y=
2
x + ... + x
Álgeb ra
3
5to grado – IV Bimestre
Ín dice Indice
Pág
Sustracción de polinomios
63
Multiplicación de un monomio por un polinomio
67
División de un polinomio entre un monomio
71
Ecuaciones
77
Resolución de ecuaciones
81
Resolución de inecuaciones en lN
83
Sustracción de polinomios Sabías que... ...para restar polinomios, se escriben los términos del polinomio MINUENDO (M) con sus signos respectivos y debajo de él, el polinomio SUSTRAENDO (S) cambiando el signo de cada término; si hay términos semejantes se reducen.
Ejemplo 1: De:
Ejemplo 2: 5 3 2 x+ x 2 2
restar:
De:
1 7 5 2 + x+ x 3 3 3
restar: 1 1 2 x− x 2 2
Resolución:
cambio de signo
−
5 3 2 + x x 2 2
(M)
1 7 5 2 + x+ x 3 3 3
1 1 2 + x x 2 2
(S)
2 2 1 2 + x+ x 3 3 3
4 4 2 + x x 2 2 o también: 2x + 2x 2
Álgebra - 5to. grado
2 2 1 2 + x+ x 3 3 3
Resolución:
(M) (S)
−
cambio de signo
2 5 4 2 + x+ x 3 3 3 5 4 2 o también: 1+ x + x 3 3
63
4
¡Listos a trabajar! 1.
2.
De:
3 5 2 4 3 3 + x + x 5x 5 5
resta:
−
Resta:
7 5 3 2 + x+ x 4 4 4 1
de:
3.
4
1 5 1 4 3 3 x + x + x 5 5 5
−
2 4
x+
1 2 x 4
Define los siguientes polinomios: P(x) = 1 + 3 x 8 8
R(x) = 1 − 3x − 5x 2 8 8 8
Q(x) = 3 + 5 x + 1x 2 8 8 8
S(x) = − 1 x 2 + 5 8 8
Calcula: a. Q(x) - R(x)
c. R(x) - S(x)
b. Q - P
d. Q - S
(x)
4.
5.
(x)
(x)
De:
1 3 5 3 + x+ x 4 2 3
resta:
1 3 1 1 x + x− 3 2 4
Resta:
1 3 7 2 + x− x 6 4 5
de:
4 7 9 2 + x+ x 6 4 5
(x)
Demuestra lo aprendido4 1.
2.
3.
Resta:
1 1 1 2 + x+ x 2 2 2
de:
3 5 7 2 + x+ x 2 2 2
Resta:
1 2 2 1 − x− x 3 3 3
de:
3 2 5 1 x + x+ 3 3 3
Si: 3 2 1 x +2x 4
5 2 3 S(x) = 4 x + 2 x
Q(x) = 1x 2− 1 x 4 2
R(x) = 3 x + 2 x 2 2 4
P(x) =
Calcula: a. P(x) - Q(x)
c. R(x) - Q(x)
b. S - P
d. S - R
(x)
4.
(x)
(x)
De:
7 8 + 5 5x
resta:
3 1 − x 5 5
5.
(x)
De:
3 8 2 + x 10 10 x
resta:
5 2 1 − 10 x 10 x
Desafío La suma de dos polinomios es (2x2 + x + 8). Si uno de los polinomios es (x2 + 3), ¿cuál es el otro polinomio?
Multiplicación de un monomio por un polinomio Sabías que... ...(Abu Bakr ibn Mujammad ibn al-Husayn Al-Karayi o Al-Karay, fines del siglo X) Matemático árabe, en su tratado Al-Fajri definió el Álgebra como la ciencia que trata de determinar magnitudes desconocidas con la ayuda de las conocidas. Aplicó a las expresiones algebraicas algoritmos análogos a los utilizados en Aritmética y efectuó la adición y sustracción de polinomios y, la multiplicación y división de un polinomio por un monomio.
Importante: La operación que comprende el presente tema, trata de reducir o simplificar expresiones de la forma: "a . ( b + c )" o "a . ( b + c + d )" para lo cual se hace uso de la Propiedad Distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y sustracción.
Ejemplos: a.
5.(8+ 7) = 5.8+ 5.7 = 40 + 35
d.
= 75 b.
6x ( x2 + 3x + 1 )
3x + 3x2 e.
x2 ( x2 + 2x ) x4 + 2x3
Álgebra - 5to. grado
2x ( 8 + 3x ) 16x + 6x2
6x3 + 18x2 + 6x c.
3 ( x + x2 )
f.
3x ( x3 + 3x2 - 3x - 7 ) 3x4 + 9x3 + -9x2 - 21x 67
4
¡Listos, a trabajar! 1.
Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios aplicando la Propiedad Distributiva. a.
2.
3.
8 . ( 10 + 4 )
b.
9 . ( 12 - 6 )
c.
12 ( 9 + 8 )
Simplifica las siguientes expresiones: a.
5 ( x + x2 ) + 3x
c.
8x ( x + x2 ) - 3x3
b.
x2 ( 4 - x ) - 2x2 - x3
d.
3x ( x2 - x ) - x3 - 2x2
Si: P(x) = x 2 ( x3 + x2 ) + x4 y Q = 2x 5 + 3x4 (x) halla: a.
4.
P(x) + Q(x)
b.
Q(x) - P(x)
Calcula el área de las siguientes figuras e indica la expresión algebraica correspondiente: a.
( x + 10 )
3x
A=
b.
µ
2
(x+ 8)
2x2
A= 68
µ
2 Álgebra – 5to. grado
Demuestra lo aprendido4 1.
Aplica la Propiedad Distributiva para resolver los siguientes ejercicios: a.
2.
3.
7 ( 12 - 4 )
b.
12 ( 8 + 9 )
c.
15 ( 6 - 5 )
Reduce las siguientes expresiones: a.
7 ( x2 - x ) + 2x2
c.
6x ( x + x3 ) - 4x4
b.
x2 (6 - x ) + 5x2 + x3
d.
4x3 + 2 ( x3 - x2 )
Si: M(x) = 7x ( 4x + 4 ) - 3x 2
y
2
N(x) = 16x - 16x
halla: a.
4.
M(x) + N(x)
b.
M(x) - N(x)
Halla la expresión algebraica que representa la medida de cada una de las siguientes áreas. x2
a.
c.
( 2x + 6 )
( 4x + 8 )
A=
b.
µ
x
(x+ 4)
4x
2
A=
µ
A= µ
2
2
d.
A=
x2 + x x2
µ
2
4
Desafío Había una vez dos pastores que eran amigos. Uno le dijo al otro: - "Si me das una de tus ovejas tendremos la misma cantidad". El otro contestó: - "Si tú me das a mí una de las tuyas, yo tendré el doble de ovejas que tú". ¿Cuántas ovejas tenía cada uno de los pastores? Te damos una pista: el número de ovejas de cada pastor es menor que 10.
División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio.
Ejemplo: a.
Resolver:
b.
Resolver:
( 18x4 + 9x6 + 6x8 ) ÷ ( 3x2 ) 6
4
45x 2y 3 + 18x4 y6 − 27x6 y8 2 2
8
9x y
18x + 9x + 6x 2 3x 2 2 3x 3x 2
4
6x + 3x + 2x
2 3
6 8
4 6 18x y − 27x y + 2 2 2 2 2 2 9x y 9x y 9x y
45x y
6
2 4
4 6
5y + 2x y − 3x y
¡Listos, a trabajar! 1.
Resuelve: 8
3. 6
4
25x − 50x + 75x − 100x 25x
2.
6
4. 6 7
8 9
4x y + 8x y − 16x y 3 4
2x y
9
4
8
24x 18x 25x 10x 4 + 7 + 2 − 6 12x 9x 5x 5x
2
Resuelve: 4 5
2
Resuelve:
Resuelve: 10 10
6 4 8 5 30y z − 40y z + 50y z 3 7 7 5 2 10y z 20z y 25y z
4
5.
Resuelve:
6.
( 48x100 + 72x110 - 84x120 ) ÷ ( 12x100 )
Simplifica: 5x ( 5x + 3x2 ) + 3x ( x2 + 3x ) 2x
7.
¿Cuál es el exponente mayor del polinomio simplificado? P(x) = 4x ( 3x 2 + 2x3 ) + 2 ( 7x3 + 5x4 ) 2x2
8.
Si: P(x;y) = 18x2y4 + 36xy2 - 2x2y4 - 30xy2 2x indica la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
9.
Expresa algebraicamente el perímetro de cada figura geométrica.
x2 - y 2
x2 + y2
2
x2 + 1
x + x+ 4
x2 + x + 1
10. Resuelve:
4
25y3 - 40y8 + 55y7 5y2
Demuestra lo aprendido 1.
Resuelve:
2.
( 36x7 + 54x5 - 42x8 ) ÷ ( 6x4 )
Resuelve: 72x4 y7 + 32x 5 y8 − 40x 8y5 3 4
8x y
3.
Resuelve: 5 9
4. 8 4
9 7
63x y − 42x y + 56x y 3 2
7x y
Resuelve: 7 4
8 5
60x y
4 3
10x y
+
90x y
3 2
9x y
9 3
−
120x y 5
6x y
4
5.
Resuelve:
6.
( 45x80 + 15x64 - 75x70 ) ÷ ( 15x60 )
7.
3 ( x3y3z4 + 3x6y6z8 ) + 6x3y3z4 3x2y2z2
3 5
3
2
x ( 7x + 7 ) + 7x ( 8 + 3x ) + 5x 7 7x 5x
Indica la suma de coeficientes del polinomio simplificado, si: P(x;y;z) =
8.
Simplifica:
2 4
Si: P( x;y) = 27x y + 12xy − 18x y 3xy
halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
9.
Expresa algebraicamente el perímetro de cada figura geométrica. x3 + 3x2 + 2x +1 x2 + x + 2
x2 + 1
x2 + 2
10. Resuelve: 3 5
5 9
8 6
33x y − 27x y + 45x y 3 2
3x y
Desafío Halla "F" en: F=
3 5 4 120
x
4
Ecuacione s CONCEPTOS PREVIOS: I.
IGUALDAD Indica que dos expresiones escritas, por lo general de diferente forma, representan una misma cantidad. Ejemplo: Observa y determina qué tiene que pasar para que la balanza se mantenga en "EQUILIBRIO". "Expresión matemática" 12 + x = 20 x=
12g
II.
20g
x
ECUACIÓN Es una igualdad donde existe una o más incógnitas.
III.
INCÓGNITA Se representa con letras y se llama así a las cantidades desconocidas.
ECUACIONES DE LA FORMA: x ≠ a = b Ejemplos: a.
b.
x + 12= 29
x + 6 + 2 = 18 + 2
x = 29 - 12
x = 18 + 2 - 6 - 2
x = 17
x = 12
32 + 22 = x + 1
Álgebra - 5to. grado
c.
d.
x - 3 = 32 + 5 77
4
ECUACIONES DE LA FORMA: ax ≠ b = c Ejemplos: c. a.
4x = 32
2x + 3 = 15 2x = 15 - 3
32 x= 4
2x = 12 12
x= 8
x=
2 x= 6 b.
3x - 5 = 16
d.
5x + 5 = 3x + 25
¡Listos, a trabajar! Halla el valor de "x" para que se cumpla la igualdad:
1.
x + 7 = 14
3.
19 = x + 3
2.
5 + x = 18
4.
52 = x - 10
5.
y + 19 - 3 = 48 - 4
6.
25 - 15 = 4x - 10
7.
6x - 10 = 2x + 18
8.
7x + 6 +5 = 13x - 1
9.
Calcula "x.y", si: II.
3y - 8 = 7
II.
2y = 36 + 8
I.
10.
2x + 3 = 7
La edad de José es "x + y", donde: I.
x + 9 = 17
¿Qué edad tiene José?
4
En tu cuaderno: Resuelve los siguientes problemas: a.
Halla un número que aumentado en cinco dé como resultado
diecinueve. b.
Encuentra un número que disminuido en ocho dé treinta y dos.
c.
El doble de un número aumentado en siete es igual a treinta y uno.
d.
El triple de un número disminuido en seis es igual a cuarenta y cinco.
Demuestra lo aprendido Halla el valor de "x" para que se cumpla la igualdad:
1.
x + 7 = 24
2.
13 = x - 20
3.
52 = y - 10
4.
5x = 20 + 25
5.
7x - 10 = 40 + 2x
6.
12x - 5x + 40 = 190 + 150 - 20
7.
Calcula "x + y"; si: I.
8.
2x + 4 = 16
II.
y - 8 = 10
La edad de Percy es la suma de "x + y"; siendo: I.
2x + 6 = 18
II.
y-6 = 2
II.
y + 3 = 23
¿Qué edad tiene Percy?
9.
Calcula "x.y"; si: I.
2x = 64
10. Calcula "x - y"; si:
I.
60 + x = 90 - 2
II.
x + 24 = 36
Resolución de ecuaciones ECUACIONES DE LA FORMA: a ( x ± b ) c 1.
En cada uno de los siguientes ejercicios, halla el valor de "x" para que se cumpla la igualdad:
2.
a.
3 ( x + 2 ) = 12
d.
2(x-3)= 4
b.
5 ( x + 1 ) = 25
e.
7 ( x - 10 ) = 49
c.
6 ( x + 6 ) = 72
f.
11 ( x - 10 ) = 77
II.
8 ( y - 3 ) = 56
Calcula "x + y", si: I.
3.
10 ( x + 5 ) = 80
La edad de Ariana es la suma de "x + y", siendo: I.
2 ( x - 10 ) = 14
II.
3 ( y + 1 ) = 15
II.
7 ( y + 10 ) = 84
II.
5 ( 3y - 2 ) = 35
¿Qué edad tiene Ariana?
4.
Calcula "x . y" I.
5.
La edad de Valeria es "x + y", donde: I.
6.
4 ( 2x - 1 ) = 20
3 ( x+ 5 ) = 30
Resuelve: 22 ( x + 3 ) = 43
7.
Resuelve: 32 ( x + 7 + 1 ) = 9 ( 22 + 32 )
8.
El doble de la suma de un número y cuatro es treinta. Encuentra dicho número.
9.
El triple de la diferencia de un número y ocho es veintiuno. Encuentra dicho número aumentado en seis.
10. El cuádruplo de la suma del doble de un número y siete da como resultado cien. Calcula dicho número.
4
Demuestra lo aprendido 1.
Resuelve: 5 ( x - 12 ) = 100
2.
Resuelve: 12 ( x + 2 ) = 144
3.
Calcula: "x + y", si: I.
4.
3 ( y + 4 ) = 45
5 ( 2x - 1 ) = 55
II.
4 ( y + 10 ) = 48
La edad de Christian es "x + y"; donde: I.
6.
II.
Calcula: "x - y", si: I.
5.
2 ( x - 7 ) = 22
4 ( x - 3 ) = 16
II.
3 ( 2y + 5 ) = 27
Resuelve: 23 ( x - 50 ) = 52 + 7
7.
Resuelve: 1 0000 ( 2x + 70 + 50 ) = 32 + 22
8.
El quíntuple de la suma de un número y cuatro es igual a doscientos. Calcula dicho número.
9.
El triple de la diferencia de un número y ocho es igual a cincuenta y uno. Da dicho número aumentado en uno.
10. Resuelve: 7 ( 2x - 1 ) =
210 3
Desafío Resuelve:
14 3
(5x − 3) =
7 6
(2x + 1)
Resolución de inecuaciones en IN ECUACIONES DE LA FORMA: x ± a
b;x±a
b
Observemos: IN = {0; 1; 2; 3; ...} Lee con atención: Juan compró un CD a S/.18 y lo quiere vender a menos de S/.25. ¿En cuánto puede aumentar el precio? Expresamos simbólicamente: Aumenta
x
Precio de compra
18
Precio de venta
x + 18
Inecuación
x + 18
Resolvemos la inecuación:
x + 18 x
Conjunto solución
25 25
25 - 18
x 7 C.S.( x ) = {6; 5; 4; 3; 2; 1; 0}
Observa cómo hallamos el conjunto solución:
=• x ≤ 5 C.S. ( x ) = {0; 1; 2; 3; 4; 5} =• y =• z
3 C.S. ( y ) = 6
C.S. ( z ) =
{3; 4; 5; 6;...} {7; 8; 9; ...}
Inecuación es una desigualdad en la que se
desconoce uno de sus términos (incógnita).
Sabías que... =• Una cantidad que está sumando en un miembro de la desigualdad pasa al otro miembro restando: x+ 3
6
x
6-3
x
3
=• Una cantidad que está restando en un miembro de la desigualdad pasa al otro miembro sumando: x-4
7
x
7+ 4
x
11
¡Listos, a trabajar! 1.
Halla el C.S. de las siguientes inecuaciones, en el conjunto de los números naturales. a.
x
5
b.
x
5
c.
x ≥ 5
d.
x ≤ 5
Halla el C.S. de las siguientes inecuaciones, en el conjunto de los números naturales.
2.
x+ 2> 5
3.
x-4
4.
x-5 ≥ 2
5.
x+ 3 ≤ 8
6.
x + 4 12 - 7
7.
x + 4 - 22
5
20 ÷ 5
8.
x - 23 + 24
5× 2
9.
¿Cuánto puedo aumentar al precio de un CD que compré a S/. 9 para venderlo a no más de S/.13?
10. Si Ariana tiene 25 fichas y Mariana, 60 fichas, ¿cuántas fichas podrá tener Christian para que junto con las de Ariana, tenga siempre menos que Mariana?
Demuestra lo aprendido 1.
2.
Halla el C.S. de las siguientes inecuaciones, en el conjunto de los números naturales. a.
x
3
b.
x
3
c.
x ≥ 3
d.
x ≤ 3
Resuelve las siguientes inecuaciones: a.
x + 5 12
b.
x-7
15
c.
x + 8 10
d.
x-7
1
e.
x + 3 ≥ 10
f.
x-5 ≤ 2
g.
x + 8 11 + 2
4
4
3.
Trilcito piensa en cuánto puede aumentarse al precio de un libro de Álgebra que compré a S/.8 para venderlo a menos de S/.12.
4.
Resuelve y da el mayor valor natural que cumple: x + 7 10
Desafío Da el menor valor entero que cumple: x−3 −x 4
x−1 x−2 − 2 3
