Índice Unidad I Capítulo 1
Teoría de exponentes I
4
Capítulo 2
Teoría de exponentes II
7
Capítulo 3
Notación P(x)
10
Capítulo 4
Grados y polinomios especiales
13
Capítulo 5
Repaso I
17
Capítulo 6
Productos Notables
21
Capítulo 7
División algebraica
25
Capítulo 8
Factorización I
29
Capítulo 9
Factorización II
32
Unidad II Capítulo 10
Fracciones Algebraicas
36
Capítulo 11
Cantidades Imaginarias I
40
Capítulo 12
Cantidades Imaginarias II
43
Capítulo 13
Cantidades imaginarias III
46
Capítulo 14
Teoría de ecuaciones
50
Capítulo 15
Repaso II: Productos Notables y Factorización
54
Capítulo 16
Ecuaciones de segundo grado I
58
Capítulo 17
Ecuaciones de segundo grado II
62
Unidad III Capítulo 18
Ecuaciones de segundo grado III – Planteo
66
Capítulo 19
Sistema de ecuaciones I
69
Capítulo 20
Sistema de ecuaciones II
73
Capítulo 21
Repaso III: Ecuaciones y sistemas
77
Capítulo 22
Inecuaciones I
82
Capítulo 23
Inecuaciones II
86
Capítulo 24
Funciones I
90
Capítulo 25
Funciones II
95
Unidad IV Capítulo 26
Funciones III
99
Capítulo 27
Función cuadrática
103
Capítulo 28
Repaso IV: Ecuaciones de segundo grado
108
Capítulo 29
Progresiones I
112
Capítulo 30
Progresiones II
116
Capítulo 31
Logarítmos I
120
Capítulo 32
Logarítmos II
123
Capítulo 33
Logarítmos III
127
Álgebra
1
Capítulo
Teoría de exponentes I Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. x − 1 = 1 ; 6x ! R x
7. Determinar el equivalente reducido de J: J=
II. xo = 1; 6x ! R 5
III. (x2) 5 = x2 IV. x
−1
=− x ; 6x ! R
a) FFVF
b) FFFV
d) VFVF
e) VFFF
d) x
2
c) FFFF
c) 1 x
d) 13
e) 14
d) 2
e) 1
c) 12
a) 1
b) 2
d) 4
e) –2
b) x
d) x
3
e) 1
5. Calcular: M =
b) 39
d) 42
e) 48
10. Reducir: N =
d) 5
e) 6
6. Simplificar la expresión T: 2 2
a) x y
b) 1
d) xy
a) x y
Colegios
4
TRILCE
c) x
4
2
x5 .
6
x7
b) x e) x
siguiente expresión:
( 1 ) −2 − ( 1 ) −2 5 4 b) 3
3
3 4
c) 40
c) x
2
6
11. Determine el exponente final de "x" en la
5
a) 1
c) 3
a) 36
d) x
(x2) 6 . (x3) 4 4. Reducir: T = (x10) 2 a) x
2
6 * 10 3* 5
E=
a) 1
6
c) 7
x+5 + 2x + 3 E= 2 2x
3 1 −1 0 3. Efectuar: ` 3 j + ^− 5h + 2
b) 11
b) 4
9. Calcule el valor de E:
3
a) 10
a) 3 2
b) x e) x
125 + 5 32 9 + 3 64
8. Si a*b=a +b , calcule el valor de E:
3 5 7 S = x .6x .8x ; x ! 0 2. Simplificar: x .x
a) 1
3
T=
(x2 y3) 5 . (xy) 3 x11y16 c) xy
2
x3 . x.
a) 3/2
b) 1/3
d) 1/4
e) 5/6
−4 12. Calcule: E = ` 1 j 36
c) 4
5
x4 c) 1/2
−2 −1
a) 2
b) 3
d) 6
e) 12
13. Simplificar:
3
c) 5
752 .63 .2 1002 .27
a) 5
b) 9
d) 15
e) 6
c) 4
Central: 6198-100
Álgebra 14. Halle el exponente final de x, luego de reducir la 32 ^−2h6
expresión: x .x
.x
−2 4
a) 37
b) 51
d) 61
e) 81 2x
^−1h8
.x
22. Determine el exponente final de x en: 3
c) 58 –x
15. Calcule el valor de: x –x ;
x.
3 4
x.
4 5
x.
5 6
a) 2 5
b) − 2 5
d) 1 3
e) 2 7
x c) 1 5
x
si se sabe que x =3 a) 1
b) 7 3
d) 26 3
e) 0
c) 23 3
16. Calcula la suma de cifras de la expresión J:
b) 13
d) 15
e) 11
b) 8
d) 2
e) 1
c) 4
18. Indique cuál es el exponente de a en la siguiente 5
expresión: M = aa d) a
b) a
4
e) a
x81 ; x 2 0 x3
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
x
x+1
c) 12
a
a) 5
6
N = xx + x
2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 17. Reducir: N = x − 3 x − 2 x − 1 2 +2 +2 a) 16
"x":
4
24. Si: x =3, determine el valor de N:
−4 −3 −1 J = ;` 1 j + ` 1 j + ` 1 j E 2 3 4
a) 59
23. Luego de reducir, indicar el exponente final de
c) 4 2
a) 3
b) 81
d) 9
e) 27
25. Luego de reducir:
c) 1 3
x. x. x... (n: radicales)
n Determine el exponente final de 2 x n a) 2 −n 1 2
b) 2n
n
a) 2n
d) 2 –1
n
c) 2 +1
2
3 4 5 6 7 8 a + a + a ;a 2 0 19. Simplificar: 7 a + 6 a2 + 15 a3
a)
b) a
a
d) 4 a
2
c) a
e) 1
20. Dadas las igualdades: n n = 9 3 y m m = 4 2 halle n–m a) 48
b) 27
d) 0
e) 11 2
2
c) 16 2
21. Si se sabe que: a +b = c , halle el equivalente de: a)
2
a
ab
x
c
d) x
xb .
b
www.trilce.edu.pe
b
xa b) x e) x
c) x
a
c
Tercer año de secundaria
5
1
Capítulo
Practica en casa -1
1. Reducir: A = ` 1 j + (2012 + 2013) 0 + 811/4 5 o
2. Calcular: B = 2 3 + (3 5 ) o + (− 5o) + (− 2o) −2 3. Reducir: E = ` 1 j 25
− 5o
x+2 x+1 + 3x 12. Calcular: A = 3 x +x 3 3 + 3 − 1 + 3x − 2
5. Efectuar: E = (− 4) 3 − (− 7) 2 − (− 5) o 6. Reducir: A = x 4 .x
7. Simplificar:
8. Simplificar:
3 ^x2h x 4 24 2
^x h .x
x+1 x 10. Simplificar: 5 x− 5 5 15 7 9 3 11. Reducir: E = e x13 + x5 + x7 + x o .x − 2 ; x ! 0 x x x x
4. Calcular: A = x5 . (x2) 3 . (x 4) 2
(− 2) 2
9 4 2 9. Simplificar: 14 3.15 3 .306 80 .35 .21
.x
− 32
x
13. Si x =2 , calcular E = xx
(− 4) o
.x
62 + 52 6− 2 + 5− 2
14. Calcular: ; x^0
5 3 o ^x 4h ^x2h ^x 4h 4 3 11
x .x .x
x+1
m m m 15. Si 5 =3 y 2 =7 ; calcular 10 21
; x^0
Tú puedes 2
1. Calcular el exponente final de x ; luego de 2 x6 `x − 2 ^x − 3h j x reducir : 2 2 x2 . .x3 .x − 10 a) 8 d) –2
b) 3 e) 1,0
c) 4
Si x
= 4 , x − z = 1 ; hallar el valor de x 2
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
Calcular E = n
6
nn
3
1/n
+ 2n + 5n + 27 nn + 3
b) 11
d) 3 11
e) 2 11
TRILCE
xx − z
c) 11 3
x+y
=11 , calcular el valor de
b) 216 e) 343
c) 729
5. UNMSM 2010 – II k2 + 1
Si x = 32 donde “k” es un número entero no negativo, entonces el valor de x + 4 x es k2 − 1` 2k2 − 1
a) 11 2
Colegios
2y
a) 32
3. Si nn = 3 nn + n
2x
Si 3 +3 =27 ; 3 x y3 K= (3 +3 ) a) 512 d) 125
2. UNMSM 2008 – II xx
4. UNMSM 2003
3
k2 − 1` 2k2
b) 32
k2
3
+ 1j
+ 1j
k2 − 2
c) 32 + 32 k2
k2 − 2
d) 32 + `32
+ 1j
k2 − 1` 2k2 + 1
e) 32
3
+ 1j
Central: 6198-100
Capítulo
Teoría de exponentes II
2
Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. 5
x–1
=5
0
II. 7
x–2
=1
III. 7
x–1
=9
x–1
x=1
IV. 6
2–x
=4
2–x
x=2
.
. ..
a5 b 7. Si aa = 5 y bb
x=1 x=2
a) VVVV
b) VVVF
d) VVFF
e) FVFV
Calcular el valor de 5
E=a +b
c) VFVF
5
=5
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
3. Resolver: 2
=4
b) 3
d) 7
e) 9
c) 5
4. Calcular el valor de "x" en: x–2
=4
a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 12
5. Hallar el valor de x+y; si se cumple: y
x =27 ; y =256 a) 5
b) 6
d) 9
e) 11
c) 7
6. Hallar el valor de "x" en: 7
3x–12
=6
e) 10
8. Sea x>2,
a) –1
b) 1
d) 2 5
e) 3 2
c) 2 3
35
x−1
9
= 35
a) 8
b) 4
d) 11
e) 12
c) 10
6
3n–9
= 27
n–3
a) 3
b) –2
d) –3
e) 0
c) 2
11. Hallar "x" en ^x − 2h(x − 2) = 381
a) 29
b) 10
d) 12
e) 13
c) 11
12. Si x es la solución de la ecuación:
3x–12
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
www.trilce.edu.pe
d) 8
c) 6
10. Resolver:
x+3
x
b) 4
9. Resolver:
x+2
a) 1
8
a) 2
Determine el valor de "n"
x+4
a) 1
3x+1
3
tal que: x3 .xn − 2 = x3 − 2n .
2. Resolver: 2x–1
=3
c) 3
25
x+1
–125
x–12
=0,
entonces la suma de los dígitos de "x" es: a) 15
b) 13
d) 12
e) 11
c) 17
Tercer año de secundaria
7
2
Capítulo
20. Halle"x" en:
4
13. Si 2x − 4 + 1.4 2 = 8
3
Halle el valor de "x" a) 5
b) 1
d) 2
e) 3
c) –1
14. Halle el valor de "x , 3 si se sabe que 3x = 2433 6
b) 225
d) 625 .
.
.. 15. Si xx
x
c) 125
6
9
a) 9
b) 7
d) 39
e) 45 x2 . 3 x3 . 4 x 4 ...
c) 27
n
xn = x3n − 21
b) 9
d) 11
e) 12
c) 10
17. Halle "n" en: =4 9
=39
715 − 7n = 7 7n − 4 − 73
a) 1
b) 2
d) 8
e) 9 2
2
12"
a) 2 2
b) 8
d) 4 2
e) 16
1
a) 2
b) 1/4
d) 1/8
e) 1/2
2x − 3
3 − 2x
= 527
a) 3 2
b) 2 3
18. Halle el valor de "x" en:
d) 5 7
e) 1
+2
x+1
c) –19
1259
e) 10
x+2
=56
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
19. Halle el mínimo valor de "n" en: 2 2 5n − 9 = 79 − n
a) –3
b) 3
d) 0
e) –1
Colegios
TRILCE
c) 4
24. El valor de "x" que satisface la ecuación exponencial es:
n−1 5
d) 19
+2
c) 2
1 23. Si xx = ` 1 j` 2 j y x ! 1 ; 2 2
b) –20
x+3
c) 3
;
a) 20
2
c) 3
Indique el valor de x 2
Donde: x>0, calcule "n" a) 8
x–1
b) 2 e) 0
Determine "x
16. Si se sabe que:
8
+3
a) 1 d) 4
6 22. Si xx =
3
3
3
x–2
Hallar la suma de cifras de "n".
e) 325
Calcule: x +x +x
n+3 4
+3
21. Si: 8
6"
a) 5
x–3
c) 7 5
25. Halle "x" de: x=
2+
a)
2
d)
2
(x − 2 ) 2
2 b) 2 2
2
e)
2
c) 4 2 2 −1
c) 1
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 1. Hallar x: 5 2. Resolver 7
x–3
x–2
3. Hallar x: x
5. Resolver: x
4
9. Luego de resolver:
=49
3 xx
4. Resolver: 11
6. Hallar x: 9
=5
.. x.
=(
1 1–2x ) 125
1
=7
10. Resolver: n 0, 2 = ` 1 j3 5
x–5
11. Resolver: 2 =7
=5
x–1
Indique el valor de 4x
=3
x–5
x–1
25
12. Hallar x: 3
2x–2
n+3
2x
+2
x
n2–4
=5
4–n2
14. Si a
2
2 x 8. Si xx = 2; hallar x2 + xx
5 aa
+2
n+1
=56
x
– 7.3 – 18=0
13. Resolver: x =36
7. Halle el mínimo valor de “n” en: 7
n+2
=5yb
3
. .. b b
5
= 2, calcular E=a +b
2
3 15. Resolver : xx = 36
Tú puedes 1. UNMSM 2009 – I n+1
n+2
4. UNMSM 2008 – I n+3
n+4
Si: 5 +5 +5 +5 =780 y "n" en un número entero, entonces el valor de: 2(n+3) es. a) 4 d) 15
b) 10 e) 8
c) 6
2. UNMSM 210 – II 64
a
Si: 2 =a y a) 48 d) 44
3
54
= (3b) b , halle 3a+2b
b) 96 e) 66
c) 99
Z r r 2 10 ]bb = 9 + 2 − ^3 h [ 44 ] x 2 x+1 =0 \ 4 .2 − 2 Entonces se puede afirmar que: a) x – b=3 d) x
b) x+b=3 e) xb=2
5. UNMSM 2008 – II 2 2 2 2 2 2x + 2x − 1 + 2x − 2 + 2 x − 3 + 2x − 4 = 62
donde x>0, hallar "x"
3. UNMSM 2010 – II y
Si x =2 (donde x>0), halle el valor de la
a) 1
b)
2
expresión
d) 2
e)
5
y x− y y y ^4 x h ^xx h + ^x2h− y
2x2y − 6x − y
a) 16 3
b) 3
d) 11 4
e) 13 4
www.trilce.edu.pe
c) |b|<|x|
c) 5 2
c) 16 5
“Equivocarse no es fracasar, es aprender” Tercer año de secundaria
9
3
Capítulo
Notación P(x) Problemas para la clase 1. Determine cuáles de las siguientes expresiones matemáticas son polinomios: 6
I. P(x)=2x –x
–6
3
2
II. Q(x)=2x –5x +3 1 2
a) 56
b) 49
d) 74
e) 81
c) 54
Calcular P(0)+P(1)
2 x3 − 3 x2 + 1 2
a) Sólo I
b) I, III, IV
d) II y IV
e) Ninguna
c) Sólo III
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 15 2
8. Si: P(x)=x +2x+1 2
Q(x)=x –2x+1
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) Sea: P(x)=3x–1 I. P(0)=–1
Calcular: P(3)+Q(–3)
II. P(1)=5 III. P(–1)=–7
a) 32
b) 0
c) 16
d) 64
e) 36
9. Si P(x)=2x+3,
IV. P(2)=5 a) VVFF
b) VFVF
d) FFFF
e) VVVV
c) VFFV
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) 5
4
3
Halle P(y+2) a) 2y+5
b) 2y+3
d) 2y–3
e) 2y–5
c) 2y+7
Sea P(x)=4x –3x +7x +x–2 I. El grado del polinomio es 5 II. El coeficiente principal es 4 III. El término independiente es –2 IV. La suma de coeficiente es 7
10. Si P(x+1)=2x–3,
a) VVVV
b) VVVF
11. Calcular la suma de coeficientes del polinomio
d) VFVF
e) FFVV
c) VVFF
a) 5
b) –5
d) 6
e) 1
c) –6
5. Si P(x–2)=x –3x, halle "P(3)" b) 3
d) 10
e) –9
Colegios
TRILCE
a) 2x–7
b) 2x+7
d) 7x–2
e) 7
c) 7x+2
2
a) –32
b) –64
d) –16
e) 16 6
c) 32
4
12. Si: P(x)=(x–1) +(x+2) +3, Hallar la suma de coeficientes de P(x) multiplicado por el término independiente.
2
a) –3
Halle P(x–1)
P(x)=(x+3)(3x+1) (x–2)
4. Si P(x;y)=5x–y, hallar "P(–1;1)"
10
calcule: P(8)+P(2)
7. Si: P(x–1)=2x+1,
III. S (x) = x5 − 3x − 1 IV. T (x) =
2
6. Si P(x)=x +x–2,
c) 9
a) 1850
b) 1520
d) 1560
e) 1280
c) 1680
Central: 6198-100
Álgebra 21. Determine un polinomio lineal P(x)
2 13. Si: F (x) = )x + 1; x # 1 x + 1; x 2 1
Si: P(2)=4 y P` 1 j =–1 3
Calcular: F(–3)+F(4) a) 15
b) 11
d) 13
e) 17
c) 9 2
b) 12
d) 14
e) 15 2
d) 7
e) 15
16. Si: P(x)= x Hallar P(2)
100
c) x–2
e) 3x+1
x P(x)
1 4
2 6
Calcular: P(0)+P(5)
Q(x)=3x–5 ; G(x)=x–4 Calcule: P(Q(G(6))) b) 4
d) 3x–2
c) 13
15. Si: P(x)=x +2x+3
a) 0
b) 3x
22. Dado el polinomio lineal P(x) que presenta resultados mostrados en el cuadrado:
14. Si: P(x)=2x+1 y Q(x)=x +5; Calcular: T=Q(p(1)) a) 11
a) 3x+2
c) 6
a) 14
b) 12
d) 2
e) 8
c) 10
23. Dada la expresión F cx3 + 12 m = x5 − 7x2 + 5 x
97
–8x +2x–1 ;
Halle: F(7)
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
n
17. Sea P(x)=(x+1) +(x–1)n+2, si la suma de coeficiente más el término independiente suman 36. Halle "n". a) 1
b) 2
d) 5
e) 7
c) 3
b) 2
d) 9
e) 12
c) 8
b) 6
d) 11
e) 9
d) 1
e) –3
c) 0
24. Se define en los enteros: f (x) = )2x + 1 ; x > 10 f (f (x + 1)) ; x # 10 a) 191
b) 185
d) 190
e) 199
c) 196
25. Sean P(x) y Q(x) dos polinomios, además P(x)+Q(x)=ax+b
19. Si: F(x+2)=x+F(x) ; F(3)=5 ; Halle F(1)+F(5) a) 10
b) 7
Halle f(8)
18. Si: P(x–1)=2P(x–2)–1; además P(–3)=2; Hallar P(0) a) 1
a) 4
P(x)–Q(x)=a+bx c) 12
Donde: P(5)=4, calcular P(Q(1)) a) 4/3
b) 1/3
d) 5/3
e) –4/3
c) 2/3
1 20. Si: F (x) = 1 + 1 + 1 + ... + 2 6 12 x (x + 1) Determine el valor de F (20) F (10) a) 19 18
b) 22 21
d) 1
e) 2
www.trilce.edu.pe
c) 21 20
Tercer año de secundaria
11
3
Capítulo
Practica en casa 2
1. Si P(x)=x +3x+1
8. Si P(x+1)= 3x–1
Calcular P(0)+P(1)+P(2) 8
Calcular P(0)+P(1)+P(2) 2 9. Si P(x)=x , calcular P (x + 1)2+ P (x − 1) x +1
4
2. Si P(x;y)=(x+1) +(y–1) +xy Calcular P(–2;2)
2
2
10. Si P(x)=x+1; q(x)=x –1;
3
3. Si P(x) =(x–1) +x(x–7) +4
Halle P(q(0))
Halle el término independiente. 11
2
4. Si P(x)=(2x–1) +(5x–4) +(9x–10)
8
Halle la suma de coeficientes 2
3
4
3
2
11. Si P(x)=(a –26)x +2x –x+a –1 es un polinomio mónico, hallar el término independiente. 12. P(2x–5)= 2x + 1 + 3 x + 4 ; hallar R(3)
5. Si P(x)=x +1 Halle P(x–1)
99
98
13. Si P(x)=x –3x +2x–1; hallar P(3)
2
6. Si P(x–4)=x –2x
x; si x es par 14. Si P (x) = * x + 1 ; hallar P(2)+P(5) ; si x es impar 2
Halle P(1) 7. Si P(x–1)=3x–1
2
15. Si P(x)=x –2x; calcular P (P (...P (2)) ...) 1 4 44 2 4 44 3
Halle P(x+1)
100 veces
Tú puedes 1. UNMSM 2010 – II Sabiendo que f(x+6)=ax+b; f(2)=–14 y f(–3)=–29, halle el valor de 2a–b a) –6 d) 12
b) 10 e) 8
c) 4
2. UNMSM 2010 – I P(x)+Q(x)=ax+b, P(x)–Q(x)=a+bx y P(5)=4, calcule P(Q(1)) a) 4 3
b) 1 3
d) 5 3
e) − 4 3
c) 2 3
3. UNMSM 2004 – II 2 Si g(z+1)=g(z)+5z –3z+2 y g(0)=2, entonces g(1)+g(–1) es a) 4 d) 0 Colegios
12
TRILCE
b) –4 e) –2
c) 2
4. UNMSM 2004 – II El polinomio 2 n–3 n+1 2 3 7 n–17 P(x)=(7x –3) (2x–1) +(n x –9) (2x+3) 2n–17 +(5x–7n)(5x–1) Tiene como término independiente 112. Hallar "n" a) 13 d) 20
b) 18 e) 12
c) 16
5. UNMSM 2002 – I Dado 3f(x)=x+4+ f (x) , calcular f(f(–4)) 2 a) –4
b) 8 5
d) 0
e) − 8 5
c) 4
“El éxito es 1% inteligencia y 99% esfuerzo” Central: 6198-100
Capítulo
Grados y polinomios especiales
4
Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda 4 2 6 I. En P(x;y)=2x y–5x y el grado relativo a "x" es 4 4 6 8 6 II. En R(x;y)=x y +2x y el grado absoluto es 24 2
3
III. En Q(x;y)=3xy–5x y+4x y el grado relativo a "y" es 1 a) VVV d) VFV
b) VVF e) FFF
c) FVV
Hallar el grado absoluto b) 23 e) 30
c) 20
b) 9 e) 12
c) 10
4. Hallar el grado del siguiente monomio
b) 20 e) 16
c) 18
P (x; y) =
2 42
6 8 4
2 x y z − 3 (x y ) − 4 x y z
a) 6 d) 12
b) 10 e) 15
c) 14
4 6
8. Si el polinomio: Q(x)=2x3+6xa+x+3; es completo y ordenado;
b) 3 e) 32
9. Halle el valor de "n" en el siguiente polinomio n − 13
n + 3x 2
c) 14
F(x;y)=xm+8ym–4+xm+7ym+x2m+1y8 Tiene grado 27 b) 7 e) 12
c) 9
11. Si se cumple: Halle "a+b+c" a) 7 d) 13
al homogéneo
Hallar el valor de "a+b"
a) 100 d) 140
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b) 7 e) 24
b) 9 e) 15
c) 11
P(x;y)=xn–3y7+x8y8+xmy4
8 b
b) 7 e) 10
− x15 − n
10. Hallar el valor de "m", si el polinomio
P(x;y)=x y –x y +x y a) 6 d) 9
c) 4
12. Halle el valor de "mn", si el polinomio
6. Dado el polinomio homogéneo a 3
c) 9
(2a–8)x3+(b–1)x2+(c3–8) ≡ 0
5. Calcular el grado absoluto del polinomio: 3 3 4
b) 8 e) 14
a) 6 d) 10
N (x; y) =− 2 (xy2) 4 .z8 3 a) 22 d) 12
a) –16 d) 15
a) 9 d) n–13
8
P(x;y)=x y – x y +x y Hallar el grado absoluto a) 8 d) 11
Son idénticos, calcular el valor de "ab+c"
P (x) = 2x
3. Sea el polinomio: 7 3
2
Q(x)=5x +2x+(5–c)
a) 2 d) 16
8 12 2
M(x;y;z)=–3x y z ;
6 2
2
P(x)=ax +(b–1)x+6
halle a2
2. Dado el monomio:
a) 22 d) 25
7. Si los polinomios:
c) 8
b) 124 e) 70
c) 144
Tercer año de secundaria
13
4
Capítulo
13. Dado el polinomio cuadrático y mónico P(x)=(2a–1)x3+3x2+bx2+1 Calcule el valor de P(a+b) a) 11 4
b) 10 3
d) 11 3
e) 13 4
c) 12 7
N(x;y)=x y –3x que G.A.(N)=20;
2a+3
–x
3a+7 5–a
y
b) 76 e) 8
si se cumple
c) 98
b) 15 e) 9
c) 17
17. Si el polinomio Q(x)=7xa–1+xb–3+xc–2+8 es completo y ordenado, hallar "a+b+c" b) 14 e) 20
c) 16
a) 16 d) 1
2a+b a–5
y
–x
2a+b+1 a+6
y
b) 25 e) 9
22. Encontrar el grado del polinomio P(x) sabiendo que el grado de P2(x)–Q3(x) es 21, además el grado de P4(x)–Q2(x) es 22 b) 3 e) 9
c) 5
–4x
Entonces el producto de sus coeficientes es: a) 12 d) 4
b) 6 e) 2
c) 3
24. Hallar el valor de "a–b+c–d", si el polinomio 3 2 3 2 Q(x)=3dx +18x –9x +9ax +2c–5bx+15x es idénticamente nulo. a) –5 d) –8
b) –6 e) –9
c) –7
25. Si el polinomio: n
n+b
Q (x; y; z) = nx(8n) + byn
+ nbzn
4n
es homogéneo. Calcule la suma de sus coeficientes. a) 5 d) 20
2"
18. Hallar "(a–b) , si G.A.(P)=24 y G.R.(x)=13; siendo: P(x;y)=3x
c) 7
2 2 2 P (x; y) = 2 −1(a + b) xa + n + 3 −1(a − b) xb + n yn + 12yb + 12
16. Halle el valor de "m+n"; si el grado absoluto del polinomio: P(x;y)=xm+nyn–1+xm+n+1yn–3 es 20 Además G.R.(y)=5
a) 12 d) 18
b) 9 e) 5
23. Si P es un polinomio homogéneo definido por: c) 13
b) 15 e) 8
a) 8 d) 6
a) 1 d) 7
A(x;y)=4xm+2yn–3+13xm+3yn–2 Si G.R.(x)–GR(y)=3 ∧ GA(A)=13; halle "2m+n"
a) 9 d) 14
c) 2a+3
Calcule el valor de "m+n+p"
15. Dado el polinomio
a) 17 d) 11
b) a–5 e) 6a–10
mx5+nx4+px3+x2–8 ≡ (x2+x–2)q(x)
Calcular GR(x).GR(y) a) 95 d) 91
a) a+3 d) 3a+5
21. Dada la identidad
14. Sea el polinomio: a+7 a
20. Si el grado de P(x) es "a+1" y el grado de Q(x) es "a–3", P3 (x) .Q 4 (x) hallar el grado de: ; (a 2 3) P (x) − Q (x)
b) 10 e) 25
c) 15
a+b 2a+4
y
c) 49 4
19. Si Q^x; yh = c 15b x2a y3bm a
Además G.R.(x)=40 y G.R.(y)=12; hallar el coeficiente. a) 16 d) 1
Colegios
14
TRILCE
b) 625 e) 256
c) 81
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente: A
4 2 4 7
P(x;y;z)=7 x y z
[P(x)–Q(x)]º=12 3
B
3 5 4 P(x;y)= n x y + n x y 3 2
G.A.=13
C
[P(x)]º=3 ∧ [Q(x)]º=7
G.R.(x)–G.R.(y)=–1
D
[P(x)]º=9 ∧ [Q(x)]º=12
[P (x)–Q(x)]º=15
5
2. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 3 4 5 6
I. El grado de P(x;y;z)=2 x y z es 18 7 6
9
(
coeficiente.
5 5
GR(x) –GR(Y)=–2
(
)
(
)
IV. Si Q(x) es de grado 38, 619 Q (x) @ º = 2 (
)
3
III. Si P(x) es de grado 25, [P (x)]º=75
6. Si la expresión: 1 2a 2 + a + 7 3 5
3. Completar correctamente
) N (x) = > (x 2 H es de tercer grado, 3a + a + 5 2 (x )
a) Si a=8, b=5 y c=–3, el polinomio 2
3
2b x3a − 5 yb + 2 5 m, a
además G.R.(x)=20 y G.R.(y)=40; hallar el
)
II. En P(x;y)=4x y –7xy – x y ,
3
5. Si M(x;y)= c
2
P(x)=8x –5x –ax +bx +3+c es: 2 11
13
.
hallar "a
2"
10 3
b) El polinomio P(x;y)=3x y –x z+x y es . 5
6 2
c) El polinomio P(x;y)=7x –7xy+12x y –4y es .
3
d) Para m=5 y n=3 los polinomios 3 3 P(x)=7x +3x y Q(x)=(6–n)x+(12–m)x son .
3a+7 9–a
2a
a+4 7+a
7. Sea el polinomio R(x;y)=x y –5x –7x y si se cumple que G.A.(R)=34, hallar G.R.(x)–G.R.(y)
2
4. Calcular a.b si G.R.(y)=14 y G.A.(Q)=59 en Q(x;y)=3 x
5a+8b b+9
y
8. En el polinomio: P (x; y) =− 4x7m − 2 − 7 x6m y 4 − m + 8x7m + 6 y7 − m 2 se tiene que G.R.(x)=20, calcular m +G.R.(y)
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Tercer año de secundaria
15
4
Capítulo
9. Hallar el valor de b–a sabiendo que el grado relativo a "x" es 6 y el grado relativo a "y" es 9: M(x;y)=–x
a–1 b+2
y
a b+1
+2x y
–3x
a+1 b
y
10. Si [P(x)]º=5 y [Q(x)]º=7, hallar el grado de: P7 (x) .Q (x) 6Q (x) − P (x)@2 11. Si el grado de M es 5 y el grado de N es 6, 2 3 calcular el grado de (M .N ) 12. Dado el polinomio homogéneo: n 3 n+1
n m
3 n+1 4
P(x;y;z)=x y z +xy z +x y z Calcular: G.R.(x)+G.R.(y)+G.R.(z)+1 13. El siguiente polinomio está completo y ordenado en forma descendente: P(x)=x
2m–10
+3x
m+n–7
–5x
3n–2p
14. Giovana y Lucía son dos personas muy solidarias por ello cuando su vecino Jesús sufrió un accidente ambas salieron a pedir apoyo económico a sus vecinos. Al final del día, el dinero recaudado por Giovana estaba definido por la expresión a(x–2)+b(x+1) y el dinero recaudado por Lucía estaba dado por la expresión: 5x–25. Hallar a/b si ambas recolectaron la misma cantidad (x: número de vecinos) 15. Las inversiones en Bolsa de "Don Gerónimo Grito de Las Casas" estaban representadas por la 2 2 2 2 expresión: P(x;y)=(9–n)x y+mxy +3x y–2xy (x: activos en moneda nacional; y activos en moneda extranjera). Un "Jueves negro" todos las Bolsas del mundo cayeron y las inversiones de Don Gerónimo se redujeron a nada. Hallar m n 4
Calcular: E = mnp + 1
Tú puedes 1. Universidad agraria 2006 – I Hallar "m", si P(1)+P(0)=200; 3 P(x–2)=(x+2) +3(x–1)+mx+5 a) 8/3 d) –8/5
b) –2/3 e) 5/3
4. UNMSM 2009 – II
c) 2
a) –15 d) 5
2. Universidad agraria 2007 – II 2 Si f(x)=(x–1) +a, entonces f (x) − f (x + 2) será: x a) 4 d) –4
b) 2 e) –2
c) 1
3. UNAC 2006 – I 3
Si F(a)=a–2 y F(a;b)=b +a, halle F(3, F(4)) a) 7 d) 8
b) 6 e) 11
Si el polinomio n+5 n+6 n+7 P(x)=nx +(n+1)x +(n+2)x + ... es ordenado y completo, calcular P(1)–P(–1) b) –12 e) 15
c) 12
5. Villarreal 2008 2
Si f(x+4)=x +3x, halle f(a+1) 2 a) a +3a+4 2 b) a –6a+4 c) 3a–4 2 d) a –3a 2 e) a –3a+4
c) 29
“Quiero, puedo y lo lograré” Colegios
16
TRILCE
Central: 6198-100
Capítulo
Repaso I
5
Problemas para la clase 1. Relacionar correctamente 4
a) (–2) –2
2
4
4
b) (–3) +9
I. 2º
2
2
c) 23 +(–4)
II. 448 2
III. 0
3 24
d) (5.125.625)÷(5 ) a
2
3
4. Reducir: R = = (− 3) .3 3. (−−31) G 27. (− 3) .3
b
3 6 2 5. Reducir: 5− 1 e 5 5. (− −52) o 5 5 .5
IV. 162
c
d 6. Efectuar: y3 .y − 1.y3 .y − 1....y − 1 − y20 14444 244443 20 factores
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) –3
a) 2 =–8
(
)
(
)
c) 2 +2 +2 =2
(
)
3 d) 2(− 5) + 125 = 1
(
)
3
4
2
9
b) (–2) (–2) (–2) =–2 3
5
7
15
x x x 7. Si x =2, hallar ^xx + 2h
x+8 + 2x + 7 + 2x + 5 , hallar 8. Si: A= 2 32.2x
3. Completar correctamente a) En 7
x–8
A+3
=49, el valor de "x" es:
b) Para que se cumpla: 2
x+2
+2
x+1
=48, "x"
debe ser igual a: a
c) Si se verifica que 9 =7
b–2
5
9. Hallar "x" en (3x–2) =32
; el valor de a+b
es:
x
y
x
3
10. En: 2 +4 =72, hallar x +1
2
d) En la siguiente igualdad y =27; y toma el valor de:
11. Relacionar correctamente 2
2
a) x3 .x(− 3) .x3 .x(− 3) ...10 factores
I. (xy)
b) (xy)(xy)(xy)... 30 factores
II. x
0
0
0
0
c) x5 .y7 .x5 .y7 ... 40 factores d)
1 : 1 : 1 ... 1 x − 1 x − 2 x − 3 x − 10
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20
60
a
b
c
d
2 2 15
III. (x y ) 11 5
IV. (x )
Tercer año de secundaria
17
5
Capítulo
12. Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda
3n + 1 + 3n + 2 + 3n + 3 18. Simplificar: 3n − 1 + 3n − 2 + 3n − 3
0
a) x =1, se cumple para cualquier valor real de "x" ( ) b) x5 .x
− 32
(− 3) 2
.x
4 (− 5) 4 − 625
c) (x )
32
d) x2
= x − 13
= 1; 6 x ! R − " 0 ,
= x12
(
)
(
)
(
)
a) 3
7
b) 3
8
d) 3
4
e) 3
3
a) Si 5 b) Si
=5
8x
x
a) 2
b) 16
d) 64
e) 32
20. Si: M = 16 4 el valor de "x" es x
3.2 =2.3 ;
"x" toma
el
valor
5
b+1 b+2 b+3 b+4 Q = 2 b − 1 + 2b − 2 + 2 b − 3 + 2 b − 4 19. Reducir: 2 +2 +2 +2
13. Completar 23
c) 3
de
− 2 −1
indicar M
a) 1/2
b) 1/8
d) 1/16
e) 1/32
c) 1
–1
c) 1/4
6 y.y2 .y3 ... (n factores)@ 21. Simplificar: Q = 2 4 6 8 y .y .y .y ... (n factores) 2
9
3
c) Si (5x+7) =512; x es igual a d) Si
2
3
2
3
23 .32 .23 .32 = 23x .3 4y
; x+y es
14. Si: 128 veces
9 veces
hallar (P − R) P R a) 512
b) 300
d) 518
e) 360
c) 1
2
d) 1
e) yn
c) y
n+1
2
2
b) x +x
2
e) x +3x
a) x –2x d) x –x
2
2
c) x +2x
d) 1/2
e) 5
c) 2
d) 4
e) 8
TRILCE
e) 1/8
c) 1/4
"2a" veces "2a" veces
6 44 7 44 8 6 44 7 44 8 (x.x.x...x)(y.y.y...y) 23. Efectuar: (x (x... (x (x (xy) y) y) ...y) y) 1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 44 3 a) xy
b) 1
a
22 2
a) (m ) –22
c) xy
a
a a
e) x y
11 3
2
–44
b) (m )
c) m
–24
e) m
25. Resolver: 27 y − 3 # 9 y + 1 = 81 y + 9
3
b) 2
d) 8
d) m
2m + 3 # 4m + 2n G 17. Simplificar = m − 2 8 # 16n + 2 a) 16
b) 1/2
23 3 2 2 (− 2) ) 24. Simplificar: (− m ) 3(−− 4m ) (m (m ) (− m − 4) 3
2 2 16. Simplificar 25 # 436 #3 32 30 # 8
b) 1/16
a) 4
d) x y
2
a) 1/4
x+1 −x + 1 x 22. Si x =2 calcular xx + x− x − ` 1j2 2
"2a" paréntesis
15. Si P(x)=x –1, hallar P(x+1)
18
b) y
1
P = 2 # 2 # 2... # 2 / R = 2 + 2 + 2 + ... + 2 1 4444 2 4444 3 1 444 2 444 3
Colegios
n
a) y
c) 6
a) 19
b) 18
d) 12
e) 43
c) 16
Central: 6198-100
Álgebra
26. Resolver: `23 x−4 x+3
6 x−7 3
j = 51227 , luego indicar
a) 5
b) 3
d) 8
e) 6
c) 7
2
a) 2
b) 1/2
d) 3
e) 7
28. Resolver: 2
2
2º semana: 3 –1x4
27. Hallar el valor de 13/60 ^x2h = x1/(m + 2) 8 1 30 / ^x h
37x+13 33x+5
29. En un departamento selvático, una especie de planta se reproduce de forma rara, siguiendo la siguiente secuencia: 1º semana: 1
"m"
que
verifica:
a) 21 d) 26 c) 4
3x + 9
b) 1/4
d) 1/3
e) 1/7
b) 23 e) 27
c) 25
30. Se estima que existen 10 billones de galaxias cada una con 10 billones de estrellas y cada una con 10 planetas girando a su alrededor. De acuerdo con estos datos, ¿Cuántos planetas aproximadamente existen en el universo?
=2
a) 1/2
3º semana: 5 –(1+2)x4 ¿Cuántas plantas habrá la cuarta semana?
c) 1/5
a) 10
21
b) 10
22
d) 10
24
e) 10
25
c) 10
23
Practica en casa 1. Relacionar correctamente 2
2
3. Completar correctamente
2
a) x − 3 .x − 3 .x − 3 ...(15 factores) 1 /2
b) x9
1 /2
.x9
...(18 factores)
–1 2 –3 4
c) x .x .x .x ...(20 factores) 7
d) x . x
–14
a
7
.x .x
–14
b
c
I. x
10
II. x
–135
III. x
–63
...(18 factores) IV. x d
3
4
5
a) 3 − 81
1 − 4−
x
entonces
54
c) Si 12 x
a–5
=13
x+1
b–7
es
+4
, b–a es
x+2
=21; x+9 es
4. Reducir: 3 # 3 # 3... # 3 − 3 + 3 + 3 + ... + 3 1 4 4 44 2 4 4 44 3 1 4 44 2 4 44 3 319 sumandos
20 factores
= 3 3
x+1
x x x b) Si x =2; 8xx + 3B es igual a
d) Si 4 +4 2. Colocar verdadero (V) o falso (F)
6
a) 2 .2 .2 .(–2) =2 ;
(
) 10 veces
7 veces
−1 =5
(
)
6 4 4 44 7 4 4 44 8 6 4 4 44 7 44 44 8 (5 5. Reducir: # 5 # 5 # ... # 25)(1515# 15 # ... # 15) 81 # 5
c) 22 − 6(− 2) 4@ = 0
(
)
6. Efectuar:
b) 625 − 16
− 2−
3
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1
2
63 (3a + 4) 3a + 4 + 3a + 2 − 3a + 3 Tercer año de secundaria
19
5
Capítulo
x+1 x+2 x+3 x+4 7. Reducir: A = 3x − 1 + 3x − 2 + 3x − 3 + 3x − 4 3 +3 +3 +3
−9 8. Calcular: A = ` 1 j 8
− 2−
2x + 3 13. Resolver: 5 4x − 1 5x + 70 75 =7
1
9. Si: 2x + 4 + 2x + 3 + 2x + 2 + 2x + 1 + 2x = 124 , hallar 3x
10. Simplificar: >
1
5
12. Si: R(2x–5)= 2x + 1 + 3 x + 4 , hallar R(3)
4n + 1 n
125 n + 3 .125 3 (n + 3)
H
1 n
x; si "x" es par 14. Si: P (x) = * x + 1 ; si "x" es impar 2 Hallar; P(2) + P(5)
2
11. Hallar "6x"en 2x − 6 .2x − 6 .2x − 6 ... 2x − 6 = 1024 1 444444 2 444444 3
15. Si P(x) = x –2, calcular: P (P (P.....P (2) ...)) 1 4 4 44 2 4 4 44 3 100 veces
12 factores
Tú puedes 1. Universidad Agraria 2007–I Calcular: x+1 x+2 x+3 E = 2x − 3 + 2 x − 2 + 2 x − 1 2 +2 +2 a) 12 b) 14 d) 18 e) 22
4. UNAC 2007 – II Si los números enteros "x" e "y" satisfacen la ecuación: 3x + 1 + 2 y = 2 y + 2 − 3x . El valor de 3 c) 16
2. UNAC 2006 – I Si: x
2 −1 5 x
a) 5 d) 1/125
−2 = 5 ; determine ^x h
b) 1/25 e) 5
c) 3 5
2 ab .ba = 2 2 , entonces el valor de (ab) es:
b) 2
a) 3
b) 1/3
d) 1
e) 9
c) 1/9
5
3. UNAC 2007 – II Si "a" y "b" son números reales tales que: a) 2 d) 8
es:
5. UNAC 2009 – II
1 + 2x1+x
x
Si x =2, entonces F = xx a) 2
12
b) 2
16
d) 2
8
e) 2
18
es igual a: c) 2
24
c) 4
e) 2 2
“Equivocarte no es fracasar; el mayor fracaso es no intentarlo” Colegios
20
TRILCE
Central: 6198-100
x
Capítulo
Productos Notables
6
Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F)
8. Reduzca: (x+y)(x–y)(x2+y2)(x4+y4)+y8
(x+12)(x–10)=x2+2x+120
I. II. (x+3)(x+3)=x2+9 III. (x+5)2–(x–5)2=20x
IV. (x+4)(x2–4x+16)=x3+64 a) FFFV d) VVVF
b) FVFV e) VVVV
c) FFVV
2. Reducir T=(x+2)2–4x–x2 a) 1
b) 2x
d) 4
e) 6x
c) x2
3. Efectuar: M=(x+3)(x–3)+9 a) 1
b) x2
d) 6x
e) 3
c) 18
b) 12
d) –12
e) 1
b) 2x2–34
d) 2x2–16
e) 6x
b) 32
d) 2
e) 8
2
9. Reduzca: (x+1)(x2–x+1)+(x–1)(x2+x+1) a) 1
b) 2
c) x
d) x3
e) 2x3
10. Reduzca: P=(3x+2y)2+(2x–3y)2–13y2 a) x2
b) 2x2
d) 20x2
e) 11x2
11. Relacionar correctamente 3
I. x –27
2
II. 16x
2
c) 2x2
3
c) (x–3)(x +3x+9) 2
d) (x+4) –(x–4)
a
c) 12
c) 13x2
III. x +27
2
2
IV. 2(x +16)
b
c
d
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) 2
a) (x+12)(x–10)=x +2x+120 2
b) (x+3)(x+3)=x +9 2
2
c) (x+5) –(x–5) =20x c) 21
2
2
2
d) (x+5) +(x–5) =2(x +25)
(
)
(
)
(
)
(
)
13. Completar a) (x+1)(x–9) =
2
b) (x+7)(x–7) = 2
c) (x+4)(x –4x+16) =
a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
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e) x8+y8
2
7. Reduzca: (x + 6) − (x − 6) 2x
d) y8
b) (x+4) +(x–4)
6. Si: a+b=6 y ab=2, determinar el valor de "a2+b2" a) 16
c) x8
2
5. Reducir: T=(5+x)(5–x)+(x+3)(x–3) a) 16
b) x4
a) (x+3)(x –3x+9)
4. Efectuar N=(x+3)(x–4)–x2+x a) 6x
a) x2
c) 12
2
2
d) (x+2) +(x–2) = 2
2
e) (x+2) –(x–2) =
Tercer año de secundaria
21
6
Capítulo
14. Reducir :
21. Si x+y=13
A=(x+8)(x–3)+(x+7)(x–5)–2(x+4)(x+6) a) 13x+107
b) –13x+107
c) 13x–107
d) –13x–107
2
II. x–y a) 149; ! 129
e) –13x+7
b) 149; 129
15. Calcular: M=(x+4)(x–4)+(x+5)(x–5)–2(x+3)(x–3) a) –12
b) –16
d) –14
e) –23
c) –20
c) 149; − 129 d) 140; 10 e) 149; –129 22. Si se cumple: 3
16. Reducir
x = 8; x ≠ 2
2
2
2
2
3
(x+3) –(x+4) +(x–1)(x +x+1)–(x+1)(x –x+1)
y = –1; y ≠ –1
a) –2x–7
b) –2x–5
Hallar el valor de: (x + 2x + 3)(2y – 2y +5)
d) –2x+7
e) –2x–9
c) –2x+5
17. Hallar E = 8 (x + y) (x − y) (x2 + y2) (x 4 + y 4) + y8 ^x 2 0h a) x d) x
b) x 2
y
c) y
e) 8x
2 1000
2
(2ab)
d) 10
b) 10
8
e) 4
c) 1
2000
19. Si x=2012, hallar B 2
4
2
2
4
2
B=(x +1)(x –x +1)(x –1)(x +x +1)–x a) 2011
b) 2010
d) –1
e) 2013
20. Hallar N=
N , para x=2, y=3, si:
6^x + yh2 + ^x − yh2@2 2 22 − ^x − y h 4
a) 12
b) 16
d) 20
e) 4
Colegios
c) 1
TRILCE
c) 8
a) –3
b) 4
d) 7
e) –6
2
c) –5
2
23. Si (a+b+c+d) =4(a+b)(c+d), encontrar 4 (c + d)
625a + b
a) 4
b) 3
d) 25
e) 5
c)
5
24. Tano estaba reflexionando y se dio cuenta de que si al cuadrado de los meses transcurridos del año se le suma uno y a este resultado lo dividimos con dicho número de meses se obtiene dos. ¿Cuántos meses han transcurrido?
2h ^ 2 2h ^ 2 R = = a + b − 2a − b G
a) 1000
2
T=
x
18. Calcular:
22
2
I. x +y
xy=10, calcular
a) 2
b) 3
d) 1
e) 7
c) 4
12
25. La suma de las edades de tres hermanos es 8, una vecina curiosa observa además que la suma de sus cuadrados es 26. ¿Qué resultado obtendremos si sumamos los cuadrados de la suma de estas edades tomadas de 2 en 2, sin repetición? a) 90
b) 80
d) 60
e) 50
c) 70
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente 2
a) (x+3)(x–12)
b) (x+8)
6. Reducir 2 2 2 2 (x+5) –(x+8) +(x+2)(x –2x+4)–(x–2)(x +2x+4)
I. x +16x+64
2
2
II. x –9x–36
2
c) (x+8) –(x–8) 2
2
2
III. 2(x +64)
d) (x+8) +(x–8) a
2
b
7. Hallar "K"
IV. 32x
c
2
2
(
)
2
3
(
)
b) (x–5)(x +5x+25)=x +125
2
2
4
8
8
16
x y 2 x y 2 8. Calcular: S = (e + e ) x− (ey − e ) 2e .e
3
a) (x+5)(x –5x+25)=x –125
2
4
d
2. Señalar verdadero (V) o falso (F)
2
2
K = 16 (a + b) (a − b) (a + b ) (a + b ) (a + b ) + b
2
(
)
d) (x+9) –(x–9) =36x
(
)
c) (x+9) –(x–9) =2(x +81)
9. Si x=1000000, hallar M M = (x3 + 1) (x6 − x3 + 1) (x3 − 1) (x6 + x3 + 1) − (x18 + 1)
10. Hallar T,
3. Completar a) (x+11)(x–7) =
T =;
2
(x + y) 2 − (x − y) 2 E 2 2 − 4x (y + 3) 2
b) (x+11)(x–11) = 2
c) (x+12) = 2
2
d) (x+6) –(x–6) = 2
e) (x+8)(x –8x+64) =
11. Si A + B = 15 / AB = 36 , calcular 2
I. A +B II. A–B
2
4. Reducir: M=(x+9)(x–4)+(x+8)(x–5)–2(x+8)(x+7)
5. Calcular: R=(x+7)(x–7)+(x+8)(x–8)–2(x+6)(x–6)
www.trilce.edu.pe
12. Si x + 1 = 6 , hallar H x –2 –1 2 H= x +x +x+x
2
13. Si (m+n+p+q) =4(m+q)(n+p), encontrar Q=
4 (m + q)
81n + p
Tercer año de secundaria
23
6
Capítulo
14. Si elevamos al cuadrado la temperatura de una cuidad y le sumamos la inversa de dicho resultado, obtenemos dos. ¿Cuál es la temperatura de la ciudad?
15. Elisa divide los años que ha vivido entre los meses del año que ya han transcurrido y a este resultado le suma el inverso de dicha división, notando con sorpresa que obtiene dos. De lo anterior podemos afirmar que: a) años vividos =meses transcurridos b) años vividos >meses transcurridos c) ha vivido 13 años d) ha transcurrido 9 meses del año e) no podemos afirmar nada
Tú puedes 1. UNMSM 2005 – II
3. Universidad Agraria 2010 – I
Si se satisfacen:
Calcular E
x+y= 5
E=
xy=2
b) 1 e) 2/3
c) 1/3
Simplifique: M = (a + b) 2 − (a −2 b) 2a + 2b a) 6ab d) 4ab
5 − 24 3− 2 b) 4 e) 16
c) 6
4. Sean "a" y "b" números reales tales que a+b=5 3 3 y ab=1. Hallar a +b a) 120 d) 110
2. Villarreal 2009 4
5 + 24 + 3+ 2
a) 2 d) 8
y Hallar: + x x y a) 1/2 d) 3
2
b) 124 e) 125
c) 100
5. UNAC 2008 – I
4
2
b) a +b e) 2
2
2 2 Si: (x + 1) − (x − 1) = 1, entonces el valor de (x + 1) (x − 1)
c) ab
x 4 + 14 es x a) 324 d) 320
b) 318 e) 322
c) 300
“Cada obstáculo es una oportunidad, supéralo y sé un ganador” Colegios
24
TRILCE
Central: 6198-100
Capítulo
División algebraica
7
Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F), al dividir: 4
3
2
x –2x + x + x–1 x 2 –x + 1
5
II. El grado del cociente es igual a 2 III. El dividendo es un polinomio de grado 4 b) VFF e) FFF
c) VFV
4 3 2 2. Dividir: x + 4x2 + 6x –7x + 2 x + 2x + 1
b) 11x+1 e) 5
c) –11x+1
3. Efectúe la siguiente división
y determine la suma del cociente con el residuo –x2–3x+4 –x2–15x–4 x2+6x–13
b) x2–15x+4 d) –x2–15x+4
4. Determine el residuo de la siguiente división 4
x +4 2 x − 2x + 2 b) x–1 e) 0
c) 2x–1
a) 2 d) 3
b) –6 e) –2
90
+7 b) –2 e) 5
c) 2
9. Hallar el resto 30
40
45
10
x +x +x +x +4 x5 + 1 b) 4 e) 10
c) 6
10. Hallar "a", si el residuo es 9 en 3
2
x + x + 3x + a x−1 a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
c) 7
2
b) –3 e) –5
2
3
6x + 2x + 11x − x + 5 3x + 2x 2 + 1
hallar "m+n+p"
4x + 4x − 11x − 6x − 6 2x − 1
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(x − 3) (x + 7) x+6
2
6. Señale la suma de coeficientes del cociente, al dividir
a) –2 d) –4
8. Hallar el resto en
mx +nx+p,
2
3
c) 3
Se obtiene un cociente igual a:
x + 4x − x − 5x + 4 x+2
4
b) 2 e) 5
4
5. Hallar el resto de la división 3
2
11. Después de dividir:
a) x+1 d) 2x+1 4
a) 1 d) 4
a) 2 d) 8
10x5 + 3x 4 − 17x3 − x2 − 5 2x3 + 3x2 − x − 2 a) c) e)
3
a) 7 d) 4
Indicar el resto a) –10x+1 d) 10x–2
4
15x − 14x + 9x − 5x + 4x + 1 3x − 1
I. Se aplica la regla de Horner
a) VVV d) FVF
7. Hallar el término independiente del cociente, luego de efectuar la división:
c) –3/2
a) 2 d) –2
b) 3 e) 0
c) 5
12. Hallar "ab", en la siguiente división exacta 4
3
2
3x + x − 2x + ax + b 3x 2 + 4x + 5 a) 45 d) 56
b) 36 e) 63
c) 42
Tercer año de secundaria
25
7
Capítulo
13. Calcular "a–b", si la división 4
3
20. Hallar "m/n", si la división
2
4
12x − 12x + 13x + ax − b 2x 2 − 3x + 5 dejo residuo 4x+5 a) 33 d) 10
b) 16 e) 13
c) 15
3
2
3x + 7x − 3x + 10x − 19 ; calcular Q(1) 3x − 2 a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
b) 176 e) 100
c) 17
16. Determine el valor de K para que el coeficiente del término lineal del cociente sea igual a –21 en la división 5
3
2
3x − 15x + Kx + 5 x−2 a) –12 d) –21
b) –15 e) –23
c) –18
17. Halle el resto de: (2x − 3)11(x + 3) (x − 3) (2x − 3) (x − 2) a) –4 d) –10x+15
b) –5 e) 6
c) 3
6
5
4
3
2
x + 2x − 2 3 x − 2 3 x − 2x + 1 x− 3 a) 0 d) 4
b) 1 e) 5
c) –3
(x − 3) 80 + (x − 4)15 + 6 (x − 3) (x − 4) a) 2x+1 d) 2x+3
b) 2x–1 e) 2x+6
c) 2x–3
23. Halle el resto de la siguiente división 10
4
3
3x + 5x + 6 x + 4 x − 3 x2 − x + 1 a) 4x+9 d) –4x–3
b) 4x–9 e) 5
c) –4x–9
4 3 2 24. Al dividir: 6x + ax + bx + cx + d se obtiene un 3x (x + 2) − 1 cociente cuyos coeficientes son números enteros
Calcular: a–b+c–d c) 10x+15
a) 23
b) 19
d) 6
e) 13
c) 12
25. Dado el esquema de Horner de una división algebraica
6x1000–17x562+12x+26 se divide entre x+1 b) 6 e) 3
b) 2 e) 5
consecutivos y un resto igual a 2x+7.
18. Calcule el residuo cuando
a) 7 d) 4
a) 1 d) 4
22. Halle el resto de:
15. Calcular el valor numérico del polinomio P(x)=4x5–10x4+6x3+5x2–16x+13 para x=2 a) 1762 d) 181
2
21. Determine el residuo de la división
14. Si Q(x) es el cociente obtenido al efectuar 4
3
mx − 8x − nx + 14x − 8 es exacta 3x 2 + x − 2
c) 5
* 3 a
*
* *
* * *
19. Sea P(x)=x3+5
Si: R1(x) es el resto en P (x) x−1
*
*
*
* * * b
a
1
4 * 8
* 2
Calcule el mayor valor de a2+b2
R2(x) es el resto en P (x) x−2 R3(x) es el resto en P (x) x−3 Halle el valor de
a) 1 9
b) 27 9
d) 1 81
e) 2
c) 82 9
T=R1(x)+R2(x)+R3(x) a) 50 d) 51 Colegios
26
TRILCE
b) 27 e) 55
c) 105
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 1. Relacionar las columnas correctamente:
4
2
A q(x)=x +2x+4
2
3
B R(x)=4
2
C q(x)=x–2
2
D R(x)=8
(x –4)÷(x+2) (x –8)÷(x–2) (x +2x–4)÷(x–2) (x +4)÷(x–2)
2
8. Después de dividir: 16x −24x + 4x − 1 4x − 2x − 1 2 Se obtiene un cociente igual: ax +bx+c, hallar "a+b+c" 3 2 9. Calcular el resto en: 6x + 5x − 5x + 9 3x + 1 25
3
3
10. Hallar el resto: x − 5x + 2x − 3 x−1
2. Complete correctamente 2
a) Al dividir (x +3x+1)÷(x–1) el residuo obtenido es 2
b) Al dividir (x –3x+2)÷(x–2) el cociente obtenido es 2
c) Al dividir (2x +x–3)÷(x–2) el residuo
4
3
2
11. Si la división: x + 3x 2+ 4x + ax + b x +x+1 Es exacta, hallar "a+b" 12. Hallar "R(x)" en: x
2011
2010
− 6x + 2x − 9 x−6
obtenido es 2
d) Al dividir (x +4x+3)÷(x+3) el cociente es
Determinar cociente.
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) al dividir 2 (x +4x+1)÷(x+2) a) El cociente es igual a (x+2)
( )
b) El residuo es igual a "–3"
( )
c) Se emplea el método de Ruffini
( )
d) El grado del cociente es igual a 2
( )
4. Hallar el cociente en la división 4
3
12
9
6
3
13. En la división: x − 3x +35x − 2x + 4 x −2 el
término
independiente
del
14. Una mamá decide repartir, en partes iguales, 6 2 (x –2x +5x+9) soles entre sus (x–1) pequeños hijos, al hacerlo, sobró cierta cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero quedó?
2
x − 2x + x + 3 x − 2 x2 − x + 1 5. Hallar el residuo en la división 3
2
x − 2x + 3x − 7 x−2 6. Hallar el cociente en la siguiente división 4x 3 + 4x 2 + 7x + 9 2 2x + x + 3 5
4
15. Por Navidad un supermercado reparte 6 4 P(x)=(x +2x +5x–b) panetones, en forma equitativa, entre las (x–2) madres que asistían a la celebración. Hallar el valor de "b" sabiendo que sobraron 70 panetones.
3
7. En la siguiente división: 2x + x3 + 3x − 3x + 1 x − 2x − 1 Indicar la suma de coeficientes del cociente
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Tercer año de secundaria
27
7
Capítulo
Tú puedes 4
3
2
1. Si la siguiente división mx + nx2 + 5x + 4x − 4 x +x+2 Es exacta; halle "m+n" a) 6
b) 7
d) –1
e) 3
c) 8
2. Hallar el residuo en:
4. Halle la suma de coeficientes del resto al dividir 131
x
4
− 4x + 1 x2 − x + 1
a) 7
b) 6
d) 4
e) 3
c) 5
5. Calcule el resto en la división:
3
x (x + 1) (x + 2)
8
4
2
3x − 28x − 5x + 4 x2 + 3
a) 7x+6
b) 6x+3
d) 6x–7
e) 3x–7
c) 7x+3
a) 4
b) 5
d) 8
e) 10
c) 6
3. Luego de dividir 5
4
(x–6) +(x–4) –3x+7÷(x–4)(x–6) Se obtiene un resto igual a : –ax+b, hallar a−b a) 7
b) 9
d) 8
e) 4
c) 10
“No triunfa el más inteligente, sino el que más persevera hasta vencer los obstáculos” Colegios
28
TRILCE
Central: 6198-100
Capítulo
8
Factorización I Problemas para la clase 6. Factorizar:
1. Dado el polinomio factorizado: P(x)=6(x+1)3(2x–1)5(x2+1)8
P(x)=x4–81
responder verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
dar como respuesta el número de factores primos lineales.
I. Posee tres factores primos
a) 1
b) 2
II. Tiene dos factores primos cuadráticos y un lineal.
d) 4
e) 0
III. El factor primo que más se repite es x2+1 a) VFV
b) VVF
d) FFF
e) VVV
c) FVV
2. Factorizar: P(x;y;z)=xy+xz
a)
d) y
b) x+z
c) z
3. Factorizar: M(x;y)=x3y2–x2y3 dar como respuesta el número de factores primos b) 2
d) 4
e) 5
Q(a;b;c)=(a+b)2–c2 dar como respuesta un factor primo. a) a+b
b) b–c
d) a–b+c
e) a
c) 3
dar como respuesta la suma de sus factores primos. a) 2x–5
b) 2x+5
d) 2x–3
e) 2x+3
c) 2x+1
9. Factorizar: P(x)=x2–25 Q(x)=x2–8x+15 Indique el factor común obtenido
4. Factorizar: ax+by+ay+bx
a) x+5
b) x–5
dar como respuesta un factor primo.
d) x–1
e) x–2
a) x+a
b) xy
d) ax–by
e) x–y
c) a+b
c) x–3
10. Después de factorizar: 2
2
m (n+p)+p (n+p)–n–p; indicar el factor trinomio
5. Factorizar: N(a;b)=a2+ab+bc+ac
2
a) m +p
dar como respuesta un factor. a) a–c
b) b2+a
d) a–b
e) b+c
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c) a+b+c
A(x)=x2–3x–4
e) y+z
a) 1
7. Factorizar:
8. Factorizar:
un factor primo es: x2
c) 3
2
2
2
c) m –p +1 c) a+c
2
b) m+p d) n+p
2
e) m +p –1
Tercer año de secundaria
29
8
Capítulo
11. Factorizar: 3
19. Si el polinomio cuadrático:
2
2
3
f(y)=a –a y+ay –y ,
Q(x)=AX2+BX+A
indicar un factor primo
Se factoriza sobre Z en la forma
2
a) a
b) a +y
2
c) (a–y)
2
3
d) a+y
e) a +y
Calcule el valor de m+n
12. Indicar cuantos factores primos tiene: 3
2
P(x)=x +x –x–1 a) 2
b) 3
d) 4
e) 5
c) 1
4
3
2
Indicar el número de factores de primer grado a) 2
b) 1
d) 4
e) 0 2
14. Factorizar: 16x –(y+x)
c) 3
c) (3x–y)(5x+y)
e) –2
c) 3
20. Indique cuántos factores primos admite el siguiente polinomio
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
21. Luego de factorizar: P(x)=ab(x2+m2)–mx(a2+b2); ab≠0
a) m2
b) abm
d) (5x–y)(3x+y)
m3
am2
8
15. Uno de los factores primos de: N(x)=x –1 2
a) x –1
b) x –1
c) x–1
d) x+1
e) Hay dos correctas
16. Factorizar: 3 5
5 2
d)
e)
c) m
22. Determine el número de factores primos de la siguiente expresión: M(a;b;c)=(a2+b2–c2)2–(2ab)2 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
23. Determine el número de factores primos de:
T(a;b)=6a b +9a b +12a b , indicar el número de factores primos
P(x)=(x2+7x+5)2+3x2+21x+5
a) 1
b) 2
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
d) 4
e) 5
c) 3
17. Al factorizar: 2
2
2
x–y–x y+xy +x –2xy+y
c) 3
24. Determine el número de factores primos lineales de la siguiente expresión polinomial
2
Indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos
F(m;n)=(m+n)4(m–n)–(m–n)4(m+n) a) 2
b) 3
a) 3
b) 5
d) 5
e) 1
d) 4
e) 1
c) 0
f(a;b)=–4a2b2+(a–a2–b2)2 a) 4
b) 0
d) 2
e) 5
Colegios
TRILCE
c) 4
25. Dado el polinomio
18. Halle el número de factores primos del siguiente polinomio:
30
d) 4
b) (4x+y)(3x–y)
e) (3x–y)(6x+y)
2 2
b) 2
Iguale a cero el factor y despeje x en cada caso. Halle el producto de los valores obtenidos de x
2
a) (4x+y)(4x–y)
4
a) 1
P(x;y)=(xy)2+1–x2–y2
13. Luego de factorizar: H(a)=6a –5a –6a
Q(x)=(mx–2)(nx–1)
c) 6
F(x)=(x+1)(x–5)(x+3)(x–3)+35 Halle el término independiente de uno de sus factores primos a) 10
b) –2
d) 1
e) 5
c) –4
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Álgebra Practica en casa 1. Relaciona correctamente: 2
6. Después de factorizar 2 2 x (y+z)+z (y+z)–y–z, indicar el factor trinomio
2
A a(a–b)
2
a –8a+16
B (a+4)
2
C (a–b)(a+b)
2
D (a–4)
a –b
a –ab a +8a+16
2. Completar correctamente 2 a) Al factorizar (9y –4)
7. Indicar cuántos factores primos tiene 3 2 Q(y)=y +y –4y–4
2
2
se
4
4
8. Después de factorizar: P(x)=y –2 , indicar el factor primo cuadrático. obtiene
2
b) Al factorizar (3x +19x+6) se obtiene
4
4
9. Factorizar: (a+b) –(a–b) , luego indicar un factor primo cuadrático 2
c) Al d) Al
factorizar
2
(6a –12a) 2
factorizar
2
(x –2xy+y )
se se
obtiene obtiene
2
3
2
11. Luego de factorizar: M(x)=12x –25x +12x, indicar la suma de sus factores primos de primer grado
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), al factorizar 2 2 F(x)=(x –3x–10)(x +5x–14) a) El polinomio f(x) posee 4 factores primos ( ) b) Uno de sus factores primos es (x–7)
2
10. Al factorizar: P(a; b) = a–2b–2a b+4ab +a – 2 4ab+4b , indicar la mayor suma de coeficientes en uno de sus factores primos.
( )
6
3
12. Factorizar: x –2x +1, indicar la cantidad de factores primos obtenidos 2
2
c) La suma de sus factores de primer grado es 4x+2 ( )
13. Factorizar: y –4y+4–4x , e indicar el número de factores primos obtenidos
d) Existe un factor primo de segundo grado ( )
14. La velocidad esta dada por la siguiente fórmula 2 d=V×t, si un auto recorre (x +5x–14)m en (x–2)seg. Hallar la velocidad cuando x es 2.
4. Factorizar: 2 N(x)=(3x +2x)(x–5)+(5x+7)(x–5)–5x+25, indicar el número de factores primo 4
2
5. Factorizar: 4a –101a +25, señalar e indicar la suma de sus factores primos.
15. El volumen de un depósito esta dada por 3 2 V(x)=x +4x –5x; si el área de la base es igual a x(x–1), hallar la altura cuando x=3
Tú puedes 8
4
1. Factorizar: x –5x +4, indicar la suma de factores primos de primer grado a) 3x d) x+2
b) 2x e) 3x+1
c) 2x+2
2. Determinar el número de factores primos al 12 8 4 4 8 12 factorizar P(a;b)=a –a b –a b +b a) 3 d) 7
b) 4 e) 8 3
c) 6 3
3. Al factorizar: (m+n) –(m–n) , se obtiene un 2 2 factor primo de la forma: am +bn , hallar "a+b" a) 3 d) 2 www.trilce.edu.pe
b) 4 e) 7
4. Halle la suma de los factores primos de: 4 2 2 2 2 22 P(x)=x –2(a +b )x +(a –b ) a) x
b) 3x
d) 6x
e) 7x 8
6
c) 4x
2
5. Factorizar: x –x –x +1, indicar el número de factores primos a) 2
b) 4
d) 6
e) 8
c) 5
c) 5
Tercer año de secundaria
31
9
Capítulo
Factorización II Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) en: I. El método del aspa doble especial se aplica para factorizar polinomios de cuarto grado
f(x)=2x3+kx2+px+6 Indique la alternativa que no es una PRR
II. Para factorizar polinomios de grado superior se utiliza el método de divisores binómicos
a) − 1 2 d) 3 2
III. Al factorizar un polinomio por el método del aspa doble siempre se obtiene dos factores primos IV. Al factorizar un polinomio por el método de divisores binomicos se obtiene al menos un factor lineal a) VVF
b) VVV
d) VFF
e) FFF
c) VFV
2
2
P(x;y)=x –2xy+y –3x+3y+2, luego indicar un factor primo a) x+y–2
b) x–y+3
d) x–y+1
e) x–y
c) x–y–1
3. Luego de factorizar por el método del aspa doble se obtiene el siguiente esquema: 2
2
P(x)=6x +cxy+6y +ax+by+2 3x 2y 2 2x 3y 1 Hallar "a+b+c" a) 20
b) 21
d) 26
e) 28 4
3
c) 27
2
4. Factorizar: x +2x +6x +5x+6, hallar la suma de coeficientes del factor primo con mayor término independiente a) 5
b) 7
d) 8
e) 2 4
3
c) 3
b) 1
d) 4
e) 3
Colegios
TRILCE
c) –6
e) 1 4
7. Factorice el siguiente polinomio P(x)=x3–11x2+31x–21 a) P(x)=(x–1)(x–2)(x–3) b) P(x)=(x–1)(x–3)(x–7) c) P(x)=(x–2)(x–5)(x–6) d) P(x)=(x–3)(x–4)(x–11)
8. Halle la suma de los factores primos de: P(x)=x3–13x+12 a) 3x–12 d) 3x+8
c) 2
b) 3x e) 3x–2
c) 3x+12
9. Luego de factorizar el polinomio P(x)=x3–2x–1 se obtiene un factor primo cuadrático f(x). Determine el valor de f(3) a) 2
b) 3
d) 7
e) 5
c) 4
10. Al factorizar a4+2a2+9, indicar el número de factores primos de primer grado. a) 3
b) 4
d) 1
e) 2
c) 0
11. Al factorizar por el método del aspa doble el polinomio P(x); se tiene: 2
2
P(x)=15a +19ab+6b +5a+4b–10 3a
2
5. Factorizar: x +x –7x –4x+6, e indicar el número de factores primos de primer grado. a) 0
b) 3
e) P(x)=(x–5)(x–6)(x–12)
2. Factorizar:
32
6. Dado el polinomio:
nb
–2
ma 3b Hallar "m+n+p"
p
a) 10
b) 8
d) 12
e) 14
c) 15
Central: 6198-100
Álgebra 12. Si(x+1) es un factor primo del polinomio: 3
2
P(x)=x +x +ax–4, hallar "a" a) 3
b) –2
d) –4
e) 5
c) 2
13. Si (x+2) es un factor del polinomio P(x)=x3–5x+a, entonces determine su factor primo de mayor término independiente. a) f(x)=x–2
b) f(x)=x–4
c) f(x)=x2–2
d) f(x)=x2–2x–1
e) f(x)=x2+2x–1 14. Luego de factorizar la expresión x4+2x3–2x–1 Calcule la suma de sus factores primos a) 2
b) 2x
d) 2(x+1)
e) –2
c) –2x
15. Luego de factorizar el polinomio P(x;y)=6x4–7x3+2x2+13x2–8x+6 se obtiene como factores primos (ax2–x+3) y (bx2+cx+d) Halle el valor de abcd a) –36
b) –30
d) –12
e) –25
c) –24
16. Luego de factorizar el polinomio f(x)=x4+x2+1 se obtiene M(x)=(ax2+bx+c);a≠0 como un factor primo. Determine el mayor valor de a+b+c a) 5
b) 4
d) 2
e) 1
c) 3
17. Del polinomio P(x)=x3+4x2+4x+3, se puede afirmar que: a) Tiene 3 factores primos b) Es primo c) La suma de coeficientes de un factor primo es 5 d) Tiene un factor primo cuadrático e) x–3 es un factor primo
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18. Factorice los polinomios P(x)=x4+4 Q(x)= x4+x3–2x e indique la suma de los factores primos no comunes a) 2x2–x+3
b) x2+3x+2
c) x2+1
d) x2–3x–2
e) x2+3x–2 19. Si n representa la cantidad de PRR de P(x)=x8+5x2–8 y m representa la cantidad de PRR de Q(x)=7x3+2x2–x–7, calcule mn a) 10
b) 6
d) 80
e) 48
c) 60
20. Se sabe que –1 es una raíz de R(x)=9x5+27x4+15x+k calcule el valor numérico de R(k) a) 48
b) –48
d) –42
e) 0
c) 42
21. Indique el número de factores primos de P(x)=x5–5x4+10x3–10x2+5x–1 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
22. Sea G(x)=x5–5x4+10x3–10x2+5x–1 Indique el factor primo de menor grado a) x2–x+1
b) x2+x+1
d) x2–x–1
e) x2+x–1
c) x2+1
23. Halle la suma de factores primos del polinomio M(x)=(x–7)3–6(x–7)+11x–83 a) 3x–27
b) 3x–6
d) x2+x–4
e) 3x
c) x2+2x–6
24. Al factorizar sobre Z el polinomio R(x)=ax3+13x2+bx+c, se obtiene R(x)=(2x+c+3)(3x–1)(x+2). Determine el valor de (a–5)2+b2+(c+1)2 a) 14
b) 38
d) 1
e) 3
c) 13
25. ¿Cuántos factores primos tiene el polinomio f(x)=(x–1)5+x? a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Tercer año de secundaria
33
9
Capítulo
Practica en casa 1. Relaciona correctamente: Polinomio a factorizar
Método a emplear
2
x –4 3
x –5x+4 2
2
x +3xy+2y +5x+8y+6 4
3
2
x –3x –2x –3x+1
A
Aspa doble
B
Aspa doble especial
C
Diferencia de cuadrado
D Divisores binómicos
2. Completar correctamente, con respecto al método de divisores binómicos se tiene : 3
2
a) El polinomio P(x)=x –3x +2x–4 tiene como posible ceros: .
4
3
2
6. Factorizar: x +3x +8x +10x+8, hallar la suma de coeficientes del factor primo con mayor término independiente.
3
b) El polinomio Q(x)=x –3x+6 tiene como posibles cero: . 3
c) El polinomio R(x)=x –2x+5 tiene como posibles ceros: . 3
d) El posible N(x)=x +4x–8 tiene posibles ceros: .
2
( ) 4
b) (x+2) es un factor del polinomio 3
2
Q(x)=x +3x +x–2
2
8. Al factorizar: (x–3)(x+1)(x–4)(x+2)–14, indicar la mayor suma de coeficientes de un factor primo
a) (x–4) es un factor del polinomio 3
3
como
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) P(x)=x –4x +3x–12
4
7. Factorizar: x +5x +7x –x–2, indicar el número de factores primos de primer grado.
( )
2
9. Al factorizar: b +4b +16, indicar el número de factores primos de primer grado.
c) (x–1) es un factor del polinomio 3
2
M(x)=x +2x –2x–1
( )
d) (x+3) es un factor del polinomio 3
2
N(x)=x +3x –2x+6
( )
4. Factorizar: 2 2 x +2xy–3y +3x+y+2, indicar la mayor suma de coeficientes de uno de sus factores primos
10. Al factorizar por el método del aspa doble el polinomio Q(x; y); se tiene el siguiente esquema 2 2 10x +14xy+by +10y+16x+6 5x
cy
3
ax
2y
d
hallar "a+b+c+d" 3
3
5. Factorizar: x –13x+12, dar la suma de factores primos de primer grado
Colegios
34
TRILCE
2
11. Al factorizar: x –6x +11x–6, indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos
Central: 6198-100
Álgebra 12. Si (x+2) es un factor primo del polinomio 3 2 Q(x)=x –2x +ax–6, hallar "a"
13. Indicar el factor primo cuadrático de menor suma 4 2 de coeficientes, al factorizar: N(x)=x +x +25
14. Al factorizar un polinomio por aspa doble se obtiene el siguiente esquema: 2 2 10x +32xy+24y +41x+54y+21 x
y
x
y
Si los coeficientes que faltan colocar son números consecutivos del 2 al 7, indicar la suma de coeficientes de uno de los factores primos
15. Un dentista descubre una fórmula que deduce la cantidad de caries que posee una persona a partir del número de veces que dejó de lavarse los dientes antes de dormir. La fórmula es: 2 P(x)=x +5ax (x: número de veces que no se lavó los dientes). Hallar "a" si María dejó de lavarse una vez y tiene 6 caries.
Tú puedes 1. Si P es un polinomio factorizable 4 3 2 P(x)=3x +7x +13x +2x+20, halle la suma de los factores primos a) 4x +x+5
2
b) 4x +5x+3
2
2
d) 4x+x+10
c) 4x +x+9 2
e) 4x +10x+5 2. Determinar un factor primo de P(x;y) 2
2
P(x;y)=15x –2xy–y +47x+3y+28 a) 5x–y
b) 5x+y
d) 5x–y–4
e) 5x–y+4
c) 5x+y+4
5
4. Factorizar x +x+1, e indicar el número de factores primos. a) 1
b) 3
d) 4
e) 5
c) 2
5. Si H es un polinomio factorizable definido por 2 2 H(x;y)=6x +15xy+9y +10x+12y+4, sume los factores primos y determine el coeficiente de la variable "x". a) 1
b) 8
d) 5
e) 6
c) 3
3. Determinar el valor de "a" para que: 4 3 2 P(x)=x +ax +7x +6x+9, tenga raíz cuadrada exacta. a) 1
b) 2
d) 4
e) 7
c) 3
“La vida tiene una meta: ¡Trata de llegar a ella!” www.trilce.edu.pe
Tercer año de secundaria
35
10
Capítulo
Fracciones Algebraicas Problemas para la clase
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) 3 esta definida sólo si x ! 2 I. x−2
7. Simplificar: a)
II. x − 2 no es una fracción algebraica. 5
2
x + 7x + 10 (x2 + 7x + 10) + (x + 5)
1 x+5
b) 0
d) x + 2 x+5
III. − 5 equivale a la fracción 5 X−2 2−x c) VFF
e) x + 2 x+3
8. Efectuar: `1 − x j`1 + x j a+x a
a) FFF
b) FFV
d) VFV
e) VVV
a) 2
b) x
2
d) 1
e) 2
2. Simplificar: F = a + ab a+b a) b d)
b) ab
a2
e)
2
c) a
a) x+1
b) x–1
d) 1
e) 2
2
3. Simplificar: x 2 − x x −1
10. Reducir: M =
x x−1
b)
d)
x x+1
e) 1
1 x+1
c)
b) 2
d) –1
e) 3
2 x+3
b)
d) –1
e) x + 1 x+3
b) –1
d) x x+1
e) 2
Colegios
36
TRILCE
c) x
a−b − b−a a−b+c b−a−c c)
b) 0
a a−b+c
e)
1 a−b+c
a−b a−b+c
2
2
11. Efectuar: 22x + x − 3 + x 2+ 10x + 9 x + 3x − 4 x + 5x + 4 c) –2
a) –3
b) –2
d) 1
e) 0
c) 3
2 2 12. Multiplicar: e x2 + 5x o . c x − 5x m x+1 x − 25
c) 3
a)
2
x x+1
d) x − 5 x+1
6. Reducir: (x − 1) (x − 2) (x + 1) (x + 1) (1 − x) (2 − x) a) 1
a) 1 d)
5. Efectuar: 4x + 11 + x − 5 − 2x − 3 x+3 x+3 x+3 a) x
2
x x+1
4. Efectuar: F = x + 7 + x + 8 x+5 x+5 a) 1
c) a
9. Reducir: x + x + x − 1 + x + 3 x−2 2−x 2−x
b2
a)
c) 1
13. Dividir: c) 0
b)
x x+1
c) 1
e) x + 5 x+1 x (x + 5) + 6 (x + 4) ' x+3 x (x + 9) + 4 (x + 10) x + 5
a) x + 3 x+5
b) x
d) x + 3 x
e) 1
c)
x x+5
Central: 6198-100
Álgebra 2
2
14. Simplificar: x2 − x − 2 . x 2 + 5x + 6 . x − 4 x − x − 12 x + 3x + 2 x − 2 a) x+2
b) x+3
d) 1
e) 2
c) x–1
b) –(xy)–1
d) (xy)–1
e) 0
c) xy
d) 2
e) 1
17. Calcular nm, si:
d) 64
e) –1
A2 + B2
a) 1 d)
b) 5 2
c)
3
e) 1
19. Efectuar 2 2 2 S = 22a − 2a + a2 − 5a + 6 − 3a +218a + 15 a − 6a + 5 a − 7a + 10 a − 25
a)
3 a−5
b)
2 a+5
d)
3 a+5
e)
6 5−a
c) x − 1 x
e) x2− 1 x +1
Indicar el numerador final a) x+2
b) x+1
d) 4
e) 2
F(x)= x −
c) 4x+2
2
1−
c) 81
7x + 26 = A + B 2 x + 7x + 10 x + 2 x + 5
Hallar
d) x − 1 x+1
x x+1
23. Indicar el equivalente de:
x−1 = m + n x + 3x + 2 x + 2 x + 1 b) –9
18. Si:
c) ±3
2
a) –8
b)
2 1 + 1 + x 2 + 4x + 3 x 2 + x x 2 + 3x
Indicar la diferencia de los elementos de la fracción resultante b) –3
1 x+1
1 x + 1j ; x ^ 0 / x ^ 1 / x ^ − 1 1 x − 1j
22. Efectuar:
x+2− 6 x+3 16. Efectuar: x−1+ 6 x+6
a) 3
1 `x − 1 − x j`x + 1 `x + 1 + x j`x − a)
y −1 15. Simplificar: c 1 − 1 mc 1 + 1 mc x − m x y x y y x a) 1
21. Operar:
c)
6 3−a
20. Efectuar:
3 3− 1 x
a) 4x − 1 3x − 1
b) 3x+1
d) 7x − 2 3x − 1
e) 4x − 1 7x − 2
c) 7x–2
24. Calcular el valor constante que toma la fracción independiente de "x". (bc − a2) x + (ac − b2) (b + c) x + a + c a) a–b–c
b) a+b+c
d) 1
e) –1
c) a+b+2c
25. Reducir: a2 (b − c) + b2 (c − a) + c2 (a − b) (a − b) 3 + (b − c) 3 + (c − a) 3 a) − 1 3
b) 1 3
d) 3
e) 1
c) –3
−1
x+y x+y + −1 − c 1 m −1 xy + 1 yx + 1 x + y a) x
b) x–y
d) 1
e) 0
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c) x+y
Tercer año de secundaria
37
10
Capítulo
Practica en casa 1. Relaciona correctamente: El denominador común de: 1 + 1 + 1 x y xy xy + y Luego de simplificar queda x+1 x−y+z y−z−x El equivalente de:
x−y x2 − y2
A
–1
B
y
C
xy
D
1 x+y
2. Indicar verdadero (V) o falso (F): a) x − 2 está definida sólo si: x ! 2 / x ! 5 ( x−5
)
b)
3 es una fracción irreductible. x+2
(
)
c)
5x es una fracción reductible. x+6
(
)
3 con 3 es cero. ( x+2 −x − 2
)
d) La suma de
2 2 7. Operar: R = e x +24x + 3 oe x − 28x + 15 o x −9 x − 5x
2
2
8. Dividir : e x2 + 3x + 2 o ' e 2 x − 4 o x + 6x + 5 x + 3x − 10
3. Completar correctamente: La suma algebraica de fracciones homogéneas origina igual en la fracción resultante. 4. Simplificar:
10 − x (x + 3) − 15 − x (x + 8)
1 1 `a + a + 1j `a − a − 1j 9. Operar: H = ' 1 1 `a + a + 1j `a − a − 1j Siendo: a ^ 1 / a ^ − 1 / a ^ 0
5. Efectuar: R=
y x z + + x−y+z x−y+z y−x−z
10. Efectuar: 2
6. Efectuar:
Colegios
38
TRILCE
4 − 2 x+3 x+1
2
2
+ 4m F = m −2m − 2 + m 2− 2m − 3 − m 2 m −4 m − m − 6 m + 6m + 8
Central: 6198-100
Álgebra 11. Identifique el numerador resultante: F=
14. ¿Cuál es el equivalente de 17 en fracción 5 continua?
1 + 1 + 1 z+2 z−2 z−1
15. Un procesador formado por dos núcleos variables tales que: El núcleo T–1000, realiza: Los primeros 4000 cálculos en 1/2 segundo los siguientes 4000 cálculos en 1/3 segundo, los siguientes 4000 cálculos en 1/4 segundo y así sucesivamente.
12. Calcular a+b si: a + b = 3x + 2 2 x +2 x −2 x −4
13. Hallar el equivalente de: 1 E = 1− 2 1+ 1+ 1 n−1
El núcleo U–1000, realiza: Los primeros 4000 cálculos en 1/3 segundo los siguientes 4000 cálculos en 1/4 segundo, los siguientes 4000 cálculos en 1/4 segundo y así sucesivamente.
Para el mismo número de cálculos en cada uno, indique las diferencias de las "fracciones de segundo totales" empleadas por T–1000 y U–1000 respectivamente
Tú puedes 1. UNMSM 2011–I Disminuyendo una misma cantidad a los dos términos de la fracción propia a resulta la b fracción b . ¿Cuál es aquella cantidad? a a) 2a+b d) a+2b
b) 3a+b e) b–a 3
2
b) 11 e) 6
c) 12
2
2
4. Si:
2
b) 3 –1 e) x
1 + 2a b M= . b + 1m 2 c 2a 1 + (2a − b) 8ab
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2
d) 2
c) 5 –2
2
b) 3 –6 e) b
3
c) 2 –1
5. UNMSM 2006–II x x −x −x Si: 3 (x) = e − e y 4 (x) = e + e 2 2 3 ( ) 2 x Calcular: 1 + 4 (2x) a) 1 + 3 (x) 4 (x)
3. Efectuar 1 1 R= . 1 1+ 1− 1 1 1+ 2+ 1 x x a) 3 –5 2 3 d) 3 –2
Calcular "M+N" a) 2 +1 d) a
c) a+b
2. Simplificar: 3x 3+ 3x 2+ 2x + 2 2x + 5x + x − 2 Indicar como respuesta el numerador reducido valuado en dos. a) 10 d) 14
2a + b 2 a + b 2a − b N= b − 2a 2a + b 2a − b
3 (x) 1 + 4 (x)
b)
3 (x) 1 + 3 (x)
c) 3 (x) 4 (x)
e) 4 (x) 3 (x)
3
“Si otros pudieron, ¿Porque no voy a poder yo?" San Agustín
Tercer año de secundaria
39
11
Capítulo
Cantidades Imaginarias I Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) 3
4
5
9. Calcular: Im (i12 + i20 + i19)
6
I. Al efectuar i +i +i +i se obtiene cero II. 1+i presenta como parte imaginaria a "1" III. Si Z=–2+4i, su forma cartesiana es (–2; 4i) IV. Si W=3i+2, su forma cartesiana es (3;2) a) VVFF
b) VFVF
d) VVVV
e) FFFF
c) VFFV
2. A partir de: Z=–3+2i b) –4
d) –6
e) 1
c) –5
3. Sea Z–3=2+5i Indique la parte real de Z disminuida en su parte imaginaria. a) 10
b) 2
d) 5
e) 0
c) 4
b) 0
d) 2
e) 3
c) 1
5. Calcular: 5m+2n, si el complejo m
Z=(m –27)+(n –125)i es nulo. b) 25
d) 20
e) 30 5
9
13
c) 15 17
6. Reducir: S= i +i +i +i +i a) i
b) 1
d) –i
e) 5i
7. Efectuar:
b) –1
d) 1
e) i
8. Efectuar:
b) 16i
d) 16
e) –4
Colegios
40
TRILCE
c) –1
c) 0
− 3 . − 12 + − 5 . − 20
a) –16i
e) 0
10. Efectuar: Re (i 40 + i55 + i70 + i95) a) –2
b) 2
d) 0
e) –1 403
+i
216
c) 1
+i
a) 1
b) i
d) 0
e) –1
325
+i
423
+i
121
c) –i
12. Si al complejo (3;–2) le disminuimos 2 unidades en su parte real y le aumentamos 2 unidades en su parte imaginaria, resulta un: a) imaginario puro
b) complejo real
c) complejo nulo
d) la unidad imaginaria
13. Si (m;n) es la unidad imaginaria en su forma cartesiana y (p;q) es la unidad real en su forma cartesiana. Calcular
a) 8 d) 12
n+1
+(p+2)
q+2
b) 9 e) 17
c) 10
20 34 14. Reducir: (6i +16i ) (313+ 2i) 3i + 2i
21
M=i+i2+i3+i4+....+i103
a) –i
d) –1
E=(m+1)
3
a) 10
c) 1
e) hay 2 correctas
4. Calcular m+n, si el complejo W=(m+4)+(n–3)i es nulo a) –1
b) i
11. Calcular: M=i
Indique 2Re (Z) + Im (Z) ) a) –3
a) –i
c) –16
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
15. Sea Z=(a–3)+(2a–1)i. Si "Z" es real Calcular el valor de "a" a) 2
b) 1
d) 1 3
e) 5
c) 1 2
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Álgebra 21. Calcular: E=i12517+i5555+i22222+i–333+i8
− 6 . − 6 + − 9 . − 16 3 − 8 3 − 1 + 3 − 64
16. Efectuar: a) 3 d) 12
b) 6 e) 4 32
54
a) –1 d) –i
c) 9
65
b) –i e) 2i
a) 4 d) 1
c) 1
5
10
a) 0 d) –i
2
c) –1
4
b) 1
d) i
e) –i 1920 1718
b) i e) 3i
c) 2i 3
4
20. Calcule: M = i2 + i2 + i2 + i2 + ... 1 44444 2 44444 3 b) 0 e) 18
843
c) 1 2
2526
24. Efectuar: i
+i
a) 0 d) 3i
b) i e) –i
2728
3536 3334
+i
c) 2i
25. Calcular la suma: G=i2+2i4+3i6+4i8+...+2ni4n
20 tér min os
a) 20 d) –i
3
a) –1
1718
+i
2
c) 2
W = i + i + i + i 2+ ...3+ i 2−i+i −i
b) 1 e) –2
19. Reducir: i5 + i9
b) 3 e) 0
23. Siendo: i = − 1, calcular
18. Si: Z1=i9+i7+i3 y Z2=i8–i3 Calcular Re (Z1 + Z2) a) 0 d) 2
c) i
1 22. Calcular: E = 1 + 12 + 13 + 14 + ... + 20 i i i i i
i +i +i 17. Reducir: 46 i + i520 − i673 a) i d) –1
b) 1 e) 0
c) i
a) n d) 0
b) 2n e) 4n
c) –n
Practica en casa 1. Relaciona correctamente: 10
i +i
14
A
–5
B
–1
C
–2
D
5
3. Completar correctamente En el complejo , tanto su parte real como su parte imaginaria son iguales a cero 10
−5 −5 La parte real de: –5i+5 30
31
32
33
i +i +i +i +i
34
4. Si: W=–5+3i ¿Cuánto hay que sumarle para que se transforme en un complejo nulo?
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. Si(r–3)+8i es imaginario puro, en( tonces r=3
)
II. En Z=3i–4 su parte imaginaria es 3i
(
)
III. Luego de efectuar i+i +i , su parte ( real es 1
)
IV. Al operar − 8 − 2 se obtiene un ( complejo real
)
5
p+2
–16)i es un complejo real, indicar
n
m
5. Si Z=3+(p "p+1"
6
6. Calcular m +n sabiendo que : m n Z=(m –4)+8(n –27)i, es un complejo nulo 7. Efectuar: N = − 10 − 10 + − 3 − 27 114
8. Sumar: i
205
+i
115
+i
206
+i
116
+i
207
+i
117
+i
208
+i
9. Calcular: 315 728 419 324 221 541 S=i +i +i +i +i +i
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Tercer año de secundaria
41
11
Capítulo
10. Operar: H = −3 −3 −4 −
− 2 − 2 − 25
11. ¿Cuánto hay que sumarle a 3–5i para que resulte un complejo real)?
13. Indicar: Im (i10 + i12 + i18 + i24) 14. En la pantalla de su calculadora José observa un número complejo en su forma binómica 3–4i. Pero en su computadora el programa usado le permite ingresar el mismo número en su forma cartesiana. ¿Cuál es esta? 3
8
17
15. Josefina le dicta por teléfono a José "i +i +i " para que este, le otorgue la respuesta, pero José 3 8 17 en forma distraída transcribe "i .i .i ". ¿Cómo resultan los cálculos?
12. Efectuar Re (3 + i5 + i6)
Tú puedes 1. Calcular: 2050
1270
4. En un número complejo sus partes suman dos. Si al triple de su parte real le sumamos el doble de su parte imaginaria obtenemos el complejo nulo. Calcular el opuesto de su parte real.
1030
F = i 20 + i 12 + i 10 i50 + i70 + i30 a) –i
b) i
d) –1
e) 3
c) 1
Calcular 1 + y x
−1
− 2 j i, donde x ^ 1 / y ^ 2 2
a) 5/4
b) 3/4
d) 1/8
e) 8
3. Reducir:
7
5
b) –6
d) 2
e) 4
c) 6
5. Hallar x para que el complejo.
2. A partir del complejo nulo: ^x x − 2 − 1h + ` y y
a) –4
c) 5/2 2
−3 −2 −2 i 2 + ( 2 i ) 2 + ( 3 i) 2
a) 3 12
b) 18 48
d) 6 6
e) hay 2 correctas
J N 1 Z = ^1 + 3ih + K + xiO 2 K1 + O K O 1+ 3 x L P sea imaginario puro. a) − 3 4
b) 1 3
d) − 3 2
e) − 2 3
c) 1
c) 12 54
“Si quieres tener éxito, no debes cansarte en tratar de conseguirlo" Colegios
42
TRILCE
Central: 6198-100
Capítulo
Cantidades Imaginarias II
12
Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F):
10. A partir de la igualdad:
I. El opuesto de –3–4i, es 3–4i
mi+5(3+ni)=3(5+6i); i = − 1
II. 5(3+5i)+(–25i) es un imaginario puro
Calcular: E = 18 − 4n m+n
III. El conjugado de Z= 2i+3 es Z=2i–3 a) FFF d) VFV
b) FVF e) VVV
c) FFV
b) 7 e) 10
c) 8
3. Sean los complejos: Z1=5+3i y Z2=6–3i Calcular: P=Z1*+ Z2 a) 1 d) 3i
b) 2 e) –5i
c) 0
b) 1+3i e) 3–i
b) –7–19i e) 7
c) 2–3i
b) 4 e) 10
c) –7+19i
c) 6
7. Si: Z1=3+2i ; Z2=1+4i y Z3=2+5i Calcular: –Z1+ Z2+ Z3 a) –6i d) –10i
b) –7i e) –11i
c) –9i
8. Calcular: Z=|–3+4i|+2–7i+Re(–5i+8) a) 13+7i d) 8+9i
b) 15–7i e) 10+12i
c) 15+7i
9. Si: W1=7+2i , W2=–7+3i , W3=–2–5i Calcular: W1+W2–W3 a) –2+5i d) 2+4i
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b) 1–4i e) 2–4i
a) 10 d) 5
b) –1 e) –5
c) 2
12. Sea: Z ∈ C , donde Re(Z)=Re(Z*)+8
y
a) 4+5i d) 5–4i
b) 5+4i e) –5+4i
c) 4–5i
13. Hallar ab , si + 5–4i+2| 3 +i|=a+(b+2)i
6. Si m+ni=5(3+2i)+1; i= − 1, calcular m–n a) 2 d) 8
Z1=x2+16i ∧ Z2=25+y2i Si: Z1= Z2 , indique un valor que tome x+y
Determinar el equivalente a Z
5. Operar: 2(–5+2i)+5(1–3i)+Im(5–2i) a) 7–19i d) 19i
c) 3
Im(Z*)=3 Im(Z)–20
4. Efectuar: i(3+4i)+Re(3–2i) a) 2–i d) –1+3i
b) 2 e) 0
11. Sean los números complejos:
2. Hallar m+n, si se cumple: (2m–1)+7i=9+(3n–2) a) 6 d) 9
a) 1 d) –1
a) 4 d) 6
b) –4 e) 18
c) 10
14. Calcular Z2 , siendo Z=|–1+i|+ 2 i a) 4i d) 16i
b) 2i e) 0
c) 8i
15. Si: 3(m+i)+2(n+i)=2(m+n)+3+pi Calcular Z , siendo Z=m+pi a) 3+6i d) 2–5i
b) 3–5i e) 1+6i
c) 3+5i
16. Completar correctamente Si el conjugado de m+ni es –7+8i luego m+n es igual a . 17. Considerando Z1=8+6i ∧ Z2=–3–7i Calcular Re(Z1)+Re(Z2)
c) –2–4i
Tercer año de secundaria
43
12
Capítulo
18. Efectuar 40
41
42
43
44
45
H=i +i +i +i +i +i +i
22. Si: W1=7+2i , W2=–7+3i , W3=–2–5i Calcular: W1+W2–W3
46
23. Considerando: Z1=1+i , Z2=3i y Z3=4
19. Completar Conjugado
Opuesto
Módulo
Calcular: 3Z1+Z2–Z3
Z1=–2+4i Z2=3+4i Z 3= − 3 − 2 i
2
3
4
5
6
7
8
24. Efectuar: E=i+i –i +i –i +i –i +i –i
9
20. Operar: 2(–5+2i)+5(1–3i)+Im(5–2i) 25. Si: m+ni=5(3+2i)+1; i = − 1, calcular m–n 21. Efectuar: i(3+4i)+Re(3–2i)
Practica en casa 4. Si Z1=3+2i ∧ Z2=3+2i Calcular Re(Z1+5)+Re(Z2+3)
1. Relacionar correctamente: El opuesto de –3+2i
A
–3+5i
El módulo de 1+3i
B
–3–2i
C
3–2i
D
10
5
5i +3i
2
Efectuar –2(1+i)–1
5. Del complejo: Z=10+3i, si a su conjugado le sumamos su opuesto se obtiene un: 6. Completar Conjugado
2. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. 3+2(i+5)–13 es un imaginario puro. II. 2(8+8i)–(16+16i) es el complejo nulo. 16
III. i +4–2i
20
es un complejo real
IV. El módulo de –5 es cinco
Z=3+8i (
)
Z2=2–i
(
)
Z3=5+ 2
(
)
(
)
3. Completar correctamente Para obtener el conjugado de un número complejo basta cambiar de a la parte imaginaria. Colegios
44
TRILCE
Opuesto
Recordar, el opuesto de Z, se puede representar así: –Z 7. Efectuar: 3+2i+2(–3+4i)–Re(2+i) 8. Calcular: 7(2–5i)–Im(1+30i) 9. Si: Z1=3+2i; Z2=1+4i y Z3=2+5i Calcular: Z1 + Z2 + Z3
Central: 6198-100
Álgebra 10. Si: Z1=3+2i ; Z2=1+4i y Z3=2+5i Calcular: − Z1 + Z2 + Z3
4
8
12
16
11. Calcular: S=i +i +i +i +...+i
14. En el plano de Gauss: Z1=(3;0), siendo el triángulo equilátero, Calcular m+n, si Z2=(m;n) Im Z2
100
12. Si: 3(m+i)+2(n+i)=2(m+n)+3+pi, Calcular Z, siendo Z=m+pi
Z1
Re
15. Una señal periódica queda descrita según: 13. Sabiendo que: x+y=3∧ xy=1 2 2 calcular |Z–3i| , si Z=x+(3+y)i; i =–1
/y = 1 x ! 63t; 3t + 1 Z = x + yi = * x ! 63t + 1; 3t + 2 / y = 2 x ! 63t + 2; 3t + 3 / y = 3
Considerando "t" unidad por segundo. Indique su gráfica en el plano de Gauss.
Tú puedes 4. Hallar los valores de "x" e "y" en la ecuación: 2x+10+5y+(7x+4y)i=19i
1. Si Z=|3–2i|+ 5 i, calcular |Z| a)
3
d) 3 2
b) 2 2
c) 3 3
e) 2 3
2. Calcular "m+n" si: 3+2i–2–ni=m–|–3+4i| a) 6
b) 4
d) –4
e) 10
3. Calcular "ab" si: 5–4i+2| a) 10
b) 6
d) 2
e) 8
c) 8
3 +i|=a+(b+2)i c) 18
a) 0;3
b) 4;–2
d) 5;–4
e) 1;–2
c) 4;–5
5. Universidad Agraria la Molina 2009–II a)
26 4
Z2=12+2i
b)
26 2
Z3=–5–i
c)
23 2
Z4=2– i 2
d) 2
Si: Z1=1+2i
e) 5 Hallar, Z1 − Z3 + Z 4 Z2
“La ocasión solamente encuentra a quien está preparado" (San Juan Bosco)
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Tercer año de secundaria
45
13
Capítulo
Cantidades imaginarias III Problemas para la clase
(x + 3) (y − 2) 1. Operar: E = −3 xy + 3y − 2x − 6 2
2
6. Relaciona correctamente: (i =–1) (2+i)(1–i)
A i
1+i 1−i
B
(1+i) 2. Reducir: S =
3 + x+1+ x+1+ 3 x−1 x−2 2−x 1−x
(2–i)
C 3–i
2
D 3–4i
7. Indicar el valor de verdad de cada proposición 2 (i =–1) 2 2 a) (1+i) =–(1–i) ( ) b)
3. Efectuar: A=(x+3)(y+2)–2x–xy
2
2i
1 + 1 = 2 1+i 1−i
( )
c) (1+i) =4
4
( )
d) (4+i)(4–i)=15
( )
8. Completar en cada caso: a) (5+2i)(2–3i)= b) 1 + i + 1 − i = 1−i 1+i 4. Reduce:
x2 − 4xy + 4y2 2xy − x2 + 2 (x − 2y) (x + 2y) x + 2xy
2
2
c) (1+i) +(1–i) = 2
d) (1+2i) –4i= 9. Si: z = 2 − 3i ; indicar el equivalente de 1+i 2 "(z+3)(1+i)" (i =–1)
5. Simplificar: F = ` 2 j` x + 5 j` x + 3 j` x + 4 j` x + 7 j x+3 x+4 x+7 x+5 2
10. Simplificar: 2 2 2 z = (1 + i) + (1 − i) ; i =–1 2i 2i
Colegios
46
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra 2
11. Relacionar correctamente (i =–1) (5–i)(2+i) (1+i)
18. Si:
A
1 + 3i 2
B
11+3i
4
2+i 1−i
C –i
1 i
D –4
1 1 1 1 `1 + i j`1 + i + 1j`1 + i + 2 j ... `1 + i + 99 j = a + bi 2
Calcular: a–b; siendo i =–1 a) 100 d) 109
b) 101 e) 103
c) 99
19. Si: z=(2+3i)(2–3i)(1+2i); indicar el valor de: 2
Re (z) + Im (z) ; si i =–1
12. Indicar el valor de verdad de cada proposición: 2 (i =–1) 2
a) (1+2i) =3–4i
( )
b) ` 1 + i jc 1 − i m = 2i 1−i 1+i
( )
8
c) (1+i) =16
( )
d) (2+3i)(5–i)=13+13i
( )
13. Completar en cada caso
b) 3 + i = 4 − 3i 2
14. Si: z1=5–2i; z2=3+i ; i= –1 Determinar "z3"; si: z3 = 10 8 z1 B z2 a) 13–11i
b) 13 i
d) 11i
e) 13+11i
c) 12i 2
b) 4i e) 8+4i
c) 6i
1+i ; i= –1 1− 1+i 1−1+i 1−i b) i 4 e) i
c) 2i
17. Halle: x.y, sabiendo que se cumple: (x+4i)(7+yi)=23+43i ; i= –1 a) 2i d) 10
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b) 31 − 17i 2
c) 30 + 17i 2
d) 30 − 17i 2
b) 1–2i e) 14
b) –2 e) 4
c) –3 2011 219
22. Efectuar: e 1 + i2011 + 1 − i2011 o 1−i 1+i a) 7 b) 5 d) 0 e) 2
2
; i =–1 c) 3
23. El número complejo "Z0" satisface la relación: 2
a) –i d) –2i
a) − 31 + 17i 2
2011
15. Si: z=i–1 / w=3+i; reducir E=z +w ; i= –1
16. Simplificar: E =
4
20. Si: z=(2+i); indicar el equivalente de: (z) − 1 ; 1−i i= –1
a) 1 d) 3
2
d) (1+i) –(2i+1) =
a) 9i+9 d) 8–4i
c) 39
21. Si: z=1+i y w=1–i, calcule: ^z − wh 2 + ` z j4 ; w i= –1
c) (3–i) +(2+i) = 3
b) 26 e) 42
e) –16+8i
a) (8–i)(4–2i)=
2
a) 13 d) 52
5 + 3i = 2i − 2i, determinar el valor de f(z ); 0 z0 −4 + i 2 donde: f(x)=x –3x+3; i= –1 a) 1+i d) 2i
b) 2–i e) i
c) 2+i
24. Hallar un número complejo tal que si al dividirlo entre (4+5i) y al cociente sumarle 4; se obtenga (5+i). Dar como respuesta su parte imaginaria. a) 2 d) 9
b) –1 e) –9i
c) 4i
c) 15
Tercer año de secundaria
47
13
Capítulo
25. Los números complejos también se utilizan en el área de la electrónica. En el siguiente circuito eléctrico calcular la resistencia equivalente. Sabiendo que: R1=4+3i; R2=2+i, además REQ = R1.R2 ; i= –1 R1 + R2 (Req= Resistencia equivalente) R1
b) 7 + 4i 13
a) 7+4i c) 4i + 7 12 e) 4i + 7 12
R2
d) 35 + 20i 26
Practica en casa 2
1. Relacionar correctamente (i =–1) (5+i)(2–i) (1–i)
A –4
4
B
2+i 1−i −1 i
1 + 3i 2 2
C 11–3i D i
2. Indicar el valor de verdad de cada proposición 2 (i =–1) 2 a) (1–2i) =–3–4i ( ) b) ` 1 − i j` 1 + i j = 4i 1+i 1−i 8 c) (1–i) =16
( )
d) (2–3i)(5+i)=8+12i
( )
Determinar "Z3";si:
Z3 =
10 ; Z1 E Z2
5. Si: z = i + 1 / w = 3 − i; reducir: z2 + w2 + z 6. Simplificar Z = i −
TRILCE
9. Si: Z=(3–2i)(3+2i)(2+i); indicar el valor de: Re (z) + Im (z); si i2 =− 1 4 10. Si: z=(1+i); indicar el equivalente de: z − 1 ; 1−i 2 i = –1
11. Si: z=1–i y w=1+i, calcular: (z − w) 2 + ` z j 4 ; w i= –1
; i= –1
2
4. Si: Z1=5+2i; Z2=3–i
48
2
Calcular: ab; siendo i =–1
219
d) (1–i) –(2i–1) =
Colegios
1 1 1 1 `1 − i j`1 − i − 1j`1 − i − 2 j ... `1 − i − 99 j = a + bi
2015 2015 1 i 1−i e + 2015 + o 1−i 1 + i2015
2
c) (3+i) +(2–i) = 3
8. Si:
12. Efectuar
3−i = 4 + 3i 2
(x–3i)(6+yi)=20+40i
( )
3. Completar en cada caso: a) (8+i)(4+2i)= b)
7. Halle xy, sabiendo que se cumple:
1−i 1+ 1−i 1+1−i 1+i
13. Si z=a+bi, donde "a", "b" ! R ; hallar los valores de "a" y "b" que verifican la igualdad: 3z + 3z = 4 , señalar: (a+b)2 1−i i 3−i 14. Si un número complejo de divide entre 5+i, y al cociente se le suma 2, se obtiene 3–i. Hallar la parte real del complejo original. 15. Reducir:
1−i 1+i 2
− B 8 2 H = 8 1 − i − 1 + i B 1 + i 1 − i ; i =–1 1+i 1−i
Central: 6198-100
Álgebra Tú puedes 1. Efectuar: E =
4. La expresión
1+i 1+i 1− 1+i 1− 1− 1+i 1−1+i 1−i
a) 1
b) i
d) –i
e) 1–i
2 (1 + i) (1 + 3i) i−3
donde i = − 1, es igual a: c) 1+i
2. Sean: z=3+2i y w=2+i ; i= –1
a) 1–3i
b) –2
d) 2
e) –10
5. Reducir:
Halle: (z + w) i w
3
a) 2 + i 3 3
b) − 1 + 13 i 5 5
d) 1 + i 5
e) 1 + 3i 5 5
c) 2 + i 5
3. Universidad agraria la Molina 2009 – II Si: z1=1+2i
z2=12+2i
z3=–5–i
z4 = 2 − i 2
c) 10
6
M = c1 + 3 im + c1 + 3 im ; 1− 3i 1− 3i i= –1 a) 1
b) 2
d) 6
e) 8
c) 4
Hallar : z1 − z3 + z 4 z2 a)
20 4
d) 2
b)
26 2
c)
23 2
e) 5
“El éxito no consiste en conseguir todo lo que no pueda, sino en dar lo mejor de sí mismo.” www.trilce.edu.pe
Tercer año de secundaria
49
14
Capítulo
Teoría de Ecuaciones Problemas para la clase
1. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. En ax–12=0, si a=3, entonces "x" es cuatro. II. x+5=x+3 es una ecuación absurda.
a) 1
b) 3
III. Si 2(x–1)=5(x–1) entonces x=1
d) 7
e) 9
a) VVF
b) VFF
d) FVF
e) VVV
c) FVV
2. Resolver: 2(x–5)+3=9 a) 2
b) 4
d) 8
e) 10
c) 6
3. Resolver: 3(x–1)+2(x+2)=4(x+1) a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
4. Resolver:
c) 3
x+3 = 2 5
a) 1
b) 3
d) 7
e) 9
5. Resolver:
c) 5
x+1 + x+2 = 2 2 3
a) 1
b) –1
d) 2
e) 3
c) 0
6. Resolver por simple inspección: I. 3x–5=16 II. 8 = 2 y+3
b) 26
d) 30
e) 32
c) 28
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
8. Resolver: (x+3)2=(x+2)(x+1)+10 a) 1
b) 2
d) 3
e) 0
TRILCE
a) 4
b) 3
d) –3
e) –1
c) 2
11. Resolver: 5x + 2 + 2017 = 4x + 5 + 2017 x−3 x−3 a) 3
b) –3
d) { }
e) R
c) {0}
12. Resolver: 5(x–2)+3x=8x–10 Indicar posteriormente su conjunto solución. a) {3}
b) {2}
d) { }
e) R
c) {0}
13. Resolver: 2
x + 7x + 10 = 3 x2 + 9x + 20 2 a) 8
b) 4
d) –1/8
e) –4
c) –1/4
5 + 13 + 7 + x = 3
a) 1
b) 4
d) 6
e) 8
c) 5
15. Resolver: 2 x − 4 + 1 = 5
7. Si 6 es solución de la ecuación: (8–n)(x–5)=4n–2, calcular "n"
Colegios
10. Hallar el valor de "m" tal que la ecuación en "x" (m2–9)x+(m–3)=0 es incompatible
14. Resolver:
Indicar "x+y+z" a) 15
c) 5
Indique el recíproco de su solución
III. z + 1 = 5
50
9. Hallar m+n , si la ecuación en "x": (2n–6)x+(m3–8)=0 indeterminado
c) –1
a) 10
b) 4
d) 8
e) 10
c) 5
16. Si la ecuación: 3(nx–1)+m=x+2, presenta infinitas soluciones, calcular 3n+m a) 4
b) 5
d) 3
e) 8
c) 6
Central: 6198-100
Álgebra 17. Indicar los valores de "n" tales que permitan a la ecuación: 4(nx+2)=8(x–1)+1, presentar solución única en "x". a) R–{2} d) {2;4}
b) R e) {2}
c) R–{–4}
18. En la ecuación:
23. Halle "1–x" en: 5 + x + 5 − x = 10 5+x − 5−x a) 10 101 d)
x − m + x − n = 2, n m
1 101
b) 100 101 e)
c)
5 101
2 103
24. Si la ecuación:
luego de resolverla, indique su solución a) m+n
b) m–n
c) mn
d) m+2n
e) 2m–n
Se reduce a una ecuación de primer grado en "x" ¿Qué valor asume el parámetro "m"?
19. Indicar el conjunto solución de: 2 2 x−m + x−n = m +n m n mn
a) {m;n}
b) {m}
d) {m+n}
e) { }
2mx − 3 + 3mx − 2 = 2m + 3 x−1 x+1
c) {n}
a) –1
b) 1
d) –2
e) 3
c) 2
25. Si la ecuación de primer grado (x–a)(2x+1)+bx2+8x+5+a=0 no tiene solución real, hallar a+b
20. Resolver: x−m−n + x−n−p + x−m−p = 3 p m n a) mnp
b) m+p+1
c) m+n+p
d) mn+np+mp
a) 5/2
b) 5
d) –5/2
e) 1/2
c) 5/4
e) 1 21. Resolver: 3x − 1 = 3x + 1 , 2−1 2+1 indique posteriormente el opuesto de su solución. a)
2
b) 2 2
d)
2 2
e) – 2 3
c) − 2
22. La solución de: ^x − 2 h2 + ^x − 2 − 1h2 = ^x − 3h2 + n
es " 2 + 3" Halle el valor de "n". a) 9 d)
b) 11 8
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e)
c) 5
2
Tercer año de secundaria
51
14
Capítulo
Practica en casa
1. Relacionar: 5(x–8)+2(8–x)=0
A
x=7
x+2 + x−1= 4 3 6
B
x=5
3
C
x=8
x+3+ 4 = 4
2. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. 2x+5=2x+5 es una ecuación compatible indeterminada. ... (
)
8. Resolver: 2 x − 4 + 2 (x + 1) = 1 (x + 2) 2 x2 + 3x + 2 Indique su conjunto solución:
9. Indicar el conjunto solución de: x+b + x+c = 2 b + c +1 ;c b E c b
10. Calcular "a" si la solución de: ^x − 5 h2 + ^x − 1 − 5 h2 = a − 2, es " 5 + 1"
1 = 5 + 1 , se resuelve con x=5. x−5 x−5 ... ( )
II. x +
III. Si x=2 en ax+b=0, entonces 2a+b=0 ... (
)
11. Calcular 4n–3m; si la ecuación en "x": (n+2)(x+3)=m(x+2) presenta infinitas soluciones.
3. Completar: Si la ecuación presenta infinitos valores para "x", entonces será llamada indeterminada.
12. Indique un valor que no admite "m" tal que la ecuación en "x": m(mx+1)=x+2, presenta solución única.
4. Resolver: 1 = 4x + 4 + 1 x−2 x−2 Indique el conjunto solución. 3x − 2 +
5. Calcule "x" en: x + 12 + x + 8 = 5 4 12
6. Al resolver: x− 2 + x− 3 +x− 3 − 2 = 2 3 2 Se obtiene:
7. Luego de resolver: 5x + 4 = 5x − 4 3 +4 3 −4 Indique el opuesto de su solución.
Colegios
52
TRILCE
13. Si la ecuación 3(mx+n)+mx=4(2x+3) es absurda. Identifique el valor que no debe admitir "n".
14. Resolver : 4 7x − 2 − 1 = 1 − 4 x + 1 , indique x+1 7x − 2 el recíproco de su solución.
15. Manuel va de compras llevando cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es esta cantidad si por cada 7 soles que gastó ahorró 5 soles y gastó 800 soles más de lo que ahorró?
Central: 6198-100
Álgebra Tú puedes 1. UNMSM 2010 – II
4. UNMSM 2011 – I
Al dividir 287 entre un número positivo "n" se obtiene como cociente (n–1) y de residuo (n–2). ¿Cuál es el valor de "n"? a) 15
b) 19
d) 17
e) 16
c) 18
2. Indique la solución de:
b) 82
d) 80
e) 84
d) 22
e) 18
c) 112 Kg.
d) 110 Kg.
2
c) 88
Ana compró un bolsa de caramelos, consumió la cuarta parte y regaló 5; después Ana comió la mitad de los que tenía y obsequió los 5 que le quedaban. ¿Cuántos caramelos contenía la bolsa al inicio? b) 25
b) 116 Kg.
2
5. Si np=m +p , resolver en "x"
3. UNMSM 2011 – I
a) 20
a) 106 Kg. e) 120 Kg.
x + x + x +5+ x +4 = x 6 12 7 2 a) 86
Un frutero compra fresas pagando S/.7.00 por cada 3 Kg. de fresa. Si vendiera a S/.13.00 cada 4 Kg. y ha ganado el precio de costo de 44 Kg. de fresa. ¿Cuántos Kg. de fresa vendió?
m ` n x + m j − m2 c x + 1m = 9p ; mp≠ 0 m p p a) 5
b) 10
d) 7
e) 9
c) 8
c) 30
"Rie, juega y canta, que en TRILCE si avanzas" www.trilce.edu.pe
Tercer año de secundaria
53
15
Capítulo
Repaso II Problemas para la clase
1. Relacionar las columnas correctamente: 2
(x+3) (x–5)(x+5) 2 (x–5) (x+3)(x+2)
2 2 –2 10. Calcula: x +x , si `x + 1 j = 64 x
2
A B C D
x –10x+25 2 x +6x+9 2 x +5x+6 2 x –25
11. Relacionar las columnas correctamente:
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones 2
(
)
2
(
)
III. 3x –x=x(3x–1)
(
)
2
(
)
I. x –5x+4=(x–4)(x–1) II. x –7=(x– 7 )(x+ 7 ) 2
2
IV. (x+4) –(x–4) =16x
2
.
b) (x–8)(x–2)=
.
2
c) ( +2) –( –2) =
.
d) 2x(x+3)+x–1=
.
5
3
4. Factorizar: P(x)=x +3x +x
2
A
(x–2)(x–1)
(x–6)(x+6)=
B
(x +4x–21)
(x+7)(x–3)=
C
x –36
D
x +10x+25
2
x –3x+2=
2
2 2
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones 2
I. x +9x+20=(x+4)(x+5) 2
a) (x+1) –(x–1) = 2
2
II. m +4m+3=(m+3)(m+1)
3. Desarrollar los siguientes ejercicios: 2
(x+5) =
2
2
2
III. (a–b) =a –2ab–b 2
IV. (x+5)(x–3)=x +2x–15
)
(
)
(
)
(
)
13. Completar en cada caso: 2
a) Factorizar: x +2x–24 2
.
b) Factorizar: 25a –36b
2
.
2
.
d) Factorizar: n –4n +4
.
c) Factorizar: ab+ac+b +bc
5. Factorizar: L(x;y)=xy+y+x+1
4
4
(
2
2
6. Factorizar: x –3x +x
14. Sabiendo que: J=(x+1)(x+4)
2
7. Factorizar: y –my+ny–mn
T=(x+6)(x–1)
Señale el valor de: J–T 2
8. Si: a+b=4 y ab=3, calcular: a +b
3
2
a) –10
b) 4
d) 10
e) 24
c) –6
3
9. Calcula ab; si a +b =10 y a+b=5
Colegios
54
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra 2
2
2
2
15. Efectúa: R=(a+b)(a –ab+b )–(a–b)(a +ab+b ) a) 2 d) a
b) b
3
3
c) 2a
e) 2b
3
2
2
3
5
d) 5 3
e) 1 4
6
17. Factorizar lo siguiente: 6a x–9a x 4
2
b) 3a x(1–3a )
2
4
2
d) 5a x(3+4a )
2
4
c) 3a x(2–3a )
2
4
e) 6a x 2
2
2
2
18. Factorizar: (x +y )–5y(x +y ) a) x
2 2
b) 6y (1–5y) 2
2
2
2
d) (x +y )(5y)
19. Factorizar: 2 2 F(x)=(x +x+1)(x+2)–(x +x+1)(3–x)
2
c) (x +x+2)(2x+4)
2
b) (x +x+1)(2x–1) 2
d) (x –x+1)(2x–1)
c)
9 (x + 3) 2
d) 1
e) 0 3
2
24. Factorizar: P(x)=x –6x +11x–6 a) (x–1)(x–3)(x–2)
b) (x–1)(x+2)(x+3)
c) (x–2)x(x–4)
d) (x–1)(x+6)
e) x –3 3
2
25. Factorizar: M(x)=x –x –x+1 2
b) (x+1) (x–1)
2
c) (x–2)
2
d) (x–1)
e) (x–2)
3 4
2
2
26. Factorizar: x –13x +36 2
a) (x +4)(x+1) c) (x–3)(x+3)(x–4)(x+4)
20. Aplicar "aspa simple" para factorizar: 2 (x+1) +5(x+1)+6 a) (x+3)(x+2)
b) (x+4)(x+3)
c) (x+1)(x+6)
d) (x+2)(x+1)
e) (x+5)(x+1) 2
21. Factorizar el polinomio: 4y –22y+10 a) (4y–2)(y–5)
b) (2y+2)(2y+5)
c) (4y–5)(y–2)
d) (y+20)(y–2)
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2 b) x + 92 (x + 3)
b) (x–3)(x+3)(x+2)
2
e) (x +x+1)(2x+1)
e) (4y+2)
x2 (x + 3) 2
a) (x–1) (x+1)
2
e) –4y(x +y )
a) (x+1)(x+2)
a)
3
2
c) (x +y )(1–5y)
5
e) x +3
2 2 A = = 24 G= x −26x + 9 G= x + 9 G; x≠ –3; 3 x − 9 2x − 18 2
c) 4 3
a) 3a x(1–3a )
c) x–2
23. Reducir al efectuar lo siguiente
E = (a + b) 2 − (a − b) 2 ; ab≠ 0 (a + b) + (a − b) b) 2 3
b) x +9
d) x +2
2
a) 1 3
5
5
a) x–9
16. Si se cumple que: a +b =3ab, reduce: 2
10
22. Factorizar: x –7x –18, e indicar uno de los factores primos.
d) (x–3)(x+3)(x–2)(x+2) e) (x–5)
2 4
2
27. Factorizar: Q(x)=4x –37x +9 indicar un factor primo a) x+2
b) x–2
d) x+4
e) x+6
c) x+3
5
28. Factorizar: a +a–1, e indicar un factor primo 2
a) (a –a+1) 3
d) a –a
2
2
b) a +a+1
3
c) a +1
e) a(a–2)
Tercer año de secundaria
55
15
Capítulo
2
29. El polinomio x –12x+36, representa el área de un cuadrado ¿Qué expresión representa el lado
30. Pamela dibujó un polígono cuya área es igual a la suma de áreas de tres cuadrados diferentes. 1
del cuadrado?
1
a) (x–5)
b) x–2
d) x–6
e) x+6
c) x+1 x+1
x
x–1
¿Qué binomio representa el área del polígono? 2
b) 3x +2
2
2
e) x +1
a) 4x +1
2
c) 5x +1
2
d) 2x +3
Practica en casa 2
1. Relacionar las columnas: 2
A
x (x–1)
2
B
(x–6)(x+6)
2
C
x –14x+49
2
D
(x–5)(x–1)
(x–7) 3
x –x
x –6x+5 x –36
2
2
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes
2
7. Factorizar : P(x)=12x +7x–12
8. Si la suma de los factores primos de: 2
proposiciones:
T(x)=12x –mx–15 es 7x–2, hallar "m"
2
(
)
2
(
)
(
)
(
)
a) x +7x+6=(x+1)(x+6) b) a –3a+2=(a–3)(a–2) 2
2
6. Reducir: (x+7) –(x–4) –22x
2
2
c) (a–b) =a +2ab+b 2
d) (x+a)(x–b)=x +(a–b)x+ab
2
2
2
3. Completar en cada caso: 3
a) (a+b) =
10. Factorizar el siguiente polinomio 7 5 4x (a–b)–8x (b–a)
3
b) (a–b) = 2
2
c) (a+b) –(a–b) = 2
2
d) (a+b) +(a–b) = 4. Efectuar: 2
(x+4)(x–4)+(x+5)(x–5)–2(x –10)
11. Efectuar a + 5 . 12a 4 b3 o c m e 2 4ab a −5
2
5. Si: a +3a=5 Calcular: Q=a(a+1)(a+2)(a+3)
Colegios
56
TRILCE
2
9. Factorizar: A(x)=(x +5) +13x(x +5)+42x , indicar la suma de coeficientes de un factor primo.
Central: 6198-100
Álgebra 3
2
12. Factorizar: P(x)=x –5x –2x+24
15. Carlos dibujó un polígono cuya área es igual a la suma de área de tres cuadrados diferentes. ¿Qué trinomio representa el área del polígono?
13. Factorizar e indicar la suma de sus factores 4 2 primos: p(x)=x –5x +4
1 1
x+2
2
14. El polinomio x –14x+49, representa el área de un cuadrado. ¿Qué expresión representa el lado del cuadrado?
x+1
x
Tú puedes 1. UNMSM – 2011 II 2
4. UNI 2008 –I
2
3
Si: ab=3 y a +b =19, calcule el valor de a +b a) 75
b) 60
d) 120
e) 90
3
c) 80
−1
−3 m− 3 Hallar el valor numérico de: P = e n −+ o m 3 .n − 3
si: m + n = 3 12 ; mn = 2 3 18 a) –24
b) –12
Si: x–x =1, (x ! 0) , entonces los valores de 2 –2 3 –3 x +x y x –x son:
c) − 1 24
d) 1 24
a) 2 y 3
b) 2 y 1/2
d) 3 y 4
e) 4 y 1/4
e) 1 12
2. UNMSM – 2010 II –1
c) 3 y 1/3
5. UNAC 2010 – II
3. UNMSM 2005 – II y Si se satisfacen: x + y = 5 , hallar + x x y xy = 2 a) 1 2
b) 1
d) 3
e) 2 3
c) 1 3
6
3
5
Del polinomio P(x)=(x +x )+(x +x–1); calcular la suma de coeficientes de sus factores primos. a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
“Si quieres triunfar, no te quedes mirando la escalera. Empieza a subir, escalón por escalón, hasta que llegues arriba” www.trilce.edu.pe
Tercer año de secundaria
57
16
Capítulo
Ecuaciones de segundo grado I Problemas para la clase
1. Indicar verdadero (V) o falso (F)
8. Resolver; e indicar los valores que toma "x":
2
I. Al resolver: x =16, la solución única es: x=4 2
a) ! 1 4
b) ! 1 2
III. Al resolver: x =2; una de sus soluciones es x= − 2
d) ! 1 5
e) ! 1 6
II. Dada la ecuación: x –3=0, la solución menor es : 3 2
a) VVF
b) VFV
d) FVF
e) FFF
c) FFV
2. Resolver: x2–5x+6=0 a) {2;3}
b) {–2;–3}
d) {2;–3}
e) {1;5}
c) {–2;3}
a) 1
b) 2
d) –11
e) –4
c) 3
4. Resolver: (x+2)(x+3)=56 , dar como respuesta la menor raíz a) 6
b) 1
d) –10
e) 7
5. Resolver: solución.
c) –5
2
x –6x+3=0,
señalar
a) 3– 2
b) 3+ 2
d) 3+ 6
e) –3– 6
la
menor
c) 3– 6
6. Resolver: x2–3x–3=0 , señalar la mayor solución a) 3 − 21 2
b) 3 + 23 2
d) 3 + 21 2
e)
c) 1 + 23 3
21 2
7. Resolver la ecuación:
b) {1;2}
d) {2;3}
e) {0;3}
Colegios
TRILCE
9. En la ecuación x2+6x–m=0 ; hallar "m" , si una raíz es –2 a) –4
b) –6
d) 2
e) 1 2
c) –8 2
2
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
11. Resolver la ecuación cuadrática: 10x(x–1)=3(x+1) e indique la solución menor a) 3/10
b) –1/5
d) 3/2
e) –3/2
c) 1
12. Resolver la ecuación cuadrática: nx2–5x+1=0 si se conoce que su discriminante es igual a 1 a) {2; 1 } 3
b) { 1 ; 1 } 2 3
d) {1;5}
e) {3; 1 } 2
c) {2;6}
13. Calcular el valor de "n" para que la ecuación x2–2nx+9=0 tenga solución única a) 2
b) 3
d) 1
e) b y c
c) –3
14. Calcular el valor de "n" para que la ecuación 6x2+(2n+3)x+n=0 , tenga raices iguales
2
(x–3) +x(x+2)=9 a) {0;1}
c) ! 1 3
10. Resolver: (x+2) +(x+3) =(x+4) , señalar la mayor solución:
3. Resolver: x(x–7)=44 Dar como respuesta la menor raíz
58
1 1 3 `x − 4 j`x + 4 j = 16
c) {0;2}
a) 3
b) 3/2
d) 5/2
e) 1/2
c) 1/3
Central: 6198-100
Álgebra 15. Resolver (x–2)2–4(x–2)+3=0 a) CS={3;5}
b) CS={–5;–3}
c) CS={1;3}
d) CS={–3;5}
e) {6;3} 16. Resolver la ecuación; e indicar el valor de "x" 4 + 3 =0 x x2 + x a) –7/2
b) –7/3
d) –7/5
e) –7/6
c) –7/4
b) { 2 ;4} 3
d) { − 2 ;–4} 3
e) { 3 ;–4} 2
b) –2
d) –4
e) –5
b) − 1 − 21 2
d) − 1 − 13 2
e) − 1 + 15 2
24. Dada la ecuación:
a) 1 d) 4 c) { 2 ;–4} 3
18. Si 2 es una raíz de la ecuación en x x2–(K–3)x–6=0 , calcular la otra raíz a) –1
a) − 1 + 21 2
c) − 1 + 13 2
x2 + x + 4 + 10 = x2 + x 2
hallar la mayor solución.
17. Resuelva 3(x+1)(x–1)+7x=5–3x a) { 3 ;4} 2
23. Resolver la ecuación: (x–1)(x+2)(x+3)(x–2)=–3 e indicar la mayor de sus raíces:
c) –3
b) 2 e) 5
c) 3
25. Determine la menor solución de la ecuación: 2x + 1 + 1 =− 14 x − 3 2x − 1 3 a) − 14 3
b) 3 8
d) − 5 14
e) − 14 9
c) − 14 5
19. Calcular la mayor solución de la ecuación (m–2)x2–(2m–1)x+m–1=0 , si el discriminante es 25 a) 3
b) 1 2
d) 3 2
e) 1 3
c) 5 2
3 3 20. Resolver: (3 − x) 2 + (4 + x) 2 = 7 (3 − x) + (4 + x)
y dar como resultado la mayor solución a) 1
b) 2
d) –3
e) –4
c) 3
2
21. Resuelva: abx –(b–2a)x=2, a, b ^ 0 a) $− 1 , 1 . a b
b) $− 1 , − 1 . a b
d) $ 1 , − 2 . a b
e) $ 2 , − 1 . a b
c) $− 2 , − 2 . a b
22. Hallar las raíces enteras de la ecuación 2
2
2
(x –5x+6) –5(x –5x+6)+6=0 a) {1;2}
b) {1;3}
d) {2;4}
e) {1;4}
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c) {2;3}
Tercer año de secundaria
59
16
Capítulo
Practica en casa
1. Relacionar correctamente: 2
A
" 2; 4 ,
2
B
" 0; − 4 ,
2
C
' 3 ! 21 1 2
2
D
" − 8; 8,
La ecuación: x +4x=0 presenta como raíces a: La ecuación: x –6x+8=0 presenta como raíces a La ecuación: x –64=0 presenta como raíces a: La ecuación: x –3x–3=0 presenta como raíces a:
2
2. Completar correctamente:
2
6. Resolver: (x+4) +(x+5) =(x+6)
a) Si: x(3x–2)=0; entonces se cumple que : x= 0 x=
2
señalar la mayor solución
2
b) Sea la ecuación: x –x–30=0; la mayor solución es: 2
c) Sea la ecuación: x –11=0; la menor solución es: d) Si: x(x–5)=50; entonces se cumple que: x= 0 x=
7. Resolver 1 1 1 `x − 3 j`x + 3 j = 3
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) 2
a) Al resolver: x =100, la solución única es: x=10 ( ) 2
b) Dada la ecuación: x –2=0, la solución menor es : 2 ( )
8. Resolver la ecuación 6 + 5 =0 2 x x +x
2
c) Al resolver: x =10; una de sus soluciones es x= − 10 ( ) 2
d) Dada la ecuación: x –x–7=0; su solución es: 1 ! 29 ( ) 2
2
9. Resuelva: ax +(a+b)x+b=0, a ^ 0
2
4. Resolver la ecuación: (x–5) +x(x+3)=25
2
5. Resolver: x –10x+5=0 señalar la menor solución
Colegios
60
TRILCE
10. Determine la mayor solución de la ecuación x+2 + 1 = 1 x−1 x−2 2
Central: 6198-100
Álgebra 11. Hallar la mayor solución de la siguiente ecuación:
2
2
2
x (4x+6) –6(4x +6x)+8=0
x+2 = x x−2 3
14. Un número entero no negativo elevado al cuadrado equivale al mismo número aumentado en 30. ¿Que número es?
12. Resolver la ecuación: ^x + 1h2 = ^x − 1h2
13. Indicar la mayor solución de la ecuación siguiente:
2+1 2−1
15. Un obrero puede hacer una obra en un número de días y otro obrero puede hacer la misma obra en seis días más, si trabajando juntos los dos obreros, hacen la obra en cuatro días. ¿En cuántos días podrá hacer la obra el primer obrero?
Tú puedes 1. UNMSM 2004 – II
3. UNMSM 2005 – II
Dada la ecuación: –1 2
–2
m x –m x=x–m
–1
Si:
; m≠ 0
El cuadrado de la diferencia de sus raíces es: 1 − m2 m2
b) m2 + 12 + 2 m
c) m − 12 m
d) m + 12 − 2 m
a)
2
2
e) m − 12 + 1 m 2
2. UNMSM 2004 – I Si: r y s son las raíces de la ecuación: 2 2 2 ax +bx+c=0, determinar "P". Para que r y s 2 sean las raíces de la ecuación x +Px+q=0 2
a) b − 22ac a
b) 2ac −2 b a
2 c) b − 24ac a
d) 2c–b
2
2
2
"x" es un número entero tal que x − 7x + 432 = 0 , entonces el valor de 2 8 2x + x + 20 es:
a) 402 d) 240
b) 564 e) 604
c) 320
4. Una ecuación cuadrática tiene como raíces a 3+ 4 y 3− 2. Halle la suma de las cifras del producto de estas raíces, siendo 3 el discriminante de la ecuación. a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
5. Si: A es el conjunto de la ecuación: 2 2 2x + 2x − 3 x + x + 3 = 3 entonces la suma de los elementos de A es: a) –3 d) 3
b) –1 e) 4
c) 1
e) b –2c
“Deléitate asimismo en Dios, y él te concederá las peticiones de tu corazón”
Salmo 37:4
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Tercer año de secundaria
61
17
Capítulo
Ecuaciones de segundo grado II Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) x2+(b+3)x–5=0
I. La ecuación simétricas si b=–3
tiene raíces
II. La ecuación 2x2+9x+8=0, tiene como producto de raíces 4 III. La ecuación x2–3x+1=0, tiene como suma de raíces –3 a) VVV
b) VVF
d) VFF
e) FFF
c) VFV
2. Hallar el valor de "m" en la ecuación en "x" 2 3x +mx–4=0; si sus raíces suman –2 a) 2
b) 4
d) 8
e) 10
c) 6
3. Hallar el valor de "n", en la ecuación en "x" 2x2+3x+(n+1)=0; si su productos de raíces es 3 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
4. Dada la ecuación: x2–3x+1=0; si sus raíces es x1 y x2 ; hallar: E= x1+x2+ x1x2+1 a) 1
b) 3
d) 7
e) 9
c) 5
5. Si la ecuación: x2–2(x+1)=–7, si sus raíces es a y b; calcular M = a + b ab a) − 2 5
b) 1 7
d) 2 5
e) − 2 7
c) 5 2
6. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x1=5 ∧ x2= –7 2
b) x –2x–35=0
2
d) x –x–6=0
a) x +2x+35=0 c) x +2x–35=0 2
e) x +2x–2=0
Colegios
62
TRILCE
2 2
7. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x1 = 2 − 3 , x2 = 2 + 3 2
b) x +4x+1=0
2
2
d) x +4x–1=0
a) x –4x+1=0
2
c) x –4x–1=0 2
e) x +x–4=0 8. Si las ecuaciones cuadráticas: 8x2+(n+1)x+12=0 2x2+3x+(m–1)=0 son equivalentes, calcule el valor de n–m a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
9. Calcule el mayor valor de m+n si las ecuaciones (m2+4)x2+2x+12=0 2x2+(n–5)x+3=0 son equivalentes a) 11/2 d) 7/2
b) 2 e) 8
c) 15/2
10. Sea la ecuación en "x" 7x2+(2n–8)x+(2m–5)=0 de raíces recíprocas y simétricas. Halle el valor de m+n a) 6 d) 12
b) 9 e) 14
c) 10
11. Hallar el valor de "k" en la ecuación en "x" 2
(k+1)x –(2k–1)x–4=0, si sus raíces suman 3 a) –1 d) –4
b) –2 e) –5
c) –3
12. Hallar el valor de "m" en la ecuación de "x" 2 (m–1)x +(m+3)x+5=0, si el producto de sus raíces es 10 a) 1 2
b) 3 2
d) 7 2
e) 9 2
c) 5 2
Central: 6198-100
Álgebra 13. Calcular "k" en la ecuación 2x2–(k+8)x+(k+1)=0; para que la suma de raíces sea 9 2 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
14. Hallar "k" sabiendo que el producto de las raíces de la ecuación: 2x2–(k+8)x+(k+1)=0; es 3 a) 10
b) 5
d) 8
e) 12
c) 4
15. Hallar "n", si se sabe que la diferencia de la ecuación x2–7x+n=0, se diferencia en 3 unidades a) 4
b) 6
d) 10
e) 12
c) 8
16. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática 3x2+(1–m)x+(m–2)=0, tal que 1 + 1 = 5 x1 x2 halle el valor de "m" a) 2
b) 4/9
d) 9/4
e) –2
c) –3
17. Si y son las raíces de la ecuación 3x2–5x+6=0; halle el valor reducido de ( +2)( +2) a) 1
b) 28/3
d) 3/5
e) 7/3
c) 0
2
18. Si la ecuación en "x": x –(m+4)x+6–m=0 Tiene C.S={ , }, halle el valor de : + + . a) 2
b) 4
d) 8
e) 10
21. Dada la ecuación 2x2+3x+1=0, de raíces x1 y x2, calcule el valor de 2(x12+x22)+3 (x1+x2) a) 0
b) –1
d) 2
e) –2
c) 1
22. Si x1 ∧ x2 son raíces de la ecuación x2–ax+3=0 y además, x14+x24=7, calcule el mayor valor de a2+5 a) 15
b) 16
d) 21
e) 17
c) 9
23. Dada la ecuación: x2–13x–1=0, con raíces "r" y "s". Hallar
1 + 1 1 1 81 + r B 81 + s B
a) 13 11
b) 12 25
d) 25 13
e) 24 13
c) 11 13
24. Calcular la suma de raíces de la ecuación x2– x+ =0; >0 ( : discriminante) a) 3
b) 2
d) –2
e) 1
c) 5 2
25. Al resolver la ecuación: 2x +3x–7=0, se tiene 3 3 2 2 su c.s= {a;b}, calcule: 2 (a + b ) + 3 (a + b ) a+b
a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
c) 5
c) 6 a 2
b
19. Sea la ecuación en "x": a x +9(b –4)x+27=0, de raíces recíprocas y simétricas. Hallar "ab". a) 1
b) 2
d) 6
e) 8
c) 4
20. Calcular "a" de manera tal que las ecuaciones (5a–2)x2–(a–1)x+2=0 (2b+1)x2–5x+3=0 sean equivalentes a) 4 3
b) 1 3
d) 13 3
e) 11 3
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c) 7 3
Tercer año de secundaria
63
17
Capítulo
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 2
La ecuación: x –6x+1=0, tiene como suma de raíces
A
–6
B
6
2
C
7
2
D
–7
2
La ecuación: ax +2x–7=0, tiene raíces recíprocas, hallar "a" La ecuación: x +(b+6)x–4=0, tiene raíces simétricas, hallar "b" La ecuación: x –x+7=0, tiene como producto de raíces 2. Completar correctamente: a) Dada las raíces: {1;4} generar su ecuación: .
6. Hallar la ecuación de segundo grado cuya raíces son: x1 = 3 − 8 , x2 = 3 + 8
2
b) En la ecuación: Px +qx+r=0; tiene raíces simétricas si: . 2
c) En la ecuación: 4x –6=0; el producto de raíces es: .
7. Si las ecuaciones cuadráticas: 2 2x –ax+1=0 2 3x +2x+b=0 son equivalentes, calcule "ab"
2
d) En la ecuación: ax +bx+c=0; tiene raíces recíprocas si: . 3. Indicar verdadero (V) o falso (F), dada la 2 ecuación: ax +bx+c=0 a) El producto de raíces es: c b
( )
b) Si: b=0, entonces las raíces son recíprocas ( ) c) La suma de raíces es: − b a
2
8. Si la ecuación en "x": x –(k+2)x+5–m=0, tiene C.S.={a,b}, halle el valor de: a+b+a.b
9. Si : {x0} es el conjunto solución de: 2 x +(m+2)x+2m=0, halle el valor de m
( )
d) Si: b=0, entonces las raíces son simétricas ( ) 4. Hallar el valor de "k" en la ecuación en "x": 2
(k+3)x –(3k+4)x–5=0, si sus raíces suman 4
5. Hallar el valor de "m" en la ecuación en "x" 2 (m–2)x +(m+5)x+4=0, si el producto de sus raíces es 8
Colegios
64
TRILCE
10. Si la ecuación cuadrática: 2 3 m 1024x –(n –8)x+n =0, tiene raíces simétricas y recíprocas, hallar: n+m
2
11. Dada la ecuación: x –ax+1=0, de raíces: k k x1=2 +1 y x2=2 –1, calcule el producto de "ak"
Central: 6198-100
Álgebra 2
12. La ecuación: x –3x+1=0, posee como C.S. {a,b}, halle el valor de : a + b a−3 b−3
13. Si: "a" y "b" son raíces de la ecuación: 2 x –3x+1=0, calcule el valor de : b a a b (a +b )(a +b )
14. El precio de un artículo esta dado por: P=20–q; el costo de producir estos "q" artículos es: C=150–5q. Encontrar la suma de los valores de "q" que hacen que la utilidad sea cero.
15. Dos caños pueden llenar un tanque en dos días, si trabajase solo el primero se demoraría tres días más que si trabajase solo el segundo. ¿En cuántos días llenaría el primer caño todo el tanque.
Tú puedes 1. UNMSM 2009 – II Halle el valor de k, de modo que las raíces de la ecuación: (x+1)(x+2)–(k+2)(x+2)=0, sean iguales a) 2 d) –4
b) –3 e) 1
c) –1
2. UNMSM 2008 – I Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la 2 ecuación: (2k+2)x +(4–4k)x+(k–2)=0, donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra a) 80 9
b) 31 9
c) 61 9
d) 82 e) 9 9 82 3. Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación: 2 x –2(m–1)x+3=0, la suma de los valores que puede tomar m; para que satisfaga la relación x1 + x2 = 1 x2 x1 a) –12 d) 2 www.trilce.edu.pe
b) 1/2 e) 3/2
c) 5/2
4. UNMSM 2004 – II Si: a + b ^ 0 , ¿Qué valor deberá tener w en la 2 2 2 2 ecuación? (a+b) x +2(a –b )x+w=0, para que sus 2 raíces sean iguales a) (a–b) 2 d) –(a+b)
2
b) (a–b) 2 2 e) b –a
2
c) a –b
2
2
5. Si: r y s son las raíces distintas de: x –px+q=0, 2 2 entonces la ecuación cuyas raíces son r y s es: 2 2 2 a) x +(p –2q)x+q =0 2 2 b) x –(2q–3p )x+q=0 2 2 2 c) x +(2q–p )x+q =0 2 2 2 d) x –(2p–3q )x+p =0 2 2 e) x –(2p–q )x+p=0
“Lo que quiero, lo puedo y lo voy a hacer” Tercer año de secundaria
65
18
Capítulo
Ecuaciones de segundo grado III – Planteo Problemas para la clase
1. Relacionar correctamente: El cuadrado de "x" es igual a 64
A
x=!2
El doble del cuadrado de "x" es igual a 8
B
x=!6
La diferencia entre el cuadrado de "x" y 3 es 6
C
x=!8
La suma de 5 con el cuadrado de "x" es 41
D
x=!3
2. Completar correctamente a) Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean 3 y 7: 2
b) Si: x =50, entonces se cumple que: x= 0 x= c) El producto de un número por su triple es 27, hallar el número: 2
d) Si: x –81=0, entonces se cumple que: x= 0 x= 3. Indicar verdadero (V) o falso (F) 2
a) Si: x –6=0, entonces una solución es x= 6 ( ) b) Las raíces 1 y 4 generan esta ecuación: 2 x +5x+4=0 ( ) c) Las soluciones de la ecuación: (x–2)(x+6)= 0, son 2 y –6 ( ) 2
d) La ecuación: x(x–3)=x +2, es una ecuación de segundo grado ( ) 4. La suma de un número positivo y su cuadrado es 42 ¿De que número se trata? a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
5. El producto de la edad de Jorge por la de su hermano 9 años menor es 112 ¿cuántos años tiene Jorge? a) 6 d) 28
Colegios
66
TRILCE
b) 16 e) 34
c) 22
6. Para cercar un terreno rectangular de 1250 2 m se utilizan 150 m de cerco. Calcular las dimensiones del terreno. a) 30 y 45 d) 25 y 50
b) 20 y 55 e) 15 y 60
c) 10 y 65
7. Si a un número se le agrega su raíz cuadrada se obtiene 240 ¿cuál es el resultado de agregar –40 a dicho número? a) 185 d) 215
b) 195 e) 225
c) 205
8. Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3, la fracción aumenta en una unidad ¿cuál es la fracción? a) 1 6
b) 2 6
d) 4 6
e) 5 6
c) 3 6
9. La suma de los cuadrados de 3 números impares positivos y consecutivos excede a 170 al cuadrado del segundo de ellos. ¿Cuál es la suma de los dos menores? a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
10. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240Km. Si la velocidad hubiera sido 20 Km por hora más que la que llevaba, hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia ¿en que tiempo recorrió los 240 Km? a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
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Álgebra 11. Un anciano deja una herencia en "2mn" soles a un cierto número de parientes. Sin embargo "m" de ellos renuncian a su parte y entonces, cada uno de los restantes se beneficia en "n" soles más, ¿cuántos son los parientes? a) m d) 2n
b) 2m e) 3m
2
14. El área del rectángulo es 32 cm . Calcula el perímetro del rectángulo. x+2 x–2
c) n a) 20 d) 23
12. Si una de las raíces de la ecuación: 2 m +12m–P=0, es igual a cinco, "P" debe ser: a) 55 d) 85
b) 65 e) 95
c) 75
13. En un país, su unidad monetaria era el tótems, si se disponen de dos tipos de monedas, siendo el valor de una de ellas igual al cuadrado de la otra. Si se compra un objeto que cuesta 900 tótems y se han utilizado 5 monedas del menor valor y 2 del otro, ¿cuántos tótems equivale la moneda menor. a) 10 d) 40
b) 20 e) 50
c) 30
b) 21 e) 24
c) 22
15. Se compró cierto número de manzanas por "m" soles. Al día siguiente le hubieran dado "n" manzanas mas por el mismo dinero con la cual el precio de una manzana hubiera sido 10 céntimos menos. Hallar la ecuación de segundo grado que permita hallar el número de manzanas que se compró. 2 a) x +mx = 0 2 b) x + nx – 10 mn = 0 2 c) x – mx = 0 2 d) x + mx + 10 mn = 0 2 e) x + 100 = 0
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: La diferencia entre el cuadrado de "x" y 10 es 15
A
x=!6
El cuadrado de "x" es igual a 49
B
x=!4
La suma de 2 con el cuadrado de "x" es igual a 18
C
x=!7
El doble del cuadrado de "x" es igual a 72
D
x=!5
2. Completar correctamente a) El producto de un número por su doble es 18, hallar el número 2
b) Si: x –144=0, entonces se cumple que: x= 0 x= c) Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean –4 y 6 2
d) Si: x =12, entonces se cumple que: x=
0 x=
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) Las raíces 4 y 5 generan esta ecuación: 2 x +9x+20=0 ( ) 2
b) La ecuación: (x+5)(x+2)=x +3, es una ecuación de segundo grado. ( ) 2
c) Si: x –16=0, entonces su solución es x=4 ( ) d) Las soluciones de la ecuación: (x–4) (x+8)=0, son 4 y –8 ( ) www.trilce.edu.pe
4. La suma de un número positivo y su cuadrado es 72 ¿de qué número se trata? 5. El producto de la edad de Carlos por la edad de su hermano 7 años menos es 120. ¿Cuántos años tiene Carlos? 2
6. Para cercar un terreno rectangular de 750 m se utilizan 110 m de cerco. Calcula las dimensiones del terreno. 7. Si a un número de le agrega su raíz cuadrada se obtiene 210. ¿Cuál es el resultado de agregar –86 a dicho número? 8. Si se quita 1 al denominador de una fracción, cuyo numerador es 12, la fracción aumenta en una unidad. ¿Cuál es la fracción? Tercer año de secundaria
67
18
Capítulo
9. El largo de un terreno rectangular excede al ancho en 4 m si ambas dimensiones aumentan en 4 m, el área se duplica. Determinada las dimensiones del terreno.
13. El producto de la edad de Javier por 7 es equivalente a 120 menos que el cuadrado de su edad ¿cuántos años tendrá Javier dentro de 10 años?
10. Se tiene 400 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niño. Si se retiran 4 niños los restantes reciben 5 caramelos más ¿Cuántos niños había inicialmente?
14. Se tiene la misma área ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
4 11. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/.1200. El dinero que paga cada persona excede 194 al número de personas, ¿cuántas personas participan en la compra? 12. Si los cuadrados de las 2 raíces reales de la 2 ecuación x +x+C=0, suma 9, entonces el valor de C es:
x x+8
x
15. Dos caños abiertos simultáneamente llenan una piscina en 1h 36min abiertos por separado, el primero la llena en 6 horas menos que el segundo. ¿Cuál es el tiempo que tarda cada uno de ellos en llenarla?
Tú puedes 1. Sean "A" la suma de las raíces de: 2 ax +bx+c=0 y "B" la suma de las raíces de: 2 a(x+1) +b(x+1)+c=0, entonces (B–A) es igual a: a) –2
b) –1
d) 1
e) 2
c) 0
2. En la ecuación de segundo grado 2 (m–2)x –2mx+2m–3=0 cuyo conjunto solución es ( ; ) y donde la suma de sus raíces es al producto de ellos como 10 es a 7. Hallar el valor absoluto del producto de sus raíces. a) 7 3
b) 7 4
d) 4 7
e) 2
c) 3 7
3. Pagué 12 centavos por los huevos que compre al almacenero, explicó la cocinera, pero le hice darme dos huevos extra, porque eran muy pequeños, eso hizo que en total pagará un centavo menos por docena que el primer precio que me dio, ¿cuántos huevos llevó al final la cocinera? a) 16
b) 15
d) 18
e) 20
Colegios
68
TRILCE
c) 17
4. Al multiplicar dos números, uno de los cuales es mayor que el otro en 10 unidades, un alumno cometió un error disminuyendo en 4 a la cifra de las decenas del producto. Al dividir el producto obtenido por el menor de los factores obtuvo 39 de cociente y 22 de residuo. Hallar el mayor de los factores. a) 21
b) 31
d) 33
e) 46
c) 41
5. De un deposito de 100 litros de capacidad lleno de alcohol puro, se extrae una cierta cantidad de alcohol y se reemplaza por agua, se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando esta última mezcla con 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha extraído. a) 50
b) 30
d) 49
e) 20
c) 100
“Dios da la sabiduría y de su boca procede todo conocimiento e inteligencia”
Proverbios 2:6
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Capítulo
Sistema de ecuaciones I
19
Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema
5. Resolver: 7x − 4y = 12... (1) '5x − 3y = 6..... (2)
ax + by = c..... (1) 'mx + ny = p... (2) I. Si el sistema es compatible determinado, entonces tiene infinitas soluciones
determinar "y–x" a) 6
b) –6
II. Si el sistema es compatible indeterminado entonces tiene solución única
d) –12
e) 7
III. Si el sistema es incompatible, entonces no tiene solución a) VVV
b) VFF
d) FFF
e) FVF
c) FFV
2. Resolver el sistema:
6. Si el sistema tiene por conjunto solución (2;3), calcular "a+b" '
ax + by = 9... (1) ax − by = 3... (2)
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
7. Si:
2x + y = 4.... (1) 'x − y = 5....... (2)
18x − (a + 2) y = 7... (1) '9x + (a − 4) y = 11... (2) ; es incompatible
a) C.S = "(3; 2),
b) C.S = "(–2; 3),
c) C.S = "(1; 5),
d) C.S = "(3; –2),
e) C.S = "(3; 3),
Calcular "a" a) 25
b) 26
d) 3
e) 2
c) 1
(a − 5) x + 3y = 9... (1) 8. Si: '2x + (4 − b) y = 3... (2) ; es compatible indeterminado, calcular "ab"
3. Resolver el siguiente sistema: x + 3y = 6........ (1) '5x − 2y = 13... (2) a) C.S "(3; 1),
b) C.S "(4; 1),
c) C.S "(1; 3),
d) C.S "(3; − 1),
e) C.S "(2; 4),
a) 40
b) 32
d) 20
e) 33
c) 4
9. Del sistema adjunto 2 (x + 1) = y '− 5 (x − 8) = y calcule "y"
4. Resolver: 6x − 5y =− 9... (1) '2x + 3y = 4...... (2)
a) 1
b) − 5 4
d) 7 4
e) 5 4
a) 45/7
b) –5
d) 3
e) 90/7
c) 7/45
10. Si (x;y) es la solución del sistema:
dar como respuesta "x–y"
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c) 12
c) − 7 4
x− 2 *x + 2
y =41 3 3 y =21 3 3
calcule "x" a) 3
b) 20/3
d) –3
e) –2
c) –20/3
Tercer año de secundaria
69
19
Capítulo
17. Si el sistema en x e y '2x − (m − 4) y = 7 3x + (m + 2) y = 1
11. Si (m;m) es la solución del sistema 3x + y = t 6x − y =− 15
es compatible determinado, calcula los valores que puede tomar "m"
calcule "mt" a) –36
b) –12
d) 36
e) –3
c) 18
12. Si: "(a; a + 1), es el conjunto solución de 2x + 5y = 19 x − y =− 1 calcule "
a
(I) (II)
b) a+1
d) 1
e) –2
c) A∨B
13. Si: (3;5) es la solución del sistema de incógnitas xey (a + 1) x + (b − 1) y = 34 (a − 1) x − by =− 27 Halle el valor de "axb" a) 8
b) 18
d) 12
e) 24
c) 3
14. Halla el valor de "x" en: x + 3 = 5........................ (1)
*y−2
3x − (y − 2) = x + 12... (2)
a) 3
b) 4
d) 7
e) 9
b) R - "8/5,
d) 5/8
e) R − "5/8,
c) R
18. Si el sistema en x e y ' (a − 5) x + 3y = 9 2x − (b − 4) y = 3 es compatible indeterminado, calcula ab
2a "
a) 2
a) 8/5
c) 5
15. Resuelve el sistema usando el método de igualación y calcular x–y 6x − 5y =− 9 ' 2x + 3y 4 =
a) 40
b) 32
d) 33
e) 20
c) 21
19. Si el sistema en x e y ' 18x − (a + 2) y = 7 9x + (a − 4) y = 11 es incompatible, calcula "a" a) 25
b) 26
d) 3
e) 2
c) 1
20. Calcular "a" para que el sistema de ecuaciones en x e y: Z(a + 1) x + 5y = 7 ] x+y = 5 [ ] 5x − 3y = 9 \ Tenga solución única a) 6
b) –5
d) –2
e) 4
c) 4
21. Hallar "a.b" para que el sistema de ecuaciones '
(a − 1) x + (b + 9) y =− 1 2ax − by = 62
admita como solución: x=5; y=9
a) C.S $` 1, − 2 j.; 1 3 3
b) C.S $`− 1 , 3 j.; − 7 4 2 4
c) C.S $` 1 , 3 j.; − 5 4 2 4
d) C.S $` 3 , 1 j.; 5 2 4 4
e) C.S $` − 1 , 3 j.; 7 4 2 4
a) 5
b) –8
d) 8
e) 9
c) –9
22. Resolver el sistema 2x − y − z = 2
* − x + 2y − z = 4
− x + y + 2z = 6 ,
16. Resolver el sistema usando el método de reducción y calcula x–y. 2x + 3y = 1 ' x + 6y =− 4 a) C.S = "(2; − 1),; 1
b) C.S = "(2; − 1),; 3
c) C.S "(2; − 1),; 1
d) C.S = "(1; − 2),; 3
calcular el valor de "5z" a) 8
b) 16
d) 32
e) 40 3
c) 24 5
e) C.S = "(2; − 1),; 4 Colegios
70
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra 23. Resolver Z y y ]x + = x+ y y ]] x+ x+ x+y 2 , indique 2x–y [ x ]y + = y+ x x ]] y+ y+ x x−y 4 \ a) 7 d) 4
b) 5 e) 3
25. Se desea obtener 80 kilogramos de azúcar "A" mezclando azúcar "B" de S/.18 el kilogramo y azúcar "C" de S/.10 el kilogramo. Si se quiere que el precio del kilogramo de mezcla sea S/.13. ¿Que cantidad de azúcar de S/.18 el kilogramo se debe mezclar?
c) 6
a) 40 Kg
b) 30 Kg
d) 32 Kg
e) 45 Kg
c) 22 Kg
24. En una empresa se confeccionan "x" cantidad de polos e "y" cantidad de chompas en 10 minutos. Determinar la cantidad de prendas producidas en un día, sabiendo que la empresa nunca descansa y que "x" e "y" están relacionadas según el sistema: 1 1 + = 5 3x − 2y + 1 x + 2y − 3 12 1 1 − = 1 x + 2y − 3 3x − 2y + 1 12 a) 910 d) 720
b) 540 e) 840
c) 360
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 5x + 4y = 14 Dado el sistema ' 3x − 4y = 2 ; tiene como C.S:
A
C.S "(1; 2),
3x + y = 10 Dado el sistema ' 2x − y = 5 ; tiene como C.S:
B
C.S "(2; − 4),
6x + y = 8 Dado el sistema 'x − y = 6 ; tiene como C.S:
C
C.S "(2; 1),
− 2x + 3y = 4 Dado el sistema ' 2x + 5y = 12; tiene como C.S:
D
C.S "(3; 1),
2. Señalar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema bx + cy = a 'nx + py = m b= c= a , entonces n p m compatible indeterminado
a) Si
3. Completar correctamente, dado el sistema ax − (b a) y − 4c 2 '(m − 5) x + (2n =1) y +− 2p + + =
el
sistema (
)
a) Si el sistema es compatible determinado, se cumple:
b) Si b = c , entonces el sistema tiene solución n p única ( )
b) Si el sistema tiene infinitas soluciones, se cumple:
c) Si b ! c , entonces el sistema es compatible n p determinado ( )
c) Si el sistema tiene solución única, se cumple:
b ! c = a , entonces el sistema es n p m inconsistente ( )
d) Si
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d) Si el sistema es incompatible, se cumple:
Tercer año de secundaria
71
19
Capítulo
(3φ + 1) x + 3φy = 4 '(φ + 2) x + (φ + 3) y = 6
4. Resolver el sistema usando el método de x = 8 + 5y sustitución y calcule x–y '− 7x + 8y = 25
10. Si
5. Resolver el sistema usando el método de 5x + y = 9 x igualación y determinar y ' 4x = 7 − y
47x − 17y = 483 11. Resolver '29x + 93y = 277 indique x+y
6. Resolver utilizando el método de reducción y y calcule: x + y x 3x − y = 2 ' 2x = 5 − 3y 7. Si el sistema de ecuaciones (a + 1) x + (a − 1) y = 8 ' (2a + b) x + (3a − 2b) y =− 17
sistema:
es
incompatible, entonces φ vale
7x + 4y − 4z = 7 )7x + 5y + 0z = 12 12. Calcular x+y+z del sistema 11x + 8z = 19 13. Determinar el valor de "xy" sabiendo que x (y − 2) − y (x − 3) =− 14 ' y (x − 6) − x (y + 9) = 54 14. Resolver
Admite como solución: x=–2; y=5. Calcular a+b (w − 1) y + 2x = 1 8. Si ' 4x + (w + 1) y = 7 , es compatible determinado, calcule el valor que no puede tomar "w" 9. Si el sistema: '
el
(a + b) x + (a − b) y = 6 5x + 2y = 3 presenta
8 10 =3 + 3 x + y + 5 2y − x + 1 20 8 = 0 ; calcular x+y − 3 x + y + 5 2y − x + 1 x + y =− 2 ) y + z = 13 2 15. Resolver z + x = 21 e indicar x
infinitas soluciones, determinar el valor de ab
Tú puedes 1. UNMSM 2004 – II
5x − 2y = m Dado el sistema de ecuaciones ' x + 9y = m determina "m" de modo que "y" sea menor que "x" en 7 unidades. a) 47 d) 4
b) 37 e) 74
c) 11
a) "a ! Z/ − 13 1 a 1 − 2,
2. UNMSM 2002 En el sistema de ecuaciones ax − by = 4 ' (a + b) x + (a − b) y = 11 calcula la suma de valores de "a" y "b", para que la solución sea x=3 e y=2 a) 10 d) 7
b) –3 e) 5
c) 3
3. UNMSM 2008 – I Determine la suma de todos los valores reales de 6x − ay = y "a", de modo que el sistema '2x + 3y = ax tenga infinitas soluciones a) 1 d) 2 Colegios
72
TRILCE
b) –1 e) –2
4. UNMSM 2009 –I Si x e y son números reales negativos, halle los valores enteros de "a" para que el sistema de 6x + (a + 3) y =− 2 ecuaciones ' (a + 4) x + ay = 3 tenga solución única. b) "a ! Z − 12 1 a # − 1, c) "a ! Z/ − 12 1 a 1 0, d) "a ! Z/ − 13 1 a # − 3, e) "a ! Z/ − 13 1 a # − 2, 5. UNMSM 2010 – I Si m–4p=3n y a = a) 4 d) 2
m−p a , halle 2 n+p
b) 8 e) 32
c) 16
c) 0
Central: 6198-100
Capítulo
Sistema de ecuaciones II
20
Problemas para la clase 1. Señalar verdadero (V) o falso (F) I. El doble de un número se puede escribir como 2x. II. La suma de tres números enteros consecutivos se escribe como x+(x+1)+(x+2) donde X∈Z III. El doble de un número disminuido en el triple de otro se escribe como 2x–3y a) VFV d) VVV
b) FVV e) VFF
c) VVF
2. La suma de dos números es 60 y su diferencia es 8, halle el mayor de dichos números a) 31 d) 34
b) 32 e) 35
c) 33
3. El triple del exceso de un número sobre 5, se expresa como: a) 5–3x d) 3(x–1)
b) 3x–5 e) 3(x–2)
c) 3x–15
4. El cuádruple de un número disminuido en otro es 5, si éste último sumado con el triple del primero nos da como resultado 2. Halle el mayor número. a) 0 d) 2
b) –1 e) 3
c) 1
5. Si dos números suman 5, y el exceso del triple del mayor sobre el menor es 7. Halle el menor número. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
6. Ana compra una bolsa de caramelos, vende la cuarta parte y obsequia 5, luego consume la mitad y vende los 5 que le quedaban. Indica el número de caramelos que tenía al inicio. a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
c) 20
7. Sebastián cría conejos en la azotéa de su casa, percatándose que si coloca tres conejos en cada conejera sobra un conejo; pero si coloca cinco conejos sobrarían tres conejeras. ¿Cuántas conejeras tiene Sebastián? a) 7 d) 10
b) 8 e) 11
c) 9
8. La cuarta parte de la edad de Raúl aumentado en 9 es igual al quíntuple de dicha edad disminuido en 1 , ¿cuál es la edad de Raúl? 2 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
9. Si la suma de los ángulos internos de un triángulo rectángulo es 180. Además los ángulos agudos están en la relación de 5 a 1. Halle el mayor de dichos ángulos. a) 30° d) 65°
b) 45° e) 85°
c) 75°
10. La suma de tres números enteros consecutivos es 36. Halle el número intermedio. a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
11. Relacionar correctamente: La suma de los cuadrados de dos números
A
x–9
Un número disminuido en nueve
B
x–8=5
El exceso de un número sobre ocho es cinco
C
xy
El producto de dos números
D
x +y
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2
2
Tercer año de secundaria
73
20
Capítulo
12. Señalar verdadero (V) o falso (F) a) El exceso de un número sobre cuatro, se escribe como: "x–4" ( ) b) Un número disminuido en sus dos terceras partes, se escribe como: x − 2 x ( ) 3 c) La quinta parte de la diferencia de dos números, se escribe como: 1 (x − y) ( ) 5 d) La división o cociente entre dos números, se escribe como: x ( ) y 13. Completar correctamente a) El triple de un número aumentado en el cuádruple de otro número: b) El exceso de un número sobre tres es cinco: c) El triple de la suma de un número y once: d) Un número excede a cinco tanto como trece excede a dicho número: 14. Dividir el número 17 en dos partes, tal que el triple del mayor más doble del menor es 46, ¿cuál es el mayor? a) 9 d) 18
b) 12 e) 6
c) 14
15. La suma de dos números es 190 y la octava parte de su diferencia es 2. Halle el menor de los números. a) 103 y 87 d) 98 y 92
b) 100 y 90 e) N.A
c) 60 y 10
16. La diferencia entre dos números es 16, tres veces el mayor de ellos es nueve veces el mas pequeño, ¿cuáles son los números? a) 19 y 3 d) 17 y 1
b) 24 y 8 e) 28 y 12
c) 30 y 14
17. La soya contiene un 16% de proteínas y el maíz un 9% ¿cuántos kilogramos de cada uno de estos ingredientes se debería mezclar para obtener una mezcla de 350 kilogramos con un 12% de proteínas? a) 280 y 70 Kg. c) 250 y 100 Kg. e) 50 y 300 Kg.
Colegios
74
TRILCE
b) 120 y 230 Kg. d) 150 y 200 Kg.
18. Un día un tienda vendió 30 camisetas. Las blancas costaban $9,95, y las amarillas $10,50. En total, se vendieron $310,60 en camisetas ¿cuántas camisetas se vendieron de cada color? a) 8 y 22 d) 20 y 10
b) 15 y 15 e) 18 y 12
c) 11 y 19
19. Iván y Carlos son profesores de matemáticas. En total llevan 46 años dando clases. Hace dos años, Iván llevaba 2,5 veces los años que tenía Carlos como profesor. ¿Cuántos años en la enseñanza cada uno de ellos? a) 30 y 16 años c) 32 y 14 años e) 15 y 31 años
b) 20 y 26 años d) 23 y 23 años
20. La suma de tres números en 105. El tercero es 11 menos que diez veces el segundo. Dos veces el primero es 7 más que tres veces el segundo, Calcula los números a) 17; 9; 79 c) 37; 18; 50 e) 27; 18; 60
b) 10; 16; 79 d) 60; 40; 5
21. El dígito de las decenas de un entero positivo de dos dígitos es 2 más que tres veces el dígito de las unidades. Si los dígitos se intercambian, el nuevo es 13 menos que la mitad del número dado. Averigua el entero dado. a) 48 d) 84
b) 34 e) 82
c) 28
22. Un tren sale de la estación unión hacia la estación central, a 216 Km. de distancia, a las 9:00 a.m. Una hora más tarde un tren sale de la estación central hacia la estación unión. Se encuentran al mediodía. Si el segundo tren hubiese partido a las 9:00 a.m, y el primero a las 10:30 a.m. También se habrían encontrado al mediodía. Averigua la velocidad de cada tren. a) 20 Km./h y 42 Km./h b) 36 Km./h y 54 Km./h c) 28 Km./h y 62 Km./h d) 10 Km./h y 18 Km./h e) 14 Km./h y 12 Km./h 23. La suma de tres números es 5. El primer número menos el segundo más el tercero es 1. El primero menos el tercero es 3 más el segundo. Calcula los números. a) 3; 2; 0 c) –2; 5; 0 e) 4; 2 ;–1
b) 3; 4; –2 d) 1; 4; 0
Central: 6198-100
Álgebra 24. Cristina obtuvo un total de 225 puntos en tres exámenes. La suma de las calificaciones del primero y el segundo de ellos excede en su tercera calificación en 61 puntos. Su primera calificación supera a las segunda en 6 puntos. Encuentra las tres calificaciones. a) 50; 75; 100
b) 18; 150; 67
c) 74,5; 68,5; 82
d) 13; 127; 85
25. En el triángulo ABC, la medida del ángulo "B" es el doble que la del ángulo "A". La medida del ángulo "C" es 80º mayor que la del ángulo "A". Calcula las medida de los ángulos. a) 25º; 50º; 105º
b) 75º; 35º; 70º
c) 30º; 120º; 30º
d) 40º; 80º; 60º
e) 70º; 60º; 50º
e) 100; 100; 25
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: La suma de los cubos de dos números
A
x+ 3x 5
Un número aumentado en sus tres quintas partes
B
3 (x + 1) 5
El exceso de un número sobre tres es dos
C
x–3=2
Tres quintas partes de la suma de un número y uno
D
x +y
2. Señalar verdadero (V) o falso (F) a) Un número aumentado en su quinta parte, se escribe como: x + 1 ( ) 5 b) Un número aumentado en su quinta parte, se escribe como: x + 1 x ( ) 5 c) La mitad del exceso de un número sobre cuatro, se escribe como: 1 (x − 4) ( ) 2 d) Un número excede a tres tanto como trece excede a dicho número, se escribe como: x–3=x–13 ( ) 3. Completar correctamente a) El doble de un número aumentado en el triple de dicho número: b) La mitad del exceso de un número sobre tres es cinco: c) El doble de un número es cuatro menos que otro número: d) Tres veces un número es cinco más que tres veces otro número: 4. Los 2 de la suma de dos números es 74 y los 3 3 5 de su diferencia es 9. Halle el mayor.
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3
3
5. Al dividir el número 180 en dos partes, tales que dividiendo la primera por 25 es igual que al dividir la segunda por 20. Halle el valor de cada parte 6. La diferencia entre dos números es 11. El doble del más pequeño más tres veces el mayor es 123. ¿Cuáles son los números? 7. Un químico tiene una solución que contiene ácido al 25% y otra solución que contiene ácido al 50%. ¿Cuántos litros de cada una de ellas se debería mezclar para obtener 10 litros de una solución que contenga ácido al 40%? 8. Una semana un establecimiento vendió 40 manteles. Los blancos costaban $4,95, y los estampados $7,95. En total las ventas fueron de $282. ¿Cuántos manteles de cada tipo se vendieron? 9. Se vendieron 117 entradas para un concierto, cada adulto pagó $1,25, y cada niño $0,75. En total, se vendieron entrada por $129,75. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
Tercer año de secundaria
75
20
Capítulo
10. Dos aviones viajan aproximándose entre sí después de partir de ciudades que se encuentran a 780 kilómetros de distancia a velocidades de 190 y 200 Km./h. Si la salida fue a la misma hora, ¿en cuántas horas se encontrarán?
11. Jorge tiene un trabajo en el que le pagan S/.50 por cada día de trabajo y le descuentan S/.25 por cada día que no trabaja. Si después de 30 días recibió S/.1050, ¿cuántos días trabajó?
12. Dos muchachos están a 100 metros de distancia. Si corren en sentidos opuestos, uno hacia el otro, se encuentran en 10 segundos, pero si corren en el mismo sentido el más rápido alcanza al otro en 50 segundos. Halla la velocidad de cada uno.
.
13. Gina vende revistas. El jueves, viernes y sábado vendió en total $66. El jueves vendió $3 más que el viernes. El sábado vendió $6 más que el jueves. ¿Cuánto vendió cada día?
14. La sierras de agua"A", "B" y "C" pueden producir 7400 metros cuadrados de tabla en un día. "A" y "B" juntas pueden producir 4700 metros cuadrados, mientras que "B" y "C" pueden producir 5200 metros cuadrados ¿cuántos metros cuadrados puede producir cada sierra por separado?
15. En el triángulo ABC, la medida del ángulo "B" es 2º más que tres veces la medida del ángulo "A". La medida del ángulo "C" es 8º más que la medida del ángulo "A". Calcula las medidas de los ángulos
Tú puedes 1. UNMSM 2006 – I Un comerciante cambia una arroba de camote por un costal de trigo y 2000 soles. Luego cambia otra arroba por un costal de papas y 3000 soles o un costal de trigo y un costal de papas. ¿Cuánto cuesta 2 arrobas de camote? a) 1000
b) 10 000
d) 2500
e) 5000
c) 15000
2. UNMSM 2007 – I Si por el precio de 3 libros y 4 lapiceros, compro 7 cuadernos; y por el precio de 9 cuadernos y 12 lapiceros, compro 6 libros. ¿Cuántos libros compraría por el precio de 16 cuadernos y 8 lapiceros? a) 4
b) 5
d) 9
e) 10
c) 6
3. UNMSM 2007 – I De cinco amigos se sabe que Mario tiene 2 años menos que Pedro, Luis tiene 1 año menos que José. Raúl tiene 2 años más que Luis y José tiene 3 años más que Mario. Si el menor de ellos tiene 14 Colegios
76
TRILCE
años, hallar la suma de las edades de Pedro y Raúl. a) 32
b) 22
d) 21
e) 34
c) 20
4. UNMSM 2007 – I Una competencia se inició con una determinada cantidad de personas. Luego 8 mujeres salieron de la competencia, quedando 2 hombres por cada mujer, finalmente se retiraron 20 hombres y quedaron 3 mujeres por cada hombre.¿Con cuántas personas se inició la competencia? a) 50
b) 52
d) 40
e) 44
c) 48
5. UNMSM 2007 – II Si Luis vende todos sus helados a S/.1,50 cada uno, le faltaría S/.15 para comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/.2 cada uno, le sobrarían S/.30, ¿cuánto cuesta un par de zapatos? a) S/.100
b) S/.150
d) S/.125
e) S/.75
c) S/.140
Central: 6198-100
Capítulo
Repaso III
21
Problemas para la clase 1. Relacionar correctamente: 2
A
C.S.={2;7}
Al resolver: x –9x+14=0; su C.S.
2
B
C.S.= {(3;3)}
Al resolver: 'x − y = 10 ; su C.S. x + y = 12
C
C.S.={–4;–2}
x + 2y = 9 Al resolver: ' 2x − y = 3 ; su C.S.
D
C.S.={(11;1)}
Al resolver :x +6x+8=0; su C.S.
2. Señalar verdadero (V) o falso (F) 2
a) En la ecuación x =3x, su C.S.={3}
5. Siendo "x1" y "x2", raíces de la ecuación ( )
2
x –7x+12=0. Calcular (x1+1)(x2+1)
2
b) En la ecuación x –9x+8=0, la suma de raíces es 9 c) Dado
( )
el
sistema
x + 5y = 12 ' x − 5y = 2
C.S.={(1;10)}
su
5x + y = 9 6. Luego de resolver ' 4x + y = 7 calcular x+y
( ) 2
d) La ecuación ax +bx+c=0; a ! 0 presenta raíces simétricas si b=0
( )
mx + 10y = 12 7. Hallar "m" para que el sistema ' 3x + 5y = 6 tenga infinitas soluciones.
3. Completar correctamente ax + by = c a) Si el sistema 'mx + ny = p presenta infinitas soluciones, se cumple:
8. La suma de las edades de Luis y Arturo es 58 años y la diferencia entre dichas edades es 24. Halle la edad de Luis.
ax + by = c b) Si el sistema 'mx + ny = p es incompatible, se cumple: c) Si
en
la
ecuación
2
3x +6x+n=0;
el
9. La diferencia de 2 números es 14 y 1 de su suma 4 es 13. Determinar el mayor de los números.
producto de raíces es 2, el valor de "n" es:
2
d) En la ecuación x = 4x, su C.S. es:
10. Si el numerador de una fracción se aumenta en 26, el valor de la fracción es 3, y si el denominador se disminuye en 4 el valor de la fracción es 1. Determina la fracción.
2
4. De la ecuación 2x +11x+5=0 determinar su C.S.
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Tercer año de secundaria
77
21
Capítulo
11. Relacionar correctamente: 2
A
3
Si 3x +4x+4=0; el producto de raíces es
2
B
8
Si '2x − y = 5 ; el valor de "x" es 3x + y = 10
C
4/3
D
3/4
Si 4x –3x+7=0; la suma de raíces es
4x + 12y = 16 Si ' x + 2y = 6 ; el valor de "x+y" es 12. Señalar verdadero (V) o falso (F) 2 a) Dado ax +bx+c=0; a ! 0 , presenta raíces recíprocas si: a=c ( ) 2 b) Dado 5x +4x–6=0; la suma de raíces es 4 5 y el producto de raíces es − 6 ( ) 5 ax by c = + 'mx + ny = p ; c) Dado es compatible a b determinado si se cumple: ( ) ! m n 4x + 3y = 5 '12x + 9y = 18 ; d) Dado no presenta
solución
( )
2
a) Si en: 3x –mx+5=0; la suma de raíces es 7, el valor de "m" es: 2
b) Si la ecuación 5x +6x–n=0 presenta raíces recíprocas, "n" vale: 2x + ay = 12 c) Si ' x + 3y = 6 presenta infinitas soluciones, el valor de "a" es: (a − 2) x + (3b − 1) y = p − 3 ' (m + 6) x + (2 − n) y = c − 5
es
incompatible, se cumple que: 14. Si x1 = 2 + 2 y x2 = 2 − 2 son raíces de una ecuación; determinar dicha ecuación de raíces x1 y x 2 a) c) e)
2
2
x +4x+4=0 2 x +4x–6=0 2 x +2x–4=0
b) 2x –5x+1=0 2 d) x –4x+2=0
15. De la siguiente ecuación cuadrática de raíces 2 simétricas: 4x +(n–6)x–36=0; hallar "2n" a) 12 d) 6
Colegios
78
TRILCE
b) 5 e) 4
a) 5 2
b) − 5 4
d) 1
e) –1
c) 1 2
17. Hallar "n", si la suma de raíces de la ecuación: 2 (n–1)x –3(n+5)x+10=0 es 12 a) 1 d) 4
b) 2 e) 10
c) 3 2
3
18. Calcular "m" si en la ecuación x –6mx+m =0 una de las raíces es el doble de la otra.
13. Completar correctamente
d) Si
16. De la siguiente ecuación cuadrática de raíces 2 recíprocas (3m–2)x +5x+1=0, hallar " m " 2
c) –6
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
(1 + 2n) x + 5y = 7 19. Hallar "n" si el sistema: ' (2 + n) x + 4y = 8 es incompatible a) 1 d) 8
b) 2 e) 9
c) 3
(x + 5) (y + 4) = xy + 61 20. Resolver: '(x + 4) (y + 5) = xy + 60 calcular "xy" a) 6 d) 15
b) 8 e) 20
c) 12
27x + 13y = 100 21. Resolver: '13x + 27y = 140 indique x+y a) –2 d) 6
b) 4 e) 10
c) 3
(a − 3) x + 2y = 6 ' 22. Si es 4x − (b − 5) y = 3 indeterminado, calcula "ab" a) –20 d) 44
b) 40 e) 50
compatible c) 30
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Álgebra 23. El doble de la edad de Juan excede en 50 años a la edad de Bertha, y 1 de la edad de Bertha es 4 35 años menos que la edad de Juan, calcula la edad de Juan. a) 42
b) 45
d) 48
e) 54
c) 47
24. Tomás, David y Carla pueden soldar 37 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Tomas y David, juntos, pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras que Tomás y carla, juntos, pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuántos metros lineales por hora puede soldar cada uno de ellos por separado? a) 10; 14; 12
b) 8; 13; 16
c) 10; 12; 15
d) 20; 10; 7
e) 15; 8; 14 25. Un patio tiene forma rectangular, si tuviera 3 m 2 más de largo y 4 m más de ancho sería 192 m más grande; y si tuviera 4 m menos de largo y 3 2 m menos de ancho sería 158 m mas pequeño. Las dimensiones del patio son: a) 10m y 20m
b) 20m y 30m
c) 30m y 40m
d) 10m y 30m
e) 15m y 25m 26. Calcular (p+q), si las ecuaciones de segundo grado (p − 1) x2 + 2x + 1 = 0 2 (p − 1) x + (q + 1) x + 3 = 0 son equivalentes. a) 5
b) 7
d) 11
e) 13
2
27. En la ecuación x –ax+48=0 de raíces "x1" y "x2" determinar "a", tal que 1 + 1 = 219 x1 x2 24 a) 219 d) 2011
b) 438 e) 2010
c) 2
28. ¿Para qué valor de "a" el sistema (1 − a) x + (a + 3) y = 3a + 1 '2 (1 − a) x + (a + 6) y = a + 2 es indeterminado? a) –7
b) –1
d) 1
e) 2
c) 0
29. Javier tiene el cuádruple de la edad que tenía Ricardo cuando él tenía la edad que Ricardo tiene; pero cuando Ricardo tenga la edad que Javier tiene, ambas edades sumarán 95 años. ¿Qué edad tiene Javier? a) 20
b) 25
d) 35
e) 40
c) 30
30. Un deportista apuesta a tirar al blanco con la condición de que; por cada tiro que acierte recibirá "a" soles y pagará "b" soles por cada uno que falle. Si después de "n" tiros, ha recibido "c" soles. ¿Cuánto tiros dio en el blanco? a) a − b bn + c
b)
c) bn(a–b)
d) bn + c a+b
nc a+b
e) cn + b a+b
c) 9
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: Si 5x2 + 8x + 7 = 0 ; la suma de raíces es
A
1
Si 4x2 − 5x − 16 = 0 ; el producto de raíces es
B
–8/5
C
8
D
–4
3y − x =− 8 Si '2y + x = 13; el valor de "y" es Si ' x − y = 2 ; el valor de x+y es x − 3y =− 4 www.trilce.edu.pe
Tercer año de secundaria
79
21
Capítulo
2
2. Señalar verdadero (V) o falso (F) 2
a) Dado bx +cx+a=0; a ! 0 , presenta raíces recíprocas sí a=c
( )
2
b) Dado –4x +8x+2=0; la suma de raíces es 2 y su producto es − 1 ( ) 2 cx + by = a 'nx c) Dado es + py = m;
compatible
determinado c ! b ( ) n p 3x − y = 9 d) Dado '6x − 2y = 24 ; si tiene solución ( ) 3. Completar correctamente 2
a) Si en: 4x +ax–5=0; la suma de raíces es 8,
7. En la ecuación (n+3)x –(n–5)x+n–4=0, el producto de raíces es 2. Halle "5n"
8. ¿Cuál es el valor de "a" si una raíz es el triple de 2 la otra en la ecuación: x –12x+a=0?
9. Proporcionar "x" del sistema Z 2 ] + 5 =2 ] 3x − y y + 2 x [ ]] 4 − 3 = 17 3x − y y + 2 x \ 12x − (a − 3) y = 9 10. Si ' 3x + (a + 2) y = 4 es incompatible, calcula "a"
el valor de "a"es: 2
b) Si la ecuación 16x –2x–8b=0 presenta raíces recíprocas, "b" vale: ax − 2y = 10 '3x + y =− 5;
c) Si
indeterminado;
el
es valor
compatible de
"a"
es:
(4 − a) x + (b + 5) y = 3 d) Si '(m + 3) x + (n + 4) y = 5 − p ; es compatible determinado; se cumple: 4. Si x1 = 5 + 3 y x2 = 5 − 3 son raíces de una ecuación; determinar dicha ecuación de raíces x1 y x 2 . 2
a) 2x +6x+22=0
11. Calcula "x–y" en el siguiente sistema de ecuaciones: 113x + 67y =− 23 '79x + 101y = 11 ax − y = 2 − a 12. Para qué valor de "a" el sistema '2x − (a + 1) y = 2 es compatible indeterminado
13. Un día una tienda vendió 45 plumas, las de un tipo a $8,50 y las de otro a $9,75. El total de ventas fue de $398,75. ¿Cuántas plumas de cada tipo se vendieron?
14. Si tengo el doble de la edad que tú tenías cuando
2
yo tenía la edad que tú tienes, ¿cuántos años
2
tengo si la suma de nuestras edades actuales es
2
42 años?
b) x –6x+22=0 c) x –10x+22=0 d) x +22x–10=0 2
e) 5x +10x–22=0 2
5. La ecuación: (2n–1)x –(3n–15)x+(4n+6)=0, tiene raíces simétricas. Calcular "n". 6. Hallar "k" si la suma de las raíces de 2 (k–1)x –6kx+3=0, es 7
Colegios
80
TRILCE
15. Una joven debe lavar "n" docenas de camisas; recibirá "a" nuevos soles por cada camisa bien lavada y pagará "b" nuevos soles por cada camisa mal lavada. Si recibió "m" nuevos soles en total. ¿Cuántas camisas fueron mal lavadas?
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Álgebra Tú puedes 1. UNMSM 2007 – II Dada la ecuación con raíces complejas 2 3x +(m+2)x+m=–2. Halle el máximo valor entero que puede tomar m. a) 7
b) 8
d) 10
e) 6
c) 9
2. UNMSM 2008 – I Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación 2
(2k+2)x +(4–4k)x+(k–2)=0, donde una raíz es el inverso multiplicativo de la otra. a) 61/9
b) 9/82
d) 80/9
e) 82/9
c) 31/9
3. UNMSM 2011 – I Si el par (1;a) es solución del sistema 3x − y = k ' 5x + y = k − 2 halle el valor de "a" a) 2
b) 5
d) –5
e) –2
4. UNMSM 2004 – II αx + y =− 1 − α Dado el sistema 'x + αy = 1 + α , halle la suma de los valores de α para los cuales el sistema tenga más de una solución. a) –2
b) 0
c) 1
d) 2
e) –1
5. UNMSM 2011 – I Un reservorio de agua lleno hasta sus 3/4 partes pesa 3000 Kg, pero lleno hasta su quinta parte pesa 1900 Kg. ¿Cuál es el peso del recipiente lleno en toda su capacidad? a) 3400 Kg
b) 3600 Kg
c) 3300 Kg
d) 3500 Kg
e) 3200 Kg
c) 1
“La imaginación es más importante que el conocimiento”
Alberth Einstein
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Tercer año de secundaria
81
22
Capítulo
Inecuaciones I Problemas para la clase
1. Completa
6. Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
a) 10
–10
2x + 1 1 3x − 4 8 3
b) 2 5
3 7
a) < 2 ;+∞> 3
b) < 4 ;+∞> 5
Π
c) < 31 ;+∞> 13
d) < 35 ;+∞> 18
c)
7
a) I>II
e) < 25 ;+∞> 18
b) I c) I>II
7. Sean los intervalos:
d) I
A=<2;8> B=<4;10>
e) I>II
entonces A ∩ B es:
2. Si: x>3 y E=3x+2 ; entonces resulta que: a) E>11
b) E<15
d) E>15
e) E<15
c) E=11
a) M<5
b) M ≤ –3
d) M>–5
e) M ≥ –3
c) M=–3
8. Sean los intervalos:
a) <2;4>
b) <2;6>
d) [4;6>
e) <3;6>
c) <2;4>
7
entonces resulta que: a) P>–1
b) P<–1
d) P<2
e) P>0
c) P=1
5. Resuelve la siguiente inecuación: –3x+1>7 a) x∈<2;∞>
b) x∈<–2;∞>
c) x∈<3;∞>
d) x∈<–∞;–2>
TRILCE
e) <3;7>
9. Resuelve:
4. Si x>2 y P= 1 − 3x ; 5
82
d) <2;8>
c) <2;10>
entonces P ∩ Q es:
entonces resulta que:
Colegios
b) <4;10>
P=<1;4] Q=[2;6>
3. Si x ≥ 4 y M=1–x ;
e) x∈<–∞;2>
a) <4;8>
a) x∈[3;6>
b) x∈<7;9>
c) x∈<3;6]
d) x∈<2;8]
e) x∈<1;9> 10. Resuelve: x # − 16 $−4 x−+44 >−6 a) [5;10>
b) [4;10>
d) [8;10>
e) [7;10>
c) [9;10>
Central: 6198-100
Álgebra 11. Relacionar
–∞
–2
8
–∞
+∞
15
–∞
–7
–∞
+∞
4
+∞ 5
1 3
+∞
12. Indicar verdadero (V) o falso (F):
8 3 , 5B
B
− 3; − 7 @ , 4; + 3
C
15; + 3
D
6 − 2; 8 @
1
17. En la inecuación 3 − x # 2x − 1 , su conjunto 3 solución es:
I. 5 ≤ 7 II. 3 ≤ 3 III. –3 ≤ 0
a) 8 10 ; + 3 3
d) 8 8 ;+ 3 3
13. Dados: I = 6 − 5; 0 @
J = 6 − 3 ; 4@
Completar la intersección de I con J es el intervalo: 14. Si x∈[ 2;10]. ¿A que intervalo pertenece − x + 4 ? 2 a) [–1;3]
b) [0;3]
d) [–1;4]
e) [0;6]
15. El conjunto solución 2x − 1 1 x + 3 es 5 2
c) [–1;2] de
la
inecuación
a) <–17; +∞>
b) <–4, +∞>
c) <–∞; –17>
d) <–∞; –4>
b) − 3; 10 B 3
c) − 3;2@
e) 6 2; + 3
18. Resolver: 2x + 7 < x + 8 ≤ 8 + 2x a) <0; 1]
b) [0; 1>
d) <–1; 0>
e) [–1; 1>
c) <–1; 0]
19. ¿Cuál(es) de las siguientes inecuaciones posee(n) como solución al intervalo <1;+ ∞>? I. x+2>3 III. − x + 1 1 1 2 2
II. 2(x–1)<3x–3
a) solo I
b) solo I y II
c) solo I y III
d) solo II y III
e) Todas
e) <– ∞; +∞> 16. La representación gráfica de la inecuación 3 − 2x $ 15 es: 2 10 a)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
b)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
c)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
d)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
e)
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
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A
20. Si 5 veces un número se disminuye en 3 unidades resulta un número menor que 27, entonces el número debe ser menor que: a) 8
b) 6
d) 10
e) 30
c) 9
21. Si el cuádruple de un número NO es mayor que el triple del mismo número, más cuatro unidades, entonces. ¿Cuántos números enteros positivos existen, que cumplan dicha condición? a) 12
b) 5
c) 4
d) 3
e) infinitos
Tercer año de secundaria
83
22
Capítulo
22. Resolver: 7 − 3x < 1 −5 a) <–∞; 20>
b) <–∞; 10>
c) <–∞; 4>
d) <3; + ∞>
e) <1; +∞ > 23. ¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de 5x − 12 1 13 inecuaciones $ x + 12 $ 13 ? a) @1, 5@
c) @− 3, 16 , 65, + 36 e) @1, 56
b) @− 3; 1@ , @5; + 36 d) 61; 56
24. La solución del siguiente sistema de inecuaciones es: 4x + 2 2 1 6x # 2 * 3 (x + 1) 2 2 (x + 1) a) − 1 1 x # 4 c) − 1 1 x # 3 e) − 1 1 x 4
1 3 1 4
b) 1 1 x # 1 4 3 d) − 1 1 x # − 1 3 4
25. Si a
b) <1; a+b>
c)
d)
e) <–∞; a+b>
Practica en casa 1. El intervalo [–3;4[, se escribe en notación conjuntista como:
7. Resolver: 2x − 1 < 3 −5
2. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. 5 ≥ 7 II. –3 ≤ –5 III. –2 ≤ –2
8. Resuelva la inecuación: x (x+4) > (x–3)
Indique uno de los valores que la verifica:
3. Si P={x∈R/4>x∧–x≤2}, entonces ¿cuál (es) de los siguientes números pertenece(n) al conjunto P? I. 0
2
II. –2
III. 4
4. Si x ! 63; 15@. ¿A que intervalo pertenece − x + 4 ? 3
9. Resuelve el sistema ) .10 + x # 6 (2x + 1) $ 4(x(x+−110 ) 1 − 6 (2 − x) − 6x E indique la suma de valores enteros en su conjunto solución:
10. Calcule el mayor número entero cuyo triple, disminuido en 20 unidades es menor que su
5. ¿Cual de los siguientes valores satisfacen
doble, aumentado en 40.
simultáneamente las inecuaciones? I. x − 5 2 15 8
II. 2 − 3x 2 1 2
6. El intervalo 〈– ∞; 15] es el C.S. de: I. 15 $ x
11. Indique qué alternativa presenta la solución de: (x − 1) 2 # x (x − 4) + 8 I. x # 7 2
II. B− 3, 7 B 2
III.
7 2
II. 5x − 29 # 3x − 14 + x III. − 3x $ − 45 Colegios
84
TRILCE
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Álgebra 12. ¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones 4 $22((xx −+ 23)) 1 $6 ?
14. En la pizarra al resolver una inecuación un alumno obtiene el intervalo: [–2; 6>. Pablo afirma: existen 8 valores en tu respuesta. Pedro afirma: hay 3 enteros no positivos en tu respuesta. Tomas afirma: hay 6 enteros no negativos en tu respuesta. ¿Cuál de ellos se equivocó?
13. Resolver: x + 1 # x + 2 # x + 3 3 4 2 15. Si a < 0 < b; resolver la inecuación en "x": 2 2a (ax–b) + b < abx
Tú puedes +
1. Siendo a ∈ R ∧ ab < 0 ∧ bc < 0; |c|<|b| Resolver: b (x–b) < –c (x+c) a) <–∞; b–c> c) R e)
b) <–∞; c–b> d)
2. Si "m" es un número natural mayor que 3, ¿Qué fracción podría adoptar el mayor valor con respecto a las otras tres? x= 5, y= 5 , z= 5 , w= 5 m m−1 m+1 m+2 a) x b) y c) z d) w e) No es posible determinar 3. Una persona tiene $p y quiere comprar la mayor cantidad posible de ciertos artículos, los cuales tienen un valor de $a cada uno. Si del total del dinero que tiene, la persona gasta $q en locomoción. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el planteamiento correcto de la inecuación que permite conocer la cantidad x de artículos que puede comprar la persona?
a) x.p>a.q d) a.x>p–q
b) a.x≤p–q e) x≤a.(p–q)
c) x+q≤a.p
4. Sean M = "x ! R/x + 5 2 2x, y N = $x ! R/ x − 3 # x . 4 Hallar M∩N a) 〈–1; 5〉
b) [–1; 5〉
d) 〈–∞; –1〉
e) R–〈–1;5〉
c) 〈–1;5]
5. Si el inverso de (x–1) varía entre 3 y 7 . 5 4 ¿Entre qué valores varía (x+1)? a) Entre 17 y 10 7 3
b) Entre 15 y 19 6 5
c) Entre 18 y 11 7 3
d) Entre 2 y 3 5 4
e) Entre 11 y 8 7 3
"No te cuides de hermosear el rostro, sino de adornar el alma con honrados estudios." (Tales de Mileto) www.trilce.edu.pe
Tercer año de secundaria
85
23
Capítulo
Inecuaciones II Problemas para la clase
1. Resuelve: x2–4x<0
6. Resuelve: (x+3)(x–3)+9>0
a) x<4
b) x∈<0;4>
c) x∈<0;4>
d) x∈<4;+∞>
e) x∈<–∞;0>∪<4;+∞>
a) x∈R d) x∈∅
b) x∈R–{0} e) x∈{3}
7. Resuelve: x2+x+3<0
2. Resuelve: x2+5x+6 ≥ 0
a) x∈{1}
b) x∈∅
a) x∈<–3;–2>
c) x∈<1;3>
d) x∈R
b) x∈<–∞;–3]∪[–2;+∞>
e) x∈{ 5 + 1 ;
c) x∈<–∞;–3>∪<–2;+∞>
3 `x − 4 j > x2 3
e) x∈<–∞;2]∪[3;+∞> 3. Resuelve: x2<36
b) x∈∅
a) x∈R c) x<4
a) x∈<6;+∞>
b) x∈<–6;6>
c) x∈<–∞;6>
d) x∈<6;9>
e) x∈<–∞;6>∪<6;+∞> 4. Resuelve: x2–8x+16>0 b) x∈∅
c) x∈R–{4}
e) x∈<0;4>
b) x∈∅
c) x∈R–{–5}
e) x∈<–5;5>
d) x∈<4;+∞>
e) x∈<3;+∞> 9. Resuelve: (4+x)(4–x)+9>0 a) x∈<0;–5>
b) x∈<–5;5>
c) x∈<0;5>
d) x∈R
e) x∈∅ 10. Resuelve: (x–3)2<–11–(3x+2016)2
5. Resuelve: x2+10x+25 ≤ 0 a) x∈R d) x∈{–5}
11}
8. Resuelve:
d) x∈<–∞;2>∪<3;+∞>
a) x∈R d) x∈{4}
c) x∈{0}
a) x∈<3;2016>
b) x∈<–4;7>
c) x∈<–3;4>
d) x∈∅
e) x∈R
11. Relacionar:
Colegios
86
〈–5; 5〉
A
I. (x+6)(x+2) ≥ 0
]– ∞ ;+∞[
B
II. (x–5)(x+5)<0
[4;7]
C
III. x ≥ 0
〈– ∞ ; –6] ∪[–2; +∞〉
D
IV. (x–4)(x–7) ≤ 0
TRILCE
2
Central: 6198-100
Álgebra 2
12. Indicar verdadero(V) o falso(F) –∞
2
4
20. Resolver: x +10x+25<0
+∞
Representa a: (x–2)(x–4) ≤ 0
(
)
b) φ
a) R–{–5} d) {5}
c) R +
e) R
2
21. Indicar el conjunto solución de: x +2x<1 –∞
–3
5
+∞
Representa a: (x+3)(x–5)>0
(
)
13. Respecto a la inecuación cuadrática 2 x –2x–15 ≤ 0 complete los enunciados respectivos Su conjunto solución es [ ; ]
Tiene
valores enteros positivos
Tiene
valores enteros negativos
El total de números enteros es
.
a) − 2;
2
b) − 2 − 1; − 2 + 1 c) 1 − 2 ; 1 + 2 d) − 2 − 1; 2 − 1 e) − 2 − 2 ; 2 − 2 2
22. Resuelve: x –4x+1<0 a) 60; 2 + 3
b) 2 − 3 ; 2 + 3 d) Hay dos respuestas
c) R e) φ
2
14. Resolver: x –8x<0 a) 〈–8; 8〉
b) 〈8; +∞〉
d) 〈8; +∞〉
e) 〈0; 8〉
c) 〈–∞; –8〉 2
15. Indicar el intervalo solución de: x –x–20≥0
23. Sean los conjuntos: A = "x ! R/x2 − x − 2 $ 0, B = "x ! R/x2 − 4x − 5 # 0, determine A∩B
a) 〈–∞;–4] ∪ [5;+∞〉
b) 〈–∞; –4] ∪ 〈3;+∞〉
a) [2; 5] ∪ {–1}
b) [–1; 2] ∪ [5; +∞[
c) [–2; 3]
d) 〈3; +∞〉
c) [–∞; –1] ∪ [2; 5]
d) [2; 5]
e) 〈–∞; –2〉
e) [–1; +∞[ 2
16. Resolver: 2x –11x+12 ≤ 0 a) 6 4; + 3
b) 8 − 3 ; 4B 2
d) 8 3 ; 4B 2
c) − 3; 2@
e) 4; + 3 2
17. Indicar el intervalo solución de: 4x –64 ≥ 0 a) @− 4; 46
b) @− 3; − 4@ , 6 4; + 36
c) 6 − 4; 4@
d) @− 3; − 46 , 6 4; + 36
e) @− 8; 86
24. Al resolver el sistema: 2 2 x +x+1 ≤ x+50
b) 19
d) –28
e) 21
c) 0 2
25. Si el conjunto solución de: x –ax+b>0 es: 〈–∞; –1〉∪〈8; +∞〉, calcular ab a) –56
b) 56
d) –49
e) –42
c) 49
2
18. Resolver: 9x +12x+4 ≤ 0 a) R
b) Ø
c) R– {–2/3} e) [–3/4; 3/4]
d) {–2/3}
2
19. Resolver: x +20x+100>0 a) − 10; 10
b) − 3; − 10 , 10; 3
c) − 3; − 10
d) R − " − 10,
e) φ
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Tercer año de secundaria
87
23
Capítulo
Practica en casa
1. Relacionar (x–9)(x–2)<0
A
I. [–8; –5]
(x–4)(x+7) ≥ 0
B
II. 〈–∞;–1〉∪〈6; +∞〉
(x+1)(x–6)>0
C
III. 〈2; 9〉
(x+5)(x+8) ≤ 0
D
IV. 〈–∞;–7]∪[4;+∞〉
2. Indicar verdadero (V) o falso (F):
9. Respecto a la inecuación cuadrática 2
(
)
x –3x–28 ≤ respectivos
(
)
Su conjunto solución es [
(
)
d) 4x +4x+1 ≥ 0 → C.S=〈–∞; +∞〉=R (
)
2
a) (x–7) ≤ 0 → C.S={7} 2
b) (x+8) >0 → C.S=R–{–8} 2
c) (x–3) +1<0 → C.S= φ ={ } 2
3. Completar
0
complete
los
enunciados ]
;
Tiene
valores enteros positivos
Tiene
valores enteros negativos
El total de números enteros es
.
a) La suma del máximo y mínimo valor de: 2
x ≤ 9 es
10. Indicar el conjunto solución de: 2
2
2
2
b) Cuantos valores enteros verifican: x <4
(x+5) ≤ (x+4) +(x–3)
c) Que valor entero verifica la desigualdad: 2 x –2x+1 ≤ 0
11. Resolver: x2 − 20 x + 5 1 0
2
4. Resolver: x –5x<0 2
12. Resuelve: x –7<2x 2
5. Resolver: 2x +25 ≤ x(x+10) 13. Sea los conjuntos: A = "x ! R/x2 − 4x − 45 $ 0, B = "x ! R/x2 − 13x − 30 # 0, Determine la suma de valores enteros de A ∩ B
6. El conjunto solución de: 2
8x +24x–32<0 es 〈a;b〉 indique (a+b) 2
7. Indicar el intervalo solución de: x –x–42 ≥ 0 14. Al resolver la inecuación simultánea: 2
2
x +2x–28 ≥ x–8>x +2x–50 8. Indicar verdadero o falso –∞
–4
8
Su solución es 〈c;d] ∪ [a;b〉. Indica M=bd–ac +∞
Representa a: (x+4)(x–8)>0
(
)
2
15. Si el conjunto solución de: x –ax+b<0 es: 〈–2; 5〉, calcular ab
–∞
–3
9
+∞
Representa a: (x+3)(x+9) ≤ 0 Colegios
88
TRILCE
(
)
Central: 6198-100
Álgebra Tú puedes 1. Un número verifica que el cuadrado del antecesor de su doble no supera a su cuadrado aumentado en 5. Determine cuántos números cumplen con dicha condición a) 0
b) 1
d) 3
e) mas de 3
2
2. Si x +2kx+k– determine el pertenece k.
c) 2
3 >0 se cumple 6x ! R 16 conjunto numérico al que
a) 0; 1 2
b)
1; 3 4 4
d) 8 1 ; 3 B 4 4
e) 0; 3 4
c)
1; 5 4 2
3. ¿En que intervalo debe variar k de modo que 2 una de las raíces de la ecuación x –4x–k=0 se encuentre en el intervalo 〈2; 6〉? a) 〈–4; 12〉
b) 〈–2; 1〉
d) 〈5;8〉
e) 〈–6; –2〉
c) 〈–3; 3〉
2
4. Dado el polinomio: P(x)=3x –5x+n, halle los valores de n para que las raíces sean positivas a) 80, 25 B 12
b) 0; 25 B 12
d) − 3; 25 12
e) 8 26 ; + 3 12
c) 0; 25 12
5. Resuelve la inecuación en x 2 n(n–1)x +(2n–3)x–n(n+3)<0, considere 0
− n − 3; n n n−1
b)
n ; −n − 3 n−1 n
c)
n ;n+3 n−1 n
d) R − 8 − n − 3 ; n B n n−1 e) R − 8 n ; − n − 3 B n−1 n
¡Estudia! No para saber una cosa más, sino para saberla mejor. (Lucio Anneo Séneca) www.trilce.edu.pe
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89
24
Capítulo
Funciones I Problemas para la clase 1. Si:
II. G={(1;3), (2;4), (1;2)}
(2a+b ; b–1)=(13 ; 2)
III. H={(1;2), (7;4), (1;2)}
Halla el valor de "a+b"
a) F d) Sólo H
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
A={1; 3} ∧ B={0; 4}
a) 10 d) 24
Determine "AxB" {(1;0), (1;4), (3;0), (3;4)} {(1;0), (1;4), (0;3), (3;4)} {(1;0), (3;1), (0;4), (1;3)} {(1;0), (3;3), (4;1), (1;3)} {(1;4), (0;3), (4;4), (1;1)}
b) 14 e) 18
c) 16
8. Dada la función : F={(2;3), (3;4), (4;6), (6;1)} Calcula el valor de: F(F(2))+F(F(3))– F(6) a) 1 d) 9
3. Sean los conjuntos:
b) 2 e) 5
c) 3
9. Calcula el rango de la función: F(x)=x2+1 Si x∈{–2;–1;0;1;2}
A={1; 3; 5} y B={4; 5} Siendo: R={(x; y)∈AxB/y>x}
a) {0;4} d) {1;4}
Determine "R" por extensión a) b) c) d) e)
c) G∧H
7. Si el siguiente conjunto: F={(2;b–1) (3;4) (2;6) (3;a+2) (5;6)} Representa una función. Halla el valor de axb
2. Sean los conjuntos:
a) b) c) d) e)
b) F∧G e) F, H
{(1;4), (1;5), (3;4), (3;5)} {(1;4), (1;5), (5;5), (3;4)} {(1;5), (3;4), (5;5), (3;4)} {(1;4), (1;5), (3;4)} {(1;4), (3;5), (3;5)}
b) {0;1;4} e) {4}
c) {1;2;5}
10. Indique la gráfica que no representa una función y
y
4. Sea V={–1;0;1} y la relación definida por: R={(x; y)∈V2/X2=Y2} Determina el dominio de "R" a) {–1; 0,1} d) {0; 2}
b) {0; 1} e) {1}
x
a)
y
y
c) {–1; 1}
5. Sea: A={1; 2; 3; 4} y la relación definida por:
x
R={(x; y)∈A2/x+y≥4} Determina el rango de "R" a) {1} c) {1; 2; 3} e) { }
c)
x
d) y
b) {1; 2} d) {1; 2; 3; 4}
6. Cual (es) de las siguientes relaciones es una función:
x
b)
x e)
I. F={(1;5), (1;6), (1;7)}
Colegios
90
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Álgebra 11. ean: A={1;2;3;5} y B={2;4;8;9} y la relación 2 R={(a;b) ∈ A×B/ a =b}, relacionar {2;3} (2;4) {4;9} (5;2)
∈R Dom (R) ∉R Ran (R)
A B C D
A
c) A
x
a) VFFV d) VVVV
b) FFFF e) VVFF
c) FFVV
13. Sea la función f={(1;7), (3;4), (5;7), (3;3y–5), (1;2x+1)} hallar x+y a) 4 d) 9
b) 5 e) 6
c) 7
14. Dada la función 2 3 G={(3;7), (4;3), (4; x –x+1)}, hallar x –5 a) 3 d) 8
b) –6 e) 6
c) 3 y –6
15. Dada la función: f={(1;2), (2;3), (3;4)}, calcular f(3)+2f(1)+f(f(1)) a) 9 d) 8
b) 7 e) 11
c) 5
16. Cual (es) de los siguientes diagramas no representa una función. f A B • 1 • 4 • 9 • 5
• 1 • 2 • 3 a)
b)
B • a • b • c
g
B • 1 • 3 • 5
17. De las siguientes relaciones, ¿cuáles no son funciones? I. F={(4;4), (5;5), (6;6)} II. G={(3;4), (4;4), (5;4), (6;4)} III. H={(5;2), (5;3), (5;6)} IV. I={(4;3), (3;4), (5;2) (2;5)} V. J={(3;6), (7;4), (3;8), (2;9)} a) H d) F y I
b) H y J e) F y G
c) J
18. Determine el valor de: a+b+f(2)+f(–1), si 2 f={(2;5), (–1;3), (2;2a–b), (–1;b–a), (a+b ;a)} es una función. a) 8 d) 1 19. Dada la función H A • x • y • z
b) 27 e) 16
c) 19
B • x • y • z
Hallar: H (x) + H (H (z)) y+z a) 2 d) 1
b) 1/2 e) 0
c) x
20. Sea la función f: R → R definida por 3x − 1; si x 2 3 2 * f (x) x − 2; si − 2 # x # 3 2x + 3; si x 1 − 2 Hallar f(–2)+f(7)+8f(1/2)+f(–4) a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
21. Sea f una función tal que: f(x)=4x–9; –2 ≤ x ≤ 3, el rango de f es: a) [–17;3] d) [4;15]
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M
d)
IV. n(R)= 10
• 2 • ≠ • e
• a • b • c
• 0 • 3 • 7 • 8
II. (4;1), (8;1), (8;2)∈R
A
B
• 5 • 7 • 9
12. Sea: A={2 /x∈z; 0≤x≤5} y 2 R={(a,b)∈A /a+b= impar}. Colocar (V) o (F) I. (1;16)∈R III. (32;1)∉R
h
b) [–15;4] e) [3;17]
c) [–17;2]
Tercer año de secundaria
91
24
Capítulo
22. Sea G una función tal que: 2 G(x)=(x+5) –10; –1 ≤ x ≤ 2 El rango es: a) [6;30] d) [0;36]
b) [0;32] e) [0;49]
24. Dado la función: f(x)=mx+n+1, cuya gráfica es: y f –1 2 x
c) [6;39]
–6
23. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función? y
a) 11 d) –10
y
x
x
a)
b) y
Hallar mn b) –13 e) –8
c) –15
25. La gráfica de la figura corresponde a la de la función f(x). Entonces f(–1)+f(1)+f(2)+f(3) es igual a: y 2
y
1 x
x
c)
–2
d)
–1
1
2
3
x
–1 a) –1 d) 2
b) 0 e) 3
c) 1
Practica en casa 2
+
1. Si (2a+2; 14)=(10; b –2) relacionar (b∈R ) 2
a 3b a+b b a
A B C D
12 16 256 8
2. Sean los conjuntos A={1;3}
B={2;3;4}
Si R={(x;y)∈A×B)/x+y=par}. Indicar (V) o (F) I. (1;2)∈R II. Dom R={1;3} III. Ran R={3}
4. Si A×B={(1;3), (1;7), (2;3), (2;7), (4;3), (4;7)} y B×C={(3;5), (3;4), (7;5), (7;4)} calcular (A ∪ B)–C
5. Cuál de las siguientes relaciones no es una función F={(2;4), (4;5), (5;6)} G={(1;9), (2;7), (1;9)} H={(1;7), (2;7), (3;7)} I={(2;3), (5;8), (8;5)} J={(4;3), (4;8), (2;10)}
3. Si: A={12;8;5} y B={2;3;4;5} si R={(a;b)∈A×B/ A=Bc } a) Hallar R por extensión b) Hallar Dom (R) y Ran (R)
Colegios
92
TRILCE
6. Si R={(x;y)∈N×N/x+y=6}, halle el número de elementos de la relación R
Central: 6198-100
Álgebra 7. Si: A={3;5;6} y B={3;4;5} además
10. Dada la función: A
R1={(x;y)∈A×B/x+y=9} R2={(x;y)∈A×B/y=4}
f
• 2 • 4 • 6
Calcular Dom R1 ∩ Dom R2
B • 2 • 4 • 6
8. De la siguientes gráficas, cuales no corresponden a una función? A
f
• a • b • c
A
h
• a • b • c
g
B
A
• x • y • z
• a • b
B
A
• x • y • z
• a • b • c
B • x • y • z
i
B • x • y • z
Calcular f (6) + f (f (2)) f (4)
11. Sabiendo que: F={(1;2), (2;x), (3;x+y), (1;x+1), (3;–y)} es una función , calcular 5x+4y
12. Sea f una función definida en Q cuya regla de 2 correspondencia es: f(x)=x –1 Hallar f(a); si f(a–1)=f(a)
13. Se sabe que: A
j
B
f={(a;b), (3;c), (1;3); (2a;4)} y que f(x)=x–2a, entonces el producto de los elementos de: Dom (f)∩Ran (f), es:
• a • b • c
• x • y • z 14. Dada la función: f(x)= 7x − 3 ; 3 ≤x ≤5 . Calcular 2 su rango
9. Indicar cual (es) de las siguientes relaciones son funciones f={(–2;4), (2;4), (3;9), (4;16), (5;25)}
2
15. Sea la función G(x)=(x–3) –20 con 5≤x<8 su rango es:
g={(1;3), (2;6), (3;9), (4;12), (13;15)} h={(3;–3), (2;–3), (4;–3), (5;–3), (6;–3)} j={(1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5)}
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Tercer año de secundaria
93
24
Capítulo
Tú puedes
1. Universidad Agraria 2007–II
3. Universidad Agraria 2007–II
2
2
Si f(x)=(x–1) +a
Si f(x)=–x +ax+(a–3), además f(3)=8. Hallar "a"
Entonces: f (x) − f (x + 2) será: x a) 4
b) 2
d) –4
e) –2
c) 1
b) 5
d) 4
e) 3
c) 7
4. UNAC 2007–I Si g(f(x))=x+2; halle g(27), siendo:
2. UNAC 2006–II f(x)=
a) 2
3
x–1; si x ≥ 10 f(f(x+2)); si x<10
Hallar: F(1) a) 8
b) 7
d) 9
e) 10
2
f(x)=x +6x +12x+8
c) 5
a) 0
b) 3
d) 8
e) –1
c) 2
5. Universidad Agraria 2009–I 2
Hallar el rango de: f(x)=3(x–1) –2, x∈〈–1;2] a) [–2;10〉
b) [1;10〉
d) 〈–2;1〉
e) [–2;1〉
c) [–2; 10]
"Los errores del pasado representan la sabiduría del futuro"
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Capítulo
Funciones II
25
Problemas para la clase 1. El dominio de la función: F={(6;3), (4;3), (2;5), (5;5)} es:
6. El rango de la función: F (x) = x − 3 + 1 ; x ∈ {4; 7; 12}
a) {3}
b) {2;4;5;6}
d) {6}
e) {6;5}
c) {5}
2. El rango de la función: G={(–1;0), (2;0), (3;0), (4;1), (0;0)} es: a) {0}
b) {1}
d) {3}
e) {2}
d) {2;3;4}
e) {2;6}
c) {2;4}
G (x) = 2 + 1 x es:
c) {0;1}
a) R d) {2}
F (x) = x − 1 x−2
b) R–{0} e) {0}
c) R–{2}
8. El rango de la función: H (x) = x + 3 x+1 es:
es: c) {2}
b) R–{2} e) {1;2}
4. El dominio de la función real: G(x)=x3+x2–3 es: a) R d) {4}
b) {1;2;3}
7. El rango de la función:
3. El dominio de la función real:
a) R d) {1}
a) {1;3;6}
b) ∅
a) [1;+∞>
b) R–{7} e) [1;7]
c) R
10. El rango de la función: G(x)=(x–4)2+6 es:
F (x) = x − 4 es: e) R
e) R–{2}
d) [1;7>
5. El dominio de la función real:
d) R–{4}
d) R–{–1}
c) R
F(x)=(x–1)2+7 es:
e) {1}
b) [4;+∞>
b) R–{3}
9. El dominio de la función:
c) {–3}
a) {4}
a) R–{1}
c) <–∞;4]
a) {4}
b) [6;+∞>
d) [4;6>
e) {4;6}
c) [4;+∞>
11. Relacionar correctamente: f(x)=1+ x − 3
A
Dominio=R
g(x)=2+ 3 − x
B
Dominio=R–{3}
h(x)=x–3
C
Dominio=[3; +∞〉
k(x)= 1 x−3
D
Dominio=〈–∞; 3]
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Tercer año de secundaria
95
25
Capítulo
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) F={(3;5), (3;5), (8;6), (7;3)} es una función. b) G={(–1;2), (–2;3), (–3;4), (–4;5)} es una función. c) H={(3;1), (4;1), (5;1), (6;1)} es una función. d) I={(7;2), (7;3), (7;4), (7;5)} es una función.
( ) ( ) ( )
18. Hallar el dominio de la función: F (x) = 5 16 − x2 + 2x x−2 a) 〈–4;4〉 b) [–4;4]–{2} c) [–4;4] d) 〈–∞;–4∪[4;+∞〉 e) [0;4] 19. Calcular el dominio de la gráfica f(x) y
( ) f(x)
2
–4
0
13. Completar correctamente: a) El dominio de la función: E(x)=x+ x − 2 es: b) El rango de la función: F(x)=5+ 6 x − 3 es: 2
c) El rango de la función: P(x)=7+(x+6) es: 2
d) El rango de la función: Q(x)=3–(x+2) es: 14. Encontrar el valor de "m" de modo que la relación: R={(3;5m–1), (5;6), (3;4m+1), (6;3)} sea una función. a) –2 d) 1
b) –1 e) 2
c) 0
15. Calcular el mayor valor que puede asumir "a" si la relación: 2
2
E={(–3;5), (–2;3a –6a), (7;5), (–2;a +4a+28), (1;6)}
es una función. a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
16. Si: F(x)=x+5 y además: F={(7;12), (a;15), (4;b), (–2;3)}, calcular "a+b" a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 17. Marca las gráficas que representan una función:
3 1
3
5
x
–3
a) 〈–4;5〉 b) 〈–4;0〉 ∪ 〈1;5〉 c) 〈–5;5〉 d) 〈–4;0〉 ∪ [1;5〉 e) [–3;3〉 20. Calcular el rango de la siguiente función 2 2 f(x)=4ax–2(2a –5)–x a) 〈–4;+∞〉 d) [10;+∞〉
b) 〈–∞;10〉 e) 〈–∞;–10〉
21. Calcular el rango de: Q (x) =
c) 〈–∞;10] x2 + x + 1 + 2
c) [2;+∞〉 a) R b) R–{2} d) [0;+∞〉 e) 〈–∞; 2] 22. Si: x∈[3;6〉, calcular el rango de: 10 H(x)= 3 3x − 10 + 3 a) 〈1;6] b) 〈3;10〉 c) [10/3;+∞〉 d) 〈3;5] e) 〈2;5] 23. Calcular el dominio de: F(x)= 20x2 + 2x − 2 + 10 − x2 + 4x + 5 x −x−6 a) [–1;5]–{3} b) [–1;5]–{–2;3} c) 〈–1;5〉–{3} d) [–1;5〉 e) [–1;5]–{–2;2;3} 24. Con 200 metros de valla queremos cercar un recinto rectangular aprovechando una pared. 200 m x
I.
II.
III.
IV.
Colegios
96
TRILCE
a) Llamar "x" a uno de los lados de la valla. ¿Cuanto valen los otros dos lados? b) Construir la función que nos da el área del recinto. 25. De un cuadrado de 10 cm de lado se recorta una tira de "x"cm en la base y otra de la misma longitud en la altura, obteniéndose un nuevo cuadrado. a) Hallar el área del cuadrado obtenido en función de "x" b) ¿Cuál es el dominio de esta función? Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 1. Relacionar correctamente f(x)=5–x
A
Dominio= R–{5}
g(x)=3x+ 5 − x
B
Dominio=〈–∞;5]
h(x)= x + 5 + x
C
Dominio= R
k(x)= x 5−x
D
Dominio=[–5;+∞〉
2. Indicar verdadero (V) o falso (F):
y
y
a) F={(1;3), (2;4), (5;6), (7;8)} es una ( ) función. b) G={(10;1), (10;2), (10;3), (10;4)} es ( ) una función.
x
x
III.
c) H={(3;10), (4;10), (5;10), (6;10)} es ( ) una función.
IV.
7. Calcular el rango según la siguiente gráfica
d) I={(5;8), (–5;8), (3;8), (5;3)} es una ( ) función.
y
3. Completar correctamente
3
2
a) La función F(x)=3x +6 tiene por al conjunto 〈–∞;+∞〉
–5
b) La función H(x)= x tiene por al conjunto [0;+∞〉 2
c) El rango de la función R(x)=(x–1) +3 es: .
–2 –2
f(x) 4
x
8. Calcular el rango de la siguiente función: 2
H(x)=3(4–3m )+x(6m–x)
2
d) El rango de la función M(x)=x –1 es: . 4. Hallar el valor de "a" de modo que la relación: R={(7;a), (4;8), (5;7), (7;2a–1)} sea una función. 5. Encontrar el menor valor que puede asumir "m" si la relación: 2 F={(2;5), (3;m ), (1;0), (3;m+6)} es una función. 6. Indicar la gráfica que representa una función: y
9. Indicar el dominio de la función: L (x) = x + 2 + 2011 25 − x2 x−3 10. Si: E={(3;5), (4;m), (7;n+1), (–2;–5), (0;–1)} ∧ además: E(x)=2x–1 ; Calcular "m–n"
11. Calcular el dominio de: E (x) = 4 − x2 + 9x − 14 + 6 − x2 + 6x − 5 + x3
y
12. Si: x∈〈3;5], Hallar el rango de: F(x)= x I.
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x II.
5 2x − 5
13. Calcular el rango de: F (x) = 5 − x (x − 1) + 1
Tercer año de secundaria
97
25
Capítulo
14. Un tendero tiene 20 kg de manzanas que hoy venderá a 4 soles del Kg. cada día que pasa se estropeará 1 Kg. y el precio aumentará 1 sol el Kg. Escribe la ecuación que nos da la venta "y", en función de los "x" días que pasan hasta que se venden las manzanas.
15. De un cuadrado de 4cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden "x". a) Escribe el área del octógono que resulta en función de "x" b) ¿Cuál es el dominio de esa función?
Tú puedes 1. Hallar el rango de f(x)= 4 − x + 1 a) [1;3〉
b) 〈2;3]
d) [0;3]
e) 〈1;3〉
c) [1;3]
2. Dado A = "x ! Z/ x # 4, , sean f y g funciones de A en R definidos por:
4. Sea la función definida por: H (x) = )
x2 + 4x + 13 ; x ! 6–2; 2 ; x ! 63; 3 x–3
Indicar el rango de H a) [3; 5〉
b) [0; 3〉
f(x)=x –3 y g(x)= 1 − x + 1
c) [1; 2〉
d) [3; 3〉
Hallar la intersección del rango de f con el dominio de g.
e) 〈–3; 1]
2
a) {0;–2;3}
b) {–3;–2;–1}
c) {1;2;3}
d) {–3;–2;1}
e) {–1;0;1}
5. Dada la función: f(x)=–3+ x2 − 4x + 5, x ! 6 − 2; 6@ Hallar: [0;
3. Si f es una función definida en el conjunto de todos los enteros por: x − 1, si x $ 10 f(x)= 'f (f (x + 2)); si x 1 10 , hallar f(1) a) 8
b) 7
d) 9
e) 10
c) 5
17 +1] ∩ Ran f
a) 60; 17 − 2@ c) 60; 17 + 1@
e) 60; 17 − 3@
b) 6 − 2; 17 + 1@ d) 6 − 1; 17 + 1@
"Mejor es adquirir sabiduría que oro preciado; y adquirir inteligencia vale mas que la plata" (Proverbios 16:16)
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TRILCE
Central: 6198-100
Capítulo
Funciones III
26
Problemas para la clase 1. Hallar el valor de "a", de modo que la relación: R = "(1; 2), (3; a − 1), (2; 5), (3; 7 − a), sea una función 2. De la función: f = "(2; 3), (5; 3), (7; 2), (− 3; 5), , calcular la suma de elementos del dominio.
4. Calcular el dominio de la siguiente función: f(x)=x + x − 5
5. Calcular el dominio de la siguiente función: M (x) = 3x + 2 + 1 x−4
3. De la función: H = "( 5 ; 3), ( 5 + 1; 4), (5; b + 7), (− 1; 3 − b), calcular la suma de elementos del rango.
6. Relacionar correctamente: Si f(x)=5 entonces f(5)+f(3) es:
A
la pendiente es 11
Si H(x)=3x+2 entonces H(3) es:
B
la pendiente es 2
De la función lineal g(x)=2x+3
C
11
De la función lineal M(x)=11x+1
D
10
7. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) La gráfica de f(x)=x+2, es una recta oblicua de pendiente 2. ( )
9. Hallar el valor de "a", si la gráfica de f(x)=3a–4, es: y
b) La gráfica de g(x)=–4x+1; es una recta oblicua a la izquierda ( )
a x
c) La gráfica de h(x)=+5, es una recta horizontal ( ) d) La gráfica de k(x)=–3, es una recta vertical ( )
a) 1/3 d) 4
b) 1 e) 6
10. Hallar el valor de "a+b", si la gráfica de g(x)=3x+6, es:
8. Completar correctamente a) F(x)=7 es una función
y
b) La pendiente de la función lineal Y=3x–1 es: c) "5" es el valor de la f(x)=3+5x.
a b
de
d) La gráfica de H(x)=2011, es una recta
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c) 2
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
x c) 3
Tercer año de secundaria
99
26
Capítulo
11. Relacionar correctamente: P(x)=–5x+5
A
pendiente =–5
Q(x)=5x–5
B
rango={5}
R(x)=5
C
rango={–5}
S(x)=–5
D
pendiente=5
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) La gráfica de y=5x–2, es una recta oblicua a la derecha ( ) b) La gráfica de y=–3, es una recta horizontal ( ) c) La gráfica de y=–2x–10, es una recta oblicua a la izquierda ( ) d) La gráfica de y=x, tiene pendiente igual a 1 ( ) 13. Completar correctamente a) La pendiente de la recta y=3x+5 es: b) F(x)=–2011 es una función c) La función f(x)=–2x+1, tiene pendiente negativa. d) La gráfica de una función lineal es siempre una 14. Hallar el valor de "m", si la gráfica de f(x)=5m–2, es: y
17. Indicar la función que define la siguiente gráfica es: y –2
− 2; − 2 1 x 1 0 b) F(x)= ' + 3; 0 G x 1 3 c) F(x)= '− 2; − 1 1 x 1 2 3; 2 G x 1 5 − 2; − 2 1 x G 3 d) F(x)= ' 3; 3 1 x 1 5 − 2; − 2 1 x 1 2 e) F(x)= ' 3; 3 G x 1 5 18. Indicar la gráfica de F(x)=2x–6
b) 1 e) –2
c) 3
c) –3
16. Si "m" / "n" son números reales negativos y F es una función constante que satisface: F (100) + F (600 − m) = 1 2 + F (100 + n) calcular E=F(2010)+F(2011) a) 4 d) n
Colegios
100
TRILCE
b) 2 e) m+n
y
y 3 6
a)
y 6 c)
–3
3
x
b) –6
x
y –3 x
d)
–6
x
y 6
15. Si F(x) es una función constante, y además se cumple que: F(–3)+F(–2)+F(–1)+F(0)=12, calcular: F(–4) a) –1 d) 3
x
− 2; − 2 G x 1 3 a) F(x)= ' 3; 3 G x 1 5
x
b) 2 e) 5
5
3 –2
2m+7
a) 1 d) 4
3
c) m
3
e)
x
19. Hallar el área que encierran las gráficas de f(x)=3x–6, g(x)=–x+2 con el eje de las ordenadas a) 3µ d) 16
2
b) 5 e) 8
c) 4
20. Hallar el punto de intersección de las gráficas de las funciones H(x)=3x–9 / G(x)=16–2x a) (–5;7) d) (6;5)
b) (4;8) e) (–4;–21)
c) (5;6)
21. Hallar la pendiente de la siguiente recta: g(x)=–2+ax si: g(3)=7 a) +2 d) –2
b) –1 e) 3
c) 1
Central: 6198-100
Álgebra 22. ¿Cuál (es) de los siguientes puntos pertenecen a la función lineal, que contiene a los puntos (5;6) y (8;15)? I. (1;–6) III. (–2;–15) a) II y IV d) I y III
II. (2;–2) IV. (–3;–16) b) I y IV e) todas
a) y=x+32 c) y=32x
c) II y III
5
y b
a) 6 d) 7
a
b) 5 e) 8
b) y=16x+12 d) y=9x+16
e) y= 9 x+32
23. Calcular "a+b+c", si la gráfica de:
− x; x G − 2 *5; x ! − 2; 3 f(x)= − x + 8; x H 3
24. En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distintos a los grados centígrados que son los grados Farenheit. Sabiendo que 10ºC=50ºF y que 60ºC=140ºF, obtener la ecuación que nos permita traducir temperaturas de ºC a ºF.
c
x
c) 4
25. El consumo de gasolina de cierto automóvil, por cada 100 Km, depende de la velocidad a la que va. A 60 Km/h consume 5,7 Lt y a 90 Km/h consume 7,2 Lt. Estima cuánto consumirá si recorre 100 Km a 70 Km/h. a) 4,6 lt d) 6 lt
b) 9,8 lt e) 6,2 lt
c) 7 lt
Practica en casa 1. Relacionar correctamente: H(x)=9x+5 R(x)=5x+9 F(x)=x G(x)=1
A B C D
pendiente=5 función identidad pendiente=9 función constante
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) a) La gráfica de una función lineal es siempre una recta ( ) b) La gráfica de f(x)=3x+1, es una recta oblicua a la derecha ( ) c) La gráfica de g(x)=–x+2, es una recta oblicua a la izquierda ( ) d) La gráfica de h(x)=7, es una recta horizontal ( ) 3. Completar correctamente a) R(x)=1+3x es una función: . b) A(x)=–9 es una función: . 2 c) F(x)=(a–3)x +ax+1, es una función lineal si a= . d) Para que la función H(x)=5+ax sea lineal . a^ 4. Si "H" es una función constante que satisface: 2H (5) + 2 + 3H (3) = 2, calcular el valor de H(–2011) 2H (0) + 1 −3 , − 5 1 x G 1 5. Indicar la gráfica de: F(x)= ' 4 , 1 1 x G 3 6. Indicar la gráfica de y=–5x+10 www.trilce.edu.pe
7. Hallar el valor de "a", si la gráfica de f(x)= 3a − 1, es 2 y 11 x 8. Si la pendiente de la recta H(x)=(a–5)x+(a+2) es "–2", calcular el valor de H(–2) 9. La gráfica de la función lineal f(x)= x + 1, cuyo 2 dominio es <2;b> es: y 5 a 2
b
x
Calcular el valor de "a+b" 10. ¿Cuál (es) de los siguientes puntos pertenecen a la función lineal, que contiene a los puntos (–2;–14) y (5;0) I. (2;–6)
II. (0;–8)
III. (–5;–20)
11. Si el punto de intersección de las gráficas de las funciones: P(x)=5–x / Q(x)= x + 2 es (a;b), 2 calcular "a+b" Tercer año de secundaria
101
26
Capítulo
12. Hallar el área que encierran la gráfica de:
14. Un establecimiento en la ciudad cobra $20 por la primera hora y $10 por cada hora adicional. Expresar la cuota de establecimiento como una función del número de horas estacionadas.
g(x)= 4 − x y los ejes de coordenadas 2
13. Calcular "a+b+c", si la gráfica de:
y x + 3; x 1 − 5 * c; x ! 6 − 5 ; 4 f(x)= x–2; x H 4
2 a
x
b
15. Si f es una función lineal tal que: f(–2)= –6 y f(n+m)= f(n) + f(m) ∀n,m∈R Halle f(2)
Tú puedes 1. UNMSM 2011 – I La tabla adjunta muestra parte del dominio y rango de una función lineal f. x
2 5 f(x) 10 a La suma de a y b es: a) 25 d) 30
8 28
b) 40 e) 35
c) 45
a) 4^2 + 2 h µ c) 13 µ e) 12 µ
102
TRILCE
1 a)
x
y 1 1
b)
x
y 1 1
c)
x
y
b) 15 µ 1
d) 3^2 + 2 h µ –1
4. UNAC 2004 – II Se llama punto fijo de una función f, a un número x, tal que f(x)=x. Si el punto fijo de la función f(x)=mx–8, es igual a 2, determinar el punto fijo de la función g(x)=2x+m.
Colegios
1
e) 16 µ2 3
3. UNAC 2005 – I Hallar el perímetro de la región determinada por las rectas x+y=2, x=1; y=5
a) 5 d) –5
y
b 37
2. UNMSM 2009 – I Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: f(x)=|2x| y g(x)= x + 5 2 2 2 38 20 a) b) c) 32 µ2 µ µ 3 3 3 d) 40 µ2 3
5. Esbozar la gráfica de la función F, donde: F: R " R / y = F (x) = x − 1 + x
b) 8 e) –2
c) –8
d)
x y
0
x
e)
Central: 6198-100
Capítulo
27
Función cuadrática Problemas para la clase 1. Si: F(x)=5, calcular el valor de: F(0)+F(1)+F(–2)
7. Indicar verdadero (V) o falso (F)
2. Indicar la gráfica de : y=x+1
a) Si (3;5) es un punto de paso de ( 2 f(x)=x –a, entonces a=4
3. Indicar la gráfica de: y=7
b) La gráfica de f(x)=x es una parábola ( abierta hacia abajo
2
2
c) El vértice de g(x)=x –1 es (0;–1) 4. Calcular la pendiente de la recta: 2y=3x–1
5. Si la gráfica de "F" es:
2
d) El vértice de h(x)=3x es (0;2)
) )
(
)
(
)
8. Completar correctamente:
y
2
a) La gráfica de y=ax +bx+c, (a≠0) es siempre una
(0,1) F(x)
2
b) Si (h;k) es el vértice de y=x –2x+5 entonces h=
x
2
c) Si (h;k) es el vértice de y=–x +4x–1 entonces k=
Indicar: • F (2) • F (–1)
2
d) Si y=–x +2x–7, entonces su gráfica es una parábola abierta hacia . 9. Calcular la suma de coordenadas del vértice de 2 la gráfica de la parábola y=x –2x+3
6. Relacionar correctamente
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
y
f(x)=x
2
A
x
10. Calcular "a+b", en el siguiente gráfico: y
y
g(x)=–x
2
a
B
b
y
2
p(x)=x –2x+m
C
–3
x
f(x)=x 5
2
x
y
2
q(x)=–x –2x+n
www.trilce.edu.pe
D
x
a) 33
b) 34
d) 36
e) 37
c) 35
Tercer año de secundaria
103
27
Capítulo
11. Relacionar correctamente
c)
2
El vértice de y=x +1
A
(0;3)
2
B
(0;4)
2
C
(0;1)
D
(0;2)
El vértice de y=–x +2 El vértice de y=3x +4 2
El vértice de y=–5x +3
d) y
y x
x
e)
12. Indicar verdadero (V) o falso (F)
y
2
a) La gráfica de f(x)=–x +3, es una ( parábola abierta hacia abajo.
)
x
y
2
b) La gráfica de g(x)=x –2 es –2
x
(
) 16. Calcular "a–b", dada la siguiente gráfica:
2
c) La gráfica de h(x)=x –2x, tiene ( como vértice a (1;–1)
)
d) (0;0) es el vértice de la gráfica de ( 2 H(x)=–x
)
y
a) –1 f(x)=5–x
a
b) 1
2
c) 2
b
13. Completar correctamente
–1
2
d) 3
x
a) Si (3;b) es un punto de paso de
e) 4
2
f(x)=3x –5x–10, entonces b=
17. UNMSM 2010 – I
2
b) Si (h;k) es el vértice de y=x –2x+7, entonces h= 2
c) Si (h;k) es el vértice de y=x +6x–8, entonces h= 2
d) La gráfica de la parábola g(x)=4x+1–x , es abierta hacia 14. Calcular la suma de coordenadas del vértice de
2
Hallar el rango de la función: f(x)=–x +2x, sabiendo que su dominio es igual al conjunto de los números reales. a) − 3; 0@
b) − 3; 1
c) − 3; 1@
d) − 3; + 3
e) 60; + 3
18. Hallar "a.b", si:
2
la gráfica de la parábola y=–x –2x+4 a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
a) 13
y
c) 4
b) 15 2
y=x +ax+b
c) 18
2
15. Indicar la gráfica de y=–2x +4x+1 a)
d) 11
–3
b) y
x
y
e) 21 2
19. Hallar el valor mínimo de f(x)=x –4x+3 x
Colegios
104
TRILCE
x
a) –3
b) 2
d) –2
e) –1
c) 1
Central: 6198-100
Álgebra 2
20. Indicar la gráfica de y=x –6x+7 a)
23. La resistencia de una cuerda que sostiene un peso "x" está dado por la función f(x)=x(12–2x). ¿Para qué peso la resistencia es máxima?
b) y
y
x
x
c)
d) y
y
a) 3
b) 2
d) –2
e) –3
c) 0
24. De un cuadrado de 4cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden "x". I. Escriba el área del octógono que resulta en función de "x"
x
x
II. ¿Cuál es el dominio de esa función? 2
a) 16–2x ; x∈ <0; 2>
e)
2
b) 16–x ; x∈ <0; 7
y
2
c) 16–x ; x∈ <0; 1> 2
d) 8 – x ; x∈ <0; 1>
x
2
e) 32–x ; x∈ <1; 2> 21. Indicar la ecuación que describe la función representada en el siguiente gráfico
25. Si f(x) es una función cuadrática con coeficiente principal igual a uno y f(0)= 1; f(1)= 3. Halle f(2x).
y
2
a) x +x+1 2
b) x –2x–1 2
10
4
c) 4x +2x–1 8
x
2
d) 4x +2x+1
–6
2
e) 4x –2x–1
2
2
a) y=x +8x+10
b) y=x –8x+10
2
2
c) y=–x +7x+10
d) y=–x –8x+10
2
e) y=x +10x+10 22. Según la gráfica, calcular: "a+b"
y
a) 8 g(x)=2x+1
2
c) 12
f(x)=x –6x+16
a
www.trilce.edu.pe
b) 10
b
x
d) 6 e) 11
Tercer año de secundaria
105
27
Capítulo
Practica en casa 1. Relacionar correctamente 2
El vértice de y=–x +6 2
El vértice de y=–3x –2 2
El vértice de y=6x +1 2
El vértice de y=2x –3
7. Calcular "a.b", dada la gráfica: A
(0;–2)
B
(0;1)
C
(0;–3)
D
(0;6)
y –5 f(x)=–x
2
b 5
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) 2
a) f(x)=5x –2 es una parábola abierta ( hacia arriba. 2 b) g(x)=5–x es una parábola abierta ( hacia arriba.
) )
c) (2;3) es un punto que pertenece a la ( 2 gráfica de y=x +2
)
d) (5;2) es un punto que pertenece a la ( 2 gráfica a y=3x –73
)
3. Completar correctamente 2 a) La gráfica de la parábola f(x)=3x –x+1 es abierta hacia
2
8. Si f(x)=–x +8x–20. Hallar el valor máximo de f(x)
2
9. Indicar la gráfica de y=2x –4x+5
10. Calcular el área de la región sombreada:
2
b) La gráfica de la parábola g(x)=2x–3x –2 es abierta hacia
y
2
c) Si (1;3) es un punto de paso de f(x)=2x – x+a entonces a=
2
F(x)=x –x–6
d) Si (2;b) es un punto de paso de
5
2
h(x)=x –5x+6, entonces b= 2
4. Si el vértice de la gráfica de y=–x +4x–2 es b a (a;b). Calcular el valor de "a +b ".
y
2
y
5
4
3
a
2
y
a) 5
y 2
y=x +ax+b
TRILCE
x
f(x)
g(x)
b) 25 c) 10
106
x
12. Hallar "n", si : f(x)=3x ∧ g(x)=nx–12
6. Del siguiente gráfico, calcular "a+b"
Colegios
6
–4
x
Calcular "a+b+c"
5
x
11. Indicar la ecuación que describe la función, representada en el siguiente gráfico.
5. Si la gráfica de f(x)=x –2x+b, es:
c
x
a
2
d) 20
b a
x
e) 15 Central: 6198-100
Álgebra 13. Según la gráfica de las funciones f y g. Determinar el valor de 2a+2b. y
14. Encontrar los valores de "m" para que la función 2
y=–x +12x+m, tenga con el eje de abscisas: I. Dos puntos de corte.
f(x)=x2–3x+3
II. Un punto de corte. III. Ningún punto de corte.
a
15. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba
x
b
g(x)=–x+13
desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza 2
viene dada por la fórmula h=80+64t–16 t (t en segundos y h en metros) I. Hallar la altura del edificio. II. ¿En que instante alcanza su máxima altura?
Tú puedes 1. UNAC 2005–II Una función cuadrática f(x)=mx2+nx+p en el que (0;2) es un punto perteneciente a su gráfico y que tiene un mínimo en el punto (–1;3). En estas condiciones el valor de la expresión m2+n2+p2 es: a) 9 d) 2
b) 1 e) 4
4. Calcular el valor de "a+b", si la gráfica de 2 f(x)=x –7x+a es: a) –3
y
b) 4
f(x)
c) 3
2. UNMSM 2011–II Si f: R→R es una función cuadrática que satisface las condiciones f(1)=2, f(–1)=–2 y f(2)=–4. Hallar g(x)=f(x+1)+f(x–1) 2
c) 2 b
x
b+3
d) 6 e) 12
5. UNAC 2004–II Sean f y g funciones definidas en los números reales, que satisfacen las siguientes relaciones.
a) g(x)=–(16/3)x +4x+1 2
b) g(x)=–(16/3)x +4x 2
2
c) g(x)=–(8/3)x +2x+8/3
f(x)=–g(–x)+x –2
2
d) g(x)=(8/3)x –4x
2
f(–x)=g(x)–x +4;∀x∈R
2
e) g(x)=–(16/3)x +4x–1 3. Según la gráfica de la función: , señale el valor de "a+b" a) 4
y f(x)=x2–(a+2)x+a+5
b) 7
Calcular el valor de f(301)+g(4) a) 15
b) 14
c) 0
d) 900
e) 13
c) –5 b
x
d) –6 e) 3
www.trilce.edu.pe
Tercer año de secundaria
107
28
Capítulo
Repaso IV Problemas para la clase
1. Hallar el conjunto solución de la siguiente 2 ecuación: 36x =5+8x 2
2. En la ecuación: 3x –18x+1=0, hallar la suma y el producto de raíces. 2
2
3. Resolver: (2x–3) +23=(x+5) , mayor solución.
indique
la
4. Hallar la diferencia de raíces en la siguiente ecuación: 2 x +5x–6=0 5. Determinar "n", si la ecuación tiene raíces iguales. 2 x –10x+n–2=0
6. Hallar "p" si la suma de raíces es 8. 2
2
2
(p–2)x –(p –4)x+p +p–1=0 7. Formar la ecuación de segundo grado con coeficientes racionales sabiendo que una raíz es: 3 + 5 8. Indicar el valor de "m" en la ecuación: 2 x +(2m+5)x+m=0, si una raíz excede a la otra en 3 unidades. 2
9. En la ecuación: 4x +5x+6=0 de raíces x1 y x2, calcular: N = (1 − x1) (1 − x2) (1 + x1) (1 + x2) 10. Halle las soluciones no nulas de la siguiente 2 ecuación: 20x +3x+3=0, considere "3" el discriminante de la ecuación.
11. Relacionar correctamente según la teoría de las ecuación cuadráticas 2
A
complejos
2
B
{0; 4}
2
C
4
2
D
−9! 5 2
La ecuación x +9x–1=0, presenta como raíces: La ecuación x –4x+3=0, tiene como suma de raíces: La ecuación x +x+1=0, tiene raíces: La ecuación x –4x=0, presenta como raíces a: 12. Completar correctamente: 2 Dada la ecuación: mx –nx+5=0 a) La suma de raíces es: b) El producto de raíces es: c) La suma de raíces inversas es:
a) 2
b) 3
d) El discriminante es:
d) 1 + 5
e) 1 + 6 2
13. Indicar verdadero (V) o falso (F), con respecto a 2 la ecuación: bx +ax+c= a) La suma de raíces es: − a ( ) b b) El producto de raíces es: c ( ) b Colegios
108
c) Si b=0, las raíces son simétricas ( ) d) Si b=c, las raíces son inversas multiplicativas ( ) 14. Resolver: x(x+3)=5x+3, señalar la mayor solución:
TRILCE
c) 4
2
15. Resolver: 2x –3=3x; indicar una de las raíces a) − 2 + 2
b) 2 − 32 6
d) 7 + 17 2
e)
c)
33 + 3 4
32 + 1 2 Central: 6198-100
Álgebra 16. Siendo y raíces de la ecuación: 2 x +10=3x, calcular: ( +2)( +2) a) 5 d) 20
b) 10 e) 30
c) 15 2
17. Las raíces de la ecuación: x –(2a–1)x=4a+2, se diferencian en 7 unidades. Determine el menor valor de "a". a) –5 d) –1
b) –3 e) –2
c) 1
18. Halle "k" para que la diferencia de raíces sea uno. 2 2x –(k–1)x+(k+1)=0 a) –2 d) 1
b) –3 e) 2
c) 11
19. Calcule el valor de " " si la ecuación de segundo grado: 2 (4– )x +2( x+1)=0; tiene solución única. a) 2 d) 2 y 4
b) 4 y –2 e) 5
c) –4 y 2
2
20. Si el polinomio P(x)=3x –10x+m, tiene raíces reales y diferentes, entonces "m" varía en: a) 0; 1 d) 0; 1@
b) 0; 25 3 e) − 1; 1
c) 0; 2
21. Hallar la ecuación de segundo grado, cuya raíces son: 3 y 5
24. Calcular " + ", si las ecuaciones de segundo grado: 2 ( –1)x +2x+1=0 2 9x +( +1)x+3=0 Son equivalentes. a) 5 d) 11
b) 7 e) 13
c) 9
25. Si las raíces de la ecuación: 2 3(m+3)x =(14m+3)x–(5m–1), son recíprocas, hallar "m" a) 3 d) 2
b) –2 e) 5
c) 4 2
26. Si la ecuación cuadrática: 2x –10x+4p+2=0 tiene raíces x1 = α + 3 / x2 = α − 3 , halle el 2 2 valor de "P" a) 7 2 d) 2 7
b) 3 2 e) 4 3
c) 2 3
27. Halle el valor de "m" en la ecuación: 2
x –mx+5=0, m<0; si sus soluciones a y b verifican: a + b = 3 b a a) 5 b) –5 c) 2 d) –2 e) –3 2
28. Si las soluciones r y s de la ecuación x +3x+k=0, 2 2 verifica r +s =p, hallar una relación entre p y k.
2
a) 2p–k=9
b) 2p+k=3
2
c) p–2k=8
d) p+2k=9
2
e) p+8=2k
a) x –8x+4=0 b) x –8x–15=0 c) x –8x+15=0 2
d) x +8x+15=0 2
e) x –15x+8=0 22. Halle la ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean las inversas de los raíces de la ecuación: 2 x –2x+5=0 2
a) 3x –5x–1=0 2
b) x –10x+16=0
2
d) x –9x+10=0
2 2
c) x –8x+9=0 2
2
e) x –3
c) 2x –5x–1=0 2
d) 5x –2x+1=0 2
e) 3x –x+5=0 2
23. En la ecuación: 2x –4x+p=0, halle "p" si una raíz es: 1 − 2
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2
a) x – 10x + 9 = 0
b) x +5x+2=0
a) 1 d) –1
29. Al resolver un problema que se reduce a una ecuación cuadrática, un estudiante comete un error con el término constante de la ecuación y obtiene por raíces 8 y 2. Otro estudiante comete un error con el coeficiente del término de primer grado y obtiene por raíces –9 y –1, indicar cual es la ecuación correcta.
b) –2 e) 3
c) 2
30. Tanto el largo como el ancho de un paralelepípedo rectángulo, son el doble de su altura. Si cada una de las tres dimensiones aumentase en 1 unidad, el volumen aumentaría en 43 metros cúbicos. ¿Cuál es la altura del paralelepípedo? a) 3m d) 1m
b) 2m e) 6m
c) 4m
Tercer año de secundaria
109
28
Capítulo
Practica en casa
1. Relacionar correctamente según la teoría de las ecuaciones. 2
La ecuación x +7x–1=0, tiene como discriminante: 2
Al resolver x –9=0, se obtiene por conjunto solución a: 2
Si la ecuación ax +bx+c=0, tiene raíces recíprocas entonces: 2
En la ecuación 2x –5x+1=0, la suma de sus inversas está dado por:
2. Completar correctamente
A
a=c
B
37
C
"! 3,
D
5
8. Determinar el valor de "p" en la ecuación: 2 x –6x+4+p=0, si la diferencia de sus raíces es 2.
2
Dada la ecuación: bx +ax+c=0 a) Su discriminante es igual a: b) Si la ecuación posee raíces simétricas entonces: c) Si la ecuación posee raíces recíprocas entonces: d) La suma de sus raíces inversas está dado por:
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), con respecto a 2 la ecuación: x –3x–1=0 a) La suma de sus raíces es: –3
( )
b) El producto de raíces es: 1
( )
c) La suma de sus raíces inversas es: 1
( )
d) La diferencia de sus raíces es:
( )
13
4. Resolver 3(3x–2)=(4+x)(4–x); señalar la menor solución
6 = 5; indicar x+3 una solución del conjunto solución:
5. Luego de resolver
x+3+
9. Indicar el producto de los valores de "m" que 2 hacen que la ecuación: 2x –mx+m–2=0, tengan raíces iguales.
10. Si "m" y "n" son las raíces de la ecuación: 2 x +2x–4=0, calcular el valor de 1 1 N= + m+3 n+3
11. Hallar la ecuación de segundo grado, cuyas raíces son: − 4 y 3 5 7 2
12. Una raíz de la ecuación: 8x –2x+c=0, es x =− 1 ¿cuál es la otra? 2 13. Calcular (n–m) si las ecuaciones 2 (2m+1)x –(3m–1)x+2=0 2 (n+2)x –(2n+1)x–1=0 son equivalentes
2
6. Sabiendo que "x1" y "x2" son las raíces de la 2 ecuación: 2x –6x+1=0, hallar el valor de : (x1+1)(x2+1)
7. Hallar la diferencia de raíces de la ecuación: 2 (2x–7) +8=6(2x–7)
Colegios
110
TRILCE
14. Si p y q son raíces de la ecuación: x –2bx+2c=0, entonces el valor de : 12 + 12 p q 2
15. Si la ecuación: x +(n–2)x+n–5=0, tiene raíces opuestas, y la ecuación: 2 (m+3)x –3(m–1)x+6–m=0, tiene raíces recíprocas, calcular el valor de m.n
Central: 6198-100
Álgebra Tú puedes 1. CEPRE – UNFV
4. CEPRE – UNI
Para que valor de "m" las raíces de la ecuación 2
x + 3x = m − 1 serán iguales en magnitud, 5x + 12 m + 1 pero de signos contrarios a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
Calcular los valores de "m" proporcionar el mayor, para los cuales las ecuaciones: 2 2
c) 4
2. CEPRE – UNAM Dada la ecuación de segundo grado: 2
4x –x+3=0, formar una nueva ecuación cuadrática cuyas raíces sean la suma y el producto de las inversas de las raíces de dicha ecuación. 2
a) 9x –15x+4=0 2
b) 10x –15x–4=0
3
(m–2)x –(m+2)x–(n +6)=0 2
3
(m–1)x –(m +1)x–(4n –4)=0 tendrán las mismas soluciones; (n∈Z) a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
2
5. La ecuación x +4x+(m–1)=0, tiene raíces 2
reales, pero la ecuación x –2x+(m+1)=0 tiene raíces complejas. Hallar la suma de los valores enteros de "m". a) 10
b) 15
d) 13
e) 9
c) 14
2
c) 9x –15x–4=0 2
d) x –15x–2=0 2
e) 3x –x+4=0 3. CEPRE – UNI n
n
n
Si: x +2 x+2 =0, tiene dos raíces reales diferentes, entonces "n" es: a) 0
b) 1
d) mayor que 2
c) 2 e) menor que 2
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Tercer año de secundaria
111
29
Capítulo
Progresiones I Problemas para la clase
1. Calcular "a" (3a–2)–(8a–4)=5(a–3)
2. Indicar an si: an+am=18 an–am=12
6. En la siguiente P.A. ÷(x–7); 5; (x+3), ¿cuál es el valor de "x"? a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
7. En la siguiente progresión aritmética, calcular el término de lugar 31. ÷3; 6; 9; ... a) 91
b) 92
d) 94
e) 95
c) 93
8. En la P.A. ÷4; x; 14; y; 24; ... .Hallar: 2y–x 3. Despejar "p" en: 5(x+3)=2(x+1)+3p
a) 29
b) 30
d) 32
e) 33
c) 31
9. Hallar la suma de los 20 primeros números impares 4. Si: S=400, calcule "n" en: S = n (n + 20) 2
a) 400
b) 404
d) 406
e) 376
c) 398
10. Luego de interpolar 3 medios aritméticos entre 6 y 30, se forma una progresión de 5 términos cuyo término central es: a) 12
b) 18
d) 24
e) 30
c) 16
5. Indique el equivalente numérico de "r" en: 5x − 2y siendo: 5x ^ 2y r= 4y − 10x
Colegios
112
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra 11. Relacionar correctamente según la teoría de progresión aritmética. En ÷3; 5; 7; 9 ..., su razón es:
A
3
Si ÷2; 4; 6; 8; ..., entonces t10 es:
B
20
El valor de "n" en ÷n–2; 4; n+4 es:
C
195
Calcular: 3+5+7+...+27
D
2
12. Completar correctamente Dada la P.A. ÷7; 15; 23; ... a) La razón es:
19. La suma de los "n" términos de una P.A. es: Sn = ` 7n + 1j .n, calcular el término que ocupa 2 el lugar 21.
b) El término de lugar nueve es: c) El
término
n–ésimo
está
dado
por:
d) La suma de los 6 primeros términos es: 13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ÷5.5; 6.75; 8; ...; 18 a) El primer término es: 5.5 ( ) b) La razón es: 1.25
( )
c) El número de términos es 16
( )
d) La suma de todos sus términos es 270 ( ) 14. Hallar el término que ocupa el lugar 15 de la siguiente P.A. ÷12; 8, 4; ... a) –12 d) –20
b) 44 e) 21
c) –44
15. En la P.A. ÷100; 96; 92; ..., calcule el término que ocupa el lugar 18 a) 28 d) 31
b) 29 e) 32
c) 30
16. Dadas las progresiones aritméticas: ÷x: 2y; (4x+1); ... ÷y; (x+y); (2y+2); ..., calcule el valor de (x+y) a) 7 d) 13
b) 4 e) 9
c) 3
17. En una P.A. los términos que ocupan los lugares 54 y 4 son –61 y 64; hallar el término que ocupa el lugar 23. a) 15 d) 16.5
b) 15.5 e) 17
c) 16
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b) 53 e) 60
c) 54
b) 144 e) 100
c) 169
20. En una P.A. el tercer término es igual a 4 veces el primero y el sexto término es igual a 17. Halle la suma de los 8 primeros términos. a) 50 d) 100
b) 30 e) 20
c) 80
21. Hallar la razón para interpolar 6 medios aritméticos entre 32 y 70. a) 5 3 7 d) 5 4 7
b) 4 3 7 e) 2 7 8
c) 3 7 8
22. Hallar el menor de tres números que están en P.A. tales que al adicionales respectivamente 3; 10 y 2, las sumas obtenidas sean proporcionales a 2; 6 y 7. a) 10 d) 7
b) 13 e) 9
c) 8
4
2
23. Los números ÷144; x ; 2x formaron una P.A. entonces los valores reales de "x" son: b) ±3 e) ±2
a) ± 8 d) ±5
c) ±4
24. Calcular la suma de los "p" primeros términos de la P.A. cuyo término n–ésimo es: 3n–1 a)
p (3p − 1) 3
d) 3p+5 25. Sea
la
b)
p (3p + 1) 2
e)
p (p − 1) 2
sucesión 2
"an,
c) 3p–2
definida
por:
2n + 1 − 2 n + n determine el valor de
an = 24
18. ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A. ÷13; 20; 27; ...; 391? a) 52 d) 55
a) 122 d) 224
/ ak
k=1
a) 16 d)
24 − 1
b)
24
e)
25
c) 4
Tercer año de secundaria
113
29
Capítulo
Practica en casa
1. Relacionar correctamente según la teoría de progresión aritmética. En ÷1; 5; 9 ..., su razón es:
A
44
Si ÷3; 7; 11; ..., el término 11 es:
B
4
Calcular: s=1+3+5+7+...+(2n–1)
C
n
Hallar "x" en ÷4x–4; 5; 3x
D
2
2. Completar correctamente Dada la P.G. ÷ 5; 18; 11; .....
2
9. La suma de tres términos en progresión aritmética es 27 y la suma de los cuadrados es 293. Hallar
a) La razón es:
el mayor de los términos.
b) El término de lugar 4 es: c) El
término
n–ésimo
está
dado
por: 10. La suma del tercero y octavo término de una
d) La suma de los 5 primeros términos es:
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) con respecto a la P.A. ÷–5; –13; –21; ...; –85 a) El valor de la razón es; 8
( )
b) El primer término es: –5
( )
c) El número de términos es: 10
( )
d) La suma de sus términos es: –100050 ( ) 4. Hallar el término que ocupa el lugar 15 de la siguiente P.A. ÷12;8 ; 4; ...
P.A. es 41 y la relación del quinto al séptimo 19 . ¿El segundo términos es? 25
11. En una P.A. de 6 términos creciente, de términos positivos, el producto de los extremos es 154 y el producto de los términos centrales es 208. El último término es:
12. Calcular el valor de: K=1–2+3–4+...–2n
5. En una progresión aritmética el primer término es 3 y el último 33. Hallar el número de términos que tiene, si su suma es 162.
6. La suma de 15 términos de P.A. es 600 y la razón es 5. Hallar el primer término. 7. El primer término de una P.A. es 5, el último 45 y la suma 400. Hallar el número de términos y la razón.
8. Cuántos términos debe tener una P.A. cuya razón es 2. Sabiendo que el noveno término es 21 y la suma de todos ellos es 437. Colegios
114
TRILCE
13. Determine el número de medios aritméticos que se pueden interpolar entre los números 1 .......... 3 , si la razón de interpolación es 1 2 4 64
14. Si la suma de "n" términos de una P.A. es 2
2n +5n, para todos los valores de "n". Hallar el término de lugar 10.
15. En una P.A. de 15 términos, la suma de los términos es 360, ¿cuál es el valor del término central?
Central: 6198-100
Álgebra Tú puedes 1. CEPRE – UNI
4. CEPRE – UNI
Hallar la suma de las "n" primeros términos de la
La suma de los primeros "n" términos de la
sucesión. 1+11+111+1111+...
sucesión
a) 10n+4n–10
n b) 10 − 9n − 10 81
n c) 10 + 9n − 10 81
n+1 d) 10 + 9n − 10 81
n+1 e) 10 − 9n − 10 81
2 2 2 ' n − 1, n, n + 1, n + 2 , ..., es: n n n
a) n (n + 1) 2
b) (n − 1) (2n + 3) 2
c) (n − 1) (2n + 1) 2
d) 2n + 3 2
e) n (n − 1) 2
2. CEPRE – UNMSM La suma de los tres primeros de una P.A. es 42, la suma de los 3 últimos es 312, y la suma de
5. CEPRE – UNAC
todos los términos es 1062 ¿cuántos términos
La suma de los "n" términos de una P.A.
tiene dicha P.A.?
es 2n +3n. Hallar el término 50 de dicha
2
a) 18
b) 10
d) 12
e) 6
c) 8
3. CEPRE – UNMSM
progresión. a) 196
b) 210
d) 201
e) 190
c) 192
Un coronel que tiene a su mando 3003 soldados los que quiere formar en triángulo de manera que la primera fila tenga 1 soldado, la segunda 2, la tercera, y así sucesivamente. ¿Cuántas filas habrá? a) 70
b) 71
d) 77
e) 74
c) 72
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Tercer año de secundaria
115
30
Capítulo
Progresiones II Problemas para la clase
1. Hallar an en: an+ap=12 an–ap=10
6. Hallar el término que ocupa el lugar 7 de la siguiente P.G. .... 2; 8; 32; ... a) 211
b) 212
d) 214
e) 215
c) 213
7. Calcular el número de términos en la siguiente P.G. .... 4; 8; 16; ...; 4096
2. Calcular "q" es: q+3 q+5 = q−1 q−3
a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 12
8. En una P.G. el primer término es 7, el último término 448 y la suma 889. Hallar la razón.
3. Hallar "to" en: 2 (to+5)(to+3)=(to+1)
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
9. Luego de interpolar 3 medias geométricas entre 5 y 3125 se obtiene un razón igual a: 4. Indique "n" en: (n − 2) (n + 7) = n + 1
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
2 3 10. Calcular la suma 1 + 1 + ` 1 j + ` 1 j + ... 2 2 2
5. Despejar x en
8 = 8.2 x + 1
a) 1
b) 2
d) 8
e) 16
c) 4
11. Relacionar correctamente según la teoría de progresión geométrica. .. .. 2 : 4 : 8 : 1 6 : . . . ,
En
116
A
±3
2 : 6 : 1 8 : . . . , entonces t5 es: El valor de "y" en .... y + 1 : 3 y : 9 y – 6 : . . . , es:
B
162
C
2
En una P.G. se conoce: S4=10S2; hallar "q"
D
2
Si
Colegios
su razón es:
.. ..
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra 19. La suma de los términos de una P.G. de razón 3 es 728 y el último término es 486. Hallar el primer término.
12. Completar correctamente: Dada la P.G.
.. .. 3:6:12:
...
a) La razón es: b) El término de lugar 7 es: c) El
término
n–ésimo
está
dado
por:
d) La suma de los cinco primeros términos es: 13. Indicar verdadero (V) o falso (F), con respecto a la P.G. .... 2:8: ...:8192 a) El primer término es: 2
( )
b) La razón es: 4
( )
c) El número de término es: 7
( )
d) El último términos es: 8162
( )
14. Hallar el término que ocupa el lugar 9 de la siguiente P.G. .... 1 : 1 : 1: ... 4 2 a) 4
b) 16
d) 64
e) 128
c) 32
15. Calcular el número de términos de la siguiente progresión: .... 2:6:...:1458 a) 4
b) 5
d) 7
e) 8
16. En la P.G.
.... 2:x:18:y:z:...,
a) 111
b) 120
d) 222
e) 300
c) 6
hallar x+y+z c) 166
17. Dada una P.G. se cumple que t5=2; t11=128; indicar el valor de la razón. a) 3/2
b) 2
d) 5/3
e) 5
c) 4
18. En una P.G. t8=8t5 y t5+t8=6, calcular t1 a)
1 24
d) − 1 30
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b) − 1 24 e) 1 44
c)
1 30
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
20. La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una P.G. de 6 términos es 637 y la suma de los que ocupan el lugar par 1911. Hallar la razón a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
c) 5
21. En una P.G. se conoce. S6=28S3, hallar "q" a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
22. Interpolar 3 medios proporcionales entre : ab y a , indicar el tercer término de la progresión b obtenida. 2
a) b
b) ab
c) a
d) a b
e) a b 2
23. Señalar el valor de: K = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... 2 3 4 9 8 a) 0,2 d) 0,8
b) 0,4 e) 1,0
c) 0,5
24. Sea la sucesión {an} cuyo término enésimo está dado por la fórmula de recurrencia. a1=2 y an = 1 an–1; indicar el valor de: 2 a1+a2+a3+a4+... a) 4 d) 10
b) 5 e) 11
c) 6
25. En un cuadrado cuyo lado es "a" se unen los puntos medios de los cuatro lados y se forma otro cuadrado cuyos puntos medios se unen también para formar un nuevo cuadrado y así sucesivamente. Calcular el límite de la suma de las áreas de todos los cuadrados así formados. 2 a) a 2 2 d) 6a
b) a
2
e) 2a
c) 3 a2 2 2
Tercer año de secundaria
117
30
Capítulo
Practica en casa
1. Relacionar correctamente según la teoría progresión geométrica: En ÷÷ 3 : 3 : 27: ....., su razón es:
A
Si: ÷÷ 5 : 25 : 125 : ... , entonces t5 es:
B
3125
Si: ÷÷ a1 : a2 : a3 : .... an, su término central es:
C
3
2. Completar correctamente: Dada la P.G. ÷÷ 8 : 16 : 32 : ....
a1a2
9. La suma de una P.G. de razón 3 es 728 y el último término es 486. Hallar el primer término.
a) La razón es: b) El término de lugar 8 es: c) El
término
n–ésimo
está
dado
por:
3. Indicar verdadero (V) o falso (F), en: ÷÷5 : 10 : 20 : ....: 320 ... a) El primer término es: 5
(
)
b) La razón es: 3
(
)
c) El número de términos es: 7
(
)
4. Hallar el término que ocupa el lugar 7 de la siguiente P.G. ÷÷ 1 : 1 : .... 2 4 5. Calcular el número de términos de la siguiente progresión: ÷÷ 1 : 2 : 1: ... : 256 2 2 2 2 6. En la P.G: 9 : a : b : 1 : ..., hallar a +b 3
7. En una P.G. se cumple que: t5=32; t8=4, indicar el valor de la razón. 8. La suma de los seis primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros. Hallar la razón.
Colegios
118
TRILCE
10. De la P.G. cuyos términos son t1, t2, t3, ..., tn, t .t además: t1=16, determine el valor de 5 4 t8 11. La diferencia del sexto término y el tercer término de una P.G. es 26 y el cociente es 27. Calcular el primer término.
12. Interpolar 4 medios geométricos entre 5 y 5,120; indicar la razón.
13. Hallar la suma de los infinitos términos de: 1 + 2 + 1 + 2 + ... 7 72 73 7 4
14. Calcular la suma de la serie indefinida: 3 + 7 + 15 + 31 + ... 4 16 64 256
15. La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una P.G. de 6 términos es 637, y la suma de los que ocupan el lugar par 1,911. Hallar el primer término.
Central: 6198-100
Álgebra Tú puedes 1. CEPRE – UNAC
4. UNMSM 2010–II
Tres números enteros están en P.G. si al segundo se le suma 2, se convierte en aritmética, si a continuación se suma al tercero 9, vuelve a ser geométrica, hallar el mayor de los números. a) 25
b) 16
d) 5
e) 2
c) 30
e) 5/12
a) 3
6
b) 3
5
6
c) 2(3 ) 6
e) 3(2 )
5. CEPRE – UNI
K = 3 − 2 + 32 − 22 + 33 − 23 + ... 5 7 5 7 5 7 d) 13/12
de esta progresión. 5
Determinar el valor de:
b) 5/4
5
Halle 7 veces la cuarta parte de sexto término
d) 2(3 )
2. CEPRE – UNAM
a) 1/2
La suma de los "n" primeros términos de una 3n + 1 P.G. es 21– n − 1 . 7
c) 1/4
3. CEPRE – UNMSM La suma de los términos que ocupan el lugar impar de una P.G. de 6 términos es 637, y la
Si x<1; calcular el límite de la suma de la serie 2
3
4
indefinida 1+3x+5x +7x +9x +... a) x + 1
n+1 +3 b) x x
c) 2x + 3
d)
n
e)
1+x (1 − x) 2
x2 − 1 (x + 1) 2
suma de los que ocupan el lugar par 1.911. Hallar el primer términos y la razón. a) t1 = 7; q=2 c) t1=3; q=7
b) t1=7; q=3 d) t1=4; q=3
e) t1=5; q=1
“Se íntegro y todas la cosas vendrán a tí" www.trilce.edu.pe
Tercer año de secundaria
119
31
Capítulo
Logarítmos I Problemas para la clase 1. Calcular: 2 9 + (32) 2 + (− 2) 3
6. Calcular: Log2 32 + Log3 27 + Log5 25 a) 6
b) 7
d) 9
e) 10
c) 8
7. Calcular:
2. La potencia de 2 a la 6 es:
Log6 1 + Log7 7 + Log3 81 Log2 64 + Log6 36 + Log7 49
3. La raíz cúbica del opuesto de 8 es:
a) 1
b) 1/2
d) 1/4
e) 5
c) 2/3
8. Calcular: Log 4 8 + Log9 27 + Log25 125
4. Hallar "x" en: x 3 2 3 = 2 + 3 + 10
a) 3/2
b) 3
d) 5/2
e) 2
c) 9/2
9. Reducir: 1 log 2 + log 3 25 0,5 5 3
5. En la siguiente igualdad: log Y X = Z
a) –1/3
b) 0
d) 2/3
e) 3
c) 1/3
10. Indicar "r" log2 (r + 5) = log3 81
Indicar el logarítmo:
a) 10
b) 11
d) 13
e) 76
c) 12
11. Relacionar correctamente considerando la igualdad: log b am = c
Colegios
120
c
• Si "a" vale 1 entonces "c" vale
A
b
• El valor de a es
m
B
m
• Si a = m b entonces "c" vale
C
cero
• Si a=b entonces "c" vale
D
uno
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra 12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. El logaritmo en base 9 de 3 es 2
(
)
II. El logaritmo de 2 en base 8 es 3
(
)
III. El logaritmo en base 5 de 25 es 2
(
)
IV. El logaritmo en base 8 de 4 no es entero (
)
V. El logaritmo en base 1 de 3 no está de( finido
)
13. Completar : I. La propiedad de la suma de dos logaritmos se aplica solo cuando tienen igual II. El
logaritmo es –1 cuando la base es la del número
III. El logarítmo es cero cuando el número es . 14. Calcular:
b) 3/4
d) 6/5
e) 5/6
b) –3/2
d) –1
e) –3
d) 0,05
e) 0,25
d) 8
e) 10
18. Calcular: Log 2
3
2 + Log3
a) 103 5
b) 52 5
d) 133 60
e) 113 30
www.trilce.edu.pe
e) 123 53
20. Calcular: Log 4 8 + Log 4 2 + Log3 54 − Log3 2 a) 6 d) 7
b) 5 e) 8
c) 4
Log12 36 + Log12 4 Log6 108 + Log6 2
21. Calcular: a) 2/3 d) 1
b) 3/2 e) 3
2+Log25
c) –1
1+Log54
+5
a) 18 d) 32
c) 1
b) 36 e) 26
c) 48
b) 34 e) 42
c) 40
24. Calcular el logaritmo de 9 en base 1024 16 243 a) 3/5 d) –2/5
b) 2/5 e) 1/3
c) 4/5
25. La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula: M(x) = Log ` x j
c) 0,02
xo
Donde: x = Lectura del sismógrafo –3 xo = 10 (Lectura referencial)
Log 2 8 + Log 3 3 81 + Log 4 4 64 8 9 b) 9
d) 13 59
c) 124 135
Log8 125 Log 27 + 25 125
17. Calcular:
a) 5
b) 375 256
23. Calcular: 4
Log25 0, 2 + Log 4 0, 5 Log2 0, 25 + Log5 0, 04 b) 0,5
a) 213 49
a) 30 d) 40
c) 3/2
16. Calcular:
a) 0,2
7
2
15. Calcular: Log0,2 5 + Log0,5 2 + Log0,25 4 a) –2/3
Log 2 3 4 + Log3 2 3 9 3 Log 8 2 + Log3 5 49
22. Calcular:
Log16 64 + Log8127 Log27 9 + Log8 16 a) 9/8
19. Calcular:
c) 7 4 9
9 + Log 4
2
• Si se registra una lectura de 10 , indicar la magnitud del movimiento telúrico. 5 8
c) 114 35
8
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 15
• Si se produce un terremoto de grado 6 en escala de Richter, indicar la magnitud de la lectura del sismógrafo. a) 1/100 d) 1000
b) 100000 e) 100
c) 10000
Tercer año de secundaria
121
31
Capítulo
Practica en casa 1. Calcular: Log2 64 + Log3 9 + Log5 625
9. Calcular: Log 8 3 16 + Log3
Log5 1 + Log6 6 + Log2 128 Log2 16 + Log 4 64 + Log9 81
2. Calcular:
10. Calcular: Log12 8 + Log12 18 + Log6 72 − Log6 2
Log8 4 + Log9 243 Log16 128 + Log8 2
11. Calcular:
5. Calcular: Log0,5 8 + Log0,25 2 + Log0,2 125
7. Calcular: Log 7 343 + Log3 8. Calcular: Log 5 3 5 + Log 4
3
27
3+Log25
+2
Log9 16 Log 125 + 16 8
4 3
3
27 + Log5
1+Log37
13. Calcular: 27
16 + Log 4
4
Log12 36 − Log12 3 Log6 9 + Log6 4
12. Calcular: 3
Log25 0, 04 + Log8 0, 25 Log 4 0, 5 + Log5 0, 2
6. Calcular:
8
5 Log 5 3 25 + Log 4 9 27
3. Calcular: Log27 9 + Log8 32 + Log125 5 4. Calcular:
4 4
4
27
14. Calcular el logaritmo de 729 en base 32 64 243 Log57 Log7 3 Log 12 Log 2 ) + (27 3 ) 12
15. Calcular: (25
4
Tú puedes 1. Calcular el logaritmo de ^ 2 + 1h en base ^ 2 − 1h . a) 3/2
b) 1/2
d) 1
e) –1
c) 1/4
2. Calcular:
101/2−Log(0,5
b) 10
d) 1
e) –2
3. Si x =
a) 5 d)
3
x
Log2x
+4
Log
+6
b) 25 5
c) 1/2
3 . Calcular:
Log
Logx (3
Log2 (Log2 (Log2 (Log2 65536))) a) 8
b) 4
d) 2
e) 1
c) 6
5. Si log2= m y log3= n
10 )
a) 2 10
4. Calcular:
6
Halle: Log615 a) m
b) n
c) m–n
d) m–n + 1 m+n
e) n–m + 1 m+n
x
) c)
2
e) 12
"Encomienda a Dios tu camino; y confía en él; y él hará" Salmo 37:5 Colegios
122
TRILCE
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Capítulo
Logarítmos II
32
Problemas para la clase 1. Resolver:
6. Calcular:
x
x=
y
y=
z
z=
u
u=
2 = 16 3 = 27 4 = 1 5 = 5 2. Resolver: 3
x=
6
y=
4
z=
3
u=
6 = x 2 = y 3 = z 5 = u
Log 100 + Ln e + Log 0,01 – Ln 1 a) 1
b) 2
d) 4
e) 6
7. Calcular: Log6 4 . Log2 6 Log3 5 . Log5 3 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
8. Calcular:
2
x=
a) 1
b) 2
3
y=
d) 4
e) 5
4
z=
5
u=
y = 64 z = 16 u = 243 4. Resolver: 4
x/2
= 8
x=
8
y/3
= 32
y=
27
z/3
= 9
z=
16
u/4
= 64
u=
5. Resolver: x
x=
y
y=
z
z=
u
u=
7 = 1/7 2 = 1/4 3 = 1/27 4 = 1/2
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c) 3
Log3 8 . Log7 5 . Log2 7 . Log5 3
3. Resolver: x = 49
c) 3
c) 3
9. Reducir: 2 + log 5 45 log3 45 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
10. Calcular: log32 6 log16 6 a) 1/5
b) 2/5
d) 4/5
e) 1
c) 3/5
Tercer año de secundaria
123
32
Capítulo
11. Relacionar: • La base del logaritmo natural es
A
cero
• El logaritmo decimal de 10 vale
B
diez
• El logaritmo decimal del logaritmo natural del número e vale
C
e
• Al sumar logaritmos decimales se obtiene un logaritmo en base
D
uno
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en: Logb c
E=a
I. Si E=1 entonces a = 1 o c = 1
(
)
(
)
(
)
(
)
V. Si "b" se intercambia de lugar con "c" no se altera el resultado (
)
II. Si E = c entonces a = b III. Si E = a entonces c =
2
b
2
2
IV. Si "c" es igual a b el resultado es a
I. En el producto de logaritmos se puede cancelar la
de un logaritmo con
el número de otro logaritmo. II. En el logaritmo natural y el logaritmo decimal no se coloca la III. Al dividir el logaritmo natural de ” a ” entre el logaritmo natural de 10 se obtiene el logaritmo
de “ a”.
124
TRILCE
18. Calcular: Log3 5 Log5 10 Log7 2 + + Log3 10 Log7 10 Log5 10 a) 2 d) 3
b) 1 e) 1,5
c) 4
19. Si: x = Log2 5, expresar el equivalente de b) 1 x e) x + 1 x
1 x−1 d) x x−1 a)
c)
1 x+1
20. Calcular:
^Log2 5h
5 +
a) 13 d) 5
^Log1115h
15
b) 12 e) 10
c) 14
b) 3 e) –1
c) 2
Log 2 Log37 −7 3 Log27
b) 3/2 e) 5/2
c) 3/4
b) 2 e) 1
b) 5 e) 12
3 a) 0 d) 1
22. Calcular: 2 c) 4
16. Calcular: 1 + 1 Log2 6 Log108 6
Colegios
c) 6
2
15. Calcular: Log 5 . Ln 100 . Log25 e
a) 6 d) 3
b) 2 e) 15
21. Calcular:
14. Calcular: Log3 4 . Log8 9 Log 4 125 . Log5 2
a) 10 d) 5
a) 3 d) 5
Log 2 en términos de "x".
13. Completar:
a) 1/4 d) 8/9
17. Calcular: ^1 + Log5 3h^1 + Log3 5h − Log5 3 − Log3 5
c) 2
4+Log34 6
+4
2+Log32
Log316
8
a) 18 d) 15 23. Calcular: 2 Ln 5 (4eLn) 4 5 a) 8 d) 9
b) 17 e) 32
c) 16
b) 10 e) 25
c) 14
Central: 6198-100
Álgebra 24. Calcular: 1 1 1 + + 1 + Logx yz 1 + Log y xz 1 + Logz xy a) 3 d) 10
b) 1/3 e) 0,1
c) 1
25. La demanda "D" de un producto se relaciona con su precio de venta "p" con frecuencia mediante la ecuación: LogaD = Logac – K Logap; donde "a" "c" y "K" son constantes positivas, entonces: • Despejar "D" en esta ecuación: K
K
a) D=c.p b) D=p.c –K –K c) D=c.p d) D = p.c –c e) D=K.p • Para un precio de S/.10 con: c=1000; K=2, indicar el valor de la demanda: a) 1/10 d) 100
b) 1 e) 1000
c) 10
Practica en casa 1. Calcular: Log 1000 + Ln 2. Calcular:
e + Log 0,1 – Ln e
2
Log7 16 . Log8 7 Log9 6 . Log6 27
9. Si x = Log5 3, expresar el equivalente de Log15 3 en términos de "x". 10. Calcular: ^Log3 7h
7 +
^Log6 5h
5
3. Calcular: Log8 6 . Log3 10 . Log6 4 . Log3 4. Calcular:
Log8 9 . Log27 4 Log16 25 . Log125 32
Log53 Log 6 +3 5 1+Log53
11. Calcular: 6
6
5. Calcular: Log27 6 . Ln81. Log36 e
12. Calcular: 43+Log 8 + 82+Log 4 8Log 4
6. Calcular: 1 − 1 Log50 5 Log2 5
2 13. Calcular: 56Log 7 6 2
7. Calcular: ^2 + Log2 7h^2 + Log7 2h − Log2 49 − Log7 4
14. Calcular: 1 1 1 + + 1 + Log 4 36 1 + Log2 72 1 + Log18 8
8. Calcular: Log5 2 Log9 6 Log2 3 + + Log2 36 Log5 36 Log9 36
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Log 6
15. Calcular:
Log6 3 Log 72 +3 6 Log6 2
2
3
Tercer año de secundaria
125
32
Capítulo
Tú puedes y
x
1. Si: x . y = (xy) Reducir:
2
x≠y
4. Calcular: Log (Log9 36)
y x + Log y x + 1 Logx y + 1
a) 0,5
b) 1
d) 0
e) 0,25
(Log6 3)
c) 2
2. Si Log14 28 = a . Calcular: Log 49 16 a) 2 (a − 1) 2−a
b) 2 (1 − a) 2−a
d) a − 2 1−a
e) 2 − a a
2
c) 1 − a 2−a
a) –36
b) –1
d) 6
e) 9
c) 3
5. Si Logab a = 3. Calcular: Logab ^ a 3 b h a) 1/6
b) 2/5
d) 5/6
e) 1
c) 2/3
2
3. Si: x + y = 1. Reducir: 1−y Log ` x j + Log c m 1−y 1+y x−y+1 2 Log c m x+y+1 a) 2
b) 1
d) 0,25
e) 4
c) 0,5
"Honra a tu padre y a tu madre, que es el primer mandamiento con promesa; para que te vaya bien, y seas de larga vida sobre la tierra" (Efesios 6:2–3) Colegios
126
TRILCE
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Capítulo
Logarítmos III
33
Problemas para la clase 1. Calcular: Log2 8 + Log 4 16 = Log9 1+ Log3 9 = Log5 25 − Log25 1 = Log9 81 − Log3 3 =
1 Log3 81
=
1 Log25 5
=
1 Log813
=
6. Calcular: x + y + z si 2. Calcular:
Log5 x 2= ; Log3 y 4; Log2 z = 3 =
Log2 16 = Log2 4 Log3 9 = Log3 81 Log2 4 . Log 4 16 = Log3 9 . Log9 81 = 3. Calcular: Log7 2 =
7
Log6 3 =
a) 111
b) 112
d) 114
e) 115
c) 113
7. Calcular "x", si Logx + Log3 = Log 90 – Log 2 a) 13
b) 14
d) 16
e) 17
c) 15
8. Calcular "x" si
36
10Log 2 + eLn x = 2012
10Log 2 =
a) 2009
b) 2010
d) 2012
e) 1
eLn 6 =
9. Resolver:
4. Completar: Log3 2 + Log9 5 = Log9 Log5 3 + Log125 2 = Log125 Log2 x + Log 4 x + Log16 x = Log16 Log7 6 − Log 49 2 = Log 49 5. Calcular: 1 Log2 4 www.trilce.edu.pe
c) 2011
=
log (Antilog (x+3)) = Colog 0,1 a) 1
b) –1
d) –3
e) 0
c) –2
10. Calcular: Co log2 8 + Anti log3 4 + log 100 a) 79
b) 80
d) 93
e) 101
c) 81
Tercer año de secundaria
127
33
Capítulo
11. Relacionar: • Logb x = a
A
x=b a
• Logx b = a
B
x=a
• Loga x = b
C
x=a b
• Logx a = b
D
x=b
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Colog 1000 = 3
( )
II. Antilog 2 5 = 32
( )
8
III. Ln e = e
8
( )
IV. Log52 x = Log5 x2
( )
13. Completar: I. En una igualdad de dos logaritmos se iguala los números siempre y cuando tengan la misma
.
del mismo número suman III. El antilogaritmo decimal del logaritmo decimal del número p es igual a x + 1 si: Log3 (Log2 x) = 1
a) 1 d) 5
b) 3 e) 2
c) 4
2
15. Calcular: Log5(x +2) Log32
Si: 3 a) 1 d) 4
Log2x
+4
c) 3
16. Calcular Logx ` 16 j si: 9 Log336 + Colog3x = antilog31 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17. Calcular: Log9 (0, 5 x) en Log3 6 = Log9 (2x) a) 2 b) –1 c) –2 d) –3 e) 1 18. Indicar la menor solución obtenida al resolver: 1 + Log5 x2 = Log5 40 − Log5 2 a) 3 d) –2
Colegios
128
TRILCE
b) –3 e) 1
19. Indicar el producto de las soluciones al resolver: Log23 x = 4 a) 3
b) 4
c) 2
d) 6
e) 1
20. Indicar el producto de las soluciones de: 2 Log x + colog x = 6 a) 1
b) 100
d) 0,1
e) 10
c) 20
21. Indicar el producto de las soluciones al resolver: (Ln x + 1) Ln x = 12 d) e
b) e
3
c) e
2
e) 1
22. Reducir: E = log0, 25 8anti log64 `co log8 ` 1 jjB 2 a) 1
b) –1
d) 1/4
e) –1/4
c) 1/2
23. Indicar la menor solución al resolver: 2
2
Log x–Logx =15 a) 0,1
b) 0,001
d) 100
e) 10
c) 0,01
24. Indicar la suma de las cifras de la solución de: Log Log (x − 1) = 1
= anti log5 2
b) 2 e) 5
a
a) 1/e
II. El cologaritmo y el logaritmo en la misma base
14. Calcular
b
c) 4
3
3
a) 11
b) 9
d) 7
e) 8
c) 10
25. La temperatura "T" en ºC de un objeto en el –2t momento "t" se expresa: T=75 e ; donde t: horas; T: temperatura en ºC; expresar "t" en función de "T" a) t = Ln
75 T 2
c) t = Ln ` 75 j T e) t =
b) t = Ln
T 75
2 d) t = Ln ` T j 75
Ln ` 75 j 7
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 1. Calcular a + b + c, si: Log3 a 2= ; Log 4 b 1; Log6 c = 0 =
9. Indicar el producto de las soluciones al resolver 2 Log x – 9 = 0
2. Calcular "x" si: Log3 75 − Log3 5 = 1 + Log3 x
10. Indicar el producto de las soluciones de 2 Log x – colog x = 12
3. Calcular
x + 9 si: Log3 (Log 4 (Log2 x)) = 0 Log6 x
4. Calcular "x" si: 6
Log2x
+2
= 10Log 2000
11. Indicar el producto de las soluciones al resolver (Log x + 2) Log x = 3 12. Indicar la suma de las soluciones al resolver: Log2x
x 5. Calcular Log (x – 10) si: eLn 8 + Anti log 2 = 10Log x + co log 100
= 16
13. Indicar el producto de las soluciones al resolver Log23 x − Log3 x3 = 10
6. Calcular Log2 (x + 2) si: Co log2 Anti log2 6 + Log3 Anti log3 x = Log x + co log x
7. Calcular Log2 (0, 5 x) en Log5 8 = Log25 (4x)
14. Indicar la suma de las cifras de la solución de Log 4 Log3 x − 1 = 0 15. Calcular "x" al resolver: 100Log x−2 = 1, 44
8. Indicar la menor solución obtenida al resolver: 2 + Log3 x2 = Log3 72 − Log3 2
Tú puedes x
a) 1/5
b)
d) 5
e) 25
c)
2
logx 81
b) 3
d) 1/9
e) 1/27 x
5
=x
c) 1/3
x
x
3. Resolver: 4 = 2( 14 ) + 3(49 ) a) log7 3 c)
Log 3 Log 2 − Log 7
x − y = Log c a + b m a−b x
Calcular: 10 – 10
2. Calcular el valor de "x" en: 3 a) 1
b) log2 7 d)
y
4. Dado el sistema: 10 +10 = a
1. Hallar "x" en Logx 4 125 = 3 2
Log 7 Log 3 + Log 2
y
a) 2a
b) a
d) 2b
e) a–b
c) b
x 5. Resolver: ab = c
a) loga a
b) logb (loga c)
c) loga (logc a)
d) logac b
e) log (logb ac)
e) Log 3
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Tercer año de secundaria
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