Algebra Fasorial

Universidad Autónoma De Santo Domingo (UASD)

Facultad INGENIERIA Y ARQUITECTURA (FIA)

Escuela INGENIERÍA INDUSTRIAL - (70701 - P-IIND)

Asignatura ELECTROTECNIA GENERAL IEM-202

Sección 02

Tema  ALGEBRA FASORIAL

Sustentadores ROLF RUCK POLANCO

DA5289

MICHAEL DE JESUS ALMONTE CRUCETA

Profesor CARLOS PERALTA

Fecha 03/Marzo./2014_

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100060833

ÍNDICE INTRODUCCIÓN…………………………………………………………3 A L G E B R A F A S O R IA IA L

1-HISTORIA…………………………………………………..................4 2-FASOR …………………………………………………......................4 …………………………………………………......................4 3-DEFINICION DE ALGEBRA FASORIAL ……………………………5  4-LEYES DE CIRCUITOS………………………………………………7  4.1- LEY 4.1- LEY DE OHM …………………………………………………..7 4.2-LAS LEYES 4.2-LAS LEYES DE KIRCHHOFF…………………………………8 5-TRANSFORMADA FASORIAL………………………………………8 6-TRANSFORMADA FASORIAL INVERSA………………………….8 7-ARITMÉTICA FASORIAL…………………………………………….8 8-REPRESENTACIÓN FASORIAL……………………………………8 9-FORMA POLAR……………………………………………………….9 9.1-FORMA BINÓMICA …………………………………………….10 9.2- FORMA BINÓMICA A POLAR ……………………………….10 9.3- FORMA POLAR A FORMA BINÓMICA…………………….11 9.3.1-SUMA Y RESTA DE FASORES ……………………………11 9.3.2-MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FASORES ………….11 10-DIAGRAMA FASORIAL……………………………………………11 11-EMPLEANDO UN MÓDULO Y UN ÁNGULO; Á NGULO; Y VICEVERSA………………………………………………………….12 12-RELACIÓN ENTRE VOLTAJES Y CORRIENTES…………..…13 13-DOMINIO DE LA FRECUENCIA…………………………………14 14-SERIE DE FOURIER ………………………………………………15 15-LOS FACTORES PROVIENEN DE LAS SIGUIENTES RELACIONES: …………………………………………………………16 16-DISTINTOS FASORES DE VARIAS FUNCIONES SENOIDALES EN EL TIEMPO ………………………………………..17 17-CONCEPTO DE FASORES REPRESENTACIÓN FASORIAL………………………………………………………………17 CONCLUSION…………………………………………………………..21

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INTRODUCCIÓN

En este trabajo nosotros pretendemos dejar un material claro y entendible a todas las personas que se intereses por el campo de los fasores. Teniendo en cuenta que un fasor es una representación gráfica de un número complejo, este tiene utilidad en los campos de la óptica, ingeniería de telecomunicaciones, electrónica y acústica.  Asimismo para los fasores se usan para resolver circuitos eléctricos en el tipo de corriente alterna (CA). En dicho material, veremos las leyes básicas eléctricas que se pueden realizar en combinación con los fasores, como son: (ley de Ohm, leyes de Kirchoff). Definiremos todas las herramientas de los fasores: transformada fasorial, transformada fasorial inversa, aritmética fasorial, serie de Fourier.  Aquí presentamos las formas que se pueden representar los fasores; polar, binomica, de polar a binomica y viceversa. También presentaremos las principales operaciones que se pueden realizar con fasores (suma, resta, multiplicación y división. Todas estas operaciones y herramientas con fasores sirven para resolver los más complejos circuitos eléctricos.

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A L G E B R A FA S O R IA L

1-HISTORIA La historia del concepto de fasor es larga y legendaria. Dicho concepto se utiliza en ingeniería eléctrica desde hace muchísimo tiempo. Pues ya el ingeniero Charles Steinmetz lo presentó en el Congreso Eléctrico Internacional de 1893. Steinmetz popularizó el fasor poniendo de manifiesto sus múltiples aplicaciones, por lo que a principios del siglo XX se utilizaba ya universal-mente en el estudio de los circuitos y sistemas de corriente alterna. Podemos decir que el fasor nos acompaña desde que la ingeniería eléctrica fue reconocida como disciplina. Dicho de forma sencilla, el fasor constituye otra manera de representar una sinusoide. Y dicho de manera más formal: El fasor es un número complejo que représenla la amplitud y fase de una ondú sinusoidal. Diagrama vectorial de la impedancia de distintos elementos de un circuito expresada de forma fasorial. El vector rojo es la impedancia total en serie, suma de los otros tres fasores. Charles Proteus Steinmetz (1865-1923), nació en Breslau, Alemania, y se educó en dicho país y en Suiza. Emigró en los Estados Unidos en 1889 y se asoció a la General Electric Company en 1893, donde permaneció el resto de su vida. Sus principales contribuciones a la naciente ingeniería eléctrica incluyeron el fenómeno de la histéresis. El concepto de impedancia y el empleo de cantidades complejas (ahora llamadas fasores) para describir dispositivos y sistemas de corriente alterna. Steinmetz se interesó por una amplia gama de cuestiones y publicó diversos trabajos no técnicos. En uno de ellos, publicado en 1918 y titulado America's Energy Supply, calculó los límites de la energía disponible para el consumo y sugirió que debería mejorarse el rendimiento.

2-F A S O R Para las siglas de Frequency Addition Source of Optical Radiation

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Diagrama fasorial de la impedancia de distintos elementos de un circuito. El fasor rojo es la impedancia total en serie, suma de los otros tres fasores. Un fasor es una representación gráfica de un  número complejo que se utiliza para representar una oscilación, de forma que el fasor suma de varios fasores puede representar la magnitud y fase de la oscilación resultante de la superposición de varias oscilaciones en un proceso de  interferencia. Los fasores se utilizan directamente en  Óptica, Ingeniería de Telecomunicaciones, Electrónica y Acústica.  La longitud del fasor da la amplitud y el ángulo entre el mismo y el eje- x  la fase angular. Debido a las propiedades de la matemática de oscilaciones, en electrónica los fasores se utilizan habitualmente en el análisis rudimentario de circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes  x  e y tiene diferentes significados físicos. Los fasores se usan sobre todo para resolver visualmente problemas del tipo: "existen varias ondas de la misma frecuencia pero fases y amplitudes diferentes interfiriendo en un punto, ¿cual es la intensidad resultante?". Para solventar este problema, se dibuja un fasor para cada una de las oscilaciones en dicho punto y después se aplica la suma fasorial (similar a la  suma vectorial) sobre ellos. La longitud del fasor resultante es la amplitud de la oscilación resultante, y su longitud puede elevarse al cuadrado para obtener la  intensidad. Nótese que mientras que la suma de varias oscilaciones  sinusoidales no es necesariamente otra oscilación sinusoidal, la suma de varias oscilaciones sinusoidales de la misma frecuencia sí lo es, permitiendo leer la fase resultante como el ángulo del fasor resultante

3-DEFINICION DE ALGEBRA FASORIAL Una sinusoide u oscilación sinusoidal está definida como una función de la forma

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donde: 

y  es la magnitud que varía (oscila) con el tiempo

es una constante (en radianes)  conocida como el ángulo de fase de la sinusoide  A es una constante conocida como la amplitud de la sinusoide. Es el valor de pico de la función sinusoidal. donde f  es la frecuencia. ω es la frecuencia angular dada por t  es el tiempo. Esto puede ser expresado como 







Donde: 

i   es la unidad imaginaria definida como

. En ingeniería eléctrica se usa "j" en lugar de "i" para evitar las confusiones que se producirían con el mismo símbolo que se usa para designar la intensidad de la corriente eléctrica.

da la parte imaginaria del número complejo "Y". De forma equivalente, según la fórmula de Euler, 

"Y", la representación fasor de esta sinusoide se define de la forma siguiente: de forma que  Así, el fasor Y es el número complejo constante que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Para simplificar la notación, los fasores se escriben habitualmente en  notación angular: Dentro de la Ingeniería Eléctrica,  el ángulo fase se especifica habitualmente en grados sexagesimales en lugar de en radianes y la magnitud suele ser el  valor eficaz en lugar del valor de pico de la sinusoide.

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Evolución de dos magnitudes senoidales de la misma frecuencia y de su suma en forma temporal y fasorial.

4-LEYES DE CIRCUITOS

Utilizando fasores, las técnicas para resolver circuitos de  corriente continua se pueden aplicar para resolver circuitos en corriente alterna.  A continuación se indican las leyes básicas.

4.1- Ley de Ohm para resistencias: Una resistencia no produce retrasos en el tiempo, y por tanto no cambia la fase de una señal. Por tanto V =IR  sigue siendo válida. 



Ley de Ohm para resistencias, bobinas y condensadores: V =IZ  donde Z  es la impedancia compleja. En un circuito AC se presenta una potencia activa ( P ) que es la representación de la potencia media en un circuito y potencia reactiva ( Q) que indica el flujo de potencia atrás y adelante. Se puede definir también la potencia compleja S=P + jQ y la potencia aparente que es la magnitud de S. La ley de la potencia para un circuito AC expresada mediante fasores es entonces S=VI *(donde I * es el complejo conjugado de I ). 7

4.2-Las Leyes de Kirchhoff son válidas con fasores en forma compleja. Dado esto, se pueden aplicar las técnicas de análisis de circuitos resistivos con fasores para analizar cicuitos AC de una sola frecuencia que contienen resistencias, bobinas y condensadores. Los circuitos AC con más de una frecuencia o con formas de oscilación diferentes pueden ser analizados para obtener tensiones y corrientes transformando todas las formas de oscilación en sus componentes sinusoidales y después analizando cada frecuencia por separado. Este método, resultado directo de la aplicación del principio de superposición, no se puede emplear para el cálculo de potencias, ya que éstas no se pueden descomponer linealmente al ser producto de tensiones e intensidades. Sin embargo, sí es válido resolver el circuito mediante métodos de superposición y, una vez obtenidos V e I totales, calcular con ellos la potencia.

5-TRANSFORMADA FASORIAL La transformada fasorial o representación fasorial permite cambiar de forma trigonométrica a forma compleja:

donde la notación

se lee como "transformada fasorial de X"

La transformada fasorial transfiere la función sinusoidal del dominio del tiempo al dominio de los números complejos o dominio de la frecuencia.

6-TRANSFORMADA FASORIAL INVERSA La transformada fasorial inversa dominio del tiempo.

permite volver del dominio fasorial al

7-ARITMÉTICA FASORIAL Lo mismo que con otras cantidades complejas, el uso de la forma exponencial polar simplifica las multiplicaciones y divisiones, mientras que la forma cartesiana (rectangular) simplifica las sumas y restas.

8-REPRESENTACIÓN FASORIAL La corriente alterna se suele representar con un vector girando a la velocidad angular ω. Este vector recibe el nombre de fasor. Su longitud coincide con el

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valor máximo de la tensión o corriente (según sea la magnitud que se esté representando). El ángulo sobre el eje horizontal representa la fase. La velocidad de giro ω está relacionada con la frecuencia de la señal.

En corriente alterna se da que en muchas ocasiones, las tensiones y corrientes presentan desfasajes entre sí (distintas fases en un determinado momento). En los diagramas fasoriales esto se representa con un ángulo entre los fasores.

Los fasores pueden representarse mediante números complejos, teniendo una componente real y otra imaginaria. Si únicamente queremos representar una señal alterna sin importar su fase respecto de otra podemos considerarla formada únicamente por una parte real y sin parte imaginaria. En este caso el ángulo es cero. Si en cambio nos interesa el ángulo de fase (normalmente cuando lo estamos comparando con otro fasor) lo indicamos según corresponda. El igual que en los números complejos, los fasores pueden estar representados en forma binómica y polar (existen otras como la trigonométrica y la exponencial, pero utilizamos las dos primeras). En algunos casos nos conviene una forma de expresarlos y en otros casos será más simple hacer cuentas con la otra forma.

9-FORMA POLAR Los fasores suelen indicarse matemáticamente también en forma polar, es decir como un módulo y un ángulo. Por ejemplo la expresión: V= 311sen(2π50t+¼π) Se puede representar como un fasor de la siguiente manera:

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V=311V ω=2π50(para una f=50Hz) Φ=45°(o¼π)

En forma polar se escribe como 311 (45°) V.

9.1-FORMA BINÓMICA Otra forma de expresar a un fasor o número complejo, es la forma binómica, es decir como: a + j b siendo a la parte real y b la parte imaginaria.

Con las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, podemos calcular las componentes de la forma binómica (a y b) a partir del módulo del fasor y de su ángulo (forma polar) o bien hallar el módulo del fasor y su ángulo a partir de la forma binómica.

9.2- FORMA BINÓMICA A POLAR Si tenemos el fasor dado en forma binómica y queremos conocer el módulo, lo calculamos como la hipotenusa del triángulo. El ángulo se calcula como el arco tangente del cateto opuesto sobre el adyacente.

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9.3- FORMA POLAR A FORMA BINÓMICA

Forma binómica = a + j b

9.3.1-Suma y resta de fasores Para sumar o restar dos fasores es conveniente tenerlos en forma binómica, por lo tanto se hace la suma o resta componente a componente.

9.3.2-Multiplicación y división de fasores Es más simple hacerlas en forma polar. Se multiplican o dividen los módulos según corresponde y se suman los argumentos (para el caso de la multiplicación) o se los resta (para el caso de la división).

10-DIAGRAMA FASORIAL Un fasor es una representación gráfica para un número complejo, dibujado como un vector con un extremo en el centro del diagrama (el módulo es la longitud del vector), y un ángulo medido en grados a partir de una referencia fija. La proyección de este vector sobre el eje X se denomina la componente real, mientras que la proyección del vector sobre el eje Y representa la llamada componente imaginaria. Sus componentes conforman un triángulo rectángulo (las componentes como catetos perpendiculares, junto con el vector mismo como la hipotenusa) de forma tal que al aplicar trigonometría simple podemos realizar el intercambio en la representación analítica desde la forma

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“Rectangular”, utilizando diferenciadamente las componentes real e imaginaria, a la forma “Polar”,

11-EMPLEANDO UN MÓDULO Y UN ÁNGULO; Y VICEVERSA.

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En este gráfico se puede apreciar que, mientras el fasor gira los 360 grados del diagrama la señal sinusoidal esta es la base de la representación que nos facilita el diagrama fasorial, la rotación del vector representa el valor de la función en el tiempo. En un mismo diagrama se pueden representar simultáneamente los voltajes y las corrientes en varios elementos de un circuito, de acuerdo con la respuesta que tenga cada uno. Sin embargo, por razones de conveniencia y simplicidad visual se recomienda que en un diagrama fasorial se represente la respuesta de un circuito ante el estímulo de fuentes sinusoidales que tengan sólo una misma frecuencia. Si hace falta resolver un caso que combine fuentes de varias frecuencias es preferible aplicar el principio de superposición y hacer un análisis por separado, para luego combinar los resultados. Nos interesa estudiar la fase como un lapso entre la aplicación y la reacción. Este tiempo se puede representar utilizando fasores si se coloca un extremo del vector en el centro del diagrama y se rota el segmento hasta que tenga un ángulo respecto a una referencia (puede ser por ejemplo el semieje positivo de X) que sea proporcional al tiempo. Para convertir los segundos en grados basta tomar como base el tiempo de un período (inverso de la frecuencia) y relacionarlo con un giro completo, de 360 grados o 2Π radianes. Una fase es simplemente un período. En el estudio de las señales eléctricas, la fase es el tiempo que ha transcurrido desde el momento que se considera como el inicio, lo que se toma como referencia; lo que ocurre entre la aplicación del voltaje y la reacción de la corriente que circula por el elemento. Cuando se habla de una fase se hace en alusión a una distancia medida en segundos o en grados. También puede ser la diferencia de tiempo entre la ocurrencia de dos señales. En el análisis de un circuito eléctrico, más importante que conocer el ángulo de cada fasor, es conocer la fase o la distancia entre los fasores.

12-RELACIÓN ENTRE VOLTAJES Y CORRIENTES

Veamos ahora el procedimiento de transformación de un circuito con elementos R, L y C a un diagrama de impedancias, y su representación con fasores. Cuando se aplica una diferencia de potencial a un elemento circuital, la fase de su reacción depende enteramente de lo que le ocurre a la energía que lo atraviesa. Se considera que hay tres tipos básicos de reacción en un circuito eléctrico, o una combinación de ellos: los resistores, los condensadores y los inductores. Los resistores son elementos circuitales en los que la energía se transforma inmediatamente, pasa de su forma eléctrica a la forma calórica, lumínica, movimiento, u otros, razón por la que usualmente se denominan “elementos activos”. Los condensadores, al igual que los inductores son

elementos que no transforman la energía sino que la almacenan, en forma de campo eléctrico el primero y en forma de campo magnético el segundo. Se denominan “elementos reactivos”, y de acuerdo con su naturaleza tienen

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siempre una reacción que no es inmediata, sino que se desplaza en el tiempo. Es esta última dimensión, la temporal, es la que hace tan útil el uso de los fasores en electricidad.

13-DOMINIO DE LA FRECUENCIA

El dominio de la frecuencia es un término usado para describir el análisis de funciones matemáticas o señales o movimiento periódico respecto a su frecuencia. Un gráfico del dominio temporal muestra la evolución de una señal en el tiempo, mientras que un gráfico frecuencial muestra las componentes de la señal según la frecuencia en la que oscilan dentro de un rango determinado. Una representación frecuencial incluye también la información sobre el desplazamiento de fase que debe ser aplicado a cada frecuencia para poder recombinar las componentes frecuenciales y poder recuperar de nuevo la señal original. El dominio de la frecuencia está relacionado con las   series de Fourier,  las cuales permiten descomponer una señal periódica en un número finito o infinito de frecuencias. El dominio de la frecuencia, en caso de señales no periódicas,  está directamente relaccionado con la Transformada de Fourier.

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14-SERIE DE FOURIER

Las primeras cuatro aproximaciones para una función periódica escalonada Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en  1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

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Donde y la función

se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de

15-LOS FACTORES PROVIENEN DE LAS SIGUIENTES RELACIONES:

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16-DISTINTOS FASORES DE VARIAS FUNCIONES SENOIDALES EN EL TIEMPO

17-CONCEPTO DE FASORES REPRESENTACIÓN FASORIAL Los valores instantáneos que desarrolla una función senoidal (función matemática “seno”) coinciden con los valores del cateto vertical del triángulo que describe un vector giratorio llamado fasor . En Fig. Podemos ver esta

correlación.

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En vista de esta relación, se deduce que una magnitud senoidal se puede representar mediante un fasor equivalente. De esta forma en los circuitos de corriente alterna, las tensiones y corrientes se representan mediante vectores giratorios (fasores), con las siguientes normas:    

El módulo de los fasores es el valor eficaz de las magnitudes senoidales. El ángulo entre fasores es el desfase entre las senoidales. El convenio de nomenclatura que utilizaremos es el siguiente

 o o o

V(t); I(t): onda senoidal que depende del tiempo V; I fasor equivalente V; I: valor eficaz En los siguientes ejemplos aclaramos esta representación mediante fasores. 18

Ejemplo 1 (Fig.): Tensión: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 2 (A) de valor eficaz; retrasada 30º respecto a la tensión

!!! Cuando un fasor retrasa con otro, debe girarse en sentido horario.

Ejemplo 2 (Fig.): Tensión: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 6 (A) de valor eficaz; adelantada 60º respecto a la tensión.

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!!! Cuando una fasor adelanta con otro, debe girarse en sentido antihorario

Ejemplo 3 (Fig.): Tensión: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 10 (A) de valor eficaz; en fase.

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CONCLUSION

 Al culminar con este trabajo nos sentimos satisfechos, porque sabemos que estamos entregando un material, que a partir de ahora se podrá convertir en una importante fuente de consulta, para todo aquel que vaya a trabajar en el campo de los fasores. Pusimos todo nuestros empeño para que este material fuera lo más entendible posible y tratando de resaltar de este la importancia del campo de los fasores, para los avances en muchas áreas de nuestras vida, que se ven más reflejado en los avances tecnológicos. También nos preocupamos de que más persona conozcan de dicho campo, ya que no es de dominio público, sino de uso técnico y profesionales de dicha área del saber. En este material pudimos resaltar el uso de los fasores, sus diferentes herramientas y operaciones matemáticas, la forma en que lo podemos representar, su significado e importancia para el mundo globalizado de hoy en día. Ya por ultimo esperando haber llenado las expectativas de todo el que acuda a dicho material como consulta, así como a nuestros compañeros de electrotecnia general de la Universidad Autónoma de Santo Domingo (UASD), y por supuesto las expectativas de nuestro maestro.

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BIBLIOGRAFÍA

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http://ingen.cajael.com/es/content/fasores

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http://es.wikipedia.org/wiki/Fasor

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http://www.ing.unlp.edu.ar/cys/DI/Alterna.pdf

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http://www.buenastareas.com/ensayos/Fasores/2025051.html

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