 18. En el conjunto de los números racionales se ha definido la ley: a & b = a + b + ab. a) Estudiar la conmutatividad conmutatividad y la asociatividad. b) Demostrar que existe existe elemento neutro. c) Estudiar la distributividad distributividad respecto respecto a la adición o de la multiplicación. d) Demostrar que cualquier cualquier racional diferente de -1 admite un inverso inverso respecto a esta ley. e) Demostrar que dados dados dos elementos a y b cualesquiera cualesquiera resolver la ecuación: a & x = b. f) Resolver 3 & x = 2 y (-3) & x = 2 19. Si la ley % es asociativa en E, y a es un elemento de E, entonces se define otra ley: x & y = x % a % y. Demostrar que es asociativa. 20. Mostrar que el conjunto Z con la operación $; tal que: m $ n = m + n + mn = (1+m)(1+n)-1, es un monoide conmutativo. ¿Qué sirve en (Z, $) de elemento neutro? Hallar en (Z,$) todos los elementos invertibles.
Profesor: Fernando Fernando Gamarra Morales. Morales.
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GRUPOIDES
I. DEFINICIONES.1. Grupoide: Si A es un conjunto no vacío. * es una L.C.I. definida en A Entonces (A, *) es un grupoide o magma si y sólo si a,b A;
ab A
2. Sub - grupoide: Si (A , *) es un grupoide S A
Entonces (S , *) es un sub - grupoide de (A , *) si y sólo si (S , *) es un grupoide. 3. Homomorfismo: Si (A , *) y (B , &) son grupoides. grupoid es. h es una aplicación de A en B Entonces h es un homomorfismo de A en B si y sólo si x, y A ; h x y h x & h y
4. Transformación: Si (G , *) es es un grupoide. f es una función definida en G Entonces f es una transformación del grupoide G si y sólo si f es una aplicación 5. Semigrupo: Si A es un conjunto conjunt o no vacio. & es una L.C.I. definida en A Entonces (A , &) es un semigrupo si y sólo si i) (A , &) es un grupoide. ii) & es asociativa en A.
Profesor: Fernando Fernando Gamarra Morales. Morales.
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6. Monoide: Si (A , *) y (B , &) son grupoi grupoides. des. h es una aplicación de A en B Entonces h es un homomorfismo de A en B si y sólo si
& h y
x, y A; h x y h x
II. EJERCICIOS.1.
¿Cuáles son grupoides? a) (S , &) donde S 1,2,3,4, x, y S ; x & y 1 b) Z c) N , d) Q , e) Z , ,
2.
¿Es Z , $ un grupoide cuando se define por: a) b) c)
a $b
$b
a b2
a$b
a b ab
a
a b
d) e) f)
a $b
0
a $b
a
a $b
1
3.
Construir un grupoide conmutativo de orden 3.
4.
Demostrar que el conjunto Q*, dse los números racionales diferentes de cero, dotado de la división usual de números racionales, es un grupoide. ¿Es conmutativo? ¿Es semigrupo? ¿Es monoide?
5.
Sea G 1,2,3,4. Las operaciones binarias definidas en G por las tablas siguientes convierten a G en un grupoide.
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 2 4 2 4 2 2 1 4 3 2 2 2 2 2 3 3 2 1 4 3 3 4 1 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 2 3 1 4 4 4 4 4 ¿Cuáles de los grupoides son semigrupos? ¿Cuáles son monoides? ¿Qué elementos son inversos? 6.
Sea G el grupoide constituido por el conjunto Q con la operación binaria % definida por a % b a b ab . ¿Es el grupoide Q , % un semigrupo? ¿Existe un elemento neutro en Q , % ? ¿Qué elementos del grupoide tienen inversos?
7.
La misma pregunta que el ejercicio anterior para el conjunto Q y la ley
8.
Si en los grupoides de los ejercicios Nº 6 y Nº 7 se sustituye Q por el conjunto Z ¿Se obtienen las mismas respuestas?.
9.
Sean a, b y c tres elementos inversibles de un semigrupo. Demostrar que a·(b·c) posee un inverso y que es (c’· b’) b’)·a’.
a b ab .
Profesor: Fernando Fernando Gamarra Morales. Morales.
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= el conjunto de aplicaciones biyectivas bi yectivas en E. Encontrar todos los (E,E) = 1, 2 , 3 y F (E,E) elementos inversibles de F(E,E) , , es la composición de funciones.
10. Sea E
11. Expresar con con ayuda ayuda de las transformaciones: transformaciones: a& y &a, la función de los los elementos notables. 12. Sean A un monoide y S A . Por definición S es un sub-monoide de A sí y solo si S es un monoide. Demostrar que la intersección de toda familia de sub-monoides de A, es un sub-monoide de A. ,
,
,
,
13. Sean A un semigrupo y S una parte no vacía de A. La intersección de todos los subsemigrupos que contienen a S se llama sub-semigrupo generado por S, y lo denotamos por: semigrupo que contiene a S. Si S A , entonces se dice S S i . Donde cada S i es un sub – semigrupo que A está generado por S. Verificar para N , y Z , . i) S 1 S N S 1, 1 ii) S Z ,
14. Sea G 1. ¿Es G un grupoide, si es la multiplicación usual de enteros?, ¿tiene neutro?, ¿absorvente?, ¿elementos inversibles? ,
15. La misma pregunta que el ejercicio anterior cuando complejos. 16. Sea f i ,
i
x R
4
1 , con la multiplicación usual de los
1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , el conjunto G de las aplicaciones de R 0 ,1 en R definidas,
0 ,1, por:
f 1 : x x f 4 : x
G
1
x
f 2 : x f 5 : x
1
f 3 : x
1 x
x 1
x f 6 : x 1 x
x x 1
Estúdiese las propiedades y la existencia de elementos notables. 17. Sea R* el conjunto de los números reales diferentes de cero. Sea & la operación binaria definida en R* por a & b a b para a , b R * . Demostrar que R *, & es un grupoide asociativo, pero no es conmutativo. 18. Sea la operación definida en G = RxR por (a,b) (c,d) = (ac , bc+d). ¿Es (G , grupoide conmutativo?, ¿es asociativo?, ¿tiene elementos distinguidos?
) un
19. Sea G el semigrupo de los enteros con la adición usual de enteros y sea H el semigrupo de los enteros pares con la adición usual. Verificar que la aplicación h :G H : x 2 x es un homomorfismo de G en H. 20. La misma pregunta que el ejercicio anterior, pero con H = el semigrupo de los números naturales. 21. El mismo enunciado que el ejercicio Nº 19, pero: a) h :G H definida por x x 2 Profesor: Fernando Fernando Gamarra Morales. Morales.
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b) h :G H definida por
x
0
22. Sea G el semigrupo de los números naturales con la adición y H el semigrupo de números naturales con la multiplicación. Demostrar que la aplicación p : G H , definida por p x 2 es un homomorfismo.
23. Sean por:
G
x
1,2,3, $ y H a, b, c, & , los grupoides grupoides con las las operaciones y & definidas
$ 1 2 3 & a 1 1 2 3 a c 2 2 3 1 b b 3 3 1 2 c c ¿Cuáles de las siguientes aplicaciones son homomorfismo? a) 1 a , d) 1 b , 3 c 2b, b) 1 a , e) 1 b , 3a 2 a, c) 1 a , f) 1 c , 3b 2b,
b a b a
c b a b 2 c,
3c
2b, 2 a,
3b
3b
24. Sea G el semigrupo de los números naturales con la adición usual. Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones en G son homomorfismos. a) f x 2 x 1 b) g x 2 x 2 c) h x 1 25. La aplicación m: P (E) P (E) (E) : P E-P, es un homomorfismo entre los grupoides
(P (E),
) y (P (E), ). Es todavía un isomorfismo (se llama isomorfismo de De Morgan).
26. Un isomorfismo es involutivo si la composición c omposición consigo mismo origina la identidad. Demostrar que el isomorfismo de De Morgan es involutivo. 27.
5 Z , es un sub-grupoide de Z . En general nZ , es un sub-grupoide de Z . ¿Existen ,
,
restricciones para n? 28. Si a b , entonces el monoide Ra, b, de todas las relaciones definidas en elementos, de los cuales tres son nilpotentes y once idempotentes, ¿cuáles son?
29. Demostrar que en todo monoide abeliano se verifica: x & y
n
n
x & y
,
n
30. Si A,& es un monoide abeliano, la aplicación f n : A A definida por automorfismo de
a b tienen 16
x x
n
es un
A , & .
31. En N se define la ley & por a & b a b . ¿Cuáles son los subgrupoides de N ,& engendrados respectivamente respectivamente por , 0, 1, 2 y 1,2. mcma, b . ¿Cuál es el subgrupoide de 32. Sea una L.C.I. definida por: a b mcm engendrados por: 56, 1,2, 3,6,6,8,8,10,3,7 y respectivamente?
N ,
MCDa b . ¿Cuál es el subgrupoide de 33. Sea una L.C.I. definida por: a b MCD engendrados por: 128,36 y los subconjuntos del ejercicio anterior?
N
,
Profesor: Fernando Fernando Gamarra Morales. Morales.
,
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GRUPOS
I.
DEFINICIONES.-
1.
Grupo: Si A es un conjunto no vacío. * es una L.C.I. definida en A Entonces (A, *) es un grupo si y sólo si i) A es un monoide. ii) Todos los elementos de A son simetrizables. Si además: iii) * es conmutativa en A Entonces (A, *) es un grupo abeliano o conmutativo ,
2. Sub - grupo: Si (G , *) es un grupo S A
Entonces (S , *) es un sub - grupo de (G , *) si y sólo si (S , *) es un grupo.
3. Teorema de caracterización de sub-grupos: Si (G , *) es es un grupo. S A
Entonces x, y S ; x
1
y S
(S,*) es sub-grupo de (G,*)
4. Homomorfismo: Si (A , *) *) y (B , &) son grupos. grupos. h es una aplicación de A en B Entonces h es un homomorfismo de A en B si y sólo si
a, b A; ha * b ha & hb
Profesor: Fernando Gamarra Gamarra Morales. Morales.
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5. Núcleo de un homomorfismo: homomorfis mo: Si f es un homomorfismo homomorfis mo de A en B. n es el elemento neutro de (A, *) Entonces C es el núcleo de f si y sólo si C = Nf = Ker f = f -1(n). si y sólo si C x A / f x n
6. Imagen de un grupo según un homomorfismo: homomorfis mo: Si f es un homomorfismo de A en B. Entonces C es la imagen de A, según f si y sólo si C = Im f = f(A) si y sólo si C y B / x A; f x y
II. EJERCICIOS.1.
¿Es (S,*) un grupo si: a) S = Z y * es es la multiplicación usual de enteros? b) S = Q y * es es la multiplicación usual de racionales? c) S q / q Q q 0 y * es es la multiplicación usual de de números números racionales? d) S z / z Z z 2 y * es es la multiplicación usual de de números enteros? enteros? e) S = R y * la adición usual de números reales? f) S = Z y * se define por a*b = 0
2.
Sea P el conjunto de enteros pares. Demostrar que P con la adición de enteros pares es un grupo.
3.
Sea S el conjunto de los números reales de la forma a b 2 , donde a, b Q y no son simultáneamente iguales a cero. Demostrar que S, dotado de la multiplicación usual de los números reales, es un grupo.
4.
Sea S el conjunto de los números complejos de la forma a b 5 donde a, b, c Q y no son simultáneamente iguales a cero. Demostrar que S, con la multiplicación usual de los números complejos es un grupo.
5.
Las siguientes tablas definen cada una, una operación binaria. ¿Es un grupo el grupoide resultante? 1 2 a b 1 1 2 a b a 2 2 1 b a b
6.
Sea n un entero positivo cualquiera y sea Gn a b n / a, b Z donde Z es el conjunto de los enteros. Demostrar que Gn es un grupo respecto a la adición. ¿Cuándo ocurre que Gn=Z?
7.
Sea n un entero positivo cualquiera. Sea Gn a ib n / a, b Z donde i 1 y Z es el conjunto de enteros. ¿Es Gn un grupo respecto a la adición? ¿Es G n un grupo respecto a la multiplicación de números complejos?
Profesor: Fernando Gamarra Gamarra Morales. Morales.
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8.
Sea D = Z x Z. Defínase a, b c, d a c , 1 b d . Demostrar Demostra r que D es un grupo grupo respecto a la operación . ¿Será D un grupo abeliano? c
,
9.
Sea G = Z x Z. Defínase a, b c, d a c , 2c b d . Demostrar que G es un grupo respecto a la operación . ¿Será G un grupo abeliano? ,
10. Del ejercicio anterior. En G se define: a, b & c, d a c , 2 c b d . ¿Es un grupo abeliano?
Es G un grupo respecto a la operación:
a, b$c, d a c , 2
c
?
b d
11. Determinar en cada caso si el par G es un grupo a) G x / x 2k 1 k Z , es el producto ordinario. b) G x / x 3k k Z , es la adición en Z. ,
c) G a b 2 / a, b Q, es el producto habitual. d)
G
x / x
12. Demostrar que números
2
k
k Z
, es el producto de enteros.
R es un grupo abeliano, siendo R el conjunto de todas las n-uplas de n
,
n
reales,
y
la
suma x1, x2 ,..., xn y1, y2 ,..., yn x1 y1, x2 y2 ,..., xn yn .
definida
por:
13. Sea Q el grupo aditivo de los racionales. ¿Es Z un sub-grupo de Q? ¿Es N un sub-grupo de Q?. ,
14. ¿Es Z 0 un subgrupo de Q ,, el grupo multiplicativo de los números racionales diferentes de cero?
15. ¿Es Q un sub-grupo de C , , el grupo aditivo de los números complejos? 16. ¿Es Q definido como en el ejercicio Nº 14, un sub-grupo de números complejos diferentes de cero?
C , el grupo multiplicativo de los
,
17. ¿Es Q un sub-grupo del grupo de los números reales de la forma a b 2 , tales que a b Q y a y b no son simultáneamente iguales a cero, si la operación binaria es la multiplicación?
,
18. Demostrar que la intersección de dos subgrupos H y K de un grupo G es un subgrupo. ¿Cabe decir lo mismo de la unión? 19. Sea D el grupo del ejercicio Nº 8. Determinar si H a,0 / a Z y K 0, q / q Z son subgrupos de D. 20. Sea G el grupo del ejercicio Nº 9. Determinar si H a,0 / a Z y K 0, q / q Z son subgrupos de G. 21. Formar el conjunto de todas las simetrías y rotaciones del triángulo equilátero, que lo transforman congruentemente, congruentemente, y verificar que dicho conjunto con la composición de funciones es un grupo. 22. Determinar todos los subgrupos del ejercicio anterior. 23. Sea H x1 , x2 ,..., xn R n / xi
0 . Demostrar que H , es un sub-grupo de
R . n
,
24. Verificar que R 2 x 2 , es un grupo abeliano y que H es un sub-grupo, siendo H el conjunto de matrices reales de dos filas y dos columnas que verifican A=-At, tales matrices se llaman anti simétricas y satisfacen aij=-aij. ,
25. Verificar que E 1 dotado de la multiplicación y F 0 dotado de la adición son dos grupos isomorfos. Profesor: Fernando Gamarra Gamarra Morales. Morales.
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26. Demostrar que
G
1, 1 dotado de la multiplicación es un grupo.
27. Pruébese que, sobre un grupo (multiplicativo) cualquiera, la ecuación axbcx = abx admite solución única. Determínese esta. 28. Sobre un grupo multiplicativo cualquiera, hállese una solución de la ecuación xax xa x = bba-1. 29. Sobre un grupo abeliano cualquiera resuélvase la ecuación: xabxc = bxa. 30. Sobre el conjunto Q Q de pares ordenados or denados de racionales a b tales que a 0 , definimos la ley a b c d ac bc d . Demuéstrese que esta ley confiere al conjunto estructura de grupo. ,
,
,
,
31. Estúdiese el grupo de isometrías de un rectángulo. Hállese su orden; reconózcase que es abeliano; hállese sus automorfismos y el grupo que estos forman; hállese también sus sub grupos. 32. Sobre Q 0,1 se consideran las cuatro funciones: f 1 : x x ,
f 2 : x
1
x
,
f 3 : x x ,
f 4 : x
1
x
Demuéstrese que forman un grupo con la composición de funciones. Compárese con el grupo del rectángulo. 33. En las condiciones del ejercicio precedente, estúdiese el grupo de las seis funciones: f 1 : x x f 4 : x
f 2 : x 1
f 5 : x
1 x
1
f 3 : x 1 x
x x 1
f 6 : x
x
x x 1
34. Estúdiese el grupo de isometrías del cuadrado. Determínese todos sus subgrupos, uno de ellos es isomorfo isomorfo al grupo del rectángulo, ¿cuál?. 35. Demostrar que en el conjunto de los pares racionales a, b c, d ac, bc d , los pares 1, b forman un grupo.
a b dotados de la ley: ,
36. Sean A R 0 y la función f : A A tal que f x x 2 . Demostrar que f es un morfismo del grupo A, en sí mismo y determinar su núcleo y su imagen. 37. Investigar si f : A A definida por f x x 3 es un morfismo, en el mismo caso del ejercicio anterior. 38. Demostrar que f : N
R tal que f x log log 2 x es un isomorfismo de N ,· en
R .
,
39. Sean G un grupo y a G . Se define f : G G mediante f x a 1 x a . Determinar que f es un automorfismo (isomorfismo sobre sí mismo), definido por a G ; se llama automorfismo interno.
,
40. Demostrar que la composición de dos homomorfismos de grupos es un homomorfismo.
G, un grupo. En G se define la operación & mediante G,& es un grupo.
41. Sea
42. En Q 2 se considera de grupo con .
definida por:
43. Demostrar que el semigrupo son resolubles en X.
a &b
Demostrar que
a b c d ac bc d . Determinar si Q2 tiene estructura ,
,
,
X es un grupo si y solo si las ecuaciones ,
a b .
x a
b
y
a x
b
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y R 2 , . Probar que f : R 3 R 2 definida f x1 , x2 , x3 x1 x3 , x2 x3 es un homomorfismo. Determinar su núcleo y su imagen.
44. Sean
los
grupos
R , 3
por
3
45. Sea el grupo Z . Demostrar que la función f : Z Z definida por f x x 4 es un homomorfismo. homomorfismo. Determinar su Ker f e Im f.
,
46. ¿Cuáles son los sub grupos de Z 12 , ? Indique una parte generatriz de cada subgrupo. 47. ¿Cuál es el subgrupo del grupo cíclico
Z 24 , engendrado por 3 ?
48. ¿Cuáles son los subgrupos del grupo cíclico Z 13 , engendrados respectivamente por
3 , 5 y
10 ? 49. Hallar los subgrupos normales de los grupos de permutaciones de dos elementos (S2), de tres elementos (S3) y de cuatro elementos (S 4). 1 2 3 1 2 3 , de S3? 50. ¿Es normal el subgrupo 1 2 3 2 1 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , de S4? 51. ¿Es normal el subgrupo 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1
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ANILLOS I.
DEFINICIONES.-
1.
Anillo: Si A es un conjunto no vacío. * y & son L.C.I. definidas en A Entonces (A, *,&) es un anillo si y sólo si i) A es un grupo abeliano. ii) (A,&) es un semigrupo. iii) & es distributiva con respecto a * en A ,
2. Sub - anillo: Si (A ,*,&) es un anillo S A
Entonces (S ,*,&) es un sub - anillo de (A ,*,&) si y sólo si (S ,*,&) es un anillo. 3. Teorema de caracterización de sub-anillos: Si (A ,*,&) ,*,&) es un anillo. S A
Entonces
a, b S ; a b
1
S , a & b S
(S,*,&) es sub-anillo de (A,*,&)
4. Homomorfismo Homomorfismo de anillos: Si (A ,*,&) ,*,&) y (B,%,$) son anillos. f es una aplicación de A en B Entonces f es un homomorfismo de A en B si y sólo si
x, y A; f x * y f x % f y f x & y f x $ f y
5. Anillo sin divisores divisores de cero: Si A,,& es un anillo. n es el elemento neutro de A, Entonces A,,& no tiene divisores de cero si y sólo si x, y A; x & y
n
x
n
y n
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6. Dominio de integridad: Si Entonces
A,,& es un anillo sin divisores de cero. A,,& es un anillo íntegro si y sólo si A,& es abeliano
7. Ideal de un anillo: Si
A,,& es un anillo. I A
Entonces Entonc es I es un ideal de A si y sólo si i) I es sub anillo de A ii) x I , y A x & y I y & x I
II. EJERCICIOS.1.
Demuéstrese que los elementos “n” y “a” forman un anillo para las leyes: a n = n a = a a & n = n & a = a n n = n n & n = n a a = n a & a = a Interprétese lo anterior reemplazando n por PAR y a por IMPAR.
2.
En Z2 se definen la adición y la multiplicación mediante:
x, y a, b x a , y b Verificar que
x, y a, b xa' , 0
Z , , es un anillo y clasificarlo. 2
3.
En Z2 se consideran la suma habitual de pares ordenados y el producto definido por: a, b x, y ax, ay bx . Comprobar que Z 2 ,, es un anillo conmutativo con unidad. uni dad.
4.
A x R / x a b 2
a, b Z . Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad,
con la suma y el producto de números reales. Investigar si admite divisores divisores de cero. 5.
Con relación al anillo del ejercicio anterior, verificar que: f : A A , tal que
f a b 2
a b
2 es un isomorfismo de A en A, respecto de la adición y de la
multiplicación. 6.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en
2 x y 2 3 x 4 y 3
4 x 2 y 3 2 x 3 y 0
Z 5 ,, : x y 3 2 x y 1
(P (E),
3 x 2 1
) es un anillo con unidad.
7.
Sea P (E) el conjunto potencia de E. Demostrar que
8.
¿Forman un ideal los elementos no invertibles de los l os anillos Z16 y Z21?
9.
Demostrar que que A=2Z A=2Z es íntegro. íntegro.
,
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10.
(P (E),
,
). ¿Es un anillo con unidad?
11. El conjunto de los números racion ra cionales ales
a b
tal que b es múltiplo de 5. ¿Forman un anillo con unidad?
CUERPOS Y CAMPOS I.
DEFINICIONES.-
1.
Cuerpo: Si A es un conjunto no vacío. * y & son L.C.I. definidas en A Entonces (A, *,&) es un cuerpo si y sólo si i) A es un anillo. ii) (A*,&) es un grupo. ,
2. Teorema de caracterización de sub-anillos: Si (K ,*,&) ,*,&) es un cuerpo. S K
S es sub anillo de K Entonces a S a S 1
(S,*,&) es sub-cuerpo de (K,*,&) (K, *,&)
3. Campo: Si K es es un conjunto no vacío. vacío. * y & son L.C.I. definidas en K Entonces (K, *,&) es un campo si y sólo si i) K ,,& es un anillo. ii) (K *,&) es un grupo abeliano.
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II. EJERCICIOS.1. Demostrar que a b 2 / a, b Q es un cuerpo conmutativo.
a c / , , a b c R forman un sub-anillo 0 b de M 2 x 2 , aij R . ¿M2x2 es un cuerpo?, ¿es un u n campo?, ¿T es sub-cuerpo?, ¿es sub-campo?
2. El conjunto de las matrices triangulares superiores
T
3. Dentro del cuerpo de los racionales, fórmese el menor subconjunto que sea un u n Dominio de integridad y contenga contenga al número 1/5. La misma misma cuestión si los números números son 1/5 y 1/7. Generalícese. Generalícese. 4. Consideremos los pares racionales
a, b c, d a c , b d
a b con las leyes: a, b c, d ac 2bd , ad cb ,
Demuéstrese que forman un cuerpo. ¿Será campo? 5. La misma cuestión para a, b c, d ac bd , ad bc . 6. En P (E) se definen las leyes: X Y X Y ' Y X '
y X Y X Y . ¿Es anillo? Demuéstrese que en este anillo se tiene siempre X2=X. En tales condiciones se dice que todo elemento es idempotente par4a la segunda ley. ¿Será idempotente para la primera ley?. La estructura definida, ¿es campo?
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POLINOMIOS I.
DEFINICIONES.-
1. Sucesión: Si s es una función de N en A. Entonces C es una sucesión si y sólo si C
s n
si y sólo si C s : N A n
s
n s
n
es una aplicación 2. Polinomio Formal: Si K es un anillo conmutativo con unidad pn es una sucesión en K, tal que p(n+1) = p(n+2) p(n+2) = … = 0
Entonces Entonc es p es un polinomio formal de grado n sobre el anillo K o con coeficientes en K si y sólo si p
p n
3. Anillo de polinomios: Si P es es el conjunto conjunt o de polinomios polino mios con coeficientes en K (P,+) es un grupo abeliano P es un monoide abeliano Entonces K x es un anillo de polinomios con coeficientes en K si y solo si ,
P
K x
,
,
4. Suma de polinomios: Si f = (f 0, f 1, f 2, …) g = (g0, g1, g2, …) son polinomios definidos en K Entonces Entonc es (f + g) es la suma de f y g si y sólo si f + g = (f 0+g0, f 1+g1, f 2+g2, …, f i+gi, …)
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5. Producto de polinomios: Si f = (f 0, f 1, f 2, …) g = (g0, g1, g2, …) son polinomios definidos en K Entonces Entonc es (f · g) es el producto product o de f y g si y sólo si f · g = (p0, p1, p2, …, pk , …) tal que pk f i g i i j k
II.
EJERCICIOS.-
1. Sean u = (-1,0,2) (-1, 0,2) y v = (0,2,-3) polinomios definidos defini dos en Z. Hallar u + v ; u·v ; u 2 ; v2. 2. Sean u = (1,2) y b v = (3,4) polinomios po linomios definidos definido s en Z 5. Hallar Hallar u + v ; u·v ; u2 ; v2 ; u2v2 ; u3 . 3. Sean u = (0,0,1/2) (0,0, 1/2) y v = (-1/3,0,2/5) (-1/3,0, 2/5) polinomios definidos defin idos en Q. Hallar Hallar u + v ; u·v ; 2 3 4 2 u ; u ; u ; v . 4. Sean u = (2,1/2) (2,1/ 2) y v =
3 2 2,0,0, 3 polinomios definidos en R. Hallar u + v ; u·v ; u ; v .
5. Sean u = (1+2i,1/2) y v = (0 , 2-i , i-2) polinomios definidos en C. Hallar u +v ; u·v ; u2 ; v2. 6. Los polinomios f(x) = x5 + 3x4 + x3 + 4x2 + 3x – 1 1 ; g(x) = x2 +x +1 pueden ser considerados considera dos como pertenecientes al anillo Z x o, digamos, al anillo Z x , de acuerdo a como se interpreten sus coeficientes. Utilizando el algoritmo de la división, mostrar que en el primer caso f(x) no se divide exactamente por g(x), y en el segundo s egundo caso se divide exactamente. 5
7. Sobre el cuerpo de los enteros módulo cinco multiplíquese y ordénese los dos polinomios:
2
x
8.
La
5 x 9.
2
4 x 1 3 x
misma 3
2
x
cuestión
2 x 4 6 x
2
3
2
con
x 1
y
los
siguientes
y
3
x
x
2
2
2x 4
2
polinomios, 4x 2
que
pertenecen
a
:
Z 7 x
3
¿Cuántos polinomios distintos de segundo grado, de tercer grado … de n-ésimo grado podemos
formar sobre el cuerpo K = Z3. 10. Sobre el cuerpo Z7 determínese determí nese c y d de modo que: x 4 3 x 3 5 x 2 cx d sea un cuadrado perfecto, de qué polinomio? polinomio? 11. Sobre el cuerpo de los números racionales, demuestre que, mediante un cambio de variable, el 2 polinomio: 8 x 7 4 x 3x 1 se reduce a un polinomio de segundo grado. 12. Efectúese la división de A x 4 6 x 3 10 x 2 3x 6 , entre descomposición de A en dos trinomios de segundo grado.
B
x
2
3 x ,
dedúzcase de ello la
13. Sobre el cuerpo Z7, determínese un polinomio P x ax2 bx c , tal que: P(1) = 4 , P(2) = 0 , P(6) = 1. 14. ¿Cuál es el valor numérico de A 2 x 4 4 x3 7 x 14 para x 1 3 ? 15. Dados en Z 6 x los polinomios: p 3,4,0,1,2 y q 1,5,3 . Determinar: Profesor: Fernando Gamarra Gamarra Morales. Morales.
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a) 2 p q
b)
p q
c) p 2 q
d) el grado de
p
2q
16. Obtener el número de polinomios en Z x de grado menor que cuatro con coeficientes ai tales que ai 1 3 . 17. Determinar a, b, c en R, de modo que: i) 4,16,9 a x 1 x 2 bx x 2 cxx 1 ii) 2,1 a x 2 x 1 bx cx 1 18. Obtener el cociente y el resto de la división de a entre b, pertenecientes a Q x, en los siguientes casos: a) a = (0,-1) , b = (-1,1/2) b) a = (2,0,-1,0,1) , b = (-1,2,0,0,-1) c) a = (0,-1,0,1) , b = (-1,0,2) 19. Mediante la regla de Ruffinni, determinar el cociente y el resto de la división de a entre b en: a) a = (-1,a3,0,-a) , b = (-a,1) b) a = (2,4,1,0,3) (2,4,1,0, 3) , b = (2,1) en Z 5[x] 20. Investigar si los siguientes polinomios son irreductibles en Q x y en R x : a) a = (-3,0,0,1) b) b = (4,0,5) c) c = (-1,0,0,0,0,0,1)
Profesor: Fernando Gamarra Gamarra Morales. Morales.
