Algebra Elemental

Álgebra elemental

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA

CURSO DE HOMOGENIZACIÓN DE ÁLGEBRA ELEMENTAL

ADELFO MORALES LOZANO JAVIER PERALTA FAUSTINO ANGELINO FELICIANO MORALES CHILPANCINGO, GRO., JULIO 2012

Álgebra elemental

1

SISTEMA NUMÉRICO.................................................................................... 1 1.1

NÚMEROS NATURALES .................................................................................1

1.2

NÚMEROS ENTEROS ......................................................................................1

1.2.1

1.3 1.3.1

2

NÚMEROS RACIONALES................................................................................2 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES................................................. 2

1.4

NÚMEROS IRRACIONALES ..........................................................................10

1.5

NÚMEROS REALES .......................................................................................11

1.6

NUMEROS COMPLEJOS (C): .......................................................................12

PROPIEDADES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA ............................................. 15 2.1 2.1.1

3

NÚMEROS PRIMOS ................................................................................................ 1

VALOR ABSOLUTO........................................................................................15 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE LA RECTA NUMÉRICA .......................16

2.2

RAZONES Y PROPORCIONES .....................................................................18

2.3

VARIACIÓN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL ...................................... 20

2.4

VARIACIÓN INVERSAMENTE PROPORCIONAL ...................................... 20

OPERACIONES CON POLINOMIOS ......................................................... 23 3.1

REDUCCION DE TÉRMINOS SEMEJANTES.............................................. 24

3.2

ADICIÓN DE POLINOMIOS ...........................................................................24

3.3

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS................................................................25

3.3.1 LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS Y POSITIVOS ................................25 3.3.1.1 Potencia de otra potencia...............................................................................26 3.3.1.2 Potencia de un producto ................................................................................26 3.3.1.3 Potencia de una fracción ................................................................................27 3.3.1.4 División de potencias......................................................................................27 3.3.2 EXPONENTE CERO ...............................................................................................29 3.3.3 EXPONENTE ENTERO NEGATIVO ......................................................................30 3.3.4 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN .........................................................................31 3.3.4.1 RADICACIÓN ..................................................................................................31 3.3.4.2 POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO POSITIVO ......................32 3.3.4.3 POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO NEGATIVO.....................32

3.4

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS ........................................................... 34

3.4.1 RAZONAMIENTO DEDUCTIVO O SILOGISMO ..................................................34 3.4.2 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS ......................................................................35 3.4.3 MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO ............................36 3.4.4 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS....................................................................36 3.4.5 DIVISIÓN DE MONOMIOS .....................................................................................37 3.4.6 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO ...........................................37 3.4.7 DIVISIÓN DE POLINOMIOS...................................................................................38 3.4.7.1 PARA COMPROBAR LA DIVISIÓN ..............................................................38

4

PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................... 39

Álgebra elemental

4.1

CUADRADO DE UN BINOMIO ......................................................................39

4.2

PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS .............................................. 41

4.3

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN 42

4.4

CUBO DE UN BINOMIO .................................................................................43

4.5

INTRODUCCIÓN AL TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON ................ 44

4.6

FACTORIZACIÓN ............................................................................................46

4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO QUE TIENEN UN FACTOR COMÚN..46 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN ................................................................47 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.......................48 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS .............................49

4.6.5

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA

4.6.6

4.7

x 2 + mx + n .................50 2 FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c .................51 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS .............................. 53

4.7.1 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ....................................................................53 4.7.2 REDUCCIÓN DE FRACCIONES A UN COMÚN DENOMINADOR ....................54 4.7.3 REDUCCIÓN DE FRACCIONES A FORMA MIXTA Y VICEVERSA ..................55 4.7.4 FRACCIONES RACIONALES PROPIAS EXPRESADAS EN FRACCIONES PARCIALES SIMPLES..........................................................................................................56 4.7.4.1 TEOREMA FUNDAMENTAL EN LA DESCOMPOSICIÓN DE UNA FRACCIÓN EN FRACCIONES PARCIALES .................................................................57 4.7.4.2 FACTORES LINEALES DISTINTOS.............................................................58 4.7.4.3 FACTORES LINEALES REPETIDOS ...........................................................59 4.7.4.4 FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS ...................................................61 4.7.4.5 FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS .................................................66

5

ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES ..................................... 69 5.1

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA..................................... 69

5.2

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA.... 69

5.3 ALGUNAS APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA ..................................................................................................................71 5.4

DESIGUALDAD LINEAL CON UNA INCÓGNITA ....................................... 73

5.5

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CON UNA INCÓGNITA ................ 74

5.6

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ................................................... 77

5.6.1 EL PLANO CARTESIANO ......................................................................................77 5.6.2 GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES78 5.6.3 MÉTODO GRÁFICO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES ........................................................................................................79 5.6.4 MÉTODO DE SUMA Y RESTA (ELIMINACIÓN) ..................................................79 5.6.5 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN .................................................................................80 5.6.6 MÉTODO DE IGUALACIÓN ...................................................................................81 5.6.7 MÉTODO POR DETERMINANTES .......................................................................81 5.6.8 ALGUNAS APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES .....84

Álgebra elemental

5.7

ECUACIONES CUADRÁTICAS .....................................................................85

5.7.1 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA .......................................85 5.7.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS .............................................86 5.7.3 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN .................................................................................................................86 5.7.4 DIFERENCIA DE CUADRADOS ............................................................................87 5.7.5 TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c = 0 ............................................................88 5.7.6 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ...................................................................88 5.7.7 COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ...............................89 5.7.8 FÓRMULA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS......89

6

LOGARITMOS............................................................................................... 90 6.1 CARACTERISTICAS DE LOS LOGARITMOS VULGARES O DECIMALES .................................................................................................................91 6.2

REGLAS PARA LA OBTENCIÓN DE LA CARACTERISTICA .................. 93

6.3 PARA OBTENER EL LOGARITMO DE UN NÚMERO DADO USANDO TABLAS DE BRIGGS ..................................................................................................93 6.4

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS............................. 94

6.5

OPERACIONES Y PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS .................... 95

6.6 OPERACIONES CON LOGARITMOS USANDO TABLAS DE BRIGGS PARA OBTENER LA MANTISA................................................................................96 6.7

7

ALGEBRA CON LOGARITMOS ..................................................................101

RELACIONES ............................................................................................. 107 7.1

PRODUCTO CARTESIANO .........................................................................107

7.2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA ...................................................................107

7.3

RELACIONES ................................................................................................109

7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4

GRÁFICA DE UNA RELACIÓN ............................................................................111 DOMINIOS Y RANGOS ........................................................................................112 RELACIÓN INVERSA............................................................................................113 COMPOSICIÓN DE RELACIONES......................................................................114

Álgebra elemental

PRESENTACIÓN

El presente material de Álgebra Elemental tiene como única finalidad proporcionar a los estudiantes aceptados en la Unidad Académica de

Ingeniería una homogenización académica respecto a los conocimientos y

reglas fundamentales del Álgebra elemental, para coadyuvar en la corrección de los vicios que se han venido inculcando por parte de los docentes en los

distintos niveles educativos en estos temas, resaltando la utilización de algunas

expresiones verbales como: “si está restando pasa al otro miembro sumando”,

“si está dividiendo pasa al otro miembro multiplicando”, porque, así lo dice la regla de los signos”, y otras que demeritan el nivel de conocimientos del profesor - facilitador y el nivel de instrucción del estudiante, lo cual genera a

estas alturas de su formación académica una confusión y conflictos de aprendizaje de esta herramienta debido a que se ha enseñado con un lenguaje inadecuado.

Así, desde los conceptos de reducción de términos semejantes se pueden

aplicar las reglas fundamentales del Álgebra, continuando con las operaciones de multiplicación, división, factorización, y sistemas de ecuaciones e

inecuaciones, pretendiendo adquirir la habilidad natural de usar las herramientas en los términos matemáticos y concluir que el resultado es la simplificación de aplicación correcta de las reglas fundamentales, axiomas y

teoremas del Álgebra.

Atentamente

Adelfo Morales Lozano Javier Peralta Faustino Angelino Feliciano Morales

Chilpancingo, Gro. Julio 2012.

Sistema numérico

1 SISTEMA NUMÉRICO

La aritmética, es la parte de la matemática donde se enfrentan los estudiantes por primera vez con el estudio de los números y sus propiedades, así como las operaciones definidas; mientras que en el álgebra se estudian en esencia las operaciones matemáticas consideradas formalmente, sin tomar en cuenta los números concretos, que originalmente sus problemas de estudio están relacionados fundamentalmente con las reglas formales para las transformaciones de expresiones y la soluciones de ecuaciones.

1.1

NÚMEROS NATURALES

Son aquellos que de manera natural se utilizan para contar y se denotan por  = {1, 2, 3,...} , también se acostumbra llamarlos enteros positivos, es decir

cualquier número natural es una suma de unos, tanto como lo indique el número.

1.2

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros se denotan por  =

{−∞,... − 3, −2, −1, 0,1, 2,3,..., ∞} ,

los

cuales son: los enteros positivos, los enteros negativos y el cero. En los enteros existen números que pueden expresarse como el producto de otros, de varias maneras, por ejemplo: 50 =2 × 25 =5 ×10 =50 ×1 132 =2 × 66 =4 × 33 =12 ×11 =6 × 22 =3 × 44 =1× 132 Sin embargo, existen otros números cuyos únicos factores son el mismo y la unidad, a estos se les llama, números primos.

1.2.1 NÚMEROS PRIMOS

En matemáticas, un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. Los números primos se contraponen a los números compuestos, los cuales tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convención, no se considera ni primo ni compuesto1. Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo 1 http://es.wikipedia.org/wiki/Número_primo#cite_note-0

1

Sistema numérico

mayor que 2, ya que éste es el único número primo par2. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por  . 1257787 − 1 y tiene NOTA: el número primo más grande descubierto (1996) es: 2 378,632 dígitos.

1.3

NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales están construidos por todas las posibles razones (divisiones) de enteros (excepto dividir por cero) y se denotan por:

a  =   a , b enteros y b ≠ 0  b 

Los números enteros son racionales, ya que cualquiera de ellos se puede expresar como el cociente de enteros. Algunas divisiones no son exactas y su cociente tendrá una expansión decimal finita, pero otras no. En las últimas divisiones, a partir de cierto número de dígitos (decimales) se empiezan a repetir en el orden en que aparecieron los primeros, es decir, tienen expansión decimal periódica. El denominador de un racional, menos uno, es el número máximo de dígitos que puede constituir el periódo de su expansión decimal3.

7 25 a. = 0.875, = 3.125 Tienen fracción decimal exacta. 8 8 17 b. = 2.8333... Aquí, después del 8 se repite indefinidamente el 3. 6 3 c. = 0.428571428571... Hay 6 dígitos que conforman el periódo. 7 23 d. = 1.35294117647058823529411764705882... Hay 16 dígitos que definen 17 el periódo

En general, todos los cocientes de enteros muestran un modelo repetitivo en su expansión decimal, en el caso de que la división sea exacta se pueden agregar ceros y cuando no lo es, se obtiene una expansión decimal periódica

1.3.1 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

Para desarrollar con eficiencia las operaciones con números racionales se abordará el tema de mínimo común múltiplo.

3 Álgebra 1, NIVEL SUPERIOR. CINVESTAV DEL IPN.

2

Sistema numérico

El Múltiplo común de dos o más números, es el número que contiene exactamente a cada uno de ellos. Por ejemplo, 40 es múltiplo de 20 y 8, porque 40 contiene a 20 dos veces y 8 lo contiene cinco veces de manera exacta. El Mínimo común múltiplo de dos o más números, es el número menor que contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos, y se representa por las iníciales: m.c.m. La teoría del m.c.m. es importante por sus numerosas aplicaciones. Cuando se trata de calcular el m.c.m. de números pequeños, es posible hacerlo por simple inspeccióno por ensayo y error (tanteos). Es decir, se observa, si el mayor de los números dados contiene exactamente a los demás Si esto, ocurre, el número mayor es el m.c.m., pero, si no los contiene, se determina cuál es el menor múltiplo del número mayor que los contiene exactamente4.

Ejemplos 1. Obtener el m. c. m. de 4, 6 y 8.

Solución el número 8 contiene a 4, dos veces, pero no a 6. De los múltiplos de 8, se tiene: , pero no contiene a 6. , contiene 6 y 4. Por tanto, el número 24 es el m. c. m. de 4, 6 y 8.

2. Determinar el m. c. m. de 10, 12 y 15.

Solución El número 15 no contiene a 10 y 12. De los múltiplos de 15, se tiene: , contiene a 10, pero no contiene a 12. , pero no contiene a ninguno de los números. , contiene a los dos números.

Por tanto, el número 60 es el m. c. m. de 10, 12 y 15.

Nota: Si los números dados son primos entre sí, entonces el m. c. m. es su producto.

3. Determinar el m. c. m. de 15 y 16.

Solución Como son números primos entre sí, entonces se tiene: , contiene a 15 y 16. Por tanto, el número 240 es el m. c. m. de 15 y 16. 4 Álgebra 1, NIVEL SUPERIOR. CINVESTAV DEL IPN

3

Sistema numérico

Por cuestiones de tiempo, sólo se trabajará con el método de descomposición de factores. Procedimiento

Se descomponen los números en sus factores primos y el m. c. m. se obtiene con el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.

Ejemplos 1. Obtener el m. c. m. de 50, 80, 120 y 300.

Solución Descomposición de los números dados en sus factores primos, se obtiene: 50 25 25 25 25 25 5 1

80 40 20 10 5 5 1

120 60 30 15 15 5 1

300 150 75 75 75 25 5 1

2 2 2 2 3 5 5

Por tanto, el m. c. m. está dado por: 24 × 3 × 52 = 16 × 3 × 25 = 1200

2. Obtener el m. c. m. de 24, 48, 56 y 168.

Solución Como el 48 contiene a 24 y 168 contiene a 56, entonces sólo se hará la descomposición de los números 48 y 168 en sus factores primos o bien se repite el procedimiento del ejemplo 1. 48 24 12 6 3 1

168 84 42 21 21 7 1

2 2 2 2 3 7

Por tanto, el m. c. m. está dado por: 24 × 3 × 7 = 16 × 3 × 7 = 336

3. Obtener el m. c. m. de 360, 480, 500 y 600.

4

Sistema numérico

Solución Descomposición de los números dados en sus factores primos, se obtiene: 360 180 90 45 45 45 15 5 1

480 240 120 60 30 15 5 5 1

500 250 125 125 125 125 125 125 25 5 1

600 300 150 75 75 75 25 25 5 1

2 2 2 2 2 3 3 5 5 5

Por tanto, el m. c. m. está dado por: 25 × 32 × 53 = 32 × 9 ×125 = 3600 SUMA

A los números racionales como razones de dos enteros también se les llama números fraccionarios. Una fracción puede ser propia (si su valor es menor que uno) o impropia (si su valor es igual o mayor que uno). Dos fracciones son equivalentes si tienen el mismo valor, lo cual equivale a que una fracción se obtenga de otra, multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número.

Con la finalidad de no trabajar con cantidades grandes, se recomienda utilizar el mínimo común múltiplo (m.c.m.). e e a+ c a c b d = b y d entonces + Sea e m.c.m de= b d e

Para sumar fracciones con igual denominador, se suman los numeradores, luego se divide por el denominador común y se simplifica el resultado.

Ejemplos

7 10 4 1. Obtener la suma de: + + 9 9 9 Solución 7 10 4 7 + 10 + 4 21 7 1 + + = = = =2 9 9 9 9 9 3 3

5

Sistema numérico

Para sumar fracciones con distinto denominador, si es posible, se simplifican las fracciones, luego se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y se procede a efectuar las operaciones indicadas.

2. Calcular la suma de:

1 1 1 + + 12 16 18

Solución Primero se debe calcular el m.c.m. de los denominadores

12 6 3 3 3 1

16 8 4 2 1

18 9 9 9 9 3 1

2 2 2 2 3 3

Por tanto el m.c.m. de 12, 16 y 18 es: 16 × 9 = 144 Luego, se obtiene: 1 1 1 12 + 9 + 8 29 + = + = 12 16 18 144 420 1 3 23 3. Obtener la suma de: + + 4 7 60 Solución Primero se debe calcular el m.c.m. de los denominadores

4 2 1

7 7 7 7 7 1

60 30 15 5 1

2 2 3 5 7

Por tanto, el m.c.m. de 4, 7 y 60 es: 4 × 3 × 5 × 7 =420 Luego, se obtiene:

1 3 23 105 + 60(3) + 7(23) 105 + 180 + 161 446 223 13 + + = = = = = 1 4 7 60 420 420 420 210 210

6

Sistema numérico

RESTA

Para restar fracciones de igual denominador, se restan los numeradores, luego la cantidad obtenida se divide por el denominador común y se simplifica el resultado.

Ejemplos

1. Determinar la diferencia de:

7 5 − 12 12

Solución Efectuando operaciones, se tiene: 7 5 7−5 2 1 − = = = 12 12 12 12 6 7 5 1 2. Calcular la diferencia de: − − 8 8 8 Solución Efectuando operaciones, se tiene: 7 5 1 7 − 5 −1 1 −= − = 8 8 8 8 8

Para restar fracciones con distinto denominador, si es posible, se simplifican las fracciones, luego se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y se procede a efectuar las operaciones indicadas. 3 1 3. Obtener la diferencia de: − 8 12 Solución Primero se debe calcular el m.c.m. de los denominadores 8 4 2 1

12 6 3 3 1

2 2 2 3

Por tanto el m.c.m. de 8 y 12 es: 8 × 3 = 24 Luego, se obtiene: 3 1 3 ( 3) − 2 (1) 9 − 2 7 − = = = 8 12 24 24 24 7 1 1 5 4. Obtener la diferencia de: − − + 30 8 4 12 7

Sistema numérico

Solución Primero se debe calcular el m.c.m. de los denominadores 30 15 15 15 5 1

8 4 2 1 1

4 2 1

12 6 3 3 1

2 2 2 3 5

Por tanto el m.c.m. de 30, 8, 4 y 12 es: 8 × 3 × 5 = 120 Luego, se obtiene: 7 1 1 5 28 − 15 − 30 + 50 33 11 − − + = = = 30 8 4 12 120 120 40

MULTIPLICACIÓN

El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, el denominador es el producto de los denominadores y de ser necesario se realiza una simplificación del resultado.

La multiplicación se expresa de la siguiente forma: a c ac × = b d bd Ejemplos

1. Determinar el producto de:

5 3 17 × × 7 4 8

Solución Efectuando operaciones, se tiene: 5 3 17 5 × 3 ×17 225 1 × × = = = 1 7 4 8 7 × 3 × 4 224 224

2. Calcular el producto de: Solución

4 2 3 × × 9 8 6

Efectuando operaciones, se tiene: 4 2 3 4 1 1 4 × 1× 1 4 1 × × = × × = = = 9 8 6 9 4 2 9 × 4 × 2 72 18

8

Sistema numérico

DIVISIÓN

a c a por otra fracción , se multiplica la fracción b d b c  a d a×d  por el inverso de , es decir  × =  , luego se realizan las d  b c b×c  operaciones indicadas y de ser necesario se realiza la simplificación del resultado.

Para dividir una fracción

Ejemplos

3 6 1. Obtener la división de: ÷ 5 7 Solución Invirtiendo la segunda fracción, se tiene: 3 6 3 7 3 × 7 21 3 ÷ = × = = = 5 7 5 6 5 × 6 30 10

1 3 1 8 2. Obtener el cociente de:  + −  ÷  2 4 8 5 Solución Primero se debe calcular el m.c.m. de 2, 4, 8 para realizar la suma. 2 1

4 2 1

8 4 2 1

2 2 2

Por tanto el m.c.m. de 2, 4 y8 es: 8 Luego, se obtiene:

1 3 1 4 + 6 −1 9 += − = 2 4 8 8 8 Ahora, se obtiene el cociente indicado. 9 8 9 5 9 × 5 45 ÷ = × = = 8 5 8 8 8 × 8 64

POTENCIA DE FRACCIONES

La potencia de un número fraccionario, es el número de veces que aparece como factor, es decir, se elevan su numerador y denominador a la potencia indicada. 9

Sistema numérico

Ejemplos

2

a a a2 a 1.   = × = 2 b b b b 3

3 a a a a a 2.   = × × = 3 b b b b b

n

a a a a × a × a × a a n a = n En general:   = × × × = × ×  b  b  b b b b b b  b    n veces m

n  a n  an  a an a n a n × a n × × a n Luego:    =  n  = n × n × × n = = b b b b n × b n × b n  b    b   m veces m

(a ) (b )

n m

n m

a nm = nm b

3

3 8 2 2 = = 3.   3 27 3 3 5

  2 3  4.   =   3  

1.4

(2 = ) (3 ) 3

3 5

5

23(5) 215 32768 = = 3(5) 15 14348907 3 3

NÚMEROS IRRACIONALES

Se ha comentado que los números racionales tienen expansión decimal que puede ser finita o infinita periódica, sin embargo, existen números que no muestran un modelo repetitivo en su expansión decimal y que dicha expansión sea infinita. Mediante técnicas se han obtenido aproximaciones de algunos números como: π , e, 2, etc. , éste tipo de números no pueden representarse como la razón de dos enteros, se les llama números irracionales y se denotan por:  a = Ι i i ≠  para cualquier a y b ∈  . Los números más usuales o b  conocidos son: π , e, 2, 3, 5,  se pueden considerar como números irracionales todas raíces de los números primos y sus respectivos múltiplos.

Ejemplos 1. El número e = 2.71828182845904... 2. El número π = 3.14159265358979... razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

10

Sistema numérico

1+ 5 = 1.6180339887499... 2 4. La raíz de: 2 = 1.4142135623731... 5. La raíz de: 3 5 = 1.7099759466766... = Φ 3. Número de oro (Davinci)

1.5

NÚMEROS REALES

Los números reales se definen como la unión de los racionales y los irracionales, y se denotan por: =  ∪ Ι . Los elementos de este conjunto se pueden poner en correspondencia con los puntos de una recta numérica. Es decir, a cada número real le corresponde un punto, y sólo uno de la recta; y recíprocamente. Por tanto, existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y los puntos de la recta numérica.

−π

−∞

−4

−7 4

−3

−2

12

−1

0

e π

2

1

2

3

4

+∞

Figura1

Los números reales que se han mencionado y los números complejos  , respecto a las operaciones de suma (+) y multiplicación (×), cumplen algunas propiedades que conforman las estructuras numérica o algebraicas fundamentales. Estas propiedades se extienden al álgebra y constituyen la base del trabajo algebraico. Aceptando algunos conceptos, sin definir, el lenguaje de la lógica y las palabras del idioma utlizadas comúnmente, constituyen el lenguaje básico de los números reales (ℝ). AXIOMAS (hipótesis): Son postulados que se aceptan sin demostrar. TEOREMAS (tesis): Son postulados o enunciados, los cuales se aceptan después de haberse demostrado y que definen un concepto general. LEMAS: Teoremas que verifican o definen un concepto particular. PROPIEDADES

1. Cerradura, si para todo a, b ∈  , se tiene ( a + b ) ∈  , y a + b es único. 2. La suma es conmutativa a + b = b + a para todo a, b .

11

Sistema numérico

3. La suma es asociativa a + ( b + c ) = ( a + b ) + c para cualquier a, b, c .

4. Ley de cancelación a + c = b + c implica a = b . 5. Existe el 0 (cero) elemento neutro para la suma: a + 0 = a para todo a . 6. Todo elemento a tiene su inverso aditivo (−a ) y se cumple:

a + (−a) = (−a) + a = 0

7. Cerradura, si para todo a, b ∈  , se tiene ab ∈  , y ab es único. 8. La multiplicación es conmutativa ab = ba para cualquier a, b .

9. La multiplicación es asociativa ( a × b ) × c =a × ( b × c ) para todo a, b, c .

10. Ley de cancelación;= si ac bc y c ≠ 0 , entonces a = b para todo. a, b, c . 11. Existe el (uno) elemento neutro para la multiplicación y se cumple para .1 1.= a a. cualquier a : a= 12. La multiplicación es distributiva respecto a suma: a ( b + c ) = ab + ac para cualquier a, b, c .

−1 −1 = a= a 1. 13. Para cualquier a , existe el inverso multiplicativo a −1 , tal que: aa 14. Si a < b y b < c entonces a < c para cualquier a, b, c . 15. Ley de tricotomía: dados cualesquiera a, b , se cumple una y sola una de las siguientes condiciones. i. ab 16. Si a < b , entonces a + c < b + c 17. Si a < b y c > 0 , entonces ac < bc para todo a, b y c > 0 . 18. Propiedad reflexiva, para toda x ∈ A , se tiene x = x 19. Propiedad simétrica, para toda x, y ∈ A , se tiene: si x = y entonces y = x 20. Propiedad transitiva, si x = y y y = z entonces x = z .

A partir de estas propiedades de los números reales se demuestran algunos teoremas que se convierten en propiedades de uso rutinario en las operaciones algebraicas.

1.6

NUMEROS COMPLEJOS (C):

Un número complejo se expresa en la forma a + bi ; con a y b números reales donde a + bi = parte real + parte imaginaria , siendo i = − 1 unidad imaginaria . El número a − bi se define como el conjugado complejo de a + bi

Ejemplo x2 + 2 x + 2 = 0 ; tiene por solución

12

Sistema numérico

x =−1 + 1i donde a =−1 x =−1 − 1i donde b =1

Si a = 0 , b ≠ 0 , entonces el número bi se le denomina imaginario puro. Ejemplo x 2 + 1 =0 ; tiene por solución.

x= 0 + 1i donde a = 0 x= 0 − 1i donde b = 1

Si b = 0 , entonces a + bi es el número real a + 0i = a .

Ejemplo x2 + 4 x + 4 = 0 ; tiene por solución x =−2 + 0i donde a =−2 x =−2 − 0i donde b =0

En consecuencia, los números imaginarios y los reales son subconjuntos de los números complejos.

13

Propiedades básicas del álgebra

2 PROPIEDADES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA

Para enteder el proceso deductivo de las matemáticas de los números, así como de la geometría, se debe reconocer la existencia el empleo de axiomas (verdades absolutas) y se les conoce con el nombre de Axiomas de Campo de los Números Reales.

2.1

1. Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son iguales. 2. Si cantidades iguales se multiplican o se dividen por cantidades iguales, los resultados son iguales. 3. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, o si a ambos se les extrae una misma raíz, los resultados son iguales. 4. Dos cantidades iguales a una tercera lo son entre sí. VALOR ABSOLUTO

Para cada número real x ( x ≠ 0 ), existe un número − x . Si x es positivo, − x es negativo; pero, si x es negativo, entonces − x es positivo. Estos dos números representan la distancia de 0 a x (hacia la derecha) y de 0 a − x (hacia la izquierda) Esta distancia (magnitud o norma) se denota por x y recibe el nombre de valor absoluto. El valor absoluto de cualquier número real x , es x , si x es positivo, − x , si x es negativo y cero si x es cero, lo cual se expresa como.  x, si  x = 0, si − x, si 

x>0

x=0 x<0

x =x

−x = x

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figura 2

15


2.1.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE LA RECTA NUMÉRICA

Si P(n) es un punto de la recta numérica, entonces n es la distancia desde el

origen hasta P(n) . Dados cualesquiera dos puntos de la recta numérica, P(a ) y P(b) , la distancia entre ambos es a − b si a > b y es b − a si b > a ; se puede afirmar que la distancia es a − b .

Esta herramienta se puede usar para visualizar los conjuntos solución de ecuaciones o desigualdades que contengan valores absolutos.

Ejemplos 1. Determinar el conjunto solución de

x =4

x=4   , porque 4 =−4 =4 x = −4 

Solución: Dado que x = 4 , también se puede escribir como x − 0 = 4 . Esto se interpreta

de la siguiente forma: Obtener los puntos P(x) tales que la distancia desde P(x) hasta el origen sea 4 .

x − 0 =−4 =4

−6

−4

x−0 = 4 = 4

−2

0

2

4

Figura 3

2. Determinar el conjunto solución de x = 5

x =5

x=5   , porque 5 =−5 =5 x = −5

Solución: La expresión x = 5 , también se puede escribir como: x − 0 = 5

Esto se puede interpretar del modo siguiente: Determinar los puntos P(x) tales que la distancia desde P(x) hasta el origen sea 5 . Obviamente hay dos: P(5) y P(−5) . 16


x−0 = 5 = 5

x − 0 =−5 =5

−6

−4

−2

2 0 Figura 4

6

4

3. Determinar la solución de: x + 1 = 5

Por la definición es equivalente a: − 5 = x +1 = 5 = x +1 5 =  x 4 Donde  , porque  x + 1 =−5  x =−6

Gráficamente, se interpreta x + 1 como la distancia entre dos puntos, y se

escribe. x + 1 = x − (−1) .

Así, pues el conjunto solución de x − (−1) = 5 debe contener a todos los

números reales x tales que la distancia entre P (−1) y P(x) sea igual a 5 , por tanto, puede ser P(−6) , P(4) .

x + 1 = x − (−1) = −5 = 5

−6

−4

x + 1 = x − (−1) = 5 = 5

−2 −1 0 2 Figura 5

4

4. Calcular el conjunto solución de x < 5 Aplicando la definición se tiene: −5< x <5 Luego x<5   5 < 5  , porque  x > −5  −5 > 5

Solución: La desigualda x < 5 , también se puede escribir como x − 0 < 5 , entonces la

distancia entre P(x) y P(0) es menor que 5 , P(x) puede ser cualquier punto a la izquierda de de P(5) y a la derecha P(−5) P(5) y P(−5) no están incluidos en la solución. 17


x − 0 < −5 < 5

x−0 < 5 < 5

(

)

−5 −4

−2

0

4 5

2

Figura 6

4. Calcular el conjunto solución de x + 5 ≥ 2 Por definición puede escribirse como: −2≥ x+5≥ 2 donde

x+5≥ 2   , porque x + 5 ≤ −2 

Para interpretar

 x ≥ −3   x ≤ −7

x + 5 como la distancia entre dos puntos, se escribe

x + 5 = x − (−5) . Así, pues el conjunto solución de x − (−5) ≥ 2 debe contener a

todos los números reales x tales que la distancia entre P(−5) y P(x) sea mayor o igual a 2 . P(x) , por tanto, puede ser P (−3) , P(−7) o cualquier punto a la derecha de P (−3) o a la izquierda de P(−7) .

x + 5 ≥ x − (−5) ≥ 2

] −7 −6

2.2

RAZONES Y PROPORCIONES

x + 5 ≥ x − (−5) ≥ 2

[ −4 −3 −2 Figura 7

0

2

La comparación por cociente entre dos números recibe el nombre de razón geométrica o por cociente (con el divisor distinto de cero). En general, si a y b son dos números ( b ≠ 0 ), la razón entre el par ordenado a de números es y se lee “ a es a b ”. La relación se debe establecer entre dos b números, cuyas cantidades estén expresadas en medidas de la misma especie y de la misma unidad de medida. 18


Ejemplo Un recipiente A tiene una capacidad de 2 litros y otro B tiene una capacidad de 4 litros. Si se compara la capacidad de A con la de B la razón es 2 es decir 1 , lo que 4

significa que la capacidad de A es

1 2

de la capacidad de B.

2

Si se compara la capacidad de B con la de A la razón es 4 , es decir 2, esto 2

significa que la capacidad de B es el doble de la capacidad de A. Dada una razón, se puede obtener otra equivalente multiplicando o dividiendo sus términos por un mismo número (diferente de cero). 3 3× 2 6 = = 4 4× 2 8  Descomposición de un número en dos partes que estén en una razón dada.

Ejemplo Dos grupos A y B, tienen en total 105 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes tienen cada grupo si la razón de A y B es 7 ? 8

7 + 8 = 15 (Se suman los términos de la razón.) 105 (Se divide el número dado entre la suma de los términos de =7 15 la razón.) 7 × 7 49 (Se multiplica cada término de la razón por el cociente = 8 × 7 56 obtenido). Por tanto, el grupo A tiene 49 estudiantes y el grupo B tiene 56. La igualdad de dos razones se llama PROPORCIÓN. c a En general, si y representan la misma razón, entonces: b d a c = b d donde; a , b , c y d son los términos de la proporción. Las cantidades a y d son los extremos, b y c son los medios. La propiedad fundamental de las proporciones establece que: en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c = Si y solo si ad = bc b d Las proporciones que tienen sus medios o sus extremos iguales, se llaman

PROPORCIONES CONTINUAS.

16 8 = , el término que se repite se llama media proporcional. 8 4

19


 Cálculo de un término en una proporción.

Para obtener el valor de un término desconocido de una proporción, se aplica la propiedad fundamental y se efectúan las operaciones necesarias. 12 18 = x 6 Despejando la variable, queda:

(18) x = 12(6)

18 x = 72 72 = x = 4 18

2.3

VARIACIÓN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL

Dadas dos cantidades, si a un aumento de una corresponde un aumento para la otra, o a una disminución de una corresponde una disminución de la otra, se dice que tales cantidades son directamente proporcionales. Si por el consumo de 40 m3 se pagan 20.80 unidades de dinero, ¿cuánto se pagará por un consumo de 37 m3. 40m3 20.80 = 37 m3 x Despejando la variable, se tiene:

40 x = 37(20.80)

2.4

40 x = 769.60 769.6 x= 40 x = 19.24 unidades de dinero.

VARIACIÓN INVERSAMENTE PROPORCIONAL

Dadas dos cantidades, puede ocurrir que a todo aumento de una corresponda una disminución de para la otra, o que a toda disminución de una corresponda un aumento para la otra. Cuando esto ocurre se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales.

Ejemplo Para hacer una obra en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 7 días? 42 dias x = 7 dias 23 obreros

20


Despejando la variable, queda:

42(23) = 7 x

7 x = 966 966 = x = 138 obreros 7

21

Operaciones con polinomios

3 OPERACIONES CON POLINOMIOS

En el álgebra intervienen distintos tipos de signos, los cuales son: signos de operación signos de relación ( +, −, ×, ÷, radicación y potencia ) ;

( <, =, >,

y sus combinaciones ) ; signos o símbolos de agrupación

( ) , [ ], { } .

Definición: Una expresión algebraica es la combinación de números y literales mediante las cuatro operaciones fundamentales ( +, ×, radicación y potenciación ) Ejemplo

ab y 2 − 2 y + 1 3 xyz . , 3 , 7 y + 3y + 2 x3 Los componentes de un término algebraico son: coeficiente, parte literal y exponentes de la parte literal. Cualquier factor de un término algebraico se llama coeficiente de los factores restantes, por ejemplo: en el término 1 1 1 1 xyz 2 , es el coeficiente de xyz 2 x es el coeficiente de yz 2 , xy es el 2 2 2 2 2 coeficiente de z , en general conviene considerar como coeficiente solamente a un número o letra. 3 x3 − 7 ax + 9, 2a +

3

TÉRMINOS SEMEJANTES: Son aquellos que tienen los mismos factores literales, cada uno con la misma base y exponente. 2 2 2 2 7 m y 5m , 8x y x 6ab y 2ab , etc.

Si las literales de un término algebraico están combinadas solamente por medio de la operación de multiplicación, se dice que el término es racional entero; el grado de un término racional entero es la suma de los exponentes de sus literales. Las expresiones algebraicas se clasifican en: Monomio: si consta de un término Binomio: si consta de dos términos ( los signos + y − separan los términos ) .

Trinomio: si consta de tres términos. Polinomio: una suma finita de términos algebraicos El grado de un polinomio respecto a una literal es el mayor de los exponentes que tiene dicha literal. Un polinomio es homogéneo si todos sus términos tienen el mismo grado.

Ejemplo 2 x 2 + xy + y 2 ;

3abc + b3 − c3 . 23


3.1

REDUCCION DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos o más términos semejantes se reducen mediante la adición de sus coeficientes numéricos. En este tipo de problemas aparecen con cierta frecuencia símbolos de agrupación, y antes de hacer la simplificación, se hace necesario suprimir dichos símbolos. Cuando se utilizan varios símbolos de asociación, se simplifican uno a uno empezando por el más interno, antes de proceder a la reducción de términos semejantes.

Las expresiones se pueden sumar, restar y multiplicar mediante el uso de sus postulados, teoremas y definiciones, como se expresa en la reducción de términos semejantes: A continuación se presenta un ejemplo en cual se aplican las propiedades fundamentales del Álgebra para obtener el valor de la variable x .

(5 x − 8) + ( − 7 x + 4)= [5 x + ( − 8)] + ( − 7 x + 4) = 5 x + ([( − 8) + ( − 7 x)] + 4) = 5 x + ([( − 7 x) + ( − 8)] + 4) = [5 x + ( − 7 x)] + [( − 8) + 4] = [5 + ( − 7)]x + [( − 8) + 4] =−2x + ( − 4) = −2x − 4

3.2

ADICIÓN DE POLINOMIOS

Teorema de la resta Ley asociativa Ley conmutativa Ley asociativa Ley distributiva por la derecha Propiedades de la suma Teorema de la resta

La propiedad distributiva para la suma o resta de polinomios. Estas operaciones consisten básicamente en la supresión de paréntesis y en la reducción de términos semejantes. Cuando se disponen en columna, la ordenación de los términos de un polinomio, facilita las operaciones de multiplicación y división.

Un polinomio puede ordenarse en: • Orden decreciente, cuando los exponentes de una literal disminuyen en términos sucesivos. • Orden creciente, cuando los exponentes de una literal aumentan en términos sucesivos. Sea el polinomio: 2 x 2 + 3 x3 − 5 x + 8 ordenando se tiene: 3 2 • Orden decreciente: 3x + 2 x − 5 x + 8 • Orden creciente: 8-5 x + 2 x 2 + 3x 3

24


El polinomio x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 se ha ordenado de modo decreciente respecto a la x , y en forma creciente respecto a la y . Sumar 3a + 5b , 6b − 2a y 10b − 25 . Disponiendo en columnas y sumando, queda: +3a + 5b −2a + 6b + 10b − 25 a + 21b − 25

3.3

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Para restar un término semejante de otro, se tiene: Minuendo − Sustraendo = Diferencia M −S = D donde M= S + D Por ello, al restar términos semejantes se piensa en el término que sumado al sustraendo nos dé el minuendo. Restar 5 x − 2 y de 8 x − 4 y +(8 x − 4 y ) − (5 x − 2 y ) 3x − 2 y

(8 x − 4 y ) − ( 5 x − 2 y ) = (8 x − 5 x ) + ( −4 y + 2 y )

O bien

semejantes

=

agrupando términos

( 3x ) + ( −2 y ) sumando y restando términos semejantes

= 3x − 2 y

quitando paréntesis

3.3.1 LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS Y POSITIVOS

La potencia de un número es el producto de factores cada uno igual al número. Esta operación de elevar a una potencia se llama involución.

3.2.1.1 Producto de dos potencias de la misma base.

En general, si a es un número real distinto de cero y m y n son números enteros no negativos, se tiene: m factores n factores        m n a a = a.a.a..... a.a.a.....  m + n factores

Es decir: a ⋅ a n = a m + n m

25


Primera ley: El producto de dos potencias de la misma base (distinta de cero), es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

x 3 ⋅ x 5 = x 3+ 5 = x8 x 4 ⋅ x = x 4 +1 = x 5 bx ⋅ b y = bx+ y m 2 ⋅ m 6 = m 2 + 6 = m8

1.

2. 3. 4.

3.3.1.1 Potencia de otra potencia

En general, si a es un numero real distinto de cero y m y n son números enteros positivos

(a )

m n

= a m .a m .a m ... a m .a m  n factores

n sumandos

(a )

m n

=a

   m + m + m + m + m ++ m

Es decir: (a m )n = a mn

Segunda ley: la potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero), es igual a la base elevada al producto de los exponentes. ( ) 4 2 ) 3= 38  (3= 42

( ) 2 5 ) m= m10  (m= 25

( ) x y ) a= a xy  (a= x y

3.3.1.2 Potencia de un producto

En general, si a y b son dos números reales distintos de cero y m es un número entero positivo.

( ab )

m

= ( ab )( ab )( ab ) ... ( ab )( ab )  m factores

( ab )

m

= aaa ... aa bbb ... bb     m factores

Es decir: (ab) = a b m

m factores

m m

26


Tercera ley. La potencia de un producto es igual al producto de los dos factores elevados a la misma potencia. 1.

2.

(x y ) ( x y) 2

3

5

2

m +1

= =(x 2 )2 ( y 5 )2 =x 2( 2) y 5( 2) =x 4 y10

= (x 3 )m+1 ⋅ (y)m+1 = x 3(m+1 ) ⋅ (y)(m+1 ) = x 3 m+3 y m+1

3.3.1.3 Potencia de una fracción

En general, si a y b son dos números reales distintos de cero y m es un número entero positivo. m factores     aaa...aa a   = ... bbb bb b   m

m factores

m

am a Es decir:   = m b b

Cuarta ley: Para elevar una fracción a un exponente, el numerador y el denominador se elevan a dicho exponente.

3.3.1.4 División de potencias

El cociente de dos potencias de la misma base, presenta tres posibilidades, estas dependen de que el exponente del dividendo sea mayor, igual ó menor que el del divisor.   a m−n , si m > n m  a = 1 , si m n = an  1  n−m , si m < n  a am a. Primero: a m−n ; si m > n . = an En general, si a es un número real distinto de cero, y m y n son números enteros positivos siendo m > n , entonces, se tiene:

27

Operaciones con polinomios m factores     m−n factores   a aaa...aa  = = aaa...aa an aaa ... aa   m

n factores

am Es decir: n a m−n = a

,

si

m>n

(Quinta ley, primer caso)

75 5−3 a. = 7= 72 73 m8 8−5 b. = m= m3 5 m x4 4 −1 c. = x= x3 x

am = 1 , siendo m = n . an En general, si a es un número real distinto de cero y m un número entero y positivo:

Segundo caso:

m factores    m aaa  aa a =1 = m  aaa aa a  m

Es decir,

factores

am =1 am

Ejemplos 23 2 ( 2 )( 2 ) a. = = 1 23 2 ( 2 )( 2 ) b.

(Quinta ley)

x4 =1 x4

1 am = m−n , siendo m < n n a a En general, si a es cualquier número real distinto de cero, m y n números enteros positivos siendo m < n , se tiene que:

Tercero:

28

Operaciones con polinomios m factores    m  aaa aa a = n a a aaa   n

m factores    aaa  aa =  aaa aa  n

factores

factores

m factores    aaa  aa  aaa aa 

m factores  m factores        aaa  aa  aaa  aa  m factores 1 =   n factores = n −m   aa  aaa aa    a  aaa       n factores  m factores  aaa aa aaa aa   m

=

factores

1 a

n−m

Es decir,

am 1 = n−m si m < n n a a

(Quinta ley, tercer caso)

4 ( 4 )( 4 ) 43 4  4  4   1  = =     a.  5 4 4 ( 4 )( 4 )( 4 )( 4 ) 4  4  4   4 ( 4 ) 

 1  1 1 1 = 1(1)(1)  = =  1= 2 +1 4 4 5 −3  4 ( 4)  4

x2 1 1 b. = = 5 5− 2 x x x3

3.3.2 EXPONENTE CERO

Se afirma que todo número real distinto de cero, elevado al exponente cero es igual a la unidad: a 0 = 1 , siendo a ≠ 0 El exponente cero no responde a la definición de potencia (producto de varios factores iguales). Sin embargo, el significado que se le ha dado le permite cumplir con las leyes generales de los exponentes enteros y positivos.

m+0 1. a m= a 0 a= a m , de acuerdo con la primera ley de los exponentes, se tiene: a m a 0 = a m am m−m 2. = a= a 0 , de acuerdo con la quinta ley de los exponentes, se tiene m a am 0 = a= 1 m a

29


3.3.3 EXPONENTE ENTERO NEGATIVO

En general, si a es un número real positivo distinto de cero y m es un número entero positivo, se tiene: 1

a −m =

am

Todo número real distinto de cero elevado a un exponente entero y negativo, es igual a una fracción que tiene por numerador la unidad y por denominador el mismo número racional con el exponente positivo Cuando se dividen potencias de la misma base y el exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor, al efectuar la resta de los exponentes se obtiene un exponente negativo. y3 y8

= y 3 −8 = y − 5

82 85

= 8 2 −5 = 8 −3

El exponente negativo, así como el exponente cero, no responde a la definición de potencia, por ello se hace necesario asignarle un significado para que cumpla con las leyes de los enteros positivos. 2 Así, a 5 = a −3

a

a2

y

a

5

=

1

a3

Por tanto, se establece que: a −3 =

,

con a ≠ 0

1

a3

El significado de la expresión cumple con las leyes generales de los exponentes.

Para la primera ley de los exponentes:

1. Sea a un número racional distinto de cero.

( )

−3 ( −3) 4 −3 a 4 a= a 4+= a= a

sustituyendo a −3 por

1 a3

4  1  a −3 a 4  3= a 4= a  = 3 a  a

, se tiene:

de tal manera que el significado de a −3 = 2.

los exponentes

1 a3

, cumpla con la primera ley de

( )

3 0 a 3 a −3= a 3+ ( −3) = a 3−= a= 1

sustituyendo a −3 por

1 a3

, se tiene 30

Operaciones con polinomios 3  1  a 3 0 a3  3 = a 3−= a= 1 =  3 a  a

de tal manera que el significado de a −3 = los exponentes. 1 1 −2 a. 3= = 32 9 1 1 −3 b. 5= = 3 5 125 1 c. x −2 = 2 x 1 d. y −5 = 5 y

1 a3

, cumpla con la primera ley de

3.3.4 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Las propiedades generales de la potenciación permiten definir a una de sus operaciones inversas: la radicación.

3.3.4.1 RADICACIÓN

La operación inversa de la potenciación se llama radicación. Esta operación inversa se llama extracción de raíz o evolución. a. Si n es un número entero positivo, a y b son tales que a n = b ; entonces por definición, a es la raíz enésima de b . b. Si b es positivo, solo hay un número positivo tal que a n = b . Este número se representa por n b y recibe el nombre de raíz enésima principal de b .

Ejemplo 4 16 es un número positivo que elevado a la cuarta potencia es igual a 16, dicho número es +2 ya que: 16 , por tanto 4 16 = +2 ( +2 )4 = 16 , por tanto −2 es una raíz cuarta de 16 pero no es la raíz principal. ( −2 )4 =

c. Si b es negativo no existe una raíz enésima positiva de b , pero si existe una raíz enésima negativa de b siempre que n sea impar. Este número negativo recibe el nombre de de raíz enésima principal de b , y se representa por n b 31

Operaciones con polinomios 3

− 27 es un número que elevado al cubo es igual a −27 , dicho número es −3

ya que: ( −3) = −27 , por tanto 3 − 27 = −3 ( −3)( −3)( −3) = 3

que es la raíz cúbica principal de −27 .

d. Si b es negativo y n es par, por ejemplo 4 −16 , la raíz enésima principal no se puede representar por un número real

3.3.4.2 POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO POSITIVO Si m y n son números enteros positivos, se define: m

a n = n am 3

a. = 42

= 43

2 3

b. 27=

3

= 64 8

( 27 )= 2

3

((3) )= 3 2

2 3= 9

3.3.4.3 POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO NEGATIVO Si m y n son números enteros positivos, se define: −

a 2

m n

=

1 = 2 83 5 − 1 2 b. x= = 5 x2 −

3 a. 8=

1

m

an 3

1 = 82

3

1 1 = 64 4

1 x5

Un radical es una expresión de la forma n a la cual representa la raíz enésima principal de a , el número a es el subradical, el entero positivo n es el índice u orden del radical (cuando n es igual a 2 se acostumbra no escribirlo). Las propiedades de los radicales son las mismas que de las potencias, pues: n

a=

1 an

( si n es par , a ≥ 0 )

32


Las propiedades que se usan con mayor frecuencia son:

1.

2.

( a) n

n

( 4)

a. n

=a 3

(

b.

a 2 + b2

)

2

= a 2 + b2

( 9= )( 5)

a. = 45 3

b. n

a.

b.

n

8 = 64

3

am =

m n

a.

n

a , b≠0 b

7 = 16

a.

= 9 5 3 5

3 3 2 (125 ) = 250 = 2 × 3 125 = 53 2

a n 3. = b

5.

=4

ab = n a n b

b.

4.

3

7 = 16 3

8 2 1 = = 3 64 4 2

( a) n

4 (27)=

3

7 4

m

(

3

)

4

27 =

3

4 4 (33 )= 3= 81

a = mn a

= 2

3

= 7

4

3( 2 )

6

2

4( 2 )

8

7

= 2

= 7

33


Algunas de las transformaciones hechas anteriormente se pueden hacer de la siguiente manera: 1. Calculando la raíz enésima de la cantidad subradical: 3 a. = 108 3 (= 27 ) 4 3= 33 3 4 3 3 4 = ( 4a 2b4 ) 2ab

b. = 8a 3b5

= 4a 2b 4 2ab 2ab 2 2ab

2. Reduciendo el índice del radical: a.

b.

4

6

6

64 =

4

49= x 6

3

6 4 2= 2= 22

6

2 3 6 7 x=

3. Racionalizando el denominador: a.

3.4

3 = 2

1 3 3 7 x=

( 7 x= ) ( ) ( ) 3 2

3 2 = 2 2

3( 2) = 2 ( 2)

6 = 4

3

3 7= x3 x= 7

3

7x

6 2

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

3.4.1 RAZONAMIENTO DEDUCTIVO O SILOGISMO

Aristóteles lo define como el raciocinio en el cual, supuestas proposiciones o premisas generan necesariamente una nueva proposición que debe deducirse de las anteriores sin recurrir a un apoyo distinto de los elementos contenidos en las premisas.

La estructura del silogismo simple establece que la argumentación en la que, de dos enunciaciones o proposiciones simples, expuestas, debe seguirse necesariamente una tercera en virtud de las dos anteriores.

El silogismo simple está constituido por los enunciados que la forman. Las dos primeras son el antecedente (aquello de lo cual se deduce) y reciben el nombre específico de premisas, la tercera se llama consecuente (aquello que se deduce o infiere) o conclusión La forma del silogismo simple consiste en la disposición y orden de los términos y enunciaciones que hagan posible la conclusión. Cuando la conclusión se obtiene por virtud de la materia u objeto se llama silogismo material. Cuando la conclusión se obtiene por virtud de la forma se llama silogismo formal. 34


Dentro de las ocho reglas generales de los silogismos, se puede mencionar los que se aplican al lenguaje algebraico. La quinta regla: “Si cada premisa niega, nada se seguirá de ahí. En caso de que

ambas premisas sean negativas, nada se puede establecer respecto de los términos extremos: El medio no resulta un punto de referencia y por consiguiente no hay silogismo”

Ejemplo Silogismo Ningún vegetal es animal ( − )

símbolo algebraico

−

Algún árbol no es animal ( − )

−

Algún árbol no es vegetal ( − ) (ilógico)

−

La sexta regla: “Ambas premisas afirmativas, no pueden dar una negativa. La

conclusión es un efecto necesario de las premisas y todo efecto debe estar contenido en su causa, si ambas premisas son afirmativas, no se ve de donde se pueda llegar a la negación de la conclusión”.

Ejemplo Silogismo Todo animal es orgánico Algún animal es racional Algún racional no es orgánico

símbolo algebraico (+) + (+) + + ( − ) (ilógico)

Finalmente, de los silogismos, surgen las reglas para las operaciones de la multiplicación y su inversa, la división, atendiendo cada factor como una premisa positiva o negativa. Aquí, la segunda premisa valora o califica con la verdad o falsedad a la primera premisa verdadera o falsa para calificar como verdadera o falsa a la conclusión.

( + )( + ) =+ ( − )( − ) =+ ( + )( − ) =− ( − )( + ) =−

3.4.2 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Para multiplicar monomios se aplica la regla de los signos de los números reales y las leyes de los exponentes. 35


a. 2 ( −4 x ) = −8 x

−15m ( −3m )( 5m ) = 5a 4 ) ( 4 )( 5= ) a3a 4 ( 4a3 )(= −5 x 4 y 3 ( −5) ( − x 4 )( − y 3 ) =

b.

c.

d.

Potencias de monomios.

20 = a 3+ 4 20a 7

a )( 3a )( 3a ) (= 3)( 3)( 3) a 27 a ( ) ( 3= b. ( −4 x ) =− 16 x ( 4 )( −4 ) x = ( 4 x )( −4 x ) =− c. ( 2ab c ) (= = 2ab c )( 2ab c )( 2ab c ) ( 2 )(= 2 )( 2 ) a b c 3

a. 3a 4 = 3

2

4

4

2

3

3

2

4+ 4+ 4

4

3+3

3

2

2

12

6

1+1+1 2 + 2 + 2 1+1+1

8a 3b6 c3

3.4.3 MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica cada término del polinomio por el monomio, luego se aplica la propiedad distributiva. a. 5 ( x − y + z ) = 5 x − 5 y + 5 z b. 3 ( 4b − 2 ) = 3 ( 4b ) − 3 ( 2 ) = 12b − 6 c.

x ( 4 x − 5) = x ( 4 x ) − x ( 5) = 4 x 2 − 5x

(

)

( )

d. 7t t 2 − 4 = 7t t 2 − 7t ( 4 ) = 7t 3 − 28t

3.4.4 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Para multiplicar dos polinomios, se ordenan en columna y cada término de un polinomio se multiplica por todos y cada uno de los del otro, disponiendo los productos parciales de manera que queden en columna los términos semejantes. 1. Multiplicar ( 2 s + 3)( 5s − 2 ) = 2s + 3 5s − 2

10 s 2 + 15s 0000 − 4 s − 6 10 s 2 + 11s − 6

2. Multiplicar ( −2b − c )( 3b − 5c ) = 36


−2b − c +3b − 5c −6b − 3bc 2

00000 + 10bc + 5c 2 −6b 2 + 7bc + 5c 2 3. Multiplicar ( x 2 + 3 x − 4 )( x 2 + 2 x ) = x 2 + 3x − 4

00 + x 2 + 2 x

x 4 + 3x 3 − 4 x 2 00 + 2 x 3 + 6 x 2 − 8 x x 4 + 5x 3 + 2 x 2 − 8x

3.4.5 DIVISIÓN DE MONOMIOS

Para dividir monomios, se aplica la regla de los signos de la división de números racionales y las leyes de los exponentes. En todos los casos se debe considerar que la expresión que aparece como divisor representa un número racional distinto de cero. 6a a. = 3a 2 12n3 b. = 3n 4n 2 −30 x 3 y 2 c. = −5 xy 2 2 6x −15m3n 2 d. = 5m −3m 2 n 2

3.4.6 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio. x4 + 2 x2 x4 2 x2 a. = 2 + 2 =x 2 + 2 x2 x x 2 3 5 2c + 4c − 6c 2c 2 4c 3 6c 5 b. = 2 + 2 − 2 =+ 1 2c − 3c 3 2 2c 2c 2c 2c 4 3 2 y −y +y c. = − y3 + y 2 − y −y 37


3.4.7 DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Para dividir dos polinomios se sigue, el siguiente procedimiento:

1. El dividendo y el divisor se ordenan en forma decreciente respecto a las potencias de una misma literal. 2. El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor y así se obtiene el primer término del cociente. 3. El primer término del cociente se multiplica por cada término del divisor, y el producto se resta del dividendo. El resultado de dicha resta es el primer dividendo parcial que se complementa bajando uno o más términos del dividendo según se necesite. 4. Se divide el primer término del dividendo parcial entre el primer término del divisor para obtener el segundo término del cociente. 5. Se multiplica el segundo término del cociente por todo el divisor y el producto se resta del primer dividendo parcial. El resultado de la resta es el segundo dividendo parcial que se complementa bajando uno o más términos del dividendo según se necesite. 6. Se continúa el procedimiento en la misma forma, hasta obtener un residuo igual a cero (división exacta) o un dividendo parcial cuyo grado sea inferior al del divisor (división inexacta).

3.4.7.1 PARA COMPROBAR LA DIVISIÓN

1. Si no existe residuo, el divisor se multiplica por el cociente, obteniéndose como producto el dividendo. 2. Si existe residuo, éste se suma al producto del divisor por el cociente para obtener el dividendo. 2x − 3 3x + 2 6 x − 5 x − 6 2

6 x2 − 4 x − 9x − 6 9 x + 6 0

Primer dividendo

38


2x − 3 4 x − 5 8 x − 22 x + 15 2

− 8 x 2 + 10 x  − 12 x + 15

Primer dividendo

2 x − 15  0

39

Productos notables

4 PRODUCTOS NOTABLES

Son aquellos productos que se obtenen de manera directa sin llevar acabo la multiplicación por un procedimiento general.

4.1

CUADRADO DE UN BINOMIO

Elevar un binomio al cuadrado significa que el binomio se multiplica por sí mismo. Por ejemplo: ( a + b )( a + b ) = ( a + b )

2

Efectuando la multiplicación en forma general se tiene: a+b

a+b a + ab 2

ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 Representación geométrica:

a+b

b2

ab

b

a+b

a

a2

ab

a Por tanto: ( a + b ) =a + 2ab + b 2

2

b 2

Figura 8

Los términos a 2 y b 2 • son siempre positivos porque el cuadrado de un número, positivo o negativo, es siempre positivo. El término 2ab puede ser positivo o negativo siempre que a y b tengan el mismo signo o bien signos contrarios. 39

Productos notables

Sea el producto:

( a − b )( a − b ) = ( a − b )2

Efectuando la multiplicación en la forma general se tiene: a −b a −b

a 2 − ab − ab + b 2 a 2 − 2ab + b 2

Por tanto: ( a − b ) =a 2 − 2ab + b 2 2

Representación geométrica:

a −b

a

b( a − b)

( a − b) 2

a b

b2

b( a − b)

b

a −b Figura 9

Estos resultados se pueden expresar de la siguiente forma:

( a ± b )2 =a 2 ± 2ab + b2

Esto es; “el cuadrado de un binomio es igual a la suma algebraica del cuadrado del primer término más el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término. El cuadrado de un binomio recibe el nombre de TRINOMIO CUADRADO

PERFECTO.    

(2a + 3b) 2 =(2a) 2 + 2(2a)(3b) + (3b) 2 =4a 2 + 12ab + 9b 2 2 2 (2a − 3b)= (2a ) 2 + 2(2a)(−3b) + (−3b)= 4a 2 − 12ab + 9b 2 (−3 x + 4 y ) 2 =(−3 x) 2 + 2(−3 x)(4 y ) + (4 y ) 2 =9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 (−3 x − 4 y ) 2 = (−3 x) 2 + 2(−3 x)(−4 y ) + (−4 y ) 2 = 9 x 2 + 24 xy + 16 y 2

40

Productos notables

4.2

PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS

Dos binomios son conjugados cuando tienen un término común y los otros dos términos son simétricos. Por ejemplo:

Los binomios

a +b y a −b

3b − 2a y 3b + 2a −5 x + s y −5x − s

El término común es: a

3b

Los términos simétricos b y −b −2a y 2a

s y −s

−5x

Sea el producto (a + b)(a − b) Efectuando la multiplicación en la forma general se tiene: a+b a −b

a 2 + ab − ab − b 2 a2 − b2


a −b

a

b( a − b)

b

( a − b) 2

b( a − b)

a b

b2

b( a − b)

b

a −b Figura 10 41

Productos notables

El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. El producto de dos binomios conjugados recibe el nombre de diferencia de cuadrados. a. (2 x + 3 y )(2 x − 3 y ) = (2 x) 2 − (3 y ) 2 = 4 x 2 − 9 y 2 b. (−5a + 3b)(−5a − 3b) =− ( 5a ) 2 − (−3b) 2 =25a 2 − 9b 2 ( x − y + z )( x + y − z ) = [ x − ( y − z ) ][ x + ( y − z ) ] =

c. 4.3

=

( x) − ( y − z ) ( x ) − ( y − 2 yz + z ) 2

2

2

2

2

= x 2 − y 2 + 2 yz − z 2 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN

Sean x + a y x + b dos binomios que tienen un término común x , en los cuales a y b representan términos algebraicos cualesquiera. Efectuando la multiplicación en la forma general se tiene: x+a x+b

x 2 + ax bx + ab x 2 + (a + b) x + ab


x

a

b

bx

ab

x

x2

ax

Figura 11

Por tanto, ( x + a )( x + b ) = x 2 + (a + b) x + b 2

42

Productos notables

Esto es; el producto de dos binomios que tienen un término común se obtiene sumando algebraicamente el cuadrado del término común, el producto de este término por la suma algebraica de los términos no comunes y el producto de estos dos últimos términos. En este producto se puede observar que si a es igual a b entonces se trata del cuadrado de un binomio obteniéndose un trinomio cuadrado perfecto. Si a y b son simétricos, entonces se obtiene como producto una diferencia de cuadrados. • ( x + 7)( x − 3) = x 2 + 4 x − 21 pues (+7) + (−3) = 4 y (+7)(−3) = −21

4.4

•

(5a + 5)(5a += 7) 25a 2 + 60a + 35

pues 5( (+5) + (+7)) = 60

•

( x − 9)( x − 2) = x 2 − 11x + 18

pues

y (+5)(+= 7) 35

(−9) + (−2) = −11 y (−9)(−2) = 18

CUBO DE UN BINOMIO

Sea el binomio a + b donde a y b a representan términos algebraicos que pueden ser positivos o negativos. El cubo del binomio a + b puede escribirse como: ( a + b )3 = (a + b)(a + b)(a + b) = ( a + b) 2 ( a + b) Substituyendo (a + b) 2 por su producto a 2 + 2ab + b 2 se obtiene:

a 2 + 2ab + b 2 a+b 3 a + 2a 2b + ab 2

a 2b + 2ab 2 + b3 a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 Por tanto:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

El cubo de un binomio es igual a la suma algebraica del cubo del primer término, el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo y el cubo del segundo término.

Nota: el signo "+ " de los términos del producto, indica que cada término se considera con el signo que le corresponde de acuerdo con las leyes de los signos para la multiplicación. 43

Productos notables

Ejemplos 1. (a − b)3

= a 3 + 3(a ) 2 (−b) + 3(a )(−b) 2 + (−b)3

= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 2. ( x + 2)3 =+ x3 3( x)2 (2) + 3( x)(2) 2 + (2)3

=x3 + 6 x 2 + 12 x + 8 3. (−3 x + 2 y )3 =(−3 x)3 + 3(−3 x) 2 (2 y ) + 3(−3 x)(2 y ) 2 + (2 y )3

= −27 x3 + 54 x 2 y − 36 xy 2 + 8 y 3 4.5

INTRODUCCIÓN AL TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON

La fórmula del binomio permite escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Por multiplicación directa se puede obtener el desarrollo de las potencias sucesivas del binomio para: a+b (a + b)1 = a + b

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 3 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

De acuerdo con estos desarrollos se puede generar una idea acerca de la ley que siguen en su formación: 1. Si el exponente del binomio es n , hay n + 1 términos en el desarrollo.

2. Para cada valor de n , el desarrollo de ( a + b ) empieza con a n y termina n

con b n . En cada término los exponentes de a y b suman n . 3. Las potencias de a disminuyen en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término. 4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en ese término, el coeficiente anterior por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

44

Productos notables

Así, Newton propuso la expresión

n n(n − 1) n −2 2 n(n − 1)(n − 2) n −3 3 (a + b) n =a n + a n −1b + a b + a b + 1! 2! 3! n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n −4 4 n(n − 1)...(n − r + 2) n − r +1 r −1 a b + ... + a b + ... + b n 4! (r − 1)! Cierta simetría en los coeficientes de los términos constituye otra característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como Triangulo

de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de ( a + b ) . n

n =1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1          

A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que en cada renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último término son iguales a 1. Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos de 5 y 10 del renglón superior y así sucesivamente.

Ejemplos

1. (a + 2b) 4 = (1)(a) 4 + (4)(a)3 (2b)1 + (6)(a) 2 (2b) 2 + (4)(a)1 (2b)3 + (1)(2b) 4

desarrollando las potencias, se tiene:

(a + 2b) 4 = 1 ⋅ a 4 + 4 ⋅ a 3 ⋅ 2b + 6 ⋅ a 2 ⋅ 4b 2 + 4 ⋅ a ⋅ 8b 3 + 1 ⋅16b 4

efectuando los productos:

(a + 2b) 4 = a 4 + 8a 3 b + 24a 2 b 2 + 32ab 3 + 16b 4

45

Productos notables

2. (m 2 −

(m2 −

4.6

1 7 7 1 7 ⋅6 2 5 1 2 7 ⋅6⋅5 2 4 1 3 ) = (m 2 )7 − (m 2 )6 ( − ) + (m ) (− ) − (m ) (− ) + m m 1⋅ 2 m m 1 1⋅ 2 ⋅ 3 7 ⋅6⋅5⋅ 4 2 3 1 4 7 ⋅6⋅5⋅ 4⋅3 2 2 1 5 − (m ) (− ) + (m ) (− ) − m m 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 7 ⋅ 6 ⋅5⋅ 4 ⋅3⋅ 2 2 1 6 1 7 + (m )(− ) − (− ) m m 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6

1 7 21 7 1 ) = m14 − 7 m11 + 21m8 − 35m5 + 35m 2 − + 4 − 7 m m m m

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores

4.6.1 FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO QUE TIENEN UN FACTOR COMÚN Sea el polinomio ax + bx en el cual x es el factor común de sus términos. Al dividir entre el factor común, se tiene ax + bx = a+b x Por tanto: ax + bx = x(a + b)

1. Factorizar 4a 3 + 6a 2b : Se observa que 2 y a 2 son comunes en todos los términos. 4a 3 + 6a 2b= 2a 2 ( 2a ) + 2a 2 ( 3b = ) 2a 2 ( 2a + 3b )

2. Factorizar 5a 2bx 4 − 15ab 2 x3 + 20ab3 x 4 : Se observa que 5, a, b y x3 son comunes en todos los términos.

(

5a 2bx 4 − 15ab 2 x3 + 20ab3 x 4= 5abx3 ( ax ) − 5abx3 ( 3b ) + 5abx3 4b 2 x

(

= 5abx3 ax − 3b + 4b 2 x

)

)

El factor común se puede obtener localizando el máximo común divisor (m.c.d.)de los coeficientes de todos los términos del polinomio, el cual será el coeficiente del factor común que tendrá como literales comunes de todos los términos del polinomio con su menor exponente. Así en: 12 x 4 y 3 − 8 x 3 y 2 + 4 x 2 y

El m.c.d. de los coeficientes es 4, las literales comunes con su menor 2 exponente son x y . 46

Productos notables

Dividiendo el polinomio entre el factor común: 12 x 4 y 3 − 8 x 3 y 2 + 4 x 2 y 2

= 3 x 2 y 2 − 2 xy + 1

4x y

Por tanto:

(

)

12 x 4 y 3 − 8 x3 y 2 + = 4 x 2 y 4 x 2 y 3x 2 y 2 − 2 xy + 1

En la práctica, la obtención del m.c.d. de un polinomio como factor común facilita el proceso de simplificación de fracciones algebraicas.

4.6.2 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

Sea el polinomio ac + ad + bc + bd Se observa que los dos primeros términos tienen como factor común a a y los dos últimos términos tienen como factor común a b . Agrupando los términos que tienen factor común se obtiene: (ac + ad ) + (bc + bd )

factorizando cada grupo, queda: a (c + d ) + b (c + d )

por tanto:

(ac + ad ) + (bc + bd ) = a (c + d ) + b(c + d )

tomando c + d como factor común resulta:

(ac + ad ) + (bc + bd ) =(c + d )(a + b)

es decir:

ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d )

Si el polinomio ac + ad + bc + bd , se reordena, puede escribir como: ac + bc + ad + bd o bien: (ac + bc) + (ad + bd ) de donde se obtiene: ( a + b )c + ( a + b ) d

que se puede expresar como: (a + b)(c + d )

De modo que:

ac + ad + bc + bd = (a + b)(c + d )

En ambos casos se puede efectuar la comprobación mediante la multiplicación de los factores indicados, o bien, dando valores a las letras. 47

Productos notables

Ejemplos 1. Factorizar 3mx + 4my + 3nx + 4ny 3mx + 4my + 3nx + 4ny = m(3 x + 4 y ) + n(3 x + 4 y )

= (3 x + 4 y )(m + n)

2. Factorizar ax + ay − bx − by ax + ay − bx − by = a ( x + y ) − b( x + y )

= ( x + y )(a − b)

3. Factorizar 18 x3 + 12 x 2 − 15 x − 10

18 x3 + 12 x 2 − 15 x −= 10 6 x 2 (3 x + 2) − 5(3 x + 2) = (3 x + 2)(6 x 2 − 5)

4. Factorizar

m2 x + n2 x + m2 + n2 m 2 x + n 2 x + m 2 + n 2= x(m 2 + n 2 ) + (m 2 + n 2 ) =(m 2 + n 2 )( x + 1)

4.6.3 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se llama trinomio cuadrado perfecto al producto que se obtiene al elevar un binomio al cuadrado. En consecuencia, factorizar un trinomio cuadrado perfecto significa obtener el binomio que multiplicado por si mismo dé como producto el trinomio cuadrado perfecto. Es decir, si (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 entonces a 2 + 2ab + b 2 = (a + b )2 Sea el trinomio 9 x 2 − 12 xy + 4 y 2 examínese si es cuadrado perfecto.

El primer termino 9x 2 es el cuadrado de 3x , el tercer término 4 y 2 es el cuadrado de 2 y , y el segundo termino −12xy es el doble producto de 3x por 2 y donde uno de estos términos es negativo. Por tanto

9 x 2 − 12 xy + 4 y 2 = (3x − 2 y ) 2

Ejemplos 1. Factorizar el trinomio x 2 + 6 x + 9 El cuadrado de x es x 2 . El cuadrado de 3 es 9 2(3) x = 6 x Por tanto: x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3) 2 2. Factorizar el trinomio 25 x 2 − 20 x + 4 El cuadrado de 5x es 25x 2 .

48

Productos notables

El cuadrado de −2 es 4 2(5 x)(−2) = −20 x

Por tanto: 25 x 2 − 20 x + 4 = (5 x − 2) 2

3. Factorizar el trinomio x 2 + x + 1

4

El cuadrado de x es x 2 . 1 1 El cuadrado de es 2 4

Por tanto:

1 2( x)( ) = x 2 1 1 2 x + x + = (x + ) 2 4 2

4.6.4 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Una diferencia de cuadrados se puede obtener a través del producto de dos binomios conjugados, es decir a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)

Luego, para factorizar una diferencia de cuadrados se obtiene dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cuadrados dada.

Ejemplos 1. Factorizar 9 x 2 − 16 y 2 El primer término 9x 2 es el cuadrado de 3x término común de los dos binomios conjugados que se necesitan. El segundo término −16 y 2 es el producto de 4y, por −4y términos simétricos de los binomios conjugados que se requieren. Por tanto: 9 x 2 − 16 y 2 = (3 x + 4 y )(3 x − 4 y )

Otra manera de obtener los binomios conjugados: a. Se obtiene la principal raíz cuadrada(positiva) de los términos cuadráticos: + 9 x 2 = 3x

+ 16y 2 = 4y

Los binomios conjugados se forman con la suma y la diferencia de las raíces, esto es: 3 x − 4 y entonces 9 x 2 − 16 y 2 = (3x + 4 y )(3x − 4 y ) Los casos especiales de la factorización de una diferencia de cuadrados son: b. Cuando uno de los binomios conjugados es una diferencia de cuadrados por lo que se hace necesario continuar la factorización. Así, en la factorización de x 8 − y 8 se obtiene: 49

Productos notables x 8 − y 8 = ( x 4 + y 4 )( x 4 − y 4 ) = ( x 4 + y 4 )( x 2 + y 2 )( x 2 − y 2 ) = ( x 4 + y 4 )( x 2 + y 2 )( x + y )( x − y )

c. Cuando

los

cuadrados

son

polinomios,

como

en

x 4 − ( m − n) 2 .

Considerando ( m − n ) como un monomio, se factoriza de la siguiente forma:

][

[

x 4 − ( m − n) 2 = x 2 + ( m − n) x 2 − ( m − n)

]

= ( x + m − n)( x − m + n) 2

2

d. Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados reordenando y arreglando sus términos como en el siguiente caso: x 2 + 2 xy + y 2 − 25 z 2 = ( x + y ) 2 − 25 z 2

= [ ( x + y ) + 5 z ) ][ ( x + y ) − 5 z ) ] = ( x + y + 5 z )( x + y − 5 z )

e. Cuando un polinomio se expresa como una diferencia de cuadrados mediante la técnica de sumar y restar el mismo termino. En x 4 + x 2 y 2 + y 4 se observa que si el segundo termino fuera 2 x 2 y 2 se tendría un trinomio cuadrado perfecto factorizado por ( x 2 + y 2 ) 2 .Si se suma y se resta al polinomio el termino x 2 y 2 , la igualdad subsiste, se obtiene: x4 + x2 y 2 + y 4 = x4 + 2 x2 y 2 + y 4 − x2 y 2

=( x 2 + y 2 ) 2 − x 2 y 2

= ( x 2 + y 2 + xy )( x 2 + y 2 − xy ) 4.6.5 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + mx + n

Se sabe que dos binomios que tienen un término común: tales como ( x + a )( x + b) da como producto ( x + a )( x + b) = x 2 + (a + b) x + ab si se sustituye a + b por m y ab por n , se puede escribir x 2 + mx + n = ( x + a )( x + b)

esto significa que el trinomio x 2 + mx + n se puede factorizar como el producto de dos factores, tales que: el primer término sea x , el segundo, dos números cuya suma algebraica sea m y cuyo producto resulte n .

50

Productos notables

1. Factorizar la expresión x 2 + 8 x + 15 El producto +15 indica que los factores tienen el mismo signo y como la suma es +8, entonces los números son positivos. Los factores de 15 son (15)(1), y (3)(5). Los últimos son los términos solicitados, porque la suma es 3+5=8 Por tanto: x 2 + 8 x + 15 = ( x + 3)( x + 5) 2. Factorizar la expresión x 2 − 8 x + 15 Como el producto es positivo, entonces los factores tienen el mismo signo. Para que la suma sea negativa, los dos deben ser negativos. Factores de 15 son (15 )(1) , ( −15 )( −1) , ( 3)( 5 ) y ( −3)( −5 ) . Los factores de +15 deben sumar −8 , los cuales son : − 3 y − 5 . Por tanto: x 2 − 8 x + 15 = ( x − 3)( x − 5)

3. Factorizar la expresión x 2 + 3x − 10 El producto es negativo, por tanto los factores tienen signo diferente. Los factores de −10 que sumados den +3 son +5 y −2 . Por tanto: x 2 + 3 x − 10 = ( x + 5)( x − 3)

4. Factorizar la expresión x 2 − 3x − 10 El producto es negativo, por tanto los factores tienen diferente signo. Los factores de −10 que sumados den −3 son −5 y +2. Por tanto: x 2 − 3x − 10 = ( x − 5)( x + 2)

2 4.6.6 FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c

La forma general del trinomio de segundo grado es ax 2 + bx + c . Para factorizar esta expresión se recurre a dos tipos de procedimiento.

a. Primero: consiste en ensayar con diferentes pares de binomios, lo cual a veces resulta laborioso al comparar el resultado de la multiplicación de los factores binomiales.

Ejemplos 1. Factorizar la expresión 4 x 2 + 8 x + 3. El procedimiento consiste en determinar dos números cuyo producto sea 12 y cuya suma sea 8 . Como el producto y la suma son positivos, entonces los dos números solicitados son positivos. Los factores de 12 son +1, +2 + 3 + 4 + 6 + 12 . Los únicos factores cuya suma es 8 son 6 y 2. Con estos números, el polinomio se puede escribir como: 51

Productos notables

4 x 2 + 8 x + 3= 4 x 2 + 6 x + 2 x + 3 = (4 x 2 + 6 x) + (2 x + 3) = 2 x(2 x + 3) + (2 x + 3) = ( 2 x + 3)( 2 x + 1)

4 x2 + 8x + 3 =

( 2 x + 3)( 2 x + 1)

Comprobación: (2 x + 3)(2 x + 1)= 4 x 2 + 2 x + 6 x + 3= 4 x 2 + 8 x + 3

2. Factorizar la expresión 6 x 2 + 5 x − 4. Determinando dos números cuyo producto sea −24 y cuya suma sea +5. El que su producto sea negativo, significa que sus factores tienen signo diferente y para que la suma sea positiva se requiere que el factor con mayor valor absoluto sea positivo. Los factores de −24 son ±1, ±2 ± 3, ±4, ±6, ±8 ± 12, ±24 . Los únicos factores cuya suma es +5 son 8 y −3 . Con estos números, el polinomio se puede escribir, como: 6 x 2 + 5 x − 4= 6 x 2 + 8 x − 3 x − 4

= (6 x 2 + 8 x) − (3x + 4) = 2 x(3 x + 4) − (3 x + 4) = ( 3x + 4 )( 2 x − 1)

(3 x + 4)(2 x − 1)= 6 x 2 − 3 x + 8 x − 4= 6 x 2 + 5 x − 4 b) Segundo. Este procedimiento consiste en multiplicar por la unidad a = 1 a

toda la expresión y transformarla a la forma x + mx + n 2

1. Factorizar la expresión 6 x 2 + 5 x − 4. Se observa que no es factorizable directamente debido a que el segundo término no es factor lineal correspondiente al término cuadrático, por lo cual se multiplicará y dividirá por: 6 = 1 6

Iniciando el procedimiento para convertirla a la forma x 2 + mx + n , se tiene:

( 6 x )2 + 5 ( 6 x ) − 24 = (6 x + 8)(6 x − 3)

6 6 utilizando los factores de 6 (usando los factores 2 y 3), queda: (6 x + 8)(6 x − 3) 2(3 x + 4) 3(2 x − 1) = = ( 3x + 4 )( 2 x − 1) 2 ( 3) 2 3 6 x 2 + 5 x − 4 = (3x + 4)(2 x − 1)

52

Productos notables

2. Factorizar La expresión 12 x 2 − x − 1. Multiplicando y dividiendo por 12, queda: (12 x) 2 − (12 x) − 12 12 x 2 − x − 1 = 12 3. Obtener dos números cuya suma sea −1 y su producto sea −12 . (12 x − 4)(12 x + 3) 12 x 2 − x − 1 = 12  12 x − 4  12 x + 3  =    4  3   3x − 1   4 x + 1  = 4  3   4   3  =(3 x − 1)(4 x + 1) 4.7

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es toda expresión de la forma a (a entre b) en que a o

b o ambas son expresiones literales. Por ejemplo;

b 5 m+n x+ y , , . 3 a m−n

La simplificación de fracciones algebraicas comprende las siguientes transformaciones: a. Simplificación de fracciones. b. Reducción de fracciones a un común denominador. c. Reducción de fracciones a forma mixta y viceversa.

4.7.1 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

El valor de una fracción no se altera, si tanto el numerador como el denominador se multiplica o se divide por el mismo factor. Por ejemplo: a a ⋅ n an = = b b ⋅ n bn 1 a+b a+b = = a 2 − b 2 (a + b)(a − b) a − b

Las fracciones así obtenidas reciben el nombre de equivalentes porque representan el mismo valor. Una fracción se reduce a su más simple expresión cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, esto se logra dividiéndolos entre sus factores comunes o bien entre su máximo común divisor (m.c.d). 53

Productos notables

Si la reducción se hace por factorización, los factores comunes se van cancelando hasta que el numerador y el denominador de la fracción sean primos entre sí. A este proceso se le llama “simplificación”. 8a 2b3c 4 Simplificar 12a 4b3c 2 Expresando el numerador y el denominador de la fracción en sus factores comunes, se tiene: 2 ⋅ 4 ⋅ a 2 ⋅b3 ⋅ c 2 ⋅ c 2

3⋅ 4 ⋅ a 2 ⋅ a 2 ⋅b3 ⋅ c 2

2

Cancelando los términos comunes, queda como resultado: 2c 2 3a

4.7.2 REDUCCIÓN DE FRACCIONES A UN COMÚN DENOMINADOR Dos o más fracciones tienen un común denominador cuando éste, es el mismo para todas ellas. Así: p q −r , , m m m

Tienen a m como común denominador. El menor común denominador de dos o más fracciones es el común denominador de menor grado posible. Las fracciones: ( x + y )2 x 2 + 3 xy + 2 y 2 y x2 − y 2 x2 − y 2 tienen como común denominador ( x 2 − y 2 ) que no es el menor, ya que las dos fracciones se pueden simplificar en las fracciones equivalentes: x+ y x− y

y

x + 2y x− y

Por lo que x − y es el menor común denominador. Cuando dos o más fracciones están simplificadas y se quiere determinar el menor común denominador, se hace necesario multiplicar al numerador y denominador de cada una de ellas por una misma cantidad. Dicha cantidad debe ser múltiplo común de los denominadores primitivos de las fracciones, esto significa que el menor común denominador de varias fracciones es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de las fracciones. Así, para reducir: p r x , , q s y

Al menor común denominador, se multiplica el numerador y denominador de la primera por sy , de la segunda por qy y de la tercera por qs , con lo cual se transforma en: 54

Productos notables psy rqy xqs , , qsy sqy yqs

Donde el numerador y el denominador de cada fracción original se ha multiplicado por el producto de los denominadores de las demás fracciones. Antes de obtener el menor común denominador de varias fracciones es conveniente que primero se simplifiquen. Así, en:

x− y

x + 3 xy + 2 y 2

x

y

2

2 x + 3 xy + y 2 2

los denominadores se pueden escribir: x 2 + 3xy + 2 y 2 = ( x + y )( x + 2 y )

2 x 2 + 3xy + y 2 = ( x + y )(2 x + y )

por lo que el denominador común es: ( x + y )( x + 2 y )(2 x + y )

entonces el numerador y el denominador de la primera fracción se debe multiplicar por ( 2x + y ) y en la segunda por ( 2x + y ) con lo cual las fracciones nos quedan de la siguiente forma: x− y

x + 3 xy + 2 y 2

2

=

( x − y )(2 x + y ) ( x + y )( x + 2 y )(2 x + y )

x( x + 2 y ) x = ( x + y )(2 x + y ) ( x + y )( x + 2 y )(2 x + y )

Si se trata de dos fracciones simplificadas con diferente denominador el menor común denominador es el producto de sus denominadores.

4.7.3 REDUCCIÓN DE FRACCIONES A FORMA MIXTA Y VICEVERSA

Se llama expresión mixta a la suma algebraica de una expresión entera y una fraccionaria. Por ejemplo: x+

m n

y

x+

m−n p−q

Este tipo de fracciones se obtienen a partir de divisiones en que el dividendo no es múltiplo del divisor, es decir, queda un residuo, por lo que el resultado es de forma mixta. Ejemplo

2 1. Reducir a forma mixta la fracción 6 x − 18 x + 5

3x − 4

55

Productos notables

La división da como cociente 2 x − 3 y un residuo −x − 7 por lo que el resultado es: 2x − 3 +

−x − 7 3x − 4

o bien

2x − 3 −

x+7 3x − 4

donde la última expresión es la común. El procedimiento inverso para transformar una expresión mixta en fraccionaria consiste en multiplicar el denominador de la fracción por la parte entera, después se suma algebraicamente el producto obtenido con el numerador de la fracción y a esta suma se le agrega como denominador el de la fracción.

Ejemplo

2ax − x 2 a+x 2ax − x 2 (a + x)(a + x) − (2ax − x 2 ) = a+ x− a+x a+x 2 a + 2ax + x 2 − 2ax + x 2 = a+x 2 2 a + 2x = a+x

1. Reducir a + x −

4.7.4 FRACCIONES RACIONALES PROPIAS EXPRESADAS EN FRACCIONES PARCIALES SIMPLES

Considerando el problema para determinar la suma de dos o más fracciones algebraicas simples. Por ejemplo: 2 4 4 x − 2 10 x3 + 2 x + 4 (A) + + = x + 1 x − 1 x 2 + 1 ( x 2 − 1)( x 2 + 1)

Esta suma resultó ser una sola fracción cuyo denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas. Ahora, considérese el problema inverso, esto es, el de descomponer una fracción dada en una suma de fracciones sencillas que se denominan fracciones parciales. Así, en la igualdad (A), las tres fracciones del primer miembro son las fracciones parciales correspondientes a la fracción del segundo miembro. El problema de la descomposición de una fracción en fracciones parciales, se requiere para comprender algunos tópicos de cálculo integral. Recuérdese que una fracción impropia puede expresarse como la suma de un polinomio y una fracción propia. Aquí, sólo se considerará la descomposición de fracciones propias simplificadas. Además, estas fracciones tendrán como numerador y denominador polinomios con coeficientes reales. Debido a que los denominadores de las fracciones parciales que se van a determinar son 56

Productos notables

factores del denominador de la fracción dada, entonces, este denominador debe tener factores lineales o cuadráticos irreducibles con coeficientes reales.

4.7.4.1 TEOREMA FUNDAMENTAL EN LA DESCOMPOSICIÓN FRACCIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

DE

UNA

TEOREMA: Cualquier fracción propia, reducida a su mínima expresión, puede expresarse como una suma de fracciones parciales de los siguientes tipos: 1. A cada factor lineal ax + b que aparezca una sola vez como factor del A , en denominador, corresponde una fracción parcial de la forma ax + b donde A ≠ 0 . 2. A cada factor lineal ax + b que aparezca k veces como factor del denominador, corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma: Ak A1 A2 + + + 2 k ax + b ( ax + b ) ( ax + b ) Donde A1 , A2 , , Ak son constantes y Ak ≠ 0 .

3. A cada factor cuadrático ax 2 + bx + c (irreducible en el campo de los números reales) que aparezca una sola vez como factor del denominador, Ax + B corresponde una fracción parcial de la forma , donde A y B 2 ax + bx + c son constantes no simultáneamente nulas. 4. A cada factor cuadrático ax 2 + bx + c (irreducible en el campo de los números reales) que aparezca k veces como factor del denominador, corresponde la suma de k fracciones parciales de la forma: Ak x + Bk A1 x + B1 A2 x + B2 + + + 2 k 2 ax + bx + c ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c

(

)

Donde A1 , B1 , A2 , B2 ,, , Ak , Bk simultáneamente nulas.

(

)

son constantes y

Ak y Bk

no son

Nota:

a. Si una fracción dada es impropia, primero debe expresarse como la suma de un polinomio y una fracción propia, luego, aplicándose el teorema a la fracción propia. b. Los tipos de fracciones mencionados en el teorema se llaman fracciones parciales simples. 57

Productos notables

Ax 2 + Bx + C . El denominador ax3 + bx 2 + cx + d cúbico puede expresarse como producto de tres factores lineales o como producto de un factor lineal por un factor cuadrático. Entonces, la fracción mencionada puede expresarse como la suma de dos o tres fracciones simples.

c. En las fracciones parciales de la forma

4.7.4.2 FACTORES LINEALES DISTINTOS

Ahora, se van a considerar las fracciones parciales de tipo 1 del Teorema inmediato anterior.

Ejemplo

Descomponer

3x + 6 en fracciones parciales simples. ( x − 2 )( x + 4 )

Como los factores del denominador son todos lineales y diferentes, se puede escribir la identidad: 3x + 6 A B (1) = + ( x − 2 )( x + 4 ) x − 2 x + 4

Donde A y B son constantes que deben determinarse. La identidad (1) es válida para todos los valores de x exceptuando 2 y −4 , ya que para cada uno de estos valores el denominador se anula. Simplificando denominadores de (1) y realizando operaciones, se obtiene: ( 3 x + 6= )( x − 2 )( x + 4 ) A ( x − 2 )( x + 4 ) + B ( x − 2 )( x + 4 ) ( x − 2 )( x + 4 ) ( x − 2) ( x + 4)

3x + 6 =

( A + B ) x + 4 A − 2B

(2)

Para determinar las constantes A y B , se igualan los coeficientes de la variable x , luego se repite el procedimiento con las constantes para formar un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, posteriormente, se procede a resolverse por los métodos ya trabajados en este material. A+ B = 3 (a) : 4 A − 2B = 6 (b) De la ecuación ( a ) , se tiene:

Sustituyendo

en la ecuación ( b ) , queda:

4 (3 − B ) − 2B = 6 12 − 4 B − 2 B = 6 12 − 6 B = 6

58

Productos notables

12 − 12 − 6 B =6 − 12 −6 B = −6 −6 B= −6 B =1 Calculando el valor de A A= 3 − B

A= 3 − 1 A=2 Sustituyendo valores en (1), queda: 3x + 6 A B 2 1 = + = + ( x − 2 )( x + 4 ) ( x − 2 ) ( x + 4 ) ( x − 2 ) ( x + 4 )

4.7.4.3 FACTORES LINEALES REPETIDOS

Considérense las fracciones parciales de tipo 2 del Teorema inmediato anterior.

Ejemplos

1. Descomponer la fracción

3x − 1

( x + 1)

2

en sus fracciones parciales simples.

Como los factores del denominador son lineales y se repiten, se puede escribir la siguiente identidad, como: 3x − 1 A B (1) = + 2 2 ( x + 1) x + 1 ( x + 1)

Simplificando denominadores de (1) y realizando operaciones, se obtiene la identidad:

(( x + 1) = ) (3x − 1) 2

A ( x + 1) B ( x + 1) + 2 x +1 ( x + 1)

( x + 1) 3 x − 1= A ( x + 1) + B= 2

2

Ax + A + B

2

(2)

De igual forma se procede a formar el sistema de ecuaciones y se aplican los métodos ya trabajados. Igualando los coeficientes de potencias correspondientes de x , se obtiene: A=3 A+ B = −1 Determinando el valor de ; 3+ B = −1 3 − 3 + B =−1 − 3 B = −4 59

Productos notables

Sustituyendo valores en (1), queda: 3x − 1 A B 3 4 = + = − 2 2 2 ( x + 1) x + 1 ( x + 1) x + 1 ( x + 1) 2. Descomponer en fracciones parciales simples la expresión: 3 x 2 − 5 x − 52 ( x + 2 )( x − 3)( x + 5) La fracción debe tomar la forma: 3 x 2 − 5 x − 52 A B C (1) = + + ( x + 2 )( x − 3)( x + 5) ( x + 2 ) ( x − 3) ( x + 5) Simplificando denominadores de (1) y realizando operaciones, queda la identidad: ( 3x2 − 5 x − 52= ) ( x + 2 )( x − 3)( x + 5) A ( x + 2 )( x − 3)( x + 5) + ( x + 2) ( x + 2 )( x − 3)( x + 5)

+

B ( x + 2 )( x − 3)( x + 5 ) C ( x + 2 )( x − 3)( x + 5 ) + ( x − 3) ( x + 5)

3 x 2 − 5 x − 52= A ( x − 3)( x + 5 ) + B ( x + 2 )( x + 5 ) + C ( x + 2 )( x − 3)

(2)

Haciendo operaciones en el segundo miembro de (2), se obtiene el polinomio de x : 3 x 2 − 5 x − 52= A ( x 2 + 5 x − 3 x − 15 ) + B ( x 2 + 5 x + 2 x + 10 ) + C ( x 2 − 3 x + 2 x − 6 ) 3 x 2 − 5 x − 52= A ( x 2 + 2 x − 15 ) + B ( x 2 + 7 x + 10 ) + C ( x 2 − x − 6 )

3 x 2 − 5 x − 52 = Ax 2 + 2 Ax − 15 A + Bx 2 + 7 Bx + 10 B + Cx 2 − Cx − 6C 3 x 2 − 5 x − 52 = ( A + B + C ) x 2 + ( 2 A + 7 B − C ) x − 15 A + 10 B − 6C Igualando los coeficientes de potencias correspondientes de x : 3 (a) A+ B +C =

2 A + 7B − C = −5

(b)

−15 A + 10 B − 6C = −52 De la ecuación (a) se obtiene: A =3 − B − C Sustituyendo (d) en (b), queda: 2 (3 − B − C ) + 7B − C = −5

(c )

6 − 2 B − 2C + 7 B − C = −5 5 B − 3C = −11

(3)

(d )

(e) 60

Productos notables

Sustituyendo (d) en la ecuación (c), se obtiene: −15 ( 3 − B − C ) + 10 B − 6C = −52

−45 + 15 B + 15C + 10 B − 6C = −52 25 B + 9C = −7 (f) De la ecuación (e) se obtiene: −11 + 3C B= (g) 5 Sustituyendo ecuación (g) en la ecuación (f) se obtiene:  −11 + 3C  −7 25   + 9C = 5   −7 5 ( −11 + 3C ) + 9C = −55 + 15C + 9C = −7 24C = 48 48 = 2 24 Sustituyendo este valor en la ecuación (g), se obtiene: −11 + 3(2) −11 + 6 −5 = B = = = 5 5 5 B = −1 Sustituyendo los valores B = −1 y C = 2 en la ecuación (d) se obtiene: A = 3 − B − C = 3 − (−1) − 2 = 3 + 1 − 2 A=2 Sustituyendo valores en (1), queda: 3 x 2 − 5 x − 52 A B C 2 1 2 = + + = − + ( x + 2 )( x − 3)( x + 5) ( x + 2 ) ( x − 3) ( x + 5) ( x + 2 ) ( x − 3) ( x + 5) = C

4.7.4.4 FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS

Considerando fracciones de tipo 3 del Teorema inmediato anterior.

Ejemplos 1. Descomponer en fracciones parciales simples la expresión: 3x 2 − 4 x + 5 ( x − 1) ( x 2 + 1)

Ambos factores del denominador de la fracción son irreducibles en el campo de los números reales, entonces la descomposición es de la forma: A Bx + C 3x 2 − 4 x + 5 (1) = + 2 2 ( x − 1) ( x + 1) x − 1 x + 1 61

Productos notables

Simplificando denominadores de (1) y efectuando operaciones, se obtiene: ( 3x 2 − 4 x + 5= ) ( x − 1) ( x 2 + 1) A ( x − 1) ( x 2 + 1) + ( Bx + C )( x − 1) ( x 2 + 1) x −1 x2 + 1 ( x − 1) ( x 2 + 1) 3 x 2 − 4 x += 5 A ( x 2 + 1) + ( Bx + C )( x − 1)

Efectuando operaciones en el segundo miembro de (2) queda: 3 x 2 − 4 x + 5= Ax 2 + A + Bx 2 − Bx + Cx − C

(2)

3x 2 − 4 x + 5 = ( A + B ) x 2 + ( − B + C ) + A − C Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de x , se obtiene: 3 (a) A+ B = − B + C =−4

(b)

5 A−C = De la ecuación (a), se tiene: A= 3 − B

(c )

(d )

Sustituyendo (d) en la ecuación (c): 3− B −C = 5 −B − C = 5 − 3 −B − C = 2 (e) De la ecuación (b), se tiene: C =−4 + B (f) Sustituyendo (f) en la ecuación (e): − B − (−4 + B) =2

−B + 4 − B = 2

−2 B =−4 + 2 −2 B = −2 −2 = B = 1 −2 Calculando el valor de : C =−4 + B C =−4 + 1 C = −3 Determinando el valor de : A= 3 − B A= 3 − 1 A=2

62

Productos notables

Sustituyendo valores en (1), queda: (1) x + ( −3) =2 + x − 3 A Bx + C 3x 2 − 4 x + 5 2 = + = + 2 x2 + 1 x −1 x2 + 1 ( x − 1) ( x 2 + 1) x − 1 x + 1 x − 1 2. Descomponer en fracciones parciales simples la expresión:

2 x2 + x + 3 x4 + 5x2 + 6 Factorizando el denominador se obtiene: Ax + B Cx + D 2x2 + x + 3 2x2 + x + 3 = + 2 + 4 2 2 2 x + 5 x + 6 ( x + 2 )( x + 3) ( x + 2 ) ( x 2 + 3)

(1)

Simplificando denominadores de (1) y haciendo operaciones, se obtiene: + x + 3)( x 2 + 2 )( x 2 + 3) ( Ax + B ) ( x 2 + 2 )( x 2 + 3) ( Cx + D ) ( x 2 + 2 )( x 2 + 3) ( 2 x2= + x4 + 5x2 + 6 ( x 2 + 3) ( x2 + 2) 2 x 2 + x + 3=

( Ax + B ) ( x 2 + 3) + ( Cx + D ) ( x 2 + 2 )

Efectuando operaciones en el segundo miembro de (2), se obtiene: 2 x 2 + x + 3= Ax 3 + 3 Ax + Bx 2 + 3B + Cx 3 + 2Cx + Dx 2 + 2 D 2 x 2 + x + 3 = ( A + C ) x3 + ( B + D ) x 2 + ( 3 A + 2C ) x + 3B + 2 D

(2)

Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de x en la ecuación (3), queda: 0 (a) A+C =

2 B+D =

(b)

3 A + 2C = 1 (c ) 3B + 2 D = 3 (d ) De la ecuación (a), se obtiene: A = −C (e) Sustituyendo (e) en la ecuación (c), queda: 3 A + 2C = 1 3 ( −C ) + 2C = 1

1 −3C + 2C = 1 C =−1 −C =→ Calculando el valor de : A = −C

A =−(−1) → A =1 De la ecuación (b), se obtiene: B= 2 − D (f) Sustituyendo (f) en la ecuación (d), se obtiene:

63

Productos notables

3 ( 2 − D ) + 2D = 3 6 − 3D + 2 D = 3 6−D = 3 − D =3 − 6 − D =−3 → D =3 Calculando el valor de : B= 2 − D B= 2 − 3 B = −1 Sustituyendo valores en (1), queda: −x + 3 Ax + B Cx + D x −1 2x2 + x + 3 = 2 + 2 = 2 + 2 4 2 x + 5 x + 6 ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 2 ) ( x + 3) 3. Descomponer en fracciones parciales simples la expresión: F (s) =

4

s ( s 2 + 4 ) ( s + 1)

4

s ( s + 4 ) ( s + 1) 2

2

2

A B C Ds + E =+ + + 2 2 s s + 1 ( s + 1) s +4

(1)

simplificando denominadores de (1) y efectuando operaciones, se obtiene: 2 4 =( As 2 + 4 A )( s 2 + 2 s + 1) + Bs ( s 2 + 4 ) ( s + 1) + Cs ( s 2 + 4 ) + s ( Ds + E )( s + 1) 4 = As 4 + 2 As 3 + As 2 + 4 As 2 + 8 As + 4 A + Bs 4 + Bs 3 + 4 Bs 2 + 4 Bs + Cs 3 + 4Cs + Ds 4 + 2 Ds 3 + Ds 2 + Es 3 + 2 Es 2 + Es

4=

( A + B + D ) s 4 + ( 2 A + B + C + 2D + E ) s3 + ( 5 A + 4B + D + 2E ) s 2 + + ( 8 A + 4 B + 4C + E ) s + 4 A

Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de s , queda: A+ B + D = 0 (a)

2 A + B + C + 2D + E = 0 5 A + 4B + D + 2E = 0

(b) (c )

8 A + 4 B + 4C + E = 0 4A = 4

(d ) (e)

64

Productos notables

Resolviendo el sistema se tiene: 3 A 1= D = 25 28 8 B= E= − − 25 25 4 C= − 5 Sustituyendo valores en (1), queda: 28 4 3s 28 − − − 4 1 25 + 5 + 25 25 = + 2 s s + 1 ( s + 1)2 s2 + 4 s ( s 2 + 4 ) ( s + 1)

4

s ( s + 4 ) ( s + 1) 2

2

28 4 3s 28 − 1 25 5 25 =− − + 2 25 s s + 1 ( s + 1)2 s +4

4. Descomponer en fracciones parciales simples la expresión: F (s) =

s 2 + 2s + 3 ( s 2 + 2s + 5)( s 2 + 2s + 2 )

s 2 + 2s + 3 = ( s 2 + 2s + 5)( s 2 + 2s + 2 )

As + B Cs + D + 2 ( s + 2s + 5) ( s + 2s + 2 ) 2

Simplificando denominadores de (1) y efectuando operaciones, queda: s 2 + 2 s + 3 = ( As + B ) ( s 2 + 2 s + 2 ) + ( Cs + D ) ( s 2 + 2 s + 5 )

(1)

s 2 + 2s + 3= As 3 + 2 As 2 + 2 As + Bs 2 + 2 Bs + 2 B + Cs 3 + 2Cs 2 + 5Cs + Ds 2 + 2 Ds + 5D

s 2 + 2 s + 3 = ( A + C ) s 3 + ( 2 A + B + 2C + D ) s 2 + ( 2 A + 2 B + 5C + 2 D ) s + 2 B + 5D Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de s , queda: A+C = 0 2 A + B + 2C + D = 1 2 A + 2 B + 5C + 2 D = 2 2 B + 5D = 3

(a) (b) (c ) (d )

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene: 2 1 = A 0;= B ;= C 0 y= D 3 3 65

Productos notables

Sustituyendo valores en (1), queda: 2 1 (0) s + 0) s + ( 2 s + 2s + 3 3 + 3 = 2 2 2 2 ( s + 2s + 5)( s + 2s + 2 ) ( s + 2s + 5) ( s + 2s + 2 )

2 1 s 2 + 2s + 3 = + 2 2 2 2 ( s + 2s + 5)( s + 2s + 2 ) 3 ( s + 2s + 5) 3 ( s + 2s + 2 ) 4.7.4.5 FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS

Considerando las fracciones tipo 4 del Teorema inmediato anterior.

Ejemplos 1. Descomponer en fracciones parciales simples la expresión: x3 + 2 x 2 + 3x

(x

2

+ x + 1)

2

El denominador contiene factores cuadráticos repetidos, entonces se tiene: x3 + 2 x 2 + 3x Ax + B Cx + D (1) = + 2 2 2 2 2 + + x x 1 + + + + x x x x 1 1 ( ) ( )

Simplificando denominadores de (1), se obtiene: x 3 + 2 x 2 + 3 x= ( Ax + B ) ( x 2 + x + 1) + Cx + D

Efectuando operaciones, queda: x3 + 2 x 2 + 3 x = Ax3 + Ax 2 + Ax + Bx 2 + Bx + B + Cx + D x3 + 2 x 2 + 3 x= Ax3 + ( A + B ) x 2 + ( A + B + C ) x + B + D

(2) (3)

Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de x , en la ecuación (3), se obtiene: A =1 (a) A+ B = 2 (b) A+ B +C = 3 (c ) B+D = 0 (d ) Sustituyendo la ecuación (a) en (b), queda: = 1 + B 2; = B 1 Sustituyendo (a), (b) en (c), se tiene: 1 + 1= + C 3; = C 1 Sustituyendo (b) en (d), queda: 1+ D = 0; D= −1 66

Productos notables

Sustituyendo en (1), queda: x3 + 2 x 2 + 3 x (1) x + 1 (1) x + ( −1) = + 2 2 2 2 + + x x 1 ( x 2 + x + 1) ( x + x + 1) x3 + 2 x 2 + 3x x +1 x −1 = + 2 2 2 ( x2 + x + 1) x + x + 1 ( x 2 + x + 1) 2. Descomponer en fracciones parciales la expresión: 5 x5 − 13 x 4 + 19 x 3 − 22 x 2 + 11x − 4

(x

3

− x2 + x )

2

El denominador contiene factores lineales y factores cuadráticos repetidos, entonces, la descomposición es: Cx + D Ex + F 5 x5 − 13 x 4 + 19 x 3 − 22 x 2 + 11x − 4 A B (1) = + 2+ 2 + 2 3 2 2 x x x − x + 1 ( x − x + 1)2 ( x − x + x) Simplificando denominadores de (1), se obtiene:

5 x 5 − 13x 4 + 19 x 3 − 22 x 2 + 11x= − 4 Ax ( x 2 − x + 1) + B ( x 2 − x + 1) + 2

2

+ ( Cx + D ) x 2 ( x 2 − x + 1) + ( Ex + F ) x 2

Efectuando operaciones, se obtiene: 5 x5 − 13 x 4 + 19 x 3 − 22 x 2 + 11x − 4= ( A + C ) x5 + ( −2 A + B − C + D ) x 4 + + ( 3 A − 2 B + C − D + E ) x3 +

+ ( −2 A + 3B + D + F ) x 2 + ( A − 2 B ) x + B

(2)

(3)

Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de x , en la ecuación (3), se obtiene: A+C = 5 (a)

−2 A + B − C + D = −13 3 A − 2B + C − D + E = 19 −2 A + 3B + D + F = −22 A − 2B = 11 B = −4

(b) (c ) (d ) (e) (f)

67

Productos notables

Resolviendo el sistema se obtiene: A= 3; B= −4; C= 2

D= −1; E= −1; F= −3 Sustituyendo valores en (1), queda: 5 x5 − 13 x 4 + 19 x 3 − 22 x 2 + 11x − 4 3 ( −4 ) 2 x + ( −1) ( −1) x + ( −3) =+ 2 + 2 + 2 2 3 2 x x x − x + 1 ( x − x + x) ( x 2 − x + 1) 5 x5 − 13 x 4 + 19 x 3 − 22 x 2 + 11x − 4

(x

3

− x2 + x )

2

x+3 3 4 2x −1 = − 2+ 2 − x x x − x + 1 ( x 2 − x + 1)2

68

Ecuaciones y desigualdades lineales

5 ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES 5.1

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

La ecuación es una igualdad que se verifica para un determinado valor de la variable o variables desconocidas que reciben el nombre de incógnitas.

Ejemplos 1. x + 3 = 8 es una igualdad que sólo es cierta cuando x es igual a 5 ; por tanto x+3= 8 es una ecuación en la que la variable x recibe el nombre de incógnita, cuyo valor 5 es la raíz o solución de la ecuación.

15 es una igualdad que sólo es cierto cuando y es igual a 6 ; por 2. 2 y + 3 = 15 es una ecuación, la variable o incógnita es y , y la raíz o tanto 2 y + 3 = solución de la ecuación es 6 .

Toda ecuación consta de dos miembros, el primero está formado por todos los términos escritos antes del signo igual y el segundo está compuesto por todos los términos escritos después del signo igual.

3. En la ecuación : 5 y + 6 = 3 y + 12 5 y + 6 es el primer miembro y 3 y + 12 es el segundo miembro

5.2

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Una ecuación lineal con una incógnita, también llamada ecuación de primer grado con una incógnita es aquella que una vez simplificada sólo contiene una incógnita cuyo exponente es la unidad. Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se hace uso de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva de la igualdad. PROPIEDADES:

1. Propiedad de IDENTIDAD o REFLEXIVA. Todo número es igual a sí mismo. 2. Propiedad SIMÉTRICA. Si un número es igual a otro, éste es igual al primero. O bien; Los miembros de una igualdad pueden permutar sus lugares. 3. Propiedad TRANSITIVA.

69


Si un número es igual a otro y éste a su vez es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero. O bien; Si dos igualdades tienen un miembro común, los otros dos miembros son iguales.

Criterio general para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita:

Toda igualdad se conserva siempre que se realice la misma y con los mismos números en ambos miembros de la misma, con excepción de la división entre cero que carece de sentido.

Ejemplos Calcular el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones: 1. x + 4 = 3 inverso aditivo x + 4− 4 = 3− 4 idéntico aditivo x + 0 = −1 x = −1

Conjunto solución {−1} 13 2. 2 x − 7 =

2 x − 7 + 7 = 13 + 7 2 x + 0 = 20 2 x = 20 2 x 20 = 2 2

x = 10

3.

distributiva inverso aditivo

inverso multiplicativo

Conjunto solución {10}

6 z − 6 4 z + 16 = 5 5

6 z − 6 = 4 z + 16 6 z − 4 z = 16 + 6 2 z = 22 22 z= = 11 2

Conjunto solución {11} .

4. Calcular el conjunto solución de la siguiente ecuación literal: para la variable t. A = P + Pr t Propiedad a=b ↔ b=a P + Pr t = A P − P + Pr t = A − P inverso aditivo idéntico aditivo 0 + Pr t = A − P Pr t = A − P

70

Ecuaciones y desigualdades lineales Pr t A − P = Pr Pr A− P t= Pr

inverso multiplicativo

 A− P Conjunto solución t t =  Pr  

5.3

ALGUNAS APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Una de las aplicaciones importantes del álgebra es la descripción matemática de situaciones concretas de la vida cotidiana utilizando expresiones algebraicas como modelos para representar el hecho o fenómeno de estudio.

Ejemplos 1. El largo de un terreno de forma rectangular mide el doble de su ancho más tres metros. Si el perímetro mide 5010 m, determinar las dimensiones del terreno. Planteamiento

Los lados opuestos del rectángulo son iguales y el perímetro de la figura se obtiene sumando la medida de sus cuatro lados. Si x representa el ancho del rectángulo entonces el largo se expresa por 2 x + 3 .

x

2x + 3

Por tanto:

Figura 12

x + (2 x + 3) + x + (2 x + 3) = 5010 o bien 6 x + 6 = 5010

Esta última expresión es el modelo matemático que describe el problema.

2. Para escribir a máquina un informe de investigación se distribuyó el trabajo a tres mecanógrafas (A, B y C). A escribió x cuartillas, B escribió el triple 3x y C escribió 6 cuartillas más que el doble de A ( 2 x + 6 ) . Si el informe se escribió en 5010 cuartillas, ¿cuántas escribió cada mecanógrafa?

71


Planteamiento El trabajo realizado por las mecanógrafas A, B y C fué de 5010 cuartillas, es decir: A+B+C=5010 De donde x + (3x) + (2 x + 6) = 5010 o bien 6 x + 6 = 5010 La solución del modelo matemático permite dar la respuesta a la pregunta.

3. Calcular cuatro números enteros consecutivos cuya suma aumentada en el doble del primero sea 5010. Planteamiento Si x representa a un entero cualesquiera, entonces x + 1 , x + 2 y x + 3 son los tres enteros consecutivos siguientes, de tal manera que: x + ( x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) + 2 x = 5010 ó 6 x + 6 = 5010 En los tres problemas planteados el modelo matemático que los describe es el mismo, sin embargo, los valores que toma la variable son específicos para cada problema. La mayor dificultad que se tiene para resolver un problema, consiste en el planteamiento mediante una expresión algebraica (modelo matemático).

4. Determinar tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 228. Planteamiento La forma de representar un número par es: x = 2n . El primer número par es 2n El segundo número par es 2 ( n + 1) = 2n + 2 El tercer número par es

2 ( n + 2 ) = 2n + 4

La ecuación que satisface al problema es: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 228

5. Obtener tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea 135.

Planteamiento Un número x es impar si y sólo si se puede expresar de la forma x = 2n + 1 . Su primer consecutivo es x + 2 es 2n + 3 Su segundo consecutivo x + 4 es 2n + 5 Entonces, la ecuación que proporciona la solución del problema es: (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 135 obien 6n + 9 = 135 6. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro, la de Juan el triple de la de Enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años. ¿Qué edad tiene cada uno? 72


Planteamiento Sea x la edad de Enrique 2x la edad de Pedro 3x la edad de Juan 2 ( 2x ) la edad de Eugenio

La ecuación que proporciona la solución es: x + 2 x + 3x + 6 x = 132

7. Determinar tres números consecutivos tales que: si el menor se divide entre 20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41, la suma de los cocientes es 9 Planteamiento Sean x, x + 1, x + 2 , los números consecutivos, entonces: x : el menor se divide entre 20. 20 x +1 : el mediano se divide entre 27 27 x+2 : el mayor se divide entre 41 41

Una ecuación que proporciona la solución es el modelo matemático x x +1 x + 2 + + =9 20 27 41

5.4

DESIGUALDAD LINEAL CON UNA INCÓGNITA

Una desigualdad expresa que una cantidad real o una expresión, es mayor o menor que otra. Desigualdad absoluta: es aquella que es cierta para todos los valores reales de las variables que intervienen en ella. Véase a

( x − y )2 > −1

es cierta para todos los valores de x e y , pues el cuadrado de todo número real es un numero positivo o cero.

Desigualdad condicional: es aquella que solo es cierta para determinados valores de las variables. Se tiene a x − 5 > 3 solo es cierta para x mayor que 8 . Una desigualdad lineal con una incógnita, es aquella en la que el mayor grado de su única incógnita es uno.

73


5.5

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CON UNA INCÓGNITA

La resolución de una desigualdad lineal con una incógnita es semejante a la resolución de una ecuación lineal con una incógnita, solo que ahora, en lugar de utilizar las propiedades de la igualdad, se utilizan los postulados de orden y algunos teoremas basados en ellos.

1. Sumar un número cualquiera a ambos miembros de una desigualdad, se obtiene una desigualdad equivalente. x< y ⇒ x + z < y + z sumando z a ambos miembros y x> y sumando z a ambos miembros ⇒ x+z < y+z 2. Multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número indeterminado, también da una desigualdad equivalente. Si z > 0 ↔ x< y xz < yz ↔ x> y xz > yz Si z < 0 ↔ x< y xz > yz ↔ x> y xz < yz

Nota: al multiplicar a ambos miembros de la desigualdad por un número negativo se invierte el orden de la misma, es decir, cambia un < por un > y viceversa. 1. Resolver 2 x + 7 < 5 x − 8 2 x − 5 x + 7 < 5 x − 5 x − 8 Inverso aditivo (simplificando 5x del 2° miembro) Idéntico aditivo (Existencia del elemento identidad −3 x + 7 < 0 − 8 en 2° miembro) −3 x + 7 − 7 < −8 − 7 Inverso aditivo (simplificando +7 del 1° miembro) Idéntico aditivo (Existencia del elemento identidad −3 x + 0 < −15 en 1° miembro) Simplificando −3 x < −15 1 1 −3 x   < −15   Inverso multiplicativo (simplificando 3 del 1° 3 3 miembro) Simplificando − x < −5 ( −1)( − x ) < ( −1)( −5) Multiplicando ambos miembros por ( −1) , queda: 74


se invierte el orden x>5 Conjunto solución { x ∈  x > 5}

2. Resolver 5 x + 1 > 2 x − 6 5x + 1 > 2 x − 6 Inverso aditivo (simplificando 2x del 2° 5x − 2 x + 1 > 2 x − 2 x − 6 miembro Idéntico aditivo (Existencia del elemento identidad 3x + 1 > 0 − 6 en 2° miembro) Inverso aditivo (simplificando +1 del 1° miembro) 3 x + 1 − 1 > −6 − 1 Idéntico aditivo (Existencia del elemento identidad 3 x + 0 > −6 − 1 en 1° miembro) Simplificando 3 x > −7 1 1 Inverso multiplicativo (simplificando 3 del 1°   3 x > −7   3 3 miembro) 7 x>− 3  7 Conjunto solución  x ∈  x > −  3  3. Resolver 3 ( 2 x − 7 ) < 5

6 x − 21 < 5 6 x − 21 + 21 < 5 + 21 6 x + 0 < 26 6 x < 26 1 1   6 x < 26   6 6 26 13 x< = 6 3  13  Conjunto solución  x ∈  x <  3 

4. Resolver: 5 ( 2 x − 7 ) ≤ ( 2 x − 9 )

10 x − 35 ≤ 16 x − 72 10 x − 16 x − 35 ≤ 16 x − 16 x − 72 −6 x − 35 ≤ 0 − 72 −6 x − 35 + 35 ≤ −72 + 35 −6 x ≤ −72 + 35 −6 x ≤ −37

75


 1  1  −  ( −6 x ) ≤ ( −37 )  −   6  6 37 x≥ 6

 37  Conjunto solución  x ∈  x ≥  6  5. Resolver: 2 ( x + 7 ) ≥ 6 x − 10 2 x + 14 ≥ 6 x − 10 2 x − 6 x + 14 ≥ 6 x − 6 x − 10 −4 x + 14 ≥ −10 −4 x + 14 − 14 ≥ −10 − 14 −4 x ≥ −24

 1  1  −  ( −4 x ) ≥ ( −24 )  −   4  4 24 x≤ = 6 4 Conjunto solución { x ∈  x ≤ 6}

6. Resolver la desigualdad: − 3x − 3 − 3 ≤ 3 4

20

5

La desigualdad anterior es equivalente a:(por la definición de valor absoluto) 3 −3 x − 3 3 3 − ≤ − ≤ 5 4 20 5 Multiplicando por (20) toda la desigualdad 3 −3 x − 3 3 3 − (20) ≤ (20) − (20) ≤ (20) 5 4 20 5 −3 ( 4 )) ≤ 5 ( −3 x − 3) − 3 ≤ 3 ( 4 ) −12 ≤ −15 x − 15 − 3 ≤ 12 −12 ≤ −15 x − 18 ≤ 12 −12 + 18 ≤ −15 x − 18 + 18 ≤ 12 + 18 6 ≤ −15 x ≤ 30

Multiplicando por − 1

15

 1  1  1 6  −  ≤ ( −15 x )  −  ≤ 30  −   15   15   15 

76


6 30 ≥x≥− 15 15 Esta desigualdad es equivalente a −

−2≤ x ≤ −

5.6

2 5

 2 Conjunto solución  x ∈  −2 ≤ x ≤ −  5 

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

5.6.1 EL PLANO CARTESIANO

El “sistema de coordenadas rectangulares”, llamado también “sistema de coordenadas cartesianas”, consiste en dos rectas numéricas que se intersecan perpendicularmente en un punto llamado “origen del sistema” y que se denota por “0” (cero). Las rectas perpendiculares se llaman “ejes coordenados”. El eje horizontal se le llama “eje X ”, “eje de las X ” o “eje de las abscisas”; el eje vertical se le llama “eje Y , “eje de las Y ” o “eje de las ordenadas”. Los puntos del eje X a la derecha del origen se consideran positivos y a la izquierda, negativos. Los puntos del eje Y arriba del origen son positivos y los que están abajo del origen son negativos. Los ejes X y Y dividen al plano en cuatro regiones llamadas “cuadrantes”, las cuales se numeran en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura.

Figura 13

Un punto P ( x, y ) se lee: punto P de coordenadas equis ye, se localizan sobre el

eje de las X a la primera componente ( x ) y sobre el eje de las (Y ) a la segunda componente ( y ) ; después se trazan líneas perpendiculares a los ejes

en los puntos localizados y en donde éstas se cortan se interceptan el punto P.

77


Ejemplo Localizar los puntos A ( 3, 4 ) ; B ( −2,5 ) ; C ( −3, − 2 ) y D ( 5, − 3)

Figura 14

5.6.2 GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

Una ecuación de primer grado con dos variables tiene infinitos pares de valores que la satisfacen, cada uno de los cuales se puede representar por un punto. Como los puntos resultantes están alineados, se unen mediante una recta, siendo ésta la gráfica de la ecuación dada; debido a ello reciben el nombre de ecuaciones lineales. Para obtener dicha recta basta con obtener dos puntos de ella, es decir, dos pares de valores correspondientes a x e y ; pero en la práctica conviene obtener un tercer punto para su comprobación.

Ejemplo Representar gráficamente la ecuación 2 x + y = 5 . Despejando la variable dependiente, se tiene: y = 5 − 2 x Dando valores a x se obtienen los de y . Estos pares de valores se ordenan en una tabla; cada par de valores es solución de la ecuación.

x

y

2 0 1

1 5 3

Puntos A(2,1) B(0,5) (1,3)

Figura 15

78


5.6.3 MÉTODO GRÁFICO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES La solución del sistema de ecuaciones, es el par de coordenadas que corresponde al punto común de las dos rectas, o sea, su punto de intersección.

Ejemplo 1. Resolver x + 2 y = 7,

gráficamente 2 x − y = −1.

el

sistema,

formado

por

las

Despejando la variable dependiente de ambas ecuaciones, queda: 1

7−x 2 3

5

1

x

3

y=

2

x

= y 2x +1

A (1,3)

−1

−1

B ( 3, 2 )

0

1

Puntos

C ( 5,1)

1

3

ecuaciones

Puntos

D ( −1, − 1)

E ( 0,1) F (1,3)

y = 2x + 1 y=

7−x 2

Figura 16

= x 1;= y 3 Por tanto, la solución es:

5.6.4 MÉTODO DE SUMA Y RESTA (ELIMINACIÓN)

Consiste en realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones dadas para obtener una sola ecuación con una variable. A este proceso se le llama eliminación y en este caso, mediante multiplicaciones adecuadas, se iguala el valor absoluto de los coeficientes de una misma variable en ambas ecuaciones y después se suman o se restan miembro a miembro para eliminar dicha variable. 79


Ejemplo Resolver el sistema anterior (1) x + 2y = 7 (2) 2 x − y = −1

Multiplicando la ecuación (1) por ecuación (2), se obtiene: −2 x − 4 y = −14

( −2 )

y sumando el resultado con la

2 x − y =−1 0x − 5 y = −15 −15 15 = = = 3 y −5 5 Sustituyendo en ecuación (1), se tiene: x + 2(3) = 7

x+6 = 7

x = 7−6 =1

= x 1;= y 3 Por tanto, la solución del sistema es:

5.6.5 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Este método consiste en despejar a una de las variables ( x ó y ) de cualquiera de las ecuaciones y se sustituye este valor en la otra ecuación.

Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones: (1) x + 2y = 7 (2) 2 x − y = −1 Despejando la variable x de la ecuación (1), queda: (3) x = 7 − 2y Sustituyendo la ecuación (3) en (2): 2(7 − 2 y ) − y = −1 14 − 4 y − y = −1 −5 y = −1 − 14

−15 15 = = 3 −5 5 Sustituyendo este resultado en ecuación (3): = y

x = 7 − 2(3)

x = 7−6 =1

x 1;= y 3 Finalmente, la solución del sistema es:= 80


5.6.6 MÉTODO DE IGUALACIÓN

Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones e igualar el resultado obtenido en el despeje y posteriormente se determina el valor al reducir la igualación.

Ejemplo Resolver el sistema del ejemplo anterior: (1) x + 2y = 7 (2) 2 x − y = −1 Despejando la variable dependeiente de las dos ecuaciones, queda: 7−x 2 y = 2x + 1

(3)

y=

(4) Igualando las ecuaciones (3) y (4): 7−x = 2x +1 2 x 2(2 x + 1) 7 −=

7 − x = 4x + 2 7 − 2 = 4x + x 5 = 5x 5x = 5 x=

5 = 1 5

Sustituyendo este último valor en la ecuación (3) se tiene: 7 −1 y= 2 6 y= = 3 2 = x 1;= y 3 Finalmente, la solución del sistema es:

5.6.7 MÉTODO POR DETERMINANTES El símbolo

a1

b1

a2

b2

, formado por los cuatro números a1 , b1 , a 2 , b2 ,

ordenados en una matriz de dos filas y dos columnas representa una determinante de segundo orden o determinante de orden dos. Los cuatro números anteriores se denominan elementos de la matriz o del determinante. 81


Por el Teorema de Sarrus el determinante de una matriz de segundo orden se da por el desarrollo del siguiente polinomio:

a1

b1

a2

b2

= a1b2 − b1a2

Ejemplo 3 5 =( 3)( −1) − ( 2 )( 5 ) =−3 − 10 =−13 2 −1 Los elementos 3 y 5 constituyen la primera fila y los elementos 2 y − 1 la segunda fila. Los elementos 3 y 2 forman la primera columna y los elementos 5 y − 1 la segunda columna. Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden resolver empleando el concepto de determinante de una matriz de segundo orden. El método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes se llama regla de Cramer

Ejemplo

a. Resolver el sistema:

x + 2y = 7 2 x − y = −1

Para calcular el valor de la variable x se escribe mediante el siguiente arreglo denominado regla de Cramer:

7 2 −1 − 1 ( 7 )( −1) − ( −1)( 2 ) ( −7 ) − ( −2 ) −7 + 2 −5 = x = = = = = 1 1 2 −1 − 4 −5 −5 (1)( −1) − ( 2 )( 2 ) −1 2 Para calcular el valor de la variable y se escribe: 1 7 − 1 (1)( −1) − ( 2 )( 7 ) −1 − 14 −15 2 = y = = = = 3 1 2 (1)( −1) − ( 2 )( 2 ) −1 − 4 −5 −1 2

= x 1;= y 3 Finalmente la solución del sistema es:

La ventaja de este método es su simplicidad para la resolución de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables. La resolución de un determinante de tercer orden por definición viene dado por el desarrollo del polinomio. 82


a1

b1

c1

a2 a3

b2 b3

c2 = a1b2 c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2 c1 − a1b3c2 − a2b1c3 c3

El cual puede hacerse por el Teorema de Sarrus.

a. Agregando los dos primeros renglones de coeficientes

a1

b1

c1

a2 a3

b2 b3

c2 c3

a1 a2

b1 b2

c1 c2

− − − + + +

Arreglar la matriz

b. Agregando las dos primeras columnas de coeficientes

−

−

−

a1 a2

b1 b2

c1 c2

a1 a2

b1 b2

a3

b3

c3

a3

b3

+

+

+

c. Resolver el sistema x + 2 y − z =−3 3x + y + z = 4 x − y + 2z = 6

El determinante de coeficientes del sistema, es: 1 2 −1

3 1 1 ∆ =1 −1 2 =2 + 3 + 2 + 1 + 1 − 12 =−3 1 2 −1 3 1 1

83


Por Cramer, se tiene −3 2 −1 4 1 1 6 −1 2 −3 2 −1 4 1 1 −6 + 4 + 12 + 6 − 3 − 16 −3 = x = = = 1 ∆ −3 −3 1 −3 −1 3 4 1 1 6 1 −3 3 4 y= ∆ 1 2 3 1 1 −1 1 2 3 1 = z ∆

2 −1 1

=

8 − 18 − 3 + 4 − 6 + 18 3 = = −1 −3 −3

−3 4 6 −3 4 6 + 9 + 8 + 3 + 4 − 36 −6 = = = 2 −3 −3

5.6.8 ALGUNAS APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Planteamiento de algunos problemas de matematicas que se resuelven a través de un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplos 1. La suma de dos números es 50 y su diferencia es 14. ¿Cuáles son estos números? Planteamiento del problema Datos Suma de los números es 50 Diferencia de los dos números es 14 Incógnitas Número mayor Número menor

84


Representación algebraica Número mayor x Número menor y Suma de los números x + y Diferencia de los números x − y Sistema de ecuaciones: x+ y = 50 x− y = 14 2. En un corral hay 15 animales entre gallinas y conejos. La suma de sus patas es 44, ¿cuántas gallinas y conejos son?

Planteamiento del problema Datos: Número de gallinas+ número de conejos=15 Número de patas de gallinas+número de patas de conejo=44 Incógnitas: Número de gallinas Número de conejos Representación algebraica: Número de gallinas x Número de conejos y Número de patas de gallina 2x Número de patas de conejo 4 y Sistema de ecuaciones: x+ y = 15

2x + 4 y = 44

5.7

ECUACIONES CUADRÁTICAS

5.7.1 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Una ecuación de segundo grado es aquella en la que el mayor grado de su única incógnita es dos. Una ecuación de este tipo se expresa por: ax 2 + bx += c 0; a ≠ 0 , donde a , b y c son los coeficientes conocidos y x la incógnita a despejar; ax 2 es el término cuadrático, bx es el término lineal y c es el término independiente o constante. 85


Una ecuación de segundo grado con una incógnita es incompleta si le falta el término lineal ( ax 2 + c = 0 ) o el término independiente ( ax 2 + bx = 0 ).

5.7.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Al resolver una ecuación cuadrática se debe considerar que:

a. Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces o soluciones. b. Si el producto de dos factores es cero, al menos uno de ellos debe ser nulo.

La ecuación cuadrática se expresa en forma general como: ax 2 + bx += c 0; a ≠ 0 , y su solución general es: x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

El término ubicado bajo el subradical recibe el nombre de discriminante b 2 − 4ac , este permite conocer la naturaleza de las raíces de la ecuación con base al siguiente criterio:

Si b 2 − 4ac > 0

las raíces son reales y diferentes.

Si b 2 − 4ac = 0 las raíces son reales e iguales.

Si b 2 − 4ac < 0 las raíces son complejas. Así, en base a la naturaleza de las raíces, se puede escoger el método más práctico y rápido de solución. Las ecuaciones el discriminante: b 2 − 4ac naturaleza de la raíz x 2 − 7 x + 10 = 0 x 2 + 6x + 9 = 0 x 2 − 4x + 8 = 0

5.7.3 RESOLUCIÓN DE FACTORIZACIÓN

( −7 )2 − 4 (1)(10 ) =9 > 0 0 ( 6 )2 − 4 (1)( 9 ) = −16 < 0 ( −4 )2 − 4 (1)( 8) = LA

ECUACIÓN

DE

raíces reales distintas

raíces reales repetidas

raíces complejas

SEGUNDO

GRADO

POR

Un producto, es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Una ecuación cuadrática se puede expresar como el producto de dos factores. Cada factor al igualarse a cero permite determinar las dos raíces. 86


Ejemplo 1. Factor común

Resolver: 3x 2 = 18 x 3 x 2 − 18 x = 0

3 x( x − 6) = 0

3x = 0

x−6 = 0

x1 = 0

x2 = 6

se escribe en la forma ax 2 + abx = 0 descomponer en factores ax ( x + b ) = 0 igualar cada factor a cero resolver cada ecuación

= Para x 0,= se tiene : 3(0)2 18(0)

0=0 = Para x 6,= se tiene : 3(36) 18(6) 108 = 108

Comprobando en la ecuación original, se verifica la compatibilidad de la solución.

Una ecuación de segundo grado con una incógnita que carece del término independiente, tiene la propiedad de que una de sus raíces o soluciones sea cero.

5.7.4 DIFERENCIA DE CUADRADOS x 2 − y 2 = ( x + y )( x − y )

La expresión x 2 − y 2 es la diferencia de dos cuadrados, x 2 , y y 2 . La raíz cuadrada principal (positiva) de x 2 , y y 2 son: + x 2 = x, + y 2 = y

Un factor es la suma de las raíces y el otro es la diferencia de las mismas.

Ejemplo Resolver x 2 = 36 x 2 − 36 = 0 x2 = x

36 = 6

escribir en la forma: x 2 − y 2 = 0 .

obtener la raíz cuadrada principal de cada cuadrado

un factor es la suma de las raíces y el otro es la diferencia. x= + 6 0, x = −6 0 igualar cada factor a cero . resolver cada ecuación. x1 = −6, x2 = 6

x − 36 = ( x + 6)( x − 6) 2

(−6) 2 = 36

(6) 2 = 36

= 36 36 = 36 36

comprobando en la ecuación original

87


5.7.5 TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c = 0

Ejemplo Resolver x 2 − 5 x − 14 = 0 Obtener los factores x y de x 2 . Cada uno se toma como primer término de los binomios. Se calculan dos factores de −14 cuya suma sea −5 . Cada uno de ellos se toma como segundo término de los binomios. Factores o divisores de −14 son: ±1; ± 2; ± 7; 14 . Se elige 2 y − 7 porque la suma es −5 y se descartan las demás combinaciones. Entonces los factores binomios de x 2 − 5 x − 14 = 0 son ( x + 2) y ( x − 7) , es decir: x 2 − 5 x − 14 = ( x + 2)( x − 7)

Igualando a cero cada factor y resolviendo cada ecuación se obtiene la solución: x+2=0 x1 = −2

x−7 = 0 x2 = 7

5.7.6 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

El cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado perfecto: ( x + y ) 2 = ( x + y )( x + y ) = x 2 + 2 xy + y 2

( x − y ) 2 = ( x − y )( x − y ) = x 2 − 2 xy + y 2

De manera que los factores o divisores de un trinomio cuadrado perfecto son dos binomios iguales y para obtenerlos se procede como en el caso anterior.

Ejemplo Resolver x 2 − 14 x + 49 = 0 Factores de x 2 : x, x

Factores o divisores de 49 son: ±1; ± 7; ± 49 , como el producto es (+49), significa que los factores tienen el mismo signo y la suma es −14 , entonces se elige el producto de ( −7 )( −7 ) y cuya suma es −14 . x 2 − 14 x + 49 = ( x − 7)( x − 7) = ( x − 7) 2 x−7 = 0 x−7 = 0 x1 = 7

x2 = 7

Para saber si x 2 − 14 x + 49 = 0 es un trinomio cuadrado perfecto, se debe tomar en cuenta que el primer y tercer término son el cuadrado de algún número y que el término central ( −14x ) es el doble producto de las raíces de los términos cuadráticos.

88


5.7.7 COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Trinomio de la forma x 2 + bx + c = 0 , también se pueden complementar para transformarlos en trinomios cuadrados perfectos, los cuales se resuelven con los criterios ya vistos en incisos anteriores. A continuación se presentan varias expresiones a las que les falta un término para ser trinomios cuadrados perfectos; en cada expresión el coeficiente del término cuadrático es 1.

x 2 + 6 x + ...

a.

El tercer término es el cuadrado de la mitad de 6; cuadrado de 1 (6) = 3 2 = 9 2

entonces el trinomio cuadrado perfecto es x + 6 x + 9 = 0 2 b. x − 12 x + ... 2

cuadrado de 1 (−12) = (−6) 2 = 36 2

Trinomio cuadrado perfecto: x 2 − 12 x + 36

5.7.8 FÓRMULA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS

Si se aplica el procedimiento de complementación de cuadrados a la expresión general de la ecuación de segundo grado con una incógnita, se obtiene una expresión para resolver ecuaciones cuadráticas. Dada la ecuación ax 2 + bx + c = 0 b c Multiplicando toda la ecuación por 1 x2 + x + = 0 a a a b c Sumando − c a los dos miembros x2 + x = − a a a 2

2

2

b c  b   b   b  x + x+  = − +   Sumando   a los dos miembros para a a  2a   2a   2a  completar el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro. 2

2

b  b 2 − 4ac   x +  =2 2a  4a 

x+

b ± b − 4ac = 2a 2a

x=−

2

b b − 4ac ± 2a 2a 2

Factorizando el primer miembro y sumando términos en el segundo.

Extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros de la igualdad.

Sumando − b a los dos miembros. 2a

89

Ecuaciones y desigualdades lineales x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

Sumando términos del segundo miembro.

Esta última expresión se conoce como fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Una solución esta dada por: x=

− b + b 2 − 4ac 2a

y la otra por: x=

− b − b 2 − 4ac 2a

Ejemplo Resolver x 2 − 3x − 10 = 0 a =1 b = −3 c = −10

Sustituyendo a, b y c en la fórmula general:

x=

= x

− ( −3) ±

( −3)2 − 4 (1)( −10 ) 2 (1)

3 ± 9 + 40 3 ± 49 3 ± 7 = = 2 2 2

x1 =

3+ 7 =5 2

x2 =

3−7 = −2 2

La comprobación se deja al estudiante.

6 LOGARITMOS

LOGARITMO DE UN NÚMERO DADO: Es el exponente de la potencia a que debe elevarse cierto número llamado base, para obtener el número dado. Forma exponencial

7 = 49 2

1

2 = 9 9= 3

5−1 =

1 5

Forma logarítmica

es equivalente a forma logarítmica. log 7 49 = 2 1 log9 3 = 2 1 log 5 = −1 5

es equivalente a

forma exponencial.

90

Logaritmos

log 2 8 = 3 log 25 5 =

log 2

1 2

1 = −2 4

23 = 8 25 = 25

2− 2 =

1

2

=5

1 4

Se deduce:

1. Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmos. 2. Solo los números positivos tienen logaritmos (supuesta la base positiva). 3. Todo logaritmo negativo corresponde a un numero comprendido entre 0 y 1. 4. El logaritmo de la base es 1 , y el logaritmo de 1 es 0 .

Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmos. Los logaritmos fueron introducidos por NEPPER, pero no llegaron a popularizarse, debido a la dificultad de su manejo, cuya base el el número e = 2.71828182845... Correspondió a BRIGGS realizar tablas de logaritmos, tomando como base el número 10 , y se les denomina decimales, vulgares o de Briggs.

6.1

CARACTERISTICAS DE LOS LOGARITMOS VULGARES O DECIMALES

La forma exponencial es equivalente a 1 1 10 −4 = 4 = = 0.0001 10 10000 1 1 10− 3 = 3 = = 0.001 10 1000 1 1 10− 2 = 2 = = 0.01 10 100 1 1 10−1 = 1 = = 0.1 10 10

100 = 1 100.3748 = 2.37

la forma logarítmica. _

log 0.0001 = −4 = 4 _

log 0.001 = −3 = 3 _

log 0.01 = −2 = 2 _

log 0.1 = −1 = 1

log1 = 0 log 2.37 = 0.3748 91

Logaritmos

log 5 = 0.6990 log10 = 1 log 45 = 1.6532 log100 = 2 log1000 = 3 log 5468 = 3.7278

100.6990 = 5 101 = 10 101.6532 = 45 102 = 100

103 = 1000 103.7278 = 5468

Se observa que los números comprendidos entre 1 y 10 deben tener su logaritmo comprendido entre 0 y 1 ; y los números entre 10 y 100 entre 1 y 2 ; etc. Todo logaritmo consta de una parte entera: CARACTERISTICA, y una parte decimal: MANTISA. La característica del logaritmo de un número mayor que 1 es positiva; y consta de tantas unidades como cifras tenga en la parte entera del número menos 1.

log 2.37 = 0.3748 log 5 = 0.6990 log 45 = 1.6532

100.3748 = 2.37 100.6990 = 5 101.6532 = 45

La característica del logaritmo de un número menor que 1 es negativa, y numéricamente excede en 1 al número de ceros que siguen inmediatamente al punto decimal.

10 −4.465 = 0.000034

_

log 0.000034 = −4.4685 = 4 .4685 Ahora, considérese:

103.7378 = 5468

log 5468 = 3.7378

Dividiendo ambos miembros por 10 , 100 , 1000 , 10000 , etc. Se obtiene: 103.7378 5468 log 546.8 = 2.7378 102.7378 = 546.8 o sea = 10 10 103.7378 5468 log 54.68 = 1.7378 101.7378 = 54.68 o sea = 2 10 100 103.7378 5468 log 5.468 = 0.7378 100.7378 = 5.468 o sea = 3 10 1000 _ 103.7378 5468 −1.7378 10 = 0 . 5468 o sea log 0 . 5468 = 1 .7378 = 104 10000 92

Logaritmos

Luego las mantisas de los logaritmos son iguales y solo varía la característica. Es decir en tablas de Briggs las mantisas de los logaritmos siguientes son 5 * .4771 .

log 3 = 0.4771 log 300 = 2.4771 _

log 0.03 = 2 .4771 Estos valores fueron calculados y tabulados por Briggs para todos los números.

6.2

REGLAS PARA LA OBTENCIÓN DE LA CARACTERISTICA

1. Característica de un entero (puro): se contará el número de cifras y se le restará la unidad.

log 25 = 1. * * * *

log 2.072 = 0. * * * *

log 2 = 0. * * * *

2. Característica de un número mixto: Para este caso no se toma en cuenta la parte decimal, y se hace como si fuese entero (puro). log 651.927 = 2. * * * * ; log 2.072 = 0. * * * * ; log13.6732 = 1. * * * * 3. Característica de un decimal puro: se cuenta el número de ceros que hay inmediatamente después del punto y se agrega la unidad negativa y se le coloca un símbolo negativo sobre el número. _

_

log 0.0024 = 3. * * * * ; log 0.72645 = 1. * * * * ;

6.3

_

log 0.000060 = 5. * * * *

PARA OBTENER EL LOGARITMO DE UN NÚMERO DADO USANDO TABLAS DE BRIGGS

1. Escríbase la característica del logaritmo de dicho número. 2. Obtenga en las tablas Briggs, la mantisa del logaritmo del número formado por las tres primeras cifras del número propuesto, considerado como entero. 3. Si el número consta de cuatro cifras, agregarse a la mantisa correspondiente al logaritmo del número formado por las tres primeras cifras, y sumando el aumento para la cuarta cifra dado por la parte proporcional. 4. Si el número consta de cinco cifras, agréguese a al mantisa del logaritmo del número formado por las cuatro primeras cifras, igual al paso anterior , y para la cifra restante ajustando al décimo el aumento, dado por las partes proporcionales, y así sucesivamente. 5 El * representa el espacio que deben ocupar los elementos que van a determinarse.

93

Logaritmos

6.4

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS

1. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa. 2. Los números negativos no tienen logaritmos (siendo la base positiva, ya sean pares o impares, son positivas y nunca negativas). 3. En un sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1 , siendo b la base. b1 = b ⇒ log bb = 1 ; 101 = 10 ⇒ log10 10 = 1 4. En todo sistema el logaritmo de 1 es cero. Siendo b la base

b0 = 1

⇒

log b1 = 0 ; 100 = 1 ⇒ log101 = 0 5. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo, siendo log101 = 0 ; los logaritmos de los números mayores que 1 serán mayores que cero,

luego serán positivos. 6. Los números menores que 1 tienen el logaritmo negativo, siendo log101 = 0 , los logaritmos de los números menores que 1 serán menores que cero. Luego serán negativos.

ANTILOGARITMO: Si un número es el logaritmo de otro, el segundo se denomina antilogaritmo del primero. Antilogaritmo de un logaritmo es el número correspondiente a dicho logaritmo. log 572 = 2.7574 , así 572 es antilog de 2.7574, es decir: anti log 2.7574 = 572 Usando tablas de Briggs, determinar el número cuyo logaritmo es 3.5978 ó

anti log 3.5978

Procedimiento para obtener el antilogaritmo de un logaritmo dado.

1. Buscar en las tablas de Briggs de antilogaritmos, el número correspondiente a las tres primeras cifras de la mantisa dada. 2. Añádase a este número el aumento dado por las partes proporcionales correspondientes a la cuarta cifra de la mantisa. 3. Determínese el número de conformidad, a la cuarta cifra. 4. Si la parte entera del número, debe tener más de cuatro cifras, completar con ceros. 5. *Si la característica es positiva, al valor obtenido se debe agregar la unidad; y este será la posición del punto decimal del número entero buscado. 6. *Si la característica es negativa, al valor obtenido restar la unidad; y esta indica la primera cifra significativa después del punto, este será el número buscado. 94

Logaritmos

Determinar el número cuyo logaritmo es 3.5978 ó anti log 3.5978 anti log 3.597 = 3954

aumento p.p. 0.0008 =

7

anti log 3.5978 = 3961 Obtener el número cuyo logaritmo es 2.9276 ó anti log 2.9276 anti log 2.927 = 0.08453

aumento p.p. 0.0006 =

12

anti log 2.9276 = 0.08465 6.5

OPERACIONES Y PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1. Logaritmo de un producto ∴ log a = x a = 10 x ; Sea ∴ log b = y b = 10 y ; Para el producto ab ab = (10 x )(10 y ) = 10 x + y ; ∴ log ab = x + y En consecuencia el logaritmo de un producto es:

log ab = log a + log b

2. Logaritmo de un cociente ∴ log a = x a = 10 x ; Sea ∴ log b = y b = 10 y ;

Para el cociente a 10 x a = y = 10 x − y ; ∴ log  = x − y b 10 b En consecuencia el logaritmo de un cociente es: a log  = log a − log b b 3. Logaritmo de una potencia. Sea la potencia a m = (a )(a )(a )(a ).............(m factores iguales al número a ) Tomando logaritmos a ambos miembros log a m = log a + log a + log a + log a.............(m sumandos iguales a loga ) En consecuencia el logaritmo de una potencia es: log a m = m log a 4. Logaritmo de una raíz 1

Sea la raíz

n

a = an

95

Logaritmos

Tomando logaritmos a ambos miembros. 1 log n a = log a n Así el logaritmo de una potencia es log a log n a = n 6.6

OPERACIONES CON LOGARITMOS USANDO TABLAS DE BRIGGS PARA OBTENER LA MANTISA

PRODUCTO 1.

( 42 )(19 ) = * log ( (42)(19) ) = log 42 = 1.6232 + log19 = 1.2788 2.9020

tomando a la mantisa anti log 0.902 = 7980 la característica indica tres cifras enteras significativas del producto, por lo que

anti log 2.9020 = 798.0 en consecuencia: (42 )(19 ) = 798 2. ( 0.62 )( 0.19 )( 7.20 ) = *

log((0.62)(0.19)(7.20) ) = log 0.62 + log 0.19 + log 7.20 ; 1

log 0.62 = 1.7924

+ log 0.19 = 1.2788 ; log 7.20 = 0.8573 1.9285

anti log 0.928 = 8472

tomando a la mantisa p.p.

0.0005 =

10 8482 la característica indica primera cifra significativa está después del punto decimal, por lo que el producto:

anti log 0.9285 = .8482

96

Logaritmos

3.

Así. (0.62)(0.19)(7.20) = 0.8482

( 6.092 )( 0.0073)( 0.091)(1.721) = *

log((6.092)(0.0073)(0.091)(1.721) ) = log 6.092 + log 0.0073 + log 0.091 + log1.721 log 6.092 = 0.7846 _

1 0.7847 log 0.0073 =

3.8633

+ log 0.091 = log1.721 = 2.2355

3.9590

_

2 0.2357 4.8427 anti log 0.842 = 6950 tomando a la mantisa p.p.

4.

0.0007 =

11 6961 la característica indica después del punto decimal, tres ceros y luego la primera cifra; por lo que el producto: ( 6.092 )( 0.0073)( 0.091)(1.721) = 0.0006961

( 5914 )(8946 )(1939 ) = *

log((5914)(8946)(1939) ) = log 5914 + log 8946 + log1939 log 5914 = 3.7716 3 3.7719 log 8946 = 3.9513 3 + 3.9516 log1939 = 3.2856 20 3.2876 11.0111 97

Logaritmos

tomando a la mantisa anti log 0.0111 = 1026 la característica indica doce cifras enteras; por lo que el producto ( 5914 )(8946 )(1939 ) = 102600000000 DIVISIÓN

1. 4361 ÷ 12.9 = *

log 43.61 = 1 .6395 1 − log12.9

1.6396 − 1.1106 0.5290

=

tomando a la mantisa anti log 0.529 = 3381 la característica indica una cifra entera; por lo que el cociente 4361 ÷ 12.9 = 3.381 2. 12.61 ÷ 0.0072 = *

log12.61 = 1.1004 3

1.1007 − log 0.0072

= 3.8573 3.2434 anti log 0.243 = 1750 tomando a la mantisa p.p. 0.0004 = 2 1752 la característica indica cuatro cifras enteras; por lo que el cociente 12.61 ÷ 0.0072 = 1752 3. 0.967 ÷ 0.00062 = *

log 0.967

= 1.9854

− log 0.00062

= 4.7924

3.1930 tomando a la mantisa anti log 0.193 = 1560

98

Logaritmos

la característica indica cuatro cifras enteras; por lo que el cociente 0.967 ÷ 0.00062 = 1560 POTENCIA

1. (732)3 = * log 732 = 2.8645

×3 8.5935

anti log 0.593 = 3917 tomando a la mantisa p.p. 0.0005 = 5

3922 la característica indica nueve cifras enteras; por lo que la potencia

(732)3 = 392200000 = 3922 × 105

2. (0.0721)5 = * log 0.0721 = 2.8579

×5

6.2895

anti log 0.289 = 1945

tomando a la mantisa p.p.

0.0005 =

2 1947 la característica indica después del punto decimal, cinco ceros y luego la primera cifra; ; por lo que la potencia (0.0721)5 = 0.000001947 = 1947 × 10 −9 3. (93) 2 = * log 93 = 1.9685

×2 3.9370 tomando a la mantisa anti log 0.937 = 8650 la característica indica cuatro cifras enteras; por lo que la potencia (93) 2 = 8650

4. (0.007727) 4 = *

99

Logaritmos

log 0.007727 = 3.8876 p.p.

4 3.8880 ×4 9.5520

tomando a la mantisa anti log 0.552 = 3565 la característica indica después del punto decimal, ocho ceros y luego la primera cifra; ; por lo que la potencia (0.007727) 4 = 0.000000001947 = 3565 × 10−12 RAIZ 1.

2.

3.

728 = *

log 728 = 2.8621 log 728 2.8621 = = 1.4310 2 2 tomando a la mantisa anti log 0.431 = 2698 la característica indica dos cifras enteras; por lo que la raíz 728 = 26.98 4

6.432 = *

log 6.432 = 0.8030 log 6.432 0.8030 = = 0.2020 4 4 tomando a la mantisa anti log 0.202 = 1592 la característica indica una cifra entera; por lo que la raíz 4 6.432 = 1.592 3

0.031 = *

log 0.031 = 2.4914 log 0.031 2.4914 = = 1.4971 3 3

1 .4971 3 2.4914 = 3 3 + 1.4914 29 21 4

100

Logaritmos

anti log 0.497 = 3141 tomando a la mantisa p.p. 0.0001 = 1 3142 la característica indica primera cifra significativa está después del punto decimal; por lo que la raíz 3 0.031 = 0.3142 4.

5

0.0037 = *

1 .5136 5 1.5682 = 5 5 + 2.5682

log 0.0037 = 3.5682 log 0.0037 3.5682 = = 1.5136 5 5 anti log 0.513 = 3258 tomando a la mantisa p.p. 0.0006 = 5

6 18 32 2

3263 la característica indica primera cifra significativa está después del punto decimal; por lo que la raíz 5 0.0037 = 0.3263

6.7

ALGEBRA CON LOGARITMOS

Teorema del cambio de base Si a, b, x e y son números positivos con a ≠ 0 , b ≠ 0 , entonces log a x logb x = log a b Demostración: Dada logb x = L ; su forma exponencial es x = b L Tomando logaritmo de base a a ambos miembros, queda: log a x = log a (b L ) por propiedades de logaritmos log a x = L log a b en consecuencia 101

Logaritmos

L=

log a x = log b x l.q.d. log a b

Si la base se hace a = e y b = 10 ; log e = ln ln x ln x log10 x = = 0.4343 ln x ln 10 2.3026 Así log x = 0.4343 ln x

∴ ln x = 2.3 log x

Recuérdese que: La forma exponencial y = 2x

es equivalente a

la forma logarítmica. log 2 y = x

Ejemplos Obtener la variable x de las expresiones . 1. log 2 x − log 2 ( x − 8) = 3

 x  Por propiedades de logaritmos log 2  =3  x −8 por notación exponencial x = 23 x −8 = x ( x − 8)8

= x 8 x − 64 x − 8x = −64 −7 x = −64 64 x= 7 2. log 7 ( x − 2) = 3 3.

es equivalente x − 2 = 73 x − 2 = 343 ∴ x = 345 5 log x 32 = 2 es equivalente a la notación exponencial

x

5

2

= 32

102

Logaritmos 2

 x 5 2  5 = (32)5  

2

(

)

2

∴ x = 5 32 = 2 2 = 4  1  4. log9   = 3 x  27  es equivalente a log9 (3−3 ) = 3 x

y en forma exponencial

poniendo la misma base 3−3 = (32 )3 x

1 = 9 3x 27

3−3 = 36 x

como la base es la misma, igualando exponentes, resulta − 3 = 6 x 3 1 ∴x = − = − 6 2 5. 9 x + 5 x − 854 = 0 log(9 x ) + log(5 x ) = log(854)

x log(9) + x log(5) = log(854) x(log(9) + log(5)) = log(854) x log((9)(5)) = log(854)

∴x =

log(854) log(45)

6. y = e 2 x −5 ln y = ln e 2 x − 5

ln= y

( 2 x − 5) ln e

ln = y 2x − 5 5 + ln y = 2x x=

5 + ln y 2

7. ln( x + 3) = 2

ln x +3 e ( ) = e2

e2 es equivalente x + 3 =

= x e2 − 3

8. e 4 x = 5

103

Logaritmos

tomando ln a ambos miembros

ln e 4 x = ln 5

4 x = ln 5 ln 5 ∴x = 4

104

Relaciones

7 RELACIONES

A partir de la Geometría Analítica, es común representar geométricamente las ecuaciones algebraicas. Con este desarrollo, se pretende aprovechar las posibilidades de está rama de la matemática para obtener formas objetivas de interpretación de proposiciones algebraicas e ideas para deducir nuevos resultados. Existen pocas áreas de la ciencia o de la vida cotidiana donde las gráficas no puedan tener aplicación. Por ejemplo, se han visto gráficas que muestran la estadística de producción o registro de fenómenos naturales, tales como la variación diaria o anual de la temperatura, la presión atmosférica, etcétera. Esto quiere decir que si conoce la tabla de datos, no es difícil construir la gráfica. Para poder introducir el concepto de relación binaria se necesita precisar lo que significa un par ordenado de objetos y definir el producto cartesiano de dos conjuntos.

7.1

PRODUCTO CARTESIANO

Se puede dar un tratamiento formal a estas ideas con la definición de producto cartesiano. Se llama par ordenado ( x, y ) , al par, cuya primera componente pertenece al conjunto

y cuya segunda componente pertenece al

conjunto . Las parejas ordenadas se representan entre paréntesis, lo cual significa, que además de los elementos, también importa su orden.

Definición: El conjunto, cuyos elementos son las parejas ordenadas que se forman al elegir como primera componente a los elementos del conjunto y como segunda componente a los elementos del conjunto B ; se llama conjunto producto o producto cartesiano de ; se representa por y se lee “ A cruz B ;aentonces: . Es decir:

7.2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

.

El producto cartesiano se puede representar gráficamente utilizando diagramas de Venn o mediante un sistema de ejes coordenados. 107

Relaciones

1. Graficar el conjunto:

A× B = {(1, 1) ; (1, 2 ) ; (1, 3) ; ( 2, 1) ; ( 2, 2 ) ; ( 2, 3) ; ( 3, 1) ; ( 3, 2 ) ; ( 3, 3) ; ( 4, 1) ; ( 4, 2) ; ( 4, 3)}

Utilizando los diagramas de Venn o sagital, al contar las líneas que unen los elementos de ambos conjuntos, se verifica que son 12. Figura 17 Utilizando los ejes coordenados, se representan en el eje horizontal los elementos del primer conjunto y en el eje vertical los elementos del segundo conjunto. Cada pareja estará representado por el punto donde se intersectan las rectas paralelas a los ejes. Figura 18

2. Si D = { − 2, 4 } y

; calcúlese D × E y representarlo

gráficamente. 3. Sí A = { − 3, 1, 2 }, determina el producto cartesiano de A × A y representarlo geométricamente.

La definición de producto cartesiano, también es aplicable al conjunto de los 2 números reales R ; esto es R × R o bien R . Cada elemento de R × R corresponde a un punto del plano y cada punto del plano le corresponde una 2 pareja de R .

4. Si A = {x : x ∈ R ; − 1 ≤ x ≤ 3

}y

B = { 2 }; obténgase A × B .

Solución A × B = {( x, y ) : x ∈ A, y ∈ B} = {( x, 2 ) : − 1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}

108

Relaciones

Gráficamente, se tiene:

5. Dado

y

Figura 19

6. Sea A = {x : x ∈ R ; − 2 ≤ x ≤ 3 7.3

RELACIONES

}

; Obténgase B × A .

y B = {y : y ∈ R ; − 1 ≤ y ≤ 2 } .

Para determinar una relación, se necesitan dos conjuntos A y B y una proposición abierta en dos variables, esta proposición es la regla que permite determinar el conjunto R de las parejas que se forman en A × B . Formalmente las relaciones binarias se definen como: Definición: Sean A y B dos conjuntos diferentes del conjunto vacío. Una relación de A en B es un conjunto de pares ( x, y ) : . Si

( x, y ) ∈ R ; se dice que x

está relacionado con y : Para expresar que R es una

relación de A en B ; se representa como:

.

Al conjunto A , se le llama dominio de R , sus elementos se representan por " x" , el conjunto B , es el codominio de R y sus elementos que son la segunda componente se llama imagen y los elementos se representan por " y" .Una relación, es un subconjunto del producto cartesiano

( R ⊆ A× B) .

De hecho

A × B es en sí mismo una relación. La relación universal contiene todos los

pares posibles. El opuesto de la relación universal es la relación vacía, que no contiene ningún par. Todas las demás relaciones deben estar entre estos dos casos extremos. 109

Relaciones

Ejemplos 1. Sea A el conjunto de proveedores y B el conjunto de productos. Supóngase que los proveedores son S1 y S 2 y los productos son P1 , P2 y P3 . Sean A = {S1 , S 2 } y B = {P1 , P2 , P3 } El producto cartesiano de A y B es: A × B = {(S1 , P1 ); (S1 , P2 ); (S1 , P3 ); (S 2 , P1 ); (S 2 , P2 ); (S 2 , P3 )}

Ahora defínase una relación R como los pares ( x, y ) , donde " x" es un suministrador, " y" es un producto; luego " x" tiene en existencia al producto " y" Sea: S1 tiene P1 y P3

S 2 tiene P2 y P3

R = {( S1 , P1 ) ; ( S1 , P3 ) ; ( S 2 , P2 ) ; ( S 2 , P3 )}

∴ R ⊂ A× B

xRy ≡ ( x, y ) ∈ R ; es decir; S1 RP1 ; S1 RP3 ; S 2 RP2 S 2 RP3 2. Sean A = {Susana, Rosa, Vicente, Augusto, Laura} B = {Díaz, Contreras, Gil , Estrada, Muñoz, Juárez, Pérez} Obténgase una relación con la siguiente característica: que el número de letras del nombre sea igual al número de letras de apellido.

3. Una línea aérea proporciona servicio a cinco ciudades C1, C2, C3, C4, C5 la tabla muestra el costo (en dólares) del viaje de Ci a C j .

De / A C1

C1 C2 C3 C4 C5

190 110 190 200

C2

C3

C4

180 200 100

120 200

150

140

100 200

150 160 190

C5

200 220 250 150

Defina la relación R sobre A = {C1 , C 2 , C3 , C 4 , C5 } tal que Ci RC j si y sólo si el costo de ir de Ci a C j es menor o igual a 150 dólares.

4. Sea: A = {1, 2, 3, 4, 5}. Defina la relación R (menor que) en el conjunto A . 5. Si A = { 3, 4, 5, 6} y B = { 4, 5, 6} . Obténgase R = {( x, y ) : x > y} 6.

Sea

. Obténgase una relación R , de modo que a divide a b.

110

Relaciones

7. Sea

.

,

defina

R = {(x, y ) : 2 x + y > 3} con x, y ∈ R . R = {( x, y ) : x 2 + y 2 = 1} con x, y ∈ R . 10. R = {(x, y ) : 9 x 2 + 4 y 2 = 36} con x, y ∈ R . 8. 9.

una

relación

R ,de

modo

que:

7.3.1 GRÁFICA DE UNA RELACIÓN

De forma similar que el producto cartesiano de dos conjuntos, una relación puede representarse geométricamente con diagramas de Venn o en un sistema de ejes coordenados. La gráfica de una relación R : A → B es el conjunto G de todos los puntos del plano que representan los pares ordenados del producto cartesiano A × B , con la propiedad de que el punto de coordenadas ( x, y ) pertenece a la gráfica si y sólo si el par ordenado es un elemento de la relación; es decir, la gráfica de una relación es el conjunto. G = {( x, y ) ∈ R × R}

En la práctica, la relación se utiliza especificando únicamente la regla que la define, admitiendo de forma implícita que son relaciones de R en R .

Ejemplos Graficar las siguientes relaciones 1.

2x + 3y = 1 Despejando la variable " y" y construyendo la tabla con algunos valores, se

obtiene:

y=

x −4 −1 2 5

y 3 1 −1 −3

1 − 2x 3

Figura 20

111

Relaciones

2.

x2 − y2 = 1.

x −3 −2 −1 0 1 2 3

y

7.3.2 DOMINIOS Y RANGOS

Figura 21

Sea R ⊆ A × B una relación de A en B , al conjunto A se le llama dominio y B se le denomina rango. El dominio de R (relación) es el conjunto de elementos de A que están relacionados con algún elemento de B . De modo similar, el rango de R es el conjunto de todos los elementos de B que están relacionados con algún elemento de A , formalmente se expresa en la siguiente definición.

Definición: Sea R una relación de A en B . El dominio de R se denota por domR , es el conjunto de todos los elementos de x ∈ A , que aparecen en, al menos, un par ( x, y ) ∈ R . El cual se expresa como: domR = { x : ∃y ( x, y ) ∈ R}

Definición: El rango de R , denotado por ranR , es el conjunto de todos los elementos y ∈ B que aparecen, en al menos un par ( x, y ) ∈ R . Esto se expresa simbólicamente como: ranR = { y : ∃x ( x, y ) ∈ R}

112

Relaciones

Ejemplos Calcular el dominio, el rango y graficar las siguientes relaciones. 1.

2. 3. 4.

5. 6.

R = {( 2, c ), ( 1, d ), ( 3, d ), ( 2, a )}

Solución domR = {1, 2, 3 } ranR = { a, c, d }

Figura 22

R = {( 1, r ), ( 2, s )( 3, r )} R = {( 1, 2), ( 1, 3), ( 1, 4), ( 1, 5), ( 2, 3), ( 2, 4), ( 2, 5), ( 3, 4 ), ( 3, 5), ( 4, 5)} R = {( x, y ) : xRy si y sólo si x = y} con x ∈ R y y ∈ R .

R = {( x, y ) : xRy si y sólo si x divide a y} con x ∈ Z + y y ∈ Z + .

{

}

R = ( x, y ) : y 2 + 20 x + 2 y − 39 = 0

  x y2 + = 1 7. R = (x, y): xRy si y sólo si 4 9   2 2 8. R = {( x, y ) : 9 x − 4 y − 54 x + 8 y + 113 = 0} 2

7.3.3 RELACIÓN INVERSA

-1

Toda relación R de A en B , se puede asociar una relación inversa R de B en A . Esencialmente, la relación inversa tiene el par ( y, x ) , donde la relación original tiene el par (x, y ) , tal como se indica en la siguiente definición. Definición: Si R : A → B es una relación, entonces la relación inversa R −1 : B → A , se define como {( y, x ) : ( x, y ) ∈ R} . Por tanto se puede expresar como: Si, xRy, entonces yR −1 x .

113

Relaciones

Ejemplos Determinar la relación inversa en cada uno de los siguientes ejercicios. 1. 2. 3.

Solución

R = {( x, y ) : xRy si y sólo si x < y} Solución R −1 = {( y, x ) : yRx si y sólo si x > y} S = {( x, y ) : xRy si y sólo si x es padre de y}

7.3.4 COMPOSICIÓN DE RELACIONES

Matemáticamente la composición de dos relaciones está dada por:

Definición: Sea R : A → B y R : B → C dos relaciones. La composición de R y S , se denotan como R  S , contiene los pares (x, z ) si y sólo si existe un objeto intermedio " y" tal que: (x, y ) está en R y ( y, z ) está en S .

Simbólicamente se expresa como: x ( R  S ) z = ∃y ( xRy ∧ yRz ) .

Esta definición implica que (x, z ) está en la composición de las relaciones hermana y padre, si existe un individuo " y" tal que " x" es hermana de " y" e " y" es padre de " z" . A esta relación se le denomina “relación tía”. Por tanto la relación tía es la composición de la relación hermana y padre. En general, para determinar si el par (x, z ) está en la relación R  S , se necesita siempre un intermediario (hermana), como en el caso de la relación tía: tal que sea válida xRy e ySz . La composición de dos relaciones se puede representar mediante un gráfico. Sean las R : X → Y y S :Y → Z . Se dibujan todos los nodos X a la izquierda, todos los nodos de Z a la derecha, y todos los nodos del conjunto intermedio Y en el medio. Se asume que los elementos de X van desde x1 hasta x4 , los elementos de Y van desde y1 hasta y 4 , y los elementos de Z van desde z1 hasta z5 .

114

Relaciones

Gráficamente se muestra en la siguiente figura

Figura 23

De acuerdo con lo que ha visto, el par ( xi , z k ) está en R  S si y sólo si existe un intermediario y j tal que existe un arco que va desde xi a y j , y de y j hasta z k .

Por ejemplo ( x1 , z 4 ) está en R  S , porque existe un arco desde x1 a y 2 y de y 2 a z 4 . Por otra parte ( x1 , z3 ) no está en la relación R  S por que no existe y j a través del cual x1 pueda acceder a z3 .

Por tanto la relación resultante es: R o S = {( x1 , z1 ) , ( x1 , z2 ) , ( x1 , z4 ) , ( x4 , z3 )}

La composición es una operación asociativa, esto es, si R, S y P son tres relaciones, entonces se cumple que: ( R o S ) o P = R o ( S o P ) . Cuando se trate

de la composición de varias relaciones, los paréntesis pueden suprimirse. Si S1 , S 2 y S 3 son tres relaciones, entonces x ( S1 o S 2 o S 3 ) y es verdadera si y

sólo si existen exactamente dos intermediarios, a través de los cuales x tiene acceso a y Por tanto, la composición de tres relaciones es el conjunto de todos los pares (x, y ) tales que x puede alcanzar al objeto y en exactamente tres pasos. En general, la composición de n relaciones S1 ; S 2 ;  ; S n contiene el conjunto de todos los pares (x, y ) tales que x puede alcanzar a y en, exactamente n pasos.

Si R : A → A es una relación, entonces R  R es el par (x, y ) tal que x puede alcanzar a y en exactamente dos pasos. Normalmente, se abrevia R  R en la 2

3

n

forma R , RoRoR por R , y así sucesivamente. Obviamente R es el conjunto de todos los pares (x, y ) tales que x puede alcanzar a y en exactamente n pasos. 115

Relaciones

Ejemplos 1. Se tienen cinco personas A; B; C ; D y E ; C es el dueño del camión llamado aventurero y E es el dueño del camión llamado imperioso. A es amigo de B y D . B es amigo de C y C es amigo de E . Sea R la relación “ x es amigo de y ” y sea S la relación “ y es dueño del camión z ”. Calcular la relación R  S . Solución

R = {( A, B ); ( A, D ); (B, C ); (C , E )}

S = {(C , aventurero); (E , imperioso )} R  S = {(B, aventurero ); (C , imperioso )} 2. Sean: R = {(1, 2); (3, 4 ); (2, 2 )} R = {(4, 2); (2, 5); (3, 1); (1, 3)} Calcular: R  S ; S  R ; R  (S  R ) ; (R  S )  R ; R  R ; S  S ; R  R  R .

116

Relaciones

REFERENCIAS 1

ÁLGEBRA

2

ÁLGEBRA

3

ÁLGEBRA MODERNA

4 5

MATEMÀTICAS PRIMERO ÁLGEBRA

7

MATEMÁTICAS 1

6 8 9

10 11 12 13

MATEMÁTICAS 3 MATEMÁTICAS 2 ÁLGEBRA ÁLGEBRA

PRECÁLCULO ÁLGEBRA

ÁLGEBRA ELEMENTAL

Paul K. Ress, Fred W. Sparks, Charles Sparks Rees. McGraw Hill Florence M. Lovaglia, Merrit A,.Elmore, Donald Conway Harla Mary P. Dolciani, Simom M. Berman, Julios Freilich Cultural Marcelo Santaló, Vicente Carbonell Universitarios Agustin Anfossi Progreso René Benítez Trillas Francisco José Ortiz Campos Cultural Francisco José Ortiz Campos Cultural Aurelio Baldor Cultural Raymond A. Barnett Limusa Raymond A. Barnett Limusa H. Lehmann Limusa G. Fuller CECSA

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Algebra Elemental

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