FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATERIA P. Principal:
ÁLGEBRA LINEAL PERIODO: Celleri/Tapia/Sánchez Celleri/Tapia/Sánch ez P.T.Doc.
2016 – II S Isaac Mancero-Mosquera
LECCIÓN #1: SOLUCIONES 1a.- Suponga que A es una matriz cuadrada que cumple con la A
!1
siguiente propiedad:
T
A
=
Encuentre qué valores específicos puede tener el determinante de A. Si A –1 = A T det(A –1 ) = det(A T ) 1/det(A) = det(A) [det(A)]2 = 1 det(A) = ±1 A, B y C matrices 6 ! 6 . Si A C !1 BC (C es invertible) y encuentre los valores posibles de los determinantes de A y de B. Por una parte:
1b.- Sean
=
T
AB
=
4 B 4 B
,
det(AB T ) = det(A)det(B T ) = det(A)det(B) = 46det(B), pues B es una matriz 6X6. Por otra parte: !1
det( A ) det(C =
BC )
=
!1
det(C )det( B )det(C )
det(A) = det(B) Entonces: [det(A)]2 = 4096.det(A) det(A).[ det(A) – 4096 ] = 0 det(A) = 0 v det(A) = 4096 y det(A) = det(B) 1c.- Calcule el determinante de A, donde
A =
! # # #"
1
a
b+c
1
b
a+c
1
c
a+b
$ & & &%
Las siguientes operaciones de renglón no modifican el determinante: ! # # #"
a b c
1 1 1
b+c a+c a+b
$ f 2 2 ' f 1 ! & # & ( # &% f 3' f 1 #"
1
a
0
b ' a c ' a
0
b+c a'b a ' c
$ & & &%
Y el determinante determinante de esta última matriz matriz es: det
=
1.[ (b ! a )(a ! c ) ! (c ! a )(a ! b )] 0 =
es decir, det(A) = 0
OTA: P UEDEN EXISTIR OTROS MODOS DE SOLUCIONAR CADA PROBLEMA. N OTA : P UEDEN ELABORADO POR I SAAC SAAC M ANCERO-M OSQUERA OSQUERA
A, B y C matrices 5 ! 5 . Si A C !1 BC (C es invertible) y es la identidad 5 ! 5 , encuentre los determinantes de A y de B. 2a.- Sean
=
AB
=
2 I
, donde I
det(2I) = 25 = 32 pues I es una matriz 5X5 por otro lado: !1
det( A ) det(C =
BC )
=
!1
det(C )det( B )det(C )
det(A) = det(B) Luego: det(AB) = det(A)det(B) = [det(A)] 2 = 32 det(A) = det(B) = !
a
b
±
32
$
c
2b.- Sea A = # a + x b + x c + x & , calcule el determinante de # &
T
( ) A
5
.
#" a + y b + y c + y &%
det( A5 ) T = [det(A)]5 Para calcular el det(A) utilizamos operaciones de renglón: ! a b c $ f 2 ' f 1 ! a b c $ # & # & # a + x b + x c + x & ( # x x x & #" a + y b + y c + y &% f 3' f 1 #" y y y &%
Y calculando el determinante: ! a # det( A) = det # x #" y
b x y
c x y
$ & & = a ( xy ' yx ) ' b( xy ' yx ) + c( xy ' yx ) = 0 &%
Luego, det( A5 ) T = 0 Sea
2c.-
B =
" $ $ $ #
A
=
! a b # # d e # g h "
a 2 d + a
b 2e + b
!g
!h
c $ & f &
i & % % c ' 2 f + c ' !i '&
,
tal
que
det(A)=7,
hallar
det(B)
si
Las operaciones de renglón para obtener la matriz B a partir de la matriz A son: ! a b # # d e # g h "
c $ & f &
! a b # ( # 2d 2e i & '1. f 3 # ' g ' h % " 2 f 2
c $ f 2 + f 1 ! & # 2 f & #
' i &%
(
# "
a 2 d + a
b 2e + b
'g
'h
$ c & 2 f + c & 'i
& %
De las cuales, las dos primeras modifican el determinante multiplicándolo por 2 y por –1 respectivamente. Luego, si det(A) = 7, entonces det(B) = (2)(–1)(7) = –14 N OTA: P UEDEN EXISTIR OTROS MODOS DE SOLUCIONAR CADA PROBLEMA. ELABORADO POR I SAAC M ANCERO-M OSQUERA
A, B y C matrices 6 ! 6 . Si A C !1 BC (C es invertible) y encuentre el determinante de A!1 B . det(2I) = 26 = 64 2d.- Sean
=
T
AB
=
2 I
,
pues I es una matriz 6X6 por otro lado: !1
det( A ) det(C =
BC )
=
!1
det(C )det( B )det(C )
det(A) = det(B) Luego: det(AB T ) = det(A)det(B T ) = det(A)det(B) = [det(A)]2 = 64 det(A) = det(B) = ±8 3a.- Ash
se encuentra caminando hacia una poké-stop cuando ve a un pidgey en el camino. Decide capturarlo con un lanzamiento curvo de modo que la trayectoria de la pokéball sigue la ecuación y = ax 2 + bx + c . Suponga que Ash se encuentra en el punto (1, 2) y pidgey en el punto (5, -1); encuentre la ecuación de la trayectoria si se sabe que la pokéball pasó por el punto (3, 3) Si los tres puntos dados cumplen con la ecuación de la curva descrita, entonces: " 2 = c + b + a $ # !1 = c + 5b + 25a $ 3 = c + 3b + 9a %
resolviendo: " 1 $ 1 $$ # 1
1
1
5
25
3
9
% f 2 ! f 1" $ !1 ' ( ' $ f 3! f 1 $ 3 ' & # 2
1
1
1
0
4
24
0
2
8
% f 2 !2 f 3 " $ !3 ' ( ' $ f 3) f 2 $ 1 ' & # 2
1
1
1
2
0
2
8
1
0
0
8
5
+
3 x !
% ' ' ' &
a = -5/8, b = 3, c = -3/8 Luego, la ecuación de la trayectoria es: y =
!5 8
x
2
3 8
3b.- El departamento de pesca proporciona tres tipos de alimentos a un lago donde
habitan peces de tres especies. Cada pez de la especie uno consume, por semana, un promedio de 1 unidad de alimento #1, 1 unidad de alimento #2 y 2 unidades de alimento #3. Cada pez de la especie dos consume, por semana, 3 unidades de alimento #1, 4 unidades de alimento #2 y 5 unidades de alimento #3. El consumo semanal de la especie tres es de 2 unidades de alimento #1, 1 unidad de alimento #2 y 5 unidades de alimento #3. Cada semana se vierten en el lago 15000 unidades de alimento #1, 10000 unidades de alimento #2 y 35000 unidades de alimento #3. Suponiendo que se consume la totalidad de los tres alimentos, ¿cuántos individuos de las tres especies pueden coexistir en el lago? ¿Existe solución única? N OTA: P UEDEN EXISTIR OTROS MODOS DE SOLUCIONAR CADA PROBLEMA. ELABORADO POR I SAAC M ANCERO-M OSQUERA
Tabla describiendo los consumos por especie: Especie 1 Especie 2 Especie 3 Alimento 1 Alimento 2 Alimento 3
1
3
2
1
4
1
2
5
5
Razonamiento: ! Si UN pez tipo 1 consume ## #"
$ ! & unidades de alimento, dos peces comerán 2 ## 1 & #" 2 & % ! peces consumirían 10 veces más, y una cantidad x no especificada consumiría ## #" 2 1
1 1 2
x x x
$ & , diez & & % $ & . & & %
! 3 y $ # & Similarmente, una cantidad y no especificada de peces tipo 2 consumiría # 4 y & ; y una #" 5 y & % ! 2 z $ cantidad z no especificada de peces tipo 3 consumiría ## z & & . Y el consumo total es: #" 5 z & % ! # ## "
x x
2 x
$ ! & + # # & & % #"
3 y 4 y 5 y
$ ! & + # & # & % #"
2 z z
5 z
$ ! & = # & # & % #"
15000 10000 35000
$ & & & %
Resolviendo: ! # ## "
1
3
2
15000
1
4
1
10000
2
5
5
35000
$ f 2 ' f 1 ! & # ( & # & % f 3'2 f 1#"
1
3
0
1
0
'1
2
15000
'1 '5000 1
5000
$ ! & # ( & # & % f 3 f 2 #" +
1
3
0
1
0
0
2
15000
'1 '5000 0
0
$ & & & %
La solución no es única. Pues: y x
=
! 5000 15000 ! 2 z ! 3( z ! 5000) 30000 ! 5 z
z
=
=
Pero como estas cantidades no pueden ser negativas: y
=
x
=
z ! 5000 "
0
15000 ! 2 z ! 3( z ! 5000) 30000 ! 5 z " 0 =
Entonces se tiene: 5000 ! z ! 6000 , o solo 1001 soluciones. 3c.- Un granjero tiene una cierta cantidad de patos, ovejas y cabras. Hay en total 108 patas y 30 colas en la granja. Si hay el doble de ovejas que de cabras, ¿cuántos ejemplares de cada animal tiene el granjero? Sea x la cantidad patos, y la cantidad ovejas y z la cantidad de cabras en la granja. Entonces: 2x+4y+4z es el total de patas, mientras que x+y+z es la cantidad de colas. Además y =2z pues hay el doble de ovejas que de cabras: 2x+4y+4z = 108 x+y+z = 30 N OTA: P UEDEN EXISTIR OTROS MODOS DE SOLUCIONAR CADA PROBLEMA. ELABORADO POR I SAAC M ANCERO-M OSQUERA
y =2z Resolviendo: " $ $$ #
1
1
1
30
2
4
4
108
0
1
!2
0
% f 2 !2 f 1" ' $ ( ' $$ ' & #
1
1
1
30
0
2
2
48
0
1
!2
0
% f 2 !2 f 3 " ' $ ( ' $ ' & f 3) f 2 $#
1
1
1
30
0
1
!2
0
0
0
6
48
% ' ' ' &
De donde se obtiene: 8
z
=
y
=
16
x
=
30
! y ! z
=
30
! 24
=
6
O sea, 8 cabras, 16 ovejas y 6 patos.
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