Colección preuniversitaria
ALGEBRA Teoría y práctica
GRUPO EDITORIAL THE ANGHELIITOO
https://www.facebook.com/josecarlos.turpoquirojosé.carlosturpo
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973518952
A
mi queridos padres: Juana y Julián y a mi hermano Heriberto.
E
l proceso de preparación de un estudiante preuniversitario es muy riguroso y constante, pues así se
presentan las exigencias de estos últimos años, debido a la gran cantidad de egresados y postulantes que ven la universidad la mejor alternativa para salir adelante. Los estudiantes al egresar de educación secundaria, necesariamente requieren de un proceso de preparación en las diferentes áreas del conocimiento, pues el desarrollo de las mismas no es profunda y solo llega a los niveles básicos del aprendizaje, restando de esta manera la posibilidad de responder adecuadamente a las interrogantes planteadas en las pruebas de los procesos de admisión que realizan cada año.
El presente texto “ALGEBRA teoría y práctica” los hacemos con el ánimo de brindar a los estudiantes un texto más adecuado, entendible, practico y pertinente para que pueda cumplir con las exigencias de los estudiantes preuniversitarios de nuestra región y del país. A si ismo pueda contribuir a un proceso de preparación más eficiente y eficaz.
Los años transcurridos en el desarrollo de asignaturas de tipo preuniversitario, nos han ido señalando el camino más adecuado y óptimo para la selección más adecuada y óptima para la selección apropiada de los conocimientos y conseguir que los estudiantes puedan tener éxito en los procesos de admisión.
El presente texto contiene la primera parte de las balotas o temarios que exige el prospecto de admisión de la Universidad Nacional del Altiplano y que son similares a los prospectos de otras universidades del país. Todos estos contenidos presentan al final un banco de preguntas con preguntas con alternativa múltiple para que el estudiante pueda realizar una consiente autoevaluación de lo aprendido. Finalmente, con esta edición, queremos hacer extensivo nuestro más profundo agradecimiento de este material educativo nivel preuniversitario, Para ustedes va dedicado este material. Gracias por su adquisición.
Problemas De Algebra Y Como Resolverlos CONTENIDO:
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ÁLGEBRA
AXIOMAS DE NUMEROS REALES TEORIA DE EXPONENTES ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES EXPONENCIALES M 3:
El sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por con dos operaciones internas llamadas: 1) Adición (+) : (a,b) = a+b 2) Multiplicación (.) : (a,b) = a.b y una relación de orden “<” (<, se lee “menor que”); el cual satisface los siguientes axiomas.
M 4:
A3 :
ur sT
lo D 1: D 2:
Jo
A4 :
III.
ar
A2 :
Ley de clausura a, b a + b Ley conmutativa a, b a + b = b+a Ley Asociativa a, b, c (a+b)+c=a+(b+c) Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo Existe un valor único , denotado por “0” (0, se lee cero) tal que a : a+0=a=0+a Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo a , existe un valor único denotado por -a tal que: a : a + (-a) = 0 = (-a) + a
C
A1 :
AXIOMAS DE LA ADICIÓN
sé
I.
M 5:
A5 :
II. M 1: M 2:
IV.
AXIOMAS DE LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA ADICIÓN
a, b, c Distributividad por la izquierda a (b+c) =ab+ac Distributividad por la derecha ( a + b ) c = ac + bc AXIOMAS DE ORDEN
O1 = Ley de Tricotomía Dados a y b ; se cumple una y solamente una de las siguiente relaciones: a
a=b
b
O2 = Ley Transitiva, a, b, c , se cumple Si; a < b b < c a
AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN Ley de clausura a, b Ley conmutativa a, b
Ley Asociativa: a, b, c (a.b).c = a.(b.c) Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo Existe un valor único , denotado por “1” ( 1, se lee uno ) tal que a : a.1 = a = 1.a Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo a / a 0; existe un valor único denotado por a - 1 tal que a. a - 1 = 1 = a - 1. a
po
AXIOMA DE LOS NÚMEROS REALES
1.1
a.b a.b = b.a
6
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
V.
Se denomina “intervalo abierto” sobre el eje real y tiene dos representaciones matemáticas X < a; b > ó x ] a ; b [ Se lee: “ x pertenece al intervalo abierto “a” coma “b” 5. El conjunto B, denotado por B=x/c x d Donde los extremos c y d están incluidos, se llama “intervalo cerrado” sobre el eje real y se lee: “x pertenece al intervalo cerrado “c” coma “d” ”, se denota como: x [a; d] 6. El valor absoluto de un número real “a” denotado por |a| satisface la siguiente regla de correspondencia.
AXIOMAS DE LA RELACIÓN DE IGUALDAD DE LOS NÚMEROS REALES a, b, c , se cumple Dicotomía: a=b a b Reflexividad: a=a Simetría: a=bb=a Transitividad: Si: a = b b = c a = c Unicidad de la adición Si: a = b a+c = b+c Unicidad de la multiplicación Si: a = b a.c = b.c
1) 2) 3) 4) 5) 6) VI.
AXIOMAS DEL SUPREMO
po
a ; si a 0 |a| = a ; si a 0
sT
REAL (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA) La recta real es una recta geométrica de infinitos puntos donde cada uno de los puntos establece una correspondencia biunívoca con los números reales, esto nos permite visualizar una relación de orden < (menor que) entre dos o más cantidades, como ilustra la gráfica adjunta.
7. La distancia entre dos puntos “a” y “b” sobre el eje real es: |a - b|
1.3
8
A -
a
TEOREMAS IMPORTANTES EN RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
1. Ecuación de primer grado en una variable a, b, x ; con a 0. Si ax + b = 0, b entonces se cumple que: x a
#s positivos
Intervalo abierto b
2. Ecuación de segundo grado en una variable a, b, c, x ; con: a 0 / ax2 + bx + c = 0 Se cumple que:
Intervalo cerrado
0
c
B d
+
8
#s negativos
Jo
sé
C
ar
lo
1.2 RECTA
ur
Todo conjunto A de números reales (A 0: no vacío) acotado superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo de A.
La relación a < b al graficarla en la recta real nos indica que la cantidad “a” se encuentra a la izquierda de la cantidad “b”. Con respecto a la recta geométrica debemos tener en cuenta lo siguiente: 1. “0” (cero), es el origen de la recta real, no tiene signo. 2. Los números negativos son menores que cero. 3. El cero es menor que cualquier número positivo. 4. El conjunto A denotado por A =x/a < x
x
b
o también: x
b2 4ac 2a
b 2a
Al símbolo = b2 – 4 ac, se llama discriminante de la ecuación de segundo grado.
7
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA 3. Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas a1, b1, c1, a2, b2, c2 con; a1 b2 a2 b1, donde:
valores absolutos (El mayor menos el menor) y el resultado o suma total se encuentra afectado por el signo del sumando que tenga mayor valor absoluto.
a1 x b1 y c1...........() a2 x b2 y c2...........()
Ejemplo: a) – 10 + 5 = - 5 b) – 12 + 2 = - 10 c) 12 - 3 = 9
se cumple que:
c1 b1 c2 b2 a1 b1
2
c1
a2 c2 a1 b1 a2 b2
a1 c2 a2 c1
po
y
NOTA.- En la adición de varias cantidades reales con diferentes signos, se agrupan las cantidades positivas y negativas entre sí y luego se procede a la reducción de acuerdo a las reglas dadas.
a1 b2 a b1
a2 b2 a1
c1 b2 c2 b1
Ejemplo: a) –6+5-4-3+2-9=(-6-4-3-9)+5+2) = -22+7 = -15 b) –12+3-9-5+4 = (-12-9-5)+(3+4) = -26+7 = -19
a1 b2 a2 b1
ur
x
lo
C
ar
OPERACIONES BÁSICAS EN EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
sT
4. a, b / a.b=0 a = 0 b=0
sé
Adición.- Es la operación matemática, que por medio del signo (+) dos o más cantidades llamadas sumandos se reducen en una sola, denominada suma. La suma de dos números reales está sujeta a las siguientes reglas.
SUSTRACCIÓN.- Es la operación matemática que por medio del signo menos (-) obtenemos la diferencia de dos números (minuendo menos sustraendo) Ejemplo: a) Restar
Jo
1.4
d) – 3 + 8 = 5 e) 17 – 20 = - 3 f) – 14 + 6= - 8
–12 de 5:
min uendo : 5 sustraendo : 12 diferencia : 5 (12) 17
Regla 1.- La suma de dos números reales con el mismo signo está determinada por la suma de sus valores absolutos y el resultado o suma total está afectado por el signo de los sumandos. Ejemplo: a) –3–4 = -7 c) 12 + 30 = 42 b) 5+6 = 11 d) – 12 - 30 = - 42
b) Restar
8 de –8:
min uendo : 8 sustraendo : 8 diferencia : 8 (8) 16 MULTIPLICACIÓN.- Es una adición abreviada, cuya operación matemática por medio del signo por (.) ó (x) nos permite obtener el producto de las cantidades llamadas multiplicando y multiplicador. Esta operación está
Regla 2.- La suma de dos números reales de signos diferentes está determinada por la diferencia de sus
8
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA sujeta a dos reglas signos.
respecto
a los
b)
18 2
9
d)
27 9 3
Regla 1.- La multiplicación de dos cantidades no nulas del mismo signo es una cantidad positiva Ejm. a) ( - 3 ) ( - 4 )=12 b) ( 12 ) ( 3 ) = 36 c) ( - 8 ) ( - 2 ) = 16
Respecto a ley de los signos, en la división de dos cantidades reales no nulas, se observa que: i) División de signos iguales, es
Regla 2.la multiplicación de dos cantidades no nulas de signos diferentes es una cantidad negativa Ejemplo: a) ( - 3 ) (4 )= -12 b) ( 12 ) (-3 ) = -36 Respecto a la ley de signos, vemos que: i) Multiplicación de signos iguales es positivo: (+) (+)=+ (-)(-) = + ii) Multiplicación de signos diferentes es negativo: (-) (+) = - (+)(-) = -
ii) División de signos diferentes, es negativo:
po
ur
sT
ar
C
a c e adf cbf ebd b d f bdf
3) Multiplicación de fracciones.multiplican los numeradores denominadores entre sí:
Se y
Jo
sé
a c e g aceg b d f h bdfh 4) División de fracciones.- Se invierte la segunda fracción y se multiplican los numeradores y denominadores entre sí:
a c a d ad b d b c bc
18 2 c) 9 24 d) 3 8
5) Fracción de fracción.- Se obtiene una fracción equivalente cuyo numerador es el producto de los extremos y el denominador es el producto de los medios.
a b c d
Ejemplo: c)
2) Adición de fracciones heterogéneas
Regla 2.- La división de dos cantidades no nulas de signo diferente es una cantidad negativa (menor que cero).
12 4 3
a c d e ac de b b b b b
Ejemplo:
a)
1) Adición de fracciones homogéneas
Regla 1.- La división de dos cantidades no nulas del mismo signo es una cantidad positiva (mayor que cero)
16 8 a) 2 8 b) 4 2
OBSERVACIONES FUNDAMENTALES EN LAS OPERACIONES CON FRACCIONES
1.5
lo
DIVISIÓN.Es la operación matemática que consiste en determinar cuantas veces un número está contenido en otro por medio del signo operacional entre (), al resultado obtenido se le llama cociente. El número que se divide se llama dividendo y el que divide se llama divisor. Esta operación está sujeta a dos reglas respecto a los signos.
positivo:
15 3 5
9
ad b c (medios) bc a d (extremos )
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
6) Posición relativa de un signo en una fracción
a b
a b
a b
a b
b)
16 4
c)
16 4
d)
POTENCIACIÓN.- Es la multiplicación repetida de una cantidad en un número finito de veces; el resultado final se le llama potencia. Está sujeta a las siguientes reglas respecto a las cantidades negativas.
(Reales positivos)
po sT
ur
(Reales negativos)
C
ar
lo
1.6
números reales la siguiente
Racionales ( Q+ ) Enteros ( Z+ ) Fraccionarios ( F+ ) Irracionales ( I+ )
A.-
Racionales ( Q- ) Enteros ( Z- ) Fraccionarios ( F- ) Irracionales ( I- )
PRINCIPALES CONJUNTOS NUMÉRICOS
El conjunto de los Números naturales, denotado por N, donde: N = 1, 2, 3, ........
Jo
sé
B.- El conjunto de los Números enteros, denotado por Z, donde: Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... C.- El conjunto de los Números racionales, denotado por Q, donde: p Q = x/x= , p y q son enteros q (q 0) D.- El conjunto de los Números irracionales, denotado por I, donde: I = x/x tiene representación decimal infinita no periódica E.- El conjunto de los Números Reales, denotados por , donde:
Ejemplo:
8 2
8
0 (cero real)
a r rn a
3
16
(#s reales)
RADICACIÓN.Es la operación inversa a la potenciación que nos permite encontrar un número llamado raíz, tal que elevado al índice del radical reproduce el radicando o cantidad subradical.
a)
(2)3
+
En resumen, respecto a los signos en potenciación debemos considerar a) (-)PAR = + b) (-)IMPAR = -
n
+
Regla 2.- Toda Cantidad negativa afectada por un exponente impar bajo un paréntesis o sin paréntesis siempre es negativo. Ejemplo: a) (-6)3 = (-6)(-6)(-6) = -216 b) –63 = - (6)(6)(6) = -216 c) (-4)3 = (-4)(-4)(-4) = -64 d) –43 = - (4)(4)(4) = -64
8 2
(4)2
Respecto a los podemos hacer clasificación:
Regla 1.- Toda cantidad negativa afectada por un exponente par (bajo un paréntesis) es positivo Ejemplo: a) (-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 b) (-7)2 = (-7)(-7) = 49 c) (-8)2 = (-8)(-8) = 64 d) (-3)6 = 729
3
(4)2 = 16
(2)3
8
= x/x es racional ó irracional
10
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
F.- El conjunto Complejos, donde:
de los Números denotado por C,
III. DIVISIÓN DE BASES IGUALES
am an
C=x/x = a+bi;a b i es la unidad imaginaria donde: i = 1 ; tal que: i2 = -1
IV.
am bm V.
H.-El conjunto de los Números Enteros positivos incluido el cero, denotado por Z0+ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ........
a
ar
am.bm = (a.b)m
n
po m
sT
a b
NOTA: a
VII.
m
b ; a 0 b 0 a -m
=
1 am
EXPONENTE CERO (a 0) a0 = 1 NOTA.- 00 es indeterminado
VIII. RAIZ DE UNA POTENCIA
BASES
n
a
i)
n
ii)
; m, n
MULTIPLICACIÓN DE DIFERENTES CON EXPONENTE
am.n ; m, n
EXPONENTE NEGATIVO
C
II.
b0 m
ur
VI.
sé
am. an = am+n
DE
BASES IGUAL
m
n
Jo
MULTIPLICACIÓN IGUALES
DE CON
NOTA: am am.n ó am (am )n
Es un conjunto de fórmulas que relaciona a los exponentes de las expresiones algebraicas de un solo término, cuando entre estas expresiones algebraicas se realizan operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación en un número limitado de veces. Sus principales leyes sobre el campo de los números reales son: I.
a0 m
POTENCIA DE POTENCIA
lo
TEORIA DE EXPONENTES
a b
m n
Asimismo ampliando se tendrían los siguientes conjuntos:
1.7
n
DIVISIÓN DIFERENTES EXPONENTE
G.- El conjunto de los Números enteros positivos denotados por Z+, donde: Z+ = 1 , 2 , 3 , ............
Q+, +, Q -, -, 0+, 0 -, Q0 -, etc.
am
BASES IGUAL
m n
m
1 n
a ; m
p
a
b
a
m, n / n 0
q
c a a
m n
b
p n
c
q n
n
IX. MULTIPLICACIÓN RADICALES HOMOGENEOS
;m
n
11
a
n
b
n
DE
ab ; n / n 0
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA X. DIVISIÓN DE HOMOGENEOS
n
a
b
XI.
a b
n
Solución: Teniendo en cuenta la fórmula ( ( ( am )
n / n 0
a m
p
mp
n
a
S=
;
a
mnp
a
mk
n
(a )
a ; m, n, p,
E=
K
E=
;
E=
a
n
=a
24
. a
a
3
3
3
x16
x16........radicales
x16 3 x16........radicales E
sT
3
3
lo ar
mn
Simplificando
E3 x16 E2 = x16 E = x8 (Rpta) E EJERC. 4.- Simplificar la expresión
18
8
Jo
(a m)
4
C
Solución: Como,
6
(a3 )
(a2 )
S = a13 b7 (Rpta.)
E3 = x16 E E3 = x16 E
sé
E=
2
a8 b14
E= 3x E Elevando el cubo, los dos miembros de la igualdad:
Simplificar:
(a12 )
a21 b 21
16
EJERCICIOS
EJERC.1.
Solución: Escribiendo un radical más, se tendría
m, n, k, /mk 0
1.8
a(3x21)3 b (2x23)3
ur
n
( ( mn+ p ) q+r)s
EJERC. 3.- Dar el valor simplificado de
XIII. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES m
ar ) s = a
S = a21-8 b21-14
RADICAL DE RADICAL mn p
q
a(1x31)2 b (2x31)2
m, n, p, /n 0 XII.
ap )
obtenemos:
POTENCIACIÓN DE UN RADICAL n
n
po
n
RADICALES
K
2
b 1
b
3
b2 1
b3 b
a
b 4 b2
De las fórmulas (I) y (II):
Solución: Transformando a un solo radical y a un solo exponente:
E = a24-18-(-8); con lo cual E=a
14
(Rpta).
K EJERC. 2:
Efectuar:
3 2 ab S= ab 2
2
3
ab
a
(b3 b)(b 4 b2 )
expresando convenientemente
3
3
ab
(b2 1)b3 (b2 1)
K
(b2 1)b3 (b2 1)
a
b(b2 1)b2 (b2 1)
siendo el exponente igual al índice del radical K = a (Rpta)
2
12
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA 02. Que valor de “x” satisface a la ecuación:
ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO EN LOS REALES
3x 2 5x 1 2x 7 4 3 6
La ecuación lineal de primer grado en una variable es aquella que adopta la forma canónica: a, b : ax + b = 0
Solución: Siendo el m.c.m. (4, 3, 6) = 12, se obtiene: 3 ( 3x-2 ) – 4 ( 5x–1 ) = 2 ( 2x-7 ) 9x – 6 - 20x + 4 = 4x - 14
/ a 0
y cuya solución es: x
b a
Simplificando: -11x-2 = 4x-14 -15x = -12
DISCUSIÓN: Respecto a la solución de la ecuación, se debe tener en cuenta lo siguiente:
03.
12 4 x= (Rpta) 15 5
Resolver la ecuación literal
sT
ur
x a x b a b a x 2a x 2b b a b
Solución:
1.
a b
c d
sé
Solución: Aplicando identidades
las
operando y reduciendo:
siguientes
ax a2 bx a2 a bx 2ab ax 2ab b
ad = bc
obtenemos
2. ( a+b ) ( c+d ) = ac+ad+bc+bd obtenemos: ( x+3 ) ( x–4 ) = ( x-2 ) ( x+1 ) x2 - 4x + 3x – 12 = x2 + x - 2x - 2 Simplificando: - x – 12 = - x - 2 0x = 10
(a b)x (a2 b2 ) a (a b)x b (a b)x (a b)(a b) a (a b)x b Cancelando: (a-b)
Como el coeficiente de #x” es cero la ecuación es: Ecuación Incompatible
En las fracciones, siendo el mcm (b, a, a, b) = ab; se tendría
a(x a) b(x b) a b(x 2a) a(x 2b) b
x 3 x 1 Resolver: x 2 x 4
Jo
01.
C
EJERCICIOS
1.10
ar
lo
1º La ecuación es compatible determinada, (finitas soluciones) Si: a 0 b 2º La ecuación es compatible indeterminada, (infinitas soluciones) Si: a = 0 b = 0 3º La ecuación es incompatible, inconsistente (ecuación absurda) Si: a = 0 b / b 0
de donde: x
po
1.9
x (a b) a bx (a b)b ax x b ab b2 (b-a)x=ab+b2 x (Rpta) ba
(Rpta)
13
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
04. Qué valor de “x” satisface a la ecuación:
06.
x2 14x 50 x 3 x2 6x 10 x 7
2 2 5 4 4 3 3 x 1 x 2 1 1 x 3 5x
5
x2 14x 50 x2 14x 49 x2 6x 10 x2 6x 9
haciendo el cambio de variable x2-14x+49 = a x2+6x+9=b tendríamos:
a1 a ab+b=ab+a b 1 b
po
x 1 x 2 x 3 5x
de donde: b = a ó: x2+6x+9 = x2-14x+49 20x=40 X=2 (Rpta)
o lo que es lo mismo:
ur
x 1 x 2 x 3 x 5
sT
Por proporciones X2 5x-x+5=x2-2x-3x+6 Simplificando: -x+5=6 x = -1 (Rpta)
lo C
5x a 5x a 3 5x a 5x a 2
sé
Jo
c)
x 3
5
9
x 1
x 3
27
x-1
= 35
x 6
5
3
x 1
Los criterios de solución respecto a la solución de ecuaciones exponenciales son:
mn 3 2m 2n 3m 3n mn 2
5n = m volviendo a la variable original
1º A bases iguales, los exponentes deben ser iguales, es decir
5 5x a 5x a elevando al cuadrado; se obtiene 25(5x-a) = 5x+a 125x-25a = 5x+a
am = an m = n ; a 0 a 1 2º En toda ecuación exponencial si las estructuras algebraicas en ambos miembros son iguales, entonces el valor de la incógnitas se obtiene por comparación.
120 x = 26a
13a 60
x 2
d) 3
la ecuación se transforma en:
x=
Son todas aquellas ecuaciones que se caracterizan por que la incógnita se encuentra en el exponente. Ejemplo: a) 27 - x+3 = 9 x-1 b) 2 x+2 – 2 x - 3 + 2
Solución: Haciendo el cambio de variable:
de donde:
ECUACIONES EXPONENCIALES
1.11
ar
Resolver:
5x a m 5x a n
2
Solución: Transformando el exponente negativo en positivo y desarrollando el cuadrado del binomio obtenemos:
Solución: Debe tenerse en cuenta que los términos que son iguales en los dos miembros de la ecuación se pueden cancelar directamente; es decir: 5 con 5; 2 con 2; 3 con 3; -4 con –4 y 1 con 1; quedando:
05.
Calcular “x” en la ecuación:
(Rpta)
14
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Ejemplo:
xx
a)
Si:
b)
3x
x
x 2
x4
5 2
55
36
6
Solución:
x 5
64
x6
En este tipo de ecuaciones exponenciales, el problema consiste en hacer transformaciones en uno de sus miembros (ó en ambos) de forma que se halle una equivalencia estructural; el valor de la incógnita se obtiene por comparación.
tendría
2 3
x 2
2 3
2 2 . 3 x 2
01.
x 2 x 1
7
x 2 x 3
a 4
527
2x 3
53.9
x4
527
527
2x 3
2x 3
Igualando los exponentes 3.9-x+4=272x-3 Colocando en base “3” X 4
3.(32) = (33) 3.3-2x+8 =36x-9 3-2x+9=36x-9
en se
2X 3
Igualando los exponentes; obtenemos:
igualando los exponentes:
-2x+9=6x-9 -8x=-18
x2 x2 x 1 x 3
x
(x+2)(x-3) = (x-1)(x-2) operando: x2-x-6=x2-3x+2 2x=3 x=4 (Rpta). 04.
5
x 4 3 9
ar
7
los radicales fraccionarios,
Jo
Solución: Transformando exponentes obtiene:
3 (Rpta) 5
Solución: Expresando en base “5”
C
7x 2
sé
x 3
15 x 6
po
ur 1259
lo
(Rpta)
7x 2
2 3
5x 2
05. Que valor de “x” resuelve la ecuación:
02. Hallar el valor de “x” en la ecuación x 1
2 3 3
6 x 2
x=
sT
Calcular “x”, sí: 27 x 2 = 9 x 1 Solución: Expresando en base “3”; tendríamos (33) –x - 2 = (3 2) x+1 3 -3x - 6 = 3 2 x + 2 igualando los exponentes -3x-6 = 2x+2 -5x = 8
8 x= 5
2 . 3
3x 1
Igualando los exponentes: -5x = -15x+6 10x = 6
EJERCICIOS
1.12
2 ; se 3
Expresando en la base
9 (Rpta) 4
Resolver:
2 3
x 2
9 4
3x 1
8 27
5x 2
15
José Carlos Turpo
ALGEBRA
MONOMIOS, POLINOMIOS, GRADOS NOTACION DE POLINOMIOS SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE 1ER GRADO MONOMIOS – POLINOMIOS GRADOS
signos
a)
- 3 x6
2
b) bases
po
coeficientes
ur
Es muy importante presentar a los términos algebraicos bajo una notación de forma que nos permita diferenciar las constantes de las variables. Ejemplo: Para el término algebraico de notación T (x , y) se observa que:
ar
C
sé
b)
x x c) y
2.2
y3
(Notación) T (x, y)
(exponentes) =
-2
x9
y 1/3
(Parámetro) z (bases) (coeficiente)
Debemos tener en cuenta:
Jo
a) 2x3 y2
x y3
sT
INTRODUCCIÓN.La unidad fundamental de la estructura algebraica es el “término algebraico” TÉRMINO ALGEBRAICO.- Es el conjunto de letras y números ligados por las operaciones matemáticas de multiplicación, división, potenciación y radicación en un número limitado de veces. Ejemplos: 3 d) x y2 z1/3 4
exponentes
lo
2.1
a) T (x,y).- Es la notación que nos indica que las únicas variables son las letras “x” e “y”.
e) –6 ab2 x y z6 f) -x
b) Signo.- Indica si el término es mayor o menor que cero.
ELEMENTOS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO
c) Coeficiente.Es la cantidad que afecta a la parte literal; en el caso de que el coeficiente sea un número entero y positivo, nos indica el número de veces que se repite la parte literal como sumando.
Globalmente está constituido por una parte numérica y una parte literal, como se muestra a continuación: 2 xy3 a) -3 x6 b) parte literal parte numérica
Ejemplo: En cada una de estas partes se especifican:
16
José Carlos Turpo
ALGEBRA a) + 6 x2 b) 3x y z
= x2 + x2 + x2 + x2 + x2 + x2 (6 veces) = xyz +xyz+xyz (3 veces)
2 veces a3 = a a a (a se multiplica 3 veces) 3 veces an = a a a .... a (a se multiplica n veces) n veces Por la propiedad de simetría: a a a …... a n veces
COEFICIENTE NATURAL
Con respecto a la siguiente secuencia: 1a =
a
Ejemplos:
(a se suma 1 vez) (a se suma 2 veces) (a se suma 3 veces)
na = a + a + a +.... + a n veces
(a se suma n veces)
a) x x x .......... x = x60 60 veces n2 b) 6 6 6 .......6 = 6 n2 veces c) (x-y2) (x – y2) ....... (x – y2) = (x-y2)29 29 veces d) z z z ,,,,,,,,,,,z = z n-2 (n – 2) veces
po
2a =a+ a 3a =a+a+a
De la propiedad de simetría n z+
ur
a + a + a +.... + a = na n veces
sT
2.3
Ejemplos = 80 a
33 veces
( x y 2 ) ( x y 2 ) ..... ( x y 2 ) 72 ( x y 2 ) 72 veces
Es la expresión algebraica racional entera que consta de un solo término, en el cual los exponentes de sus variables son cantidades enteras no negativas. Ejm: a) M (x, y) = -2 x7 y3 b) R (x, y) =–6 x9 y5 z6 GRADOS DE UN MONOMIO.-
sé
d)
200 x
C
100 veces
ar
b) x y2 + x y2 + .......+ x y2 = 33 x y2 c) 2 x 2 x ......... 2 x
MONOMIO.-
lo
a) a + a + a +.... + a 80 veces
n Z+
= an
Jo
d) Exponente.- Es el número que se escribe en la parte superior derecha de una “base”; si el exponente es un número entero y positivo nos indica el número de veces que se está multiplicando la base
a) Grado absoluto (G.A.).- Está determinado por la suma de los exponentes de sus variables. Ejemplo: Respecto a los monomios a) M(x,y) = - 9 x4 y6 4 6 3 b) R(x,y) = - 6 x y z
Ejemplos: a) x5 = x x x x x 5 veces 3 4 3 b) (x ) = x x3 x3 x3 4 veces
G.A. = 4 + 6 = 10 G.A. = 4 + 6 = 10
b) Grado Relativo (G.R.).Con respecto a una de sus variables, es el exponente que tiene dicha variable, es decir: Respecto al monomio: M (x, y) = - 5 x6 y4 z8
EXP0NENTE NATURAL
Vemos que:
Con referencia a la siguiente secuencia: a1 = a (a se multiplica 1 vez) a2 = a a (a se multiplica 2 veces)
17
G.R. (x) = 6 G.R. (y) = 4
José Carlos Turpo
ALGEBRA G.R. (z) = 8
Solución Dado que:
EJERCICIOS
2n 3
x n3
x n1 Sabiendo que es de primer grado.
ur
sT
C
n 1 6
sé
Siendo M (x) de primer grado, se cumple que: n 2 n 3 n 1 1 ; mcm = 6 3 2 6 Resolviendo 2 (n – 2) + 3(n-3) – 1 (n-1) = 6(1) 2 n–4 +3n–9– n+1= 6 4 n = 18 2
3
Solución Dado que:
G.R.( y ) 20 y G.R.( x ) 63
Lo cual a su vez implica que: 2a + 3b = 21 ................... 5a - 2b = 5 ..................
(1) (2)
Resolviendo por determinantes: 21
Rpta.
a= 5 2
Ejercicio 3.- Dado el monomio: 4
Se cumple que: G.A. = 83 y G.R (Y) = 20 Determine : (a + b)
G.A. = 83
Jo
Obtenemos: n = 9
M (x) =
2n 5
Ejercicio 4.- En el monomio: M(x,y)= x3(2a+3b) y4(5a-2b)
ar
n2 n3 x 3 x 2 M (x) = n 1 x 6
x 2n 3
lo
Solución Reduciendo a una sola base y a un solo exponente:
M (x) = x
2n 1
Con lo cual: 6(2n – 3) + 2 (2n – 1) - 3 (2n – 5) =0 12n –18 + 4 - 2 - 6n + 15 = 0 10 n = 5 De donde: n = 0,5 Rpta.
6
n2 n 3 -3 2
po
x n2
2n 5 8
12 8 M(x) = X 4 Como M(x), es una cantidad constante se cumple que: 2n 3 2n 1 2n 5 0 ; mcm 24 4 12 8
Ejercicio 2.- Hallar el valor de “n” en el monomio 3
; se tendría :
2n 1 X 12
X Reduciendo a una sola base:
Solución Simplificando, obtenemos: M (x, y) = x ((3x 3 + 2) 2 + 1) 2 y32 M (x, y) = x46 y32, de donde G.A. = 46 + 32 = 78 Rpta.
M (x) =
m
an
am
2n 3 X 4
M(x) =
Ejercicio 1.- Dado el monomio M (x, y) = (((x3 y2)3 x2 y)2 x y2)2 Hallar su grado absoluto
n
3 2 3
42 15 3 4 15
5 2
x 2 n 1
2 21
x 2n 5 Para que el valor de “n”; M(x) es constante.
5 10 105 5 3 4 15 5 2
b= 5 2
a +b=8
18
Rpta
José Carlos Turpo
ALGEBRA
2.4
02.- Si los términos del polinomio P (x, y, z) = x m + n + y3n + z m + 2 Tienen el mismo grado. Hallar mn
POLINOMIO
Es la expresión algebraica que consta de dos o más términos, en el cual los exponentes de sus variables son números enteros no negativos. Son ejemplos de polinomios: a) b) c)
P(x) = 2x – 3 Q(x) = x3 + x2 y + y2 P(x,y) = x2 + 2x y + 3y2
Solución Para este caso, se cumple que: m+n=3n=m+ 2 con lo cual: de : m + n = m + 2 n = 2 de : m + n = 3 n m+2= 6 m=4 mn = 42 = 16 Rpta.
(binomio) (trinomio) (trinomio)
GRADOS DE UN POLINOMIO.a) Grado absoluto (G.A.).- Está determinado por el mayor grado absoluto que tiene uno de sus términos. Ejemplo: Dado el polinomio:
po
ur
Polinomio Ordenado: Un polinomio está ordenado con respecto a una letra llamada ordenatriz, si sus exponentes aumentan (ascendentes); ó disminuyen (descendentes).
22º
lo
13º vemos que: G.A. =22
sT
P (x,y) = x6 y4 - 2 x7 y8 + x6 y16 10º
C
ar
b) Grado Relativo (G.R.).- Con respecto a una de sus variables es el mayor exponente que tiene dicha variable en el polinomio dado. Ejemplo: Dado el polinomio:
a) b)
Ejemplo: P(x) = 7 - x3 + 2 x 6 – x15 P(x) = x 9 – 2 x 7 – x 3 - 1
(ascendente) (descendente)
sé
Polinomio Completo: Un polinomio es completo con respecto a una letra llamada ordenatriz si sus potencias aumentan o disminuyen desde el mayor exponente hasta el exponente cero en forma consecutiva
Jo
P(x,y) = x6 y3 – 2x9 y7 – x4 y8
Vemos que:
CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS
2.5
G.R.(x) = 9 G.R.(y) = 8
EJERCICIOS 01.- Dado el polinomio P (x , y) = 5 x n – 4 y n-3 + x n-6 y n-2 Hallar “n” si su grado absoluto es 9
a) P(x) = 2x4 + x3 + 6x2 – 7x – 6 (D) b) P(x)= -5 + 2x – 3x2 + x3 (A) 2 2 c) P (x,y) = 3x – 5 xy + 3 y (D) y (A) Descendente respecto a “x” Ascendente respeto a “y”
Solución Sumando los exponentes término, obtenemos:
Propiedades 1. El número de términos es igual al grado absoluto más uno
P (x , y) = 5 x n – 4 y n - 3 + x
(2n – 7)
n-6
de
cada
yn-2
#t = G. A + 1
(2n-8)
2. Si el polinomio es completo y ordenado la diferencia de los grados
Por consiguiente: 2n – 7 = 9 n = 8 Rpta.
19
José Carlos Turpo
ALGEBRA relativos de dos términos consecutivos es igual a la unidad. Polinomio Homogéneo: Este polinomio se caracteriza por que todos sus términos tienen el mismo grado absoluto. Ejm: Para el Polinomio: 9
P(x,y) = x + 2 x 9º
4
y
5
+ y
9º
EJERCICIOS 01.- Si: A (x – 3) + B (x – 2) 3x – 12 Calcular : E =
A B B
Solución Dado que la identidad se cumple para cualquier valor de x, asignamos un valor de x para que una de las incógnitas “A” o “B” se cancelen, es decir:
9
9º
G.A. = 9º
Polinomio Entero “x”: En este polinomio sus exponentes son enteros y positivos a) P(x) = -5 x + 7
+ B (x – 2) 3x – 12 0
po
A (x – 3) 0
1º) x – 3 = 0 x = 3, de donde: A (3 – 3) + B (3 – 2) = 3(3) - 12
ur
b) P(x) = 2x2 – 3x – 2
B = -3
sT
2º) x – 2 = 0 x = 2 A (2 – 3) + B (2 – 2) = 3(2) - 12 -A = -6
Si:
Reemplazando en “E” E=
6
6 ( 3) 3 6 3 3 Rpta.
02.- Si el polinomio: P (x) = (a– 2) x2 + (b + 3) x + 9 x2 – 5 x Es nulo, hallar (a + b)
Jo
Se cumple que:
A=6
E=0
sé
a x2 + b x + c d x2+ ex + f
C
ar
lo
Polinomios Idénticos: Estos polinomios se caracterizan por que los coeficientes de sus términos semejantes en ambos miembros son iguales, en efecto:
a=d b=e c=f
Solución Si el polinomio es nulo, coeficiente vale cero, es decir:
Polinomios Idénticamente Nulos: Estos polinomios se caracterizan por que sus coeficientes valen cero:
cada
P (x) = (a – 2 +9) x2 + (b + 3 – 5) x 0 0 0 1º) a–2+9=0 a = -7 2º) b+3-5=0 b=2 a + b = -7 + 2 = – 5 Rpta.
Ejemplo: dado P(x) = a x2 + b x + c 0
03.- Dado el polinomio homogéneo P(x, y) = xa+b-1 y b – xy6 - 3y2a + 3b - 6 Determine: E = (ab + ba – ab)2 Solución Por ser homogéneo, se cumple:
Se cumple que: a=0 b=0 c=0
20
José Carlos Turpo
ALGEBRA a + b – 1 + b = 1 + 6 = 2a + 3b – 6 (I)
( II )
2.6
( III )
De (I) y (II), se obtiene: a+2b=8 De (II) y (III) 2 a + 3b = 13 Resolviendo el sistema: a+2b=8 .......... 2 a + 3b = 13 .......... 8 a
La notación de polinomios nos permite diferenciar las constantes de las variables; en efecto, para los polinomios. A) P (x) = x3 + ax2 – b2 c La única variable es “x” y las constantes literales llamadas también parámetros son “a”, “b” y “c”.
(1) (2)
B) P (x, y) = x4 – x3 y2 + 5 a x + 6 Las variables son las letras “x” e “y” y las constantes son “5”, “a” y 6.
2
13 3
1 2
NOTACIÓN DE POLINOMIOS
24 26 2 2 34 1
Este tipo de notación extensible a cualquier expresión algebraica. Ejm:
2 3
b
8
2 13 1 2
13 16 3 3 34 1
po
1
a) P (x)
=
ur
2 3
Por consiguiente el valor de “E” es:
=
sT
b) P (x)
E = [ 23 + 32 – (2) (3) ] 2 E = 121 Rpta.
c) P (x,y) =
sé
C
ar
lo
04.- Tres términos consecutivos de un polinomio ordenado y completo en forma descendente están representados por: P(x)= .... + x a+b+1 – x2a - 1+ 3bx3b-1-.... Calcular el valor de “a”
Jo
Solución En este caso se cumple que la diferencia de dos exponentes consecutivos es igual a la unidad, es decir:
a
() (ß)
1
1
=
3 1 2 32 1
a=2
x2 y3 x2 y3
+xy–9
EJERCICIOS
01.- Sabiendo que: 5x 3 P(x) = 9x 5 Calcular : P (P (x)) Solución Reemplazando, x por P(x) 5 P( x ) 3 P (P(x)) = 9 P( x ) 5
Efectuando las operaciones indicadas: 25 x - 15 - 27 x 15 P (P(x)) = 45 x - 27 - 45 x 25 2x P (P(x)) = P (P(x)) = X Rpta. 2
1
1 3
a x2 b x c
5x - 3 5 3 9x - 5 P(P(x)) = 5x - 3 9 5 9x - 5
Resolviendo para “a” 1
axb cxd
Como P(x), es conocido
a + b + 1 - (2a – 1) = 1 ......... () 2 a – 1 - (3 b – 1) = 1 ......... (ß) Simplificando: - a + b = -1 ..................... 2a - 3b = 1 ……………….
se hace tipo de
Rpta.
2 3
x 2 3 2 x x x 1 x 5
02.- Si; F
21
José Carlos Turpo
ALGEBRA Calcular: E = F(4) Teniendo en cuenta la condición:
Solución Para calcular F(4), hacemos: x2 4 x – 2 = 4 x – 20 x5 18 = 3x x =6 Con la cual: F (4) = (6)3 – (6)2 + (6) – 1 F (4) = 185 Rpta. 03.- Si; f(x) = ax – b y : g(x) = bx – a Hallar; h(x) = f(g (x)) - g (f (x))
a3 x + a2 b + ab + b 216 x – 215
Al comparar: i)
a3 = 216 a =
3
216 a = 6
Solución
ur
sT lo
g (f(x)) = b f(x) – a g (f(x)) = b (ax - b) – a g (f(x)) = abx – b2 - a De donde: h (x) = abx – a2 – b –ab x + b2 + a h (x) = b2 – a2 + a – b Rpta.
Determinante de orden 2.- Es el desarrollo de una matriz cuadrada que presenta dos filas y dos columnas y cuya representación matemática y desarrollo es:
C
ar
2º)
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO.
2.7
Operando por partes, tendríamos: 1º) f (g (x)) = a g(x) –b f (g (x)) = a (bx-a) –b f (g (x)) = abx –a2 – b
Rpta.
po
ii) a2b + ab + b = -215 36 b + 6b + b = -215 43 b = -215 b = -5 Por consiguiente: P (x) = a x + b = 6 x – 5 y : P (x+2) = 6(x+2) - 5 = 6x+7
Ds : Diagonal Secundaria A2
a1 a 2 b1 b 2
= a1 b2 – a2 b1
sé
Dp : Diagonal principal Ejemplo: El desarrollo de:
Jo
04.- Si; P (P(P(x))) = 216x – 215 Calcular: P (x + 2)
2=
5
4
3 5
, es :
2 = Dp – Ds = 5(-5) – (-3)(4) 2 = -25 + 12 = -13 2 = -13
Solución Como en la condición el segundo miembro es una expresión de primer grado, entonces P(x) también es de primer grado, es decir: P (x) = a x + b Operando por partes, tendríamos: 1) P (P(x)) = a P(x) + b P (P(x)) = a (ax + b) + b P (P(x)) = a2x + ab + b
Determinante de orden de tres.- Es el desarrollo de una matriz cuadrada de 3 filas y 3 columnas; su representación matemática es: a1 b1 c 1 3 = a 2 b 2 c 2 a3 b3 c 3 Y su desarrollo por menores complementarios; es: b2 c 2 a2 c 2 a2 b2 3 = a1 - b1 + c1 b3 c 3 a3 c 3 a3 b3
2) P(P(P(x))) = a+b(a2z + ab+b) + b P(P(P(x))) = a3 x + a2b + ab + b
22
José Carlos Turpo
ALGEBRA
x=4 Rpta. Ejemplo 2.- Calcular “y” en el sistema:
ó también 3 = a1 (b2 c3 – b3 c2)-b1 (a2 c3 – a3 c2)+ + c1 (a2b3 - a3b2) Ejemplo: 2 3 4 5
-7 x + 5y = -45 ................. () 4x - 3y = 26 ................. (ß) Solución Para el cálculo de “y” tenemos: 7 45 4 26 182 180 2 y -7 5 21 20 1 4 -3 y = -2 Rpta.
Calcular: 3 1 1 2 3 1
Desarrollando 1 2 4 2 4 1 3=2 +3 +1 5 3 3 1 5 1 3 = 2 (1 + 6) + 3 (-4 + 10) + 1 (12 + 5) 3 = 14 + 18 + 17 3 = 49
DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN 1. Si: x, y R y s 0 el sistema es compatible determinado, y hay una solución única. 2. Si: x = 0; y = 0 y s = 0, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. 3. Si x 0; y 0 y s = 0, el sistema es incompatible, no tiene solución. Ejemplo: Dado el sistema 2x + ky = 5 k ........... ()
po
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
2.8
s
a1
b1
a2
b2
a1
c1
a2
c2
a1
b1
a2
b2
c 1b 2 c 2b1 ; a1b 2 a 2b 2
ar
b2
a1c 2 a 2 c 1 a1b 2 a 2b1
Donde: x = Determinante de x y = Determinante de y s = Determinante del sistema Ejemplo 1.- Calcular “x” en el sistema: 5x – 3y = 11 .............. () 4x - 5y = 1 ..............(ß)
2.9
11 3 x
5
5 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS
Dado el sistema lineal: a1 x + b1 y + c1 z = d1 .............. () a2 x + b2 y + c2 z = d2 .............. (ß) a3 x + b3 y + c3 z = d3 .............. ()
Solución: De acuerdo a la teoría:
1
5x – 4 y = -27 ……….. (ß)
para que valor de “K”; es incompatible Solución Calculando “x”, vemos que: 5k k 27 4 20 k 27 K 7K x 2 k 8 5K 5K 8 5 4 Para que no exista solución debe cumplirse que: 8 -5 k – 8 = 0 k = Rpta. 5
C
y
c2
sé
y
x s
b1
Jo
x
c1
lo
es:
sT
Su resolución por la regla de Kramer teniendo en cuenta que:(a1 b2 – a2 b1 0)
ur
Dado el sistema lineal: a1 x + b1 y = c1 .............. () a2 x + b2 y = c2 .............. (ß)
Su resolución por la regla de KRAMER, (donde s 0) es:
55 3 52 25 12 13
4 5
23
José Carlos Turpo
ALGEBRA
d2
b2
c2
d3
b3
c3
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a1
d1
c1
a2
d2
c2
a3
d3
c3
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a1
b1
d1
a2
b2
d2
a3
b3
d3
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN: 1. Si: x, y, z R y s 0, el sistema es compatible determinado. 2. Si x = 0 ; y = 0; z = 0 y s = 0, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. 3. Si x 0; y 0, y s 0, el sistema es incompatible, no tiene solución: Ejemplo: Dado el sistema:
x s
=
=
-2k x – 3 y + (k + 5) z = 13 x + y z = 0 3x –2y + 2 z = 10
y s
¿Para que valor de “k”; el sistema es compatible indeterminado?
z s
Solución Calculando “x” 13 0 10 x 2k 1 3
C
5 x – 2y + 3 z = 6 .............. 7x + 3y – 4 z = 6 .............. -2 x + 4y + 3 z = 5 ..............
ar
lo
Ejemplo 1: Calcular el valor de “y” en el sistema: (1) (2) (3)
y=
3
7
6 4
2 5
3
5
2
3
7
3
4
2
4
3
vemos que: 3 k 5 1 1 2 2 3 k 5 1 2
1 2
De donde: 13 (0) 3 (10) (k 5) ( 10) x 2 k (0) 3 (5) (k 5) ( 5) 30 10 k - 50 - 10k - 20 x= 15 - 5 k - 25 - 5k - 10 Para que sea compatible indeterminado: 0 X= 0 1) –10 k – 20 = 0 K = -2 2) –5 k - 10 = 0 K = -2
Jo
y
6
sé
Solución Por determinantes, se tendría: 5
.......... (1) ........... (2) ........... (3)
po
z
c1
ur
y
b1
sT
x
d1
5(38) 6(13) 3( 47) 5(25) 2(13) 3(34)
k = -2 Rpta.
190 78 141 253 125 26 102 253 y =1 Rpta.
24
José Carlos Turpo
PRODUCTOS NOTABLES - IDENTIDADES ECUACION DE 2DO GRADO PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables son fórmulas que permiten efectuar multiplicaciones indicadas, sin aplicar los criterios generales de la multiplicación algebraica, y deben satisfacer las siguientes propiedades:
T.I = 2
T.I = -6
T.I = -3
T.I. [ P(x)] = (2) (-6) (-3) = 36 Ejemplo 2: Hallar el término independiente de P(x) en: P(x) = (x2 – 1)5 (x4 – x3 – 2)3 .
po
PROP. 1 El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores, en efecto:
ur
Solución: En este caso, el término independiente en cada paréntesis es: P(x) = (x2 – 1)5 (x4 – x3 – 2)3 T.I= (-1)5 T.I. = (-2)3 5 T.I. [ P(x)] = (-1) (-2)3= (-1) (-8) = 8
lo
Ejemplo. 1: Hallar el grado de P(x) Si: P(x)=(x4+ 3) (x6–2x–3) (x3 – 4) Solución: Observemos que el grado en cada paréntesis es: P(x) = (x4 + 3) (x6 – 2x – 3) (x3 – 4)
sT
Gºproducto = Gºfactores
OBSERVACIONES
ar
C
Gº = 4 Gº = 6 Gº = 3 Gº [P (x)] = 4 + 6 + 3 = 13
sé
Debemos tener en cuenta las siguientes potenciaciones, respecto a los radicales monómicos. 1) ( 2 )2 = 2 2 = 4 = 2
Ejemplo 2: Hallar el grado de R(x) Si: R(x) = (x2 + 5)3 (x4 – 1)6 Solución: Para este caso, el grado correspondiente en cada paréntesis es: R(x) = (x2 + 5) 3 (x4 – 1) 6
Jo
3.1
Solución El término independiente en cada paréntesis es: P(x) = (x3 – x + 2) (x4 – x –6) (x7 – 3)
2)
( 2 )2 = 2
3)
(2 2 )2 = 22 2 2 = 4 (2) = 8
4)
(3 2 )2 = 32
5) ( 2 )3 =
2
2 2 = 9 (2) = 18
6 24 Gº [R (x)] = 6 + 24 = 30
7) ( 3 ) = 3
3
3
2=
2
6) (2 2 ) = 2 . 2 3
3
4
2 =2 2
= 8(2 2 ) = 16 2 3 =3 3
3 3
PROP. 2
8) (3 3 )3 = 33. 3 = 27 (3 3 ) = 81 3 Para un entendimiento coherente respecto a los productos notables y las identidades, los observaremos por grupos:
El término independiente del producto es igual al producto de los términos independientesde los factores, es decir: (T.I.factores) EjemploT.I. 1: producto Hallar=el término independiente de P(x) en: P(x) = (x3 – x + 2) (x4 – x – 6) (x7 – 3)
25
3.2 I.
GRUPO: I
Cuadrado del Binomio
José Carlos Turpo
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
2 n S = n ( 2 3 ) ( 2 3 ) 22 - 3
II. Cubo del Binomio * (a + b)3 = a3 + 3a2 b +3 ab2 + b3 * (a - b)3 = a3 - 3a2 b +3 ab2 - b3
S n 4-3
Sn 1 = 1
Rpta.
03. Calcular: R = ( 2 1 )5 Solución: Expresando convenientemente, tendría:
Estas mismas fórmulas se pueden expresar bajo las formas: * (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) * (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)
se
R = [( 2 - 1)2]2 ( 2 - 1) Operando por partes: [( 2 -1)2]2 = (2 – 2 2 +1)2 = (3-2 2 )2
III. Diferencia de cuadrados (suma por diferencia) * (a + b) (a – b) = a2 – b2
po
= 9 - 12 2 + 8 = 17 – 12
2
ur
IV. Suma y Diferencia de cubos * (a + b) (a2 – ab + b2) = a3+ b3 * (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
sT
Con lo cual, se tendría: R = (17 – 12 2 ) ( 2 -1) R = 17 2 - 17 – 24 + 12
EJERCICIOS
R = 29
2 - 41
2
Rpta.
lo
3.3
(a +b) (a –b) = a2 – b2
condición
al
cubo,
se
Jo
(x + x-1)3 = ( 6 )3 x3 + x-3 + 3x . x-1 (x + x-1) = 6 6
Entonces: * (x + a) (x – a) = x2 – a2 * (x2 - a2) x2 + a2) = x4 – a4 * (x4 – a4) (x4 + a4) = x8 – a8 Por consiguiente: R = x8 – a8 + a8
04. Si: x – x-1 = 6 Calcular x3 + x-3 Solución Elevando la obtiene:
sé
Solución Teniendo en cuenta que:
C
ar
01. Efectuar R = (x+a) (x-a) (x2 + a2) (x4+ a4) + a8
Dado que: x + x-1 =
6
x3 + x-3 + 3 6 = 6 6 x3 + x-3 = 3 6
Rpta.
R = x8
02. Simplificar: S = n 2 3. n 2 3. Solución Dado que:
n a. n b
n ab
a0b0
26
José Carlos Turpo
3.4
Solución: Haciendo el cambio de variables:
GRUPO: II
V. Multiplicación de binomios con un término en común. *)
se tendría en S. S = (x + c)3 – (x – c)3 –(c + y)3 – (c-y)3 Desarrollando cada término
(x +a ) (x + b) = x2 + (a +b) x + ab
**) (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + ac + bc) x + abc
S =
x3 + 3x2c + 3xc2 + c3 -x3 + 3x2c – 3xc2 + c3 -c3 - 3c2y – 3cy2 - y3 -c3 + 3c2y2 – 3cy2 + y3 ---------------------------------S = 6x2 c - 6c2 y2 S = 6 c [ x2 – y2 ] Volviendo a las variables originales: S = 6c [ (a + b)2 – (a –b)2 ] S = 6c [ a2 +2ab + b2 –a2 + 2ab –b2] S = 6c [4ab] S = 24 abc Rpta.
sT
ur
po
VI. Cuadrado del trinomio (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + + 2ac + 2bc
03. Sabiendo que:
lo
VII. Cubo del trinomio Forma 1: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + + 3 (a + b) (a + c) (b + c) Forma 2: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3 b2c + + 3c2a + 3c2b + 6 abc
C
EJERCICIOS
ar
F=
3.5
a+b=x a- b=y
01. Simplificar S = (a + b + c)2 + (a + b – c)2 + + (a – b + c)2 + (- a + b + c)2
Hallar : G =
F 16, 25
Solución: Observemos que: F=
sé
(x - 5) (x 6) (x - 1) (x 2) 196
(x - 5) (x 6) (x - 1) (x 2) 196
Jo
Se transforma en:
Solución Desarrollando cada término, se tendría:
F=
S=
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc -------------------------------------------S = 4a2 + 4b2 + 4c2
F=
(a 30 ) (a 2) 196
F=
a2 - 32 a 256
F=
(a 16) 2
Factorizando “4”: S = 4(a + b +c ) Rpta
ó :
F = x + x – 16
02. Simplificar: S = (a + b + c)3 - (a + b - c)3 – - (a-b+ c)3 - (-a + b + c)3
Reemplazando en G:
2
2
(x 2 x - 30) (x 2 x - 2) 196
Haciendo : x2 + x = a
Como la cantidad subradical es un cuadrado perfecto.
2
27
F = a – 16
2
G=
x 2 x - 16 16, 25
G=
x2 x
1 4
José Carlos Turpo
Siendo la cantidad cuadrado perfecto
sub-radical,
un IGUALDADES CONDICIONALES
3.7
1 1 G = (x ) 2 G= x+ 2 2 ó lo que es lo mismo 2x 1 G= Rpta. 2
A) Si: a + b + c = 0; se verifica que: 1.) a2 + b2 + c2 = - 2 (ab + ac + bc) 2.) a2 b2 + a2c2 + b2c2 = (ab+ ac + bc)2
3.6
3.) a3 + b3 + c3 = 3abc
GRUPO: III
2 2 3 3 3 2 a5 b5 c5 4.) a b c a b c = 5 2 3
IDENTIDADES Son expresiones algebraicas que nos permite efectuar operaciones por simple inspección, entre las de mayor importancia, tenemos:
po
ur
B) Si: a2 + b2 + c2 = ab + ac + b a=b=c
Identidades de Legendre
1º) (a+b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2) 2º) (a+b)2 - (a – b)2 = 4 ab
sT
VIII.
2 2 5 5 5 2 a7 b7 c7 5.) a b c a b c = 7 2 5
C) Si :
C
ar
lo
IX. Identidades de Lagrange 1º) (ax + by)2 + (ay – bx)2 = (a2 + b2) (x2 + y2) 2º) (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2 + + (az – cx)2 + (bz - cy)2 =(a2+b2+ c2) (x2 + y2 +z2)
3.8
sé
01.-
X. Identidades de Gauss: 1º) (a + b + c) (a2+ b2 + c2-ab-ac-bc) = = a3 + b3 + c3 – 3abc 1 2º) (a + b + c) [(a-b)2 + (a-c)2 + 2 + (b-c)2] = a3 + b3+ c3 – 3abc
1 1 4 x y xy
EJERCICIOS Sabiendo que; Calcular: 4
Jo
x=y
a x9
a x9
4
x9 7 a
x9 a
Solución Sea E : 4
a x9
4
x9 a
Elevando el cuadrado, se obtiene:
XI. Identidades de Argand
E2 =
1º) (x2 + xy +y2) (x2 – xy + y2) = = x4 + x2 y2 + y4
a x9
2 4
E2-2 =
2º) (x2 + x + 1 ) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
Nuevamente obtenemos: (E2 –2 )2 =
28
a x9
a x9
a
4
x9 + a
x9 a
x9 elevando
el
x9 a
cuadrado
x9 +2 a
José Carlos Turpo
Reemplazando el valor de la condición: E2 – 2 = 7 2 3
a, b y c son los coeficientes respectivos de sus términos.
De donde: E2 = 5
E=
I.
1 1 4 02.- Si: x y xy
Calcular: R=
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
3.10
5 Rpta.
x2 y2 x 2xy y
Por factorización.- Si el discriminante de la ecuación: ( = b2 – 4 ac) es un cuadrado perfecto, es decir: 0, 1, 4, 9, 16, 25, ........ Para su solución aplicamos aspa simple
Solución Operando en la condición: xy 4 xy xy
po
Ejemplo: Resolver 10 x2 + 11 x – 6 = 0
ur
Solución Para esta ecuación: a = 10, b=11 y c = -6; el discriminante es: = (11)2 – 4 (10) (-6) = 361 como, 361 es un cuadrado perfecto la ecuación se puede factorizar.
ar
lo
Desarrollando y simplificando, vemos que: x2 + 2 x y + y2 = 4x y x2 – 2xy + y2 = 0
sT
Por proporciones: (x + y)2 = 4xy
10 x2 + 11 x – 6 = 0 2x 3 15 x
3.9
2 y2
R
5x
y 1-1 y
Jo
R=
y2 y2
sé
C
(x – y)2 = 0 x=y Reemplazando “x” por “y” en R; se obtiene:
= 0
4x 11x
Con lo cual: (2x + 3) (5 x – 2) = 0
Rpta.
Recordemos que:
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
Si: a. b = 0 a = 0
Son aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma: a x2 + b x + c = 0
-2
b=0 3 2
en nuestro caso : x =
(a 0)
II.
donde: ax2 = Término cuadrático bx = Término Lineal c = Término independiente
x=
2 5
Por fórmula.- Se aplica la fórmula cuando la factorización no es inmediata
Deducción: Sea la ecuación: ax2 + bx + c 0
29
José Carlos Turpo
dividiendo entre “a” b c x 0 x2 + a a
x1
2
Coeficiente de x adicionando : 2 a los dos miembros de la igualdad:
b2
;
x1 =
-b- 2a
x2 =
-b 2a
po
2
sT
b2 - 4a c 2a
x2 =
- b b2 - 4 ac 2a
sé
- b - b2 - 4 ac 2a
Ejemplo: Hallar los valores de “k” en la ecuación: (k + 1) x2 – (5 k – 3) x + 9 = 0 Sabiendo que sus raíces son iguales
Jo
x1 =
C
Las dos soluciones o raíces son:
lo
- b b2 - 4 ac 2a
ar
x=
De otro lado, siendo: = b2 – 4 ac x1 =
-b- 2a
x2 =
-b 2a
Solución Desde que las raíces son iguales 2 entonces: = b – 4ac = 0, es decir: [-(5 k – 3)]2 – 4 (k + 1) (9) = 0 desarrollando, obtenemos la ecuación:
Ejemplo: Resolver : x2 – x – 1 = 0 Solución
En este caso:
Las raíces de la ecuación de segundo grado, depende de la cantidad subradical. = b2 – 4 a c ( Discriminante) De acuerdo a esto: 1º.- Si: = b2 – 4 a c 0; las dos raíces son reales y diferentes. 2º.- Si: = b2 – 4 a c = 0; las dos raíces son reales e iguales. 3º.- Si: = b2 – 4 a c 0; las dos raíces son números complejos y conjugados.
ur
extrayendo raíz cuadrada b 2a
1 5 2
En la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 (a 0); se cumple que:
b2
b b2 c x 2 2a a 4a
x
x2
NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
3.11
c b2 x x 4a2 4a2 a 4a2 dado que los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto, se tendría: 2
1- 5 2
25 k2 – 66 k –27 = 0 25 k 9 9k
a = 1; b = -1: c = -1 = (-1)2 – 4(1) (-1) =5
k
Con lo cual:
30
-3
75k 66k
José Carlos Turpo
de donde: (25 k + 9) (k-3) = 0
k=3 9 25
k=
Reemplazando en (2), tendríamos:
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
3b b c 3b2 16 a c 4 a 4 a a
Siendo la ecuación del Segundo grado: ax2 + b x + c = 0 ; a 0 Sus raíces son: b b 2 4ac - b b 2 4 ac ; x2 2a 2a de donde se cumple:
x1 =
sT lo C
sé
II.
(x, x2)
Jo
; a
Ejemplo: ¿Qué relación guardan los coeficientes de la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a 0 Si una de sus raíces es el triple de la otra?.
x1 + x2 = -
(1)
x1
(2)
x2 – (x1 + x2) x + x1 x2 = 0
Conociendo la suma de las raíces : S = x1 + x2 y el producto de ellas mismas P = x1 . x2, la fórmula a utilizar es: x2 – Sx + P = 0
Ejemplo: Formar una ecuación de segundo grado de coeficientes reales, si una de sus raíces es: 2 + 6.
Solución De acuerdo a los datos, se tiene: b ........ a c x2 = ........ a x1= 3x2 ........
llevando a la forma canónica, se tendría la fórmula:
ar
2º) Producto de las raíces: c x1 + x2 = a 3º) Diferencia de las raíces:
Conociendo : “x1” y “x2”, raíces de la ecuación de segundo grado, se cumple que: (x – x1) (x – x2) = 0
ur
I.
1º) Suma de las raíces: b x1 + x2 = a
x1 + x2 =
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CONOCIENDO SUS RAÍCES
3.13
po
3.12
reemplazando, (3) en (1): b b 3x2 + x2 = x2 = 4a a 3b Asimismo: x1 = 4a
Solución Como las raíces irracionales se presentan por pares conjugados, entonces: x1 = 2 + 6 x2 = 2 - 6 con lo cual: i) x1 + x2 = 2 +
(3)
ii)
31
6 +2-
6 =4
x1 + x2 = (2+ 6 ) (2- 6 ) = 4-6=-2
José Carlos Turpo
Reemplazando en la obtenemos la ecuación: x2 – 4x – 2 = 0
Solución Ya que las raíces son las mismas, se cumple que: a 3 a 4 3 1 b 1 2b 4 6 2 de donde obtenemos, el sistema:
fórmula, (Rpta.)
Ejemplo: Formar una ecuación de segundo grado de coeficientes reales, si una de sus raíces es: 1 tal que: i2 =-1
13 se
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO QUE TIENEN UNA RAÍZ COMÚN
Las ecuaciones: ax2 + bx + c = 0 …….. (1) dx2 + ex + f = 0 ....... (2) tienen una raíz común; se elimina “x2” y se obtiene la raíz común; es decir:
C
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO QUE TIENEN LAS MISMAS RAÍCES
adx2 + bdx + cd = 0 …… () adx2 + aex + af = 0 …… (ß)
restando () – (ß); se obtiene: x (bd – ae) + (cd – af) = 0
sé
Las ecuaciones:
b=3
po
3.15
ur
se se
ax2 + bx + c = 0; (a 0) …. (1)
Jo
3.14
a=5
ar
“i” es la unidad imaginaria. Solución Siendo: x1= 3 + 2i x2 = 3 – 2i Ya que las raíces complejas presentan por pares conjugados tiene que: i) x1 + x2 = 3 + 2i + 3 – 2i = 6 ii) x1 x2 = (3+2i) (3– 2i) = 9 –4i2 = reemplazando en la fórmula, obtiene: x2 – 6x + 13 = 0 Rpta.
sT
i=
lo
3 + 2i;
2a - b = 7 ........ () a – b = 2 ........ (ß) resolviendo () y (ß), obtenemos:
x=
af -cd b d- ae
dx2 + ex + f = 0; (d 0) …. (2) OBSERVACIONES
Tienen las mismas raíces, si: a b c d e f Ejm: Calcular “a” y “b” en las ecuaciones:
01. En la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 ; a 0 Las raíces son numéricamente iguales y de signo contrario. Si : b=0 02. En la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0; a 0 Las raíces, son recíprocas.
(a - 3)x2 – (a - 4) x + 3 = 0; …. (1) (b +1)x2 – (2b-4) x + 6 = 0; …. (2) Sabiendo que tienen las mismas raíces:
Si :
32
a=c
José Carlos Turpo
DIVISION ALGEBRAICA TEOREMA DEL RESTO DIVISIÓN ALGEBRAICA
4.2
Es la operación inversa a la multiplicación que tiene por objeto hallar una expresión algebraica llamado cociente; obtenida de otras dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor, de tal forma que el valor numérico del cociente sea igual al cociente de los valores numéricos del dividendo y divisor, para cualquier sistema de valores atribuidos a sus letras.
2. En toda división algebraica el grado del residuo máximo es una unidad menos que el grado del divisor.
po
Rº max = dº - 1
ur
3. En toda división algebraica el término independiente del dividendo es igual al producto de los términos independientes del divisor por el cociente más el termino independiente del residuo.
D d Q R
lo
: : : :
ar
.............. .............. ............. .............
sT
ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN
Dividendo Divisor Cociente Resto o residuo
C
sé
ó
D =Q d
B) Cociente inexacto (R 0).- El resto de la división es un polinomio no nulo. D=dQ+R
ó
T.ID = T.Id x T.IQ+ T.IR 4. Cuando se dividen polinomios homogéneos, el cociente y residuo, también son homogéneos, pero el grado absoluto del residuo es igual al grado absoluto del dividendo.
A) Cociente exacto (R 0).- El resto de la división es un polinomio idénticamente nulo. D=dQ
PROPIEDADES GENERALES DE LA DIVISIÓN ALGEBRAICA
Qº = Dº - dº
Jo
4.1
G.A. (R) = G.A. (D)
4.3
CASOS DE LA DIVISIÓN I.- Para el caso de dos monomios i) Se dividen los signos de acuerdo a la regla de los signos = + = = + = ii) Se dividen los coeficientes iii) Se dividen las letras aplicando las leyes de exponentes
D R =Q+ d d
1. En toda división algebraica el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
33
José Carlos Turpo
a)
am an
a
m n
a b m b am
b)
Horner se disponen los términos de la siguiente forma:
m
4
II.- Para el caso de dos polinomios Podemos utilizar cualquiera de los siguientes métodos: a) Método general o normal b) Método de los coeficientes indeterminados. c) Método de Horner d) Regla de Ruffini
+ 20
- 8 + 7
2
ur
po
A continuación aplicamos los siguientes pasos: 1. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo el primer término del cociente. 2. El primer término del cociente multiplica a los términos con signo cambiado del divisor y el producto se escribe en la segunda fila debajo de los términos de dividendo corriendo un lugar a la derecha. 3. Se reduce la siguiente columna y el resultado se divide entre el primer término del divisor obteniendo el segundo término del cociente el cual multiplica a los términos cambiados del divisor. El producto resultante se escribe en la tercera fila, debajo de los términos del dividendo corriendo un lugar a la derecha. 4. Se continua este procedimiento hasta obtener un término debajo del último término del dividendo. 5. Los coeficientes del resto o residuo, se obtienen directamente de cada una de las columnas que le pertenecen. Respecto al ejemplo dado, tendríamos: 12 -8 20
ar
lo
sT
DIVISIÓN POR HORNER
Este método es aplicable para polinomios completos y ordenados en forma descendente, con respecto a una de sus letras, llamada ordenatriz. Así tenemos:
- 17
3
Observación .- En la división de dos polinomios estos deben ser completos y ordenados en forma descendente, con respecto a una letra llamada ordenatriz; si faltase alguna variable, ya sea en el dividendo o en el divisor, se completarán con ceros.
4.4
12
C
ESQUEMA DE HORNER
El 1º con propio signo
d
I
V
I
D
E
N
D
O
Jo
Con signo cambiado (#t)
D
i v i s
sé
t = dº
o R COCIENTE
RESTO
4
Ejemplo.- Efectuar por Horner:
12
3 4
3
- 17 9
2
12x 17x 20x 8 x 7 4x 2 3x 2
+ + -
20
- 8 +
7
6 6 - 4 15 + 10
2
Solución Observemos que: Qº = Dº - dº = 4 – 2 = 2 Rºmax = dº - 1 = 2 – 1 = 1
3
- 2
x2
x
+
5
3
T.I.
x
+ 17 T.I.
Como los polinomios son completos y ordenados; de acuerdo al esquema de
34
José Carlos Turpo
Regla Nº 2.- Si en una división nos dan como dato el resto, entonces el resto obtenido por Horner y el resto que es dato son polinomios idénticos.
(cociente) (Resto)
Ejemplo: Efectuar por Horner 3
2 2
3
12a 23a b 51a b 30ab 20b
Regla Nº 3.- En toda división exacta los coeficientes del dividendo y del divisor se pueden escribir en sentido contrario y al efectuar la división esta sigue siendo exacta.
4
4a 2 5ab 7b 2 Solución De acuerdo a las propiedades observamos (respecto a la letra “a”)
Ejemplo 1.- Calcular “a” y “b” en la división exacta: 2 x 4 x 3 ax b
Qº = Dº - dº = 4 – 2 = 2
x2 x 2
Rºmax = dº - 1 = 2 – 1 = 1
Solución: Por Horner tendríamos: 2 1 5
Además: G.A. (Dº) = G.A. (Rº) = 4 Por Horner, se tendría:
5
- 23 15
+
51
- 21 - 10
5
9
- 15
Jo
Q (a , b) = 3a2 – 2ab + 5b2
+
4
+
1
Aquí vemos que: i) a + 2 + 5 = 0
+
b
+ 2 5 + 10
5
a -
0
+ 0
a = -7
Rpta.
3 x 4 x 3 2x 2 ax b
R (a , b) = 9ab3 – 15 b4
4.5
2
+
ii) –b + 10 = 0 b = 10 Rpta. Ejemplo 2.- Calcular “a” y “b” en la división:
sé
Por consiguiente:
+
0
1
1
2
35
ar
25 - 2
+
-
2
+ 14
-7 3
1
- 30 + 20
2
sT
12
1
20
C
4
-8
lo
12
po
4
ur
de donde: Q (x) = 3x2 – 2x + 5 R (x) = 3 x + 17
x2 x 1 Sabiendo que su resto es 4 x – 3 Solución: Aplicando el método de Horner: 3 2 1
CÁLCULO DE COEFICIENTES EN EL DIVIDENDO O EN EL DIVISOR
En la solución de estos problemas debemos tener en cuenta las siguientes reglas:
1
3
-
1
Regla Nº 1.- Dos polinomios son divisibles, o uno de ellos es múltiplo de otro, o nos dicen que la división entre ellos es exacta; cuando el resto o residuo de la división es un polinomio nulo.
1
+
3
2
2
+
2
a -
b
-
2 1 -
- 3
-1 3
-
+
1
4
1
- 3
De las columnas del resto
35
José Carlos Turpo
Vemos que: i) -a - 2 + 1 = 4
ii) –b – 1 = -3
a = -5
Rpta.
b= 2
Divisor = 0
P (x)
xb=0
Rpta.
x= b
Ejemplo 3.- Calcular “a” y “b” en la división exacta (Horner inverso)
COCIENTE
ax 4 bx 3 x 2 x 2
El primer elemento del dividendo se baja y corresponde al primer elemento del cociente, se procede como en la división por Horner y el resultado de reducir la última columna es el resto de la división.
x2 x 1 Solución: Escribiendo los coeficientes en sentido contrario, se tendría el siguiente esquema de Horner:
-
1
2
-
2
1
-1
-1 1
De donde: i) -b + 1 + 4 = 0 ii) a – 4 = 0
4.6
+
po
a
+ 1 4 - 4
4
0
Solución Del esquema de Ruffini, tendríamos: x+2=0
2+ 0– 1+ 3 -2
+ 0
x = -2
Rpta.
a=4
Rpta.
b=5
- 4 + 8 – 14 + 22 2 -4
C
-
b +
Jo
2
-
ur
1
sT
-
lo
-2
2x 4 x 2 3 x 2 x2
-4
sé
-1
1
Ejemplo # 1 : Efectuar:
ar
-2
RESTO
x3
x2
+ 7 - 11
x
+20
T.I.
Con lo cual: Q(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 11 (cociente) Rpta. R(x) = 20 (Resto)
DIVISIÓN POR RUFFINI
Ejm. # 2 : Hallar “k” en la división:
Este método es aplicable para divisores, binomios o transformables a binomios; es un caso particular de la división por Horner. Se presentan dos casos:
x4 - 2x3 kx2 x k x2
Sabiendo que es exacta. Solución Como la división es exacta, el resto es un polinomio nulo, es decir:
I.- Primer caso : P(x) x b Dividendo : P(x) Divisor :x b Esquema de Ruffini:
36
José Carlos Turpo
Ejemplo 2: Determinar “k” en la división: X +2 = 0
1–2
+ k
-2
+ 8
X = -2
+1
+k
- 2k-16
4k +30
1 - 4 +(k+8) +(-2k-15)
Observemos que: K + 4 k + 30 = 0
Dividendo Divisor
: :
0
k = -6
II.- Segundo caso :
10x 4 x3 4x2 - 5x 2k 2x 1 sabiendo que el resto es: 3k – 2
Solución Aplicando Ruffini, tendríamos:
Rpta.
2X +1 = 0
P(x) ax b
10
+ 1
+ 4 – 5 + 2k
-5
+2 -3 + 4
X =-1/2
P (x) axb
10
-4
+ 6-8
3k-2
k=6
Rpta.
po
De la condición:
Esquema de Ruffini ax b = 0
ur
2k + 4 = 3 k – 2
P(x)
CASOS ESPECIALES
b a
Resto
C
ar
COCIENTE a En este caso :
01. Efectuar: 3 x16 2x12 5 x 4 7
lo
x=
sT
4.7
Jo
15 x
Y+3=0
2
- 4x 11 x 6 5x2
15
+ 11
-6
+
15
-10
- 9 + 33 – 99 + 282 3 - 11 + 33 - 94 +275
- 4
X =-2/5
3- 2+ 0+ 5 -7
Y = -3
Solución: Por Ruffini, se tendría: 5X +2 = 0
3 y4 - 2 y3 5 y - 7 y3
Por Ruffini:
Ejemplo # 1: Efectuar: 3
Solución: Haciendo la transformación: x4 = y Tendríamos:
sé
Q (x) = COCIENTE a R (x) = Resto
x4 3
+
4 15
+
y3
6
y2
y
T.I.
Obtenemos: Q (y) = 3y3 – 11 y2 + 33 y – 94 R (y) = 275
- 6 0
Como : y = x4 ; en función de “x”
5
Q (x) = 3x12 – 11 x8 + 33 x4 – 94 R (x) = 275
Q (x) = 3x2 – 2x + 3 R (x) = 0
37
José Carlos Turpo
4.8
el polinomio dividendo y el valor obtenido es el resto de la división
TEOREMA DEL RESTO
Ejemplo # 1: Hallar el resto de la división: 2x9 3 x5 5 x 4 7 x 6 x 1 Solución Aplicando las reglas tendríamos: 1º.- Divisor = 0 x + 1 = 0 2º.- Cálculo de x x = -1 3º.- Reemplazando en el dividendo; x = -1, obtenemos: Resto = 2(-1)9 – 3(-1)5 + 5(-1)4 – 7(-1) + 6 teniendo en cuenta que :
Este teorema es importante por que nos permite encontrar el resto de la división, sin efectuarla. Enunciado.El resto de dividir un polinomio racional P(x) entre un divisor binomio de la forma (a x b) o cualquier otro divisor transformable a binomio; se obtiene al calcular el valor b numérico de P ( ) a
=+
(-) Impar = -
ur
Resto = -2 + 3 + 5 + 7 + 6 Resto = 19
Rpta.
Ejemplo # 2.- Determine el valor de “k” en la división exacta. 2 x3 - (3 k - 2) x2 - x 6 k x2 Solución Como la división es exacta, el resto, es igual a cero y de acuerdo a las reglas del teorema del resto tendríamos: 1º.- Divisor = 0 x + 2 = 0 2º.- Cálculo de x x = -2 3º.- Resto = 0 2 (-2)3 – (3k – 2) (-2)2 – (-2) + 6k = 0 -16 – 12 k + 8 + 2 + 6k = 0 -6 k = 6
lo
De la identidad fundamental: DdQ+R
Jo
sé
C
ar
Se tiene: P (x) = (a x b) Q (x) + R (x) b Evaluando P(x) para X = a Se obtiene: b b b P ( ) = [a ( ) b ] Q ( ) + R(x) a a a b b b b P ( ) = [ ] Q ( ) + R (x) a a a a b b Como vemos = 0; con lo cual: a a b Resto = R (x) = P ( ) L.q.q.d. a
4.9
Par
po
(-)
sT
DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA: En concordancia con los elementos de la división, tenemos: Dividendo : P(x) Divisor : axb Cociente : Q (x) Resto : R (x) (incógnita)
k = –1
Segundo caso:
CASOS QUE SE PRESENTAN
Rpta.
P( x ) ax n b
; (n 2)
Reglas para determinar el resto: 1º.- Divisor = 0 axn b = 0 b 2º.- Cálculo de xn xn = a 3º.- Reemplazamos el valor de xn en el polinomio dividendo y el valor obtenido es el resto de la división:
P( x ) ax b Reglas para determinar el Resto: 1º .- Divisor igual a cero : a x b = 0 Primer Caso:
b a 3º .- Reemplazamos el valor de “x” en
2º .- Hallamos el valor de x: x =
38
José Carlos Turpo
Ejemplo # 1: Hallar el resto de la división:
Solución Siendo el divisor un trinomio hay que transformarlo a binomio, mediante la identidad
x5 2x3 5 x 2 3 x 2 x2 2
Solución: Expresando el dividendo en función de “x2” se tendría:
(x2 + x + 1) ( x – 1) = x3 – 1 Con la cual, se tendría :
( x 2 )2 x 2( x 2 )x 5( x 2 ) 3 x 2
( 2 x 23 x 5 3 ) ( x 1)
x2 2
( x 2 x 1) ( x 1)
Aplicando las reglas: 1º.- x2 + 2 = 0 x2 = -2 2º.- Por consiguiente: R(x) = (-2)2 x + 2 (-2) x – 5 (-2) + 3 x -2 R (x) = 4 x – 4 x + 10 + 3 x – 2 R (x) = 3 x + 8
Expresando el dividendo en función de x3: 3 8 3 7 2 3 2 3 2
po
2x 24 2x 23 x 6 x 5 3 x 3 x3 1
Rpta.
2( x ) 2( x ) x ( x ) ( x )x 3 x 3
ur
Ejemplo # 2: Si el resto de la división:
sT
Recordemos que: si al dividendo y al divisor se multiplican por una misma cantidad, el cociente no se altera pero el resto queda afectado por la cantidad que se está multiplicando; en consecuencia:
x2 1 x – 6. Hallar (a + b)
a( x 2 )x 3( x2 )2 x b( x2 ) 5
C
ar
Solución Expresando el dividendo en función de x2, se tendría:
lo
ax 7 3 x 5 bx 2 5
es:
Jo
sé
x2 1 Del teorema del resto: 1º.- x2 + 1 = 0 x2 = -1
2º.- R(x) = a (-1)3 x + 3 (-1)2 x + b (-1) – 5 R (x) = (-a + 3) x – b – 5 Como: R(x) x - 6 Se cumple que: (-a + 3) x – b – 5 x – 6 Comparando los coeficientes: i) -a + 3 = 1 a=2 ii) –b – 5 = - 6 b=1 a+b =3 Rpta.
Por el Teorema del resto: 1º.- x3 – 1 = 0 x3 = 1 2º.- Con lo cual: (x - 1) R(x) = 2(1)8 – 2(1)7 x2 – (1)2 + + (1) x2 + 3x – 3 (x - 1) R (x) = - x2 + 3 x – 2 -x2 + 3 x – 2 R (x) = ----------------x - 1 Por la regla de Ruffini:
x=1
-1
+3
-
2
-1
- 1 +2
+ 2 0
Obtenemos: Resto:
Ejemplo # 3: Hallar el resto de la división: 23 5
2x
x3 1
R(x) = -x + 2
Rpta
x 3
x2 x 1
39
José Carlos Turpo
COCIENTES NOTABLES FACTORIZACION El desarrollo obtenido por la regla de Ruffini es:
COCIENTES NOTABLES Son cocientes cuya forma general es: n z+
an bn an - 1 an - 2 b , - ........... -, bn - 1 ab
n : Para este caso debe ser un número par necesariamente, lo cual nos da un resto cero y por consiguiente el cociente es notable. El desarrollo obtenido por la regla de Ruffini es: an - bn an - 1 an - 2 b , ........., - bn - 1 ab
Ejemplo:
sé
n : Puede ser par o impar; siempre será Co no ya que su resto es cero. El desarrollo obtenido por la regla de Ruffini es:
Jo
a4 - b 4 = a3 – a2b + ab2 – b3 a b
Cuarto caso:
an - bn an - 1 an - 2 b ........... bn - 1 a-b
an bn a-b
n : Ya sea par o impar, el resto no será cero, por consiguiente este tipo de cociente nunca será cociente notable.
Ejemplo: a4 - b 4 a - b
an - bn a b
po
Tercer caso:
ar
Primer caso:
an - b n a - b
a5 b 5 = a4 – a3 b + a2 b2 – ab3 + b4 ab
C
CASOS QUE SE PRESENTAN
Ejemplo:
lo
El desarrollo de estos cocientes se pueden efectuar directamente sin aplicar los criterios generales de la división algebraica Todo cociente notable debe satisfacer los siguientes principios: 1º El resto de la división debe ser igual a cero. 2º Las bases deben ser iguales 3º Los exponentes deben ser iguales. Nota.- CoNo = Cociente Notable
ur
;
sT
an bn ab
= a3 + a2 b + ab2 + b3
Segundo caso:
PROPIEDADES GENERALES DE LOS COCIENTES NOTABLES
an bn a b
n : En este caso debe ser impar necesariamente; para que el resto sea cero y el cociente sea notable.
Respecto al CoNo cuya forma general es: an bn a b
40
José Carlos Turpo
Se satisfacen las siguientes propiedades:
3º
4º
de la forma
Dado el CoNo :
a 31 b 31 ab
hallar el T27
ar
Ejemplo#1:
Solución: Dado que 27 es un número impar: TK = + (a)n- k (b) k – 1
= +, +, + ..... + (n: Par ó Impar)
C
i)
ó
iii) TK siempre es positivo para una CoNo
lo
5º
Además: i) TK, es (+) k, es impar ii) TK, es (-) k, es par, pero solo para CoNo de la forma :
po
2º
ur
El resto de la división debe ser igual a cero. El número de términos que tiene en su desarrollo es igual al exponente del dividendo del cociente notable. El desarrollo de un CoNo es un polinomio homogéneo cuyo grado es igual al exponente del dividendo del CoNo menos uno. En el desarrollo de un CoNo los exponentes de la primera y segunda base varían consecutivamente en forma descendente y ascendente desde el mayor exponente, hasta el exponente cero. Respecto a los signos de los términos del desarrollo de un CoNo, debemos considerar lo siguiente:
sT
1º
Debemos tener en cuenta que: “a” : Primera base del CoNo “b” : Segunda base del CoNo “n” : Número de términos de CoNo “k” : Lugar que ocupa el término que queremos determinar
= +, -, +, …....-, + (n: Impar)
iii)
= +, -, +, ……,+, -
sé
ii)
Jo
(n: par)
FORMULA PARA CALCULAR EL TÉRMINO DE LUGAR “K” EN EL DESARROLLO DE UN CONO
Donde : “a” = a “b” = b “n” = 31 “k” = 27 Remplazando: T27 = (a) 31-27 (b)
27-1
T27 = a4 b26
Rpta.
# 2: Dado el CoNo :
a 43 b 43 ab
En la expansión del CoNo: an bn = an-1 an-2 b + a n-3 b2 …. bn-1 ab
T1
T2
T3
TK
hallar el G.A: del T32
Tn
Solución: Como el CoNo es de la forma
Vemos que el término de lugar “k” adopta la forma matemática: TK = (a)n – k (b) k – 1
,
todos los términos son positivos, por consiguiente: TK = + (a) n – k (b) k – 1
; 1kn
41
José Carlos Turpo
Donde: “a” = a “b” = b “n” = 43 “k” = 32 Remplazando: T32 = + (a)43 – 32 (b) 32 – 1 T32 = a11 b31
5.-
Un término cualquiera desarrollo del CoNo
está formulado por: Rpta.
TK = (a) m – k p (b) (k-1) q
ap b q
po
x n -2 y n -1
ur
Sabiendo que es notable.
sé
C
ar
lo
sT
Solución: Por ser cociente notable, se cumple que:
Jo
z+
Respecto a los casos que se presentan en los CoNo, deben tenerse en cuenta lo siguiente:
m n p q
m n p q
= # par o impar
Por proporciones: (7 n – 4) (n –1) = (n – 2) (8n – 2) 7n2 – 11 n + 4 = 8 n2 – 18 n + 4 - n2 + 7n = 0 Factorizando: n=0 n (n – 7) = 0 ó n=7 Rpta.
en
el
cociente
x m - y 70 x 3 yn
Si su desarrollo tiene 14 términos:
= # impar
c) Forma :
7n- 4 8n-2 n-2 n-1
Ejemplo # 2: Calcular (m+n) notables:
b) Forma :
m p
x 7n - 4 - y 8n -2
Este tipo de división será transformable a cociente notable, cuando satisfaga las siguientes condiciones 1.- El resto de la división debe ser igual a cero. 2.- Las bases deben ser iguales 3.- Los exponentes del dividendo con respecto al divisor deben ser proporcionales y pertenecer al campo de los números enteros positivos, es decir:
a) Forma :
; 1 k
Ejemplo # 1: Calcular “n” en el cociente:
am bn
4.-
del
ap b q
DIVISIÓN DE LA FORMA
;
(no es CoNo)
am bn
G.A: = 11 + 31 = 42
m n p q
d) Forma :
Solución: Por ser cociente notable, se cumple que:
m n = # par p q
42
José Carlos Turpo
i) m 70 14 3 n ii)
3.-
m 14 m 42 3 70 14 n 5 n
m + n = 47
t c1 t n
Rpta.
4.-
a93 b 124 a3 b 4
hallar el grado absoluto del T22. Solución: Como 22 es un número par, aplicamos la fórmula: TK = - (a) n - k (b) k – 1 Donde: “a” : Primera base = a3 “b” : Segunda base = b4
Si “k” es el lugar que ocupa el término del desarrollo de un CoNo y “ k’ ” su término equidistante (término contado a partir del extremo final); se cumple. a) k + k’ = n + 1
po
ur
sT
ar
Rpta.
y
sé
para CoNo de la forma:
RECONSTRUCCIÓN DE UN COCIENTE NOTABLE A PARTIR DE LOS TÉRMINOS DE SU DESARROLLO
Jo
an bn a b
1º
Ley de signos
b) +, -, + ................-,+
c) +, -, +, .............+, -
a) +, +, +, .............. +
2.-
Para reconstruir un cociente notable a partir de los términos de su desarrollo, debemos tener en cuenta las siguientes reglas:
Podemos notar que: 1.-
k -1
e) TK y TK’ tienen signos diferentes
OBSERVACIONES IMPORTANTES
Dado el CoNo :
1
d) TK y TK’ son de igual signos en los CoNo de la forma :
C
Reemplazando: T22 = -(a3) 31 – 22 (b4) 22 – 1 T22 = -a 27 b 84 G.A. 111
2
c) TK’ = tn+1 - k = (a) k – 1 (b) n - k
93 124 31 3 4
“k” : lugar que ocupa el término = 22
t c1 t n
b) TK = (a) n – k (b)
lo
“n” : Número de términos =
2
Ejemplo 3: Dado el CoNo :
Si “n” es un número par existen dos términos centrales y ocupan los lugares.
“n” representa el número de términos Si “n” es un número impar existe un término central al cual denotaremos por tc y ocupa el lugar.
2º
t c t n 1 2
43
Ley de variables.- En el dividendo y en el divisor se escriben como bases del CoNo las bases de los términos extremos del desarrollo.
José Carlos Turpo
#t =
2 (3 n 21) 4 (3 n 6) n1 2n-3
operando, se tiene: (6n + 42) (2n – 3) = (12n + 24) (n + 1) 12 n2 – 18 n + 84 n – 126 = 12 n2 + 12 n + 24 n + 24 Simplificando: 66 n – 126 = 36 n + 24 30 n = 150
formación del Cociente Notable.Obtenidos los exponentes del divisor, estos se suman con los exponentes de los términos extremos del desarrollo del cociente notable y obtenemos los exponentes del dividendo, formándose el cociente notable.
n=5 remplazando:
#t =
2 3 (5) 21 51
po
4º
Variación de exponentes.Nos determina los exponentes que deben colocarse en las bases del divisor; la variación descendente es para la primera base y la variación ascendente es para la segunda base.
# t = 12
ur
3º
Solución Por ser un cociente notable los exponentes deben ser proporcionales, es decir:
Ejercicio Nº 2.- Al efectuar el desarrollo
Ejemplo: Dado el desarrollo x145 + x140 y8 + .......+ y232 formar el CoNo
sT
del CoNo:
lo
Hallar el número de términos fraccionarios. Solución: Un término genérico del desarrollo de este CoNo es:
C
3º.- Variación de exponentes: 4º.- Formación del CoNo:
x3 x 2
a x3
TK = (a) n - k (b)
x-y x-y
Jo
2º.- Ley de variables:
sé
1º.- Ley de Signos :
ar
Solución De acuerdo a las reglas, tenemos:
x 45 - x -30
k–1
b x -2
n 15 k
x-y
k
Remplazando: TK = (x3)15 – k ( x -2) k – 1 TK = x 45 – 3 k x – 2k + 2 TK = x 47 –5 k ; 1 K = 15 Los términos serán fraccionarios;
x5 - y 8
x150 - y 240 x5 y8
Cuando: 47 – 5 k 0 - 5 k -47
EJERCICIOS
k Ejercicio Nº 1.- Dado el cociente notable
47 5
k 9,4 Dado que:
(x 2 ) 3n 21 - (y 4 )3n 6
k 15 ;
entonces:
x n 1 y 2n - 3
determine el número de términos que tiene su desarrollo.
K = 10, 11, 12, 13, 14, 15 el número de término fraccionarios es 6.
44
José Carlos Turpo
FACTORIZACIÓN
Número de factores primos.- Es la cantidad de factores no repetidos que tiene el polinomio, dependiendo sobre que campo numérico se factorice. Ejemplo a) P(x) = x4 – 36 (x2 + 6) (x2 –6) P (x) tiene 2 factores primos en Q b) P(x)=x4 – 36 (x2 + 6) (x + 6 ) (x - 6 )
La factorización es un proceso contrario a la multiplicación, el cual no está sujeta a reglas específicas; su operación depende de la práctica adquirida. En esencia es la transformación de un polinomio en un producto indicado de factores primos, dentro de un determinado campo numérico.
P (x) tiene 3 factores primos en R c) P(x)=x4 – 36 (x + i 6 ) ((x - i 6 ) (x+ 6 ) (x - 6 )
Un polinomio está definido sobre un campo numérico, cuando los coeficientes de dichos polinomios pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Hay tres campos de importancia: Racional : Q ; Real : R; Complejo : C Ejemplo: i) P (x) = 2 x2 – 7x + 3 , está definido en Q , R y C
P (x) tiene 4 factores primos en C
ur
Método del Factor Común.- El factor común está contenido en todos los términos de la expresión algebraica a factorizar, con el menor exponente; puede ser monómico o polinómico. Ejemplo # 1: Factorizar: f = 2x4 y3 + 2x4 z2 + 2x4 Solución: El factor común es: 2x4; de donde f = 2x4 (y3 + z2 + 1) Rpta. Ejemplo # 2: Factorizar: f = (a2 + b) x + (a2 + b) y + (a2 + b) z Solución: El factor común en este caso es: (a2 + b); de donde
sT
I.
po
FACTORIZACIÓN EN Q
Q (x) = 2 x5 + 3 x - 3 , está definido en R y C, pero no en Q.
iii)
R (x) = x3 – i x + 2 i – 3; esta
ar
lo
ii)
1)
C
definición solo en C .... (i =
Jo
sé
Factor ó Divisor.- Es un polinomio de grado distinto de cero que divide exactamente a otro. Factor Primo.- Es un polinomio sobre un campo numérico el cual no se puede transformar en el producto de dos polinomios sobre el mismo campo numérico. Ejemplo #1 .P (x) = x2 – 25 No es primo en Q, ni en R; ni en C, ya que se puede expresar como P (x) = (x + 5) (x – 5). Ejemplo # 2.- Z(x) = x2 – 7 Es primo en Q, pero no en R ni en C, dado que Z (x) = (x + 7 ) (x - 7 )
f = (a2 + b) (x + y + z)
Rpta.
Factorización por agrupación de términos Consiste en agrupar convenientemente de forma que se tenga factor comunes polinómicos. Ejemplo # 1: Factorizar f = (a x + by) 2 + (ay – bx) 2
II.
Ejemplo # 3 .- R(x) = x2 + 16 Es primo en Q y en R pero no es primo en C, ya que R(x) = (x + 4i) (x – 4 i)
Solución: Desarrollando por productos notables. f= a2 x2 + 2ab x y + b2 y2 + a2 y2 –
45
José Carlos Turpo
- 2 ab xy + b2 x2 Simplificando: f = a2 x2 + b2 y2 + a2 y2 + b2 x2 agrupando el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, se tiene: f = (a2 x2 + a2 y2) + (b2 y2 + b2 x2) f = a2 (x2 + y2) + b2 (x2 + y2) f = (a2 + b2) (x2 + y2)
suma x Dif
f = (a + b)7 + c3 (a + b)4 – c4 (a + b)3 – c7
Solución: Haciendo: (a + b) = x; se tendría: f = x7 + c3 x4 – c4 x3 – c7 factorizando de 2 en 2 f = x4 (x3 + c3) – c4 (x3 + c3)
po
siendo el factor común : x3 + c3 f = (x3 + c3) (x4 – c4)
ur
factorizando la suma de cubos y la diferencia de cuadrados, obtenemos finalmente: f = (x + c) (x2 – xc + c2) (x2 + c2) (x + c) (x – c)
f = a2m 2 am bn + b
lo a b
ar
m n
ambn
Jo
(Iguales) f = (a
m
b n)
Factorizando : 3 (a + b); se tiene f = 3 (a + b) [ ab + c (a + b) + c2]
factorizando en el corchete “2” a “2”
2ambn
f = 3 (a + b) [a (b + c) + c (b + c)] siendo: (b + c) el factor común, se tendría como factores:
2
f = 3 (a + b) (a + c) (b + c)
C. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.En este caso recordamos los productos notables. a3m+ b3n = (am + bn) (a2m – am bn + b2n) a3m – b3n = (am – bn) (a2m + am bn + b2n)
Ejemplo # 1: Factorizar f = x8 – 81 y8 Solución Extrayendo a los términos,
Solución
f = 3 (a + b) [ab + ac + bc + c2]
sé
bn
f = 3 ab (a + b) + 3(a + b)2 c + 3(a + b) c2
C
n
am
Ejemplo # 3.- Factorizar:
2n
b
m
sT
bn
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.- Su forma general es:
obtiene:
3y2
Ejemplo # 2.- Factorizar
Rpta.
DIFERENCIA DE CUADRADOS Para factorizar se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forman un producto de la suma de las raíces, multiplicadas por la diferencia de las mismas. En general. 2m f = a – b2n = (am + bn) (am – bn)
a
X2
f = (x4 + 9y4) (x2 + 3 y2) (x2 – 3y2)
A.
B.
9y4
De donde:
III. Método de las Identidades
am
x4
Rpta.
MÉTODO DE LAS ASPAS Aspa
Simple.-
Se
aplica
en
expresiones trinomias de la forma.
se
f = ax2m + bxm yn + c y 2n Se descomponen en factores los extremos y la suma de los productos en aspa debe ser igual al término central.
f = x8 – 81 y8
suma
46
José Carlos Turpo
Es decir, dado :
6)
Descomponer en factores: x5 + x + 1
Rpta. (x2 + x + 1) ( x3 – x2 + 1)
f = ax
2m
+ bxm yn + c y2n
7)
Cuando se factoriza x9 – x hasta donde sea posible en polinomios y monomios
a1 xm
c1 yn a2 c1
a2 xm
c2 yn
con coeficientes enteros, el número de factores primos es: Rpta. 5
a1 c 2 b
8)
x2 – y2 – z2 + 2yz + x + y – z
Los factores se toman horizontalmente
Rpta. (x + y –z) (x – y + z + 1)
f = (a1 xm + c1 yn) (a2 xm + c2 yn)
9)
Ejemplo # 1: factorizar f = 64 a12 b3 – 68 a8 b7 + 4 a4 b11
Rpta. 3 a + b 10) Factorizar la expresión: factores primos:
a4
-b4
16 a4 b4
sT
a4 b4
ar
17 a4 b4 f = 4a4 b3 ( 16 a4 – b4 ) (a4 - b4 )
2x
ur
Rpta.
lo
po
x4 + 2x3 – 2x – 1, indicar la suma de los
Aplicando aspa simple al corchete -b4
Hallar la suma de los factores primos de: a (a2 + ab - 1) – b (b2 + ab – 1)
Solución: Siendo el factor común : 4 a4 b3 Se obtiene: f = 4 a4 b3 [16 a8 – 17 a4 b4 + b8 ]
16 a4
La expresión
sé
C
factorizando las diferencias de cuadrados; obtenemos: f = 4 a4 b3 (4 a2 + b2) (2 a + b) (2 a – b) (a2 + b2) (a + b) (a – b)
Factorizar: 1)
Jo
EJERCICIOS
f = x4 + y4 + 2x y (x2 + y2) + 3x y2
Rpta. f = (x2 + xy + y2)2 2)
g = x6 + 2x5 – 3x4 + 4x2 – 1
Rpta. g = (x3 + 3x2 – 1) (x3 – x2 + 1) 3)
f = (a2 + b2 – c2 – d2)2 – 4 (ab + cd)2
Rpta.
f = (a +b + c – d) (a + b– c + d) (a – b + c + d) (a – b– c – d)
g = (x + y)3 + 3xy (1 – x – y) – 1 Rpta. g = (x2 + y2 + 1 – xy + x + y) 4)
f = (z2 – y2)2 (x2 – a2) + 4 x2 y2 z2
Rpta. f = (z2 x + xy2 + az2 – ay2) (z2 x + xy2 – az2 + ay2) 5)
Un factor de: a (a – 1) + a3 – 1 es:
Rpta. (a – 1) ( a + 1)2
47
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
FACTORIZACION – MCM / MCD FRACCIONES ALGEBRAICAS Deben cumplirse que: a1 f2
FACTORIZACIÓN POR DOBLE ASPA
sT
ur
po
a2 f1 d 3. A continuación descomponemos en factores el coeficiente del tercer término. La primera aspa debe verificar al coeficiente del segundo término y la segunda aspa debe verificar el coeficiente del quinto término. 4. Los factores se obtienen tomando los términos de las aspas en forma horizontal. En conclusión: f = ax2m + bxm yn + cy2n + dxm + eyn +f
Estando ordenado los términos del polinomio, se trazan dos aspas de la siguiente forma:
a2xm
c1 yn a1c2 a2c1 b
c2 yn
f1 a2 f1 c1f2 c2f1 e
f2 a1 f2 d
Jo
f = (a1 xm + c1 yn + f1) (a2 xm + c2 yn + f2)
f = (ax2m + bxm yn + cy2n+ dxm + eyn + f
Ejemplo # 1: Factorizar f = 20 x4 – 21 y6 + 13 x2 y3 – 2x2 + + 23 y3 – 6 Solución Ordenando el polinomio de acuerdo a las reglas dadas, se tiene:
2. Descomponemos en factores los coeficientes de los términos extremos. Multiplicados en aspa y sumados deben verificar al “cuarto término”.
f = 20x4 + 13x2y3 – 21y6 – 2x2 + 23y3 – 6
f = ax2m + bxm yn + cy2n + dxm + eyn + f a1 f1 a2
a1xm
sé
1.
C
FORMA DE FACTORIZAR
ar
lo
Este método es aplicable para polinomios de la forma: f = a x2m + bxm yn + c y2m + dxm + + e yn + f El polinomio debe presentar cierto orden para poder factorizarlo. 1º. Debe tener 6 términos, si falta alguno de ellos, se reemplaza por ceros. 2º. Con respecto al primer trinomio los exponentes centrales deben ser la mitad de los extremos, y en el cuarto y quinto término se repiten los exponentes centrales.
f2
4x2
2 10
5x2
3 -12 -2
Dado que está verificado el cuarto término, descomponemos en factores el “tercer término” f = 20x4 + 13x2y3 – 21y6 – 2x2 + 23y3 – 6
48
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA 4x2
-3 y3 28 -15 13
5x2
7 y3
9 14 23
2
10
- 3
-12 -2
c1 x2
tal que : c1 + c2 = c
FORMA DE FACTORIZAR
Como se han verificado todos los términos, los factores son: f = (4x2 – 3y2 + 2) (5x2 + 7y3 – 3)
1. Se decompone en factores los coeficientes de los términos extremos del polinomio de cuarto grado, de forma que : a = a1 . a2 y e = e 1 . e2
Ejemplo # 2.- Factorizar f =12a2 –4b2–12c2 – 2ab + 7ac + 14 bc
multiplicando en aspa y sumando los productos respectivos, obtenemos “c1”, es decir: f = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e c2 c1
po
Solución: Ordenando convenientemente, se tendría: f = 12a2 - 2ab – 4 b2 + 7ac + 14 bc – 12 c3
4c 16
ur
3a
c2 x2
4a
-3c -9 7
a2
ar
lo
Dado que el cuarto término está verificado, descomponemos en factores el tercer término. f = 12a2 – 2ab – 4b2 + 7ac + 14 bc –12 c2
6 -8 -2
2b
C
4c 16 ac 6 8 14
e2 = a1 e2
c1 Nota: “c2” se obtiene por diferencia c2 = c – c1
2. “c2” se descompone en factores c2 = c’2 . c”2 , donde la primera aspa verifica a “b” y la segunda aspa verifica a “d” f = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e c2 c1
-3c -9 ac 7ac
Jo
4a
-2b
sé
3a
e1 = a2 e1
sT
a1
Como todos los términos están verificados, entonces: f = (3a - 2b +4c) (4a + 2b –3c)
a1 x2
DOBLE ASPA: “CASO ESPECIAL” POLINOMIO DE CUARTO GRADO
c’2x
e 1 a2
e1
a2 x2
El polinomio a factorizar debe tener cinco términos o en su defecto debe completarse con ceros, su forma canónica es: f = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
3.
a1c”2 a2c’2 b
c”2x
Los factores, horizontalmente
c’2 e2 c”2 e1 d
se
e2 a1 e2 c1
toman
f = (a1x2 + c’2x + e1) (a2x2 + c”2 x + e2)
El problema central consiste en descomponer cx2 en dos términos, dispuestos en la siguiente forma:
Ejemplo # 1: Factorizar f (x)= 20x4 + 2x3 – 11x2 + 19 x – 15
49
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Solución: Descomponiendo en factores los términos extremos, para determinar “c1” se tendría:
2. g = 21x2 – 37 xy2 + 12y4 + 48x – - 26 y2 + 12 Rpta. g = (3x – 4y2 + 6) (7x- 3y2 +2)
f (x) = 20 x4 + 2x3 - 11x2 + 19x -15 -6x2 -5x2 4x2
3 =
15x2
5x2
-5 =-
20x2 -
3. f = 20x2 + 12y2 – 31xy + 2y – 2x -4 Rpta. f = (5x – 4y + 2) (4x – 3y – 2) 4. g = 28a2 + 6b2 – 12c2 – 29ab-10ac + 14 bc Rpta. g = (4a - 3b + 2c) (7a - 2b – 6c)
5x2
po
Descomponiendo en factores: c2= - 6x2 se tendría:
ur
5. f = 12x2 - 29xy + 15y2 + 24 x – 40y Rpta. f = (4x – 3y + 8) (3x – 5y)
f = 20x4 + 2x3 - 11x2 + 19x -15 -6x2 -5x2
3x
-5=
sT
5x2
3=
7. f = 20x4 + 7x3 – 29x2 + 23 x – 21
20x2
- 5x2
lo
-2x
Rpta. g = (4x2 – 3x + 2) (5x2 + 6x – 3)
15x2
Rpta. f = (5x2 – 2x + 3) (4x2 + 3x – 7)
ar
4x2
6. g = 20x4+ 9x3 - 20x2 + 21 x - 6
C
f(x) = (4x2 – 2x + 3) (5x2 +3x – 5) OBSERVACIONES
2.
3.
Rpta. g = (3x – 1) (x – 3) (2x – 1) (x- 2)
9. f = 20 x4n + 7x3n – 19 x2n + 19xn – 15 Rpta. f = (5x2n – 2xn + 3) (4x2n + 3xn –
sé
No todos los polinomios de 4to. Grado se pueden factorizar por doble aspa. Si el polinomio de 4to. Grado es factorizable por doble aspa, debe observarse si cada factor cuadrático es factorizable. El trinomio : ax2 + bx + c = 0 se puede factorizar, si su discriminante ( = b2 –4ac) es un cuadrado perfecto.
Jo
1.
8. g = 6x4 - 35x3 + 62x2 - 35 x + 6
5)
10. Rpta.
g = 120x4n – 242x3n + 27x2n + + 135 xn – 54 g = (3xn– 2) (4xn+ 3) (5xn –
3) (2xn – 3)
EJERCICIOS
Factorizar: 1. f = 30a2 – 6b2 – 14c2 – 28ab – - 23ac + 25 bc Rpta. f = (5a - 3b + 2c) (6a + 2b – 7c)
50
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA f(x) = x4 – 2x3 – 16 x2 + 2x + 15 FACTORIZACIÓN POR DIVISORES BINOMIOS
Solución: Nótese que el polinomio es de cuarto grado, entonces: 1. La cantidad de ceros a encontrar por evaluación es: 4º - 2º =2 2. Los divisores del término independiente “15” son (1, 3, 5, 15) 3. Evaluando: a) f(1) = 1 – 2 – 16 + 2 + 15 = 0 entonces, un factor es : (x – 1) b) f (-1) = (-1)4 –2(-1)3 – 16 (1)2 + 2 (-1) + 15 f (-1) = 0; entonces, otro factor lineal es: (x + 1)
Este método se basa en el criterio del teorema del resto: i) Si: P (x) es divisible entre (x – a) entonces P(a) = 0 ii) Si: P(x) es divisible entre (x + b) entonces P (-b)= 0
ur
4.
ar
lo
El polinomio mónico se caracteriza porque el coeficiente de su máxima potencia es igual a la unidad.
sT
CASO DE POLINOMIOS MÓNICOS
po
Observando en forma inversa i) Si: p (a)= 0; entonces un factor es (x –a) ii) Si: p(-b) = 0; entonces un factor es (x + b)
C
1. Se hallan todos los divisores del término independiente del polinomio P(x) a factorizar; los divisores se consideran con el signo más y menos. 2. Cada divisor con signo (+) o signo (-) se evalúa en P(x), si alguna de las evaluaciones vale cero, hemos encontrado un factor lineal. 3. Se recomienda encontrar una cantidad de ceros igual al grado del polinomio P(x) menos dos. 4. Los demás factores se encuentran aplicando la regla de Ruffini.
Por la regla de Ruffini: x – 1 =1 0 X=1
1 –
sé
x + 1 = 01
Jo
X = -1
– 2 – 16 + 2 1 - 17
– 1 – 17 - 15 -1 +
1 – 2 –
+ 15 - 15 0
2 + 15 15
0
P (x) = (x – 1) (x + 1) (x2 – 2x – 15) El factor cuadrático es más fácil de factorizar, obteniéndose: P (x) = (x – 1) (x + 1) (x – 5) (x + 3) CASO DE POLINOMIOS NO MONICOS
Sea, P(x) el polinomio a factorizar: 1º Se hallan los divisores correspondientes al término independiente de P (x) y los
Ejemplo # 1 Factorizar : 51
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA divisores correspondientes al coeficiente de la máxima potencia. 2º Los divisores a evaluar son los divisores del término independiente más las fracciones que se obtienen al dividir los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente de la máxima potencia.
3)
f(
- 43 ( f(
1 1 1 1 ) = 6 ( )5 + 13 ( )4 – 29 ( )3 3 3 3 3
1 2 1 ) -( )+6 3 3
1 1 ) = 0 otro factor es (x - ) 3 3
Aplicando Ruffini, se tendría: 6 + 13 - 29 - 43 - 1 + 6 x = -1
x
1 3
7 - 36 - 7 -3 -
6 +
2 + 19
ur
+ 6 - 36
0
- 12 0
f (x) = (x + 1) (x +
sT
0
-6
+ 4 - 38 + 12 + 2+ 2
6
+6
1 ) 2
(x -
1 ) 3
(6x2 + 6 x – 36) Simplificando y factorizando el término cuadrático, se obtiene: f (x) = (x + 1) (2x + 1) (3x – 1) (x + 3) (x – 2)
lo
Solución Como el polinomio es de grado 5 a lo más debemos encontrar “3” ceros. Los divisores del primer coeficiente y
6
11 xx = 22
7 + 36 + 7 - 6
po
Ejemplo: Factorizar: f (x) = 6x5 + 13x4–29 x3–43 x2 – x +6
-6 -
(1, 2, 3, Factorizar: 01. F (x) = x3 – 6x2 + 11 x – 6
Jo
6)
EJERCICIOS
sé
(1, 2, 3, 6)
C
ar
del término independiente son: f (x) = 6x5 + 13x4 – 29x3 – 43x2 – x+6
los divisores a evaluar son: (1, 2, 3, 6,
1 1 1 3 , , , 2 3 6 2
,
2 3
)
02. G (x) = x4 –10x3 + 35x2 – 50 x + 24
Evaluando: 1)
03. F (x)=72 x4 –90 x3 –5 x2 +40 x – 12
f (-1) = 6 (-1)5 + 13(-1)4 –29 (-1)3
– 43 (-1)2 – (-1) + 6 f (-1) = 0 Un factor es: (x + 1) f (
2) ( f (
04. G (x)=x5 –x4–13 x3 +13x2 +36x –36
1 1 1 ) = 6 ( )5 + 13 ( )4– 29 2 2 2
05. F (x)= 6 x5 + 7x4 – 15 x3 – 5x2 +9x–2
1 3 1 1 ) – 43 ( )2 – ( ) + 6 2 2 2 1 ) = 0 otro factor es: 2
(x
1 ) 2
52
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES RECÍPROCAS
F (x) = x2 [6 x2+35 x + 62 + 6
Las expresiones recíprocas se caracterizan por que los términos de los términos equidistantes de los extremos son iguales. Debemos tener en cuenta lo siguiente:
+
]
Agrupando los términos equidistantes de los extremos: F(x)= x2 [ 6 (x2 + Haciendo : x +
1 x2
) + 35 (x +
1 ) + 62 ] x
1 1 = a x2 + = a2 – 2 x x2
ur
po
Con lo cual: F (x) = x2 [ 6 (a2 – 2) + 35 (a) + 62 ] F (x) = x2 [ 6 a2 + 35 a + 50 ] Por aspa: 3a 10 20 a 2a
sT
1. Si la expresión es recíproca de grado impar, uno de sus factores es (x + 1) y este factor estará multiplicado por una expresión recíproca de grado par. 2. Si la expresión es recíproca de grado par los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales y el último término es positivo. Ejm: P(x)= ax4 bx3 cx2 bx + a
x2
35 x
5 15 a 35 a
F (x) = x2 [3 a + 10 ] [ 2 a + 5 ] Como: x +
lo
FORMA DE FACTORIZAR
C
ar
1. Se factoriza la variable que se encuentra elevado a un exponente igual a la mitad del grado de la expresión dada. 2. Se agrupan los términos equidistantes de los extremos quedando en cada grupo un término en “x” y su recíproco. 3. Se reemplaza el grupo de menor potencia por una letra diferente de “x” y las otras potencias se encuentran en función de esta letra.
1 x
= a; se tendría:
1 1 ) + 10] [2 (x+ ) + 5 ] x x F (x) = (3x2 + 10 x + 3) (2 x2 + 5 x + 2)
F(x) = x2 [3 (x +
Nuevamente por aspa simple:
Jo
sé
F (x) = (3x + 1) (x + 3) (2x + 1) ( x + 2)
EJERCICIOS
Factorizar: 01. F (x) = 4x4 – 12 x3 + 17 x2 – 12 x + 4 02. G(x) =x6– 3x5 + 6x4– 7x3 + 6x2– 3x + 1 03. F(x) = 8x6 – 36 x5 + 78 x4 – 99 x3 + 78 x2 – 36 x + 8
Ejemplo: factorizar F (x) = 6 x4 + 35 x3 + 62 x2 + 35 x +6
04. G (x) = 6x4 + 5x3 + 8 x2 + 5 x + 6 05. F(x) = 27 x6 – 54 x5 + 117 x4 – - 116 x3 + 117x2 – 54 x + 27
Solución Dado que el grado de F(x) es 4, factorizamos: ”x2”; obteniendo:
06. G (x) = 3 x4 + 5 x3 – 4x2 – 5x + 3 07. F(x) = 12x5 –8 x4 – 45 x3 + 45 x2 + 8 x – 12
53
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA M.C.D. y M.C.M. POR FACTORIZACIÓN
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Para determinar el M.C.D. ó M.C.M. de dos o más expresiones algebraicas se aplican las siguientes reglas: 1. Se descomponen en sus factores primos cada una de las expresiones dadas. 2. El M.C.D está determinado por el producto de los factores comunes con sus menores exponentes. 3. El M.C.M. está determinado por el producto de los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes.
MCD.- El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es otra expresión algebraica entera de mayor coeficiente numérico y mayor grado que divide exactamente a cada una de ellas.
Solución
Divisores de 36
Divisores de 24
1 2 3 4 6 12 18 36
1 2 3 4 6 8 12 24
po
Ejemplo: Hallar el MCD de 36 y 24
ur
MCD = 12
sé
C
ar
lo
MCM.- De dos o más expresiones Algebraicas es otra expresión algebraica entera de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente entre cada una de las expresiones dada.
Ejemplo: Hallar el M.C.D. y M.C.M. para las siguientes expresiones algebraicas: A = (x2 – y2)2 ; B = x4 – y4; C= (x2 + y2)2 Solución Factorizando cada una de las expresiones algebraicas A = (x + y)2 (x – y)2 B = (x2 + y2) (x + y) (x – y) C = (x2 + y2)2 M.C.D.= 1 M.C.M = (x2 + y2)2 (x + y)2 (x – y)2
sT
MCD (36, 24) = 12
Jo
Ejemplo Múltiplos de 5: 5 10 15 20 25 30 60 120 Múltiplos de 6: 6 12 18 24 30 60 120 MCM (5, 6) = 30
EJERCICIOS
PROPIEDADES
01. Hallar el M.C.D. de polinomios A = x4 – 3x3 – 10 x2 + 7 x – 1 B = x4 – 8x3 + 17 x2 – 8x + 1 C = x3 – 6x2 + 6 x – 1 Rpta. M.C.D. = x2 – 5X + 1
1. Si dos o más expresiones son primos entre sí, es MCD es la unidad y su MCM el producto de ellas. 2. Dada dos expresiones algebraicas A y B, su M.C.D. por su M.C.M. es igual al producto de A por B. 3.
los
02. Hallar el M.C.M. de: A = x3 + 5x2 + 8 x + 4 B = x3 + 3x2 – 4 C = x3 + 6x2 + 12 x + 8
M.C.D. (A, B) x M.C.M. (A, B) = A x B
54
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Rpta.
M.C.M. = (x + 2)3 (x + 1) (x –
1)
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES FRACCIONES ALGEBRAICAS
1. Cuando se trata de una sola fracción, se factorizan los miembros de la fracción y se cancelan los factores comunes. Ejm: Simplificar
Las fracciones algebraicas, son todas aquellas donde por lo menos hay una letra en el denominador. Ejemplo: a)
1 x
1 xy
b)
c)
xy 2
x y2
F=
Signos de una fracción.- son tres, el signo del numerador, el signo del denominador, el signo de la fracción 2. propiamente dicha. Así tenemos:
(a b )( a b ) (a b )
po
Cuando es una suma o resta de fracciones; primero se simplifican las fracciones y luego hallamos el M.C.M. Se efectúan las operaciones indicadas y se simplifica la fracción obtenida. En multiplicación de fracciones se factorizan los miembros de las fracciones y luego se multiplican entre sí. Para el caso de división de fracciones, se invierte la fracción que actúa como divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.
ur
lo
sT
ii)
F=
F = a- b
a a a a a b b b b b a a a a b b .b b
i)
a2 b2 ab
ar
CLASES DE FRACCIONES
x2 x3 x 1
x2 x 2
b)
Ejemplo # 1: Simplificar la fracción:
x7 x 3
Jo
a)
sé
C
A . Fracciones propias.- Se llama así cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador (Nº Dº). Ejemplos:
B. Fracciones impropias.En este caso el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (Nº Dº). Ejemplos: 5
x x2 x3 x 1
a)
b)
E=
Solución: Observamos que el M.C.M. es (x – 2) con lo cual la expresión quedaría de la siguiente forma:
x2 - x 2 x-3
C. Fracciones homogéneas.Son aquellas fracciones que tienen iguales denominadores. Ejemplos: a)
2 2
x 1
x
; x
2
1
;
x2 2 x2 x2 2 x2
E=
x 2 2x 4 x 2 2x 4
Simplificando: E=
2x 3
3x 2 x 6
Rpta.
x2 1
55
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA EJERCICIOS
01. Si : E=
y x z a b c
a x by cz a2 b2 c 2
; calcular x2 y2 z2 ax by cz
Rpta. E = 0 02. Simplificar: ( x 1)( x 2 9)( x 5) 27 ( x 2)( x 2 16)( x 6) 48
Rpta. E =
x 2 2x 6 x 2 2x 20
po
E
x 3 (2a b)x 2 (a 2 2ab)x a 2 b x 3 (a 2b)x 2 (b 2 2ab)x ab 2
Rpta.
E=
xa x b
ar C
a9 b 9 c 9 - 3a3 b 3 c 3 9 ab c
lo
04. Si: a + b + c = 0; calcular: E
sT
E=
ur
03. Simplificar:
sé
Rpta. (b2 + bc + c2)3
Jo
05. Si el numerador y el denominador de la fracción reductible: 3x 3 2x 2 (a 2)x 6 3x 3 5x 2 (a 1)x b
Admite un divisor común de la forma: (x2 + mx – 6). Indicar su equivalente irreductible. Rpta.
3x 1 3x 2
56
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
CANTIDADES IMAGINARIAS NUMEROS COMPLEJOS
7.1
Vemos que las potencies de la unidad imaginaria, se repiten en período de 4 en 4 y cuyos valores son i ; -1; - i; 1
CANTIDADES IMAGINARIAS Las cantidades imaginarias se originan al extraer raíces indicadas de índice par a números negativos.
16 ;
Ejm:
4 25 ;
2n N
Son cantidades imaginarias.
po
Siendo; 4K: múltiplo de cuatro vemos que: a) i4k = 1
Unidad Imaginaria.Está representada por la letra i, el cual matemáticamente nos representa a
1
E=
3 i
12 i
E=
36 i2
7.2
12
1
ur
Siendo; 4k: múltiplo de cuatro se observa que: a) i –4k = 1
36 = 6 i2 = -1, se tendría
E= -6
Rpta.
b) c) d)
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA Dado que:
i=
POTENCIAS NEGATIVAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
7.4
sé
3
Jo
E=
C
12 , debemos hacerlo con
bastante cuidado. Es decir::
Como:
ar
Nota.- Si queremos efectuar: 3
Regla.- La unidad imaginaria elevado a un exponente múltiplo de cuatro; su resultado es igual a la unidad.
lo
i = 1 ; tal que i2 = -1
E =
b) i4k + 1 = i4k i = i c) i4k + 2 = i4k i2 = -1 d) i4k + 3 = i4k i3 = - i
sT
1 ; es decir:
POTENCIAS POSITIVAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
7.3
-1
i i i
- (4 k – 1) - (4 k – 2) - (4 k – 3)
= i–4k i = i = i – 4 k i2 = -1 = i – 4 k i3 = - i
Regla.Cuando “i” está elevada a una potencia negativa, si el exponente es múltiplo de cuatro, el resultado es igual a la unidad. Es importante recordar lo siguiente:
i = -1 i3 = i2 . i = - i i4 = i2 . i2 = 1 i5 = i i6 = - 1 i7 = - i 2
Desde que: 4k = múltiplo de 4 1. (4k) n = 4k 2. (4k + 1)n = 4k + 1 ; (n = par o impar)
i8 = 1
57
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA De donde:
3. (4k + 2)n = 4k ; (para n 2) 4. (4k + 3)n = 4k + 1 ; (para n 2)
7.5
E
i -i -i i 0 1-i
EJERCICIOS RESUELTOS 06. Hallar el valor simplificado de: 25 29 21 23 Ei
01. Hallar: i 26 Solución: Recordemos que un número es múltiplo de cuatro, cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de cuatro, es decir:
Solución: En este tipo trabaja con potencias. E i21
00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92 96.
;
21 4 k 1
donde:
23 # Impar
po
Con lo cual:
ur
Impar E = i (4 k 1) i 4k 1 E=i
(Rpta.)
98 38
Rpta.
45 61
07. Calcular : S = i Solución Trabajando con los dos primeros exponentes: 98 4 k 2 38 donde: E i98 ; 38 # par
C
ar
lo
02. Determinar : i264239 Solución: Considerando las dos últimas cifra, vemos que: i264239 = i 39 = i 36+ 3 = i 3 = - i
sT
De donde: i26 = i24+2 = i2 = -1
23
de problemas se las dos primeras
De donde:
sé
03. Calcular: E = i –793 Solución: Observando solo las dos últimas cifras: i-793 = i-93 = i-96 + 3 = i 3= - i
Jo
Par S = i (4 k 2) i 4k S=1
08. Determinar el valor de la sumatoria S = i2 + 2i4 + 3i6 + 4i8 + ………….. + + (2 n – 1) i 4n – 2 + 2 n i 4n Solución: Se observa que hay “2n” términos, la cual está señalada por los coeficientes. Determinando las potencias de “i”:
04. Hallar : E = i-2937722649 Solución: Considerando solo las dos últimas cifras E = i-49 =i-52 + 3 = i3 = - i 05. Simplificar R
i93 i75 i63 i 49 i-72 i -93
S= (-1)+ 2(1)+ 3(-1) + 4(1) + ..... + + (2 n – 1)(-1) + (2n) (1)
Solución: Efectuando las potencies indicadas E
Rpta.
i i3 i3 i
Agrupando de “2” en “2”, donde grupo vale 1; se tiene:
1 i3
58
cada
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA S = 1 + 1 + 1 ................... + 1
7.7
n veces S=n
7.6
Los números complejos son expresiones matemáticas formadas por una parte real y una parte imaginaria. El complejo se representa por:
Rpta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Z=a+b i Donde i; es la unidad de los números imaginarios y se tiene que:
01. Calcular el valor de: E
2 i
3
219
Parte real Parte imaginaria
Esto nos indica que el complejo Z está formado por “a” unidades reales y “b” unidades imaginarias. Con respecto al número complejo. Z=a+bi
ur
02. Hallar el valor de:
05. Calcular el valor de: R
i-932 - i-217 - i-964
- i -522 - i - 261 - i -393
es :
a) Si; a = 0 Z = bi (# imaginario puro) b) Si; b = 0 Z = a (# real ) c) Si; a = 0 b = 0 Z = 0 (Complejo nulo)
C sé
Jo
04. El valor de: E = i -6349 + i -2715 – i-1693 es : Rpta. – i
2n
ar
03. El valor de: i2 + 3i4 + 5i6 + 7i8 +…. + (2 n – 1) i es : n Rpta.
sT
Rpta. i
i666 i555 i 444
lo
i 999 i 888 i 777
Rpta. 0,5
es :
A. Complejos conjugados.Dos números complejos son conjugados cuando tienen igual parte real y en la parte imaginaria solo se diferencian en el signo. Así tenemos; El complejo de: a) Z1 = 7 – 2 i es: Z2 = 7 + 2 i b) Z1 = - 5 – 3 i es: Z2 = -5 + 3 i
0,5
c) Z1 =
Rpta. 5
8–
3i
es:
Z2 = 8 +
3 i
En general, el complejo de:
07. Hallar el valor de:
Ei es :
CLASES DE COMPLEJOS
7.8
06. Calcular el valor de: 2 3 27 R i2 i2 i2 ............ i2
: Re Z = a : Im Z = b
po
Rpta. 1
S
NÚMEROS COMPLEJOS
Z1 = a + b i
42 63 -26 31
es :
Z2 = a – b i
a. Complejo Iguales.- Dos números complejos son iguales, si tienen igual
Rpta. 1
59
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA parte real e igual parte imaginaria. Es decir:
02. Cuál es el valor de : b los complejos: Z1 = ( b – 3) – (c + 2) i y Z2 = 6 –( b – 1) i Son opuestos
Z1 = a + b i es igual a Z2 = c + d i a = c b = d B. Complejos Nulos.Son aquellos números complejos que tienen parte real nula y parte imaginaria nula, es decir:
C. Complejos opuestos.Son aquellos números complejos que se diferencian solo en los signos, tanto para la parte real, como para la parte imaginaria, es decir:
a) b – 3 = - 6
Z1 = a + 2i
po
ur
bc + c – b = 17
sT
y Z2 = (2a – 1) + (3 b + 2) i
C
Solución
Desarrollando el segundo miembro de la igualdad por productos notables. a – b i = 4 – 12 i + 9 i2 dado que: i2 = -1 ; entonces:
sé
a-5
Jo
Solución Dado que son complejos conjugados; sus partes reales son iguales, es decir: a=2a–1 a =1 De otro lado, sus partes imaginarias, solo se diferencian en el signo: 2 = - (3 b + 2) 4 = - 3b 4 3
a – bi = -5 - 12 i
b 12
(a + b) = - 5 + 12 = 7
7.10
Rpta.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Forma Geométrica o Cartesiana.- Todo número complejo de la forma :
reemplazando en : E = a2 + b2 E = (1)2 + (
Z = a + bi se puede representan en el plano cartesiano. Debe tenerse en cuenta que:
4 2 ) 3
Z = a + bi 25 E= 9
Rpta.
03. Calcular (a + b), si a – bi = (2 – 3 i)2
Son conjugados. Hallar el valor de (a2 + b2)
b=
b = -3
lo
Si los complejos:
si
bc + c – b = (-3)2 + (2)3 = 17
ar
01.
- b
b) – (c + 2) = b – 1 - c – 2 = - 3 – 1 c =2
Z1 = a + b i es opuesto a Z2 = c + d i a = -c b =-d EJERCICIOS RESUELTOS
+ c
Solución: Como los números complejos son opuestos, estos se diferencian en el signo, tanto para la parte real, como para la parte imaginaria, es decir:
Z = a + bi = 0 a = 0 b = 0
7.9
c
Re (z) a Im (z) b
Rpta. D
60
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Esto quiere decir que en el eje de las abscisas, tenemos: “a” unidades reales y en el eje de las ordenadas, tenemos “b” unidades imaginarias. En efecto; la gráfica de: Z = a + bi
COORDENADAS POLARES
7.11
; es:
Haciendo coincidir el polo del eje polar con el origen de coordenadas, obtenemos la gráfica del complejo. Z = a + bi (En la forma cartesiana) Z=r (En la forma polar)
y (Im)
(a, b) afijo del complejo
a
b
RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y LAS COORDENADAS POLARES
i
Y (Im)
x (Re) 1
0
a
po
b
B
r
sT
0
b
a
A
X (Re)
PLANO GAUSSIANO
Z4 = 7 -
Jo
sé
C
ar
lo
Coana Afijo de un complejo.- Es un punto del plano complejo, el cual está determinado por un par ordenado (a, b) a = Re (z) : nos representa la parte real b = Im (z) : nos representa la parte imaginaria Ejemplos: # Complejo Afijo del # complejo Z1 = 3 + 5 i (3; 5) Z2 = -2 – 2 i (-2; -2) Z3 = - 6 + 8 i (-6; 8)
ur
COORDENADAS CARTESIANAS
2i
(7; -
2)
r2 = a2 + b2 r = a2 b2 r = z es el módulo del # complejo asimismo:
Forma Polar.- Este sistema determina el afijo de un número complejo mediante dos coordenadas polares, una de las coordenadas es el radio vector “r” que es la distancia del afijo (r, ) al polo y la otra coordenada es el argumento “”, llamado también ángulo polar, que está determinado por el eje polar y el radio vector, como muestra la gráfica adjunta.
Tg =
r
b b = arc tg ; -180º 180º a a
: es el argumento del # complejo. II. Transformación de la forma polar a la forma cartesiana
(r, ) afijo polo
Para hacer las transformaciones entre coordenadas, consideramos: I.- Transformación de la forma cartesiana a la forma polar. Dato : Z = a + b i Incog: Z = r = r (cos + i sen ) En el plano Gaussiano por Pitágoras: Y en el R OAB, observamos que:
Dato : Z = r = r cos + i sen Incog: Z = a + b i
Radio vector
o
Eje polar
61
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Con referencia al plano Gaussiano
Vemos que: -
3
2
-1
“a” es la proyección de “r” sobre el eje de lasr = 2 2 abscisas: a = r cos “b” es la proyección de “r” sobre el eje de lasAsimismo: ordenadas = 270º - ; donde b = r sen
Ejemplo # 1: Representar el complejo
2
1
= arctg
3 /2 1/ 2
= 60º
Z = -1 + i en la forma polar
= 270º - 60º = 210º
Solución: Representando z = -1 + i en el plano complejo:
z=
3 1 -i 2 2
210º
1
Rpta.
y (Im)
(-1,1)
po
Ejemplo # 3. Exprese en la forma cartesiana el número complejo Z = 2 120º
1
ur
X (Re)
Vemos que:
= 180º - ; donde tg =
= 45º
C
= 180º - 45º = 135º Con lo cual :
1 =1 1
lo
(-1)2 (1)2 2
ar
r=
135º
Ejemplo. # 2.
Represente el número
Rpta.
Z = -1 + i
Jo
Z=
3 1 -i en la forma polar. 2 2
3 1 -i 2 2
A)
en el plano
complejo, con la finalidad de ubicar la posición del argumento.
2
z = 2 120º
=-1+i
1 -i 2
3 2
b) z = 1 – i c) z = -1 + i
o
3
d) z = -5
x (Re)
Rpta: z = 1
300º
Rpta: z = 2 - 45º 3
Rpta: z = 2 120º
3 - i 5 Rpta: z = 10 210º
e) z = 3 2 - i 3 2 Rpta: z = 6
Rpta.
EJERCICI OS Representar en la forma PROPUE polar los STOS siguientes números complejos: a) z =
y (Im)
3
3
7.12
Solución: Graficando Z =
3
1
Z = -2 + i 2 2 2
sé
z =- 1 + i = 2
complejo
Solución: Teniendo en cuenta que: Z = r = r cos + i r sen Se tendría: Z = 2 cos 120º + i 2 sen 120º Reduciendo al primer cuadrante Z = - 2 cos 60º + i 2 sen 60º
sT
-1
315º
1 2
62
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA B)
Representar en la forma cartesiana los siguientes números complejos:
2. MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS.
a) En la forma cartesiana se procede como si fuera el producto de dos
a) z = 10 –60º Rpta. z = 5 – i 5 3 b) z = 6
-135º Rpta. z = -3 2 - i 3
c) z = 2
120º Rpta. z = -1 + i
d) z= 50
315º Rpta. z = -25 2 -i 25
binomios; es decir: 2
Si; Z1 = a + bi
3
y Z2 = c + d i
Z1 Z2 = (a + b i ) (c + d i ) 2
Z1 Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc) i
e) z =12 -120º Rpta. z = -6 – i 6 3
b) En la forma polar; primero se hace
7.13
OTRAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UN NÚMERO COMPLETO
la transformación de la forma cartesiana a polar; es decir, dados:
po
i) Z1 = a + b i = r1 1 , donde
ur
r1 = a2 b2 1 = arc tg
sT
r2 = c2 d2 2 = arc tg
ar
C
7.14
1.
Z :módulo del complejo
El módulo del producto es igual al producto
b : Argumento del complejo. a
-180º 180º
1+ 2
Observaciones: de
los
módulos
de
los
factores:
Jo
= arc tg
Z1 Z2 = (r1 1 ) (r2 2 ) = r1 r2
sé
a2 b 2
d c
vemos que :
Considerar que para todas las formas: r=
b a
ii) Z2 = c + d i = r2 2 , donde
lo
El número complejo z = a + bi se puede representar en las siguientes formas: 1. Forma Cartesiana Z=a+bi 2. Forma trigonométrica Z = r cos + i r sen 3. Forma polar Z = r = r (cos + i sen ) 4. Forma exponencial Z = r e i = r (cos + i sen ) 5. Forma sintética Z = r Cis () = r (cos + i sen )
2.
El argumento del producto es igual a la suma de los argumentos de los factores.
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
3. DIVISIÓN DE COMPLEJOS.-
1. SUMA ALGEBRAICA.- Para sumar o restar complejos, se suman o restan las partes reales y las partes imaginarias entre sí. En efecto: Si; Z1 = a + b i y Z2 = c + d i Entonces: a) Z1 + Z2 = a + bi + c + d i Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d) i b) Z1 - Z2 = a + b i – ( c + d i ) Z1 - Z2 = (a – c) + ( b – d ) i
a) En la forma cartesiana; para dividir dos
complejos,
se
multiplica
y
divide por la conjugada del divisor. Es decir: Dados; Z1 = a + bi Se tiene:
y Z2 = c + d i
Z1 a b i c - d i (ac bd) (bc - ad) i Z2 c d i c - di c 2 d2
63
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA En una división de complejos, se debe tener
= arc tg
b ; -180º 180º (arg.) a
en cuenta lo siguiente: i) Z = ii) Z =
zn = (r )n
abi a b ; es un número real, si: c di c d
= rn
n
z n = r n [ cos n + i sen n ]
abi a b ; es imaginario puro, si: c di d c
OBSERVACIONES 1. El módulo de la potencia es igual al
b) En la forma polar.- Primero se hace
módulo de la base a la potencia deseada.
la transformación de cartesiano a
2. El argumento de la potencia es igual al
polar; es decir:
argumento de la base por el exponente
= r1
1
Z2 = c + d i
= r2
2
de la potencia.
po
Z1 = a + b i
ur
5. RADICACIÓN DE UN COMPLEJO.Para extraer la raíz de un complejo se
Entonces: 1 r - 2 1 1 2 r2
El
lo
Dado : Z = a + bi = r , se tiene para la raíz n-ésima
ar
OBSERVACIONES 1.
sT
utiliza la fórmula de DE MOIVRE.
z1 r 1 z2 r2
modulo del cociente, es igual al
n
z n
C
cociente de los módulos del dividendo y 2.
n
r /n
El argumento del cociente, es igual a la n
Jo
diferencia del argumento del dividendo y divisor. 4.
cuya expresión genérica es:
sé
divisor.
r
POTENCIACIÓN
DE
UN
z=r
n
360º k 360º k i Sen Cos n n
r
Tener en cuenta: i
90º
1 = Cos 0º
al transformar a
-1 180º
Donde r = z =
=
donde: k = 0, 1, 2, 3 .........., ( n – 1)
COMPLEJO.-
Para el caso de la potencia de un complejo se puede utilizar el binomio de Newton o la fórmula de DE MOIVRE, la cual veremos a continuación: Dado; z = a + b i ; polar se obtiene:
z
1 0
270º
360º
-i
i = Cos 90º
+ i sen 0 + i sen 90º
-1 = Cos 180º + i sen 180º - i = Cos 270º + i sen 270º
a2 b2 “Módulo”
64
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
7.15
RAÍCES CÚBICAS DE LA UNIDAD
Resolver:
PROPIEDADES DE LA RAÍCES CÚBICAS DE LA UNIDAD
x3 : 1
1. Una de las raíces complejas de la raíz cúbica de la unidad es el cuadrado de la
Solución Como; 1 = Cos 0º + i Sen , entonces X = 3 1 = ( Cos 0º + i Sen 0º )
otra. 2. La suma de las tres raíces cúbicas de la
1/3
unidad es igual a cero 3. El producto de las raíces compleja de la
Por De Moivre; se tiene:
0º 360º k 0º 360º k i sen 3 3
po
raíz cúbica de la unidad es igual a 1
X= 3 1 =
En conclusión:
Cos
Prop.
ur
1 3 1
Para k = 0 x1 = 1
a) 1 + w + w2 = 0 b) w . w2 = w3 = 1 c) w 3k = 1
lo
X1 = Cos 0º + i sen 0º
w2
sT
Donde : k = 0, 1, 2
w
ar
Para k = 1 x2 = cos 120º + i sen 120º
sé
1 3 i 2 2
Jo
X2 =
C
X2 = - cos 60º + i sen 60º
Para k = 2 x3= cos 240º + i sen 240º X3= - cos 60º + i sen 60º X3
=
1 - i 2
3 2
65
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
TEORÍA DE ECUACIONES CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
DEFINICIONES BÁSICAS
8.1
Igualdad.- Es la relación que nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor en un cierto orden de ideas. Ejm.: Si A y B tienen el mismo valor, entonces decimos que:
Existen varias formas de clasificar a una ecuación: A) Atendiendo al grado.Las ecuaciones pueden ser, de primer grado, de segundo grado, de tercer grado, etc. Ejemplos: a) 5 x + 3 = 0 ................... (1º) b) 3x2 – 11 x- 5 = 0 ........... (2º) c) 9x3 – x – 2 = 0 ………………. (3º)
A: Primer miembro
ur
B) Por el número de incógnitas, las ecuaciones pueden ser, de una incógnita, de dos incógnitas, de tres incógnitas, etc. Ejemplos: a) De una incógnita: 5x4 – x2 + 3 = 0 b) De dos incógnitas 3x – 5 y = - 2 ............. (1) 4x – 3 y = 7 ............. (2)
C
ar
lo
CLASES DE IGUALDADES A.- Igualdad Absoluta: Formalmente son identidades que se verifican para cualquier valor numérico de sus letras, en la cual están definidos. Ejemplo: a) (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12 x + 8 b) (x + a) (x – a) = x2 – a2 c) (x + y)2 + (x – y)2 = 2 (x2 + y2)
po
de la igualdad B: Segundo Miembro de la igualdad
B.- Igualdad relativa o ecuación
Se llaman también igualdades condicionales y se verifican para algunos valores de sus variables.
sé
C) Atendiendo a sus coeficientes, las ecuaciones pueden ser numéricas o literales. Ejemplos: a) Numérica: 2x2 – 6x – 7 = 0 b) Literal : ax4 – bx3 + c = 0
Ejemplos: a) b) c) d) e) f) g)
Jo
8.2
donde:
sT
A=B
3x– 2 = x+2; se verifica para x = 2 x3 –6x2 + 11 x – 6 = 0; se verifica para: x=1 x=2 x=3 x2 – 1 = 0; se verifica para x = 1 x4 - 16 = 0; se verifica para x = -2 x5 + 1 = 0; se verifica para x = -1 x7 + x6–2 = 0; se verifica para x = 1
D) Atendiendo a su solución, las ecuaciones pueden ser compatibles o incompatibles a) Ecuaciones compatibles, son aquellas que admiten soluciones y a su vez pueden ser:
x 2 x 3 = 5; se verifica para
x = 6.
a.1)
Compatibles
determinadas.-
Estas ecuaciones presentan número finito de soluciones.
66
un
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA a.2) Compatibles Indeterminadas
Estas ecuaciones admiten infinitas soluciones. b)
Incompatibles
o
absurdas.
I. Si a los dos miembros de una ecuación, se suma o resta una misma expresión entera, o en forma particular un número, la ecuación resultante es equivalente a la ecuación propuesta. Es decir:
Llamadas también incosistentes, se caracterizan por que no tienen solución. E) Atendiendo a su estructura algebraica, las ecuaciones pueden ser: a) Ecuaciones polinomiales 2x4 – x3 + 3x2 – x – 3 = 0
Si: A = B A m = B m
po
II. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplica o divide por una expresión algebraica independiente de cualquier variable (diferente de cero y/o diferente de infinito) Se obtiene una nueva ecuación equivalente a la ecuación propuesta. Es decir:
2x x
-1
-
5 x
4
3
ur
b) Ecuaciones fraccionarias 2
0
ar
Si : A = B
B .m
B m
m0 m III. Si a los dos miembros de una ecuación se potencian o se extraen radicales de un mismo grado, la ecuación resultante es parcialmente equivalente a la ecuación propuesta.
que
Jo
sé
ECUACIONES EQUIVALENTES.Son todas aquellas ecuaciones presentan las mismas soluciones.
A .m A m
(x - 2) – 5 x + 3 = 0
C
x
lo
2x-3 0
d) Ecuaciones trascendentes i) 2x-3 + 2 x – 4 = 12 ii) Log
sT
c) Ecuaciones irracionales x3 - 1
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES EN TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES
8.4
Ejemplo: La ecuación: 5x – 3 = 2 x + 6 Es equivalente a: La ecuación: x + 2 = 5 Ya que la solución común es: X=3
8.5
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Dada la ecuación P(x) = 0, la solución de la ecuación es el valor que toma la incógnita, de forma que al remplazar este valor en la ecuación, esta se transforma en una igualdad numérica verdadera.
ECUACIONES PARCIALMENTE EQUIVALENTES Son aquellas ecuaciones que por lo menos presentan una solución común. Ejemplo: La ecuación : x2 – 5x + 6 = 0 Es parcialmente equivalente con la ecuación x 2 0 ; ya que se verifica para
Ejemplo: La ecuación: 2x2 – 5x = 7 x – 10 es verdadera para x = 5, ya que:
x=2. 67
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA 2 (5)2 – 5 (5) = 7 (5) – 10 x = 5 es solución de la ecuación.
Observación: Toda ecuación polinomial de grado “n” tiene “n” raíces
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA 1 i ECUACIÓN
TEOREMA DEL FACTOR.Si un polinomio P(x) se anula para x = a, entonces (x – a) es un factor de P(x) y por consiguiente “a” es una raíz de dicho polinomio. Dicho de otra forma: Dado P(x) = 0, tal que P(a) = 0 entonces (x – a) es un factor de P(x). Se cumple que P (x) (x –a) Q (x)
El conjunto solución (C.S.) de una ecuación es el conjunto que está formado por la reunión de todas las soluciones. Ejemplo # 1.- Las soluciones de la ecuación: (x – 3) (x + 4) (x – 1) = 0, son: x = 3; x = - 4 ; x = 1 Por consiguiente el conjunto solución es C.S. = - 4, 1, 3
ur
1. Cuántas raíces tienen las siguientes ecuaciones: a) P (x) = x5 – x + 2 = 0 Rpta. 5 raíces. b) P(x) = (x + 3) (x – 2) (x – 4) + x6 Rpta. 6 raíces c) P(x) = (x – 4)3 (x + 6)2 (x – 7)3 + 1 = 0 Rpta. 8 raíces
sT
ar
ECUACIÓN POLINOMIAL CON UNA INCÓGNITA
sé
2. Hallar el conjunto solución en las siguientes ecuaciones: a) P(x) = (x-3) (x + 2) (x – 3) (x + 2) = 0 Rpta. C.S. = -2, 3 b) P(x) = (x + 1)3 (x – 2)2 (x + 6)3 = 0 Rpta. C.S. = -1: 2; -6 c) P(x) = (x +1) (x + 2) (x + 3)… (x + n) Rpta. C.S. = -1; -2; -3; ...... ; -n
Es aquella ecuación cuya forma canónica o general adopta la forma: P(x) = a0 xn + a1 xn - 1+ a2 x n-2 .... … + a n-1 x + a n = 0 Esta ecuación es de grado “n” si y solo si: ao 0 de otro lado ao, a1, a2 ....., an son coeficientes de la ecuación de grado “n”.
Jo
8.7
C
Observación : A. B = 0 A = 0 B = 0
EJERCICIOS PROPUESTOS
lo
Ejemplo # 2.- El conjunto solución de la ecuación : (x – 2)3 (x + 1)2 = 0 es: C.S. = 2, -1,, el cual se obtiene cuando cada factor se iguala a cero. No olvidar que la ecuación propuesta tiene por raíces: 2, 2, 2, -1, -1.
8.8
po
8.6
3. Determinar las raíces de las siguientes ecuaciones: P(x) = 0 a) P (x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) (x – 5) Rpta. x1 = 1; x2 = -2; x3 = 3; x4 =5 b) P (x) = (x – 1)3 (x + 6)2 (x – 3) Rpta. x1 = 1; x2 = 1; x3 = 1; x4 =-6 x5 = -6; x6 = 3 c) P (x)= x3 – 1
Raíz de un Polinomio P(x).- Es el valor que al ser reemplazado en P(x), este toma el valor cero. Ejemplo: Dado el polinomio: P(x)= x3 + 1 una de sus raíces es x = -1 Ya que : P (-1) = (-1)3 +1 = 0
Rpta. x1 = 1; x2 =- 1
68
3 i 2
x3 =
1 3 i 2
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.
La ecuación polinomial. P(x) = ao xn + a1 x n-1 + …. + an-1 x+ an = 0 Con coeficiente ao 0, y grado n 1 con cualquier tipo de coeficientes numéricos tiene por lo menos una raíz ya sea real o compleja.
A1.- Suma de raíces
Ejemplo # 1.- La ecuación: P(x)= 0 P(x) = x4 – 1; tiene una raíz igual a:
x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 +….+xn-1 xn = +
i=
A3.- Suma de los productos de las raíces tomadas de tres en tres o suma de productos ternarios.
1,
x1 + x2 + x3 + …. + xn = -
A2.- Suma de los productos de las raíces tomadas de dos en dos o suma de productos binarios.
ya que:
P(i) = i – 1 = 1 – 1 = 0 4
a x1 x2 x3+ x1 x2 x4 +….+xn-1 xn = - 3 ao
2 , ya que :
ur
Así sucesivamente:
2 )2 - 2 = 2 – 2 = 0
sT
An.- Producto de todas las raíces.
lo
x1 x2 x3 …... xn-1 xn = (-1)n
ar
RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y COEFICIENTES DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL (TEOREMA DE CARDANO VIETA)
C
Dada la ecuación polinomial de grado “n” y coeficiente principal diferente de cero (ao 0) aoxn + a1 xn- 1 + a2 xn –2+ ... + an = 0 que también puede ser representada por:
EJERCICIOS RESUELTOS
sé
Hallar la suma de sus raíces y su producto correspondiente.
a a a ao [xn+ 1 xn – 1+ 2 xn – 2+ ..+ n ]= 0 a0 a0 a0
Solución:
cuyas raíces son x1, x2, x3 ………,xn el cual nos representa la ecuación
Teniendo en cuenta que la suma de las raíces de una ecuación de grado “n” es igual al coeficiente de xn-1 entre el coeficiente de xn, con signo cambiado; se tendría: Coef. de x4 = 5
ao (x – x1) (x – x2) (x – x3) .... (x – xn) = 0
cuyo desarrollo es:
8.10
an ao
Ejercicio #1.- Dada la ecuación 5 x4 – 3 x3 + 2 x – 3 = 0
Jo
8.9
2 ) = (-
a2 ao
po
Ejemplo # 2.- La ecuación: P(x)=0 P(x) = x2 – 2; tiene una raíz igual a : P (-
a1 ao
en productos notables
ao [xn – (x1 + x2 + x3 + …. xn) x n – 1 + + (x1 x2 + x1 x3 + …… xn – 1 xn) x n – 2 - (x1 x2 x3 + x1 x2 x4+ …… xn – 2 x n – 1 xn) x n – 3 + ...... + (-1)n (x1 x2 x3 + …… xn ) ] = 0
5x4 – 3x3 + 2x – 3 = 0
Coef. de x3 = -3 suma de raíces: x1 + x2 + x3 + x4 =
Al identificar los coeficientes, vemos las relaciones correspondientes entre coeficientes y raíces, así tenemos:
69
3 3 5 5
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA De otro lado el producto de todas las raíces de una ecuación de grado “n” es igual a su término independiente dividido entre el coeficiente de xn y multiplicado por (-1)n. Es decir para:
b) x2 + x + 1 = 0 x= x=
5x4 – 3x3 + 2x – 3 = 0
x1
Termino Indepediente. = -3
De donde: Producto de raíces: 3 5
3 5
Rpta: Suma = 0
lo
Rpta: Suma =
C
1 ....... (2)
Reemplazando (1) en (2):
sé
Jo 1 +
1
2 1
- 2 +2 0
2 7
;
Producto =
3 7
1 13 1 13 1 ; x2 ; x3 2 2 2
Rpta: x1
1 1 1 ; x2 ; x3 6 2 3
4) Resolver: x4 – 12x – 5 = 0, sabiendo que admiten dos raíces que suman 2. Rpta: x1 1 2 ; x2 1 2 ; x3 1 2i
(x –2) (x2 + x + 1) = 0 Igualando cada factor a cero:
Producto = 0
3) Resolver: 36x3 – 12x2 – 5x + 1 = 0, sabiendo que una de las raíces es igual a la suma de las otras dos:
De donde, tendríamos:
a) x – 2 = 0
;
2) Resolver: 2x3 - x2- 7x - 3 = 0, sabiendo que dos de sus raíces suman la unidad. Rpta: x1
2
2 3
7 2
c) 4x8 - 5x3 – 2x = 0 Rpta: Suma = 0 ; Producto = 0
Rpta: Suma =
Siendo x3 = 2, una de las raíces de la ecuación, esta contiene al factor (x – 2), obteniéndose el otro factor, por la regla de Ruffini:
X=2
Producto =
d) 7x6 - 2x5 + 5x4 – 3x3 - 6x2 – 8x + 3 = 0
x3 = 2
1 – 1 –1
;
b) 3x9 - 2x8 + 7x6 – 5x = 0
ar
Solución: Sean las raíces: x1, x2, x3 Por condición: x1 + x2 = -1 ..... (1) Del Teorema de Cardano – Vieta
a) 2x7 + 3x5 – 5x2 – 7 = 0
sT
Sabiendo que dos de sus raíces suman menos uno.
ur
x3 – x2 – x – 2 = 0
x–2=0
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) En las siguientes ecuaciones determinar la suma de las raíces y el producto correspondiente.
Ejercicio # 2.- Resolver:
-1 - 3 i -1 3 i ; x2 ; x3 2 2 2
po
x1 . x2 . x3 . x4 = (-1)4 (- ) = -
-1 + x3 = 1
1 3 i 2
8.11
1 = 1
2(1)
Las raíces de la ecuación dada son:
Coef. de x4 = 5
x1 + x2 + x3 = -
1 1 4(1)(1)
x=2
x4 1 2i
70
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Con lo cual: P(x) = (x²-2x-2) (x-2)(x-3)=0 Se divide las raíces por:
RESOLUCION DE ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Con respecto a las ecuaciones de grado superior a 2; se efectúa en forma general:
Plantean una ecuación es la traducción de un problema del lenguaje materno al lenguaje matemático.
po
Problema 1.- ¿Qué día y hora del mes de abril se verifica que la fracción transcurrida del mes es igual a la fracción transcurrida del año? (El año es bisiesto). Solución: Debe entenderse que: Días Transcurridas 1. Fracción del Mes :-------------------------De Abril 30 días
C
ar
lo
Debe tenerse en cuenta los siguientes principios: P(x)=0 1. Toda ecuación polinomial de grado “n”, tiene “n” raíces. 2. En toda ecuación con coeficientes racionales, las raíces complejas se presentan por pares conjugados. 3. En toda ecuación con coeficientes racionales, las raíces irracionales, se presentan por pares conjugados.
PLANTEO DE ECUACIONES
8.13
ur
(b)
Factorizando la ecuación propuesta e igualando a cero cada factor. Por artificios, damos forma de ecuaciones conocidas, por ejemplo las cuadráticas y otras que se estudiaran.
sT
(a)
x1 =1- 3 ; x2 = 1+ 3 ; x3=2;x4=3
sé
Ejemplo # 1.Una raíz ecuación. P(x) = 0, donde: P(x) = x4 – 7x3 + 14x²-2x-12
de
Días transcurridas 2. Fracción del año: --------------------------366 días
Analizando: i. Para el mes de Abril Supongamos que hace transcurrido “x” días, entonces su fracción será:
la
Jo
8.12
Es : 1- 3 , hallar las otras raíces Solución:
ii.
Dado que : x1 = 1- 3 , otra de sus raíces será la conjugada : x2 = 1 +
x 30
Para el año bisiesto (366 días). Se observa que han transcurrido. E
3 ; del teorema del factor.
+
F +
M +
31 días 29 días 31 días
P(x) = [x-(1- 3 )][x-(1+ 3 )]Q(x)
X
= 91 + x
días
Con lo cual su fracción será :
P(x) = [(x-1)²-( 3 )²] Q(x)
91 x 366
P(x) = (x²-2x-2) Q(x)
Dado que las fracciones son iguales, se cumple:
Por división : Q(x) = x² -5x + 6 ó : Q(x) = (x-2) (x-3)
x 91 x 65 x días 30 366 8 1 ó: x = 8 días 8
71
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA como el día tiene 24 horas x= 8 días y 3 horas. Han transcurrido 8 días, más 3 horas.
a
4 del 47
número
de
hojas
que
quedan? Solución: Sea “x” el número de hojas arrancadas. Entonces: (365 – x) es el número de hojas que faltan por arrancar. Luego la ecuación resultante es:
El día pedido será el 9 de Abril a las 3 a.m. Rpta. Problema 2.- Un padre tiene 32 años y su hijo 5 ¿Al cabo de cuántos años, la edad del padre será diez veces mayor que la de su hijo?
x-
4 47
(365 – x) = 8
sT
ur
po
de donde : x = 36 Como enero tiene 31 días, quiere decir que se han arrancado 5 hojas del mes de febrero por consiguiente, el día del año que marca el almanaque es el 6 de febrero. Rpta.
8.14
PROBLEMAS DE REPASO
01. Determinar “k” en la ecuación de segundo grado: (k – 2) x2 – 2k x + 9 = 0 sabiendo que sus raíces son iguales.
lo
Solución: Sea “x” la cantidad de años que se necesitan para que se cumpla la condición: Luego el padre tendrá : 32 +x y el hijo: 5 + x Se cumple : 32 + x = 10 (5+x) Resolviendo : 32 + x = 50+10x -18 = 9x x =-2
los
Rpta.
C
Hace dos años :
ar
El signo menos indica que la condición se cumplió:
Solución Dado que las raíces son iguales, el discriminante vale cero, es decir: = 0 b2 – 4 ac = 0
Problema 3.- Dispongo de 800 soles y
no gasto?.
Solución:
sé
3 de lo que no gasto ¿Cuánto 5
Jo
gasto los
Remplazando: (-2 k)2 – 4(k – 2) 9 = 0 4 k2 – 4 (9k – 18) = 0
De acuerdo al enunciado No gasto : x Gasto : 800 – x De donde la ecuación resultante es: 800 – x =
Simplificando: k2 – 9 k + 18 = 0
3 x 5
4000 – 5x = 3x x = 500
Factorizando:
No gasto 500 soles
(k – 6) (k – 3) = 0
Rpta.
Problema 4.- ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque creando el número de horas arrancadas excede en 8
k=6 ó k=3
02. La suma de tres números pares consecutivos es 66. Hallar el menor de los números .
72
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA a) 35 km/hr c) 40 km/hr e) 44 km/hr
Solución: De acuerdo a los datos: El # menor :x El # del medio :x+2 El # mayor :x+4
2. La cantidad que debe restarse a los dos términos de la fracción
Por consiguiente la ecuación resultante es: x + x + 2 + x + 4 = 66 3 x = 60 x = 20
a para b
que llegue a ser igual a su cuadrado es:
Rpta.
03. Un padre tiene 30 años y su hijo 3. Dentro de cuantos años la edad del padre es el cuádruple de la de su hijo.
a)
ba ab
b)
d)
ab ab
e)
ab ab
c)
ab ab
a2 b 2 a2 b 2
sT
ur
po
04. Calcular en que instante del viernes, la fracción de día transcurrido es igual a la fracción transcurrida de la semana. a) 2 p.m. b) 3 p.m. c) 4 p.m. d) 8 p.m. e) 9 p.m. 05. Guillermo tiene hoy cuatro veces los años que tenía Walter cuando el tenía 13 años; Walter tiene hoy 22 años. Hallar la edad de Guillermo. a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29
C
ar
lo
Solución: Actualmente : Edad del padre : 30 Edad del hijo :3 Dentro de “x” años Edad del padre : 30 + x Edad del hijo :3+x Ecuación resultante: 30 + x = 4 (3 + x) Resolviendo: 30 + x = 12 + 4 x 18 = 3 x de donde: x = 6 años
b) 38 km/hr d) 42 km/hr.
Jo
sé
06. Un niño robó flores en un jardín, y después de andar 80 pasos empezó a perseguirle el jardinero. El niño da cuatro pasos mientras que el jardinero da tres; pero cinco pasos de éste equivalen a siete de aquel. El número de pasos que dio el jardinero para alcanzar al niño y el número de estos que dio el niño mientras duró la persecución, fueron respectivamente: a) 600 y 800 pasos b) 900 y 1200 pasos c) 1200 y 1600 pasos d) 1500 y 2000 pasos e) 1800 y 2400 pasos
Dentro de 6 años la edad del padre será el cuádruple de la de su hijo. Rpta.
8.15
EJERCICIOS
1. Un individuo va en un tren que lleva una velocidad de 30 km/hr. y ve pasar en 3 segundos otro tren que marcha en sentido contrario; sabiendo que el segundo tren tiene una longitud de 60 mts, su velocidad es:
73
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA SISTEMA DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR INTERPRETACION GRAFICA ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRATICAS ECUACION BICUADRADA ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS
Para : z = 1
Son aquellas ecuaciones que al hacer un cambio de variable en su estructuración algebraica se transforma en una ecuación de la forma:
po
;
a0
Ejem. # 2: Resolver la ecuación: 2x2 + 4x – 7
A continuación mostraremos diversos
transformación a ecuaciones
Ejem. 1: Resolver
lo
2(x2 + 2x + 10 – 10) – 7
sé
2x 5 1 3x 2 z
x 2 2x 10
donde z 0; la ecuación dada se transforma en: 3 4 z2 – 4z + 3 = 0 Z+ Z Factorizando; (z –3) (z – 1) = 0
a
-5
a=Para: z = 3
resolviendo:
3x 2X 3x 2x
3a
-10 a -7a a = 5 : Si v
(2a + 3) (a – 5) = 0
Vemos que: z = 3 z = 1
= -5
De otro lado; haciendo : x 2 2x 10 = a tal que (a 0); se tiene: 2 (a2 – 10) – 7 a = -5 2 a2 – 7a - 15 = 0 Factorizando por aspa simple: 2a 3
Jo
3x 2 z 2x 5
ar
2x 5 4 3x 2
Solución: Haciendo la transformación:
Solución Expresando la ecuación en la siguiente forma:
C
3x 2 3 2x 5
x 2 2x 10 = -5
sT
ejemplos sobre de ecuaciones cuadráticas.
x = -3
43 el conjunto solución es: C.S. ; - 3 15
ur
ax2 + b x + c= 0
Resolviendo:
3x 2 = 1 2x 5
3 : No 2
volviendo a la variable original:
2 =3 5 2 =9 5 43 x 15
x 2 2x 10 = 5
x2 + 2x – 15 = 0
Factorizando: x2 + 2x – 15 = 0 x 5 x
74
-3
5x -3 x
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA 2x (x +5) (x – 3) = 0 C.S. = -5, 3
a+
1 = 2 a2 – 2 a + 1 = 0 a
(a – 1)2 = 0 Ejm. # 3.- Resolver
a=1 volviendo a la variable original:
(x –3) (x – 4) (x – 2) (x – 1) – 120 = 0
n
Solución: Multiplicando los factores “2” a “2” de forma que la suma de los términos independientes sean iguales.
x2 - 3 x 2 x2 5x 8
1 x2 – 3x + 2 = x2 + 5x – 8
- 8 x = -10
(x –3) (x – 4) (x – 2) (x – 1) – 120 = 0
x=
5 4
Rpta.
PROBLEMAS PROPUESTOS Determine un valor de “x”, para la siguientes ecuaciones: 01).
Factorizando:
2 x 5 =2 3 x 7
ur
Rpta.
x=2
02). (x –3) (x – 4) (x –5) (x –6) –24= 0 Rpta. x=7 03). 2x2 – 3x – 2 2x 2 3x 7 = 1 Rpta. x = 3
C
ar
lo
a= 6 (a + 16) (a – 6) = 0 ó a = -16 volviendo a la variable original Para: a = 6 x=6
+
sT
Haciendo la transformación; x2 – 5x = a se tendría, la ecuación: (a + 6) (a + 4) – 120 = 0 a2 + 10 a – 96 = 0
3x 7 2x 5
po
obtenemos: (x2 –5x+ 6) (x2 – 5 x + 4) – 120 = 0
sé
x2 – 5 x – 6 = 0 (x –6) (x+1 ) = 0
x2 – 5 x + 16 = 0 x = x= C.S. = -1;6;
Rpta:
ó x = -1
5-
5 25 64 2
5
06). 6x2 – 4x – 9 3x 2 2x 9 = 17 Rpta. x = 4
39 i 2
39 i 5 39 i ; 2 2
07).
Ejm. # 4: Resolver: n
x2 - 3 x 2 x2 5x 8
n
x2 5 x - 8 x2 3 x 2
2x 3 24x - 40 6 3x 5 2x 3
Rpta. =2
x = 1,7
1 1 64 08) ( x + - 2) (x + + 2) = x x 9
Rpta. x = 3
Solución: Haciendo la transformación: n
x=3
05). x (x + 1) (x + 2) ( x + 3) – 120 = 0 Rpta. x = 2
Jo
Para : a = -16
x 4 x3 - x 6 x 4 x3 2 x - 3 n 04). n =2 x 4 x 3 2x 3 x 4 x3 x 6
x2 - 3 x 2
x2 5 x - 8 1 a : n = 2 2 a x 5x 8 x 3 x 2
la ecuación dada, se transforma en:
75
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA ax4 + bx2 + c = 0; se puede resolver por factorización (Aspa simple). Si: b2 - 4 a c; es un cuadrado perfecto.
ECUACIÓN BICUADRADA
Es la ecuación polinomial de cuarto grado que contiene solamente potencias pares de la incógnita, su forma canónica o general es: ax4 + bx2 + c = 0
;
Ejem. # 1: Resolver 9 x4 – 13 x2 + 4 = 0 Solución Dado que: a = 9 ; b = -13 ; c = 4 b2 - 4 a c = (-13)2 – 4(9) (4) = 25 ; es un cuadrado perfecto, la ecuación es factorizable; en efecto los factores de: 9 x4 – 13 x2 + 4 = 0 9 x2 -4 - 4 x2
( a 0)
“a” ; “b” y “c” son los coeficientes; “x” es la incógnita.
b
y ; con lo cual:
b2 - 4 a c 2a
sé
x=
Jo
en consecuencia, correspondientes de bicuadrada son: x1 x2 -
x3 x4 -
- b b2 - 4 a c = 2a
las la
po
- 9 x2 -13 x2
ur
raíces ecuación
m
- b b2 - 4 a c =-m 2a
- b - b2 - 4 a c = 2a
Asimismo, cada paréntesis se puede factorizar aplicando diferencia de cuadrados, es decir: (3x + 2) (3x – 2) (x + 1) (x – 1) = 0 Igualando cada factor a cero las raíces correspondientes son:
lo
Dado que: x2 = y x =
b2 - 4 a c 2a
ar
-b
-1
Son: (9x2 – 4) (x2 – 1) = 0
C
y
x2
sT
RAÍCES DE LA ECUACIÓN BICUADRADA La ecuación bicuadrada: ax4 + bx2 + c = 0 ; a 0 presenta cuatro raíces, que se obtienen haciendo el cambio de variable: x2 = y a y2 + b y + c = 0 ; (a 0) Las raíces correspondientes a esta última ecuación están dadas por:
n
- b - b2 - 4 a c =-n 2a
x1 =
2 ; 3
x2 =
2 ; 3
x3 = -1 ; x4 = 1
Ejm. # 2: Resolver: x4 - 15 x2 – 16 = 0 Solución Como: b2– 4ac = (-15)2– 4(1)(-16) = 289 es un cuadrado perfecto, los factores serían: (x2 – 16) (x2 + 1) = 0 igualando cada factor a cero: x1 = 4 1º) x2 – 16 = 0 x2 = 16 ó x2 = -4 x3 = i ó x4 = - i
2º) x + 1 = 0 x = -1 2
2
Ejm. # 3 : Resolver:
OBSERVACIÓN:
x4 x2 a2
La ecuación bicuadrada:
4
2
x x
76
2
a
4
a
=
90 91
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Solución: De la propiedad de proporciones, se obtiene: 91x4 + 91x2 a2 = 90x4 + 90 x2 a2 + 90 a4 x4 + a2 x2 – 90 a4 = 0
07) 4 (a2 – b2)x2 = (a2 – b2 + x2) a2 - b2
x3 =
a2 - b2 ; x4 = - a2 - b2
Respecto a la ecuación: ax4 + b x2 + c = 0 ; (a 0) de raíces: x1, x2; x3; x4; se cumple: de acuerdo con el Teorema de Cardano – Vieta. I. SUMA DE LAS RAÍCES x1 + x2 + x3 + x4 = 0
po
x3 = 3 a v x4 = -3 a
ur
II. SUMA DEL PRODUCTO DE LAS RAÍCES TOMADAS DE DOS EN DOS. x1
sT
x2 = 9 a2
a2 - b2 ; x2 = -
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN BICUADRADA
Factorizando; se tendría: (x2 + 10 a2) (x2 – 9 a2) = 0 Igualando cada factor a cero; las raíces de la ecuación son: x1 = 10 a i 2 2 i) x = -10 a v x2 = - 10 a i
ii)
x1 =
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
. x2 + x3 . x4
=
b a
III. PRODUCTO DE LAS RAÍCES
x1 =
2 i;
x2 = - 2 i;
x3 =
3 i;
x4 = -
sé
02) x4 – 68 x2 + 256 = 0 x1 = 2; x2 = -2 ; x3 = 8 : x4 = -8
x1
. x2 .
x3
. x4
=
c a
RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN BICUADRADA
C
3i
ar
lo
Resolver: 01) x4 + 5 x2 + 6 = 0
Jo
Conociendo las 4 raíces de la ecuación bicuadrada: x1; x2; x3 y x4. La ecuación a formar adopta la forma: (x – x1) (x – x2) (x – x3) ( x –x4) = 0 efectuando las operaciones indicadas, tendríamos:
03) x4 – 50 x2 + 49 = 0 x1 = 7; x2 = -7 ; x3 = 1 ; x4 = -1 04) x2 (x2 + 32) = 144 x1 = 6 i; x2 = -6 i ; x3 = 2 ; x4 = -2
x4 + (x1 x2 + x3 x4) x2 + x1 x2 x3 x4 = 0 05) (1 + x) + (1 – x) = 34 x1 = 2 ; x2 = - 2 ; x3 = 2 2 i x4 = -2 2 i. 4
06)
12 x2 - a2 4
a
4
EJERCICIOS 01.)
Una de las soluciones de una ecuación bicuadrada es 5. Reconstruir la ecuación; si: x1 x2 x3 x4 = 225 Solución: Si una de las raíces es x1 = 5 ; la otra raíz es: x2 = -5
1 x2
a a 3 a 3 ; x2 = x3 = i 2 3 3 a x4 = i 2
x1 =
77
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Reemplazando en el dato: (5) (-5) x3 x4 = 225 x3 x4 = -9 como x3 = - x4 (-x4) (x4) = - 9 x24 = 9 Con lo cual : x4 = 3
y
10 r2 3r
1.
a)
Rpta.
po
ur
Rpta.
sT
ar
lo
2.
C
Jo
a – 3 r + a – r + a + r + a + 3r = 0 vemos que: a = 0, con lo cual x1 = - 3 r ; x2 = - r ; x3 = r ; x4 = 3r b a
(- 3 r) (3 r) + (-r) ( r )= 10r2 = 3 m + 10 3.º.- x1 . x2 . x3 . x4 =
(3m 10) 1
..…………
0 3.
Rpta.
m = 18
3 ;
x3 = 6 Rpta. x4 – 9x2 + 18 = 0
x1 = 2 3 ; x3 = - 3 3 Rpta. x4 + 39x2 + 324 = Una de las raíces de una ecuación bicuadrada es 7. Reconstruir la ecuación; si: x1 x2 x3 x4 = -441 Rpta. x4 – 58 x2 –441 = 0
() SISTEMA DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
c a
(-3 r) (- r) ( r) (3 r) =
m=7
Formar las ecuaciones bicuadradas, conociendo sus raíces:
a) x1 = -
b)
sé
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
m = 20
b) x4 – (4 m + 2) x2 + (2 m - 5)2 = 0
de razón “ 2 r” de las propiedades de las raíces se tiene:
x1 . x4 + x2 . x3 =
Rpta.
c) x4 – 2 (m + 7) x2 + (2m – 21)2 = 0
. x4
(a – 3 r) . (a – r) . (a + r) . (a + 3r)
2º.-
m = 10
Calcular “m” para que las raíces de las ecuaciones bicuadradas estén en P.A. x4 – (4 m + 10) x2 + (m + 7)2 = 0 Rpta.
Solución: Sean las raíces de la ecuación bicuadrada en progresión aritmética.
1º.-
10 m + 20 = 9 m + 30
EJERCICIOS
Calcular “m” para que las cuatro raíces de la ecuación bicuadrada: X4 – (3m + 10) x2 + (m + 2)2 = 0, formen una progresión aritmética.
x1 . x2 . x3 ó también:
3m 10 m2
x3 = -3
x4 - 34 x2 + 225 = 0
=
Reemplazando en la fórmula: X4 +(x1 x2 + x3 x4) x2 + x1 x2 x3 x4 = 0 Obtenemos: X4 + (-25 – 9) x2 + (5) (-5) (-3) (3) = 0 la ecuación será:
02.)
2
(m 2)2 1
9 r4 = (m + 2)2 3r2 = m + 2
Es un conjunto de ecuaciones que se verifican para los mismos valores de sus incógnitas. Se presentan diversos casos:
….… (ß)
Dividendo () (ß), obtenemos:
78
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA 01.- Calcular “x” en el sistema: x + y = 2 .................... ()
3 x ; en ............. () 2 3 9 2 x2 – 2x . x+3. x = 19 2 4
Dado que : y =
x y = -1 ................... () Solución: De () : y = 2 – x Reemplazando en (): X (2 - x) = - 1 x2 – 2x – 1 = 0 Resolviendo la ecuación cuadrática x=1+
2
ó
x=1-
27 x 2 = 19 4
x2 – 3x2 +
x2 = 4 x =2
De donde: Para: x = 2
y= 3
Para:
y = -3
x = -2
2
4.
Resolver: 1 3 2 ............ 2x y-6 x y-3
02.- .- Resolver x + y = 1 .................... (1) = 25 ................. (2)
7 5 1 2x y-6 x y-3
(ß) Solución: Aplicando determinantes, tendríamos: a)
x = -3
03.- Resolver: x2 – 2 x y + 3 y2 = 19 ...... (1) 2x2 – xy + 4 y2 = 38 ...... (2) Solución: Haciendo la transformación: y = k x en (1) y (2); se tendría:
Jo
b)
x2 (2 - k 4 k2 )
3 2
1 2
1 = x y3
2x+y=8 1
2
7 1
1 3
=
......... (1)
13 26
=
1 2
x+y=5
......... (2)
Resolviendo (1) y (2): 2 x + y = 8 ................... (1) x + y = 5 .................. (2) por determinantes.
19 38
x
Por proporciones: 38 – 76 k + 114 k2 = 38 – 19 k + 76 k2 k = 0 (No) 2 38 k – 57 k = 0 ó k=
=
7 -5
De donde:
2x2 – x . kx + 4 k2 x2 = 38 ....... () Dividiendo () ()
13 26
=
7 -5
x2 – 2 x . kx+ 3 k2 x2= 19 ....... ()
x2 (1 - 2 k 3 k2 )
3
1 -5 1 3
1 = 2x y 6
y= 4
sé
Para:
2
De donde:
C
Igualando cada factor a cero: Para: x = 4 y=-3
ar
lo
Solución: De (1) : y = 1 – x; remplazando en (2): x2 + (1 – x )2 = 25 x2 + 1 + x2 – 2x = 25 Simplificando, obtenemos: x2 – x - 12 = 0 Factorizando (x – 4) (x + 3) = 0
............
ur
2
sT
x +y
po
() 2
8
1
5 2
1 1
1
1
8 - 5 3 2 - 1
x=3
(Si)
79
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA y
2
8
1 2
5 1
1
1
10 - 8 2 2 - 1
Para :
2 3
x=2
y=3
GRÁFICAS DE INTERÉS
y=2 5.
m
Resolver el sistema: (x2 – y2) ( x – y) = 5 ........ (1)
La Recta.- Su gráfica está dada por la función lineal cuya regla de correspondencia es:
(x2 + y2) (x + y) = 65 ..... (2)
L:y=mx+b
x y
....
0 b
-b/m 0
(2 m – 3) ( 3m – 2) = 0
Para :
m = 9 4
3 2
ó m=
Al coeficiente “m” se le llama pendiente de la recta y es tal que: m = tg La Parábola.- Su gráfica está dada por la función cuadrática cuya regla de correspondencia es: y = a x2 + b x + c ; a, b, c, x R; a con relación al discriminante = b2 –4 ac, tendríamos los siguientes gráficos de la parábola. (:) Si, a 0 la parábola es cóncavo hacia arriba y dependiendo del discriminante, tendríamos:
- 4m -13 m m=
b m
0
sé
Jo -2
-
lo
C
ar
Por proporciones: m2 + 1 = 13 m2 – 26 m + 13 simplificando: 6 m2 – 13 m + 6 = 0 Factorizando: 2m -3 - 9m
x
0
sT
ur
()
3m
b
po
(m2 + 1) y2 (m + 1) y = 65 ....
(m2 1) ( m 1) 65 13 (m 1) ( m 1) (m 1) 5 1
L : y = m+ b
()
Dividiendo () ():
m , b, x R
y
Solución Haciendo ; x = my ; se obtiene: (m2 – 1) y2 (m – 1) y = 5
;
2 3
a)
0
y
3 2
c
3 - 1 y3 = 5 2
En ... () : 1
h 0 x1
5 (1) y3 = 5 (8) y= 2 Como x = my x =
x2 V (h; k)
X
donde:
3 (2) 2
b ; 4 a 2a
V (h, k) = V
X=3
80
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA b)
y
=0
y
a0
c)
0
c 0 X
0
0
V (h; o)
c La circunferencia.general es: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 Centro ; (h ; k) Radio : r
a0
y
po
c)
x
c
y C(h,k) r
ur
X
ecuación
0
Asimismo tenemos:
0
Su
La Elipse.- La ecuación general es:
a
ar
0
y
V (h, k)
C
a)
( x h)2 2
k
x2
(y k) b2
1
h
La Hipérbola.- Su ecuación general es: ( x h)2 a2
( y k )2 b2
(I)
c
Recta y Circunferencia x + y = C1
b ; 4 a 2a
x2 + y2 = r2 A los más reales.
b ; 4 a 2a
V (h, k) = V
(II)
y
a2 ( x h)2
x1 = x2
m2
x
hay
2 soluciones
Elipse y Hipérbole ( x h)2
=0
0
1
Las ecuaciones de grado superior que se pueden presentar es:
x
Jo
0
sé
x1
b)
lo
II) Si, a 0, la parábola es cóncavo hacia abajo y dependiendo del discriminante tendríamos:
sT
2
( y k )2 b2 ( y k )2 n2
1 1
A lo más hay 4 soluciones reales. Entre otras combinaciones.
c
81
José Carlos Turpo
x
ÁLGEBRA
DESIGUALDADES INECUACIONES DE 1° y 2° GRADO INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR DESIGUALDADES
-
ar
-
-1
- 2 -3
2
-1
Jo
-
0
1
2
po
ur a b
a = b
b a
Ejm: Dado los números reales: -6; 3; -3 y 4; se cumple que: a) – 6 -3 b) 3 4 c) – 6 4 d) – 3 4 02 : Orden Transitivo.- a, b, c R
3
Orden de Tricotomia.- a, b R se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades.
sT
01 :
#s (-) : R+
sé
#s (-) : R-
+
AXIOMAS DE RELACIÓN DE ORDEN
C
RECTA NUMÉRICA REAL
B b
La relación a b (se lee: a menor que b) significa que al punto A le corresponde el número real “a” y se encuentra a la izquierda del punto B al cual le corresponde el número real “b”.
lo
Son relaciones de comparación entre dos o más cantidades reales de diferente valor. Ejemplo; si: La edad de Juan es: 20 años La edad de Pedro es :30 años La edad de Luis es: 50 años Se tendrá las siguientes relaciones 1º.- La edad de Juan es menor que la edad de Pedro. 2º.- La edad de Luis, es mayor que la edad de Pedro. 3º.- La edad de Juan es menor que la edad de Luis. Intuitivamente estamos comparando magnitudes reales de una misma especie. Las desigualdades solo se verifican en el campo de los números reales que asociado a la recta real podemos observar:
o
A a
Si :
+
a b
b c
a c
Ejm: En la recta real:
origen unidad Que para cada número real le corresponde un único punto de la recta real y recíprocamente para cada punto de la recta real, le corresponde un único número real. La correspondencia bionívoca entre números reales y puntos de una recta real nos ayuda a dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales. Para la gráfica adjunta.
- -12
-2
0
6
8
+
-12 - 2 - 2 8 -12 8 03 : Orden de la Monotonía.-
a, b, c R i) Ley aditiva Si :
82
a
b
a + c b + c
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA ii) Ley Multiplicativa
conjunto de valores denominados conjunto solución y su representación se visualiza en la recta real. Ejemplos: a) La inecuación: 4 x – 3 5 Se verifica para todo valor de x mayor que dos (x 2) Su representación gráfica en la recta real sería de la siguiente forma:
Si : c R+ a b a c b c Si : c R- a b b c a c RELACIONES MATEMÁTICAS QUE EXPRESAN DESIGUALDADES
1.- “a” es menor que “b” (a b) ab a–b0
-
po
ab a–b0
ur
3.- “a” es mayor o igual que “b” (a b)
sT
-
ar
b)
C
ab aba =b
Más adelante analizaremos la solución explícita de los diferentes tipos de inecuaciones que se presentan. El conjunto solución de una inecuación se expresa mediante intervalos. INTERVALO.- Es el conjunto de valores x pertenecientes a la recta real, limitado en sus extremos por los elementos a y b, tal que a b; a y b pueden o no pertenecer al conjunto de valores x.
sé
CLASES DE DESIGUALDADES
Jo
De acuerdo a su estructuración matemática, estas pueden ser: A.- DESIGUALDADES ABSOLUTAS.Son aquellas que se verifican en el campo de los números reales y a su vez pueden ser numéricas o literales. Ejemplos: i) Numéricas ii) Literales a) 7 0 a) x2 -2 b) 9 2 b) –5 (x – 2)4 c) -
+
-5 x -5 0 x 5 5
lo
4.- “a” es menor o igual que “b” (a
+
2
b) La inecuación: x2 – 25 0 se verifica para todo x, tal que: X -5 x 5 Su representación gráfica en la recta real, seria de la siguiente forma:
2.- “a” es mayor que “b” (a b)
ab aba =b
0
2 0 3
CLASES DE INTERVALO Intervalo abierto: i. a ; b = x/a x b ; a b ii. ] a ; b [ = x/a x b ; a b Su representación gráfica es:
c) x6 + y6 0
axb
-
B.- DESIGUALDADES RELATIVAS.Estas desigualdades se conocen también con el nombre de inecuaciones y se caracterizan por que se verifican para un
0
a
b
+
el cual expresa: x a ; b Intervalo cerrado: [a,b]=x/axb ; a b
83
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA su representación gráfica es:
3.
Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una cantidad negativa, el signo de la desigualdad se invierte.
a x b a
-
b
0
+
con lo cual: x [ a ; b] Intervalos Mixtos a) a ; b ] = x / a x b ; a b)
Si:
a x b a
b
0
a b
+
i) a c b c
c0
ii)
Con lo cual : x a ; b ] b) [a ; b = x / a x b ; a b ax b a
4. b
0
+
a
po
+
De donde : x - ; a ] d) [a ; = x / a x ; a )
sT
Dado el sistema: a b ......................... ( )
ax
ar
+
a–c b–d
C
sé
5.
Jo
Si a los dos miembros de una desigualdad, se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no se altera. Si : aba cb c 2.
Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una cantidad positiva el signo de la desigualdad no se altera
i) a c b c
c0 ii)
a c
c–ad–b
Dos o más desigualdades del mismo sentido se pueden multiplicar o dividir miembro a miembro y el sentido de la desigualdad no se altera, siempre y cuando los miembros de las desigualdades sean cantidades positivas. a, b, c, d, R+ a
Si :
Si: a b
......................... ( )
Se cumple que:
PROPIEDADES GENERALES DE LAS DESIGUALDADES
1.
c d
lo
a 0 De donde: x [a ;
b c
ur
- xa
0
Dos desigualdades de signo contrario se pueden restar miembro a miembro y el signo de la desigualdad resultante es el mismo que hace las veces de minuendo, es decir:
De donde : x [a ; b c) - ; a ] = x /- x a ; - a
-
a c
b ......................... (1) c d ......................... (2) Se cumple: a c bd
b c
84
a c
b c
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Dos desigualdades de signo contrario y miembros positivos se pueden dividir miembro a miembro; el signo de la desigualdad resultante es el mismo que el signo de la desigualdad que hace las veces de dividendo. Es decir: a, b, c, d, R+
9.
a 0 a2 0 10. a, b R y son del mismo signo, entonces:
b ......................... (1) c d ......................... (2)
01)
a
c a
a b ............ (1) a 0 ............ (2) b 0 ............ (3)
demostrar que : a3 + b3 a2 b + a b2
ur
1 b 1 b
d b
Si a los dos miembros de una desigualdad se eleva a una potencia impar o se extrae raíces de índice impar, el sentido de la desigualdad no se altera. Es decir: Si: i) a2 n + 1 b 2n+1 a b 2 n 1 a 2n1 b ii)
sT
b c
ab
1 a 1 a
DEMOSTRACIÓN
De (1) : a b a – b 0 Entonces : (a – b)2 0
Jo
sé
C
ar
lo
7.
Siendo:
Se cumple: a c
ab
DEMOSTRACIONES SOBRE DESIGUALDADES
a Si :
Si: a R, tal que:
po
6.
nz+ 8.
Desarrollando, se obtiene: a2 – 2 a b + b2 0 ó a2 – a b + b2 ab …….. ( ) De (2) y (3): a + b 0 ......... () Multiplicando los dos miembros de () por (a + b), se tendría: (a2 – a b + b2) (a + b) ab (a + b) a3 + b3 a2b + ab2 (L.q.q.q) 02) Si : a y b son diferentes y positivos, demostrar que:
Si a los dos miembros de una desigualdad de términos negativos se eleva a un exponente par, el signo de la desigualdad se invierte, es decir: a, b Ri) Si a b a2n b 2n ii) Si a b a2n b 2n
ab 2
2 ab a b
DEMOSTRACIÓN
Dado que : a b ; se cumple que: (a – b)2 0 Desarrollando: a2 – 2 ab + b2 0 Sumando; 4 ab a los dos miembros de la desigualdad, se tendría: a2 + 2 a b + b2 4 a b (a + b)2 4 a b
85
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Como; 2 (a + b) 0, entonces se tendría al dividir: 2
(a b) 2 (a b)
a b 2
EJERCICIOS RESUELTOS
4a b 2 (a b)
01.
Solución
2 ab (a b)
Resolver : a x + b 0; a, b R+
Resolver una inecuación de este tipo es similar a resolver una ecuación de primer grado, solo hay que tener en cuenta las propiedades generales de las desigualdades, en efecto:
(L.q.q.q) EJERCICIOS Si; a, b R+ ; a b; demostrar que: a 2
b
b 2
a
Transponiendo b al segundo miembro: ax -b Dado que a R+, es decir: a 0
1 1 a b
po
01.-
x -
02.- Si: a, b, c R , demostrar que : (a + b+ c)2 a2 + b2 + c2
sT lo
-
-b
a
demostrar que: (a + b + c)2 3 (a2 + b2 + c2)
vemos que : x [ -
3x-2 5x-3 2 3
sé
0
+ b ; a
02. Resolver:
C
04.- Si; a b c R+
b a
graficando en la recta real:
ar
03.- Si; a, b, c R+ ; a b c demostrar que: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc
ur
+
x -1 12
Solución: Siendo el m.c.m. (2, 3, 12) = 12; un número positivo, el signo de la desigualdad no se altera al efectuar las operaciones indicadas. 6 (3 x – 2) – 4 (5 x – 3) x – 1 18 x – 12 – 20 x + 12 x – 1 -2xx-1 - 3 x -1
Jo
05.- Si; a b R+, demostrar que: (a3 + b3) (a + b) (a2 + b2)2 INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Son todas aquellas inecuaciones que al reducirse adoptan las formas: ax+b 0
ax+b 0
multiplicando por (-1) , obtenemos : 3x1
ax+b 0
ax+b 0
x
X; es la incógnita y a, b R / a 0
86
1 1 x ; 3 3
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA 03. Resolver: (x+1)2 +(x–1)2+(x–2)2 3(x+1)(x–1) Solución: Efectuando las operaciones indicadas obtenemos: x2 + 2x + 1 + x2 – 2x + 1 + x2 – 4 x + + 4 3 x2 – 3
04. Resolver el sistema 2 x -3 3 x -1 1 ….... () 4 2 5x - 3 8 x - 1 -1 ….... (ß) 3 4
Solución:
Resolviendo cada inecuación: De (): m.c.m. (4, 2, 1) = 4 2 x – 3 – 2 (3 x – 1) 4 2x–3–6x + 2 4 -4 x 5
Simplificando: 3x2 – 4x + 6 3 x2 – 3 -4x -9 multiplicando por (-1) Gráficamente: 9 4
9 ; 4
ur
x[
+ Rpta.
En la recta real:
EJERCICIOS
ar
Resolver: a) (2x – 1)2 + (x + 2)2 5 (x – 3) (x + 2) Rpta. ……………
sé
C
b) (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 3 (x + 4)2 Rpta. ...........
d)
2x 3 3x 2 4 3
3 4
-
5 4
0
3 4
+
Como no hay intersección de las soluciones de () y () x
Resolver los sistemas:
Jo
3
EJERCICIOS
c) (x + 1) – (x – 1) (2 x + 3) (3 x + 2) Rpta............. 3
x
sT
0
5 4
De (ß): m.c.m. (3, 4, 1) = 12 4 (5 x – 3) – 3 (8 x – 1) -12 20 x – 12 – 24 x + 3 -12 - 4 x -3 4 x 3
lo
-
9 4
x -
po
4x9x
a)
(3x –1)2 (2x + 3)2 + 5 (x2 -1) .........… (1) (2x –1)2 + (3x - 9) 13 (x2 + 2x - 3)... (2)
4x 1 5
Rpta.- ..............
Rpta.- ............ b) (x+2)3 (x+1) (x+2) (x+3) ….()
e) (2x + 1)3 – (2 x – 1)3 (x + 1) ( x – 1) Rpta.- ............
(x-3)3 (x-3) (x-2) (x-4) ….() Rpta.- ...............
f) (5 x + 3) (3 x – 1) + (x + 2)2 (4 x – 3)2 Rpta.- ............. g)
c)
2x-3 3x-2 5 x -1 1 4 5 2
5x-3 3 x -1 x -2 1 …….. () 2 4 6 4x-3 2 x - 5 3x - 2 1 …….(ß) 3 4 12
Rpta.-................
Rpta.-..............
87
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
INECUACIONES SIMULTÁNEAS DEL PRIMER GRADO
Son todas aquellas inecuaciones que al reducirse adopta la forma canónica a x2 + bx + c 0 a x2 + bx + c 0
Solución
po
Método del discriminante : = b2 – 4 a c
ur
sT
Caso II
ax2 + bx + c 0
Multiplicando la inecuación (1) por 2 y la inecuación (2) por 5, obtenemos:
ax2 + bx + c 0
= b2 – 4 ac
10 x + 5 y 55 ............ (ß)
X1 =
Jo
sé
C
10 x – 6 y 4 ............. ()
0 X x1 ; x2 =0 X 0 X
restando miembro a miembro () y () 10 x – 6 y – 10 x – 5 y 4 – 55 -11 y - 51
Dado que : 3 y
b ; 2a
x 3, 5
ax2 + bx + c 0
0 X [x1 ; x2]
X -, x1 x2 ,
= 0 X = x1 = x2
XR
0 X
XR
X1 =
x=3
x2 + y2 = 32 + 42 = 25
( x1 x2)
= b2 – 4 ac
Aquí observamos que:
b 2a
Caso IV
ax2 + bx + c 0
51 = 4,63 y = 4 11
y 11
X2 =
Caso III
Reemplazando y = 4, en el sistema: 5x–3y2 x 2, 8 2x +
X -, x1 x2 , X R - x1 = x2 X R X -,
a0
51 11
y
a0
Caso I
ar
Solución
ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0
Donde x, es la incógnita y ; a, b, c R / a 0
lo
En la resolución de inecuaciones simultáneas con dos incógnitas podemos aplicar cualquiera de las siguientes reglas. 1º.- Se toman dos inecuaciones de sentido contrario despejando en cada una de ellas la misma incógnita, luego esta incógnita se elimina aplicando el principio de transitividad. 2º.- Se puede eliminar una incógnita restando dos inecuaciones de sentido contrario, habiendo homogenizado previamente los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar. Ejemplo.- Si “x” e “y” son cantidades enteras y positivas, calcular: (x2 + y2), al resolver el sistema. 5 x – 3 y 2 .............. (1) 2 x + y 11 .............. (2) y 3 .............. (3)
b ; 2a
X2 =
b 2a
( x1 x2)
Rpta.
88
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA EJERCICIOS
SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LOS PUNTOS DE CORTE Pasos que deben efectuarse: 1º) Verificar que a0 0
01.- Resolver: (x + 1) (x + 2) (x + 3) + 12 x (x – 1) (x – 2) (x – 3)
2º) Todos los términos de la inecuación deben estar en el primer miembro.
Solución: Teniendo en cuenta la identidad: (x+ a) (x+ b) (x + c) = x3+ (a + b + c)x2 + (a b + ac + bc) x + abc
po
La inecuación dada, se transforma en : X3 + 6x2 + 11 x + 6 + 12 x x3 – 6x2 + + 11 x – 6 Simplificando; obtenemos: 12 x2 + 12 x + 12 0 x
a=1 b=1 c=1
+ 1 0
ar
(Caso II)
C
Como : 0 x R
lo
De aquí vemos que: = (1)2 – 4 (1) (1) = - 3
ur
x + 2
sT
ó
DE
GRADO
Jo
sé
INECUACIONES SUPERIOR
Son aquellas inecuaciones que al ser reducidas adoptan cualquiera de las siguientes formas: ao ao ao ao
xn xn xn xn
+ + + +
a1 a1 a1 a1
xn – 1 + xn – 1 + xn – 1 + xn – 1 +
..............+ ..............+ ..............+ ..............+
3º) Se factoriza la expresión del primer miembro. 4º) Cada factor se iguala a cero, obteniendo los puntos de ente, que son los valores que asume la incógnita. 5º) Se llevan los puntos de corte en forma ordenada a la recta numérica 6º) Cada zona determinada por dos puntos de corte consecutivos, se señalan alternadamente de derecha a izquierda con signos (+) (-). Se inicia siempre con el signo más. 7º) Si la inecuación es de la forma: P(x) 0 P (x) 0 , con el coeficiente principal positivo, el intervalo solución está representado por las zonas (+). 8º) Si la inecuación es de la forma: P(x) 0 P (x) 0, con el coeficiente principal positivo, el intervalo solución está representado por las zonas (-). Nota. Este método también es aplicable para inecuaciones de segundo grado. EJERCICIO Resolver: x3 – 6x2 + 11 x – 6 0
an an an an
Solución
0 0 0 0
Factorizando por divisores binomios. Se obtiene: x=1 P.C. (x – 1) (x – 2) (x – 3) 0 x=2 x=3 llevando los puntos de corte (P.C.) a la recta real; tendríamos que: el conjunto solución es:
Donde: x, es la incógnita y n N / n 3 Además: ao; a1; a2 .... ; an R / a0 0
x [1, 2] [ 3,
89
José Carlos Turpo
ALGEBRA
INECUACIONES EXPONENCIALES INECUACIONES IRRACIONALES
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
VALOR ABSOLUTO
En resolución de ecuaciones con valor absoluto, debemos tener en cuenta lo siguiente:
El valor absoluto de un número real x, es el número no negativo denotado por x y definido por:
c)
0=0
f)
-x
d) -2 = 2 e) -3 = 3 3 - 3=3-
3
d) e) f) g) h)
ar
sé
y R ; se cumple: - x = x x y = x y x 2 = x2 x2 = x2
x + y = x + y x y 0 x - y = x + y x y 0
x y
; y0
x + y 2
x
x
0
01.
EJERCICIOS
Hallar el conjunto solución en la inecuación: x + 2 (x4 – 1) = 0 Solución: Factorizando, se tendría: igualando cada factor a cero. a) x + 2 = 0 x=-2 b) x2 + 1 = 0 x=i x=-i c) x + 1 = 0 x=-1 d) x – 1 = 0 x=1
x 2 = x
x y
si
x + 2 (x2 + 1) (x + 1) (x - 1)= 0
Jo
x, a) b) c)
C
PROPIEDADES
;
0
2.- x = 0 x = 0 3.- x = b x = b ó x = - b 4.- x = b b 0 [x=b ó x=-b]
lo
De los ejemplos podemos observar que: 1.- x R ; x 0 2.- x = 0 x = 0 3.- x = - x
; si x
po
Ejemplos: a) 5=5 b) -5 = -(-5) = 5
x
x =
ur
x=
1.- Si x R, entonces x es el número real no – negativo definido por:
; si x 0 ; si x = 0 ; si x 0
sT
X 0 -X
Nota.-
i=
1 ; tal que: i2 = -1
Como x R; i -i no son parte de la solución: C. S. = -2, 1, -1 02. Resolver: x2 – x - 3 = x - 3 Solución: Para este caso, se cumple la propiedad:
y
x = b x = b
90
ó
x=-b
José Carlos Turpo
ALGEBRA Para nuestro caso:
Igualando cada valor absoluto a cero determinamos los puntos de corte en la recta real:
X2 – x – 3 = x – 3 ............ () X2 – x – 3 = - (x –3) ........ (ß) De ........... () x2 – x – 3 = x –3 x2 – 2 x = 0 x (x – 2) = 0 x=0 x=2 De .......... (ß) X2 – x – 3 = - x + 3 x2 = 6 x= C. S. = 0, 2,
6
2x+3= 0 -
a) - ; -
x=- 6
b) -
Hallar el conjunto solución en la inecuación: 2 x - 1 = x + 2 Solución: Desde que:
C. S. = -
x= -
1 , 3 3
(+)
(+)
po
sT
b) x -
-2x – 3 + x-1 = 5 x = -9 3 2
lo
x=-9
; es
3 ; 1 ] : 2x + 3+x-1 = 5 2
2x + 3 + x-1 = 5 3x=3
Como ; 1 -
3 ; 1] 2
x = 1
es solución. c) x 1 ; : 2x +3-x-1= 5 2x +3- x+1 = 5 Como ; 1 1 ; x = 1 no es solución, para este intervalo. De (a) y (b) C.S. = -9 ; 1
universo
Solución: 1.- Haciendo ; x - 3 = a ........ () donde a 0; se tendría: a - 2 = 3 a – 2 = 3 a – 2 = -3 a=5 a = - 1 (No) 2.- En (), dado que: a 0 x - 3 = 5 x – 3 = 5 x – 3 = - 5 x=8 x =-2 C.S. = 8 ; -2 05.
:
Solución.
Jo
04. Resolver: x - 3 - 2 = 3
1 3
(-)
3 2
C
U
(+)
a) x - ; - ] : - 2x + 3+x-1 = 5
sé
x=3
:
Analizando en cada intervalo:
ar
x [ -2 ; 2º.- Con lo cual: 2x–1=x+2 2x–1=-x–2
3 ;1] 2
(-)
Como ; -9 - ; - ]
U
+
1
(-)
ur
x = b b 0 [ x = b x = - b] Se tendría: 1º.- Universo de solución x + 2 0 x -2
+
3 ] : 2
c) 1;
03.
-2
0
3 2
Respecto a los signos de los valores absolutos en cada intervalo se tendría:
6;- 6
-
-
-x-1= 0
EJERCICIOS PROPUESTOS RESOLVER: 4 5 5 Rpta. 3 ; - 2
01) [5 X – 3] = 7
Rpta: 2 ; -
02) 2x2 – x - 8 = 7 03) x2 – 1 = 0
Rpta. -1 ; 1
1 5 3 5 Rpta. ; 2 2
04) 3x -2 = 2x+3
Resolver: -x - 1 + 2x + 3 = 5
Rpta. 5 ; -
05) x-2-1= x-2 06) 2x2 – x - 3=3 07) 3x + 5 = 2x -3
Solución:
91
José Carlos Turpo
ALGEBRA 08)
x -2 x3
09)
x2 - x - 2 x -1
10) 11) 12) 13) 14)
Vemos que: x
= x =3
a b a < -b a b La inecuación dada se transforma en: x2 – x < - (x – 1) x2 – x x –1 Resolviendo cada una de las inecuaciones: 1º.- x2 – x -x + 1 x2 – 1 0 x =-1 (x + 1) (x-1) 0 P.C. x =1
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
ur
en la recta real:
sT
+
-
-
-
o
o
++ +
03. Resolver: 3 x- 2 5 Solución:
3 5
x =1
De acuerdo a las propiedades establecidas como: 5 0; entonces: -53x–25 sumando “2” a todos los miembros -5 + 2 3 x – 2 + 2 5+ 2
de la recta real:
o - o 3 1
o 1
Vemos que x - ;1 U 1, ... () Dado que la solución es () U (): x - ; 1 U 1; ó x R - 1
para la inecuación dada, se tendría: (3x – 2 + 2x – 1) (3x– 2 – 2 x + 1) 0 x=
+
1
o
+
a b (a + b) (a – b) 0
+
-1
+
Vemos que: x -1 ; 1 ..... () 2º.- x2 - x x – 1 x=1 P.C. 2 (x - 1) 0 x=1 En la recta real:
Jo
01. Resolver: 3 x - 2 2x - 1 Solución: Dado que :
P.C.
-
lo
sé
C
ar
x ; a R; se cumple. I.- x a ( x + a) (x – a) 0 x a ( x + a) (x – a) 0 II.- x a ( x + a) (x – a) 0 x a ( x + a) (x – a) 0 III.- x a a 0 [-a x a ] x a a 0 [-a x a ] IV.- x a x - a x a x a x - a x a
po
Las inecuaciones con valor absoluto se resuelven teniendo en cuenta las siguientes propiedades:
(5x – 3) (x – 1) 0
(Rpta)
02. Resolver: x2 – x x – 1 Solución: Desde que :
x +6 + x-2 = 8 x-3 + x-1 + x = 4 5x - 3 = -2x + 4 3x - 2 = x + 6 x2 – x- 3 = x2 - 6
EJERCICIOS
3 ;1 5
+
-3 3x 7 dividiendo entre 3:
+
5
-1 x
92
7 3
José Carlos Turpo
ALGEBRA x -1 ;
7 3
b) Para el intervalo
04. Resolver: 2 x + 5 5 x - 2 Solución:
de los valores absolutos son (+ , - ); de donde: -2x+1–x+22 - 3 x -1
Como: a b (a + b) (a – b) 0
x
en la inecuación dada se tendría: (2x + 5 + 5x – 2) (2x+ 5 – 5x + 2) 0 (7 x + 3) (-3 x + 7) 0 cambiando el signo de x
x
c) Para el intervalo : 2; : los signos de los valores absolutos son (+ , +) de donde: -2 x + 1 + x – 2 2 -x3 x -3
7 x= 3
ur
7 3
+
sT
-3 7
-
que: x o
;
-3 7
7 3
o
-3
x 2 ; ] ................. ( ) La solución de la inecuación propuesta estará dado por () U () U () 1 2
- ; - ] U
C
ar
05. Resolver: x - 2 - 2x - 1 2 Solución: Igualando cada valor absoluto a cero para determinar los puntos de corte en la recta real; vemos que:
0
x -2
Jo
-
2
1 2 es: La inecuación a analizar
+
Resolver: a) 2 x - 7 2 b) 3 x – 1 5 c) 4 x - 3 2 x - 5 d) 7 x -3 5x - 4 e) 3 x - 2 x – 2 f) x + 2 - x - 3 1 g) x + 2 - x - 3 1
1 ]; los 2
signos de los valores absolutos son: (- , -) de donde: 2x – 1 – x + 2 2 x1
- x-;
o
1 2
Rpta.
EJERCICIOS
- 2 x - 1+ x - 2 2 a) Para el intervalo: - ;
1 , 2 ] U 2 ; = - ; 2
xR
sé
2x -1
+
2
lo
Vemos
+
-
-
po
en la recta
+
1 3
o 1 2 1 1 ; 2 ]3................. (ß) 2 2
-
3 x=7
P.C.
(7x +3) (3x – 7) 0
1 ; 2 ] , lls signos 2
1
h)
+
i)
1 ] ........................ ( ) 2
j)
93
x x 1
1
x2 - 1 x + 2 2x 1 3x 2
3x 2 2x 1
José Carlos Turpo
+
ALGEBRA como la base es mayor que la unidad: INECUACIONES EXPONENCIALES ó:
Son aquellas inecuaciones cuya incógnita se encuentra en el exponente y sus criterios de solución son: I. En toda desigualdad, si las bases son iguales y mayor que la unidad, al comparar los exponentes, el signo de la desigualdad no se invierte, es decir:
recordando: a b b 0 [ -b a b ] se tendría: 1º.- Universo de solución 1 x x 1 02 4 4 2
Si la base es mayor que la unidad (a 1) ; se cumple: P (x) Q (x)
2º
aP(x) a
Q(x)
P (x) Q (x)
3º
a
a
Q(x)
P (x) Q (x)
4º
aP(x) a
Q(x)
P (x) Q (x)
P(x)
-
1 x 1 x + x–1 2 4 2 4
po
Q(x)
-2+x4x–42-x resolviendo por partes: i) 4 x – 4 x – 2 ii) 4 x – 4 2 - x 3x2 5x6
ur
aP(x) a
x
0
–x+2
ar
Resolver 5 2x – 3 – 25
lo
EJERCICIOS 01.
C
Solución: Expresando la inecuación convenientemente, se tendría: 5 2x – 3 25 –x + 2 5 2x – 3 25 –2x + 4
sé
-
x [ 02.
o
7 ;] 4
7 4
x 1
x
22
2
6 5
+
o
2 3
6 5
2
+
2 6 ; 3 5
II. En toda desigualdad si las bases son iguales y su valor está comprendido entre cero y uno (0 base 1) al comparar los exponentes el signo de la desigualdad se invierte, es decir:
+
Si la base está comprendida entre cero y la unidad (0 a 1); se cumple.
1
Solución: Expresando en base 2 - x - 1
6 5
2 2 6 3 x ; 3 5
Rpta. C.S.; x
En que intervalo se satisface la desigualdad. 1 2
x
o
-
-
Jo
7 4
2 3
interceptando con el universo:
como; la base es mayor que la unidad, se cumple que: 2x–3-2x+4 4x7 x
x 2
2º.- De otro lado:
sT
1º
x 1 4 2 1 x x - 1 2 4
- x - 1
x 1 24 2
94
1º
aP(x) a
Q(x)
P (x) Q (x)
2º
a
a
Q(x)
P (x) Q (x)
3º
aP(x) a
Q(x)
P (x) Q (x)
4º
a
Q(x)
P (x) Q (x)
P(x)
P(x)
a
José Carlos Turpo
ALGEBRA efectuando las operaciones indicadas, se obtiene: N x=0
EJERCICIOS 01. Resolver 1 2
x 3
x 0 (x 6) (x - 6)
1 8
P.C
D
x=6 x = -6
Graficando en la recta real:
solución: 1 , se tendría: 2
Colocando en base 1 2
x 3
1 2
3
-
Como la base está comprendida entre cero y la unidad. x - 3 3 recordemos que :
+
po
Rpta. x -6 ;0 U 6 ; INECUACIONES IRRACIONALES
ab
x–3 3 x 6
Son aquellas inecuaciones cuyas incógnitas se encuentran afectadas por radicales o exponentes fraccionarios. De otro lado como las inecuaciones solo se verifican en el campo de los números reales, se cumple el siguiente principio fundamental. Principio fundamental.En toda inecuación irracional de índice par, las cantidades subradicales deben ser mayores o iguales a cero y esto nos determina el universo dentro del cual se resuelve la inecuación dada.
-
6
x-,oU6;
sé
02. Resolver
(0,5) x 6 x 6 (0,5) x - 6
Jo
x-6
+
C
Rpta:
O
ar
lo
6
sT
con lo cual: x–3-3 x0 Gráficamente:
0
ur
a b a - b
-6
Solución: Transformando los radicales exponentes fraccionarios, se tiene: x 6 (0,5) x 6
Ejemplo.- Dada la inecuación 2 n f(x) 2n 1 g (x) 0
a
n z+ entonces la inecuación se resuelve para valores que estén comprendidas dentro de las soluciones de : f(x) 0
x 6 (0,5) x 6
como la base está comprendido entre cero y la unidad, al comparar los exponentes, el signo de la desigualdad varía, es decir: x6 x6
Existen diversos casos de inecuaciones irracionales presentaremos algunos de ellos y su forma de resolverlos.
x-6 x6
01. Resolver x -3
como el segundo miembro debe ser cero: x6 x6
x-6 x6
8-x
0
0
95
José Carlos Turpo
ALGEBRA Solución El conjunto solución a esta inecuación está determinado por la intersección de los universos de cada radical, es decir;
a) Si : 2n f(x) 2n g(x) , entonces: f (x) 0 ................... () f (x) g (x) ............... ()
U1 : X – 3 0 x 3 U2 : 8 – x 0 x 8
b) Si : 2n f(x) 2n g(x) , entonces:
Conjunto solución U1 U2
-
0
Rpta:
3
f (x) 0 ................... () f (x) g (x) ............... ()
+
8
x[3;8]
c) Si : 2n f(x) 2n g(x) , entonces:
02. Resolver:
g (x) 0 ................... () f (x) g (x) ............... ()
x-2 5
po
x3
0
2
sT
Ejemplo: Resolver:
segundo
C
x3 5 -
+
f (x) 0 ................... () f (x) g (x) ............... ()
lo
-3
Universo x [ 2 , 2º- Pasando un radical al miembro.
d) Si : 2n f(x) 2n g(x) , entonces:
ar
-
ur
Solución 1º.- Determinación del universo x+30 x–2 0 x -3 x 2
x-2
16 -
1
x2
16 - x
Solución Para este caso, se cumple:
sé
3º.- Elevando al cuadrado los dos miembros de la inecuación. X + 3 25 – 10 x 2 + x – 2 10 x 2 20 x2 2 4º.- Elevando al cuadrado x–24 x6 5º.- Interceptando con el universo
Jo
16 – x 0 ..................... (1) 16 -
1 x2
16 – x ........... (2)
De ....... (1) 16 – x 0 x 16 x - ; 16 ] .................... () De ......... (2)
-
o
2
Rpta. x [ 2, 6 ]
6
+
16 -
1 x2
16 – x
x3 1
0
x2
factorizando el numerador:
OBSERVACIÓN Algunas inecuaciones irracionales de índice par se transforman en sistemas, como las que mostramos a continuación:
N:
x=1
D:
x=0
2
P.C (x - 1) (x x 1) 0 . x2
96
José Carlos Turpo
ALGEBRA Graficando en la recta real:
-
1
0
+
x [ 1 ; ........... (ß)
16
ur
+
ar
lo
sT
[ 1 ; 16 ]
C
x
1
sé
Rpta.
0
Jo
-
po
Interceptando () y () obtenemos la solución final
97
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
FUNCIONES DOMINIOS FUNCIONES ESPECIALES GRAFICAS DE FUNCIONES 2 13
DEFINICIONES BÁSICAS Y
PAR ORDENADO.Es un ente matemático formado por dos elementos, denotado por (a ; b), donde “a” es la primera componente y “b” es la segunda componente. En términos de conjunto de el par ordenado (a ; b) se define como:
8
2
3
16 91 3 4 21
7 2
1.
po
EJERCICIOS
Calcular : (x + y) si los pares ordenados.
ur
(a; b) = a ; a ; b
sT
((a + b) x – (a-b) y; 2a2 2b²) y (4 ab; (a-b)x + (a + b)y) son iguales. Rpta. 2a.
lo
Igualdad de pares ordenados.- Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus primeras y segundas componentes son iguales respectivamente, es decir:
7
ar
2.
C
(a; b) = (c ; d) a = c b = d
Ejemplo.-1.- Si los pares ordenadas (2x + 3y; 7x - 2y), (13;8) son iguales, hallar el valor de (x-y) Solución : Ya que los pares ordenados son iguales,
Si los pares ordenados
4 5 3 1 ; x y 1 2x y 3 x y 1 2x y 3
sé
5 7 y ; son iguales, determine el 2 5
Jo
valor numérico de : x
y
y
x
Rpta. 17
por definición se cumple.
2x + 3y = 13 ................... (1) 7x – 2y = 8 ..................... (2) Resolviendo determinantes.
X
13
3
8
2
2
3
7
2
el
PRODUCTO CARTESIANO
sistema
26 24 4 21
por
Dado dos conjuntos A y B no vacíos, se define el producto cartesiano A x B como el conjunto de pares ordenados (a, b) tal que a A b B; es decir:
2
A x B = {(a;b) / a A b B}
En el conjunto de pares ordenados (a,b), las primeras componentes se 98
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Donde (a, b, c) es un terma ordenada definida en términos de conjuntos.
encuentran en el conjunto A y las segundas componentes en el conjunto B.
(a, b ,c) = { {a}, {a, b}, {a, b, c}}
Ejemplo 2.- Dado los conjuntos
PROPIEDADES GENERALES DEL PRODUCTO CARTESIANO
SOLUCIÓN a. Mediante el “Diagrama de árbol” 2. A
B a
AxB (1; a)
b
(1; b)
a
(2; a)
b
(2; b)
3.
1
sT
4.
Ejemplo 3.- Dado los conjuntos
2 1
C
(a;2) (b;1)
A = {9,10,11,12,13}
(b;2)
Para el conjunto B, se cumple: -4 X + 3 < 9
b 2
Solución : Para el conjunto A, se cumple: 6 < x – 2 < 12 Sumando 2 a todos los miembros de la desigualdad, se obtiene. 8 < x < 14
sé
a
BxA (a;1)
Jo
De otro lado A 1
ar
A x B = {(1;a), (1;b), (2;a), (2;b)}
A = {X Z/ 6 < x – 2 < 12} B ={X Z/ -4 x + 3 < 9} ¿Cuántos elementos tiene, A x B?
lo
2
b. B
Si n(A) es el número de elementos del conjunto A y n(B) es el número de elementos del conjunto B, entonces n (A x B) = n(A).n(B) es el número de elementos del producto cartesiano A x B. El producto cartesiano en general no es conmutativo , es decir A x B B x A, a menos que A = B. A x B = ; si A es vacío o B es vacío. N (A x B x C) = n(A) . n(B). n(C)
po
1.
ur
A = {1, 2} y B = {a, b} Determine a) A x B b) B x A
B x A = {(a;1), (a;2), (b;1), (b;2)} En este ejemplo vemos que : AxB BxA OBSERVACIÓN.- El producto cartesiano se puede extender a tres o más conjuntos no vacíos, es decir:
n(A) = 5
Adicionando –3 a todos los miembros de la desigualdad, se obtiene: -7 x < 6 B = { -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;-1;-2; -3;-4;-5} Con lo cual n(B) = 13
AxBxC={(a,b,c)/ a A bB c C}
99
n (A x B) = n (A).n (B)= (5) (13)= 65
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Ejemplo 4.- Dado los conjuntos A
RELACIONES Definición.- Dadas dos conjuntos A y B no vacíos, se llama una relación R de A en B a un subconjunto cualquiera de A x B.
B
a
1 2
e
3
R es una relación de A en B R A x B
Determine gráficamente : BxA
Nota.- Una relación de A en B se llama también relación binaria.
Gráfica de : A x B
Definición.Un conjunto R es una relación en A si y solo sí R A x A
i) A x B
ii)
Solución i)
po
B
Ejemplo 5.- Dado el conjunto
3
ur
A = {1, 3, 5} y una relación R en A definida por :
2
a
A
b
lo
0
ar
ii) Gráfica de B x A
C
A
a 1
Jo
sé
b
0
(x , y) R y=x+2 Cuantos elementos tiene R.
sT
1
2
3
A x A = {(1;1), (1;3), (1;5); (3;1) (3;3),(3;5),(5,1);(5;3);(5,5)} Luego una relación R en A de elementos (x, y) tal que y = x + 2 es:
B R = {(1;3), (3;5)}; vemos que la relación R tiene 2 elementos.
de i) y ii) vemos que : A x B B x A
Dado los conjuntos
Ejemplo 6.- Sea el conjunto A = {2, 4 ,6 ,8}. Donde las relaciones R1 y R2 en A están dadas por :
A = {X N / X2 -2 < 23} B = {X Z+0 / X2- 3 < 6} C = {X Z / 3 < X –6 12}
R1 = {(x , y}/ x + y = 10} R2= {(x , y) / y = x} Hallar : n (R1) y n (R2)
EJERCICIO 1.
Solución : Notemos que el conjunto A x A es :
Solución : Teniendo en cuenta que : R1 = {(x, y}/ x + y = 10} entonces
¿Cuántos elementos tiene : A x B x C? Rpta. : 108
100
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA R1 = {(2;8), (4;6),(8;2),(6;4)} De otro lado R2= {(x, y)/y =x} entonces R2= {(2;2); (4;4);(6;6);(8;8)} n(R1) = 4 y n(R2) = 4
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN R A
B
CLASES DE RELACIONES y
x
A. Relaciones reflexivas.- Dado un conjunto R de pares ordenados R es una relación reflexiva” en A
(x,y) R
Dom (R)
Si : a A ; (a ; a) R
po
R es una relación de A en B si R A x B ; donde : A x B = {(x,y) / x A y B)
sT
Dominio de la relación R .- Es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de R, es decir:
C
ar
lo
C. Relaciones transitivas.- Dado un conjunto R de pares ordenados la relación R en un conjunto A es una “relación transitiva” en A.
ur
B. Relaciones Simétricas.- Dado un conjunto R de pares ordenados R es una “relación simétrica” en A. Si : (a;b) R (b; a) R
sé
Si : (a;b) R (b;c) R (a;c) R
Jo
D. Relaciones de equivalencia.- Una relación R en un conjunto no vacío A es una “relación de equivalencia” en A, si en forma simultanea satisface las siguientes condiciones: i. ii.
Dom (R) = x/ (x, y) R
C. A.
Rango de la relación R.- Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de R, es decir: Rang (R) = y /(x,y) R B Ejemplo.- Dado los conjuntos R A
R es reflexiva : aA;
Rang (R)
B
1
5 2
(a;a) R
3
R es simétrica : (a ; b ) R (b; a) R
4
iii. R es transitiva. [(a;b) R (b;c) R] (a;c) R
6 7 8
Donde R es una relación de A definida por: R = (1,5), (2,8), (3,5), (2,7) Determine : Dom (R) y Rang (R)
101
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Solución: Como el dominio está determinado por las primeras componentes. Dom (R) = 1, 2, 3 De otro lado como el rango está determinado por las segundas componentes : Rang (R) = 5, 8, 7
Observación.Dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente; para la función f. (x; y) f (x; z) f y = z Siendo Y i)
A = Conjunto de partida B = Conjunto de llegada
Son funciones:
EJERCICIOS A
1)
Dado los conjuntos: A = 1, 4, 9 B = 2, 8, 9 R1 y R2 son relaciones de A en B tal que: R1 = (a, b) A x B / a b R2 = (a, b) A x B / a + b 6 Determine : n (R1) + n (R2) Rpta. 9
B
1
4
po
2
5
sT
ur
3
C
ar
lo
2) Dado el conjunto A = 1, 2, 3, 4, 6, 8 y la relación R en A : R = (x,y) /5 es divisor de x + y, hallar la suma de todos los elementos del dominio de R. Rpta. ______
A
B
1 2 3 4
5
f3
A
B
a
d
b
e
c
f
ii) No son funciones
sé
Dada la relación R definida en los números reales: R = (x, y) / x-y 6 el valor veritativo de : I. R es simétrica II. R es reflexiva III. R es transitiva IV. R no es de equivalencia es: Rpta. V V F V
f5
f4
Jo
3)
f2
f1
A
B
A
B
1
4
2
8 7
2 3
5
3
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
FUNCIONES Dado dos conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación f A x B, se define: “f es una función de A en B si y solamente si para cada x A existe a lo más un elemento y B , tal que el par ordenado (x, y) f “.
Dominio de f: Dom (f) Se llama también pre-imagen y es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida A. (Dom (f) A) Rango de f = Rang (f)
102
José Carlos Turpo
6
ÁLGEBRA Llamado también imagen, recorrido o contradominio, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B (Rang. (f) B) Ejemplo.- Dada la relación representada por el diagrama sagital.
una función real de variable real y por ello f tendrá una representación gráfica en el plano R2. Existe una relación unívoca entre la variable independiente x y su imagen la variable dependiente y; es decir:
f = (x; y) R x R/ x Dom(f) y = f(x) Propiedades Geométrica.- Una relación f R x R es una función real, si y solo sí, toda recta vertical o paralela al eje “y” corta a la gráfica f a lo más en un punto.
f1 B e
a b j c k d i i
Respecto a las gráficas:
f g
l
y
h m i
ur
f1
0
x
ar
C
f1 es función L corta en un punto
Jo
B
A
f
f2 no es función L corta en dos puntos
Función constante.- Se simboliza por C y su regla de correspondencia está dada por C (x) = f(x) = k
La función f se denomina aplicación de A en B si y solamente si todo elemento x A sin excepción, tiene asignado un elemento y B y solamente uno, en tal caso se denota de la siguiente forma: f:A
x
FUNCIONES ESPECIALES
sé
APLICACIÓN
f2
0
lo
Solución: Vemos que la función está dada por: f= (a; f) , (b ; e) , (c; f) , (d;h), (i;g) luego por definición: Dom (f) = a; b; c; d; i Rang (f) = f ; e; h; g
L
sT
Hallar Dom (f) Rang (f)
y
L
po
A
y
k
B
f
Para este caso 0
Dom (f) = A Rang (f) B
i) Don (f) R
x
ii) Rang (f) = K
Función Identidad.- Se simboliza por I, y su
FUNCIÓN REAL DE VARIANTE REAL
regla de correspondencia es: I (x) =
f (x) = x
Si los conjuntos A y B, de partida y llegada respectivamente de una función f son conjuntos de números reales, entonces f es
103
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA y
y
F(x)=
x
f 1
45º
0
y
x
0 i)
ii)
Dom (f) = R Rang (f) = R
1 i) Dom(f) =[0;
Función Valor Absoluto.- Su regla de correspondencia está dada por: x;x 0 y = f(x) = x 0;x=0 -x ; x 0
Función cúbica.- Está determinada por la
regla de correspondencia. y = f(x) = x3
po
y f(x) = x3
y
8 1
sT
x
0
ar
sé
C
i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = [0; Función Signo.- Se simboliza por “sgn” su regla de correspondencia está dada por: -1 ; x 0 y = f(x) = sgn (x) 0;x=0 1;x 0
x
1 2
lo
0
ur
f(x) =x
I) Dom (f) = R II) Rang (f) = R
Función Escalón Unitario.- Está denotado por U y su regla de correspondencia es:
0; x0 y = f(x) = U (x) =
Jo
y
ii) Rang (f) = [0;
1; x1 U(x)
1
f(x)= U(x) 1
x
0
i) Dom (f) = R
x
0
-1
i) Dom (f) = [0;
ii) Rang (f) = -1, 0, 1
Función Cuadrática.-
La regla de correspondencia de esta función está dada por: y = f(x) = ax2 + bx + c ; a 0 Se presentan dos casos
Función raíz cuadrada.- Se simboliza por el signo radical
y su regla de
correspondencia es:
y = f(x) =
ii) Rang (f) = 1
x
104
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Dando valores a n
1.
a0
-2 ; Si -1 ; Si 0 ; Si 1 ; Si 2 ; Si
f(x)=ax +bx+c 2
f(x) = [x]
h X1
x
X2
-1 0 1 2 3
y
Vértice = v (h,k)
1 x
b b 2 - 4ac V(h; k) = V ; 2a 2a
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
po
ii) Rang (f) = [-k;
-2
a 0 x1
ur
Vértice = V(h,k)
i) Don (f) = R
x2
sT
k
h c
b b 2 - 4ac ; 2a 2a
lo
1.
ii) Rang (f) = - , k
EJERCICIOS
Hallar el dominio y rango de la función: x x
f (x) =
;
x
x0
Solución x; x 0 -
x; x 0
la regla de la correspondencia de la función f(x), donde x 0; es : xx 2 ; x 0 x
Función Inverso multiplicativo
Jo
Es aquella función cuya regla de correspondencia es: 1 y = f(x) = ; donde x 0 x
f (x)
y f(x) =
ii) Rang (f) = Z
Dado que x =
sé
i) Dom (f) = R
C
ar
V(h; k) = V
x x x x x
2
k
2.
1
c
i) Dom (f) = R
–2 –1 0 1 2
x-x 0 x
1 x
;
x0
y
Graficando:
f(x) =
x x x
2
x
x i) Dom (f) = R- 0 ii) Rang (f) = R -0
i)
Función máximo entero.-
Es aquella función definida por: f(x) = [x] ; Si n x n + 1 ; n z
105
Dom (f) = R- 0 ii) Rang (f) = 0, 2
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
SUCESIONES PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES GEOMETRICAS
Ejemplo: A = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27} b. Sucesiones infinitas.Estas sucesiones se caracterizan porque sus términos son ilimitados. Ejemplo: P = {-1, 2, 7, 14, ....., (n²-2),....}
sT
ur
SERIES.- Se llama serie a la suma indicada de los elementos de una sucesión, es decir dada la sucesión. S = {a1, a2, a3, .........., an, .......} La serie está representada por
C
ar
lo
Una sucesión es un conjunto de números que presenta un cierto orden de acuerdo a una ley de formación. En términos de conjunto las sucesiones se expresan como : S = {a1, a2, a3, ....., an, ....} Toda sucesión debe ser determinado a través de su término e-nésimo (an), es decir: Para n = 1 a1 Para n = 2 a2 Para n = 3 a3 . . . . . . . . . En general un término cualquiera de la sucesión tal como ak, se obtiene a través de an cuando n = k. Son ejemplos de sucesiones : a. P = { 3,5,7,9,....., (2n+1),...} b. Q = {1,4,9,16,....., n²,.........} c. R = {1,1,2,6,24,....,(n-1)!,.....}
po
SUCESIONES
a
n
a1 a2 a3 ...... an .....
sé
n 1
Jo
Dependiendo de que la sucesión sea finita e infinita, las series serán finitas e infinitas. TIPOS DE SERIES
CLASIFICACION DE LAS SUCESIONES
Entre los de interés tenemos : a. Las Progresiones. - Progresión aritmética. - Progresión geométrica. - Progresión Armónica. b. Series de potencia de los números enteros positivos. c. Series numéricas relacionadas con los números enteros positivos. d. Series que involucran combinatorias. e. Series recurrentes.
Atendiendo al número de términos las sucesiones pueden ser : a. Sucesiones finitas.- Son aquellas que tienen un número limitado de términos.
106
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA PROGRESIONES
Razón : r = a2 – a1 ..... = an – an-1
Son Sucesiones numéricas cuya ley de formación se establece a través de una suma o multiplicación constante.
Ejemplos de P.A. a).
÷ 6.9.12.15.18
PROGRESION ARITMETICA Definición.Las progresiones aritméticas o diferenciales son sucesiones de números donde un término cualquiera después del primero es igual al anterior más una cantidad constante (distinta de cero) llamada razón o diferencia de la progresión.
b).
÷ 9.7.5.3.1.-1
a1 an r n m
:6 : 18 : 9-6=3 : 5 :3
a1 an r n m
:9 : -1 : 7-9=2 : 6 : 6-2=4
ur
po
De los ejemplos vistos las progresiones aritméticas pueden ser : a). P.A. creciente (razón > 0) b). P.A. Decreciente (razón < 0) PROPIEDADES GENERALES DE LAS PROGRESIONES ARITMETICAS
sT
Símbolos de una progresión aritmética. P.A. : Significa progresión aritmética. ÷ : Inicio de una P.A. a1 : Primer término de la P.A. an : último término de la P.A. n : número de términos de la P.A. r : Razón o diferencia constante. Sn : Suma de los n primeros términos de una P.A. m : Medios de una P.A.
C
ar
lo
Propiedad 1.- En toda P.A. de “n” términos y razón “r” el último término es igual al primero más (n-1) veces la razón, es decir :
DEMOSTRACION Sea la progresión aritmética ÷ a1 . a2 . a3 ......... an-2 . an-1 . an Por definición sabemos que :
Jo
sé
Representación general de una P.A. Las sucesiones aritméticas finitas de razón “r” y “n” términos se representan bajo la forma.
ak = ak-1 + r Expandiendo : a1 = a1 a2 = a1 +r a3 = a2 +r a4 = a3 +r
Extremos de la P.A. ÷ a1. a2 ................................. an-1; an m = n – 2 (medios) Medios :
Aritméticos ó Diferenciales
.
K = 2, 3,4,....n
(n-1) veces
. an-2 = an-3+r an-1 = an-2+r an = an-1+r
r0 Primer Término
an = a1 + (n – 1) r
an = a1 + r + r+......+r Último Término
(n – 1) veces
107
an = a1 + ( n – 1) r
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Propiedad 2.- En toda P.A. de razón “r” y “n” términos: ÷ a1 . a2...... ap......aq.....an-1.an el término de lugar “q” en función del término de lugar “p” está formulada por: aq = ap + (q – p) r
Se observa que :
÷ 7 . 12 . 17. 22. 27. 32. 37. 42 a1 + an = 12+37= 17+32 = 22+27=49 Propiedad 5.- En toda P.A. de un número impar de términos, el término central “ac” es igual a la semisuma de los términos equidistantes de los extremos e igual a la semisuma de los extremos. En la P.A. de “n” términos y razón “r”, cuyo esquema es
po
Propiedad 3.- En toda P.A. de “n” términos y razón “r”, un término cualquiera que ocupe el lugar K-ésimo contado a partir del extremo final es igual al último término menos (k-1) veces la razón, es decir: ak = an – (k – 1) r
sT
“p” términos “k” términos
ar
C
÷ a1, a2...... ap...........aq.....an-1.an
ac
ap aq a1 an 2 2
Ejemplo : En la P.A.
ac = 20 Se cumple que : 8 32 12 28 16 24 ac 20 2 2 2
ap + aq = a1 + an
DEMOSTRACION Dado que “ap” y “aq” equidistan de los extremos. ap = a1 + (p-1) r .............. () aq = an - (p-1) r .............. (ß)
Propiedad 6.- En toda P.A. de tres términos, el término central es la media aritmética de los extremos. En la P.A. ÷ x. y. z xz y Se cumple que : 2
Sumando miembro a miembro () y (ß) obtenemos : ap + aq = a1 + an
ac = término central
÷ 8 . 12 . 16 . 20 . 24 . 28 . 32
Jo
Se cumple que
“p” términos
sé
“p” términos
“k” términos “p” términos
Se cumple que :
lo
Propiedad 4.- En toda P.A. de “n” términos y razón “r”, la suma de los términos equidistantes de los extremos es una cantidad constante e igual a la suma de los extremos, es decir :
ur
÷ a1 ___ ap ___ ax.ac.ay ___ aq ___ an
l.q.q.d.
Propiedad 7.- La suma de los “n” primeros términos de una P.A. de razón “r”. ÷ a1 . a2 ……............…... an-1 . an
Ejemplo : En la P.A. ÷ 7. 12 . 17 . 22 . 27 . 32 . 37 . 42.
108
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA es igual a la semisuma de los extremos multiplicado por el número de términos, es decir:
INTERPOLACION Interpolar “m” medios diferenciales entre los extremos “a1” y “an” de una progresión aritmética, es formar la progresión. En efecto para la P.A.
a an Sn 1 n 2
÷ a1 .............................. an
DEMOSTRACIÓN En la progresión aritmética. ÷ a1. a2 …………………............ an-1 . an La suma de los “n” primeros términos es : Sn = a1+a2 ..........+ an-1+an ......... () ó Sn = an+an-1 ........ +a2 +a1 .......... (ß) Sumando miembro a miembro
Los datos conocidos son :
po
Primer término : a1 Último término : an Número de términos : n = m + 2
(a1 a n ) (a 2 a n1 ) ....... (a n a1 ) " n" tér min os
ur
El elemento a calcular es la razón : r De la fórmula : an = a1 + (n –1) r
sT
2S n
“m” medios
Como : n = m + 2 an = a1 + (m+1)r
ar
lo
Como la suma de los términos equidistantes es una cantidad constante e igual a la suma de los extremos.
C
2S n (a1 a n ) (a1 a n ) ....... (a1 a n )
L.q.q.d.
Conocida la razón ya interpolar o formar la P.A.
es
posible
En la resolución de problemas sobre P.A. es necesario expresar los términos de la progresión bajo las siguientes formas : i. Si el número de términos es impar, la razón a considerar es “r”. Ejm: Para 3 términos; se tendría : ÷ (a – r) . a. (a + r) ii. Si el número de términos es par, la razón a considerar es “2r”.
De otro lado, como : an = a1 + (n-1)r 2a (n 1)r Sn 1 n 2
Propiedad 8.En toda P.A. de un número impar de términos y término central “ac”, la suma de sus “n” términos está dado por : Sn = ac . n
an a1 m1
OBSERVACION
Jo
a an Sn 1 n 2
sé
" n" tér min os
Obtenemos: r
Ejm: Para 4 términos; se tendría: ÷ (a – 2r) . (a - r). (a + r) . (a + 2r)
; n (#impar)
109
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA El número de términos comprendidos entre 16 y 46 es el triple de los comprendidos entre 4 y 16. Hallar la suma de todos los términos de la P.A.
EJERCICIOS 01.
En la P.A. ÷ -16 . –13 . -10 ................ Hallar el término de lugar 19.
Solución : De acuerdo con el enunciado tenemos : ÷ 4 ................. 16 ............. 46
Solución : En toda P.A. un término cualquiera se determina por la fórmula :
“x” term.
a1 = 4 Entre 4 y 16 an = 16 n = x +2
an = a1 + (n – 1) r
po
a1 = -16 n = 19 r= 3
De la fórmula : an = a1 + (n-1)r 16 = 4 + (x +1)r 12 = r .......... () x 1
ur
donde:
lo ar
Rpta.
a1 = 16 an = 46 n = 3x+2
De la fórmula : an = a1 + (n-1)r
“m” medios
46 = 16 + (3x+1)r
sé
“m” medios
Determine el valor de m si la suma de sus términos es 782.
Jo
30 = r ......... (ß) 3x 1
Solución : En la P.A. se observa que el término central: ac = 46 Número de términos : n = 2m+3 Suma de términos : Sn = 782
03.
Entre 16 y 46
En la progresión aritmética. ÷ a ............... 46 ...............b
C
02.
sT
Reemplazando valores a19 = - 16+ (19 - 1) (3) a19 = 38
“3x” term.
Dado que : Sn = ac . n 782 = 46 (2m+3) 2m + 3 = 17 De donde : m = 7
Igualando () y (ß) 12 30 = 36x +12 = 30x+30 x 1 3x 1 6x = 18 x=3 Reemplazando el valor de x = 3 en () 12 r= r=3 3 1
En la progresión aritmética. ÷ 4.................16..............46
Luego en la P.A. ÷ 4............... 16..................46 3 term.
110
9 term.
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Tenemos los datos :
S
: Suma límite de los infinitos términos de una P.G. decreciente infinita.
a1 = 4 an = 46
a an Sn 1 n 2
REPRESENTACION GENERAL DE UNA P.G.
n = 15 De donde : S15
Toda progresión geométrica de “n” términos y razón “q” se representa de la siguiente forma : Extremos
4 46 15 2
S15 = 375
Cuantos términos de la P.A. ÷ 32 . 26 . 20 ....................... Se deben tomar para que su suma sea 72. Rpta. 9.
t1 : t2 : ....................... : tn-1: tn Geométricos * Medios Proporcionales
po
04.
ar
C
sé
Jo
: Primer término : último término : razón de la P.G. : Número de términos : Suma de los términos de la P.G. : Producto de los términos de la P.G.
q
t t2 t 3 ...................... n t1 t2 t n 1
Debemos tener en cuenta lo siguiente : i. Si : q > 1, la P.G. es creciente : Ejemplo: q=
2 : 4 : 8 : 16 : 32
4 21 2
La P.G. es
creciente ii. Si; 0
Símbolos de una progresión geométrica. P.G. : Progresión geométrica
t1 tn q n s p
último término
La razón de la P.G. está determinada por la división de dos términos consecutivos de la progresión :
Definición.- La progresión geométrica o por cociente es una sucesión de números, donde cada término después del primero es igual al anterior, multiplicado por una cantidad constante (diferente de cero y de la unidad), llamada razón de la progresión geométrica.
: Inicio de la P.G.
q 1 (razón)
Primer Termino
PROGRESION GEOMETRICA
sT
Si, Sn = 3n (2n – 1) es la suma de los “n” términos de una P.A. Hallar el término de lugar “p” que ocupa dicha progresión aritmética. Rpta: 3 (4 p - 3)
lo
05.
ur
*q0
243 : 81: 27: 9
0
1 1 3
La P.G. es decreciente
iii. Si : q < 0 la P.G. es oscilante.
111
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA q =
64:-32:16:-8
Ejemplo : En la P.G.
32 1 64 2
1 0 2
Propiedad 1.En toda P.G. un término cualquiera es igual al primer término multiplicado por la razón, donde la razón se encuentra elevado al número de términos menos uno.
t : .............: a:x:b ......................:t 1 n (k+1) términos (k+1) términos
Se cumple :
t n t1 q n 1
t 1.t n
ur
x
DEMOSTRACION Sea la P.G.
sT
Ejemplo:
En la P.G.
t1: t1 q: t1 q²: ..................... : tn
3 : 6 : 12 : 24 : 48 : 96 : 192
C
ar
lo
Término central Vemos que : 24
sé
en el cual observamos. t1 = t1 = t1 q1-1 t2 = t1 q1 = t1 q2-1 t3 = t1 q2 = t1 q3-1 t4 = t1 q3 = t1 q4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n-1 tn = t1 q
3(192 )
576
Propiedad 4.- En toda P.G. finita el producto de sus términos es igual a la raíz cuadrada del producto de sus términos extremos, elevado al número de términos de la progresión geométrica, es decir:
Jo
tn = t1 qn-1
6 : 18 : 54 : 162 : 486
Propiedad 3.En toda P.G. de un número impar de términos, el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. Sea la P.G.
PROPIEDADES
:
Veces que : 6 (162) = 18(54) = 2(486) = 972
La P.G. es oscilante
2
po
Ejemplo:
L.q.q.d.
Propiedad 2.- En toda P.G. el producto de dos términos equidistantes es una cantidad constante e igual al producto de los extremos, es decir en la P.G.
P
t1.t n n
DEMOSTRACIÓN Sea la progresión geométrica.
t : ...........: a:x: ............:y:b:..............:t 1 n (k+1) términos (k+1) términos.
t1 : t2 : ............... tn-1 : tn
El producto de sus términos es: P = t1 . t2 . ............... tn-1 . tn ó : P = tn . tn-1 . ............... t2 . t1
xy = t1 . tn
112
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA multiplicando miembro a miembro. “n” paréntesis
la razón que determina la interpolación está dada por:
P² = (t1. tn) (t2. tn-1) ................ (tn. t1)
q
Dado que el producto de dos términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
S
L.q.q.d.
P t1 .t n
2 1 1 4 4 4 3 1 1 1 b) 8 8 8 8 4 1 1 1 1 c) 16 16 16 16 16
po
a)
ur
t n . q t1 q 1
sT
Con lo cual “S” se puede agrupar de la siguiente forma:
Dado que: tn = t1 q n-1
1 1 1 1 .......... .... + 2 4 8 16
S=
t 1( q 1) q 1
lo
n
ar
S
sé
C
Propiedad 6.- El valor límite de la suma de los infinitos términos de una P.G. infinita decreciente es igual al primer término dividido entre la diferencia de la unidad y la razón, donde necesariamente el valor absoluto de la razón debe ser menor que la unidad.
t1 1 q
Cada paréntesis representa la suma de infinitos términos de una progresión
consiguiente:
S
; q 1
1 2 1 1 2
S 1
INTERPOLACIÓN
1 4 1 1 2
1 8 1 1 2
t1 : t2 : ............... tn-1 : tn
........
serie, también geométrica
decreciente de razón q =
S
1 , por 2
1 1 .......... ... 2 4
esta última progresión
Interpolar medios geométricos entre dos números dados es formar una progresión geométrica donde los extremos son los números dados. Sea la progresión geométrica:
1 1 1 1 1 ...... ...... ..... 4 8 16 8 16
+
geométrica infinita de razón q =
Jo
S
1 2 3 4 .......... ..... 2 4 8 16
Solución: Obsérvese que:
Propiedad 5.- La suma de los términos de una P.G. finita es igual al último término por la razón menos el primer término; todo esto dividido entre la diferencia de la razón y la unidad.
S
tn t1
Ejemplo # 1.- Calcular el valor limite de la suma:
P² = (t1 . tn)
m 1
1 1 1 2
es una infinita
1 ; entonces: 2
S = 2
Rpta.
“m” medios geométricos
113
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
LOGARITMOS ECUACIONES LOGARITMICAS
DEFINICION Expresando matemáticamente:
El logaritmo de un número “N” real y positivo (N 0), en una base “b” mayor que cero y diferente de la unidad (b 0 b 1) es el exponente real “a” tal que elevado a la base “b” se obtiene una potencia (ba) igual al número (N).
Log N = a b
po
ur
-2 es el logaritmo
C
1 9
en base
sé
1 9
3
Jo
de
6
3.
6
2
=8
es el logaritmo
en base
2
en general tendríamos que:
“a” es el logaritmo Si :
Base
Vemos que: Logaritmo y exponente significa lo mismo siendo la única diferencia las notaciones matemáticas en la cual están representados, así tenemos las formas logarítmicas y exponencial respectivamente, donde una de ellas está ligada a la otra. Es decir: 1.
Si : Log N a
2.
Si:
b
b
a
N
a
b =N
Log N a b
Debemos familiarizarnos con estas fórmulas a través de los siguientes ejemplos:
de 8
=N
Forma Exponencial
sT
ar
de 32 en base 2
a
lo
2 = 32 5
3-2 =
b
Base
5 es el logaritmo
2.
Número
Forma Logarítmica
En efecto observemos los siguientes ejemplos:
1.
Exponente
Número Logaritmo
ba = N
i)
Paso de la forma exponencial logarítmica
1.
Si:
24 = 16
2.
Si :
5
3.
Si:
de “N” en base “b”
114
–3
4
=
Log
2
16 = 4
1 125
Log
5
1 = -3 125
3 =9
Log
3
9=4
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA ii) 1.
EXISTENCIA DE LOS LOGARITMOS EN R
Paso de la forma logarítmica a la forma exponencial Si: Log 625 = 4 5 4 = 625
Por definición sabemos que:
5
Si
1 = -3 7 343
Log
7-3 =
Donde:
6 = 216
i)
Ejercicios:
1)
Transforme de la forma exponencial a la forma logarítmica o viceversa según convenga: 27 = 128 2) Log 8 = 3
3)
4-4 =
5)
53 = 125
6) Log
7)
35 = 243
8) Log
N, es el “número”: N 0 +
0
N 0;
2
4) Log
10) Log
3 3
9=6
49 = 2
7
1=0
2
2 2
2 2= 1
iii)
lo
729 = x
ar
11. Log
20. Log
3 3 =x
x
3 7
22. Log
32 = x
23. Log
3 2
24. Log
2401= x
25. Log
1=x
26. Log
125 = x 7
17. Log
19. Log
6 6
9
+
0
aR
ó
a - ;
x=1
27 = x
EJERCICIOS
3=2
Nota.- Para hallar el logaritmo de un número debemos tener en cuenta la siguiente relación:
2
(x-1) = 3 5=1
x2
3 3
18. Log
-
x=4
x
64
16. Log
+
1
2 2
8=
14. Log
21. Log
sé
13. Log
x=1
Jo
17
0
a, es el “exponente” ó logaritmo: aR
9 3
81
15. Log
b, es la “base”: b 0 b 1
b 0; 1 u 1 ;
Aplicando la definición de logaritmo determine “x” en las siguientes ecuaciones:
12. Log
ii)
ur
1 256
9) 161/4 = 2 b.
b
6
216 = 6
6
Log N a b a N
1 343
C
a.
Log
po
3.
Si:
sT
2.
Log N a (Base)Logaritmo Número
29 = x
23
b
3 3= x
Prob. # 1.-
Calcular el logaritmo de
(x-2)= 0
5 5 en base 25
3
(x-2)= 1
Solución: Igualando a “x” el logaritmo pedido, se tendría:
3
27.Log 2 3
28.Log 2 3
Log
115
25 3 5
5
5 x (25 3 5 )
X
5 5
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA El problema ahora se reduce a resolver la ecuación exponencial para lo cual se expresa todo en base “5”, es decir: 2 5
1 3
5
Luego por definición de logaritmo como exponente; obtenemos:
Log
X
5.5
1 2
E Log
7 3 5
4 2
5
5
5
3
2 Log
3 2
E Log
4 3
2 Log
5 2 2
5
ur
9 14
Rpta.
Log
Como :
an
sé
Jo
m n
:
(a 0
4 4 8 2 3 E - 3 ; 5 2 15 3 2 1
Número
a
5
5
2
m n
mcm = 15
8 - 10 2 E15 15 IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 2
Log
b
N
N
Demostración: Por definición sabemos que:
a 1)
a
Log N a b N b
De donde:
Por identidad sabemos que a m a m Expresando convenientemente el segundo miembro tendríamos: m
E
b
Demostración:
a
3
Si el logaritmo de un número se encuentra como exponente de su propia base, entonces está expresión es equivalente al número, es decir:
IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 1 Si el número y la base de un logaritmo se pueden expresar en una base común, el logaritmo está determinado por el cociente de los exponentes de las bases comunes; es decir:
am
5
4 3
am
lo
C
ar
Estas identidades nos permite efectuar cálculos rápidos en logaritmos, tan es así que los problemas anteriores pueden efectuarse por simple inspección.
an
5
entonces:
IDENTIDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS
Log
3
52
sT
x
2 22 2
siendo las bases iguales, igualamos los exponentes, es decir: 7x 3 3 2
5 25
E Log
X 7x 3
2 Log
Solución: Expresando en base “2” y base “5” los logaritmos respectivos, tendríamos:
1 1 2 5
3 2
3
2
po
x
L.q.q.d.
Prob. # 2.- Calcular el valor de:
como : am . an am n , entonces Tendríamos:
2 1 5 3
an
m n
am
n
m n
b a
Logaritmo
a
=N
............. (3)
Log N ....... (2) b
Reemplazando ...(2) en ...(1) obtenemos:
base
Log
b
116
b
N
N
L.q.q.d.
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA En estos casos las bases de los logaritmos deben ser iguales y para eso hacemos lo siguiente:
IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 3 Si al número y a la base de un logaritmo se potencian o se extraen radicales de un mismo índice, el logaritmo no se altera, es decir:
Log a Log
am Log
bm
b
n n b
1. En el primer logaritmo el número y la base lo elevamos al exponente 3. 2. En el segundo logaritmo al número y a la base le extraemos
a
Obteniendo:
Demostración: Sabemos por la identidad Nº 2 que: a = b
Log b a
2
............ (1)
Número
bm
am
.......... ()
de otro lado en ... (1) extraemos la
a
n
b
Log a b
base
po
ar
igualdad,
Exponente o logaritmo
Jo
Número
la
b
n a a Log n b
2
9
2
x=4
IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 4
Si el logaritmo de un número “a” en base “b” se encuentra como exponente de una base c (c o); el número “a” y la base “c” se pueden permutar, es decir: Log
Por definición de logaritmo exponente, vemos que: Log
1 2
a
sé
n
de
x
n
x
9 2
de donde al simplificar obtenemos:
C
los dos miembros obteniendo:
sT
a Log
como
lo
Por definición de logaritmo exponente, tenemos que: b
x 3 29
2
base
Log
x3 9 x3
Log x 3
ur
a
Exponente o logaritmo
Log a b
m b
2
Como una suma de logaritmos de igual base es igual al logaritmo de un producto, entonces:
Elevando a la potencia “m” los dos miembros de la igualdad, se obtiene. m
x3 9
Log x 3 Log
c
como
b
a
a
Log
b
c
Demostración: Por identidad sabemos que:
.......... (ß)
Log b a Log b c Log b c Log b a
Por la fórmula:
De ... () y .. () concluimos que:
b Log a Log ab Log
a Log b
bm
c
n a L.q.q.d. a m Log n b
Se tendría:
Ejemplo.- Para que valor de “x” se cumple la igualdad:
Log
32
c
log b c
Log a b
log b a
Log c b
Cancelando los logaritmos en base “b” obtenemos:
x Log x3 9 4
Log
Solución
c
117
b
a
a
Log
b
c
L.q.q.d
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 5
Si el producto del número y la base de un logaritmo es igual a la unidad, entonces su logaritmo es igual a – 1; es decir: Si :
y=
1 ( ) 3
1. D1 R 2. Rf 0 ;
x
y=b
x
3. y = bx x R 4. Si; x = 0 y = bx = 1 5. Si, x 0 y = bx 1
N.b = 1 Log b N 1
6. Si, x - y = bx 1
Demostración: 1 Siendo Nb = 1 N b
-2
N = b-1
primera
identidad
X Y
L.q.q.d.
lo
Gráfica :
Si; “b” es un número real positivo diferente de “1” (b 0 b 1) entonces la función “f” se llama exponencial de base “b” si y sólo si:
C
i)
1 Caso Particular : y 3
Df Rf
y=3
+ +
3. y = bx 0 x R
x
4. Si; x = 0 y = bx = 1
3
5. Si, x 0 y = bx 1
1
6. Si, x - y = bx 0
y = bx -2
Primer caso.- Cuando la base está comprendida entre “0” y “1” (0 b 1)
... ...
1. D1 -;
9
sé
Representación gráfica de:
2 9
2. Rf 0;
. (b 0 b 1)
Jo
f = (x, y) / y =
bx
0 1 1 3
Propiedades de: y = bx : ( b 1)
y = bx
ar
FUNCIÓN EXPONENCIAL
2
- ... -2 -1 + ... 1/9 1/3
sT
Df Rf
Log b N 1
1
po
la
0
ii) Segundo caso.- Cuando la base es mayor a la unidad (b 1) Caso particular; y = 3x Tabulando : obtenemos los valores:
con lo cual : Log b N Log b b 1 Aplicando obtenemos:
-1
8. Si, x y = bx 0
ur
ó.
7. Si, x 0 y = bx 1
1 3
-1
0
1
x x 7. Si, x 0 y = b 1 8. Si, x y = bx 2
Función Logarítmica
Si “b” es un número real positivo diferente de la unidad entonces una función “f” será logarítmica si y solo si:
x
Tabulando, obtenemos los siguientes pares de valores:
f = (x, y)/ y = Log x ; (b 0 b 1)
X Y
al cual llamaremos función logaritmo de base b” Observación:
- .... -2 -1 0 + .... 9 3 1
b
1 2 ... + 1/3 1/9 ... 0
Función Exponencial
Gráfica :
y = f(x) = bx
Propiedades de: y = bx : 0 b 1
Df - ; Rf 0 ;
118
Función Logarítmica
y = f(x) = Log x b Df 0 ; Rf - ;
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Nótese que: b R+ - 1 y = bx
ii) Segundo caso: Cuando la base es
mayor que la unidad (b 1) Caso particular: y = Log 3 x
Log b y x
Función Directa
Tabulando, obtenemos los valores: Permutando “x” por “y”
Df Rf
0 -
Función Inversa
Primer caso: Cuando la base está comprendida entre “0” y “1” (0 b 1) Caso particular: y = Log 1 x
b
Propiedades de: y = Log b x ; (0 b 1) 1/3
x
0
Propiedades de: y = Log b x; ( b 1)
3
x
9
3. Si, x 0 Log x en R b 4.
Log b b 1
5.
Log b 1 0
6. Si x 1 Log b x 0 7. Si: x Log b x 8. Si: x 1 Log x 0 b
9. Si: x 0 Log b x -
9
Jo
1 3
+ +
1. D1 0 ; 2. Rf -;
sé
-1
1
ur
+ -
C
y Log
0 1/3 -1
... ...
sT
y Log x
9 -2
ar
Gráfica :
1 3 0 -1
lo
... 1/9 1/3 ... 2 1
... ...
po
1
Tabulando; obtenemos los valores 0
9 2
2
3
X Y
1 3 0 1
y = Log x (b 1) b
Representación gráfica de: y= Log b x
Df Rf
... 1/9 1/3 ... -2 -1
Gráfica: y = Log b x (b 1)
Y = Log b x
i)
X Y
PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS
-2
Teniendo en cuenta las gráficas de la función logaritmo: y= Log x (b 0 b 1)
1. Df -0;
b
2. Rf -;
y
3. Si, x 0 Log b x en R
y = Log x
4. Log b b 1
b
b1
5. Log b 1 0 6. Si x 1 Log b x 0
x 0
7. Si: x Log b x - 8.
1
Si: x 1 Log b x 1
9. Si : x 0
Log b x
y = Log x b
119
0b1
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Deducimos las siguientes propiedades:
Demostración: Teniendo en cuenta que:
I.
Existen infinitos sistemas, donde cada valor de b (b 0 b 1) es un sistema de logaritmos. II. No existen logaritmos de números negativos en el campo de los números reales, pero si en el campo de los números complejos.
a= x a= x
Log x
b
X
X
vemos que:
ur
C
N
ar
Demostración: N
ax
log a x
...........
ab x
b
a Log
x
X
V.
X
m.a.m.
a
por definición de logaritmo como exponente, se obtiene: X
L.q.q.d.
X
VII. El logaritmo de una raíz es igual a la inversa del índice del radical por el logaritmo de la cantidad subradical, es decir:
(2)
b
b
Log X
Por definición de logaritmo exponente, se obtiene:
Log ab Log a Log b
a x
x
b
Multiplicando ... (1) y ... (2) m.a.m. obtenemos: Log
b
(1)
Jo
log b x
............. (1) exponente “b”
Log a b Log a
sé
...........
a
x
b Log
lo
X
Log
Elevando al obtenemos:
Log ab Log a Log b
L.q.q.d.
Demostración: En la identidad fundamental:
sT
IV. El logaritmo de un producto indicado es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
L.q.q.d.
x
po
x
b
a= x
(2)
Log a bLog a
ii) Log b 1 b1 b
a = x
...........
a Log a Log b b x x
b
b
(1)
VI. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base, es decir:
i) Log 1 0 b 0 1
b
log b x
...........
Dividiendo m.a.m. (1).. (2) obtenemos:
III. El logaritmo de “1” en cualquier base vale “0” y el logaritmo de la base es igual a “1”, en efecto:
Log
log a x
a
1 Log a X b
Demostración: Teniendo en cuenta la identidad:
como
a
Log
L.q.q.d.
a= x
X
........... (1) Al elevar a la potencia 1 obtenemos: b
X
El logaritmo de un cociente indicado es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor, es decir: a Log Log a Log b X b X X
a b
120
ax
1 b
1 Log a x b x
1 Log a x b
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Ejemplos:
Por definición de logaritmos como exponente, se obtiene: b
Log x
1 a Log a x b
3 = 23 = 8
a) Antilog 2
L.q.q.d
1 2
-1/2 = 4-1/2 =
b) Antilog 4
VIII. El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la “unidad”, es decir:
Log a b Log b 1 x
CAMBIO DE BASE “b” A BASE “x” En general todo cambio de base implica un cociente de logaritmos, es decir:
L.q.q.d
a
Log
N= b
RELACIONES ESPECIALES EN LOGARITMOS
Log N x
Log N b
Caso particular:
Log
N=
Colog
1
N = Log b
b
N
REGLA DE LA CADENA
ur
Si en un producto de logaritmos un número cualquiera y una base cualquiera son iguales entonces estos se cancelan incluso el símbolo logarítmico
sT
COLOGARITMO.- El cologaritmo de un número en una base “b” es igual al logaritmo de la inversa del número en la misma base.
po
b
Log
9
9
a
a = Log
7 a3
5 a3
=
7 5
ANTILOGARITMO
El antilogaritmo en una base dada es el número que dá origen al logaritmo, matemáticamente: x = ax
Antilog
a . Log
b
b . Log c
c . Log d
d = Log x
a x
SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Los sistemas de ecuaciones logarítmicas se caracterizan por que tienen las mismas soluciones para cada ecuación que se presenta dentro del sistema. La solución a un sistema depende en gran parte de la habilidad del operador, sustentado en las propiedades logarítmicas.
Jo
3 a a2
23
3 2
sé
b) –colog
27=-
ar
27 = - Log
C
a) colog
lo
Ejemplo:
Log N Log b
a
Propiedades: Antilog
Log b
Log
N=N b
Antilog b
N=N b
121
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
INTERES COMPUESTO ANUALIDADES BINOMIO DE NEWTON INTERÉS COMPUESTO
En el segundo año: C (1 + r) + C (1 + r) r = C (1 + r)2
R , es el interés 100
po
ur
En el “t” año C (1 + r)t-1 + C (1 + r) t – 1 r = C (1 + r) t
sT
Vemos que el monto obtenido por un capital “C” al “r” por uno de interés compuesto durante “t” años, es:
C
producido por un 1 sol en un año) t : tiempo que se impone el capital, generalmente en años
C (1 + r)2+ C (1 + r)2 r = C (1 + r)3
ar
r : tanto por uno ( r =
En el tercer año:
lo
Un capital se impone a interés compuesto cuando en cada unidad de tiempo (generalmente cada año), los intereses producidos se adicionarán al capital, de tal modo que en la siguiente unidad de tiempo, el nuevo capital también produce intereses. Debemos tener en cuenta la siguiente notación: M : Monto = Capital + intereses C : Capital impuesto R : tanto por ciento anual; es el interés Producido por 100 soles en 1 año
M = C (1 + r ) t
De esta formula podemos despejar:
sé
a)
DEDUCCIÓN DEL MONTO
El capital: “C”:
Jo
C
Dado un capital C que se impone al interés compuesto al “r” por uno anual, durante un determinado tiempo de “t” años. Calcular el monto “M” que se obtiene al final de este tiempo.
b)
M (1 r ) t
El tanto por uno: “r”
r c)
Deducción: Sabemos que el monto al final del año es igual al capital más el interés, es decir:
t
M 1 C
El tiempo: “t”
t
LogM LogC Log(1 r )
EJERCICIOS
Capital + Interés = Monto
01. Hallar el monto que se obtiene al imponer un capital de 7 500 soles al 5% de interés compuesto, durante 8 años. Dato: (1,05)8 = 1,477455
Por consiguiente: En el primer año: C + Cr = C (1 + r)
122
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Se tendría:
Solución: Del enunciado, tenemos: C = 7 500 R = 5%
r
70 V = V (1 + 0,75)t
70 = (1,075)t
5 0,05 100
tomando logaritmos en ambos miembros, obtenemos:
t = 8 años Reemplazando en la fórmula:
t
Log 70 Log 1,75
t
Log 7 Log 10 Log 1,75
t
0,845098 1 0,243038
ur
Obtenemos: M = 7 500 (1 + 0,05)8 M = 7 500 (1,05)8 Considerando el dato, el monto será: M = 7 500 (1,477455) M = 11 080 92 soles (Rpta).
po
M = C (1 + r)t
t = 7,59 horas
Rpta.
Observación: En la fórmula del monto : M = C (1 + r)t ; el exponente “t” y el tanto por uno “r” siempre van expresados en la misma unidad, según sea el período al fin del cual se capitalizan los intereses, es decir:
Log 7 = 0,845098 Log 1,75 = 0,243038
sé
Datos:
C
ar
lo
02. Un cierto tipo de bacterias se reproduce en forma muy rápida de modo que en una hora aumenta su volumen en un 75%. Cuántas horas serán necesarias para que su volumen sea 70 veces su volumen original?
sT
De donde:
Jo
Solución : Consideremos un volumen “V” como si fuera el capital depositado a interés compuesto, 70 “V” será el volumen final R Donde: R = 75% r = 0,75. 100 Reemplazando en la fórmula de monto: C=V M = C (1 + r)t M = 70 V r = 0,75
capitalización
Tiempo
Tanto por uno
Anual Semestral Trimestral Mensual Diaria
t (en años) 2t 4t 12 t 300 t
r (anual) r/2 r/4 r/12 r/360
03. En cuanto se convertirá 50 000.00 soles, impuesto al 5% anual, durante 6 años, capitalizándose los intereses cada trimestre? Dato: (1,0125)24 = 1,347 Solución: De acuerdo con el problema: C = 50 000.00 soles
123
enunciado
del
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA su monto será: Ac (1 + r) Sumando todos los montos producidos por las anualidades, formamos el capital “C”. C = Ac(1+r)t + Ac(1+r)t-1 + .... + Ac(1 + r) C = Ac[(1+r)t +(1+r)t-1 + .... + (1 + r)] Factorizando : (1 + r) C = Ac(1+r) [(1+r)t-1 + (1 + r)t-2 + … + 1] Como los sumados del corchete representan el desarrollo de un cociente notable, obtenemos:
R = 5% anual
5 = 0,05 (anual) 100 0,05 r= = 0,0125 (trimestral) 4 r=
t = 6 años = 6(4) = 24 trimestres Reemplazando en la fórmula del monto M = C (1 + r)t Se tendría: M = 50 000 (1 + 0,0125)24 M = 50 000 (1,0125)24
(1 r ) t 1 C A c (1 r ) (1 r ) 1
po
Utilizando el dato: M = 50 000 (1,347)
ur
Despejando la anualidad de capitalización:
el monto será: M = 67 350,00 soles (Rpta).
sT
Ac
(1 r ) (1 r ) t 1
Anualidad de Amortización.Es la cantidad fija que se impone al final de cada año al “r” por uno de intereses compuesto para amortizar una deuda “C” y los intereses que produce, a interés compuesto, en un tiempo “t”.
lo
ANUALIDADES
Cr
sé
C
ar
Definición.- Se llama anualidad a la cantidad fija que se impone todos los años para formar un capital o en su defecto amortizar una deuda.
Siendo “t” el tiempo en el cual se debe pagar el capital prestado “C” más sus intereses, colocando las anualidades al final de cada año, se observa que:
Jo
Anualidad de capitalización.Se denota por “Ac” y es la cantidad fija que se impone al principio de cada año al “r” por uno de interés compuesto para formar un capital “C”, en un tiempo “t”.
La primera anualidad impuesta durante (t – 1) años, nos da un monto de : Aa (1 + r) t-1 La segunda anualidad impuesta durante (t-2) años, nos da un monto de : Aa (1 + r) t-2
Siendo “t” el tiempo en el cual se desea formar el capital “C”, colocando las anualidades al principio de cada año., vemos que: La primera “Ac”durante “t” años nos dá un monto de Ac (1 + r)t La segunda “Ac” durante (t – 1) años nos da un monto de Ac (1 + r)t-1
La última anualidad impuesta durante el último año es Aa. La suma de los montos producidos por las anualidades equivalen al capital prestado más los intereses producidos,
La última anualidad Ac, durante 1 año,
124
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA ; con lo cual se
t
BINOMIO DE NEWTON
C(1+r)t = Aa (1+r)t – 1 + Aa (1+r)t – 2... + Aa
Factorizando “Aa” en el 2do. Miembro:
Factorial de un número natural.- Es el producto de todos los números enteros positivos y consecutivos desde el número 1 hasta n inclusive; su notación es:
C (1+r)t = A (1 r)t - 1 (1 r)t - 2 ... 1 a Por cocientes notables (reconstrucción)
t -1
C (1+r)t = A (1 r) a (1 r ) 1
n ! ó n ; se lee “factorial del número “n”
Por consiguiente: La anualidad de amortización “Aa” para pagar el capital prestado “C” está formulado por: C. r(1 r) t (1 r ) t 1
3
c)
4 = 4! = 1 x 2
x
4
x
5
x
6 = 720 = 6!
3= 6
x
3
x
x
x
4 = 24
x
2
x
3
x
....... x (n – 1) x n
Observemos que: =
No existe
5 2
=
No existe
- 3
=
-1 x 2 x 3 = -6
=
1x 2 x 3 x 4 x 5 60 1x 2
ar
-3
5 2
Jo
Reemplazando: (150 000) (0,04) (1 0,04)15 Aa (1 0,04)15 - 1
Aa
2
n!= n =1
C
4 = 0,04 100
3 = 3!=1x 2
En general:
sé
r=
b)
x
lo
Ejemplo: Se acordó la compra de un terreno en 150 000 soles, cuya cantidad se tomó a préstamos al 4% amortizable en 15 años. ¿Qué cantidad fija se debe imponer a final de cada año para cancelar el préstamo más sus intereses? Dato: (1,04)15 = 1,8 Solución: Del anunciado tenemos que: C = 150 000 soles R = 4%
6 = 1
ur
a
a)
sT
A
Así tenemos:
po
es decir: C (1 + r) tendría la ecuación:
PROPIEDADES 1. El factorial de un número se puede
(150 000) (0,04) ( 1,04)15 (1 ,04)15 - 1
descomponer
como
el
producto
del
factorial de un número menor, multiplicado
Aa = 13491,2 soles
por todos los consecutivos
hasta el
número de consideración, es decir 12 = 9 26 = 16
x
10 x 11 x 2
x
17
x
18 ............ x 25 x 26
En general: n = n – k (n – k + 1) (n – k + 2) ..... (n –1) n
125
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA 3. Si el factorial de un número “n” es igual a uno, entonces el valor de “n” puede ser cero o la unidad
donde : k n 5
x
18
6
x
17
Simplificar : E
n = 1
n =0n=1
Solución:
Descomponiendo los factoriales: 5 x 17 x 18
Ejemplo: Hallar “n”, si: (n – 2) ! = 1 Solución: i) n – 2 = 0 n = 2 (n – 2) ! = 1 ii) n – 2 = 1 n = 3
18
E
5 x 6 x 17
6
E=3
Rpta.
C.S. = 2 ; 3
2. Si el factorial del número A es igual al factorial del número B, entonces A y B son iguales, es decir: B A=B
po
1. ¿Qué valor de n” verifica la siguiente igualdad: 1024 n – 1 [1 x 3 x 5 ... x (2n – 3)] = 2 (n – 1)
ur
=
EJERCICIOS
(A 0 B 0)
Solución: Dado que: 1 x 3 x 5 ... x (2n –3) =
ar
lo
Ejemplo:Calcular los valores de “n” Si: ( n )2 - 8 n + 12 = 0
sT
A
n -2 )
=
1x 2x3 x 4 x5... x( 2n 3)( 2n 2) 2x 4 x 6 x....... x( 2n 2) 2n 2
1 x 3 x 5 ... x (2 n –3) =
( n -6) =0
sé
(
C
Solución: Factorizando; tendríamos:
igualando cada factor a cero:
a) n = 6 = 3
n=2
2n 2
1024 n–1
n=3
C.S. = 2, 3 Rpta.
=1
Dado que;
n
; Demostración : = n–1
para : n = 1 1 =
0!= 0
0
x
2 n1 n 1
= 2n - 2
2. Si se cumple la relación: 1 1 + 2 2 + 3 + 3 + ... + n n = 2069
n
x
x
cancelando los factores comunes obtenemos: 2n – 1 = 1024 2n-1 = 210 n – 1 = 10 n = 11 Rpta.
Observación: El factorial de cero es igual a la unidad, es decir: 0!= 0
2 n1 n 1
la igualdad se transforma en:
Jo
a) n = 2 = 2
Rpta.
1
Hallar el valor de n.
=1
126
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Solución
Cada coeficiente de los términos el primer miembro, se puede expresar de la siguiente forma: (2–1) 1 + (3-1) 2 + (4-1) 3 + ...... ............+ (n+1 –1) n = 5039
Vkn
de donde el operar, obtenemos: 2 - 1 + 3
-
2+ 4 -
......... + (n +1 -
3 + .......
- 1 + n + 1 = 5039
V23
(n) (n 1) (n 2)........ (n - k 1) k factores
3
3-2
7
1x2x3
6
1
1
Combinaciones.- Combinatoria de “n” elementos, tomados en grupo de “k” en “k” son los diferentes grupos que se forman, en el cual participando “k” elementos en cada grupo estos se diferencian al menos por un elemento, matemáticamente :
ur
Rpta.
ANÁLISIS COMBINATORIO
C
ar
lo
Permutaciones.- Permutaciones de “n” elementos tomados en grupos de “n” son los diferentes grupos que se forman en el cual participando “n” elementos en cada grupo, estos se diferencian por el orden de colocación; matemáticamente:
sT
n=6
3
po
n + 1 = 5040
nk
b, c V a, ab, ac, ba, bc, ca, cb 2
tendría:
n+1=7
Ejm: Variar “a”, “b” y “c” de 2 en 2.
n = 5039
al cancelar, los términos semejantes, se
n +1 =
n
Vkn
Cn k
n k
sé
Pn = n ! = n
Ejemplo: Permutar “a”, “b” y “c”
Jo
Solución:
C nk
La permutación de “a , b” y “c” es:
;k n
n-k
n (n - 1) (n - 2) ....... (n - k 1) 1 x 2 x 3 x .......... .. x k
Ejm.: Combinar, “a”, “b” y “c” de 2 en 2
Pabc = abc; acb; bac; bca; cab; cba
Solución
P3 = 3 ! = 6 grupos; en cada grupo hay
C2a,b,c ab, ac, bc
3 elementos, que se diferencian por el orden de colocación.
3 C 32
Variaciones.- Variaciones de “n” elementos tomados en grupos de “k” en “k” son los diferentes grupos que se forman en el cual participando “k” elementos en cada grupo estos se diferencian al menos por un elemento o por el orden de colocación; matemáticamente:
1x2x3
2
1
1x2x1
C3 3; grupos en el cual un grupo es 2
diferente del colocación.
127
otro
por
el
orden
de
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Propiedades: 1)
n Cn k Cn- k
2)
n n 1 Cn k Ck -1 Ck
3)
1 n n 1 Cn k 1 k 1 Ck
4)
-1 Cn k -1
5)
Cm a
k n
4.
5.
Cn k mn
Cn b
a b
6.
mn n Cm a Cb
a b mn
po
7.
ur
n Cn 0 C1 n
BINOMIO DE NEWTON
(a+b)n = an + nan-1 b + +
n(n 1) n-2 a b²+ 1x 2
n(n 1)(n 2) n-3 3 a b + .........+bn 1x 2 x 3
C
ar
lo
Es una fórmula que nos permite encontrar el desarrollo de un binomio elevado a cualquier exponente. Deducción del binomio para exponente entero y positivo.
sT
6)
en forma descendente y ascendente con respecto a “a” y “b”. Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos en el desarrollo son iguales. En el desarrollo, cada coeficiente es igual al coeficiente anterior multiplicado por el exponente de “a” y dividido entre el exponente de “b” más uno. La suma de los coeficientes del desarrollo es igual al número 2 elevado al exponente del binomio. Si en el binomio, su signo central es negativo, los signos en el desarrollo, son alternados. De acuerdo a estas observaciones tendríamos la siguiente forma genérica.
Coeficientes Binomiales.- Son los coeficientes de los términos del desarrollo de (a+b)n, donde n puede ser entero, fraccionario, positivo y/o negativo.
sé
1. (a+b)1 = a+b
Jo
2. (a+b)² = a² + 2ab +b²
3. (a+b)3 = a3 +3a²b+3ab²+b3 4. (a+b)4 = a4 + 4a3b +6a²b²+4ab3+b4 De estos desarrollos observamos : 1. El desarrollo es un polinomio homogéneo, cuyo grado es igual al exponente del binomio. 2. El número de términos que tiene el desarrollo es igual al exponente del binomio más uno. 3. Los exponentes en el desarrollo varían consecutivamente desde el exponente del binomio hasta el expediente cero
128
i.
En el binomio de newton si n es entero y positivo, su coeficiente binomial es: C nk
ii.
n (n 1) (n - 2) ..........(n - k 1) k!
Si n es fraccionario, su coeficiente binomial es :
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA n n (n 1) (n 2) ......... (n k 1) k! k
Solución:
De acuerdo a esto, se tendría.
a = x2 b = -y3 n = 26 k+1 = 25 k = 24
Datos :
(a+b)n = cn0 an + cn , an – 1 b + ..... cnn nb TRIANGULO DE PASCAL
Reemplazando en la fórmula: Es un triángulo en el cual, un coeficiente cualquiera es igual a la suma de los dos que van sobre el en la línea anterior. Es práctico cuando los exponentes del binomio son pequeños. Ejemplos : Para hallar los coeficientes de (a+b)6; su triángulo de Pascal sería:
Grado absoluto = G.A. = 76 Rpta.
1
1 2 2 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
sé
C
FORMULA PARA DETERMINAR UN TÉRMINO CUALQUIERA DEL DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON
EJERCICIOS
1. Determinar “k” en el binomio 36 (x+1) , si los términos de lugares (k – 4) y k2 son iguales en sus coeficientes. Rpta. K = 6 2.
Jo
Dado el binomio:
Cuántos términos racionales hay en el desarrollo del binomio.
(a + b)n = c no an + c 1n an-1 b + …. + C nn bn
5 xy
Tn+1 t1
24
po
1 1
(y3 )
ur
= = = = = = =
26 24
4 72 T25 C26 24 x y
sT
b)0 b)1 b)2 b)3 b)4 b)5 b)6
2 T24 1 C26 24 ( x )
lo
+ + + + + + +
; 0 k 26
Obtenemos:
ar
(a (a (a (a (a (a (a
Tk 1 C n (a) nk (b)K k
t2
1 xy
50
TK+1 en su desarrollo vemos que:
Rpta. = 6
Tk 1 C n (a) nk (b)K k
3.
Simplificar: 100
Ejm. # 1.- Hallar el G.A. del T25 en el desarrollo de (x2 – y3)26
S
C5
95
85
C 80 C 5
100
100
C100 C15
4. Hallar el G.A. del término central en el desarrollo del binomio: (x3 + y4)22
129
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA
RACIONALIZACION FORMAS INDETERMINADAS RADICACIÓN II. Raíz de una multiplicación de varios factores
a b (b)
n
III.
n a b
a
5
- 32 - 2 (- 2)5 - 32
- 16 4 i ( 4 i ) 2 1612 - 16
Jo
d)
C
c)
sé
125 5 ( 5 )3 125
Nota.- i; en la unidad de los números imaginarios, tal que: Signos de las raíces: par = (Real) a) par
c)
impar
-
= (Imaginario) = + (Real)
impar
- = - (Real) d) Debemos tener en cuenta las siguientes propiedades en cuanto a radicación: I. Raíz de una potencia n
a
m
a
a mn a
Para extraer la raíz cuadrada de un polinomio, su máximo exponente (grado) debe ser par y se aplica las siguientes reglas: 1º.- Se ordena y completa el polinomio respecto a una letra – ordenatriz, luego se agrupan los términos de “dos en dos” comenzando por la última cifra. 2º.-
i - 1 i2 - 1
b)
b0
b
RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
ar
Ejm.: a) 4 81 3 ( 3) 4 81 3
a
sT
Raíz
Radicando o cantidad el subradical
b)
n
lo
a b
n
m n
Signo radical
n
IV. Raíz de raíz
Elemento de la radicación:
Índice
Raíz de una división
ur
n
abc n a n b n c
n
po
Definición.- Es la operación inversa a la potenciación que consiste en hallar una cantidad algebraica “b” llamada raíz de forma que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad “a” llamado radicando o cantidad subradical. Matemáticamente:
3º.-
m n
130
Se halla la raíz cuadrada del primer término y obtenemos el primer término de la raíz cuadrada del polinomio. Esta raíz se eleva al cuadrado, se cambia de signo y se suma al polinomio dado, eliminando así la primera columna. Se bajan los dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raíz y se divide el primer término de los bajados entre el duplo del primer término de la raíz. El cociente obtenido es el seguido término de la raíz.
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Este segundo término de la raíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer término de la raíz formándose un binomio; el binomio formado lo multiplicamos por el segundo término con signo cambiado, el producto se suma a los dos términos que se habían bajado.
Solución:
Hallar la raíz cuadrada de los siguientes polinomios: a) P (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 b) P (x) = 2x6 - 3x5 + 4x3 - 6x + 1 c) P (x) = 2x8 - x7 + 6x6 - x4 – x2 - 2 d) P (x) = 2x4 - x3 - 3x2 + 6x – 3 e) P (x) = x10 + 2x5 + x2 + 2x + 1
po
ur
RADICALES DOBLES
Las radicales dobles son expresiones algebraicas que adoptan la siguiente forma:
32 2
b)
5 - 24
c)
7 - 2 10
d)
14 - 132
ar
a)
C
sé
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A RADICALES SIMPLES
resto es siempre menor que la raíz y su máximo grado, que el grado de la raíz por (n – 1)
Las radicales dobles se pueden descomponer en la suma o diferencia de dos radicales simples. Deducción de la fórmula. Sabemos que:
Jo
El grado del el grado de uno menos multiplicada
Rº = (n – 1) rº - 1
A B
Rº - 2º
Distribuyendo en términos tendríamos: x 4 - 4x 3 6x 2 - 4x 1
-x4 0 -4 x3 + 6x2 4 x3 - 4x2
x
y .......... ...... ( )
De aquí obtenemos el sistema cuyas incógnitas son “x” e “y”
En nuestro caso: Rº = (2 – 1) 3º - 1
B
Ejemplos:
Pº 4 : Grado de la raíz = =2 n 2
Rº : Grado del resto
A
lo
En este problema tenemos como datos: Pº : Grado de polinomio = 4 n : Índice de la raíz =2 rº :
EJERCICIOS
Se baja el siguiente grupo y se repite el paso 3 y se continua el procedimiento hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor que el grado de la raíz o un polinomio de resto nulo.
Ejm.: Hallar la raíz cuadrada del polinomio P (x) = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1
2x2 2x2 = 1 (2x2 – 4x + 1) (-1)
P (x) x 4 - 4x 3 6x 2 - 4 x 1 x 2 - 2 x 1
sT
4º.-
2x2 – 4x + 1 -2x2 + 4x - 1 0 Vemos que:
x2 – 2 x + 1 (x2) (-x2) = -x4 2x2 -4x3 2x2 = -2x (2x2 – 2x) (2x)
x
y
A B ................. (1)
x -
y
A- B
................. (2)
Resolviendo el sistema: i) Cálculo de “x” : x
131
A B A- B ; 2
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA elevando al cuadrado x
haciendo : C = x
ii)
FORMA PRACTICA
A A2 - B 2
Si el radical doble se puede expresar en
A2 - B
la forma: A 2 B ; su transformación a radicales simples se obtiene por inspección:
AC ......................... (3) 2
Cálculo de “y”
A2 B
A B A- B ; 2
y
A - A2 - B 2 A-C y ......................... (4) 2 y
po
Ejemplo # 2: Descomponer en radicales simples:
Sustituyendo los valores de “x” e “y” en ... (1) y ... (2), obtenemos las fórmulas de transformación de radicales dobles en radicales simples; sintetizando:
y
ur
sT
A-C 2
A2 – B es un
C
Ejemplo # 1: Descomponer en radicales simples:
E
03.- Hallar la raíz cuadrada de: S 5 x 4 2 6 x 2 11 x 3
........... ()
04. Qué radical doble dio origen a los radicales simples
Calculo de C:
5x 3 -
C A 2 - B 15 2 - 224
15 1 2
E=
15 1 2
3x 2
Transformación en radicales simples para radicales de la forma
225 - 224 1
luego en ..... (1) E
EJERCICIOS
1 2 1 2 1 ....... 2 1 2 3 2 2
B = 224
15 C 2
3
02.- Hallar el valor de:
A = 15
15 C 2
7 -
- 7- 2 6
Pasando 2 al radical interno (pasa como 4)
E 15 22 4
10 - 2 21
S 12 140 - 8 28 11 - 2 30 -
Jo
Solución:
R
01.- Calcular el valor de:
sé
E 15 2 56
10 - 2 21
Solución Buscamos dos números “r1” y “r2” cuya suma sea 10 y producto sea 21. Estos números son 7 y 3, es decir r1 = 7 y r2 = 3, con lo cual se tendría:
ar
Donde: C = A 2 - B cuadrado perfecto.
R
lo
AC 2
r2
en esta transformación debe tenerse en cuenta que: 1º.- r1 r2 2º.- r1 + r2 = A 3º.- r1 . r2 = B
elevando al cuadrado
A B
r1
A B C D ....................... (I)
8
A B C D ....................... (II)
7
15 2 56 2 2 7
Solución: Si (I) y (II) se puede expresar en las formas:
Rpta.
132
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Solución Expresando bajo el radical cúbico, se tendría:
A 2 xy 2 x z 2 y z A 2 xy 2 x z 2 y z
S 10 6 3 10 108 = x y 3
donde: A = x + y + z entonces se tendría que: A B C D
x y z
A B C D
x- y- z
A = 10 y B = 108 C = 10 2 108 C = -2 Reemplazando en: A = 4x3 – 3x c 10 = 4x3 – 3x (-2) Tenemos la ecuación: 2x3 + 3x – 5 = 0: por inspección vemos que x = 1 Luego en : y = x2 – c y = 1 – (-2) y=3
Ejemplo # 1: Expresar en radicales simples: Solución: Como:
60 84 140
60 84 140
= 4 x 15 = 4 x 21 = 4 x 35
S 15 2 15 2 21 2 35
ur
donde: 3 + 5 + 7 = 15, entonces la transformación a radicales simples es:
C
ar
Descomposición en radicales simples para radicales de la forma A B
CASOS QUE SE PRESENTAN
3
A- B = x -
I.
y ............. (1)
Jo
A B = x +
sé
La transformación se puede expresar en las formas: 3
y
............. (2)
Cuando el denominador irracional es un monomio. f
Para determinar “x” e “y” utilizamos las relaciones
N m
;
an
mn
En este caso el factor racionalizante multiplica al numerador y denominador y esta dado por:
C = 3 A 2 - B ................... () A = 4x3 – 3x C
Es la operación que consiste en transformar una expresión algebraica irracional en otra parcialmente racional. Fracción irracional.- Se llama así a una fracción, cuando el denominador necesariamente es irracional. Factor racionalizante.Es una expresión irracional que multiplicado por la parte irracional de la fracción irracional la transforma en racional.
lo
3 5 7 Rpta.
3
3
sT
S 15 2 3(5) 2 3(7) 2 5(7)
140 =
10 6 3 1
RACIONALIZACIÓN
ó también:
S 15 60 84
3
po
S 15
3
.............. (ß)
fr =
m
a m n
m
am n
Entonces:
y = x2 – C ................ () C, se obtiene directamente en () y se reemplaza en (ß) En (ß) se forma la ecuación cúbica en “x”, la cual se resuelve por tanteos, luego el valor de “x” se reemplaza en () y se obtiene el valor de “y”. Ejemplo: Hablar la raíz cúbica de: 10 + 6 3
f
f f
133
N m
m n
a
am n
N m am n m
an m n
N m am n a
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA Ejemplo: Racionalizar: F=
R
5 a b3 c 2
8
a5 b3 c 2 5
F=
8
a5 b3 c 2
8
a5 b3 c 2
5
3
F3
a 3b
N 3
3 a 2 3 ab b 2
En este caso los factores racionalizantes son:
po
f1 = 3 a 2 3 ab 3 b 2 f2 = 3 a 3 b Debe tenerse en cuenta que:
N a b N
ur
F2
3
F2 =
Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, de las siguientes formas: F1
N
F1 =
2
a b c abc
3
3
(3 a 3 b ) ( a 2 3 ab b 2 ) a b
a b N
Ejemplo: Racionalizar:
a b c
1
f
3.
ar
lo
En este caso los factores racionalizantes respectivos son: f1 =
b
b)( a
1 f 3 2 1
f=
b)=a–b
Jo
( a
f=
Ejm. Racionalizar R
IV.
4 1 2 3
Solución: Multiplicando por el factor racionalizante: 4 R 1 2 3
R
3 22 3 2 3 2 3 2 2 4
4
3
1 1
1
2
(3 2 ) 3 1 3
4
3
Rpta.
2 1
Cuando el denominador es un binomio o polinomio de las formas:
a)
n
a nb
n n-1 n a a n- 2 b .......... b) Debemos recordar:
1 2 - 3 1 2 - 3
1)
obtenemos: R
2 1
Solución Multiplicando por el factor racionalizante el numerador y denominador, se tendría:
sé
f3 = ( a b ) c Recordemos que:
C
a b
f2 = a
2
es un binomio o trinomio con radicales cúbicos de las siguientes formas:
sT
II.
8
2
R = 2 2 - 6 Rpta. III. Cuando el denominador irracional
fr = 8 a3 b5 c 6 con lo cual: 5
2 2
8 5
Solución: El factor racionalizante es:
F=
4 ( 1 2 - 3 )
4 ( 1 2 - 3 )
(n
(1 2 ) 2 - ( 3 ) 2
n
b n-1
Para todo valor de n : a
n
n
b ) ( a n-1
n
n a n-2 b ...... b n-1 ) a - b
2) Para n impar:
4 ( 1 2 - 3 )
n
(n a n b ) ( a n-1
2 2
n
n a n-2 b ...... b n-1 ) a b
n
n a n-2 b ...... - b n-1 ) a - b
3) Para n par: n
(n a n b ) ( a n-1
Racionalizando nuevamente:
134
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA es
el
factor Dada
1 5
2 1
Lim P(x) 0 . x a Q(x) 0
Solución Multiplicando el numerador, denominador por el factor racionalizante, obtenemos: 1 F 5 2 1
F=
5
16 5 8 5 4 5 2 1
1.
FORMAS DETERMINADAS E INDETERMINADAS
2.
Si en una fracción el numerador y denominador, o ambos se hacen cero o infinito, se obtienen las siguientes formas determinadas.
3.
Lim a
5) a
x 0 a
6) a
x0 Lim
lo
5.
ar
a0
Lim
x a
a x a 0 x
a x
x0
Jo
3)
Lim
4) a
C
2)
a
Lim
4.
sé
1)
a 0 x
a x
a0
fracción
Ejemplo # 1.- Hallar de: 4x -5 x E x -3 x
x =1 ó
el verdadero valor
15 x 2 Lim E x 1
Solución:
; se lee: Límite de la
0 (Ind.) 0 Para determinar su verdadero valor, levantamos la indeterminación. 1º.- mcm (4, 5, 15, 2, 3) = 60 (índices) Lim 60 x 15 60 x 12 60 x 8 E x 1 60 x 30 60 x 20 Cuando x 1 E =
a cuando “x” tiende a cero es x
igual a infinito (). Formas Indeterminadas.Son aquellas expresiones que adoptan las formas: 0 ; 0
Esto nos indica que el
Factorización por aspa simple: Si P (x) y Q(x) son expresiones racionales de segundo grado. Regla se Ruffini: Si P(x) y Q(x) son expresiones racionales de grado mayor o igual que tres. Cocientes notables: Si P(x) y Q(x) son expresiones racionales binomias. Racionalización Si P(x) y Q(x) son expresiones irracionales. Derivación (Regla de L’Hospital) Se deriva P(x) y Q(x) en forma independiente.
cuando
Nota.- La expresión: Lim
que
sT
a 0 a 0 ; ; ; ; ; 0 a a 0
Lim
tal
numerados y denominador de la fracción contienen el factor (x – a) que causa la indeterminación. Para encontrar el factor (x –a) podemos aplicar cualquiera de los siguientes criterios, según convengan:
5 2 4 5 23 5 22 5 2 1 5 4 5 3 5 2 5 2 2 2 2 1
matemáticamente se expresan de la siguiente forma:
P(x) ; Q(x)
fracción
po
Ejm.: Racionalizar F =
la
ur
Uno de los factores racionalizante del otro.
0 ; - ; 0 x ; 1 ; 0
Haciendo el cambio de variable: 60 x = t x = t60 : x 1 t 1; se tendría:
Verdadero valor.Es el valor que toma la forma indeterminada después de levantar la indeterminación:
E
0 FORMA INDETERMINADA: 0
135
Lim
( t 15 - t 12 ) t 8
x 1
t 30 - t 20
José Carlos Turpo
ÁLGEBRA E
7 5 ) lim x x4 E 3 1 8 x 4 x (4 ) 2 x x x4 Cuando : x 5 E 4
t 20 ( t 3 - 1)
Lim
x 4 (5
x 1 t 20 ( t 10 1 )
Cuando t = 1 0 E= (Indeterminado) 0 Por cocientes notables:
E
2
Lim ( t 1) (t t 1) t 1 (t - 1) (t 9 t 8 t 7 ........ t 1)
FORMA INDETERMINADA: -
Debemos considerar dos casos: 1º.- Si E(x) es una expresión algebraica irracional que toma la forma de ( - ) cuando x tiende al infinito (). E(x) se multiplica y divide por su factor
Cuando t = 1
E
12 1 1 9
8
7
1 1 1 ..... 1 1
E
Rpta.
3 10
.
racionalizante y se lleva a la forma
E
Lim ( 4 x 5 x ) 15 x 2 3 x 1 10 x 3 x 2º.-
E Lim x
ar
C
sé
Lim
P(x) x Q(x)
E
3º.- Si : Pº (x) Qº (x) Lim
P(x) 0 x Q(x)
Ejemplo.- calcular
E
lim
2
bx x ax 2 cx b
Lim
ax 2 bx c ax 2 cx `b
x
ax 2 bx c ax 2 cx b (b c )x (b c )
Lim x
ax 2 bx c ax 2 cx b Cuando: x E = (Ind.) Factorizando “x” en el numerador denominador: b c x b c Lim x E x a c b c b x a x x2 x x 2
2º.- Si : Pº (x) = Qº (x) Lim P(x) Coef Max. Potencia x Q(x) Coef Max. Potencia
ax
Solución: Cuando x E = - (Ind.) Para levantar la indeterminación multiplicación el numerador y denominador que vale 1 por factor racionalizante, obtenido:
E
Jo
1º.- Si : Pº (x) Qº (x)
xa
Ejemplo.- calcular
lo
Lim
sT
P (x) (Ind.) x Q (x) Para levantar la indeterminación factorizamos en el numerador y denominador “x” al máximo exponente; después de simplificar, calculamos el límite cuando “x” tiende al infinito. En forma práctica debemos considerar los siguientes aspectos, respecto a los grados absolutos de P8x) y Q(x).
Desde que
ur
FORMA INDETERMINADA:
Luego de aquí podemos aplicar cualquiera de las reglas prácticas vistas anteriormente. Si E(x) es racional y toma la forma indeterminada ( - ) cuando xa Para levantar la indeterminación se efectúa las operaciones indicadas y después de simplificar hallamos Lim E(x)
po
5 x 4 7x 3 - 5
x 4x 4 3x 3 x 2 - 8 Solución:
y
Cuando: x E
Tomando el límite (x ) - 5 E (Ind.) -8
bc a a
bc 2 a
racionalizando, Lim x
Levantando la indeterminación, factorizando x con su mayor exponente.
136
E
obtenemos (b c ) a 2 a
el
límite
Rpta.
José Carlos Turpo
1.
5.
Efectuar: 31
E 27
36
A) 3 D) 1
B) 6 E) 0
21
4 3
1
22
Para n ; n 2 el equivalente de la expresión n² n a a² a³...a será:
C) 2
A) a
2.
0,2
6.
a a³ a ...a
n
n 3
C) 0
a
Efectuar: 48 factores 3
A
2 3
B)
A) x6 D) x7
ar
C) 4
1 9
B) 22 E) 25
8.
1
42
Jo
0,5
1 16
x... x
B) x9 E) x7
sT 7.
B) 6 E) 5
Efectuar:
A) 21 D) 24
20 ,6
sé C
A) 8 D) 2
2
lo
0, 125 3
1 625
x
x...3 x
x 3 ; x 0 x 1
44 factores
E) 1
3
3
x
x
C) 2
Calcule:
E
3
po
D) 3
3 2
x
ur
A)
4.
E)
2n1
Simplificar: 2 5 4 E 27 3 27 3 2 3
3.
n
B) a²
a
D)
n
5
1
0,250,5
x
Efectuar:
A) 2 D) 5
C) x4
20x 1 4x 2 22x 2 B) 3 E) 6
C) 4
Si:
a2 b2 P 1 1 a b
1
a1 b1 y Q 2 b2 a
1
Halle P . Q, siendo b > a > 0
C) 23
1 ba ab
A) C)
a b
E)
B) D)
2
1 ab ab
a b
2
1
b a
2
RESOLUCIÓN P
137
ab 1 y Q ba ab b a
José Carlos Turpo
1 ab b a
9.
b a
Simplificar:
M
1 2
RPTA.: E
14a 14b
D)
; si: a + b = ab
2b 14a 2 a 14b
A) 14a+b
14 2
B) 14
C) 7
ab
E) 7a+b
RESOLUCIÓN M
14a 14b
2 14a1 14b 1
14a 14b
2
141 14a 14b
1 1 7 M 7
po
M
a
Reducir:
1 1 a b
1
a b
sé C
ar
lo
RPTA.: C
Si: a+b = 2ab ; {a;b}
sT
10.
x y
A) D)
Jo
PQ
ab ba
ur
PQ
x
y
b
2b
y x
B)
y x
x
-{0;1}
2a
1
y
C)
a b
x y
E) 1
RESOLUCIÓN 1 1 a b
1 1 a b
1 a
x y x1 y1 1 1 b
x
1
y
1 b
1 b
x y
1 1 b
(*) a + b = 2ab
138
1 1 2 1 b
1 1 2 a b
José Carlos Turpo
1 1 2 1 2 2 1 a b b b 1
x 2 y
2
1 1 E 2 2
RPTA.: A
x y
13.
RPTA.: A
11.
x
Resolver
1 x
1
x
3
21 2 x
1
5
A) 27
el valor de: x
1 5
D)
D) C)
B) 5 E)
5
1 5
x
1 B) 4
D) 4
E) 5
x 2
al
x 2
x2
1 2
C) 2
cuadrado
E x
21 2 3 x
23 x
n 21
21 n 21
n 21
n
2 3 x n 21.............() () en (): n
2 3 n n n 21
el dato
2 3 n n 21
2x
4x
x
2
2 x
4x
2 xx 4x2
27
33
x 93
RPTA.: C
4x
x
Solo se verifica para: n = 27
1
x
E x
x
20
3
22 x 2 2
Luego: E x x
3
2 x
RESOLUCIÓN Elevando m. a.m.
3
9
ur
1 A) 2
2 x 1
lo
4x
sT
2 Ex
E)
C)
Luego:
ar
Calcule:
9
xx n xn n x n n.......()
sé C
Si: x
21
3
x
xx
Trabajando con cada miembro.
Jo
12.
3
B)
21 2 3 x
RESOLUCIÓN
1 5
x2
21 2 3 x
5 e indicar
1
A)
Calcule “x” en:
po
x
1 2
4x
Ex
RESOLUCIÓN 1 4 2
30
x27 60 x 51
60
x54 60 x 51
E = x²
4
60
x105
x7 7
x4
RPTA.: E
139
José Carlos Turpo
14.
2x 5 0
Si: 52x = 2(10x) 4x x 2
E
Calcule: A) 236 D) 128
1
x 2
B) 256 E) 0
x
x4
C) 512
16.
5 2 x
x
5
x
2
2 5x 2 x 0
po
Multiplicando por “ab”.
1 2
2
1 16
a² (x a) + b² (x + b) = ab x
4
1 E 16
(a² + ab + b²)x = a³ b³
ar
RPTA.: B
Resolver:
sé C
15.
a²x a³ + b²x + b³ = ab x
2
lo
E = 16² = 256
ur
E
1 3 2 2 3 1 0 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
2 5
Jo
3 2 5 D) 2 A)
C) {b}
sT
2
b0
RESOLUCIÓN
Reemplazando:
E
Halle el conjunto de solución de la ecuación en “x”.
A) B) {a} D) {a + b} E) {a b}
2x 0 5x 2x
x=0
1
RPTA.: D
a b x a x b x ; a 0 ; b a
RESOLUCIÓN 2
5 2
B)
C)
2 3
17.
(a²+ab+b²)x = (ab)(a²ab+b²) x=ab Cs = {a b}
RPTA.: E
Resolver en “x”; {a; b; c; d} R+ d ax d bx d cx d 4x bc ac ab abc
A) 1
E) 4,5
C)
B) d
d abc
D)
a 2b 3c d
E)
RESOLUCIÓN 1 3 2 1 3 3 x x 1 x 3 x 5 x 1 x 4
RESOLUCIÓN
2 2x 5 3 2x 5 2x 5 2 2 2 x 5x x 5x 6 x 5x 4 1 2 3 2 2 2x 5 2 0 x 5x x 5x 6 x 5x 4 0
140
d ax d bx d cx x x x bc ac ab d x0 abc
José Carlos Turpo
d ax bx cx d bx ax cx bc ac
d cx ax bx d ax bx cx 0 ab abc 1 1 1 1 d a b c x 0 b c a c a b a b c
2 3
b
ab
5 6
a
9 3 6 2
RPTA.: B
0
d = (a + b + c) x
RPTA.: C
C)
Recordando que:
a=0
x
2
4
C) 3 2
E) 7 5
RESOLUCIÓN 1
x 3 2 5
1
1 0
1 2 3 5 3 5
1
2 5
0 2 3 1
0
a 1 1 1 b 4 1 x b 2 2 0
a 5 b 4
3
6
D) 5 3
2 3
a 1 x 1 x x20 b b 4 2
x 5
B) 25
x 5
b=0
a 1 1 b 4
2 3
5 2
2
A) 22
3 5
infinitas
Jo
ax + b = 0 tiene soluciones, si y solo si:
3
x 2
sé C
RESOLUCIÓN
x 5
2 5
po
ar
E) 1
2 3
x 3
sT
3 2
lo
B)
D) 3
x
x 3
admite
infinitas soluciones.
luego indique el valor de:
ur
ax 1 x 2 x2 b 4
1 4
2
3 5
Calcule a + b sabiendo que la ecuación en “x”
A)
Resolver la ecuación
x
d x abc 18.
19.
x
2 3 5
Pero nos piden:
5
1 1 2 b 2
2
3
4
2
5 9 8
1 3 b 2
6
22
RPTA.: A
141
José Carlos Turpo
POLINOMIOS – V.N. - GRADOS 1.
M x
Sea el polinomio: P(X) = (xn1 + 2xn2 + n)n, si 2n veces su término independiente es igual a la suma de sus coeficientes, entonces “n” es: A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
4.
2 . n = (3 + n) 2n = 3 + n n = 3
x²
m
m
x³
A) 3 D) 7
xm
M X x
x
m1 2
m=9
3.
12 3....m
5
x
m
Jo
M x
sé C
RESOLUCIÓN m
El G.A. =
lo
C) 10
x
M x
A) 4 D) 8
3
m1 m 2
xn
2
B) 5 E) 9
4
2
C) 5
9a² 8ac 8bc ..... a b ² c²
de la condición: a b c k ab bc ac
a 1 abck ab 2
Lo reemplazamos en “” 9a² 8a² 8a² 25a² G.A. 5 4a² a² 5a²
RPTA.: B
x x
x2n3
B) 4 E) 8
Propiedad de proporciones: abc 1 2 a b c 2
Calcule “n” para que el monomio sea de 2º grado.
xn 2
2
x9a y8ac z8bc
RESOLUCIÓN
ar
B) 9 E) 12
ab 2 c2
transformable a una E.A.R.E.
RPTA.: C
se transforma a una expresión algebraica racional entera de 5to grado. A) 8 D) 11
RPTA.: A
a b c ab bc ac Halle el grado absoluto de:
ur
m
x10n 4 x 4n8
Si:
sT
x
2
M(x) = x6n 22 = x2 6n 22 = 2
E x;y;z
n
Calcule “m” si la expresión: m
2n 4
x4
po
n
M x
x
2
C) 3
T.I. = P(o) = nn coef = P(1) = (1 + 2 + n)n
2.
3n6 2n3
n=4
RESOLUCIÓN n
x
RPTA.: C 5.
4
2
Si: P(x+5) = x² 3x + 1 Calcule: E = P(8) + P(6) A) 0 D) 3
B) 1 E) 7
C) 2
C) 6
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
E = 3² 3(3) + 1 + 1 3 + 1 E=0
RPTA.: A
142
José Carlos Turpo
6.
A) 12 D) 11
Del siguiente polinomio
P(x; y) = 7xa+3yb2z6a+5xa+2yb3za+b
B) 7 E) 12
G.A. =
C) 8
46n = 552
G.A(P) = a+b+1
n = 12
RPTA.: A
RPTA.: E 9.
Sea P(x) un polinomio lineal tal que verifica la relación
ur A) 1 1 D) 2
Para todo valor de “x”. Halle P(4) C) 19
lo
ar
Sea P(x) = ax + b P(6X) = 6ax + b P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b
sé C
(a² 6a)x + ab = 9x + 21
a² 6a = 9 ab = 21
a=3
Jo
3b = 21 b=7 Entonces: P(x) = 3x + 7 P(4) = 3(4) + 7 = 19
Calcule “n”, si monomio es 6.
M x;y;z;w
4
el
G.A.
x2n4
3
z2n3
y2n
5
w16
5
x2
3
x
C) 2
x
2n
x²
6n
x
1 1 1 2 n 6n
1 1 1 4 2 n 6n
3n + 6 + 1 = 24n 7 = 21n n=
1 3
RPTA.: E
RPTA.: C
8.
M x M x x
Luego: a²x + ab + b 6ax b = 9x+21
(a3)² = 0
n
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
x
B) 3 1 E) 3
sT
B) 18 E) 33
Calcule “n” si el monomio es de 4to. grado M x
P P x P6X 9x 21
A) 17 D) 32
30n 60 + 40n + 60 24n 192 = 360
po
7.
2n 4 2n 3 2n 16 6 4 3 5 5
46n = 360 + 192
RESOLUCIÓN G. RX = a + 3 G. Ry = b 2 a + b = 12
C) 14
RESOLUCIÓN
en donde: G.Rx G.Ry = 3 G.A(P) = 13 Calcule: a + b A) 6 D) 11
B) 13 E) 10
10.
del
Si: P x
nx 1 x8
Además P(P(x)) es independiente de “x”. Calcule “n”
143
A) 1
B) 8
D) 8
E) 5
C)
1 8
José Carlos Turpo
n30
RESOLUCIÓN
P p x
n
2
1 x n 8
n=6
13.
8n
1
A) 1 D) 8
27x 52
Q x;y
B) 3 E) 13
ur
C) 5
RESOLUCIÓN Si: P(x; y) Q(x; y)
sT
C) 4
lo
B) 4 E) 1
m 2 = n + 5 m n = 7 ....() n² + 5 = m+4 n²m = 1 ...() + : n² n 6= 0 n = 3 n = 2
ar
RESOLUCIÓN
sé C
es lineal, entonces:
Luego: n=3 m = 10 n = 2 m = 5 menos: m + n = 3
P(x) es lineal. Luego P(x) = ax + b P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b
Jo
27x + 52 = a³ + a²b + ab + b
b=4 14.
P(x) = 3x + 4
P(1) = 3 + 4 = 1
RPTA.: E 12.
P x;y 5xm2yn²5
son semejantes. Calcule el menor valor de m + n.
Si: P P P x
a=3
Sabiendo que:
2xn5ym4
Calcule: P(1)
n=6
po
8n
1 1n= 8
RPTA.: C
RPTA.: C
64n² + 16n + 1 = 0
n=3
de "n" 9
n² 16n + 64
Como P P P x
7n 0
n 8 x 65
n² 1 n 8 65n² + 65 = n8 65
A) 1 D) 5
n3n=3 n7
como es independiente de “x” se cumple:
11.
n 3
RPTA.: B
Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1 Calcule: P(P(1)) + P(P(1)) A) 0 D) 729
B) 3 E) 730
C) 728
Halle la suma de los valores de “n” que hacen que la expresión: n
P x 2xn3 7 3 x
1 7n x 6 3
RESOLUCIÓN
sea
P(x)= (x+1)³ P(1)=0 P(P(1)) = 1 P(1) = (2)³ = 8 P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729 P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730
racional entera. A) 7 D) 12
B) 8 E) 13
C) 9
RPTA.: E
15.
Si el polinomio en “x” e “y”
RESOLUCIÓN
144
José Carlos Turpo
P(x, y) = 5xa + 3xbyc + 2xcyb + ya es homogéneo ordenado y completo respecto de “x” e “y”. Calcule: 2a + b + 3c
Halle: “n”, si: P(3) =
1 3
RESOLUCIÓN
D)
Por ser ordenado y completo: a = 3; b = 2 y c = 1 2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17
RESOLUCIÓN
B) 13 E) 18
C) 15
RPTA.: A
P x 7xn
8n
6x
5x2n2
es completo y ordenado; ascendente; de 4nn términos.
C) 6
17.
ar
sé C
Jo
lo
P x 7x 6x 5x² x³ ...x
m³m3
El número de términos es: m² m + 3 + 1 m² m + 4 = 4nn m² m + 4 = 16 m² m 12 = 0 m=4
2 1
7 8
RPTA.: E
Sea P(x) un polinomio P(x) = (3x 1)n+5x + 1; además la suma de coeficientes es 70. Calcule el valor de:
10 n
A) 6 D) 12
B) 5 E) 3
C) 4
RESOLUCIÓN
coef P 1 2
n
RPTA.: A
2n = 64 n = 6
RPTA.: C
b4ax7 bb y8 ab x7 aay8
C)
20.
1 1 y 2 3 1 D) 1 y 4 B)
1 1 y 2 4
E) 0 y 1
aa = bb b
b a ...
Dado el polinomio mónico P(x) = 5x4 7ax5 + (n2)x74x 1 Calcule el valor de: nn A) 1
B) 4
D) 25
E) 16
C) 27
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN a
5 1 70
10 6 4
Halle a y b en la identidad:
A) 1 y 3
2
1 1 2 2n 23 8 1 n 3
sT 19.
n=2
0
n
n
n
forma
Es ordenado en forma ascendente: n2n 8n = 0 Luego:
ur
B) 5 E) 8
en
RESOLUCIÓN
2 3
P(3) =
xn1 ... xm²m3
A) 4 D) 7
1 1 C) 2 2 1 E) 3 B)
Luego: n
n1
7 8
xn + 1 = 3 xn = 2 x =
Calcule “m” si el polinomio 2n
po
16.
Siendo: P(xn + 1) = x 1
A)
A) 17 D) 16
18.
ab = b4a b = 2a
1 1 b a= 4 2
Por ser mónico y de una variable “x” (coeficiente principal = 1) (n 2) = 1 n = 3 Luego nos piden: nn = 33 = 27
RPTA.: C
RPTA.: C
145
José Carlos Turpo
PRODUCTOS NOTABLES 2
Si
mn 0 m n 8 mp 0 m p
x y 3x y , halle y x
w=1
A) 16
B) 23
4.
Si:
D) 24
E) 16 1 / 2
x
C) 42
RPTA.: B
A) 16 1 D) 16
x y 3xyx y 3xyx y x y3 0 3
4
Si
8
ur
3
36 xyz
sT
x 6y
3
6
6
3
6
2
2
6
3
xyz
93 xyz x y z 2 4
3 9 xyz x y z W 24 16 93 xyz x y z 2 RPTA.: D
RPTA.: D
m n 8 m p 8 p m 0,
Halle W
6
xy xz yz
sé C
3.
1 3 7 343 322
Jo
= = = = =
3
6
z x 3 xy z y z x y z 3 xyz x y z 2 xy xy yz 9 6
ar
C) 343
lo
Si a a1 1 , halle W a12 a12
a² 2 + a2 a² + a2 a4 + a4 12 12 a + a + 3(7) a12 + a12
3
6
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
C) 18
x y z
x
B)306 E)196
B) 32 E) 8
RESOLUCIÓN
x x x y W xx xx 16
A)256 D)322
x 6 y 6 z 0, halle 4
x3 y3 3xyx y
x
6
93 xyz x y z , x, y, z R 0 W xy xz yz
RESOLUCIÓN
2.
pm 0 p m
8
4
x y W x y x 0, y 0 x y y
po
1.
8
2
5.
Si
x bca y c ab
m4n n2p 1 m4m p2n 1
z abc
m, np R
Halle:
A) mnp
B)1
C) mnp
D) m n p
W
E) 21
x2yz xy2z xyz2 b c ac a ba b ca b c A)
x y
C) 2y z
RESOLUCIÓN
146
B) b c a D)
1 abc
José Carlos Turpo
x y2 5xy x y4 25x2y2
E) 1
RESOLUCIÓN
xyz x y z W 1 xyz a b c
8.
RPTA.: E
Simplificar:
W
Simplificar:
32 2
n3
4
8
8
2 1
A) 343
B) 4 2
D) 8 2
E) 32
2 1
A) 0,5 D) 0,25
2 12 1 2 2
f
2 8 8
2 1
2 1 2 1
2
f2 2 f 2
2N 3
D
. . .
N
3
N 1 22 1 22 1 n
22
2
1
4
1 24 1
2
8
N 2 1 D 28
1
. . .
RPTA.: B
Jo
2256 1
Si xy 1 3 x1y, halle
N 32 2256 28
RPTA.: E
x y 4 3x2y2 W 2 2 4 x y A)11 D)4
B)7 E)8
22 22 28
W4 2 7.
1
8
sé C
W 2
5
22
2
sT
8
4
4
8 2 1
8
C)4
lo
2
4
B)2 E)1
D 2 12 1 22 1
ar
f
24 8 2
4
RESOLUCIÓN
C) 32 2
RESOLUCIÓN 2
2
po
4
8 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 ...n fact
5
4
1 3 22 1 24 1 28 1 ... 2128 1
ur
W
25x²y² 3x²y² 4x²y²
RPTA.:B
x+y+z=a+b+c
6.
w
9.
C)-6
RESOLUCIÓN
x y 3 y x x2 y2 3xy x2 2xy y2 5xy
147
1
2 7 3 2 7 1 3 3 3 3
Operar: W
3
A)1
B)2
D) 2 7
E) 2 3
C)3
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN W3 1
RESOLUCIÓN x z 1 a a y 1 a a x y z
2 7 2 7 28 W 1 33 1 27 3 3 3 3
a xa ya z a2 a x y z
1 W 23 W 27 W3 2 W W3 W 2 W 1 3
3
a3 a2 x y z axy xz yz xyz a3 a2 x y z
RPTA.: A 10.
Si ab
1
ac bc
Halle: W
1
1
axy xz yz xyz xy xz yz 1 xyz a 1 1 1 a1 z y x x1 y1 z1 a1
1 ,
a 1b 1c 1 , a 1b 1c 1
1 abc
12.
C)2
x
lo
RESOLUCIÓN
sé C
ar
1 1 1 1 ab ac bc
Jo
2
2
2
2
2 C) 211
x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x 4 1 ²...
x
1 ² 1 x2048 ² 2
x
1 ² 1 x2048 ² 2
x
1 ² 1 x2048 ² 2
x
1 ² 1 x2048 ² 2
W = x 4 1 ² x 4 1 ²... 1024
W = x8 1 ² x8 1 ².... 1024
W=
Halle: x 1 y 1 z1 , x, y, z 0
D) a
2
B) 0 E) 4096
1024
Si 1 a1xa y1 a1z a x y z ,
1
W = x² 1 ² x² 1 ² x 4 1 ²...
RPTA.:B
B) a
2
1 1 x2048
A)1 D)-2
1024
ab bc ac 1 W= 1 ab bc ac 1
A)a
1024
2
RESOLUCIÓN
W=
a b c abc 0
abc ac bc c ab a b 1 W 1 abc ac bc c ab a b 1
11.
W x 1 x 1 x2 1 x 4 1 ...
E) 21
a b c abc
Simplificar:
ur
D)
B)-1
sT
A)1
RPTA.: C
po
a, b, c 0
x
2048
1 ² x2048 1 ² 2
W = 2 1
C) a
RPTA.: D
E)1
148
José Carlos Turpo
Si n a b c 4ab bc ac 4
a
2
2
2
b c ab ac bc
y:
Halle:
E
a 2 b2 c2 8
Halle: A) 2 2 D)4
E)8
A) 4abc D)2
C)2
b 2 c 2 a2 c 2 a2b 2 2abc 2 2ab 2 c 2a2bc 0 b2c2 a2c2 a2b2 2abcc b a...()
n x 2y 4yx y 2
n x2 4xy 4y2 4xy 4y2
2
2
2
() β
2 2
b2 c
2
E) 16
C)
ar 1 4
Ε
3 4
2 2
2
4
4
a
2
a
a
2
4
b2 c 2
2
b2 c 2 2ab 2ac 2bc 2
a
4
4
2
sé C
1 16
4
b2 c 2
3
2
1
RPTA.: C
W n b n b 6b n2 b2 3
2
0
RESOLUCIÓN a+c=n
2
b2 c 2 2ab ac bc
Jo
D)
B)2
2 2
2
2
Operar: 3 3 2 W a b c a b c 6b a c b2 Si: b = 0,5 A)1
a b c a b c 2 2abcc b a a b c a b c 4abca b c
8 RPTA.: E
b2 c2 a4 b4 c4 2 a2b2 a2 c2 b2 c2 ...( )
ur
a
sT
a
Además:
lo
n a2 b2 c2
C)1
1 1 1 0 a b c bc ac ab2 02
a2 b2 c2 x ab bc ac y
n x²
B)4abc E)abc
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
14.
a b c4
n, a b c 2 B) 2
n
a4 b 4 c 4 4abca b c
po
13.
Si a1 b 1 c 1 0;a, b c 0,
15.
W n3 3n2b 3nb2 b3 n3 3n2b 3nb2 b3
16.
¿Cuál es el intervalo de valores de “”, de modo que la ecuación
2x 2 2(1) x 8 0,
tenga
raíces de distinto signo?
6bn2 6b3 W 8b 3 3
1 W 8 1 2
A)
1 , 2
C) ;2
RPTA.: A
E)
149
B) 2; D) 6;2
8;
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
2 1 x2 x 4 0 0 2
x2
ax2 2ax a bx b c 0
2
2 1 16 0 , como c<0, se 2
ax 2 2a bx a b c 0 2a b a b c x2 x 0 a a 2a b S a b b B A 2 2 a a RPTA.: A
presentan 2 posibilidades:
2 1 1 0 2 1 0 2 2 2 1 1 ii) b 0 0 2a 1 0 2 2 i) b 0
En este caso una respuesta seria 1 1 x ; ; 2 2
RPTA.:A
19.
po
ax 2 bx c 0 afirmamos:
Los valores de “x” que satisfacen la ecuación:
x 3 x 6
C)-9
ar
B)-7 E)7
sé C
RESOLUCIÓN
2x 13 x 3 2 x 3x 6 x 6
Jo
4 2 x2 9x 18 4 x 2 9x 18 0 x 2 9x 14 0 x 7x 2
x= -7No cumple
(-2)
satisface
S
la
Sea A la suma de las raíces de
ax 2 bx c 0 y B la suma de las raíces a
x 12 bx 1 c 0 , B)-1 E)2
b c bc 0 a a
(V)
II. x1 x 2 , pero x1 x 2
entonces B-A es: A)-2 D)1
b c ; P a a
I. x1 x 2 x1.x 2
RPTA.: D 18.
A) Las 3 afirmaciones son verdaderas. B) Solo I y II son verdaderas. C) Solo I y III son verdaderas. D) Solo II y III son verdaderas. E) Solo II es verdadera.
RESOLUCIÓN
x=-2 Si cumple Únicamente ecuación.
entonces 2b 2 9ac
lo
tiene la propiedad que su suma es: A)-14 D)-2
I. Si la suma de sus raíces es igual a su producto, entonces b+c=0. II. Si una raíz es la negativa de la otra, entonces b=0. III. Si una raíz es doble de la otra,
ur
2x 13
En la ecuación cuadrática:
sT
17.
b c b x 0S a a a
x2 x2 C)0
0
b a
b a
b a
0 b (V)
150
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN
b a b 2x 2 x 2 a b 3x 2 a
2 m1 3n 3 3n m2
III. x1 2x 2 x1 x 2
x2
x2
2
b 3a
2
39 9n 3 2 12n 39 9n 6 15 n 7
6n
c a
2x 22
c a
ur
2x2 x2
RPTA. C
ar
c ...........................(2) 2a
sT
c a
po
b2 ...........................(1) 9a2
Luego: x1.x 2
x 22
13 3n 6n 3 3 2
b 3a
lo
x22
2m 4 9 3n 6n 3m 3 13 3n m 2
sé C
De (1) y (2) b² c 9a² 2a 2b² = 9ac
20.
Jo
RPTA.: A
Si las ecuaciones cuadráticas:
2x2 m 1x 3 n 0
3x2 3nx m 2 0
Son equivalentes, para m n R, calcule n.
23 5 11 D) 9 A)
B)15
C)
15 7
E) 9
151
José Carlos Turpo
DIVISIBILIDAD COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN I 1.
RESOLUCIÓN En la base a la identidad:
x
2
¿Cuál será aquel polinomio cuadrático de coeficiente principal 4, capaz de ser divisible por 2x 1 y que al ser evaluado en
Con: x=1; y=1; z=-2 evaluando: (1-1+4)(1+1-4)+m…. (-2)=0 -8=2mm=-4
RPTA.: E
B) 4x2 4x 3
2
3.
2
C) 4x 4x 3
D) 4x 4x 2
2
E) 4x 4x 2
RESOLUCIÓN
2
lo
ar
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5 2a+b = 11 .........................(2)
Jo
2
y2 z2
1
valor
x
2
de
“m”
-a
a2 3ap -a a2 1 -a (a2 3p) 3ap 2q a3
-a
-a 2a2 2 1 -2a 3a 3P
Si: 3a 3P 0
R1 0
a2 P a2
3
P3 Reemplazando en: R1 0 3a3 2q a3 0 a3 q
el
a q 3 2
2
Conclusión: P3 q2.
y2 z2 mx2 yz
B) 2 E) -4
2q
0 -3P
R1 0
es divisible por (x+y+z)? A) 4 D) -8
Aplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad.
2
RPTA.: C
x
E) P q2
: 5b=-15b=-3
En (2) :2a=-8a=-4 Conclusión: P x 4x2 4x 3
¿Para qué polinomio:
C) P q
RESOLUCIÓN
sé C
Además: 4x2 ax b (x 2)q'' x 5
B) P 2 q3
sT
D) P.q 1
1 1 4 a b 0 2 2 -a+2b=-2.............................(1)
2.
2
po
ur
A) P3 q2
Por condición: 4x2 ax b 2x 1 .q' x
De: 2(1)+(2)
Busque la relación que debe existir entre “p” y “q” a fin de que el polinomio: P x x3 3px 2q Resulte ser divisible por x a
Sea este Polinomio P x 4x2 ax b :
x y zq'x,y,z
(2) toma el valor de 5? A) 4x2 4x 3
y2 z2 x2 y2 z2 mx2yz
RPTA.: A C) 1 4.
152
Determine “abc” sabiendo que el polinomio :
José Carlos Turpo
Px a c (b c)x a bx 6x 2x es divisible por x 3 x 2 1 2
3
A) -2 D) -1360
RESOLUCIÓN Al ser divisible indistintamente lo será también por el producto es decir:
4
B) -34 E) 2720
Px (x a)(x b)(x c) q(x)
C) 40
x3 6x2 11x 6 3er grado
RESOLUCIÓN Por Teorema de divisibilidad
x3 6x2 11x 6 x3 a b cx2 ab bc cax abc
Px x 1q'x R1 0
Px x 1q' 'x R 2 0
Px x 3q' ' 'x R 3 0
De donde: a+b +c =6 ab +bc + cd= 11 abc= 6
Empleando Ruffini ( tres veces) -2
-8
a+b-8
-8 +2
-1 1 3
(b+c)
-6
(c+a) a+2b+c-8
po
-2
(a+b)
Se pide:
(a+b-8) (a+2b+c-81) 2(a+b+c-4) 6 -a-b+2 R1 (a+b-2) b+c-6
-6 -2 -12
R2
-36
P x
ur
1
-6
1 1 1 x ab bc ca
P x c ab x abc
P x x 1
Evaluando en x=1: R P1 0
a+b-38
ar
6.
RPTA.: A
¿Cuál será aquella división notable que genere al cociente
a
35
sé C
Si: a+b+c-4=0a+b+c=4 b+c-6=0 b+c=6 a+b-38=0a+b=38 en (1) c=-34 en (2) b=40 Luego: a. b. c = 2720.
lo
R3
Jo
RPTA.: E
5.
sT
-2
Uno
(Mónico)
Si el Polinomio:
a30 a25 ... a5 1 .
A)
a36 1 a1
C)
a40 1 a5 1
B)
a40 1 a5 1
Px x 3 6x 2 11x 6; es
RESOLUCIÓN
divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c) indistintamente.
Por principio teórico de signo y variación de exponente de 5 en 5, es la B.
RPTA.: B
¿Cuál será el residuo de:
Px 1
xa b
1
1
b c
A) 0 C) ab + bc + ca D) ab + cb + ca
1
1
c a
1
7.
?
Encuentre
10
9
B)1 D) 1
valor
de:
1 999
A) 1000001 C) 1001001 E) 1
153
el
B) 1010101 D) 0
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN
T10 x10
Acondicionando el divisor:
3 3
10
109 1 10 1 103 3 3 10 1 10 1
2
3 1
x10 .x50 .x100 x236
T50 x50
1
T100 x100 x3160 x236 De donde:
1001001
RPTA.: C
3 160 236 3 396 132
Luego: # términos=132+1=133 8.
RPTA.: B
Sabiendo que el cociente de la división
x 30 y m ; consta de 10 xn y2
10.
términos.
po
genera un cociente notable. Averigüe al término antepenúltimo
C) 320
B) 8000 E) 8
sé C
Luego: 20³ = 8000
RPTA.: B
Jo
x 1 sabiendo que x 1 T10 T50 T100 x 236
Si la división indicada es notable, debe cumplir que: P 432 3 P 2 P 3.432
y y 12
1
36
36
12
1
T1 T2 ... T10 T11 T12
C) 132
antepenúltimo
RESOLUCIÓN
Tantep T10 x3
x 1 x1 x2 x3 ...xk ... 1 x 1 T3
RESOLUCIÓN
x3 x36 y 432 x3 y36 x3
cociente de :
T2
314
Luego:
B) 133 E) 131
D) 0
6
P2 3.33.24 P 32.22 36
Se desea conocer de cuántos términos está constituido el
A) 396 D) 236
C) x36 y360
sT lo ar
n=3 m=20
9.
B) x6 y324
E) x y
RESOLUCIÓN Por condición: 30 m 10 n 2
A) x 2y9
ur
Determine el valor de: mn A) 60 D) 600
x P y 432 x3 yP
Si la división indicada:
12 10
y 36
10 1
x6 y324
RPTA.: B
Tk
154
José Carlos Turpo
11.
Después de dividir el cociente de
RESOLUCIÓN
x6n1 1 ; n N . Entre x 1; se x 1
Asociando:
Qa,b 1 b c bc a1 b c bc
obtiene un nuevo cociente que al ser
dividido
por
x
2
Extrayendo factor común
x 1
Qa,b 1 b c bc 1 a
obtendremos como residuo. A) 0 D) x-1
B) -x E) 1
Qa,b 1 b c1 b 1 a Qa,b 1 c 1 b 1 a
C) x+1
Constante
RPTA.: B
RESOLUCIÓN Efectuando la división notable
13.
x6n 1 x6n1 x6n2 x6n3 x2 x 1 x 1 Luego en: x6n1 x6n2 x6n3 ... x2 x 1 x 1 Aplicando Ruffini
po
Px X n2 x n x 3 x 2 x 1;n N.
ur
A) 1 D) n
0
sT
Px x n.x 2 x n x 3 x 2 x 1 P x xn (x2 1) x(x2 1) (x2 1) … …...... ….....
Px (x2 1) xn x 1
sé C
1
1 ... 1 1 1 0 -1 -1 1 0 ... 0 1 0
lo
-1
Asociando de 2 en 2:
ar
1 -1
B) 2 C) 3 E) ninguno
RESOLUCIÓN
Existen “6n” términos
1
¿Cuántos factores primos binómicos admite el polinomio;
Existen “6n-1” términos
P x (x 1)(x 1) xn x 1
RPTA.: B
Jo
q x x6n2 x6n4 x6n6 ... x4 x2 1
Finalmente en:
2
q x x x 1
14.
Según el teorema del residuo Si: x2 x 1 x Que al evaluarlo en este valor R q 2 1 0
a2 b2 c2 d2 2ad bc Será:
Asociando convenientemente a2 b2 c2 d2 2ad 2bc a =
Factor Primo de: Q a,b 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc
a
2
será:
2ad d2 b2 2bc c2 =
a d b c a d b c a d b c 2
B) 1+b E) 1+abc
B) a+b-c+d D) a+b+c-d
RESOLUCIÓN RPTA.: A
A) 1+c D) 1+bc
Uno de los divisores de:
A) a-b+c-d C) a-b-c + d E) a-b-c-d
Cero 12.
C) 1+ab
2
RPTA.: A
155
José Carlos Turpo
15.
¿Cuál será el divisor trinomio del polinomio en variables: m,n,p. m3 n P n3 P m P3 m n ?
Extrayendo el factor común M x, y x y 1 x2 xy y2 x y 1
A) m-n-P C) m-n+P E) mn+nP+Pn
17.
RPTA.: C
B) m+n-P D) m+n+P
en
el
E) a2 b2 ab 3a b 9
RESOLUCIÓN
po
np P
2
R a a3 b3 3 3ab 3
(n-P) m3 n2P nP2 mn² mnP mP2
sT
Corresponde a la identidad Gaussiana, que proviene de:
(n-P) mm2 n2 nPm n P2 m n
sé C
El Polinomio:
ar
(n P) m n m2 mn nP P2 (n P)m nm P m P) n(m P … … (n P)m nm P m n P RPTA.: D 16.
18.
2
a b c a b 9 ab 3a b RPTA.: D 2
2
Cuántos divisores Polinomio:
Mx, y x y 3xy1 x y 1
admitirá
el
Px;y a2bx4 b3 a3 x2y4 ab2y8
Jo
3
a b 3 a2 b2 3 ab a 3 3b
lo
(m+n)(m-n)
3
ur
n P…...... n P …...... n Pn
de:
D) a2 b2 ab 3a b 9
2
racional
3
A) a+b+3 B) a-b+3 C) ab-3(a+b)
m3 n P nP n2 p2 m(n3 p3) …......
primo
R a a b 9ab 27 ; será:
m3 n P n3P n3m P3m P3n
Asociando:
factor 3
RESOLUCIÓN Mediante la distribución segundo y tercer término:
Un
Será divisible por:
A) 8 D) 4
A) x xy y x y 1 2
2
B) x2 xy y2 x y 1
B) 7 E) 3
C) 15
RESOLUCIÓN
C) x 2 xy y 2 x y 1
Empleando el aspa simple:
Px, y a2bx4 b3 a3 x2.y4 ab2y8
RESOLUCIÓN Asociando convenientemente
Mx, y x y 1 3xyx y 1
a2x 2
b2y4
bx 2
ay4
3
Diferencia de cubos 2 M x, y x y 1 x y x y 1 -3xy(x+y-1)
156
Px,y a2x2 b2y4 bx2 ay4
José Carlos Turpo
Px,y ax by2 ax by2 bx2 ay4
4x 2x
Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)
RPTA.: B
Halle la suma de los elementos de aquellos Polinomios irreductibles que se desprenden de:
Qx, y,z z4 2 x2y2 z2 x2 y2 A) 4x D) 2(x-y)
B) 4y E) 2(x+y)
2
C) 4z
Q z4 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2
x y
2
sT
2
z2
x y
Q z2 x y z2 x y 2
2
lo
2
z2
ur
Mediante un aspa simple
po
RESOLUCIÓN
0 12
Px, y 4x 3y 2x 5y 12
RPTA.: A 19.
-3y 5y
sé C
ar
Q x, y,z z x y z x y z x y z x y
Sumando estos elementos =4z
20.
Jo
RPTA.: C
Un divisor del Polinomio: P x,y 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x
será: A) 3x-4y D) 2x-3x
B) 4x-3y C)2x-3y E) 2x-5y+12
RESOLUCIÓN Buscando la forma de un aspa doble:
Px, y 8x2 14xy 15y2 48x 36y 0
157
José Carlos Turpo
COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN 1.
Hallar el menor término racional del cociente notable. 3
x=1
3.
Halle el grado absoluto del primer término central del C.N.
x15n 50 y15n 10 xn 1 yn 2
47 23 2 3
4 2
A) 9 D) 5
B) -1 E) 8
C) 3
A) 11 D) 40
RESOLUCIÓN 3
7
3
4 2
Por
el
4 2 3
efectuando por exponentes
7
luego:
....................()
lo
25 7 6
T7 23 8
20
4
7
20
4
Hallamos los términos centrales.
ar
25 k debe ser mínimo k 7; 6 luego en :
sT
Por lo que piden:
T7 2
x y x y
ur
25 k 6
Tk 2
y x y
T10 x7
10
T11
9
7
9
T10 x70y36
10
T11 x63y40
4
4
G.A. T10 106
RPTA.: B
sé C
RPTA.: E
2.
4.
En el cociente notable
x 2
16
x 2
16
; halle el valor
Jo
2 x2 4
Si… x195y140 x190y147 ... son términos consecutivos del desarrollo de un C.N. Halle el número de términos.
numérico del quinto término para x=1
A) 61 D) 60
A) 729 D) 243
RESOLUCIÓN
B) 126 E) 729
C) 81
B) 59 E) 65
C) 58
Formando un C.N. de:
y 39
20
y 38
21
RESOLUCIÓN
... x5
Dando la forma de un C.N:
Número de términos = G.A +1
8
x 22 x 22 2 2 x 2 x 2 3
8
2
7
x5
7
NT 59 1 60 RPTA.: D
5.
En
el
4
siguiente
notable
158
cociente
x y . Calcule el lugar x 2 y3 20
T5 x 2 x 2 (x 2)6 (x 2)8 2
y
15n 50 15n 10 n6 n1 n2
k 1
po
Tk
C) 63
Por la condición necesaria suficiente se debe de cumplir:
término
general
7 k
B) 106 E) 72
RESOLUCIÓN
7
4 2
T5 36.(1)8 729 RPTA.: E
30
José Carlos Turpo
x
que ocupa el término que contiene a x10. A) sexto C) octavo E) décimo
4
B) quinto D) cuarto
x
4
6.
x x 2
y 3
k 1
x
x20 2k x10 k 5
3
El lugar es quinto
RPTA.: B Luego de factorizar: P(x) x8 x4 1; halle la suma de los factores primos.
x 1
Hay 4 factores primos
8.
Factorizar:
RPTA.: C P x x6 x4 2x2 1 indicar la
ur
B) 0 E) -2
C) 1
sT
E) x 1
lo ar
RESOLUCIÓN
sé C
Aplicando la identidad de Argan a
Jo
9.
P(x) x8 x7 x5 x4 x3 1 en x , indique el número de
4
3
2
x2 1
Factorizar:
F x abx2 a2 b2 x ab , e
B) a-b E) ab
C) a
F(x) abx2 a2 b2 x ab
2
3
1
RESOLUCIÓN
C) 4
2
2
A) a+b D) b
factores primos.
P(x) x x 1 x x 1 x x 1 x x x 1 P(x) x x 1 x x 1
2
indicar la suma de los T.I. de los factores primos.
Luego de factorizar
P(x) x8 x4 1 x7 x5 x3
6
RPTA.: C
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
de coef = 1
Luego: fac. primos= x4 x2 3
P x x x x x 1 x
P x x6 x4 2x2 1
3
P(x) x2 x 1 x2 x 1 x4 x2 1
B) 3 E) 2
1 x 1 x2 x 1
RESOLUCIÓN
4
2
2
A) 1 D) 2
D) x4 2
2
suma de coeficientes de un factor primo.
C) x2 3
4
B) x2 3
A) 5 D) 6
P(x) x2 x 1 x2 x 1 x 1
x10y?
A) x4 x2 3
7.
3
P(x) x2 x 1 x2 x 1
10 k
x x 1 2
po
P(x) x2 x 1 x2 x 1
RESOLUCIÓN Tk x2
x2 1 x3
2
2
ax
b
bx
a
F(x) ax b bx a
RPTA.: A
159
José Carlos Turpo
12. Al factorizar: P(x) 10x2 17xy 3y2 5x y Indicar la suma de sus términos de sus factores primos. A) 7x-4y+1 C) 4x-7y-1 E) 5x+2y-1
P(x) x5 5x4 7x3 x2 8x 4 Indique el promedio aritmético de los T.I. de los factores primos. 4 3 3 D) 2
B) 7x-1 D) 4y-1
-y
1
5
1
1
1
P(x) 5x y 2x 3y 1 RPTA.: A
-1
1
ur
0
-3y
-2
Factorizar: 3
2
P(x) 12x 8x 3x 2 , e
lo
C) -2x+1
ar
B) -3x1 E) 4x+3
Aplicando Ruffini
12 1 2 12
14
4
6
7
2
6
7
-1
-8
-4
1 6 -1
6 13 12 13 12 4 -5 -8 -4
4
5
8
4
-2 3
-6 2
-4 0
7
0
0
P(x) x 1
x x
2
Luego: M.A
x 1 x 2
2 1
2
112 2 3 3
-3 -2
RPTA.: E 13.
2
Jo
8
sé C
RESOLUCIÓN
1 4
C)
P(x) x 1 x 1 x 2 x2 3x 2
indicar un factor primo lineal. A) 3x +2 D) x+2
1
sT
11.
B)
RESOLUCIÓN
P(x) 10x2 17xy 3y2 5x y 0
2x
6 5 2 E) 3
A)
RESOLUCIÓN 5x
Factorice:
po
10.
Al factorizar:
P(x;y) x4 4y4
0
Calcule el número de factores algebraicos.
A) 4 D) 7
P(x) 2x 1 6x2 7x 2 3x
2
2x
1
B) 3 E) 8
C) 6
RESOLUCIÓN
P(x;y) x4 4y4 4x2 y2 2xy
2
P(x;y) x2 2y2
P(x) 2x 1 3x 2 2x 1
RPTA.: A
P(x;y) x2 2xy 2y2
160
2
x
2
2xy
2
2xy 2y2
Nf .A 2 2 1 4 1 3
José Carlos Turpo
RPTA.: B 14.
RESOLUCIÓN Cambio de variable: x5 y
Factorice
P(x) x4 2x2 9 ,
P(x) y5 y4 1
P(x) x
10
A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
17.
P(x) x4 2x2 9 4x2 4x2 P(x) x4 6x2 9 (2x)2
P(x) x
2
2
2x
2
2
2x 3 x 2x 3
A) 2 D) 4
7
Jo
P(x) x 1 (x 1) 2
Nf.A 3 2 1 6 1 5 RPTA.: B
P(x) x A) 7 D) 5
x
B) 4x2 5x 1
C) 4x2 7 E) 2x² + 3x + 1
D) 4x2 7x 1
P(x) 2x 1 4x2 4x 1 1 7
P(x) 2x 1 2x 1 1 7
1
B) 4 E) 2
A) 4x2 6x 3
RESOLUCIÓN
Calcule la suma de coeficientes, de un factor primo del polinomio factorizado. 20
Señale un factor primo de:
P(x) 2x 1 4x(x 1) 2
P(x) x 1 x 1 x 1
25
2
C) 1
ur
18.
P(x) x 1 x2 1
16.
P(x) x2 x4 2x3 1 x2 1 x4 2x2 P(x) 2x3 2x2 2x2 (1 x) x2 x(1 x) Son 2 factores cuadráticos RPTA.: A
P(x) x x 1 x 1
B) 3 E) 5
sT
sé C
RESOLUCIÓN 2
1 x2 1 x2
lo
C) 3
ar
B) 5 E) 7
2
RESOLUCIÓN
(x) , luego indique la cantidad
de factores algebraicos.
Indique el número de factores cuadráticos.
Factorizar P(x) x3 x2 x 1
A) 2 D) 6
x5 1
Factorice:
Nf 2 2 4
en
15
coef 3 1
P(x) x x2
RPTA.: C
15.
x5
po
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
P(x) x2 3
1 x
P(x) y2 y 1 y3 y 1
e indicar el número de factores.
2
Cambio de variable: y=2x+1
y7 y2 1 y2 y 1 y5 y4 y² y 1
un factor es : 4x² + 6x + 3
19.
Cuántos presenta:
RPTA.: A
C) 3 factores
lineales
P(x;y) x y x4 y4 4
161
José Carlos Turpo
A) 1 D) 3
B) 0 E) 6
C) 2
RESOLUCIÓN
P(x;y) x2 y2 2xy
2
x4 y4
P(x;y) 2 x4 2x3y 3x2y2 2xy3 y4
2
x²
xy
y
x²
xy
y2
2
P(x;y) 2 x2 xy y2
No tiene factores lineales.
20.
Calcule el número de factores algebraicos en (x) , el polinomio.
ur
po
RPTA.: B
C) 10
lo
B) 8 E) 71
ar
A) 23 D) 72
sT
P(X;Z) 32 x5y2z3
RESOLUCIÓN es
variable,
Jo
Ojo: y2 no parámetro
sé C
NF.A 6 4 1 24 1 23
es
RPTA.: A
162
José Carlos Turpo
MCD – MCM - FRACCIONES Halle el MCD de los polinomios P(x) y Q(x). P(x)= 12x5 8x4 45x3 45x2 8x 12 Q(x)= 2x4 5x3 8x2 17x 6
A) 3 D) 6
A) x+1 C) (x-2)(2x-1) E) (2x+3)(2x-1)
RESOLUCIÓN
B) (x+1)(x-2) D) 3x+2
Factorizando P(x)
-12 12
1
-45
4
8
41
-4 -41
-4
-1
12
1
4 -12 12
sé C
c (x) 6p 13 2p 5
-10
7
10
-1
8
1
1 -10
-7
-1 0
10
7
1
Haciendo:
1 1 m x2 2 m2 2 x x 1 x3 3 m3 3m x
P (x) x 1 x2 3x 1 x2 5x 1 x2 x 1 Factorizando Q(x) similarmente:
P(x) x 13x 22x 32x 1 x 2
Q x x 1 x2 5x 1 x2 x 1
Factorizando Q:
Q(x) 2x 5x 8x 17x 6 Q(x) x 1 x 2 x 3 2x 1 4
-7
17
x
Jo
c (x) 6x2 13x 6 2x2 5x 2
-1
9
sT
ar
lo
1 1 c (x) x2 12 x2 2 4 x 41 x x
9
1 1 1 c (x) x3 x3 3 7 x2 2 10 x 1 x x x
c(x) 12x4 4x3 41x2 4x 12
1 1 p x2 2 p2 2 x x 2 2 c (x) x 12p 4p 65
17
el polinomio cociente es reciproco también, pero de grado par:
0
Luego el cociente c(x)
x
8
ur
-1
8 -45
C) 5
Factorizando P (x); el polinomio es recíproco.
RESOLUCIÓN 12
B) 4 E) 7
po
1.
P(x) x7 8x6 17x5 9x4 9x3 17x2 8x 1 Q(x) x5 5x4 x3 x2 5x 1
3
2
Por tanto:
Por tanto:
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7
MCD(P,Q) x 1 x 2
RPTA.: E
RPTA.: B 2.
MCM x 1 x2 5x 1 x2 x 1 x2 3x 1
Indicar el grado del M.C.M. de los polinomios P(x) y Q(x) , donde:
3.
163
Halle el M.C.D. de:
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN
A x 4x 4ax 36a x 44a x 16a 4
3
2
2
3
4
Usando el método de Horner:
B x 6x4 6ax3 18a2 x2 30a3 x 12a4 A) 2 x a
B) x-a
C) x a
D) 2 x a
2
1 2 1 -2
RESOLUCIÓN Factorizando A por el aspa doble especial:
A x 4 x 4 ax3 9a2 x2 11a3 x 4a4
-2
1
0 m-2=0 m 2
1 1
1
0
1
-2
3ax
4a2
x2
2 ax
a2
n
2 2
1
po
x2
-4
n=4
0 n-4=0
3
x x2
2a a2
2
ax
2
B x 6 x 2a x a
sé C
3
3
Sabiendo que m;n;
m n
B) xm 1
C) xn 1
D) xk 1 1 E) xk 1 1
RPTA.: D
Jo
RESOLUCIÓN Consideremos: m=nk Entonces:
Sabiendo que el M.C.D. de los polinomios:
P(x) xnk n xnk xn 1
A x 2x x 3x m
2
P(x) xn 1 xnk 1
B x x3 x2 n , es:
Similarmente:
Q(x) nk n xnk n 1 nk xnk 1 n xnk 1
x 2 . Halle “m + n” B) 5 E) 0
Q(x) m n xmn1 mxm1 nxm1
A) xk 1
Por consiguiente el MCD= 2 x a
3
Halle el MCD de los polinomios:
P(x) Xmn xm xn 1
ar
2 ax
RPTA.: C
sT
5.
lo
Similarmente B x 6 x4 ax3 2a3x2 5a3x 2a4
ur
Conclusión: m+n=6
A(x) 4 x 4a x a
A) 4 D) 7
-4 1
1 -2
Por tanto:
2
2
m
2
E) x a²
x
3
3
2
4.
-1
Q(x) nk n xnk 1 xn 1
Por lo tanto: M.C.D P(x),Q(x) xn 1
C) 6
RPTA.: C
6.
164
Sean los polinomios:
José Carlos Turpo
M(x).N(x) Halle el resto de D(x)
P(x) ax bx a c x bx c
A(x)
Q(x) 4ax3 4b 5a x2 4c 5b x 5c
dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo que:
4
3
2
M(x) x4 nx3 7n2 x2 n3 x 6n4 N(x) x3 4nx2 n2 x 6n3
Los cuales verifican:
P(x) Q(x) MCD P Q Calcule: " a b c " A) 27 D) 125
B) 16 E) 9
2
C) 64
4c 4b x 4c.............................(1)
ur
N(x) x n x 2n x 3n
los
Por lo tanto: MCD (M,N)= (x-n) (x+2n) MCD (M,N)= x2 nx 2n2
lo
c -1
ar
ax 2 bx 2 ox x 2 P(x) ax bx c x2 1
sé C
Factorizando Q x :
M(x) x n x 3n x 2n x n
sT
factorizando
P(x) ax4 bx3 a c x2 bx c
Q(x) 4x 5 ax2 bx c
8.
Jo
Por lo tanto: 2 MCD= ax bx c Desarrollamos
MCD 2 MCD
2
a2 x4 2abx3
2
Si
la
fracción
4x2 2x 3 se 2x2 x 1
2
B C donde A,B,C son x 1 2x 1
constantes 2
Comparando coeficientes de 1 y +2
7.
x2 nx 2n2 R(x) 10n2 x 3n RPTA.: D
A
2ac b x
ax2 bx c
Se pide el resto de la división:
transforma en otra equivalente
2bcx c2 ...............................(2)
E) 12n2
po
ax4 b 4a x3 4b 4a c x2
D) 10n2
C) 6n2
Como D(x) es MCM entonces A (x) representa MCD (M.N). Factorizando los polinomios obtenemos.
Sumando P(x) Q x se obtiene:
B) 6n2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Por otro lado polinomios
A) 0
Calcule:
A 3 B C A) -1 D)
a=1; b=4; c=4 a+b+c=9
reales.
1 3
B) 1 E)
C) 3
5 3
RPTA.: E Sea D(x) el Mínimo común múltiplo de los polinomios M(x) y N(x) si:
RESOLUCIÓN Dividendo:
165
José Carlos Turpo
4x2 2x 3 5 2 2 2 2x x 1 2x x 1 5 2 2x 1 x 1 Descomponiendo parciales
por
Por lo tanto: A+B+C+D= -2
RPTA.: D 10.
fracciones
5x2 9x 4 A Bx C 2 3 2 x 3x 3x 2 x 2 x x 1
5 10 3 2 3 x 1 2x 1
Halle: A + B + C A) 1 D) 8
Por tanto:
5 10 ; c 3 3 A 2 5 10 3 B C 3 3 3 1 RPTA.: A
A= 2 ; B=
RESOLUCIÓN
x2 x 1
Halle: A+B+C+D
B) -5 E) 0
4x3 x2 3x 2 x x 1
2
2
4x3 x2 3x 2 x 2 x 1
2
en
po
sT
P(x) x3 5x2 2x 8 Q(x) 2x2 mx 4 ;
fracciones
m 9 (A B C)
A B C D 2 x x x 1 x 12
A) 4 D) 3
Ax x 1 B(x 1)2 Cx2 x 1 Dx2 2
Desarrollando comparando obtiene: A=1; B= -2;
Si la fracción se descompone en fracciones parciales de la forma:
Halle el grado del MCM de los polinomios P y Q. Donde:
C) 1
RESOLUCIÓN Descomponiendo parciales:
RPTA.: C
x2 1 A Bx C 2 3 2 x 3x 3x 2 x 2 x x 1
Jo
A) 2 D) -1
11.
sé C
ar
2
Comparando coeficientes se tiene A B 5 A=2 A 2B C 9 B=3 A 2C 4 C=1 A+B+C=6
Sabiendo que A,B,C y D son los numeradores de las fracciones parciales en que puede ser descompuesta la siguiente fracción:
4x3 x2 3x 2
C) 6
5x 9x 4 A x2 x 1 Bx C x 2 2
lo
9.
B) 5 E) -5
ur
Sabiendo que la fracción se transforma en otra equivalente.
x 2 x 1
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
2
Desarrollando fracciones parciales
x 1 A B x2 A 2B C x A 2C 2
A B 1 , A+ 2B + C = 0, A + 2C = 1
y luego coeficientes se C=3; D=-4
166
José Carlos Turpo
2 B , 3 2 A + B + C = 3 A
5 , 3
C
P(x) x3 6x2 11x 6 Q(x) x3 2x2 x 2
1 3
Factorizando se tiene
P(x) x 3 x 1 x 2
Por lo tanto: m= 6
Q(x) x 1 x 2 x 1
Factorizando P (x) y Q(x)
P(x) x 1 x 2 x 4
Q(x) 2 x 1 x 2
MCM P, Q = x 1 x 2 x 3 x 1 Grado =4
RPTA.: B
MCM = 2 x 1 x 4 x 2 x 2 Grado =3
13.
RPTA.: A
P(x) x x x xd (x a) (x b)(x c) x a x b x c
Al descomponer la expresión en fracciones parciales se tiene los numeradores A, B y C:
po
12.
a2 b2 c2 Calcule: p(a) p(b) p(c)
ur
x2 5 x3 8x2 17x 10 Luego se dan los polinomios: 2
Desarrollando se tiene:
p(a) a(a b)(a c) p(b) b(b a)(b c) p(c) c(c a)(c b)
RESOLUCIÓN Descomponiendo parciales se tiene:
RESOLUCIÓN
Evaluando:
C) 5
Jo
B) 4 E) 3
fracciones
reemplazando en M:
M
x 5 A B C x 1 x 2 x 5 x 1 x 2 x 5 2
a2 b2 c2 a a b a c b b ab c c(c a)(c b) M=0
x 5 A x 2 x 5 B(x 1) x 5 C x 1 x 2
RPTA.: C
2
Si x= -2B=-3 3 Si x=-1A= 2 Si x=-5C=
C) 0
+x-d
Halle el grado del MCM A) 2 D) 6
B) -1 E) 2
P(x) x x a x b x b x c x a x c
sé C
siendo : m= A + B + C
ar
lo
Q(x) x3 m 1 x2 x m 3
sT
A) -2 D) 1
P(x) x m 5 x 11x 6 3
Si: a,b,c, son números diferentes y:
14. A+B+C=1=m
Indicar la respuesta luego de simplificar:
correcta,
5 2
Entonces:
167
José Carlos Turpo
1x 1 3x 1 1x 1 3 1 3x E 1x 1 1 3x 1 3 1 x 1 3 1 3x
1 1 b2 1 c2 a2 b2
1
B) x E) -1
C) 2x
RESOLUCIÓN Desarrollando tiene:
el
numerador
16.
se
sT
A) 1 D) 4
ar
sé C
RPTA.: B
E
a b 1 2
b a 1 2
b 1 a1 2 2 E a b b 1 a1
2
ab
2a 2b a1 b1
Jo
2
C) 3
de la ecuación se tiene:
Si: ab bc ac abc 2
B) 2 E) 5
RESOLUCIÓN
lo
8x 2 6x E x 8 2 6x
ab a 2 ba b 2 b 1 a1
ur
8 2 6x
reemplazando y simplificando
Simplificar:
Si se verifica que: 2 a b 2ab a b a 1 b 1
E
y el denominador :
15.
RPTA.: B
Simplificar:
8x 2 6x
2
1 1 1 2 2 1 2 c a b
po
A) 1 D) 3x
Entonces reemplazando en la expresión: c2 1 a2 1 b2 1 1 1 1 2 2 c2 a b 2c2 1 2a2 1 2b2 1
1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 a b b 2c c 2a 2 2c 1 2a 1 2b 1 A) 0
B) 1
2 2 2 C) a b c
D)
E) a. b. c
Entonces reemplazando en E
E
a2 b2 c2 2
2a 2b 2 2 a1 b 1 b 1 a1
E=4
RPTA.: D 17.
RESOLUCIÓN
Simplificar la siguiente expresión y halle:
De la condición se tiene:
1 1 c2 1 a2 b2 c2 1 1 a2 1 b2 c2 a2
168
a c
José Carlos Turpo
a a c a3 c3 c 1 c . . 1 2 2 2 2 ac c a ac c a b bc 2 c 1 c a
Desarrollando:
2x2 x 1 x 1 x 1 x 1 x4 1 x 1 x 1 x2 x2 x2 x2 2x2 2 2 4 x 1 x 1 x 1
bc B) 2 E) 3
C) -1
cb a c c c a
RPTA.: A Sabiendo que la fracción:
ax by
2
p2x2 2m2xy m2y2 toma un valor constante k. k 0 , para todo valor de x,y; xy 0 , Halle:
a2 b2 p2 m2 en términos de a2 b2 p2 m2
k.
2
ar
a 2 ac a 2 c
A)
B)
C) k+1
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
ax by
2
Al reducir la expresión:
Jo
18.
k2 1 k2 1 E) k 2 1
k 1 k 1
D) k-1
sé C
2
c 1 . 1 1 a c c 2 19.
lo
abc c2 a c
po
a a c a c a2 ac c2 . 2 2 a ac c b a c a c c c2 a bc a a c c2 a c . b a c a c c 2 c c2 a bc
2x2 2x2 1 4 4 x 1 x 1
ur
RESOLUCIÓN
sT
A) 1 D) -2
x 1 x 1 2 2 1 1 1 x 1 x 2 x 1 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
k p2x2 2m2xy m2y2
a x 2abxy b y k p x 2m xy m y2 2
2
2
2
2
2
2
2
Comparando coeficientes:
a2 kp2 ; b2 km2; ab km2 Entonces reemplazando en:
a2 b2 p2 m2 kp2 km2 p2 m2 a2 b2 p2 m2 kp2 km2 p2 m2
Se obtiene: A) 1
B) x2 x 1
C) x2 x 1
D) x4 x2 1
E) x4 x2 1
RESOLUCIÓN
169
José Carlos Turpo
m2 p2 k 1 a2 b2 p2 m2 a2 b2 p2 m2 m2 p2 k 1
a2 b2 p2 m2 k 1 a2 b2 p2 m2 k 1
RPTA.: A Simplificar:
ax ax 1 ax 2 ax 3 1
1 ax 1 2ax 1 3ax a4x4 ax 1 ax 2
a x a 2x a E) x B)
D) 1
xa x 2a
C)
po
A)
ur
RESOLUCIÓN
sT
Haciendo: ax=m
Agrupando:
m
2
2m
2
sé C
ar
1 m 1 2m 1 3m m4
lo
m m 1 m 2 m 3 1
3m m2 3 2 1
3m 1 3m 1 m4
Jo
20.
Factorizando:
m m
2 2
3m 1 3m 1
2 2
1
RPTA.: D
170
José Carlos Turpo
NÚMEROS COMPLEJOS 1.
1 1 i 2 2
Sea el complejo : 1 i Calcule 12 A) 32 D) 64
B) -32 E) 128
C) -64
4.
2
n
2n 3
2n 3
2i 2
i2n 3
i2 i 1 (1)i 1 n
n 1
i
Calcule el valor de :
1 i ; donde n n2 1 i n
Si: Z 1 i Z2 1 i 2i 2
Si: Z 2i Z 2i 4 2
4
i
1 i 2 2
RPTA.: D
RESOLUCIÓN 2
4n 6
12 4 64
3
RPTA.: C El equivalente de:
po
RESOLUCIÓN
8
1i 1i 1i 1 1 i 1 1i 1i 1 1 1i 1 i B) 0 E) 256
C) -2i
Si,
11 2i
17
1 2i
51
A) 1
B) -3
D) -i
E)
17
8
1 3 i 2 2
17
E 11 2i
17
C) 1
n 1
1 1
RPTA.: A 6.
4n 6
Halle “m + n”; a partir de 2
1 1i 1i m ni 1 1 2 1 1 A) B) C) 5 5 5 1 2 D) E) 7 7
B) i
i
17
17
n , calcule el valor de
A) 4
11 2i
11 2i
1 2 i 2 2
1 ; es: C) -2
11 2i
Luego:
RPTA.: E 3.
El equivalente de:
1 2i3
2i 256
8
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
Jo
Operando:
n
2 1 i 1 i 1 i
in 2i 2in1
sT
1i 1i i i 1i 1i
Sabemos:
i i
5.
sé C
RESOLUCIÓN
ar
A) 2i D) 64
n
lo
será:
1 i n 2 1 i 1 i
ur
2.
C) 2in1
B) 2in E) 2in1
A) -2 D) -2i
D) 1
n 1
i
E) 1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN 171
José Carlos Turpo
RPTA.: A
2
7.
9.
1 3i
39
k 3i es 2 5i
C) 15
10.
15 2
ar
RESOLUCIÓN
sé C
2
Jo B) -4 E) 1
C)-2
4 ay
11.
b2 4 a y2 y2 b
2
a bi x y 2xyi a x2 y2 b 2xy x2 a y2 b2 4x2y2
2
2
y4
10
220
RPTA.: E
Si: Z C Z Z 7 Im(z)
A) 3,5 D) 2,4
B) 2,2 E) 1,2
C) 2,1
a bi a bi 7b 7 i 2
nos piden : Z 3,5i a bi
RESOLUCIÓN 2
4
a2 b2 7b
b Calcule: 2 ay y4 A) 4 D) 2
1 i 1 i 220 Cis 2340º Cis 6 360º 180º 239 1 219
Sea: Z a bi
a bi x yi .
Sabiendo que:
239 Cis 2340º
39
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
8.
C) 219
Calcule: Z 3,5i
E) 1
2k 15 k
2 Cis 60º
sT
15 2
40
B) 220 E) 219
40
lo
D)
B) -2
1 i
RESOLUCIÓN
un complejo imaginario puro? A) 2
A) 2 D) 220
2 m 2i 2 1 5 m ni i 5 5 5 1 n 5 1 mn 5 RPTA.: C ¿Qué valor asume “k”, si
Calcule:
39
po
1 3i
ur
*
1i 1 i i 1 1i 1 i 1 i2 m ni 1 2 i m ni 2 i 2 i
7 a b i 2
7b 7b
a2 b2 7b
49 4
49 7 3,5 4 2 RPTA.: A
i sen Calcule: 2 cos 12 12
6
A) 8i D) -8
b2 4 ay2 y 4
172
B) 8 E) 32
C) -8i
José Carlos Turpo
o
542 4 32;
RESOLUCIÓN
2 cos i sen 2 2 6
i3 i3 i2 1 2i 2 i i2 1 i
23 0 i 1 8i
RPTA.: A Sean los complejos
A) D)
1 2 13 2
B) E)
RESOLUCIÓN
Z12 1 i
Z32
2
Z
Z32
3
3 6i
o
C)
27 2 15.
3 6i
2
3 6i
A)
C)
lo
3 2 2 1
sé C
ar
Z 15 3 3 6I Z 2I
1 i 2 1 3 i 2 2
B)
D)
RESOLUCIÓN
27 2
a b i
2
a bi
a2 b2 2abi a bi a2 b2 a 2ab b Resolviendo:
RPTA.: C
Z a bi
Z a bi Luego:
1 i 2 1 3 i 2 2
1
E) 1
Sea el complejo:
2
3 6 15 3 3 6 15 3 i 2 2 2 2 El módulo es:
i1 i i 21
Halle un número complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.
1
Jo
333
RPTA.: D
2
i3 1
Piden:
3 6 15 3i 2 2
o
555555 4 3 333 4 1
15 3 3 6i
Z12 Z23
C) 2i
RESOLUCIÓN
7 2 29 2
2i
B) -i
po
Halle el módulo de
A) i D) -2i E) 0
3 6i 2 1
i555555 i333
ur
Z1 1 i Z2
Calcule:
sT
12.
14.
RPTA.: D
a =-
1 2
2
13.
Calcule:
Luego:
i2343 i331 i542 i300 i55 i242 i328 A) -3 D) -2
B) -4 E) -1
C) -5
RESOLUCIÓN o
b
1 1 2 2 b 2 1 1 3 b2 b2 4 2 4
3 2
Luego el complejo buscado será
o
2343 4 3 ;300 4
Z
o
331 4 3 ;
1 3 i 2 2 RPTA.: C
173
José Carlos Turpo
16.
18.
Z 3Re Z 2
Si:
Halle:
Indicar uno de los complejos resultantes de:
3 4i 3 4i
3 Z 2
A)
4
B)
4
C) + 2
D) 2 i E) 2i A)
1 2
B)
D) 2
3 2
C)
3 2
RESOLUCIÓN
E) 1
E
3 4i 3 4i
RESOLUCIÓN
E4 3 4i 3 4i 2 9 16
E4 6 10 E4 16
a2 3 a1 0 ó b 0 b 0 2 1
sT lo ar
1+i
B)
D)
2 3i 2i
4i
;ei
2
e
i
; e4i
LnZ
4i
LnZ
i
Z1 = e4i
Z a
E)
e4i
LnZ = 4i ó LnZ = i
Recordemos:
Z a i 2
20.
Z2 = ei
RPTA.: E
Calcule:
4 12i 3 4i
5 12 i 25 144 169 13 Luego:
A) 13
B) 14
D) 17
E) 20
C) 16
RESOLUCIÓN
13 5 13 5 5 12i i 2 2
e
C)
De donde:
RESOLUCIÓN
a bi
D)
B) ei
(LnZ)² 3i LinZ 4i2 = 0
sé C
E)
C
RESOLUCIÓN
Jo
C)
3 2i 3i
A)
Resolver la ecuación en C/
A) 4i
RPTA.: B
5 12i
RPTA.: C
Ln2 3iLn 4 0
3 3 2 2
Calcule :
po
19.
E=2
ur
Resolviendo el sistema:
Z
3 4i 3 4i
E4 6 2 25
a² b² 3a; 2ab 0
2
Por condición: (a²b²) + 2abi = 3a + 0i
17.
E4
(a+bi)² = 3a
Sea: Z = a + bi
5 12i 3 2i RPTA.: A
*
3 4i 5
*
12i 5 144 25 13
4 13 17 17 RPTA.:
174
José Carlos Turpo
TEORÍA DE ECUACIONES 1.
2 x 2x x ; x C x 2
Calcule “k” para que la ecuación se reduzca a una de primer grado.
A)
2k 3 3kx 2 2k 3 x 1 x 1 A) -2 D) 2
B) -3 E) 3
4.
Resolver en “x”
a bx a bx abx ab ab ab
a b
po
k 5 x 2k 2 0
ur
A) -2 D) 3
RESOLUCIÓN
lo
sé C D)
ab x = 2 ab x=2
5.
Si x1;x2;x3 son las raíces de la
3.
RPTA.: C
ecuación
x3 n 1 x2 2nx n 3 0
m nn
Calcule: x1 1 x2 1 x3 1 A) 1 D) 4
RESOLUCIÓN
a bx a b a bx a b abx ab a b a b
B) n
Jo
mn m n n E) nm
ar
RPTA.: C
C)
C) 2
a b
3k 3 0 k 1
A) m
B) 1 E) a + 2b
sT
5kx2 kx 5x 1 2kx2 3x2 2k 3 3kx2 3x2 k 5 x 2k 2 0
xn xm 1 n m
E) -4
= 2kx2 2k 3x2 3
Calcule el valor de x en:
C) x C
x2 4 4x2 2x2 5x2 2x2 4 4 3x2 4 x2 3 RPTA.: C
2kx2 2kx 3x 3kx2 3kx 2x 2
2.
3 4
RESOLUCIÓN
C)1
2k 3 x 1 3kx 2 x 1 2k 3 x2 1
3k 3 x
B)
D) -3
RESOLUCIÓN
2
4 3
B) 2 E) -1
C) -3
RESOLUCIÓN
xm mn nx mn mn x(m n) mn mn mn x m n m n RPTA.: C
Por cardano: *
x1 x2 x3 n 1
*
x1x2 x1x3 x2x3 2n
*
x1x2x3 n 3
lo pedido es : 1 x1 x2 x3
x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3 3 RPTA.: C
Halle x2 en :
175
José Carlos Turpo
6.
Si la ecuación paramétrica en “x” presenta infinitas soluciones calcule el valor de a + b.
RESOLUCIÓN
x 0 x 0 (no)
ax 1 2x b2 A) -2 D) -2
B) 2 E) -3
C) 3
RESOLUCIÓN
b2 1 a 2 x b 1 x a2 2 a = 2 b 1 b 1 a + b = 3 a +b = + 1 RPTA.: C 2
7.
9.
solución única.
Si a y b son las soluciones de la ecuación cuadrática
A) 2 D) 2 y 4
8.
sT
ar
a² 5 b² 5 4 a1 b 1
sé C
a2 2a 7 0 a2 5 2a 2 a2 5 2 b2 2b 7 0 a1 b2 5 2 b 1
Jo
10.
Si 3 2 2 es una raíz irracional
A) 4 D) 7
RPTA.: C
B) 8 E) *
C) 1
RESOLUCIÓN Si:
1 x 2 x 3 x 2 2 0 x
x1 3 2 2 x2 3 2 2
de la ecuación x1 x2 x3
11 2
6
A) Tiene 5 soluciones B) Tiene 4 soluciones C) la suma de las soluciones es
2 2 8 0 4 2 0 4 2 RPTA.: C
de: 2x3 11x2 mx n m,n , calcule el valor: nm
¿Qué podemos afirmar acerca de esta ecuación?
x
C) -4 y 2
4 0
C) 4
RESOLUCIÓN
B) 4 y -2 E) 2
RESOLUCIÓN
lo
B) 2 E) 7
ur
x2 2x 7 0 a2 5 b2 5 Calcule a1 b 1 A) 3 D) 5
Calcule el valor de si la ecuación de segundo grado 4 x2 2 x 1 0; tiene
po
x 2 0 (no) x3 0 x 3 1 1 2 0 x x 2 1 7 x1 x2 3 2 2 RPTA.: C
x3
1 2
n n1 2 m luego: x1x2 x1x3 x2x2 2 además: x1x2x3
7 2
D) es incompatible E) 3 soluciones
2
176
José Carlos Turpo
11.
m = 4
RESOLUCIÓN
4
1 1
x2 1 x 1
RPTA.: C
Encontrar el conjunto de solución de:
4x
9x 4 7x2 9x2 x2 9x2 2
1 1 2 x 4 x 2 x 2
A) 2
B) 1;2
C)
14.
x 2 4x-x=4+2 3x 6 x2 Pero x 2 x RPTA.: C
2 3
4 9
4
2
9 k 4 100 1 4k ; k 0
3k 20 k 12 0 4 k k 36 9
2
15.
Indique una ecuación.
solución
de
5x 1
x1
B) – 2 E) -3
5x 1
2x 1
1
x2
5 1
x4
2
2x 1 0
1 5 1 2
1 1 1 1 25 25 4 4 2 1 29 x14 x24 x34 x44 25 2 50 RPTA.: C
x14 x24 x34 x44
Luego de resolver:
1 x2 x 1
2
x Señale el menor valor de 2
la
9x 4 7x2 2 0 A) – 9 D) 3
1 5x2 1 0
x2 x 1
RPTA.: C 13.
29 50
po
Jo
ax bx c 0 están en P.A. 9b2 100 ac
2
x3
C)
ur 5x
RESOLUCIÓN Si: las raíces de:
1 2 1 E) 4 B)
Factorizando:
ar
E)
1 0
RESOLUCIÓN
sé C
D) 36
C)
2 25 1 D) 25 A)
lo
progresión aritmética. B) -9
2
Si: x1;x2;x3;x4 son raíces de la
sT
Calcule el menor valor de k, si las raíces de la ecuación 4 2 x k 4 x 4k 0 ; están en
A) -4
x
ecuación: 10x 4 7x2 1 0 Calcule el valor de x14 x24 x34 x44
RESOLUCIÓN
12.
+2 -1
RPTA.: C
E) 4
D) 2
2 0
1 4
B)
D) 4
E) 2
A)
C) – 1
177
1 4
3
C)
1 8
José Carlos Turpo
D) 2
RESOLUCIÓN 2
x x 1 1 x x 2 0 x 2 x 1 0
RESOLUCIÓN De:
x 2 x 1
x3 mx2 18 Cs ; ;
3
1 1 2 8
x3 nx2 12 Cs ; ;
RPTA.: C Resuelve la ecuación
2x 1 3 x 4 5 e indique el valor de x2 A) 4
B) 3
D) 19
E)
además:
C) 16
1 4
18 3 12 2
RESOLUCIÓN 3
Sea:
x 4 a x a3 4
27m3 9m3 18 0
2 a 7 5 a; a 5 al cuadrado miembro a miembro
2a3 7 25 a2 10a 2a3 a2 10a 32 0
4
6
3
16
-32
18.
RPTA.: C Si: 3 25 es una raíz ecuación:
de la
0
A) 2 D) 4
a 2 a2 3a 16 0 aquí a R
18m3 18 m 1
x5 bx 4 cx3 34x2 0 Calcule el valor de “b” ; b y c R
32
Jo
2
10
sé C
2
-1
ar
lo
3
2
3m
sT
2 a 4 1 a 5
3k 2k
en (I): - k = m En la ecuación:
3
=-m m ...(I) =0
po
16.
Por cardano –
ur
E) -2
2
B) 3 E) 7
RESOLUCIÓN
a=2
E) 5
x2 x3 bx2 cx 34 0 3
x4 2x48
x=4 2 nos piden : x 16
RPTA.: C 17.
Por cardano:
Dadas las ecuaciones
x1x2x3 34
x3 mx2 18 0; x3 nx 12 0 que tienen dos raíces comunes señale el valor de m. A) -3
B) 3
x2 0 ( raíz doble) x3 bx2 cx 34 0 Si x1 3 5i x2 3 5i
34 x3 34 x3 1 Además: x1 x2 x3 b
C) 1
178
José Carlos Turpo
6 + -1 =b b = 5
RPTA.: C
19.
Resolver:
x2 4x 8 x2 4x 4 2x2 8x 12 A) x = 2 D) x = 3
B) x = 1 E) x = 0
C) x = -2
RESOLUCIÓN 2
x 4x 6 n n 2 n 2 2n al cuadrado m.a.m:
n 2 n 2 2 n2 4 2n
2
(I)
n=2 luego : x2 4x 6 2 x2 4x 4 0
x 2
2
ur
n2 4 n 2 n 0
0 x 2
Halle “k” para que la diferencia de raíces sea uno.
sé C
2x2 k 1 x k 1 0
ar
20.
lo
RPTA.: C
sT
po
2n 2 n2 4 2n
A) - 2 D) 1
B) -3 E) 2
C) 11
Jo
RESOLUCIÓN
x1 x2 x1 x2
k 1
2
1
b2 4ac a
4 2 k 1 2
2
2 k 2k 1 8k 8 4 k 2 10k 7 k 2 10k 11 0 k 11 (k 1) 0 k = 11 k = -1 RPTA.: C
179
José Carlos Turpo
D) 2
SISTEMAS DE ECUACIONES 1.
E) -2
RESOLUCIÓN
¿Qué valores de “K” haría que el sistema
Para infinitas soluciones:
K 3 x 2K 3 y 24 K 3 x K 1 y 8
g 0
x 0
no acepte solución? A) 2 D) 3
B) 1 E) 6
1 1 1
C) - 1
g
1 1 1
Como:
1 -1 2
a1 b1 c 1 a2 b2 c2
1 1 1
solución
x
K 3 2K 3 K 3K 1 2K 3K 3 K 3 K 1 K2 2K 3 2K2 3K 9 K K
-6 +1
ar
A + 4 + 2b – (- b + 1) = 0 3b = - 3 b=-1 a x b = -1
RPTA.: C 3.
Señale una raíz de la ecuación:
x3 4x2 6x 4 0
Jo
K 3 24 K 3 8 K3 3 K 3 K 3 3K 9 12 2 K 6 K
1 -1 2
sé C
Además:
0 1 1
lo
K 6 K 1 0
K = 6 K = -1
A) 1 + i D) 3 - i
B) 1 - i E) A y B
C) 3 + i
RESOLUCIÓN
K = -1
Divisores
RPTA.: C
1
xyz0 x y 2z 1 2 x 4 y az b
X=2
1,2, 4
T.I.:
-4 +6 -4 2
1
-4 +4
-2 +2
0
Una raíz es x = 2 Las otras raíces se obtienen al resolver.
posee infinitas soluciones, indique a x b. B) 1
del
evaluando para x = 2
Examine para que valores de a y b el sistema:
A) 0
b 4 1
sT
K 5K 6 0
=0
ur
2
1 -1 2
po
a2x b2 y c2
2.
2 4 a
RESOLUCIÓN a1x b1 y c1
1 -1 1 0 a 4 4 2 8 a 0
C) -1
180
José Carlos Turpo
x2 2x 2 0 x
RESOLUCIÓN
2 4 2
x1 1 2i x2 1 2i S 2 y P 5
RPTA.: E 4.
El conjunto ecuación:
solución
K 4 x K 3 x es 1; ; Calcule 3
2
de
x2 2x 5 0
la
x1 1 2 i
3 0
x2 1 2 i S 2 y P 3
el valor de
x2 2x 3 0
Multiplicando:
x
2
A) 1
B) 3
C) - 3
D) 2 3
E) 4 3
po
RPTA.: A
ur
Formar la ecuación de cuarto grado de coeficientes racionales si
3 5i.
sT
B) x4 8 x2 16 0
0 -3 3 3 3 0
C) x4 4 x2 16 0 D) x4 16 x2 64 0 E) x4 16 x2 16 0
sé C
RESOLUCIÓN x 3 5i
3 3 i 3 3 i; 3 2 2 2 2 3
Elevando al cuadrado.
Jo
A) x4 4 x2 64 0
3 3 i 3 3 x i; 3 2 2 2 x
8 x2 2x 15 0
una de sus raíces es
ar
1
6.
lo
X=1
2
x2 4 x3 12 x2 16 x 15 0
Como una raíz es x = 1 K–4+ K-3-3=0 K=5 La ecuación es: x3 2x2 3 0 Por Ruffini:
2 1 3
Ecuación resultante:
RESOLUCIÓN
1
2x
x2 3 5 2 15 i
x 2 2 2 5 i
RPTA.: B 5.
Elevando al cuadrado.
Formar la ecuación de cuarto grado de coeficientes reales; si dos de sus raíces son: 1 2 i y
x4 4x2 4 60 x 4 4x2 64 0
1 2i. 4
RPTA.: C 3
7.
2
A) x 4x 12x 16x 15 0 4 3 2 B) x 4x 12x 16x 15 0 4 3 2 C) x 4x 12x 16x 15 0 4 3 2 D) x 4x 12x 16x 15 0 4 3 2 E) x 4x 12x 16x 15 0
En el polinomio cúbico
P(x) x3 x 1 Se observa que
P a P b P c 0
Calcule el valor numérico de
P a3 b3 c3 ab ac bc abc
181
José Carlos Turpo
A) - 17 D) - 28
B) - 11 E) - 29
C) - 21
A) nn D) n2
RESOLUCIÓN
x i x i x2 1 x 2i x 2i x2 4
x3 x 1 x3 a b c x2
ab ac bc x abc
. . .
a b c 0 a3 b3 c3 3abc ab + ac + bc = + 1 abc = -1 3 abc = - 3
x ni x ni x2 n2
P 3 29
T.I 1 2 ... n
P 3 1 1 P 3 27 3 1
T.I 1 4 ... n2 2
RPTA.: E
RESOLUCIÒN
2
5
a = 19 ; a + b = 34
3
0
po
2
ur
RPTA.: E
si se sabe que la suma de sus raíces excede al producto de las mismas en una unidad. B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÒN Suma=
b
2 6a ; Producto= 2a 7 2a 7
Ecuación:
4 - 10 10 - 25 6 - 15
-5
9.
3
a
Señale el valor de “a” en la ecuación:
A) 1 D) 4
sé C
2
1
Jo
2
n
2 a 7 x7 2 x6 5x2 a 6 0
x1 = 1 + 2i x2 = 1 2i x1.x2 = 2; x1.x1 = 5 x² 2x + 5 = 0 Por Horner:
1
sT
C) 35
10.
ar
B) 34 E) 39
T.I
lo
Calcule el valor de (a + b) en la ecuación: 2 x4 x3 3 x2 a x b 0 ; {a;b} Si se sabe que una de sus raíces es: 1 + 2 i A) 31 D) 38
Obsérvese que:
x3 x 1 x a x b x c
8.
C) n
2
RESOLUCIÓN
Se cumple que
B) n2 E) n
2 6a 1 ; operando 2a 7 2a 7 a–4=2a–7 3=a
0
b = 15
RPTA.: C
RPTA.: B
11.
No es solución de la ecuación:
10 10 x x 1 x x 1 48 ; es
Halle el término independiente de una ecuación de grado mínimo de coeficientes reales, si se sabe que su conjunto solución es
A) -1 D) 4
i; i; 2i; 2i;.......; ni; ni
182
B) 2 E) A ó D
C) -5
José Carlos Turpo
También:
RESOLUCIÓN
1 2
10 z z2 1 48 x z 7 10 10 Si: x x 7 7 x x x2 7x 10 0 ; x2 7x 10 0 x
RPTA.: C 13.
Resolver: La ecuación
x 5 x 7 x 4 x 6 504
(x 2) (x 5) = 0 ; (x+2)(x+5) = 0
y halle la suma de los cuadrados de las raíces negativas.
x=5 ó x=2
A) 53 D) 62
x=-2 ó x=-5
Multiplicando convenientemente
x 5 x 4 x 7 x 6 504 x2 x 20 x2 x 42 504
los
z 20 z 42 504
ar
C) 9b2 100 ac 2
D) 16b 100 ac
sé C
E) 25b2 100 ac
Jo
92
x
2
14.
2 0
2
4
x 56
x
x 56 0
ó
x = -2
2
7
2
2 53 2
Resolver:
2;3 c.s 3;2 c.s 1; 2 ; 2;3 c.s 2;3 ; 3;2 c.s 3;2 ; 1;2
A) c.s B)
b c x 10 x 9 x x2 a a 2 b b 10 2 100 4 2 ... 1 a a b c 10 2 9 4 ... 2 a a 2
2
x3 y3 35 xy 5
Equivalencia resultante 4
x
RPTA.: A
(x + 3) (x+)(x)(x3) = 0 2
Regresando a la variable original.
x 8 x 7 x 3 x 2 0
3
x
z2 62 z 336 0 z 56 z 6 0
x 7
RESOLUCIÓN
Haciendo x2 x z
lo
B) 8b2 49 ac
sT
A) 4b2 49 ac
ur
ax4 b x2 c 0 para que sus raíces reales estén en progresión aritmética.
C) 61
po
Halle la relación entre coeficientes de la ecuación:
B) 57 E) 64
RESOLUCIÒN
RPTA.: E 12.
100 b2 9b2 100 ac 9 ac
4
C) D) E)
183
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN x3 y3 35 ;
x y x
2
2
x+ y = 5
xy y 35 2
2y 2y Si x 5y2 7 17 3 3 y 3
x =5–y
5 x2 xy y2 35
4 3 0
16.
Resolver:
x2 xy y2 7
5 y
2
RPTA.: C
y 5 y y2 7
x2 y2 180 1 1 1 x y 4
3y2 15y 18 0 y2 5y 6 0 y 3 x 2
y 2 x 3
e indicar como respuesta la suma de todos los valores posibles de “x”
c.s 2;33;2
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
lo
C) 0
v
ar
B) 14 E) 1
sT
Haciendo x v
e indicar como respuesta la suma de todos los valores de “y”
5y2 7x2 17 5xy 6x2 6 30y2 42x2 102 85 xy 102x2 102
yv
v 180 2
2 v2 90
xy 1 xy 4
8 2 v2 90 2 v2 0 2 2 8 90 0 2 4 45 9 v 3
30y2 85xy 60x2 0 6y2 17xy 12x2 0
2y
2
4 v v v v
sé C
RESOLUCIÓN
3y
C) 28
ur
5y2 7x2 17 5xy 6x2 6
A) 7 D) -7
B) 8 E) -4
po
A) 7 D) 4
Resolver:
Jo
15.
5 v 65
3y 4 2y -3x x 3 -4x x
9;3;9; 3 5; 65 5; 65 C.S. 12;66;12 ; 5 65; 5 65
C.S.;v
5
2
3y 3y Si x 5 y2 7 17 4 4 y 4
65 5
65; 5 65
x 12 6 5
65
x 8 RPTA.: B
184
José Carlos Turpo
17.
Resolver:
RESOLUCIÓN
x 3xy 2y 3 x2 5xy 6y2 15 2
2
Haciendo x2 2x a
a 1
2
según esto halle (a + b + c + d).
x
2
B) 1 E) -2
C) 2
Al resolver:
3 x 4 x 2 2 3 x 4 x 3
7
ur sT
A) 7 D) 4
B) 6 E) 3
3x a 4x b
x x x x2 5x 6 15 2 2 2
C) 5
+
7=a+b
2x 5x 3x 15(2) 0 30 C.S. 1; 2 ; 1;2 ;
Jo
a3 b3 Luego: 2 ab a b2 a3 b3 a3 ab2 a2b b3 0 ab b a
Luego a + b + c + d = 0
RPTA.: A
b a 0 ab 0 70 3 x 4 x 0 x 3 x 4
Halle la suma de las raíces de la ecuación:
C.S. 4;3
4
2
x 2x 2 x 2x 2 1 2
B) 2 E) 4
a1 4 4 a0 1
Haciendo:
2
A) 1 D) -4
S
RESOLUCIÓN
sé C
Si x 1 y 2 1;2
lo
Si x 1 y 2 1; 2
2
indicar como respuesta la diferencia de los cuadrados de sus raíces.
ar
x 1
18.
6 x2 2 x 7 0
3
2
2
po
19.
Si y = - 2x x2 3x 2x 2 2x 3
2
RPTA.: E
x2 5 xy 6 y2 15 4x2 10xy 4y2 0 2 x2 5 xy 2y2 0 y = - 2x y 2x x y= x 2y 2
2
2x
x4 4x³ 2x² + 12x 7 = 0
x2 3xy 2y2 3 x (-5) 5x2 15xy 10y2 15
2
2
x4 4 x3 4x2 6 x2 12 x 7 0
RESOLUCIÓN
Si y
a2 2a 1 4a 8 a2 6a 7 0
Se obtuvo: C.S.= a;b c;d ,
A) 0 D) 3
2 a2
3 7 2
RPTA.: A
C) 3
185
José Carlos Turpo
20.
Halle el valor de “x” , sabiendo que es un número entero positivo de:
5x x 34 x3 296 A) 4 D) 16
B) 11 E) 17
C) 31
RESOLUCIÓN 5 x3 34 x3 296
x3 8
4
x3 7, 8
4
ur
x3 23
po
4
4
ar
lo
RPTA.: D
sT
x = 16
sé C
x3 a 5a2 3a 296 0 a 8 a 7, 4
haciendo
Jo
186
José Carlos Turpo
INECUACIONES
RESOLUCIÓN
Resolver: x 1 x 2 x 2 x 3 0 ,
Como 3 a 5b e
indicar el menor valor entero.
A) - 2 D) 1
B) - 1 E) 2
C) 0
2
9 a2 25b2 30 ab 3 a 5b 2 5b 3 a
x2 2x 1
x x2x x6 0 2x 4 0 x 2 x 2;
A) 2 D) x-3
El menor valor entero será: -1
RESOLUCIÓN E
5 B) 0, 4 D) 0, 4
5
5 0, 4
2
A) 1 D) 4
Halle el menor numero impar que se debe asignar a “K” en: k x2 8x 4 0 , con la condición que sus raíces sean números complejos: B) 3 E) 9
C) 5
RESOLUCIÓN k x2 8 x 4 0
3 a 5b hallar el
0 b2 4 ac 0
M que cumpla lo 5b M. 3a
B) 2 E) 5
y: 1x5
A) 1 D) 7
RPTA.: E Si a>0, b>0, mayor numero 3a siguiente: 5b
2
4 x 5 0
5.
1 1 x 4 4 5 5 0 2 x 4 4 0
x 5
RPTA.: B
RESOLUCIÓN x x2 0
ur sT
ar
E)
2
C) 2 x-6
E x 15 x 4
Jo
0,5
B) 4 E) x + 3
Como: 1 x 5 0 x 1 4
sé C
C)
x 1
x2 10x 25
E x 1 x 5
lo
Si: x , ¿a que intervalo pertenece la expresión algebraica: 5 2 x 4
A) , 4
3.
0
Si 1< x < 5 Simplificar: E
2
RPTA.: B 2.
2
RPTA.: B
x 2 x2 x 6 0
2
3 a 5b
4.
RESOLUCIÓN
x
po
1.
82 4k x 4 0 64 16 k 0 4 k 0 k 4 menor impar: k = 5
C) 3
RPTA.: C
187
José Carlos Turpo
6.
RESOLUCIÓN
Halle el complemento del conjunto 1 solución de: 3 x
1 A) 0, 3
Si: 2 x 0 0 4 x2 4
1 B) 0, 3
C) E)
1 , 3
8.
po
E) x
ur
RESOLUCIÓN
ar
lo
sT
x 2 6 x 16 0 x 2 6x 9 7 0 x 32 7 0 x
Si:
9.
RPTA.: E
Indicar el intervalo solución que satisface la desigualdad: 4 x2 3x 7 0 x2
A) x 1;
Jo
1 3
sé C
1 3
D) , 8 4,
B) x 7 / 4;1 2;
1 Complemento: 0; 3
7.
Resolver: x2 6x 16 0
C) 8, 4 4,
+
-
0
3 4 x2 3 2
7 , 2 4 B) x
1 3 x 1 3 0 x 1 3x 0 x 1 3x 0 x 3x 1 0 x Puntos críticos
0
0
A)
RESOLUCIÓN
+
4 x2 2
RPTA.: C
1 D) 0, 3
1 0, 3
0
C) x ;
7 1;2 4
RPTA.: A
D) x
1;2
2 x 0 , a que intervalo
E) x
;
pertenece la expresión: A) 4, 0 C) 0, 3
3 4 x2 2
7 4
RESOLUCIÓN 4x2 3x 7 4x 7 x -1
B) 0,2 D) 0, 4
3 E) 0, 2
4 x 7 x 1 x2
188
0;x 2
José Carlos Turpo
Puntos críticos
-
+
7 4
x
-
RESOLUCIÓN 2x2 3x 5 0 3 5 x2 x 0 2 2
+
1
2
7 ;1 2; 4
2
3 9 5 x 4 16 2 0 2
po
3 9 5 x 4 16 2
4x2 3x 2x 1
5 4
2
3 3 5 3 0 2 4 2 4
la mitad
Halle la suma de todos los números enteros que satisfacen la siguiente inecuación:
2
3 31 x 4 16
ur
B) 0
C)1
E)
D) 3
sT
A)
2
2
x2
RPTA.: B 10.
3 4
E) x
7 4x 7 0 x 4 x 1 0 x 1 x2 0 x 2
RESOLUCIÓN
ar
12.
sé C
Puntos críticos:
lo
4x2 3x 2x 1 0 4x2 5x 1 0 4x -1 x -1 4x 1 x 1 0
4x 1 0 x
1 4
1 4
>
-
RPTA.: A
El intervalo en el cual se satisface x2 x 6 0 la inecuación: 2 x x6 es: a;b c ;d ; Calcule:
A) 13 D) 26
Jo -
x
a2 b2 c2 d2
x 1 0 x 1
-
+
B) 18 E) 32
C) 23
RESOLUCIÓN
+ 1
Factorizando el númerador denominador; vemos que: x 3 x 2 0 x 3 x 2
1 x ;1 4
y
RPTA.: C 11.
Resolver: 2x2 3x 5 0 A) x C) x
D) x
x=-2
P.C
B) x 31 16
x=3
N 31 3 ; 16 4
x=2 x=-3
D En la recta real:
189
José Carlos Turpo
14.
-3
-
+ -2
0
+
3
2
A)
D) b;0 E) a;b
RESOLUCIÓN
A) ; 2 0;3 B) ; 1 1;
ar
Pasando todo al primer miembro
sé C
x2 x 6 1 0 x2 x 6
15.
Jo -
b
Como x 0 x a,0
2 ab ab
Calcule el conjunto solución de: x3 1 x2 x A) 4, 1 C) 1,
B) 1,1 D) ,1
E) 1,
RESOLUCIÓN x3 1 x2 x x3 x2 x 1 0
+ 3
-a
RPTA.: B
x2 x 6 x2 x 6 0 x2 x 6 x=0 N 2x P.C x 3 x 2 x=3 D x = -2
0
0
sT
RESOLUCIÓN
lo
E) ; 2 1;
-2
x a x b
Puntos referenciales: 2 ab x ;x a;x b ab
D) ; 2 1;6
xa xb 2 xa xb 2 a b x 4 ab
ur
C) ;0 3;
+
2 ab ab
C) a;b
Indique el conjunto solución de la x2 x 6 1 inecuación: x2 x 6
-
b;
B) a;0
RPTA.: D 13.
x 0
Si: 0 < b < a
x 3; 2 2;3 a=-3 b = - 2 a2 b2 c2 d2 26 c=2 d=3
po
-
+
Resolver: xa xb 2 xa xb
x x 1 x 1 0 x 1 x 1 0 x x2 1 x 2 1 0
x ; 2 0,3
2
RPTA.: A
2
2
x 1 x 1 x 1 0
190
José Carlos Turpo
x 1 x 1
2
2
1 7 x 2 4 0
0
x
Puntos críticos: -
+
Al interceptar:
+
-1
1
-4
3
5
x 4,5 3
x 1,
RPTA.: E
RPTA.: E 17.
Resolver: x2 x 20 0 ………………………….(1) x2 6x 9 0 ………………….………(2) x2 x 2 0 ………..……….………..(3)
po
ur
ar
5 -4 Por puntos críticos: +
+
-4
5
De (2): x2 6x 9 0
x 3 x
2
C) 10
RESOLUCIÓN
sé C
De (1): x2 x 20 0 x -5 x +4 x 5 x 4 0
B) 8 E) 14
La solución se inecuación x 3 x 6 0
lo
RESOLUCIÓN
A) 6 D) 12
sT
A) x 4 B) x 5 C) x 4 D) solución E) 4 x 5; x 3
El conjunto solución de la 2 inecuación: a x b x c 0 Es: ;3 6; Calcule a+b+c.
Jo
16.
3
De (3): x2 x 2 0 1 7 x2 x 0 4 4
de
la
x2 9 x 18 0 Con lo cual ax2 bx c x2 9x 18
a=1 b =-9 c =18
a + b + c = 10
18.
Señale el valor máximo de k en la inecuación: 2 x2 k x 2 3 x de modo que la desigualdad se cumpla para todo valor de “x”.
RPTA.: C
A) 8 D) 5
0
deduce
B) 7 E) 4
C) 6
RESOLUCIÓN Preparando la inecuación, se tendría 2x2 k 3 x 2 0 la condición es : 0 ; es decir
k 3
191
2
4 2 2 0
José Carlos Turpo
k 3 42 0 k 3 4 k 3 4 0 k 1 k 7 0 2
20.
x
-
-1
7
x 2 0 es:
4
3
1
B) - 5 E) -1
C) - 2
Factorizando, se tiene
x
k max 6
1
x 2
3
1
x 2
4
1
x 1 x 3
4
1
3
x 2 0 3
; se descarta ya que sus
raíces sus complejas. Factorizando de nuevo.
que
po
Señale el valor entero satisface al sistema.
3
x
RPTA.: C 19.
2
RESOLUCIÓN
k 1;7
x
1
A) - 4 D) - 3
+
0
6
x2 4x 3
Los puntos críticos son k= -1; k=7 en la recta real +
El mayor valor entero negativo que satisface a la inecuación:
x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 2 0 x 1 x 3 2
2
2
ur
x 5x 24...(1)
2
2
x2 2x 24...(2)
B) 4 E) 8
C) 5
-
x 1 x 1 x 2 0 x 1 x 3
-
0
-3
-
-
-1 0 1
+ 2
x 3, 1 1 2; RPTA.: C
+ 6
+
21.
Halle
el
intervalo
solución
al
resolver: x2 x 1 3x 1 4 2 1 4x 2
3 5
A) x ;0
x=-1 x=-3
Recta real:
Interceptando
P.C
D
8
-4
2
+
0
x=-1 x=2
x2 2x 24 0 x 6 x 4 0
x =1 N 2
Jo
-3
+
3.
sé C
x2 5x 24 0 x 8 x 3 0
+
2.
ar
RESOLUCIÓN 1.
2
lo
A) 3 D) 7
descartan los factores: 2 x x 1 y x x 1 con lo cual
sT
se
6
8
x=7
RPTA.: D
192
3 5
B) x ;0
C) x ;
3 5
E) x ;
3 0; 5
D) x 0;
José Carlos Turpo
23. 2
RESOLUCIÓN
2
x x 2x 1 3x 1 3x 1 2 8x x2 x2 2x 1 3x 1 2x 3x
5 x 3
5x 3 3 x 5
0x
Halle la suma de los , al resolver la inecuación: 3 2 16 x 35 x 51 x 0 x 4 x2 1
A) 1 D) 6
B) 2 E) 11
C) 5
RESOLUCIÓN
x 4 x2 1 x 2 x 1 x 2 x 1 3
0
3 5
x 3
16 x 35 x 51x 0
x 0;
16 x 51 x -1 x 16x 51 x 1 0
B) 0 E) 6
C) 4
x 5 2x4 32 3x2 x 2
x 4 x 2
2
0
4 0 x
-1
x
x 2 x
-
2
Jo
“par”
17
3x
x4 16 0
x=
-
+ 51 16
x ;
2 3
+ -2
2 3
+ 1
0
51 0;1 16
1
“par”
+
51 16
x – 1 = 0 x = 1
sé C
2
X=5
16 x + 51 =0
ar
RESOLUCIÓN 48
Puntos críticos x=0x=0
0
lo
A) 1 D) 5
17
sT
2
48
ur
Indicar la suma de aquellos números enteros que satisfacen la inecuación:
x 5 2x4 32 3x2 x 2
x 16x2 35x 51 0
RPTA.: D 22.
2
po
3
RPTA.: A
-
+ 1
+ 2
24.
+ 5
2 x ;1 2;5 3 1 + 2 -2 + 5 = 5
Si: x 5,10 , halle : 32 M-17 N 2x 1 M tal que: N 3x 2 A) 18 D) 12
RPTA.: D
193
B) 16 E) 10
C) 14
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN 2x 1 2 7 3x 2 3 3 3x 2
Como: 5 x 10 9 2 7 19 17 3 3 3x 2 32
19 9 ; N 32 17 32M 17N 10
M
RPTA.: E Encontrar el número mayor M con la propiedad de que para todo 2
5 6 2 E) 5
B) 6 5
D)
C)
9 4
lo
SOLUCIÓN 2
po
2 3
ur
A)
1
se cumple: M x 5 x 5 2
x
sT
25.
1
ar
M x5 x5 2
1
y x5 M y2 y 2
y2 y M 2 0 ; y 0
Jo
sé C
Haciendo cambio de variable
1 4 M 2 0 M
9 4
El mayor valor M
9 4
RPTA.: C
194
José Carlos Turpo
INECUACIONES, VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES EXPONENCIALES 1.
Halle el conjunto de: 4x 3 2 3x
B) 1
A)
5 7
D) 1;
4x 7 4x 7 2x 3 2x 3 3 3 4x-7=6x-9 -4x+7=6x-9 2=2x 16 = 10x 1=x 1,6= x
solución
C)
3 2
2x 3 0 x
5 7
2 3
1
E) 0
1 6
8 C.S. 5
RESOLUCIÓN 4x 3 2 3x 2 3x 0 3x 2 0 x
2 3
3.
1 =x
lo
A)
2.
sé C
C.S.
1
Resolver:
Jo
5 7
ar
2 3
2 3
B)1
D) 3
C) 2
E) 5
RESOLUCIÓN 4x 3 2x 1
RPTA.: B
4x 3 2x 1 4x 3 2x 1 0 6x 4 2x 2 0 x
4x 7 2x 3 3
5 8
2 3
+
A) C.S. 1;
x=1
-
2 3
8 B) C.S. 1; 5 8 C) C.S. 5
+ 1
2 x ;1 =1 3
RPTA.: B
D) C.S. 1;3 E) C.S.
e
ur sT
- 4x+3 = 2-3x
4x 3 2x 1 ,
Resolver:
indicar como respuesta el mayor de los números enteros que pertenece a su conjunto solución.
4x 3 2 3x 4x 3 2 3x
7x = 5 5 x 7
po
RPTA.: C
4.
RESOLUCIÓN 4x 7 2x 3 3
195
Al resolver, indicar el menor valor entero que satisface la 2 2 desigualdad: 4x 3x 1 x 2x 1
José Carlos Turpo
B) E) -2
A) 0 D) 2
C) 1
1 x 2 1 x2 x x 2 x x 2 0 x2 4 x x2 4 x 0 x x 2 x x 2
RESOLUCIÓN 4x2 3x 1 x2 2x 1
4x
2
2
2
x
2
3x 1 x 2x 1 4x 3x 1 x 2x 1 0
5x
2
C.S.
x 5x 1 3x 2 x 1 0
1 5
x
2 x=1 3
conjunto solución de la x 1 1 inecuación 2 tiene x 1 x 4x 8
2 3
po
+ 1
la forma:
1 2 ;1 5 3
El menor número entero
A) 5 D) 9
RPTA.: B
ar
B) 1 E) 4
C) 2
B) 7 E) 10
2
2
x 1 1 x2 4x 8 x 1 Luego: 1 x 1 1 x 1 x2 4x 8 x 1 x2 4x 8 x 1 0 x2 2x 1 x2 4x 8 x2 2x 1 x2 4x 8 0 x2 4x 8 x 1 x2 4x 8 x 1
2x 7 2x2 6x 9 2 x2 4x 8 x 12
RESOLUCIÓN x2 1 elevando x x2 cuadrado y por diferencia cuadrados:
C) 8
Elevando al cuadrado
sé C
A) 0 D) 3
a c Halle: b
RESOLUCIÓN
Halle la suma de los valores enteros que pertenecen al complemento del conjunto solución de la inecuación: x2 1 x x2
Jo
5.
;
a+b+c
lo
1 17 , 2
el
ur
x 0;
1 5
Si
sT
0
1 17 1 17 1 17 , 2 2 2
RPTA.: B
-
+
-
,
2
Entonces: {2, 2}
6. +
x 4 x2 x 4 x2 x 2
x 3x2 5x 2 0
x=0 x
2
0
7 x ; 1 2 a + b + c = 7 + 2+1 = 10
al
RPTA.: E
de
196
José Carlos Turpo
7.
Si la expresión E
RESOLUCIÓN
4x 7 x 7
x 1 0 x 0 x0 x1
x se resuelve a una constante, para x 2,5 ; halle dicha constante.
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
Universo: x 1 Elevando al cuadrado x 1 x2 x2 x 1 0 ; 3 interceptando x
RESOLUCIÓN 4x+7; x
7 4
-4x-7; x
7 4
4x 7
x 1;
RPTA.: B
x 7
10.
7-x; x<7
ur 5
ar
RPTA.: E
Halle la suma de los valores enteros que verifican a la inecuación x 6 x 12 0
sé C
A) 60 D) 63
B) 61 E) 64
C) 62
E)
2;5
RESOLUCIÓN Universo x 2 0 x 5 0 x 5
x2 2 x2 4 x 6
x60 x 12 0 x6 x 12 x= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
RPTA.: B 11.
RPTA.: D Resuelva la inecuación
D) 6;
C) 5;
6 x 2 12
RESOLUCIÓN
9.
B) 6;
x5 3 x2 Elevando al cuadrado x5 96 x2 x2
Jo
8.
A) 5;
sT
x
lo
E
Indicar el conjunto solución de
x2 x5 3
para x 2;5 4x 7 7 x
po
x-7; x 7
1
3
x 1 x
A) 0;
B) 1;
C) ;1 E) ;0
D) 1;1
Indique el conjunto solución de x3 3 x2 5x 2 x 1
A) ;0
B) 0;
1
C) ; 2
E)
197
1
D) ; 2
1 0; 2
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN Elevando al cubo. x3 3x2 5x 2 x3 3x2 3x 1 2x 1 1 x 2 1 x ; 2
2.
2x – 5 < 0 5 x 2
3.
De …(1) y …(2)
14.
9 11 2 D) 7
C) 33
ur
x+4=0 x=-4
lo
sT
x–2>0 x>2 9–x>0 x<9 3; 4; 5; 6; 7; 8. 3 45 6 7 8
ar
sé C
Señale el intervalo en el cual le satisface la inecuación 2x 5 2
A) 2; C)
5 2
E) 7;
D) 3;6
5 2
+ 0
2
3
1
x ; 4
+ +
x 4;1 x 1;
- …. - …. + ….
(x+4) + 3(x-1) = 4 x – 4 + 3x -3 = 4 2x = 11 11 ; 4 x= 2 x
(x+4) +3 (x-1) = 4 x + 4 + 3x – 3 = 4 4x = 3 3 x 4;1 4 3 x 4
x2 5x 6 0 x2 5x 6 0 x 3 x 2 0 +
x -1 = 0 x=1
-4
Cálculo de
RESOLUCIÓN 1.
4 7
x 4 3 x 1 4
-
B) 3;0
5 ;4 2
C)
Cálculo de
Jo
x 5x 6
B)
RESOLUCIÓN
RPTA.: C 13.
7 8 9 E) 4
A)
RESOLUCIÓN 1. 2. 3. 4.
resolver: x 4 3 x 1 4 ,
po
B) 32 E) 35
Al
indicar como respuesta la suma de sus raíces.
Cuántos valores enteros satisfacen a la inecuación 1 1 4 0 4 x2 9x
A) 31 D) 34
5 2
RPTA.: A
RPTA.: C 12.
x 2;
198
José Carlos Turpo
Cálculo de (): (x + 4) 3(x1) = 4 3 1 x= 2
16.
se
3 3 , 4 2 3 3 9 4 2 4
1 2 x 3 0 x 3
x
0,04
x 5
C) 3
x
x 3
Jo
17.
1 puntos críticos x ;0;1 2 +
-
0
-
1 2
2
2 x3
2
1
13
b c b + c = 1 + 13 =14
RPTA.: D Halle el valor de “x” que satisface la desigualdad.
3 4
+ 1
1 2
1 x ;1 13; 2
6x 3 0 x x 1
2
x = 13 x = 1
sé C
1 x 1 1 x 5 5 x2 x3 x 1 x x2 x3 0; x 0;1 x 1 x x2 2x x2 4x 3 0 x x 1
sT
x 3 2
ar
x 2
x3
x2 10x 25 4x 12 x2 14x 13 0 x 13 x 1 0
lo
2x 1 1
2x 1 1 2 x 3 x 3
RESOLUCIÓN 1 25
2
x 3 2
B) 2 E) 0
x2 3
1 x ; ..Universo 2
2x 1 0 x
po
x 2 3
A) 1 D) 4
1 x 1 25
C) 15
2x 1 x 3 1
ur
0,008
B) 16 E) 13
RESOLUCIÓN
Indicar el menor valor entero positivo que satisface la desigualdad: x 1
obtiene
A) 17 D) 14
RPTA.: E 15.
2x 1 x 3 1 , x a;b ;
según esto, hallar (b+c).
Luego:
Al resolver:
2 4x 7 8
A)
1 x 0; 1; 2 2
C) ;
199
4 x 1
B) 9 10
E) ;
RPTA.: B
64 27
D)
9 ; 10
5 2
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN 3 4
2 4x 7 8
3 3 4
2 4x 7 8
2 x 2
x 5 x 1
4 x 1
0
+
12x 12
3 3 4 4 2 4x 7 8 12x 12
+
-
-1
2
5
C.S. 1;2 5;
2 4x 7 12x 4
4x 7 6x 2
C.S.
C
3 4 5 12
RPTA.: B
6x 2 0 x
1 3
19.
2 6x 4x 7 6x 2 2 6x 4x 7 4x 7 6x 2
Jo
4x 4
A) 6 D) 17
x 1
22x
B) 12 E) 20
2 x 4
1 9 9
B) ; 3
C) ;3 E) 2;3
D) 3;
x
x 2
1 x
3 x 3 9 x 2 x2
1 x 2
3 x 3 3 x 2 x2 1 x 2 x3 x 2 x 2 2 x 1 0 x3 x2 3x2 4x 10 0 x 3 x 2
C) 15
RPTA.: E 20.
Indicar el mayor valor entero del conjunto solución de la inecuación x2 2x 15 x 1
2x x 1
2 2 2 x 4 2x x5 x 1 x4 x 0 x 5 x 1 x2 3x 4 x2 5x 0 x 5 x 1 x 5
x 2
C.S. 2;3
RESOLUCIÓN
Halle la suma de los valores enteros positivos que pertenecen al complemento del conjunto solución de la inecuación x 5
2
A) 3;
ur lo
ar
sé C
RPTA.: B
18.
1 3 3 x
RESOLUCIÓN
9 10
5 1 2 9 3 C.S. x ; 10
x 3
po
-5 < 2x 5 x 2
inecuación:
sT
9 < 10x 9 x 10
Halle el conjunto solución de la
A) -1 D) - 4
200
B) -2 E) -5
C) -3
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN Si: x2 2x 15 0 x 3 x -5
-3
5
Si además x+ 1 0 x 1 C.S. ; 3 mayor valor entero = -3
sé C
ar
lo
sT
ur
po
RPTA.: C
Jo
201
José Carlos Turpo
FUNCIONES 1.
Sea
función: f x ax2 b ,
la
a b constantes y “x” un número
x 2;2 Dom f 2;2 ó x / 2 x 2
real cualquiera. Los pares ordenados (0;3); (2;2) y (3;R) corresponden a los puntos de la función, ¿Calcular el valor de “R”? 3 4
A) 1
B)
D) 2
E) 5
RPTA.: C 3.
C) 1; 3
RESOLUCIÓN f x ax2 b
D) 2;6
E) 6;
po
1 4
(3;R) R a 3 b 2
4.
lo ar
sé C
RPTA.: B
Halle el dominio de f x 22 x2
A)
1
B)
C)
2 3
D) ;1
Jo
1 2 3
RESOLUCIÓN y
x2 xy 3y x 2 x3 xy x 3y 2
x y 1 3y 2
2;2
x
RESOLUCIÓN f x 0 ,
entonces
esta
Rang f
2
definida solo si 4 x 0 Luego: x2 4 0 x 2 x 2 0
-
3y 2 y 1
1
RPTA.: B 5.
x = 2 x = -2
-2
RPTA.: B
Halle el rango de la función f cuya x2 regla es f x x3
E)
A) B) x / 4 x 4
+
x6
ur
2
Como
6x0
sT
(2;2) 2 a 2 b b 2 4a b a
1 R 9 3 4 3 R= 4
x2 x 2;6
2
E)
B) 2;6 C) 2;4
x2 0
(0;3) 3 a 0 b b 3
C) 2;2 D) 2;
A) 2;4
RESOLUCIÓN
y ax2 b Evaluando:
2.
Halle el dominio de la función: y f x ; tal que f x x 2 6 x
Dada las funciones f y g cuyas reglas de correspondencia son
f x 3 x 1 6 2
+ 2
202
José Carlos Turpo
g x 2 x 1 3
x2 0 x 1 x 1
2
Señale Rang f Rang g
A) 2;6 C) 6;
B) 3;6 D) ; 3
P.C.
N
x=0 x=1 x = -1
D
E) 3;6
+
RESOLUCIÓN
Rang f ;6 Rang g 3; Interceptando Rang f Rang g = 3;6
-1
-
+ 1
Dom f ; 1 1; 0
Halle “p” para que el conjunto de pares ordenados de: f 2;3 ; 1;3 ; 2;P 6 sea
RESOLUCIÓN
sé C
(2;3) = (2; P + 6) Luego: 3= P + 6 - 3 =P
0
C) 1;1 0 D) E)
1;1
Como
Jo
x2 x 1 2
x=1
B) 1;1 1; D) E)
pues
x 0,
2
1 x 0 x2 1 0 x 1 x 1 0
A) ; 1 1; 0 C)
f x 0 ,
entonces:
Señale el dominio de la función f; si f x
B)
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
7.
1 1 x2 x
A) ; 1
C) - 3
lo
B) - 4 E) - 1
ar
A) -5 D) 2
Halle el dominio de f x
sT
función
8.
RPTA.: A
ur
6.
po
RPTA.: B
+
; 1 U;1 1;1
x = -1
-1
+ 1
x 1;1
dom f 1;1 0
RPTA.: C
RESOLUCIÓN x2 0 x2 1
9.
203
Si f x
x3 , halle su dominio. 2x 1
José Carlos Turpo
1 2
B)
1 ;4 2
D)
A) ; C)
11.
3;
f x x 1 x 2 x 3 2
E)
A) - 1 D) - 4
RESOLUCIÓN Como f x 0, entonces
esta
2
B) - 2 E) - 5
C)- 3
Operando: f x x2 2x 1 f x x2 4x 4 f x x2 6x 9 f x 3 x2 12x 14
-
+
1 2
a = -3; b = 12; c = - 14 fmáx 4a
Dom f
ur
1 3; 2
144 4 3 14
144 168 24 24 fmáx 4 2 3
1 ;3 2
RPTA.: D
ar
lo
RPTA.: B
sT
x ;
3
po
+
Si la función parabólica f x, y 2 / y ax2 bx c
sé C
10.
pasa por los puntos A (1,2); B (-1;12); C (0;4) Calcule a b c
B) 2 E) 5
Jo
A) 1 D) 4
12.
Halle el rango de la función f definida por: f x 2x 1 x 1
1 2
A) ; 2
B) ;
1
C) 3
1
C) ; 2
D) ; 2
1 1 E) ; 2 2
RESOLUCIÓN x=0c=4 x = 1 a + b+ 4 = 2 a + b = -2……………….…
RESOLUCIÓN
x = -1 a-b +4 = 12 a – b = 8……………………
2x-1; x
1 2
1-2x; x
1 2
2x 1 =
De y a = 3 y b = -5 2
f x 3x 5x 4
2
RESOLUCIÓN
x3 1 0 x definida si: 2x 1 2 Luego x 3 0 x 3 puntos 1 2x 1 0 x críticos 2
Señale el valor máximo de la función f, si la regla de correspondencia es:
f1 3 5 4 2
RPTA.: B
204
José Carlos Turpo
1-3x; x
1 2
x2 3x 4 0 x , 1 4;
f x
21 x2 4 0
1 2 1 1 Si: x y 2 2 1 1 Si: x y 2 2 1 R f ; 2
x2 4 21
x- 1; x
x ; 2 2; x 5,5
Dom f 5; 2 4;5
RPTA.: B 13.
RPTA.:E
Dada la función f x ax b; x donde a y b son ctes reales, si f x y f x f y x, y , y si
15.
lo
sé C
Jo
14.
A) 0 D) 5
16.
(3a-2b)
C) - 1
El dominio esta dado por solución de la inecuación: x2 4
Sea una función definida en el conjunto de los números reales, por f x ax b y además f1 1 f 3 13, hallar:
A) 17 D) 19
RESOLUCIÓN
21
+
RPTA.: D
21 x2 4
x2 3x 4
a–b=4
RPTA.: C
x2 3x 4
B) 1 E) - 5
6 = a+b
a=5 b = 1 a2 b2 52 12 26
Halle la suma de los valores enteros del dominio de la función: f x
1;a b 1;4
a +b = 6 a–b=4 2a = 10
f 2 2a 6 a 3
a +b = 3
C) 32
(2;6)= (2;a+b)
ar
a x y b ax b ay b
B) 16 E) 27
RESOLUCIÓN
Como f x y f x f y b=0 luego: f x ax
ur
C) 3
RESOLUCIÓN
A) 12 D) 26
sT
B) 2 E) 5
Si M 2;6 ; 1;a b ; 1;4 ; 2;a b ; 3;4 es una función, halle: a2 b2
f x 2 6 Halle: a +b
A) 1 D) 4
x2 4 0 x2 25 0
po
la
B) 16 E) 23
C) 15
RESOLUCIÓN Si f x ax b , evaluando:
0
*
f1 1 a 1 b 1
a +b = -1
205
José Carlos Turpo
f 3 13 a 3 b 13
18.
- 3a+b = -13
a + b = - 1 (-) -3a + b = - 13
A) -8
4a
D)
B)
C)
0
D) 7;1
gof a 1 g f a 1 a2 a 3
E) 1;
RESOLUCIÓN esta
lo
entonces
19.
ar
definida solo si: x2 16 0 pero, como nos solicitan el rango, entonces:
y 3
2
x2 16
2
Jo
B) 4 E) 2
que
C) -3
f f * x x , x Df *
y 7 y 1 0
valor de “b” de manera f b 1 3 f * b2 ;b
Calculando f * x :
0 2 y 6y 7 0
2 f * a 3b x
f * x
x 3b ;x Df * 2
y =1
+
f x 2x 3b , determinar el
RESOLUCIÓN
x y2 6y 7
y = -7
Si:
A) 3 D) - 4
y2 6y 9 x2 16
x2 y2 6y 7
RPTA.: B
sé C
x2 16 3
Reemplazando resultados: (fog) (3) = (gof) (a1) a² + 6a + 11 = a² a+3 8 a= 7
sT
Como f x 0 ,
7 8
po
7;1
1 7
C)
f o g3 f g 3 f 3 a a2 6a 11 2 gof a 1 g f a 1 g a 1 2
Halle el rango de: f x x2 6 3
A)
8 7 1 E) 8
B) -
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
y
g x x a ,
determinar el valor de “a” de modo que (f o g) (3) =(g o f)(a-1)
= 12 a=3 b=-4 3a – 2 b = 3 (3) – 2 (-4) = 17
17.
f x x2 2 ;
Si
ur
*
Como: f b 1 3 f * b2
-7
+ 1
y ; 7 1; Ranf 7;1
b2 3b 2 b 1 3b 3 2 2 3b 11b 4 0 1 b= b=-4 3
RPTA.: D
RPTA.: A
206
José Carlos Turpo
20.
Señale el valor de “n” en la función f ; si f x x 2 x 3 ... x n y el dominio es 10;
A) 6 D) 10
B) 7 E) 13
C) 9
RESOLUCIÓN
sT
sé C
ar
lo
RPTA.: D
ur
n = 10
Jo
po
x2 0 x 2 x3 0 x 3 . . . xn 0 x n Como : n > 2 > 3... Dom f n;
207
José Carlos Turpo
LIMITES
3.
TEMA:
A) 3a D) 1
x3 5x2 3x 3 x 1 3x3 6x2 9x
RESOLUCIÓN
1 3 6 E) 5
A) 5 D)
B)
1 6
5 6
C)
numerador
4.
x 64 3
x 4
y 2
el
valor
expresión
P x
límite de la 8x2 2x 3 ; 12x2 2x 2
A) -3 3 D) 4
B) 2
C) 1
1 E) 2
Evaluando: 2
P 1
1 1 8 2 3 2 2 2
2 13 0 3 12 0
1 1 12 2 2 2 2 Factorizando: 2x 1 4x 3 4x 3 Luego: P x , y 2x 1 6x 2 6x 2 2
x y2
lim
Hallar
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
1 3
Jo
C)
Hacemos un cambio de variable x y3 y6 x x 8
2
sT
lo
sé C
x 4
RESOLUCIÓN
lim
para x=0,5
ar
x 8
3
ax
= 3a
Calcule el siguiente limite:
E) 2
2
x a
RPTA.: C
1 D) 4
2
x2 6x 3 5 x 1 3x(x 3) 6
B) 3
a a x a ax x a lim a a x a ax x
lim
A) 4
C) -a
po
lim
Factorizando denominador. x 1 x2 6x 3 lim x 1 3x x 1 x 3
x 64 3
B) a E) a2
Multiplicando al numerador y denominador por su conjugada se tiene: a2 ax x4 a ax lim x a a2 ax a ax x2
RESOLUCIÓN
a ax
x a
Calcule el siguiente límite lim
2.
a ax x2
ur
1.
lim
1 4 3 1 5 2 1 como x P 2 5 1 6 2
y3 8 y2 4
y 2 y 2y 4 y 2 y 2 y 2 2
lim 3
RPTA.: B
RPTA.: C
208
José Carlos Turpo
5.
Halle el V.V. de la expresión x2 x2 12x , para x =4 T x2 5x 4 1 2 1 D) 6 3
1 3 1 E) 5 2
A) 11
B) 9
C)
7
5 x2 8 x lim x 1 x2 4 x
2 3
6 5 6 8 2 x2 800 2 1 1 1 400 2 2 x
RPTA.: D 7.
x3 1 x 1 x2 1
Calcule: lim
RESOLUCIÓN
4 4 12 4 T 2 4 5 4 4 3
2
2 3 1 D) 4
64 16 48 0 16 20 4 0
Factorizando num. y den. N = x x2 x 12
x 1 x 2 x 1 lim x 1 x 1 x 1
T
x x 4 x 3
x 1 x 4
Jo
6.
Halle el lim x
A) 6 D) 2
x 1
,
y
x
8x 5x 6 4x2 x 1
2
A) 1
B)
x 1
x 1
1 2 1 E) 5
1 4
x 1 x 1
1 3
1 x 1 2 RPTA.: B
x10 a10 x a x5 a5
Halle lim A) 2 D) a5
1
Dividiendo numerados denominados entre x²
C)
x 1
C) 1
8 5 4
x 1 x 1
lim
RESOLUCIÓN lim
3 2
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
9.
2
Calcule: lim
D)
2
B) 0 E)
ur x x 3
sé C
como x = 4 4 7 28 T 3 3
1 2
RPTA.: B
sT 8.
lo
=
x2 5x 4 x -1 x -4 (x-1)(x-4)
ar
D=
C)
RESOLUCIÓN
-4 3
x x 4 x 3
=
B)
po
x x
3 2 5 E) 4
A)
B) a2 E) 2 a5
C) 5
y
209
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Factorizando: x5 a5 x5 a5 lim x a x5 a5
lim 2 4 2
x
Multiplicando la expresión por conjugada x2 4x x2 x x2 4x x2 x
2 a5
RPTA.: E 10.
Halle el valor de 2x20 3x10 1 lim x 4x20 2x5 1 A) 2
B)
3 D) 4
x lim
3
C) -2 1
E) 13.
x
2 1 4 2
x
x x2 x2 x 1
B) E)
C)
Halle
3 2
valor aproximado de x6 x 1 2 la función Tx 2 , para x 16 x 4x x=4
el
A) 2 5 1 D) 3
T
B) 2 4
C) 2 3
E) 0,25
46 4 1 10 5 2 2 4 16 4 4 4 0 0
Efectuando operaciones: x6 x 1 x x 6 x 1 x 6 T x x 4 x 4 x 4x 4 x x 4
RESOLUCIÓN
Jo
x10 x 2 ; ya que el x x2 x 1 exponente de númerador es mayor que el exponente del denominador. lim
4 4 x 1 x 1 x x
RESOLUCIÓN
sé C
A) 0 D) -1
10
ar
Calcule lim
lo
RPTA.: B 11.
3x
ur
Coef de x20 Númerador
Coef de x20 Denominador
lim
4 1 1
sT
x
RPTA.: D
RESOLUCIÓN lim
4x x2 x
x2 4x x2 x
x
1 2
2
la
po
x4 1 y como x x 4 x 4 x x 4
x=4 T
1 1 ó 2 5 4 4 4 32
RPTA.: B RPTA.: A 12.
2
2
Halle el lim x 4x x x x
A) D)
3 2
14. 2 B) 3 5 E) 7
Halle el lim
x 3
2 C) 3
210
4x 27x3 6x 5 16x2 5x 2
A) 6
B) 0
D)
E)
C)
1 7
4 7
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
4
lim x
3
27 6 5 16 5 2 3
2
x3 1 lim k x b 2 x 0 x 1
Indeterminado Transformando adecuadamente
lim
kx b x2
4x
x
3
27
6 5 5 2 x2 16 2 x x x2 x3
6 5 2 2
5 2 2
6
5
5
2
0
0
0
0
4x x 27 16 3
4 7
x 1 kx b kx b x3 1 lim x 0 x2 1 k 1 x3 bx2 kx b 1 lim x 0 x2 1 como el limite es cero, entonces k = 1, b = 0 k +b = 1
ur
sé C
sT
ar
x 0
15 34 5 E) 3
B)
C)
20 31
Jo
34 15 17 D) 19
Calcule el siguiente limite: 6x sen2x lim x 2x 3 sen 4x
D)
lo
senkx 1 kx sen5 x sen3 x Calcule lim x 0 3x 5x
Si: lim
A)
RPTA.: A
A) 3
RPTA.: E 15.
2
po
17.
RESOLUCIÓN
3 sen3x 5 sen5x E lim x 0 3x 3 5x 5 3 5 9 25 34 E 5 3 15 15
2 7
B) 0 E)
B) 0 E) -1
6 5
RESOLUCIÓN 6x 5 sen 2x x lim x 0 2x 3 sen 4x x sen 2x 6 x lim x 0 sen 4x 23 x sen 2x 62 x lim x 0 sen 4x 23 4 4x 62 2 2 12 7
RPTA.: D
Halle la suma de las constantes k x3 1 y b, que cumple lim k x b 2 0 x 0 x 1 A) 1 D) 3
C)
1 6
RPTA.: A 16.
2
x 0
3
lim
1 x3 1
18.
C) 2
Calcule el siguiente limite 1 cos 6x lim x 0 sen 6x A) 0 D) 6
211
1 6 E) 2
B)
C) 1
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN Factorizando numerador denominador: x x 2a x a lim x x x 2a
Aplicando la Regla de H´ospiral d 1 cos 6x 0 sen 6x 6 lim dx lim x 0 x 0 d cos 6x sen6x dx
lim x
Evaluando: 0 0 uno
Este 2a-5 a=2
x x a
1a x resultado igualamos
con:
RPTA.: C
RPTA.: A
A) D)
B) E)
po
Calcule el siguiente limite: tg x sen x lim x x3 C)
ur
19.
y
20.
Jo
lo
sé C
ar
sen x sen x cos x lim x x3 sen x 1 cos x lim x x3 cos x sen x 1 cos x 1 lim 2 x x cos x x 1 2
sT
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
Halle el valor de “a”, sabiendo que: lim x
x3 2a2 x ax2 2a 5 2ax x2
A) 1 D)
a > 0
1 3
B)
1 2
C) 2
E) 3
212
José Carlos Turpo
RPTA.: B
PROGRESIONES 1.
3.
Cuántos términos debe tener una P.A. cuya razón es 2. Sabiendo que el noveno término es 21 y la suma de todos ellos es 437. A) 11 D) 23
B) 19 E) 25
C) 21
La suma de los tres primeros términos de una P.A. es 42, la suma de los tres últimos es 312, y la suma de todos los términos 1062, ¿de cuántos términos consta dicha progresión? A) 14 D) 18
RESOLUCIÓN a9 a1 8r
B) 16 E) 19
C) 17
RESOLUCIÓN a1 , a2 , a3.....an2, an1 , an an , an1 an 312
2 a1 n 1 r S n 2
3 a1 an 354
po
a1 5
ur
a1 an an a1 a1 an 354
a1 an 118
2 5 n 1 2 437 n 2 437 4 n n
lo
sT
S 1 062
n = 19
ar
sé C
RPTA.: B
Encontrar la mayor edad de tres personas; sabiendo que forman una P.A creciente, cuya suma es 63 y la suma de sus cuadrados es 1373.
Jo
2.
A) 27 D) 24
B) 26 E) 23
a1 an 2 n 1 062 118 2 n 1 062 n = 18
RPTA.: D 4.
C) 25
RESOLUCIÓN
En una P.A. los términos de lugares 11 y 21 equidistan de los extremos y suman 48. Determinar la suma de todos los términos de dicha progresión.
a-r,a,a+r S = 63 3a = 63 a = 21 2 2 a r a2 a r 1 373
A) 360 D) 744
2 a2 r 2 a2 1 373
RESOLUCIÓN
2 21 r 21 1 373 2 441 r 441 1 373 2
2
B) 372 E) 804
C)
720
a1 ,........a11................a21 ..........an
2
10
2
+
a1 a2 a3 42
21 a1 8 2
10
a1 an a11 a21
r2 25 r 5 16 , 21 , 26
48
213
José Carlos Turpo
*
x 2y
a an S 1 n 2 48 S 31 2 S = 744
*
y
Calcule el valor de (xy) A) 3 D) 9
RPTA.: D
B) 30 E) 20
2y – x = 4 x + 1 - 2y 4y - 5x = 1
C) 80
ur
a3 4a1....
a6 17
7.
lo
a6 3r 4 a6 5r 17 3r 4 17 5r
a8 a6 2r
sé C
a1 2
Calcule: 2 26 242 K 1 2 6 10 ... 3 3 3
201 80 80 D) 201
A)
101 80 200 E) 81
B)
C)
301 80
Jo
a1 17 5 3
ar
17 3r 4 17 20r 17 r 3 17
a1 a6 5r
RPTA.: E
sT
De :
r=3
x + y – y = 2 y + 2 – x –y x=y+2–x 2x –y = 2 y=2x-2 4 2x 2 5x 1 8x - 8 - 5x = 1 3x = 9 x = 3 y = 4 x y = 12
RESOLUCIÓN
C) 7
RESOLUCIÓN
En una P.A el tercer término es igual a 4 veces el primero y el sexto término es igual a 17. Halle la suma de los 8 primeros términos. A) 50 D) 10
B) 4 E) 12
po
5.
4x 1 ... x y 2y 2 ...
Último: a31 n 31
a8 17 2 3
RESOLUCIÓN
a8 23
2 26 242 10 .... 32 36 3 3 1 27 1 243 1 K 1 2 2 6 6 10 10 .... 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 K 1 3 5 ... 3 5 ... 3 3 3 9 9 9 1 1 K 1 3 9 1 1 1 2 1 2 3 9 K 1
a a8 a1 a2 ..... a8 1 8 2 2 23 a1 a2 ..... a8 8 2 a1 a2 ..... a8 25 4 100
RPTA.: C 6.
Dadas las aritméticas:
progresiones
214
José Carlos Turpo
1 K 1 3 8 9 201 K 80
¿Cuál será la S 3n2 n , expresión de la suma sino se considera el primero ni el último?
1 9 1 3 9 80 8 80 81
A) B) C) D) E)
RPTA.: A 8.
La suma de los “n” términos de una P.A. es:
RESOLUCIÓN
7n 1 Sn n 2 Calcule el término que ocupa el lugar 21.
B) 144 E) 100
C)
S 3n2 n
a1 an a1 an 2 3n 1 2 n 3n n 2
169
po
A) 122 D) 105
Sin considerar a1 y an a an1 S 2 n 2 2 a2 an S n 2 2 S 3n 1 n 2 3n2 5n 2
ur
RESOLUCIÓN
ar
sé C
a1 an 7n 1 2 n 2 n a1 an 7n 1 S1 : n 1
lo
sT
7n 1 Sn n, a21 ?? 2 a an Sn 1 n 2
2 a1 8
Jo
a1 4
B) 100 E) 220
C)
150
T1 , T2 , T3
11
T , T, T q q T T T q 248 …………………. q T T T q 64 000 q
a21 a1 20r a21 4 20 7 a21 144
RPTA.: B 9.
En una P.G. de tres términos la suma de ellos es 248 y su producto es 64 000. Escribir la progresión y dar como respuesta el mayor de sus términos.
RESOLUCIÓN
a1 a2 15 r 7
10.
RPTA.: D
A) 50 D) 200
S1 : n 2
4
3n2 5n 2 3n2 5n 2 3n2 5n 2 3n2 5n 2 3n2 5
T 3 64 000 T = 40
En una P.A. la suma de sus “n” términos está dada por:
En
215
José Carlos Turpo
T1 T1q2 T1q4 637
1 40 1 q 248 q Resolviendo: q=5 T q 40 5 T q 200
q=3 13.
C) 4
A) 3 D) 6
C) 5
ur sT
T1 T1q T1q2 T1q3 T1q4 484
T1 T3 5 x2 5 2 T2 3 T2 3
lo
T1 1 q q2 q3 q4 484
ar
3 T2 x 2 5
T1q T1q3 120
T1 q q3 120
: 1 q q2 q3 q4 121 30 q q3 Resolviendo: q = 3
sé C
Además: T3 T 2 T22 T1 T3 T2 T1 9 2 x 2 x 6 x 2 25 Resolviendo x = 3
Jo
RPTA.: A 14.
RPTA.: B La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una PG. De 6 términos es 637 y la suma de los que ocupan el lugar por 1 911. Halle la razón. B) 4 E) 7
B) 4 E) 7
RESOLUCIÓN
T1 x 2, T3 x 6
A) 3 D) 6
La suma de los términos de una P.G. de 5 términos es 484. La suma de los términos de lugar par es 120. ¿Cuál es la razón entera de la progresión?
po
B) 3 E) 2
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
12.
q T1 1 q2 q4 1 911
Determinar “x”, si el primer término de una P.G. es igual a (x-2); el tercer término es igual a (x+6) y la media aritmética de sus términos primero y tercero se 5 refiere al segundo como . 3 A) 7 D) 5
T1 q T1q3 T1q5 1911
RPTA.: D 11.
T1 1 q2 q4 637
La suma de 3 números en P.A. es 15, si a estos números se agregan el doble de la razón excepto al término central entonces ahora se encontrarán en P.G. indicar la razón de esta última progresión. 20 3 10 D) 3
A)
C) 5
B) -3 E)
C) 5
5 3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
a - r, a, a + r 3a = 15 a=5
T1, T1 q, T1 q2 , T1 q3, T1 q4 , T1 q5
216
José Carlos Turpo
5 – r, 5, 5 + r 1 1 6 2 4 1 3 a7 2 2 2 a7 1 2 a7
5+r, 5, 5+ 3r P.G. 5 5 3r 5r 5 25 5 r 5 3r
RPTA.: C
25 25 20r 3r2
17.
3r2 20r 20 r 3
RPTA.: A
A) 0,2 D) 0,8
En la P.A. 100 96 92.... Calcule el término que ocupe el lugar 18. B) 31 E) 34
po
lo
a1 100
sé C
ar
an ?
an a1 n 1 r
P
18.
Jo
a18 100 68
3 32 1 1 2 2 2
Halle el n-esimo término de la sucesión 8 13 18.... A) 16n2 30n 6 B) 25n2 30n 9
RPTA.: C 16.
C) 16n2 25n 9
Calcule el séptimo término de la sucesión 21 22.....
D) 4n2 2n 1
A) 2 6 D) 20
RESOLUCIÓN
B) 2 7 E) 22
1
RPTA.: C
a18 100 18 1 4
a18 32
1 3 2 1 3 2 1 3 1 1 1 1 1 S2 ..... 2 2 1 1 1 2 4 8 1 2 2 S2 1 1 1 S1 1 ..... 3 9
C) 32
RESOLUCIÓN r = 96-100= -4 n = 18
C) 0,5
RESOLUCIÓN
ur
A) 30 D) 33
B) 0,4 E) 1, 0
sT
15.
Señale el valor de: 1 1 1 1 1 P 1 ... 2 3 4 9 8
C)
E) 64n2 8n 21
20
RESOLUCIÓN 1 2 n=7 1 1 1 r 4 2 4 a1
a1 = 8 = 5 + 3 a2 = 13 = 5 2 + 3 a3 = 18 = 5 3 + 3 an = 5n + 3 an² = 25n² + 30n + 9
RPTA.: C
217
José Carlos Turpo
19.
Calcule el valor de P 1 2 3 4 ... n A) -n
B) n
D) n -1
n E) 2
C)
n+1
RESOLUCIÓN n: es un número par Para 2 términos: 1- 2 = -1 Para 4 términos: 1 - 2 + 3 - 4= -2 Para 6 términos:1-2+3-4+5-6=3 n Para n términos: 2
RPTA.: E
C)
D)
2
lo
E)
2 n n 1
ur
2n 1 6 n 1
B)
sT
2n 1 6 n 1
A)
po
Señale el valor de “x” en la ecuación 2 2 2 2 x 1 x 2 x 3 ... x n nx2
6
ar
20.
RESOLUCIÓN
Jo
sé C
Operando x2 2x 1 x2 4x 4 x2 6x 9
x2 2nx n2 n x2
nx2 2x 1 2 3 ... n 12 22 32 ... n2 nx2
2x
n n 1
n n 1 2n 1
2 3 2n 1 2n 1 2x , x 3 6
RPTA.: C
218
José Carlos Turpo
LOGARITMOS E INECUACIONES LOGARÍTMICAS 1.
Determine el valor L og100 N 1,5 L og512 29 A) 10 D) 2 200
“N”,
B) 100 E) 512
si
ab c
B)
a b c2
D) 3
a b c2
E) 3
ab c2
3 3 L og512 512 L og100 N 2 2
N = 100 3 2 2
antilog
3 2
1 000
C)
ar
E) 3,7
3 2
x x
C) 2
RESOLUCIÓN
1
RPTA.: B 5.
Resolver
Log23 x 2Log3 x 3 ,
e
indicar el producto de sus raíces.
52x 55 -2x=-5 5 x 2 5 7 K 1 2 2
A) -4
B) 9
D) -3
E) 1
C)
1 9
RESOLUCIÓN
RPTA.: D 3.
B) 1 E) 0,75
2 w Log2L og3 antilog3 2 1
22
5 1 5 25 2 2 5 2x 5 25 25 55
A) 0 D) 1,5
Jo
25
2
RPTA.: D
2
1
k L og 1 32 105 L og
a b c2
w Log2 L og3 antilog3 L og1,5 1,5
sé C
RESOLUCIÓN
3
Halle el valor de W=Log2 L og3 antilog3 L og1,5 2,25
sT
3 2
lo
B)
a b c2
ur
4.
Calcule k L og 1 0,00032 L og 2 20,5 25
1 a b L og 2 3 c
antilog L og 3
RPTA.: C
5 2 7 D) 2
po
N = 10
A)
ab 2c
1 antilog L oga L og b L ogc2 3
1
2.
C) 3
RESOLUCIÓN
C) 1 000
RESOLUCIÓN L og100 N
A)
Log3x
2
La expresión: 1 1 antilog L oga L ogb 2L ogc es 2 3 igual a:
2 Log3x 3 0
a a 2a 3 0 a 3 a 1 0 2
219
José Carlos Turpo
a = -3 Log3 x 3
a=1 Log3 x 1
1 27 1 1 x1x2 = 3 2 9
x2 3
x1
RPTA.: C 8.
RPTA.: C
Logx xx
Resolver:
xx
indicar el valor x2 1 A) 15 D) 37
B) 8 E) 48
x2
x 2
,
base 8 4 2
e
7 2 8 D) 7
C) 24
1
1
8
x2x x 4 x x x4 x2x
sT
Log 13 2
2x
lo ar
sé C
RPTA.: C
Resolver Ln 12 Ln x 1 Ln(x 2) , e indicar su conjunto solución:
D) 1;5
B) 2
Jo
A) 5; 2
6 13
3
13
2 23 2 4 2 4
Log8 4 2 2 2 Log
x x x + 5 = 2x x=5 52 1 24
7.
4
ur
x
x 5
C)
Log2 2 Log2 22 Log22
x
xx
B)
RESOLUCIÓN
xx Logx xx x2x 4 x
11 3 9 E) 4
A)
RESOLUCIÓN
x
Calcule el logaritmo de 2 2 en
po
6.
Verificando, no será valor de la ecuación C.S.= 5
1
23 2 4
1 2 2 2
3 2
24
3 2 13 4 6 13
RPTA.: C
C) 5
9.
E) 3; 2
RESOLUCIÓN
Ln12 Ln x 2 Ln x 1
Señale el valor de x que satisface a la igualdad. 7x2 1 Log (x 3) 5 5 7x 3 12 5 5 B) 12 C) Indeterminado D) Incompatible E) x
A)
Ln12 Ln x 2 x 1
12 x2 3x 2
0 x2 3x 10 x -5 x 2 (x-5)(x+2)=0 x = 5 x = -2
RESOLUCIÓN x 3
220
7 x2 1 7x 3
José Carlos Turpo
1 3 1 D) 81
7x2 3 x 21x 9 7x2 1 - 24 x +9 = - 1 10 = 24 x 5 x 12
A)
1.
Resolver la ecuación 2 Logx x x Logx2 x x 24
2.
C) 6
m n
a)
x2 24 2 2x x2 48 x2 2x 48 0 x 8 x 6 0 x
1
sT
x2=
x=6
lo
1 81
1 27
sé C
ar
x1 x2
RPTA.: C 13.
B) 8 C) 10 E) Incompatible
Señale el valor de “x” que verifica la igualdad
nlogn x
nn
A) n D) nn1
B) nn n 1 E) nn
Jo
logn x
RESOLUCIÓN
1 1 a a 2 2
2 a a 1
n
C) nn1
RESOLUCIÓN
2 a a 1 Elevando al cuadrado 4 a a2 2a 1
Elevando a la potencia “n”
nLogn x
nLognx
nn
nn
n
nLogn x n
0 a2 2a 1 a = 1 Logx = 1 x = 10 Incompatible
Logn x nn1 n 1
x nn
RPTA.: E 12.
z = 1 x=3 1 z = 4
Resuelva la ecuación 1 Log x Log x 2
Logx a
Logx 3 z 4 z2 3z 1
x2 4 3
ó
A) 6 D) 100
Tomando logaritmo en base “x” Logx 3 Logx 81 Logx 27 Logx x
ur
b)
RPTA.: C 11.
1 243
4 z2 3z 1 0 4z 1 z z -1-4z - 3z 4z 1 z 1 0
RESOLUCIÓN
x=-8 x=6
1 27
Logx 3 4Logx 3 3Logx 3 1
B) 4 E) C ó D
Como: Log an am
C)
po
A) 3 D) -8
E)
1 9
RESOLUCIÓN
RPTA.: B 10.
B)
RPTA.: E
Señale el producto de las raíces de la ecuación: 81 Logx 3 27 x
14.
221
Halle la suma de las raíces de la siguiente ecuación
José Carlos Turpo
Log2x Log2 x
A) 16 D) 21
Log2 xy Log2
B) 17 E) 32
x 8, y
2Log x 4Log y
C) 19
e indicar el producto de valores “x”
RESOLUCIÓN Log2x z 2 z z
A) 10
B) 100
z=4 4z z2 z = 0 Log2x 0 Log2 x 4
D) 1
E) 0
x 20 x=1
2Los x 22Log y Log x 2Log y
16 + 1 = 17
Log x Log y2
RPTA.: B
x y2
po
15.
Indicar el producto de las raíces de la siguiente ecuación
sT
C) 125
lo
B) 15 1 E) 5
RESOLUCIÓN
Log y
3
3Logy Log y 3Logy Log y 8 2Log y 4Log y 8
sé C
Log y 1
Jo
Haciendo Log5x z; se tiene 3 z 2 z 2z 3 0
z 3 z 1 0
Log y 1
y1 10
y2 101
x1 102
x2 102
x1 x2 102 102 100 1
Log5x 3
RPTA.: D
x = 125 Log5x 1
17.
1 x= 5 Por consiguiente: Producto = 25
Si a;b
distintos de la unidad y
además: ab = 1 averigüe el valor de: aLogb 0,5 bLoga 0,2
RPTA.: D 16.
Log2 y 1 Log y 1
Log5x 2 3Logx 5
y2 8 y
Logy Log y3 Log y 8
Tomando logaritmos en base “x” Log5x 2 Logx x Logx125
z- 2=
x 8 y
Log2y3 Log2y 8
ar
D) 25
Log2 xy Log2
Log2 y2 y Log2
xLog5x 2 125
A) 5
1 10
RESOLUCIÓN
x 24 x = 16
ur
C)
A) 2 D) 10
Resolver el sistema:
222
B) 5 E) 12
C) 7
José Carlos Turpo
20.
RESOLUCIÓN
Logx 2x
1 b a1 a Ahora reemplazando:
De: ab= 1 b
Log
a
a1
5 10
Log
b
b1
2 10
x2 2
A) 2 D)
aLoga 2 bLogb 5 2 5 7
RPTA.: C 18.
Halle el producto de los raíces de:
B) 4 E)
2
C) 8
2 2
RESOLUCIÓN 1 Log2 x2 Log2 2 Logx 2x
Halle el Log 6!, sabiendo que Log 2=a; Log 3=b
Log2 2x Log2x
Log2x2
A) 2a+3b+1 B) 3a+2b+1 C) 4a+b+1 D) a+2b+1 E) 3a+b+1
2 Log2 x 1 Log2x 2
2Log2x Log2x 1 0
+1
Log2 x
-1
po
RESOLUCIÓN
ur
Log 6!= Log 1 2 3 4 5 4 6 Log 6!= Log 1 Log2 Log3 Log 4 Log5 Log6
Log2x 1 x 2
Pero la necesidad es expresado en términos de 2 y 3. Por ello. 10 Log 6!=0 a b Log2 22 Log Log2 3 2
sT
Log2 x
lo
x
1 2
1 2
2 2
x1x2 2
RPTA.: D
sé C
ar
Log 6!=a b 2Log2 1 Log2 Log2 Log3 Log 6!=3a+2b+1
2Log2 x
19.
Jo
RPTA.: B
El valor de la expresión: 10
Log 4 3 Log9 27Log4 9
; será:
A) 0,001 D) 1 000
B) 0,1 C) 10 E) 100 000
RESOLUCIÓN Aplicando la regla del sombrero dos veces en: Log4 9Log3 4
10Log2 27
3
10Log3 4 Log4 9 Log9 27 10Log3 3
103 1 000
RPTA.: D
223
José Carlos Turpo
RESOLUCIÓN
n 3 ! n2 3n 2 n2 3n n 3 ! n 1 n 2 n n 3 n 3 ! n n 1 n 2 n 3 n 1 !n n 1n 2n 3 n n 1n 2n 3
BINOMIO DE NEWTON Y RADICACIÓN 1.
Halle la suma de valores de “n” que satisfagan la igualdad n! 3 n! 2 3 n! 6 A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
n 1 ! 1
C) 3
n=1 n=2
3
RPTA.: A
RESOLUCIÓN Sea n! = z z2 z 6 3z 18 z2 2z 24 0 z 6 z 4 0 z = -4 n 4 no existe
28 3
K K
lo
119!
5!
719!
n!!
720!
719! 6! 720
720! 120! 720!
Simplificar: 11 12 P C38 C84 C59 C10 6 C7 C4 A) C12 8
B) 2C12 8
D) C13 4
E) C12 5
14 14 28 3 7 3
RESOLUCIÓN
12!1 13 7
C) C13 5
11 12 P C38 C84 C59 C10 6 C7 C4 11 12 P C94 C59 C10 6 C7 C4
Calcule la suma de valores de “n” n 3 ! n2 3n 2 n2 3n B) -3 E) 9
n!!
n!!
119!x120
12! 13! 14! 12! 13! 12! 7 12!1 13 13 14
A) 3 D) - 8
6!
n!!=120! n!=5! n= 5
5.
RPTA.: D 3.
C) 5
RPTA.: C
RESOLUCIÓN K
n!!
n!!
C) 14
Jo
D)
14 3 7 E) 3
B)
6!
B) 4 E) 7
720!
sé C
A) 28
n!!
RESOLUCIÓN
ar
Reducir: 12! 13! 14! K 12! 13! 12!x7
719!
A) 3 D) 6
RPTA.: C 2.
5!
po
720!119!
ur
ó
Halle el valor de “n” en:
sT
z=6 n=3 n=3
4.
10 11 12 P C10 5 C6 C7 C4
C) 8
11 12 12 12 P C11 6 C7 C4 C7 C8 13 P C13 8 C5
RPTA.: C
224
José Carlos Turpo
Resolver: 19 20 C18 C18 6 C7 C8 E 5 21 C13 C21 8 B) 4
1 4
E) 6
D)
9.
A) 2 D) 5
RESOLUCIÓN E
E
18 19 20 C18 5 C6 C7 C8 21 C13 C21 8
19 20 C19 6 C7 C8
21 C21 8 C8
C21 8 2 C21 8
1 2
Si se cumple que Cxy 12 C6y 5
15 15 16 2C15 8 C8 C7 C8
2.
16 16 16 17 C16 7 C8 C9 C8 C9
3.
17 18 C17 10 C9 C10
4.
18 18 18 19 C18 7 C10 C11 C10 C11
5.
19 20 4C19 11 C11 nC8
sT
C) 16
lo
B) 15 E) 18
sé C
y -1 = 6 y = 7 x + 2 = y + 5 x = 10
ar
10.
i) ii)
y - 1 = 6 y-1+6 = x+2 = y+5 12 = x + 2 = 12 y=7 x = 10 X +y = 17
iii)
Jo
2)
1.
5 C19 11 n
RESOLUCIÓN 1)
C C
26 20 19 9
C C
A) 1 D) 4
19 9 25 6
C C
Respecto a las proposiciones
n+1 - n = n n ; n n 1 1 n1 n n1
; n 12! 1 3 5 7 9 11 64 6!
B) VVF E) FFF
C) VFV
RESOLUCIÓN
26 6 19 10
C C
B) 2 E) 5
RPTA.: B
A) VVV D) VFF
Reduzca 20 10 25 5
20 11 C19 n 3 12
Indique la razón de verdad
RPTA.: D 8.
C) 4
20 5C19 11 nC12
Halle x + y A) 13 D) 17
B) 3 E) 6
RESOLUCIÓN
RPTA.: C 7.
Determine el valor de “n” , si 18 17 16 15 20 cumple 4C19 11 C7 C10 C7 2C8 n C8
po
A) 2
RPTA.: C
1 C) 2
ur
6.
19 C26 6 .3C9 26 C19 9 .C6 E= 3
E
Para el caso (i) (n+1) n - n C) 3
*
RESOLUCIÓN 19 20 C26 6 C10 C9 E 19 25 C9 C5 C25 6
*
225
=n
n 1 1 n(n)
Para el caso (ii) n 1 1 n 1 n n n 1 n n n2 nn2 n1 n1 0 = 2 ( falso) Para el caso (iii)
José Carlos Turpo
Operando el segundo miembro 12! 12 11 10 9 8 7 6 64 6 64 6
a' 720 a'' 1
RPTA.: C 11.
n2 1 1 n2
El equivalente de:
A) n 1
B) n n 1
C) n n 1
D) n +1
2
13.
lo
n 1
n
n 1
2
-1 -1
1 n n 11 n n
1 n2 n 1 1 n2 n
2
2
2
2
Jo B) 6 E) 9
2 6
4
8
4
36
83 512
RPTA.: C
Determine la suma de todos aquellos valores de “n” que verifiquen la igualdad: n! n! 321 80 5n! 9 A) 5 D) 8
Exponentes: 4 5 4 6 5 4 4 1 5 30 36 4
RPTA.: B
12.
Procesando por partes para el radicando: 9 9 8 7 9 8 7 8 7 8 7 8 7 7 1 8
Ahora reemplazando en:
sé C
n
2
RESOLUCIÓN
ar
Luego:
C) 512
sT
n n
B) 256 E) 64
ur
n n2
2 3
po
n n 2 n4 2n3 n2 2n 1
n 2n2 n2
4 5 6
9 4 7 8
A) 8 D) 1 024
n n2 1
2
El valor de:
1 n n…. 1 1 1 n 2 n….
2
n3 0
RPTA.: C
Procesando el radicando
3
n! = 6!
En consecuencia: n1 n2 n3 7
RESOLUCIÓN
n
n2 1
n1 6
E) n
Regresando el cambio n! = 720 n!=1
14.
Halle el valor del termino central 10
x y del desarrollo de y x
A) 64 D) 512
C) 7
B) 128 E)1 024
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Hagamos que: a = n! a a 321 80 5a 9
t central = t 111
C) 265
#t =10+1=11 2
a2 721a 720 0 a - 720 a -1
tk 1 Ckn a
nk
5
T51
226
b
k
;k 0,1,2,.....n 5
x y C y x 10 5
José Carlos Turpo
10 9 8 7 6 123 4 5 T51 4 9 7
14
1 x T1 T2 .....T9 T10 T11........T15 x Séptimo lugar
T51
T6 256
RPTA.: C
RPTA.: C 15.
Halle el grado absoluto del término 16 en la expansión de
P x, y x3 2y2
A) 20 D) 45
n
17.
25
B) 25 E) 60
C) 35
A) 49 D) 45
RESOLUCIÓN Tk 1 Ckn a
b
nk
k
2y
n
n Si: x y T1 T2 .....T7 T8 .....Tn1 8 Averigüemos a los términos deseados
ur
25 30 30 T16 215 C15 x y
G.A = 30+30=60 En el desarrollo de la expresión 14
lo
1 x ; existe un termino que x
sT
RPTA.: E
A) 9 D) 6
sé C
ar
contiene a x 2 . El termino que ocupa este termino contado a partir del extremo final es: B) 8 E) 5
n T7 T6 1 Cn6 x 8
n7
n 6
C) 7
n 6
n T8 T71 Cn7 x 8 Por condición:
n Cn6 8
n 7
n Cn7 8 n 7
RESOLUCIÓN
Analicemos un término genérico (Lugar K+1), en: 14
1 x = T1 T2 ..... TK 1 .......T15 x
TK 1 C
14 k
x
TK 1 1
k
12 x
14 k
C
14 k
x
n 7
7n 8 n 6 48 n # términos = 49
k
14 K
n 6
n y6 Cn xexp y6 8 Coef. n7 n y7 CN7 xexp y7 8
n n n n n n 6 6 8 8 n 7 7 8 1 1 n n 6 n 7 6 8 n 7 7 6
Jo
16.
C)47
RESOLUCIÓN
15
2
B) 48 E) 44
po
10
25 T151 C15 x3
n En el desarrollo de x y los 8 coeficientes de los términos de lugar séptimo y octavo son iguales. Entonces el número de términos que presentará será:
RPTA.: A 18.
k 2
Por condición: 3 3k 14 k 2 12 2 2 k=8 En consecuencia:
Averigüe al termino central central 8 x 8 al expansionar: 8 x A) 80 D) 60
227
B) 70 E) 50
C) 60
José Carlos Turpo
van disminuyendo de 6 en 6 unidades y el décimo tercero resulta independiente de x. Indique al término independiente.
RESOLUCIÓN En el desarrollo de esta expresión existen 9 términos entonces el central estará ocupado por el quinto. 8 4
TCnetral
x T5 T4 1 C 8 8 4
8 x
A) 10 9 8 C) 10 13 14 E) 10 11 12
4
8 7 6 5 70 4 3 2
TCentralC84
RESOLUCIÓN Por condición:
RPTA.: B 19.
En el desarrollo de
1 x
43
n 12
TIndependiente T121 C
ur
po
Será Independiente mn-16m=0 m(n-16)=0 De donde: m=0 v n = 16 16 n 16 C12 Luego: TIndependiente C12 12 4 16 15 14 13 12 14 13 10 12 4 3 2 1
lo
ar 43 r 1
r
r 1
sé C
T2r 1 C r ; Tr 2 Tr 1 1 C
Según condición 43 43 C2r Cr431 C2r Cr431(r 1) 2r=42-r 3r=42 r=14
En base es esto los términos ocupan los lugares: Cuando r 1 T3 T3 Para
r 14 T29 T16 (esto
permite
decir
que
Extrae la raíz cuadrada de: 4x6 13x4 22x3 12x5 8x 25x2 16 3x3 2x2 x 4 5x2 7x 2 2x3 3x2 x 4 4x2 8x 2 x 4 2x3 x2 x 1
RESOLUCIÓN 4x6 13x4 22x3 12x5 8x 25x2 16
nos
T2 2 )
4 -12 13 -22 -4 -12 13 12 9 4 - 22 -4 6 -16 16
es
primero.
RPTA.: C 20.
21.
RPTA.: C
A) B) C) D) E)
Jo
2r=r+1 r= 1
12
m 3 x
T13 C x
Admitimos que en: 43 1 k T1 T2 .... T2r 1 ....Tr 2 .... t 44 2r
n12
n 12
sT
B) 16 y28 D) 16 y 27
RESOLUCIÓN 43 2r
x m
mn - 16m
los
coeficientes de los términos de los lugares “2x+1” y “r+2” son iguales ¿De qué términos estamos hablando? A) 14 y 29 C) 16 y 26 E) 18 y 30
B) 10 3 2 D) 11 12 13
Si los exponentes de “x” en los 1 términos del desarrollo xm m x3
n
25 -8 16 2 -3 1 -4 (4 -3)(-3) (4 -6 1)(1) (4 -6 2 -4)(-4) 25 -1 24 -8 16 24 8 -16
2x3 3x2 x 4
RPTA.: C
228
José Carlos Turpo
22.
Calcule “a x b” si el resto de
x 1
4
A)
4x 1 2 x 15 x 2 3
1
D)
Es equivalente a: (ax+b) A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
B)
7 2 1
E)
RESOLUCIÓN
C) 3
E 6 2 10 2 8 2 7
RESOLUCIÓN
x 1
4
4 x 1 2x3 15x 2
2x2 4x 11x 2 Si: x + 1=a 2 x2 2x 1 11 x 1 1
po
-3) (-3)
A) 1 D) 7
sT
E 12 140 8 28 11 2 30 7 2 6 E 12 2 35 8 7 11 2 30 7 2 6
sé C
Jo B) x+2 E) x+5
C) x+3
7 1 6 5
6 1
RPTA.: E Calcule: P
A) 7 D) 5
RESOLUCIÓN
5 24
6 4 3 1 8
B) 8 E) 6
1
2
C) 9
RESOLUCIÓN
19 4 21 7 12 29 2 28
19 2 84 7 12
28 1
12+7 12x7 12 7 7 12 2 7 1 1
P
6 4 3 1 8
P
6 4 3 1 8
P
RPTA.: A 24.
E 7 5 E=0
26.
19 4 21 7 12 29 2 28 A) x+1 D) x+4
C) 3
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
Calcule:
B) 2 E) 0
ur
11 -9 2
R = a + 2 R= x + 1 + 2 R= x + 3 ax + b A=1,b=3
23.
Reducir
12 140 8 28 11 2 30 7 2 6
(2 2) (2) (2 4
-11 12 +1
25.
lo
-2 -4 -6 6
RPTA.: D
2
ar
4 -4
1
E 6 2 7 1 8 2 7 2 1
a4 4a3 2a2 11a 11 -1
7 1
E 6 2 10 2 7 2 6 2 8 2 7
3
C) 7 1
2 2 1
Reducir:
E 6 2 10 2 8 2 7
P
229
2
1 5 24
2
1 3 2
2
52 6 6 4 3 3 2 6 4 3 6 1
6 4 3
2
2
José Carlos Turpo
P=7
K 5 7
7 1 2
RPTA.: A Simplificar:
29.
3x 1 3x 1 2 3x 9 x 2 1 5x
2x 1 2x 1
2 2x 4x 2 1
9x 1 4x 1 B) 2x E) 3x
C) x 2
P
2 2x 4x 1
3x 1 3x 1 3x 1 3x 1
3x 1 3x 1 2
5x
9x 1 4x2 1 a b
2x 1 2x 1
2
P
5x a b 2
5x2
2
2x 1 2x 1 2
2
P
2
2x 1 2x 1
2
5 a b 5
30.
sé C
Jo B) 2 E) 5
K K K
K
13
7 5
13 7 3
3 7 4
4
3 2 6 3
5 24
3 2 6 3 3
6 3 2
48
8 48
4 3
6 2
4 3 6 2
6 3 2
4
3 2 3 1 2 3
B) 2 3 D)
3 1
RESOLUCIÓN Si:
3
10 108 A B
3
10 108 A B
3
(+)
10 108 3 10 108
3
2A
3
20 6 2A 8A3 10 6A 4A3 10 4A3 6A A 1
A 3 A 3
7 3 7
13 7 5 7
9 72
6
10 108
3
E)
C) 3
RESOLUCIÓN
18
RPTA.: A
C)
RPTA.: D
A) 1 D) 4
C) 3
Transformar a radicales simples:
A)
3x a 2x b a b 5x
Efectuar: K 13 7 5 7
8 48
P 2 3 6 3 2 2 3 3 2 6 0
6x 9x 1 2 4x 2 4x 1 ab 2 2
28.
B) 1 E) 4
ur
2 3x 9x 1
5 24
sT
2
lo
2x 1 2x 1
2
ar
2
48
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN 3x 1 3x 1
6
9 72
A) 0 D) 2
2
A) -x D) 5x
18
P
2
2
Reducir:
po
27.
RPTA.: B
3 7
3
10 108 3 10 108
A2 B 2 1-B=-2B=3
5 7 3 7
7
3
10 108 1 3
RPTA.: D
32 10 7 8 2 7
230
José Carlos Turpo
