l E) P (x )< 0 ,V x e ( - 2 ; - l ) R E S O L U C IÓ N : * Factorizando, resulta: P (x )= (x -l)s(x+ 2 )2 A kj B = $ C)A r\B = $ - + A = # A B = fi D)A \j B = 4 ~ > A = $ a B = $ E ) j CJ A = A ;V A =U(O;8o>=2(240)=480 ♦ Luego: q 107. Simplifique la fórm ula lógica (Pa q) v - {(p v q) -» (p a q)) v fp v q) A) p -> q B )p A q C )p v q D )q -> p E) - p a q 108. Simplifique la siguiente proposición: ~[q -> (P -> ' q)l -> K~P -p l A) p a ~ q B) ' p a q C )~ (p A q ) D) ~(P v q) E) p v q C L A V A S D E L S E M IN A R IO O I an «a G&< sa 00 m
* Del gráfico: f f x ) = g f x ) tiene 4 raíces reales positivas. Por lo tanto Pfx) =0 tiene 4 raíces reales positivas. RPTA: “D ” PR O BLEM A 41: Sea P una función polinomial definida por Pfx) = x 3+ax2+bx+4, con a y b e 0 II) a 2+b2=13 III) 2a=b A) VFF B) FFF C) W F D) FVF E) V W R E S O L U C IÓ N : * Como: X¡=1 + 1/7 -> x 2= l - 1/7 . luego: x 2 - ( 1 + 4 7 + 1 - 4 7 ) x +(1 + 1¡7)(1 - 4 7 ) = x 2 - 2 x - 6 ,
será un factor de Pfx), * Luego por Homer: 1 1 2
a 2
6 * De donde: Pfx) < 0 ; V x g
(-oo;
1
1) - { - 2 }
* En particular: V x e { - 2 ; - 1)
RPTA: (E PRO BLEM A 40: Si P es una función polinomial definida por:
—>a + 2 — — —
3
2 3
1 1 i ;
b 6 4 3
4 -4
i 0
0
14 8 a — ------- ,b + 6 ------— 0 —►b — — 3 3 3
* Luego: (V E R D A D E R A )
P (x)= (x-l)(x-3 )(x-5)(x-7)+ (x-2)(x-4)(x-6 )(x-8),
entonces de la ecuación P (x )= 0 la afirmación correcta es: A) Tiene 2 ceros complejos. B) Tiene 2 ceros complejos. C) Todos sus ceros son negativos.
ll)a 2+b
=BH -
14Y
300
3 J
9
(F A L S O )
¡ I I ) 2 a = ~ Y * ~ Y = b ............................ (F A L S O )
RPTA: “A ”
t jjjll * 3 0
PR O BLEM A 42: Sea P una función polinom ial de grado 7 con coeficiente principal -1 y cuya gráfica se muestra en la figura adjunta. Si P(2)=18. entonces el término independiente es:
Ife H
2012 ]
~ "
P(x) = (x + 9)(x - 3 ) ( x - 5)(x - 7) P(2 \x + 71+1) = (2 \x + 7|+10) (2 \x+ 7\- 2) (2\x + 7\-4)(2\x + 7\-6) = 0 * Nótese que: 2\x+7\+10=0 no tiene soluciones reales, entonces:
I) 2\x+7\-2 = O —> |x+7|=Í -> x ¡ = - 6 v x 2= - 8 II)2\x + 7 \ -4 = 0 -> |x+7|=2 - » x 3= - 5 9x 4 = - 9 III)2\x+7\ - 9 = 0 - » |x+7|=3 - » x6= - 4 , x 6= - 10 * Luego:
Xj+ x s+ x 3+ x 4+ x s+ x 6= - 4 2
RPTA: " A " A) 282 B) 292 C) 324 R E S O L U C IÓ N :
D) 325
E)372
* Según la gráfica de la función polinomial: -1 es una raíz de multiplicidad par; también 3 es de multiplicidad par; 4 es una raíz simple. * Admitiendo que P(x)=0 sólo tiene raíces reales,
PROBLEMA
44:
Si P es una función polinom ial definida por P(x)=xs- 6 x 2+ l l x - 6 entonces la figura que mejor representa la gráfica de P es:
el polinomio debe ser:
P (x)=a0(x + l)2k(x - 3 ) ^ (x - 4) * Donde: a0= -1 GJL(P) = 2k + 2 q + l= 7 —> k + q = 3 -» (k=2 a q=l) v (k=l a q=2) • S i: k = 2 a q = l, entonces:
P(x) = - ( x + l f ( x - 3)2(x - 4)
R E S O L U C IÓ N :
- > P (2)= -(3)4( - l ) 2( - 2 ) = 162 ............. (no cumple) • S i: k = 1
a
q = 2 , entonces :
• De: P (x)=x3-6 x 2+11x-6 -> P(x) = ( x - l)(x - 2 ) ( x - 3)
P(x) = -( x + l)2(x - 3)4(x - 4)
* P tiene raíces: 1; 2; 3 .
-> P(2)= - (3)2 (-1 )2( - 2 ) = 1 8 .................. (si cumple)
Su gráfica es:
* Luego: P (0 )= -(l)‘ (-3)4(-4)=324
RPTA: “ C ” P R O B L E M A 43: En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función polinomial P , mónico de cuarto grado. La sum a de las raíces reales de la ecuación
P(2\x+7\+l)=o es: PR O BLEM A 45: Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I) Sea P(x) un polinomio definido sobre R , si una raíz es 2 - 4 7 entonces necesariamente 2+47 es también la otra raíz.
A)- 4 2
B) - 40
C )-3 9
D )-3 8
E) - 37
R E S O L U C IÓ N :
II) Un polinomio P(x) de quinto grado definido sobre R puede tener exactamente 2 raíces reales.
* De la figura, teniendo en cuenta que P es mónico y de cuarto grado:
III) El polinomio P(x)=(x%- 4)(x+2) es tangente al eje X, en x = -2 .
[ E i w m w .v
AJFW
H fT I fiV O ^
BJVW
C jW V
1H B I
22) VFV E) W f
m
i
B
ia
* De la ecuación:
RESOL, U C IÓ N :
2 + \¡x- 5 = 1 3 - x
I) Para P(x) definido en i ? . Si una raíz es 2 - V7 -»
- » y¡x - 5 = 1 1 - x ; 1 1 - x ^ O
no necesariam ente 2 + ^7 tam bién ................................................ (FALSA)
- » x - 5=(11 - x ) 2 ; x <, 11
es raíz
-> x 2 - 2 3 x + 1 2 6 = 0 ; CVAt= [5 ; ll]
U) Un polinomio P(x) definido sobre St de quinto grado puede tener exactamente: 1; 3 6 5 raíces reales................................. (FALSA
* Pero: x 2 * CVA¡ -> x = 9 es la única solución de
II1) P(x)=(xa-4)(x+2)= (x+2)*(x-2) y su gráfica
la ecuación (x¿ e CVA)
-> x ¡ = 9 , x 2=14
* Luego: T = { 9 } c {8; 10)
RPTA: “C ” PROBLEMA
48:
Dada la ecuación -Jx+l+2x=0 determinar el valor de verdad de cada una de las afirm aciones siguientes:
I) Si la ecuación tiene una solución esta debe estar * Como - 2 es de multiplicidad 2 , la gráfica de P es tangente al eje X en x = - 2 .......... (VERDADERA)
RPTA: “C ” PRO BLEM A 46: Resuelva en % :
_____
_____
4 x - 1 + \¡3 - x = x Indique el cardinal del conjunto solución. A) 2 B) 3 C )4 D) 5 E) 1
R E S O L U C IÓ N : * Hallando el conjunto de valores admisibles
x -1 ^ 0 y 3 -x Z O o x ^ ly 3 Z x
o l £ x < , 3 ; si x e Z
* Entonces: x e {2 ; 2; 3} este conjunto debe contener el conjunto solución de la ecuación, ahora al evaluarse sólo cum ple el núm ero 2 , es decir C .S .= {2 } -> Cardinal del C.S. es 2.
RPTA: “E ”
en el intervalo
III) La ecuación tiene una única solución. A) VFV B) F W C) W F D) VFF E) V W R E S O L U C IÓ N : l ) x + l £ 0 => x £ -2 2) V x + 2 = r2x => x < 0 * Luego I) La solución se encuentra en el intervalo [-1; 0] ........................... (VERDADERO) II) La ecuación tiene una única solución (FALSO) III) (VERDADERO) RPTA: “A ” PR O BLEM A 49: Hallar el valor de x, que verifica:
%¡14 + -Jx + y]14 —yfx = 4 A) 179 B) 165 C)170 R E S O L U C IÓ N :
D) 169
E)150
* Haciendo:
PROBLEM A 47: Si T es el conjunto solución de la ecuación
\ ¡ 2 + j x - 5 = J l 3 - x > entonces la afirm ación correcta es:
A )T c (4 ;6 )
B )T e { 5 ;6 )
D) T e (2 2 ; 14)
E)T c {14; 15)
C )T c (8 ;1 0 )
* Nótese que: CVA: x - 5 ^ 0
CVA: x
£
5
a
x
S
-» CVA: 5 £ x £ 23
a3 + b 3= 2 8 .......................................(II) a b = %142 - x .................................. (III) * Elevando (I) al cubo, resulta: a*+bs+ 3 a b (a + b )= 4 s
R E S O L U C IÓ N :
->
•Luego:
a = \¡14 + yfx y b = f¡14 -Yfx a + b = 4 ............................................ (I)
a 1 3 -x ^ 0
13
C V A = [5 ; 23]
* Reemplazando en esta (II) y (III):
28 + 3\ll42 - x(4) = 64 * Despejando, resulta: x=169
RPTA: “ D ”
;vjfe¡á
I *8* SI
CJCLOPEBtA '¿OÍS)
PROBLEM A 50: Si A es el conjunto solución de la ecuación
x =^x A)
4 + Jl -
entonces el conjunto A es:
JE-
ÍJ+V ff 1 —
C)
4
B)
2 + -JÜ
i
J
l + $5
D)
l + $5
3 -$ 5
->
x
> 0
x
a x
2 Z 1
a
6 -J x ~ 2
5 jx = 6 36 25
* Entonces: C.S. =
PR O BLEM A 52: Al resolver la ecuación: x 3 + 1 = x +
R E S O L U C IÓ N : a x ------£
= —,=> 4\fx = 6 - Jx
+Jb \
;
* CVA:x>0
* Para: y =
2-Jx
0
x
a
x2 - l
1 ------ £ 0 x
Indicar una solución.
^1
C)1
-I
« - Í R E S O L U C IÓ N :
-> x 'í 1 -> CVA = [2 ; + oo) * La ecuación puede ponerse así:
D )2
* Definiendo cada expresión matemática
x j x = yjx2 - 1 + > /x - 2
x2 - 1 * 0
x 3 = x 2 - l + x - l + 2y](x2 - l ) ( x - l ) -> x 5 - x 2 - x + 2 + 2 = 2 j x 3 - x 2 - x + 1
a
x * 0 ^ x * ± 1 a x * 0 ...... (C.VA.)
* Efectuando:
(x + l)(x2 - x + 1) (x + l ) ( x - l )
16 x * -x + l 16 = x + A— = > ------------------- x = ./— x -1
* Haciendo: x 3 - x 2 ~ x + l = a se tiene: a+l=2ja, de donde: a = 2
6 (X - 1 )
X
♦ Luego: x s - x * - x + 2 = 2
-> x = 6x2 - 12x + 6
-> x (x2 - x ~ l ) = 0 -> x 2 - x - l = 0
a
0 = 6x2 - 13x + 6
X
x> 1
a x
>1
+ i ± > /5 1 $ 5 f~1\TA -> x = -----------, pero----------- 0CVA
(-i
VX
3 x = —
2
- t e
RPTA: “ C
PROBLEM A 51: Resolver:
2>/x
6 -> /x
5
6 -J x
2\fx
2
PRO BLEM A 53: Si x ]t x a e R y {x JP* x 2} es el conjunto solución de siguiente
A) 54 B) 32 0 28 R E S O L U C IÓ N : = y=>
6 -J x
¿
2 jx
y
* En la ecuación original: y + —= ^r y
2
- > 2 y 2 - 5 y + 2 = 0 -> ( 2 y - l ) ( y - 2 ) = 0
D ) -2 8
* C .V A .: x + 27<>0 a 6 5 - x ZO -> C .V A . = [-2 7 ; 55] * Sea: ijx + 2 7 = y - > x = y 4 - 2 7
a
y ZO
* Reemplazando en la ecuación:
CVAy =\0; * Para: y =
i]x + 2 7 + $55 - x = 4 >
y + Í¡55^(y4-27)=4-> i]82-y4= 4 -y
-> y = 2 ó y = í
2 jx
ecuaciórí
entonces el valor de, T = x t + x ¡ es:
* Haciendo:
6 - Jx
C .S . - { §
RPTA: “A ”
la
R E S O L U C IÓ N : 2 jx
AX> 1
= 2,=> %/x = 6 - J x
6 -J x
2 j x = 6 => \x = 9
i¡82~\.
A la cu a rta :
82- y 4 = 256 - 256y + 96y2 - 16y3 + y4 -> y4 - 8y3 + 48y2 - 128y + 87 = 0
M*l7ttWXr4P&
4 8 3 UtiM
I B
u c i a a o i i 'K » ’ i* » ¿ L v w iL U fc ^ ]
R E S O L U C IÓ N : y
* CVA; 3 x - 4 z 0 a 2 x ~ 3 ^ 0
~ -4 y
-+ y 2 - 4 y + 29 = 0 v y 2 - 4y + 3 = 0
->
X
* La primera no tiene soluciones reales * De la segunda: y2 = 1 v y 2 - 3
3 — 2
A X ^
5x - 7 £ 0
7 — 5
A X £
x S — - 4 C V A = I — ; + oo
(1; 3 e CVAy).
Luego:
^4 £ — 3
a
♦ En la ecuación, al cuadrado:
* Para y2= l : x 1= l 4-2 7 = -2 6 z C .V A .
3 x - 4 + 2 x -3 + 2 y ](3 x -4 )(2 x -3 )= 5 x -7
* Para y2= l : x s=34-2 7 = 5 4 e C .V A .
2yj(3x - 4)(2x
* Se pide: T = -2 6 + 54= 28
RPTA: “ C ”
3 )= 0
* De donde: x¡ = — v x2 = —
PROBLEM A 54: Si B es un conjunto definido por:
♦ Pero:
f e CVA; «ó/o ** e CVA u
B= [x e RlJx + j x + 5 + 2 x = 2 5 - 2y[x2 + 5x} , entonces
ari = i e CVA; sólo x¡¡ e CVA -> T 3
el cardinal del conjunto B , es:
AJO B) 1 C)2 R E S O L U C IÓ N :
D) 3
RPTA: “D ”
E) 4
PR O BLEM A 56: Resuelva e indique la cantidad de soluciones:
* De la ecuación se obtiene:
Vx +1 + V x + 2 + V x + 3 + V x + 4 =4
2x + V x + V x + 5 - 25 + 2\lx2 + 5 x = 0
AJO B) 1 C)2 M R E S O L U C IÓ N :
x + x + 5 + 2yjx(x + 5) + Vx + yjx + 5 - 3 0 = 0 ( V x + V x Y s )
+ (V x + V x +
5) — 3 0 = 0
\
+
V x
+
—- - o
5
^
-4
^
E)4
* Hallando primero el conjunto de valores admisibles FiaVJL), así:
V x + V x + 5 V x
D)3
x+1^0
ax
x
00
e [ - 1 ;
+2
2ax+ 3*3
z
ax
+4z4
11
-4 V x + V x + 5
+6=0 v
V x + V x + 5
♦ Entonces como:
~ 5 —0 *»
♦ La primera no tiene solución, pués el primer miembro siempre es positivo,-1 ->7¿^ ♦ De la segunda: yjx + 5 = 5 —V i nótese que: para el CVA: X ^ 0 - 4 X ¿ 0
A X + 5 ^ 0 a
A
5-yfx
Vx+~4
V x
+ 4 £
V x + i
V 3
£ 0
+
V x
+
+
2
V x
+
3
+
V x
+ 4 => 4,14 ...
-> V x
=
* Número de soluciones es igual a 0.
2
RPTA: "A 19 PR O BLEM A 57:
RPTA: “B ” PROBLEM A 55: Si T es el conjunto solución de la siguiente ecuación
yj3x-4 + y ] 2 x - 3 - y ¡ 5 x - 7 =
0>
entonces
afirmación correcta es:
C) T c ( t ; | -]
=>
* Con lo que: C .S .= ^
= 4 ,( 4 e 'C V A ) - > B = {4 } A n < T ; = i
^0; ^
23
2V 2
Es imposible que la suma sea 4.
♦ Luego, elevando al cuadrado:
A) T c
=> x + 4
V x + 3
x + 4 £ 0
-+CVA = [0; 25]
- 4 x
= > x + 3 ^ 2
£ 0
x á 5 - > 0 £ x £ 2 5
x +5 = 25+ x - lo jx
x £ - Í ^ x + 2 ¿ l => V x + 2 2:1
B
c
D) T c
; i]
2]
la
Si la fracción irreductible afb es raíz del polinomio: x5+ x -1 0 = 0 entonces:
■ , a ¡ 5 3\ B )b * \ l ! 2l A)% € ( * 1 R E S O L U C IÓ N :
/3 7 C )b ^ \ T ' l
* Aplicando el teorema de Bolzano:
fíx) = x s + x - 1 0 ;
^
= *
=>f(0)<0
CICLOPEB1A SOIS]
I * 8 * ItJ É *
=3 f(l)
01 cambio
<
de signos entre 1 y 2
X j = l ; x 2= - 1; x 3=i; x 4= - i ; x 5=>j43 - 2 ;
f(2) > 0¡ => x e < 1; 2 > * Realizamos una I r a . aproximación: 1+ 2 _ 3 X = 2 2 <
X q =
x =
;
X
j
2 + -J 3 };x s = —^—(2 + 4 $ }
=
60:
cambio de signo entre 2 y 3 /2
Calcular aproximadamente una raíz quinta real de -x .
=> x e < 3 /2 ; 2 >
R E S O L U C IÓ N : Calcular aproximadamente una raíz quinta real de -71 .
= 7/4
f(7/4) > 0 3
4>¡3 — 2
PROBLEMA
• Realizamos una nueva aproximación: 2 + 3 /2
—
* S e a :z 5= - x
—► x s +x=0.
• Por otro lado, sea : P(x) = x 6 + n a P '( x ) = 5x4
cambio de signo entre 3 /2 y 7/4
Aplicamos el método de Newton - Raphson :
x e < 3 /2 ; 7/4 >
7
F(Xn> -
•
~ F'(xn)
n+'
X^ 2 ! 4
X* + * - 4 \x
-
"
5x4
5[ n
____
4x4]
• Eligiendo x 0= l , obtenemos :
Entonces : ° e ( - ;
b \2 3 4/
x ¡= -1,4283184 ; x 2= - 1,29936208 ; RPTA: “ C ”
PROBLEM A 58:
x 3= - 1,25926 ; z 4 = -1,2572804 •Luego:
Resolver: 240xs+572x4-564x3-1257x*-31x+60=0
x = —l,26 sera la raíz pedida con la
aproximación deseada
R E S O L U C IÓ N : Las
PROBLEMA
61:
posibles raíces racionales son de la forma: r= p/q, donde p es un divisor de 60 y q un divisor de 240.
Sean los polinomios:
* Vemos que: P(l) < 0 y P(2) > 0; luego , existe por lo menos una raíz real en < 1; 2 > .
Q(x)= x 4+ ex8 + bx2 + ax + 1.
* Tomamos las raíces racionales comprendidas en dicho intervalo; así 3 /2 es raíz, lo comprobaremos por ruffini:
240 3 2
572
-5 6 4
-1257
-31
60
360
1398
1251
-9
-6 0
P ( x ) = x 4+ ax3 + bx2 + ex + 1
H allar las condiciones que deben cum plir los parámetros reales a , 6 y c ( a * c ) para que P(x) y Q(x) tengan dos raíces comunes .
R E S O L U C IÓ N : • Las raíces comunes a ambos polinomios serán raíces de la diferencia:
P(x)-Q(x)=(a-c)x9+ (c-a)x 240
932
•De manera similar x3= -1 /4 ; x 4= 3 ; x 5= - 2 0
834
-6
-4 0
0
encontramos: xs=-5/2;
• Resolvemos la ecuación:
P(x)-Q(x) =0, sacando primero x factor común: x[(a — c)x2 +(c — a)x]= 0 • Las tres raíces son: 0; 1 y -1 , entre ellas tienen
PROBLEM A 59:
que estar las raíces comunes.
Resolver: x 8 + 4x6- 4x2 - 1 = 0
• Como 0 no es raíz ni de P(x) ni de Q(x), las dos raíces comunes tiene que ser 1 y -1 .
* Las posibles raíces racionales son: 1 y - 1 . Vemos que ambas satisfacen. Luego:
x3 + 4x6 4X2 -1 =0 o ( x - l ) ( x + l ) ( x 8+5x4+ 6x 2+ 1 )= 0 * pero: x e+5x4+5x2+ l = ( x 2+ l ) ( x 4+4x2+ l )
• Sustituyendo estos valores en P(x) y Q(x) obtenemos el sistema:
2+a+b+c=0 2 - a + b -c = 0
* entonces la ecuación resultará:
que nos da las condiciones: b = - 2 ; a =
(x—1) (x + l ) ( x 2+ l ) ( x 4+4xx+ l ) = 0 cuyas raíces serán:
• Los polinomios quedan en la forma:
P (x ) =x4 + ax3- 2x* - ax+1
rasa *88 bsw
w í7 ifX o ^
Q(x)=x4- ax3- 2 x *+ a x + l
f c < i A « n
) ,v
i ;.v
í v
»
i ,v
l
« » .» i t i i ,i :.v ]
@ ) S e a el polinomio: F(x) = x 3 + 3x2 - 9 además:
* Para resolver las ecuaciones P f r ) = 0 , Q (x 2 = 0 ,
F(m)=F(n) =F (p )=0
separamos por Ruffini las rafees conocida 1 y - 2 y quedan las ecuaciones en la forma:
Calcular: f Í — +
P M = fo r + 2>ft^ 2K ** + a x - l ) = 0
np
A)-5
Q (x )= (x+ l)(x -l)(x 2- ax - 1)=0
mp
B)-l
+
mn
02
D)-2
E)4
Si las ecuaciones en «x»\
TVT7
x3 + 2xr* - (4n+5)x
-6
= 0
x3 + 5x + a = 0 tienen dos raíces en común, calcule re3. (0 5 ) Dada la ecuación cúbica de raíces X j ; x 2 y
A) 2
a *0 determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
ax3 - (2 + a j x (
2 =0 ,
D)125
E)1
Dos raíces de la ecuación: 2x*-2 a x 2+ 3 x - 9 = 0
a+3 Calcule el valor de: 1 -a Ah-2 Bh-3 04 D )- 5
( ) Una solución es -2
B) FVF
0 27
son opuestas.
) x 2 + x 2 + x 3 =0
AJFFV
B)8
C) VFV D )V W
EJVFF
@ S i la ecuación: x3 - x
+2= 0,
m, n y p, calcular: m4+n4+p4 A) 1 B) 2 0 3 D) 4
Luego de resolver la ecuación:
6 x 3- l 7x *-31 x + 1 2 = 0
E)5 tiene soluciones
E) 5
( í í ) S i a es una raíz de la ecuación ( a e Z ) :
indique:
x3- 3 x 2 + 4 x - 4 = 0 , determine la suma de los
* La suma de las soluciones positivas.
cuadrados de lasotras dos raíces.
* El producto de raíces. A) 9¡2 y 2 B)13I3 y 2 C)7¡3 y 2 D)8/3y-2 E)7!2y-2
A) 4
B)-3
0 9
D)5
E)2
^ ^ )S i x0 es la solución positiva de la ecuación Si una solución de la ecuación cúbica:
( a -2 ) x s+ (2 a + l )x2- 8 = 0 es 2, calcular él producto
A )j2
de raíces de la misma.
A )-3213
B)30l2
cúbica: x3 -1 5 x + 4 = 0 , calcule el valor de: x 0 + —
C) -1512
D) -9/2
E/-23/2
Si la ecuación cúbica:
B)2>¡2
C)23
2
D) 24
E) 25
6= 0, una de las raíces raíz, entonces el valor de « 6»
m 2n 2
A) 7
B) 6
0 5
D)4
E)3
Cuál será la ecuación cúbica cuyas raíces sean el duplo de los recíprocos de cada una de las raíces de la ecuación polinomial:
Ax3 - Bx + C = 0 ; C * 0 A) Cx*-Bx + A = 0 B) Cx3 + 2Bx* + 4A = 0 O Cx* + 2Bx* - 4A = 0 D) Cx3 - 2Bxi + 8A = 0 E) Ax3- 2Bx + 4C = 0
.
2 . 2
2 2 p n
2 2 m p
es:
A)2
B)1
00
Dhl
E)-2
¿Cuántas de las siguientes ecuaciones:
£ )E n la ecuación: x3- 7x + es el doble de la otra es:
E)4
entonces el valor de:
tiene raíces en progresión aritmética, calcular el valor de «m » .
B) 22
D)>Í3+j2
^£^)Si m; re y p son raíces de: x 3- 2 x 2+ 3 x = 2 ,
x3 + 9X2 + mx + 15 = 0 , m e Q
A) 21
C )2+ j3
*3 x 4- x ‘ - 5 = 0
* 2x4 + x + 6 = 0 * x 4 + 4x* + 6x = 0 * 4xs - x 4 - 3 = 0 son bicuadradas?
A) 1
tí) 2
( í ^ ) Calcular
C) 3
D) 4
E) Ninguna
si la siguiente ecuación:
2xm + 0 x " + 3 = 0 , es bicuadrada. A)2 B)4 C) 8 D) 1/2 E) Más de una es corred
fv i
rw -
[ * « «
( T ^ Determine el valor de verdad de las siguientes
X C1CLO PE M A 2013]
I
C) Admite una raiz real
proposiciones:
( ) Una ecuación bicuadrada y una cúbica pueden
D) Una de sus raíces imaginarias es
ser equivalentes.
E) Una raiz real es - i
f ) Una ecuación cúbica y una cuadrática pueden ser equivalentes. ( ) x * = x 3 y x = l . son equivalentes.
A) FFV
B) FVF
C) W F
D)VFF
E)FFF
(íí)In d iqu e una de las ecuaciones bicuadradas, donde una de sus raíces es solución de la ecuación: x1 - 2 x + l = 0, y otra raíz es solución de la ecuación:
x * -6 x + 9 = 0 A) x4- 10xi+ 5 = 0 B) x4 + 9 = 0 C) x4-10xi+9=Q D)x4- 9 = 0 E):v*-2x* + 1 = 0 Sea la ecuación bicuadrada:
i
——i
El siguiente polinomio ;
P(x)= x s~ 3x4- 6xs+ lOx* + 21 x + 9; presenta: AJ 5 raíces diferentes B) 2 raíces de multiplicidad 2 C) l raiz de multiplicidad 2 y otra de multiplicidad 3 D) 1 raíz de multiplicidad 4 E) 1 raiz de multiplicidad 5 Al resolver la ecuación recíproca:
3x5- x 4 - x3 + x* + x - 3 = 0 una de sus raíces será: A )-l
x4 - mx* + 64 = 0, donde una raíz es el doble de la otra. Calcule «m»
A) 70
B) 69
C) 50
D) 60
E)20
m U F L t 6 6 Dada la ecuación recíproca:
En la ecuación bicuadrada:
x4- (3n+4)x*+(n+l)*=0. sus soluciones están en progresión aritmética, además n > - l . Calcular el valor de: n*+l. A) 1 B) 2 CjlO D) 17 E) 5 Si la siguiente ecuación de variable «x»:
ax4- 35xs+ 62x*+ b x+ 6=0; a * 0 admite 2 raíces de la forma:
m - 3;
determinar el mayor valor de “ /n ”
A) 6
B) 5
C)4
D) 3
E) 2
Sea P un polinomio, tal que:
4xa+ 3x^+ 2 = 0 • es bicuadrada. a calcular P' A)2 B) 1/4 C)U2 E) 4
1 m- 3
P(x) = x 3P D) Más de una de correcta
encuentre el término lineal de P(x); sabiendo que su término independiente es 3 y la suma de sus coeficientes 10
A) 2
B) 2x
0 3
D)3x
E) 4x
Dada la ecuación trinomial:
x3n~I+ x n*3+ l - 3 n = 0
Indicar una raíz de: x4+1 = 0
AI 2
^
• n\
■ ^,1 í
B>- ,
¿
n . J3 m —
l j
r, -
E ,I -,
siendo su grado el menor posible, ¿cuántas raíces imaginarias posee?
A) 18
B) 12
O 6
D) 4
E) 2
(í)~) Resolverla ecuación: 8x6- 65xs+8=0 e indicar Resolver la ecuación: x 2 + x - 7 =
una raiz.
A ) -1 + 421
B )-1 -4 ¡2
í
D)l-43i
E )-1 -4 3
í
C)l + 43 i
De la ecuación polinomial: x,-5x’-x 4+5x3=0 podemos afirmar que:
A) La suma de sus ratees es -5 . B) El producto de sus raíces es 5.
00 x2 +x
y dar como respuesta la suma de sus soluciones enteras.
AJI
B) 2
0 -1
D) - 2
E) - 3
Formar una ecuación bicuadrada cuyas raíces se pueden determinar a partir de:
x2 = 16 A x* = 25
BHB 487 MO&ñ
K im v o ^ A j x ' + 31x*-400 = 0 C j x ' - 4 1 x * + 400 = 0 E) x* + la r * + 36 = 0
E€:t Lif'JOiVF Ai IV M JX O iV /^U .^]
B J x < + 3 ix * + 400 = 0
e indicar el producto de sus raíces:
D i x 4 - 30x* + 29 = 0
A )- 2
B) - 4
0 -3
D) - 6
E) - 8
Indicar la suma de dos de sus raíces de: Si la sum a de las raíces positivas de la ecuación bicuadrada: x4-( 3 m -5 ) x 2+ m 2= 0 es 5 , calcular el valor de “ m ” A) 2 B) 3 C )4 D) 5 E) 6
x4+ (a+b)x3+ (a b -l) x 2-(a + b )x -a b = 0 A) a B)b C) b - a D) a+b E)0
Formar la ecuación bicuadrada cuya dos de Indicar una raíz de la ecuación: 9x4+ 4 = 0
sus raíces son las raíces de la ecuación: * * -7 x + 5 = 0
A) x 4 + 39x* - 25=0 C) x 4 - 39x*+25=0 E) x 4+47x* - 24=0
B i x 4- 25x*+39=0 D) x 4- 47x*+24=0
*> 1 7
b ,—
C7 V 2
D> - 2
E) 7
A)2
B j-2
D) 50
C alcular **nM en la siguiente ecuación
A) 1
B) 3
6+ 6=
B /- 4
0 4
D) iJ 7-4
E) iy¡5—4
A) 4
A) 1,5
B) 2
0 0,6
Si la ecuación:
B )-4
j = 4 ^x - —j + — es:
4
E)3¡4
x4 + o x 2 +6 =
Ei 3
j5 -3 B) 2
D)
4 -J 5
E)
C)
J 7 -5
3 + J2
0
tiene 2 raíces reales que suman 3 y el producto de las mismas es positiva, dichas raíces son también raíces de la ecuación:
x3+ cx2+ c x + l = 0 determine: a + b + c A) - 9 B) - 8 0 - 7 D )- 6
0 8
x4+ x 3- 4 x 2+ x + l = 0 A )-l
D) 1
E) 3
Señalar una raíz de:
C)iJ7+2
( Q ) Una raíz real de: 3^x2 +
=4
5x =4 x 2- 6 DJ 6
x
(Z+3)4+ (Z + 5 )4=16 B) 4-*¡7i
2-6 D) 6
0 8
E) 25
( Q ) Dar una raíz imaginaria de:
A) 4+JEi
5x
x 2- 6
D) 9
E) 9
Calcular la suma de las raíces de:
0
proporcionar: fxJ+ x 2jx / x í
Bj 2
D) 7
x2 -6 x A) 4
ecuación recíproca:
0 6
Calcular la suma de las raíces de:
m
5 )S i Xj y x s son las soluciones reales de la
A) 1
E) 3
si el producto de sus raíces es 12
E) 144
ax4 + (b-3)xs - lOx2 + (5-a)x +
D) 4
x4+ (n-25)x2+4(n-3) =0
y dar como respuesta la suma de los cuadrados de sus raíces.
O 100
0 -4
bicuadrada:
x6-1 0 x s+25 x 4-2 5 x 2+ 1 0 x -l = 0
B) 81
2 —
n il + i W w
Resolver: x3 - 6 4 = 0 e indicar la suma de sus
4f) Resolver la siguiente ecuación recíproca:
A) 64
13. c% ‘
raíces no reales
Si : P(r0)=P(r¡)=P (rsi=P (r3)= 0 y r 0< r J< r 2< r 3, entonces r 0+r¿ es: B>8
d 1n/3(1 + 2 í)
«
Sea: P(x) = x 4 - 24x 2 + 16y¡2x - 7
AJO
,, 1 -i
Sea P(x) un polinomio mónico y de cuarto grado, tal que:
P(-7) = P(3) = P (-l) = 0 E) 5
Resolver: j3x*-lGx+24+yl3xs - 1 6 x - 3 = 9
además P(-2) = 75. Calcular el término lineal de dicho polinomio.
A )-106x
B) 96x
0 -9 6 x
D)116x
E )-86x
I*8 8
'2) ¿Cuál de las alternativas no corresponde a un cero del polinomio?
C1C1A1PEB1A SOIS]
1
calcular (ti - 2m)
A) 2
B) 6
A)
B)
i+ S i
C)i
D )-i
E)
2+y¡3i
-5: Raíz simple y¡7: Raíz de multiplicidad 4.
indiqué el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
(
) Tiene 4 soluciones.
admite por raíces a:
2 - y¡2: Raíz de multiplicidad 2.
9( x 2 + 5)2(x - 7)s (x - Va )2= 0
) Tiene 9 raíces.
( ) 7 es una raíz triple y 43 es una raíz doble. A) VFV B) VFF C) V W D) FFV E) FFF Si dos raíces de la ecuación:
podemos afirmar que;
A) Gdo(P) = 19 D) Gdo(P) > 19
Si Xj\x2 y x 3 son las raíces de:
©
xa + 2px + 3p = 0; p > 0 halle el equivalente de la expresión:
de coeficientes enteros, son: 1 y —
A=
2
3 calcule el valor de: m3 + n3 + (m - n)3 A) 1 458 B) 729 C) -2 187 D) -729
(Xl - l ) ( x 2 - l )
A) 5p 5p+l
x 4 + 2x3 - x 2 + 2x B) 2 C )1
+
E) 0
2x3 - 6 x * + 8 x - 5 = 0
2 ) Sea la ecuación: x 3
+
2x - 1
=
0
(£&) Dada la ecuación: x 4 - 4x2 + ax + 6 = 0 ; a , b e R
1
2 - 3xj +4
1 x f -
1
3x2 + 4
4
4
x 3 - 3x3 + 4
4
4
siendo (2+J3Í) una raíz, calcular la suma de los cuadrados de sus raíces.
A )-6
Calcular (a +
6) ,
D) 19
E) 25
para que en la ecuación:
x 4 + 2 x 3 - 5x2 + a x + b = 0 ; a, b e Q C) 18
D) -28
A )3
B)2\¡2
C)s¡3
D)s¡2
(j&) De la ecuación polinomial: x 7- 5 x e - x 4 + 5 x 3 = 0
una de sus raíces sea (1 -> ¡3 )
B) -8
D) 4
E) 8
el cuadrado de la única raíz positiva, es igual a la diferencia de los cuadrados de las otras dos. Indicar dicha raíz.
6 y c, calcular el valor de: a* + 6a + c4 C) 16
C)0
x3 + 2x* + b x - 4 = 0
x 3 - b x 2+ ex + 2 a = 0 ; (ab*0)
B) 32
B) -4
En la siguiente ecuación:
Sabiendo que las raíces de la ecuación:
A) 8
E)p + 5
A) y3 + 3y* - U y + 1 = 0 B) y3 - 3y* + lly + 1 = 0 C)y3- 3 y t - l l y - l = 0 D) y3 - 3y* + U y - 1 = 0 E) y3 + 3y* - 12y + 1 = 0
calcule el valor de:
A) 10
5p
D)5p + 1
raíces sean x f ; x 2 y x 3
1 = 0 D) -2
Si x¡9 x¡ y x3 son las raíces de la ecuación:
son a ;
C )5 p -1
(X3 - l ) ( Xj - 1 )
de raíces xx, x 2 y x 3 forme una ecuación cúbica cuyas
la ecuación:
x
B )l +
2
x (x2 - l ) ( x 3 - l )
E) -1 458
Calcular la suma de las raíces imaginarias de
E=
C) Gdo(P) = 13
B) Gdo(P) = 20 E) Gdo(P) > 20
nx6 + m x4 + 16x3 - 9 x 2+ x + 1 0 = 0 ; n * 0
A )-3
E) 3
2 + i : Raíz de multiplicidad 3 .
(íjfJ) De la ecuación en “y ” :
(
D) 5
Si un polinomio P(x) de coeficientes enteros,
F(x) = x 5 + x 3 + x* + 1 i-S i
C) i
E) 28
podemos afirmar que: A) La suma de tus raíces es - 5. B)El producto de sus raíces es 5.
Si (3 - i) es una raíz de la ecuación:
x 3 - m x 2 + n x - 2 0 = 0 ; m, n e R ( i= 4 -1 )
C)Admite una raíz real
.
-
Js
E)1
jKC’t afm vfc\
D)Una de sus raíces imaginarias es
3) Indicar una raíz al resolver: 2
2
E)Una raíz real es - 2. ©
x* + 19x3 - 216 = 0 A )-
Calcular la suma de los valores que admite
**an para que la ecuación: (1 + ( 7 - 2 a ) x + 18 = 0
x3+ -a)x* B) -9,5
C) 7,5
D) 2
B)1 + i C)3+$2i
D ) - 2 + $3¡
E )-l-$ 3 i
Acerca del polinomio:
P(x) = x 5 - 6x4 + 6x 3 + 16x2- 15x - 18 presenta: A) Raíces imaginarias.
admita dos soluciones.
A) -2
2
E) 13,5
B) 1 raíz real de multiplicidad 3. C) 2 raíces reales de multiplicidad 2.
Formar la ecuación de menor grado posible con coeficientes racionales, tal que tenga una raíz
D) 1 raíz real negativa simple. E) 1 raíz real de multiplicidad 4.
igual a: J3 - sj 2 . Si Xj, x a, x 3 y x 4 son raíces de la ecuación
Indique la suma de sus coeficientes.
A) 36
B) 40 Si
C) 18
D)32
E)12
a,b y c son raíces de: x 3- 3x - 1 = 0
además: F (x) = — =------- =-
(x 3 - l ) 2
B )3
(St2 + 2)x4 - (4t4 + 9)x‘ + 3(t2 + 2 ) = 0 tal que el producto de sus cuatro raíces es 2, entonces la raíz de mayor valor absoluto es:
A)
calcular: F(a) + F ( 6) + F(c)
A)1
bicuadrada:
D )9
C)l3
s
B )$ 2
E)$3
ecuación recíproca:
(a + b + ^ abe
x4- ( a - 3)xs + lOx2 - (15 - a)x + 2 = 0
6 \x + 2 = 0
A )5 -j3
C )2
D )2 $ 2 y
C )3 -j2
D )2 -J H
E )2 -j5
x4 + (a - 3)xs - (a + b)x* + (2 - b)x + 2 = 0
E)4
son a y p , formar otra ecuación bicuadrada si
w*
I
B )4 -j2
Sí 2 raíces de la ecuación bicuadrada:
Calcular: a(a + c - b), si a > b
A)1
D)
O
Determ ine la m enor raíz irracional de la
E)
Sfl Sean a, b y c raíces de la ecuación:
x - ( a + b -a b c jx
B )$ 2
Sabiendo que la ecuación:
2 de
sus raíces son a2 y p 2 .
A) x4 + 10x* + 1 = 0 C) x4- 10x* + 10 = 0 E) x4 + 28x* + 14 = 0
xt2- 6 x s - 6 x * + 12x4 - 36x2 + 1 = 0 tiene una raíz de la forma: ' VJa + 3Jb ; a ,b e Z +
B) x4- 20x* + 1 = 0 D )x 4-23x* + 1 = 0
Dada la ecuación: x3 - x2 - 100 = 0 ,
indicar verdadero (V) o falso (F):
(
) La ecuación tiene una raíz real.
(
)a + b = 5
siendo x 2 una raíz y x s, x 3 raíces imaginarias, calcular:
R = -^ ± *2*3
( ) La ecuación es compatible determinada. A)VFF B) V W C) FFF D)VFV E) F W
C )5
D )-5
E)
10
Resolver la ecuación:
m
(x2 - 7x + 3)2 + 10(x2 - 7 x + 3 ) + 2 1 = 0 Proporcione una raíz.
< § ) Resolver la ecuación: 16x4 - 81 = 0
A) 1 - i
Señalar una raíz.
A)9
B )-= O
C)3i
D )-
3i
E ) 4j 3 i
@
)
B )2 + j 3 i
R e s o lv e r :
C )-1 0
3*jx2J x - 2 - x = x
D)3i 2
E )5
Indicar la menor raíz.
21
A) A )-4
B) 1
C )-3
D )4
E)6
C>{2;9) W
}
y j
E){2)
Dada la ecuación:
Sí a t b y c son raíces de:
m
xJ- 2 x - 2
\x* + 4 x + 2 _ + J— --------------- = 2 x 2 + 4x + 2 x* - 2 x - 2
P(x) = x 3- x 2 + 1 calcular:
A) 5
el valor de “x 99 es:
2
a
+
a2 - l b2 - l c2 - l B) 4 C)3 D) 1
A) 2 E) O
2(x + 4 x
P(x) = ax5 + bx4 + ex3- 4 x * + 72 B) 32
+ 7 x ) = 35 + 4 x + 4 x + 7
dar un valor de " x w.
calcular: E = 10a + 6b + 3c
A) 26
- i
En la ecuación:
Si I es raíz de multiplicidad 3 del polinomio:
©
c/í
018
D) 8
E) 4
A) 6
B) 8
0 9
D) 10
E) 11
S¡) El polinomio:
2) Formar la ecuación cuyas raíces sean las de: x4 + 3x2- x + 4 = 0
P(x) = ax3 + bxs - b + a
aumentadas en 2 unidades. Señale el término lineal.
con a e Z * y P ( l ) < 4 , tiene 2 raíces positivas iguales. Entonces un valor de a - b es:
A) 40x
B)36x
0 -2 8 x
D)-45x E) -20x
A) 3
¿n Las raíces de la ecuación: x3 + x* - 3 x +
B) 4
2 A) 8x* + 12x*-4x + C)8x*-x* + 3x + 6 E)8x* + 4x* + 6x + ©
6=0
n + 1 * .4.p _ + 1 9 2 * 2 6 = 0 B) Sx3 + 6x*-3x + 8 = 0 =0 D)8x3- 8 x t - 4 x + 8 = 0 12 = 0
raíces de la ecuación:
x3 + 4x* + (8 + as)x - (a - 1 j(2a + 5) = 0; a > 0 17
es igual a — , ¿cuál es la raíz de menor módulo?
A) 1
0 -5
D) -2
E) -1
( Í 3 ) En la ecuación bicuadrada:
x 4 -2 0 ^ m + ~ - 2 j>x 2 + 9 ( p - m f = 0 ; p > m calcular **m9t para que sus raíces estén en progresión aritmética.
A )2 ©
B)l
C)l
D)l
E)~ l
3j x +1 = V x 2 —1 + 3J x - 1
-5 x + 6 ) ( x - 4 ) ( x - 3 )
es
b *
A) 29
. Calcular: a2 + b2.
B) 25
O 13
D) 14
E) 15
CLAVES DE MA P R M E R A PRACTICA Íl)I^)B [3)A \4)c\& )B 6)D\ 7)A [8)B\ 9)B]l0)B [i i m it)W W F A l*m l5)E Í6)W7)VU8)mi9)El20U
r.......................
^
I'IAVES tn: MA SEGCNDA PRUT1CA OI) B 02) E 02) D 04) C 08) E 06) A 07) B 08) E 09) C lO) C 18) D 14) D 18) B 11) E IX) C 16) D 17) A 18) A 19) B 80) E 01) D 02) C 03) C 04) A 05) B
NOTA : La resolución de ecuaciones polinomiales es un tema que ha sido muy estudiado a lo largo de los años a causa de las distintas aplicaciones, provenientes de diversas áreas de la ciencia y de la tecnología, en las que este tipo de ecuaciones aparecen. Este tema ha recobrado im portancia en las ú ltim as décadas con el surgimiento de la computación que, en particular,
Resolver la ecuación:
2 (x 2 - 6 x + 9) (x
E) 7
•
Sabiendo que la suma de las inversas de las
22 B) 3
D) 6
El conjunto solución de la ecuación:
son m, n y p. Hallar la ecuación cuyas raíces son: m+2
0 5
x -5x +6
x-3
ha introducido la necesidad del estudio de los aspectos algorítmicos de distintos problemas en esta área.
K.
NtAT§tM4'i:%
491
o b j e t iv o s
:
De acuerdo con la tabla anterior se observa:
* Valorar la importancia del álgebra matricial y la adquisición de estrategias para la simplificación de los cálculos. * Identificar los tipos de matrices. * Operar con m atrices: sum a y diferencia de matrices, producto de un número real por una m atriz, producto de m atrices. Conocer las propiedades de estas operaciones.
IXTKo o vccióiv: Hablar de matrices hoy en día es hablar de una herramienta tan común en matemáticas, que con el tiempo apareció en forma independiente. La teoría de matrices y su proceso de formación fue a mediados del siglo pasado, pero su plenitud y elegancia la adquiere después. Hasta hoy la teoría de matrices es un instrumento de investigación apropiado a las necesidades prácticas y a las construccions abstractas de las matemáticas modernas. Si se conoce la naturaleza de una matriz, es posible valerse de ella en el almacenamiento, presentación y manipulación de datos. Si los datos se guardan dentro de una matriz con algún patrón lógico, la recuperación de los elementos individuales o grupos de elementos puede ser relativamente fácil. A menudo, se necesita manipular datos que se almacenan en una matriz. Por ejemplo las tablas del impuesto sobre la renta, las calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes, los informes económicos de una compañía , y muchos otros datos. En la actualidad, la principal utilidad de las matrices tiene que ver con aplicaciones computarizadas. Los programas de computación se valen periódicamente de matrices “ arreglos” para guardar y procesar información. Las matrices surgen de un gran número de situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, al considerar los cursos del POLITÉCNICO de tu zona y analizar el número de estudiantes por especialidad. Tj*rnpla*
^Compuludorai
[ P ix t r io
Industrial^ Elrciricidtu¡ 14
36
23
6 JO 9
36
16
31
8
30 33
16 14 16
20 22
Se asigna a cada curso una fila y cada programa una columna.
♦ Los cursos determinan 6 filas. ♦ Los programas de arquitectura, computadores, diseño industrial y electricidad, determinan 4 columnas. ♦ La intersección de una fila y una columna informa sobre el número de estudiantes de un curso que hay en el programa. Por ejemplo, el número colocado en la interseción de la quinta fila y la segunda columna indica que hay 36 estudiantes de décimo grado en el programa de computadoras. Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853 En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistem as de ecuaciones lin eales, las m atrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... La utilización de m atrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introdución en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...
M A T R IZ Una matriz es un arreglo o disposición rectangular de números. Si el arreglo tiene m filas (horizontales) y n columnas (verticales), se llama matriz de orden
mxn. EJEM PLO 1:
(3 J 4'
4
2)
4r 'i'
Columna
Fila Fila
.v a a o m i M
c es una matriz 2x3 , porque tiene dos filas y tres columnaB. * En la primera fila y primera columna aparece ubicado el número 3. * En la primera fila y segunda columna aparece el número 8 .
A-
a it
a¡2
av
a ln
a 2J
a 22
&2j
&2n
ait
a¿2
•••
* A cada número en el arreglo se le denomina entrada.
Q'm2
•••
L_
3 9
2 -4 3
5 -4
B=
5/7
119
I__
amn j
Columnas
EJEM PLO 2:
Filas
am
* En la segunda fila y tercera columna , el número 2.
2012]
Que abreviadamente se representa por:
7T
n ú m e r o d e c o lu m n a s 2^
n ú m e r o d e fila s
c = -6
B = (-4
2 /7
Donde: {m ;n} c N
5 9)
Siendo: i = l ; 2; 3 leer así:
DEFINICIÓN
(
matrmz
)Z
Es un conjunto de elementos (números, funciones, vectores, etc.) dipuestos en forma rectangular y además ordenados en filas y colum nas. A las matrices se les denota con letra mayúscula y se le encierra entre paréntesis o corchetes.
EJEM PLO 3: A =
fí =
1 2
1 0J 'i 3
x
2x
; m. j = l ; 2; 3 ;
n. y podemos
A es la matriz de m filas y n columnas” a y es un elemento de la matriz A. ♦ Además:
an ; a
12
a2 1 *
t
m2 * ••• a mn
se llaman elementos de la matriz " A ” , “ o ^1 es el elemento ubicado en la fila columna
O B S E R VA C I O N E S : es una matriz de orden 2 x 3
es una matriz de orden
x -1
2x 2
C=[4] es de orden 1x1 * El siguiente arreglo
no es una matriz, no es
♦ Las matrices usualmente se denotan por las letras mayúsculas A , B , C , * Para la notación de una matriz en la forma general sus elementos se designan con letras mayúsculas que vienen acompañadas de dos subíndices (a ^ )v donde el primer subíndice (i) indica el número de la fila y el segundo (j) el número de la columna en la cual se encuentran ubicados dichos elementos.
EJEM PLO: un arreglo rectangular.
Columna j ( j = 2)
f
O B S E R VA C I O N E S : * Una matriz por ser un arreglo rectangular no posee valor numérico .
(
3 -2: 1
N O TA C IÓ N G E N E R A L : Se simboliza cada elemento con subíndices de la forma a y, donde i representa la fila donde se encuentra y 7 la columna. Así la matriz de “ m ” filas y “ n ” columnas cuyos elementos son ay es:
0
2 :-3 : -2
A =
1
•
•
1
4. : . - 5 .
♦ Es im p o r ta n te a d q u ir ir el h á bito de
enunciar siempre filas antes que las columnas (filas - columnas)
1
1
1
1
5 Fila i(i = 3)
3
4:
4
2
1
1• 1 \ 5 .*__ Fila 1 :
2
1
3 ;-2 ;0 ;2 ;l
-1 ; 4 ; -5 ; 3; 4 Columna J: 3 : 2 ; - 1 ; 5 Fila 3 :
Columna 3 :
0 ;-2 ; -5 ; 3
El 4 es el elemento que pertenece a la 3 r a . fila y a la 2da. columna esto se denota por:
ESI' i'oa «nal » L etra de la m atriz (m inúscula)
M .4TJW UA' ]
III) ¿Qué número está ubicado en la primera fila y la tercera columna de la matriz C?
4 = a ss N úm ero de columnas. N úm ero de filas.
a34 = 3 ¡2 = - 2
I) 2 x 2 ; 3x3 y 1x3
II) 0
9
“ JJ = 3
E J E R C IC IO 2 :
4U = 4
La siguiente información da cuenta del número de veces que tres am igos asistieron a tres cines diferentes durante este año.
ORDEN O D IM E N S IÓ N D E UNA M A T R I Z Es una característica de toda matriz, viene dado por la multiplicación indicada del número de filas y el número de columnas de dicha matriz, así si la matriz tiene m filas y n columnas, diremos que la matriz es de orden m xn.
Orden de "A” = n x m EJEM PLOS: a\ 2 tiene 3 filas y 2 columnas,
{0 - 2 )
* Mónica fue al cine Alambrito 23 veces, al cine Estación 7 veces y al cine Azul 10 veces. * Roberto fue al cine Alambrito 2 7 veces, al cine Estación 8 veces y al cine Azul 22 veces. * Teresa fue al cine Alam brito 5 veces, al cine Estación 9 veces y al cine Azul 16 veces. A partir de los datos proporcionados:
I) Expresar la información en una matriz de datos ¿Cuál es el orden de la matriz?
entonces se dice que es de orden 3x2 (tres por dos).
(1 4 II) La matriz
II) H allar el elem ento numero t
9 tiene 3 filas y 3 columnas,
2 4 16
{0 0
0;
O B S E R VA C I Ó N : Si el número de filas es igual al número de columnas entonces se dice que la matriz es cuadrada y que su orden es n .
EJEM PLOS:
a...
¿Qué significa este
IU) Determinar cuál de los tres amigos asistió más veces al cine.
entonces será de orden 3 x 3 (tres por tres). Como el número de filas es igual al número de columnas podemos decir que la matriz de orden 3.
R E S O L U C IÓ N : I) Si ubicamos en la primera, segunda y tercera fila a Mónica, Roberto y Teresa, respectivamente, y en la primera, segunda y tercera columna a los cines A lam brito, Estación y A zu l, respectivam ente, podremos representar la información en la siguiente matriz.
f
(4 2 X
7 17
(2 -1
* M es una matriz cuadrada de orden 2 N =
IU) 7
°M = 5
a 43 = 3
(1 I) La matriz b
R E S O L U C IÓ N :
5-
-2
3
2 /5
\1 - 1 0
/
* N es una matriz cuadrada de orden 3.
8
10\ 11
v 6 9 16, El elemento 23, que corresponde a la primera fila y primera columna, indica que Mónica fue al cine A lam brito 23 veces. El elem ento 22, correspondiente a la segunda fila y tercera columna, indica que Roberto fue al cine Azul 22 veces. La matriz es de orden 3 x 3 .
E J E R C IC IO 1 :
II) El elemento a31 es igual a 5 e indica que Teresa fue al cine Alambrito 5 veces.
En las siguientes matrices:
III) Sumando las filas, podemos decir:
( 2 1 2" 3 5 7 J
C=(9 17)
o 4
I) ¿Cuál es el orden de laB matrices A, B y C? II) ¿Qué número está ubicado en la tercera fila y la segunda columna de la matriz B7
Mónica fue al cine 30 veces; Roberto, 36 veces y Teresa, 30' veces. Luego, Roberto fue más veces al cine.
E J E R C IC IO 3: Escribir explícitamente la matriz: A = f a < / W a
R E S O L U C IÓ N :
«S i
4 9 4 | IE
[A J E ,
jNCICLOPEDLt 2012}
L
* Tabulando (Dando valores a “ i ” y “ / ” )»obtenemos:
an = 2 ( 1 ) - 2 = 1
r a 21 = 2 (2 j - 1 = 3
a iá = 2(2> - 2 = 0
r
aJ3 = 2(1) - 3
A
Si observamos las matrices A y B de orden 3 x 2 ;
1 0 ^ A
2 7'
2 K
L
7 '
3
(4-1)
4
5
,
podemos verificar que todos los elementos que están en las mismas posiciones en ambas matrices son iguales.
( ~ l ) i+J; i ¿ j ; i < j
EJEM PLO 2:
R E S O L U C IÓ N : 2
a u
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
.a 3 ¡
a 32
a 33
* Tenemos que: A =
B=
<4 B.
Formar la matriz A = [ a ( /] ax3 tal que:
li + j
(3 -1 )
A= 3 3
E J E R C IC IO 4:
/ I . .ZZ ■
(bjj )mxn
EJEM PLO 1:
* Luego construimos la matriz, así: A=
(0’^ )mxn, B
= 2(2) - 2 = 2
a„ = 2f2j -3=1
= -1 ;
Así: Sean las matrices
—
3
4
1 5
-J
2 -1
1
E J E R C IC IO 5: Contestar:
Las siguientes matrices: A =
2 3'
y B=
'8 5'
3 2 Y «y no son iguales, porque el elemento que está en la primera fila y segunda columna de A , aJ2= 3 es diferente que su correspondiente en B, bJ2=S.
EJEM PLO 3:
3 8 7 I) Dada la m atriz B= 14 2 elementos an , a22 y a23.
determ ina los
Si consideramos que las siguientes matrices:
M=
U) Considerando los arreglos rectangulares: / 1 0}
3 6 -8 } B = í3 6 - 8) 3 1 3)
21 4 1
A = -2
C=
(0 2
“ [©O
describe el orden de las matrices y, para cada una, el elemento a 22, bg2 y c2T
í
a
2 (b -D
3' 2j
N=
1 4 c 2 12
son iguales, entonces se tendrá que a =4; b - 1=1 y c=3. • Es decir:
a=4 ; b=2 y c=3.
M A TR IC E S
E S P E C IA L E S
III) Encuentra los com ponentes de la m atriz B=f6^J, si B es de 2 x 3 y b^=2i - 4f.
De acuerdo a la disposición de sus elementos o de la naturaleza de estos.
IV) Encuentra los com ponentes de la m atriz C=(Cy), si C es de orden 4x1 y C - . = i - j .
Aquí verem os las m atrices cuadradas, las rectangulares y sus tipos más usados.
R E S O L U C IÓ N :
1 ) M A T R I Z COLUMNA í
»
& 22~4
*
3x2
;
2x3
;
2
¡
b22=1
II**
0
U)
3
a 22~
»
a 23
2x2 c 22= ^
é
4
0> -6 2 } o' (0 1
, 0
-1 4 cq •"1 1
III) B =
-2
=2
IV) c =
Es aquella matriz, que tiene una sola columna, es decir es de orden “ m x J ” . A = (1a o ;i)mxn es una matriz columna si n = l ó bien
A -( a y ) mxJ
r ^ 5
A=
1 2 A
IGUALDAD D E M A T R IC E S Dos matrices del mismo son iguales si todos sus elementos de la misma posición son respectivamente iguales.
3 - 1 73x1
2 ) M A T R I Z F IL A Z Es aquella, que tiene una sola fila, es decir es de orden “ Jx n ” .
A =(a^)mxn es una m atriz fila si m = 1 o bien A =(ayJ ÍXfl
[ u o /i
T R A Z A D E UNA M A T R I Z C U A D R A D A
EJEM PLO: B = (2 - 4
6)¡x3
Es la sum a de los elem entos de su diagonal principal.
NOTA: En ocasiones, a las matrices filas y columnas se les llama vectores filas y columnas.
Sea la matriz:
A = (a i¡) => 7Yaz(A) = Yt aii i—t
3 ) M A T R IZ RECTANGULAR í
* Así en el ejemplo anterior: Traz(A)=2 + 4 + 0 = 6
Son aquellas matrices donde el número de filas es distinta al número de columnas.
* En el caso de una matriz cuadrada de orden uno por uno, si: A = [a lí]. La traza de la matriz será aJ2f
Esto es: la
matriz A = (a^)mxn es rectangular si
esto ya que con un elemento no hay suma.
m *n
EJEM PLO:
EJEM PL OS:
Así:
'5 -3
1 7'
B = 0
A = 3 8
4
^0 2
,2 9 á
7'
1
-> T r a z ( B ) = 5 + 4 - 2 = 7
-2
A es una matriz rectangular de orden 3x2.
D IA G O N A L P R IN C IP A L :
4 ) JIATR IZ N U LA í
En una matriz cuadrada A = (afj)nxn, la diagonal principal es el conjunto de elementos au tal que
Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde todos sus elementos son ceros, es decir, una matriz
A=(ai¡)mXn es nula, si a^=0 vi,j.
* =J • En la matriz de orden n la diagonal principal es: ( a j j a 22 a 33 ••• a n n )
EJEM PLOS: (0 0}
D=
0 o
CASO S PARTICU LARES DE UNA M ATRIZ CUADRADA
(0 o ó 0 0 0
D es una matriz rectangular nula de orden 2x3.
I ) M A T R I Z D L1G O N AL : 9
Una matriz cuadrada A = (a ^ )nXn es una matriz
5 ) JMATRIZ C U A D R A D A í Esta matriz se caracteriza por tener igual cantidad de filas y columnas, diciéndose que es una matriz de orden n x n o simplemente es una matriz de orden n , y se denota: A = ( < V * * " ÓA==r
- 0:
•*
.2 .-' Diagonal ] Secundúria
V 4 # •%
\ '~ 4
1
EJEM PLOS: (7
0
0
0
0 0 B= 0 6
*•
B=
"
-.0 f Diagonal
Principal
a u a 12
a 13
&21
a *?23
^22
3 7} fi 5
Es aquella m atriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal; son iguales a un número distinto de cero, así: la matriz A = (&y)nxn es una matriz escalar si:
(k 0 0 ... 0\ I9É
•••
a ln
\
k ; i= j
6
°v = 0 ; i * j
a 2n
a n2
a n3
••• CLnn J
A=
0 k 0 ... 0 0
EJEM PLOS: \ a nl
0
0 0
• Si es de orden n tendremos:
*
0'
m II) M A T R IZ E S C A L A R m
1 : <4>:, 3
A=
elementos son ceros a excepción de por lo menos un elemento de la diaognal principal.
A =
EJEM PLOS: . 2 ••• 3
diagonal si a > y = 0 ;V i * j t es decir, si todos sus
(6
0
'{O
6
0
0 ... k
(3 0 0} B= 0 3 0 0 0 3
r
*
»
6
1
ÍVJLS¿
NCiCLOPEDtA 2012}
UM) MATRIZ IDENTIDAD
Si: a¡j=0; V*
Es una matriz cuadrada de orden n denotada por I ó IH cuyos elementos de su diagonal principal son todos iguales a uno y los elementos fuera de la diagonal principal son todos iguales a cero.
EJEM PLOS:
J 1 >• i = J
/ = / „ = M , 7 nx* , donde
0
La transpuesta de una matriz A; se denota por A1se define como aquella matriz construida a partir de la m atriz A , intercam biando sus filas por sus respectivas colum nas, conservando todos sus elementos.
•••
0 1 o ... o I = l n = o o 1 ... o 0
0
» -
V) T R A N S P U E S T A D E UNA M A T R I Z í
* es decir
1 0
■ (i : >
Si:
0 .... 1
EJEM PLOS: 0
II
I 2=
,
*
/,= ( !)
1 0
1 0\ >\ 1J •
0'
0
1 0
0
0
O B S E R VA C I Ó N : Si la matriz “ A ” es de orden m x n , su transpuesta (A1) será de orden nxm.
R E S O L U C IÓ N :
¡V ) M A T R I Z T R IA N G U L A R : Es aquella donde todos los elementos a un lado de la diagonal principal son ceros y al lado opuesto al menos uno no es cero.
♦ Sea: A =
Triangular Superior
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Una matriz cuadrada A = (a ^ )mxn es triangular superior si a ^ = 0 , V ¿ > j ( esto es, cuando los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son ceros.
A=
o
f 2
3>
2
K3 - 1
y => A*= Xj
x
3)
{ 3
y
xj
2) (A 7 = A
1) ( A ± B ) * = A t ±B* 3) (kA)‘ = kA* / k es escalar
4) (AB), = B*A*
6) Traza A=Traza A * TV) 2HATMUZ SE M ÉT R IC A : Una matriz cuadrada A =(a^)MX9 es simétrica si ° y = a /i» e8to e s > l ° s elem en tos dispuestos simétricamente a la diagonal principal son iguales.
O B S E R VA C I Ó N :
EJEM PLOS: fí
= > A #=
P R O P IE D A D E S 0
Triangular Inferior
x
A=
12
B =
4
**1 1
A =
5
1
* S i: -2
3}
\1 ' 2 -1
EJEM PLO 8
2
-1 2
'4
B= 0 0
Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matriz simétrica
5 3 1- 9 0 2
MATRIZ TRIANGULAR INTERIOR
Si: A = - A 1 => A es simétrica
EJEM PLO:
.*
Ea aquella m a triz, cuyos elem entos que se encuentran encima de la diagonal principal, son iguales a cero. Es decir: A=(a¡j)n es una matriz triangular inferior.
7 A =
•
3
2
\
3 - 1 4 2
♦ C om o:
4 -5
7 -* A* =
1
A=A*-> 4,A ”
•%3
3
2 e s s im é tr ic a
2
-I-, % %4 4
-5 ^ < Espejo
[MCM9M4:jTO,VJg &
f t l 7 I f iV O .V
IIP
*9 7
W f) M A T R IZ A N T IS D IÉ T R IC A í Una matriz cuadrada A = (by )nXj> es antisimétrica si °V = ~ any Vi*j* esto es> ^os elementos dispuestos simétriamente, con respecto a la diagonal principal, son de signos opuestos.
O B S E R VA C I Ó N : Si una matriz es igual al negativo de su transpuesta, se llama antisimétrica. Si: A = - A 1 => A es antisimétrica
EJEM PLO: 0 - 2 3> ' 0 2 0 - 4 -» A r = -2
A=
4
-3
0é
0 - 2 2
-+ - A r =
2 -3 ' 0
4
, 3 - 4
0t
4
* Como: A = -A *
0J
—►su opuesta e s : - A =
A ntes de definir las operaciones, veam os y analicemos el siguiente ejemplo: La tienda Ventas del Futuro vende ropa deportiva. Las ventas (en soles) de tres de sus vendedores estrellas: Ernesto, Fabiola y Andrés, durante los días viernes y sábado de la última semana en los tumos mañana y tarde, aparecen en las tablas 1 y 2.
Vendedor
M añana
Tarde
Ernesto
300
700
Fabiola
400
900
Andrés
500
800
Vendedor
M añana
Tarde
Ernesto i
500
900
Fabiola
700
1000
Andrés
400
800
1
1,
1
4
2-3' 0 - 6 1
-2
1
J
3'
6 -1
O P E R A C IO N E S F U N D A M E N T A L E S CO N M A T R I C E S
TABLA 1: viernes
EJEM PLO: A= 0
* La matriz identidad es diagonal y simétrica.
* ¿Cuánto se incrementaron las ventas de cada vendedor de un día para otro y en cada turno?
“A ” es antisimétrica.
Dos matrices son opuestas si son del mismo orden y además sus respectivos elementos son opuestos.
-1
♦ De acuerdo con la definición de m atriz antisim étrica, es claro que los elem entos de la diagonal principal de una matriz de este tipo son iguales a cero. En particular, la única matriz diagonal antisimétrica es la matriz nula.
♦ ¿Cuáles son las ventas totales efectuadas por cada uno de los vendedores en los dos días y en cada tumo de trabajo?
M A T R IC E S O P U E S T A S í
r2
M . i n w ’iíA j
El administrador de la tienda desea conocer:
3'
0 - 4
-3
BH I
TABLA 2: sábado
P R OP I E D A D E S : Sean A y B matrices cuadradas de orden “ n’\
1) Si: 2) Si:
2
- =»B es simétrica es antisimétrica
2
3) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una simétrica y otra antisimétrica; así:
.
A + A*
A = -------------- + aimétrica
A -A *
-------------
antiaimétrica
Si ordenamos la información anterior en forma m atricial para facilitar las respuestas del adm inistrador, y llam am os V a la m atriz que contiene los datos de las ventas de cada vendedor del día viernes y por cada tum o de trabajo y S a la matriz con la información de las ventas del día sábado, tenemos:
O B S E R VA C I Ó N : Todas las matrices diagonales son triangulares tanto superior como inferiormente. Por otra parte, para que una matriz sea a la vez triangular superior e inferior es preciso que 6ea diagonal. En particular las matrices identidad y nula (de orden n ) son diagonales. A dem ás, toda m atriz diagonal es simétrica.
v=
300
700^
400
900
500
900'
; s = 700 1000 800j 400 800j
\500 Si queremos ahora responder a la primera pregunta del administrador, debemos realizar la siguiente operación: sumar cada elemento de la matriz V con cada elemento que ocupa la misma posición en la
*98 I matriz S. De esta manera se obtiene otra matriz del mismo orden, a la que señalamos con la letra M, donde cada elemento representará las ventas que realizó cada vendedor en los dos días en cada uno de los tumos. La operación realizada se denomina adición de
matrices.
y *
* Las matrices
c * En cambio, las matrices e
4500^
M = 400 900 + 700 1000 — 1100 4900 800,
400
800,
900
Á partir de la matriz M , podemos concluir que: * Durante el turno de la m a ñ a n a , Ernesto vendió en total, por los dos días, 3 0 0 nuevos soles; Fabiola vendió en total 1 100 nuevos soles, y Andrés, 9 0 0 nuevos soles. * Durante el tu m o de la tarde , Ernesto vendió en total, en los dos días, 1 600 nuevos soles; Fabiola vendió en total 1 900 nuevos soles, y Andrés 1 600 nuevos soles.
y y
f.
z
por ser de
A= J 3
5 ;
-5
6'
3
2
B=
2 4 -5
=>A + B = 1 + 3 3+2
-1 + 6 5+2 —
-4
5
4
7
5 -2
t
1600 j
d
EJEM PLO: * Sean:
i
500
X
i
' 800
*.
i
900>
0
por ser del
diferente orden no se pueden sumar.
o*
'5 0 0
20 t i ]
0“
a b
i
300 700^
i
L° mismo orden se pueden sumar.
1
En el caso de la tienda de ropa deportiva, la matriz M resulta:
[0
m p
i
Supón que A y B son dos matrices del mismo tamaño. Por lo tanto, la suma A + B es otra matriz, obtenida al sumar cada elemento de A con el elemento que ocupa la misma posición en B.
iXCICI.OPKOIA
P R O P IE D A D E S D E L A A D IC IÓ N D E M A T R IC E S Si A , f í , C y 0 son matrices del mismo orden, además 0 representa la matriz nula , entonces:
1) A + B = B + A .................... (Ley conmutativa) 2) (A+B)+C=A+(B+C ) ... (Ley asociativa) 3) A + 0 = 0 + A = A ................ (Elemento neutro aditivo) 4) A + (-A) = 0 ..................... (Inverso aditivo)
NOTAS:
* La primera propiedad indica que se obtienen los
* Para sumar dos matrices , el orden de ambas debe ser igual.
mismos resultados cualquiera sea el orden en que se sumen las matrices A y B.
* La suma se denota A + B = f a tf by) y la matriz resultante será del mismo orden que la matriz A.
EJEM PLO:
I) ADICIÓN D E ¿MATRICES Z
’3 7 1' ’6 9 2 M = 4 9 3 + 5 4 7 5 8 2 1 0 3
—
6 9 2 3 7 í" 5 4 7 + 4 9 3 1 0 3 5 8 2
Con dos matrices de un mismo orden se puede formar una nueva m atriz, cuyos elem entos se obtiene sumando las componentes correspondientes de las matrices (elementos homólogos).
* De igual modo, la segunda propiedad indica que, para sumar tres matrices, 6e pueden sumar las dos primeras y luego la tercera, o agregar a la primera la suma de la segunda y tercera matriz.
Así si A = xn y B = (bq)mxn *a suma de A y B es la matriz A + B de orden m x n obtenida al sumar los elementos correspondientes de A y B . La matriz A + B de m xn está dada por:
EJEM PLO:
a u + b ¡¡ a 12 + a¿2 A + B -[ a tf + & { /] - a 2 í + b2í a 22 + b22
••••
+ b ln
•••* a 2n + b 2n
«m J + b m l a m2 + b m2
a m n + b ntn
* La suma de matrices se puede efectuar si los sumandos tienen igual orden.
$\ 7
//
* La matriz n u la, sumada con cualquier otra matriz A , da como resultado la misma matriz A.
EJEM PLO: '0 0 0' 3 9 1' 0 0 0' 3 9 4' 4 13 + 0 0 0 X 0 0 0 + 4 1 3 0 0 Oj {5 8 2 ) 5 8 2 0 0 0
itfATWWRV]
«9 9
S U S T R A C C IÓ N D E M A T R I C E S : (Caso particular de la adición) Si A y B son matrices del mismo orden, entonces A-B es la matriz en la que cada elemento es la resta
EJEM PLO: * Sean:
4\ A = ( l 3 2); B = - 2
de los elementos de la misma fila y columna de A
y b. * Si A y B son del mismo tamaño: Osea: A - B = A + ( - l ) B
5 A x B = 1 x 4 + 3 (-2 ) + 2 x 5 = 8
A - B = fa y - bi.]mxn
M ULTIPLICACIÓN D E M A T R IC E S A ) M U L T M P IJ C A C I Ó N D E U N E S C A L A R P O R
N ótese que la operación hay que hacerla multiplicando la fila por la columna; cada elemento de la fila se multiplica por el correspondiente de la columna y, a continuación, se suman los productos obtenidos .E sta operación se llam a producto escalar de la fila por la columna.
UNA M A T R IZ
O B S E R VA C I Ó N :
Dados una matriz A=[a^Jmxn y un esciar k t el producto de k y A es la matriz.
* El producto se define sólo si los vectores filas y columnas contienen el mismo número de elementos.
ha 11
kaln
ó Del producto de estas matrices resulta un escalar.
kA = ka2I
•••• k(*2n
♦ El producto entre matriz se calcula multiplicando los elementos correspondientes de las dos matrices y haciendo la suma algebraica.
ka mi
••••
ka mn
donde cada elemento de A se multiplica por el escalar k entonces el resultado es la matriz k A del mismo orden que A. Sea: A —(iz> •)
k A = ( k a u )mxn / k g R
EJEM PLOS:
(8 2 V
4 \ (S (-2 ) 2(-2) 4(-2)\ 7 - 2 J \fi(-2) 7(-2) - 2(-2))
- 6 - 4 - 8' -12 - 1 4 4
^
3 A s=J3 t í 2
3
A B = (2
- 3 ) ¡ S)=(2)(3) + (-3) (4)=(-6)
V* J
D O S J L X T R IC E S :
Dados dos matrices A=(a^)mXn; B = (b ¡k)nXp existe una tercera matriz C = (cik)mXp que representa el producto de multiplicar las matrices A y B ; donde cik es el producto de multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna “ 6 ” de la segunda matriz. Es decir:
( 2 7^ * Si:
Multiplicar:
C ) M IL T IP M J C A C IÓ N D E
f3 2 4' * Multipliquemos a la m atriz por el 6 7 -2 escalar (-2): (
EJEM PLO:
entonces:
7 ) J 3(2) 3(7) 1 ) [3 (3 ) 3(1)
A x B = (cik)mxpicik= £ a¡j x bjk 3A=
B ) M IL T IP L 1 C A C IÓ N D E Í X 1
(6 9
21\ 3
J IA T R M Z F I L A
P O R UNA M A T R IZ C O LU M N A í
__________________________ Jzí__________ ♦ La multiplicación de la matriz A y la matriz B existe si y sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. b ,nxp
Sean las matrices: M
ÍM b2
II
flQ
A —(a ¡ a 2 a 2
Deben ser iguales
**
• • •
AB es “m ” por “p »
\b rt J n
2 + . . . + an x i* l
REGLA D E CALCELO: Si A B =C , un elemento de la matriz de producto será igual al producto de la fila i de la matriz A y de
so is)
km [ 5 0 0 | la columna / de la matriz B (ver la figura).
R E S O L U C IÓ N : ♦ Como R es de orden 3 X 2 y S de 2 x 2 , el producto R S tiene orden 3 x 2 .
J
) = 1-
4 ¡r -“
3'
r3 í2 j
3(3)'
6 9'
R S = 2 (2 3 j =
1(2)
1(3)
2
3
4
6
2(2) 2(3) j EJEM PLO 5: E JE M P LO 1: A =
2
, calcular M JV. 2X
B =
R E S O L U C IÓ N : * Observa que M es una matriz de 2 x 2 y N una matriz de 2 x 3 , por lo que M N es una matriz de /2x2
AB =
24
2x3.
42
( ( - 2 + 9) (5 + 12) (J + O)") f 7 MN= (-1 0 + 6) (25 + 8) (5 + 0 ) J ~ { - 4
27
2^1
33 6
E JE M P L O 6: EJEM PLO 2: A=
4 1^ 3
B =
2
5
6
Calcular A B y B A si: A =
2
3
R E S O L U C IÓ N :
2
2
f 20+2
24+3
3
2
25+2
23+6
1
AB= AB=
3^
-2
/
3 V -3
2 Y (-6 s j 't
22
27
-i
a j[-i
27
24
-3
iY
BA=
2
9.
(-4
-7 ^
2)-{-6
7,
^
2'
-J
£
lO')
i
1
-1
y B=
-3
$
* Nótese que para obtener el producto AB se multiplica cada fila de A por todas y cada una de las columnas de B.
* Observa que , aunque ambos productos AB y B A están definidos, A B *B A .
PR O PIED AD ES D E LA MULTIPLICACIÓN D E M ATRICES EJEM PLO:
B = 2x3
2 -2
C 12
C =A x B=
21
-4
3
>B =
r ^
2
\- 2
0 3 /J
—
✓
C12= 3 x 3 + 2 x 2 = 13
C¿2 = ( “ 1 ) ( 3 ) + 4 x 2 = 5 * Agrupando BC se obtiene:
C13= 3 x l + 2 x 2 = 7
C 99 = ( - l ) ( l ) + 4 x 2 = 7
6
e s o l
U C IÓ N :
A(BC)=
10 13 -8
8r
7
( 3 y\ 2
y
S = (2
2 -Ú -4
3
(1 - r 2 11 2 0 -1 0 3 1 <01 ~5) n)
EJEM PLO 4:
= 1
2
Calcular AB C .
C2 ¡ - ( - l ) ( 4 ) + 4 ( - l )
Si:
_ y C =
^22
Cn = 3 x 4 + 2 ( - l ) = 10
♦ Entonces: A x B =
2")
2 -2 ’
i
calcular B S .
(AB)C=
-2
2
0
1
0
0
s o i BES
[Mcnti'Ko.xrrz& 5
(1
-1 }
2
-1 1 -4
5
-í \
2
0
1
o,
8
8) En general “A B ” no es necesariamente igual a “B A ”
-5
14
I*Z%TMU1VC&J
11
DEFINICMONE s :
* Observa qye : A(BC) = (AB)C
1) Si A B = B A se dice que A y B son matrices
EJEM PLO:
conmutativas.
Sea A =
r3
0
\1 2
B=
(-1
0
3
1
y c~
2) Si A B = -B A se dice que A y B son matrices
(3 0
anticonmutativas.
2 3
A(B+C)
som a :
t e o r e il v s
• Efectuar:
-(11 1 K 'M x 1
6 12 8
:
traza
Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y x un escalar.
I) Traz(A±B) = Traz(A) ±Traz(B) II) Traz(X x A) = XTraz(A)
AB + A C =
III) Traz(AB) = Traz(BA) III) P O T E N C IA C IÓ N M A T R IC E S :
* Por tanto, A(B+C)=AB+AC. Desde luego que un ejemplo no constituye una demostración; sin embargo nos hace pensar que; aunque el producto de matrices no es conmutativo, si es asociativo y distributivo con respecto a la suma.
1 ; n= 0
A"=
A -A 'A * :A ;n e N ;n ^ .2 "n* veces
1) Si A es una matriz de mxn, B una matriz de nx p y C una matriz de pxqr, entonces:
Sea: A = I ^
(A B) C=A(BC)
* Por inducción:
0
* I» calcular A
1
A J= A =
(1
respecto a la adición. Para cualesquiera matrices A, B y C de tamaños apropiados se tiene:
I) A(B+C)=AB+AC
U) (B +C )A =B A +C A
P R O P IE D A D E S : Sean A, B y C matrices para los cuales están definidas las operaciones de adición y multiplicación k y r escalares.
;A= 0
A ; n = 1
EJEM PLO:
2) La multiplicación de matrices es distributiva con
LA
Sea A una m atriz cuadrada de orden k e N definimos: ,^ ^ ^
A continuación se darán dos resultados que se pueden demostrar:
(Ley asociativa)
DE
r
0
A2 = Ax A =
A3 = A 2 x A = A4 = A *xA =
1 1Y1
l
0 l){o
1
1 2V1
1
0 l){o
1
1 0 3 2 f0
22
1) k(A +B)=kA+kB 2) (k+r)A=kA+rA 3) k(rA)=(kr)A
An =
2 n)
0 1
4) A(BC) = (AB)C
P R O P IE D A D E S :
5) A(B+C)=AB+AC
La potenciación de matrices es conmutativa. De donde se tendrá.
6) AB=0 no implica que A = 0 v B = 0 7) AB=AC no implica que B = C
I) Si A es una matriz cuadrada A m x A " = A " x A m!m:n e N
502 1 í í j Si A y B conmutan => A m y B rt conmutan siendo ro, n naturales.
III)
Si
A
es
NCMCIOPEOIA 2012J
♦ Obteniéndose que A2= A ♦ Luego diremos que A es una matriz idempotente.
úna
m atriz
cuadrada
4 ) M A T R IZ R E A L Z
(A m)n= A mn= (A n )m; m ; n e N
Es aquella matriz cuyos elementos son reales
IV) AI=IA=A
A = [a y ]
V ) I n=I
nxm
; da ay e R JP => A = A
5> M A T R I Z C O N J U G A D A Z
VI) ( A ± B ) T= A T ± B A
Es aquella m atriz donde sus elem entos son el conjugado de los elementos de otra matriz
VU)(AT)T = A
A = Lr a v| , Jnxm l => A =
VIII) (XA)T = XAT ; X es un escalar
a« v nxm
6 j M A T R IZ H ER M ITIAN A Z IX) (AB)T= B Tx A T
M A T R IC E S R ELAC IO N AD AS CON L A POTENCIACIÓN
Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama hermitiana si dicha matriz es igual a la transpuesta de su matriz conjugada, es decir: Sea A = (aiS ) ij'nxn es herm itiana si A = (a y )
1 ) M A T R I Z INVOLUTIVA Z Una matriz cuadrada es involutiva si su cuadrado es la matriz identidad (A2=I). ♦ Sea la matriz A lf. :
EJEM PLO: Sea la matriz: A=
A Á -1 - W 0 1)
^
. De
donde se concluye que los elementos de la diagonal principal son necesariamente reales.
EJEM PLO: ‘
M
=> A 2= I
=
, "
{0
(Á )T=
*
3-i
2 ) 3+i
(6
1
A es involutiva
3 + i\
( 6
3 -i
_
o
A=
" 6
3 -i
3+i
2 ,
2
♦ Como (A )T= A ^ > A es una matriz hermitiana.
2 ) M A T R I Z N IL P O T E N T E Z
7) MATRIZ ANTIIIEILMITIANA Z
Una matriz cuadrada A se dice nilpotente si y sólo
Una matriz cuadrada de elementos complejos se llama antihermitiana si es igual al negativo de la transpuesta de su matriz conjugada.
si A "= 0 , para algún n e N •
EJEM PLO:
♦ Es decir:
0 1 2 ♦Si: A = 0 0 2 =>AS=0
S i: A=(a.y)niin a
nxn
0 0 0
A es antihermitiana
2 ) M A T R I Z ID E M P O T E N T E í Una matriz cuadrada es idempotente si su cuadrado es la misma matriz.
EJEM PLO: A =
(-3
De donde se concluye que los elementos de la diagonal principal son ceros.
EJEM PLO: * Sea: A =
Sea la matriz An:
♦ Sea:
_ vr .vr ( a ) = - ( ( a (/))
-
2
3
=> A
2= A x A =
(-3 3
-2 2
(
0
{ - l + 6i
l + 6i\
0 )
( A=
0
{-l-6 i
1-6Í') _
0 )
[r<:n a
w m s&
802
r e w7 < f x o
* Luego se dirá que la matriz A es antihermitiana. O B S E R VA C I O N E S : Sea A una matriz cuadrada de elementos complejos. /) A + ( A ) T es hermitiana
III) Toda matriz cuadrada de elementos complejos se puede escribir como la adición de una matriz hermitiana y otra antihermitiana.
A + (A ) t
A = ---------
h erm itia n a
.
+
(la que va desde el ángulo superior izquierdo al ángulo inferior derecho) la matriz se llama matriz diagonal. * Si una matriz diagonal tiene todos los términos de la diagonal iguales se llama matriz escalar.
* Si una matriz diagonal tiene todos los términos de la diagonal iguales a I se llama matriz unidad.
W A - ( Á ) t es antihermitiana
,
Nt.tTtUI'iCAi]
A -(A f
* Las matrices cuadradas en las que = 0 siempre que i > j o bien a¡j = 0 siempre que i < j se llaman matrices triangulares.
--------- ----------
* Para Bumar dos matrices tienen que tener las
a n tih erm itia n a
mismas dimensiones. Para sumar dos matrices se sum an los elem entos que ocupan las m ism as posiciones
8 ) ¿MATRIZ ESCALONADA : Una matriz A = (a¡j)mXn es una matriz z escalonada si el número de ceros aumenta de fila a fila.
* Para multiplicar un número por una matriz, se m ultiplica cada elem ento de la m atriz por el número.
EJEM PLOS: 2 -1
0
3
1
2
1
0
e
0
4
0
0
2
0
2
4 - 3 0
0
§
&
0
0
0
0 £
%
0
0
3 - 2 -1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
* Para multiplicar dos matrices es indispensable que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. * Dada una matriz, su traspuesta es la formada al disponer la fila I como columna 1, la fila 2 como columna 2... la fila n como columna n.
5 * La traspuesta de la matriz A se designa por A*
H IS T O R IA
Z
t R E SU M E N i
El origen de U s matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, s e registra en la literatura china hacia el 660 a. C.
* En matemáticas, una m a tr iz es una tabla de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistem as de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Es larga la historia del u so de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un Importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., N u ev e capítulos s o b r e e l A rte d e las m atem áticas (JiuZhang Suan Shu), es el primer ejem plo con ocid o de uso del método de matrices para rasolver un sistema de ecu aciones simultáneas. En el capitulo séptimo, mNI m u ch o ni p o c o » , el con cepto de determinante apareció por primera vez, d os mil sitos antes de su publicación por el m atem ático ja p o n é s Seki Kowa en 1683 y el m atem ático alemán Gottfried Leibnlz en 1693.
* Cuando el número de filas es igual al de columnas (n = m) la matriz se llama matriz cuadrada.
* Cuando n = 1 la matriz se llama matriz fila. * Cuando m = 1 la matriz se llama matriz columna. * Las m atrices fila y habitualmente vectores.
colum na
se
llam an
* Cuando en una matriz cuadrada son ceros todos los elementos que no están en la diagonal principal
Los «cuadrados m ágicos» eran co n o cid o s por los matemáticos árabes, posiblemente desde com ienzos del siglo Vil, quienes a su vez pudieron tomarlos de tos matemáticos y astrónom os de ia india, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros «cuadrados m ágicos» de orden 6 y 6 a p arecieron en B agdad en el 983, en la E n c ic lo p e d ia d e la Hermandad d e Pureza (Rasa'il Ihkwan abSafa).
Después del desarrollo da la teoría da determinantes por Seki Kows y Lelbniz, s finales del siglo XVII, Crsmer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Crsmer. Cari Friedrich Gauss y Wilhelm Jordán desarrollaron la eliminación de Gauss*Jordan en el siglo XIX. El término «matriz» fue acunado en 1648, por J. J. Syivester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Caytey introdujo en 1858 la notación matricial, com o forma abreviada de escribir un sistema da m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenlus y von Neumann están entra los matemáticos fam osos que trabajaron sobre la teoría de matrices. Olga Taussky-Todd (1906 -1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigare) fenómeno de aeroelastieidad llamado fíuttertng. Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En esta eonteito, aon la msjor forma para representar grifos, y son muy utilizadas en el cálculo numérico.
K A
c
/V isé
15 0 *
TMCLOPEDLX m í a
•m 4 ,
1
R E S O L U C IÓ N : * Reemplazando las matrices:
-*[; ; m
PROBLEMA 1:
A =
0
4
0y
5
a
3
f( c - 3 )
4
0'
5
0
3
B =
J b -1 ) 1 2 4
,
0
1
dé
S= -+ S =
2 01
12
3
-2
A) 8 Bj 9 C)12 R E S O L U C IÓ N :
D) -1
+
5
2
21
-2
0.
-+ s=
-3
5
Considere las matrices
a
A=
B=
0 c 0
(1
Si A + B =
(2
6
6
c
0
A) -2
B) -
2 x 3 en donde b^=2i - j , hallar m y n si se sabe que A y B son matrices iguales.
♦D e:
622
b¿i
A
6'
'I *
A +B= -» a + 2 = 1
a+2 6
6 = 0
a
(1
M=
1
6
c
2c
O 1 a
6 = 0
a
a
2c = 1
c= — 2
a
* Reemplazando e n : M =
btt = 2 ( 2 ) - 2 = 2 6 ^ = 2 (2 )-3 = 1
6
2 0}
26 = 0
a
2
261
2b+ 1
1
2c
a
bn = 2 ( l ) - l = l ; b21 = 2(2) - 1 = 3
Traz(M) = 1 - 1 = 0
1 -1
RPTA: “C ”
1 0 -U * De donde: B = 3 2 1
P R O B L E M A 5: Sean las matrices:
* Ahora, como A = B , entonces m = 0 y n = l . RPTA: «fDIf PROBLEM A 3:
x -3 y x
A= .
Si A = B
Dadas las matrices:
A)
2 4 0 3
*
6 -x y
,1 6 - x j
9)
, hallar 3 A + 2 C
(-1 - 1 7
B=
(2
9
B)
-2 6
0 5
O
-2 - 1
D)
-2 -1
R E S O L U C IÓ N :
Calcular: S = 3 A - 2B + C
-írr
2c
E)1
D ) ~2
B =
a
-» a = -1
6*3 j
1
OO
J a
i
b¡2 bjs
1
es:
R E S O L U C IÓ N :
A) 1 y -1 B )0yl C )2 y -2 D) 4 y 3 E) 8 y 9 R E S O L U C IÓ N : * Primero hallaremos los elementos de la matriz:
y M=
2b+ 1
, entonces el valor de la traz(M)
1 m -1 y la matriz B de orden Dadas la matriz A = 3 2 n ,J
o
7 13
PR O BLEM A 4:
* También c - 3 = 0 , entonces c = 3 y d = 2 * Se pide: a + b + c + d = 0 + l + 3 + 2 = 6 RPTA: “E ” PROBLEMA 2:
A =
- !
E) 6
* De igual forma: b - 1 = 0 , entonces b = l
bn = 2 ( l ) - 2 = 0 ; bJ3 = 2(1) - 3 = - 1 ;
* 0
RPTA: “C 9 9
* Como A y B son iguales, entonces el elemento “ a ” que está en la segunda fila y segunda columna en la matriz A , es igual al elemento 0 que ocupa igual posición en la matriz B.
bjj
r 2
-2 - M
0 20 5 22
Calcular: a + 6 + c + d
B=
í
• Efectuando:
Si A y B son iguales:
f
;
• Por dato:
7 13 C) -3 5
D )I
A =B =
x -3 y
x
1
y
2 6- y 1 6 -x
[K B fr iO A T O Entonces:
W Í7 < f.V O ^
508
x -3 y = 2
x =5
6 -y =x
y~l
PROBLEM A 8: Si A y B son dos matrices definidas por:
2 5X * Luego: A = 1 1
-2
A =
4
B=A+2A+3A+
* Nos piden:
0 -2 +nA,(n e N )
Entonces, la suma de los elemerftos de la matriz B es:
RPTA: " D ” PROBLEM A 6:
A )0 B) 1 C) n(n+l) R E S O L U C IÓ N :
D) 2n(n+l)
♦ Se deduce q u e:
B = ( l + 2 + 3 + ••••• + n)A Sean las matrices ices: A = |
si se
L<>
:
i
*
-
r
:
_ n(n + l ) ( - 2
B
:
0 ’W - i » ( n + 47
[4
2
-2 )
0
\2n(n + l ) - n(n + l )
* Se pide: - n ( n + l ) + 2 n ( n + l ) + 0 + [ -# *(w + 4 )7 = 0
cumple que A + B = 7 , donde I
RPTA: “A ” Hallar a+b +2c.
PR O BLEM A 9:
A) -1 B) -1/2 C) 0 R E S O L U C IÓ N :
D) 1/2
E)1
Para
0 c
+
* Luego:
4/
2 6
W
6 c m
26"
:
2c
0 4 Si A =
* Se pide: -4 + 0 + 2 ^
fk
4\ - 2k)
A) -55 B) 55 C )45 R E S O L U C IÓ N :
Calcular: Traza(M)
3 f=
10
0
, entonces la suma de todos los
di¡
E,72
R E S O L U C IÓ N : fo o 1 ) -> A * = 0 0 0
A= 0 0 1
000
0 0 0' A3 = A2xA = 0 0 0 0 0 4 = 0 0 0 0 0 0, 0 0 0, <0 0 0, -4 A 3= 0 -4 A* = A45. °= = 0 '0 0 4'
(3
1 + 2 + 3 + ... + 10 (10x11
0
0 0 0y
E {4
4'
'4 0
\1 - 0 10(1)
4
(0 1 1}
♦ Desarrollando la sumatoria:
M=
'0
« f
D) 15
4'
k1 -
4'
20,
10(4)
10x11
55
40
1!
1 0 eA= 0 i
0
10 - 1 1 0
✓
RPTA: “A
-4 eA=
2!
0 1 4' '0 0 4 0 + 0 0 4 + 00 0 0 0 0 0, ^o 0
4 i
♦ Se pide: Traza (M) = 5 5 + (-110) = -5 5
0 1 1'
♦Luego: e A = / + — A + — A 2
- 2 ( 1 + 2 + 3 + ... + 1 0 ) 40
define
4!
♦De:
Si se tiene: M = £ I
2
3!
= 0
7: 10
2!
se
elementos de la matriz eA es:
RPTA: “ C $ 9 PROBLEMA
+-
A = (ajj)nxm
\0 0 0 /
2 c = l => c = — 2
6=0
m atriz
4 0
a+2=l o a = - 4
M= 1 4 1 -2
A
+
a 6
II
♦ De: A + B =1
toda
0'
o>
-
2
0 11 0 0 1
r
0 0,
E
l
s
3 13 ♦ De donde la suma de elementos de eA es: 5 + — = — 2 2
RPTA: “B ” PROBLEMA 10:
o
s
ICtCLO PVniA 2012]
I
7 -p = 0
P~ 7 -» q = - 3
q + 3=0
m= 0 * Se pide: 0 + 7 + (-3 ) = 4
RPTA: UE 99
Dado el polinomio: f(x)=3x*-5x-2 y además:
P R O B LE M A 13:
■e a-
Hallar: ffA)t e indicar su traza.
A) 0 Bj -14 C) 28 R E S O L U C IÓ N :
D ) -1
E) 7
fiA (A)í = 3A2 - 5 A - 2 I =
* Luego:
1 2
1 2
3 1
3 1
1 2 f(A)
3 1 21 12
A =
x + 2y
5
-2
2y
3z + x
7
3z
f.a
x + 2y = 5 2y + 3z = 10
JL Sumando Miembro a 3z + x = 7 ______ » miembro
-2
2x + 4y + 6z = 22
0
x + 2y + 3z = 11
0 -2
* Sumando las matrices: 14 2 Traza(f(A} )=14 + 1 4 = 28 f(A) 3 14 RPTA: “C 9 9
* Se pide: Traza(A)=x + 2y + 3 z = 11
RPTA: " B ” PROBLEMA
d
c
b+ 1
-4
'a - 6 A =
Calcular: traza(P(A)). A) 3 Bj 4 C )2
14:
Si A es una m atriz antisim étrica definida por
PROBLEM A 11: a
E)-l
* Por simetría respecto a la diagonal, 6e obtiene (espejo):
0 1
f(Á) 118 22 I+ 1-1 5 - 5
10 '
es simétrica, calcular Traza(A) A) 12 B) 11 O -2 0 D) 0
1 0
- 5 -1 0
Dado: P(x) = x 2+ x - l
x
R E S O L U C IÓ N :
* Calculamos: xA
✓
2y + 3z
* Reemplazando el valor: x = A t en el polinomio y la identidad 1 del polinomio por I (matriz identidad).
A 2= A
Si la matriz:
a
A
, entonces el valor de
, e 4 c ~ 2, T = a + b + c + d + e es: D)1
E) 5
A )-l
B) 1
0 2
Dj 3
E )4
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
*D e: P(A)= A * + A - 1
* Como se traza de una m atriz antisim étrica, entonces: A = - A 7
2 3
PIA) . I * * ,♦
3 2
a
-+ Traz(P(Á)) = 2 + 2 = 4
A=
p+1 q
AJI
q+3
2
m
1 B j-2
c-2
* c
e'
b+ 1
4
a - b = - ( a - b ) —> a = 6 a = -d c = -e
; calcular: m + p + q
m+3 0 7
d
= —
a
* De donde se aprecia que:
Si A es una matriz triangular inferior;
7 -p
b+ 1 -4 4
a -b
c'
i <■>
PROBLEM A 12:
e
d
i
RPTA: “B ”
*
-2
a -b
b + 1 = - (b + 1) -> b = - l
c-2 = -(c-2) D) 0
E)4
R E S O L U C IÓ N : • Si A es una matriz triangular inferior, entonces
-> c = 2
* Se pide : a + 6 + e + d + e = - J + (-1) + 2 + l + (-2) = - I
RPTA: “A ”
PROBLEMA 15: Si A y B son matrices de orden n x n , entonces hallar
R E S O L U C IÓ N : • Primero:
el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
'0 - a 11
/) Si A2=2, entonces A =2, A =(a^)nxm
W (mA+nB)T= m Ar + n B T; m y n e R III) traz(AxB) =traz(A) xtraz(B) A)FFF B) W V C) W F D) FVF E)VFV R E S O L U C IÓ N : I) FALSA: ya que tenem os el siguiente contra ejemplo: •Haciendo: A_/=A -+A i= I ty no necesariamente: A = /
II) VERDADERO: por propiedades: III) FALSA: porque si: B =A ~J, entonces: A B = I, y traz(AB) = traz(I) = n n o siem p re e s a s i
RPTA: t(D
0
1
Entonces la
matriz B = A 1A2AS„ A nAn+1.... es: (Atención: nótese que n crece indefinidamente)
A) (1 ° )
b
0 ij
Á1
1 (O 1
C)
R E S O L U C IÓ N :
-> N 5= a 4N
a5 0 RPTA: 4(B
Si A es una m atriz definida por A = ^
D)
x A=
o r
0 1 J
1 0'
0 J 0)
y
=/
o K
- > A 3= A 2 x A = / x A = A
-> A 4= A s x A = A x A = A 2 = / • De donde: * Luego:
I ; n par A;
n impar
B = A + A + A + .... + A —/ = 10A —1 10 sum andos
1 } fs1 ---1 } * \( , -1} ( 1 -1} ( 1 — 1 --- IT «»« 16 U . 4 8 2n 2 [o 1 J 0 1 . i ) lo 1) 0 1 ) 4
í' ( f 7)1 1
8
0
1
0
U
4
B=10 -> B '=
(0 1
(1 o
\1 0
0 1
'-1
10}
1 0 -1
-1 10} 10 - 1
—-1 - 1 = - 2 -> traz(Bt )\= RPTA: “E "
8)
P R OB L E M A 1 9 :
0
•
Hallar la potencia enésima de la matriz:
( ji i i i i V 1 I — + —+ —+•••«+---- + ---- TT + •••• B= {2 4 8 2n 2 ) 0
E indicar la suma de sus elementos. A) n* B) n(n+l) C) n+1 D) n + 2
i-L 2 0
-e
A 2= A
'
RPTA: “B
PROBLEMA 17:
A)
as
0
0
a
B)
0 -a *}
a5
0)
nm
x
A=
99
A S= A 2 x A =
G 11entonces N8 es: 0
a
(a 5 cn ^0
0^ -a J
i 0
1 0
1 2
0 1
0 1
0 1
E)n3
2 2 l[l
0
2 3
0 2
2
0 1
0
A 4= A 3 x A D)
'
R E S O L U C IÓ N : * Primero:
Sea N = I ^
99
* Primero:
•Calculando “ B ” :
í 1 -1} ( 1 B= 2 \9 i ) lo
'o - a 5>s 6 _ -> N ° =
A n=-
P
0 K
n4 =>N2= - a 2 I -> N 5° =_ a *I*N
A 2= A
PROBLEMA 16: Definamos la matriz A„ =
o.
o . Ia
«
= - a 2 |rj
B = A + A 3+ A 5+...A.I9- A 20, entonces el valor de la traza de B* es: A) 1 Bj2 C j - 1 0 D) - 20 E) - 2 R E S O L U C IÓ N :
(mA + nB) T= (mA)T+ (nB) T= mÁ T+ nBT
1!T
i"
0'
PROBLEM A 18:
Sea: A . A'1= 1 ...... (ver matriz inversa )
i
-a '
'0
ay
-a*
0 .
• Así sucesivamente, 6e deduce que:
(A8 + B*)(A4 + B 3) (A12 + B 9) se obtiene: A) 41 B) 61 OI D) 91 E) 181 R E S O L U C IÓ N :
A n= A n * Se pide: l + 0 + n + l = n + 2
RPTA: “ D
99
♦De:
PROBLEMA 20:
A 2= - í* - j ; V í < j
Si
tal que
«v =
ü ; v i =i
B=
R E S O L U C IÓ N :
B 2=
* Tabulando, se obtiene:
A =
a 21
—
a 22
- l 'l
4
-y A x A *= 3 X
4
- f
3
4
5✓
o o)[o 0
o o
(w 0
; w3= l
0 w:
a
w 0
fw 0 }
0 w
0 w2
B 3= B 2 x B =
*
P ’Sl a 32 ,
fj
fl
(o o
A2 = 0
De
Entonces, el valor de la traz (AxAr) es: A /- S B)12 024 D) 49 E)68
a l2
i
0
-y A s = a 4= a 6= .... = 0
1¿ + ¿ ; V ¿ > ¿
'a n
0 i
i v 1!
w2 0 N 0
'w 2 0 V 0
iv
w
w
0
0
w2
=2
B 6=B 9= B 22= ...... = B 3k= I
' 1 3
4
-1 4
5
2 -2
X
-1
-1
25
32
-2
32
41
♦ Luego:
(A8+Be)(A4+Bs)(AIt+B0)=(B*)(B3)(B?)=I I 1=1 RPTA: “ C 9 9
Traz(Ax A* ) = 2 + 25 + 4 1 = 68 RPTA: “E ” PROBLEMA 21: % Si A, B y C son matrices cuadradas del mismo orden, entonces indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
PROBLEM A 23: Dadas las matrices:
*
1 0 -1
2
2'
A= 3
2
1 - 2 ; B=
4
2
0 -3
l) Si A B =A C t entonces B = C W Si A B =O t entonceB A = 0 6 B = 0 BI) Si (A+B)2=A3+2A B +B 3, entonces las matrices A y B son conmutables. AJVFV B)FFV C) V W D) F W E )W F R E S O L U C IÓ N : I) FALSA: ya que de: AB -A C = 0 ->A(B - C)=0, no necesariamente B - C = 0 -+ B = C -
A 3x4 X & 4 x 2 ~~ Q 3 x 2 ~
AB + B A =2A B -* BA=2AB - AB
C 12= [ l 0 - 1
2]
->RA=AB~>A y B son conmutables RPTA: “ 2?”
0 w2
1
0
C 12
c 2i
C 22 ^32.
0
= 1 + 0 -2 + 2 = 1
2
3
-» A 2+ A B + B A + B 2= A 2+ 2 A B + B 2
A-1 ° ' I,
2
1
(A + B )2= A 2+ 2A B + B 2
iv o
2
1
IU) VERDADERA: ya que de:
/
Cu
f 'S Í
Cn = [ l 0 - 1 2 ]
PROBLEMA 22: Sean A y B dos m atrices
0 -1
R E S O L U C IÓ N :
U) FALSA: ya que si A fi= 0 , puede que ambas sean no nulas (propiedad)
3
-1 2
= 3 + 0 -2 + 0 = 1
0 1
definidas
por
\
C 21= [ 3 2 1 - 2 ] ta l que w = 4 l y u> * 1,
entonces al efectuar la siguiente operación matricial
0 2 1
= 3 + 0 + 2 -2 = 3
509 t& M
W fTIf.Y O .V
PROBLEM A 25:
3 -2
C ,* = [a 2 2 - 2 ]
El 2° de Julio, la cantidad de acciones propiedad de Carlos y José está dada por la matriz:
= 9 -2 + 2 + 0 = 9
2
x
2
A=
2 0
C3í= [4 2 0 - 3 ]
2
3 2
Carlos (2000 1000 José
[lOOO
w
500 5000
500
2000
0
R E S O L U C IÓ N :
-1
=[4 2 0 - 3 ]
z
y los respectivos precios al cierre de x, y, z y w fueron $ 24, $ 47, $ 47, $ 150 y $ 14 la acción. Hallar los valores del total de las acciones de cada uno en esta fecha.
=V +0+0~3=2
2
y
=
2 2 -2
+
0+ 0
=
20
* Sea: '24 '
0 B=
* Finalmente la matriz “ C ” resultante es: 2 2 AB = C = 3 9
47
PROBLEMA 24: Dos tiendas T; y T2 reciben diariamente televisores y videocaseteras de dos fábricas F t y F 2. Las recepciones o ventas se representan como sigue:
TV VIDEO
1000 500 50001 47 [lOOO 500 2000 0 J 150
C a r U > 8 [2 0 0 0
—» A B = _ , José 150 14
14
240 000 ”1Carlos 347 5 0 0 }lo s é
AB
2 20
24 '
* El 2o de Julio las acciones de Carlos $ 240 000 y de José $ 347 500 .
valían
PROBLEM A 26: Dadas las matrices:
(40 ♦ v70 El precio en dólares, por artefacto eléctrico en cada tienda es: ^
Precio x TV
300
C 2= 0 y D 2=
Se pide determinar, los ingresos de la segunda tienda por vender los electrodomésticos que proviene de la fábrica Fj.
A) 23 000 B) 24 000 C) 38 000 D) 39 900 E) 40 000 R E S O L U C IÓ N : TV VIDEO T¡ T2 40 70
501 80
R E S O L U C IÓ N : • Tenemos A4=(A*)S=((C+D)*)S =(C *+C D +D C + D2)2, notemos que:
f200
Precio x Video
hallar A4, donde A =C +2> .
Precio x TV (200 Precio x Video 300
250 280
16 0 0
♦ Como:
CD=
y DC =
* Donde
250 280
11 c12
* Luego: A =
201
f2 0 •
-> A * =
\C21
22) es el ingreso de la tienda j por vender
los productos que provienen de la fábrica i. Se pide
250 € „= (7 0 80) 280
70 x 250 + 80 x 280 ->0^=39900 RPTA: 99D ”
201
-2 \
.-I
0~ *.
2 0 ir 3 2
201 _
924
-3 j[-5
-3 \ -
-145
PROBLEM A 27: Sean las matrices A =
ti'
~8
-» CD+ D C =
(N° unidades) (Precio)= Ingreso 40 50 (200 70 80 300
1
'4 - 2
y B=
son
matrices conmutables , calcular el Traz(A + B)
valor de la
6
2
[
«
M SI 5 1 0 I
J K f f W /t
D) 24
A) 12 B) 20 C) 21 R E S O L U C IÓ N :
C H L O P E D IA 2012]
E) O A 2=
3 4 5
♦Si A y B son matrices conmutables, se cumple que: A B =B A p
«
2114 - 2
¿H; 4 g
4 p -2 q
10 II 6
(b n
(1 3 4 } 4 5 9 -4 bn = ( l 3 4)
2
'22 *••• '3 3 )
=1 + 9 + 16 = 26
8 - 2 0 I_r4 p + 1 2 -2 p + 4
0p + 2q
12 + 2 0 J
[4qr + 60 - 2 q + 20
b22=(3 4 5)
= 9 + 16 + 25 = 50
♦ Identificando:
- 12 = - 2p +4
-+ p = 8
32 = - 2q + 20
r4 \
-+ q = 6
♦ Entonces: A=
0
B„
2j
0
2
-0
10
v*, ♦ Luego: Traz(As) = b ]J+b22+b33
♦ Se pide:
Traz(A+B)=Traz(A)+Traz(B) = 6 + 1 8 = 2 4 RPTA: “D ”
TrazfA2) = 2 6 + 5 0 + 1 2 2 = 1 9 8 RPTA: t(C 99 PROBLEM A 30:
PROBLEMA 28: tal que traz(A)=0
Considere la matriz A =
aJt+atl=0
= 16 + 25 + 81 = 122
6SS= ( 4 5 9)
a u =5
Si A =
aSI- - 4
Si /i es un número par entero positivo , entonces la matriz A " es: A) 9-1 B) 9 -* / C) 9*4l D) 9”*¡ E) 9 " J0/
1 0 \-1
>B=
1
(1 1
entonces
0 1
la
matriz
M = 2 A i0+3B 10 es equivalente a: A) ( 5 05)
B ) { 5 30 \20 5
C)
5
30
-2 0
5
R E S O L U C IÓ N : D) ( 5 - 30] 20 5 1
♦ Reconstruyendo la matriz, se obtendrá:
A J an a ' 2 1 = ( 5 4 V°2J a22J b "5 , - > A g=
5
4\(
5
4
R E S O L U C IÓ N :
(9 0
- 4 - 6 )\ -4 - 5
P)( ° 0 0 0
0 9
♦ Aplicando un razonamiento inductivo, se deduce que: ' 1 1 10' A l0= y B 10=
= 91
-1 0 0 }
-> A 4=(A2HA2) = (91)(9I) = 9 2I -4 A 6=(A4)(A2) = (92I)(91) = 93I
K
( J 0} -> M = 2 A W + 3 B 10= 2 +3 -1 0 1
m ♦ De donde se deduce que: A " =9* xl RPTA: **B
-4 M =
PROBLEMA 29:
5
30\
-2 0
5 RPTA: “ C ”
Sea A=(a^)3x3 ; tal que
\
entonces
PROBLEM A 31: Si P, Q y X son matrices cuadradas de orden 3 x 3 tal
el valor de la traz (A2) es:
A) 190
B) 194
C) 198
D) 200
1
E) 202 que p =
R E S O L U C IÓ N : ♦ Tabulando, se obtiene: a n
A =
a 12
a ¡3 ^
a 21
°2 2
a 23
>.a 3 t
a 32
a 33J
i
3
4'
—3 4 5 * 5
9.
y +z
0'
-2
5
z
. y
z
3,
es simétrica,
qn=%j~i si i< j es antisimétrica. Que satisfagan la siguiente ecuación matricial 2 P~ PT+Q+QT=X+3Pt entonces la TRAZ(X) es:
A) -18
B) -14
C) 0
D) 14
E) 18
B l l MEgg R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N : * Como P es simétrica -> P T= P
I) VERDADERA: ya que:
* Además Q es antisimétrica -> q t = - q
* De:
A 2=
2P - P T+ Q + Q T= X + 3P - + X = - P - P T+Q + Q T -> A"= - P - P + Q - Q - > X = - 2 P -> Traz(X) =Traz(-2P) = - 2Traz(P)
* Como:
1 o
1 o
0 1
1 o
-»
a
2= /
-+ 3 n = 2 e N /An= I
II) VERDADERA: puesto que:
Traz(P) = 2 + 5 + 3 = 0
B 2=
-> Traz(X) = -2 8
(0 2 V 0 2
(0 0
o o)(o 0
0 0
B 2= 0
3m=2 e NlBm= 0
RPTA: “A " PROBLEMA 32:
0 1} 0 1
IB) FALSA: Dado que:
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
C 2=
(1 í\ 1 1
I) Si (AB)t es una matriz columna, entonces A es una matriz fila.
U) Si ( A B - A tB)C es una matriz cuadrada de orden n , entonces cada matriz tiene que ser cuadrada de orden n. III) Si A=(ay)nxn tal que A = 2 A -A r , entonces la traz(A)=0 A) W F BJFFV C ) F W D)FFF E)VFF
1 1
(2 2 2 2
11
c 3= c 2c=
2 2
1 í\
2 2
11 n n
no es cierto q u e: Va e N : C n=
n n RPTA: “B
PR O BLEM A 34:
R E S O L U C IÓ N :
1 1
l) VERDADERA: (AB)T= C mxI -
Sea A una matriz definida por
-> A pxn x Bnxm—(CT )pxm - » p = 2
satisface la ecuación AX=AT y B es otra matriz que satisface la ecuación Br= X r+A, entonces indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
-> A i)
II) FALSA: (AB - A TB)C=(A - A T)BC A. x . - W rU
existe<->m xn
X P n x p x ^ ■ 'p x n “
I) Traz(B)=7 U) El elemento b13 de la matriz B es 5.
• Es decir A es cuadrada de orden n.
- + ( A - A t )¡n x n
-^ n x n
* De donde B a C no necesariamente son matrices
III) B es una matriz triangular inferior A) W F B)FFV C)VFV D) V W E) FVF R E S O L U C IÓ N :
cuadradas.
III) FALSA : A es cuadrada de orden n tal que A = 2A - A r - > A r =A -> A es una matriz simétrica —► Traz(A) no necesariamente es igual a 0. RPTA: “E ”
* Sea: X =
0 2^ 2 0
III)V n eN !C n=
A) V W
B) W F
a b
1 2
2 3
c d
1 3
b+ d
2a + 3c 2 b + 3 d a + c=2 ; b + d = 2
2a + 3c= l; 2b+3d =3
b
*
n n
= x +a t =
E) FVF
3}
-1 - 2
2
3}
-1 - 1
1 2} 1 3
B=
3 5 0 2
L uego:
I) FALSA
n n
f 2
B t = X t + A -> (B T)T= ( X T+ A )T
II) 3 m e N í B m= 0
CJVFV D) F W
—> X =
12 2
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
/
1 1
-> a = 2 a c = —2 a 6 = 3 a r f = - 2 0 0J
I ) 3 n e N / A n= I
a b
c
PROBLEM A 33: Sean A, B y C matrices definidas por: A =
tal que
II) VERDADERA
III) FALSA RPTA: “E ”
s
PROBLEM A 35: Si X es una m atriz que satisface la siguiente ecuación matricial.
(1 - 2
Xx O
i
2
1
E
3
'3
3
3 >
1
1 '
- > A 3= 3 3x 2 3x x i = 3 1 X2
xx
3 3xj 3x¡¡ j
ÓN
(1
10
1
Entonces, la suma de todos los elementos de la matriz X es:
A) 2 B) 3 C)4 R E S O L U C IÓ N :
1 V2
E) 6
D) 5
2
X
2J 2
X
1
+
X t +
X
1) 1+ Xj+X2
2
- + A 4= 3 l + x ¡ + x 2 1 + 2xjX2
J+ x | + x f
l + x ¡ + x 2 1 + x¡ + x2
* Sea: X = ( a * c |, entonces:
(3 0
d e f)
1 -1
-> A 4= 3 0 3
0'
1 0
0
d e f
1
X2 >
X¡
J
- + A 4= A 3 x A =3 1 x
v0 - 1 1 /
a b e
fl
(1 - 3
2'
-1
1/
" ( \o
0 -1
\0 0
2 + 2x
¡
x
Ó\ 0 = 3 2. / 3
* Luego: M = A 4n=(A4)" =(3\I)n -> M = 3*HJ
R PTA: “ C 9 9
* Efectuando:
a - a + b -c
c
(1 - 3
d -d + e - f
fJ
0 -1
PROBLEM A 37: Sean las matrices:
1
Oí
i
i
d =0 a e=0 a f = 2 * Luego: a + b + c + d + e + f = 4
II O
2 -3 -5 -7 3 5 " A= - 1 4 5 ; B= 2 -3 -5 1 - 3 -4
c=2
6 = 0 a
co
-» a = 2 a
2 -2 -4 -1 3 4 1 -2 -3
RPTA: “C ”
Donde: A B = BA = 0 , A C = A , CA = C
PROBLEMA 36: San y x s las raíces de la ecuación x * + x + l = 0 y A
Hallar: ACB ; C E A ; A 2 + B 2 ; (A + B)2
es una matriz definida por:
1 1
1
Si M = A 4n, n e Z * \ correcta es:
* Por dato: A C = A
entonces la afirm ación
A)M=I B ) M = 3 M O M ^ S 1' ! R E S O L U C IÓ N : * Multiplicando, se obtiene:
a
UI) Cálculo de A2+B 2:
Xly
VJ
l + X j+ x 2
2= l + x ¡ + x 2 1 + x ¡ + x\ J + x 2 + x ¡ 1 + 2 xj X2
R E S O L U C IÓ N : I) Cálculo de A C B : A C B =(AC )B =(A)B =A B =0 B) Cálculo de C B A : CBA=C(BA)=C(0)=0
1 xt x2
A=
3
2
D) M =3 hA
y C A = C = > A y C son idempotentes A2= A . Por otro lado se comprueba que B2= B es idempotente. * Por lo tanto: 2 0 0
A 2 + B 2= A + B = 0 1 0 = / 0 0
1 + x¡ + x 2 l + 2xxx2
IV) Cálculo de (A+B)2:
l + x% + x l2 J
* De (A+B)2=(A +B )(A +B ) =I3 I3=I3
* Pero por propiedades de la ecuación cuadrática, se tiene que: x t x 2= - l ; x tx 2 = l ; x 2 + x 2= - l
Si A es una matriz cuadrada de orden n tal que Ak= 0 y se define la matriz:
* Entonces: (3 0 Oí A*= 0 0 3 0 3 0
(3 0 0í ( 1 1 - > A 9= A * x A = 0 0 3 1 x i 0 3 0 1 Xg
PR O BLEM A 38:
B = I+ 3 A + 6 A 2+10A3+15A4+.,.k términos; k e Nt entonces la matriz B es:
A)I-A*-* B ) k A - I C)0 R E S O L U C IÓ N : i )
* De:
D )(I-A)-*
E)(I-A)*
y la m u l t e s ]
w fu fA w ?
B = I + 3A + 6A* +10A3 + . ___ AB = A + 3A‘ +6AS + 10A4 +... _________
*
t B - A B = I + 2A + 3A* + 4A3 + ...+ K A * 1
A)18
•r rWiic*
2
A = 4
5
B/23
A(B - AB)=A + 2A* + 3A3 + 4A4 + ...
£
^
1 6 [o 1 oJ fl
@ S e a :A =
w
B - A B - A ( B -A B ) - A [ B - A B -A ( B -A B ) ] = I
; B = 1
043
(-3
4
-4
3
B - A B - A (B - A B )= I+ A + A * + A 3 + ... + A * 1 A [B -A B -A (B -A B )]= ‘A + A * + A3 + ...+ A K
3
(2
I»
D)29
2 *) E)36
Determ inar A 2
i
A) 71
* Al reducir, Be obtiene:
D )-7
(I - A)*B - A(I - A)*B = I
B) - 7 1 1
0 }
0
-1
07
E )7 ° J
(I - A)(I - A)'B = / - * ( I - A ) 3 B = /
0
o)
( ^ ) S i se cumple
->B = (I-A )~ 3
6
RPTA: “D "
» :K
a -
2q
4p -3
calcular; - m n - p q
AJO x -1
©
y
z+3 )
(2
3'
2 w - l ) y {4
-1 ,
B) 64
C) 16
012
D h l3
E)13
(fó^D ad a: A = ^ Cumpliéndose que A 2 = 0
son iguales. Calcular: (x+w )(y**f
A) 81
Bj -12
calcular: m .n
E) 32
D)25
^ S e a la matriz: A = (a^J2x3 donde:
AJ-18
BJ-36
072
DJ36
E)6
= i +j ( ^ ^ S i se cumple
Calcular la suma de los elementos de dichamatriz
A)19
B/20
Cj21
D) 22
6 Si se cumple: (au )2 = ^ ._______________ obtener: JaS2 + a2J + a 22
A)5
B)$5
C)6
í 2 0 0 1 5 y J 0 1.
5j + (
7
8
•-n , ‘
E)3
5 ,
B)1
02
D)-2
X
a
2}
(3
c
b
3 y {2
b
calcular: a + b + c + d
B)5
Ehl
© S i las matrices:
(A partir de:
A)15
2,
calcular: x + y + z
AJO
D )$6
V
'
E) 23
O 10
h:
3
-11 T Ahí
B)1
m -1 n
2^\
q+1
b
p
3
r+2
8+3
c
OO
D)5
EhS
Proporcionar la traza de:
La siguiente matriz:
'a
y 5
"
son conmutables , calcular: 2x+3y
E)25
D)20
n
A)4
Bh4
(-.1
-2
-3 '2
3
2
1
-3
-2
-1 EhS
D)8
OO
es la matriz identidad. Calcular: abc+mnp+qrs
A)0
B)1
035
D)36
E)37
(^^Proporcionar la suma de los elementos de AB , si:
án la m atriz: r
A =
i
-3
- 1 3 4 1 - 3 - 4
rCtClAPPEmA 20 iz ) determinar A 2
B)A
A)0
Sea: P(x)=3x* + 4 x + 5 Señalar: Traz(P(A))
m D)I
C)-A
E)-I Si : M =
( SenO CosQ Si tenémos la matriz A =
CosO
) A s es la matriz nula.
(
)A 3 = A
-SenO
A) -10
B) -20
B )F W
C)VFF
D) 15
O 30
a
b
c'
M = b
c
a
lc
a
b
D) VFV E) FVF
E) -25
hallar : T ra zlM M 7)
(í^ )D a d a s las m atrices: - 31
1
(2 0 ) Dada la m atriz:
( ) A t =A A)VW
-1
"í
determinar el valor de verdad en: (
fl
(4
y B =
A) 3abc B) a* + 6* + c* C) ab + be + ac D) 3(a* + bf + c*) E) 3(ab + be + ac)
-il
2
6
hallar X en : (A -B )T+ X = 2 (B T+ A )
A) D)
-1 2
-8
21
-6
-11
91
-1 7
7
-1 2 B) -21 E)
8 6
C)
10
-8 1
19
-7
Dada la matriz:
-1 3
10
3 -6
5 -2
19
-8
A = 4 -7
6 -3
5 -8
7 -4
(ÍT^Sea la m atriz A = I
1
01
Hallar: ai3 + a2i+a34
A) 4
A)
D)
0
0
2 nJ
n2
0 1
0 7
E) 9
D) 8
Determinar la matriz:
Obtener A " \
1
B) 5
n
0
>
0
0
0
"
B = (bu )gx3
0
O2*,
3
3
4
5
4
3
2
3
C)
B)
E)
2n
O2* V J j
A)
n
0
0
2 n+1
3 3
D)
3 51] 4 4 3
4\1
B) E)
b¡j=i + j 3
© S i A, B y C son m atrices cuadradas y se Determinar la traza:
cumplen:
3 -x
A=BC
+
6
A+ B = I
A) 4
hallar: AC - C
A)6
B) 1
C )-I
D) A
EJ-A
B) 5
0 6
AB = BA =
A)
D)
1 1 -1 2
- 2
- 2
2
E)
1
2
2
1
-1
0
-i
B)
1
-P
2
-2
2
E)9
2
3
5
4
-1
6
A = Determinar: A*
A)
cÁ 2 \2
1
D) 7
Dada la matriz:
Determinar: (A + B) (A-B) si: A2 = B* = I
(0
x
2
2,
D)
[2
3
6
4
2
3
6]
B) E)
5 3
4
6
5
a ) D a d a la m a t r iz s i m é t r ic a :
C)
r3 5
[2
4
[E i> y r m v E ,ií w f T i n o ^
818
7
-3
a
6
-2
4
,> M T f U íf c \ v )
Calcular “m -n ” , si las matrices son iguales,
c 2
5 Hallar; MG+ 6- c ” C )4 A) 10 B) 6
[
D) 12
m - 3n 1
E) 8
A) 4
B)3
n J’*
C)2
Siendo:
a<
Siendo
>
■ [: S J
[2
mi
6 - n1
~ 1 6 -m \
D)6
E) 1
4 5}
:A i
3 2
Hallar: 3A - 1 2 1
8
8
11
C)
8
12 5
A)
3
B)
6
v ***
(4 3 2
A)
B)
2
J
B)
6
3
5
3
-1
4
5
5
9 4 5
C)
7 -2
7 7 6
6 6
f
3 Hallar uAxB'\
D ) 11
Señalar: 3B+4A
A)
B)
4 -3
C)
2 6 J
1 2 }
-3
0
1
6 9
D)
'[ 3 5
:;>U /)
B) - 6
0 -4
D) -10
( 1 2 }
E) - 12
( 1 0 }
2
o ¡:y i - i
Determinar: P (X&l
\
4
A)
4 Í-3
1
3 5
0
Si: P(ÁfB¡ = 2 A -B + 3
B i 13
[ 5 3
6 -2
C)
O 3
= U
*4-. 4 ■" ■
I .V .<
Dado:
z -x w
(tji) Dados:
A
~ [-2
O'
S) Hallar: (x - y)(z - w)
A)- 8
A = (3 2 1 ); B = -1
C) 16
[-1
E)
1 3J
2
Sí?
( 4}
B) 14
7
2 x - z u>-
Sea:
A) 16
D)
7 O í'j
2 3
E)
6 7 6
4
6 i#= i + j ; s i : i < j
(-2 -1
B)
5 6 3,
Hallar: “A - B ” . 9 -2
D)
1 •. • 6 u - »i - j4 ; si: i ^ j
Sean:
-7
C - 3 «(J
O'l
Construir la matriz:
E)
A)
3 2
7
291
4}
B)
-3 -1 2 -2
D)
E)
6 - 2 j
3 3
C)
4 1
4 4 -1 1
( i ■:)
( g ) Dada la matriz “C ”, calcular: C3 - 6C . Dada la matriz triangular superior:
b -1
a+2
-2 6
d -1
6+3
BJ2C
O 21
x+y =
3y
2
1 ; x -y =
B) 6
^ °
C) 24
6 -2 °
D) 18
O 0
3 E) 35
l
1
Hallar: wo 6”
0
O
E) 41
1
FJ -6
1
Si es una matriz escalar:
B=
D) 31
7
D )4
[a -4
A) 12
A) C @ )S i:
Hallar: “a + 6- d ” A) - 7 B )3 C ) -5 ©
d -4
-(í 3 1
A = a
Co
7
1
©
^
3)
Hallar: V .
fl
3}
A) 2
1
4 -4
Bi
'-1
2'
' 2
1'
3
1
C) - 1
0
. 1 ~2.
.3
i,
-1 3 ' Di -1
0
, 3 2
B IS
TCICLOPEMA 2 0 1 2 1
z
Hallar la suma de los elementos de “A ” tal que
m
A) 5
<1M i 3
B) -2
C)0
2 Realizar:
D)1
Construir la matriz:
E)3
9
i
«)
4 15 )C
A)
2 2 2
41 112
47 110}
3 4 3
73 194
72 19
3 4 2
2
• •
aU * + j ; si : i ¿ j • • • • ^ é y ; si : K j
D)
13}
1 3 4
B)
2 4 5
3
4 2 5
E)
5 3 2
C)
2
3 2 6
w Hallar: (x - y) (z - w) Si:
r2x-- z
I V -y
| _z -x
w+ y
B) 2
0 4
A) 1 Sean las matrices:
2 y+4
A= í * ‘ 2 y X \ B =, 3 x -y l [3
4
B) 21f
C)41t
D) -21
E) NA* A)
2 3 Dada la matriz: A —
3 2
Hallar el valor de: A s - 4A .
A)IS
B) 511
@ )S i:
'
C) 311
D )-21t E)NJL
0 2 -1' rx 2 0 1 y -1 0J
B) 6
C)4
-5
6
3'
9
4
3
3 -6
0
-5
4
1
7
2
2
A=
sD) 12
E) 8
1
9
4
2
1 -6
0
O
1 1 1 E) 2 3 'i
2 2 3 3
21
-1
D)
4
4
-3
-I
2
-2
4
4
B) E)
B=
0\
3
3
1
0
-1
2
4
1
-1
C)
" 4
41
-i
-i\
-1
3
3
Dados:
J 2 0 27
D) 28
E) 29
-28 93 V 7 3} 4 3^ 7 5) 38 -126 2 1 0 5
sD ) 0
1 -3 1
|_3 - 2
4\
1
1
B = 2
3
1
2
Determinar “ A B ”
Hallar la Tr(M).
B )-3
6
Determinar: P (AJÍ)
A)
5) Calcular el producto de:
A) 1
7 4 1 1 -8 -2
B)
-5
S
B) 26
M =
1~
Si: p (x#>=2x - y + 3 i
Señalar “ a + 6 -c ” .
A) 25
4
-5
Dados:
' 2 7" ' 5 21' rc -2 1 a b a -1 0 11 4 + 15 14 = ,8 19j jc -1 5 c .5 9 ,
D)
rr =5
Calcular “a ”, “ 6 ” y V ’ , si:
0
-1 2 1 A= 3 2 1 1 -2 0
1 -8 -2
Calcular “x + y + z ” .
A)-3
E) 3
Calcular: 3 A ~ 21
Si: A = B , hallar “A + 3 C ” .
A) lt
Dada:
(2 --2 C= 3 -1 0
D)6
E) N A .
A) D)
1 4 -1 5
B) E)
-1
2
2 5 2 -2 1
5
C) 1 - 1] 3 6\
\s.
.v
k
^
m
m
517
v o 5
Dada la matriz “ A ” , calcular: A *-6A . "2
A =
yiA'i'HICMZS) -2
B)
21
C) 21
By 2A
E)4¡
D)3I
i"2 A - i Hallar “ A B ”
1
3
3
-1
x+y = 2
1
x - y = -4
-1
2
3
-1
A)
Hallar: X*
A)
[i;./]
D)
-1 3
1
C)
2 1 -2
2 - 1
31
1
Jj
0
1 1 2
E)
9
Hallar la suma de los elementos de “X ” tal que: Xx
B) 0
-2
-2
2
11 ■ I[ - 4 'J
OI
0
7
14-1
12
9
0
5 0
B)
8
i22Jx
\11
B) 1
©
0 3
B) 1
0 3
2
- v
A) 2
Bj 5
A) 6n
E)NJL
2 -x
yc
9 j
B) 6U
5
_ r -2
O 6ía
O) 6U
E)6
i*
-i.
IBI-
U)
|A"I = IAl" ; V » e 7 *
-i| _ i
V) IA |=
I*
0 -y
y c=
-2 ;
6
IAI
Hallar los valores de “ a ” “ b ”, “c ” y **d" tal
Si: A = fí; hallar: (3 A + 2 C ) 7
E) -2
Señalar el valor de verdad en cada caso:
-4
fa - 2
-fi
A 1 - A 2=
• -*
b
1
B7)|ABC| = ICBAl para "A ”, “B” y “C ” de orden tM n”
/
Ay
2
IV) \KA\ = K\A\ para “ R ” escalar.
u
- i l
X=
4 -0 1
O) 10
0 8
41 - . V
Sean las matrices:
- i
51
(0 1 01 A= 0 0 2 3 0 0y
E)NJL
A=
E)NA*
Dada la matriz:
[ M
*1
1
Indicar: Traza(X)
B)
D)
0
I) Siempre |AB| 66 puede calcular a través de |A| y
i * - ,y 2 Hallar (A+C); si: A = B
« [:
9
10
Calcular la suma de los elementos de: A40
0)7,'
y
7
0)11
1 3y
Sean las matrices: -i
0
2
Dar como respuesta la suma $e svír elementoB.
A) 2
9
C)
14 - 1
7 28 según ello
Hallar la matriz “ X ” que resuelve:
_
0 12
2
Hallar la suma de todos los elementos de la matriz “A ”
Señalar la traza de dicha matriz inversa. AJI B) 2 C)7 D) 5 E) 10 \'
3]
11
3
Hallar la matriz “ X ” , que cumpla:
A
[1
r* - 2 .
„
E)NJL
E) 5
D) 3
5i .
Hallar la matriz “ A ” de segundo orden tal que
A) 2
Hallar la matriz inversa de:
©
12
7 2 a „ = 5 y A ~ [21
2 - 1 0
r ; ■ : ; ]
A)-2
14 - 1
D) B)
[ i -.1
Sean las matrices:
@ S i:
4
E)
8
oj A )A
-
cj
[1‘3
2c- 4
6+ 4'
3 d -1
i 2 -3
Dar como respuesta “ a + 6 + c + d
A)0
B y -i
C j2
D J-2
E)3
E
C
Z
H
H'ICLOPEOLX SO 12]
3
Dada la matriz:
m
A =
(2
1
O 1 Calcular el producto:
Además: P(x)=x* - 5 x 2 Dar la suma de elementos de P ( A
A) 8
B j-6
D)6
C )-4
(3 -2
5 )x 9
OH
B) 13
E )-8 A) 8
Dada la matriz:
(3
A =
B) 9
0}
3 )6 2 *
0 2.3*
E)15 /
Hallar el valor de “x ” si:
X
o\
1 2 (1 - 3 - 3 - 1 )
Calcular la suma de elementos de “ An”
A) 32*
' 7'
D) 2*
= (8) x*
E)5.3‘
\1 / A) 1
B) 3
04
E) 0
D) -2 (0 - a
Dada la matriz A “
Escribir explicitamente la matriz A.
3 7~
4 2~
5 7~
A) 4 6
B) 4 8
C) 6 8
D) 0 0
5 7
5 9
7 9
1 4
A) E) ALA. D)
Sean las matrices: A=
~x-%y
x
3
x -y
7; B =
A) 1
B) 2
D) 12
0 6
\ 0 / 0
E)NJL
A =
1
2
y F(x)= x 2 - 3 x + 2
1 -2
Hallar la suma de elementos de la diagonal principal
A) 2
B) 14
016
D) 18
B)
E)
0
1 2
2
0
1
1
i
0
-
»
X
y z
'
B) 2
1 0
0^
A = -1 2
yB=
0
2
3j
•v•\ *
1
-2
0 -4
3
A) -14
B) -12
C) 36
D) -36
E)10
w m Determinar (A+B)2, sabiendo que: A * -( 3
A) 22 E)NJL
f\ 2) -r
r 2- Í
BA=
-1
¿
2
i
' 2
B) 18
014
D) 26
í\
(0
E)16
1 0}
Dada la matriz: A = 0
0 2 0
la suma de los
0
elementos de A40 es:
z
A) 640
0,
D) 10
0' 0 “3,
4✓ ,- 5 Indicar como respuesta la suma de sus elementos:
B)6*°
0 61S
D) 610
Sea la ecuación matricial:
es simétrica. Hallar “ x - y + z "
B)6
0
3
«
,
3,
(1 - y 3>
Á)6
1
<1
Si la matriz:
2 -1
0
Hallar la traza (AB)
(4
= 5
D)6
C)3
*
0 a4
r- a 4
Hallar: (x + y + z)
A) 1
a4
Dadas las matrices:
E)Nui. 8
0 a4
a j
0
A " U Si:
C)
*
0
-a
r l S i:
ra4 0 y
-a 4
-a 4
4
Hallar (xy), si: A = B
0
'-a 4
2 y+4 3
entonces A 4tiene
0
la forma:
A = [ " < / ] G K 3 * 2 ¡a ij = * + 3 /
3 5
a
E)4
1
2
3
5
"
X=
(1
0
3 - i
E)6J1
nrmgXr4»A>
donde X es una matriz cuadrada de orden 2. Hallar la suma de los elementos de la diagonal de la matriz
X. AJI
Bj 5
C )8
D) 10
E)15
( x 1) l _i y) ^
Sean las matrices:
A) 24
(4 "I *
x
y
C )-l, 1, 4
Dada la m atriz: A =
a
n
3
2
©
D) - 6
E)30
2
2
0
1
Halle la traza de: P(A)
A )-1
B) 1
O 0
E)-4
D)4
Hallar la suma de los elementos de la matriz
B) 1,1, 4 E) 1, -1, ~4
B donde: B = A + A * + A 3+ .....+ A B; n > 2 ; n e N
(1 , si A x= A *.
II
> ( 1
2 3
-’M
-
Siendo A -
A)
K
0 -2
Dado el polinomio: P ( x ) = 2 x I9+ 2 x -4 y la
hallar los valores de x, y t z.
Hallar “ x
B) 12
matriz A =
donde x * 0, y * 0, z * 0 . Si AB es la matriz cero,
A) 0 ,1 ,0 D) 1, -1, 0
NIATMJt'iZS]
nffiea s i » J K g g
n (n -l)
B)n(n+1)
D )n (l-n
E)
C )-n (n + l)
n (l-n )
Si A es una matriz de orden 2 , tal que as¡=3:
7' . Hallar traza (A). 28 y
de elementos de la matriz A " es:
02
A) 3a+2" B )2 3a O n*+2mD) 5a+ l
*19=1 y A* = 21 12 B) 5
A) 7
D) 35
E) 74
( (1 0
1\ 3
2 -4 )x
Hallar la traza de B
0 -1 9
D )3 7
4
•
■“
-5 A) 200
7, B) -3 7
E) 2a
Sea: B = A + A * + A 5+ ....+ A * w
(Tfo Calcula el producto:
A) 19
^ j t entonces la súma
Dada la matriz A - ^
E)-25
B) 300
(°
H .»
O 400 2
S e a :^ = ^ ^
o,
D) 500 ^
E) 600
*cfllcular: E + A 2002
Resuelve la ecuación:
(a.
2
<1 2 A) 0 1
f1'
=(0)
a 1)
B)
[l 1) <
3 H -? 9 <
Hallar ab en:
A) S={-2;3} D) S = {-2 }
B) S={2,'-3} E) S {-3 }
O S = {^2;-3 }
f7 0 3' 4 5 2 3 0
A =
'2
3
-1 '
4
2
0 :
,3
1
6t
-1
4
2y
3
2
5
B =
/
a 0 5' 0 3
51
0
2 '
3
15
70
¿6
0
-5 1 ,
4 =
0
Calcula la traza (AB)
A) 28
B) 58
0 48
D) 40
E)38
(ÍÍ2) Realiza el siguiente producto:
✓- 1í \ (2 - 2 3 )x 5
Dadas las matrices:
-1 3 ' 3 A= 4 2 ; B= 6 . 1 Calcular
du
fi
-9 ' 22
c-G -i n
, si D = ^ 2 A - - | f i j c
v
A) (12)
B) (19)
O (23)
D)(5)
I Hallar el valor de “ x ” si
E) (16)
9
(y %JL
[
9
2
ClCJLOPVOLt 2012]
0
'x '
M odelo 1 M odelo 11 M odelo l l l
= (4 )
(x 2 l ) x v*/ Indicar el conjunto solución:
A) S={1} D) S={l^-4}
B )S = {-4 } E ) S = { -l t4}
5 -2
B)6
C) 12
* I; B= 1 1
2
^
6
8
La em presa puede producir 10000 refrigeradoras del modelo II de 10 pies cúbicos entre las dos plantas.
(2
Dadas las matrices: A=\ *
Tamaño 2 (10p3) l
III)
E)-6
D) 7
3
II) La empresa puede producir 60000 refrigeradoras entre las plantas A y B
Calcular traza(AJB)
A)-2
5
/) La planta A tiene una capacidad de producción de 2000 refrigeradoras más que la planta B en el modelo Til de 12 pies cúbicos.
il
3 -1
7
A n aliza el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
C)8={1;4) / 2
Tamaño 1 (12p3 )
A) VFV B ) V W
Si A X = B. Hallar la suma de los elementos de X.
A )-l
B) 1
C)2 II
Si A =
0
a
D) 3
E)0
proposiciones:
. Hallar una fórmula para A
O O
D) FVF E) FFF
Indicar el valor de verdad de las siguientes
Dar como respuesta traza(A ) .
A)2am B) a"
C) VFF
D) 3am E) 4a
(
) ( A + B ) t=At+B t
(
) Tr(A+B) =Tr(A) + Tr(B)
(
) (At)H=(An)t
En todos los casos A y B son matrices cuadradas del mismo orden
A) F W
B) V W
C) FFF
D) FVF E) VFV
Indicar el valor de verdad de : © S i:
A2 =
ay
-2
j i
1 4 )
5
[-5
2
y AB =
(-3
1
O
2
( ) Si: A es simétrica entonces: (A+A*) es simétrica ( j Si: A es involutiva entonces (I-A) es idempotente ( ) Si: A es simétrica, B es simétrica entonces (AB*) ís simétrica
Calcular la suma de los elementos de la matriz:
C = 2 A * -5 A B + B* B) 33 018 D) 23 EJ-19
A)-7
A) V W
m
Dadas las matrices: A=
x -3 y
;B =
(2
6
y
1
6
X
2
A) D)
-I
7
9
( -2
-1
8
9
B) E)
O
6
9
(914 314
O
(-2
II
7
9
712 -I
Tamaño 2(10p3 ) La capacidad de la planta B es:
. Si A = B + C f hallar la suma de
44
B) O
C )-2
D jl
E)2
Indicar el valor de verdad de:
M odelo 1 M odelo II
8
E)VFV
elementos de la primera fila de B mas la suma de los elementos de la tercera fila de C donde B es una matriz simétrica y C es una matriz antisimétrica.
A )-l
Una empresa fabrica refrigeradoras y produce tres modelos con distintas características en dos tamaños diferentes, la capacidad de producción (en miles) de la planta A es:
Tamañol(12p 3 )‘ /
08
2
-2
D) W F
3 41
A = -9
Si A = B calculan 3B +2C -1
C) FVF
Sea:
-8 1
3
B) FFV
6
M odelo lll
5
(
) Si: AB = O entonces A = 0 v B = 0
(
) Si: A es in volutiva entonces
es
idempotente
(
) Si: A B =-B A entonces (A+B)*=A*+B*
Siendo A y B matrices cuadradas del mismo orden
A )F W
B) FFV
O FFF
D) V W
E) VFV
« T J Hallar el producto de los elementos de la matriz x .
Indicar el valor de verdad de: f
) Si: (AB) 1 es una matriz columna, entonces A es
A) 63/25 B) 7/5
) Si: AB=AC entonces B = C
m
( ) Si: (A+B ) 2=A 2+2A B +B 2 entonces las matrices A y B son conmutables A) VFV B) FFV C) VFF D) FFF E) V W Siendo A una matriz nilpotente de índice 2, hallar:
AJA+I
A(A+I ) 16 B) A C) 2A+I D) A - / '
Si la matriz: a =
E)2/5
C)38
A*A2= n
24
w A) 6
1
X
y
donde A = 0
1
X
0
0
1
z J
BJ 4
EJA-21
a -b
2
3
-l y
0 8
' 3 AB=
D) 12
a- x
\
E)16
4/
-1 4
-3
2
-2 5
20 y -3
17 - 2 4 é
Hallar la traza de (A+B )2
E)42
0 8
BJ 4
D) 12
E) 0
Si AB=BA entonces: ASB 2 es igual a:
^
A) AB
( i m) Dada la matriz: A = ^ [-2 - 3 )
' 21
3 ; BA=
-7 A) 3
D) 40
2y
4
3 -4
b
Es simétrica, hallar Tr(A2)
B) 34
10 1
9 r
Si A y B son matrices involutivas tales que
2
\b - x
A) 30
D) 0
Hallar el valor de xy en la siguiente ecuación:
una matriz fila
(
O 16/5
BJBA3
C) A 2B3 D) B*A3 E) A 4B3
Sea A una matriz de orden dos de elementos Entonces podemos afirmar que es:
A) Involutiva D) Simétrica
B) Idempotente O Nilpotente E) Antisimétrica
(fé ) Señale que tipo de matriz es: í-1
35}
2
-3 -5
A =
Sea la matriz
Si: A *=A
1
2
O I+31A
D) I+15A
E) I
A= c
3
2
1
1
a
C) 6
B) 5
D) 2
Hallar la traza de F(A)
E) 4
P(x)=4x+9. Hallar la traza de la matriz P(A). A) 49 B) 51 O 29 D) 41 E) 21
;> 4
1)
íx + 2y = A
[2 x -y = B
además: F(x)=xs-Óx+3
donde la traza
(1-1 0^ Dada la matriz A = 2 0 - 1 y el polinomio {3-1 5
2 -
-1
@ )S i:
fila es - 2 y la suma de los cuadrados de los elementos de la primera columna es 54. Si abc>0$ hallar la suma de todos los elementos de A.
matriciales:
E) 6
D) 4
Hallar el valor de: (A + l)s
A) 1+ 7A B) I+32A
(A) = 7 , el producto de los elementos de la primera
Sea A
C)3
B) Idempotente O Nilpotente E) Ortogonal (2
A) 3
A + I es: A) 1 Bj 2
35
v- l
A) Periódica D) Involutiva
reales tal que: Tr(Ax A *)= 0 entonces la traza de
y las ecuaciones
AJO
BJ 5
0 8
DJ12
EJ24
Si A es una matriz cuadrada de orden 3 que verifica la igualdad: A * = 2 A + 2 y P (x)=3x*-6x+5 Hallar la suma de los elementos de P(A)
B) 8
AJ3
0 24
DJ6
EJ12
Dadas las matrices:
-í\ A= 3 4y 2
n (-4 7 y B= \ 5 - 3
Señalar la suma de los elementos de la matriz x , que se obtiene al resolver la ecuación:
A) 110
3(x-2A+BJ = 5(A-B) +2(x-AJ BJ 32 O 48 DJ -78 EJ78
Indicar el valor de verdad de:
[A f, fJ U K K A
g
f ) El producto de las matrices diagonales del mismo orden es otra matriz diagonal
a
a
r c iiL o r tc iP L
I
(
0
( ) Toda matriz cuadrada se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica ( ) La matriz identidad es una matriz periódica
A) W F
B) W V
C) VFV D) F W
n(n + l f 2 n
n
) La matriz B =
A) W V
E)VFF
B) VFV
O WF
S) La matriz A =
-2
2
0
-2
Jai) Si A y B son matrices cuadradas del mismo
ts o i * ]
D) FVF
EJFFV
satisface la ecuación:
xs + 5x* + lOx + 10 = 0
orden indicar el valor de verdad de:
( ) Si A *=2 entonces A = I donde / =
( ) (aA+pB / = aA? +0B*; a, fie R
(1
0}
0
1
. Si B y C son m atrices de
coeficientes enteros que satisfacen: 5A = B 5 + C3
( ) Traz(AB)=Traz(A) Traz(B) A) FVF B) W V C)FFF D) W F E )F W
halle: B - C.
A) A
B)2A
O A + 21
D )A -2 1
E) I
Dadas las matrices: Dada la matriz: A=(a^)4x4 definida por:
i;i> j au = \ í ; i = j 4
j
•
;
A = (a i j h s J a ij = 1+ j B = (bjj)ix4¡lby = 2i+3j si: C = A B de elemento , calcular el elemento A) 136 B) 121 O U4 D) 125 E) 134
4
k j
Calcula la suma de elementos de la tercera fila y la segunda columna.
A) 20
B) 21
C)22
D) 23
E) 24
Si se cumple que:
(2
0Y m
m
n
P 1 í J I p 9; además: mq - np = 35 m + q = 12 calcular: m + n + p + q A) 10 B) 22 0 12
:l” )
A + 2B =
2
0
-3
5 2 A -B = -5
' 1 0 0' A) 49 1 0 \989 1 1/ ' 1 0 0' 1 0 D) 49 \1127 49 1.
B) 5
D ) 13
E) 25
1 -2
I 0 0' C) 49 1 0 989 49 l .
1
'
1y
2 -1
A
49
f1
2
3'
B= 2
4
6
2
3
0,
J
calcular: Tr(AB) + Tr(BA)
A) 12
(I)
-1
B) -12
0 0
D) 22
E )-U
Dadas las matrices:
A=
2
-3
-1
4
-5 > 5
a
B=
-3 0 10
Dada la matriz: A =
B =A + A2+ A3+
1
-3
calcular: 7W 3A + B)
A) 13
0 0' 1 B) 49 1 0 1080 49 1. ' 1 9 0 E) 49 1 0 1126 49 1y '
1f
¡Oí») Dadas las matrices A y B que verifican: 5
, hallar la matriz A
Si: A =
D ) -l
2
-1 }
0
1
E)4
-2
3
2
-3
X- 2
3
5' -5
hallar: (A + B)2
A) 51
B) 41
0 31
D) 21
E) 1
, si: 0
Dada la matriz: A=(a^)2x3 definida como: -3 ? i + j < 4
A nln e /V ; n2: 3 indicar el
valor de verdad de:
i - j ; i + j^ .4
(
) Su traza es 2n.
Indicar la suma de elementos de dicha matriz.
(
)
A) -6
La suma de los elementos es 0.
B) -8
0 -1 0
D) -12
E) -14
988 6'
2
A
>
A =
4
6'
2
fe H
(g )S i:
A) 2 x 2*
B) 2 x 3 m
O 5 x 2"
(2
-3
x4
5
2 (X -4 A ) = 3 (B -2 A ) A) D)
30
10
20
5
10
15
7
Si:
B) E)
(2
-7
15
5
10
15}
C)
10
m
- 4 n2
-1 3
4
@
2} 0
P)
C)3
2
-2
3 / X - A + B) = 2 ( X - 2 ( B + C ) - ( X + C )
Si: A =
calcular : m + n + p
B) 5
3
Resolver:
n
V1 - 2 - 3
A) 4
✓
A C =
(-7
Dar como respuesta la suma de elementos de la matriz X: A) 10,5 B) 17,5 0 - 1 0 , 5 D)-18,6 F )-2 7 f5
c ;
-2
E) 5"
Si:
u A calcular X de la siguiente ecuación:
14
D) 4 x 3"
D) S
A)
E) 8
f1
-3
-4 '
Si: A1 = B , donde: A = -1
3
4
1
3
-4
3 a0- 1 3“
/ \i
\
1
2 50 '
B) J
3 40 - 1
D)
3
-A SO
, determine B = A
\
E)
340 )
O 0
2a° - l j
j
350 + i
0
1 2*° + 2'\ 0
250 + 2
3 a0
Dadas:
calcular la suma de los elementos de la matriz B.
A) 4
B) 3
0 2
D) 1
A =
E) 0
tel
B = (bv>4*3 tol
(0
1
0}
A = 0
0
2
0
0)
J
calcular la traza de: B A* A) 20
B )6 14
m Si: A =
C )6IS
(2
1}
-4
D )6 18
E )6 lí
, además se cumple
-3
0 24
D) 25
j )JÜ2)C\ÍI)C\l)t'j5)B 6)C 7)B S)E \!>)B\lO)C 11 \l*ms)A 161117)E M jE lío jm o jjií ri S IJ .I’XOA l-KAÍ T H A (MATRICES)
donde: (x; y) * ( 0 ;0 ) , determinar la suma de los cuadrados de los valores de “m 99.
1 t e k c e r x p r a c t i c a (¿MATRICES)
mx
A) 5
B) 7
v™y
0 9 J
2
@ S e a A = 0
0
E) 18
1}
1 1 0
D) 15
. Calcule
_
y dar como respuesta el valor de 6 J3
B) 1 275
O 1800
( Q ) Si: A = (a^2xs* ^
08) 07) 12) 17)
B B C B
08) C 08) E 18) D 18) A
04) B 06) C 0 9 ) D lO) C 14) C 16) A 19) A 20) A 04) B 05) E 04) B 05) B 0 9 ) D lO) A 1 4 ) U> 16)C 19) E 20) E
i PRACTICA (¿1ATRII ES) 02) C 08) A 04) B 05) E 08) E 09) B 07) A 10) C 12) B 18) E 14) B 15) B 20) C 17) B 1 8 ) D 19) B 02) C 03) B 04) B 05) A
1 CUARTA
1
ASO = ( B -= A™ A) 1 000
OI) B OS) A 11) B 16) D
08) A 07) A 18) A 17) B 02) E
02) E 08) E 18) B 18) C 03) E
OI) B 06) A 11) E 16) C 01) C
yj
E) 19
C LAVES D E L A P R IM E R A P R A C T IC A
calcular la suma de elementos de A 40
A) 6**
B) 22
D) 1 900
E) 2 100
2; i * j clue: °
2; i = j
hallar la suma de elementos de A " , n e
N
toi) o 06) A 11) A 16) A 01) A
C L A V E S I 1 E MuA S E X T A P R A C T I C A H)Éte)A \3)AY4)B 5)D 6)A\7)C 8)C ¡9)E\10)D i 1)C\12)EÍI3)B\Í *)B Í5)A 16)017)8
NCMCLOPEDIA 2012)
O B J E T IV O S : * Valorar la importancia de los determinantes, dentro del álgebra matricial. * Calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden. * Conocer las propiedades de los determinantes y su contribución a la simplificación de los cálculos. * Conocer métodos para calcular los determinantes y la matriz inversa. * Calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden 2 ó 3 por el método de Gauss. * Calcular el rango de una matriz por el método de Gauss.
IN T R O D U C C IÓ N í Existen diferentes formas de asignar a una matriz un número , o sea , de establecer una función cuyo dominio sea el conjunto de todas las matrices cuadradas. Una de estas funciones es la que se conoce como determinante de una matriz. El determinante de una matriz cuadrada es un número muy útil en la teoría del álgebra lineal y se puede calcular de manera directa. Los determ inantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu. iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX , se conoce con el nombre de Eliminación gaussiana. En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistem a de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo. La aparición de determ inantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los prim eros ejem plos casi
simultáneamente. Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notación m atricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía ij para representar a¡ j. En 1678 se interesó por un sistem a de tres ecuaciones con tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarrollo a lo largo de una columna. El mismo año, escribió un determinante de orden 4 , correcto en todo salvo en el signo. Leibniz no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de form a independiente cincuenta años más tarde. En el m ism o periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes de tamaño 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determ inantes de tam año superior. El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior por órdenes del shMgun, lo que se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638.
D E T E R M IN A N T E S D E C U A L Q U IE R D IM E N S IÓ N En 1 7 4 8 , un póstum o tratado de álgebra de MacLaurin recupera la teoría de los determinantes al contener la escritura correcta de la solución de un sistem a de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. En 1750 , Cramer formula las reglas generales que permiten la resolución de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, aunque no ofrece demostración alguna. Los métodos de cálculo de los determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la noción de signatura de una permutación. Los matemáticos se familiarizan con este nuevo objeto a través-de los artículos de Bézout en 1764 , de Vanderm onde en 1771 (que proporciona concretamente el calculo del determinante de la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia que llevan su nombre. En el año siguiente, Lagrange descubre la relación entre el cálculo de los determinantes y el
[ ir w f r m w .s 1 m
m
m
v
t0E TE M M H N .t,VT '§C S ]
de los volúmenes.
I) M A T R IZ D E ORDEN UNO Z
Gauss utiliza por prim era vez el térm ino « determinante », en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo em pleaba para lo que hoy día denominamos discriminante de una cuádrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener el teorema del determinante de un producto.
Se llama determinante, de una matriz de primer orden, formada por el elem ento al propio elemento ajj*
A P A R IC IÓ N D E L A N O C IÓ N M O D E R N A D E D E T E R M IN A N T E Cauchy fue el primero en em plear el térm ino determ inante con su significado m oderno. Se encargó de realizar una sín tesis de los conocimientos anteriores y publicó en 1812 la fórmula del determinante de un producto. Ese mismo año Binet ofreció una demostración para dicha fórmula. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reducción de endomorfismos.
La teoría se ve reforzada por el estudio de determinantes que tienen propiedades de simetría particulares y por la introducción del determinante en nuevos campos de las matemáticas, como el wronskiano en el caso de las ecuaciones diferenciales lineales.
Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regia recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.
* Si: A = (6)
* Si: B = (-2) ==> \B\=-2
2 ) JMATRIZ D E ORDEN D O S Z Sea
denota por:
|A| ó D et(A )
para
determinante de una matriz « A »:
indicar el
la
m atriz
determinante.
au * 12
A -
\&2l a22)
A I — * 11*22
"
se
define
su
12**21
EJEM PLO : Calcular el determinante de las siguientes matrices
7 6 A = 3 2
-4 - 8 B= 5 7.
,
C=
( ¿ x 4 D= x -2 i
R E S O L U C IÓ N : lA l= (7 )(2 )-(3 )(0 ) = 1 4 - 1 8 det B = (-4 )(7 ) - ( 5 )(-0 )
\C\
= -4
= -2 8 + 40 = 12
= (-9 )(-2 )-(-6 )(-4 ) = -6
det D = (x )( -2 ) -(x )( 4 )
= -6 x
O B S E R V A C IÓ N : • El determ inante de A no debe confundirse con el valor absoluto de A . Tam bién se por: det A , es decir:
A = detA =
a ll a 12
representa
—an a 22 - &i2 a 2i
a 21 a 22 * Observa que el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Por lo tanto, la form a sencilla de calcular el determinante de una matriz 2 x 2 es como sigue:
a12 .
aii
(-) —a i i a 22
DETERM IN ANTE Se llama determinante, a un valor escalar o número real que se le asocia a cada matriz cuadrada y se
==> |A| = «
i i <0 1
El cuadro matricial es introducido por los trabajos de Cayley y James Joseph Sylvester. Cayley es también el inventor de la notación de los determ inantes m ediante barras verticales y establece la fórmula para el cálculo de la inversa.
EJEM PLOS:
i
Con la publicación de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista Crelle, Jacobi aporta a la noción una gran notoriedad. Por primera vez presenta métodos sistemáticos de cálculo bajo una forma algorítm ica. Del mismo modo, hace posible la evaluación del determinante de funciones con instauración del jacobiano.
all,
a 21
a22 (+ )
EJEM PLO Sf
: 17
3
-
<1
2
a i2 a 21
7
- 4
3
2
= 7 x 2 —3 (—4) = 26
520 1
(A J T ^
8) DETERMINANTE DE TERCER ORDEN: El determinante de tercer orden es el desarrollo de una matriz cuadrada de .tercer orden . Para calcular su valor se utiliza la regla de Sarrus o el método de menores complementarios, que es más general. Así: El determinante de la matriz : a 13
A = a 21
a 22
a 23
a 31
a S2
a 33
esta definido por
n
«*~ 33
° i 3 a 3 2 “ a 2 2 a i3
'
‘ai-
R E S O L U C IÓ N : 1 2
3\
-2 5
3
(l)(5 )(-4 )+ (-2 )(0 )(3 )+ (2 )(2 )(3 )-
2 0 -4 1 2
= (2 )(5 )(3 ) - (I)(0 )(3 ) - (—2 )(2 )(—4)
3
-2 5 3
a 12
a ll
NCICLOPEDIA 2012]
det A = —54 r
R E G L A D E S A R R U S H O R IZ O N T A L :
l 12 a 23 a 3 1 + a l 3 a
a2i ” a u
a 33 a J2 a 21
La forma sencilla de calcular el determinante de una matriz 2 X 2 es análoga para las matrices 3 x 3 . Este desarrollo se representa mediante la regla memotécnica denominada regla de Sarrus .
Se aplica la matriz trasladando las dos primeras colum nas a la parte fin al y se aplican multiplicaciones en dirección de las diagonales, conforme Be indica. / Sea:
A =
EJEM PLO :
2
a i2
a l3
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a33
a n.
a 'l2*^ &Í3.
&21
a 22 &3.Í •&3U &32> 'K 'V
[2 x 6 x i] + [0 x 3 x 5] — [0 x 6 x 4]
+
= ( - 8 ) ( - 5 ) - 12+12+ 0 - 0 = - 3 a 3 i a 22a i 3 ~
R E G L A D E S A R R U S V E R T IC A L í I) Se repiten las filas prim eras y segunda a continuación de la tercera (formando dos filas adicionales).
II) Se toman con signo positivo la diagonal principal (hacia abqjo) y las dos paralelas a ella y con signo negativo la diagonal secundaria (hacia arriba) y las dos paralelas a la misma.
las diagonales y sus paralelas, considerando para cada producto el signo señalado en el paso anterior. Así: . < -)
a ii
a ¡ 2 ® I3 ^ 0>22 & 23
P 'S l a 32
a 33 )
44
,a ¿ ?
< * i¡
4 O 'í l '
^
a 22
«# *
a 3 3 p 2 ia i2
2 -3
2
Calcular el determinante igual al:
1 8
3
3 -2
1
R E S O L U C IÓ N : 2. •
• >
1
. ♦.
& .3
3 ’ ' -2
✓
/
*
•
^
8
<
>1 " 3
-2
V +
a.
= 1 6 - 2 7 - 4 - 48 + 1 2 + 3 = - 48
x + +
II) ¿MÉTODO
de: l a e s t r e l l a
*.
A =
\U'23 \ #• •
0 -2 1• 4
V = > 4. & 3 1
. ®J3
& 12
a 3 2 a 2 S P 'll ~
%* „% VL.* 9' #* * # \ %
+
•
EJEM PLO :
—
+
(+)
ENOENERAL * Sea:
Encontrar el determinante de la matriz :
1 2 A = -2
3\
5
2 0 -4
3
*
-(+)
%
a 23 v
:
a n
A=
a 12 a 13
a 21 a 22 a 2 3
ifc
«i • • % te^ 0 % - •, 1 **
p*3
*
a 1 3 a 2 1 a 32
EJEM PLO :
UI) Se efectúan los productos de los elementos de
»
+
-+\A\~aJJa 2g a 33 + a 12a 22a si +
I) R E G LA D E SA R R U S :
A*
0-42
*I
-1 2 0 3 4 1 = [(—/) x 4 x 2] — [(—1) x 5 x j] — [2 x 3 x 2] + 6 5
a U
\A\=
a 31 a 32 a 3 3 ir
K fm
=> \A \~
a 2 j a 2Sa 23
a « I ° a « ja
“
m
v
W
a 2 i a 32a iS
+
a 21a 12a 33 “
+
S 5 L
527
a i 2 a 2Sa 31 "
fíB
n i c r i i i r m v . i v r f t 's ]
S
7) El determinante no varía si a todos los elementos de una de sus filas (o columnas) se le añade el múltiplo de otra fila (o columna).
a j i a 3Sa M
P R O P IE D A D E S D E L O S D E TER M IN AN TES
EJEM PLO : 1 2
1) Una matriz cuadrada y su transpuesta tienen el mismo determinante. Es decir : |A|=| Ar | siendo A cuadrada.
3
-2
1 2
-2
1 3
=
EJEM PLO : 3 4
A=
5 2
|Ar = - 1 4
2) Si se intercam bia dos filas o colum nas consecutivas de una m atriz cuadrada, determinante sólo cambia de signo.
su
1
2
3
0
5
8
0
5
9
—
EJEM PLOS : 3 2
=8
5 6 S i:
5 6
a
3 2
a
0
5
8
0
5
9
1
2
3
0
5
8
0
0
1
= (1)(5)(1) = 5
f 3 — —f í + fs 8) El determinante de una matriz antisimétrica de
= -8
orden impar es igual a cero.
m n P = 10=+ d e f = - 1 0
m n p
3
f3 = 2f i + f s
4 2
i J” - 1 4
2
Í2 — 2fl + f2
3 5
At =
1
EJEM PLO : 0
Sea:
4 -8
A = -4
b c
3) Si una matriz cuadrada tiene los elementos de dos filas o dos colum nas , respectivam ente proporcionales ; se dirá que su determinante es cero.
0
7
8 - 7
0
= 0
9) IAB I= A l l B
EJEMPLOS : 2 3 4 0 1 3
10) |KA |= K n |A | ; K es escalar ; n es el orden de
3 4 3 =0
1 0
1 = 0
2 3 2
4 6 8
la matriz A .
U ) \An \= \A\n ; n e N
4) Si se multiplican todos los elementos de una fila (o columna) del determinante por un escalar, el mismo determinante queda multiplicado por dicho escalar.
E J E R C IC IO 1 : Hallar el determinante de la matriz :
1 - 2 A
EJEM PLO : 3
4
1
6
5
2
9
8
3
= 3
1 4
1
2 5
2
3
3
8
-2
3 - 4
3 - 4
- 1 4
1
2
3 - 5
3
7 - 9
R E S O L U C IÓ N :
5) Un determinante en el cual todos los elementos
1
de una fila o columna son ceros, es igual a cero.
6) El determ inante de una m atriz triangular superior o inferior, y de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
-2
3
-4
te+sfi
3
- 4
1
f+Sfl
-2
3
2
4
-1
-5
7
i- • 9
*
3 -9
-2 -
7 0 -1 \. 11 0 2 1
f4-3fl
ó
1
3
-4
2 -7 5 -2
- i
3
EJEM PLO : I
A
=
0
4
2
3
4 5 0
7
= * | A | =
l
1
tf)(4 )(7 ) =
2 8
-1
2
- 7
2
5
- I
1
-2
3
f*+*i h + fl
y< 0 \ 2 V
-7
0\9\J5
0
0\ 4)
A =(-l)(9)(-4) Ai =96
[a
i
jye* I B Z 8 \
,
E J E R C IC IO 2 : Hallar el determinante de : a + I 3a
A=
A T / a o r m i zoi¿\
determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila 3 y la columna 2 de la matriz A y este será :
b + 2a
6+ 1
2b
6+1
2 -b
I
a + 2
0
1
a +3
6 -1
I
a+2
a +6
-2
a+ I
3a
6 + 2a
6+ 2
26
6+1
2 -6
2
ct+ci
a +2
0
1
a + 3
C q + C,
6 -2
1 a + 2 Iguales
-4
Si es un elemento de una matriz cuadrada A de orden n x n, y Afy es el menor de a tf, entonces el cofactor del elemento Uyt denotado Cy, se define pon
a + 6
EJEM PLO :
-1
A s í, en la matriz :
3a + b + l
3a + b + l
6 + 2a
6 + 2
b+2
b+2
2 -6
2
a+3
a+3
2
a + 3
a+6+2
a+6+2
a+2
a + 6
(MENORES Y COFACTORES 4 2 8 A = 5 6 1 9 7 3
1+3
6
columna correspondiente
7
4
1
6
5
2
3 1
6 2
3 4 = (-2)' (16 —24) =2x (—9) = - 9 6 5
0••
&¡|
Uj2' * *
&2l
t%22--------------- * &2n
_......... ’ a /;
-• O;» i
matriz:
9
3
»| «
2 7
El determinante correspondiente
[4 2]
1=20, dicho
determinante se denomina menor del elemento de la matriz A.
DEFINICIÓN S
<
colum na j Denotaremos por a la matriz cuadrada de orden (n - 1) que resulta de eliminar la fila i y la columna / de la matriz A , luego :
I) A l determ inante de la m atriz M y (|M/|)se llamará menor del elemento ay de la matriz A .
II) Se define cofactor del elemento Uy denotado por
El menor complementario de un elemento a^ de la matriz «A» es el determinante de la matriz que resulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A .
EJEMPLO
/* /a í
‘ *a n»
que es la matriz 2 x 2 que se obtiene de
la matriz A , al no considerar los elementos de la fila 2 y la columna 3.
Sea:
,
’in • »
4
= (-l)s (6 -6 ) = (-l)x0 = 0
Considérese la matriz cuadrada de orden n :
resulta la
>
3
EN GENERAL:
♦ Si se toma el elemento ai3 y se tacha su fila y su
$ 1i
0
5 2
C,9 = (—í),+2 M,9 ■ (—2)i+2
2
2
Los cofactores de los elementos de la primera fila son : i+i 4 1 = ( - l f ( 8 - 5 ) = l x 3 - 3 n ii
\A\ = 0
Considera la matriz cuadrada
= -3
COFACTOR :
R E SO L U C IÓ N :
EJEMPLO :
5
2
2
3
A = I -2
8
Ai j = ( - l ) i+J\Mu
A
O B S E R VA C I O N E S * La diferencia entre el menor |
Ay de un elemento Oy es solamente el signo .
-4
A-
* El menor complementario del elemento
| y el cofactor
es el
A s í:
cofactor
= (~D i+J
menor
529 i s a A i • ,si i + j e 8 par iUy
de donde:
Áq -
—IAf;.-1, si í + j es impar v
* El signo que relacioné a A^ y |M¡/| del elemento
ay de la matriz A se puede hallar en forma práctica mediante el siguiente arreglo ; +
— .+ ...
— +
— •••
+
+
—
» f :r 7 ;# i w i .v i v r f ;s 1
•El determinante de una matriz cuadrada de orden n x n s e puede calcular mediante la siguiente regla: Si A es una matriz cuadrada de orden n x n entonces el determinante de A es la suma de los n productos obtenidos al multiplicar cada elemento en cualqueir fila o columna por su cofactor. Este proceso para calcular determinantes se llama expansión por cofactores. el siguiente ejemplo ilustra el proceso.
...
EJEM PLO : • Así
el
signo (3 + 5) es p ar.
aK es positivo puesto a que
de
• El signo del elemento que (2 + 5) es impar.
ass es negativo ya
Si: A =
3
6
0
2
5
2 -4
7
R E S O L U C IÓ N : 2 5 = 2(7) - 5 ( 4 ) = 34 u , |= -4 7
M^ =
3 6 -4
7
-1 6 2 7
= 3(7) —6(—4) = 45 = (-l)(7 )~ 2 (6 ) = - 1 9
* Para obtener los cofactores pos .basta anteponer a sus menores correspondientes ^ “signos apropiado.
ii
4
1
6
5
2
• Se escoge una fila o colum na para hacer la expansión por sus cofactores. En la práctica se escoge la fila o columna que contiene más ceros porque esto simplifica los cálculos. En este caso puede ser la la. fila o la 3ra. columna.
Obtener : A i... u* M tl, M i2, A 1P A 9¡ y A 22
M 2j =
3 R E S O L U C IÓ N :
EJEM PLO : -J
Calcular el determinante de la siguiente matriz por cofactores -1 2 0
2+1 Mn a = (1)(34) a 34; An * f-1) 11 = (-1)M Mn = (l)(-19)= -19; Au =(-1) 1+3 Afw -
(-l)(-2) = 2 Ahora podemos definir el determinante |A j de una matriz cuadrada de orden 3.
O B S E R V A C IÓ N : •Una manera sencilla de recordar el signo asociado al cofactor A^ es considerar el siguiente arreglo rectangular de signos. + -
+ -
+
+
*E1 cofactor es la clave para calcular determinantes de orden 3 o de orden mayor que 3.
• Vamos a hacer la expansión por la 3ra . columna. Se debe m ultiplciar cada elem ento de la 3 r a . columna por su cofactor y sumar los productos así:
O x(-l)
1+3
-1 2 3 4 -2 2 + lx ( - l) M +2x(—J)3+3 6 5 6 5 3 4
= 0 + l x ( - l ) + ( - 5 - 1 2 ) + 2 x l x ( - 4 - 6 ) = 0 + 1 7 -2 0 = - 3 • La expansión se puede hacer por cualquier fila o columna. La razón para escoger la fila o columna que contiene más ceros es que se simplifican los cálculos ya que al multiplicar el elemento 0 por su cofactor da 0 , y de esta forma no es necesario calcular el cofactor. * Si se calcula el determ inante de la m atriz anterior al hacer la expansión por la primera fila, se tiene. 4 1 3 2 3 4 + 2 x(—2)i+* + 0 x(—2)í+a 5 2 6 2 6 5
(—2) x 3 + 2 x 0 + 0 = —3 •La expansión por cofactores por cualquier fila o columna da el m ism o resultado. El proceso de calcular determinantes al hacer la expansión por cofactores funciona también para cualquier orden mayor que 3.
C O N C L U S IÓ N El determinante de una matriz tres por tres es igual a la suma de los productos de las componentes de una misma fila o columna y los cofactores de esas componentes.
!.V£*
I690 I
NCMCLOPEDIA 201¿]
imIfc
+ — +
•Observa que el determinante se puede escribir así: *11 * 1 2 *2 1 * 2 2
= ( - l ) u lan
*23
,
*32
Ubicación de signos:
*13 *22
*23
*32
*33
+ ( ~ l ) 2+1a¡¡1
a 13
a 32
a 33
+ ( - l ) s*1a 31
*12
*13
*22
*23
AI = a n
*21
*23
*31
*33
*12 *33
+ « /3
*21
*22
*31
*32
1 0 3 2 1 4 1 4 2 - 0 +3 A l» 4 2 1 = 1 -1 2 5 2 5 -1 5-1 2 |A |= 4 — (—2) + 3 (—4 — 10) = 5 + 3 (—14) —y |A |= —37
3
O B S E R V A C IÓ N :
5
E sta regla se puede aplicar para calcular el determinante de una matriz de orden n>3.
6 -7 -3 R E S O L U C IÓ N :
1 0 3 4 1 4 2 2 1 A I= 4 2 1 = 1 -0 +3 -1 2 5 2 6 -2 5-1 2
•Utilizando las componentes de la primera fila:
-2 4 3 -1 2 5 =( — 6 -7 -3
*23
• Usando la fila 2:
Utilizando el método de cofactores calcular el determinante de la matriz
- 1 2
*22 *32
EJEM PLOS :
4
—
• Usando la fila 2:
* En donde el signo del cofactor se halla mediante la potencia de base (~1) y exponente igual a la suma de ordenes de fila y columna.
-2
+
+ — +
*33 a 12
-
5 -1 5 2) +{—l)2+1 (4) 6 -3 -7 -3 2
-1 2 + (—2)3+1 (3) 6 -7 -2 4 3 -1 2 5 = - 2 ( - 6 + 3 5 ) - 4 ( 3 - 3 0 ) + 3 ( 7 -1 2 ) 6 -7 -3
A| = 4 - ( - 2 ) + 3 ( - 4 - 2 0 ) = 5 + 3(-24) —>■|A |= —37
EJEM PLO 2 : Calcular:
0 -1 3 0
0 4
0
0 -3
1 0
= - 5 8 + 1 0 8 -1 5 = 35 EN GENERAL:
5
1
2\ 0 0
R E S O L U C IÓ N :
TEOREM A D E L A P IA C E
• Si se hace la expansión por los cofactores de los elementos de la cuarta fila, se tiene:
El determinante de una matriz A = ( o í/-)bw( es igual
2 0-1 2 -2 0 2 0 3 0 4 = 2x(—2)*+i 0 .4 0 + 1(-1)4+3 3 0 0 0 5 0 -3 5 0 - -3 0 5 -3 1 0 1 0
a la suma de los productos obtenidos de multiplicar los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores.
0 -1
0
•Ahora se deben calcular cada uno de los determinantes de orden 3:
-1 0 2 -1 2 = lx 4 x (3 -1 0 )= -2 8 0 4 0 = {—1)2*2 x 4 5 -3 5 0 -3 (al hacer la expansión por la 2a. fila)
O B S E R V A C IÓ N : Se elije la fila o columna de mayor cantidad de ceros
EJEM PLO :
1 0
3
Hallar el determinante de : ^
4
R E S O L U C IÓ N :
5 - 1 2
2
1
0-2 3 0 0
2 -1 2 0 = i - l ) 2+1 x 3 = (—2) x 3 (3 - 10) = 21 5 -3 5 -3 (al hacer la expansión de la
* Luego :
la . fila)
I B
0 3 0 1
- 1 0 2 0 4 0 5 0 -3 0 1 0
4+ 3
= 2 x (—2)*+i x(—2 3 )+ 2 x(—2)*T“ x22
= 2 X f - 2) x ( - 2 8 ) + 2 ( - 2 ) x 2 1 « 28 - 21 = 7 1 3
Calcular :
2 - 1
4
5
2
-2
4
-2
2
0
de otra fila (o columna) ♦ Para resolver sistem as de ecuaciones fundam entales interesará realizar tran s formaciones elementales de filas.
¡ _H P ■■ .i . i ..!■ a Notación I Operación sobre fita correspondiente |
T 1
2 - 3
M ultiplicar la fila i p o r la constante k
fj + kf
♦Se expresa el determinante 4 x 4 por medio de las menores de las componentes de la primera columna:
1 4 -2 1
3 2 -1 5 2 1 3 2 -1 5 2 1 = 2x 4 - 1 3 - 4 x 4 - 1 3 4-1 3 0 2 -3 0 2 -3 0 2 - 3 3 2 -1 +(—2) x 5 2 1 -lx 5 2 1 0 2 -3 4 - 1 3
Sum ar k veces la fila i a la fila j
EJEM PLOS : T ran sform ar la m atriz A transformaciones elementales :
1
A = -1 3
Co 1
♦ Luego :
2 -1 2 1 1 8 2-3
= lx l7 ~ 4 x 7 + (-2 )x (-4 )+ (-l)x (1 2 )= -1 5
T R A N S F O R M A C IO N E S E L E M E N T A L E S O E F IL A S Y CO LU M N AS E N UNA M A T R IZ ( O
f e r a c m
o x e s
E
l e m
e n
t a l e s
I) Al intercambio de do6 filas (o columnas) 27) A la multiplicación de una fila (o columna) por un escalar no nulo.
4
1 2 0
i 2 0
4
0 4 3
-2
3
-2
3 4
2 1 0
3
3 0
3 4
0
4 3
-2
3 4
0
4 3
0
,
-2 3 4 % 3 3 0) .
0
4
-1 3
(3
3
.
4
3
* -2
4
0)
10 11
- 1 3
4
M A T R IC E S EQ UIVALEN TES Se dice que una matriz A es equivalente, por fila o columna, a otra m atriz B si esta última se ha obtenido de la primera por medio de una sucesión finita de operaciones elem entales por filas o columnas.
CÁLCULO D E L D E T E R M IN A N T E D E UNA M A T R I Z U TILIZA N D O P R O P I E D A D E S : Supongamos que se quiere conocer el determinante de una matriz cuadrada de orden cuatro.
2
) •
Dada una matriz A, sólo está permitido realizar una o más de las operaciones siguientes:
las
0 4 3
R E S O L U C IÓ N :
.
5 2 1 -1 3 4 -2x 4 - 1 3 = 5x 3 + j* r 2 -3 0 -3 0-t% rs •% 0 2 -3 5 2 -1 2 -1 3 3 2 + (-l)x =7 4 -1 3 = - 4x 2 -3 0 |0 o 2 0 2 -3 s 2 -1 3 2 -1 3 A -2 x 1 =0x 5 2 t1-3> Xl5 2 2 1 5 4 M 0 2 -3 -y s 2 -1 2 -1 3 2 1 = —5 x +2x -lx 5 2 =12 -1 3 4 -1 4 3 4 -i 3
usando
1 1 0 )
♦ Se calcula cada uno de los deteminantes 3 x 3 que se han resultado: ♦ Se calculan los menores al tomar los cofactores de la primera fila:
f y f¡
Intercam biar ¡as fila s
f¡ ** fj
R E S O L U C IÓ N :
13 4 5 -2 4 1 0
r ^ f t .y i r v .v v r » :s ]
III) A una fila (o columna) le sumamos el múltiplo
EJEM PLO 3
Co
b* r
W
B =
0
16 1 7 -3
22
4 -3
0
0
6
0
0
0
0
1
♦Debemos reducir la matriz cuadrada a una matriz triangular inferior o superior. |A| = (2 )(—3)(6)(2) = —36 ♦Es decir, el cálculo del determinante se reduce a
I
(
XCMCLOPEDMA 20 tz)
multiplicar la diagonal principal de la matriz B
0
4
0
-8
♦Con este procedimiento debemos tener mucho cuidado porque no se cum ple para todas las matrices.
1
-2
-1
3
0
4
2
-1
0
3
-1
2
d = -
♦Para aprovechar este hecho convertimos la matriz original por m edio de las tran sform aciones elementales por filas (renglones) a una matriz equivalente que tenga la forma triangular.
y la fila 2 : 1 -2 1 d = (-D (-l)
♦Las propiedades nos permiten tener un método para calcular el determinante. Es posible transformar una matriz cuadrada A en una matriz triangular superior efectuando las siguientes operaciones entre filas (o entre columnas).
d = (-l)(-l)(4 )
I) Intercambio de dos filas (o columnas). 7/JM ultiplicar una fila (o colum na) por una constante.
IB)Adicionar una fila (o columna) el múltiplo de otra fila (o columna) ♦En cada caso es necesario tener en cuenta el posible cambio de valor que puede sufrir el determinante.
TEOREM A :
renglones es una matriz diagonal , entonces :
detA=a1Iatl
-8
0
4
2
-1
0
3
-1
2
1
-2
1
3
0
4
0
-2
0
4
2
-1
0
3
-1
2
1 0 0
0 2 -1
0
1
0
-2
0
0
1
7/2
0
0
-i
2312
d = ( - i ) ( - i ) ( 4 ) ( 2 ) ( i ) ( J ) ( l ) ( 2 3 /2 ) = 92 EJEM PLO 2 : 2 1 a a a Calcular |A| =
•aM
1
b
b
1
c
c
1 d
EJEM PLO 1 1 d =
R E S O L U C IÓ N :
2
1
- í
2
-1
3
0
4
2
-1
1
1
0
-I
Calcular :
R E S O L U C IÓ N : ♦ Cuando la fila 2 se suma a la fila i y a la fila 4 el valor de la determinante se mantiene.
d =
0
-2 7 8 ♦ Finalmente factorizando 2 en la fila 3 y luego la fila resultante sumar la fila 4 : 1 -2 -1 3
A) Si la form a escalonada de A reducida por
renglones es una matriz triangular , superior o inferior , entonces :
4
0 d = (-l)(-l)(4) 0 0
d = (—!)(—1)(4)(2)
B) Si la form a escalonada de A reducida por
0
♦ Restando a la fila 3 , 4 veces la fila 2 y a la fila 4 ; 3 veces la fila 2 : 3 1 - 2 -J
Sea A una matriz de n x n
detA =a..a ~ * .. .a nn 1 1 " 23
3
4
1
2
-I
3
0
4
2
-1
0
3
-1
2
♦ Multiplicando la fila
2
0
-8
0
por
(-1 ) :
♦ Si a las tres últimas filas de A se les resta la primera y se desarrolla por esta fila, resulta:
b —a |A| =
c —a —a
b2 —a2 c 2 —a 2 .2
a
_2
—a
b3 —a3 c —a »3
a
—a
6 —a
(b —a)(b + a)
(6 — a)(b2 + ab + a2)
c —a
(c — a )(c + a)
(c — a)(c2 + ac + a2)
d —a {d —a)(d + a) (d —a)(d2 +a d + a2) ♦ Por propiedad:
1 b+ a |A| = (6 — a ) (c — a) (d —a) 1
b2 + a b + a 2
c+a
c2 + a c + a 2
1 d+a
d 2 + ad + a 2
5*8
»
r i ; w,»i#.v.iv T ft's ]
* Restando a la segunda y tercera fila la primera fila , desarrollando por la primera fila, resulta
• La inversa de A también debe ser cuadrada y de la misma dimensión de A.
c —b (c —6) (c + 6 + a) lAl = (6 —a)(c - á)(d —a) d - b { d - b ) (d + b + a)
• No toda matriz cuadrada posee inversa.
|A|= (6 —a)(c —a)(tf —a)(c —6)(d —6)
1 c+b+a 1 d+b+a
=»|A| = (6 —a){c —a)(d —a)(c —b){d —b)(d —c) • El determinante de esta matriz A se le conoce como el de Vandermonde.
CÁLCULO D E L DETERM INANTE VANDERM ONDIANA
vn
1 X1 1 1
1
*2
••• x 2 —x 3
*2
*3
• Si A no posee inversa se le llama singular o no inversible.
D E F IN IC IÓ N : Sea Aúna matriz cuadrada no singular , si existe una única matriz B cuadrada del mismo orden, tal que A B = B A = It entonces definimos B como matriz inversa de A y lo denotamos por A-í
TEOREM A:
•%-n
*1
Xn
• Si A posee inversa se le llam a no singular o inversible.
n—1 Xn
Xn
Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si es una matriz no singular , en tal caso se dice que la matriz es inversible.
Para una matriz de orden n
EJEM PLO : 1 1 1 a
b
e
EJEM PLO :
=(a—6)(6—c)(c—a)
a 1 a
1 b
Verifiquemos que la matriz B es inversa de la matriz A al obtener los productos AB y BAt siendo : 3 7 5 -7 B = A = 2 5 -2 3 .
= 6 —o
AB =
/) Si A es cuadrada a |A| =* O ; la matriz A toma el nombre de no singular o regular.
nombre de matriz singular .
,
Así:
D EFIN IC IÓ N :
U) Si A es cuadrada a ¡A! = O ; la matriz A toma el
.
(3 7
5
2 5
-2
7
* i
0
3
V0
5 - 7 1 (3 7 BA = -2 3 2 5
1
0
i,0
1
1i
/
* Esto significa que B es'la inversa de A , es decir B =A i
*Es decir una matriz cuadrada es singular si su determinante es cero, asi mismo si su determinante es diferente de cero la matriz se llama no singular.
CALCULO d e l a m IN VE R SA
a t r iz
I ) ORDEN U N O :
M A TR IZ IN VERSA En algunas matrices puede identificarse otra matriz denominada matriz inversa. La relación entre una matriz A y su inversa (denotada por A '1) es que el producto de A por A-i, en uno y otro orden, da origen a una matriz identidad, es decir : A A "i = A "íA = 7
O B SE R V A C IO N E S : • Para que una matriz pueda tener inversa debe ser cuadrada.
A = (a ) => A ~ l =
a
;
a * 0
2 ) ORDEN D O S : a 6
d i * A= => A~ ' = c d IAI —c EJEM PLO 1 : 4 2 A= -5 -3 i
-3 -2 5 4 -2 .
-61
\A\*0
a 3 2 5 - 2 -
1 -2
c
__________________________ ECICLOPEDÍÁ 2 0 í¿\ I B
2 4 1 =>B~l = B= 7 2 1 -7
-1 4
,
,
.
.
2 -7
-1 4
* La posibilidad de existencia de la matriz A~l se denota de la siguiente manera:
EJEM PLO 2 : Calcular la matriz inversa de:
A = R E S O L U C IÓ N : \A\= 5 x 2 - 7 = 3
* No todas las matrices cuadradas poseen inversa , pero si la poseen , es única.
5 -1
2 2 7 => A*' = 3 3 1 5 1 3 OBTENCIÓN D E L A M A T R IZ •
-7 2 7 3 5 3 IN VERSA
(M É T O D O D E G A U S S - JO R D Á N ) Hay diversos métodos para calcular la inversa de una m atriz. Uno de ellos se basa en el procedimiento de elim inación gau ssian a, que consiste en transformar la matriz inicial en una equivalente por medio de las tran sform aciones elem entales explicadas en la sección anterior.
a)A '1 existe o A - I (Método de Gauss - Jordán) b)A~* existe » A nXJIX = B (tiene solución única) c)
Si el proceso de reducción conduce a una fila nula en la parte correspondiente a la matriz A , entonces A es singular. * Recuerda que en el álgebra matricial la operación de división no existe ; esta es reemplazada de alguna forma por la inversión. Es decir , si se quiere despejar X en la ecuación matricial,
EJEM PLO 2 : A = 2
5
3 3
1
0
8
1 2
Calcular la inversa de :
Para determinar la inversa de una matriz cuadrada
A:
NOTA:
I) Se forma la matriz ampliada compuesta por la matriz A y la matriz identidad del mismo orden de A , lo cual da como resultado (AJI)
W Se efectúan las operaciones solo por filas en toda la matriz ampliada, de manera que A se transforme en una matriz identidad . La matriz resultante presentará la forma (I/A'1) de donde A'1 se puede leer a la derecha de la línea punteada.
Se desea reducir A hacia la matriz identidad por operaciones sobre las filas y, simultáneamente , aplicar estas operaciones a I para producir A"1.
R E S O L U C IÓ N : * Formamos la matriz ampliada , adjuntando la matriz identidad a la derecha de A. * Aplicamos las operaciones sobre las filas a ambos lados, hasta que el lado izquierdo se reduce a Z. * La matriz final tendrá esta forma : [ / í A*1]
EJEM PLO 1:
1 2 3\1 0 0 2 6 3 j0 1 0
Calcular la matriz inversa de :
1 0 8 J0 0 1
(3 7 A = 2 5
Í2-2fi h - fi
A lo /IIo 2 le rok iM O dm voceo la fUa i y la fUa 3 le resta* la flía L
1 2 *1 l i 0 1 -3 | 1 -2 0 -2 B\-l
R E S O L U C IÓ N
0 i 0
0 0 1
A la fila 3 le oumas dot im*$ la fila 2*
7*1 3 7\ 1 0 ¡SL 2 6j0 1
1
*
i
o
l
3
-
3
2
3 5 -7 -+A*J« -2 3
0
1 0 0
0 2 6\ 0 i
8*f*
7! 1 3j3 11-2
‘ríf*
1 0\ 5 -7) o l ¡ - 2 31
i
O B S E R V A C IO N E S : • Si la matriz no tiene inversa , no será posible transformar A en una matriz identidad.
2 3\ 1 1 -3 ! -2 0 - i 1 -5
1 0 0
2 3\ 1 1 - 3 —2 0 A B 1 0
2 l
0 \ -l4 0 ; 13
0
0
t\
1
0 1 2
0 0 1
0 1 2
0 0 -1
=£x
M ultiplicam os la fita 3 p o r -1.
f2 +3f3 f* -3 f; A la f i l a 2 le turna* tro* vece* la fila 3 y la fila 1 le reala* tro* iwcm la p ía 3.
6
3
5
-3 -2
-3 -I
0
0\ - 4 0
16
9
0
1
0;
13
-3
—S
0
0
l\ 5
-2
-1
Alo filelieFV 9*0i
«venlo fUm2
[iiw
m
w
.v
« f 7 < i , v « . iv
r
a
n
A~* =
9
20
13
-5
-3
5
-2
-1
.
x
A
- 1 = A
Ajj—7 ; Aj2~~~1 /Aa2=—0 ; A22=8
.
matriz cof A =
~ 2 x
A
=
3; (A"1)
7
-1
Adj A =
8
-0
7
-0
-2
0
P R O P IE D A D : Sea A una matriz invertible, entonces la matriz inversa está dada por :
I
_ T>-1 A —1 2 ) ( A B ) - 1 = f í - JA -2
18 6 1 7.
Sean A y B matrices cuadradas no singulares y /. un escalar distinto de cero. A
&
Sea la matriz : A =
P R O P IE D A D E S •• .
1 )
s
EJEM PLO 1:
* Por tanto la inversa de A es:
-4 0
i
O B S E R V A C IÓ N ;
=A
|Adj A\ = |A|n l ; donde n es el orden de la matriz A
4)(AA)-2 = X~1A ~1
EJEM PLO 2 : * Del ejemplo anterior :
5 ) \ A ~ 1 \=
\ A \ -1 =
- ¿ -
S i: A =
(8
01
2
7
\A\
lAl = 50 y Adj A =
* Luego :
6) Si: AxAr = 2 ; se dice que A es ortogonal
7
7){r')
-2
9)(At )
-2
-2 1
-0
0
7
3 1
25 _4^ 25)
50
J_ 50
50
Calcular la inversa de :
= U _ i)
A =
MATMUZ R E C O F A C T O R E S Sea la matriz
A=
0
IAI EJEM PLO 3 :
8) (a a) =(a - 7)
=1
-0
-2
, _ Adj A _ —2
7
1
2
31
0
- 2
2
4
2
R E S O L U C IÓ N : a 2I
a 22
a 23
a 2I
a 22
«2 á
a ni
a n2
n3
•tt
«1»
••• « • •
a
«•i
d
2 »
* Sea la matriz de cofactores : 0
•••
A 2n
•• Á nn
A este matriz se le llama matriz de cofactores.
ADJUNTA D E
+ II
Ü3
A n2
C 12
C ¡3
c 21
C z2
C 23
^31.
C 32
C 33
• Calculamos : + II ** ** O
C of {A) =
A 22
-
MM
* Si A^ es el cofactor del elemento A^, entonces la matriz: A 11 m A 12 to ••• Aju
Aov 21
A c
» •
C „
C 23 ------
-2 2
4 ; C2 l ------
2 3 = 0 -2 1 1 2 4
UNA M A T R IZ
A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama adjunta de la matriz A.
1 1
Luego : Ac =
= 0
2
¡Cas = +
4
4
8
4
-1 1
6
8
2
3
2
1
1
2
0
- 2
= 4
« -2
-2 -2
* La matriz Adj (A) es la transpuesta de la matriz de cofactores (Ac ) :
1S8S 1E«jtó»
[y%.rn,0 ma c m a a a s i AdjA = A ¿ =
-4 4
4 8 -11 - 1
8
6 —2
respectivamente proporcionales, por lo que 6U determinante es 0 ; y en el segundo los elementos de C3 a Cs son iguales , también su determinante es 0.
•Calculamos la determinante de la matriz «A».
1 2 IA| = 0 - 2 4 2
3 1 -2 8 -+ A -* 28 1
.
-4 4 4 -1 1 8 6
8 -1 -2
PRO PIED AD : Si los elem entos de una fila o columna de un determinante son la suma algebraica de varias cantidades, la determ inante se descompone en tantos determinantes como términos tiene la suma.
al + ml b¡ c¡ a¿ + m3 b3 c2
a i
bi
Cl
a 2
b2
C2
a„ + m„
a 3
b3
C3
c,
b3
m¡
b¡
c¡
m 3
b3
C3
+
EJEM PLO: M es una matriz cuadrada de orden n definida por : a ,+ b , a¡ + b2 a ,+ b n M =
+ b2
ai + b¡
a2 + b„
entonces el det(M) es :
R E S O L U C IÓ N :
a i
at + b 2
« j + b3
a 2
a 2 * b2
a2 + b 3
••• a2 + b n
* 3 + b3
—
a 3
• « •
**“ b 2
• • •
• at + b n
a3 + 6n
# • •
4 4 s
"• « ,,+ & n
«• + 63
a n + b2
b,
a ¡+ b 2
at +b3
*"
a l + bn
b2
a 2 ^ b2
a 2
^
b3
"*
a 2 + bn
b3 0 0 é
a 3 * b2
a3
b3
'* '
*a 3 + b n
•
!RECUERDA¡ DETERMINANTE : Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos lineas verticales; el valor de ia expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Los determinantes fueron originalmente investigados por el matemático japonés Seki Kowa alrededor de 1683 y, por separado, por el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhhelm Leibniz alrededor de 1693. Esta notación se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas y en las ciencias naturales. Para calcular un determinante de orden superior a 3. el proceso anterior serla m uy largo y engorroso.En general el determinante de orden *n» seria el resultado de s u m a r todos los posibles productos de «/?• elementos . uno de cada fila y de cada columna, afectado del signo + ó - según si el núm ero de inversiones es par ó impar. A si pues, para simplificar dicho cálculo se va reduciendo el orden del determinante, aplicando las siguientes propiedades :
1) El determ inante de una m atriz cuadrada es igual al determinante de su traspuesta, ya que al cambiar las filas por fas columnas los productos quedan iguales y con igual signo.
3) Si se multiplican por la constante k todos los elementos de una linea (fila o columna) de la matriz, el determinante de esta matriz queda multiplicada por k. .
• por propiedad desdoblamos en sumandos :
«3
Luego : det(M) = 0 + b 2(0) = 0
2) Al intercambiar dos líneas paralelas consecutivas (filas o columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo, pero no varía su valor absoluto (ya que todos los elementos cambian de índice en la permutación).
an + b l
det(M) =
XriCLOPEDMA 2012]
0
bn
5 ) Si una matriz cuadrada tiene dos lineas paralelas (filas o columnas) proporcionales, su determinante vale 0. 6) Si todos los elementos de una fila (línea o columna) de una matriz cuadrada son cero, el determinante de dicha matriz es cero, (ya que en el desarrollo de. un determinante, aparece un factor de cada fila y de cada columna, y por tanto, en cada término aparecerá un cero como factor). 7 ) Si cada elemento de una linea de una matriz cuadrada se escribe com o suma de dos sumandos, el determinante de dicha matriz es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas tas lineas, excepto la línea de la descomposición, en la que el primer determinante tiene el primer sumando de cada elemento del inicial y el segundo determinante
0 •
• • 4
•
4) Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, entonces su determinante vale 0.
tiene el segundo sumando.
a n + bn
•En el primero: C3 - CJt C3 - CJf y en el segundo, luego de sacar factor bJt hacemos C3-b 3C¡ Cs - b3C2:
8) Si una línea de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más líneas paralelas a ella, entonces, el determinante de la matriz vale 0.
a¡ b3 b3 — at +bm 1 at o, *t +bm Oj bf b3 ••• a¡+bm 1 a¿ d| **• Qf+ba det(M) - aa 6, b3 - aa+ bH + bj 1 a3 a3 ••• Oj+6#
9) El determinante de una matriz cuadrada no cambia si se le suma a una línea cualquiera una combinación lineal de otras líneas paralelas a ella.
é ♦
♦ ♦
4 ♦
o* bs b3
♦ ♦
am+bm
• • *
« « •
• » ♦
1 am am
• • ♦
am+ bm
• En la primera los elem entos de C 3 a C3 son
10) Todo determinante de una matriz cuadrada se puede convertir en otro del mismo valor que el dado, tal que todos los elementos de una línea, previamente elegida, sean cero excepto uno de ellos.
fí»
'8
RW7nw*0ri>&
527
* Del dato : detiH) — 4
xz ( D - x ( - 3)= 4 PROBLEM A 1: x
Resolver la ecuación:
1
4 x C)0
Ab-2 B)3 R E S O L U C IÓ N :
+1
x
0
2
4
+8=0 E)7
Dhl
* Desarrollando las determinantes, se obtiene: ( a ; 2 — á) + (4x — 0) + 8 = 0 = > x 2 + 4x + 4 = 0 =>(x + 2 ) = 0 = > x
=>(x — l ) ( x + 4) = 0 => x = 2 ó x = —4 * Evaluando para x = 2, resulta : 2 -3 2 -3 -2 - 6 II2 = 12 2 /121 2 I\ 2 -- 22 / 1 \2 RPTA: “ D ” .
PROBLEM A 5 : Calcular el valor de «m » de L.odo que la ecuación equivalente a:
= - 2
RPTA: “A 9 9 PROBLEM A 2 : S i: A =
AJI
f2
1
0
1
1
1
m
0
Calcular : det(A A 0
5
1
x
1
=0
tenga raíces iguales.
B)2
C)3
E)5
D )4
R E S O L U C IÓ N : * Primero : A . A* =
2
2
\0
2
•
2
0
5
i
,1
21
11
11
det ( A x A t) = 5 x l - l x l = 4 RPTA: “D ” PROBLEM A 3 :
* Luego:
Calcular el resto de la división de polinomios equivalente a : X 0 x2 2 + -4 2 x 2 x Ay-2
BJ-3 R E S O L U C IÓ N :
x —1 Ch4
D) 0
E)5
♦ Por el teorema del resto, se sigue los siguientes pasos :
I) Se iguala el divisor a cero : x —1 = 0 -+ x = l II) Se reemplaza este valor en el dividendo, el 1
0
1
1
— 4 = 1 + 0 — 4 = —3 1
E)4
• Desarrollando los determ inantes internos, se xm —1 0 obtiene:
* De a q u í:
4 5 -x (xm -l)(5-x) - 0,4=0 m x2 — (2 + 5m)x + 5 = 0
* Como deben tener raíces iguales : (5m - l f = 0
* De aquí: m = ^ 5 RPTA: " C " PROBLEMA 6 : Detennine todos los valores de k para
det(A) = 0, s i : A _ k — 1 —2 l k -4 t A)2 ó 4 B) 3 ó 7 R E S O L U C IÓ N :
1
0263
k -1
-2
1
k -4
♦ Del dato :
D) 761
= 0
( k - í ) ( k - 4 ) + 2 = 0=> k2 - 5 k + 6 = 0
RPTA: “B ” PROBLEM A 4 : Sea la matriz H =
D) 1/3
A)2¡5 Bb-215 0115 R E S O L U C IÓ N :
resultado es el resto : Resto =
x
( k - 2 ) ( k - 3 ) = 0=> k = 2 ó k = 3
x2
-3
tal que det(H)=4
x
RPTA: “ C ” PROBLEMA
7 :
Luego, H2 es:
Calcular el valor de :
1 -3 16 —3 (—2 >- 3 ) -2 -6 A) B) C) D) 1 1 1 4 2 -2 / 1- 4 .- 4 R E S O L U C IÓ N :
A)1
B)2
1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 03
D) 0
4 5 6 7
Ebl
688
A)2 B)3 04 R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N : ♦ Restando columnas : C4-C 3 y C3-C s
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 4 5 5 6 6 7
1 2 3 4
2 3 4 5
4 -3 5 -4 6 -5 7 -6
3 -2 4 -3 5 -4 6 -6
1 2 3 4
2 3 4 5
1 1 1 1
1 1 =0 1 1
RPTA: “D 9 9 PROBLEMA 8 1
d( A) =
1
1
1
-1
1
1
1
1
2
- 1
3
+ri)
D )6
E)4
♦ Restando la prim era fila a todas las demás obtenemos:
1 1 1 -1 - 1 - 1 d(A) = 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
1 2 -1 -1 -1 1 -1
2
1
0
0
1 1 0 -2 0 0 0 0
1 2 -1 3 -1 - l-l
1 1 -2 0
1 1 2 -2
♦La forma del determinante e6 triangular superior esto implica que d(A) es igual producto de todos los elementos de la diagonal principal.
1
0
0 -< 0 )
1
4
1
1
PROBLEMA 9 es
matriz
una
definida
por
7
8
5
5
8 5 , entonces el valor del det(M) es:
5
5
5
1
-1
1
0 -(0 )
2
jr o
1
1
2 4
a -1+6=5
yl
*
0
0
RPTA: “D 9 9
P R O B L E M A 11 : 3
3
5
A = -1
0
1
0
2
0
AJO B)6 CJ-16 R E S O L U C IÓ N :
D)8
E)14
* Eligiendo la fila 3 :
3 5 \A\= 0 -2 0 1
3 -1
5 3 +0 1 -1
3 0
\A\=-16 RPTA: “B ”
PROBLEM A 12 : Calcular el valor de x , si:
x
1
3 A)6
2
0 =5
-2
4
B)0
5
C)-6
D) 4
E)1
♦ Eligiendo la fila 1 , para desarrollar el determinante : - 2 - 2 3 -2
5 5
4
5
-4
5
D) 25
=5
x (—10 - ( - 8 )) - ( 1 5 - 8 ) = 5 => — 2x —7 = 5 => x = —6
B)10 A)5 015 R E S O L U C IÓ N :
RPTA: “C 9 9
E)30 PROBLEM A 13 :
♦ Aplicando sucesivamente : CJ-C 4; C 2~C4 y C3-C 4, resulta 6 7 8 5 1 2 3 5
5
7
8
5
0
2
3
5
6
5
8
6
0
0
3
5
5
5
5
5
0
0
0
5
det(M) = l x 2 x 3 x 5 = 30 RPTA: " E ”
Considere la matriz A tal que :
A= Dar el valor proposiciones:
de
2
1 3 \
4
1 1
1
verdad
2 3 de
las
siguientes
/) Su traza es múltiplo de 2 JJ) La determinante es 3
PROBLEM A 10: Calcular :
1
+ (-1 )
0
-1
-0
x
5
det(M) =
0
4
0
R E S O L U C IÓ N :
6 7 8 5\ M =
Qr
-4 RPTA: “ C ”
M
á'
-i
d(A) = (l)(-2)(-2)(-2) = - 8
Si
-1
1 -1
Ch8 BJ-16 A)7 R E S O L U C IÓ N :
E)0
Calcular det(A) siendo:
1
2
D) 6
♦ Aplicando el método de cofactores, en la primera columna , resultando :
♦La determinante es nula pues existen dos columnas idénticas : E = 0
Calcular :
tViCLOMCMA 2 0 l ¿ )
W ,
l 0 - i 0
0 2 l 4
- 1 l 0 1
4 0 0 I
IIIJEs una matriz singular A)W F B)FFF OFVF R E S O L U C IÓ N :
D) FFF
EJFFV
[E u w m v ii:^
w fm to 5
tuc mejmtLXLxxrM'Mes]
599
hacerlo por la fila 3 , resultando :
I) Su traza es : 2 + 1 + 3 = 6 = 2 VERDADERA) U) Calculando su determinante :
1 0 - 5 - 2
0 -i 1 3
3 1 0
0 - 1 3 = 8(1) = 3
ahora por la primera columna
no es singular............... (FALSA)
RPTA: “A ” PROBLEM A 14 :
= —5 (1)
1 0
+ (-2 )
-1 5
A =
2
1
1
2
x
y
x —2
D) 40
E)80
como x > 0
1 2 -8
0
d
e
f
l)det g
h
i
e
f
g
h
i 3a
3b
3c
d
e
f
4g
4h
4i
II)det
a b e R E S O L U C IÓ N :
, encuentre:
II) La primera fila se multiplica por 3 , entonces
=+ x = 2
|A|, queda multiplicada por 3 , y como la tercera fila se m ultiplica por 4 , entonces |A| queda
2
* Luego det(As) = 3 x 4 x 5 = 60
PROBLEMA 17 :
-5 Y
Determinar los valores del número real x para que la matriz :
(f
4'
A=
Jx + 3 8
sea invertible.
-^8 X +
A)x < 5 D )x > —3
''Q X
X +
+
1
8
B )x > 0 C)x > 5 E )x > 5 y x x 6
R E S O L U C IÓ N :
— 4 0 - 3 2 + 0 - ( - 16 ) - 0 - ( - 1 0 ) = 72+36— 36 * RPTA: “B ” PROBLEMA 15
* Para que sea invertible : det(A) * 0
yjx —5 \¡x + 3 — 3 = 0 y V x > 5 (x — 5)(x + 3 ) ^ 9 =+ x 2 — 2x —15
0
2
3
-2
1
3
0
0
0
5
0
0
-1
0
5
1
Calcular IA l« si |A| =
B)1
d
multiplicada por 4.
•2 v J
A)0
RPTA: “C 9 9
1
Y
y ti > 5
-3 4
filas , entonces : det(A1) = ( - 1)2 \A\= 5
U) Producto de elementos de la diagonal secundaria: y x 2 x l = —16 => y = —8
III) IAI =
1 5
1 2
I) Como aqui se han efectuado 2 intercambios de
I) Traza (A) = x 2 + 2 — 5 = 1 -> x 2 = 4
2
+o
= - 5 { 5 - 2 ( 3 ) + 0} = 5 PROBLEM A 16 :
Si det(A) =5, donde IAl =
Se tiene que su traza es 1 y el producto de sus elementos de la diagonal secundaria es -16. Halle su determinante (x > 0)
4
—
3
a b e
—5
A)8 B)-36 C)0 R E SO L U C IÓ N :
0
■
Dada la matriz A tal que :
x2
4
•
(VERDADERA )
III) Si |A| * 0
desarrollamos este determinante
C)5
D) - 7
9
x2- 2 x - 2 4 * 0 x =+ x * 6 A x
—4 => x > 5 A x * 6 RPTA: tfE 9 9
E)8
PROBLEM A 18
R E S O L U C IÓ N : * Todos los elementos de la tercera fila, salvo uno, son ceros, de este modo el cálculo de |A| conviene
a Sea la matriz A =
b bc + x . Los valores de todos a
[a j e .
■ «B v n a
B O S*Q j
los x para los cuales existe una matriz B tal que
AB = BA =
1 0 0 1
rCMCLOPEDMA 2012]
P R O B L E M A 21 : Sea f(x ) = x + — > 1. Halle la traza de f(A) tal que: * (2 - 21 A «|A I
son:
AJO B)1 C)Todo número real D) Todo real no nulo EJTodo real positivo R E S O L U C IÓ N :
D)4
A)6 BJ-2 OO R E S O L U C IÓ N :
Z )j2
* Del último dato , se obtiene : # = JL = A -1 * Como: f(x) = x + — + l x
det(A) * 0, para que 3 B (bc + x) , . |A| = a - --------------- cb * 0 a => x * 0 = > x £ M - { 0 }
bc + x —c b * 0
* De A = [Al
RPTA: “ D
99
A«|AÍ
PRO BLEM A 19 : Si x 6 M2 TR A Z (x eb) Donde:
-Ü
II
•«
1 1 A = \2 1 A)0 B)1 C)2 R E S O L U C IÓ N :
.
2 2
3
= ( - l ) ( 2 ) + (3)(l) RPTA: “ B
99
PROBLEM A 20 : Halle la matriz inversa de :
2
3
3
3
2
3
3
2
20
3
3
-2 2
2 3 3 4 3
R E S O L U C IÓ N :
0
2 I0
1 1 1 1 0 0 2 1 I 1 0 0 2 fi+ f2 0 1 0 -2 1 0 2 3 2 0 1 0 Sfi + fs 0 0 1 -3 0 1 3 3 4 0 0 1 1 0 0 6 -2 -1 6 -2 ~ 1 i f 2 + fi 0 2 0 —2 2 0 -2 2 0 Ifa + fx 0 0 1 ~3 0 1 -3 0 1 4 > •m II
3
2
^
3
3
22 —2 2
(2 0
02
RPTA: 4tA ,f
2
1 0
i* .
1 0 -2
0
2
0
2
0 0
0
1
0 0
2 o
-
0
1 0 0 1
I
4
.
3
Gauss - Jordán : 2 12 0 01 2 Ii 0 2 0 Í 2 x fs 0 \\ I0 0 1 01 fx -Z fz
(2
* Por el método de Gauss - Jordán : A
2
Traz(ftA)) = 6
* Por el método de 1 2 [A ¡/ ] = 0 0 0 1 2 2 1 !2 0 0 2 0 0 0 0
2 2 2 A = 2
2
2
entonces el valor de la trazfA’ 1) es: A)2 BJ-2 OO D) -1 R E S O L U C IÓ N :
* Transpuesta de x : x* = [— 2 3]
=> Trazafx*6) = 2
2
(1 2 1 Si A es una matriz definida mediante: A = o 0 2 1 0 1
2 -2 2 -2 2 2
A|= 0 V |A|= ~
PROBLEM A 22 :
.
2
IA!
E)l!2
* Como : |A| = (1)(1) - (2)(1) = - 1 * 0 A tiene inversa
1 -1 A’ 1* (-1 ) 2 1 * Además de : Ax = 6 => x = A “ 2b => x
tomando determinante
2
A-i -= 1 3 3 ^A~' = 1 2
2 2
D)3
2
IA|= |A| (3)
2
solución del sistema Ax = b calcular
x lb = [ - 2 3]
2
2 - 2)
0 1 0 0 0 0 1 0
1 -2 2 0 1 1 0 2
/ i-7 a
= [/ ¡B ]
1
— 0 =+B = A~¡ =
i
0
1 -2 2 0 1 1 0 2
E)1
5 4 1 IM H
W7ittñ4>&
«
•Pero : 0 0 3 2 -2 0 3 0 3 = -0 + |Al= 0 2 - 1 = 0 +0 -2 4 -1 4 2 - 1 1 - 1 4 • Entonces : |¿J
* Luego : traz(A~*) = 1
RPTA: “E ” PROBLEM A 23 :
1 0 Si A es una matriz definida por : A = 0 1 3 0 0 entonces el valor de la traz(A~x) es: (2
A )í b ;| cd 9 9 9 R E S O L U C IÓ N :
RPTA: “ B ” PROBLEM A 25 :
» f
‘ 4
2 Hallar Brl , si B = |B 3 2 R E S O L U C IÓ N ;
(2 1 0 \1 0 0 [A ¡7] = 0 1 3 i 0 1 0 f l 3 fa 3 0 0\0 0 1 1 10 0 3 0 1 3 0 1 0 f3 - 2 f i 2 1 0 1 0 0 1 10 0 0 0 3 0 1 3 0 1 0 fz * fs
10
0 0 0
0 13 10
0
0
0 10
0
0
0 0 1
'.
3
=> B 1 = 42
-3 3 =
-1
2
0
-1
P R O B L E M A 2 6 ••
4-
i
.
ex1
42_ 2 342 2
'
242
-3 4 2
-42
342
0
-4 2
42
*■
1
Calcular el valor del determinante de la matriz A : i s 2S 32 42
2
3
2* 3* 4a 52
A »
2 3
—
3* 4* 52 6
2
4* 52 62 72 D>0 B)2006 1 0X1 A)1 R E S O L U C IÓ N : *
[/ ¡ A - ; ]=> Traz(A-¡ ) = ^
2
RPTA: i(B II
9
PROBLEM A 24 : 0 0 2 Si: ATB T = I , A = o 1 - -2 donde I: matriz iden ;idad. A)6
B )~ C)2 o R E S O L U C IÓ N : *
2
1
3
2
i
1 2
4
...(a )
5 6 4 5
2
0 - 3
0 10
4
•Reemplazando en ( a ) • B'1 = 42 3
ti
-1
3 5 6 = (Bi x (2) => \B\= 72 2 4 5
—
0
4 6 5 6 4 5
(2
-i
■ °
0 0 3 —1 1 i 10
B\ = \B
3
0
4 5
• Del dato , se obtiene : B~l = — IBI 2 * Además :
1 0 - * fa ~ f 2 3 0 1 0
0 10
0' 6
2 3
0 - i 3
0 10
4 5
~
; calcular |B|;
Ci
16 25 36 49
1 4 9 16
3 5 7 5 7 9 7 9 22 9 11 13
1 c 3 —c ¡ ; c 4 - C
1 4 9 16
3 5 7 9 •
■
9
2 2 2 2 c 4
2 2 *0 2 2 —
¡dént¡ca
RPTA: "D f f D)4
De: IArB r\ _ |/| |Ar||Br|=1 |A||B| = 7 =>|B| =
1 4 9 4 9 16 A= 9 16 25 16 25 36
Ehl
Eh5
PROBLEM A 27 : Si A es una matriz definida por
Aa
IAI
a —1
4a+ 1
3a + 2
2a + 3
x+2
3 -x
l —2x
S x -2
y+5
3y+6
l+ 2 y
4 -y
z+ a
3z+ a + b
2z + b
2 6 + * —1
SA*
, entonces el
CiCLO PED LX 2012 1 ♦
y
valor del det(A) es: Á)y+2z-a B) a+2x-l R E S O L U C IÓ N :
C)1
E)y+b
D) O
* Haciendo primero : Cs - C ¡ a —1 x +2 det(A) = y+5 2+ a C| - C3: a —2 x+2 det(A) = y+5 z+a
3a+ 2 3a+ 2 l —2x l —2x 2y + l l + 2y 2z + 6
2a + 3 5 x -2
det(A) es: A)35 Bb-45 R E S O L U C IÓ N * Haciendo :
4 -y 2b + z - l
22 + 6
2a+ 3 0 3a+ 2 5x —2 0 l-2 x 0 l + 2y 4 —y 0 2z + b 2b + z - l
99
PROBLEM A 28 : Si A es una matriz definida por : -2 h
0 -2
h x2
hx
h
0 0 entonces el valor del
hx3 h x2 hx det(A) es: » A)h*(x+hf
B )xs(x+h)
C) (x+ h f
E )h(x+hf
* Haciendo : C , - xC3 h+x 0 0 0 h+x det(A) =
0 0
y.
o
det(A) =
3
E)0
7 -8 22 - 2 4 23 - 1 8 —18 26 -5 5
-5 5 11 13 0
7 -8 -2 4 = 0 -1 8 0 RPTA: •E
PR O B LE M A 30 Si
D) x(x+hf R E S O L U C IÓ N :
det(A) =
-2 4 25
D)14
0 -7 |A| = 0 -9 Í4 - 3f, 0 7 -22 h + 4ft 28 0 -2 2 Luego : 2 -2 3 4 0 -7 f6 +(f2 + f4) IA I- 0 25 - 9 0 7 -2 2 0 0 0 f3 - *fi
=0
entonces el valor del
C)16
2
fs “ 2ft
RPTA: “D
h hx
7 -5 -5 6 -9 4 -2 3 7 -9
-2 3 0 -2 2 A= 4 3 7 2 -2 3 - 5 -2 3 2
h
0 0 -2
hx2 hx
h
-1
h hx —1 -+■ — rh• + x 0 o
0 -1
0
-2
0
h hx 0
1 h
c3 - xc4
0 h+x
-2
0 0
h+ x 0
h+x
0 0 -2
0
0
0
h
-2
=!►det(A) = (h + x)(h + x)(h + x)h = (h + x f h RPTA: "E ■PR O B LE M A 2 9 : uñá matriz definida por :
2 5 4 3 2
2 2 5 4 3
3 2 2 5 4
una 4 3 2 2 5
m atriz
definida
por
5 4 3 2 , entonces el valor dél det(A) es: 2
A M f5 'j R E S O L U C IÓ N :
c2 - xc3
0
es
A
99
* Suifeando todas las columnas a la primera, resulta: 1+2+3+4+5 2 3 4 5 1+2+3+4+5 2 2 3 4 |A| = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 5 2 2 3 1+2+3+4+5 4 5 2 2 1+2+3+4+5 3 4 5 2 * Luego : 1 2 3 4 5 fs ~~fé 2 1 2 3 4 f4- f s 6x6 2 6 2 2 3 lA k f s - f i3 2 4 5 2 2 2 3 4 5 2 f* -fl 2 2 3 4 5 0 -2 - 2 - 2 -1 => |A| = 5 x 3 0 4 -2 - 2 -1 0 -2 4 - 2 -1 0 - 2 — 2 4 -2
i b
* Por menores complementarios: — i -1 - I -1 4 ~^1 - 1 - 1 |A| = 15 -2 4 -2 -1 -1 -1 4 -1 -2 0 0 0 IAI = 15
A
es
c4 - c a
c «— c
m atriz
c * -c ,
N =
definida
3a
4a
5a
0
2a 0 0 0
6a 8a 10a 3a 8a 10a 0 4a 10a .0 0 5a
1 4 5 6
M
el valor del det(M) es: AJsenxcoax B)(secxtanx)s R E S O L U C IÓ N :
CJfsenxcoax)1
B\ = ^
2 + tan2x
sec2x
tan2x
3
4 — 4sen2x
4cos2x
—4sen2x
1
5 —5 co82x
5sen2x
—5 cob 2x
7
0
2
0+0
=> B =
8ec2x
sec2x
tan2x
3
4 co 82 x
4 c o s 2x
—4sen2x
1
5sen2x
5sen2x
—5 co 8 2 x
7
0
2
PR O B LE M A 34 :
A=
102 103 .104 105
103 104 104 105 105 106 106 107
además: itf=|Al y iV=|Bi Entonces la correcta relación entre los valores de Af y N es: A)N>M B)2N = M C)N < M D)MN < 0 E) 6N > M R E S O L U C IÓ N :
* Se aprecia que el determinante de «A », es un caso
M = IA|=
1 2
1 3
1 5
1 6
2 3 33 5S 6S 2a 3 3 5S 6a
D) 0
* Haciendo C¡ + C3 , resulta :
Sean A y B dos matrices cuadradas definidas por : 101 102 103 104
99
S 1 7 , entonces 2
aec3x tan3»e 4co*2x ~4*en3x 5*ensx —5com2x 6 0
6 6 ♦ Como C2 = C2 => |B| = 0
1 1 1 5 6 3 ; B= V 36 9 25 27 125 216 .
]
Si M es una matriz definida por
det(A) = a (2a) (3a) (4a) (5aJ± 120a RPTA: 4(D ” PROBLEM A 32: I 2 4 8
^ 5
PR O BLEM A 33 :
* Haciendo Fs +Ft; F3+Ft; F4+Fj y Fs +Ft , resultar 2a
t
RPTA: 44C
por
.
a
u
=0
103 104 105 106 1 1 1 1 * Entonces: M > N
4a 5a a 2a 3a —a 0 3a 4a 5a 0 4a 5a A = —a - 2 a t entonces el —a - 2 a - 3 a 0 5a —a —2a - 3 a —4a 0 valor del det(A) es: AJO B)6a* C)24as D)120a* E) 1720a* R E S O L U C IÓ N :
det(A) = 0 0 0
E iL v ,
- / / A / * -/ * , resulta: 202 102 103 104
4 -5 0 0 5 -5 0 1 5 -5 ■2 0
iuna
:r f e R
M = ( 3 - 2)(5 - 2)(5 —3)(6 —2)(6 - 3)(6 - 5) M = 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 1 = 72 Luego en el segundo determinante:
\A\= 1 5 ( - l ) ( - 5 ) ( - 5 ) ( - 5 ) = 3(54) RPTA: 44D " P R O B L E M A 31 : Si
ii f
RPTA: t4D En la siguiente igualdad : a+b+c a + 6
a
a+b . a + b + c
+6
a+b
a +b a+b
a+b
a+ 6
a+6 a+ 6 a+6+e a+6 a+6 a+6+c
= (3 a + 3 b + l)c * ;c * 0
La relación correcta entre los valores de a, b y c es: A)a + b = c B)a + 6 + c = 0 C)a + b + c = 2 R E S O L U C IÓ N : * Haciendo ct +(ct +c3 +c4), fs - f ¡ , fs - f j , f4 Resulta :
4(o + b) + c a + b a + b a + 6 0 e 0 0 0 0 c 0 0 0 0 c
(3a + Sb+ l)c'
1«>»«»II * * * \f.üto
[4(a + b) + c]c3 = (3a + 36 + IJc3 => a + 6 + c = 1 RPTA: “ C 99 PROBLEM A 35 : & A y B son dos matrices definidas por : r j ; *
E) “
12
5
R E S O L U C IÓ N : (1 2 1 111 2 2 * Tabulando, resulta : AB = 12 2 3 3. ♦ Como lAfil= -ó, entonces : 22 5 (a b u 1 = 1 1 12 7 -5 -1 2 6 22 Finalmente : 5
6
7
11 12
71 5 5 5
\A x B| = IAIIBI ; Ib -1! = ¡4lQ | = UUlB^I = 6 * 0 IB] * Como hay 3 matrices inversibles, A, B ,Q entonces C, D y M no son inversibles. * Por lo tanto : \C\= 0 ;\D{ = 0 y \M\ = O
RPTA: “A
99
PROBLEM A 36 :
* Ahora de: \C\= 0 - + 7(2) —x = 0=> x = 14 RPTA: “E ” PROBLEM A 38 : S i A y B son dos matrices cuadradas definidas por
Si A, B y C son matrices definidas por: 2 -5 1 [— 2 - 2 0 1 A= -/ s y U - < n ue 2 3 satisfacen la ecuación A X B = C , entonces el valor déla trazfX) es: 4Ú-7 B )-3 CJO 2»2 B)5 R E S O L U C IÓ N : * De: A X B = C - » A _1A X B = A “ iC
-+ X = A~lCB~* • Pero: i ~ A = ° 1 A [Al = — 1 => • • • ': «V 1 3 ..-%C '•* - I 2 -5 A|£gái.í B= “ l -1 3 • Reemplazando .
-1
0
■
=> A"J =
-3 1 1
0
* 2
i
0
2 3 5 A 2 4 iI 2 1-5 - 9
1 7
=>x=
3 -1
. ( 2 0) 12 i r
(-2 2 3 — il
I
**ue
sa^ 8^acen
ecuación matricial AX = BX, entonces de la matriz X se puede afirmar que: A)Tiene inverna B)La traz(X) = 2 C)La traz(X) = 2 gj X - I (U atf iz a i |i | E JE I cica caía X^es 2 R E S O L U C IÓ N : * Como : A X = B X => A X —B X = O 2 - 2 | (a b (A — B )X = O -1 «1 [c d 2a —2c 2b —2d (O O
- » x b = a _,c —» x b b ~* = A ~ Ia r l
~3 1 X= 10
3f = A 2B 2C*Q = A B '1. E l valor de x para que tres de las seis matrices no sean inversibles es: A)8 B)3 _ C)4 D )-14 E)14 R E S O L U C IÓ N : * Nos piden x para que tres de las 6 matrices no sean inversibles. * Por teoría de matrices, para que una matriz sea inversible su determinante tiene que ser diferente de cero; por lo tanto: |A| = - 1 2 x 0 ; |B| = — 2 ;£ O * Propiedad de determinantes :
i
entonces la Iro z ((AB)~2) es: ¿» 13 n > _7
CMCLOPEUIA 2012]
? Finalmente : Traz(X) = 2 - 9 = - 7
RPTA: “A ” PROBLEM A 37 : ► • _ _ pp tienen ks 6 matrices : 7 1 2 3 1 2 , D = ABC, C= . B= x 2 3 -6 3 2
+ 2c
—b + 2d
0 0 0 0
10 O
* De donde: 2a = 2c ; 2b = 2d ; a = 2e ; b = 2d => a = b = c = d = 0 * Entonces «X » es una matriz nula. RPTA: “D ” PROBLEM A 39 : p q r Si A es una matriz definida por A = t - p q O O 82 que satisface la ecuación ’ m atrlcíál A 2 — 13A — 691 = O > entonces el valor de la tr a z fA -m r 1
H
f T I M
Y
B W '» m
F S
AJ93 B)94 C)95 R E S O L U C IÓ N :
D) 96
E)97
• D e : A 2 - 13A - 691 = 0 => A 2 - 13A -6 8 1 = I
(A —l7I)(A + 41) = I => (A —l7 I F 1 = A + 4I Traz [(A - 17IF1] = Traz(A + 41) Traz\(A - 1 7 I F ‘ } = Traz (A) + 4Traz(I) = (p —p + 82) + 4(1 +1 + 1) = 94 RPTA: “B PRO BLEM A 40 : Sea i = + 1 ; w = ifl; w * 1. Si A, B y M son matrices definidas por : 40 i* 0 0 1 r>3k ;B = y M = '£ (A 4k 4k +. B3k), A= I 0 o 10 k-l entonces el valor de la traz(M"1) es: .
C)
B)
A)
D)
20 80 40 R E S O L U C IÓ N : •Aplicando un razonamiento
10
E)1
• Luego:
• Luego: B = 9A2 - 12A + 41 - 5A2 - 31 B = 4(A2 —3A) + / B = 4 (-2 I ) + I = - 7 I * Entonces : |B| = ( - 7 f |J| = ( - 7 f * Observando que |f}| ^ q ^ B tiene inversa RPTA: “B ” PR O BLEM A 42 : Indicar el valor da verdad de las siguientes proposiciones: I) Si A y B son conmutables, entonces A ‘J y B también son conmutables. II) Si A y B tienen inversas , entonces *
(ATB Tr 1 = ( A - ,B~t)T. UI) Si A* = /, entonces (I —A )(I + A) = 0 IV) Si A5= /, entonces la matriz A 2 es la inversa de
V )S i |A - AJI = 0 , entonces |at - A/| = 0, X € R
VI) Si M = |A|A2" , n £ N , entonces IflfN lAl3"
40
40
Mx
A 4 = 9A2 -1 2 A + 4I
inductivo,
M = ^ ( A 4k + B 3*j = ^ ( 7 + 1) k=i k=i
M = 2^21 = 2(401) = 801 k=i
IMifliH.»M.V,LVrÜ$]
A*. (\A\*0)
obtendremos que : A 4k = I y B 3* = l 40
IMI!I
80
M =I
1-1 = 1 => M ‘ = 80 80
• Luego : 1 I\ = ~ J LT r a z ( I ) Traz(M~l ) = Traz[— \80 ) 80 £ Traz(M~2) = - i - y 40 RPTA: “ B ” P R O B L E M A 41 : Si A es una matriz cuadrada de orden n tal que
A 2 —3A + 21n = 0 y B es otra matriz definida por B = A 4 —5A2 —3In ,entonces la afirmación correcta es: A) La m atriz B no tiene inversa B) La matriz B tiene inversa C) det(B) > 1 D) det(B) < 0 E) No se puede afirmar nada de la matriz B.
R E S O L U C IÓ N : ♦ De: A 2 —3A + 21n = 0 => A 2 = 3 A - 2 I = > A 4 = (3A —21)(3A — 21) • Pero como A e l son conmutables , se tiene :
R E S O L U C IÓ N : I) VERDADERA : ya que si: AB = RA => A ' A B = A ' B A =>B = á 'BA BA ‘ = A 'B A A 1 => BA~‘ = A ‘ B II) VERDADERA : ya que de : r A ' B ' r 1 = [ r B A /] _ i = [rb a f i f = [ a - , b - , ]í
UI) VERDADERA : ya que: Si: A 2 = I = + I - A 2 = 0 = > I 2 - A 2 = 0 • Pero como A e 1 se conmutan , entonces: (I + A ) ( I - A ) = 0 IV) VERDADERA : ya que si: A 5 = I => A 3A 2 = /, entonces A2 es la matriz inversa de A3. V) VERDADERA : porque de: |A — AJI = |(A - AJ/| = |A* - OJ?\ = IA' - XI‘ I = Ia ' - A/| VI) VERDADERA : puesto que de : \M\ = \A\n x\A2n\= \A\n x |A|** => \M\ = lAl*3” PR O B LE M A 43 :
)3x3 y B = (b¡¡ )2y2 son doB matrices que satisfacen las condiciones 1 0 01 2 1 17 2\ IAI 2 IAI B= 0 3 5 x A ”1= 0 1 0 3|Al 41Al 0 0 1 0 0 1
Si A =
tClCLOPEDMA 2012]
!>£* 5 1* - * « I Entonces , el valor del det(B) es: AJ1036 Bj-726 0-1162 D )-676 R E S O L U C IÓ N :
E)832
4
* De segundo dato , se obtiene que : 2 1 17 A = 0 3 5 =* det(A) = |A| = 6 * Luego : 0 0 1.
B = IAI 2|A|* 3 |A| 4 |A|
1
i
6 2x6* 3 x 6 4 x6
f (x) = \A-xI\
funciones:
g(x) = h ( x ) x f
í B es una matriz definida por : 1 a a a a l a a B= a a 1 a entonces ¿para qué valores a a a 1 reales de «a» la matriz B tiene inversa? *
A)Va£R
Si A - ( a y ) nxn tal que \A\&0 y se definen las
g(x) = ¡A-1 - xl\
l 12 =» det(B) = 62 a = 62(4 - 36) => det(B) = -U 52 3 4 RPTA: “ C ” P R O B L E M A 44 •
>
=>• B = 0............................................. (matriz nula). * Luego : B no tiene inversa RPTA: "E ” PRO BLEM A 40:
B )V aeR -íl}
C )V «€ J?
- { - M
R E S O L Ü C IÓ N : *A1 calcular el determinante por Gauss - Jordán , se obtendrá : det(B) = (3a +1)(1 - a)3 *Pero como «B» tiene inversa , entonces : |B| * 0 =>■ (3a + 1)(1 — a)3
0
x Entonces la regla de correspondencia de la función h es: x ( ~ l ) nx n C) B )xn lAl 1A1 A) IA|n R E S O L U C IÓ N : * De: f(x) = IA - xl\
f(-) = A -L x l x x
-~ A (A ~ l - x x l ) X
X
x |Al x |A ” 1 — x l
X
f(~ ) = — |A| X
- ± a x |A - 1- x/l
X
¿ x
A - - A x A^ x
x IA -1 - x/l
( - l ) n XXn
(-1 )* X x n x f ( l ) = |A - ' - xl\ = g(x) lAl x 1_ * Pero : g(x) = h ( x ) x f x
« M -M
• De donde: h(x) =
(-l)nX xn
IAI
RPTA: “ C”
RPTA: “ C ” PROBLEM A 47 :
PROBLEM A 45 : Considere que m G R , y la siguiente ecuación : Xa" + a ,x 2m-1 + a2x 2m~2 + ... + a ^ j x + a2m = 0 no tiene reaíces reales. Si A es una matriz cuadrada cíe orden n que verifica la ecuación anterior y definimos la m atriz b = a*” +aíASm‘1+». + o2w/a, entonces la afirmación correcta es:
A)\B\ = 0
B)|B| = 0
CJB siempre tiene inversa
D) |Bl > 0
E)B no tiene inversa
R E S O L U C IÓ N : •Como A es una matriz que la verifica , entonces : A*" + a ,A im_í + a2A 2m'i +... + aim_¡A + a2mIn = 0 * Pero: B = A 2™+ ajA2”1'1 + asA 2m~2 + ... + a2m_1A + a2mIn
Si A , B y C son matrices de orden 4 x 4 que satisfacen las siguientes condiciones : det(A) > 0 ; det(B) > 0 ; det(C) > 0
27_ deHAWC) = 1 ; det(2A) = 32 ¡det&C*) = 16 Entonces, el valor de; T=2det(A)+3det(B)+4det(C) es: A)16 B)28 C)30 R E S O L U C IÓ N :
D) 32
E)48
♦ Teniendo en cuenta que : det(A X B) = det(A) X det(B)
det(Am) = [det(A)]m ; m £ N det(kA) = k n x det(A); k escalar
* Luego: det(2A) = 24 X det(A) = 16 det(A) = 32
=> det(A) = 2
*'
BTO 5 4 7 BBH
[Enww4P2vn:& K i m v o ¿
. det (A2B3C) = !=> (det(A))2(det(B))3 x det(C) = 7
P R O B L E M A 49 :
=*■ (det(B))3 x d cífC ) = - ........................ ( I ) 4 97 97 * det(tí*C2) = — => (det(B)f x (det(C)f = — 16 16 27 1 * De (I) y (II): det(C) = — y det(B) = -
Dada la matriz A = (a¡¡ )nXn tal que: A
O;
(II)
(27 T +4 = 32 * Se pide: F — 2(2)+ 3 l3j RPTA: t(D PROBLEM A 48 :
M «
•
1 a a a >0, Uí 3 a + 2 2a+ 1 3a entonces el coiyunto 3 2a+ 1 i* + 2a 3as i i
p p
a3 - L 3a ^ 3 i* 0 2 a - 2 a 2 + 2a —3 3 a2* - 3 • Sacando factor (a - 1) de : Fy Fs y F.^ ’ 1 1 14 1 0 1 á +- 1i 4 a 2 + a + 2 A = (a -l)3x 0 1 2y 3 0 2 a + 3 3(a + 1) • Ahora Fs - Fx y F4 ~ 2F3: *
< • 1 4
$*
'*>• *
1 1 A = (a —l ) 3 x
A = (a —l f x
O 1 a+2
=> A = (a =>A>0
•
.V
O - 1 -2 1 1 1 1 d et( A ) = 1 1 1
-3 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 — 2 •De donde se aprecia que hay dos filas iguales, por
ejemplo F2 A F4 se tiene : det (A) = 0 ,
RPTA; “A ”
PR O B LE M A 50 : Hallar el valor del siguiente determinante 10 9 8 ** 3 2 1 9 8 7 - 2 1 2 8 7 6 2 2 3 |A| = 3 2 2 6 7 3 7 8 9 2 2 2 8 9 20 1 2 3 # * y
*
a2 + a + 2
-n + 2
• ••
!«•
O O 1 —a
2 —a —a 2
O O 1 —a 1 1 1
2 + a — 2a2 1
O 1 a +2
a +a + 2
O O 1 —a
2 —a —a 2
0 0 =^A = (a
1
•
luego Fn_1- F n_2;...;F 4 - F3; F3 —Fo A F<> —F, :
A){-1;0) B ){0 ;1 )C )R -{Í} D )(-o a ;0 )u (l;o o ) E)R R E S O L U C IÓ N :
a2 - l 2a —2
P
p
é
n — 2 n —2 n — 3 n — 4 O inx* • En el d et(A ), hagamos las transformaciones sucesivas : Fn —Fn_t;
T es:
a —1 a —1
si i = j
«
A)0 B)1 C) ( - l ) n+1n ! D) ( ~ l f n R E S O L U C IÓ N : * Aplicando una tabulación , se obtiene : 0 -2 -2 -3 -n + 2 1 0 -1 -2 -n + 2 0 2 2 -2 —n + 3 A= 3 0 2 1 —n + 4
Si T es el conjunto solución de la siguiente inecuación :
0 A= 0
«
ai¡ = . . v i —j ; si i * j Entonces el valor del det(A) es:
99
* H a c ie n d o : F2 — F¡ ; F3 —3F¡ ; F4 —3F¡, se obtiene: 1 1 1
•
O
— a 2 + 2a —l
l ) 3 x l x l x ( l —a )(—a 2 + 2a —l) l ) 3 X ( a - l ) ( a 2 - 2 a + l) = ( a - l f ( a - l f > 0 = > a * l= > T = R - { l } RPTA: “ C ”
« *»
A )8 x 2 11 B )llx 2 8 R E S O L U C IÓ N :
C)9 X 2J2
* Haciendo ft - f 2* Be obtiene: 2 2 1 • 2 1 -2 9 0 7 2 1 2 *»• 2 2 3 8 7 • |A|= • 3 2 2 6 7 8 2 1 2 7 8 9 2 2 3 ... 8 9 10 •
• • •
p p p
• • •
. . .
p p 4
p p p
D )llx 2 ?
O + c I0 c 2 + CJ0 O + C¡0 « * •
c 2 + c ¡0
CMCLOPEDIA «0 1 *1
0 0 11 10 11 10 IAI»
O 4 4
0 9 9
•
a ▼
■ •
•
•
1A| =
•
•
~
• •
14 15 8 16 17 9 C9 - CI0 18 19 10 0 0 -1 O - 2 -1 - 2 - 2 -1
«
9 A v
♦
-2 2 @2 C3 3 Cg —C4 C4 - C s 6
22 10 9 22 10 11 11 12 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a
0 3 5
•
0 0 - 2 ... - 2 - 2 - 1 0 - 2 - 2 ... —2 - 2 - 2 11 12 13 •• 18 19 10 IAI = U ( - 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) .. .( - 2 ) ( - l ) = 11x2 a ÍO fa cto r* »
RPTA: “ B ” P R O B L E M A 51 : i
. •
a a+b a a a+b a a a a+b
.
Calcular
a a a
« » «
• *♦
a
a
a
PROBLEM A 53 : Haciendo uso de la matriz inversa , calcular la matriz X si se sabe que : 1 2 -3 2 -3 0 3 2 4 X = 10 2 7
2 -1 0 R E S O L U C IÓ N : AX = B =>X Haciendo : „ 2 (A x l) = 3 2 -
10
•
7
= A~¡B. ^ 2 —3 2 4 1 O
8 ( cl)
„ _ _ 1 0 0 0 1 0
0 0
1
• Mediante operaciones elementales de filas, se tiene: 1 0 0 4/41 3/41 14/41
( I x A - ¡) = 0 0
1 0 8/41 0 1 -7/41
4 -i= . I 8 =► A~ 41 -7
6/41 -13/41 5/41 -4/41
3 14 6 -1 3 5 -4
174 •Reemplazando en ( q ): x = -6 2 41 3 PR O BLEM A 54 :
i * >
• De donde se obtiene : D = (l —a 3) ( l - a 4)2
a+b
R E S O L U C IÓ N : * Haciendo: C2.*Cí +£^+C,+».+Cb. A lo largo de la primera columna se obtiene : (na + b). Extrayendo este factor del determinante : a 1 a a J a a a O O b O 1 a+6 a a =(na+b) 0 0 b O a D= (na+bÁl a a+b . .
. .
92 133 103 -6 2
Calcular el determinante de la siguiente 0 matriz : 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 . . .
. . .
. . .
••9
• •
l a
a
a + b im
a •
• •
0 0 0
* Efectuando: D=(na+b)&*í
PROBLEM A 52 : 1 a a Calcular:
a2
1
a
a
x
a3
1 *
a
y. R E S O L U C IÓ N : .
1
9 • 9
9 0»
0 0 0 R E S O L U C IÓ N :
9 9 0
■ ■ •
0
. . .
0 9 9
2
* Multiplicando f¡ x 1, f 2 x 2 , f 3 x 3 , x n ; el determinante no cambia su valor si se divide simultáneamente por el producto :
l x 2 x 3 x 4 x 5 x ...x n = n! •Entonces :
2 1 2 4 O 3
. .
* Haciendo : C4 : C4 — flC ji C3 : C3 — aC2; C2 : C2 aC¡ O O f ‘ Se tiene: O a O 1 -a D= O x a3 —ax 1 —a4 u.z —ay a —az 1—a y s •
9 9 9
\A\ =
ni
O O O
O O 2 O 6 3
• 99
« « »
9 9 9
O O O * Luego : f 2 - f , ; f 3 - f 2;
O
2n - f„_ l
2.1*-*
II
«im m v
2 0 0 •90 •t»
1 3 0 #♦#
0 2 4 999 999
0 0 3 999 99m
0 0 0 990 990
- • • 9• r9
0 Calcular :
«
-
-
-
-
-
B)1
AJO
|A| = — (2 x 3 x 4 x ... x n x (n + 2) n!
u
2 3
—1 y¡7 + 2 5 C)8
DhS
E)4
Calcular el determinante de la matriz :
0 0 0 0 •• n + 1 ♦Como el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal , entonces :
=+ |AI = ------- — = -------ni ni PROBLEM A 55 :
B)3
A>5
1
21 22 23 B = 24 25 26 27 28 29 02 D)24 411
E)28 824
3 0 0 2 0 0 Calcular el valor de : 0 - 2 3 + 3 5 0 0 0 5 1 0 4
= n+ 2
B)10
A)20
012
D)16
E)30
D)4
E)0
-
es una matriz cuadrada de orden n definida por: ¿V i«•• * 1 3 n 2 i 1 23 3a n
Determinar
r
B)2
AJI
0
2 2 2 4
3 6 3 6 9 03
j% Calcular el valor del determinante •• , entonces él 0 0 10 30 1 „2n-l ... fi 5 15 4 s t 0 valor del det(A) es: t • 4 3 9 379 AJnl B) 11316!...(2n-l)10(2n -l)! D) (n*)! E)(n'j! 3 000 B)2 000 E)500 D)0 O I 000 R E S O L U C IÓ N : , r 1 2 3 ♦ Aplicando un razonamiento : 1 22 32 ICalcular : ♦ Paran = 1:(1) = 1 = 1! 1 23 1 2 (1 2 E)216 A) 108 BJ54 D)24 012 = 1 x6 = 1 1 x3 ! ♦ Para n = 2: h n 1 8 0 .6 Hallar el valor del determinante de la matriz Para n = 3 : (2 2 (1 2 3 3 (335 700 932] 24 1 8 27 f i - f i 0 6 cuadrada : A — 300 350 500 32 243 1 32 243 25 350 432 1 2 3 B)20 000 0 3 0 000 A)10 000 D)40 000 E)0 0 6 24 = l x 6 x 120 = l ! x 3 ! x 5! 20 1 1 1 \0 0 120 1 2 3 íli Calcular el valor de : k-i Luego para «n»: det\A\=l!x3?x5tx7!x~x(2n—l)! 1 4 k2 RPTA: " B " D)2730 E)2750 A)2 240 B)2 420 02978 A= 1 9' 0 9
2b 9 9
3S 0 1 2 * "-1 S2n-Í ¥
0
0
... 9 0 0
$*
/
.
E
Si se cumple que :
m+n n+p p +m
2 2 (0 ? )Calcular : A)2
B)-2
3
p- m m n n- P
P m = k (pm n) —p 3 —m9 —n n
Calcular uk n.
4 03
D)0
E)8
AJI
B)0
03
D}-3
E)2
rCMCLOPEDLX £01*]
42M£M*JMU%
(y*.
A)-60
1 1 1 8 10 ( O ) Calcular el valor de : 4 16 64 100 B)36 C)12 A)48 D)60 Ja
2
1
4Í2
Efectuar :
A)12
B)U
@
S i:
Calcular:
A) 0
1 T
45
3
2
420
y
z
w
4
3
J28
x +y z+w D)2
03
5 0 2 II) lD 3 0 1 = 0 4 0 3 1 10 20 = 100 IU) 2 20 30 OFVF
Calcular el valor de :
©
A)
A) @
2 1 2 3
05 4 x x —4 5 y y —5 Efectuar: 6 z z —6 00 B)2 1 1 2 1 5 10 25 Calcular : 10 20 100 15 31 225 0160 B)160 180 a b e d e f = -3 Sea: g h i
A) 14
b
62 bs o o c2 c5 D)b -- e
c A)a+b
B)a+c
O b+c
5 3 Calcular : 7 6 A) 5 B)6 07 E hl m 5 4 n 3 1
Señalar el valor de verdad en cada caso.
B)W F
a 2 o3
E)2a
E)13
2 m n si la matriz: A = 2 0 Hallar: P 2 p es simétrica. A) 7 B)-7 OH D )-ll E)15
A) W V
a
E)100
=0
X x +y y + z+w w z
B)1
J¥
D)90
0 -9 0
Indicar un factor de :
E)72
D)10
09
*
1
B)60
B) 16
-2a lúe - 2b e Calcular : d - 6 f 3g —15i 3h
6 5 3 4
5 6 4 3 2 3
D)8
Calcular :
7
y -7
8 z —8 D)3
(n —l)n
B) K + A ” 2 1 2 3 ^Calcular : 4 5 6 7 8 9 C)-2 A) 1 B)-l A)
A) -2
B)-3
x 7
C)-4 x 2
( ^ ) Si se cumple Hallar A) 1
B)2
c)
1 x
^ ÍD )2 2
E)n
D)0
E)2
3 = 11 2 D )-l
Eh6
x 3 = 12 4 (x + 1) E)0
D hl
0 -2
y E)4
1 1 1 1 D)170
n 1 1 1
4 1 2 1 3 1 + + 1 1 1 1 1 1
(fPi) Determinar *x ”, en:
D)FFV E)FFF 3 4 5 2 3 4 3 2 3 4 3 2 E)8 D)4 6 x -6 x
E)9
E)140
Si la matriz x satisface la ecuación : 1 -2 -2 - 1 x +2 3 4 Hallar \x \ 3 -1 Eh33 D)-9 A)-24 B h l5 09
2 S i: A 2 = 1
-1 3
y
1 -1 B2 = 2 1
Calcular el determinante de: C = (A+B) (A-B) A)2 B)4 C)-2 D)-4 E)0 1 1 - 1 Dada la matriz : A = - 10 7 Si: \A¡=2; hallar el valor de «6
k -3
2 -1
g flj
m B)
* í
11
C )ll
D)1 - 2 -1 2 -i * -2
3
75 Calcular el valor de : p - 90 60
£ )8
Dada la matriz : M = -1 1 Si: |Jf I =3 ; hallar el valor de «a?» A)1 B)2 C)3 Dh2
AJ4780
Ehl
Resolver la ecuación : E =
A)225
Si: |A| =3. Hallar Í2A + 3A* B)-125 A)100 DhlOO E)Ninguna anterior
C)25 A)2
3 2 3 D)0
030
Calcular el valor de : -26 16 E = 17 -3 5 25 13
268 -45 C) -68 13
a a
Calcular A A)40 B)20
E)10
x -3 6 Dada la matriz : B = 3 - 2 ¿+ 4 ♦\S * 1 -7 Si |B| =100 ; ¿cuál es el valor de\i(?■V/* A)7 B)6 C)4 Ó -j¿D )2
B)324
OO x +2 2 Hallar «r* si: 2 B)-3 04
©
x +2 2 Calcular : R = 2
R=
A)a+b
B)a+e
c 4
X
2
X
2
- X
1 1 1 1
b+c a 4 O b+c
E)1
4 4 x +4
3 x +3 3
a +c b 4 E)0
BJ108
Calcular: AJO
Ox(x*+9)
D)1
11 18 -3 8 D)729 3 x +3 3 D)6
0
E)1
EJ385 4 4 =0 x +4 E)-9 4 10 20 E) 4
< S > Calcular el valor del determinante 0 1 1 1 1
E)xy+x+y
B)x(x+9) E)x(x+3)(x-3) a+b
- X
fe ^
A)54
i i 1 1 Calcular : E = 1 1 + x 1 1 i+ y B)x C)x-y D)xy
AJx”(x+9) D)x(x*-9)
-X
EJ2496
3 2 6 Calcular el valor de : E = 3 10 4 D)3 \* . AJO B)1 02
x,
A)y
80 96 64
Dar como respuesta la suma de sus raíces. A)4 B)2 C)0 D)3
a a
S i:
84 96 36
D)1
X
244 B) -68 268 E) -68 2xa x A = Dada la matriz : 2
1 3 4
C)0
2
Si: |ff| =4. Hallar £1*
2 A = 5 1
B)3600
2 -3
Dada la matriz : H =
268 A) -68 244 D) -60
M9KTICBWMXAXrM'BC&\
^
B)3
1 1 2 1
0 3 3 0 3 3 3 3 081 2 -1 1 3 C)-9
3 3 0 3
3 3 3 3 DJ243
3 0 1 1
4 1 O -1 D)9
Si: a = b + c+ d , hallar el a 1 1 1 b 0 1 1 c 1 0 1 d 1 1 0 D)a B)2a AJ-2a Cha -4 1 1 1 1 -4 1 1 1 1 -4 1 Calcule: 1 1 1 -4 1 1 1 1
E)27
E)81
E)3a
CMCLOPEniA 2012]
552 C)43
E)42
D)0
54 (^ 2 ) Calcular el valor d e : E = 126 90 D)29 AJ3426 BJ7210 OO
46 69 92
75 175 125 EJ1800
Calcular el determinante de la siguiente
a matriz: A = 4 0 A)a*+16 D)a3-16
1 0 a 4 3 a B)a(a*+16) E)a3+16
Oa(a*-16)
a b e c a b Calcular: b o a AJa3+b3+e3 B)a3bc+b3ca+c3ab D)a9+b3+c3-3abc E)a3+b3+c3+3abc 8 2 - 1
-3 x - 6 = 425 Obtener «x + 1 » S i: 17 2 D)7 E)8 B)5 06 1 x x 4 5 0 =20 Obtener«2x+2» , a partir de : 16 25 81
A)4
B)2
A)1
B= 2
x +2
x 2 + 2x + 4
Obtener: A*
3
x +3
x 2 +3x + 9
A)1
B)1
02x
DJx
0
Calcular :
“« í
©
A)y
BJO
Ej-2x @
a3
C) -a ,a ,
E )apta3
D>afi, y x +y
y Ox*y*
x Djx+y
y además: |A| =1
E) NA.
D)t
OI 4
8
- 2
8
2
H a lla r: 6
3
6
3 B)425
1
3
5 7
A)376
E)NA.
D)4
5
0
-o 3
x +y Indicar un factor d e : x BJx
B )-l
a2
ai 0
-<*2
AJI
03 4 2 -1 A = 5 3 -2 3 2 -1
Si :
Calcular el determinante de la siguiente matriz x+2 x+x+2 1
A)0
C/a#+6*+c*
-2
5
D)0
Chl
E)NA
Hallar los valores de «fe» para los cuales :
X
y x +y EJx-Hy 4 A ) -í ;3 o
1 - 2 7 fe k + 2 k -2 =0 4 fe 8 4 3 B )L ;-3 0 - ; - 4 0 )-§ ;4 o
4
4
E)NA
Si: x 6 Z , hallar «3x+2» a partir de :
Hallar el determinante de la matriz : (1 2 3\ A= 4
AJO
BJ5
Resolver:
5 7 8 C)-5
B )± 4
D )-4 ± J 2 2
EJNA
3
4
6 2x + 3 = 7 2 5
x -3 AJ2
6 9/
4
DJ8
06
BJ4
EJ-2
Si fe £ TV , obtener «3fe+5» sabiendo que
D)4
EJNA
3 x -x 2 -1 3 =0 x + 10 1 1
A )-2 ± y f2 2
X
AJ4 C J -2 ± jlÍ
B)5
-2
k -3
1 fe -1
1 1
019
-fe
2
=0 k+2 DJU
EJ17
Si «W » es raíz cúbica imaginaria de la unidad, hallar el valor de :
IB
1
W
W
AJW
W2 1 DJW*
EJO
a a X m m m =0 Hallar «x» en : 6 X b AJm BJa CJb DJHay dos correctas EJNA.
Resolver AJ6
15 - 2x ll-3 x 7- x
BJ3
A) 13
O U
AJ(b - c ) ( c - aj(a - bj C)a* + 6* + c* EJabcfab + ac + be)
BJ 14
DJ 15
EJ 16
Sea la matriz triangular superior:
s
13
a + 6 + c'
7
a +7
A = a s + ma - p ^b3 + mb - p
c3 + me - p
EJ2
Según ello, indicar
a2
1 b b2 c cs
A qué es igual
b+c -4 y 0 b 0 c + a —9 c
r
DJ6
1 a
E) 1
7 A = a + b -3 0 Indicar la Traz(AJ
'
11 10 17 16 = 0 14 13
04
D) 2
C)3
Sea la matriz diagonal:
W
03
B)4
calcular: m + p + q A) 5 B) 4
W2
W2 1
iSMCTMCHNtBXÁAn
ÜBJ» fBBS
AJ p+m
BJ abc(a + b + c) DJ ab + ac + be
+ 6c + ca en de m y p. a 6c C )p*+m DJ — EJ — p m
BJmp
Sea A una matriz cuadrada. Señalar el valor veritativo en los enunciados: ( ) A+A* es simétrica.
(£ ) A -A * es antisimétrica. Calcular
AJ8
F ' r (
) Si A es involutiva, entonces— ( I —A) 2 es idempotente. AJVFV BJ V W OFFV DJ W F
BJ6
Calcular
AJy
©
BJx
(Djxy,
EJxy+x+y
Calcular :
C)x*+y*+z*+l
A)x+y+z DJ x*+y*+z*
E)x*+y*+z*-l
x 2 1 0 1 1 =0 Hallar «x» en el determinante : 1 3 2
AJI
BJ2
DJ-l
03
EJ-2
1 2 Si A = , además: A2X = A ', hallar la 3 5 matriz X. 1 -7 AJ 2 -19
7 B) -4
7 DJ -4
1 — 33} E) 0 19
2 -9
Sea la matriz: / a
A=
IN V E R S A
Si A es una matriz triangular inferior: f -i 7 -p q +3)
A= p + 1 q
2 1
m m + 3J
33 -1 9
2 -x
*2+i y
M A T R IZ
EJ F W
2
6 Z2
C)
2 19
1 -3 y i c
simétrica. Si x < 0, y < 0 y z < 0 , indicar: x + y + z AJ-3 BJ -4 C ) -5 DJ-31 EJ-20 Si A es una matriz antisimétrica definida por: a -b d c
A =
a e
b+1 4
-4 c -2
[ s s * 1 ',ÍA>
fV*.Jt,
entonces el valor d e T = a + 6 + c + d + ees: A )-l B) 1 C )2 D) 3 E) 4
’C IC LO V K D IA 2012] siendo I: matriz identidad de orden “2 A)
Resolver la ecuación:
3 - * H £ 3-
AJÍ1 2 W
entonces indicar el valor de verdad de las siguientes
(A + B)A~* (A -B )= (A - B)A-*(A+B) , determinar la suma de los
elementos de la matriz A'2 A) -2 B )-3 O S
D) -7
E) -9
)S i| A | *0 a |B| * 0, entonces:
(
(AJBr* JL-* A) F W B) VFV OWV
+ 2AB - f '
B) 121
OI
Sea la m atriz
D )2I
f 0 -1 \ B= 1 1✓ x
además el
2) Calcule la traza de la matriz inversa de A, tal que: 2A D) 15 E)17 \ 'p q r Si A es una matriz definida A = t - p q v0 0 82) B) 12
0 14
que satisface la ecuación A2 - 13A - 691 = 0, entonces el valor de Traz(A - 2 7I)'1 es: A) 93 B) 94 0 95 D) 96 F) 97 Dada la matriz A = (afí)s donde la traza de A es igual a cero y la suma de la diagonal secundaria también es igual a cero, además a JJ-= 5 y a2t = -4. Halle A " si neAf y es par siendo I la matriz identidad.
B )9 * I
C )9 * I
D )9 ” I
Siendo m y n raíces de la ecuación:
xt - 2 x + 3 = 0 calcular: A Jd + A iJ - 2A + I m2 + 2n + 7 donde: A = 0 3(m + n ) - 2 m n 2
E )9 * I
D) VFF
E) FFF
(1 3 Si A es una matriz definida por A = y X es 2 2
E) 31
polinomio F(x) = x 34 - 2X9 + 2. Calcular la suma de los elementos de la matriz F(B). A) 2 B) 3 0 4 D) 5 E) 6
A) 9*1
) Si A " = 0,n e TV,entonces :
(
// - A )-1= 1 + A +A2+ A3+ ....+ A n~*
Si A = 21; B = 31, entonces:
A) 11
E )A
~ 2
Si A
©
D )2 I
1-8 °-9) c ,( hB 3 U 1'2 6 ) E,[ « '(Proposiciones: [-0,3 2,3) [ 4 2,3) [o,s o,i) [ - 1,3 o,i) ( ) Si A y B tienen inversa, entonces:
i»5j
es igual: A) 61
C )0
Si A y B son matrices cuadradas de orden n,
©
3x
^
[;a
B )I
una matriz que satisface la siguiente ecuación matricial A5TJ = ((A*1)2- A ’ 1)’ 1, entonces la Tr(X) es: A )-12 B) -7 O S D) 4 E) 6
(2 o o} Se define la Matriz M= 0 2 1 10 2 Determinar la suma de los elementos de la primera columna de la matriz. M n(n e Z +) A)2~*(n* + n + 2) B ) 2m(n * -n -2 ) O 2m(n* + n) D) 2~*(n*+ 3n + 8) @
y E = e A , calcular: ~ ~m '
Si:
x + sabiendo que: e *= j + __ + ••• Ti 21 3! 41 A)3 D) -4 B) 4 C )S E )2 | PKIML'KA l % U TICA- Bi iAXTE OI) B 06) O 11) A 16) B 01) E
02) A 07) A 1 2 ) II 17) C 02) A
02) A 08) E 12) A 18) A 03) 0
04) 09) 14) 19) 04)
B B B B E
08) 10) IB ) 20) 08)
E C A B C
SCiil’XOA 1'K.U TICA- BI:t e b ¿ i w a x t e ; 05) A OI) B 04) A 02) E 02) B 10) A 06) B 07) A 08) C 09) B 12) C 18) C 14) C 15) E 11) E 19) B 80) B 18) B 17) E 16) E 02) C 03) E 04) B 05) 0 01) C
CLAVES d e L l c i a r x a p r a c t i c a 2)C \2)B\*)B\S)B\6)C |7)R\8)r |b ) b 10)B i í )«
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O BJETIVO S : * Reconocer un sistema de ecuaciones como dos ecuaciones con dos incógnitas relacionadas entre sí. * Conocer los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. * Clasificar y resolver sistemas cuadrados con determinante asociado distinto de cero aplicando la Regla de Cramer. * Aplicar los conocimientos de matriz inversa para resolver sistemas cuadrados, justificando bajo qué condiciones esto es posible. * Analizar las ventajas y desventajas de estos métodos. * Aplicar el método de Gauss Jordán en la clasificación y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. * Modelar problemas específicos de su área mediante sistemas de ecuaciones lineales, aprendiendo a interpretar correctamente las soluciones de los mismos, lo que le permitirá desarrollar su imaginación y capacidad de razonamiento y observación.
INTRODUCCIÓN i En este capítulo aprenderemos a expresar problemas de aplicación como sistemas de ecuaciones lineales es decir , como conjuntos finitos de ecuaciones a resolver estos sistemas desde el punto de vista analítico y geométrico. Veamos un problema muy sencillo de traducir al lenguaje algebraico. De este modo introduciremos los conceptos fundamentales relacionados con el tema «Un caballo y una muía caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el caballo de su enojosa carga , a lo que la muía le dijo ¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco , mi carga sería el doble de la tuya . En cambio si te doy un saco , tu carga se igualaría a la mía» . ¿cuántos sacos llevaba el caballo? ¿Y la muía? Si representas por x la cantidad de sacos que lleva el caballo y por y los que lleva la muía, obtendrás las ecuaciones siguientes :
ikbb I
SISTÉMALA iPMC i í t ' l ¿
M
J O
. V L 'A l
y + 1 = 2(x - 1) e y - 1= x + 1 Estas ecuaciones tienen dos variables y para resolver el problema debemos hallar los valores de x e y que satisfagan simultáneamente las dos ecuaciones. Cuando buscamos una solución común a dos o más ecuaciones lineales, estamos en presencia de un sistema de ecuaciones lineales.
SISTEMA DE ECUACIONES Se llama así al conjunto de ecuaciones lineales con dos o más incógnitas , las cuales pueden verificarse para algunos valores asignados a sus incógnitas o tal vez nunca se verifique.
EJEM PLOS : Es un sistema lineal de dos
x +y = 7 x —y = 1
x+y+z=2 2x —y + z = 5 3x + 2y —z = -1
ecuaciones con 2 incógnitas, severifican simultáneamente para : x = 4; y = 3 Es un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, se verifican simultáneamente para : x = 1; y = - l ; z = 2
SOLUCIÓN D E UN S IS T E M A La solución de un sistema de ecuaciones, si existe, depende de la cantidad de incógnitas, es decir: %
♦Si el sistema tiene 2 incógnitas, una solución del sistema de existir será de la forma ( xQt y0)t llamado par ordenado. ♦Si el sistema tiene 3 incógnitas, una solución será de la forma (x0; y 0 ; z j llamada terna ordenada. ♦Así en general, si el sistema tiene n incógnitas, una solución será de la forma (x0 ; y 0 ; .... ; Wq) de n elementos, llamada n-ada ordenada. CONJUNTO S O L U C IÓ N ( C .S ) í Es el conjunto formado por todas las soluciones del sistema. S IS T E M A S E Q U IV A L E N T E S : Son aquellas que a pesar de tener ecuaciones
[Af>
XCU'LO PED tA 2012} IS56 | TR AN SFO R M ACIO N ES QUE S E PU ED E diferentes aceptan las mismas soluciones. KFtwwstH SIN ALTERAR E L SISTEMAS ♦ Las siguientes transformaciones permiten pasar ♦ Permutar dos ecuaciones del sistema. de un sistema a otro equivalente. I) Si una ecuación del sistema se multiplica por un número real, no nulo, se obtiene un sistema equivalente al primero. ♦ Observa el siguiente ejemplo: x -y =2 3x —3y = 3 sistema equivalente x + 2y = 5 x + 3y = 5 Solución: x = 2
y = i
II) Si una ecuación de un sistema se sustituye por la suma de ella con otras ecuaciones del sistema previamente multiplicadas por números cualesquiera, se obtiene un sistema equivalente al primero. * Observa el ejemplo: x — y -1 x sistema equivalente 4x = 8 x + 3y = 5 Solución: x = 2 ; y = 2
♦ Multiplicar una ecuación cualquiera del sistema por un número distinto de cero. ♦ Sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones de un sistema.
C LASES D E S IS T E M A S D E ECUACIONES Se clasificará de acuerdo a ciertas características:
I ) D E A C U E R D O A L A SO LU CIÓ N : Los sistemas se clasifican en compatibles o incompatibles dependiendo si existe o no solución. A ) S IS T E M A C O M P A T IB L E : Es aquel sistema que presenta solución y a su vez puede ser:
4
* Se ha sumado a la segunda ecuación la primera multiplicada por tres.
BI) Si un sistema de ecuaciones se despeja una variable en una de las ecuaciones y la expresión resultante se sustituye en las demás, el sistema que resulta es equivalente al primero. * Observa el ejemplo: x = 1+ y í* = 2+ y x = 1+ y x —y = 1 [jp+ 3y = ( l + y ) + 3y = 5 4y = 4 x + 3y = 5
1 ) CO M PA T I B L E D E T E R M IN A D O í U n sistema se llamará compatible determinado si presenta al menos una solución o hay un número finito de soluciones.
EJEM PLO : ♦ Sea el siguiente sistema de ecuaciones: x -2 y = 4 2x+-3y = i Este sistema tiene una única solución que es: x = 2;y ♦ Gráficamente:
=-2
Solución: x = 2 ; y = 2 IV) Si en un sistema hay una ecuación que es consecuencia de otras varias, se puede suprimir y resulta un sistema equivalente al dado. ♦Observa este sistema de tres ecuaciones con dos variables. x + y —j
2x + y = 3 4x + 3y = 5 La tercera ecuación se obtiene multiplicando a la primera por dos y sumándole la segunda . Se dice que la tercera ecuación es consecuencia de las primeras, o también que la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos. ♦ La tercera ecuación se puede suprim ir y el sistema que queda es equivalente al primero. x+y=l 2x + y = 3 Solución; x = 2 ; y = -1
♦ Observa que los gráficos de estas dos ecuaciones determinan dos rectas que se cortan en el punto de
557
coordenadas (2 ; -1).
1
mmmc
• Tabulando :x + y = 4=$-y = 4 —x
2) SISTEMA COMPATIBLE LXBETEM&MMXADO Es aquel sistema que tiene infinitas soluciones :
EJEM PLO : * Sea el siguiente sistema de ecuaciones: x -y = 2 2x~2y= 4 • Estas dos ecuaciones son equivalentes y quedan reducidas a una sola ecuación y = x - 2 , cuyas soluciones encontramos tabulando: X
000
0
2
000
y
000
2
0
000
X
000
0
2
400
y
000
4
2
040
—2x —2y = 0 => y = —x X
004
0
1
000
y
444
0
-2
404
* Grafícando :
Y
«Sistema sin solución»
* Cuyo conjunto solución será : C.S. = {(0; -2), (2; 0) ,. .. .} • El sistema tiene infinitas soluciones.
* Los gráficos de estas dos ecuaciones determinan dos rectas paralelas. * R E S UM EN:
SISTEMAS DE ECUACIONES
r
Compatibles (tienen solución) • Observa que los gráficos de estas dos ecuaciones determinan dos rectas que coinciden ; por lo tanto, cualquier punto de la recta es la solución del sistema. t t ) SiSTEJMA LXCOM PATiBLE O IX C O S IS T E X T E í
Es aquel sistema que no tiene solución , se dirá que su conjunto solución es el vacío.
EJEM PLO 1 : * Observa que el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales puede ser vacío. En efecto, el sistema: x +y = J x +y = 7 • No tiene solución, porque no es posible encontrar dos números reales cuya suma dé 1 y, a la vez , dé 7. En este caso decimos que el sistema no tiene solución, o que es un sistema incosistente o incompatible. EJEM PLO 2 : * Sea el siguiente sistema de ecuaciones : x + 2y = 4 - 2 x —2y = 0 Este sistema no tiene solución.
i Incompatibles (no tienen solución)
Determinados (solución única) Indeterminados (infinitas soluciones) IN T E R P R E T A C IÓ N G E O M É T R IC A (SlSTKJLl D i; 2 IXt'ÓGXtTAS)
Toda ecuación lineal de la forma a x + by = c representa una recta en el plano cartesiano , por lo tanto la interpretación geométrica de un BÍstema de 2 ecuaciones con 2 variables se reduce a interpretación algebraica de las posibles posiciones que adopten dos rectas en el plano y sabemos que dos rectas son secantes (si se intersectan en un solo punto) o paralelas (si no se intersectan) o coincidentes (se superponen). Veremos que cada una de estas posiciones relativas tiene una interpretación algebraica en términos del número de soluciones del sistema.
V'tóáI BBS I
(ymjr^
NCICLOPEOtA 20121
i) Si las rectas se cortan , el sistema de ecuaciones tiene una solución dada por el punto de intersección. En este caso el sistema es consistente y las ecuaciones son independientes.
EJEM PLO : x + 3y = Resolver x + y = 4*. L 2 R E S O L U C IÓ N : * Graficando (para ello solo se necesita tabular dos puntos para cada recta, y luego trazarlas)
Yi U (0;4) (3; 1)-+ solución única (6;0) 4:0) X O B S E R VA C I Ó N * Se denomina ecuaciones independientes si los coeficientes de una misma incógnita no son proporcionales. ii) Si las rectas son coincidentes el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones representadas por todos los puntos sobre la recta, en este caso el sistema es consistente y las ecuaciones son dependientes. EJEM PLO : x + y = 2........ Resolver : 3x + 3y — 6...... 1*2 R E S O L U C IÓ N :
Solucionar un sistema de ecuaciones con dos incógnitas consiste en encontrar valores para x e y que satisfagan ambas ecuaciones. Gráficamente, resolver un sistema de ecuaciones consiste en establecer el punto de corte de las rectas. ♦A continuación presentamos un cuadro comparativo entre el aspecto geométrico y algebraico. f JEN GEOM ETRÍA Si las rectas se intersectan en un soloplinto. Si las rectassoncoincidentes, esdecir las rectas seinter sectan en un infinito número de puntos. Las dos ecuaciones correspondena la misma recta. Si las rectas sonparalelas, es decir las rectas no se interceptan perqué nohay puntos en común,
EN ÁLGEBRA El sistema tiene solución única. El sistema escompatible. El sistema tiene infinitas soluciones. El sistema escompatible.
E3sistema notiene solución. El sistema esincompatible.
I I ) D E A C U E R D O A L T IP O D E ECUACIONES : Los sistemas pueden ser lineales o no lineales.
A ) SISTEMEIS LIN EALES Z Son aquellos sistemas donde cada una de las ecuaciones son lineales. Esta denominación se debe a que, en la geometría analítica, estas ecuaciones determinan una recta.
n i) Si las rectas son paralelas el sistema de ecuaciones no tiene solución ya que las rectas nunca se cortan, el sistema en este caso es inconsistente. EJEM PLO : Resolver:
2x + y = 4 2x + y = 2.
'¡R ESO L U C I Ó N :
E J E M P L O : \—x + 3y —2z = —17 —2x —3y = 14 -3 x - y -2 z = 2 * Es un sistema lineal determinado y su solución es (-1; -4 ; 3) B ) S IST E M A N O LINEAL :
L¡ L2
Es aquel sistema donde, al menos, una de las ecuaciones es no lineal.
EJEM PLO :
w n / / iV o V
MKHl 8 5 9 S f f i
x 2 + y 2 = 13 x —y = l
S IS T E M A S D E ECUACIONES LINEALES CON D O S INCÓGNITAS Un sistema de dos ecuaciones con dos variables es a ix + b¡y = c t de la forma : a2x + b2y = c 2 RESOLUCIONES DE SISTEM AS IJNEAIES (2 INCÓGNITAS):
El método que mayormente se utiliza es el denominado método algebraico que consiste en realizar transformaciones lineales con las ecuaciones del sistema para elim inar progresivamente las incógnitas. ♦ La forma en que se lleva a cabo dicha eliminación genera 4 procedimientos:
I)SUSTITUCIÓN II)IGUALACIÓN
♦ Con y - 1 mediante sustitución regresiva es decir sustituyendo 1 en vez de «y» en las eccuaciones originales.Tenemos el valor de x o Bea: 2 x+ 2 (l) = 6 tenemos 2x = 4 entonces x = 2. ♦ La solución del sistema vendrá dada por el par {2; 1}.
EJEM PLO 2 : 2 x -3 y = -1 3 Resolver : * 4x + 2y = - 2 R E S O L U C IÓ N : ♦Se despeja en la segunda ecuación el valor de y: y = -l-2 x ♦ Se reemplaza la expresión en la primera ecuación: 2x - 3 (-l - 2x) = -1 3 2x + 3 + 6 x = -13 =>& ; = -1 6 => x = -2 ♦ Se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones y se calcula el valor de y: y = -1 - 2(-2) = 3 ♦ Entonces: C.S. = (-2; 3)
II) M ÉTODO D E IGUALDAD :
IIDREDUCCIÓN
Podríamos resumir este método de igualación en los siguientes pasos.
IV) REGLA DE CRAMER
♦ Despejar en las ecuaciones la misma variable.
I)M ÉTO D O D E SU STITU C IÓ N :
♦ Igualar las dos expresiones de la variable despejada.
Se resume en los siguientes pasos:
♦ Resolver la ecuación obtenida.
♦ En una ecuación, suponiendo conocida una incógnita, hallar el valor de la otra (esta operación se llama despejar una incógnita).
♦ Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las expresiones de la otra incógnita.
♦ Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema, obteniendo así una ecuación con una incógnita. ♦ Resolver la ecuación obtenida. ♦ Sustituir la Bolución obtenida en la expresión de la otra incógnita.
EJEM PLO 1 : x + 3y = 5 Resolver : 2x + 2y = 6 R E S O L U C IÓ N : ♦ Despejamos x de la primera ecuación por lo que tenemos x = 5 - 3y. Sustituimos este resultado en la segunda ecuación y tenemos una ecuación con una sola variable. 2 ( 5 - 3y) + 2y = 6 = > 1 0 -6 y + 2 y = 6 => -4y - - 4 => y = J
EJEM PLO : 2x —3y = — 5 Resolver : 3x + 4y = l R E S O L U C IÓ N : ♦ A l aplicar este método también conveniente observar cuál es la incógnita que más fácilmente se despeja en las dos ecuaciones. ♦ Se despeja la misma variable en las dos ecuaciones: 2 x -5 y*3 l —3x
y=
♦ Como y = y , entonces :
2x~5
1 ~ 3x
4(2x —5) = 3 ( l - 3 x )
23^ 8x —20 = 3 —9x => 17x=23 => x = 17 ♦Se reemplaza el valor de x en cualquiera de las dos
[vt#v
B S3Q M D
ecuaciones y se resuelve la ecuación para y:
EJEM PLO 3 : x +y =6 Resolver : 2 x -y = 3 R E S O L U C IÓ N .
y = i vS* ' -
23 27* 23^23 • Luego la solución es : 2 7 ; 27 U I ) ¿M É T O D O U T IL IZ A D O ) í
DE
R E D U C C IÓ X
( E L ¿MÁS
Este método llamado también de eliminación se resumen en los siguientes pasos: • Multiplicar los dos miembros de las dos ecuaciones por ciertos números, de tal forma que los coeficientes de una incógnita sean opuestos. • Sumar las dos ecuaciones miembro a miembro. • Resolver la ecuación obtenida. • Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales y bailar la otra incógnita.
Resolver: J2* + 3> = 5 [2 x -3 y = 7 R E S O L U C IÓ N : • Cornos los coeficientes de y son iguales pero de signo contrario , no es necesario m ultiplicar ninguna de las ecuaciones . A l sumar las dos ecuaciones se obtiene : 2x + 3y- == * +* A 2x -3 y = 7 y 4x = 1 2 -* x = 3 • Sustituyendo «x » en la primera ecuación:
2(3) + 3y = 5 => y = * Entonces : C.S. = (3; ~ )
(I) (II)
R E S O L U C IÓ N : * Eliminaremos la variable «y» para esto multiplicamos por 3 a (I) y por 5 a (II), resultando: uRestando 9x + 15y = 33 miembro a lOx + 15y = 35 miembro99 ^ x =2 • Sustituyendo x = 2 en (I): 3(2) + 5 y = * > l l y = 1 • Entonces : C.S. = (2; 1)
•Observe que una ecuación contiene +y y la otra - y. Al sumar las ecuaciones, podemos eliminar la variable y obtener una ecuación que contiene una incógnita : x+y=6
2 x -y =3 ^ 3x=9 * Abora despejamos la variable restante , x: x = 3 * Por último, determinamos y sustituyendo x = 3 en la ecuación original. 3 + y = 9 ^ y = 6 * Entonces: C.S. = (3; 6) EJEM PLO 4 : 2x + y = 3 Resolver : 4x + 2y = 12 R E S O L U C IÓ N : • Se puede eliminar la varibale y multiplicando la primera ecuación por -2 , después sumamos las ecuaciones -4 x -2 y = -6 4x+2y= 12
EJEM PLO 1 :
EJEM PLO 2 : 3x + 5y = 11 Resolver: 2x + 3y = 7
X C IC LO P E M A SOia)
0=6...falao • Como 0 - 6 es un enunciado falso, este sistema no tiene solución. Este sistema es inconsistente y las rectas serán paralelas cuando se las grafique. EJEM PLO 5 : 2x + y = 6 Resolver 3x + y = 5 R E S O L U C IÓ N : • E l objetivo de la reducción, es obtener dos ecuaciones cuya suma sea una ecuación que contenga sólo una variable. Si sumáramos e6tas dos ecuaciones, no eliminamos variable alguna. Sin embargo, si multiplicamos una de las ecuaciones por -2 y después sumamos, lograremos nuestro objetivo. Multiplicamos la ecuación 2x + y = 6 por -2 , da como resultado -2 x - y = -6 . • Recuerde que debemos multiplicar ambos lados de la ecuación por -2 . Este proceso tiene el efecto de modificar el signo de cada término de la ecuación que es multiplicada, sin cambiar la solución del sistema de ecuaciones. Ahora, sumamos las dos ecuaciones de la derecha._gy _ _
3x + y x = -2 • Despejamos y en cualquiera de las ecuaciones
i
originales. - 2 ( -l) + y = 6 => y = 8 * Entonces : C.S. = f-2 ; 8)
IV ) REG LA D E G R A M E R (T E O R E M A ) La solución del sistema de ecuaciones.
a ,x + b,y = c, apc + b,y = c, * Esta dado por : CA ~ Cg&j . a¡b2 —a2b2
* = ^ = A
-
2^1 **1^2 &jb2 —a2b¡ S iC o — 0 a C
Donde:
A f = Determinante de x Ay = Determinante de y A* = Determinante del sistema • Siempre que : a , b, = a¡b2 - a 2b¡ * 0 a2 °2 * Es decir este teorema nos proporciona una condición necesaria y suficiente para que un sistema sea compatible determinado, esta condición es que el determinante del sistema sea diferente de cero.
EJEM PLO 1 :
2x + y = 3\ Resolver el siBtema : x + 3 y*Í8 \ R E S O L U C IÓ N : ^ * Los determinantes de las variables y del sistema son: 3 1 = (3) (3) - (18)(l) = -9 18 3
2 3 = (2)(18)-(1)(3) = 33 1 18 2 1 A = 1 3 * Luego aplicando la Regla de Cramer A - -9 Ay 33 x =^ =T ’y=^ =T -9 33 * el conjunto solución: C.S. 5 ' 5 EJEM PLO 2 : Resolver: ** + 2y = 4 x -y = 1 R E S O L U C IÓ N :
»
jb
j k c
’i : i r m
v
F
5
]
Tenemos que :
2 = -3 -2 = -5 * 0 3 1 -2 ( 4 2 = - 4 - 2 = -6 1 -2 3 4 *y = 1 1 = 3 - 4 = - ! * Entonces : _ Ay _ -5 _ 6 6 X~ A -5 * 5 X 5 1 y A —5. 5 EJEM PLO 3 : 5x —3y = 11 Calcular « x» en el sistema 4x —5y = l R E S O L U C IÓ N : * De acuerdo a la teoría : 11 - 3 1 -5 -5 5 + 3 -5 2 => x = 4 x = 5 -3 - 2 5 + 12 - 1 3 4 -5 EJEM PLO 4 : —7x + 5y = —45 Calcular «y» en el sistema : 4x —3y = 26 R E S O L U C IÓ N : * Para el cálculo de «y» tenemos : - 7 —45 26 -1 8 2 + 180 - 2 =>y = - 2 y= -7 5 2 1 -2 0 2 4 -3 EJEM PLO 5 : 4x + 5y = 3 8x + lOy = 6 R E S O L U C IÓ N “
* El determinante de la matriz de coeficientes es: 4 5 = 4 0 -4 0 = 0 8 10 * Como el determinante del sistema es 0 y este determinante es el denominador de las expresiones para x y y , entonces no se puede usar la regla de Cramer. En este caso se dice que el sistema no tiene solución única. E l sistema es inconsistente o dependiente. * La regla de Cramer se puede aplicar para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales en el que el número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas y en el que el determinante de la matriz de coeficientes sea diferente a 0 .
E l S6B ||ggF ANÁLISIS D E UN SIST E M A LINEAL D E 2 E C U A C IO N E S C O N 2 IN C Ó G N IT A S Consideremos el siguiente sistema :
a1x + b1y = cl ; a 2;b 2; c 2 * 0 a 2x + b2y = c2 I) El sistema será compatible determinado, es decir posee sólución única, si se cumple: al a2
i X V ItlA lV E lH A 2012)
R E S O L U C IÓ N : 5k k -2 7 4 x = 2 k 5 - -4 •
-2 0 k + 27k —8 —5k
7k —5k —8
solución debe cumplirse que :
—5k —8 = 0 => £ = #
b2
II) Para que el sistema dado sea compatible indeterminado (infinitas soluciones), se debe cumplir :
* Si: A K= 0 ; A y = 0 A A * = 0 , e1 sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
III) El sistema es incompatible o inconsistente debe cumplirse :
S IS T E M A S D E ECUACIONES LIN EALES CON T R E S INCÓGNITAS Tienen la siguiente forma: cijX + b2y + CjZ = dt
a 2x + b2y + c 2z = d2 « 3x + b3y + CSZ = d3 Al igual que en el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables también tiene exactamentes una solución, infinitas soluciones o no tener solución. M É T O D O S D E S O L U C IÓ N í
* Si: A w *0 ; Ay = 0 y A , = 0 , el sistema es incompatible, no tiene solución.
EJEM PLO 1
#
'\3x + y = 7 El sistema lineal ’ [5cr + 4y = — í Se tiene : ^ * í => el sistema tiene solución única. O 4 EJEM PLO 2 2x + 3y = l El sistema lineal ; 6x + 9y = 3
2 3 Se tiene : — = ~
1
o 9 o infinitas soluciones.
el sistema lineal tiene
EJEM PLO 3 : El sistema lineal: 4x - 5y = 4 8x - lOy = 14 4 S e tie n e : f = d ¡ r Té tiene solución.
el sistema lineal no
EJEM PLO 4 : 2x + ky = 5k Dado el sistema : 5x - 4 y = -2 7 Para qué valor de «A»; es incompatible
Los métodos más usados para este tipo de sistemas es el algebraico y el método de las determinantes. Veamos como funciona el método de reducción en un sistema de tres ecuaciones con tres variables.
EJEM PLO 1: Resolver : x + y —z = —l ..................
4x —3y + 2z = 1 6 ............ 2 x - 2 y - 3 z = 5 ............. R E S O L U C IÓ N :
Al) (II) (III)
♦Para un sistema de tres ecuaciones debemos eliminar una variable a la vez formando pares con las ecuaciones dadas. ♦Por ejemplo eliminamos la variabla « z » de las ecuaciones (I) y (II) , multiplicando la ecuación (I) por «2» tenemos : -2 x + 2 y -2 z = -2
4 x - 3y + 2z = 16 6x —y = 14 4ot) ♦ Ahora eliminamos « z >de las ecuaciones (I) y (II) para esto multiplicamos la ecuación (I) por «3» y sumando tenemos: - 3 x - 3y + 3z = 3 2x —2 y —3z = 5
- x - 5y = 8...... (0 )
&M&rM2PlA MPM¿ E
* Luego resolvemos de (a ) y (p), resulta: x= 2; y = -2 , con estos valores hallamos «a>, reemplazando en la ecuación (I) tenemos: 2 - 2 - z = - 2 =>z = l
* Entonces : C.S. = (2; -2 ; 2)
x =^Ai
EJEM PLO 2 :
*3
Resolver : & r -3 y + 7z = 32................. (/)
A
R E S O L U C IÓ N :
* Sumando (II) y (III), se obtiene : x + 16z = 2 2 ............................................ (a) * Luego de 5(1) + 3(111), se obtendrá:
25x —15y + 35z = 155 —9x + 15y + 21z = —3
:t :iO
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« i dt ci a 2 d 2 c2
c3
a 3 d3
Cl
y - ^ y A
-
c2
b3 C3
* i bj Cl a2 b2 c2 *3
b3 C3
bt A *2 b2 d2 a 3 b3 d3 * i b. <>1 *2 b2 c 2 *i
4 x - 5 y + 9z = 2 3 ................ (22) —3x + 5y + 7z = —l ............. (III)
(+
Ifix + 56z = 152........ r/3> * Ahora de (a ) y ( p ) :
^
dl bx d2 A d3 b3 « i bx a 2 b2
€
x + 16z = 22 A Jfíy + 56z = 152 { 200z=200 => z = 1=> x = 6
Donde:
*3
b3 c3
A : Se forma con los coeficientes de las incógnitas
A x : Se forma cambiando en A los coeficientes de x por los términos independientes. A : Se forma cambiando en a . los coeficientes de y por los términos independientes. 4 * : Se forma cambiando en A los coeficientes de z por los términos independientes. EJEM PLO 1 : Resolver: x - 2 y + 3z = 8 2x + y - z = 3
- 2 x - y + 2z = l
%«
* Reemplacemos estos valores en (I) i 6(6) - 3 y + 7(1) = 31=> y = 2 * Finalmente : C.S. = (6; 2; í ) REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER S IS T E M A DE ECUACIONES C O X T R E S W XRIADLES
La Regla de Cramer (llamada así en honor a Gabriel Cramer de Ginebra, 2 770-2 752) usa determinantes para resolver un sistema de ecuaciones lineales. U n sistema de n-ecuaciones lirteales con rtincógnitas tiene una sola solución, si y solamente si el determinante A formado por los coeficientess de las incógnitas no es igual a cero.
* Se»:
a¡x + b¡y + C¡z = d¡ a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3
* Su resolución por la regla de Cramer, (donde A , * 0 )es:
R E S O L U C IÓ N : * Se halla el determinante de coeficientes : 12 3 1 -1 23 A = 2 1 - 1 s -2 21 - 2 -2 2 = l-2 (7 )-2 (-5 l= -3 -2 -1 2 * Se halla luego A y9 A 8 2 3 A = 3 1 - 1 = -1 8 1 - 1 2
• Luego :
1 8 3 Ay = 2 3 - 1 = 15 -2 1 2
1 2 8 A = 2 1 3 = 12 -
2-22
_ A A
_ - 2* - 0 -3
- A . i* = _5 -3 A _ A _ " " - 4 -3 A Entonces : C.S. = (6; - 5 ; 4)
)
|56« |
(vm
EJEM PLO 2 :
soluciones (pudiendo ser incluso incompatible)
x - 2 y - 3z = 4 x -2 y -4 z =3 2x + y - z = 3
Resolver :
III)S iA a = 0
A = 1 -2
II
©i
II
A,
lo
menos
algún
ECUACIÓN CON T R E S INCÓGNITAS
-4 = 5 = 0
2 1 -1 * Entonces el sistema tiene solución única, además tenemos 4 -2 -3 1 4 - 3 1 3 - 4 = 10 4 ,= 3 - 2 - 4 3 1 - 1 2 3 - 1 1 - 2 4 1 - 2 3 =5 2 13 ♦Entonces los valores de x , y , z son dadas por: , = A L= i£ = 3 ; y = ^ = ^ = - 2 ; , = A = £ =lf 5
por
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA D E CAA
1 —2 — 3
♦ Primero :
y
Ax ^O/\Ay ^O vA z ^O , entonces necesariamente el sistema dado es incompatible.
R E S O L U C IÓ N :
A,
NCICLOPERIA 2QM¿\
5
A,
5
EJEM PLO 3 : Calcular el valor de «y» en el sistema : 5x - 2y + 3z = 6 7x + 3 y - 4 z = 6 2x + 4y + 3z = 5
La terna ordenada (1 ; - 2 ; 2) es una solución de la ecuación x-2y+ 5 z= 1 5 porque 1-2(-2) +5(2) =25 Otras triplas ordenadas que satisfacen la ecuación son f0; -5 ; 1) 9 (5; 0; 2), (23; 4; 0). Hay muchas más. El conjunto solución de la ecuación es un conjunto infinito. La gráfica de una ecuación en tres variables es un conjunto de puntos representados por ternas ordenadas de números reales . Tales puntos se representan en un sistema de coordenadas de tres dimensiones. Así: Para representar gráficamente la posición de un punto en el espacio es necesario considerar tres rectas mutuamente perpendiculares que se intersectan en un punto. Estas rectas se llaman el eje X , el eje Y y el eje Z. El punto de intersección se llama el origen O de las coordenadas.
R E S O L U C IÓ N : ♦ Por determinantes , se tendría : 5 6 3
y=
7 6 -4 -2 5 3 5 -2 3 7 3 -4 -2 4 3
5(38) -6 ( 1 3 ) + 3(47) 5 (2 5 )+ 2(13)+ 3(34)
2 0 0 -7 8 + 142 125 + 2 6+ 1 02
a un punto particular en el espacio y se representa como se indica en el gráfico.
253 =1 253
p r o p ie d a d e s :
I) Si: Ax,A ytAx A A^ = 0 tel compatible determinado. Luego : *=“ » A
sistema
es
(solución únicaj
U) Si: Ax = 0;Ay = 0 ;A Z = 0 A A8 = 0 , el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas
Representa la terna : P = (3; 4; -2)
R E S O L U C IÓ N : ♦ Se traza el sistema coordenado de tres ejes. ♦Se representa la pareja (3; 4) en el plano X, Y.
§*WTnrN0P&
á ü á í m m mpi2 jg c ia c m v £ .» ] £ ® 0 * Punto de intersección del plano con el eje X: ♦ Desde el punto P = (3; 4) se buscan 2 unidades en el sentido negativo de la z . Hacemos y = 0, z = 0 y despejamos x : * P ha sido desplazado 3 unidades en la dirección 4x + 3(0) + 2(0) = 12 =>x = 3 del eje X , 4 unidades en la dirección del eje Y, y -2 =>E1 punto de intersección del plano con el eje X unidades en la dirección del eje Z. es: P} = (3; 0; 0) * Punto de intersección del plano con el eje Y : Hacemos x = 0f z = 0 y despejamos Y : 4(0) + 3 y + 2(0) = 12 = > y= 4 ' *V
=> El punto de intersección del plano con el ejeY es:
EJEM PLO 2 : Reepresentar la tema: (1; 3; 5)
R E S O L U C IÓ N :
P2 = (0; 4; 0) * Punto de intersección del plano con el eje Z: Hacemos x = 0, y = 0 y despejamos z: 4(0) + 3(0) + 2 z = 12=>z = 6 => El punto de intersección del plano con el eje X es: P3 = (0; 0; 6) * Ubicamos en el eje de tres coordenadas y trazamos el plano determinado por la ecuación 4x + 3y + 2z = 12 * Todos los puntos que pertenezcan a este plano son soluciones de la ecuación. z i (0; 0; 6)
(0; 4; 0)
(3; 0; 0)
D E ECUACIONES Mientras las ecuaciones lineales de dos dimensiones representan rectas, las ecuaciones lineales con tres variables : ax + by + cz = d, representan planos. Para representar un plano se necesitan tres puntos que no estén en una misma recta. Y éstos se determinan encontrando tres soluciones de la ecuación a representar.
EJEM PLO 1 :
EJEM PLO 2 : Representar gráficamente la ecuación : x - 2y + 5z = 15 R E S O L U C IÓ N : 15 - x + 2y * Se despeja z , es decir : * — -------- --------o * Dando valores convenientes a “x ” y “y ” se obtiene la tabla:
(0;0;3)
Representar gráficamente la ecuación : 4x + 3y + 2z = 12
X
R E S O L U C IÓ N :
y z
* Buscamos tres temas que satisfagan la ecuación. * Las ternas más fáciles de encontrar son las correspondientes a los puntos de intersección del plano con cada uno de los ejes. Estas se obtienen al hacer que dos de las tres variables sean cero y resolviendo la ecuación para la otra.
0
-15
0
0
0
15 *2
3
0
0
+ 5 z = 16
(15;0;0)
* La gráfica de una ecuación lineal en tres variables es un plano. * Si se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las variables x, y y z:
x v h i .o p u ih a
1s e e I
[A J O
a ¡x + b¡y + CjZ = d¿ a 2x + b2y + c2z = d2 aax + bsy + c3z = d3 El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos solución de las tres ecuaciones. Como la gráfica de cada una de las ecuaciones en el sistema es un plano, el conjunto solución se puede interpretar gráficamente como la intersección de tres planos. Cuando esta intersección da un único punto, las ecuaciones del sistema se dice que son consistentes e independientes.
s o is )
* Los tres planos se interceptan en un punto (la solución es única) S IS T E M A S L IN E A L E S BE -n E C U A C IO N E S CO N - n - IN C Ó G N IT A S p
ajXx + btx 2 + ........ c i x a2x 2 + b2x 2 +
n =
di
c2x n =
+ K *2 +
d2
CnXn = dn
REGLA D E CR AM ER :
SOLUCIONES DE LOS SISTE¿IAS DE TRES ECUACIONES CON TRES VARIABLES
En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Cada una de las ecuaciones representa un plano. De acuerdo con las posibles relaciones que se dá entre los tres planos , se determina el tipo de solución que tiene el sistema.
Dado un sistema lineal de «n» ecuaciones en «n» incógnitas, el valor de una letra cualquiera es una fracción que tiene por denominador al determinante en la que la columna de los coeficientes de la letra ee ba cambiado por la columna de términos independientes. • El determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero. (Determinante del sistema). Oj bj
€t>O be. A
* o
= a n bn
n
* La solución viene dada por : • Los tres planos son paralelos (No bay solución) ;
i = 1,2,3 ,...... n
* A| es la matriz que se obtiene a partir de la matriz A, cambiando los elementos de la columna i por los términos independientes. • Dos de los planos son paralelos (No bay solución)
* Para resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas por la regla de Cramer es preciso calcular n + 1 determinantes de orden n .
P R O P IE D A D E S : I) Tiene solución única si ¿ \ * 0 • La intersección de los tres planos es una recta (bay infinitas soluciones).
II) Tiene infinitas soluciones si A , = 0 A A í = 0 para cada i ; i = 1; 2; ...;n III) No tiene solución si A , = 0 A A ¿ * 0 para algún i ; i = 1; 2 ; ... ;n
m a s67 i b
SISTEJLt LINEAL HOMOGÉNEO Son aquellos sistemas lineales donde cada ecuación tiene término independiente nulo. alx + bly + + C|Z = 0
a2x + b2y +
a„ x + bny + ......+ cnz = 0 * Siempre es compatible dado que al menos una solución es: x = y = ...... = z = 0, donde es trivial o impropia. S O L U C IÓ N T iU V L lL :
Son las soluciones de la forma {(0; 0; ....;0)} Un sistema lineal homogéneo siempre tiene una solución trivial o impropia. E l estudio de los sistemas lineales homogéneos siempre se centrará en investigar si existen otras soluciones aparte de la trivial (solución propia).
A N A L I Z A N D O (S istem a H omogéneo ) I) Ag * 0 ; el sistema tiene única solución la trivial (0; 0; 0); se deduce de Cramer. W A, = 0 ; el sistema tiene infinitas soluciones; es decir es compatible indeterminado.
SISTEAIA LIN EAL HE ECUACIONES CON « m » INCÓGNITAS (n > m ) Un sistema de más ecuaciones que incógnitas es; en general, incompatible o imposible. Habra solución solo si al resolver el sistema formado por «m » ecuaciones y «m » incógnitas; los valores hallados verifiquen las «a - m » ecuaciones restantes ; entonces la solución encontrada será la solución de todo el sistema.
Sea:
'l ^ U
J O
A
'L 'S
J
La resolución de un sistema de este tipo dependerá de las incógnitas restantes las cuales se hallarán usando parámetros adecuados las cuales se Ies asignarán los valores que uno requiera.
TEO REM A :
c2z = 0
CASO P A R A E C U A C IO N E S iX C Ó G N IT A S á jx + bxy = Cj
MPMSM
y «n - I -
a2x + b2y = c2 a3x + b3y = c3
S IS T E M A LIN EAL D E ECUACIONES CON -■ »- INCÓGNITAS (n < m )
Un sistema de más incógnitas que ecuaciones es por lo general un sistema compatible indeterminado. Estos tipos de sistema reciben el nombre de Ecuaciones D iofánticas .
En un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas , si el grado de la primera es «n » y de la segunda «m » entonces el máximo número de soluciones será
EJEM PLO : Resolver : x + y -3 z = 2 .................................................... JI) -3 x + y + z = 6 ........................................... . m
R E S O L U C IÓ N : * D e (U )+ 3 (I ): 4y - 8z = 12 => y = 3 + 2z * Al reemplazar en se obtiene : x = z - 1 * El conjunto solución es C.S.= {z - 1; 3+ 2z; z} * Como vemos en la solución general, las variables x e y dependen de la variable z . Esto significa que para cualquier valor de la variable z se obtienen valores diferentes de x e y, en consecuencia el sistema tiene infinitas soluciones.
MÉTODO D E G AU SS PARA RESOLVER SISTEJHAS DE ECUACIONES LINEALES Uno de los métodos más empleados (por su sencillez) en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales es el método de eliminación de Gauss. El método, como su nombre lo indica, consiste en realizar determinadas transformaciones elementales en el sistema de ecuaciones lineales, de modo que los sistemas equivalentes que se van obteniendo contengan menos incógnitas. Como veremos a continuación, cuando el sistema de ecuaciones lineales está dado en su forma matricial, el método se reduce a escalonar la matriz ampliada del sistema. •Dado que nuestro objetivo es trabajar con matrices equivalentes formalicemos una definición para las transformaciones equivalentes entre matrices . D E F ifflC Ió x :
Dada una matriz A , a las operaciones: 1) Permutar dos filas de A
2) Multiplicar todos los elementos de una fila de A por un número diferente de cero. 3) Sustituir una fila por el resultado de sumarle a
wmim
1S I B es I ella un múltiplo de culaquier otra fila.
EJEM PLO 0 I 2\ Sea: A = - I O 3
1 1 4 * Si realizamos las operaciones: f9 + 2f2 + f s * Obtendremos la matriz B : 0 1 21 B = -1 o 3 o 2 11 * Entonces : A ~ B :
Dos matrices A y B son equivalentes ( A ~ B ) si una se obtiene a p a rtir de la otra mediante transformaciones elementales. * En el proceso de encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales la última matriz equivalente tiene una forma especial en su construcción, estas matrices se conocen como matrices escalón. Ejemplos de matrices escalón :
.
(7 -1 0 1 “ 0 0 0 0 2 0
c=
0 0
3 0 B= 0 0
3 4 0 2 1 0 3
1 2 0 0
0 = elementos nulos 1 = elemento unidad • = elementos cuales quiera (todos los que 4 1 están sobre cada uno o o 4 de los elementos 1 o o 0 1 pueden hacerse nulos; o o 0 o o o en este caso, la matriz o o 0 o o o se conoce comoescalón reducido) que la matriz
EJEM PLO
Se les llamará TRANSFORM ACIONES ELEMENTALES por filas en A.
d e f in ic ió n
XCMMDPEDLA 2012 ]
0 1 0 0/
3 2 2 2 2 2
1 0 0 0 o o o
o o o o o o
1 o o o o o
•Observa
j
1 0 2 0 0 3 5 D= 0 0 1 1 0 0 0 2 No es una matriz escalón , ¿Por qué? Porque el primer elemento diferente de cero en la fila tres no se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila dos.
9.MÉTODO D E G A U S S Consideremos, para simplificar notaciones y hacer más comprensibles la exposición, un sistema de tres ecuaciones lineales con cuatro incógnitas : a u X j + a I2x
+ aJ3x 3 + a l4x 4 = bj
a 21x l ^ a 2 2 x 2
+ a23x 3 + a 24x 4 = b2
a 31x í
A la matriz A sistema : '
A=
0 0 0 7 2 0 0 0 0 0 Las matrices escalón son muy importantes. •
a 3 2 X 2 + a 3 5x 3 + a 3 4 X 4 = b 3 ,
conformada con los coeficientes del
a n
a 12
a 13
a 14
la llamaremos
a 21
a 22
a 23
a 24
matriz del sistema.
a 31
a 32
a 35 té a 34
A la matriz columna X incógnitas del sistema :
,
cuyos elementos son las
d e f in ic m ó n :
Una m atriz M es e s c a lo n a d a por filas o simplemente escalón , si se cumplen las siguientes condiciones;
1) Si existe una fila nula (fila constituida sólo por ceros), al final de la matriz. 2) Si el primer número de izquierda a derecha es diferente de cero, en cualquier fila no nula. 3) Si existen dos filaas consecutivas no nulas (por ejemplo laB filas i e i + 2 ) tal que tiene menor cantidad de ceros delante del primer número no nulo ocupa la posición i.
X =
x
4)
la llamamos matriz de las incógnitas. * Finalmente, denotamos por B a la matriz columna de los términos independientes del sistema : f*i1
B= 3J * Si efectuamos el producto m atricial A X e igualamos el resultado a la m atriz B; esto es,
IS
seo BSMI
A X = B , y además utilizamos la definición de igualdad de matrices , se obtiene el sistema de ecuaciones lineales dado inicialmente , por lo que a la relación A X = B la llamaremos representación matricial del sistema de ecuaciones lineales.
1 1 - 2
denotaremos por (A|B> a la matriz ampliada del sistema, definida por : ^
a 13
*14
A = a 21 a 22
a 23
*24
a 32
a 33
a 34
10
0
*
* 1
- 3 \5
6
2 !1
2 f2 + 3 f1
4
-3
O 13 ! - 1 3
[ i -
2
EJEM PLO 2 : ♦ Calcular «z» del sistema : x - 3y + 2z = 12
* 2 3 x 3 ^ * 2 4 X 4 = b2
a J2
*
4x - 3( —1) = 5 = > x = -
1
a 31x l + a 32X 2 ■*" a 33x 3 + * 3 4 x 4 ~ b 3
a 31
4
♦ conjunto solución :
allx1+ a12x2 + a13x3 + a14x4 = b2
*n
*
La última fila de la matriz indica que : 13y = -13= + y = - I ♦ Si se sustituye este valor de y en la primera fila :
13
Dado el sistema de ecuaciones lineales :
*22X 2
*
♦ Se forma la matriz aumentada del sistema, es decir:
1 Ii 0
DEFINICIÓN :
*21x l
0
R E S O L U C IÓ N :
.
0
*
4x - 3y = 5 6x + 2y = l
Resolver
0 - i 1 X2 — 0 0 -1 1 x 3 1 1 2 0 3/ / X4 * Ahora bien, si se quiere resolver el anterior sistema de ecuaciones en lugar de operar el sistema en sí, trabajamos con la matriz ampliada (A \B) , es decir: (3 2 0 —1 I 1 0 -1
*
EJEM PLO 1 :
2
2
*
♦Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento.
♦ El sistema de ecuaciones lineales 3xj +2xg *4 = 1 2 * i*a + x4= 0 x I- +' ~3 x+ - ~~4 2x* = 3 Puede escribirse como el producto :
3 2
*
6o '3)
O B S E R VA C I Ó N De las definiciones de matriz ampliada, sistemas de ecuaciones lineales equivalentes y matrices equivalentes , se tiene que si M es la matriz ampliada de un sistema dado, y M¡ es la matriz ampliada de un sistema equivalente al dado, entonces M y son equivalentes. * Al usar las operaciones elementales en las filas se busca transformar una matriz aumentada en una matriz de un sistema en forma triangular. La matriz resultante tendrá la siguiente forma para un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
2x + y - 4 z = - l x + 3 y -2 z = -8 R E S O L U C IÓ N : ♦ Se forma la matriz aumentada del sistema, es decir: 1 -3 2 ¡ 12 1 -3 2 | 12 0 7 - 8 ; -25 2 1 -4 \ -l 1 3 -2 ¡ -8 fs -fi 0 6 - 4 í -20 % - 6f2
1 - 3 0
2 ¡ 12
7 - 8
¡ —2 5
O O 20] 10
20 *fs
1
-3
2 \ 12
O
7
- 8 I -2 5
O O
1 ¡ 112
♦ De la tercera fila de la matriz se tiene que * = — . £ TEOREM A :
Dado un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas A X = B t denotaremos por M y Mv las matrices escalón equivalentes a las matrices A y (A; B), respectivamente. Entonces:
I) El sistema es consistente si y sólo si el número p de las filas nulas en M es igual al número q de filas nulas en Mv II) Si el sistema es consistente y m - p = n , es determinado.
iyü* f g y o l i>ja¿ III) Si el BÍstema es consistente y m - p - n = 0 , es indeterminado y tiene m - p - n variables libres. c
* Si, por ejemplo, la matriz escalón asociada a un cierto sistema de ecuaciones lineales es: 1 -1 0 3 ! 2 0 1 2 3 ¡ i
0 0 0 6 1 i i 0 0 0 i ,0 entonces el sistema es evidentemente inconsistente . Nótese que en este caso p ^ q NOTA: Si en la matriz escalón aparece una fila con todos los elementos correspondientes a la matriz del sistema iguales a cero, excepto el término independiente [0 0 ... 0 ¡ 6 ], entonces el sistema es incompatible.
C O N C I jL S I O N E S : 1) Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas tiene una solución única si y sólo si la forma escalonada reducida por renglones de su matriz de coeficientes es #1 2) Si en la matriz escalonada el número de filas diferentes de cero es menor que el número de incógnitas, entonces el sistema es compatible indeterminado. 3) Si en la matriz escalón del sistema de ecuaciones aparece una fila de la forma [0 0 ... 0 | c] y incompatible.
NCMCíMPEMA SOIS] 2w + x - 3 y - 3 z = 4 x + 2y + z = -3 2w - x + 3z = -3 5w - y + z = -6
i.i,
c í
O, entonces el sistema es
4) Todo sistema homogéneo es compatible. * En resumen, el procedimiento consiste en reducir la matriz ampliada por operaciones elementales en las filas, a una matriz equivalente en la que la solución del sistema sea inmediata. Se pueden presentar estos casoBt En la matriz resultante no hay ninguna fila en la que el primer elemento no nulo esté en la última columna , entonces el sistema tiene una única solución o infinitas soluciones.
i)
En la matriz resultante aparece una fila con su primer elemento distinto de cero en la última columna, entonces el sistema no tiene solución.
ii)
EJEM PLO 2 : Resolver el sistema por el método de la matriz ampliada ; e indicar el valor de «w*
R E S O L U C IÓ N : * El sistema anterior se puede escribir a s í: 2w + x - 3 y - 3 z = 4 0w + x + 2y + z = -3
2w - x + 0y + 3z = -3 5w + 0 x - y + z = -6 * La matriz ampliada del sistema es : 2
1
0
1
2
2
-1
0
5
0
f3+2f*
-3
-1
-3 ! 4 i -3 1 3
ít - 3
1
»-«
2 1 -3 0 1 2 0 0
7
2
1
-------- ►
0
1
2 f4 - 5 f t
0 0
ft-fi
-3 !
1 8
4 -3 -13
-3
4
2
1
-3
-2
3
6
-7
-6
13
17
-3 2
7f4 - 2 3 f s
¥
2
1
-3
y lu e g o
0
1
2
1
0
0
7
0
0
0
8 \ i9 - 1 3 l ¡ 1
30 l-4 7 * De donde se obtiene : w = J 0 0 23
-3
22
-3 |
4
| -3
EJEM PLO 3 : Resolver el sistema por el método de la matriz ampliada: (2w + 3 x - 4 y - z = 3
3w + x + y + 2z = l w -2 x + 3 y -z = 0 w -2 x -y -9 z = 5 R E S O L U C IÓ N : La matriz 2 3 -4 3 1 1 1 -2 3 1 -2 -1 *y siguiendo
ampliada del sistema es - 1 \3 1 -2 3 -J¡0 1 1 2 i* 2 |/ f , * f , 3 -1 ¡0 ----- > 2 3 -4 - i \3 I -9 ! 5 1 -2 -1 -9 \5 con las transformaciones, llegaremos 1 -2 3 —1 \ 0 0 7 -8 5" ¡' J -4 1 I2 0 0 -2 0 0 0 0 , 11 * De donde la última fila de la matriz conduce a la ecuación : Ow + 0 x + 0 y + 0z = l= > 0 = l * Entonces el sistema no tiene solución (
EJEM PLO 4 : Resolver el sistema: x + 2 y -3 z = 6
2 x -y + 4z=2 4x + 3y - 2z = 14
BBBI B 7 i IHfH
R E S O L U C IÓ N :
=>x - 1 = ± 4 2
1 2 -3 ! 6 O -5 10 ¡ -10 O -5 i o ! -10
f t M
t m
v ü
S
]
Resolver : x + y = l .........................................................
-5y + 10z = -10 ♦Las ecuaciones de este sistema son dependientes. Si (r ; s ; t) es una solución del sistema, entonces : r + 2 s - 31 = 6 - 5 8 + lOt = -10 ♦Si se resuelve la ecuación -5a + lOt = -10, para a 10 + 10t = 2 + 2t se obtiene : * =
*
♦Luego cualquier tema de la forma ( 2 - 1 ; 2 + 2 t ; t) es solución del sistema o el coqjuntcTsolución del
x 2 + y 2 = 2 5 ........................................................... R E S O L U C IÓ N :
Para
x =4
Para:
=>
Resolver : x 2 -2 x y + 3y3 =19 2x*2 - x y + 4y2 =38...
m (i d
R E S O L U C IÓ N : ♦ Cuando se trata de polinomios homogéneos se puede hacer : y = kx, de donde resulta. Dividiendo a miembro
2 x x k x + 3ksx 2 = 1 9
x2
2x2
x x k x + 4k2x 2 = 38
l - 2 k + 3k2 = 19 38 2 —k + 4k2 =►2 - 4 k + 6 k 2 = 2 - k + 4 k 2 =>2ks - 3 k = 0 => k(2k — 3) = 0 =>k = 0 ó k = ?~ £ =>y = 0 ó y = - x ♦ Luego para y = 0, en el sistema original, resulta:
x 2 = 19
=> x =
2x2 = 3 8
EJEM PLO 1 :
♦ Finalmente para y ~ “ x :
Calcular «x » en : X + y = 2
y = -3
EJEM PLO 3 :
Miembro
Un sistema no lineal es aquel sistema que no es lineal. Para resolver un sistema no lineal de ecuaciones no existe un procedimiento general. Se puede eliminar variables, se puede sustituir y hasta puede graficar las ecuaciones para encontrar la solución, es decir sólo la experiencia le dirá a Ud. qué hacer. Presentamos problemas resueltos para mostrarles algunos métodos que se puede utilizar.
(II)
♦ De (I) : y = 1 - x ; reemplazando en (II) x 2 + ( 1 - x ) 2 = 25 =>x2 + 1 + x 2 - 2x = 25 ♦ Simplificando , obtenemos : ' x2 - x - 12 = 0 ♦ Factorizando (x - 4 ) (x + 3) = 0 ♦ Igualando cada factor a cero.
sistema es: {(2 ; -t ; 2 + 21; t)/ t e JP*} • •:
SIST E M A S D E ECUACIONES NO LIN E A LE S
=(D
*< II
2 2 -3 ¡ 6 fs~ Í2 --------► O -5 10 \-10 O O O ¡ O ♦La última fila de la matriz anterior conduce a la ecuación Ox + Oy + Oz = 0 entonces el sistema tiene infinitas soluciones. E l sistema original es equivalente al sistema: x + 2 y -3 z = 6
♦ Al sustituir este valor de • en la ecuación : r + 2 » -3 2 = 6 , s e obtiene : ^ r + 2 (2 + 2t) -3 1 = 6= > r = 2 - 1
=*■ X = l ± y p 2
EJEM PLO 2 :
H 11 1 CO
> h -* fi
J S
= > x2 - 2x - 1 = 0 = > ( x - l f = 2
♦ La matriz ampliada del sistema es 2 2 -3 ¡ 6 2 -1 4 ¡ 2 4 3 -2 \14
» I ¿
.............f / j
x*
R E S O L U C IÓ N :
- 2 x .* 1 + 3 2 ♦ De donde:
*D e ( I ) : y = 2 - x * Reemplazando en (II) : x(2 - x ) = - 1
Para:
3x 2
2 = 19=> x 2= 4=> x = ± 2
r h m
• Pero como y € Z , entonces : y = 2 6 y = 3 * Luego :
Para: • El conjunta solución final , será :
{(^ ;0 ),{-J Í 9 ;0 ),(2 ;3 ),(-2 ;-3 )}
Si: y = 2 = > x = ^ (2 ) = 3
EJEM PLO 4 : Dado el sistema : yjx + y +
Si: y = 3 = > x = ^ (3 ) = 2 3 EJEM PLO 6 : Calcular el valor de «a» para que el siguiente sistema tenga solución única: y = x 2 +1
y\x + y - ^ y + z + y/z + x = 6 2yjx + y - y¡y + z + >Jz + x = 11 Hallar la suma : x + y + z
x 2 + y 2 = a; a > 0 R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N : * Haciendo uso de la transformación : yjx + y = u u + v + w = 18.. Jy+z = v u - v + w = 6 .... 2u - v + w = 11 Jz + X = w
N C lC U tP E D lX S O I»)
j
*Graficando :
M)
MI) (IU)
De (I) - (II) f resulta : 2d = 12 => r = 6=>u = 5 y w = 7 Luego : Jx + y = 6 x + y = 25
J y + z = 6 =>
y + z = 36
\lz + x = 7
z + x = 49
* Para que el sistema tenga solución única, las gráficas se deben interceptar en un punto o tangentes, así: . Y a
2 x + 2y + 2 z = 110 => x + y + z = 55 EJEM PLO 5 :
punto de intersección
Resolver el sistema :
=5
• Luego : a = 1
{ x 2 + y 2)(x + y) = 65 Siendo «x» e «y» números enteros
EJEM PLO 7 : Resolver :
R E S O L U C IÓ N :
V *2 +
* Haciendo : x = my ; se obtiene : ( r o * - l ) y a ( m - l ) y = 5 .......
1 + J y 2 + 4 + yjz2 + 9 = 1 0 x+ y+ z= 8
M)
(m2 + l ) y 2 (m + l ) y = 65 .... (II) Dividiendo miembro a miembro : (m2 + l)(m + l) 65 _ 13 (m + l)(m - l)(m - 1) 5 1 Por proporciones : ro* + 1 = 13m *-26m + 13 Simplificando : 6m2 — 13m + 6 = 0 => (2m — 3)(3m — 2)= 0 2 m = — ó ro = — 2 3 • Reemplazando en (I) , resulta : y 9 = 27 y*=0
{ x .y ,z } C J?+ R E S O L U C IÓ N : * Construyamos un triángulo rectángulo donde intervengan las ecuaciones del sistema : Vemos que este es un triángulo con ocid o .
gyg B ffl * Tomemos la contangente de 37° en cada triángulo sombreado :
ctg37° = - = ^ = - = i = > * = £ ; y = £ ; z = 4 * 1 2 3 3 3 J 3 EJEM PLO 8 Resolver :
xy + x + y = 7
xz + x + z = 11 yz + y + z = 5
R E S O L U C IÓ N Factorizando cada ecuación : (x + l)(y + 1 ) = 8 (x + l)(z + 1) = 1 2 (y + l)(z + 1) = 16 Multiplicando miembro a miembro : (x + l)*(y + l ) ‘ (z + l ) 3 = 243 (x + l)(y + l)(z + 1 ) = ± 2 4 ................
(a)
Reemplazando ( a ) :
8(z + 1) = ± 2 4 => z = 2 v z = - 4 12(y + 1) = ± 24 => y = 1 V y = -3 6(x + 1) = ± 24 => x = 3 V x = — 5
M ÉTO D O S G R ÁFICO S Los métodos gráficos son didácticos e ilustrativos, aunque en general carecen de interés práctico en las aplicaciones técnicas de importancia. Además están restringidos generalmente a sistemas de dos o tres ecuaciones reales. Dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas de valor real, suelen aparecer como uno de los cinco tipos diferentes mencionados a continuación. Tienen una relación con el número de soluciones: • Aquellos sistemas de ecuaciones que representan gráficamente rectas y curvas que se intersectan entre si. Este tipo de sistema de ecuación es considerado como el normal. Suele tener un número de soluciones finito cada uno formado por las coordenadas dedos punto de intersección. •Sistemas que tienen simplificaciones falsas. Por ejemplo: 1 = 0 . Gráficamente se representan como un conjunto de líneas que nunca se intersectan entré si, copio líneas paralelas. • Sistemas de ecuaciones en las que ambos simplifican a una identidad (por ejemplo, x = 2x - y ; yx=0). Cualquier asignación de valores a las variables desconocidas satisface las ecuaciones. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones, que gráficamente, se representa como todos los puntos del plano que representa la solución. • Sistemas en los que las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos: son matemáticamente equivalentes (una ecuación general puede ser transformada ep otra a través de la manipulación algebraica). Estos
■ V iA a m i mi! £ c c ^i o
oax
:3 ]
sistemas representan completamente la superposición de líneas o curvas, etc Una de las dos ecuaciones esredundante y puede ser desechada. Cada punto de la serie de puntos corresponde a una solución. Generalmente, esto significa que hay un número infinito de soluciones. •Sistemas en los que una (y sólo una) de las dos ecuaciones se simplifica a una identidad. Por lo tanto, es redundante y puede ser descartada, según el tipo anterior. Cada punto de la serie de puntos representados por los demás es una solución de la ecuación de los que hay a continuación, por lo general un número infinito. L a ecu ación ar*+ y* = 0 puede ser pensada como la ecuación de un círculo cuyo radio se ha reducido a cero, por lo que representa un único punto: (x = 0. y = 0), a diferencia de una normal de un círculo que contiene infinito número de puntos. Este y otros casos similares muestran la razón por la cual los dos últimos tipos anteriormente descritos necesitan la calificación de «normalmente». Un ejemplo de un sistema de ecuaciones del primer tipo descrito anteriormente, con un número infinito de soluciones viene dada por x = |x |, y = |y | (donde la notación | | indica el valor absoluto de la función), cuyas soluciones se forma un cuadrante de la x-y plano. Otro ejemplo es x = |y |, y = |x|, cuya solución representa un rayo. UN P O C O D E H I S T O R I A í El prim er sistem a de ecuaciones lineales del que se tiene noticia cierta es el de Thimaridas de Paros, un pitagórico de la primera época, a u to r de una aritm ética que ha llegado hasta nuestros días. He aquí el problem a ju n to con su solución.
« Si se conoce la suma de varias incógnitas, así cómo también las sumas parciales de una de ellas con cada una de las otras, y se suman todas estas sumas parciales , restando después la primera suma total y se divide la diferencia por el número de incógnitas disminuido en 2, se obtiene el valor de la primera; y de éste se deducen los demás.» Traté de plantear este sencillo sistem a de ecuaciones Negando a la solu ción indicada por el a u to r hace apenas 2500 aftos 111!
Durante cientos de años los matemáticos no supieron darle diferentes nombres a las incógnitas cómo lo hacemos hoy en día. Diofanto resolvió multitud de sistemas de ecuaciones luchando con la dificultad de tener un sólo símbolo para llamar a lo que tenía que calcular, que denominaba arithmos, que quiere decir número. El prim er sistem a de ecuaciones con un m étodo para su resolución, el de reducción, fue ideado por Juan Buteo, monje francés (1492-1572). La notación, en aquel tiem po, era esta:
1A,
1 3 B,
IB,
T a,
IC,
4-a ,
1 r
TC
[14 [8
B
[8
Hoy en dia hay que sustituir las comas por signos de adición y los medios paréntesis rectos por signos de Igualdad y ya tendremos el sistema de ecuaciones listo y actualizado para ser resuelto.
CMCi Ai PEPEA 2012]
(«a*
• Luego : m2 + n 2 = 8* + 42 = 80
RPTA UD ” PROBLEM A 4 : PROBLEM A 1: Dado el sistema de ecuaciones: 5 x - 2y = m
x + 9y = m Determine m, de modo que y sea menor que x en 7 unidades. A)47 B)37 C )ll D) 4 E)74 R E S O L U C IÓ N : * Como m = m , entonces : 5 x - 2 y = x + 9y =>4x = 22y * Pero por dato: x = y + 7 =>4(y + 7) = 22 y => 4 y + 28 = 22y =>y = 4 x = 11 * Reemplazando en la primera ecuación dada: 6 (1 1 )-2 (4 ) = m =>m = 47 RPTA “A ” PROBLEM A 2 : Al resolver el sistema : (a + b)x + ( a - b ) y = 3 {a 2 + b2) ......................... //) t
ax - by = 2Ía2 + b3) ................................... (II) el valor de x es: A)2a B)2b C)a + 6 D) 2a + b E)a + 26 R E S O L U C IÓ N : * Haciendo (I) - (II):
bx + ay = a 2 + b2............................................(III) a x -b y = 2 (a 2 + b2) ......................................... (II) * Luego de (b) X (III) + (a) X (II), se obtendrá :
b2x + aby —b(a2 + b2) a2x - aby = 2a(a2 ± b 2) (a2 +b2 )x -(a 2 +b2 )(2a+b) =>■ x = 2a + 6 RPTA UD PROBLEM A 3 : Calcular «m* + n2» , si el sistema :
m x + ny = 4 2x + y = 2 es compatible indeterminado. A)50 B)60 070 D) 80 R E S O L U C IÓ N :
E)90
* Para que sea compatible indeterminado (por propiedad):
¿ 1
* 7 =£•m = 8 A n = 4
1
el valor de «a » para que el sistema : x + 2y = 18 3x - a y = 54 sea posible e indeterminado es: A)3I2 Bb-6 0 -2 R E S O L U C IÓ N :
D )2
* Como el sistema es indeterminado , entonces: 1 s 2 = ----l 8 =^ > a r — 6Zi — 3 -a 54 RPTA “B ”
PROBLEM A 5 : Determinar «A » de modo que el sistema: (A + 2)x + y = 3 2x + ( A - 2 ) y = 2 sea incompatible. AK/3 B )-j3 OAVB D )A A B R E S O L U C IÓ N :
E)0
* Para que el sistema sea incompatible por propiedad se debe cumplir que : A+ 2 2 - sé — => k 2 — 2 = 2 => k = i>/S k -1 1 k = J3 k = -y[3 RPTA UC ” PROBLEM A 6 Dado el sistema :
ax + y = -l-c t x + a y = 2+ a Hallar la suma de los valores de a para los cuales el sistema tenga más de una solución. A)-2 B)0 OI D) 2 E)-l R E S O L U C IÓ N : * Sumando las ecuaciones, se tiene: (o: + 2)x + (2 + o:)y = 0
(ot + 2) (x + y ) = 0 O B S E R VA C I Ó N ax = b tiene más de una solución si a = 6 = 0 • En el problema : a + 2 = 0 =>a = - l ............ (Único valor) RPTA “E ” PROBLEM A 7 : Calcular «A » de modo que el sistema : f ( A - 2 ) x = - y . ......................... x = 2y ........................... (II)
Hggi * 7* BHB1 presente infinitas soluciones: A j-J /2
C)l/2
B ji
2))0
R E S O L U C IÓ N : * Como tiene infinitas soluciones : k —l * 0 => k * 1 * ( n ) e n ( I ) : - y = 2 y ( k - 1) ^ y ( 2 k - 1) = 0 * Luego como «y» toma infinitos valores, entonces :
2k —l = 0 =>■ k = — 2 RPTA “ C ” Determinar >1, en el sistema de modo que: ÍA* + y = 0.........................................(I) fx + Ay = 0....................................... (II) tenga infinitas soluciones: A)1 B)0 C hl D )A ó C E)* R E S O L U C IÓ N :
* Como posee infinitas soluciones , entonces:
x p j - 1)= 0 0 (Pués toma infinitos valores) * Entonces : A = J v A = -2
RPTA “D ” PROBLEM A 9 : Determinar «a + p » , de modo que el sistema: ( a - l ) x + 4y = 10 * ^ £ 2x + (p + l ) y = 5 ^ 4 ^ posea infinitas soluciones. A)4 B)6 C)7 ( ^ P h l R E S O L U C IÓ N :
,fc
R E S O L U C IÓ N : I) FALSO : ya que será incompatible si: 12 m + m -5 -3 6 -24 3m - 2m2 esto es falso
II) FALSO: porque será determinado, si: m + m— * — => 2m2 + 2m —10 2m2 —3m 3m - 2m 6 5m * 10 =>m * 2 III) FALSO: dado que será indeterminado si: m2 + m - 5 _ - 3 12 2m - m2 6 -24 =► m = 2 => 3m = 2.
(si existe m £ R ) RPTA “B ”
3x + ( 5 - m ) y = 2 + m Si N es el valor de m para que el sistema tenga infinitas soluciones P es el valor de m para que el sistema no tenga solución entonces el valor de N - P es : A hí B)0 C)1 D)2 E)3 R E S O L U C IÓ N : * El sistema tiene infintas soluciones , si : m _ 2 _ 5 3 5 -m 2+m
E)4
* Ya que el sistema presenta infinitas soluciones, entonces por propiedad se obtendrá : a -1 4 10 _ = as — =>• a = 5 y p = 1 5
* Se pide : 5 + 2 = 6
RPTA UB ” PROBLEM A 10 : Si x e y son las variables del siguiente sistema: (m 2 + m - 5 ) x - 3 y = 22 6y + Í3m - 2m 2)* = -2 4 determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
2 (2 + m) = 5 (5 - m) —y m = 3 3 2 ....(se cumple) * Además : — = 3 5 -3 Luego : N = 3 • El sistema no tiene solución si : m __ 2 5 3 5 -m 2+m
m {5 - m) = 6 —y m = 3 V m = 2 • Pero con m =3 se está en el caso anterior. Para m=2: - * 7 o
2
5
(cumple)
• Luego : P = 2 ♦Sepide: N - P = 3 - 2 = 2 RPTA UC ”
I) 3m £ 1 / e1 sistema es incompatible II) Vm £ R ; el sistema es determinado
PRO BLEM A 12 :
UI)
Si el sistema de ecuaciones lineales : x + {2 -a )y = -l
A)W F
£ R ¡ el sistema sea indeterminado B)FFF
]
P R O B L E M A 11 : En el sistema : mx + 2y = 5
( 7 ) K-8 X!x+ yX = 0 — 1 : x +\y=0~J
p + J
l> E
Vm € R - {2 }........(n o es Vm € F )
PROBLEM A 8 :
2
tVi&TEM jl
C)VFV
D) FFV
E)VFF
ax + ( a - 2)(a + í)y = -2
[a
i
v a a o r m t 2ot¿\
,
Tiene infinitas soluciones para a = a x y es incompatible para a = a 2, entonces el valor de M = flj + a t es :
4
4
R E S O L U C IÓ N :
E )-2
2 -a
a € {8; +oo) ........(ver inecuaciones) PROBLEM A 15 : Si el siguiente sistema: (fe + 3 )x + (2fe + 3) y = 75
( k - 3 ) x + ( k - l ) y = 25 no tiene solución, entonces el valor de k es: A) -7 B)0 01/2 D)2 R E S O L U C IÓ N :
-2
a (a -2 )(a + 2) -2 o í - 2 A (a -2 )(a + 2) = a (2 -a ) =>• a * -2 A a + 2= -a => a = — 2 2 ♦ Luego : a* = — 3 * Se pide : M —a¡ + a2 ——
RPTA “B ” PROBLEM A 13 : Calcular los valores de X para que el sistema: 5x + 2y = Xx A 3 x + y = Xy, tenga infinitas soluciones, dar como respuesta la suma de los cuadrados de dichos valores. D) 38 A)26 B)37 C)28 E)26 R E S O L U C IÓ N : De:
\5x + 2y = Ax 3 x + y = Xy
Ao = 2
RPTA UB 99
PROBLEM A 14 : ._
«
Encontrar el intervalo de a para que el sistema 2 x -5 y = l ax + lúy = 4 se satisfaga : V x £ R + y Vy € R~ R E S O L U C IÓ N : ♦ Usando cramer : 2 -5
x =^ ~
2 -5 a
10
Para fe = - 1 , resulta: ~ r ^ 3 ................. (Verdadero)
* Finalmente : fe = -2 PR O B LE M A 16 :
¿,=(5-A)(2-A) = 0
Se pide: 5* + 2* = 37
10
Para fe = 6, resulta: — =* 3 ..................... (FALSO) 5
RPTA "A”
3x + (l-X )y = 0
3 2 -A => X j = 6
30 20 + 5a
>0,
E)3
* Como no tiene solución , entonces : k + 3 __ 2k + 3 75 25 k -3 fe- 2 (iU ¡¿ 3 (i) ai) * De (I) y (III) se obtiene : k 2- 5 k - 6 = O =*(fe - 6) (k + 1) = 0 => k = 6 ó fe = -2 * Luego evaluemos en (II y UI) :
(5 -X )x + 2y = 0
Por teoría (A , = tí) : 5 -A 2
4
20 + 5a
* Resolviendo (I) y (II) resulta:
Tiene infintas soluciones entonces 1 2 -a = — =+a = 2 a (a - 2)(a + 2) -2 Luego :a ¡ = 2 * Es incompatible , entonces : 2 _
2 -5 a 10
(II)
(I)
Para qué valores de m el sistema de ecuaciones 2x + 7y = m 3x + 5y = 13 tiene soluciones positivas Ai26 ^ 91 26 ^91^26 . ^.91 02 A )— < m < — B)— < m < — C) — < m < —« D)— < m <*— 3 6 3 8 3 8 3 8
R E S O L U C IÓ N : * Resolviendo el sistema de ecuaciones por determinantes tenemos : m 7 13 5 5m-91 >0 *=A = (I) -22 10-21 A, 2 7 3 5 2 m 3 13 26 - 3m .(ü) 2 7 -22 3 5 91 * De(I) : 5 m - 91 < O =>5m < 9 1 = > m <
flfigfr 5 7 7 P H
* DeíTO: 2 6 -3 m < 0 => 3m - 26 > 0 => m >
ff
R P T A **D
PROBLEM A 1 7 : [x + y = -3 Si el sistema: ( 2 v _ 5> = A tiene solución única en la región M definida por 32={(x;y) G J?xJ?/x<0 Ay
k - 15 -k -9 y * Resolviendo : x = 8 * 8 * Como (x,y) € M = {(x; y) € R 2 /x < 0 A y < o} k -1 5 „ -k -9 n => --------<0 A --------<0 8 6 =¡> k < 1 5 A A >-9 =» - 9 < 6 < 25 =► *G<-9;25)
RPTA " C ”
PROBLEM A 18 : 6 x + 3y = ¿3
3x + y = 8 tiene soluciones positivas entonces el conjunto de valores reales que admite fi es :
Si el sistema:
A)0 G (26; 24) € (2; 6) D )p = 0 B) 0 € * - { O } R E S O L U C IÓ N :
I> f g
F.4't7.t f 7
Q .T K 3
Entonces , el valor de T = a - 6 es: Ah22 B hl C)4 D) 10 R E S O L U C IÓ N :
26
26^ 92 • Luego : - r - < m < — o o
tSW&TEMA
€ R+
* Resolviendo resulta : 2 4 —B - ^ x = 7— — — A y = /3 —16 3 .. * Pero por condición r " *>0Ay>0=>24-0>0A£-26>0 16 < 0 < 2 4 => 24 > 0 A 0 > 16 RPTA PROBLEM A 19 : 5x + a y = 2 ...........L t
Si el sistema 4x + 3y = b ...........L 2 Se representa geométricamente mediante la
]
E)12
* De acuerdo al gráfico, se nota que (2 ; 4) es la solución del sistema lineal : 5x + ay = 2 4 x + 3y = b 6(2) + a(4) = 2 A 4(2) + 3(4) = h
=> a = —2 A 6 = 20 * Se pide : T = —2 — 20 = —22
RPTA “A ” PROBLEM A 20 : La solución del sistema : —2 ’x 3 . X ss \bA A s es +t A b2 0 y I 4 y Dar el valor de verdad de: •
■
I) det A * 0 y el sistema corresponde a dos rectas que se intersecan en un punto. II) d e t A * 0 y el sistema corresponde a dos rectas que no se intersecan. III) det A * 0 y el sistema corresponde a dos rectas que coinciden. A)FW B)VFF C)W F D) FFV EJFVF R E S O L U C IÓ N : / \
De:
x
3 -2 t
=> x = 3 —2 t A y = t
0 +/ y * Graficando las ecuaciones paramétricas: .
I ) VERDADERA
II) FA LS O IIDFALSO RPTA “B P R O B L E M A 21 : Al resolver el sistema : x + y + 2z = - 1 ..................... (I) 2 x - y + 2z = - 4 ................ (II) 4 x + y + 4z = - 2 ................ (III) El valor de y es:
A)0 B)1 R E S O L U C IÓ N :
C)2
D)3
’c t c a j o m m A z o i t ]
STS | A)3
* De (III) - 2(11) , resulta : 4x + y + 4z = —2 ¿> 4 x —2y + 4z ■ - " ' t 3y = 0 => y = 2 PROBLEM A 22 : jCbresolver el siguiente sistema : a+ b+ c= 2 —a+6+c=0
.»>»»»»«»<
ff) ~(U)
RPTA “A” PROBLEM A 25 : Al resolver el siguiente sistema : (l + i ) x - ( l - i ) y + 2£z = 3 ___ (l-i)x -(l+ i)y -2 z = L
RPTA PROBLEM A 23 : Al resolver el siguiente sistema :
S x - y + 2z = l ---------------- ( W x + 2y —3 z = ——----- ~.-(TTll
f
* Sepide: - 7 + 20 + 11 = 20 RPTA PROBLEM A 24 : Resolver el sistema de ecuaciones :
—x¡ + 2xs + x3 = —2 4
3x3 + 6 xt + 3 x , = 6
3x j - x 3 = 4 El insultado de (Xi+xt+x9) es: •
«,*
*
~tfZ7
RPTA **B
PROBLEM A 26 :
^ x = -l= + z = ll * Reemplazando « a ' (I) : 2 ( ' l ) + y - l l = 3=+ y = 16
^
~ f/7
..(BD x + 3iy + 2iz = l —i el valor del W es: 470 . Bíi 02 D)3 R E S O L U C IÓ N : * D e ( l - i ) ( I ) - ( l + i)(U ): 2 x + 2iy 2 i(li -—i)z =3 ( l —i) i) . 2iy ++ m i)z = 3(12 x + 2iy-2(l _ s_ + i)z = i(l + i) 0 = 5. 4 ( 1+ ± i)z ií* = = 4 (1 — ~ ii)) t 4(1 4(1 =+ z = —i=> lzl = £
3* + z =
*
i E)1S
D)20
•B e(D + (W : 7x+z=4 * De 2(7) - (IB)'.
i
=2
12 * Finalmente : x¡ + x 3 + x 3 = 2 —1 + 2 = 3
* Sepide: T = 2 ( l ) - ^ j + 2 = 9
fc%
1 3 6 3 3 4 1 = -1 12
* 1 *■« 1
Xm =
=+b = —1 => c = 2
4 x = —4
-2 2 1 6 6 3 4 0 -1 = 2 x. = *t = 12 -1 2 - 2 3 6 6 3 0 4
* De (77 + (II) f resulta : 2(b + c) = 2 => b + c = 1 => a = 1 * De (IB) : 3 a - b - 4 ( b + c) = 0=> 3(1 )- b - 4(1) = 0
tí valorde M = x + y + z es: 4128 B)26 C)25 R E S O L U C IÓ N :
£715
3 0 -1
£79
2)20
D) 10
07
R E S O L U C IÓ N : * Reescribiendo el problema : —Xj + 2xt + x 5 = —2 3xj + f o j + =0 3xj + Qxs —x*3 = 4 -1 2 1 ♦ Aplicando Cram er: A = 3 0 3 = 12
3a —5b —4c = 0 El valor de T = 2a — — + c es: o £712 CJ11 R E S O L U C IÓ N :
B)4 ;
resolver el siguiente sistema: ll* y = 15(7*-2 y7 -1 5 (8 y -7 z) = yz el valor de * ee: l- 7 ” = 6(3x - Bz) A)2 B)3 CJ4 D)5 R E S O L U C IÓ N :
* Transformando adecuadamente : 7 2 11 llxy = 15(7x - 2y) =+------------= -----y x 15 _ . 7 8 1 —15(8y—7z)=yz ^ ----------- = — y z 15 —7xz = 6(3x —5z) =+ - - - = x z 6
\'ti r
»fl*v *
£70
(77
(U)
(111)
¿wmmtk»l \ o#;
* De 5(1 - U) y 2(111) , resulta : 40
20
20
34 17 a — = — => z = 6 z 3 PROBLEM A 2 7 :
RPTA UE
Si a6c = 0 y se tiene el sistema : cx + az = b ................................ (I) bz + cy = a ............................... (II)
ay + bx = c ............................. (III) entonces el valor de z , en función de a, b y c, es : R E S O L U C IÓ N :
]
* D e(III): 2(x + y) + y + 5z = 340 2(90) + y + 5(20) = 340 => y = 30 * Entonces se pueden fabricar: 30 sillas, 60 mecedoras y 20 sofás. RPTA “B ” PROBLEM A 29: Dispones de tres pilas de monedas. Duplicamos las monedas de la segunda pila, tomando las necesarias de la primera. Duplicamos después las monedas de la tercera pila, a costa de la segunda. Y , por último duplicamos las monedas de la primera pila tomando algunas de la tercera. Tras este trasvase de monedas las pilas quedan equilibradas. ¿Cuál es el mínimo número de monedas que puede haber y cómo están distribuidas inicialmente? X Y Z fe
* De (I): cx = b — az * De (II): cy = a —bz * De (c)x(III): a(cy) + b(cx) = c 2 =>• a(a —bz) + b(b —az) = c 2
=> a 2 — abz + b2 —abz = c 2
R E S O L U C IÓ N :
a + b —c =» a 2 + b2 — c 2 = 2abz => i = 2ab PROBLEM A 28 : Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de estos muebles se necesita la utilización de unidades de madera, plástico y aluminio tal como se indica en la tabla: Madera
Plástico
Aluminio
Silla
1
1
2
Mecedora.
1
1
3
Sofá
1
2
6
Si se dispone de una existencia de 110 unidades de madera, 230 unidades de plástico y 340 unidades de aluminio. ¿Cuántas sillas, mecedoras y sofás en ese orden se podrán fabricar? A)50; 60; 30 B)30; 60; 20 C)40; 40; 30 D) 10; 30; 70 E)24; 60; 26 R E S O L U C IÓ N : * Sean: x, y, z los números de sillas, mecedoras y sofás que se pueden fabricar respectivamente, con el material disponible . Entonces , según el cuadro: Madera:
x + y + z = 110 ................(1)
Plástico :
x + y + 2z = 230............... (II) 2x + 3y + 5z = 340............ ( I I I )
Aluminio :
* De ( I I ) - ( I ) : z = 20 = > x + y = 90
* Sean x, y, z el número de monedas que hay en cada pila inicialmente. Hagamos los trasvases : In i c i o
X
y
*
Primer trasvase
x -y
2y
Z
Segundo trasvase
x -y
2 y -z
2z
Tercer trasvase
2 (x -y )
2 y -z
2 z-(x -y )
-H
* Por condición del problema : 2(x - y) = 2y - z = 2z —(x - y) * De aquí resultan dos ecuaciones : 2(x —y) = 2y —z A 2(x - y) = 2z —(x —y) * o equivalentemente : 2 x -4 y + z = 0
3 x -3 y -2 z = 0 * Como hay que minimizar el total de monedas, llamemos n a ese número . Tendremos entonces el sistema : x +y +z =n 2x —4y + z = 0 3 x -3 y -2 z = 0 * Usando el método de Gauss - Jordán: 1 1 2 ¡«1 2 1 1\ n 2 -4 2 ¡| 0 /V/ 0 -6 -1 J! -2n 3 -3 -2 \0 0 -6 -5 ¡ -3n (2 1 1 ! n 0 -ó * 1 •-2n 0 0 -4 ¡ -n I V
I 5S0 1
^„ n 7n lln •Entonces: z = 4 ; y = 24 : X = 24
m C Iv O P B P M 201¿\
PRO BLEM A 32 :
* Como x, y, z deben, ser naturales positivos, entonces para que sea el menor valor posible n=24 con lo que obtenemos: z = 6 ; y = 7 ; x = 11.
Si un sistema lineal de 3 ecuaciones con dos incógnitas tiene solución única. ¿Cuál de las siguientes gráficas podría representar el sistema?
PROBLEM A 30 : 00
%
Resolver el sistema por el método de la matriz ampliada, llevándolo a una matriz en la que la solución sea inmediata : # y
1
2
1 1
7 x~ J y ~ 7 z= T L x + l y+ l z=4 6
9'
2
R E S O L U C IÓ N : * Inicialmente se reemplaza cada ecuación por una ecuación equivalente en la que los coeficientes y los términos independientes sean enteros. Así, se multiplica la primera ecuación por 12, la segunda por 12 y la tercera por 18. Se obtiene el sistema equivalente: 6x + 4y + 3z = 24 3 x -8 y -3 z = 6 3x + 2y + 9z = 72 * La matriz ampliada de este sistema es : 6 4 3 \ 24 3 ! 24 * 0 20 9 | 12 0
- 1 5 | -1 2 0
6 4 3\24\ 0 1 0 j —3 0 0 l\ 8
a 0 0\ 2 o 1 0 \—3 o 1! 8
* De esta última matriz se obtiene inmediatamente la solución del sistema, así: x = 2; y = - 3 y z = 3.
P R O B L E M A 31 : 3x + 4y + 5z = a ....( I) 4x + 5y + 6z = b ....(II) En el siguiente sistema 5x + 6y + 7z = c ....(III) tiene infinitas soluciones, entonces la relación que debe existir entre los coeficientes a, b y c es: A)2a = 6 +c B)2c= a + 6 D) 2a =b + 2c E)2c = a - b R E S O L U C IÓ N :
C)2b = a + c
• De a m - (W y a i) - a ), se obtiene : x+y+z =6—a x + y + z = c —b ¡1 sistema tendrá infinitas soluciones si: 6 _ c = c - 6 = > 2b = a + c RPTA “
A)SoloI B)Soloin E )Iy IB D) /, ii, m R E S O L U C IÓ N :
O U yU I
* Geométricamente el sistema lineal tiene Bolución única y existe un único (x; y) , tai que : n L2 n L3 — (x ; y ) * Es decir las tres rectas se intersectan en un sólo punto. Esto ocurre en los casos II y I B RPTA “C ” P R O B L E M A 3 3 j_ _ x + mz = 1 2y — z = 7 Si el siguiente sistema 2x + 2z —n es indeterminado, entonces los valores de m y n respectivamente son : A )l;2 B)2; 1 C)3;2 . D ) 2 ; 3 B)3; 1 R E S O L U C IÓ N : * Usando la matriz ampliada : • m 1 ' m w 1 0 1 0 ! i] f9 ~ V , j -1 7 0 2 -i 1 7 0 2 i 0 2 0 2 —2m n - 2 .0 i2 • Luego para que el sistema sea indeterminado se debe cumplir que : 2 — 2m = 0 A n —2 = 0 => m = 1 y n = 2 RPTA "A” PRO BLEM A 34 : Si el siguiente sistema : x +y+z =5 2x + 3 y - 2 z = 4
......... (I) (II)
ax + (a + 2 )y — 3z = 13 (III) tiene más de 2 soluciones, entonces el valor de «a» es: AJI
B )3
C )5
D )6
E )7
R E S O L U C IÓ N : • Tiene más de dos soluciones entonces tiene infinitas soluciones , luego : • De 2(1) + (II) y 3(1) + (III) se obtendrá :
[m m ram vE S
» / : y-;4
/j •
4x + 5y = 14 (a+3)x + (a+5)y = 28 * Este último sistema también tiene infinitas soluciones , por lo que : 14 a + 3 a + 5 28 RPTA "C " PROBLEM A 35 : Considere el siguiente sistema homogéneo : x + (m + í ) y + z = 0 x + y + (m + l ) z = 0
D) R - { 1 }
Al resolver el siguiente sistema : 2x + 3y + z = l ..... 3y + z + 4u? = 4 ..... z + 4w + 2x = 7 .....
41) .(II) (III) .(IV)
4u> + 2x + 3y = 6 .... Dar el valor de A)1 B )± C )j D)
E )±
• De (I) + (TV) : 2 (2 x + 3y) + (z + 4u>) = 7 • D e(II) + (III): (2x + 3y) + 2 (z + 4w) = l l • Sumando estas dos últimas , resulta : 3(2x + 3y) + 3 (z + 4w) = 18
E) M'
•Tiene soluciones distintas de la trivial (x= y= z= 0 ) si: AS = 0 Sumando las 1 m+ 1 1 1 1 m + 1 = 0... columnas a la primera m+ 1 1 1 (1 m + 1 1 m+ 3 m + 1 1 1 m+1 m+ 3 1 m + 1 = (m + 3) 1 m+ 3 1 1 1 1 1 1 m+ 1 1 1 ~m m = 0 => (m + 3) m 3 = 0 It-fl 0 0 —m m = 0 V m = —3 — m € {0; —3} RPTA “B
99
PROBLEM A 36 : Al resolver el sistema :
x + ay + a 2z + a 3 = 0 x + by + b2z + b3 = 0 x + cy + c 2z + c s = 0 El valor de y es: A)a + 2b + c B)2a + 3c R E S O L U C IÓ N :
PROBLEM A 37 :
R E S O L U C IÓ N :
(m + l ) x + y + z = 0 ¿Para qué valores de m el sistema tendrá soluciones distintas de la trivial? A)-3 B) {-3; 0} C) 0 R E S O L U C IÓ N :
:#o . v r ; ]
C)ab + ac + be
* Sea : P(t) = x + ty + Par + t3 P(a) = x + ay + a 2z + a3 = 0 «a » es una raíz de P. * Análogamente, «6 » y «e» son raíces de P con lo cual: P(t) = (t - a )(t - b)(t - c) => P( f) = f3 — (a + b + c )t2 +(ab + bc + ca )t —abe => P( f) = f3 - z f 2 + y í + x * De donde : z = -(a + b + c) y = ab + be + ca A x = -a b e RPTA “C ”
=> (2x + 3y) + (z + 4u>) = 6 • Arreglando (U) + (III) : (2x + 3y) + (z + 4u>) + (z + 4w) = 11 6 => z + 4w = 5 A 2x + 3y = 1 • En (IV) : 4w + 1 = 6 => u> = ^ 4
RPTA “D ” PR O B LE M A 38 : Al resolver el siguiente sistema : ax + y + z + w = l x + ay + z + w = a
.a i)
x + y + a z + o> = a 2
(iii)
x + y + z + atü = a3 El valor de z es:
.(IV)
R E S O L U C IÓ N : • Sumando las cuatro ecuaciones ; (a + 3) ( x + y + z + w) = l + a + a 2 + a s
(l + a) + (l + a 2) => x + y + z + w = a+3 De (III) : x + y + z + w + ( a - l ) z = a 2 (l + a) + {l + a 2) , ^ 2 2a + l + ( a — l ) z = a =>» z = a+3 a+3 PR O B LE M A 39 ; Al resolver el sistema de ecuaciones : x t + x 2 + x3 + x 4 = 2xj + 3x2 + 4x3 + 5x 4 = 4xt + 9x2 + 16x3 + 25x 4 = 8x¿ + 27x 2 + 64x 3 + 125x4 = E l valor de x2 es : Ah3 B)-2
C)-l
1 6 36 216
D)1
[+±M^€2M2M*M0+%.
M SI 58S
R E S O L U C IÓ N ♦Por la regla de Cramer, el determinante del sistema 1 i 1 1 es: 1 1 1 1 2 3 4 5 2 3 5 4 A ,= 2 2 3* 42 52 4 9 16 25 3 8 27 64 125 2a 33 4S 5 • Por Vandermonde A, = ( 3 - 2 ) ( 4 - 2 ) ( 4 - 3 ) ( 5 - 2 ) ( S - 3 ) ( 6 - 4 ) = 12 * El determinante de x, será : i 1 1 1 1 1 1 1 6 4 3 5 6 3 4 5 .
,
'
36
9 216 27
16 25 64 125
■
62 32 42 5 2
63 35 43 53 / => Ag = (3 -6 )(4 -6 ){4 -3 )(5 -6 )(5 -3 ){5 -4 ) = -12 _ **i _ - 1 2 _ = -1 ♦ Entonces : *i 12 As RPTA UC n PROBLEM A 40 : .
.
.
3x + 6y — 2z + w = 8 2x + 2y + 2z — 3w = 2 El valor de x es : A)4 B)-2 C)l¡2 iD j - 1 R E S O L U C IÓ N :
E)2
♦ Formando la matriz ampliada : 2 1 5 1 \ 5 1 1 -3 - 4 \ - l 3 6 -2 1 |i 8 2 2 2 - 3 112 ♦ Luego de aplicar operaciones elementales de fila, en forma adecuada, llegaremos : 1 0 0 0 ! 2 -11
0
0
-3
-9 i~ 7 0 !i - o
10
0 5 ! 4) 8 ♦ Luego , de la primera fila : x = 2
Al resolver el siguiente sistema : 2x ¡ + x 2 + x3 + x4 + x s = 2 Xj + 2xz + x3 + x 4 + x 5 = 0 xJ+ x 2 + 3x3 + x4 + x s = 3 x 1+ x 2
+ x3 +4x4 + xs = - 2
x1+ x2
+ x3 + x 4 + 5 xs = 5
1 2 I 1 1 1
111 111
2
3
3
2 1 1
0
1 1
fé -h
14 1 -2 11S 5 1 1 1\ 2 2 2 2 3 3 0 0 7 1 í¡ 7 o o - 2 3 0 !— 6 o o 0 - 3 4\ 7
n -fé
,
,
3
3
2
3
3
9
1 H 2 2 2i 2 ÍLZU. 3 s : 9
0
0
2
3
-
0 0
0
0 ¡ —5
-3
4\
7
2
1
1
1
1
2
3
3
2
2
2
2
0
0
7
1
1
7
0
0
0
23
2
-2 1
0
0
0
-3
4
7
2
1
1
1
1
2
3
3
2
2
2
2
0
0
7
1
1
7
0
0
0
23
2
-2 1
0
0
0
-4 9
0
49
ÚzSl
Luego de la última fila se tiene: — 49x 4=49 => x 4 = — 1
xy + x = 12 ......... (I) S i: xy + y = 15 (II) Hallar la suma de valores de x. Ah4 Bh2 C)6 R E S O L U C IÓ N :
D)2
E)6
* De (II) - (I) : y — x=3=> y = x + 3 * Reemplazando en (I): x ( x + 3) + x = 1 2 — x 2 + 4 x —12 = 0 * Por propiedad de la suma de raíces de la ecuación cuadrática : x 2+ x 2 = ——= —4 RPTA “ A PR O BLEM A 43 : S i: >fx —J y = 2 ; x + y = 2 0 ; x > 1 0 Entonces: — es: y A )¡ B )j
C)1
D)2
E)4
R E S O L U C IÓ N : RPTA “E
P R O B L E M A 41 :
2 1 1 1 1 2
E)4
PRO BLEM A 42 :
x + y — 3z — 4w = — 1
1
Determinar el valor de x4 , es: D )2 A hí B)0 C)1 R E S O L U C IÓ N : * Formando la matriz ampliada
RPTA “A"
Al resolver el sistema : 2x + y + 5z + w = 5
0
N C IC IO P E U tA ¿012}
*Y
99
* Elevando al cuadrado la primera ecuación :
(Jx —j y ) = 2 2 => x+_y —2 jx y = 4 20
=>20 —2 j x y = 4 =>■ xy = 64 .........(a ) * De la segunda ecuación en (a), resulta : x(20 - x) = 64 =*►x 2 - 20x + 64 = 0 x ♦ _ —4 x -1 6 ♦Si: x - 4 = 0 -+ x = 4 (No es posible, por condición)
588
* Si : x - 16 = O => x = 16 => y = 4 1S
* Se pide : — — 4
RPTA “E ff P R O B L E M A 44 : Dado el siguiente sistema de ecuaciones :
x y (x + y) = 420 x s + y 3 = 408 Hallar : 2x + 2y A)12 B)22 C)16 R E S O L U C IÓ N :
D) 18
E)24
S
x 2 + (a + l ) x = 1 => x 3 + (a + l ) x — 1 = 0 * Como el sistema posee solución única (dato) => x es único : A = 0 * Es decir: A=a?+2a+5=0 * Suma valores (por Cardano) de a = -2 RPTA “A” PROBLEM A 47 : En el sistema de ecuaciones simultáneas : x 2 - y 2+ z2 =16 x—y+z=4 Cuál es el valor de x + y. A)z + 2 B)No puede calcularte C)z + 2
* Multiplicando por 3 a la primera ecuación: 3[xy(x + y)] = 420 x 3
D) 4 + z
x 3 + y 3 = 408 * Sumando miembro a miembro : (x + y / = 408 + 420 x 3 =►(x + y )3 = 1728 =>x + y = 12 * Se pide : 2(x + y) = 2 4 RPTA “E ” PROBLEM A 45 :
* Transformando la primera ecuación: (x + y ) ( x — y ) = 1 6 ~ z 2 => (x + y ) ( x — y ) = (4 + z)(4 — z) ...(ex) * De la segunda ecuación : x — y = 4 — z
Hallar (x + y + z), si x , y f z son las soluciones positivas del sistema : x + y = 1 2 .............(I) y + * = 8 ........... (U) xz = 21 .............. (III) A)18 B)20 012 D) 25 R E S O L U C IÓ N :
E)15
i
_
,
,
_
* Reemplazando en (ex) : z = 3
R E S O L U C IÓ N :
* Reemplazando en ( a ) : x + y = 4 + z RPTA “D ” PR O BLEM A 48 : Si: x
y , calcular la suma de valores de «x» en: x 2 = 13x + 4 y ..............(I) y 2 = 4 x + 1 3 y ............. (II)
* De (I) - (II), resulta : x —z = 4 z = x+*4%..... (a.) * Reemplazando en la tercera ecuación : x (x - 4) = 21 => X 2 - 4x - 21 = 0 * O sea : ( x - 7 ) ( x + 3) = 0=> x = 7 ó . x = — 3 .
E )4
D e sca rta d o
A )3
B )6
0 9
D J-9
R E S O L U C IÓ N : * De (I) - (II) : x 2 — y 2 = 9x — 9y ; x y =>- x + y = 9 despejando «y» : y = 9 —x * Reemplazando en (I) : x 2 = 13x + 4(9 —x ) => x 2 — 9x —36 = 0 de raíces x l f x 2/x¡ = > ( x - 1 2 ) ( x + 3) = 0 * Luego: x = I 2 v x = - 3
x2
* Se pide : x = 12 V x = — 3
* En la primera ecuación : y = 5
RPTA “C n
* Se pide: x+ y + z= 7 +5+3=15 RPTA
PRO BLEM A 46 : Si el sistema : |x2 +ax = y............ (I)
[* + > = ! ...............(U) tiene solución única, indicar la suma de valores de «a». A>-2 B)2 05 D) 0 R E S O L U C IÓ N :
* De (I) + (I I ), resulta :
E )0
P R O B L E M A 49 : ¿Cuántas ternas de números naturales (x; y ; z) verifican el sistema de ecuaciones? [xy + yz = 84 x z + y z = 43 1
B)2 0 3 R E S O L U C IÓ N :
A)1
D )4
* Tenemos el sistema: y ( x + z ) = 8 4 ..................( / ) z ( x + y ) = 4 3 ..................(U )
E )6
[ÁjjLLGrMSMgMRA
íw&s
[s s * )E R E S O L U C IÓ N :
x = 41 A y — z = 2 * Reemplazando en (7) : (z + l)(41 + z) = 84=>(z + 4 3 ) ( z - l ) = 0 => z = 1; y = 2 => (41; 2; 1) es una solución x = l A y — z = 42 * Reemplazando en (I) : (z + 41)(l + z) = 84*>(z + 4 3 ) ( z - l ) = 0 => z = 1; y = 4 2 ; x = 1 =>• (1; 42; 1) es otra solución RPTA “B ft PRO BLEM A 50 : La suma de todas las «x» más la suma de todas las «y» que satisfacen al sistema de ecuaciones: 3x2 + 3y2 + x - 2 y = 20 es: 2x2 + 2y2 + 5x + 3y = 9 AJI B)0 C)2 D) -1 R E S O L U C IÓ N :
* Sumando: —13x — 13y = 13 x + y = —1 * De donde: x = —y —1...................... (ct) * Reemplazando x en la primera ecuación se tendrá: 3 ( - y - 1)2 + 3y2 + ( - y - l ) - 2 y = 20 6y2 + 3y —18 = 0 ó 2y2 + y - 6 = 0 3 5 =► (2y —3)(y + 2) = 0=> y = — , e n a ; x = - ~ 2
2
=> y = — 2, enoL : x = l * Se pide la suma de todas las x mas la suma de 5 3 todas las y : — — + 2 + — + ( —2) = — 2 RPTA “E 99
P R O B L E M A 51 Si a •b •c * 0f entonces al resolver el sistema :
?*- =a x+y xz =b x +z
* T
B) ac + bc —ab
ac b+ c
=>■ x =
1 1(1 , 1 1 x 2\a b c
a c + b c —ab 2abc
2abc
RPTA “B
a c + b c —ab
PROBLEM A 52 ;
x + y = — xyz
E)-2
- 6 x 2 - 6y2 - 15x — 9y = —271
C)
1 21 L L - L i1 — f*—+ — x c~ 2 a b e
Al resolver el sistema en R+
* Multiplicando la primera ecuación (2) y la segunda ecuación por (-3) : 6x2 + 6y2 + 2 x - 4y = 40 ’y = 40
y +z 2abc
1 + ‘1 + 1
=> x (y —z) = 41 = 41x1 = 1x41
* Dándole forma al sistema : xy x +y 2 2 2 2 J = a => =L= _ =^ _ + _ = _ a x+y a xy zx x +z =L ^ 1 +1=1 =b x +z x z b x z b y+z= _2 y* - ^ i +í = l -— =c = » c y z c y+z yz * Sumando las tres últimas : 1 1 1=1 1 1 2 , 2 , 2 _ 1 í 1 1 21 - + - + - =» — + - + x y z j a b c x y z ~2 a b e 1 + 1 + 1
* De (I) - (II) : xy —xz = 41
el valor de x es:
CiCiMM'ERIA 2012 J
D)1
11 x +z = xyz 120 J
13 z + y = -------xyz J 120 J El valor de T=x+y+zes: A)3 B)8 C)16 D) 14 R E S O L U C IÓ N ;
E)12
* Dándole una forma adecuada : x + y = - - xyz lo
x +z =
11
xyz
± +±
yz
xz
m±
15
± +± =2 L
yz xy 120 13 1 | 2 _ 13 z +y = xyz xy xz 120 9 120 J Sumando las tres ecuaciones : 1 11 13 —+ + 2 ± + ± +± xy yz xz 15 120 120 15 2 í - + j _+ j _ x y y z x z 15 Luego : - 1 + J _ = A xy = 15 = 3 x 5 xy 15 15 1 í? 2 A— + — = — => yz = 40 = 5 x 8 yz 120 15 2_ a A +4 L x z = 24 = 3 x 8 xz 120 15 * De donde : x = 3 A y = 5 A z = 8 =>- T = x + y + z = 16 120 J
RPTA “C "
[ ^
P
i r i O
i W
Oí;
EüO stiif fg g !
, 4
PROBLEM A 53 : Si A es un conjunto definido por : A = {(x ;y ;z ) G R x R x R ! satisfacen el sistema f*2} 4x =y 2 + 4x* (♦)
l + 4y 4z 2
mYi;,% ]
♦ Además de (I) , se obtiene : a 6 J+ +1=2 x — 3a y — 36 a (a ) x — 3a y — 36 26 6 y =6 * D e fa iy ffl) ♦Reemplazando en ( ot) : x= a
R P T A“ A ”
=X
entonces el n fA j es: 12 + 4z2 A)0 B)1 C)2 R E S O L U C IÓ N :
PROBLEM A 55 : D)3
E)4
♦ Nótese que (0;0;0) G A (una primera solución). Suponiendo ahora que xyz = 0, se tiene :
Después de resolver el siguiente sistema : 2x + y + z = xy + yz
2y + x + z = x z + xy 2z + x + y = x z + yz
4*2 _ 1 . ._ * l + 4x 2 y ~ * x 2 y
x 2 + y2 + z2 = 2 el valor positivo de (x + y + z) es:
^ =^ 4 * 4 1 + 4y2 y2
A )5 -4 6 B)2 + \¡6 R E S O L U C IÓ N :
=1 *
0 4 -4 6
♦ Sumando las cuatro ecuaciones , resulta : 4(x + y + z) + 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx)
4z = x ~+ ~ + 4 = — x l + 4z2 z * Sumando las tres ecuaciones : 1 1 1 4 4 4 —£ + —? + - £ + 3(4) = - + - + x y z x y z
4(x + y + z) + 2 = (x + y + z)2 =*■ 2 + 4 = (x + y + z)2 —4(x + y + z) + 4 =► 6 = (x + y + z - 2 ) 2 = >x + y + z = 2± > ¡6
1 4 * 1 4 , 1 4 , „ — y — + 4 + - ^ ------- + 4 + - 5- -------+ 4 = 0 x* x yr y z___
♦ Pero : x + y + z > 0 = > x + y + z = 2 + j 6
RPTA “B ff x
+ 1^-21
PRO BLEM A 56 :
=0
ly
* En / P í - = 2 A - = 2 A - = 2 = > x
y = *=
Al resolver el sistema de ecuaciones : x2- y 2- x + y = 0 -
* Luego : A -
RPTA “ C ” P R O B L E M A 54 : Si a = 0, 6 = 0, x — 2a x — 3a x + 2a _ x+a
.(I)
entonces al resolver el sistema y — 46 =2 (I) y — 36 y + 56 (II) y + 36
el valor de x es: Aja B )b C)a + b D) 2a + 6 R E S O L U C IÓ N : ♦ Aplicando las propiedades de razones y proporciones en (II) obtendremos : a _ 26 x -3 a y —5 b .............. “
x 2 + y —2 = 0........................... (II) Obtenemos ; A) Cuatro soluciones, con (-2; -2 ) una solución B) Tres soluciones, con (1; 1) una solución C)Dos soluciones, con (1; 1) una solución D)No hay soluciones reales E) P odem os e n c o n tr a r m u ch a s so lu cio n es variando x e y R E S O L U C IÓ N : ♦ De (II) : y = 2 —x 2 ♦ En (I) : x 2 - ( 2 - x 2)2 - x + 2 - x 2 = 0
=> (x2 - 2 ) 2 + x - 2 = 0=> x 4 - 4 x 2 + x + 2 = 0 => x 2(x2 — 4) + (x + 2) = 0 =» (x + 2)[xs(x — 2) + l\ = 0
=> (x + 2)(x — l)(x 2 — x — J) = 0
raí sse IBS! • Existen 4 soluciones y (-2; -2 ) es una de ellas. RPTA 4tA PROBLEM A 57 :
99
Si M es el conjunto solución del siguiente sistema : 2x2 + xy —y 2 = 2 0 ............. (/)
x 2 — xy + y 2 = 7 (II) Entonces la afirmación correcta es: A) El conjunto M es vacío B) El conjunto M tiene un elemento C) El conjunto M tiene dos elementos D)El conjunto M tiene tres elementos E) El conjunto M tiene cuatro elementos R E S O L U C IÓ N : • De (I) + (II) : 3x2 = 27 => x = 3 ó x = - 3 • Para x = 3 en (B): 9 —3y + y 2 = 7=> y 2 —3y + 2 = 0 = > y = l V y = 2 => (3 ;l)f(3;2) son dos soluciones del sistema. • Para x = -3 en (II): 9 + 3y + y 2 = 7 => y 2 + 3y + 2 = 0 => y = - 1 V y = - 2 =>■(— 3,*— 1),(—3 ;—2) son otras dos soluciones más. • Luego M tiene 4 elementos.
RPTA “E ” PRO BLEM A 58 : Con respecto al conjunto solución del sistema : [* 2 +;y2 + S = 6 r ............... (I)
x 2 + y2 =1
(II)
[x2 + 4 = y ............... (III) La afirmación correcta es : A) Sólo tiene soluciones reales positivas B) Tiene infinitas soluciones reales C)No tiene solución D)Una solución es x = 1 e y = V 5 + V 2 EjSólo tiene soluciones reales negativas R E S O L U C IÓ N : • De (I) y (II) : 6 x - 8 = l = > x = | • E n (II) :
• En (BI) :
^ + y2 = l= > y 2 = -^ = > y < ¿ F 4 4 9 25 -~ + 4 = y = > y = — e R
4 4 • Lo cual es un absurdo. Esto indica que el sistema no tiene solución, el sistema es incompatible. RPTA “C ”
PRO BLEM A 59 : Si x, y, z son enteros no negativos, entonces con respecto a las soluciones del sistema : x 3 - y 3 - z 3 = 3xyz x 2 = 2(y + z) se concluye que : AJ Existen cuatro soluciones . BJ Existen tres soluciones . CJ Existen dos soluciones . DJNo existen soluciones enteras . E) Existen más de cuatro soluciones . R E S O L U C IÓ N : * En la primera ecuación del sistema se puede hacer * s + ( - y ) 3 + ( - z ) 3 = 3 x(—y )(—z) * Transponiendo términos x —y —z = 0 => x = y + z ............... (I) ó : x = —y = —z ...............................(II) * La relación (II) no se cumple porque, por condición, x, y y z son enteros no negativos. * Reemplazando (I) en la segunda ecuación del sistema propuesto, x 2 = 2(y + z) = 2x
* Resolviendo se obtiene: x = 0 ...................................................(III) V x = 2.................................................(IV) * Igualando los segundos miembros de (I) y (BI) y + z = 0 => y = z = 0 * Igualando los segundos miembros de ( I ) y (IV) y+z=0 * De donde se deduce : y =0 A z=2 y =1 A z=1 y =2 A z=0 * En consecuencia, las soluciones son : (0; 0; 0),(2; 0; 2), (2; 1; 1),(2; 2; 0) RPTA “A ” P R O B L E M A 60 : Los números x e y satisfacen el sistema (x + 1)2 + (l + y)2 = ( 1 0 - x - y ) 2 ............ (I) xy + x + y = l l (II) Entonces, el valor de x + y, es: A)5 B)6 C)16 D) 14 E)10 R E S O L U C IÓ N :
* Simplificando (I) , se obtiene : 22(x + y) —2xy = 9 8 .........................(a ) • De la segunda ecuación : xy + x + y = l l xy = l l - ( x + y)
w
[FI>W4m
\
E
BBÉ
&
* Reemplazando(/3)en (a) :
22(* + y7 - 2[22 - (* + y)] = 98 * D c don de : x + y = 5 RPTA "A” P R O B L E M A 61 :
IM
S
W
T ^ f M
W
li
E4'WZ\V.M>NR&
]
♦ Luego: x £ R =+ a > 0 =$■ a G [ 0 ; + oo) RPTA " C ” P R O B L E M A 63 : Determinar el número de soluciones del sistema nó lineal x 4 + y4 + 2x*yz - 6 x a-6 x y * + 4 x * +4y* +6x-~5=0.,..(I)
Si el sistema :
y2 + l = - x
.......... ~.(I)
x 2 —4 + a 2 + y 2 = 2 a x ..(II) Tiene solución única, entonces el valor de «a » es: A)2 B)1 C)0 D) -1 E)~2 R E S O L U C IÓ N : ♦ De (II) ;
587
x 2 —2ax + a 2 + y 2 = 4 Ecuación de una circunferencia
= + (x -a )2 + y 2 = 22 ♦ De (I) :
Ecuación de x = —y 2 —1......... una parábola ♦Para que el sistema tenga solución única (en la figura), la circunferencia debe ser tangente a la parábola. y,
x = - y 2-1 (x -a )2+ y 2 = 2 3
X
x = y2
.......................................................................................................
A) 2 B) 4 C) 6 R E S O L U C IÓ N :
» . . . . . . ( W
E)10
D )8
♦ De (II) en (I) : y 8 + y4 + 2y6 —6y6 — 6y4 + 4y4 + 4y2 + 6y2 —5 = 0
=> y 8 — 4y 6 —y 4 + lOy2 —5 = 0 Esta ecuación tiene 8 raíces en y. Para cada «y» hay un correspondiente «x». ♦ Luego , el sistema tiene 8 soluciones. RPTA “D ” P R O B L E M A 64 : Si * € Z , entonces al resolver el sistema : 2 x z + xy + 3y2 = 16 ............. .....(I)
3x2 —5xy + 2yz = 1 el número de soluciones es: A)4 B)3 C)2 R E S O L U C IÓ N :
(II) D)1
E)0
♦ De (II) en (I) : 2x2 + x y + 3y2 = 16(3x2 - 5xy + 2y2)
=+46x2 - 81xy + 29y2 = 0 ♦ Para lo cual: — l + 2 = a = > á = l fe
RPTA “B ”
O B S E R VA C I Ó N Ver los temas de relaciones y funciones para familiarizarse con las gráficas.
2 x ^ ^ -y =+ 23x = 29y V 2x = y ♦ Luego evaluemos para y = 2x en (II): (3x —4x)(x —2x) = 1
P R O B L E M A 62 : Para que el sistema de ecuaciones : 4x2 + 5xy —2y2 = 6 a ................ (I)
—x 2 —2xy + y 2 = — a tenga raíces reales el conjunto de valores reales admitidos por «a* es: A)R B )(-oo;0 ) C)\0; oo> D){0;1) E){-1;1) R E S O L U C IÓ N : ♦ De (I) + 6(11) : - 2 x 2 - 7 x y + 4y2 = 0 =+ ( —2x + y)(x + 4y) = 0
=> 2x = y ó x = —4y ♦ En (I): Si 2x = y entonces : 4x2 + 5x(2x) - 2 (2 x f = 6a=> 6x2 = 6a = + x s = a
^ x 2 = l = > x = l V x = —1
♦ Luego, las soluciones son : (1; 2) ; (-2; -2)
O B S E R VA C I Ó N Si evaluamos para: 23x = 29y no encontraremos soluciones enteras. RPTA “C " PRO BLEM A 65 : V* € R ; f x J = n <+ n < x < n + 1; n 6 Z Entonces al resolver el sistema :
x 3 + y + z = 4............... (I) x 3 + y —z = 5
(w
x~3 —i x j - 3
(n i)
»
el valor de H = x + y + z es :
I V .Ü S fffS S
A)¥4 + í
B )-tÍ4 + 1
cf4 1
R E S O L U C IÓ N : De:
C1CLOPED1A 2012] «i Calcule : x¡ + x 2 + ... + x 2002 AJO B}1 C)2 002 D) 1 001(1 - a) E)1 001(a - 1) R E S O L U C IÓ N :
i
x - 3 = fx J fl* i
* Sumando todas las ecuaciones : a —1 Xj + X2 + + *2002 +/Xj + *2 +"•••+ *2 0 0 2 ^2002
g(x)
2
* Graficando :
= X ¡ + x 3 + •‘ . + X 2002
y = x 3- 3
* Nótese que : f(x 0) = 1 = g (x0) => xj¡ —3 = 1 Xq = 4 =>• Xq = \/J * Reemplazando en //) : 4 + y + z = 4 = > y + z = 0=> H = x + y + z = %¡4
* Agrupando convenientemente : o—2 2
+~.+\x% (¡Cg + ( a —l ) x 2002
x f + ( a —l ) X j +
x ¡ = ——
*2002
=0
2
a —1 2 . a ~l V a: + ° - i ff +T 1 + *2002 r 2 ~l ' 2 J **+ 2 2—o 2— a 2—o
= > * js - t -
3
0 - 2
=o
-
RPTA 44D ti
= » x ¡ + x 3 + , ~ + x goog = 1 0 0 1 ( 1 — a )
RPTA 44C 9¡ PR O B LE M A 66 :
P R O B L E M A 68 :
Si S es el conjunto solución del sistema :
Si a > O , resolver el siguiente sistema en los reales:
x 2 + y 2 = 1 0 x - 2 4 ----------------- //)
lx+ ll = 2 —y .................///)
x» =
2
a *n
^ ( x - 5 ) 2 + y 2 = !...(!)
y*
X j +
*i\ a 1 x2+ x 2)
éntonces > X la afirmación correcta es : A) S tiene un elemento B)S tiene dos elementos C) S tiene tres elementos D)S tiene cuatro elementos
E )S = 4> R E S O L U C IÓ N : * Graficando :
a
6 X
2
x n -l + x n —l
,
, a
1
x n+l
•
X n + — X * n.
2
indicando el número de soluciones. A)0 B)1 02 R E S O L U C IÓ N :
D)4
* Supongamos que x n > 0. Por la propiedad: * Del gráfico'se aprecia que no hay-intersección, entonces : S —
RPTA “E ” PROBLEM A 67 : Luego de resolver el sistema de ecuaciones en los reales í at . fo-2)2 j = ** x j+ a x 3+ í ^ - í ] + ax*
+
M
xÍoúI + a*2001 +
= x3
> Ja => x¡ > -Ja > O => x f > a => x 2 >
= x SOOi
2 x*oo*+a**oo2 + \~^~\ =**oo*
a xi
a 2xj > x x + x,
a = ^ x , > — *2 + x i) * Análogamente : x 2 > 4a => x f > a => x 2 >
' a —1
MA > MG, se tiene : a *» +
a
y 2xo2 — > x 9+
a
X2 a 1 => x 2 > — Xo + =►x 2 > x¡ 2} * Y así sucesivamente ; luego : 4Pj ^ Xf ^ ^ ^ íf|| ^ Xj s Xf s Xf *
® Xjg
[r m r f o .v K .^
KEgf 589 ffl íiiy * También : (xy)2 + (xz)2 + (yz)2 > (xy)(xz) + (xy)(yz) + (xz)(yz)
♦ Luego de la Ira : x 2 = a => x t = Ja * Del mismo modo , suponiendo xH< 0 x¡ = x 2 = x s = ... = x n = —Ja ♦ Por lo tanto :
xyz(x + y + z) 3 > xyz(x + y + z) xyz(x + y + z ) = 0 V (x + y + z)2 > 1
C.S. = {(N /a;V a;...>/a),(—’J a ;—'Ja;...;—Ja)} => n(C.S.) = 2 RPTA “C " P R O B L E M A 69 : Si {
....... (I)
a f + a f + ... + a 2 = 144.............(22) a f + a| + ... + a 3 = 2 2 6 ............. (III) entonces el número de soluciones del sistema es: A)0 B)1 C)2 D) n E)n! R E S O L U C IÓ N : * De la desigualdad de Cauchy para números reales no negativos : (¡af +af +~.+a2j(bf +ftf +.~+b2) <(ajb¡ + a ^ +.~+anbnf Donde la igualdad se da s i :
62
I) Si (x + y + z )2 > 2 + y * + z * + 2 (xy+ xz + yz) > 1 =>xy + xz + y z > —...{(3) 9
1
* De ( a ) y ( 0 ) : xy + xz + yz = — U => x 2 + y 2 + z 2 = *y + xz + yz => x = y = z * Reemplazando en la primera ecuación : 2; z = — 2 x s = -i ^ 3* = -,* y = — 9 3 * 3 3 27) Si xyz(x + y + z ) = 0 => x = 0 ó y = 0 ó z = 0 ó x + y + z = 0 a) Si x = 0 reemplazando en la primera y segunda . íy* + z 2 ecuación. 1
3
y 2z 2 = 0 * Obtenemos: y = 0 => Z = - = Ó=> z = 0 => y = —f= ¡3 ¡3
6rt
* Ahora consideremos los números positivos : •ja¡ t j a 2f*;yja n y \jax ,yja2 ,...^an, . * Por la desigualdad de Cauchy-Schwartz : (a¡ + a 2 +... + an) (a f + a f + ... + a 3 )
son dos soluciones análogamente. r i ;<*o ivs z = 0 => hay soluciones repetidas
♦ Si: y = 0 => hay una solución
< (a ] + a ¡ + ...+ a 2) 296(216) < 1442
6) Si x + y + z = 0
* Pero : 96(226) = 1442 ai 2
♦ Reemplazando en la segunda ecuación a x 2y 2 .+ y 2z 2 .+ z 2x 2 = 0
_
a
96 ♦ Luego en (/) : nat = 96 => a, = n ♦ Entonces el sistema presenta 2 solución. RPTA UB 99 P R O B L E M A 70 : ¿Cuántas ternas de números realas no negativos (x ; y ; z) satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones? 3(x2 + y3 + z2) = l
x 2y 2 + y 2z 2 + z 2x 2 = xyz(x + y + z)3 A) 2 B) 4 C)6 D)7 R E S O L U C IÓ N : * Por desigualdades se puede demostrar que : x 2 + y 2 + z2 > x y + xz + yz => —> x y + xz + yz. O
3
7-------
=> x = y = z = 0 .................(no es solución) * Finalmente hay 4 soluciones
RPTA “B ”
x+y =7 @ ) Dar “x y " s i: x —y = 1 A)21
E)8
B)22
023
D)4
2x + y = 10 dar “ x - y ” Efectuar : x —y = 2 D)7 A) 0 B)2 03
E)12
E)ll
et) Hallar ux + y ” s i : 2x + y = 12 3x + y = 17
(a)
A) 4
B)5
07
D)ll
E)NA.
(v*0,«3JE 7T9MCA
r a í B 9 0 |f ó x +y =9
Hallar “xy” si:
Á) 21
B)14
3x + y = 21
D)18 x +y=9 Hallar “x - y ” si: 3x + 3y = 20 B)6
A) 5
C)16
07
E)NJL
E)NJL
D)8
A)1
B)2
07
* = 2y x+y=8 D)9
Dar “ x3 + y ” sabiendo: y —3x + l x + 2y = 23 A)16 B)17 0 19 D)22
E)16
AdemáB: 2x —3y = 5 A) 51 BJ62 0 32 D)27 x y Calcular — + — , sabiendo que : 2 ái O
dar: x 2 + y s A)106 B)108
E)10
D)120
Calcular el valor de “y 2" ,
A) 0 ©
B)2
04
bí
E)NJL
: x+y=9 2 x -3 y = 8 D)5 E)7
03
D a r “*y” si:
B)22
Calcular “xy” sabiendo :
A) 8
B)10
012
Calcular “x2 - y2” sabiendo que : x + y = 10 x -y = 0 A)60 B)60 070 D)80 E)NJL
B)2
A) 0
y* " s i : 2x + y = 6 ; x -2 y = 3 B)7 V 09 D) 6
Hallar H
A) 6 ©
E)4
A) 17
B)(4 ; 7) E )(7;4)
E)8
B)18
2 ~ 016
D)15
E)12
D)5
EH
Resolver y dar “ x 2 + y 2 ” :3 x + 2y = 11
A) 8
B)9
O10
2x —y = 5 D)7
E)6
+ y ” 2x + 3y = 15 “ 2 x -3 y = 3 02 D)1
E)0
Resolver y dar “x - y ” 3x + 2y = 21 2x —y = 7 B)21 A) 12 D)0 OI
E)2
Resolver y dar
A)4
B)3
“ x
x x y D a r 7= 2 + 3 = 4 X
~y=o 2 3
0 ( 3 ; 6)
E l par ordenado ( - x ; y) es luego de resolver: 3x + y = 21 x —2y = 0 0 ( 3 ; 6) B )(-6 ; 3) A) (3; 6) (2; 7) E)(7; 4)
D)6
Dar “xy” : 2x + y = 7 x -y =2 A) 4 B)2 03
Dar el par ordenado (x ; y ) , s i: 2x + y = 18 x —2y = —1
A) (6; 3) D) (2; 7)
E)NJL
Dar “xy” s i : ^ + £ = 4 2 o
^
Efectuar y dar “x2- y ” si:: 2x + y = 12 x -2 y = l A) 19 B)21 C)23 D)26 E)NJL
D)26
y -± = o 2 3 04
3
D)20 E)NJL x = 2 y -2 x + 3y = 13 D)14 E)NjL
D)4
3 E)NJL
f +f = 4 024
Efectuar y dar “y ” en : y = 2 r+ l
Además : 2x + 3y = 59 A) 16 B)13 017
3
Dar “x - y ” si: — + ^ = 0 3 2
Calcular "x ” s i: x = 2y — 1 además : x —y = 2 A)2 B)6 04 D)6 E)7 ^
B)5
A) 7
A) 20 OUO
E)16
2
Sabiendo que : y = 2x — I además :x+2y = 23
©
E)NJL
( T ^ Dar “ x + y 2 ” sabiendo: x = 2y + l
2x + y = U Hallar “xy” al resolver : 3 x -2 y = 6 A) 8 B)10 012 D)14 Efectuar y dar “ x - y ”
CMCMjOPEDtA 2012}
.
4
4
D)1
E)NJ l
Dar “ x2+y 2 ” en : 2x + y = 5 3 x -y = 5 A) 5 D) 2
B)4 E)NJL
03
591 BMM Hallar uxy” 3x + 2y = 5 2x —y = 1 A) O B)1 03
m e fgi i m m v K ^ ]
E)6
D)4
Para que valores de «k» el sistema :
(2k + l ) x + 5y =7 (k + 2 )x + 4y = 8 tiene solución única A )k = 2 B)k = 3 C)k = —3 D )k = 1;2 E)k = 6
(5?) Resolver : 2x —y - 8 dar “xyn. x +y =7 A) 5 B)2 O10 D)12 2 x -3 y = 7 Resolver : 3x + y = 5 Dar valor de “r^y2”.
A) 25
B)16
04
E)NJL
D)26
E)9
Hallar «m» para que el sistema:
(m - 3)x + 3y = 5 2x + (m -2)y = 7 sea inconsistente AJI B)3 08
Resolver: 3x + y = 16 3x —y = 14
Si el sistema
Hallar **m”, si se cumple que : m x + y = 16 A) 1
03
B)2
D)4
E)5
B )ll
012
D)13
Resolver : x 3 + y 3 = 60
A) 1
B)2
03
dar: Mx
% D)4 \ K*'
y + z + w = 15 x + z + w = 14 x + y + w = 12 e indicar el valor de z A)3 B)4 05 D) 6
Hallar “a ” en la ecuación :a x + 3y = 12 , 3x —2y = 6 cuando: x= y C)2 E)6 A) 1 B )-l 2 Resolver : — + — = Hallar : “ ^ 2" ” o o n 2
B)3
A) 2
a
m
— r» ov n 04
-
B h l2
Resolver y dar
A) 0
B)2
012 D)-10 x 3x + 4y = 28 6x + 2y = 28 OI
D)3
Siendo : x + y = 12
dar Mx - y ”
B)0
04
1 +1 =7 y * X
E)9
E)4
z
indicar el valor de z A)l¡2 B)U3 01/4 m
Si el sistema:
D) 1/5
E)l!6
2x + 3y = m + 1
4x + 5y = 6 tiene soluciones positivas, indicar los valores de «m» A)2
E)4
E )m € B +
Resolver : s j x - 3 j y = 3
25x - 9 y = 27 e indicar el valor de «y»
x 2 —y 2 = 24 A) 6
- +- =5 x y
o D)16
E)7
Resolver el sistema:
fí
Resolver: 2x + y = 10 dar “x y ”. 2x —y = —2 A) 10
(m -2)x + 5y = 6
Resolver: x + y + z = 10
E)NJL
x 2 - x y + y 2 =20
E)5
3x + 6my = 18 admite infinitas soluciones, el valor de «m» es: E)6 A)2 B)3 04 D) 5
Resolver s i : x ~ y - 2 dar “ x + y Xa - y 2 = 24
A) 10
D) 7
D)8
E)2
A)1
B)9
025
D) 1 6
E)36
BB31592 IB Resolver el sistema : 2x + 3y = 5 $2 - 1
3 x -2 y = V 2 + 5 e indicar el valor de «x»
AhÍ2
B )3 j2 ~ l
C )j2 -1
D) 2 —J2 E)j2+1
Resolver el sistema : 13x + y = 33
B)2
C )l
D) -2
E )7
Resolver: (x + l)(y + 1) = 72
(x + l ) ( z + 1) = 12 (y + l)(z + 1) = 5 4 e indicar la suma de los cuadrados de los valores de «x»
A)33
B/34 Resolver :
C)35 Ji
2
4 2 _ 1 Jy J x 3 e indicar «xy» A)6 B)12 C)36 D) 18 Resolver
E)37
D) 36
Jy
Resolver :
+ - ^y - - _ = 0+6 a+b a -b
* + ?- = 2a a b e indicar el valor de «x* A)a*+b B)a*+ab C)a*-ab D) b-a
E)a~b
<ü> Resolver:
U x + 17y = 141 e indicar el valor de «x» A)3
©
CMCIMPEDMA 2012]
E)24
M a b =i lo - L aml
e indicar el numerador del valor de «x» A)ab(a+b) B)a*+b* C)ab-1 D)ab+1 E) a+b
a+b a -b (a+b)y + ( a - b ) x = 2(x2 - y 2) e indicar el valor de «x» E)a+b A)a+2b B)2ar-b C)3a+2b D) a-b Resolver :
5x + 4y = ~ o xz 3x + 2z = ~8
3 y -5 z e indicar el valor de «z» A)-32 B+34 C)-36 © Resolver el sistema : x x
e indicar el valor de «x »
=f D) —40 + yí - 1 = a -y +1
E)42
x-y+ l
a +l E) ab+2 A)a+1 B)ab+1 C)ab-1 D) ab + 1 y = 2a Resolver : a+b a -b x — y = 4ab e indicar el valor de «y» A)a-b B)a+b C)(a-b)* D) (a+b)* E)ab
3 ) Resolver el sistema : x + y + z = 10
2 x + y + z = 12 x ~ y +2z = 9 indicar xyz A)30 B)24
D) 18 C)34 x _ y _ £ Resolver :r 2 “ 3 4 2x + 3 y - z = 27 e indicar el valor de xy AJ27 B)54 C)81 D) 32
V1
(5 ? ) Hallar «m» para que el sistema :
E)22
C)15
E)6
Hallar «n» si el sistema : 3nx + 7y = 2
2nx + 5y = 6
E)24
es determinado A)n € R - i l} B)n e R - Í0}C)n e {-2;0)D)n € R -1 2 }
Resolver : ¿ + l = 8 x y 6 7 5 = ií x y 6 e indicar xy
B)3
(3 - m )x + 5y = 4 2y - ( 2 - m )x = 6 sea incompatible A)2 B)3 C)4I3 D) 1617
Resolver: x + y + 9z = 83
5x + 12y + 9z = 155 D )6
E)12
x + 2y + 4 z = 47 e indicar el valor de «x »
B9M
A)6
B)5
04
D) 7
»
E)9
Calcular x/y al resolver:
Si el sistema : (m -3)x + (m +2)y = 2m + 3
(m -l)x + (3 m -l)y = 5 m + l es indeterminado, hallar «m», si m > l D) 6 A )3 B)4 05 5x 0,3 „ + —— = 6 (Qa) Resolver el sistema : 0,7
!* L + 9 = 3! 7 y D) 0,6
e indicar el valor de «y» A)0,3 B)OJ¡ 00,1
m
3x + y = 7
E)7
*
’ m
i
]
3x - 2y - 5 = 0 x 3- y 2 = 6
A)0¿
B)l,5
C)0¿
D) 2,5
E)0¿5
que resuelve el sistema:
EJO,7
(II)
E)3
Resolver : 6x + y = 16
Indicar el menor valor de «y» al resolver:
xy = 24 xz = 18 yz = 12 A)-2 B)2
.................................................... (11)
C)-4
D) 4
(III) E)~6
xy+xz = 7 - X a x y + y z = 2 5 - y * .......................................... (II) xz + y z = 4 - z a ....................................... (JZZj ^ A )± 2 I 3 B)±7/6 O ± 1/6 D) ±3/4 E)±7/4 Indicar el valor de «x y » al resolver:
x 3 + y* = 40 x - y =4 B)8 O10
I* X.
E)5!3
(Jj
Calcular «x¿ en :
©
xy = 12 Indicar el cociente de valores de «y» A)2I3 B)3!2 03/4 D) 4/3
k
x* +y* = 1 1 3 - x y ......................................... (I) x + y = 4 3 - x y ............................................ (II) AJ112 B)121 0171 D) -156 EJ-171
A l)
xy = -6 Indicar el menor valor de «x» A)113 BJ-113 02/3 D) -2/3
;
Hallar el producto de los valores de «x + y»
S IS T E M A D E E C U A C IO N E S N O ELEM EN TALES Resolver:
*
A)6
D) 12
E)15
f- -
Luego de resolver el sistema ■: nt 3x* + 6y* = 2 1 .
7x* + 9y* = 41 Hallar el producto de valores de «y» A)3 B)-3 02 D) -2
^
A)19 E)6
xy = -6 D) 7
E)9
Indicar la cantidad de soluciones reales al resolver el sistema xa-xy-2ya = - 8 .................................... x* + 3xy + y* = -5 A)1
^
B)2
x y -2 x -2 y =26 xz - 2 x - 2z = 16 y z - 2 y - 2 z = 20 B)21 015 D) 30
(I) (II)
Resolver el sistema : 2x* + 3y* = 30 Señalar un valor de x AJ1/2 B)3 02/3
Indicar un valor de «x + y + z » al resolver:
...................................(II) 03 D) 4 E)5
^ H a lla r «x» en el sistema x + y = 8
x 3 + y 3 = 224 A)2 B)4 05 D) 7 x -1 Indicar un valor de * » al resolver:
E)8
y/x + y + >Jx - y = 8 ............................................. (I) X 2
+ y 2 = 353.................................................... (II)
A)1
B)3
C)-2
DJ-4
E)0
( í ^ ) E l valor positivo de «x + y + z » deducido del sistema:
Resolver :
x2- x y = 3 (I) 3xy+y* = - 2 ...................................... (U) Indique el producto del mayor y menor valor de «x» A)15 BJ-10 030 D) -1 EJ-9/4
E)24
Es: A)l+y[6
z+x+y=xz+yz X a + y* + z* = 2
B)2+j6 0 3 - 7 6
DJ-2+J6
Calcular el valor de «x» en:
EJ4+&
NCICLOPEDMA 2012
í> £ « \ 8 9 * I
xy + y z = 5
...................................
yz + x z = 9 xy + x z = 8 Aj±0 Bjdtl
........................ . .................................. Cj±2 7» ± 3
(I)
Indicar un valor de y al resolver:
..... (II) ... (277) E )± 5
x* + 3y* = 52............................... ......(I)
A)2
3^ Resolver el sistema: xy + x + y = 23
Luego de resolver el sistema:
x z + x + z = 41 yz + y + z = 27 Indicar un valor de «y» A)6 B)-6 C)-5
D) -8
x 2 - xy = -3
E)-7
Resolver el sistema: x2 + xy + xz - x = 2
y 2 + xy + y z - y = 4 z2 + xz + y z - z = 6 Indicar el valor de una incógnita A)3i2 B)-3¡2 OI D) 1/2 E)-2 ©
Indicar la suma de mayor valor con el menor
valor que asume « x » del sistema:
x2 + y 2 + x + y = 8 12 (x+1) (y+ 1) = xy Bj-2 02
Ají
(27j
E)3
Calcular un valor de «xy» al resolver:
yjx + y + J x - y = 4,
.(I)
x 2 - y 2 = 9 .........
(II)
A)18
B)-18
012
y2 -x y = 4 Calcular la suma de elementos de una solución A)4 B)5 06 D) 7 E)10 Si {a l9a2,a3,...,an} C JR+ es el conjunto solución del siguiente sistema : a¡ + a 2 +... + an = 9 6 .............. (Zj a f + a f + ... + a 2 = 1 4 4 .............. (77j a f + a f + ... + a 3 = 2 1 6 .............. (777j entonces el número de soluciones del sistema es: A)0 B)1 02 D) n E)n!
. (I)
D) -3
D) 20
xy = 15 ................................... »...(27j B)3 04 D) 5 E)3!4
E)24
Si x, y, z son enteros no negativos, entonces con respecto a las soluciones del sistema : x 3 - y 3 - z 3 = 3xyz
x 2 = 2(y + z) se concluye que : A) Existen cuatro soluciones . B) Existen tres soluciones. O Existen dos soluciones. D)No existen soluciones enteras. E) Existen más de cuatro soluciones. Después de resolver el siguiente sistema :
2x + y + z = xy + yz 2y + x + z<= x z + xy 2z + x + y = x z + yz
Dado el sistema :
2x+y = l l — ...... xy = 1 4 ............................ Indicar el mayor valor de «x» A)2 B)3 0 3 ,6 D) 4
»(D (II) E)4,5
Luego de resolver :
4x + y = 14................................. xy = 12........................................ Indicar el número de soluciones : A)4/3 B)5!3 05/4 D) 3/2
x 2 + y2 + z2 = 2 ej va]or positivo de (x + y + z) es:
A )5 -J 6
C )4 -j6
..(I) (II) E)2
Resolver el sistema:
2xs + 3y* = 30 - ........................ 4xs + 5y* = 56............................... Indicando el número de soluciones A jí B)2 03 D) 4
B )2 + j 6
Dar el valor de verdad de las siguientes
•(I) m
proposiciones:
( ) E)5
a
c
b
d
= a d + be
[K w r f O iV K .^ H y m v o , v
a / ) b
-c = ad + be d
hallar
a b e m n p r 8 t
( )Sea I la matriz identidad, entonces Det(I) =1 A) V W B) VFV C)FVF D) F W
E)FFF
A)y
Resolver:
x+2 = x +5 x+ 4
C) {-2 }
B ){2}
D) {0 }
olver:
B)49
D)98
C)48
x +1 . T
E)0
0192
EJ-70
“i
A
D) -2
(^)A ve rig u a r el valor del determinante: - a b e
Si:
1 ( d -b . que: A = ■— ,entonces para que exista A . A L© a debe ocurrir: ..a c B> c- * Íb A) b * a D )a + d * b + c E )a * b * c * d Si (a ; p ) es la solución de sistema: 3x + y 2 x - 3 y = -4 calcular: T = A)5 B)4
D) 6abc
1 1 1 11 13 15 121 169 225 DJ-32 032 2a
2b
6c
m
n
r
s
3p = y 3t
(Xa + f i a
-a p
03
DJ2
E)1
Luego de resolver el siguiente sistema
-b c b -c
Encontrar el valor de:
BJ-16
d
k
,
fE líé ’
Dada una matriz cuadradáA* tal que: AS=A y \ \v determinar el menor valor dé. (Al; *v D JS E) -2 AJO B) 1 02
A>16
b
matriz A ~l ,~tal que: A A ~l = A~*A = I ; se demuestra
A
O S abe
EJ1
\ c
AB
B) Sabe
DJ-6
■ (a La inversa de la m atriz A =
5 ) Se conoce que:
a a
0
x L x +3
D ar como respuesta l í x AJ3 BJ-3 4% 0 6
♦
D)70
Calcular|B|, si: \A\=4 A)1 Bb-l C)2
=
i*
X
0 6 0 8 0 10 BJ120
x +2
X
El valor del determinante: 2 0 4
AJO
E)yf3
E) {-7}
3 5 0 -13 -11 -9 7 9 0 +- 7 - 5 - 3 11 13 0 0 0 0
es: AJO
D)yf2
IAl = 3 y |B| = 2 . Calcular: |3A| + |2B| AJ27 BJ16 013 DJ35 EJ43
Calcular:
A)1
OyiO
Sean las matrices As y Bs con determinantes
x+ 1 x+3 A) {-3 }
B)6y
E) -6abc
2x+5y = - 2 4 .......... (1) 8 x -3 y = 1 9 -------------- (2) determinar xy A) -32 B) 16
0 27
D) 81
E) 32
( f j j ) Luego de resolver el sistema: 2x+y+z = 3
5x - 3y+2z = 17 7x+y+3z = 14 EJ64
calcular:
AJ-7
x z B)6
CJ-6
y y +z D) 7
E)5
[5 9 6 0 D e l sistema:
CiCLOPEDMA 2012]
A)— £ m <
3 5 t\\26 91 D) — < m < — 3 5
x + £y = 0 — 7 x 1
8
Sy
=7
C)?P4
D )-l
E )-2
(í^ )C a lc u la r « m » con la condición que los
í m x - 32y=l x - 2my=3
sistemas
Si (a; b; c) es la solución del sistema:
m2x + 64y=3 sean in co m p a tib le s y con solución ú n ica , respectivamente. A)m=4 B)m =—4 C)m=2 D)m=—2 E)m=64
7 x + 4 y - 4 z = 7 .......... (1) 7 y+ 5z= 12 ........ (2) lly + 8 z = 1 0 .......(3) calcular: b + c A )-100 B) -112 OI D) 80
( í ^ ) S i el sistema adjunto:
de tal manera que el sistema lineal homogéneo: ( l - k ) x + y - z = 0 ....... (1)
es compatible indeterminado, calcule: T = ?¡ñ
C fÍ6
D fT 6
E )-2
0 D e l sistema: m x - ( m - l)y = 1
2x - ky - 2 z = 0 ....... (2) x - y - ( l + k )z = 0 ....... (3) admita también soluciones no triviales, A) 12 B) -2 O 4 D) -9
D)m-1
4 6 a +3 3 4 5 2 a +3 2 3 a +4 5 2 3 4 a+ 6 O 0- D) a4 E) as(a + 14) B )a + 14
E)l-m
Luego de resolver: 2 x + y -z = 8 x - 3 y + 2z = - l l 3 x + 2 y + 5z = 21 calcule: x* A)1 BJ1024
C)25
D)32
E) 0
Hallar:
x + y = 2 m +1 proporcionar «y» A)m B)-m C)m+1
E) 96
Determinar la suma de valores que asume "6
n (n -2 )x --y =2 £ 2n x - 9 y = n iÍ36
B)2
( 1) ( 2) (3 )
sea compatible, Si (x0; y 0) es la solución de dicho sistema, calcular: re» - (x0 + y q) A) 0 B) 1 C)2 D)3 E)4
x + m y= l
A)1
C)T SmST
E)9 < m < ll
2x + 3y = 8 . m xx-- yy ==3<7 |3x + 8 y = m
Determinar: J x + y
B)2
B)f
n 2 6 < m < 91
Sea "/re” un entero, tal que el sistema de ecuaciones:
A)1
91 < mS 5
A) a
t
«
Si:
E)64
o 0 0 1
-b b 0 1
0 -c c
0 0 = abcd - d
1 1+ d
calcular: a'1 + b'1 + c~l + d'1; abcd * 0 A )-l B) 1 O 0 D) 2
E) -2
¿Para qué valor del parámetro A el sistema: x+Xy = l (1) ©
¿Para qué valores de “m " el sistema
2x+7y=m ...... (1) 3x+5y=13..... (2)
i
tiene solución de componentes positivas?
¿ x + y =A2 ..... (2) es compatible determinado? A)Únicamente si X = -l B)Sólo si X=0 C)A=-1; ¿1=0 D)Únicamente A=l; X = -1 E)Sólo cuando X=1
E M PIIIN E S RtTtIÑfIN 55 Dada la matriz: ' 1 1 Adj(A)= -10 k -3
597
hallar ‘V \ A) a - c D) (b -a )(b -c )
-1 2 -1
En el sistema: 5 x - 2 y = m ......... (1) x + 9 y = m ......... (2)
si |A|=2, determine “k kn
B )2
A) 4
20 D) 3
C)3
E )5
Determine la suma de todos los valores **x**
el valor de **mn para que “x ” exceda en 7 a “y ” es: A) 40 B) 47 C)53 E) 63 D) 55
que hacen que la matriz: (2 (x -3 ) x x x
4 sea singular. A) 6 B) 8
( Q ) Si: |A|=2
a
2 x + (m - 7)y = 2 9 - 7m ........ (2)
D) -3
E) 16
\Adj(Adj(2A)]\=(8,6 )* ,L*i&\es
el orden de A? B)3 A) 2 ©
¿Para qué valor de “m ”, el sistema: m x -6 y = 5 m - 3 ...... ..(1)
-1 N -2 4 x -4
C)10
D)5
C)4
es inconsistente? B )2 A) 1 @
E)6
2
0 -a -b -c
2 004 2 005 2 006 2 007 2 008 2 009 C)0 D) 2007 a b 0 d -d 0 -e - f
E) 2009
c e f 0
(lft) Hallar:
1 0 X 0 -1 1 X -1 1 0 1 0 (x -1 ) 0 2. -1 X 2 0 1 -1 0 1 0 X A) (x* + * + 2 )(x3 + * + 1) B) (x * -x + 2 )(x* + 1) D) ( x * - x - l ) ( x i - x - l ) C )(x * -x + l ) ( x * - x - l ) E) (x*-x+ 1 )(x3- x + 1) Cuántas soluciones tiene el sistema: 2 x+ 8 y= 3 .........(1) 3x + 12y=6. ...... (2)
B) 2
n
33
n
Cl 3
D) Infinitos
2,2n-t 3 2n~l B) 11x21x31 E) (n*)l
A) n! D) (n”)!
E) Ninguna
A partir del sistema: x + y + z = 0 ......... (1) a x+ b y+ cz = 0 .........( 2) bcx+acy +abz = 0 ......... (3)
OI) 06) 11) 16) 91) 96) OI) 06)
E C A E C A C B
E) 5
n
1H AITS m : U
A) (af + b e - cd)* B) (a f-b e + cd)* C) (a f- bd+ce)* D) (ad + b f- ce)* E) (a d -b f + ce)9
A) 1
2a
D) 4
3
2
2 003 2 005 2 007 B) 2008
3 ) Hallar.
C)3
Hallar: 2 2
Calcular:
A) 2010
B) a - b E) (c - a)(c - b)
09) 07) 19) 17) 99) 97) 09) 07)
B B C B B E C E
CLAVES DE I A OI) A 09) E 06) D 07) 4 19) A 11) C 16) B 17) E 01) D 02) B
n2 n - l O (2n -1)1 (2n-l)l
PRIMERA P R U T IC A 08) C 0 4 ) 0 09) D OS) A 19) B 1 4 ) C 1S) C 1 9 ) E 98) B 94) C 98) C 99) A 09) C 04) C OS) C 0 9 ) C
05) lO ) 15) 90) 95) 90) 05) 10)
A c C C C B C E
PRIMERA PRACTICA 09) B 04) C 05) C 09) B 10) B 08) E 19) A 14) B 15) D 18) C 19) D 90) C 03) D 04) C 0 5 )A
I CLAVES DE LA TERCERX P R U TICA 1 OI) D OO) E 11) D
09) E 07) B 19) B
09) B 08) B 19) A
04) B 09) C 14) C
05) B 10) B 15) B
C 1 A V E S D E E A C U A R T A P R A C T IC A \1$9)E \3)E\4)EWD (í )D[7)D\H)A 9)C]10)E 11mÍ2)A\íH)E \WE[l5)n 16mi7)B\18)C w c m C L A V E S D E I A Q U IN T A P R A C T I C A \8)B\4)E rg?gJ H)C]7)E\ 8)A W M l W 1S)C m n in n iw ñ u
I598 |
O BJETIVO S : * Traducir situaciones del lenguaje natural al algebraico y viceversa. * Utilizar símbolos que sustituyan a objetos con el fin de representar una situación y comunicar información sobre ella. * Apreciar el lenguaje algebraico por su capacidad para expresar relaciones de situaciones y fenómenos de la realidad, así como por su facilidad para representar y resolver problemas. * Plantear y resolver problemas del mundo real o de situaciones matemáticas (geométricas, por ejemplo) que sirvan para motivar y aplicar la teoría, donde se ponga de manifiesto la potencia del lenguaje algebraico, justificando así el uso de símbolos. * Valorar de la precisión, simplicidad y utilización del lenguaje algebraico para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana. * Valorar el lenguaje algebraico para expresar relaciones de todo tipo, así como por su facilidad para representar y resolver problemas.
INTRODUCCIÓN: En nuestro quehacer cotidiano, podemos observar la relación que existe entre la matemática y la realidad ... ¿cómo “ traducir” una situación real que involucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la matemática? Esto no es sencillo, requiere de una gran, capacidad de observación y abstracción. Ciertos problemas reales pueden ser traducidos al lenguaje algebraico mediante una expresión numérica llamada ecuación, en la que una o más cantidades son desconocidas. Para encontrar dichas cantidades debemos ejercitarnos previamente en diferentes cuestiones básicas, y una de ellas es desarrollar la capacidad de abstracción cuantitativa, es decir la capacidad pare representar simbólicamente las cantidades y las relaciones existentes entre ellas. El meollo del asunto , sin
IÜ
CiCLOPEDLl 2 01 2 ]
embargo, es la dificultad que un estudiante encuentra al momento de afrontar un problema enunciado en forma de texto, cuya solución requiere indudablemente la transformación de aquello que está en forma verbal a la forma matemática cuyo lenguaje es simbólico. No es tarea sencilla pero puede serlo si ponemos en su realización voluntad y constancia .
PLANTEO
DE
ECUACIONES
Para resolver un problema relativo a números o cantidades desconocidas se debe expresar una información escrita en idioma norm al, en el simplificado idioma de las proposiciones matemáticas, las cuales nos permiten operar con más comodidad y rapidez que otros procedimientos. Esto implica realizar una especie de traducción de situaciones de la vida real, al simbolismo matemático, tarea que constituye el argumento más útil en todo el proceso de solución.
PLAN TEAM IEN TO D E UNA ECUACIÓN E l planteamiento eB el proceso que implica transformar el lenguaje literal de un enunciado en un lenguaje formal simbólico, en tal forma que la presentación nos permita enfocar la solución de un problema, lléguese o no a obtenerla. La solución de las estructuras algebraicas con independencia de sus realizaciones concretas se efectúa a partir de haber realizado dicho planteamiénto. A continuación presentamos un listado de frases típicas que suelen aparecer en los problemas, y a un costado su respectiva traducción matemática El resultado de sumar un número a 7 -+ 7+ x La suma de algún número y 13
- » □ + 13
El resultado de restar a 18 algún número —+18 —Z Dos veces la suma de un número y 5
2(A+ 5)
Nótese que cada vez que nis hemos referido a un número o algún número, en la traducción matemática, ésta se ha representado por una Letra (x ; y ; z) o un símbolo: □ ; A Ahora, cuando tengas que traducir una frase a una
f j g j w i m t o . v
g g g DSffl
ecuación, debes determinar el significado de cada parte y asimismo tendrás que reconocer qué es lo que vas a reemplazar por una variable.
EJEM PLO S: Un número, aumentado en 5 da como suma J23 I n + 6 = 23
S/.6menos que , el costo de un sombrero es Sf J.7^ -6
=>
x
-
x
6
= 1 7
El arte de plantear ecuaciones consiste en interpretar y transformar enunciados del lenguaje literal (vernáculo) a un lenguaje matemático es decir: Es uno de los temas más importantes en la resolución de problemas estableciendo para ello una o más ecuaciones con el empleo de símbolos, variables y operaciones.
EJEM PLOS: 1) “A " es el doble de “B ”
“A ” es dos veces “B ”
2) “A” es dos veces más que UB” =>A=2B+B -+A=3B 3) U A” es dos más que "B 99 => A = B + 2
i^
L
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y
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m
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]
Suma de los cuadrados de dos números ^xP+y* ¡Importante!: Las palabras: de, del, de los y veces indican que debo multiplicar PROCED & O EXTO P AR A RESOLVER PROBLEM AS La experiencia nos permite proponer que lo esencial para resolver un problema planteando ecuaciones , consiste en la habilidad para seguir cada uno de los siguientes pasos: /) Representación de las cantidades desconocidas o incógnitas por variables (x, y, z , ... etc:). II) Planteo de las ecuaciones que relacionan a las incógnitas con los datos del problema .
III) Solución de las ecuaciones planteadas; esto es, determinar los valores de las variables. No está demás afirm ar que las etapas de representación y planteo, requieren la mayor concentración posible, pues al realizarlas correctamente se asegura una solución del problema. Es por eso que a estas etapas les daremos mayor énfasis en los ejemplos que presentaremos a continuación:
4) “A99es dos menos que UB " =$A=B-2
EJEM PLO 1:
5) *\A99es el doble de " B 99\más diez=> A=2B+10
E l cuadrado de un número , disminuido en 9 equivale a 8 veces el exceso del número sobre 2. Determinar el número.
6) uA "9e s el doble de “B ” más diez =>A =2(B +20) 7) **A99excede a " B ” en 20 “B ” es excedido por ,fA" en 20 A -B =20 El exceso de “A " sobre UB ” es 20 8) Loque le faltaa M A” para "B ” es treinta => B - A =30 9) Lo que le sobra a “An para “fi" es treinta z^ A -B = 30 10) Tres números enteros consecutivos => (x);(x+l); (x+2) 11) “A99y “B" están en relación como 5 es a 7
A =5 B 7
12) Tres números están en relación a 3, 5 y 8
Luego:
— = — = —=k ^ 3 5 7 A = 3k ; B=5k ; C=8k
13) Gastó los tres quintos de lo que no gastó
Luego:
G = ^ (N G ) o G = 3k G 3k NG 5k N G=5k
14) El cuadrado de la suma de dos números
R E S O L U C IÓ N : * Sea “JVM el número buscado e interpretando la información, tenemos: N* - 9=8(N - 2) - >N * -9 = 8 N -1 6 -> N * -8 N + 7=0
( N - 7) (N -l) =0 N = 7 ó N=1
-> N - 7=0 6 N -1 = 0
EJEM PLO 2: El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Determinar el número.
R E S O L U C IÓ N : * Sea ,fx 99 el número. * Del primer párrafo obtenemos: 8x * Del segundo párrafo obtenemos: 60 * Los cuales son equivalentes:
60 7x
8x - 60= 60 - 7x -> 15x=120 - x = 8 (x+y)9
EJEM PLO 3: Compré el cuádruple del número de caballos que
II « o o I vacas, si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas más, el número de caballos sería 2 veces mayor que el número de vacas. ¿Cuántos caballos compré?
R E S O L U C IÓ N ; * Del primer dato encontramos (lo real ): Caballos: 4x ; Vacas: x * Del segundo dato obtenemos(lo supuesto): Caballos: 4x + 5 ; Vaca6: x + 5
Caballos sería 2 veces mayor que vacas 3
-> 4x+5=3(x+5) -*4x+5=3x+15 - >x=10
caballos comprados son: 4(10) =40 EJEM PLO 4: En cada día, de lunes a jueves, gané $6 más que lo que gané el día anterior. Si el jueves gané el cuádruplo de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el miércoles?.
R E S O L U C IÓ N ; * Del primer dato obtenemos que: L u n es: x M a rtes: x+6 M iércoles: x + 12 Jueves : x +18 * Además lo del Jueves es el cuádrupie del Lunes; Es decir: x + 1 8 = 4 x -+ 3x=18 -+ x = 6
miCLOPEDMA 2012] * luego las dimensiones pedidas son : 8cm y 22 cm
EJEM PLO 6 : Una mecanógrafa escribe 85 palabras por minuto . Empieza su trabajo a las 8 :00 am ; y 40 minutos después , empieza otra mecanógrafa que escribe 702 palabras por minuto . ¿A qué hora habrán escrito estas mecanógrafas el mismo número de palabras?
R E S O L U C IÓ N : * Como la 2o mecanógrafa escribe 85 palabras por minuto , entonces : en x minutos escribirá : 85x * La 2a mecanógrafa escribe 702 palabras por minutos , y empieza 40 min después , entonces : en (x -4 0 ) min. escribirá : 202 (x -4 0 ) * Como se pide la hora en que las mecanógrafas hayan escrito el mismo número de palabras Juego : 102(x - 40) = 85x -+ 102x - 4080 = 85x -> 17x = 4080 - » x = 240 min o (4 horas) * Entonces la hora deseada será : 8a.m. + 4h = 12h —12a.m. EJEM PLO 7 :
* entonces el miércoles gané: 6+12=18
En un aula los alumnos están agrupados en bancas de 0 alumnos por banca ; si se les coloca en bancas de 4 alumnos por banca se necesitarían 3 bancas más , cuántos alumnos hay en el aula?
EJEM PLO 5:
R E S O L U C IÓ N :
La longitud de una sala excede a su ancho en 4m. Si cada dimensión aumentara 4 m , el área aumentaría al doble. Hallar las dimensiones de la sala.
* Sea N el número de alumnos en el aula y «x» el número de bancas . * Al agruparlos de 0 en 0 tenemos : N=6x * Al agruparlos de 4 en 4 tenemos : N = 4(x+3) Como son iguales entonces : 6 x = 4 x + 12 -+ 2 x = 12
R E S O L U C IÓ N : * Haciendo el esquema del piso de una' sala, para la primera condición (lo real), tenemos (área= largo x ancho):
x +4 -+ A 2 = x ( x + 4) * Si las dimensiones aumentara e n 4 m tendríamos (lo supuesto): i--------------------------- 1 x +4
x +8 A2 = ( x + 4 ) ( x + 8) * Del dato final tenemos que: At =2Aí => (x + 4)(x+ 8)= 2x (x + 4) => x + 8 = 2x •=>x = 8
—> x = 0
•Finalmente: N = 6 x 6 = 36 alumnos
EJEM PLO 8 : Con 950 ladrillos se han hecho tres tabiques . En el primero entran una tercera parte más que el segundo , y en este la cuarta parte de los que entran en el tercero. ¿Cuántos ladrillos se emplearon en cada tabique ? R E S O L U C IÓ N : *Si la cantidad de ladrillos en el segundo tabique lo consideramos como 3x , entonces su tercera parte
k
1 7 ir t T o .v
H H ["~ ¿flf " | { j^
será x ; por to tanto : Segundo tabique : 3x Primer tabique : 3x+ x = 4x ♦ Los ladrillos del , segundo tabique son la cuarta parte de los del tercer tabique ; esto quiere decir también que lo que hay en el tercero es el cuadrúple de lo que hay en el segundo; es decir : 4(3x) = 12x.
G R Á F IC A M E N T E :
l» F
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«
I I F
J t’ r
ii lím
V
K
* ']
♦ finalmente el menor es : Ns = 3 (4) = 12
EJEM PLO 10 : Se reparte 3000 soles entre 4 personas de tal manera que a la primera le corresponda 400 soles más que a la segunda ; a esta , 4/5 de lo que le corresponde a la tercera ; y esta 100 soles más de lo que le corresponde a la cuarta . ¿Cuánto recibió la segunda persona?.
R E S O L U C IÓ N : ♦Al repartir los S/.3000 entre 4 personas y empezando el análisis entre la 2da y 3*”* persona, luego entre la l éra y la 2da y finalmente la 3*” y la 4*“ tendremos : P ,= 4 K + 400 ♦ Sumando todos los ladrillos debemos tener el total, es decir : 950 . 4 x + 3 x + 12 x = 950 19 x = 950 x = 50 ♦ Finalmente lo pedido será Primer tabique : 200 Segundo tabique : 150 Tercer tabique : 600
EJEM PLO 9 : 4 Se tiene tres números tales que el segundo es -r del O £ primero , el tercero es — del segundo y el producto 4
3000 i
J Ps — 5 K P4 = 5 K -1 0 0
4k + 400 + 4k + 6k + 5 k - 100 = 3000 -+ 18k = 2700 k =150 ¿ ♦ Finalmente la segunda persona recibió : 4(150) = SI. 600 E J E M P L O 11 : De un tonel de 140 titros se extrae tanto : como 4 veces no se extrae, de lo que queda se extrae tanto como no se extrae. ¿Cuánto queda en el tonel?.
R E S O L U C IÓ N : Graficando un tonel e interpretando la primera condición, tenemos
de los tres números es 3840 . Determinar el menor
R E S O L U C IÓ N : EXTRAE
♦ Sea Nj9 Nt y Ns los tres números :
N --N ~H
=> N * - 4 ~ N, ~ 5
N --N => — í - 3- 4 2 Na ~ 4 ♦ De esta proporcionalidad obtenemos que : Nt = 4K Nl = 5K N3 = 3K ♦ Además como el producto es 3840 , entonces : (5K) (4K) (3K) = 3840
140
4x
4x 4 cecee
-»
+
x = 140 5x =140 x = 28
Ha quedado 28 litros ♦ al final de esos 28 litros que no se extrae, se deduce que se sacó su mitad , quedando su otra mitad , es decir : 14 litros
EDADES
-* 60K3 = 3840
Este tema corresponde esencialmente planteamiento de ecuaciones .
al
-+ K 3 = 64 >K = 4
La solución a este tipo de problema involucra reconocer cada uno de los siguientes elementos :
iffieai « o » I E
s%.Ms
• SUJETOS : Debemos identificar el número de sujetos que intervienen . • TIEMPO : (verbo) debemos tener presente si la acción del. problema se desarrolla en distintos tiempos , por ejemplo :
“Hace 5 años” ..................... PASADO “Actualm ente ................ PRESENTE “ Dentro de 8 a ñ os ” .......... FUTURO • CONDICIONES : relación entre las edades de los personajes , en el tiempo .
EJEM PLO S : «Hace 5 años su edad era el triple de la edad que tengo» «Dentro de 10 años mi edad será el doble de la que tenías hace 3 años» .
SITUACIONES S O B R E E D A D E S t m p o i:
44 CUANDO INTERVIENE LA EDAD DE UN SOLO SUJETO 99 Analicemos en tres tiempos : 1Hace ”ro" años actualmente Dentro de "n* años (presente) (Pasado) (Futuro) E -m E E+n
EJEM PLO 1 : Dentro de 20 años Pedro tendrá el doble de la edad que tenia hace 10 años. ¿Qué edad tendrá dentro de 2 años?
R E S O L U C IÓ N : Edad actual: E Edad dentro de 20 años : E + 20 .Edad hace 10 años : E - 10 =>pero según enunciado el doble ....:
E + 20 = 2 ( E - 1 0 )
%
EJEM PLO 2 : Si al cuádruplo de la edad que tendré dentro de 10 años ; le restamos el triple de la edad que tenía hace 5 años , resulta el doble de mi edad actual. ¿Qué edad tenía hace 6 años ? * Edad actual: E
* Dentro de 10 años : E + 10 * Hace 5 años : E - 5 pero de si al cuádruplo ....le restamos el triple resulta el doble :
4(E + 1 0 ) - 3 ( E - 5 ) = 2 E -+ 4E + 4 0 - 3E + 15 = 2E E = 55 * Luego la edad que tenía hace 5 años fue 50 años EJEM PLO 3 : Pedro tiene 45 años. Dentro de cuántos años tendrá el doble de la edad que tenía hace 15 añoB?
R E S O L U C IÓ N : * Edad actual : 45 años * Hace 15 años tenía : 45 - 15 = 30 años * El doble de esa edad es 2(30) = 60 años * Luego El tendrá 60 años dentro de : 60 - 45=15 años t ip o
u
:
- CUANDO IN T E R V IE N E N L A S E D A D E S DE DOS ú M \ S SU JETO S»
Es conveniente para la solución de este tipo de problema el uso de un cuadro . Por ejemplo , analicemos un caso para tres sujetos en tres tiempos y luego completamos el cuadro :
S
TIEMPOS
u PASADO PRESENTE FUTURO J 25 30 38 E B 15 20 28 T 34 42 29 O ÜT S HACE 5 DENTRO AÑOS AÑOS 4
1
Se observa que : La diferencia de edades entre dos personas, en el transcurso del tiempo no varía (idea fundamental para resolver problemas de edades)
E + 20 = 2 E - 2 0 -+ E = 40 * por lo tanto dentro de 2 años tendrá : 42 años
R E S O L U C IÓ N :
VWCtOPEflH s o i s j
EJEM PLO 4: E l le dice a Ella : «Yo tengo el triple de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes» . ¿Cuántos años tienen ambos , si sus edades Buman 50 años?
R E S O L U C IÓ N : * Empleando un cuadro para 2 personajes , en dos tiempos , tenemos :
JfjBj 6 0 8 " | g j Pasado
Presente
EL
y
3x
ella:
X
y
•
* Aplicando diferencia de edades , en el pasado y el presente , y teniendo en cuenta que no varía , tenemos • y —x = 3 x —y
E JE M P L O 6: Roberto tiene 24 años ; su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Betty cuando Roberto tenía la tercera parte de la edad que tiene Betty . ¿Qué edad tiene Betty ? R E S O L U C IÓ N : Presente^ 24 = 6 x4
- > y + y = x + 3x
¿Roberto*'
-> 2 y = 4x _* y = 2 x
—> x = 10 => El tiene 3 r : 3/20) = 30 años => Ella tiene y : es decir 20 años
EJEM PLO 5 : Dentro de 20 años , la edad de María será a la de Diana como 4 es a 3 . ¿Cuál es la edad de ambas si hace 13 años la edad de María era el quíntuplo de la de Diana? R E S O L U C IÓ N : •Empleando un cuadro de doble entrada , para dos personajes y tres tiempos. Partiendo de la información en el futuro (dentro de 20 años) , tenemos :
Futuro
Presente $
María}
4k 32f
Diana ]■ i "T-
• Con este dato completamos el cuadro , para el presente y el pasado (hace 13 años). S Pasado
Presente
• Por diferencia de edades : 2 4 - x = 3 x - 4 =>x = 7 =>Edad de Betty : 3x = 3(7) = 22 años
E J E M P L O 7: Hallar la edad de un padre y la de su hijo sabiendo que hace 8 años la edad del primero fue el cuádruple de la del segundo ; dentro de 22 años sólo será el doble de la de su hijo. R E S O L U C IÓ N : ♦ De acuerdo a los datos , emplearemos un cuadro para dos personas en tres tiempos : i H ace 18- añ os
4 k -3 3
4k - 20
4k
D iana
325-33
3k - 20 ,
3k
•Teniendo en cuenta que hace 13 años la edad de María era el quíntuplo del de Diana , planteamos la siguiente ecuación : 4 k - 3 3 = 5/3k - 33)
- + 4 k - 3 3 = 15k -1 6 5 ->22 25 = 232 - > 6 = 22
P resen te
*
D e n tr o ^ d e 12 a ñ os
P ad re :W o P=4H
P=2H
• Digamos que hace $ años el hijo tenía «x» años ; eri tanto que el padre tenía “4x”. • En la actualidad el hijo tendrá Wx + 8 Wy el padre “4x + 8". • Dentro de 22 años tendrán **x+20” y “4x+20” . 0 • Ubicando esta información en el cuadro tenemos :
F uturo :*
^Marídf,
3x
4
M
* Del dato, que sus edades actuales suman 50 años 3 x + y = 50 -> 3x + 2 x = 5 0
t Pasado
X
O en tr^ Haoe Presente de 12 anos B años Padre \ 4xi‘
4x+ 8
4x + 20
xí*
x+8
x + 20
im o . i
•De la segunda condición : P = 2H -> 4 x + 20 = 2/x + 2 0 ) -> 4 x + 20 = 2 x + 40
2 x = 20 -> x = 20
=>Edad de M aría: 4(12) - 2 0 = 28 años
=>Edad del Padre : 4(10) + 8 = 48 años
=> Edad de Diana: 3/22) - 20 = 16 años
=> Hijo = 18 años
BSB1 6 0 « n » K f f i g
EJEM PLO 8: José le dice a Pablo : “ Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tienes; pero cuando tu tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años’*. Determinar ambas edades actuales. R E S O L U C IÓ N : ♦ Empleando cuadro para dos personas y en tres tiempos ; asi como ubicando la información de la primera condición del problema , tenemos:
Pasado
Presente
y
2x
X
y
José lPablo ,.
Futuro
♦De la segunda condición: «nuestras edades sumarán 63 años» 2xf 63- 2x
SiPablotendrá entoncesJosétendrá Pasado
Presente
y
2x
X
y
¡José •
Pablo f * *
Futuro 6 3 -2 x 2x
"
ÍCLQPEDL12012]
(a+b) años . ¿En que cumplió axb años? R E S O L U C IÓ N : ♦ Empleando : E = Año de referencia - Año de nacimiento ♦ Tenemos:
_____ ____ a + 6 = 19ba - 19ab
♦ descomponiendo polinomicamente :
a + b = 1900 + 10b + a -(1 9 0 0 + 10a + b) -+ a + b = 1900 + 10b + a - 1 9 0 0 -1 0 a -b ♦ desarrollando encontramos que: 10a = 8b - » 5a = 4b ♦ Teniendo en cuenta que a y b son números de una cifra , esta igualdad cumple para: a = 4 y b = 5 => Año de Nacimiento : 1945 ♦ luego para saber en que año cumplió a(b) años, es decir: 4(5)= 20 años a esta edad le sumaremos a su año de nacimiento ; es decir: 1945 + 20 = 1965
E JE M PLO 10:
♦ Por diferencia de edades (no cambia con el transcurso del tiempo): Tiempos pasado y presente : y - x = 2 x -y
Una persona tiene en 1988 tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es su edad actual, considerando que este año ya celebro su onamástico?
-> 2 x = 3 y .............................. (I) ♦ Tiempos presente y futuro :
R E S O L U C IÓ N :
2 x - y = (63 - 2 x ) - 2 x -> 2 x - y = 6 3 - 4 x -> y = 6 x - 6 3 ......................... (II) ♦ Reemplazando en (I) tenemos ;
2 (6 x - 6 3 ) = 3x=> 12x - 1 2 6 = 3 x => x = 14 ♦ En (II) :
y=6(14) - 63=21 => las edades son: José : 2(14) = 28 años Pablo : 21 años t ip o
n i:
USO D E L C R IT E R IO A R IT M É T IC O
Aplicaremos la siguiente relación: |E = Año de referencia - A ño de nacim iento
EJEM PLO 9: Una persona nació en I9ab y en 19ba cumplió
♦ Considerando año de nacimiento: Tendremos que :
iQab
a x 6 = 1988 - 19ab -* a x b = 1 9 8 8 -1 9 0 0 - l O a - b ♦ ordenando : 10a + b + a (b ) = 88 10a + b(-l + a ) = 88 ♦ Esta igualdad cumple para : a= 6 y 6=4 ♦ ya que : 10(6) + 4(1 + 6) = 88 => Año de nacimiento : 1964 Edad actual = 2001 - 1964 = 37 años
EJEM PLO 11: Un profesor nació en j5 o 6 y en 2000 tuvo (a + b) años . En que año llegó a tener (2a + b) años?
R E S O L U C IÓ N : Edad = Año de ref. - Año de nac. -> a + b = 1990 - 19ab - + a + b = 1990 -1 9 0 0 - 10a - 6
^
W f 7 lr iT Q ^
6 0 * IB M
•ordenando: lla + 2 b = 9 0 • esta igualdad cumple para: a =8 y 6= 1 • porque ; 72(8) + 2(2) = 90 • Año de nacimiento : 1981 -> Llegó a tener : 2a +6 =2(8) + 2 = 2 7 años
U
F
l ^ 'I V W
'J g M T M S A i]
•Además
de donde:
en 2982 + 27 = 2998
EJEM PLO 12; Juan le dice a José : Cuando tu tenías 7 años menos de la edad que yo tengo , yo tenía 3 años menos de la edad que tu tienes y cuando tenga el doble de la edad que tu tienes , nuestras edades sumarán 66 años . ¿Qué edad tiene José?
R E S O L U C IÓ N :
fifosé ^
1 co
x -7
y
VELOCIDAD ( V ):
Presente
fjjuan ^
X
tíJosé
y
Futuro 2y 66 - 2y
• De los dos esquemas , aplicando diferencia de edades , tenemos : (y -3 )-(x -7 ) =x -y z ^ x = y +2
2y - ( 6 6 - 2 y) = x-y*=> x = 5 y - 6 6 * Igualando :
RAPID EZ (V ):
X
• Según el segundo párrafo tenemos:
Pasado
espacio o distancia recorrida rapidez empleada tiempo empleado
Característica física de un móvil que nos informa que tan rápido este móvil pasa de una posición a otra. Se expresa en : unidades de longitud por tiempo (elt). Ejemplos: mis ; mlmin ; km/h.
•Como el problema relaciona a tres tiempos, entonces hacemos el esquema para el primer párrafo e-S~\' \Pasado Presente Futuro
Efuan
e V t
5 y —66 = y + 2 4y = 68 y -1 7
=> José tiene 17 años
M Ó VILES Los problemas referentes a móviles consideran a autos, trenes, aviones o personas; asimismo , hacen mención a metros por segundo , kilómetros por hora o a cualquier otra terminología relacionada con el movimiento. Estos problemas se resuelven básicamente con la fórmula :
DISTANCIA = RAPIDEZ x TIEMPO que corresponde a un movimiento uniforme.
Es un magnitud vectorial que nos indica la rapidez con la que se mueve un objeto (móvil) y la dirección en que lo hace. Para la solución de estos problemas debemos tener cuidado que las unidades sean consistentes; por ejemplo si la rapidez esta expresada en m/«, el tiempo debe estar en segundos y la distancia en metros.
EJEM PLO 1: Cinco horas demora un auto en viajar de Lima a Huancayo a razón de 80 km/h. Si cada 2 Okm en la carretera que une ambas ciudades se desea colocar un banderín, ¿Cuántos banderines se requieren, considerando que debe haber uno al principio y otro al final?
R E S O L U C IÓ N : •Debemos primero calcular la distancia entre Lima y Huancayo , para lo cual contamos con la rapidez con que viaja el auto y el tiempo que emplea; por lo tanto: 8Qkm d = V x t = — -— x 5h
d = 400 km * Cálculo del número de banderines a colocar ; para lo cual tenemos : d TOTAL
=
4 0 0
N° banderines =
k m
10
'>
d VNTTARlA
+ 1 = 41
=
1 0
k ™
B E B I I
c
eoe
RAPIDEZ PR O M ED IO : Se refiere a la distancia total recorrida dividida entre el tiempo total empleado :
y
l‘*Üo
NCICIA9PEDIA 2 0 1 2 ]
* Cálculo del tiempo de encuentro : 400km 400km /_ = = 5h (50 + 30)km/h 80kmfk * Cálculo de la distancia de B hasta el punto de encuentro: dB=Vg xt9=30 kmfh x 6h = 150 km
_ Distancian^, P Tiempo ToUU
T
EJEM PLO 2 :
TIEMPO DE ALCANCE (
):
Un auto viaja de una ciudad A a otra B , distantes BOOkm , a razón de lOOkm/h y regresa hacia A con una rapidez de 50kmlh . Hallar la rapidez promedio durante el viaje de ida y vuelta .
Si dos móviles parten simultáneamente y viajan en la misma dirección ; en el mismo sentido y el segundo viaja con mayor rapidez , entonces lo alcanzará el primero en un tiempo / , definido por:
R E S O L U C IÓ N : lOOkm/h
50 km * Tiempo de viaje de ida : 500km *¡ = lOOkm/h = 5h * Tempo de viaje de regreso : 500km = 10H r 50km/h Tiempo total = 5 + 10 = 15 h. * Distancia total recorrida = 500 + 500=7000 km • finalmente : l_000kjn = 200_ 2 prom 15 h 3 3
TIEMPO DE ENCUENTRO(
T
):
Si dos móviles parten simultáneamente de diferentes puntos y viajan en la misma dirección pero en sentidos opuestos, una al encuentro del otro, se encontrarán en un tiempo f , definido por :
donde: t0 : tiempo de encuentro d : distancia que los separa al inicio
VM; V j: rapidez con la que viajan los móviles. EJEM PLO 3; La distancia entre dos ciudades es de 400km. U n auto parte de la ciudad A hacia B a razón de 50km/h y en el mismo instante parte de B hacia A otro auto a razón de 30 km/h. Después de cuánto tiempo se encontrarán y a que distancia del punto B ?. RESOL UCIÓN:
donde:
Éa : tiempo de alcance d : distancia que los separa al inicio Vj ; V j: rapidez con la que viajan los móviles.
E JE M PLO 4: La distancia entre dos ciudades es de 200 Km. Un auto parte de la ciudad A hacia otra C, situada a 350 km al Este de B , a razón de 50 kmfh ; en el mismo instante parte de B otro auto hacia C ; a razón de 30 km/h. Después de cuánto tiempo alcanzará el móvil que partió de A al que partió de B y a que distancia de C ?.
R E S O L U C IÓ N ;
200Km
B
* Cálculo de tiempo de alcance : 200km 200 = lOh *a (50 - 30)km/h 20 •Distancia recorrida por B : , 30 km “ a ------- 7— x 10h = 300k Se da el alcance a 50
Km
de
C
[ir n ir m v T ? ^
m ; £*Tm m vg^1
EJEM PLO 5: Un Tren de 120 metros de longitud se demora en pasar por un puente, de 240 metros de largo, 6 minutos. ¿Cuál es la rapidez del tren? R E S O L U C IÓ N
tiempo de encuentro: f 550hm = 3h09 min. * " (90 + 85)km/h Se cruzarán a: 10 pm +3 h 9 minutos =2; 09 am D T=90 x 3,14 = 282km 857m
EJEM PLO 8: 200m * La distancia total que recorre el tren para cruzar es(se deduce del gráfico): 240 m+120m=360m * En un tiempo de 6 min (360 seg ) : 240m
360m V= = lm lseg 360seg EJEM PLO 6: Luis viajó de Lima a Huancayo empleando 8 horas . Si al regreso aumenta su rapidez en 15kmlh llegando en 6 horas, ¿cuál es la distancia total recorrida ?.
R E S O L U C IÓ N * A la ida recorre una distancia «D » con una rapidez de V kmlh llegando en 8 h. D = 8 V.... ~ (i) * A la vuelta recorre la misma distancia «D » con una rapidez de (V +15) kmih llegando en 6 h. =$D = 6 (V + 1 5 ) ............ (U) * Como (I) y (II) son iguales , tenemos : 8V = 6 (V +15) 8V = 6V + 90 2V = 90V = 45kmfh * distancia total recorrida ; 2D * En (I) : 2 (8x45) = 720 km.
Un ladronzuelo corre a razón de 8mís. Un policía que se encuentra a 150m de distancia empieza a perseguirlo y logra alcanzarlo luego de 4min. Con qué rapidez corrió el policía.
R E S O L U C IÓ N : * Aplicando tiempo de alcance :
ta = 4 min 160m {4 x 60) seg = (Vp - 8)m/s 150 _ 5 240 = =>8 = V p -8 V p -8 8Vp - 6 4 = 8 mfseg = 8,62 mis
p 8 EJEM PLO 9:
«Vladi» sale de su casa con una rapidez de « a»kmfh y dos horas más tarde «F u ji» sale a buscarlo siguiendo la misma ruta, con una rapidez de «a+b»km ih. ¿En cuántas horas lo alcanzará?
R E S O L U C IO N : *«Vladi». en 2 horas le a tomado una ventaja de: d = Vt -+ d = 2a • Que «fuji» debe descontarlo en: d 2a 2a *a = Vf - V v (a + b ) - a
E J E M P L O 7: La distancia entre T y L es de 650 km. Alex sale de T a L y José de L a T , ambos simultáneamente a las 10 pm. El ómnibus en que viqja Alex recorre a un promedio de 90km por hora y el de José a 85km por hora ¿A qué hora y a qué distancia de T se cruzarán?
EJEM PLO 10 : Dos motociclistas parten de un punto A , en el mismo sentido, a razón de 30 y 50 kmfh. ¿Que tiempo deberá transcurrir para que estén separados 100 km l
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
V .,
A lex
= 9 0 k m ih V J oee “ 8 5 k m fH
SSOKm
• Para saber a que hora se cruzan, aplicaremos
* Conforme pasa el tiempo el motociclista que viaja con mayor rapidez se va separando más. Para determinar el tiempo que emplean para estar separados 100 km aplicamos(análogo al tiempo de alcance o tiempo de separación): d. '• = V , - V ,
ÍO O k m ( 5 0 - 3 0 )k m / h
« 0 8 | ivütó
c
EJEM PLO 11: Dos ciclistas están separados por 200 metros y avanzan en sentidos contrarios con velocidades de 15 y 10 mis separándose cada vez más. En qué tiempo estarán separado 3400m? R E S O L U C IÓ N : •Ambos ciclistas, el que parte de A hasta C y el que parte de B hasta D , emplean el mismo tiempo para separarse adicionalmente:
3400 - 200 = 3200m . d 3200m too t. = --------------- = --------------------------- 128 seg Ya + V* (10 + 15)mls 6 -> tM= 2 m in con 8 seg EJEM PLO 12: Una auto parte de Piura a las 5pm y llega a Lima el día siguiente a las 2 p m otro auto sale de Piura a las 7 pm y llega a Lima el día siguiente a las 9 a m . ¿A qué hora el segundo auto pasó al primero?.
R E S O L U C IÓ N : •Ambos autos recorren la misma distancia, D entre Piura y Lima , empleando diferentes tiempos : tt = 21 horas tt=14 horas * la rapidez con la que viajan son : V = —
•
V = —
1 21 ' 2 14 • Como el auto 1 partió dos horas antes que el auto 2 , le toma una ventaja «d» equivalente a : 2D d = Vt = — x 2 21 21 •El auto 2 que es más veloz lo alcanzará y lo pasará en un tiempo t i 2D 2D d = 21 = 21 = 4h
RELO JES Acápite relacionado en gran parte con el tema de planteo de ecuaciones y Razonamiento Lógico. Los relojes y su utilidad para la medición del tiempo son motivo de una gran variedad de problemas y acertijos que para un mejor estudio se trata en esta parte , teniendo en cuenta los siguientes objetivos específicos.
NtlCLOPEDLX 2012 ]
I) ANALIZAR Y COMPRENDER LA RALAC1ÓN ENTRE EL TIEM PO TR AN SC U R R ID O Y E L TIEM PO NO TRANSCURRIDO, PARA UN TIEMPO DETERMINADO T iem po T ota l
Tiempo No Transcurrido
Tiempo Transcurrido
EJEM PLO 1: ¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es igual a los 315 de lo que falta para terminar el día?. R E S O L U C IÓ N : * U n día : 24 horas • Tiempo transcurrido : x * Tiempo que falta transcurrir : 24 - x • Gráficamente : T iem po T ota l < > 2 4 h ora »
Tiempo
T iem po
T ra n scu rrid o : x
N o T ra n scu rrid o : 2 4 - x
• Planteando una ecuación , tenemos : g «parte transcurrida» «es» — («falta para terminar») 5 x = —(24 - x ) 5 -> 5 x = 7 2 - 3 x
-> 8 x = 7 2 -> x = 9 => Hora : 9 am r tiempo transcurrido 3 Otra forma: ---------- —----------------------------— = — t. que fa lta transcurrir 5 3k + 5k = 24 -+ k = 3 => Hora: 3 (3 ) = 9horas EJEM PLO 2 : A que hora de la mañana'el tiempo que marca un reloj es igual a 514 de lo que falta para las 12 del mediodía. R E S O L U C IÓ N • En el prim er ejemplo el intervalo de tiempo involucrado era todo el día (24 horas); en este caso es solo el medio día ; es decir: Tiempo Transcurrido _ 5 Tiempo que fa lta t. 4 T iem po T o t o l o 12 h ora e
Tiem po
Tiem po
T ra n scu rrid o : 5 k
N o T ra n scu rrid o : 4k
9k = 12 k = 4/3 Las Horas transcurridas son
P P
609 B isa
5/4/3J = 2013 = 6 2/3h = 6 Horas 40 min. =>La Hora que marca el reloj será : 6:40 am.
EJEM PLO 3:
i^ v ru o
jmk
desperfecto ocurre ya hace 7 horas , que hora marcará las agujas de tal reloj si la hora exacta es 3h 58min.
R E S O L U C IÓ N :
Son más dé las 2 sin ser las 3 de esta tarde , pero dentro de 40 minutos faltarán para las 4 el mismo tiempo que ha transcurrido desde la 1 hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es?.
•Aplicando «regla de tres simple». Si se adelanta 2m in en 15m in ; en 7 horas (7x60=420m in), ¿Cuánto se habrá adelantado?
R E S O L U C IÓ N :
Se adelanta 2 m in
* De acuerdo a la información, el intervalo a considerar es entre la 1 y las 4; por lo tanto: 3 h ora »
1 2 3 4 * Consideramos tiempo transcurrido a partir de 1 pm: « x» min. * Dentro de 40 min : x + 40 * Desde la 1 hasta hace 40 min : x - 40 => lo que falta para las 4 es : (x - 40) 40 40
15 min -------- 420 min x 2 x 420 . -> x = ------------- = 56 min 15 => La hora marcada, aplicando : HM=HR + Adelanto será: HM = 3h 58 min + 5 6 min -* HM = 4h 54 min EJEM PLO 5 :
Hace 10 horas que un reloj se atrasa 3min cada media hora . ¿Cuál es la hora exacta si el reloj indica que son las l l h 28 m in ? R E S O L U C IÓ N : * Aplicando «Regla de Tres Simple»:
Se atrasa
3 m in x
• Planteando la ecuación , tenemos : ( x + 40) + ( x - 40) = 3 h < > 180min —> x + 40 + x —40 = 180 —►x = 90 min • Significa que desde la Ipm han transcurrido 90 min o Ih 30 min • por lo tanto serán las : 2; 30 pm
PROBLEMAS SOBRE ADELANTOS Y ATRASOS Para desarrollar estos problemas , se puede aplicar criterios lógicos y regla de tres ; teniendo en cuenta lo siguiente: • Hora marcada (hora falsa) • Hora correcta (hora real) • Mediante las siguientes expresiones :
Un reloj se adelanta 2min cada 15min . , Si este
--------- 10 horas
3x10 = 60 m in = 1 hora 1/2 • luego aplicamos :
HR = HM + atraso HR = l l h 28 min + lh => HR = 12h 28 min EJEM PLO 6 :
Un reloj se adelanta 5min cada 18 horas a partir de las 8 am . ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que vuelva a dar la hora correcta?. R E S O L U C IÓ N : * Para resolver este problema debemos tener presente que: para que un reloj vuelva a marcar
L> h o r a c o r r e c ta d e b e r á a d e la n ta r s e (o a tra sa rse) en tota l 12horas (720 m in),
* Entonces, resolviendo por «Regla Tres Simple», tenemos: Se adelanta
EJEM PLO 4:
1/2 hora
x =
7 2 0 x1 8
5 min ---------- 18 h 720 min --------- x
= 144 x 18 horas
• Qué en días será
fVjbs
[ A M ^ U r M S M M M iT A
[610 ) Tam bién:
144x18 = 108 24
En 00 min el horario avanza
ESTUD IO D E L R E L O J Y SU S M A N E C ILLA S Equivalencia entre espacio, ángulo y tiempo (1 vuelta)
Espacio ( di v ) 00 30 15 5 | ld iv
<> o o o o
Á ngulo 300° 18(P 908 308 0o
CICLOPEDIA 2012 ]
Tiem po(m in) <> <> o o o
00 30 15 5 Im in
• En M min el horario avanza
00^ = 30° 2
M 2
ÁNGULO (¿CE FO R M AN L A S M ANECILLAS D E L R E LO tl (HORARIO - MINUTERO) Cuando el reloj marca las « H » horas «Af» minutos o abreviadamente H: M el ángulo «o » formado por el horario y el minutero se determina directamente con la siguiente fórmula: a = + 30H ± — M 2 Donde: H : hora de referencia (0 <> H <, 12)
30e=0o+0o+0o+0°+0e
M : # de minutos transcurridos a partir de la hora de referencia a => Medida del ángulo que forman las manecillas del reloj (en grados sexagesimales)
RELACIÓN ENTRE EL ESPACIO RECORRIDO POR L A M A N E C IL L A D E L H O R A R IO Y MMNCTERO (EN 1 HORA)
caso m :
Cuando el
horario adelanta al minutero.
E l minutero recorre 00 divisiones en el mismo tiempo que el horario recorre 5 divisiones, por lo tanto se puede escribir una relación:
EH = Espacio recorrido por el horarió EM= Espacio recorrido por el minutero (en 1 hora) EJEM PLO;
*
♦ Desde las 3 empunto hasta las 4 en punto :
♦Para las H horas y Af minutos , de la figura se observa que :
12x + a = 30H + *
t Última hora pasada por el horario ♦ Transponiendo términos , obtenemos: a= 3 0 H - l l x V
*
♦ Teniendo en cuenta que “x ” es lo que avanza el horario en Af minutos , entonces :
M*UIXTM£1* MM1CMM'.IM'JMXMSS]
611
B) a = 30(8) - y (26)
A) a = 30(4) ~ (40) £
= > « = 240
a = -120 + 220
ca so n ; Cuando el minutero adelanta al horario
=> a =
a = 100°
4 8 0 -2 7 5
205
2
=> a = 102° 30* C) Cuando son las 12h , en la expresión , H se reemplaza por 0 (cero) a = 30(0) + ^ ( 3 6 ) a = 0 +198° * Como debe considerarse el menor ángulo : a = 3 6 0 -1 9 8 a = 162° EJEM PLO 8: Indicar cuántos minutos después de la I forman un ángulo recto las manecillas de un reloj. • Para las H horas y M minutos , de la figura se observa que : 30 H + x + a = 12x a = llx -3 0 H
R E S O L U C IÓ N : * Empleando la expresión : a = ±H + — M 2 * y reemplazando los datos tendremos 2 situaciones: (en ambos casos el Minutero adelanta al Horario ; es decir, el H esta rezagado , por lo que a esta manecilla le asignaremos signo negativo). I) Cuando el menor ángulo es 9 0 ' :
*
CONCLUSIÓN: E l signo negativo acompañará a la manecilla que se encuentra rezagada y el positivo al que se encuentra adelantada (tomando en cuenta siempre el movimiento de las manecillas del reloj).
90 = -30(1) + y M £
N O TA S :
11 90 = - 3 0 + — M
I) Dado un tiempo determinado la hora referencial será la hora exacta anterior a la hora que nos dan.
itr = -----24 0 = 21 ot — 9 min • M
•
i
4
*
U) Cuando se pregunta por el ángulo que forman las manecillas del reloj ; se entiende que es por el menor ángulo.
2
11
II) Cuando el ángulo sea 270* (mayor ángulo) :
270 = -30(1) + y M £
E J E M P L O 7: ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj en cada caso? A) 4h 40 min B) 8h 25 min C) 12 h 36 min
R E S O L U C IÓ N : * Para estos casos » aplicamos la expresión general:
a = ±30 H + — M 2 * Sin necesidad de emplear los signos ; ya que el ángulo debe ser positivo.
11
=>300= — M 2
..6 . =>M =----- =54— min __
600 11
11
• Habrán dos situaciones entre la 2 y las 2 en que las agujas del reloj formarán ángulo recto. g Por primera vez a la 1 con 21— ; y
11
Por segunda vez a la 1 con 64 6 11
CHE)
G
EJEM PLO 9 :
A qué hora- entre las 8 y las 9 el menor ángulo formado por las manecillas del reloj es la quinta parte del mayor ángulo?
campanada. • Es decir:
1
6 am 0 6
camp 5 int 9 am < > 9 camp 8 int 8x16 x= = 24 seg.
R E S O L U C IÓ N * Los dos ángulos (menor y mayor)suman 360° => M ayor + M enor = 360° => 5 x + x = 360° => x = 60 * Este ángulo lo formaron cuando eran las 8 h M min. * Para calcular «Af» aplicamos:
IIC L O P E D IA 2012 ] •
15 seg x
se demorará 24 segundos
EJERCICIOS m Calcula un número que cumple que si a su doble se le resta i 7 da lo mismo que si al número Be le suma 5.
a = = F 3 0 H ± lÍM £5)Si al doble de un número se le resta 6 , resulta
11
=>60 = ? 3 0 ( 8 ) ± ^ M £ • Considerando signos, puede darse dos situaciones: I)60 = -2 4 0 + — M 2 => 300 = — Af 2 __ 000 6 => A i = ------- = 54 — 11 11
II) 60 = 2 4 0 - — M 2 11 Af = 180
el número más 6 . Halla el número planteando la ecuación correspondiente, y resolviéndola. Halla un número cuya tercera parte más su doble más 14 sea igual a su triple. ¿Qué número multiplicado por 2 y aumentado
M =™ =32* 11 11
La hora en que formarán 60* las manecillas será g por primera vez a las 8 h 32 — min y por segunda £ vez a las 8 h 5 4 — min . 11
PROBLEM AS SOBRE CAM PANADAS El tiempo que se mide al tocar una cantidad «n» de campanadas siempre es a partir de una que «marca inicial »; es decir que lo medimos por intervalos.
G R A F IC A M E N T E : « 71» campanadas 1 2 3 4 I I i i *n—l» campanada* i : tiempo que demora cada intervalo
EJEM PLO 10: U n reloj señala la hora con igual número de campanas . Para indicar las 6 am. demoró 15seg. ¿Cuánto demorará para indicar las 9 am ?
R E S O L U C IÓ N : •La solución a este tipo de problemas se hace aplicando «regla de tres simple», tomando en cuenta los intervalos generados entre campanada y
en 7 da 6 unidades menos que su triple? |5) Las edades de un padre y un hyo suman 51. Si el hijo tiene 27 años menos que su padre. ¿Qué edad tiene cada uno? La suma
de
dos números es 32
y su
diferencia 2. Plantea la ecuación para calcular dichos números y resuélvela por tanteo. Plantea la ecuación que verifica la siguiente frase: ‘La edad del padre es 30 años mayor que la del hyo y entre las dos suman 50 . Resuelve por tanteo la ecuación. El perímetro de un rectángulo mide 30 cm, y el ancho mide el doble que el largo, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
(6 u) Se reparten 128 Euros entre 2 chicos y 5 chicas de manera que cada chica recibe las dos terceras partes de lo que recibe un chico. ¿Cuánto recibe cada chico y cada chica? 0
Entre Pablo y Mar cobran al mes 3600 euros. Si
Pablo se gasta 100 euros entonces tendrá 500 euros más que Mar. ¿Cuánto cobra cada uno mensualmente?
w
r m
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To
0 1 8 ffg g f
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r i ;o
o
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v t # w
a
t t a
' )
* Pero la cantidad de mujeres es un número entero , entonces la cantidad de hombres es 10. R PTA: “A ”
PROBLEM A 1 :
PROBLEM A 4 :
Beatriz compró 10 manzanas . Al preguntar en otra tienda se da cuenta que en ésta cada manzana cuesta 5 céntimos menos y además por la misma suma de dinero hubiera recibido 2 manzanas más . ¿Cuánto costó cada manzana? AJSI.OJO B)SI.0,25 C)Sí.0,30 D)S¡.0,40 E)S!.0,60 R E S O L U C IÓ N :
Mi enamorado es 22 años menor que yo, dice cierta dama solterona, y el producto de nuestras edades , excede en 662 a la suma de las edades ¿Qué edad tiene mi enamorado? A)19años B)15años 0 1 8 años D)16años E)20años R E S O L U C IÓ N :
* Costo de cada manzana : x * Suma de dinero : lO x = (10 + 2 ) ( x - 5 )
Edad
RPTA : “ C ”
PROBLEM A 2 : Un estudiante salió de vacaciones por n días, tiempo durante el cual: * llovió 13 veces en la mañana o en la tarde . * Cuando llovía en la tarde la mañana había sido despejada. * Hubo 8 mañanas despejadas . * Hubo 7 tardes despejadas . Hallar «n» . A) 14 B) 12 C)16 D) 10 E) 15 R E S O L U C IÓ N :
s
n = Total de mañanas = Total de tardes. = 13- x = > 2x =12
* n =6 + 8 = 1 4 * X
+ 7
RPTA ¡ ••A "
PROBLEM A 3 : En un baile Emilio le dice a Verónica, somos el doble o el triple de ustedes . Ella le dice: «Mira allí vienen mis 5 amigas con los cuales nadie se quedará sin bailar. ¿Cuántos hombres hay en la fiesta? A) 10 B) 12 013 D) 14 E) 50 R E S O L U C IÓ N : * Número de mujeres : x * Luego : 2x = x + 5 ó 3x = x + 5 ó
X
* = §
x ( x + 22) - ( x + x + 2 2 ) = 662 => x 2 + 20x - 684 = 0 = > (x - 1 8 ) ( x + 38) = 0 => x = 18 RPTA PROBLEM A 5 :
44
C”
En un salón de clase si 6e da un premio a cada uno, sobraría «x» premios, pero si se entrega «x» premios a cada alumno , entonces «x» alumnos no recibirán premios ¿Cuántos alumnos hay en tota? A )X 2
B )X (X -I)
C
) f í j
" ^ D)
( X
+ V
x -1
E) ~ 'x -l
R E S O L U C IÓ N :
* Sea : x : # de mañanas lluviosas . 13 - x : # de tardes lluviosas . * Luego:
x =5
Enamorado
♦ Según enunciado :
lO x = 1 2 x - 6 0 30= x
=> x + 8
De la dama x +22
+ Sea «n» el número de alumnos. ♦ «Si se entrega 1 premio a cada alumno, sobrarán «x » premios». => Número de premios : n + x (I) ♦ Pero «si se entregan «x» premios a cada uno, quedan «x» alumnos sin premio». => Número de premios : (n - x) x (I I ) ♦ Luego : (I) = (II) n +x = (n -x ) x x ( x + l) n= x -1 RPTA : “ D ” PROBLEM A 6 : La fachada de una casa tenía 25 huecos entre puerta, balcones y ventanas, 3 de las ventanas se transformaron en balcones y entonces el doble del número de balcones era igual al quíntuplo de ventanas. ¿Cuántos huecos de cada clase había primitivamente en la fachada , sabiendo que el
SI* I número de ventanas era múltiplo de 3 ? . Dar como respuesta el menor. A) 3 B )4 C )9 D) 12 E) 6 R E S O L U C IÓ N :
P + B + V = 2 5 ............................ (Inicio) 2 (B + 3) = 5 (V - 3) .....................(Luego) (Tanteando) 2 B + 21 = V = =3
B < 25 => B =
45-22
B = 22
(Tanteando)
V=9
;
P = 4 R PTA: UB ”
PROBLEM A 7 : En una reunión , unos empiezan jugando , otros charlando y el resto bailando . Los que bailan son la cuarta parte de los reunidos . Después 4 de ellos dejan el juego por el baile, 2 deja la charla por el juego y 2 dejan el baile por la charla con lo cual resulta entonces que bailan tantos como juegan y juegan tantos como charlan ¿Cuántas personas asistieron a la reunión? A) 5 B)12 024 D) 25 E)30 R E S O L U C IÓ N : Wugondo Charlando B ailando'j Reunidos J rnicid S x -y tJJenpués] 8 x - y —4 + 1 y-1 + 2 x + 4 -2
subieron en el paradero inicial: Total - (suben en el trayecto) (70 + 7k) - (3k + 2 k ) = 70 + 2 k = 90 R PTA: “A ” PROBLEM A 9 : Juan se dirige al mercado y compra la misma cantidad en dinero de plátanos , naranjas y manzanas, comprando un total de 55 frutas. E l precio de una naranja excede en Sf.l al precio de un plátano, el precio de una manzana excede en S¡,1 al precio de una naranja . Si el número de naranjas excede al número de manzanas en tantos plátanos como se pueden comprar con SI, 5 . Calcular el número de cada fruta . D ar como respuesta la diferencia entre plátanos y manzanas. A) 15 B) 20 025 DJS E) 12 R E S O L U C IÓ N :
[ plátano NARANJA MANZANA Precio de cada' x +1 x +2 *y {Gasto por los' < y y y y k Cantidad de ."v i ny x +1 x +2 * Según enunciado :
y +
y + x * -
x
+
3 x -y -3 = y + l= x + 2 x=6 => Los reunidos serón : 4 (6) = 2 4
2
x
1 + 1
x
* Según el último dato :
+
1
= 55
+ 2 y __ 5 2 “ x +
x
x +
+
2
2
-» 4 x 2 - 3 x - l = 0
RPTA: "C ”
PROBLEM A 8 : Un tren al final de su trayecto llega con 40 adultos y 30 niños , con una recaudación de Sí2 0 0 . Cada adulto y cada niño pagan pasajes únicos de S/.2 y Sf.l respectivamente . ¿Con cuántos pasajeros salió de su paradero inicial si en cada paradero por cada 3 adultos que subían , también subían 2 niños y bajaban 2 adultos junto con 5 niños? A) 90 B) 100 0 60 D) 80 E)120 R E S O L U C IÓ N : * Luego: * Recaudación total: 200 2(40 + 2 k )+ lx (3 0 + 5 k ) = 200 k = 10
X t'll'IA H ‘EIiL\ 2012]
-+ ( 4 x + 1) ( x - 1 ) = 0 => x = 1 • Reemplazando : y = 30
* Luego la expresión a calcular será : ^
- ^
= 20
RPTA : “B
PR O BLEM A 10 : Una sala tiene 3 metros más de largo que de anchó . Si el largo fuese 3 metros más de lo que es y el ancho fuese 2 metros menos . L a superficie sería la m ism a. ¿Cuál es el área de dicha superficie?
A) 180 jn* B)200 m* 0 2 4 0 m* D)120m * E)160 mx R E S O L U C IÓ N : * Sabemos que : • Largo x Ancho = Área del Rectángulo
raí
sis
Area = ( x + 3 ) x = ( x + 6 ) ( x - 2 ) x 2 + 3x
= x2
-+ 1 2 Área
4x -1 2
+ =
x
= 15 x
12
=
180 RPTA : "A ”
P R O B L E M A 11 : En una caja C ¿ hay 5 bolas negras y en otra caja Ct hay 8 bolas blancas. Se escogen 3 bolas de C ay se las coloca en Cr Después de este procedimiento, sea b el número de bolas blancas en C¿y n el número de bolas negras en Cr Entonces A)b=n-2 b) b=n+2 C)b=n+1 D)b=n-1 E) b=n R E S O L U C IÓ N :
* De los datos* Cx : 5n 1) C 2 • &B U)
c 2• ’ 5N - 3 N = 2n
N III) Se escogen x a + yN tal que x 8 + yN = 3 de C 2y se colocan en Cr C2 •
3N ~ 3B + 3
rom
ni? f ? r y n * m m s ]
Como todos han recibido la misma suma , luego :
100 + x = 200 +
- » 1200 + 12x = 2400 + l l x -2 0 0 x = 1000 Luego :
12 ( 1000 )+100 número de personas = = 11 100+1000 RPTA: “ C $9 PROBLEM A 13 : Un ejército «A » presentó batalla a otro «B » , de los soldados del ejército «A» murieron todos menos los que murieron y de todos los sobrevivientes del mismo ejército , quedaron heridos todos menoB los que quedaron heridos . De modo que murieron 100 soldados más de los que quedaron heridos . Si el ejército «B» tenía al principio 200 soldados más que «A » . ¿Cuántos soldados tenía el ejército «B» al inicio de la batalla? A) 400 B) 200 C)300 D) 500 E)600 R E S O L U C IÓ N :
m urieron: y Según enunciado : y = x -y =>2y=x
C j : 2N + x B + y N @ 2 : 3 B + 3 N ~ ( XB + 7 n )
Del dato:
Ejerció nA'
b = xB n =3 -y N
* Restando las ecuaciones :
b - n = x B + y N —3 = 0 ya que x B + yN = 3 -+ b = n RPTA: “E " PROBLEM A 12 : Se reparte cierta cantidad de dinero-entre cierto número de personas . La primera recibe SI. 100 y 1112 del resto ; la segunda SI. 200 y 1112 del resto la tercera SI.300 y 1112 del resto ; y así sucesivamente . De esta manera todas ellas han recibido la misma suma y se ha repartido la cantidad íntegra. Hallar el número de personas . A) 12 B) 9 C )ll D) 13 E) 15 R E S O L U C IÓ N : • Cantidad ha repartir : 12x + 100 (Suposición adecuada) • El primero recibe 100 + x • Resto: l l x El segundo recibe: 200 +
200
( l l x - 200)
Sobrevivientes : x - y = y Según enunciado : Heridos = y - heridos y —100 —y —(y -1 0 0 ) y = 200 ; x = 400 Ejército «B» : x + 200 = 600
RPTA: “E 99 P R O B L E M A 14 : U n extranjero se aloja en un hotel pagando $24 diarios por el cuarto y $60 diarios por el cuarto y la comida. A l cabo de 36 días el extranjero se retira del hotel pagando $1890, suma en la cual está incluido $192 de gastos extras efectuados durante su estadía. Si el administrador le había hecho una rebaja de $1 por cada $10, ¿cuántos días comió el extranjero en el hotel? A) 27 días B) 32 días C) 29 días D) 30 días E) 31 días R E S O L U C IÓ N : • De cada 9x = 1890 que pago , debía pagar lOx = 10 x 210 = 2100
fJ%M. « B J E W J I A
}Numero O >• • declías 36
616
Días que comió n
* Gasto Total : 60n + 2 4 ( 3 6 - n ) + 192 = 2100
44ám PPP
Tres parejas de esposos: los García , los Suárez y los Campos van de compras . Cada persona compra tantos objetos idénticos como los soles que paga por cada uno de ellos . Cada esposa gastó 76 soles más que su esposo . Si Ana compró un objeto más que José García , Betty uno menos que Juan Suárez. ¿Cuál es el apellido de Carmen y cuantos artículos compró? A} Campos -11 B) Suárez -11 C) Campos -14 D) García -10 E) Suárez -14 R E S O L U C IÓ N :
to d e cada T • objeto
Número de objetos x
m n J t r E I t I A 2 0 í 2}
* Después: x + [ x - ( 180 - x )] = 3 (180 - x - [ x - ( 1 8 0 - x)]) -> 3 x -1 8 0 = 5 4 0 - 3 x - 3 x + 5 4 0 -3 x x = 105 R P T A : “B PROBLEM A 17 :
Días que jy sólo se atojó' 3 6 -n
z* 60n + 864- 2 4 n + 192 =2100 => 36 n = 1044 => n = 29 RPTA PROBLEM A 15 :
I
Gasto por'«x*g o b je to s ^ 2
* Para cada pareja se tendrá :
x 2 - y 2 = 76 -+ (x + y ) ( x - y ) = 2 5 x 3 = 1 5 x 5 = 75x1 * Posibles parejas : (14 ; 1i } , {1 0 ; 5 } , {38 ; 37} Según enunciado , se tendrá : * Ana compró 38 objetos y su esposo José García 37 * Betty compró 10 objetos y Juan Suárez 11, se deduce que este último tiene como esposa a Carmen que ha comprado 14 objetos . R P T A : “E ”
PROBLEM A 1 6 : En dos habitaciones hay un total de 180 focos , de los cuales hay un cierto número de focos prendidos, luego se encienden tantos focos como los prendidos exceden al de los apagados , resultando el número de focos prendidos el triple de los apagados . ¿Cuántos focos estaban prendidos inicialmente? A)100 B)105 CJ110 DJ115 E)120 R E S O L U C IÓ N : m a l (Prendidos Apagados i X 180- x 180
Cory y Eva fueron de compras y cada una compró tantos artículos como soles pagó por cada uno . Si Cory gastó Sf.600 menos que Eva y compraron 30 artículos en total. ¿Cuanto gastó Coiy? A) SI.100 B) S/.81 C) SI£ 5 D) SI.625 E) S/.400 R E S O L U C IÓ N :
Precio
Cantidad Cory Eva
X
(3 0 - x )
Valor
x x* (3 0 - x ) 1 3 0 - x f
x 2 - ( 3 0 - x ) 2 =600 - > x 2 -9 0 0 + 6 0 x - x 2 =600 - + x = 25 Gastó Cory = (25)9 = 625 soles . Y\PP RPTA: 44 'D PROBLEM A 18 : Sabiendo que 75 bueyes se han comido en 12 días la hierba de un prado de 60 áreas y que 81 bueyes se han comido la de un prado de 72 áreas en 15 días. Se pide, ¿cuántos bueyes serán necesarios para comer en 18 días la hierba de un prado de 96 áreas? Se supone que en los tres prados la hierba está a la misma altura y que continúa creciendo uniformemente. A) 90 B) 100 C) 120 D) 102 E) 98 R E S O L U C IÓ N : •Sea «6 » el crecimiento de la hierba por área y por día, además que el consumo de un buey en 1 día es constante , luego : *# de bueyes
t" ; y
# de días
75 81 ...v
12 15 18
Consumo 60 + 60x226 72 + 72x266 96 + 96xl8k
• Consumo por 1 buey en un día :
60 (1 + 12k) 72 (1 + 15k) 12x75 15x81 • De donde : x = 100
96 (1 + 18k) 18x RPTA: “ B ”
PROBLEM A 19 : Perdí el doble de lo que aún tengo ; de no ser así, cuando compre un libro de S/.32 me hubiera sobradó
K r 7 im > v
7>7^t,VTf-;o i>i; M'r'/it ioat^.v ]
617 jB H
tanto como hoy me falta. ¿Cuánto tenía? . A) S/.36 B) S/.48 C) S/.32 D) S/.42 E) SI.50 R E S O L U C IÓ N : Perdí -------- ►2x
• Pero realmente gasté Sj.16 , luego gasté en total 24 + 16 = 40 soles . R PT A : "C >1
* x.
Se poseen 28 palitos de fósforos repartidos en tres montoncitos . Si del primero Be pasan al segundo tantos como hay en éste , si del primero se vuelven a pasar al segundo tantos como hay en el segundo , si del segundo se pasan al tercero tantos como hay en éste, resulta que en el Begundo hay el doble que en el prim ero ¿Cuántos palitos tenía cada montoncito al inicio? A) 16; 4 ; 8 B) 12 ; 8 ; 8 C) 14 ; 6 ; 4 D) 14 ; 6 ; 8 E ) 1 6 ;6 ;6 R E S O L U C IÓ N :
No perdí
* (2x + x) = 3x
Tenía
Cuando perd í
Cuando no perdí
3x
-
32
(aún tengo)
=
32 -
robra
x
falta
4x = 64 -* x = 16 •Finalmente , Tenía : 3(16) = S/.48 RPTA: “B ” PROBLEM A 20 :
Al inicio :
Un capitán razona «Si ordeno a mis soldados del alma mater, en filas de 10 , me sobrarán 8 soldados, pero si los ordeno en filas de 9 , me faltarán 7 para forma 6 filas más. ¿Cuántos soldados hay en el alma mater? A) 370 B) 74 C) 68 D) 398 E) 215 R E S O L U C IÓ N : •Sobran o• Faltan o i •• o I •• I • ♦ •• Total de •+8 0 9 •• -7 *20 •• soldados •• ••
«x»filas (x+6) filas => 10x + 8 = 9 (x + 6 ) - 7 -> x = 39 * Total de soldados : 10(39) + 8 = 398 RPTA:
Tenía: S/. 60 G asté: S/.x No ga sté: SI. (6 0 - x ) • Si no hubiera comprado el regalo : x = | (6 0 -x )
3 x = 120 - 2 x S x = 120 .2 4
28 ler. 2do. 3ro. Grupos x y z => x + y + z = 2 8 ........................... (I)
• Del 1ro . se pasan al segundo tantos como hay en éste, entonces quedarán : x - y ; 2y ; z • Del 1ro . se vuelve a pasar al 2do . tantos como hay en este , entonces quedarán con : x - 3 y ; 4y ; z • Del 2do. se pasa al 3ro. , tantos como hay en éste, entonces resultará :
x - 3y ; DOBLE*
*D
P R O B L E M A 21 : De los S/.60 que tenía ; si no hubieraxomprado un regalo que me costó SI. 16 tan sólo hubiera gastado los ^ de lo que no hubiera gastado. ¿Cuánto gasté? A) SIJO B) S/.32 C) SI.40 D) S/J4 E) S/.36 R E S O L U C IÓ N :
v =
PROBLEM A 22 :
4y
-
z
; 2z
(DATOi
=> 4 y - z = 2 x - 6 y -> z = 1 0 y - 2 x ................ (I I ) •De (I) y (II), se tendrá.: x + y + 1 0 y - 2 x = 28 28 + x y =^ r ~ • Tanteando adecuadamente t llegaremos a que : y = 4 ; x = 16 ; z = 8 RPTA: “A " PROBLEM A 23 : U n carpintero pintó la superficie de un cubo de madera , luego hizo marcas en cada arista del cubo, de tal manera que , ésta quedaba dividida en «m» partes iguales . Una vez seca la pintura serruchó el cubo por las marca y obtuvo 488 cubitos de al menos una cara pintada. Hallar «m» . A) 6 B) 8 C)10 D) 14 E) 12
m TCLOPEBMA 2012]
fó T ¿ l
0 ,2b + 0 ,7 c = 2 ,2 PAR
2b + 7c = 22 = > a = 7 , b = 4 , c = 2
R PT A : “D 99 m -l
PROBLEM A
R E S O L U C IÓ N : • Observando y analizando la figura, se tendrá que: Cubito* con al mena* una cara pintada = 488 t-----------------------------^ -----------------------------> 8 á to l ca ra pin ta d a
^ __
+
S ólo 2 ca ra * pin tad a*
S ólo 3 ca ra s pin tad a*
6 ( m - 2 )2 + 12 ( m - 2 ) + 8 = 488 -> 6 (m - 2)2 + 12 ( m - 2 ) - 480 = 0 - + ( m - 2 )2 + 2 ( m - 2 ) - 8 0 = 0 m -2
+ 10
m - 2+10 = 0
m -2 * Luego : m = -8
- 8 => m - 2 - 8 = 0 ó m = 10.... (solución) R PTA: “ C” PROBLEM A 24 : Una compañía de aviación compra 13 avionetas por 16 , 5 millones de nuevos soles. Las avionetas que compra son del tipo A a un precio de 1,1 millones , del tipo B a un precio de 1,3 millones y del tipo C a 1, 8 millones . ¿Cuántas avionetas compró de cada tipo? A) 2,11, 0 B) 3, 7,3 C) 6, 6,2 D)7, 4,2 E) 8, 4,1 R E S O L U C IÓ N : * Sea: a : # aviones del tipo A C1,1 millones c/u) b : # aviones del tipo B (1,3 millones c/u) c : # aviones del tipo C ( 1,8 millones c/u) 9 Como se compra al menos uno de cada tipo, entonces a , b y c son diferentes de cero . * Si todos los aviones fueran del tipo A , se habría gastado 13 X 1,1 = 14,3 millones. * Pero en realidad se gastó 2 , 2 millones más , esto se debe a que: I Por cada avión del tipo B se gastó 0,2 millones más 9 Por cada avión del tipo C se gastó 0, 7 millones más :
25
En una sucesión de 5 números enteros consecutivos y positivos , la suma de los cuadrados de los 3 primeros es igual a la suma de los cuadrados de los 2 últimos . Entonces el segundo término de la sucesión es : A) 8 B) 9 C)10 D) 11 E)12 R E S O L U C IÓ N : * Sean : x - 2 ; x - 1 ; x ; x + 1 ; x + 2 ; los términos (enteros positivos) de la sucesión , luego : * Suma de cuadrados de los 3 primeros : ( x - 2 ) 9 + ( x - l ) s + x* * Suma de cuadrados de los 2 últimos : (x + 1)* + (x + 2)* * Por condición : ( x - 2 ) 9 + ( x - 1 ) 9 + x 9 = (x + l ) 9 + ( x + 2 ) 9 * Resolviendo : x = 12 * Piden : x - 1 = 11 R P T A : “D ” PROBLEM A 26 : Se compran dos piezas de tela : una a <*> soles el metro y otra , que tiene «x» metros más, a «y» soles el metro : si por cada pieza se pagó lo mismo . ¿Cuántos metros se compraron en total?
, x(x+y) A) (y-x)
x+y B) ~3rry
r .y(x+y) x(x+y) C) ‘ x - y " D) (x-y)
R E S O L U C IÓ N : * Por «z » metros a «x» soles cada metro se paga «zx» soles. * Por «z+ x» metros a «y» soles cada metro se paga « (z+ x) y » soles . * Como se pagó lo mismo por cada pieza tenemos : z x = (z + x ) y d e donde z ~ ^ •El total de metros es : +x =
+ , =
RPTA : “D ” PROBLEM A
27 :
Se compra un recipiente que lleno , pesa 9. 5 k g . y vacío pesa 2 . 5 k g . Se vende el contenido en vasijas
hbh
oí s
que llenas pesan 290 g y vacías pesan 40g . ¿Cuántas de éstas vasijas se ha podido llenar? A) 28 B) 30 C) 56 D) 14 E)37 R E S O L U C IÓ N :
R : L : V : Lí :
Peso del recipiente Peso del líquido del recipiente Peso de una vasija Peso del líquido de una vasija
R + L = 9500 R = 2500
r í A v r r o jr>i? jr?
más un pan ; para cumplir la entrega. ¿Cuántos panes se ordenó traer? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E)15 R E S O L U C IÓ N : # de panes: x< mando a traer
(faltan)
* Luego ; • Quedaron : 4 0 - x (hay)
4 0 - X + 40
L = 7000
X + 1 = 40 x = 14
V + L l = 290 V = 40
PR O B LE M A 30 :
=> L1 = 250
n : número de vasijas que se llenan con el líquido del recipiente .
L 7000 n = — = --------- = 28 Lj 250 RPTA : “ A " PROBLEM A 28 : Un grupo de abejas, cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre , se pozo sobre un jazmín , habiendo dejado muy atrás a 819 del enjambre; sólo una abeja del mismo enjambre revoloteaba en torno a un loto , atraída por el zumbido de una de sus amigas que cayó imprudentemente en la trampa de la florecilla de dulce fragancia . ¿Cuántas abejas formaban el enjambre? A) 70 B) 71 C) 72 D) 98 E)200 R E S O L U C IÓ N :
x = 18 k 2
1 8 k2 8 '1 8 k 2 n 18k 2 = + +2 2 9 ~+2k2 = 3k + 2 -> 2 k s - 3 k - 2 = 0 * -+(2k + l ) ( h - 2) = 0 => k = 2 x = 18 x 22 - * x = 72
Un edificio tiene 4 pisos, el número de habitaciones de cada piso son números consecutivos crecientes y cada habitación del edificio tiene tantas ventanas como habitaciones hay en el respectivo piso . Si el número de ventanas del último piso y el número de habitaciones del primer piso suman 69. ¿Cuántas habitaciones hay en el último piso? A) 8 B) 7 C )9 D )6 E) 4 R E S O L U C IÓ N :
* Sea «x» el número de habitaciones del último piso del edificio : T O T A L p rn PISO HABITACIONES VENTANASIHAB VENTANÁS, X
X
3o
X ~ 1
2 o
Y
.
x - 1
(X -
x - 2
x - 2
(x -Sft
x -3
x -3
1)2
• Ahora sumamos el número de ventanas del último piso con el número de habitaciones del primer piBO • Resolviendo : x 1 + (x - 3) = 69 • Factorizando : x s + x -7 2 = 0
* Total de abejas : x
Considerando :
iina
-> x + 9 ó x ~ 8 • De donde
: x + 9 = 0 =>x = - 9 x -8 = 0 x=8 RPTA : " A "
P R O B L E M A 31 :
RPTA : “ C t f
PROBLEM A 29 : A 20 parejas de novios le va a entregar 2 panes por persona . En el momento de la entrega se observó que faltaban algunos panes, por lo que se ordenó traer tantos panes como la mitad de lo que hay ,
Si subo una escalera de 3 en 3 , doy 4 pasos más que subiendo de 5 en 5 ¿Cuántos escalones tiene la escalera? A) 30 B) 60 0 100 D) 120 E)90 R E S O L U C IÓ N :
• Sea «n» el número total de escalones. • Luego: (r# # pnasos # pnasos a sos ”1\ a so s '} ( # de 3 en 3;
de 5 en 5 j
31 6 2 0 |
PRO BLEM A 34 :
% - % = 4 = > n = 30 RPTA: “A ” PROBLEM A 32 / En el mes de agosto , Karyn sumó a los años que tiene los meses que ha vivido, obteniéndose como resultado 147. ¿En qué mes nació Karyn? . A) Abril B) Mayo C) Marzo D) Junio E) Febrero
* Según el enunciado : Meses
+ 12x = 147 1 3 x = 147 x = ¿4 £ => 147 \13_ * iJ 4 11 M eses
Yo tongo tantas «semanas» como mi hyo «días», si tmiera 20 años más tendría tantos «años» como mi hijo «meses». ¿Cuántos años tiene mi padre; si cuando yo nací, el tenía los años que yo tengo ahora? A) 35 B) 49 C) 98 D) 70 E)56 R E S O L U C IÓ N : • Lo real es que si yo tuviese una semana (7 días) , mi hijo tendría I día; es decir mi edad (en años.) será 7 veces su edad (en años), luego si la edad de mi hyo es «x » , yo tengo « 7x». •Ahora , si tuviera «7x+20», mi edad sería 12 veces su edad , que es «*» (porque yo tendría tantos años como él meses) , por consiguiente :
R E S O L U C IÓ N :
A ños
'X í 'h :i jh * e m a 2012 ]
IVÜ K
J L
A ños
x = 11 años 4 meses. • En agosto Karyn tenía aproximadamente 11 años y 4 meses , quiere decir que hace 4 meses celebró su cumpleaños número 11 (o sea en agosto - 4 meses = abril) ^ Nació en Abril : RPTA: 4,A*9 PROBLEM A 33 : Inocencia tuvo su primer hijo a los 17 años, 2 años después a su segundo hijo y 3 años después a su tercer hyo. Si en el 2002 las edades de los 4 sumaban 42 años . ¿En qué año nació Inocencia? A) 1980 B) 1965 C) 1942 D) 1977 E)1982 R E S O L U C IÓ N : Incógnita +X
+3
7x + 20 = 12x 4 = x • Entonces yo tengo 7(4) = 28 años , que fue la edad que tuvo mi padre cuando yo nací, es decir, el me lleva 28 años , de donde se deduce que actualmente mi padre tiene : 28 + 28 = 56 años RPTA : 4tE 99 PROBLEM A 35 : Pitonizo dice «Ya no soy tan joven porque paso los 80, pero todavía mi edad no llega a 144 años . Cada una de mis hijas me ha dado tantas nietas como hermanas tiene, mi edad es el cuádruplo de hijas y nietas ¿Cuántas hijas tiene Pitonizo y cuál es su edad?». A) 5 ; 95 B) 6 ; 140 C) 7 ; 108 D )5;100 E)6;100 R E S O L U C IÓ N : • Según el enunciado : Edad de <144 80 < Pitonizo « n
Inocencia
17
19
22
22 + x
1er. Hijo
0
2
5
5+x
0
3 &
3+x
2do. Hijo 3er. Hijo
X
Suman : 42 Dato *—I
=> 2 2 + x + 5 + x + 3 + x + x = 42 Despejando : x = 3 • Entonces inocencia en el 2002 tiene : 22 + 3 = 2 5 años * Luego nació en e l: 2002- 25 = 1 977 R P T A : 44D 99
-
1» J term a n o e d e l a Ira .
# de Hijas: Ira. , 2da. , 3ra. ,. .. ., nva.
n -1 ; n - l ;n - 1 ;.....; n -1 Total de nieteu .* n(n - 1)
//(/o* Nieta» 4( n + n(n - 1 ) ) = 4n
Edad de =>: PitonÍ8o * Reemplazando en la condición inicial : 80 < 4n* < 144 4 ,... < n < 6 cumple para n = 5 -> # d e hijas • Luego su edad será : 4(5)s = 100 años R P T A :44D 99
i » 7
i f ,v
o
A
p
PROBLEM A 36 : La edad de Levy más dos veces su edad , más 3 veces su edad , y así sucesivamente hasta tantas veces su edad , como.su edad t sumaran al igual que 2 menos que si tomáramos su edad , tantas veces como el cuadrado de su edad . ¿En qué año nació Levy , si el año actual es el 20021 A) 2001 B) 1997 C) 1980 D) 2000 E) 1991 R E S O L U C IÓ N : •Sea «x» la edad de Levy , luego según el enunciado
x + 2x + 3x + ... + x (x ) = ^x 2(x) * - 2 ....Tomaremos su edad como el cuadrado de su ed a d .... =*■x (l + 2 + 3+ ....+ x) = x 3 - 2
X (x + 1) 1 _
3 X
- ¡i
x 2(x + l ) = 2x3 - 4 -> x 3 + x 2 = 2 x 3 - 4
-+ 4 = x s - x 2 4xl = x 2 (x -1 ) * Por simple tanteo : x = 2 ♦ Entonces en el 2002 , Lenin tiene 2 años, luego nació en el año 2000 . R PTA : “D 99 PROBLEM A 37 : Un perrito parte de un punto «A» a otro punto «fl» y simultáneamente dos peatones parten del punto «B» en sentidos opuestos , El perrito encuentra a uno de ellos en el punto «M» y al otro en el punto «N» ; luego , se pide calcular la distancia que hay entre «A» y «B», sabiendo que los dos peatones tienen la misma rapidez y que la rapidez del perrito es el cuadruplo de la de los peatones , sabiendo además que la distancia entre «M» y «N» es l€0m . A) 200m B) 300m C) 400m D) 3fcOm E) 150m. R E S O L U C IÓ N : • Como el perrito tiene el cuádruplo de rapidez de los peatones , entonces , para un mismo tiempo el perrito recorre siempre 4 veces lo que recorren los peatones , luego :
i^
t \
T
i :o
i>
f; i ; i
7v
i<
]
• Del gráfico : 2 e¡ + e 2 = 160
■ —> 2{?¿ + 40 — 160 e ¡ = 60 AB : 4et + e ¡ = 4(60) + 60 = 300 m RPTA : “B ” PROBLEM A 38 :
9 Piden:
Carlos sale todas las tardes de su trabajo a las 4: 35 sube puntualmente al microbús que pasa a la misma hora y llega a su cada a una misma hora . Un día sale más temprano y se va caminando a su casa , luego cambia de opinión y toma un microbús , después de caminar 18 minutos, llega a su cada 16 minutos antes de lo acostumbrado . ¿A qué hora salió Carlos de su trabajo?. Velocidad del microbús es ocho veces más la velocidad de Carlos . A) 4: 08 B) 4: 09 C) 4: 10 D) 4: 12 E) 4: 03 R E S O L U C IÓ N ; • Se cumple : YmCR0BÚS = 9VCABLOS • Luego cuando José demora 18 min. , el microbús demorará : 2min . • Normalmente : Uagaalas
Sala 135
H
Va«n nücrobái
D a
b
1 2' ^ : 1 • El día que sale temprano : II)
Vaenmicrobús B
A
f-
Lleganlos B-16
18'
+
• De los gráficos : I :
H = 4 ; 35 + 2
+ t
II:
H - 16 = x + 1 8 ’ + t
I f
R e s ta n d o : 1 6 = 4 : 3 5 - X - 1 6 • Resolviendo : x = 4: 03 R P T A : “E 4 9
PR O BLEM A 39 : E n una pista circular de 240m de longitud, dos jinetes A y B partieron desde un mismo punto en direcciones opuestas. Se encontraron por vez primera 17 segundos después de la partida de A ; 20 segundos más tarde se encontraron por segunda vez. Sabiendo que B partió 6 segundos antes que A , entonces la velocidad de A en m/s es A) 3mis B) 4f5mls C) 5m/s D) 5f5mjs E) 6m/s
[«2 »
7U'
v r ia o p c f iM 2012}
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N : * Como el primer encuentro ocurre 17 segundos después que partió A, luego vuelven a encontrarse a los 20 segundos después ( 3 segundos más), se deduce que el espacio recorrido por B en 6 segundos; entonces: -> Vb x 6(V a + Vb ) * 3 -> v A = v B 240m -> V A x V B = = 12m/s 20s VB = 6m/s R P T A : “E ” PROBLEM A 40: Un tren tardó 6 segundos en pasar por un semáforo y 24 segundos en atravesar un túnel de 240 metros de longitud. ¿Cuánto tardará en cruzar una estación de 160m. de longitud? A)30a. B )20s . C)18a. D) 24 s. E)16a R E S O L U C IÓ N :
* Analizando cada uno de los tres casos presentados: 1) El tren cruza el semáforo en 6 segundos. (El tren recorre su propia longitud)
600m
200m
80m — [— 220m —l
600m
De los gráficos se deduce que “A ” , demoró 208. en recorrer: T, 120 m _ . 200 - 80=120 m . => VA= _ = 6mía. 20s RPTA: “B ” PRO BLEM A 42: Dos móviles parten de los puntos A y B distantes 900 km. en sentidos contrarios. Suponiendo que se encuentran en un punto “ E** y que a partir de ese momento uno demora 4h. en llegar a “ B ” y el otro demora 16h . en llegar a “A ” . Hallar la rapidez del más veloz. A) 70kmih B) 80 kmih C) 85 kmih D) 75kmih E) 60 kmfh R E S O L U C IÓ N : • Graficando según las condiciones (hasta encontrarse): th 4h
II) El tren cruzó el túnel de 240m. en 24a. (El tren recorre la longitud del túnel y su propia longitud) L • Aprovecharemos la proporción de tiempo:
•240m.
üonoom ,
ni)
_ 240 _ 4 0 TREN
----------------- 8 '
* Piden el tiempo para pasar un túnel de 160m.t el cual será: 160m — + 6 8.=18 8. 40 mía. R PTA: “ C ” PROBLEM A 41: Dos móviles A y B disputan una carrera de 800 m . Si " A " da a “B ” 200m. de ventaja llegan al mismo tiempo a la meta ; en cambio se le da 80m. de ventaja le gana por 20 segundos. ¿Cuál es la rapidez de " A ”? A) 8 m¡8. B) 6 mía. C) 12 m/s. D) 10 mía. E) 14 mis.
T 4 — = — => T=8 16 T
8/*
4h
2e 900km • Luego, analizando el recorrido del más veloz: • Del gráfico: * e = 300 2e + e = 900 300km = 75kmlh . MAS VELOZ 4h. R PT A : “ D PR O BLE M A 43: Usted me pregunta ¿qué hora es? y yo amablemente le respondo: “ son las once y falta poco para las doce además dentro de 13 minutos faltará para las 13
g a horas la misma cantidad de minutos que había pasado desde las once hasta hace 7 minutos pues bien esa es la hora. ¿Qué hora es? A) 11: 53 B) 11: 55 C) 11: 57 D) 11: 47 E) 11: 48 R E S O L U C IÓ N : igual
F I-1 V T F O *>17 is m R E S O L U C IÓ N ; * Del gráfico: Recorrido del horario: (5 - 2x) div. • Recorrido del minutero: (30+x) div . • Sabemos que: M =12H -> 3 0 + x = 1 2 ( 5 - 2 x )
11:00
Hora pedida
HaceT
D entro de 73*
13:00
-> 3 0 + x = 6 0 - 2 4 x —> x =
6
. .
6
— d iv is ió n ó — m in .
5
2H-12H * Del esquema: y+7*+139+ y=1209
y =50
* Entonces la hora pedida será: * = iJ ;0 0 + y + 7 '= 2 J ; 57
RPTA : “ C 99 PROBLEM A 44: ¿A qué hora inmediatamente después de las15: 00 h . el minutero adelantará alhorario, tanto como el horario adelanta a la marca de las 121 A) 15: 35 h. B) 15: 36 h. C) 15: 37 h. D) 15:18 h. E) 15:15 h. R E S O L U C IÓ N : OJO: Para el minutero ld iv.= lm in .
-> 2 5 x = 3 0
5
x = l —m in . 5 -> x = lm in + —(60s) 5 - > x = l m in+12s=l min . 12 s * Entonces la hora será: 2H + 30* + x = 2 H + 30*+ 1* 122 =>
x=2H 3T 12" R PTA: “ B ”
PR O B LE M A 46: ¿Qué hora marca el reloj de la figura, si 0 ° - a o=3,75°l
A )4 : 35*35 B )4 : 36*30 99 C )4 : 37*30 99 D )4 : 38*30 99 E)4 : 39*30 99
R E S O L U C IÓ N : * Recorrido del horario: (6 0 -a )°
->30 + 2x=12x -> x = 3 => Serán las: 15 H. con 3 0 + 2 x = 3 0 + 2 (3 )= 3 6 divisiones ó 36 minutos. RPTA : “B pf PROBLEM A 45: ¿Qué hora es en la figura?
A) 2h 33* 30* B) 2h 3T 12* C) 2h 30* 40" D) 2h 31* 52" E) 2h 31* 33’
11 10
* Recorrido del minutero: (180+0)' * Sabemos: M=12II
180 + 0 =12(60 - a ) ........................... •Del dato: a °= 0 °-3 ,7 5 a •Reemplazando “ a 99en (I):
180+0=12(60 - ( 0 - 3 ,7 5 ) ) ->180 + 0 = 7 2 0 -1 2 0 + 45 -+ 130=585° -> 0=45° • Entonces el minutero recorrió: 18(T+0=18O°+45°= 225° • Pero sabemos que para el minutero:
(I)
U'LOPÜDMA 2012}
1
6o 225°
r X
Por regla de tres: 6 x = 225’ -> x = 3 7 '3 0 t9 (5 5 ) Hallar dos números enteros consecutivos cuya
•La hora será: 4: 3793 99
R P T A : “C 9 f PRO BLEM A 47: Toledo salió de su casa por la mañana cuando su reloj de pared coincidía con el gráfico I y llegó por la noche del mismo día cuando su reloj coincidía con el gráfico 21. ¿Qué tiempo estuvo fuera de casa?
G ráfico I
suma sea 203. A) 48 y 49 D) 52 y 53
B) 50 y 51 E) 63 y 64
C) 51 y 52
Tres números enteros consecutivos suman
204. Hallar el mayor. A) 70
^
G ráfico II
B) 68
C) 71
D) 72
E) 69
Hallar cuatro números enteros consecutivos
cuya suma sea 74. El mayor es: A) 21
B) 20
C)24
D) 26
E)28
™ La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar el término intermedio. A) 69
B) 67
o 60
D) 62
E) 65
Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 20 manzanas más que el segundo y 25 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto? A) 190
D) 11 h. E) 10 h. R E S O L U C IÓ N :
D) 197
E) 181
que los 516 del menor al ser sumados con los 719 del mayor, nos da 33 de resultado. Dar el menor de ellos.
M = 12H
A) 19
(en divisiones)
B) 21
O 24
D) 26
E) 20
y j Hallar el mayor de tres enteros consecutivos,
7 7 x = 3 — d iv . = 3 — min
si se sabe que la diferencia de cuadrados entre el medio y el menor, excede al mayor en tres unidades.
11
11
O 176
Hallar dos números consecutivos, si sabemos
♦ Para el reloj (I): -> 40 + x = 12x
B) 188
A) 8
B) 7
0 6
D) 5
E) 4
- » Suhoraserá: 8140 + 3 — 1 = 8 ; 43 — 22
22
♦ Para el reloj (II) :
si sabemos que los 3/4 del menor sumados con la tercera parte del número medio, equivale al mayor.
M =12H 10 + y=12y -+ y = • Su hora será: S: ¡10 +
Hallar el menor de tres enteros consecutivos,
A) 22
20
22
B) 21
O 24
D) 18
E) 20
Hallar tres números consecutivos, si se sabe que los 8/25 del intermedio sumados con la mitad del mayor, equivale al menor de ellos aumentado en tres. El menor de ellos es:
10 } 20 = 8 : 10 11 22
♦ El tiempo que estuvo fuera de su casa será:
A) 42
0
DeNoche
10
7
9
11
11
11
12+8:10— - 8 : 43— =llH27— min R P T A : “A 99
B) 41
o 44
D) 46
E) 43
Se tienen tres números consecutivos. Si
dividimos al menor entre 27, el intermedio entre 7, y el mayor entre 0, observamos que la suma de los dos primeros cocientes excede en 3 al tercer cociente que obtuvimos. ¿Cuál es el menor de los consecutivos?
r / Mi,v T i:o w :
usa ««a Ay 34
By 32
cy 3 7
D ) 35
E) 38
( T í ) Debo pagar 2050 soles con 28 billetes de Si.50
champagne. ¿Cuánto costó el segundo panetón? A ) S/.20
B) 17
C) 13
D ) 14
E) 18
(f~ ) El doble de un número excede al triple de otro en 4. Si la suma de ambos es el triple del menor. ¿Cuál es el mayor número? A) 4
B) 20
C) 10
D) 12
E) 8
Un número excede al cuadrado más próximo en 39 unidades y es excedido por el siguiente cuadrado en 16 unidades. Hallar la suma de cifras del número. A) 20
B) 19
C )2 1
D ) 23
O 18
D ) 10
E) 15
Tengo 120 nuevos soles y gasto 213 de lo que
y Sf.100. ¿Cuántos billetes de S/.100 debo emplear? A) 15
B) 12
no gasto. Si hubiese gastado 517 de lo que no gastaría. ¿Cuánto más hubiese gastado? A) 6
B) 3
C )2
D) 9
E) 7
Entre 4 personas tienen 13604 dólares; la segunda tiene el triple de lo que la cuarta más un dólar; la tercera tiene el doble de lo que tieiien la segunda y cuarta juntas; y la primera tiene tanto como lo que le falta a la segunda para tener lo de la tercera. ¿Cuánto tiene la tercera? Ay 4001
B) 2401
o
6402
D j 800
E) 3501
E )18
T) Un sapo recorrió 20m dando 4 saltos; en cada salto avanzó 2m menos que en el salto anterior. ¿Cuántos metros avanzó en el tercer salto? A)8m B) 6 C)4 D) 2 E) 10 Caperucita Roja va por el bosque llevando una cesta con manzanas para su abuelita; si en el camino la detiene el lobo y le pregunta; “ ¿Cuántas manzanas llevas en tu cesta?” . Caperucita le responde: “ llevo tantas decenas como el número de docenas más uno” . ¿Cuántas manzanas llevaba Caperucita en su cesta? A) 30
©
B) 6
o
120
D) 60
número de espectadores, pagando cada uno S/.5 por entrada. En el encuentro de revancha asistió el triple que la primera vez y cada uno pagó ahora S/.8 por entrada. Si en la segunda recaudación se recibió S/.380000 más que en la primera. ¿Cuántos espectadores asistieron al segundo encuentro? B) 20000
O 60000
D ) 40000 E) 45000
Tito y Raúl se ponen a jugar a los dados, teniendo ambos una cierta cantidad de dinero; en cierta jugada, Tito tiene Sf.24 que es el doble de lo que tenía Raúl cuando Tito tenía el triple de lo que ahora tiene Raúl. ¿Cuánto tiene ahora Raúl? Ay S/.9
B) 6
o
18
D) 10
Hallar dos números, si sabemos que su suma
es 730 y que cuando se divide el mayor entre el menor el cociente es 4 y el residuo es 80. El mayor es: A) 600
E) 15
Un padre de familia compró por navidad una botella de champagne y un panetón, costando este S/.6 más que la botella; al año siguiente compró otra botella de champagne y otro panetón resultando este S/.2 más caro que el del año pasado, y la botella resultó S¡.2 más barata que la del año pasado, entonces ahora resultó que el precio del panetón era el doble que el de la botella de
B) 630
O 500
D ) 430
E) 530
Hallar dos números, tales que uno excede al otro en 70 unidades, y al dividirlos entre sí el cociente es 5 y el resto es 10. El mayor es: A) 80
B) 81
E) 180
A cierto encuentro futbolístico, asistió cierto
A) 6000
©
O 85
D) 75
E) 60
Dividir 260 en dos partes, tales que el duplo del mayor dividido entre el triple del menor nos da 2 de cociente y 40 de residuo. Hallar el mayor de ellos. Ay 170
B y 180
o
150
D y 190
Ey 195
Repartir 285 en 2 partes, tales que 2/3 de la mayor divididos entre 4¡9 de la menor nos da 1 de cociente y 40 de residuo. Hallar la parte menor. Ay i 67
B y 137
O 140
D ) 120
E) 118
Si dividimos el mayor de dos números entre el menor, el cociente es 2 y el resto es 2. Además si dividimos cinco veces el menor entre el mayor obtenemos 1 de cociente y 7 de residuo. Hallar el mayor. Ay 6
m
B) 12
C) 8
D y 10
E) 9
El cociente de una división es 156 y el resto es
6. Si se agregan 1000 unidades al dividendo y se repite la división entonces el cociente es 273 y el nuevo resto es 54. Hallar el menor. Ay 48
B y 62
Cy 56
D y 40
La su m a de dos n ú m eros es
E y 65
74.
S u d ife r e n c ia
[ y
626
i
dividida entre el menor da 3 por cociente y 4 por residuo. Hallar el mayor. A) 44
B) 62
C) 60
D) 64
E) 48
El dividendo en una cierta división es 1081. Si el cociente y el residuo son iguales y el divisor es el doble del cociente. ¿Cuál es el divisor? A) 23
B) 46
C) 48
D) 24
E) 21
X C iC L O P E M A 2012
edad le quitan 77, resultaría lo que le falta para cumplir 700 años, ¿cuál será su edad dentro de 13 años? A) 41
B) 51
O 61
D ) 52
E) 31
Un niño tiene un cierto número de caramelos. En cada hora se come la mitad de lo que tiene más medio caramelo; si luego de tres horas se le acabó. ¿Cuántos tenía al inicio?
El denominador de una fracción excede al duplo del numerador en 1. Si al numerador se resta 4 , el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.
A) 3
A) 4/9
duplo del numerador en 6. Si el numerador se aumenta en 15 y el denominador se disminuye en 1, el valor de la fracción es 4/3. Hallar la fracción
adultas es al de varones adultos como 3 es a 2. Si el número de damas no adultas y el de varones no adultos son respectivamente el triple y el doble de las damas adultas y los varones adultos respectivamente y en total viven 36 personas. Indique el número de adultos.
A) 5/11
A) 12
0
B) 12/19
C) 13/27
D j 7/9
E) 4/13
El denominador de una fracción excede al
B) 5/16
C )6 / ll
D ) 6/13
E) 5/13
El denominador de una fracción excede al
©
B) 7
o
15
D) 31
E) 63
En una pequeña quinta el número de damas
&
B) 10
O 8
D) 14
E) NJL
Se quiere dividir 60 en dos palies tales que el
numerador en 7. Si al denominador se añade 4t la fracción que resulta es 2 unidades menor que el triple de la fracción primitiva. Hallar la fracción.
triple de la mitad de una parte aumentado en el doble de la tercera parte de la segunda es igual a 50; dar una de las partes.
A) 8/11
A) 12
B) 4/5
O 6/11
D) 7/8
E) 5/6
B) 16
O 42
D) 31
E) 15
£ ) El denominador de una fracción es 1 menos que el triple del numerador. Si el numerador se aumenta en 8 y el denominador en 4t el valor de la fracción es 11/12. Hallar la fracción. A) 3/8
BJ 2/5
o
n/12
D) 13/17
E) 4/11
E l numerador de una fracción excede al denominador en 22. Si al numerador se resta 15, la diferencia entre la fracción primitiva y la nueva fracción es 3. Hallar la fracción primitiva. A) 27/5
B) 36/5
O 27/4
D ) 18/5
E) 20/3
(75) La suma de tres números es 7757 Si el mayor excede al intermedio en 37 y al menor en 49, indicar el mayor de ellos. A) 42
B) 82
0 87
D) 47
tiene 30 más que el pequeño y el mediano 29 menos que el grande. ¿Cuántas naranjas hay en el cesto mediano? B) 12
0 11
D ) 14
La cifra de las decenas de un número de dos
cifras excede en 1 a la cifra de las unidades. Si el número se multiplica por 3 este producto equivale a 21 veces la suma de sus cifras. Hallar el número. A ) 24
B) 36
O 21
D) 28
E) 32
La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un númerofe de dos cifras es 7. Si el número, aumentado en 8, se divide por el duplo de la cifra de las decenas el cociente es 6. Hallar el número. A) 52
B) 56
O 58
D ) 42
E) 41
E )2 6
En tres cestos hay 61 naranjas. El más grande
A) 10
©
La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede en 2 a la cifra de las unidades y el número excede en 27 a 70 veces la cifra de las unidades. Hallar el número. A) 83
B) 74
O 92
D) 97
E) NJL
E) 13
La cifra de las decenas de un número de dos Flora tiene el doble de dinero que Carla. Si Flora le diera a Carla 2030 soles, tendría los 4/5 de lo que tendría Carla. ¿Cuánto tiene Flora? A) 3000
B) 6000
O 9000
D) 12000
E) 1000
(72) La edad de Carlos es tal que: si al doble de su
cifras es el duplo de la cifra de las unidades, y si el número disminuido en 4 se divide por la diferencia entre la cifra de las decenas y la cifra de las unidades, el cociente es 20. Hallar el número. A) 86
B) 76
O 49
D ) 84
E) 92
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Las cifras de las centenas y decenas de un número de tres cifras son 2 y 8. El resultado de repetir la cifra de las centenas tantas veces por factor como indica la cifra de las unidades, aumentada en 3, es el mismo que el de repetir la cifra de las decenas tantas veces por factor como mitad de unidades tiene la última cifra del número. ¿Cuál es ésta? A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 2
Al 30000
A) 954
B) 963
C) 937
D ) 981
E) 945
Jaime tiene 200 soles más que Marcela. La razón entre las cantidades que tienen es como 1 es a 9. ¿Cuánto tiene Marcela?
f : o
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i o
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y
]
B) 20000
C) 12000
D ) 18000 E)
NA.
5 ) La razón entre 2 números es como 3 y 8. Si agregamos al menor 3/8 del mayor y al mayor le agregamos 2/3 del menor, la razón será ahora 3/5. ¿Cuál es la diferencia entre ambos números?
Si a un número de tres cifras, que empieza con 9, se suprime esta cifra queda 1I21 del número. ¿Cuál es éste?
T
5000 soles y Alicia ganara 10000 soles, la razón entre lo que ambos tendrían sería 1112. ¿Cuánto tiene Alicia?
A) 8 *
y » i ^ U
©
BI 9
C) 10
D1 1
E) 12
Se tienen 3 objetos, los 2 primeros pesan juntos
50g, el segundo y tercero pesan juntos 70g y el primero y tercero pesan juntos 60g. ¿Cuánto pesa el tercero? A) 20G
B) 30
C) 50
D ) 25
E) 60
(Ts) En. una fiesta habían inicialmente tantos
5 es a su décuplo disminuido en 5 como 5 es a 7.
hombres como tres veces el número de mujeres. Después que se retiran 8 parejas el número de hombres que quedan es igual a 5 veces el de mujeres. ¿Cuántos hombres habían?
A) 10
A 1 16
A) S/.125 B) 45
C) 225
D) 150
E) 25
@ ) Hallar un número, cuyo duplo aumentado en B) 20
C) 15
D) 12
E) N A .
íf) En un corral hay gallinas de varios colores, pero notamos que las gallinas de color blanco que son 2/5 del total y las gallinas de color negro que son la mitad del total más 10, son entre sí como 2 es a 3. ¿Cuál es el total de gallinas? A) 150
B) 120
C) 100
D j 180
E) 200
A) 12000
B) 15000 C) 8000
D ) 3000
E) N A .
A) 18
B) 24
C) 32
D ) 40
E) 30
En cada día, de lunes a viernes, gané 10 soles más que el día anterior. Lo que gahé el lunes y lo que gané el viernes están en la misma razón que 5 y 9. ¿Cuánto gané el miércoles? A) S/.60
B) 50
C) 70
D ) 80
E) N A .
ifj Repartir 80000 cruzeiros entre Armando y Rosa de modo que ambas cantidades estén en la misma razón que 1 a 5. (Armando recibe más que Rosa) ¿Cuánto le toca a Rosa? Al 16000
B ) 12000
C) 40000 D ) 3000
E) N A .
La razón entre lo que tienen Roberto y Alicia es 115 (en el orden indicado). Si Roberto perdiera
B) 39
C) 42
D ) 25
E) 50
del peso de uno de ellos excede al del otro en 3kg. ¿Cuánto pesa uno de ellos?
¿Qué edad tengo si la edad que tenía hace 10
años es a la edad que tendré dentro de 50 años como J es a 4?
E) 64
Dos individuos pesan 179kg y las 3/4 partes
A) 75
©
D) 32
sumandos de manera que sumando 5 al primero, restando 5 al segundo, multiplicando por 5 al tercero y dividiendo por 5 al cuarto, se obtiene siempre el mismo resultado. ¿Cuál es el promedio del mayor y menor?
Las cantidades que tendría si pierdo 5000
soles, y si ganara 40000 están en la misma razón que 1 a 4. ¿Cuánto tengo?
C1 48
El número 108 puede descomponerse en 4
Al 36
©
B) 40
B) 85
C1 65
D ) 60
E) 95
Ayer gané S/.20 más que hoy. Si lo que gané hoy son los 5/6 de lo que gané ayer. ¿Cuánto gané hoy? A) 80
©
B1 100
C1 150
Dj 120
E) 90
La edad de Víctor es el doble de la de Pedro y
hace 15 años la edad de Víctor era el triple de la de Pedro. ¿Cuál es la edad actual de Pedro? A) 25 años B) 40 C) 45 D) 28 E) 30 La edad de Gladys es 1/2 de los 2/3 de la edad de Norma. Si esta tiene 24 años, ¿cuántos años tendrá Gladys dentro de 4 años? A) 8 años B) 12 C) 10 D) 14 E) 6
va 6 2 3
m
En 1980 la edad de Jorge era 4 veces la edad
de Ricardo; en 1988 la edad de Jorge fue el doble de la edad de Ricardo, ¿ciiál fue la edad de Jorge en 1992? A) 50 años B) 48
C) 28
D) 54
E) 56
Un auto tiene ahora la mitad de años que tenía Luis cuando el auto era nuevo. Luis tiene ahora 36 años. ¿Cuántos años tiene el auto? A) 12
B) 8
C) 16
D) 18
E) 14
Hace 6 añoB Gerardo era 4 veces mayor que David. Hallar la edad actual de Gerardo sabiendo que dentro de 4 años, la edad de éste sólo será 2 veces mayor que David. A) 52 años B) 56 C) 60
m
D) 40
E) 46
Yo tengo el doble de la edad que tú tenías,
cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tú tengas la edad que yo tengo, mi edad será 30 años. ¿Qué edad tengo? A) 12
B) 24
C) 18
D) 36
E) 54
2) Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas la edad que tengo, mi edad será 40 años. ¿Qué edad tienes? A) 30
B) 20
C) 40
D) 10
E) 60
Carla le dice a Miguel: “yo tengo los 5/3 de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas el doble de mi edad, mi edad Berá 44 años” . Calcular la edad de Miguel. A) 16
B) 20
C) 12
D) 44
E) 40
Pedro tiene su primer hijo a los 26 años y su segundo hijo a los 32 años. ¿Cuál será la edad de Pedro, cuando la suma de las edades de sus hijos sea 30? A) 40
B) 41
C) 42
D) 43
E) 44
Timo y suabuelo tenían en 1928 tantos años
©
como indicaban las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál era la edad del abuelo, cuando nació Timo? A) 40
B) 60
C) 80
D) 48
N C IC IO rE M A 2012
año 10aa •¿Cuántos años tendrá en el año 19991 A) 40
B) 42
C) 43
D) 45
E) 44
3) En 1977 la edad de Roxana era el inverso de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. Lo mismo sucede con Pepe. Si la diferencia de sus edades es 45 años, y la edad de Pepe en 1977 también era la inversa de la de Roxana. ¿En qué año nació Pepe? A) 1959
B) 1957
C) 1963
D) 1961
E) 1965
¿A qué horas del día, las horas transcurridas son el cuádruple de las horas que faltan transcurrir? A) 19h 20 B) 19h 12 C)9h 12 E) 9h 20*
D) 7h 12'
( í ^ ) ¿A qué horas del día, las horas transcurridas son la tercera parte de las horas que faltan transcurrir? A).6p.m. B) 8 a.m. C) 4p.m. D) 3 a.m. E) 6 a.m. ¿A qué horas del día, las horas transcurridas son 2/3 de las que faltan transcurrir? A) 7h 6min D) 9h 36min
B) 7h 36min E) 5h 36min
C) 9h 6min
( T í ) Son las 2h 36 minutos. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj? Alisa0
B) 11T
C)T2o
D) 142°
E) 146°
¿Cuánto mide el ángulo que determinan las agujas de un reloj, a las 4h 40min1 A) 12(9
B) 90°
O 10(9
D) 11(9
E) 105°
Entre las 15:00h y 16:00h, ¿a qué hora se superponen las agujas del reloj?
A ) 3h 1— min 11
D) 3h
— min 11
B)3h
2 — min 11
C)3h 4 — min
11
E)3h — min
11
Luego de las 18:00ht ¿cuál es la hora más cercana en la que las manecillas del reloj, forman un ángulo recto? A)18h 2^jmin B)18h 16~jmin C)18h O^min
E) 50
( Q ) La edad de Katy en 1975 era tanto como la
D)18h 5—min E)18h 9—min
11
11
mitad de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tendrá en 19991 A) 48
B) 46
C) 49
D) 47
E) 52
Si Luis hubiera nacido en el año iQba $en el ( S í ) U n tren de 80 metros de longitud con una velocidad de 36hm/h demora en pasar por una año 2030 tendría ba años. Sin embargo nació en el estación de 20 metros de longitud, un tiempo de:
2)
A) lOseg B) 5
Cj 20
D) 30
E) 15
kV 629 recorrido?
Un tren de 100m de largo demora 15 segundos en cruzar un puente de medio kilómetro de longitud. ¿Cuál es la velocidad del tren? A) 2oml8 B) 42
C) 40
D) 45
E) 50
Un tren viene raudo a 108 kilómetros por cada hora que transcurre. ¿En cuánto tiempo cruzará un puente de 550 metros de longitud sabiendo además que el largo del tren es de 80 metros? A) 21seg B) 18
C) 23
D) 25
E) 28
Un tren de 85 metros de largo viaja a una velocidad de 60km¡h. Calcular la longitud de un puente si el referido tren lo cruza en 30 segundos. A) 500m
B) 450 C) 415
D) 465
E) 675
Un tren de 180 metros de longitud demora 18 segundos en cruzar un puente de 450 metros de largo. En el instante que empieza a cruzar dicho puente pasa por el final del mismo un auto por el costado del riel a una velocidad de 72kmlh. ¿En qué tiempo alcanzará el tren al auto? A) 18aeg
B) 25
C) 28
D) 30
E) 32
(ÍHj) ¿A qué hora alcanzará un auto
que sale de
Lima a las 11 a.m . a 50kmjh hacia Arequipa a otro auto que va en la misma dirección y que pasa por Lima a las 5 a.m. a 306m/6? A) 8p.m.
B) 7
C)9
D) 10
E) 6
Un hombre sale desu casa enautomóvil a 20
kmih ; luego de cierto tiempo de recorrido regresa a pie a su casa a 5kmlh , llegando a ella después de 5 horas. ¿Cuántos km recorrió a pie? A) 18 km B) 15
C) 25
D) 10
E) 20
Dos móviles se dirigen uno al encuentro del otro. Inicialmente se encuentran separados 195km y la velocidad de uno de ellos es 35kmlh; si se encuentran luego de 2,5h , ¿cuál es la velocidad del otro? A) 80kmfh
B) 50
C) 60
D) 40
E) 43
Un móvil recorre 200km a una velocidad
A) 480km
©
A)45kmfh
©
B) 50
C) 60
D) 40
E) 35
Rubén se dirige de Huancayo a Lima, llegando
en auto, en un tiempo de 30 horas. Si al regreso aumenta su velocidad en 4km!h, llegaría en 6 horas menos que a la ida. ¿Cuál es el espacio total
B ) 650
C) 960
D) 820
E) NJL
Paul se va de A a B en 2 horas. Al volver, como
él ha recorrido l lm más por minuto, ha hecho el trayecto en 105 minutos. Hallar la distancia. AJ 9,24km
B) 11,5
C) 11,58 D) 10,75 E) NJL
( í ^ ) Julio demora en llegar a la Academia 30 minutos; si al regreso aumenta su velocidad en 3mf min llegará 10 minutos antes que a la ida. ¿Qué espacio recorrió en total? A) 360m B) 180
C) 720
D) 540
E) NJL
(Í¿Í) Viajando a lOOkmfh un piloto llegaría a su destino a las 19 horas. Viajando a 150kmíh llegaría a las 17 horas. ¿Con qué velocidad debe viajar si desea llegar a las 18 horas? A) 125kmlh D) 135
B) 120 E) NJL
C)130
Yazmín, el primer día, fue al colegio a 6kmlh y llegó 15 minutos retrasada. El segundo día fue a 12 kmih llegando 15 minutos adelantada. ¿A qué velocidad debe viajar para que saliendo a la misma hora llegue puntualmente? A) 7km/h B) 8
C) 9
D) 9 112
E) 8 112
( í ^ ) Al comprar 20 naranjas, me sobran 480 soles, pero al adquirir 24 naranjas; me faltarían 120 soles. ¿Cuánto cuesta cada naranja? A) SI.150 B) 300 c) 15
D) 30
E) 120
Una institución va a rifar una casa, emitiendo para esto un determinado número de acciones. Si cada acción es vendida a 100 soles, pierde SU98000, pero si cada una es vendida a S/.120, obtiene como ganancia SU75000. Hallai; el precio de la casa. A) 846000 D) 863000
B) 963000 EJ 849000
C) 973000
( í ? ) Hallar el mayor de tres números consecutivos, si sabemos que los 4/5 del mayor excede a los 3/4 del intermedio en una cantidad igual a la sexta parte del menor, disminuida en 1/5. A) 8
constante. Si aumentara esta velocidad en 10 km! h , el viaje duraría una hora menos, ¿cuál es la velocidad del móvil?
o í; i? rr4 # m v uE*J s
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Un comerciante tenía una determinada suma de dinero; el primer año se gastó SI.100 aumentando el resto con un tercio de este; al año siguiente volvió a gastar S/.100 y aumentó la suma restante en un tercio de ella. El tercer año gastó de nuevo S/.100 y después que hubo agregado su tercera parte, el capital llegó al doble del inicial. ¿Cuál era la cantidad inicial?
NCMTMPUDMA 2012] A) S!.14800 D) 1616
B) 1270 E) 1148
C) 1480
el número de hombres era igual a la raíz cuadrada del número de mujeres que habían y el número de niños era igual a la raíz cúbica del número de mujeres. ¿Cuántos hombres habían en total? B) 6
Cj 10
B) 50
C) 56
D) 45
E) 48
Hallar la cantidad de dinero en el bolsillo de
En una fiesta habían 76 personas. Se notó que
A) 8
A) 60
D) 12
E) 14
Pablo. Sabiendo que al sumar sus 3/8 y su quinta parte, dicha suma excede en 149 al doble de la diferencia entre 116 y 1/2 del número de soles. A) 100
B) 140
o
120
D) 180
E) 240
(JWj) En una fiesta se observa 8 mujeres sentadas y
faltarían 7 niños para formar 3 filas más de 6 niños cada uno. ¿Cuántos niños son?
tantas parejas bailando como hombres sentados. En la siguiente pieza se observa que todas las mujeres se encuentran bailando y 8 hombres se encuentran sentados. ¿Cuántas personas hay en la fiesta?
A) 43
A) 48
Si se forman filas de 7 niños sobran 6 , pero
B) 47
C) 49
D ) 60
E) 48
B) 64
O 60
D ) 56
E) 52
En una reunión hay 5 hombres más que
©
En una partida de ajedrez hay 150 jugadores
si cada uno jugó una sola vez, resultaron igual número de ganadores que de empatadores. ¿Cuántas partidas terminaron empatadas? A) 28
B) 25
C) 30
D) 36
E) 32
(5 ^ ) Un grupo de personas gastaron 120 soles, como 4 de ellas no pagan, cada una de las restantes deben abonar 5 soles más. ¿Cuál era el total de personas? A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Un hombre compró un reloj y una cadena a
mujeres, luego llegaron un grupo de personas cuyo número es igual al de los hombres inicialmente presentes, de modo que en la reunión todos están en pareja; y hay 50 hombres en total. Hallar el número de mujeres inicialmente presentes. A) 16
B) 24 C) 18
D) 12
E)10
En 2 habitaciones hay un total de 90 focos, de
0
los cuales hay un cierto número de focos prendidos. Luego se prenden tantos focos como el número de focos prendidos excede al de los apagados; resultando el número de focos prendidos el doble de los apagados. ¿Cuántos estaban prendidos inicialmente? A) 50
B) 56
O 48
D) 42
E) 24
igual precio. Pasado algún tiempo, volvió a comprar otro reloj y otra cadena, esta 90 soles más barata que la primera y aquel 60 soles más caro que el primero, resultando el precio del reloj el doble que él de la cadena. ¿Cuánto costó la segunda cadena?
que Gerson le dio a Manuel cierta suma, Manuel tiene 11/10 de lo que le queda a Gerson. ¿Cuánto le dió Gerson a Manuel?
A) SI.150
A) St.10
B) 180
C )1 1 0
D ) 200
E) 210
(jf?) Gerson tenía S/.120 y Manuel S/.90. Después
B) 20
O 25
D) 15
E) 12
¿Qué hora es?, si la mitad .del tiempo
55) Se ha pagado una deuda de S/.265 con monedas
transcurrido desde las 8: 00 horas es igual a la tercera parte del tiempo que falta transcurrir para ser las 22: 00 h .
de Sf.5,00y S/JZ.OO. El número de monedas de Sf.2.00 es mayor que el de S/.5.00 en 17 monedas. ¿Cuánto suman las monedas de Sf.5.00 y de Sf.2.00?
A) 11:15
A) 83
B) 1:18
0
10:25
D ) 9:30
-E ) 11:30
B) 59
0
72
D ) 80
E) 78
En un terreno de forma rectángular el largo
El perímetro de un rectángulo es de 84mt si el
excede en 6 metros al ancho, si el ancho se duplica y el largo disminuye en 8 metros el área del terreno no varía. ¿Cuál es el perímetro del terreno?
largo excede en 8m al ancho. ¿Cuál es el área del rectángulo?
A) 50cm B) 51
C) 52
D) 54
E) 55
Compré el cuádruple de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas más, tendría triple número de caballos que de vacas. ¿Cuántos caballos y vacas compré?
A) 400ms B) 420
C) 240
D) 360
E) 425
Isabel le pregunta la hora a Karen y ésta le responde: “ El duplo de las horas transcurridas es igual al cuádruplo de las que faltan por transcurrir en este día” . ¿Qué hora es? A) 16:00
B) 16:20
O 20:00
D j 14:00
E) 18:30
« f T 7 f X To/v 5) Federico compra la mitad de un rollo de alambre menos 12 metros, Fernando compra un tercio del mismo rollo más 4 metros, con lo cual recibe 8 metros menos que Federico. ¿Cuántos metros compró Federico? A) 72m
B) 60
C) 64
D) 70
E) 80
Ayer gané 20 soles más que hoy. Si lo que gané hoy son los 516 de lo que gané ayer. ¿Cuánto gané hoy? A) 100
B) 120
C) 80
D) 110
E) 90
( í í ) U n libro cuesta 500 soles menos que un televisor; si a la cuarta parte del precio del libro se le aumenta 60 soles, se obtiene la quinta parte del precio del televisor. ¿Cuál es el precio del televisor? A) 1200
B) 1250
C) 1300
D ) 1500
E) 1450
A una fiesta donde habían 40 hombres y 30 mujeres, llegaron cierto número de parejas, de modo que los 315 del número de hombres es igual a 1/3 de las personas presentes. ¿Cuál es el número de parejas presentes? A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
A) SI.120 B) SU180 C) Si.UO
tantas bolitas como las que no regaló. Calcular la quinta parte de las bolitas que le quedan. B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
Al dar una práctica de Matemáticas: “ Observé que fallé tantas preguntas como acerté, pero no contesté tantas preguntas como puntaje saqué” . Las prácticas tienen 20 preguntas que se califican así: • 10 puntos si está bien respondida • - 2 puntos si está mal respondida • 0 puntos no contestada ¿Qué puntaje alcancé? A) 8ptoa B) 10
C) 16
D) 12
E)20
D) S/.140 E) SU220
Dos depósitos contienen 2587 y 1850 litros de agua y con una bomba se traslada del primero al segundo 4 litros por segundo. ¿Después de cuánto tiempo uno contendrá el doble de litros que el otro? A) 4 min 37 8 D) 5 min 24 8
B)3min2l8 E) 3 min 42 8
C) 4 min 38 8
Un maestro y su ayudante trabajan juntos. El primero gana 25 soles por día más que el segundo. Si después de trabajar cada uno el mismo número de días, el primero recibe 1 050 soles y el segundo, 875 soles. ¿Cuál es el jornal del ayudante? A) SI.120 B) S/.115 C) S/.152 D) S/.125
E) S/.130
Tres jugadores A , B y C convienen en que el perdedor de cada partida; duplicará el dinero de los otros dos. Pierden una partida cada uno en orden alfabético y al final cada uno se queda con 40 soles. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno? A) 65 ; 35 y 20 solea. B) 100 ; 30 y 18 soles. C) 80 ; 45 y 23 soles. E) 41 ; 23 y 16 soles.
D) 96 ; 30 y 14 soles.
La regla de juego de cierta competencia de azar
U) Luis André tiene 90 bolitas y regaló 8 veces
A) 1
p r iL v r# ;o f>i?
691
es que el perdedor de cada partida duplique el dinero de los otros participantes y además les dar S/.10. Si hay 3 personas que están jugando y cada uno pierde una partida y al final tienen cada uno S/.70, halle el dinero inicial del participante que tuvo mayor cantidad. A) 300m B) 425m C) 325m D) 280 m E) 345 m
Maribel va al cine con sus primas y al querer sacar entradas para mezanine de 30 soles cada una, observa que le falta dinero para 3 de ellas, por tal motivo tiene que sacar entradas de 15 soles cada una, entrando todas al cine y sobrándole aún 30 soles para las gaseosas. ¿Cuántas primas fueron al cine con Maribel? A) 6
B)7
C)8
D) 9
E) 10
Si compro 2 revistas gastaría 2 soles más que ©
En una granja, por cada gallina hay tres pavos
y por cada pavo hay 4 patos. Si en total se han contado 160 patas de animales, ¿cuántos pavos hay? A) 14
B) 10
C) 15
D) 20
E) 8
Un caminante ha recorrido 1 000 metros unas veces avanzando otras retrocediendo. Si solo ha avanzado 350 metros, ¿cuántos metros recorrió retrocediendo?
si comprará 3 periódicos. Pero si comprará 5 periódicos gastaría 2 soles más que si comprará 2 revistas. ¿Cuánto cuesta cada periódico? A) SI. 4
B) SU3
O SU5
D) SU2,5
E) SU2
Entre pollos, patos y pavos un granjero tiene en total 75 aves. Si tuviera 22 pavos más, 4 patos más y 7 pollos menos, tendría la misma cantidad de aves de cada especie. El número de pollos que tiene es:
B
A) 42
B) 33
C)39
D) 35
I
E) 40
(íd ) Si al doble de la edad que tendré dentrode2 años, le resto el doble dela edad que teníahace 2 años, se obtiene la edad que tengo. ¿Qué edad tendré dentro de 2 años? A) 12 años D) 15 años
B) 14 años E) 10 años
el producto de las 2 últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras de la edad que tenía en 19801 A) 6
B) 4
0 5
D) 7
años, es igual a la edad que tenía hace 12 años. ¿Cuál era su edad hace 12 años? B) 18 años E) 22 años
C) 16 años
Laura al ser interrogada por su edad responde: Si al año en que cumplí 14 años le suman el año en que cumpliré 23 años y, si a este resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual, obtendrán 19. ¿Cuál es la edad de Laura? A) 18 años D) 16 años
B) 23 años E) 22 años
O 19 años
Alfred nació en el presente siglo y en este año cumplirá tantos años como la suma de cifras, del año en que nació y el año actual. ¿Cuál será la edad actual de Arturo, si este año cumple tanto como la quinta parte del producto de cifras del año de nacimiento de Alfredo? OBSERVACIÓN: Considerar año actual: 1995 A) 27 años D) 19 años
B) 25 años E) 30 años
O 23 años
5) La edad que tenía hace “ a 99 años es, a lo que tendré dentro de “a " años, como 2 es a 3. ¿Qué edad tendré dentro de “2a** años? A) 5a años D) 8a años
©
B) 6a años E) 9a años
O 7a años
Le preguntan a un individuo por su edad y el
contesta: “ Mi edad, más dos veces mi edad, más tres veces mi edad y asi sucesivamente hasta tantas veces mi edad como la edad que tengo, suman en total 4200". Hallar la edad de dicho individuo. A) 20 años W 24 años
©
B) 25 años E) 18 años
A) 40 años D) 45 años
C) 16 años
Hace 5 años, la edad de un padre fue cuatro
veces la edad de su hijo; y dentro de 5 años será
B) 50 años E) 35 años
C) 30 años
Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. Si tú naciste cuando yo tenía 25 años, ¿cuál sera la suma de nuestras edades cuando yo tenga el doble de la edad que tuve hace 11 años? A) 53
B) 62
C) 36
D) 57
E) 72
Dentro de 20 años tú tendrás la edad que yo
E) 8
(T£) Los 5/7 de la edad de una persona menos 4
A) 14 años D) 20 años
11 m
C) 20 años
Una persona tiene, en 1988, tantos años como
©
WCMCMMPKMA 2012 te solamente el doble de la de su hijo. ¿Qué edad tendrá el padre, cuando el hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el h(jo?
«3 2
tenía cuando tú tenías la edad que yo tuve hace 34 años. ¿Cuántos años tengo si dentro de 20 años la suma de nuestras edades será 93? A) 32 años D) 43 años
B) 38 años E) 37 años
C) 40 años
(^&) La rapidez respectiva de dos móviles está en la relación de 3 es a 4. ¿Dentro de cuánto tiempo estarán separados una distancia de 60 Km , si partieron juntos en el mismo sentido, sabiendo, además, que la diferencia de la rapidez de ambos es de 10 kmlhl A) 4h
B) 7h
C) 5h
D) 8h
E) 6h
(£ ? ) Un ciclista viaja, desde A hacia B , a 80 kmlh y retorna por el mismo camino a 70 kmlh. Si hace el recorrido, en forma continua, y en un tiempo total de 6 horas; determine la distancia de A hasta B . A) 214 km D) 224 km
B) 218 km E) 216 km
C) 220 km
Un carro sale, de A hacia B, a 80 kmlh y regresa a 50 kmlh después de 26 horas. Si el carro se detuvo en B por 2 horas y luego se detuvo 2 hora en el camino de regreso, determine la distancia AB. A) 450 km D) 550 km
B) 600 km E) 480 km
C) 400 km
Juana se dirige , desde su casa a la academia , en bicicleta, empleando un tiempo de 30 minutos; para volver, aumenta su rapidez inicial en 4 mímin, demorándose esta vez 6 minutos minutos menos. ¿Cuál es el espacio que recorrió en total? A) 960 m B) 860 m
C) 880 m D) 920 m E) 940 m
Para ir de A a B, un móvil emplea 20 horas, si quisiera hacerlo en 25 horas tendría que disminuir su rapidez en 8 Kmlh . ¿Cuánto mide el tramo AB? A) 720 km D) 600 km
B) 820 km E) 800 km
C) 400 km
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iP E B
Al ir de mi casa a la academia me doy cuenta que si voy a 40 kmíh demoro 20 minutos más que si fuera a 60 km/h. ¿Cuál es la distancia entre mi casa y la academia? A) 42 km B) 40 km C) 52 km D) 48 km E) 47 km Un motociclista observa que 1/5 de lo que ha recorrido equivale a los 3/5 de lo que falta recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado haste el momento, si todo el viaje lo hace en 12 horas? A) 8 B) 9 CjlO D) 11 E) 12 Dos móviles distan 200 k m , salen al encuentro, desde dos puntos A y B, con una rapidez de 60 km/h y 40 km/h, respectivamente. ¿En qué tiempo se encontrarán y a que distancia de A? A) 4h y 30 km B )lh y lk m C )6h y lOOkm D) 2 h y 120 km E) 10 h y 120 km Si el duplo de las horas transcurridas en un día es igual al cuádruplo de las que faltan para terminar el día; ¿qué hora será dentro de 4 horas? A) 8:00 p.m. B) 6:00 p.m. C) 7:20 p.m. D) 4:00 p.m. E) 9:00 p.m.
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D) 3:20 p.m.
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E) 3:40 p.m.
Si fuera 3 horas más tarde de lo que es, faltaría para acabar el día los 5/7 de lo que faltaría si es que fuera 3 horas más temprano; ¿qué hora es? A) 7:00 a.m. B) 6:20 a.m. C) 6:00 a.m. D) 8:00 a.m. E) 7:14 a.m. ¿Qué hora es?; para saberlo, basta con sumar la mitad del tiempo que falta para las doce del mediodía, más los 2/3 del tiempo transcurrido desde las doce de la noche. A) 7:12 a.m. B) 5:30 a.m. C) 9:10 a.m. D) 10:30 a.m. E) 7:20 a.m. U n campanario señala las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las 5:00 a.m . demora 6 segundos, ¿cuánto demorara para indicar las 22 m.l A) 158 B) 12 8 C) 33/28 D) 14 a E)16s Sabiendo que 75 bueyes se han comido en 12
que en estos momentos el tiempo transcurrido es excedido en 5 horas por lo que falta transcurrir del día? A) 2:.20 p.m. B) 1:45 p.m. C) 3:25p.m. D) 2:45p.m. E) 3:20p.m.
días la hierba de un prado de 60 áreas y que 81 bueyes se han comido la de un prado de 72 áreas en 15 días. Se pide, ¿cuántos bueyes serán necesarios para comer en 18 días la hierba de un prado de 96 áreas? Se supone que en los tres prados la hierba está a la misma altura y que continúa creciendo uniformemente. A) 90 B) 100 C) 120 D) 102 E) 98
Son más de las 2, sin ser las 3 de esta
Un perrito parte de un punto “A ” a otro punto
¿Qué hora será dentro de 5 1/4 h, si se sabe
madrugada; pero dentro de 40 minutos faltará, para las 4, el mismo tiempo que faltaba desde la I hasta hace 40 minutos. ¿Qué ángulo forman las agujas en este preciso instante? A) 85° B) 120° C)95° D) 100° E) 105° Son más de las seis, sin ser las ocho de esta mañana, y hace diez minutos los minutos que habían transcurrido desde las seis eran iguales a 1/9 del tiempo que faltará transcurrir hasta las ocho, dentro de diez minutos. ¿Qué hora es? A) 6:30 a.m. B) 7:20 a.m. C) 5:45 a.m. D) 8:10 a.m. E) 6:20 a.m. Son más de las 4, pero aún no son las 6 de la tarde. Si el tiempo que había transcurrido, desde las 4 hasta hace 15 minutos, es igual a 1/5 del tiempo que faltará trar._xiii rL' Imam las 6, pero dentro de 15 minutos. ¿Qué hora es en este instante? A) 4:20p.m. B) 4:30p.m. C) 5:10p.m.
**B” y simultáneamente dos peatones parten del punto **B99 en sentidos opuestos. E l perrito encuentra a uno de ellos en el punto “M 99y al otro en el punto “ N ” ; luego, se pide calcular la distancia que hay entre “ A 99 y “ B 99, sabiendo que los dos peatones tienen la misma rapidez y que la rapidez del perrito es el cuádruplo de la de los peatones, sabiendo además que la distancia entre 4,M 99y “N 99 es 160m. A) 200m. B) 300m. C) 400m. D) 350m. E) 150m.
CLAVES D E LA PRIMERA PRACTICA DIRIGIDA 01: D 05/A O ltC 02/ C 03/A 09/ D 10/ E 06/ A 07/ B 08: E 15/C 12/C 13/A 14/A 11/ D 18/ C 19/ C 20/E 16/A 17/ C 23/A 24; E 25/B 22; C 21/ D 30/ E 27: D 29: D 26/B 28/A 33/ C 34/A 3S/C 31/E 32: B
A
O BJETIVO S : •Conocer y comprender las nociones básicas del análisis lógico del lenguaje, y en concreto del análisis mediante sistemas formales; • Conocer y comprender las herramientas que proporciona la lógica proposicional para ese análisis del lenguaje, y dominar el vocabulario técnico conectado con ellas; • Establecer los conceptos de proposición, argumento, así como estudiar el valor de verdad del primero y determinar la validez del último. •Manejar el concepto de conjunto, así como sus propiedades. •Identificar los elementos que pertenecen y los que no pertenecen a un conjunto • Interpretar correctamente la notación simbólica en la definición de conjuntos. • Representar conjuntos en Diagramas de Venn • Realizar operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica) i n t r o d uccmójn
:
En nuestro quehacer diario , constantemente hacemos deducciones , esto significa que cada conclusión que establecemos se deduce de «algo» ; este algo o punto de partida se llama «premisa» . Por ejemplo , si exponemos un trozo de hielo al calor, se deduce que el hielo se derrite , o cuando un campesino ve una densa nube en el cielo , deduce que va a llover , o también de «todos los mamíferos son vertebrados» se puede concluir en que «algunos seres vertebrados son mamíferos». De esta manera, se puede afirmar que constantemente existe un criterio lógico para el análisis de situaciones que permitirán establecer una noción científica de la realidad. «La Lógica ,justamente , es una ciencia que estudia los métodos o procedimientos que aplican definiciones y leyes o reglas con el propósito de determinar la validez de las inferencias , razonamientos o argumentos». La Lógica , como conocimiento orgánico y sistemático, aparece por primera vez con Aristóteles (S. IV A . C.) quien la define como un «instrumento» que ayuda al hombre a razonar correctamente
mejorando la investigación de la naturaleza («Organón»). Su objetivo quedó definido como el análisis formal de los razonamientos.
U
L Ó G IC A IO K J IA L
Es una ciencia que busca hallar los esquemas universales y válidos en todo momento , según los cuales suele y debe pensar el hombre para alcanzar la verdad . Esto quiere decir que, el objeto de estudio de la lógica formal es investigar la estructura o forma de los conceptos , juicios y raciocinios , sus relaciones de validez , métodos y principios que la determinan. Actualmente , la lógica formal se ha tornado en Lógica Matemática (o simbólica) cuyo objetivo es demostrar la «validez» de los argumentos simbólicos o formalizados («La Lógica es la ciencia de la inferencia formalmente válida»).
IN FER EN C IA
T S U V A L ID E Z
Es una estructura de proposiciones donde a partir de una o más de ellas llamadas «Prem isa(s)» se obtiene otra proposición que se llama «Conclusión»; serán válidas cuando las premisas impliquen a la conclusión ; cuando existe relación coherente entre sus componentes , es decir , la conclusión se deduce lógicamente de las premisas. La « IMPLICACIÓN » significa lo siguiente : •De premisas verdaderas, se deduce necesariamente una conclusión verdadera. *De premisas falsas , se deduce necesariamente una conclusión o bien verdadera o bien falsa. Las inferencias p u ed en cla sifica rse com o :
I ) INFERENCIAS INDUCTIVAS í Son aquellas donde la conclusión es probable en relación a las premisas . Para obtener una inferencia inductiva , se parte de premisas particulares y luego se establece una conclusión general. Estas inferencias, desde el punto de vista de la Lógica , no son válidas ni inválidas. EJEM PLOS : • Yhony es psicólogo y ayuda a las personas . • Erica es psicóloga y ayuda a las personas . • Alan es psicólogo y ayuda a las personas
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Probablemente , todos los psicólogos ayuden a las personas • D E D U C T IV A S í
%
Son aquellas cuya conclusión es necesaria en relación a las premisas . Para obtener una inferencia deductiva , se parte de premisas generales obteniéndose una conclusión particular. EJEM PLO S : * Todos los humanos son mortales. * Alan es un ser humano , Alan es mortal. A su vez , estas inferencias se clasifican como : A ) IN F E R E N C IA S IN M E D IA T A S Z
Tienen una premisa y una conclusión. B ) IN F E R E N C IA S M E D I A T A S Z
Tienen dos o más premisas y una conclusión.
L A L Ó G IC A P R O P O S IC IO J X A L Es una parte de la Lógica Matemática t llamada también «Lógica de las proposiciones sin analizar», trata a cada proposición como un todo en su conexión lógica con otras proposiciones . Esta lógica desarrolla el cálculo de proposiciones que se orienta a analizar la corrección de los razonamientos mediante procedimientos decisorios como las tablas de verdad y el método de reducción al absurdo.
PROPOSICIONES : La6 «proposiciones» son expresiones del lenguaje informativo que tienen la cualidad de ser verdaderas (V) o falsas (F), es decir , tienen valor veritativo.
EJEM PLOS: * La licuadora es un artefacto eléctrico. * Fujimori nació en el Perú. *4+3=7 * Las aves son acuáticas. Es necesario resaltar que , lo que interesa fundamentalmente de las proposiciones es su sentido de verdad o falsedad , dado que enunciados distintos pueden expresar una misma proposición. EJEM PLOS : * Dante y Sergio son hermanos. * Dante es hermano de Sergio. * Sergio es hermano de Dante. Además , se debe tener en cuenta que expresiones en diferentes idiomas , también pueden presentar una misma proposición.
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EJEM PLO : * Marv v Rickv son estudiantes. * Marv and Rickv are students. Las proposiciones pueden clasificarse en : Proposiciones Simples o Atómicas (Predicativas y Relaciónales) y Proposiciones Compuestas o Moleculares (Conjuntivas , Disyuntivas , Bicondicionales , Condicionales y Negativas) ^
U ) IN F E R E N C IA S
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V
V
^
E L C O N C EP TO D E L A V E R D A D La definición clásica sobre la «verdad» pertenece a Aristóteles , quien en su libro «Metafísica» escribe : «Decir de lo que es que no es , o de lo que no es que es , es falso ; mientras que decir que lo que es , es o de lo que no es que , no es , no es verdadero» . En general , lo anterior alude a la teoría de verdad por correspondencia establecido por el estagirita. Más adelante, quien desarrolló esta tarea en el presente fue A. Tarsky, estableciendo, entre otras cosas , un paradigma muy sencillo para el empleo de la palabra «verdad» («falsedad»): «La nieve es blanca» es verdadera si y solo si «la nieve es blanca». Es decir , la verdad y falsedad solo se expresan en el metalenguaje de las oraciones a las que se aplican (No debe ocultarse que la noción de verdad es de las más discutidas para la lógica).
LA VERDAD P A R A L A S CIENCIAS TÁCTICAS : * Es una categoría que se define como correspondencia con la realidad. * Es producto de un proceso : reflejo de la realidad en el cerebro del hombre , y su posterior verificación en la misma realidad. * Es la correspondencia íntima entre la realidad y su reflejo en nuestro cerebro.
LA VERDAD P AR A L A S CIENCIAS FORJLXLES Z Alfred Tarsky define la verdad para las ciencias formales (Lógica y Matemática) señalando : Formalmente , un enunciado es verdad, cuando se dice que es de tal manera determinada, siendo de tal manera determinada (repetir las cosas tal como son).
CARACTERÍSTICAS DE EA VERDAD * La verdad no es lo mismo que la afirmación (la verdad se puede afirmar o negar). * La falsedad no es lo mismo que la negación (la falsedad 6e puede afirmar o negar).
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N C IC M D P E D IA SO 1 2 ]
* Solo la proposición , el enunciado puede ser verdadero o falso ; jamás verdadero y falso, pues estaría contra el principio de no contradicción.
L A VALID EZ Es el producto de un proceso racional, caracterizado por la aplicación de un conjunto determinado de reglas : si se respetan todas ellas el razonamiento (inferencia) es válido; si se viola una de ellas , se inválida . C A R A C T E R ÍS T IC A S D E L A VAMADEZ Z
* Todo razonamiento (inferencia) es válido o inválido. * Todo razonamiento es correcto o incorrecto : Tiene que ver con la estructura del razonamiento: CORRECTO: Si es que está bien estructurado. INCORRECTO: Si está mal estructurado. ♦ No es lo mismo correcto que válido , ni incorrecto que inválido. ♦ La verdad o falsedad de las proposiciones que forman un razonamiento , no tiene nada que ver con la validez o invalidez del mismo. * Un razonamiento incorrecto es necesariamente inválido.
CLASES D E VERDAD La lógica clasifica la verdad de manera particular: 1 ) V E R D A D E S E M P ÍR IC A S :
(Llamadas también: fácticas, objetivas aposteriori , sintéticas , etc.) Aquellas que se toman y comprueban en la realidad. * A POSTERIORI; Se dan después de la experiencia, luego de haber practicado , luego de haber conocido. * SINTÉTICAS : Se comprueban en la realidad, en la experiencia. Las Verdades Empíricas se pueden clasificar en:
EJEM PLO: • Puerta de madera. • Olor agradable. • Gato pequeño. • Pared blanca. 2 ) V E R D A D E S L Ó G IC A S Z
(Llam ada también : formales , racionales, abstractas, a priori , analíticas , etc.) Aquellas que sólo se obtienen y comprueban racionalmente , a nivel mental. • APRIORI : Se dan antes de la experiencia, antes de haber conocido. *ANALITICAS : Sólo se comprueban a nivel racional, a nivel mental. Se pueden clasificar en: A ) IN T R ÍN S E C A S :
Se aceptan como verdad, no se discuten , tienen carácter axiomático.
EJEM PLO: • El triángulo tiene tres lados. •2 + 4 = 6 • La suma de los ángulos internos de un triángulo , da 180°. • El todo es mayor que la parte. B ) D E R IV A D A S Z Producto de la relación entre proposiciones . Son razonamientos. EJEM PLOS : • Los animales son seres vivos , el león es un animal. De ahí que el león es un ser vivo. • Todo número par es divisible entre 2 ; 6 es divisible entre 2 . Luego 6 es un número par. • Los caballos vuelan , los unicornios son caballos. De ahí que los unicornios vuelan. FUXCMOXES B Á S IC A S D E L L E X G U A J E :
A )R E L A T IV A S í é
Lenguaje -4 M aterialización del Pensamiento.
Es producto de la suma , la relación de varias verdades particulares. EJEM PLO :
1) TINCIÓN LXFOM&LVTIVA REFTREXCLtL O DESCRIPTIVA Z
• Los mamíferos son cordados. • Todos los pianistas son músicos. • Ningún insecto es vivíparo. • Algunos limeños son médicos.
Es aquella que se encarga de comunicar información que proviene de la realidad que nos rodea, hace referencia o describe al Mundo Objetivo , mediante el uso de oraciones verdaderas o falsas (proposiciones). Es el lenguaje utilizado por las ciencias:
B) ABSO LUTAS Z
EJEM PLOS ;
Se definen como percepción inmediata , se nos dan inmediatamente, directamente a los sentidos.
• La lógica es una ciencia abstracta. • Todo mamífero es un ser vivo.
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* Trqjillo es la capital de la primavera. * Me preparo en «MARTE » . * Francia es un país latino. 2 ) FUNCIÓN E X I*R E SI\rA :
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LOGICA MATEMÁTICA Es llamada también lógica de las proposiciones sin analizar , tiene por objeto de estudio a las proposiciones y su formalización con la finalidad de determinar sus valores lógicos.
Se encarga de comunicar acontecimientos que ocurren en el Mundo Subjetivo , es decir vivencias.
e n u n c ia d o :
EJEM PLO S :
es cualquier frase u oración que expresa una idea .
* La vida es hermosa y vale la pena vivirla. * ¡Oh más dura que el mármol , Galatea!. * Dios mío , estoy llorando el ser que vivo. * Me gusta el vestido que compraste. * Te amo , ven a mis brazos.
P R O P O S IC IÓ N :
8 ) FUNCIÓN D IR E C T IV A • A P E L A T IV A O AC TITU D IXAL Z Se encarga de modificar , inducir o impedir la realización de acción determinada utilizando para ello oraciones exclamativas, clasificándose en órdenes, pedidos, sugerencias, preguntas, consejos, mandatos, súplicas, insinuaciones , etc.
* Toda proposisión es una oración aseverativa , pero no toda oración es una proposición. • Toda proposición o es verdadera (V) o falsa (F) (no puede ser ambas al mismo tiempo , ni ninguna) * Dentro del razonamiento la proposición puede ser premisa o conclusión. * La proposición verdadera o falsa se puede afirmar o negar. * Los enunciados matemáticos tienen el rango de proposición.
EJEM PLOS : * Siéntate y escucha lo que to digo. * Prohibido arrojar basura bajo pena de arresto. * ¿Cuándo será el examen de la UNI ?. * «Más vale ser cabeza de ratón que cola de león»
EL LENGUAJE LÓGICO Es un lenguaje formal, porque es sintáctico, es decir, es una estructura formal . Está constituido por conectivos o constante lógicas (enlaces lógicos).
EJEM PLO: Si entonces : ..... M y solo si................... ; etc. Es un lenguaje simbólico artificial , convencional , escrito , constituido por un conjunto dé signos cuyo objetivo principal es la precisión y la operatividad . El lenguaje simbólico es todo un cálculo compuesto por signos primitivos, reglas de formación y reglas de transformación. EJEM PLO S : * Si es invierno y llueve , entonces hace frío. Si (p y q) entonces r Donde : p , q y r son variables preposicionales Si (... y ...) entonces son consonantes lógicas. Por lo tanto: (p A q) —> r es una fórmula lógica , exacta y operativa. E l lenguaje Lógico es unívoco , porque a cada término le corresponde un 6olo significado.
Se denomina así a las expresiones lingüísticas de las cuales se puede afirmar que son verdaderas o falsas. C A R A C T E R ÍS T IC A S :
EJEM PLO :
(V) • Los futbolistas son deportistas................... ........................... »..(F ) •Todo africano es asiático • La botánica estudia a las plantas...................
ENUNCIADOS NO P R O P O S IC IO N A L E S No toda expresión es proposición y hay que considerarla para evitar errores . entre los enunciados que no son consideradas proposiciones tenemos :
I) ORACIONES D E L T IP O : A ) D E S ID E R A T IV A S Z
Expresan deseos , anhelos. EJEM PLO :
fcuanto daría por tenerlo ¡ B ) I M P E R A T IY A S Z
Expresan exhortación , mandato o prohibición. EJEM PLO : te prohíbo que salgas con él. C )IX T E R R O G A T IY A S Z son aquellas en las cuales se pregunta algo .
Iñas EJEM PLO : ¿has pensado que carrera vas a seguir ? D E X C L A M A T IV A S : Expresan sorpresa o admiración que nos causa una cosa o hecho.
A f í a o p m i 2 oéz\
P (9)=9>6 ....................... .......es verdadero P (2)=2>6. es falso el valor de verdad de P(x) depende del valor de x , también , se le conoce como función proposicional.
CLASES DE PROPOSICIONES
EJEM PLO : ¿y dale CIENCIANO ?
Las proposiciones se clasifican básicamente en : simples y compuestas.
U ) SEUDO P R O P O SIC IO N E S :
P R O P O S IC IO N E S S IM P L E S (ATÓMICAS)
V
son expresiones aseverativas de las cuales no tiene sentido decir si son verdaderas o falsas
EJEM PLO : mi perro está enamorado
U I) D E SC R IPC IÓ N D EFIN ID A : son expresiones que se pueden reemplazar por un nombre propio. EJEM PLO : «el cantor de américa»
n 7) PARADOJAS : son expresiones del lenguaje , de tipo contradictorio o sin sentido son V y F a la vez.
Son siempre afirmativas y no se pueden descomponer. Pueden ser: A ) P R E D IC A T IV A S :
Aquellas que presentan , en su estructura, sólo un sujeto y un solo predicado (el sujeto puede hallarse tácito). EJEM PLO : * Los huancaínos son alegres. * Las ballenas son mamíferos. * Camina. B ) R E L A C IO N A L E S (C O M P A R A T IV A S ):
EJEM PLO : « yo siempro miento »
Presentan en su estructura dos sujetos o más, que se comparan entre sí con una sola característica , a partir de los llamados términos relaciónales : más que , menos que , parecido a , etc.
v)
EJEM PLO :
frases
:
«Dádme un punto de apoyo y moveré el mundo»
VI)
poem as:
* Jonás es más leal que Judas. * La Trigonom etría es más compleja que la Geometría.
,
«Hay golpes en la vida tan fuertes yo no sé golpes como el odio de D ios...................................... »
CO M PU ESTAS (M OLECU LARES C O LIG A T I VA S ) :
VII) R E F R A N E S :
Está constituida por más de una proposición simple unida por las conectivas «y» , «o» , «entonces » , «si y sólo s¿» o la negación (no). Son las siguientes:
«Camarón que se duerme , se lo lleva la corriente »
Vm)FUNCiONES PROPOSMCMONALES
A ) N E G A T IV A S í
son oraciones aseverativas que no son V ni F porque en ellas figura una o más letras no interpretadas .
Son las que presentan la negación (no , no es cierto que , es falso que , es mentira que , no ocurre que , etc.)
EJEM PLO : x + a = ll
EJEM PLO:
ENUNCIADOS A B IE R T O S :
* Rocío no es menor de edad. * Es falso que el gallo y la gallina sean acuáticos.
son enunciados que pueden tomar cualquiera de los dos valores de verdad.
B ) CONJUNTIVAS :
EJEM PLO : •Si P(x) : x> 6 se cumple que :
Presentan como conectiva a la «y». La conjunción puede hallarse tácita, o puede ser reemplazada por sus sinónimos : Como , pero , a la vez , además ,
p fE fl c a o
r
t m c ih iía
. i n ; < o .v > ii
J
incluso , también , aunque , a pesar , sin embargo , n i , etc.
puesto que , ya que , porque , si, siempre que , cada vez que , etc.
EJEM PLO:
EJEM PLO :
* Nelly y Roger son médicos * Ruby es matemática también literata. C ) D IS Y U N T IV A S :
Presentan como conectiva a la «o»; «a »; «o ... o...», son de dos tipos:
INCLUSIVA O D ÉBIL : Cuando de las alternativas que se proponen se cumplen todas ellas , ya sea al mismo tiempo o de manera alternada.
EJEM PLO : * Jennifer es cantante o abogada . * La mesa es un mueble o es de madera .
EXCLUSIVA O FUERTE : («o»; «u »): Cuando de las alternativas que se proponen se cumple solo una y se excluye la otra. EJEM PLO : * César Vallejo murió en Lima o en París. * o corremos o caminamos. D ) C O N D IC IO N A L (InrLic.xrii'.t)
(«o ... o...») : Presentan como conectiva la palabra «Entonces» o sus equivalentes: luego , por lo tanto , en conclusión , en consecuencia , de ahí , etc. Esta proposición indica una relación de causa - efecto , (antecedente - consecuente) La condicional se puede hallar tácita, sobrentendida. Su esquema básico es: Si ............ entonces.............. .
Consecuente
Antecendente
(C)
(A)
Se divide en:
Anteeendente (A)
Consecuente (C)
E )D IC O N D IC IO N A I j (D oble I m i a r r ó . v , E qUWXLEM’LX).* Presentan como conectiva a «Si y sólo si», o sus equivalentes: cuando y sólo cuando, entonces y sólo entonces, etc. EJEM PLO : * Edwin corre si y sólo si quiere llegar a la meta. * Héctor se baña cuando y sólo cuando lo invitan a un matrimonio.
FO R JLALIZAC IO N E N L A L Ó G IC A PROPOSICMONXL (SIMBOLIZACIÓN) La simbolización de proposiciones , consiste en la representación del lenguaje ordinario mediante el lenguaje artificial (convencional). Formalizar , significa reemplazar cada proposición por una variable y cada conectivo (término de enlace) o modificador (la negación) por un operador lógico , todo ello correctamente jerarquizado mediante signos de agrupación.
V A R IA B L E S í Se utilizan para representar a las proposiciones simples. Son las letras minúsculas: p ; q ; r ; s ; t ;e t c . EJEM PLO : *Juan Pablo es com positor .
p * R osario es em presario así Como * > * P
I) CONDICIONAIS D IR E C T A 0>KM-x.tD.\): Aquí se presenta primero el antecedente y luego el consecuente (causa - efecto ). Si estudio
Antecendente
entonces aprendo.
Consecuente (Cl
(A)
U ) C O N D IC IO N A L IN D IR E C T A d e s o r d e n a d a
estudiante universitaria . » ■i i ■f 9 O P E R A B O R E S LÓ G IC O S í ■
Son de dos tipos:
EJEM PLO:
(
Alex trabaja p orqu e necesita dinero
)
:
A ) M Á IU C O S : Se utilizan para representar a las conectivas (términos de enlace) Conectiva» Operador
Aquí se presenta primero el consecuente luego el antecedente. Se usa las conectivas: dado que,
H»O ••• A
V
o ••• SI•••611tOIlC68»«i —s iy solosi-.. A
Operador*» en el eietema Scholx
B I EJEM PLO : * Si practicam os entonces aprendemos. -♦
•Los leones son salvajes y carnívoros .
H) M o x Á m c o : Sirve para reemplazar al modificador «no» o sus expresiones equivalentes (no es cierto , es falso que, no es el caso que, etc.)
M odificador Operador
no rsj
EJEM PLO : • Marte no es una estrella . •No es cierto que , las gallinas tengan * > '
2 patas y no sean aves.
SIGNOS DE AGRUPACIÓN : Se utilizan para agrupar a las variables y operadores asi como , darles jerarquía . Son los siguientes: * Paréntesis ( ) * Corchetes [ ] * Llaves { } * Barras |
JERARQUIZACIÓN : Jerarquizar significa agrupar las variables y los operadores dentro de los signos de colección , llamados también de agrupación. Para jerarquizar hay que tener en cuenta los siguientes requisitos: • Sólo presentan jerarquía los conectivos lógicos ( y , o , entonces , si y solo s i , etc.) • Para realizar una correcta jerarquización hay que tener en cuenta los signos de puntuación del texto a jerarquizar , en cuanto ellos indican la .ubicación de los signos de colección. • En el texto , el punto seguido tiene mayor jerarquía, le sigue en 2do. lugar el punto y coma , y en 3er. lugar la coma.
REGLAS PARA JERARQUIZAR : I) Donde esté ubicado el signo de puntuación más importante del texto , ahí se encuentra ubicado el conectivo principal. II) Donde se encuentre un signo de puntuación ahí se abre o cierra un signo de colección (paréntesis , corchete o bave) III) El conectivo que se encuentre fuera o en la parte más externa de los signos de colección es el que tiene mayor jerarquía.
" ”
xrí€tjM>F,mA sots]
IV) Si encontramos un texto donde se presente una sucesión de idénticos signos de puntuación , será mayor el que presente como conectivo entonces , luego o cualquiera de sus sinónimos. V) La negación antecede a la variable / ~ p) , no enlaza proposiciones , pues no es conectivo (p ~ q) EJEM PLO :
*Esther estudia física y química , o estudia lógica. ' * * ' ' P
9
r
Sin embargo e s f u d io m a te m ó ^ .
* p y q , o r . Sin embargo s (re e m p la za n d o proposiciones) *p
q 0 V H a s (reemplazando conectivos) jerarquía i i 2 jerarquía 2 [(p A q) V r ] A s ..........(jerarquizando) a
FÓRM ULAS : Es el resultado de la correcta formalización y jerarquización de las proposiciones o inferencias. EJEM PLO : •Newton fue físico [y] matemático. ' p A q
Fórmula : p V q Nombre : fórmula conjuntiva *Si el agua del río es dulce, entonces p puede ser para el consumo humano[o\ servir p ara regar los sembríos de tomate. r Fórm ula : p —> (q V r) Nombre : Fórmula condicional NOTA : Si al form alizar , encontramos al condicional inverso, se debe perm utar las proposiciones que conforman el condicional. EJEM PLO : f Lucy participa *n el curm da actualización porque tiene difiero p
C ondicional invmno
9
Fórm ula: q —* p Nombre : Fórmula condicional inverso
FÓRJIULAS BIEN FORMADAS (fhf) Obedecen a las siguientes reglas de formación: I) Cada variable proposicional es una f b f EJEM PLO : p , q , r , ...........
II) Si A es una f b f entonces
es una f b f .
|bb g*1 W EJEM PLO: *p
$
*9 *~9 127) Si A y B son f b f s entonces A A B ; A v B ; AAB; A -+ B ;A + + B son f b fa +
EJEM PLO: *pAq
*pAq
•pVqr
*p++q
*p->q
*Yp Aq)V(r
s)
• (p q) M -*)q) ' Mw ++[rV(p-+ M A' 1 A
*(pVq)
*
pAqAr
f b f en caso contrario son /V) Ninguna otra es u fórmulas mal formadas (/m/) EJEM PLO:
* p V q A r ---------- ►Es una fm f porque no se puede determinar cuál de los operadores tiene mayor jerarquía , dado que le falta el signo de agrupación. EJEM PLO : pVq)Vr
/A
1 7 1 ? < V I .V V g H V T 4 P N
py*i
A Ó .
poq o poq si p entonces q p si solo si q no p
V
Aó* -> Ó D «->
t
p*q
=
pvq pdq p-*q p++q
~P
EJEM PLO : A
EJEM PLO : *(pAq)Vr
3) ®
—*Mayorjerarquía «Menorjerarquía (r V s)\
2 a 3 Mayor je r a rqu ía Mayor jerarquía
0
P
R EG LAS F A R A E L USO D E PUNTOS AUXSLLXKES I) La conjunción tiene mayor jerarquía que cualquier otro operador que no tenga o este afectado por puntos. EJEM PLO : / ►Mayor jerarquía
é p A {q — r ) (p-> q) A (r*-+ 8) Mayor jera rq uia II) E l operador diádico con mayor número de puntos es el de mayor jerarquía , si y solo si no esté limitado por los signos de agrupación. EJEM PLO : *p = q • D •r ©
* r: = :p • D • p v r • q ®
*(p=> q)<* (r=* s)
a
S i\Noriega es astronauta\entonces\viaia a la luna = p —+ q
En cualquier fórmula lógica , el operador que tiene mayor jerarquía es aquel operador diádico fuera o en la parte más externa de los signos de agrupación (divide a la fórmula en dos) o en todo caso la negación libre.
®
d)
®
>>Mayor jerarquía
® Menor^ ® Jerarquía { p = * [faV p )A ~
W
Operador Estructura formal fórmula
Conjunción Disyunción inclusiva Disyunción exclusiva Condicional Bicondicional Negación
JERARQUIZACIÓN DE FÓM&MUIAS
[(pAr)=>
r f ,O
• El alcohol [71 el cigarro con dañinos para la salud = p A q
*p~q Es una ftnf porque la negación no es un operador diádico. * ++ p A q ►- Es una ftnf porque el operador * o » , no es monádico y debe estar entre variables (Ejemplo : p ++ q)
q)=>
r
USO D E L O S PUNTOS AUNMLLARES í Se utilizan dentro de la simbología . Estos puntos auxiliares, sirven para determinar la jerarquía de los opedores diádicos en reemplazo de los signos de agrupación. Proposición
*p VqVr
*(pV
M S b liM 'u l
(q r A r )]}
5
3) Al operador monádico (negación) no se le puede asignar puntos auxiliares, porque estos se asignan solamente a los operadores diádicos. De ahí que cuando se trata de una negación libre, es necesario utilizar los signos de agrupación.
)
I642 |
[A l,
p q V V
EJEM PLO: (p V q . r )
®
®
V F F V
F F
M ayor jerarquía /V/
[~ ( p V g )
O ®
T f / c t o p r n i so ib ] pVq V V V F
: 3 : qr • 3 . r . s
®
La regla que lo rige es : *Una proposición disyuntiva fuerte es falsa cuando sus componentes tienen valores iguales, en los demás casos es verdadera». Esquemáticamente, se representa: p q p A q
^ >■M ayor jerarquía
V V F F
FUNCIONES VE K I T A TIJAS TAB LAS D E VERDAD i ) FUNCIONES V E R IT A T IY A S í
Son interpretaciones semánticas de las posibilidades de verdad o falsedad de las proposiciones moleculares en base a sus conectivas o el modificador. Son las siguientes: A ) N EG ACIO N
Lógicamente se rige por la siguiente regla: La negación de una proposición verdadera es falsa . La negación de una proposición falsa es verdadera». Esquemáticamente, se representa por la siguiente tabla de verdad: n ^
V F V F
F V V F
NOTA: La disyunción al igual que la conjunción goza de las propiedades conm utativa, asociativa e idempotencia. E ) iO N M C IO N A l, ( - > ) ; La regla que lo rige es: «Una proposición condicional es falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, siendo verdadero en los demás casos». P <¡ p ■-> q La función veritativa se expresa V V V en el siguiente esquema:
V F
F
F V
V
F F
V
V
F
F ) B IC O N D IC IO N A L (<+)
F
V
La regla que rige es: «Una proposición bicondicional es verdadera cuando sus dos componentes tienen valores iguales , y es falsa cuando sus dos componentes tienen valores distintos». Esquemáticamente, se tiene : p q p*+q
Esto significa que si «p » es V, su negación F o viceversa. B ) C O N J U N C IÓ N ( a )
:
La función veritativa de la conjunción^e rige por la siguiente regla: «U n a proposición conjuntiva es verdadera cuando todas sus proposiciones componentes son verdaderas , siendo falsa en los demás casos». p q pAq Esquemáticamente, se tiene:
V V V F
V F
F V
F
F F
F
C) DISTINCIÓN IXCIjCSIVA o d é b i l (V) En este caso es: «E s falsa sólo cuando todos sus componentes son falsos, en los demás casos es verdadera ». Esquemáticamente , se tiene:
V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
G ) N E G A C IÓ N C O N J U N T A R ) :
La regla que rige es: «Una proposición negativa conjunta es verdadera cuando sus dos componentes tienen valores falsofFj». P Q p iq Esquemáticamente, se tiene :
EJEM PLO:
V V F F
V F V F
F F
F V
ni Picasso pintó la gioconda , ni fujimori es peruano.
1BB9 e*a tg U)NEG ACIÓN ALATERNA ( I ) : La regla que rige es: «U na proposición negativa A LTE R N A es falsa cuando sus dos componentes P V V F F
Esquemáticamente, se tiene :
P * Q F
Q V F V F
V V V
EJEM PLO : la imitación no es exclusiva del hombre o no es exclusivo del mono. C o n ju n c ió n
D h y u t iv a
D h y t t iit m
A
V
hW I p g
0
V
p A q
222
N e g a c ió n
fuw rtm
d é b il S ehoU
c o n d ic io n a l
í pAq
—* D p-*g
F
A
p V q
++
•N
—
•V
p *+ q
*- P
V
V
F
V
F
F
V
F
V V V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
EJEM PLOS 1: Si: p = F , q = V y r = F ; indicar el valor de verdad (verdadero o falso) de las siguientes fórmulas: I)(q V p )
(r
p ) II) ~ [r D q . V . ~ ( p . q)\
V F F F 2) Evaluar las fórmulas de acuerdo a las reglas de las funciones veritativas :
w
É sX
k
b u
:
]
(FALSO)
F 2) Se procede a dar el valor correspondiente a cada fórmula o variable de acuerdo al valor dado del operador principal , que cumpla con las reglas de las funciones veritativas. (q A p ) V (r -»• p ) V F F F V F F 3) Luego obtenemos el valor de cada A y B variable.
p=V ♦ Resultado : VFF.
q=F
r= F
TAB LAS D E VERDAD V ESQUEMAS LÓGICOS TABLAS B E VERDAD :
Llamadas también de valores, tablas veritacionales, método de las matrices o Algoritmos. Son gráficos en los que se representan todos los valores de verdad o falsedad que pueden asum ir las distintas interpretaciones de un esquema o fórmula lógica.
C= C= 2 = n =
3) El valor final se obtiene del operador principal (mayor jerarquía). Resultado = V .............................. (VERDADERO).
m
* PASOS A SE G U IR : 1) El valor de verdad de la fórmula se ubica en el operador principal (mayor jerarquía). ( p A q ) V ( p - t r)
y
F
t
Si la fórmula (proposición simbolizada) (p A q ) —> (p V 8) , es falsa, halle los valores de p; q y r ; respectivamente: R E S O L U C IÓ N :
FORM ULA S
F
y
EJEM PL O S 2 :
(qVp)4+(r<+p) F
i í a
Resultado: F ...........................................
R E S O L U C IÓ N : I) (q v p ) (r p) ♦ PASOS A SEGUIR: 1) Asignar los valores correspondientes a cada variable: , v, . , , (q\/ p )+ + (r ± + p )
M
2" Número de líneas o arreglos que tendrá las tabla. Constante numérica Número de variables
G R Á F IC O : Variables de la fórmula
NOTA : Para resolver el ejercicio siguiente procedemos en forma directa , porque ya conocemos los pasos que se siguen. [r :> 9 . v . ~ (p.q)}
Fórmula Lógica
Combinaciones deVyfoF
NOTA:
Margen Izquierdo
(matriz (ces)) Cuerpo
Para hallar los valores de Verdad o Falsedad de la matriz principal de una fórmula lógica, en la Tabla de Verdad , es necesario emplear las funciones veritativas.
6** IB FUNCIONES VERITATTVAS Conjuntii'O
Disyuntiro inclusivo
»
V Vv VV=
p
0
Disyuntivo Exclusita
FF =
®
P/\H
©
P \/ < 1
Condicional
^
> F Fx
®
VF = (F)
P A
q
p —►q
xcmclopeóma
Negativo
Equivalente W \
>
®
P =
9
V será F F será V
FF
VP
C=2
V V V F
C=2
F V F F
C=4
v E jv v E MF F E l V F F J f
v □
V Q f Q f I
F
v
v H
v WMv V Q F F I^ V
v Q f Q
PASOS A S E G U R PARA EVALUAR LAS FÓRMULAS LÓGiCAS 1) Ubicar la fórmula en el lugar correspondiente de la Tabla. 2) Jerarquizar la fórmula. 3) Determinar el número de arreglos mediante la fórmula respectiva. 4) Evaluar la fórmula de acuerdo a las reglas de las funciones veritativas , procediendo de la matriz de menor jerarquía , hasta llegar a la matriz de mayor jerarquía. EJEM PLOS: Determinar la matriz principal de las siguientes fórmulas: I)p q ~ W (p V q) A (r V p ) III) 'V' R E S O L U C IÓ N : p
V V F F
q p^q V V F F V F F V
q
r
C = 2"
Q v r ra s»
V
p
V F
V
C=2I F
C=2
# de arreglos
P V
F
C = 2n
F
V
C = 21=2
ESQITEJLIS LÓ G IC O S (E . L .) í Son fórmulas lógicas (proposiciones formalizadas) las cuales pueden asumir funciones veritativas determinadas . Pueden ser :
t ) TAUTOLÓGICOS ( T ) : Son aquellos cuya m atriz principal contiene únicamente valores de verdad . Se le llama también «Principios Lógicos».
EJEM PLO : 1
2
3
1 2 /\J
q) A
p q Í(P
E. L Condicional Tautológico 2 ) CONSISTENTES ( Q ) :
C = 2 2=4
V V V
V
q) A V
V V F
V
V
V F V
V
V
B) V F F
V
V
F V V
V
V
F V F
V
F
F F V
F
F
F F F
F
F
(P
F
C=2*
# de arreglos;
M A T fU Z
p
C)
V Q Y v WMf f
F WMF
i f
\-~-Matriz principal o cifra tabular
A) i
v f v
a oja ]
V
# de arreglos C =2"
C = 2 3= 8
Llamados también esquemas contingentes. En estas fórmulas lógicas , la matriz principal de su tabla veritativa presentan por lo menos un valor de verdad y uno de falsedad. EJEM PLO : 3 2 1 2
p
q
V
V F V
V
F F
F
l(p -> q) V F V V
A V
q]
F V F
E. L. Bicondicional Contingente
<-► ~ F V V F
F F V V
it t rntX4P&
Hjj¡^
6M
a,iU¿i4u\ r -racimiA
y i^ jj¡|
CONTRADICTORIOS : Son fórmulas formalmente falsas , la m atriz principal de su tabla de verdad solo contiene valores falsos.
LA E Q L T V A L E X C L \(=):
EJEM PLO :
EJEM PLO:
mu:
]
Se dice que «A » equivale a B» cuando unidas «A» y «B» por la bicondicional se obtiene una relación lógicamente verdadera o una tautología.
A=p B =q v^p A s B : «A equivale a B» P R O P IE D A D E S D E L A EQLTVALENCLX • R E F L E X IV A : Cualquier fórmula equivale a sí misma : A = A • S IM E T R IC A :
E. L conjuntivo contradictorio . IM P L IC A C IÓ N ( ^ ) y EQ U IVALEN CIA ( = ) HE PROPOSICION ES - INTERENCLXS I) LA tyiP L ICACIÓN y L A EQILVAI,ENCIA:
L*a implicación y la equivalencia son funciones de la Lógica que se utilizan para relacionar dos o más fórmulas lógicas (proposiciones) con la finalidad de establecer una tautología.
• T R A N S IT IV A : «Si A equivale a B» y «B » equivale a C» , entonces «A equivale a C» (A = B )A (B = C )-+ A = C • Todas las tautológicas son equivalentes: Tx = Tn • Todas las
fórmulas contradictorias son
equivalentes: f¡ = f n
LA DUPLICACIÓN(=>): Se dice que «A implica a B » cuando unidos por el condicional, «A» como antecedente y « B» como consecuente , la relación es válida o lógicamente verdadera.
EJEM PLO : A=p a q
«Si A equivale a B», entonces «B equivale a A »: (A = B) -+ (B = A)
B =p vq
P Q (p A q )= > (q v p ) V V V V V V F F V V ~ F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
PROPIEDADES D E LA DUPLICACION
MAS INFERENCIAS El objetivo de la Lógica es estudiar el análisis formal de validez de las inferencias . Es decir , que el análisis formal permite simbolizar laB inferencias en esquemas moleculares y demostrar con seguridad (mediante diversos métodos veritativos) su validez o invalidez. Se desprende que el objetivo más importante de la Lógica en su aplicación a la ciencia y al discurso cotidiano es la “justificación y crítica de la inferencia” Una inferencia, llamada también argumento o razonamiento es una estructura de proposiciones en la que a partir de una o más proposiciones llamadas «premisas» (antecedentes), se obtiene otra , llamada «conclusión» (consecuente). De tal modo que, la inferencia tendrá forma condicional.
EJEM PLO:
* R E FLE X IV A : «Cualquier fórmula (A) se implica a sí misma A => «A » * TRANSITIVA : Si «A implica a B» y «B implica a C» entonces: «A implica a C» (A=>B)a (B =>C)=*(A =>C) * Cualquier fórmula implica a una tautológica (T): A => T * Una contradicción ( F ) implica a cualquier fórmula: F =* A
Premisas i
P¡ : Si es temporada veraniega, entonces hace calor P2 : No hace calor
Conclusión {C : No es temporada veraniega
CLASES D E INFEREXCLIS : Esta clasificación se hace teniendo en cuenta alas Inferencias Deductivas.
iv>:
10*6 |(VéÁ,
I ) IN F E R E N C IA S IN M E D IA T A S : Cuando sólo están formadas por dos proposiciones: premisa y conclusión.
P¡ : Todo cuadrúpedo es vertebrado C : Algunos vertebrados son cuadrúpedos U ) INFERENCIAS ¿MEDIATAS í Cuando están
formadas
proposiciones: [P¡ A P 2 A
por
EJEM PL O S :
* SIMBOLIZANDO:
Pj :
p i ••p
C : En consecuencia ~
C
p
p
* T r a s la d a n d o a l a fo r m a h o r i z o n t a l :
C : La rocas caen • P (l): Todos los peruanos son emprendedores P(2) : Raúl es Peruano C : Raúl es Peruano es emprendedor * P (l) : Si un satélite gira alrededor de la Luna, entonces gira también alrededor de la tierra. •P(2): Si gira alrededor de la Tierra , también gira alrededor del Sol. * P(3) : Si gira alrededor del Sol , entonces gira alrededor de la constelación de la Lira. C : Si un satélite gira alrededor de la luna, entonces gira alrededor de la constelación de la Lira. PARA
[Pj A P2 A .......A PnJ =>• C [rp -+ q) •Nótese que las premisas se unen mediante el enlace conjuntivo a su uez , las premisas se unen a la conclusión mediante el enlace condicional. EJEM PLO 2 : «Emelly cantará en público si y sólo si asisten muchas personas al teatro. Ocurre que asisten muchas personas al teatro si y sólo si la entradas han sido rebajadas. Por lo tanto. Emelly cantará en público si y sólo si las entradas han sido rebajadas» * SIMBOLIZANDO :
III) Las premisas se unen con la conclusión a partir del enlace condicional directo o indirecto. IV) Se simbolizan las premisas y la conclusión respectivamente , considerando los conectores lógicos. 1:
« Si las pistas están mojadas entonces ocurren los accidentes ; pero , no ocurren accidentes. En consecuencia, las pistas no están mojadas».
Si y sólo si q •q Si y sólo si r : p Si y sólo si r
P¡ : p
FO R M A LIZA R
Para simbolizar una inferencia se debe tener en cuenta los siguientes pasos : I) Se debe distinguir las premisas de la conclusión ; por lo general , la conclusión 6e halla al final del argumento (pero no siempre). U) Las premisas siempre están separadas por signos de puntuación y forman el antecedente del argumento , la conclusión es el consecuente del mismo.
EJEM PLO
Si p entonces q Pero
• P(l) : Todos los cuerpos caen P(2): Las rocas son cuerpos
B ) CRITERIO S INFERENCIAS :
g O íg ]
• Las premisas están separadas por signos de puntuación y la conclusión se halla al final del argumento: P ( l ) : Si las pistas están mojadas ocurren los accidentes. P(2): Pero no ocurren los accidentes C: En consecuencia , las pistas no están mojadas
más de dos
AP„|=> Conclusión
NCICLO PEBIA
C
1PP2, :: pq == qr C :p = r
[(p = q)A(q = r)]=> (q = r)
P¡
A
P2)
Antecedentes
EJEM PLO
C
Consecuente
3 :
« Sebastián no irá de campamento si se portó mal. Sí se portó mal, se quedará ayudando en casa. Entonces , Sebastián no irá de campamento y se quedará ayudando en casa * SIMBOLIZANDO : q q pt t q
P j ; 'v p si : si q9 r
P2 : q
r
C: ~ p y r • TRASLADANDO a l a f o r m a h o r iz o n t a l : l(q -* ~ p )A (q -tr )]= > (~ p A r j
[gsm ^ñixRfS W I 7 I M O A
BS3EI 6 * 7
EL ¿MÉTODO ABREVIADO O ¿METODO DE REDUCCIÓN A L ABSURDO Es un procedimiento decisorio , es decir nos permite determinar la validez o la invalidez de un razonamiento o inferencia. Se utiliza con el propósito de abreviar el método de las Tablas de Verdad.
r ri^ Q H M mu:
P j: (q - r ) f(q r) A P2 :( ~ r — ~ p ) W | C: — p)
EJEM PLO * P( 1) : p = q
(r -+ q )
[(p = q )A rJ V
P(2) : r
F
C : r -+ q III) Si cada una de las variables u operadores del esquema cumple una sola función veritativa , es : MONOVALENTE (V ó F todo el tiempo), entonces la inferencia será inválida. IV) Si cualquiera de las variables u operadores del esquema cumple un doble valor veritativo , es BIVALENTE (V y F al mismo tiempo), entonces la inferencia es válida o correcta. Operando: [(p = q ) A r ]
i
VF
r-* ~ p ) ( q - p) VFF
t
4
REGLAS : I) Se coloca el valor de verdad a las premisas y el valor falso a la conclusión. Es decir: Pí A P2 A P¡¡ •■•***A Pn => C v ~v V V F II) Se debe deducir el valor de las variables y operadores del esquema , trasladando los valores encontrados.
]
i
Monovalencia = Inválido o incorrecto
VALIDEZ D E L A S INFERENCIAS P O R T A B L A S D E VERDAD Las Tablas de Verdad , también , se utiliza como método decisorio , para determinar si una inferencia es válida o inválida . Luego de formalizar una inferencia , se evalúa en la tabla y , si su matriz principal es una Tautología , la inferencia es válida, en los demás casos es inválida. EJEM PLO : Determinar si la siguiente inferencia es válida: «Si Jennifer compra el auto , se irá de paseo ; pero , no se irá de paseo , consecuentemente, Jennifer no compra el auto» * F O R M A L IZ A N D O :
I) RtíEJUnAZAXBO LAS PKOPOSLCLOXES I Jennifer compra el auto = p Jennifer se irá de paseo = q
H ) E s TRCCTIRA FottfLXL : Si: p , q pero , no q consecuentemente , no p. I D ) FoR JIH A FLXÁIs : Kp -+ q) A A/ ql * E
valuando po r
T
ablas de
V
erdad
jp
:
V
Nótese que todas las variables y operadores son monovalentes, es decir cumplen una sola función veritativa . Por lo tanto , dicha inferencia es válida o no correcta.
O TRO EJEM PLO : P ,: p
p V V F F
9 Kp —> q) A ~ q] V V V F F V F F F V V V V F F V V V V F •
F F
# de arreglos C = 2n C = 22 = 4
V V
M atriz Principal * RESPUESTA : Esquema lógico condicional Tautológico
PRINCIPIOS LÓGICOS
C : /%/
* Nótese que la variable «p» cumple un doble valor a la vez (bivalencia), por lo tanto la inferencia es válida. Pt : p-> q [(p - q) A (q —r) A (r -* q)J -» (p s) Pm VF F V F VF VFF Pb C : (p - •)
\
F
\
F B ivalencia=V álido
U n Principio Lógico , es el fundamento de toda verdad lógica (Tautología) . De un principio lógico podemos generar tautológias indefinidamente , y , a la vez , cualquier tautológia del universo lógico puede reducirse a un principio lógico . Son conocidos los tres principios.
PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS I) PRINCIPIO DE IDENTIDAD í Establece que si se afirma una proposición, se concluye la misma ; si una proposición es verdadera
I
1) Doble Negación (DN)
C on v alo res d e esq u em a A =A ~ ~ A sA
2) Idempotencia (Idem) 3) Conmutativa (Conm)
4) Asociativa (Asoc.)
5) Distributiva (Dist.)
p =p p=p pvp=p pA p =p
> < ¡u to II II ►
L eyes E q u iv alen tes
A Y m o P B P M a o ia ]
6 *8
A
aB
^B aA
A
vB
^ B vA
pvp=pAp
AAR = BAA
PA p=PV p pA q=qA p
A<+B = B<+A
p++q = q++p
A
a (B a C) = (A a B ) a C
p A(q Ar) = (p Aq) Ar = p Aq Ar
A
a (B v C) = (A v B) v C
pv(q\/r) = ( p v q ) v r = p v q v r
A
p ++ (qv r) = ( p - > q ) + + r ^ p + + q + + r
A
a (B v C) = (A a B ) v (A a C)
p A(qvr) = (p Aq)v(p Ar)
A
v (B a C) = (A v B ) a (A v C)
A - + ( B a C) = ( A ^ B ) a (A->C) A - > ( B v C) = ( A ^ B ) v ( A ^ C )
6) De Morgan (DM) 7)Defnición del Condicional (DC) 8) Bicondicional (DB) 9) Absorción (Abs)
Av ~ B ~ (A v B) A a ~ B A ^>B A v jB A~+B Aa ~ B (A a B)
A
<-> B = (A a B) v
A
a (A v B)
=A
A
v (A a B)
=A
11) Exportación
Aa ~
p v (q a r) = (p v q j a (p v rj p -> (q a r j = (p —» q) a (p -> r j P ^ (q v r j = (p —>q j v (p -> rj ^ (p A q j^ p v ^ q ~ (p v q )^ ~ pA ~ q p -+ q pA ~ q p -> q =~ (p a ~ qj ph>q = (p^>q)A(q^>p)
A + + B = ( A - > B ) a (B->A) B)
p + + q = (p Aq) v ( ~ p A ~ q ) pA(pvq) = p
A ^ B s v fí-^ A
p v (p A qj = p p a ( ~ p v q j = p Aq pW ~pA qj =pvq p -> q = ^ q -+ ~ p
A <+B =ri B
P
A a (~ A v B )sA a B A v(^ A
10) Transposición
C on v a ria b le s p ro p o rcio n ale s
*
a B) = A v B
A
(A a B ) - + C ^ A ^ ( B ~ + C )
entonces es verdadera , una proposición sólo es idéntica a sí misma . En el plano de la realidad , toda cosa es idéntica a sí misma. Simbólicamente se expresa por : A -+ A ;A <-» A p-±p;p+* p
EJEM PLO : «S» el libro es de matemática se deduce que el libro es de matemática.
(p A q) -> r
= p -> (q -» rj
II) P R IX C m O B E NO COXTBADICCIÓN Establece que inadmisiblemente una cosa sea y no sea a la vez. Es imposible que una proposición sea verdadera y falsa a la vez , que una cosa exista y no exista al mismo tiempo. Su formulación simbólica es:
- (A a ~ A) ; (pA ~ p)
EJEM PLO : Es falso que la jirafa sea mamífero y no sea mamífero. UI) PRINCIPIO DEL TERCIO EXCLUIDO :
Establece que una cosa es o no es , no existe una tercera alternativa . Una proposición es verdadera o falsa , no existe una tercera posibilidad . Simbólicamente se expresa: Av ^ A ;
EJEM PLO :
R E S O L U C IÓ N : *Paso8 a seg u ir: 1 ) t o v P L .IZ .L V IM » L W PROPOSICIONES SIMPLES ¿
p = Federico decide quedarse en la biblioteca después de las clases . q = Repasará la lección de hoy.
Z
Si p entonces q e FJIPI-AZAXDO
LOS COXECTIVOS oimLXEM OS :
p
4 ) A plicando l.i
(p a p ) a q p
q
declxicióx del coadbcioxxl p —y q pVqt p -»
q=
~ (pA ~
Z
q)
5 )R V E yiP L A Z A X D O S C EQITTAJLEXTL RESVLTA /
* Federico no decide quedarse en la biblioteca después de las clases o repasará la lección de hoy pVq * Es imposible que Federico decida quedarse en la biblioteca después de las clases y no repase la lección de bey — A/ (p A ~ q)
EJEM PLO 2 : simplificar las siguientes fórmulas :
a
Asociativa
q ..................Idempotencia
Fórmula {~ P [gV'vfgvpi]} Aq .n/p v [q V ~ (q V p)]} A q
{p V [tfV ~ (q V p)]} A q
Son leyes que perm iten la transformación y simplificación de los esquemas moleculares en esquema más simples y se denominan equivalencias porque tanto la expresión original como la expresión simplificada tienen la misma matriz principal en sus respectivas tablas de verdad. A continuación las leyes equivalentes. Determinar el equivalente de la siguiente proposición : «Si Federico decide quedarse en la biblioteca después de las clases , entonces repasará la lección de hoy».
E s tr u c tu r a to r m a l
[qV ~ (q V p ) ] } } A q
R E S O L U C IÓ N : I) [p A (p Aq)\
II)
LEYES DEL Á LG E B R A P R O P O SidO X A L
3) R
II) { ~ p
pV ~ p
el pisco es peruano o no es peruano.
2)
D íp A (p A q )]
Justificación por Condicional Doble negación
LÓGICA INFORJIÁTICA La lógica constituye el fundamento teórico de la informática, en cuanto le proporciona las herramientas , para la construcción de lenguajes de programación . Entre sus múltiples aplicaciones, la lógica se aplica a la tecnología. En este campo, la lógica se aplica a la construcción de circuitos lógicos y entre ellos los circuitos eléctricos, compuertas lógicos, los diagramas de flujo, etc.
CIRCUITOS LÓGICOS Para cualquier fórmula proposicional podemos construir un circuito eléctrico , que resultará más fácil en tanto la fórmula tenga sólo operadores " A ", ” V " y/o " ~ Los circuitos lógicos están formados por conmutadores o interruptores que bor los órganos lógicos que dejan pasar o no dejan pasar la corriente eléctrica. Estado lógico
In te rru p to r
Lám para
V F
Cerrado Abierto
Encendida Apagada
Ahora podemos construir los circuitos . E l procedimiento que se sigue es el mismo que se emplea en la construcción de computadoras electrónicas . Estos circuitos son de dos clases : en serie y en paralelo.
CIRCUITOS E N S E R IE Z Los circuitos en serie constan de dos o más interruptores donde un interruptor está después de otro y así sucesivamente * E l gráfico de un circuito en serie es la representación de una fórmula proposicional conjuntiva, cuya expresión más simple es « p A q » , y que se representa de la siguiente manera:
11531« so IE
G%.
Para que este circuito |— dpO ... d¡70— quede cerrado y lá lámpara se encienda, *p» y «q» deben estar cerrados , esto es, «p» y «q» deben ser verdaderos a la vez. En ■ * batería otros términos , es la aplicación de la tabla de •— P — q verdad de la fórmula «p A q » .
CIRCUITOS E N P AR A LE LO 2 Los circuitos en paralelo constan de dos o más interruptores, donde un interruptor están en la otra línea y así sucesivamente. El gráfico de un circuito en paralelo es la representación de una fórmula proposicional disyuntiva , cuya expresión más simple es « p V q » , y que se representa a sí:
K CIClA tPE M A
g nig]
exactamente al revés. Lo facilitan y permiten visualizar mejor la aplicación de las fórmulas lógicas. Una compuerta es un artefacto* que , en general , tiene entradas y una salida, las mismas que se representan con líneas. El artefacto mismo se representa convencionalmente por una media luna o por un triangulito y su función es dejar o no pasar un tipo de impulso eléctrico , bajo ciertas condiciones.
COJWUERTAS LÓGICAS Las compuertas lógicas son bloques de circuitos que producen señales de salida de «lógica 1» o «lógica 0» si se satisfacen las condiciones de las entradas lógicas; «1» y «0» son las señales binarias o estados binarios de un variable , y los circuitos lógicos que ejecutan las operaciones lógicas de las compuertas NOT 3AND , OR («no», «y», «d» respectivamente en español) son representados en función de sus respectivos estados binarios. A continuación , cada una de ellas. C O M P U E R T A «N O T » 2
lámpara
batería Para que este circuito quede cerrado y la lámpara se encienda , bastará que uno de los interruptores esté cerrado . Esto es , el circuito quedará cerrado , o bien cuando «p » sea verdadero o cuando «q» sea verdadero , o bien cuando ambos sean verdaderos. Solamente no se encenderá la lámpara cuando los dos interruptores estén abiertos , o sea , cuando «p » y «q», ambos, sean falsos a la vez. Este caso, es la aplicación de la tabla de verdad de « p V q » O B S E R V A C IÓ N : Los circuitos lógicos, proporcionan una idea precisa sobre la forma como la lógica proposicional puede ser aplicada al diseño de computadoras electrónicas. Dichos circuitos que son conocidos como circuitos o conmutadores , llaves o switches, han sido, sin embargo, reemplazados por dispositivos más ágiles, conocidos como circuitos lógicos a compuertas, que son más acordes con las exigencias de la tecnología contemporánea. La necesidad de diseñar compuertas está ligada al hecho de que la computadora actual se encuentra en la práctica muy alejada de las llaves o switches, a los que ha sustituido gradualmente por relays, transistores y circuitos integrados (chips). Pero esto no debe llevar a la creencia de que las compuertas complican el manejo lógico de los circuitos, pues la situación es
La compuerta NOT o inversor responde a los siguientes estados binarios : p
/V p
1
0
0
1
Si «p =x » , entonces«:p» en función algebráica es «x» El circuito completo se representará gráficamente como sigue:
Com puerta N O T P •-------f ^ > o —
•- p
Como se puede apreciar , la compuerta NOT tiene una sola entrada que es Ja proposición «p »,y una salida que e6 la proposición La corriente pasará al exterior de la compuerta cuando la lámpara se encienda , pero si la lámpara no se enciende , la corriente no pasará la compuerta . C O M P U E R T A «AND»2
Podemos identificar la compuerta AND con los conmutadores 44p** y 44q La función binaria responde a la fórmula 44p A q ” tal como sigue:
P 1 1 0 0
9 1 0 1 0
Compuerta AND de dos entradas . pAq P*-------1 q*-----0 0 «J 0
IB
T co r¿« «le fV»q/nittoát]
851
La compuerta AiVD , en este caso » tiene dos entradas , «p» y «q » , pero puede tener más de dos entradas. En el gráfico , la única salida es «p A q» y representa a la lámpara en el diseño de un circuito eléctrico.
COM PUERTA «O R » :
EJEM PLO : P2 : Si llu eve en la n o c h e ,
las p is ta s está n m ojadas, P2 : L lu eve en la n och e . C : L uego , la s p is ta s está n m ojadas.
La función binaria de la compuerta OR corresponde a la fórmula «p V q» como sigue.
pq 11 10 01 00
1 1 1 0
2 ) ¿IOI9US TOLIJENOO t o l l e n s p / I T ) :
Com puerta OR de dos entradas. P* < r
pvqr
el gráfico muestra 2 entradas , «p » y «q» , para la compuerta OR . en este caso , la salida es «p V q» ,que representa a la lámpara en el circuito .
C om puerta NAND d e dos en tra d a s . *
q ---------------
A J
(P M )
C om puerta ÑOR de dos entradas. /V
(pyq)
E X P L IC A C IO N E S N O T A B L E S Llamadas también Leyes Implicativas . Son esquemas condicionales tautológicos , por lo que representan inferencias válidas. En consecuencia , teniendo la(s) premisa(s) podemos derivar inmediatamente su respectiva conclusión. Las más importantes son las siguientes:
1) JIODUS PONENDO PONENS (M P P ): Si se afirma el antecedente de una premisa condicional , se concluye la afirmación del consecuente de dicha premisa. Regla: A
•B
B
Si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye la negación del antecedente de dicha premisa. Regla: Ley: A —> B /\/ B
[(p -X l)A
qJ
EJEM PLO: P j ; Si eres estudiante de marte , te están preparando adecuadamente. P2; No te están preparando adecuadamente. C : Consecuentemente, no eres estudiante de marte. P ,:p ^ q
Formalizando: P 0
P ’-----------
A
9
Formalizando: P¿ : P C 9
pVq
«p v q» en función algebraica es «x + y» y el diseño gráfico que la representa es:
P ‘-----------
Pi
Ley; ¡ ( p - ^ q ) A p ] =>q
C
p
3 ) SILOGISMO DISYUNTIVO (SD)Z Si se niega uno de los elementos de una premisa disyuntiva , se concluye la afirmación del otro elemento. Regla: Ley: AvB AvB [(p V q) A ~ p ] 9 ~ A ~ B í(p V q )A ~ q ] P B / .A EJEM PLO: P¡ : Estudio Contabilidad o Economía.
P2 ; No estudio Economía._____________ C ; Estudio Contabilidad. Pj ; p V q PQ; /vfl Formalizando: -------------C..P 4 ) SILOGISMO HIPOTETICO PURO(SUP): Si de un conjunto de dos premisas condicionales , el consecuente de una de las premisas es la afirmación del antecedente de la otra premisa , entonces del
052 antecedente de una de las premisas se deriva el consecuente de la otra premisa. Regla: Ley: A —h15 •fi —y C f, . r \i / i f(p -*•q) A (q -> r)] =>(p->r) B -+ C B [(q -+ r) A (p —>q)J =>(p->r) .*. A —>•C A —> C Si Carnap fue neopositivista , conformó el Círculo de Viena ; y sí conformó el Círculo de Viena , confiaba en la Lógica Simbólica. Por lo tanto , si Carnap fue neopositivista, confiaba en la Lógica Simbólica. P¡ : p —* q
P2 : 9 Cap
5 ) CONJUNCIÓN : De un conjunto de premisas Conjunción de las mismas. Regla:
se puede concluir la
Ley:
A
(p) A (q) => p A q B ,\ A A B EJEM PLO: Juan es escritor ,J u an es p oeta ; L u eg o, P q Juan es escritor [y ] poeta P A - 5— P ¡: p Form alizando: C
pAq
6 ) S IM P L IF IC A C IÓ N : De una premisa conjuntiva de puede concluir cualquiera de sus componentes. Regla : Ley:
AAA AaB (p A q )= > q (p A q) B AA EJEM PLO P j : C opém ico fu e Astrónom o y Físico . C C opém ico fu e Astrónom o . Formalizando:
Pj* P A q
EJEM PLO : Los estudiantes son inteligentes . Luego, p los estudiantes son inteligentes [o] respevtuosos.
7 ) AD IC IÓ N : De una premisa se puede concluir la disyunción de la misma con cualquier otra fórmula.
R egla: AVB
Pi : p CApVq
8 ) TIIANSITIXTDAD S L M E T R IC A (T S ): Si de un conjunto de dos premisas bicondicionales uno de los componentes de una premisa bicondicional es la afirmación de uno de los componentes de la otra premisa , entonces el otro componente de la primera premisa se da si y sólo si se dá el otro componente de la segunda premisa bicondicional. Regla : Ley: A B B C r/ . . ,, . . í(p ++q)A(q++ r)J => (p <+ r) B
f(p
C-+D
s) A (p V r)J
(q V s)
AVC a
q) A (r
BVD
10) DILE¿IA DESTRUCTIVO COMPUESTO (I1DC) : Si, disyuntivamente , negamos los consecuentes de dos premisas condicionales , se concluye disyuntivamente la negación de los antecedentes : Regla: A ~+B Ley: C -+ D [(p -* q )A (r -* s )A (~ q \ f ~ s )]
/\y B v Av
D
pV
r)
/V
DERIVACIÓN O DEDUCCIÓN NATURAL
C A P
a
XCICLOPEDMA SlJIS]
Formalizando
EJEM PLO :
Formalizando:
IBES
L ey:
Ap Vq
Es un procedimiento formal que sirve para demostrar que la conclusión se deduce lógicamente de las premisas o de un conjunto de premisas. Este procedimiento consiste en obtener la conclusión deseada mediante la aplicación de leyes lógicas en una secuencia finita de pasos . Entonces,
[ r c t » i 4 m
i l ?
^
w
f m
m
// Tcofíw ele C>M|/«w
v
dado un conjunto de premisas , la deducción lógica debe permitirnos sacar consecuencias que sólo se deriven lógicamente de las premisas ; en otros términos, consecuencias que son implicadas por las premisas.
preposicional ffx sea verdadera. V se lee: «Para todo»
EJEM PLO 1 :
U )C U A N T IF IC A D O R EN JSTEN CIAL :
Sean las premisas y su conclusión respectivamente: P¡ : ~ p —> (qA ~ r)
Sea f ( x } una función preposicional sobre un conjunto A el cuantificador 3 (existe algún) indica que para algún valor del conjunto A , la función preposicional f( x es verdadera. 3 Be lee : «Existe algún »
P2 : ~ p P3 : s —►r C3 * Indique qué pasos se han efectuado para obtener la conclusión: 8». R E S O L U C IÓ N : P| ; /v p —►(qA A/ r) Pg : ~ p P3 : » - + r/l
Sea : f M « 3+2 >5 donde x 6 N La proposición cuantificada es : Vx 6 N \x3+2>5 es falsa.
EJEM PLO 1 : Sea f (xi; x* - 5<8 , donde : x £ 2 + , la preposición 3 x £ Z + /x 2 —5 < 8 es verdadera.
EJEM PLO 2 : Pixj: x + 5 > 7................. (función preposicional)
»
4) q A ^ r : se deduce de la P x y Pt mediante (M. R R) 5) ru r :8e obtiene al utilizar Simplificación en la P4 6) ~ s : se deduce de la Pa y Ps mediante (M. T. T. ) De esta manera , la derivación queda lógicamente justificada por los pasos efectuados, resultando su validez.
EJEM PLO 2 : Sea el razonamiento: «Si hay sol, entonces es verano o iremos a la playa . Hay sol pero no es verano. Por lo tanto , vamos a la playa ». :‘ • Para facilitar la demostración , es necesaria la formalización: p ¡ : p ^ (q V r) P2 : p A ~ q :.r * Ahora efectuamos la derivación: P ¡: p - + ( q V r ) P2 ; pA ~ qll r ‘ 3) p
EJEM PLO :
..................................................(2) x simplificación
4) qstr..................... (Vy(8) x M. P. P. 5) V Q ••••••••••••••................................ (2) x simplificación
3 x : p (x) 3 x ; x + 5 > 7 ...................... (jproposición lógica) para verificar que es una proposición lógica , podemos darnos cuenta que si x = 13, se cumple la desigualdad , ya hemos encontrado por lo menos un «X », que verifique P fx)t por lo tanto es una proposición lógica , cuyo valor es verdadero.
NEGACIÓN D E PROPOSICIONES QUE TIENEN CUANTIFICADORES * Sea la proposición: Vx; p (x )x/ * su negación será: ~ l^x : P[X)J ~ ^x :^ p(x) * de la misma forma, si tenemos la proposición : 3 x : P {x) * Su negación será : ~ .*P xj7 = Vx
EJEM PLO : I) 3 x ; x = 1 : [ 3 x ; x = 27 = V x ; x = 2 I I ) 3 x : «x» es un número par. ~ [3 x : x es un número impar ] = V x : «x» no es un número impar. I I I ) V x : x 2 > 0 ~ [V x : x 2 > OJ = 3 x : x 2 * 0
T E O R ÍA
DE
CO XJU XTO S
O B J E T IV O S :
6) r ............................................. (4)y(5)xS.D .
C U A N T IF IC A D O R E S i)CUANTIFICADOR U N IV E R S A L : Sea la función preposicional f (x sobre un conjunto A , el cuantificador V («para todo ) indica que todos los valores del conjunto A hacen que la función
•Establecer correctamente la noción de conjuntos , su determinación y su cardinal. •Utilizar adecuadamente la relación de pertenencia e inclusión y representar los conjuntos gráficamente.
[ A
f v
E l «s * |
•Distinguir las clases de conjuntos , así como los conjuntos especiales. •Realizar correctamente las operaciones de conjuntos. •Utilizar de manera eficaz las (leyes y propiedades del Álgebra de conjuntos.
IN T R O D U C C IÓ N Se inicia aquí el bloque dedicado a la Teoría de conjuntos , con el enunciado de los conceptos más elementales de dicha teoría: definición de conjunto, relaciones de pertenencia y de orden , operaciones entre conjuntos, etc... Se traca de lograr una cierta soltura en el manejo de estos conceptos elementales, su simbolismo y representación, puesto que constituyen la base de un gran número de conocimientos matemáticos. Cuando en el siglo XIX el análisis adquirió cierto auge , comenzó a ocuparse de problemas profundos y difíciles. Se sintió entonces necesitado de una base sistemática y cuidadosamente razonada en la que apoyarse. Estas necesidades del análisis son el origen de la moderna teoría de conjuntos , que Cantor desarrolló como una rama autónoma de las matemáticas. Sobre la base de estas ideas se abrió un nuevo capítulo del análisis, el de la llamada teoría de las funciones de variable real ; pero además , las ideas generales de la Teoría de conjuntos penetraron en todas las ramas de las matemáticas, dando lugar a una nueva etapa en el desarrollo de ésta.
N O CIÓ N D E CONJUNTO En matemáticas , se dice que un concepto es primario cuando no es posible definirlo utilizando otros más sencillos. A s í, si se tratase de definir el concepto de conjunto se diría que es una agrupación cualquiera de objetos, o una colección, o una reunión...; sin embargo, los términos agrupación , colección o reunión son conceptos del mismo nivel de dificultad que el de conjunto. Por ello se dice que el concepto de conjunto es un concepto primario. Forman un conjunto, por ejemplo
ÑCtCLOPEDIA 2012}
EJEM PLOS : • a es un elemento del conjunto formado por las letras vocales. •El pulgar es un elemento del conjunto de Los dedos de la mano derecha.
NOTACION D E UN CONJUNTO Por convención un conjunto es denotado con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas, números u otros símbolos, separados por punto y coma, además de agruparse a todas ellos mediante llaves.
EJEM PLO S: A = {T a ty ; Dany ; Eiyca ; Kaiyn } RELACMÓX D E PEfSTEXEXCMA ( 0 Cuando un elemento forma parte de un conjunto , se dice que pertenece( € ) al conjunto y , en caso contrario , que no pertenece ( g ). .p erten ece a .................. » : €
« ................n o p erten ece a ............ » ; £ • Esto quiere decir que dado un «integrante u elemento» y un conjunto Integrante u elemento
6
> Conjunto
♦ Si «x» es elemento del conjunto «A»: x G A. ♦ Si «x* no es elemento del conjunto « A » ; x ¿ A.
EJEM PLO : ♦ dado B = { 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 } entonces : 7eB 9gB 3eB O eB O B S E R V A C IÓ N : «La pertenencia sólo se da entre elem ento y conjunto». C A R D IN A L D E UN CO N JU N TO : Es el número de elementos diferentes que posee el conjunto considerado .
N O T A C IÓ N : ? Los libros de una biblioteca. • Los jugadores de un equipo de fútbol. Cada uno de Los objetos que forma parte de un ppiyunto se llama elemento de dicho conjunto.
n(A) : número de elementos diferentes de A A = {a ; e ; i ; o ; u } -*n (A) =5
P = {4 ; 4 ; 1 ; 1 ; 1 ; 0 ; 12 ;102} -*n(P) = 5 -
-
65 5
K m iim v N Ú M E R O O R D IN A L Z
Teniendo en cuenta una disposición de los elementos dentro del cox^junto del cual forma parte , cada uno determina su número ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido.Ord (x) : número ordinal de x * S = ( m ; n ; x ;q ) O r d (n )= 3 Ord (n) =2
DETER9DXACIÓN D E CONJUNTOS Un conjunto se dice que esta bien definido cuando se puede determinar , sin ningún error , cuales son los elementos que lo forman. Un conjunto puede determinarse de dos maneras: I ) P O R E X T E N S IÓ N (O E N F O R M A TABU LAR) Z Nombrando todos y cada uno de los elementos que lo forman. Para escribirlo, se encierran Los elementos entre llaves y separados por comas: EJEM PLO:
* A = {a ; e ; i ; o; u } y se lee «A es el coryunto formado por las letras a ; e ; i ; o ;u» * B = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10} Es evidente que el orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a el. De este modo en el conjunto. B = {2; 4; 6; 8; 10} = {10; 6; 8; 2; 4} No todos los conjuntos pueden ser determinados por extensión , entonces se recurre a otra forma de determinación. U ) P O R COM PREN SIÓN ( O E X FO R M A CONSTRUCTIVA) Nombrando una propiedad que cumplan todos los elementos del conjunto y solo ellos. EJEM PLO: El conjunto de las letras vocales esta Júen definido porque se puede decir sin error si un elemento pertenece o no a él. La propiedad letras vocales la cumplen unas determinadas letras y solo ellas. A la propiedad que define un conjunto se La llama propiedad característica del conjunto. El conjunto del ejemplo anterior, definido por comprensión, se escribe: V = {x/xes letra vocal} Y se lee: «V es el conjunto de los elementos x, tal que* es letra vocal». El símbolo / se lee: tal que Esquema: Slatch
i
(&e lee «tal que»)
A=
—\y nf(a da correspon d en cia o
form a gen era l
c M
elem en to
R estricción y/o ca ra cterística (p rop ied a d común/
y
EJEM PLOS: ♦ E l conjunto de «Las personas que viven en una ciudad H » se define por comprensión : A = {xjx = persona que vive en la ciudad H} Para definirlo por extensión sería necesario nombrar a todas las personas que viven en la ciudad H , una por una , lo cual , obviamente , es complicado. ♦ El conjunto formado por una pera , un bolígrafo y un canario , se define mejor por extensión: B = {pera ; bolígrafo ; canario} Pues para definirlo por comprensión sería necesario buscar una propiedad que cumplan los tres elementos y solo ellos. A veces un conjunto con muchos elementos se expresa por extensión citando solo alguno de ellos y sustituyendo al resto por puntos suspensivos (llamados elipsis) indicando que hay más elementos y que siguen la norma de Los anteriores. EJEM PLOS: ♦ E l conjunto de los números pares se puede expresar: P = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; ...} ♦ E l conjunto de los números impares menores que 100 se podría escribir así : / = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ... ; 9 7 ; 99}
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN CONJUNTO Para representar conjuntos generalmente se utilizan los diagramas de Venn. Los elementos se representan por puntos y alrededor de ellos se traza una línea cerrada. Los elementos que están dentro de la línea pertenecen al conjunto y los que están fuera no pertenecen al conjunto. EJEM PLO:
Otra forma , aunque menos usual, de representar conjuntos es por medio de un diagrama lineal. EJEM PLO: «A » es el conjunto de vocales abiertas «V » es el conjunto de vocales. « C » es el conjunto de consonantes. « L » es el conjunto de letras del alfabeto.
las las las las
ese I
CLASES D E CONJUNTOS CONJUNTO FINITO ! Un conjunto es finito (tiene fin) , si posee una cantidad limitada de elementos. Es decir t el proceso de contar sus diferentes elementos tendrá fin en algún instante . El conjunto V = {a ; e ; i ; o ; u } es finito. Al cardinal de un conjunto finito se le denomina NÚMERO NATURAL .
CONJUNTO INFINITO : Un conjunto es infinito (no tiene fin) si posee una cantidad ilimitada de elementos. Es decir, el proceso de contar sus diferentes elementos no tendrá fin. El conjunto de los números pares , el de números naturales , el de números enteros, el de números racionales, son todos conjuntos infinitos. Al cardinal de un conjunto infinito se le denomina NÚMERO TRANSFINTTO.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS OBLACION DE INCLUSIÓN(c) Un conjunto A en otro conjunto B cuando todo elemento de A es etemento de B. Se dice que A es subconjunto de B. Se representa: * A c íB , y se lee: «A es subconjunto de B » o «A esta contenido en B » o «A esta incluido en B » o «B contiene a A »:
xcjvijQ F E m A t o t a ]
vacio ,0 , es subconjunto de cualquier conjunto. EJEM PLOS : * El conjunto A= (xix es un paralelogramo} es un subconjunto del conjunto C = {cuadriláteros}, porque todos los paralelogramos son cuadriláteros: A c C - Sin embargo, C 0 A , porque hay cuadriláteros (Los trapecios , por ejemplo) que no son paralelogramos. * E L conjunto M= {xfx es una letra de la palabra *m a tem á tica » } está contenido en el conjunto E= {c ; i ; t ; a ; m ; e } 9porque todos los elementos de M pertenecen a E: M C.E. Además , también es cierto que E C M > puesto que todos los elementos de E son elementos de M. Se concluye entonces que E=M. En estos casos , en los que ambos conjuntos son iguales , se dice que son subconjunto» impropios. A los subconjuntos que no cumplen esto se denominan subconjuntos propios.
* El conjunto P = {1 ; 2; 4 ;8 } no es subcoiyunto del conjunto N = {0 ; 2; 4; 6 ; 8 } porque existe un ele mento , I , que pertenece a P y no pertenece a N: P0N. Y además N 0 P , porque 0 £ M pero 0 0 P y
6 G¿V pero 6 g P . Esta relación que se establece entre conjuntos se llama relación de inclusión. Si sólo uno de los conjuntos está incluido en el otro , se dice que son conjuntos comparables.
♦a d b «B » incluye a «A » «B » contiene a «A » «B » es Súper conjunto de «A » Simbólicamente , se expresa:
NOTA : A y C son comparables. M y E, así como P y N no son comparables.
ACB (V *€ A - + x e B ) Para representar que un conjunto no es subconjunto de otro , se utiliza el símbolo 0 H 0 D significa que H no es subconjunto de D . NOTA : Los símbolos c y í se u tilizan solo entre conjuntos, nunca entre un elemento y un conjunto. •G R A F I C A M E N T E :
Dos conjuntos, A y B , son iguales si tienen los mismos elementos ; es decir , si todos los elementos que pertenecen a A pertenecen también a B , y viceversa . Se escribe : A = B.
Se considera a todo conjunto incluido en si mismo. ’ ‘ Es decir:
A C A ; V A Conjunto] E l conjunto
IGUALDAD D E CONJUNTOS
Simbólicamente: A = B o (A (ZBa B c A) Esdecir: A = B 4 ^ [V x € A = > x € B A V z £ B = * z e A] Para expresar la no igualdad utiliza el símbolos entre ambos.
EJEM PLOS : • Loe conjuntos A = {1 ; 3; 5;7; 9 } y B = {1; 5; 3; 7; 9 } son iguales . E L orden de colocación no importa.
s * Los conjuntos A = { 1; 6;3; 9 } y B = {2; 3; 9 } no son iguales porque existe un elemento, 6, que pertenece a A y no pertenece a B : 6 ( = A y
CONJUNTO ESPECÍALES CONJUNTO VACÍO O CONJUNTO NVLO :
Es aquel conjunto que no tiene elementos. El conjunto vacío se representa por { } o por 4>.
:
WMbfgÍ4s4* f f
T e o ría
0>*f/w4
A, incluidos el mismo A y el conjunto vacío . Se representa por P(A ). EJEM PLO 1: Sea V = { a ; e } , Halle P(V) R E S O L U C IÓ N : •Para determinar P(V) hay que hallar todos Los subconjuntos de V : A = {a }
C
V, p u esto qu e a € V.
EJEM PLO :
£ = { e } c V , p u esto que e € V .
* El conjunto M de meses que en el año 2000 tuvieron solo 28 días es un conjunto vacío, porque 2000 fue un año bisiesto , luego : M = { } o M =
V = {a ; e } C V, p u esto q u e a €* V y e € V .
Se considera al conjunto vacío incluido en todo conjunto:
CONJUNTO UNITARIO O CONJUNTO SENGLETÓN
A
Es aquel conjunto que tienen un solo elemento . EJEM PLO : * El conjunto T de los satélites naturales de la Tie rra es un conjunto unitario porque solo tiene un elemento : la Luna . _ El cardinal de un conjunto unitario es uno. A sf, del conjunto T mencionado , n(T) =2 NOTA : A Los conjuntos que tienen solo dos elementos se llaman binarios . - ^
CONJUNTO UNIVERSALLi Se llama conjunto universal, o referential , o total al conjunto que contiene , como subconjuntos , a todos los conjuntos que intervienen en el contexto del problema que se esté tratando . Generalmente el conjunto universal se representa por la letra U.
EJEM PLO : Si se está trabajando con números , el conjunto universal será el conjunto de todos lo6 números . CONJUNTO D E C O N JU N TO S FAM ILIA D E CONJUNTOS :
O
Es aquel conjunto en el que todos sus elementos son a su vez conjuntos.
CONJUNTO P O T E N C IA O D E L A S PARTES DE UN CONJUNTO Dado un conjunto cualquiera A , se llama conjunto potencia de A o de las partes de A al conjunto que tiene como elementos a todos los subconjuntos de
6
P(V)t n o A
C
P(V •
•De igual modo :
P(V) tiene 4 elementos . Es decir: n[P(V)J = 4 . Si un conjunto , como V, tiene dos elementos, su conjunto potencia tiene 4 elementos. EJEM PLO 2 : Sea N = { a ; e ; i }. Halle P(N). R E S O L U C IÓ N : * Subconjunto impropios: R. •Subconjunto propio de cero elementos: ^ * Subconjuntos propios de un elemento: {a h {e h {th * Subconjuntos propios de dos elementos:
{ a ; e h { a ; i }, No hay más subconjuntos , pues de tres elementos sólo está N. * Luego : P(R)={ $;{a};{e};{i};{a;a};{a;i};{e;i}; N).
P(N) tiene 8 elementos . Es decir: n[P(N)] = 8 Si un conjunto, como N , tiene 3 elementos, su conjunto de partes tiene 8 elementos. EJEM PLO 3 : Sea R = {a ;e ; i ;o}. Halle P(R). R E S O L U C IÓ N : * Subconjunto impropios : R. * Subconjunto de cero elementos: 4»
I *98 II •Subconjuntos de un elemento: {a }, {e }9 { i } , {o }. •Subcoryuntos de dos elementos: {a ,*a}, {a ; i), {a ; o}, {e ; i } , {e ; o }, {« ; o }. • Subconjuntos de tres elementos: {a ; e ; í } f {a ; e ; o }, {a ; i ; o }, {e ; i*; o}. P(R)={ ^ ; (a ) ; {e} ; (¿} ; {o } ; {a ; e ] ; {a ; ¿} ; { a ; o } ; { e ; í } ; { e ; o } ; { í ; o } ; { a ; e ; ¿} ; {a ; e ; o } ; {a ; i ; o } ; {e ; i ; o } ; R }. R tiene 4 elementos y P(R) tiene 16 elementos.
NÚMERO B E E LEM EN TO S D E CONJUNTO P O T E N C IA
UN
Observando en los tres últimos ejemplos la relación entre el número de elementos del conjunto y el número de elementos de su conjunto potencia , se observa que: V tiene 2 elementos y P(V) tiene 4 = 2 * elementos.
N tiene 3 elementos y P(N) tiene 8 = 2Selementos.
NCICLOPEOiA 20 É¿]
A U B = {2 ; 2 ; 3 ; 4 ; a ; b ; c } * La unión de los conjuntos C ={1 ; 2 ; 3 ; 4 } y D = {2 ; 4 ; 6 }, es: C\JD = {2 ?2 ; 3 ; 4 ; 6} Los elementos comunes a ambos conjuntos no deben repetirse. B ) INTERSECCIÓN B E CONJUNTOS (fl): Dados dos conjuntos A y B , se llama intersección de A y B al conjunto formado por todos los elementos de A que pertenecen también a B . Es decir , al conjunto formado por los elementos comunes de A y B. El conjunto intersección se representa por A D B y se lee «A intersección B». Simbólicamente se expresa: A fl B = {xlx G A A x € B }
GRÁFICAMENTE:
R tiene 4 elementos y P(R) tiene 16 = 24 elementos.
EN GENERAL : si un conjunto A tiene ti elementos , el conjunto P(A) tendrá 2* elementos . Es decir:
n(P(A)J = 2*,A) Además el número de subconjuntos propios es : 2m,Ai-l
OPERACIONES CON CONJUNTOS i) UNIÓN D E CONJUNTOS (U) í Dados dos conjuntos A y B , se llama unión de A con B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A , a B o a ambo6. El conjunto unión de A y B se representa por A U B y se lee «A unión B»: Los elementos de A U B pertenecen al menos a uno de los dos'conjuntos. Simbólicamente se expresa: AUB = {xlx€Avx€B}. G e a f íc a h e x t e t
La parte sombreada representa al conjunto A U B .
EJEM PLOS : • Dados loe conjuntos A = {2 ;2 ;3 ;4} y B = {a ;b ; c }, la unión de ambos será:
La parte sombreada representa al conjunto A í l B -
EJEM PLOS : • Dados los conjuntos V = {a ; e ; o ; u } y P = {a ; b ; c ; d ; e } t la intersección de ambos será : VflP = {o ;e l •Dados los conjuntos R = { r ; o;m ; á ) yS ={s;t; í } , la intersección de ambos será: R f| S = { } = é E 8 el conjunto vacío porque no tienen algún elemento en común. Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen algún elemento en común. H I)B IF E R E N C IA D E CONJUNTOS í Dados dos conjuntos A y B , el conjunto diferencia entre A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B. Al conjunto diferencia entre A y B se le representa por A - B f y se lee «diferencia de A y B*. Simbólicamente se expresa : A — B = {xlx G A A x £ B } G R A F IC A M E N T E :
n r 7 iit o 6 '
650
La parte sombreada representa la diferencia A -B .
EJEM PLOS : * Dados los cor\juntos A - { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 0 ; 7} y B = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 } , la diferencia A - B será: A - B = { J ; 3 ; 5 ; 7 } f ya que estos elementos pertenecen a A y no pertenecen a B.
lA + f jÍ4S4* y
T fe o rto
C o n / im lo a ]
• Dados los conjuntos A = { a ; e ; ¿ ; o ; u } y B = { a ; 6 ; c ; d ; e}, entonces :
A A B = (i ; o ; u ; b ; c ;
d)
CONJUNTO COM PLEM ENTARIO Dados los conjuntos A y B , si B es un eubconjunto de A ( B e A) , a la diferencia A - B se la llama conjunto complementario de B respecto a A. En este caso , A - B se representa por f l j Gráficam ente:
* Dados los conjuntos A = B = { a ; b ; c ; d ; e }, A - B= B -A = {6 ; c;d} Gráficamente , sería :
EJEM PLO : A = {oca; carro; pato; piedra; gallina}? «i A - B = B ? = {corro; piedra} J? « {oca; pato; gallina}
IV ) D IF E R E N C IA S IM E T R IC A CONJUNTOS ( A ) :
DE 4
Dados los conjuntos A y B , el conjunto diferencia simétrica entre A y B es el conjunto fqrnjádo por todos los elementos que pertenecen solo a A , solo a B y , * no a ambos. i Al conjunto diferencia simétrica entre A y B se le representa por A ^ B , y se lee «diferencia simétrica de A y B». Simbólicamente se expresa: AAB = {xlx6(AUB)Ax£(AnB)} * G R A FIC A M E N T E : .
Cuando el conjunto que se toma como referencia para hacer la diferencia es el conjunto universal se llama simplemente conjunto complementario. U-D expresa el conjunto complementario de D y se puede representar por D , D , D c .
EJEM PLO : U ■*{1; 2; 3; 4; 0; 6} 7f 8:9} el conjunto universal Sea
{5f6;7;8;9}
A = {1 ;2 ;8 ;4 }
Aplicando la definición de complementario como la diferencia respecto al conjunto universal, se observa que: * El complementario del conjunto universal es el conjunto vacío.
Ue = U - U = {xfx€U A x £ u } =
La parte sombreada representa la diferencia simétrica A A B. D E L O S E JE M P L O S A N T E R IO R E S :
Dados los conjuntos A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} y B = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 } , la diferencia simétrica A A B será: A A B = { I ; 3 ; 5 ; 7 ; 8 } , ya que estos elementos pertenecen solo A , solo B y no a ambos. *
P R O P IE D A D E S D E L A S O PERACIO N ES
(Á L G E B R A
DE
C O N JU N T O S )
PROPIEDADES DE LA UNIÓNDE CONJUNTOS
CONM UTATIVA í Dados dos conjuntos cualesquiera A y B, siempre se cumpleque: A U B = B U A
I seo 1
[■A fv
NCMCLOFEOMA 2012)
ASOCIATIVA
IDEMPOTENCIA í
Dados tres conjuntos cualesquiera , siem pre se
La intersección de un conjunto cualquiera A consigo mismo es siempre el mismo conjunto A. A fl A = A
cumple q u e: ( A [ } B ) \ ) C = A \ } ( B [ } C )
ELEMENTO N E U T R O í La unión del conjunto vacío con cualquier otro conjunto A es igual a dicho conjunto A. AU
PROPIEDADES DE LA UNIÓN y LA INTERSECCIÓN D E CONJUNTOS DISTRIBUTIVA : Dados tres conjuntos cualesquiera A , B y C, siempre se cumple que : A f\ (B [)C ) = (Ar\B)\J(Ar\C) Esta es la propiedad distributiva de la intersección
ABSORBENTE S
respecto de la unión. A U (B fl C) = (A U B ) fl (A U C)
La unión del conjunto universal con cualquier otro conjunto A es igual al conjunto universal, como: A C (J -+ A u U = U u A = U
Esta es la propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección.
ID EM E O TEN CIA í
Gráficamente: * Distributiva de la intersección respecto de la unión.
La unión de un conjunto cualquiera , A , consigo mismo , es siempre el mismo conjunto, A. a s í: AU A = A
P R O P IE D A D E S INTERSECCIÓN
D E LA
D E CONJUNTOS
CONMUTATIVA i Dados dos conjuntos cualesquiera A y B, siempre se cumple qu e: A n B = B f l A
♦ D istribu tiva de la u n ión resp ecto de la intersección.
ASOCIATIVA : Dados tres conjuntos cualesquiera A, B y C, siempre se cumple que : (A f|B) fl C = A fl (B 0 C)
Gráficamen te:
AU(BC\C)
(A \ iB m (A V C )
SIMFLIFICATIVAS O DE ABSORCIÓN Dados dos conjuntos cualesquiera A y B, siempre se cumple que:
I) ( A U B ) f l A = A II) ( A f ) B ) U A = A
ELEMENTO NEUTRO í
Gráficamente:
La intersección del conjunto universal con cualquier otro conjunto A es igual a dicho conjunto A .Como : A c U - + A n U = UnA = A (Jes el elem ento n eu tro de la in tersección de conjuntos.
ABSORBENTE í La intersección del conjunto vacío con cualquier otro conjunto A es igual al conjunto vacío. Aí¡(¡> =
COMPLEMENTARIA í Dado un conjunto cualquiera A , Biempre se cumple
h it m
que: A u A ' = ( / Gráficamente:
N ip s
f g
l i f o
r i V
i
<
le
C
o
n
/
w
w
J o
» )
NÚM ERO D E E L E M E N T O S D E L CONJUNTO UNIÓN
A n A '= 0
Si A es un conjunto , el número de elementos de A se representa por n(A ).
EN GENERAL : u
LEYES DE M O RGAN :
si A y B son dos conjuntos cualesquiera : n(A U B ) = n(A ) + n (B ) - n (A f ) B) * Sean A , B y C tres conjuntos cualesquiera que se representan:
De las propiedades anteriores se pueden deducir las siguientes fórmulas que relacionan la unión , la intersección y la com plem entación de conjuntos. Estas se llaman leyes de Morgan y son dos: / ) (A U B )' = A f f ) B '
Gráficamente :
Utilizando como apoyo esta representación, se verá que: n (A )
zonas
n (B )
-> zonas
1
n ( C ) —►zonas
WUB/es la zona sombreada a t i b a s la zona más oscura II) ( A f ) B f = A*UB* Gráficamente:
4 4
2 3
.6-
% i 6í
6
6
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) — n(A D B) —n ( A n C ) - n ( B n C ) + n (A D B D C ) Veamos: n(A) + n(B) + n ( C ) o ( f ) + ® + (§) + @ + (g) +
(Af) Bf es la zona sombreada A ' U B* es todo la zona sombreada EJEM PLO: Sea U={2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 1 6 ; 18 ; 20} el conjunto universal, A = {x € ¿/ fx es múltiplo de 3} y B = {x £ (J ¡x e8 múltiplo de 4 }. Comprobar las leyes de Morgan con A y B. R E S O L U C IÓ N : A={6 ; 12 ; 18} y B = {4 ; 8 ; 12 ; 16; 20}. A’= {2 ; 4 ; 8 ; 10 ; 14 ; 16 ; 20) B= {2;6;10;14; 18} (A U B) =({6;12;18;4;8;16; 20})' = {2 ; 10 ; 14). (A U B )= {2 ; 10; 14} •Por tanto : (A U B f = A' fl B . (A U B) '= ({2 2 }) '= { 2 ; 4; 6 ; 8; 10 ; 14 ; 16 ; 18; 20}. A 'U f i' = { 2 ; 4 ; 8 ; 10 ; 14 ; 16 ; 2 0 ; 6 ; 18} ♦Portante: ( A l W ^ A ' U B ' -
zonas (j) y Q) n(A fl C) <> zonas (§) y @ n ( B f j C j o zonas (g) y @ n(A) + n(B) + n ( C ) - n(Af) B ) - n(Bf) C) o ® + ® + ® + ® + €> + © Al restar n(A f)B ) —n(A D C ) - n ( B D C ) se elimina la vez que se habían contado de más las zonas ( g , ( g , ( g . Sin embargo, se resta tres veces la zona
luego es necesario volverla a sumar.
La zona (¡) es A flB ílC » luego se ha de sumar
n(AnBf\C). Par tanto:
ti(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A D B) - n(A f) C) —n(BDC) + n(A D BÍ)C)
INTERPRETACIÓN DE L A S ZONAS D E LO S CONJUNTOS Veamos para dos conjuntos :
ÍV.ií^II 6 6 2 |
XCICLOPEIUA s o i s ) B
In terp reta ción
In terp reta ción
• P refieren A
• P refieren sólo A
•Gustan de A
• G ustan sólo d e A IV)
ni)
Interpretación •Prefieren A y B pero no C • Gustan d e A y B pero no C
VI) •Arfaren sólo uno de ello* •Gustan de un sólo producto
A
Interpretación • Prefieren sólo dos de ellos • Gustan sólo de 2 productos
VIII)
• Prefieren A y B •G ustan de ambo*
V) A
Interpretación •Prefieren los 3 productos •Gustan de A, B y C
Interpretación •Prefieren A o B • Les g u sta A o B
I)
II) ^
B
• P refieren A o B o C • G ustan de A o B o C
EJEM PLO 1 :
VEAM O S P A R A T R E S CONJUNTOS ^
In terp reta ción
A ^ ------- \
^
^
B
Se ha realizado una encuesta sobre la preferencia en el desayuno a 30 personas , de los cuales se obtuvo lo siguiente : • 15 de ellos les gusta solo leche en el desayuno. • De los que prefieren solo café , son en cantidad igual a los que no prefieren ni café , ni leche , de los cuales son 6 .
Interpretación
Interpretación
• Prefieren A
•Prefieren sólo A
• Gustan d e A
• Gustan sólo de A
IV)
I) ¿Cuántas personas les gusta para el desayuno café con leche? II) ¿Cuántas personas les gusta para el desayuno café o leche? III) ¿Cuántas personas les gusta en el desayuno, leche?
R E S O L U C IO N : ♦Veamos el esquem a , considerando tenemos dos conjuntos :
In terp reta ción •P refieren só lo uno d e ellos
Interpretación
• Gu$tan d e un sólo p rod u cto
• Gustan de A y B
y >
Interpretación • Prefieren A y B pero no C • Gustan d e A y B p e r o no C
que solo
m
• Prefieren A y B
♦como todas las zon as deben sum ar nuestro universo (30), entonces: B 1 5 + x + 6 + 6 = 30 - > * = 3 ♦Respondiendo a las preguntas : I) Las personas que prefieren café con leche para el desayuno son : x = 3 II) Las personas que prefieren café o leche para el Interpretación desayuno son : 15 + * + 6 = 24 • Prefieren sólo dos de ellos III) Las personas que prefieren para el desayuno •Gustan sólo de 2 productos leche son : 15 + x = 18
n f^ iis 9 o 8
W
L
8
f f
W
T
c
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r t V
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C
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f iio
w
]
EJEM PLO 2 : Un empresa de cosméticos ha lanzado al mercado dos productos A y f i . De los cuales pasado un mes , ha contratado una empresa encuestadora para determinar la preferencia sobre sus productos A yB. Se selecciona a 100 personas entre señoritas y señoras para dar su preferencia sobre los productos m encionados , ob ten ién d ose los sigu ien tes resultados :
•Los que prefieren solo A son 50 EJEM PLO 4 : Se ha hecho una encuesta a un grupo de 48 jóvenes sobre sus preferencias respecto a tres deportes : fú tb ol, baloncesto y tenis. Los resultados han sido:
• 60 de ellos prefieren el producto A • 50 de ellos gustan del producto B • Ademas 20 prefieren sólo el producto A ¿cuál de los productos tuvo más im pacto en las damas y cuántas de ellas no prefieren ninguno de los productos lanzados al mercado ? R E S O L U C IO N :
a 24 les gusta el fútbol, a 20 el baloncesto y a 16 el tenis . De ellos , a 12 les gusta el fú tbol y el baloncesto , a 9 el baloncesto y el tenis , a 11 el fútbol y el tenis y a 7 los tres deportes . Calcule : /) el número de jóvenes a los que les gusta al menos uno de los tres deportes y el de los que no les gusta ninguno. II) El número de jóvenes a los que les gusta un sólo deporte. / / / ) El núm ero de jóvenes a los que les gusta exactamente 2 de los deportes.
•El producto que tuvo más impacto en las damas esA. •De las que no prefieren ninguno de estos productos son 30 . *
EJEM PLO 3 :
>-
**- ; 1
*
De un grupo de 200 personas , se ,lée ha preguntado sobre la p referen cia sobre" d os m edios de comunicación A y B .1 3 0 prefieren Á , 150 prefieren el medio B , además 120 prefieren sólo uno de ellos. ¿Cuántos prefieren sólo A?, sabiendo que de las 200 personas al menos uno de ellos prefiere un medio de comunicación . «
R E S O L U C IÓ N :
n (F n B H T ) = 7 - ;
n (F [\ B ) = 12
n (B H T ) = 9
n (F f]T ) = l l
;
•Este último dato eB importante t significa que no hay personas que no les gusta ninguno de los medios A o B , es decir: (A U B )' =
•Lo cual se muestra en el gráfico ; a continuación
•pero ; x + y + z = 2 0 0 =3- y = 80 •de lo que se puede observar en el gráfico.
•Respondiendo a las preguntas : I) Notar que al preguntamos al menos uno de los 3
[ a j.c jü j» w
a
BEBI e e *
|1B1
^^^SST
in t
U n ió n
ÁLGEBRA DE BOOLE
Conm utativa A[)B=B[)A Asociativa Elem entoNeutro Absorbente
sed á n
Af](BOC)^(Af]BmC
A U íB U C ;= (A U B )U C A U ts+ U A sA
A n iN u n A ^ A
A U IN U U A
An=
h
U
AH A
Distributiva A[)(Bf]C) =(AO B)(](A\JC)
s
A
A n (flu cj= (A n B ju (A n c;
(A(]B)\JA=A
absorción (A[)B)(]ASA
LEYES DE
e r
AVlB^BOA
Idem potente A[)A=A
Com plem entaria
xcmcm. o p e i u a s o i s ]
A flA 'M
AUA' = U
(A\JBy=A'(]B'
(A(]B)'=A'\JB'
MORGAN deportes , puede ser que les guste un deporte o les guste 2 deportes e inclusive los 3 deportes , es por eso que nos están pidiendo n(A\JB\JC) = 35 » de los que no les gusta ninguno son 13 . W A los que les gusta un solo deporte son 8 + 6 + 3 = 77 III) A los jóvenes que les gusta exactamente 2 de los deportes s o n : 4 + 5 + 2 = 11
EJEM PLO 1 : De un grupo de 1 0 0 personas entre hom bres y m ujeres , se n o tó en c ie r to in sta n te q u e 2 0 hom bres están bailando y 3 0 m ujeres no bailan , además de las m ujeres qu e bailan algunas bailan Bolas. D eterm ine cuántos caballeros asistieron a la reunión , si de las m ujeres que bailan son en cantidad igual a los hom bres qu e bailan.
R E S O L U C IÓ N : H
M
(D
i ) B ailan ñ N o b a ila n
n
•Notemos que significa cada una de las zonas ahí descritas : La zona (j) significa , Hombres que bailan. La zona (§) significa , Mujeres que bailan. La zona
significa , Hombres que no bailan
La zona
significa, Mujeres que no bailan.
•Reemplazando los datos del problema tenemos: H
M
20
X
X
30
B a ila n N o b a ila n
•como asistieron 100 personas , entonces 2 0 + x + x + 30 = 100 -» x = 25 •por lo tanto los hombres qu e 2 0 + x = 45
asistieron son
;
EJEM PLO 2 : De un aula de clase de los cuales los alumnos perte necen a las carreras de física o matemáticas , se ha notado lo siguiente : Los varones exceden en 4 a las señoritas; en la carrera de matemáticas los varo nes exceden en 5 a las señoritas. Sabiendo que hay 10 señoritas que estudian física, y 22 varones en total. ¿Cuántos alumnos hay en el aula de clase?
R E S O L U C IÓ N : H (2 2 )
M (1 8 )
15
10
M a tem á tica s
7
8
F ísica
•Del dato, se tiene 2 2 varones en total y com o ellos exceden en 4 a las señoritas, entonces hay 18 señoritas, tam bién en m atem áticas los varones exceden en 5 a las señoritas y com o hay 10 señoritas, esto implica que hay 15 varones . Por lo tanto el n ú m e ro de a lu m n o s en la cla se será : 15+7+10+8=40
'WK& R fY If.V O .S
|B
aas
t ú c i r .1 r
tjeor L x
D£ r o v jiw o .v ]
= [pV(p A ~ q ) ] v ( P v ( p A q ) ) - f p = [p]v[(pV 9 )-^ p ] pA* PROBLEM A 1:
* Pues: p v f p A ^ 9 ) * p
tJsando las leyes lógicas sim plificar la siguiente fórmula lógica: ~
A jp
B )q
(P “ > 9 ) C jpA qf
= p v [/v (p ^ q )v p ]= p v [(/v p v ~ q ) v p ] = p v [ V v ~ q ] ; pues ~ p v p = V = p v [ V ] = V
(9 - > p ) D )p V q
RPTA ; "C ”
E )p + + q
R E S O L U C IÓ N :
PROBLEM A
* Recuerde que: P o q * ( ~ p V q ) A ( p v A/^r)a/v p • Luego:
Usando las leyes lógicas sim plificar la siguiente fórmula lógica:
q
9 + ^
p
4:
p -> /v 9 ) ] v ( p - » ~ q f )
) a ^v
~ (P -> 9) ++~ (9 -> P) = (P -»• 9)«+ (9 -+ P)
A )p a q B )p v q C) ~ ( p a q> D) ~ p v q R )p v ~ q
= (~ p V q )+ + (~ q V p )
R E S O L U C IÓ N :
= |^ ( ^ p V q ) v ( ' v g V p)] a [(^ p V q ) v ~ ( ~ g V p)]
* Lo equivalente, será:
= [(pA ~ q) V (~ q V p)] A [(~ pVqfjV(qA ~ p)] =
= [ ( P -> 9 ) A ~ ( 9 -> p ) ]
~ < f ) V ~ q } V p ] a [ ~ p V {q V(qA ~ p)}]
V
9)
(p
s [ ( ^ P v q) a ~ ( ~ q v p ) ] v ( ~ p v ~ q )
= [(~ 9 ) V p ] A [ ( ~ p )V q ]
a [(^ p v q )A (q
= (9 -+ P) A (p -+ q) = p <->•q
e
RPTA: “E ”
p>] v ( ~ p v
V
/V
q)
[ ( ~ p A q ) v ( ~ p v ~ q)]
- [ ( ~ p A 9 ) V 'v p ] v ( ~ q)
PROBLEM A 2:
9 ) s /v p V /v
S |aj p ] v
s /v ( p A q )
Expresar la siguiente proposición: (p a q) v (r v s) en otra equivalente donde se use los conectivos: "~ "y
PROBLEM A
A)(p
Usando las leyes lógicas sim plificar la siguiente
q) -+ (r
«)
B )(~ p -+ q) -+ (~ r -+ s)
C)(p -+ ~ q) —>(r —f *)
2>)(p
q)—► r -+ s)
E )[~ p -+ q) -+ (r -+ s)
* Se tiene: q ) v (r v s )
(~ p v A /q f)v(rv «) s ^/v p v ~ q ) -+ ( r v a) E (P
9)
( ~ r “ > «) RPTA : “ D ”
PROBLEM A 3: Al simplifcar la siguiente proposición compuesta: [^ /p -> ^ {p -> q )]v [[p A (p -+ q )-> p]] se obtiene: A)p
B )q
fórmula lógica: (p
q) A [(q -+ ~ p ) V (q —
r)]
R E S O L U C IÓ N :
* Teniendo en cuenta que: p —►q = ~ p V q a
5:
A ) p A q B ) ' ^ p v ~ q C) p v ^ r D ) q v r E) ^ qv ~ r
R E S O L U C IÓ N :
(p
RPTA; “C "
C) V
D )F
E )~ q
R E S O L U C IÓ N : * Lo equivalente, será: s I p v ? ) ] v [ ( p a ( v , , í q\\-+ p ] [~ p -» (p A ~ 9)]v[((p
a
~ p ) v (p
a
qr)) - » p j
* Lo equivalente será: s p v 9) a [(~ 9 v ~ p ) v (~ 9 v ~ r ) ] * Como: m 3
p
a
v ~
[m v n ] « m , se tiene: q)
a [(~
p
v ~
q) v
(~
q v
r )]
~
= (/v p V ' v q ) R P T A ; “B "
PROBLEM A
6:
Usando las leyes lógicas sim plificar la siguiente fórmula lógica: | [ ~ P a ( 9 v ~ r ) ¿ [ ( 9 A (V p j V /v ( p V r ) ] ] }
/U V B>P Cj p R E S O L U C IÓ N : * Lo equivalente, será: B / v |^/v
D jq
p ^ ^ V 'V r ) ] A [ ~ p
a
E)r
9] v (~ p
a
~
r )}
Ie s e
I
w q o P B U M a o ia l B ~ |([~ p ] A g ) v ( ~ p v ~ 9 )J
{ [ ~ P a (g V 'V r ) ] A [ ~ P A ( ^ v ~ r ) ] } {mAm| ■ ~ { F } m V
* Pues: (q V ~ p )A /V p R P T A : “ A 99
PROBLEM A
{[(~
7: mrsj
Usando las leyes lógicas sim plificar la siguiente fórmula lógica: {[CP Aq) v p ] A )p
a
[(pAq) v (p +> qj]} v [(p v ~ q ) A (p v qj]
B )q
C )p A q
B jp V q
É )~ p
* Lo equivalente, será:
p A 9) V
p) A ~
p j v ' v ^f|
q) - p
q
a
R P T A : “A " P R O B L E M A IO : Si # es un operador lógico definido por: p#q
R E S O L U C IÓ N :
p
a
|p V ( ( r -> p )
a
p)J A {q
(p
a
p )}
Entonces p # q es equivalente a:
{ [ p ] A [ ( p * 9 ) ] v ( p <-»
9) }
p v
v
q
a
q)
A )p
B )q
C jp A q
B j~ p
E )^ q
R E S O L U C IÓ N : * Dado que: ■ (p a [(p a« ) v (p * * « )]}v p * p
p # 9 = { p v ( ( r -* p )
a
p )} A ?
a
(p
o
~ p)
* Pues: ( m A n j v m i m
RPTA ; “A 99 PROBLEM A
8:
-> p # q r = { p v ( ( ~ r v
Al simplificar la siguiente proposición compuesta: [ p *+ (? v ~ r ) ] se obtiene: AJp B jq
A
{ [ p -> (q A ~ r ) ] C )r
D )V
[p
- » p # q = { p v ( p ) } A F = p A F -> p # q = p
(q -> r ) ] }
RPTA ; “A ”
PROBLEM A 11:
p $ q = (p v q )
( ~ q v r)
{ ~ ( p ++ q ) v ( p
a
o
q )} en entonces
al simplificar la sig u ien te fórmula lógica:
(qror)
{[(p V 9 ) t (p
r )]
(9
) a p )jA F
Si í €6 un conectivo lógico definido mediante:
Srsj p V a
a
E )F
R E S O L U C IÓ N : * Nótese que: p - > ( q A ~ r) = p —
sp —
[p
a
p
Aj p
* Luego lo equivalente a la expresión dada será: 1 P A(q r) [P a (9 —►r )] [p**Í9 )]
a
q
A
q)]
9 } A (q A ( p v q)) se obtiene:
Bjp v q
Cj p
B j p -» q
R E S O L U C IÓ N : * Como : p J q = ( p v q ) A { ry* ( p
9) V (p o 9)}
V •Entonces : p í q a p v q
■ [ p «-> ( q v ~
í* ) ] a
{~
í a í
) ■ [
]
a
F=F
•Luego: { [ ( p v q) $ ( p A g ) ] £ ~ qr} * ( q
R P T A : “ E 99 PROBLEM A 9: Al simplificar la siguiente proposición compuesta: {[(~ Q
p) a ~
obtiene: A) p A q
p
q )]
v (p
q )J
se
A
( p vqr))
q )] v ~ qr} A q a {(p v q ) v ~ q } A q
p v (q v ~ q) A q « { p v V } A q * p A q RPTA : " A ”
C )~(pA q)
B jp v q
B j^ p v q
R E S O L U C IÓ N : * Lo equivalente, será: p) A ■ AJ
= { [ ( p v q) v ( p
a
~ (p
p
)
a
12:
Se definen los operadores ló g ico s 9 ) ] v ( ~ p v ~ qr)}
V ^ P )V (~ P A ? )]V (~ P
■ | [(q v ~
PROBLEM A
~ p ]A q jv (~ p
V ~ q ,)}
v ~ q )}
mediante: p .q = r ^ p entonces
q
simplifcar
"♦"y” © "
p 0 q = rv^pv\q la
( ( ~ 9 ) 0 P ) * ( ( rsj P ) O ( q ) )
fórmula
se obtiene:
lóg ica :
MtJttWÑDN
I B
D )p v q A )p B )q C )p a q R E S O L U C IÓ N : * De: p ♦q p 4^v q = q — p Q q e~ p
a
g «y u sa
R E S O L U C IÓ N :
E )V
♦ Como: (p a ~ q ) -4 (r -4 t) es F ♦ Entonces: p A ~ g e s V y r -4 £ es F ♦ Luego: p e s \ í g e s F ; r e s V y f e s F
g
* Luego:
I) (r o t) v ~ r = f V o F j v F s (F) v F = F
((~ g) © p ) * ((~ p )
s (g
a
0g )s
[~ (~ g) a p ] *[~ (~ p ) a
9]
p ) * ( p a g ) a (p a 9) -> (g a p )
s ~ (p a g ) v ( g a p) s p v [ X g v (g a p ) j
srsj p v [~
L ó c ic i r Treomti p e r o v jf ^VTos]
g
pv
= [(V )* (V )]v V = V III) ( ^ p -> r>v ~ t = (F -> V )v V = (V )v V mV
g ) v (g a p )
RPTA : “ D ”
q v g) a (~ q v p )
p v
v p ]s~ p v(p v
/ / j [ (r <4 p ) a ( / v r ) ] v ( ~ f ) s [(v <4 v>a (FvV)v(V)\
PROBLEM A 15: Si p , q ,r , a, t , u , v , y w son proposiciones lógicas
g)
S^ p v p ) v ~ g s V v ~ g s V RPTA : “ E ” PROBLEM A 13: Dada la siguiente
fó rm u la
ló g ica :
S: (r -4 p ) + 4 ( ~ q - 4 r) indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I) S ip y q son verdaderas, para que S sea verdadera el valor de verdad de r siempre es F. II)Si r es falsa y S es falsa, entonces q es F. III) Si r es verdadera y P es falsa, entonces S es V. A ) F W B)FVF C) W F D )FFV E)FFF R E S O L U C IÓ N : * De: S: (r -> p j o ( ~ g - > r ) I) p es V y q es V S s ( r -4 V ) o ( F -4 r ) -+ S » (V) <4 (V )= V _» S siem pre es V, para cualqu ier valor de r ............................................................. (FALSA) II) r es F y S es F, se tiene:
tal que: p -4 (q -4 r ) es falsa, q +4 (p -> t) es falsa, indicar el v a lo r de verd a d de las sigu ien tes proposiciones: I) ~ £ a (r -4 iv) I I )q w ( ~ r < - > u ) I I I )t -4 (sAr) A) V W B) W F C) VFV D) F W E)FFF R E S O L U C IÓ N : ♦ Como: p -> (q -4 r) es F ♦ Entonces: p es V y q —►r es F ♦ Luego: p es V; q es V y r es F q <-> (p -> t) es F ♦ De donde: p -> t e s F y como p es V entonces t es F. ♦ Ahora: I ) ~ t A ( r ^ i v ) = V A ( F - + w ) = V a (V) = V II) q v ( ' v r o u ) s V v ( ~ r + > u J s V III) t -4 (sAr) rn F -4 fsAr) = V RPTA : 44A " P R OBLEM A 16: Si p , q f x , z , y, t son proposiciones lógicas tal qué cumplen las condiciones:
♦ Entonces ~ g = V - > F ® F
p h q es verdadera, - x -4 y es verdadera; indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: V * — p v ^ q II) p <4 q 111)( fy X A <'■'*' y7 “4 i
♦Entonces ~ g * V; q es F ............. (VERDADERO) IB) r esV y p es F, se tiene:
A) V W B)FFF C) W F R E S O L U C IÓ N :
(F -4 p ) <4
g -4 F )= F (V ) <4 (
S m(V -> F ) o ( rv q —^ V )
♦ Como: p A g es V,
.
-> S = (F7 <4 (V 7=F..................................... (FALSA) R PT A ; “B ” PROBLEM A 14: Si la siguiente proposición: ( p A ~ q ) -4 ( r -4 t ) es falsa, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) ( r +> t ) v csj y* I I )[(r + > p ) A ( t v r ) ] v ( ~ t ) III) ( rv p - 4 r j v A ) W V B) W F C) VFV D ) F W
a
D )FFV
E)FVF
~ x -> y es V
L uego: p y q tienen valores op u estos: ~ x - > y ^ x v y es V ♦ Ahora: I) z -4 ~ p v ~ g pues uno de ellos es V * * VaV v II) p <4 ~ q es V ♦ Pues p y ~ q tienen el mismo valor III) XA ~ y ) t (x v y ) - 4 1 = ^ (V) -4 £=F £= V
E)FVF .
RPTA ; “ A”
~
ftffijl 6 6 3 iFfig j
PROBLEM A 17: Si p, q, rf 8, t , w son proposiciones lógicas tales que (p -* ~ r) +> (a -> w) es verdadera y ( ~ w 9) es falsa. Entonces determinar el valor de verdad de tas siguientes proposiciones: I)~ p -* (q < f> t)
I I )(r
' *~!S!^ Z T R p C iC L 0 r * :B lA 2 0 1 * }
PROBLEM A 19: Si la proposición (p / \ q )-+ a -+ r j es falsa, entonces determ inar el valor dé verdad de las siguientes proposiciones: ? I)
s ) -+ (q v t)
[~ p - > ( ~ q - > W ] v [ p - > ^ 9 ASj] « } a { iv 0 a r j
U l)(io -+ q ) <+ (p v ~ t) A) W F B) F W C) W V R E S O L U C IÓ N : * Como: ~ w
D) FVF
E )VFV
(p
A
gj
AjVFF BJVVF C )F W R E S O L U C IÓ N :
8 es falsa
* Entonces: w es falso a s es verdadera * Además: (p r) <+ (s <+ 10) es verdadera * Luego como: s -> w es falso
* Como: fp a q ) ->
* Entonces: (p a q ) es verdadero y f ^ « _►r) es falsa * De donde: p es V; q es V; a es F; r es F
/)
p— > q— >r ) ] v [ p - > ( ~ 9 A « ) ] F -►
) es verd a d ero
fV j v f j e s verd a d ero
ID {[9 v ( s -> í ) ] -> wj a { v 3 a r j Va
( ) ) es verd a d ero
I I I ) ( p -> q )
++
g)
»■
■».■■■■■>
V++F
V
V
F
F es fa ls o
a
(p
a
U I){w -> g ) <-> ( p v ~ f ) F
E)FFF
s -> r ) es falsa
J T j ( r - * ~ a ) - + ( g v # ) V -+ F F -> (
D)FVF
* Ahora:
* Entonces: (p -» ~ r) es falso * De donde: p es V y r es V * Ahora: I ) ~ p - * ( q < * t) F -> (
III) (p -+ q )
f j
V es verd a d ero
a
F es /a ¿so R P T A ; “A ”
RPTA : “ C ” PROBLEM A 18:
PROBLEM A 20:
Si la proposición: (r v a) -> [(p a ~ a) -> fpA /N-* 9^1
Si la p ro p o sició n : f ~ p - » r j - » p es falsa, determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Jj f ~ p a r j r a (p - » rj]
ée falsa, entonces determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: > ■ I) (pA ~ q ) < + r
ü j g A f ~ p v ~ a)
14
|V
U )p \ (p v s )^ r ]-* r
J U j[~ p -> r ] v ~ a
& V W B) VFV CJVFF R E S O L U C IÓ N : * Como: ( r v a)
U I) ~+ [(r
D )FFV EJFVF
[(pA ~ a) -> (pA ~ g j] es F
p jA ~ r4]
A) VFV B ) F W C)FFF R E S O L U C IÓ N : * Como:
* Entonces: r V $ es verdadera y (p * De donde: p
a
a
~ a) -* es falsa
~ a es verdadera y p
a
~
q
es falsa
* Por lo que: p e s l í g e s V ' s e s F í r e s V I) ( p
a
r
W q V
a a
( ~ p v ~ a)
* Entonces:
(V) ea fa lso
p —» r j es verdadera y p es falsa.
* Como: y P V
V a
V
UI) [ ~ p -> r ] v ~ s (
p -+ r j -> p es falsa
* Luego: 2j f ^ p a r j
F + + V ea fa lso
D) VFF
r entonces r es verdadera V
—>
V
[-r
a (p ->
r j] es fa lsa
F a V
-►
F
H ) p -> \(r -+ ~ p jA ~ r ] F -> (
) v V es verd a d ero
III)[(p v a )-* ~ r ]-> r RPTA: “ D”
(
) es verd a d era
) -* V es verd ad era RPTA : “ B *
I B T fían Aflija PROBLEM A 21: Si la proposición: “ No es cierto que , estudiemos y no aprobemos” es verd a d era , entonces podemos afirmar: A) Aprobamos y no estudiamos B) Estudiamos o aprobamos C) Estudiamos o no aprobamos D) Aprobamos o no estudiamos E) Estudiamos y aprobamos R E S O L U C IÓ N : * Sea: p: estudiemos q : aprobemos, entonces; “ No es cierto que, estudiemos y no a p r o b e m o s ’ * (p A ~ q) es verdadera * Entonces: ~ p v ~
q)
es verdadera
PROBLEM A 23: Si O es un operador lógico definido mediante la siguiente tabla: p q p O q
Entonces [p O (
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
al
sim p lifica r
B) V
•De:
la
proposición:
C jp
D) q
E) p A q
p
~
q
O
(q
F V
V
F
F
-> (V)
V
F
F
F
(V)
F
V
V
V
(F)
F
F
F
F
(V)
q
Se nota que: p D q
F , si f (x) es im p a r
Luego: [ p O ( ~ p O q )\ D q = [ p O ( q A p )]O q
f(-2l] } -* [ f f4)A
A
v (~ p
A
=
q)
[(q
a
m [qr a
p )a
(q^ p ) = q
p)
V , si f (x) es p a r
Entonces al simplificar la siguiente proposición: V
V
p O q ) O q ] , se obtiene:
A )F
definida por f (x)= 2 x 2+ 3 x tal que:
{{[/w
V
R E S O L U C IÓ N :
* E ntonces: q v ~ p es verdadera, es decir: “ aprobamos o no estudiamos” . RPTA: “D ” PROBLEM A 22: Si x es un núm ero entero y f es una expresión
f(x )-
t é c i r - i r r r o i f / A p jg r o . v j i ^ t o ? )
p ]O q
~
(F)]D
s
[q
a
FDq a (
~
m
(pA
p
a
p )]O q
~
F) = q aV
=
q
Se obtiene: A) p
B )~ p
C)V
RPTA : “ D ”
D) F PROBLEM A 24:
R E S O L U C IÓ N : •Para x e Z : f (x)= 2 x 2+ 3 x f (xi= (x) (2 x + 3 )x 2 x + 3 es impar p a r , si x es p a r f(x i~
a
como
Si * es un operador lógico definido mediante la tabla adjunta tal que (s*t)*(t*s) es verdadero:
p v
im p a r, si* x es im p a r
• Por lo que:
V
V, si x es p a r f(x )-
• Luego:
A f(2)~\
V vF
Entonces:
F F
F, si x es im p a r ^
[f(2 ) v
F
a V
F
b
V
A
f(4)
A
f(3)
V
A
F =V
q v F V
.
F
V
F
Entonces la proposición: ~ ( s * t ) > es: A) Verdadera
V
F F
B) Falsa C) s
D )s A t
E)t
R E S O L U C IÓ N : * Análogamente al problema anterior: p +q (q p) = q a ~ p • Luego: (s * t ) * (t*s) m (t A / v s j V í A ' v í j =
[y
V}
v ( ~ p vq)
(s
A
' v
t)A
(t
s SA [ ~ t A ( ^ t
A
FV/
8) = (8
V
t ) A ( / V t v s)
(^ t)
( s -> t ) es V
• Entonces: s -> t es F (verdadero) RPTA : “ C ”
* Luego: S es V y t es F A / ( s * t ) B/v ( t A 8)
t v 8=
t
—> s es V
c ic iA ,n ;in .\ 2 0 1 2 )
ld z » 3
•Se nota que: p * q s ~ ( p v q ) s ~ p * ~ q
* Finalmente: ~ (s • t) es V R P T A ; “A " PROBLEM A 25: Se define el operador lógico #» según la siguiente tabla de verdad: p q q # p v v F v F V F V F F F F Entonces al simplificar la siguiente fórmula lógica; ( p # q ) # \ ( ~ q v p ) # ( p - * q ) \ se obtiene A )p-+q
B )V
C)F
D) ~ p
q
q
ap
t e
V Ay f a/ p
t e
A
g M
[ ^
9
A
~
^
V
P )
p
A
) A
t e
( < v p v
p
Con respecto al conjunto: B = { l ; 2 ; 0 ; ¿ ; { 0 } } se definen las siguientes proposiciones: I)2 e B
/V ;{ { 0 } } c B
II){4}
V )# cB
VI1){4) 6 B VIU ){0;{0]}eB
V I){{l};2;0}
* Tenga en cuenta que: x e A «-» { * }
J ) 2 e B . ........................................................ (VERDADERA)
9>]
p A
PROBLEM A 27:
* Para: B = { l ; 2 ; 0 ; + ; { 0 } }
(p 44q) # [ ( ~ q v p ) 4 t(p -> q )] «
■
■AT ( p * q ) BA/ |a> ( p v q ) ] m p v q RPTA : “ B ”
Entonces el número de proposiciones verdaderas es: A) 3 B) 4 C) 5 D6 E)7 R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
pA
•Luego: ( p * q ) * ( q * p ) m ( p * q ) * ( p * q )
III) {1} e B
E )qvp
• De la tabla de verdad se nota que: (q#p) ( p ^ q ) 9 a/ p y / q ) m pA ~ * Luego:
* También nótese que: p * q m q * p / s , r * r m ~ r
I I ) 4 e B -+ {#} c B ................................ (VERDADERA)
9>]
III)1 e B -* {2} c B -+ {1} * B.---------- ...(VERDADERA)
v
I V ) ( O j e B ^ { { 0 } } c B ............................... (VERDADERA)
( p v A/
V) 4 c B , V conjunto B ........................... (VERDADERA)
9 a p A t e p vq)}
V 7 ) { { 2 } ; 2 ; 0 } \ B p u e s { 2 } X B .............. (FALSA)
(p v
A/ q > A ( q
íp v
A/
a
VII) 4 e B , p ero {4 } V B
A/ P >
q M AT f p V
m
a
~ m mF RPTA : “ C
.«(FALSA)
V ffl) O e B a {0 } g B - > { 0 ;{ 0 } } C B 99
* Entonces hay 5 verdaderas RPTA : “ C ”
PROBLEM A 26: Si * es un operador lógico definido mediante la siguente tabla de verdad: P V
Entonces
al
9 V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
simplificar
a
[4
g
A
a
{a }
e
A]
9- [{# } c A a { { 4 } } c A a ( a } c A ] la
proposición:
p A 'v q
r; { { a } } c A a [ a e { a } a { a } e { { a } } ] AJ V W B) VFV C)FFF R E S O L U C IÓ N :
D )W F
* De lo dado:
R E S O L U C IÓ N : 9 P * 9 ~ (p F V F F F F F V F V V F
Si A es un conjunto definido por A = { a ; 4 ; {¿ } » { a } } »
p: 4 c A
A ) ~ p A q B)p V q C)p A q D)pA -y q E) p V V F F
PROBLEM A 28: entonces indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
( p * q ) * ( q * p ) t se obtiene:
♦De:
(FALSA;
v q) (V) (V) (V) (F)
1)4 c A a J ^ e A a { a } e A
v
a
rv
♦ Luego, p es verdadera.
a
V)
E)VFF
(kmPMUMiPxrr:# MTrtwSms
« 7 i || ^
L é « fr ..i r T O o it¿ i i >je m v j m r o j s )
♦Ahora: B = { a e A / 3 * e II)
a = 6 2}
{o} c A
{#} c A a {{4 }} C A
* Es decir a e A l a es cuadrado perfecto -> B = [ 0 ; 1}
( V a V)
* Como B c A + B - A = ^ , entonces: * Pues / g A , { / }
g
A, a e A
( A - B ) u ( B - A ) = ( A - B ) u ¿= A - B = { - 2 ;- 2 ; 2}
* Luego, g es verdadera
III) { { a } } c A
* Luego la suma es: - 2 - 2 + 2 = - 2 RPTA : “A ”
a
a e {a } a { a j e {{a }}
PROBLEM A 31:
* Pues, { a } g A evidente
Sean A, B y C subconjuntos no vacíos de un universo U. Determine el valor de verdad de cada una de las afirmaciones siguientes:
* Luego, r es verdadero
7) Si A r* C = B n C, entonces A = B
V) = V
(V
R P T A : “A
99
PROBLEM A 29: Sean A y B
dos
II) Si A = B , entonces A n C = B n C III) Si A c ( A a u B ) , entonces A c ( B u C )
con ju n tos
definidos
por
A) V W
B)VFV
O F FV
D )F W
A = { { B } ; # ; { # } } y B = { { A } ; W ; A j . Con respecto
R E S O L U C IÓ N :
á los conjuntos A y B se definen las siguientes afirmaciones: I)fe(A n B ) «{{B jjcA III) j e B
I) Si A n C = B n C - » (noim plicaJA =B
IV)A e { A ; { B } }
C = { 3 ; 4 ; 5 } -* A n C = { 3 ; 4 } y B n C = { 3 ; 4 } t es decir: A n C = B n C
Entonces el número de afirmaciones falsas son: A)1 B)2 C )3 D) 4 E) 5 R E S O L U C IÓ N : < >* 3L> ♦ De lo dado: / ) / € A a í B + ^ í A n B .................(PAISA) ........ (VERDARERA)
III) 4 e B ....................................... .......(FALSA) IV) A e {A ;{B }J res c /a r o csZoJ...
* Por ejemplo: A = { 2 ; 2 ;3 ;4 } , B = { 2 ; 3 ; 4 } a
V)Ar\B=j
II) {B } e A -> {{B }} c A
E)FFF
(VERDARERA)
V ) A r > B = { { ¿ } } * i ................................(FALSA)
•Pero: A * B ................................................ (FALSO) 77)Recordemos dos propiedades: * A = B ++ A
a
B
•Si: A c B - > A n C c B n C , V C A = B -» A c B a B c A -> V C conjunto; A n C c B n C A B n C c A n C -> A r * C = B r > C ................................... (V E R D A D E R A ) 77/JSi: A c (A c u f l ) - > como A ^ A C, se tiene A c B -► A c ( B u C ) , V conjunto C ........... (V E R D A D E R A )
• Entonces hay 3 falsas
RPTA : **D"
RPTA: “C” PROBLEM A
PROBLEM A 30:
32:
Sean A , B y C conjuntos no vacíos de un universo Si A=|a e Z / a a+ 4 a = 5 a 3j
y
B= Ja e A/existe por lo menos un b e Z tal que a = b 2J
17. Si x e A - ( B u C c )> determ in e el valor de verdad de cada una de las afirmaciones siguientes: /J x
entonces la suma de elementos del con ju n to ( A - B ) u ( B - A ) es: A )-l B) 0 OI
0 )2
E)~2
í)(a
-» a = 0 ;a = 2 ;a = -l ; a = 2 ; a = - 2 •Luego: A = { - 2 ; - 7 ; 0 ;2 ;2 }
B
77) x
g
A
u
B
777Jxe(A n B )-B
AJFFV BJFW OVW R E S O L U C IÓ N :
D)FVF
•Si x e A - ( f i u C c )
R E S O L U C IÓ N : * De: a s + 4 a - 5 a s = 0 -> a ( a 2 -
g
2 - 4)=0
-> X € A a x í ( B u Cc )
-> X G A A ~ (x G B u C c ) -► x g A a ~ ( x g B v x g
Cc )
EjFFF
ngg^l ñ 7 ¿ |ns*g
*>4 B>° R E S O L U C IÓ N :
„C
-+X€A aX*B aXéC
I) x t B
. ^ S v r /r /.o f » ,;» /!
C)S
.
201a}
0 )2
E)I
v
...................... .................... (FALSA)
ctA
-> A c B )a B « A h
I I ) x e A -+ x e A u B ......................... (VERDADERA)
* [~ (b c c A c)->~(A cB )]aB ccA
III) Como A r \ B c . B - + ( A r \ B ) ~ B = f -> x s ( A n B ) - B siginifica x e 4» lo cual es falso,
= [ A c B - > B c c A c]aB
. , „ pues x € A (A
.
4)
...........................................
(FALSA) RPTA : “D ”
PROBLEM A 33:
* P ues:
P
¿7 =
—>
~
o
p
* Pero: A c B -> B c c A c es verdadero * Luego: B g t A
Sean A y B dos subconjuntos no vacíos de
—> ~
q : Si x e C —►x g B
un Si: x e C - » x e B c -> C c B c
universo tí. Si ( A - B ) U (B - A ) = A u B , entonces
_> B r \ C = f ................................. (B
de las siguientes afirmaciones:
* ^ora*
I)A=A-B
II)B=B-A
III)AnB*f
TV)B c A c
V)(A u B ) < z ( A n B)c
I ) B ( t A ^ A < t B ............................................ (FALSA) II) Br\ C = 4 -+ C ce B ; entonces puede ocurrir que: /
Es (son) falsa(s):
A)Sólo V B) SóloIV D) I yl I I E) IV y V R E S O L U C IÓ N :
O S óloIU
B' ( £ I f
* Recuerde que: A A B(A - B j u (B - A )
X
A&B=(AuB)-(AnB)-+AnB=t-+AAB
*
Es
A
d e c¡r c
puede
0 n Q s e r 8u b c o n j u n t o d e
A u B ...................................................................... (FALSA)
I) A = A n B c , pues A c B c por ser A y B disjuntos
m) Q
puede Q nQ ge subconjunto8 de A A B .
-> A = A - B ..................................... (VERDADERA) Z/jDe modo análogo: B = B - A
/" 'N C
(VERDADERA)
III) A r \ B = + ................................... (FALSA)
[
ZVj Como a a B sondisjuntos -> B c A c ....................................(VERDADERA) Vj Recuerde que si: ¿ c c a B c D , „ . -+ A u B c C u B . p o r loque:
(
.
jlc
A U B = ( A a B ) C...................... (VER D A D E M , P
P
T Á
• x j 1 rr Si A, B y C son tres conjuntos del universo U que cumplen las siguientes condiciones:
..
5 ^
, B
A
pnoB L K M A Corai
B
A
- » x
Entonces, cuántos de los siguientes enunciados son verdaderos:
3S:
A = { 4 ; J } , B = { 0 ; 4 } , C = { { 4 } ;0 }
xr
*
x
rf
xx *
J
determinar el valor de verdad de las siguinetes á# ° proposiciones: p : B = C
q:A n B =C -B r:B -C =f A) V W B) F W C) FFV D) FFF R E S O L U C IÓ N : r) Como: ¿ * U \ - > B * C
II)C c ( A u B )
I V I A -B -C
R PTA • B
C I)n jlJ n t/ „
p : { b °
rni(AAB) = C
|
•
*
PROBLEM A 34: a n n
I) A
}
JVj Como B £ A -► A * B ......................... (FALSA) *■
• C .„ o A c B c „ B = A« _ A u B = B^
q . Si are C
B
v
^
son disjuntos
-
v
^
^
Si: ( A - B ) ^ j ( B - AJA u B - > A A B = A u B * P ero:
a C son disjuntos)
E) VFF
1 '
’ Lueso: p “
,FALSJU
flg lW m V K ^ W fT IIÁ O ^
« 7
7 /)A n B = {¿}A C -B = {{¿}}-> A n B ^ C - 8 * Luego, q es falsa........................................(FALSA)
III)B-C={i}*t * Luego, r es falsa....................................... (FALSA) RPTA : “ 7 )” PROBLEM A 36:
M > cm
3
r
n
; o
K
¿
i
p
c
i
o
.v
j
i
^
T
o
.s
PR O BLEM A 38: Si A, B y C son tres conjuntos que satisfacen las siguientes condiciones: CnB=B AnB=A (A u B ) c (A u C )
Si A, B y C son tres conjuntos definidos por:
(A n B )c(A n C ) Entonces la afirmación correcta es: A ) B c A B ) C c A C)C c B D )A c\C =B E)B
Entonces al simplificar:
R E S O L U C IÓ N :
[ ( A A D ) u ( A A B )] - [(D u B ) A A ] se obtiene:
• C n B = B -> B c C a B u C = C
A )B
*A
B)íx)
C)A
D ){f}
E)*
j
o
B = A -> A
c
B
a
A
ü
B=B
R E S O L U C IÓ N :
• Luego : A c B a B c C + A c C
•Como: A
• ( A u B ) c ( A u C ) + B c C ......... (VERDADERO)
D -> A A D = A - D = { ¿ ; { í * } } }
A AB = {¿ ; {{* }}} u { * } = { * ; * ; {{* }}}
• Entonces : B c C
f l c i i > D< j B = B * Luego: (AAD )u(AAB) - [ ( D u B ) A A ] s [AAB]
-
(AAB)
[BAA] (AAB) = ¿ R P T A : “E "
PROBLEM A 37: Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
/ j(A -B )n (A -C )= A -(B n C ) 7 / )(A -C )u (B -C )= (A u B )-C 7 / 7 )A n (B -C )= (A n B )-(A n C ) A) FVF
B) F W
• ( A n B ) c ( A n C ) + A c A ......... (VERDADERO)
C) VFV
D)FFF
E) W F
R E S O L U C I Ó N -.
RPTA: “E ”
PRO BLEM A 39: Sean A y B subconjuntos del universo t / y B c A , entonces al simplificar la expresión: [(A n B )u (B v j£ /c )]n [< A A B )A (B n A )]n [(A c - A ) n ( B c - B ) ]
Se obtiene: A) A B)B
C)U
D )j
E)AC
R E S O L U C IÓ N : •De: A c Í / a B c F a B c A [ ( A r» B ) u ( B u U c ) ]
a
[ ( A A B ) A ( B r» A ) ] n
o [ ( A c - A ) n ( B c - B ) b [ ( B ) v ( B u #)] n n [ ( A - B ) A ( B ) ] n ( A u B )° •Pues: A c - A = A C n A c = A c = [ B u B ] n n [ ( A - B ) u B ] n ( A n B )C
I)(.A -B )n(.A -C )m (A nB c ) n ( A n C c )
• P u es: (A - B ) r» B = j
( B u C ) ° mA - ( B u C ) ....................... (FALSA)
s [B ]n [A ]n (A )c * B n ( A n A c Jh B n ^ * #
^
/ f l(A -C )u (B -C )s (A n C c)u (B n C c)
A
t RPTA : “ D ”
* ( A v B ) n C c . ( A u B ) - C ............ (VERDADERA) III) A n ( B - C ) * A n ( B n C c ) s ( A n B ) n Cc
PROBLEM A
40:
Si A -B = (A n B )n (A u C )C simplificar la siguiente operación:
A n A c u [(A n B )n C c ]
en ton ces
c u B ) Cj | o ( B u C ) A n ( B u C ) 0 ]1o [ c ^ ( AtC
[(A n B )n A c ]u [(A n B )n C c ] ( A n B l n ^ u í ^ J s l A n B l n f A n C)c ( A n B ) - ( A n C ) .............................. (VERDADERA) R P T A : “B 99
se obtiene: A) A B jB u C C)C R E S O L U C IÓ N : •De:
D) B
E)C°
a
| 67* A -B = (A n B )r\ (A w C )c =(AnB)r>(Ac n C c ) ( A n A c ) n B nC c =+r,Cc = + -* A -B = t-* A c B
= [ [ ( A n B ) C n ( B u D ) ] n ( A n D ) c J n ( d c n Bc ) = {[(A n B ) c n (A n D ) ° ] n ( B u Z»J r> ( D u B )c
L
* Luego:
s [
j[A n (B u C )C] u
[c
u (A c
u b
J
= RPTA: “E"
PROBLEM A
A n B c n C c U C u ( A n B c ) a ( B u CJ 4 L ^ J * [ | l u C } n ( B u C ) a C n ( B u C ) s C , pues C c f B u C j RPTA ; " C "
41:
Si A t B , D , E , M y X son subconjuntos del coiyunto universal U tal que A r \ B = X , entonces simplificar: Ac u Bc f
*
)C j n f B u C j s
•
PROBLEM A
x r n i,o i’i:n i\ 2 0 12 ]
m[ ( A n B )C n ( A c D )C] n [ (B n D ) n (D u B )C
• De donde: A n B c = #
5
- ^
vj (iMc u E c u
2>C )J n
43:
Indicar el valor de las siguientes proposiciones: p : Si A = { i ; ¿ ; { ¿ } } y B = { { ¿ } ;{{< í}}} entonces P W n P ÍB ;= {# ;{{# }}} q: Si A = { 2 ; ¿ ; { ¿ } } , entonces el n [ P ( A ) ] = 9 r : Si A = { l : { 2 } ; { l , 2 } } y B = { { l } ; 2 ; [ 2 ; l } } , entonces {{2} ; 2 } c ( A n B ) A) VFF B) V W C ) W F R E S O L U C IÓ N :
D)VFV EJFFF
• Sea:
[(B n D n M )]u U -B c ) se obtiene: A ) X v M B)XC n (M u D) C )j D )X
{(t } = a ; {{<*}}=& - > A = { l ;¿ ;a } E)(Xc - D ) u M
p (A )= {t;{i\ ; { # } ; { « }
a
B = {a ;6 }
;{ i ;a } ; {4;a}: a }
R E S O L U C IÓ N : * Considerando: ( M n E n D )c = M c \j E c u D c * Luego: [(a c
u
c / r. „ B c ) ° u ( m c (j E c
kjD c
[(A n B )u (M n £ n D )e
"i
)] n
¡(E n D nM )
u (AoBc)
[CEnD o M) (A n n B)
p (b> = {+ ;{ o)
; { b ) *-B } -* P(A, ^ p = { t ;{ a }}
Luego, p es VERDADERA * A = { 2 ; # ; { # } } -*• n (A )= 3 -> n (P (A ))= 2 n= 2 3= 8 Luego, q es FALSA * A n B = {{J ;2 }}-> {{2 };2 }< r(A n R )
(FALSA) RPTA : “A ”
* Pues: A - B c = A n ( B c f = A n B
PROBLEM A
m(A n B) o [(Af n D n E)C n ( E n D n'M )]
Inidicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
.(A n B )u [y c n 7 ].(A n B )u ^ .A n B = * RPTA : “ D " PROBLEM A 42: Si A, B , D son tres conjuntos contenidos en el coiyunto universal, entonces al simplificar: j[ ( A c u B c ) n ( B u f l ) ] - ( A n Z > ) j n ÍD C - B ) se obtiene: A) A B )B
C jC
D )A nC
E )j
R E S O L U C IÓ N : ♦De:
{[(a c u B c ) n ( B u D ) ] - ( A n 22)}o (D° - b )
44:
p : Si ( A n B J c C, entonces A c C y B c C q : Si A c c B c , entonces A c B r : Si A n B = ^ , entonces P (A ) n P (B ) * # A) V W B) VFF C)FVF R E S O L U C IÓ N :
D) VFV E) FFV
I) Si (A n B) c C , entonces puede ser que:
MAkfnttW T irO H Í.1 P E C O V flf^T O ^]
■ha* * De donde A
a
- » { a ;6 } e P (A n B)
B
Luego, p es FALSA
Luego, q es FALSA
II) S i: A c c B c => (x é A c -* x e B c )
III) {a } í A n B A & « A n B 4 { { a } ; fe} (£ A n B
-> fxeA -> X É B )-> (x€ B -*xeA )
Luego, r es FALSA RPTA : “A ”
•Pues: p - + q & ~ q - + ~ p - » B c A ......................... .(A c B n o e s corré e lo ) Luego, q es FALSA
III)
S i:
A r \ B =4
a
P íA )= {# ;
4
c A
a
# c B
; A } a P ( B ) = { 4 : .............. ; B }
PROBLEM A
Sean A y B subconjuntos del universo U y las siguientes proposiciones: p : Si P (A ) c P (B ) -> A c B q : Si X s P (A ) -> X c A
•De donde: P ( A )o P (B ) = { 4 } * 4
r; P fA u B ) c [P (A ) ^ P (B )]
Luego, r es VERDADERA RPTA : “ E PROBLEM A
Si el conjunto B * 4 » entonces cual de las siguientes proposiciones son verdaderas: p :P (f)-f= t q :P (B )-{B }*¿
Si M es el número de proposiciones verdaderas y N el número de proposiciones falsas, entoces el valor de: T = M *+ N il A) 0 B) 4 C )3 D )8 E) 1 R E S O L U C IÓ N : I) Si P(A ) c P (B ) -> V e P (A )x e P (B )
r: P ( B ) kj{ B } = P ( B ) A)p y q B ) p y r C) q y r B) S d /op E )p , q y r R E S O L U C IÓ N : / ) V A coryunto: A - ¿ = A - > P ( 4 ) - 4 - P ( é ) * # Luego, p es FALSA H) Siendo:
B e P(B)
s; P ÍA r» B ) c [P fA ) n P fB )]
99
45:
B * 4, B c B ^ B e P( B) * 4 e P(B) Luego, q es VERDADERA III) Como:
47:
P(B)-{B} * 4
-> V x eA *x cB -»A cB Luego , p es VERDADERA II)P (A ) está formado por todos los subconjuntos de A. Si X e PÍA) -+ X c A Luego, q es VERDADERA III) Sea x e P (A u B j - > x c (A ^ B que) x cA v x c B
) (no implica
{ B }
Luego, r es VERDADERA RPTA : “ C ” PROBLEM A
46:
Sean A y B dos conjuntos definidos por: A = { a ; {6 } ; { a ; fe}}
B ={{a};fe;{fe;a}}
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p : {a } <= P (A ) -> 4 G PTA) p ; {a } c P (A ) - + 4 e P (A ) r: { { f l } ; 6 } c ( A n B j A) VFF B) FFF
C) F W
D) FVF
E) V W
x e P fA ) u P (B ) * Es decir: P fA u B j c P (A fe ) u P fB ) • Otra forma, sean A = { 2 ; 2 } a B = { 3 , 4 } P fA ) tiene 4 elementos P (B ) tiene 4 elementos P (A )u P fB ) tiene 7 elementos (4 es elemento común en ambos) * Sin embargo, A kjB tiene -►PÍA u B) tiene 16 elementos • Con lo cual no es posible que:
4
R E S O L U C IÓ N :
P(A u B ) a PÍA) u P(B) Luego, r es FALSA
I) Como: a e A - » { a } c A - > { a } e P(A)
IV) Si x e P(A r » B ) - » x c A n B
* Por lo que: {a } c P (A ) Luego, p es VERDADERA
P (A ) s f - > V s V
/ J ) A n B = { { a ;f e } } #p e r o { a ; 6}
-> x
c A
a
x c B
->
x e P(A) a
x e
elementos
P fB )
■ x € P (A ) r>PfB ) -> P ( A n B j c P fA )n P fB ) ^uego, s es VERDADERA
I«7 0
R E S O L U C IÓ N : • Sea n (A )=x -4 n(B) = x + l
* Entonces, M = 3 a N=1 ♦Finalmente: T = M N+ N M= 4 RPTA : “ B ” PROBLEM A
48:
a
n ( 0 —x + 2 , entonces:
n (P (A )) + n (P(B)) + n (P (C ))= 448 -+ 2 x + 2 x+1 + 2 x+2 = 448
Sea U= M el conjunto universal, determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) p : Si A c t / entonces {A } c U
II) q: Si A c U, entonces P(A) cz U III) r: (A -B ) e P(A) A) V W B) FVF C) W F R E S O L U C IÓ N :
!9 f^ i
WiiíY H
D)FFV
E)FFF
- > 2 X(1 + 2 + 2 2)= 4 4 8 -4 2 X= 6 4 - > x = 6 •Luego: T = 3 ( x + l ) = 3 x = 21 R P T A : “B ” PROBLEM A Sean
A y B
51: dos
conjuntos
definidos
por
A = { ¿ u { ¿ } ; { ¿ } ; { 2 ; ¿}} y B ={¿;{1;1;¿}}
Luego, p es FALSO
Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I )n (A )= 3 I D A c z B I I ) B cz A IV)A=B
II) Por lo mismo que el anterior: P (A )
A) VFFV B) FFFV C)FVFF R E S O L U C IÓ N :
III) A - B c= A -4 A - B e P (A ) Luego, r es VERDADERO
♦ D e:
I) A a U - > { A } es un conjunto de conjunto y éste a su vez no es subconjunto de 17: { ^ } gr JJ
* Pero : RPTA : “ D ”
PROBLEM A
49:
D) FFFF
E) FFVF
A = { * u {<*}},{*)}. {!;<#} x \j
$ = x , V conjunto *
-► A = {{<0};{2;í>}}
B = {l;{l;t}}
I) n(A) = 2.......................................... (FALSO)
Hallar el valor de las siguientes proposiciones: I) Si ^ e P (A ) , entonces f e A ; V A
II) A
II) A c A B C= A A B
IV) A * B ............................................ (FALSO)
III) B <£ A ........................................... (FALSO)
III) Si (A u B ) c [ f i c - (A - B )\, entonces v A) V W
B)FFF
C) F W
D)VFV E) FVF
R E S O L U C IÓ N : I ) j e P (A )
¿ c A , V A .......................... (FALSA)
I I ) A CA B C = ( A ° - B c ) kj ( B c - A c ) = ( A C o B )
RPTA PROBLEM A
52:
Si A, B y C son subconjuntos del univeros U, tales que: n (A c\ C ) =24 n (A )= 5
w (B° o A ) = (A o B c ) u ( B o A c J= (A - B )
n [(A r \ B )~ C ]= 1 6
n[(B nC )-A ]=9
U ( B - A ) = A A B ................. ( V E R D A D E R A )
u[ C
n[(A uB )-C ]=48
I I I ) (A v B ) < z [B c n ( A - B j] > ( A u B ) c [B c o ( A n B c ) c ] = ( A w B ) c [ B c n
(Bc r , A c )yj(Bc n B ) = í A u B > c [ í B u A J c ] •Pero: (A kj B)n>(AkjB)c =4 (x r\xc = ¿) -> A v B = é - * A = t
a
B = f
D
- ( A kjB ) ] = 3 2
n (U )= 113 n (A r \ B r \ C )= 5 Entonces, el valor de: r = » ( A n C 7 + 7*(C~B7, es: A) 47 B) 65 O 70 R E S O L U C IÓ N :
D) 75
E) 82
• Realizando un diagrama de Venn y ubicando los datos del problema, resulta lo siguiente:
(V E R D A D E R A )
RPTA PROBLEM A 50: Si los cardinales de los conjuntos A, B y C son números enteros consecutivos además: n [ P ( A ) + n [ P ( B ) ] ] + n [P(C)\= 448 Entonces el valor de: T + n ( A ) + n(B) + n ( C ) , es: A) 20
B) 21
C)22
D) 23
E) 24
* Se pide: T = n (A c\ C ) + n (C - B )
- 4
T =24+51=75 R P T A : “D ”
« 7 7 «BSEl
[Eim 'M O XK8¡
Y TEORIA DMS m V J I ím w ]
PRO BLEM A 53:
PR O BLEM A 55:
Sean A, B y C tres conjuntos finitos que cumplen las siguientes condiciones:
De un grupo de 55 fumadores: 25 prefieren cigarrillos Winston
n (A )= 2 5 0
n (B )= 2 8 0
n (C )= 3 0 0
n (A n B )= 5 0
32 prefieren cigarrillos Premier 33 prefieren cigarrillos Marlboro
n(B r\C )=7Q
n (C r\ A )= 6 0
5 fuman las tres marcas anteriores.
n(A n f l n C )= 3 0 n (A c n B c n C c ) = 1 0 Si: n[ P( A r\(B - C ) ) ] = 4 X*3 , entonces el valor de x es: A) 4 B)5 C)6 R E S O L U C IÓ N :
D) 7
E )8
¿Cuántas personas del grupo prefieren dos de estas marcas? A) 10 B) 12 015 D) 20 E) 25 R E S O L U C IÓ N : * Graficando:
* Ubicando los datos en un diagrama de Venn:
25 prefieren W inston-+ m + x + y = 2 0 * 32 prefieren P rem ier-) n + x + z = 2 7 n (A c n B c n C c ) = n ( ( A v B v C ) c ) = 1 0 * La parte sombreada representa a: A n ( B - C ) -> n ( A n ( B - C ) ) = 2 0
* 33 prefieren Marlboro - » p + y + z = 2 8 * Sumando: m + n + p + x + y + z + x + y + z = 7 5 * El total es -> m + n + p + x + y + z = 5 0
n [ P ( A n ( B - C ) ) ] = 2 20= 4 x+s -> 4 10= 4 X*3 -> x = 7
-> x + y + z = 2 5 * Prefieren dos marcas: x + y + z = 2 5
RPTA : “ D ”
RPTA: “E ”
De un total de 100 personas, 70 prefieren tomar leche en el desayuno, 30 prefieren tomar café y 20 otro líquido. ¿Cuántas personas tom an café con leche?. A) 15 B) 18 0 20 D) 25 E) 24 R E S O L U C IÓ N :
PRO BLEM A 56: En una escuela de 150 estudiantes se sabe que 60 son mujeres; 80 estudiaban Biología; 20 son mujeres que no estudian Biología. ¿Cuántos hombres no estudian Biología? A) 20 B) 40 0 80 DJ10 E) 50 R E S O L U C IÓ N :
* Realicemos un diagrama de Venn:
* Graficando:
PR O B LE M A 54 :
4
* 70 prefieren tomar leche -+ a + 6 = 7 0 * 30 prefieren tomar café -+ b + c = 3 0 * En total hay 100 -> a + 6 + c = 8 0 * De las dos primeras: a + 6 + 6 + c = J 0 0 -> 6 = 2 0 * Entonces toman café con leche: 20 RPTA: “C”
Estudian
N o estudian
B iología
B iología
Hombrea
40
M ujeres
40
50 20
* Luego, los hombres que no estudian Biología son: 50 R P T A : "E** PRO BLEM A 57: Un total de 90 alumnos dieron 3 exámenes para aprobar un curso y se observa que los que aprobaron sólo un examen es el quíntuplo de los que aprobaron los 3 exámenes y los que aprobaron sólo 2 exámens es el triple de los que desaprobaron los 3 exámenes. Si el núm ero de los que desaprobaron los 3
f"P
I «7 8 exámenes es igual al número de los que aprobaron los 3 exámenes. ¿Cuántos aprobaron el curso, si para aprobarlo es necesario que aprueben por lo menos 2 exámenes? A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 30 R E S O L U C IÓ N : * Graficando convenientemente: Aprobaron Desaproba ron
1 examen 5a 3b
2 examen 3b 5a
3 examen a b
* N ótese que los que aprobaron 1 exam en desaprobaron 2 exámenes y los que aprobaron 2, desapobraron 1. * Como los que desaprobaron 3 es igual a los que aprobaron 3 exám enes - > a = 6 e n otal son 90
C IC L O rE M A 2012}
m
-+ x + 3 * 6 > 5 -+ x + 3 > 5 -> V x € A : 3 y = 3 e A ! x + y > 5 Luego, p es VERDADERO II) V y e A ; 3 5 y S 9 -> 3 + 2 (5 ) =£y + 2 (5 ) <: 9+2(5) -+ 13 z 2 ( 5 ) + y z 19 -+ 1 2 z 2 (5 )+ y -> B x = 5 g A / V y g A* 2 x + y ¿ 22 Luego, q es VERDADERO III) V x g A ; V y e A ;3 S x £ 9 ;3 £ y á 9 -> 6 £ x + y i 1 8 ? 4 x + y £ 3 Luego, r es FALSO RPTA: “B ” PROBLEM A
60:
Con respecto al conjunto: U = [ - 3 ; - 2 ; - 1 ;0 ;1 ; 2} se enuncian las siguientes proposiciones:
-> 1 8 a = 9 0 a=5 * Luego, los que aprobaron el curso son: 3b+a=4a=20 R P T A : “D ”
u x2-9 q: V x g XJ; =x+3 x —3
PROBLEM A
r: (v x g U; x 2 - 9
58:
Considere el conjunto 17 = { l ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } e indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) p : 3 x e U l x + 3 £ l O 77)
m ) n 3 x e £ / / V y e U ;x + y £ l0 B)FFF C) W F D) FVF EJVFV
p : 3 x e U I x < l - + x 2= x
0 ) ++ (3 x e E//V*= * )
Hallar el valor de verdad de las siguientes operaciones lógicas: I) r -+ (p -+ q) II) q -> (r -> p ) III) (p *+ q) a (r v p ) A) V W fl) VFV CJ F W R E S O L U C IÓ N :
D) W F
p ) 3 x U I x < l -+ x 2= x
R E S O L U C IÓ N : l) 3 x g U ¡x + 3 £ 1 0 , por ejemplo x = 2 Luego: p es VERDADERA 77)Si: x = 5 € U a y = 5 e 17 -> x + y = 7 0 -+ no es cierto que: V x e 17; V y e I 7 ;x + y £ 7 Luego: q es FALSA U ) V y e U ; y * 5 - > 2 + y < .7 ^ 1 0 -+ 3 x = 2 e l 7 / V y e U : x + y £ 10
( x = 0 e U : 0 < 7 ) -> 0 2= 0 V
-+
V a V
Luego, p es VERDADERO x 2 —9 q) V x g £7;x * 3 -> x - 3 * 0 + --------- = x + 3 x -3 Luego, q es VERDADERO r ) ( v x e l /; x 2 - 9 * 0 ) ++ (3 x e U l J x = x )
Luego: r es VERDADERA '
RPTA: “E”
F (no cumple x = 3) V (cumple x = l ) F <+ V = F
PROBLEM A 59:
Luego, r es FALSA
Sea A = { x e R ¡3 á x £ 9 } , determinar el valor de
* A h ora:
verdad de las siguientes proposiciones: I) p* V xg A " 3 y e A / x + y > 5
7) r - » (p -+ q) s F -> (p -> q) = V 77) q -> (r -> p ) s V -> ( F - » V) a V
27) qc 3 x e A / V y G A ;2 x + y ^ l2 m ) n V x e A ' V y c A ;x + y ^ 8 A) V W
B) W F
C) VFV D) F W
E) FVF
E) FFV
R E S O L U C IÓ N : 1) V x e A : 3 ¿ x < . 9 ^>6<>x+3<>12
V 777)(p +» q ) a ( r v p ) * (V +* V) a ( F v V) a V V
V
R P T A ; “A "
[B w r m v K ^ PROBLEM A si
A
es
61:
un
A = { 2 ;2 ;3 ;
«7 »
w n y j.v o ^
conjun to
definido
por:
; 4 0 ) , entonces hallar el valor de
verdad de Tas siguientes proposiciones: p : V x e A,3 y e A i x + 2 y > x 2 q : 3 y e A ; 3 x e A ;V z e A . * x + y < z r : V x e A, 3 y e A ; V z e A / x - y = z A) FFF B)FFV C) FVF R E S O L U C IÓ N :
D)VFF
E) W F
r TfJOWlA PE rOXJTOToi?]
PR O B LE M A 63: Si A, B y Af son subconjuntos del conjunto universal XI, entonces hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I ) A < z B c + * B c A c tV A ; B c U I I ) ( A r s B ) - M = A c \ ( B ~ M) t V A ; B ; Ai c U III)A -B = A + *A n B *¿,V A ;B cU A)VFV
B )F W
C)FFF
D )W F
E )V W
R E S O L U C IÓ N : I) Recuerde que:
I) Si: x = 4 0 -> reemplazando en: x 2+ 2 y > x 2
Si :M c N - » N c c M c
se tiene: 4 0 + 2 y > 4 0 2 -+ 2 y > 4 0 *39 -+ y > 3 8 0 , pero: V y e A : y £ 40
(Si A c JBC - > B c A c )
•Con lo cual: V x e A, \ y e A ! x + 2 y > x 2
II) ( A r \ B ) - M = ( A r \ B ) r > M c = A n ( B r > M c )
Luego, p es FALSA
= A n ( B - M ) V A, B , M c U.
II) Si: z=J -> reemplazando en: x + y < z , se tiene:
III) A - B = A -> A n B ° = A - > A c B c
x + y < Í Pero: V x g A ; V y e A ’ x ^ i A y í i -> x + y £ 2 . Con lo cual: X y e A ,^sX e A, V z = l ; x + y < z Luego,q es FALSA III) La relación: x - y = x es lo mismo que x -z = y . De donde: V x e A , V « e A • La diferencia x - z mínima es 0 y la máxima es 39, con lo cual, cualquier diferencia x - z puede ser igual a un y e A , es decir: V xeA ; 3 y e A /x -y =z Luego, r es VERDADERA RPTA : “ B ” PROBLEM A
62:
" V x e A ; 3y e B /x + y = z",es:
B )V x e A / 3 y e B ; x + y - z * 0
• Luego, no es cierto que: A -B = A o A n B ^ 0 ,V A ,B cl/.
(FALSA) RPTA : ” D ”
PROBLEM A
64:
Sean U y A dos conjuntos definidos por: U = ( -8 ; 4)\j{5;7} Si Af = { 3 -
x
/z
g
A
A = { x e U l x < 2 -> x > 5 } a x g
A) 6 B) 20 C>4 R E S O L U C IÓ N : • Como ( x < 2 ) - > ( x > 5 )
Z ) , entonces el /tfAf) es: 2>)2
E> 7
(x<2)v(x>5)
A = {x € t//x * 2 }= [2 ;4 )u {5 ;7 }
RPTA : “ C ” C O N J U N T O S N U M É R IC O S C O N JU N T O S D E L O S N Ú M E R O S N A T U R A L E S (N )
m
E )V x e A /3 y e B ; x + y - z = 0 R E S O L U C IÓ N : * Se desea: ^ (V x e A , 3 y e B /x +y= z)a « 3 x € A / ~ ( 3 y e B / x + y = z)
x g
-> A a B son disjuntos - > A n B = ( l
M = { l ; 0 ; - 2 ; - 4 } -> n (M )= 4
C )3 x e A /V y e B .* x + y -z * 0
■3
(VERDADERA)
Af = {3 - x / x e { 2 ; 3 ; 5 ; 7}}
B )3 x e A /V y e B ;x + y + z = 0
3 x g
- > A c B c = A c B c « B c A c ....(VERDADERA)
A Í= {3 -x /x g A a x e Z }
A) 3 x € A / V x e B ; x + y + z = 0
b
B c Ac
A = { x e í//x 2: 2 v x > 5 }
La negación de la siguiente proposición lógica:
a ] xe A /V y e B
a
( x + y = z)
A /V y e B .'x + y ^ z A /V y e B íx + y -z ^ O
RPTA : "C ”
N = { 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; ................ } CON JU N TOS D E L O S N Ú M E R O S EN TERO S (Z ) Z = { ...........; - 4 ; - 3 ; - 2 ; - 2; 0 ; 2; 2 ; 3 ; 4 ;... ••••• •} CON JU N TOS D E L O S N Ú M E R O S R A C IO N A L E S (Q ) m I m e / a r g Z ,n
E
l
680
CONJUNTOS DE LO S NÚMEROS IRRACIONALES (I) Son aquellos que tienen una representación decimal infinita no periódica y no pueden ser expresados como el cociente de 2 números enteros. / / = {.......... ; - J 3 ; ÍÍ5;
n c t c l o p e iim 2012
i '•«
expresar en forma simbólica el siguiente enunciado: “ Lima es la capital del Perú y Barcelona es la capital de España” Aj p v q B) p -> q C) p a q B j p v /V q
E) /y*/p A (¡
J 7 ; Tt; e ; ........... } (6 ^ ) Si: p: “ 4 es menor que 7” q: “ 5 es igual a 7”
CONJUNTOS DE LOS NÚMEROS ' REALES ( R) Es la reunión de los números racionales y de los números irracionales. R = Q kjI
CONJUNTOS DE LOS NÚMEROS COM PLEJOS (C) C=(a+biIa e R
a
6 e R ,i= 4 -l}
PROM EDAD ES T LEYES *A'u(Br\C)=(AvB)n(A*jC) •Ac\(B\jC)=(Ac\B)Kj(Ar\C) * íA u B /= A 'n B ’ * ( A n B ) f= A ' v B ' *AAB=(AvB)-(Ar\B) *Aá B = (A -B )v (B -A ) • n ( A v B)=n(A) + n(B)-n(Ac\BJ •A -B =A nB ' • A '-B ' =B - A • n [P(A) n P(B)]=n[P(A r\Bl] • n [P(A) u P(B)]=n [P(A)\+/i [P(B)\ - /i [P(A) o P(B)] • n[P(A)yjP(B]=2n{A)+2n{B)- 2 n{Ar'B) •A u (A n B )= A • A c\(A\j B )= A * A u íA 'n B j= A u B * A n íA 'u B )= A n B *Au4=A * A^j U - U •Ao4=4 *A n ( / = A
el valor de verdad de: ( jp v q
(
j ~ P A qr
( )p *q
( )pv~q
es: A) VFFV B) V W F C) F W F @
D) V V W E) FFFV
Sean p y q un par de proposiciones lógicas,
entonces la proposición "p v q " ¿cuántos valores de verdad “ falsos” tiene? A) 1 B) 2 C )3 D) 4 E) 5 Sean p y q dos proposiciones lógicas , entonces la proposición "p a q ", ¿cuántos valores de verdad “ verdaderos” tiene? A)5 B) 2 0 3 D) 4 E) 1 Sean p y q dos proposiciones lógicas, entonces la proposición "p -» q ", ¿cuántos valores de verdad “ verdaderos” tiene? A) 2 B jl 0 3 D) 4 E )5 Sean p y q un par de proposiciones lógicas, entonces la proposición "p <+ q " , ¿cuántos valores de verdad “ falsos” tiene? A/ i Bj 3 0 5 DJ 4 E) 2 Si p y q es un par de proposiciones lógicas ,
* A u A ’=¿/ • A n A'=4
entonces la expresión " p A q " , ¿cuántos valores de verdad “ falsos” tiene? AJ 2 Bj 3 0 4 Dj 5 E) 1 Dadas las proposiciones: p: “ 27 es un número primo” q: “ Toda proposición es verdadera”
(O Í) Dadas las siguientes u oraciones, ¿cuántas son proposiciones lógicas? ( ) 5 + 4 = 8 ( ) “ 13 es un número primo” ( ) ¡Buenos diás! ( ) ¿Cuál es tu nombre? A) 2 B j3 C jl D) 4 E )5 Si: p: Lima es la capital del Perú. q : Barcelona es la capital de España.
hallar el valor de verdad de las sigu ien tes proposiciones: ( )(p~ > ^ q)A p ( j~ /> A q ( ) ~ pv ~ q AJ W F
BjFFV
CJFFF DjVFV
E) V W
Si la operación lógica: n(p -> q) v r" es falsa, entonces los valores de verdad de r; q y p son respectivamente: AJ W F tí) FVF O V F V D) FFV E)FFF
[r.nwcsoxns i i f m v o tv
[|B |"7W Í IfiSB
W.ftiiUW r TEtíRÉJX l¿ 'r ¿ V J T W T O g ]
( ^ ) Si la siguiente proposición: p (r ->a) es falsa.
( ) ( 3 2+ 2 2= 1 3 ) a (52= 25 )
¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
( ) ( 3 2+ 4 2= 5 2) -* (8 + 2 = 1 2 )
I) ^ ( r A s ) es falsa.
1ÍJ (r A s ) es verdadero.
UI) p es verdadero. AJSóloI B) S óloII D) I y III E) I y II 2)
Si (p
C) SóloIII
verdad de las siguientes proposiciones: ( )p q ( )~ (p A q) ( )p++q A) FFF
B) VFF
C) FFV
D) W V
E) VFV
Si ~ p —►g , es falso , hallar el valor de verdad de: (
jrA fg v p )
(
B) W V
) p ++q
C) W F
(
)pA (rA t)
D) FFF
E) FVF
El resultado de la tabla de verdad de la siguiente proposición: p
es: A) VFFF B) VFFV
a
(p
-»
gj
Construir la tabla de verdad de las siguientes
A) I y II B) I y III
C) II y III
D) Todos E) S ó lo l
2 1 ) Señalar la expresión equivalente a la proposición (p v ~ p ) A )q -+ p
a
( ~ qv ~ p)
B )p -+ g
C)(p -> g>
Sean las proposiciones: * P (x f v x € R , x ° =1 * q(y): 3 y € N l y 2 Z 0
C) W F F D) W V F a
E) F F W
g j -> (p -+ t) es falsa,
Si definimos p ® g = p A ^ g
entonces si:
p e g ,p - > r ,r v g
A) FFV
B) F W
)(p®q)
A) FVF
(
B) W V
j~ p ® ~ g C) FFF
(
Si la siguiente expresión lógica ( ^ p v q ) es falsa, el valor de verdad de las siguientes proposiciones: es: A) FVF
B) FFV
)p a ( ~ p v g j
C) W V
D)FFF
E) FFF
Hallar el valor de verdad de p ; g y r en ese orden. A )W F B) FFF C)FFV D) FVF E) VFV Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (3 + 2 = 5 ) v ( 7 - 2 = 11) (4-1 = 3 )-+ (2 -1 0 = -8 ) (3+7=10) (12= 2 ) o
D) FFV ~E) W F
es falsa; indicar las proposiciones que son verdaderas. A) p; q B) p ; a C) q ; r D) q ; a E ) r ; s
(
D) W V
a
(12 > 5 )
j~ p ® g
( Q ) Si la siguiente proposición: ( ~ p -* ^ q )v (r-* a )
)pAq
C) VFV
Si la proposición: ( ~ p —¥ q) V - v r e s falsa.
p 9 (p —> q) es verdadero; determine el valor de verdad de
0
E) FVF
Indique el valor de verdad de:
¿cuál(es) de las proporciones es(son) verdadera(s)? I) 4*p” es falsa . II) p A q es verdadera III) “ t ” es verdadera A) Sólo II B) Sólo I C) Sólo IU D) II y III E) I y II
(
D) F W
* rlt): V z € R , z 2 - 9 2 = (z + 3 ) ( z - 3 )
(Tn) Si las proposición ( p
(
C) W V
D ) ~ p -+ (p -+ q) E )(q -+ p ) ->— p
A) FFV
0
B) FFV
proporciones e indicar cuál(es) es(son) lógicamente equivalente(s): I) ~ p v q II)q-*p I /I jp -> ~ g
g j es verdadero , hallar el valor de
a
A )W F
(
)pv q
A) W F V
B) V F W
N = §)
C) W W
D) W V F
E) F V W
Si “p ” es una proposición falsa, determina el valor de verdad de la expresión: {(p -> q) v [ r —) ( ~ q a p ) ] } -> ( r
a
p
a
A) Verdadero B) Falso C) Verdadero o falso D) Verdadero sólo si q es verdadero E) Falso sólo si r es falso. El circuito:
E) W F t—
Hallar los valores de verdad de las siguientes
expresiones lógicas: ( ) ( 7 2+ 1 = 4 9 ) v (7 2 - 1 = 4 8 )
q)
Equivale a:
te * i « a * i r a C ) ~ ( p v q) C )[(p / \ q )v t]-* 8
A)(pvs)-+(qAt) B ) p A t D)[(p -+ q)v ~ s7 a t E )(p <-> q) v t
m a o m iM
2 o t¿]
(r V p ) D ) ~ (p A q) -V frV ~ p )
E)( V / p A /V q)
rV p)
Si:
^ 2 ) Simbolizar:
p : Andrés compra pan. q : Andrés ingresa en la academia.
9—
r : Andrés se levanta temprano. Simbolizar: Si la proposición que se obtiene es falsa. ¿Cuáles son los valores de p y q respectivamente? A) W B) VF C)FV D) FF E) No se puede precisar
«S i A n d rés se levan ta tem pran o y no com pra pan im plica que no p od iéi in g lesa r a la academ ia , p ero qu e haya com prado el p a n es con d ición necesaria y su ficien te p a ra q u e se haya levantado tem prano'
\¡¡£8) Hallar los valores de verdad de las siguientes
A ) [ ( r A ~ p )V ~ p)J A (p ++ r)
proposiciones: I)(V x e R , x = x ) a (3 x e X , x + 1 > x )
B )[(r A p ) C )[ ( rA
II)(V x e R , x 2 * x ) a f3 x e Z , x + 1 * x —2)
C) W F F D) VFFF
E) V W F
Si: U= {1 ; 2; 3; 4; 6} ¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones? I) V x € U: x ' í 3 v x < 4 II) 3 x e U : x + 2 < 8 = > x > 6 III) V x e U : x + 2 = 5 <=>x - 1 = 2 A) V W B) FFV C) VFF D) FVF
q ] A (p++ r)
7 ?)/Y rA ~ p )
IV) (3 x e N , x - 3 £ x ) = & ( V x e JR, x - l ' Z . x ) B) F V W
P)
q ] A (r
E )[(rV ~ p)
7 //) f 3 x e N , x * 0 ) = > ( V x e Q , x * 0 ) A) F W F
p ] A ( q + + r) p)
q l V ( p —> r)
La sim bolización correcta del siguiente enunciado es : Si Carlos compró el libro, entonces es propietario del libro. No es el caso, que sea propietario del libro y no cumpla con su estudio. Por lo tanto, Carlos no compró el libro o no cumple con su estudio. A ) [ ( p —» q) A ( ~ q A ~ r)] —>
pV ^ r]
B )[ (p —» q ) V ( ~ q A ~ r)J ++ ( ~ qV ^ r)
E)FFF
C )[(p -+ q)A
Sea: A = { 1 ; 2 ; 3 }
fqA
r ) ] ^ ( /V p v
r)
D )[(q
p ) A /v (q A r)J —» ( /V p A A/ r)
Determinar el valor de verdad de las siguientes expresiones: 7)3 x € A, V y € A ¡ x 2< y + 2
E)[(p
q) a ( ~ q A r ) ] —> ( ~ p A r)
II) A x € A, 3 y G A f x 2+ y 2 < 12
Expresar ~
777)3 x e A, V y € A , 3 z £ A l x 2+ y 2 < 2 z 2
A) (p * p ) * p
B) ( p * ~ p ) * p
IV)3 x G A, 3 y G A , Vz € A/x2+ y 2< 2 z2
7 »p *q
E)p *(q *q)
A) V F W B) W F V
C) V W F
D) F V W
Si: p * q = ~ pA ^ q p
usando únicamente el operador (*) C )~(p*q)
E )W W
Dadas las proposiciones: T E O R IA R E CO N JU N TO S
p : Marcos es comerciante. q : Marcos es un prospero industrial,
(6 2 ) Dado el conjunto : A = {4 ; 3 ; {6 }; 3 } y las
r : Marcos es ingeniero.
proposiciones :
Simbolizar el enunciado : «Si no es el caso que Marcos sea un comerciante y un prospero industrial, entonces es ingeniero o no es comerciante' A ) ~ (p A q ) —►( r V p )
B X ~ p A q)
(r A p )
*{3 }eA
* {4}
• {6}eA * 8eA * 4>eA
*{6 }cA *
écA
*{3;8}
¿ á c w u r r r o i t l t t»r:
8, Indique el número de proposiciones verdaderas: A) 7 B) 6 C)5 D) 4 E) 3 Dados los conjuntos iguales:
A jíA u B /u fA o B j
B )[A r\ (A \ jB )]
C)A n ( A u B )
D )A
kj( A - B )
n (A u B )1
E)(A' o B 1) v ( A v B )
A = ja * + 3 ; b + l } y B = { i 3 ; 1 9 }
( Q ) Si los conjuntos A y
B son iguales , hallar
Considere a y b enteros.
a x b si a y b son naturales.
Indique la suma de los valores que toma a +6 A) 16 B) 24 O 30 D) 12 E) 27
A = {a 2 + 2 a ; b 3- 6} B = { 2 a ; 15} A) 8 B) 15 O 9 D) 12
Indique la suma de los elementos del conjunto {x * + 2 / x e Z a - 4 < x < 4 }
E) 6
Dado el conjunto : P = { 5 ; 6; 7; 8 ; 9 } y los conjuntos:
A) 44
B) 42
O 22
D) 18
E) 16
M = {x € P / x 2 > 50
¿Cuántos subconjuntos p ropios tiene el conjunto? C = {2;3;{2};3;2;{2};{3}} A) 127
B) 63
O 15
D) 7
E) 31
Si: n(A ) = 1 5 ; n ( B ) = 3 2 y n ( A - B ) = 8 Calcule : n(A A B ) + n (A ' — B ' ) A) 36 B )3 7 0 51 D) 58
E) 59
(Bg)¿Cuántos subconjuntos tiene la potencia del conjunto A , tal que : A = {2 ; {3 } ; 2 }? A) 4 B) 16 O 2 10 D) 8 E) 64 7)De un grupo de 30 personas , 20 van al teatro, 5 sólo van al cine, 18 van al cine o al teatro ; pero no a ambos sitios. ¿Cuántos van a ambos sitios? A) 6 B) 7 0 8 D) 5 E) 4 Sabiendo que A tiene 128 subconjuntos en total, que el número de elementos de la intersección de A y B es 5 y que B - A tiene 16 subconjuntos. Determinar el número de subconjuntos de A u B . A) 1024 B) 512 O 256 D ) 2048 E) 4096 í0D e un grupo de 62 atletas , 25 lanzan bala , 36 lanzan jabalina y 30 lanzan disco, 3 lanzan los tres; 10 lanzan jabalina y disco, 15 disco y bala , 7 lanzan bala y jabalina. ¿Cuántos no lanzan jabalina ni disco? A) 4 B) 6 0 7 D) 5 E) 3
m
La operación que rep resen ta la región
A
X
M = {jc e P / x es im par Determinar: n(M) + n(N ) A) 3 Bj 4 0 2 D) 1
< 9} a
6 < x} E )5
& S i: A = { a ; 6 ; c ; 6 } y B = {(m 2+1) ; - 1 ; 5 ; (n -3 );2 ) Donde: n / \ m e Z * y 3 < n < 8 •Además A y B son equipolentes . Hallar la suma de valores de n + m . A) 6 Bf 13 O 10 D) 14 E) 23 Jéssica tomó helados de fresa o coco durante todas las mañanas en los meses de verano (enero, febrero y marzo) del 2004 . Si tomó helados de fresa 53 mañanas y tomó helados de coco durante 49 mañanas. ¿Cuántas mañanas tomó helado de los dos sabores? A)9 B) 10 0 11 D) 12 E) 15 ( í a ) En una ciudad se determinó que el 46% de la población no lee la revista A , 60% no lee la revista B y el 58% lee A ó B pero no ambas. ¿Cuántas personas hay en la población si 63000 personas leen A y B? A)420000 3)840000 0350000 D)700000 E)630000 En una encuesta realizada a 190 personas sobre la preferencia de leer las revistas A y B , el resultado fue el siguiente: el número de personas que les gusta A y B es “ de los hombres que sólo les gusta A y la mitad de las mujeres que sólo les gusta A. El número de hombres que sólo les gusta 2 B es —del número de mujeres que sólo les gusta B. 3 Los que leen A son 105 , los que leen B son 70. Halle el número de personas que no leen ni A ni B. A) 30 B) 32 0 36 D) 38 E) 40
( V
l J L
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|6 8 4
M Z M S M H L t l L
XCJCLOPEBIA 2012}
( Q ) En una peña criolla trabajan 32 artistas. De estos, 16 bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan es : A) 4 B/5 C )2 D) 1 E )3
B
S i: A = {1 ; 2 ; {1 ; 2 ) ; 3 } B = { { 2 ; 1 } ; { 1; 3 } ; 3 }
A )[(AuC )yj(B r^C )]-(A nB )
Halle usted : [(A - B ) n B ] v ( B A) { i ; 3} B ){{1;2}} O A
A) D) { { i ; 3}} E)B
Dado el conjunto: A = {J ; {2} ; {1 ; 2 } } ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? A)2 0 A B){1} e A
OI c A
D)+e A
fl)/C -(A n fl)7 n /(A r»C )-(A n fl)7 C) [(A o B) - C7 u [ ( B r» C) - (A
D )[(A nC )-(A nB )]v[(A nC )-(A n>B )]
E) í ( A - B ) < j C J - C Carlos debe almorzar pollo o pescado (o
E){2} 0 A
(gU) S i : A = {x ¡x = (4m - 1)2, m e N , 2 £ m £ 5 } Entonces el conjunto A escrito por extensión es : A) {7; 11; 15; 19} B) {2; 3; 4; 5} O \4; 9; 16;25} D) {49; 121; 225; 361} E) {3; 4; 7; 9} Si A, B y C son tres subconjuntos de un con junto universal de 98 elementos y además:
ambos) en su almuerzo de cada día del mes de marzo. Si en su almuerzo durante 20 días hubo pollo y durante 25 días hubo pescado, entonces, el número de días que almorzó pollo y pescado es: A) 18 B) 16 O 15 D) 14 E) 13 (£<})En la figura la parte sombreada está representada por :
n [(A u B ) n C j = 5 0 , n (C ) = 34 Hallar : n[(A u A)13 B)14
fl
C/J 015
D)16
fl)7
B
E)17
El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de fruta de manzana, fresa y piña es el siguiente : 60% gustan manzana.
A J f A n f i n C J u f C n f A n fl)7
50% gustan fresa.
B) ( Ar tBr > C) r i[ ( A v B ) n l( A n íB)]
40% gustan piña.
C ) { [ ( A kjB u C ) - A J - C } - B
30% gustan manzana y fresa.
D)[(A n
20% gustan fresa y piña.
E)(A \ jB \ jC ) - ( A r ^ B r ,C )
70% gustan manzana y piña. 5% gustan de los tres. ¿Que porcentaje de las personas encuestadas no gustan alguno de los jugos de frutas mencionados? A) 5% B) 20% O 50% D) 12% E)10% Dados los conjuntos : A = { n 2jn e N a 0 < n < 20\
B = \2n¡n e Z a 4 < n 2 < 50Ó\ ¿Cuántos elementos tiene A x f l ? A) 380 B) 400 0 342 D) 800 E)760 La región sombreada de la siguiente figura corresponde a :
- C ] u [fB n Cj - A ] u [íA n C) - B ]
¿Cuántos elementos tiene el siguiente conjunto? A) 35
{5 ; 7; 9 ; 11; .... ;8 3 } B) 40 041 D) 60 E) 45 Sea A un conjunto con dos elementos y fl un
conjunto con tres elementos, el número de elementos de P(A) x P(B) es: A) 12 B) 24 0 48 D) 64 E) 32 Sea A, B y C subconjuntos de un conjunto universal U. De las afirmaciones: / ) Si A c ( B u C j y A n C = i|i entonces A c f l
[t e M U 4 ’ f O
.V
K
.S
f f
4 //V
O
m
V
II) Si A c B ,entonces A c\ B = $ ( B = complemento deB7 III) Si A n B = é y B c C ; entonces A r\ C = 4». IV) Si A u B u C = U Entonces Ar\Br\C=4) A) Sólo II es verdadera. B) Sólo I, II y IV son verdaderas. C) Sólo I es verdadera. D) Sólo I y II son verdaderas. E) Todas son verdaderas. Decir cuál de los siguientes enunciados es falso: A )A c B a B c A - > A = B B )A c B a B c C - > A c C C )x e A
a
A e B -> x e B
D )x e A A A c B - > x e B E ) x e A A x e B —> x e A n B Decir cuál de los siguientes enunciados es falso:
AJA = #
a
B)A =
B = { * e R tx
a
x es p r im o J
- 3x + 2 = 0 }
Entonces A n B e s : A) * B ) { $ > C) {2)
c ia ie s
O I) OO) II) 10) 91) 90) 31)
C B E A B D C
de
ia
09) B 07) B 19) A 17) E 99) A 97) B 38) C
pe
r o v jf
s e g u n d a p r a c t ic a
09) C 08) D 19) D 18) D 99) E 98) E 33) C
04) C OO) B 14) C 1 9 ) AA 94) C 99) D
08) D lO ) Al IB ) C 90) O 98) D 90) C
n iS T O R IA -L A TEO RÍA DE CONJUNTOS G aorge C an to r (1043-1919) fu* quien prácticam ente form u ló de manare individual la teoría de con|untoe a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era al de formalizar las matemáticas com o ya se habla hecho con el cálculo cien arios antes. Cantor com enzó esta tarea por medio dal análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (p o r ejemplo, la definición de función ae hace estrictamente por medio de conjuntos). Este m onum ental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos. El problema apareció cuando se com enzaron a encontrar paradojas an esta teoría, tie n d o la m ás célebre la paradoja de Russell, y m ás tarde varios m atem áticos encontraron m ás paradojas, in cluye n d o al m ism o Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro «Principios de las matemáticas». Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, m uchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, y a que cu a lq u ie r s u p o s ic ió n m atem ática podía basara# an una teoría inconsistente.
B = $ -> A r\ B = 4
A = j x e N/x2 - 4 = 0
i.é c ir .1 r r r o K i.i
088
D) {1}
E) <-2}
La primera propuesta para solucionar al problema de las paradojas provino de un matemático holandés llamado Brouwer, quien propuso una redefinición radical de todas las matemáticas y prom etió una solución al conflicto. El programa de Brouw er se basaba en lo más simple de la intuición: al aceptaba los conceptos que son aparentes ■ la in tu ició n general. Esta filosofía rechazaba m uchos principios fundamentales de laa matemáticas, pero en cam bio, solucio naba aatiafactoriam enta el problem a da laa paradojas. Particularmente Brouw er rechazaba al principio del medio excluido, el cuál deeia que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad A o no la tienen, lo cuál seria la negación de la propiedad A . A esta corriente de pensamiento se le llamó intulcioniamo. Por otro lado, David Hilbert se opuso al intulcioniamo y aunque no toleraba laa paradojas, no estaba dispuesto a ver las matemáticas mutiladas. En 1904 propuso la teoría de la prueba, la cuál ara una teoría de la lógica independiente del contexto y podría ser aplicada a laa matemáticas sin encontrar paradojas. Russell a su vez desarrolló tu teoría da los tipos para evitar las paradojas. El proponía que loa anunciados se acom odaran jerárquicam ente. Russell publicó sus resultados en 1900 con la colaboración da Altred North WMtehead.
Sean los conjuntos no disjuntos A ; B , C y D
La cuarta respuesta a la paradoja fus de E m s t Zerm elo en 1900 con la axiomatización de la teoria de conjuntos.
donde se sabe que el conjunto A tiene 241 elementos, el conjunto B tiene 274 elementos, el conjunto C tiene 215 elem entos y el conjunto D tiene 282 elementos.
La mejor prueba de que la teoria da conjuntos no ha logrado unificar a laa matemáticas as que estas se han ramificado an áreas m u y diferenciadas, com o la aritmética, al álgebra, la trigonometría y geometría; también sa han separados distintos ca m p o s co m o al cálculo, la topología, la teoría da
Calcular el núm ero de elem entos que tiene la intersección de los 4 conjuntos sj es lo mínimo posible, además se sabe que la unión de los 4 conjuntos es 300. A) 68 B) 79 C) 87 D) 119 E) 112 C1AVES O I) A OS) C 1 1 )C io ) n M I) c 90) D 31) D
DE U PR IM E #¿1 PB A C T H 'A & 09) C 09) A 04) A 90) E 07) E 08) A 09) D 10) D 19) C 19) E 14) A 18) A 17) C 18) B 19) A 90) B 99) B 99) C 94) D 98) B 97) B 98) D 99) C 90) E 39) C 33} C 34} B
conjuntos, la teoria de los números y la estadística. El concepto da paradoja puede entenderse com o uno de los siguientes: * Una declaración contradictoria que parece ser cierta. * Aquello que exhibe aspectos o cualidades contradictorias o inexplicables. * Una declaración esencialmente contradictoria basada en un razonamiento válido de suposiciones lógicas. Las paradojas han existido en las matemáticas desde sus comienzos y han sido fundamentales para una formalización más cuidadosa de sus teoremas y layes. U n ejem plo m u y antiguo es la paradoja da Zan o, la cuál cobró importancia an el desarrollo dal cálculo; com o varem os más adelante, las p arado jas de la teoría de c o n ju n to s han h e ch o que loa m atem áticos cuestionen la consistencia da laa matemáticas y vean más allá de lo que hasta ahora sa ha formulado. P A R A D O JA DE C A N TO R : E L C O N J U N T O D E T O D O S L O S C O N JU N TO S Sea C el conjunto de todos ios conjuntos. Entonces todo subconjunto de C es asi m ism o un etemento de C ; luego, el conjunto potencia da C ea un subconjunto de C ; pero esto implica que la eardínalidad del conjunto potencia es m enor o igual a la cardinalidad de C . Pero entonces, según el teorema da Cantor, la cardinalidad da C debe ser m enor a la cardinalidad dal conjunto potencia. Asi pues, al concepto de conjunto de todos loa conjuntos lleva a una contradicción.
686 I
[A J r ,
O B J E T IV O S :
XCICLOPEDIA 2012)
Q
* Identificar y aplicar las distintas propiedades de las operaciones definidas en los números reales y operar con propiedad y exactitud en este conjunto. * Conocer los diferentes axiomas y teoremas sobre los números reales, respecto a la relación de orden entre ellos. * Saber operar adecuadamente con intervalos.
IN TR O D U C C IÓ N Z
Q = l— e p e Z , q e Z y q * 0 > . Algunos ejemplos de números racionales son 2 - 3 7 1 - 6 0 3* 4 9 5* 2* 1 9 l 9" * En este conjunto, la ecuación 2 .x = l tiene como solución x = í porque 2 x — = — = 1. 2 2 2
Gran parte del trabajo en álgebra tiene que ver con el sistema de números reales.
n * Como todo entero n se puede escribir como — , se
Repacemos ahora la composición de este sistema numérico.
tiene que todo entero es un número racional, es decir
* Los números 0 ; 1; 2 ; 3; ... usados para contar los elem entos de un conjunto se llaman núm eros naturales. El conjunto de los números naturales se
Z c i Q . Cualquier número racional puede representarse por un número decimal periódico y viceversa , así :
denota N (N = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 En este conjunto, ecuaciones como x + 5 = 0 no tienen solución porque no existe un número natural x que sumado con 5 dé 0. Es necesario ampliar el conjunto de números. * Así se tiene el conjunto de los números enteros formado por los números naturales y sus opuestos, se denota Z ( Z = { . . . - 3 ; ~ 2 ; - l ; 0 ; l ; 2 ; 3 ; . . . } . ) En este conjunto, la ecuación x + 5 = 0 , tiene com o sulución x = - 5 porque 5 + (-5 )= 0 . Se observa que todo número natural es decir N c Z*
un entero,
* El conjunto de los enteros tiene dos subconjuntos importantes: los enteros positivos^ Z += {2 ;2 ;3 ;...} y los enteros negativos Z ~ = { . „ - 3; - 2 ; - 2 }. * En los enteros, ecuaciones como 2 ¿c= l no tienen solución porque no existe un número entero x que multiplicado por 2 dé 2. Es necesario ampliar el conjunto de números . Así se tiene el conjunto de los números racionales, que son números que pueden escribirse como el cociente de dos enteros ,
con
q * 0. * El conjunto de los números racionales se denota
1 = 0 , 6 ; ^ = -0 ,7 5 ; 0,5444... =
♦
f •••
•Pero también existen expresiones decimales que son infinitas no periódicas como 0 ,2 2 3 4 5 6 7 3 9 2 0 2 2 2 2 2 3 ... estas expresiones corresponden a números no racionales. Así mismo se puede mostrar que la ecuación x .x = 2 no tiene solución en Q . Luego el número x = 4 2 solución de xjc= 2 es un número no racional. El número n que es la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es no racional. •Estos núm eros no racionales se llaman irracionales. El conjunto de los números irracionales se denota por /. * Los números racionales (decimales periódicos) y los números irracionales (decimales no periódicos) form an un con ju n to de núm eros llamados los números reales, • El conjunto de los números reales se denota por
Luego 7 = p u / .
[ K
O
l i m
V
K
^
W
I T
I f .t O
ItÉ t GH7
.V
0, tal que V a e R :
Se observa que Q c .R ; I < z R y 0 n /= ^ . • El conjunto de los números reales es, en cierto modo, el conjunto de todos los números que pueden escribirse como números decimales.
NÚM EROS R E A L E S ( R ) n ú m eros ra cio n a le s
--------------w números irracionales'
Q
n ú m eros n a tu r a les
a+0=0+a=a
A X IO M A S D E M U L T IP L IC A C IÓ N
n ú m eros en ter o s
z
.VI^IKIgOS W ?.IM ;S-W BSfGlt>ll.ll.ll>i;S ]
i
Mt Z LEY
D E CLAUSURA
Para todo a, b e R :a b e R , la multiplicación ab también es un real.
N
9fa : L E Y
t/. A partir de este capítulo podem os indicar que, estamos iniciando el estudio del álgebra superior . Pues la teoría que desarrollaremos es fundamental para el estudio de las funciones, lo cual corresponde al análisis matemático y además será muy importante pues lo que aprendemos aquí lo usaremos en los cursos de matemáticas básicas de los primeros ciclos de las diferentes carreras de ingeniería.
S IS T E M A D E L O S N Ú M ERO S REALES ( r ) Es el conjunto denotado por r , con dos operaciones entre sus elementos: adición ( + j y multiplicación (X), y una relación de orden « < » que se lee «es menor que», que satisface los siguientes axiomas:
AXIO M AS D E L A S A D IC IÓ N At: LEY D E CIAUSURA Para todo a, b e R la suma a + b es^también un número real. At : i E Y D E CON?ItT I TIY1DAD
CONMUTATIVA
Para todo a , 6 e R : a b = b a , la multiplicación de dos números reales no depende del orden en que son multiplicados. Ma : L E Y
A S O C IA T IV A
Para todo a ,b ,c e R : a •(bc) = (ab)*c, la multiplicación de tres o más números reales produce el mismo resultado, sean agrupados de cualquier manera . M E X IS T E N C IA Y U N IC ID A D D E L ELEM EN TO N E U T R O M U L T IP L IC A T IV O Existe un elemento en R y sólo uno, denotado por « i » distinto de cero, tal que, para todo a e R : a -1= l a = a M E X IS T E N C IA Y U N IC ID A D IN V E R SO M U L T IP L IC A T IV O
DEL
Para cada a * 0 en R , existe uno sólo un elemento en R denotado por «a “i»,"tal que: a ar* =&* a = l
AXIOM AS D E O IS T R IB U T IV ID A D Para todo a, b, c en R :
Para todo a, 6 e R la suma de cualquier par de números reales no depende del orden en que le sumen a + b = b + a . A , í LEY ASOCIATIVA Para todo a, 6, c en R : (a + b) + c = a + (b + c) la suma de tres o más números reales es independiente del modo en que son agrupados (asociados). E X IS T E N C IA Y U N IC ID A D ELEMENTO NEI'TRO A D IT IV O
DEL
Existe un elemento en R y sólo uno denotado por
D¡ : a ( b + c) = a b + a c D 2 : (o + 6 ) - c = a c + 6c
A X IO M A S D E L A R E L A C IÓ N D E ORDEN O
LEY
D E T R IC O T O M IA :
Dados a e R a b e R , entonces se cumple una y solamente una de las siguientes relaciones a
>
o
a =b
ó
b> a
[ e »8 1 0a :
LEY
**
NCICLOPEDIA 2 0 í 2}
TR AN SITIVA 2 t•
Para todo a, b y c e R se cumple que :
R Se puede ver que L está acotado superiormente en
09 :
L E Y A D IT IV A 2
Si a < b entonces a + c < 6 + c para todo c e R . El sentido de una desigualdad no cambia si ambos miembros se le suma un mismo número, que puede ser positivo, negativo o cero. 09 / Si a
SU S T R A C C IÓ N D E NÚM ERO REALES Para 2 números reales a , 6; se define a la sustracción de los mismos de la forma :
EJEM PLO: ♦Sea: L = { 1 ; 2 ; 3 ; 7 } 8 e Z esunacota superior de L, pues V x e L ; x £ 8 ♦ Asi mismo podemos decir que el conjunto L está acotado superiormente en el conjunto Z . C O T A IN F E R I O R D E U N C O N J U N T O : Sea R el conjunto de los números reales y L e R , diremos que el conjunto L está acotado inferiormente (o tiene una cota superior) 6i existe un número c e R , si y sólo si c es menor o igual que todos los elementos de L . CONJUNTOS A C O T A D O S í Sea R el conjunto de los números reales y L c B . El conjunto L está acotado si existe un número
D IV IS IÓ N D E N Ú M E R O S REALES Para 2 números reales a y b (b * 0), definim os la división de la forma:
c e R , tal que para todo x e L ; - c es decir el conjunto L es acotado si es acotado superior e inferiormente. EJEM PLO: L = { x e R / - 2 < x < 2 ) y, como vem os existen cotas tanto superiores como inferiores. El conjunto de cotas inferiores es { x e R / x £ - 2}
CO JU N T O S A C O T A D O S Si A es un conjunto de números reales, de un número finito de elementos entonces. A tiene un elemento máximo y uno mínimo. Pero también este conjunto puede tener infinitos números reales, en este caso A puede ser que tenga un elemento máximo y uno mínimo o tal vez no existen dichos elementos. EJEM PLOS: A = { - 8 ; 2 ; 6 ; 2 0 } ; en este conjunto el elemento máximo es 20 y el mínimo es -8. COTA S U P E R IO R D E UN C O N JU N TO :
y el conjunto
de cotas superiores es { x e R / x z 2 } con lo cual queda establecido que el coryunto es acotado.
S U P R E M O D E UN CONJUNTO Sea L un subcoqjunto de R acotado superiormente, diremos que un elemento de c e R es el supremo de L si y sólo si c es la menor de las cotas superiores deL. N ota ción : c = supL
IN FIM O D E UN CONJUNTO
Sea R el conjunto de los números reales y L e R direm os que el conjunto L está acotado superiormente (o tiene una cota superior) si existe un número c e R si y sólo si c es mayor o igual que todos los elementos de L.
Sea 6 un subconjunto de R acotado inferiormente , diremos que un elemento c e R es el ínfimo de L si y sólo si c es la mayor de todas las cotas inferiores deL.
Así:
N ota ción : c = i n f L
689
n rm vo8
A X IO M A D E L S U P R E M O Si «A» es un conjunto de números reales «S» que tiene , una cota superior , entonces hay un número (S) llamado el supremo de «A», que es la menor de todas las cotas superiores de «A ».
El número «r» es una cota superior de A , si o í r ; Va e A . R E P R E S E N T A C IÓ N G E O M É T R IC A DE LO S NÚM EROS R EALES 0 -
4oo x
O B S E R V A C IÓ N : Existe un último axioma llamado el axioma del supremo que es satisfecho p o r el conjunto de los números reales , pero que en general no se cumple en el conjunto de los números racionales. •Como se mencionó anteriormente, se puede establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta; de acuerdo con ella y dados los números reales «a » y «6 » diferentes, se tiene : a < 6 ó b < a Cuya representación geométrica es: B
A
B
A -Ia
a
00
\
KKXM.ES-IkEStGlWl.iKXIlES ]
/
/ \
x > O
a
b
Una desigualdad es una expresión que indica que un número es menor que otro.
R E L A C IÓ N D E O R D E N Dado un conjunto A distinto del vacío donde se
I) Un número « a » e R es positivo si: a > 0
define i ? e n A .
II) Un número «a » e R es negativo si: a < 0
R e s una relación de orden en A si verifica las siguientes propiedades:
III)U n cierto número «a» es mayor que otro «6* Si a > b ...(b < a )
I) (a ; a ) e R , Va e A (Propiedad reflexiva) II) Si (a ; b) e R
(b ; a ) e R => a =6
a
(Propiedad antisimétrica) III) Si (a ; b)
e
R
a
(b ; c)
e
R => (a ; c ) s R
(Propiedad transitiva) Como se ha definido en el conjunto A la relación de orden , entonces se dirá que A es ordenado, para ello se usarán los siguientes símbolos. > "m ayor < m en or qu e
ESTRICTQ S
^ ”m a yor o ig u a l q u e" £ "m en or o igu a l q u e"
N O ESTRICTOS
Se define la relación de orden en R , para ello diremos que el campo real es un campo ordenado. L\TER M *R E TACIÓ X G E O M É T R IC A D E L A R E L A C IÓ N D E O R D E N La correspondencia biunívoca que existe entre los números reales y los puntos sobre una recta se puede utilizar para dar una interpretación geométrica a la relación de orden <. La relación a < 6 establece que al grafícar en una recta numérica horizontal, el número a se encuentra a la izquierda de 6.
IV) Un cierto número «a» es menor o igual que otro **b >•Si: a £ b o [a < b ó a = 6] V) Un cierto número «a» es mayor o igual que otro «6» Si: a £ b o [a > b 6 a = 6] V7j Dada la cadena de desigualdades: a < 6 < c con a, b y c e R
NCM'EOPEDVX 2Óf8| I « 9 0 IEi5 « * TEORE¿IA 3 : (Ley de r.u r£ u riá v ) un único elemento - n e N y el axioma A4 asegura ¡V.ti*
la existencia de 0 e R , el conjunto
Z =
-2 ; - 1 ; 0; 1; 2;....}
V a ,b ,c e R ; S i ; a + c = b + c = > a = b D E M O S T R A C IÓ N :
es llamado el conjunto de los números enteros. Así N cZ cR III) El axioma M 5 asegura que para cada n e Z ,
* De : a + c = 6 + c a + c + ( - c ) = 6 + c + ( - c ) ............... sumando ( - c )
n * 0 existe un único elemento n 1 = — e R n * Entonces para todo m e Z , el número denotado m por min, — = m •n 1 e R ti * Así el conjunto Q = {m/n/mtn e l 9n * 0 } llamado los racionales están contenidos en R y se tiene
a+0=b+0
N c .Z c .Q k z R
a + (c + ( - c ) ) = b + (c + ( - c ) )........ (P. A sociativo) ............................. . (Elemento neutro)
-> a = b
TEOREM A * : Va e R , se cumple: - ( - a ) = a D E M O S T R A C IÓ N : * Partamos de: 0 = 0
PROPIEDADES DE LO S NÚMEROS REALES A partir de estos axiomas se demuestra todas las propiedades de las operaciones con números reales, sin embargo, aquí sólo se demostrarán algunas de ellas.
- a + [ - ( - a ) ] = a + ( - a ) .....(A5 ) [ - ( - a ) ] + ( ~ a ) = a + ( - a ) ...( M 2 ) - » [ - ( - o ) ] = a ....................... (Ley d e ca n cela ción )
TEOREM A S :
TEOREMA i :
Supóngase que a y b son números reales ab = 0 si y sólo B\a = 0 ó b = 0
Si a es un número real, entonces a a 0 = 0
D E M O S T R A C IÓ N :
D E M O S T R A C IÓ N :
S i : a b = 0 => a = 0 ó b = 0
Partamos de axO g- b = Q nQ ^ y nada que demostrar pues en tal caso a x 0 = a 0 + 0 ................................. (A4: neutro aditivo) se cumple la condición que se desea demostrar si b * 0 entonces por M s existe 6"1 en R tal que -* a xO = a xO + a xO + ( - ( a x O ) ) . . . ( A s: inverso) - + a x 0 = a ( 0 + 0) + ( - ( a x 0 ) ) ........(D: distributiva) -> ox O = ox O + ( - ( o x O ) ) ............. (A4) -> a y. 0 = 0........................................ (A6)
66*J = 1 de donde : a = a x 1.................M 4 a = a(fc&"; )... Af6
TEOREMA Z Z
a = (a fe jfc 1.... M 3
Para todo - x e R , entonces: - x = ( - l ) x
a = 0&_í............por hipótesisa b = 0
D E M O S T R A C IÓ N :
a = b '1 x 0........ ilf3
* Partamos de :
—> a = 0................por teorema 1
x x 0 = 0.............................. Teorema anterior
Si a = 0 ó 6 = 0 l + ( - 1 ) = 0.......................(elem ento neutro aditivo) del teorem a 1.
x ( l + ( - 2 ) ) = x x 0L........... m ultiplicando p o r x
A P L IC A C IÓ N
a b = 0 se 6igue inmediatamente
z
x x 1 + x ( - l ) = 0................distributividad
Resolver la ecuación : x 2 - 5 x + 6 = 0
x + ( - 2 ) x = 0..................... conmutatividad
R E S O L U C IÓ N :
x + ( - x ) + ( - l ) x = ( - xh ,.su m an d o ( - x )
* Factorizando : x 2 —5 x + 6 = 0
(x + ( - x ) ) + ( - l ) x =
-X ....P .
Asociativa
0 + ( - l ) x = —x ...................neutro aditivo ~+
(-2 )x
= -X
* Tenemos : ( x _ 2 ) ( x - 3 ) = 0 *
o x - 2 = 0 ó x - 3 = 0 -> x = 2 6 x = 3 * El conjunto solución es (2 ; 3}
Ft/TFJ.VO.V
|P |
TEOREMA S : Si: a 2 = b 2 o
« 8 1 JHÜI
n ^ /F f f o s n ^ m r $ - » K S ic i:ii.R t o F $ ]
• De lo cual: 0 < (6 + z ) - ( x + z ) • Sea x < 6 ^ x + z < 6 + z
a = b ó a = -6
TEOREMA 9 :
D E M O S T R A C IÓ N : * Primero demostraremos:
Si: a < b y c < d = > a + c < b + d
Si: a = 6 d a - 6 => a 2 = 6 2
D E M O S T R A C IÓ N :
a + (-6 ) = 6+(-6) ó
a + b = -b + b
a - b = 0 ó a+b=0 * De lo cual ; (a - b ) ( a + b) = 0
a < b ^ a +c
Os
c
Os
a+c
Entonces : a 2 - 6 2 = 0 => a 2 = 6 2
TEOREMA IO :
* Segundo demostraremos:
Si: a < b y c < 0 ^ a c > b c
Os
a 2 = 6 2 => a = b ó a = - 6 D E M O S T R A C IÓ N : a < b => a - a < b - a ................... Os
Así : a 2 = b 2 => a 2 - b 2 = 0 ........ A 5 ^ (a + 6 )(a - 6 ) = 0
=> 0 < 6 - a =>
Z>
c < 0 => (6 - a ) c < (6 - a ) 0 ... .. 0 4
=> a + 6 = 0 ó a - 6 = 0 ..........T eorem a 5
=> b e - a c < 0............................... D y teorema 1
=> a = - 6 ó a = 6 ................... A 4 y A s
^ > b c - a c + a c < 0 + a c ...............03
T E O R E M A 71
^ 6 c + 0 < 0 + a c ..........................A 5
Si: a e R y a * 0 => a 2 * 0
=> 6 c < a c
D E M O S T R A C IÓ N :
t
•Si a * 0 entonces a > 0 ó a < 0 , luego: I) Si: * > 0 = > * . * > 0 x =>x* > 0
j £.
=> ( - x ) ( - x ) > 0 ( - x )
=> a c > b e
A4
^
D E SIG U ALD AD E S
"v ^
Son relaciones de com paración entre dos o más cantidades reales de diferente valor.
%
II) Si: x < 0 ^ - x >0
= > x 2 > 0.
6 - a > 0 ... A s
r
.\
(Def de potenciación)
«Todo número diferente de cero, elevado al cuadrado es positivo»
E J E M P L O :■ S i: La edad de Juan es : 20 años La edad de Pedro es: 30 años La edad de Luis es : 50 años Se tendrá las siguientes relaciones:
A P L IC A C IO N E S :
1°) La edad de Juan es ménor que la edad de Pedro.
•Si: ( x - 2 ) ^ 0 a x ^ í ? ^ ( x - 2 )2 > 0
2°) La edad de Luis, es mayor que la edad de Pedro.
* Si: (t + 3 ) * 0 A t e X = > ( t + 3 ) 2 > 0 * Vy e * / ( y - 4 f ¿ 0 es verdadera * Vy e R ¡ ( y + 2 ) 2 > 0 es falsa:
3°) La edad de Juan es menor que la edad de Luis. Intuitivamente estamos comparando magnitudes reales de una misma especie. Las desigualdades solo se verifican en el campo de los números reales que asociado a la recta real podemos observar:
porque si y= - 2 ; no se cumple. TEOREMA 8 *
#t(+):R+
S i: x < 6 = > x + z < 6 + z D E M O S T R A C IÓ N : 0 < b - x -=> x < b b -x = 6 -x + z -z b - x = (6 + z) - ( x + z)
origen
u n id a d
[AJTv JZr-MSMXmxJi.
P$pi ggalK SS-T
Que para cada número real le corresponde un único punto de la recta real y recíprocamente para cada punto de la recta real, le corresponde un único número real. La correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de una recta real nos ayuda a dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales. Para la gráfica adjunta. A
A -o o
0
a
B _______ f e + o o
111
XViULOPEDMA 20t¿\
III) a > b <=> a - b es positivo (a -b > 0 ) IV) a < b <;> a - b es negativo f a - 6 <0) V)Si {a ; 6 } e JP+ entonces {a + fe;afe} c R +
VI) a ^ 6 » a > 6 v o = 6 VII) a < b < c o a < 6 a fe < c VIII) a >
fe
o
fe <
a
EJEM PLOS:
La relación a < fe (se lee: a menor que b) significa
* 3 < 5 porque 5 - 3 = 2 y 2 es positivo.
que al punto A le corresponde el número real «a » y se encuentra a la izquierda del punto B al cual le corresponde el número real «6».
* -7 0 < - porque - 6 - (-1 0 ) = 4 y 4 es positivo.
DEFINICIÓN D E DESIGUALDAD : Es aquella comparación que se establece entre dos núm eros reales, mediante los símbolos de desigualdad: < , > , ^ . Luego si a y b son números reales, entonces: a
* 7 > 2 porque 7 -2 = 5 y 5 es positivo. * -2 > - 7 porque - 2 - ( - 7 ) = 5 y 5 es positivo. 3 4
2 3 2 1 1 3 Pon Iue 4 ~ 3 ~ j 2 y l 2 eS P0SltlV0*
O B S E R V A C IO N E S : Sean a, 6 e R . Luego:
a <6 ; «a menor que 6»
* La expresión simbólica « a > b » tiene el mismo significado que «b < a »
a > b : « a mayor que 6»
EJEM PLO: 5 > 2 => 2 < 5
a z b : «a menor o igual que 6»
* La expresión simbólica « o á f e » significa que a <6 ó a=fe, es decir, cuando se verifica cualquiera de las expresiones: a <6 v a = b , escribimos a < . b
a t b : «a mayor o igual que 6» EJEM PLOS: 5 >2
cinco es mayor que dos
Como 2 < 3 , podemos escribir 2 <,3
3 < 6 ......... tres es menor que seis * La relación «mayor o igual que» (
EJEM PLO:
se define como:
a i6 o o > 6 v fl =6
Como 5 = 5 , podemos escribir 5 <>5
* La relación «menor o igual que» ( < ) se define como:
* La expresión simbólica « a £ b » tiene el mismo significado que 6 ^ a , es decir:
flS6oa<6vfl =6
a ¿ f e = > a > f e v a = fe
EJEM PLOS: 2 ¿ I o 2 > I v 2 =1 3 í 3 o 3 < 3 v3 = 3 Es suficiente que se verifique una de las relaciones de orden.
D E F IN IC IO N E S : I) Un número a e R se llama positivo si y sólo si a>0. II) Un número a e R se llama negativo si y sólo si a<0.
* Si a ^ fe a fe £ c , escribirem os abreviadamente
a i 6 í c< EJEM PLO: 4 <* x a x <.9 entonces 4 < . x < 9 * Las proposiciones a < 6, a > fe, a < , b y a 2: fe se denomina desigualdades. En particular, a < 6 y a > 6 se llaman desigualdades estrictas, mientras que a í 6 y a £ fe reciben el nombre de desigualdades no estrictas. * La relación de orden que hemos definido es un orden parcial; com o se desea un orden total, entonces es necesario una ley denominada ley de la
[e b i c i o n e n
« n t i.v o ^
wm
e o s I S M ~ iV T > fF H O .< W F .I L M -llK S y G I U I .f t lf lF S ]
tricotomía.
I ) IN T E R V A L O A C O T A D O
LEY D E T R IC O T O M ÍA t
Es aquel intervalo cuyos extremos son finitos . Este puede s e r :
V a e R ; sólo se puede establecer una y sólo una de las tres relaciones :
El conjunto de los núm eros x que satisfacen la desigualdad a < x < b se denomina in t e r v a l o
a>0va=0va<0 teorem a
1 ) IN T E R V A L O A B IE R T O
:
a b ierto y se denota por (a ; b) ó ]a ; b [ .
Va; b e R , se tiene a > 6 v a = 6 v a < 6 EJEM PLOS:
Por tanto :
Dado los números reales: -6 ; 3 ; - 3 y 4; se cumple que:
R E P R E S E N T A C IO N E S
-6 < - 3
3 < 4
-6 < 4
-3 < 4 a b x e (a ; b) =♦ a < x < b
R E C T A N U M É R IC A R E A L Es aquella recta geom étrica donde existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los puntos de la recta y el conjunto de los números reales. ( + ) p o s itiv o s B J2 + + ► 4 4-f 4 +oo 2 5 3 -2 .1 O L I 2 I 2 2 ( -) negativos
Se observa que la representación de los números irracionales en la recta num érica, determ ina la completitud, es decir, que a cada número real le corresponde uno y sólo un punto de la recta y cada punto de la recta es imagen de un número real, por tal razón el conjunto es continuo , es decir, no existe ningún vacío entre sus elementos.
—00
a
S ) IN T E R V A L O
*Los números a la derecha de 0, son llamados positivos y los números a la izquierda de 0, son llamados negativos, el 0 no es negativo ni positivo.
INTERVALOS Sea / un subconjunto de R ( I c. R ) . Decimos que / es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales).
C LA SE S D E IN T E R V A L O S : Si I es un intervalo, puede ser : a c o ta d o o no a cota d o.
CERRADO :
Si a , b e R con a £ b , se llama intervalo cerrado y se denota por [ a ;6 ] , al con ju n to de todos los números reales x, tales que a 5 x ^ 6 Es decir :
R E P R E S E N T A C IÓ N :
x a
O B S E R V A C IO N E S : • ao; —ao; son ideales infinitos no son números reales.
+oo
x e
[a ;
b]
=>
a < x
O también: - oo
+oo
a
a
9 ) INTERVALOS
b SEM IABIERTO S :
El in terv a lo sem ia b ierto p o r la izq u ierd a es el intervalo abierto
ju n to con el extrem o
derecho 6. Este intervalo se denota por (a ; 6 ]; de modo que
094 1
( ____________________________ R E P R E S E N T A C IÓ N : V*»
SCH 'LOPEBIA 9 0 1 2
O PER AC IO N ES EN TRE INTERVALOS
Y'
Se define el i n t e r v a l o s e m i a b i e r t o p o r l a d e r e c h a
Si los conjuntos A y B representan un intervalo de números reales, se realizan entre ellas las siguientes operaciones:
de manera similar y se denota por [ a ; b )
I) UNIÓN: A u B = { x / x e A v * e ¿i}
* Asi:
II) IN TERSECCIÓ N : A n B = { x / x e Á A x e B }
R E P R E S E N T A C IÓ N :
III) D IF E R E N C IA : A - B = { x / x e A * x e B ]
— OO
a
+ oo
b
IV) CO M PLEM EN TO : A '= {x / x e R * x * A ) - oo
+CO
U ) IN T E R V A L O S N O A C O T A D O S Es aquel intervalo donde al menos un extremo es el ideal +ao 6 —co. Los siguientes intervalos son no acotados. A ) [ a ;+<*>)= { x e R / x 2: a }
— OO
a
•
I
Sean los conjuntos: A = [ - 4 ; 5[ ; B = ]0;8] ; C = [-2;+ co[ realizar las siguientes operaciones: 2 )B r\ C
3)A -C
4 )B ’
R E S O L U C IÓ N : 4oo
B ){-< x > ;a ] = { * e R / x £ a }
—oo
Á = R -A EJEM PLO:
D A kjB
r • V
A 9 = complemento de A respecto a R
l)A vB = ? Como: A = \-4;5[ y B = ]0 ;8 ] • Graficando :
4oo
- OO
+0 0
C 7 (a ;+ o o ) = { * e R / x > a }
2 ]B n C = ? — oo
4oo
Como: B = ]0 ;8 ] y C = [-2;+ oo[ * Graficando :
D ) { - < a ; a ) = {* e R / x < a }
— oo
4oo
—OO
+oo
EJEM PL O S: • {2;7)= {xeR / 2< x< 7} • [ - 5 ; 7 ] = { x e R / - 5 <. x < .7 }
• <5;+a>)={*eJ?/*>5} • {-*> ;-l]= {xeR / xí-l}
3) A -C = ?
Como: A = [~4;5[ y C = [-!;+<*>[ • Graficando:
O B S E R V A C IO N E S : -00 • {-oo;+co)=R Toda la recta numérica •Si a = 6 =>[a ;6 ] = {a }
4) B 9= ?
•Si a = 6 => (a ;6 ) = { }
Como: B = ]0 ;8 ]
(Es el conjunto vacío)
• Graficando:
i
-4
-1
4oo
|W 8
[Ent€'J&XK96 IW a iB tO ^
—
I
00
T
I8
x ’t i H
F .w
ta + i
n K - ir iv S - P E S f c i^ f A ii» ;^ ]
P R O P IE D A D E S G EN ER ALES D E L A S D E SIG U A L D A D E S
+00
•# S O R D E N T R A N S IT IV O : V a ,b ,c e R
C LA SE S D E DESIGUALDADES
S i: o < f r A 6 < e o a < c
De acuerdo a su estructuración matemática, estas pueden sen
EJEM PLOS :
A ) D E S IG U A L D A D E S A B S O L U T A S
En la recta r e a l:
Son aquellas que se verifican en el campo de los números reales y a su vez pueden ser numéricas o literales.
—00 -1 2 - 1
2
<
- 2
a
—
-2 2
<
8
= >
0 — 1 2
<
8
+ °°
8
O , : O R D E N D E L A M O N O T O N ÍA :
EJEM PLOS:
V a ,b ,c e R
t ) XVMÉKMCASZ •7 > 0
D)LMTEBALES mx * > - 2
M)LEY á O I T I F á :
*9 > 2
*-5 < (x-2 )4
Si: la < 6=»~o~+c < 6 + e|
* --< 1 0
*xe +y6*0
O ) U f f M U L T IP L IC A T IV A :
B ) D E S IG U A L D A D E S B ELATM VAS S
S i: c e R * A a < b = > a c < b c
Estas desigualdades se conocen tam bién con el nombre de inecuaciones y se caracterizan por que se v erifica n para un con ju n to de valores denominados ccnjunto solución y su representación se visualiza en la recta real.
S i : c e R~ A a < 6 = > a c > 6 c
EJEM PLOS: I) La inecuación: 4 x - 3 > 5
TEOREM AS: I) Si a los dos miembros de una desigualdad, se suma o resta una m ism a ca n tid a d , el sign o de la desigualdad no se altera. Si: a > 6 ^ a ± c > 6 ± c l
»
Se verifica para todo valor dé .x ’ m ayor que dos (x > 2 ) *7 * Su representación gráfica en la recta real seria de la siguiente forma: .'jí ••
j
—
II) Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una cantidad positiva el signo de la desigualdad no se altera.
Si:
^
I) a c > be a>bAC>0=^
400
W La inecuación: x * - 25 5 O se verifica para todo x, tal que : x £ - 5 a x £ 5 * Su representación gráfica en la recta real sería de la siguiente forma :
UI) Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una cantidad negativa, el signo de la desigualdad se invierte. Si:
I )a c < be o
—00
—
-5
—
O
>6
ac
♦ El coryunto solución de una inecuación se expresa mediante intervalos.
< 0 ^ „ r -> C C
+00
* Más adelante analizaremos la solución explícita de los diferen tes tipos de inecu acion es que se presentan.
A l 7 /j — > — c c
IV) Dos desigualdades de signo contrario se pueden resta r m iem bro a m iem b ro y el sign o de la desigualdad resultante es el mismo que hace las veces de minuendo, es decir:
♦ Dado el sistema:
ra í a>b
(I)
c< d
(II)
096
|
X C U 'LO P EIH A 2012}
X) a , b e R y son del mismo signo, entonces: , a
o
1 1 —> — a b
a> b
o
1 <— 1 — a b
* Se cumple que : a -c> b -d
v c-a < d -b
V) Dos o más desigualdades del mismo sentido se pueden multiplicar o dividir miembro a miembro y el sentido de la desigualdad no se altera, siempre y cuando los m iem bros de las desigualdades sean cantidades, positivas. V a ,b ,c ,d e R* a >b
(I)
c > d,
(II)
TE O R E M A S B Á S IC O S D E L A D E SIG U A LD AD Dados a ,b ,c ,d e R 1) S i a > 0 y 6 > 0 , entonces a + 6 > 0 2) Si a > 0 y 6 > 0 , entonces a&>0
Si: « 3)Sia<6 transitiva)
y
6 < c , entonces a < c (propiedad
* Se cumple:
4) Si a < b, entonces a + c < 6 + c
VI)Dos desigualdades de s igno contrario y miembros positivos se pueden dividir miembro a miembro; el signo de la desigualdad resultante es el mismo que el signo de la desigualdad que hace las veces de dividendo.
5) Si a < b y c < d t entonces a + c < 6 + d
* Es decir : V a ,b ,c ,d e R*
8) V a e R : a 3 £ 0
a > b,
6) Si a < 6 y c > 0 , entonces a c < be 7) Si a < 6 y c < 0 , entonces a c > be
(I)
9) Va,b,c,d e R* ¡a < 6
Si: c
a
c
(II) 10) a b > 0 o
* Se cumple:
(a >
0a 6>0)v
11) ab < 0 o ( a > 0a& < 0) v VII) Si a los dos miembros de una desigualdad se eleva a una potencia impar o se extrae raíces de índice impar, el sentido de la desigualdad no se altera. Es decir: * Si* ' 2n+ l > iy2n+ l I) a a > b -= > ;n e Z
(a <
(a
0 a 6 < O)
< 0 a 6 > 0)
12) a > 0 o — > 0 a 13)a < O o — < 0 a
14) Si a y 6 tiene el mismo signo entonces 1 1 1 a
V7//JSÍ a los dos miembros de una desigualdad de términos negativos se eleva a un exponente par, el signo de la desigualdad se invierte, es decir:
15) a < x < b
a 2 < x 2 < b2
; si 0 < a < b
I)S i a > b => a 2n < b 2n
O Z x 2 < m a x ( a 2; b z )
;s i a < 0 A 0 < &
U ) S i a < b ^ > a 2 n > b 2n
o
Va, b e R
1,2
.
IX) Si: a e R , tal que:
a * 0 =} a >0
16) a +—£ 2 ; Va e M a
; si a < b < 0
6
9
7
I
V
l
M
E
R
O
S
K i : \ I , * : S - í > K S I G l : \ i n \ M * F : S
EN GENERAL :
17)b + ^ Z 2 ;V b e R~ b
Dados: a ¡ , a 2 , a 3 , a 4 ,..Ma n e R +, definimos
18) a2 + b2 £ 2ab; Va9b e R
Media Aritmética: M .A . = ° ' + ° » + ° » + - +
19) a2 + b2 + c 2 Zab + ac + bc ;V a 9b9c e R 20) S i: xx; x 2; — ; x n e R+
Media Geométrica: M .G . = $ a ¡ x a 2 x a s x . . . x a n Media Armónica: n
Af.H.= además: x tx 2 — * „ = J ^ x ¡ + x 2 + ... + x n ¿ n O B S E R VA C I O N E S
± + ± + J -+ ...+ J . al a 2 a 3 at t e o r e m a s
:
* En general para cantidades cualesquiera
í i ± £ : se denomina M EDIA A R IT M É T IC A 2 : se denomina M ED IA GEOMÉTRICA.
MAS MEDIAS
M.A. 7> M.G. £ M.H. * Cantidades diferentes: M A . > M .G. > M.H. * Cantidades iguales: M A . = M .G .= M.H.
a+b
H
a + b + c ^ 3í—r - ^
1 a
a+b+c+d
b
; Va9b9c e R * e
¿ Habed; Va9b9c9d e R+
EN GENERAL : 22) a t + a t + mmt+a'» ^ »jaI x a 2 x . . . x a m ¿ n
donde: OD: Es la media aritmética de los segmentos AB y BC DB: Es la media geométrica de los segmentos AB y BC DF: Es la media armónica de los segmentos AB y BC
Media Aritmética
Media Armónica
± + ± + ...+ -L
°J « i
; 0 < a < 6; «ro» no es fracción propia positiva.
; a;b e Z*
Media Geométrica
n
24) Si:
a o
>b a x > 0
O.
)
[v%. donde: x 2; x 2 ; . . . ; x p
[rite 10 9 8 e
| •■¿ao
NCICLOPEDIA 2 0 1 g]
M E D IA S P O T E N C IA L E S Z
R +a n e N
m
Se llama media potencial de orden k (k e R )
=> a a S a ^ / V a * / ? 25) Sea x 2; x 2 ; . . . ; x rt e R +
a
de los números positivos x iPx 2 9X j, cantidad :
ne N
jX^ a lá ¿
Jxf + x} + x¡
4
+ .....
+ x¡¡
( Jpf + x * + x * + ^ . „ + * * V
;
l
»
J
• ahora si hacemos : /) para m = l t se obtendrá :
26) Si a 1; a 2 ; . . . a n ; b 1; b 2 ; . . . ; b n e R* además:
X
m 2 = MA =
—+£ = 2 /p ,g e R + P 9 => a ¡ b j + a 2b2 + ... + a nbn Z
(af+af+.„ +aí)p(6y+6J +. • + « ) /
x— í—
27) \ambnc p )m+n+P
l 9
m+n+p
0 < I < 7< 7 a
ÍO < - c < - b < - a *Si:a<6
a
n e Z*
0 < b 2n < a 2n a 2n+i < b 2n+i < 0 2n+4 £ < 2n+Jb < 0
1 <... <
X *
+
+
X ,
n
II) para m = 2 , se obtendrá : _ m« = M C =
x /+ x | + x | + n
+ x I»
LA MEDIA CUADRÁTICA:
LA MEDIA ARMÓNICA i II) para m = 0 , se obtendrá : m0 = L im m k = M G = y]x¡x2x 3...x n La MEDIA GEOMÉTRICA O B S E R VA C I Ó N : Como la media potencial m k de los núm eros positivos x 29x r X j,......,xAes una función decreciente (ver funciones), es decir : s i : a < b -> ma < mb verificándose la igualdad ma =m b , si : * i = * * = * * = ..... =*»
1 < x < x 2 < x 3 < x 4 < ...
♦Si: l < x
+
-i + x 2-i + x 3-i + ......+ x n -i \_* x2 m.2 = M H = n
- c < -b < -a < 0 •Si: 0 < a < b < c •=?>■
• Si: a < 6 < 0
X o
III) para m — 1 , se obtendrá :
O B S E R VA C I O N E S a < b - + a 2n~2 < b *2n~l n i, VneN * 0 < a < b -> a 2n < b 2n 'Jn, V n e N
b
+
LA MEDIA ARITMÉTICA :
ma + nb + pe * ----------------------—
c
,
< \/x < J x < x
E N P A R T IC U L A R : m _ 2 < m 0
0 < ... < x 4 < x 3 < x 2 < x < 1
•Si 0 < x < l
0 < x < J x < J x < ifx < . . . < J
D E S IG U A L D A D
• Sea el polinomio cuadrático:
P(x) = ax2 +bx + c Se cumple que: Si: P (x) > 0; V x e R
«Teorema del trinomio positivo»
de
C A u c n r -s c n w A R Z
TEOREM A (Desigualdad de Cauchy - Schwarz) Sean 6 j , . . . , bn, números reales, entonces :
a n,
| / a J 6 j + g g f r g + . . . + a w 6 l. /
6 * ,J
S f a f +
a | + . . . +
q * j ( 6 f + 6 * + . . . +
^18
m La igualdad ocurre si y sólo si las n-uplas (a¡ ; a t ;... ; a n) y ( 6 ,; b s ; ...; 6B) 6on colineales . D E M O S T R A C IO N : Haciendo:
A=
2
bf
E «, 1=1
K
JVlMKROS R K ,tM g$-»F SIC rzll,fttP F S ]
E L I.E9L\ D E T IT U Sean a Jt a r ..., a n números reales arbitrarios y x v x v ... , x H núm eros reales positivos, se tiene la desigualdad
“a )
s
Entonces tenemos que : 2
D E M O S T I i. 1C IÓ .X :
A-® -t ó -’ )[£ * í ) - ( £ * * )
* Aplicando Cauchy-Schwarz :
= E c tfb f+ Z a fb j - T a f b f - 2 1=1
l* J
1=1
= X a?bj-2 U
j
I
-
E
a ,ty * A
1 £ J< J< ;j>
a ib¡a,bi
=^í— +— +.«+ — ¡f¿r.+*-+.„ +x_ la /a, +«*+«. +a_ )*
l-Ü < J in
2 i.2 = £ (a ,, & ?+ aí& ,*)-2 I*,/
=
£
£ líUjsn
(x t
£
o L a .6 , '
xa
XJ
De donde tenemos que : 2
af
a i ^ ( a j+ a 2+ ...+ a n) * i+ * o +•••+*n *2 n Como vemos, es una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz y por ello algunos afirman que simplemente es la desigualdad de Cauchy-Schwarz
1 l2 ( a f b j - 2 a ¡bjaJb¡+ajb?)
( a f i j - a f a )3 >.0 => A-B'Z.O - A > B
lil< J íR
O T R O aU E T O D O :
OTRO M ETODO :
Definamos el polinomio cuadrático + (a 2x - b 2)*+~.+(aHx - b nj a j& c R
(Por inducción). Veamos que la inducción se reduce aj n = 2.
Vemosque f(x ) £ O , para todo x e R .
a f + a|
.(
'
Efectuando:
xi
ffx)« fo j* * - Sojbt* + * íl+ ío | xt -2a0>tx + ^ Jl+ ^ + o ¿ í* =*fix)~Mx* - 2Nx+Pi
(
xs
x ¡+xx
a ?x i +<*2X¡ ) ( x ¡ + x2) £ x ¡x 2( a f + a !+ 2 a 1a2)
^ oj *2*¡ +0]
4
O
(aj+a2)s
= > a f x f + a f x f - 2 a ¡ a 2x Jx 2 ¿
donde:
0
/ £0
o f+ a J + ...+ a ¡* A Í
A ( a l bi + a sbí + . ~ + a Hbm) * N A a * +
* }+ ...+ 6 f * P
Luego M r2 - 2Nx + P £ O, para todo fe»x e R , y esto ocurre si A á 0 . ( A : Discriminante. ) En efecto
+02*/ +<*2*j*2 2 0] *1*2***2*1*2
A=r _ 2^ 2 - 4MP S O => 4N2 - 4 M P <, O => N * £ M P
Reemplazando, tenemos que : (aJb1+a2b2+... +anbnf i ( a f + af+.» + a*Xb¿ + 6*+.„+6*). La igualdad ocurre cuando f(x ) presenta raíces reales iguales. => (alx - b l )= 0 K(a2x - b 2) - 0 a ...a (aBx - 6 BJ=0 o a¡x = 6; a a2x = 62 a ... a aHx = 6B de donde (a Jf a^,... a B) y (bx, bg, ..., 6n) son colineales o proporcionales.
a 1l = _ a2 y a igualdad a se tiene si y sólo si — x i X2 Aplicando el resultado dos veces se tiene que : a 1
a
«f
**2
**3
(g ,+ g a+o3>
*3
x "*1,+ x -+ x
Supongamos que se cumple para n : <*í + « I + *1
+ a l ^ ( g j+ q g+ -»q n) 2
*2
x n
x,+Xo +..^r.
Veamos para n + l : « f I a ! |... | ° * 1 1 ^ f a J+ a ,+ ...a n>2 ( g® n+l * „ J * n+1 x ,+ x 2+.. jx„ xn n+l
(a ,+ a 2+...an+¡) X j+ X 2 + ..,x n + j
B B
700 I i&á*
XCICL OPEDMA 2012]
DESIGUALDAD DE SCHUR Si a, b, c son números reales positivos y n un entero positivo, entonces :
Haciendo x = —í —, y = * z= a+1 b+19 c+ 1
se
tiene
b - z + x f9 c - * + y z y El matemático FR1EDRICH SCHUR ( 1856 - 1932 ) estableció en 1 9 0 9 lo que se d enom inó la DESIGUALDAD de SCHUR : D E M O S T R A C IO N : Como el prim er miembro es sim étrico, entonces podemos asumir un orden. Sea a t b ^ c * entonces: a -z£ b -z;a -b ^ O = > ( a - b ) ( a - z ) 7 : ( a - b ) ( b - z ) ; a n Zbn ^>an( a - b ) ( a - z ) £ bn( a - b ) ( b - z ) . . . . ( i ) También :
o
Ahora veamos otra condición : Para a, b, c > O y a b + bc + ca + 2 a b c = 2 la sustitución es : x . y z a= , 6 = — — , c = --------y + z z+ x x + y pues a b + bc + ca + 2 a b c= 1 equivale a 4 = í . + i . + i . + 2 es decir, en la prim era abe a b e sustitución sólo ha sido cambiada por la inversa de o, bf o. E J E R C IC IO 1 :
(c - a)(c - 6) £ 0 , pues a £ c ; b £ c
Sean x, y números reales tales que x* + y 2 = 2; halle la variación de 3 x + y.
c*(c - a)(c - b) 2 0.....
R E S O L U C IÓ N :
(ii)
* Sumando (i) y (ii) : aH( a - b ) ( a - c ) + c n( c - a ) ( z - b ) Z bH( a - b ) ( b - c ) => am(a -b )(a - c ) - b n( a - b ) ( b - c ) + c n( c - a ) ( c - b ) t 0 = > a*(a -b)(a —c) + bn( b - a ) ( b - c ) + c * ( c - a ) ( c - b ) ^ 0 La igualdad ocurre si y sólo si a = 6 = c
D O S SU STITU CIO N ES M U Y ÚTILES Si en las inecuaciones tenemos la condición x y z=2, es conocida la sustitución a b 9 c z= — x =-r y = b c a
Como nos piden la variación de 3 x + y que es equivalente a escribir 3 x x + l x y ; entonces escogemos los pares (3;1) y (x& ) para aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. En efecto, tenemos: ( 3 x x + I x y f ¿ ( 3 2+ l 2 ) ( x 2 + y 2 ) o ( 3 x + y ) 2 s (1 0 )(1 ) o
(3 x + y )2 Z 10
<=> - y f l ó <, 3 x + y <.>¡10 3 x + y e [ - yflO; >¡10] E J E R C IC IO 2 :
•
P
P
Sean m £ l ; n £ 2. Demostrar que :
que hace que el problema se convierta jen otro más fácil; aunque esto no es siempre para todo problema. Veamos otras sustituciones que son muy útiles en la resolución de problem as de desigualdades en demostraciones : Si
tenemos
las
condiciones x , y f z > 0 y
xyz = x + y + z + 2 , nos preguntamos, ¿cuál sería la sustitución?
'
'*
m R E S O L U C IÓ N : Consideremos los pares ( j m - l ; > ¡ n - l ) \ — ]y \m n ) aplicando la desigualdad de C auchy-Schw arz tenemos:
De la condición x yz = x + y + z + 2 tenemos : abe + ab + ac + bc + a + b + c + l = a b + ac + bc + 2(a+ b + c) + (a+l)(b + l)(c+ l)* (a b + a + b + l)+ (a c + a + c+ l)+ (bc+ b+ c+1) ia + l)(b+ l)(c + l)= (a + l)(b + l) + (a + l)(c+ l) + (b + l)(c+ l)
=> j « — + - L + — c+1 b+1 a+1
( >Jm-1
y/n-l}2 w
,
tí( 1
1}
i(m+ \
m
n
)
Vm
n*)
La igualdad ocurre si y sólo si m = n.
BEBI 7 0 1
E J E R C IC IO 3 :
IlfflBH
I V V M E t t O S H E J tM M S -M tR S M G U J U J U M E S
1
T E O R E 9IA 2
Demostrar que : Sean . x it x 2 , . . . , x n números reales positivos
4
( x 2+ x y + y 2) 2 £ ( x s + 2 y 2 ) ( 2 x s + y 2 ), para todo
entonces su Media Aritmética es mayor o igual que
*, y números reales .
su Media Geométrica (M A > MG).
R E S O L U C IÓ N :
La igualdad ocurre si y sólo si x¡ — x 2 =
* Tomamos las ternas (x;x?y), (x;y?y) para aplicar la desigualdad áe Cauchy-Schwarz.
•••
= *
D E M O S T R A C IO N :
* En efecto :
Sea PH= {M A > MG para n núm eros}; probemos por inducción matemática de la siguiente manera :
( x x x + x x y + y x y f ^ ( x 2+ x 2 + y 2) ( x 2+ y 2 + y 2) * Luego tenemos : ( x 2+ x y + y 2 )2 Z ( 2 x 2+ y 2 ) ( x 2+ 2 y 2 ) * La igualdad ocurre si y sólo si * = y.
I) Probaremos que se cumple para dos números, es decir Ps es verdadero. ; II) Tom ando la hipótesis que P n es verdadero, probaremos que P n_¡ es verdadero.
TEOREM A : *
III) Así mismo probaremos que si P n es verdadero entonces P 2n es verdadero.
Si el producto de unos números positivos x x ; x s ; x s ;....;xn es igual a 1 t la suma de los mismos no es menor que n: SI •
Xj *
x . =2
x ,+ x * + x 9+
Cuando (I), (II) y (II) se verifican, entonces P Hcon n > 2 es verdadero. Veamos :
+*„>»»
E J E R C IC IO 3 : KM
x2+2 Demostrar la desigualdad :
>2
I) Como x 1, x 2 € R * > entonces rV ' luego
x 2 +2 «
R E S O L U C IÓ N :
A
6
»
2 — -v/^2^) > °
Efectuando : ^
+^ > 0
Tenemos:
x2 +2
X2 + 1
y fJ T l
J sT i
Xj + X2 > 2y}XjX2
.
<
+ VX * + 1
- M
X j + X ,
m .*s
+1
<* Puesto que el producto de los sumandos del último miembro es igual a la unidad, laiu m a de los mismos no es menor que dos. El signo de la igualdad tiene lugar sólo para x = 0 . —
D E S IG U A L D A D D E L A M E D IA A R IT M E T IC A -M E D IA G E O M E T R IC A
Definiremos la Media Aritmética, Media Geométrica y M edia Arm ónica de los números
x ¡9 x 2 f , x n reales positivos, de la siguiente manera:
La igualdad ocurre si y sólo si X j=x2. Vemos que P2 es verdadero. II)
Sea
g = n-^ jx 1x 2 ..JCn_¿ , ,
g
— X j X2*»:Xn_ l . C om o Fj,
entonces verd a d ero,
entonces : -
x i + x 2 + '" + x n -l+ S n
> ^ x 1x 2 .^ x n_ 1.g
X1 + x 2 + . . . + X„_J + g
8
n
O x¡ + %2 + ... + xn_! + g > n .tfg " = ng Xj +•X2 "h •••+ * » - i
MG = yJXjXg ... *.
MU — — 2
X , + X o + . . . + X,n—1
n
+ ± + •••+ x2
n —1
2 De donde:
>
£ ("-* )
jym I r o a Xj + x 2 + . . . + x n„ 2
n_ 1r — £
r t-I Vemos que P ^ es verdadero.
NCMCLOTEDMA 2012]
ir a
COLORARMO í
-
y j x l x 2 *” x n —l
*
(D esigualdad de la M edia A ritm ética - M edia Armónica)
IJJJ Sean X j + x 2 4- — -h x 2„ números
reales
positivos, entonces :
Sean X j f X 2 9 * . , , X n núm eros reales positivos, entonces :
Xj+Xg +.~ + X2n = (*j + *i) + (*3 +*<) + »‘ + (*2»-J + x2n) > 2 ( 7 * , * ,
+
j x 3X4
+ — +
j x 2n—l x 2n ) * ”
* ( Q :)
Como PB es verdadero, entonces : fcrZ-” C2lt-lX " \ 2n " C \fVXiX2 + \X 3X4""JX
w «■
D E M O S T R A C IO N :
) x ¡ x 2 + yjx3x 4 + ... + yjx2tt_ ¡x 2H >
La dem ostración es inmediata, transitividad, se tendría, ya que :
M A > M G A AÍG > M H =* MA > M H .
Es importante observar que de MA > MH
De a y y? tenemos que :
Xj + x 2 + . . . + x w n se tiene
> 2 n 2tfx 1x 2 ...x 2n
x2+ x ¡ + . . . + x 2n >9mnrz — — 2n
por
T¡)x¡x 2x 3x 4..je2m_ Jx 2ít
n
j x ¡ x 2 + ) x 3x 4 + ... + j x 3m_ jx 2m > 2 n 2sjy[xix 2x 3x 4. . j : 2H_¡x ^ ...{$ )
x¿ + x2 + —+
pues
n
— \l 1 2 ’m *x 2n9 ( Xj + x 2 + ... 4* x n)
de donde P ^ es verdadero.
x
1 1 1 --- + -----+ •••+ ---X1 x 2 xn s 1 1 > n ----+... + ---x2 xnJ
E J E R C IC IO 1 :
COROLARIO : (Desigualdad de la M edia Geom étrica - M edia Armónica) Sean x J + x 2 ...,x „ núm eros reales positivos,
Sean x , y , z números reales positivos. Demostrar que: — + —+ —> 3 y z x R E S O L U C IÓ N :
entonces su Media Geométrica es mayor o igual que Como x , y, z € R* , entonces podem os utilizar
su Media Armónica (M G > M H ).
MA
La igualdad ocurre si y sólo si x ¿ = x 2t =
x + y + ± y z x > s l ^ L x £. y c x
D E M O S T R A C IO N : * Aplicando el teorema a los números
= + — + £ + —-> 3 x ? / I y z x
1_ J _ X1 *X2
n
reales positivos, tenemos:
U
±
x¡
x2 n
-&■
h Xj
i + y-+ L > 3 y z x La igualdad ocurre si y sólo si x = y = z
+ ...+ l n
1 099
X1 x 2
K *. H x 2
>
1
I2
D E S IG U A L D A D D E B E R N O U L L I Y L A M E D IA P O T E N C IA L
*n
n
>
La desigualdad de Bernoulli es muy importante, puesto que es m uy utilizada en el análisis matemático y en otras ramas de la matemática.
x n
% jx1x 2 , . . x n —
2
I
I
+..♦ + X ocurre si y sólo si x¡ = x 2 = ... = x n .
M G . En efecto :
X
Xn
La notable familia suiza Bernoulli realizó grandes aportaciones a las matemáticas y a las ciencias. En tres generaciones produjo no m enos de nueve miembros de la familia que lograron preeminencia en matemáticas o en física (cuatro de ellos
nwjrtwN4>&
IB B
recibieron distinciones de la Academia de Ciencias de París), los que a su vez prodqjeron un enjambre de descendientes que dejaron huella en muchos campos del conocimiento. Jacques Bernoulli nació el 27 de diciembre de 1654 y murió el 16 de agosto de 1705; fue el quinto hijo de una gran familia. También se le encuentra como Jacob, por la traducción de su nombre al alemán, y como James, por su traducción al inglés. Estudió teología; pero la abandonó en favor de las ciencias. De manera autodidacta aprendió el nuevo cálculo de Newton y Leibniz y fue profesor de matemáticas en Basilea desde 1687 basta su muerte. Escribió sobre series infinitas, estudió muchas curvas especiales, inventó las coord en ad as polares y presentó los números de Bernoulli que aparecen en la expansión en serie de potencias de la función ta n (x) y que son útiles para escribir el desarrollo en series infinitas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas.
XVyfFROS RRII
7°*
para x > - 2. Veamos m or=— , m, n € Z +con 1 < m
Sea
a
racional,
Como 2 + x > 0, tenemos : m
( l + x f = ( l + x ) n =\¡{1 + * ) m = l ¡ ( l + x ) m .1”
—m
= Jí2 + x ) .( 2 + x )...( 2 + x ) . m
n—m (1 + x ) + ( i + x ) + •••+ (2 + x ) + I + I + ... + 2 m
<
m + (n — m )
_ m (2 + x ) + #* —m _ n + m x _ ^ m x = 2+ a x n n n de donde se tiene : (1 + x f < 2 + a x , a £ Q ,0 < a < 2. Ahora verem os para a £ # ' . ( Q %conjunto de los números irracionales.)
TEOREMA :
Saa(qk)k€N= ( q u q 29q s 9...... ,q k ,...) una sucesión de números racionales tal que: a = L ím q k y 0 < q k< l . At—9*00
Si x > —1 y n entero positivo, entonces :
En efecto (2 + x )qk < 1 +q* x ; x > —1; k = 1 ,2 ,3 ,....
En su primer artículo sobre series infinitas, en 1689, presentó la “desigualdad de Bernoulli”
D E M O S T R A C IÓ N :
luego : (1 + x )“ = Lim (2 + x )qh < L im (2 + g * x ) = 2 + a x . k~+oo k— ¥00 veamos que Para completar la prueba,
• Si n = l : 1 + x > 1 + x , es verdadera . * * \* * Supongamos que se cumpla para ñ k t es decir:
0 < a < 2 y x = 0 , se tiene (2 + x )a < 2 + a x ;
(1 + x r > 1 + k x (hipótesis inductiva).
tomemos un número racional q tal q u e a < q < l iq como (1 + x f - (2+x)q se cumple, entonces
(2 + x )" > 2 + n x .
c
H La demostración la haremos por inducción.
Veremos que se cumple para n = k + l Multiplicando por (1 + x ) en la desigualdad anterior
(2 +x)g < 2 + —x ; p u e s 0 < — < 2 q
(l+ x fd
+ x ) > (l+ k x )(l+ X)
( l + x ) h+t > l + ( k + l ) x + k x 2 > l + ( k + l ) x Desigualdad de Bernoulli y la Media Potencial dedonde:
q
( 1 + x)**1 > l + ( k + l ) x
a «=> (2 + x)a < l + —x .
(2 + x)
a < l + q x — x ; o sea
q
<2+ax
Luego la desigualdad ocurre si y sólo si x = 0 .
TEOREMA : TEOREMA : Si x > —1 y 0 < a < 2 , entonces :
Si x > —2 y fa < 0 V a > 2 j ) , se tiene : (1 + x ) a > 2 + a x D E M O S T R A C IÓ N : S i 2 + a x < 0 , la desigualdad es evidente, pues el
D E M O S T R A C IÓ N :
primer miembro es no negativo.
Si x = -1 , la desigualdad se verifica trivialmente,
Si 2 + a x > 0 , es decir a x > —2 , consideremos dos
IV'jv I
70* |
casos:
ViAv
SCICLOPEDLi 2012}
la potencia — : OL
• Sea a > 2 >entonces :
(2 + a x ja <2H— x a x = 2 + x a
i \—
l_
___________
+ * f + ... + x g
(4 * ?
n
de donde: 2 + a x < ( 2 + x j a < & (l+ xf* > 2 + a x .
Q O X ? + X g + ... + X I» = A ia , n
«=> ^ /x i . x 2 . . . x /l >
* S ea a < 0 , tomemos un entero n positivo tal que
de donde J#a < —- ilfG
——<2 , luego : n
Así mismo : Q ^ jx f.x 2 ...x¡¡ <
n
a a x n La igualdad sólo es posible si x =0.
0) 0
n
(\ ix f.x % ...x * y <
Dados x I9 x 2 3 ... »xn núm eros reales positivos, el número :
w 11Xx»X2 ...X^g ^
x f + x f + ... + x f ^0 n
= M
de donde M G < M M q < MG < M tj
a
X n
n i_
i + * 2 + ••• + n
n
elevando a la potencia
POTENCIAL
MQ=
> 0
n
11
MEDIA
x f + x f + ... + X 9
TEOREMA : i
Si x l9x 2, ... ( x n son números reales positivos y ee la media potencial de grado a de
los números
x 19 x 2 9 ... tXn . En particular : M¡ = X* * Xt + ***+ X* es la media aritmética, n 1 x *I + x f + ... + x 2 2 es la media cuadrática, M2 = n —i
—i
X J i + X , , + . . . + X |B
M _,=
n
TEOREM A Si Xj^
es la media armónica.
a < f3 , se tiene .* Af
< Af &
La igualdad ocurre si y sólo si x 1= x 2= ...= x n . D E M O S T R A C IÓ N : El teorem a demuestra cuando a y / 3 tienen diferentes signos. Ahora veamos cuando tienen el mismo signo. S upongam os que 0 < a < / 3 y ¿ haciendo Aía =
x? + xg +... + xg n
0 +
:
jX ,...^ *
, núm eros reales positivos y
entonces A i*
cx < O < 0 , entonces Afa < AfG < Af^
,
= 9
9
+ ••••+ ** 9
q
o
n
Tom ando: i
D E M O S T R A C IÓ N :
9
„
•
a
dI =
t
\a ;d 2 =
X
\a
a
• —13» » ,M» wn —I
Como AfG < M A , entonces : “
. x ? + x £ + ... + x “
^¡Xj.X2 ^ X n <
n obtenemos
De a < 0 < 0 , tenemos — < 0 , entonces elevando a Ce
0 df2“ + d 2a + 0
Af 0 _
n
••+
0 9
iVI^fEBOS HEJ%i,ES-iIF:SfGU.\M.n.\nES ]
705
P ero:
O l
d¡ 4*cí2 + ... + d„ Q n
2
9
resulta
+ •••+
AfQ < Af^
E J E R C IC IO 1 :
9
re
X; + X 2 + ... + x£ ° re
= —x
2
+
anterior.
1 x It m
Demuestre que s i a 3+ ¿ 3+ c 3= 2187 * siendo a , 6, c números reales positivos, entonces a + 6 + c < 27
1 X q = 2, = —
R E S O L U C IÓ N :
9
Como M 1 < Af3, entonces:
+ d2 +... + dn _
es
re
decir
a + 6 + c
/
<
a
3
i
A 3
+o
,
+ c
A + (¿2 +... + dn —re (a + b + c)3 . a s + 6S + c3 •o------------------------ ^ 27 “ 3 (a + b + c)3 < 9(a3 + b3 + c3)
Haciendo d ¡ = 2 + A i ;«f2 = l + k2; . „ ; d n = 2 + A^, entonces &2+A2+ . . . + 2tn= 0 . Como — > 1 , pues
& (a + b + c)3 < 3 2 x 3 7 —3 9
a > 0 se tiene :
a + b+ c < 3 3 a ia
= (2 + * r ) “ > 2 + ~ Q
Por lo tanto a + b + c < 2 7 La igualdad ocurre si y sólo si a = 6 = c = 9.
«2a = (7 + k2)a > 2 -+ — k2
D E S IG U A L D A D D E R EO R D EJSA9H EN TO S TEOREM A Sumando miembro a miembro, tenemps :
Sean (xJf x 2,...,x n),(y if y 2 r .., y n) , dos re-uplas de números reales y denotamos
0 0 0 Q ¡(^ 4% af +«zS + ***+ a ™ > « + —(&+AzV»+*») 0
(Teorema de A b el) S
c k = y i + y 2 + " ‘ + y k ; ( k = I >2 ’ — n )> entonces :
0
t <*oc¡Q +oc2a -+....+ a „Q
*&!• x 9yM+ ~ + * » y m=<*i
-
* ,> < ? ,+ < * , - * * ) © * +
(xn_ j - x j c ^ j
+
x Me n
D E M O S T R A C IÓ N : O
TT
*< v'
> 1
Efectuando el segundo miembro de (xj - XsJcj+frs - x 3) c 2 i (xn_j - x „ ) c n_ i + x ncn
'2.+
£
n
= c 1x l + ( c2 - c¡ ) x 2 + .. + (cn - cn_n )x n >2
=*1*1 + >2*2.......+ 7n*n TEOREM A
de donde
(D esig u a ld a d d e A b el) S
^ 2 ^ Af^ > q ^ Af^ > Afa Sea: X j,x 2,
La igualdad Af^ = Afa se cumple si y sólo si
y
> ^ > 7 2 > — >7n
k1-k2=...=kn=Of luego dI=d2=.» =dn= 2, y por consiguiente
reales
X
M -m á x {Sj, s2,»**, íjj}
2 ~*»» = X n .
Falta dem ostrar el caso
ct<0
pero
de
a .< 0 < o t < 0 , se tiene O< — < 2, y se repite el caso a
y
denotem os
números * ® *= S * * c o n
i=l
y /re —m in { í j , 82,***t an}9
entonces m y2 < x 2y2 + x 2y 2 + ... + x ny n < M yv D E M O S T R A C IÓ N :
Como y 2 > y 2 > ... > y n > 0 , , entonces aplicando el teorema de Abel tenemos : n n = E U *=J
í=í
=o
B de donde E * ¡> .- > »»yi «=I
Sean (a2,a 2,...a n) y (bl9b2,...bn) dos sucesiones
una permutación de (b2,b 2,.,.bn) , entonces: a 2b29*..a2h2 + ... + a nbn ^.a2b¡2 + &2bi2 "1" •**^ ^nbin* S i(a 19a 2,...f a n) es crecien te y
(bJ9b29...bn)
a 2b2 + a 2b2 + ... + a n6„ > b2bit + u 2b¡2 + ... + a nb¡n
n
D E M O S T R A C IÓ N :
T ,xiy¡ =nY,(yi-y¡+i)8i; yn+> = 0 ¡=1
n
yi+i)M =
* * E»=í( * - * + i ) = * y i
n de donde E *¿7¿ < MVi =► «*>/ < E «¿Vi < ^ Í=I i=J
Veamos el caso : a 2 < a 2 < ... < a n y b¡ < b2 < ... < bn Aplicando el teorema de Abel :
E akbk - E akbik = ¿ ° * (bk -b u )
M
k=l
k«i
= (“ i - a2)(6J - bh) + (a2 - a „ )(6, + b2 + bh + &,,) + .
E J E R C IC IO 1 :
(+)
Sean <*j»«*»••• »«n
^ 0 números
reales positivos tales que :
a /,a a,„. ,aA > 6 ;.62...6A;V/f ^ {2 ;2 ;...;n }.
n—i
>0, + K -1 - an) E 6* - E 6<. + » ■ Í > * - Í X * ~ l k=l *=í Asi (+) (+) pues para cada k = 1 ,2 9 ... ,n , tenem os que k k
Demostrar que a , + a 2+ ... + a n > 6, +- 62 + ... + 6rt.
E 6J < E bij *ya que 6; < b2 < ... < 6„ J=i j=¡
R E S O L U C IÓ N :
La segunda parte similarmente.
Aplicando el teorema de A b e l :
E J E R C IC IO
n
EUl a « - Ei=l 6« = £i=l> i
Demostrar q 1
[bi
- 1 + (63 - 63)
O y
d o
•4
<+) n—1
- ( 6 j —b2)
es
decreciente, entonces :
Similarmente:
< Ei=i (y¡ -
(D esig u a ld a d d e R eo rd en a m ien to s)
crecientes de números reales y sea (biI,bi2,...tbin)
> E ( y í - 3 'w ) m = m E ( y f -;y.-+i)= í=J ¿=I
i=l
TEOREM A :
del teorem a
se prueba
: m u
n
n+ p
p ,x 3 e p + m + —m—+ n+ £ 7¿
_
1 + — —2 + ••• b, b2
para todo m, n, p números reales positivos . R E S O L U C IÓ N :
+(& »-J“ &n)
Esta desigualdad
+ 6 rt
Ífcí flr
lí= i
bi
* a Analizando cada suma E IT ** = * * ***'n*mediante ¿=i la propiedad MA > AfG
a,i
a
+ ^ - + ...+
lo podem os dem ostrar por el
Lema de Titu y aplicando M A > M G , pero veamos aplicando reordenamientos. En efecto, por la simetría del primer miembro de la desigualdad, podemos asumir un orden, como m < n < p , entonces m + n < m + p < n + p y
bk
V bj b2
bk
luego :
n+ p )
M
1=1
m+ p
m+ n
Luego : + -Ü -+ s
-
> - í - +
B fflj
m /i + + n+p p +m m+n
7P 7
n + + n+p p +m m+n m
I flB
A r ifF R O S
E J E R C IC IO
> n+ P yP + m m + n —n + p p + m
p +m
m n p de d on d e l-----------1--------n+p p+m m+n
COLORARLO
m+ n = J m+n
:
con m > n > p y z > y > x .
v 3 2
R E S O L U C IÓ N : Sean las temas :
*
m 2 n 2 p 21 ; (m 9n ,p ) » * x y z 2
x
m
n
. p
x
y
z
— xm + — x n + — x p [a ¡9a 29...9a n}
9
v
O/
/
a,
a ¡9a 29...9a n ], se tiene teorema
«
¡
O^
de
I
K .. H
a2
0j|
w
> a.
a„
2
Sean: O i < a 2 < ... < a n y bl < b 2
Ai
n
n
n
2+
... + a ¡
b¡ + b 2 + ... + b,
D E M O S T R A C IÓ N : Veamos el caso cuando las dos sucesiones son crecientes. En efecto, p o r la desigualdad de reordenamientos, tenemos : +«A
= a Ib1+ a 2b2 + ... + a nbn9
a¡b¡ + a 2b2 + ... + a n6n > a¡bx + a 2b3 + ... + a n6¿, a¡b¡ + a¿b2 + ... + a nbn > a¡b3 + a 2b4 + ... + a nb2, asbj + 0 ^ 2 + ... + a rt6n > a¡bn +a^>x + ... + a n6n_2> Sumando miembro a miembro, tenemos : n (O j6 j
+
+ *m +
n~
p?
m+n+p n + p
2
m+ n+p > (m + n + pf 3(x+y+z)
m2 [ n2 |p 2 ^ ( m + n + p f x y z ” x+y+z
n
n
a¡b¡ + a 2b2 +
z
Pero por el lema de Titu :
b2 + ... + bm
.-A > Si una de las sucesiones es creciente y la otra, decreciente, el sentido de la desigualdad cambia 0.6, + a , 6 , + ... + 0 . 6 . ^ ( a ] + a
m~
2 + -n + y 3 ^2 n „2 n2 m p m + — +— +—
(D esigu ald ad d e C hebyshev)
Uj + o 2 + ... +.^8**)í
y
^ Luego es suficiente demostrar :
:
a|6| + agbt +... + «„&,
2
Aplicando el teorema de Chebyshev :
colorarlo:
permutación
2
como m > n > p y z > y > x , entonces — > — > —
a f + a f + . . . + a f > a i .a^ + <*2 . a 2 + . . . + a n . a n.
(
]
Para todo m 9n ,p9 x , y9 z números reales positivos
a/>a2 »—»a n)cfe(aJ>a 2 f...,an ), Be tiene
toda
f s i c i : i i . r i p i í ;s
w*3 ~3 m n — + — + p 3 > (m + n + p f X yV z “ 3(x+y+z)
Para toda permutación:
Para
? 5 -p
Demostrar que :
sumando miembro a miembro, tenemos: m n+p
r r im
f c j + O j +H 4 +
o 9 )(b j
+
El otro caso se prueba de manera similar.
+ « « +
bn )
Multiplicando por m
n
p
3\
— + — +£x y z
m+n+p
, tenemos :
m+n+p + m +n+pf ~ 3(x+y+z)
FUNCIONES CÓN C A V A S T CONVEXAS Una función és convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima. La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función «desde arriba» o «desde abajo». Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan «hacia abajo», al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores
NC1CLOPEDMA 2012}
B I TOS I párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denom inaciones c o n v e x a h a c i a a rrib a y c ó n c a v a h a c ia a b a jo para evitar las ambigüedades. Las técn icas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, cóncava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.
D E S IG U A L D A D C O N F U N C IO N E S C O N V E N A S Las funciones con vexa s cumplen un rol muy importante en la matemática, especialmente en la línea de optimización, ya que en estos tiempos se están estu d ian d o modelos matemáticos en ingeniería, economía, etc. Estudiaremos estas funciones para obtener una desigualdad muy importante llamada la desigualdad de Jensen.
Como
f " ( x ) > 0 , V x e [ a ; f e ] , entonces
f* es
creciente en [ a ; 6 ], de donde tenemos que : g ' ( x ) z O si x 'z .y ; a g ' ( x ) £ 0 si x < * y el mínimo de la función es g ( y ) , evaluando en tenemos g (y ) = 0. Luego : g (x ) S: g ( y ) , Vx e [a ; b ] de don de: g fx j£ 0 ;V x e[a ;fe] Reemplazando : tf(x) + ( l - t ) f ( y ) - f ( t x + (l-t)y )'¿ 0 => f ( t x + ( l - t ) y ) < . f ( x ) + ( l - t ) f ( y ) , ;V x e [ a ; fe]; V f € [ 0 ; i ] EJEM PLO : La función flx)= é*9 con x número real, es convexa.
FUNCIÓN CONVEXA : Sea fuña función real de variable real, definida sobre [ a ;6] < z R , f es llamada una función convexa sobre [a;fe]si y sólo si para cada x, y € [a ; 6] y para todo 0 á t á 1 >8e tiene f ( t x + (1 - 1) y ) £ t f ( x ) + (1 - 1) f ( y ) A continuación utilizaremos el concepto de primera y segunda derivada . TEOREM A : pues f " ( x ) = e x > 0 , para todo x número real. Si f e s una función real definida sobre [a , fe] c J P y f n( x ) > 0 (segunda derivada mayor que cero ) para . j / ^ , j. , R ___ todox € ( a ; fe), entonces f es una función convexa sobre [a ; 6 ].
TEOREM A
S
Si f e s convexa sobre Fa;fe1, entonces para cada 9 i * ** r x +y x , y s [ a ; fe] se tiene : f
D E M O S T R A C IÓ N : D E M O S T R A C IÓ N : Debemos probar que para todo x e [a ; fe], y para todo , se cumple : f ( t x + ( l - t ) y ) £ t f ( x ) + (1 - t ) f ( y ) Supongamos que t y y son constantes; definimos g ( x ) = t f ( x ) + (1 - t ) f ( y ) - f ( t x + (1 - t ) y ) Derivando con respecto a x : g ' ( x ) = t f ' ( x ) - t f Yt x + f 1 - t ) y ) = t(f'(x)-f'(tx + (l-t)y))
Es suficiente tomar t = — en la definición. D E F IN IC IÓ N Z Una función f real definida sobre [ a ; f e ] c i ? e s llamada función cóncava sobre [a ; fe] si y sólo si para cada x , y e [ a ; fe] y para todo 0 £ t
se tiene
f(tx + (1 - t)y) £ tf(x) + (1 - 1)f(y)
w im v o ^
[ p
^
7
T E O R E M A (D E S IG U A L D A D D E JE N SE N )
Si f es convexa sobre [a ; 6 ], entonces para cada £J# n e [0 ; 1} con y . t j —1 y para cada x ]fx s
0
9
r i t ? y f v R
Q
.<
K F l \ i < E S - I * F ; S I G l \ \ i . r > . i n E S
]
-e
f'(x) =
x i2
(1 + e J
ex(e x - l )
f n( x ) =
(1+ ex )3
> 0 ;V * > 0
Por lo tanto f es convexa. Luego, podemos aplicar la Desigualdad de Jensen
e [a ; 6] ,se tiene : f (tjx¡ + t2x 2 + „. + tnxH) S t¡f( x ¡) + t2f ( x 2) + .~ + tmf ( x n)
f { * i +**+•••+*.■) ^ L ( f ( x ) + f ( x ¡ )+... + f ( Xn)) \ n J n
D E M O S T R A C IÓ N : Demostraremos por inducción. Para n = 2 es el teorema anterior. Supongamos que se cumpla para (n - 1), veamos para n. * Como : tjXj +t¿x2 + ^ + tn^Ixn_j +t„xn
= ( l - t n)\ —l x 1+ ---2—x 2 +.~.+——— * +£„*„ [i-tn 1 i-tn 2 i-t^ - 'j Entonces :
i
*l+*2+ 1+e n
/
Í J +...+ - L _ ] rt\l + t x* + i + <>** l + e x"J
haciendo e?1 = r ¡;i = l,2 ,...,n , tenemos : n tfr¡r2 : . r n + 1
l + rt
2 + r¡
+ ... +
1 + r;n
E S P A C IO M E T R IC O La geometría del espacio tridimensional en el que estamos sumergidos nos resulta muy natural.
+ S(/ -
Kf convexa
X—i +#*f(X«)
- * I f ( * í > + t t f ( x 1) + ^. + tnf ( x m)
de donde se tiene : f l t j X j + t 2x
2 + ... + / „ * „ )
s t , f í x i ) + t 2f ( x 2) + . . . + t Hf ( x n )
En particular, si t¡ = t2 = ... = tn = — , se tiene: n f ^ , + ^ + ...+ «„ j s i ^ ) + f ( X g ) + ' + fíXn ^ Similarmente si f es cóncavá entonces : f ( t j X j + t 2x
2 + ... + t Hx „
) £ t j f t X j ) + t 2f ( x
2)
+ . . . + t nf ( x n )
TEOREM A : Si f e s una función real definida sobre [a ; 6 ] c B , y 7 " ( * 7
Conceptos tales como distancia, longitud, ángulo, perpendicularidad son de uso cotidiano. En m atem áticas frecuentem ente podem os agrupar ciertos objetos en espacios abstractos y definir entre ellos relaciones semejantes a las existentes entre los puntos del espacio ordinario. El paralelismo que se establece así entre los espacios abstractos y el espacio euclideano nos permite visualizar y lograr un entendimiento más profundo de estos objetos. En algunas aplicaciones el planteo más simple que puede usarse es el de espacio métrico. Un espacio métrico es un conjunto de puntos en los que está definido la noción de distancia entre puntos. Podemos usar la función distancia o métrica para definir los conceptos fundamentales del análisis, tales como convergencia, continuidad y compacidad. Una de las operaciones principales del análisis es el paso al límite. Esta operación descansa sobre el hecho de que en la recta numérica está definida la distancia entre dos puntos. Es impresionante ver que muchos resultados principales del análisis no tienen nada que ver con la naturaleza algebraica del conjunto de los números reales, es decir, sólo se apoya en las propiedades de distancia y con ello llegamos al concepto de Espacio Métrico, que es uno de los conceptos más importantes de la matemática moderna. D B F U n C tÚ N :
Un espacio métrico es un par (X ;d ) compuesto de un conjunto (espacio) X & 0 de elementos (puntos)
I T IO | y de una distancia, es decir una función: d :X x X ^ R
desigualdad : n
(x;y)=>d(x;y) no negativa, que verifica las tres condiciones siguientes: 1) d ( x ; y ) = 0 o x = y . 2) d ( x ; y ) = d ( y ;
I .(z k- x k) <■J Z (yk - xk) + J £ te*- y kr
k=i
1) Sea X x. 0 un conjunto arbitrario con :
.
\ l;x*y ( X ; d) es un espacio m étrico llamado de puntos aislados.
z (ak + bk) 2 £ ¡ i a 2 + £
k=!
forma el espacio métrico ( R ; d ) . Veamos que cumple los axiomas correspondientes. • PRUEBA :
\k=¡
V*=1
b¡
Esta desigualdad se deduce de la desigualdad de Cauchy-Schwarz : \2 n n n 2 !«*& * * S*> k-1 k~l k=l En efecto: Í t e * + 6 * / = £ a f + 2 £ ahbk+ £ b¡ k*I
A«J
A*J
« £ a i +2J £ a f x £ 6* + £ 6 * - í J t 7 + J i 7 ] k=i Va>i a=i h*i ^V*=/ Va-/ ) de donde: n
I («*+& *)* s j £ « f + J £ * Í k=l k=J A= í
2) El conjunto de los números reales con la distancia d ( x ; y ) = |* - y\
i k=i
n
3) d ( x ; z ) < d (x ; y) + d (y; z)...(axiom a triangular Muchas veces lo denotaremos simplemente como X al espacio m étrico ( X ;d ) t por com odidad en la notación. Mencionaremos algunos ejemplos que desempeñan un papel importante en el análisis.
V*=J
Si tom am os yk~xi = a k y z k-y k=bk=>zk- x k=ajl+bk entonces tiene la forma :
axiom a de sim etría)
d\*;y)=
"XCI€EOPEDL\ 2Q1Í\
4) Considerando el mismo conjunto R n, pero definiendo la distancia n d 1( x ;y ) = '£ \ y k - x k\ También es un espacio métrico ( R n, d ¡ ) .
1 )d (x ;y ) = 0*> \ x-y\ = 0
5) Considerando nuevamente J?rt, y definiendo una nueva distancia : d i (x ;y )= m á x \ y k - x h\ 2) d (x; y) - \x~y\= \ y-x\=d (x; y) láAán 1 8 )d (x;z)= \ x-z\ ~ }fx -y )+ (y -z )\ < \ x -y \ + \ y -^ = d (x ¡y )+ d (y ;x ) También es un espacio métrico ( R n; d 2) . o x-y =0 x=y
de donde:
d (x ; z) < d (x ; y )+ d (y ;z )
6) £ 2= { x = ( x ¡ f x 2 . . . x H,. ..)} tal que x h e R para OD todo k e N tal que 2 x k <0° y con distancia
3) El conjunto :
A«í
con la distancia d (x ; y ) — i
•
(y* —**)
d = ( x ; y ) = J X (yk - x k) A-i
2
a «i
La función d (x ; y ) así definida tiene sentido para f
es el espacio métrico ( £ " ; d ). Para verificar que es espacio métrico, veamos que se cumple el axioma triangular 3, ya que 1 y 2 son directos.
x ,y e
ya que la serie J 2 (y* ~ x k ^ converge Va* i ® 2 ® 2 siempre que 2, x k < < c y £ ^A< 00, esto ocurre A«2 A-i
Sean: * = (* !« * * .....x n) , y = ( y , . y 2......y n) . z = ( z „ z 2...... * „)
pues (xk ± y k) 2 ¿ 2 ( x k+y%)-
Entonces para que se cumpla :
Al mismo tiempo vemos que s i ;
d ( x ; z ) ú d ( x ; y )+ d (y ;z ) se tiene que cumplir la
(x^ Xp mim f
iMiJt ( y ¡ t y ^
0IC2 > tsmbién
[K llfrfO iV K ^ M*Í7ttgSr4K%
ip ffj 711
n Se tiene que Y x \y ¿ ^ 1 » entonces tenemos : («i
x n+ ymf . ) e £2
(xJ+ y J9x 2+y2
XtTtEROS KK.XM.KS-nHSMGVAM.n.XnRS }
7) El conjunto R n, con la distancia iip d p(x s y ) - ( Z | 7 k U -i donde p es un número fijo arbitrario mayor que
Reemplazando : n
( n
V /o
I*¡y¡s[ X 4 J
l ( p > l ) t representa el espacio métrico ( R " ; dp ).
( n
V*
■[ZrfJ
Para comprobar que es espacio métrico, veamos que cumple los tres axiomas.
En particular si a = b = 2 t tenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
1 y 2 son obvias, veamos el axioma triangular 3, es decir, se debe cumplir
D E S IG U A L D A D D E M IN K O N S K I
( .? > -**r ) ” s Haciendo :
) *
** - y*=«* y y* - * * = 4 => ** - **=<**+&*
Sean a Jf a t, ..., a H, b Jf 6 r . . . , b n números positivos y p > J » entonces :
lip
z (a*+bk)pips(
A
( i/6*>p)
- i
tenemos : »
f n
„ Y /p
i
A -i
* VA=7 2>*r )
y
f
„ Y 'P
»
^ Í/P
+ \ k =s li **i
A continuación estudiarem os esta desigualdad, llamada desigualdad de M inkonski; previamente veremos la desigualdad de Hólder.
D E S IG U A L D A D D E U Ó L D E R Sean x ¡fx 2, ... , x nfy ]9y 2, . : , y n núm eros reales positivos y a, b > 0 tal que —+ —= 1 , entonces:
a
o
(n \ Ila ( n y® Z*i*s Z*f x I y?
i=i PRUEBA:
V¿-i
J
y*j
entonces: n
71
Z te*+6A)p= £ aAfa*+6fc)p J+ £ &//a*+ft*)p-I
A = i
A r= Í
a n
n
1
n
y
aplicando la desigualdad de Hólder en cada término del segundo miembro, sabiendo que p > l y — + —=7 P 9
y
£ &fc(a*+óA) ' ' J
b
I n
i
Z ■*?
i-l
M
Z*-=-ísi— 37 i - i
„ =|A z y ? i»;
n
7
£ (bh) * T { £ (ak+bkF < > -»V 9
y
\k=í (n
»
Z (ah+bh)p «5 Z fa*
=>
y Z y¿ =TV
v*=i
7
^k=i
\Vp
y
(
n
\ ltq
. Z (°k+bh)p v k-i
)
S (
. (J£ /« .^
/■.
y-*% / »
y* / •
t *
y* ( »
y/p / m
J <’ +( y*
i-í
' y 'i= j}V b entonces :
I *?
v*»/
X y¡ =—
TV
:
TV TV
y*
TEOREMA: Dados los puntos A, B, C del plano, 6e tiene que A B £ Á C + C B , la igualdad ocurre si C e A B -
x iy¡
\
+[ i v j ' f ■(
Z * .y iá -Z * i°+ iS y ?= ¿ +^=i fl í*/ o j3/ a o i—1 Ahora supongamos que
I
además q ( p - l ) - p y reemplazando :
k=i . í
A = 1
*»/
que x tfi í — xj*+-^-y® , entonces : o b
n
(a k+ b h)> = (a k+ b k) ( a k+ b kr t = a k(a k+ b i r t + b í'(a i + b i r l
£ ak(ak+bh)p~l £ í £ te*Tp1
Supongamos que Z * ? = Z = 7 , usando el hecho »=i *=i
Luego:
Como :
* */ n
Sea x'j=
PRUEBA:
_
i? /* 1* 1’ £ i M Ila.N llb M Ita.N Ilb i ? / ^
iy E J E R C IC IO : Demostrar que : J 2 \ a + b + c\ ¿ yjas + b 2 +y¡b2+ c 2 + yj<*2+ c 2 para todo x, y, z números reales.
XCICLOPEOMA 2012]
^ n PRUEBA:
Sin pérdida de generalidad supongamos que a £ b £ c , luego Sa ( b - c f + Sb( c - a f + S J a - b f = Sa (b - c f + S b( c - b + b - a f + S r(a - b f
R E S O L U C IÓ N :
= S a ( b - c f + S bt ( c - b f + ( b - a f + 2 ( c - b ) ( b - a ) 1 + S ¿ a - b f
Escribiendo adecuadamente el punto : (a + b + c ; a + b + c )= (a ;b ) + (b ;c )+ (c;a) Pero:
~ S a (b - e f + Sb(c - b f + S b(b - a f + 2 ( c - b )(b - a )S b+ S e (o - b f =(Sa+ S b) ( b - c f + ( S b+ S e ) ( a - b f + 2 ( c ~ b ) ( b ~ a ) S b Z 0 20
20
20
La igualdad ocurre si y sólo si :
d(a+b+CM + 6 + c) = d ((a ;b ) + (b;c) + (c;a ))
(Sa+S b X b - c ) 2= 0
<, d (a ;b ) + d (b ;c ) + d (c ;a ) ,
a
de donde: J2\x+y+z\ ¿ yjx2+ y 2 + +Jy2+ z 2 + yjx2+ z 2 .
M É T O D O D E L A SU M A D E CUADRADOS El polinomio fía Jf a s , ..., a n) es homogéneo si todos sus térm inos tienen el mismo grado absoluto. Mencionaremos algunos ejemplos:
(a = b = c ) v ( a = b
a
es una función real.
Sb=Sc =0)
TEOREM A: Si a , 6,c, S a,S 6,Sc son números reales que satisfacen las condiciones: f a á 6 ^ c v a 2 6 2 c ),S a 2 0 fSc 2 0 ,S a + 2 S 6 2 0,
JPJ? U E B A :
suma f f a j , a 2, . . . , a n) = p l + p l + . . . + p l , donde p*
a
v (S a=Sb=S c =0)
II) jfaJ, a 2ta3) = a 3 + a 2a3+ a Ja2a3 ,e s homogéneo de tercer grado. f(a^$a 2, ...,a3) 2 0 para todo d j, . . . , d^ reales, significa que la función puede expresarse como una
2 ( c - b ) ( b - a ) S b=0
Sa =Sb= 0 ) v (b = c
Sc+ 2 S b 2 0, entonces
entonces
- b )2=0
de donde se deduce que:
V f ( a l f a 2 ) —a 2 + a % + 3 a 1a 2 , es hom ogéneo de segundo grado.
Sea el polinomio homogéneo f ( a v a 2,
a (Sb+Sc )(a
Sa f 6 - c ) 2+ S b( c - a ) 2 + S cf a - 6 ) 2 2 0
Sin pérdida de generalidad supongamos que a S f t í c , entonces : S0 2 0 9SC > 0 9 Sa + 2S b 2 0 f Sc+ 2 S b 2 0 /) Si
2 0 , entonces siempre es verdadero.
II) Si Sb<0, entonces Saf& - c)2+ Sb(c - a )2+ S e(a - b f
Veamos la desigualdad A 2 B ,
= S a(b - c f + S b(c - 6 + 6 - a / + S / a - b f
donde A, B son expresiones de variables a tb,c para explicar la idea central. Si queremos demostrar A A2B» entonces verem os la diferencia
= (S b+S a)(c - b f + ( S b+ S e)(b - a f + 2 8 b(c - b)(b - a)
A - B = f(a ,b ,c ) =Sa(b - e f + S b(c - a )2+S c(a - b )2 Si Sa9Sb,S c 2 0 entonces
± ( S b+S a) ( c - b f + ( S b+ S e) ( b - a f + S b [ ( c - b f + ( b - a f ] = (Sa+2Sb) ( c - b f + ( S e+ 2Sb) ( b - a f 2 0
Analice cuándo se da la igualdad.
TEOREM A:
¿ m a: Si a, 6 ,c, SatSb,Se son números reales que satisfacen las condiciones: f a ^ 6 í c v a 2 6 2 c )9Sa 2 09Sb 2 0 y 6 2Sc+ c 2S¿ 2 0, onfon pos • *Sa f 6 - c )2+ S 6fc - a )2 + S Cfa - 6 )2 2 0
Si a, b, c, Sa, Sb, Sc satisfacen las condiciones
PRUEBA:
/ ) Sa+S b 2 0 ; Sb+Sc 2 0 ; Sc + S a 2 O, y
Sin pérdida de generalidad supongamos que
II) (a <, b á c v a 2 b 2 c) y Sb 2 0, entonces : Sa( b - c ) 2+Sb( c - a ) 2+Sc( a - b ) 2 2 0
0 S 6 SC , y de Sa * 0 , S b 2 0 y 6 2Sc + c 2S 6 2 0,
f(a ,b tc) =Sa( b - c )2+Sb(c - a )2+ S J a - 6)2 2 0 ; esto significa que A 2 B es una desigualdad verdadera.
teo re
entonces: SJb-cP+SJc-aP+SJa-bf^S^b-cf+fa-a?
w fm m v como
m
n a
ih e T
JVVAtKROS RFIM.ES-nESMGlWI.Ik.XnES ] c3 = afee.
entonces : f
e
x
i
r
-
SBfl>- e)*+Sb(c - a f + S J a - b f 2 Saí6 - c;* + í6 - aj* |st
J
+SC
En base a estos polinomios simétricos elementales, daremos una definición. D E F IN IC IÓ N :
- Sm(b ~ c j* + (S bc* + S 9b * j [ ± j ± J 2 0
D ados los polinomios simétricos elementales ,•••»©» definim os
Analice cuando se da la igualdad. TEOREM A:
jy 1 k!(n-k)! u m o p k = TZ\c k= c k• k = 0 ,l,2 ,...,n . m ~
Si a, bfc, Sa,Sb,Se son números reales que satisfacen las condiciones I ) S a+ S b * 0 v Sa+ S b * 0 v S b + Sc * 0 , y II) SaSb+ S bSe+ S eSa ^ 0 , entonces
f
EJEM PLO: P0=c0= l n _ 1 - _ a J+ a 2+ . . . + a „
S 0 f6 - c j 2+ S 6fc - a ) 2+ S e ( a - b )2 Z 0
i “'TT 71 i ----------- 71---------1
PRUEBA:
c2 = (a ¡a 2+ p = n n f r t - i j * nfn-2>
Sin pérdida de generalidad supongamos que Sb+ S c £ 0 . Haciendo u = b - a ; v = c - 6,tenemos
TEOREMA: (Des igualdad de iV e irto n j
S J b - e / + S b(c - a ? + S'
Sean a ;> a 2, ... , a n núm eros reales positivos y
=S9( b - c j * + S h( c - b + b - a f + S €( a - b ) *
k e (2, 2 , . . . , ( n - 1 ) } entonces, se cumple que :
=S9 (b - c)2+Sb(c - b)2+S b(b - a ) z + 2 S „ ( c - b )(b - a ) + S e(a - 6 / =(Sa +Sb) ( c - b ) 2+ (S b+ S J ( b - a ) 2 + 2Sb( c - b ) ( b - a ) =(Sm+ Sb) o 2+(Sb+ S c ) u 2+ 2Sbu . o *
=fs*+s' { u+s f t d
a ,a
2 + . . . + a n _ t a H ).
p a-í* p k+i ^ p * • La igualdad ocurre si y sólo si a i = a f = ...= o B,
( SaSb+ S bSr + S eS9 ^
sb+se
O E S IG U A M jD A O E S S I M E T R I C A S Y C IC L IC A S
Antes de la demostración del teorema, veamos un resultado m uy im portante que usarem os en la demostración de la desigualdad de Newton. Sea:
Sean a J„* a " V„ . . . , a n números reales, los coeficientes , c„ del polinomio Cjf o»
H(x)=(x+a1)(x+a2)~.(x+a2)= ¿ ckx n~h= ¿ I " |Pfcx rt-A
H ( x ) = ( x + a j ) ( x + a 2 ) ...( x + á tt) = £ ckx n-h kmo se denominan funciones polinom iales simétricas elementales de a ¡t a r ... v a n, es decir :
Derivando tenemos:
c0 = l
k=0
H (x)= -¿(n -k )n p kmO Definimos : n —k ( n Q (x )= -H '(x )= ’Z n
cJ= a ¡ + a 2+ ' . . + a n= ¿ a , *=/ c2= a 1a 2 + a 1a 3 + ...+ a H_¡an=
k=o n
k m O l6
» * /
lx
Si los valores reales a k, 6 = 2 * 2 ,..., n son elementos X a ia j lúi
Cíi” a /fl2,M°n
del intervalo [a; 0J» entonces el polinom io H( x) tiene n raíces reales en [ a ; 0 ] y por el teorema de Rolle , entonces H 9(x ) tiene (n -1 ) raíces reales en [ce; 0 ] y denotemos como -y J#- 2Jt,M,-y n.|; luego
EJEM PLO: Si H ( x ) = ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x s+ (a b + c )x a+ (a b + a c+ b c )x + a b c, entonces c o= i c¡ = a + 6 + c ct = ab + a c + be
Q ( x ) = —H ' ( x ) = ( x + y l ) ( x + y l ) - " ( x + y a_l ) n Igualando coeficientes de Q (x), obtenemos:
Rk^at*a2 »'m9*a,n) = P kfri* para todo 6 = 0 , 2 ,2 ,..., (n-1) .
y n-1 )
c
X C H I.O I'E iH A 20 ÍZ
iT 7 * n
P R U E B A : (de la desigualdad de Newton.) Consideremos la hipótesis inductiva Tn:
I
—
l¿ j< k s n a j a k
donde ji=2,3, ~ . , ( n - 2).
pÍ_L_L _ L _* L *01 9 9*~9_ Ll“W 2l K °3 ig j a2
+a 4 a ta 2 á a f + a f + 2 a ,ia“ 2
f a .+ a 2+ a 5 [ " 3
2 + ° ia3 + a2° S Q
\gj «2
«J
Si a ¡, a g9 ... ,a H son núm eros reales positivos, entonces p 1 (P2)‘ 12 i ... > (PhyH»k =>... ;> (P„)Jfn
P0(al ,a 2 ,as ) . P 2(a 1, a 2,a.3 ) í . P ¡ ( a 1, a 2,a a)
°
°J
± ) !•
TEOREM A: (D esig u a ld a d d e M a c L a u rin )
Como vemos se cumple para n = 2 . Para ;= 2 y n = 3 .
i
1 ) l^*i < n^fl I *i
Teniendo en cuenta la nota anterior, la desigualdad es verdadera y con esto se completa la prueba.
<=> (a¡ - a 2 )2 £ 0
1 , 3 ^
n j=¡ a i
y esta desigualdad es equivalente a:
Para j = l y n = 2 , tenemos:
o
*i4£ 1
A
o
o 3(aía 2+ a 1a 3 + a 2a 3) á a j + a 2 + a 3 + 2 (a ¡a 2+
La igualdad ocurre si y sólo si a ¡ = a s= ...= a n. P R U E B A : Como a lf a g9 ... f a n > 0 , entonces podemos aplicar la desigualdad de Newton para 1 £ k < n , en efecto:
+ ^ 0 3 + 0 ^0 3 )
o a f + a f + a f ^ aia2+ aia3+ a2a3
p f x p*+i n p ?j *
ésta es una desigualdad verdadera.
*+ i jmO
J
Z)2 v -_ rD0 vx tr 2 x r 2 x rv 31>6 n 2 ( k - l ) vx nr kfc- 1 x n k
Para 7 = 2 y #»=3.
= (P 0 X P ^ f P , X P 3 ) 2( P 2 X P ^ / W P ^ , X P *+/) 2*
^ P f (a ¡ 9a 29a 3) a3^
gg + gjgg i + g ^ + g j j.f g jg gg 3 ) ^ í s 3 J M* \ 3 Si a Ja 2a 3= 0 , se cumple trivialmente.
= »
Si a ¡a 2a 3 * O , entonces dividiendo por (a¿ 0 *03)*, tenemos : i( 1 1 1 y* + + <; - — + — + — 3 y a la 2 gggg a 3a ¡ ) a2 a3 , if
o
1
1
1 \
o a
a 2a 3
a 3a j j
\&i
gg
V ° 2 /
v q 3y
® J® 2
^ I “ 7“
77
)*P»(g/»gg £
nfi»- J)iá./
a 2a 3
jasO J
*
n
p / J
jal *-
x
x
p * - '
x
p
*+ 1 5
p¿2*
o P ¿*i 5 P**+' pl/fc+J > pl/fr
O Í *+I
° g =
* * * =
a n *
:
(ab+ac+ad+bc+bd+cd)3 ¿ ^-(abc+abd+atxl+bcd)2 2
R E S O L U C IÓ N : Utilizando la desigualdad de Mac Laurin:
^P
P ¿ 12 ¿ P ¿ 12 o
(aJ...O j...a * ...a n)
P i >P ¡
f |
O 7- j r ( a b
\I + a c + a d + bc + bd + cd )
10
í ~ X (gjgg—“ y - « « I l n i»í )
2 I
donde los símbolos a j y
p / J
Sean a, b 9c 9d números réales positivos, pruebe que
Ahora veamos para j = n - l , es decir probaremos que P,»-g(Oj*gg
n
E J E R C IC IO
g 3)
a Ia 3
»
a i~
r . r i r +r i f l - i _ +- j L +- i _
\ q iy
a * - '
La igualdad ocurre si y sólo si se cumple :
,r_!-+ _ ? _ + _ ! - L a + i + -Lr \a 2a 2
i P f X P ¿ x P /...P * * * = ñ P ¡ J
se omiten.
dividiendo
+ n cd + bcd )
3
Si ajCtg... a B=0, se verifica la desigualdad. Si a 2a 2 ...a n * O , e n to n c e s (a 2a r ~an )* se tiene :
+
O - í - í a b + a c + a d + b c + b d + c d ) 3 Z ~ ( a b e + a b d + a e d + b c d )*
por
6* o (afc+oc+ad+frc+W+crf/5 2
49 27 * ^a6c+aM+a«/+oc<í+6ed< r 2
M T IlS 'IP *
XVyir.HtIS HVAI.ES-MISIGI'AI.ILXIIES ]
718
E J E R C IC IO O Dados a, b, c, d números reales positivos, pruebe que
T E O R E M A (T E O R E M A B E M U IR H E A D )
Sean a Jf a v a 2,b l,bv bs números reales no negativos tales que a l '¿a2 ^ a3; bt
í — + — + — + — + — + — 1 s - í —+ - + - + —) 2 Va6 a c a d b c b d c d ) £ v a b c d ) R E S O L U C IÓ N :
a¡ + a2 ^ bj + b2,*a 2 + a 2 + a3 —b¡ + b2 + b3 Sean x, y, z números reales no negativos, entonces
Multiplicando por (a b cd )2 tenemos la desigualdad equivalente: x l i l i l í } (abcd) — + — + ~ T + T " + 7-T + “ T \ab a c a d bc bd c d ) .3 , x 1 l i l i } 2 í —(abcd) I —+ —+ - + - + — I 8 \a b c c d ) . .( c d + bd + bc + a d + a c + a b } o abcd\-------------------------------------l 6 ) ( bcd + a cd + a bd + a bc\ O P4 x P2 í ( P$) \ 4 J esta desigualdad es verdadera, pues es la desigualdad de Newton.
P O L IN O M IO S S IM É T R IC O S Y C ÍC L IC O S Para mayor com prensión considerem os un polinomio P (x, y, z ) de variables x, y, z ; luego, para definir introducim os dos notaciones muy importantes como: £ c íe
2>aV 2*“3^E *blyb2zh
sim
y £
Pruebe para todo a, b, c números reales positivos la desigualdad : a b c 3 + — ■ —+ s —
b+c
a+c
a+o
2
R E S O L U C IÓ N : La desigualdad a demostrar es equivalente a : 2 [a (a + c )(a + b )+ b (b + c )(a + b )+ c (b + c )(a + c )] ^ 3 ( b + c ) ( a + c )(a + b ) efectuando : 2 (a (a 2 + (b + c)a + b c)+ b (b 2 + (a + c )b + a c )+ c (c 2+(a + b)c+ ab)] i 8 í(b + c ) ( a 2 + (b + c)a + bc)J « 2 (a 3+b3+ c3)+ 2 (a 2(b + c )+ b 2(a + c )+ c s (a + b ))+ 6 a b c
» 2 (a 3+ b3+ c3) 2 a 2(b + c )+ b 2(a + c )+ c 2(a + b )
u m
tim
E p ( x . y . z ) = P ( x , y, z ) + P ( x , z, y ) + P ( y , z .x )
Para enunciar en forma general el teorem a de Muirhead, es necesaria la siguiente definición. d e f in ic ió n
s im
+ P ( y , x , z ) + P ( z , x , y ) + P ( z, y , x )
:
Sean : a = ( a ¡ , a 2
EJEM PLO :
Z x 2 y = x 2 y + y 2 z + z 2x etc
x Z um
:
£ 3 [a s (b + c )+ b 2(a + c )+ c 2(a + b )+ 2 a b cj
YáP ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) + P ( y , z , x ) + P ( z , x , y ) CÍC
o
8im
E J E R C IC IO
d e f in ic ió n
o
b3;a ¡ ¿ b ¡;
2
9
2
9
9
y =x y +x z +y x +y z +z x +z y
Y * 3 =xs + y3 + z3 CÍC
' £ x 3 = 2 ( x 3 + y 3 + z 3) s im
J ]x y z = xyz + y z x + zx y = 3 x y z CÍC xyz = xyz + x z y + y x z + y z x + z x y + zy x = 6 xyz
elementos en R n, de componentes no negativas; diremos queor > fi si y sólo s i : I)a¡
... £ an y p ¡ £ p2 £ ... £ fin.
I I )a ¡+ a 2+ ...+ a k £ p¡ +p2+...+ph; k = l t2,...t(n - 1 ) III) a 2+ a2+ ... +an~P¡ +P¿ +...+Fn* T E O R E J IA ( G t:\KiL\LtTADO de M iirmlxd ) 4
Si a > p y x Jf x ¡f.„ 9x n números reales no negativos, entonces :
£ Xj ‘ . * 2*
u m
A continuación enun ciarem os el teorem a de Muirhead para tres variables para mayor entendimiento.
a „ ) , f i = ( p , , fi2 , ...fin)
s im
La
igualdad
2í £ x f 1. X§* ...x fr . s im
ocurre
si y sólo
si
a=p
ó
NCICMJPFEIPMA 20 i 2]
fy i6 ~ |
c E J E R C IC IO
. *+mn+mp+mq + np+nq +pq > m +7i +p2+q
:
Sean x ¡ , x s, x 3, x 4 números reales positivos, pruebe que 3 . . —(x¡+ x2+x3+x%)ZxIx4j x sx3 + x2x4y]xJx3+x3X4yjXjX2 ¿ +x2x3jx ¡x 4+ x¡x2yjx3x4+XjX3j x 2x 4. - R E S O L U C IÓ N : Como
L
nm
3 ^ y ’ 3 / 0 0 0 i x i “ L x i •'X 2 X 3 X 4 1 ,
*im
entonces tenemos 6 ______
permutaciones para ( x ^ ^ x j y paraXjX2y¡ x 3x 4 tenem os 2 permutaciones para x lx t y 2
mi +ns+p2+q2+mn+mp+mq + np+nq + p q > 10 x 1^! =^m*+/»2+p*+qr*+m/i+77ip+mg + np+nq + pq>10 La igualdad ocurre si y sólo si m = n = p = q = l . E J E R C IC IO 3 : Sea * un número real no nulo, y un número real, Demostrar que : x 2+ y 2+ —^ + —> 4 3 . n xz x R E S O L U C IÓ N : Agrupando convenientemente :
permutaciones para j x 3x 4 , en total 4; luego, la
x 2+ y 2+ i y
desigualdad se puede escribir equivalentem ente como :
XX
= / + 5 ? + i l+
X
2
= y+
) £ 4 [ x , x 4 j x 2x 3 + x £x 4 y ¡ x ,x 3 + x 3x 4 j x j X 2 ]
y además
2x
4x*
f 2 3 | + X Á + -------y l 4X2 ]
+ x 2x a { x Ix 4 + x Ix a j x 3x 4 + x Ix 3 { x ax 4 ] o
x 2+
£ X j 2 £ X jX g J ic3x 4 ,
thn
como a = ( 3 , 0 , 0 , 0 ) y f i = ( l , 1,1/2,1/2 ) en ton ces esta última desigualdad es verdadera.
3 4x
> 2. x 2 x
2 —
4x
= 43
2 3 >~J3 < + x 2+ 4x 2 —
La igualdad ocurre si y sólo si x ¡ = x 2= x 3= x 4
y+
2x
+
=> x 2+ y 2 + E
2^3
4x
i
y+
2x
y + * -> 4 5
La igualdad ocurre si y sólo si y = —
E J E R C IC IO 1 : Sean x, y, z números reales positivos. Demostrar x yw z4 q u e : ----- h — + — ^ 3 xyz
y
*
Utilizando M A
2x
E J E R C IC IO 4 : Sean p, q, r números reales, tales que no son nulos simultáneamente, halle el valor máximo de : ftp .q ,r> =
X
R E S O L U C IÓ N :
+ 43 ^ 43.
\ P ^ ^ \
R E S O L U C IÓ N :
M G >a 1°B números
* ' y4 z4
Sean las termas (p, q, r ) y (1,3,9), entonces (px 1 + q xS + r x 9)* £ (p2 + q 2+ r* )(l* + 32+ 92)
En efecto: x
- + — + — > ? l x 4y x ^ - x —
yf
z
x
X4 v4 z4 => ± - á + - Z - + — y z x
y
z
x
> 3 xyz
La igualdad ocurre si y sólo si * = y = z E J E R C IC IO 2 : Sabiendo que m , n ,p , q son números reales positivos con m npq — 1 , Demostrar que : m2+n2+p2+q2+mn+mp+mq + np+nq + pd > 10
o (p + 3q + 9 r / á 91(ps + q 2+ r 2 ) <=> \ ¡ ( a + 3 b + 9 c )2 s: # 9 Í> /(p * +
o
| p + S q r+ 9 r|
á>/97
p 2+ q 2+ r 2
como f(p , q ,r)'¿.O entonces 0 á f(p , q, r) <> 491. El máximo valor de f es 491 >y est° ocurre si y sólo si (p, q ,r) = (1,3,9). E J E R C IC IO 5 :
R E S O L U C IÓ N :
Sean a, 6 números reales, halle la variación de : f ( 0 ) = a S e n & + b C osO
Utilizando MA > M G se tiene:
R E S O L U C IÓ N :
[k
m
1m \ 7 ; & nimwN4K%
717
NIÑEROS RKti,ES-l»ESIGlltf.fL\nES ]
de Bemoulli o la media potencial; veamos utilizando la desigualdad de Bernoulli:
Sean los pares (a, b), ( S e n O , CosB). Utilizando Cauchy-Schwarz tenemos:
(1 + a)a > 1 +5a; a > - 2 .
(aSenO + bCosB)2 5 (a 2 + b2)(SenB2+CosB2)
Haciendo 2 + a = x => a = x — 2 , entonces
o ( aSenO + bC osB )2 5 (a 2 + b 2) ( l )
m s > l + 6 (m —2)
o ( aSenO + bCoaO) 2 5 a 2 + b 2
m 6 > 5m —4 ;m > 0 ; similarmente <=> -y ja 2 + b 2 5 aSenB + bCosQ 5 Ha2+ b 2
n« > 5 n - 4
- Va 2 + 6 2 5 f ( B ) 5 V a 2+ b 2
p6 > 5 p - 4 sumando miembro a miembro y efectuando tenemos
E J E R C IC IO 6 :
m 6+ n 5+ p 6 > 5 m + 5 n + 5 p —12.
Sean m, n ,p números reales tal que m + 2 n + 3 p =24, halle la variación de m *+n*+p*.
=> m g+ n 6+ p a > 5 (m + n + p ) — 12
R E S O L U C IÓ N :
La igualdad ocurre si y sólo si x = y = z = 2.
Escogemos las ternas (1 ,2 ,3 ) y (m , n , p ) para utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. En efecto
E J E R C IC IO 9 : Demostrar que para todo a ,6 ,c núm eros reales positivos
( J x m + 2 x n + 3 x p f 5 (2 * + 2 * + 3 * )(m * + n * + p * ) o
24* 5 2 4 (m * + n * + p
(
*)
7 :
%
»
Si/Tx, y, z ) = x 3+ y 3+ z 3, con x, y, z números reales positivos y x + y + z = \^3, entonces el mínimo valor de f es: R E S O L U C IÓ N ;
ííííí
V '2
J
(
b + c Y '2 +b+c)
CH2
sS
Tomamos las ternas a + b Y /2 ( a + c a+b+c) A a+6+cj
y
entre x + y + z A x 3+ y 3+ z 3, entonces aplicamos la Media Potencial, veamos: Jis x 8+ y 3+ z'
3 x*+y*+x*
1 3
. V.a+6+e í - n r - )y
x2 +
+b+c a+b
(a+b+c)
xl +
;(lfl;l)
i/i
b+c
{ a+b+cJ
x2
a+c
a+6+cJ J 2 (a + b + c l\ (3)=(6) va+6+c
a+6+c
V. a + b + c
)
b+c y/2 +b+c) la+ 6+ c ) la+6+ey La igualdad ocurre si y sólo si a = b = c a+b
V /2
í
a+c
y/ V /22 r
1/2
E J E R C IC IO 10 :
27 Itft)* *» J < y J + y * + * J
112
l /í
aplicando Cauchy-Schwarz: 112 112 a+6 ) a+c \ (
Como x , y , z > 0 y tenemos que buscar una relación
9
a+c
i
La igualdad ocurre si y sólo si (m ,n,p) = (2*2,3j . ^4^
(x + y + z f
(
R E S O L U C IÓ N :
=> m *+ /»*+ p * ¿ 24
x+y+z
Y /s
(í í í í í J H
o 2 4 5 m * + n *+ p *
E J E R C IC IO
a+b
Demostrar que : +y*+**
2
m + n + p < ,2
por lo tanto el mínimo de f es -^y ocurre si y sólo
Kn + p m + p m +n para todo m, n, p números reales positivos.
ZÍ3 * = ,= * = —
R E S O L U C IÓ N ;
3
E J E R C IC IO 8 :
Como : ( m + n + p f = | ^ = x jn + p + -^ ^ ^ —r x j m + p +
Sean p, q, r reales no negativos, demostrar que : p 5+ q 6+ r 5 > 5 ( p + q + r ) —1 2 . R E S O L U C IÓ N : Como en la desigualdad aparecen suma y suma de quintas, entonces podemos aplicar la desigualdad
f—
(n + ¡p
m+p
p (n + p + m + p + m + n ) m +n y
m! m
-ftí
( m + n + p f i2 ( m + n + p ) í m+n ) \n + p m + p —
1
cancelando m + n +p > 0
x 7nt+ñ^
czzzi
[y*.FL n2 m +p
m m + n + p í2 n+p
m +n
(a + b + c )2 (a b + a c ) + f6 a + 6 c7 + fca + c6 7
La igualdad ocurre si y.sólo si m = n = p
(a + 6 + cJ * 2 (a b + b c + a c ) 9
E J E R C IC IO 11 :
fa+6+
Sean x , y , z 2 . í tales que—+ —+ A = 2 x y x Demostrar q u e ; ^ J x + y + z £ -Jx - 1 + J y - 1 + y l z - l
a * + 6 * + c* £ o 6 + a e + 6c
R E S O L U C IÓ N :
o a 2+ b s + c 2+ 2 fa 6 + a c+ 6 c7 ¿ 3 fa 6 + a c + b c)
Para aplicar Cauchy-Schwarz, tomamos las temas yjx-l
yjy-1
é
La igualdad ocurre si y sólo si a = 6 = c. E J E R C IC IO 1 4 :
+ J^L x^Jy
Demostrar que : Xa
x V zj
y*
>* y+z z+ x x+y - 2 Para todo a ,/ 3 ,x ,y , números reales positivos tales que xyz =1 y a > 1
s f£ z í+z z l +* z ¿ W * +y+*j y
(a + b + c ) 2 ^ 3 2 (a b + b c + ca ) 2%
y lz -1
& 9 & 9 fz en efecto tenemos que :
{ *
XCMCLOPEOMA ZOIZ]
VjJb
z )
e>(>/x-l+yjy-1+ y j x - l f £ ^ 2 - ¿ + J - ¿ + J - ¿ j ( x + y + x )
+
R E S O L U C IÓ N : P or la simetría , podem os asumir el orden x > y > z » entonces :
=(3-2)(x+y+z)=(x+y+x)
z+x> y + z
Entonces { + J x - l + y J y - l + V z - í )
{yjx-l+ ^jy-l + V z -j)
£ yjx+y+z.
La igualdad ocurre si y sólo si x = y = z = —, 2 E J E R C IC IO 1 2 :
Luego
Sean a v a # . . . , a n > 0, Demostrar q u e : 0 i
„2
„2
Oo
De donde
x +y
x +y
„ 2 On
O ft^ f
+...+
y +z
1 x +y
1 x + z
y +z
y además
Utilizando Chebyshev : —
y+*
Aplicando el Lema de Titu. n-J
z+ x
Xa- ' > y a~l > z " ~ ‘
—L + —L + . . . + - 2- L+ —£L^ a i + a 2 + . . + o n
a2 a3 n R E S O L U C IÓ N :
f
1 y+z
x +z x +z
1
a ¡¡ ^
x+x
x+y
+ y - ‘ + ¿'-‘ )
3
Pero sabemos q u e : -t . a —I + ya“ , + *a
x + -H -+
y+x
x+x
*
x+y
> y/fxyzf*1 = 1
=oi/ + a 2 + »..+ a m La igualdad ocurre si y sólo si a , = a t = ..... = a E J E R C IC IO 1 3 : (Desigualdad de Nesbit) .Demostrar que :
y+z
, 3 b+c a+ c a+6 2 para todo a, b, c números reales positivos. R E S O L U C IÓ N : a b e
b+c
a+c
a +6
a2
b2
a6+ac
6a+6c
y+z
z+x
> * x+y “ 2
Xa > 3 -+ — z+x x+y 2
E J E R C IC IO 1 5 : Demostrar que : m + n+ p + q m+ p + q m+ n+ q ca + c6
>1 m+n+ p “ 3
para todo m , n , p , q reales positivos con
K fin tO A ' m n + n p + n q + q m = l, R E S O L U C IÓ N : Por la simetría del p rim er miembro de la desigualdad, supongamos sin pérdida de generalidad que m > n > p > q , y haciendo : a =n+p +q b = m+ p +q c = m+n+q d = m+n+ p
p
o
o 3(m 2+ n 2+ p 2) ^ (m + n + p ) 2
1 1 1 1 >4~(m 2 + n2 + p 2 + q 2) (m + n + p + q) I"T"Í H— 16
a
b
e
a
como a + 6 + c + d = 3 f m + n + p + q ) , entonces _ J .3 m n pw 3 a_ 3 - T “
o
+
- —
c
+
(m2+n2+p*)* _ m2+n2+p2 (m + n + p)(m 2+ n 2+p2 ) m+ n+p
o 3(m s + n 2+ p 2) 2 m 2+ n 2 + p 2+ 2 (m n + m p + n p ) 1 1 1 , 1 — i" ^ “ + “c + “7 a b d
+
(m2+ n s+ p 2 f ms+ n 3+ps+mn(m + n) + np(n + p )+ p m (p + m)
o 2 (m 2+ n 2+ p 2 ) 2 2(m n + m p + np)
— +— +— +— a b c d
a
p 3+ p 2m + pm2
Pero: m 2 + n2 + p 2 2 m n + m p + np
Luego , aplicando Chebyshev, tenemos : n
n n3 + n2p + n p 2
entonces: m n ^ p ^ m +/» +p m+n+p m*+ m « + n 2 n2+np+p2 p 2+ pm+m2
= > a < b < c < d A -> -> -> a b c d
n
m m3+m 2n + mn2
.
^ m 2+ n 2+ p 2 m + n +p De donde: m3 m 2+ m n + n 2
a
^ ¿— i +B . _ j +. p_a +q . _ * ,H í a + 6 +------c+d > _l fm
= _L , w. +B* + p * + , * ; ¿
1 1 1 1 ---- H”7 a b c d
fo + 6 + c + d ;|¿ + 1 + ¿ + ;¿ a 6 c la
u
V
= ifm* + n* + p 2 + q 2) a 3 J ... Nos falta acotar m2 + n 2 + p*.+ q * y “como tenemos la relación m n + n p + p q + q m =sJyentonces tomamos las cuarternas (m ,n9p 9q) y (n 9p 9q,m ) para aplicar Cauchy-Sch warz; en efecto :
(m s + « * + p* + q * )(n *
+ q* + m * ) > ( m n + n p + p q + q m )9
+ p*
n 2+ n p + p 2
p 2+ p m + m 2
Demostrar que dados x J9 x 2
m números reales positivos con £ i=J Entonces :
3
d
Sabemos que además :
= 7,
f ( x ) = e x , x € R , es con vexa y U - J * * ri = e Ui**i * i - e
* e*tLnx* + e*2LnX2 +... + e*"1™*
3
E J E R C IC IO 1 6 :
tM,
R E S O L U C IÓ N :
,3 | ^ £ í_ +ÍL +£_ +^ . > l c
x m, t v t2
X*1. X *2 ... X*f <, tjXj + t2x 2 + ... + tnx n
Entonces :
<+■m9 + n * + p 9 + q 9 > l ó
m + n+n
La igualdad ocurre si y sólo si m = n = p.
**(m* +n* +p* + q * f > ( l f
a
n
* E J E R C IC IO 1 7 :
>-—/m* + n* +p* +g*>— lo
m+n+p 3
_ g t ¡ L n x j + t2L n x 2 +
+*nL **n
aplicando la Desigualdad de Jensen :
Demostrar que para todo a , 6, c números reales positivos m3 n3 p3 ^ m+ n+ p m*+mn + n2 n2 + np + p 2 p 2+ pm +m 2 3
E J E R C IC IO 1 8 :
R E S O L U C IÓ N :
Utilizando la desigualdad de Jensen, demostrar que
El lado izquierdo de la desigualdad se puede escribir como. m4 n m3+m2n+mn2
n3 + n2p + n p 2
p 3+ p 2m + pm2 *
luego, aplicando el Lema de Titu, tenemos:
e tJL n xJ+t2L n x2 + „.+ tnL n xl, ^ f e 1* * *
9t 2 e Ln* ¡! . . . t f * * * "
= tlx 1 + *2*2 +
+ 2"n~n X
X l + X2 + •••+ X¡ ^ yjXjX2 ,mmXn9
n
siendo xJf x v
9x n números reales positivos.
N C M C IO P E M A 2 0 1 $
I7*0 I a c -b c >
0 ............ ...(distribución)
ac > 6c PR O B LE M A PR O B LE M A
1:
P robar que a"1 tiene el m ism o signo que a.
Dem ostrar el siguiente teorem a:
R E S O L U C IÓ N :
«Para cualesquiera dos elem entos a , 6 e F , una y s o la m e n te u n a d e la s s ig u ie n te s r e la c io n e s se cumple: a < 6 v o = 6 v a > b ”
(a - b) e R « ..( L e y de Clausura)
* Luego por la ley de tricotom ía
a - 6 >0 v
* Com o 1 = 1 x 1 = l 2 > O , y , a.a'J = J> 0 * E ntonces a y a 'z tienen el m ism o signo. PR O B LE M A
R E S O L U C IÓ N :
* Como: a ; 6 e M
5:
0-6 = 0 v
o - 6 <0
6:
D em ostrar : Si a y 6 tiene e l m ism o signo y a < b = > a -1 > b -i R E S O L U C IÓ N :
* Sabem os que si : a6 > 0 <=> a > 6 v PR O B LE M A
a =b
v
a <6
(a b f1> O a *b 1 > 0
2 :
y com o a < b
V a ; b ; c ; d e R , dem ostrar que:
.
( a ' Jb l ) a < ( a lb 1)b
o < 6 <=> o + c < b + c
f a ^ a jf e " 7 < a ‘ z(6 - í 6 j
R E S O L U C IÓ N :
I b 1 < a 1. !
♦Prim ero fa < 6 => a + c < 6 + c j , así:
(a -b ) + (0 )< 0 (a -b ) + (c -c )< 0 (a + c ) - ( b + c ) < 0 =>(a + c ) < ( b + c) ♦ Luego: (a + c < b + c => a < b), así:
PR O B LE M A
b 1< a 1
7:
t • ♦*
*.
,
Resolver : 5 x - 1 = 2 x + 8 R E S O L U C IÓ N :
* Restam os 2x a am bos m iem bros : 5 x - l - 2 x = 2 x + 8 - ( 2 x ) => 3 x - J = 8 * Sum ando 1 a cada m iem bro :
(a + c ) < ( b + c ) ^ ( a + c ) - ( b + c ) < 0
3 x - l + l = 8+ l=>3x = 9
=>o + c - 6 - c < 0 = > a -6 < 0
* D ividiendo am bos m iem bros entre el núm ero 3
^ a
3x 9 => — = — => x = 3 3 3 P _R O B L E M A 8 :
Si; a > b a 6 > c => a > c
Si
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
* De: a > 6 <¿> a - b > O .................(p o r d efin ició n )
* A pliquem os ( ( p =$ q ) <¿> ( ~ q = $ p ) ) o reducción
PR O B LE M A
3:
b > c < ¿ > b - c > 0 ................ (p o r d e fin ic ió n )
dem ostrar q u e si: a * 0 => a 2 * 0
al absurdo. a e R, a * 0
Como f a - 6 ) > 0 a ( 6 - c ) > 0 P or definición : ( a - b ) + ( b - c ) > O
a2* 0
* Suponiendo que: a2= O
= > a -c > 0 = > a> c PR O B LE M A
Y
^
=> a 2 = a x O
4:
=> a y. a = a x O
V a ; 6 ; c e R , dem ostrar que : ¡5i: a > 6 a c < 0
a c > 6c
* De donde se llegó a un absurdo, co n lo cual queda
R E S O L U C IÓ N :
dem ostrado que s i : a e R A a * 0 = > a 2 = 0
*■ De: a > b - = > ( a —b ) > 0 y com o c > 0
=> (a - fejfcj > 0
=5 a = O................. (cancelación)
(definición)
PR O B LE M A
9:
Si; a > O t b > O y a * b
%
«* » •»
[k
m
6m v K ^
n w jn w S r iP S
751
1 É 8
XWTNWEWtM* H K J f .E A - P I ^ W i m m i l l E ^ 1
ZÍJj En esta operación el in verso de 4 es - 4.'"'v;
Dem ostrar que: a 3 + 6 * > a 26 + a b 9
A )V W
R E S O L U C IÓ N :
B)VFV
C)FFV
D )W F
E)FFF
R E S O L U C IÓ N :
•D e: a * b = > a - b * 0
I ) V E R D A D E R A : dado que:
• Entonces: ( a - b ) s > 0
o # 6 = fl + 6 - 3
* Desarrollando, se obtiene : a* - 2a b + 6 * > 0 ó a 2 *- a b + 6 * > a b
(I)
• Además : a + b > 0 ................................. ( d e l d a t o ) * M ultiplicando los dos m iem bros de ( I ) por ( a + b ) , se tendría:
b # a = b + a - 3
* E ntonces : a # b = b # a
(es conm utativa)
I I ) V E R D A D E R A : y a que siendo “ e ” el elem ento neutro de la operación, se tendrá que: a # e = a = e#a
( a 2 - a b + 62 j f o + 6i > a b (a + b ) a + e - 3 = a => e = 3
=> a s + b 3 > a 2b + a b 2
N O T A :
PR O B LE M A 10: wí ^."VC-r^r'. - - ■.j "■ JiTEBkWiníTiMpq^ — o y ¡6 febn diferentes y positivos, dem ostrar que: *- ‘ ** ' v & : * & ■ , a + b ^ 2 a b •♦ . .
Á 1
_
¿ ^ - V:
.
--ir-'-
^
“ Para que la operación tenga elem en to neutro, la operación debe ser con m u tativa” . I I I ) F A L S O : y a que siendo a ‘ J el inverso de “ a ” se tendrá q u e :
a#a 1= e
R E S O L U C IÓ N :
= a ’*#a
i
new/ro
• Dado que: 0 * 5 ; se cum ple que: ( a - &j* > 0 • Desarrollando : a 1 - 2 a b + b* > 0
= >a + a 1 - 3 = 3
• Sumando a am bos m iem bros 4 a b : a 2 - 2 a b + b 2+ 4 a b > 0 + 4 a b
=> a~* = 6 - a
^
• Luego para a = 4:
(a + b ) > 4ab
4 J= 6 - 4 = 2
• Dividiendo am bos m iem bros p or 2 ( a + b ) > Q f y* (a + b )
4a & ________
2 (a + b )
2(a + b )
PR O B LE M A
ty*i‘
1
a + b
• E ntonces el inverso de 4 es 2 ......
2 d b '- .¿ >írrif~—
.(4-’ = 2) RPTA: “D "
PR O B L E M A
11:
13:
Dado los intervalos: A — 7 -4 ; 3 / y B = 7 -3 / 5 /, obtener: I)A\ jB IDAryBftw ip_1 -B IV ) B * A ; ■• w Tr'.
ffi a , 6 , c e R * , dem ostrar que: b) ( a + c ) R E S O L , U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
• Partamos de:
• G raficam os los intervalos en la recta num érica :
(>/a - 7&)2 ¿ 0 ; (V<* - Ve )* ¿ O y
(>/& ->/c)2 ¿ 0
• S e obtendrá: a + 6 ¿ 2 \[ab 1 M ultiplicando © miembro o miembro”
a + c ¿ 2 y [a c b + c ¿ 2 V ¿c
3
5
+ 00
I ) A u B es el con ju n to form ado por la U N IÓ N , cuyoi elem entos pertenecen a A o a B , o a am bos. A u B = ]-4 ;5 [
12:
En B conjunto de los n ú m eros reales, definim os la operación a # 6 = a + 6 - 3 . D eterm ine la validez de las siguientes proposiciones: I ) # es conm utativa.
£D4^ # tiene u n •elem ento neutro.
-3
• Del gráfico:
fa + &j(a + cj(6 + c) ¿ 8yla2b2c2 =>(a + b)(a + c)(b + c) ¿ 8abc PR O B LE M A
-4
II) A nB es e l c o n ju n t o fo r m a d o p o r I N T E R S E C C I Ó N cu y o s e le m e n to s p erten ece am bos conjuntos. Así: A n B = [-3 ;3 ] I I I ) A - B es el con ju n to form ado p or elem entos que «
*
A
«
a
n A »*fft«A A A « «a
D
XC1CLO PED 1A 2 0 1 $
[y * J L
r ) V E R D A D E R A : dado que:
* En la figura: A - B = 7 - 4 ; - 3 / JV7B - A es el conju nto form ado por elem entos que pertenecen a B pero n o pertenecen a A. * Luego :
14
PR O B LE M A
Partiendo de la desigualdad a * - 2 a b + 6 2¿ 0 donde a y 6 son reales no negativos, podem os dem ostrar que: B )a + 6 £ a 6
2 fa b
A a > 0
=> a < V a 6
:
Aja -b'Z.Q
-> 6 > a
=> a 6 > a 2 > 0 =3- Vafe > a > 0
B - A = 7 3 ;5 [
PR O B LE M A
C )a +
S i6 > a > 0
D)
a + 6
£ fa b
RPTA; “27”
16:
Si a ,6 ,c y d son núm eros reales tales que a < b < c < d , entonces necesariam ente: AJd - 6 > o - a B jd - 6 < e - a Od - c > 6- a D) d - b > d - c E )d-b > 6 - a R E S O L U C IÓ N :
* Em pecem os colocando los núm eros a , 6 , c y d en la recta num érica, teniendo en cuenta a < b < c < d y, luego indiquem os las diferencias que aparecen en las alternativas ; así: d -b
R E S O L U C IÓ N :
* D e : a s - 2 a b + 6 2£ 0 * Sum am os 4 a 6 a cada m iem bro a 2 + 2ab + b2 £ 4ab
d-c
(a + b f £ 4 a 6
* Pero com o a 6 £ 0 con dición del problem a:
a
6- a
a + 6 £ 24ab
c -a * Finalm ente : q + ^ ^ V a 6
RPTA; “D ” PR O B LE M A
* De ello podem os v er que necesariam ente c - a < 6 - a además ; d - 6 > d - c R P T A : 4ÍD ”
15:
I n d ic a r e l v a lo r d e v e r d a d d e la s s ig u ie n t e s proposiciones: p : Si a , 6 , c eJ?> entonces :
PR O B LE M A
Sea - 1 < b < a < 0 , donde a y 6 son núm eros reales. De las siguientes proposiciones: I) a 2 > 62
a 2+ 6 2 + c 2 2: a 6 + a c + 6 c q : Si a , b e R + y a * 6 , enton ces a + 6 > 2 Vafe r : Si 6 > a > 0, entonces a < f a b A jF V F
B jV F F
C )F F F
D )V W
p ) V E R D A D E R A : y a que:
a 2 + 62 £ 2ab
*
S e o b tie n e :
*
A n á lo g a m e n te : a 2 + c 2 ¿ 2 a c
(+ )
b2 + c 2 £ 26c
* Sum ando : 2 f a 2 + 6 2 + c 27 ^ 2 f a 6 + a c + 6 c j
=> a 2 + 62 + c2 £ a& + ac + 6c q ) V E R D A D E R A : y a que :
Si a,
6 e R + a a * 6 , entonces: Va, V& e R + a Va - f b * 0
^ a + 6 > 2f a b
son ciertas: AJI y I I D)It I I y U l
B jlly m E jS ó lo II
OO a 3 < bs C jly U I
R E S O L U C IÓ N :
I) F A L S A :
* De la relación: ( a - b )2 ^ 0
> 0 =>
II) a 3 > b 3
* C om o a y 6 son núm eros negativos y a > 6 , se tiene que:
R E S O L U C IÓ N :
=> (Va - V&)
17:
Los núm eros negativos al ser elevados al cuadrado se v u elv en p o sitiv o s y ca m b ia n el se n tid o d e la relación. II) V E R D A D E R A :
U n núm ero negativo elevado al cuadrado es positivo, m ientras que elevado al cu bo es negativo. U I) F A L S A :
A m bos térm in os son n egativos; p ero para que a 3 sea m en or que 6 a, 44a 99debe ser m en or que 44b " R P T A : 44E ” PR O B LE M A
18:
a - 2f a b + 6 > 0 S i a ,6 ,c e R * y M =
a
6+c
a+c
a+6
, e n to n c e s e l
[ g iif r f O iV E ^
K im
v o ^
zg *
R E < \ M ,K & -»E & M t7/t t 4iL tM i3 i ]
m enor valor de M , es:
-i
- f
(a 6 )
IW *
(e a f
(b c ) ( c a )
(a b )(c a )
(a b )(b c )
» !
ab
be
R E S O L U C IÓ N : * C om o :
*
m
PROBLEM A 20: Se tiene u n paralelepípedo de aristas : a , b , c
; —+ — Z 2 x z
x
y y
z
z
y
x z
y
x
y+ z
z
x
- +-
+
adm itir el volum en. x
A )2 7
+ —¿6
B )7 1
2>6
y
2a „ + 1 + --------+ 1 + b + c
b
C)
D)
512
E )1
27
R E S O L U C IÓ N :
_
z+ x
* De: a + & + c > s/abe y volu m en = a b e
3 ♦ C om o a + 6 + c = 3
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b _ - + — -----------+ ------------------ Si o a + b b + c c + a
a
512
z
,
c u y a
sum a es 4^[g ; calcular el m ayor v a lor q u e puodé
* Haciendo: x = 6 + c , y = c + a , z = a + b
a + b
^ RPTA: “E ”
* Sumando las 3 desigualdades:
x + y
**máx
y + y * 2
* Análogam ente: ^. + £ . ¿ 2 z y
1+
fr ° f t ° ? ^ n 2 2
* E ntonces : n £ 3
* + y
=>
2 *3
a
♦ S i x , y , z e R + t e n t o n c e s p o r M A Z M G , se obtendrá:
y
ca
26 c + a
^ ty a b e => í — ] ^ a b e 3 \3J 512
^
£6
( I ) * volumen> ° ^ v^ = ( f ) =
27
RPTA: “D ”
e
PROBLEM A 21:
* De donde: 7 ------+ --------- + ------- r ^ « 6+c c+ a a+ b 2
* D em ostrar que: v a , 6 e R +, se cum ple:
* Luego: M ¡ > | => M mln = |
f
1 6,
hrJ
RPTA: “Z>I»
PROBLEM A 19: a* Si v o ,
( c + ó Y¿ R E S O L U C IÓ N :
m
*D e: ( a - b f ^ O a 2- a b + b2 £ ab
máximo valor que puede adm itir n es:
A)8 ,B)6 C)5 R E S O L U C IÓ N :
D)4
a 3+ b 3 . Z a b ; ( a + b > 0) a + b
E)3
* Sea x , y , z e R +, luego de M A ^ M G , se tendrá que: x s + y3+ z3
a33 .+1.3
a 3 + b 3 £ a b (a + b) * M ultiplicando p or ( 3 ) : 3 ( a 3 + 63) ¿ 3 ( a + b )a b
Z y[ x 3y 3Z3
=> 4 ( a 3 + b 3 ) Z ( a 3 + b 3 ) + 3 a b ( a + b ) ^ x a + y s + z s Z 3 x y z ^ x 3 + y ! , + X\ xyz
2
2
3
2
Ü L + 3L + £ _ * 3 yz xz xy * y a , b, c € R + ; considerem os: x = a 6 e R +; y = 6 c € R * ; z = c a e R * * Reemplazando:
4 ( a 3 + b 3 ) Z ( a + b )3
a3+b
( a + 6/
8 3 . b3
a3 +b
1 + )
-
(=5*
s 1- M
PROBLEM A 22: E n u n c ie el v a lo r d e v e r d a d d e la s s ig u ie n t e s prop osicion es:
NCJCiMPEDIA 2 0 1 $
l>.Uto
£ + * + £. + 5 * * 4 b c a a
I) S i {a , b. c, d ] C R*
AJI
B)2
0 -1 R E S O L U C IÓ N :
D)0
E)4
♦ De la re la ció n : (a - x ) 9 > 0
W S i { * , y ) c R + => f3 * + 2 y ) f ±
+±\ *4 1.3* 2y
♦ Se o b tie n e : a* + x* > 2 a x
I I I ) S i a ,6 ,c s o n lo s la d o s de u n tr iá n g u lo a2 - 6 * - c 9 - 2 6 c es p o s itiv o
♦ A n á lo g a m e n te :
6* + y 9 > 2by c* + z 9 > 2cz ♦ S um ando m ie m b ro a m ie m b ro :
A jW F B)VFF C)FFF R E S O L U C IÓ N :
D )F W
E )W F
a 2 + 6 2 + c 2 + x 2 + y 2 + z 2 > 2 ( a x + by + cz) W 715 2 > 2 (a * + 6 y + cz)
I) VERDADERA : ya que (MA 2t AfG)
Af < 1 => Afmdjr = 0 b
c
a
a
*4
a 6 c d => — + —+ “ + — ^ 4 b o d a
m m
RPTA: “ D ” P R OBLEM A 25: S i la
a2+a + l k ------2~+\— ^~2* 8e c u m P^e
d e s ig u a ld a d
V a e R , entonces el m ín im o v a lo r que puede a d m itir k es:
U) VERDADERA: ya que: M + -/ - Z 2 V M g J?‘ M
A) 5
B)4
03
D)2
E)1
R E S O L U C IÓ N :
Sx &x =1 + ™ + ?L + iz4 (3 x + 2 y) 3x 2 y) 2y 3y ¿2 UI)FALSA: p o rq u e según la co n d ició n de e xiste n cia del triá n g u lo :
♦ S i a > 0 entonces: a + — 2: 2
a
a2+l
♦ Si a <
6 - c < a < 6 + c
0
♦ Se pide: a * - (b + c )* com o 6 + c > a > 0
£2^ 0<
a
PROBLEM A 23:
a2+1
, entonces: o + — £ - 2 a a2+l
=3 a 1 - (b + c ) 9 es n e g a tivo
R PTA: “ E ”
a
2
a
<0 + 1
a = 0 a2 + 1
♦S i o = 0
♦ De todo lo a n te rio r, p a ra a e R , se te n d rá que: Sean: (a , 6 , c , d ) c R + , ta l que:
a
a 2+ 6 2= 1 a c 2 + d 2 = 1 encuentre e l m á xim o v a lo r de: a 6 + cd A)0 B)1 C)3 D) 5 E) 7 R E S O L U C IÓ N : ♦ Recordando : V a , 6 e R + : a 2 + b 2 £ 2 a 6
2 2 a2 + 1 a2 2 a2+a +1 3 £ s--------- £ — Va e R 2 a +2 2
2
♦ Com o: a*2 + a +1
Sum ando:
a *
+
6* +
c9 +
a 2 + 2 d*
^
2 (a 6
+
6
RPTA: “ B ” PROBLEM A 24: Sean a , 6 , * , y, z, n ú m e ro s p o s itiv o s d is tin to s . Tales quee a 1 1 + + 66 ** + + c* = i a x* + y* + z* = 1 D e te rm in a r e l m á xim o v a lo r e n te ro de: ♦
£ —
2
,
+ 1
o
= > « ^ 3 = ^
,
_ o
= 3
2
R PTA : " C ” PROBLEM A 26: S ie n d o q u e n e N y
♦ Luego: m á x {a 6 + c d } = 1
_ M = ax + by +cz
2
3
cd)
♦ De los datos 2 ^ 2 (a 6 + cd ) => a 6 + c d ú 1
! _ ____
6
3----------------^ --------------► —
♦ L u e g o : c 2+ d s * 2 c d ♦
2+
a
m a yo r v a lo r de K.
fn + l ) " ^ — R WJ, c a lc u la r e l 3 2"
AJI B)3 05 R E S O L U C IÓ N : ♦D e:
2+2+3+...+n /»
B)7
£)23
[K » fr jo jifE 8
|B
w g m to^
|g
De * Pero: a 2 + 6 2 > 2 0 s
2X
t
m áx
a a
= 3
+ 6
e
m ^ ír )
< 1 0 4 ->
RPTA: “B" PR O B LE M A
( 20 3\g > 2 £
t j ¿" ^ £ „ / ^ £ w/ * - n / ;>. . . 2" 3 3 3 37>K
i
/ 6*>
3
103j 2 < ^ « ^ + 6 ^ j 2 ^ g 3 +ft3 j 2
27:
Si a , 6 c R + tal que a + 6 = 4 , entonces el m enor 1 0 4 s < 10\¡5
4 2 < y ¡5
(a b su rd o )
valor de S = >Ja2 + 9 + >Jbs + 9 , es: * Esto significa que: A = é => n ( A ) = 0
A J ~ B ;— C JV k? - 4 2 R E S O L U C IÓ N :
D )2 \ fÍ 3
PR O B LE M A
* Se sabe que, por identidades de Lagrange: ( a 2 + x 2) ( b 2 + y 2 ) -
RPTA: "A 99
E )3 s fl3
f a 6 + * y > 2 + ( a y - b x )2
29:
Dado x Jf x r x ^ x n e R + si el producto de los n núm eros es u n o, calcule el m en or valor de: G = ( l + x s) ( 2 + x s) ( 3 + x s)
* Considerando a , 6, x , y e 2?+ :
( a y - 6 x ) 2 £ 0 ^ ( a 6 + x y )2 + ( a y - 6 x ) 2 £ ( a 6 + x y )2
A)2-
B )n /
=> ( a 2 + x * ) ( b * + y 2) £ ( a 6 + x y )2
R E S O L U C IÓ N :
( n + x x)
D ) 2 *nl
C )4-
E )2 * J ñ l
* De M A ^ A fG , se obtendrá que :
ó 2 j a 2 + x 2y]b2 + y 2 £ 2 (a 6 + xy )
2 + Xj Z 2y jx ¡ ^ a 2 + x2 + 2 7 a 2 + x * 7 fe* + y2 + 6 2 + y 2 £ a 2 + x 2
^
^
2 + x 2 2 272x 2
*•i 'k
+ 2(a6 + xy) + 62
3 + x 3 £ 2 y ¡3 x jj
^ ( 7 a 2 + x * +i/&2 + y 2) ^ ( a + ó Z + f x + y / ^ => 7 a 2 + x* +
+ y 2 S: y¡(a + b )2 + ( x + y )2 ^
n + xn £
-
nx
* C om o son positivos podem os m ultiplicar
* Luego, para x = y = 3 a a + 6 = »'Í:;
(1 + x ¡ )(2 + x ¡ )(3 + x 3)...(n + T ^ T s * + yfb2 ^ 4a2+
^
9 + Vfc2 + 9
&
1 6 2
* pues x 1x 2x 3 ... x n = 2
¿%2« 4 l 3
(2 + x
S £ 2 > /l3 => S mín = 2 ^ 2 3 PR O B LE M A
) £ 2 " yjxtx 3x 3... x n(n!)
¡)(2
+ x 2 ) ( 3 + x 3 > ...(/ i + x n ) Z 2 n. 7 » 7
* Luego m enor valor será: 2 n.y[ñ i
RPTA: “E "
28:
Si A es un conju nto definido por :
PR O B LE M A
A = { ( a M e N ^ N Í a 3 + b 3 < 104 A a 2 + 6 2 > 2 0 3}
D eterm inar el suprem o e ínfim o de :
jT TV es e l c o n ju n to d e lo s n ú m e ro s n a tu r a le s , entonces el núm ero de elem entos del con ju n to A es: AJÓ B )1 C )2 D )3 E )4 R E S O L U C IÓ N :
2+
30:
o
3
O
'ó + •■•+ T 42 n2
R E S O L U C IÓ N : * Partim os de :
* Aplicarem os el siguiente teorem a V a , b e R + .
Si m <
( am+
" A
m
í 1m
—
/
1
k
a n + bn V
2
* Com o a, 6 e TV c R * :
l
jf
3
2 <3 t
e
3
t
e
2
2
2+ k
k
1
1
K
K+l
2
2
k 2
2-
< — 2=-<
K
k
K-l
* Tabulando :
K =2
- - í < 4 2
0
2 *
<2
K
726
fSÉJL dWZMgMtSY
Iffi
XCMCLOPEDMA 2012)
PR O B LE M A
K =3
33:
í ~ í
1 1 K = n => £*/ ---------< _ *< ^ Ll/. -----/n
n+I
n*
X -2
{ a , 6, c } c J?+dé el va lor de verdad de las siguientes p rop osicion es:
R
* Sum ando las desigualdades: 2
I) P = 6 4 , « i; a = 6 = c
2
2 2 2 , 2 < —rr + —rr-+ ... + :r < 1 ----2 n +2 n 22 32 n 3 ____2__ 2
n+2
Ü D P = 16 A )W F
n
n
B )V F F
O FW
D ) FFV
E )F V F
R E S O L U C IÓ N :
* De los dado se obtiene:
3
2
2
n + 2
P „ , +í ' +¿ +í U \a
Suprem o: 2 ----n
b
c)
' +_ U ' ) + \ab
p =í+(~+f \a b +~) c)
PR O B LE M A
31:
* Pero :
Sea / ; = < —
—£ y > ; i e N
M A*M H
n
a * 6 * c
II) P > 6 4 , s i:
* Luego: ínfimo:
»
21'1
M A*M G
s
Luego el valor de x e ( A r \ Z ) Z es: /U-l Bb -2 C)1 D )2
E)0
be)
abe
abe
2 1 1 — +T +~ a b e - + i- + í t 9 . M ) 3 a +b +c a b e a +b+c * (¡abe *27 abe
2UI
A = U I ¡ : ( Z = enteros) i-i
ac
abe
*54
411)
Luego de ( I ) + ( I I ) :
R E S O L U C IÓ N : * Se tiene: A = / j U / 2 u / 3 u / 4 . . . u I H
p=1+\ ( a" + íb + ~ c ])
4
* * "2 2 -2 => A = < - 1 ; 1 > \ j < — ; —■> u < —z
2
* Adem ás P = 6 4 < z > a = b = c = — 3
-2 > u ... < 2 io ' 2 io
R P T A : “A
* Luego: Cada uno de los intervalos contiene al cero: A r \ Z = ( I 1 n Z ) y j ( I 2 r \ Z )...(I n n Z )
PR O B LE M A
34:
Sabiendo que a b e = 2 y { a , 6, c } c R + Adem ás:
-* A ñ Z = f0 )u {0 }...u {0 }
2+ a6
-> A n Z = { 0 }
1+a
<
PR O B LE M A
V a, 6, c ,e R * l a + b + c = l
P *64
2
abe
*1 + 9 + 54*64
32:
2+ 6c 1+ ac + --------- + ¿ m 2+6 1+c
Halle e l m ayor v a lor de m :
Sabiendo que a ; 6 ; c son lados de u n triángulo.
B )3
C )1
D )6
E )1 2
Halle el m ayor va lor de K en: R E S O L U C IÓ N : K £ ( a b c ) a+b*e ( a + b + c ) ; a ; b ; c e Z + A )2
B )5
C )3
D )4
* H aciendo 2 = a& c, se obtiene: E )6
R E S O L U C IÓ N : * E l m a y o r v a lo r d e K es e l m e n o r v a lo r de ( a b c ) a*b+c ( a + 6 + c ) ; y com o o ; b ; c e Z + ,esta ocurre cuando a = 6 = c = 2 , luego el m en or valor de ( a b c ) a+b+e ( a + b + c ) es 3.
1+ ac + — ------- + — -------- * m abe + a a6c + 6 abe + c 1+ ab 2 + 6c 1+ ac 2+ a6
2 + 6c
a (b c + l )
R P TA : “C”
c (a b + l )
N O TA :
si x j x sx s ...jc n = 2 ,*
=> M ayor valor de K es 3.
b (a c + l )
R*
=> x 2 + x 2 + x 3 + ... + x n * n
* m
[F llffJ O F E ^
K fZ » L V O A >
* Como: ac f 2 + a6 V Í + 6c V 1 + ai =1 \a(bc + l) Jlftfac + l))\c(ab + 57 i + a6 + 1 + bc + 1 + ac 2t3 af&c + l> &fac + 2> c(ab + l) RPTA: “B”
PROBLEM A 35:
M A (a ;b ;c ) = M H (a ;b ; c ); esto solo se cum ple si a = 6 = c •e nton ce s lo pedido será: — + — + — = 3
a
a
RPTA: “A ” PROBLEM A 37: Sean a , b, c n ú m e ro s reales p o s itiv o s ta l que :
D e te rm in a r e l m a yo r v a lo r e n te ro de:
( a + 2 b ) (6 + 2 c ) (c + 2 a ) = 27a bc
S = 1 + -?=■+ - p + •••+ — ■■ 42 V3 42024 Á)72 B)74 C)45 R E S O L U C IÓ N :
D)90
n e R+
• P artam os de que s i:
a
D e te rm in e : ( a - 6 ) 2 (6 - c ) 2 (c - a ) 2
A)3 B)G 09 R E S O L U C IÓ N :
E)89
*---- 7=1 <
W « + 2 + v rty
E)12
MA(a; b; b) Z MG(a; b; b)
jn + 1 > 4ñ
=> yjn + 1 + 4 ñ > 2 4 ñ => í ,
D)0
a + b + b Z 3J 7b*=>a + 2 b * 3 &
f— 2v»
• m u ltip lic a n d o m ie m b ro a m ie m b ro , re s u lta :
=> y/n+ 1 - 4ñ < —^j= =$ 2 {jn + 1 - 4ñ) < ~Í
(a+2fe)(6+2c)(c+2a) £ 27a b e
2-Jñ
pero la ig u a ld a d se cu m p le , cuando a = b = c
* Luego evaluam os:
• entonces lo pedido será:
n = 1: 2(y¡2 - l ) < l
-4 e
n = 2 : 2(yf3 - J2¡) < 11>¡2 n = 3 : 2 (j4 -+ 3 ) < 1!+3
. ^
(a - a)2 (a - a)2 (a - a)2 = 0 RPTA: “D ”
* PROBLEM A
38:
Sean a , b , c n ú m e ro s rea les p o s itiv o s ta l que :
n = 2025 : 2 ( j 2 0 2 5 2 0 2 4 ) <
81bc a~
• Sum ando m ie m b ro a m ie m b ro se o b tie n e :
V3
V
42024
= $ 2 (4 5 -1 ) < 5
A)\Í3
cJ
£ Ai
\bc
+— +
ac
. ab
05+3
D )6&
E)12*l3
R E S O L U C IÓ N :
* E ntonces e l m ín im o v a lo r e n te ro de “ S ” , será: 89
RPTA: “E” PROBLEM A 36:
, b, c
6a
B )3&
= > 8 8 < S = > S >88
tajean a
ab
D e te rm in e e l m e n o r v a lo r de A f.
2 ( V 2025 —l ) < 1-i— p + -7 = + .';r+' —j ■■■—
42
16ac
n ú m e ro s reales p o s itiv o s ta l que:
(a + b + c á b e D e te rm in e : — + —+ — o c a A)3 B)2 OI -f R E S O L U C IÓ N :
• H aciendo :
a = —; 6 = y
—; c
x,
=— z
* reem plazando en la desigualdad dada, se obtiene:
6y3 6x3 6z3 i--------------X—+ ---- +------£ tJxz + yz + xy xz yz xy 6(x4+y4 + z4) £ Af xyzyjxz + yz + xy
•
•D e :
(a + 6 +
c ) í “ + ^- + —1 = 9
'\a a+b+c
b
c)
3 M a b +e -
• pero ya sabem os que:
D)9
a2+b2+c2 Zab + bc + ac
E)6
( * 2) + (y2) + U 2) * * V
2^2
+ * 2* 2 + y 2*
x 4 + y 4 + z 4 £ (x y )2 + (x z )2 + (y z )2 £ xyxz + xyyz + xzyz x 4 + y4 + z4 £ xyz (x + y + z ) • pero x 2 + y 2 + z 2 Z x y + x z + yz
f/7
7 2 8 => x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( x y + x z + y z ) 2 3 ( x y + x z + y z ) = > ( x + y + z f 2 3 (x y + x z + y z ) 4
=>(x + y + z ) z ^ 3 ( x y + x z + yz)
IBfljBf
E =abc +k£m+abm+a£c+kbc+a£m+kbm+k£c => E=(abc+a£c+kbc+k/c) + (kSm+abm +a/m+kbm) ^ E=c(ab+a£+kb+k£ )+m(k/+áb+a£+kb) => E=(ab+a/+kb+k¿ ) ( c+m) ^ E=(c+m)({ab+kb]+[a¿+k/])=(c+m)(bla+k] +/[a+k ]) => E=(c+m)(a+k)(b+£)
* reem plazando en ( I ) y en la original: x 4 + y 4+ z4 2 J S xyzJ xz + y z + xy
RPTA: “A ” PR O B LE M A x y z y jx z + y z + x y
40:
Si a ; b ; c e Z * , halle el m ayor v a lor d e :
el m ayor valor de Af es : 6-73
a c a ba b cb
R P T A ; “ D ,J PR O B LE M A
39:
A)3
B)2
K
Determ ine el m ayor va lor de R
C)2
a-veces
D)9
E)6
b-veces
a+b+c,
Utilizando la propiedad M A 2 M G : a b m + a l c + k b c ^ s i " 's i s --------------------------- 2 yja b c k l m 3
4\
^
WWE ISW ifj
4 o+6+c
=> a b m + a l c + k b c 2 3 j a 2b 2c 2k l m .............. ( I ) a jm + k b m + k £ c & ^
• Sim plificando y elevando al exponente ( a + b + c ) se tiene:
2/ 2^2
3
b /
=> a l m + h b m + h £ c 2 B j a b c k 2£ 2m 2 ................ ( I I ) * Sumando (I ) + ( I I ) se tiene:
c-veces
(b b b\ ( c c c\ ( a a a\ —+ —+ ...+ — + «—+--+•.•+«— + —+ —+ ...+ — \a a a j \ b b b) \c c cj
R E S O L U C IÓ N :
____________
a b m + a / c + k b c + a / m + k b m + k / c 2 3 j a 2b 2c 2k £ m + 3 > ¡a b ck 2£2m 2
Sum ando a am bos
E)4
* U tilizando la propiedad M A 2 M G :
%j(a + Af)(6 + Z) ( c + m ) 2 P ^ J a b c + J k l m }
B)3
D)1
R E S O L U C IÓ N :
Sean a , b , c , k , l, m números reales positivos tal que:
AJI
05
22
(!!(!)(!)
_ e -o lo-6 .6 h ?
.6
.c
£1
_ c-a i o - 6 -fc -c l „ i a .b . c )m á x — J ( RPTA: “D PR O B LE M A
la d o s d e la d e s ig u a ld a d
\e
41:
D em ostrar q u e :
x 2 + 2 y > 3*»( x y ) 2í3
(a b c+ k / m ) a b c + k ¿ m + a b m + a ¿ c + k b c + a ¿ m + k b m + k ¿ c 2 a b c+ k tm
para todo a , b n ú m eros reales positivos . R E S O L U C IÓ N :
+3% ¡a, b 1c 2k ¿ m + 3 \ l a b c k * ¿ 2m ¡
O bservam os que x 2+ 2 y = x 2+ y + y t luego aplicam os
* Factorizando adecuadam ente: ( a + k ) ( b + £ ) ( c + m ) 2 ( J a b c + J k l m )3 * Extrayendo raíz cúbica:
A£A 2 M G tenemos:
a l ° s n ú m e r o s x 2f y , y . E n e fe c to x z+y+z
i ?Jx‘ X y X y
$ ¡(a + k )(b + £ ) ( c + m j 2 ( J a b c + J k l m )
* Luego:
99
_____________________ J ( a + k ) (b + ¿ ) ( c + m ) J a b c + \ ¡k / m
=> El m ayor valor de P es J . N O T A :
Agrupando convenientem ente
21
o
x + 2 y ¿ 3(Jx 2y 2
o
x 2+ 2 y 2 3 ( x y )213
La igualdad ocu rre si y sólo si x 2 = y. PR O B LE M A
42
:
H alle el m en or valor d e :
¿ . 4 a z+ —
a
; a >
O.
■
yz»
R E S O L U C IÓ N Vemos q u e : 2 4
a
+ —¡ = 1= O
2
KM 1
XIJNWEK
R E S O L U C IÓ N : 1
+ —7
1
1
1
a
a
a
—y = T + —F S T +
= +
a
entonces aplicamos M A £ M G
a
los
l+ -+ (a -l)
a________ a
1+ ^ ^ ~ = o /r2 + ^^1 x 2 x 2 x .... x 2 <
a
números
1 1 1 1 a i —?= i ~f= i —¡= ¡ —r= veamos:
g
7
( n -Í> /o cfo re s
=2 +
2
Similarmente :
Va Va Va va
\/a ^a a,2 - — - < 2 — g j. . x j x
5
\
Va
entonces :
x i x i
j
Va
Va
Va °
o a 2+-^= £ 5 ( 2) Va entonces a
g
'
* /a
l
a
+911
=*?2 +
4
5.
Va
a
fía a
Ja
< 2 + - ^2 + 2
V
a
a
<2
PROBLEM A 45 :
2
Por lo tanto, el mínimo de a +
es 5 y ocurre si
Sean m , n t p
números
reales
con
fXm, n, p ) = Jm(n + 2p) + fjn(p+ 2m) + Jp(m+ 2n) R E S O L U C IÓ N :
PR O B LE M A 43 : Demostrar q u e : f ( x ) = i + . /—
+d—
+ ?!—
+
Como f(m, n, p ) es una expresión simétrica para m, n, p entonces el máximo ocurre cuando m = n = p y como m + n + p = 3
< * + i.
R E S O L U C IÓ N
m =n=p=l
El término general de la suma del primer miembro
3m = 3n = 3p = 3 n + 2p = p + 2m = m + 2 n = 3
6+2
y vemos que : k+1
k+1
positivos
m + n + p = 3 , halle el máximo valor de :
y sólo si a = 2.
es
a
=2
¡k+1 ,
=
MI —
t
,
f A -iJ iu m o w r fo i
+ 2 + 2 + ...+ 2
:--------. I x i x . . . X Í <
9m?it + 2p)
f A - l J /o c / o r « «
6+2
o * / ^ <
+6 - 2
*
Luego aplicando M A ¿ M G , de la siguiente manera: $¡3m (n+2p)x3 ü
+ W + S 'j
o $jm(n + 2pj £ ^ g{^ m+n^ 277+3j;8imilarmente =2+
2*
En efecto:
^ <1+( ,+? ) +( ,+? ) +“- +( ,+7 ) ~ x 1=-+— 1^ z* /fx)=x+— 2*
3*
1 +1——. 15-< n + - —x2 1x2 2 x 3
+
•« + ÍH Í-ÍK -T Í) =* f ( x ) = x + l
< x+1
l
Sumando miembro a miembro tenemos :
( x - l ) x sjm(n + 2p)+ *jn(p + 2m)+$jp(m + 2n) = > f(m ;n ;p)£-^ -x9= 3$3
=>máx f=3$3
X
PR O B L E M A 44 :
PR O B LE M A 46 :
Demostrar que :
Sean p, q, r números reales positivos. Pruebe que
V* a
,
J7~J¿ . a <
o
siendo n entero positivo
*2+
2(p+ q+ r) Jpqr
m n
A tm O P E B U 20 jal n-1
R E S O L U C IÓ N :
i a ” ~i + a " ~ 2b + a n~3b 2 + ... + a b n- 2+ b n~1
n (a b ) 2
Observar q u e :
A plicando 3£A £ M G :
'2r + P
S( P + i + r ) J * + Z ' + 3 + ' l + r p U r p ) \ q r J
,P
a n~s+ a n~2b+...+ bn~l
9
n
U tilizando M A ¿ M G , tenem os que :
> 't¡(an l ) ( a n- 2b ) ( a n-sb 2)...(b n I ) -j)n
z
?+ 9 = P + P + 9 * 3J PXP X1, entonces r
q
q
yq
r
q
r
PR O B LE M A
2-+ ¿*89¡r
9
fm + n -p 3 \ E + 1 + L K 3 x ^ + 3 J £ + 3 x d r2 q r p qr pr P9
P . 9 . r ^ p+g+r , tfp q r
tfp q r
jp + m -n
m n+np+pm
entonces x 2 + y 2 + z 2 = m + n + p = 3 y m = -
. ..
; similarmente x 8+v* y 8+z8 n “ — 2 ~»P~ 2 " * de donde se deduce que:
9 + x 2y 2+ y 2z 2+ z 2x 2
m n + m p + n p = --------- — -----------------4
r q p y jp q r Sumando m iem bro a m iem bro tenem os :
E ntonces :
P | ? i r . | P | r |ff^ 2 ( p + q + r ) sum ando 2 en r
y jn + p -m
* = j m + n - p ; y = y ]n + p -m ;z= jp + m -n t
tfp q r _
P -r— . r r. 9 ¿^ P +. g.. +■■r ,
p
:
H aciendo : jfp q r
r
48
R E S O L U C IÓ N :
=3
9
= (a b ) 9
Sean m , n , p lados d e un triángulo con perím etro 3 . dem ostrar que : 1 1 J 9
P9
de donde tenem os que:
o — 4*—4— £ q r p
*
n-1 a n 1+ a tt g6 + . . . . + 6 " " 2 Z n ( a b ) 2 2
P
xb
n-l
Por lo tanto de ( i ) y ( i i ) tenem os :
— + —£ s d similarmente 9 r y gr
& + ; : 2 ¡,5 r p yp r
(n-l)n
q
p
tfp q r
ambos m iem bros : J+P + » + L + Z x » +F xL + 9 x r + P x g x r í 2 + 2í p W q r p q r q p r p q r p fjpqr de d o n d e : 1
56 i+ I+ A * x y z 9+x2y2+y2z2+z2x 2 o ( y z + xz+xy)(9+(xy)s +(yz)2 + (z x )2)± 3 6 xyz = 3 6 j(x y zf H aciendo x y = a ; x z = b ; y z = c , tenem os : ( a + b + c ) ( 9 + a z + b 2 + c 2 ) £ 3 6 y fa b c
Pero aplicando M A £ M G , tenem os que
1 + P\(1 + S.\(1 + IL\^2+ ? (p+q+r) q j\
r jy
p j
a + 6 + c £ 3 $ I a b c ....................................... ( i )
¿J p q r
9 turnando*
La igualdad ocurre si y sólo si p = q = r. PR O B LE M A
a 2+ b 2+ C
2 +
2 + 1 + ....+ 1 ,
2c 2
12
4 7 :
Pruebe que para a , b núm eros reales n o negativos, y*
= > a 2 + b 2 + c 2 + 9 ¿ 1 2 1\ ](a b e )2
Con a £ '6 * y n entero positivo, se
=> a 2 + b 2 + c 2 + 9 £ 1 2 y ja b e
cum ple
que
(ii)
n -2
n ( a - b ) ( a b ) 2 <,an - b n
M ultiplicando m iem bro a m iem bro ( i ) y ( i i ) :
R E S O L U C IÓ N
( a + b + c ) ( a 2+ b 2+ c 2+ 9 ) £ ( 3 $ I a b c ) ( 1 2 \ ¡ a b c )
:
= 3 6 \ fa b c ,
Hay dos casos: ( i ) Si a = b , se cum ple la igualdad. (U ) Si a * b n -1
n (a b) *
de donde obtenem os: (a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 + 9 ) £ 3 6 4 a b e
n _
t i *
£ ------a-b
;a>b
La igualdad ocu rre si y sólo si p = q = r = J .
[E lS ir M I lX lS S
9tI7W*MÑ4P&
|P
|
791
W 'W E W O ^ K M y X V - IM J W tfF A U M P M ' ]
B ) S i ;x < y = > x + 5 < y + 5
©
C )S i:x<10s>y < - 4 = > x + y < 6 ( ) D )S i:x < 2 => 7x < 1 4 ( ) E)Si: x < 6 => —4x < - 2 4 ( )
De las siguientes proposiciones:
* 8 > -2
(
)
* -4 > - 7 (
)
*7<
(
)
* 3 < -3
)
7
(
C u áles de las s ig u ie n te s p r o p o s ic io n e s son correcta s?
Indicar cuántas son verdaderas. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
corresponda:
A) V W
)
*71 < 3 (
B) W F
* 4 > 4 f 5 4
)
D ) VFF
C) VFV
J jV a G R : a 2 £ 0
(
)
I I ) S i: a > 0 => - < 0 a
(
)
I I I ) S i; 8 > 5
(
E ) n in g u n a
In d ic a r v e r d a d e r o ( V ) o fa ls o ( F ) seg ú n
* 43 < 2 (
) E)FFV
•Si: b < 6 = > b - 4 > 2 (
)
A) W F
B) F V F
resultado: A ) S iem p re p o s itiv o C ) Un n ú m e r o e n t e r o E ) N o e s p o s ib le p r e c i s a r
)
D) F W
De las siguientes proposiciones: (
* |- 2 + 5 | > | - 3 + 5 |
( )
* ( - 2)2 > - 22
(
( - 1)4 > - 1
(
Q u é v a lo r d e b e a d m itir “ a ” p a ra q u e la siguiente expresión n o exista? (a - 2)1 A ) -1 B) 2 0 4 D) 8
)
( í í ) D e las siguientes proposiciones: *^D ) 4
E) N A.
Desigualdad” , “ M ultiplicativa de la D esigualdad” , y determ ina en cada caso todos los valores reales que pueda to m a r la v a ria b le * * x " (r e s o lv e r las inecuaciones) x . .................... B )x - 6 > 18 x ............
0 2 x < 12 x ............ D )3 x < 18 x . ...............
E ) n in g u n o
)
A p lic a la s p r o p ie d a d e s “ A d it iv a d e la
A ) x + 5 > 12
B ) Un n ú m e r o n a tu r a l D ) Un n ú m e r o r a c io n a l
E ) V FV ’ .-tH ^ S iem p re p o s itiv o B ) S iem p re n e g a tiv o C ) P u ed e s e r c e r o D ) P u e d e s e r p o s itiv o o n eg a tiv o E ) N o p o d e m o s a fir m a r n a d a .
)
Indicar cuántas son falsas: A) 1 B )2 C )3 5)
C ) I , I I y III
B ) S ó lo I I E ) M A.
Si: a > 0 y b < - 1 , se deduce que: “ a 6 + 6 a ” es:
C) VFF
* \-4\ < l-6 |
)
Si: x < 0 y z > 0 y e n to n c e s x - z , d a rá un
• S i: a e R => a < 0 v a = 0 v a > 0 ( )
* < * 8 5
A ) S ólo I D ) I y III
Indique el valor de verdad en:
• Si: a > 3 => a - 3 > 0 (
( )
E ) 2 x - 1 < 15
0> * 0 < y[2
(
* (~ 2 f
)
( < 45
) (
Indicar cuántas son verdaderas A) 2 B) 3 0 4 D) 1
)
E )N J l
Señalar la afirm ación incorrecta i)
4s + 4s = 4 8
(
)
(
)
x ............. F ) 3 x + 2 > 14 x .............
II)
III) 7 = 47 y-47
( )
G) - 3 x < 12 A ) S ó lo I B ) S ó lo I I
x .............
x .............
d
U tilizando las propiedades de desigualdades, (
EjIyIII
Se dan las siguientes proposiciones:
H )-4x <-16
señalar la alternativa incorrecta: A )S i:x< 8 /\y>8 ^ x < y
C )S ó lo III D ) I y l l
)
-5 < -3 6 7
¿Cuál es verdadera? A ) N in g u n a B ) T od as D ) S ó lo I I E ) S ó lo I I I
m
H
O Sólo I
|
fea* 7 8 2 ( í ^ ) Com pleta:
°fof
E ) \¡4
II)
(1
> J3
( )
F ) I- 4 + 2|2 >1-2
2
31
( )
G ) |-6 + 2|S < | -2 -f-2 2 | '
B) > , =, < E) NA*
A )<,=,> D) =, <, >
XC M C LO PEB IA 2012)
Ofe
O
C) >, <, =
S i: 1 2 > 7 , in d ic a r cu a le s d e lo s s ig u ie n te
(5 ^ ) Escriba “ V ” o “ F ” según corresponda Aj 2 - < 2 4 2
(
)
enunciados, son ciertos: A ) S u m a m os 4 a lo s d o s m iem b ro s 12 + 4 > 7 + 4 B) S ú m a n os - 2 a lo s d o s m ie m b ro s 1 2 - 2 > 7 - 2 C) M u ltip lica m o s p o r 5 a los d o s m iem b ros
5x12 > 5 x 7 B ) - l - < - 2 2 3
(
D ) M u ltip lica m o s
(
\2
E) sÍ3 > i [ 2
E) M u ltip lica m o s p o r - 3
)
)
a < 3 a 3 < 6 A) T ricotom ía D ) A so cia tiv a
C ) T ra n sitiv a
U tilizar los sím bolos > y < para expresar una com paración correcta en tre el prim ero y segundo núm ero de cada uno de los pares siguientes: 4 ¡J 8 A )3 2 □ 2"
E )t¡3
□ I
\ ¡3
I
B)"J8
"(i)' n
i¡5
/ « \—
6
6 <1
2 <10 (
son falsas: A ) 10 - ( - 2 ) > ( - 2 )2 - 2 2 B ) - 2 2+ ( - 2 ) 2 - l 2< - l 2 - ( - l ) 3 - (
> i¡2
m iem b ros
9+2<18+10 1 7 > 11
6 <8
8<9
(
)
17-8 < ll-9
9 <24
13 >6
5>3
8>4
(
9-5< 24-3
)
(
)
(
)
(
13x8>6x4
)
Indicar cuál de las proposiciones es falsa: I) Cero es m ayor que cualquier núm ero negativo. )
A ) S ólo I D) I y II
O 4) ( )
...f ) O S ó l o III
B ) S ó lo I I E ) II y III
De las siguientes proposiciones: * ( - 2f
r
SJ) In dicar que en u n ciados son ciertos y cuáles
D )$3
)
40 > 18
j
/
C) l 2 + 2 * < l 3 + 2 3
dos
I I ) Todo núm ero negativo es m en or que un núm ero positivo. ...( ) * I I I ) Cero es m ayor que cualquier n úm ero positivo.
2
~22
lo s
9 <18
14+6>5+l
= > a < 6
B ) C o n ex a E ) N A*
a
14 > 5
40-6<12-8
D )% 3
d o s m iem b ros
o falsos y corregir los enunciados que se consideren falsos. '
reales se refiere la siguiente expresión:
C )(-2 )2{Z\
lo s
( O Í ) Indicar si los enunciados siguientes son ciertos
( )
□
a
(~3)xl2 < (-3)x7
A qué propiedad de la desigualdad de núm eros
B )-23
p o r -2
(-2 )x l2 > (-2)x 7 (
3
)
< - 2?
*18 < 1 8
(
)
*-8 > -2
(
)
(
)
*5 ¿ 5
(
)
Indicar cuántas son verdaderas. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
E ) n in g u n a
In d ic a r v e r d a d e r o ( V ) o fa ls o ( F ) , seg ú n corresponda: * > /5 < V s
r )
* I^7>9Tl 1
( )
O O
4
6
( )
[E m m u v E N A) V FV
Kf7itwNr**&
B ) V FF
C) W F
D ) FFV
E ) NJL
6
Indique el valor de verdad en: S i; a > 4 = > a - 4 > 0
(
)
S i; 6 < 7 => b -
(
)
(
)
7 < 0
S i: b < 8 => b A) V W
4 < 4
B ) V FF
C )F W
R p ta
D) -5
7
R p ta
D)FFV
E) N A .
Si A = [ 3 ; 5 ] y B = < 4 ; 7 ] ¿ A qué es igual A U B ? _
U tilizando las propiedades de desigualdades,
señalar la alternativa incorrecta: A jS i; x < 8 A y > 8 = > x < y
(
)
B ) S i;x < y = > x
(
)
+ 5 < y + 5
C)Si:x < 1 0 A y < - 4 ^
(
)
E ) S i;x < 6 = > -4 x < - 2 4
(
)
B )[2 ;7 >
C )[2 ;7 ]
D ) ( l ;7 ]
Si B = [ 2 ; 7 > y A = [ 3 ; 1 0 > igual A P lB ? A) < 3 ;7> B )[3 ;7 >
x + y <6 ( )
D ) S i : x < 2 => 7 x < 1 4
A )[3 ;7 ]
¿A
C ) [2 ;7 >
E )[3 ;7 >
qué
D )< 2 ;7 >
es
E ) < 1 ;7>
Si C = [ — 6 ; 3 ] ; A = < —4 ; 3 ] ¿ A qué es igual C -A ?
8
A) <-6;~4>
(jd ) c u á l es m ayor
B)[-6;-4]
C) {3} D)f-6;-4> E) NJL
Si A = [ — 2 ; O] y B = [ — 1 ; 5 ] ¿A qué es igual AUB?
A) <-2,5] D) <-2,5 >
-*>
A )<2;7>..............
C )[-2 ,5 >
7 ) Si: M = [ —3; 112] y B = [ —1 ; 2 ] ¿A qué es igual
En cada u n o de los siguientes casos gráfica los intervalos que se m encionan y escribe su notación formal.
B )[-2 ,5 ] E) N A ,
B -M ? A ) < 0 ,5 ;1 > D )< 1 I2 ;2 >
B ) < 0 ,5 ;2 ] E ) NA*
C) [0 ,5 ;2 >
Si: < — 4 ; 3 > y B = < — l ; 5 ] entonces: A - B e s
B )<3;9>....................
+oo
A) l - 4 ;- l ] D) < -4 ;-l >
C)<5;10>...................
B) < -4 ;- l > E ) NJL
C) l-4;l >
Si: C = [ — 5 ; —l ] ; D = [ —3 ; 3 ] ¿A qué es igual
CnZ>?
D)<1;6>.....
A) [ - 3 ; - 11 D )[-3;-l>
-®
©
E) <-3;2>....................
B) [ - 3 ; 1] E) N A .
C) < - 3 ,-2 >
Teniendo los conjuntos: A ={x
e R f l < x < 8}
B = {x e R I —5 < x < 5 }
F)<-4;5>..................... -*>
+30
H em os dibujado la representación gráfica de diversos intervalos. E scribe la notación form al para cada una de ellas. A) pr. .
-2 R p ta .
B)
-3 a
O 5
R p ta .
C = {xe R I-7 < x < 2 }
D eterm inar el intervalo que indica la intersección de A, B y C. A ) [7 ; 8] B ) < 1 ;2 > C) [1 ;2 > D )[-7 ;2 > E ) NJL ©
Dados los intervalos : A = < —3 ; 12] y B = [ 5 ;8 >
hallar B - A A ) [ 8; 1 2 ]
B) < — 3 ;5>
D ) < —2 ; 5 >
E ) < — oo; 3 >
C) 0
3 ) D ad os lo s in te rv a lo s A=[3;oo[y B = < - o o ; 7 /
hallar A f l B
X C 1 C LO P E B 1 A 2012]
!v,^ I 7 9 4 )[ A) [2*7] D) < 1 ;7 >
C) (3;7>
B ) [ 1 ;7 E) < 3 ; 7>
j f ) S i: X e < 3 ; 1 0 >
entero de «X » A) 7 Bf 8 Si: X
D) 6
C )9
0 8
D )ll
E )12
c a lc u la r e l m ín im o v a lo r D )13
O < 7 :9 ]
Si X e [ — 3 ; 1 > , en ton ces ( l - 2x ) pertenece a:
B) 32
0
3 3 D) 34
0 [-7 :-l>
Si x e < — l ; 2 ] y a < 4 — 3 x < b , el valor de ( a + b ) es: A) 4
tal que [3»a£]
B) < -l:7 > E) N A .
A ) < - i : 7] D ) [1 :7 >
E)14
Calcular la sum a de los núm eros enteros « X »
E) NA
Bf 3
C )-5
D) 6
E) 5
A partir de los siguientes intervalos:
Calcular la sum a de los núm eros enteros «X> tal qué [—4 ; 6] A) 9 B) 10
B ) [ - 6 ;7 > E) [ - 5 :2 ]
c a lc u la r e l m ín im o v a lo r
entero de ”4 X — 3" A)1 0 Bfll o 12
A) 31
H allar A n B A) < 6 ;7 ] D ) l-5 :2 >
y B = < — a>¡7>
Si X e < 3 ; 7 ] , entonces ( 3 x - 2 ) pertenece a:
5 ) S i: X e < 3 ;8 >
©
E) 5
B ) B -A =
Dados los intervalos A = [3 ;< *»
c a lc u la r el m á x im o v a lo r
e < 5 ;1 2 >
entero de «X » A jó B )3
H allar A)A-B=
A =<0;2];B =[1;3]
Hallar el intervalo: A — (A C \ B ) 0
11
D ) 12
E) 13
C onociendo los intervalos: Si X e < 3 ; 5 > en ton ces: ( x + 6) pertenece al intervalo A) < 7;11 > D )< 8 ;1 1 >
B ) < 5 ;1 0 > E) N A .
O < 9 ;1 1 >
A = [ — 2 ; 2] ;
B = < 3 ;0 7 ;
C = [-1;4 ]
Calcular el intervalo equivalente a: A) ( A u B ) n C
_________________ R p ta .
B ) ( A U B ) U C _________________ R p ta .
Si « X » es un núm ero entero y adem ás [ 3 ; 8 >
C) ( A n B ) u C
_________________ R p ta .
calcular ( X + 3 ) A) [6;11> D) [4 ;1 1 >
Si x e \2; 7 ] entonces 3 x — 2 e [ a ; b ]
O Í 3 ;1 0 ]
B)[5;ll> E)[5;ll>
Si X e [J; 5 ] , entonces 4 x — 2 e [a ; 6] Halle A + B A) 17
B) 18
0
19
D) 20
E) 22
©
Si la intersección de los intervalos: A = ] - 5 ; - l [ u ]2 ;lí[ B = 1 -3 :4 ]
D a d os lo s s ig u ie n te s p a r e s d e in te r v a lo s . C alcular la u n ión , in te rse cció n y las d iferen cia s (A -B ); (B - A ) O A = < -3 ;2 0 > B )A = < 3 ;1 0 > A )A = < 2 ;6 > B = < 5 ;1 2 ] B = < - 1 ;0 > B = < 4 ;8 > E ) A = < - 9 ;0 > F ) A = < - 1 0 ;- 2 > D )A = < -4 ;5 > B = < - 3 ;4 > B = [-l;7 > B = ]-8 ;0 >
es: [ a ; b [ u ] c ; d ] , calcular « a + b + c + d » A)1 B )2 0 3 D )4 Dado: x > 0 ; y > 0 ; x > y
az
E )5
4= 0 ; la desigualdad
que no siem pre es verdadera es: A )x+z > y+z
B )x- z > y - z
C )x z > y z
E )x z 2 > y z *2) D a d os lo s in te r v a lo s A = [ 7 ; 2 > y B = < - 5 ;7 ]
Hallar A C \ B A) < 6;7 ] D ) l- 5 ;2 >
S ie n d o : x , y e R f x > 0 > , B ) [ - 6 ;7 > E ) [ - 5 :2 ]
O < 7 ;9 ]
¿n Dados ios intervalos: A = < —5 ; 1 0] y B = < 7 ;1 2 ]
¿C u ál
de
las
siguientes relaciones no es verdadera?
A ) ( y - x )(x - y ) < 0
D ) x s+ y 2 > 0
0
E) xy < 0
C )x 3 - xy < 0
W T ?* ' M M 7 n rN l0 &
£
m
ygg
Si x € [ 2 ; 4 ] en tonces el m en or valor que tom a
x + 3 la fracción ------ — es x + 2 B)5/4
A) 7/6
D )6I5
E )N o e x is te m ín im o
Resolver la inecuación: 2x -1 3x - 2 2x +1 2 + > -----------+ — 5 6 2 3 e indicar un valor en tero adm isible piara « x » A )2 B )-6 C )-1 0 D J-13 E j-1 9
A)2/3
B )3(4
!
+ ! (
x
x
-2 ) + 2 < —
- - (
x
-1)
4 2 3 2 el núm ero de valores enteros positivos que verifican es: B )3
0 2
D )1
E ) M u ch os
H allar la su m a de todos los valores en teros que satisfacen el sistema:
E ) x e [3 ;+ o o f
2 x -1 7 —< < — 3 x + 3 9
Luego de resolver la inecuación: — -x< 3(x-91)
A )5 0
11
indicar el m enor valor entero de x A) 77 B )7 6 080 D )7 9
B )6 0
075
E )100
D )8 4
Resolver: 3 x + 4 £ 2 x + 1 0 < 5 x + 8 E )7 8 A )R
Resolver: — + “ + — + — > * - 2 7 45 O 4 Ó B )]-60;oo[ A ) [ - 6 0 ; oo[
B ) ] 2 / 3 ;6 ]
C ) [ 2 / 3 ;6 ]
D )4
E )]2 / 3 ;6 [
, Q í ) R esolver el sistem a:
E)4
Resolver:
8x - 5 <
X
A )x > l+ y ¡5
E )6
D ) l /6
03/2
Al resolver la inecuación:
C ) x e [ 2;+ o o [
B)xeJ-oo;~3J
D )J - 6 0 ; 0 [
- » i ? ^ w ; r r/t i . i l t y»
3 ) D e te r m in a r el m á x im o v a lo r q u e tom a la ___ ., 3ab expresión: —; ------ =a + b
A )4
Resolver: ( x + 5 ) ( x + 3 ) £ ( x + 2 ) ( x + l ) + 3
D )x e ] -
k i -;,i i , i ;.v
si ( a ;b ) c J?+
C)7/4
A ) x e [~ 2;+ o o (
fflg S l
—+ a a—------- > 2, si a = 2 - 4 E V / a + 2 * * B )x>l->[5 f * C ) x < l +\¡5
D )x
15x-8
y dar com o respuesta la sum a de todos los valores enteros de « x » B b l2
A j-1 1
C )-1 3
D )-1 4
E h l6
Si a c R y a * 0 1calcule Ud. el m ín im o valor de:
E)4
a4+25
0
Indique la sum a de todos los valores enteros
que satisface el sistema: 13 > 2 x - 3 Z 5
A )8
©
B )3 0
033
D )2 2
E )U
In d ica r v e r d a d e r o ( V ) o fa ls o ( F ) , seg ú n
A )[-l;-3 ]
( ) Si: - 5 < x < 8 => 2 5 < x * < 6 4
B ) [ 1; 2 ]
1981)
A )x < y - 1
Resolver:
ax
b
b
a
D )x > y
D ) [l ;+ < c [
E ) ] a ;+ c o [
C )x < y
E )x = y — J 2
IsKMHM
Siendo 0 < a < b B ) 7 - oo; - 2 ]
B )x < y - 2
EJFVF
bx a ¿ ----— a b
A ) ] - oo; -27
D)J-1;3J
y = 1 9 8 2 (1 + 2 + 3 +
( ) Si: -6 < ,x < 5 => 0 < zx2< 3 8 D )F F V
O í 2;3 ]
+ 1982)
entonces
C) V W
E )12
x = 1981 ( 1 + 2 + 3 +
( ) Si: - 7 < * < - 4 => 0 < x ‘ < 4 9 ' B )F W
D )U
indicar el con ju n to solución de « x »
Si:
corresponda:
A)FFF
O 10
Si: ( x + 1) ( x + 3 ) < (x +2)*
-6 * 9 - 5 x Z - 2 6 A)25
B )9
O [ - 1 0 + oo[
Sean los intervalos: M = f —6 ;1 3 [
aN
=
7- 3 ; 5 f
E )R
-3
m
796 si M n N e s tá r e p r e s e n ta d o p o r / m + 2 ; n - 2 [ t calcular: m + n A )-3 B )-l C )0 0 )3 E )5
N C tC M M P ED Lt 2 0 1 $
D) lio .a í J 9 ’ 2l
E)
D eterm ine n ( A ) , si:
(5 ^ ) R esolver: 2 x-3
2 B)x<5/6
A )x> 5 !6
5 - x > -----------------------4 x -l x + 15 4 6 3 D ) x >6
C )x > 5
Í-M ]
x e Zl B)2
AJI
Vtf'í»
C) 3
D) 4
E )x < 6 5
Sea a 9 b e R + ; adem ás — + — = 1 a b
R esolver: 7 (3 -2 x ) + 2 (2 x -1 5 ) < 2 (5 x -7 ) - 3 ( 2 x - l l ) A ) x e 72 ; +
B ) x e ] -<*>; - 2 [
D ) x e ] - 2 ; +<*>[
E )x e j -
qo;
P roporcione el m en or valor de a b . A) 5 B) 4 0 3 D)2
Si x e < - 1 ; 3 > t halle el intervalo de variación
2[
de:
2 + 3x2
corresponda:
C)
- 2 < x < 3 -> 0 x 2<9
( ) S i : - 3 < x < 4 -> 9 < x 216 ( ) S i: x € R A )W V
5) ¿Cuál
D)
C )V F V
D )F V F
E )F F F
de las expresiones es correcta?
A ) a * b y b * a => a = b C )a*b=$a = b v a > b
[» '* )
E)
2 ’ 29
x 2 >0
B )V F F
E) 1
C ) x e 7 0 ;+ o o /
In d ic a r v e r d a d e r o ( V ) o fa ls o ( F ) seg ú n f 7 S i:
E) 5
(5 ^ ) Sea a > l > b . Indicar el valor de verdad de las siguientes proposicion es: (
) a 2 > ab
(
) ± < l a b
(
)
B ) a > b=^ a - b * 0 D) a *
b=> a > b v a < b
E) T od a s
a +1
A) V F V
*í)
B) VFF
O FFV
D) F F V
E) W F
Dado ( a ; b ; c } c R * Determ ine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
Señale el m en or valor de: ^a + D ( b + l ) ( c +_2j y ja b c A) 1
(
> Si x £ 0 ^> x 2 * 0
(
2 Si x > 0 = > x + 1 - Z 2 x
B) 2
BJVFV
C )F W
1 < ^ ? — <1 4 3 x -2
D )W V
EJFFV
A) 4
0
B) 3
02
B = < 6; 1 0 >
es: A) 2
(Ar*B) B) [ - 2 ; 10> E) < -2 ; 5 >
C ) 1-2; 57
Sabiendo que x e < - 3 ; 4 > , hallar el intervalo de variación de: X + ? x +o
M
B)
M
D) 1
E) N in g u n o
Si x > 2 t el m enor valor d e «Jt»: k = x +
A) < 5 ; 8] D ) < 6; 8 >
E )5
« x » f que verifica la desigudldad:
£ ) Si: A = 1 - 2 ; 8]
hallar: A
D) 4
P roporcione el n um ero de valores enteros de
( )S i2Z xZ 5= >±i>l-zl2 x 5 A )W F
0 3
B )4
0 6
x -2 D )8
E) 10
( O ) Sabiendo que: x e < 2 ; 4 > ty e < - 3 ; - 1 > , señale el m ayor valor entero de 1 - x y A )8 B )9 O 10 D ) 11
E) 12
£1 Sean los intervalos:
C)
A = 7-3; 21; B = [-1 ; 5 [
K fT IF tO ^
787
Calcular la sum a del m ayor valor entero de A u B con el m enor valor entero de A n B . A )1 B) 2 C) 3 D )4 E) 5
Cuál de los siguientes in tervalos representa la extensión del conjunto: A = { x e R f ( - X + 1) 0 < - a o ; l > }
Indique el valor de verdad de: (
) Si x e < - 3 ; 1 > => x + 2 e < - 1 ; 3 >
(
)S ixe< -2 ;4 > = > ± <
(
>Si x e < - 5 ; - 2 > = > - l < - ± - < í x+1 4 B) W F
CJ V F F
B ) [0 ; + co[
D )]-oo;0 [
E)]0;+oo[
Z+3<7
2
A )V W
A ) ] - co; 01
2
Sea el conjunto: S = { r e Q i r ^ O A r 2 ^ 2 }
2
DJFW
C)]l; 3[
¿cu á l(e s) de las sig u ien tes p ro p o sicio n e s es(son ) verdadera(s)?
E )F F V
I) f e S 4
Indicar el va lor de verdad de las siguientes
II)
proposiciones:
\ Í2 eS
III) $ e S y 2-eS
( ) S i 6 > a > 0 ^ a < Job
5
2
( ) S i a ; b e R * A a * b ^ a + b> 2 Job (
be
) Si c ;
R * =>
¿
1 +1 a
A) F F V
B) F W
C) W F
b
D) W V
@ ) Si a > 0 a 6 < 0 , señalar el valor veritativo de
E ) V FF
las siguientes proposiciones:
( l a ) Sean los conjuntos: A
A = { x / 6 < 3 x < 12 ) B = { x / - l $ x - 2 < ¡ 3)
V
/ (
a
» )
A) VFF
C = [2x / x e A a x e B)
Proporcionar n ( C ) A)1 B )2 C) 3
D) 4
^ E) 5 V
p) Calcular la sum a de valores enteros de «x » que
a
-i
) b2< a 2
(
B) W F
(
C) F W
) ab>ab-a2
D ) VFV
E) F F V
In d ic a r v e r d a d e r o ( V ) o fa ls o ( F ) en las siguientes proposicion es: (
) V a e R: a 2>0
(
) S \ b < 0 < a => b ( a - b ) > 0
(
)V x e R :x + -* 2 x
verifican la desigualdad:
1 + x < 3 x -l'k 9 + x A) 11
B) 12
O 13
D) 14
E) 15
A) F F V
Si: a > 0 a - b > 0 , indique el valor de verdad
B) FFF
M b
a b
a
( ) b(b - a) > 0 ( )
a
A)FFV
A )x > l
- b 2 <0 B )W V
íí) O VFV
D )V F F
E) VFF
B )x < l
b 'a b a b a C )x q 0
D )x e R
E )x £ l
Sabiendo que: A = ^ 2 x - l / ^ — j - e < 4 ; 9 >
j
E )F W
Si x < 0 < y 9 indicar verdadero ( V ) o falso ( F) en las proposiciones: (
D) VFV
Si: b < a < 0, resolver:
de:
í j
O W F
señale la cantidad de en teros de “A " . A) 1 B) 2 0 3 D) 4 Si
xe
[
-5 ;-3 [
E) 5
, h a lla r e l in t e r v a lo d e
) x z < yz; V z e R
(
)¿< 1
(
) x 3< y 3
x
A)VFF
variación de
x +2
y
B )F W
x +4
C )FV F
D )F F F
E )W F
*H1 cf"j[ d,]H ®[I'4
798 D i x l-3 x x+1 „ _ R e s o l v e r : ---------------- < --------- ; n < - 0 , 5 n 2 4n B>d !+a¡)
C
X t ¿MCL0MSD1A 2012]
calcular: m + /t 2 A) 21 B) 15
^ í ) D ) U ; + = ) E) - - rí+oo
D ) -2 0
0 -2 5
Si * > - 3 , acerca de:
A={xeR/x - 2 < 2 x + l < 3 x - l }
„ x 2 + l l x + 33 n = ---------------------------¿ x + 3 podem os afirm ar:
B =txeR
A)H <,3
Dado los siguientes conjuntos
e[-3 ;4 > x +1
C= xeR
E ) 30
B )H $2
C )H *9
D )H *10
E)H
Si {x ,y ,z ,w }< = . R + , el m ayor valor de K que e(< -5 ;2 > -{0;!})
cum ple:
determine el conjunto: J 9 = (A n B J lC A )< -1;1>
B )< -11;3>
D ) < - 1 1 ; 11]
E)R+
.* 1 1 1 1 . . ( x + y + z + w)\ — + — + —+ — 1 ^ 6 x y z w
es: A ) 12
C )[3;ll]
0 8
B ) 16
E ) 32
D) 4
5 ) Sea x , w , z & R , adem ás:
Si a , b , c e R * y a 2 + b 2 + c 2 = 1 2 , el m ayor valor de a b e es: A) 6 B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
x 2 + z 2 + 2 z + l l < ¡2 ( 3 x + 4 w ) - 1 6 w 2 • Calcular: x + z + iv A) 1 B ) 2 ,2 5 O 1,5 D ) 1,75 E ) 2,75
De los siguientes enunciados:
íí C alcular la sum a de valores en teros de ax ”
en:
I) Si a <0 a 6 < 0 , e n to n ce s : ab+3 a
<
7 x - 2 < 5 x + 6 < ----------9 x + 12 5
3
_ .
A) 0
a
I I ) S i a > 0 a b > 0 , e n to n ce s : a2+b2
2a b
2
a +b
0 2
B) 1
D) - 2
E) - 1
Calcular el m ayor valor entero que verifica: ( * + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) £ x 3 + 6x 2 + 8 x - 7 A )-5
B) - 4
0 -3
D) 3
E) 4
/ / / j V a , b, c e R : a 2+ b 2 + c 2 £ a b + a c + b c son ciertos: A) l y I I B) I y I I I O I I y I I I D ) I, I I y I U E) S ó lo /
Si a , b , c , d e R +, adem ás: y ja 2 + c 2 , 4 b 2 + d 2 £ k ( a b + c d )
podem os afirm ar: A )k < .l
Si a , b f c , d e R , adem ás:
determine e l m enor valor de k en: ac + b d ^ k A) 3 B) 2 0 -1 D)1
E) 5
Indique el m áxim o valor de stA n que satisface
la siguiente desigualdad:
y
D )6 4 2
%) S abien do q u e # e < - 7 ; - 2 >
E )3S
y el cam po de
variación de r* + 1 2 x + 3 es [ m ; n > ,
d,¡
B)3
E)4
a ,b ,c eR * a u 2 + b 2+ c2 = I .
(a + 6 + c) C )2 4 6
E )keR
En
la
desigualdad:
Si : x , y , z , t v e R * B )6 4 3
D )kZ -5
calcular: x + 5 z ; x , y , z e R 4y
S ea
2 y 2 y 2x x z w — + —L + — + — + — + — ¿ A * z iv 3y 3y 3x
A) 46
O kZ -1
2 2 _ Si: 9 x 2 + 4 y x + 2 5 z * = 6x y + 1 5 x z + lO y z
a 2+ b 2 = l A C 2+ d 2 = l
©
B )k^5
' o2 b +c
+
b2 c +a
a +b
entonces: A )m '¿ .2
B)m Zl
O m >3
D )m < ,— d¡
E )m ^ .-1
[j y j
729
ilf f lÉ
.v f1 w ;w o .v ic ^ iM ; . 9 - i> K a iif if 2/if jf c iiiK A ' ]
D em ostrar que: a 4+ b 4+ c 4 2 a 26 c + 6 2a c + c 2a 6 ff) D em ostrar que: V a * b e R +, se cum ple
* Dem ostrar en los siguientes casos :
0 + 6V
V a, b e R -> a 2 + 6 2 2 a b »_/ «. n a * + 6* f a + 6 y V a, 6 e R - * - — 2 — J
m
m
£
2
2
re + 2
<
a J + 6'
, 2 2 2 < 2 + —^- + —
+
.+ n
V a ,6 e R + - + ^ £ + £ j ( a + 6 ) 2 4 2 1 ) Si a > O y b > 0 , en ton ces a b > O
- n ^ » o 3b b2 6 i : 0 < o ^ 6 + “ + — ^ —rr + 3 b a a
Si a < 6 y 6 < e , en ton ces a < c
Demostrar q u e :
Si a < 6 , entonces a + c < 6 + c
( o 6 + * y ) ( ( U + 6y ) > 4 a b x y
Si a < b y c < d , en ton ces a + c < 6 + d
Dem ostrar que s i : a 2 + 6 2= 2 Si a < 6 y c > 0 , en ton ces a c < b e a
x 2+ y 2 = l —> a x + b y < l
Si a < 6 y c < 0 , en ton ces a c > b e
) 7 ) Dem ostrar que: a 36 + a 6 3 £ a 4+ b 4
Va e R ; a 2 2 0
Dem ostrar que:
6a b c < b e (6 + c ) + c a ( a + c ) + a b (6 + a )
V a ,6 , c , d
A
Dem ostrar que: ( n / )
R* f a
<
b a
c
> nn a b > O <=> ( a > 0 a 6 > 0 ) v ( a < 0 a 6 < 0 )
an+bn ( a +bY ----- —■— 2 «*
Q (f) V a, 6 e R
€
a 6< 0o(a> 0A & < 0)v(a< 0A & > 0)
0 4 -6
( Q ) V a, b e R -> a 66 ° <
SE
a > 0 o
—>0 a
1^(a+6+c+d)(a3+63 +c3 +d3)> (a2+ 62 +
Va, 6i., c e R
7 a * + 6 * + c* ->— + -7 + -7 < ----5 - 5- 5 — a
6
c
a+b+c
(a°&V)
a b e
a +6 +c
\o +6 +c
Si: a e R y a * 0 => a 2 * 0 Supóngase
que
a
y
b son núm eros reales
a b = 0 si y sólo si a = 0 ó 6 = 0
V a , 6 , c no n egativos, s í a + 6 + c = 2
-> 0 £ a 6 + 6c + a c - a6c ^ ( j 7 t) V a , b no negativos, si a + 6 =2
27
. 7 | 25 6+— 2 — ftj 2 ©
0 < a ¿ 6 , E ntonces : a £
2a 6 a +6
i—r a +b a + b . V a 6 ¿ -------- £ J -------------- £ 6
2
ICLAVES DE L A l'fCfMJCEA 02) C 02) OI) tt 0 2 ) C OS) A 0 7 ) E 08) a 09) 12) 12) c 11) t t 12) A 19) 1S) c 10) n 17) D 02) A 02) D 02) 01) u
PHACTK A A OS) E IO) A tt C IB) B 2 0 ) tt E OS) C tt
t u w ; s DE ¡A SEGUNDA PRACTICA m m m . 10)C
r a í 7* 0 1
O BJETIVO S :
• Podem os por sim ple inspección afirm ar: * 8 es m ayor que 7.
* Reconocer las inecuaciones. * Clasificar las inecuaciones atendiendo a su grado y el núm ero de incógnitas. * Relacionar las inecuaciones de prim er grado con una incógnita con las gráficas de funciones afines. * R e s o lv e r in e c u a c io n e s d e p r im e r incógnita.
N C IC L O P E D I A 2 0 1 2
• 2 es m enor que 6. •Esta re la ció n e n tre los n ú m e ro s se rep resen ta m ediante los signos de relación. > : M a y o r q u e ... < ; M e n o r q u e ...
con una
* Relacionar las inecuaciones de segundo grado con una in cóg n ita co n las g rá fica s d e las fu n cio n e s cuadráticas. * Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita. * Conocer y utilizar diversos m étodos de resolución de inecuaciones. * Saber resolver sistem as de inecuaciones con 1 y 2 incógnitas. * T r a d u c ir a l le n g u a je a lg e b r a ic o p r o b le m a s expresados en len g u a je co tid ia n o , in terp reta n d o c r ític a m e n te lo s r e s u lt a d o s d e la s s o lu c io n e s obtenidas. * R esolver sistem as de inecuaciones. Interpretar g r á fic a m e n t e la s s o lu c io n e s y e x p r e s a r las soluciones en form a de intervalo.
INTRODUCCIÓN Z Al igual que las desigualdades las inecuaciones son de suma importancia ya que se aplican en diferentes ramas de la ciencia es más un estudiante que desea seguir estudios superiores no debería estar ajeno a este tema por su importancia en cursos de matemática superior como cálculo diferencial e integral en donde se trabajan con funciones y para conocer el dominio y rango de una función hay que con ocer los diferentes m étodos de solu ción de una in ecu a ción . A dem ás de e llo con inecuaciones se puede calcular el máximo y mínimo de una función, tema central y de su suma importancia en las diversas ramas de la ciencia. Antes de empezar el capítulo, repacemos lo estudiado en desigualdades. D E S IG U A L D A D • Es la relación que existe entre cantidades que poseen diferente valor. E JE M PLO : * Si poseem os los siguientes pares: 8 y 7 ; 2 y 6 .
¿ ; M a y o r o i g u a l q u e ... 5 ; M e n o r o i g u a l q u e ... C IA S E S
DE
D E S IG U A L D A D E S
"O es
eVo Q
IN T E R V M O
:
Se verifica para determ inar valores que ee asigna a la variable.
2 r+ 3 > 9 cum ple eólo si: x > J
Se verifica para todo núm ero real que se asigne a la variable.
x*+8>0 V cum ple xcR jr*+x+lX ) cum ple V xcR
Bjem.: '
A B IE R T O í
N o considera los extrem os ( 2 ; 6 ) ÍX T E V A L O C E R R A D O í
Si considera los extrem os [2 ; 6] IN T E R V A L O S E M IA B IE R T O í
U no de los extrem os es considerado [ 2 ; 6 ) v ( 2 ; 6 ] IN T E R V A L O N O A C O T A D O *
U no de los extrem os tiende al infinito. V x > a
=> (a;+ a > )
;
x < a
= > (-o o ; a )
x ¿a
= > [ a ; + oo)
;
x 5 a => ( - « > ; « ]
INECUACIÓN Es aquella relación de orden que se establece entre dos expresiones m atem áticas de por lo m enos una variable y que se satisfa ce para u n determ in ado conjunto de valores, y si no se satisface para ningún valor se dice que la inecuación es incom patible. A (x;y;z;...) % B (x ;y ;z ;.„)
donde A f B son expresiones matem áticas. E JE M P L O S : *4x + 7 >
*y]x-5 5 1
- 6x + 2 7
•
, ~40x3 - 1 x + 1
, x 3-2 -------x -1
Ría
K I rT*WÑ4P&
7*i
BHW
tX W H M T A C tO X tlti )
FORMA GENERAL D E UNA INECUACIÓN:
E JE M PLO S
Sea F ( x ) una expresión m atem ática de variable x , se tiene una de las siguientes desigualdades:
p (x, ~ 6 x + 7 * 0
:
P fx) = 7x2 - x + 1 > 0
F (x ) > O
F(x) < O
P fx) = 3 x5 - x + 2 sO
F (x ) * O
F (x ) 5 O
IN E C U A C IÓ N L IN E A L
Es a q u e l v a lo r (o v a lo r e s ) d e la in c ó g n it a (o incógnitas) que verifica la inecuación.
; a *
Forma general:
0
EJEM PL O S:
*En la inecuación: 2 x + 3 > x + 5 una solución particular es x = 5 , pues 2 ( 5 ) + 3 > 5 + 5 es cierto ♦ También en la inecuación x + y > 2, para x = 1 e y = 1 la inecuación se verifica , pues 1 + 2 ¿ 2 es cierto, luego ( 1 ; 1 ) es una solución particular . C O N J U N T O S O L U C IÓ N D E U N A IN E C U A C IÓ N
Es aquel conjunto denotado p or C .S . que agrupa a todas las soluciones particulares (si existen) de una in ecu a ción . Si la in e c u a c ió n no tie n e s o lu c ió n , entonces direm os que el C .S . es el conjunto vacío.
R E S O L V E R UNA IN E C U A C IÓ N
* Es decir : a x + b > 0
v ax + 6 < 0
ax + b * 0 v
ax + 6 5 0
D onde a * 0 a { a ; 6 j c J ♦ La resolución depende principalm ente del prim er coeficien te. Sea: a x + 6 > 0 => a x + b + ( - b ) > 0 + ( - b )
=> a x > - b Zj Si: a > 0 ; x > ------ => C . S . = a
b
; +oo
a
R esolv er u n a in e c u a c ió n c o n s is t e en h a lla r su conjunto solución; para ello se utilizan los teorem as de desigualdades estudiadas anteriorm ente.
TI) Si: a < 0 ; x < - — ^ C .S . =
EJEM PLO :
Resolver : a x + b ¿ 0 ; a , b e R +
Resolver : 4 x + 1 3 > 2 x + 22
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N
♦ Resolver una inecuación de este tipo es sim ilar a resolver una ecuación de prim er grado, solo hay que ten er en cu en ta las propiedades generales de las desigualdades , en efecto:
:
♦ Las inecuaciones se resuelven usando el m ism o procedim iento que en las ecuaciones, es decir , se despejan las variables transponiendo los térm inos . Así , logram os inecuaciones equivalentes. 4 x - 2 x > 21
-
E JE M PLO
1:
♦ Transponiendo b al segundo m iem bro: a x * - b
13
♦ Dado que a € R * , es d eciri a > 0 ^
2 x > 8 => x > 4 ♦ Gráficam ente :
x> 4
♦ G raficando en la recta real:
o
4
-00
r -r
+00 . •V
♦ E n ton ces: C .S . = ( 4; + oo)
+00
♦ Vemos q u e :
X €
Una inecuación polinom ial de una variable tiene la fo rm a :
EJEM PLO
2
a 0*
0;{ao;
+ a 2x a ¡; a 2;
+ ... + a n * 0
...;a n} c
R
Luego la inecuación polinom ial tiene la form a: P
> 0
P(x> *
0
;
;
’y*
+00
IN E C U A C IO N E S P O L IN O M IA L E S D E UNA V A R IA B L E
P ( x ) = a Qx n + a , x
P
0
50
b x ^ — O
-
:
Resolver : 5 x + 3 < 0 R E S O L U C IÓ N 5x + 3 < 0
C.S. =
:
=> 5 x < - 3
(-co;--
3
x < ----5
7*2
íy a jr .
EJEM PLO
3
X C M C J L H P E D IA 8 0 1 * 1
A ) Por 6 : 7 2 - 9 x < l O x + 2 6
:
Resolver : 3 x - 2
1
=> 72 - 2 6 < l O x + 9 x ^
5 x-3 < x -1
3
2
19 B ) Por 1 5 : 2 5 x + 6 5 < 5 4 + 2 7 x
12
R E S O L U C IÓ N :
2 7 x - 2 5 x > 6 5 - 5 4 => x > —
* S ien d o e l M C M ( 2 ; 3 ; 1 2 ) = 1 2 ; u n n ú m e ro positivo, el signo de la desigualdad n o se altera al efectuar las operaciones indicadas. 6 (3 x - 2 ) - 4 (5 x - 3 ) < x - l
* De (A) y (B):
—00
45 29
=> 1 8 x - 1 2 - 20x + 12 < x - 1 => - 2 x < x - 1 => - 3 x < - 2
22 X G
* M ultiplicando p or ( - 1 ) , obtenem os :
2 1 3 Resolver : ~rx + ~7 > 3 4 5 R E S O L U C IÓ N :
5 + *7 4
2 1 3 5 —x + — > —x + — 3 4 5 4
2 —x 3
7 :
Resolver el sistem a :
3
5 1 x > --------5 n 4
) 4 1 x > — => — x > 1 => x > 1 5 3 5 ) 4 15 3
2x~3
3x - 1
~~4 5x-3
2 8x - 1
3
4
£2
(I)
(ID
<, - 1
R E S O L U C IÓ N :
* Resolviendo cada inecuación: ♦ De (I ) : M C M ( 4 ; 2 ; 1 ) = 4 = > 2 x - 3 - 6x + 2 ^ 4
=> 2X - 3 - 2 ( 3 x - 1 ) ¿ 4
=> C.S = (25; + oo) EJEM PLO
•+oo
22 2
; + oo
EJEM PLO
( — ; oo \3
3 x > 1 =>x > — 3 EJEM PLO 4 :
2
x >
46
5 :
= > -4 x > 5 —» x ^
Resolver : ( x + l )3 + ( x - l )2 + ( x - 2 )2 < 3 ( x + l ) ( x - 1)
♦ De ( / / ) : A fC M (3 ; 4 ; 2 ) = 2 2 4 f5 x - 3 ) - 3 ( 8 x - 2 ) <; - 2 2
R E S O L U C IÓ N :
2 0 x - 1 2 - 24x + 3 < -1 2
* Efectuando las operaciones indicadas obtenem os: x 2 + 2 x + 1 + x 2 - 2 x +1 + x s - 4 x + 4 < 3 x 2- 3
r => — 4 x
-3
^
=> 4
a
>
3
=>
x
> —
• En la recta real:
* Sim plificando: 3 x 2- 4 x + 6 < 3 x 2- 3 = > - 4 x < - 9 * M ultiplicando p or ( - 1 ) : 4 x ^ 9
g => x £ — 4
* Gráficam ente : -oo
=> x g é
CR ÍTICO S
E JE M PLO :
6 :
3x 5 x + 23 9 /n . 1 2 ------- < --------------- < — ( 2 2 3 5 R E S O L U C IÓ N :
. + x)
5x + 13
A
5 x + 13
9
? «
P (xl= x - 2 x = 2 es un punto crítico ; pues P fSf = 0
C R IT E R IO D E L O S P U N T O S C R ÍT IC O S
* La inecuación es equivalente a: <
0
En un p olin om io n o con stan te los puntos críticos son las raíces o ceros de dicho polinom io:
r> i Resolver :
í2
3 4 4 * C om o no hay intersección de las soluciones
PUNTOS
00
3x
5
de (I ) y (I I )
0
EJEM PLO
-oo
+
Es utilizado para analizar la variación de los signos de los factores lineales (de coeficien tes reales) en una m ultiplicación indicada.
/
748
■— EJEM PLO
1:
* Es decir :
Sea P ( x ) = ( x - 3 ) ( x - 7) * Donde los puntos críticos son 3 y 7.
ax2+
6a?
+c >
v
oa ?2
+
6a?
+c <
Ubiquem os estos valores en la recta real
ax2+
6a?
+c £ 0 v
oa ?2
+
6a?
+c £0
7 ^ /^ r \ /^ 7 //
3
-0 0
0
0
♦ D onde x , es la incógnita y ; a , b , c e R j a * 0
7
+oo
* Los puntos críticos particionan a la recta R e n 3 zonas (intervalos):
y x e (-o o ;3 ) ^ a ; < 3 ^ ^ - 3 < 0 A g - 7 < - 4 < 0
R E S O L U C IÓ N
GENERAL
.*
L a r e s o lu c ió n d e p e n d e e x c lu s iv a m e n t e d el c o e f ic ie n t e p r in c ip a l y d e la d is c r im in a n t e { a = b 2 - 4 a e ) ^el p olin om io P. Luego se tiene 3
luego ( x - 3 ) ( x - 7) > 0
casos.
II) x€{3;7)<& 3 < x < 7 » Q < x - 3 < 4 A x - 7 < 0 , luego ( x - 3 ) ( x - 7 ) < 0 III) Si x e ( 7 ; o o ) < » x > 7 ' & x — 3 > 4 A x — 7 > 0 ,
P R IM E R C A S O ( a = Q ) :
Cuando = 0 ; el polinom io P (x) = a x 2 + b x + c ; a es u n trinom io cuadrado perfecto. EJE M PLO
luego ( x - 3 ) ( x - 7 ) > 0
1:
* ( x - l )2 £ 0 => C .S . = M , pues V # e R , cumple al ser reem plazada en la inecuación.
* Gráficam ente: P ( x ) = ( x - 3 ) ( x - 7)
* x 2- 4 x + 4 > 0 o
_oo
3
7
+oo
veamos que P f x ) es positivo en dos intervalos y es negativo en un intervalo. • Si se trata de resolver : P fx ) = ( x - 3 ) ( x - 7 ) > 0
a s . = { - o o ;3 ) u ( 7 ;o o ) EJEM PLO
2
0;
f x - 2 )2 > 0 , notam os que se
verifica V x e R » excepto cuando x = 2. => C .S . = R - { 2 ) * x 2 - 6x + 9 < 0 o ( x - 3 ) 2 < 0, obviam ente la in e c u a c ió n tie n e el s ím b o lo q u e h a ce q u e esta inecuación sea no verificable para algún valor real. => C .S . =
( x - 5 )2 = 0 => T en em os que la
única solución es x = 5 .
:
= > C .S . = { 5 }
Sea P f x ) = ( x - 2 ) ( x + 3)
O B S E R VA C I Ó N :
* Los puntos críticos son 2 y - 3 , ubiquém oslos en la recta real.
La in e cu a ció n ( 2 a x + b ) 2 <,0 p re se n ta so lu ció n única. EJEM PLO
-oo
-3
0
+oo
2
♦ Los puntos críticos particionan a la recta i? en 3 zonas (intervalos) , analicem os las variaciones. (a ? A?
< -3
-3 < A?
a;
>2
<2
:
Resolver : 4 x 2 - 1 2 x + 9 > 0 R E S O L U C IÓ N
:
• El polinom io es: P f x ) = 4X 2 - 1 2 x + 9
2)
PW
—
—
—
+
+
2
+
• H allem os su discrim inante
+ —
+
* Si se trata de resolver P f x ) <,0
A=144-4(4)(5) = 0 => P (xí = 4 x 2 - 1 2 x + 9 es un T.C.P. * Luego : P (x) = ( 2 x - 3 ) * ¿ 0 => ( 2 x - 3 )2 ^ 0 ♦ C om o se observará esto es cierto V x e R => C .S . = R = (-oo;+ oo) OTRA FORM A :
* Tendríam os que el C .S . = [ - 3 ; 2 ]
INECUACIONES CUADRÁTICAS Son todas aquellas in ecu acion es q u e al reducirse adopta la form a canónica.
x 2 + 4 x + 7 > 0 ; com pletando cuadrados:
x 2 +
+ 4 + 3 > 0
=3- (* + 2 ) 2 + 3 > 0
I7**
U X C IC LO P E D IA s o s a 1
* Se observa que ( x + 2)2 + 3 siem pre es positivo
R E S O L U C IÓ N
Yare 7? => C .S . = { - oo;+oo)
* Factorizando p or aspa simple, se tiene ( x - 4 ) ( x - 2 7 ^ 0 - Los puntos críticos serán: 2 ; 4 (que son valores que anulan cada factor).
SEGUNDO CASO ( A > 0 ) í
A q u í e l p o lin o m io P f x )
= a x s + 6x
+ c es
:
* Reem plazam os en la recta num érica.
factorizable sobre P . Es decir : P fx ) = a ( x - X j ) ( x - x 2)
-o o
donde x l t x 2 son las raíces. L u eg o p a r a r e s o lv e r lo s P ( x ) % 0 criterio de los puntos críticos.
a p lic a m o s el
4
i
+oo
• E m pezam os de derecha a izquierda con el signo " + " , p u es los co e ficie n te s de “ x ” son p ositiv os, adem ás tom am os la parte positiva, pues el sím bolo en la inecuación es " > ” .
M É T O D O D E IM S P U N T O S C R ÍT IC O S í
El m étodo de los puntos críticos se utiliza en una
• L u e g o : C .S . = ( - o o ;2 ] u [ 4 ;+ c o )
inecuación cuadrática si y solo si A > 0 .
EJEM PLO
P r o c e d im ie n to :
Resolver : x 2 + x - 6 > 0
I ) El prim er coeficiente ( a > 0 ) en caso contrario multiplicar por ( - 1 ) .
R E S O L U C IÓ N
I I ) Factorizar el polinom io cuadrático : P ( x ) = a x 2 + b x + c llevándolo a la form a.
2
:
:
x2+ x -6 Z 0
o
(x + 3 )(x + 2)Z0
• Luego los puntos críticos son : - 3 ; - 2
P ( x ) = a ( x - X j ) ( x - x 3) I I I ) Luego se calcula los pun tos críticos ( x l ; x 2) para ubicarlos en la recta num érica real ( x ¡ < x 2) I V ) D espués de u bicar en la recta nu m érica real tenemos:
—oo => C .S . =
-3
(-oo,•- 3 ]
E JE M PLO
+00
-2
\_2; +oo)
3:
R esolver : x 2 + x - 1 < 0 R E S O L U C IÓ N O B S E R VA C I Ó N :
Es indispensable que el prim er coeficiente de cada factor lineal sea positivo , por ello se colocan entre lo s p u n to s c r ít i c o s lo s s ig n o s ( + ) y ( - ) alternadam ente de derech a a izqu ierda; es decir, com enzando de la derecha del m ayor punto crítico con el signo f +7 .
:
* A > 0 ; pero n o es factoriable por aspa sim ple; pero nos interesa los puntos críticos, entonces podem os calcu larlo así: 2 . . „ -l±sÍ5 x ‘ + x —2 = 0 => x =
2
x¡ =
-1 -4 5
x2=
-1 + 45
2 . 2 • Luego ubicando en la recta num érica real
V) Si tenem os :
Pte7 = a x 2 + 6 x + c > 0 f a > 0 A P ( x ) = a x 2 + 6 x + c <> 0 f a > 0 A
A >07 A >07
—oo
El c o n ju n t o s o lu c ió n e s t a r á fo r m a d o p o r lo s intervalos donde aparezca el signo (+7
C .S .=
En form a análoga: P ( x ) = a x 2 + &x + c < 0 f a > 0 A P ( x ) = a x 2 + &x + c < 0 f a > 0 A
A >07 A >07
El conjunto solución estará form ado por el intervalo donde aparece el signo ( - ) . EJEM PLO
1:
Resolver : x 2 - 5x + 4 > 0
+00
-l-J S
- 2 + ¡5
-1 -4 5
-1 + 45
T E R C E R C A S O ( A < 0) :
A quí em plearem os el teorem a del trinom io positivo sea: 2 {b 2 - 4 a c) P (x) = a x 2 + 6 x + c = a 2a 4a
S i: b2 - 4ac < 0
a
a > 0
(+ )
[p
w r m to á ?
m c w o jv ps
MJVM1C I ^ KMONIS S> ]
* Entonces : P ( x ) > 0 ; V x e 2? EJEM PLO
Resolver :
1
OTRA FORM A í
:
x 2 + 4 x
+ 7 =
x 2 + 4 x + 4 + 3 < 0
x2- x + 1 > 0
R E S O L U C IÓ N
( x + 2 j
:
+ 3 < 0
+
+ ó cero N O TA :
* Se observa ( a = ( - í f - 4 ( 1 ) ( 1 ) < 0) ,
=>
a x 2 + b x + c ¿ 0, Vx e R
< * (2 x -lf+ 3 > 0
* Se observa que se verifica V x e R => C .S . = R :
a
¿ 5 0
TEO REM A O E L TRINOM IO N EG ATIVO Si el polinom io :
R esolver: 3 x 2 + x + l < 0 R E S O L U C IÓ N
P (x ) = ax* + b x + c ; { a ; 6 ; c } c i ?
:
tiene discrim inante ( A < 0 ) y o. < 0 entonces
* Se observa q u e A = l 2 - 4 ( 3 ) ( 1 ) < 0
P (x ) = ax* + b x + c < 0 ; Vx 6 R
* Luego com pletando cuadrados en : 3x2 + x + 1 < 0
:
EJEM PLO
(V 3*)2 + 2 (V a *) ( | J 3 ) + ( 1 73 )* -
V5 j + I < 0
Resolver : - 4x* + x - 2 < 0 R E S O L U C IÓ N
:
* E l prim er coeficiente
I \2 ^5* + - ^ + J - — <0 22 273)
( (
(-4 < 0 )
a
A
=
l - 4 ( - 4 ) ( - l ) < 0
* entonces - 4x* + x - 2 < 0 , V x e 2?
C.S. = (-oo;+oo)
(+ ) • Luego hem os llegado a una contradicción
INECUACIONES O E GRADO SUPERIOR
=> C .S . = 4
FORM A G E N E R A L :
TEOREM A D EL TRINOM IO P O S IT IV O Si el polinom io P ( x )
= ax* + bx +
c
;
{a; 6 ; c )
tiene d is crim in a n te ( A ) n e g a tiv o entonces: a x 2 + b x + c > 0 ; * Es decir : P (x ) > EJEM PLO S
0;
y
a
P ( x ) = a 0x n + a 2x a R
> 0 ,
Vx s R
V x e R <=> a >
0 a á
<0
:
* x * + 2 x + 3 > 0 => Su C .S . = j? pues A = 2* - 4(3J = - 8 < 0 , y su c o e fic ie n te principal es positivo. ♦** + 4 x + 7 < 0 = > S u C . S. = 4 Pues positivo
a;b;c g R ; a * 0
<=> a > 0
• P e r o : ( 2x - l f + 3 > 0
2
=#
U n teorem a análogo será el siguiente:
luego : x 2 - x + i > 0 <=> 4 x 2 - 4 x + 4 > 0
EJEM PLO
C .S .
4 2 - 4(7) < 0
y co e ficie n te prin cipal
=> 0 < x * + 4 x + 7 < 0 => 0 < 0 .................... ¡A b s u r d o !
-v C* A = 4
+ a 2x "
+ ... + an_2x + an > 0
D onde los coeficien tes del p olin om io son núm eros reales con a * 0 ; w e Z + • Para d e te rm in a r el c o n ju n to s o lu c ió n de esta in ecu ación em plearem os el m étod o de los puntos crítico s. • Si x Jf x 2, x a,..., x n s o n las r a íc e s re a le s d el polin om io, en ton ces P ( x ) = a 0( x - x j ) ( x - x 2 ) ( x - x 3 ) . . . ( x - x n ) * 0
d on d e a 0 d e b e se r p o s itiv o , si es n e g a tiv o se le m ultiplica por m enos uno.
M ÉTODOS D E L O S PUNTOS CIÚTICOS S I ) Es c o n v e n ie n te g a r a n tiz a r q u e a 0 > 0 ( a 0: coeficien te principal) en caso con ta rio m ultiplicar p o r ( - 1 ) ; e n c o n t r a n d o a s í u n a in e c u a c ió n
rssmi iMüáU*
I 7*0
A W X O P E B H SO IS]
* Los puntos críticos van abiertos si :
equivalente a la anterior. I I ) Factorizar el p olin om io en el cam po real para h a lla r lo s p u n to s c r ít ic o s d e l p o lin o m io ; si el p olin om io presen ta fa ctores cu a d ráticos q u e son
• En caso con trario van cerrados :
positivos o negativos y * e R ¡ se debe realizar la ca n cela ción re sp e ctiv a , te n ie n d o cu id a d o co n el sentido de la desigualdad. -
* C om o (I ) es u n a e x p re sió n m a y or q u e cero , se tom an las zonas positivas.
III) Se llevan los puntos críticos en form a ordenada a la recta num érica y se analiza (abiertos y cerrados) IV ) Cada zona determ inada p or dos puntos de corte consecutivos ,se señalan alternadam ente de derecha 8 izquierda con signos ( + ) y ( - ) . Se inicia siem pre con el signo m ás ( + ) . V) Si la expresión es m ayor q u e cero se tom arán las zonas positivas y si es m enor que cero se tom arán las zonas negativas.
Si:
Si:
P (x ) > 0]
E ste m é to d o in e c u a c io n e s restricciones).
t a m b ié n s ir v e fr a c c io n a r ia s
:
R E S O L U C IÓ N
:
• Factorizando : x (x 2- 4 ) ^ 0
<=> x ( x + 2 ) ( x - 2)'¿.0
• A h ora determ in am os las raíces del p olin om io a los que se le d en om in a p u n tos críticos, para ello igualam os a cero cada factor : v
* + 2 = 0
v
* - 2 = 0
v
x 2 = -2
v
x „=2
* L u e g o se u b ic a n e s t o s p u n t o s e n la r e c ta num érica real :
p a ra (c o n
r e s o lv e r c ie r t a s
-2
-o o
P R O P IE D A D E S
0
2
+oo
♦ E ntonces : C .S . = [ - 2 ; 0 ] u [ 2 ; o o )
:
V a ;b e R ; n e N
EJEM PLO
3
:
<=> ó £ 0
v a = 0
Resolver : ( - * + l ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) £ 0
o
a a*0
R E S O L U C IÓ N :
I I I ) a 2n+I. b * 0
6<0 o
abzO
I V ) a 2n+1. b < 0 o
ab<0
♦ C om o el co e ficie n te p rin cip a l del p olin om io es negativo m ultiplicam os am bos m iem bros p or m enos uno, ya sabem os q u e el sentido de, la desigualdad
* Entonces: V x , a e R
debe cambiar. ( * - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) £ 0
1) S i : ( x - a )2n+1 £ 0
o
(x-a)Z O ;
2 ) S i : ( x ~ a ) 2n+t £ 0
o
(x -a ) £0; n sN
♦ Los puntos críticos son : 1 ; 2 ; 3 ; 4 .
n eN
_oo EJEM PLO
2
Resolver : x 3 — 4 x > 0
Xj = 0
E le g im o s la s z o n a s ( - )
0
I I ) a 2n . b < 0
EJEM PLO
* de donde los puntos críticos serán
P (x ) < 0
a 2n. b ^ O
* E ntonces : C .S . = ] 2 ;2 [ u ]3;oo[
* = 0
NOTA
I)
P (x ) > 0; P (x ) < 0
E le g im o s la s z o n a s (+ )
P (x ) £ 0
P (x )
P (x ) < 0 ; P (x ) > 0
1:
1
2
0
* D e lo cual el C .S . =
3
(-oo; 2] u
4 [2 ; 3 ]
+oo
u [ 4 ; +oo)
Resolver : x 3 - 3 x * + * - 6 > 3 x * - l O x + 1 EJEM PLO
R E S O L U C IÓ N : * Despejando : x 3 - 0** + l l x - 6 > 0 ..........
* Factorizando por divisores binóm icos : ( x - l ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) >0 * Los puntos críticos son: { 1 ; 2 ; 3 }
* Graficando en la recta real y analizando :
(I)
4
:
Resolver: ( x - 4 )20 ( x - 8)4 ( x + 3 ) ( x - 5 ) < 0 R E S O L U C IÓ N
:
* C om o vem os que : ( * - 4 )20y ( x - 8)4 son siempre positivos, entonces sim plificando tenem os :(* - 5 ) ( x + 3 ) < 0 , donde resolviendo
—00
rz:
-3
+00
[b
iw
: / o ,v i ? 5
BE
MIVEC€ X ^ CMOIVWZs ]
tB
* Aparentem ente el conju nto solución sería ( - 3 ; 5 )
E JE M PLO S
• P or si reem p la za m os los p u n to s crítico s en la inecuación original vem os que 4 no form a parte de
x2 *K x) - — —-
5
t el C . V A . e s tá d a d o p o r to d o s
aquellos valores reales para x , tal que 2 x - 1 * 0. Es
la solución , entonces : C .S . = ( - 3 ; 5 ) - { 4 ) EJEM PLO
:
decir: C .V .A . = { * e R t x * | j = B - [ | J
:
28 Resolver: ( x - l f ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 3 )M < 0 R E S O L U C IÓ N
* en G ( x ) = -J x - 2 , el C. V. A . está dado por todos aquellos valores reales para x , tal que el radicando es n o negativo : x - 2 ^ 0 .
:
• Simplificando se obtiene :
(x + 2) (x - 3) < 0
* Los puntos críticos son : - 2 ; 3.
Es decir : C . V A . = { x e R / x 2 2 } = [ 2 ; -kjo)
INECUACIÓN FRACCION ARIA -o o
-2
3
-H »
* N otem os q u e el C. S . = ( - 2 ; 3 ) , p ero e l fa cto r
S on a q u e lla s in e c u a c io n e s q u e se re d u ce n a la siguiente form a general :
(x - l f , cancelado, tiene a x = 1 , que es un valor que
anula el factor y que reem plazando en la inecuación original tendríam os el absurdo ( 0 < 0) , esto quiere decir que x = 1 es un valor n o solución. => C .S . = { - 2 ; 3 ) - í l } * Lo mismo pasa con x = 1 3 , pero com o no está en el C .S . no le afecta.
donde P v Q son p olin om ios ° [ Q ( x ) J : “ G rado de Q (x ) ” R E S O L U C IÓ N
• C om o Q ( x ) * 0 => Q 2x) > 0 *
CONJUNTO D E VALORES A D M IS IB L E S
M u ltip lican d o a a m b os lados d e la in ecu ación
siguiente :
El conjunto de valores adm isibles de una expresión matemática es aquel con jun to denotado por C .V A . que agrupa a todos los v a lore(s) de la variable(s) q u e g a r a n tiz a n la e x is t e n c ia d e la e x p r e s ió n m atemática , es d ecir , valores de la variable que permiten que la expresión esté bien definida . El C .V A se va a con sid era r resp ecto a R , salvo indicación contraria.
«2
P (x)^n por
• se tiene : Q(x) x q ( x j >
x 3
* con lo cual el sentido de la desigualdad no se altera. •Luego, sim plificando se tiene : Q ( x ) . P ( x ) > 0. E sto últim o sería una inecuación p o lin o m ia l, siem pre que Q ( x ) * 0
•En resum en una inecución fraccionaria de la form a: 0 c o n Q (x ) * 0
EXPRESIO N ES P O L IN O M IA L E S í P(x)= a0x n + a1x n~t + a2x n~2 +... + aB; a0 * 0 ; n => C.VA. = C
:
z+
será equivalente a una inecuación polinom ial .
RESO LU CIÓ N G EN ER AL :
EXPRESIO N ES FR A C C IO N A R IA S í Com o la división por cero no está definida, entonces el denom inador no puede ser cero. así: f ( x ) = ^ ^ Q(x)
=> C . V Á . = { x e K / Q ( x ) * 0 }
EXPRESIONES IR R A C IO N A L E S í Estas expresiones están definidas sobre los reales
• Sabem os que el resultado de dividir signos es el m ism o q u e el d e m u ltip lic a r s ig n o s ; p o r e llo , u tilizarem os el m étodo de los p u n tos críticos que ha sido estudiado en las inecuaciones polinom iales. EJEM PLO
R , de m odo que : (*]f(x) e R . Resolver : • Cuando n es par
a
n eZ *
a
n 2 2
a
f(x)^ 0
1
:
x 2- 3 x - 4
x - 5 R E S O L U C IÓ N
<.0
:
* Cuando n es impar A r t e Z * A n ^ 3 a f ( x ) e (-co;+oo)
* Factorizando : — —
^0 x -5
ti * . •
I
IW.V* 7 * 8
IRga
-
7 .? ¡XCiCIDPEDiA 2012}
donde P es una expresión algebraica irracional.
P .C ; { 4 ; - l ; 5 } , graficando :
R E S O L U C IÓ N :
- s —1
—oo
+00
O B S E R VA C I Ó N :
Se iguala a cero los fa cto re s d el d e n o m in a d o r y después se restringen estos puntos críticos es decir van a ir abiertos.
*
• P rim eram en te se d eterm in a el C .V A t lu ego la ecuación original se reduce a otra equivalente más sim p le y la so lu ció n o so lu cio n e s de esta últim a ecuación se analizan si está o no considerado en el C .V A . E JE M PLO
:
* En -2 y 4 van cerrados p or " < " ; en 5 abierto por
Resolver : J g x + 1 3 = J x + 3 + 4 x + 6
ser del denom inador , tom ando las zonas negativas.
R E S O L U C IÓ N
C .S . = ]-ao; - / ] u [4 ; 5 [ EJEM PLO 2
Resolver :
:
* Cálculo del C .V A :
2x + 13^ .0
:
x 2- 3x + 2
13
x * - 6x + 5 R E S O L U C IÓ N : * F actorizan do el n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r se
a
x + 3 ^ 0 a
A
X
£ -3
A
x + 6^0 X £ -6
=> x £ - 3 => C . V A . = [ r 3 ;+ * > ) * Elevando al cuadrado m iem bro a m iem bro : 2 x + 1 3 = x + 3 + x + 6 + 2yJx + 3 > ¡x + 6
tiene: < * - * ) < * - » ¿ 0 (x-5)(x-l)
=> y ¡(x + 3 ) ( x + 6 ) = 2 =>
•Los v a lo re s a d m isib le s se rá n tod os los x e excepto 5 y 2. • Es decir : C .V A . = R - { 6 ; 2 } * Procedem os a sim plificar :
x 2
x 2
+ 9 x + 18 = 4
+ 9 x + 14 = 0 = > ( x + 2 ) ( x + 7 ) = 0
=> x = - 2
v
x - -7
• Pero : x e [ - 3 ; + o o )
x -2 x -5
=> El único valor que se acepta es ; x = - 2
«S0
♦ E ntonces : C .S . = { - 2 }
• Graficando :
INECUACIONES IR RACIO N ALES S o n a q u e lla s in e c u a c io n e s cu y a s in c ó g n ita s se en cu en tran efecta d a s p or radicales o expon en tes fra ccion a rios.
C .S . = [ 2 ; 5 ) * N otar que en 5 es abierto por el C .V A . EJEM PLO
3
EJEM PL O S
:
Resolver :
x +1
x -1
x -1
x +1
>Jx-l
R E S O L U C IÓ N : * Garantizar la definición d e las expresiones con x * { 1; - 1 }
* Luego : x +1 x - 1 x -1 x +1
*3
_ 2 - j 2 -lc • D e o t r o la d o c o m o las in e c u a c io n e s s o lo se v e rifica n en el ca m p o de los n ú m eros reales, se cum ple el siguiente principio fundam ental.
P R IN C IP IO FU N D AM EN TAL í 4x (x + l ) ( x - 1)
*0=>P.C. = {-1 ;0 ;1 }
* Graficando : n
—00
+ X < 1
+ 2
-
1
~
0
r
1
+00
* Entonces: C .S . = (-o o * - 2 ) v j[ 0 ;2 )
ECUACIÓN IRRACIONAL Son aquellas ecuaciones de la forma:
P (x ) = 0
En toda inecuación irracional de í n d i c e p a r , la s c a n tid a d e s s u b r a d ic a le s d e b e n s e r m a y o r e s o i g u a l e s a c e r o y esto n os determ ina el universo d e n tro d e l cu a l se re s u e lv e la in e c u a ció n dada (C .V A .) R E S O L U C IÓ N : 1) H a lla r la e x is te n c ia ( C . V A ) d e la e x p re sió n irracion al F ( x ) . U ) Se transform a la inecuación , elevando a am bos m iem bros a un exponente que elim ine el r a d ic a l. Si
IP el índice del radical es par, am bos m iem bros de la in e c u a c ió n d e b e n s e r p o s it iv o s o b t e n ie n d o e l c o n ju n to d e p o s ib le s s o lu c io n e s S p (s o lu c ió n particular).
74»
WIYEUW.TACTV1VW2 » ’ ]
B E
R E S O L U C IÓ N
:
* Elim inam os los radicales por ser de índice impar,
a s í:
(x-3)(x-4)< .0
U I) El conjunto solu ción se obtiene intersectando el CVA con S p .
* E ntonces : C .S . = [ 3 ; 4 ]
P R O P IE D A D E S
Resolver : j x - 3 + j 8 - x > 0
:
V a; b e R ; n e N
co a > 0 o
a.b * 0
I V ) 2n+j ¿ . b < 0
o
a.b < 0
C.S. = x * 3
EJEM PLO
(x*0 a y>0 a * s / )
VII) V y *0;
o
R e so lv e r:
x*0
jx >y o
* El c o n ju n t o s o lu c ió n a e s ta in e c u a c ió n e stá determ inado por la intersección de los universos de cada radical , es decir :
(x 3) * 0 n ( 8 ~ x ) * 0
V) x , y e R : j x < y ; si y BÓlo si
jx * y
VIH) Vx, y e R ; n e N; * j x + * j y * 0 o
j x + 3 + j x - 2
* C .V A .: x*0 a y*0
se e n c u e n t r a
m ultiplicando a otras expresiones m atem áticas en un sólo m iem bro y se tiene cero en el otro m iem bro, entonces: * Si n es p a r , se sim plifica toda la expresión por ser positiva. * Si n es i m p a r , se re e m p la z a ^ J f(x )
p o r el
radicando
:
x - 2 > 0 =>
x * -3
a
x *
2
* Pasando un radical al segundo m iem bro : jx + 3 5 5 - jx - 2
* E lev a n d o el cu a d ra d o lo s d os m ie m b ro s d e la inecuación : x + 3 5 2 5 - 1 0 j x - 2 + x - 2 => 1 0 j x - 2 5 2 0
jx-2<.2
= > a ; < 6 = > = ( q o ; ] *C L u e g o : .S.=C .V JLn =+oo)n(-oo; * Elevando al cuadrado :
f ( x ) ; es decir se elim ina el sím bolo radical. O B S E R VA C I Ó N : S i lo s r a d i c a l e s s o n d e í n d i c e I M P A R n o e x i s t e r e s tr ic c ió n r e s p e c to a su s r a d ic a n d o s lo s q u e p u ed en s e r p o s itiv o s o n e g a tiv o s o cero . EJEM PLO
55
C .V JL=[2;+oo)
a
x + 3 > 0
Además podem os aplicar la siguiente propiedad : r fffx )
a
4 :
R E S O L U C IÓ N
x * 0 /> x > y2
C u a n d o u n a e x p r e s ió n
:
C . S . = C . V A . = => 8£x=>C .S.=[3;8]
a 6 <0
I I I ) 2n+f c . b * 0
VI) V y < 0;
3:
R E S O L U C IÓ N
I ) 2\fa b * 0 <=> ( a = 0) v ( a > 0 a b * 0) I I ) 2\fa ’ b < 0
EJE M PLO
1
:
\_2;
6]
=>C.S. = [2;6]
5 - x * 0
A ) Si: 2j f ( x ) < z j g i x ) , entonces : x <>5
=0 C. V A . = (-«>; 5] * Elevando al cuadrado : 5 - x * 3 2 => x <> - 4 => S p = (-a>; - 4 ]
* Luego : C .S . = S p n C . V A . = ( -° o ; - 4 ] EJEM PLO 2
Sp
6
Algunas inecuaciones irracionales de índice par se transform an en sistem as, com o las que m ostram os a continuación :
Resolver : j 5 - x * 3
* Restricción :
Sp
O B S E R VA C I Ó N :
:
R E S O L U C IÓ N
x —2
:
fíx ) * 0
................................. (I )
a
f ( x ) < g ( x ) ............................. (I I ) B) S i : z j f f x ) í f(x ) * 0
g ( x ) , entonces :
.................................... (I )
A
Resolver : j x - 3 x j x - 4 5 0
f(x) 5 g (x) ..............................(II)
[7S0 I INECUACIONES
C ) S i : ^ ¡ f f x ) > 2^ ¡g (x ) , entonces :
A
f í x ) > g ( x ) ................................. (I I )
S i : ^ J f íx ) > 2r f g ( x ) fíx )>0
27 E n toda desigualdad, si las bases son iguales y m ayor que la unidad, al com parar los exponentes, el signo de la desigualdad n o se invierte, es decir:
entonces :
.................................. (I ) S i la b a s e e s t á e s m a y o r q u e la u n id a d ( a > 1) ; s e c u m p l e :
A
f í x ) * g ( x ) .................................(I I ) EJEM PLO
Resolver :
EXPONENCIALES
S o n a q u e lla s in e c u a c io n e s c u y a in c ó g n it a 6e encuentra en el exponente y sus criterios de solución son:
í í * ^ 0 ............... (I)
D)
)XCJCJMPED1A 2012}
5
:
r
a ” *> > t¿*x>
P (x ) > Q (x )
2o
> 0^
P (x ) > Q (x)
Cftx) < 0 ^
4o R E S O L U C IÓ N
P M < Q (x)
: E JE M PLO
* En este caso lo equivalente , será :
Resolver :
.................................... (I)
16-xZ O
P
< a?*
3o
^ 2 6 - —j ^ 4 l 6 - x
* De (I) : 1 6 - x ^ 0 = $
x á 1 6 = $ x e (-a > ;2 6 )«
5 2* -s _ 2 5 ~ x* 2 ¿ 0
R E S O L U C IÓ N
(11)
1 6 - ^ ^ 1 6 - x x
:
* E xpresando la inecuación con ven ien tem en te, se
(a)
tendría : 5 a* 3 £
* De (U ) : 1 6 --^ > 1 6 -x x*
=>
:
x 3-1
25~x+2 =>
5 a* "3 i> 5 _2r+<
• com o , la base es m ayor que la unidad, se cum ple
que:
2x - 3 ;>-2 x
+4 => 4 x ^ 7
* Factorizando el nu m erador : =$
(+)
X £ — =>
(x -
x e [ 2 ; o o ) .................. ( f í )
x t l ^
* D e ( a ) y ( p ) : C .S . = [ 1 ; 1 6 ] EJEM PLO
Resuelva :
6 :
j x - 3 + f/ 9 -x Z x - 1 0
R E S O L U C IÓ N
:
4
X
—00
+00
277 En toda desigualdad si las bases son iguales y su valor está com prendido entre cero y uno (0 < base < 2) al com parar los exponentos el signo de la desigualdad se invierte , es decir : \. I
*♦-• Vi •. • .
S i la b a se e s tá c o m p r e n d id a e n tr e
»
• C .V A .; x - 3 ¿ 0 =>
x
>
3
a
=> 3 í * í 9
9
>
a
9 -x £ 0
x
=>
C.VLA. = [ 3 ;9 ]
• Veamos el signo de ( x - 107 Por el C .V A .: 3 í * í 9 =$ 3 - 1 0 £ x - 1 0 í 9 - 1 0 =$ - 7 <. x - 1 0 <. - 1
=$ f x - 2 0 7 e
c e r o y la u n i d a d (0 < a < 1 ) ; s e c u m p le :
2o
a ™ > c t* x>
2o
a ™ > a ? 1'
3o
a ™ < c¿*x>
4o
^ ^ __zo
' 7» f'> * Siem pre se verifica , que una expresión positiva , será m ayor que otra expresión que sea negativa. C .S . = C .V JL = [ 3 ; 9 ]
=^
a P
E JE M PLO :
• Luego , se observa que ( x - 1 0 ) es negativo. Entonces :
PM
£ x+S\¡(0, 5 ) x ~6
Resolver : x ~^j(0,5) R E S O L U C IÓ N
* T ransform ando
:
los
radicales x+6
a
exponentes x~6
fraccionarios , se tiene : (q t 5) x - e ^ ( 0 , 5 ) x+ e
J ^ Q '7 3 1 * Com o la base está com pren d id a en tre cero y la unidad , al com parar los exponentes, el signo de la desigualdad varía , es decir : x + 6
x
x -6
- 6
-1 0
12
+00
C .S . = x e } - 1 0 ; 1 2 [ EJEM PLO
o
* Efectuando las operaciones indicadas , se obtiene: x ^ 0 ( x + 6) ( x - 6)
2
:
Resolver \ 3 x - l < * x + 7 < 2 x + 5 R E S O L U C IÓ N :
* El sistem a equivalente será :
* Puntos críticos : { - 6 ; 0; 6 }
3 x-l< .x + 7
(I)
* Grafícando en la recta real :
x + 7 < 2x + 6
.. ( / / )
—00 * Luego :
kzi
* De ( / ) : 2x < 8 => x <, 4 => S¡ = ( - » ; 4 ]
0
-6
+00
♦ De ( I I ) : - x < - 2 *
x e ( - 6 ; 0 ] u { 6; oo)
Se denom ina asi al conju nto de desigualdades que se satisfacen para un m ism o conjunto solución.
R E G L A S P A R A S U S O L U C IÓ N •
Luego :
=>C.S. = EJEM PLO
Si ux ” e My w son ca n tid a d e s e n te ra s p o sitiv a s, calcular ux 3 + y 3**t al resolver el sistem a : 5 x-3 y> 2
*Se realiza la in tersección d e tales solu cion es, el resultado es el C .S . del sistem a. ,
y > 3
.................................. ( I )
2x + y < l l ................................... ( / / ) .....................................(I I I )
R E S O L U C IÓ N
:
* M u lt ip lic a n d o la in e c u a c ió n ( I ) p o r 2 y la inecuación ( I I ) por 5 , obtenem os :
....................................... (I )
P 2( x ) < 0 ......................................(I I )
1 0 x - 6 y > 4 ............................ ( a )
P 3(x ) > 0 ......................................(I I I )
l O x + 6y < 5 5 .......................... ( p )
Sean S¿ ; S s ; S 3 las solu cion es de ( I ) , ( I I ) , ( III) respectivamente , entonces :
* Restando m iem bro a m iem bro ( a ) y ( P ) l O x - 6y - l O x - 5 y > 4 - 6 5
C S .= S ¡ n S 2nSg EJEM PLO
{2;4]
3 :
• Se r e s u e lv e ca d a in e c u a c ió n p o r s e p a r a d o encontrando soluciones para cada una de ellas.
Sea el sistema :
x > 2 => S 2 = { 2 ; + oo)
C.S. = S¡nS2 => C.S. = {-
SIST E M A S D E INECUACIONES
P jM zO
=>-lly>-51
1:
=> y <
(I)
11
* Reem plazando y = 4 , en el sistem a : 5x-3y> 2
(II)
([ x >> 22.,8 * ■
:
2 x + *y £ l l
* De (I ) : 2 - 4 x > - 6 x - 1 8
vx < 3 , 5
Si
*
Luego : x * + y 2 = 3 2 + 4 2 = 2 5
R E S O L U C IO N E S G R Á F I C A S í
♦ De (I I ) : 3 x + 8 > 4 x - 4 - x > - 1 2 => x
A
* Aquí observam os q u e : x = 3
=> 2x > - 2 0 => x > - 1 0
=>
51
51 ♦ Dado que : 3 < y < — « 4 ..................=> y = 4
Resolver : 2-4x > - x -3 6 3x + 8 > x -1 R E S O L U C IÓ N
*]
i
—00
* Com o el segundo m iem bro debe ser cero : x +6
F iy F X ia r f f t W
* El con ju n to solución será : C .S . = S ¡ n S 2
x +6
x -6
iMH
< 1 2
Analizaremos el caso de un sistema de inecuaciones
c
Í~7B2~]
X C IC C O P E D iA SO IS]
ü
en dos variables.
Yk
x+ y=4
G eneralm ente la solu ción se expresará en form a gráfica , pues los valores d e x e y que satisfacen el sistema form an un con ju n to de pares ordenados ( a ; b ) cuya gráfica es una región .
'*:v -.í* 7
A continuación se m ostrará
los procedim ientos más adecuados para b a ila r la solu ción del sistem a a través de algunos ejem plos representativos. EJEM PLO
1
■
:
Resolver : x + y ¿2
............................(I )
R eg ió n s o lu c ió n
2 x - y t L 4 ............................. ( I I ) R E S O L U C IÓ N :
X
* Graficando : x + y = 2 .......................... (frontera) y k
R e g i ó n s o l u c i ó n d e (I ) -* L a r e g i ó n s o m b r e a d a (2 ; 2 ¿
E JE M PLO
3:
R e s o lv e r x z + y* 5 9
r e p r e s e n ta la s o lu c ió n d e l a i n e c u a c i ó n (I ).
x + y¿ 3 R E S O L U C IÓ N
X
* G raficando :
La región som breada representa la solución de la inecuación ( I ) . * Luego de (I I ) : 2 x - y
= 4
Región solución
(frontera)
x‘ +y‘ =9 Y i ________
(!>'$'
solución
L a región som breada representa la solución d e la inecuación (II).
X x + y =3
X EJEM PLO
-> L a región som breada representa la solución de la inecuación (II).
4
:
¿C u án tos pun tos d e coorden adas enteras tien e el con ju n to solu ción del sistem a? y ¿x 2
* Intersectando , resulta :
x + y <2 R E S O L U C IÓ N :
Conjunto de p u n tos que cum plen la inecuación (I) y (11)
EJEM PLO 2
R egión solu ción
G raficando adecuadam ente.
y=x‘ Región solución
i
Resolver : x + y < 1 ...
(I )
x + y < 4 ...
:(W
R E S O L U C IÓ N :
*
8 puntos
x+y =2
X
* E ntonces el sistem a tiene o cb o soluciones enteras
TB~7g»"HB5l
K rm v oA >
gWBCgTACIONES ]
PR O B LE M A
PR O B LE M A
H a lla r t o d o s lo s v a lo r e s d e " a ” p a r a q u e la inecuación * * + ( * + a ) s + 2x ^1 tenga solución única.
1:
¿Cual es el m en or núm ero real q u e satisface a la siguiente inecuación? v x
A)1
3:
5
5 ( 1 - x) ¿ 1 3 4
33
35
C ) 27
A ){2 ;-3 \
}
B)
C){2}
R E S O L U C IÓ N
D){4;0}
E )j
:
♦Efectuando en el prim er m iem bro y, transponiendo térm inos , se tiene : D)
2x 2 + ( 2 a + 2 ) x + a * - 1 ^ 0
E)
24
17
R E S O L U C IÓ N :
♦ Para que exista solución única, el prim er m iem bro debe ser trin om io cuadrado p erfecto; entonces, la
♦Multiplicamos todo por : M C M (3 ;4 ) = 1 2 , resulta:
discrim inante ¿1 = 0 , luego:
hf
12
( 2 a + 2 ) 2 - 8 ( a 2 - 1 ) = 0 = > - 4 a 2 + 8a + 1 2 = 0
5(1-
=> a 2 - 2 a - 3 = 0 = > ( a - 3 ) ( a + l ) = 0
1 2 x - 2 0 2> 1 5 - 1 5 x
=> a = 3 v a = - I
=> 1 2 x + 1 5 x £ 1 5 + 2 0
♦ N o o lv id a r q u e el p rim e r c o e fic ie n te debe ser positivo.
35
27 x 7> 35= > xz
27 ♦ Graficando el C. S . en la recta num érica :
R P T A : íéB ,f PR O B LE M A
4 :
H a lle lo s v a lo r e s d e a d e ta l m a n e r a q u e la inecuación x 2 - t i x + 4 > O se verifique para todo v a lo r real de x. ♦ Del conjunto solución (C .S .) som breado , el m enor número real es 35/27 . RPTA: “ C ” PRO BLEM A
2
:
A )R
B )f
R E S O L U C JI Ó NV
D) -7 C )J 3
R E S O L U C IÓ N
i•
A = a 2-4 (4 ) < O a 1- 1 6 < O ( a + 4 ) ( a - 4) < O
E) -6
:
—00
♦ De : 2 £ * £ 4 = > 2 - 5 < , x - 5 £ 4 - 5 = >
E){4}
♦ de donde:
cualquier * e \2; 4 ] , satisface la desigualdad : * + 3 <. m x - 5 B ,- í
D ){-4 ;4 )
• Veamos que el coeficiente principal es 1 > O y par que el trinom io sea siem pre positivo se debe cumplii
H allar el m e n o r n ú m e r o r a c io n a l m q u e p ara
A ! - l
C )(-2;2]
♦ E ntonces : a e ( - 4 ; 4 ) - 3 £ x - 5 < - 1
RPTA: "D ”
♦ Invirtiendo : - 1 ^
PR O B LE M A
♦ M ultiplicando por 8 : - 8 £
Dada la inecuación: m x 2 - 2 m x + 2 m + 1 < 0 . Determ ine los valores de “ m ” para q u e su conjunto
♦ Sumando 1: 1 - 8 ^ 1 +
8
8 <,—
x -5
3
3
R E S O L U C IÓ N
_ * + 3 5 = > - 7 á ------------------ — x - 5 3
o ♦ Luego el m enor núm ero “ m ” será: “ “ O
:
solución sea x e R * A){2;0} B)R C)j
8 x -5
5
D ) ( - * > ;.-!)
:
♦ Por trinom io negativo V * e R : m < 0 a ( - 2 m )2 - 4 m ( 2 m + l ) < 0 9$
R P TA : **B
m < 0
a
4m 2 - 8m 2 - 4m < 0
E) ( - « ; l)
W C iC L O F E iH A « 0 1 * 1
-> 4 m 2 + 4 m > 0
(x + 2 )(x -2 )(l - x ) ( x - 6 ) ( x + 1) > O
4 m (m + 1 ) > 0
=> m + 2 < 0 * De donde : m < - 1 * Entonces :
m e (-o o ;-l)
* Luego el C .S . = ( - o o ; - 2 ) u ( - 2 ; J ) u { 2 ; 6 ) R P T A : (tD "
PRO BLEM A
B) Sim plificando se obtiene :
6 :
a x * -3; 2
x +l< 0
Hallar el m en or de los núm eros M que cum ple la -> x < - l
siguiente condición : V x e R ; 4 x - x 2 - 1 2 <, M A) 8
B) O
D)-8
C )7
R E S O L U C IÓ N
E )-1 6
4 x - x 2-1 2 < .M
- > C .S . = (-oo ; - i ) - { - 3 } O
: =>
x
2
- 4
x
+
M
+
a x*-3 ;2
Factorizando se obtiene :
12¿0
* Com o se verifica V x e R y ©1 prim er coeficiente es positivo (1 > O) => El discrim inante debe ser m en or o igual a cero.
* Luego tenem os: A = 1 6 - 4 ( M + 1 2 ) 5 0
(x - 3 )(x - 2 ) ( x + 3 )(x + 4)
>0
• Cancelam os ( x - 1) 2; V x * 1 • Para el trinom io: 3 x 2 + x + 2 ( A < 0 a 3 > 0 ) => 3 x 2 + x + 2 > 0 ; V x e R • Luego se tiene la inecuación equivalente :
=> J f 2 - 8
(x - 3 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x - 4) > O x e {-
* el m enor valor de M es - 8 .
{ - 2 ; 3 ) v ( 4 ; +ao)
C .S . = (—oo;—3 ) u ( - 2 ; 3 ) kj (4;+oo) RPTA: “D
99
D ) Cálculo del universo ( C .V A .) :
OTRO M E T O D O : 4x + 2 > 0 4 x - x 2 - 1 2 ^ M => x 2 - 4 x + M + 1 2 * 0 =>
x2-4 x + 4 + M + 8 2 0
=> ( x - 2)2 + M + 8 2 0 • El m enor valor de M es - 8, ya que para dicho valor, se obtiene ( x - 2)2 ^ 0 lo cual es verdadero Vx g R •
PROBLEM A 7 :
=>x> — 2
* Luego : U = ( - • ^ ; + a0
* La inecuación es equivalente a : * (x + 5 ) ( x - 5 ) ( 2 x - 8 )
< O
A X * -1
(2x + 5) Por puntos críticos :
P .C . = - 5 ; - J ;
4 , 5
.
Resolver las siguientes inecuaciones : A ) ( x 2 - 4 )(1 - x ) ( x 2 + x + l ) 27( x 2 - 6 x - 6 ) > 0 B ) ( x + 1)11( x + 3 )22 < Q ( x - 2)84
=* S , = ( Á > ; - — ) v ( 4 ; 5 ) a x * - l
3 x 4- 5 x 3 + 3 x 2 - 3 x + 2
C) x
4 - 2
x
3
-
1
7 x 2 + 1 8 x + 72
nt¡ J é 7 + 2 ( x 2 - 2 5 f j 2 x ^ 8 }
>0 => S , = ( - 5 ; ^
* Luego : C .S . = S 2 n U = ( 4 ; 5 )
( x + 1 )2( 2 x + 5 )9
8 :
R E S O L U C IÓ N :
PR O B LE M A
A ) Sim plificando ( x 2 + x + l ) 27, pues :
Para qué valores de €* a " en la inecuación cuadrática
x 2 + x + Í es positivo , nos quedaría :
s ig u ie n t e
( x 2- 4 ) ( 1 - x ) ( x 2- 6 x factorizar y nos queda :
x 2 + ax - 2 < 2x2 - 2x + 2
6 ) > 0 , pero podem os
se
c u m p le
que
para
to d o
x eR ;
w
im
v o ¿
BB
Bssa
M N E C U A C M 49N E S ]
A ja e ( - 6 ; 2)
B ) a e (-2 0 ;-7 )
A ) { x e R / - oo < x < - 2 } u { x e R / l / 3 < x < 3 }
C ) a e (2 ;3 )
JDja e ( - 2 5 ; - 2 0 )
B){x
R E S O L U C IÓ N :
R 1 1/3 < x < 3 }
C){xGRhl
*De lo dado se obtiene : x 2 - x ( 2 + a j + 4 > 0
D){xeRI-l<>x£ll3}
• Luego por el trinom io positivo :
R E S O L U C IÓ N
(2 + a )2 - 4 ( 1 ) ( 4 ) < 0 .
:
• Transponiendo térm inos : 2 2 <0 x + 2 3 x -2 x -3 <0 (x + 2 j ( 3 x - 2 j
- » ( a + 6 j( a - 2) < 0
• Entonces :
g
a e (-6 ; 2)
* Puntos críticos : - 2 ; 2 /3 ; 3 RPTA: “A
PRO BLEM A
9
:
-1
se verifica V x e R •
+00
• Luego :
Encuentre el m áxim o valor d e “ 6 ” . A2 0 BJ2 C)-2 D) 3 R E S O L U C IÓ N
3
I
—00 i
Si la inecuación : (x - l ) ( x - 3 j ¿ k
113
{ x e R /-0 0 < x < - 2 } u { x e R I U 3 < x < 3 }
P j-2
• Pero, por condición, x < 2/3.
:
• Entonces la solución es :
• Reduciendo en el prim er m iem bro :
{ x e R l 1/3 < x < 3 }
x 2 - 4 x + ( 3 - k ) ¿ 0, V x e R • Por teorem a del trinom io positivo :
RPTA; "B ” PR O B LE M A
A < , 0 —> ( - 4 )2 - 4 ( 3 - k ) < 0
12
:
D e t e r m in e e l n ú m e r o d e s o lu c io n e s e n t e r a s p ositiva s q u e se o b tie n e al re so lv e r la sigu ien te
-+ k < , - ! - > K max = —2 RPTA: “E ” PRO BLEM A
10
inecuación
:
x
+ 4 < -—. x
Resolver : P ( x j = ( a 2 + b 2) x 2 - ( a + 6j x + 2 < 0
A)1
donde : a < 0 < 6
• De la inecuación se tiene :
R E S O L U C IÓ N
Indique com o respuesta el n ú m ero de elem entos del conjunto solución. A) 1
0 2
B) 4
D) 4
B )2
E) 5
R E S O L U C IÓ N :
x
3
OO
D )3
:
i 1 a x 4+ 4x - 2 . + 4 ------ < 0 => ------------------< 0
X
X
* Sum ando y restando 2x* : x* + 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 4 x - 2
• Calculando el discrim inante del polinom io: á = [ - ( a + b ) f - 4 ( a 2 - b 2) ( l )
-> A = 2 a b - 3 ( a 2 + b 2 )
<0
->
R j20
( x 2 + í f - (V 2 x - V 2 )
<0
<0
A< 0
>0
( x 2 - V 2 x + 2 - > /2 )2
• Por teorem a T rinom io Positivo:
X
<0
(a *+ 6 2) x * - ( a + 6 jx + 2 > 0 ; V xe R a ( c 2+ 6 2)> 0aJ< O -> C.S. = 4 PRO BLEM A
RPTA: 11
“B ”
:
x J#* x a son raíces de x 2 + 7 2 x + 1 - 7 2
¿Qué valores de x m ayores que 2 /3 satisfacen la inecuación siguiente? 2 < ---------2
x+2
3x —2
Xj = - 1,6 ;
x 2 = 0,1
-> ^ s o lu c io n e s enteras positivas.
R P TA : “C
99
I7S« I PR O BLEM A
13
AJI
:
Si la inecuación : x 3 + ( a - l ) x 2 + ( l - a ) x - l > 0 x -1 se v e rifica p ara x e R - { l } . E n c u e n tr e e n q u é intervalo oscila " a ” . A ) (-2 ; 2)
B )j
C) (-2 ; 3)
R E S O L U C IÓ N
D )R '
V M C IA H 'E M A 8 0 1 2 ] B )2
D )3
C )0
R E S O L U C IÓ N
E )4
:
* Reduciendo en el prim er m iem bro :
2+
+ 2
— - 4 )V i{ — x - 7
a
x * 4;
7
E )R a
:
* Factorizando el n u m erador :
x ( 2x - 11)
( x - l ) ( x 2 + a x + 1)
< 0
x * 4;
x * 4;
a
7
7
(x - 4 ) ( x - 7 )
( x - 1)
* T ransform ando a una polinom ial : x(2x-ll)(x-4)(x -7 )< 0
* C.VJÍ.: JR - i l )
a
x*4 ;
7
•Resolviendo por puntos críticos :
* Reduciendo : x 2 + a x + 1 > 0 ; V * e R - { i } * Por teorem a del trinom io positivo : A < 0 : a 2- 4 < 0
-> ( a + 2 ) ( a - 2 ) < 0
-> o e (-2;2)
-00
RPTA: “A
PRO BLEM A
14
11
+00
2 * En Z + : C .S . = {2 ; 2 ; 3 ; 6 }
RPTA: “E ff PR O B LE M A
xJ+x + l
x -1
x3- l
Indique : a + 6 A)-l B) 1
C)0
D) 2
16
2< E) 2
3 r + 20 x + 7
A )-l¡2 < x < 7 C )-3 i2 < x < 4 R E S O L U C IÓ N
:
3
xs - l
x3- l
2x f r > < t 3 (x 2 + x + l)
<2 B )-l < x < 5 D )0 < x < 4
:
• D ando form a : 1 < 3 ( x + 7 ) - 2 2 ^ ^ x + 7
* Reduciendo en el prim er m iem bro : 2x2- 2 x - 3
:
¿Para qué valores de x se verifica la inecuación?
presenta com o con ju n to solución al intervalo: ( a ; 6 } u {&;+«>)
R E S O L U C IÓ N
4
:
x —2
La inecuación :
O
-> 1 < 3 — — < 2 x + 7 • Restando 3 y m ultiplicando por ( - 1 ) :
>0
2 >— ü —> 1
* C V A : R —{2 } (c o n ju n to de v a lo re s adm isibles
x + 7
1 x + 7 , • Invirtiendo : — < < 1
para x ) * Transform ando : 2 x ( x 2 + x + l ) > 0
• M ultiplicando p or (1 1 ) : — < x + 7 < 2 2
-+ 2x > 0
* N ecesariam ente : x > O
• Restando 7 :
3
/ —3 < x < 4 => x e \— - ; 4
* Intersectando :
RPTA: 4,C99 —00
■H»
PR O B LE M A
1 7 :
* C .S . = (0 ; 2) u (2 ; + 00)
Si se tiene : ( a ; 6 ) = |2x + l
* Se pide: a + b = 2
calcule : a + b A )9 B )7
PRO BLEM A
15
RPTA: “B ff :
4 7 7 < Al resolver la inecuación : ------ 7 "* x -4 x -7 se obtienen uk n soluciones enteras positivas.
Halle uk n.
C )8
R E S O L U C IÓ N
:
* D e la inecuación 5 x+ 2 — < --------- < 4 x+1
: 3 — o 2
5
x + 2
3)
4 < x + 1 K 2) D )1 0
5 , 1 3 — < 2 + ---------< — 4 x+1 2
E) 0
g5m C lZ A C M & X E & ]
M tT n r S r w v
1 < -------1 <— 1 <=> 2a < x + 1* < 4j => — 4 x +1 2 => l < x < 3
I I ) AI cuadrado :
- » ( x - 3 ) ( x + 2 ) > 0 => x - 3 > 0
2 < 2x <6
o
x + 6 < x 2 => x 2 - x - 6 > 0
* De (I ) y (I I ) : x > 3
=> 3 < 2 x + 1 < 7 => ( a ; b ) = ( 3 ; 7 )
=> x > 3
x e ( 3; + oo) RPTA: “D ”
♦ Entonces : a + 6 = 1 0 RPTA: “D PRO BLEM A
18
91
:
C) #
B)R
R E S O L U C IÓ N
21:
Resolver : 2 x - 2 > j x 2 - 3 x + 3
Resolver : x 4 + 9 6 x —1 4 4 < 6x 3 + 7 x 2 A )(-4;4)-{3}
PR O B LE M A
A 2 (-I ;0 ]
D){3}
E){0}
:
B 2#
C )l?
R E S O L U C IÓ N
E){1}
:
♦ La inecuación será equivalente a :
♦ Transponiendo :
* 2 - 3 * + 3 !> 0
x 4 - 6x 3 - 7 x 2 + 9 6 x - 1 4 4 < 0 * Factorizando :
2x-l~¿.0
(U)
* De ( I ) : x e F , ya que ¿] < o (teorem a del trinom io)
= > ( x + 4 ) ( x - 4 ) ( x - 3 )2 < 0 => ( x + 4 ) ( x - 4 ) < 0 a x * 3
(a)
* De ( I I ) :
= > x e {-4 ;4 )-{3 } R P T A : “A ’ 19
w
( 2 x - 1 )2 > x 2 - 3 x + 3 ............... f / / / 2
(x2-16 )(x2 -6 x + 9 )< 0
PRO BLEM A
D ) { 1 ; + oo)
:
* De ( B I ) : 3 x 2 - x - 2 > 0 ( 3 x + 2 ) ( x —l ) > 0
Determinar el m enor núm ero en tero , tal que: -» x e (-c o ;--)^ (2 ;c o )
x 2+ 5 x - 1 0 x A) 1
>1
+ 2x - 8
B) 0
*D e ( a ) D) 2
C )-3
R E S O L U C IÓ N
Transponiendo :
-
2 + 2x - 8
x e ( 2 ;+ o o ) R P T A : 4,D "
PR O B LE M A
x 2+ 5 x -10
(x + 4 ) ( x - 2 )
( p ) (intersectando):
E )-4
:
3 x -2
a
22
:
1>0 R esolver : 2 x ^ 2
- 4 ^ 2
> ¿
y/x - 2 ( x - 4 )
>0 A ) ( 4 ; +oo)
B )(2 ;+ a > )
R E S O L U C IÓ N
Puntos críticos
D ){-2 ;4 )
C){2;4)
:
* Sim plificando se o b tie n e A) x -2 > 0
-> x > 2 ............... ......................
B) x *4
W
(II)
2 x —4
3 Entonces
x € {-4; ^
x -4 x
u (2 ;+ o o )
> 0 - » x € ( - o o ;0 ) u ( 4 ;e o )
x -4
* Luego : x mfn = - 3 R P T A : 44C PRO BLEM A
20
>J x + 6 < x
A )(~ 3 ;«= )
B)Jt
♦ De ( A ) o ( B ) r \ ( C ) , se obtendrá : C. S . = (4 ;+ o o )
:
Resolver :
R E S O L U C IÓ N
99
R P T A : 44A "
PROBLEM A 23 : C){-3;3]
:
I) C.VA. : x + 6 * 0 a x > 0 => x > 0
D ) { 3 ; + oo)
Sí T es e l c o n ju n t o s o lu c ió n d e la s ig u ie n t e inecuación ( ¡ x - 1 > j x - 1 ,entonces el conjunto T es:
A){-<*>;2) B ) (2;2) C ) { 0 ; 2 ) - { 1 }
D ){-l;í)
E )R
BS3I 7 s s | R E S O L U C IÓ N
PR O B LE M A
:
A
yjx
-
1 &>
\ ¡X -
A )R '
X>1 A 1 > X -1
=> X fe > 1 A X < 2 -> T = { 1 ; 2 ) RPTA: “B ”
PR O BLEM A
24
:
R/Jx +1
B)[l; ¡3 )
C)[2; 2 ¡3 )
D)[i, f r e R E S O L U C IÓ N
:
* Lo equivalente , será :
R esolveren z : ¡ - x 2 + 9 x - 8 > x - 1 2 indicando el n ú m e ro de e le m e n to s d el co n ju n to solución : A) 7 B) 5 C) 8 D) 4 E) 9 R E S O L U C IÓ N
:
+ y j x - 1 < J 3 x }» entonces el con ju n to M es:
1*
= > X > 1 A ( x - 1 )2 > ( x - 1 )3
=> l < x < 2
26
Si M es un coju n to definido p or M = { x e
♦ Lo equivalente será : X -1> 0
IX iT C L O P E B tA 2012]
:
X + l 't .O
A X - l ' t O AÜX'tO A X + 1 + X - 1
( x - 8 ) ( x - l ) £ 0 -> C .V .A = [ i ; 8 ] ♦ Si: i <. x <, 8 entonces : - U < . x - 1 2 < . - 4 < 0
< 3x
= > { x * l} A 4( x 2 - 1 ) < xs 4 => XZ 1 A X8 < — =>XZl A X < —n/3 3 ♦ Entonces :
m
2 1 S, X < —y¡3 3
=
♦ Luego :
RPTA: “D
J - x 2 + 9 x - 8 > x - 12 siem pre se cum ple 20
-> C S = C V A = 11; 8]
PR O B LE M A
25
yj(0,8) * > \l(0, 6 4 )
:
Si S es el c o n ju n t o s o lu c ió n d e la s ig u ie n t e in e c u a c ió n : J J x + 20 - J í - x £ 2 , e n t o n c e s el conjunto S , es: A) [ í ; oo)
B ) [0, 6 8 ; i]
D) (-oo; - 2 0 , 78]
E ) [ - 2 0 ; 0 , 68]
R E S O L U C IÓ N
:
x-2
RPTA: “ C ” PRO BLEM A
2 7
C) [-2 0 ,1 8 ; 0 ,68]
5
Con relación a estos valores de ux " podem os afirm ar que: A ) H a y in fin ita s s o lu c io n e s . • B ) E l m a y o r v a lo r d e x e s 11. C ) S o la m en te cu m p len los e n te r o s im p a res m en ores q u e 25. D ) L a su m a d e to d a s la s so lu c io n e s es 21. E ) E l m e n o r v a lo r d e x e s 15. R E S O L U C IÓ N
:
♦Transform ando los decim ales , resulta :
:
x -3
♦ El sistema equivalente será :
16
x + 20 Z O a I - x ^ O a J x + 20 - y / l-x £ 4
>
^ .^ Í Z 2 ( 1 6 \ 40
16
25
^ x £ -20 a x S Í a J x + 20 £ 4 + J l - x
♦ Luego com o las bases son m ayores que 1,
= > - 2 0 £ x £ 1 a x + 2 0^ 1 6 + 8j
entonces :
l -x +l-x
=> - 2 0 £ x £ 1 a 3 + 2 x Z 8-v/i —x => - 2 0 í x £ 1 a 3 + 2 x ^ 0 a ( 3 + 2 x ) 2 £ 6 4 ( 1 - x ) £ => - 2 0 £ x £ 1 a x ^ — a 4 x 2 + 7 6 x - 5 5 ^ 0
_ x ~& > _ x ~ % 16 20 => 5 x - 1 5 < 4 x - 8 => x < 7 ^ x g { i ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
♦ Luego analizando alternativas
2
RPTA: “D PR O B LE M A
a
2 0,68 < , x £ l
99
Si x es un en tero positivo que verifica la relación:
♦ En Z : C S = { i ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6; 7 ; 8 }
^ x £ 1
1
A XZ1 A XZO} A 2 tJx 2 - 1
3 2
♦ Calculando C V A : - x 2 + 9 x - 8 i . O
+ 2>lx2 -
{ x ^ - 1 9 , 6 8 v x £ 0 ,6 8 } 1
RPTA: “ B ”
:
L a s u m a d e lo s en teros que sim ultáneam ente las inecuaciones : 4x-5
Entonces : S = [0,68; 1]
28
99
3x + 8
v e r ific a n
< 2 x + 5 es:
fü D ir m v F ^
A ) -2 1
IP ^
w tiT n w ñ 4 * s
B ) -3 6
C ) -1 8
R E S O L U C IÓ N
D ) 18
759 fKEBa
E) 26
:
U V E 4T Lr% ri4V % T C & ]
A )x> y D)x = y
B ) x > 0, y > 0 E) x + y > 0
R E S O L U C IÓ N
* De la prim era inecuación :
C ) x < O, y < O
:
* H aciendo el estudio d e la desigualdad :
1 1 2 — + — > --------- ; x * 0 , y * 0
— ~ - < x + 3 - > 4 x - 5 < 7 x + 21 7
x
-> - 2 6 < 3 x —► x > - 8,6 04. « O
- > 2 x - 5 -> 3 x + 8 > 8 x - 2 0
28 > 5 x
x <5,6
* Com o se deben cum plir am bas condiciones:
-+ x = { - 8 ; - 7 ; . . . ; 4 ; 5 ) * L u eg o, la su m a d e lo s e n te r o s q u e v e r ific a n sim ultáneam ente am bas inecuaciones es:
s = - W W + 5 f6 > = _22 99
A) 30
a
3x2 +75 2 C ) 42
B) 3 9
R E S O L U C IÓ N
=>
x 2 + y 2 >0
, V x ,y e R + - { 0 } .........( 1)
x + y 2 — > -------- ; x * 0 , xy x + y (x + y)
2
x + y < 0,
< 2x y
=> x 2 + y 2 < 0 , x * 0 ; x + y < 0 , x y > 0
D ) 49
E ) 60
:
2 x > 7 -% 7 -+ x > 3 .................................... ( a ) * De la segunda inecuación ; se obtien e :
31
:
Los 5 /7 de u n núm ero en tero dism inuido en 6 es m en or q u e - 1 . Si a los 2 f3 d el m ism o n ú m ero le aum entam os 1 0 , resulta al -m enos 1 4 . ¿Cuál es el núm ero? A) 5 B )6 C) 7 D) 8 E )9 R E S O L U C IÓ N :
* Sea " x " el núm ero pedido : * Los 5 /7 de x dism inuido en 6 es m en or que - 1 :
x 2- 2 x - 7 5 < 0
—x - 6 < - l 7 x <7
=>(x-l)2 -7 6 < 0 = > ( x - l )2 < 7 6
* Si a los 2 /3 de m enos 1 4 :
=> - 4 7 6 < x - l < \Í76 => l - > ¡ 7 6 < x < l + + 7 6 = > -7 ,7 2 < x < 9 , 7 2
(I )
x le aum entam os 1 0 , resulta al
- x + 10>14 3
(fi)
x ¿6
* De ( a ) y ( p ) : 3 ,... < x < 9 ,7 2
(I I )
• De (I ) y (I I ) : 6 <; x < 7
* Pero com o x e Z , entonces :
* Entonces : x = 6
x e { 4 ; 5 ; 6; 7; 8; 9 }
RPTA: “B
* Se pide : 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 * 3 9 RPTA: “B ” 30
La d e s ig u a ld a d :
cuando :
(I I )
* De ( I ) y ( I I ) con clu im os q u e la desigualdad se satisface si x > 0 ; y > 0. RPTA: “B ” PRO BLEM A
> 2x2 - x es:
* De la prim era inecuación , resulta :
PRO BLEM A
x y >0
=> I I e s a b s u r d o
:
La sum a de lo s e n te r o s q u e s im u ltá n e a m e n te cumplen las inecuaciones :
6x + — > 4 x + 7 7
( x + y )2 > 2 x y ; x * 0 , y * 0, x y > 0, x + y >0
=> x 2 + y 2 + 2 x y < 2 x y RPTA: “A
29
=>
* A su vez realizam os el estudio en las condiciones siguientes :
- 8 , 6 < x < 5 ,6
PR O BLEM A
x +y
x +y 2 . =$ ------—> ----------; x * 0 , y * 0 xy x +y
* De la segunda inecuación : 4
y
:
1 ,1 —> y
x + y
, s e s a t is fa c e
PR O B LE M A
32
99
:
Seis veces la cantidad de lapiceros que tiene Carlos dism inuida en 1 3 n o puede ser m ayor que 1 7 ; si al t r ip le d e d ic h a c a n t id a d le a u m e n t a m o s i 7 resultaría al m enos 3 0 lapiceros. ¿C uántos lapiceros
(^W -,
1r e o
tiene Carlos? AJI B) 3
* C)13
D) 5
E) 7
x <36
(I )
2 x > 6 0 + 8 - > x > 3 4 ................................ (I I )
* Representem os por * a la cantidad de lapiceros de Carlos. * “ No puede ser m ayor qu e 1 7 " significa que puede ser M ENOR o igual que 1 7 , luego :
6x - 1 3
17
.................................. (I )
=>xZ5
* "... resultarían al m enos 3 0 . . . " significa que dicha cantidad puede ser 3 0 6 más: 3x + 1 7 > 3 0 13
60
0 < 10
R E S O L U C IÓ N :
=> x Z
V C iC ia P E M A 20121
I
s 4,2
* De (I) y (II): 3 4 < x < 3 6
PR O B LE M A
35
:
A un jo v e n trabajador, le dieron para ven der una cierta cantidad de periódicos de los que vendió 3 5 y le quedaron m ás de la m itad. Luego le devuelven 3, y vende después 1 8 con lo que restan m enos de 22 periódicos. ¿C uántos periódicos tuvo inicialm ente? A ) 69 B ) 70 O 71 D ) 72 E ) 73
* Sea x : * De (7) y (72): 4 , 2 . . . ^ x < .5
x e N -> x = 3 5 RPTA: “C ”
R E S O L U C IÓ N
(II)
a
:
de periódicos; ( x t N )
* Vendió 3 5 y le quedadron m ás de la mitad:
* Entonces : x = 5 RPTA: “D ” PRO BLEM A
33
:
Un atleta va a participar en una m aratón y desea saber que distancia es la que va recorrer para poder program ar sus en tren a m ien tos. Le in form a n que cuan do haya re c o rrid o 1 2 c m , le fa lta r e c o r r e r menos de los 3/5 de la longitu d total; y si recorre 1 6 c m la distancia que le falta recorrer es m ayor a 1/5 de la longitud total. H allar la longitud, sabiendo que esta es el m ayor en tero posible. A) 19 B ) 22 0 38 D ) 29 E ) 28 R E S O L U C IÓ N
:
x>70
2 * Le devuelven 3, vende 1 8 ; con lo que restan m enos de 2 2 : (x-35) + 3 ~ 1 8 < 2 2 -4 x < 7 2 *
Luego : x > 7 0
a
x <72
=> 7 0 < x < 7 2 => x = 71 RPTA: “C ” PR O B LE M A
36
:
H ay **n " n ú m e r o s e n t e r o s q u e s a t is fa c e n sim ultáneam ente las con d icion es siguientes: / ) Está com prendido entre 4 y - 4 .
* Sea L longitud total , luego : L - 12 < ~ L 5
-»
x-3 5 > —
I I ) M ultiplicando p or 2 da m enos que 7 pero más que - 7 .
L > 30
I I I ) Elevado al cuadrado da m ás que 1.
=> L - 1 6 > j L = >
L > 2 0 = > L e {20; 30)
A ) ti = 2
C )n = 1
B) n = 4 -> n (S ) = 5
* Com o L es entero, entonces : L = 2 9 RPTA: “D ” PRO BLEM A
34
:
¿Cuántos autos hay en el estacionam iento? A) 28 B ) 30 0 35 D ) 37 :
* Sea x el núm ero de autos, del enunciado:
RPTA: “D ” PR O B LE M A
Una playa de estacionam iento tiene capacidad para 6 0 a u tos; pero sólo h ay c ie r to n ú m ero de au tos esta cion a d os e n e lla . Si e l n ú m e ro d e a u to s se redujera a la sexta parte; se ocuparía m enos de la décima parte de la capacidad del estacionam iento; pero si se trata de duplicar el núm ero de autos; más de ocho autos no podrían ser estacionados por falta de espacio.
R E S O L U C IÓ N
D) n=5
E )4 0
3 7 :
Si x e y son variables en teras q u e satisfacen las condiciones : 5 x - 3 y > 2 „ ......................... (I)
2x + y < l l ............................( / / ) [y > 3
.............................. ( / / / )
Entonces, el valor de 7 = A) 6
B ) 12
R E S O L U C IÓ N
x . y es:
0 1 5
E) 8
D ) 20
:
♦ De f l ) + 3(111) : 5 x > 2 + 3 ( 3 ) => x > * D e (17) - (777) : 2 x < l l - 3 = > x < 4
11
J ffll 761 TEBW • Luego :
M N E C U N C IO N E S )
PR O B LE M A
11
< x < 4 = > x = 3
Si
M
es
40
:
un
c o n ju n t o
d e fin id o
* En ( H ) : 2 ( 3 ) + y < l l = > y < 5
M = {(x;y) € Z
* En ( n i ) : 3 < y < 5 = * y = 4
entonces el cardinal del con ju n to M es: A) 3 B) 4 0 6 D) 6
* Entonces : T = 3 x 4 = 12 RPTA: “B PRO BLEM A
38
99
R E S O L U C IÓ N
2 y < 5 - x
Resolver el sistem a en Z + : =3
2 x + 3 y + 5 z > 2 3 ............... ... a )
y< 4
.................... (I V )
B l 10
C ) 12
R E S O L U C IÓ N
D ) IB
5 * Luego : — < y < 4
2 x - 8 < 6y
Si x = 1
E) 24
23
X 5 ------
a
-> 2 - 4 < 3 y a
2 => - — 5 y a y < 3 Si x = 3 -> 3 - 4
y e Z + => y = 3
a
* Entonces : 2 x + 5 z = 1 5
a
— < y 3
A
Z =
a
g — => y = 1 => ( 2 ; 1 ) e M
¿
<3y
U + N + 1 > 8
y < — _=>yelV
a
-+ n (M ) = 4
:
RPTA:
......................... (1) ......................... (2)
Entonces el valor de T = U .N .L es: A )0 B) 4 0 6 D ) 12
PR O B LE M A
41:
Si S es un con ju n to definido por : entonces el núm ero de elem entos del conjunto S es:
A) 2
B) 6
0 8
R E S O L U C IÓ N E ) 24
:
D) 5
:
* De las inecuaciones se obtiene :
y<4-x
• De (2 ) - (1 ) : 2 N > 4 ~+ N > 2
2x
a
-
4 < y O
2x - 4 < 4 - x
= > 3 x < 8 = > x < — => x e { l ; 2 } 3 * Si x = 1 => 2 ( l ) - 4 < y a y < 4 - l
* Com o : N < I < 5 - + 2 < N < I < 5 -> N = 3 a I = 4
♦En ( 1 ) : U - 3 + 4 < 4 - + U < 3
=í>
♦En (2 ) : U + 3 + 4 > 8 -+ U > 1
=> ( 1 ; 1 ) 9( 1 ; 2 ) , ( 1 ; 3 ) g S
* Como U e Z
éiryff
S = [(x;y)eZxZ/x +y£4)\2x-y£4AX>QAy>0}t ( 3)
como N , I € Z
2y < 5 - 4
a
* Luego: M = {(1;1); (1;2); (2:1); ( 3;1 ) }
N <1 <5
a
y < 5 -3
99
i
R E S O L U C IÓ N
2
2S
Si U , N e I son variables enteras que satisfacen las siguientes condiciones : ÍU -N + I <4
a
y = 1
y< l= >
=> 0 < y
1 RPTA: “D
39
2y < 5 - 2
z = l
* Luego : T = (5 ) (3 ) (1 ) = 1 5 PRO BLEM A
y = 2
( 1 ; 2 ) g M
♦ Si x = 4 1=> 4 - 4 < 3 y 5
2y < 5 - 1
a
y < 2 => y = 1 v
a
* Si x = 2
* En (I I I ) : z < 2
=
A
:
* En (I I ) : 2x + 5 z < 1 6
x
(I)
x e { I ; 2 ; 3; 4}
( 1 ; 1 ) g M
* En (I) : 2 x + 5 z > 1 4
->
E) 7
6 y < 1 5 -3 x
a
-> 1 - 4 < 3 y
=> - 1 < y
4 y > 1 0 => y > -
* De (I ) - ( I I ) :
x -4 < 3 y
a
Com o : x e N
e indicar el valor d e T = x . y . z A) 6
* -3 y < ,4 }t
a
:
= > 2 x -8 < 1 5 -3 x
2 x - y + 5 z < 1 3 ................... . . r n
.................... ( n i )
N xN x+2y ¿5
♦ De las inecuaciones :
:
z - y < - l
g
por
- 2 < y
a
Si x = 2
-+ U = 2
=> 0 < y
* Luego : T = ( 2) ( 3 ) ( 4) = 2 4
R P TA : “E ”
y < 3 => y e { l ; 2 ; 3 }
2(2) - 4 < y a
y <2
=>(2;l)f ( 2 ; 2 ) e S
a
y <4 -2
y e { 1: 2 }
E)7
CAm * 42M5WZM*A
I
rJ C J M P E D IA 2 0 1 2 }
I ü si*
* Luego : S = { ( 1 ; 1 ) , ( 1 ;2 ) , ( 1 ;3 ) . ( 2; 1 ) , ( 2; 2) } -> n (S ) = 5 RPTA: "D "
resulta : 8y < 3 6 => y < — 2 •C o m o :y > 3 - > y = 4
PR O BLEM A
• Luego : 5 (4 ) - x < 22 a x + 3 (4 ) < 25
42
:
Si A es un conjunto definido p or ‘
=> x > - l
x<3=>~l
a
A = { ( x ; y ) e N x N ¡ y + 3 < .2 x a 3 x £ l 2
y },
=>x = l
entonces el cardinal del con ju n to A es: A) 7 B) 5 C)4 D) 3
E) 2
* Si x = l = > 5 ( l ) - 3 ( 4 ) + 2 z > 7
R E S O L U C IÓ N
:
a
* De las inecuaciones : 3 (y + 3 ) < . 6 x
=>3(y + 3 ) í 2 ( 1 2 - y )
como y e TV
-»
y< 3
a
a
5 — ^ XA X ¿ => ( 3 ; 2 ) e A
10
5 — - => X €
PR O B LE M A
/o i
{3 }
A) 3
=> 3 £ x
a
x £3
a
3 x <, 1 2 - 3
B) 4
0
D) 6
5
E) 8
:
• Sean x , y , z los núm eros de hijos de Javier, César y Eduardo, respectivam ente; donde x f y 9z e TV (todos
=> x = 3
tienen hijos). De acuerdo al enunciado del problem a, 6e tiene :
* Luego: A = { ( 2 ; 1 ) , ( 3 ;1 ) , (3 ;2 )9 ( 3 ; 3 ) } n (A ) = 4
x + y < 6 .............................( / )
RPTA: “ C 43
jy > z
99
:
* De (I I ) + (1277: x + y - l > 2 z = > x + y > 2 z + l com o x + y < 6 => 2 z + 1 < 6
5 x -3 y + 2 z > 7
..(I )
2x + y + z < 1 4
.. ( W
x + 3y<15
(III)
y>3
ATV)
=> z < — => z = 2 v z = 2 2 4
Si |z = 2| => y < 4 => y = 2
Entonces el valor de T = x .y .z es: B ) 10
R E S O L U C IÓ N
0 1 2
..................... (II)
x —1 > z ......................... ( / / / )
Si x t y , z so n v a ria b le s en tera s y p ositiv a s q u e satisfacen las siguientes con dicion es:
A) 6
:
R E S O L U C IÓ N
(3 ;3 ) e A
PR O BLEM A
44
99
La suma del n ú m ero de hijos de Javier y César es m enor que 6 y César tiene m ás hijos que Eduardo (¡T o d o s tien en h ijo s!). Si J a v ie r tu v iera un hijo m enos, tendría aún m ás hijos que Eduardo, entonces el núm ero total de hijos es:
O
• S i y = 3 => 3 + 3 < 2 x
z < 6 => z = 5
R P T A : tfD
=> 2 + 3 £ 2 x a 3 x £ 1 2 - 2
=>
2 ( 2 ) + 4 + z < 14
• Luego : T = x y z = (2 ) (47 (5 ) = 4 0
x £ — => x e { 2 ; 3 } 3 => ( 2 ; l ) e A a ( 3 ; l ) e A a
Si y = 2
5 (2 7 -3 (4 7 + 2 z > 7 a
g => z > — a 2
3 x < .1 2 -1
a
z g TV
=>
z <8
a
4 Si x = 2
y e (2 ; 2 ; 3 }
♦Si \y = 1\ - » l + 3 < . 2 x => 2 £ x
2 ( 1 ) + 4 + z < 14
=> z > 7
a 6x < * 2 ( 1 2 - y )
x = 2
a
D ) 40
:
* De (I) : 5 x - 3 y + 2 z > 7
•Restando: 5 y - x < 2 1 está sumada con x + 3y < 15
y > 1
v y = 3
Con lo cual : { y = 2 A
E ) 80
* De 2(11) : 4 x + 2 y + 2 z < 2 8
a
x < 6 -2
a
x > 2} v
{y = 3 A X < 5 - 3 A X > 2 } => { y = 2 = > {y = 2
*
a a
2 < x < 4
v
y = 3
a
2 < x < 3 ]
x = 3 }v {y = 3AX*TV}=>y = 2 A X = 3
\x ~ ^1 ^
y<3Ay>2=>yíTV
7e* ü ü
M i7 n r É 4 * &
L V E f ia o o M i; ^ ]
* Luego : x = 3 A y = 2 a z = Í
PR O B LE M A
* El núm ero total de h yos es: x + y + z = 6
Si A es u n coiyu n to definido por:
RPTA: “D ” PRO BLEM A
R E S O L U C IÓ N :
........ (I )
4y > 7z
E ntonces, el cardinal del coryunto A es: A)0 B) 1 C)2 D) 3 R E S O L U C IÓ N
(Illh x , y , z g Z *
=> y ( y + 1 ) £ 0 => - 1 £ y á 0
• Com o y e Z
->
XG#
a
x22 4
RPTA: "C ”
(a)
-
3
4
i .\ Y
28 4 < x < —— —> x = 5 ; 6; 7 ; 8; 9
7 7 * Si I* = 51 .* — < — z < 2 y < 5 4 2
• Si x = 6 : E n { a ) i
2
2
X - y - a=0
(I I )
fíene solución única, en ton ces u n valor de “ a ” es: A )1 B) 2 0 3 D) 4 E)6 :
x 2 <. 0 <=> x = 0
=> 2x 2 - 2 ( a - l ) x + a 2 - 1 * 0
* Tendrá solución única si el prim er m iem bro es un
,_______ 21 7 • Si x = 7 : E n ( a ) : — < — z < 2 y < 7 4 2 4
Si el sistem a : '
..................... (I )
* (27) en ( I ) : x 2 + ( x - a ) 2 + 2 x * l
7 7 12 => - < — z < 6 => 1 < z < —— 2 2 7 • De donde: z g Z +
_
x 2 + y 2 + 2x £ l
* Tenga en cuenta que :
— < —z < 2 y < 6
2
47 :
R E S O L U C IÓ N
• De donde: z = 2 a y = 2
7
-> x = 2 v x = - 2
* Luego : A = {f2 ;0 ), ( ~ 2 ;0 ) }
PR O B LE M A
21
x2=4
n (A ) = 2
7 7 * Luego . - ~ ( x - 4 ) < - - z < 2 y < x
• Es decir:
=3
X2
* Los pares son : ( 2 ;0 ) ; ( - 2 ; 0 )
* D e (I I I ) : 7 (- x - 4 ) < \ z 4 £
4
v y = 0
y = -1
x2 á 3 a x2 2 3
* C om o : x e Z A
7 -, , - 4 K ,
:
* En el sistema , restando : y 2 + y < ,0
x2^ 4
* De (I I ) : 2y > \ z
*
E )4
Si y = 0 , reem plazando , resulta :
.................( m a t o 4 y s o b r a )
x> 4
x 2- y 2 4
• Pero x g Z
(I I )
x -4 < 2z
(V
x 2+ y 2 ¿ 4
• Si y = - 2 , reem plazando se obtiene :
•Sean x , y , z los núm eros de m is conejos, tus conejos y los de mi cuñado respectivam ente, entonces: x > 2y
:
A = { ( x y ) e Z x Z I x e y satisfacen el sistem a ( * ) }
45 :
Entre 3 criad ores d e co n e jo s o cu rre e l sigu ien te diálogo: “ El núm ero de m is conejos es m ayor que el doble de los tuyos; pero el cuádruple de los tuyos es mayor que siete veces los d e m i cu ñ ado; m añana mataré 4 de los m íos y los restantes serán m enores que el doble de los que tiene mi cuñado” . ¿Cuántos conejos tiene m i cuñado? Cada u n o tiene al m enos un conejo. AJ 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
46
cuadrado perfecto, para lo cual: A* = 0 => 4 ( a - 1)2 - 4 ( 2 ) ( a 2 - 1 ) = 0
3
=> ( a - l ) [ 2 ( a + l ) - ( a - 2 )]
2
=> f a - l ) ( a + 3 ) = 0 => a = 2 v a = - 3
=> — < —z < 7 = > — < z < 2 =>ztZ
R P T A : tfA
• De la misma form a, para los dem ás valores de “x ” z * Z +
PR O B LE M A
48
:
Si A es un con ju n to definido p o r ;
=> z = 2 R P TA : “A "
A = {(xy)e Z x Z i } , y - x 2+ x + 6 > 0
Ay-x<-3},
TZPX C M lM jQ PK D Lt 2 0 1 2
entonces el núm ero de elem entos del conjunto A es: A) 5 B) 6 C )7 D) 8 E)9 R E S O L U C IÓ N
:
* De laB inecuaciones :
y> x2 - x - 6
a
y
-5< 3y
a
a y¿3=>
y e {-1 ; 0 ; 1; 2 ; 3}
Hay 5 pares m ás de A f. (I )
♦ S i I* = - l \ : 2 y ¿ 5
* De donde: x 2 - x - 6 < x - 3
x2-2 x -3 < 0 = > (x + l)(x-3)<0 x
♦ Si I* = -2 1 : 2 y ¿ 6 = > -j< y
=>x2 - x - 3 < y < x - 3
=>-1<
H ay 4 pares de A f.
< 3 = > x = 0 ; 1; 2
-2< 3y
a
^ ~ J < y A y ~ J ^ y B { ° ’' 1 ; 2 ) Hay 3 pares m ás de Af.
* En total, hay 1 5 pares en Af.
* x = 0 : E n (I ) : - 6 < y < - 3 y - - 5 ; - 4 1 los pares ( x ; y ) que se obtienen con
-> n ( M ) = 1 5 R PTA: “A
esto serán: (0 ; - 5 ) , ( 0 ; - 4 ) PR O B LE M A
* I* - 211 B n ( I ) : - 6 < y < - 2 Los pares ( x ; y ) serán: (2 ; - 5 ) , ( 1 ; - 4 ) , ( 1 ; - 3 )
50
99
:
D eterm in a r el n ú m ero de solu cion es enteras del siguiente sistem a :
* x = 2 : En (I): - 4 < y < - 1
y < - x 2 + 2 x + 5 ................. (I) y-4x<0 (II) [3y-x>0 (III)
Los pares Bon: ( 2 ; - 3 ) , ( 2 ; - 2 ) * Finalmente : A = 1(0; - 5 ) , ( 0 ; - 4 ) ,( 1 ; - 5 ) , ( 1 ; - 4 ) , ( 1 ; - 3 ), A ) 12
(2 ; - 3 ) ,( 2 ; - 2)J
B) 9
0
R E S O L U C IÓ N
-+ n (A ) = 7 RPTA: “C ” PR O BLEM A
49
:
Si Af es un con jun to definido p or : M = [ ( x ; y ) e Z x Z ¡ 2 y + x 2+ 4 x £ 2 a x2 + 0 x + 3 < 3 y }
Entonces el n ú m ero de elem entos del con ju n to Af es: A ) 15 B ) 12 0 10 D) 9 E) 8 R E S O L U C IÓ N
* De (U ) y ( I I I ) :
E ) 10
: ^ 4x a
y
y ¿ —
=> # - < 4 * l l x £ 0 => x £ 0 3 * De ( I ) y ( I I I ) : y < ~ x ^ + 2 x + 5
a
y * £
=> — < - x 2 + 2 x + 5 => 3 x 2 - 5 x - 1 5 < 0 3
6
;
* C om o * £ 0
* De las inecuaciones: 2y £ -x 2-4 x + 2 a
D )6
8
x 2 + 6x + 3 < 3 y
=> 2 x 2 + 1 2 x + 6 < 6 y
a
6y £ - 3 x 2 - 1 2 x + 6
x e {0 ; 1 ; 2 ; 3 }
Si |* = 0 \: y £ 0
y ^ 0 => y = 0
a
( 0; 0) es una solución.
=> 2 x 2 + 1 2 x + 6 < - 34 x 2 - 1 2 x + 6
♦ Si
=> 5 x 2 + 2 4 x < 0 = > x ( 5 x + 2 4 ) < 0
x = 2|; y < 0 A y ^ 4 A y ^ — - > y e { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } y = 0 O - > ( ! ; ! ) , ( 1 ;2 ) , ( 1 ;3 ) , ( 1 ;4 ) son otras máB.
^ > -~ < x <0
=> x e { - 4 ; - 3 ; - 2 ; - l }
* Si I* = 21; y < 5 Si * = - 4 \ : 2 y £ 2 =>__.< y U
a
-5 < 3y
A y £ 1 => y e { - 1 ; 0 ; 1 }
y £8 a
y £ — O
-> y e { 1 ; 2; 3 ; 4 } * con esto, hay 4 pares solución más. * Si |* = 3|; y < 2
Hay 3 pares de Af.
a
a
y Z 12 a
y £ 2
-> y = 2 -4 ( 3 ;1 ) es una solución. * Si I* = - 3 [ : 2 y £ 5
a
- 6 < 3y
=> - 2 < y / \ y < ~ = > y e { - 2 ; 0; 1; 2}
* Entonces hay 1 0 soluciones en total. R P T A : t€E ,$
w fn iiv o ^ PRO BLEM A
51
f¡Bg)
7 6 9 fg jg g
:
Al representar gráficam ente el siguiente sistem a: x 2+ y 2- 6 y ¿ - 7
se obtiene una región cerrada,
y - x - 3 <. 0
entonces la m ayor d ista n cia q u e existe en tre un punto de la región y el origen de coordenadas es : A ) Vfi
B )3
C )4
D )4 l7
E )J 2 Ó
R E S O L U C IÓ N : x 2 + ( y - 3 )2 < , 2 y i x + 3
• Grafícando :
De: yj x - y á J , se obtiene : x - y £ 0 a
x - y £ -2 —»■ x £ y
> x -l^ y ^ x ;
a
£x- 1
y
y su gráfica es:
n
• El punto con m ayor distancia al origen es Q . Esta distancia será: Q
- ' V
V
Resolver : 2x + 3 < x + 4 A)x > 1
B ) x <, 1
C )xZ l
D)x < 1
E)0
Hallar el con ju n to solución de : 5 x - 1 0 £ 0 * Por la ley de cosenos :
x2 = 3 2 + J2 2 - 2 ( 3 ) ( V 2 ) coa 135°
=>* 2 = 9 + 2 -
2(3) ( 4 2 )
-L j =1
A ) x g [ - 2 ; ao)
B ) x e (-* > ; 2 ]
D ) x e (-oo ; - 2 ]
E )0
C ) x g {-«o ; 0 ]
Hallar el con ju n to solu ción de B ) x e (-o o ; 9 ]
A )x% 9
C)x < 9
7
D ) x e [24 ; +
=> X = y [ Í 7
oo)
E)0
Hallar el conjunto solu ción de RPTA: “D "
PRO BLEM A
52
:
Si A es un coiyunto definido p o r : A = { ( x ; y ) e R x R i ^ x - y £ 1 } , en tonces la figura que m ejor representa la gráfica del conjunto A es:
A )x ?> 3 0
B )x > 30
C ) x <, 3 0
X
X
— + — £ 22 5 6 D )x < 30 E )0
Hallar el conjunto solución de : 2 (x + l) + 3 ( x - l ) í 4 x + 6 A )xz7
B)x<>7
C )x> 7
D )x< 7
E)0
17 6 6 J W
E l n ú m e r o d e e s t a m p illa s q u e t ie n e u n a
persona aum entada en 8 , resulta m en or que el doble del núm ero de estam pillas, dism inuida en 3. Dar un número.
A)6
B)7 H a lla r
C)10 un
n ú m ero
D)5 en tero
E)12 cu yo
d u p lo
d is m in u id o e n 3 es m a y o r q u e d ic h o n ú m e r o aumentado en 5. A) 7 B)9 C )6 D )6 E )4
0
De los sigu ien tes en u n cia d os, ¿cu á n tos son
verdaderos? I) 5x * 25
x <.-6
x * 5
I I I )- * -3 = > x * -15 5 A )0
(Í5 )
B )1
S i:
IV )-x < -l= > x * l 0 2
6 < a < 0 ;
I)a 2 > b2
II)a 3 > b3
Son ciertas: A ) I y I I B ) I I y III
D ) x e { 6; l l ]
E)&
0
O x 5 6
x -6
D ) x e (-o o ; 6]
E)x e 0
Resolver :
-5 x 5 15
A j ( 7 ;+ o o ) D )(-6; +
3 (x -i)$ 2 x + 5 ;x*5 A ) x e [5 ; 8)
B ) x e (5 ; 8)
D )0
x -6
O x € (—oo; 6)
-4 x < -2 8
O x e (5 ;8 ]
Hallar el conjunto solución de :
5
2x > 6
7x-3> 5x + 7
E)R
* 8- x +
B ) x e { 6 ; + oo)
3 x * -1 2
D )0
©
5
3 x -lí2 x + 7
B )xe[5 ;8 ]
las
D ) S ó l o U E ) Todos
A ) x e [ 6 ; + 00)
Hallar el conjunto solución de:
A ) x e [5 ; 8)
de
IH )í > b a
O S ó lo III
Resolver : x - 4 +
Hallar el conjunto solución de: x * 6 ; x 5 11 B ) x * 11
E )4
d o n d e : a ; b e JR,
m
A ) x e ( 6 ; 11)
D )3
siguientes proposicion es:
La tercera parte de un núm ero, aum entado en 3 no excede a su m itad dism inuida en 1 0 . Dar un número. A)79 B )6 0 076 D )5 0 E )4 0
X C I C E O P E D iA 2 0 1 2 ]
B ){-o o ; 7)
oo)
7]
+oo)
E)[-6;
Resolver : 6x + 3 < . 6 x + K 7 x + 9 O x e[5 ;8 ]
E)N
co)
A jx e (-o o ;-2 ]
B ) x e (-4 ; +
D ) x e [ - 4 ; - 2)
E ) x e ( - 4 ; - 2]
O x e 0
Resolver y dar el conju nto solución : x - 20 > 10
Resolver :
^ 2
x + 20 < 3 0 A ) x e [ 2 ; 7]
B ) x e [10; 20]
D )0
E)Q
O x e [ 2 0 ; 30]
A)x<\
X X ¿{)Hallar el conjunto solución de : — £ 5 ; — 5 7 A )x*21
B )xe{lO ;2Í)
B )x > 7 -
* 3
C )x < 9 -
D)x>
11
E)xe R
Si: 2 r - 2 g [ - 5 ; 9 ) . A que intervalo pertenece: 3-5x
C)xH lO A ) ( - 2 2 ; 23]
D )xe[l0 ;2 l]
^
B ) [-2 2 ; 13)
C ) [ - 1 9 ; 7)
E )Q . D )(-1 9 ; 7]
E ) [ - 5 ; 9)
Hallar el conjunto solución
A )xe(13;29)
B ) x e [ 3 ; 29]
D) 0
E)Q
C ) x e (13: 29]
denom inador, si: x e [ 2 ; 7 ] ? A)1
5 ) R e so lv e r: 8 x - 3 ¿ 1 0 x + 7 A2[5; +<*>)
¿C uántos núm eros enteros perm iten que en 3x + 5 la fracción — r el num erador sea m enor que el 5x-3 B)3
0 5
D)4
E) 2
¿C uántos valores de " x ” enteros n o negativos,
C)[B; 5]
h a c e n q u e e n la s ig u ie n t e fr a c c ió n :
x+2 7x + l
el
767
denom inador sea m enor q u e el num erador?
A)0
B)3
C)1
D)2
E l t r ip le de la c a n t id a d
E)4
B)l
C)3
A ) - 3 í x í 3
B )-6 < .x$ 3
D)x = 3
E ) x = -6
0 -< * < x £ -6
de m an zanas
disminuido en uno que com pró F em ando, es m enor que d ich a ca n tid a d a u m e n ta d a e n 3. ¿C u á n ta s manzanas com pró F em an d o?
A)2
w x m cv u jt v t a m c s
W HM
D)4
El conjunto de valores de “ a ” que hace que el sistem a de ecuaciones : 2 x + 7 y = a ........................... (I)
E)5
3 x + 5 y = 1 3 ........................ ( U )
tenga sólo soluciones positivas, consta de los “ a ” tales que : A )8 < a < 18
Dado: x > 0 , y > 0 , x > y , z * 0
desigualdad
que no siem pre es correcta es: A)x + z > y + z
B )x -z > y -z
B )^-
n í 26 91 D) — < a < — 5 3
C )^ -< a < ? ¡ 3 5
E l in t e r v a lo p a r a e l c u a l s e v e r ific a la
C )xz>yz
desigualdad :
D ) ' 7 > Z2
8 < 3 x -l£ l4
E ) x z 2 > yz
Si: x < y < 0 , en tonces es falso: A)x2< x y < 0
B)x2 > x y > y 2
D )x 2 > xy p ero xy > 0
A ) 5 < x < oo
B )3 < x£ 5
D ) 12 < x < a o
E )1 5 < x < o o
C)x2 < y 2 <0
E )x 2 > y 2 p or y 2 < 0
¿ C u á n t o s n ú m e r o s e n t e r o s y p o s it iv o s m enores que 5 satisfacen a la siguiente inecuación?
La sum a de los va lores en teros de “ x ” que satisfacen al siguietne sistem a de inecuaciones: 3x - 8
12x-5
2x + 7
C )-o o < a t ^ 5
AJI
1
x -1
x
3
l 5
3
B )2
0 3
D )4
E )5
m
©
® £ Í - , < i ± í - £ ------------------- M U 5 2 7
es : A )5
B )9
014
D )2 0
E )2 7
¿Para cuántos valores enteros de “ x ” m enores
de 7 se cu m p le q u e en la s ig u ie n te fr a cció n , el num erador es m ayor que el denom inador? 5x~l
? ) La sum a de los valores en teros positivos de
x + 7
ux n que satisfacen a la siguiente inecuación:
6r * ± j ± V3 AJI
2
7¡ >>127 B )2
~
A)4
B) 3
D)2
05
E ) N in g u n o
e s.
4 0 3
D) 6
E ) 10
La sum a de los valores en teros de “ x ” que satisfacen al siguiente sistem a : 5 x - l > 0 ............................ S I )
Resuelve : x + 4 ( x - 2 ) < 4 x - 3 ( x - l )
3 x - l l < 0 ........................... (2)
A ) x < B ) x 4
7 x - 2 3 < 0 .......................... ( 3 )
>4
C )x < U
D ) x > 4
Al resolver la inecuación :
2 4 x - 5 > 0 .......................... ( 4 ) 3 x - 1 5 < 0 .......................... ( 6 )
x
1
3x
1
8 x - 3 > 0 ............................. ( 6 )
2 ~ 2 < ~2 + l Ó ° b te n e m o s :
6x + l > 0 .............................. (7 ) A )x<-3
8x - 5 3 > 0 . .......................... (7 ) es : A)1
B )7
06
Resolver : -1 3 < . 2 x - 1 ^ 5
D )1 0
E )1 5
m
L os
B)x >
v a lo r e s
inecuaciones:
C)x >
5
de
x
que
-5
E )x < -3
s a t is fa c e n
la s
Ta a « i * m
\ 7G 8l 2x + 1 > x - 4 ^
-2 - x > 1 - x
B)x > - 5
A) x > 1
son:
C)x > 2
A) a
D )-5< x< l
Si “ x ” es entero. ¿Q ué valor n o puede tom ar “ x ” en :
x +1
x -1 > --------
B) a + b
D J -6
E )U
« , * 4 -5x „ Resolver : - 2 < — -— £ 7
; B =12; 5 [
B ) ] 5 ; +00 [
C ) ] 0 ;5 [
E )]2 ;5 [
¿5>) Resolver : 3 ( x + 5 ) - 2 ( 6 - x ) > 5 (1 - x ) A ) x < 0 ,3 D ) x > 0,5
y determ inar el valor entero que lo verifica A) - 3 B)-2 C)3 D) 2
E)-b
D eterm ine \ A r \ B A )]0 ;2 [
C )0
B J -3
D) b
Sean los intervalos : A = J O ;+ o o f
D ) ] 2 ;+ o o [ A)1
C )-a-b
2012
i
B )x > 0,3 E )x > 02
C ) x < 0,5
Resolver : E)1
a fx + 6 7 + 6 f x - a>) ¿ a * - b 2 ; a < 6 < 0 (fHÍ) H allar el m ayor n ú m ero en tero q u e cum ple
con: A) 2
( x - 4 ) ( x + 5 ) < ( x - 3 ) ( x - 2) B) 3
0
4
E) 6
D)5
Luego de resolver : 5 3 Determine el com plem ento del conjunto solución A ) [ 1 3 ! 3 ; + 00)
B ) (-<*>; U 3 )
Señale el m ayor valor que tom a “ x ” A )-a+b B) b O a D) 2 A Resolver : - 2 < ----------- á 7
©
Y determ inar el m ayor valor entero que lo verifica. A )-3 B) - 2 0 3 D) 2 E)1
O ( 1 3 í 3 ;-h » )
Resolver el siguiente sistem a :
E ) [ 1 3 ; + oo)
D )(-
3 x - 4 ¿ 5 x + 2 < ,-x + 8
(p ft) Resolver :
x ( x - 5 ) + ——— < ( x - 4 ) ( x - 2 ) + 8 x -6 x -6 B )x e R
D ) x e R - { 6}
E ) x e R + - { 6}
A )1 < , x 0
B )-3 < .x< ,l
D) x < -3
E)x í 2
que satisface el sistem a : Z < — L < Z 3 x + 3 9 A ) 50
limitación siguiente : - 6 < x + 4 < - 1 A ) x e <4; 5> B ) x e < 5 ,5 ; 8> O x e < - 4 ;0>
O 75
Resolver :
—+ a a ____ >1 a + 1
D ) 84
E ) 100
E ) x e < - 10; - 5 >
Si: ©
B ) 60
Hallar los valores de “ x ” que satisfacen a la
D) x e < - 2; 3 >
C )-3 < ,x< -l
W H allar la sum a de todos los valores enteros
C ) x e { 6]
A teeU
m
E) a - b
= l-sÍ5
Calcular el m áxim o valor de “ x ” que verifica
la siguiente inecuación: ( x + 2 )2 - ( x + 3 )2 * 2 x + 1 9
A )-5
B) -4
0 5
D) -6
Í 5 ) Resolver : 4 x - 9 < — x + K- ' 3 A )x<4
4
C )x>5
A )x > l+ y ¡5
B )x> T -4 5
D )x< 1 -4 5
E )xe +
C)x
EJ-9
4
D) x>4
R esolver : E ) x > i4
Indique el m ayor valor entero que la verifica. AJO B) 5 03 D) 6 E) N o existe Sfi Resolver : a ( x - b ) - b ( x - a ) <, a 2 - b 2 ; a < b
Señalando el menor valor que puede tener “ x ”
(x - 6 ) {
x
+ 3 ) - ^ > ( x - 6 ) ( x + 4) + - E -
A) x g ¿
B) x g R
D ) x € R - { 8}
E ) x e (0;+<*>) - { 8 }
C jx e {5 }
¿C u á n to s e n te r o s p o sitiv o s n o v e rifica n la inecuación? 3 x - 3 > 2 ( x + l ) AJI B )2 03 D) 5
E )in fin ito
ipwy 739 3) R esolver :
R e so lv e r: ( x + 6) ( x - l ) ^ (x + 3 7 (x + 2 7
C ) x e (-6 ,6 7
B )xeR
D ) x e R - ( - 6 ,6 )
E ) x e { - 6, 6 }
B )(7 ;+ ° o )
D )(-w;7)
E ){-7 ;+ * > )
C ) [ 7 ; +«>)
B ) { 8 ; «o)
C ;/9 ;o o )
/y (7 ;« o )
C ) (-o o ; 2 - 4 3 ^ kj ( 2 + 4 3 ; +oo^
D (-o o ; oo) - ( 2 + 4 3 ; 2 - 4 3 ) E )(2-43;2 + 43) Resolver : 2 x ( x - 3 ) ^ x ( x - 4 ) - 1
1 7 Ja) Resolver : — ( 3 * - 7 ) < — ( x ~ 4 ) A )[7 ;« > )
A) (-«o ; 2 - 4 3 ] u [ 2 + 43;+<*>] B )[2 -4 3 ;2 + 4 3 ]
Resolver : o 2( x - 3 ) , l 2 > A 0 * ~ 3 ) . f l 2 4 4 Siendo : 0 < a < b A )(-< n ;7 ]
3 x 2- 5 x + 3 -¿ 2x 2- x +2
e indique el com plem ento del con ju n to solución
Indique su conjunto solución: A )xef
tiv * ;i'A J A € i o iv i ¡ ; » i
indique su conjunto solución: Í W S ;9 )
A ) x g R - {2 } D ) x e (0 ; oo)
B ) x g (-o o ; ao) - {2 ; - 2 } E )x
g
C )x g R
( - oo; 0 )
Resolver : 2 ( x - 5 ) + >/5-x > 5 ( 3 - x ) + > j 5 - x - 4
©
A ) x e [3;5)
Resolver el sistem a :
B)x
2?7 x g (3 í + oo)
x2- U x + 24 < 0
g
(3 ;5 )
O xe(3 ;5 ]
FjxG^
R esolver :
x 2 - 9 x + 20 > 0
dar com o respuesta el núm ero de valores enteros que verifican A)1 B )2 C )3 D) 4 E )5
3 ( 2 - x ) + y f 3 ¿ ¿ l ¿ Z 2 ( 3 - x ) - 5 + y[3 ^ 1 ¿
B 7x
A ) x g (- o o ; 3 7
C /x
g [3 ; 5 ]
g
/3 ;+ o o )
D) X G¿
R esolv er: 3 x 2 + 7 x < x 2 + ? x + 3 D eterm ine el m en or valor de “ k ” en: Obteniéndose com o solución ( a ; Indique : - a A)-3I5 Bbl ^
0 3
D ) 315
8x + 3 - é x 2 < k ; V x E )-l¡2
Si al resolver la in ecu a ción ': 3 x 2 - 2 x < 3 x - 2
AJ8
B )3
0 7
g
R D ) -2
E )9
$ l t ) Si el con ju n to solución de : x 4 - 2X 2 - 8 < 0 99
Se obtiene com o conjunto solución x e [ a ; b ] , indique a + 6 /3 A )2 Bhl 0 -2 D) 1 E )0 Resolver : 3 x 2 - 3 x + 5 ^ 2X 2 + 2 x - 1 Indique su conjunto solución : A )x e [2 ; 3 ]
B ) x g (-a o ; 2 ) \j ( 3 ; -k»)
O x e (-o o ; 2 ] r \ [ 3 ; +ao)
D )x € (2 ; 3)
Es: < a ; 6 > ; hallar “ a + 6 A) -2 B )2 O -4 R esolver : AJxeR
(x* +
D )4
9 ) (x * - 1 ) < O
B )xe[-l;l]
D )xe[-3;1]
E )0
O x eR -(-l;l)
E )xe[l;3 ]
R esolver el sistem a (en Z ) : -x < -2 x >0
E )x e (3;+oo)
x < 5
Resolver : 3 x 2 - 5 x + 3 > 2 x 2+ x - 4
A){1}
indique el com plem ento del conju nto solución )]3 - y [ 2 ; 3 + 4 2 ]
B )[-3-42;-3 + 42]
)l3 + 4 2 ; 3 + 2421
D )[3 -4 2 ;3 + 42]
)(c 4 2 ; 4 2 )
B){3;4}
O{0;I)
D ){4 ;5 }
E){0)
Cuántos enteros n o verificarán la inecuación: x (x + 2 ) > 2 (x + l) + 3 A)1
B )4
0 5
D ) in fin ito s
E )0
Resuelva : 8 + 9y](3x - l ) ( x - 2) = 3x2 - 7x
II
C % T^w Fw im Ts%
íVjfe* 7 7 0
|
a o ia ]
x2- 8 x - 9
y de com o respuesta la sum a de soluciones C)
A )7
28
D)
28
W J
^ s u e lv a : y¡2x - 2 y[ ^ 4
@
B ){2 ;1 1 }
A ){5 ;7 )
C){11)
E)
21
= 77+ 2-3
x
<0
< a
si su conjunto solución es unitario indique el valor de “ a ” A )8 B )8 ,5 C )9 D ) -1 E )7
E){15}
D){13}
( R ) Halle la sum a de vaiores enteros del conjunto solución de : Aj70
x -3
+ 2 * x +6
B )7 8
068
D ) 65
E )72
( £ 2 ) In d ic a r v e r d a d e r o ( V ) o fa ls o ( F ) en las proposiciones siguientes:
Indique el m en or valor entero que verifica: x -2
x + 4
B ) -8
A ) -4
jS ix -2 ¿l= > * ¿2
( ) Si2-x<0=>2
x + 1 D) 7
0 8
(
E )3
H a lle e l v a lo r d e a y 6 en la s ig u ie n t e
(
7 Si £ < 0 = > x > 0 4
A) W F
B) V W
O VFF
D) F V F
E) F W
**-2
inecuación : / \( T t*U O
Indique el valor de verdad:
a d e m á s :a * > 2 y C .S . = [ 2 ; 3 ) v (4;+<*>) A )l;2
B )2 ;4
C )3 ;4
E )4 ;2
D ) 4;3
(
) Si ( l + a ) x < 1 + a => x < l 9V a > - l
(
) S i 3 a x ^ a = > x < Á f y fl < 0
3
Resuelve : - j x 2 - 3 x + 2 > 2 A)R
B )0
C ) [ 2 ; + c o)
(
D ) {-<*>;2)
E )[l;2 ]
) Si a 2x < a 2 ^ > x > l , a * 0
A) VFF B ) V F V
C) W F
( 0 ) Resolver:
Resolver : A )xe[-6;2] D ) x e [-2 ;6 ]
DJFFF
+
S e ñ a le el m e n o r e n t e r ó « x » inecuación. A) 1 B) 2 C)3 D) 4
( x - 2 )2 <, 4
x + —
C )xe{2}
B )xe[-3;4]
E) F F V
q u e v e r ific a la E) 5
x - —
Resolver:
4 > ! + £ = -£
E)x e R
(0 ^ )R esolv er : x 2- 5 x + l ^ 0
A ) x e ( - 5 - 7 Í ñ ; - 5 + 72Í) C )x e
B)
5 - 7 2 1 5 + 721
x g
R
®h;S[
D )X G f
3 x - l c l-2 x Resolver: \ 5 3
¿fe Resolver : 3 x 2 + x + 8 £ 0 A ) x e ( l ~ '/%! 1 + '[% )
B )xeR
D )x e R -[l-4 2 ¡l + 42]
E)x e í -
1- x ^ x c >x e *
A ) ] l ; 2 ] B ) [ 0 ;1 ]
{2}
Resolver
Resolver : 5 x 2 - 2 x + 1 0 < 9 A)x e R
B ) x e ( l - J 3 ; l + J3)
C ) x e R - ( l - j 3 ; l + y f3 )
D )x ef
A)
W Sea el sistem a de inecuaciones :
D )[l;+ c o [
B'f] [§••#[
x _ lK 3 = 5 x ¿ x ± 3
2
B)
E)
»"] >-|]
6 C)
[¿'i
BBÜ 771 U B I
KwmwNms
Resolver en « x » : a x ^ _ b + f e x - q ^ 2 ; a < 0; b > 0 a b
A ) < -1 3 ; 1)
B)
[+
E)
D) A ) < -o o ; a b ] Ja+bf
D ) —00
2a b
B) <
C ) W + * > 2 ; +00 L 2a b
2ab]
E ) ( —oo . o 2 + 6 * 1 9 2a b ]
Resolver: 2 x 2 + x ú l 5 - x
Resolver: •
H -
2)u
C )(i^ ;+ o o
1;
x 2- 5x + 4 < 0 x 2- 5 x + 6 > 0
A) < -1 ; 2 > B) <3; 6> D) <1; 2 > \j <3; 4> E) <1; 2 >
+ x2
C)[3;+ao[ E) ] - oo ; 6]
A) Í3; 5] B) [-6 ; 3] D ) ) - o o ;- 6 ] u [3; + ao[
13
O <5;6> <3; 6>
A q u é in terv a lo p erten ece « k » para q u e la inecuación: x 2 + ( k - l ) x + k - 2 = 0 de raíces r y i .
Señale el m enor valor entero « x » al resolver;
A) [1; 4] B) <1; 4> O [-H 1 ] D ) [ - l ; 4 ] E) 1-4; 4)
(x - 1 ) ( x + 2 ) - ( x + 2 ) ( x - 3 ) > 0 AJ-2
B j-1
D )1
C )0
E )2
Al resolver: i 6x 2 - 8 j 2 x + l < 0
( í ^ Si: a < 3 < b resolver: ( x - a ) ( x - b ) < x - a A )
verifique: r 28 + n ,2 *
se obtiene C . S = < a ; b > . Calcular: b - a + — 2 A) 1 B) 2 C )3 D) 4 E )5
C )< 6 ;a >
Sea la inecuación en « x » de prim er grado:
Sea: A = { 3 x - l l x ( x + 6 ) £ 1 6 }
Calcular n ( A ) A) 28 B) 2 9
( 2a + b ) x 3+ ( a 2+ b + l ) x 2+ ( 2 a r - l ) x + ( a + b )22 0
Indicar el conjunto solución. C)30
D ) 31
E) 32
El m enor núm ero en tero « m » que satisface la
A) [-1 ; + o o > D ) < - ® ; 1]
B) [-2 ; + o o > E) [-1 ; 1]
C) < -a o ; 2]
desigualdad: - 2 x * + 4 x - 5 < 2 m ; V x e R e s r Ah2 Bhl OO D )1 E )2 5F)Hallar el intervalo de « m » s i sé cum ple: 5x +mx +4 2 3 ;V x e R x 2 +1 A ) [ - j 2; J2]
Al resolver: ( x - 2 ) ( x + 3 ) ( x - 5 ) > 0 indicar la verdad ( V ) o falsedad ( V ) en:
B ) [ - J 3 ; j 3 p C ) [ - JE; JE]
D ) < - J 2 ; J3 > E ) [ 1 ; +ao >
I n d ic a r
el
v a lo r
v e r it a t i v o
en
la s
(
) El m en or en tero del C.S es - 2
(
) U n intervalo del C.S es < 5 ; + a o >
( ) La Buma de valores enteros negativos es - 3 A) W F B) V F V C ) F F V ' D ) V W E) F W
proposiciones: (
Indicar el valor veritativo de las proposiciones
) S i ( x - 3 )2 * 0 = > x e R
(
) Si ( x + 4 )2 £ 0 => x = - 4
(
) Si ( x - 1)2 < 0 =* x e f
A) W F
B) F W
O FFV
D) V W
siguientes:
E) VFF
. Al resolver: x * - 5 x + 2 2 0
se obtiene com o coiyu n to solución: x e R - < m ; n > Indicar: m + n . A) -5 B) -1 0 2 D)4 E)5
(jfi^ Resolver:
3 x -5 < 4
3 x (x -2 ) ^ 2x +7
(
j Si x 9 ¿ O = > x ¿ O
(
) S i ( x - l ) 4 ZO = * x e X
(
) Si ( x - 2 )9 < 2 7 = > * < 6
A)FFF
B) FFV
C) F W
D )W F
E )V W
R esolver la inecuación: ( x - x * + 2 ) ( x - 3 ) > 0 Indicar u n intervalo solución. A ) < -1 ; 2 > D ) < - 1; + oo >
B)<2;3> E) < - 1 ; 0 ]
C )<-oo;2>
Resolver: 2x3 + 3x* + 3x + 1 < O
I77*
[A M ^ n a s n a r j*
A ) < - 2 ; + oo >
IC IC L O P E D IA ¿ 0 1 2 }
a b + b a es:
B ) < -c o ;2 >
AJO
a?
D)
£ ) < -1 /2 >
E) 4
D) 3
Si A es el con ju n to solu ción de:
(j>-
- 3 ( l - x ) 4( x 2 - 9 ) e x 2 ^ n
(x 2 - 5 x + 4) £0 (^¡a)A l resolver: x -2
4 x 2( x 2 —l f
e n to n c e s la su m a d e los e le m e n to s e n te r o s del con ju n to A es: AJI Bhl 0 2 D ) -3 EJ-2
indicar el valor de verdad: (
) El m ayor en tero del C.S es 4.
i
) El núm ero de valores enteros positivos es 3. (£ & ) D eterm inar el cor^junto solu ción de:
( ){2}c.C.S A) W V
02
B) 1
B) F W
C) W F
ÍJ) A l r e s o lv e r :
D) VFV
^x
^Ose x
2 tix + 3 b < ^ 2bx + 3a
E) F F V
o b t ie n e
—x + 1
si a < 6 < 0
com o C.S = < - o o ; a ] . C alcular ; A) 4
B) 1
C )2
Resolver:
x +2
D )-2
E) 3
E ) < 0 ;+ o o >
> x Si el c o n ju n to s o lu ció n de la in e cu a ció n es
Dar el com plem ento del con ju n to solución. A ) ] - l ; 2 ] v i 3 ; + co [ B ) [ - 2 ; - 1 ] u [ 0 ; +<*» C) < - o o ; - 2 >
D ) ( ^ ; + oo
[ m ; n ] en: x 4+ 5 x 3+ 9 x s + l l x + 6 ^ 0 indicar: m - n A ) -1
B) -2
C )-3
D J -4
E J -5
E ) [ 2 ; -H»>
D ) J -a o ; 3 ]
R esolver la inecuación: x +3 ^x -1 Resolver: ~< x + 1 A) < -1 ; +
Resolver: A) 1-1; 11 D ) [ - 1 ; + ao>
©
3 x a+ 5 x 4+ 3 x 9+ 3 x s+ 5 x + 3 < 0
B )< -1 ; 1> E )< -3 s 3 >
0< 3;5>
O 12; + oo>
Resolver: ( x + 3 a ) 5 ( x + 2 b )4 ( x + 2b f
A) < -1 2 ; 12 > DJ < 3 ; 12>
f
+ ¿
>2
f j
B) < -3 ; 3 > O < -1 2 ; - 3 > E ) < -1 2 ; + ao >
x2+x -6 x ' - x -6
<0
AJ < -o o ; - 2 > u [ 0 ; 3 > O < - ° ° ; O lu < 3 ; +oo > E)
B ) < -a o ; - l > u < l ; + « > D )< -o o ;- 2 > \ j < 1 ; 6 >
< - oo; - 2 > kj<1;+ oo>
Si - a < 1 , resolver: ( x + a ) ( x 2 + a + 1)
D espués de resolver:
Señalar el com plem ento del con ju n to solución. B ) < 1; + o o > E ) <1; al
C) < -o o ; a j
se obtu vo C.S = [ a + 1 ; b - 2 ] . C alcular a&. A )20 B )18 015 D ) 21 E)24
5 ) Indicar el producto de las soluciones enteras, al resolver: ( x 2 - 8 x ) s- 2 ( x s - 8x ) - 6 3 £ 0 AJO B )63 03 D )56 E)81 Si S = R - [ a ; b ] es el conjunto solución de la inecuación: x 3( x - 2 )2( x - 3 ) > 0 entonces el valor de
( x - 3 )3 5 4 x 3- x 2¿ 3x2
x -1 A) < - « ; + ao > D ) < -a ; 11
E )2
Señale el con ju n to solución de la inecuación:
si: 2 b > 3 a A ) < - o o ; ~ 3 a > B ) < - 2b ; + a o > C) < - a o ; - 3 a > - { - 2 b ) D ) < 3 a ; + o o > E) < 2b ; + oo > ©
R esolver:
s0
+ x +5 B ) < - 5 ; 21 E) < -a o ;l>
Indicar el m ayor valor entero. Ah2 B )-l OO D) 1
Resolver el sistem a :
x2+ x -2 £ 0 x2-16Z0
IIHW 7 7 » IB M e indicar un intervalo solución
D )(9I2;11)
B ) [ 2 ;oo)
A )[-4 ;x-2 ] D )R *
I ,V l i « l'A C J W .W i.v ]
E)(7/2;8]
C ) { - o o ,•- 2 7
R esolver : f o t 3 > —( l + x ) < 11 + 2x 5 3 99 Luego indique la sum a de valores enteros de **x AJ140 B h-102 Ch80 D ) 100 E )8
E )(-1 0 ;8 ]
Indicar la sum a de los valores enteros de “ x ” 2x + 7 > 0
( í ^ Indicar el gráfico correspondiente a la solución
si: 1 4 - 3 x > 0
del sistem a :
5x + l > 0 A )10
B )ll
012
D ) 13
E )14
El conjunto de valores de un " que hacen que el sistema de ecuaciones : 2 x + 7y = n 3 x + 5 y = 13
tengan soluciones positivas es:
C> ' M E)(2/3;0)
Resolver para valores enteros el sistem a : 5 x - 3y > 2
2x + y < 1 1
.0 ©
Sean los conjuntos:
y > 3
indicar: r* + 2 A )10 B )1 7
A = {(x,-y) / i S *
S 2}
B = { (x & ) / l Ü y S 2 } 026
D ) 3 7 , "\ J E )5
£ )H a c e dos a ñ os L uis pesaba 2 h g m en os. Si \ *' entonces el cociente en tre su peso y su edad era 613 y ahora el cociente está en tre 2 y 6 /5 ¿q u é edad tiene Luis? yp A )2 B )3 0 4 D) 8 E )9
graficar : A x B
A)
Y t* 1
r i PM
x
Se com pran igu al ca n tid ad de cam isas de 2 colores; al venderse la cuarta parte quedan m enos de 1 1 8 por vender. Si se v en d iera la sexta parte quedarían m ás de 1 2 9 por vender, ¿cuántas camisas se com praron? A)1S5 B )1 5 4 0150 D ) 166 E )1 4 8
C)
Yk
Yi
D)
i
i X
X
Cuántos núm eros enteros satisfacen: 5 x -6 > 3 x -14 7 ^
* < x
Resolver gráficam ente el sistem a : \x\ < y
+ 2
y < l - x A) 3
m
B )4
C )5
D ) 6
Resolver : 3 x * - l l x + 6 < O
2x‘ - x - 1 0 j» O A)[SI2;3)
B)[ H 2 ;3 )
E )7 B)
& 017/2:4)
I d C L O Ü É b iA 2012]
f 7 7 * 1
I n d iq u e la s u m a d e lo s v a lo r e s e n t e r o s positivos que satisfacen el sistem a: 7 x -1 > — 2 _
>
9 A) 19
x + 3
B) 28
3
C)35
D ) 48
E )6 0
Resolver gráfícam ente el sistem a Resolver el sistem a :
* * + / s 2
x2 + x + 1 > 0
y 2:0
x* + 1 < 0 jB2
Y¡
A)R
B)i
D ) {0}
O íl}
E )R
Resolver el sistem a para valores enteros: x + y + z > 8 x -y + z < 4 z -y > 0 z <5
indicar : y z A )6 B )1 2
(I I ) ; y > 0
D ) 36
E )4 8
R esolver el sistem a en los enteros :
Resolver gráficam ente el sistem a : y -íU x (I) ; y $ x
024
2 x - 5y > 30
(III)
x + 3y < - 2 2
y*
y> -8 indicar : x y A )1 7 B )1 6
014
D ) 18
E )1 2
R esolver el sistem a: x 2 +1 x -3
1 2-x
¿0
<-1
B){3;
A ){-3)
oo)
C)R
D){2)
E#
Dados los conjuntos : A = {(* ; y) e
2 / - i <; * S i }
B = {(* ;y )e B 2/ - l S y á l }
©
G raficar : A x B S i:
hallar A x B
A = {(x ;y )/| x | s i}
B = {(*;y)/o
B)
A)
2 ♦♦►
-,r
X D)
O
D)
Yi
775
SE
A ) < -o o ;-3 > u < 5 ; + o o >
Hallar los valores enteros que satisfacen:
B > < -3 ;5 >
2 )}< -o o ;3 > u < 5 ;+ o o >
2 x -1 5 5 /n x 2 /Q v — i — < ^ ? - x ) > ^ a ~ 5x)
x -2
Resolver:
C )8
E )6
D) 7
Resolver el sistem a:
B ) < -2 ;+ o o >
D ) < 2 ; +oo >
E) <
D ) [ l ; oo/
(x - 4Y
E)R
se obtuvo com o con ju n to solución
Resolver el sistem a : 3 x 9 + 2x > 0
C . S = < - od; 2 J kj { 3 } kj < 4 ;+oo >
x 3 + x 2 + x <0
D ) x <0
-l;+ o o >
(* - 2 )° ( x - 3 )b
C)]-* > ;!]
A )0 < x < 2 / 3
C ) < -c o ;-2 >
Al resolver la inecuación:
\x\z 0 B )R +
x 2+ 2
A )< -2 ;1 >
(x 2 + 2 )(x 2 + x + f ) > 0
A)^
E )< -o o ;5 > u {8 }
x + 2
e indicar su suma A )9 B )1 0
C )< -o o ;5 > -{3 )
B ) x < - 2/3
si: 0 < c < b < a y ca lcu le el m ín im o v a lo r de T = a + b + c A) 3 B) 4 0 5 D) 6 E) 9
O x > 2 ¡5
E )i
M R e so lv e r:
S i: 6 x - x 2 e [ m ;n ] V x e [ 0 ; 8 ] , r e s o lv e r la
5(f-2)<3(M
in ecu ación :
..2 x -(m + n )x + m n
x 2 - 2nx + n 2
3 ( x - 3 ) > 2 + 2x
A ) [-1 6 ; 9 [ B ) [9 ; 3 4 ] O ¡9 ; 2 5 ] D ) ]9 ; 1 6 ] E) [-1 6 ; 2 5 ] A)x<2
B)x>2
C)x>0
D )R
E )x< -2 X
®
Al resolver la inecuación siguiente, se obtiene
1 que:
x e < -o o ;m > - \ p ; q ) 3 x - 1 . x -7 J0X + J3 + ---------- < 4 + ----------------------------------x +1 x +2 x -1 ( x + l ) ( x + 2)
2 x -l S i a > b > 0 y x > 0 determ ine e l in téivalo al
que pertenece « c »
D eterm ine : m * + n * + p 9
sabiendo que: c= 2+
a -b
B)5í
,
C )s f
O
b+ x B )~ < c < 1 b
D )5 -
9
E )6
A l resolver la inecuación en « x »
C)a < c
x 2+ 2 ( 2 a - 3 f l ) x + 3 6 m < 0 D )b < c < o
E )2 < c < £ b
se tiene C . S = ] a 2 + 4 ; 0 2 +
5 ) El conjunto solución de:
A) 3
(x 2 - x + 6) ( x 2 - x - 6 ) ( x - 1)2( x + 4 ) 8 ZO B )[-2;3]
D )[l;4]
E )[-4;-2]
C ) [ 2 ; 3 ] i~i { 1)
Resolver: 1 +
A )1
B) 2
adem ás
{o ,* 6 ;c )c i? + , que
6
D) 7
>0
0
3
D) 4
E )5
C u á n to s e n te r o s p o s itiv o s n o v e r ific a n la inecuación
x 2-2 x -1 5
= 6,
E) 6
D) 5
d e te rm in e el m ín im o v a lo r e n te ro p o sitiv o verifica la inecuación en « x » .
Si la solución es S = ( R - < a ; b j ) v { l } .
2 4 -4x
4
3 a b cx2 + 9 x - 2a bc < 2 7 x 2 + a bcx -1 8
Resolver: ( x ~ 1)S° ^ > 0 ( x 2+x + 2 ) ( x - 5 )
Dar el valor de: T = b - a A) 4 B) 5 0
0
S i; a + 6 + c
es: A )[-2;3]v{-4}
B J -2
.Calcular: a + f l + m
E) 8
2x
x 2-3 x + 2
- 5x
2x2- 5 x + 2 A ) N in g u n o
B) 1
0 2
x2-3 x + 3 D) 3
E) M ás d e 3
R e so lv e r las in e cu a cio n e s cu a d rá tica s e n « x »
I 7 7 9 I •t5ü
rC M C L O F E D M A 2 0 1 2 ]
i.
si 6 > a > c >0
^ a + Z + y j * 2 - 4 aa, x + 1 > 0
A )0
B )R + C )R
D ) JO; a + b [
E) ] - o o ; 0 [
a 2x 2 + 4 a x + 3 < 0
y d a r c o m o r e s p u e s t a la i n t e r s e c c i ó n d e lo s co q ju n to s s o lu c ió n , a d e m á s a >0 . 2 ? 7 ]3 q ;4 a [
A )]-a ;-3 a [ D )}-a ;a [
Si a < 0 < j ? - a , a l resolver: — — - $ - < 0 a -x se obtiene para « x » .
C j ] a ; a + 2[ C ) ~ \ a ;4 0 [
E)
R e su e lv a la in e c u a c ió n e n « x » . ( n + l ) x 2 + y ¡4 n z —5 x + n - l ( n + l ) x 2 + n 2x + n - l
<0
Si: a n + i, = a „ + 2 ; V w e Z *
sin >2
adem ás:
A)
X j e < a 40; a 41> ; x , e < a u ; a tó > ;
resuelva: ( x - a ¡ ) ( x - a 3) ( x - a ¿ ) .... fx - a JOO)<0
B)
donde: x e [ x / ; x 2 ] C ) ] l - n ; n + 1[
2>7]2;+oo[
E )]l-n ;0[
p : [ 3 x eJV I x + 2 = 5 ] a [ v x e / V .* x 2 > x ] q : [ V a e Z ; - a < 0] v [ 3 x e Z l - x = x]
r; 3xeB />PÍe R indique el valor de verdad de sus negaciones A) VFF B )F V F C) V F V D) W F E) FFV D eterm ine el intervalo en el cual debe estar com prendido el valor de « n » para que la inecuación: 3(2n + l )* 2- 2 ( 4 n + 5 ) x + 5n + 9 „ ---------------------- ±■ 1 < n + 2s 5 x - 6x + 5 A )0
B )< -2;3>
C )<0;4>
«x*
D )<-«>;7>
E) R
me
R/-3
C )\ a 4l ; a 42[ E ) [ x ¡ ; a 42 l u ] a 43: x 2 J
[ CLAVES D E L A P R IM E R A P R A C T IC A ] O I) B O S )E 11) C 19) D 81) E O I) OO) B
08) B 07) B 18) D 17) B 88) A 08) A 07) C
CLAVES D E U O I) A 08) B OO) B 07) B 18) B 11) B 10) E 17) E 08) C O I) D
08) D OS) A 18) D 1S) B 88) B 0 8 ) 1» OS) B
08) C 09) D 18) C 19) A 88) C 08) D 09) C
SEGUNDA F R U 08) A 08) D OS) A 09) E 18) B 18) E 19) B 1S) B 08) C 08) A
OS) B ÍO ) C IB ) E 80) B 8S) E OS) B 1 0 )A ID A OS) D 1 0 )B 1S) E 80) B OS) C
|< LU7\V D E LA MICRCERV F R U I D A 1 0 8 ) E OS) B 08) B 08) B O I) A
( í ? j ) Dado el con ju n to: M =
B)Jxj ; x 2[
D ) Ja42; a 42 [ v ] a 43: a 44f
Dadas las proposiciones:
se verifique para todo valor de
A) [X j;x 2J
xz+m x-2 x 2- x + 1
<2;Vxe R
es igual a: A ) ] - 1 ; I f B ) J - 2 ; 2 [ C ) ] 1 ; 2 [ D )]l;3 [ E ) J - 1 ; 2 [
(2 m + l ) x 3 - x 2 £ m x + m ;V m e R + B ) x e [ 1 ; +*>[
D ) x e [ 0;+ o o f
E ) ] - oo; 0 [
B E C D
07) 18) 17) 08) M IE
]2 )C
0 9 ) D IO ) C OS) C D 18) B 1 8 ) C 1S) C C 19) C 80) 1S) C E 0 8 ) IB 0 8 ) D OS) D C fJ l C m R T A F M A V T T D 1A
1 I
tiy n fT sjB tHÍA mmmc
Resolver la inecuación en « x » :
A ) x e / - 1 ;+ o o f
OO) 11) lO ) 01)
C) x e 0
Resolver la inecuación polinom ial en variable «x»:
abx4+(ac - ab)x3+b2x 2+(bc — ac)x+bc< 0
m t7 )D l¿)D U 9 )A \ tO )Á
q&m.rarv'W'j*. »jb|í <)k t o y ffi/o jc ' o>r 11)11 g)¿lia>gr**)f>liXM fafcjifi i
CU \VE S D E 1.A SE.VT.1 F R A C TICA OS) C 08) A 08) A 08) A O I) A 0 9 ) B IO ) A OS) A 07) A OO) D 1 8 ) A 1S) A 18) A 18) A 11) D 1S) B 19) C 80) B 17) B 10) E 0 8 ) B OS) t í 08) E 08) A O I) C
[ E M 1 HKXVSS
B i
W ~777
o b j e t iv o s : •Interpretar geométricamente el concepto de valor absoluto de un número real empleando la definición. • Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, aplicando las propiedades y la definición de valor absoluto. •Interpretar situaciones concretas mediante desigualdades.
INTRODUCCIÓN
.*
la i.o w
/H i^ o n r r o ]
• De los ejem plos a n te rio re s, se concluye que el valor absoluto de un núm ero real cualquiera, será siem pre positivo o cero, además: ♦Vx
g
R ; 1x1*0
*1 x| = 0 o
x =0
x |= |- x|.... “ si dos núm eros reales se diferencian
sólo en el signo, sus valores absolutos son iguales” .
El valor absoluto nos permite relacionar las distancias entre dos puntos sobre la recta real con el concepto de vecindades alrededor de un punto, teoría que se aplicará más adelante en la definición del límite de una función real de una variable real. De modo que será muy importante conocer y saber aplicar los diversos teoremas sobre ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.
O B S E VA C I Ó N :
Sea x - p - a , reem p la za n d o en la d e fin ició n , se tiene : p -a
; s i ( / / - a ) e s p o s itiv o ó cero
p -a
=
- ( p - a ) ; s i ( p - a ) e s n e g a tiv o
* Entonces:
VALOR A B SO LU TO M AGNITUD
p es m a y o r q u e a
p -a
=
í
M
~
a
;
p es m e n o r q u e a
El valor absoluto de un núm ero real t4x ” , se define com o aquel núm ero real no negativo que se denota
E JE M PLO :
por Ix I : donde
* |y¡2 - l \ = 4 2 - 1 ; pues >¡2 es m ayor que 1
(
* | 2 - V 3 | = 7 3 - 1 ; pues 1 es m enor que
; si x es p o s i t i v o ó c e r o
x
x ; si x es n e g a t i v o
^
o tam bién l_Í3x-J,« 3x-2*0
3 x - 1 9s í
x*—
3
i
x x\ =
; s i x >0
0 ; s ix = 0 - x ; s ix < 0
EJEM PL O S: * |6| = 6 , s ó lo se b o r r a n las b a rra s, p u es 6 es
positivo. * |-81 = - ( - 8 ) = 8 ; al b orra r las barras 6e cam bia de signo, de - 8 a 8 , pues - 8 es negativo.
X
\ - ( 3 x - l ) 9s i 3 x - l < 0 1 - 3 x 9s í x < — 3
IN T E R P R E T A C IÓ N G E O M É T R IC A D E L
VALOR a b s o l u t o : El valor absoluto de “ x ” es la distancia del punto 44x ” de la recta real al origen, es decir al punto cero, asim ism o la distancia en tre dos puntos cualesquiera
a y 6 viene a ser el valor absoluto: |a I6 - a L |-*l
* |3|=3 puesto q u e 3 > 0 * \ -4 1= - ( —4 ) = 4 ; puesto que - 4 < 0
b |o también
l*| V
—oo
—X
0
+oo
x 2 + 1| = x 2 + 1 porque x 2 + 1 > 0 ; V x e R
la -61
* |x2 + x + l| = x 2 + x + I porque
x 2 + x + J > 0 ; Vx e R *151 = 5
—00
a
+00 16 - al
W». II 7 7 » 1
IdkM* M| = 4
x r in .o r i- n n 2012]
I4| = 4
x + y
\/ —00
+ 00
o
-4
1-2-41 H 4 -f-2 j| = 5 -
0
0
-
4
-3
-2
+ 2
+ 1
* 0
;= 5 f 3 4
+ »
+00
0 H
h -1 -6 1 — d = 6
* Tam bién : * x - y 15 |x| + |y
* • S i ; |x| + |y| = | x - y | o x y 5 0
d = 5 151 —00
<=> x . y < 0
* x + y + z | 5 x| + | y| + | z|
_______________ A ___________
+ -1
y
<1*1 +
10) Si los valores absolutos d e dos núm eros reales , son iguales , entonces , o se trata del m ism o núm ero o de núm eros opuestos.
TEO REM AS: E C U A C IÓ N E S 1 ) El valor absoluto de un n ú m ero real nunca es negativo, es decir:
2 ) Si dos núm eros reales se diferencian sólo en el signo sus valores absolutos son iguales, es decir :
-X
X ; V x e R
=
x
¡1
= x
i
* \ 5 \2 = ( 5 ) 2 = 2 5
- 3 12 = ( - 3 )
= 9
4 ) El valor absoluto de u n núm ero real es cero, sólo en el caso q u e d ich o n ú m e ro real sea ce ro . A sí: x =0
5 ) El valor absoluto del producto d e dos núm eros reales es igual al producto de sus respectivos valores absolutos, es decir: x .y
6)
x
y
=
y <=> [ y ¿ 0
x\=\y\
o (x
=
(x = y v x
a
y
a
=
-y )]
x = - y )
* i * i* = * 2
teohem a:
E JE M PLO S:
|x| = 0 o
* x\
• V í 2 =|*|
; V x € R
=
V ien en a ser igualdades con d icion a les, los cuales fr e c u e n te m e n te se p re s e n ta n e n las s ig u ie n te s form as : * X |= 0 o X = 0
*
3 ) El cuadrado del valor absoluto de un núm ero real es igual al cuadrado de dicbo núm ero real.
CON VALOR ABSO LU TO
y
;V x , y e R
|a |= 6 <=> [ 6 ¿ 0
a
(a = b v a = -6 )]
O B S E R VA C I Ó N :
* Este teorem a establece que el u niverso U (es decir el ca m p o de v a lo re s a d m is ib le s ) d e la e cu a ció n a |= b está determ inado p o r la con d ición b * 0 , la cu a l d e b e se r re su e lta p re v ia m e n te , u n a vez hallado este universo U se pasa a resolver las dos ecuaciones a = b y a = - b , finalm ente se com prueba si estas soluciones se bailan dentro del universo U .
* Para resolver este tipo de ecuaciones es necesario aplicar la siguiente propiedad del valor absoluto.
; y*0
p r o p ie d a d
:
El valor absoluto de un núm ero real “ x ” es igual a u n núm ero real “ a ” , si y sólo si Be verifican las dos con dicion es siguientes: 9 ) D E S IG U A L D A D
T R IA N G U L A R :
I o) Condición p r e v ia : “ El núm ero real “ a ” es m ayor ó igual que cero” .
El valor absoluto de la sum a de dos núm eros reales “ a y 6 ” es m en or o igual que
2 o) El núm ero real “ x ” es igual al núm ero “ a " , ó el núm ero real “ x ” es igual al núm ero “ - o ” .
la suma de los valores absolutos de “ a ” y “ 6 ” .
* En sím bolos :
x +y
5 *|+ y
o
I)
x, y e R
C o n d ic ió n p r e v ia : a * 0
x h= a <=>
x + y = \x\ + y o
x .y * 0
II) x = a ó x = - a
[ l? P lf m V K ,9
fSSi
J*¥7n w & 49&
l a f .O K
E JE M PLO S:
C. S. =
1 ) Resolver : |x |= 2
5 ) Resolver : |x - 2 1= - 3 x
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
* Se ob serv a q u e , d e a cu e rd o co n la p rop ied a d enunciada, a = 2 , es m ayor que c e r o , luego si cum ple la condición previa , tam bién se cum ple la segunda condición ; es decir :
* De : |x - 2 1= - 3 x ¿ 0 o
1
4
[x - 2 = -3 x o
/I I I 5 Q M T O
-3 x ¿0
ó x - 2 = -(-3 x )]
x 5 0 y [4 x = 2 ó x - 2 = 3 x ]
<=> x 5 0 y [ x = 2/4 ó x = - 2 /2 ]
x = 2 ó x = -2
* Entonces: C .S .= { - 2 ; 2 }
* El con ju n to solución es C . S . = ( - w ; 0 ] n | 4 ; - - ^ i r i\ [4 2i luego la ecuación tiene una sola solución
2 ) Resolver : 12 x + 3 |= 7 R E S O L U C IÓ N :
x = - 2 /2
* En este caso tam bién se cum ple que ;
a = 7 ¿ 0 , entonces el universo U (con dición previa) es todo 27, dentro del cual se resuelve la ecuación, así: 2x + 3 = 7 v 2x + 5 = -7 v
-+ x = 2
x = -5
6) R esolver : |x - 2 1= 3 x - 9 R E S O L U C IÓ N :
* De la ecuación m odular dada, se obtendrá: 3 x -9 ¿0
a { x - 2 = 3 x - 9 v x - 2 = -(3 x -9 )}
a { 7 = 2 x v x - 2 = - 3 x + 9}
3x¿9
* Entonces : C .S . = {2 ; - 5 }
X V X
3 ) Resolver : 15 x - 3 |= - 8
x ¿ 3 a
R E S O L U C IÓ N :
7 22 ♦ O bservar que: x = — si verifica: x ¿ 3 v x = — no 2 " 4
* En este caso a = - 8 , m en or que cero, con lo cual es evidente que no cum ple la condición previa. .' 1* *
'
* En c o n s e c u e n c ia la s e g u n d a c o n d ic ió n d é la propiedad no se cum ple, y por lo tanto, la ecuación no tiene solución.
-> c.s. = 4
verifica, entonces: C . S .= 7j R esolver : 13x - 2 1= |x + 5 1 R E S O L U C IÓ N : * Este m odelo se resuelve aplicando
4 ) Resolver : 13 x - 2 |= x - 4 ^
-
R E S O L U C IÓ N : __
‘¿B
I ) En este caso : a = x - 4 ¿ 0 ,q u e debe ser m ayor o igual que cero , entonces : x - 4 ¿ 0 -> x ¿ 4
* P or lo ta n to , la s o lu c ió n d e b e p e r t e n e c e r al intervalo [4;+
* Así: 3 x -2 = x + 5 v 3 x -2 = -(x + 5) -> x = 3 v x = - 2 ♦ C om o no existe con dición previa, los dos valores obtenidos pertenecen al con ju n to solución. a S . = {-l;3]
3x - 2 = x - 4 v 3x - 2 = - ( x - 4)
-> x = - 2 v
x = 1 ,5
8) Resolver la ecuación :
* De estos dos valores de la variable, escogem os los que pertenecen al intervalo de la con dición previa.
0
r
X\5
4
R
En la gráfica se observa que: - 2 4 1 4 ; oo/,por lo tanto -2 no es solución. 2 ,5 4 1 4 ; c o /,p o r lo tanto 2 ,5 no es solución. • Luego : la ecuación tiene solución vacía. Es decir:
x 2 - 4 x = 12 x - 8 1
R E S O L U C IÓ N : * La ecuación equivalente será :
c o n d ic i ó n p r e v i a
-J
=t }
x2 -4 x = 2 x - 8
ó x 2 - 4 x = - (2 x - 8 )
o
x2-6x + 8 = 0 ó x2-2 x -8 = 0
o
( x - 4 ) ( x - 2 ) = 0ó ( x - 4 ) ( x + 2) = 0
o
(x = 4 5 x = 2 ) ó (x = 4 ó x = -2 )
* E ntonces: C .S . = { 4 ; 2 ; - 2 } 9 j Resolver : x 2 - 5| x |+ 6 = 0
XCMCLOPEBMA 2012}
f y g j j ¡y&> R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
* Cada valor absoluto lo igualamos a cero y los valores obtenidos los llamaremos puntos críticos,
x* - 6 1*1 + 6 = 0
asi:
| x - 2 1= 0
=> x = 2
|x + 2 |= 0 => x = - 2 x - 5 1= 0
=> x = 5
• Luego, se tiene 3 puntos críticos : R C. = 2 ; - 2 ; 5
x = ±3 v x = ± 2
los cuales los represen tarem os sobre la recta numérica real.
-> C.S. = { 3 ; - 3 ; 2 ; -2 ] 10) Resolver : |x 2 - x |= 0 R E S O L U C IÓ N : =0 o
x2-x
—oo
x2-x = 0
• Ahora se analiza cada sección :
o x (x -l) = 0
J ) [ 5 ; + o o ) ; x - 2 + x + 2 + x - 5 = 23 =? 3 x = 18
o
x =0 v x -í =0
O
X
= 0
V
X
+ 00
-2
=> x = 6 -+ S( n = { 6 ]
= 1
II)[2 ;5 ) ; x » 2 + x + 2 + 5 - x = 23 => x = 8
-* C.S. = {0 ; 2} 11) Resolver : V x e R;| 2 - 3 x l = l x - 2 R E S O L U C IÓ N : |2-3x| = | x -2 | = > 2 -3 x = x - 2 v 2 - 3 x = - ( x - 2 ) => 3 = 4x v 2 - 3* = - x + 2
^ * = _3 v * = - _2 => C.S. = {3/4 ;-l/ 2 }
Pero 8 e [2; 5) => S(i/) = $
7 / / > - [ - 2 ; 2 ) ; 2 - x + x + 2 + 5 - x = 23 = > -x = 4 => * = - 4 -+ TV) (-oo; -2 ) .*2 - x + ( - x - 2 ) + 5 - x = 23 8 => - 3 x = 8 -+ x = '(/v)
12) Resolver : V x e R ; ||x|—3 |= 3 - 2| x 11
={-!}
C.S. - S(/) u S( //) u Sí/;í) u SÍÍV)
R E S O L U C IÓ N : |x| —3 = 3 -2 | x | v | x | -3 = - 3 + 2|x| 3|x| = 6 v 0 = |x| -> |x| = 2 v |x| = 0 -> x = 2 v x = - 2 v x = 0 -> C.S. = { 2 ;- 2 ;0 } 13) Resolver : ylix - 2 ) + l 3 x - 6 l =
8
R E S O L U C IÓ N :
O | x - 2 l + 3 | x -2 | = 8 o o
o
x-2 l = 2 o
in e c u a c io n e s c o n v a l o r a b s o l u t o
Viene a ser desigualdades relativas, las cuales frecuentem ente se presentan en las siguientes formas:
*|x|
[y>0 a (-y<*
*|x|>y <=> [y 2 0 *|x|< |y | o
•J(x - 2 ) + |3*.-6| = 8
■ M
a
(x > y v x < -y )]
|x|* < | y |2 <=> x 2 < y 2
*|x + y|2|x| + |y 4 x-2| = 8
x =4 v x =0
C.S. = {4 ;0 }
O B S E R VA C I Ó N : Cuando se presenta diversos valores absolutos, podemos aplicar el método del seccionamiento, así: EJEM PLO: Resuelva : l x - 2 l + l x + 2 l + l x - 5 Í = 23
• La solución de inecuaciones con valor absoluto se basa en los siguientes teoremas:
7)|x|<6
b>0
o
II)\x\
o
a
-b < x < b
620 a -b íx ^ b
III)\ x\ > b o
x>6 v x<-6
7 V )| x | 2 6
x
o
26 v
x£-6
EJEM PLOS : •|x|<5 o - 5 < x < 5 o
C .S. = {-5 ;5 )
Hfmvo.s'
V/lf O K AIlAgQIJTO ]
*|*|>7 <=> * > 7 v x < - 7 o
R E S O L U C IÓ N : 13 * - 2 1< 4 <=> - 4 < 3 x - l < 4
C.S. = {-c o ;- 7 ) u (7 ;+ 00)
*|* + 3|59 o o
o
-9 5 *+ 3 5 9
o - 1 < x < 513 o
- 2 2 5 * 5 6 <=> C .S. = [-2 2 ;6 ] * * 7 v *5 -3
Resolver : 13 x + 7 15 - 4x
O C.S. = {-ao;-3]w-»[7;+ao)
R E S O L U C IÓ N :
O B S E R VA C I Ó N :
| 3 * + 7 | 5 - 4 x <=> [ - 4 * i O
* Para eliminar un valor absoluto generalmente este debe elevarse al cuadrado, así tenemos lo siguiente:
2>|y| o x 2 Z y 2
o
[* 5 0
a
(4 *
< = > [* 5 0
a
( a: 5 7
*|s|y| <=> x 2 ¿ y 2 a: ;
I)
7
a
3 * + 7 5 -4 * )]
* 5 -2 )]
a
, el conjunto solución es C. S. = { - 00; - 2 ]
-2 ,
Resolver : 9 - * 2 h>7
( a? + a )(*
- a) < 0
R E S O L U C IÓ N : 19 - * 2 I £ 7 o 9 - *
x I5 Ia I<=>( a? + a )(* - a) 5 0 x |> |a |o (a? + a ) ( * - a ) > 0
U)
3*+
EJEM PLO 5 :
a e 2?; se cumple
< |a |o
5
a - (~4x) 5 3* + 7 5 -4 x ]
V
<=> x 5 V
x e {-2 ; 5/3)
EJEM PLO 4:
*| * + 2| * 5 o x - 2 * 5 v x - 2 < .-5 o
-4 +2 < 3 *-2 +2<4 +2 o - 3 < 3 r < 5
o
* 1* a I <=> ( * + a ) ( * —a ) * 0
* 7 v 9 - * 2 5 -7
2 £ * 2 v 26 5 * 2
y¡2 * | * |
V
4 5|*|
"<2> ! x , 5 7 2 v 1*1*4
* Dados a , 6 € R 2)a5|6| o
(a + 6 ) ( a - 6 ) 5 0
C' ;
<=> -y ¡2 5 * 5 42 v (* 2 4 d * 5 -4 )
2)a<\b\ o
(a + b ) ( a - b ) < 0
Vj
o
3 ) a * |6 | <=> ( a + 6 ) ( a - 6
)* 0
EJEM PLO 1:
EJEM PLO 6 : ^ % $
Resolver :| * - 2 | 5 | * - 2 |
Resolver : |* + 2|-|3* + 7 | * 0 R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
|* + 2 | -| 3 * + 7 | * 0
Elevando al cuadrado:
x -lY
* - 2 * 5
o
*
- 4* + 4 5 *
<=> 3 5 2 * o
<* ( * - 2 r 5 ( * - 2 )
- 2* +2
—5 * 2
C .S .— § ,- +00)
A
a
—2 5 2 * - 3 5 2]
2 5 * 5 2]
O 25*5 2 * El conjunto solución: C.S. = [ 2; 2 ] EJEM PLO 3:
Resolver :
o
( ( * + 2) + (3 * + 7 ) ) ( ( * + 2 ) - (3 * + 7 )) * 0
<=> (4 x + 8 ) ( - 2 x - 6 ) ± 0 o
(4 * + 8 ) ( 2 * + 6 ) 5 0
7:
Resolver : y * € R : \x 2 - 2 x - 3\ < 3
R E S O L U C IÓ N :
[2*0
|* + 2| *| 3* + 7|
EJEM PLO
Resolver : 12 * - 3 15 2 | 2 * -3 | 5 2 O [ 2 * 0
o
<=> * e [ - 3 ; - 2 ]
EJEM PLO 2:
o
* e (-o o ;-4 ]u [-V 2 ;V 2 3 'o /[4 ,+ o o )
R E S O L U C IÓ N : ♦ D e : |*2 - 2
x
-3 | < 3
-3 < x * - 2 x - 3 < 3 x * -2 x -3 > -3 -> * í - 2 * - 3 > - 3
V x e R : 3* - 2 < 4
x2- 2 x > 0
a
a xs- 2 x - 3 < 3 a x * -2 x -3 -3 < 0 x2- 2 x - 6 < 0
*» 4
78* IB
x ( x - 2 ) > Oa x 2 - 2 x + 1 - 1 - 6 < 0 (*-/)*<7
"
< x X -4 => £ x -4 | x -2| \x - 2 ,
(a)
x 2 < . \ x - 2 \ ( x - 4 ) .................
2 í.
©
;VCMCLOPEMA 2012}
-4 7 < x -l< 4 7 ©
• Pero de (I) : x * 4 = ^ x - 2 * 2 > 0
x 6 (—oo;O )yj( 2 ; oo) a x e (i-
% Í 7 ; l + 47)
-> | x- 2 ¡ = x - 2
* e {-
47,-1 + 4 7 )
* Reemplazando en ( a ) : - 6x+8
x 2 <; (x - 2 )(x - 4) => 6x<. 8 => x <, — 3
(I I )
* Intersectando (I) y (II) : >
-
* Entonces : C.S. = ( l - 4 7 ; 0 ) u { 2 ; l + 4 7 ) Í
-00
EJEM PLO 8 :
3
C .S . = 0
Resolver : \x - l f - 5 \ x - l \ - 1 4 -Z0
+ 00
4
R E S O L U C IÓ N :
EJEM PLO 11:
* Factorizando por aspa simple :
Resolver : |x + 6 \> 2 x - 3
(|*-2| + 2 ) ( i * - l | - 7 ) ¿ 0
R E S O L U C IÓ N :
* Pero: |x - 2 1* 0 => |x - 2 1+ 2 * 2 => x - 1 + 2
x + 6 > 2 x - 3 v x + 6 < - ( 2 x - 3)
es positivo V e R , luego se anula, entonces
-* 9 > x
v x + 6 < -2 x + 3
-> x < 9
| x - 2 | - 7 < 0 - > | x -2 | á 7
V x <- 1
-> - 7 <, x - 1 < 7 -+ - 6 <. x <.8
i
-> C.S. = [ - 6 ; 8] —oo
EJEM PLO 9 :
—J
9
* Entonces: C. S. = x e (-o o ;-2 ) Resolver : x 2 - 3 x - 6 < x + 6
EJEM PLO 12:
R E S O L U C IÓ N :
Resolver : 12x - 2| < |x |
• D e: (xs - 3 x - 6 ) 2 < (x + 6 )2
R E S O L U C IÓ N :
->(x* - 3 x - 6)2 - (x + 6)2 < 0 • Descomponiendo en factores , se tiene :
1 2 x - 2|< |x |
(x2 - 2 x ) (x2 - 4x - 12) < 0
o
x (x -2 )(x -6 )(x + 2 ) <0
<=> (3 x - 2 ) ( x - 2) < 0
o
( 2 x - 2)2 < x 2
4 x 2 - 4 x +1 < x 2 <=> 3 x 2 - 4 x +1 < 0
* Luego : x e ] - 2 ; 0 [ u ] 2 ;6 [ E JE M PLO 10: Resolver:
x2 x -2
< > x -4 • Entonces : x e ( ^ - ;2 ) = C.S.
R E S O L U C IÓ N : * Primero : x - 4 * 0 => —> x e [ 4 ;+ ® )„ • Además :
x * 4
EJEM PLO 13: (I)
Resolver : |&c + 9| + | 7 x -4 | ¿ 2 0
+oo
[E w r m iT O
m 7 B i^ o 8
K U O K .\U&09.trM '0)
789
R E S O L U C IÓ N : * Aplicando la desigualdad triangular : |( 8 x + 9 ) + (7 x - 4 ) |5 18 x + 9| + 17x - 4 15 20
AJI B)3 C)4 R E S O L U C IÓ N : •De:
reatoS 0 < x <4
* Por la propiedad transitiva :
aum oS
|25x + 5| 5 10 Piden:
* Simplificando : 13 x + 1 15 2
x -5 2
= * - 2 5 3x + 1 * 2 = > -2 5 x 5 2 /3 = ^ x e
1
x+3 2
N I
D)5
> -5 < X - 5 < -1 <-) » 3 < g + _j<7 +
| x -5 | t |x + 3 2 + 2 _ —j é + 5 + jé + 3 2
EJEM PLO 14: Resolver: x +
1 x -4
E)9
-(x -5 ) x +3 2 2 8 _ ^ 2~ R P T A :44C ,f
PROBLEM A 3: -4 * 2
Demostrar que si Va, b e R , entonces : |a + b 15 1a |+ 1b |......“ Desigualdad Triangular”
R E S O L U C IÓ N : Dándole forma : ( x —4 ) +
R E S O L U C IÓ N : *2
x -4
• Sabemos que : a b 5 |afe |; Va e R
* Por lo tanto : x e R - {4 }
a
Vfe €
<=> 2 a b 5 2 |a ||fe
PROBLEM A 1: Sobre una recta numérica, la distancia entre un número entero y su opuesto es igual a la distancia entre dicho número y 22. La suma de los dos posibles valores del número es: A)-8 B h l6 CJ16 D) 8 E)4 R E S O L U C IÓ N : • 1 E R C A S O : Si a > 0 -a
o
a 2 + b 2 + 2 a b 5 a 2 + b 2 + 2 |a ||fe |
o
y[(a + b Y 5 ^(| a |+ 1fe |)2
<=> |a + fe|¿|a| + |fe| O TRO M É TO D O : I ) a 5|a|yfe^|fe| => a + fe5|a| + |fe| I / j - a 5 | a | y - f e 5 | f e | => - f a + fe)5|a| + |fe| • De donde : |a + fe|s|a|+|fe| PROBLEM A
a
12
4 :
Hallar el conjunto solución en la inecuación :
.
|* + 2 1(jc* - l ) = 0 a + |-a| = 2 2 - a
R E S O L U C IÓ N :
■=> 2a = 12 - a •=$ a¡ = 4
• Factorizando , se tendría :
*2DO. CASO :s i a < 0
|* + 2 |(ar* + l)(.x + l ) ( x - í ) = 0 • Igualando cada factor a cero : 12
/j| x +
2
|=
=> x =
0
-2
H ) x 2 + 1 = 0 => x = i v x = - i | - a | - a = 22 + a
III) x + 1 = 0 => x = -1
a - a = 22 + a => a 2 = - 2 2
IV ) x - 1 = 0 =$ x = 1
* Entonces : a i + a % = - 8
• Como x e R ;i R P T A :44A "
PROBLEM A 2: Si 0 < x < 4, simplifique
x -5 2
x +3 4. T 2
a
- í no son parte de la solución:
=> C. S. = {- 2 : 1; - 2 } PRO BLEM A 5: Resolver : l x
2
- x - 3 l = lx-3l
--<*v
tC M C L O P E D L * 2 0 1 2 }
Í7 8*\ R E S O L U C IÓ N : * Para este caso , se cumple la propiedad :
-2
—00
+00
x e [ - 2 ;oo) x -x -3 = x -3
(I)
x 2 - x - 3 = - ( x - 3 ) ............
(II)
II) Con lo cual 2 x -1 = x + 2 v 2 x -l = -x -2 C <
* Para nuestro caso :
x =3
*De (I) :
2 x = — 6 u n iverso 3
x2-x -3 = x -3 * Entonces : C.S. = j - - ^ ; s j
= > x 2 - 2 x = 0=> x ( x - 2 ) = 0 x =0 v x =2
PROBLEM A 8:
De (II) :
Resolver : |x - 3 1- 2 = 3
x2 - x ~ 3 = - x + 3
x*= 6 R E S O L U C IÓ N :
X =SVó
* Haciendo: |x - 3 \= a ....................... ( a )
=> C. S. = {o ; 2 ; >/6 ; - V ó} PROBLEM A
donde a > 0 ; se tendría :
6:
a - 2 |= 3 - » a - 2 - 3 *0 ll 8
Si 0 < a < 1 , entonces, dos valores que satisfacen a
a = -2
V
v a - 2 = -3
......................... (No)
la ecuación x 2 - 2 x = a , son: * En ( a ) , dado que : a > 0
AJ - 2 + Va + 1 y - l - 7 a + l
|x - 3 1= 5 => x - 3 = 5 v x - 3 = - 5
B ) - l + 2y¡a + l y 2 - 2 V a + I C )l + j n r
=> x = 8
y -l-7 l7 Z
v x = -2
* Entonces : C.S. = { 8; - 2 }
D)1 + *JI+a y 1 - V 2 - a
PROBLEM A
R E S O L U C IÓ N :
R esolver: ( x - 3 )2 - 8 | x -3 | + 25 = 0
* De la ecuación se desprende que :
R E S O L U C IÓ N :
x 2-2 x =a
v x 2 - 2x = - a
9:
o ( x - 2 ) 2 =2 + a v ( x - 2 ) 3 = 2 - a
* Lo equivalente será : 2 |x- 3 1 -8 | x -3 | + 25 = 0
o x - 2 = ±V2 + a v x - 2 = ±>/2-a
«
o x = 2±V2 + a
<=> |x-3| = 5 v |x-31 = 3
v
x = 2 ± V 2 -a
O [x - 3 = 5 v x - 3 - -6 ] ó [ x - 3 = 3 v x - 3 = -3 ]
* Entonces dos de las soluciones son :
o
2 + V2 + a ; l - \ l l - a RPTA:“ D II PROBLEM A
(| * -3 | -5 )(| * -3 | -S ) = 0
[x = 8 v x = -2 ] ó [x = 6 v x = 0 ]
* Luego el conjunto solución resulta :
7:
Hallar el conjunto solución en la inecuación : |2 x - 2 |= x + 2 R E S O L U C IÓ N :
C.S. = {-2 ; 0; 6; 8 } PROBLEM A 10: Halle “A " , s i :
A = {x e JK11x 2 + 3 = 12x + 2 1}
* Dado q u e :
A){2] B ){2 ;3 } C ){1 ;2 } R E S O L U C IÓ N :
Se tendría:
* Para hallar A , debemos resolver :
I) Universo de solución: x + 2 ¿ 0 => x ¿ - 2
D ) {1}
x 2 + 3 = 12x + 2l
iiíT iL m s ’
^
* Considerando luego sólo las soluciones reales * Veamos : x 2 + 3 = 2 x + 2 4v x 2+ 3 = - 2 x - 2 x 2 -2 x + 1 = 0 ( x - l ) 2= 0
v x 2+ 2 x + 5 = 0 v (x + l ) 2+ 4 = 0
x = J
v
V .IM IK
785
0 so lu ció n rea l
9 3 . * La suma de soluciones •" — + — = o 2fcPTA;"B” PROBLEM A 13: Si T es el con ju n to so lu ció n de la ecu ación |x - 2 1= |x |+ 2 entonces el cor^junto T es: A)\0;
* Entonces : A = {2 } R P T A :“ D ”
A it& M J t r i'I P ]
C ){0 }
D)(-<*>;0]
E ){0 ;oo)
R E S O L U C IÓ N :
PROBLEM A 11:
* Lo equivalente será :
Si M es el con ju n to solución de la ecu a ción
{ x < 0 a 2 - x = - x + 2 } v {0 <> x < 2 a 2 - x = x + 2 }
|x 2 - 9¡ + x 2 - 4 = 5 , entonces el conjunto Af es:
v { x £2 a x - 2 = x + 2}
A ){2 ;3 }
* Reduciendo resulta :
B)[2; 3]
D ) [ - 3 ;- 2 ] v [ 2 ;3 ]
C ) { - 3 ; - 2; 2; 3}
{ x < 0} v { x = 0 } v { x e ^ } < = > x 5 0
E ) { - 3; 3}
* Entonces : T = (~ao; 0 ]
R E S O L U C IÓ N :
R P T A :44D 99
* Lo equivalente será: {* 2 <4A9^r 2+ 4 -* 2=5}v{4<í* 2<9A 9-jr 2 + * 2 - 4 = 5 }
PR O B LE M A 14 : Si o > 6 > 0 y Af es el conjunto solución de la siguiente
v {*2 i 9 a x 2-9 + x 2-4= 5}
ecuación | * - o | + 6 = | x + a | - 6 /entonces el conjunto
* Reduciendo resulta: { x 2 < 4 a x 2 = 4} v { 4 £ x 2 < 9 a 5 = 5 } v { x 2 ^ 9 a x 2 = 9}
Af es: A){a; b) B ){-b ;b }
=>{x 2 e 4} v {4 ^ x 2 < 9 } v { x 2 = 9}
R E S O L U C IÓ N :
=> 4 S x 2 5 9
* Lo equivalente :
=> -3 Z x £ - 2 v 2 < x
{ x < - O A O - x + 6 = x - a - 6} v
•Entonces: Af = / - 3 ; - 2 ] u [2 ; 3 ]
v { - a í x < a A a - x + 6 —x + a - 6 } v
R P T A :44D*9 PROBLEM A 12:
v { x £ o a x - o + 6 = x + o - 6} => { x < - a
a
La suma de las rafees de la ecuación :
B)6
C)7
D) 912
a + b = - o - 6} v Falto
2 \ x -3 \ * + \ 7 x -2 1 \ -1 5 = 0 AJ11I2
C ){-a } D ){b) E ){a + b ; a - b }
E)B
R E S O L U C IÓ N :
v { - a ^ x < o a x = 6} v v {x £ a a - o + 6 = q - 6} Falto
=> { x e 4 } v í x = 6 }
* Factorizando :
V
{ x € 4}
* Entonces: Af = C.S. = { 6 }
2 \ x -3 \ 2 + 7 x - 3 - 1 5 = 0
R P T A :44D 99 PROBLEM A
2 \ x - 3|
Resolver :\ 3 x - 2 \ < \ 2 x - l \
|*-a|
R E S O L U C IÓ N :
( 2 \ x - 3 \ - 3 ) ( \ x - 3 \ + 5) = 0
♦ Dado que : 0
*0
* Entonces :2 l x - 3 1- 3 = 0 3 => x - 3 = — v x - 3 = - 2 2 9
15:
3
=> X = — v x = — 2 2
x -3
3 2
a < 6 0 (o + 6)(o - 6) < 0
* Para la inecuación dada, se tendría : (3x - 2 + 2x - 1) (3x - 2 - 2x + 1) < O
3 x =— 5 p.c . v (5 x -3 )(x -2 )< 0 x =2
g t fjg ]
I 7H B 1 9
• De la recta r e a l:
3 x =— Pc 7 (7 x + 3 ) ( 3 x - 7 ) s 0 ^ H 7 x =— 3 • En la recta real
• Vemos que : x e PROBLEM A 16: * Vemos que : x e
Resolver : |x 2 - x |> x - 1 R E S O L U C IÓ N :
[-H ]
PROBLEM A 19:
• Dado que : | a|> 6 c ^ a < - 6 v a > 6 * La inecuación dada se transforma en :
x*-x<-(x -1 ) V*2- x > x -1 * Resolviendo cada una de las inecuaciones l) x 2 - x
Resolver : |x + 1 1+ 2 ] £ 8 R E S O L U C IÓ N : * Como :
< -X + 1
|x +2|+2 >0,
Vx
eR
|x + 2| + 2 á 8 = > | x + 2 | £ 6
p .a x = -2
* Vemos que: x e (-2 ; 2)........................... (ot)
* Al cuadrado : (x + 2) 2 - 62 < 0 * Por diferencia de cuadrados : (x + 2 + 6 )(x + 2 - 6 ) 4 0 =>(x + 7)(x - 5) ^ 0 => x g [ - 7 ; 5 ]
n ) -x * -x > x - 1
PROBLEM A 20:
(x + 2 ) ( x - 2 ) < 0
v x =i
=> ( * - l f > 0 -+ x s J t - í l } ............... (fi) *D e ( a ) o (P)\ C.S. = J t - { l }
x I- 2 Resolver : 2x |- 3
PROBLEM A 17:
R E S O L U C IÓ N : * Como : |x| + 2 > 0
Resolver : 13 x - 2 \< 5
12 * ) + 3 > 0
(| * j-l)(| * | + j )
(x -lH x + l)
(| 2 * |- 3)(| 2 * |+ S )
(2x + 3 )(2 x ~ 3)
R E S O L U C IÓ N : * De acuerdo a las propiedades establecidas como: 5 > 0 ; entonces : - 5 < 3 x - 2 < 5 * Sumando “ 2 ,f a todos los miembros:
a
* Por puntos críticos:
=>5 + 2 < 3 x - 2 + 2 < 5 + 2 —00
3 -2 2 • Luego el conjunto solución será:
= > -3 < 3 x < 7 * Dividiendo entre 3 : -1 < x < — 3
x
x e
PROBLEM A 18:
PROBLEM A 21:
Resolver : 12 x + 5 12 15 x - 2
j x |+ 2 x ^ , , Resolver la inecuación: + ¿ ^Ix '
R E S O L U C IÓ N : * C om o: * En la inecuación dada se tendría: (2 x + 5 + 5 x - 2 ) ( 2 x + 5 - 5 x + 2 ) Z 0 = > (7x+ 3) ( - 3 x + 7 ) 2 0 * Cambiando el signo de x :
A )[0 ;3 )
B )[0;3\
C )(0 ;2 )
R E S O L U C IÓ N : * El denominador es positivo y por tanto i * i + 2* 2 i * i d * - i i + i ) * De donde : 2 x 2 1x II x - 2 1
D){0;1)
[F ? w r m i.T O
K rm gS ria s
m i
V .lf.O
7 8 7 Mam * Luego : * e [ - 2 ; 2 ]
* Lo que significa que ; * * 0 * Para * > 0 , la inecuación anterior se convierte en: 2 *|*-2 => - 2 5 * - 2 5 2 = > - 2 5 * 5 3
PROBLEM A 25:
* Pero , como * £ 0 . La solución de la ecuación propuesta es : 0 5 * 5 3 . R P T A :“ B ” PROBLEM A 22:
El mayor conjunto al cual pertenece * , satisfaciendo la desigualdad. 2 * + +1 *2 x +1
1
es:
Resolver la inecuación : 13 - * |> > /2 ~ *
A){-^;2)
R P T A :“ B ”
C){-
B J (2 ;-o o )
B ) ( - o o ; -2 ) u B )(-3 ;o o )
A )(-o o ;+ o o )
D#
E)R
C )(-o o ;-2 )u (-2 ;+ o o )
( 0 ; oo)
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
* Desde que J 2 - x existe, debemos tener 2 - * £ 0
♦ Simplificando el primer miembro de la desigualdad propuesta :
* A s í : 3 - * * 2 . Luego la inecuación propuesta se convierte en : 3 - * > y¡2~ X => ( 3 - x ) 2 > 2 - x = > x 2 - 5 x + 7 > 0
x 2 + 2x + 2 *2 x +1
* Relación que es válida V* e M
* Se supone que * * - 1 , en caso con tra rio la fracción se vuelve indeterminada.
* Así, el conjunto solución es: {-a >; 2 ]
* De (I) se deduce que : R P T A :“ C 99
x 2 +2x + 2 „ x 2 + 2x + 2 ------------------ ^ 2 v 5 -2 * +2 x +1
PROBLEM A 23:
^* Realizando operaciones en ambas desigualdades
Resolver la inecuación : |* - 6 j * - * + ^ + V -* 2 A )[2; 4 ]
B )[6 ;8 )
C )[-8 1 / 4 ;0 ]
R E S O L U C IÓ N : * Desde que 4 ^ x
D# •
X2 ¿ 0 V ( x + 2 )2 ZO
E )R
*K
ex iste, debe ser
* 0, y
consecuentemente - * + — > O.Así mismo, de - * * 0 2
V '- - . i* ''
resulta x - 6 < 0 . Con esta s, con clu sion es inecuación propuesta se convierte en:
la
- ( * - 6 ) * - * + — + V -* 9
,—
^81 5 * 5
* La solución corresponde únicamente a la primera restricción porque en el cam po de los números reales, el cuadrado de cualquier número siempre es positivo. * Por lo tanto, la solución general será R - {-2 } ; que equivale a: < -oo;- 2) u < - 2;+oo) R P T A :“ C ”
PROBLEM A 26 : A = {* g Z í\ x -4 \ < 4}
0=>*€
B = {* R P T A :“ C ” PROBLEM A 24: :
<.
Si: P fx) - - 3 + * + **, resuelva A ) [ - 3;3]
B )[ - 2 ; 2 ]
C)R
D )«%
E )[-l;l]
g
Z /[* -2 | * 4 }
¿Cuántos elementos tiene Ar\ B ? A)1 B)2 C)3 R E S O L U C IÓ N : * Elevando al cuadrado y transponiendo (en “A **): (x - 4 ) 2 - 4 2 < 0 -> * ( * - 8) < 0
R E S O L U C IÓ N : ♦ Lo equivalente será : * z + 1* |- 3 => x 2 + | *| ^ 0 => => 1 * 1 * 0
A
5 3 => - 3 5 * 2 + 1* - 3 5 3 a
-00
O v ftÍí '
vm -
]8
+00
* 2 + 1* |—6 5 0
* (U + ^ ííl* !' - 2 ) í 0 I* I—2 5 0 => * € R A - 2 ¿ x < , 2
A = { 1; 2 ; 3; 4; 5 ; 6; 7) * D e B : Ix - 2
¿4
(I )
I7 8 8 I
"CMCL O P E D I A S O 1 2
PRO BLEM A 29
Elevando al cuadrado y transponiendo :
( x - 2 f - 4 2 ¿0=>(x-6)(x + 2 ) i 0
Dado el conjunto : A = \x e R f
-00
+00
-2
=>B= {...; 5 ; -4 ; - 3 ; - 2 ; 6 ; 7; 8; 9; ...} * De (I) y (U) :
(II)
A n B = {6 ;7 } => r ( A o B ) = 2 R P T A :44B " Hallar el conjunto solución de :
Halle el menor valor de m , si m i Vx e A A) 3 B)1 C)2 D)4 E)0 R E S O L U C IÓ N :
2x-3l x + 2
De;
* En f a j :
x
4|x-2|
x -2
o 2 x 2 - fíx - 3 5 0
o (2x + 2 )(x -3 )< ;0
R E S O L U C IÓ N :
(+) => x - 3 5 0 =>2< x 5 3 * Entonces el menor valor de “ m ” es 3 99 R P T A :44A
* Multiplicando en aspa :
X * ±1
=>|x-2|2 5|x + 2|2 =>(x - l ) 2 < (x + l f
PROBLEM A 30:
=> / - 2x + / 5 / + 2x + jL => -2 x 5 2x =>0 5 4x ^ 0 5 x a x * ±2
Halle el menor valor de : M =
R P T A :t4B ” PROBLEM A
2x-3llx + 2
<=> ( 2 x - 3 ) ( x + l ) < .4 x i p u esx > 2
B ) [ 0 ; l ) v ( l ; + oo) D ) { - 2; 2)
A
AJ2
-14x1 + x 2 + 2l + - 2 0 B)1
Los núm eros x que sa tisfa cen la desigualdad 2 i - 3 \x2 + l - 4 < 0 se encuentran en el intervalo :
1
S) c){-oo; -
7
5
)
2)) ( - 7
5
; V a)
R E S O L U C IÓ N : * Cambio de variable : a = x 2 + 2 ; a ¿ 2 * Reemplazando :
E )12
D) 4
c>i
28:
A){-+/2 ; S ) B ){ -oo;
(a )
x-2
4 (x -2 )
1 |* + 2 | | * - 2 |
|X —2 |5 |X + 2 |
x -2
4x-8
=> x - 2 > 0 => x > 2
PROBLEM A 27:
A )[0 ;+ co) C) {-oo; - I ) u (2 ; +oo)
2 x -3 | | x + 2|
R E S O L U C IÓ N : * Sabemos que : |x 2 + 2 = x 2 + 2 |- 2 0 |= 20 * Luego : |4x| + |x* + 2| + |-20| x* + 2-4|x| + 20 — M= — — s - ^ ---■ -------------- 3
M
x 2 -41x1 + 4 + 8 3
=
lx|*-4|x| + 4 + 8 3
(|*|- 2 )* + 8
a2 - 3 a - 4 < 0 = ^ fa -4 jía + 2 )< 0 A a £ 2
• Ahora el menor valor de esta expresión se tendrá si: (| * | - 2 ) 2 = 0 , entonces: 0+8
8
M m in =
—00
-2
PROBLEM A 31:
=> a e [ 2 ; 4 )
Si B es un conjunto definido por :
* Luego : 2 5 x 2+2 < 4 =>0 5 x 2< 3 => x €
R P T A :44C ”
+ 00
0
9
= jx e R i
V3;>/3) R P T A ;44D ”
x -3
2
x2 -2 x +3
x +2
«
[ k
h
i #
Mmwñr40&
m
Entonces la suma de los elem entos enteros del conjunto B es: AJO B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 R E S O L U C IÓ N : * De la inecuación :
7 8 9 |g£á R E S O L U C IÓ N : * Lo equivalente será : y 2 + 1x - 5 = 4 y - 4 * P u es: | x - 5 1+ y 2 * 0 => | x - 5 | = - ( y - 2 )2 =* ( y - 2 ) 2 = 0 => y = 2
x * -2 x + 3 > 0 , V x eR
=> |x - 5| = 0 => x = 5
| x -3 |
2
x2-2 x + 3
|* + 2,
* Entonces: x + y = 7
RPTA:“D ”
=> x * - 2
a
| x -3 | .| x
2 | *x 2 - 2 x + 3
=> x f - 2
a
Ix 2 - 2 x - 3 * x 2 - 2 x + 3
Resuelva la ecuación ;
=> x * —1
a
{x2 - 2 x - 3 * x 2 - 2 x + 3 v
(¡ x |+200)2 +(| x |+9S)2 +...+ (|x |+4) 2 +(| x |+2 ) 2
+
PROBLEM A 34:
v x 2 - 2 x - 3 Z - x 2 + 2 x - 3}
=(|x|+99) "^((1x 1)^*®^) +*•••+(!*|+7)
=> x * - 2
a
{ - 3 * 3 v 2 x 2 - 4x £ 0}
A){101/3}
=> x * - l
a
{ x ( x - 2 ) ^ 0}
R E S O L U C IÓ N :
a
0
x
->
* -2
£ x £
2 -> 0 5 x ^ 2
* De donde : B = [0 ; 2 ] Los enteros de B son : 0 ; 2; 2 cuya suma es: 3
B ){1 }
C ){1 0 0 }
D)+
E ){2 }
* En la ecuación pasando los términos del segundo miembro al primero y asociando convenientemente se tien e: [(|*| + I00)2 -(|x| + 99)2]+[(|*| + 98)2 -(|*| + 97)2] +
R P T A :“ D ” + + [ ( M + 2 ) 1, - ( I * I + 1)2] = 0 •Ahora diferencia de cuadrados en cada corchete
PROBLEM A 32: Si A es un conjunto definido por :
(2|x| + i00 + 99)+(2|x| + 9S + 97) + ...+(2|x| + 2+2) = 0
3 l x + 2l
A =
x +2 + x - 3
<2
• Volvemos asociar convenientemente: (2 |x|+ 2 |x|+2 |x|+ -.+2|x|)++(2O0+09+»8+«.+2+i) = 0
entonces el conjunto A es: A7(-oo;7)
B J (§ ;7
D)
© < § ;«
(-oo;f ) u<í;co}
SO mcm
e > 5 0 {2 \ ,\ )+ ,M U ™ + n . 0
R E S O L U C IÓ N : * De la inecuación, com o |x + 2| + | x -3 | > 0 Vx e R » se tiene :
O
IX I= -
202
; esto es incorrecto pues x |* 0 (no
hay solución), entonces: C. S. = #
RPTA:”D ”
3|x + 2| < 2(| x + 2| + | x -3 | ) => |x + 2 | < 2 | x -3 |
| 2 x -6 | > | x + 2|
PR O BLEM A 34:
=> ( 2 x - 6 )2 < (x + 2)2
( 2 x - 6 )2 - ( x + 2)2 > 0
Si i(x o> y o)} es e* coxyunto solución del sistema
( 3 x - 5 ) ( x - 7 ) > 0=>x < — v x > 7 3
x +
y)3 +
(x -
y)3 = 6 4 .................
(I)
x 2 + 3y2 = - 1 6 ^ i ................................. (ID
y R P T A :“ C ” PROBLEM A 33:
R E S O L U C IÓ N :
Si se cumple : |y 2 + 1x - 5 1 = 4 y - 4
* De (I ): 2x3 + 6 xy! = 64 => x ( x 2 + 3y‘ ) = 32
donde: x , y e R . Halle (x + y ) AJI
B )2
C )4
Entonces el valor de T = x g - y 0 es: A)8 B)6 C)4 D)2
D )7
E )-6
* De (U) : Si y > 0 => x 2 + 3y* = -1 6
E)0
H5Proal
C IC L O P E 1P M A 2 0 1 2
R E S O L U C IÓ N :
= > x ( - 1 6 ) = 32 => x = - 2 • Luego : (-2)* + 3y* = -1 6
• De las inecuaciones : y ¿ 0 a x 2 + y 2 < 42
a
=> 3y2= - 1 2 => y 2= - 4 => y 4 27
=> yZ O
a
y2
=>
=> y £ 0
a
x 2 £ 4 2 - x 2 =>x2 <. 8
•Si: y < 0 = * x 2 + 3y2=26
• SÍ *
• Luego :
x
a
x2
Z
y2
242
= 0 => y2 < 4 2 a
=> y £ 0
2 2+ 3y2= 16 => y 2= 4 =>y = - 2 , (pues y < 0)
y2 ¿0
y 5 4 => y ^ {0 ; 1; 2; 3; 4 }
con esto, hay 5 pares de A.
• Por lo que : x 0 = 2 A y 0 = - 2
* Si: x = l v x = -1=> y2 <15 Ay2 ¿ 2
=>T = x 0 - y 0 = 4 RPTA¿t4C ri
l < y 2 <15
PROBLEM A 36: Sean x ty e %R tal que (3x)2 + (2yJ* + 2 = 2(|3r|+ ¡2yp, V calcule el valor de:
a
y^O
->
1< y <7l5
yG{l;2;3} con esto, hay 2 x 3 = 0 pares de A. * S i:x
M - 3 4. 2 m - F 1 + I31 C)7 D) 1
B)8
42 - x 2
x I £ 2 4 2 => - 2 4 2
=>x(r1 6 J = 3 2 = > x = 2
A)13
£
2 * 2 ¿y
=2 v x =- 2 =>y2 <12Ay2 ¿ 4 4 < y2 <12 a y ¿ 0 = > 2 5 y 5 2>/3
E)14
R E S O L U C IÓ N :
y ^ { 2 ; 3} Con esto, hay 2 x 2 = 4 pares de A.
* En el dato :
• Luego, en total hay 15 pares =>n(A) = 15
RPTA:“C”
\ 3 x f + \ 2 y f + 2 -2 \ 3 x \ -2 \ 2 y \ = 0 PRO BLEM A 38:
* Sea 13* |= a y 12 y |= 6 , luego :
Sea-F un conjunto definido por :
a 2 + b 2 + 2 - 2 a - 2b = 0
F = { ( x & ) e F x R / | y - l | ¿ 2 + x } ,en ton ces la figura que mejor representa la gráfica del conjunto F es :
* Formando trinomio cuadrado perfecto : a 2 -2 a + l + b2 - 2 b + 1 = 0 = > ( a - l ) 2 + ( b - l ) 2= 0 * Ahora en los reales esta igualdad sólo es posible si: a + l = 0 y b - l = 0 <=> a = 1 y b = l * Ahora reponiendo x ; y se tiene : 13*| = 1
o
y j 2y |= 2
3|x| = l y 2|y| = 2 ,
R E S O L U C IÓ N :
2 = 2
• De la inecuación : (y ¿lA y -l¿2
• Reemplazando en lo que piden :
3
2
RPTA:“A 99
Si A es un conjunto definido por : A = { ( x ; y ) e Z x Z I x 2 + y 2 < 16 a |x 15 y } Entonces el número de elementos del conjunto A es 015
x> v (y
<
2a
1
- y
* La gráfica d e : y ^ l a y ¿ * + 3 es: Y
PRO BLEM A 37:
B)13
+
¿
2+x)
= > (y ¿lA y ¿x + 3 J v (y < lA y 5 -x -lJ
M = j + j = 9 + 4 = 13
A)7
~ lX
D) 18
E)20
n u .o if .u r s m g T o ] • La gráfica de : y < 2
a
y £ -
x
- 2 es
y -x -2
X
x — 2
• CASO 3:
x >0 al coiyunto F.
R P T A :4A 19
=
>
a
y <0
x y - + — ^2 x -y
....
a
(4° cuadrante) x
£
y
=
>
0
£
x
a
x 't y
* La 2° relación es imposible , pues x > 0 luego, este caso no genera solución.
PROBLEM A 39: Si A es un conjunto definido por :
* Finalmente, la unión de los casos 2 y 2 será: = j ( x ; y ) g R x R l - c ~ + -r -l '* x A X 'Z y
n
entonces la figura que mejor representa al conjunto A es: -2
R P T A :44D 99 PROBLEM A
40:
R E S O L U C IÓ N :
Si B es un conjunto definido por :
* Como : x £ y , hay 3 casos que analizar:
B = {(*•>) e Z x Z / y >
* CASO 1 : x > 0
y y > 0
a
.................................
x y => — + — ¿ x x y => x £ 2
a
a
x
( I o cuadrante)
y
x £ y , cuya gráfica es :
c2
- 2x| - 4
A
y < 2- I * - #
Entonces,el número de elementos del conjunto B ée: A)0 B)1 C)2 , D) 3 , B)4 \%¡j$ R E S O L U C IÓ N : * Las inecuaciones se pueden acomodar así: ¿ ~2 y < -| x -2 | + 2 * Graficando :
x < 0 a y < 0 .............. (3° cuadrante) x v =>— + — z x -X - y x < » -2
a
a
x^y
x £ y , cuya gráfica es:
Nótese que en la región sombreada (que representa
I79* I
C M C LO PE D M A S O I * ]
al sistema) no existe ningún par ( x ; y ) e Z x Z
A/
• Esto es : B = / * Luego ; n (B ) = 0
_ 3 2
R P T A :“A ” PROBLEM A
_ j=
2 1
* Se tiene 3 zonab , trabajando en cada zona se tiene:
41:
En la figu ra ad ju n ta se m u estra una región sombreada:
I) A jí
/
3\
, entonces:
2 x + 3 1+ | x - 2 1= 5 => - 2 x - 3 + x - 2 = 5
x = - 9 ............. (es solución) entonces :
IDA
2x + 3| + | x -2 | = 5 = ^ 2 x + 3 + x - 2 = 5 = ^ 3 x = 3 X
=>x = 2
(es solución)
IB) As: x € (2 ;oo) ;| 2 x + 3 ) - | x - 2 | = 5 Entonces, el Bistema de inecuaciones que m ejor define dicha región es: y ¿ x* A) \ x \ - y ¿ 2
y ú x* B) |x| + y 2 2
x2 +ys £ 1
x 2 +y2 2 2
'
y
* x2
c ; \*\+y ¿ 2 x2 + y2 2 2
=>2x + 3 - x + 2 = 5 x = 2 no es solución, para
• Como: 2 e (2 ;oo) este intervalo
• D e W y f J i ) : C.S. {-9 ; 2} PROBLEM A
43:
Resolver : | 2 x -3 | 2 | x -2 | + | x - 2
R E S O L U C IÓ N :
A) {-«>; 2] U [ 2 ; +oo)
C )R -{4 )
B ) <-<*>; 3} E )(4 ;7 )
B){-oo;oo) R E S O L U C IÓ N : * Recordar : |a +
6
R
|^|a| + |6 |; Va , 6 e
* Pero por dato : |2x - 3| 2 |x - 2|+ |x - 2| * Por lo tanto : | 2 x -3 | 2 | x -2 | + | x - 2 | • La región som breda es la representación del sistema de inecuaciones: y 2 x2
y £ -| x j + 2
* Necesariamente : l 2 x - 3 l = | x -2 | + | x - 2 * Además s i : |a| + |6| = .a + 6 1 -> a b 2 0 * En el problema : | x-2 | + |x~2| = | ( x - 2 ) + ( x - 2 ) |
x 2 + y2 2 2
•Entonces : (x - l ) ( x - 2) ^ 0
RPTA:“C” PROBLEM A
x e {-<»; 2] u [ 2 ; +oo)
42:
Resolver : - | x - 2 | + |2x + 3 ¡ = 5 R E S O L U C IÓ N : • Igualando cada v a lor a b solu to a cero para determinar los valores críticos.
| x -2 | = 0
=> x = 2
|2x + 3 l = 0 => x = - 1 1 2 • Ubicándolos en la recta numérica :
RPTA:4*A” PR O BLEM A 44: Demostrar :|a-6|á|a| + |6| R E S O L U C IÓ N : • Se tiene : a - b = a + (-b ) * Tomando valor absoluto en cada miembro
Ia - 6 1= |a + (-6) |S |a |+ 1- 6 1
W
I K
f .Y
O
BBS y»» tBSS
^
* Por transitividad : | a - 6 |^|a| + |6 |
V
.l L
* Entonces : M min = Demostrar que : | a + 6 + c | ^ | a | + |6| + |e|
l f
.l K
19
W
. 'T O
l
13 16
16 R P T A :“ E ”
PROBLEM A
* D e:
El conjunto solución de la inecuación: a + (6 + c)
O
13
R E S O L U C IÓ N :
|a + 6 + c | =
A
x +3 x +6
20
* Tomando valor absoluto
PROBLEM A 45:
O
...(P, asociativa)
48:
j 2 ^ r \ ( i - x 2)
=> |a + 6 + c £ |a |+ 16 + c |... (Desigualdad triangular)
(| * + 3 | + * -i)(| * | -2 )
^ l a + ó + c l i l a l + l ó + c l ^ l a l + lól + lcl
es:
* Por transitividad : |a + 6 + c |£ |a |+ 16 1+ 1c |
A) (-2; 2)
P R FO BLEM A l«
R E S O L U C IÓ N :
4 6’r:**
£o
B)[l;2)
C)[-l;l\
D )(-2 ;-l ]
* Primero : 2 - | x | > 0 = > - 2 < x < 2 .................(I) • Luego :
Demostrar: |a|-| 6 | -| c | s | a - 6 -c | R E S O L U C IÓ N : * Por Ley Asociativa:
l < x + 3 < 5 -> |x + 3| = x + 3
|a| = |a + ( 6 - 6 ) + (c-c)| = | a - 6 - c + (6 + c)| • Por desigualdad triangular:
1- x ( x + 3 + x - 1) (| x |- 2 )
|a| = | a - 6 - c + (6 + c ) | ^ | a - 6 - c | + |6 + c
2 O .....p o r (-1 )
x2-l
( x + 2) ( x - 2) <>0 > 2 ( x + 2)(| x | - 2 ) ( 2 x + 2 ) (|x |- 2 )
• P ero: 16 + c I <; 161+1 c I
* Por transitividad : Ia I< Ia -- 6 b— - c | + |6 |+ |cl ^ \ . A * C o m o : Ix I - 2 < 0 * Sumando - (|&| + |c|) a cada &da miembro : * * Entonces : x - l ^ O ^ x
(i d
C.8. Sj n S jj
la l-(l6 l+ l«l)s l°-6 -^rl |a|-| 6 | -| c | á | a - 6 ^ fc}
AX?
PROBLEM A 47: c * ! #
que:
A )2
* ■
’ -2
X € [ 2; 2 )
determinar el menor valor de M ( ial x +3 x +6 o —
4
D)
39 19
E)
13 16
El resultado de: |—4\ + |—6 |— \—2\ es.*
R E S O L U C IÓ N : A) 11
* Del primer dato: 1 2 . 2 x _ -<> — <.6 = > -< , — <.5 5 x 6 2 i 19 3
A)
3
3 x+6
19
16*
9_ > 2=> 2 - — 2: 2 19 16 x +6 13 ^ x + 3 ^ 1 0 16 x + 6 19
B) -8
C )-1 0
El resultado de:
=$ - ú x < k l 0 =$ — í x + 6 ¿ 16 16
R P T A :“ B P$
3 x +6
19
B)
36
12
Calcule: A) 1,4
B) 1 2
2
—
4 O
D) 10
E) 8
1 3 — : es •* + w 2 9
—
12
D)
24
E )1
2\-3\ + 3\-4 M l+ M O 1,8
D) 18
E) NA*
Halle la 6uma de soluciones de la ecuación
1ro* I AJ3
\2x —3| = 7 C C))77
B 7 -3
Señale la suma de los valores que hacen que 2)2 6
E) 8
Halla el producto de soluciones de la ecuación A) 7
\x + 2| = 4 C)~12 D) 12
B) 8
r C iC L O P E D iA 2 0 1 2 ]
la ecuación se verifique: \x + 4\+2=18 Efectuar:
E) NJL
R = |-3,5|+|8,2|+|200|-|-99|
El resultado de: ^ 3 4
L 2 + 4
2
Efectuar: K =
0 ,6 ;e s :
2
5 + 2
¿ 2
+ \ 0 ,5 f-
3
(ffit) Simplificar: 12+\-2\+ (2 |—6 |— 3\-2\)+ (3 -\ -2 \ )2 Resolver: 2 x —8\= 0 (Ot$) Simplificar:
|-8 + 12+ |-3||| + (5 —|—fí|>2 -
-2 \ -3|'
D) { 2 .- 6 } ©
C) { i ; - 7 } X
E )N J L
El resultado de:
¿ + 4
1 4
0 ,3 ;es
B ){-2 ;8 ) E) {I;JJ}
C )6
D) 9
Indicar el valor de:
_
R=
-1
-2
-3
-4
0
i
3
4
-2
-2
-3
-4
2
Resolver: 19 (x — 8)\= 2 7
A) {2;11} D) {3; 7} E) 10
&) Señale el resultado de efectuar las operaciones indicadas en la expresión: ||-2|-|-3||+ H A) 6 B) 7 0 8
4
C) {O; 12}
- 2 1 - 5 + 151-2 B )7
3
y
Calcular el resultado de efectuar:
A)8
2
B) y = 2 + \x - 3
Resolver: \6(x —82|=30
A) {1; 14} D) {0 ;-1 2 }
i
x +2\
y
2
x ©
0
+
B ) {2 ; 5 }
A) y
n
valor de «y» para cada valor de «x » dado:
Resolver: Ix —4 = 3 A ) {1; 7}
Completa las siguientes tablas, hallando el
B) {4; 10} E) { - 5 ; 11}
C) {5;11}
Resolver: |—5(x+72|=40 B) {lf-1 5 } E ) {2 ;1 1 }
A) { - 1; 4} D) {1, -17}
O W ; 15}
5 í Halle la suma de soluciones de la ecuación: + |-2|| D) 9
E) 10
|-2| + |3l
|—5 + - 2|
5 - -4
\-4\- —3|
.— r +
\3x-6\=12 B) {-2; -6 } E)NJL
A) {3; 4} D) {-2; 6} Resolver:
x -9
O {2; 6}
= 5
(J&) Siendo: a > 5, calcular: \a — 2| — |a + 2 ( )
Sabiendo que b > 2 , reducir la expresión: |6+7|+|6-2|+|-3| Para qué valores de x » , la relación |x j — 2 = 1 0
es cierta?
A) {-12; 36} D) {40; -12} Resolver: A) {148; - 172} D) {O; 120}
B ) {3 2 ;-2 4 } E) {4 4 ;-2 6 } x + 12
O {56,^20}
= 20
-8 B) {132, -1 6 0 } E) {132; 258}
O <- 148; 172}
IBS
795
«K» es la mayor de las raíces de \2x — 6|=8 y
iro
k ím m
Ah3
B)3
C)9
T
D)-9
So EJO
ak
íít o
J
Resolver: \x4 - 3 7 x 2 + 36\ = 0
«M» es la menor: Por tanto «3K -2M » es:
Señalar la suma de soluciones negativas. A h5 B)-3 Ch-l Dh7 E)-4
«Z» es la raíz negativa de la ecuación: \3x —2|= 1 0 . Entonces el número (3 - z)* es:
( ^ í ) Resolver: \x 2 + j| = 5
©
Señalar la menor solución. A)l Bht Ch2 D)2
Las raíces de la ecuación \4x —3|son «M» y «N»
entonces: M x N - 8 es:
E)0
Resolver: |3*-5| + * = 7 Indique la suma de sus raíces. Ahí B)3 02 D)4
E h2
Resolver: | 2 x -7 l = x - 5 Calcular: yfx2 + \/x* + J x* + yfx8
A )x e {2 }
m
Si: x < 0 A)4x B)2x
D )x e { 2 ;4 ) C)3x
1
Resolver:
Í ( 3 - $ 2 f + Í { $ 2 - 9 )4 + Í { 2 $ 2 - é f B )2 $ 2 -1 2
C )12
D )-1 2
A )R
x -3 \
B )R -{3 }
>0
C )R -{-3 ]
D )R -{0 )
" % 4 ~ f ;+a>) B)[Ji ;+^
Hallar la mayor solución. A)ll B)2 C)3 D)22
£ > [3 ;-3 ]
Resolver: \x + 6 \ ¿ 1 0 x
E )-2 $ 2
Resolver la ecuación: |x - 4| = 7
C )x e 0
E )x e R
E)0
DJbr
Calcular:
A )0
B )x e {4 }
D)\
+o°)
< 4 n ;+a,)
E )[0 ;+ c o )
Resolver: |3x + 5| = 9 (jÑ%) Resolver:
Hallar una solución:
m¡
\2x + 6 |2 - 4
c' f
D)R~
C jR +
B )R
a y z
E )[0;+oo)
Resolver: |5 - xl £ 0 » ) Resolver: \x - 2\ = 10 Hallar una solución. A) 10 B)12 O I ’r
A )x ' DJ2
E)3
C )-3
B)2
D )4
O i3 f2 }
E )2 j2
Señalar la suma de soluciones. A)8 B)6 04 D)2
Señalar la mayor solución.
g
0
C )x
e
R
E )x e ( - 5 ; 5)
B ){-6 ;6 ]
D ) [ - 6 ; + oo)
E ) { - co; 6 ]
D ) { 1 ;3 }
E )0
A jx eR D )x
q
B )x
O Í -6 ;6 ]
Resolver: |x - 5| 2 - 5
Resolver: |x - 3l = 5
Resolver: |g _ x 2\=
oo)
A ){-6 ;6 )
(í)? ) Resolver: \6x2 - x - 1\ = - 3 A )1
+
x *3 Resolver: 2
Hallar una solución. B )2
[5 ;
D )x e {5 }
Resolver: |x* + í| = 9
A jí
g
g
[-5 ; + oo)
B ) x e \ 5 ; + oo)
C )x e [ - 5 ; 5 ]
E )x e (-«o ; 5 ]
Resolver: \2x2 - 3 ¡ ^ 5 x E)1
Dar como respuesta el menor valor entero positivo que verifica. A)4 B)5 06 D)7 E)3
Resolver: |2-3x| = 3 x - 2
I7 9 0 1E A)tL 3
B )xe
[f;+00>
{-i}
Indicar la suma de soluciones de la ecuación: x - 2Í = 2 x - 1 2 . Indique el número de sus raíces. A)8
B)12
C)4
D)10
CICLOPEDErl 2 0 1 2 ]
A)1
B)¡
D) 2
C)í
(0¿j) Resolver : |x| 5 0 A )1
B )+
C )(-l;í)
D )2
C)0
E)8
Resolver : |3*-2|=4 Resolver: \x 2 -4\ = 4 - 2 x Indique el número de sus raíces. D)4 AJI B)2 03
E/Ninguna
Resolver: |*-2| = |3-2*| |5) Resolver : |x - 3| = 1 e indique el número de
Indique el producto de sus raíces. A)1
B)l
D )2
C )i
E )N j L
soluciones enteras de la ecuación. A)0 B)1 0 2 D) 3 Resolver : \x-3\ = 2 x - l
Resolver: x 2 -\ x \ -4 2 = 0
A) {4/3}
Indique la mayor raíz. A)9 B h7 C)-9 Resolver: x
D)7
E)1
D )x e
B J * e (0 ;+ o o )
E )x e
C)x e
í]
C ){3 }
D ){4 }
E ){5 }
Resolver : \2x - 8\- \x - 4\ + |6 x - 24| = 14 A ){8 ;2 }
B ){2 ;6 }
O {6; 8}
D ) { 2 ;- 2 }
E){-6& }
O f 2 ; 8 ) D )(-«> ;8 ]
E )(2 ;8 )
(Q ) Hallar : A n B A = { x e R/ \x - 3\ 5 5 }
- 3*1 > 2 * + 6
Ch3
Dh4
B = |x e R/\x + 3| ¿ 5 } A ){ 2 ;8 ] B )[2 ;8 ]
Dar como respuesta el mayor valor entero negativo que verifica. Bh2
E) [8;9]
Resolver : \3x -5\ = \2x + 7|y calcular la suma m de los valores absolutos de las soluciones. A)62/5 B)61/5 062/7 D) 67/62 E)62/57
Dar com o respuesta la suma de los valores que verifican. A)1 B)0 03 D)4 E) + ao
Ahí
D) {3; 5}
Resolver : \x - 2\ + \x - 1\ = x - 3
[ f +
Resolver: \x 2 _ g| > 7
(g f¡)Resolver:
O { - 2; 4/3}
B ){0 }
Resolver: | x -3 | * 5 x
A J x e ^ -^ ;+ c o )
B) {2}
-5 \ < 2
Indique el número de valores enteros que verifican. A)1 B)2 03 D)4 E)5 _
E)4
©
Resolver : |3 - 2x| 5 |x + 4|
A > iy 3 ¡ 7 )
i u {-ys ,7)
H - y » ' 1)
E )( - c o ;-3 )
c,\-ysl7\
E)-5
Resolver: | ,-x| < | 3 + 2 * Dar como respuesta el menor valor entero positivo que verifica. A)1 B)2 03 D)4 E)5
Resolver : 2 + 3
3 x -l
= 3x + 5
A ){3; 6 } BH-1/6; 3} 0{-2/ 7;2} D){l/5,--3} E){6f--3} Resolver : x - 3\ - 2 < 8 A ) ( - 6 ; 6) D ) (-2 ; -2 )
(^í)R esolver : |x| = 2 A)2
B )-2
072
D )”A my nB n
Z) Resolver : \2x - 1\ = 0
E )"A” ó 'B
B )(-9 ;-9 ) E )(-7 ;1 3 )
(f~í) Resolver : |*-3|2 + 6 á5| *-3| A) ( -6 ; 6) B )(5 ;6 ) D ) { -8 ;8 )
C ) ( - 3 ;- 3 )
E )[0 ;1 ] kj[5;6]
C ){0 ;1 ) -
E
M tTnw ñr*p&
797
Resolver : 2 x 2 + 7\x\-4 < 0 »(-& # * ) D) (-4 ; 4) ©
B ) ( - 2 ;2 )
C )(-3 ;3 )
V
^ W
i U
A )(-° a ;-7 ) u {7;+® )
B )( - 3 ;3 )
D )(-8 ;8 )
E) (-9 ; 9)
^
'O
M
n
o
]
C) (—4; 4)
Resolver : \ 2 x -3 \ < x + 7
E) {- 8 ; 8)
Resolver : |*2 - 3| 5 6
A )(% ;i0 )
A )x e [3;+ao)
B )x e (-ao; 3]
D) x e [-3 ; 3]
E )x e Jf - [3; 3]
C )x e {-3 ;3 }
Determ ine el núm ero dé soluciones de la
C )(% ;3 )
B > ( - y s :1 0 )
D ) { - 8 ;9 )
E )(-1 0 ;1 0 )
Resolver: l * - 5 l + 2 l * - 7 l + 3 l * - S l < * - 9
m ©
.M
A )*
B )x > 9
C )(-oo ;4 )
D ) { - 7 ;7 )
E ){-9 ;9 )
ecuación ||*|- 1\ = 2003 A)1
B)5
C)2
D) 4
Calcular los valores de * que no satisfacen la
E)3
Resuelva : \7x - 5| < |fír - 1\+ 1* - 4|y de como respuesta la suma de soluciones enteras A) 3 B) 4 0 6 D) 9
inecuación y dar como respuesta el cardinal de dicho conjunto. \x \ g
E)7 B)2
A)1
D ado:
2
Xa +
OO
E)3
D )-2
Halle el conjunto solución de la inecuación ;
A = j * e Z l\xa - 3 * + 5| 5 9 j
y ]2 -\ x -l\ 5 2
.
B = { * e R í \x + 1\ + \x - 2 \ z 5} A)f-l;0J B )[-l;3 ] C)[2;3J D) [-X&]\j [2;3] E) [0&] Halle n ( A n B ) A)3
B)5
Demostrar que : 04
D) 6
Va,b
e R
-> |a|- |6|| 5 |a - 6|
Al resolver : |3 - x\ 5 1 0 x { l - * ) Demostrar que : se obtuvo como C.S, '•s - = [I* !] Halle: a + b A)2 B)4 C)7
V a , 6 e 2? ^ |a|-|6| 5 j|a|-|6|| 5 | a - 6 | 5 |a| + |6|;
' Vk E)5
( O ) Demostrar que : V a , 6 y c e R -> \a\- 61 -
Id 5
la - 6 - el
Demostrar que : ©
,
Va , 6 y
Resolver: |3r + 4| < 5
señalar la menor solución entera. Ah6 Bh4 C)-3 D) -2 Resolver A) ( - « ; 27 D)(3;*>)
D )(6 ;8 )
B ){1 ;2 )
5
.
_
a +6+d
,
Demostrar q u e : V a ,6
, c ,d e R —> a - d | 5 | a - 6 + | 6 - c | + | c - d
CE Sean a , 6 , c las longitudes de los lados de un C ){3 ;4 )
triángulo , demostrar que : a -b b -c c -a ++ a + 6
E ) (-2 ;-1 ) kj(1 ;2 )
Resolver : j^j——> O \x\-5
+
ac ao — + — b e
Va , 6 , c td e R -* a 4 + b 4 + c 4 + d 4 5 4|a6cd|
x +1 > 1 señalar una solución x -3 B ) [ l ; oo) C )[3 ;o o)
Resolver : (|*| - J)(|#| - 2 ) < O A) (-2 ; -2 )
c e R - { 0 } ->
oc — a
Demostrar q u e :
Ehl
JE)(2;oo)-{3}
_
6 + c
^
Demostrar que :
Va, 6
y
c
e
c+ a
2
16
R -+ (|a| + |6 |)(|a| + H)(|6 |+ |c|) * 4H \abc\
17 0 s IB
CMCIOrEMA SOIS)
El conjunto solución de la inecuación: jx + 3 5 x +1 Indicar verdadero (V ) o falso (F ) en las proposiciones:
B) [-1; +ao> E) < -o o ; 1]
A) [-3 ; -1 ] D) < - oo ; -3 ] 0
Dar el valor veritativo en las proposiciones;
( ) j x - 1 :3 = > x * l
( ) Si \x\ * 0 => C.S. =R
( ) (¡7 + 2 :3 = > x e R
( ) Si |x|= 5 => a S . = { ± 5 }
( ) ( ¡ x :3 => x * 0
( j Si |x|<0=>C.S. = 7 - c o ;0 [
A) VFV B) W V
C) VFF
D) F W
E) FFV
Al resolver: j x - 1 < 2
O [ l ; +<*>>
A) W V
B) W F
O VFF
D) FFV
E) F W
(íí)R e s o lv e r la ecuación: |5x| = 6 - x
dar el valor de verdad:
Proporcionar el número de soluciones. A) 1 B) 2 0 3 D)4 E)6
( ) El mayor entero del C.S. es 3. ( ) El producto de los valores enteros del C.S es 8 . ( ) El C.S. = [1 : 4 > A) F W B) W F C) VFV D) FFV E) VFF
Resolver: ||x- 3 \-5\ = 0 Indicar la menor solución. A) 6 B) 8 0 2 Dh2
E )5
Resolver: 4 x 2 + 3 2 + 1 2 x * 0 Resolver: x 2 - 2 x + 3\x - 1\= 9 Proporcionar un intervalo del conjunto solución. A) [3; + ao> B) < - oo; 2 ] C) [0; +oo> D) < - ® -87 E) 12; 87
Dar la suma de sus soluciones. A) 4 B) 2 0 -2 D) 6 Al resolver: \x 2 - 2¡ < 24
Resolver: 4 x - 4 + j-~ x + 9 * 0 Proporcionar el núm ero de valores enteros del conjunto solución. A) 2 B )3 C )4 D)6 E)6 5 ) El C.S. de la inecuación: ( ¡ 2 - x < x
B) 4
0 9
se obtiene que x e < n ; m > . Señalar: n-m . Ah-6 B h8 05 DJ12 E)6 Calcular la suma de los valores enteros que satisfacen: x 2 - 4 < - 2 x + 4 A)6
es: ]a ;+ a o [. Calcular a “ . A)1
D) 8
Eh6
B) -6
05
Dh5
E)4
Si x e <0;1 > . Calcular el valor de:
E )j2
|4x + J|-|x+2l Resolver: j x + 3 < 4 - x AJI
4 * í)
B )[ - 4 ; 2 >
D ) < -3 ; 2 >
E )( - 2 ; 4]
©
Resolver;
C )< 7; +<*> >
D)5
E)4
Si:
B = {xl\ x * - 4 \ = 0 )
x +1
Indicar el mayor valor entero. A) 3 B) 4 0 5 D) 6
E)7
Si M es el conjunto solución de la inecuación
indicar: B - A A) <-2; + oo> B) <1; + oo> D) {-2 } E) 0
'7 5 = *1 £ 0
< > x -2
2 * ± 3 _ x>
O il: 2}
O [0; + oo>
Resolver:
entonces M es:
A)R-{2 } B)<~1;2]
07
A = { * / y ¡X -2 £ B }
755-2-3 < 0
x* - x - 2 2 -3 x
0
B)3
D){2} E)*
A) <-1; 37 D) <3: 5]
B) 15; 8> E) 10; 5]
9 -4 x
i[
] O [0; +oo> '/J " v
BB3 700 ffiH
[K oirfO iV K á í
O
K
, t l l ^
O
M
rI
O
]
se obtiene A = < a ; 6 > . Indique el valor de: a + 6 . ATO B )2 C7 2 D7 3 B7 4
x - 2 |> |x + 2|
3 5 Resolver:
r .U
x $í|*|- 1 > - 2
5 ) Calcule el menor número real Af que cumpla 2x + 2
C )< -9 ;3 ]
B its , |
2
x -1 D )< -c c ;-9 >
F 7 (-oo;3 )
A) 2
E)12
Los
h -f]
D )< 0 ;1 >
7
a
B H ,d
Si S es el coi\junto solución de la inecuación:
7 l-ofe|= ab
(
0 < -l;l>
números a y 6 verifican las condiciones
a < -1 y fe > 2. Determine el valor de verdad de los siguientes enunciados: (
E )4
D) 3,5
Halle el conjunto C = {x € R /x e (A - B ) => x e B } A)
©
O 3,0
Se definen los conjuntos: A ={xeR /|2X -3 |>2 - x } B = {x eR /| 3 *-2 | < 2 -x )
Al resolver: ^2 - |x| x ( x 5 - x 5 7 < 0 el C.S. es < a ;b >.Indicar ab. D)8 A)0 B) 2 C )4
B) 2,5
á M ; Vx e [4 :7 ]
||x|-5|+ |x|-3|<4
-a
b 2 -fe =2 ( 7 b -1 FW B) VFV
O VW
D) FFV
entonces determ ine el núm ero de elementos del ^ c o n ju n t o S n Z * donde Z es el conjunto de los rjiúmeros enteros. E/yFF / A) 4 B) 5 0 6 D) 7 E) 8
Si A es el conjunto solución de la ecuación; | U - 2 ) * - i | =|2 |*|- 2|
£
II) Q - A = Q
x -1 + 3 / x e< - l ; 2 ] \ = [ a ; b > x -2
.
indicar cuál(es) de los siguientes enunciados es(son) correctoís): ;.f I) n (A ) = 3
Se tiene la siguiente igualdad de conjuntos:
entonces 2 a - b es igual a: A7-2 B) 0 O I
D) 2
E )3
Si S es el conjunto solución de la ecuación:
2/77 La suma de los elem entos del conjunto A es
> ¡x -> j2 -x
3+>¡7 A) Sólo I B) Sólo II O Sólo III D i l v I I E) I I I y III Resolver: |2 - 2x| > 3 - x A 7 (-c o ;-~ ^ v j < 2;+ao >
C 7 < -® ;2 >
vj
< 7 ;+ a o >
B ) \ 0 ; ^ ) y j < 2;+oo >
7 ) 7 { - o o ;- 2 ) u ^ J - ; + ao
entonces la suma de los elementos de S es: A73
B )2
D)
C)i
11
B)
16
Determine el conjunto solución de la ecuación ^ ( x + ^ h - í = n^ 2 x (x - J x 2 - 1 ) - 1
^
243
si m > 0 Al expresar en térm inos de in tervalos el conjunto definido por: x -2 / 1 A = -------------- / x e R y J x-2 1 + 7 / J
A )m ^ 9 6m
m^+6 m
m +1 D) m2+ l m 6m
m *+3 E) 4m
'
Resolver: $ /x 3 - 3 x 2 + 5 x - 6 < X - 2
TiCÍAlPEDLX 2 0 1 2 ] A )< 3 ;6 >
B ) < - t o ; —>\j<2; +oo> 3
D )< -- ;2 > 3
E )0
C 7 < -o o ;Z > 3
Cuántos n ú m eros en teros v erifica n la siguiente inecuación: B) 1
-
C) 2
J
D) 3
E) Más de 3
Resolver:
y¡l-X + j l - 2x + y jl- 3 x < 4x +4
D)
E)R+
N ]
yjx2 - 6 x —yfx £ >Jx - 10 8~x
Entonces el conjunto solución es:
D )0
)S = < í;3 ]
A) V W
B) FFF
OVFF
D) F W
E) FVF
B ) [ - 3 ; 0>
Si el conjunto solución es S = [ a ; b j, calcule el valor de: T = ( a + b )a~b +x A) 0 B) 1 C )4 D) 9 E) Indeterminado
(2 - y j x * + 4 x + 3 )2 -(y¡(x + 2 ) * - l + 2 f > - 8 j x + 3
m o;|
A )[7; 5 > kj{0 )
(
Resolver la inecuación irracional:
Indique el conjunto solución.
Resolver:
)S r\ < 0 ; —> * 0 £
Resolver: j l - x + J x + 1 Z x - 4
> ¡1 - X* < 2 x
A) Ninguno
(
C ) [ - 3 ; - 2>\j {0)
A ) ] - 1 ; 0 ( B ))0 ;2 [ C ) ] - 3 ; - 2 [ D ) J - 3 ; - l [ E )R f l „ W E S DE u O I) E 0 2 ) tt OO) A 07) A 11) C 12) B 10) D 17) C O I) D 0 2 ) E
PR IM E BA PBA1 08) E 08) B OS) A 09) B 18) E 18) E 18) C 19) B 08) E 08) A
TIC. 1 08) C IO ) B 18) A 80) B 08) B
CLAVES IH : L A SEGUN DA P R A C T IC A ! ) d 2 ) f \8)Ilt*)E\5)A\9)A\7)II\8)n \9)C\lO)B
E )R + Resolver la inecuación: (x 4 + x 2 + 1 ) ( x - 3 ) 7 $ x - l ^ p
ytÉ T O nO S » E MXVESTIGACIÓX C IE X T ÍnC X
x + 3 %lx + 8 ( x - 7 ) li A ) < - 8;1] u [3&> - { - 3} B 7 < -8 ;2 7 u /3 r 7 > -{-3 } C )< -8 ; 1] D ) < - 3 ;l ] v [ 3 ;7 > E)R
El Investigador en ciencias se basa en m étodos técnicos y lógicos para ve rifica r sus conclusiones y co n clu ir algunos (o m uchos) resultados o leyes que rigen a determ inada ciencia. m éto d o s
©
Determine T = a + b del conjunto A definido
^°r* A = {x g Rl ^ x + l + j x - 1 < A)1
B )2
©
0 3
D) 4
E )5
Al resolver la inecuación irracional:
y jx -2 se obtiene como C.S* = < a ; b]. Calcule: T = a* + b* A) 5 B) 10 013 D) 17
E) 20
Si S es el conjunto solución de la inecuación: 4 x 2 + 4 9 ^x 2 - 1 4x - I indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
(
)S = 0
t é c n ic o s
:
E n te n d e m o s p o r e s to s , lo s u tiliz a d o s al o b s e rv a r y e x p e rim e n ta r, lo s p o d e m o s lla m a r ta m b ié n m é to d o s empíricos. m éto d o s
l ó g ic o s
:
Son aquellos que nos permiten hacer deducciones estableciendo raciocinios lógicos, admisibles y demostrables. Dentro de los métodos lógicos se encuentran el razonamiento inductivo y deductivo. Ante la construcción de nuevas teorías (o replanteamiento de las mismas), especialmente en matemáticas suele ocurrir lo siguiente: Se establecen algunas definiciones. Por ejemplo, ¿Qué es un triángulo?, se puede afirmar que un triángulo es «el polígono de tres lados incluidos todos los puntos que se encuentran dentro de él» o que el triángulo es «el polígono de tres lados sin incluir los puntos que encierran sus lados». Nos ponemos de acuerdo en su significado. Se establecen los axiomas (postulados). Los axiomas o también llamados postulados son proposiciones que asumimos como verdades aceptándolos sin demostración alguna.
««i
O B J E T IV O
:
* Reconocer un producto cartesiano, •Reconocer y representar en un sistema bidimensional una relación deduciendo su dominio y rango correspondiente.
m :L ir /o ,v E 8 )
m
un par de números que son sus coordenadas cartesianas. Si una recta horizontal y una recta vertical que pasan por P intersecan al eje X en «o » y al eje Y en «b» como tenemos a continuación.
* Relacionar ejemplos prácticos al modelo apropiado de relación e interpretar la operación asociada y terminología en el contexto. * Identificar relaciones de equivalencia. * Dibujar las gráficas de las relaciones. IN T R O D U C C IÓ N Z Dos franceses reciben el crédito de crear la idea del sistema de coordenadas . Pierre de Fermat era un abogado que bada matemáticas por afición. En 1629 , escribió unas notas donde hacia uso explícito de coordenadas para describir puntos y curvas. René Descartes era un filósofo que pensaba que las matemáticas eran la llave para descubrir los secretos del universo. En 1637 publicó «La Geometríe». Es un libro muy famoso, y aunque pone énfasis en el papel del álgebra para resolver problemas de geometría sólo sugiere vagamente el uso de coordenadas. Fermat deberá tener el mayor crédito por habérsele ocurrido la idea primero y de un modo más explícito. La historia puede ser un amigo traicionero; coordenadas se conocen como coordenadas cartesianas debido a René Descartes. En el plano, hágase dos copias de la recta real, una horizontal y la otra vertical, de manera que se intersequen en el punto cero de las dos rectas. Las dos rectas se llaman ejes coordenadas; su intersección, a la que se le asigna la etiqueta «0» se llama origen. Por convención la recta horizontal se llama eje «X» y la recta vertical eje «Y». La mitad positiva del eje x está en la derecha y la mitad positiva del eje Y está hada arriba. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatTo regiones llamadas cuadrantes; estos se etiquetan con /, 11. III y IV como se muestra en el siguiente gráfico. Yi 3 2 1
n
D E F IN IC IO N E S B Á S IC A S PAR ORDENADO Z
II
i i i -3 -2 -1 . . 1 2 3 h -2 III IV -3
a (a ; b) un par ordenado de núm eros pues es importante el orden en que aparezcan. El primer número « a » , es la coordenada en x (o abcisa); el segundo núm ero « 6 » es la coordenada en y (u ordenada).
x
Es un ente matemático formado por dos elementos, denotado por (a ; b ), donde «a » es la primera componente y « 6 » es la segunda com ponente, cuya representación es : (a ; b) Primera Componente
Ahora a cada punto P en el plano se le puede asignar
Segunda Componente
* Que formalemente se define como:
n© *i
¡A f. C J J J M g A
M 'I V L t t P E M A S O I S 1
23 8 x= 2 3 7 -2
fa ;6 ) = { { a } ; (a ;& }} f 6;a ) = { { 6 }; {6 ; a } } como observamos (a; b) * (b; a ) ; si a * b
¡G U A L D A » D E P A R E S O R D E N A D O S Dos pares ordenados (a ; b) y (c ; d) son iguales si y sólo si sus prim eros com pon en tes son iguales (a = c 2, así como también sus segundas componentes (b = d ), simultáneamente. Es decir : (a ;6 2 = ( c ; d ) <=> [ o = c
a
fe = d ]
EJEM PLO : (3;4) * (3;3); (2;7) * (7 ;2 )y ( - 5;9) * (5;9); mientras que (1; x ) = (y ; 2) si y solamente si 2 = y a x = 2. E J E R C IC IO 1 :
1 6 -9 1 =3 -4 -2 1
R E P R E S E N T A C IO N C A R T E S IA N A D E UNP A R ORDEN ADO Otra forma de representar pares ordenados es en un plano cartesiano, así: * Se escogen dos rectas perpendiculares. * Sobre la horizontal se sitúa el primer elemento y sobre la vertical se sitúa el segundo elemento. * Se trazan rectas paralelas a las rectas dadas por los puntos indicados. La intersección de estas rectas representa el par. Así, la representación del par (a;b) en el primer cuadrante es:
Hallar x e y # si; (x + 5 ; 8) = (9 ; y + 6) R E S O L U C IÓ N : Si (x + 5 ; 8 ) = (9 ; y + 6)
* Entonces: I) x + 5 = 9 -> x = 4 II) 8 = y + 6 - * y = 2 COCIIMIi l\JO pUillA/O
E J E R C IC IO 2 : Halle el mayor valor de x - y a partir de la siguiente ecuación : (x * ; 17) = ( 1 6 ; y* - 3y - 23)
(1; - 2),(3;4),(0¡3),( -
R E S O L U C IÓ N :
( - 42,-0),(0; - 5 ),( - 2; - 6 ),^ 5 ;^ j,(4 ; - 3),( - 6 ; - 2 )
* Como los pares ordenados son iguales:
R E S O L U C IÓ N :
x s =16 => x = 4
- 3¡4),
k
6 5 (~3;4)r............ 4 .........- - -i(3;4)
ó x = -4
17= y 2 - 3 y - 2 3 => y 2 - 3 y - 4 0 = 0 => y = 8 ; y = - 5 * El mayor valor de x - y ocurre cuando : x = 4, y = - 5 -> x - y = 9
(0;3)
E J E R C IC IO 3 : Si los pares ordenados (2x + 3y ; 7x - 2 y ), (13;8) son iguales , halle el valor de (x - y)
R E S O L U C IÓ N ;
-5 -4 -á (-6 -22
* Ya que los pares ordenados son iguales, por definición se cumple.
-í -2 . . . 2 " * (l ;- 2 )
r-2;-32
--3 ....................*(4;-32 -4
-5 (0;-5) (-2;-6)* - ••-6
2 x + 3y = 1 3 .................... 41) 7 x - 2 y = 8 ......................(II)
%
* Resolviendo el sistema por determinantes. 13 3 8 -2 x= 2 3 7
2
-2 6 - 24 = 2 -4 -2 1
PRODUCTO D ados
dos
C A R T E S IA N O
co n ju n to s
A
y
B
no
vacíos
(A * 4 A B * t ) , se define el producto cartesiano de A por B representado por A x B , al conjunto de todos
'
M I
1
VEEuXCJDNES ]
los pares ordenados f tales que el primer elemento pertenece a A y el segundo a B . Se denota A x B , y se lee «el conjunto producto de A por B » o también «el producto cartesiano de A y B». * Por comprensión A x B es: A x B = {(a ;6 ) / a e A
a
6 e B}
EJEM PLO 1: Sean : C = {a ; 6 } y D = {1 ;3 ;5 } Hallar: C x D , D x C , C x C y D x D R E S O L U C IÓ N : C x D = {(a ;l),(a ;3 ),(a ;5 ),(b ;l),(b ;3 ),(b ;5 )}
La representación gráfica de D x D con D={1;3;5¡, es:
D x C = {fl;a j,r i;6 j,í3 ;a j,r 3 ;6 j,r 5 ;a j,r 5 ;6 j}
A) D
ia g r a m a sa g ita l :
B)D
ia g r a m a
C a r t e s ia n o :
C x C = {(a ;a ),(a ;b ),(b ;a ),(b ;b ) } Bx D= {(1;1),(1;3),(1& ),(3;1)^^ * Un procedimiento sencillo para formar el producto cartesiano de dos con ju n tos es agrupar los elementos en un cuadro rectangular como se indica a continuación: Conjunto D X
1
3
. . . £ { & I I <4 I I
t I 9 * tI t I __ \(6¡3) II I 4 9I I I
Conjunto C 5
a
(a;I) (a;3) (a;5)
b
(b;l) (b;3) (b;5)
a
Í •i, <5
b
X a
(a;a) (a;b)
EJEM PLO 2 :
b
(b;a) (b;b)
Si A = { i ; 2 } y B = { a ; 6 }, entonces:
CxD
CxC
* Observe que C x D * D x C * EN GENERAL:
A x B = \ (l;a ),(l;b ),(2 ;a ),(2 ;b )} La representación del producto cartesiano puede hacerse de varias formas: 1 ) E N UN D I A G R A M A D E VE N N :
Si A y B son conjuntos, A x B * B x A El producto cartesiano de dos conjuntos se puede representar por : A ) UN D IA G R A M A S A G I T A L : La representación gráfica, en un diagrama sagital, de C xD ,don de C = { a ;b } y D = { í ; 3 ; 5 } f es:
C
Z ) E N UN D I A G R A ¿ I A S A G IT A L
D
3 ) E N UNA T A B L A D E D O B L E E N T R A D A
B ) UN D IA G R A M A C A R T E S IA N O í La representación gráfica en un plano cartesiano de C x D , donde C = { a ; 6 } y D = { 1 ;3 ;5 } , es:
a
b
i
(Ua)
(1;2)
2
(2;a)
(2;b)
X
irCti I 8 0 *
(
* ) E X C X D I A G R A M A C A R T E S IA X O .*
|
S C I C L O P E D I A Z O t¿ \
todos los puntos que se encuentran en la zona sombreada. Esto se debe a la mayor densidad que presentan los conjuntos dados. O B S E R V A C IO N E S : ♦ El plano cartesiano se define como el producto cartesiano R x R . * El producto cartesiano se puede extender a tres o más conjuntos no vacíos, es decir:
P R O D U C T O C A R T E S IA X O O E O O S
IN T E R V A L O S El producto cartesiano de dos intervalos, en la gran mayoría de los casos, no se puede determinar por extensión, só lo se le puede determinar por comprensión. EJEM PLO 1: Si A = [ 2 ; 5 J y B = ( l ; 3 ) A x B = { ( x ; y ) / x e [2 ;5 ]
a
Donde (a; b; c ) es una terna ordenada definida en términos de conjuntos. (a ; b; c) = { { a } ; {a ; b } ;{ a ; fe; c } } P R O P IE D A D E S G E N E R A L E S D E L P R O D U C T O C A R T E S IA N O I) Si n(A ) es el número de elementos del conjunto A y n(B ) es el número de elementos del conjunto B,
ye(l;3)}a)
♦ No ob sta n te A x B se puede rep resen ta r geométricamente de la siguiente manera: BA 4 3
entonces n ( A x B ) = n (A )x n (B ) es el número de elementos del producto cartesiano A xB . n (A x B ) = n (A ) x n (B ) II ) El producto cartesiano en gen eral n o es conmutativo, es decir [ A x B * B x A | , a menos que A = B.
2 2t -
III) A x B = 4 si A es vacío o B es vacío. 1
2
3
4
5
IV) n ( A x B x C ) = n ( A ) x n ( B ) x n(C )
EJEM PLO 2 :
NOTA :
Grafícar el producto A x B , sabiendo que: B 4 9 •
A = { x e Z ¡3 < .x ú 5 ) 2
•
» 9 •
Al p rod u cto cartesiano A x A representa por A* = A x A • t i
-•* — ♦
A xB
B ={yeZ/2íyZ3} 2
3
4
5
EJEM PLO 3: A = {* € R / 3 £ X ¿ 6 } , B = { y e R I 3 í y £ 5 ) B (5
AxB
B 4
• ‘. t i i
NOTA:
3
B = { x e Z I - 4 £ x + 3 < 9} ¿Cuántos elementos tiene , A x B ? ♦ Para el conjunto A , se cumple : 6 < x - 2 < 1 2 ♦Sumando 2 a todos los miembros de la desigualdad, se obtiene : 8 < x < 14 A * { 9 ; 1 0 ; 1 1 ; 1 2 ; 1 3 }-> n (A ) = 5
.
♦ Para el conjunto B , se cumple : - 4 < x + 3 < 9
1 1 2
Dado los conjuntos :
R E S O L U C IÓ N :
Grafícar el producto: A x B , sabiendo que:
2
EJEM PLO: A = {xeZ !6
. 1
U
tam bién se le
4
5
6
7
A
En este ejemplo los pares ordenados vienen a ser
♦ A dicionando - 3 a todos los m iem bros de la desigualdad , se obtiene : - 7 < x < 6 B = { - 7 ;- 6 ,- 5 h 4 ;- 3 ♦ Con lo cual n (B )= 1 3 :
2 ,-1
;1 ;2 ;3 ;4 ;6 }
H
f T O
X
TQ
8
HUgS sos Ig
n (A x B ) = n { A ) x n ( B ) = (5 )(2 3 ) = 65
JtgJLACJWWES? ]
• Del diagrama sagital : R
C O R R E S P O N D E N C IA En un directorio, cada persona tiene asignada una silla con su nombre. La asociación posición- nombre es una correspondencia , porque a cada persona le corresponde un lugar en la mesa. Esta relación asocia posición con nombre . Este ejemplo nos recuerda la correspondencia. En él podemos observar dos conjuntos: el conjunto A, formado por el número de sillas, y el conjunto B, form ado por los n om bres de los asisten tes al directorio. ¥ A = {1 ; 2 ; 3; 4; 6 }
Al conjunto A se le llama conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada. • Al conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados que definen a la relación se llamará dominio de la relación y al conjunto de las segundas componentes se llamará rango y denotamos como : D om R -* d om in io
B = {P ed ro, J osé, M ig u el, M a n u el, A n d rés }
R a n g R -> ra n g o
El conjunto A se llama conjunto de partida. El conjunto B se llama conjunto de llegada. Podemos asignar A —> B como el conjunto de pares ordenados que asocia cada elemento del conjunto A con un elem ento del con ju n to B y formar la correspondencia R l de la siguiente manera. RJ= {(1 ; P ed ro ); (2 ; J o sé); (3; M ig u el); (4; M a n u el); (5; Á n d res) } A su vez, p odem os establecer la llamada correspondencia inversa B , : B - > A . Esta relaóión asocia nombre con posición. Rt = {(P ed ro ; 2) ; (J osé ; 2 )¡(M igu el ; 3 ) ; (M a n u e l; 4) ; (A n d r é s ; 5 )} R E L A C IO N E S
• De d on de:
D om R
q
A
R an gR c B • En el ejemplo anterior : Conjunto de partida : {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 4 } .4
^ Conjunto de llegada : {-2 ; 3 ; 5 ;- 9 ) 9 D om R = {2 ; 7} R a n g R = {-1 ; 3 ;- 9 ) EJEM PLO 2 : En el conjunto : A = {9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 } Establecemos las siguientes relaciones: • «a» es el doble de «6 » • «a » es igual a «fe»
Sean «A» y «B » dos conjuntos no vacíos; un conjunto R de pares ordenados se llama una RELACIÓN DE A en B , si R es un subconjunto cualquiera de AxB. es decir , R es una relación d e A a B o F c A x B .
E scribir los pares que cum plen las relaciones respectivamente:
Se denota : J fcA -»B o A -+ B
S ea:
NOTAS : •Una relación de A en B es también llamada una RELACIÓN BIN ARIA , puesto que en general, si A x B tiene ti elem entos entonces A x B tiene 2 n subconjuntos por lo tanto, existen 2” relaciones de A en B. • Se dice que un conjunto R es una relación en A si R c A x A. EJEM PLO 1: Sean : A = {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 4 } ; B = { - I ; 3 ; 5 ; - 9 } -> R = { ( 2 ; - 1);(2 ; 3 ) ( 7 ; - 9 ) } es una relación de A en B , ya que cada uno de sus pare6 ordenados está en A x B
R E S O L U C IÓ N : R¡={(a ; b) / « a » es doble de «b» } ~^R1={(2; 1), (4 ;2), (6 ;3), (8;4)) Rs={(a ; b) i «a» es igual a « 6 » } {(l;l),(2;2),(3;3)f(4;4), (5;5),(6;6)f(7;7),(8;8),(9;9)}
EJEM PLO 3 : Sean: A = { 2 ; 3 } y B = { 1 ; 2 } A x B = { ( 2 ; l ) , (2 ;2 ), (3;1), (3 ;2 )} Hallar todas las relaciones que se pueden formar de A en B. R E S O L U C IÓ N : • Lo que se pide es bailar todos los subconjuntos de A x B . Como A x B tiene 4 elementos, entonces debe tener 2* = 16 subconjuntos. En la siguiente tabla se
5f sos I
c
presentan estos subconjuntos : SmImmJiibIo Mko^|ntoi Wuhcn^jraiot SubconJuUa Snbcoajuatas con eoa oaa eoo cas 0cimento* 1 elaraanta 2 atrapentoa Solfwgiriot 4eiaMs(oi { )
l(2;I),(2&).
{(2 ¡lM 2 i2 n i(2;2)} U 3 ;in
i(2;lh (2;V \ (Sil)} U2il)t(A;2)i i(2 ;l)t(2&),
(3;l)t(3;2)}
EJEM PLO Sea
Z O iZ }
7:
N = {(3 ;4), (421; 2), (3 ; 5). (4 ;3)}
Halle la relación R = {(a ; b ) e N / Ja* + bs = fi} R E S O L U C IÓ N : Se quiere el conjunto de los pares ordenados de la
(3,2)}
U2f2L(3;t)\
" * ? íX t'M 'M A IP E D lA
forma ( a ; b ) e N / Va 2 + b 2 = 5
{(2;2),(3;2)} {(2;1),(3;1). (3 # ))
‘ Luego : R = {(3 ;4), (sÍ2¡; 2), (4 ;3)} •Vemos que cada par ordenado cumple la propiedad
\(2i2H2il), (3 ¿ )}
requerida ( ->Ja2 + 6 2 = 5 )
EJEM PLO 4 : Considere una de estas relaciones, por ejemplo: R = {(2 ;1 ), (3 ;1 )}
CO N JU N TO D E P A R T ID A y CON JU N TO D E L L E G A D A
Sean C = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6], D = { 1 ; 2 ; 3 ; 4} y R la siguiente relación de C en D : R - i(x ;y ) c C x D / x es un divisor de y } Representar gráficamente R .
Si R e s una relación de A en B t llamaremos conjunto de partida y conjunto de llegada a los conjuntos A y B , respectivamente. _
R E S O L U C IÓ N : D
ia g r a m a s a g it a l
D
i a g r a m a c a r t e s ia n o
D O M IN IO D E
6
C
U N A R E L A C IÓ N
El dominio de una relación es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que definen a la relación. N ota ción : D om R = dominio de R
¿Cuántas relaciones de A a B se pueden formar si: A = {3 ; 5 ; 7 ; 1 5 } B = {a ; b ; e } R E S O L U C IÓ N : •Como A tiene 4 elementos y B tiene 3 elementos, entonces, A x f i tiene 4 x 3 , es decir, 12 elementos ; en consecuencia, A x B tendrá 2 i : subconjuntos , lo mismo que 2J* relaciones. •De la definición de una relación R del conjunto A al conjunto B , R = A -> B el conjunto A se llama conjunto de partida y el conjunto B de llegada. EJEM PLO 6 : Sea : M = {(2 ;3 ), (7 ;4 ), (1;1)9 (2 ;4 ), (8 ;4 ) } Calcular : R = { ( x ; y ) e M / x + y < 6 }
O también:
RANGO D E
U N A R E L A C IÓ N
El rango de la relación, llamado también imagen del dominio o conjunto de imágenes de los elementos del dom inio , es el co n ju n to de las segundas componentes de los pares ordenados que definen a la relación. N O T A C IÓ N : Ran R = rango de la relación
R E S O L U C IÓ N : • Será el conjunto de todos los pares de la forma:
{(x,y) f x + y < 6 } ♦ Entonces: R = {(2 ; 3 ), (1; 1), (2 ; 4 )}
* O también : R a n (R ) = { y € B / 3 x e A , ( x ; y ) e Jf} En form a g rá fica podem os rep resen ta r estos
[i2nw*:M**¿xrc& H f m v o ^
807 j n s
conjuntos como sigue ; si R representa la gráfica de la relación , la proyección sobre los ejes resulta :
no es reflexiva porque (2 ;2 ) y (3 ;3 ) pertenece a R 2 Observa cómo representamos la relación R r
EJEM PLO 1 :
• Una relación R es reflexiva en un conjunto A cuando todos los pares de A x A cuyos componentes son iguales y pertenecen a R .
Dada la relación : R = {(1:1),(1 ;3 ),(2 ;3 ),(3 ;5 ),(4 ;7 )}
no
• Una relación es reflexiva cuando en su diagrama de flechas todos los elementos tienen un lazo (© )) y en su diagrama cartesiano todos los elementos de la diagonal están señalados.
Entonces : D om (R ) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 } R an (R ) = {1 ; 3 ; 5 ; 7} EJEM PLO 2 :
C O N C L U S IÓ N :
Sean los conjuntos : A = {1; 2 ;3 ;4 ;5 ; 6 } EJEM PLO :
B = {1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 2 5 ; 36 ;4 9 }
R = { (x ; y )/y = (2x + 1)¡ } Halle su dominio y su rango
Si A = { 1;2;3} las relaciones en A
R E S O L U C IÓ N :
* R 2 = { ( ! ; ! ) , (2 ;2 )} no es reflexiva en A porque falta (3 ;3)
• Rj = {(1;1), (2;2), (3 ;3 )} es reflexiva en A
R -JS
I I ) R E L A C IO N S IM É T R IC A : Una relación R en A , diremos que es simétrica si ( a ; b ) e R implica que (6 ,*a>e R , esto es:
EJEM PLO 1 : •De donde : D om R = { 1;2;3} R a n R = {9;25;49} CLASES D E
R E L A C IO N E S
Dados A = {2 ;3 ;4 ) y su producto A x A = {(2 ;2 ), (2 ;3 )f (2 ;4 ), (3 ;2 ), (3 ;3), (3 ;4), (4 ;2), (4 ;3 ),(4 ;4 )}t establecemos la relación y la graficamos: R 2 = {(2 :3 ), (2:4), (3;2), (3;4), (4;2), (4 :3 )}
i ) R E L A C IÓ N R E F L E X IV A í Una relación es reflexiva cuando todo elemento del conjunto A está relacionado consigo mismo, es decir, si a e A ^ (a ; a ) e JR. * Formalmente : Una relación R se dirá reflexiva si y sólo si (a ,a ) e R , V a e A , R : A -> A EJEM PLO : DadoBA = {2; 3 } y su producto: A x A = {(2 ;2 ),(2 ;3 ), (3 ;2 ),(3 ;3 )}, establecemos las relaciones R¡ y R 3 definidas por «a = b» y « a * b » respectivamente. Rj={(2;2),(3;3)} R¡ es reflexiva R 2= {(2 ;3 ),(3 ;2 )} R s
• En el diagrama de flechas de una relación simétrica todos los pares están unidos por flechas dobles y en el diagram a cartesiano los puntos correspondientes a esta relación son simétricos. EJEM PLO 2 :
Si A = {2 ;4 ;6}
E l SOS | * R , = {(2 ;2 ), (4 ;2 ), (6 ;2 ), (2 ;4), (2 ;6 )} es simétrica porque (x ; y ) e R l =$ (y ; x ) e R¡ * Rs = {(2 ;4), (4 ;6), (6 ;4 ) } no es simétrica porque falta (4 ; 2)
ArCH'LOPEDIA 2012}
EJEM PLO 1: Dado A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 } f establecemos la relación a R fe: b-aeA *y la graficamos. R = [(l;2 )A l;3 )A l;4 h (2 ;3 ),(2 ;4 h (3 ;4 )\
m ) R E L A C IO N T R A N S IT IV A : Una relación es transitiva siem pre que si un elemento está relacionado con un segundo y éste con un tercero, el prim ero está relacionado con el tercero. Es decir una relación R en A , direm os que es transitiva si: (a;b) £ R a (b;c) e R implica que (a;c) € R esto es: R ee transitiva<=>Va,*6,veA, l(a;b)eRA(b,'c)eR=>(a;c)eR] EJEM PLO 1: Dado A = {1 ;2 ;3 } establecem os en él la relación definida por «a < fe» y la graficamos. R = {(1 ;2 ) 9(2 ;3 ),(1 ;3 )}
* En el diagrama de flech a s de una relación antisim étrica no hay ningún par de elem entos unidos por flechas dobles y en el diagram a cartesiano ningún punto es simétrico a otro. EJEM PLO 2 : R = {(2 ;3 );(2 ; 1)} es antisimétrica puesto que ( 2 ;3 )£ R a (3;2)0R. C O N C L U S IÓ N ; Una relación R : A -* A es antisimétrica siempre que (o;62 £ R con a * fe ^ ( b ; a ) 0 R . V ) R E L A C IÓ N D E E Q U IV A L E N C IA :
* Si en una relación transitiva hay dos flechas consecutivas, siempre hay una tercera flecha que une el origen de la primera con el extremo de la segunda.
Una relación R en un conjunto no vacío A, es una «relación de equivalencia» en A, si en form a simultánea satisface las siguientes condiciones: I) R es R e fle x iv a : Va e A ; ( a ; a ) £ R
EJEM PLO 2 :
W R es S im étrica : ( a ; b ) e R -> ( b ; a ) e R
Si A = {1 ;3 ;7 ;9 } las relaciones en A.
III) R es T ra n sitiv a :
* R j= {(1 ;7 ),(3 ;3 ),(7 ;9 ),(1 ;9 )} es transitiva porque (1;7) s R¡ a (7 ;9 ) s R ¡ => (1;9) => R¡ * R = {(7 ;1 ), (3;3), (1 ;3 )} no es transitiva porque (7;1) £ R2
a
(1;3) e R2 p ero (7 ;3 ) e R2
\ (a ;b ) £ R
a
(fe;
]
c)£ R
• Es decir: Una relación R en A , diremos que es de equivalencia si es reflex iv a , s im étrica y tra n sitiv a .
IV ) R E L A C IÓ N A N T IS I9 IÉ T R IC A í
EJEM PLO 1 :
Una relación binaria es antisimétrica si para todo ( a ; b ) £ R y a * b > si “ a 9* está relacionado con "fe” , entonces "fe” no está relacionado con " a ” .
Dados : A = { a ; b ; c ; d } y
FORM ALM ENTE :
(a;a) eÜ,Va € A ............. (propiedad reflexiva)
Una relación R en A , diremos que es antisimétrica
(a;b) e R,(b;a) e R,Vo,fe e A ..... (propiedad simétrica)
si : V a ; b £ A ( a ; b ) £ R y ( b ; a ) £ R implica que o=fe, esto es:
(a; b) e R, (b; c) e R, =>(a; c) e R,Va, 6,c e A .... (p r o p i e d a d transitiva).
A R A = { (a ; a ); (b; b ); (b; c ); (b; d ); (c; b ); (c; c); (c; d); (d; b );(d ; c );(d ; d ) } , o b s e r v a m o s :
* La relación R : A -> A es una relación de equivalencia porque cumple con las tres propiedades.
\iZM4 w m ? a s K i m m s propiedades: * Ninguna clase es el conjunto vacío : Aj * 0 , A 2 * 0 , A 3 * 0 * Las clases son disjuntas dos a dos : A/ n A2 = 0 , A/ n A3 = 0 , Az o A3 = 0 EJEM PLO 2 :
* La unión de todas las clases de equivalencia forma el conjunto A : A J u A 2 u A 3 = A
Sean A = {0 ; 2 ; 3; 5 ; 7; 8; 12; 13} y
CON JU N TO COCEENTE í
R = { ( x ; y ) e A x A / x - y e s divisible por 5 }. Hallar R como un conjunto de pares ordenados, hacer el diagrama sagital de R y determinar si R es o no relación de equivalencia.
Conjunto cociente es el conjunto que tiene por elementos cada una de las cla ses de una clasificación.
R E S O L U C IÓ N :
EJEM PLO : Tomamos la relación de equivalencia anterior R de
(5 ;0 );(5 ;5 );(7 ;2 );(7 ;7 );(7 ;1 2 );^
A en A , y la representamos : AIR = [ A J9A 2, A3}
<12;2);(12;7);(12;12);(13;3);(13¡-8);(13;13)}
R es: * reflex iv a * sim étrica y * tra n sitiva
R E L A C IÓ N D E O R D E N E S T R IC T O
Luego R es una relación de equivalencia. C L A S IF IC A C iÓ X Toda relación R de equivalencia definida sobre un conjunto A, determina en él clases de equivalencia , es decir, define una clasificación en ese conjunto.
Una relación es de orden estricto cuando cumple sólo las propiedades antisimétrica y transitiva. EJEM PLO : E stablecem os la relación R en el conjunto A = {2 ;4 ;6 } definida por <*a < b» y la graficamos: R = {(2 ;4 ), (4;6), (2 ,6 )} A i
Dado el conjunto A = { paloma, motea, margarita, rota, pato, pad o , abqja} ,
6
determinamos en él la relación R definida como «... es de la misma especie...» y la graficamos:
4
L U
2
A¡ = [p a lo m a ,p a to ,p a v o } ....(aves) A 2 = {m o s c a ,a b e ja }................ (in sectos) A s = {m a rg a rita , r o s a }
(flores)
A
2
4 6 A Observa que se cumple las propiedades antisimétrica y transitiva . Por lo tanto la relación es de orden estricto. R E L A C IÓ N D E O R D E N Y O R D E N TOTAL
Las clases de equivalencia tienen las siguientes
Una relación es d e o r d e n cuando cum ple las propiedades r e f l e x i v a , a n t i s i m é t r i c a y tra n sitiv a . A dem ás, una relación es de orden total cuando todos sus elem entos están relacionados entre sí.
B E fY To lE ^ EJEM PLO :
N V it'L O P E O I A 2 0 I Z ]
P R O P I E D A D E S D E L A ttE E A C IÓ N IN V E R S A
Dado A = {2 ;4 ; 6 } establecemos en él la relación R definida por * a < b »
Dadas las relaciones R ]t R g, tal que :
R = {(2 ;2 ), (2 ;4 ), (2 ;6 ), (4 ;4), (4 ;6 )t ( 6 ; 6 ))
R ¡: A -> B y R2: A - » B se cumple:
Ai I) d om (R ¡) = r a n ( R j1) II) r a n (R j) = d o m ( R j1)
U I){R ¡y' 2 4 6 A Observa que se cumplen las propiedades reflexiva , antisimétrica y transitiva . Por lo tanto , la relación es de orden. R E L A C IÓ N IN V E R S A í
=
R,
I V ) ( R , v R 2r ‘ = R ]1 v R:/ IV )(R ¡ n R 2r ‘ = R t l n R 2¡
IV) (R, - R2)~‘ = R ¡
-
R2l
R E L A C IÓ N C O M P U E S T A Dadas las relaciones :
Dada una relación R de A en B t se llama relación inversa de R y se denota R '1 a la relación de B en A.
R 2: B -» C y R 2: A -> B Se llama relación compuesta de R 2 y R ¡ y se denota R j o Rg, a la relación de A , en C , tal que :
0 sea:
♦ Gráficamente : R,
EJEM PLO 1 : Dados los conjuntos: A = {0 ;1 ; 2 } , B = { 0 ; 2 ; 4 ;6 } y las relaciones: R¡ : A -> B /R , = {(0;2),(2;4)} R¡ : A - * B /R 2= { (0;2),(2;4), (2;2),(2;6), (1 ;0) } Determinar: R,'
Ri'
Rt
Rg
o
ran(R¡)
O B S E R V A C IO N E S : I) R¡ o R2 * ¿ siempre que :
R E S O L U C IÓ N :
d om (R ¡ ) n r a n ( R 2 ) * 4
R ¡ = {(2 ;0 ),(4 ;2 )}
V
R-2l = { (2; 0), (4; 0), (2; 2 ), (6; 2), (0; 1)} EJEM PLO 2 : Sea R la relación definida por : R = {(-1 ; 0 ) ,( 0 ; 1),(1 ; 3 ),(2 ; - 5 ) } Su relación inversa R~1 es : R 1 = {(0
domíRJ
; 0 ),(3 ; l ) t(-5 ; 2 )}
Observamos que R '1 se obtiene con sólo invertir el orden de los pares ordenados de R. K1
II) ( x ; y ) e R 2 A ( y ; z ) e R¡ \-> ( x ; z ) e R¡ o R 2 I I I ) La co m p o s ició n conmutativa.
de
relaciones
EJEM PLO 1 : Sean los conjuntos : A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} B = { 1; 3 ; 5 ; 7} C = {0 ; 2 ; 4 ; 6} R ¡: B - > C /R ¡= {(3 ; 0)f (3; 2 ),(5 ; 4),(7; 6 )} R2: A - > B I R2= {(1 ,1 ),(1 ; 5 ),(2 ; 3 ),(3 ; 5 )}
*
Determinar : R¡ o R s R E S O L U C IÓ N :
* Gráficamente :
no
es
m m vo 8
tznM 4'B4>Nwc&
R oS ='
* D o m R o S = {x e D o m S
a S(x
) e Dom R}
• (R oS )(x) = R(S(x))
R E L A C IO N E S D E F IN ID A S E N L O S REALES (R ) Para el estudio de las relaciones definidas en los reales es de gran ayuda la gráfica de las mismas en el plano cartesiano; para esto se puede aplicar las siguientes recom endaciones dependiendo de la dificultad de la gráfica.
• Del gráfico deducimos : dom f R , j n ra n f R2) = {3 ; 5 }
Rj O R2 = +
* Los elementos de R¡ o R s son : 5 ;4 ) e R¡
->
( 1 ; 4 ) e R¡ o R2
( 2 ; 3 ) e R 2 a ( 3 ; 0 ) e R¡
->
( 2 ; 0 ) e R¡ o R¿
( 2 ; 3 ) e R2 a ( 3 ; 2 ) e R¡
->
( 2 ; 2 ) e R¡ o R 2
(
1 ;5 ) e R 2 a
(
( 3 ; 5) e R 2 a ( 5 ; 4) e R t -> ( 3 ;4 j e R¡ o R 2
I) Como R tiene infinitos elementos para esbozar su gráfica se determinan algunos pares de la misma mediante una tabla, para esbozar la tendencia de la gráfica. Una vez realizado el bosquejo de la gráfica se puede determinar el domfRJ proyectando la gráfica al eje «X» y el ran(R) proyectando la gráfica al eje «Y»;
- t R j o R j = {f2 ;4 j,f2 ;0 j,f2 ;2 ),(3 ;4 j} EJEM PLO 2 : Sean las relaciones: R = {(1 ;2 ),(3 ;4 ),(2 ;5 ),(1 ;3 ),(2 ,0 )} S = { ( - l ; 2 ) f(2 ;3 ),(5 ;l),(0 ;7 ) } Halle: Z jS oR
II) R o S
R E S O L U C IÓ N : 1) S o R A
R
B
S
II) Algunas veces es recom endable determ inar analíticamente el: * d om (R ), para esto, se despeja t4y "en función de «x» y se determina las restricciones de «x» para que ye R * ranfR j, para esto, se despeja «x » en función de «y» y se determina las restricciones de «y» para que xe R
S o R = {(1 ;3 ),(2 ;1 ),(2 ;7 )} II) R o S
R
Una vez determ inado el d o m fR j y el ra n fR j se determina si la gráfica corta al eje X haciendo, y= 0 o al eje Y haciendo , x = 0 , determinando otros pares de la misma mediante una tabla, para esbozar la tendencia de la gráfica. EJEM PLO : Esbozar la gráfica e indicar dominio y rango. R ¡ = { ( x ; y ) e R 2/y = 2 x - l } R E S O L U C IÓ N :
R o S = { (-1 ;5), ( - 1 # ) , (2;4), (5;2), (5 ;3 )} * Algebraicamente , se define la composición de relaciones :
I) Determinemos algunos elementos de la relación R j mediante la tabla. Así :
[A fv
81 2 I
m k m x Tñ
X
y
0
-r 1
-1
-3
1
1
2
3
tXFU EOPFDhX 2 0 1Z J
JJj De la gráfica , tenemos: D om fiZjj = JR REGLA D E
ra n (R ) = Zff
C O R R E S P O N D E N C IA
Es una representación algebraica que define la relación existente entre los elementos del dominio y las del rango.
A
R
GRÁFICA D F R E IA C IO X E S E X R DEFINIDAS v o n v x a e c v a c ió x : La representación geométricas de todos los pares ordenados (x ;y) se llama plano cartesiano o sistema de coordenadas cartesianas, y se denota por R2.
B Se establece una relación buinívoca entre cada punto del plano cartesiano y cada par (x ; y ) de R 2 en el siguiente sentido: «A cada punto P del plano cartesiano le corresponde un único par (x ; y ) y,
De lo anterior se afirma que “y ” es una relación de “ x ” o “y °es una dependencia de ftx tf. Se denota por : y = R (x)
recíprocamente, a cada par ( x ; y ) de R 2 le corresponde un único punto en el plano cartesiano. R E L A C IO N E S L IN E A L E S E N D O S
se lee: «y es igual a R de x».
V A R IA B L E S
EN GENERAL : La regla de correspondencia de la relación R es:
Una relación que se puede escribir en la forma A x+ B y = C , donde A , B y C son números reales, con A y B no simultáneamente cero, es una ecuación lineal en dos variables.
EJEM PLO :
La relación 2 x + y = 23 es una ecuación lineal en dos variables.
Graficar :
R = {(x;y)ly = 2 x - l x e 1-2; 3)} R E S O L U C IÓ N : •Es una relación cuyo dominio es [ - 2 ; 3 ), su rango puede hallarse a partir de su dominio, así: - 2 <, x < 3 = > -4 £ 2 x < 6 ' = > - 5 < , 2 x - l < 5 => R a n gR = [ - 5 ; 5) Tabulando una cantidad significativa de puntos veremos que su gráfica es una línea recta. Tomemos algunos puntos: X y
-2 -5
-2 -3
* En el plano cartesiano :
0 -2
1 1
2
3
• La tabla muestra algunos pares ordenados de números que convierten la ecuación en una proposición verdadera :
2x + y = 23 1 21 2(l)+21 = 2 + 21 = 23 5 13 2(5) +13 = 10 + 13 = 23 7 9 2(7)+ 9 = 14+ 9 = 23 X
y
Todo par ordenado de números reales que convierte una ecuación lineal en dos variables en una proposición verdadera es una solución de la ecuación. EJEM PLOS :
3
5
Determinar si el par ordenado (2 ; 1) es una solución de la ecuación lineal 5 x - 2y = 8.
tUZCACJMXES ]
n tm w & 4 P &
R E S O L U C IÓ N : * Se reemplaza x = 2 y y = 1 en la ecuación 5 x - 2 y = 8. 5 ( 2 ) - 2 ( 1 ) = 1 0 - 2 = 8. • Luego : (2 ; 1) es una solución de la ecuación 5 x -2 y = 8 O B S E R V A C IO N : El conjunto solución de la ecuación : 2x + 5y = 40 se puede expresar a s í : { ( x y ) f 2 x + 5y = 40} Sin embargo , algunas veces cuando se usa esta notación conjuntista , la ecuación dada se reemplaza por una ecuación equivalente en la que una de las variables se expresa en términos de la otra. Como la ecuación 2 x + 5 y = 4 0 es equivalente a la ecuación 2 y —g x ,entonces el conjunto solución de la 5 ecuación : 2x + 5y = 40, se puede expresar como: (x ;y )/ y = 8 - - x O G R Á F IC A S D E L A S E C U A C IO N E S L IN E A L E S E N D O S V A R IA B L E S La gráfica de una ecuación en dos variables es la representación en el plano cartesiano del conjunto de puntos que corresponden a los pares ordenados que son soluciones de la ecuación. EJEM PLOS : Trazar la gráfica de 2 x + y = 3 en el plano cartesiano. R E S O L U C IÓ N :
Observe que : (0; 3) está también en la recta y que (0; 3) es una solución de 2 x + y = 3. Si la gráfica de una ecuación es una recta, entonces las coordenadas de cada punto de la recta son solución de la ecuación. EN GENERAL; Si A , B y C son números reales, con A y B no simultáneamente cero, entonces la gráfica de cualquier ecuación de la forma A x + B y = C es una recta. Similarmente toda recta en el plano cartesiano tiene una ecuación de forma A x + B y = C que es una ecuación lineal en dos variables. O TRO S EJEM PLOS : I) Trazar la gráfica de y = - 3 R E S O L U C IÓ N : La ecuación y = - 3 se puede escribir como O x+ y= - 3. Se usa esta ecuación para hacer una tabla de valores. x y
* En primer lugar se resuelve para y. Después se hace una tabla de valores.
2x+y=3 y = 3 - 2x si x = 0; y = 3
X 0
3
si y = n 0; x = 3
si x =
1
-3
-2
-3
Se representan estos puntos en el plano cartesiano y se unen con una recta. ••
*
0
1
y =4 j
4
2 2
-1
Se representan estos puntos en un plano cartesiano y se unen porque x e y pueden tomar cualquier valor real. Así:
3 2 1
1 1
si x = 2; y = -1
-3
2
si x = 1; y = 1 1
y 3
0
•6 -5 -4 -3 -2 -1 i -i i -2 4 ! -3 -4 -5
í6 2 6 6 f » 4 5 t9
3 4
b
{ y =-3
6X
318
1
X t'íC L O P E D lA 2 0 Í Z )
La gráfica es una recta horizontal, paralela al eje X t trazada 3 unidades debajo del eje X. Para cada punto en la recta, la coordenada y es - 3 y la coordenada x es un número real. II) Trazar la gráfica x = 2. R E S O L U C IÓ N : * La ecuación x = 2 se puede escribir como x + 0 y = 2 . Se usa esta ecuación para hacer una tabla de valores y luego se representan los puntos en el
3
2 2 2
y 0 3 -4
\
0* II
X
.
2 1
Si se conoce a la pendiente m ; el ángulo de inclinación se calcula mediante: a = a r e ta n (m )
1 i! 3 4 X
-3 -2 -1 -1
EJEM PLO :
-2 -3
Trazar la gráfica de - x + 5y = 7 y encontrar su pendiente. R E S O L U C IÓ N :
-4
''
Se hace una tabla de valores y se traza la gráfica :
-5
Y
La gráfica es una recta vertical, paralela al eje Y , trazada 2 unidades a la derecha del eje Y. Para cada punto en la recta la coordenada x es 2 y la coordenada y es un número real. En general: * La gráfica de una ecuación de la forma Q By = C ó y = — donde B * 0 , es una recta O horizontal, paralela al eje X . * La gráfica de una ecuación de la forma Ax = C ó x =
, donde
A vertical, paralela al eje Y.
A*0,
es una recta
PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta es un número que indica la inclinación de la recta.
X
0 3 -2 -7
y 7 5 2 1 0
♦ Se escogen dos puntos cualesquiera de la recta, digamos ^0; ~ j y (-2 ;1 ) y se usa la fórmula de la pendiente
_
7
2
m = 3 w L=i i ¿ = ^ x 2 - x¡ -2 -0 -2
=¿ 5
* Observe que la recta interseca al eje X en el punto (-7 ;0 ) y al eje Y en el punto NOTA:
Para encontrar la pendiente de una recta (no vertical) en el plano , se escogen dos puntos en la recta y se encuentra el cociente : diferencia de las coordenadas y , dividida por la diferencia de las coordenadas x.
El y-intersecto de una recta es la coordenada «y» del punto donde interseca el eje Y, El x - intersecto es la coordenada x del punto donde la recta interseca el eje X .
Usualmente se representa mediante la letra «m ».
Encontrar
EJEM PLO : el x
y y - in terserio s
de la recta
[FM4M4PXTC¿9
«f7> fitQ 5
BBW 5 1 5 BSH
M U sr »te'J 4 * X E S ]
2x +6y = 12 y usarlos para trazar la gráfica.
• Resolviendo esta ecuación para y se obtiene:
R E S O L U C IÓ N :
¿ y+4 = J •O bserve que en
* Para hallar el x - in tersecto se toma y = 0, a s í : 2 x + 6 (0 )= 1 2 -> 2 x = 1 2 -> x = 6 * Para hallar el y - in tersecto se toma x = 0, así: 2(0) + 6y = 12 -> 6y = 12 => y = 2 * Se representan los puntos (6; 0) y (0; 2) en un plano cartesiano y se traza la recta que pasa por
1 1 . —x -> y = —x - 4 8 9 8 2 la ecuación y = —x - 4 , el O coeficiente de x es igual a la pendiente y el término constante es el y - in tersecto, * EN GENERAL: Si una recta tiene pendiente m , y - Intersecto bt y (x ;y )e s otro punto de la recta diferente del y-intersecto (0; b)t entonces una ecuación de la recta es:
y -b --------- = m X
*
o
• La forma explícita de la ecuación de una recta es y = m x + 6. La pendiente es m y el y - in tersecto es b. EJEM PLOS : I) La pendiente de
una
recta
es — y el O y -in tersecto es -4 . Escribir la ecuación de la recta en forma explícita. R E S O L U C IÓ N : F O R M A E X P L IC IT A D E L A E C U A C IÓ N D E U N A R E C T A Nuestro objetivo en esta parte es obtener la ecuación de una recta, es decir asociarle a dicha figura geométrica una ecuación matemática. Empezaremos por hallar las ecuaciones de aquellas rectas las que su ubicación sean fáciles de deducir para finalmente hacer una generalización. EJEM PLO 1: Encontrar la ecuación de la recta con pendiente — y y-in tersecto - 4 . 3 R E S O L U C IÓ N : • Sea (x ;y ) otro punto de la recta diferente de (0;4) . 5
14
m = — , y , b = - 4 t La ecuación y = m x + b queda O entonces: y = —x - 4 8 II) Escribir la ecuación - 3 x + 5y = 15 en forma explícita y dibujar su gráfica. R E S O L U C IÓ N : • Se resuelve para y: - 3 x + 5 y = 15-> 5 y =3 x +15 3 x + 15 3 o -> y = — -Z-------> y = - x + 3 5 5 g *La pendiente de la recta es m — y el y-intersecto o es 3. Así que (0; 3) está en la gráfica. Para dibujar la gráfica, se empieza en (0; 3), se suben 3 unidades y después se cuentan 5 unidades a la derecha. Se traza la recta que pasa por los 2 puntos, (0; 3) y (5; 6). Yt
7
3
6
(5;6)
2 1 (0;3),
-6
4
-á
1
-i
¿
3
4 á
é
-i
i
8 4
9
-2
•3 _ A
_____________ ___________ tc y )
(0;-4)
-5
• Luego :
2
y -(-4) m = ----------x-0
1 _ y+4 8 “ x
1 -ft
-4 -á
-i
l -1 ’2 -3 -4
2 3 4
5 6
7 8 X
816 D IS T A N C IA S E N T R E D O S P U N T O S DEL PLANO Dado dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano, tales como P /x ^ y ,) y P s( x ^ s):
1
KVU'MMPEDIA 2012)
II) Hallar la distancia entre (1 ; 6) y (-4 ; -6 ). R E S O L U C IÓ N : * La distancia d está dada por: d = Vfi - i—4)]2 + [6 - ( - 6 )]2 =
Yk
p2
y2b:
d
-+ d = 4 s 2 + 122 = 4 2 5 + 144 -> d = 4 Í6 9 = 13
(y2- y ¡ ) ±
yi
: (x2-x¡)
9 (x2;y,)
Xl x2 o En el triángulo rectángulo P ¡ QP2 ; PtPt =hipotenusa
P¡Q y
p ¡q
X
= catetos
Aplicando el Teorema de Pitágoras.
Que viene a ser la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano. C A S O P A R T IC U L A R
:
La distancia de un punto al origen de coordenadas:
R E L A C IO N E S
C U A D R Á T IC A S
Se caracteriza porque una o ambas variables están elevadas al cuadrado, por ejemplo: R¡ = { ( x ; y ) e J ? x B / y = x 2 - 2 }
R¿ = { ( x ; y ) e R x R ¡ x 2 + y 2 = 9 } EJEM PLO 1 : Graficar la relación definida por : l) Encontrar la distancia entre (2; 9) y (3; 4). R t = {(*»• y ) e R ? * / y = * 2 - 2 } R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N : * La distancia d está dada por :
* La tabla de valores es:
d = V(2 - 3 )2 + ( 9 - 4 ) 2 -> d = V (-D * + 5 2 = 426 Yt 9
8 7 6 5 14 3 2 -4 .3 -2 -I -I
i(2 ,* 9 )
X
-2
-1
0
1
2
y
2
-1
-2
-1
2
D ( R l) = R (3;4)
l 2 ¿ 4 6 í
Graficar la relación definida por
isa
£ R2 = { ( * ; y ) e X x R I x 2 + y 2 = 9} R E S O L U C IÓ N :
y
tasa
Itlg jL irJ O A ’Eáí ]
* Por tanto, una ecuación de la circunferencia es: >j ( x - 6 ) * + ( y + 4)2 = l ó ( x - 6 ) * + ( y + 4)* = 1
• La tabla de valores es: X
n i?
0 2 -3 | -2 0 ± 2,2 ± 3 ± 2 ,2
3 0
EN GENERAL : Si el centro de una circunferencia es C (h; k ) y el radio es r , un punto P(x; y ) está en la circunferencia si y solamente si CP = r . Por la fórmula de la distancia. CP =
- h )2 + (y - k)
D ( R ¡ ) = [-3 ;3 ] R ( R t ) = [-3 ;3 ]
LA
C IR C U N F E R E N C IA
Una circunferencia es el conjunto de puntos en un plano que están a una distancia dada de un punto fijo. La distancia dada es el radio de la circunferencia y el punto fijo es el centro. Q
Por tanto una ecuación de la circunferencia es (x - h )3 + (y - k ) 2 = r 2. Esta es la forma estándar de la ecuación de la circunferencia con centro (h ;k ) y radio r. Si el centro es el origen (0; 0) la ecuación se simplifica a x 2 + y 2 = r 2. O B S E R V A C IÓ N :
En la figura, C es el centro, r la longitud del radio, P, Q, R , y S puntos de la circunferencia. EJEM PLOS : I) Escribir una ecuación de la circunferencia con centro C(6 ; -4 ) y radio r = 2 . R E S O L U C IÓ N :
II) Escribir una ecuación de la circunferencia con centro (1; 6) y radio 5. R E S O L U C IÓ N :
•Como C es el centro de la circunferencia un punto P(x; y) está en la circunferencia si y solamente si CP = 2 . Por la fórmula de la distancia:
CP = y}(x - 6)2 + [ y - (~ 4 ¡f -> CP = >j(x - 6)2 + ( x + 4)2
* Una ecuación es: ( x - l ) 2+ (y - 6)2=5* ó ( x - 1 ) 2 + (y - 6)1 =25 I I I ) E n contra r el centro y el circunferencia cuya ecuación es:
radio de la
x 2 + y 2 + 2 x + 4y = 11 R E S O L U C IÓ N :
Y{ r 2 1
2 á 4 5 6 7k
-2
-3
Como existen rectas verticales (paralelas al eje Y) que cortan a la circunferencia en más de un punto, entonces la ecuación de la circunferencia define una relación cuadrática que no es una función.
P (x y) ¿ ( A -4 )
* Como la ecuación no está en la forma estándar, para llevarla a esta form a se debe com pletar el cuadrado: x 2 + y 2 + 2 x + 4y = 22 -> (x 2+ 2 x )+ (y 2+ 4 y ) = l l .... Se asocian los términos en x y los términos en y. (x 2+ 2 x + l 2 ) + ( y 2+ 4y + 2 2 ) = l l + l 2+ 2 2 (se completan los cuadrados)
¡m
I s is I
N C JC LO PE D M A 2 0 1 2 }
* De la definición : \d(PQ)\2 = \d(P;F)\2
(x 2+ 2 x + l ) + ( y 2+ 4y + 4 )= 1 6
(x + P ) 2 + ( y - y ) 2 = ( x - P ) 2 + y 2
( x + l ) 2+ (y + 2)2= 16 - + ( x - ( - l ) ) 2+ ( y - ( - 2 ) f = 4 2
* De donde:
* Luego, el centro de la circunferencia es C (-l;-2 ) y el radio es r = 4. LA PARÁBOLA.
PARÁBOLA COX (h ; k ):
EL
V É R T IC E
EX
La parábola se define como un conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
EJEM PLOS: l) Escribir una ecuación para la parábola con foco F (0; 5) y directriz y = -5 . R E S O L U C IÓ N : F : fo co
V : vértice
P A R Á B O L A E X E L E J E F . C O X V É R T IC E E X ( o : O ): 'i eje fo ca l
* Un punto P(x;y) está en la parábola si y solamente si PF = PD yj(x - O)2 + ( y - 5 ) 2 = y j ( x - x ) 2 + ( y + 5 )2
-+^x2 + ( y - 5 ) 2 =yj(y + 5)2 -> x 2 + ( y - 5 ) 2 = ( y + 5 ) 2 - » x 2 + y 2 - 1 0 y + 2 5 = y 2 + lOy + 25
(0¡P¡
directriz
P(x;y) X
Q (x,-P)
y =-P
* De la definición : \d(PF)\* = \d(PQ)\2 x2 + (y - P )2 = (x - * )* + (y + P )2 * De donde: PARÁBOLA £ V E L E JE X EX (0 : 0 ): 1
C O X V É R T IC E
: P(x,y) (■P;0)
:(x;0) eje focal
-> x 2 = 20y -+ — x 2 = y J
20
¿ 1 9 'm m
K E ia ir io ja E A ]
* Luego, una ecuación de la parábola es: x 2 = 20y ó EN GENERAL:
y = — x2 20
fP(x,y)
x2 = 4py es la ecuación de la parábola con foco F(0 ; p ) y directriz y = -p . II) Identificar el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es: x2 = lOy. R E S O L U C IÓ N ; * La forma general de la ecuación es x2 = 4py * de donde : 4p = 10 10 ->
p
=
^
5
------------------- >
4
^
p
=
—
2
• Por tanto, el foco es (0íf ) y
directriz y=— la d i
y*=12x Luego, una ecuación de la parábola es : y2 = 12x O B S E R VA C I Ó N En esta gráfica para cada (x ; y) en la parábola, el punto (x ; - y ) está también en la parábola. Esto significa que la parábola es simétrica con respecto al eje X . El vértice es el punto (0; 0). EN GENERAL: y2 = 4px es la ecuación de la parábola con foco (p;0) y directriz x = - p . Observe que esta ecuación define una relación cuadrática que no es una función. IV) Identificar el foco, la directriz, el vértice y la recta de simetría de la parábola cuya ecuación es y2 = -4 x .
* En esta gráfica para cada (x ; yj en la parábola , el punto (- x ; y ) también está en la parábola . Esto significa que la parábola es simétrica respecto al eje Y. * El vértice de una parábola es el punto donde la recta de simetría (o eje de simetría) interseca a la parábola. En este caso, el vértice es (0 ; 0).
R E S O L U C IÓ N ; • En este caso 4p = - 4 , por tanto p = - 1 . Luego , el foco es (-1 ; 0) y la directriz de la recta x = 2 . El vértice (0 ; 0) y la recta de simetría y = 0. Para trazar la gráfica se hace una tabla de valores : y2=-4x
III) Escribir una ecuación de la parábola con foco F(3 ;0) y directriz x = -3 .
Y fí 6 5
R E S O L U C IÓ N : * Un punto P (x ; y ) está en la parábola si y solamente si PF = P D . / ( * - 3)2 + (y - O)2 = / ( * + 3)2 + (y - y )2
-+sj(x-3)2 +y2=\¡(x+3)2 -+(.x-3)2 +y2= (x+ 3) -+x2=6x+9+y2=x2+6x+9 -> y 2 =
12x
X
y
-2
±2
-4 ± 4
F(-l.-O) -5 -4 -á -1
Tk
XVM lAtPIHUA sois]
I8 2 0 L A
E L IP S E
La elipse se define com o un conjunto de puntos P(x;y), tales que la suma de las distancias de P a los focos F j , F g es igual a una constante 2a (a es radio mayor de la elipse).
• Por definición, se probará que b 2= a 2+ c 2 se obtiene la ecuación: ,b > a EJEM PLOS : I) Escribir una ecuación de la elipse cuyos focos son Fi f-4 ; 0) y F s(4 ; 0) y la suma de las distancias focales es J 0 . R E S O L U C IÓ N : • Un punto P (x ; y ) está en la elipse si y solamente si P F 1 + P F S = 10. Se usa la fórmula de la distancia para expresar PF 7 y PF2 en términos de x y y : P F } + P F s = 10 yj(x + 4 )2 + y 2 + yj(x - 4 )2 + y 2 = 1 0 Yk
EJE FO CAL P A R A L E L O A L E JE X :
n
e je n o r m a l \
P ( x ;y ) A % % % %
P (x ;y ) e je fo c a l 2
-5 -4 3 •2 -2 F t(-4 ;0 ) -2
t ~ t 5 x F 2(4 ;0 )
-2 X * Por definición d (F t;P ) + d (F ^ P ) = 2a i j ( x - h + c ) 2 + ( y - k ) + y j ( x - h - c ) 2 + ( y - k ) 2 =2a y j(x -h + c )2 + ( y - k ) = 2 a -y j(x -h -c )2 + (y -k )2
-3 -4 * Reduciendo se obtiene
25
=2
O B S E R VA C I Ó N :
* Elevando al cuadrado y sabiendo que : a 2 = 62 + c 2 (se demuestra ubicando P en el eje normal y la diferencia de elipse) y reduciendo se tendrá:
R
F
,a>b EJE FO CAL P A R A L E L O A L E J E Y :
H (2) (1) La elipse (1) es simétrica con respecto a PR y a QS. El segmento de mayor longitud , PR , se llama eje mayor de la elipse . El segmento QSes el eje menor de la elipse. Los puntos finales del eje mayor, P y R , son los vértices de la elipse. La elipse (2) es simétrica con respecto a E F y G H . El eje mayor es GH y el eje menor EF. Los vértices son los puntos G y H.
p El punto donde el eje m ayor y el eje menor se intersecan es el centro de la elipse. La gráfica de cualquier ecuación de la form a x 2 y2 —j + TI“ = 7 es una elipse cuyo centro es el punto O o (0;0) y cuyos vértices están en el eje X o en el eje Y. II) Trazar la gráfica de la elipse cuya ecuación es x 2 y2 ——+ —— = 1 . Encontrar las longitudes de los ejes , ¿Q % 7 identificar los vértices y el centro de la elipse . R E S O L U C IÓ N : 2 25
9
"
V
Los * - in tersectos son ±4. Los y - in tersectos son ± 7. * La elipse queda enmarcada en el rectángulo formado por las rectas x = -4, x = 4, y = - 7 y y=7• * Se calcula las coordenadas de unos pocos puntos en el primer cuadrante y se usa la simetría de la elipse para completar la gráfica: X i 2 3 y 6,8 6 , 0 4,6 * Los vértices son (0; 7) y (0; -7 ). El eje mayor tiene 14 unidades de longitud . El eje menor tiene 8 unidades de longitud . Yf
25 = 2
* Si * = 0, entonces y = ±3. Los y - in tersectos son 3 y -3 . • Si y = 0, entonces x = ±5. Los * - in tersectos son 5 y -5 . Se hace una tabla de valores para unos pocos puntos en el primer cuadrante . Después se usa la simetría para completar la gráfica : X
y
2
3
4
—¡ 2 1 ~ 2,7 5
12 5
9 5
i
—¡ 2 4 ~ 2 ,9 O
Yf 25
■5 -4
r
-
r
9
n
-4 ♦ La longitud del eje mayor es 20. ♦ La longitud del eje menor es 6. * Los vértices son (5; 0) y (-5 ; 0). El centro es (0;0). III) Trazar la gráfica de la elipse 4 9 x2+ 1 6 y 2 = 784. Encontrar los vértices y las longitudes de los ejes. R E S O L U C IÓ N : * De : 49xs + 16y¿ = 784 x 2 y2 1 ~> 26 + ~49 ~ * SG mu^ P ^ ca Por ft¡4 am^os tados de la ecuación.
IV) Encontrar los focos de la elipse cuya ecuación 2 2 x +. — y — _ it es : — 81 4 R E S O L U C IÓ N : a 2 = 81 y b 2 = 4 , de donde |a| = 9 y |fe| = 2 . C o m o |a |> |b \, e n t o n c e s e l e je m a y o r e s e l segm en to h orizon ta l q u e u n e lo s p u n to s (-9 ; 0 ) y (9 ; 0 ). • Los focos están en el eje mayor a |c| unidades del centro (0; 0), donde c2 = |a2 - 6 2| = > c*= \ 8 1 -4 \ = 77 -+ \ c\ = ¡77 • Luego , los focos son los puntos : {¡7 7 ; 0) y
( - ¡ 7 7 ; Ó)
iXCMCLOPEMA ZOIZ]
c L A H IP É R B O L A La hipérbola se define como el conjunto de puntos P (x ; y ), tales que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias de P a los focos F2, F 2 es igual a la constante 2 a .
P(x,y)
d (F J+ F s)= 2 c
42 61 * Los y -in te r s e c to s son 4 y -4 . * No hay x -in te r s e c to s . * Ninguna parte de la gráfica está entre las rectas y - 4 y y = -4 . Se hace una tabla de valores para unos pocos puntos en el primer cuadrante.
eje foca l
X
y (a p ro x .)
1 4,05
2 4 ,2
7 6
Se usa la simetría de la hipérbola para completar la gráfica.
eje norm aly a sín to ta s De la definición :
y j f x - h + c f + ( y - k ) 2 - y j ( x - h + c ) 2 + ( y - k ) 2 =2a * Además : ^ =cf * De donde se reduce a :
• Cuando el eje focal es paralelo al eje Y la ecuación es:
• El centro es (0; 0)\ los vértices son (0; - 4 ) , y (0;4). 2 2 Las asíntotas son las rectas y = ~zx y y — O o EN GENERAL: La gráfica de cualquier ecuación de la forma: x 2 y2 а) —j “ TF = 7 es una hipérbola con las siguientes a b propiedades: 1) La hipérbola es simétrica con respecto a ambos ejes. 2) Los x-intersectos son a y - a. No hay y-intersectos.
Trazar la gráfica de la hipérbola cuya ecuación es 36y2 -1 6 x 2 = 5 7 6 . Identificar el centro, los vértices y las asíntotas. R E S O L U C IÓ N : y
2
x
5) Los focos son los puntos (-c ; 0) y (c; 0) donde
2
=1 36y‘ - 16x2 = 576 1$ 36 ambos lados de la ecuación por 576)
3) Ninguna parte de la hipérbola está entre las rectas x = a y x = -a . b b 4) Las asíntotas son las rectas y * y y *• a a
(se divide a
c 2 = a 2 + b 2. б) Gráfica:
EfES
aaa I B M
S tE I^ X K M IB N E S
]
R E S O L U C IÓ N : 4x2 -1 6 y 2 = 64 x* v* — -¿-= 2 16 4 2 42
22
(se dividen ambos lados de la ecuación por 64)
= 1 -> c 2 = a * + b
c 2 = 4 2 + 2 2 —> c 2 = 2 0 -> |c| = V20 = 2 ^ 5 « Luego, los focos son (~2\Í5;0) y (2^5 ;0 ). Y
- 1 6 y 2=64[0tl]
(2\Í5;0) 5 é i k *x
v* x* — r = I es una hipérbola con las siguientes ¿r ar propiedades:
6)
1) La hipérbola es simétrica con respecto a ambos ejes. 2) Los y - in tersectos son b y - b. No hay x -in te r s e c to s . 3) Ninguna parte de la hipérbola está entre las rectas y = b y y = -6 . 4) Las asíntotas son las rectas y = —x y y = a
a
x.
5) Los focos son los puntos (0 ; - c) y (0 ; c ) donde : c* =a* +ft*.
y
G R Á F I C A DM3 R E L A C M O S E S D E F IN ID A S P O R IN E C U A C IO N E S Para graficar una relación definida por una desigualdad : se obtiene graficando la igualdad ; esta divide al plano cartesiano en dos regiones, tal que una de ellas corresponde a la relación dada ; para determ inar cuál de las regiones satisface , probamos con un punto cualquiera de una región y si sus com ponentes verifican la inecuación es la región correcta ; de lo contrario la región correspondiente a la relación e6 la otra. EJEM PLO 1: R = { ( x ; y ) e : I t 2 l y í x + 2} R E S O L U C IÓ N : * Graficamos: y = x + 2 como es una recta , tabulamos :
¿ .= 1 v ¿ _ £ Í = j a* 6* y ft* a* son hipérbolas equiláteras. Las asíntotas de cada hipérbola son las rectas y = x y y — -x .
a = 6 ,entonces las gráficas de
EJEM PLO: Encontrar los focos de la hipérbola cuya ecuación e s: 4 x 2 - 1 6 y 2 = 6 4 .
X 0
y 2
-2
0
♦ Observamos que la recta divide al plano en dos regiones R lt R9 ; probemos con el punto (0; 0) que pertenece a R r
[A JI d M
I8
S M S J X y j.
X C IC L O P E M A S O IS )
Graficar :
(0;0)~* y ¿ x + 2 0¿0 +2 -* 0 ¿ 2
* *
¿F a lso)
* Como (0; 0) eR , y transforma a la inecuación en una proposición falsa , entonces, la R ¡ cumple con la condición de la relación la gráfica será :
I) y > f(x ) I I ) y < f( x )
UI) y ¿ f ( x ) IV ) y i. f(x )
R E S O L U C IÓ N : w
I) n
y>f '‘ ' i*
1
' *
t-K
¡
y1 -,Vs ••. 4, '
✓**. /. . , « 4i*'y < 9f -ó %.
Y-
III), TI u* J* y * f
EJEM PLO 3: S = {(x;y) e R x R l y í x } R E S O L U C IÓ N : * El punto (x; y ) satisface la condición y < x Cuando x toma todos los valores en el eje x la semirecta hallada barrerá toda la zona sombreada.
I) y > f(x ) W yKfíx) III) y ¿ f(x ) IV) y <■f(x ) EJEM PLO 4:
R E S O L U C IÓ N : I)
Graficar la desigualdad : x 2 + y 2 <. 25
* í _____
R E S O L U C IÓ N :
y < f ;*
* La gráfica de x 2 + y 2 = 2 5 es el conjunto cuya distancia de (0 ; 0) es 5 . La gráfica de la desigualdad consiste en los puntos cuya distancia de (0 ; 0) es menor o igual a 5. E stos puntos están en la circunferencia
x 2 + y 2 = 2 5 y en su interior. Yá
[B
I A
I f m
V
R
.g
fr a
M ttTIttXIPS
ssb
u ros
EJEM PLO 5:
EJEM PLO
7:
Graficar la desigualdad (x + 2)2 + ( y - 5)2 <16.
Graficar la desigualdad : 9 x 2 + 4 y2 > 36
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
x 2 y2 • de : 9 x 2 + 4y2 > 36 ~ — + — > 2 se multiplica
* de : (x + 2)2 + ( y - 5 ) 2 < 1 6 - + ( x - ( ~ 2 ) f + ( y - S)2 < 4 2 *La gráfica consiste en todos los puntos cuya distancia de (-2 ; 5) es menor que 4. Estos puntos son los puntos que están en el interior de la circunferencia. La gráfica no incluye los puntos que
a ambos lados por
están en el círculo ( x - ( - 2 ) f + ( y - 5 ) 2 = 4 2.
* Se toma un punto en una de las regiones determinadas por la elipse. Tome por ejemplo (0; 0) que está en el interior de la elipse. Se verifica si x 2 y2 cumple la desigualdad - j - + > 2 . Como 0 >1 es
36
2 2 X V la elipse — + = 1
• Se traza , punteada
(punteada porque la desigualdad es estrictamente mayor que).
falso, la gráfica consta de los puntos en el exterior de la elipse.
4 3 V
Graficar la desigualdad : y 2 < ~ 2 x .
•* 4
RESO L, U C IÓ N :
4€
* Se traza la gráfica de : y2 = -2 x x
0
-2
-8
y
0
±2
±4
l -3-21
* Se toma un punto en una de las regiones determinadas por la parábola y se verifica si cumple la desigualdad. Tome por ejemplo (-3 ; 0). y 2 < -2 x -> 0 2 < - 2 ( - 3 ) ~ + 0 < 6 •Como 0 < 6 es verdadero, la gráfica consta de los puntos que están en el interior de la parábola.
6
5 4 3 2 » '>
- 9 - 8 - 7 -6 - 5 - 4 -3
♦- * ► y ^ 2 - 1 A1 2 a y i -2 -3 -4
'Jé*
1 :2 3
-1 \
i»
X
-2 V
p
-3
r " . . -4 EJEM PLO 8:
Halle la gráfica de intersección de las relaciones
Yk
4— +
i
s =
{(x;y)/ x
£
2}
a
T
=
{(x;y)/y < x 2}
R E S O L U C IÓ N : I— 4
1
% > 1*
1 rp i
i ; s
.
-
-
1
! ^ , i y
x¿2
, X
. 4 i > *% i % % lS n T
■ , ■ 0
1 i
0 c f f « '
2
X
: S ■, M . i,.#*
2
X
[v * .
826
M C M N M S yj
S IS T E M A S D E D E S IG U A L D A D E S L IN E A L E S E N D O S V A R IA B L E S
|
m
EJEM PLO 2: Resolver gráficamente el sistema de desigualdades: ~3x+y<6
Se consideran sistemas de desigualdades lineales en dos variables , x e y , tales como:
2 x -3 y > 6 x + 2y<>2
M'MVEOPEDIA SOIS]
x ~ 2 y < -l x*2 R E S O L U C IÓ N :
La solución de un sistema de desigualdades lineales consiste de todos los pares ordenados (a ; b) tales que la sustitución x = a , y = 6 satisfacen todas las desigualdades . Las gráficas de las desigualdades lineales se pueden usar para resolver sistemas de desigualdades lineales. Gráficamente la solución de un sistema de dos desigualdades lineales con dos variables es el conjunto de todos los pares ordenados de números correspondientes a los puntos de intersección de las gráficas de las dos desigualdades lineales (si estos puntos existen). EJEM PLO 1: Resolver gráficamente el sistema de desigualdades lineales : f2 x - 3 y > 6
x + 2y¿2 R E S O L U C IÓ N : * Se trazan las gráficas de las dos desigualdades lineales en un mismo plano cartesiano :
* La intersección de las soluciones es $, luego el sistema 3x+y 56 x -2 y £ -l no tiene solución.
x*2 O B S E R V A C IÓ N :
Como ya sabemos lo que es una relación, diremos que una función en matemática también es una relación. • Una función es un tipo especial de relación pero no toda relación puede ser una función.
n
• Daremos unas nociones previa antes de dar la definición de FUNCIÓN.
2 x -3 y > 6
x
S -3
* La solución del sistema es la región que aparece más oscura (sombreada) * Observe que el par (2 ; - 3 ) es una solución del sistema: 2x-3y>6 x + 2 y< ,2 •Porque la sustitución x = 2 , y = - 3 satisface ambas desigualdades : 2 ( 2 ) -3 ( -3 ) = 1 3 > 6 a 2 + 2 ( -3 ) = ^ l < ;2
* Sean los conjuntos : A = { 1 ;2 ;3 ;4 } B = {u ,d ,t ,c ,} Y la relación «i?» de «A » en «B». definida por: «a cada número le corresponde la primera letra de su nombre» : * Gráficamente: a r B
Conjunto de llegada
R = { ( l ; u ) t (2;d ), (3 ;t)f (4 ;c)} * O bservam os que a cada elem ento d e «A» le corresponde un único elemento de «B ». A este tipo de relaciones se les llama funciones y se denota por: f : A >B 6 A — Í-+ B * Se lee : función «/* de «A » en «B» * De donde : f = { ( l ; u ) t (2;d), (3 ;t)f (4;c)}„
i u : b .\ € 'aaajvwcM)
827
0 PROBLEM A 1:
3
~> D om ( S ) = (-oo; 0] o [3 ; -n»)
Sean:
RPTA: “ B ”
U = {1;2;3;4}
PRO BLEM A 3:
Ri = { ( x ; y ) e U 2 / x < y }
Sea A = { * e W / * 5 8 } ; si definimos:
R2 = { ( x ; y ) e U 2 l x + y = 5}
R t = { ( x ; y ) e A 2/ y = 2 x }
Dos relaciones, determinar el número de elementos de Rj^jRgA) 13 B) 10 R E S O L U C IÓ N :
C) 6
* Grafícando :
D R¡
D) 8
E) 2
R2 = {(x ; y ) e A 2/ y = x 2 - j } R3 = { ( x ; y ) e A 2 / x
S
2
a
y
> fí},
en ton ces
n (R l ) + n (R 2) + n (R 3) es ig u a l a : A) 15 B) 17 C )19 R E S O L U C IÓ N :
D) 14
E) 12
•Determinemos los elementos de R Jt R 2 y R ¿ R¡ = {(0; 0). (1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8)} R2 = {(1 ;0 ),(2 ;3 ),(3 ;8 )} R3 = {(0; 7), (0; 8), (1; 7), (1; 8), (2; 7), (2; SJ} • Luego : n( Rj ) = 5 , n( R2 ) = 3 , n(R 3) = 6 • De donde:
=> n ( Rj ) + n( R2) + n(R 3 ) = 14
R , = {(1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)}
RPTA: “ D ” PROBLEM A
R2 = {(1 ;4 ),(2 ;3 ),(3 ;2 ),(4 ;1 )}
4:
Grafícar las siguientes relaciones ;
* Entonces : RjuR2={(T; 2),(1; 3)t(1; 4)t(2; 3), (2; 4),(3; 4), (3; 2), (4; 1)}
I)R , = { ( x ; y ) e R 2/ y = 5 , x e < - 2 ; l ] } II)R 2 = { ( x ; y ) e R 2/ x = -1, y e< - I ; 3]}
♦ Luego : n (R ¡ u R 2) = 8 RPTA: “ D ” PROBLEM A 2:
IID R s = { ( x ; y ) e R 2/ y = 3 x - l , x e R E S O L U C IÓ N :
Sea: S = { ( x ; y ) e R 2 l x 2 - y 2 - 3 x + 2 y - l = Ó\
II)
I)
Determinar el dominio de «S». A) { 0; 3] fí)(-a o ;0 ]o [3 ;+ o o ) C)M D)+ E ) R - { 0 } R E S O L U C IÓ N :
-1 -2
X
o* -1
♦ Esta relación está definida por una igualdad. En relaciones de este tipo se suele despejar una variable y analizar los valores de la otra variable : • Para hallar D o m (S )y«despejamos y», completando cuadrados :
y2 - 2y + 1 = x2 - 3x -> (y-1)2 = x 2 - 3x ♦Como ( y - 1 ) 2 Z 0 = > x 2 - 3 x ^ 0 x(x - 3) * 0
Grafícar : R = { ( x ; y ) e R 2/ ( x + y ) ( x - y + l ) = 0, x e < - 2 ; 2)}
XCMCLOFEMA 2 0 1 2 1
I828 I PROBLEM A
R E S O L U C IÓ N : * Como la regla de correspondencia de R es : (x + y ) ( x - y + 1 ) = 0 o
7:
R¡ = { ( x ; y ) e E 2 l x 2 + y 2 ¿ 4 }
x + y = 0 v x - y + J =0
Rz = { ( x ; y ) e E 2 l y í x } Determinar el área determinada por R¡ n R 2
y =-x
R E S O L U C IÓ N :
v y = x +1
• Tiene dos condiciones , entonces , la gráfica es la
* Graficamos x 2 + y 2 = 4 ; su gráfica es una circunferencia de centro (0 ; 0) y de radio 2.
Graficar :
I)Ri = { ( x ; y )
R2/ y
e
II)R2 = { f x ; y 7
= - x 2 + 4 x - J , x g [0;3)}
e R 2/ x = y 2 - 4 y - 2, x e [ - 2 ; 3 } }
R E S O L U C IÓ N :
* Como (0;0) transforma a la inecuación en una proposición verdadera, la región interior corresponde a la gráfica de R r * Grafiquemos y = x ; su gráfica es una recta. i
I) Transformando : y = - x 2 + 4x - J -> - y = x 2 - 4 x +1 ~+ - y = x 2 - 4 x + 4 - 4 + 1 -+ - y = ( x - 2 ) 2 - 3 ^ y = 3 - ( x - 2 ) 2 k * Graficando : • 3 X
y
0
- i
3
2
X
y
0
0
1
1
• Como (0 ; - 1 ) eRg transforma a la inecuación y ¿ x en una proposición verdadera, la región R t corresponde a la gráfica. * La gráfica de Rt ^R s será :
U) Transformando: x = y2 - 4 y - 2 > x = y 2 - 4y + 4 - 4 - 2 x + 6 = ( y - 2 ) 2 -> x = ( y - 2 ) 2 - 6
• El área de la región sombreada es:
S1 = n r 2 ¡ 2 ^ S 1 = - 2)
= 2n
PROBLEM A 8:
Resolver el siguiente sistema de inecuaciones
[ g
w
i r i O
i W
5
H
im
m
KM sa¿\ i
v
2 x + 5 y £ 60
R : | y - x | á x
2 x + y < ,3 0
a
x
=> - x <>y - x
\*20
]
2 0
x
=> 0 ¿ y a y £ 2 x * Graficamos primero las rectas y = 0 (eje X) A y = 2 x (los bordes de la región)
y 2 0
R E S O L U C IÓ N : O B S E R VA C I O N E S ': * Cada inecuación representa un semiplano, incluida la recta frontera. * Geométricamente, ¿Qué representa el conjunto solución del sistema , es decir , el conjunto de los pares ordenados de números reales que satisfacen a la vez las cuatro inecuaciones? * Para determinar cuál es la región del plano que corresponde a la inecuación, basta encontrar un par ordenado cualquiera que satisfaga la inecuación. La región a la que pertenece el punto es la solución.
* Luego, ubicamos las regiones correspondientes y 2 0 : es la región sobre el eje X , el semiplano superior (incluyendo la recta).
* El conjunto de pares ordenados de números reales (x ;y ) que satisfacen al sistema anterior es la región sombreada.
y á 2 x : es la región en la que los pares tienen ordenada menor o igual que la de la recta (región bajo la recta y = 2 x ) . * Luego R es la intersección de estos semiplanos. - » D o m (R ) = Í0;+ «o) = R a n (R ) - • A s í D o m ( R ) n R a n (R ) = [0 ;-h » )
R P TA : “B ” PROBLEM A 10: Determine el rango de la relación : R = [ ( x ; y ) s R x R / x 2 + y 2
• Esta región poligonal convexa de los puntos solución suele denominarse región de puntos posibles. • Podemos desear conocer cuáles de los puntos posibles maximizan o minimizan cierta función (que se llamará fu n ción o b jetiv o ) que depende del sistema dado. Hallar el complemento de la intersección del Dominio y Rango de la relación .
R = { ( x ; y ) e R2 /|y - x| «£ * }
D )(^ o ;0 )
B )[-$ 2
D )l-l;l\
E )[0 ;1 \
;$ 2 ]
C»
R E S O L U C IÓ N : * Graficamos
R : x 2 + y2 <>2 a y2 £ x ¥ : x2 + y2 = 2
a
: y2 = x
O B S E R VA C I O N E S
PROBLEM A 9 :
A) (-oo; 0) u (0 ; + oo)
A ) [ - 1 ; -12]
B ) [ 0 ; oo)
C )(-co;0]
E)(0;co)
R E S O L U C IÓ N : • Esta relación (en R * ) está definida por una desigualdad. E n relaciones de este tipo (con desigualdades) la gráfica resulta una región del plano.
* La circunferencia separa al plano en dos regiones disjuntas y sólo una corresponde a la desigualdad
x 2 + y 2 á 2 . Por ello bastará probar con algún punto de una de las reg ion es, por ejem plo ( 0 ; 0 ) : 0 2 + 0 2 i 2 es verdadera. Luego x*+ y*^ 2 corresponde la región sombreada, que contiene el punto (0; 0). * Análogam ente p odem os usar ( 1 ; 0) en y 2 £ x -> O2 £ 1 es verdadera, luego es la otra región sombreada que contiene el punto (1; 0),
I sao lE
[A I ,
X C M C iA P F M C M A 2 0 i 2 }
* Luego, 2a + 46 = -1 - TE + - 2 + 2>/5 = TE - 3 R PTA : “D ” PROBLEM A
12:
La gráfica de la región definida por el conjunto A = {(x;y) e R x es: A) * De la intersección de estas dos regiones (sombreadas) del plano, resulta gráficam ente la relación R. x 2+ y2 = 2 0 J => x = 1 , y = ± l y = x ,x^ 0 * Luego, proyectando la gráfica de R al eje Y se tiene:
R /x *
Y
+ y 2 < 4 y +16
a x 2
+ 2 5 y}
B)
D)
C)
R a n (R ) = [ - ! ; ! ] . RPTA: “D ”
PROBLEM A 11:
R E S O L U C IÓ N :
Si el dominio de la relación: R = {(x;y) e R2l x 2 + y - 2 <0
a
y-x-l^ o}
* De la primera : x 2 + ( y - 2 ) 2 < (2\Í5)2 * Graficando el conjunto A se tiene :
es [ a ; 6 ] , hallar 2 a +46 A)4B
B )2 sÍ5 - 1
C )4 s + 1
D )4 s - 3
E)1
R E S O L U C IÓ N : R : x 2 + y —2 < 0 A y — x — 1 > O * Graficamos: : x 2 = —( y — 2 ) A ¿ ; y = x + J V( 0 ; 2 ) , p < 0 * Probamos con el punto (0; 0) para determinar las regiones correspondientes:
RPTA: "A 99 PROBLEM A
13:
En la figura adjunta se muestra la región R limitada por las rectas L J9 L s y L3. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a R?
*
-i± 4 i-4 (i)(-u - i ±4b _S x —-------- 1--------------------- —-------------2 (1 )
1
45 =»“ — 5 ~ T
2 .
ly/5
A) (2,4;1)
B) (2;2)
C)( 3; l)
R E S O L U C IÓ N : * De la figura, la región está definida por:
E) (i;i)
f r y < x ......... ----- (I)
t
i
]
D = S£2 r i £ 4 -* y = —( x - 5 ) A y = - x - 3 ó •" y = - x + 5
3 y > x --------- ...... (II) y < 4 - x . ...... ...... (III)
-> x = 2
y = - 5 -+ D = (2; - 5 )
a
* De (U ) - 3(111): O > x - 3 (4 - x ) -> x < 3
• Luego, la suma de componentes es:
O< x < 3
-3 + 5 + 5 - 3 = 4
* Para x = 1: y< i
PRO BLEM A 15: Si x e y e Z tal que satisfacen el sistema
3 * Ninguno de los pares dados satisfacen éstas condiciones. * Para x = 2:
y <2
2
y > —
3
2=>-z
/
3
* También ningún par satisfacen las condiciones anteriores. * Para x = 2,4: y <2,4 y>o,8
RPTA: 4tC 99
y - x 2+ 6 x - 12*0 2y-x 54 Entonces , el mayor valor que admite (x + y ) es : A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 É) 8 R E S O L U C IÓ N : •De: y * x *2 - 6 x + 1 2
y ¿ ( x - 3 ) 2 +3
x
y ^ + 2 :- c .
0 ,8 < y < 2 , 4
* Graficando el sistema
* Luego , el par es: (2,4 ;1)
n
y = (x- 3) + 3
KPTAÍf'A’V ^
PROBLEM A 14:
»
Sr éréiguiente conjunto A~jf;r;y)eRxR/y5tf+JAy5~;r+5Ay£~Y*-5My¿-*,-3 j' representa una región poligonal, entonces la suma &e las componentes de todos los vértices del polígono es:; A) 2 B) 3 0 )4 D )5 E ) -3 R E S O L U C IÓ N :
y= % + 2
♦EnAr y = ( x - 3 ) 2 + 3 = - + 2 2 -+ 2 x 2 - 13x + 20 = 0
* Realizando la gráfica de A :
Yi
—> x t = 4 v Xo = — : y = x +3 * Para x ¡ = 4 : y 1 = 4 - + A = (4; 4) ♦ o * : y2 = — *3 ♦Para x2 = ~
X S£a.#y = - x + 5
A = (-3 ;0 ) C = (5;0) B = 2 1n 2 3
y = x +3 a y = -x +5
-> x = 1 a y
4 - + B = ( l ;4 )
13 4
♦ Luego : ( x + y ) máx= 8
RPTA: t4E 99 PROBLEM A 16: La gráfica de la región definida por el conjunto \A = { ( x ; y ) e R x R ¡ y + 2 x * 4 + x 2 A y ~ 2 $ \ x + m
E l i 8 3 2 |B
PT ? S Á x / g o r m i 2 0 2 2 ]
"""""
4 La gráfica de |x|+ |y| < 2 es:
B)
• La intersección de éstas dos es la región definida por Af. R PTA: 4IA ff
R E S O L U C IÓ N : * La primera: y £ ( x - 2 / + 3
PROBLEM A
* La segunda: y < \x + 2| + 2 * Haciendo la gráfica del conjunto, se obtiene lo
18:
En la figura adjunta se muestra la región R limitada por las curvas C ¡ : x = 3 y2 y C2 : x + y = 2. Determine el sistema cuya representación gráfica es R.
R PTA: “ D ff PROBLEM A 17: La gráfica de la región definida por el conjunto M = {(x;y)e
R xR /|x-y|*2A|x|
+ |y|£2} es:
A)
D)
x ^ 3y
B Á 3* 2 * * I* S 2 - y
x +y £2 x £ 3y2
E)
x +y * 2
C)
3y2 <.x x '¿ .2 - y
3xíy x +y ¿2
R E S O L U C IÓ N : * Nótese que la región R de la figura es la intersección de las dos regiones siguientes: Y
\
1 De:
x - y | * Í - > x - y * I v x - y á -2
2
\
i • i
>•:
~> y < x - l v y * x +2
*
• * ’
x +y< 2
y su gráfica es como sigue : Y y -x -1
n
rV ■' ' © © V
X x + y =2
H
r m
V
o
bbw
^
• Luego , el sistema será :
x + y52 x £ 3y
s
• La gráfica de D es el semiplano por encima del eje «x». Intersectando estas tres regiones, se obtiene:
ó R PTA : " B "
PROBLEM A 19: Si A , B y C son conjuntos, definidos por :
A = {(x;y)e R xR /x<0} B = { ( x ; y) ^ R x R / x + y 5 2} C = {(x;y2«r R x R / y ; > 0 }
RPTA: " C "
Entonces la figura que mejor representa al conjunto
PROBLEM A 20 :
( A kjB ° ) c c\D es:
Si R es una región cerrada cuya gráfica se muestra en la figu rá adjunta, entonces el sistema de inecuaciones que definen la región R es:
A ) Yk f.
>rV
Yi X
i?
> *<
I
• De lo pedido :
•c\ ( A kjB c ) c r , D = A c n B n D .
x+y52 25x+y 5 2 x*0 D) x * 0 y ± 0 y tO
A c = { r * ;y j t i x j f / ~Yar< Oj} - » A c = {C *;y> e R x R f * ¿ 0} • Y su gráfica es: Y V .Ají *
•.*
•
-
-
. i
^x>0
x+y=2
•-
x+y=2
X • La gráfica de B es:
* R está en el primer cuadrante (incluido los ejes) - > x £ 0 Ay£fll * La franja de R es la intersección de las regiones definidas por: x + y >2 a x + y < 2 * Luego: R está definida por : 25 x + y 5 2
x £0
a
y
£0 RPTA: " D ”
I8 9 * |
N C IC L O F F D IA 2 0 1 8 }
PROBLEM A 21:
* En O: F (0; 0) = 0
Una de las aplicaciones del sistema de inecuaciones lineales es la programación lineal, el cual consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, sujeto a ciertas restricciones (Las cuales forman una región poligonal cerrada).
* Luego , el máximo beneficio se obtiene para:
Para optim izar la fu o ción-objetivo F ( x ;y ) se evalúa en cada uno de los vértices de la región poligonal.
x = 20 a y = 60 RPTA: “E ” PROBLEM A 22: En la figura adjunta se muestra la región R sombreada :
A P L IC A C IÓ N : En una urbanización se van a construir casas de dos tipos, económ icas y súper económ icas. La empresa constructora dispone de 1800 000 dólares, el costo de cada tipoo de casa es 30 000 y 20 000 dólares respectivamente. La municipalidad exige que el número total de casas no deben ser superior a 80. Sabiendo que el beneficio por la venta de una casa económica es de $ 4 0 0 0 y por la súper económica es $ 3 000, entonces el número de casas de cada tipo que se deben construir para obtener el máximo beneficio es: A) 0;80 B) 60;20 C) 50;30 D) 40;40 E) 20;60 R E S O L U C IÓ N : * Sea x : N° casas económicas y: N° casas súper económicas * y sea F la función «B en eficio »
Si la región R se puede representar mediante un sistema de inecuaciones, entonces el sistema es: A) x 2 + y2 ¿4
|y| * * B) x 2+ y2 ¿4
C)
M z x 2+ i X2
+ y2¿ 4
R E S O L U C IÓ N : • Nótese que la región sombreada es la intersección de estas dos regiones:
F (x ;y ) = 4000x + 3000y ó F (x ;y ) = 10s (4x + 3y) •Restricciones: x , y e N 0 30 OOOx + 2 0 OOOy ¿ 1 8 0 0 000 x + y ¿80 * Graficando la región poligonal generada por las restricciones:
* Donde: A = (0;80) , B = (20; 60) C = (60; 0) , O = (0;0) x2 +y2<4
* Evaluando F en cada uno de éstos puntos: * En A : F (0 ;8 0 ) = 10s (3 x 80) = 240000 * En B :F (20;60) = 10s (4 x 2 0 + 3 x 60) = 260000 * En C: F (6 0 ;0 ) = 103(4 x 60) = 240000
• Luego, R está definida por : x 2 + y 2 <.4 RPTA: “A
99
[K n W 4
M W 7M & 49&
K
PROBLEM A 23:
entonces el cardinal del conjunto A es: A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E)4 i
a
x
->x2 +y2 < l
a
l i A
l
S c = { ( x ; y ) e Rx Ri y + i ¿ x 2 } 2°J y 5 2 x
y¿ ~ £
a
R E S O L U C IÓ N : +y2 5
A
-> La región anterior está dada por :
X = { ( x ; y ) e 2 x 2 / x , +y*5lAX , + y * 5 6 y - 8 A y 5
x2
I I I O
Si S = { ( x ; y ) e B x J U y + l < x 2}
Si A es un conjunto definido por:
* De:
f X
2
n
+ y 2 5 6y - 8 x 2 +
( y - 3 ) 2 <1
• Graficando :
x2+ ( y - 3 f < l => — 5 x 2
x 2+ y 2< l X
x 5 2 y =3 — 5 x 5 2 y 2
a
La región está dada por Af. • Luego, la región pedida está dada por :
•No hay intersección , Con lo cual : A = <)>; n(A) = 0 R PTA: “A ”
Sc n M = M - S R PTA: “ D ”
PROBLEM A 24 :
PROBLEM A 25:
Si Af y S son dos conjuntos definidos por :
La figura que mejor representa la gráfica de la región definida por el coryunto.
Af = j ( x ; y ) e R x R l — 5 x 5 2yJ
A = { ( x ; y j e R x R / y ¿ |x|a M + |y|¿ I S = { ( x ; y ) e R x R I y + I < x 2} A)
Yi
B)
C))
I
D)
Entonces la región sombreada mostrada en la figura adjunta, se puede representar mediante:
A)M u S B)M n S C)(MnS)c D) M- S R E S O L U C IÓ N : * Nótese que la región sombreada de la figura es la intersección de las dos regiones siguientes: d
n
R E S O L U C IÓ N : * La gráfica de y 2 |x| es Yi
ií
a
|x|+ |y|5 2 }
WS\ 886 IB *La gráfica de : W + H ^ 7 A W + [ y | ^ 2 que es lo mismo q u e : 2 ¿W +ly|s 2 es :
C M C IM P E M A S O I S ]
centrado en el origen y con radio 1 (sin el borde), • Luego , intersectando se obtiene : Y
RPTA: 44A*§ La intersección de éstas dos genera la región definida por el conjunto A . R PTA: 4ÍD ”
PROBLEM A 27: Los valores reales r e y que satisfacen el sistema:
PROBLEM A 26 :
x * + y * <2\x\
La figura que mejor representa la gráfica de la región definida por el coi\junto:
M 5 ** Forman la región sombreada representada pon Y B) A)
Yi v
*7*.' 7 H ’W
CJ
Yi
R E S O L U C IÓ N : R E S O L U C IÓ N :
* De la primera : f|x| - 1)2 + y 2 < 1 cuya gráfica es
* De «Jlf», se obtiene : 3 2 x y
n
x 2y 31> 0 a x 4y 2 + x 2y 4 - x 2y 2 < 0
(x +l)*+y2=l
W W - |y|j > 0 a x 2y 2( x 2 + y 2 - 1 ) < 0
->xy * 0 a Ixl -|y| > 0 a ** + y 2 - 7 < 0 ->xy * 0a|x| > |yj a x 2 + y 2 <1 * Con lo cual M queda así:
M = { ( x ; y ) e R x R j x y * 0 a |x| > |y| a x 2+ y 2< i } • La gráfica de |x| 2 |y| es: Y
J * f¿;¡
r>%+
"Tt
* La gráfica de: x*+y* <1 es el interior de un disco,
* De la segunda: -x * £ y £ x * y su gráfica es Y
[B P icfo jw g A i
w s3
s*
* La intersección de éstas dos regiones es la región definida por el sistema. R PTA: “ D ”
7 na a ©
Sean los conjuntos:
A = {2; 4; 6 ; 6 ; 8 }, B = {2 ; 2; 3 ; 4; 5 } y “ R ” una relación: R =
{(a ; b ) e A x B/a < b
};
Calcular n (R ) }
:PRI A) 3 ©
Si (4a - 2; 2b + 1)
Hallan “a + b ” A) 2 B) 4
=
7)
(1 8 ;
C )6
(T í) Sea: A = {3 ; 4; 5 }. D) 8
son iguales. Hallar (a ; b). A) ( 4; 5) B) (1 ; 2 ) O ( 3; 7)
1;
E) 9
b -2) y
D) ( 2 ; 3 )
(1 0 ;
6)
E) (1 ;2)
Si loe pares ordenados ( 3 y - l ; 1 0 ),(ll(2 x + 4 ). Hallan x - y A) 3 B) -1
0 -2
D )4
B) -6
D) 6
E) 7
B = { 9 ; 12; 14}. Sea la
A={xe N / l < x<0>
0 5
B = {x eN / 3ZX1 b) n ( B x A)
• ' 4 ' R = {(a ; V «A A
D )7
E) 4
Sea:A = { 2 ; 5 ; 7 ; 8 } ; B = { 4 ; 1 0 ; 1 4 ; 15}. Sea la relación: R = { ( a ; b ) e A x B / b = 2 a ); Calcular n (R) A) 2 B) 3 0 4 D) 5
* r A>F W F
Sea **R99 dedefinida en A x A taléis que:
< y}
A) Re* transitiva B) Rea reflexiva ^ ) R es sinétrica E) B y C
Dado: A = {2 ; 2 ; 3 ; 4 }
E) 6
B) VFFV
D) A xB = B xA C) FVFV
D) F W V
B) NJL
En el conjunto A = {2 ; 2; 3; 4; 6; 6 } se define la relación por R = {( x; y ) e A x A / “ x es divisor de y 99}. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. I) R e » reflex iv a II) R e s T ransitiva t il) R es sim étrica . A) VFF B )F W O VFV D )FV F E) NA. Sea el conjunto A = {2 ; 2 ; 3 } en el cuál se define
Hallan A x A
la relación R.
Sean los conjuntos: A = {2 ; 2 ; 3 ; 8 ; 9 } ; B = {1 ;3 ; 6 ;7 ; 9 }. Se define la relación R = {(a ;b ) e A x B / a + b = impar} Calculan n(R ) A) 7 B) 8 0 9 D) 10 E) 12 Dado los conjuntos: A = {2;4;6;8};
B) 3
C )R a n g o (R ) = B
M Dado los conjuntos;
A= {3 ; 5 ; 7}
A) 2
Indicar V erdadero (V ) o Falso (F ) según corresponda: A )n (A x B ) = n (A )x n (B ) B )D o m (R ) c A
A = {2;4}5}yB = {7;9;10} Hallar: a) A x B b)B x A
a) n( A x B)
R = ( a ;b ) e A x B lb = 3 a ; Calcular n (R )
En una relación **R99 definida en “ A x B 99.
Dado los conjuntos:
D)AyB
0 5
relación:
Si los pares ordenados (a%+
Hallar:
B) 4
B = {2 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Se define la relación R = { ( a; b) e A x B / o í f l } Calcular D om (R ) A){2;4;6} B ) { 2 ; 4 ; 6 ;8} D) { 2 ; 4 ; 8 } E )N A .
R = {(x; y)/ x + y * 6 } , entonces “ R ” será A) Simétrica B) Reflexiva O Transitiva D) Simétrica y transitiva E) N A Si: A = {2 ; 2 ; 3 ). Determinar cual(es) de las siguientes relaciones es reflexiva. « i = { ( 1 ; l ) ; ( l ; 2 ): ( 2 ; 2 ); ( 3 : l ) } R 2 = {(1 : 1 ); (2 ; 2,); (3,3)} Rs = {(1 : 3); (2 : 2); (1;1); (1 ; 2): (3 ; 3)} A) Todas B)RJ O Rt D) R, E) Rt y R t Sea el conjunto A = {2 ; 3 ;5 } en el cuál se define la relación ,(R 99
0{1;2;3;4) R sslfx : vi / x 4- * < ft\ . e n t o n c e s “ S M será *
I8 3 8 1 te* A) Reflexiva B) Reflexiva, simétrica C) Simétrica D) Transitiva E) Simétrica y Transitiva Dada la siguiente igualdad de pares ordenados: ( 2 x ; y + 6 ) = (x + 4 ; 3 y ) . Indicar “ x y ” A) 6 B) 8
O 10
D) 12
A = {J; 3; 4; 5; 0 }; B = {2 ; 4 ; 0 } y la relación “ R ” e A x B / a + 6 = 7}
¿Cuántos elementos tiene R ? A) 2 B) 3 C )4
D) 5
E) 6
La relación “R ” está definida en el coqjunto:
A = {2; 3; 5 } siendo R = { ( a ; b ) e A x A / a # 6 } ¿Qué propiedad o propiedades cumple “ R ” ? A) reflexiva B) simétrica O transitiva D) A y B E) NA.
E)16
(í ? )) Sean los conjuntos:
=
m
C IC M M P E IH A 2 0 1 2 ]
Sea “ R 99definida en *‘A X A 99 tales que: A = {2; 4; 6 } ; R = {(a ; b ) e A x A / a es múltiplo de 0 } entonces “R 99 es : A) R es simétrica B) R es reflexiva O R es transitiva D) R e s de equivalencia E) NA*
Si tenemos el conjunto A = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 0 } y la relación “ R 99 R = ( x ;y ) e A x A / y > x } Hallar D F a R f A) {6} B) {3, 4} O {2,6}
A = {2 ; 4; 0 } se define la relación “R 99 tal que si: R = {(2 ;2 ); (2; 4 ); (2 ; 6 ); (4 ; 4 ); (4 ; 6 ); (6 ,6 )}
D) {2,3,4}
E) {3, 4, 5}
entonces “ R 99 es: A) Reflexiva O Simétrica y Transitiva E) R es de orden
BjSimétrica D) A y C
Sea “R t9 definida en “ A X A 99 tales que: (0 5 ) Dada la siguiente igualdad de pares ordenados: (2x + 5 ; 18) = ( 1 7 ; 4y - 2) Indicar “x y - x + y ” >¿5) Dados los conjuntos: A = {a
e
N / a es impar}
B ={6
e
A = { 2 ; 3 ; 0 ; 9 } ; R = { ( a ; 6) e A x A / “ es divisor de "} entonces “ R 99 es: A) R e s simétrica B) R es reflexiva O R es transitiva D) A y B E) R es equivalente
JVsi6 es p a r }
R = { ( a ; 6) e A x B / a + b es primo menor que 10} Calcular n (R ). Calcular “ a + 6 ” sabiendo que:
@ ) S i : A = { x ¡ x e N ; 4 < x < 8 } ,e l número de
(a + b; 8) = (16;a - b) 0 5 ) Sean: A = {2 ;3 ; 4 ; 5 } ;
B = {3 ; 6;7;10} y
R _ { ( x ; y ) e A x B / ux divide a y ” exactamente} entonces n(R ) es: Dados los conjuntos: A = {1;2; 3 ; 4; 5 };
pares de B = { ( a ; 6 ) e A x A / a + b = 12j es: AJI B) 2 C) 3 D) 4 *2) Si A = {1; 2 ; 3 } y B = { 0 ;1 ; 2 ) , halla el número de elementos de A x B A) 6 B) 5 0 9 ~
B = (3 ; 4 ; 6 ; 7; 8 }
y R = { ( x ; y ) e A x B / y = x + 2}
D) 3
Si A = { 2 ; 4 ; 6 ; 3 } , B = { 1 ; 3 ; 6 ; 7} y
C = {(a;b) e A x B / a < b } , el número de elementos de C es: Aj 5 B) 3 C )4 D) 6
í ) Si: A = {* / * es par menor que 5} R = { ( a; b) e A x A / a = * } i entonces “ R " será: A) reflexiva D)AyB
B) simétrica E) B y C
O transitiva
Si el par ordenado (x + 3 ; y -2 ) es igual a (4 ;3 ), el valor de * + y es: A) 6 B) 7 0 6
D) 8
(E n w n m w r s s w r m V o ^
§€Ki^t
Sabiendo que C = { ( a ; b) e A x B / a - b = 2 ) ,
A )B i
¿cuál de los siguientes pares ordenados no pertenece a C? A) (3; 1) B) (6; 7) C) M ; -6 ) D) (-3; -5) ^ ^ )S i los pares ordenados: (2 a + 2 ;1 4 ), (10;bs-2 ) son iguales . Hallar «a + b » A) 8 B) 9 C) 10
D) 11
B )B i
a ><>>>>» A D)Bk
C)B i
E) 12
Si: A = { 4 ; 7 ;1 0 ; 1 2 } y B = { 1 ; 3 ; 8 } Determinar:R = l(a ;b )e A x B / a < b ) ; dar «n (R )» E) 5 C )3 D) 4 B) 2 A7 2
Determinar «R » y dar el número de elementos de su dominio. R = | (x ;y )e A x B / x 2 = y j B) 2
0 3
D) 4
A
En i? se definen las relaciones: « i = « x ; y ) e R x R tx 2 + y * = 9 }
Si: A = { 2 ; 2 ; 4 } y B = { 1 ; 4 ; 9}
AJI
» |I t
R2 = { ( x ; y ) e R x R / x - 3 y = 0 } ¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor a R ^R gl B) Y
E) 5
Indicar verdadero (V ) o falso ( F ) t según corresponda; respecto a una relación «R » definida de «A» en «B» I) n (A x B )= n (A )x n (B ) W (R ango) = n (D om in io) U D R dA xB A) VFV B) W F
■ I"1[■» ♦1
D) VFF C/jEJ F W -\ u A En el diagrama sagital, cuál es la reg í _
HH•
C) V W
_
correspondencia:
Dados los intervalos: A = (-1 ;4 ) y B = [-2 ; 5] ¿cuál de los siguientes pares ordenados pertenecen al producto cartesiano de A y B? A) (-1; -2) B) (-2; 6) O (4; -2) D) (4; 5) E) (1; -2) En R se definen las relaciones: S = {(x& ) e R x R I y = x 2 - 4 x + 3 }
A)M<,N D)M
B) M=N C)M+1=N E) más de una es correcta
© .Cuáles de las siguientes relaciones son reflexivas?
^7^) Hallar el rango de la relación definida por:
A) [-2 ; 2] B) [-3; 1]
l , = i ( l ; l ) . (3;3), (4;4) } l , = i ( l ; l ) , (2:2), (3;3), (4;4) } B )S óloR , E) R, y R,
¿Cuál es el número de elementos de S n T ? A) 0 Bjl 0 2 D) 3 E) 4
R = {(x ,y ) e R x R I x 2+ y 2 - 4 x - 6 y + 9 = 0 }
= {(1;1), (2;2), (4;4) }
i) Todas ?; Sólo R,
T = {(x& ) e R x R I y = - 2 x - 2 }
O H ;6]
D) [-4 ;0] E) [0 ; 4]
( g ) E n R se definen las relaciones: C )S ó Io R ,
¿Cuál es la gráfica del producto cartesiano Ix B de los intervalos: A = [ 2 ; 4 ) y B = [ 3 ;6 )?
R ,= U x ; y ) e R x R / y = x 2 - 2 }
R2={(* ; y ) e R x R l y = - x 2+
4x)
¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor la región comprendida entre 22, y 22t?
{ 8 * 0 1I.VÍ2Ü
ix c m c e o p e d m a
A) { 4}
B ) {2 ; 4 } E) {4 ; 6 }
D) {O; 2}
2012 ]
C) {0 ; 2 ; 4 }
Sea la relación «R» definida en «A», donde : A = {¿; 2 ; 3} R = {(1:1), (2;2)t (1;2), (2;1), (3;3), (3;1), (1;3)} Afirmamos: I) «R» es reflexiva II) «R» es simétrica III) «R» es transitiva A ) Sólo I D) I y II
En R se definen las relaciones:
B ) Sólo I I E) T odas
Si: M={2; 3; 4}t hallar «n(R)»t si:
R,={(x,-y)cRxX l x 2 + y 2= 4 } R2={(x&) e R x R ¡ x 2 + y 2= 1 6 } R3={(x,-y) e R x XIy=\x\} ¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor la región comprendida entre RJt R2 y R3?
C ) Sólo n i
R ={(x; y) e M zfx+y 5 6} A) 1
B) 2
C )3
D) 4
E) 6
Si: A= { 2 ; 3 i 4 ; 5} Hallar el n[Ran(R)]; si R={(x; y )£ A 2 / x+y=7} A) 1
B )2
0 3
D) 4
E) 6
¡JMiMM El valor de x + y si (2x - y ; x +2y) =(5;5) es A) 6
B) 5
0 4
D) 3
Sabiendo que: A = {1 ; 5; 9; 13} y B={2; 6; 10}, halla el número de elementos R si: En jt se definen la6 relaciones: R/= { ( x y ) £ Ñ x Ñ / y = x 2+ 2 x - 2} R*= { ( x y ) e R x R f y = x) Hallar el dominio de la relación determinada por la región comprendida entre R, y Rr A ) [ - 2 ; l ] B)[-3; OJ C ) [ l ; 4 ] D ) ( - 4 ; - l ] E)[0;3/
R = { (a ; b ) / ( a ;b ) e B x A , si a > b } B) 4 0 6 D) 6
A) 3
m
Si A tiene 2 elementos y B tiene 3 elementos,
el siguiente diagrama pertenece a : A
Bosquejar la gráfica de la relación: R = { (xy) £ÑxRf x2 - xy - 2y2= 0}
----------------------A) A x A
^ í ) Sea la relación «R» definida en los números naturales por:
R={(a;b) eN /N a+2b=10}
Hallar: D om (R) r\ R a n (R)
B)BxB
OBxA
D)AxB
C I A V E S B E L A S E G U N D A P D A C T H 'A 05) B 02) D 04) A 02) C 01) c 10) E 08) B 09) A 07) B 00) A 08) C 18) B 14) E 12) D 11) D 19) A 18) A 17) B 10) E 02) C 02) C O I) C
B
O BJETIVO S
B
B
«
:
* Saber reconocer a una función, así como determinar su dominio y rango. * Graficar adecuadamente todo tipo de funciones elementales. * Conocer otras características de algunas funciones especiales.
«
i
l i g
M*9HW 1WVBC& 1
a
dos conjuntos , las botellas que llamaremos dominio y las tapas que llamaremos codominio de la relación. A esta clase de relación la llamaremos "Función" Consideremos ahora la siguiente "máquina" F. F Q—
F (x )= x + 2
INTRODUCCIÓN .* Uno de los conceptos más importantes del análisis matemático es sin duda el concepto de función cuyo origen e invención no están del todo claro, tal es así que durante todo el siglo XV1I1 se desató una larga y cruel polémica entre los matemáticos ingleses y los del continente europeo. Los ingleses acusaban a Leibnitz de haber traducido la obra de Newton (Inglaterra 1642 - 1727) y los del contienente europeo argumentaban que Newton era el ladrón. Actualmente, mediante una función, los matemáticos buscan describir de la forma más precisa , la relación que existe entre dos variables ; en especial si éstas corresponden a aspectos de la vida real ,'como por ejemplo: ciertos cambios de los fenómenos físicos en el tiempo; la relación entre el precio de un producto y su aceptación en el mercado , o la dependencia entre el costo financiado de un bien y el número de cuotas a pagar, etc. En síntesis, empleamos funciones para analizar numéricamente las relaciones de causa y efecto, es decir la correspondencia entre un valor de entrada y otro de salida . Una función es una relación especial. Ilustremos esta especialidad con unos ejemplos:
El dominio de la función F es el conjunto de los reales y el codominio es el mismo. é Al entrar un número en F, la "máquina" lo triplica y le suma dos ; por ejemplo , al entrar el 1 sale el 5; al entrar el 3 sale el 11, etc. Realmente lo que se tiene es una relación entre dos conjuntos ; y la formalizamos, así : F:R -> R tal que a cada x del dominio le asigna un único elemento en el codominio , los elementos del codominio que son asignados a elementos del domino se les llama imágenes. Nuestro ejemplo se formaliza , así : R F(x) = 3 x + 2 F:R 1 6 2 8 F(x) Muchas figuras geométricas que se ven en la vida cotidiana , pueden representarse por gráficas de funciones. • La parábola y = x* en una antena parabólica.
Entrada Botellas ñ n tapa
Botellas con ta.
Tapa^
Salida
La máquina T realiza una función : cumple la tarea de colocar una única tapa a cada botella. Observemos que en nuestro ejemplo relacionamos
• El electroencefalograma de una persona durante el sueño profundo, tiene similitud a la gráfica de un senoide .
r a
t
a **
ie
WJW? itíSüA
CM'JLOPEDÍA 2012}
en B.
Figura 2 * La ecuación que representa la forma del cable es: y s —.(ex!a + e"*}a) donde a es un número real. Se dice que la gráfica tiene forma de catenaria, palabra derivada del latín, que designa lo referente a una cadena. n
. 75
“ /x .
. v
Sin embargo, el mismo elemento de B puede corresponder a diversos elementos de A (ver figura 2). Por ejemplo dos libros pueden tener el mismo número de páginas , dos personas o más pueden tener el mismo aniversario.
APLICACIÓ N : Una aplicación es una correspondencia en la que a cada elemento del conjunto de partida se le asocia un único elemento del conjunto de llegada.
CONCEPTOS P R E V IO S
Toda aplicación es una correspondencia pero no toda correspondencia es una aplicación. Sabemos que en una correspondencia podemos asociar un elemento de A con cualquiera de los elementos de B, dado un criterio establecido que los relaciona. Una correspondencia , bajo ciertas condiciones, es una aplicación .
C O R R E S P O N D E N C IA í
EJEM PLO:
La noción de correspondencia se nos presenta con frecuencia en nuestra vida diaria, y es un punto importante para entender lo que es una función.
Dados A = {2 ;3 ;4 } y B = {4 ; 0 ; 8;10 } .establecemos la correspondencia f definida por «a divide b» y g definida por «2a = 6» y las graficamos.
EJEM PLOS : * A cada libro de una biblioteca le corresponde un número dé páginas que tiene . * A cada ser humano le corresponde una fecha de nacimiento . Para cada correspondencia en el ejemplo anterior se necesitan dos conjuntos, A y B. En el primer ejemplo, A representa el conjunto de libros de una biblioteca, y B es el conjunto de enteros positivos. A cada libro, x, en “AM , corresponde un entero positivo "y" en B , que es el número de páginas de
Figura 1
A veces se representan las correspondencias mediante diagrama del tipo de la Figura 1, en el cual los conjuntos A y B están representados por puntos dentro de regiones de un plano. La flecha curva indica que el elemento y de B corresponde al elemento x de A . Eb importante hacer notar que a cada “x ” en A corresponde exactamente una “y ”
fiA^>B={(2;4),(2tf),(2;8),(2;10), (3;6) ,(4;4), (43 )} •En los ejemplos vemos dos tipos de correspondencia . Sólo: g: A -> B responde al concepto de aplicación porque en ella el conjunto de partida coincide con el conjunto dominio y a cada elemento del domino le corresponde una sola imagen.
APLICACIÓ N INFECTIVA : Una aplicación es inyectiva cuando todo elemento del conjunto de llegada que es imagen sólo tiene una antimagen en el conjunto dominio. Dados: A = {l;2;3} y B = {2;4;6;8} , definimos la correspondencia h : A y la graficamos.
B por el criterio «<*= —» 2
[igpyrjQ A TO t*97nw&4*& hzA
Fa
]
elemento de A que es imagen , sólo tiene una antiimagen. * f: A —►A es una aplicación suryectiva , porque el conjunto rango coincide con el conjunto final. * Por lo tanto la aplicación f: A -» A es biyectiva.
B = {(1; 2),(2; 4),(3; 6)} h
O B S E R VA C I Ó N
En una aplicación inyectiva, no es necesario que el conjunto rango coincida con el conjunto de llegada.
Para una aplicación , todo el conjunto de partida es el domino de la aplicación , sin embargo, el rango está incluido en el conjunto de llegada .
APLICACIÓN SURYECTIVA Z Una aplicación es suryectiva cuando el conjunto de llegada coincide con el conjunto rango. EJEM PLO: Dados A = {3; 2; 4} y B = {3 ;4 }, establecemos la correspondencia f : A - > B definida por «a es divisor
T.'
fíA
->B = { (3 ;3 ),(2 ;4 ),(4 ;4 )}
* En esta aplicación el conjunto rango coincide con el conjunto de llegada , por eso f es una aplicación suryectiva.
FUNCIONES Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamaremos función de A en B al conjunto de pares ordenados (x i y) tales que a cada x e A , le corresponde un único y e B . Es decir toda relación entre dos conjuntos no vacíos A y B, que verifique: I) Todo elemento de A está relacionado con alguno del conjunto B. II) Cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B. Se llama función de A en B. Formalmente: f c A x B es una función de A en B, sí y sólo si:
A P L IC A C IÓ N BM YECTIVA :
Una aplicación es biyectiva cuando es a la vez inyectiva y suryectiva. EJEM PLO: Dado i A = { 1 ; 2 ; 3 ) , establecemos la aplicación fi A -+ A definida por «a = b» y la representamos en el diagrama de flechas.
f = {(1; p) ,(2; q) ,(3; r)}.....«es una función II)
f:A -> A = {(1; 1) ,(2 ; 2) ,(3; 3)} Observamos que : * f . A - + A es una aplicación inyectiva, porque cada
L/m
r » * * n í*¿Sá
g={(a;l),{b;2) ,(c;2),(d;4) } .... «es una función» UI)
VCICLOPEDIA 2012]
N O T A C IÓ N j La función f de A en B se denota por : f :A -* B ó A — Se lee / es una función de A en B. CO N D ICIÓ N D E E X IS T E N C IA Y U N IC ID A D
«h» no es función pues no cumple con la condición de la definición : «...le asocia un único elemento...» (8 se asocia con 2 y con 3) IV)
Sea : f :A -> B , una función luego se debe cumplir: I) Para cada x e A , 3 ! y e B I ( x , y ) e f II) Si: (x;y) e f
a
( x ; z ) e f , entonces y = z
EJEM PLO 1 : A)
'
* Cumple la condición I y II
*p »no es función pues no cumple con la condición de la definición: «...a todo elemento del coiyunto A...» («a» no se asocia con algún elemento de B) O B S E R V A C IO N : Toda aplicación biyectiva entre conjuntos numéricos es también una función. Dados A = {2;3;1} y B = {4;7;1} , veamos la aplicación f : A - > B definida por el criterio «multiplicar por
- * f - {(■*»•P) >i2: n) >(3; m )} es función B)
* No cumple II, pues (9 ; -2) y (9 ; - 6) e g . g = {(9;-2) ,(10;-5) ,(ll¡-7 )} relación pero no es función. C)
* Ningún elemento de A tiene más de una imagen . (Aplicación inyectiva) * Todos los elementos de B tienen antiimagen. (Aplicación suryectiva) * Entonces, esta aplicación es biyectiva y por lo tanto, es una función. NOTA : Toda función es una relación, pero no toda relación una función.
es una
• No cumple / pues el elemento c e A no está relacionado con ningún elemento de B. h = {(a; 2) ,{b; 4)} es una relación pero no es función. NOTA : En una función , dos pares ordenados distintos no deben tener la misma primera componente*
Iflg g 8 * 5 hhbh
g*wrr*wSr4*M
M Á S E J E M P L O S O E FU N CIO N ES ft n A ^ ----- ^ B A ^ --------^ B
TTtmímkvícs )
g = {(1; 4 ), (2; 4 ) , ( 2 ; 6 ) , (3; 5)}
Vemos ( 2 ; 4 ) e g a ( 2 ; 6 ) e g pero 4 * 6 -> g no es función es relación. f = { ( - 2 ; 1), (2; 1), (5; 6 ) , (6; 7), (5; 3 ) } «f» no es función p u e s (5 ;6 )^ /A (5 ;8 )< f pero 6*8 E J E R C IC IO : Hallar los valores de «a» y «b» para que el siguiente conjunto de pares ordenados sea una función. A = [ ( 2 ; 5 ) , ( - / ; - 3 ) , ( 2 ;2 a - b ) , ( ~ l ; b - a ) , ( a + 6* ,*a)}
R E S O L U C IÓ N :
f = {(1¡7),(3; 4),(2; 6)} f:A~B
♦ En una función dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. (2; 5) y (2; 2a - b) e A => 5 = 2a - b ( - 1; - 3) y ( ~ l ; b - a ) e A = > b - a = - 3
(I)
* De (I) y (II), resulta : a =2 y b = - 1
=>f = { ( 2 ; 5 ) , ( - l ; - 3 ) , ( 3 ; 2 ) } H = {(1; 5),(2; 4),(3; 4)}
f = {(3 ;a ),(* a ),(5 ;6 )}
M Á S E J E M P L O S D E N O FU N C IO N E S!
i:
f= {(3,‘in), (3¡n) ,(7;p), (9;n)}
No es función es una relación ig: No es función ya que 3 no se corresponde con ningún elemento del conjunto B.
FUNCIÓN R E A L E N VARIABLE REAL Una función f : A - * B es una función real en variable real si y sólo si A y B son sólo subconjuntos de R , es decir, el dominio y el rango son subcoryuntos de los números reales. Aunque en nuestro estudio estaremos interesados principalmente en funciones que tienen dominio y rango en R , el concepto de función es más general, puesto que podemos hablar de conjunto de pares ordenados de elementos sin restricción alguna sobre la naturaleza de los elementos. Por ejemplo, en la correspondencia de un coryunto de estudiantes, con las notas que les asigna su profesor, cada par ordenado tiene como primer elemento un estudiante, el cual no es un número real. N O T A C IÓ N
F U N C IO N A L !
Las notaciones en matemática han sido fundamentales para el avance de esta ciencia; la elección de una notación adecuada puede ahorrarnos gran cantidad de trabajo al resolver un problema. Hace mucho tiempo los matemáticos idearon una notación especial para denotar funciones, esta notación marcaba la dependencia de la variable. Para nombrar a la función se utiliza una letra, como f , g , h . Entonces f(x) que se lee f de x representa la función evaluada en el punto *; es decir, el valor que la función asigna a *.
B ^ l H * t t llfflgg También se le puede representar a s í: f : A -+ B x^ffx) en donde A es el domino y B el conjunto de llegada . El rango de la función Rf está contenido en el conjunto de llegada (R¡ <=B ) . EJEM PLO 1:
Si fes la función con dominio Df = \-2;l;2) que a cada valor le asigna su cuadrado, tendremos: f(-2) =4 ; f(l)= l ; f(2)=4
Z .T.fixi'MlLOPEDMA s o t a ]
f(x2) = (x2)2 + 5 = x 4 + 5 fí3x) = (3x)2 + 5 = 9x2 + 5 ffx + h) = (x + h)2 + 5 = x 2 + 2xh + h2 + 5 O B S E R V A C IÓ N :
Una función f : A - > B consta de tres partes un conjunto A llamado dominio de la función (ó conjunto de partida), un conjunto B donde está incluida el rango de la función (ó conjunto de llegada) y una regla que permite asociar de manera bien deteminada a cada x e A con un único elemento f(x)eB, llamado la imagen de x . No se debe confundir f con ffx) ya que f es la función, mientras ffx) es la imagen de un punto * de su dominio. Definamos correctamente cada una de las partes de una función: DOM INIO D E UNA FUNCIÓN:
•En este ca so:/(x )= x *+ 5 es correspondencia de la función.
la
regla
Sea : f : A -+ B una función de A en B llamaremos rango de la función f al conjunto de todas sus las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a la función , y se denota por Ran f , es decir: Ranf = [y e B ¡ x e A/ \(x;y) e f ) EJEM PLOS:
de 1
• Si deseamos hallar f(4) , reemplazaremos x=4 en la fórmula. •Estoes : f(4) = 42 + 5 = 21 • Si escribimos: f(a) = a2 + 5 ; f(z) = z2 + 5 • Estamos representando la misma función, la letra utilizada para la variable del dominio no tiene importancia, pero en general se usará x. En este caso al no existir restricciones para ¡v, asumimos que Df = R
2
3
4
La función
Dominio
f(x )= {(2 ;3 )t(5;6)t (3^ 4)t(4;7),(-&&)}
{2;B;3¡4^5}
l s
EJEMPLO 2 : Sea la función ffx), que a cada valor de x le asigna su cuadrado aumentado en cinco.
RANGO D E UNA FUNCIÓN í
K
Además de la notación ffx), podemos indicar las correspondencias entre valores del dominio y del rango, mediante flechas, observándose, con mayor claridad, que a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del rango.
Domf = {x e A / ! ! y e B / ( x ; y ) e f }
II
A este último resultado se le llama regla de correspondencia d e i , la cual nos indica de manera breve y directa lo que f hace con cualquier número
Sea : f : A B una función de A en B llamaremos dominio de la función f al conjunto de todas sus primeras componentes de los pares ordenados de la función , al cual denotaremos por Dom f , es decir :
t
y en general: f(x) = x 2
fix ) = \ 2x- 8
Rango
T od os los n ú m ero s r e a le s
T odos los n ú m eros re a les
[ 4;+ o o [
[0 ;+ * °[
R — {2 }
R -{1 }
• Al parecer no existen problemas al usar esta notación , pero si en lugar de x se sustituye una expresión algebraica , se debe proceder con cuidado.
Expliquemos el ejemplo 4 : Observamos que el único valor no admisible es 2 , dado que la división entre cero no está definida ; luego el dominio de la función será : R- { 2) *
• Veamos :
5)
Para hallar el rango de la función
ffx) =2-3x,
[E n m o x E N
R rm rS to s
F U N C IO N E S J
3*7
xe[-3;2] vemos que el dominio de la función es
* Su regla de correspondencia está dada por :
y = f(x) = x 2 + 1; x e A
[-3*2], entonces: -3 s * s 2 y buscando la forma de f(x), tendremos: - S í * 5 2 .
EJEM PLO 2 :
->9 + 2 2 2 - 3x 2 - 6 + 2 , luego - A ¿ 2 - 3 x Z l l ó
* Dada la función f definida por :
-4íf(x)<.U.
El rango de f e s [-4;Ji] 6) A veces, la fundón se define en un dominio dividido o «partirionado» de modo que se da una regla de correspondencia para cada parte del dominio . Esto se denomina función definida por partea FUNCIÓN SECCIONADA). Una función de este tipo es: -1 ; a i - 4 £ x < 0 f(x)= 0 ;si 0 £ x < 2 x + 1 ;ai 2<.x<>4 i El dominio es [~4; 4] y se ha dividido en tres partes. El valor de x determina la regla que se ha de usar. Así, para hallar f(-2 )t como x = - 2 cumple con - 4 <, x < 0 *se aplica la primera regla y , según ella, f(-2) = - í . Verifica que: f(l) = 0 y f(3) = 4 N O TA : * Dominio de f , se abrevia como D¡ • Rango de / , se abrevia como R¡
REGLA D E CORRESPONDENCIA Dada la función f :A -+ B , f se puede escribir en la forma : f = { ( * ; y) e A x B l y = f(x)} Donde la ecuación y=f(x) es llamada regla de correspondencia , y nos permite calcular la imagen de un elemento del dominio. f : A -> B x y = f(x) Donde podemos decir que : x es la variable independiente y es la variable dependiente EJEM PLO 1 : * Dada la función f definida por el diagrama. /(2 )= 5
fi3) = 10 f(4) = X7 f(5)=26
f f(2) = 5 f(.3) = 7 fié) = 9 f ( 5) = 11 * Su regla de correspondencia está dada por:
y = f(x) = 2x + l ;x e A O B S E R V A C IO N E S :
* El dominio de una función es llamado también conjunto de partida o conjunto de las preimágenes. * El rango de una función es llamado también conjunto de llegada o conjunto de las imágenes. * Una función queda bien definida si se tiene su dominio y su regla de correspondencia. CKMTEMUO PAM A E L CÁLCU LO D E L D O M IN IO Y MANGO D E UNA FUNCIÓN R E A f, D E V A R IA R L E S R E A I,
El dominio de una función/se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar «x» , de tal manera que f(x) sea real salvo el caso en que el dominio sea especificado. El rango se determina partiendo de la condición dada para los x en el dominio y se construye las cotas o valores adecuados para y= f(x) Pero teniendo varias formas de hallar el rango, presentaremos las más conocidas: * Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta rango, se despeja «x» en función de «y». * Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desigualdades. EJEM PLO
1:
Para la función definida por : g(x) = 2x2 +3x + 2 ; x e R R E S O L U C IÓ N
:
* Primero hacemos: y = 2x2 +3x + 2 -+2x2 + 3x + ( 2 - y) = 0 * Despejamos «x », así: x = * Si «x» e R ; «y» también e R
^9 - 4<2 >(2 ^y> 2(2)
!VU*>I S*S I
NCMCLOPEDLX 2012]
2
♦Pero: A i O ; 9 - 8 ( 2 - y ) i 0 - + y> 7!8 -+Rg = [7/3; «o)
•* H
EJEM PLO 2 :
„
( -+ 0 5 - X L
Para la función definida por : h(x) = x 2 - 4 x + 7 ; x e [ 2 ; 3 ]
- + 0 s ( x - 2 ) *
l f 9 9 . rr 2 3 + — 5 - => 0 5 J 2 + X - X * 5 — 2j 4 4 v 2
R E S O L U C IÓ N :
-+Rh =[3;4] EJEM PLO 3 :
* Del dominio : 2 5 x 5 5 * Restando 2 : - 2 5 x - 2 5 3 * Al cuadrado : 0 £ x 2 - 4 x + 4 5 9 * Sumando 4 : 4 5 x 2 - 4 x + 8 5 23
s x 2 +1
R E S O L U C IÓ N :
- » 2 5 yjx2 - 4 x + 8 5 723
y = —? ------->yx*2 + y = x 2 -+x*(y -1 ) = - y x* + 1
* Sumando 1 : 3 5 7x 2 - 4 x + 8 + 2 5 7Í3 + 2
x» — L - ^ x s ± i y
'
l- y
GRÁFICA D E UNA FUNCIÓN
y-1
i1
i
0
+oo
-+ y e ( 0 ; j ) - + Rh = [0;l) EJEM PLO 4 : Hallar el dominio y el rango de la función f(x) = y¡2 + x - x 2
Una función real de variable real es un conjunto de pares ordenados de números reales y, por tanto puede considerarse como un conjunto de puntos del plano cartesiano, los cuales constituyen la representación gráfica de la función. Así logramos ilustrar de manera más efectiva, el comportamiento de la función, mostrando cómo cambian los valores de f(x) cuando x varia dentro de su dominio. D E F IN IC IÓ N :
R E S O L U C IÓ N : • CALCULANDO EL DOMINIO :
Si g es una función real de variable real la gráfica de g es la representación geométrica de todos los pares ordenados que pertenecen a g.
y = 72 + x - x 2 «y» es real si 2+x-x2>0
Graf g = { ( x, y) e R2 l y = g ( x ) ; x e Domg]
-> x 2 - x - 2 5 0 =>(x- 2)(x + 2) 5 0 - oo
FU)
* Como : y = F f x j -> 22/ = [3 ; 7 Í3 + 2]
J L -i o ;^ í O
OO
*•
hallar su rango :
* Mae tres : 3 5 (x - 2)2 + 3 5 4
-
- i )
Dada la función «F» cuya regla de correspondencia es :_______________________ Ffx> = 7 * 2 - 4x + 3 + 2, Kx ^[2; 5]
* Como : 2 5 x 5 3 ^ 0 5 x - 2 5 2
l-y
-
EJEM PLO 5:
y = x 2 - 4 x + 7 ->y = ( x - 2 ) 2 + 3
l-y
- 7
* Luego Ranf:
R E S O L U C IÓ N :
Para la función : f ( x ) =
* 5
V
-2
+00
• Luego : Dom f = [-2; 2] • CALCULANDO EL RANGO : 2 + x - x 2= - ^ x 2 - x + ^ J + ^ =
- - i r
• Como : -2 5 x 5 2 = > - — 5 x - — 5 — 2
2
2
*5
EJEM PLO 1: Grafícar la función /
i.vuF n r m v o / v
(E
Fl «W?fO.Vf?Ff)
889
f = { f í ; 2 7 /2 ; - J 7 /- 2 ; 0 ) ,( - 2 ; 27}
R E S O L U C IÓ N :
F U N C IÓ N D E F I N I D A P O R V A R I A S R E G L A S D E C O R R E S P O N D E N C IA
Sea f una función tal que : f¡fx7 ; x e Domffj) 2 1 - 2 -1
f(x)~ f2(x) ; x e Domff )
0
X
EJEM PLO 2 : Grafícar : f : R - > R,y = f ( x) = x 2 - l R E S O L U C IÓ N : •Para tener una idea del gráfico de f es necesario obtener algunos pares ordenados de f y obtener su correspondiente gráfico, y luego unir estos puntos. Y X fx;y) y 0
- i
(0 ;l)
1
0
fl;0 )
-1 2 -2
0
f-l;0 )
3 3
(2; 3) f-Z'3)
Dom(f) = Dom(f¡) Domff2) Rang(f) = Rang(fj) Rang(f2)
FUNCIONES
ELEM EN TALES
Debido a su importancia, en esta sección estudiaremos algunas funciones reales de variable real, que aparecen con frecuencia en aplicaciones de la matemática y a la vez sirven para ilustrar algunas propiedades particulares de funciones. Cada una se identifica con un nombre especial e incluso algunas tienen símbolos ya establecidos para representarlas, por ejemplo las barras || son el símbolo de la FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. I ) F U N C IÓ N C O N S T A N T E í
P R O P IE D AD G E O M É TR IC A
La función constante asigna a todos los valores reales un mismo número. Se representa por: ffx) =c , en donde c es un número real «Su gráfica es una línea recta horizontal que pasa por fO;c) Y
Si cada línea paralela al eje Y corta a la curva en un solo punto, o bien no la corta, la curva es la gráfica de una función. Si por el contrario, alguna línea vertical corta a la curva en más de un punto, dicha curva no es la gráfica de una función. TEOREM Ai :
(0;c)
y =c
EJEM PLOS:
Sea f : R -> R Si toda recta paralela al eje «Y» corta a la gráfica de f en a lo más un punto , dicha gráfica será la representación de una función . EJEM PL O S:
I) y - ffx) = 3, tiene por gráfica una recta horizontal que pasa por fO ;3). II) y = gfx7= - 2 , tiene por gráfica una recta horizontal que pasa por fO ; -27 III) y = hfx7= 0, tiene por gráfica el eje X.
recta
TABLA DE VALORES PARA: y = 3 X
recta Es función
y= No es función
•••
k no es función
- n
-X L corta en un p u n to
-2 - 1 0 1 2 3 3 3 3 3
•••
L corta en dos puntos
. 5
..4
- 3
t r 2 1
.2 •/
3
2 3 4 X 1
1
•••
850
III) Y
II) 1
y =0 /
X (0^2) y =-2
X (0;-2)
I I ) F U N C IÓ N I D E N T I D A D Z
Es la función denotada por /, cuyo dominio es R y regla de correspondencia. l(x) = x Su rango es R y su gráfica es:
XCICLOPEDIA 2 0 12\
El gráfico de la función valor absoluto de * está formado por dos semirectas cuyo origen es el punto 0, y que coinciden con las bisectrices del primer y segundo cuadrante. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO: 1)\x\ > 0 2)\xy\ = |x| |y| 3)J¿F = \ x \ 4)\x + y |< |x| + |y| 5)
x
(Desigualdad triangular)
;y*o
y
EJEM PLO: oc*1x I Dada la función: f(x)=— I—1, hallar el dominio y rango de f. x R E S O L U C IÓ N : * Para que f(x) sea un número real, se debe cumplir que x * 0 , luego: : R - {0} • A continuación calculamos el rango: * O también está expresada por la ecuación y= x, es decir, en todos los pares de la relación los valores de las variables son iguales. Se expresa F:{(x ; y)}y= x) * Regla de correspondencia : f(x) = x
* Si: x > 0 , f U ) =
= o, X
S i: x < 0 , f ( x ) = X ~ ('J?) = 2 f(x) toma sólo dos valores 0 y 2, por lo tanto:
Df = R a Rj- = R
R ,= { 0 ;2 }
* Significa que : f = {...(!;!), (2;2), (3;3)...} n i ) F U N C IÓ N V A L O R A B S O L U T O :
La función valor absoluto es aquella que asigna un valor positivo a todo valor de su dominio. Se define como F = {(x ; y) f y = \x\}
I V ) F U N C IÓ N P O T E N C I A L t
* Se denota por : f(x) = x*, x > 0 , donde ne R * Cuya gráfica tiene forma distinta, dependiendo de n.
* Es decir bu dominio es R y regla de correspondencia : j>i \ 1 1 { x; x > 0 f ( x ) = [x =4 1 * \-x; x < 0 * Su rango es R$ = [0;+ ® ) y su gráfica es : Tabla de valores : x ••• -2 -1 0 1 2 ••• 1 0 1 2 ••• y •M 2
EJEM PLOS: Si «ti » es par
Si «n» es impar
m
is s a
¥9 FU N C IÓ N R A Í Z C U A D R A D A Z
V I I I ) F U N C IÓ N
La función raíz cuadrada tiene como regla de correspondencia. / W = >/* ; b'sSO
Es una función denotada por sgn(x) y se define
El dominio es el conjunto de todos los números reales no negativos; El rango también, su gráfica es un arco semiparabólico, como se muestra en la figura.
S IG N O S
[-Í-; Si x 4*0 8gn(x) = * \x\ 0 ; Si x = 0 Equivalentemente : 1 ; Si x > 0 sgn(x) = 0 ; Si x = 0 -1 ; Si x < 0 Con : Dom f =R R a n g f= { - 1;0;1}
a\[x es un número real no negativo y cuyo cuadrado es x99 * Su rango es R% = [0;+co>
Su gráfica es la unión de tres funciones constantes Yi X
* Significa que: f = {(0;0),(l;l),(2;j2),(3;j3)...} TI) FUNCIÓN IX ILR SO MULTIPLICATIVO:
Es aquella función cuyo dominio e s 2 ? -{0 }y regla de correspondencia: f(x) = - ; x * 0 X
Su rango es: R - {0} y su gráfica es:
Tabla de valorea X
•••
y
•••
-3 -2
-2 0 2 2 3 -2 -2 0 2 1 1 •i#
-2
M ÁXIM O EN TERO (í J)
3
1/2
2
1
1
-2
-1
-1 / 2
-2
N O T A C IÓ N :
-1 /3
-3
X
II H1
1/3
Antes de definir la mencionada función, consideraremos algunos conceptos: I) Cualquier número real x tiene la siguiente propiedad : x está entre dos enteros consecutivos , es decir existen n y n+1, tal que : n < x< n + l II) El número ti que es el mayor entero menor o igual a x se llama el máximo entero de x. [ x l = n , si:.n < x< n+1
V II) F U N C IÓ N E S C A L A N C N IT A K IO Z
* Así: [ 2 j = 2 , pues: 2 < 2 < 3
Es una función denotada por: UJx), «a» es fijo y definida por:
1 1 ,5 ] = 1, pues; 2<2,5< 2
[0 ; si x < a Dom f = R Rangf = {1;0} * Su gráfica es la unión de dos funciones constantes. Y
[ 0 ,5 ] = 0, pues; 0< 0,5< 1 [ - 1 ,5 ] = -2 , pues; - 2 < -2 ,5 < - 2 [ n i = 3, pues; 3
a « «
o-
Calcular [5,7 J entonces hallemos el mayor entero menor o igual que 5,7.
/A i
ss» I
IXCMCLOPEDMA 20 í ¿ )
[ x ] <.x V x e R 2
3
4
Mayor entero menor que 5,
* Entonces:[ 5 ,7 ] = 5 EJEM PLO 2 : Resolver : |* ~ gj = 2 R E S O L U C IÓ N : * Usando la definición : 2 í? ^ < 3 = > 6
f x ] = x <=>x e Z ♦ El rango de la función es Z * La función entera asocia a cada número real * su parte entera, es decir, el entero que está inmediatamente a su izquierda en la recta real. • Particionando el dominio : - 3 ; si .* - 3 5 * < - 2 - 2 ; si ; - 2<. x <- 1 -1; s i ; - 1 5 * < 0 0; si ; 0 5 * < 1 1; s i ; 1 5 * < 2 2; s i : 2 5 * < 3 3; si ; 3 5 * < 4
A)/x] e Z ;Vx e R B ) [ x ] <,x < [ x ] +1 :
V *
e M
C)f x + n j = f x ] + n o n e Z D)Si n e Z=>{f x ] > n o x ' ¿ . n + l) E ) S i n e Z = > ( f x j < n o x < n) F)Si n e Z = > ( /* / 5 n <=> * < n+í) G)Si n e Z = > ( f x ] Z n o x Z n ) W lnxi = lx] + \x + ± + \x + —1+ n
I) Si ; [ x ] = x
n + l ,n e Z* + x+ n
xeZ
J ) [ x ] 5 * 5 f x ] + l;Vx e F)[x] + [ y ] < [x+y];Vx,y e R 0 ; si x 0 Z L )[xJ + [-xJ = - l ; s i xe(R-Z) EJEM PLO;
• Observa que todo número comprendido en el intervalo [0;1[ tiene como imagen 0 ; los comprendidos en fl;2[ tienen como imagen 1, etc. EJEM PLO : Hallar el rango y la gráfica de la función : f(x) = f x ] - x ; x e R R E S O L U C IÓ N :
4 x < 63 + 1 => 4x < 64 x < 16
♦ Si * es entero : x=rt f(n) = n - n = 0 * Si * no es entero y n< x < n +l f(x) = n - * con -2 < f(x) = n - x < 0 * Por lo tanto : x e R si y sólo si f(x) = 0 v -2 < f(x) < 0
=> X € ( - a o ;1 6 )
• Luego : Ranf = {-1;0]
Resolver : [ 4 x ] <.63 R E S O L U C IÓ N : * Por la propiedada «F»:
I X ) F U N C IÓ N M Á X I M O E N T E R O •
Es la función denotada por / / , cuyo dominio es R y regla de correspondencia: f(x)=fR] * Donde f x ] es el mayor entero no mayor que * * Esto es: f x ] - n o n< x < n + 1 ; n e Z * De aquí se deduce que:
0
;
si x e Z
♦ Su gráfica : Como f(x) = n - x ; si x g (n;n + 2) Y
[McnrcaoNES M T n rÑ os
FUNCIONES
U B I 333 f S M
F 4 J N 4 'M 4 P W E S
]
Y
PO LIN O M IALES
HO;b) I)FUNCMÓN LIN E A L í
Tan aes la pendiente
Una función lineal es aquella que tiene por regla de correspondencia : f(x) = ax ; a * 0
Domf= R Ran/=R
X
EJEM PLO 1:
* Su dominio es el conjunto de números reales y su rango también. • Su gráfica es una recta inclinada que pasa por el origen .
* Para representar gráficamente la función f(x)=3x - 4, primero notamos que es afín lineal, entonces sólo necesitamos dos puntos, puesto que su gráfica es una recta. * S ix = 0 ;f(0) = 3 x 0 - 4 = - 4 . Se obtiene el punto ( 0; - 4) * Si x = 2 ; f(2) =3x2-4=2. Se obtiene el punto (2;2) Finalmente trazamos la recta que pasa por ambos
EJEM PLO: f(x)=6x es una función lineal con a =6. Este tipo de función es muy importante en situaciones de la vida real: supon que un kilogramo de naranjas cuesta 6 soles , si x es el número de kilogramos comprados y f(x) representa el costo de las naranjas, de la tabla podemos deducir que f(x) representa el costo de las naranjas, de la tabla podemos deducir que f(x) = 6x. 1 2 3 4 f ( x ) 6 12 18 24 X
X
•••
6x
Si y = f(x) es una función afín lineal tal que: f(0) = -1 y f(2) = 3, encontrar f(x). R E S O L U C IÓ N : * Como es afín lineal, es de la forma : f(x)=ax+b y debemos determinar a y b .
■*-
I
•••
EJEM PLO 2 :
II
- -
12
f (0) = - l = s - l = axO + b=>b = - l
6
f ( 2 ) = 3 => 3 = a x 2 - l = > a = 2
MU) FUNCIÓN CU AD R ATICA í
1 2 * La gráfica muestra la recta que pasa por el origen y como varía el precio.
a ) FUNCIÓN a f í n
f(x) = 2 x - l
lin e a l
:
Función polinomial de primer grado. f = {(x;y) / y = áx + b ; a * 0} * Gráficamente, representa una línea recta que corta al eje Y en 6 y al eje X en - b/a. * La función afín lineal puede verse como una traslación de la función lineal, su regla de correspondencia es: f(x)=ax+b, donde a y b son números reales, a * 0
Es la función cuyo dominio es R y regla de correspondencia : f(x) = ax2+ bx + c ; a * 0 ; {a; b; c}c. R * Su gráfica es una parábola simétrica respecto a una recta vertical (llamada eje de simetría) abierta hacia arriba si a>0 y hacia abajo sia < 0 * Su gráfica es una parábola con vértice en : V(-bl2a; f(-bl2a)) * Su regla de correspondencia : y = ax2+ bx + c ; a * 0 , es posible llevarlo a la forma : y = a(x - h)*+K 9 Donde :
V = (h ; K )
es el vértice de la parábola.
j.VksÁII 8 5 * |
EJEM PLO :
XCMCL0PEDEA 2 0 1 2 ]
Y
aX)
Dado : y=3xs - 6x+2 * Transformando : = 3 ^ *2 - 2x + l - l + 3
= 3^ *2 - 2x +
a<0
y = 3 ( x - l f -1
>y = 3 ^ ( x - i ) 2
EJEM PLO 1: O B S E R V A C IÓ N :
Graficar : y = 2x2 + 4x + 5
Dado :y = ax2 + bx + c Cada uno de ellos nos indica lo siguiente : a : La orientación de las ramas o sea la concavidad 6 ; El desplazamiento del eje de la parábola c : El desplazamiento del vértice * De acuerdo al discrimante (A = b2 -4ac) se presentan los siguientes casos:
R E S O L U C IÓ N : * Transformando : y = 2(x + 2)2 - 3 x -4 -3 -2 1 0 y 5 -1 -3 - 1 5 f(x)2x3+ 4x+ 5 x=x
A) A > 0: ffx) presenta 2 raíces reales diferentes x¡ y** * Es decir : fíxt) = 0 y ffx2) = 0 vértice a>0 [ _A 1 2a *A :
máximo valor
i , JX2 X
* Nótese que y> -3 ; Rango : [-3 ;® ) * El mínimo valor que toma “y ” es -3 EJEM PLO 2 : Graficar : y= -x 2 - 2x + 3
m ( n i m o \ l j ír tr h ) valor y “
R E S O L U C IÓ N :
4
• La gráfica corta al eje « X» en dos puntos que serían las raíces de la ecuación . B) A = Offx) presenta 2 raíces reales e iguales ÍX^Xg) 2a
* Transformando : y= -fx+1)2 + 4 X
-3 -2 -1 0 1
y 0 3 4 3 0
vértice y=x*-2x+3 » ♦u
* Como: y< 4 -> Rango :{—oo;4] * El máximo valor que toma R es +4 o > 0 a 2 = 0
(i<0aA = Q
* {x2 ; x2} raíces iguales a la ecuación, cuando y=0 CJ Si A < 0 ; la gráfica no corta al eje «x» esto quiere decir que la ecuación: ax2 + bx + c = 0 no tiene raíces reale®, si no raíces complejas conjugadas. Eb decir: x¡ , x2e C a x 2 = x2 Note que
x2, xs no
son reales.
EJEM PLO 3: Graficar : I) f(x,= x2 - 5 x + 6 II) g fx,= x2 - 8x+16 ID) h(x = x2 + 4x+5 R E S O L U C IÓ N : I)f(X)= * 2 - 5x +6 ;A=( - 5)2 - 4(6)=1 =* Las raíces son reales y diferentes
885
* Además f(X)= (x - 3 ) ( x - 2)=+ las raíces son: x=2 ó x =3
FI/JV#'M W B C S ]
H63g|
* Entonces la distancia máxima será
45
unidades
• Gráficamente :
II) glx)= x2 - 8 x + 1 6 ; A= ( ~ 8 f - 4(16) =0 => Las raíces son reales e iguales. * Además : g(x) = (x-4)2 * Luego la raíz es : x = 4
IV ) FUNCIÓN C Ú B IC A :
Es aquella función cuya regla de correspondencia es : F(x) = ax3 + bx2 + ex + d aquí su dominio y rango son los números Reales, a su gráfica se le denomina a veces parábola cúbica y si a>0 su gráfica podría ser:
ni)hfX¡= x 2+ 4 x + = > A = 4 2 - 4(5) <0
xa
=> Las raíces son complejas (no reales) conjugadas * Además : f(x.=x*+4x+4+l fM= <* + 2)2+l * Luego las raíces son : -2 + i , -2 - i
y=a(x-xj)(x-xg)(x-x3)
y = a (x -x t)(x -x 2)
A
y = a (x - x,)(x2 + px+q)
EJEM PLO 4 : Calcular la máxima distancia vertical que se determina en la región limitada por la gráfica de las funciones.
y = a ( x - x ,f
* También si reemplazamos «x» por x=b/3a la ecuación se transforma en : k(x3+px+q) -> f¡(x) =x3+px+q ,de raíces x¡ y xt con discrimínate
= (fH fí
f(x, = 9 - * 2 y g<*, = x - 2 R E S O L U C IÓ N :
__2 d„ = (9 -z)¡ -(z 2) =** - z +11 <*) * Completando cuadrados : , ( 1\* 46 40 1/2; f ^ > = - l 2 + 2j +T 4, -( Función Distancia
O B S E R V A C IO N E S : * La intersección con el eje X , representa a uní raíz real. * Punto de tangencia implica por lo menos dos raíce reales e iguales.
I 850 1
fA EJEM PLO: Graficar : fíx) = 2xs + Gx2 - 14x + 5
_J
* ! tXCtCJLOPEDMA 20M2]
de dos polinomios, el cual se le llama una función racional.
G R ÁFICO S D E
R E S O L U C IÓ N : * Resolviendo f(x)=0, para hallar las raíces se tendrá x7= - 5; x2= —t x3=l las raíces reales y distintas.
FUNCIÓN POLIN OM IAL D E UNA VARIABLE R E A L En esta sección presentamos los aspectos más importantes relacionados con las funciones polinomiales de una variable real, empezamos definiendo que debemos entender por una función polinomial de una variable real.
PO LIN OM IO S
Para hacer la gráfica con precisión de una función polinomial se requieren técnicas que van más allá del objetivo de este capítulo. Aceptamos que la gráfica de toda función polinomial es suave y continua. Por suave queremos decir que la gráfica no tiene esquinas o cúspides y continua significa que la gráfica puede ser dibujada sin interrupciones.
j x t l in o m ia l
n o p o lin o m ia l
• La figura 3 muestra la gráfica de una función polinomial con cuatro intersecciones con el eje X. Ahora obsérvese que en estas intersecciones con el eje X la gráfica debe cruzar o ser tangente al eje X y por lo tanto entre dos intersecciones consecutivas la gráfica se encuentra por arriba o por debajo del
DEFINICIÓN I Z Una función polonomial es una función de la forma: fíx) = anx? + o,n_jXn~J + .... + a}x + a0 dondean, an_¡,... , a J9a0 son números reales y n es un entero no negativo. El dominio lo constituyen todos los números reales. De acuerdo a esta definición, una función polinomial es aquella función cuya regia de correspondencia está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable.
EJEM PLO: Determine, cuales de las funciones siguientes son polinomiales, indicando el grado de aquellas que lo sean. I)f(x) = x 4 + x 3- 2 IV)f(x) = / í + 2 II) g(x) = 8 2 UI) h(x) = 0 R E S O L U C IÓ N :
* ~1
I) f es una función polinomial de grado 4. II) g es una función constante diferente de cero, es una función polinomial de grado cero. UI)h es la función polinomial cero, no se le asigna grado alguno. IV) f no es función polinomial. V) g no es función polinomial, es más bien el cociente
• Para localizar las intersecciones con el eje x se resuelve la ecuación f(x)=Ot por ejemplo si fíx)=(x + 2)2(x~ 3) entonces : las intersecciones con el eje x se obtienen de: fíx) = (x + 2)2(x - 3) = 0 las cuales son - 2 y 3, esto nos lleva a definir el concepto de raíz de un polinomio. D EFIN ICIÓN I I : Sea fuña función polinomial de grado mayor o igual a 1, un número real para el cual fír)=0 es llamado una raíz (real) de fi Por lo tanto, las raíces reales de una función polinomial son las intersecciones de su gráfica con el eje X. Además si x - r es un factor de f , es decir fíx)=(x-r)Q(x) entonces fír)=0 y luego r es una raíz de fi Si el factor x - r aparece más de una vez entonces r es llamado una raíz múltiple de f, para más precisión damos la siguiente definición.
887
(i: t u *
DEFINICIÓN I I I : Una raíz r de una función polinomial f se dice que es de multiplicidad m si.: f(x)= (x - r)mg(x), donde g(r) * 0 Según sea m = 1,2, 3 ,... se acostumbra llamar raíz simple, doble, triple, en general raíz de orden m veamos el siguiente ejemplo. E J E M P L O 1: Sea : f(x) = ( x - l)3(x - 3)*(x - 5) luego : • x = 1 es una raíz doble de / . * x = 3 es una raíz triple de / . * x = 5 es una raíz simple de / . EJEM PLO 2 : Para la función polinomial f(x)=x2(x - 3). A) Hallar sus raíces reales (intersecciones con el ejexj B) Hallar sus intersecciones con el eje y. C) Utilizando (A) determine los intervalos donde la gráfica de f está por arriba o por abajo del eje x. D) Trazar la gráfica de f. R E S O L U C IÓ N : A) Las raíces de (intersección con el eje x) se hallan resolviendo en R , f(x) = 0 x2( x - 3 ) = 0 ♦ Luego : x♦ = 0 es una raíz doble de / . x = 3 es una raíz simple de / . B) La intersección con el eje y es ; f(0) = 02( 0 - 3) =0 -> f(0) =0 C) Las raíces reales de f divide el eje X en los intervalos -ao< x < 0 ; 0 < x < 3 ; x > 3 , para determinar los intervalos donde la gráfica de / está por arriba del eje X resolvemos f(x) > 0 [o por debajo del eje X , f(x) < 0 ] ♦ Luego : f(x) =
x 2( x - 3 ) >
0 + + x>3
f(x)= x 2( x - 3 ) < 0 ++ 0< x < 3 v -co< x<0 D) Graficamos la función polinomial : por arriba del eje x
+ 'i 1X4
]
Obsérvese del ejemplo anterior que la gráfica de f cruza al eje X en x=3, la cual es una raíz simple de / y es tangente al eje X en x=0 la cual es una raíz doble de / Esto sugiere el siguiente resultado. 1) Si x = r es una raíz real de multiplicidad par, la gráfica es tangente al eje X en r, el signo de / no cambia de un lado al otro de r . 2) Si x = r es una raíz real de multiplicidad impar , la gráfica cruza al eje X, el signo de f cambia de un lado al otro de r . * En resumen para graficar una función polinomial: I) Se factoriza completamente en R. II) Se determinan los ceros reales de f. • En una raíz real de multiplicidad par ; la gráfica de f es tangente al eje X •En una raíz real de multiplicidad impar ; la gráfica de/cruza al eje X. III) Entre raíces reales consecutivas, determine si la gráfica de f está por arriba o por debajo del eje X IV)Teniendo en cuenta IIy III trace la gráfica de / Veamos a continuación un corolario del algoritmo de la división el cual es llamado frecuentemente teorema del residuo.
TEO R EM A D E L R ESID U O Sea / la función polinomial de grado mayor o igual a i , entonces el residuo de la división de / entre x-a es igual al valor numérico de la función polinomial en x = a . Es decir. Residuo ; R = f(a) PRUEBA: En efecto , por el algoritmo de la división de polinomios se cumple : f(x) = (x - a)Q(x) + R ; R constante y si en esta relación reemplazamos x = a en ambos miembros, entonces : f(a) = (a - a)Q(a) + R ♦es decir :f(a)=R EJEM PLO: Hallar el residuo de la división de : f(x)=x3 + 2x2 - 3x+l entre x+1 R E S O L U C IÓ N : ♦ Por el teorema del residuo : R = f ( - 1 ) = ( - 1)3 + 2 ( - l ) 2 -3 (1 )+ 1 = 5 -+ R = 5 ♦ Una consecuencia del teorema del residuo es el teorema del factor.
I,®* [S 5 8
TEO REM A B E L FACTOR Sea f una función polinomial de grado mayor o igual a i, entonces x-r es un factor de flx) si y sólo si f(r)=0, nótese que el teorema del factor consta de dos enunciados separados: I) Si f(r) = 0 => x - r es un factor de f(x) W Si x - r es un factor de flx) => flr) = 0 Un empleo del teorema del factor es para determinar si un polinomio tiene un factor en particular. EJEM PLO 1 : ¿Es x + 1 un factor de flx)=xs+x+2? R E S O L U C IÓ N : * Como x + 1 = x - (-1), r = - 2 , hallamos fl-l)= (-l)s -2 + 2 = 0 entonces por el teorema del factor, x + 2 es un factor de flx). EJEM PLO 2 : ¿Es x + 2 un factor de flx) = x3 + x - 3? R E S O L U C IÓ N : * Como x + 2 = x - (-2), r = -2 , hallamos fl-2 ) = ( - 2 f + ( - 2 ) - 3 = - 1 3 * 0 . * entonces por el teorema del factor x + 2 no es un factor de flx) = xs + x - 3. N Ú M E R O D E R A Í C E S D E UNA F U N C IÓ N P O L I N O M I A L
Las raíces de una función polinomial son las soluciones de la ecuación flx)= 0 . Las raíces de una función polinomial pueden ser reales o complejas. Las raíces reales de f son las soluciones reales de la ecuación flx) = 0, geométricamente son las intersecciones de la gráfica de f con el eje X, las raíces complejas no tienen una interpretación geométrica tan directa. Sin embargo , en la mayoría de los casos, las raíces de una función polinomial son difíciles de encontrar, no existen fórmulas sencillas disponibles como en el caso de la ecuación cuadrática. Aún cuando existen fórmulas para hallar las raíceB para funciones polinomiales de grado 3 y 4 estas son complicadas y difíciles de usar, además se ha demostrado que no existen fórmulas generales para hallar las raíces de funciones polinomiales de grado 5 o mayor. El primer teorema que presentamos está referido al número de raíces reales que una función polinomial puede tener . Al contar las raíces de una función polinomial, contamos cada raíz tantas veces como sea su multiplicidad. TEOREM A 1 Toda función polinomial de grado n tiene a lo más
'N C.ICLOPEDLX 2012}
n raíces reales. * El siguiente teorema es usado para localizar las raíces reales de una función polinomial. TEOREM A 2
Sea fuña función polinomial, si a <6 y si fla) y flb) son de signos opuestos , entonces hay al menos una raíz real de f entre a y b. GRAFICAMENTE :
EJEM PLO: Demuestre que flx) = x3 + x - 1 tiene exactamente una raíz real en el intervalo [0 ;1] R E S O L U C IÓ N : Como flO) = —2 y fll) = 2, los cuales son de signos opuestos , entonces por el teorema anterior , f tiene al menos una raíz real en (0;l). La unidad de esta raíz real es consecuencia del hecho de que f es estrictamente creciente en [0;1J. En general no es posible garantizar cuando una función polinomial tiene una raíz real, por ejemplo flx)=x2+l no tiene raíces reales. El siguiente teorema establece una condición suficiente para que una función polinomial tenga una raíz real. TEOREM A 2 í ti
Toda función polinomial (con coeficientes reales) de grado impar tiene al menos una raíz real. EJEM PLO: Demostrar que: flx) =x5+x2- 2 tiene al menos una raíz real en el intervalo [0 ;1] R E S O L U C IÓ N : * Al ser f una función polinomial de grado 5 por el teorema anterior, tiene al menos una raíz real y como f(0) =-2, fl l) =l se deduce del teorema del valor intermedio que una raíz real está en el intervalo {Qrl ) . TEOREM A * Z
Sean a y 6 dos números racionales tales que -JE es irracional, y sea f una función polinomial con
BRa sa» naa coeficientes racionales. Si a+4b es una raíz de f entonces a - 4 b también es raíz de f. EJEM PLO: Hallar una función polinomial de menor grado con coeficientes racionales y que tenga como raíces a 2 y 2+43 • R E S O L U C IÓ N : * Si 2+43 es una raíz entonces por el teorema anterior 2 - 43 también debe de serlo y por lo tanto puede escribirse como: f(x) = ( x - 2 ) ( x - (2 +J3 )(x- ( 2 - \¡3))
PMJJV4m V K .V ]
sus posibles raíces racionales serán de la forma: p _ divisor de a0 _ divisor de 12 q divisor de a3 divisor de 6 _ ±1;±2;±3;±4;±6;±12 1; 2; 3; 6 p
•Es decir — solo podrá tomar tres de los siguientes valores posibles.
± l;± 2 ;± 3 ;± 4 ;± 6 ;± 1 2 ;± l;+ ^ ;± L ± ^ £
6
* Es la función polinomial buscada.
1/2
RAÍCES RACIONALES D E UN POLINOMIO
6 S
ílUces ílu ío xiles )
O
o
•Al probar cada uno de ellos mediante la división sintética vemos que las únicas que producen el residuo R = 0 son -6 ,112, 2/3, en efecto.
* Efectuando operaciones : f(x) = xs - 6X2 + 9x - 2
TEOREALX 5 (I0E
£
:
Sea f una función polinomial de grado mayor o igual a J de la forma : f(x) = anxn + a n ixM"i + ... + a 2x + a0
6 2(3 6 * Por lo tanto :
29 3 32 -36 -4 4 0
-40 16 -24 24 0
12 -12 0
con an * 0 , a0 * 0 con cada coeficiente entero. Si P — , sin factores comunes , es una raíz racional de f q entonces: p es un divisor del término independíente a0 q es un divisor del coeficiente principal aH Este teorema nos dice que las posibles raíces reales de f solo pueden hallarse entre aquellos números racionales de la forma — donde pes divisor de a0 y q es divisor de an. **
COROLARIO i : Si la función polinomial del teorema de las raíces racionales, tiene coeficiente principal an , igual a I, entonces toda raíz racional es un número entero y es divisor del término independiente a0 . EJEM PLO : Determinar las raíces racionales , si existen, de: « 3 29 2 40 2x + — x2 - — x + 4 3 3 R E S O L U C IÓ N : * Para aplicar el teorema de las raíces racionales , los coeficientes deben ser enteros, así es que : # • (* )= - (6x3 + 29x2 - 40x + 12) 3 y
es suficiente trabajar con
6x3 + 29xs - 40x+12t
• Es decir : f ( x ) =
+
j
R E L A C IÓ N E N T R E L A S R A ÍC E S Y L O S COEFICIENTES 7
Presentamos un teorema que establece la relación entre las raíces y los coeficientes de una función polinomial. TEO R EM A 6 í Sea la función polinomial-: P(x)=am x* +am _Jx"-1 +am _sx/,~s +at^axm '3 +...+atx + a0 y Xj f x% .... xn sus raíces , entonces:
(suma de las raíces)
*1 *2 + *1 *3 + - + *n -l*n (suma de las dobles productos de las raíces)
_ a n -2
an
x¡x2x3 + X¡X¡gX4 + ... + *„-2*n-l*n (suma de los triples productos de las raíces)
X j X X g X X
3
•••• X B
(productos de las raíces)
“
/\ “ ii\n /
=V 5
a.
T?gAf IM O m iM 80/8]
1 860 | * La prueba de este teorema consiste en desarrollar la expresión : P(x) = an( x - X j ) ( x - x 2)'..(x-xH) y comparar los coeficientes.
*
-3 - 2 -1 0 2 2 y 44 0 -6 -4 0 24
EJEM PLO 1: Hallar todas las; raíces de R(x)=x6 - 2xs-9xa-6x R E S O L U C IÓ N : * Según el teorema de las raíces R(x) tiene 6 raíces. Podemos expresar a R(x) con el factor común #: R(x) = x(x3 - 2 x 2 - 9 x - 6 ) . * Calculemos a R(x) en los factores de -6 para descubrir alguna de sus raíces: R(l)* O, R ( - 2 ) * O, R(3)* O, R( - 3) * 0, R( 6) * 0 y R( - 6) * O; 1 ; - 2 ; 3 ; - 3 ; 6 y - 6 no son raíces. R(-l) = O, R(2) = 0, entonces -2 y 2 son raíces de R(x) . Además, como R(0)=0, O es raíz. * Entonces : ( r - ( - l ) ) = ( x + 1) , (x-2) = (x-2), y (x - 0)= x son factores de R(x). *Por divisiones sintéticas llegamos a factorizar: R(x) = * (* + l)(x + l)(x - 2)(xs + 3) * Como x 3+3=[x2-(-3)]=[x2-(43i)2J , entonces: r(x) = x(x + l)s( x - 2)(x - \¡3i)(x +43i) * Por tanto, las 6 raíces son : 0 ; - 2 ; - 1 ; 2 ;>¡3i y - ]3i •Notése que -2 es raíz doble de R(x). EJEM PLO 2 ; Dibujar la gráfica de la función polinómica f(x )= x 4 + x 3 + 2 x - 4; X e X
EJEM PLO 3: Grafícar la función polinómica : g(x)=x3 -15x3 - 16x=x(x4 - 15x2 -16) R E S O L U C IÓ N : * Como g(0)=0, entonces *= 0 es raíz de g(x). * Entre los factores d e -1 6 : 2 ; - 2 ; 2 ; - 2 ; 4 ; - 4 ; 8; -8 ; 16 ; -16 encontramos que : g(4)= 0=g(-4); Entonces, (x - 4) y (x + 4) son factores de g(x). * Realicemos el producto : x(x-4)(x+4)= x3-16x * Como x2+ l =x2~ (i)2=(x - i)(x+i), factoricemos : g(x) = x(x - 4)(x + 4)(x - i)(x + i) * Las raíces reales: x = O; x = 4 y x = -4 son lo6 ceros en la gráfica de g(x), y la gráfica de g(x) corta al eje X en g(0) ; g(4) y g(-4) . * Hacemos una tabla de valores entre las raíces: X
-4 ,5 -4 -A S
gix) -406 0
-3
-2
0
1
2
3
3,5
4
6
174 210 120 0 -3 0 -120 -210 -174 0 1170
R E S O L U C IÓ N : * Entre los factores de -4 :1 ; - 1 ; 2 ; -2 ; 4 y -4 , sólo f(l) = 0 y fi-2) = O. * Entonces : (x - 1) y (x + 2) son factores de f(x) * Realicemos : ( * - l)(x + 2) = (x* + x - 2 ) * Por división algebraica y raíces complejas:
f(- 4 ) = 0
f(x)-r(x2+ x - 2 ) = x 2+ 2=(x - 42i)(x+y¡2i)
TÉCNICAS B E GRAFICACIÓN
* Así: f(x )= (x -l)(x + 2) (x - V2i) (x +¡2i) * Las rafees reales 1 y -2 serán los ceros en la gráfica de la función f(x) . * Nótese que J2i y - \¡2i no son ceros en la gráfica porque no son raícess reales. Los ceros en la gráfica nos permiten afirmar que f(x) corta al eje X en los valores 1 y - 2 . * Por último , hacemos una tabla de valores antes y después de cada cero en la gráfica.
Uno de los métodos para determinar la gráfica de una función consiste en calcular laboriosamente sus pares ordenados y representar una gran cantidad de ellos por puntos sobre el plano y unirlos por medio de una curva suave. Este método produce muchas veces una gráfica imprecisa e incompleta, por eso, en esta sección, nuestro objetivo será desarrollar técnicas y conceptos que nos permitan trazar la gráfica de una función en forma más precisa, completa y rápida, mejorando el método de unir puntos, al cual recurriremos sólo como apoyo a las
[
f
g
i
k i
7 i m to .v
1H
técnicas que estudiaremos .
bseh
i i ’x r i o . Y i ; ^ ]
de y = ffx) en k unidades. n
i ) P R O C E D IM IE N T O B Á S I C O S
Para empezar , sugerimos estas pautas : I) Determina los puntos en los que la gráfica interseca a los ejes coordenados , de este modo: la intersección con el eje X se logra haciendo y=0, y para el eje Y, haciendo x=0. II) Averigua si la función es simétrica, procediendo así: • Si la función no se altera al sustituir x por -x, dicha gráfica será simétrica respecto al eje Y. • Si la función no se altera al sustituir y por -y, dicha gráfica será simétrica respecto al eje X. • Si la función no varía al sustituir x por -x, e y por -y, dicha gráfica es simétrica con respecto al origen. III) Determina el dominio y rango de la función para luego tabular algunos valores particulares y ubicarlos en un plano cartesiano. V) Finalmente bastará con unir dichos puntos para obtener la gráfica de la función. EJEM PLO: 1) Para graficar la función ffx) =x2+2x +2 a) Buscamos los puntos que intersecan a los ejes coordenados: •x=0 => y = 02+ 2(0)+ 2 => y= 2 De acuerdo con este paso, la gráfica corta al eje y en el punto cuyas coordenadas son: (0 ; 2) •y=0 => 0 = x 2+ 2x + 2=> 0=(x+ 1)2+1 Dado que esta ecuación no tiene solución real para xt diremos que la gráfica no interseca al eje x. B)No es simétrica con respecto a ningún eje ni respecto al origen.
✓
r
k
ffx)+k
yf í x)
II) La gráfica de g(x) = ffx) - k , k > 0 se obtiene desplazando verticalmente hacia abajo la gráfica de y= ffx) en k unidades.
DESPM^tZAMIENTOS V E R T IO L E S (c> 0 )
Para obtener las gráficas de y = ffx) - c y = ffx) + c
Se desplaza la gráfica de y = ffx) c unidades hacia abajo c unidades hacia arriba
EJEM PL O S: Y 2 X
HI 1
^0,41;0j ii v X
C) ffx) = x 2+ 2x + 2 => Df: R
D i) DESPLAZAM IENTOS HORIZONTALES
y = x 2+ 2x + 1 + 1 => y = (x + 1)2+1
I) La gráfica de gfx) = ffx - h), h > 0, se obtiene desplazando horizontalmente a la derecha la gráfica de y = ffx) en h unidades.
y - l = (x + l)2 z O = > y - l Z O = > y * l Rf:[l;co[ D) Finalmente unimos los puntos: Yi X y 1 5 0 2 -1 1 -2 2 3 5 U ) DESPLAZAM IENTOS VERTICALES I) La gráfica de g(x) = ffx) + k ;k > 0, se obtiene desplazando verticalmente hacia arriba la gráfica
II) La gráfica de gfx) = ffx + h), h > 0, se obtiene desplazando horizontalmente a la izquierda la gráfica de y = ffx) en h unidades.
[y%.
E li
2012 }
862
EJEM PLO 2 : A partir de la gráfica de y = |x|, trazar la gráfica de y = |x — 3 1 + 2 . En este caso, aplicamos simultáneamente las dos reglas, porque hay un desplazamiento horizontal (tres unidades a la derecha) y un desplazamiento vertical (dos unidades hacia arriba).
* Es decir: »ESPMJiZA¿m;XTOS UORIZOXIAMES (c >0) Para obtener Se desplaza la las gráficas d e: gráfica de y «=fíx) y = f(x - c) c unidades hacia la derecha y = fíx + c) c unidades hacia la izquierda
EJEM PLOS :
EJEM PLO 3 :
A partir de la gráfica de y = x 2, trazar la gráfica de y=(x-4)2 y de y=(x + 2)2. Aplicando las reglas para desplazamientos horizontales, obtenemos las gráficas, todas en el mismo sistema de coordenadas.
En la figura se muestra la gráfica de una función f con dominio 0 < x < 4 . Trazar las gráficas de las siguientes funciones. X a) y = fíx + 2 ) r y=f(x) b) y = fíx) + 2 c) y = fíx) - 2 d) y = f ( x - l ) + J
R E S O L U C IÓ N : También se pueden realizar desplazamientos combinado^; es decir, uno vertical seguido de otro horizontal, o viceversa , aplicando las reglas dadas, como se verá en el siguiente EJEM PLO: * Siendo h y k positivos, se presentan los siguientes casos : g(x) = f(x - h) + k g(x) = f(x - h) - k g(x) =f ( x + h ) + k g(x) =f ( x + h ) - k EJEM PLO 1: La gráfica de g(x)= f(x - h) + k se obtiene desplazando horizontalmente a la derecha h unidades y verticalmente hacia arriba k unidades la gráfica de f fx). Yi ffx-h) +k fíx) L
h
X
a) Para graficar y = f(x + 2) es suficiente hacer un desplazamiento horizontal hacia la izquierda de 2 unidades. b) Para y = f(x) + 2 se hace un desplazamiento vertical hacia arriba de 2 unidades. c) Para y = f(x) - 2 se hace un desplazamiento hacia abajo de 2 unidades. d) Para y = fíx -1) + 1 hacemos un desplazamiento horizontal hacia la derecha de 3 unidades y otro hacia arriba de 1 unidad. y¡ V
y-f(x-¥2) x
y=f(x)+2
X
MU
w fm v o ^
FI ^ IO.VF.S ]
803
IV) REFLEXION ES : I) La gráfica de g(x) = -fíx) se obtiene por reflexión de la gráfica de y=f(x) respectoal eje X , comportándose este eje como un espejo.
• Si a>2 y=fíx)
la gráfica de y=fíax) es la gráfica de
U) La gráfica de g(x) =fí-x) se obtiene por reflexión de la gráfica de y=f ( x) respecto al ejeY, comportándose este eje como un espejo.
EJEM PLOS : Y Á /
• De la figura y = fíx), r ¿ x ¿ s = > y = fíax), r ¿ a ¿ s <=> Ma ¿ x ¿ 8¡a
y=** y = -x * \
1^
y=L og(x-2)
y=Ln(-x)
/
• Si 0 < a < 1; la gráfica dey = fíax) es la dilatación (expansión) horizontal de la gráfica de y = fíx)
y= L n x
Yi
y=f(x)
X
a=l/2
V ) D IL A T A C IÓ N O C O N T R A D IC C IÓ N DE » = f(x ) :
CASO J .* y = afíx) , a > 0 • Si a >2, la gráfica de y=afíx) es la dilatación (expansión) vertical de la gráfica de y = fíx)
X Y* y=f(x)
0 r
2r
y=f(ax)
s
a 1/2
2s
De la figura
y = f(x), r < x < s o y = f(ax), • Si 0 < a < 2, la gráfica de y = afíx) es el encogimiento (contracción) vertical de la gráfica de y = fíx)
r r r¿ax¿r<=> — < x < — a a
X
Umjt ,
J.J r X v n 'i.o r i/iH A
so* I
EJEM PLOS : -2
so is]
a partir del eje Y. VI) GRÁFICA D E L VALOR ABSO LU TO D E F (K )
-1
f(x) ; f ( x ) * 0 -f(x);f(x)<0 CASO l : y = \f(x) \
5xrx 7 x 7 -2
Como y = \f(x)\Vx e Domf , su gráfica estará totalmente en el semiplano superior o sobre el eje y; y > 0. Así para obtener la gráfica de y = \f(x) \ a partir de y = f(x) se procede de la siguiente manera:
-1
I) Se mantienen la parte de la gráfica de f que está sobre el eje Y o en el eje Y .
RECUERDE: Función
Procedim iento
y = kf(x);k>0
Alarga o com prim e la gráfica de f en un fa ctor k, verticalm ente.
II) Se refleja, respecto al eje X, la parte de la gráfica de / que está debajo del eje Y .
Alarga o com prim e la gráfica de f y = f(kx);k>0 en un factor k, horizontalm ente y = -f(x)
R efleja la gráfica de f, respecto al eje x
y=f(-x)
R efleja la gráfica de ft respecto al eje y
EJEM PLO: Yi
•Si x * 0 a x e Domf entonces: y=f(2x)
f(\x\)=f(\-x\)=f(x) Si x < 0 a x e Domf entonces x < \x \y en general f(x) * f(\x\)o no existe f(\x\).
-4 B -3 B -2 B -B o I
B 2B
8B
4B
]£
~2B
-B
o I B¡2 B
* Con respecto a la gráfica de la función y = f(x)t la gráfica de la función y = f(2x) se contrae (comprime) hacia el eje Y. Yk y = f(^ x )
Así la gráfica de y = f(\x\) se obtiene de la siguiente manera: I) Si x * 0 y x e Domf , la gráfica de y=f(\x\) es exactamente la gráfica de y = f(x) para este caso. II) Si x < 0 y \x\eDomf, la gráfica de y = f(\x\) es la reflexión de la gráfica del caso I)t respecto al eje Y . ♦ Es decir la gráfica de y = f(\x\) es simétrico respecto al eje Y . Yí
y=f<\*\> -4B -3B -2B -B 0 * Con respecto a la gráfica de la función y = f(x)t la gráfica de la función y = f [ i j
se estira (expande)
y=f(x)
fpg|l g g g EJEM PL O S: Y
:y=IW -i
- i '•• o -i n E J E R C I C IO 2 : Hallar la gráfica de y = - (|x| - 1) s =i**+4
R E S O L U C IÓ N :
k
0
-® /
X
Inicialmente si la gráfica de y = (x)2
y = x 3+ 2
4
E J E R C IC IO 1 : Graficar : y = -l(l-x )2 a partir de y = fx+ lj* R E S O L U C IÓ N : * Primero graficamos y = ( l - x ) 2 tomando como punto de partida la gráfica de y=( x+l ) *=f ( x) t estamos en el caso 2 pues y=(l-x)*=f(-x) =g¡(x). Yi y-fM
y = f(x~ )= (l-x) 2=gj (x)
X
-1 *
Luego graficamos
y = - ( l - x ) 2,
estamos en el caso
^ÜP»
866 ]
XCH'hOPEHIA 2012
Para encontrar las asíntonas verticales en
VII) A S ÍN T O T A S Las asíntotas son rectas de referencia que, cuando existen, facilitan el trazado de la gráfica de una función porque permiten visualizar el comportamiento de la función en la región cercana a estas rectas. Su estudio formal corresponde al cálculo diferencial, pero por ahora consideramos una versión no rigurosa del concepto, a fin de ampliar las técnicas de graficación estudiadas.
f (x) = —3— - igualamos a cero al denominador: x2- 4 = 0 de donde obtenemos x = 2; x = -2 que son las asíntonas verticales. Con una calculadora, analizamos el comportamiento de la función en las cercanías de 2 y - 2 , luego trazamos la gráfica. Y*
x = -2 " f (x ) -3 -0,6 -2 0,33 0 0 2 -0,33 4 0,33 X
asíntota horizontal
-1
0
>x
ASÍN TO TA H O RIZO N TAL Z
Aquí vemos la representación gráfica de una función f, que nos va a ayudar a entender las 3 clases de asíntotas que puede haber. En la zona izquierda de la gráfica, vemos que la distancia d e f a la recta r va disminuyendo, a medida que nos alejamos hacia la izquierda: di, d2, d3. En la zona del centro de la gráfica, vemos que la distancia de f a la recta t va disminuyendo, a medida que nos alejamos hacia abajo: d4, d5, d6. En la zona derecha de la gráfica, vemos que la distancia de f a la recta s va disminuyendo, a medida que nos alejamos hacia la arriba y a la derecha: d7, d8, d9. Entonces a medida que nos alejamos, en el sentido de las x o de las y, esto es, si aumentan las absisas o las ordenadas, en valor absoluto, la distancia entre la función y ia asíntota disminuye tanto cómo se quiera; diremos que se acerca a cero.
ASÍN TOTA VER TICAL Z Es una recta paralela al eje Y, a la cual se acerca progresivamente la gráfica de la función, pero sin llegar a tocarla. Se determina en forma práctica, igualando a cero el denominador de una función racional del tipo f(x) =
; donde P(x) y q(x)
son funciones polinómicas. Su expresión se reduce a la forma x = k , siendo k un número real. EJEM PLO:
Es una recta paralela al eje X , a la cual se acerca progesivamente la gráfica de la función, pero sin llegar a tocarla . Para determinarla, en caso que exista , basta con despejar la variable x e igualar a cero el denominador de la expresión que se obtiene. Su expresión general es de la forma y = h, siendo h un número real. EJEM PLO: • Determinar las asíntotas-horizontales y la gráfica de la función : y = X + ^ 17 x - 2 • Despejamos x y(x - 2) = x + 2 -> y x - 2 y = x + 1 ^ y x - x = 2y + l = > x =
l + 2y
y~l
* Igualando a cero el denominador : y - 2 = 0 -> y = 2, esta es la asíntota horizontal . La gráfica se determina calculando valores de la función y marcando los puntos correspondientes. •Nótese que x =2 también es asíntota, pero vertical, y también ayuda a trazar la gráfica.
n
667 m
F U N C IO N E S N O T A B L E S 1 ) FU N C IÓ N I M K : Una función f es la función par , si cumple las condiciones : I)x e Domf => - x g Domf...(Dominio Simétrico) II) fíx) = f ( ~ x), Vx g Domf
]
* La función valor absoluto g(x) = |x| es par , porque -x|= |x|. • La función lineal h(x) = 2x es impar porque h(-x) = -h(x) Como vemos en sus gráficas , f y g son simétricas respecto al eje Yr mientras que h es simétrica respecto al origen.
Gráficamente fe s simétrica respecto al eje Y. • Es decir, la ecuación y = fíx) no cambia al sustituir
Determinar si cada una de las siguientes funciones es par , impar o de ninguno de estos tipos : a)f(x) = x 2 - 2 b)g(x) = x s- 2 x c)h(x) = x + 1 fíx) = x 2 - 1, es par , ya que al sustituir -x por x , se obtiene : fí-x) = (~x)2 - 1 ~^f(-x) = x2 - 1 • Entonces : f(-x7 = fte) l í NCMOX I M P A R :
Una función F es impar si cumple dos condiciones : ZJSi x e DomF =$ - x e Do/wF (Dominio Simétrico) Z/y F ( - x ) = ~ F(x); V x g 2>omF Es decir, la ecuación y = fíx) cambia por su opuesto al sustituir - x por x. NOTA:
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas (0 ; 0).
R E S O L U C IÓ N : • En a : podemos verificar que f es par: f(-x) = (~x)2 - 2 = x 2 - 2 =■fíx). •En b . g(-x) = (~x)s - 2(-x) = -x 3 + 2x = -g(x) esto es , g es impar. • En c: h(-x) = -x + 1 = -(x - 1) ; esto es h no es par ni impar. • Sin graficar , podemos asegurar que fe s simétrica respecto al eje Y, g es simétrica respecto al origen y h no tiene estas simetrías. 3 ) FUNCIÓN P E R IÓ D IC A í Una función F es periódica con período T(T > 0) si cumple las condiciones : I) VxeDomF, se tiene que (x + T) e DomF II) F(x + T) = F(x) ; S/xeDomF • El número T se llama período T. • Gráficamente una función periódica de período T>0 repite su gráfico en cada intervalo de longitud T. • Además si:
La función F(x) = - 5x ; x e R f es impar , ya que : I) Siendo DomF = M; vxe DomF se verifica que - x g DomF II) F(-x) = -5(-x)3 = 5x3 = -F(x)
fíx) = f(x + T) - fí(x + T) + T) = ff(x + 2 T ) + T) =
YA
EJEM PLO 2 : • La función dada por fíx) = x 2 es par , ya que fí-x) = fíx).
x x+T x+2T x
íi*
868
* Se observa que : ffx) = ffx + T) * Toda función periódica con período T tiene su gráfica de tal manera que la misma forma que tiene en un intervalo de longitud T, se repite horizontal y periódicamente en el siguiente intervalo consecutivo fy anterior) de longitud T. ♦ Observamos además que si T es un período de f , entonces 2 T , 3T, ..., también son períodos de f. ♦ El menor número positivo T (si es que lo hay) para el que ffx+T) = ffx) se denomina período principal o fundamental de f. EJEM PLO 1 : La función f cuya gráfica continuación es periódica .
jNCHLOFÉDJLt 2012]
• Veamos ahora que ffx) = senx es una función impar . • Sea x e R => (-x ) e R , luego : ff— x) = senf-x) = s e n x ; VxeR • Luego: ffx) = -ffx), VxeM =>La función seno es impar. 4 ) F U N C IÓ N A N T I P E K I Ó D I C A :
Sea f una función se llamará antiperiódica si existe algún Real no nulo T(T * 0) tal que: Ffx + T) = - Ffx); Vx e R
mostramos
a
TEOREM A:
Si F es antiperiódica, entonces también es periódica.
n y=f(x)
Los valores de la función se repiten cada dos unidades a medida que nos movemos sobre el eje X. En otras palabras para cualquier x, tenemos que ffx) = ffx +2 ) . Para ver esto desde otro punto de vista , la parte de la gráfica entre 0 y 2 sobre el eje X, observada se repite al resto de la gráfica (como si fueran copias). Si trasladamos la gráfica dos unidades será la gráfica original. Decimos entonces que f tiene un período igual a 2. EJEM PLO 2: Ffx) = Cosx; g R I) VxeDomF, se cumple que (x + 2n) e DomF II) Ffx + 2n) = Cosfx + 2 tó = Cosx = Ffx) => el período es T = 2n
PUNCIONES CRECIEN TES D E C R E C IE N TE S
Y
Al obsei*var la gráfica de una función y recorrer su trazo de izquierda a derecha, podemos notar que algunas porciones suben, otras bajan y otras se mantienen horizontales . En estos casos, la función es creciente, decreciente y constante , respectivamente. Por ejemplo , si la gráfica mostrada fue trazada por cierto instrumento que mide y registra alguna cantidad física , donde el eje X representa el tiempo , y las ordenadas son los valores medidos por el instrumento , que pueden ser temperatura , presión arterial de una persona , cantidad de bacterias en un cultivo , intensidad de un sonido , etc . entonces obtenemos información directa y valiosa con observar sus detalles de crecimiento y decrecimiento
EJEM PLO 3 : Pruebe que la función seno es una función periódica impar con período mínimo T = 2jt, R E S O L U C IÓ N : ♦Supongamos que existe T *. 0 tal que : sen fx+ T) = senx, VxeR. Tomemos en particular * = 0 => senT = 0 => T = 2kp; k e Z •Luego TeM=$(x+T)eR ♦ Entonces, la función seno es periódica con período T. ♦ Cuando k g Z* => T = 2x,4x,... * Luego decimos que T = 2?r es el período mínimo de la función seno
Observamos que la cantidad aumentó en el intervalo [a ; c j , disminuyó durante [c¡ ; c2], aumentó durante, [c2;c3J, etc.; asimismo que el mayor valor se registró en cs y el menor en a. Pero si solo se considera el intervalo [c2 ; c4], el máximo y el mínimo ocurren en c3 y c2 respectivamente y así por el estilo, hay otros máximos y mínimos , según el intervalo que se tome. Cuando el trazo es horizontal, la cantidad no varía , esto se nota en [ce; bj, ahí la cantidad es constante.
[e MCMONKS MttTMtiÑOS
S* i.1
5 ) FUNCION CRECIENTE 2
869
FÜÑÜMONEÑ 1
Si: flxj) > f(x2) para todo
< x2
Sea/una función tal que Vx„x2eDomf:
La función / tal que en su dominio. // x—
0
/ ( * ) = —; x > 0 es decreciente x
x —
O B S E R V A C IÓ N : f es creciente en un intervalo I S i: ffxj) < f(x2) para todo xx < x2 EJEM PLO: x y-f(x) Función Y creciente f(*¡) 0
X
La función / tal que f(x)=Jx es creciente en su dominio, y r 0 Función decreciente
punto máximo punto mínimo
• Las siguientes gráficas no son de funciones crecientes ni decrecientes.
6) FUNCIÓN D ECRECIEN TE 2 Sea / una función tal que \/xJtx2 e Domf : *i< x2 f(xj) > f(x2) , entonces decimos que / es una función decreciente. y^ N O TA : ^ Si ocurre la desigualdad : ffXj) > f(x2) se dice que la función / es estrictam en te decreciente.
f —
X -— 0 x — x
O B S E R VA C IÓ N
f
es decreciente en un intervalo
I
0 x—x + x
Existen funciones como (g), (i) o la función máximo entero donde la gráfica sube (asciende) o se mantiene
[870 | horizontal es decir , en ningún momento bajan (descienden) , estas funciones suelen llamarse función no decreciente. Es decir f es no decreciente si cumple: Si Vx ¡ , x 2 e Dom f , x í < x2 entonces ; f(Xj) < f(x3) Análogamente existen funciones que bajan (descienden) o se mantienen horizontal , es decir , no suben (ascienden) en ninguna parte , ellas se llaman función no creciente. Así fe s no creciente si cumple: Si Vxt, x2 e Dom f * x¡ < x2 entonces : fíx}) > fíx2) Se puede notar que cualquier función constante es no creciente y además no creciente.
/ XCH'LOPCDIA 2 0 í 2
fe s creciente : R an f= [f(a);f(b)]
fe s decreciente : Ranf = ff(b); fía)] O B S E R VA C IO N : Análogamente se calcula el rango de una función f cuando su dominio es : (a ; b) y fía), fíb) existen:
O B S E R V A C IO N E S :
fcreciente
=> Ranf = ( f ( a ) ; f (6))
FUNCIÓN N O D E C R E C IE N T E Z
f decreciente =■ Ranf = ( f ( b ) ; f (a ))
Sea fuña función tal que \/x¡,x2 e Domf :
EJEM PLO 1:
Xj
Sea la función g tal que : g(x) = eosx;x e [ a f Determinar su Rango
FU N CIÓ N N O C R E C IE N T E Z
R E S O L U C IÓ N :
Sea f una función tal que Vx„x2 eDomf:
* g es una función decreciente Vxe[0,7i/2)
Xj < x s =0 fíx¡) > f(x2) , entonces decimos que fes una función no creciente.
* Entonces : Rang = (eos n / 2 ; eos 0]
FU N C IÓ N M O N Ó T O N A Z
EJEM PLO 2 :
Una función es monótona , si es cualquiera de las anteriores (creciente , decreciente , no decreciente y no creciente).
Demostrar que la función f: 12; 5] es creciente
R E G L A P R Á C T IC A P A R A C A LC U LA R R A N G O S D E F U N C IO N E S C R E C IE N T E S Y D E C R E C IE N T E S
Sea f una función cuyo dominio es [a; b] y cuya gráfica es una curva continua de un sólo trazo (sin saltos bruscos verticales) Luego : • Si es creciente => Ranf = [f(a); f(b)J * Si f es decreciente => Ranf = /fíb); f(a)J IN T E R P R E T A C IÓ N
g r á f ic a
Z
—> Rang = {0 ;l] x-10 R! f(x) — x -6
R E S O L U C IÓ N : •^ *i \ x - 6 - 4 _ f 4 ♦Como: f l x ) — i- —
• Sea x¡9 x2 en [2 ; 5] tal que 2 < xx < x2 < 5 o - 4 < x ¡ - 6 < x2 - 6 < - 1 1 1 <=>-2 5 x¡ - 6 x2 - 6 x2 - 6 0 2 5 2 -
5 -2 O 2 5 -
4 <2x2 - 6 x¡-6
Xj - 6 5
54
5
o 2
7 ) FUNCIONES A C O T A D A S Z Una función F está acotada sobre un conjunto A c DomF Sl y s°l° s* e* conjunto de imágenes
KI7t/,VO¿
[
871
FÍA) = {F(x)lx g A c DomF} está acotado. En forma equivalente: \F(x) |< M; vx g A» siendo M > 0 la cota. • Es decir una función es acotada cuando el valor absoluto de la función es menor que cierto número real fijo , para cualquier valor de la variable .
* Como : f ( x ) =
2x2 - 3 x + 5
* Puesto que :
J r
31 sr 4) + 8
H ) ♦ Invirtiendo : 8 2 { x - 3/4) +31/8 Entonces :
31
2 ( x - 3 ! 4 y +3118
= k => Vx € R 8 37
8 )FUNCIÓN INFECTIVA O UNIVALENTE
A) Si F(x) < M, Vx e A c DomF, entonces F está acotada superiormente por M sobre el conjunto A . B) Si F(x) > m, \/x e a c UomF, entonces F está acotada interiormente por m sobre el conjunto A. EJEM PLOS: 2)En el conjunto A = [0;+ao[la función F(x)=4-x2 está acotada superiormente por M = 4. 2) En el conjunto A = ] - oo; 0] la función G(x) =x2-3 está acotada interiormente por m = -3. 3) En el conjunto A=[-2 ;2J la función F(x) =x2 -1 está acotádo por M = 3 ; ya que |F(xj|<3 ; Vx g [-2; 2].
La función F es inyectiva (univalente o uno a uno) cuando para cada imagen «y» le corresponde una y sólo una pre-imagen «x». • Simbólicamente: S i: f(x1)= f(x 2) => x 2= x 2; Vxj , x2 g Domf o equivalentemente: Si: Xj * x 2 => f(x2) * f(x2 ) V Xj , x 2 g D om f Estos nos indica que ninguna de las imágenes está relacionada con más de una pre-imagen. Si se analiza los pares ordenados de una función inyectiva , se observa que ninguna segunda componente aparece más de una vez. R E G IA PRÁCTICA : Si f es una función inyectiva , una paralela al eje x debe intersecar a la gráfica de la función a lo más en un punto es decir cualquier recta horizontal que corte a la gráfica , lo hará en un solo punto. EJEM PLO 1:
/(xj <20 f es acotada
f no os acotada como Si es acotada mferiormente
f no es acotada como f(x) < 4. Si es acotada superiormente
E J E R C IC IO : Sea la función f(x) =
2x
-3x + 5
hallar el menor
valor positivo k tal que \f(x)\
* La gráfica de la figura define la aplicación f :A -+B . * Esto es: f = {(1;6),(2; 7),(3; 8)} Es una función inyectiva , porque a los elementos diferentes J ; 2 y 3 del dominio le corresponden las imágenes 6 ; 7 y 8 que también son diferentes.
I 872 EJEM PLO 2 :
áMÉ
1
'iM 'H 'M M PFM 2 0 1 2 )
* Para averiguar si una función es inyectiva cualquier recta horizontal debe cortar a la gráfica de la función a lo más en un punto. EJEM PLO 5 : La función F(x) = 4 - x3; xe [-2;2] al ser graficada , será
4 Al existir dos elementos en el dominio con la misma imagen bastará para afirmar que «f» no será inyectiva. EJEM PLO 3 : ¿ Es inyectiva f(x) = - 3x + 2 ? R E S O L U C IÓ N : ♦ Partimos de dos imágenes que sean iguales f(xt)=f(x9). Si logramos establecer que x¡ =x2 , habremos demostrado que es inyectiva. Entonces:
♦ No es inyectiva dado que existen rectas horizontales , que cortan al gráfico en dos puntos . * Pero si restringimos , el dominio a [-2;0]
—3x¡ + 2= —3x2 + 2 =>- 3 xj= - 3 x2 y deaquíxj=*i» ♦ Por lo tanto, la función es inyectiva . La gráfica de esta función corresponde a una recta inclinada , lo cual implica que cualquier paralela al eje X la intersecará en un solo punto, como era de esperarse. EJEM PLO 4:
En este caso si seria inyectiva EJEM PLO 6 : Mostrar f
o o ; —2] —> R con :
f(x)= l l - ¡ x * - 4 x - 5
es inyectiva.
R E S O L U C IÓ N : • Sean xt, x2 e D om f, luego : f(Xj) = f(xt) * La recta horizontal corta en dos puntos al gráfico de la función ffx) = **, entonces la función no es univalente o inyectiva.
<=> 11—yjxf —4x¡ —5 =22 —yjxf —4x 2 —5 <=> yjxf —4x¡ —5 = yjxf —4x 2 —5 & yj(x1- 2 ) 2 - 9 = ¡ x 2 - 2 ) 2 - 9 O (x, - 2)2 = (x2 - 2)z O |*y - 2\= \x2 - 2 <=> Xj — 2 =
x2 — 2
ya que x 2,x 2 € (—o o 2) <=> x 2 = x2 =>f(x2) = f ( x 2)=> x 2 = x2; Vxl9x2 e Domf, fes inyectiva. * La recta horizontal corta en un solo punto al gráfico de la función g(x) = xs, entonces la función es univalente o inyectiva.
E J E M P L O 7: Sea la función : f(x) = - x * - 4 x - 3 , si x>-2
KfKI.VO^
E l
determinar si f es univalente . R E S O L U C IÓ N : •Hagamos f(x¡) = f(x3) .'Si la única solución de esta ecuación esxj = x2 entonces f será univalente . Así
(x 2 - x ,)(x 2 + Xj + 4) = 0 Ó X ; + X2 + 4 = 0
S i : x 2 — x¿ = 0 => Xj = x
:
Una función f : X -> Y es suryectiva (sobreyectiva o epiyectiva) si todo elemento del conjunto de llegada es imagen d e, por lo menos, un elemento del dominio de f .
=> x f —x f + 4x2 —4x¡ = 0 X2 — X ; = 0
• Cuando una función sobreyectiva se expresa en forma de pares ordenados, se observa que todos los elementos del conjunto de llegada aparecen, al menos una vez, como segunda componente de algún par. d e m l x k ió x
Si f(x¡) = f ( x 2) => -xf - 4x; - 3 = - x f - 4x2 - 3
^YTO.VK.V 1
Es decir:
ÍB
•Veamos si se verifica x,+x 2+4=0 como xj^.2 y x ¡ ¡ > 2 => xl + x 2 > 4 => x¡ + x 2 + 4 > 0 • Así parece que puede ser que x,+x 2+4=0. Pero esto se obtiene solo si ambos x t y x2 son iguales a -2. Entonces x4 = x2 = -2 , verifica (I) por lo que f es univalente , ya que en cualquier otro caso :
Existe sobreyección , si todos los elementos de Y tienen su preimagen en el conjunto de partida X , con la alternativa de que un elemento de Y puede ser imagen de varios elementos de X. EJEM PLOS :
x¡+xs+4>0 TEOREM A : Si f es una función creciente (o decreciente), entonces f es inyectiva. * La función /■= {(B;G),(-4;B)}, definida de A en B según la figura es sobreyectiva , porque el rango de «f» está formado por el conjunto { 3 } , que es todo el conjunto de llegada.
D E M O S T R A C IÓ N : • Sea f una función creciente y sean xh x2 £ Domf tal que: x¡ x x 2 Luego : Xj
O
Se dice que una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del conjunto de llegada (B) son imagen de algún elemento del conjunto de partida (A). ^
^ .y »
J
^
— y
—
^
#
• La función : g = {(2; 3),(2;*5),(# 3)}, definida según la figura de C en D, no es sobreyectiva, porque el rango de g está formado por los elementos 3 y 5, que no son todo el conjunto de llegada . 3)
V
• Esto equivale afirmar que es sobreyectiva la función cuyo rango es igual al conjunto de llegada.
f es sobreyectiva
g no es suryectiva
MCMVMSÁi
Í
8
7
Z
7*1
.K*'
i,Y(7(/,«/T7M l 2 0 1 2 }
4) Sea la función numérica f definida por
• Luego Ranf * M
f(x) = 3x~~4, ésta es sobreyectiva; porque, cualquiera que sea el número real y, la ecuación 3x —4 = y admite la solución: x=(y+4)¡3, donde y € R-
* Por tanto , f no es sobreyectiva
5) ¿Es sobreyectiva la función* : R —+ Mjh(x) = x2? R E S O L U C IÓ N : * Se coloca la imagen en función de la pre-imagen y
Averiguar si : p{0;5]=^\—4;5) es sobreyectiva con f(x) = x*-4x R E S O L U C IÓ N : 0 < x <5 - 2 < x - 2 < 3 o 0 < (x-2)2 <9 —4 < ( x —2)2 —4 < 5
obtenemos: x = Jy * Como la raíz es de índice par, notamos con facilidad que los únicos valores de y que pueden aparecer como imagen, son los nulos o los positivos; y así el conjunto de llegada no será igual al rango y tendremos que la función no es sobreyectiva. C O N C L U S IÓ N : Por lo anterior se concluye que para ver si una función es sobreyectiva , bastará hallar su rango y compararlo con el conjunto de llegada. IN TERPRETACIÓ N
E J E R C IC IO 2 :
G R Á F IC A :
-4
■í=>Rang(f) - [—4; 5\ —> Rang( f ) = [—4; 5] luego f es suryectiva. E J E R C I C IO 3 : Si fi(—oo;l] —> [2 ;oo) es una función decreciente (estrictamente decreciente) y suryectiva tal que /.(^) _ ax + 6^ V x < 2 y f(0)= - a. Hallar b - a. R E S O L U C IÓ N : * Como f e s suryectiva Rf = B = [2 ;oo) como f es decreciente : f(l) = 2 ¿por qué? • Resolvemos : f(l) = 2=> q + ^ = 2 => a + b = 4
Ran g no es sobreyectiva NOTA : • Sea f i A - + B suryectiva con A y B conjuntos
f ( 0 ) = —a = > — = — a = > 6 = — 2 a 2 a =4A6=8 • Piden : b - a = 8 -(-4) = 12 E J E R C IC IO 4 :
finitos , entonces : n(A) > re(B)
La función/: [—1,3\-+B con f(x) = |2x|—x + 1 es sobreyectiva (suryectiva), .entonces se pide hallar B
* En aquellas funciones donde no se indica el conjunto de llegada, se les considera suryectiva.
R E S O L U C IÓ N :
E J E R C IC IO 1 : Sea la función /: R —>•R , definida por / ( x ) = x * -2 Averigüe si f es sobreyectiva. R E S O L U C IÓ N : • Para que f sea sobreyectiva debe cumplirse que Ranf = R . * Hallemos el Rango de f , como x e * > x 2 > 0 => x 2- l > - l f{x) > ~ 1 =» Ranf = [—I ;+ o o )
x + 1; 0< x< 3 f(x) = —3x + l ; —l < x < 0 ¿por 9ué? • Como / es suryectiva Rf =Rriu Si 0 < x < 3 = > l £ x + l<4=> Rft = [2;4] Si - l < x < 0 = > 3 Z -3 x > 0 => 4 > ~3x + 1 > 1 =>Rh = ( 1 ; 4 ] Rf = [ J; 4] u { l ; 4] = [ J; 4]
NOTA : Toda función / es sobreyectiva sobre su rango.
(f?»fr70,vy?,v k i
T B 3 >*75 m a
1 0 ) FUNCIÓN BIYECTIVA Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez . Se le conoce porque su gráfica es cortada por cualquier recta paralela al eje X y , además, este corte se produce en un solo punto.
según el gráfico de la figura , podemos afirmar que * El rango de la aplicación «fe» está formado por los elementos «a» y «fe», que no son todos los elementos del conjunto D. • Luego , la aplicación «fe» de C en D no es biyectiva. EJEM PLO 3 :
IN T E R P R E T A C IÓ N G R Á F IC A
• Dada la función g: {(4;m);(8;n);(l;n) } , definida de E en F , según el gráfico de la figura, podemos afirmar que : • A los elementos 8 y 1 del dominio, que son diferentes, les corresponde la misma imagen «re». * Observamos que el rango coincide con el conjunto de llegada y cada elemento de éste es imagen de un sólo elemento del dominio, es decir, es sobreyectiva e inyectiva a la vez.
• Es decir 8 * 1 y f ( 8 ) = f (l) = re • Por esta razón , la aplicación «g» de E en F no es biyectiva. C O N C L U S IÓ N :
EJEM PLO 1:
Una función de A en B es biyectiva si cumple con las condiciones siguientes: I) El rango de la aplicación es todo el conjunto de llegada, o sea B. II) A elementos diferentes de A les corresponde imágenes diferentes . Es decir, la aplicación es INYECTIVA y SOBREYECTIVA.
* Sea la función f: {(2 ;ó ),(6 ;a ),(7 ;c)}, definida de A en B mediante el gráfico de la figura. * Podemos afirmar que : I) A elementos diferentes del dominio le corresponden imágenes diferentes. II) El rango de «f» está formado por los elementos a ,b ,c que forman todo el conjunto de llegada B . * De (I) y (II) concluimos que la aplicación «f es biyectiva de A en B» EJEM PLO 2 :
En otras palabras : Una aplicación f de A en B es biyectiva, si a cualquier elemento de B le corresponde un único elemento de A y reciprocamente, a cualquier elemento de A le corresponde un único elemento de B. EJEM PLO 4: Sea la función f :E +
definida por: f(x)=x*
I) Será sobreyectiva , porque f (i?+) = B + 777Será inyectiva , porque x f = x f
y , como son
positivos , se deduce que x¡ = x2 • Luego se trata de una función biyectiva. EJEM PLO 5 : Averigüe si la función ; f:[—l; 6) —* [—7;lí) definida por: f (x) = 2x —5 , es biyectiva R E S O L U C IÓ N :
* Dada la función fe: {(3;a),(4;fe)j, definida de C en
D
• Veamos si f es inyectiva
876
[a
2012}
Las funciones trigonométricas de un número real a , para las cuales son válidas las definiciones de razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, vienen dadas de la siguiente manera: • Consideremos una circunferencia de radio r con centro
$ Sean x2; x2 ^ Domf —[—2;0) * Luego : x, = x
/(*!) = /■(*2) implica 2x7 —5 = 2x2 —5
?N V IC IM P E D IA
* Por tanto, f es inyectiva * Veamos si f es sobreyectiva: * Hallemos el rango de f como x 6 l—l; 6) => —7 < 2 x —5 < 7 => - 7 < y < 7 =>Ranf=l7;7) * Luego Rartf = [—7;22) * Por tanto f no es sobreyectiva . * Finalmente f no es biyectiva .
x y x y v t*
EJEM PLO 6 : Sea: f :
[ 2 ; 4] -> A
, ffx) = l-2 x biyectiva y 7 í : A + B ,^ W = x + 2 igualmente biyectiva calcular B. R E S O L U C IÓ N :
y
senO = — seno del ángulo 0 r
* Como f es biyectiva Ranf = A 2 ¿ x 5 4 = > - 4 ¿ -2 x
> -8
-3 > ~2x + 1 > - 7
= > A = [ - 7 ;- 8 ]
* Como g es biyectiva Rang = B —7 < * < —3 =>• —6 < * + i < —2 = > _ * > _ ? _
6
x+2
2 2
7_
2 ” x +1
y los cocientes • / y a y donde x e y son las coordenadas de un punto P sobre la circunferencia. A medida que el punto P recorre la circunferencia, el ángulo q (medido en radianes) que forman el radio de la circunferencia y el eje X , varía y se puede asociar a cada valor del ángulo un valor a cada uno de los cocientes mencionados . Estas relaciones son las funciones circulares o trigonométricas.
2
cosQ —— r y tgO = — x f* secO = — x f* cscO = — y
coseno del ángulo 0 tangente del ángulo 0 secante del ángulo 0 cosecante del ángulo 0
X
ctg0 = — cotangente del ángulo 0 y
En esta sección haremos un breve repaso de las funciones trigonométricas que serán usadas en otras unidades del texto, asimismo se hará un listado de las identidades trigonométricas que más se empleará sobre todo en el estudio de los límites y las técnicas de integración. El detalle más importante será el tratamiento de las definiciones, ya no basadas solamente en ángulos y triángulos, Bino también en el círculo trigonométrico, donde los dominios son conjuntos de números en vez de conjuntos de ángulos.
♦«Ahora si consideramos el radio 1 , a la circunferencia se le llama «circunferencia trigonométrica » V X * Como senO = y => y = sentí costí = — =¿- x = cosO
DEFINICIÓN :
Rangos tt. [—1; l] 1—1; l] R
X
R-(2n+l)J;neZ ¿ R-nrc;n eZ
R
tge = >
secante
8GC0= A
cosecante
a =— 1 csc 9
II
cotangente
1
Toda función trigonométrica es un conjunto de pares ordenados (a ,/I /(a )), donde los primeros términos vienen a ser números reales (variables en radianes) y los segundos, los correspondientes valores de las razones trigonométricas de dichos arcos (f.t (a)).
Función Trigonométrica seno sen0 = y coseno C080 = X tangente
Dominio: 9 R R
H\
PUNCIONES TRIGO N O M ÉTRICAS
X
y
R-(2n +l)|;n.Z R - ] - l ; l [ R-ni^n eZ
R -]-l;l[
H H 677 fjggf
111711X 03
AM PLITUDES
Y
jt i
w c 'm m s s
]
senx = sen(x+2n) = sen(x+4n) = ...= sen(x+2kx)
PER IO D O S
A X Á IJ S IS D E L G R Á F IC O Í DEFINICIÓN :
Afirmamos que una función f es periódica si existe un T *0, tal que : f(x) =f(x+T); xeDf en el cual si: x € Dr =>(x + T) e Df , entonces T es el período de f(x), siendo además el menor número positivo que cumple está condición. EJEM PLO :
1) Df: R (Dominio); R ^ [-1;1] (rango). 2) Valor máximo : 1; valor mínimo = - 1. 3) La función es periódica, de período 2n. 4) La función es impar , sen(-x) = - senx. 5) Es creciente en el / y IV C , decreciente en el II y IIIC.
* La función seno es periódica , porque : senx = sen(x + 2n) = sen(x + 4n) = sen(x •+8rc)
6) Corta al eje x en x = kx ; k £
= sen (x —4tv) = sen (x —2tt )
8) No es inyectiva .
* Vemos que el menor número T>0 es 2n •Luego diremos que la función seno tiene como período 2n •
9) Es continua V x £ R , o sea es continua en su dominio . JOJEs creciente ^X€^-~ + 2kn;^ + 2knj y decreciente
D E F IN IC IÓ N S
Si y = asenbx ó y = acosbx , para los números reales a y 6 distintos de cero , la ordenada máxima Id es la amplitud de la gráfica y el período es EJEM PLO : f(x) = 2Sen3x ; tiene una amplitud a =2 y su período , en vista que 6 = 3f es 2n /3 .
7) Es simétrica respecto al origen .
3n + 2kn;— + 2kn); donde k e Z
Vxe
u ) g k A f m c a d e jLA FUNCIÓN COSENO Es una función denotada por «eos» con dominio todos los reales y su regla de correspondencia y= f(x) = cosx.
i) G R ÁFICA D E I A FUNCIÓN SE N O í
Es una función denotada por «sen» con dominio todos los reales y su regla de correspondencia: y = f (x) = senx.
Algunos valores particulares de la función coseno X
0
nl6
n}4
7113
n/2
cosx
1
-J3I2
4212
1/2
0
• É•
Gráficamente : Domf = R,Ranf = [—i;2] pues: —1 < senx < 1; Vx £ R * Algunos valores particulares de la función seno. X 0 K16 k/4 x/3 kI2 2x13 3x/4 6x!6 n y =aenx 0 1/2 4212 43(2 1 4312 4212 1/2 0 (S e n o id e )
A N Á L IS IS
D E L G R Á F IC O ;
1) Dr’ R ; R f [-!;!], pues -2 < cosx < 1; Vx £ R 2) Valor máximo = 2, valor mínimo = -2. Período =2ñ
•
* Observamos que después de que x ha recorrido 2n se repiten las características . En este caso se dirá que el seno es una función periódica de período 2n, es decir :
3) La función es periódica, de período 2n . 4) La función es par : eos (-x) = cosx. 5) Es decreciente en el / y IIC; creciente en / / / y IV C 6) Corta al eje X en x = ^+kit; k e
f.A
M.*
MCMMMSyL
*^
*
878
íNCMCLOPEDIA 2 01 2
4 Cuya gráfica es :
7) Es simétrica respecto al eje Y. 8) No es inyectiva.
y
i
y —cotxt (Cotangentoide)
4
9) Es continua Vx € R , o sea, es continua en su dominio. 10) Es decreciente Vx £ (2kn; 2h¡r +7r) y creciente 3fc X
Vx £ (ít + 2ktr; 2n + 2kn), donde k e Z . DJ) GRÁFICA D E LA FUNCION TANGENTE
síntotas
Es una función denotada por «tg*> con dominio todo R menos los de la forma (2k + l)n!2; k € Z .
A N Á L IS IS D E L G R Á F IC O : 1) D f:
Su regla de correspondencia : flx) = y = tanx.
R - { m
r } ;
n £ 7 r ;
R f
: R
2) No tiene máximo ni mínimo. 37 La función es periódica, de período x. 4) La función es impar: ctg (~x) = -ctgx
Su gráfica: (Tangentoide)
= tanx
67 Es decreciente en cada cuadrante. 67 Corta al ejeX en x = — + kit; & £ Z 2 77 Es simétrica respecto al origen.
71 -JIÍ2
0 7XÍ2 í n
3 n t2 Í 2 n 5 n & Í 3 n 7 n t 2 X
8) No es inyectiva. V) GRÁFICA B E L A FUNCIÓN SECANTE
asíntotas
A N Á L IS IS
DEL
G R Á F IC O :
1 ) D ¿ R -j(2 n + l)-| j; b e Z ; ^ :
R
27 No tiene máximo ni mínimo valor.
Es una función denotada por sec, se define: 1 ¡cosx -4 0 seex = cosx * Funcionalmente :
37 La función es periódica, de período x. 47 La función es impar, es decir tg(-x) = -tgx.
• Cuya gráfica es :
57 Es creciente en cada cuadrante;
Yi
67 Corta al eje en x en x = kx; k e Z .
\
77 Es simétrica respecto al origen.
f k Á
/t7r,© +for^; fe £ Z
♦
i
J07 Es continua V x £ ^ ~ ^ + ¿7r;© + for^; * t£ Z Es decir, es continua en su dominio. ÍV ) GMÁTMCA O R l a EU N CiÓ N c o n t a n g e n t e
Es una función denotada por «cot», se define:
k
j\
.X jy ? * 1" - k k .; - X ,. '¡rij2 3n¡2 \ 5jt/2 7ifÍ2 ' + 2n 371 /] 4n X
87 No es inyectiva. 97 Es creciente Vx £
(secantoide)
y=secx
•
n
A N Á L IS IS D E L G R Á F IC O : 1) Dt : R -
; n€ Z ;
su rango es ( - oo;-J ] lj[2;+ oo) 27 No tiene máximo ni mínimo.
cotx =
tanx
¡tanx 4 0
37 La función es periódica, de período 2 n. 47 La función es par: sec(-x) = secx.
f = {(x;y)¡y = cotx, x e R - k i t ; k e Z
5) Es creciente en I y II C; decreciente en el III y
tt¥Tnw&T 0P&
FIWCt4K\H& ]
879
IV c.
tanx cotx = 1; x e U - —n; n eZ
6) No corta al eje X.
„
7) Es simétrica respecto al eje X.
G
sen(x ±y) = senx eos y ± eos xseny
8) No es inyectiva.
H
cos(x±y) = eos x eos y + senxseny tan(x + y)~ ta^ x + tany 1-tan xtany
VI)GRÁFICA D E LA FUNCIÓN COSECANTE
Es una función denotada por «esc», define: 1
sen2x = 2senx eos x
cscx = ----- Isenx * 0 senx
K
eos 2x = eos2 x - sen2x \
eos x - eos y = -2sen f X ? ^ sen x - y 2 ) J
* Cuya gráfica es: YA*
(cosecantoide)
yzzCSCX
M
cosx + eos y = 2cos^x
j eos
x -y \
N
asíntotas ■¿3jt}'2 ''hn¡2 •
«
: n )2 \¡ 3 jt¡2
i ;
/V
1
t *.
» ;
'/ 5 j/ 2 \ > » ; 3
x
..................n
senx + seny = 2 sen í X ^ ^ j eos í
/
Con el fin de recordar las propiedades correspondientes a las funciones trigonométricas , proponemos un grupo de ejemplos cuya solución se relaciona con las gráficas , dominios , rangos , períodos y amplitudes estudiados.
A N Á L I S IS D E L G R Á F IC O :
E J E R C IC IO 1
1) Dp M- { mr} ; n G Z;surango es(-oo;-2]u[2;+oo).
¿Cuáles de estas proposiciones son verdaderas? I) La función senx es creciente en JO; n f
2) No tiene máximo ni mínimo. 3) La función es periódica, de período 2n. fe 4) La función es impar: csc(-x) = -caer. 5) Es decreciente en / y IV C ; creciente en el II y m e. 6) No corta al eje en Y. 7) Es simétrica respecto al origen. 8) No es inyectiva. 9) Es continua V* G (Jm;kn +7r); k £ Z , e s decir, es continua en su dominio. RESUMEN Z P R OP I E D A D E S : sen2x + eos2x = 1 B
1 + tan2x = sec2x 1 + cot2 x = esc2x
D
senx •esc x = 1; x e R - {wn}; n e X
:
II) La función cosx es decreciente en JO; ni m ) La función tgx es creciente en IV) La función secx es decreciente en JO; n}2[ R E S O L U C IÓ N : I) (FALSA) La función senx es creciente en: JO; 7r¡2[y decreciente en / n¡2;n[. (ver figura a). II) (VERDADERA) La función cosx en el intervalo ]0 ;n [ es decreciente (ver figura 6). 227) (VERDADERA) La función tgx es creciente en el intervalo JO, n ¡2[. (Ver figura c). IV) (FALSA) Del gráfico de la función secante Obtenemos que IV es falso.
[a
f8 3 0
l
E J E R C IC IO 2 : Calcular la amplitud, el período y trazar la gráfica de : y = 3 sen 2x R E S O L U C IÓ N : * Aplicando el teorema de amplitudes y períodos , con a =3 y b = 2 tenemos: •Amplitud = |a| = |3| = 3 Período = 2n
2n
'iNCICLOPEDIA 2012]
E J E R C IC IO 5 : Calcular el máximo valor de : sen2x - 4cos3z R E S O L U C IÓ N : • En general: 0 < sen 2x < 1
A - 2 < eos3 z < 1
Vx £ M
Vz £ R
* Como la expresión es una diferencia, el valor máximo se obtendrá considerando el minuendo máximo y el sustraendo mínimo.
= 7T
• La gráfica se indica en la figura adjunta, observa que hay exactamente una onda sinusoidal de amplitud 3 en el período [0; n].
E J E R C IC IO 3 : ¿Cuál es el gráfico que no corresponde a la función indicada?
sen2x - 4cos3 z = 2 - 4 ( - 2 ) = 1 + 4 = m áx
5
m in
A LG E B R A D E FUNCIONES Aunque las funciones no son números , con ellas se pueden realizar operaciones similares . Así como dos números a y b pueden ser sumados para producir un nuevo número a + 6 , dos funciones f y S se pueden sumar para producir una nueva función f + g. Y esto no es todo , porque también pueden restarse, multiplicarse, dividirse , y generar así nuevas funciones . A continuación daremos las definiciones de estas operaciones . I) IG U ALD AD D E FUNCIONES
:
Dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio y la misma regla de correspondencia, es decir sean f y g dos funciones. I) f(x) = g(x) f = g=* R E S O L U C IÓ N : Comparando las gráficas dadas , con las que estamos estudiando, deducimos que la gráfica incorrecta es la ctgx, dado que dicha gráfica es en realidad decreciente en cada uno de los cuadrantes.
II) Domffx) = Domg(x)
EJEM PLO 1 : Las funciones : f(x) = x2 - 3x + 1 ; g(x) = x2 - 3x + 1
E J E R C IC IO 4 :
•Son iguales porque Dom f = Domg = R f(x) = g(x).
Si: n< a<2n\ el mayor valor que puede tomar y = esc a es:
EJEM PLO 2 :
R E S O L U C IÓ N :
f(x) = V ( x - 2 ) ( x - 6 ) ; g(x) = j x - l 4 x - 6
• Observando el sector de la gráfica de la función: y=csca en el intervalo ]tt; 2 k [ deducimos que el mayor valor admitido en el intervalo ]n; 2n[ es -J y
C'
y
J ............. i K' v*^Tn ; *v 3 2n n/2 Jt:**. -i t
s
y=CSCC
1
no son iguales puesto que : Domf = <-oo;2] U [6;+oo> Domg = \6;+ oo); Domf ^ Domg Según esto , no basta que dos funciones tengan la misma regla de correspondencia , también deben tener el mismo dominio. EJEM PLO 3 : Sean f y g funciones tales que :
Kf7gMTQ ¿
881
/'= {te ;y > /y = x 2 + J g = {te; y/ ly = ** + l
0 < x < 3} 2 < x < 4}
Las funciones f y g son.diferentes pues a pesar de tener igual regla de correspondencia tienen diferentes dominio. EJEM PLO 4 : Sean f y g funciones tales que : F(x) = x2 ; g(x)=x\x\ Se sabe que : x; si x > O x = -x; si x < 0
• Entonces :
f(x) = x2 ; g(x) =
x 2 ; si x > 0 - x 2 ; si x < 0
Se observa que aunque f y g tienen el mismo dominio (# £ B) no son iguales pues no tienen la misma regla. II) UXIÓX D E FUNCIONES i (Función con más de una regla de correspondencia) La unión de funciones genera otra función si y sólo si la intersección de sus dominios es vacío , salvo en los extremos donde las imágenes son iguales . f¡(x); x^Domf j f2 (x); x 6 Domf2 .f(x) = f3 {x); x € Domfs fn(x); x £ Domfn Si fíx) es una unión de funciones, fíx) será otra función si Dom ft n Dom f2o Domfn =
[* ; f(x) = x2 ; xs\0;í)
1 - x ; xe.[l;5) E S O L U C IÓ N :
] FUNCIONES fi
III) A D IC IÓ N DF¡ (FUNCIÓN SUMA)
Sean f y g dos funciones bien definidas , luego definimos y denotamos: f + g = { t e ; (f + g)(x))!x e Domf n Domg} • Es decir : I) Domff + g) = Domf n Domg f +F = II) (f + g) (x) = f(x) + g (x) EJEM PLO 1 : Hallar ; f + g Si : f = {(-1;2),(0 ; 0),(2; 4),(3 ;-l);(4 ;3)} g = {(2 ; 0),(3 ;4),(4 ;7),(6 ; 2)} R E S O L U C IÓ N : * Calculemos el Dom f y Dom g : Domf = {-2 ; 0; 2; 3; 4} Domg = {2; 3; 4; 6} * Luego : Dom (f + g) = D om f O Domg = [2 ; 3; 4} (f + g)<2) = f(2) + 8(2) = 4 + 0 = 4 (f + &)(3) = f(3)
8(3) = ~ l + 4 = 3
(f + 8)(4) = f(4) +8(4, = 3 + 7 = 2 0 - > f + 8 = U2 ;4),(3 ;3)J4 ;10)} EJEM PLO 2 : Sean las funciones fíx) = x - 3 y g(x) = Jx Podemos formar una nueva función f + g que asigne a x el valor x - 3 + 7x » es decir : (f + g) (x) = fíx) + g(x) = x - 3 + £ e «■
En cu an to a sus dom in ios , debem os ser cuidadosos, porque x debe ser un número en el que tanto f como g existan. Es decir , el dominio de f+ g es la intersección de los dominios de f y g. * A s í, tenemos que el dominio de f es el conjunto de los números reales, mientras que el de g es el de los reales positivos incluyendo al cero , luego el dominio de f + g es la intersección de estos dominios, es decir , el dominio de g. Así: Df ;]-o o ;+ o o [;
Dg : [0;+oo[
D(f+g) = Df n Dg =[0;+oo[ EJEM PLO 3 : Dadas f y g dos funciones de IR en
definidas por
[y*
m zm bm xs *
¿i*W JA
I 882 1 m
ffx) = 2x y gfx) = x + 1, hallar f + g representarlo gráficamente .
y
R E S O L U C IÓ N :
g( x) =
♦ Tenemos : ff + g )M - ffx) + gfx)
; x g Domgi
g 2 (x )
; x g Domg2
• ♦ •
(/i + gj)(x) ; x e [Domft r\Domgt] (fi + g2)(x) ; x e [Domfj o Domg¿]
* Tabulando :
( f + #)<*) = 0 1 2 0 2 4
■ • •
(fn + gm)(x) ; x e [Domf„ n Domgm]
1 2 3 ( f + g)U> 1 4 7
•••
NOTA : ffi + g¡)fx) esta Domf¡ r\Domg¡ * 4
EJEM PLO 4 :
si
f f x ) = 5 x + 1 ; x e (-3 ; 2]
* Consideremos : y} = x e y2 - senx * Seleccionemos algunos valores de xeDom f y evaluemos la suma de ordenadas y¡ + yr
0
si y sólo
Sean las funciones f y g funciones tales que :
R E S O L U C IÓ N :
f ( x ) = yJ+ yí;
definido
EJEM PLO 5 :
Construya el gráfico de la función f ; s i : f(x)= x+senx
0
• • •
(f¡+g¡)(x) ; x e [Domfj n Domg¡]
gU )
X
« « •
Luego :
ff + g ) M = 3x + 1
f(x )
gi(x)
g m( x ) ; x e D o m g m
(f + g)fx) = 2x + (x + 1)
X
IN C IC L O P E D L X 2 0 í ¿ ]
■I Hl|
71 2
71
371 2
2n
71
3 tc ^ 2 “
2n
* Aplicando la suma de ordenadas , tenemos :
gfx) = 2 x - 3 ;
xe[-l;5 )
Hallar : f + g R E S O L U C IÓ N : • Primero : $ Dom f + g = Dom f n Dom g -> Dom f + g = (-3;2]r>[-l;5)= [ - 1 ; 2] • Luego : (f+ g)(x) = /TfxJ + g(xj -> (f + g)fx) = 5x + 1 + 2x - 3 = 7x - 2 • Entonces :
3jz
(f + g ) M = 7 x - 2 ; xe\-l;2]
ffx)=x+$enx
*
* +1
»: . 3ji/2 — * »
' - 3n!2 - n ' ' - - y W n l 2 -7 — 1
f\
'7
S U S T R A C C I Ó N D E F U N C IO N E S (F U N C IÓ N D I F E R E N C I A L ) í
IF )
l e Son f y g dos funciones bien definidas, luego definimos y denotamos : y2= senx
-271
\ = X
f - g - {* ;(/* - g)(x)/x g Domf n Domg} como la función diferencia de f y g, es decir:
Sean:
f(x) =
( ) ; x eDomfi f2(x ) ; x e D o m f 2
fi x
fn( x
)
;xeDomf„
I) Dom ( f - g) —Domf n Domg f-g = II) ( f - g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) V ) M U L T IP L IC A C IÓ N D E F U N C IO N E S (F U N C IÓ N P R O D U C T O ) i Sean
f y g
dos fu n cio n e s b ie n defin idas luego
\EM VBO XR&
«íTOf05
usa
definimos y denotamos : f * g = [x;(fg)(x)/x€ Domf n Domg}
w
M'UNUMONEN ]
EJEM PLO 1 : A partir de las funciones definidas por pares ordenados:
como la función producto de f y g , es decir : I) fx g = W
Dom (f xg) = Domf r\Domg (fxg)(x) = f(x)xg(x)
f = {(l; 2 ) , ( 2 ; 3 ) , ( 3 ; 4),(4; 5)} g = {(0; 2) ,(2; 2) ,(3; 5)} * Podemos hallar la suma y el producto. Obsérvese
V i) D IV ISIÓ N DE FUNCIONES ( FUNCIÓN C O C IE N T E ) í
que D f n D g = (3í 5} , entonces sólo debemos sumar y multiplicar las componentes correspondientes a este dominio :
Sean f y g dos funciones bien definidas luego definimos y denotamos :
f + g = {(2;5),(3;9)}
( x ) / x e (Domf n Domg) a g(x) * 0 í
-
M
í
)
f * g = {(2;6),(3;20)} EJEM PLO 2 : Sean las funciones f y g tal que :
como la función cociente de f y g , es decir: f = {(i;4), (2; 6 ) , (5; 1 5 ) , (6; 4)} g = {(1;2),(2;3),(3;7),(6;0)} Determinar : A)f+g CANON PARTICUJLAMEN 1 I) F(cx) = cF(x) ; c e R a Dom(cF) = DomF
III) POTENCIACIÓN D E FUNCIONES
f n(x) = f ( x ) f ( x ) ........ f(x) *n9multiplicaciones indicadas
Dom(fM) = Dom(f); n,eN nk2
D)f!g
Domg = {l;2;3;6} * Entonces : Domf n Domg = {1; 2; 0} * Entonces : A) (f + g)(l) = fíl) + g(l) = 4 + 2 = 6 (f + g)(2) = f(2) +g(2) = 6 + 3 = 9 (f + g)(6) =f(6) +g(6) = 4 + 0 = 4 * Luego : f + g = { ( l ; 6 ), (2; 9), (6; 4)} * Análogamente , hallamos :
P R O P IE D A D E S : S©an f ,g y h funciones reales bien definidas, luego
p) f
I)
C) f ■g - {(1;8),(2; 18),(6;0)}
CONM UTATIVA
C )fxg
R E S O L U C IÓ N : * Primero veamos los dominios: Domf = {l;2;5;6}
W (l!G)(x) = (GT'Hx) = [G(*)]■' DomG 1 = DomG - {x/G(x) = 0}
B) f - g
g - {(7 ;2 ),(2 ;3 ),(6 ;4 )}
D) En el caso de flg se tiene: a)
A S O C IA T IV A :
Domflg(Domf n Domg) - x e {Domgíg(x ) Domflg = {1;2;6} - {6} = {2;2}
( f g) h = f ( g h ) \ [ ( f + g ) + h = f + ( g + h ) Luego: m )
D IS T R IB U T IV A 2
-> flg = {(1 ;2 ),(2 ;2 )} EJEM PLO 3 : * Dadas las funciones :
-
0}
(H E ) F = {(3; 2), {4; -1 ), (5; 6), (8; l)} G = {(3>*4 ), (2; 7 ), (5; O), (9; -3 )} * Entonces :
DomF = {3;4;5;8} DomG = { 3;2;5;9 }
T i N i ICIMPEDLX s o is ]
f\ ¿ Á >
a) ( f - g)(x) ; Dom(f - g) b) —(x);Dom —1 S \S) R E S O L U C IÓ N : * Domf = [3; co[Domg = R - { 5 }
y el dominio común : DomF n DomG = {3; 5 } , Luego :
* Dom ( f - g) = Domf n Domg = [3;5[ u ]5; qo[
* F + G = {(3; 2 + 4), (5; 6 + 0)} = {(3; 6 ), (5; 6)}
* La regla de correspondencia :
* F - G = { ( 3 ; 2 - 4 ) , ( 5 ; 6 - 0 ) } = { ( 3 ;- 2 ) ,(5;6)} * FG = {{3;2x4),{6;6x0)} = {(3 ;+ 3 ).(5 ;0 )j ♦ Para F/G: Dom(FIG) = {3; 5} - {xlG(x) = 0}
x-4 (f - g)(x) = f(x) - g(x) = y / x - 3 x-5 f * Para el dominio de “ , es necesario que g(x) * 0 ; x“ 4 esto implica ----- —* 0 => x * 4 x —o
= { 3 ;5 } - { 5 } * 0 o m | - j = [3 ;4 [u ]4 ;5 [v ;]5 ;« > [
= {3} -)• F/G = {(3; 2/4)} = {(3; 1/2)} EJEM PLO 4 : Sean funciones tales que : f(x) =>¡4 - x 2
a
g(x) =; Vx2 - 4
Halle : f + g , f - g >fg R E S O L U C IÓ N : * Calculemos los dominios de f y g : * Domf: 4 - x 2 * 0 <=> - 2 5 x 5 2 Domf = [-2 ; 2]
* La regla de correspondencia : ( f \ )_ ^ g r } g(x)
_ (x -5 )4x-3 X-4 x-4 x-5
EJEM PLO 6 : Sean f y g funciones tales que : f ( x ) = x 3 +3x + l f ( x ) = {(0; 5 ), (-2 ; 72 ) ,(3í 7), (7 2 ; 9)} Halle:
0 (F -3 3 )(7 2 )
* Domg : x 2 - 4 * 0 <=> (x 5 -2 v x £ 2)
íí) (532 - 3 / ) ( - l )
-> Domg = (-oo;-2]u[2;-hx>)
R E S O L U C IÓ N :
* Luego : Domf n Domg = {-2 ; 2}
* Veamos los dominios: _ Domf = R y Domg = {0 ;-l;3 ;> /2 }
* Entonces : (f+g)(-2)=f(-2) +g(-2) : 0 (f + g)(2) = f(2) +g(2) = 0
=> Dom fnDom g = {0 ;-2 ;3 ;V 2 }
-» f + 3 = {(-2 ;0 ),(2 ;0 )} * Análogamente hallamos : /• -3 = {(-2 ;0 ).(2 ;0 )}
= [s(í + 72)] -3(9)
/•-3 = {(-2 ;0 ),(2 ;0 )}
-> {f*-3g){j2) = 18j2
EJEM PLO 5 : Sean / y g funciones definidas en los números . x —4 reales, tales que : f(x) —4x —3 ; g(x) = x-5 Hallar :
II) (5g2 - 3 f)(.-!) = 5g2 (-2 ) - 3/-(-2) = 5 [ 3 ( - 2 ) ] * - 3 [ /- ( - 2 ) ] = 5 (7 2 )2 - 3 ( - 2 ) (532 - 3f)(—í) = 23
^ EJEM PLO 7 :
885
FHXCWONE&
/T-x) = /Tx) verificamos que la función es par t luego el gráfico de f es simétrico respecto al eje Y .
Sean las funciones : f = {(0;0),(lJo),(2;l)9(3 ;2 ),(4 ;3 )9(6;10)}
* Analizando para x > 0
a
- 1 5 senx 5 7
=>multiplicando por (x) a los valores del senx
g(x) = y¡x + 2» x e (-2; 2)
- x 5 xsenx 5 x
si (g* + f)(n) = 3, halle n* + 2
* Así la gráfica de f se encuentra entre las rectas y= x e y = -x
R E S O L U C IÓ N ; * Consideremos: Domf = 77^
f\
g*(x) = x + 2 , Dg1 = Dg = (-2; 2) *Domf=Df= {0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;6 } luegoDíg* +/) = {0;/} * A sí: g* + f = {(0.6* (.0) + o),{l,g2 (D + o)} = {(0;2),(i,-3)}
Y \ ~2a\. " \ fx * é
-> n = 1 y n2 + 2 = 3
y ¡-x /
EJEM PLO 8 : Sean las funciones :
n U
*f\ y 1 f(x)—xsenx I ^ y g=senx
\ \ / -ss \ 2 ' /
^
EJEM PLO 10 :
f ( x ) = |x|, x g R x, x * 2 g(x) = x 2, x < 2
* Luego: xlx
; x ^0a x Z2ax* 0
x/x2
; x * 0 a x < 2 a x 2 * 0
Ux)= g -xlx
; x < 0 a x * 2 a x *
2X
¡
a
* <2
a
CO M PO SICIÓ N D E FUNCIONES
x 2 * 0 "y
Además de la adición , multiplicación y división de funciones, hay otra operación fundamental llamada co m p o sició n f la cual se considera como una función de función y se define así: La función de f con g, denotada por f o g y que se lee «f composición g» es la. función cuyo dominio consiste en los elementos xeDt tales que g(x) eDr y cuya regla de correspondencia es: [fog](x) = f[g(x)~]
; *e[2 ;oó).
-> f ( * ) = l l x
X
( 0 ;2 )
€
-x3+¿/2
O.t,ino existe) 4«
-x lx 2; x < 0
- 7 / x ; x € { - o o ;0 ) EJEM PLO 9 : Construya el gráfico de la función f s i ; f(x) = xsenx R E S O L U C IÓ N : * Consideramos y ¡ = x e y2 = senx * Seleccionamos algunos valores de x € Domf y evaluamos el producto y } t y3 . X
0
n
71
/*(*) = y* y*
71 2
3 tt
2 71
2
2
0
]
0
371
0
2
EJEM PLO : ♦ Además , si evaluamos .* f(-x) = (-x)f-senx) = xsenx, entonces
* Del gráfico adjunto determinar F o G
(aje,
f f l B
Í
8
8
6
¡g 1'xcicisO rK D iA
1 E
a o ii]
EJEM PLO 1 : Determina la función f o g siendo : f = {{0; 0),(2; 6),{4; 12),{6; 18),(8; 24)} g = {(1; 2),{2; 4),{3; 6),(4; 8)} R E S O L U C IÓ N :
Se consideran sólo los elementos asociados a líneas que hacen el recorrido completo de A hacia C , pasando por B. FoG={(2; 7), (3; 7), (0; 8)} D E F IN IC IÓ N :
•Para que exista la función f o g es necesario , según la definición , que el rango de g se encuentre contenido en el dominio de f, esto es, que exista Re D f. Si g tiene dominio en A y rango en B , y f tiene rango en C, entonces f o g tiene dominio en A y rango en C . La figura da un diagrama de f o g para este ejemplo.
Si f y g son dos funciones en sus dominios respectivos, se define la composición de funciones denotados por fog 4,f compuesta con g 99 , a sí: n„Ál) og:<
Domf o g = {x e Domg/g (x ) e Domf} {f Og)(x) = f(g(x))
* Sean los conjuntos A , B y C y las funciones f y g tal que: g ; A - > B y f ; B - > C ^ > fog : A -> C • Los siguientes diagramas ilustran la definición anterior . w x
f o g = {(l;6),(2;12),(3;18),(4;24)} EJEM PLO 2 : Dadas las funciones: f = {(-1; 0),(2; 3),(5; 6),(7; 9)}
>g(x)------ >f(g(x))
g = {(1;-1),(0;2),(3;5),(4;6)} Hallar : A) f o g
B)gof
R E S O L U C IÓ N : A) Veamos si existe f o g Domf = {-2 ; 2; 6; 7} Rang = {-1;2;5;6}
D(fog) '^-JLRg n Dfj_
R(fog)
-> Domf r\ Rang ~ {-1;2; 5} * 0 * Entonces existe f o g • Nos interesa los pares ordenados de g y f que tengan como segundas y primeras componentes A ; -2 ; 2 y 5 respectivamente . Luego : ( l ;- l ) e g
a
(-ljO )G f
—
(l;0)efog
* De esta representación gráfica se tiene : I)D(fog)Q D ( g ) Q A
(0;2) e g
a
(2,-3) e f
- (0;3) e fog
(3:5) e g
a
(5;6) e f
- (3;6) e fbg
II)R(fog) c R (F ) c C NOTA La composición de funciones es una operación no conmutativa es decir : (fog)(x) * {gof)(x)
->
• También
fog = { U ; 0 ) , {0:3), (3 ; 6 )}
F U im m X E S J
A (3) = /-(¿ (3 ))= > 9 = f ( 6 ) = ( 6 ; 9 ) e f h(5) = f{g{5))=> 12 = f ( 9)
(9 ; 12) e f
h(7) = f ( g( 7) ) =>9 = f ( 6) z ( 6 : 9 ) e f h(8) = f(g(8))=> 7 = / ( 4 ) = (4:7) e f * f = {(® >9),(9;22),(4;7)} También : -» /* * = {(2 ;0 ),(ft -3 ),(* 6 )}
B7 De manera similar , se halla g o f Domg = {1; O; 3; 4} Ranf = {O; 3; 6; 9} -> Domg n Ranf = { O; 3} * O * Luego : (~UO)ef a (0;2)eg -------- — (-l;2 )e g o f (2;3) 6 f
a
«-5 ) e g
-
(2;5)egof
gof = {(-l;2),(2;5)} E JE M P L O 3 : Determine f o g s i : f ={(l;2),(2;3),(3;4),(4;5)}
g={(0 ;i),(1; 1), (2 ;4),(3 ;9 )} R E S O L U C IÓ N : Dom(g) = {0;1;2;3}; Rang(g) = {1;4;9} D o m (f ) = {i,’ 2 ;3;4} ; flarag(f) = {2 ;3 ;4;5} •Si x = 0e Dom(g) Ag(0) = 1 é D { f ) => f(g(0)) = 2 => ( f o g J Í O ) ^ ^ (0 ;2 ) e f o g
EJEM PLO 5 : Dadas las funciones : f = [(l;2),(2;3),(3;5),(4: 7)} g = {{0;3),(l;2),{2;l),{3;4)} Hallar el producto de los elementos del rango de la función : h = (fo g) + (g o f) R E S O L U C IÓ N : * En este caso es posible seguir el siguiente procedimiento : • En caso de f o g : (xiS(* )) a (g ( * ) , / (g(x))) t Eí e/ entonces ( x ; / ( g ( x ) ) ) € f o g y en caso g o f : (xtf (x)) a ( f (x ), g (f (x)))
entonces (xtg(f (x))) e g o f
* Así: Para f o g :
* Si * = l e D ( g ) * g {t) = l e D ( f )
( i ; 2) Gg
a
(2 ;3 ) € f => (2; 3) e f o g
=> f (^(/)) = 2 = > { f °8 )u ) = 2 =* ( í ; 2 ) 6 f ° s * Si * = 2 e D (g ) a ^(2) = 4 e D (/")
(i0 ; 3 ) g
g
a
(3 ;5 ) e
(2; 1) e g
a
(4 ; 2 ) e f => (2 ; 2 ) e
(3 ;4 ) g g
a
(4 ;7 )
=*/(^( 2))= 5 =* ( f ° g) ( s ) = 5 =* (2 ; 6 f ° s * Si x = 3e D(g) a g(3j g D i / 1) ; no existe
-» A « = {(4 2 ).(¿í * ).(% £ )} E JE M P L O 4 : Dadas las funciones : g = {(3 ;6), (5; 9),(8; 4),(7; 6),(10; 5)}
e
f => ( 0 ; ó ) e
f o £
f =$ (3 ;7 ) e f o g
* Por consiguiente f o g = {(1;3),(0;5),(2;2).(3;7)} * Para g o f ;( ¿ ;2 ) e f
a
(2 ;3 )
g
9 => (2;3) e £ o f
(2 ;3 ) e f a (3 ;4 ) e g => (2 ;4 ) g g o f * Para x = 3: f ( 3 ) = 5 e
=> no existe g(f(3))
x = 4: f (4) = 7 £ Z>g => no existe g(f(4))
h = {(3;9),(5;i2),(7;9),(S ;7)} Halle la función f tal que: h = f o g
* Por lo tanto g o f = {{2; 1), (2; 4)}
R E S O L U C IÓ N :
* Como
* Como; h(x) = (fog)(x) = flg(x)) * Entonces:
fog
= {2; 2} = Dk entonces
h=(f o g)+(gf)={[l;3+l),{2;2+4)} = {(l;4),(2?6)} flA= {4 ;6 } , entonces 4x 6 = 2 4
B
B
I
8
8
8
I B
l X1TCTMPEDLA 2012)
O
O B S E R V A C IÓ N :
(fo g)(x) = f(g(x)) = f(x - 2) =,]4 ( x - 2 ) - ( x - 2 ) 2
Volviendo ahora la manera de ver a las funciones como máquinas , podemos entender la operación de composición como un acoplamiento de una máquina con otra. Por ejemplo, si tenemos la función flx) =x*f la cual es una máquina que recibe x y la eleva al cuadrado , la función g(x) = 2x + 3 es una máquina que recibe x ; la multiplica por 2 y luego suma 3 , componer f con g consiste sólo en acoplar la máquina de g con la de f. Le suministramos a /, la «producción» de g.
(fo g)(x) =\j-x2 + 8 x - 12; Domf o g = [2;6] * Hemos determinado f o g indicando su regla de correspondencia y su dominio. EJEM PLO 7 : Dadas las funciones f y g , tales que : flx) = 2 x - 1 ; x g ( I ; Í 0 ) g(x) = 3x + J ; x g {—1; 2) Hallar ' . f o g si existe . R E S O L U C IÓ N : A) Primero veamos si existe f o g
g
Dom f : (l;10) Ran g ; - l
La expresión o regla de correspondencia d e f o g es: (fo g)(x)f [g (x )] = f [ 2x + 3] = (2x + 3 )2 -> ( / o g ) ( x ) = (2 r + 3 )2 EJEM PLO 6 : Dadas las funciones: f (x ) = \léx - x 2 •g W - x - 2 . Hallar f o g .
* Luego : Domf o Rang = (l; 7)4 0 -> Existe f o g * Calculemos : Dom(f o g) Dom(fog) = { x / x e Domg a g(x) g Domf] * Luego : x g { - 2 ;2 ) a 2 < 3 x + 2<20 -> x g { - 1 ;2 ) a 0 < 3 x < 9 -> x g ( - 2 ; 2 ) a 0 < x < 3
R E S O L U C IÓ N :
-+ x g { - 2 ;2 ) n x g ( 0 ; 3 )
* Calculamos los dominios de cada función: * Para flx) : 4 x - x * Z0 => x * - 4 x £ 0 => x ( x - 4 ) £ 0 ; xe[0;4] D o m f = [0; 4]
* Entonces : D fo g = (0;2) * Ahora , calculemos : (fo g)(xt
•Para g(x):y = x - 2 es una función lineal D o m g = R
-> (f o g )(xf = 2(3x + 1) - 1
* Como los dominios tienen infinitos elementos, aplicamos el método analítico para resolver el problema. * Tenemos : Domf o g = {x e Domg Ig(x) e Domf] = {x e R ! g(x) € Domf] * Trabajamos con {x e R f g ( x ) e Domf] * De g(x) € Domf se tiene : (x - 2) e [0; 4] =$ 0 £ x - 2 < > 4 => 2 £ x < . 6 => x e [ 2 ; 6 ] * En (2) : {xlg(x) g Domf] = [2; 6]
íf o g)fx) = flg(x)) = f(3x + 1)
“ >
=
6
X
+
1
* Finalmente : ( f o g)fxf = 6x + 1; x e (0 ;2 ) P R O P IE D A D E S : Sean las funciones ft g y h: I) Otra forma sencilla de presentar el dominio de una composición es : Dom(f o g) = Domg n (x /g (x ) e D om /} W (fo g) o h = f o ( g o h ) .............. (Asociativa) III) Si / es la función identidad , luego V función f : f o I = f a I o f = f IV) (f + g) o h = (fo h) + (g o h)
* En (1) : Domf o g = R n [2 ;6 ] = [2;6] * Además :
V) ( f ' g ) o h = (foh) ' ( g o h )
[EnwKMivr¡&
iiT O m v # ;» ]
VI) I* o f = f * , Vn e Z * , I: identidad .
*
FUNCIÓN IN VER SA Sea f una función biyectiva , entonces f posee inversa denotada por f ' 1 o f* $y se define de la siguiente manera:
* La inversa de f es la función que se obtiene al intercambiar la primera y segunda componente en cada par ordenado de f. * El dominio de f* es el rango de f y el rango de f* es el dominio de f. Domf = Rangf* = x Rangf = Domf* = y
y = (x- 3)*> entonces f 1(* ) = (* - 3)* • Además : Dr =[0;®[ ;R f =[3;®[ ;D r ,= [3 ;«)[; J*r ,=[0;® [ G R Á F I C A D E M¿A F U N C IÓ N I N V E R S A
* Para que 44f ** tenga inversa a la gráfica de la relación f* toda recta vertical debe cortarla a lo más en un punto o que es lo mismo : que a la gráfica de f toda recta horizontal la corte a lo más en un punto (en otras palabras f debe ser inyectiva). • _ ♦ Para obtener la gráfica de f* se refleja la gráfica de f en la recta L : y = x (eje de simetría)
C Á L C U L O D E L A F U N C IÓ N I N V E R S A
Si fe s una función : y = ffx) biyectiva I) Se despejax , x = gfy) U) Se reemplaza y por x y a la función y se llama inversa de f y se denota por f *. f*(x) * Calcular el Ranff) que será exactamente ¿el dominio de f * y así se obtiene f*. &. y EJEM PLO 1 : r~ . i => X =
¿Cuáles de las siguientes funciones tienen inversa? I)f = {(2; 2), (2; 3) , (3; 4)1 , ‘ U ) f = {(2;1),(3;2).{4¡1).{5¡3)} R E S O L U C IÓ N :
'
* P es punto medio de AB EJEM PLO 3: Determinar y graficar la función inversa de f(x) = x3 +2 R E S O L U C IÓ N :
I) Es inyectiva : A cada imagen y le corresponde una pre-imagen x , por lo tanto, existe f lfx). II) No es inyectiva f pues a la imagen y = J le corresponde dos pre-imágenes. No existe f ¡(x).
* Como se trata de una función biyectiva :
NOTA
por x) y = $ x - 2 es la función inversa de f .
* Si g es la inversa de f , entonces también f es la inversa de gt es decir : ( f 1)'1 = f * La notación empleada para la función inversa no debe confundirse con la ley de la potenciación, aquí el símbolo superior -1 no es un exponente , en
* Además : Dom f'1 = R, R a n f 1 = R * Luego grafiquemos :
general: f~2(x ) *
2 f(x)
y = x 3 + 2 , despejando x x = Hy~2 , intercambiando variables (x por y e y
f(x)=xf+2
EJEM PLO 2 Para hallar f lfx)t dado f ( x ) = ^ / x + 3 , que es inyectiva, de y = yfx + 3 despejamos x y obtenemos: £
x = ( y - 3 ) , luego intercambiamos x con , y:
EJEM PLO 4 : Hallar la función inversa d e :
f~ i(x )= fx Y
/%JÍ*
!V*W[ S 9 0
F(x) = 2 x - 1 ; x e ] - l ; 5 ] R E S O L U C IÓ N : * Con el cambio : F(x)*y * Despejando “x
x
y = 2x-l
y +2 ^
_y+i *” ( > ) =
* Además del dominio de F : -1 5 x 5 5 v+ 2
AU\
XCJCLOPEOLl 20 i 3]
*J»4
E JE M P L O 6: Hallar y graficar la función inversa (de existir) de: y = / (x ) = x 2 - 2x - 1 ; x g [2 ;o o ) R E S O L U C IÓ N : *De: y = x 2 - 2x - 1 -> y = (x - 1)2 - 2 o ( x - 1)2 = y + 2 o lx - 2|=
* Luego : -2 5 —— 5 5 £ * Resolviendo : -3 < y < 9
+ RanF = DomF* = ]-3 ;9 ]
o x = 2 + N/^ T 2 = / * ( y )
* Finalmente: F * { y ) = ^
; y e ]^ 3 ;9 ]
* De donde : / * (* ) = 2 + Vx + 2 * El rango de /* será el dominio de
-> 2¡'*(x) = ^ ^ ; x e ] - 3 ;9 ]
es decir:
Rang(f*) = [2;+ 00) * La gráfica 6erá :
EJEM PLO 5 : Sea f:(-6; -2) -+ (5; 26) una función tal que : / ( x ) = x 2 + l . H a l l e / * ; si existe . R E S O L U C IÓ N : * Existe /*< =>/ es biyectiva : * Veamos si f es inyectiva: f ( * l ) = f ( * s ) => x¡ + 1 = * f + J -> xf = X2 => xf - x 2 = 0 -> (* i + * * ) ( * ! - * a ) = 0 * Como : Xj a x2 e ( - 5 ;- 2 ) -+ x¿ + x 2 * 0 * Luego : * j - x 2 = 0 => X, = x2 * Por tanto , / es inyectiva. * Veamos si / es eobreyectiva calculemos el rango
Si / ( x ) = - 2 | x - 2 l - 2 , x g [2;3] determinar/*Y5)
áef!
* Recordando que si (x; y) e f => (y ;x )
- 5 < x < -2 -+ 4 < x 2 < 25 => 5 < x 2 + J < 26 + 5 < y < 26 => Ranf = (5; 26)
- + / es sobreyectiva * Luego / es biyectiva y existe / * * Cálculo de / * ; ? = />(*)=> * = f * ( y ) y = x2 + l o x 2 = y - l o |*h± j y - 1 * Como x e (-5 ; -2 ) => 1*1 = - * * Luego : - x = j y - 1 o * = - J y - 1 O f * ( y ) = - J y - l ; y e (5; 26) * En términos de x : /*(x )
= -> /* -
2; x
g
(5;26)
* D on d e:
D om f *
= ( 5 ;2 6 )
a
2 2 a n /* = < -5 ;-2 )
R E S O L U C IÓ N :
-2|x-2|-2 = 5=>|x
_
g / *
3\x = 5¡ 2, si W1 _ '2\_x = - l ¡ 2 , no n ¿porqué?
♦Luego 0>/2; 5) g / => (5 ;5 /2 )
g
/* => / * ( 5 ) = 5 /2
P R O P IE D A D E S : I ) f * es biyectiva , existe / ** y como : /* = { ( y ; * ) /* e D om /} entonces: /* * = {(x ;y )/x
g
Don*/}
Luego : /** = / 22) Si / es la función identidad , entonces: f o f* = I , sobre Domf* f* o f = / , sobre Domf UI) Inversa de una función compuesta. Si / y g son biyectivas tal que existe / o g, entonces: (fog)*
[g p ir J O iW ^
IBM
H f m V o .v
H91
I
M ^ v o o v # ;.» ]
y i 't*
existe: ( f o g ) * = g * o f *
A N Á LISIS D E L A G RÁFICA Z
NOTA
l)Domf = [ - ! ; ! ]
3) es inyectiva
2)Ranf
4) es impar
* Sean f y g funciones tales que : una de ellas o ambas pueden no ser biyectivas, sin embargo la fundón (fog)* puede existir : • En este caso , no se aplica : (fog)* = g* o f* pues no existe g* o f * t ya qué al menos una de las fundones f* o g* (o ambas) no existe.
FUNCIONES TRIGO N O M ÉTRICAS IN VER SAS Las funciones trigonométricas son periódicas y por lo tanto no son inyectivas (puesto que para cada y de su rango , hay infinitas x que le corresponden). Sin embargo, mediante una restricción del dominio podemos introducir la nodón de inversa para cada una de ellas. EJEM PLOS: Y¡
y=senx
5) No es periódica 6) La función es creciente en todo su dominio. il)FUXCIÓX ARCO COSENO A partir de la fundón y = cosx dado que Q<, x 5 n obtenemos su fundón inversa considerando que x — arccosy 6 x = eos-1y además cambiando la variable x por y e y por x ; obteniéndose: y = arccosx o y = cos‘*x (se lee: "y es un arco cuyo coseno es x'*) Obteniéndose la regla de correspondencia ffx) = arccosx ’ n
y = sen lx
y=x f(x)=arccosx
-x/2
<5 '
Dominio restringido
: l Ao
/ y - cosx J x /2 ^ / « A N Á L I S I S D E L A G R Á F IC A : DDomf = [-1 ; l]
rl /• \ 0
'b ysx is'x 471
Dominio restringido
I) FUNCION ARCO SENO Z I A partir de la función y = senx dado que; obtenemos su función inversa considerando el siguiente procedimiento. * Despejando x, en términos de y ; x = are seny o x=s e n “ ly * Cambiando la variable x por y e y por x, se tiene : y = aresenx o y = sen’*x (se lee: “ y es un arco cuyo seno es x” ) * Obteniéndose así la fundón inversa definida con regla de correspondencia f(x) = aresenx y=x
ftx)=arcoenx
—x/2 —
F
« •»
>K.ÍÍSS y = sen x
2)Ranf = [0; x] 3) es univalente 4) no es par, ni impar 5) no es periódica 6) la función es decreciente en todo su dominio. U I ) FUNCIÓN A R C Ó TANGENTE .
4 De: ty = tanx => x = arctany => y = aretanx, x e R * Graficando :
[AM*
N C I fX O P E D I A 2 0 1 2 ]
189* I
Análisis de la gráfica; 1) Dominio de fe s R re n 2) Rango de fe s
4) La función es creciente en el intervalo (-oo;-l)v (l;+ oo) V I ) F U N C IÓ N A R C O C O S E C A N T E í
3) La función es impar 4) La función es creciente en todo su dominio, I V ) F U N C IÓ N A R C O C O T A N G E N T E l
* De; y = cotx => x = arccoty =>y = arccotx, x e R * Cuya gráfica es:
• De : y = cacx => x = arccscy =>y = arccscx, x e R - { - l ; l ) * Cuya gráfica es :
......................r
n ji/2
f(x)=arccscx
—n¡2 A N Á L I S I S D E L A G Rm Á F IC A 1) Dominio de fe s R - ( - 2 ;2 ) 2) Rango de fes
{0}
1) Dominio de f es j?
3) La función es impar
2) Rango de fe s (0;x) 3) La función no es par, ni impar 4) La función es decreciente en todo su dominio.
4) La función es decreciente en el intervalo
V ) FU N C IÓ N A R C O S E C A N T E í
• De todo lo anterior se puede deducir que:
(-oo;-l)v(l;+a>) O R S E R V A C IÓ N í
A) y = sen"1* o senx = y, para todo -2 £ x £ 2 y * De : y = secx => x = arcsecy y = areseex, x g (-oo ; -l] u [2 ; +oo) ¡uya gráfica es; n Tt
B)y = cos~*x <=>coay = x f para todo C)y = fg~;* <=>fgy = x; xeR y “ D)ysc/g i* o c /g y = *;
-i£x £ i y
E)y = lechar o «ecy = x; x e R - ]-J;í[;0 F) y = esc lx<*cóey = x; x e R
y
2 £
Z—; y *0 m
A N Á L I S IS D E L A G R Á F IC A
EJEM PLOS :
1) Dominio de f es R - (-2 ; 2)
.fVs") >¡2 * acre I “ 2~J = ^ ¡ implica: sen 6 = , y como
2) Rango de fe s [0 ;jr ]-| ^ i
3J La función no es p a r , ni im par
[r.iH4M4LXns t*trt*tSr4P&
s
a
—a ; implica: se n a = —, y como
+ sen
[
u
X
X~\
X
~ 2 ; 21
~6
J S
} = /?
¡3 co80= —— , y como ; implica: i
Pz[0; x], 0 = 1 * Recordando que: I) f o f~I(y)=y; y e Ranf II) f~l o f(x)= x; x e Domf * Se obtendrá: A) sen (arcsenx) = x; x e [-7 ; 2] B)sec(arcsecx) = x; x e R - (-2; 2) C) árceos (cosx) = x ; x e [ 0 ; x ] D) arecot(cotx) = x ; x e { 0 ; x ) P R O P IE D A D E S : 1)arcsen(-x) = -arcsenx, x € [-2;2] 2) árceos( - x) = - arccosx, x e [-2 ; 2] 3)arctan( - x ) = - arctanx, x e R 4)arcsec(-x) = - areseca:, x e R - ( - l ; l ) i 5)arccot( - x) = - arccotx, x e R 6)arccsc(-x) = - arccscx, x e R - (-1;l) - ..-v
«
o
*
Ff f,V€#O VI4» ]
B 8
una herramienta funciones constituyen fundamental. Al proceso que permite traducir una situación real en una función matemática Be le denomina modelización . A continuación , presentamos algunos ejemplos de esta técnica . EJEM PLOS : COSTO DE CONSTRUCCIÓN DE UNA CISTERNA: Un grupo de ingenieros construye una cisterna , de modo que su capacidad sea de 300 metros cúbicos de agua . La cisterna tiene como base un cuadrado , cuatro caras verticales , todas hechas de concreto, y una tapa cuadrada de acero . Si el concreto cuesta $1,5 el metro cuadrado y el acero , $4 el metro cuadrado, determinar el costo total C , como una función de la longitud del lado de la base cuadrada. R E S O L U C IÓ N ; * El prisma tiene las siguientes dimensiones: largo : x , ancho: x , altura: h * Como el volumen debe Ber de 300 m3, entonces, (x)(x)(h) = 300, de donde: 6 =
x * Elaboramos la función costo , multiplicando las áreas de las caras por el costo del metro cuadrado respectivo : C (x ) = 4 (x) (6) (7,5) + (x ) (x )(2 ,5) + (x ) (x) (4)
7)arcsenx + arccosx = —, x € [-2 ;í] 2 » •i *
-> C (x ) = - ^ ^ + 5,5x2 ; x > 0
8)arctanx + arccotx = —, x e R 2
EJEM PLO 2 ;
9)arcsecx + arccscx = —, x € R - (-1; 7) 2 f oc ^ y 10) arctanx + arctany = ardan ----- - + x6 [1-xy * Si x y < l = > 6 = 0 * Sixy>2, x > 0 ^ 6 = 2 * Si xy > 2, x < 0 => 6 = -2
910 D E L IZ A CIÓN FUNCIONES COMO MATEMÁTICOS í
M O D ELO S
Un modelo matemático es un proceso mental que conduce a convertir un problema difuso de la realidad en un problema claramente matemático , de modo que, resolviendo este último , se consiga una solución, o al menos un buen conocimiento del primero . En su proceso de elaboración , las
COSTO DE NARANJAS AL POR MAYOR: Un ambulante puede comprar naranjas en el mercado mayorista a los precios siguientes : 60 céntimos , si adquiere 20 kilos o menos " 50 céntimos , si compra más de veinte y hasta cuarenta kilos ; y 40 céntimos si la compra excede los 40 6g . Determinar el costo C en función del número de kilos de naranjas compradas (x). En este caso , la función está segmentada , ya que tiene distintas reglas de correspondencia, dependiendo de los valores de x. Si 0 S X 5 20 » C(x) = 0,60x Si 20 < x 5 40 » C(x) = 0,50x Si 40 < x ó(x) =
C(x) = 0,40x 0 ,6 0 x 0 ,5 0 x 094 0 x
si si si
0^x<>20 20
[a
i
>
(8 9 * }
EJEM PLO 3 :
transformando P(x) por completación de cuadrados:
UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN : Un fabricante de relojes puede producir un reloj en particular con un costo de $15 por unidad . Se estima que si el precio de venta del reloj es x t entonces el número de relojes que se vende por semana es 125 - x. a) Expresar el monto semanal de las utilidades del fabricante como función x. b) Utilizar el resultado anterior para determinar las utilidades semanales , si el precio de venta es $45 por reloj . c) Determinar cuál debe ser el precio de venta, si se busca que las utilidades semanales alcancen un valor máximo . R E S O L U C IÓ N : a) Las utilidades se obtienen restando del ingreso total, el costo total . Considérese R el ingreso semanal, en dólares . Como el ingreso es el producto del precio de venta de cada reloj por el número de relojes vendidos , se tiene R=x(125-x). Sea C el costo total de los relojes que se venden por Bemana ; como este costo es el producto del costo de cada reloj por el número de relojes vendidos , se tiene C = 15(125 - x). Sea P(x) la función que representa a la utilidad semanal, entonces : P(x) = R - C -+P(x) = x(125 - x ) - 15(125 - x) -+P(x) = (125 - x)(x - 15) b) Si el precio de venta es $45, el monto de utilidad semanal es P(45): P(45) = (125 - 45) (45 - 15) = 80x30 = 2 400 * Las utilidades son de $2 400 cuando los relojes 6e venden a $45 por unidad. c) Efectuamos operaciones en la fórmula algebraica que representa a P(x): P(x) = (125 - x ) ( x - 15) -> P(x) = - x 2 + 140x -1875 * Esta es una función cuadrática del tipo f(x) = ax* + bx + c con a = -1 ; b = 140. Como a< 0; P tiene un valor máximo en el punto donde : x = -b/2a = - — = 70 -2 * Así pues , las utilidades semanales alcanzarán un valor máximo cuando cada reloj se venda a $70 . •También podemos hallar el
NCJCMMPEDLl 2012)
m
x
que dé
P máximo,
P(.x) = - ( x 2 - 140x) -1875 -» Pix) = - ( x - 7 0 ) 2 - 1875 + 702 -> P (* ) = 3025 - (* - 70¡)2 * Aquí notamos que P es máximo cuando x =70, y que dicho valor máximo es P(70)=3025. EJEM PLO 4 : CONSTRUCCIÓN DE UN CERCO: El Departamento Vial de un distrito ha decidido construir un área de picnic para automovilistas al lado de una carretera. Será rectangular y tendrá una superficie de 5 000 m* y estará cercada en los tres lados no adyacentes a la carretera. Expresar la cantidad de metros del cerco requerido como una función de la longitud del lado no cercado. R E S O L U C IÓ N : x
Carretera • Hacemos un diagrama y expresamos la longitud del cerco en función de los lados x e y del rectángulo: L = x + 2y • Para expresar L sólo en función de x, debemos utilizar al dato del área del terreno a cercar , así: x.y = 5000, de donde y = 1*999. x • Sustituyendo en la ecuación para L : 5000 L = x + 2. •Y ya tenemos L como función del lado x : T( v ^ 10000 L(x) = x + --------x • Si quisiéramos hallar el valor de x y obtener la cantidad mínima de cerco C , podemos tabular y graficar la función , eligiendo según la gráfica el valor óptimo de x . EJEM PLO 5: EXPANSIÓN DE UN INCENDIO: Un incendio comienza en un campo abierto y seco, extendiéndose en forma de círculo . El radio de tal círculo aumenta a razón de 6 mimin. Expresar el área de fuego como una función del tiempo t.
fm Y T O ,v i;a ¡ ]
89B
EJERCICIOS
R E S O L U C IÓ N : •LLamaremos / al número de minutos transcurridos desde que se prendió el fuego : r al radio del círculo en donde se desarrolla el incendio y A el área incendiada. A = xra; r = 6t * Aquí , r = 6t porque el radio aumenta a una velocidad de 6 metros por minuto . Sustituyendo r en A :
(S í) Señala cuáles de estos diagramas sagitales representan funciones:
A=
* Obtenemos A en función del tiempo t : A = 36xt* EJEM PLO 6 : Una empresa ABC-SA produce artefactos electrodomésticos y puede tener una utilidad de 20 dólares en cada artículo si se producen semanalmente no más de 800 artículos. La utilidad en cada artículo decrece 2 centavos de dólar por artículo que sobrepase los 900. ¿Cuántos artículos deben fabricarse a la semana para obtener la máxima utilidad? A) 800 B)860 C)900 DJ950 E)1 000
(a)
(b)
(c)
Verifica cuáles de los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones : a) {(2; 0) ,{-1 ; 5), (0; 0 ), (6; 2)} b){(-3;l),(-3;0), (4; 2 ) .(7; 5)} c) {(-5; 2 ), (2; 2), ( * 2 ), (5; 2)}
R E S O L U C IÓ N :
Señala las gráficas que representan a una
* Sea Ufxf la función que da la utilidad total, donde:.
función:
ir _ / Utilidad por \ M \cada articulo/ * Donde x es el número de artículos * Para x <. 800 : U{x) = 20x * Para x > ♦800 : A\ U x 801 802
2 0 - w o V 801 2 0 — — .21802 100
803
2 0 — — .3 ¡803 100 ^20-
100
.( x -8 0 0 ) lx
Determina el dominio y el rango de las siguientes funciones: a)F = {(1;1),(2;1),(3;2),(4;3)} b)f = {(2; 4) ,(4; 2) ,(1; 0) ,(0; 3)}
u
100
100
(* -s o o ) *
x 2 +36x
U(x>= - — ( * * - 1800x + 9002) + - L .9002 100 100 2 (x - 900) +16 200 Uíx) = 100 Luego la utilidad será máxima para x = 900 RPTA: “ C ”
c)h = {(-2; 1) ,(-1; 1) ,(0; 1) ,(1; 1), (2; 1)} )e
í* -2 ; ja * ;
xe(-l;0;l;2} xe{3;4;5}
^a) Halla el dominio de cada función: a)f(x) = —
b)g(x) = f x - 2
c)h(x) = —j — 2x-l
d)F(z) = z*
e)gU)= p i j
f) f(.x) = Ví+T
896 |
Q
C) El dominio natural de f (x ) = \Jx-3 es [3 ; oo[
Determina el rango de cada función: a)f(x) = Vx;
b)h(x) =
' - ' -=* t2 c)g(t)
1 x -2
NCMCLOPEDiA 2012]
D) El rango de f (x ) = x 2 - 6 es
a )f(x )— - f|~ 1; X^° a,)f\x) 1; Si X>Q
Si f (x ) = 4 x - l entonces f (x + h) = 4x + h - 1 EJUna recta vertical corta a la gráfica de una función en no más de un punto.
— b)g{x’ - \ x ;
F) Si el dominio de f (x ) = x 2 +1 es [l; 2], el rango de fe s [2;5]
Halla el dominio y el rango de estas funciones:
Si x < 0 Si x¡>0
G) Si y = f (x ) tiene como dominio a }g, su gráfica corta al eje y en f(0)
c ) f ( x ) = Vx2 - 9 En los gráficos de I al VIII relaciona cada gráfica con una de las siguientes funciones:
H) Si f ( x + l) = x 2 + 2 x + l
a)y = x 2 + 2
e )y = ( x - 2 ) 2
b)y = - x 2 + 2
f) y = -(.x + 2)2
entonces: f ( x - 1 ) = x 2 - 2 x + 2 I) La función que asigna a cada número real positivo x, su cuadrado disminuido en su raíz cuadrada, se
c)y = \x\+ 2
g)y = 2x2
expresa por: f (x ) = ( x - 4 x )¿
d)y = -\x\ + 2
h)y = -\x + 2\
Traza la gráfica de las siguientes funciones; específica, según cada caso, el dominio y el rango: A) ffx) = x2 B) ffx) = 2x + 1; x e [-1;3] of(x) = jr n ¿
VI)
x^O x> 0
Yk
D)fíx) —~ = 1 x e [-2;2] x+1 -x ; xúO F)ffx) 2 ; x>0 i
0H?) Mediante la gráfica adjunta de ffx) =
,
traza las gráficas de las siguientes funciones. III) l Yk
A)y = 4x + 2
VII) \ Y k
y =Vx
B)y = -V x C)y = 4 x - 2 -3
3
X
D)y = 24*
-3 2) ¿Cuáles de los siguientes enunciados son VIII) Yk 4 X 0) Determina cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos y cuáles son falsos: AjSi el dominio de una función consta de dos números, el rango consta por lo menos de dos números. BJSi el rango de una función consta de un solo número, su dominio consta de un solo número.
verdaderos y cuáles son falsos? A) Para encontrar la interseca de la gráfica de la función f con el eje Y, dado y = ffx), se hace x = 0 y se calcula y. B) Si la gráfica de y = ffx) interseca al eje de las x en x = a , entonces la gráfica de y = ffx + h) interseca al eje de las x, en x = a - h C) Para graficar y = ffx) + a a partir de la gráfica de y = ffx), se traslada esta última a unidades hacia arriba. D) La gráfica de y = |2x| es una versión comprimida de la gráfica de y = |x|
[*;ngnipxm s w f i a v o ^
897
2?) La gráfica de y = — tiene dos asíntotas, una .X horizontal y otra vertical.
J) Si / y g son una inversa de otra f o g = g o fi
F) La gráfica de 2 = —2— ~ tiene dos asíntotas verticales.
verdaderas y cuáles son falsas?
Determina cuáles de estas afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. A) La gráfica de una función lineal es una recta que siempre pasa por el origen. B) La gráfica de la función valor absoluto es sin ¿trica r e s p e c t o
et e j e
C) La función /definida por f(x) = x es creciente en [~2;2].. D) La función valor absoluto es impar. E) Si f(x) = 4 x - l ¡ f es creciente en todo su dominio. F) La función definida por f(x) = xs - x es impar. G) La función definida por f(x) =\x\-x es constante six > 0 H) Cualquier función / puede ser escrita como la suma de una función par e impar. I) La función definida por /Tx) = x(x + 2) tiene un valor mínimo. J) La función definida por f(x) = 4-|x| tiene un valor máximo. Si /Tx) = x + 3 y g(x) = x2 - 5, encuentra lo siguiente: EHflgH x)
G) (f og)(3)
H)(g o f)(x)
B)(f + g)(0)
A) El valor máximo de y = sen 2x es 2. B) Las funciones seno y cosecante tienen igual signo en cada valor de su dominio. C) La cotangente y secante de un ángulo del segundo cuadrante tiene signo positivo. D) La función y = cosx es par.
X.
A) (f + g)(x) D) (fg) (-2)
(í^ ) ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son
C) (f-g)(x) F) (fog)(x)
¿Cuáles de los enunciados siguientes son verdaderos y cuáles son falsos? A) Si / es una función cualquiera, f(2x) = 2f(x). B) Si /e s cualquier función real,/Tx)+/T2x) = f(3x). C) La suma de dos funciones pares es una función par. D) El producto de dos funciones impares es una función impar. ^ E) Si / y g tienen el mismo dominio, ~ también tiene ese dominio. F) Si /Tx) = x 2y g(x) = x5, entonces f o g = g o f. G) Una función y su inversa tiene el mismo dominio. H) En una función inyectiva, el dominio y el rango son iguales. /) Una función inyectiva siempre es creciente o siempre es decreciente.
E) La función y = xsenx es impar. F) El período de la función secante es x . G) Siempre se cumple que tg(x + x ) = tgx para toda x en el dominio de la función tangente. F U N C IÓ N C U A D R Á T IC A El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial. Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado com o herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Com o ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ’/) gt2, donde S es la altura, V0es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.
La función cuadrática responde a la fórmula: y= a x* + b x + c con a ge 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son: SÍ o es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo. Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo. Eje de simetría: x = xv intersección con el eje Y. Intersecciones con el eje X: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.
s
PROBLEM A 1 : Si f es una función definida por : f = {(4;k),(2 ;Bk),{7 ;2k* +l),(4 ;2k-l)} .entonces la suma de los elementos del rango es: A)6 B) 8 C) 9 D)ll E) 13 R E S O L U C IÓ N :
o
s
X C I C I M P E D I A 2 0 lSt\
I
RESOLUCIÓN : l) La raíz cuadrada , por ser una raíz par , no está definida para números reales menores que cero . La función está definida para valores en los cuales x-4^0 • Entonces : x e [4 ; qo) =$Domf = [4 ; oo) * Por lo tanto, el dominio de la función fíx) = ylx-4 es el conjunto de los números reales que son mayores o iguales que cuatro.
* Como se trata de una función , luego : Si: (4; k) a (4; 2k - 1) pertenecen a «f», entonces : k = 2 k - l - > 2= k * Con lo que la función dada , será equivalente a : f = { ( 4 ; 1 ) , (2; 5), (7; 3)} 2>Jminio
=> R a n f = { l ; 5 ; 3 } * Se pide : 2 + 5 + 3 = 9 RPTA: “C” PROBLEM A 2 : Sean los conjuntos A = {-3 ;-2 ;0 ;6 ;4 ; 11} y B = Z (conjunto numérico de los enteros). Si f : A -+ B tal que: f = {(-£• 4), (-3; 2) ,{0; 3a + 2b) , (-2; 2a + b) , (2a + 6; 4), (6;7),(0;5),(3a-b;a + b)}, entonces para que f sea una función, el valor de T = a - 6 , es: A) -5 B)-l C)1 D) 4 E) 5 R E S O L U C IÓ N : * Por definición de función , se deduce que de plantearemos: Si: (-2; 4) A (-2; 2a + b)<=f * Entonces : 2a + b = 4 .......................... (I) * Ahora analizando el dominio dado y el que se muestra explícitamente , plantearemos : Domf={-3; -2; 0; 6; 4; 11]= {-2; -3; 0; 2a + b; 6; 3a - b} 3a- b = 22............... (II) * De (I) y (II), resolviendo : a = 3 a 6= - 2 - > T = 3 - ( - 2 ) = 5 RPTA: “E ” PROBLEM A 3 :
II) Se tiene en cuenta que también es una raíz par, la cual no está definida para números negativos . Es decir , está definida para valores de x en los cuales x 2 - 9 £ 0 x 2 - 9 ^ 0 equivale a (x + 3 ) ( x - 3 ) í > 0
* Entonces : x e {-ao ; -3 ] u [3; +oo) * Por consiguiente el dominio de la función es: Domf = <-oo;-3]u[3;+co) III) Cuando se pide el dominio , se pregunta equivalentemente o para qué valores de la variable x, está definida la función fíx). fíx) está definida en R si 5 - x > 0 x < 5 -> Domf = (-00;5) IV) La función fíx) es el cociente de dos funciones. La cantidad subradical x2- 2 debe ser mayor o igual que cero . Pero como el denominador debe ser diferente de cero , entonces x2 - 2 es estrictamente mayor que cero. Si: x2 - 1 > 0 entonces (x + l)(x - 1) > 0
Determinar el dominio de las siguientes funciones : 4x-l III) fíx) = I)fXx) = s ¡ x - 4 \¡5 - X II) fíx) W * 2 - 9
IV)y = *
Entonces :
D om f =
(-o o ;- 2 ) u ( 2 ;+oo)
ír iw m v i? ^
K fm v o .v
MÑrNFañNtcÑ ] V) Por
t t i
■=-
t)*
simple
análisis,
se
deduce
que:
. 2 >0 $3x-2 •Entonces: R anf = (0;+ao) y=
r t .
O
A
f 1 •
-4
-■ * - 241 1 1
i
i
e O
f 4
1
A
2
A* V»
1 1
PROBLEM A 4 :
5
«
n
1
S
Determinar el rango de cada una de las siguientes funciones:
— ... 1
V 3
1
1
X
1
243
i ’
'
i 1
^
<
f
1
1
IV) f(x) = 3 - -J5 + x 2 ; x e (-$ 2 ;$ 2 ) 1 V)y = ■J3x~2 x 2 —3x —4 V!)y = x-4 R E S O L U C IÓ N :
1
1
//)y = T J = \lx2 + l III) fíx) = 2 x + 5, x e (-4; 2]
*
VI) Esta se hace más simple , si se factoriza el numerador y se cancelan los factores iguales: (x + l ) ( x - 4 ) = (x + 1) ; x * 4 y= (x-4) / ( x ) = x + 2; excluyendo : f(4) = 4 + 2 = 5 •Pero como se trata de una función afín lineal (donde y * 5 ) t entonces : Ranf = R - { 5 )
I) Gráficamente : Yi
"
■7
r— r y = tx-4
PROBLEM A 5 : Sea: g(x) =
•s/4+ x 1 - x
I) Determine Domg II) Calcular : g(5) ; g(-2) y g(x)
0 •Se deduce que «y» siempre es positivo , ya que es
R E S O L U C IÓ N :
igual a uo radical ( V x - 4 ) , entonces: Ranf= [0;ao)
I) Para que g(x) sea un número real, el radicando (4 + x j es no negativo y el denominador ( 1- x) , no es igual a cero. * A sí : g(x) existe si y sólo si : 4+x 2 0 A 1-x* 0 x2— 4 a x*1 * Intersectando , tenemos : Domg = [ - 4 ;+ 00) - { 2 }
U) Como : x 2 2 0 ^x
+2 2 2 => 0 <
______ S¡2=> 0 <
x2+l => 0 < y £ 1 => Ranf = <0;2]
x 2 +1
<, 1
III) Aquí el dominio será ( - 4 ; 2] • Para hallar su rango , habrá que hallar la variación de fíx), -4 < x á 2 <=> - 8 < 2 x ^ 4 < ¿ > - 3 < 2 x + 5 ¿ 9 o - 3 < f ( x ) <,9 -* Ranf = <-3;9] IV) Partiendo del dominio x e {-J2;2) o - J 2 < x < 2 o 0 £ x 2 <4 => 0 2 - x 2 > —4 =» 5 ¿ 5 - x 2 > 1 => 1 < $ S - x ! <.$5 -l>-$5-x2
= > 2 > 3 -'Js - x 2 ^ 3 - $ 5
=> 3 - & Z f ( x ) < 2 - + Ranf = [3 - $5; 2)
II) g (5) =
$4 + 5
_ $9 _
3
1 - 5
-4
4
J4 + (-2 ) = V2 g ( - 2) = 3 1 - (-2 ) $4 + n g 0r) = 1 -X
PROBLEM A 6 : Para la función fíx) = \ x - l \ - x , x e R t hallar su rango y su gráfica.
W f 9 0 0
R E S O L U C IÓ N
:
I) Para hallar el rango de f analicem os su regla de c o r r e s p o n d e n c ia e n d o s p a r te s d e su d o m in io
•Buscando la correspondencia pedida, se obtendrá : 6 a + 4 6 b = 44
RPTA: PR O B LE M A
( - 00; co):
N CM CLÓ PED ¿\ 2Q12\
dMtÉ
8
:
Si : x < l ; f ( x ) = ( 2 - x ) - x = l ~ 2 x
H alle el dom inio de la fun ción : x + 5 f (x ) = yjl - y f x - 2
• D e : x < l <4 - 2 x > - 2
A) #
S i: x ± l ; /* ( x ) = x - 2 - x = - 2
<-> f ( x ) = 1 - 2 x > - 1
-4 x e { - 00; 00) si y sólo s i : f ( x ) € ( - 00; -2 )
f (x )
Il - 2 x ;
C )[2 ;3 )
R E S O L U C IÓ N
= (-00 ; - ! ] - > R a n f = ( - « ; -2 ]
= í -2 ;
B )[2 ;4 ]
D )R
:
xZ l
* Se está p id ien d o el ca m p o de e x iste n cia de la función :
x < 1
* Luego : 2 - V x - 2 > 0 a
x
-2 ^ 0
4
Su gráfica
-4 2 > 4 x - 2 -4 x < 3 a X
f(x )
x * 2
-2
2 /2
0
0
4
a x £ 2
x £ 2 => x e [ 2 ; 3 )
D o m f = [2 ; 3 )
22PTA; "C ” PR O B LE M A
9 : x
2
H alle el ran go de la función : G ( x ) =
PRO BLEM A
A 2 (-o o ;0 ]
7 :
S i . ( a ; 6 ] es el dom inio de la fu n ción f definida por
• { ( f í i < * )/* « (* « )}.
entonces la relación
correcta entre los valores de a y b , es: A) a + 3b = 2 5 B )3 a + 6b = 10 C )6 a + 23b = 2 5 D )6 a + 466 =44 E ) 5a + 6b = 36 R E S O L U C IÓ N
:
Z € S tj Z =
Dom f
B )R -{1 }
R E S O L U C IÓ N
02 (9
x D2
:
+x + 4
[-H]
•Sea : G ( x ) = y - > y = x +x + 4 • Efectuando : y X 2 + y x + 4 y = x y x 2 + (y - l ) x + 4y = 0
• Com o : x e R => ( y - l ) 2 - 4 y ( 4 y ) í t 0 ....(D iscrim in an te)
•Por diferencia de cuadrados :
* Lo dado lo podem os expresar , a s í :
- 4
a x ¿ 2 -» 2 > x - 2
2x + 2
a
2x + 3
( y - 1 + 4 y ) ( y - 1 - 4y)* 0
x € (0 ;2 0 ]|
-4
{ 5 y - 2)(3y + 2 ) 5 0
-4
22ango(G) =
-4
ye
[*í] RPTA: “D ”
* Luego : z =
= 2 -------- — 2x + 3 2x + 3 * Ahora com o : 0 < x 5 1 0 => 0 < 2 x 5 2 0
- * 3 < 2 x + 3 5 2 3 -> 4 > ^ 1 » 23 3 2x + 3 22 2 2 1 , 2 2 — < - ---------- ¿ ---------- y ------ < 2 --------------- 2_ 2* + 3 23 3 2r + 3 23 3 2
* ^ 2
Dom f
-4 — < t 5 —
3
23 1
♦Luego: ° = 3 A
u
21
23
R O B LE M A
10
:
Sea f una función real de variable real «a» se llama p u n to fijo de f si y só lo si f ( a ) = a seg ú n ello encuentre los puntos fijos de la fu n ción : G (x ) = A ){2 ;3 }
B ){1 }
C ){4 ;0 }
R E S O L U C IÓ N
\3 ’ 2 3 J
6x2 + x -2 0
x +2 D ){2 ;-2 ]
E ){l;-1 }
:
* P or definición de punto fijo : 6 x 2 + x -2 0
x +2
= x -> 6 x + x - 20 = x 2 + x
IgPl 901 Mffl
R fT O t O ^
A) -1
= 4 => x = 2 ó x - 2
-> x
B) 2
C) 3
R E S O L U C IÓ N
E )5
D) 4
;
—> Puntos fijos son 2 6 - 2 RPTA: “D ” PRO BLEM A
11
♦Para x > 1 : f { x ) = x f i x ) + x - 7 -> ( 2 - x ) f ( x ) = . x - 2
:
Dada la función f i x ) =
2x
x e(l;5 ]
l + 2x
fix) =
x -1
2- x
Halle su rango . A)
2
x > 2 x 5 2
♦ L u e g o : /f x ) = |
JO ]
C )R -{Ó }
B )j
y jjJ R E S O L U C IÓ N
D ){0 )
E )R
* So
:
f (x ) = -1
T _ fi5 0 0 ) + y
(g M ) _ -2 + 3 (-2 )
/ ’ (0 )
= -1
4
♦ Veamos: R P T A : “ A 99
2x
f(x ) = ' 2x + l
=22x + 1
2x + 2
PR O B LE M A
14
:
♦ Pero : / < x 5 5
Halle el rango de : f ( x ; y ) = x* + x y + y*
-+ 2 < 2 x 5 1 0 -> 3 < 2 x + 2 5 22
A ){0 }
J 5 -----------5 7 I —j —► — — 22 2 x + 2 3 * Sumando 2 :
* 2 /2
Su rango es
11
* -
> 2
2x + 1
3
R E S O L U C IÓ N :
3
♦De:
f{x ;y ) = x 2 + xy + y 2
-*
V x ,y e 2 ?
20]
:
PR O B LE M A
:
= x* - 5 x + 2 , V x e { - 3 ; 5 ) , entonces el rango
X
de f e s :
B )R a n (f)n (0 ;2 ]*4
C ) R a n ( f ) < j { - co ; 2 > /2 ]= J ?
D ) 2 í a n ( /,) n ( 0 ; 2 ) v t 0
B j [0 ; 2 6 ]
A)
:
[-T -
♦ Como x > 0 , y recordando que : * + * 2 1 * > L 'if £ ) 2 \ V.xJ
( M e d ia \ \ G eo m étrica )
-> ^ ^ * > / 2 2
-> 6 ( x ) * 2>/2
* E n ton ces:
R a n h = [ 2 >/2 ;+oo)
26)
C)
E ){
27
♦ Pero com o : x e ( - 3 ; 5 ) -> - 3 < x < 5
2
22
27
R anh u ( - « ; 2 4 2 ]= "R
( « • ir -
RPTA: “ C ” :
0 x
_
17 121 — < ------
4
4
♦Luego : R a n f = [ - ^
(x f(x ) + x - l ;
,,X,‘ \ ■
4
121
l 27
4
27
5 y < 26
; 26)
Si f es una fu n d ó n definida por : ■
K]
♦ H aciendo :
♦De donde según alternativas , lo correcto , será :
13
15
99
Si f e s una fu n d ó n definida p or :
A ) R a n ( f ) . c . [ 4 ; oo)
R E S O L U C IÓ N
+ ^ “
RPTA: “ C
x > 0 , entonces la afirm ación correcta es :
PRO BLEM A
+
\3 * 22 J 12
E )[0 ;7 ]
-> R a n f = [ 0 ; o o )
Si h es una fun ción definida p or h ( x ) = * + — con
( M ed ia \ [A r ítm é tic a f
D ){0 ;7 )
2
R PTAx “A " PR O BLEM A
C )R ¿
—
2x + l
2
B )R
RPTA: “D x> 1
,.41
_ f (5 0 0 ) + 3 f (5 8 0 ) Entonces, el valor de p , es :
fio)
PR O B LE M A
16
99
:
Si f es una fun ción definida p o r ; m
= ¡ 6 - x + / x - 2 , entonces el rango de ( e s :
•
A)[2;8]
B )[42;8l
D )[0 ;2 4 2 ]
« t i
v ( f í x « H ‘ /;/< i.i s o i s ] II 9 0 » I positivo del dom inio de f e a :
C ) { 2 4 2 ; 8]
E )R *
R E S O L U C IÓ N
:
A ) [ 4 ; 5)
B )(l;5 ]
D ) [ l ; oo>
E ) (—co ; 2]
R E S O L U C IÓ N
* Prim ero determ inem os : D o m f = { x e R /6 - x ¿ 0 a x - 2 ¿ 0} -+ D o m f= { x e R /0 ¿ x
:
\lx2 - 3 x - 4
♦ C om o:
a x ¿ 2}
¿0
421- 4 x 2 - 4
-3x-47> 0
-* D o m f = [2 ; 0]
C ) ( 2 ; 0]
421-yJx2 - 4 > 0
a
-> ( * - 4 ) ( * + i ) £ 0 a 4 x 2 ~ -4 < 4 2 1
♦Luego g r a fiq u e m o s a d e c u a d a m e n t e en d ic h o dominio : n
-+ ( x s - j v * i í l )
A ( x 2 - 4 ^ 0 a x 2 - 4 < 21)
-> ( x í - l v x ¿ 4 )
a Í 4 Z X 2 < 25)
- » ( x 5 - 1 v x ¿ 4 ) a ( - 5 < x 5 - 2 v 2 5 x < 5)
2 Í2
—oo - 5
-2
-1
x e ( - 5 ; - 2] u [4 .*5) D o m f = ( - 0 ; - 2] u [4
1 2 3 4 ♦ De donde se aprecia que :
R PTA : “A f f
R anf = [0 ; 2 4 2]
PR O B LE M A RPTA: “D ”
PRO BLEM A
1 7 :
19
\¡4x2 - 3 x + 2 + y l x - 2
Si f e s una fun ción definida p or : el rango de f es :
, entonces el dom inio
de f e s :
A)[4;10]
B )(4 ;1 0 ]
D){4 ; 10)
E ) (4 ;
R E S O L U C IÓ N A) R
O
D)
(
2\ í
C )[4 ; 10)
oo)
:
* Redeñniendo
x +5 4 +5 4 +x
4
E ) (-c o ; - J J u [ 1 ; oo)
; oo)
:
f f x ) = |x-4| + |x-5| + 3 , con x e [I ; 0] , entonces
Si f es una función definida por : f(x )=
5)
/• (* ) =
X X
x +3 x +3 5 +3
15 x <4 4 5 x <5 5 5 x 5 0
R E S O L U C IÓ N : 12- 2 x f(x) = \ 4 2 x -6
♦ Prim ero determ inem os : D o m f: 4 x 2
Pero
4x
-
3x
2¿ 0
+
a
3x2 - x - 2
- 3 x + 2 > 0 , Vx
discriminante : A < 0
a
g
R ,
>
pues
0 su
4 > 0
D om f =
:
m
- + Í 0 5 2 x 5 12
R a n f = [4 ; 1 0]
RPTA PR O B LE M A
Si f es una función definida p or :
'f* en ton ces i1421 - J x 2- 4 ' r.
-> R a n f t = ( 4 ;J 0 ]
-> R a n f = ( 4 ; 1 0 ] u { 4 } u [ 4 ; 0 ]
— )o (i;+ o o )
18
-> 1 0 ’¿ . 1 2 - 2 x > 4
♦ Luego : R a n f = R a n f t \j {4 } u R a n f 3
RPTA: “D ” PR O BLEM A
l 5 x < 4 - » - 2 ¿ - 2 x > -8
4 5 2 x - 0 5 0 -> R n n f 3 = [ 4 ; 0 ]
2 ->• x < — \l x > 1 3
-> ( 3 x + 2 ) ( x - l ) > 0
♦ Para la prim era :
♦ Para la tercera : 5 5 x 5 0
-+ D o m f : 3 x 2 - x - 2 > 0
15 x <4 4 5 x <5 5 5 x 5 0
29
Itfl »
:
Si f e s una función definida p o r :
el
intervalo
/ir*) = |s* 2 - S 1* 1+ » co n * e [ - 2 ; 2 ] , entonces el rango de f es :
H a »oa 15
« fm v o .v A ) [ 0 ;+ ® > B )[5 ; 20]
R E S O L U C IÓ N
C ) [0 ; 5 ]
B )[0 ; 2]
:
• G raficando adecuadam ente :
B )[2 ; 4 ]
R E S O L U C IÓ N
I I .V i ír t .V K .V 1
n
:
* Transform ando adecuadam ente : /•( x ) = |2(| x |2 - 4 | x | + 4 ) - 3 -
/• (* ) = | 2 ( W - 2 ) 2 - 3
* Pero com o : - 2 5 x 5 2 -+ 0 5 |x| 5 2 -+ - 2 S W - 2 S 0
-3 *
-> 4 S (|xl - 2 ) 2 ;> 0
-+ 3 ¡> 2 ( | * | - 2 ) 2 ¿ 0 - >
5
5 ¿ / ( x ) £ 0
+
-2
y=x +
B a n / = Í 0 ;5 l
R P T A : "C PR O BLEM A
21
II
:
; ;
* De la figura : R a n f = ( - 2 ; 2 ] RPTA: “D ” 23
*5 0 0 < * 5 3 ’
en ton ces
B> {-«> ; - 3 ) u (3 ; 5 ]
C )(-0 0 ; 0 ) >J (3 ,* 5 )
2 J )< -® ; - 3 ] u [ 3 ; 5 )
el
5 x - 2 | x -2 | -2 2 X
f(x )=
B ) ( - 2 ; Í ) < j (2;< o )
* Para la prim era :
— 3 5 —3
+
-> 0 5 lx -2| 5 3 -+ - 2 5 | x - 2 | - 2 5 2 -+ - 2 5 / 2 ( x ) 5 2
+
I I I ) x < —2 —>
3 <> f 2( x ) < 5
-> f s ( x ) > 2
-> R a n f 2 - [3 ; 5 )
> 2
R a n f s = ( 2 ; + 00)
- » R a n f = (8 ; +00) vj [ - 2 ; 2] u ( 2 ; +qo)
-> R a n f = ( - o o ;3 ] ^ j[ 3 ;5 )
-> R a n f = [ ~ 2 ;2 ] u ( 2 ;+ o o )
RPTA: “D ” 22
2 > 4 -+ — ' 2
• L u ego: R a n f = R a n f j ^ j R a n f , u R a n f s
* Luego: R a n f = R a n f ¡ u R a n f 2
PR O BLEM A
R a n f 2 - [ - 2 ; 2]
2
-> 0 5 |x - 2| < 2
3 5 | x -2 | + 3 < 5
-> - 3 5 X - 2 5 2
/ j { x ) 5 —3
* Para la segunda : 0 < x 5 3
+
5 x > 10 -+ 5 x - 2 > 8
-+ f t ( x ) > 8 -> R a n f } = (8;+ oo)
-> - ( x + 1 )2 5 0
-> R a n f 2 = (-o o ; - 3 ]
-+ - 2 < x - 2 5 l
+
/) - 2 5 X 5 2
1)
:
* Analizando por partes : I)x> 2
x 5 0 - > x +l52
-+ ( x + 1 )2 * 0 —> — ( x +
;
C ) [.l ; 2 ]
E )(-1 ; 2]
R E S O L U C IÓ N
x 5 0 0 < x 5 3
x < -2
E ntonces el rango de f es :
D ) (l ; 2]
- ( x + 2 )2 - 3 ¡x - 2 | + 3
x > 2 -2 5 x 5 2
; ;
~2
A l[-2 ;2 ]u < 2 ;® )
:
* De lo dado se obtiene : /T*) =
:
Si f es una fun ción definida p or :
A ) ( - ® ; 3 ) U (3 ; 6 )
R E S O L U C IÓ N
2
PR O B LE M A
Si f e s una función definida por : _ í - x* 2 - 2 *x - 4 /w “ 1 l* -S l + 3 rango de f e s :
0
2(1*1 - 2 )2 - 3 £ - 3
-+ 5 ^ | 2 (| * | -2 )2 - 3 Í ¿ 0 ->
r- l
R P T A : “A
:
Si f es una fu n ción cuya regla de correspondencia
PR O B LE M A
es:
Si f y g son dos funciones definidas por :
f(x ) = fe s :
x +1
;
x2 >¡x
; ;
- 3 < x < .- 1 - 1 < x 5 2 , en tonces el rango de 1< x 5 4
A )[-3 ;4 )
B ) ( - 3 ; 4)
D ) { - 2 ; 2]
E )[-2
; 2 ]
C ) ( - 2 ; 4]
f(x ) =
24
:
0; x < 0 2 ;x 5 0 x 2f ( x 2 - 2 * + 2 )
;
* e [-2; 2 ]
^(*+ 2)®3n^ ~ ^ ] »’ *e(2;7]
99
BI 9 0 *
-J 0 1
Además de g e s :
x < 0 x = 0 , entonces el rango x > O
; ;
B)[- 2; 7]
A J[2 ; S]
C) [ 0 ; S]
R E S O L U C IÓ N
PR O B LE M A
26
:
Halle el rango de la fun ción f ( x ) S i:
f(x ) =
2 x - f ( x ) ; x<. 1 x f(x )-x + l ;x < l
E)[2; 8]
D J [í; 7]
8 0 /8 ]
\
A ) ( - l ; 0)
C )[-6 0 ; -
B )(-c o ;-1 0 0 ]
20)
: E ) [ l ; + oo)
D ) ( 0 ; 1] * Como x 2 - 2 x + l ¿ 0 ; V * e R , entonces : f ( x 2 -2 x + l) = l
R E S O L U C IÓ N
:
* A nalizando por partes :
• Además :
I ) x Z l -+ f ( x ) = 2 x - f ( x )
x +J
( * + 1}
-> ------- - > 0 - > 8 g n \ - = X -1 \X -1 J
* e (2 ;7 ]
* Luego : g ( x ) = í x [x + 1
: ;
I) - 2 ¿ x ¿ 2 -+ O í x 2
-> 0 £ g j ( x ) £ 4
XB\ ? ’ x e { 2 ;7
J
* Luego f l x ) = x ; x > l I I ) x < l -> f ( x ) = x f ( x ) - x + l ; x < l *
Luego : f l x ) = 1 ; x < l La gráfica de f l x ) :
4
-> R a n g t = [ 0 ; 4 ]
I I ) 2 < x < .7 -> 3 < x + 2 á 9
-+ 2 < g 2 ( x ) £ 9
->
= (2 ;9 ]
Rang = R angj u R an g2
-> R a n g = [0 ; 4 ] u (2 ; 9 ] -> 2£ang = [ 0 ;9 ] RPTA PRO BLEM A
2 5
R ango de / es [ l ; + oo)
RPTA: UE $9
:
Se d e fin e :
PR O B LE M A
= / * W » f [ f { f ( x ) ) ) = f 3 ( x ) sucesivam ente
2 7 :
Si f . { l ; 2 ; 3 ] - + { l ; 2 ; 3 ), ¿ c u á n t a s fu n c io n e s se
Además f j x ) = 1 0 + f„ _ ¿ (x )
pueden form ar tal que V x € d o m f ; f ( x ) > x ?
Si f e s creciente en todo su dom in io halle f tool (1 0 ) 0 ) 1 0 0 E ) 1002 A) 2 0 0 B ) 20 0 2 C )2 0 0 2 0
A) 8
R E S O L U C IÓ N
*
:
B) 7
R E S O L U C IÓ N
C) 9
D) 6
E) m á s d e 9
:
Veamos g r á fic a m e n te :
* D e : f H( x ) - f nJ x ) = 1 0 * Dando valores : n = 2 => f ¡ ( x ) - f i ( x ) = 10 n = 3 = > f z ( x ) —f% ( x ) = 1 0 « «
f j x ) - f ,( x ) = 10(n -l) -+ fjx ) = 1 0 ( n - l )
+ f,(x )
* Del gráfico se observa q u e :
* Pero : f 2( x ) = 1 0 + f ¡ ( x )
f,=
=> f ( f ( x ) ) = 1 0 + f ( x ) * Sea f ( x ) = a x + b , evaluando a = 1 a 6 = 1 0 => f ( x ) = x + 1 0 - > f z o o i M = 2 0 0 0 ( 1 0 ) + x + 1 0 -> f 200t( l O ) = 2 0 0 2 0
R P T A : “C ”
{ A ; E ; I }
f4 = { B ; F ; I }
f2 = { A ; F ; I }
fB= { C ; F ; J }
fs ~ { B ¡ E ; /}
fe = { C ; E ; I }
* Son las únicas funciones en la cual f ( x ) * x
R P T A : “D
99
[F D ir iO i\ T ? .0
PRO BLEM A
MHM m u 1BW
R im rSriM G
28
f ' f 7 X g :H M liC & 1
E ntonces la figura que m ejor representa la gráfica
: w
d e f ( - | x - 2 | ) - I es:
Si f es una función definida por : = | V á r-2 -3 | , en ton ces la figura q u e m ejor representa la gráfica de f e s : Y
3 B)
A)
f
Yi A)
\
/
-1
1
4
11 R E S O L U C IÓ N :
X
D )1 f
-
\
X
-2
-1
Y D)
C)
Y C)
B)
1
\
/
-1
2 3
X
X
R E S O L U C IÓ N
:
* La gráfica de g ( x ) = f í - x ) es : n
• La gráfica de y = V x - 2 es : *
= *
1. ** 1
2
S
La gráfica de h ( x ) = g(\x\) 0
X
f f - M ) es
Yk
• La gráfica de y = - J x - 2 - 3 es: ¥
2
^
-----
f
ü
3 - 2 - 1
1 2 3
* La gráfica de fefx-27=g(|x-2|) = /r-|x-l|7 es : Yk
La gráfica de y = | V x-2 - s\ es: Y
-2 R P T A : “A PR O BLEM A
29
ff
—1
0
* La gráfica de h ( x - 1 ) Y
3
4
x
i = f(-| x -;| )
1 es
: 2
E n la figu ra adjun ta se m u estra la gráfica de la ftmción : y = f í x ) Yá
1
-2
-2
PR O B LE M A
-3
2
- 2 -1
0
X RPTA: “ C ”
30
En la figu ra adjun ta se m u estra la gráfica de la función y = f í x )
Io o e 1 \,* -k- % X/á" T• • ,-
■ ' y
-
•>
v
j
v
Y
I
PR O B LE M A
.
O aO P JgP M
30
2012}
:
En la figu ra a d ju n ta se m u estra la gráfica de la
Entonces la figura q u e m ejor representa la gráfica de g ( x ) = f ( 2 - W ) e s : A)
E ntonces la figura que m ejor representa la gráfica de g ( x ) = f ( l - \ x \ ) e s :
R E S O L U C IÓ N
:
* La gráfica de g ( x ) = f ( - x ) es :
* La gráfica de h ( x ) = g(\x\) = f(-\ x \ ) es
* La gráfica de h ( x ) = f í - x ) e s
n 2 1
-3
-2
-1
1 2
3
* La gráfica de h ( x - 1 ) = f ( l - x ) es : • La gráfica de h ( x - 1 ) = g(\ x - 1\) = f ( - \ x - 1\) es
• L a gráfica de P(|*|) = f(l~ \ x \ ) es
fI
99
(E n M F tD N E N
PRO BLEM A
31
WrX/ÍOiVfc\S’ ]
liflg 907 WSBS
nw T nw Ñ *p&
:
x <2 f(x) = \ 0 x = —l x > -3 9 x < -1 X > - 1
La figu ra qu e m e jo r re p re se n ta la g rá fica de la
A
A
función f í x ) = |** -2|x||; x e R es : A)
~) B
Y¡
Y
/(* )=
1 ; 0 ; -2 ;
si x e ( - l ; 2 ) si x = —1 si x e ( - 3 ; - 2 )
U nión de tres funciones constantes
Y
X
0 1
PR O B LE M A
E ntonces la figura que m ejor representa la gráfica de la función g ( x ) = f í - x ) - 2 es :
-> f ( x ) = |(|x|-2)2 - l | ; x € R • La gráfica de g f x j = ( x - 1)* - 1 es :
f ( x ) = |g (|x
-2 * •-
= |(|x| - J )2 - ij será:
:
. \
* •
%
0
**
t #
RPTA; “ C PRO BLEM A \
32
Graficar : f ( x ) = s g n
:
En la figura adjunta se m uestra la gráfica de una función f.
* De : f ( x ) = ; |x2 - 2 | * | | ; x e R
La gráfica de
33
:
R E S O L U C IÓ N
:
•La gráfica de y = f í - x ) será : (x + l ) ( x - 4 ) J é -x -x *
R E S O L U C IÓ N : * Hallamos su dom inio :
6 -x -x 2 >0 o o x e (-3 ;2 ) * De la definición : [ 2; /(x ) = < 0 ; [-2 ;
* En
(x + 3 ) ( x - 2 ) < 0
si (x + 2 )( x ~ 4 ) > 0 si ( x + l ) ( x - 4 ) = 0 si ( x + l ) ( x - 4 ) < 0
2 ) => x - 4 < 0 /(* ) =
1; 0; -1;
si x + l > 0 si x + 1 = 0 si x + 1 < 0
RPTA:
“A 99
iTJaOPJEPH 2012}
II 9 0 8 I
•litk
PR O BLEM A
Si
f
es
34
:
una
f u n c ió n
f ( x ) = x * - G r ; x e [ - 2 ; 4 ].
d e fin id a
por
E n ton ces, la figura
que m ejor representa la gráfica de g ( x ) = |f (|x|)| es:
* C om o, por con dición , a * 0 ¡ entonces el conjunto s o lu ció n d e la fu n c ió n p o lin o m ia l p u ed e ser 3 soluciones reales o 2 solución real y 2 imaginarias. ♦La so lu ció n im a g in a ria siem p re se da en pares conjugados.
—4 —3 1 3 4 X R E S O L U C IÓ N : * De: f ( x ) = x 2 - 6 x ;
♦Una solución real viene a ser una intersección de la función polinóm ica con el eje X .
x e [-1 ; 4]
-> f ( x ) = ( x —3 ) 2 - 9 ; x e [ - 2 ; 3 ] • Cuya gráfica es :
♦Según los gráficos A , C y D existen dos soluciones reales, lo cual im plicaría u n a solu ción im aginaria de un sólo n ú m ero com p lejo. E sto es tota lm en te falso ya que, com o se dijo, las soluciones imaginarias vienen en pares conjugados. ♦La alternativa B es la correcta ya que su gráfica indica una sola solución real. R P T A : *B” PR O B LE M A
- » La gráfica de g ( x ) = |/fx)| será
36
:
¿Cuántas solu cion es tiene la ecuación:
n 9
iJ x-l+ 2 x-3 = 0 A) 1
B) 2
C )3
R E S O L U C IÓ N
D) 4
E )6
:
Hx-1 = 3 - 2xjx * 7 ♦ G raficando las fun cion es :
La gráfica de g(\x\) = \ f (|xl) sera :
♦Observem os u n solo pu n to e n la intersección de las gráficas .
RPTA: “D 99 PR O BLEM A *
»
35 :
*
de ¿Cuál de las siguientes gráficas puede ser la fo r m a : lin a fu n c ió n p o lin o m ia l de la
P (x ) = x 3 + a x + b ; a * 0 ?
-> Existe una sola solución real . R P T A : “A " PR O B LE M A
37 :
Hallar los valores reales d e A y B para que la función x 3 + 2 x 2 + A x + B = 0 t e n í>a u n a r a íz d o b le y adem ás adm ita a - 4 com o raíz sim ple .
m
m
R E S O L U C IÓ N
m
B ffll 909 ÜHB1
s '
:
fl
]
p (x ) = 4 x4 + 4 x 2 + 2 - 4 x 2 = (2 x 2 + l f - 4 x2
x 3 + 2 x ? + A x + B = ( x - a ) * ( x + 4)
= (2 x 2 + 2 + 2 x )(2 x 2 + 2 - 2 x)
-+ x 3 + 2x* + A x + B = x 3 + ( 4 - 2 a ) x * + ( a * - 8 a ) x + 4 a s
= Í 2 x 2 + 2 x + l ) { 2 x 2 - 2 x + 2)
* Entonces : 2 = 4 - 2 a = > a = l -> A = a 2 -8 a = > A = - 7 - > PRO BLEM A i
38
B = 4a2 =>B = 4
;
.
D ada
la
s ig u ie n t e
fu n c ió n
p o lin o m ia l
p ( x ) = 1 + b x 3 - a x 6 - 2 x 7 d o n d e a es e n t e r o positivo y 6 es entero negativo, dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: l ) Una raíz de p ( x ) = 0 e s 1/3 U ) Si X j < x 2 entonces p ( x t) < p ( x t ) U I) p ( x ) = 0 tiene una sola raíz real. R E S O L U C IÓ N
/) FALSO I I ) V E R D A D E R O : porque los factores de
W F A L S O : veam os porqué, escribim os p ( x ) = - ( 2 x 7 + a x s - b x 3 - 1)
* Ahora : x ¡ < x 2 -+ 2 x \ < 2 x \ 6 ax] < a x2
x ¡ < x 2 -> - b x ¡ < - b x ]| 2 x\ + a x i - b x 3 < 2 x \ + a x 2 - b x 2 Luego :
p (x )9
son 2 x 2 + 2 x + 2 ,2 x 2 - 2 x + 2 y estos son prim os . I I I ) F A L S O ; por lo desarrollado en I . PR O B LE M A
40
:
0 , x e < 0 ;2 >
:
l ) F A L S O : si x = 1/3 f con raíz 1 debe ser divisor del térm ino independiente el cual es 1 y 3 debe ser divisor del coeficiente principal el cual es - 2 y esto último es falso.
X ¡< x2 -
-+ p ( x ) = ( 2 x 2 + 2 x + l ) ( 2 x 2 - 2 x + í ) * C a d a f a c t o r c u a d r á t ic o t ie n e d is c r im in a n t e negativo, entonces las raíces de p ( x ) son núm eros com plejos , luego :
S ea: f ( x ) =
1, * e [ l ; 2 ) u ( 4 ; 5 )
2, x = 2 3 , x e (2 ; 3) E ntonces f f x ) es : A ) N o c r e c i e n t e e n (O ; 2 ] B ) N o c r e c ie n te en (2 ; 5 ) C ) N o d e c r e c ie n te e n (2 ; 5) D ) C o n sta n te en ( 1 ; 3 ) E ) N o d e c r e c i e n t e e n (3/2 ; 6/2) R E S O L U C IÓ N
:
* Graficando la función y = f í x )
2 x\ + á x 2 - b x 3 + 1 < 2 x 1 + a x 2 ~ b x | + 1
n
Entonces :
3
- ( 2 j + a x f - b x 3 + 1) > - { 2 2 + a x 2 - b x 3 + j )
2
p ( x ¡) Xj < x 2
+ p (x ¡)> p (x 2)
) V E R D A D E R O : en la parte U ) probam os que p ( x ) es estrictam ente decreciente y adem ás p ( x ) es de grado im par y por lo tanto tiene al m enos una raiz real, pero al ser estrictam en te decrecien te la raíz real es única. PRO BLEM A
39
:
*3/2 2 BI23 4 5 •Una función es no creciente en un intervalo si se m antiene constante o es decreciente: en cam bio, es no decreciente si es creciente o es constante .
•Analizando en cada u n o de los tram os propuestos. A ) Tram o (0 ; 2 ] : f í x ) es creciente B ) T ram o ( 2 ; 5 )
Ue la ecuación p ( x ) = 4 x 4 + 1 = 0 se afirm a.
N o se puede afirm ar nada ya que f í x ) no existe en
I ) Tiene cuatro raíces reales.
[ 3 ; 4].
n ) Sobre los núm eros reales el polinom io p ( x ) tiene exactamente dos factores prim os.
C ) Sim ilar a la parte B
U I ) Tiene dos raíces que son n ú m eros racionales. R E S O L U C IÓ N
:
I) p ( x ) = 4x4 +2 se puede escribir en la forma
D )T r a m o (2 ; 3 )
: f f x ) es creciente
E ) T ram o (3 /2 ; 5 /2 ) f í x ) es creciente, y p or lo tanto no decreciente .
RPTA: “E ”
tóís l RO BLEM A
41
N C tC M M P I C D L t 2 0 1 2 )
»i» I
S = x y donde : y = - 2 x + 8
:
Dada la fun ción f, cuya regla de correspondencia es:
• Reem plazando “ y ” en S , el área en función de x es:
f ( x ) = x 2 - 2 x + a , en tonces podem os afirm ar que
ios gráficos adjuntos correspon de : H)
I) F
n i)
Fk
w A ) E l g r á fic o B) El g r á fic o C) E l g r á fic o D ) E l g r á fic o E) E l g r á fic o
*A
la
-> S = 8 - { x - 2 ) 2 ; 0 5 x 5 4 0 • E n to n ce s, el área será m áxim a cu a n d o x = 2 siendo S = 8 .
Fk
w X
fu n c ió n
PR O B LE M A
43
:
E l r e c t á n g u lo d e m a y o r á re a , en e l p r im e r cuadrante , con dim ensiones enteras , cuyos lados son paralelos a los ejes , dos de ellos sobre los ejes y u n v é r t ic e e n la p a r á b o la d e e c u a c ió n
:
f(x ) = x 2 -2 x + a
• P or tanto el área m áxim a es 8. RPTA: "A ”
I ocu rre cu a n d o a > 1 U ocu rre cu a n d o a < 1 III ocu rre cu a n d o a = 2 I o cu rre cu a n d o a < 1 I I o cu rre cu an d o a > 1
R E S O L U C IÓ N
S = x ( - 2 x + 8 ) -> S = - x 2 + 8 x
podem os
y = ~ 2 x 2 + 8 x t tiene com o área : A) 6
representarlo : [ y - ( a - 2 ) ] = ( x - í ) 2 •Donde el vértice de esta parábola esta representado
B ) 12
C)14
R E S O L U C IÓ N
D ) 16
E ) 18
:
• N os piden el área m áxim a del rectángulo , para
por el punto : V = (2 ; a - 1 )
x e Z
• S i : a = 2 => V = (2 ; 0 )
y x e a l a parábola.
a>2=> V = (l;K *)
(2 ; 8 ) ^ y = -2 x ? + 8 x
a < l= > V = { l ; K ' )
(x ;y )
* De la figura : S ( x ) = x y = - 2 x 3 + 8 x 2 *
* S ( x ) : Area del rectángulo en fun ción de * .
* Luego , el gráfico 2 / ocurre cuando a < 1
* E n el p rim e r cu a d ra n te x tom a los sigu ien tes valores : x = 0 : S (x) = 0 x = 3 : S ( x ) = 18
RPTA: "A ” PR O BLEM A
42
x = 2 : S (x ) = 6
:
x = 2 : S ( x ) = 16 -
Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados y el cuarto sobre la recta de ecuación y= -2 x + 8 El área m á xim a q u e p u ed e te n e r el rectángulo es igual a: A )8 • B) 9 C)10 D ) 11 E ) 12 R E S O L U C IÓ N
x = 4 ; S (x ) = 0
S ( x ) m áxim o es 28. RPTA: “E ” PR O B LE M A
44
:
La gráfica del conjunto :
:
•Nos piden el área m áxim a (S máx ) del rectángulo :
A =
( * ; y ) t r i y í x 2| o { ( 0 ; 0 ) } e s : X
IB
V ii
R E S O L U C IÓ N :
PR O B LE M A
♦D e A : I ) S i: x > 0 = > y ¿ x
r i/.v r i t f m s )
fBBH
La gráfica adjunta corresponde a y = - x 2 + 6 x - 5 i Se inscribe un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados. E ntonces la expresión para el área de ese rectángulo es :
2 i
46 :
?= *“
y= S
Z/y Si: x < O => y 2: - x 2 y > -* ? A ) 2 ( x - 3 ) [ * - G e - 3 )* ]
\ X * Finalmente ®
C K 3 - * ) [ 4 - ( * - 3 )* ] R E S O L U C IÓ N
1/ (J/7 queda
B ) ( 3 - x ) [ 2 - ( x - 3 )* ] D) ( 3 - * ) [ 2 - [
x -3
:
n
n
y = -X * + 6 x -5
t e , ; y ,)
RPTA: “ C PR O BLEM A
99
45 :
dé la función f tal que f ( x ) = 3 - | x - 4 | , s e inscribe un rectángulo , una de cuyas bases está Bobre el eje x y los otros dos vértices están en la gráfica de f. H a lla r la m e d id a d e l á r e a m á x im a d e d ic h o rectángulo , B )2 u 2
R E S O L U C IÓ N
\
X
* El área del rectángulo está dado por:
En la región determ inada p or el eje a? y la gráfica
Á j(3 / 2 )u *
5
C )(9 ¡4 )u *
D )4 u *
S = y 3 ( x s - x ¡ ) ....................................... (*)
♦ D onde: x t , x 2, y „ z y = - x 2 + 6 x - 5 * En el punto ( x , ; y g ) ••y 2 = - x 2 + 6 x ¡ - 6 ....( I ) * En el punto ( x 2 ; y 2 ) : y 2 = - x 32 + 6 x 2 - 6 ...( I I )
* De ( I ) y (I I ) :
E )(9 f2 )i£ - x 2 + 6 x ¡ - 5 = - x 22 + 6x 2 - 5
:
x 22 - x ¡ 2 + 6 ( x , - x 2 ) = 0
* Grafícando :
-* ( x s -
n
6=45°
7
x 1) ( x
¡ + x2 -6 ) = 0
- + Xj = 6 - x 2 * Reem plazando en ( * ) tenem os:
fitx )= 3 -M -4
s = y* [ * 2 - ( « - * » ) ] S = y 2 (2 x 2 - 6 ) = 2ys ( x g - 3 )
(I I I )
* De ( I I ) y ( n i ) : S = 2 { - x 22 + 6 x g - 5 ) ( x 2 - 3 )
* En general para u n x e y = - x 2 + 6 x - 5 Área = x [ j ~ Y ~ ) = ~ ^ x * ~ ^ S = 2 (-x 2+ 6 x -5 )(x -3 )
-► Área = - —[ ( * - 3 ) 2 -9~\
-+ S = 2 ( x - 3 ) [ 4 - ( x - 3 ) s ] R P T A : “A ”
-►Área = - l ( x - 3 ) 2 + — ; p a r a x = 3 2 9 Ájftñxima “ g** A
“
2
PR O B LE M A
47 :
Si S es una relación definida p o r : ' v ■ .
2
RPTA: “E ”
s = {(* / y) e R
X
R
I
' ' ■ ■'¡
y = ||x - 2 \- 2 1- 3 } . entoticeá
1
91»
I
.Xt lVIAIVElHA 201¿\
íy,¿¡»
el área (e n u 1) de la región lim itada p or la gráfica de S y el eje X es : A) 17 B ) 16 C)15 D ) 14 E ) 13 R E S O L U C IÓ N
:
•De S = { ( * ; y ) e F x J ? / y = | | * -2 | -2 | -3 } * La gráfica de : y = | x - 2 | - 2
♦ G raficando B - A :
* G raficando A - B :
es:
Va
Y
* Finalm ente : ( A - B ) kj ( B - A ) Yl
La gráfica de y = || x -2 | - 2 | - 3 será :
X RPTA: “B ” PR O B LE M A
♦ El área pedida será 2 A , entonces :
:
Sea el siguiente sistem a d e inecuaciones :
3*3
2 A = 2 (q + [7 )= 2 ((3 ± i).2
49
u 2 J
3 x* + 2 y < 4 .......................... (a ) 2 x - 3y* < - 2 ....................
-+ 2 A = 1 7 u 7 RPTA: “A ” PR O BLEM A
48
(P )
E n ton ces, el co n ju n to solu ción está representado por l*i región . ^
:
Sea : A = í ( x ; y ) / y < 2 x % + 3 } B = {(x ; y ) /y > - 4 ¡ 5 x + 4 }
una de las regiones som breadas adjunta representa ( A - B ) kj ( B - A ) A)
B)
V
A) I
B) II
R E S O L U C IÓ N
\
x
♦De
C ) III
D) IV ’
E) V
:
( a ) - graficam os
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando el con junto A y B : A = {(x .'y )ly < 2 * * + 3 }
♦ La región som breada n os representa el conjunto solución de (I )
B = {(x ,,y )ly > 4 l5 x + 4 }
♦ De ( f i ) graficam os :
)gBg 9 1 * p
wtwmmñipn
7X4:t4PXiCS ]
i
PR O B LE M A
51
:
Sean « f » y « g » dos funciones definidas p or :
i -
f = { ( 2 ; 1) , ( - 2 ; 3) , ( 1 ; 5 ) , ( - 3 ; 4 h ( 7 ; 8 )) g = { ( 3 ; - 2 ) , ( 7 ; 2 ) , ( - 3 ; l ) 9 (2 ; 4)}
X
( - 1 ; Op
E ntonces la fun ción • La región som breada nos representa la solución de ( a )• Entonces, la solución del sistem a está dada
es:
AJ {(2;-3)} D) {(-3;4)}
B) {(-.2;4)} E) {(-1;8)}
R E S O L U C IÓ N
:
D o m f = {2 ; - 2 ; 1; - 3 ; 7} D o m g = { 3 ; 7 r-3 ; 2 }
N ótese que : g ( x ) * 0,V x e D o m g * D o m í —j = D o m f n D o m g = { 2 ; - 3 ; 7 }
x = g j< 2 >
f í x ) = 3 x - 1 ; x e < -6 ;5 ]
x = 7 í | C
g (x ) = x 3 + 1 ; * € 1 -4 ; 2 )
g
Hálle' 2 f + g , gráfica d om in io , rango .
* R a n (f + g ) : * * + 3 * =
+
3
x
;
x
= 2 x 4 = 4
= /(-i) •g (S ) : 4 x 2 = 4 x = 7 : ( f g ) f7t = f/7} > g ( 7¡ = 3 X 2 = 26 X =
e
f g = { ( 2 ; 4 ) , f - 3 ; 4 ) , ( 7 ; 2 6 )}
y = x 3 + 3x
i[4x*
g ( 7 )
* = 2 ; ( f g ) (2/ — f (2)» g (2¡
( f + g )(x ) = f í x ) + g (x ) X 3
7 (7 )
• D o m (fg ) = D o m f o D o m g = {2 ; - 3 ; 7}
-> D o m ( f + g ) = [ - 4 ; 2 ) * Luego : -
=
= ^ZL = | = 4
g
* D o m (f + g ) = D o m f n D o m g
) M
^
t
R E S O L U C IÓ N :
g
g ( 2)
_ fl-S) _ 4 x = - 3 ; I¿ = - = 4 g Á -a) £<-s) 7
Saab f y g funciones tales que:
-► ( f +
7
_
+ J 2* + 9 -
9} = l [ ( 2 x + 3)2 -
« ]
* Lueg°
¡
( £ ) "
< » ) =
M
?
RPTA: “D ”
* Como: ^4 < x < 2 => - 8 < 2 x < 4
PR O B LE M A
= > - 5 < 2 x + 3 < 7 => 0 < ( 2 x + 3 ) 2 < 4 9
Sean f y g dos fun cion es definidas p or :
= > - 9 í ( 2 x + 3)2 - 9 < 4 0
52
fíx ) = \ x * -6 x \ + \ x - 3 \ + x ; x e [ 0 ; 3 ]
=> - 9 í 4 y < 4 0
g ( x ) = x \x\- 6 ; x e ( - 2 ; 4] - — ú y < 1 0 => R a n f f + g ) 4
10
= H -
E ntonces , al función ( f + g ) es :
B)6x + 3;x €(0;3J D) S x -3;xe[0;3]
A )6x-3;x e(0;3) C) -6x + 3;xe[0;3] R E S O L U C IÓ N
*
Dom(f+g)
->Dom(f+g)
:
= Domf nDomg = /0;37 n <-2;4]=70;37
• Con esto : x 2 - 6 x < 0 a * - 3 < 0 fíx ) = 6 x - x * + 3 - x + x a
g (x ) = x fx ) - 6 = x 2 - 6
= -x 2 + 6x + 3
[a
m
*C F W
\ 4 itiM P E D lA 2 0 1 2 )
ft A
( f + g ) (xt- f fx) + g fxJ= - * * + fix + 3 + x í - 6 f(x) =
- > ( f+ g h x t~ 6 x - 3 ; x e / 0 ; :3 ]
2 x + l , 2 <. x < 5 i
RPTA: "A " PR O BLEM A
53
Si 2 < x < 3 ¡2 , hallar el valor d e ;
:
f ( 2 x - 1 ) - f ( 2 x s) A) 2x* + 2 x - 1 B) -4 x D ) -1 - 4 x E )x*-2x-l
Si 22 y G son dos funcion es definidas p or :
2 x-4
R E S O L U C IÓ N
; x> 2
G = [(-3 ;4 h (-2 ^ 2 ), (-1 ;3 ), <2;7h (3 ;6 )t (4 ;1 0 h (5 :9 )}
Entonces, el rango de la fu n ción ( H - G ) e s : A ) { 2 ; - 2;1 ; - 4 ;6 } B ){1 ;2 ; - 3 ; - 5 } C ) { 3 ; 4 ; - 6 ; - 2 } D ){2 ;3 ; - 4 ; - 6 } E ){2 ;3 ; - 3 ; - 4 ,- 6 } R E S O L U C IÓ N
:
= H (^ - G f^ = 6 - 4 = 2
x = - 2 ; ( H - G ) (_2) = 27,_íy - G,_2y = 2 - (-2 7 = 3
* = 3 ; (72-G7 w = H (3)- G (3) = 2 - 6 = - 4 * = 4 ; ( i / - G 7 „ , = H (4/ - G (4t = 4 - 1 0 = - 6 x = 5 : ( H - G ) fS) = H (5i - G ,w = 6 - 9
2< x
< 312 => 2 < 2 x < 3 => 2< 2 x - l < 2
* En este caso tiene la form a de la segunda ecuación, Luego : f ( 2 x 2) = 2 ( 2 x 2) + 1 = 4 x 2 + 1
* Finalm ente : f(2 x - l ) - ff2x*) = 4x* 4x + i - 4 ^ -1 = -4x PR O B LE M A
= -3
56
:
Dadas las funciones :
* Luego : R a n ( H - G ) = { 2 ; 3 ; - 4 ; - 6 ; - 3 } RPTA: “E ” :
f ( x ) = >jx2 - 4 ; g ( x ) =
2
y J x -2
Hallar el rango de f ( x ) g ( x ) .
Sea / una fun ción definida p o r : -4 x + 7 ; x < 0
A )(2;4)
B7(2;+oó)
D ){-4 ;-2 )
E ) { 0 ; + oo)
R E S O L U C IÓ N
4x + l ; 0 £ x < 2 2x + 3 ; x * 2
Si r e
* D e la condición :
1 < x < 3 1 2 => 1 < x 2 < 9 1 4 => 2 < 2 x * < 9 1 2
-> D o m (H -G ) = { - 3 ;- 2 ;3 ;4 ;5 }
f(x) =
* Para hallar f ( 2 x - 1 ) debem os acotar, en prim er lugar, 2 x - 1 .
* A nálogam ente , para 2 x 2
* D o m (H -G ) = D o m H c^ D o m G
54
:
f ( 2 x - 1) = ( 2 x - l ) 2 = 4 x s - 4 x + 1
* D om G = { - 3 ;- 2 ;- l ;2 ;3 ;4 ;5 }
PR O B LE M A
C) 4x* - 6x
* C om o se observa , tiene la form a de la prim era ecuación , Luego :
* D o m H = ( - o o ;- l ) w (2;+ oo)
x = - 3 : (H -G ) ^
, 0 £ x <2
x
C7(-co; - 2 )
:
* De : f ( x ) = V x 2 - 4
; x2 - 4 > 0
i entonces el valor d e M = f ( 4 r ) - f ( 2 r - l ) es: D o m flx 7 = (-o o ;-2 ]u [2 c o )
A) 8
B) 6
C) 1 6 r + 7
R E S O L U C IÓ N
D ) 1 6 r -4
E ) 1 6 r -9
♦ D e: g M =
:
2
-Jx-2
x-2 > 0
D o m g ( x ) = ( 2 ; oo)
*D e: r e (~j’ l ) ~ * ~ j < r < l * 3 < 4 r < 4 -+ f ( 4 r ) = 2 (4 r ) + 3
* L uego:
* — < 2 r < 2 -> - < 2 r - l < l 4 2
-> f ( x ) . g ( x ) = >/x + 2 . V x - 2 . V x -2
- » f ( 2 r - 27 = 4 ( 2 r - l ) + 2 ♦ E n to n ce s:
- * f { x ) . g ( x ) = y jx + 2
M = f ( 4 r ) - f ( 2 r - 1)
♦ D o m f (x ) . g ( x ) = D o m flx ) n D o m g (x ) M = 8 r + 3 - ( 8 r - 37 = 6 RPTA: “B " PR O BLEM A
55
:
Sea fia función tal que : / ( x ) =
x2
, 0 ¿ x < 2
2 x + l s2 < x < 5
= {<-*>; - 2 ] u [2 ; oo)} n (2;oo)
=(2;oo) R a n f ( x ) . g i x ) = (2;oo)
R P T A : “B ”
Ifefr PRO BLEM A
57 :
915
i ] R a n f g o f ) = {0 ;2 ; 3 }
Sean las funciones :
R a n ( f o g ) n R a n f g o f ) = {3 }
G = { ( 3 ;9 ) , (4 ;1 6 ) t ( 5 ;2 5 ) , ( 6 ;3 6 ) }
RPTA: “A
G o F = { < 1 ;9 ) , ( 2 ;1 6 ), ( 3 ;2 5 ) , ( 4 ;3 6 ) )
Obtener F A) F = {(1 ;4 ), B ) F = {(1 ;2 ), C ) F = i ( l ;3 ) , D ) F = {(1 ;3 ), E) F = {(1 ;3 ),
PR O B LE M A (2;3), (2;4K (2;4), (2;4), (2;4)f
(3 ;5 )t (3;6)t (4;6h (3 ;5 ), (3;5)t
R E S O L U C IÓ N
(4 ;6 )} (4 ;5 )} (5 ;5 )} (4 ;3 6 )} (4 ;6 ) }
59
E n la s ig u ie n t e ta b la a p a r e c e n v a lo r e s d e las funciones F y H .
:
x
5
6
7
8
F (x )
8
7
6
5
H (x)
7
8
6
5
♦ Si: G = { ( 3 ;9 ) , (4 ;1 6 ) f ( 5 ;2 5 ) , (6 ;3 6 ) } => G (x ) = * *
(H + F ) o F - 2
E ntonces, el valor
G o F = { ( 1 ;9 ) , ( 2 ; 1 6 ), ( 3 ;2 5 ) , ( 4 ;3 6 ) )
A )-l
=> G o F = G [F (x )J = ( x + 2 ) s F = { ( 1 ;3 ) , (2 ;4 ), (3 ;S ), (4 ;6 ) } RPTA: 58
'E
:
B) 1
C )0
es:
D) 2
E )3
:
(II + F )o F -2 * Se pide : ____________ (6) (6) H oH ............... ♦ De la tabla : (0)
(I)
* ( H + F ) > F f6l = ( H + F ) fF(6)) ~ ( H + F ) (7,
Sean f y g dos funciones definidas p or :
= H (7t + F (7l = 6 + 6 = 1 2
f = { ( 2 ;3 ) , ( 0 ; - l ) , ( 4 ;6 ) , ( 1 ; - 1 ) ) g = { ( 3 ;0 ) , (-1 ,-2 ), ( 5 ; 3 ) )
* H « I I f6t = I H H (6l) = H f 9 ) = 5
Entonces, el r a n ( f o g ) ri r a n ( g o f ) es : A) {3 } B ) {-1 ;3 } C ){0 ;2 ;3 } R E S O L U C IÓ N
(6 )
HoH
R E S O L U C IÓ N
= > F (x ) = x + 2
PRO BLEM A
D )f
* En ( I) :
Ul + F ) o F - 2
:
H oH
](6 ) = )
12-2 5
= 2
RPTA: “D
* Cálculo de f o g : PR O B LE M A
60 :
f y g dos funciones definidas p or :
3
f ( x ) = ^jx + l
;
x e [-2 ;3 ]
g ( x ) = x z + 2 x ; x e [0 ;5 ]
E ntonces , el dom in io de f o g es: R ang
D om f
Ranf
fo g -> fo g =
{(3; - 1 ) , ( - 1 : 3 ) }
A) {0:1)
B ) 10 ; 1 ]
D ){-2 ; 6 ]
E ) ( - l ; 1]
R E S O L U C IÓ N
;
Cálculo de g o f : * D o m ( f o g ) = | x /x e D o m g
D om fJ
-> D o m ( f o g ) = { x l x e [ 0 ;5 ] a (x 2 + 2 x ) e ( - 1;3J} * Pero:
x 2 + 2 x e / - 1;3] - > - 2 5 x 2 + 2 x 5 3 -> 0 5 x 2 + 2 x + 2 5 4 - > ( x + l ) 2 5 4 R a n f D om g g o f
R ang
-> - 2 5 x + 2 5 2
-> -3 5 x 5
2
-> D o m ff o g ) = {x /x e fO;5J a x e / - 3;1]} g o f = f ( 2 ; 0), ( 0 ; 2 ) , ( 4 ; 3 )
* Luego : R a n ( f o g ) = { - 1 ; 3 }
99
D o m ( f o g ) - [0;1] RPTA: “ B ”
(V.ü*i
fv i
PR O BLEM A
61
M H IA W IB h V 2012
-> a 2 = 9 a a b + 6 = - 4
:
-+ fa = 3 v a = - 3 J a 6 ( a + 2) = - 4
Si f es una fun ción definida p o r :
-+ (a = 3 a 6 = - l ) v ( a = ¡ x e ( - « 0 ] } . entonces la fu n ción (/b f )
f
-3a
b =2)
* De donde: fjfx J = 3 x - 1 /,/x J = -3 íx + 2
es: A)
B)
{(* •'Irí)
/ x e ( -00
♦ Se pide : f 3 - l ) f - 3 + 2 ) = - 2 RPTA: “C ” PR O B LE M A
®{(* •'£
)* s “}
7
R E S O L U C IÓ N
D '{('
f(x ) = \ x \ -l
D om f
g
D o m f f o f ) = {x/x < 0 a
♦Pero :
si f y S son dos funciones definidas p o r :
:
* La función dada es : f ( x ) —
* D o m ff o f ) = { x f x
‘ 1101"’}
63 :
a
x -1
;
x -1 ffx )
g
x 5 0 D om f}
g (x ) =
4x
x -3 E ntonces, la figura que m ejor representa la gráfica de ( f o g ) es:
<01
< 0 -> x -l< 0 -> x < l x -1
-> D o m f f o f ) = { x /x < 0 a x < 1 } D o m f f o f ) = { x /x < 0 }
X -1
fo /T x ) =
x -i 2 -x
R PTA ; “ B PR O BLEM A
62 :
Hallar todas las fun ciones lineales /TxJ q u e verifican la condición . _ 9 -4x ; V x*0 D ar co m o re s p u e s ta e l p r o d u c to de la su m a de coeficientes de la prim era fu n ción con la sum a de coeficientes de la otra función. AJO B) -3 C )-2 D) 3 E) 1 R E S O L U C IÓ N
f(g fx )) =
4x x -3
-1 = 4 2 +
x -3
* Donde D o m f f o g ) = R - { 3 } y su gráfica se obtiene asr. g La gráfica de y ” ----- - +1 es x —3
:
• o ffo flfx ) = 9 x - 4
* Com o f f x ) es lin e a l, sea f f x ) = a x + 6 - + f o ffx ) = ffffx )) = ffa x + b) =
= a f a x + b ) + b = a 2x + a b + b * Luego : 9 x - 4 = a 2x + a b + b S erá:
:
-2
917 q : Si f n o es a cota d a so b re acotada sobre A .
A , e n to n ce s |f| es
r : Si f y g son dos funciones no acotadas sobre A, entonces \f+g\ n o es acotada sobre A. A2 V W B)FFF C )V F F D )F F V E)FVF R E S O L U C IÓ N
99 PRO BLEM A
64
:
72 Si f y g son dos fu n cio n e s n o a cota d a s sob re A ( f + g ) puede ser o no acotada en A . Por ejem plo f í x ) = x + 7 a g ( x ) = -x + 2 no son acotadas en R , sin em bargo :
Si f e s una función definida por : 5 -2 | x | 2 f(x ) =
3
( f + g ) f X, — 3 e s acotada en R x \5 J
• Luego , p es fa ls a .................................. (F A L S A ) I I ) Si f no es acotada sobre A , entonces:
; |*|>2
x
VAf > 0 : |f (x)| > M ; V x e A
E n to n c e s , in d ic a r el v a lo r d e v e r d a d , d e la s siguientes afirm aciones: I) f es una función im par
U I ) f es decreciente en ( 0;+ ») B) W F
C) V F V
R E S O L U C IÓ N
D ) VFF
E ) FVF
• D o m f = R -> V x e D o m f : - x e D o m f
* f(-x ) =
-4 |f (*)|
n o es acotada en A .......................... (F A L S A )
I I I ) Si f y g son dos fu n cion es, no acotadas sobre A -4 com o se vió en la prim era f + g puede ser o no acotada en A .
-> I f + £\ puede ser
:
5 -2 | -x
-4 VAf > 0 : ||f (x)|| > A f; V x e A
• Luego, q es falsa
II ) f es una función par
A )F W
:
o n o acotada en A .
* Luego , r es fa ls a .................................(F A L S A ) RPTA: “B ”
5 -2 | x
3
3
= f(x )
PR O B LE M A
66
:
Sean f : A - > R \ g* B - > B j adem ás A y B c . R . D eterm in ar el v a lo r de verdad de las siguientes proposiciones :
f e s una función par. Graficando la función:
p ;
Y
Si D o m f f + g ) * $ >adem ás f y g son acotadas,
entonces ( f + g ) es acotada . y = 5 -2 x 2 q : Si D o m ^ j * # , a d em á s f y g so n acotad as,
entonces “ es acotada . e : Si f y g son acotadas, en ton ces f g es acotada.
A2 V W
R E S O L U C IÓ N
* Luego:
72 f no es im p a r ............................... (F A L S A ) 772 f e s p a r ..........................................( V E R D A D E R A ) 7772 f es decreciente en (0;+ao)
(V E R D A D E R A ) R PTA : "A ”
PRO BLEM A
B) W F
65 :
In d ica r e l v a lo r d e ca d a u n a d e las s ig u ie n te s proposiciones : p : Si f y g son dos fun ciones n o acotadas sobre A, entonces ( f + g ) no es acotada sobre A .
C) VFV
D) F W
E ) FVF
:
f : A - > R y g : B ~ + R son acotadas I)
Si
D o m ( f + g ) * 4 -» f + g
e x is t e , a d e m á s :
\f(x>I < J = \f(x,+g(x,\ < \f<*, I + I* te, I
I( f + g h x ,I < M + N , M + N e R* ( f + g ) es acotada
* Luego, p es v e rd a d e ra ................... (V E R D A D E R A ) 772 Si
D o m f — 1 * 4 - » — puede ser o no acotada, U J g
V*
P O R
EJEM PLO
II » i s
:
♦Si / ( * ) = — A g W = - i ; x * 1 x ,r ♦ Donde : 0 .< f ( x ) < 1 a 0 < g ( x ) < 1 , es decir : f son acotadas ; se tiene ¿ ^£L = ^ _ = x _ ,
(íl • -(fl-
8m
Esto es
q : La f u n c i ó n /( x ) = — , n o es acotada Vx € R - {0 } se r : La función f (x ) = — es acotada V x € [ l ; ¿ 0 l a
g s : La función f f x ) = 2 x * - 4 x + 5 es acotada V x e R
Si M y N representan el n ú m ero de afirm aciones verdaderas y falsas respectivam en te , en ton ces la afirm ación correcta es : A)M =N B )N >M C )3 N = M D) 3M =N E ) M + N 1 = 10
21
j x 2
VCICJAIPEDLX 2012]
I
Cr)
no es acotada.
♦ Luego : q es falsa ...................................... (F A L S A )
R E S O L U C IÓ N
:
I) fíx ) = Senx, x e R
111j f A g son acotadas , entonces :
- 2 < S e n x < 2 -> - 2 < f f x ) < 1
| f(x ) I < MA\gfx) \< N ;M , N e R*
-> f es acotada, V x e R *
-> \ {fg\ x j) \¡ s M .N* - r f e es acotada ♦ Luego : r es v e rd a d e ra ................ ( V E R D A D E R A ) RPTA: “ C ” PRO BLEM A
Luego, p es verd a d era ................... ( V E R D A D E R A )
II)f(x) = - ¡
x e R -{0}
-» - e J ? - { 0 }
X
X
-» ffx ) e R - { 0 } ,
V x e R -{0 }
-> f no es acotada
67 :
* Luego, q es verdadera.................... ( V E R D A D E R A ) Sea f f x ) = — — x -2 de v e r d a d d e afirm aciones:
x e { - 2 ; 2 ) . D eterm inar el valor cada
una
de
la s
s ig u ie n t e s
III)f(x) = - , X
K x
p : / es acotada inferiorm ente q : /
eB acotada superiorm ente
r ;-
B) FVF
C)FFV
R E S O L U C IÓ N
D)VFV
es acotada
* Luego , r es verdadera
E) FFF
........( V E R D A D E R A )
IV ) ffx ) = 2 x 2 - 4 x + 5 = 2 ( x - l ) 2 + 3
:
♦ D e : /■ (* ) = — * e ( - 1 ; 1) x -2 - l < x < l - > -2 < x - l < 0 -* ffx ) < - í
< 1 0 -* 1 > —> — x 20
- + — < f f x ) < 1 -> f
es el m ayor elem ento del rango de f .
A) W V
V x e \ l;1 0 \
V x e J? ; ( x - 1 ) 2 > 0 - y 2 ( x - l f > 0 -y 2 (x -+
2 <
2
->
2
* Luego , s es fa ls a .......................................... (F A L S A )
—
x -2
-> f f x ) > 3
l)2 + 3 > 3
R a n f f ) = ( - « > ; - -|
/ no es acotada, V x e R
* Por lo q u e
M = 3 a N —1 RPTA: “ C ”
I ) f no es acotada inferiorm ente . Luego p es falsa ..................................................... (F A L S A )
PR O B LE M A
I I ) f es a c o t a d a s u p e r io r m e n t e . L u e g o q es v e rd a d era ;............................... (V E R D A D E R A )
C o n s id e r e q u e / eB u n a fu n c ió n , ¿C u á l de las a fir m a c io n e s s ig u ie n t e s e s t a b le c e n q u e / es in yectiva?
U I ) - - t R a n ( f ) t por lo que
7) Toda recta horizontal intersecta a la gráfica de f una sola vez .
n o es el m ayor
elemento de R a n f f ) , en realidad no existe ese m ayor elem ento del R a n f f ) . ♦ Luego, r es fa ls a ...................................... (F A L S A ) RPTA: “B ” PR O B LE M A
68:
I n d ic a r e l v a lo r d e v e r d a d d e la s s ig u ie n t e s afirm aciones :
p : La función ffx) = sen x es acotada Vx € R
69
:
I I ) Toda recta h orizon tal intersecta a la gráfica de f a lo m ás una vez W Toda recta h orizon tal que intersecta a la gráfica de f lo hace una sola vez . I V ) P a ra ca d a y e r a n f f ) , la e c u a c ió n f f x ) = y , x e d o m f f ) tiene solución única . A) Todas B) I y II D ) 1, I I y I I I E ) l y III
C ) II, I I I y I V
[y?n i * m v r ? .v
i i f T i L t o .v
R E S O L U C IÓ N
919
PR O B LE M A
:
* Para una función inyectiva :
71
B tal que /* ( * ) = ------ 7 es una función n x -2 suryectiva , entonces el con ju n to B es :
S i f : [0;2>
27 Toda recta horizontal.intersecta a la gráfica de f una sola vez . ♦ F A L S O : puede que no la intersecte por ejem plo :
A7 (0 ; 2)
C7 ( - 00 ; 2)
B7 < - « ; - 2 ]
D ; ( - « o; - 2 )
F T (- oo; 2 )
R E S O L U C IÓ N
:
♦ C om o es suryectiva -> R a n f = B _ 2 -+ y = 2 + x -2 * x -2 ->0
..................... (F A L S A ) I I ) Toda recta horizontal intersecta a la gráfica de f a lo más una v e z .............................. (V E R D A D E R A )
-> - 2 >
x -2
-> -2 > 2 +
I I I ) Toda recta horizontal que intersecta a la gráfica de f, lo hace una sola vez . Esto equivale a lo anterior ................................................................( V E R D A D E R A )
*
►- 2 >
x -2
-+ -1 > y
x -2
B = R a n f = ( - 00; - 2 ]
L uego:
RPTA: “B
TV) Para ca d a y e R a n ( f ) , la e c u a c ió n f ( x ) = y , x e D o m ( f ) tiene solución única verdadera, porque si tuviera m ás de una por ejem plo x ]f x 2, entonces te j ; y ) ( x t ; y ) serían dos elem en tos de f con la misma segunda com ponente, con lo cual la función no sería inyectiva............................... ( V E R D A D E R A )
PR O B LE M A
99
72 :
La función inversa de : f í x ) = L o g 3( x - 2 ) + L o g s ( x + 2 7 es :
= 4x2 - 4
A j /• * ( * ; = -JC 2 + 4
BJf*fol
O /+W = j2 x -4
D )f*(x) = -4 2 * + 4
RPTA: “ C ” PRO BLEM A
E ) f f í x ) = y¡2x + 4
70 :
Si la función f : A ~+ (2 ;2 0 ] es suiyectiva tal que
R E S O L U C IÓ N
:
* Datos: f(x7 = L o g 2( x - 2) + L o g s ( x + 2) f (4 =
„ , entonces el conjunto A es : 4 -2 x
x g D f: x - 2 > Oa x + 2 > 0
A ) (-oo; 0 ) U [ 4 ; +<»)
B ) (-o o ; 2) U ( 5 ; +oo)
-+x> 2 a x > -2
C) (-ao ; 2 ] U ( 5 ; +oo)
D 7 (-o o ;3 )u {5 }
—►x e ( 2 ; + 00)
R E S O L U C IÓ N
* Luego: tfx7 = L o g 2( x - 2 ) + l o g 2( x + 27
:
= f í x ) = L o g J x 8 - 47
* Com o es suryectiva - » R a n f = (2 ; 20]
-+ 2 < f í x ) < 2 0
-+ 2 < m
1 <
2x - 4 U x - 4 -
2 >
0
2 x-4
a
4 -llx 4 -2 x
* Por propiedad de los logaritm os ¿10 U x -4
llx -4 ------------------
2x - 4
1 0 - U X
2r = x * - 4
A
2 x -4
-> 4¡2y + 4 = -Jx2 -> 4 2 y + 4 = | x
¿10
* S ie n d o : x e (2 /
4 "¿.1
00)
=> f # ( x ) = 4 2 * + 4
RPTA; “E”
2x - 4
PROBLEM A
9x > 0
A
2 x-4
9 x ~ 3 6 Z 0 0
73 :
La inversa de la siguiente función:
2 x -4
- * ( x < O v x > 2 ) a (x < 2 v x > 47
f ( x ) = 4 5 - x (| x - 5 1+ 2 + x ) es dada por:
-> x < 0 v x > 4
..2 0 - X r_ . A 7— ~ — ; x e [0 ;o o )
3o
* Luego : A = D o m f = ( - o o ;0 ) u [ 4 ;+ c o )
RPTA: “A
99
B)
180- x 2 36
x e ( ° : co)
D)
X 2
r- 1 8 0 36
; x e l O ; 00)
; x e [ 0 ;c o )
TT
«5319 * 0 l R E S O L U C IÓ N
:
PR O B LE M A
-> 5 - x ¿ 0 -> x 5 5
=> D o m f = ( - a o ;5 ] = > f ( x ) = >/5 - x ( 6 )
*
-► y* = ( 5 - x ) ( 3 6 )
y* ^
- + x = 5 - ¿ — => f 36
p :S i f e s inyectiva creciente , entonces fta m b ié n es inyectiva creciente . q :S i f es inyectiva im par , entonces f * tam bién es inyectiva e im par
• Luego : R f = [ 0 ; + « ) y = (5 - x / ' 26
75 :
D eterm in a r el v a lo r d e v erd a d de las sigu ien tes proposiciones :
•D e : f ( x ) = > / 5 - x ( | * - 5 | + I + * ) -> 4 5 - x ¿ 0
XCMCLOPEMA 2012]
\
*
x*
i8 o -x 2
( x ) = 5 - —— = ----- — — 36 36
♦ Donde : D o r o f +(x ) = R f = [ 0 ; + -• , v 1 8 0 - x 2 f (* ) = —— ; 36
t : Si f e s inyectiva , en ton ces f 2 tam bién es inyectiva A) V W B) W F C )V F V D )F W E ) FV F R E S O L U C IÓ N
:
I ) f e s inyectiva creciente, entonces: V xJ#x 2 e D o m f :
oo)
Xj < x 2 - +
r_ x x e [ 0 ; + oo) RPTA: “B ”
ffX j) <
f f x 2)
♦ Si f es inyectiva - * f * es inyectiva Sea f ( x 2) = y 2 a f f x 2 ) = y 2
PRO BLEM A
74 :
In d ic a r e l v a lo r d e v e r d a d d e la s s ig u ie n t e s proposiciones: p ; La función f ( x ) = 4 x + 2 ; x > 1 , tiene inversa. q : La fu n c ió n
g ( x ) = x 2 + l ; x e { - 6 ; 3 ) , tie n e
inversa.
xí
= f* (y i> * x 2 =f*(y2>
f f x t ) < f f x 2 ) - + y t < y 2 -> f * f y ¡ ) < f * f y 2 )
• (P ues x ¡ < x 2) -> f es creciente • Luego , p es v e r d a d e ra ................ ( V E R D A D E R A ) I I ) f es inyectiva im par , entonces, f
f es im par -> Vy e D o m f :
t : La función h f x ) = 4 x 2 - 3 , x > 3 , , tiene inversa. A) VFV
es inyectiva.
B )F V F
C )F F V
R E S O L U C IÓ N
D )F W
E) W F
• S ea f f x ) = y -> f f y ) = x
:
Vy g D o m f *: C om o /T-xJ = - y
I ) Para f f x ) = 4 x + 2 ; x > 1
- » - y e R a n f= D om f*
Sean x Jf x a e D o m f I f ( x 2) = f f x 2) -> y fx ] + 2 = 4 * 2 + ^
-x g D om f a f (-x ) = - f f x )
a f *( - yJ = f #(/T - x ) ) = - x = - f * ( y )
Xl ~ X 2
-► fe s inyectiva - + f tiene inversa
-> f * es im par
* Luego : p es v e r d a d e r a ...............( V E R D A D E R A )
• Luego , q es v e rd a d e ra ................ (V E R D A D E R A )
U ) Para : g f x ) = x 2 + 1 ; - 5 < x < 3
I I I ) Si f e s inyectiva , en ton ces f 2 no necesariam ente es inyectiva , por ejem plo, si f f x ) = x (inyectiva) -> la función: f 2(xJ = x 2 no es inyectiva .
Sean x J f x 2 e D o m g I g f x ¡ ) = g f x 2) -> x f + J = x f + 1 -> f x t + x 2 ) f x ¡ —x 2 ) — 0
• Luego , t es fa ls a ................................. (F A L S A )
-+ x ¡ = - x 2 v x 7 = x 2 -> £ n o es m y e c f íu a
-+ g n o p o s e e i n v e r s a .
R P T A : *4B ” PR O B LE M A
* Luego : q es fa ls a ..................................... (F A L S A ) 0 / j Para : h ( x ) = y ¡x 2 - 3 , x > 3
Si f e s una fu n ción definida p or f f x ) = x + 4 x , x > 1 , entonces la f
Sean x Jt x t e D o m h l h ( X j ) = h f x 2)
76 :
es :
A ) f { x ) = 4x + L J E ± L
B) f ' ( * ) =
2 2 —►J x f - 3 — y jx 2 —3 -+ X j = x| O f ( x ) = t o + i d E E . D )f
-> ( x 2 + XjJfXj - x aJ = 0 com o X| > 3
a x, > 3
- + X j - X 2 = 0 -*
-> x 2 + x 2 > 6
x ; = X2
E ) f (x ) =
(x ) =
+
2x + l-y j4 x + 1
-> /i es inyectiva - * A tiene inversa
R E S O L U C IÓ N
* Luego : / es verdadera ................. (V E R D A D E R A )
♦De : f ( x j = x + > /x ; x > 1 ; adem ás com o:
RPTA: "A ff
:
f e s inyectiva -> f * existe
981 • Sea : y = x + > /x 4 y = 4 x + 4%/x
es f l x ) =
-4 4y + l = 4 x + 4 V x + 7
A) f ( x ) = L og2 ( y j y J » x e { 0 ; í )
4 4 x = V^y + 7— - a / c u a d r a d o
+ í =-
-----
4 * Cambiando x por y
y=
2y + 7 - J 4 y + 7
►x = — ---------- 2----------
2x + l-4 4 x +1
C) f* (x) = Logz
- y j y j , x e (2 ;2)
r----------
PR O BLEM A
D )f* (x ) = 2L og2 ^ jl-4 jt x > o 99
77 :
2X
: = 1-
; x e R
2* + 7 2X +1 * C laram ente, la fu n ción es inyectiva por lo que f existe; adem ás:
f (x )= $ x + 4 ^ ~ i +
Vx e R : 2 X > 0 -4 2 X + 7 > 7
entonces la fu n ción /* es : x 2 -2 x
B )f(x ) =
x * -7
R E S O L U C IÓ N
* De : /■ (* ) =
Si f es una fu n ción definida por :
(x ) =
» * e {0 ;2 )
y por x :
a
RPTA: “E
W
B) f* (x) = Log2
2
.» / v 2 x + 7 - v 4 x + 7 f U ) = ------------5 -----------
A 2 f* (x ) =
, entonces la fun ción inversa f ( x )
2X+1 indicando su dom in io es :
-4 4y + 1 = ( 2 4 x + 1) s -> j 4 y + l = 2 \ f x + l
4y + 7 + 7 - 2 J 4 y + i
2X
D) f
(x ) =
x
-3 x 2
5 x-l
0<
2*+7
<7 -4 0 > -
2 * +7
>-7
-4 7 > 7 2 X +1
E) f .n o ex is te R E S O L U C IÓ N
* Luego: R a n f = ( 0 ; 7 )= D o m f *
:
% %<
D om f = {* e W x 2 - 1 * 0} D o m f = (-« > ; - í \ vj [2 ;+ w ) v /\ •Sea x J9 x , e D o m f f f l X j ) = f ( ^ ^ !y Q
-4 y jx ¡ + y jx f ^ - 1 + t f x j - \ j x f - 7 = i
= f¡x2 + J x % - l + fjx 2 - J x ¡ T l = y 0
• Elevando al cubo, se tíene;
•Por otro lado : y = 7 -
2* + 7 R P T A : "A
PR O B LE M A
9»
79 :
Una tienda com ercial ha vendido 2 0 0 reproductores de discos com pactos a la sem ana a un precio de 3 5 0 dólares cada u n a. U n a in v estig a ción de m ercado indica que p or cada 1 0 dólares de descuento que se ofresca a los com pradores, el n úm ero de aparatos vendidos se increm entará en 2 0 unidades más.
2 * , + 3 U H Z Í = 2 *2 + -4 x 2 = x 2 -4 f
es inyectiva -4 f * existe
• Sea : y = ^ x + V x 2 - 1 + \ [ x - 4 x 2 - 7
4 /
A ) ¿C u á n to debe se r la reb a ja para m axim izar el ingreso? B ) ¿Cuál debe ser el precio d e venta para m axim izar el ingreso?
= 2 x + 3(77y
C ) ¿C uál es el ingreso m áxim o?
4 /
- 3 y = 2 x -> x = —----- — 2 • Cambiando x <4 y xa -3 x ^ = f\ x ) =
E ntonces, la respuesta en ese orden es:
R P T A : “ B 99 PRO BLEM A
78 :
Si f es una fu nción cuya regla de correspondencia S _
A ) 125; 2 5 0 ; 100 2 5 0 C) 100 ; 450 ; 102 250 E) 125; 2 2 5 ; 707 2 5 0 R E S O L U C IÓ N
B ) 75; 2 2 5 ; 777 250 D ) 2 5 ; 125; 101 250 :
* S ea I fxie 1 in g r e s o d e la tie n d a d o n d e x es el descuento en el precio de venta. Inicialm ente, sin
I9 2 2 descuentos.
I l0) = ( 2 0 0 ) (3 5 0 )
*
W M CLOPEBM A 2 0 1 2 )
|
800 0
Reem plazando ( I ) : c (2 ) = 2
j+
4 ,8 2
* Además: * Para que éste sea m ín im o (derivam os): D escu en to
I n g r e s o I (x)
0
200 x 350
10
(2 0 0 + 2 x l 0 ) ( 3 5 0 - 10)
20
(2 0 0 + 2 x 2 0 ) (3 5 0 - 2 0 )
30
(2 0 0 + 2 x 3 0 )(3 5 0 - 3 0 )
>
9
•
0
%
é
c ( 2 ) = 0 => c ’ (2 ) = - 2 0 ^
+ 4 ,8 = 0
32 25x3 = > ------------------------------- S S
20
20x800 x 100 - => 2 = — — 2 32
•Luego en (I ) :
800
X =
(2 0 0 + 2 x x )(3 5 0 - x )
X
800
100
= 8
/ (x) = (.200 + 2 x x ) ( 3 5 0 - x ) R P T A : 4tC
99
I (x) = - 2 x 2 + 5 0 0 x + 7 0 0 0 0 - * I (x) = - 2 ( x 2 - 2 5 0 x + 1 2 5 2 ) + 2 x 1 2 5 2 -*■ J(x) =
- 1 2 5 )2 + 1 0 1 2 5 0
(A ) I será m áxim o, para x = 2 2 5 (B ) El precio dé venta, para e s 3 5 0 - 225 = 2 2 5 (C ) Imax = 202 2 5 0 99 R P T A : 4iE
¿Será cierto q u e : F = { ( 1 ;2 ) ,( 3 ;7 ) t( 5 ;3 ) t( l ; 9 ) }? es una función : A )si B )n o
C) q u iz á s
In d ica r cu á le s d e lo s s ig u ie n te s co n ju n to s PRO BLEM A
80
:
determ inan una función:
Una empresa de plásticos ha recibido u n pedido del departam ento de recreación de la ciudad de Lim a para fa b r ic a r 8 0 0 0 ta b la s d e p lá s tic o p a ra su programa veraniego de natación . La em presa posee 10 m áquinas , cada una de las cuales puede producir 30 tablas por h o r a . El costo de la puesta en m archa de las m áquinas para producir las tablas es de $ 2 0 p o r m á q u in a . U n a v e z p u e s ta e n m a rc h a las m áqu in as, la operación es totalm ente autom atizada y puede se r v ig ila d a p o r u n s ó lo s u p e r v is o r de producción que gana S $ 4 ,8 0 p or hora . ¿Cuántas m áquinas d ebería n em p lea rse para m in im iza r el costo de producción? A) 6 B )7 C )8 D) 9 E ) 10 R E S O L U C IÓ N
A = {(2 ;3 )f( 5 ;7 ) ,( l ;4 ) } B = { ( 4 ; l ) t( 9 ; 8 ) , ( 3 ; 6 ) } C = {<2 ; 3 h ( l ; 7 ) t( 3 ;5 ) } A )S ó lo A B jS ó to B
C )S ó lo C
D JN inguno
EJTodos
Dados los con ju n tos : P = { ( 1 ;2 ), (2 ;3 ) , (3 ;4 ) ,( 4 ;5 ) } Q = { (5 ;1 ) J 3 ;9 ) , ( 5 ;6 ) } R = { ( 2 ; 3 ) , ( 5 ; l ) t< 9 ;4 )}
Entonces : A )P n o e s fu n c ió n C )R n o e s fu n c ió n E )P y R son fu n c io n e s
:
B )Q e s fu n ció n D )P y Q s o n fu n cio n es
Si se tiene :
• Sea x : N ° de m áquinas a usar a
t :
N °
A = { ( $ 5 ; 3 ) , { $ 4 ; l ) , ( 5 ;4 ) }
de horas de trabajo de las m áquinas
* Com o cada m áquina puede producir 3 0 tablas por h ora , e n to n ce s las « x » m á q u in a s en «2 » h o ra s deberán producir las 8000 tablas pedidas, es decir: Qfííí ( 3 0 t ) x = 8 0 0 0 -+ x = (I ) 32 * Por otra parte, para producir esas tablas, el costo será: C o sto =
'C o s to p u e s t a e n ) ^ m a rch a d e m aq.
Costo = 20x + 4 , 8 t
í
co sto d e s u p e r v is ió n
N
B = {(2 ;7 ),(5 ;$ 4 § ),(3 ;7 ))
C={(1;4) ,(3;5) ,{7° ;2)} E ntonces : A )B n o e s fu n c ió n C )A y C s o n fu n c io n e s E ) A y C n o son fu n cio n es
m A ) 10
B )A e s fu n c ió n D )A y B n o son fu n cio n es
E fectuar : f ( x ) = 3 x + 6 . S i : x = 2 B )12
C ) 13
D )14
E )16
Calcular : f(3) + f(0) . Si: fíx) =4x*
F tA T IO iV ^ l A )36
B/4Ú
C )3 0
D )42
E )50
El valor de « a + b » es : AJI B )2 0 3
Hallar « x » S i : f ( x ) = 3
el
E )5
Del gráfico :
Además f ( x ) = x - 1 A )6 BH C )3 H a lla r
D )4
E )6
D )2
v a lo r
funciones f í x ) = 3 x - 4 AJ8 B )€ 0 7
de y
Y *
p a ra
«x»
que
las
g ( x ) = x + 8 sean iguales. D )6 E )10
(2 ,x i+ 7 )
(7 ;3 b - l ) ( 1 0 : 5 c )
Calcular : f ( 5 ) . Si : f ( x ) = 3 x - 2 A) 10
©
B )14
013
Calcular « f , ^ »
A) 12
B )14
DJ12
E )16
, ~ s i : f ,,. (xi = 2 x s - 1 + x
020
D )6
10
E)1
( í ^ ) Evaluar : f ( x ) = 7 x I - x + 1 ; cuando : x = - 2 A )28
BhSl
030
D )31
E )-3 0
Hallar : « a + b + c » A)1 B )2 03
D )4
X
E )5
( Q ) De acuerdo al gráfico :
S i : f M = — x 2 - 7 , calcular 6 A )-¥ t 6
B )-lí o6
E)i
D ). i
o - 37 6
E v a lu a r: f f x ) = 7 x * + 3 - 5 x ; para AIS
B )-l
0 3
D )2
E )8
Si tenem os el siguiente gráfico :
C a lcu la r: f
A
A ) 10
^
B )5
02
D )3
E )13
Del gráfico
•• *2' •
-3
2
-I
ir
1
2
3 X
Entonces : AJDetermina una fundón B)No determina una función C)Pomee 6 paree o rdenadoe D)A y C Según el gráfico : Hallar :
_ f [ 6 ) + f(i) f(2)+f(3)
A )0 ,5
B )1,0
0 2 ,7 5
D)3>25
E )2,0
D eterm inar el valor de : f y jp ) + f y w ) f(8 )
Sabiendo que para la función tenemos :
.
vt
[A
€¿MZM*M*A
j.y.cé
I 0 2 * |/VÍA»
XCfCJMPÉDMA 2012]
Calcular el dom in io de la función f Y A ) {-2:3] B )(-2 ;3 ] O {-% 3]
D) {-2(3] E ) [ - 2 ;- 3 ]
AJ2
C)4
B )5
D)1
E)3 Hallar el dom inio de la función : h ( x )
Según el gráfico
A ) [ - 1 ;2 ]
B )(-l;2 ) C )í-1 ;2 )
D ) { - 1 ;2 ) E )(2;-2)
Dados los conjuntos : Hallar: f{t) + ^
+ f(3)
AJI
C)3
B)2
M = {(J Í 6 ;5 ),(7 ;4 ),(-4 ;5 )} E)5
D )4
^ í ) Calcular el dom inio de la fu n ción : f l x )
= |(V59;6)^2;|j.(0.4),(7;V36)J
iY
AU-&-7]
A )M n o es fu n ció n B ) N y P so n fu n cio n es O N e s fu n ció n D )P e s fu n c ió n E )M y P n o s o n fu n c io n e s
B)í -5^7J C ){-5;7)
Del gráfico
D) [-5(7) E)[-7;7] Calcular el rango de la fun ción g ( x ) si Y
A)[-6;6]
1 _
5
B )(-*5 )
C) {-5(5]
-5 u
y
a
/
«
A
h
5
D 7 /-S 5 )
E)[-7; 7]
g (x )
1—
-5
rl) Calcular el rango de la función
El conjunto de pares o r d e n a d o s ..... AjDetermina una función B)No determina una función C)Tiene tres elementos D)Es un absurdo E)Forman un triangulito Sabiendo que : F = {(2 a ;3 ),(3 ;7 ),(l;4 ),(8 ;1 0 )}
A) (0?4) B 7 (-4 7 )
es una función, ¿qu é va lor natural puede no tom ar «a »? AJI B)2y 5 0 3 D )4y8 E) 4
C){0;16)
Si el conjunto :
D)[0;16]
J = j(S; *), (5; 3), (41 ; 5 j , (8 ; 2x -
3)J
[F n /r m v i;^
g tM m t& o A ¡
9*9 H B
es una función, entonces el valor de « x » es A )2 B)1 C )5 D )4 E) -1
A ){(3 ;4 ),(2 ;5 )} D ){(3 ;3 ),(2 ;3 )}
B ){(3 ;2 ),(3 ;3 )} E )N A
O i(5 ;3 ),( 5 ;2 )}
Hallar « B x A » , si :
Según el gráfico :
A = { 3 ;2 ;1 } ; B = { 2 } A ){(3 ;2 )t (4;1), (6;1) } B ){(2 ;3 )9(2 ;2 )9(2 ;1 )} O { (2;2), (2;1 ) } D ) { (2;3), (3 ;2 )t ( l;2 ) }
EJN A
H allar « M x N » , si: M ={1] ; N = {2 ;3 ;4 ;5 } A ) { ( 2 ¡ l h ( 3 ;l h ( 4 ;l ) } B ) { ( l ;2 ) , ( l ; 3 ) ,( l ; 4 ) t( l ;5 ) } O { ( 4 ;l ) f(5 ;1 ),(6 ;1 ) } D ) { (1 ;2 ),(l;3 )t( l ;4 ) } EJN A
H allar «ATxAf», si: H a lla r:
f ( i ) + f(2 ) + f(3)
M = il)
f(4 ) A)1
B )2
03
D )4
E)6
;
N = {2 ;3 ;4 ;5 }
A ) { ( 2 ;l ) t(3;1), (4;1) } B ) { (2;1), (3;1), (■4;1h (5 ;1 ) } O { ( 4 ;l ) t( 5 ;l ) ,(2 ;1 ) } D ) { (3 ;1 ),(6 ;1 ),(7 ;1 ) ) EJN A
H allar los p ares o rd e n a d o s m o stra d o s de la siguiente función : (ÍJÍ) A = { x j x e N ; 3 í * í 5 )
A ){(3 ;2 ),(4 ;5 h (5 # )}
B = {7 } B )[(3 ;2 h (4 ;5 ))
H a lla r: A x B A ){(7 ;3 ),(7 ;4 )} D ){(3 ;7 ),(4 ;7 )}
B ){(3 ;7 )t(4 ;7 ),(5 ;7 )} EJN A
0 {(7 ;3 ),(7 ;5 )} ^ \
l0 W ;5 h (5 ;5 h (2 ;3 )} D ){(5 ;6 ),(4 ;5 ))
S i: A = {x/x e N; 4 < x < 7} B = {2 }
Hallar : B x A A )i(2 ;5 ),(2 ;7 )) D ){(2 ;5 ), (6; 7) }
H a lla r la s u m a d e lo s p a r e s o r d e n a d o s B ){(2 ;5 )9(2 ;6 )} * EJN A
0 { ( 2 ; 5 ) t(3 ;6 ))
m ostrados de la siguiente fun ción : A )24
►cj)Siendo : M = { x i x e N ; 5 < x ¿ 6 } N ={2}
B )25 026
hallar la sum a de pares de : M x N + N x M A)(2& ) B )(6 ;2 ) 0 (8 ;8 ) D )(7 ;8) E JN A .
0 )2 7 EJN A
Hallar « ( a ; b ) » t si: (a ; 3 ) + ( 5 ; b ) = ( 1 0 ; 1 1 ) A)(6;2)
B )(8 ;5 )
0 (5 ;8 )
D )(3 ;2 )
EJN A
15 ) Efectuar « m x n 3» , s i :
A) 144
B )72
(2 ;3 ) + ( 7 ; l ) = ( m ; n ) 036 D )108 E )54
8)Calcular « A x B » si : A ={3} A) { (3;4), (3;5 ) } D ){(3 ;5 ),(3 ;6 )}
B = {4 ;5 ;6 ]
B){(3;4)} 0{(3& )} E ){(3 ;4 ),(3 ;5 ),(3 t-6)}
Hallar « A x B » , si :
A = { 3 } ; B = {2 ;3 }
H allar la sum a de pares ordenados m ostrados de la fun ción siguiente:
Y
A )(7;6) B )(8;7)
O (1 0 ;ll) D )(12;9) E JN A .
-2
H allar los pares ord en a d os m ostrados de la siguiente función. D ar las prim eras com ponentes.
I.VM*I 9 2 6
|fvl£¿
N C IC lu O V E M A 2 0 1 9 ]
función: A J W f I}
A ){(1 ;7 ),(2 ;7 )}
B)
B ){< l;7 )t(2 ;7 ),(3 ;7 )) C ){(2 ;7 )J 3 ;7 )} D ){(1 ; 7), (2; 7), (4; 7) }
D ){4 ;2 ;1 ;3 } EJNJL
3
Siendo la fun ción
X
Hallar los pares ordenados m ostrados
f = { ( 2 ; 3 ) ,(3 ;7 ),(4 ;6 ) }
de la hallar
f<2) + ffSf B )10 O H
A )9
Siendo :f (2)
0 )1 2 =3
adem as la fu n ción : f (xt = x + a A )1
B )0
E )N A .
02
hallar « a »
D )3
E )4
Sea la función : f txt = 2 x + m A ) { m h ( 2 ; 2 ) 9(-4 ^ á )) B ){(2 ;2 )f(5;5 ) } C ){(-4 ,-4 ),(2 ;2 )} D ) { (-4 ;-4 )t(0;0), (2 ;2 )t (5 ;5 ) } E )N J l
adem ás : f(2) = 3 hallar el valor de « m » A )0 B )-l 0 2 D )1 E )-2
(^ fl) H allar los pares ord en a d os m ostrados de la
siguiente función. D ar la sum a de todos ellos.
(g f f ) H a lla r la su m a d e p a r e s o r d e n a d o s d e la siguiente función :
A)(0;26) A )(7;8)
B)(0&8) B)(9,-6) C )W 2 ) 0 (6 ;3 ) D)(7;13) D )(1 0 ;H ) E)NJL E) N A .
H allar los pares ord en a d os m ostra d os de la siguiente fun ción :
fu n cion es? 11
... .... ........................................................ ......
• ■
f = { ( 2 ; 3 ) t( 3 ; 4 ) , ( 3 ; 6 ) )
A) { (2;4), (6;11 )} B ){(-7 ^ -2 )t(2;4) }
4
C ){(-7 ;-2 ),(2 ;4 h (6 ;U )} D ){(6 ;6 ),(7 ;3 )}
¿ C u á l d e la s s ig u ie n t e s r e la c io n e s s o n
-7
' ■;
g = {(3 ;2 ),(7 ;2 ),(8 ;3 )} ' A jS ólo f B jS ó lo g O fyg
i i 2
/
i 6
D )N in g u n a
E ) F.D.
H allar los pares de la siguiente función :
2
¿Cuál de los Siguientes gráficos son funciones?
A ){(-2 ;4 )t(2;2)) B){(4;2),(2;2))
II) C ){(2;2).(0;0),(-2;4)) D){(4;2),<5;2))
B)NA m
A jS ólo I ©
B )S 6 lo I I
C )I y I I
D jN in g u n a
E )E D .
H allar lo s p ares o rd e n a d o s d e la sig u ien te
¿ C u á l d e la s s ig u ie n t e s r e la c io n e s s o n fu n cion es?
9 X 7 IfSEB
m ilic o *
im r m v E * ]
U I ) El rango es: [ - 2 ; 3 ]
( )
AJSóZog IV )E s continua en [ 3 ; 3 ] ...........( )
B )S ó lo h
V ) Es discontinua en [ 3 ; 7 > .......... ( )
C) N A
V I) U n m ínim o de la curva es - 2 ........... ( )
D) Las 2
V II) Un m áxim o de la curva es 4 ...........( )
E)ED.
g = {(2;3),<7;4),(3;2),(7;1)}
V I I I ) Es creciente de [ 3 ; 5 ) .......... (
Siendo : A = { 2 ,3 } B = { 5 } decir si es verdadero o falso. A x B es fu n ció n ........................................ ( ) B x A es fu n ció n .................. A)VF BjVF C )W DJFF
( ) E)NJ l
Calcular el núm ero de pares ordenados, donde A = { 2 ;3 ;4 }
B = {:2 ;3 }
El producto cartesiano es B x A
A)5
B)6
C)4
D)3
E)2
S í/)S ean las relaciones :
)
F U N C IO N E S Una función, en matemáticas, es el térm ino usado para Indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El térm ino fu n ció n fue usado p o r prim era vez en 1637 por el m a te m á tico fra n cé s René D escartes para d e s ig n a r una potencia x n de la variable x. En 1694 el m atem ático alemán G ottfried WHhelm Leibnlz u tilizó el térm ino para referirse a varios aspectos de una curva, com o su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sid o el definido en 1829 por el m atem ático alemán, J.P.G. Lejeune-Dlrichlet (1805-1859), quien escribió: «Una variable es un sím bolo que representa un núm ero dentro de un co n jun to de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal form a que al asignar un valo r a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna autom áticam ente un va lo r a Y, se dice que Y es una fu n ció n (univoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama v a ria b le s d e p e n d ie n te s . L o s v a lo re s p e rm itid o s de X constituyen ei dom inio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido».
A P L I C A C I O N E S B E L A S F U N C IO N E S REALES AJSóloh
B )S ó lo g
O hyg
D)N JL
¿ C u á l d e la s s ig u ie n t e s
E)F.D.
r e la c io n e s s o n
funciones? R t = { ( 2 ; 3 ) , ( 3 ;4 ) ,( 7 ; 8 ) } R t = { ( 3 ; 2 ) , ( 5 ;3 ) ,( 6 ; 7 ) } R s = { ( 7 ; 2 ) , ( 5 ;2 ) ,( 5 ; 3 ) }
A)R, y Rs B)Rt y Rg
O R t y Rs
D )L a s 3
E )N A .
G eneralm ente se hace u so de las fu ncion es reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los núm eros reales. Las funciones son de m ucho va lo r y u tilid ad para resolver problemas de la v id a d ia ria , p ro b le m a s de fin a n z a s , de e c o n o m ía , de estadística, de ingeniería, de m edicina, de quím ica y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. Cuando se va al m ercado o a cualquier centro com ercial, siem pre se relaciona un con jun to de determ inados objetos o productos alim enticios, con el co sto en pesos para asi saber cuánto podemos com prar; sí lo llevam os al plano, podemos e scrib ir esta correspondencia en una ecuación de función «x» com o el precio y la cantidad de producto com o «y».
F U N C IÓ N A F Í N S
Marcar con verdadero (V ) o falso ( F ) : I) La gráfica es una fu nción
O
I I ) El dom inio es : ( - 3 ; - í ] u [ i ; 7 ) .......... ( )
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la llnealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundaméntalas en cualquier análisis económico. Por ejem plo, si un consum idor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el articulo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un a rticu lo determ inado que tos consum idoras satén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P* mx ♦ b, donde P es el precio por unidad del articulo y m y b son constantes.
E l 9 2 8 IE H
X C iC JM P E B tA 2012}
Hallar las sum as de coordenadas de los puntos de la siguiente función: Y
a
4
( © S i F ( x ) es función : A) (12 ; 6) F = { ( 3 ; 7 ) ; ( 5 ; 3 ) ; ( 3 ; o 2 + 3 ) ; ( o ; 7 ) ; ( 2 ; 3 )}
Indicar:
a + 5
B) ( 1 5 ; 7) O (13 ; 6)
________
D ) ( 1 0 ; 8) D )1
c> ¡
E )3
E)
NA,
7 X
|
ÍD H allar las coordenadas de A f X N : Si H ( x ) es función
M = { 2 ; 3 } ;N = {5}
H = { { 3 ; 2 ) ; ( 5 ; 3 ) ( 3 ; m + 2 n ) ; ( 6 ; 2 ) ; ( 7 ; 3 /i-m )}
A ) { ( 2 ; 5 ),(3 ; 5 ) O {(2 ; 3 )}
B ) {(2 ; 6), (3 ; 5 )} D ) {(5 ; 2 ), ( 5 ; 3 )}
además: F ( 7 ) = 7 3 > indique : m n ( í ^ Indicar cuáles son fun cion es : A) 12
B)6
C) 15
D) - 1 2
E) - 1 5
Sea F una fun ción definida por: ( l ; 5 ) ; ( 9 ; 6 ) { 3 ; a 2) ; { 3 ; 2 a + 3 ) t ( - a ; 7 ) Hallar el valor de a. A)3
B)1
d4
C )-l y 3
E )-3 A) I y II
Dado el conjunto A = { 7 ; 2 ; 3 ; 4 } , se define la
B ) I y III
O S ó lo 1
D ) S ó lo I E ) S ólo III
(T T ) D e los siguientes gráficos :
función F con dom inio en A donde:
Y
F = { ( 1 ; 1 ) ; ( 2 ; 5 ) ( 3 ; 5 ) ; ( l ; p - k ) ( p ; A )}
L
Hallar: p + k A) 9
B) 8
X C) 10
D )7
E) 11
n
'5) Dada la función:
F = { ( 7 ; a - 6 ) #( 7 ; 4 ) f( 2 ; a + 6 ) , ( 3 ; 4 ) , ( 2 ; 6 ) } Hallar “ a b ” . AJI B )2
C )3
D )4
E) 5
Dada la función F = A - > B . Calcular la suma de los elem entos del dom inio. F
¿C uántas corrresponden a funciones? A) 6 B) 5 0 4 D) 3 E) 2
A) 5
@ ) Indique la fu n ción lineal que cum pla :
B) 4
F(l) = 3 ; F(2) = 2 F (3)
C )3
A) F (x )= -x + 2 D) F (x )= -x + 4
D) 2 E )8
O F (x )= x + 4
e£)Dada la fu n ción : F = { ( a ; b ) i( 3 ; c ) , ( l ; 3 ) , ( 2 b ; 4 ) } Indicar la sum a de los elem entos del rango de
la función “ F " tal que:
= 2 x -l
B) 8
0 1 6
A d e m á s : F(x) - X - 2 a , in d iq u e el p r o d u c to de elem entos de : D F n R F
D onde: x e { l ; 2 ; 3 ; 4 ) A) 4
B )F (x )= -x + 9 E) F ( x ) = - x + 8
A) 3 D ) 12
E) 20
B) 2
0 -3
Hallar el dominio de :
D) - 1
E) 1
H fT u x o ^
929
p 'íjí
Fl x ) = ¡ x Zr2 + í $ 3 - x + !m
Sea: / / ,
(x)
A ) ( - c o ; 2 ] k j [ 3 ; + 0° )
B )0
D )(2;8]
E )[2;3]
C ){2;5]
A ) [ 2 ; 2 0 0 2 ] B ) [ 2 ;+<*>) C ) { 5 ¡ + co) D )R * E ) [ l ;+<*>)
A)
D J (-a o ;-2 ]u (5 ;+ o o )
Fi x ) = x 2 + 5 G (x )
E )[-2;5)
=
¿E n cuántos puntos se intersectan? A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
x - 2 ; x e {-5;8)
Sea la fun ción : F[x) = f x - 2 0 + 1¡x- 4 0
x + 1 ; x e { 8 ; + a>)
H allar su dom in io .
Hallar : ^ 7>+IJw) B) 15
E ){2 ;5 )
Sean:
C ) [ - 2 ; +co)
(í^ )S e a :
A) 17
C ) (-00 ; í j u ( 5 ; + oo)
[í'*>
Indique el rango en : F(x) = x 2 - 4 x + 9 ; V x e R B ) [ 2 ;+ c o )
x -5
H allar su dom inio.
« O b t e n e r el dom inio en : F{x)= J x - 2 + 2002
A)[7;+oo) Dj[5;+oo)
-
C) 16
D ) 14 E) 13 5 x -l Hallar el rango en : g (X) = 0 . 0 OX
A )R - {5 }
T
A )[20;40]
B )[40;+co)
D )(-c o ; 20]
E ){-co;40]
C ) [ 2 0 ; + *>)
te
C )R
D )R
Dada la función : H = { ( 5 ; 2 ) , ( 6 ; 3 ) , ( 7 ; n ) } ©
Hallar el dom inio de la función : F(x) =
x a -1 0 x*-9
A )R - {3 } D ) R [ - 3 ; 31
C )[ - 3 ; 31
B )R { - 3 ; 3 } E )R {- 3 }
tal que : H {6) + H (7) + H (ff) = 1 5 Halle “ n + l " A )10 Bjll
C) 12
D )1 3
E) 14
%P‘
Sea la función : H = { ( a ; a t ) , ( a ; a a*i ),(2 6 ?6 a)} Dada la función : F : A - + B , calcular la suma ♦ %
»
j
de los elem entos del d om in io : • “ ' F V AJ5
A
Indicar “ a + b " A) 1 B) 4
C )6
D) 8
E) 10
Indicar el dom in io de la fun ción :
N b
B) 6
P<») =
C) 7
A ){2;6]
+
B )[2;6]
+ $ x —2
C ){0;6)
D )[0;6]
E )[0;2]
D) 8
O btener el rango en : p <*> =
E) 9
X2 +1
D el p r o b le m a a n t e r io r ; la s u m a d e lo s elementos del rango es : A) 3 Bj 5 O O
D) 1
A ){-l;l]
B )[0;2]
C ){0;2]
D )[0 ;l)
E )(-c o ;0 ]
i\Xx ) = 2002x
E) -1 A )R
B )R -{2002]
C )R +
D )0
E )R
2 2 ) Dadas las funciones : F(X) = 3 x + 5 G(x ) = 4 x 2 - 3 x + l - 2 x ( 2 x - 5 )
Luego es posible afirm ar:
A )R f n R g = 0
B ) R f v R g= R
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponden
C) Rf n R g=R
D )R f = R g = R* E )H a y d o s c o r r e c t a s .
a la función: f ( x) = 4 x + 3 ?
w>
ra í»s o BJ
3 t Y (7 (X O P F /)fy | 20Í2\
titéia
v
1 /7
/ D)
BJ
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x
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*
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X
*
J U .
Xt-
X
Y
/
CJ
z .
y
^ 7
X
Graficar : G fxf = 3 A)
Yi
B)
S E G raficar : I\x) = I* - 2|
Y
Yi A
X
a
Yi
B)
;
\ Y
C)
/
\
/ X
\ x
C)
1
X
= -| * -3 | + 2
G raficar
/
/\
X
/
. a;
X
y
• s#
•
/ D)
^
r
\
X
Y
/
o
^ 7
X B)
/
Yi
o ;
G raficar : f ( x ) = x a;
X
X
1
D)
, 7
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X
Y
\
* C)
\ x
Y
-
X G raficar :
A)
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D)
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X
X
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A
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3
X
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G raficar : g (x) = \x\ + 5
•
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*• í ..f
i ^ J r
Y k
i .
f ( x -¡ = V * - 3
« .
. .
im h
Bpp
¿C u á l de las g rá fica s dadas p e rte n e ce a la
20 Graficar : /Jx) = V x + 4 a
;
^
y tA v cfO iv tga g]
función : f ( x y = I* + 2|- * ?
B7
c
A)
«
B)
Y
X C)
D) C)
y
D)
z
7 ©
Graficar: g ( x y = - / * + 2
A)
La gráfica correspondiente a la fu n ción ; f(x ) ~ é \ x \ - 4 x + 4 ; x e [ - l ; 1 0 )
B) A)
B)
K Y
Y
X o
D)
Y
Y t
(
©
X
X
D)
*
G raficar :
X
= - > /x + 2
¿C u á l es la g r á fic a c o r r e s p o n d ie n t e a la
A)
L
siguiente función cuadrática : A)
X
Y\
B)
f ls) = x * - 1 6 ? Y
C)
C)
X
Graficar : f^ y = 3 \ [x
A)
C)
Y*
w
Y k (í^ | G raficar : f ( x y = y fx
Yk
D)
Y k C)
X
X
D)
X
Yk
E l 982 I
o f x f l p m i a o ig ]
(í^ )G r a fic a r : f (xy = x 2 - 4 x + 2 ; x e ( - 1 ; 4 ) A)
B)
@ ) G r a f i c a r : F^x ) = 2 x - 1 A)
D)
C)
Y
y
Yk
B)
/ X
/
X
/
L
x C)
Y
Y
D)
\ G raficar :
f x y = -Jx2 - 9
Y
^ X Yk
A)
\
B)
Graficar : *u > = x ( x - 2 m ) + m a ; m < 0 X
Yk
C)
A)
Y k
B)
VJ —
D)
X
D)
Y
x 4 - 8 x 2 +1B h^y = j ; x2-5 * 0 x * -5 B)
A)
X
X
X
Graficar :
Y
n
Y
G raficar : F(xy - J x - 3 - 2 A)
» Y
B)
X
Q
2 -~ 12 X
D)
C)
C)
1
W
X
- * -2 G raficar : F^x y = ||x|- 3
x3 + x2+ x + l
G r a fic a r: f ( x y — A)
D)
x + l\
B)
Y
A)
V Y
y
B)
7
C)
*
m
C)
V X
J
4
©
X
BBHl »aa H3PH Graficar : F^x y = - 3 x A)
Yi
- 6x + 2
¿Para qué valor de « a b » la relación: R = {(2 ; 5 ) , ( - l ; -3 ),(2 ; 2 a - b ) , ( - l ; b -a ),(a + b ’ ; a )) es una función?
B)
A) - 2
B) 5
C )3
Dhl
E )S
Sea F ( x ) = m x . Si: F ( 4 ) + F ( 1 2 ) = 6 4 D)
10
calcule:
Y I
A) 10
^ F d ) i=X O 120 D) 2 2 0
B) 100
E) 250
Sea F ( x ) = a x 2 + b x + c , tal que: s
F (x ¡) = F(x 2) — 0; x ¡ ; x 2 e R ; a * 0
Hallar (x ¿ + x 2) 3 b2 A ) —y Z?)c C )a b a @ ) Si:
DJ-c
Sea una función: G ( x ) =
G (x - 2 ) = s lx + 2
J \ x + l\ -x
calcule el m ínim o valor entero del dom inio de G ( x ) . A )-6 BJ-7 0 -5 DJS EJ-4 2)S i: F ( x + 1 ) =
D )R -{1)
-ff} E)R
C)R
E ){0}
Halle su dom inio.
- fl}
,- A > De la fu n ció n : F ( x ) = ( x - n ) t +’ Úb6 h re so lv e r
para « n » ; F ( 2 ) > 0 A )R -{0}
"H-l> *(-'-!] C)(~H (Í Í ^ S e a < 2 ; 3 ] el rango de: fi x -1 G (x ) = x + 2
halle el dom inio de F ( x ) .
-{§}
Halle D o m { G ) r \ R a n {G )
D ){ }
3x +l
A )R
< i':.
B ){ }
C)R
A )\ ^ :io ] D)
E)R‘
Hallar el dom inio de la siguiente función:
B)
H
E) <1; 3]
H = [ ( J ( x - l f ;\1- x \)I x £ r ]
calcule:
H (20) 19
AJI
-5 S
O <
- 5 > u < 4 + co> B ) < - c o ; - 3 > \ J < 4 ; + <>o> - 5 > u < 2 + oo> D ) < - c o ; + oo> E ) < S ; 4 >
C )(-w
1]
( O ) De la siguiente función:
Y*
A)<
EJabc
H (0)
2 B )3
OO
D)3
E}4
««x y H alle el rango de: H ( x ) = —=----x - 1 A )R B ) R - { 0 }
C )R -U }
D )R -{±1)
E )R -{-l)
Sea la función J ( x ) = \ x + m\ * Si: (0 ; 2 ) e J ( x ) £ )D a d a la fu n c ió n F m e d ia n te la s ig u ie n t e definición: F = { ( x fy ) i x e < - 1 ; 4 > ; y = 4 x - l }
calcular el m ayor elem ento entero del rango. A) 10 B) 17 0 19 DJ14 E )23
calcule un valor de « m » . AJ4 BJ-4 0 -2
D) 3
EJS
S ea G ( x ) = \ x - 2 \ - Si x e [ - 3 ; 4 ] , h a lla r el rango. A ) [0 ; 5 ] BJ [ S ; 0 ] O [0 ; 7] DJ [2 ; 5 ] E ) [ - 5 ; 2 ]
íy»
994
JÍM C M SM JSX
Calcular: 4& + G f 2 0 0 9 )
( ^ I d e n t i f i q u e q u é g r á fic a n o es fu n c ió n A) y *
B)Yk
C)
m c m p g B H 2012)
«B
ir
A)3
B )5
02
E )6
D )4
D a d a la fu n c ió n c o n s ta n te : F f x ) = 2 n - 3
AY
cuya gráfica es :
*■ X
(O ; 4 5 )
D)
( £ ji) D e la fu n c ió n : { ( 3 ; - 1 ) , ( 5 ; 7 ), (3 ; 4 n ) , (5 ; k 3) }
calcular: S = Í + 2 + 3 + 4 + . . . + n AJ280 B )3 2 0 0360 DJ400
calcule la sum a de los elem entos del rango. A )6 B )12 C )8 D )16 E )14
EJ300
A p a r tir ( 2 a - 7 b ; 5 ) = ( 2 0 ; a - b )
indicar la gráfica de: F ( x ) = a x + b ai Ar bi u
( Q } S e a la función: Gfx) = -x 2 + 8 x - 7
C)
AY
Calcule el núm ero de valores enteros del rango, si D o m (G ) = 1 1 ; 7 ] A) 35 B) 30 C)40 DJ50 E )45
*• x \
( Í S )S i: H ( x ) = x 2 - 3 ; - 2 5 x < 4 determ ine el rango. A )[-3 ; 13[ D ) J-3; 13J
B ) { - 3 ; 131 E ) [-1 3 ; 3 ]
O J-3; 1 3 [
D)
AY \
\
H a lla r el r a n g o d e : G ( x ) = ~ 3 x + 7 s i x e <0; 2 > A )< -1 & > B )< 1 ;7 > C )< -7 t' - l > D )< 0 ;1 > E ) < - 1 ;2 >
T (x) = J 2 5 -X 2
D e te rm in e |m| + |n|, si D o m ( T ) = [ m ; n ] B h lO
O 10
,
AY
/
DJ25
,
(^ > )L a gráfica de la fun ción F f x ) = x 2+ 4 en el plano cartesiano no pasa p or el: AJIVC B) U I a JVC DJIAIUC E J I a I VC
( ^ ) S e a la fu n c ió n :
AJO
E)
O llA lU C
Calcular el área de la región som breada.
EJ15
( & í) Indicar la tabla de verdad en: (
) F f x ) = 8 es una fu n ción constante.
(
) G ( x ) = 3 x - 1 es una fu n ción lineal.
f
) H f x ) = - x e s la función identidad.
AJW V
BJVFV
OFFV
D )W F
E )FV F
(ft^ S e a G una fun ción constante tal que: G (2 0 0 8 ) + 2 G f-6 )
Gf>¡2)-4
=5
A ) 10u*
B ) 20u*
O 40u *
D ) 15u g E) 2 5 u l
Calcular el área q u e generan en el I C la parte superior de la fu n ción con sta n te F f x ) = 1 6 con la parte superior de la gráfica de la fu n ción identidad. A ) 8 0 u * B) 96 u s C) 176 u 1 D ) 160 u* E ) 128 u*
1H W (5 ^ )S i ( a ;0 )
a
/6 ;0 ) e s la in te rs e cció n d e la g rá fica
de la fu n c ió n F ( x ) = \x + 3| - 5 , c a lcu la r : a 2+ 6 2. A) 72
B )56
C )68
D )80
E )44
Dar aproxim adam ente la gráfica de: F = {(x;y)iy = 2 + 4 ^ 1 Í} B)
a
C)
4
A) V W
f^rw garO iVfg^] B) VFV
£ j)¿ C u á l(e s )
O FVF
de
la s
D) W F
E) F F V
s ig u ie n t e s
fu n c io n e s
c u a d r á t ic a s c o r t a (n > al e je X e n d o s p u n to s diferentes? F (x ) = x * + 2 x + 5 G (x ) = x * - 6 x + 9 H (x ) = x * - 3 x - 10 A jS ó lo F
B J S óloG
O S ó lo H
D )F a G E)Ga H
Al graficar la fu n ción : F ( x ) = - 2 x 2+ 6 x - 3
D)
A
el vértice de la parábola tiene coordenadas ( a ; b ) . Calcular el valor de: a - 6 A) 3 B) - 3 OO D) 1 E) - 2
B)
Dada la función: F ( x ) = 3 ( x - 7 ) 2 + 5 hallar las coordenadas del vértice de la parábola. A ) ( 2 ; - 9 ) B ) (5; 7) O (7 ; 5 ) D ) ( 7 ; - 6 ) E ) (-7 ; 5) (T ^ ) Indicar un punto en donde se cortan las gráficas Indicar la gráfica aproxim ada de: F ( x ) = \x + 3\ + 2
a
B)
de las funciones: F (x ) = x 2 - x - 8
C)
G (x ) = x + 7 A ) (1 ; - 6 ) B ) (3; - 4 ) O f-Sí 12) D ) (6; -1 2 ) E ) ( -3 ; 4)
( g ) D a d a la función cuadrática: F (x ) = x 2 + a x + b
además F ( 0 ) = 9
a
F ( l ) = 1 6 , indicar su gráfica
(Q ) S e a F una función lineal, adem ás: F (2 ) = 1
a
F (-l) = -8
Calcular el valor de: F (0 )J F (1 ) A )8 B )12 06 D )10
E )14
Dar la tabla de verdad con respecto a la función: F (x ) = a x 2 + b x + c ; a * 0
( ) El v é r t ic e d e la p a r á b o la t ie n e c o m o coordenadas:
(
> Si a > 0
( ) Si c = 0 coordenadas.
b
4a c - 62
2a
4a
F tiene m ínim o. la g rá fic a p asa p o r el o r ig e n de
Indicar la gráfica aproxim ada de: F (x ) = 2 x - x * B) a C)
[ A M * M ÍM Z M ÍM M A
E
X C lC iM P E D lA 2012}
1
Dadas las funciones :
Calcular el área del triángulo form ado por los ejes coordenados y la gráfica de la función:
Pm = { { - 1 ; ° U ° ; 1 ) , ( 1 ; 2 ) , { 2 ; 5 ) }
F (x)= (4 2 -l)x+ (4 2 -2 ) B ) ( 2 - 4 2 ) u 2 C) ( 4 2 - 1) u 2
A ) (> ¡2 )u 2 D ) (2 + 4 2 ) u 2
G {x)= { ( 0 ; 3 ) , ( 1 ; 0 ) , ( 2 ; 1 ) , ( 3 ; 6 ) , ( 4 ; S )}
E ) (1 + 4 2 ) u 2
H allar la sum a de valores extrem os de la función FxG . A) 3 B) 0 0 -1 D )5 E)8 ( 0 ^ ) Dadas las funciones:
F.
F = {(1 ;3 ),(2 ;6 ),(4 ;8 ),(6 ;2 )} G = {(0 ;l),(l;2 ),(2 ;-l),(4 ;5 ),(7 ;0 )}
Indicar la sum a de elem entos del rango de la función F+G • A) 10 B) 5 0 13 D) 23 E) 18 Sean las funciones : F = {(-3 ; 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 2 ; 4 ) , ( 3 ; - í),(4 ;3 )} A ) F (x ) = x * - 6 x + 9 C) F (x ) = 2 x * + 1 2 x + 18 E) F (x ) = x* - 6 x + 18
B ) F (x ) = x* + 6 x + 9 D ) F (x ) = 2 x g- 1 2 x + 18
G = {(2 ; 0 ) , ( 3 ; 4 ) ,( 4 ; 7 ) , ( 6 ; 2)} H allar el m ayor elem ento del ran go de p 2 + S Q . A) 13 B) 16 O 30 D ) 36 E) 48 Dadas las funciones : F(x) = 2 4 x ; x e [ 0 ; + o o )
©
G ix)= { ( - 3 ; 6 ) , ( - 2 ; l ) , ( 0 ; 2 ) , ( l ; 2 ) , ( 2 ; 3 M 4 , - 2 ) }
Sean las fun ciones :
Hallar la sum a de valores extrem os de : p 2 + G 3 •
F (x ) = > J x - 1 X y j x - 2
A) 8
B) 2 0
0 47
D) 43
E) 50
G(x) = > ](x ~ l ) ( x - 2 ) Indicar lo correcto . A )F = G B )F = 2 G C )F = G
(p § ) Sean las funciones : D )F = 3 G E ) F * G
SM = { ( - 2 ; 1 ) , ( 0 ; 1 ) . ( 1 ; 4 ) , ( 2 ; 5 ) }
Sean las funciones : F = {(-3 ;2 ),(0 ;0 ),(2 ;4 ),(3 ;-l),(4 ;3 )} G = {(2 ;0 ),(3 ;4 ),(4 ;7 ),(6 ;2 )}
B) 9
C)17
D ) 18
Calcular: ( 3 f 2 + 2 g f 2) A) 25
Hallar la sum a de elem entos del dom in io de F x G . A) -4
f ix) = x í - 3 x - 7
B) 29
0 31
' D ) 17
E ) -6
Sean las fun cion es :
E) 21 f(x ) — 2 x ~3 ; x e { 3 ; 6 )
Dadas las funciones : 8 w = x + 2 ! * e { 2 ;5)
f= { ( - 3 ; 2 ) X 0 ; 0 ) , { 2 ; 4 ) , ( 3 , - l ) , {4 ; 4)}
Hallar: ( f + g ) (x)
g={{2;0),(3;4),{4;7),{6;2))
A)(f + g )(x) = 3 x - l ; x e ( 3; 6 )
f
Hallar el rango de : A)
B-f}
g
’M E)
B)(f + g \ x) = 3 x - l ; x e (2;5)
{l-f}
C)
{B-f}
C ) ( f + g ) M = 3 x - 1 ; x e (3 ; S )
D){f + g\ x) = 3x + l ; x e ( 3 ; 6 ) E)(f + g) (x) = 3x + l ; x e {,3 ; 5 )
H trtM S O *
m
KM? X € T 1 * Ñ E S )
yM7
(£ j¡) Sean: F( x ) - ^ X' 3 G (x)= { ( 0 : l ) , ( l ; 4 ) , ( 2 ; 3 ) , ( 4 ¡ 5 ) ; ( 6 : -2 )}
H allar : g o f indicando el p rod u cto de elem entos del rango. A) 4 B/6 0 12 D ) 15 E) 24 Sean:
In d icar el p r o d u c to de e lm e n to s d el ra n g o d e : F 2 (x) + 3G (x) A) 16
©
B) 32
f lx) = 4 1 ^ C )-3 2
D ) -4 8
E) 54 S(x)
Sean las funciones :
Hallar : g o f señalando su dom inio.
Flx) = V é T Í ; G (jt) = 4 Z H
A ){-3;1)
B )[-3;l)
0 {-3 ;l]
E ){-c o ;í\
Hallar el dom inio de la función : **Fx G ” Sean :
A ) (2 ; 8 ) B )[l¡1 3 ] C )[lfiJ D ) [ l ;4 ] E ) ( l ; 1 3 )
f = { ( 0 ; 1 ) , ( 1 ; 2 ) , ( 3 ; 7)}
Dadas las funciones : g = {(2 ;0 ),(3 il),(l;l)} f = { ( - l ; 3 ) , ( 0 : 2 ) , ( 1 , - 1 ) , ( 2 : 4)}
H a lla r: R a n ( f o g ) n R a n ( g o f ) g = {(.l;-l),(0 ;0 ),(l:l)} f
2
Hallar z tal que: i U A) - 2
B) 4
. JM
, con
D) 1
E)2
D o m f = R y la fu n ción .:
OO
D) -2
E )r l
“
Si: F o G = { ( 3 ; 5 ) , ( l ; 3 ) , ( 0 ; 7 ) | y además:
J
h
y
Sean
Hallar la sum a de valores extrem os de F o G . AJO BJ 1 0 2 D) 3 E J6
( f + 2g\
a
G = {(3 :2 ),(1 ;4 ),(0 ;6 ),(9 ;7 ),(ll:-3 )} Determ inar:
F~+F *\4) F(S)
A) 4
O 10
/i,, = & + x - x
DJ 11
EJ N o e x is te .
= x 2 + 2 x + 2 ; hallar G f x ) tal que:
x
( F o G ) ( x) = x 2 - 4 x + 5
Para qué intervalo existe ( f 2 - 0 2 )(x)? V I - 2 ; 4J
B) [ - 3 ; 4]
))l-2 ;3 ]
E)R
A) x - 3
C J -(-o o ; - 2 ]
B )l-x
O S -x
D)AoB
EjAoC
Sean: fM = 3 x . 2 ; x e ( l ; 7)
Sean las funciones:
g M = 2x + 3 ; x e (0:3)
f = {(2 ;0 ),(3 ;I ),(4 ;6 ),(6 ;3 )}
H a lla r : f o g
g = {(l;2 ),(0 ;3 ),(2 ;5 ),(3 ;4 )}
AJfog = 6 x + 7 ; x e { - l ; 2 )
BJfog
6 x -l ; xe{0 ;3)
O fo g = 6x + 7 ; x e (O ;2)
D )fo g
6x + l ; x e { - l ; 2 )
H a lla r: f o g
E )fbg = 6x + 3 ; x e ( 0 ; 2 )
A ) { { 1 ; 0 ) , { 2 ; 1 ) , { 3 ; 6 )} B ) { ( 1 ; 0 ) , ( 0 ; 1 ) , ( 2 ;6 )} C ) { ( 0 ;í ) ,( 1 ;0 ) ,( 3 ; 6 )}
D ){(0 ; l ) . ( l ; 2),(2.3)}
J E ) { ( 1 ;0 ) ,( 2 ;1 ) .( 3 ;4 ) } ©
BJ 7
Si:
W G (x) = 4 4 -
{0 ; 2}
G = { ( 0 ; 3 ) , ( 2 ; 3 ) , ( 5 ; 2 ) , ( 4 : 2 ) , ( 3 : 6 ) , ( - 1 ,0 )}
ja suma de los elem entos del dom inio de I B) 2
E)
F = { ( - 2 ; 0 ) , ( 0 ; 2 ) . ( 2 ; 6 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 ; 2 ) , ( 6 ; 0 )}
V* {(1 ;I),(2 ;4 ),(0 ;0 ),(-J ;1 )} : i)l
O {J } D ) { 1 ; 2 )
B) { 0 ; ! }
Sean:
= -9
O 0
Sea: f^x y = x
A) {O)
S i: f = { ( 0 ; 2 ) , ( - l ; 6 ) , ( 4 ; 0 ) , (5 ;í)} g = { ( 2 , l ) , ( 6 ; 2 ) , ( l ,-3 ),(3 ;7 )}
Dadas las funciones : f= {(l;2 ),(2 ;.3 ),(-3 :í)} g = { ( 2 ; b ), (1; 2 ), ( - 3 ; i)}
Si: g o f = f + g , calcule : a+6 A) 6
B) 5
0 -3
D )-4
E) -1
[ 9 9 8 1 'i.!n
[v * F ,F ^ F ^ F F F F v*
Sean las funciones :
XMCJLOPÉDiÁ 2012]
A) 6
g = {(3 ; 6 ), (5 ; 9 ) , ( 8 ; 4 ) , ( 1 0 ; 5 ) , (7 ; 6 )} h = { ( 3 ; 9 ) , ( 6 ; 12) ,(7 ; 9 ) , ( 8 ; 7)}
B) 5
0 4
E) 2
D) 3
Sea f u ñ a función definida en Q cuya regla de correspondencia es :
fíx ) = x s - 1
Halle la fun ción f tal que h = f o g
Hallar: f (a)t si: f M ) = f (a,
Indicar la sum a de elem entos del dom inio . A) 13 B) 15 C) 17 D ) 19 E) 23
A ) -3/4
B)-l
01/2
D ) 3/4
E ) 1/4
m Se sabe q u e : f = { ( a ; b ) f ( 3 ; c ) , ( 1 ; 3 ), ( 2 b ; 4 ) }
£ )D a d a s las funciones : f í x y = 4 x ; g ^ = 2 x + 3 y que f ; f í x ) = x - 2 a , entonces , el producto de los elem entos d e :
Halle: D o m ( f o g ) n R a n ( f o g ) A ){0;1)
BHO;
D)[0;+co)
E)
D o m (f)n R a n (f) ; es:
f
A )-3
1+
1 ),
( 3 ;
5 ),
(
B ) { - 1; 2 ; 3 }
A ) {3 }
4 ;2
),
(-2;
6 )}
indicando la sum a de elem entos del C) 6
E) 3
f= { ( l ; b ) , ( l ; b * - 2 ) , ( b ;2 ) , (- 1 ; 3 ) }
D) 7
E) 8
Sean:
C ) {-1 ; 3 }
E ) {1 ; -2 ; 2 ; 3 } fe Sea la función F : A - + B
D ) {2 ; 3 }
g = [ ( - l ; 0 ) , (0 ; 3 ) , ( l ; 4 ) , ( 3 ; - I ) }
Hallar f o g rango. A) 4 B) 6
D) 1
0 -1
Hallar el rango de la fu n ción :
+ao)
Sean las funciones : f = { ( 0 ;
B) -2
Siendo : F = { ( l ; 2 ) f ( 3 ;4 ) , ( 6 ;7 ) , ( 8 ;9 ) , ( 1 0 ;6 ) } Hallar : L = F ( l ) + F ( 3 ) + F ( 6 ) - F ( 8 ) - F ( 1 0 ) A )-lo B ) -1 6 0 -2 D ) -1 3 E )-1 8 ( 6 ^ ) Sea la función lineal F ( x ) = m x + b
f(x)= X + 1
S i: F ( l ) = - 15
F (5 ) = - 3
Resolver la ecuación :
H a lla r: f o g A) x + 1
a
C )x
B) x - 1
D) x + 2
E )x*-1
F (x ) + 6 = 0
Indicar su solución : A) 1 B) 2 0 3
E) 6
D) 4
Si el conjunto F : F = { ( l ; 7 a + 3 b ) , ( - 2 ; 3 a + 2 b ) t ( 2 ; l ) t (1 ; - 8 ) , ( - 2 ; - 2 ) ,
( ^ ) S e a f u ñ a función
f
, tal que :
fíx ) = 4 x - 1
¿Cuántas de las afirm aciones son verdaderas?
©
1 ) f(frs))= f(isj~ 3 3 ) f(2a+3b)~2ffa) + f ( bi
C )3
D) 4
E) 5
Sea fu ñ a fun ción definida en R por la ecuación f(*+t,=x + 7 > calcular f í3l2). A) 112
B ) 1112
H allar el rango de la fu n ción :
A) {3 } D) {2; 3 )
4) f t m r 2 ? B) 2
E) 2
F = { ( 1 ; b ) , (1 ; b * -2 ), (b ; 2 ) f f-J ; 3 ) }
2 ) f ( S l ~ f (21 + 1 2
A) 1
(a + b ; 4 ) f ( - 3 ; 2 b ) , ( 6 ; 4 ) } a es una función. H alle — o A) 5 B, 4 0 3 D )-l
O 13/2
D ) 15(2
E ) 17/2
¿pS ea : A = [ l ; 2 ; 3 ; 4 ] y una fu n ción definida en A p o r : f = { ( l ; 3 h (2 ;a ), ( a + l ; 2 ) , ( l ; b - l ) }
H allar: f,i r f w + fM,
B) {-1 ; 2; 3} E) { 1; - 2 ; 2 ; 3 }
O
{-D3}
( O ) Sea la función « F » tal que : F = [ ( 2 ; 5 ) , ( 3 ; a 2) , ( 3 ; 4 ) , ( a ; 5 ) }
Hallar « a » A )-2 B) 4
0
6
D) 3
E)-6
5?)Sean las fun cion es : F = { ( - 3 ;2 ) , ( - 4 ; 1 ) , ( 0 ; - 2 ) , (1
2 )}
G = { ( 0 ; 3), ( - 4 ; 3), ( 7 ; 1)9 ( 8 3 ) }
989
G
* '§ 7 X 4 :§ 4 § X * ;X ]
B)
\l/
Hallar : £ = ^ H ) + G(7) (% >)
B) -1
A) 1
C)0
0)2
E )-2
Hallar el dom in io de : F ^ =
x2-5x + 6 x -2
/\
A)R B ) R - { 2 } C ) R - { 2 } D ) R - { 3 ) E ) - R { 1 }
Hallar el dom in io de la siguiente función : E)
Yk
V = -Jx2 - 4
A) x '¿.2a x '¿.2
C )x S -2
B) x z 2
E ) {-o o ; - 2 ] u / 2 ; +w)
D)X
S e a f u n a f u n c ió n c u y a g r á fic a se d a a
4 x-2 ( g ) Hallar el dom inio de la fun ción : F m = x + 4
A)x e R
B )x e R - { 2 )
D )xeR -{4 )
E ) x e R - { l }
con tin u ación :
C)x e R - { - 4}
........ --J r ^ f r * )
(Í7^) Hallar el rango de la fu nción : 7 ^
A) y e R - { - 4 }
lY
V
B )y e R -{4 } C )yeR -{2 ]
6 c ■ 0 \ a a 2
V
D) y e R - { - 2} E ) y e *
©
Hallar el rango de la función : F ^ =
A )yeR
C)y 6 R
-{-1} -ID
B )yeR
D)y e
5x - 1 2 x-3
w
E ntonces se cum ple que: A) b= 2c B) b=4c C) b = 3 c
-11}
D) b=5c
E) b = 1 6 c
S ea f u n a f u n c ió n c u y a g r á f ic a s e d a a
H ir
Halle el rango de la fu n ción :
J I^ 2
2 F*> = A )4
B)-2
V x2 - i + i
C) { 2 }
D) 2
E)3
( l U ) Halle el rango de la fun ción : y N—- '
A){-2 ;2 ) B)l-4;4!3]
C)[4;5J D){4)
4x ¿ ---------- * x + x +1
E)(7 }
Halle el rango de la fun ción :
A){o;^j
©
F^x) =|x- í|+5;0 < x 54 B)(0;íj C)(0;SÍ) D) {0; 3)
Graficar: y = |x + 2|
A ) 13
D) 7
E) 9
G rafíque la siguiente fun ción ; f ( x ) = x * + 2 x A)
E) [0;3J
C) 2
B) 1
Ya
_ 2 W ]-2
X
-1 ^ 2
X
[ 940 1 G rafique f ( x ) = X a + 1
Siendo F ( x ) = a x 2 + 6 , halle : A) 6
B ) 3>Í2
ac
C) -4 3
D )3 S
E) 1
Si la gráfica de F dada p or : F (x )s x 2 -fn + l)x + 2 n D)
-2
e s tangente al eje de
las abscisas, hallar el valor de n . A) 2 B )3 0 4 D )-6
E )-6
K Para qué valores de « n » la gráfica de la función
-2
cuadrática F dada p or : F ( x ) s x 2 - 2 x + n + l in t e r c e p t a
al
e je
de
la s
abscisas en dos puntos diferentes . A) n<0
B) n>0
O n>l
D) n
E )neR
Para que valores de « n » la fun ción cuadrática F dada p o r : F ( x ) s x 2+ 6 x - n ; n o tiene interceptos con el eje de las abscisas .
( 0 ? ) Hallar la función constante F tal que :
A) n > 9
11F(3) + 2 F (6 ) _
B) n < -9
O n>2
F ) l< /i< 3
D) n < 0
Hallar el valor de « m » para que el gráfico de
3 F (1) + 5
e indique el valor de : F ( l ) + F ( 2 ) + F ( 3 ) A )0 B ) 18 C )-l D ) -1 2
E ) 12
la fu n ción F , definida p or : F ( x ) = x 2 - m x + m + 5 adopte la form a : Y
G rafícar : F ( x ) = J x - 5 + 2
C)
Indique : m* + m A ) 100
B ) 110
0
26
D ) 34
B ) 180
(0?^) Indicar que polinom ios tienen sus gráficas que
E)
interceptan al eje de las abscisas P f x ) = x* + x + 2 R (x ) = 2x* + 7 x - 1
Hallar el área que lim ita los ejes coordenados
A )S ó lo Q fx ) D )P (x ) y Q fx )
y la recta : y = - — x + 4 A) Su*
B ) 2u*
O 6u*
D ) 12u*
Dada la fu n ción F , cuya gráfica es Y
E )1 8u *
Q fx ) = x 2 - 3 x + 2
©
B ) T odos E ) Q fx ) y R fx )
O N in gu n o
Hallar la función cuadrática Ff que pasa por
los puntos ( 2 ;0 ), ( 3 ;0 ) y ( 1 ;4 ) . Indicar su regla de correspon dencia . A ) y = 2 x * -6 x + 8 B ) y = -2 x * + 3 x + 6 O y = 2 x * -5 x + 6 D ) y = 2 x * -1 0 x + 1 2 E ) y = 3 x * -5 4 x + 6 ©
Dadas las fun cion es F y G tales que : F (x)m x2 - 4
G (x ) s x + 2
hallar uno de los puntos comunes de F y G
BMjBf A jí - 2 ? s ;
C ) (3; 5 )
B) f- I; 9)
*2) Grafique
D ) (-2 ; 5 )
E)(3;8)
m
: F ( x ) = 4 -| x -3 |
F ( x ) £ F ( m ) , V x e R , siendo F ( x ) = x 2 - 6 x
A)
B)
A) 2
0 c)
\y
C )4
D) 5
E) 6
S e a : F ( x ) = >¡18 —2 x 2 »hallar la intersección
A ) {-3,-0]
C ) (0 ; 2 ]
B ) [0 ;9 ]
D ) [0;3J
E ) [0 ;5 ]
Indicar la gráfica de F , s i : F ( x ) e x + y fx 2
Y
/
B) 3
entre su dom inio y su ran go .
y
E)
H alle el valor de « m » de tal m anera que :
Y
A)
v \ » / \ x
F
/
B)
. F
X
Hallar el rango de F s i : F ( x ) = \ ¡x2 - 4 x + 5 - 3 ; - 2 5 x < 6 A)[-2 ; 4 l 7 - 3 [
B ) [ y¡7 - 3 ; a>[
D ) l - 2 ; y fl7 —3 ]
C )]-*> ;3 ] F
E ) [ 3 ;<*>[
X
Sea la función : F = {(* ;? )
g
R 2 1y = 4 + 2 x - x 2; x
g
í- 2
;4 ]}
Hallar su rango A) [ -4 ; 5 ]
B )[-2 ;2 )
O l - 2 ;3 ]
D ) [ - 5 ;5 ]
E ) [~ 4 ;4 ]
Indicar el área de la región lim itada p o r las gráficas de : F ( x ) = |x - 2\ y G f x ) = 3 A)3u*
B) 6 u*
09u*
E )15u*
D )12u*
( 6 7 ) H allar el rango de F , s i : F ( x ) = —^ — A )(0;1I4]
B )(0 ; 4 ]
D ) [ 1/4 ; ® )
E ) [ - 1 1 4 ; 1/4]
H allar el rango de F , si:
Sea: F ( x ) * x 2 -4 | x | -¿
F ( x ) . x 2 - fix + 3 ; x
hallar su rango. A ) 1 - 2 ; oo)
B) f-4 ; ¥)
D ) [ - 6 ; oo)
E ) [ - 8 ;6 ]
C ) [ 2 ;4 ]
4 ) Graficar : F ( x ) m x 2 - 4 \ x \ -5 A)
B)>
-5
A ) ( - 6 ; 19)
B) I -5 ;1 0 ]
D ) ( - 6 ; 6)
E )[-7llO )
, 1
a>
<
V
\ D)
V
Yl /
X
E) x
Yl
X
/
E)
(-2 ; 5) C ) [ - 6 ; 19)
B)
C)
Yi 5
g
S G raficar : F { x ) * 3 - \ x - 2
Y\ \
O
; ®)
X
^ X
XCICJM PED L\201¿\ má G (x ) = {(-3 ;6 ), ( - 2 ;l h (0;2), (1;2), (2;3h (4 ;-2 )}
9*2
H allar la sum a de valores extrem os de: « F ^ + G 3» E ) 50 A) 8 B ) 20 D ) 43 O 47
ALGEBRA DE FUNCIONES
Sean las funciones : fíx ) = x* - 3 x - 7
Sean las funciones :
g ( x ) = { ( - 2 ; l h ( 0 ;1 ) , ( l ; 4 h ( 2 ; 5 ) } F (a ? ) =
J x - l.-Jx - 2
G (x ) =
,J(x - l ) ( x - 2)
Indicar lo correcto: A)F=G
B)F=2G
Calcular : ( 3 f * + 2 g ) l_2, A) 25
C )F = -G
D ) F=3G
EJF*G
B) 29
0
31
D ) 17
Sean las funciones :
Sean las funciones :
f í x ) = 2 x - 3 ; x e (3 ; 5)
F = { ( - 3 ; 2 ) f ( 0 ;0 ) , ( 2 ; 4 ) , (3 ;~ 1 ), (4 ; 3 ) }
g (x ) = * + 2 ;
X
Hallar la sum a de elem entos del dom inio de p .Q A )-4 B) 9 C)17 D ) 18 E ) 21
B ) ( f + g ) (X) = 3 x - l ; x e ( 3 ; 6 ) C ) ( f + g ) (x> = 3 x - l ; x 6 ( 2 ; 6 )
¿fl Dadas las funciones :
D ) (f+ g )M = 3 x + l ; x e ( 3 ; 5)
f = { ( - 3 ;2 ) f ( 0 ;0 ) , ( 2 ; 4 ) t ( 3 ;- ! ) > (4 ; 3 ) }
E ) (f+ g )M = 3 x + l ; x e (3 ; 5 )
g = { ( 2 ;0 ) , ( 3 ; 4 ) , (4 ;7 h ( 6 ; 2 ) } f Hallar el ran go de g
D)
H-f} i -1)
B)
{H
Sean : F ( x ) = J 7 ^ 3 G ( x ) = { ( 0 ; 1 ) , (1 ;4 ) , ( 2 ; 3 ) , (4 ;5 ) , ( 6 ; - 2 ) } C)
f i -f}
Indicar el producto de elem entos del rango de : F í (x ) + 3 G (x ) A ) 16
©
B ) 32
C) - 32
F(x) = j 6 - x
F ( x ) = { ( - 1 ; Oh ( 0 ; l h (1 ; 2 ) , ( 2 ; 5 ) }
D )-4 8
E ) 54
Sean las funciones :
Dadas las funciones :
m
e (2 ; 5 )
Hallar : ( f + g ) lx)
G = { ( 2 ;0 ) , ( 3 ; 4 ) f ( 4 ;7 h ( 6 ; 2 ) }
A)
E )-6
;
G ( t f ) = J x —1
Hallar el dom in io de la fu n ción « F x G »
G ( x ) = { ( 0 ; 3 ) , (1 ; Oh ( 2 ; 1 ), ( 3 ; 6 ), ( 4 ; 8 ) }
A ) ( 2 ; 8)
Hallar la sum a de valores extrem os de la función
C ) [ 1 ;6 ]
B ) [ 1 :1 3 ]
D ) [ 1 ;4 ]
E ) {1 ; 13)
Fx G A) 3
B) O
0 -1
D) 5
E) 8
á ) Dadas las funciones : f = { ( - i ; 3 h (0 ; 2 h ( 1 ; l h (2 ; 4 )}
Ji) Dadas las funciones :
g = { ( - 1 ; - 1 ) , ( 0 ; 0 ), (1 ; 1 ) }
F = { ( 1 ; 3 ) , ( 2 ; 6 ), (4 ; 8 h ( 6 ; 2 ) } G = {(0 ; l h ( 1 ; 2 ), ( 2 ; - l h ( 4 ; 5 h ( 7 ; 0) } Indicar la sum a de elem entos del rango de la función F+G A) 10
Hallar z tal que: A )-2
B) 5
0 1 3
D ) 23
E ) 18
B ) -1
= - 9 OO
Sea : f í x ) = x 3f con D o m f = JS
Sean las funciones :
g = { ( l ; l h ( 2 ; 4 ) , ( 0 ; Oh ( - 1 i D )
F = { ( - 3 ; 2 ) , ( 0 ; Oh ( 2 ; 4 ) , ( 3 ; - ! ) > ( 4 ;3 ) } G = { ( 2 ; Oh ( 3 ; 4 ), (4 ; 7h ( 6 ; 2 ) } Hallar el m ayor elem ento del rango de F 2+ 3 G A) 13 B ) 16 0 30 D ) 36 E ) 48 Dadas las funciones : F(x) = 2 jx
E) 2
D) 1
f + 2g
La sum a de los elem entos del dom inio de : es : A)1
B) 2
C) O
DJS
g E J -1
Sean: ;
x e [ 0 ; + <*>)
f (* ) = j 6 + x - x
;G (x ) = j 4 - x
[ i g W f m V K .é
B fl 9*8 ^^8
ftf
G = { ( 2 ; 0 ) . ( 3 ; 4 ) , ( 4 ; 7 ), ( 6 ; 2 ) }
¿Para qué intervalo existe ( f * - g * j ^ ? A) [-2 ;4 ]
S i:
m
B )[-3 ;4 J
C ) ( - < * ;- 2 J x+1
f(x) =
;
. .
\ x-l
D ) ( - 2 ;3 )
E )R
x <2
x -1
x > 3 ;
H a lla r : F + G A ) { (2;4), (3;8), (4;10) } O {(2 ;4 h <3;2), (4 ;1 1 )) E ) {(2 ;4 ), (3;9), (4; 12) }
x < l
A )f + g =
C )f + g =
;
A ( x ) = { ( 1 ; 6 ) , ( 2 ; 8 ) f (4 ; 3 ) , ( 7 ; 1 ) } B ( x ) = {(1 ; 2 ) , ( 2 ; 4 ), (4 ; 0 ) , ( - 1 ; 0 ) }
x < 1
2x
;
x > 4
2x
;
x <2
2x
;
x> 3
B )f + g
x
;
x < 1
x
;
x > 4
{
Halle : A (x )¡B (x )\ indicar el producto de elem entos del rango A) 6 B ) 10 0 15 D ) 20 E) 0 = -Jx + 2 - 4 ;
C)
( í ^ ) Sean : f { x ) = y ¡ x - 2
C )[2 ;5 ]
D ) [0 ;2 1
E )[5;
oo)
3]
/ — -4 + 2
f=
Dar la suma de elem entos del rango de : H = 2 F - 3 G S A ) 18 B) -1 8 C )-1 4 D ) -3 1 E )-3 4
x e (2 ; 6)
.• x e [ 2 ; 3 ]
Sean las funciones f y g tal que.:
G ( x ) = y jx + 2
g (x ) = x + 2 ;
;x e [ 2 ;
E > h (i ) = - r 1’ ¡x
Sean : F ( x ) = {(-. 2 ; O), (3 ; l ) f ( 4 ; 0 ) 9 ( - 3 ; 1 ) }
Sean las funciones : ffx ) = 3 x - 1 ;
{2; 3]
¡ ( x + 2)2 - 4
Hallar el dom inio de: f f x ) - g ( x ) B ){0 ;2 )
x g
D ) H {x) =
g(x) = 4 5 -x
A ){2;5)
B ){(2 ;4 )t (3 ;3 ),(4 ;1 0 )} D ) {(2 ;4 ), (3 ;8 )f (4 ;1 1 )}
Dadas las funciones :
D eterm in ar: f ( x ) + g ( x ) 2x
F IA T IO A T S )
{ ( 3 ; S ), ( 2 ;6 ) , (S ;0 ), ( 6 ; 1 ) }
g = { ( 2 ; 4 ) , ( 6 ;3 ) , ( 3 ;1 ) , ( 7 ; - l ) )
Halle : f + g , indique su rango A ) {6 ;8 ;1 0 } B ) { 4 ;6 ;8 } D ) {4 :6 ;1 0 ) E ) { 6 ;1 0 ;1 2 }
C ) {4 ;8 ;1 0 }
Sean las funciones :
x e { - 1 ; 3)
F = { ( - 3 ; 6 ) , ( 0 ; 1 ), ( 2 ; 3 ) , ( 3 ; - l ) , ( 5 ; 3 ) }
Hallar : ffx,) + g ( x )
G = {(2 ;
A ) (f+ g )(* ) = 4 x + l ; x e ( l ; 6 )
1 ) , ( 3 ; 2 ) , ( 5 ; 7), ( 6 ; 0 ) }
Hallar la sum a de valores extrem os de : F x G A) 18 B) 22 C) 1 D ) 24 E) 19
B ) ( f + g ) ( x ) = 4 x + l ; x g ( 1 ; 3), O (f+ g )(x ) = 4 x + l ; x € (-2 ; 3 ) D )(f+g)(x) = 4 x - 1 ; x e ( l ; 3 ) E ) ( f + g ) ( x ) = 4 x - l ; x e (2 ; 6 )
A L G E B R A D E VENCIONES © Sean las funciones :
m
Sean las funciones : F = { ( - 3 ; 2 ) , ( 0 ; 0 ), ( 2 ;4 ) , ( 3 , - 2 ) , (4 ; 3 ) }
ffx ) = x ; g ( x ) = ¡ x 2
G = { ( 2 ; 0 ), ( 3 ; 4 ), (4 ; 7 ) , ( 6 ; 2 ) }
Indicar verdadero o falso.
D eterm inar R a n ( F + G ) A ) {4 ;3 ;1 0 } B ) {4 ;3 } D ) {4 ;3 ;1 0 ;1 2 } E ) {4 ;3 ;1 0 ;1 4 }
D f(x ) = g ( x ) W D om f = D om g U I) R a n g f = R a n g g A) V W
B) W F
O F W
Sean las funciones F y G tales que: D ) FVF
E ) FFF F
«
O {3 ;1 0 }
Sean las funciones :
F = {(-3 ; 2 )p (0, 0), (2 ; 4), ( 3 1); (4 ; 3 )}
= { ( - 1 ; 3 ) ; ( 2 ; 0 ) ; (4 ,*-2) ; ( 5 ; 4 ) }
2 G = { ( 8 ; 2 ) ; (4 ; 6 ) ; ( 2 ; 6 ) ; (1 ; 9 ) }
Entonces encuentre el rango de F G
¡>V-*II A) #
J3J {0 }
CJ { - 3 }
DJ {0 ,-3 }
M'ICLOPEDEX 2012}
» * *
£J {0 ,-6 }
Dadas las funciones num éricas:
(F o F )^ = ! ^ - ; x * 0
Indicar una de ellas A )F (x)= 2x+ 2 B )F (x ) = 1 - 2 x
F = { (S ;2 ); ( 4 ;2 ) ; ( 7 ;3 ) ; ( 0 ; 6 ) ; ( 1 ; 4 ) }
D ) F (x ) = 1 - 4 x
G = { ( 1 ; 3 ) ; ( 2 ;5 ) ; ( 3 ;0 ) ; ( 8 ; 4 ) ; ( 7; 1) }
Determ inar la fun ción ( F + G ) A) {(1 ;7 ); (3 ;4 ); (0;3) } B ) {(4 ;7 ); (2 ;4 ); (0;4) } C) {(1 ;7 ); (3 ;1 ); ( 7;4) } D ) {(4 ;7 ); (2 ;1 ); (0 ;7 )) E) {(3 ;1 ); (2 ;7 ); (4;1)}
©
G = { ( 5 ; 4 ) ; ( 4 ;2 ) ; ( 0 ;9 ) ; ( - 2 , 3 ) ; ( 6 ; 0 ) }
Efectuar el producto de ( H x G ) A) {(4 ;1 0 ); (-2 ;6 ); (6;8) } B ) { ( 4;1 2 ); (-2 ;6 ); (6;Q)) C) {(4; 10); (-2 ;1 8 ); (6 ;8 )} D ) { ( 4;12) ; (-2 ;1 8 ); (6;0) ) E) {(3 ;0 ); (-2 ;1 2 ); (4 ;6 )}
- * 2; * e < ? ’ G = {{>¡2;4);(7:0):{3:8)}
D ar com o respuesta la sum a de los elem entos del rango de ( F + G ) A ) 64 B ) 68 C ) 70 D ) 72 E ) 76 M a rq u e v e r d a d e r o ( V ) o fa ls o ( F ) se g ú n correspon da:
A partir de las funciones : F = { ( 1 ; 4 ) ; ( 2 ;3 ) ; ( 3 ;2 ) ; ( 4 ;5 ) ; ( 7 ; - l ) }
(
) F = { ( t ; f í ) ¡ 0 < , t < 4 } es una función par
(
) G = { ( x f t ) i y = \x + 2 \ ) es una función par
(
) V x e ] - 2 ; 2 [ , la fun ción H , es impar, donde:
G = { ( 0 ; 2 ) ; ( 1 ;2 ) ; ( 2 , - 1 ) ; ( 3 ;0 ) ; (5 ; 2 ) }
Determ inar F 2+ 2 G A) { ( 1;20) ; (2 ;5 ); (3 ;4 )} C) { ( 1;20); (2 ;5 ); (3;2) } E) {(1 ;9 ); (2 ;6 ); (3 ;1 1 )}
E )F (x ) = Z x + jj
D eterm inar F + G d o n d e :
De las funciones num éricas expuestas : H = { ( 4 ; 6 ) ; ( 7 ; 1 ) ; (-.2 ;6 ) ; ( 6 ;8 ) ; ( 3 ; 1 0 ) }
H (x ) = x 3 A ) V FF
B ) { ( 1;20) ; (2 ;7 ); (3 ;4 )} D ) {(1 ;2 0 ); (2 ;7 ); (3 ;2 ) }
B) V W
I)F(x)
D ) FVF
E)VFV
= 3x4- 2 x 2
I I ) G ( * ) = I*3 + 2 *1; * e ] - 3 ; 3 [
F = { ( l ; - 2 ) ; ( 2 ,- 6 ) ; (3 ;0 ); ( 4 ,- 1 ) }
III) H (x ) = x 3
G = { ( 0 ; 1 ) ; ( 1 ;0 ) ; ( 3 ;3 ) ; ( - 1 ; 4 ) ; ( 2 ; 1 ) }
TV) J ( x ) = x s - x
B ) i-2 ;-l;0 ) E ) {-5 ;0 }
C )F F V
Sean las funciones:
Hallar el rango de F o G para :
A) { - 1;0} D ) {-2 ;0 }
C ) F (x ) = 1 + 4 x
C ) { - 5 ,- 2 }
^ C o n sid e re m o s las funciones :
¿cuántas son funciones pares? A) 1 B ) 2 C)3 D ) 4 E ) N in g u n a es fu n c ió n p a r (l£ )
Sea : F ( x ) = x 2 + x + 1
G = {(-1 ,4 )); ( 2 ;3 ) ; ( 4 ,1 ) ; ( - 3 ; 2 ) ; ( 0 ; 0 ) ; ( 6 ; 1 ) }
H ( x ) = F (x ) + F ( - x )
F = {(0 ;5 ); ( 1 ^ 1 ) ; (2 ;3 ); ( - 1 ;7 ) ; (7 ;0 )}
G (x ) = F (x ) - F ( - x )
Luego el producto de los elem entos del rango de F o G es : A) - 5 B) 0 C) -1 0 5 D ) 15 E) -1 6 Dadas las fu n d o n e s reales de variable real: F = {(x :y )ly = 2 x + l; - 5 < x < 1 0 }
D eterm inar cuál de las siguientes proposiciones es verdadera: A ) H e s p a r y G es im p a r B ) H e s im p a r y G e s p a r C) H y G so n im p a res D ) H y G son p a r e s E) H e s p a r y G n o e s p a r n i im p a r ( í ^ ) E ncontrar una función lineal « F » tal que:
G = { ( x ;y ) / y = x 2+ 4 ; - 3 < x < 4 }
Hallar el dom inio de ; F o G A) } - 6 ;6 [ B ) Í-6;6J D ) (-6 ;6 [
F (2 ) = 3 y F (3 ) = 2 F (4 ) C) J-6;6]
A ) F (x ) = x + 2 D ) F (x ) = x/2+2
C ) F ( x ) = 2 x+ 3 !2
E )]-yf6 ;^ [
©
m
B ) F (x ) = 3 x + 6 E ) F (x ) = - x + 5
Para : F ( x ) =
y G ( * ) = Y -* 2 + 4
Hallar G o F . Dar su dom inio. A) 1-3; 1 [ B ) [ - 3 ; l [ C ) J -3 ;l] D ) f-3 ;lj
E)J-ao;l]
^ H a l l a r todas las funciones lineales F , tales que:
Sea « F » una función de proporcionalidad tal
que : F (4 ) + F (1 2 ) = 64 Hallar (F (3 1 ¡4 ) - F (2 1 / 4 ))s A) 25 B ) 100 C ) 36 ©
la fun ción F <*> = ^
D ) 49
E ) 64
+ 2 >b ^ q u e ja r la
ÍK iiw :m v F ^
F t ^ r m v E .s ]
n r n /iV O A ;
gráfica de la inversa de dicha función.
Hallar F ' A ) F* ( * ) = ( 2 B) F ’
(
x
x ) 2 ; x e [ 0 ;3 ]
= ( 2 + ¿ 4 - x ) 2 ; x 6 [ 0 ;3 ]
)
O F ’ ( * ) = j ( l + x f + l ; x 6 [0;1] D ) F ’ ( * ) = J ( l + x ) l x - l ; x e [ 0 ;3 ] E ) F * ( x ) = > Jl - x - 2 ; x
g
[ 0 ;2 ]
Halle la inversa de la fu n ción : F ( x ) = 4 - j l - x s ; x e [-1 ;0 ] £ ) No ex is te
Si existe
Indicar el gráfico de la inversa de F ( x ) si 3 x ; x g ( - 00; 0 )
F (* ) = x 3; x e
/
2
; - k x > )
*
A) F ’ (* ) = j l + ( 4 - x ) 2
B ) F ' ( x ) = - j l + ( 4 - x ) ta
O F* ( x ) = y ¡ l - ( x + 4 f
D )F ' ( x ) = j l + ( x - 4f
E ) N o e x i s t e in v e r s a
Sea la función « F » indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si: F ( x ) = x 3 - x 2 (
) Es creciente en ] 0 ; 1 [
(
) Es estrictam ente decreciente en / - ao ;0 /
( 3 Es estrictam ente creciente en 12/3; ao [ A JF F V B)FFF O VFF D ) FVF E )V F V
COMPOSICIÓN -FÍJNCION INVERSA ©
Dada la función biyectiva :
F.*[2;4]
->
Sean las funciones:
[ 2 ;6 ) ( F ( x ) = - d —
ax + o Hallar la suma de los valores que puede tom ar «6 » A) 112 B )2 C )3 D ) 1/6 E) 2/3 Hallar , si existe la función inversa de : F (x) = x - f x j NOTA
; 0 £ x £ 2
f = { ( 2 ; 0 ) , ( 3 ; 2 h (4 ; 6 ) , ( 6 ; 93} g = 1(1 ; 2 ) , ( 0 ;3 ) , (2 ; 5 h ( 3 ; 4 ) }
H a lla r : f o g A ) { ( l ; Oh (2 ;1 ), ( 3 ; 6 ) } O i ( 0 ;l ) , (l;O h (3 ;6 )) E ) { ( l;O h (2 ;lh (3 ;4 )}
'
B ) {(l& h tO ;!), (2;6) } D ) {(0 ;1 ), (1;2), (2 ;3 )}
:
I 1 indica el m áxim o entero A) F ( x ) = x ; x e [0 ;1 ] B) F ( x ) = x ; x GJO;l[ O r(x)= -x;xe(0 ;l] D ) F l x ) = - x ; x e /0 ;2 / E )2F Dada la función : F ( x ) = - —x 2 + — x - — 4 2 4 S i : x < 2 , hallar si existe la inversa de F . A ) - 3 + 2 -J x + 2 D) 3 - ¿ x + 2
B )3 - 2 J 2 + X
C )4 - ¿ x + 1
E ) N o e x is te in v e r s a
S i: F ( x ) = 4 ¿ x - x ; x e [ 0 ; l ]
S i : / = { ( 0 ; 2 ) , ( - 1 ; 6 ) § ( 4 ; 0 ), ( 5 ; 1 ) } g = { ( 2 ; 1 ) , ( 6 ; 2 ) , (1 ; 3 ), ( 3 ; 7 ) }
Hallar : g o f indicando el producto de elem entos del rango . A) 4 B) 6 0 1 2 D ) 16 E ) 24 £0 Sean : f ( x ) = V ¿ - x g (x) = y¡4-x2
Hallar : g o f
señalando su dom inio .
A ) ( - 3 ; 1)
B ) [ - 3 ; 1)
D ) [ - 3,1]
E ) { - oo ; 1 ]
O ( - 3 ; 1]
X ViC M A tPE O M A 2 0 1 2 ]
Sean : f = { ( O ; 1) , ( 1 ; 2 ) , ( 3 ; 7 ) ) g =
Sean las funciones : f = { ( 0 ;1 ) , ( 3 ;5 ), (4 ;2 ), ( - 2 ; 6 ) }
{ ( 2 ; O), ( 3 ; l h (1 s 1 ) }
g = { ( - l ; 0 h (0 ;3 ), (1 ;4 ), (3 ; - l ) }
Hallar : R a n ( f o g ) n R a n ( g o f ) A){0) B){0;1) C){1} D){1;2)
E ) {0;2}
m Sean:
H allar f o g rango A) 4
F = { ( - 2 M , ( 0 :2 ) , ( 2 :6 ) , ( 4 :3 ) , ( 5 ;2 ) , ( 6 ; 0 ) }
in d ica n d o la sum a de elem en tos del
B) 5
á ) Sean :
E) 6
Si F o G = { ( 3 ; 5 ) t ( 1 ;3 ) , (0 ;7 )}\ y adem ás :
Hallar: f o g A) x+ 1 B) x -1 Í 5 ) S i:
G = ( ( 3 ; 2 ) , ( 1 ;4 ) , ( 0 ;5 ) , ( 9 :7 ) , ( l l ; - 3 ) }
Determ inar : F f4f+ F f5f B) 7
D )U
O 10
E) N o e x is te
Hallar ( F o G ) ( 2 x - 1 ) A) 8x+ 2 B) 2x+4 O 9x-6 ® S i:
Sean : ( x ) = 3 x - 2 ;
1
F (x ) =
E) A o C
x e (2 ; 7 )
G (x ) = 4 x 2 - 4 ;
D ) f o g = 6 x + l pe
= 77^4
A}
“ '" W
O
■
”
!*<»] x e (2 ; 3]
J(x + 2 ) * - 4 ;
f= {(l;2 ),(2 ;-3 ),(-3 ;l)}
E ) H{x) = 4 ^ ~ 4 + 2
g = i ( 2 ;b h ( 1 ;2 ), ( ~ 3 ; a ) }
©
si g o f = f + g , calcule : a + b A) 6 B) 5 0 -3
D ) -4
A )[2
; 00)
C ) [ 2 ; 3]
E ) [ 3 ; 13]
Siendo : jFYx) = x 2 - 2 x + 3 , hallar G ( x ) tal
Indicar la sum a de elem entos del dom inio D ) 19
Dadas las fun ciones : ;
B)[ 3
; co)
D ) [ 2 ; 13]
Halle la función f tal que h = f o g
f (x ) = 4 x
g ( x ) = -Jx - 2
Hallar f o g , indicando su dom inio :
h = { ( 3 ;9 ) , ( 5 ;1 2 ), (7;9)> ( 8 ;7 ) }
0 1 7
xe[2;3]
Sean : f ( x ) = • j3 ~ -x
E) - 1
Sean las funciones: g = { ( 3 ;6 ) t (5 ;9 ), (8 ;4 ), (1 0 ;5 ) t ( 7 ;6 ) }
©
[2 ; 3]
(-2 ;2)
(6 ^ ) Dadas las funcion es :
B ) 15
g
;
= 4x + 2 -4 ;
C)
{0 ; 2 )
g
'T
E ) f a g = 6 x+ 3 p ce(0 ;2 )
A) 13
x
(-1;2)
g
g
E ) 12x-4
X G [2 ; 3)
B ) f o g = 6 x - l ; x e (0;3) O fo g = 6x+7: x
D) 6x+6
H a lle : H = F o G
g (x ) = 2 x + 3 ; x e ( 0 ; 3)
Hallar f o g A) f o g = 6 x + 7 ; x
E )x * -1
X G [ 0 ; 4]
x + 2 D) A o B
O 3-x
D) x+ 2
O x
f í x 2- ! ) = 2 x s + 4
(F o G ),„ (X), = x * - 4 x + 5 B) 1 - x
E) 8
G (x ) = 3 x + 2
7 ) S i : F ( x ) = x * + 2 x + 2 ; hallar G ( x ) tal que:
A) x - 3
D) 7
g (x ) = x - 1
Hallar la sum a de valores extrem os d e F o G A) 0 B) 1 C )2 D) 3
A) 4
6
fíx) = x + 2
G = { ( 0 :3 ) , ( 2 ;3 ) , ( 5 :2 ) , ( 4 ;2 ) , ( 3 ;6 ) , ( - 1 : 0 ) }
m
0
E) 23
que : ( F o G ) ( x ) = x 2 + 6 x + 11 A)x+3 B) - x - 3 O -x -2 D) A o B
E) A o C
Dadas las funciones : g (x ) = 2 x + 3
Halle D o m ( f o g ) n R a n ( f o g )
G = { ( 2 ; 5 ) 9 ( 4 ;6 ) , (5 ;8 ) , ( 7 ;1 ) } H = { ( 2 ;7 ) , ( 4 ,9 ) , (5 ;3 ) }
B) ( 0 ;
A) ( 0 ; 1 )
D)10;+
® )
|;+oo)
H a lle u n a f u n c ió n f d e m ín im a c a n t id a d de elem entos tal que H = F o G , indique la sum a de elem entos del rango de F .
A; 24
CJ 19
BJ 17
BJ 21
Dadas las funciones : 1 f(*)« x -3 g fx ) = x 2 - 1
E ) 24
t : La fun ción h ( x ) = \ ] x 2 - 3 , x > 3 , tiene inversa. e ( 3; 8 )
AJ VFV U na
; x e ( - 2 ; 6}
H allar: D f o g A )(- 2 ; 5)
B J (- 2 ; 3)
B J {2 ;5 )
C J (- 3 ; - * >
E)(2;3)
Sean : f f x ) = x + 2 Hallar : AJ r+ 1
B) x- 1
q . La función g f x ) = x 2+ l ; x e ( - 0 ; 3 ) , tiene inversa.
C) x - 2
;
gfxj = x - 3 D jx -2
E) x+ 1
B JFV F
CJ F F V
tie n d a
c o m e r c ia l
D )F W
ha
E) W F
v e n d id o
200
reprodu ctores de discos com p a ctos a la sem ana a u n p r e c io d e 3 5 0 d ó la r e s c a d a u n a . U n a in vestigación de m ercado indica q u e p or cada 1 0 d ó la r e s d e d e s c u e n t o q u e s e o fr e z c a a lo s com p ra d ores, el n ú m ero de aparatos ven d id os se increm entará en 2 0 unidades más. A j ¿C u á n to debe ser la reb a ja para m axim izar el in greso? BJ ¿Cuál debe ser el precio de venta para m axim izar el ingreso? CJ ¿Cuál es el ingreso m áxim o?
©
E ntonces, la respuesta en ese orden es:
Sean las funciones: f = { ( 3 ;!J , (2;1J, ( 5 ;1 ) , ( 4 ; 7 ) } g = { f - l ; 3 ) , f l ; 2 ) , ( 0 ;4 ) , f 7 ; 6 ) }
Hallar : f o g A) {(-1 ;1 ), f l ; l ) , f O; l ) ) C) {(3;2 h (2 ;2 )r (4; 6) } E) { ( 3;2), (2;2), f0;1) }
AJ 1 2 5 ; 2 5 0 ; 1 0 0 2 5 0
B ) 7 5 ; 2 2 5 ; 111 2 5 0
C) 100; 450; 102 250 E ) 1 25 ; 2 2 5 ; 101 2 5 0
D ) 2 5 ; 1 2 5 ; 101 2 6 0
B ) { ( - 1 ;D , (1 :1 ), (0;7)} D ) { ( - t i l ) , (2 ;2 )t (4 ;6 )} F U N C IO N E S
Sean : F = { f - 3 ; 1 ) , f - 1 ; 0 ) , ( 0 1 ) , ( 3 ; 2J> G = { ( 1 ; 7 ), ( 0 ; 2 ) , ( 2 ; 4 ) , ( 7 ; 0 j }
Hallar el producto de valores extrem os de F o G A) 6 B) 8 C ) 12 D ) 14 E) 28 >50 S i : f =
A) 2 0
g = { ( 3 ¡1 ) , (2 ;5 ), (5;3J , ( 6 ;0 ) }
Hallar g o f señalando la sum a de elem entos del rango A) 8 B )9 C)10 D ) 12 E ) 13
g = { ( 0 :1 ) , ( l ; 2 ) , ( 3 : 7 ) } E ) {1 :2 }
Sean : f = { f O ; l ) , f l ; 2 ) , (2 ;3 ), ( 4 ;3 ) , ( 5 ; 2 ) } g = { ( 6 ; 7), ( 5 ;4 ) , ( 4 ;3 ) , ( 2 ;4 ) , f l ; 4 ) , ( 0 ; 7 ) }
Hallar D o m ( f o g ) n D o m f g o f ) A) { 1} B){6} C) { 2} D ){1;5)
B ) 10
C)3
D j-1
E) - 6
Sea el conjunto: F = { ( 1 ; 5 ) , (2 ; 6 ) , ( 3 ; 8 ) , (4 ; 1 2 ), f x ; 1 0 } Calcular la sum a de los valores que n o adm ite ux para que F n os represente a una función. A) 3 B) 6 0 10 D ) 13 E ) 18
Sean : f = { ( 2 ; 0 ) , ( 3 ;1 ) , ( 1 ; 1 ) }
“
F = { ( 1 ; a 2) , f l ; a + 2 ) , ( 2 ; a s + l ) , ( a ; 3 a + l ) } nos representa a una función, en ton ces la sum a de los elem entos del rango es:
{ ( - 1 ; 3 ) , ( 0 ;2 ) , ( 1 ;4 ) , (2 ; 5 ) }
Hallar : R a n f g o f ) r \ R o n f g - f ) A) {0) B) (1 } CJ {2 } D ) { 0 :1 }
Si el conjunto:
E ) {1 :2 }
Indicar el va lor de verdad de las siguien tes proposiciones:
p : La función ffx) = \[x + 2; x >1» tiene inversa
ff
¿C uál(es) de los siguientes conjuntos:
F = {(x - y ; x y )/ x , y e R)
G= {(yjx2 - 4 x + 4;\2-x\)tx H = { ( t 2 +2; t + 3 ) / t e / l } nos representa(n) a una función? A ) S ó lo F B ) S ó lo G
O S ó lo H
D) F yG
D ado el siguiente diagram a sagital:
E)GyH
9 4 8 "j[li:
N C H IA IP E D E X 2 0 1 2 )
Si [ a ; b ] es el rango de la función: F (x) =
x +1 x2 +3
entonces el valor de a -í + b~l es: A )-8 B) -4 0 -2 D) 4
E) 8
( f l ) C on respecto a la siguiente función: F (x)= 3+ J l6-x2
e lD o m (F ) n R a n (F )e s : A ) [ - 4 ; 7]
O 14; 7]
D )[3;4)
E ) [ 3; 7)
•0 D ado el siguiente gráfico:
calcular el valor de: F (l)3 + F (3)3 + F (4)3
E=
A) 9
B ) 1-4; 3 ]
F (l)xF (3)xF (4)
B )3
C)1
-i
«i
5 ) La suma de los elem entos enteros del dom inio
de la siguiente función: F(x) = Jx + 5 +
es: A) 6
B ) 13
, 1 4 8 -x
C) 14
x -7 D ) 19
E) 26
El dom inio m axim al de la siguiente función:
c a lc u la r la su m a d e lo s e le m e n t o s e n te r o s d el Djp r\ R p .
F ( x ) = > J x -> fx ^ 2
es:
A) 2
B) 3
0
4
D) 5
E) 9
A ) [ - l ; 2 ) B ) [ 0 ; 2 ] C ) [ - 1 ; 0 ] D ) [4 ; + « f E )[2 ;+ * > [
Sea F una fu n ción lineal, tal que: D eterm ine e l rango de:
F ( 1 0 ) = 11 2b
F (x)=x+
sabiendo que: D F = R +
a
6
€
y F (5 0 ) = 15.
Calcular el valor de: J = F ( 3 ) + F ( 7 ) A ) 30 B ) 28 0 25 D ) 23
E ) 21
R+
Calcular el área de la región encerrada por la
A » [2 7 6 ;+ ® [
B)]2s/b;+<*>[
D /[-2 V 6 ;+ ® [
E )[-2 jb ;2 jb ]
C )[2 7 2 6 ; + ® [
gráfica de las funciones: F (x)=x+2 ; G
Sea: F = { ( x ; x * - 2)1 D r = 7 -2 ; 27} Entonces la sum a de los elem entos del rango de F es: A) - 2 B ) -1 C )0 D) 1 E) 2 Si la in tersección del d om in io y ran go de la siguiente función:
y el eje de las abscisas. A ) 40 u* B ) 30 u * O 2 0 u*
B) -5
C )-l
D) 5
+ O
^ o
D ) 10 u*
E) 5 u*
F ( 0 ,1 ) + F ( 0 £ ) + F ( l , 7 ) = 0 ,0 2
E ntonces el valor de F ( 0 ,0 1 ) es: A ) J(H B ) 10^ 01& * D ) 10-*
E) lfr l
Sea la función: F ( x ) = x 2 - 4 x ; 3 x e ] - 3 ; 1 5 [
Si R a n ( F ) = [ a ; b [ , entonces el valor de 2 a + 3 6 es: A) 7 B) 4 0 -2 D ) -4 E) -7
es: R - { a ; b } , entonces el valor de a 6 es: A) 10
x
Sea F una función de proporcionalidad, tal que:
0 2x+4
(
E) 10
©
Sean las funciones:
[ E f > ir jo m
é
w
fm
F (x ) = 2 x * - x - 1 ; G (x ) = -x * + 3 x + 1
Si R a n ( F ) r \ R a n ( G ) = [ a ; b ] , entonces el valor de 2 a + b es: AJ - 2 BJ -2 CJ 0 D J1 E) 2 ©
Sean las funciones: F (x)=x2 -4 x + 8
a
G (x )= m x -1
Sea F una función par. D ar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (
) H ( x J = F(|x|) es par
(
J H ( x ) = F ( - x ) es impar
(
) I I ( x ) = F ( x ) + 5 es par
AJ V W
Calcular la sum a de los valores de “ m ” en valor absoluto para q u e la g rá fica de las fu n cio n e s se corten en un punto (interpretar geom étricam ente) A) 8 B) 9 CJ10 DJ 22 EJ 12 E sbozar la gráfica de la función:
BJ F W
CJ F F F
DJ V F V
EJ W F
D a r e l v a lo r d e v e r d a d de las s ig u ie n te s p rop osicion es: ( J La gráfica de toda fun ción par es simétrica respecto al eje Y. t J ( ) La gráfica de toda fun ción im par es sim étrica respecto al origen. , > ■. ^ * ( ) Toda función con dom in io sim étrico se puede expresar com o la sum a de una fun ción par y otra impar.
F (x )= \ x x - 3 x B)
A)
F U N C IO N E S ]
Hüjfg 9 * 9 ■kBM
t o *
P P
AJFFF
BJ W F
CJWV
DJ F W
EJVFF
Se m uestra la gráfica de la fu n ción F: C)
Y
D)
/ . l -----E)
.i í
Sea F una función real de variable real, tal que: F í x 2) - F (y * ) + 2 x + 1 = F ( x + y ) . F ( x - y )
Entonces el valor de F ( - 0 ,0 0 9 ) es: AJ 0,119 BJ 0,919 CJ 0,091 D ) 0,999
E ntonces podem os afirm ar que: AJ F e s p a r B ) F e s im p a r DJ F n o e s im p a r EJ F a lta n d a to s
C) F n o es p a r
Sean las funciones:
EJ 0,991
F = { ( - 3 ; 1 ), ( - 2 ; 0 ) , ( 1 ; 4 ), ( 2 ; - 1 J ) G = { ( - 5 ; 2 ) , ( - 3 ; 2 ) , ( - 2 ; 5 ) , ( 1 ; 6 ), ( 3 ; 7 ) }
Calcular la sum a do los elem entos del rango de:
F U N C IO N E S Z P E R IO D IC A , M ONÓTONA , A C O T A B A . A L G E B R A B E F U N C IO N E S ©
AJ 11
BJ 2 2
EJ 55
Dadas las siguientes funciones: F = { ( - 3 ; 5 ) , ( - 1 ; 4 ) , ( 2 ; 7 ), ( 3 ; 9 ) }
¿Cuál(es) de las siguientes funciones:
G = { ( - 3 ; - 2 ) , ( - 1 ; 1 ) , ( 2 ; - 2 ) , (4 ; 7 ) }
F ( x ) = x 8 + l ; x e [ - 2 ; 2]
F Si: ---------= { ( a + 2 ; 6 ) } > calcular el valor de: G+2
G(x)=xs - x ; x e ] - 3 ; 3 [ H (x)=\x\-1; x e ] - 2 ; 2] es (son) par? A J S ó lo F BJ S ólo G CJ S ó l o H
F + G + F .G CJ 33 DJ 44
A ) 2 ,5 DJFyG
E JFyll
m
BJ 2 ,7 5
E = b 1- a CJ 3 DJ 3 ¿ 5
Sean las funciones:
EJ 3,75
I
M'ICIMPEDIA 2012]
OSO
F ( x + 3 ) = x 2 + 2 ; x e [1; 2 ]
Sean G y H dos funciones definidas por:
G [£ + lj= -2 x -3 ;x e[6 ;8 f
fe
G = { ( 1 ; 0 ) , ( 3 ; 3 ), ( - 1 ; 4 ) , ( 2 ; 1 ) }
Si el rango de F + G es ] a ; b j , entonces el valor de a - b es: A ) -2 5 B) 25 C )1 D )-l E) 0
H = { ( - 1 ; - 6 ) , (2 ; - 2 ) , (3 ; 9 )}
Si: F o G = H , en ton ces la sum a de los elem entos del rango de F es: A) - 3 B )-l C) 1 D) 2 E) 3
Sean las funciones: F (x) =¡ 9 - x 2
a
s ) Sean F y G dos funciones:
G (x)= ilx2 -1
G ( x ) = x + 2 a (F o G)( x ) = 3 x 2 + 1 4 x + 9
Hallar: D o m ( F 3 + 5 G ) A )[-3 ;-1 ]
B )[l;3]
D )[-l;3 ]
tal que:
E ntonces la regla de correspondencia de F es: A) 3x* + 2 x - 7 B) 3 x * -2 x +7 C ) 3x* - 7 D )3x*+7 E) 2 x - 7
C )[-3 ;1 J
E ) [ - 3 ; - 1 ] kj [ 1 ; 3 ]
Se m uestran las gráficas de las funciones:
Sean F y G dos fun cion es definidas por: F = { ( 2 ; 3 ) , ( 0 ; - 1 ), ( 4 ; 5 ) , ( 1 ; - 1 ) } Q = { ( 3 ; 0 ), ( - 1 ; 2 ), (5 ; 3 ) }
E ntonces el R a n ( F o G ) r \ R a n ( G o F ) es: A ){3}
B ){-1 ;3 }
C){0; 2; 3}
D )0
E ){1;2}
En la tabla: E = ( F + G ) ( - 3 ) + ( F .G ) ( 2 ) + A )-2
©
B ) -1
C )0
(-4 ) D) 1
E) 2
Y*
5
6
7
8
F (x)
8
7
6
5
H (x)
7
8
6
5
aparecen valores de las funciones F y H . Calcular el valor de: , „„ „. „ ^ T - f 1(0) HoH
E sbozar la gráfica de la función: F (x) = x + — x
A)
x
A) - 1
B) .
B) 0
D) 2
C)1
E) 3
Dadas las funciones: X
X
F (x)=
1
;x e[-3 ;6 ]
2x + 7
r s .
G (x)= x2 - 4 x - 8; 6< xZ l2
Según ello, determ ine el D o m ( F o G ) D) %
X
A ) ~\6; 2 + B ¡ 2 ]
B )]-2 -3 ¡2 ¡2 + 3 ¡2 \
C ) ]fc 2 - 3 ¡ 2 ]
D ) ] « ; 2 - B¡2~\
E ) ] 6 ; 2 + 3¡2~\
Sean las funciones:
F(x) = G(x) Calcular: G o F
x-2
;x2.3
1
2 + —;x'¿.0,5 x
\ ■J'a
BBHl"é s f '¡M i
F U N C IO N E S ]
A )(G o F )(x )= x ,V x e [3 ;4 J B )(G oF )(x)= 2 x + 1 ; V x ¿ 3 C )(G oF )(x)=
C O M P O S IC IÓ N - F U N C IO N IN V E R S A ,T R A Z A D O D E G R A F IC A S
;V x > -3 ,5
x -2
Calcular la suma de los valores que no admite
X
D ) ( G o F ) ( x ) = —^ — ; V x e x -1 X J 2 2 E )(G oF )(x)=
2x + l x -2
"y ” para que la función: F = { ( 1 ; 5 ) , ( 2 ; 7 ), ( 3 ; 9 ) , ( 4 ; 1 1 ), ( 5 ; 2 0 ) , (6 ; y ) }
;V x e /0 ; 2 [
sea inyectiva.
Si F es una función estrictamente creciente y
A ) 50
B ) 51
C)52
D ) 53
E) 54
m
Si F es un función inyectiva definida por:
Af es el conjunto definido por:
F ( x ) = x 2 - 6 x + 5; x e ] - « ; A + 2 ] entonces es verdad M = ¡ x e R I F ( j 4 - x 2 +yfcT Í) >
j
que: A )A <,2
entonces M es igual a: A )]-co ;-l[
B )]-2 ;+ a o[
D )[-l;2 ]
E )[-2; W
E )X ¿-1
F (x)
. sea inyectiva.
F ( x ) = - 2 -| x| ;siv- 2 < x < 2
‘
t.
x 2 - 4 ;s ix < - 2 Dar el valor de verdad proposiciones:
de las sigüierítes ¿
( )Fesdecrecienteen]^ . o o ^ 2 / *
( )Fesdecrecienteeh]0¿2] ♦
O WF
E ) R - {-2 ; 2}
( x ) = x - 2
;D f = ]3 ; + ®[ J 1
I I ) G ( x ) = j x 2 - 1 6 - 1 ; D g = ] - 5 ; - 4[ U I ) H ( x ) = - x 2 + 2 x + 2 ; D a = ]0 ; 2 ]
)■
D) FFV
C ) R - { - 4 ; 4}
¿Cuál(es) de las siguientes funciones; I ) F
,
B ) R - {4 }
,J Á ) R - { 2 } D ) R - { 0 ; 1; 2 }
( )Fescrecienteen7 -
E) FVF
es(son) inyectiva(s)? A) S ó lo I B ) S 6 l o l l l
Si F es una función definida por:
O S ó lo I I
D )IyU
E )IyU l
5 ) Si la función:
6
F(x) =
D )A < .1
parámetro " A " * para que la función:
* J x - 2 ; s ix * 2
B) F W
C)A±1
D eterm ine el con ju n to de valores del
C )[-2 ;4 ]
Dada la función:
A) V W
B)A±2
-2;VxeR
F :[ 3 ;8 ( - » [a ;b [/ F (x )= x 2 - 6 x + 20
x — 2x + 3
es suryectiva, entonces el valor de 4b - a es ;
el menor valor de Mk ” , tal que:
A )¿ 5
|F(x3| £ A ;V x e D jp, e s ;
B )¿ 7
C )s Í 2
D )4
E )5
Sea la función:
*5
C )1
D )2
E )3 F ; A -> ]2 ; 3 [ / F ( x ) =
4 x -6 x -3
Si el rango de la función; F (x) = J l6 - x 2 +
Si dicha fu n ción es suryectiva, determ inar el conjunto A.
- x2
A ) ] - 2 ; l [ B ) ] - 3 ; l [ 0 ] - 3 ; 2 [ D )]0 ,-+<*>[ E ) ] - 2 ; 2 [
es: [a /o V fe ], calcular el valor de:
Si la fu n ción F : [ 2 ; 5 J - > [ 1 ; 4 ] es lineal,
E = a b + ba A) 116
B) 125
0
128
D ) 134
E) 145
biyectiva y decreciente, determine el valor de:
(A J Z4^M¿mÍ m Ü%
A ) 0,01
B ) 0,1
Sea F una fun ción inyectiva, tal que:
E = ? * ¥ * > h w ) C) 1 D ) 10
E ) 100
Si la función:
x “ 3 F f a ) < —----- - , e s : J a ; b [ < J ] c ; d [ , 2 x - 1
F :[a ; 4 ]-+ [6 ; b ] ¡ F ( x ) = - 2 x 2+ 1 6 x - 2 4
es biyectiva, entonces el vá lor de a + 6 es: A) 6 B) 6 C )7 D) 9
F * f —— —1 = a •Si el C .S de la inecuación: {x + 4j
E ) 11
Indique el v a lor d e verdad de las siguientes
valor de: M =
0 -2
D) 0
E) 2
Dadas las funciones:
proposiciones: (
) La función : F f x ) = x 7 + x + 1 es inyectiva.
F = { ( - 1 ; 2 ) ; f - 5 ; 4 ) ; (0 ;3 ); (1 ;2 ); (4 ;7 )}
(
) La función : F : ] - 2 ; 3 [ -> [ 0 ; 0 ,9 [, tal q u e; 2 x F fx )= es suryectiva. x 2 +1
G = { ( x ;4 - x ) f 0 < x < 3}
c a lc u la r
) La fu n ció n :
A) 2 0
(
el
bcd
a B )-3
A ) -4
d e t e r m ín e
O VFF
D) F W
m á x im o
v a lo r
de:
a2
+
si
(a ;b )e F o G *
F ; R - { 2 } -+ R - { 2 } / F ( x ) = 3 x - l es biyectiva. A) F F F B ) VFV
el
B ) 25
0 36
D ) 47
E ) 65
C onsidere la función: F f x ) = 4 é - x 2 (|x2 - 4 + x 2 J
E )V W
con dom in io m axim al posible, de m anera q u e sea univalente; luego halle F *.
Dada la función: F = { ( 2 ; 3 ) ; (3; 5 ) ; f6; 9 ) ; (5; 2 ) }
determ ine la sum a de elem en tos del ran go de la función: F + F * A) 12 B ) 16 O IS D) 20 E ) 22 ©
Se define a la función F com o:
A ) ^ -J64 - x 2 ; x e [0 ; 8 ] 4
C )íy ¡6 4 - x 2; X x e€ [ - 8 ; 0 ] D ) - ^ 6 4 - x 2 ; x e [ - 8 ; 0 ) 4 4 E) D os son co rrecta s
Se m uestra la gráfica de la fun ción F:
-x ;s ix < 0 2 - x ,-s ix ¿ 0
F (x)=
B ) - í - V64 - x ! ; x e [0 ; 8 ] 4
►
Calcular el valor de: E = F * f - 4 ) + F * ( 4 ) A) - 3 B) -2 OO D) 2
E) 3
Sean las funciones. F ( 2 x - l ) = 3 x - l , si - l < x < 2
\
E sbozar la gráfica de la fu n ción : H f x ) = - F f x ) G ( , ) J ™ p Í , á - 3 < »< -!
Entonces la fun ción G * es: A )G * (x )= -4 x -l;x e
B )G *(x)= - 4x - 1; x e )3;11(
C )G * (x )= -4 x + l;x e 7 -2 ; l f E)G*(x)=5x—3; x e ] - 3 ; 2f
D )G *(x)= -4 x+ S ;xe ] - 2 ; 3[
^
S i: F f x ) =>/x 2 + 1 6 + 2 x ; x e [ 0 ; 3 ] , e n to n c e s
F * (x ) es: _ 2x+Jxi -48 A)F*(x)=
C)F*(x)
3 x + j x * +48
D)F*(x) =
x -J x +2
E)
999 Si
F (X ) =
F
es
una
f u n c ió n
d e fin id a
F IlV r iO
A T ^
1
\ 2 ih ¿ C u á n t a s r a íc e s im a g in a r ia s a d m ite la
p or:
ecuación: x 14 - 1 = x 2 + 2 x 1 A) 14 B ) 12 C ) 10
x + 2 x -2
D) 8
E )6
entonces la figura que m ejor representa a la gráfica de la función H ( x ) = F ( \ x \ ) te s : Yi 9
B)
A)
— r - i —
fe
( 6 5 ) ¿Cuál de las siguientes gráficas no pertenece
y
a una función? A)
trH------
^
Y
B)
Ux)
Fm
7
C)
D)
.-4-———
\(\ E)
2 ) C o n s t r u ir
4
la
g r á f ic a d e la fu n c ió n :
> F(*) = 'í * ~ 2 B) F(X)
? ..
a
La figura que m ejor represente a ♦la gráfica de * jt» \ K
la función: F ( x ) = x 2 - 2 \x \ , j$ 1 ‘i
l
• **
*
*•
►
% +
'<*)
A) E) Ux)
2 C)
D)
X
C onstruir la gráfica de la función :F fx) = - 3 1 B )' Fm I •
A)
3
rtx} -3
X C)
E)
I D)
-3 í
E)
X
Uxl
B C
m
Graficar : y = |x-2| Yl
A)
m B)
xriciMPEon aoja]
EIO G raficar:
F u t= ( x + 3 ) * - 5
Yl A)
'(x)
B)
X X C) /Fm
\
X
Yi F(x>s
/
C)
s
-2
/ 2
X
X
y X
*
E)
E)
Yi
f " \ X
- i
-8
m
G raficar :
F fxl= - x !
B) A) X
B)
X
X
D) C) ari -8 ]
D)
lY
X X E) X
Graficar :
r 's
E)
X -3
w -x
Yl -3
B)
A)
B)
A)
C)
G raficar : F ^ = - V - x
F (xi= ( x - 5 ) 2 + 3
X
C)
r\
X
D>
V
D ) X
X
Yi
E)
X 5
X
X
X
BM
9BS « a a
Grafícar : F ^ = x 2 - 5
©
f u n v io x e s
Si la gráfica de la fun ción : y ~ E (x¡ e s :
Y «
AJ
A Z X Z . CJ
*
Y
DJ
Y
G rafícar la fun ción : y = E fx+5J- 7
EJ
W Esbozar el gráfico de ; FfarJ = x Al
BJ
Yi
CJ
B) \
DJ
CJ
Cuál de las siguientes gráficas representa la „ función : F/„* = —=-----
EJ
Yi
B)
V"
-1
Indicar el gráfico de la funciór^ r F ( x ) = x
C)
D)
A)
A
f \
.
-1 Yi
E)
C) -I
X
G raficar : y = (|jr| - 4 ) £j) G ra fica r: a
)
y
F ( * ) = | | * -í| -3
BJ
A)
Y
V í v i 1 Y
DJ a
EJ
z
K
y
z
X
. EJ
B)
)
Yi
w
X
]
¡•tí*
I 930 1
N C t C L O P E D i A S O IS t)
( T ? ) Si la gráfica de la fun ción :
C 1 A IE S D E 1 A O I) D 09) D 00) E 07) C 19) D 11) C 17) C 10) D 91) A 99) E
F(S) = III* - 3| - 2| - Jl
es aproxim adam ente :
01) B
02) C
P R IM E R A P R A C T IC A 04) D 02) E 02) A lO ) D 0 8 ) 11 09) A IB ) B 14) E 19) A 18) B 90) A 19) B 99) C 94) B 93) C 0 4 )D 03) D 03) A
CLAVES D E 1 A .SEGUNDA P R A C T IC A
O I) A 00) B 11) C Hallar « m + n + p + a » A) 2 B) 4 C) 12
D ) 14
E) 18
D eterm ine el área de la región form ada por la función : P ^ = - |x + 4
y el eje de las abscisas .
A)8u*
D ) 32
B ) 12
C)16
E ) 64
Sea la fun ción : F (x) = x ( x - 2 ) . Indicar cuál de las siguientes gráficas representa el área lim itada por el eje de abscisas y la función: F ( |x|) A)
Yl
lO ) C
09) A 07) A 19) B 17 D
09) B 08) C 12) A 18) C
04) A 09) C 14) A 19) B
01) B
02) C
03) D
0 4 )C
03) A lO ) B 13) B 20) D 03) C
C L A V E S D E L A T E B C E R A P R A C T IC A m t)A H)C 4)A 5)D G)A 7)D 8)A 19 ) 0 IO)B U)€ Í2)B íü)í' I t y 1 í5)i: ÍH)A I7)K 20)C iCEd\ V E S D E MA C i A R T A ¡PRA i€ T i FC a I 1i)B\7)E 8)V 3 W IO)B \r¡E 2)9 H)E i f / n 12)A l » ) f we\ís)t' w m t m \8)B m e C 1A V E S D E MA QUINTA P R A C T IC A 03) C 04) B 05) 02) C 01) E 08) B 09) C lO ) 07) D OO) C 19) B 14) B 18) 12) B 11) C 20) 18) C 19) E 10) B 17) B 21) B 98) B 94) B 93) 99) C 27) C 28)
26) E
E B C C
B
-2
CLAVES D E i A OCTAVA P R A C T IC A O I) E 09) C 09) C 04) D 03) E 0 9 ) C l O ) 11 OO) C 0 7 ) D 0 8 ) B 19) B 14) B 18) A 11) C 12) B
D)
2 X
C 1 A I E S D E MA NOVENA PBXCTICA 09) C 0 4 ) B 03) B 01) A 02) B 09) A 10) B OO) A 07) E 08) A 14) A 18) E 12) C 16) B 11) B 18) D 10) B 17) B 19) E 90) A 94) A 93) A 99) B 21) B 99) A Sea :
f ( x ) = x 4 / \ g ( x ) = x una fu n c ió n cu ya
gráfica se da a continuación
Yk
C 1A V E S B E 1 A D E C IM A P R A C T IC A 09) B 04) C 03) E 09) B 01) C OO) C 08) C 0 9 ) B lO ) B 07) D 12) E 14) B 18) E 12) E 11) D
C L A V E S D E L A D É C IM A P R IM E R A )11}2)C \»)R\4)BlB)A 1Q)E 7 )C 8)C 9)A tO)B tw
19¡A *2¿S
\CLAVES D E L A D E C IM A SEGUNDA \2 ) ü \8)C\4)B
V)BU0)A
W p Íj HK Halla el área del triángulo O P Q A ) 112 B) 1 0 2
D) 4
E) 3
¡CLAVES D E L A DECLMA T E R C E R A 8)E 4)f> B)E 6 )B \ 7 )E 8)K \9)E\íO)B v m m e iS)B J6)E\I7)(’ \ll)B
[rtnrtzM4vvwc& ata.
PARTE M : ^
Resolverlas ecu a cion es:
L
x 2 = 7x
Z
( x + l ) ( x - 3 ) = 12
3.
15x2 - 3 4 x + 15 = 0
4.
( . V / 5 f E J L L V E I j]
9 5 7 a x 2 - b x - a = 0 (a, b e 12*) A ) s o n r e a l e s y d is tin ta s
II) Si una raíz es la opuesta de la
B ) s o n r e a l e s e ig u a le s
¡II) SÍ una raíz es el doble de la otra,
C ) s o n c o m p l e j a s im a g in a ria s
entonces 2 b 2 = 9 a c
D ) s o n im a g in a r io s p u r a s
A) L a s 3 f ir m a s s o n v e r d a d e r a s
E ) N o s e p u e d e d e te r m in a r
B ) s o lo I y II s o n v erd a d era s
fx + j;fx + 5 J = /3 r *
C a lcu la r "m " p ara q u e la
5. x fx -1 9 9 7 J = ( x - 1 9 9 7 ) indicar la e cu a ció n q u e p o s e e la
ecuación:
D )4 C) 3
B )2
A )3 E)5I3
E )s o ¡o I I e s verd a d era
S abien do q u e las raíces d e la
es el triple d e la otra. Calcular éstas A )4yl2 E) 1 y 3
tiene p or conjunto solución
Hallar la su m a d e lo s p o s ib le s valores d e nm n
(r ,s ) s i r - s = 4 y r 3 - s 3 = 2 0 8
B ) 74111
A )2f3
DJ2/7
E ) 1/7
C )2/5
Hallar una d e las raíces d e
B ) 3/2
si x es I4 incógnita
x 2 ~ ( a + 3 ) x ~ \ -------- 1-2 = 0
r -* B)
c(a-b)
b(a-c)
E )a (b -c)
C) a ( b - c )
U
^se diferencian en 5 D)o/6 4 * ¿>5/3 1 7 )0 0 / E)20/3 010/3
S ea ( X j ; x 2) e l c o n ju n to solu ción d e : 3 x 2 - x - 1 = 0 adem ás se define: P(n) = y x j + x j
dar c o m o respuesta la sum a d e sus A)
raíces D )2 9 010
1
JÍQ
®3
B)
VTÍ
C)
a
¿Qué se puede afirmar acerca
de las raíces de las ecuación?
AJx2 + 6 x + 1 6 = O BJx2 + 6 x - 1 6 = 0 C )x 2 - 6 x + 16 = 0 D )x * + 6 x - 1 6 = 0 E)x2 - 6 * - 1 6 = 0
Cierto n ú m ero d e revistas se
sol m en os, se tendría 5 ejem plares
x/7
re v ista s s e c o m p r ó ? . D ar su respuesta c o m o la su m a d e los
ax2 + b x + c = O
J x - 2 + j 2 x ^ 5 + ) x + 2 + 3 4 2 x - 5 = 7 42
B )1 3
3-$7¡
m ás p o r el m ism o precio. ¿Cuántas
B )-3
En la ecuación cuadrática: D )5 0 15
grado co n coeficientes reales que admite c ó m o raíz al com plejo:
precio p or ejem plar hubiera sido un
^^R esolver e indicar la solución:
A) 7 E)16
Formar la e cu a ció n d e 2do.
han co m p ra d o p or 1 0 0 soles. Si el
Calcular; P ( 2 )
x + 3 V x = 10
1 + 2 it (j = 7 - í ) ; m e R A)2 D)5 B) 3 E)8 04
B)7/3
b -c
Resolver la ecu ación :
calcular '7nMsi una d e las raíces es
a
2
a (b -c ) Ir* + b (c —a )x + c ( a - b j = 0
B )2y6
x2- 2 x + m = O
las raíces d e la ecu a ción :
la ecuación:
D )3y2 C ) 5 y 15
Dada la ecu a ción :
entonces p/q es :
Hallar el valor d e "a" para q u e
a -b D) c -a
ecuación: x 2 - (3 n - 2 ) x + n 2 - 1 = O
x2 + px + q = 0
si y = 9 satisface las m ism as.
D )9 2 (ll C )81/ ll
B ) 314
Si la ecu ación :
y = x 2 - 2 x - 15 y = m (x + 5 ) y = m (x * - 2 x - 2 4 ) + 9
AJ54/11 E )1 0 8 lll
D )3{2 C) 1/2
son núm eros enteros y una d e ellas
Dadas las ecuaciones:
A )4 E )2 5
D ) s o i o I I y III s o n v e r d a d e r a s
tenga una raíz solam ente
A jí EJ5
&
O s o l o ¡ y ¡11 s o n v e r d a d e r a s
6 x 2 + ( 2/n + 3 ) x + m = 0
m enor raíz.
b -c a-b
otra entonces b = 0.
afirmamos l)
Si la suma de sus raíces es igual
a su producto entonces b + c = 0.
dígitos del núm ero A )1 E )5 PARTE
D )4 03 MI :
B )2
C on respecto al polinom io: P ( x ) s (x 2- 3 ) 3( x + 5 ) 2( 2 x - 7)JT5
[s%.
iyiú I 9 5 8
w z w * mas*.
y dadas las siguientes afirmaciones: l ) A d m ite 1 4 r a íc e s c o m p l e j a s . ü ) A d m ite u n a r a íz s i m p l e U ¡) A d m ite d o s r a íc e s tr ip le s I V )P (x ) = 0 ; a d m ite 5 s o l u c i o n e s s o n c ie r ta s AJO D )3 B)1 E)4 C )2 Con respecto al polinom io: ( x > - ( l - 5 i ) x - S i ) ( X 1 + y¡2x + y/3)
podem os afirmar AJAdmite 2 raíces rea/es y 2 raíces imaginarias. B) Admite 3 rafees reates y / raíz imaginaria C) Admite 3 rafees imaginarias y t raíz reai D) Admite 4 raíces imaginarias E) Admite 4 raíces reales. Sabiendo q u e: 2 , 3 y 6 s o n las
D) E)
I
x3- x 2-2 x +
1 = 0
x3 + x2- x - l
=0
F orm a r la e c u a c i ó n d e g ra d o m ín im o y d e c o e fic ie n te
A)x4+I2x3+ SOx2+S4x + 13= 0 B)x4 -12:c3 + 50x2 -S 4 x + 13 = 0 C ) x 4 - 1 2 x 3 - S O x2 - 8 4 x + 1 3 = 0 D } x 4 - I 3 x 3 + S0x2 - 8 4 x + 1 2 = 0 E ) x 4 + 12x 3 - 5 0 x 2 + 8 4 x - 1 3 = 0
Sabiendo q u e una d e las raíces d e la e c u a c ió n c o n co e ficie n te s
A )44 E) - 4 0
D J -23 C ) 12
B )3 6
Sabiendo q u e a ; b y c s o n las
e s (1 - J 3 ) , ca lcu le usted el
Si a ; b y son raíces d e: x* + x + k 1 + / = 0 calcular el valor d e la expresión: G= A )3 E )6
(a + b) + ( b + c ) + (c + a) + 6abc abe
D )0 C )k 2
A )-l E )-8
D J -6 O -4
P (x )
B J-2
x 3- b x 2 + e x + 2a = 0; abe * 0
son a b y c, calcular la ecu a ción cuyas raíces sean: a b , b e y e a A) B) Ó
x 3 + x2 - 3 x - 2 = 0 x3 - x 2 - 4 x + 2 = 0 x 3 + x2 - 4 x - 4 = 0
sus raíces AJI E )-2
= x3 - 2 8 x + q
A J -4 8
D J -64
E )-7 2
Q -1 2
B) -3 6
polinomial x * - 5 x 2 + fix + 3 = 0 admite c o m o raíz a: Xt
=
1
D ados
+ y ¡i ; x 2 y
B )2
s ig u ie n te s
polinom ios:
co e ficie n te s racionales si adm ite
Q ( x ) : d e g r a d o m ín im o y d e
coeficien tes reales, si adm ite por raíces a y¡3 y - J 5 entonces: A) G d o (P ) < G d o (Q ) B ) G d o (P ) > G do (Q ) O G d o (P ) = 2 D ) G d o (Q ) = 2 E) G d o (P ) = G d o (Q ) PA R TE III ; jPjk Indique el intervalo al q u e debe
x 4 - ( 4 ( S - 5 ; x í + 3 P ('P -5 J = 0
adm ita 2 raíces imaginarias y d os raíces reales A )]0 ;5 [
D )J 3 ;5 ¡
E )]3 ; 5 /
0 10; 5 [
A
Si d o s raíces d e la ecu a ción : 3 x * ~ 6 x 2- 9 x + n = 0
se diferencian en / , calcular el valor
partir
de
B )]0 ;5 ¡
la
e c u a c ió n
bicuadrada:
xA - V2(a + b)x2 + (a - b)2 = 0 determ inar el valor d e la sum a d e
á e ”n m AJO
D )A o B
E )A oC
Q -1 5 0 1 9
B ) 140/9
Sea: P (x ) = a x3 - bx2 + b x - a a * 0 ; adem ás P (U 7 ) = 0 , p od em os
afirmar que:
lo s
X3
_ x f + * f + * * + 2 /3 + 1 M = D J-6 C)7/3
B )-l
p erten ecer p a fin d e que:
c a lc u l e u s t e d e l c a l o r d e :
A ) 2613 E )-26/3
D )-5 Q 3
p o r raíces a -73 y - >¡5
Proporcione el m enor valor d e *qm de tal m o d o que una de las raíces de P ( x ) sea el doble de la otra
B )3 k
Sabiendo q u e las raíces d e :
e s igual a 17/22 , calcular una d e
P ( x ) : d e g r a d o m ín im o y d e
valor d e : a + b
S a b ie n d o q u e la e c u a c ió n
calcule usted el valor d e: E = a4 + b + c A )10 0 )4 0 B )2 0 E )50 C )30
x 3 + 4 x 2 + (a 3+ 8 ) x - ( a - l ) ( 2 a + 5 ) ; a>0
3x* + a x 2 + b x + 12 = 0
raíces d e la ecu a ción : x3 + 5x + / = 0
inversas d e las raíces d e :
racionales:
raíces del polin om io P ( x ) adem ás
de coeficientes d e d ich o polinom io
S abien do q u e la sum a d e las
racionales, si adm ite p or raíces a:
En el siguiente polinom io: P ( 7 ) = 8 0 , calcu le usted la sum a
A ) x = - 7 e s u n a r a íz d e P ( x ) B ) x = 7 e s u n a r a íz d e P ( x ) C ) j r = - / e í u n a r a íz d e P ( x ) D ) x = 1 e s u n a r a íz d e P ( x ) E ) M á s d e u n a e s co rrecta
las cuartas potencias d e sus raíces A )a b
D )2 a b
E )1 6 a b
04ab
B )8 a b
Una raíz irracional d e: 5
x\
5
B€&7M*MSt4P&
W
es:
*
*****
m ' l L W H k X E f i ( R iM S C J S L A B B E A )}
Indicar una raíz d e : x 4 + l = 0
A i-3 + i/Í9
D )2 + Ü 9
B) 3 + ¡ ñ
E )3 -¡1 0
1 a / AJ
C) 3 + VÍ9 £
F orm ar
una
e c u a c ió n
B)
2- ^ 2\
bicuadrada cuyas d o s d e sus raíces,
C )-i
son las raíces d e la ecu a ción : S x * -3 x + 1 = 0
a
A)25 x 4 - x 2 + 1 = 0
D )¡2 ~ ¡2
¡3 2
i
E) 1 - i
2
S i : 3 raíces d e una ecu a ció n
recíproca d e sexto grado son { a ; b ; c } y tam bién so n las raíces d e una
B )2 S x 4 + X 2 + I = 0
e c u a c ió n bicuadrada. Indicar el
C) 25 x 4 - 3 x 2 - 1 = 0
p rod u cto d e la sum a d e las otras
D ) 2 5 x 4 - 3X2 + 1 = 0
Asum iendo q u e x ¡ , x 2 , x 3 y x 4 9 son raíces d e : 8 x 4- 8 x * - l O x * + 4 x + 3 = 0
adem ás: x ¡ < x 2 < x 3 < x 4 determ inar: M = x tx $ + 2X jX4 A ) -1 E )2
B ) -2
D) 1 0 -3
C l a w e S ’p a rte 1 ÍO.l c 13 .' C
■1.1k D 4.1i E
7i E 2. A s.\ c 8 .9 h D 11j A 1
3. j D 6. D sTi D 12 ^ c ' ‘*1
r a íc e s p o r la cu a rta raíz d e la bicuadrada
Dado el polinom io: P (x )= a x í + b x 4 + b x + a
además:
A) abe
D) - abe
B) 1
b
l o , E 13Í A
5J A 8 . ! D
14j A
1. E 4. E 7 .: *
*
Resolver la siguiente ecu ación
A í 2] E 15j 3 -.| E 6. ]1 C ' 9.1 '.vi
afirmar que:
r e c íp r o c a :
C l a v e
A )x = 1 e s una raíz d e P f x )
y*- 10xi +25x*-25x* + l O x - í = 0
1. C 4 .; B '7 . B
S r p a r t e III> ■ 1
m
•
B ) x = - c e s u n a r a íz d e P f x ) u n a r a íz d e P f x )
D ) x = -c*' e s u n a r a í z d e P f x ) E) x = c * e s u n a r a í z d e P f x )
a
Dar c o m o respuesta la sum a d e los cuadrados d e sus raíces A ) 64 E) 144
6 x4 + Sx3 - 3 8 X 2 + 5 x + 6 = 0 D ) -6
E )3
C ) -3
B ) -H 2
ecuación bicuadrada es 2 . S i: x ¡ . x 2 - x 3 . x 4 = 64 . ¿Cuál es la ecuación? A) x 4+ 8 x 2+ 6 4 = 0
B) 50
b = 0 : xeR
pero elevadas al cuadrado
3. a = 0
a
b ^ O
A) x 4 + 3 x 3 + 4 x 2 + 3 x + l = 0 B ) x 4 - 3 x s + 4x 2 - 3 x + 1 = 0 C ) x 4 + 3x3 -4 x 2 + 3 x + 1 = 0 D )x4- x3 + x2- x + 1 = 0 E ) x 4 -4 x 2 + 1 = 0
D) 3 C) 2
B)1
: x e ^
C la ses d e E cu a cio n e s Com patible: cuando tiene solución. Se subdivide en dos. D e t e r m in a d o : si tien e un núm ero finito de soluciones. I n d e t e r m in a d o : Si tiene infinitas soluciones. I n c o m p a tib le : cu a n d o n o tiene solución. S IS T E M A S
D E
1“
Luego d e resolver la ecu a ción
A ( A > 0 ), si la ecu a ción :
E C U A C IO N E S
D E
GK.10O
Para resolver un sistema se utiliza el proceso denominado MÉTODO ALGEBRAICO. que consiste
. ( * + 2) ( * ~ 4 ) : 7(x + 3 ) ( x - 5 )
( * + 4) ( * ~ 7 ) _ 5 12( x + 5 )( jc- 8 ) ~ 8 4
indique el núm ero d e soluciones Q 12
: x = - b/a a
A)5 E)4
E )20
\
2. a = 0
E) x 4 - 8 x 2 + 6 4 = 0
B ) 14
12 ; c 15J C
x 4 - x 3, + 2 x 2 - x + 1 = 0
xs- x 3( 4 x - 7 ) - x ( 7 x - 4 ) - l = 0
D ) 18
d
1. a * 0
D ) x 4 +20X2+ 6 4 = 0
A )10
i
ecuación
imaginarias d e la e c u a c ió n :
suman 6 .
3. C 6, ! B 9 .:
b
C a s o s para su R e s o lu c ió n :
C ) x 4+ 1 2 x 2 + 6 4 = 0
p o se e d o s raíces positivas q u e
—
. B
E C U ACIO N ES D E 1ra G R A D O
Determine el núm ero d e rafees
x 4- f 8 + 4 ) x i + ( 8 + l ) s= 0
E 5. E 8.:¿ A Í Í
cuyas raíces sean, las raíces d e la
B )x 4 -2 0 x 2 + 6 4 = 0
Calcular el valor d e :
►
Form a G en era l : a x + b = 0
Una d e las r a íc e s d e u n a
&
D ) 121 C )1 0 0
2.
Construir una nueva ecu a ción
Indicar la menor raíz de:
A ) -2
I
C l a v e s - p a r t e II
2. : c
E) A bsu rd o C ) - l
P (c ) = 0 / c 6 R - { 0 } , podem os
no e s
>
\
E)2S x 4 - 9 x 2 + 1 = 0
C) x = - /
c
V
AJO E) 4
D) 3 C)2
B)1
en b efirránalcón progesive de bs incócptite por medb de transformación realizados en el sistema. Este proceso genera loe métodos por REDUCCIÓN. IGUALDAD y SUSTITUCIÓN.
raí
o b j e t iv o s
960
:
• Presentar la séptima operación de la Matemática, su defin ición , sus propiedades y sus diversas aplicaciones en la F ísica, Q u ím ica, B iología, Estadística, etc. • N otar la tra scen d en cia de los sistem as de logaritmos más usuales: Los logaritmos decimales, vulgares o de BRIGGS, cuya base es el número trascendente «e», •Aprenderemos a resolver ecuaciones e inecuaciones logarítmicas dentro del conjunto R , para lo cual debemos establecer todas las restricciones posibles que permitan que estas relaciones (de igualdad y de orden), estén definidas en el conjunto de los números reales. • Exponer la importancia del operador inverso de logaritmo, denominado antilogaritmo o exponencial de un núm ero real; asi com o tam bién del cologaritmo y sus propiedades. IN T R O D U C C IÓ N í Los logaritmos se atribuyen a John Napier (a veces se le referencia como N ep er). Publicó su trabajo en 1614 en el libro Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos). Napier era un terrateniente (no matemático) escocés de la baja nobleza (barón). Parece que se dedicaba o que estaba p a rticu la rm en te in teresad o en la medición de fincas (donde a grandes números se le pueden corresponder graves errores y perjuicios) y , en su época , la form a de operar con grandes números era confusa y compleja (regla de la inversa del seno, etc.) Napier estudió las sucesiones de las potencias de un número y se percató que los productos y cocientes de dos números de dichas sucesiones son iguales a las potencias de las sumas o diferencias de los exponentes de dichos números (an.a m = a ín*m}) . Pero estas sucesiones no resultaban útiles para el cálculo porque entre dos potencias sucesivas había un hueco muy grande y la interpolación que había que hacer era muy imprecisa .
5BS53
'
Aorrom)»
Entonces descubrió cierto paralelism o entre la progresión geométrica de los exponenciales y la más sencilla progresión aritmética y como se podían transform ar los prim eros en los segundos para operar con estos y , una vez hallado el resultado volver a trasformarlos en los números originales . Con la primera se hacían cálculos muy difíciles y engorrosos y con la segunda se resolvía fácilmente . A sí, por ejem plo , a soció la progresión con 1; 2 ; 3 ; i ;n Napier llamó al principio a estos número artificiales, pero más tarde se decidió por la unión de dos palabras griegas logos (razón) y arithmos (número). Este sistema de cálculo fue aceptado con gran rapidez. Entre los más entusiastas estaba Henry Briggs. Briggs visitó a Napier en 1615 y entre los dos vieron la posibilidad de hacer algunas modificaciones. En 1617 (póstumamente) se publicó Logarithnmorum chilias prima (Logaritmos de los números 1 al 1000) y en 1624 publicó Arithmética loganthmica. Las tablas de logaritmos y las reglas de cálculo (reglas numeradas con multitud de tablas paralelas) eran imprescindibles en cualquier centro de cálculo, hasta la aparición de las calculadoras y ordenadores. Actualmente ya no son necesarios para lo que fueron descubiertos . Sin embargo , ciertas características y utilidades que , durantes estos siglos de gran utilidad se les han descubierto los han hecho sobrevivirlos al desarrollo de la electrónica . Esto ha sido n ecesario tam bién en el cam po de la Economía . L O G A R IT M O Sean los números reales “ a ” y “ b ” t si b > 0 , b * l y N > 0 , e 1 número real x se denomina logaritmo del número “ N ” en base y se denota por L ogbN si y sólo s i : ó* =N • de la definición se tiene: donde: b : Base de logaritmo N : Número de logaritmo
B
\EW*gi:H0XE& KITW*MXr4P&
x : Logaritmo de “ b ” en la base “ a ”
661 IB8
JbOGu\JHJT\WMÍ\ * Exponente de exponente : 2 4x = 2 7
* Bases iguales exponentes iguales : 4x = 7 * Entonces : x = 7/4
EJEM PL O S: * Log749 = 2 ; porque ; 49 = 7 2
* Por lo tanto : L o g Ig 1 2 8 = ^ * L o g t 8 = -3 ; porque : 8 = f Z j i
V
EJEM PLO 3 :
/
* Logm1 = 0 ; porque: 1 = 3 °
27
Calcular : L o g
¡ ( 8
* Logs 16 = 4 ; porque ; 2 4= 16 * Log48 = 312 ; porque; 4 3/2 = 4 4 3 = 8 * L °g 02 25 = - 2 ; porque(0 .2 ) '2
j
= 5 2= 2 5
R E S O L U C IÓ N : 27 * Haciendo : L og 8
=x
Entonces : í _2 | | _— 2 7 3) 8
O B S E R V A C IÓ N : Dada la siguiente expresión: 6T = N ................... (p o te n c ia c ió n )
2
La operación inversa , osea :L o g bN = x recibe el nombre de logaritmación .
3
2
2
2
* 2 6 = 64
o
L og3 64 = 6
Diremos que siendo 2 la base en todos los casos , el logaritmo de 4 es 2 t puesto que 2 es el exponente a que se debe elevar la base 2 para obtener el número 4.
= > x = -3
3
i)P A S O D E L A FO R M A POTENCIAL A L O G A R ÍT M IC A : * S i : 2 4 = 16
* Análogamente, en base 2 el logaritmo de 8 es 3 , el logaritmo de 32 es 5 y el logaritmo de 64 es 6.
* S i:5 3 =
EJEM PLO 1:
* S i:j3 4 =9 L og
= -
Para la resolución de problem as es importante familiarizarnos con estas fórmulas a través de los siguientes ejemplos:
L o g 2 32 = 5
Calcular : “x ” , en :
3
O B S E R V A C IÓ N :
* 2S = 8 o Logs 8 = 3 o
-
3
EJEM PLOS : * 22 = 4 o Log2 4 = 2
* 2 a = 32
X
=> L o g , 1 6 = 4 L og
125
5 {1 2 5 ,
=> L o g
= -3
9=4
81 = x
R E S O L U C IÓ N :
U ) P A S O D E L A FORJLX L O G A R ÍT M IC A A L A F O R M A EXPO+YENIZAL :
* Por Definición : (H 3)x = 81
* S i:
* Exponente negativo : (3 ~I) X = 3 4 * Exponente de exponente : 3 * x = 3 4 * Bases iguales exponentes guales : - x = 4
L o g 8 625 = 4 => 5 4 = 6 2 5
-3 _ * S i ; L og, — = - 3 => 7~* = 1 7 343 343
* Si : L og
* Entonces: x = - 4
216 = 6 V®
=> Vó* = 216
EXISTENCIA DE EOS LOGARITMOS E X R EJEM PLO 2 :
* por definición sabemos que :
Calcular : Logí 6 128 R E S O L U C IÓ N :
Donde:
• Haciendo :
I) N t es el “ número” ; N > 0
L og
* Por definición : 16x = 128 * Homogenizamos las bases : Í24) x = 2 7
o 0
N
+ oo
[ A
#
v
+j¿M tíM £*C¿Tk.
I9S2 |
N e< 0 ; oo > 17)
6 , es la “ base”
:
b
>
0
a
^
* 5
b * 1
KCJCíjOPEDLX aoiaj
m
14 = 1 4 L og
m
j —: = y¡X + 2
yJx+2
= abe
I/7J a , es el “ exponente” ó logaritmo : a € R
a
_
f
x
_
7)
TEOREM AS SO BRE L O G A R IT M O S
+•00 i) DE
125
= [5 ]3 =
- 3] 9 ^ 9 216 = 3J2 I 6 = 6 [
P R O P IE D A D E S G E N E R A L E S L O S L O G A R IT M O S
_ 8
Logq 216
+ 00
O
a
Ln abe
* 6 4 ^ 45 = [ 4 ^ 45 ]
a 0
-4 0
* 1 0 L o g la -8 > =
L O G A R I T M O B E UN P R O D U C T O :
En cualquier base
( 0 < 6 * 2 ) , el logaritmo del
producto de dos factores reales positivos es igual a la suma de los logaritmos de los factores ; es decir :
* El logaritmo de “ 2 ” en cualquier base vale “ 0 ” y el logaritmo de la base es igual a “ 2 *9 EJEM PLOS : * L o g 5 l = 0 ; L o g Ql = O
;
Ln 1 = 0
e
M+,b < 0
b* 1
a
EJEM PLOS : * Log4 (3 x 7)=Log4 3+Log4 7
Lne = 2
* L ogs 3 = l
Dados: A , B
ID E N T ID A D F V N D A Á IE N T A L D E L L O G A R IT M O si el logaritmo de un número se encuentra como exponente de su propia base , entonces está expresión es equivalente al número , es decir :
* Log3(x2y4) = Log3x 2 + Log3y 4 * Log (x+ l)+ L og (x - l)= L o g (x + l)(x - l)=Log(x2 - 1 ) O B S E R V A C IO N E S : A) Si 0 < b * 1
a
M N > 0, entonces :
EJEM PLOS : * Logs (-3 )(-4 ) = Logs |-3|+ Logs \-+\ = Logs3 + Logs4 D E M O S T R A C IO N :
* Log [x (x + 2)] = Log |x|+ Log \x + 2|
* Por definición sabemos que
* Si x > 2 entonces:
L ogb N = a <^> ba = N
Lo g f x (x - 2)1 = Lo g\x\+ Lo g \ x - 2\= Lo g x + L o g ( x - 2 ) 3
* De don de: ba = N a = L o g bN
AI) (II)
* Reemplazando (II) en (I) obtenemos :
3
8
3
3
B) La propiedad puede ser extendida para el caso del logaritmo de un producto de “ ” factores reales y positivos , es decir Si: 0 < 6 * 2 y M JtM 2,M 3, ,3 f „ e l R + t i
* Entonces : Logb(MJM2...MH) = LogbMj + LogbM 2 +... + LogbMl EJEM PLOS : Los * 7
Log
5 7
= 5
*2
EJEM PLOS:
3 2
= 3
* L oge (2 x 3 x 5 ) = L og 62 + L og 63 + L og65
||P
n u n iN o s * L f l g , [ 3 x ( - 2 ) x ( - 8 ) ] = L q g í#3 + L <« J - ^
969
IBBS
+ L o í r < |-8|
= Lcíg^ 3 + Log^ 2 + Lqg^ 9 U ) L O G A R IT M O D E U N C O C IE N T E
EJEM PLOS:
“ En cualquier base 6 ( 0 < f e * i ) , el logaritmo del cociente de dos números reales positivos es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor”
* L¿)g3 2 5 —5 L o g 3 2
J * Lo8 4 \ ié \ = L o g 4 3 '3 = - 6 L o g 4 3 3 * L o g s 81 = L o g 4 3 4 = 4 L o g a 3 = 4 * L o g 2 1024 = L o g 2 2 '° = 1 0 L o g 2 2 = 10
EJEM PLOS :
* L o g g y¡5 = L o g B5 m = j L o g a 5 = j
* L o g , | = L og25 ~ L o g 23
EJEM PLO: * (L og 25 f = (L og 25 )(L o g 2 5 )(L o g 2 25)
* L>g25 = L o g 21 0 - L o g 2 2
S vece»
* L o g { ^ - ] = L o g (2 x 3 )-L o g 5
* L og h5 a = 3 L ogb5
= L og 2 + L og 3 - L o g 5
* L o g 3 16 = (L o g , 16)3 = (L o g , 2 4/
O B S E R VA C I O N E S : M A3 Si 0 < b * 1 y — > 0, entonces: N
O B S E R V A C IÓ N : * Sean A rea l, tal que n € N a A " > 0
EJEM PLOS :
EJEM PLOS :
* L o g a < - 2 f = 6 L og a \-2\ = 6 L o g a 2
*Log, [-§) = ^>g3MI- Pog* MI
* L o g 4 (x - 1)2 = 2 L o g 4 \x - 2|
= L og, 2 - L og 5 * h0** I f r j I= ^
= (4)3 = 64
I* ■- ■*1■- ^
* S i : x > 2 entonces : l*
-2
S i: x > 0 entonces: B) Haciendo Af = 1 , escribimos : ' I ^ Log, — = L o g b 1 - L o g b N , por tanto i
L o g 7( x - 2 ) 4. = 4 L o g 7 \x - 2\ = 4 L o g 7 (x - 2 3 * Pero s i : x < 2 , entonces : L o g 7( x - 2 )4 = 4 L o g 7 \x-2\ = 4 L o g 7( - x + 2) I V ) L O G A R I T M O D E U X A R A Í Z .* El logaritmo de una raíz es igual a la inversa del índice del radical por el logaritmo de la cantidad subradical , es decir :
EJEM PLOS : ;
* L og J l/ 3 ) = - L o g 9 3 * Log
x +1
= - L o g (x + 1)
b>0 ;
n * 2 ; n e Z +; A > 0
b *l
EJEM PLOS :
n i ) L O G A R IT M O D E UNA POTENCLX
* Laga4 5 - j u g a3 - j
* D>gs tf3 = l L>gs3
“ En cualquier base b {0 < b * J), el logaritmo de una
• LogÁÍ2 = í Log? 2
* Log yfx+2 = í Logíx + 2)
potencia de base real positiva y exponente real es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia” , es decir :
V) Si al número y a la base de un logaritmo se potencian o se extraen radicales de un mismo índice,
3
¿
[Tt#.
19 « * |[
el logaritmo no se altera , es decir:
EJEM PLO : Log 5 * L o g 5 = -----L o g g3 6
c o r o I jA r m o
L og 5 L o g 73
* Al pasar a base 7, el logaritmo de 3 en base 2 , resulta : j^ g 3 L og23 = L og? 2
EJEM PLOS :
• L ogr2 * f8 = U g ( 1 [ 8
iV r iíx o m w ,i 20 t é
) 4 = L og 2 8 = 3
C O N S E C U E N C I A S .*
: m, n e Z+ EJEM PLOS :
EJEM PLOS :
* L o g 3 = — -— 2 L °S 3 2
* L og 7 = — -— 5 Log j 5
I* g 2r 2 * = j- L o g t 2 = |
* L og 4 x L ogt 3 = 1 * U>g2781 = L og a33 4 = | *
U I) R E G L A D E L A CADEN A
(* + 3 / = ^ i o £ w I* + 3| = ^ Log^ |* + 3|
O B S E R V A C IÓ N : Si el número y la base de un logaritmo se pueden expresar en una base común , el logaritmo está determinado por el cociente de los exponentes de las bases comunes ; es decir :
:
Si en un producto de logaritm os un número cualquiera y una base cualquiera son iguales entonces estos se cancelan incluso el sím bolo logaritmo , es decir : •Si a > 0 , a * 1 ,
b >
O,
b *
1, c > 0
,
c*l
a
d
> 0
e se cumple :
; (b > O a 6 * 1) EJEM PLOS : * L og23 x L o g 34 xIx)g 47 x L o g 79 = Log ^9
EJEM PLO : 5 L o g 27 a = - ^ - = 2 ,5 2
* L o g a b x L o g bc x L o g c d x L o g d e = L o g a e
VI) Si el logaritmo de un número «a» en base «6» se encuentra como exponente de una base c (c > O) ; el número ua 99y la base “ c ” se pueden permutar , es decir: ^
Loe r *
= a
Log hc
°
EJEM PLOS : * 3 ^ 5 = 5 LOg23 * 3^
* 7 L os
45
=
5
L og4 7
2 (x+3> = ( x + 3 ) Log2
VMM) CAMBIO DE B A S E “ fcw A B A S E
éé_^99
En general todo cambio ae base implica un cociente de logaritmos , es decir : L og A ; x>Q a x * 1 L o g .A = L ogx b
S IS T E M A D E
L O G A R IT M O S
Se llama “ Sistema de logaritm o de base 6 ” al conjunto de todos los logaritmos de los números reales positivos en una base 6 ; por ejemplo , el conjunto formado por todos los logaritmo de base 2 de los números reales positivos es el sistema de logaritmo en la base 2. Entre la infinidad de valores que puede asumir la base y , por tanto , existen la infinidad de sistemas de logaritmos. Sólo dos de los infinitos sistemas que existen, son los de mayor aplicación matemática en diferentes campos profesionales: los lo g a ritm o s d ecim a les y los log a ritm os n a tu ra les. Se aplican por ejemplo en E conom ía, E stadística, A dm in istración , Ingeniería, etc.
p g i fl Tm m í TBHB f ) S IS T E M A D E C IM A L O M
B R IG G S í
Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base es 10 . Notación : L o g w N = L o g N
L o g N = 15,0515 + 9,5424 => L o g N = 24,5939 número de cifras de N : 24 + 1 = 25 tI)S IS T E 9 IA H IP E R B Ó L IC O N E P E R IA N O :
4
Se lee : L og a ritm o d e **N” El sistema de los logaritmos decimales es el más utilizado, sobre tod o en m ú ltiples cálcu los aritméticos, y tiene como base a 10. Para el cálculo de los logaritmos en éste sistema se ha elaborado, desde hace mucho tiempo atrás, diferentes TABLAS LOGARÍTMICAS; las primeras con cuatro cifras decimales de aproximación y las últimas hasta con ocho cifras. En la actualidad, éstas tablas logarítmicas han sido desplazadas y ampliamente aventajadas por las calculadoras electrón ica s y com pu tadoras personales; donde es posible calcular el logaritmo decimal de cualquier número positivo y con una cantidad deseada de cifra s decim ales de aproximación. L og2 = 0,301030........... Log3 = 0,477125...........
O
Este sistema es de mucha importancia en el análisis matemático, puesto que su base (el número e) se obtiene como resultado del cálculo del límite de una ¿ función: L i m i 1 + x ) x = e x-+0
donde el desarrollo de la función, aplicando el binomio de Newton en el caso general, es: / (l + x )
X
1
= .
X
X
0
\0 t
xl+
l
i X
X
\0 /
X
+
X 3 +
\0 /
en el límite cuando x-*o, resulta : i X
L im (1+X)
1!
x->0
L og5 = l - L o g 2 =0,698969...........
2!
3!
4!
Luego :
L og7 = 0,845098........... EJEM PLO :
*L o g 100 = L o g 1 0 2 = 2 * Log 6 = Log(3 ^ 2 ) = L o g 3 + L o g 2 E N G E N E R A L : __________________________ P a rte P a rte en tera
,
i
(característica)
d e c im a l i
(mantisa)
TEOREM A:
Para el cálculo de logaritmos naturales también se han elaborado tablas logarítmicas de este sistema; pero con ciertas limitaciones, dado que no es posible em plear crite rio s sim ilares a aquellos de los logaritmos decimales. Pero, conociendo el logaritmo decimal de un cierto número N , se puede calcular el logaritmo natural del mismo número. n o t a c ió n
:
Sea N > 1 ; el número de cifras en su parte entera viene dado p o r :
EJEM PLO : Halle el número de cifras de N = 2 S0 x 3 20 siendo : Log 2 = 0,30103
;
L og 3 = 0,47712
R E S O L U C IÓ N : Log N = Log 2 60 + Log 3 20 => Log N = 5 0 (L og 2 ) + 20(L og 3 ) =$ Log N = 50(0,30103) + 20(0,407712)
* L n l= 0
* eL"*=x ; x > 0
* Ln e =1
* Ln x =
Loge
•x > 0
ftr Ln x * L o g x = —— — ; x > 0 * L n en =n L n lO • Ln42 = L n (7 x 6 )= L n 7 + L n6 Dentro de éste sistema, hay que tener en cuenta dos valores «notables», que son: 1 * L og e = = 0,434294... L nlO
960 * L n lO =
XCiCIOPEOlA 2QÉ2\
EJEM PLO:
= 2,302585... L og e
R E L A C IO N E S E S P E C IA L E S L O G A R IT M O S
EN
I ) C O L O G A R IT M O Z Se define el cologaritmo de un número N positivo en una base b positiva y diferente de la unidad , como el logaritmo de la inversa de dicho número en esa misma base.
CoLoghN = Logb —
1
= -LogbN
Resuelva la ecuación: L o g ,x + L og 4 x ¡ - L og 4 x = 3 R E S O L U C IÓ N : Expresamos todos los logaritm os en una misma base, en el primer logaritmo, elevando la base y el número al exponente 2, se tiene: => L ° g 22x 2 + L og 4 x s - L og 4 x = 3 L o g j ? + L og4 x * - L og4x = 3 Usando la suma y resta de logaritmos, se reduce a un solo logaritmo en la misma base:
EJEM PLOS :
Log*
* C oL og 3 7 = -L*>gs 7
4 _
Si = Lo^ ^ 4 = Í
* C oL og 100 = -L o g lO O = - 2 MI) A N T M L O G A R IT M O S Se define como el operador inverso del logaritmo y se denomina también exponencial. Así:
= 3 ;L og 4x 3 = 3 = > x 3 = 4 3 =>x = 4
IN E C U A C IO N E S L O G A R Í T M I C A S
* C oL og x 1 2 8 = - L o g g 2 7 = - 7 * CoU>g» ( ¿ ) = ^
X 2X 2
A) Siendo
: 0
<
b
< 1 a
x¿
>
0 a
x2
>
0
* S i: LoghXj > Logbx 2 => x} < x2 *
S i: Logbx 1 < Logbx 2 =>
*
S i: Logbx > a => x < b a
B) Siendo: b > 1 a x ¡ > 0
ax
X j > x
2
2 >0
* S i : L o g bx 1 > L o g bx 2 = > x 1 > x 2
O
* S i : L o g bXj < L o g bx 2 => Xj < x 2
b > 0 ;b * l ; x e R
* S i : L o g bx > a => x > b a
EJEM PLOS : *A ntiL ogi 3 = 2 3 = 8
EJEM PLO :
♦ A ntiL og4 - U 2 = 4 112
Resolver: 2 A) x e R
P R O P IE D A D E S .
, _ , z . . ~ L °g & (x -5 x ) >2 B) x e { - oo; í) w (5 ; + oo)
D) x e ( - ® ; l ) o { 6 ; + oo)
' E )x e {-* ;
C )x e 0 2)n (5; + »)
R E S O L U C IÓ N : R E S O L U C IÓ N D E E C U A C IO N E S L O G A R ÍT M IC A S Para resolver una ecuación logarítmica, tómese en cuenta la definición y los siguientes criterios: ♦Si:
♦ Por definición:
x 2 ~ 5 x > 0
=> x ( x - 5 ) > 0
0 x e (-QO/0)u (6;+oo)
(I)
♦ Ahora como Í6 > 1 (base > 1 )
Loga(F(x))=Loga(G(x)) => F(x) >0 A G(x) >0 A F(x) =G(x)
2 -5 x> yf6 2
, siendo a >0 A a ^ 1 ♦ Si:
F (x )= G (x )
y
am bos
son
x 2 -5 x -6 > 0 = > (x -6 )(x + l)> 0
positivos
L oga (F (x ))= L o g a (G (x)) Para a > 0 A a * 1
x
e (-oo;-1)u (fí;+oo)
(11)
* Intersectando (I) y (7/3 se obtiene la solución : (I)n (II): x e ( - o o ;- í ) u { 6 ;+ o o )
R P T A : **D” L O G A R IT M O C O M P L E J O Sea : Z un número complejo , tal que : 0 = A rg(Z ), entonces su logaritmo se calcula según la siguiente relación :
0 = argumento principal EJEM PLO 1 : Sea :
Z = 1 - i = yf2e7*il4*2kwi L n Z = Ln\Z\ + i(0 + 2 k n ) => L n ( l - i) = LnyÍ2 +
+ 2kn i
de la humanidad por que cada año descubren miles de fórmulas científicas. Los biólogos lo utilizan para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. A plicacion es en la in g en iería , de hecho el comportamiento del universo desde el punto de vista científico es una función logarítmica (la exponencial 6), tam bién sirven para represen tar comportamientos de crecimientos de comunidades. Los logaritm os tienen variadas aplicaciones en modelos de fenómenos naturales y sociales: una de ellas es la escala Richter. E SC A L A R IC U T E R
Z
Una escala habitualmente utilizada en la medición de la intensidad de los sismos es la escala Richter.
donde —L n 2 + - ^ - e s el valor principal que se
Los grados se calculan m ediante la expresión
obtiene haciendo 6 = 0 .
Á\ R = L o g ” , donde P)
EJEM PLO 2 : £
Determinar:
A es
la amplitud medida en
micrómetros (1 micrómetro = 20"* cm) y p es el período medido en segundos.
•
V
R E S O L U C IÓ N :
EJEM PLO:
* Sabemos que :
¿Cuál es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 20 " 2 cm y su período es 2 segundo?
¿i = e iLn¡ = fA M *' 2+2k*)~] = e - i * ¡ 2+2k*) donde el valor principal está dado por : e~ * 12 L O G A R IT M O S D E N Ú M E R O S N E G A T IV O S El logaritmo para números negativos no existe en el campo de los números reales , pero si en el campo de los números complejos . L o g ( - x ) = L og x + 1,36439i EJEM PLO :
Log(-2) = Log2 + 1,36439Í => Log(-2) = 0,30103 + 7 , 36439Í A P L IC A C IO N E S D E L O S L O G A R IT M O S En la Biología se puede mostrar que se aplica en el calculo del PH que es el logaritmo de la inversa de la concentración de iones de hidrógeno, y mide la condición llamada acidez. Los logaritmos se aplican como el claro ejemplo de los estudios de Mendel, quien se dedicó a estudiar el com portam iento de cierta s plantas. En esta categoría es donde se realizan los mayores avances
R E S O L U C IÓ N : Como 2 micrómetro = 1 0 '4 c m , entonces 10"2 cm equivalen a 102 micrómetros. Entonces la cantidad de grados Richter
R es:
= L og
10*
=2
RESUM EN Z * En el campo de los números reales no existe el logaritmo de números negativos •Sean a y N dos números reales positivos y a & l , se llama logaritmo del número N en base a , al exponente a que hay que elevar la base a para obtener como resultado el número N t es decir:
LogaN =b & a b = N * El lo g a ritm o de un p ro d u cto es igual a la sum a de los logaritm os de los factores. * De igual manera sucede con los logaritm os de cocientes sino que en lugar de poner el sig n o + se escribe el signo (-). * C uando en una e c u a c ió n a p a re ce la in c ó g n ita co m o exponente, decim os que la ecuación es exponencial * Cuando en una ecuación el logaritm o incluye expresiones que contienen la in c ó g n ita , de cim os que la ecuación es logarítmica * E x isten d o s s is t e m a s d e lo g a r it m o s m á s im p o r ta n te s : el sistem a d ecim a l y el sistem a N eperiano.
I9 6 8 II
LA E N C U IMPEDIA]
L o g a 3 3 + L o g t (16 x 3) - L o g s 5 2 = 3 + L og¡ 24 + L o g s 3 - 2 = 1 + 4 + L og 3 = 5 + L o g 3
PROBLEM A 1 : Calcular:
L og
R PTA : “A ” PROBLEM A
3125
A) 1 B) 5 C )1 0 R E S O L U C IÓ N : * Teoremas :
D)
10
E)
3
4:
12
El logaritmo de qué número en base
5
A) 1024 B) 2048 C )40 9 6 R E S O L U C IÓ N :
3125= x
2 ^ 2 es 8
D) 2
E)2^2
* Sea **N ” el número pedido , luego :
* Aplicando la definición : (5 4 5 )* = 3125 * Ahora el problema se transforma a resolver la ecuación exponencial para lo cual se expresa todo en base “ 5 ” , es decir : 1 (5 1 x 5 2 >x = 5 6
PROBLEM A
* Como : b m x b n = 6 m+rt
C alcular:
• entonces :
A) 1
X= 5 B
L og
r N = 8 => N = ( 2 7 2 f S\2 8 N = 2 a x y¡2 = 2 5 6 x 2 4 N =
2 5 6 x 1 6 = 4096 RPTA: “ C 99 5 :
_ L o g G 2y[2 - L o g ss 5yÍ5 475 B )-l
D) -
C )-
15
R E S O L U C IÓ N : 3x
3x e 10 — = 5=>x = — 2 3
=> 5 2 = 5 5 PROBLEM A
R PTA : “ D 99
2 :
Calcular «x» en :
x = Log, A )2
B )-2
L og/
(2 1 x 2 3 ) - L o g 52 5 1 x 5 3
4 4 = L og s 2 3 - L og 25 3 2* * Pero por la siguiente propiedad :
(7 2
C )7 2
* Expresando en base “ 2 ” y base “ 5 ” los logaritmo respectivos , tendríamos :
D) -1
E )-j
R E S O L U C IÓ N : • Aplicando la definición :
* Se obtendrá :
Í9 1 1 2 X = — = > 2 x x 2 I= 2 2 = > 2 X+1 = 2 2 2 11 =>X , = -----1^> 1 X= ----X+ 1= — 2
2
2 RPTA: “ E 99
Log32 7 + L og24 8 - L og525
A) 5 + L o g s 3
B )3 + L o g 3 2
D )L og25
E) 2
4
3 5
3 _ 8. 2 15
2 _ 3
2 15
2 1 PROBLEM A 6 :
RPTA: “ D "
El valor de 10 108 7 e s : A)1 B )lo g 7 C)1I7 D )7 E) N o p u ed e ca lcu la r
PROBLEM A 3 : Calcular:
4
C )4 + L og s 2
R E S O L U C IÓ N : * Debemos aplicar en este caso la siguiente propie dad fundamental:
R E S O L U C IÓ N : * Recordando que : I)L o g hbn = n
• Entonces : IO1* * 7 = 1 0 ***107 = 7
II)L o g .b(MN) = L o gbM + L o gDN * Luego calculamos lo pedido :
PROBLEM A 7 :
RPTA:t(D ” Simplificar la expresión : 2 bogs S
[wsm cjm NW ts K i m t A r p s A)2sÍ2
B h¡3
C )6
B B g 9 6 9 iririW D )¿ 2
E) 7
AJI
B) 2
0 3
D) 5
E )j2
R E S O L U C IÓ N : ♦ Transformando adecuadamente los logaritmos , asi ;
R E S O L U C IÓ N : ♦Aplicando adecuadamente las propiedades; /" A Log 3 r (L o g ,8 \ T Loga8^ k _ 2 ga £
7 U ,g s (3 .6 ,
Logs 7
E = 4¡
4
7^ í 7
= 2 * * * ^ = 2 l* = 4 ¥ = J 8 = 2 J 2 R PTA: “A
, x
^LogB+Lag^ + 3 2 x 3 ZxWff 7
99
E =
PROBLEM A 8 : Calcular A n tiL ogP , 6Íendo : n =L r o g 75 P 6 16 A) 2 B) 0 R E S O L U C IÓ N
5 + Lto g -----32 2nT L og— 6 9 ^ 243 C )-2 D) 7 :
E=
. Log *
r 25 Log— * 81
t 81x75x32 r . = Log— — = Log2 25x16x243
♦ Tomando a n tílo g en ambos mienbros : a n tilo g P = a n tilo g L og2 = 2 R PTA: " A " PROBLEM A 9 : Calcular el valor :
A )— 17
B )— 51
E = ( l ' ■ l ? t 9> = i f Í 6 = 2 RPTA: “ B ” PROBLEM A
11:
Efectuar : E = lo g t¡u_ 8Ü 64 + lo g 6 ^36 1VÓ13 lVij6 A312 0312 C 313 D) 14 R E S O L U C IÓ N : E
=
=>E = L og
^¡( 8B) x ( 64) +
)
+ L og
114 E) 19
R E S O L U C IÓ N :
E) 15
$ ( 2 16) . ( 2 S) + Log l^ < 6 f . ( 6 ? )
+ L og327$3 110 D) 21
C )2
*3?
Log
r 75 32 Log— x * 16 243
M = L og s 16 + L o g ^ 4 9
x7
E) 0,5
♦ Cuando se tenga sum as y restas con vien e transform ar la expresión a logaritm o de un producto o un cociente : ♦ Entonces : n r 75 r 32 P = Log— + L o g 8 16 8 243
J 7 1 * 7 Ia* * 3 + 9
■ « ? # >
E = L og ¿, 2 e 3 + L o g e32 2J= - ^ - + - ^ = > E = 7 + 7 = 14
♦ L ogs 16 = L o g 2 3 2 4 = Í L o g ¡ 2 = j
R P T A :“ D
99
PROBLEM A 12 : * * * * „ * 49 = * * * ? « » ?2 = ^ w
7‘ = T
“ 7
Calcular el valor de la expresión: F =
♦L og 9%2 7 4 3 = L og 3 S3 x 3 1/3 = L o g 393 im =
10 3
♦ Finalmente se pide : 7
3
21 R PTA: “ D ”
A) a
c 6
B) a c
C) bc
D ) Loga
E) SLoga
R E S O L U C IÓ N :
F = ^Loga - 5(- Logc) - 2(-Logb) Log4a3 - Logc5 fe2 éC 3 3 => F = —Loga + 5Logc + 2Logb + — Loga - (Logc6 + Logb2 )
PRO BLEM A 10 :
2
+ 3 2+L og5 7
Calcular el valor de : E =
2
♦ Transformado la expresión :
M = i + ± + !o = u o 3
Loga - ScoLogc - 2coLogb + L og VQ.
*7* * * 6
3
2
3 3 => F = —Loga + SLogc + 2Logb + — Loga - SLoc - 2Logb
2 F=3Loga
2
RPTA: “E ”
[ A
J
J
[»70 H
A
M
.«¿ 1
L V fK X O P m i )
PROBLEM A 13 : El cologaritmo con base 10 de ATÓ es igual a: A )-l B) -0,4771 -C) 0,5 D) O E )-0 ¿
* L o g ^ j2
= - 9 L o g ^ j 2 = -9
R E S O L U C IÓ N :
PROBLEM A 16 :
* Se pide: coLog'JlO = -LogyflO = -L o g lO 112 = - — 2
La igualdad : x = á A ) a > 2, x g R
R PTA: “ D f f
a se cumple si y sólo s i : B )a > l , x g R - {0 }
C ) a * l , x > 0 ,a > 0
=> coLogAíO = - 0 ,5 R PT A : “ E ” PROBLEM A 14 : Determinar el valor de : W = L o g {a n t i la g 4 [(L e g t 5 + 2 ) - 1 ]} A) 2 B) 4 C )6 R E S O L U C IÓ N :
D) 8
E) 10
* Si efectuamos por partes : L og2 5 + 2 = L og2 5 + L o g 2 4 = L og 2 20
D )a
g
R -{1 },x g R -{0 }
R E S O L U C IÓ N : ♦ De la definición de logaritmo se deduce que: ♦ La base de un sistema de logaritmo siempre es una cantidad positiva diferente de 2 . ♦ En el campo de los números reales , sólo están definidos los logaritmos de los números positivos . ♦ Si la base es mayor que 2 , se tiene : Log*> O = +oo , Log.0 0 = —oo ♦ Si al base es tal que 0 < b < 1, se tiene : Log. 00 s -00 , L og. 0 = +00 b b R PTA : “ C f f
* Reemplazando en W * Transformando adecuadamente . W = L o g {a n tiL o g 4 [L o g t 20 -27} * Efectuamos :
PROBLEM A 17 : A que es ig u a l:
Logs 2 0 - 1 = L og s 2 0 - L o g f 2 = L og s 10
p=
♦En W : A) 5
W = L og {a n tiL o g 4 (L og s 10)} * Usando propiedad :
2 1 + Log Jbc
l + Logi a c
B) 4
0 3
1 + L ogjab D) 2
E) 1
R E S O L U C IÓ N : * Sabemos que :
W = Log{anH Log4(Logt 100)} 100
* Luego en lo pedido , se obtendrá :
= > W = L oglO O = 2
R P T A : “A f f
+ -------------1________ + ________ í ________
l
P =
L ogao + L oga b c
PROBLEM A 15 :
L o g bb + L o g a a c
L oge c + L ogea b
* Por propiedad :
Calcular (* -i?_ * [^antiLogr* ( * * * « [ a n tiU ,gm { ^ g r>8 D ) -9 Eh5 B s B )7 C) 8 R E S O L U C IÓ N :
2 + 2 + 2 L og 0a b e L og 0a b e L o g Ca b e * Se sabe que : L og m = — - — * L ogmb
P - Ij0 g ^ a
* Nos piden : f
a h t iL o g ^ L o g ^ [a n tiL o g ^ ¡Log ^ 8 ^
= -9
+
L oS -. b + L o g -. c abe
abe
=> P = L o g L a b e => P = 2 RPTA: “E ”
—28 -9
PROBLEM A 18 : Si L og 2 b = 4 , hallar “ a*' en
• P ues:
-9 L og t \ 4 ¿ % -\ = 6
-3
? coL og ^ _ 8 = l o g ^ 8 = L o g i 2 jl6 = ~jj^L o S s 2 = -2 8
* antiLog
vt
- 18=tÍ2~í9 = 4 2
-9
A)
42
B )42 C
) Í
4
E)
42
[b w o to a to
nwJBKfrias
R E S O L U C IÓ N : ♦Si L og o 6 = 4
• De d on de:
> b=2 4 * Luego en (I) :
+ 6 = 16
# % «vi [ f ) = ^ 2 ‘.V
1x1 6 + x = 1+ : => x = - ( 2 - 6 ) ¡3 j 2
•Luego: L og0 \ 4 a ^ - \ = 6
RPTA; “A ” L og 2 {l2 8 4 a ) = 6=> 1284a = 2 6 /—
1 2 8 4 a = 64
^
2 = r
1 fl= ¡ RPTA: “ C ”
PROBLEM A 19 : Sean a , 6 y c tres números positivos diferentes de 7 * s i: x = Log C O y = Log C el valor de log a6C será (se supone a b * l ) x2 * y 2 C )J L + y D )s ± y xy AJ BJ E) x+y x+y y x xy x +y
L og c a + L og c 6
•449044f l ]
• Reemplazando en / / / : 2 xy E = 7 "x +y 2+ y *
R P T A : “ E 99
*
2 -6 C) D )5b+1 E) ^ b+1 2 3
R E S O L U C IÓ N : • Dato : Log 123 = 6
a
ej
o -2
R E S O L U C IÓ N : • Nos piden calcular : Log 102 = 2Log 10 = — 2 — 3 3 L og3 • Pero : a - 6 = L o g 6 / - L og 4 / , r f. 6 /], _r .6 ( 6xx66 x 4 /] => a - 6 = Log
Log 100 = f— 3 a -b -1
* Transformando adecuadamente lo pedido:
P R O B L E M A 2 0 .: Si L o g J23 = b, hallar L o g 128 . B )^ b -1
2 -3 C) D) a -b -1 l +6 -o
A) 1,4116 B )l,7236 0 2 ,2 2 3 6 D )1,7060E )2,0103 R E S O L U C IÓ N :
_
A j^ (l-b )
2 ... 2 A) B) a - 2 ' b -a -1
PROBLEM A 22 : Los logaritmos decimales de 2 y 3 son : Log2 = 0,3010 ; L og3=0,4711; calcular Log42880 con cuatro cifras decimales.
L o g .c = y => L og a = —
#
L og (61) = a L og (4/J = 6 Calcular L og 3 100 en función de «a » y «6».
RPTA: “ C ”
L o gbo = x => L o g C6 = — x
—
S i:
=> a - 6 = LogSO => a - b = Log3 + Log 10 => Log3 = a - b - 1 * Reemplazando en (I) :
R E S O L U C IÓ N : E = L° g ^ c 1 E= L og c ab
P R O B L E M A 21 :
calcular : L og ¡t 8 = x
* Sumando miembro a miembro : 6 + x = L ogj324 b + x = L o g jt (1 2 x 2 ) 6 + x = l + (ía g 122 ) ............41) • De la pregunta : * = L og tJ8 => * = L o g a 2 3
E = Log 42880 = LogflO x2 t x 3*)* 1 E = í[L o g (1 0 x 2 s x3 1)'\ 2 E = /-[Log 10 + Log25 + LogS*] E = ~ [ l + SLog2 + 2Log3] £ 2880 (2) 1440 2 720 2 360 2 2* 180 2 2 90 3 45 32 3 4 15 (5) 5 1
RPTA: 4,B 99
v
t L
G
F
I I l t
i 972
A
1
L A ENCICLOPEDLf]
PROBLEM A 23 :
PROCEDIMIENTO
Indicar el número de cifras del producto de:
* Sea
2*° x 3 " s i ' 1* * 2 L og3
0,30103 0,47712
B) 14 C) 15 R E S O L U C IÓ N :
la ecuación : L og aP = L o g aQ
D ) 16
A) 13
E N L A RESOLUCIÓN í
E) 17
• Se aplica el logaritmo a dicho producto: L og (230 x 3 I5) = L o g 2*° + L og 3 ts => L og (230 x 3 15) = 20L og2 + 15L og3 • Reemplazando : Log (220 x 3 ls ) = 20(0 ;1 0 3 ) + 15(0 ;47712) -» L o g (2 20 x 3 t6) = 13 ; 17740 • Se sabe que : Característica = # de cifras - 1 • De donde:
I) D ebem os g a ra n tiza r la existen cia de los logaritmos , para ello debemos analizar la base y las expresiones P y Q que depende de la incógnita, es decir , debemos hallar los valores de la incógnita que satisfagan lo siguiente . P > 0 A Q > 0 A a > 0 A a * J ........................ (I)
II) Hallamos los posibles valores de la incógnita haciendo : P = Q ......................................................... (II) III) Finalmente, las soluciones de la ecuación lo encontrarás intersectando los valores obtenidos en (I y I I ) : 3 C . S = (I) n (II) PROBLEM A 25 :
# de cifras = características + 1 # de cifras = 13 + 1 = 1 4 • Entonces el producto 2 20 x 3 15 posee 14 cifras : R PTA: “ B ” PROBLEM A 24 : La cantidad de sustancia en el instante t es dada C (i = C f0J e **', donde t es el tiempo transcurrido , k es constante y C(0f es cantidad de sustancia presente en el instante 0 , Hallar el tiempo que debe transcurrir para que la cantidad original se reduzca a la tercera parte . L n s D / - * _ r V in s ' LnS c'R E S O L U C IÓ N :
Resolver : L o£ x ( 7 - x ) = L og x (x - 3) A j{ 0 ;4 ) B) 3 C) 5 D) 4 E) 7 R E S O L U C IÓ N : D ( x > 0 ) y ( x * l ) y ( 7 - x > 0 ) y (x ~ ~ 3 > 0 ) 7>x
=> x e < 3 ; 7 > ....................... II) Igualando los argumentos : => 10 = 2 x III) Finalmente (I) n (II) : solución
= i 5}
Esta inecuación se caracteriza por tener al menos una incógnita efectada del operador logarítmico . > - = e K‘> 3 Ln3 * t, = R PTA : 4tE 99
E C U A C IÓ N
L O G A R ÍT M IC A
Es aquella ecuación transcendente donde , por lo menos , una incógnita está afectada del operador logarítmico . EJEM PLOS : • Log$x = -L o g 4( x - l ) * 7 =
RPTA: (tC 99
IN E C U A C IÓ N L O G A R I T M I C A
* Cantidad fin a l: C„ , = "i* 3 *P ero: C(tj) „ , -= C,„,e~K‘> or
( i ) - ” -
(II)
=> 5 = x ..............................
* Cantidad inicial: Cl0)
Ln
(I)
7 - x = x -3
C onjunto
(0> = Cm e * t‘
x>3
* L o g ( x - 1) = 2 x - 3
1-L n x2
EJEM PLOS : * Log3( 5 - x ) > 2 * L og ¿7 + x)< L L ogJ l-x)
PROCEDIMIENTO EN L A RESOLUCIÓN í * Sea la inecuación : L o g a A > L og a B I)G aran tizamos la existencia de los logaritmos, por definición se debe cumplir : > r f C on ju n to d e A > 0 A £ > 0 A < z > 0 A a * 1..............
Valores
adm isibles II) Dependiendo del valor de la base , pueden presentarse dos casos :
w im m \
r o c .iit iT M o y ]
* i " C A S O .»
Si: A > 1
a
L og A > L og B o A > B
E l sen tid o
5 x - 6 * x 2 ...
(
se ca m b io
=> 0 * x 2 - 5 x + 6 (x -2 )fx -3 )< > 0
(i d
x e [ 2 ; 3 ] . ............ III) De fl) o (I I ): C on ju n to solu ción PROBLEM A
= [2 ; 3 ] R PTA : " B ”
27 :
Resolver L og íx 2 - 1) > L o g (2x + 7) Donde : ffx ) = L o g a x
S
3
A) < - 2 ; l >
* 2° C A S O : Si 0 < a < 1 a Loga A > L oga B o A < B ir
A)
°
B) < - 2; - i > u < l ;4 >
DXd
C )< 1 ;2 >
E)R
R E S O L U C IÓ N : I) Determinando el conjunto de valores admisibles
re. v A)
l
fx 2 - 1 > 0 ) A (2x + 7 >0) - + { fx + l ) f x - l ) > 0 )
L ogA
Ix>gB
*i\\ B \ 1 A V
=> C .V . A . .* < Donde : /Tx) = L og a x III) El conjunto solución se obtiene intersectando
©
- 1 > U < I ; + oo >
/ / ) Luego como la base es menor que 1 , entonces : x 2- 1 < 2 x + 7 ►fx -4 ) fx + 2) < 0
©
- ___►*£ < - 2 ; 4 >
CASO PARTICULAR :
(II)
IIZ) Intersectando fl) y fU ) :
Sea A positivo : j ^ g A > 0
. x e < - 2 ; -2 > u < 2 ;4 >
S i: a > l = ^ A > ! S i : 0 < a < 1 => A < 1
R P T A : “ B 99
PROBLEM A 28 :
O B S E R VA C I Ó N : Resolver : L og (5x - 6) 5 L og t x 2 n A 6 1 A) <-2;3> B)[2;3] C)[-2;3> D) <-2;31
1
7 2
>x * -2 x -S < 0
los valores-obtenidos e n ( /) y (g ) .
c.&=©
►n
1
-1
A f x > - ^ )
E) 0
R E S O L U C IÓ N : I ) ( 5 x - 6 > 0) a fx 2 > 0)
Resolver la ecuación 2 £^ síx+lí=3 A) Í5 B )9 C )2 6 D )2 J R E S O L U C IÓ N : * Como :
E) 63
L o g a( x + l ) = L o g ^ f x + D ^ L o g ^ f y x + l => L o g 8( x + l ) = L o g 2y/x + 1 * Como lo dado se transformará , en : ^u»gs ^íx+i _ ^ ........ |R ecuerda q u e : b 10*8** = Afj
'C on ju n to x e < —;+ oo> d e v a lores 5 a d m isib les ' II)Luego como las bases son menores que 1,entonces:
* Por la identidad fundamental: y/x + 1 = 3 => x + 1 = 2 7 => x = 2 6 RPTA: “C ”
Igg ll PROBLEM A 29 : El cuádrupo del logaritmo de un cierto número excede en 4 al duplo del logaritmo del mismo. ¿Cuál ea este número?. A) 10* B) 103 C)10* D)1Ü* E) 10 R E S O L U C IÓ N :
* Sea “x” el número , luego según enunciado, plantearemos : 4L ogx — 2 L ogx = 4 ►2 L o g x = 4 > L o g x = 2 = > x = 102 RPTA: “ D ” PROBLEM A 30 : El valor de «x» en la ecuación: L ogyfx - L og 3 = — e s : 2 A ) 9\flÓ
B )90
C)3\fl0
D )60
IJÍ ENCICLOPICMA)
L og6 3 x = 2 L o g x x
L oge 3 x = 2
i ^ > 3 x = 6 2 => x = 12 R PTA : “ D ” PR O BLEM A 33 : Para la ecuación: 1 + 2 L o g x - L o g (x + 2 ) = 0 La suma de las raíces es : A) 1/10 B) -116 0112 D) 2 E) -1/2 R E S O L U C IÓ N : * Transponiendo convenientemente : L o g (x + 2 ) - L o g x 2 =1
1 óA => x = — 2
2 5
X = ------N o cu m p le
> L og x - L og9 = 1 => L og
RPTA: 4,C
P R O B L E M A 34 : El conjunto de soluciones reales de la ecuación : 10000Lotx - 4 xlOOUgx + 4 = 0 e s : A j#
(!)-
B ){¡2 )
D ){-¡2 ;¡2 }
x = 90
C) {1 ; ¡ 2 }
E ){l;¡2 ;-¡2 }
R E S O L U C IÓ N : R PTA : “ B ”
* Transformando , resulta :104Logx ~(4)102Logx + 4 = 0
P R O B L E M A 31: Hallar " x ” en: L og (xl) (x + 5 )= 2 D) 8
1 0 1***4 -(4 )1 0 * * * * * + 4 = 0 E) 10
■=> ( x 2 - 2 ) 2 = 0 => x 2 = 2 x = y¡2 * Luego el conjunto solución será : {4 2 } R P T A :“ B ”
=> x 2 - 2 x +2 = x + 5 => x 2 - 3 x - 4 = 0 = > (x ~ 4 )(x + l) = 0 ^ x = 4 ó x = -1 * Se descarta x = - 2 , ya que no pertenece al C. V. A. entonces : x = 4 R PTA : “ B ” P R O B L E M A 32 : (L ° g e * ) (L o g x 2 * ) (L o g ^ 3 x ) = L og x x 2 D ) 12
x4-4 x 2+ 4 = 0
x = ±4 2 ; P e r o x > 0
l) Conjunto de valores admisibles (C. V. A .): x - 1 >0 x >2 => x e < 2 ;+ oo > ü ) Luego: ( x _ 1f . x + e
A) 2 B)4 C )1 0 R E S O L U C IÓ N :
= 10'
= > x + 2 = 1 0 x z = > 1 0 x2 * - x - 2 = 0 * De donde: (5 x + 2 ) (2 x - 1 )= 0
E)30
2 L ogyfx - 2L og3 = 1 2 > L o g {y [x ) - L og 3 2 = 1
A) 2 B) 4 C )6 R E S O L U C IÓ N :
^X2
L og
R E S O L U C IÓ N : * De la expresión dada :
Luegom : — = 1 0 1 9
SáJáMtá
E) 24
* Aplicando la regla de la cadena , en a el primer miembro , resultando : Logg3x = L ogxx
PROBLEM A 35 : Resolver : , L>gx A) {5;10} B)
1QÉ _
O {3;100} D ){10} E)
U >"}
R E S O L U C IÓ N : * Tomando logaritmo en base x ambos miembros : -— = L og L ogx (Logx)2 = Log 100 - Logx de donde tenemos: 2 Log2 x + Logx - 2 = 0
K
Í 7
l f .V
O
97B
^
* Por aspa siempre : (L o g x + 2 ) (L ogx - 1 ) = 0
* La solución se obtiene reuniendo los resultados de las dos condiciones : - cd< x < - 312 v 313 < x < + oo R PTA : “ A ” PRO BLEM A 38 : Indicar cuantas soluciones enteras positivas posee la inecuación :
L og x = - 2 v L og x = 1 2 => x = v x = 20 200 * En la ecuación original ambos verifican : CS =
200
; 10
L o g t { x 2 - 8 x + 15) < E o g ^ fí/x2 - 3 x + 2
RPTA: “ B ”
PROBLEM A 36 : Hallar todos los «x» tales que : L og 13 x > Log¡ t x R E S O L U C IÓ N : * Transformando a base 1/3 , aplicando la fórmula del cambio de base , se tiene : V °g m
Log ¡x =
x
2
A) 2 B) 4 C) 6 D) 0 R E S O L U C IÓ N : * La inecuación es equivalente a : L og 1 ( x 2 - 8 x +15) < L og
j
(x2-
E) 8
3 x + 2)
2 1 * Luego el conjunto de valores admisibles (C. V. A ):
4
^1/3 4 • Luego , la desigualdad se escribe como : L ogtx
~2
x 2 + 8 x + 1 5 > 0
a x 2 - 3 x + 2 > 0
=> C V A = < -q o ; 2 > u
< 2 ;3 >
u < 5 ;+ o o >
L og x
-
=> L o g ^ x L ogt x > 3 L og, *
L og
1-
> 0=> L og f x
i
-
4
*
>0 lo g
i4
* Luego : xs - 8x+15 > x 2 =>X<
=> L o g ^ x ( l - L o g 4 3 ) > 0
L o g , x ^ l - L og^
* Puesto que :l - L o g 43 >0 ,también debe cumplirse:
• Intersectando
-
3 x + 2 pues base
11
S
S , n CVA
Log 2 x > 0 * Tenemos CS = < -< * > ;!> u <2;
3
• Donde por ser : fe = — < 2; se tiene : 5 o Log x > 0 = ^ 0 < x < a r - « 3 x e < 0;2>
13
-» Ninguna solución entera positiva . <2
PROBLEM A 37 :
R PTA “ D ” PROBLEM A 39: Sea x un número positivo. Determine el máximo intervalo donde se encuentra comprendido : x Ln\ x+1
Resolver : L o g 5 12 x -| > 4 A ) < - e o; - 322>u<323;+oo> cm d )0
< 0 ; 2 >
B ) < - 312;313] E ){312}
R E S O L U C IÓ N : * La desigualdad tiene sentido si : 2 2 x - 2 * 0 = > x * — ; de otro lado por ser : fe > 2; £ Log5 |2x-2|>4=>|2x-2|>54=>|2x-2|>625
A )< - oo t0> B)<0,+ oo > C)<0,1 > D )<-1,0> E)[-1,0J R E S O L U C IÓ N : x
1 * Como x > 0 , se tie n e 7 = 2 --------- 7 x+1 x+1 * Además : x + 2 > 2 O 0 < —- — < 2 x +1 < $ -!<
A) S i: 2 x - l > 0 = > x > —,»(I) / \ 2 x -l> 625 =$ x > 313. ..(II) 2 * d e ( I ) y ( U ) : x > 3 1 3 ó 313 < x < + oo B7 S i: 2 x - 2 < 0 => x < Z ...... (a) 2 = $ 2 x - l < -6 2 5 =$ 2 x < - 6 2 4 => x < -322...(p) * D e f a J y f p 7 : x < - 3 1 2 ó -o o < x < - 3 1 2
— < 0 o 0 <2 —< 2 x +1 x +1 x <1 <$0< (*) x +1 * Tomando logaritmo Neperiano en (V
Ln
x x + 2
<0 RPTA:“A ”
131 ore I
u L v a a ow a M ^ Calcular el valor de: L og 3
si: L og ( ^ í ) Indicar correcto (c) o incorrecto (i) según corresponda: ( ) 2W
■G)-
2
A L o g j 2 g 3 —Z
B)3
A) 5
©
j
02
E)0
D)1
De los datos:
= 43
L og(5x) = a L og (x - 1 ) = b además: a = 6 + 1 , calcular «x» A) 10 B)2 03 D)20
( ) Log20 - L og 12 + L og3 = L og5 A) ccc B) iii C) cic D) ici
E) cci
( í í ) Resolver en «x» la ecuación:
(^ (I n d ic a r la tabla de verdad: (
) 1 - Log5 = L og2
(
) L o g 25 L o g G3 L o g 38 = 3
(
)L o g ^ 4 i^ 0 ,5
A )V W
B)VFV
2(7***”* ) + 5 (x Log° 7 ) =343 A ){$ 3 )
C )F W
D )W F
E)FVF
D)U
E ){j6 )
Calcular: E = 8 * 2 A)
1 9
12
C)2
D)2,5
E)3
A) 92
B )25
C>— D )4 5 E )3 5 Calcular el logaritmo en base 4 del logaritmo
o
94
D) 95
E) 96
C /U >
D ){-6 }
E){)
(T(Í)Si: H (n ) = L og 5 ^ n ^j , calcular: E = H (l) + H (2) + H (3) +*... +H (24)
C )2
« - s
E )-2
A) 1
B) 2
0 -1
D )-2
E) 3
7)Si {L o g 2a } es el con ju n to solución de la
Si: L o g 2L og4L og 2L og 4a = 0
ecuación: L og3(x + 3 ) - L og 3( x - l ) = L ogj5.L og57 indicar el valor de «a» .
lMg4U )g2lA>g4lA>g2b =0 hallar la relación entre a a 6. A) a = 2b B) a = b: C) a = b4 D ) a = 4b
Bf 4
A) 2
0 6
D) 16
E )4 2
E) a = b Si a > 6 > c > J, resolver en «x» la ecuación
Calcular:
L og K 3 2 ^ * 2 3
( l + L o g ea )L o g ax L o g bc = L o g bx L og cx L og ac
P = 4Log9S B)8
B) 93
indicando su C.S. A) { - 6 ; 1 } B ) { 6 ; - 1 }
de J2 en base 16.
A) 4
6
a)Resolver: x 108x6 - x 2 + 5 x
calcular: gt*>ga5
m
D)
25 E) 18
¿cuántos valores enteros puede tomar «x»?
L ogt( 7 x + l l ) = 5
B )-2
C)1
13
F (x) = L o g (jt_2i(99 - x j
>5)Si {a } es el conjunto de solución de la ecuación:
A )2
23 B) 24
Para que la función esté definida:
calcular: E = (L o g ba )(L o g 427)
m
E ){9 }
se obtiene: A )E = 1 B )E = 2 O E = 3 D) E = 0 E) E = 8
L og jb 7 = 7
A )5
D ){y f3 }
(l^ )S i : a 2 * 4 b = L oga ifb + L og b2 a
= 5 » además:
B)l,5
C ){4 3 }
E = (2tog3 ) ( 3 Loso>5) ^ ( 2 Loe2s )($L°g0’25 j
indicando su C.S. A){6;-6) B ){6} C ){-6}
AJI
B ){ 3 }
( f £ ) Después de efectuar:
Resolver: 2 L o g x = 3L og2+ 2Log3 6 L og 12 - Log6
Si:
E)1
016
D) 32
E) 64
A) {0 6 }
B) {ac)
O ( 6c>
D) {a 6c}
E) {a}
ves
fUjgtgj 077 tSBS
fttm t& o s
Si: L o g g 3 = a , indicar; L og ¡464 A)
2+a
B)
C)
1+ a
3+a
D)
E = /A n tilo g e25L og ,sL o g 49\¡7
3+a
E)
4+a
se obtiene: A) 1/2 B) 3
O 1/5
D) 4
E) 1/6
Al reducir:
Si: M = ^ 5 2+u>8g4 + 3 ULo& 7
E=CologG2sAntilogBLagir3AntilogQglá>gQjA n tilog23
calcular: (M -9 )tM‘ 7> A)8 B)81 C) 16
D)64
E)25
se obtiene: A) 12 B) 6
O 24
D) 8
E) 2
Sea: P = L o g b [A n tilo g ^ [L óg bS(A n tilogb4 3 )]] C O L O G A M U T M O -A N T I L O G A K M T M O S (S 7)In dicar verdadero (V ) o falso (F ) según
Indicar el valor de ~Colog3P A) 2 B) 4 0 8 D)3
E)6
^ j t ) Calcular: R = A n tilo g ; C o lo g y ^ L o g ^ 4
corresponda: ( ) C olog23.C olog67 = L og 23Logs 7 ( ) C olog2
indicando la suma de cifras de R. A) 9 B) 7 012 D)10
L og2 5
E)8
^ Í ) S i : A n tilo g xA n tilo g ^ A n tilo g 23 = 625 ( ) C ologs 7 = L o g ¡7 3
A )V W
B)FFF
C)VFV
D)FVF
E )W F
calcular: E = C o lo g 2 x A) 5 B) 1 O 10
determinar: F(10) A) 6 B) 8 0 -5
( ) A ntU og24 = A n tilo g 42 ( ) A n tilog ^ 2 = 4 B) cci
Si:
x =
C) c i é
D) ice
E) ici
A n tilo g 5 2 + A n tilo g i2 2
y = 7 A n tilo g ls 2 + A n tilo g 8 2 calcular: y j y - x A)1
B)2
determinar: C ologn4 A) 2 B) -2 0 4
E) 5
D)4
E)5
El valor reducido de:
D )-4
E )-l
(í^ )S i: a = C o l o g €A n t ilo g 3(L o g 31 2 + l ) calcular: A n t i l o g í a A)0f5
C)3
D) -2
¿J)Si: n = A n tilo g 3*[L o g Q(A n tilo g ^ 3 ) ]
( ) C olog3A n tilog 35 = - 5
A) c c c
E) 2
Si: F (L o g ^ x )= A n tilo g (x - 8 )+ C o lo g 3x
£j)Marcar correcto (c ) o incorrecto (i) según corresponda:
D) -1
B)2
04
D)0,25
E)16
( í » ) Resolver: x L o g 2 -C o lo g L o g 2 = L o g L o g 16 A ){2 }
B ){4 }
C)
||J
D ){j2 ]
E ){-1 }
E = C olog 4L og¡A n tilo g J2L o g ¡s 625 es: A) -2
B) -1
OO
D) 1
E) 2
Luego de reducir:
L o g x + C o lo g y = L o g 2
E = L ogsLogsAntU og$Logí s2,25 se obtiene A) 1
Bj 2 Si: x =
0 3
Dado el sistema:
D)4
E)5
2x*y = A n tilo g 26 indicar el valor de «x», A) 4 B) 8 0 6
D) 2
E) 1/4
A n tilo g 256L o g 16L og25 7 5
calcular: 7 4 x + 3 A) 1 B) 2 0 3
(j ) ? )Luego de reducir:
(í^)R esolver en «x »: L ogxa (I+L°8ab,= l D)4
E)5
A ) B ) { - a b )
C){ab } D)
E ){a2b2}
I A ENCICLOPEDIA
9 7 8 11 Si se resuelve el sistema:
Calcular el valor de 44x ” si :
3 x .2y = 676............
•(1) (2)
L o g ^ ( y - x } = 4.... se logra que: L o g (6 x y + 5 x + 5 y ) sea: A)1 B)2 C)3 D)4 m
L o g 2x 2 + L o g 2x 3 + L o g 2x s = 60 AJ {8}
A) 2
E)6
f á a o o o ) 1*** = ** B )2
C )3
D $3
yLnx=e9
(2 )
EJ 12
(Tí)Calcular: E = Log^ 3 •
5 .Log
7 . Log^ 2
B )s\¡17
C J17
D jty ittd
E) 210
Resolver: L o g ( x + 1) + L og ( x - 2 ) = 1 B) 4
0 6
D) 2
E ) -6
^ H a lla r “x ” si: L og2 (L og3 (L og6x ) ) = 0 A) 125
B) 8
O 27
D) 64
EJ 1
Hallar :
( t 1)
B)2
A)1
D) 10
A )-3 (1 )
D ) {6 4 } EJ {1 024}
0 8
E )$6
Dado el sistema:
calcular: L n
B) 4
A )^ ¡2 ld
L n (x y )= 6 ,
O {32}
Hallar: E = L og 2 9 L og 3 25 L og 6 8
m
Si x e R + - {1 } , calcular « x » de:
A)s[2
B) {16}
D)4
06
E)3
AJ 4
BJ42
0$4
DJ8
EJ16
5 ) S i : L og2 = a y L og3 —b
©
encontrar la alternativa equivalente de Log72 . AJ a 3 + b 2 BJ2a + 36 O S a + 26
Calcular :
D ) a + 26
L o g ? 49 - L o g 49 7 B) -4 0 1 ,5
A) 0
D) 4
EJ 8
Calcular : LoglOO - Logiq i101 B) 2
A) 1
0 3
Log
242
m
B) 21
8 0 31
Calcular : 2 L o g „ yfñ
AJO
EJ 7
B) 1
Dj 41
E) 7
Logee
B )2
D) 2
0 -2
Ej 42
0 3
D) 4
E)
B) 100
0 2
D) 4
EJ-2
Utilizando la identidad fundamental, hallar : E = 2 Logz8 - B1***7 + 1 0 A) 6
B) 7
O 8
DJ 9
E )0
Resolver : 2 5 Lo*b{x-1) = 9 AJ {-4}
B) {4}
DJ 4
EJ5
Hallar el valor de : P (l)+ P (3 )+ P (7 ) A) 2 B )3 0 4 DJ 5
E je
a4
0 3
O i -2}
A) 1 5 ;-2 } B J { - 6 ;2 }
O {5 ; 2}
DJ {-2 } EJ {5 }
Resolver : L o g ( x + 2 ) + L o g ( x - 1) = L o g l8
(^Rtj Calcular : Log300 - Log3 A) 297
BJ 2
Resolver : L og (x + 3) + L og x = 1
£ ) Calcular : Log2 + Log6 AJI
Calcular el valor de " x ” si : L og3 ( 5 x - l ) - L o g 3 (3 x -5 ) = 2
S i : P (x ) = L og2 ( x + 1)
Calcular : Al
D) 4
EJ2a + 6
A) { - 5 ; 4)
B ){4\
S i: L og 2 =
C) { - 4 ; 5) a
a
L og3 =
D) {-5 }
E) {6}
6
Calcular : L o g 108 AJ 2a + 6
B ) 2 a + 26
D )3 a + 26
E )3 a + 2b
O 2a + 36
Hallar el valor de : D JA yB
E J B yC
A) 625
BJ 125
0 25
DJ 5
EJ 1
|P?!fr 9 7 9 wmgg
M*wTnrN4*&
Calcular " x ” si : L og x = 3log6 - 2L og3 + 3 L og2 - 3 L og 4 A) 18
B) 6
C )4
D) 3
E) 2
Utilizando la definición de logaritmos , hallar;
B)2
k)3
° !
D)
Calcular : E = g ^ * * 3 + B) 10
.t H
f T .U
D)4
05
B) 2
L o g 1 ,2 = 1 O x = -2
Loge ( x 2 - 5 x ) = Log39
®§
B)2
C)-4
D)8
+
O 11
D) 12
E) 13
0 3
D) 4
Calcular:
E) 5
Log24 + Log3 9 —L o g 10 A)1 B)2 03 D)0 E h4 ( ^ í ) S i: L og 5x = 3 1 señale la suma de las cifras de “x'\ A )6
B) 7
0 8
D) 9
E) 10
Calcular Log j\3 + Log 100 s\ A)1 B)2 0 -1 D)0 E)-2 Calcular:
^E fectuar : L o g 98 + L o g 932 + L o g 9128 B) 12
A) 11
O 13
D) 14
E) 15
(fó^)Calcular : - L o g i l O * ) - L o g 3243
L o g ^ 4 + L o g 3 y / 3 -L o g s 6 B )-l 02 E)4,5
A)1 0)3,5
Calcular: B) 2
A) 1
0 3
D) O
B ,{-
'r L o g x Vx + 2 L o g IxJ B )-l,5 Chl E)2
E )-6 A )l,5 D)0
Resolver : L og 64 = 12 X A ,i
C .Í 2
D)Ü2
E) 4
Calcular el valor de:
aDResolver : L o g 9L o g A x + 2 ) = 2 A) {81}
B) {79}
O {83}
D ) {4}
E) {60}
Resolver: 52 lo85 x + 32log 3 2 _ t Xog7 4x A) 2 m
B) 10
O 11
D)15
E)20
G = L o g 8 64 B)2 03 E )5
A)1 0 )4
Indica el valor de: L = L og^ 2 7 A)8 B)15 012 0 )9 E)6 Calcular el valor de la expresión:
Los valores de “ x ” que satisfacen la ecuación:
M - 3 x Log2 $2 + Logy¿$2
L o g ( 3 5 - x a) _ = 3 ; son: Log ( 5 - x ) A)Log 2 y Log 3 D)Sólo3
g
E)1
Reducir : B = L og 25 .L o g 56 .L o g 67 .L o g 7S A) 1
Q
Hallar la menor solución:
A)3 A> 9
C
Resolver : L ogA x + 14 + L ogA x + 7 A)x = -23 B)x = 23 D)x = 2 E)Más de una
L og r 2 V4
» í
I O
A)1 B )2 y 3 E)Log 5
03
0 )4
E)5
Determina el valor de :
O S ólo 2
17= Log 2 || -L o g 04
El valor de “ b ” que satisface la ecuación: (Logb9) -4 L o g b9 + 4 = 0;es:
B)2
A)1
B)2
03
0)4
5 2 E)5
E)12
]
9) Efectuar : L o g 0,6 4 A)2 B h2 C)l/2 DJ-1/2 E)1 Simplificar: m M = Log32xLog75xLog02xLog23 A)7 B)Log72 . 05 D)Log,7 E)1 ©
A)1
( í f í ) Reducir: 36Log73L°SS7Log3B A )6
B)6
036
D) —6 E ) - 6
Hallar el valor de: K . l « i * * * — 1* " * A)10
Calcular:
Lt C T iaOlTOM]
I
[980
B)20 0 3 0
D)40
B)20 E)50
0 30
©
Calcular:
A)5 B)3
04
D)8
E)102
Calcular: L o g ^ > ¡3
Hallar: — A) i
03 5
C)2
D)25
034
Simplificar: 1 + L og26 L og36 B)2
A3I
03
D)4
A)1
(2% l2)+(362) Hallar: 26 AJI B)l!2 C )-l D)-H2
E)2
falso (F):
A)5
II)L o g ^ s f y = $ L o g r y ; x , y € R * *n € N III) = L o g c a ; a ,b ,c g / ^ , 6 * l , c * 1 L ogbe
O FFV
Log s 27
A )~ 3
B)1
C) | 3
03
O IS
Determinar el valor de “ x n
Indique
V
D)2 o
F
E)1 según
W L o g mb " ss L o g J b ; a ,b € R * , n € N ¡ a * 1
1 L o g ab
035
Si se tiene: L o g x 2 = 6 x Hallar: 20 A)1000 D)500
B)20 E)200
050
Si: L o g ( L o g x ) — 1
I ) L n x = L o g , x ; d o n d e : e = 2 ,7 1 8 2 8 1 ...
Ul)
B)71 E)9
= L o g ba i a ,b € R * i o ,b * 1
B)VFV E )W V
Hallar: A)10 DJ102
0)2 E)10 -J
O 1 0 i0
7j Determinar el valor de Mx ” en la ecuación: L o g 2 (L o g 91 x ) —L og 2 3 A)312 D)38
0)3* E)3
O S4
Hallar ux n:
OFVF
XX L o g s 3 = L o g 52 x L o g 2 3
5 ) Llenar el espacio en blanco:
A)1
L o g u 25 = |
B)2
03
D)4
E)5
Resolver la ecuación: O 625
AJO
L o g (x + l) = 2 0 )5 07 D)9
E)1
Determinar * x + y ” , si: X = 11 LT o g —
D )5
E)4
y ( í í í ) A plicando la d efin ición ,
L o g ^ + 2 l o g 2 + L ° g \ ~ + L og4 B)2
E)5
y = L ° g ¿ 3 81 Señale el valor de: x + y A )ll B)12 D)14 E)15
L og K2
+ Logaa3
Reducir:
AJI
E)3
3
Indicar la respuesta: A)5 0)225 D)55 E)1
( í ^ ) Simplificar: ¡Log s15-Log 7>¡49]
4
B)4 0 3
AJFW D)VFF
I )L o g {x + y ) = L o g x + L o g y ; x , y £ R *
7
D )%
corresponda:
Indicar verdadero (V ) o
B)VFF E)VFV
C )*-
A = 3 6 Log* 6 Calcular: L ogA16
Si: a%b =Logab;a¿b =Logba
A )F W DJFVF
B )2 Si:
E)5
D)4
x = L o g 232
A)21 D)0
B = L o g 220 - L o g 2 4 XJ
03
en la ecuación: L o^ x+3j74 = J
L o g 2 2 + L o g 10000 A —2 x L o g 2 3 x L o g 3 5
Si:
E)50
Log 72xLog3 e]LoS23 l j ¿ E ^ A) 10 D)40
B)2
D)
E)5
Simplificar: YLog73 +10Log5 A)2 B)4 06 D)8 E)10
x -y = 9 OH D)12
hallar la suma de las cifras de ux n
A)9 B)10
en: L o g s x = 4 A)7 B)8 0 9
^ í ) Determine ux ” :
D)10
Encontrar “ x ” si:i: Log^x+q (2 x —3) ~ 1
E )ll
E)13
L o g (2 x ) = L o g s 2 AJLogS D)Logt10
BILogJO E)1
OLog2
[i
'z n m m v M *
w
ím
m
s
9 8 1 «3*591
’
M A > 4 ¿ ,\ K M T N m & ]
Hallar “«?” en la ecuación: L o g j r - U ^ 7L og6a B)2 C)3 D)4 E)5
A)1
(^ ? ) Resolver: L o g j x = 2 A)10 DJ1000
Resolver: L ogx2-L o g y = 2
O io-9
B)3
C b2
A)0,5„ D)4
E)5
&) Si: L o g 6 yfx = 2 ; L o g y 8 = Hallar “ x + y ” 0621
B729 E)59
B)1 E h2
D )0 ,3
L o g a 2 + 1 = L o g 4 16 03
m
Si:
que:
3 ; B = L o g 74 A = Log,* L o g 7 16 9 [4 D ) —-j- E)0 2
( Q ) Simplificar: y¡25Loea7Log73 + 1 6 Log*sLogS E)5
D)4
03
Sabiendo que:
O 0 ,6
L ogx m 2 = a
Indicar: j o +4 AJI
B)2
03
E)5
D)4
lx) D eterm ine la suma de valores de " x ” que satisfacen:
A)0
B)1
02
a 2 +62 =520a6; a > 0 calcular el valor de:
L ogx a D)3
E)4
A) 3 D) 4,5 © Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
A)1
B)2
03
D)4
Si:
m A - LogB7xLog¡3xLog926xLog74 Hallar: “ A + 5 ” A>7 B)5 03
E)0
L o g 2 ( x —l) + L o g 2 ( x —3) = 3 A)5 y -1 D)-5 y - i
B )2 y 3 E)5
05 y1
y = L og612 x y —2
calcule el valor de: E = — -----
( )S i Log^3 = x -+ x = 4 m
es 20,V xeR A) V W D) FVF
B) F W E )W F
O FFF
E = Wo<*f3o6^25W5a + 49Log7b
D )2
B)>¡5 E)1
D)t
W2
Calcule el valor de: sabiendo que : a*2003
ecuación:
A)2yf5
c?4 Á
3Logha+2Logmb - LogJaIb).Logt)(ab')
x 2 - J ó x + 1 = 0, calcular:
Resolver en Mx w:
a
( )S\Log3x = 2 -+ x = \L
Si a y 6 son las raíces de la D)1
fe>0,
C )4
B) 3,5 E) 6
S i:x = L o g 2436
E = 5 Lo#5te-*; + jLog7(x+8) E)5
a
5 L og ¡(a b ) -i
E = L og 2
( JE1 valor de:
E og[x+q 3 + L o g 6 2 — 1
L ogym s = b ,
a
a+b A ) ^ ± B) ab C) 3a+2b ab a+b ab 2a+3b D) E) ab 3a+2b Sabiendo que:
A )-i
Hallar Mx ” :
C) 3
5
(¿Tí) Hallar MA + B ” , sabiendo
A)1 B)2
E)5
hallar el valor de: E = Logj^n
L oga9 =
A)H B ) - C ) - l 4 2
D)4
Resolver: L ogx 64 = 4
Resolver:
A727 D7629
A)2
3 Logb(c a s )+ 3 Calcular: A + B + C AJI B) 2 D )5 E )6
C=
L ° g l 2x - l ) ( x + l) = l
Indique el valor de uy n 8)10* Ano E 10** D)10 1
B)2
O100
Resolver:
x 2 + 10y = l l
A)1
B)1 E)l/10
Dados: 2 Logc(a 2b3) + l 2 BLoga(b 3c ) + 2
O^r
A )-7 D) -3
a
b^.2004 C) -4
B ) -5 E) -2
Si L o g 2 = a a L o g 3 = b , m hallar un valor de " x ” en: 2 x 9 x + 15x4x = 13x6x, x * l a -1 a -1 a -2 A)
D)
b +a i-o
b -a
B)
E)
b -2 j-o
b+a
C)
b -2
; h ‘= I 9 8 2 Sabiendo que 6. * e F + a b * 1 , además:
M E X C iriJtP E D IA )
|
©
Simplificar: r {L o g 4 4 8 ) (L o g 8 4 ) —C olog 164 L —-------------------------------------------------(L a S r,S O ){L o e ,a « j » ) + í j
A n ti logb C o logb L ogbx = ¡ calcule el válor de: M -L o g bi { - C ologbA n tilo g xb 2003 ) A) 2003
B) 2004
C) 1002
B)1
C )4
D )8
E )1
E) 2006
D) 1000
Reducir la expresión: ©
Halle el valor de:
E = A n tilog I0 a
A) yjabc
B) 2
Logb
Logo
C)1
+
C
D )a + b + c
© C a l c u l a r 2 6 + 1 , si: 6 = A) 1
L o g (L o g o )
+ b
L eg a
B )J a b c
L o g (L o g c )
D )4
Logea
Logac + Logbc + l
Logcb + Logab + l
Logba + Logea + l
E )a b c
E )5
2n
2 ) La siguiente expresión: F = £ ( L ogQib ) 1 , es equivalente a:
L¿>gab
se obtiene: A)1 B)Loga(bc) C )log h(ca) DJLogJab) E)Logak3
^UAnHlogCologl 4 - 2Log2+Logl 0 0 0 -1
C )3
Logbc
_ Si: L o g 61 5 = a y L o g J21 8 = b , hallar en términos de a y 6: L og¿524 b -5 A) 2 b -a -a b -l b -5 O 2 (2 b -a -á b -l)
a -5 B) 2 (2 b -a -a b -l) a -b a -5 E) D) 2 (2 a -b -a b -l) ab
11 Calcular « y » en: (L ogsy ) Log{iZ=z
A )Logb(Y*xai)
B )lD gb( ^ inai)
i= l
C)Logb( Y j h )
i= i
D iL o g ^ ^ a i)
¡~ i
£)C oiqg6( ^ x a ¿)
i= l
i= l
Sabiendo que: L ogaba = 3; además: E = Logab3\[a4b , dar como respuesta el valor de E'1 A) 0,5
B) 1
O 1,5
D) 2
E) 2,5
Indicar la sum a de cifras de « y » . A) 9 B) 10 O 11 D) 12
E) 13
C L A V E S D E U P R IM E R A P R A C T IC A p )¿a *)A 9 )B 9)B ñ)ít 6)B\7)B 8)D 0 ) 0 10)Bj \ñ m it)B Vl)A í 4)0 H ¡m i7)c Í8)R m e 20)C C L A V E S D E L A S E G U N D A P R A C T IC A E S * ) ® H)B 9)B\S)€\6)B ¥ )C 8)K 9 ) 0 10)D\ll)D\12)B 13).1 14)Allñ).\ W Ü t7)C 19)ü [m Vi .
Hallar el valor de: 4 Log
E =L og
4A* í 4
■5------------- 5 -
* 4 3B* )
... n
té r m in o s
si se cumple que: L o g LogA4 B + L o g LoeB4 A = 2 A) 0
B) n
O />*
D) nA
E) nB
Si: L og 2 8 = a ; Log21 = b y L og25= c t entonces el valor de L og27, en función de a, b y c, es: A)3(b - a + c - 2 ) B)3(b - a - c - 2 ) C )3 (b -a + e + 2) D ) 3 ( b - a - c + 2) E)2(a + b - c + d) Sabiendo que: a, b, c, x , y e R + - { 1 } hallar el valor de:
Log
abe
U* > V ¿ u * - yJ y A )y
B )— *
C)1
D )xy
E)(abc)xy
•
CMAVE S B E MA TERCE R A B’ R U ' T H 'A O I) 0 6 ) 1 1 ) 1 6 ) 9 1 ) 0 1 )
c C E B C C
) A 0 7 ) B 1 9 ) B 1 7 ) E 9 9 ) B 0 2 ) E
0
9
) B 0 8 ) C 1 9 ) A 1 8 ) E 9 9 ) C OS) D 0
9
) A OO) C 1 9 ) E 1 9 ) B 9 9 ) 1 1 0 9 ) E 0
9
) IO ) IB ) 9 0 ) 9 0 ) 0 5 ) 0 0
A E C C € B
CLAVES DE LA CUARTA PRACTICA 01/c 02: A 03/D Oí; B 05/B 08; C 09/B 10) B 06/C 07/A 15/ E 13/A 14/E 11/A 12/ C 16/B 17/ B 18/ D 19/ E 20/ A 03/D 05/C 01/A 02; D 04/ E CLAVES Pt LA QUIMA PRACTICA 03/C 04: B 05/C 02; D 01/C 09/D 06/C 07/ A 08; A 10/C 14/B 15/D 13/D 11/B 12/A 19/A 20/E 16/E 17/ E 18/E 03/ D 04: C 05/A 02; A 01 /C
C L A V E S D E L A S E X T A P R A C T IC A \2 )B \ n )A \ 4 )E r 5 )B \ 6 )C [7 )A \ 8 )0 Q)C]1Q)E 1 )B flt m 1 8 )C W )Á ]i5 )V \ 1 6 )m 7 )B U8)A 19)020)
B^l m
TBHM
P R IM E R A m
P R A C T IC A
W
N ) Si : ( « + ! )
f J K
lS O
R
IW
C M
f v
]
A 3 = 228
Calcular el valor (5 ? ) Determine el exponente de 2* en : 2 ^ AJ4
B)6
C)8
«/R eferente a 5
A)1
D)2
E)3
, determinar el valor de
verdad d e :
@
B)H2
D)3
02
E)5
S i : a 6tt = 3
Calcular el valor de A)9
B)3
081
D)27
E)129
I) 4 es exponente de gZ3 II) 4 es exponente de 2 a
^ í ) Reducir :
96x + 8 1 ^ + 27*x
III) 4 es exponente de 3
A ) 9 6x+3
5x+2
IV) 3 4 es exponente de 2 A )V FW B )F F W OFVFV Simplificar :
m
2
(
XX X
3
x
0 9 «r+1
x x ;x * J ? -{l} B)8 O x7 Simplificar :
;x * 0
a3a3
4
Eh2 4
Si:
03 -28 04 k -2 * 05 _m -2 „ -1 2 2 x 5 x2 x5 x2 x5 x2 ^ ~Iñ 0-2 5 x2 Determinar inar el valor de “ m - n ” . A)2 B)4 0 -1 ,0 ) 4 7 2 ^ * 3 IS * 2 * *
J
loo
A)9
5 16+ 5 X 5x +52 B)8
E)0
< g )S i
x ax b
E)x*
x2x3
n S *>2q2 q2 O O mmM
••••*
90factores
4J
=5
determine el valor de **x9 9 03
Dh9
3
6
)
E)7
t determine el
2a+c . , . valor de : -tt——2» ^ O a o ^ O 6o+u
r-1
A)1
(2 3 x32 )
B )3
@ )S i: D)65
R
30factores
En:
Determinar el valor de “ 10**” . A)10 B)100 064
D )x a
2x3x2x3x D)1
E )3 I2 x + 1
100 fa c to r e s
>X*X
E indique el exponento de x . A)2 B)3 0 -1
0 )9 ^
Determine el exponente de xren :
E )W W A) 7
2004 2 )
^4009^.4006
X
D)VFVF
B )9
E)63
D ado:
02
D )1 E )1 *6+s = ( 2 a )b = (4 a )b I , determine el valor
d e : b*]¡8a A)1 B)2
03
D) 4
E)8
5~13 x 2 a* x S 23 x 2~s* x 5** = 3a5 b Determine el valor de : a + 6 + « 6 A)2 B)3 OO D)1
© > Si: ^ 2 * 6 * 12* 20*so) _ 7 m+n , donde “ m E)H2
es par y **n9* es impar , determine el mínimo valor
Si x*=3 ; determine la cantidad de cifras que tiene: x x A)4
l+2x
- X B)3
3x 1+x
de: 02
D)1
E)0
-2 Determinar A)110
B)100
; si: a 2°* = 4 O 10
a
b h= 2 5
D)5
m
A) 64/3
n \n
B)32
064/9
S ¡ : x * "f* =+Jx - 2 E)lilO
99
valor de : * + — x
D )l¡3
E)3
,determ ine el m ínim o
XCMCiMPEDLX 8012]
i»8 * I A )3
B ) —yp2
©
D ) - 2s¡2
0242
E )2
BJ2
AJ3
04
DJ5
EJ1
(x + í f - (x - l ) x Si: — 7---- iw ------- iv— = 1 .determine el valor
Simplificar : i
*
(x + l ) ( x - l )
r
d e: * 4 + ~4 B) í £
»k
Si : a ° valor d e : AJI
C) - ‘Jb
A)300
b-1
b BJ1/2
01/3
DJ 2
EJ3 B )2
valor d e : a»
ba
y
>
D)yfE
f
P R A C T IC A
6“
R JE *ffu P A R C IA É -
Sabiendo que x = 2 + 4 3
4
9
BJ1
E)5
<
(“ 6) AJ2
C)3
S E G U N D A
b
$
1
EJ326
9 + ------= 13 í determine el valor de : x4
determ in e el
S i : a 6 6 fl = 2 A f l 6 + 6 ° = J
kü
a
DJ322
2x4 +3 A)1
r
CJ324
BJ320
Si: 4x
d eterm in e el
"Js b ;a * 6 * 7 a
EJ 1
D )a
y = 2 - 43 »
DJ98
EJ 11243
4
DJ3
04
a
EJ1/4
AJ843
BJ16
O 32
Si. a + b = 2 005 y a b = - 2 004 ; calcule el AJ4
BJ2
016
DJ1
valor de : (a * + 2 ^ 6 * +
EJ42
AJ2 005 Si: (8 x )* = 8 a* » determine el valor de : x AJ89
088
BJ87
DJ 8®
BJ 4
+ 2 a b { a + b + 2) -1 O I
D )0
EJ -2
Se tiene x = $ 6 - 1 , luego calculex 3+ 3x*+ 3x
EJ8
AJ 6
BJ 8
CJ 7
DJ 9
EJ5
Reduzca:
^ 5 ) Si: yjx'[x\jx\fx2 = 2 x * ; x e R* .determine
(a + b + c j2 + (a - b + c j2 + (a + 6 - cJ* + (a - b - c )2 el valor de : x x AJ6
x
2
+ 2
-> ¡2 x 0242
BJ4
DJ342
EJ2
Resolver : 3fx 5 A )3
-
BJ 3 VS
0 4 { a 2 + b 2 + c 2)
D J 2 [a 2 + b 2 + c 2)
DJ3114
Determine el valor de :
EJ3V2
Si: 2 X + 2 x+ i + 2 X+2 = 5 6 .determine el valor 2 > \3 + .........
fH ?
AJ2
BJ5 Si:
CJ5/2
DJ 25/4
EJ2/5
$ 2 4 7 + 4 Ü 3 Í Í 2 4 7 -4 Í ¡3 = 4 m - 4 ¿ B ) 43+1
+ b4 J + ^a2 + b2 J (a + b )2 a 6 | o2 + 62J si sabemos que se verifica : a 3 + 6 3 = a b ( a + b j;
determine el valor de : A) 2
BJ (a + 6 + c j2
EJ 4 {a + 6 + c ) 2
=3
0 3 1,s
A ja 2 + b 2+ c 2
>
además a + 6 * 0 AJ3 BJ6 m
C )y f3 -1
D) 4
E) 5
CJ13/6
DJ3/2
EJ 1/2
Dados los números :
A = ( ¡ 3 + 242 +>/3-2>/2) + ( ¡ 3 + 2 4 2 - 4 3 - 2 4 $ ]
Determinar la parte entera de : $ 4 9 + 2 0 4 6 + Í¡49 - 2 0 4 6
B = ( ¡ 3 + 242 + 4 3 - 2 4 2 } * - ( ¡ 3 + 242 - \/3 - 2 4 $ ]
[k
g
H
f T f f . v o
Determine : AB 47 40 BJ 16
BBS »WJ1
g
020
0 )2 4
MKMSO
R
t H
C
M
I .
]
S i : f(x ) - — — = f f x + 1) a f f x ) * O f(x )
E)32
Si tiene que : determine:
a + b + c = 3 y a 2 + b3 + c 2 = Encuentre el valor de : (a + b )2 + (b + c )9 + (c + a )9 B) 4 C )10 0 )8
A) 6
A)2
B) 5
H
halle: ( * * + * * + ! ) * - á [ x 3+íj¡ B) O
C)10
D)yfE
E )8
B J -J
0 0,75
D )l/ 2
( H ) S i : P (x ) =
E ) 1/4
[B (3 )]'
B )6
C )8
P [ 4 2 + 1) + P{\Í2 - 1) +
O) 13(4
E) 1
A) 2
D) 5
E) 13
E) 21
B )-6 \ Í2
C )3
p
{-2 4 2 ) D )- 42
E)>¡3
S i : A,_ . = x 2 y B fx. = x (x + 2 ), iX. h
3 x + 100 x-3
A (m ) ~ B (m )
determ ine:
Arro-22"Brm-j; A)4
calcule: n+fj(n - 4)nS+5 É )7
X
SÍ: P (x ) = x 5 - x , determine
además : P (P (n )) = 2 ,
A)8
- i
calcule; P (1) + P (2 ) + ... + P (9) A )ll B) 109 0 10 0 )9 9 9
(a + 6)2 + (a - « * C)4
i y * XJ
halle : [A (2 )]* -
(T fo Reduzca : (3a + 2 b )2 + (2a - 36) 2 donde: a + 6 * 0 AJ11 BJ 13/2
E) 4
( Q ) S i : P (x ) = 3x* + 3 x + 1,
calcule : f(0 f75) A) 1
O) 6
X+
M
A)12 Si : f(x ) = yfl + T x - y j l - y f x ,
03
Si:
E) 6
S i: (2x - l ) 9 = 5,
A)1
r2 rl m r 1+ m * + m
D )9 f
C )-8
B )3
02
0 )1
A ( x ) representa la m ultiplicación
E) 10
E) -1 de dos
números contiguos a x. Si Vx e R + y 8e tiene f ( x ) = ^ \ halle el menor valor d e :
f (/(/> (* ))) + ( / > ( / > ( , ) ) ) ) B)5
A) 4
B )2
O 2/2
O x+31
Si: J * + L ' X) x4+
x2
D )x + 41
2 P (x) + Q (x) = 3 x - 5 P (x )-Q (x ) = 6x + 8
B) 42
A) 63
B) x+21
E) 3
determine : P ( l ) + P (8 )
halle : P p £ ) .
halle : J
Siendo :
E)3
S i: P fx + 2 ) = x 3 + 3 x * + 3 x + 3,
A )x+1
Determine A (J) + A ( 2 ) + ..................+A (10) B)l/2 01/3 0 )2 A)1
f
+ ^ 2 +5,
E)10
( l + 2 ri]_ l + 2n
( nJ
1+n
calcule f(4 )x f(5 )x f(6 )x A)1
1
0 )2 9
Conociendo la expresión
E )x
x*
09
B) 2
..xf(9)
0 3
0 )4
E)5
rj)El polinomio : A ) x B + - 48 + 5 D) x 8 + 18
B )x8 + Z8 + 7 8 E )x°+8
C )x 8 + ~ y + 8 x8
P (x ; y ) = x n+9 y n S + x a+? y " + * 2n+1 y s tiene grado absoluto 27. halle : G. R . (x) + G. R . (y)
U A) 21
C)31
B) 10
D) 27
I
086 |
E )24
Halle el menor grado del polinomio : / \nIf2 P (x ) = x 8 + x n!* - 3n ( x " ) -1 0 x + 3
Determine el grado del siguiente polinomio: P ( * ) = ( * * + y ) ( * < + y * ) ( * # + y s ) ... ( * " + / ° ) A) 20
B) 220
C)30
D) 166
A) 5
B) 196
O 23
D) 19
y
E) 202
D) 2
E)6
x ± z _ l_ 12 + x 2 ) 2 x
calcule p (3 % ¡2 ; 2y¡4^ .
P (x ) = (x * + x s + l f
a
Q (x ) = ( x 3 + 3 x 4 + 6 ) ,
halle el grado de : R (x ) = P (x )Q (x ) A) 12 B) 43 017 D) 5
A )0
dividir:
P(x ; y) = x n* y 018
D) 10
E )1 3 Ó 9
Sabiendo que : P (x + 2 ) = 6 x + 1
y
D )$ 2
E) \¡6
si se sabe que los restos de
4x7 -6 x * + a x 2 + x + b
0220
D) 160
E) 230
(^fí) Determine el a + b t si los términos : P ( x ; y ) = (a + 3) x a*+ty 6
Horner se obtuvo el siguiente esquema : a 6 e f ! g h b 2 m ¡ r i it n 6 c i d i 1 -1 2 2 3 i \ í Calcule: e + f + g A)7 B) - 7
Si P (x ) = x " ' 3 6 x s ' m- 8 es un polinomio , indique el grado de : f í x 2) = 5" x*"+i*. A) 26 B) 13 0 10 D) 12
N 1
E ){3 ;-3 }
E) 76
En una división efectuada por el método de
1
Q (x ; y ) = 6 x 10 y b Son semejantes . A )3 B)5 0 8 D )-5
x 2 - 2x + 4 Son (x + 6) y cero respectivamente . A)12 B) 64 O 8 D) 20
m
P(x* - 1) = / f x 1),
calcule : f í l ) + f(2 ) + f(3 ) + ... + f(1 0 ) B)226
0 2
x 2 + -2 x 4-2 n -3 x s + mx
homogéneo .
B) 13
B )1 n Halle ( a + b ) — m
E) 7
Halle el grado absoluto del siguiente polinomio
A) 200
0 8
Si : P ( x ; y ) = —
(0 > S i:
A) 19
B )4
E)110
S) S i: fía*) = a 4 - 2 y P (a ;b ) = b* + a , A) 199
XCICIMPEDIA 2 0 t i ]
0 1
D) 10
E)3
D) 10
E) 9
Determine el residuo en :
E)17 A) 8
(2x - 5 )4 + x 2 4x - 12 B) 11 0 12
T E R C E R A Calcule el producto
P R A C T IC A
de los restos de las
siguientes divisiones : 0
(x * -i)\ (x -iy
Dado P ( x - 1 ) = ( 2 x - 3 / " + 4 x 4 - 5 ; n e Z I)
Calcule : £ coef. de P (x -1 )+ término independiente de P(x - 1 ) A)60
B)70
O 65
D) 55
E) 50
-7
B )1 3
O 27
D) 30
D)
x 2 + x +1 B )4 (x+ 8 )(x - l ) 2 E ) - 5 (5 x
1
2 + 4x
-
O x - 1
3)(x - l ) 2
Halle la suma de los restos de las siguientes
+ ( 1 0 - n ) x 2y 6+n, m , n e Z +
A) 34
4 xs s - 5 x 26 - 4 x 4 - 1
A ) - 5 x2 - 4 x+ 3
(8 ^ ) Halle G J t.(x )+ G J L (y ) del dominio.
2+n ,.2m P ( x ; y ) = 6 x 2
II)
( * - 1)3
E) 32
divisiones :
fjgfl 007 IBTOI (* + 2)7 + 3 ( x + 2)S + * + i
B
x2 +2x + 3
©
B )5x+ 17
C) 5 x
D )x+ 1
E )5 x +9
C
M
i ,
]
Sea : P (x) un polinomio mónico que cumple
Halle el resto en : P ( l ) = 1 ;P (2 ) = 2 ; P ( 3 ) = 3, además °[P (x )] = 3 .
* ( * - i ) 3 + ( * - 2 )4 (x - l ) ( x - 2) A )x-1 &
i H
por x* - 1 y x - 4 . Si al dividirlo entre x + 3 da como flx ) resto 56 , halle el resto en x -3 A) -48 B)24 O -24 D )-8 E)40
x ( x - 2 ) ( x + 3 ) + ( x + 2 ) g +6x
A)5x+1
K
Sea : flx ) = x 4 + a x 3 + bx3 + c x + d divisible
( x + 2 )(x + 3 )
II)
H K r jt& a
B) 2x
Halle P(4) . A) 4 B) 3
C) x - 2
D) x+1
E) x
Indique el resto en : ( x + 3 )s D )3(x+3) E)8(x+3)
Halle el resto en la división de :
E) 11
El polinomio P (x )= a x 4+ b x 3+ e x 2 + d x + e
dividir EíüL es 72 . x A) 288 B) 308
0 88
D) 144
E) 72
Al dividir un polinomio flx ) entre 2 x 2+ x + l t
flx ) = (x - 2 )(x + 2) b con x 2 - 4 A) x + 2 B) x - 2 C )0 D )5
E) 3
tai Calcule el resto dividir : 14 ( * + !) " + 7[x* + 2 x + l ) + 3 {x + i),7+ ( - x - l ) * + 3 entre x* + 2 x + 2 A)2x B )2 x + ll C) 2x +1
D) 9
es divisible con x 2+3 y se anula para x = -1, x =- 2, Calcule a + b + c + d + e , si se sabe que el resto de
x ( x + l ) 3 ( x + 3 )4
A )-8(x+ 3)4 B)8(x+3)4 C )0
O 10
se obtiene como resto 2 y un cociente q (x) tal que q(l) = 8 . Halle el resto de dividir : A) 8
D )-4 x + 5
^^ 16x - 16 O 33 D) 1
B) 0
E) 5
Si P (x ) = x a - 3 b 2x + 2 c 3 es divisible por
E )x + ll
separado con (x - a ) y (x - b) , calcule :
P (x ) es un polinomio que verifica : i
P (2 x + l ) - P ( x ) = x a - 1 Si r¡(x) es el resto de divivir P (x ) entre x - 3 y rt (x) el resto de dividir P (x) entre x , calcule r ¡(x ) - r 2(x). A) 1 B) - 3 0 -1 0 )3 E)2 Halle ab , si la división :
A) 13 ©
3x2 + x + 3 c f
B)5/2
A)2
>
0 .
O - 5/2
D) 1/2
E) 1
Si flx ) cuando se divide por x + 4 ; x + 7 y x - 6
E )8
P (x ) Al dividir , o , » / Ak. se obtuvo como (x * + l ) ( x - 3 )
Calcule n 2 para que la suma de coeficientes
resto x 2 + 4 x - 1 . ¿Cuál será el resto de dividir
B) 11
C)10
del cociente de la división n x 161. Además el resto es 16. A) 9
a o c
tiene el mismo resto 8 , halle el resto de dividir flx ) con (x - 5) (x 2 + l l x + 28) A) x + 1 B) x - 5 02x +l D) 8 E) x +7
b x 4 + a x 3 + 7x2 + 4x + 3 es exacta.
a 2+ bc . b* a ab
B) 16
C )26
D ) 12
+ m x + m - n sea x -1 D) 4
E) 100
Si los polinomios : P (x) = x f + ex - 2 y flx ) = dx* + 5 x - 4 son divisibles con x + 1 , 2 x - 1 respectivamente , calcule el valor de d/c. D )-6 A)l}2 B) 4 O - 1/2 F)6
P M . x -3 A) 19
B)20
0 21
D) 18
Si: P (x) = 2 x 3 + 9x* + a x + 6
E) 0
es divisible
entre x + 3 y x + 2 por separado , el valor de 6 2t —a + — b es: 5 7 A) 264
B)264/35
O 2/35
D) 252/36
E)12/35
I9 8 8 I S i; P (x ) = x " - m x + a es divisible con a +2 x2 - 2 x + 1 t calcule : m+n D) 3 B7 2 /2 C) 2 E) 1/3 Halle mxra , si fíx ) = (m - 3 ) x ^ + fm -1 2 )x 32 - n x27 + n x 6+3 es divisible entre : x2 + 2. A 7-24 B7 - 18 C )-1 2
iV CICLOFEDIA 2012]
indique el valor de fí7 ). A)6 B) 7 0 8
D) 9
E)10
Señale el factor primo cuadrático de : P fx ) = 3 x5 + 2X2 + 2 0 x - 7. A )x * -x + 7 D7 x*+ x+1
B) x * + x + 7 E) x*+ x - 7
O xt - x - 7
d\ Al factorizar el polinomio : D) 12
E) 30
Si P (x) es divisible por (x2 - 4) te2 - 97 , P (x ) determine el resto de dividir 2 . * ar + x - o A7x*-x+6 B 7 x * -x C7x D )x -6
P fx) = x a - Sx2 + 12x - 32 se obtuvo un factor primo fíx ) = a x ^ b x + c Calcule el valor de a b e . A) 0 B )-8 0 -4
E)0
P (x) = x e + Sx5 + 2 x ‘ + X*- 1 ,
J ( x ; y) = x a + x y 2 + 2ya A 7**+*y +yí
2)7 x1 + xy +2y*
E )x + 2y
E )8
Luego de factorizar :
Señale un factor primo de :
B 7 x * -x y + 2 y *
D) 4
O xi -x y + y t
indique el mayor grado de un factor primo. A7 2 B) 2 0 3 D) 4
m
Si Ate) es un factor primo de :
en :
Pte7=te +27J+ 2 7 , calcule el máximo valor de A ( 1) A) 6 B) 4 0 7 2)7 9 E) 8
AJO ©
C U A R T A
E )6
Halle el número de factores primos lineales P fx) = x 6- 2 x 4 - 4 x2 + 8 B) 1
0
2
D) 3
E) 4
Indique uno de los factores primos de :
P fx) = (xs + 27 + te+272 A7x*-x+2 B) xs + x - 1 O x*+x+l D) x* + 2x+ 2 E)x* - x - 1
P R A C T IC A
( Q ) Halle el término independiente de uno de los
( ^ í ) Señale el número de factores primos de :
factores primos de :
P fx ; a7 = x 6 + a 2x 4+ o V + a 6 A) 2 B) 3 0 4 D) 5
E) 6
Indique un factor primo de :
AJO
B) 8
P (a ) = a 4 - 5 a 2- 6 a - 5 0 -8 D) - 5
E)7
Halle al suma de coeficientes de uno de los
H (x y ;z )= (x y z - x - y - z ) 2 + (x y + y z + z x - 1 ) 2 A7 2 + x 2
B )x y z
O x+y+z
D) x+ y
E )l+ x
Factorice: P (x ) = x 4 + 2 x s+ x* -1 e indique la suma de coeficientes de uno de los factores primos. A70 B7 - 2 0 2 D) 3 E )-2
factores primos lineales de : H (x) = x 4 - 6 x 2 - 7 x - 6 AJO B) 1 0 -2 2)7 20
£ 7 -2
Factorice : fíx ,y )= 1 5 x 2 - 2 2 x y + 8ys + 2 4 x -1 6 y
Factorice el polinomio de
segundo
grado
P (x) = a*bx2 + (a 3+ b2) x + a b e indique uno de los factores primos lineales .
e indique la suma de sus factores primos lineales A)2x B7 8x+ 6y+8 C) 8 x - 6y+8 D) 8 E )3 x -2 y
A)ax+b
( í $ ) Halle el número de factores primos lineales
B) ax
O (Px + 6
D) bx + b
E) a x - b
Si fíx ) es el máximo común divisor de : A te) = x a + 2X2 + 2 x + 1 B (x ) == x 4 - 1 Cte) = r2 - 2005x - 2006
de ; P (a ) = (a s+ 2 a - 3 )(a 2 + 2 a + 2 ) + 4 . AJO B)1 0 2 D) 3 Determine x e R (2 * 5¿7 (3+xi) sea :
E) 4
para que el producto
¡ F
i » / r w
M
7
I ffjf
;g
B) 15f 2; - 5/6 E) 15/ 2; - 6/5
CJ 5/ 6; - 15/2
determine I Z+W |* + Z - W\ BJ 0
K
BJ 5
K
CJ -1
lg
O
f -A
BJ 2í
H
C
I .lf ,
]
E) 2 + 5»
7 J Izil = 8 ®
a r , g [ Z ( 7 + i ) ] - n/6
"(5)
A)8ei«
CJ 10
BJ 16
E )20
B )cisx
X 12
(Í 7 ) Según el gráfico : Iro
E) cia (8 x )
Z = ( l + y[3i)(l + i)^ co « — - isen A ) 2 y¡2 e2
E) 0
que se obtiene al unir ios afijos de Z ; Z , Z* AJ 6 m* BJ 24 u* O 18 u* BJ 12 u* BJ 10 uf
Si : Z = V 8 c i s calcule arg (e**) 4 A ) n/4
determine n . AJ 0 B )í
O
i2 x
€ w =—
Z|. BJ 9
(£^) Sabiendo que |(l + i)8 + ( i - í)3}
B) 0
2"
42
E) 2
V2
i
-1
ei4x -1
BJ81 AJI =
D )-
Calcule la parte real de :
Tít) Si Z e C tal que Z2 + Z Z =18+12¿ , además
C) 169
*• E )2 4 2 e *
D ) 2>¡2e3
Si Z = 2 + 3i , encuentre el área de la región
>ertenece al primer cuadrante
?ri C )yf2e2
B )2 e 2
-i
Z = ------; . Determine dicho complejo . b+ai AJ-l/2 B )1 C )-l D )-2
B)4Í3
0 8
Exprese en forma exponencial : Re
13
+
Halle el número complejo Z que verifica
Sabiendo que |Z |= 7 ; |W |= 2 ; Z , W e C ,
AJ 5
uMB
AJ 5 + 2¿
7J Real 17) Imaginario puro AJ - 5/6; 15/2 O )-15/2; 516
m r
B)2
;x
„
g
O 3
R 0)1/2
E) 1/4
> Q U IN T A
0 2
D) 4
E)0
P R A C T IC A
Simplifica la suma : 58 1 + 1 *%
i* * + í ' %
B )1
AJO
£ * % ...+
BJ 1- i
O l+ i
Reduzca : (3 + i) 2 + (3 - i) A) 0,32
B)0,16
í* ~
,i40 +‘ i51
O 0,08
( 0 Í ) Si a y p son dos raíces de a *JZ7» calcule el
E) -1
-t
D) 0 ¿ 4
E) 0,12
3 ) Sea la función: f(x ) = x s - 2X2 + x + 3 . Determine fifi + i) , donde i= V -í • A) 2 + 2i B ) - 2 + 2i D )-2 -2 i E) 2 - i
O 2 -2 i
Sabiendo que (a + 6¿J2 = 8 + 4i ; a , b e R , calcule : a b " 1 - a '1 b . AJ 1/4 B) 4 0
valor d e : (i + a ) I23+ (i + p f * + ( a + p ) 346 a + p -í Ahl/2
B)l/2
CJO
0 )1
IX Si Z = 4 x e 6 , halle el valor de e donde: V = S e(Z i) a W =lm (iZ ) A) ( e + l ) ( e - l ) B)es + 1 D) e* - 1 E/e0 + 1
E) - i/2 .
e
+1
CJ e -*+1
En el gráfico se muestran tres números 2
D) 1/2
E) 1 complejos Z%, Z3 , Zs , tal que |Zf|=|Z3|=|Z3 = 1 .
Efectúe : (■* *
t
-0
I990 j
«O I« ]
IV) Si m = - 3 t es incompatible . AJO B) 1 0 2 D) 3 La ecuación :
8X2+
entonces el valor de A) 1
B) - 1
E) 4
x - l = 0 tiene C. S. = {a ; 0},
- 0 ) + ( a - G2) . a - 0 C )8 D) - 8 E )a + 8
Si x e R , ¿qué podemos decir de las soluciones de la siguiente ecuación?
Determine : (Z¡ + i f + (Z2 + 1)3 + (Z3 +1)' A) 12
B) 6
C)24
D) 0
E )4
Dé el valor de verdad acerca de las siguientes proporciones :
or I ) S i : a rg(Z - Z ) = — 2 - > Z e IIIC
II) S i : Z¡ e IIC
a
a
_ a r g (Z + Z ) = x
O VW
D) VFV
x - ab
x - ac
x - be
a+b
a+c
b +c
s i : a be > 0 . A) a + b+ c
—> ZX.Z2= ( —1; — 8) E) F W
TM * 1 2 D )— a b e
A) e
--i B )e 2
n O e 2
M D )e 2
E )e
—x—* + 6 x+ 2 ix + b - a i , Ota Si el polinomio : f(x )= tiene raíz cuadrada exacta a ; b e K >calcule (a + b )3. A) 27 D) 2
B) 1
= a +b + c,
B) (a b + b c + a c )
O ab + b c+ a c
E) —1 + —2 + —* ab
be
ac
Si la ecuación en x :
Determine: i1 i
x -2 B) 2 es una solución D) Tiene una solución
Resuelva la ecuación en x :
Z2 e n iC
III) S i : Z¡ = ( 2 ; - 1); Z2= ( - 2 ; 3 ) B) FFF
x - 2 A) tiene 2 soluciones C) No tiene solución E Tiene 3 soluciones ©
-+ (Z t + Z 2) e I V C
A )F W
x 2( ^ - l ) j ( ^ - l )
be
tiene C. S. = {m }, donde a , b , cq R+; calcule / \ ' m - c ( m - bV m -a \ a + c / (,c + 6 6+a A)1
C) 8 E) 64
ac
i ^ =2fL +L +£ ab la b c/
B) - 1
0
* + .*
m2(m - 3 )x = 0, indique el número de proposiciones correctas . I) Si m = 3 , tiene infinitas soluciones . II) Si m = 0 , tiene una solución .
+ “ T = x(a + b + c) ; a , 6 , c € R+
a2 b2 o- 2
Indique el número de proporciones correctas . I)
Es incompatible
II)
Es compatible determinado .
III) No tiene solución .
IV) Si m > 4 t tiene una solución . A)0 B) 1 0 2 D) 3
IV) E)4
Luego de resolver en x m a(x - l ) = 3 ( 3 x - m )
U) Si m 2 * 9 1 tiene una solución . III) Si m = 0 , es compatible determinada .
E) abe
X
III) Si m = 0 v m = 3, tiene una solución .
í) Si m = 3 f tiene infinitas soluciones .
D )-2
Luego de resolver la ecuación en x :
Con respecto a la ecuación en x :
indique el número de proposiciones correctas.
2
C. S. = {0 }
A) 0
B)1
0 2
D) 3
E )4
( í ^ ) Halle el valor de x en la ecuación : x - 2 a + 3b ^ x - 3 a + 3b = 2 ; a , b e Z* a 2005b A) 3(a - b) D) {3a - 3b}
B) 3(a + b) E) a + b
O 3(b - a)
[^m O O iV K .g
991
B
KKH.XSa
i m
M rl
89CIj\I, ]
Resuelva la ecuación en x :
Si al suma de los cuadrados de las raíces de: ax2 + bx + c = 0 es 4 y el producto es 112 , calcule
2 ( x f + x £ ) x 2 -3 x +
6 2+ c 2
conjunto solución de : 2 x 2 - 2 p x + p 2 - 1 = 0 es C.S. = { x 2; x 2} x 2 = 0 . Indique una solución .
a A) 15/4
C)1914
B) 17/4
0)21/4
EJ23/4
Si a es raíz de la ecuación: x 2- 8 x + 10 = 0,
A ) 2lp
B )~ ^ 1 -p 2
D)
E) P ' p2+ l
además S„ = a " + 2 , calcule : — - 4 S . + 5S„ 2 4 3 AJO
B) 2
3+p
CJ3
D )5
Si 2 es raíz de la ecuación en
1
x -3 A) {3}
E- 3
D J -6
2x +1 2+x -2 + 3 5
B ){- 3}
AJ 1
BJ 2
p 3+ q 2+ q
CJ{0}
7
3 DJ {2}
EJ{35)
CJ ab
DJ 1/ab
E )a + b
La ecuación cuadrática :
pq
(a + l j x 2+ 2 a x + b = 0
A) 2
. B) 3
CJ4
DJ5
EJ6
Si x . y x 9 son las raíces de : x2 - x - 22222= 0,
tiene raíces iguales . Halle el menor valor de b t si *
BJ 4444
O 2222
DJ 6666
EJ 44
Xj y x 2 de modo que :
+1
*2,
O son n a tu ra les . DJ su p r o d u c to es n eg a tiv o. EJ son igu ales . Dada la ecuación : x 2 + 4 x + 7 = 0 de raíces
CJ - 4
4 f+ 24 *x J 47(X j + x 2J DJ -112
EJ - 4
x 2 - b x - 1 = 0 en el orden obtenido se en progresión aritmética .
Calcule el valor de : a 2 + b s AJ 4 BJ8 CJ12
entonces sobre sus raíces se puede afirmar que AJ no son rea les . BJ son rea les d iferen tes .
B) 4
D J -3
x2 - a x - 1 = 0 y las raíces de la ecuación encuentran
1 , r i i \ = —+ +— 2 X2 ,
x ¡ ; x t , calcule el valor de:
CJ - 2
Las raíces de la ecuación :
La ecuación: m x2+ (3 m + 2 )x + 8 = 0 de raíces
'J _ + ±
•
a es único . AJ 0 B J -l
indique el valor de : x f + x f - 44444
AJI
CJ1
Halle el valor de x en : ax — 1 bx - 1 , . _ , ----------- + -------------- (a + b jx = 2 x , a, b e N a b
E )0
x 2 + p x + q = 0 es el cuadrado de la otra , calcule:
0
Resuelva :
2 DJ 99
a
'
BJ 6
Oí Si una de las raíces de la ecuación ;
AJI
3 -p
C. S. = f a ; 0 } , halle : a + — + 0 + —
x :
x2 + ax + b = 0 1 calcule (a - b + 1J (a + 6 + 1J O 38
C)
EJ4
cuadrática Sfpx* - 4p x + 5p = 3 x2 + x - 8 tenga el producto de sus raíces a dos veces su suma . AJI BJ -1 0 2 DJ - 2 EJ5
BJ205
0 , dado que el
Si la ecuación : x 2- 3 x + 1 = 0 tiene
( í í ) H a l l e el valor de p tal que la ecuación
A) 5
xt + x2 =
DJ16
Las ecuaciones : a x 2 + b x + c = 0 ex 2 + b x + a = 0 a, b ,c e R; a * c ; 6 * 0 tienen una raíz com ú n . Halle el valor ^ A JI
q
de
c e indique el producto de valores de E . B J -l
C) 2
DJ - 2
Si la ecuaciones : x2 + p x + q = 0 EJ 10
E J -3 2 / 3
x2 + ax + b = 0
EJ3
B
admiten una raíz en com ún, la ecuación de segundo grado cuya raíz doble es la raíz común de las dos ecuaciones anteriores es : A) (a - p )2x 2+ 2(a - p )(b - q )x + (b - q)2 = 0
Si : 6*+ 6 y bh - 5 son raíces de : x 2 - 8 x + ( l - 2 a ) = 0 , halle el valor de a . A)9i2 B) 7 011/2 D) 6
B) (a - p ) 2x 2 - 2 (a - p )(b - q )x + (b - q)2 = 0 C) ( a - b)2x 2 - 2(a - b)(p - q )x + (p - q )2 = 0 D) (a - b)2x 2+2(a - b)(p - q )x + (p - q )2 = 0 E) (a + p f x 2 - 2(a - b)(p - q )x + (p - q)2 = 0
P R A C T IC A
Si
x
2005
2005
A )x 2 - 2005x + 1 = 0
B )x 2 - 7 5
C) x 2+ 7 3 x = - 1
1 D )x 2 - y Í 3 x + — — =0 2005
7
x + 1=0
5
x 3 - x 2 - x + 1 = 0 , baílela suma de raíces de la suma de soluciones . A) 2
calcule el valor de ; a + b C)l/5
D) -8/5
B) 0
A)0
—+ — = 2 , calcule el menor valor de : a - b a b D )-2 ¡2 6
E)2'¡26
tf) Si a y p son las soluciones de x1 + bx +c = 0 tal que : a - p = 2 ; a - p
D) 3
Ehl
x 4+ x 3+ 3 x 2+ b x + a = 0 t es 4 - l ( a , b e R ) Determine : a + b .
(m - 2 )x s- 2 m x + 2 m - 3 = 0 tal que :
C )- 6
O I
Una raíz de la ecución polinomial :
E) 8/5
Si a y b son las raíces de :
B) - 2
de la ecu ación
Dada la ecuación polinomial:
6b2 + 1 0 b + 5 = 2 b - 2 ,
A )- 3
x 3 son raíces
2006
E )x 2+ i =
5a1 + 8a + q = 0
B)5
x
E)6
x 2 - y[3 x+ l= 0 , ca lcu le la ecu a ción de raíces
Se cumple q u e :
A) 10
XCMCiAlPEDiA 2 0 1 2
I o o a |p g
= 26,
O 3
D) 4
E) 1
Sea la ecuación polinom ial; x " - 3 x3 + 3 x 2 - x Sabiendo que presenta determine el número de A) 2 B )2 0 ©
calcule el mínimo valor de : a + p A)1 B) - 1 C )7 D )-j2 6
B)-3
+ m = 0 4 raíces y una raíz es 2, soluciones . 3 D) 4 E) 5
Dada la ecuación polinomial x3 + x - 2 = 0
de raíces x ¡ , x 3 , x s . E )-4
Si a y 6 son las raíces de la ecuación :
determine : (2 - x t)(2 - x 3) (2 - x 2)(2 - x 3) A) 10 B) 1 0 -8 D) 8
E) 9
2 ) Dada la ecuación polinom ial:
x2 + x + 1 = 0 halle la ecuación de raíces 2x4 + 7x= 1 de raíces a 9p f0 y f , calcule
9 1 ,9 1 a + —a b + — A )x * -2 x + 1 = 0 O x * -3 x + 1 = 0 E) x* + 4x + 1= O
B) x * - 2 x - l = 0 D) x* + 2x + 1= 0
X @ ) L a ecuación — - a x + 6 + 2 = 0 tiene a 5 como raíz múltiple , calcule la suma de raíces de r3+ -U a b A)3Í5
+ a fc = 0
B) 5/3
(1 - a ) ( l - P ) ( l - 6 )(1 - 4) A)6 B) 4 0 9 D) 9/2 3 ) Dada la ecuación polinomial;
2x3 - 6 x2 + 6 3 - 3 = 0 , indique una solución . A )? ± + l
B ) ?!
E)l C )-l
D) 1
E)2
E) 2
Dada la ecuación polinomial: 2x3 - 18x2 + mx + n = 0
O
+1
"MaSB Si sus raíces son tres núm eros consecutivos , determine n . A) 24 B )-4 8 C )6 D )-6 E) -1 2 0
K
AH 5
B) 5
f -.P
0 -4
-lS O
A ) - 32
A) FVF
E) 32
Dado el polinomio mónico de menor grado posible , tal que O es raíz simple ; 2 es raíz de multiplicidad 2 y 2 es raíz de multiplicidad 3 , determine la suma de los coeficientes AJO B) 1 0 2 D )4 E) 3
calcule el valor de :
B) - 2
OO
D) 1
E)H2
(lff) Si la suma de raíces positivas de la ecuación bicuadrada x 4+ ( 5 —3 a )x s + a 2 = 0 es 5 , determine a . A) 2 B) 4 0 6 D) 3
A) 1
D )x 4+ 4x 2+ 4 = 0
E ) x 4+ 5 x 2 - 4 = 0
E) 3
O 0
D) 3
E) 4
Halle la menor raíz de la ecuación 0 , OOlx3 + 0, 0 6 x2 + l f l x + 6 = 0 A )- 3 0 BH 20 0 - 1 0 D ) - 0 ,0 0 1 E n o, 002 Halle la mayor raíz de la ecuación :
A) 5
- 60X2 + llO O x
B) 15
0 20
-
6000 = 0 D) 30
E) 60
Dada la ecuación : 2 x 4 - 8 x 3 + e x 2 + d x + e = 0 de coeficientes racionales . Si dos de sus raíces son 2 + 4 2 y 2 + i , determine : d + e . A )- 1 2 BH8 O -1 0 D)12 E) 0 S E P T IM A P R A C T IC A
de raíces x¡ ; x 2 ; x 3 ; x 4 , calcule el valor de
B) 4
E) FFV
x 3+ (n - l ) x 2 - n = 0 de coeficientes enteros , indique para cuántos valores de n las raíces son enteras . A) 0 B)1 0 2 D) 3 E) más de 3
Dada la ecuación : 5 x 4+ > ¡2 + 4 5 x 2+ 5 = 0
A) 1
B) 2
X 3
9a2 . 2 . ; 9a - 100b - 2 dos de sus raíces sean 100b A)x4 - a x 2+ 6 = 0 B )x 4 - 5 x 2+ 4 = 0
X
D) FFF
Dada la ecuación polinomial :
E) 5
x 4 + a x 2 +-6 = 0 están en progresión aritmética de razón r . Indique la ecuación bicuadrada , tal que
X
O VFV
Halle el cardinal del conjunto :
(2(0 Las raíces de la ecuación bicuadrada :
O x 4 ~ bx2+ a = 0
B) V W
ecuación : x 3 - 3X2 + 5 x - 3 = 0 A) 2 B )-2 0 4 D )-3
, x 2 , x 3, x 4 son raíces de la ecuación
Xj + x 2 + Xg + x 3 A )-l
E) 1
A = | x e Q/ ( x 2+ 5jc + 6 ) + x 2 + 5 x = 0 j
18x4 + 37xs - 2 0 = 0 e indique la menor solución . A) - 213 B) 2/3 O - 312 D) 3/2 E) - 5/2
x 4 - x 2- 2 = 0 ,
1
Halle la suma de las raíces no reales de la
Resuelva la ecuación :
Si Xj
f .
(x - l ) 2 (x + l ) 3 (x2 + l ) 2 (2 x - 1) = 0 Dé el valor de verdad de : I) Posee 8 raíces . II) 1 es raíz de multiplicidad 2 . III) - 2 es raíz de multiplicidad 3 .
D) - 1 6
r i A
D) 4
y - 1 es raíz triple del polinomio P (x ) de menor grado posible , tal que su término independiente es - 36 ; determine la suma de sus coeficientes. 0 64
t H
Con respecto a la ecuación :
(JÑ^) Sabiendo que 2 es raíz simple , 3 es raíz doble
B) -6 4
H
X
iMUs
Dada la ecuación polinomial : D) 2
O 1/4
E) 3
X
-
x 2 + 1 = 0 de raíces a , b, y c , determine
Si las raíces de la ecuación : x 4 - 10mx3 + 24m = 16 están en p rogresión aritmética , calcule el valor que toma m . A) 4/3 B) - 4/3 O - 314 D) 3/4 E) 4 Si las raíces de la ecuación : ♦
3x4 - 10(m + 5)x 2+ 60m = 0 están en progresión aritmética , calcule el valor de m .
a a+ 1 AJI
B )-l
b+1 O 0
c+ 1 D )-2
E) - 3
Sabiendo que las ecuaciones polinomiales ; x s + (3 + m )x 2+ (4 + n ) x + (5 + p ) = 0 x s + (2 + m )x2+(2 + n ) x +(4 + p) = 0
994 AJ2005
tienen una raíz en común , halle dicha raíz . A)1
B) - 1
( 0 su ; 2
C )0
D )2
E) -2
X 6 -
X 6
- x3- x2-
O I
D) 0
xI0+ x 8 +x® + x 4+ x 2+l = x2+ x + 1
E )-6 3
Considere los polinomios : P (x )=
B) 2003
E) 5
Al resolver la ecuación en x :
y 3 son soluciones de la ecuación
x 4 + ax2 + bx + c = 0 entonces a + c es igual a ; AJ-12 B) 24 C )35 D )-6 1 m
NCiCMMPEDMA 2012]
- a { x 2 - x + i)
se tiene que - 1 , a , son dos de sus soluciones. Indique el valor de a? . A) 1
0 2
B)4
X
©
Resuelva :
D)y¡3
x+ 1
E) y¡2
2xs - 5 x - 6
x+ 2
Q (x )= x 4 - X 3 - X 2 - 1 tal que z, , , z 3 , z 4 son raíces de Q (x) .
x -3 x -4 x 2 -7 x + 1 2 indique la cantidad de soluciones .
Calcule : P (Z t ) + P (Z 2)+ P (Z 3) + P (Z 4)
A) 0
A) 1
B) 2
0 3
D)4
B) 1
0 2
E) 6
Si Xj - x 2 son soluciones reales positivas de
D) 3
E) 4
x +10
Resuelva :
la ecuación recíproca a x 4+ (b - 3 )x s - 10x2 - (a - 5 )x + 6 + 6 = 0 ,
2x - 4 2 x * - 8 x + 2 5 Si x 0 es solución , indique la ecuación de raíces x 0 a 2 x 0 .
indique: (X j+ X ^ )***2
A ) x 2 - 9 x + 18 = 0
B )x 2 - 9 x - 1 8 = 0
C) x 2+ 9 x - 18 = 0
D ) x 2+ 9x + 18 = 0
A)1
m
B) 2
0 3
D)4
E )5
E) x 2+ 18x + 9 = 0
Dada la ecuación cúbica;
Resuelva :
A x a + B x 2 + C x + 2 = 0 , donde el conjunto solución es :
n + 2
x 3"
x "- 1 Calcule :
determine C . B) 6
0 -6
1
x "+ J
x " -l
^
1
5
x n+2
2
----------------------------- +------ =—;n e Z
n + 2 ,w + 2
n 2+ 1 9 n 2+ 1* n 2+ 4 A) 3
x 2”
E )-2
DhS
(Sum a de soluciones) x (P rodu cto d e soluciones) B) 5/2
A)1
La ecuación polinomial en x ;
D )-5
O - 5/2
E) 0
Resuelva : ((» -i)4 -
i)- 2
Be reduce a una trinomia X ¡* X t , x8
cuyas raíces son
Calcule : x\2+ x í2+ .... + x l2q A) 8 B) 12 0 -1 2 D) 144
E )-8
3 xs+ 12x2+ 15x - 2 ^ 1 - 3 x x 3+ 5 x2+ 9 x + 5 x + 1 cardinal del conjunto solución . A) 1
3 4 xi - x + l }
10
5 3 * 2 X+ 5
9 x2 *- 12x2*- 5
B) 1
0 -1
D )2
D )4
E) 0
(x -2 )2 _
x 2 - x + 1 J x 2+ x - 1
*
3 x 2 X+ 5
y calcule x 0(2x° - 6), donde x 0 es solución . AJO
O 3
Si a es solución de la ecuación :
Resuelva: 3 x 2 * -1
B)2
* e indique el
Calcule el valor de a 3 . A) 2 B) 4 0 6
E) 2 /3
E)16
Resuelva la ecuación en R :
fh La ecuación en x : x (x - 1) - (m + 1) x . . . ----------------------------= — tiene a x n como solución (x - l)(m - 1) m 0 única . Indique el valor de : £ £ 4 2006 ( x 0+ m ) + (x 0+ m ) + ( x 0+ m ) + ... + ( x 0+ m )
D )8
\* x 3+ x 2+ X+1
X -
-I X+Z y dé el
/
+ x=
x 3 - x 2+ x - 1 4 complemento de su conjunto solución . A)0
B) 1
0
2
D) 3
E) R -{-í}
|gg
H w m rN & Ñ
©
WSSS
KEM ttSt* E A K C IA I.
Luego de resolver el sistema en
Señale n para que el sistema : nx + 7 y = 2
y 2+ (x
x + (n - 6 ) y = n - 6 tenga solución única. B ) - l n e R -{1 ; - 7}
A) 7
D )n e R - { l ; -
y 2+ (x - z)2= 25 x 2+ (y
E) 6
A) 1013
(a - l ) x + b y = 3 a x + (3 b + 2 ) = gQ tiene infinitas soluciones , C) 7
D) 6
E)8
C) {4 ; 2 ; 3}
D ){4 ;3 }
E)4
.
C) 2 + 4 3
D)
2 x - y = 1; 2 y - z
1 - 42
E)8b
= 2 y 2 z -x = 3 f
entonces x + y + z es : AJ 6 B) 2 0 3
D )4
E) 5
A = [ - 4 ; 0 ); B = [ - 2 ; 5 ]; C = {2 ; 7 ],
halle
el
núm ero de valores enteros que pertenecen A) 1
* * + y* = 9 tiene solución única , indique el
menor valor que toma a . A ) - ~ 4 2 B ) - 4^2 C) - s 4 ¿ 2 (£ 7 ) Resuelva el sistema :
D)3y[2 E) - 3^2 »
x 2+ y = 5
..
x + 2y = 4
A
/
^
B) 2
0
3
D) 4
E)más de 4
Sea : - 1 < b < a < 0 , a , b e R De las proposiciones , indique cuáles son verdaderas. I) U)
a* > b * a* > b 3
ni) a3 < bs IV) a b > 0
AJ Todas D) II y 111
^
m
BJsolo n E) II, III y IV
O I I y IV
Sabiendo que a b > 0 A a > b , a , b e R ,
e indique x 0+ y 0 mínimo , si (x0 ; y ^ es solución.
indique el número de proposiciones correctas :
A) 612
I) a 2 > b2
B) -514
C) 415
D ) 5/4
E) 3
Resuelva el sistema en N . xyz = 78
x 2+ y 2+ z 2=206 y dé como respuesta (x + y + z) . AJ 18 B) 20 C) 30
IV) a + 6 ^ 24ab
III) a 3 > b 3 A) 0 D) 42
B) 1
O 2
D) 3
x 2 - 3x = y 2+3
enteros que puede tom a r:. 2 x - 1 x -2
x + y 2= - 4
A) 0
B)2
C )3
D) 4
B)1
C) 2
D) 3
E) m ás d e 3
E) 5 O C T A V A
Determinar el número de soluciones de : s Í3 x \ l +
E) 4
Si x e { 5 ; 22], indique el número de valores
E) 8
l Señale el número de soluciones del sistema
AJI
al
intervalo (A n B') - C
Si el sistema :
y= - x + a
49
=
Siendo :
n x - 6y = 5 n - 3 2x+ (n - 7)y = 29 - 7n es inconsistente , halle n. B) {2 ; 3}
B) 9
S i:
Si el sistema :
A) 2
z43)
-
indique un valor de : x + y + z
Si el sistema :
calcule a 6 . A) 5 B ) 16
r
z)2= 64
+
C) - 1
7;0;6}
]
P R A C T IC A
1 (0 7 ) Si x e (0 ; 2 ) , determine los números a y b tal = 442 +
A )
1
B) 2
0 3
D) 4
que: a < E) 5
x 2+ x
A) 2 y 10/3
x + 1
O -1/3 y 2
1a
996 1
j i
D) Oy 8/3
E) Oy 1/3 se satisface
(¡í~) La desigualdad jL + í . > ^ x y x + y B )x > 0 a y>0 Ex+ y > O
iW {-« i ®
B j[26;+ oo)
D j ( - 00 ;1 6 ]
E ){1 6 }
C) (0 ;1 6 ]
Señale el mayor valor de X , si se cumple
cuando : AJ*>y D )x = y
N C iC LO PE D iA 2 0 1 2 ]
C) x< 0 a y<0
>3) Sea : a + b = 4 , tal que a ; 6 g J ?+.
a*+ 6^+ c 4+ d 4 > X (a b ed ) para todo positivo de : a , b , c , y d . A )1 B) 2 C)3 D) 4 ©
valor E) 5
Dadas las proposiciones :
Halle e/ menor valor de f donde ; I) El C. S. de x s > 9 es (3 ; + 00)
f = y ja 2+ 9 + -Jb2+ 9 A)4\Í3
B)2\Í3
C) 4 2
D ) j2 + 1
E) 5 4 3
Si x e ( - 3 ; 4 ) , halle la variación de :
I I I )A l resolv er ( x A )V W
A )[5 ; i l ]
C ) { - 1 1 ;5 ] E) [O ; 5 ]
A) 1
b +
25 16b
x*+ 25
D) 40/3
E) 5/3
D)FFF
E )F W
se
obtien e
D) 8
E )9
á) Determine el menor valor entero de a de
B) 4
0
5
D)G
E) No existe
Si la ecuación : 3 x 2 - lO x + c = 0 , c e R tiene
yjx2+ 5 x + 2 CJ 4 V2
C) W F
< (x + l ) * - ( x - l)s f
A) 3
(x + 3 )(x + 2)
B>2>/2
se tiene
modo que : x 2- 4 x + a x > 1; Vx e R
Si x e R +, determine el mínimo valor de :
AJ2
B) VFV
C .S .= [a ; 6 ]. halle (a + b) . A)5 B) 6 C )7
¿ K, a, b < 0
C) 10/3
B) 0
3 )(-x + l)> 0
Z) Luego de resolver :
Determine el máximo valor de K , tal que 2 4 cr+ — 9a
-
C .S .= (- 00 ; l ) u (3 ;+oo) indique el valor de verdad.
4 + 2 x -x * D )[-ll;5 ]
III) 4 < x s< 9 tiene como C. S. = (2 ; 3 )
DJ4
BJ6
De las siguientes proposiciones , indique cuáles
raíces positivas , halle el intervalo de valores de x 2 - 4x + a x > 1; Vx e R A) 3 B) 4 0 5 D) 6 E) No existe Sj Si a > 5 , indique el número de soluciones
6on verdaderas : I) La variación de ( x 2 + Tj + 2 es [2 ; + 00)
enteras que tiene .* a x 2 + 5 ¿ (5a + l ) x A) 2 B) 3 0 4 D) 5
U) La variación de : x + — es \2 ; + 00) X
(j
9 1 1 UI) x 2+ —5- > x + — , V x e R + x x A)IyJJ B) II C ) I y I I I D) Todas
entonces:
E) III
Si a , 6 , c son números reales no nulos , tal que s| íi2+ b 2+ c 2J ¿ A.(a + b + c ) 2 * B) 2
0 3
A ) n e [ - >/2;>/2]
B J n e (-2 ;2 )
CJ n € { - ao ; 4]
D ) n e [ - 2 ; 2]
E )n e [ - 4 8 ; VsJ Resuelva : x 2 + 2a b < (a + 2 b )x r donde
determine el mayor valor de X . A)1
E) 6
b > a > 0 D) 4
E) 5
AJ(-oo ; a ) u {2b ; + co)
a , b r c , d son números positivos , tal que f1 1 1 I (a + b + c + d ) - + - + - + — | ¿ n .h a lle a b c d variación de n .
la
B j(a ; 26)
D) (-a o ; - 26} u ( - a ; + oo) E)(~ 2b -•' °>
Si
[a ; 6] es el conjunto solución de :
fPflj 2
£
m
B) 1
C )-l
D )1+^
E) 2
Si ( 3 ; 5) es el cu n ju n to solu ción
2 x * + ^ x + 3b < 8, calcule 2a + 3b . 4 A )- 2 2 B) -90 C )-1 6 D) 36
IBH
W
F P / lS t f
Calcule: - a + b + c A) 10 B)1 <311
2r* < (7 x + 2 ) + ( 7 x - l j , calcule a + 6 . A )0
997
de:
FAKt'MAM,
D) 9
]
E )-l
Al resolver fx - b) (x - c ) (a x2 + a x —1) < 0 se obtiene como conjunto solución : {- ao ; 6) u (c ; + co), b * c Indique in f(A )
E) - 26
A es el conjnuto formado por los valores de a , A) - 4 B )-3 O - 4/3 D) - 3/4 E) 0 Al resolver la inecuación polinomial :
Determine n , si el polinomio : P (x) = x 3 - 2 x + n es menor que 1, Vx e R
fa x + 2 ) (x - b ) a+3 (x + c ) a+5 * 0, el conjunto
A )[2 ; +«o)
B ) ( - oo ; 1I2)kj[1I2; 2]
solución es ( - 00; - c ] ^ [ 6 ; + o o )
0 (-2 ;2 ]
D ) [ - l ;2 ]
Calcule el valor de : a + c° + ba , si b e * 0 A) 2 B)0 0 -2 D) 3
E ) { - oo;2\
Si P (x ) = ( n - l ) x 2+ ( n - l ) x + 1 > 0 , Vx g R , determine el menor valor entero de n . A) l B) 2 O 0 D) 4
N O V E N A
E )-l
P R A C T IC A
Luego de resolver x 4 - 3 5 x* , indique la suma de las soluciones enteras . A) 1 B) 2 O O
D) 4
E) 5
Señale cuántas soluciones enteras presenta la inecuación : x 4 + x 2 + 1 < x 3 A) 3 B) 4 O O
D) 6
E) 1
Resuelva : fx2 - 2 ) (x 3 - 6 )x 2 < O A ) ( - co;
Si
o
B )-3 + 4 s
OO
D) 5
E )47 - 4 5
ox + 2 x + a Resuelva la inecuación: ----------- > ----------- , 6x + 2 x + b
O ( - 00; - 7 2 ) u ( 7 2 ; $ í ) 7 2 )»-«(7 2 ; ^ 5 )
,
donde : a > 6 > 2 A) ( - b ; -2] B) [-2/6;2]
C ) - [ - 2 ;2 ]
D )(-c o ; -6 )u [- 2 ;-2 /6 ) u [2 ;o o )
E) { - a > ;- 6 ]
E ) ( - oo; - 7 2 ^ v j^ -7 2 ; yfE^
Indique la cantidad de números enteros de conjunto A n B .
Resuelva : (x 3 - x ) (x 3 - l ) s >0
A = \xe r / - <
B ) ( 0 ; 2 )^ (2 ; + oo) D ) ( - oo ; - 2) vj (2 ; +
X co)
B = < x e R/
E ) ( - co ; -2) kj (-2 ; O) Al resolver :(x - 1) (x + a ) (x 2+ b x + c ) > O, el conjunto solución es:
E )-3
Al resolver : (sen x + 2 ) (3X + 6) (25 r x 2) (x - 1) ¿ O, se tiene el conjunto solución [a ; 6] u [ c ; + 00)
20
x2 +3x + 2
B) 2
A) 1
m
( - 00; í ) u ( 2 ; 2 ) \ j ( 2 ; + 00) Calcule el menor valor de a + b + c . A) 3 B) 1 0 -1 D )-2
conJunt° solución
1 1 calcule : “ + “ c a
m
C )(-oo ; 0 ) u { 2 ; + co)
/ es
de ; x 4 - 7x2 + 2 < 0 ,
B ) ( - c o ; - 4 2 ^ u [ 4 2 ; (¡5^
A ) ( 0 ; í ) y j [ l ; + ®]
b j^ i^ c *
A) - 1 - 4 5
( 4 2 ; (¡5^
E )5
0 3
Resuelva (* * + * ) ( « * -
A ) ( —co;
>1 D) 4
E) 5
^ _
x -2 ) B)
{-1}
C > ( - | ; + oo) D )R
5 ) La siguiente inecuación : 3 _ „ 5 x -3 x - 3 86 sat'sface Para '■
!m g| 9 9 8 | A) - 2 < x < 2 ó x > 3
'NaCLOPEDIA 2012] Resuelva :
B) - l < x < 3 ó x > 4 C) - 3 < x < 1 ó 2 < x < 3
1+ x
D) - 1 0 < x < 3
(íRt) Dados: x - 2
A)[l;2]
B )(l;2)
D)(2;3)
E ) ( - < o ; l ) u ( 2 ; + *>)
C) [ 2 ; 3]
( x - l ) ( x + a) x 2+ b x + c
el mayor valor de ; a + b + c . A) -2 B )-3 C )3 D) 0
>0
£ 0 se
D) 5
Calcule el valor de ; b~1 + c 1 + k + a donde e Z A a < 1 4 A)2 B) - 2 0 4 D) 4
E) 3
B) 5
0 6
D) 11
E)18
Sea A el conjunto definido por : A = jx e M /y¡3x + 2 - yjx - 1 = \¡2x - fij I) n(A ) > 1 III) 3 x ¡ ;x s tal que x x + x 2 = 6
E) 9
de la inecuación : 2
Se
II) 3 x e A tal que x2 + 2 > 5
Indique el valor de K de modo que la solución
2x-1 2 > K s e a (- 00; -
E)R
(l& ) Encuentre el valor de x en la ecuación :
A) 3
Al resolver : ax3 — (10 + a)x2+ 8x + 2 >0 x - 1 se obtiene ( - « > ;6 ] u [ c ;+ >c
©
D){-ao;7)
y j x - l + 2 \ l x - 2 + yjx + 2 + 4 > / x - 2 = 9
Indique el valor de a p . 0 4
O (0;4)
puede afirmar que : A) en realidad no tiene elementos . B) tiene 1 elem ento. O tiene 2 elementos . D) tiene 3 elemento . E) tiene infinitos elementos .
obtiene como conjunto solución ( UP)
B) 13
B )(-2;3)
M = { ( x ; y ) e R * / 4 y - x + f x - y = x 2 - y 2j ,
E)-4
(a r * + (3 - 2a) x - 6)
A )*
Sobre el número de elementos del conjunto
Si el coryunto solución es : C .S .= R -{2 ; 2 } , calcule
A)-6
1+x4
3(2n + l ) x 2 - 2 (4 n + 5 )x + 5 n + 9 —-------------------------------------- < n + 2 5 x - 6x + 5 se verifique para todo valor de x .
Halle: ( A n B )
Al resolver :
1+x2
comprendido n para que la inecuación :
- x + l>0
Dada la inecuación :
4 -
Halle el intervalo en el cual debe estar
2 x-1
B =
1 - x
2 -
3+4X3 ]
Indique la cantidad de cifras de la mayor solución . A) No se puede determinar B) 1 O 0 D) 2 E) 3
E) Todos los n ú m eros rea
A = ix e « /
1+
l+ 2 x 2
\
IV) 3Xj e A tal que y ¡5 x t e N V)
n (A ) = 2
¿Cuántas son verdaderas? A) 5 B) 4 0 3
) v ( 3 ; + 00)
D) 2
E) 1
( Q ) Según la ecuación : A) 40' ©
B) 20
0 3
D) 4
E)1
Al resolver :
x 2+ x - 1 x 2+ 1
x 2+ X x 2+ x+1 x 2+ 2
x 2+ 3
1*3
se obtiene el conjunto solución ( - 00; a ] u [6 ; c] a 6 Calcule el valor de : —+ —+ c b a E) 5 B) 0 0 3/2 D) 4 Ahí
\¡x + 7 x 2+ 1 + sJx -\I x 2+ 1 = $ 3 , encuentre * . 3J3 3$3 A )$ 3 B) 2 $3 C) 3 $3 D) E) Si x 0 es la solución de la ecuación : V s + 2 y fl5 A) 5
B) 10
y]5 + 2 V x 017
y¡7+ 2\fl0 ' D) 26
E) 37
[ ig o ir /o A T ? ^ HtmrNwpAi
T O
© S i: J x + a b + >/x - a b _ 3 a 'Jx + ab - yjx - a b b determine el conjunto solución . 9a2 + b 2
A)
D)
E)
C)
9 a 2+ b 2 ab
fí)[4 ;+ co )
D ) [ 2 ; 4]
E)[-2;4]
ilx - 3 + \x determine (a + b) . AJ 7 BJ 5 Resuelva :
C )¡5
D )¡7
0
6
E) 4
DJ 8
|x\ - 12||= sení —
B)
D) { i ; - i }
E) { - 3 ; - ! }
3; - 1 ;3 ;1 }
C){3;l}
Si |x - 8\= p ; p > 0 t donde x < 8 , calcule :
E)sÍ8
¿Q ué podem os a firm a r de la sigu ien te
- x|es[a;fe],
A) [ - 1 ; 8 ] un triángulo rectángulo , determ ine un cateto. B )¡3
C) [ - 2 ; + oo)
Sabiendo que el conjunto solución de
9 a 2+ b 2 2ab
Sean : i¡x~ 1 ; i¡x + 4 y i]2 x + 1 5 los lados de
A }¡1 0
RKn*&4M ftlW CM F ]
A ) [ 2 ; + oo)
(a > b > 0) .
9 a 2+ b 2 B) 6ab
9a2+ b2
9 9 9 I8HW
X+p\ AJO
BJ22
DJ6
OI
EJ8
ecuación?
D E C IM A P R A C T IC A
y ¡2 x + 1 + y ¡2 x +~~2 + ...+ y ¡2 x + 1 0 = \ [x +
+ y ¡X "+ 1 + ...+ >Jx + 9
A) No tiene solución. B) Tiene infinitas soluciones. C) Tiene dos soluciones. D) Tiene una solución. E) Tiene 55 soluciones •
¿Cuántas soluciones tiene :
* * -2 « ; + 5|=x*-|? AJO «
Dada el conjunto : \j/ = jx e Z / yjx + 1 + yjx + 4 e z j
B)2
C) 3
D) 4
que
1
1
A) 5
1
C)12
D) 16
-1
+
EJ4
0 2
DJ 3
EJ4
B) 16
OO
DJ4
EJ64
Resuelva : E) 6
Resuelva la inecuación irracional : ¡X
BJ1
A)8
= i , determine x + y .
B) 13
DJ 3
Halle la suma de soluciones de la ecuación : 12 2 - x 8x* - 9|
E) 5
Sean x e y números enteros positivos , tales
0 2
Halle el número de soluciones de : 5 -| x ||=|3x - 2\
AJO
determine ♦n(vy) A) 1
BJ 1
1 V* - l + l
|x + l|+|x + 2 \ ? 2 AJ{ - oo ; - 2)\J (J ; + oo)
2x+3\+2\ B ) { - 2 ; - 1)
C ) { - o o ; - 2 ] u [ - 1 ;+ ®)
DJ [ - 2 ; - 2]
EJR Halle la suma de soluciones de la ecuación :
A)(0;2]
B ) [ l ; 2]
D ) [ l ; 1]
F j[i;+ o o )
C){1I2;2]
|2x - 6|+|x +2|=7 A) 11/3
(^ 3 ) Dado el conjunto :
BJ 14/3
017/2
DJ O
E -l
Resuelva : x + x + 3 5 2x*-4x+9\
F = { * e Z / x + 2 ¡ 6 - 4 x > fíj, determine n ( F n Z ) A) 6 B) 5
0
3
D) 4
Resuelva la inecuación irracional: 4x~+2 * 4
- X
EJ 7
A)[2;3]
B)R
D) [2 ;+ c o )
EJR ~ { 2 ; 3 )
C) [3 ;+ a o )
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones :
CiCIMPEDLX 2012}
E l i ooo I) Si |x|< - 8, entonces - 8 < x < 8 II) La ecuación x 2 - 2|x|+3=0 no tiene solución. III) Si |x+y|= |x|+|y|, entonces x , y g R + IV) Si \xy\= x y , entonces x , y e jr+ A)FFFF
B) W F F
C )F V W
D) F W F
@ ) S i ( - oo ; 2 6 ) u [ 3 6 ; +
E)FVFF
es el conjunto
8
4 —lx —2] solución de : ------} > 0. 3 -\ x - 2| halle : a + b . A) - 2
B) 0
OI
E)3
D) 2
O
Sean:
— 2|*2x
-
1
2
X
3}
Calcule : A n B . A) {2 ; 5 )
g
V
A = |x € R/\x2 - 2 x ~ 3|<3r - 3 } B = {x g R/|x
D)
1 X
E)
B) ( - oo ; 5/3)
C) 4> D ) (2 ; 5/3]
E) 9
Dadas las siguientes proposiciones ¿Cuáles son verdaderas ? . I ) a ; b g R / a > 0 a |6| < 1 => (a & + a + i ) > 1 5ab
II)8Í : a ; b e R +
a 2 + b2 + 3ab
«9 Dada la siguiente función : f(x) = 4 ¿ ¿ -x ;x e [0 ;l] + 9 Determine f (x) , donde f es la inversa de f . A )f’ (x )= (2 -¿ 4 y ¡¿ f
B )f’( x ) = { 3 - 4 4 ^ f
C) f ’ ( x ) = { 2 + ¿ 4 - x f
D) f ‘ ( x ) = [ 3 + ¿ 4 - x ' f
I H ) s i :3 + a ,2 - a 4 < M ; V a g R => M * 3 A)FFF ©
B )W F
C) FVF
D) W F
E )V W
E )f'(x )= {4 -j4 ^ c )2
Resolver : [ • J s + j8 ]S +
A)-3<,x$3
B)48 Z x ¿ 2 > f 8
^ 34 C) -4<>x<>4
D ) - 4 2 < ,x < 4 2 E)-43Zx¿>¡3 Sean P y Q conjunto tales que : Si p e P , entonces p e Q . Luego se puede afirmar que: A ) Si - 3 g Q , e n to n c e s - 3 g P B ) S i 13 0 P , e n t o n c e s 1 3 «é Q
Al resolver la ecuación : x + L o g í424 (2 + 2 ) - x L ó g 712 + Log 1424 72 entonces podemos decir, que el número de soluciones es: A )0 B) 1 C)2 D) 3 E)4 (l& ) Indique la verdad o falsedad de los siguientes enunciados : I) Sea : P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d ; a * 0 9d 4* 0
C) Si 10 0 Q , en to n c e s 10 $ P D ) S i 0 91 0 g Q , e n t o n c e s 0 91 0 € P E) Si 1 0 P , en to n ces 2 g Q ^ Indique la gráfica de g ( x ) = f { x + |x|), si la gráfica d e f e s :
si P tiene tres raíces reales , entonces P ( - ) x tendrá las mismas raíces. 27) Todo polinomio complejo siempre tiene raíces complejas y sus respectivas conjugadas .
7 //)S i la suma de las raíces de un polinomio es
[EnMt:M00NT£&
«
lOOt
f
racional', entonces cada una de ellas también es racional A)FFF B) W F C )F W D )W F E)VW
I t m i S O R tR C M In
l+ l+ l x y z
Se pide encontrar todos los números enteros
Calcule el conjunto solución de la siguiente inecuación :
p ositivos n tales que $ n+ $ n es m ú ltip lo de
2 \ x - 2 2) + 4 x + 2 < 0
4 ’ D)l-
11
13 4 ;
3 4
♦
I
>3 9
5 4
3 ”_i+ 5 n~2
cn -'i’-h
Sean
, x 2 las raíces del p olin om io
P (x )= 3 x s+ 3 m x + m s- l > siendo m un número real.
3 4
Probar que P (* f) = P ( ¿ ) .
Sea Y un número real no nulo ¡determine : Encontrar todas las funciones ^.*IR —»IR tales
(E + L H T + U ) , s i E , L , T y U satisfacen el siguiente producto de matrices : (Y \T A)0
B) 1
0 \ (E
L \(Y U )~ \ E C )2
q u e:
*?xf(x)+f(l-x)=2x-x‘
0\ L) D) 3
E) 4
Sea P (x )= x s+ x + l y la sucesión : " r i* Sn( x ) = £ [ P( x) \ , Entonces el menor valor de S (x)
cuando n es arbitrariamente grande , es :
A)0 B) 4 D) arbitraria muy grande
0 8 E)no existe
Sean los conjuntos : V={A ; E ; I ; 0 ; U ) B = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} se desea elaborar placas (para autos) de la forma vlv3b1bjbjb4 donde vk e V , b j e B de manera que no existan símbolos repetidos entonces el número total de placas diferentes será : A) 480 B) 32250 0 1321 D) 32400 E)7200
Un grupo de chicos y chicas han comido en un restaurante en el que sólo se sirven pizzas cortadas en 12 raciones . Cada chico comió 6 ó 7 raciones y cada chica 2 ó 3 raciones. •Se sabe que 4 pizzas no fueron suficientes y que con 5 pizzas hubo de sobra. Calcular el número de chicos y de chicas del grupo. ¿C uántas ternas orden adas de núm eros naturales (a, b, c) distintos de la unidad hay tales que a x & x c = 7a®? Demostrar que si entre los infinitos términos de una progresión aritmética de números enteros positivos hay un cuadrado p erfecto, entonces infinitos términos de la progresión son cuadrados perfectos.
Demostrar que la ecuación :
X2 +y2 - 2T - x - 3 y - z - 4 = 0 posee infinitas soluciones en números enteros.
(29?) Sean a y 6 enteros. Demostrar que la ecuación: ( x - a ) ( x - 6 ) ( x - 3 ) + 2=0adm ite a lo sumo una solución entera.
iSean a ,b ,c números reales no nulos y a * 6 • Probar que si las ecuaciones x 2+ a x + b c = 0 y x2+ b x + c a = 0 tienen una raíz común, entonces las restantes raíces verifican la ecuación x2+ c x + a b = 0 . 2) Sean x , y, z números reales positivos. I) Si x + y + z ¿ 3 , ¿se verifica necesariamente que
x y z
<3?
II) Si x + y + z < 3 » ¿se verifica necesariamente que
Dado el polinomio: p ( x ) = x s + B x 2 + C x + D t probar que si el cuadrado de una de sus raíces es igual al producto de las otras dos, entonces B SD = C 3 Considérese la sucesión definida como a ¡ = 3 , y , a n+¡ = a n + o „ 2. Determínese las dos últimas cifras de u2000
CiCLOi’EIHA gtf/¿| B l/o o a l rife para formar con ellos otra potencia de 2?. Justificar ¿Cuántos números, comprendidos entre 1000 la respuesta y 9999, verifican que la suma de sus cuatro dígitos es mayor o igual que el producto de los mismos? {J%Mu 0~¿W€W*M*S%.
CLAVES
¿Para cuántos de ellos se verifica la igualdad? PR IM ER A - R EP A S O P A R C IA L
rl¿f)Sean r ,s ,u ,v números reales cualesquiera.
01iC 06/ B 11/E 16/B 21fC 26/ C
Probar que: . i * * * * \^ 1 M m i n [ r - s ,s - u ,u - u ,v - r } ¿ . Se consideran las funciones reales de variable
02; B 07/ D 12/C 17/C 22/A 27: D
03/C 08; C 13/A 18/A 23/ B 28/A
SEGUNDA01/E 02: C 06/A 07/C 11/C 12/ D ¡6) D 17/D 21/D 22: C 26/A 27; B
real fíx ) de la form a: fíx ) = a x + b t siendo a y 6 números reales. ¿Para qué valores de a y b se verifica f 2000(x) = x para todo número real x.
04; A 09/A 14/A 19/E 24; E 29; D
05/ D 10/C 15/E 20/A 25/B 30/D
REPASO PARCIAL 03/ E 04j C 05/B 08; B 09/A 10/ B 13/ B 14/A 15/E 19/D 18/ B 20/D 23/C 24; E 25/A 28/D 30/B 29; C
TE R C E R A • R EP A S O PAR CIAL
Se sabe que el polinomio P (x ) = x 3 - x + k
ODA 06/E ID A 16/A 21/C 26/B
tiene tres raíces que son números enteros. Determínese el número k . * En la orilla de un río de 100 metros de ancho está situada una planta eléctrica y en la orilla opuesta, y a 5 0 0 m etros río arriba, se está construyendo una fábrica . Sabiendo que el río es rectilíneo entre la planta y la fábrica, que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta a S/.9 cada metro y que el tendido de cables sobre el agua cuesta a S/.25 cada metro, ¿cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica?.
Sean a, b y c números reales no nulos (con suma no nula) tales que:
Z+Z+L— ^ a b e
a+b+c
Prueba que también se verifica: 1 1 1 1 ^ 9 9 9 ~*~jjL999 ~^~c 1999 ~~^ 9 9 9 ^ ^ 1 9 9 9 ^ 1999
enteros. Hallar todas las funciones f : Z -> Z , tales que para cualesquiera x , y enteros se verifica : f(x+f(y))=f(x)-y. (57^) ¿Existe alguna potencia de 2 que al escribirla en el sistem a decim al tenga todos sus dígitos distintos de cero y sea posible reordenar los mismos
04; A 09/A 14/C 19/ C 24; B 29: B
05/A 10/E 15/ D 20/A 25/ B 30; C
PARCIAL 04: C 05/C 09/A 10/C 14/ C 15/E 19/ B 20/ C 24; B 25/A 29; D 30; E
QUINTA - REPASO 02; C 03/ B 07/C 08; E 12/A 13/A 17/ C 18/ E 22; D 23/ C 27; E 28/ E
PARCIAL 05; C 04: C 09/A 10/ D 14/A 15/D 19/B 20/A 24: B 25/ D 29: B 30/A
--------^
' SEXTA- REPASO PARCIAL 01/0 02; D 03/E 04: D 07; E 06/D 08: C 09/C ID E 12/E 13/C 14/B 16/A 17/A 18/C 19/ C 21/B 22; A 23/ B 24: B 26/ B 27; C 28/A 29: D '
SÉPTIMA - REPASO 01/D 02: B 03/D 06/ C 07/ E 08; A 12/ D 13/E ID B 17/ E 16/E 18; E 2D D 22: B 28/B 26/E 27; B 28/C
OCTAVA •REPASO kU/B 02; B 03/D 06/D 07/E 08; A ID D 13/D 12/ * 16/D 17/ E 18/B 2DA 22: A 23/C 26/B 27; E 28/C
1
Se representa por Z el conjunto de todos los
03/C 08: B 13/B 18/E 23/D 28/E
CUARTA - REPASO ODA 02: A 03/D 06/ B 07/B 08: C ID D 12/C 13/C 16/ C 17/C 18/D 22: B 23/E 21/B 26/ D 27: E 23/E ODB 06/C 11/B 16/C 21/A 26/D
Halla todos los pares de números naturales x, y (x < y ) tales que la suma de todos los números naturales comprendidos estrictamente entre ambos es igual a 1999.
02; B 07/D 12/C 17/D 22; C 27: B
NOVENA 01/c 02: D 06/A 07/A 11/D 12/ * 16/D 17/C 2D B 22; A 26/C 27: A
REPASO 03/ D 08: A 13/A 18/C 23/ A 28/A
DECIMA ■REPASO ¥01; B 02: C 03/C |06; E 07/A 08; B \1DC 12/C 13/C 17/ B 18/A
0 5/£ 10/B 13/B 20/B 25/A 30/E
PARCIAL OLE 05; B 09/D 10/B 14/A 13/ D 19/ E 20/E 24: B 23/E 29: C 30/A PARCIAL } 04: C 05/C 09/ D 10/ D 14/ E 13/ B 19/D 20; B 24: C 25; C 29: A 30/ A PARCIAL 04; E 05/ B 10/E 09/E 14/A 15/E 20/ D 19/E 24; B 25/ D 29; B 30/ EPARCIAL 05/B 04: C 09/ C 10/D 15/B 14/A 19/B 20/ C
[EPinom^ wf mtog’
O B J E T IV O S
By H W io o á llg ffl
Z
* Conocer los conceptos de sucesión y de término general de una sucesión. * Reconocer las sucesiones que siguen una ley de formación. * Reconocer las progresiones distinguiendo las aritméticas de las geométricas. * Determ inar la diferen cia de una progresión aritmética y la razón de una progresión geométrica a partir de dos términos consecutivos. * Calcular térm inos específicos y generales de progresiones aritm éticas y p rogresion es geométricas. * Determinar el valor de la suma de términos de progresiones a ritm ética s y p rogresion es geométricas y entender la dem ostración de las fórmulas correspondientes. * Identificación de una progresión aritmética o una progresión geom étrica a partir de una serie de términos consecutivos. * Conocer la Interpolación de medios aritméticos y geométricos. IN T R O D U C C IÓ N Z
K10.XK&]
indican la cantidad de caramelos entregado a cada niño, están ordenados de manera creciente ; es decir forman una p rog resión cuyo número de términos va a ser limitado y dependiente del número de niños. Estamos frente a una p rog resió n fin ita . Si en una noche clara , mirando el oscuro cielo estrellado , empezamos a contarlas de dos, cuatro , seis, ocho, diez, doce,....y no llegáramos a contarlas todas , aún teniendo un poderoso telescopio, su num ero sería in fin ito y com o estam os en u m era n d o , los términos de dicho infinito será denominado infinito numerable. Por ello , cuando la p ro g resió n tiene un número fmit0 de termin0S) se denomina p ro g resió n fin ita y cuando la p ro g resió n tiene un número infinito de términos, se denomina p ro g resió n in fin ita , ^ & MC#iw Una sucesión es un conjunto de núm eros que presenta un cierto orden de acuerdo a una ley de formación . g n términos de conjunto las sucesiones se expresan como : { a n }/i jv **a l * a2 * Toda sucesión debe ser determinado a través de su término e-nésimo ( a j , es decir :
En álgebra la palabra progresión se emplea casi con * Para n = 1 -+ a ¡ igual sentido que en el lenguaje común . Por ejemplo, • Para n = 2 -+ a 2 supongamos que pedim os a un grupo de niños . n = 3 -> a formarse en fila india (alineados uno detrás de otro)..................................... Empezamos a repartir caramelos: al primero le damos dos ; al segundo, 5 ; al tercero , 8 caramelos ; *Para n = k -> a k al cuarto , 11, y así sucesivamente hasta haber En esta notación usaremosen adelante . El número entregado lo que le corresponde al último niño de a¡ es el primer término de la sucesión: a g es el la fila • segundo : ...; a n el enésimo térm ino (té r m in o Ya sea que repartamos caramelos de 3 en 3 a un g e n e r a l) de la sucesión y los números 1; 2 ; .... ; n grupo de niños o contemos las estrellas de 2 en 2. indican el orden . aparece nitidanente la nocion de progresión. Las sucesiones num éricas se presentan en la Es claro que debemos disponer de una cantidad siguiente forma : suficiente de caram elos F®ra poder llevar a cabo el reparto Si se asum e que dicha cantidad es finita , es posible determ inarla, porqu e el num ero de alum nos
„
que integran al grupo (sea grande o pequeño) es finito. Cabe señalar que los números , los cuales n
EJEM PLO : 0 , , a n = 3n ; de aquí cada térm ino
tn R E C T A yM E X T E M E D M A X T E U E C O R R E S P O X D E X C Í A .*
LA
NCICLOPEDLt 2012}
[A M *
{ a n} ; 3 x 2 ; 3 x 2 ; 3 x 3 ; 3 x 4 ; II)M E D IA N T E R E CURSIVA :
UNA
3 ; 4 ; ..... obtendremos :
FÓRM ULA
n
1
2
T *»
1 I* + J
1 2 2 2*+ 1
3 2 5
3 3S+1
ó
3 10
ó
9
. #■ k k k* +1
denominado método recurrente que permite calcular el término general de la sucesión por los precedentes que dan unos términos iniciales EJEM PLOS : Sea : a n = n 2 + a „.t ; a , = 1 Luego : Para n = 2 -> a ^ = 22 + a J ~>a2 = 4 + ] = 5 ; Entonces : a , = 5 Para n = 3 -> a 3 = 3 2 + a 2 -+ a s = 9 + 5 = 14 ; Entonces : « 3 = 2 4 ;
y así sucesivamente .
Determinar los 3 primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es : a n = 7 - 2n2
U I) M É T O D O D E S C R IP T IV O : En algunos casos se da en forma verbal , es decir describiendo sus términos . EJEM PLO : La sucesión { a B} donde a n es el n-ésimo número elevado al cubo : a¡ = l 3 ; a 2 = 2 3 ; a 3 = 33 ; ;a n = n3 C L A S IF IC A C IÓ N D E
EJEM PLO 1 :
LAS
S U C E S IO N E S Atendiendo al número de términos las sucesiones pueden s e f : I) SUCESIONES FINITAS : Son aquellas que tienen un número limitado de términos .
R E S O L U C IÓ N : * Asignando valores a " n ” , a s í :
I) Para : n = 2 -+ a ; = 7 - 2(12 ) = 5 II) Para : n = 2 - > a 2 = 7 - 2 ( 2 2 ) = - 1 III) Para: n = 3 ^ a 3 = 7 - 2 ( 3 2) = - l l * Luego lo pedido será : 5 ; -2 y -22 . EJEM PLO 2 : Determinar la Ley de formación de la siguiente sucesión : í \ 1 4 9 { a» } nejv ■ 5 ' e * 7 * ........ R E S O L U C IÓ N :
U) SUCESIONES IN FIN ITAS :
* Para determinar la Ley de formación , debemos relacionar adecuadamente cada término con el lugar que ocupa en la sucesión; es decir el l4a } ” con 2 ; “f l j ” con 2 ; con 3 y así sucesivamente .
Son aquellas cuya cantidad de términos es ilimitado.
* Luego analizar la sucesión dada , se obtendrá:
EJEM PLO :
* a , = — ó a , = ------1 5 1 1+4
EJEM PLO : { a n} : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 1 6
í
\
1 1 1 1 ««» ' 2 ’ 3 ’ 4 ’ 5 ’
O B S E R V A C IÓ N : Una sucesión consiste en escribir el término enésimo (an ó Tn) t de modo que dependa de los valores que tome el índice “n EJEM PLO : n ; si le damos valores a n : 2 ; 2 ; D ado: Tn = 2 n* + 1
*
- 4 A U2 ~~q ° a 2 ~
22 2+4
, 9 . 32 * flo = - O Oq = ------3 7 3 3+4 Entonces la Ley de Formación o término general, n2 será : R p ia : a n = n+4
1005
H fT P g to s EJEM PLO 3 :
Determinar el térm ino del lugar 2 0 0 6 , en la siguiente sucesión : n2 - l «n =
n-1
neN
Pero por diferencia de cuadrados
20062 - 1 = 20062 - 12 = (2006 + l)(2 0 0 6 -l)
(2 006+ 1) (2006-1) = 2007 2 0 0 6 -1
calcular: ua 4n R E S O L U C IÓ N : * Como ya tenemos " a / ' y “f l j" , entonces hagamos: n =3 , luego : a 3 = a 2 + a ¡ —> a 3 = 3 + 2 - + a 3 = 5
Significa progresión aritmética
+ : Inicio de una R A. ai
Primer término de la R A.
an n
Ultimo término de la R A.
r
Número de términos de la R A. Razón o diferencia constante .
S*
Suma de los n primeros términos de una RA.
m
Medios de una P A .
f
'
EJEM PL O : 3 ;7 ;1 1 ;1 5 ;1 9 ;2 3
EJEM PLO 4 : Sea la sucesión: « « = « n -1 + «n -2 ; a ¡ = 2 A a 2 = 3
4
♦ Ahora para n = 4 : a 4 = a 3 + a 2 -> a 4 = 6 + 3 = 8 - + a 4 = 8 ^ R p ta : a 4 = 8
•a n
+ a í . ( a¡ + r ) . ( a 2 + r ) ...........[ a2 + ( n - l )]
P. A . :
♦ Se le pide 02006 * ^ decir a "it ” se le debe asignar el valor 2006, luego :
a 2006
N O T A C IÓ N : *^2 «Oj • •••••• « Oin -1
S ím bolos d e u n a p r o g r e s ió n a ritm ética :
R E S O L U C IÓ N :
20062 -1 a20oe * 2006-1
P H O fim \vm vfc\vl
- fl; dg a 3 a 4 O5 ctg Este ejemplo es una progresión aritmética porque los términos van avanzando de 4 en 4, esta diferencia constante se llama razón .
*¿KAZÓX A H IT M É T IC A ( r ) í Se obtiene restando un término cualquiera de la progresión con su término anterior.
✓
EJEM PLO 5 :
r = <*n - ? n-i ♦ Si: r> 0 , la p r o g r e s ió n es crecien te ,
Sea la sucesión : {Tn} ; —; — ; -r-—; 4 ; ......
* Si: r< 0 , la p ro g r esió n es d ecrecien te . * Si: r = 0 , la p r o g r e s ió n es t r i v i a l .
Calcular “ k ” , s i : Th = ^
EJEM PLO 1 :
R E S O L U C IÓ N :
* De : 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17
♦ Colocando los términos en función del lugar que ocupan, se obtendrá:
♦ Entonces : r = 1 7 - 1 4 = 1 4 - 1 1 = 1 1 - 8 = 3
JT
{
xi 1 6x1 5n . . _ • 5_x. 2 • 5 x 3 . • 5x4 « « _____ 1 + 1’ 2 + T 3 + 1 9 4 + 1’ " " ’ n + l
o • Luego de el otro : Tu = — Rh
EJEM PLOS : ♦ De : 2 0 ; 13 ; 6 ; - 1 ; ..... ♦E ntonces: r = - l - 6 = 6 - 1 3 = 1 3 - 2 0 = - 7 T É R M IN O C U A L Q U IE R A ( a j Z
O
= ~ ^ > 1 0 k = 9k + 9 = > k = 9 k+1 2 P R O G R E S IÓ N A R IT M É T IC A
Un término cualquiera es igual al primero más el núm ero de térm in os dism in u ido en uno, multiplicado por la razón . Así tendremos :
(P .A .) Son aquellas sucesiones en las que Be cumple que cualquier término , después del primero es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón (r) o diferencia .
EJEM PLO 1 : ♦ Hallar el vigésimo segundo término de 22 ; 29 ; 36 ; 4 3 ;
••1
¡Vi y
XCICLOPEDIA 2012]
ííooel
R E S O L U C IÓ N :
EJEM PLO 2 :
•D atos: n = 22; aJ= 2 2 ; r = 7
•C alcular: S = 28 + 32 + 36 +
+ 80
R E S O L U C IÓ N : -><122 = 2 2 + (2 1 )7 = 2 2 + 1 4 7 = 169 EJEM PLO
2 :
En : 2 ; 8 ; 14 tercer término .
• Datos : a¡ = 28 ; a n = 80 ; r = 4 8 0 -2 8 + 1 = 14 n= 4
• Calculando 4,n Calcular el sexto y el décimo * Calculando 4tS
756
R E S O L U C IÓ N : • Se tiene: a t = 2 ; r = 6 =>a6 = a ¡ + ( 6 - l ) r —> a 6 = 2 + 5 * 6 = 32 => a t3 = a t + ( 1 3 - l ) r -> a I3 = 2 + 1 2 x 6 = 74
NÚMERO D E TÉR M IN O ( n ) : n
a - — cti = n l + l r
Hallar el número de términos d e : 1 8 ; 2 1 ; 2 4 ; 2 7 981 R E S O L U C IÓ N : * Datos : aR = 981 ; a¡ = 18; r = 3 Luego :
n= - ~rt
r
Calcular : S = 5 + 8 + l l + ....(3 0 térm in os) R E S O L U C IÓ N : * Se tiene \al = 5 * Aplicamos : S =
*
EJEM PLO :
a .- a
EJEM PLO 3 :
9 8 1 -1 8 + 1 = ----+ l - > n = 322 3
n SUMA D E L O S P R IM E R O S TÉRMINOS D E UN P . A . (S_ )
2at + ( n - l ) r 2
n
(3 0 -1 )3
u,eod ) } s=[—
J30 = 1005
M E D IO S A R IT M É T IC O S Son los términos comprendidos entre dos extremos de una sucesión aritmética . p ® ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; @ ) - j Extremo anterior
La suma de los términos de una R A . es igual al producto de la semisuma de los extremos por el número de términos .
Medios aritméticos
Extremo posterior
6 ; 10; 14; 1 8 ;2 2
3 M e d io s a r itm é tic o s en g e n e r a l : + ax . * 2 ........................................ ® n -i;
m = n - 2 (medios)
También:
EJEM PLO 1 : Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión : +1 ; 6 ; 11 ; R E S O L U C IÓ N : • Hallamos : r = 6 - 1 = 5 ; a t = 1 • Entonces : a I0 = 1 + (10 - 1 ) 5 = 46 * Luego : SI0 = [ J+^ 6 j i 0 = 235
Aritméticos Medios :l 0 . . Diferenciales r*0 Primer Término
Último Término
IN T E R P O L A C IÓ N D E M E D IO S A R IT M É T IC O S In terp ola r " m ” m edios aritm éticos en tre los números 44a n y 44b ” , es formar una R A» cuyo primer término será “a ” , el último y el número de términos “ m + 2 ” ‘ Para poder interpolar se debe
[K
W
f r J O
i W
IBPB itfQ7ÍB8
^
calcular la razón de interpolación , Si se desea interpolar “m MA fA . entre los números “a ” y **b” se debe formar : -rO ....................... 6
E L T É R M IN O C E N T R A L ( T c ) (Cuando **n99 sea impar) rp _ « ! + « » 2
'm n M J L
Aplicando : a n = a 1 + ( n - l ) r
T -S Te b,
S
♦ donde : * Sj = a¡ + a 3 + a 5 +
Tendremos: b=a+(m +2-br
- S/ + n Sp - Sn“
+ an
su m a d e te r m in a s d e ¡a s lu g a r e s im p a r e s
Razón de Interpolación.
+ an -l
♦ S D = a « + a* + a* +
su m a d e te r m in a s d e tan tu g a r e s p a r e s
EJEM PLO 1 : Interpolar 4 M A . entre los números 2 y 27. R E S O L U C IÓ N :
*S _ = S i + S
I**4' *
tu rn a to ta l
EJEM PLO 1 :
\
* Se tiene que : a = 2 ; b = 27 ; m = 4 27-2 * Luego : r = — ------ = 5 -> 4+1
Hallar el término central de la siguiente progresión aritmética sabiendo que tiene 47 términos.
* Interpolando : 2 ; 7 ; 12; 17; 22 ; 27
R E S O L U C IÓ N :
3 3 ; 44 ; 50 ; ....... ; 314
Medios in terpolados
Tc = 38 + S-1 4 = 1 7 6
EJEM PLO 2 ; Interpolar 5 medios aritméticos entre 8 y 26.
S.
T É R M IN O S E Q U ID IS T A N T E S DE EOS EXTREM OS
R E S O L U C IÓ N : Sean a p y a q dos térm inos equidistantes de la siguiente RA. :
* Del dato : a = 8 ; b = 26 ;m = 5 2 6 -8 ♦ Reemplazando : r = 5+1 ♦ La progresión será :
r =s
2 * a Jk VRRr
+ 3 ; 11; 1 4 ; 1 7 ; 2 0 r $ 3 ; 26 5 m edios F O R M A S D E R E P R E S E N T A R UNA P R O G R E S IÓ N A R IT M É T IC A ‘%
En la resolución de problemas sobre RA. es necesario expresar los términos de la progresión bajo las siguientes formas: II C uando n o se co n o ce e l n ú m ero d e térm in os: + a ; a + r ; a + 2 r ; a + 3 r ;... II) C uando e l n ú m ero d e térm in os es impar.
a
r a
np* términos
a
an " p * términos
Se cumple : A L T E R A C IÓ N D E L A P R O G R E S IÓ N A R IT M É T IC A ♦si se suma o resta a todos los términos de una RA. por una misma cantidad, 'se tendrá otra RA. cuya razón será igual a la razón de la RA. original (la razón no se altera). ♦si se multiplica o divide a todos los ténninos de una RA. por una misma cantidad diferente de cero , se obtiene otra RA. cuya razón será la original multiplicada o dividida por dicha cantidad.
a - 3 r ; a - 2 r ; a - r ; a ; a + r ; a + 2 r ; a + 3 r ;.... ♦
III) C uando e l n ú m ero d e térm in os es p a r . a - 5 r ; a - 3 r ; a - r ; a + r ; a + 3 r ; a + 5r N O T A .: 4
Se' comienza por los dos términos marcados , luego se agregan en ambos lados la misma cantidad de ténninos hasta completar los términos requeridos .
P R O G R E S IÓ N
G E O M É T R IC A
Es una sucesión de números , en la que cada término siguiente es igual al término anterior multiplicado por una con sta n te, llam ada razón (q ) de la progresión. También se puede decir que es una sucesión de términos de la siguiente forma:
fS%.
MCMXJHCy Í
XCMCLOPEDIA 2012}
TB M \1 0 0 8 ]
H - * ¡¡ t f l : t tq * : t , q 3.• >
■t¡q
it-/
cuyo término enésimo tiene la forma :
al que se determina . * Entonces : Tal que n = número de términos.
* Donde: tj => 1 er. término de la progesión geométrica. q => razón de la progresión geométrica,
EJEM PLO :
n => número de términos .
En 3 ; 12 ; 48 ; 20 y 35.
tn => término de lugar o enésimo término.
Calcular Io b términos de lugares
R E S O L U C IÓ N :
N O T A C IÓ N : Los elementos de una sucesión geométrica se denota ••
* Se tiene : tj = 3 ; q = 4 * Aplicando : tn = t1. q n l
a s í: 77^1 • t ¡ ••••••“ tn
20-1 = 3 x 4 19 + t3o —3 x 4
EJEM PLO : ^
^su raz° n es ^ =
* Además :
= 3 x 4 a5 2 = 3 x 4 34
x 3 x 3 x3
S U M A D E L O S 4
O B S E R V A C IÓ N : A la progresión geom étrica también se le llama “P rogresión p o r C o cien te” , donde la razón debe ser diferente de cero ( q * 0 ) . RAZÓ N G E O M É T R IC A
(q ) 2
Se encuentra dividiendo cualquier término por el
(S .) La suma de los términos de una P. G. finita es igual al último término por la razón menos el primer término ; todo esto dividido entre la diferencia de la razón y la unidad . ; q*i
inmediato anterior : * Si ; q > 1 , la progresión es creciente. 0 < q < 1 , la progresión es decreciente,
* Donde :
n = t, + 1. + t . + ....+ / n
5 ^it-1 * Dado que : tn _ = t¡q
q < 0 , la progresión es oscilante. q = J , la progresión es trivial. EJEM PLOS :
EJEM PLO :
♦ Sean las progresiones geomérícas : q =2 > 1
+ +1: g: ^:8
P .G . C r e c ie n t e
x 2 x 2
+ + 8 1 : 24 7 :49 : 3 . . 4 ++ 1 x < -3 > x (-3 )
27
q =
Í
q 3 P .G . D e cre cie n te —> q = —3 < 0
P .G . O s c ila n t e
T É R M IN O C U A L Q U IE R A ( t J : Todo término de una R G. es igual al primer término multiplicado por la razón de la progresión con exponente igual al número de términos precedentes
Halla la suma de los nueve primeros términos de la progresión : + + 2 : 4 : 8 R E S O L U C IÓ N : 4 * Hallamos : q = -r = 2 ; t¡ —2 & ♦ Entonces : S0 = 2 + 4 + 8 + .... (nueve términos) • Luego :S g = 2 J £ Z J ) = 2 x 5 1 1 = 1022 S U M A D E T É R M I N O D E UNA P .G . IL IM IT A D A D E C R E C IE N E (S U M A Umitb )
El valor límite de la suma de los infinitos términos
lo o » n
i
Aplicando : tn = t 1. q n-l
de una P G. infinita decreciente es igual al primer término , dividido entre la diferencia de la unidad y la razón ; donde necesariamente el valor absoluto de la razón debe ser menor que la unidad .
b = a . q m + 2 -l EJEM PLO 1 :
q\
Interpolar tres medios geométricos entre 2 y 32 * Es decir : = t ¡ + t 2 + t3 + t 4 +
00
su m a L ím ite J
R E S O L U C IÓ N : •Se tiene: a = 2 ; b = 3 2 ; m = 3 32 Interpolando: q = s+/¡— = 2
* Donde : - l < q < l ; q * 0 EJEM PLO :
2 ; «4 ; 8 ; 16 ; 32
Hallar la suma de la siguiente P.G.:
*
,B y■- «
*
medios interpolados —2 7 ; 9 : 3 : 1 : —; 3
EJEM PLO 2 :
R E S O L U C IÓ N : • S epide: 2 7 + 9 + 3 + 2 + —+ ..... 3 9 1 • Luego : q = — = -----> P*G. decreciente 27 3
Interpolar cuatro medios geométricos entre 160 y 5. R E S O L U C IÓ N : • Del dato : a = 1 6 0 ; 6 = 5 ; m = 4
= si2 — = L • Como tiene « términos, entonces se trata de una • Reemplazando : q = 4+I ¡ i d 160 y 32 2 suma límite : 4 . c 27 27 27x3 81 . A ¡l* La progresión será : ce — s - = t = - r = - y - = T = 40' 5 0 \ > 2 -+ 1 6 0 : 8 0 : 4 0 : 2 0 : 10 : 6 « » £ 3 3 4 m ed ios M E D IO S G E O M É T R IC O S .
Son los términos comprendidos entre dos extremos de una sucesión geométrica . d i 6 ; 1 2 ; 2 4 ; 48 ; 9 6 ; (l9& / --------- r r : ------------------ \ Medios Extremo Extremo geom étricos anterior geométricos posterior y
'
3 : 6 : 12 : 24 : 48 : 96 :
3 medios geométricos IN T E R P O L A C IÓ N D E M E D IO S G E O M É T R IC O S Interpolar " m ” m edios geom étricos entre los números “ a " y “ 6 ” es form ar una progresión geométrica cuyo primer término es “a ” , el último “b ” y el número de términos “ m + 2 ”• Para poder interpolar se debe calcular la razón de interpolación. Para interpolar um ” medios geométricos entre los números “a " y “b ” se debe formar:
b
++a:
"m" términos
1) Razón : EJEM PLO ;
2 ; 6 ; 1 8 ; 5 4 ; 162 “
P R O P IE D A D E S : _ •• En una sucesión geométrica “ *;• t2 : t3 : se cumple :
= 6 = 22 = 48 = 2 q 3 6 24 II) Términos generales :
III) Termino central ( t j si n es impar
te 7 : 21 : % : 189 : 5 6 7 632 = 7(567)
[ A
* donde:
Pi =
t¡xt3 xte x
xtn
p r o d u c to d e Ion té r m in o % d e lu g a r e s im p a r e s
Pi =
t o X
t A
X t * X
x t n -1
p r o d u c to d e lo » té r m in o s d e lu g a r e s p a r e s
Pn —P jP p .........nProducto total'1
••
1 X V x términos
* si a los elementos de una P.G. se potencian o radican, los términos elementos resultantes forman otra RG. cuya razón estará afectada por la operación correspondiente. ♦los recíprocos de los elementos de una RG. , forman otra RG. , cuya razón es la recíproca de la anterior. P R O G R E S IÓ N A R 9 IÓ N IC A (P J I»)
IV) Términos equidistantes de los extremos S i'
XCH JAH TJH A 2012}
H H I io io l
I ,
y
n
x términos
♦ Entonces se cumple :
Es aquella sucesión ordenada que se caracteriza porque sus térm inos son los recíprocos de los términos de una P A . Sea la RAl. . a 2 »a3 . •••••■ • »a^ luego la progresión arm ónica está dada por la . 1 sucesión
EJEM PLO : - 2 : 4 : 8 : 1 6 : 32 : 6 4 : 1 2 8 1
1
2 x 1 2 8 = 4 x 6 4 = 8 x 3 2 = 256 V) El producto de multiplicar los **n” términos de una progresión geométrica limitada se obtiene al extraer raíz cuadrada al producto de térm inos extremos elevados a la " n ” .
1
1
O i 0> EJEM PLO
1 a
an
1 1 1 La sucesión : -r> —» 2 8 14 6n-4 es una p rogresión arm ón ica , dado que sus recíp rocos form an la sigu ien te progresión aritmética : 2 ; 8 ; 14 ; ....... ; 6n*4 de razón igual a r= 6 P R O G R E S IÓ N U IP E R G E O M É T R IC A Es aquella su cesión en la que dos térm inos consecutivos : a n a a n+1 verifican la siguiente relación :
EJEM PLO : Hallar: P - 2 x 4 x 8 ........... x 2 0 4 8 11 térm in os R E S O L U C IÓ N :
;a * 0
♦ Por fórmula : P = yj(2 x 2 048)11 F O R M A S D E R E P R E S E N T A R UNA P R O G R E S IÓ N G E O M É T R IC A A) C uando no se co n o ce e l n ú m ero d e térm in os + a :a q :a q 2 : aq3
si a = 0 , se tran sform a en una progresión geométrica SU M A DE L O S “ ¿"T É R M IN O S DE UNA P R O G R E S I Ó N H IP E R G E O M É T R IC A
(na
B) C u an do e l n ú m ero d e térm in os es im p a r .
tf q D) C uando e l n ú m ero d e térm in os es p a r . .
;
q5 q^ \g/
aq5
O B S E R V A C IÓ N : ♦si se multiplica o divide a todos los términos de una RG. por una misma cantidad diferente de cero , los elementos resultantes forman otra RG. pero con la misma razón de la progresión original .
s n =
+ P)an - yaj a +P- y
EJEM PLO 1 : D ado: 3
3
3
1x3* 3 x 5 * 5 x 7 ( 2 n - l ) ( 2 n + l) es una progresión hipergeométrica , ya que: 3 3 a a n +1 ( 2 n - l)(2n + l) ( 2 n + l ) ( 2 n + 3) a
- 2n
1 - + a = 2 * p = -lA .r = 3
2n + 3
( na + p )
EJEM PLO 1 : Calcular :
( 2 n - í ) ( 2 n + í)
«„ =
a+p-r
->s„ =
S=lx3x5+3x5x7+
3 (2n - 1 ) ( 2 n - l) ( 2 n + í)
R E S O L U C IÓ N : 4 Aplicando la regla práctica , así :
2-1-3 2{
0 (2 n - l ) ( 2 n + l ) ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 5 ) O. = 1 + K* 4x2 * para determinar C, hagamos n = 2; entonces la serie se reduce a su primer término, y tenemos
2n + l )
EJEM PLO 2 : Calcular : s=
1
2 Ix2x3x4
2 Ix2x3x4
•44+
x
3
x
5 = 2* 3 - 3 + C - » C = —
2x4 8 _ ( 2 n - l ) ( 2 n + l ) ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 5 ) 15 —>------= + --4x2 8
n (n + l)(n + 2 )(n + 3 )
R E S O L U C IÓ N :
-> Sn = n (2 n 3 + 8 n 2 + 7 n - 2 )
Se trata de una progresión hipergeométríca, dado que:
EJEM PLO 2 :
n(n + !)(/*+ 2)(n + 3) (n +1)(« + 2)(n + 3)(n + 4) n 3 + 1 -+a = lA,0 = OA.yz=4 n +4 _> s _r(na + P)an-ra¡ a +fi-y
Calcular : 2 2 2 S=— +•4 4 + Ix2x3x4 Ix2x3x4 n (n + l)(n + 2 )(n + 3 ) R E S O L U C IÓ N :
—
.4
=*s
[n(n + l)(n + 2)(n + 3)J
(lx¿íx3x4f)
1+ 0 - 4
8ml\i_______ 1
1
n(n + /)(n + 2)(n+3)J
O B S E R VA C I O N E S :
+ (2n - l)(2 n + l)(2 n + 3)
Ai
I) Para calcular la suma de los «n » términos de una serie en la que cada término está formado por «r» factores en progresión aritm ética , estando los primeros factores de los diversos términos en la misma progresión aritmética 6e procede así: escríbase el térm ino de lugar «n » , añádase el siguiente fa ctor en el extrem o, divídase p o r el número de factores asi increm entando y p o r la diferencia , y súmese una constante (esta constante se puede obtener dando valor a n , como por ejemplo 1 )« U) Para calcular la suma de Iob «n » términos de una serie en la que cada término está formado por el recíproco del p rod u cto de « r » factores en progresión aritmética , estando los primeros factores de los diversos términos en la misma progresión aritmética se procede así: Escríbase el término de lugar «n», suprímase un factor del comienzo , divídase p o r el número de factores así disminuido y por la diferencia , cámbiese el signo y súmese una constante (esta constante se puede obtener dando valor a n, como por ejemplo 1).
g
r-u
= Q _ __________ ___________ " 3 n (n + l)(n + 2 )(n + 3 )
• Haciendo n = 2 , se obtiene: 1 ^ 1 -> C = =CIx2x3x4 3x2x3x4 18 1 - + S n = - ------------------" 18 3 n (n + l ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) EJEM PLO 3 : Calcular : 3 S= 1x2x4
2x3x5
(n + 2 ) n (n + l)(n + 3 )
R E S O L U C IÓ N : * En este caso la regla práctica no se puede aplicar directamente , pero podemos hacer el siguiente artificio : (n + 2 ) 2 -> qn = n( n + l ) ( n + 2 ) ( n + 3) n(n + l ) + 3n + 4 =
l
n(n + l ) ( n + 2 ) ( n + 3) 3
(n +2)(» +3) (n +j)(n +2)(n +3) n(n +l)(n +2)(n +3) * Cada una ó< ¿atas expresiones puede tom arse ahora com o térm ino enésim o de una serie a la cual la regla es a p lic a b le :
* Hagamos n = l ,entonces : =C --1x2x4 4 2x3x4
3x2x3x4
=> C =
29 36
| lg l»IM E B "
‘a . .
4
36 (n+3) 2(n+2)(n + 3) S(n +J)(n + 2 )(« + 3)
; 5 ; 8 ; 4 3 ; 9 4 ; 185
R E S O L U C IÓ N : / •/ " / •/
NOTA : w(n+l)(»+2)»—(*»+ r-l) _ »(ra+l)(n+2)»»»«(/i + r - l ) rl (r -I)/ P R O G R E S IO N E S D E S U P E R IO R
ti ; t2 ; t3 ; t4
10
5
> *6 »
p .....
25
15
•luego :
n
•
•#
in
4 ; 5 ; 8 ; 1 8 ; 4 3 ; 94 ; 1 8 5 .....
ORDEN
a
» /
+1 9 *2 * *3 > *4 * *5 *
Es aquella sucesión en la que su término n-ésimo es un polinomio en « n » cuyo grado es mayor o igual a 2.
m
NCÍCMAtrEMA 2012)}
> • «
8 3
26
11 3
51
91
40
14 3
20 20 20 20 -> S20 = 4 C f + i C f + 2 C f + 5 C f + 3 C
tn = t ¡ + a C ¡ 1 + m CJ 1 + rC 3n-/ + • ,
Sn = t f i i + a C 2 + m C 3 + rC 4 + .....
2 0 x l 9 \ J 20x19x18 S20 = 4 ( 2 0 ) + l [ 2 J + 1, 1 x 2 x 3 l+ _ 20x19x18x17 . 0(20x19x18x17x16 +51 — ■ ■ ^— -— 1+ 3 Ix2x3x4 Ix2x3x4x5 S20 = 73287
EJEM PLO 1:
E J E R C IC IO S D IV E R S O S
Determinar el décimo quinto término de la siguiente sucesión : 4 ; 5 ; 8 ; 43 ; 94 ; 185
E J E R C IC IO 1 :
R E S O L U C IÓ N : h ; t 2 ; t3 ; t4 ; t6 ; ........... ; tn
Determinar el térm ino enésim o de la siguiente sucesión :
4 ; 5 ; 8 ; 18 ; 43 ; 9 4 ; 185...........
1 0 ; 23 ; 6 0 ; 1 6 9 ; 494 ; ......... R E S O L U C IÓ N :
10
25
15
26
51
• Las diferencias sucesivas son : 1 0 ; 2 3 ; 6 0 ; 169 ; 4 9 4 ; .......
91
40 + 13
8
11
+37
+109 +335
\ s* \ s* +24 +72
14
* luego :
- > t ls = 4 + 1C\4 + 2 C 14 l2 + 5 C 14 l3* + 3 C14 l4 ( 14xl3\. 14xl3 \. J l 4 x l 3 x l 2 \ -+ii6=4+14 + 2 x2x3 -> lj6 = 6023
Jl4xl3xl2x x2x3x
M "
EJEM PLO 2: Determinar la suma de los 20 primeros términos de la siguiente sucesión :
\ s* +216
\ s* \ s* x3 x3 • Luego las diferencias de segundo orden forman una progresión geométrica cuya razón es 3 ; por tanto , podem os suponer para el térm ino general , la sigu ien te form a (m étod o de los coeficien tes indeterminados): an = m3n í + pn + q * donde para determinar las constantes « m» ; «p» y «q» se da valores a « n» (se tabula ) , como por ejemplo: 1 ; 2 ; 3 entonces , resulta el siguiente
B r 7 ff,v o ^ las cantidades B t ; B 3 ; B s ;B 7 ;..........
sistema: m + p + q = 70............................... (7) 3m + 2/> + q = 23........................(77)
se conocen como NÚMEROS DE BERNOULU
9 a + 4 p + q = 60......................... (777)
Calcular :
EJEM PLO :
* que al resolver el sistema resulta :
Sn = l 5 + 2 5 + 3 5 + 45 +
m = 6; p = l;q = 3
R E S O L U C IÓ N : * en este caso sólo es necesario las constantes B ; y B3 :
* reemplazando estos valores , se tendrá : an = 6 x 3 n l + n + 3 -+ a n = 2 x 3 n + n + 3 E J E R C IC IO 2 : Calcular:
S=
5
x
+
1x2
7 2x3
1 Xí —
I V3)
+
9 3x4
Sn = - + — + B t — n4 - B n 6 2 12!
5x4x3 2 ------------ n 4!
„ n6 nB1 5 4 -> S „ - — + — + —x — - n n 6 2 6 21
1 5x4x3 2 x — n 30 4!
" n*sumandos
E J E R C IC IO S
R E S O L U C IÓ N : ♦suponiendo que :
2n + 3
1
x
n (n + l )
• Verificar que se cumplen las siguientes relaciones
3n
n(n+l)(n+2)(n+3) Ix2x3+2x3x4+3x4x5
a
"n" sum andos
B = -1
[g]ix2x3x4+Í?x3x4x5+3x4x5x6+...=
n (n + l)(n +2)(n +8) (n + 4)
”nn8umañdo8
• Por lo tanto :
n + 7 ) 3 rt
=>a n =
1 i i
T
nx3ní
n (2 7 n S + 9 0 n 2 + 4 5 n -5 0 )
^11x4x7+4x7x10+7x10x13+»».=
"nn8umando8
(n + l ) x 3 n
♦ en consecuencia, aplicando la regla práctica adecuada se obtendrá :
Sn = 1 --------------— (n + Í ) x 3 S U M A D E L A S P O T E N C IA S D E E X P O N E N T E 4V ” D E L O S n P R IM E R O S N Ú M E R O S N A T U R A L E S
\¿lx4x7+2x5x8+3x6x9+»..=
+ f i u „ ^ _ m1 V ( '-- i )(r -— 2)„r-3 . Tt Té*. U J2/ UoJ 4!
0 también : nr+1
I r ( r - l ) ( r - 2 ) r_j n + ~ n r+B1— nr 1 - B 3 &n~ r+1 2 2! 4! r ( r - l ) ( r - 2 ) ( r - 3 ) ( r - 5 ) r_5 +B> n 6!
n ( n + l ) ( n + 6 ) ( n + 7)
"n*8umando8 ['—3i k1— x5x9+2x6xl0+3x7xll +....- = ■— - ■ ■ ,
n (n + l ) ( n +8) (n +9)
”nn8umando8
\§\Z+ — +— + - . =n+1 " 1x2 2 x 3 3x4 "h "sum andos
1
0
1X4
s„ = !í Z i + v " r +1 2
PRO PU ESTO S
0
2n + 3 A — ------ = ----- H------- -> A = 3 n (n + 7) n n + 1
an = l — n
n 12
« n6 ns 5n -> S n „ = — +— + 12
X
♦En este caso ,se deduce que : a n
+n
+
1 4X 7
1 +
-+....=
7X10
/I 3n+l
'n"8urruutdos
'— + 1 l 1x3x5 + — 5x7x9 5x7x9
12
4 (2 n + l)(2 n + 3 )
"ri*»um ando»
1
H 1x4x7
1 4x7x10
7x10x13
24
6(3n + l)(3n + 4)
"n^sumando»
10
1x2x3
5 2x3x4
6 3x4x5
+
= «4
2n+5 2(n+l)(n+2)
*>i“turnando»
2 3 J — + J — + 1 — L -+ ------- 1------m 3 x 4 x 5 4 x 5 x 6 5 x 6-x+7 . . . . . =L 6 n+3 (n+3)(n+4) "n^sumando»
• de donde: £ . = —; B 3 = — ; B s = — ; B 7 = — ; B g = 1 6 3 30 6 42 7 30 9 66
12
3
5
1x2x3 2x3x4 3x4x5 "n"»um ando»
+.....
4 n+2 2(n+l)(n+2)
XCMViAU‘EDL\ SO 12]
Q O D H n
[7514; 14;30;52;80;.... -> an=3n2+n a SH=n(n+l)
14} 8{26>'54,'92;... —> an=5n +3n a Sn=
5 )£ £ ,k * ( k + l)*(k + 2)
nfn+l)f5n+7)
n(n+5) J5J 9;16;29;54;... -> am=3x2n +n+2 a Sn=0(2" - 1)+ 6
x 4 - 7x2+ 4 x - 3 = 0
2x2* 4/
3 x2 a 5/
J ’L z i ) é ^ L + l [n + 2 j 3 3
,n+l 4x24 +... = 1 — 6! (n+2)!
" n 't u m a n d o s
1 5 ,1 2 29 _1 n+2 20 T” T _ T T«m” ■” *“ 2 (n +2)/ 3/ 4/ 5/ 6/ *n'«um a/ufos
2 l]lx 3 + 3 x 3 2 + « x 3 3 + 7 x 3 4 + .... = ( n - . í ) 3 n+i n+J + 3 10 22 x2 + x2 + x2 + 2 x2 2x3 3x4 *n'iumando« a 39 29 23 i 1+ 2E 2x2x3
sr
2x3x4\.2J
3x4x5
'n*mimando*
(ir
24 1 * * 2 * + 3 ° + 4*+ ..., = — + — 9 _0 7 2 S
•
rt+4
(n+2) (n+2) 2"
2
7
7n® 2 5 \ f + 2 7 + 3 7 + 47 + =— +— + — 14_____ *_i._----- ' 8 2 22 n * tu r n a n d o » 1 1 m i+ F + í4 i+ 2*+24 /+3*+34
6
— 42
7n4 24
n2 12
*(* í +„ 2+J
'n 'a u m a w ÍQ i
M IS C E L Á N E A 1) calcular el valor de:
T7_(4+4Í5)3l2+(4-4Í5)312 (6 + 4 3 5 f 12- ( 6 - 4 3 5 f
2
7 "* 13
2) extraer la raíz cuadrada de: (a 2+ a b + b c + c a )(b 2+ a b + b c + c a )(c 2+ a b + b c + c a ) R p t a : (a + & )(6 + c)(c+ a ) 2x-3 3) resolver X _ 1 R pta :
Rpta: -1 4 0
M Á S A CERCA D E L A L G E B R A **—
’n 'tu m a n d o a
1x2 19 3/
R p t a : ----8 (n + 1) (n + 2 ) 6) determinar la suma de las quintas potencias de las raíces de la siguiente ecuación:
1X2 2 x 3 3 x 4 4 x 5 9 16 —~—+ T- + ó- + T~ +••••<*>= — 3 32 3a 34 4 r—1 . 22 3* 42 62 25 \17\1--- + -= ----- —+....CD = — — 5 5 5a 5 54 18 * (4) ■ ■+ 21 (4)*+ 3 * (4)*+ 2x3 3x4 4x5
5k2 +12k + 8
3x-8 x +3 x ~ ^ + ^ 3 =0 2 1 ± 4 l0 5
14 -S + yTíl 4) resolver: 1+ x4=7(i+x)4 Rpta: 6
-3±>f5
Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas . Al igual que en la a ritm ética , las operacion es fundamentales del álgebra son adición, sustracción, m ultiplicación, división y cálculo de raíces . La aritmética , sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, com o el teorema de Pitágoras , que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado que tien e com o lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3 ; 4 y 5, ya que 3 2 + 42 = 5 2). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a 2 + b 2 = c 2. El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números esp ecíficos y op era cion es aritm éticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más aten ción en las estructuras m atem áticas. Los m atem áticos con sideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas. La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (a x = b ) y cuadráticas (ax2+ b x =e), así como ecuaciones indeterminadas como : x 2 + y 2 = z 2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterm inadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo
[ic m r fo .v K .^
f e a io i 8 lis a
islámico, en donde se la llamó “ ciencia de reducción y equilibrio” . (La palabra árabe al-wabr que significa ‘reducción’ , es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los prim eros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejem plos y dem ostraciones incluidas. A finales del siglo IX , el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10 ; x 2+ y2 = z 2 ; y x z = y 2. En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x , y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Ornar Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecu acion es cú bicas u tilizan do los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII'. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo F ibon acci con sig u ió en con tra r una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2X2 + e x = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas. A principios del siglo X V I los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alum no de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, com o con secu en cia , ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo X IX el matemático noruego Niels Abel y el francés Evaristo Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula. Un avance im portan te en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las op eracion es y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro I I I de la Geometría (1 6 3 7 ), escrito por el m atem ático y filósofo francés René Descartes se parece bastante
a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geom étricos a la resolu ción de problem as algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el núm ero de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. D urante el siglo X V I I I se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Cari Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo (véase Número (matemáticas): Números complejos). En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinóm icas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiom as estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que com parten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras qué los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + q¡ + dk. Después del descubrimiento de Hamilton, el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J.W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sóbrelas leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna también llamada álgebra abstracta ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.
\ioia | B
IvA / í V rW X O P W IM ]
tetoi
R E S O L U C IÓ N : ♦ Datos : a 1 = 3 6 ; r = 4 0 - 2 6 = 4 ; n = 2 8 ; S28 —? PROBLEM A 1 :
♦ Luego aplicaremos :
Hallar la razón en la sigu ien te p rogresión aritmética:
c _ °n
; 195
2 1 ;................. 30 térm in os A) 2 B) 3 C )7 D) 8 R E S O L U C IÓ N ;
2a j + ( n - l ) r 2
n
♦ Reemplazando datos : E) 6
S 28 =
——4- j 2 8 -> Soo 28 = 2 5 2 0
PROBLEM A 5 :
♦ De : a n = a ¡ + (n - l ) r ♦ Despejando “ r ” , resulta :
Calcular : 21 + 2 7 + 33 + ....... + 255 (I)
♦ De los datos : a ¡ —2 1 ; a n —1 9 5 ; n —30
A) 5500 B) 4975 0 5520 D) 4970 E) 5510 R E S O L U C IÓ N : ♦ Identificando términos : r = 2 7 -2 1 = 6 ; a , = 2 1 ; a n = 2 5 5 ; n = ? y S n = ?
* Reemplazando en (I) : 1 9 5 -2 1 r = 30-1
• Primero aplicamos :
174 =6 29 RPTA: “ E 99
PROBLEM A 2 : Hallar el núm ero de térm inos de la siguiente sucesión : 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; ......; 282 A) 20 B) 25 C) 19 D) 38 E) 45 R E S O L U C IÓ N : ♦ Datos : r = 6 ; a l = 18 ; a n = 282 ♦ Luego aplicamos : 2 8 2 -1 8
+2 - » n = 4 5
PROBLEM A 3 : 40 ; 44 ; 48 ; 5 2 ; ...... término . 207 D) 116 E) 124 :
♦ Datos : r = 4 ; a l = 4 0 ;
Y 21 + 2255\40 . +S 40= 2 7 6 x 2 0 = 5520 40 l 5 RPTA: “ C ” PROBLEM A
RPTA: “ E ” Dada la progresión : Hallar el vigésimo A) 20 B) 13 0 R E S O L U C IÓ N
* Luego:
= ?; n = 20
6 :
Calcular: S = 85 + 90 + 95 + 100 + . . . + 2 3 6 0 A)66080 B )72040 0 5 5 6 0 0 DJ557460 R E S O L U C IÓ N : ♦ Datos : r = 5 ; a¡ = 8 5 ; an = 2 3 6 0 ; n = ?; S = ? ♦ Hallando “ n ” : a n ~ a i , 2 360 - 8 5 _ _ n = —2----- - + 1 = ---------------+ 2 -> n = 456 ♦Hallando “ S ” :
♦ Luego aplicamos : a n —n ¡ + ( n - l ) r
85
456
♦ Reemplazando datos: «so = 4 0 + (20 - 1 ) 4 -> a gg = 116 R PTA: *'D” PROBLEM A 4 : Calcular la suma de los 28 términos de la siguiente progresión aritmética : 36 ; 40 ; 44 ; .......... A) 7080 B) 2600 O 3200 D) 2520 E) 4000
-> S = 557 460 RPTA: “ D ” PROBLEM A
7 :
Calcular el valor de " a ” en la siguiente progresión aritmética : (5 a + 2 ) ; ( 2 a + 7 ) ; ( 3 a - 4 ) A) 7
B) 2
0 6
D) 1
E) 4
R E S O L U C IÓ N :
los diez primeros términos es :
* (5a + 2 ) ; ( 2 o + 7 ) ; ( 3 a - 4 )
A )4 a ? -3 B) 84 O 110 R E S O L U C IÓ N :
* Por término central : T. = q * + q ° 2 rt _ 5a + 2 + 3 a - 4 . w . n -4 2a + 7 = ------------------------ > 4a + 14 = 8 a - 2 16 = 4a -+ 4 = a
RPTA: “E ” PROBLEM A 8 : La suma de los 4 primeros términos de la progresión aritmética creciente es 5 veces la suma de los 2 primeros términos de la misma progresión . ¿Cuál será la razón de esta progresión si el primer término 20 e s -?
D) 120
E) 100
• La progresión es : + a ; a 2 ; 3 a ;.... • Luego por término central : 2 a + 3a 2 n n a = ------------ > a = 2 a -> a = 2 2 • Entonces la progresión resulta : ~2 ; 4 ; 6 ;.... (10 térm in os) vJD r= 2 r - 2
♦ P ero: S „ = ^ [ 2 a , + ( n - l ) r ] S10= ^ [ 2 ( 2 ) + ( 1 0 - l ) 2 ]
2 * 1
B) 3
1 ° '3
D )1
E )2
R E S O L U C IÓ N : * Sea la 2? A. en la cual el primer término es — y la U razón V * :
/- + r ; ?- + 2 r ; /- + 3r O O ü u * Del enunciado : 2 2 2 _ 2 —+ - + r + — + 2 r + — + 3r 3 3 3 3 4 „ /2 Y 4 ^ — b6r=5\ — hr — + 6 r = — + 5 r - + r = - = 2 3 Í3 J 3 3 3 RPTA: “ E 9 9
RPTA: "C
Las edades de tres hermanos están en RA. creciente cuya suma es 63 y la suma de sus cuadrados es 1395. Hallar la edad del mayor . A) 24 B) 25 C) 27 D) 28 E) 31 R E S O L U C IÓ N : * Sean las edades : ( a - r ) ; a ; (a + r ) * Pero según enunciado :
Hallar el número de términos de una R A . si la suma de términos es 670 y el número de términos entre 3 y 30 es igual al número de términos que hay entre 30 y x. A) 11 B) 17 0 21 D) 19 E) 23 R E S O L U C IÓ N : * Según enunciado : 3 + ......... + 3 0 + ....+ x = 570 n
n
— té r m in o s
2
té r m in o »
* Como :
* Además : (21 - r ) 2 + 212 + (21 + r ) 2 = 1395 -> 2(212 + r 2 ) + 212 = 1395 > 2 r 2 = 72 -> r = 6
-4 570 = 30 x n
10 :
Si se sabe que a , a 2 y 3a son los 3 primeros términos de una progresión aritmética , entonces la suma de
29 = n
RPTA: 4,D
99
12 :
El número de términos de una progresión aritmética comprendidos entre 23 y 59 es el doble del número de términos comprendidos entre 3 y 23 . Entonces la razón es : A) 3 B) 4 0 5 D) 6 E) 7 R E S O L U C IÓ N : * Sea la progresión :
* Se pide : a + r = 21 + 6 = 2 7 RPTA: " C ”
= 30
S = (a „)n
PROBLEM A
(a - r) + a + (a + r) = 63 -4 3a = 63 -4 a = 22
99
P R O B L E M A 11 :
* Observe que : a c = 30 -> ° l
PROBLEM A 9 :
PROBLEM A
S10 = UO
; 59
;23;
+3 ; V térm in o a
* De donde se observa que :
V
térm in o a
u
m w xoP B P M ]
-+ 3 + (x + 2 - l ) r = 23
PROBLEM A
-+ (x + l ) r = 2 0 .................... (I)
Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles que están al lado de una calzada ; los árboles están a 8m de distancia y el montón de arena está a lOm antes del primer árbol. ¿Cuánto habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena? A)8250m B)8200 07450 D)5680 E)7560 R E S O L U C IÓ N :
• Además se aprecia que : a Sx+3 = 59 3 + (3x + 3 - l ) r = 59 (3x + 2 )r = 5 6 ........ ♦Ahora de (I)+ (II):
(II)
x +1
20
3x + 2
56
15 :
r
r
ser
3o
* Resolviendo : x = 4 ♦Luego en (I) : (4 + í ) r = 2 0 -+ r = 4 RPTA: “B PROBLEM A 13 : Tim oteo no puediendo cancelar una deuda de SJ.12950 le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo : SU 600 al final del primer mes y cada mes siguiente SU 5 0 más que el anterior. ¿Cuál será el importe del último pago? A) SU 1400 B) 1200 C) 1500 D) 1250 E) 3000 R E S O L U C IÓ N : ♦ Datos : S = 1 2 9 5 0 ; a , = 6 0 0 ; r = 50
♦ Para cada uno lleva la arena y regresa al montón (hace doble recorrido) => S = 2 0 + 3 6 + 5 2 + .... ♦ Luego : r = 16
• Como : Sn = \_2a¡ + ( » -1 ) r j — 2
71=30
♦ Luego : 12950 = [2 (6 0 0 ) + ( n - 1 )5 0 ] 2 * Operando : n = 14
a} = 2 0
- » S = [2 (2 0 ) + (3 0 -
i
S = [ 4 0 + 4 6 4 ].1 5 = 7 5 6 0 RPTA: “E ”
PROBLEM A 16 :
* Ahora : a 14 = 600 + (1 4 - 1 ) 5 0 - * a í4 = 1 2 5 0 R PTA: “ D ” PROBLEM A
14 ;
La suma de los tres primeros términos de una R A. es 65 , la suma de los tres últimos es 307 y la suma de todos los términos es 3100. ¿Cuántos términos tiene la R A.? A) 30 B) 40 C)36 D) 42 E) 50 R E S O L U C IÓ N :
A) 1 B) 3 0 2 R E S O L U C IÓ N :
AI.Q.O. 4U • •«Mm
D) 81
E) 27
27 * Primero calculamos ; q = ^ = 3 ; T t = l
♦ Entonces : T5 = l x 3 6 * = 3 4
♦por dato, a í + a 2 + a 3 = 6 5 ___________ °n + a n ¡ + a n- 2 = 65\ m iem bro (a i + a „ ) + ( a n,¡+ a 2 )+ (a „_2 + a 3 )= 3 7 2 3 (a n + a í ) = 3 7 2 - + a n + a 2 = 1 2 4 ♦ Además del último dalo : 3100
En la progresión geométrica Tu Calcular : Tk x T8
124
To = l x 3 8 1 = 3 7 a T fíc = 1 x 3 15" 1 = 3 14 14
RPTA: “ B ”
= 3 S = 27
^ pide:
RPTA: **Ef t PROBLEM A
) . * - 3 1 0 0 -+ n = 5 0
o l4
17 :
Hallar el doceavo término en : 1 1 1 729 ; 2 4 3 S81
IfliSl 1019 agarra* líS B
rH O ^ K K b m m ^ l
■
A7 81 B7 343 C7 243 R E S O L U C IÓ N :
D) 729
E) 1
* Se observa que : jo i q = — = — T. = 3 6 ; S_ = ? 36 2 1
* Primero calculamos : 1 243 = 729 = 3 ; T, = ------; n = 12 H J _ 243 1 729 729
* C om o se trata de una sum a lím ite , luego aplicamos:
★ RPTA: “ C ”
• Reemplazando datos : P R O B L E M A 21 : T12 =
= 3 b = 243
729
R PTA: “ C
99
PROBLEM A 18 :
AJI
Calcular : S = 3 + 6 + 12 + ...(3 0 térm in o s) A)2?°+l
B )2 ? ° -l
Calcular * s = í + J - + J-+...<* 8 16 32
C )$ °-2
B) 2
o }
E) 8
D> i
R E S O L U C IÓ N :
D)3Í2*>-1)
R E S O L U C IÓ N :
* Datos : T, =
q =
S„ = ?
* 3 + 6 + 1 2 + .... (30 términos ) 8
x2 x2
¿
* Se tiene : tl = 3 ; q = 2 ; n = 30
¿
* Luego aplicamos :
* Entonces : S_ = ^ , = £ - = — = — ” , 1 1 8 4 !• — 2 2
• Reemplazando datos :
PROBLEM A 22 :
s 30 = *
4 ^ 2 -1
Interpolar 3. medios geométricos entre 5 y 405
= 3 (2 30 - 1 ) R PTA: “ D
99
PRO BLEM A 19 :
R E S O L U C IÓ N : # 5 : .......................... : 405 3 m edios g eom étricos
Calcular: S = 5 + 5 2 + 5 3 + ...+ 5 17 AJÚffB-é
B )\ (5” - l )
R PTA: “ C
C) | (5 '7-I )
D) &0
* a = 5 ; b = 405; m = 3
R E S O L U C IÓ N : - > q = 3f í l ^ - = 681 = 3
52 * Datos : q = — = 5 ; T¡ = 5 ; S „ = ? 5 * Luego aplicamos : Sn=T,
qn -1
, q - 1,
—►Si7- 5
5 -1
)
* Entonces la sucesión geométrica será : 5 : 1 5 : 4 5 :1 3 5 : 405 4 RPTA: “ C ”
PROBLEM A Hallar
en la R G.: r 2 X ; 2 2 x -1 ; 4 3 x-2 ;...
PROBLEM A 20 : Calcular : S = 36 + 1 8 + 9 + ...oo A) 64 B) 32 C) 72 D) 81 R E S O L U C IÓ N : * S =36 +18 +9 + ...»
23 :
AJI E) 40
B) 2
C ll
R E S O L U C IÓ N :
D )i
E )l
0 A 0A * Por propiedad de la razón : q = — = — a¡ (t2 2 x -l 4 ^ -2 * Luego : c\2x~l
99
tu \ m / f x o w i D M ]
B E B lio a o ip i R E S O L U C IÓ N
2 = 2 fir'4'<2ar' í)
• Buscando bases iguales : 2
* Datos : a 2 =
• Igualando exponentes : 4 x —2 —x 4 ----------------= 6 x - 4 - 2 x + l - > 4 = 5 x - > x = — 2 5
24
a5 =
20
• Tam bién :
;
6-2
Hallar el valor de “ a " en la P. G . :
1280
(1 1 —a ) ; ( 2 a - l ) ; ( 9 a + 3 ) ; . „ , B) 6
A) 1
C )8
R E S O L U C IÓ N
* 1280
* Se sabe que :
RPTA: “D ” PR O BLEM A
:
D ) 12
1
3
20
7
B ) 14
* Luego :
:
• Por propiedad del térm ino central :
a o = a t .q 2
2-i
1 *
7 fl Y — = a ,. — 20 1 \4)
->
a'= 5 RPTA: “B ”
PR O B LE M A
• Para el problem a : (T 2)2 = Tt *.T3
La sum a de los seis prim eros de una R G. es igual a 9 veces la sum a de los tres prim eros. Hallar la razón.
- > ( 2 a - l )2 = ( l l - a ) ( 9 a + 3 )
-> 4 a 2 - 4 a + 1 = 9 9 a + 3 3 - 9 a 2 - 3 a
A )1
-+ 1 3 a 2 - 1 0 0 a - 3 2 = 0
-> (1 3 a + 4 ) ( a - 8) = Q - + a = 8 25
:
Hallar el térm in o 1 8 de la R G . sabiendo que el quinto térm ino es 3 2 y el octavo es 4 .
A) 128
B)
O I
256
R E S O L U C IÓ N
0
3
R E S O L U C IÓ N
:
D) 6
E>¡
* Calculando S 6 : S e = a ^ q — q -1 _ a t ( q 3 - 1) ~ q -1
• Calculando S , :
E )16
D>\
B) 2
* Sea la R G. : a l , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,
RPTA: “ C PRO BLEM A
27:
:
• Luego por datos : S 6 = 0 ( S 3 )
• Por propiedad : Tx = T y q
x -y
a t . ( q 6 - 1) _ n a t . ( q 3 - 1) q -1
* Datos : Ts = 3 2 ; T 8 = 4
q -1
* E fectuando :
* Entonces : T 8 = T 6 q 8'6
(q 3 + l ) ( q 3 - 1 ) = 9 (q 3 - 1 )
-+ 4 = 32qs -> | = 9 S " > ! = «
PR O B LE M A
10 t í8 =
■ < l)
2 10
28
PR O BLEM A
26
B> í
256 RPTA: “B
:
Si se aum enta una m ism a cantidad a los núm eros 2 0 ; 5 0 y 1 0 0 se form a una progresión geom étrica cuya razón es :
* Ahora considerem os a T lg y T g , a s í :
18
28
q 3 + 1 = 9 -> q = 2 RPTA: “B ”
9$
02
R E S O L U C IÓ N
E) | :
* La progresión geom étrica a form arse , será :
:
f^ (2 0 + x ) : ( 5 0 + x ) ;( 2 0 0 + x ) Si en una R G .
a2=
20
término a¡ es :
A a* =
1280
, entonces el
* L u e g o c o n s id e r a n d o e l t é r m in o c e n tr a l , se obtendrá : ( 5 0 + x )2 = (20 + x ) ( l O O + x )
C )j
-> 2 5 0 0 + lO O x + x 2 = 2 0 0 0 + 1 2 0 x + x 2 -> 5 0 0 = 2 0 x -> x = 2 5
^ lO T IB S É
M 7n¥Ñ €P&
* Se pide la razón , la cual será :
9
50 + x 20+x
es: 5 3
50 + 25 20+25
# »» ,e _ l < 2 7 - 1) _ 1 + 2 + 2 s + 2 3+ .... + 2 " = - ~ j X' = 1 2 7
RPTA: “ E " PRO BLEM A
29
.
e
g . f
:
Una fam ilia está con stitu id a p o r 4 m iem b ros, el padre y sus tres hijos . Si el m en or de estos tiene 3 2 a ñ o s . Calcular la edad del padre sabiendo que dichas edades están en progresión geom étrica y que la suma de las edades de los otros dos hijos es 90. A) 64 a ñ o s B ) 62 a ñ o s C ) 56 a ñ o s D ) 58 a ñ o s E ) 62,5 a ñ o s R E S O L U C IÓ N
:
* Sean las edades : 3 2 : 3 2 q : 3 2 q s : 3 2 q 9
m
• P o rd a to : 3 2 q 2 + 3 2 q = 9 0 -+ 1 6 q 2 + 1 6 q - 4 5 = 0
* A nálogam ente el núm ero de dam as será :
-+ (4 q + 9 )(4 q -5 ) = 0
1+
3 + 3 2 + ....+ 3 6 = 1
* De d o n d e :
U“ i
RPTA: “ C
Q •q =
c u m p le )
PR O B LE M A
32qs = 3 2 ^ j
jy
:
A las 8 a .m . Felipe y Rita escu ch an una noticia. Felipe com unica esta noticia a dos de sus am igos. Cada u n o de los cu a les lo co m u n ica a o tr o s dos caballeros y así sucesivam ente . Rita com u n ica la noticia a tres de sus am igas, cada una de las cuales lo com unica a otras tres dam as, y así sucesivam ente. Si cada persona dem ora 10 m inutos en com unicar la n o ticia a su s o y e n te s , ¿ c u á n to s c a b a lle r o s y cuántas damas conocerán ésta noticia a las 9 a.m.? A) 100:1 000 B ) 105;1 005 C) 127;1 093 R E S O L U C IÓ N
:
S = í + A r + Á -3+ - ^? 4 r + 7 7‘ 7
= 6 2 ,5 an oa R P T A : “E ”
30
31
99
Hallar la sum a de :
* La edad del padre será :
PRO BLEM A
10 9 3
=
A ) 7/16
BJ 5/12
R E S O L U C IÓ N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
s = — Z— + .
..........
F e lip e
:
,
^ 7
X 72
Y . 72 - 7 , 2 _ 3 48 48 48 48 16 49 49 RPTA: “E
PR O B LE M A
99
32:
C a lcu la r: S = 2 + — + — + — + — + . MI 3 9 27 81 A) 2
<
E ) 316
S = = ( 7 + p - +•••)+( p - + » ■» ■ ■ * > 1 » ■■ ■ su m a lím ite s u m a lím ite n = l < /= -*72 * Luego :
:
<
D ) 216
* Separando adecuadam ente , así :
2-
* U tilizando el d iagram a del á rb ol para e n fo ca r mejor el problem a observarem os :
C ) 1116
...
B )%
C )2
R E S O L U C IÓ N
D )3
® í
:
* Transform ando adecuadam ente cada sum ando . <
* <
* .............
* De aquí se concluye que el núm ero de caballeros
& _z
•••
[a l « J E g W J L t
U
'¿tí* [ j o a a
n ¿ ; ( m + 1)2 ; (m + 2)2
+JL +i « +
27 82 sum a Umite.
-(« ♦ H
i 3
S =
a s u m a lim ite
• Sabem os que : 6
o_5 2
-> ( ( m + l f f
= a .c
= m 2 (m + 2)2
• Factorizando :
33:
Dados a ¡ ; a 2 ; a 3 ; ........... a nté rm in o d e una progresión aritm ética : ap , a+2
c
(m 2 + 2 m + 1)2 - ( m 2 + 2 m )2 = O RPTA: “B ”
S Í:
b 9
- i PR O B LE M A
m 'H X t f P ü f l M ]
a »2a **3
+
_ 20 309
1
I.M +
(2 m 2 + 4 m + 1 ) (1 ) = 0 2 m 2 + 4m + 1 = 0 -> m = m ¡ ; m = m 2
* Luego tendrem os dos progresiones geom étricas : • Para m = m ¡ : m f ; ( m l + l ) 2; ( m ¡ + l )2
y u 1a K = 3 0 9 ; determ ine el valor de « K » A) 19
B) 20
C )3 1
D ) 21
R E S O L U C IÓ N :
•Sea « d » la razón de la progresión aritmética: * i ; a 2 ; u 3 i .... a n
a ,a 1**2
+
_ (m 2 + 1 ) r2 — $ m2
_ 20 * K ~ l* K 309
a 2*3
a ta 2 *2~*i *1*2
d
d
a 2a 3 ,
a 3a 4
* V3 -_ *" 2,
+
2m f + 4m ¡ + 1 = 0 ••••
20d
+
A
2m 1 , *4 “ *3
*2 *3
*3*4
_i_ _1_ . * K * * K - 1 + •••• + + * K - 1*K
_
•Pero:
u K - a x _ 20 ef
309
309
a ;° *
309
r, + r« = -=2 12m j
2m2 f
i ( ( m t + m 9)2 - 2 m ,m 9 ’1 + r * ~ 2 (
( m ¡ m 2)2
- 2/ i + * = í ( £ (dato)
PR O B LE M A
¿ a : a + m : b : a + 9 : ....; a > O
J itá
f \ m : a m : 4 m : P ....
- > ( K —l ) / f = 2 0 0 - + K = 21 RPTA: “D
99
34:
D eterm ine cu án tas p rog resion es
de la sigu ien te
forma 11 « « m 2 : (m + 1)2 : (m + 2 )* existen e indique la suma de todas las rabones de las progresiones . D) 6
0 3
R E S O L U C IÓ N
• Tenemos la R G. ;
:
35 :
Dadas la progresión aritm ética { * n} y la progresión geom étrica {y n} tal que :
p 4 + ( K - l ) d - p í _ 20d
B ijjj
- 2 (112) RPTA: “D ”
• Reemplazando tenem os :
PR O BLEM A
,
(1 I2 )2
= a t + (K -l)d * i* \ ( = W
A) - 2
r2 = — i 2m
2 0 d
_ 20d "309
20 d
2m 2+ 4m 2 +1 = 0
a
• Luego :
309
a K la K
_ 2 m 2 + 4m 2 + 2 T 2 2m i
• Pero :
• M ultiplicado por « d » : d
2 m\
• Para m = m 9: m \ ; ( m » + l ) 2; ( m 2 + 2 )
2
+
••••
_ 2 m 2 + 4m ¡ + 2
_ (m + i f -> r , = m!
E) 23
E) 9
® ( x \ Calcule el valor de : —— n=i ) A) 10
B ) 10/3
O 5/3
R E S O L U C IÓ N
D ) 3/10
E) 3/5
:
• Tenem os P. A .: {* »}• •
* /
a
;
X2
; x3 ;
X4
a+m
b
a+9
* Vemos que la razón es m :
; •••
Í F
f l/ f m
V
K
A
6 = a + 2ro
10X3
ttlTHWÑVfS
'
3»
a + 9 = a + 3m m=¿
a
♦RG:
m
am
4m
p
(3 r - 1) (r
-+ (a m )2 = ( m ) ( 4 m )
r = — ó r = 1 3
1) = 0
♦ Com o : x ± y
pero Com o a > 0 -+ a = 2
1 ♦ entonces: r = —
{* „} ; 2 ; 5 ;
3
RPTA: “D
-► x n = 2 + ( » — 1 )3 = 3 n — l PR O B LE M A
7 2 ; 2 4 ..
2
♦ Piden : 2 , 5 . 8 , 11 , __ c 3 6 12 24 •** * Multiplico por 2 :
37:
Calcule el valor de : « 1
+ y n = 3 (2 )n~1
^
^
+ ... = 2 S
♦ Restando térm ino a térm in o en la form a indicada:
4 ¡f jí jf ¡I 4 + 4 ^ + ~ 7 + 4 7 + ^ 4 f + .............. = s / / & & _4 -> S = ^ + Í + i + 4 + Á + 3 2 4 8
co z 4 - = n
, i \2 ; Si
,
ff
A ) 2 K 0n
B ) 1 - K 0n
D ) K 0t í - 1
E ) KqTZ-2
R E S O L U C IÓ N
O
^
2 - K nn
:
1 F = R on
*
♦Tenemos : Z n=in
3
♦Nos piden :
♦ Nuevam ente m ultiplico por 2 ;
c y
*S = f + * + J+ 5 + ? + £+ “
PRO BLEM A
= l^
36
Los n ú m eros x ;
m
-
10 3
y ; z fo rm a n u n a p ro g r e s ió n
geométrica de razón r con x * y ; x * 0
.
a
00 = y 1 r jn + i f
tx n
I ________ 1 n +1
( n + 1)2
P a ra : « - I , j - j f - J L
—
l - H
—
* ' í
E) 2
♦ Tenemos la progresión geom étrica de razón r : x ; y ; z -> y = x r
£ ¡ n ( n + l )2
tir in +l f CO
Si x ; 2 y ;
3 z form an una progresión aritm ética , entonces r es igual a ; D ) 1/3
f (n + l ) - n
RPTA: “B ff
:
A i 114 B) 1/2 C )4 R E S O L U C IÓ N :
_
= Z \M n + l)
♦ Restando’ en la form a indicada : _ 8 S = ^ + 2- í 3
J
z
= xr2
♦ Sum ado : *Z ------------1 1 1 . 1 1 . 5" = i* —( —y + —y + —y + —r+ ... \I £ i n ( n + l )2 {2 2 3 42 5 2 )
♦ También tenem os la progresión aritm ética : x, ; 2 y ; a
lf
J
§z c
= l - ( K 0n - l ) = 2 - K 0n
R P TA :
♦ Sabemos que : a + c = 2 6 -» x + 3z = 4y
PR O BLEM A
38:
x + 3 xr2 = 4xr
Dada la progresión : h n i2 : 3 : p 2
“C ff
U = 1 y m >1
Halle la razón , s i ; m - p * ? £
B
^
0 ,^ 1
o m
* C om o : a . r = 1 2
-> a , = - i 1 J2
b ,l
•Luego R E S O L U C IÓ N
:
♦ TenemoB la progresión geométrica :
= i
S
g
jL * P
♦ com o : 6 a = a c
6
c
= 4
♦entonces :
RPTA: “ C ”
-> q = m 2p 2 -> m p = 3 ó m p = - 3
PR O B LE M A
♦ Además : m - p = 1 ; m > 1 m = p + 1 y vem os que p > 0
40:
Dada la progresión aritm ética : 5 ; 9 ; 1 3 ; 1 7 ;
M
I
-+ (p + l)(p ) = 3
¿ C uántos térm in os com o m ín im o debe ten er la progresión para que en tre los elem entos existan 20 cuadrados p erfectos? A ) 109 B) 110 O 115 D ) 119 E) 121
-> p 2 + p - 3 = 0
R E S O L U C IÓ N
♦Luego : m p = 3
^ p = —
♦Tenemos que : a rt = 5 + ( n - 1 ) 4 = 4 n + 2
*—
♦Si querem os a n sea cuadrado perfecto :
♦Para hallar la razón r de la R G. .*
-+ 4 n + 1 = p 2
- i + V 23f r = p != k _ ^ _ J - = z ^ 3 3 3 6
RPTA: “B ft PR O B LE M A
39:
Dada la progresión : h a 2 ; a 2 : a 3 :
••
+ 1 además
Si la suma de todos los térm inos es
a :r ~ 7Í y r es la razón de la progresión , indique
•
A) 3
C )4
B )2
R E S O L U C IÓ N
♦ Vemos q u e p debe ser im par : p = 2 K + 1 ; K e % * 4 n = ( 2 K + 1 )2 - 1 = ( 2 K + 2 ) ( 2 K ) n = ( K + 1 ) K ; K e Z ' -> n = 2 ; 6 ; 1 2 ; 2 0 ;
Los térm inos cuadrados perfectos n
D )5
E) 1
PR O B LE M A
41
a , ; a 9 ; a . ; a . ; ...
s i ; X j + x 2+
♦ Se cu m p le :
—
2- r
A) 1
— = 42+1;
+xn = 5
B ) 512
♦ tenemos: .. / /ñ | / 1 —2 a#r = 4 -> 2 j r ^ ) ? - N 2 + 1 )7 2 ^ i
1 ■> 2 r ( l - r ) = 4 ¡¡ - 1
O 115
R E S O L U C IÓ N
♦ Sean : X j= a ;
x2 =
*n = «rHl
a r ;
, - r l' 4
{ ‘ -7 s )
+“ n
E) 25
D) 5
:
x9 =
ar
; . . . ;xn,t = a
Xlxn = a2rnl * 2* n- i = a 2r n l
x 3Xn-2 = o 4 r n l
-> r =
xn
* „ ',= 1
Calcule el valor de : ~ x¡ + ~ x 2 + ~x 3 +
a
«^ + « 2 + 0 3 + 0 ^ + . . . = >Í2 + l - >
V2 - 2
«n»
:
Dada la progresión : h * j ; x * : x s :
:
tal q u e ; x ¡ . x 2 •x 3
r (l-r )
son ;
a 2 * a6 * a J2 * a20 ............ ♦ para tener 20 térm inos cuadrados perfectos debe ser m ínim o : 22 X, 2 0 = 2 2 0
♦ Sabemos que para la R G. de razón r € (-2 ; i )
Oí + a» + do + a^ +
4n = p 2 - 1
RPTA: “B ”
I ~ el valor de v a a *
:
♦Dada la progresión aritm ética : 5 ; 9 ;1 3 ; 1 7 ; ...
-1 + 413
^
U m a O P líD M j
x nx , = a 2r n I
(•)
n .9
;
Q
1088 BUS
j •H0S4¿K K S f O
* M ultiplicando tenem os : = ( a 2r n'1) n - > a 2r n~1 = 1
( x t x 2 ... x n f
<■i
» 1
K
■*
AJO
*» “
1
«
»x
n - ¡ ~~
. .*•
i -+ x +x
1
•a.
^
—
* *n-2 ~
1
*
« w
“
1
«
; A) 2
+ ...+ x =
X
n = x n + x rt-J + Xrt.2 + . . . + X| = 5 42
B j n+2
99
sucesión : ’ 3 ’ 4 ’ 5
: n : . . . . : a : a + 6 .*... : p
Dada la progresión :
R E S O L U C IÓ N
^ * ....... B ) n+ i E) n - i
^
O n ?+ Í
:
In d iq u e el p r o d u c t o progresión. A) 1 B) 0 C) m p
E ) 2006
C alcular la ley de F orm ación de la siguiente RPTA: “D
PRO BLEM A
D) 2005
C alcular la ley de F orm ación de la siguiente m sucesión :
* Luego : —
= i } neN
02
B) 1
.V K .j ]
de
lo s té r m in o s
d e la
B ) —^ — n2+ 2
A )± "
C)
D)
n +2
E)
n + 3
4 -n
D eterm inar el térm ino general de la siguiente D ) F a lta n d a to s
E) b
sucesión :
:
(a \ Io " W v
* Tenem os la progresión aritm ética : m ; n ; . . . ; a ; b ; a + b ; ... p / I t
•— • 1 • — * — • 3 * 3*
■ 3 » 19
B )~
C )±
TI
u
a
D )H ± 3
E} n + l
O
* Vemos que la razón es : ( a + b ) - b = a D eterm inar el térm ino enésim o de la siguiente
* Luego , tendrem os :
sucesión : m ; /*,-... ; Ó P a ;
b ¡ ~ a + b ; ... ; p
{ ° n } nejv • V s ; 7 s ; 7 s ;
♦ Producto de térm inos = 0 R P T A : €tB
99
A) n
B) 4 5 n
C) 4 5 n
D) 5
E )4 5
Calcular “ a g0” en la siguiente sucesión K (8 Í ) Calcular la sum a de los tres prim eros térm inos de la siguiente sucesión :
A) 23
B ) 21
L n - '3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 0 22
D ) 24
E) 26
. - . Sea la sucesión : j a rt = ( - 2 ) " ( n + 2)]
{ “ - = 2 t l * 3 }ncJV A JI
B) 3
C )7
D) 9
Calcular : a 3 + a 4 + a s
E )8
^ C a lc u la r la sum a de los tres prim eros térm inos de sucesión , cuyo térm ino general es : Tn = n 3 - 2 A) 25 B) 3 0 O 32 D) 37 E) 41 ¿5 D eterm inar “ a ^ ” en la siguiente sucesión :
(“• - t / i A) 31
B) 3 0
0
32
rtcJV
0
2005
B) - 5
' D )6
OO
E) 7
^ S e a la sucesión : |an = ( - l )n+1 x 5 " j
ne/V
Calcular : a 6 + a 7 A) 5 7
B) 5®
D) 29
C alcular : A) 5 B ) 71
E) 900
{ a n = 2 0 0 6 - n } ne„ B) 0
A) 5
O 3x5*
D ) 4x5*
E) 0
Sea la sucesión: a n ~ * + ^ a n ~ i» a ¡ ~ ^
D eterm inar ua,200sn en la siguiente sucesión :
A) 1
«eN
D ) 2006
E )-l
5)C alcular “ a 2006” en la siguiente sucesión:
O 68
D) 47
Sea la sucesión : 7^ =Tn 2 + T n Calcular : 7\ f + TI3 A ) 46 B) 56 O 32 Sea la sucesión :
D ) 34
E) 23 T¡ =8 a T£ = 2 0
E) 3 7
{ « n = n 2 + n } neiV
[ 7
i F v
f
f
f
f
t
Calcular la sum a de las dos últim as cifras de S 2006 A) 4 B) 6 C ) 12 D ) 14 E ) 18 Sea la sucesión : [ á n = ( - l ) n+I( n + 1 )}
neF
Calcular : a í + a 2 + a 3 + ..... + a 2006 A) - 1
B ) 2006
U
m Sñhoge
*
C ) -2 0 0 6
D ) -1 0 0 3
E )1 00 3
A) 8
B) 9
0
10
ENCMiTOPEDMA
D ) 11
E ) 12
E n una R A . la razón y el núm ero de térm inos son iguales y la diferen cia de los extrem os es 3 0 . Calcular el valor de la razón. A) 5 B) -5 0 6 D ) -6 E) 4 ( O ) Una R A . tiene u n núm ero im par de térm inos. El central vale 2 2 y el producto de los extrem os 2 5 9 . La diferencia del m ayor m enos el m en or es : A) 10 B ) 20 O 30 D ) 40 E ) 50
P R O G R E S IO N E S A R IT M É T IC A S Hallar « x » para que x + 1 ; 4 x - 2 ; 3 x + 6 estén en P A
A) 112
B) 2
C )3
D )4
E) -4
Son tres térm inos en progresión aritm ética , luego x ly es :
B) 512
O 1/3
D) 312
P A es 1 1 7 ; la razón 2 y el prim er térm ino 5 . Hallar el valor de n . A) 13 B) 9 O 12 D ) 10 E) 15 (í¿^ ) Hallar la razón de una R A . donde la sum a de
S i: + x + y ; 4 x - 3y ; 5y + 3x
A) 3
£ )L a sum a de los « n » prim eros térm inos de una
« n » prim eros térm inos es : S n = 5 n 2 + 7n A) 10
E) 4/3
B) 11
O 14
En una R A . :
El tercero y sexto térm ino de una R A . sum an 5 7 y el quinto y décim o 9 9 . Hallar el décim o térm ino A) 4
B) 18
O 32
D ) 39
E) 67
E) 10
Hallar : a 50 A) -86 B) - 8 0
A) 315
B) 373
En una
0
405
D ) 453
E ) 497
^ C a lc u la r la sum a de los
4 prim eros térm inos
la siguiente R A . + x , x + 4 2 , 2x , . . . . ( x * 0 ) A) 2 1 4 2
B) 2442
0 2842
D )3 2 4 2
E )1 4 4 2
E) - 8 4
d e u n a P .A . D a r la s u m a d e lo s Í 0 p r im e r o s térm inos. A) 110 B ) 111 0112 D ) 120 E) 111 Si la sum a de los cuatro térm inos de una P. A . creciente es 1 6 y la sum a de sus cuadrados es 1 4 4 . H allar el m ayor . A) 8 B) 6 0 12 D ) 10 E) - 2 C alcular el n ú m ero de térm in os de una R A . cuyo prim er térm ino es ( a - 2 ) , la razón ( 2- a ) y la sum a de todos sus térm in os ( 1 0 - 5 a ) A) 2 B) 3 0 5 D) 6 E) 8 Interpolar 3 0
m edios aritm éticos entre
7 y
100 , señalando el valor del quinto térm ino . A ) 10
B) 19
O 18
D ) 16
E) 15
D e u n a p r o g r e s ió n a r it m é t ic a se tie n e la siguiente inform ación :
a9
í j) La sum a del tercer y octavo térm ino de una R A . es 41 y la relación del quinto al séptim o es 19/ 2 5 . El segundo térm ino es :
D ) 84
Si se sabe que a ; a 2 y 3 a son los tres térm inos
Si las edades de José , Carlos y Pedro form an una progresión aritm ética cuya sum a es 6 3 . Calcule la edad de Carlos si se sabe que n o es el m ayor ni el menor . A) 22 B ) 23 0 24 D ) 20 E) 21
0 -7 9
1 7 y 3 3 respectivam ente . H alle el décim o térm ino . A) 31 B) 27 O 35 D ) 43 E) 3 7
R A . el producto de prim er y quinto
térm ino es igual al cu adrado del térm in o central disminuido en 4. Hallar la razón . A) 1 B) 2 0 2/3 D) 3 E ) 3/2
a 2 + a 5 = 14
El quin to y n oven o térm ino de una R A . son
áy ¿Cuál es el núm ero del lugar 1 2 1 en la R A P * 1 7 ; 2 1 ; 2 5 ; ......
E) 12
a3+ a 7= 8
Si : x 2, 3 x 2 y l O x form an una R A ., entonces la razón de la progresión es : A) 2 B) 4 0 6 D) 8
D ) 13
CX«: obtener: S
20
— =
5 > a i 3 - 5 = 2a 6
P K O
AJ 920
B) 820
C ) 760
D ) 680
E) 950
A ) 120
B ) 125
Calcular :
A) 2
1 6 ; n = ' 1 0 A; S M = 70 Obtener la razón : a A=
B) 2
0
3
D) 4
m
Hallar la cantidad de térm inos que se deben tom ar a partir del undécim o térm in o para que dé una sum a igual a 4 9 5 . A) 9 B ) 10 O H D ) 12 E ) 13
Bj 4
0 8
D) 16
E) 2 0
D) 2
E) 5
De la siguiente R G .: I • « Q • Q 0• 00999900000000090 ^• ^# X
Calcular S 20, e indique en que cifra term ina dicha sum a . A) 1 B jO 0 6 D) 2 E) 3 S ea: + a c -d
Si el núm ero de térm inos de la R A .:
—a : b : d
8 2
a + d = 150 c - b = 15
es 8. H allar el cocien te en tre las
suma de todos sus térm inos y la razón . m 1148 B) - y -
r 252 CJ - j p
Hallar a + b + c + d A) 280 B) 285 C )2 9 0
n] 1 D) y
D ) 295
E) 300
La sum a de 3 n ú m eros e n R G . es 2 4 8 y la
(O *) En la R A .: ( x - 6) ; ( x - 1 ) ; ( x + 4 ) ; ( x + 9 )
Hay
3 7 términos. H allar el últim o térm in o . A )x -2 0 D) x + 2
B) x+ 174 E) x -4
O x+1
diferencia de los térm inos extrem os es 1 9 2 . Indicar el m ayor de los n ú m eros . AJ 120 B) 160 O 180 D ) 2 0 0 E ) 220
m La sum a de lo s n prim eros térm inos de una R A . es 2 n * + 3 n . H allar el térm ino que ocupa el lugar 5 0 y dar com o respuesta la sum a de sus cifras .
AJ 16
-f- de la siguiente progresión
Calcular el valor de « n » . A JI Bj 4 0 3
E) 5
+ 0 , 3 , 6, 9 , 1 2 , .....................
A) É l 30
E) 130
En la siguiente P. G .: + + J 2 : n : 2 4 ñ
En la R A .
2 5
D) 118
iV I -:^ ]
+ + 2 : 4 : 8 : ......
@ ) D e una progresión aritm ética se sabe :
A) 1
C )U 0
41KF.S>fO
B) 12
CJ 9
D) 7
E) 3
Calcular la sum a de los « n » térm inos en la R
G# 1 : 5 ; 25 O
5n-1
ll+i D)
E)
4* + 1
Dividir el núm ero 2 2 ) en 3 partes que form an
P R O G R E S IO N E S
©
G E O M É T R IC A S
En la P. G .: — ( x - 3 ) : x : 2 x . Hallar x .
A) 3
B) 6
0
8
D ) 10
E) 12
2 )E n la R G . : T S = 2 Tu = 128
Hallar la razón : A) 2 B j 1/20 1 / 3 .
D )j2
una R G . tal que el 3*n térm ino excede al prim ero en 1 3 6 . Indicar el menor. A ) 31 B) 16 0 1 7 D ) 19 E ) 34 (^ 5 )S i le sum am os 3 núm eros consecutivos a 3 ;7 y 1 6 respectivam ente obtenem os una R G . Calcular la razón de la progresión . A JI B) 2 0 3 D) 4 E) 5
La sum a de los 5 p rim eros térm in os de una E) J 3
Hallar 4 núm eros en R G . tal q u e la sum a de los dos primeros térm inos sea 2 8 y de los otros dos 1 7 5 . Indicar el m ayor núm ero.
progresión geom étrica es 1 5 5 y la diferencia entre el 5*0, térm ino y el prim ero es 7 5 . Halle la razón si es un núm ero entero m en or que 9 . A) 1 B) 2 0 3 D) 4 E )5
¿5Calcular el producto de los 10 términos de una
[y *
L A E X C I t'L G P E D tA ]
M E H io a s I
progresión geom étrica cuyo sexto y últim o térm ino son 4 y 0 ,2 5 en ese orden . A) 2** B) 2 t3 C )2U D ) 2 lt E) 2 1S
m enores , excede en 2 8 unidades al m a y o r , ¿cuánto vale éste? A ) 102 BJ 112 O 122 D ) 132 E ) 142 Hallar la sum a de los infinitos térm inos de:
@ S e deja caer una bola desde una altura d e 2 7 metros ; cada rebote la bola se eleva los 213 de altura desde la cual cayó , la últim a vez . ¿Q ué distancia recorre la b ola hasta qu e queda teóricam en te en reposo? A) 35 m B ) 65 m C) 8 5 m D ) 68 m E ) 100 m
AJ 9/24
O 5/16
S = [ - 1 + 2 Í-1 -
36 AJ 25
C ) 15 y 2 5
© ¿ C u á l es el térm ino central de una R G . de tres
DJ 9/16
+ 3 Í-1
!
T4+ T ¿ = 45 B ) 12 y 2 8 E) 10 y 15
BJ 3/16
EJ 5/24
Calcular la sum a lím ite :
= 8
( l a ) En una R G . se cum ple :
A) 15 y 30 D ) 10 y 20
1 2 1 2 —+ —7? + —7r + —r + . 7 7
25 B) 36
oj
+4
D J4
(!)
+ -~
EJ 2 0
Un niño lanza una pelota desde la ventana de un edificio y esta recorre com o indica la figura , es decir las alturas que alcanza la pelota es : H
té r m in o s p o s it iv o s , si e l p r o d u c t o d e lo s d os primeros es 2 4 y el producto de los últim os es 541 A) 8 B) 9 C) 6 D) 3 E) 12
H
H
H
;
calcule la sum a de estas
@ H a l l a r los cu atro ángu los de un cuadrilátero sabiendo que están en R G. y que el últim o es 9 veces el segundo . Indicar el m en or ángulo . A) 9° B ) 18° 012° D ) 17° E) 11° Calcule la siguiente sum a lím ite : S = 1 + - f + -T - + -^3 + -^7 +
3
3*
3a
3 + •—
34
sugerencia m ultiplique a S por 1/3 y reste con S y luego aplique la sum a lím ite . A) 1/4 B) 9/4 O 2/3 D ) 1/4 E ) 3/2 2^Se tiene la siguiente sucesión que form a una progresión geom étrica - O j 0 ^ 0 , 0 ^ 1 -2
AJO
a a1
B jl
-19
calcule : m + n A) 4 Bj 6
DJ 5 H
EJH/3
Sabiendo que x 0= l ; x ¡ = l / 2 ; x s = l/ 4 ;...¿v n. Halle : x^ooi ~ x *oo2 BJ (2004J-1
AJI
© E n
**2005
O
SOOO
,
DJO
E )±
1
una progresión aritm ética se con oce que:
E )4
D) 3
a 7 = 1 0 y a J0 = 7
Calcular el térm ino a I5 AJ3 BJ 2 0 -2
Sea la sucesión geom étrica : S : 1;
0 3H
reduzca :
«2 02
Bj2H
a 3a 4a s
«2 «3 .
AJH
1
D J -3
EJO
H allar la sum a:
m 9n 2 + 4 * 8 * 1 6 *
S = 7 + 1 3 + 1 9 + 2 5 + ....... + ( 6n + 1J O
D) 2
E) 7
AJ n* + 2n DJ 2 n l- 3n
BJ 2 n s + 3n E ) 3n* - 4n
O 3n* + 4n
¿ 9 De una progresión aritm ética se sabe que: Dados 3 núm eros en progresión geom étrica de razón 4 se sabe que el cuádruplo de la suma de los
a3 + a 3 = 57 °a + «jo = "
108» M ¿A qué intervalo pertenece la razón? A) fO; 6 > B ) < 0 ; 5 ] C ) < 5 ; 7 > D )< 6 ;7 ]
m
E ) < - 1 ;0 >
son iguales, la sum a de' los térm in os es 1 5 6 y la diferencia de los extrem os es 3 0 . Calcular el últim o término. A )29 B )35 C) 37 D ) 39 E )4 l P r o p o r c io n a r la su m a d e io s 2 0 p r im e r o s términos de la siguiente progresión decreciente: A ) -5 0 0
B) -4 2 0
E ) -2 8 0
números 4 y 2 2 . C alcular la razón de interpolación A) 2 B) 3 0 4 D )5 E )6
el núm ero de térm inos com prendidos en tre 3 y 30 es igual al núm ero de los com prendidos en tre 3 0 y p . Calcular la razón si adem ás la sum a de todos los términos es 6 7 0 . A) 6 B) 5 0 4 D) 3 E )2 De una P A se tiene: S ff m- a 9 m 9 = ( n - 1 )(n + 3) donde: a n: Térm ino general S m: Suma de los « n » prim eros térm inos . Si « n » es impar, proporcionar el térm ino central. A) n + 1 B ) n + 2 C) n + 3 D) n + 4 E) n + 6
En la progresión: + a .b .c .d la suma de sus térm inos es «ft» y la razón es « 2 n » . Hallar: a * -d * -7* A)n* Bi -3 n * O 6n 9 D ) -4 n * E )1 2 n f @ D a d a la progresión aritm ética:
1
a + b ' b + c* c + a a obtener: b $ c 2 A)2
B )4
OI
D )l/2
.v i;*
]
Si a los n ú m eros 3 ; 7 y 1 3 se les sum a una m ism a c a n t id a d r e s u lt a , e n e s e o r d e n , una p ro g re sió n g e o m é trica . D e te rm in a r la ra z ó n de dicha progresión. AJO,6 B )t ,2 0 1 ,5 D ) 2 ,5 E) 3
EW4
(Q )E 1 térm ino en la posición 1 7 de: *r + 8: 3 2 : 1 2 8 : ...
m e d io s g e o m é t r ic o s
interpolados entre 7 6 0 y 5. AJ 5 ; 10;20;40 B ) 1 0 ; 3 0 ;6 0 ; 90 O 8O;40;20; 10 D ) 120:90,60;30 E ) 10; 3 0 ; 90; 120 Según: + + (x - 3) s x : (x + i 2 )
En la progresión: * 3 .............. 3 0 ............ .p
1
r o
que la sum a de 6us extrem os es 1 4 0 y la sum a de los térm inos centrales es 60. A )4 B )5 O 10 D )15 E )45
5 ) M o s t r a r lo s c u a t r o
Se interpolan 5 m edios aritm éticos en tre los
1
.V
Indicar el m en or de 4 núm eros en PG sabiendo
En una HA. la razón y el núm ero de térm inos
+ x * . ( 2 x ) . 3 . ... C ) - 4 0 0 D ) -3 9 0
KK4HÍ « K
+ + y : >[x : ( y + 3 ) + + 2y ; 2x : z
calcular « z » A) 12 B) 16
0 20
D) 24
E) 32
( f ^ L o s té r m in o s d e lu g a r e s 2 a y 2 6 d e u n a progresión geom étrica son, respectivam ente, m s y n*. ¿Cuál es el térm ino de lugar a + b ? mn A) mn B ) ( m n )2 C) D) (m +n)
E) m 2+ n 2
Si: a ; b ; c ; d están en progresión geom étrica, además: a ~ d = 7 calcular: ( a - c )2 + ( b - c )2 + ( b - d )2 A ) 91 B ) 49 0 34 D ) 19 E ) 14
1 C t a \ u : s m : t a\ m V W M O I) B OO) A IV c ÍO ) A O I) B
03) A 07) E 13) B 17) D 03) C
03) A OS) E 13) E 1S) C 09) B
B K A l ' l 'l i . A l 03) D OS) E 09) C IO ) C 13) A 1S) E 19) B 30) B 03) B OS) E
1 1. 1 1 7 B E L 1 S E Í H 'X B A m \ i f T I L ¡ n O I) B 03) A 03) B 03) C OS) B OO) A
11) B IO ) c
01) B
07) B 13) B 17) A
03) B
OS) 13) 1S) 09)
C E B A
09) C 13) C 19) B
03) B
IO ) C 1S) D 30) A OS) B j
es igual a 2* Señalar el valor de « k » A)41 B )39 038 D )3 5 E )32
C L A V E S D E L A T E R C E R A P R A C T IC Ó ( Í 5 ) Las edades de un padre y sus dos h y o 6 están en progresión g e o m é trica ; e l p ro d u cto d e tod a s las edades es 1 3 3 1 Indicar la edad del h y o mayor. A) 7 B) 9 O H D ) 13 E) 14
5)D 6 ) B [ T ) B m \9)B 1I))D
iV C iV L 0 m : D L \ 2 O 12 ]
r a iio a o l
o b j e t iv o s
:
* Entender el concepto de lím ite de una función.
* Calcular lím ites finitos, infinitos y al infinito. * Determ inar la existencia o no existencia de límites y calcularlos.
de la circunferencia que u tiliz ó era el lím ite com ún de los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos a m edida que los lados crecen in d e fin id a m e n te . La circunferencia no es la única curva que se puede d e fin ir com o el lím ite de ciertos procesos, existen otras que por decir lo m enos son «m onstruosas» .
* Determ inar si una fu nción es continua o no en un valor dado o en u n intervalo .
El c o n c e p to de lím ite es un h e ch o fu n d a m e n ta l en la m atem ática m oderna y es la base sobre la que se sustentan otras ideas com o la derivada . D urante el s ig lo XVW, los m a te m á tic o s d e d ic a d o s al e s tu d io de la s d e riv a d a s e integrales se vieron obligados a trabajar con procesos infinitos que no entendían bien. E stos problem as tardarían dos siglos en ser resueltos.
:
ID E A D E A P R O X IM A C IÓ N
Los antiguos griegos lograron establecer de form a deductiva qu e la razón en tre la longitud de cualquier circunferencia y su diám etro era una constante; el cálculo de esta con stan te, designada actualm ente co n la le t r a g r ie g a n , e n t u s ia s m ó d e s d e la antigüedad p o r igual a m atem áticos , astrónom os, filósofos y c u r io s o s a ficio n a d o s . H o y en día los grandes ord en a d ores h an log ra d o ca lcu la r n con más de un m illón de cifras decim ales.
Sea x 0 un punto fijo en la recta num érica tal com o
* E valuar lím ites de fu n cio n e s h acien d o u so del Teorema del Sandwich.
in t r o d u c c ió n
A r q u ím e d e s ( 2 8 7 - 2 1 2 a . C . ) o b s e r v ó q u e la circu n fe re n cia p od ía to m a rs e c o m o el lím ite de polígonos regulares inscritos y circu n scritos .
A partir de esa observación diseñó un método para calcular el valor de x ; para lograrlo , calculó los perímetros de varios polígonos regulares inscritos y circunscritos a una circunferencia de diámetro igual a la unidad . Arquímedes fue duplicando en cada paso el número de lados de su polígono llegando a medir el perímetro de un polígono de 96 lados. Aunque en cada caso el perímetro era demasiado grande, fue acercándose a la medida de la circunferencia conforme iba duplicando el número de lados. Finalmente estableció que el valor de xse encontraba entre 3 10171 y 3 117.
se indica.
recta num érica Xo
Cuando u n núm ero desconocido x se aproxim a a x 0, lo puede hacer p or valores m ayores o m enores que x,o* Xo
X—
x
P o r la iz q u ie r d a d e x 0 (m enores que x 0) En ’ >ste caso se dice q u e x se aproxim a a x Q por la izq u ie rd a , p o r ta n to se s im b o liz a co m o x - * x gt expresión que se lee : “ x es m enor que x 0pero cercano a él” . P o r la d e r e c h a d e x 0 (m ayores que x 0) En este otro caso , decim os que x se aproxim a a x 0 por la derecha , p or tanto^se sim boliza com o x - > x * t expresión q u e se lee : “ x es m a yor que x 0 pero cercano a é l” En los s ig u ie n te s e je m p lo s , a n a liz a re m o s q u é sucede con las im ágenes f í x ) cuando las preimágenes x varían . E JE M PLO
1:
Sea la función : f í x ) = 2 0 + x , si asignam os valores a “ x ” cercanos a 2, ¿qu é sucede con f í x ) ? R E S O L U C IÓ N : Por la izquierda X 1,90 1,95 1,98 1,99 2
A rq u ím e d e s lo g ró d e m o s tra r q u e su m é to d o lle v a b a indefectiblemente a un solo v a lo r; en otras palabras, la longitud
Por la derecha 2,01 2,02 2,05 2,10
m 21,90 21,95 21,98 21,99 22 22,01 22,02 22,05 22,10
iJSltTH S
1091
MW7nM&4M8
* Si tabulamos los valores anteriores y efectuam os una gráfica , se tiene :
x\ 1,9 [ 1,95 1,98 y j 21,9 121,95 21,98
1
* A m e d id a q u e s e to m a n v a lo r e s p a ra x m ás cercanos a 2 , se observa q u e f l x ) se va acercando a 2. Esta es la prim era idea q u e tendrem os, sobre el lím ite de una fu n ción en un pu n to dado . Podem os afirm ar que cuando x tiende a 2 , entonces f l x ) tiende a 2 q u e sim b oliza : si x - > l t e n to n ce s f ( x )->2 ó Lim f(x) = 2 i ♦ Para obtener el valor lím ite 2 , se ha reem plazado en la expresión f ( x ) = x + l el valor de 2 para x así: L i m f ( x ) = L i m ( x + 2) = f ( í ) = 2 + 2 = 2
s-*l
x-*l
EJEM PLO
En
la
3
:
fu n c ió n
a n a liz a r
h(x)
el
x -1 com portam iento para valores de x m uy cercanos a 2. R E S O L U C IÓ N
Por la izquierda de 2
* Se hace la tabla para valores m u y cercanos a 2 tanto por la izquierda com o por la derecha :
Por la derecha de 2
* In tu itivam en te p od em os d a rn os cu en ta q u e al aproximarse los valores de « x » al valor 2 , se tiene que las im ágenes f l x ) se se aproxim an al valor 22 .
«Cuando x -> 2 » se tiene que f ( x ) -+ 2 2 Sabemos que estam os a p ro x im a n d o , p o r e llo n o h a cem os hincapié que para : x = 2 , se obtenga f ( x ) = 2 2 . 2:
Consideremos una fun ción real de variable real. xs - l
/(* ) =
X * 1
x -1
¿Qué sucede si x toma valores m uy cercanos a l ? R E S O L U C IÓ N
* Valores a la derecha :
' ,l X Mx)
* Esto se sim boliza denotando :
EJEM PLO
4
3
2
1,8
1,5
0,33 0,5 1 1,25
1,4
1,3
2,25 3,33
2
X
-2
M x ) -0,3 3
0
-1
-0,5
0,2 0,6 0,6
-1 -1,26
-2,6
-2
U
5
10
1,05 1,04 1,03 20
26
33,3
0,7 0.8 0,9 0,96 0,96 0,97 -3 ,3 3
-6 -10 -20 -25 -33,3
♦ O bservem os en la tabla q u e a m edida que nos acercam os a x por la derecha , h ( x ) tom a valores cada vez m ás grandes , tendiendo a o o , E n cam bio, cu a n d o n os a cerca m os a 2 p or la izqu ierda , los valores de h ( x ) son cada vez m enores , tendiendo a -« o . Podem os afirm ar que U m h ( x ) no existe . ^
:
M-,1
V s —-
Y*
"“ iK
f
1,2
^ V a lores a la izquierda :
* Para e llo s im p lific a m o s la e x p r e s ió n in ic ia l obteniendo en form a equivalente.
f{x )= x + h x * l
:
L i m —=— x - 1 n o existe
- - s
E JE M PLO
4:
Sea una función real de variable real : (Valores por la izquierda) (Valores por la derecha) * Valores a la izquierda de 1 : v r 0 * !Ü 1
x
o?-4 x -2 9
x *2
0,6
0,7
0,9
0,96
0,98
0,99
0,996
0,999
¿Q ué ocurre si x tom a valores m uy cercanos a 2 ?
1,6
1,7
1.9
1,95
1,98
1.999
1,995
1,999
R E S O L U C IÓ N :
♦ Valores hacia la derecha de 1 :
w
f(x) =
1,005
1,008
1,01
1,015
1,1
1,2
1,6
2,005
2,008
2,01
2,015
2,1
2,2
2,5
* Para e llo , sim plifiquem os la expresión in ic ia l obteniendo en form a e q u iva le n te :
; **2
f
f(x) = x + 2 ¡ x*2
EfToaal i m Dándole un en foqu e geom étrico : x \2L
-1 0 1 2
1 2
3 y 0
2
:
1
Valor** po r
fc
EJEM PLO
A continuación analizarem os los siguientes límites teniendo presente que la existencia de un lím ite no depende de que esté o n o definida la función en el punto a que nos aproxim am os.
5 4 .
3 7 3 5
NCMCLOPEDiA 2 0 1 $
Iwquiorda x
Valor m p o r tadorocha
)
* E n las p r o x im id a d e s d e x = 2 , u s a m o s d os conjuntos de valores de x , uno que se acerque hacia 2 por la izquierda y otro por la derecha tal com o se ve en el siguiente cuadro :
I ) La fun ción f (x) está definida en : x 0 = 2 ; se tiene : L im f (x) = 4 . x -*2
x tie n d e a 2 p o r iz q u ie r d a x tie n d e a 2 p o r d erech a
I I ) La función g (x no está definida en : x 0 = 2 ; se tiene : L im g
X i (? )
i
1,5 1 ,7 6 U 9 1 ,9 9 1 ,9 9 9 1 ,9 9 9 9 2 2 ,0 0 1 2 ,0 1 2,1 2 ,2 5 2 ,5 3 ,5 3t 7S 3 ,9 3 ,9 9 3 ,9 9 9 3 ,9 9 9 9 ? 4 ,0 0 1 4 ,0 1 4,1 4 ,2 5 4 ,5
3
x -+ 2
I II ) La función h /vt está definida en : x n = 2 ; h (gf= 2 (x ) pero se tiene : L im h (x,
4.
x -* 2
f(x ) tie n d e a 4
p x ) tie n d e a 4
•Aunque x no puede hacerse 2 , podem os ir tan cerca com o queram os de 2 y, com o consecuencia f ( x ) se hace tan p ró x im o c o m o q u e r a m o s a 4 . U sa n d o notación de lím ites, decim os que el lím ite de f ( x ) c u a n d o t ie n d e a 2 es 4 y s e e s c r ib e a sí:
EJEM PLO
3:
S eg u id a m en te , ilu stra m o s a lg u n o s ca sos en los cuales el lím ite no existe : y n g (* )J
L im f(x) = 4 1
r
x->2
• Para obtener el valor lím ite 2 , se ha reem plazado en la expresión F ( x ) = x + 2 ; el valor de x por 2. •
_______
Es decir : L i m f ( x ) = L im (x + 2 ) = f ( 2 ) = 2 + 2 = 4
x-*2
x-+2
D E F IN IC IÓ N IN F O R M A L D E L L ÍM IT E
Si existe un núm ero real « L » que f ( x ) esté cerca a « L » para to d o s lo s v a lo r e s d e « x » p r ó x im o s al número « x 0» , entonces se dice que :
(I) (II) I ) Tenem os que: L i m f (x) n o existe, ya que:
* Cuando : x -> 3 '; se tiene que : f,(Xt * C uando : * - > 3 +; se tiene que : f lxl ~> 3 I I ) Tenem os que : L im gfx) n o existe , ya que : X -4
* Cuando : x
; se tiene que : g M -* +00
* Cuando : x -> 0 +; tenem os que : g M -4 -oo O B S E R V A C IÓ N
Se lee “ el lím ite de f ( x ) cuando **x9t se aproxim a a EJEM PLO
1:
* L im x = 2 x -+ 2
* L im (2 x + 3 ) = 5 X -* l
T. 5 x - 2 _ - 5 - 2 _ - 7 _ *
x +3
*Lim 5 = 5
-l + 3~ 2
7
►X
:
La definición dada es “informal” , ya que no precisa cuán próximo debe estar ux ” de ux 099(o cuán cerca debe estar f (xt de L ). La interpretación de “ cuán próximo debe estar” no es la misma, por ejemplo, para un carpintero (para quien puede ser cuestión de milímetros) que para un astrónomo (para quien puede ser cuestión de miles de kilómetros).
C Á L C U L O D E L ÍM IT E S i ) MÉTODO DE LA CANCELACIÓN DE LOS FACTORES CONMINES í
2
Si : Lim fíx) es de la forma X-*X0
se recomienda
[ii;iiy
r f o
x
B
.<
« f T g
/ ,v o
BEBÉ 10 *3 W
,v
factorizar el térm ino ( x - x^J tanto en el num erador com o en el d en om in ador para su correspon dien te cancelación . EJEM PLO
Calcular : Lint
u.iyitw s 1
0 * La form a indeterm inada *— tom a el valor de 4 . Aplicando la recom endación dada para este cálculo, tenem os :
(x + 4 ) 2 - 1 6
jr -* 0
R E S O L U C IÓ N
:
EJEM PLO
2
jr-*4
:
r. 2 + $x Hallar : L i m — *-►-« x + 8 R E S O L U C IÓ N
t
-0,5 -0,4 - 0,1 -0,01
fíx)
7,5
7,6
7,9
7,99
( = L im (•J x + 2 ) = 4
* Veamos qué sucede si construim os una tabla que nos muestre la aproxim ación :
X
(-Jx + 2 ) _
(Vx + 2 ) _ ( J x + 2)
Lirn ■jL ^ ■= Li m x ~ * Jx - 2 yfx-2
0
0,01 0,1
0,4
0,5
8
8,01 8,1
8,4
8,5
* Tenem os : Lim
2 +Üx 4-2tfx +$fx* x +8
Lim
4-2*fc +yx2
* Lo que ocurre es que cuando " x ” se aproxim a a cero, la im agen f ( se aproxim a a 8 , es decir: (x+4)2 -1 6 0 L i m ---------------------- = 8 x->o x
;
” -* jj>r#l(4-2a & +*Ip)
1
* íélTTt
-vw a
4 -S S fx + y x *
1A A J _ 4 +4 +4
12
* D e s p u é s d e r e s o lv e r e s t o s e je m p lo s , te b a s
0 * En este caso la form a indeterm inada “ tom a el
preguntado, ¿p or qué a la expresión ^ se le llama form a indeterm inada?, ¿qu é opinas al respecto?
valor 8 . Si aplicam os la recom endación dada para EJE M PLO 3: este cálculo , este proceso laborioso se puede obviar Sea " r la fun ción definida p or : factorizando , a s í : Af n ( x + 4 )2 - 1 6 ( x + 4 - 4 ) ( x + 4 + 4) = L im L im
x->0
x~+0
x ( x + 8) r. , 0 , s'í¿,. / L im = --------------= L i m ( x + 8 ) = 8 x->0 x x-+0
O ) MÉTODO D E LA RACIOSAMZACMÓN í Si L im f í x ) es de la fo rm a ^ y e stá n p re s e n te s *-+*0 0 \ radicales, se procede a m u ltip lica r y dividir p or la conjugada de cada una de las form as radicales ; de m odo que se cancelen factores com unes de la form a EJEM PLO
1:
-8
-6
-4 -3
Hallar : a ) Lim f M
b ) L im f M X -.-4
c ) Lim fM = 0
d ) L im f,M¡
e ) U m f íx, = 3
f ) U m f lxt = 0
x-+ 2
X-»C
M
;
Calcular : L i m ^ *-+4 V x —2 R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N
* Veamos lo que ocurre construyendo una tabla de valores que n os m uestre la aproxim ación , para lo cual te recom endam os usar una calculadora .
a ) L im f M = I
b ) L i m f M N o existe
c ) L im f U} = 0
d ) L i m f M N o existe
e ) L im f M = 3 x-*6
f ) L im f (x) = 0
■X
*S
3,8
3,9 | 3,99
3,999
3,9494 3*974^3,9975 3,9997
* Del gráfico se tiene :
4
4,001
4,01
4
4,0002 4,0025 4,228
4,1
* Lo que sucede es q u e cuando “ x ” se aproxim a a 4, x -4 se aproxim a a 4. la imagen = -Jx - 2
* Luego : Lim * 4- = 4 * -« J x -
s-+0
X -+ -4
x -,8
O B S E R VA C I O N E S :
• Cuando se afirm a: ux se aproxim a a x 0con x * Xo ” , nos preguntam os : ¿cuánto nos aproxim am os? Para precisar esto , tom em os en cuenta que , cuando x se aproxim a a x 0 , existe una diferencia entre ellos (la cual será el error com etid o), p o r tan to se m ide a través de un núm ero $ > Q,de m odo que o c u r r a ,
H©*£)8
N d C L O P E D IA 2012]
fi!b
| x - x 0|< S » y com o x * x 0 ,n os quedará 0 < |x- x 0\
V8 > 0 ; V ¿ (x 0) n A * $ *
< 5 . Por ejem plo, si 6 = 1 0 "* , enton ce? 0 < \x - x 0\ < 10 equivale a decir q u e la dista*' d e x a x 0 es m enor que la distancia Í O ' 3 = Q,o 0 1 .
E JE M PLO
* Cuando afirm am os “ f f x ) se acerca a L " , tam bién nos pregu n tam os: ¿cu á n to se acerca o aproxim a? Para respondernos, calculam os la distancia de f í x ) a l a través d e : \ f ( x ) - L \ < £ y dam os valores para £ . R e c o r d e m o s q u e p o d e m o s s a b e r p o r a n ticip a d o c u á n t o q u e r e m o s q u e se a c e r q u e o a p ro x im e . El a n á lis is a n t e r io r tr a e c o n s ig o la d e fin ic ió n f o r m a l d e lím it e q u e s e ñ a la m o s a continuación, usando m edidas dadas para trabajar con las aproxim aciones .
F O R M A L IZ A C IÓ N D E L ÍM IT E S C O N CEPTO S P R E V IO S :
Se llam a v ecin d a d d e ce n tr o x 0 y ra d io 8 > 0 al intervalo abierto de cen tro x 0 y extrem os x q - 8 y
x 0- 6
* Para toda vecindad reducida : V ¿ ( x 0 )
V'&( x 0) r \ A * 0 O B S E R V A C IO N E S
:
U n intervalo abierto con cen tro en x 0 , tal que x * X o e s d e la fo r m a : \x0 - 5 ; x 0 + 8[ - { * 0} , geom étricam ente correspon de a:
que
i ------------------------ 2 ------------------------ b — Xo - 6 Xo + 6 / ✓ N. v S/ 6 = r a d io 6 = ra d io D onde 5 > 0 , siendo 5 la letra griega d e l t a . :
C onsiderando f ( x ) = 20 + x , D o m f = R ; tenem os que x 0 = 2 es un punto de acum ulación del conjunto
Vs(x0) = (x0 - 8; x0 + 8)
A = D om f =
ó \ S
i (V a le r e s p o r la d e r e c h a )
E JE M PLO
*o + 8 ; y se denota por V J x 0) .
A
Sea A = { 2 ; 5 ] x 0 = 2 es pu n to de acum ulación de A , pues:
—
V E C IN D A D E S S
6
:
R , ya que según la definición se tiene:
A
( ] 2 - 8 ; 2 + 8 [ - { 2 8 ) n R * 0 , ta l c o m o se o b s e r v a d el
x 0+ ó
X0
R
siguiente gráfico : A =D m f=JSL
E JE M PLO :
_________________________________ a
V J 2 ) = ( 2 - h ; 2 + h)
«
_
_____________________________
8 = 0 ,J
-> V J 2 ) = ( L 9 s 2 . l )
VECINDAD R E D U C ID A S
7 /2 -6 ; 2+ h [
Sea una vecindad d e cen tro x 0 y radio 5 (% (*• ))> llamaremos vecindad reducida de cen tro x 0 y radio 5 al co n ju n to q u e re s u lta d e q u ita rle x 0 a la
D E F IN IC IÓ N D E L ÍM IT E Z
vecindad V ¿ (x 0 ) y se le denota V6( x 0) , es decir :
( x 0 n o necesariam ente pertenece al dom inio d e f )
v ; = ( x 0) = Vs( x o ) - { x 0} EJEM PLO
El núm ero L se llam a el lím ite de la fun ción real de \ una variable real f \en el pu n to x 9. S i p a ra c a d a 0 0 , e s p o s ib le h a lla r u n v a lo r positivo. 6 (delta) q u e depende d e (épsilon); tal q u e : Vx
r
V ¿ (5 ) = ( 5 - S ; 5 + 6 ) - { 5 }
s í 5 = 0 ,2
e
D om
a
0 <
|x -
x 0\<
=> \ f ( x ) - L \ < z
8
* O tam bién : V s > 0 , 3 á > 0 /x e D o m f a 0 < | x - X o| < £ = > | / Y x )~ jL
-> V ¡(5 ) = { 4 , 8 ; 5 , 2 ) - { 5 }
PUNTO D E ACU M U LACIÓ N S
<*l
S e dice q u e L es el lím ite d e f l x ) cuando * tiende a x 0 y se escribe co m o : L im f ( x ) = L
Un punto x 0, que n o necesariam ente pertenece al conjunto A , se llam a p u n to d e a c u m u l a c i ó n d e A . Si cualquier vecindad Vh(x 0) con tien e «1 m enos un punto X e A -
* El punto x 0 puede estar o n o en el dom in io de f .
r . es nunto de acum ulación d e A si y solam ente si
♦
O B S E R V A C IO N E S
La
d e f i n ic i ó n
:
in d ic a
que
uxeD om f *0
l o a s im a
< | x -X o| < 5 ” • Si e ste c o n ju n to es d ife r e n te del c o n ju n t o v a c ío , se d ic e q u e x 0 es p u n t o de acu m ulación d el d o m in io f (en ca so co n tr a r io , afirmamos que x 0 n o es pu n to de acum ulación). ♦ El límite de una función es u n punto si existe es único.
IN TE R PR ETAC IÓ N G E O M É T R IC A :
llW T K v jj
1) L i m e = c ; L i m [ c f ( x ) \ = c - L i m f ( x ) = c L ¡ X -+ X O
X -* X Q
X -* X O
2 ) L i m [ f ( x ) ± g ( x ) 1= L i m f ( x ) ± L i m g ( x ) = L t ± L 3 3 ) L i m [ f ( x ) g ( x ) ] = ( L i m f ( x ) \ ( L ¡ m g ( x ) ) = Li L* x-*xo
\*-+*0
f \ x -+ x o
L im f(x ) r ' f ( x ) ' ^ Jt-*XQ ^ IjJ , 4 ) Lim x~*xo Lim g ( x ) Lt - 8( * K X-+XQ
d o n d e L* * 0
5 ) L i m [ f ( x ) ] " = [ L i m f ( x ) ] n = L'¡, L
X -+ X Q
y
donde » e Z +
J
x ~**0
6) L im d f ( x ) = nlLim f ( x ) = x -* x o
)
*~+xo
*¿ e x i s t e
7) Dado el polinom io: P ( x ) = a xx H+ a H_Jx H~ * + . : + a Ix + a 0 ta les q u e los c o e fic ie n t e s a ( s o n n ú m e r o s r e a le s se tie n e : L i m P ( x ) = P ( x 0)
Xo~ 6 Xo x x0 + b (V a l o r e s p o r la i z q u i e r d a r * Del gráfico : L - z < f í x ) < L + z
♦ dedonde: \ f ( x ) - L \ < z EJEM PLO
x-* x o
X
8) Sean P ( x ) y Q ( x ) polinom ios dados con QÍXq) * 0 ,
(V a lo r e s p o r * la d e r e c h a ) a
x 0 -8 < x
< x 0+
lu e g o :
9 ) L im \ f(x )\ = IL i m f ( x ) \ = |Lj| X -* X Q
:
0 < | x - 2 | < 5 , en tonces t
x2-4
x -2
-4
< E
Si: 5 = 6 » entonces :
x -2
|
\X -+ X Q
♦ Si n es par debe cum plirse q u e L t * 0 .
S i : f f x ) = X* ~ 4 = x + 2 ; x * 2 x -2 Para dem ostrar que L i m f í x ) = 4 , de acuerdo con la definición, para todo n ú m ero p ositivo 6 debem os encontrar otro núm ero positivo 8 , dependiente de £, tal que Tsí:
x2-4
*-**o Q (x)
si Q (x0)
=
5
| x - x 0| <5
a
*
10 ) U m i L o g r f í x f l ^ L o g J l i m f í x f t ^ L o g r L q ; L, >0 L im f í x )
1 1 ) L i m c r
= c L<; c e R* - {1}
X -* X Q
1 2 ) L im
= L t L 2 con L j e J r * ~ ( i )
E JE M PLO
1:
Calcular : L im 2 x* - 5 x 2 + 6x - 1 x-*3
R E S O L U C IÓ N - 4 = |x + 2 - 4| = > | x - 2 | < e
♦ De este m odo el lím ite queda determ inado .
:
♦ A plicando el criterio desuna función polinóm ica L im 2 x * - 5 x * + 6 x - l = 2 (3 )* - 6 (3 )2 + 6 ( 3 ) - 1 = 2 6 x-+3
TEOREM A D E
U N IC ID A D D E L
L ÍM IT E Sea f una fun ción real de una variable real y x 0 un punto de acum ulación del D o m f El lím ite de una función si existe , es ú nico , es decir
E JE M PLO
5xs - 7 x - 3 Calcular : L im 2x * - 6x + l R E S O L U C IÓ N : 5 x 2 - 7 x - 3 _ 5 (2 )s - 7 (2 ) - 3 _ = -1 2x s - 6x + l 2 ( 2) s - 6 ( 2) + 2
L™
TEOREM AS FUNDAM ENTALES
E JE M PLO
3:
Calcular: L im
^
*-+t
Si L im f í x ) = L . y L im g ( x ) = L t , donde L Jt L s e R *~**0
y c es una constante real , tenem os lo$ siguientes teoremas :
2 :
2 xs -7 x
+6
R E S O L U C IÓ N : L im
+3 - (lf-4 (l) +3 =0 2 x * - 7 x + 6 2 (1 )* - 7(1) + 6
B[1086
*mM-£MSMW¡SA EJEM PLO *
Calcular: L im 3x* ~ 7x+3 *->s x - 25 :
L ÍM IT E S L A T E R A L E S 0 Los lím ites laterales de f por la izquierda y por la derecha de x 0 se p resen tan cu a n d o el análisis se realiza restringiendo el dom in io de f a los conjuntos
5:
x 2- x -6 Calcular : L im *-*-* 2 x 3 + 4 x ‘ - 2 x - 4
* D o m f n (- 00; x0) , para el lím ite de f por la izquierda de x 0 .
R E S O L U C IÓ N : (x + 2 ) ( x - 3 ) x 2- x -6 = L im Lim *->-2 2 x s + 4 x s - 2 x - 4 *-*-2 2 ( x + 2 ) ( x + l ) ( x - l ) (x-3) _ (-2-3) 2( x + l ) ( x - l ) 2(-2 + l ) ( - 2 - l )
=Um EJEM PLO
Calcular :
* D o m f r» { x 0;co ) t para el lím ite de f p or la derecha de x 0.
-5
6
I ) L ÍM IT E P O R L A D E R E C U A : Se dice que L es el lím ite lateral de f ( x ) cuando x tiende hacia “ a ” por la derecha y se denota por :
6: 4x - 8 —-
r.
NCICLOPEDIA *01*J
* L ÍM IT E S A L IN F IN IT O : igual que el caso anterior.
3 x 2- 7 x + 3 _ 3 ( 5 ) 2 - 7 ( 5 ) + 3 Xa -2 5 (5 )* -2 5 EJEM PLO
ÉÉttl
* L ÍM IT E S IN F IN IT O S : L 03 q u e son usados com o h e r r a m ie n t a s n e c e s a r ia s p a ra a n a liz a r el com portam iento de las funciones .
4:
R E S O L U C IÓ N
•w
L im f ( x ) = L i m f ( x ) = L x-*a jr-M*
(x>a)
R E S O L U C IÓ N :
• G eom étricam ente :
* Sea x = y 6 donde M .C M . ( 2 ;3 ) = 6 4 x = y3 ; para x -6 4
x = y * =><
= y 2 ? y 6 = 0 4 =>
y = 2
* Ahora reem plazando se tiene :
r . 4 x - 8 r . y3 - 8 F. ( y - 2 ) ( f + 2 y + 4) Lim -Z7= = Lim = Lim — =7—— *-+«# # * - 4 *-♦* y - 4 *^2 ( y - 2 ) ( y + 2) = Lim ¿ ± * z ± i , 4 + 4+4 m 3 y~>2 y +2 2+2
U ) L ÍM IT E P O R L A IZ Q U IE R D A í
EJEM PLO
7:
Calcular : L im
4 x + 4 4 x + 5 ~ 4Sx + 1 3 x -1
JT->J
Se dice que M es el lím ite lateral de f í x ) cuando x tiende hacia " a ” p or la izquierda y se denota por:
R E S O L U C IÓ N :
Lim
4 x + y ¡4 x + 5 - y ¡3 x + 1 8
• G eom étricam ente
x -1
X-+1
( V x - 1) + ( V 5 Í T 5 - 3 ) - ( V 5 ^ + I 3 - 4 )
Lim x-*l
x -1
{ -j= í— *-+1 \ 4 x + l
L im
1 1+ 1
+
y ¡4 x + 5 + 3
4
3
3 + 3
4 +4
4 3 x + 13 + 4
= ¿ + 2 _ 3 = 19 2
3
8
24
E X T E N S IÓ N D E L C O N C E P T O L Í M I T E TEO R EM A: Haremos la extensión a los casos siguientes: • LÍM ITE S LA T E R A L E S : cuando x se aproxim a a x 0 por un lado : o bien p or la derecha o bien por la izquierda
El lím ite de f existe y es ú n ico , cuan do x tiende al valor de " a M, si y sólo si existen los lím ites laterales y adem ás son iguales :
vz& M i7n*Sr4>&
EJEM PLO
MaÍMMTMsS]
1:
• L im f(x )= L X-+*
♦ Sea flx) = 4 x - 2 con dom inio en [ 2 ; » [ , luego x se puede aproxim ar a 2 ú n ica m en te p o r la derech a ( x -> 2 * ) en cuyo caso f l x ) se acerca a cero . ♦ Es decir , se tiene L in t >Jx - 2 = 0 x-*Z+ EJEM PLO 2
• L im f l x ) = L
S i:
:
H (x ) =
En form a sim ilar , si f l x ) = x * - 3 , con D o m f = [ - 2 ; 6] , tenem os que : ♦Cuando (x -> -2 +) , ocurre que f l x ) = x * - 3 se acerca
B,
x 3 + 2; x > l
a2
¿existe L i m H ( x ) ? JP-+1 R E S O L . U C IÓ N :
a 2, es decir : L im ( x * - 3 ) = 2
U m H ( x ) = L im (-x + 2 ) = -1 + 2 = 1 x -* i*
x -* r
(*
♦Cuando * -> 5 '; se tiene que f l x ) = x * - 3 se acerca a
U m H ( x ) = Lim ( x * + 2 ) = 1 * + 2 = 3
22; es decir: L i m ( x 2 - 3 ) = 2 2
X -* I+
X -* I*
(*> 1)
♦ Luego com o los lím ites laterales son diferentes , entonces no existe L im H ( x ) .
E i^ G E N E R A L : Sabemos que cu an do x se aproxim a a x 0 se tiene que 0 < \x - x 0|< 5 .
- x + 2; x < l
X -* I
♦ G ráficam ente :
A partir de esto , tenem os :
i . 0 < p ? - j r o| x 0 - 8 < x < x 0+ & (con x * x a ). "y&t h* - —
3------------------------- o---------------------------[ * o -ó N_
y \ —
*
i z q u i e r d a d e x 0 d e r e c h a d e x io
yk
=> x e ] x 0 - 5 ; x 0 + S [ - { x 0 ) => * e ] * „ - S ; x 0 [ u \x0 ; x 0 +
E JE M PLO
♦ En la definición , el térm ino 0 < \x —* 0|< 5 será
Calcule el lím ite de f l x ) cuando x tiende a 2 , si es que existe para :
reemplazado por ]jc0 - S ; x 0[ , para el caso de lím ite
2:
fíx ) - t « T - j
por la izquierda , y p or ] x 0; x 0 + 5 [ , para el caso de límite por la derecha .
n }
Ixl- 1
R E S O L , U C IÓ N :
♦ Interpretación geom étrica : L im f ( x ) = L i m \x 7 ~ * = L im í k J l i H í * k i l * -j .-1 [arl - 1 x -,1 ([* ]_ i)
= U m \ x \ + 1 = Lim\.x\ + L i m l x -* t
X-+1
x -* l
= L im m lx l+ 1 x -> I
♦ p or lím ites laterales: L i m l x ] = L im 1 = 1 X -¥ ¡*
(l < x < 2 )
;
X -* l*
♦ Tam bién : L im \ x \ = L im O = 0
X-*X L im f l x ) = L 2
Lim f(x) = L2 X-*X.
X-*l~
X-+Í ~
;
(0 < x < l )
♦ C om o los lím ites laterales son diferentes entonces no existe el lím ite .
; 1» .
EJEM PLO
I»
\lQ88\
XCICLOPEDIA 2 0 IZ\
TE O R E M A D E L ÍM IT E D E L A S FUNCION C O M P U E S T A
3:
Sea el límite : L im (2x - 5 ) = 1 Halle un 6 tal que |( 2 x - 5 ) - 1 \ < 0 ,0 1 siempre qué O < \x - 3 1 < 5
El s ig u ie n te te o re m a ju s t ific a el c á lc u lo d e los lím it e s d e la s f u n c io n e s c o m p u e s t a s . Si
R E S O L U C IÓ N :
L im f ( x ) = L ty L im g ( z ) = x 0 , donde z a es un punto *-**0 * M~**0 ° ^
* En este problem a n os vien e d an d o u n va lor de
de acum ulación del D o m f o g .
e = 0 , 0 1 . Para h allar u n S apropiado intentem os
e s ta b le c e r u n a r e la c ió n e n t r e lo s d o s v a lo r e s absolutos .
Entonces: L i m \ f o g ] ( z ) = L i m f ( g ( z ) ) = L Z -* Z 0
Z -¥ Z 0
\[2x - 5) - Í \ y | * - 3 |
=> K 2 r - 5 ) - j | = |2 * - 6 |= 2|*-3| * en otras palabras la desigualdad : \{2x - 6) - l \ < 0,01
* es equivalente a : 2 | x -S | < 0 ,0 1 => | * -3 | < ^ J ^ = 0,005 & Un S adecuado para el € = 0 ,0 1 e s 0 ,0 0 5 .
TEOREM A D E
T R A N S L A C IÓ N
L i m f ( x ) = L si y sólo si L i m f ( h + x 0 ) = L - Este X->Xq h-*0 teorem a perm itirá reducir lím ites dados en cero , lo cual es de m ucha utilidad en el cálculo de lím ites trigon om étricos . E JE M PLO
S a b ie n d o q u e
1: X
9
1 - — £ f(x ) < 1 —
X
9
, p a ra to d o
x * 0 , hallar L im f f x ) . R E S O L U C IÓ N :
Por el teorem a del em paredado , tenem os :
►x = 3 , 0 0 5 ~x=3 * ~ x = 2 ,9 9 5
TEOREM A D EL .
EM PAREDADO
(S A N D Q W IC R )
Supóngase que g (x ) £ ffx ) £ h(x) para todo * en algún in te r v a lo a b ie r t o q u e c o n t e n g a a x 0, e x c e p t o posiblem ente en x 0 . S u p on g a m os ta m b ién q u e :
L
i m
^ l 1= 1 = L i m I 2 +
Luego : L im f f x ) = 1 . EJE M PLO
2 :
S i j 3 - 2 x s + 4 x Z f ( x ) h l 4 - x 9 + 2x * p a ™ 0 $ x < 2 H allar :
L im f f x ) 4T-*1 R E S O L U C IÓ N :
Tenem os: l i m g ( x ) = L im h ( x ) = L. JT-+X0
I -4 X J
Entonces se tiene q u e L i m f ( x ) = L S-+X q
L im V á - 2 x 9 + 4 x = -Js = L i m j é - x * + 2 x X -+ 1 x~*l
Luego : L im f f x ) = 4& X+1 E JE M PLO
3:
L im |x + 2| = L im |/i + 3| = 3 , y a q u e se e fe c tu ó el
c a m b io d e v a r ia b le : x - l = h => x = h + l . (S i x -> 1 , se tiene que h E JE M PLO
0)
4:
S u p ó n g a s e q u e s e d e s e a c a lc u la r
Si |[/Yx ) < g (x )< h(xj\ a ^Lim f ( x ) = L = Lim h(*3jj
L im + ¡2 x -3 ,
m ediante el cam bio d e variable x - 2 = h (esto significa que la variable antigua * es reem plazada por la variable nueva h ). * E ntonces tenem os : x = h + 2 , cuando * -+ 2 » Be
=$■^Lim gf x ) = X.J
d e d u c e q u e h -> 0 , lu e g o r e e m p la z a n d o e n la
jP J
1039
[fiSB
ijy iiT K S 1
expresión dada :
Um j 2 x - 3 = Lim J2(h + 2 ) - 3 = U m J2h + 1 = 1 »-*j A-*0 A-*0 O B S E R V A C IÓ N
EJEM PLO
:
5:
Demostrar geom étricam ente que: L i m R E S O L U C IÓ N
^
X = 1
:
♦ Cuando lo s v a lo r e s d e f f x ) se h a ce n ilim itadam ente grandes (es d e c ir : ffx ) > M , \/M> 0 ). Luego f no tiene lím ite cuando x -+ 3* ; sin em bargo
♦ Construim os una circunferencia de cen tro ( 0 ; 0 ) y radio 1 com o se observa en la figura .
escribim os L im f f x ) = + co. x -*3*
♦ En form a similar, al escribir Lim ffx ) = , estam os diciendo que el lím ite n o e x is t ^ y a que f f x ) 6e hace ilim itadam ente pequ eñ a cu a n d o x - * 8~ (es decir: ffx ) < - M ; VAf > 0 ) . E JE M PLO
2:
A nalicem os qué ocurre co n f fx ) = x + * , cuando x se SC ^ hace cada vez m ás grande ( x -+ + oo) o cuando x se hace cada vez m ás pequeña ( x
-a o ) .
R E S O L U C IÓ N :
♦ G raficando , tenem os :
Área del triángulo OAC
Área del sector OAD
Área del triángulo OBD
1 o s x s e n x < l—x x l ,< - x7. l .x . t*g x —c 2 2 2 4
♦Dividiendo por cosx <
sen x
x se tiene : sen x 1 c o s x < --------- < -----x cosx
cosx
♦ Luego , tom ando lím ite cuan do x -+ 0 . 1 L im e o s x = 1 y L im = 1 x -+ 0
♦ Cuando x se hace ilim itadam ente grande (es decir x > N , para cualquier N > 0 ) , tenem os que f f x ) -► !,
x - * 0 COS X
_. sen x L im x -+ 0
a 1
luego : L im f f x ) = 1 .
X
JT-++X
IN T R O D U C C IÓ N A IN F IN IT O S
L O S L ÍM IT E S
♦ Cuando x se hace ilim itadam ente pequeña (es decir, x < - N para cualquier N > 0 ), tenem os que f f x ) - + l ,
( +oo ó -o o )
luego: L im f f x ) = 1 . El sím bolo +co no represen ta n ú m ero algun o, se utiliza para representar cantidades ilim itadam ente grandes (+ « > ) o ilim itadam ente pequeñas ( - o o ) . EJEM PLO
f f x ) = ------------ , x - 3
R E S O L U C IÓ N :
♦ Graficando :
Si n e N se cum ple :
1:
A continuación analizarem os lo que ocu rre con la6 imágenes
T E O R E J IA S S O B R E I M I T E S IN F IN IT O S
cuando x se aproxim a a
1
L im — = +oo x -+ 0 * X
2
L im — = —co X -» lT
X
3.
Si "n* es un entero positivo, entonces: 3
Lim-^—= +oo X*
\10*0\ S i *n* e s u n e n t e r o p o s it i v o , e n t o n c e s :
FJ
N V IV L O P E B IA
y¿&
=:
1
í -oo ; s i n e s im p a r Lim — = \ m+v x 1+® ? s i n e s p a r
+00 ; n > O ( p a r ) -00 ; n > O ( i m p a r ) +00 ; * > O
GJ k (+ < c) = 5) Sean f y g funciones tales que:
-00 ; k <0
A ) L i m f ( x ) = b a L i m g ( x ) = +00
-00 ; k > O
X-HI
H ) k ( - 00) =
J-HI
+«o ; k <0
Se cumple: • L i m ( f ( x ) + g (x )J = ao
7) Si: L = L im
*->±0
* L i m ( f ( x ) ' g ( x ) ) = + 00; s i 6 > 0 * £ í m ( f ( x ) ' g ( x ) ) = - 00; s i 6 < 0
L =
* L im (f( x ) + gfxJJ = •00
*-+a
+qo
si m > n a — > 0 bo a
— ■< O bo
O B S E R VA C I O N E S :
* L i m ( f ( x ) g ( x ) ) = +00; ¿ i & < 0 x-+a
C u a n d o su c á lc u lo p u e d e s e r p o s ib le d ir e c t a (re e m p la zo d ire cto ) o in d ire cta m e n te (m ed ia n te tran sform acion es) en tre ellas tenem os : Siendo a una constante n o nula (a > 0)
* L im £ p - = 0 *->* g ( x ) 6) Sean f y g funciones tales que: L im g ( x ) = 00 s+o
L i m — = 00 x -»0 *
Se cumple: * L im (f(x ) + gfrJJ = +00 X-+4*
* L im (f(x ) g (x ) ) =
si m < n
-00 s i m > n
* L i m ( f ( x ) g ( x ) ) = - 00; s i b > 0
a
y
^ 2- s i m = n bo
Se cumple:
xJ = +00
+ -■•+ « -
60x', +6jx','J+... + 6l)
O
B ) L i m f ( x ) = b a L i m g ( x ) = -00
x-ta
<»«*
E ntonces de acuerdo al valor de los grados **m ** de los polinom ios, se tiene:
* U m t/ — = 0 g fx )
AJ Si Lim
«0I«1
0
v í» o
L im — = 0 ar-Mo X
.« = 0 a
L im — = 0 *-►* jf
.« = 0 00
L im — = 00 1+X O
00 • — ss 00 a
L im — = 0 x-»0 v y-Ke ^
* L ÍÍ»7 .s !i ar y-**
finida] o noexiste lote J
+ 00
BJ Si Lim f ( x ) = -00 a L im g ( x ) = -00 9-»#
Se cumple: * L im (f(x ) + gfxJJ = -do * L i m ( f ( x ) •gfxJJ = +co C jS i L i m f ( x ) = +co a L i m g ( x j = -co
T E O R E M A S O B R E E M I T E S A I , E X IE X T T O
Se cu m p le :
A ) Sea /i € Z 4 => L im = O *-+** x H B ) Sean n e Z 4 => L i m — = 0
f-ta
jr->a
* L i m f /*(x j g f x J ) = -0 0
CJ Sea f : R -> R , definida p or :
O B S E R VA C I Ó N :
Usando los siguientes sím bolos , podríam os resum ir a s í: AJ ( +00) + ( +00 ) = +00
BJ f -0 0 J + f - o o ) = -oo
C) ( +00J*( +00J= +oo
D ) (-ao).f -00 )
BJ (+C0J•f—00Jss -00
= +00
=> L im ( i + — X-*+
FORM AS
= c = 2 ,7 1 8 1 8 ...
IN B E T E R M IN A B A S
Se dice que aquellas expresiones que para un valor de su(s) variable(s) adoptan cualquier valor, o en todo
ftrm w N 4P.%
1041
caso no es posible su cálculo.
2x*-3
• Entre ellas tenem os: 0 * — * 00.—00 0
* P ;1 1-00 N O TAS
00 0
00
EJEM PLO
00
„
,
,
r
Calcular : L im
:
En algunos casos no se puede predecir el lím ite de la operación co n o cie n d o sim p lem en te el de cada operando . P O R
3
r • 2 x 2- 3 , . L i m — ;-------- =L im f =L ¡m lZ 4 - = ? ^ ° = 2 *-»« x +1 J +0 x* + l 1. + . i
00
* Oxoo
a
3
:
S
x
* + 2 x ~1
; 4 x 4- 3 x + l
R E S O L U C IÓ N :
* C uando x tom a valores grandes se tom a : x s = ^fx 4
p ositiv os
bastante
E JE M PLO :
* S i , L im f ( x ) = oo
y
x -»o
L im g(x) = 0
4 x 4- 3 x + l
e n t o n c e s n o se p u e d e d e c ir n a d a r e s p e c t o al L im [f(x ) g (x j] JT-X»
y
L i m g ( x ) = oo
Hallar : U m
x -+ a
x -k i
L i m [ f ( x ) - g (x )\
1:
•K
5x2- 3 x + 2 Halle : L i m = — z— 3x + 2 x - 3 R E S O L U C IÓ N
'jA
% \
:
00 • Este lím ite tam bién es de la form a : — • 00 •Dividirem os num erador y denom in ador entre x: 3 x+ * L im 8 x +_ - = L im « « x +2 E JE M PLO
* En nuestro ejem plo , dividim os entre x s tanto el num erador com o denom inador es decir :
Hallar : L im
1+0
5 3
2:
2x*- 3 x 2+ l
R E S O L U C IÓ N :
00 • Observarás que este lím ite es de la form a : — 00 * Dividiremos num erador y denom inador en tre x :
:
_ \ r ±
j/iL t r o Z - = 0 *+•* X
- 5 -0 + 0 3 + 0 -0
i+ 2
* C uando x tom a v a lo re s n eg a tiv os bastan te grandes , se debe tom ar x = —J x * con el cual dividim os el num erador y denom in ador , es decir
L im
L im K - 3 x + 2 = L i m - - + í 3 x* + 2 x - 3
00 + 0 = +00
X _
5:
R E S O L U C IÓ N
num erador com o el denom inador , entre la m ayor potencia de x que aparece en la expresión dada . Luego se aplica :
EJEM PLO
-
Calcular : L im = ^ x + ^ x + 7
* La form a m ás p rá ctica de ca lcu la r los lím ites cuando x -> oo o x -+ -oo es d iv id ien d o ta n to el
l) L im — = 0 xn
x3 x<
R E S O L U C IÓ N :
Las dos situ acion es corresp on d en a las llam adas “ form a s in d e t e r m in a d a s ” 0. oo y o o - c o . O tra s formas indeterm inadas son : 0 co * 1 ; oo" y tí 0 00 EJEM PLO
4 1 -0 + 0
4: X + 2
e n t o n c e s n o se p u e d e d e c ir n a d a r e s p e c t o al
1
lf _ 3
r E JE M PLO
* S i , L i m f ( x ) = oo
** = - f +° - ° = _ s
lim ~¥x* +2x_1 = Um ~ (+ *
x -* a
47*74 x +7
-
- r í m_ l x +7
E JE M PLO
Hallar : L im *-M-*
** - -6T+Ó = - i
i+ L
i+ o
6: 2xs + 3 x - 2 3xs + x - 1
R E S O L U C IÓ N :
00 * Tam bién el lím ite es de la form a : — 00 • Dividiremos aquí numerador y denominador entre x 2 2 + * - 2í 2x s + 3 x - 2 x xM _ Um = Lim =0 +00 3x a+ x -1 3x +L -± . O B S E R VA C I Ó N :
Sean
P y
Q polinom ios de grados m
y
n
[A l# v
x t i t i .o n c n n so is]
k i i i o m
P (x ) respectivam ente, para calcular L im Q (x ) dividirás
E JE M PLO
Calcular : L in t
num erador y d enom in ador en tre donde min (m , n ) significa elegir e l m enor d e m y n . EJEM PLO
7:
10:
'x + 3 R E S O L U C IÓ N : * C om o x + +oo
Hallar : L in t ^ x ’ + 1 R E S O L U C IÓ N
dividim os entre 4 x num erador
y denom inador . :
♦ Para evitar problem as con los signos harem os el cambio de variable de x = -y, luego y —> + » .
r . Jx + 4x + 4 x + => L i m - — X-+-W0 4x + 3
3
♦ Entonces :
1+
¿ ím V E H = U m ^(- y)2+1 = L in t-
*-*-«
}>-*♦«
X
—y
y -+ «x
Um X-++X
y
* Ahora podem os dividir n u m erador y denom inador entre y : -------I^ ^ ^ L in t- ^ [¿J L L - - L im ~ y-*+* y y-»« EJEM PLO
1
J x + J~x*~+ x 4 _ Vi +4 o +4 o + o _ j 1+0
E L N Ú M E R O é* e ” C O M O
L ÍM IT E
= —J l + 0 = -1 La expresión
8:
+
tiene lím ite com prendido en
2 y 3 cuando » -> + 00.
Calcular : L im { 4 2 x 2 - 5 x + 3 + 4 2 x ) JT-++*
R E S O L U C IÓ N
:
* En este tip o de ejercicios para p oder aplicar el m étodo de lo s e je m p lo s a n te r io r e s es n e ce s a rio expresar la función, com o un cocien te y para esto se racionaliza .
(4 2 x 2 - 5 x + 3 - 4 2 x )(]2 x a - 5 x + 3 + 4 2 x ) ( ] 2 x 2- 5 x + 3 + 4 2 x ) -5x + 3 U 2 x 2- 5 x + 3 + ¡ 2 x )
* Como x -> +oo
e :
n
( 1 + 1/ n f
V a lo r
1 2
( l + l )1 ( 1 + 112)2 a + 1/5 ) 5 . ( 1 + 1 I20)20 ( 1 + 1 /100)100 ( 1 + 1 /1000)1000 (l+l/lOOOO ) 10000 (l+ l/ n )n
2
5
Lim (V2x* - 5 x + 3 - 4 ¿ x )
= ,
Cálculo aproxim ado de
20 100 1000 10000 n —00
D E F IN IC IÓ N :
=> x —= -ÍZ y x.2
A l n ú m e r o e d e fin ir e m o s c o m o el lím it e de
=> L im (-J2x* - 5 x + 3 - ¡ 2 x )
cu a n d o
la e x p r e s ió n M + “ -5 + —
2 ,2 5 2 ,4 8 8 3 2 ... 2 ,6 5 3 2 9 .« 2 ,7 0 4 8 1 ... 2 ,7 1 6 8 8 ... 2 ,7 1 8 1 6 ... 2 ,7 1 8 2 8 1 8 2 ...
n -> + » es d e cir
-6 _ - 5 ¡ 2
L im
2¡2
donde e = 2,718281828459045
4
M EJEM PLO
O B S E R VA C I Ó N :
9:
( 1 \* / + — tiende al n úm ero e , cuando v x) x —> +00 , es decir :
1 ) La función
H a lla r: L im {-J x + 2 - ¡ x ) JT-++X
R E S O L U C IÓ N : * El lím ite de la form a o o - o o , m u ltip liq u em os y
dividamos por la expresión conjugada de (*Jx + 2 - x ) Um(4¡TT2 -
ir -~ *
v x
+
2 +4 x
+ x + 2 +VJT
i
2— r =0
-IX + 2 + 4 x
2) Sea z = í x
^
x
= — cu a n d o
z
x -> + q o ,
z -> 0 ;
m
m
v
o
104#
s
entonces
aJyti'w'BCS ]
E JE M PLO
2:
Calcular . ü m r £ ± á T 1 4P-X» L * + 1 J
CÁCU LO D E L I M I T E S D E L A F O R M A
R E S O L U C IÓ N
L i m ( f { x ) ) g
x_
L im
JTHO
:
JC-KC
X
Para el cálculo de los lím ites de la form a :
L im \ 1 + —
±+ I4 J1 " - ««-! *-** L
L i m ( f (x))*** se consideran los siguientes casos :
x+1
x-+a
1°) Si existen los lím ites L im f l x ) = A y L im g (x ) = B son finitos , entonces :
L im f(x) = A * l
y
Si:
L * m # (x ) = ±aj
* + 1 )/ 3:
= L im [2 +
L im { y f x + 1 —-Jx + 1 )
-(>fx+>¡X+l)
♦ A la función f l x ) expresam os a s í : f l x ) = 2 + § ( x ) donde
-.
i« *
= : L im Lim
2+
_=í I 44 + J x + 1 J
-1
-jí
e x-**>4x+4xTí
_g2
EJEM PLO
4 :
_
* L u e g o se h a c e la s u s t it u c ió n y se a p lic a la definición del núm ero e . j 1
x_
Calcular : L im — L n J 4 ^ *-*0 x il- X
Um **>*<*>
Lim(f(xffisi = L i m n 2 + §(*f) *(’ *j
s £
* - * 0
J
:
En el cálculo de los lím ites de funciones logarítm icas se aplica la propiedad siguiente :
1
L i m L n ( f ( x ) ) = L n \ L im f(x ) x-+a L J
R E S O L U C IÓ N : L im — L nJ* + x *-*0 x V 1 —x
=
i L n L im
x~*0
1 T
:
lfh L i m [ l + — I = L i m ( l + k t i ) lin = e h ; n-frso \ 711 h -*0
Vft g IR
1:
{ [ ( i + ( - x ) r ¡i* t v
i e
L n e2 = Lne = 1
E JE M PLO
5:
Calcular : L i m —— — x -*0 #
Calcular : L = L im í 2 + — R E S O L U C IÓ N
¿ X = L im —L n (* + X | *->0 2 \ l-x f (1 + X)*
-
EJEM PLO
x+ ¿x+
L im § (x ) = 0 x -* a
x-*a L
- ’/ í + T ) ]
Vi
= L im 2 + X-toO V í+ V iT í]
En estos casos los lím ite s, se calculan de la siguiente fo r m a :
P R O P IE D A D
= e2
R E S O L U C IÓ N :
= ±00
O B S E R V A C IÓ N
2 < x -l)
= e*-+« x+í
C A S O 1 : IN D E T E R M IN A D O
jr-M
Um
L im ( V * + 2 - V * + T Í ) X-HD
L im flx ) = A = l y
L im
x -1 )
Calcular :
entonces es inm ediato . 3°)
T
—
E JE M PLO
= (L íot / Y * ) ) £ £ * ''' = A® 2°) S i:
1+
= L im x-+*>
*h
R E S O L U C IÓ N : * Sea ar = e
:
T T . (. 2 \ f* L = L im 11 + — = * -0 \ x)
X
-1
e
X
* 2 + ar, tom ando logaritm o
=> L n e x = L n ( l + a ) L im x -* 0
i- * f f
-
w 2=
=> x L n e = L n ( l + ct) => x = L n ( l + a )
* Cuando ar->0
a -» 0 en ton ces :
9
iV tm O F E P M 80/81
c L im - — - = L im - --P----- - = Lim jr-*® jc u-*o L n ( l + a ) *~»o L n ( l + a /
- ¿
■
/u
i - '
L os sigu ien tes v a lores de
6:
EJEM PLO
aproxim a a cero p o r la derech a o izquierda , f f x ) tiende al valor de 2 , sin im portar que fíO ) no esté definido .
Calcular : L im ---------
X
x R E S O L U C IÓ N :
*
**
r
=>3X = 2 + g
s*
»
L n (l + a )
X
Ln3 * cuando x - + 0; a -*0 entonces :
r . 3X - 1 .. a L im = L i m -=—
x
1 5***
1 100
0
-1 2
-1
-2
-2
3
4
-I 5
-1 100
0
* Sim bólicam ente: L im 8 € n x
Ln3 a -* 0
1 4
• O bserva que el lím ite de la fun ción es u n o .
r
r
1 3
senx 0,8414 0,9588 0,9816 0,9896 0,9933... 0,9999 1 X
a~+o L n (l + a )
=> L n 3 = L i m ------ -
1 2
1
senx 0,8414 0,9588 0,9816 0,9896 0,9933... 0,9999 1 X
=> Ln3 = Lnf 1 + a) => x = — -------
x~+o
se ob tien en al
considerar el valor de x en radianes .
3 X —1
•Sea: 3 x - I = a
aenx
= Ln3
L
= Ln3 Lne
L n (l + a ) a EJEM PLO
7:
Calcular : L i m —--- — *-*o x R E S O L U C IÓ N :
.. 5X- 2 X Í5x - l ) - Í 2 x - l ) L i m ------------- = L i m ----------------------------x -+ 0
X
X -+ o
L ÍM IT E S
x
Después de haber calculado los lím ites de funciones a lg eb ra ica s , p a sa m os a d e fin ir y a estu d ia r el cálculo de lím ites de funciones trigonom étricas .
.. 5X -1 2X-1 = L i m ------------ L i m ----------x~ + 0
= Ln5
X
t
x -+ 0
X
Ln2 - L n— 2
EJEM PLO
• Tenem os los siguientes lím ites notables :
8:
l i m sen x = 0 x-+ 0
Calcular : L i m 9 ~ ^ *-*o 4* —6X
• Ahora debem os expresar en la form a del ejem plo anterior , dividiendo en tre x : 9X- 5 X y • 9X- 5 X r . x L im = L im —------x-+o 4 * _ $ x 4X_ 6
= L im x-+o
5X-1
6X - 2
x
x
X
Ln 4 - Ln 6
X
* -> 0 COSX
c ) L im s e c x = 2 x-*0
(y a q u e L im s e c x = L im J — = l = D ¡r-*0 «-►o c o s x 1
, cuyo dom in io son todos los
rea les, e x c e p to c e r o ; n ó te s e q u e c u a n d o
a) L im tg x = O jr-*0 ( ya que L im t a n x = L im = — = 0) x-H) *-*> c o s x 1
x -+ 0
O B S E R VA C I Ó N :
La función f ( x ) =
x -* 0
, . sen x r • l L im •L i m -------- = 2 x 2 = 2)
x _____ L n 9 - L n 5
4X - 1
sen x
x-+ 0
b ) L i m *-£-?- = 1 *+0 X _. t a n x _. sen x 1 (yaque Lim = L i m -------------------= *-►0 X x -+ 0 X cosx
x
x
L im c o s x = 2
r . sen x . L i m ------------- = 2
A parte de estos lím ites se pueden deducir otros , para lo cual en a lg u n os d e ellos h abrá q u e u sar cam bios de variable , com o por ejem plo :
R E S O L U C IÓ N :
9X-1
T R IG O N O M É T R IC O S
x se
d ) L im x ■c s c x = 2 X-M) X fra q u e Limcaex - Lim
senx
^
A
Lim----- - = 7 = W senx 1
[tei*mim
w K y m f o ts’
BBI
1 0
*
6
BE
tJ w rtc s 1
E JE M PLO :
* Calcular los siguientes límites : . . s e n (x x ) x a en fx x ) aenfxx) l)LLm------------ - L i m --------------- = x L im -------------= x x l = x x -* 0
X
x -+ 0
X X
X X
m x
r . s en 6 x T. s e n 6 x 6 x 27 L m :— = Lim •-*o s e n é x
*->o
$x
4 x sen 4x
4x v . se/» 6 * 6 1 L i m — ----x-»0 fiy 4 sen éx
6 1 —6»
,
s J X *• X “
4 1 4
:
3 2 I I ) L i m f f x ) = -00 significa que para cada m < 0 , X+fl
3) Lim8en2x x ,« •
= g g w ^ 7 t / 2 ->
2*
jt 2
_E. 2
*
2k b ’ Í 4)Um1~a? x « Lint— - + 2 . = ¿ im l ü d x-+ x2 x 1-4 2 x_ < 2 ) ,
existe 6 > 0 tal que si 0 < U r -a | < 5 , entonces
1- 2
,
\ n t
1_ 2
Si Lim g ( x ) = 0 => Lim aen^ f ( x ) ) = j 240
R(*3
P R O P IE D A D E S
:
l) Para todo p y g pertenecientes a los reales, tal que q * 0 , se verifica . L .m *en££ £ ¿ = ¿
jr-»o s e n (q x )
q
Sea ffx ) una función , se cumple L im aen
I) L im f f x ) = L i m f ( I I y ) y -* 0 +
L im to n (£ x l = R
x-o ta n (q x )
q
L im ta n (^ x ¿ = p *->o seti(q x ) q
II) L im f f x ) = L i m f f l í y ) X+*X y-*0" III) L im f f x ) = L i m f f l í y ) X + -X Jf+O E JE M P L O ;
m
La gráfica de la función : _ . sen p x L im ----- — = p x —* 0
X
L ÍM IT E S
T . tan p x L im ----- — = p * -+ 9 x
; x±Q
1
IN F IN IT O S
; x = 0
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a “ a ” , excepto quizá en “a ” . La expresión : I) Lim ffx ) = oo significa que para cada m > 0, 2+0 existe 5 > 0 ffx) > m .
tal que
si 0 < |* - a| < Ó, entonces
Geométricamente, no importa cuan grande sea m siempre existe una franja 5 , lo suficientemente pequeña alrededor de a , como para que la gráfica que se halla dentro de la franja esté arriba de la recta y = m .
* Desde ahí se puede afirmar que L i m f f x ) = 00 2+0 * Utilicemos la definición para demostrar que en efecto es así. * Sea m un número positivo cualquiera. * Luego:
j
j
f ( x ) > m c + — 5* > m <=> — > x a x m
o
\x\<
1 m
o k
- 0 |<
1 m
i v a a o p i a n i 2012 ] * Por lo tanto, basta tom a r 5 =
¡ para garantizar -Jm que si 0 < | x - 0|<6 , e n to n ce s f f x ) > m . A sí, h em os
EJEM PLO: Considerem os la función f f x ) = —- , cuya gráfica se m uestra en la figura adjunta :
dem ostrado totalm ente que : L i m f f x ) = 00
Es fácil adoptar las definiciones anteriores al caso de límites laterales. D E F IN IC IO N E S
S
1) L i m f f x ) = -oo o
Vm e R 3 8 > 0
tal que :
a < x < a +8=>f(x)>m 2) L i m f f x ) = +oo <=> V x € R 3 8 > 0
* D e ahí se puede v er que : tal que :
I I ) L i m — = oo
f j L i m — = -o o
x-rt+ X
a < x < a + 5 = > ffx )< m 3 ) L i m f f x ) = -H» o V x e R 3 8 > 0 s-+a a - 8< 0 m
tal q u e :
4) L i m f f x ) =
tal que :
a -5 < x < a
-o o o
Vx
g
R 3 5> 0
TEOREM A
1
A ) Si n es un núm ero natural par , entonces :
=> f ( x ) < m
O B S E R VA C I Ó N :
Consideremos las funciones f y g , cuyas gráficas se muestran en las figuras adjuntas .
lim — 1 x~+a ( x - a )
_ o y = -c
r -i m L
7 fx-a)
= 00
En am bos casos podem os decir que no existe el lím ite de la función , cuando x tiende a “ a ” . Pero esto no perm ite diferenciar situaciones com o las de f y g . Así tom arem os el con ven io siguiente : I ) Si L im f f x ) = L y L im f f x ) = M , con L y M finitos 5-N1* X-+OT entonces : L i m f f x ) existe si y sólo si L = M .
/ / ) E n c a s o s c o m o e l d e la f u n c ió n f t d o n d e L im f f x )
y L im f f x ) = oo direm os que L im f f x ) = oo M
» . ha
L i m ----------(x - 3)
= 00
L i m ----------x->3' (X ~ 3 )
= —00
/ / / ) S i L i m f f x ) = - co y L im f f x ) = -oc direm os que *-K»
L im f f x ) = - o o . jr-t*
L i m ----------x - > 8 + ( x - 3)'
= 00
Í V )E n c a s o s c o m o e l d e la f u n c ió n g , d o n d e
A S ÍN T O T A S
L im g f x ) = -oo y L im g f x ) = oo direm os que n o existe
lim gfx) • jr-M
Las asín totas son líneas rectas, q u e prolongadas in d e fin id a m e n t e , s e a c e r c a n a u n a cu rv a sin alcanzarla .
* Lo mism o direm os si L i m f f x ) = oo y L im f f x ) = -oo
Veam os el gráfico.
§ * tm w N 0*&
fjg g i i Q 3 7 l B P ñ B ) Si L í # n ¿ ^ = m ,
y
L¿ro [ / W - m x ] = 6 ,
entonces direm os que la recta : L : y = m x + 6 es una asíntota oblicua izquierda de la gráfica de f . Y i
X
y =mx+b
s £2 = a sín tota vertical G£2 = a sín tota h orizon tal
9£¿ = a sín tota ob licu a
* 1
D E F IN IC IÓ N A s ín to ta O b lic u a Iz q u ie r d a
La recta x = a es u n a sín tota de la gráfica de la función f s i :
O B S E R V A C IÓ N
♦ L im f ( x ) = oo, asíntota superior izquierda. jr— hs
* C uando se analice la asíntota oblicua izquierda se debe sustituir en la definición , +<*> por -< ».
♦ L i m f ( x ) = oo, asíntota superior derecha.
♦ La asíntota h orizon tal se identifica cuando m = 0
* L i m f ( x ) = -oo, asíntota inferior izquierda.
EJEM PLO
1
Sea f f x ) = 3 + -
:
:
1
* L i m f ( x ) = -oo, asíntota inferior derecha.
x-*a
I) A S IN T O N T A V E R T IC A L Se dice que la recta vertical x = a es una “ asíntota vertical” del gráfico de y = f f x ) s i : +oo... A . V ertica l S u p erio r D erech a L im f f x ) = jr+a4
* E ntonces verifica L d m f f x ) = -k» a L i m f f x ) = -co x-*r * Lo cual perm ite identificar a la recta x =6 com o asíntota vertical superior derecha, así com o asíntota vertical inferior izquierda .
* A S Í N T O T A H O R IZ O N T A L í
-o o ... A V ertica l In fe r io r D erech a
+oo... A V ertica l S u p erio r Izq u ierd a L im f f x ) = jr-»a
L i m A f x ) = L i m A f x ) = L i m \3 + — X -+ + 0 D
X -* ± C O 1
X
—
1= 3 J
6
-oo... A V ertica l I n fe r io r Izq u ierd a
II) A S ÍN T O T A H O R IZ O N T A L V Se dice que la recta horizontal y = 6 es una “ asíntota horizontal” del gráfico de y = f f x ) si:
6 = L im f f x )
6 = Lim f f x )
;
X
I I I ) A S Í N T O T A O B L ÍC U A A ) Si L i m
f(x)
JT-M D
X
= m , y L i m \ f ( x ) - m x\ = b X
— KO
Entonces direm os que la recta L : y = rox + 6 es una asíntota oblicua derecha d e la gráfica de f .
H allar las asín totas verticales de la gráfica de la función : f f x ) =
Y i
. ------xz -4 x + 3
R E S O L U C IÓ N :
Sf = m x + 6
* C om o : f f x ) =
fx-l)fx-3 )
* Luego : L im
Asíntota Oblicua Derecha
x-+r x
4x
-4 x + 3
T. 4x = oo y L i m — s--------------- s —00
x -> t x
~4x + 3
¡ A
T
Vi2*i \ 10 *S \
v
* Así la recta x = 1 es una asíntota vertical superior izq u ierd a e in fe r io r d e re ch a a la g r á fic a de f . También: T. 4x T. 4x L im — --------------= -oo y L i m —5---------------- 00 x^s~ x ~ 4 x + 3 x-+3 * x - 4 x + 3
XCIV.LOPEDIA 8 0 /8 ]
•A S ÍN T O T A S O B L IC U A S : Cuando x —> 00:
= L /m
m = L im X —>cc
X->co
X
* a s í , la recta x = 3 es una asíntota vertical inferior izquierda y superior derecha de la gráfica de f .
X
= y [x 2 = L im
* En el ejem plo se puede verificar que:
= L im
I AT
2 6 = L im [ /Y x ) - x ] = L im
x-*oo
X~*C0
X-*
_ _.
—X
.T T 2 ^
- x s x 2 - 1
= L im
77*17
[xB- xyjX2 - l){x2 + xjX2 - l)
X-*tC
! ^
_T •_
¡ { x
2+ x y f^ T l)
x4- x 2(x2 - l ) 77^
—
( * 2+ *77*77)
= L ito X-+00
Sea f la función definida p or f í x ) =
X = VX
V x2 -2 (x 2 + x V x 2 w
x x -1
= L im X— *00
Determ inar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la gráfica de f y trácela .
^2 D f = ( - 00, - J ) u (1 ; 00)
;
•A S IN T O T A S V E R T IC A L E S í x2
L im f í x ) = L im - r ¿ . jt— »-T
= 00
la gráfica de f . * Cuando x —> - « o . m = L im í í —t = X—► —cc
X
x
x = -J es una asíntota vertical de la gráfica de f .
_. = - L im
= L im — .. .
x sx 2-1
* 2
= 00 .■ ■ 4 (X + 1 ) ( X - 1 )
= - L im
=> * = 2 es una asíntota vertical de la gráfica de f. * A S ÍN T O T A S
T T 2^
1 2 ■- = 0 x 4 = 0 2
-» La recta y = x es un asíntota oblicua derecha de
f(x) =
*-> /♦
x
) '
6=0
R E S O L U C IÓ N :
L im f f x ) = L i m
77*^ 7’
= 2 => m = i
—Lim
tíx ) = 0 = ^ i r n fíx ) Asf la recta y = 0, es una
asíntota horizontal a la izquierda y a la derecha de la gráfica d e f , con esta in fo r m a c ió n a d icio n a l p od em os tr a z a r la g r á fic a d e f d e u n a m a n era aproxim ada.
X-»oC
77*^
-
V*2 - 2 = -2
— — Lim
Vx
; - x = 4 J
-2
H O R IZ O N T A L E S :
2-
=> m = -2 x->±
=
.
= L im x-»±*> « t e 2 __ ^ *-+±® V x * - 1
L im f ( x ) = L i m
2
= 00
6
= L i m [ f Y x 7 - f - 2 ) x ] = L im [/Y x 7 + x ]
+x = L im 3-4+0 1 7 7 ^ 7
= L im
TT2 ^
x2 * P or lo tanto, n o existe asíntola horizontal para la gráfica de f .
r
=
( * * + x 6x 2 - l ) { x 2 - x -J x 2 - i )
TT^TL 2 - *77*17)
Q
i»»» IBB
x 4 - x 2( x * - I)
bJ m í t 'í c s )
* C om o el gráfico de f no está interrum pido en x 0 decim os que f í x ) es continua de x 0 . N ota que en este caso se cum ple que : L i m f í x ) = L = f í x 0 ) • El gráfico de h está interrum pido en x 0 , luego h ( x ) no es continua en x ñ. N ota que existe L im h (x ) , *-**o pero se tiene que L i m h ( x ) * h ( x 0 ) . *->*o
=>6 = 0 • La recta y = - x es un asíntota oblicua izquierda de la gráfica de f .
D om g El gráfico de g e 6tá interrum pido en x 0 , luego g ( x ) n o es continua en x 0 . N ota que no existe L i m g ( x ) X -+ X 0
y p or lo tanto L i m g ( x ) * g ( x 0) . X -* X Q
L o s g r á fic o s a n t e r io r e s n o s d a n la id e a de continuidad en un pu n to , la cual pasam os a definir
C O N T IN U ID A D E N U N P U N T O (C O N T IN U ID A D P U N T U A L ) La n oción de fu n ció n co n tin u a tien e n atu raleza global, al m enos intuitivam ente , al decirse que una función definida sobre un intervalo es continua si y sólo si la gráfica de una fun ción se puede dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel . Sin em bargo , la n oción de fu n ció n con tin u a tien e naturaleza local, es decir, es relativa al comportamiento de la función en un entorno abierto de un punto. Así pues , se dice que una función f es continua en un
Una función es continua en el punto x = x 0 de su d o m in io , si y s ó lo si
J
L i m f f x ) = f f x 0 ) . E sta
x->xo
d e fin ic ió n n o s in d ic a q u e u n a fu n c ió n / será con tin u a en el p u n to x = x 0 d e 6U d om in io , si se sa tisfa cen sim u ltá n ea m en te las tres con d icion es siguientes : I ) f í x t ) debe estar definida (es decir f í x j existe)
punto x 0 e D o m / , si y sólo si existe el límite de la función f en ese punto x Qy su valor es f í x j , En las conversaciones de la vida diaria , la palabra c o n tin u id a d es e n te n d id a con el s ig n ific a d o de ininterrumpido. Así decim os que u n trazo continuo es aquel que se realiza sin interrupciones Veamos cóm o esto es aplicado al estudio de las funciones :
I I I ) L i m f í x ) y f í X f ) deben tener el m ism o valor
x-*xo
(es decir, L i m f í x ) = f ( x 0) ) . x->xo
O B S E R VA C I Ó N : / n o es continua en un punto x 0 si n o se cum ple al m enos una de las condiciones anteriores , y en tal caso decim os que / es discontinua en el punto x 0 .
C O N T IN U ID A D D E
U N IN T E R V A L O
Se dice q u e u n a fu n ció n f í x ) es con tin u a en un intervalo abierto / , si / es continua en cada punto x 0 del intervalo I.
m ro B o i EJEM PLO
1:
* m
Se f l x ) = * -+ * x -1
2 ,D o m f
R -{l)
y f(x) = 2
XCICLOPEDiA 2012] = s
* L im f l x ) = L i m ( 2 x - 1 ) = 5 x -+ 3
cuando x = l . A nalicem os la continuidad de f en el punto x 0= l . R E S O L U C IÓ N
x -* 3
x -* 9
♦ Luego f l x ) es continua en x 0 = 3 . E JE M PLO
:
Graficando la fun ción f ( x ) — -------^fe7+ ^ = x + 2 x -1
* L im f l x ) = f(3 ) = 5
¿E s f l x ) = -
4:
* - 2x + l
, con tin u a en x ñ= 1 7
x -1
R E S O L U C IÓ N x 0= l e D om f ;
: f l l ) , luego
L im f(x )= 0 ;
f
es
X-+1
discontinua en x 0= l . O B S E R VA C I Ó N :
E sta d is c o n tin u id a d p u e d e e v ita r s e , p ara e llo redefinim os la función f así : x flx ) = * Con D o m f : R - { / }
y
=2
II) L i m f ( x )
X~>1
= L im (x + 2) = 3 x -* l
üf í L i m f l x ) * f ( l )
x->¡
0
;
x = l
Esta discontinuidad se llam a rem ovible .
P R O P IE D A D E S
í
I ) Si f y g so n co n tin u a s en x = x 0 , en ton ces tam bién lo son f ± g : f * g ; c f ; f f g (con g f x J t O ,
♦ Luego f í x ) no es continua en x 0 = 1 . EJEM PLO 2
x * l
x -1
/ ( * ; ) = 2 , cuando x = l
♦Aplicando los criterios de continuidad en x 0= l .
I) f l i )
- 2x + 1
ceR )
:
x 0e D om f = [ a ;6 ] A ) L im f ( x ) = f ( x 0)
x 0 e D om f, f(x 0) B ) Lim f ( x ) = f ( x 0) X -* X n
I I ) Todas las fu n cion es polin óm icas , racionales, raíz , n - ésim a , trigonom étricas , exponenciales y logarítm icas son continuas en su dom inio . I I I ) Si g es continua en x 0 y f e s continua en g ( x j , entonces ( f o g ) ( x ) es continua en x 0 ; es decir :
•
Y
Si L im g ( x ) = b y si f e s continua en b , entonces: jr-tjrf
fl*)o
Lim f l g ( x ) ) = flb ) = f ( Lim g (x )\ *-+*o
a
Xo
Xi Xo Xg
b
•X
♦ En am bos casos f es continua en el punto x 0. EJEM PLO
3:
Sea:
2x f(x) =
-7 x + 3
; si x * 3
x - 3 5
O B S E R V A C IÓ N
) :
'
En la definición dada de continuidad puntual se ha asu m ido q u e x 0 es un p u n to de acu m u lación del dom inio , ya que si n o lo fuese , entonces diríam os q u e f es co n tin u a en x Q y n o h a b ría n ada que an aliza r , tal co m o se m u estra en los siguien tes gráficos .
; si x = 3
n
Analizar la continuidad d e f en el punto x 0 = 3 R E S O L U C IÓ N
:
♦ La función puede escribirse com o :
f(x)
2 x - 1 ; si x * 3 5
; si x - 3
♦ Aplicando los criterios de continuidad en x 0 = 3
a
a
♦ Tenem os que x 0 = b no es punto de acum ulación del dom inio d e / , luego f es continua en x 0 = b .
[ E O /r m
V K 5
IP M0S1 PBgt
RM7W*tÑlÍ&
• La función f tiene dom inio { a ; 6 ; c ; d } . N inguno de estos puntos es u n pu n to de a cu m u la ción del dominio. Luego f e s continua en cada u n o de ellos .
* La función f sería continua si redefinimos f en x 0=2. * ¿C óm o redefinim os f en x 0 = 21
• En cambio si x 0 es un punto de acum ulación del dominio de f , para saber si es continua o no en dicho p u n to, sería necesario un análisis del caso . • Reafirmamos que en todo lo que reste de este libro, trabajaremos únicamente con puntos de acum ulación. D E F IN IC IÓ N
:
Basta con f ( 2 ) = 3 , donde 3 = L im f í x ) x -* 2
* La “ nueva” fun ción f , tiene la form a : \ fíx );x *2 fíx) = \ [3 ;x =2 * T am bién decim os q u e x 0 = 2 es un p u n to de discontinuidad rem ovible o evitable. Y
• Se dice que f es continua en Ja ; b [ a D o m f , si y sólo si es continua para cada x 0e j a ; b [ . • Se dice que f es continua en [ a ; b ] c D o m f , si y sólo si:
i
X
1
m
UD
-1
• f es continua para cada x 0e j a ; b [
* / es discontinua en x 0 = 0 + Lim fíx) = fía)
:
* N o se puede redefinir f en x 0 = 0 , de m odo que sea continua .
* ¿P or qué n o se puede redefinir f e n x 0 = 0?
•Lim fíx) = fíb) s-+b~
^
P U N T O S D E D I S C O N T IN U ID A D A c o n t in u a c ió n e stu d ia re in 'o & .'lo s p u n t o s de discontinuidad qu e se p resentan , a p artir de los siguientes gráficos :
N o se puede , ya que n o existe L i m f í x ) * En este caso se dice que x 0 = 0 es un punto de discontinuidad escencial.
T IP O S D E
D IS C O N T IN U ID A D
I ) D ISC O N T IN U ID A D E V IT A B L E í D irem os q u e la fu n c ió n r e a l de v a ria b le real f : JP t ie n e u n a d is c o n t in u id a d e v it a b le o rem ovible en el punto x = x 0 bí I ) Existe el núm ero L i m f í x ) * -* X
II) x 0 * D o m f o
q
b ien x 0 e D o m f se
tien e q u e
L i m f í x ) * f í x o ) en este caso definim os la función:
0 • x 0= 2 lo llam arem os REMOVIBLE.
f jy
\
•
; si x * x 0
fjx)
p u n t o d e d is c o n t in u id a d
F (x ) =
L im f í x ) ; s i x = x 0 X -+ X 0
• La fu n ció n f sería co n tin u a si d e fin im o s f en x„= 2
Y
• ¿Cóm o definim os f en x 0 = 2 ? Observa que basta hacer f í 2 ) = 3 , donde 3 = Lim fíx ) -X
Iiogal
[y%. m.
XCICLOPÍCDIA 2U1¿\
U ) D IS C E N U N E ID A D N O E V IT A B L E o ir r e j io v ib e e :
1 ) D IS C O N T IN U ID A D D E T R IM E R A E S P E C IE : D irem os q u e f f x ) tie n e u n a d is c o n tin u id a d de p rim era e s p e c ie si e x is t e lo s lím ite s la te r a le s L im f f x ) y L im f f x ) finitos y diferentes . ' + 0 0
EJEM PLO
3
:
8 ) D IS C O N T IN U ID A D D E S E G U N D A E S P E C IE :
. . . [x - 3 ,x * 2 S e a :f(x )-_ l x = 2
Diremos que la función f f x ) tiene una discontinuidad de segunda e sp e cie e n el p u n to x 0, si n o existe
R E S O L U C IÓ N
l i m f f x ) si u n o de los lím ites laterales es ± a o . ro
D E F IN IC IÓ N Z
y
L i m f f x ) * L im f f x ) .
*->x'0
x-+x¡
:
* A nalizarem os la discontinuidad en el punto * =2 I) f(2 ) = -2
Existe
I I ) 3 L i m f ( * ) <+ L i m f ( * ) = L i m f ( * ) x -* 2
Un punto x 0 , se llam a p u s t o d e d is c o n tin u id a d e s e n c ia l si se cum ple q u e : x 0e D om f
|
x -> 2 +
x -* 2 ~
L i m f ( * ) <=> L i m f x - 3 ) = 2 - 3 = - l x -* 2 +
x~*2*
L im f ( x ) o x -* 2 ~
L i m f x - 3 ) = 2 - 3 = -1 x -* 2 ~
- > 3 L i m f ( x ) = -2 x~*2
O B S E R V A C IO N
:
Si la discontinuidad es escencial , el gráfico inicial no se puede correg ir de m od o que la fu n ción sea continua . EJEM PLO
1
u i ) L im f f x ) = f ( 2 ) = - 1 x -*2 EJEM PLO
4 : x 3 - 2x ¿ - 1 1 + 12
f(x) =
:
x 2-5 x + 4
Tenemos que x c = 3 es un punto de discontinuidad rem ovible de la fu n ción :
2 x-1 ;x±3 ffx ) =
7
;x =3
ya que al graficar ten em os que la discontinuidad “ se corrige” definiendo f ( 3 ) = 5 .
2x - l
; x *3
5
;x =3
ffx ) =
R E S O L U C IÓ N
:
Prim eram ente sim plificam os : /(* ) =
x 3 - 2x 2 - 1 1 + 12
(* - 4 ) { x - í ) ( x + 3)
x*6 - 5 x + 4
( x - 4 ) ( x - 1)
-> f ( x ) = x + 3 ; * * 1 ; 4 • L u e g o la fu n c ió n f f x ) t ie n e p u n to s de discontinuidad evitable en los puntos x = l t x = 4 ahora definirem os la fun ción de tal m anera que sea continua en todo * . L im f(x )= L im fx + 3) = 1 + 3 = 4 x-*I *-** L im f ( x ) = L i m f x + 3 ) = 4 + 3 = 7 x -+ 4
x-+4
• E ntonces : x + 3; p a ra x * l ; 4
/(* ) = EJEM PLO
2
:
* Tenemos que x 0 = 3 es un punto de discontinuidad esencial de la fun ción . 2 x -3 ,x í3 . « n 9 ya que com o se observa ésta x + l,x > 3 j m %
no puede ser corregida .
4
: para x = 2
7
; para x = 4
• P or lo tanto f f x ) es continua V * E JE M PLO
5: H ( * ) = sen
í
3x3 - 2
\ x* + 4 )
R E S O L U C IÓ N
:
TBBI to s a O B I ♦Sea f ( x ) = s e n x ; g ( x ) =
3x3 - 2
; en donde g ( x )
x 2+4 es continua V x e R y f e s continua en todo g ( x ) :
para x e R . Luego : £ f ( * ) = f ( g ( x ) ) = se/i
♦A dem ás f ( l ) = 0 ♦ Luego , f es continua en x 0 = J por la derecha . Por tanto , f es continua V x 0 > 1 EJEM PLO
3xs - 2 ' \ x
+4 J
es
la
Dada : f ( x ) =
Se d ice q u e la fu n c ió n f ( x ) es c o n tin u a e n un intervalo cerrado [ a ; b ] , si se cum ple : / ) f ( x ) está definida en todo punto x e [ a ; 6 ]
¿ f e s continua en (0 ; 2) ? R E S O L U C IÓ N
: -1; 0 5 x < 2
/(* ) =
x = 1
4 ;
♦ Si x 0 e (0 ; 2 ), entonces : L i m f ( x ) = L i m ( - l ) = -2 = f ( x o)
I I ) f ( x ) es continua en todo punto x del intervalo
abierto (a,* b ) es decir :
5x<2
; x = 2
4
C O N T IN U ID A D D E UNA F U N C IÓ N E N UN I N T E R V A L O C E R R A D O
L i m f ( x ) = f ( x 0)
:
x -2 ;0 x-1,
función
compuesta y es continua V x e R -
X ~*X q
X -* X
q
♦ Luego , f es continua en (0 ; 2) ♦ Adem ás :
V xe(a ;b)
x~*x0
a
III) f ( x ) es continua por la derecha en el extrem o a,
\L i m f ( x ) = L i m ( - l ) = - 1 = f ( 0 ) J x >0>
x -+ 0 +
—» f es continua por la derecha de x 0 = 2
es d e c ir : L i m f ( x ) = f ( a )
x~*a
di Lim f ( x ) = L im (-Í ) = - 1 * 4 = f ( í ) ' x -> r x~*r
IV ) f ( x ) es continua por la izquierda en el extrem o
-> f e s continua por la izquierda de x 0 = 2
Luego , f es continua en [0 ; l )
6 , es decir : L i m f ( x ) = f ( b )
*
2
x-+b
♦ Si redefinim os :
1- i ; * Es d e c ir f ( x )
X = 1
= - 1 , V * e [ 0 ; l ] . L u e g o , f es
continua en [0 ; 1 ] o
~ X
O B S E R VA C I O N E S :
A P L IC A C IO N E S D E L A S F U N C IO N E S C O N T IN U A S \
♦ f ( x ) es continua en el intervalo [ a ; b j si es continua V x e [ a ; 6 ] y, adem ás, es continua por la derecha
en el punto “ a ” y por la izquierda en el punto “ b ” ♦ Del m ism o m odo se defin e la con tin u idad de la fu n ció n en e l in te r v a lo s e m ia b ie r to ( a ; 6 ] y/o también en \ a ;b ) . Tam bién en los intervalos de la forma: ( a ;+ c o ) ; ( - c o ; b ) ; [ a ; oo) ; ( - o o ; 6 ] ; R = (-o o ;co ) EJEM PLO
1
¿Es f ( x ) = V x - 2
:
Las funciones que son continuas en intervalos tienen p r o p i e d a d e s i n t e r e s a n t e s q u e la s h a c e n p articu larm en te útiles e n m a te m á tica . E n tre estas te n e m o s el te o r e m a d e l c e r o q u e es d e e n o rm e utilidad en el cálcu lo d e las solu cion es de ecuaciones p o lin ó m ic a s . V eam os e s t o :
t)T E O R E M A IN T E R M E D IO
D E
V A LO R
Z
S e a f c o n tin u a e n el in te r v a lo c e r r a d o [ a ; b ] tal continua en x Q = 11
q u e f í a ) * f í b ) . S i k es u n n ú m e r o c o m p re n d id o
x 0 = 1 e D o m f = [J;+a>)
e n tr e f í a ) y f í b ) , e n to n c e s e x is te al m e n o s u n
L i m f ( x ) = L i m -Jx - 1 = 0
número c e ] a ; 6 [ tal que fíc )= k .
x-*l+
NCMCLOPEDIA 2012} IN T E H E H E T A C IÓ X G E O M É T R IC A
IN T E R P R E T A C IÓ N G E O M É T R IC A
X * Para ¿ e p
tal que f ( a ) < k < f í b ) , existe un
c g ]a ; 6 [ , donde f í e ) = k .
* Tenem os que f í b ) < 0 < f í a ) , entonces existen c ¡ y c 3 p e r t e n e c ie n t e s a l in t e r v a lo ] a ; 6 [ ta l q u e f í c 2)=0 y f í c 3) = 0
•Tenem os f í b ) < k < f í a ) entonces e x i s t e n c ,, c 2 >c 3 y ° 4 e ]a »
^
9ue
= ^
* En este caso f í a ) < 0 < f í b ) , entonces existen c 2 en ]a ; 6 [ tal que f í c 2) = 0
f í a ) x f ( b ) < 0 , en ton ces la con clu sión , «existe al
• Si en este teorem a deja de cum plirse la hipótesis de que f es c o n tin u a en [ a ; b ] , e n to n c e s la
m enos un núm ero c e tal q u e f í c ) = Q » no se cu m p le n e ce s a r ia m e n te . E n e ste g r á fic o n o se cum ple.
conclusión, «existe al m enos u n c e]a;fi( tal que :
E JE M PLO
f í c ) = 6 » n o necesariam ente se cum ple .
En el gráfico , para 6 , existe c 2 tal que : f í c s) = k 3 ; pero para k 2 no existe c alguna. El sig u ien te teorem a e s fu n d a m en ta l p a r a en con tra r las raíces d e u n a ecu a ció n .
II) TEOREMA W E IE R S T R A S & CERO)
DE BOLZANO ( T E OR E M A DEL
Si f e s continua en [ a ; b ] y si f í a ) x f í b ) < 0 , entonces existe al m eno 6 un núm ero c e ] « ; 6 [ tal que f í c )=0
1:
Resolver la ecuación ; x 4 + x 3- 13x2 - x + 12 = 0 R E S O L U C IÓ N
:
* Sea f í x ) = x 4 + x s - 1 3 x 2 - x + 1 2 = 0 una función polinom ial , la cual es continua en todo jr . * Para a p lica r e l te o re m a d el ce ro n e ce sita m o s co n stru ir in te rv a lo s de la fo rm a [ a ; b ] tal que f ( a ) x f ( b ) < 0. * C om o f í O) = 1 2 > 0 y f í 2 ) = - 1 8 < 0 , tenem os q u e f ( 0 ) f ( 2 ) < 0 . L u eg o d e cim o s q u e ex iste un núm ero r e JO; 2 [ tal que f í r ) = 0
fFflWmW.9 fff7ITYO^
JBHt 1055 p^jEgr
♦Teniendo presente que r & J 0 ; 2 f , elegim os r = l para hacer la prueba
II H
♦ A plicando lo anterior, ten em os q u e las posibles raíces racionales son los divisores de 1 2 ; esto es ±1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 4 ; ± 6 ; ± 12 ■
-i
x =l i
1
2
9
-2
-1
i
9
9
7/2
18
18
7
15/2
18
9
-2 -1
i
6
5
1
18 15
3
[o
12 x = 1/3
-11 -12
= > x = l e* un cero. 1 2 -11 -12 ]0 Luegoun factor es ( x - 1 ) ♦ El polinom io queda expresado com o : f f x ) = x 4+ x 3- 1 3 x 2- x + 1 2 = f x - l ) ( x s + 2 x %- l l x - 1 2 )
♦ Ahora trabajem os con f ¡ f x ) = x s + 2x s- l l x - 1 2 : ♦ C om o
18
♦ H aciendo ahora la prueba con r = 1/3
♦ Aplicando el m étodo de R ufíini se tiene : 1 1 -1 3
T ¿ íffT fJ .v )
f ¡ f 0) = - 1 2 O.
y fjf-2)= 10,
L u e g o ^ x - 1^ es un fa c to r
♦ El polinom io queda expresado : ffx ) = 1 8 x s + 9 x 2 - 2 x - l = [ x - ^ y i 8 x 2+ 1 5 x + 3 )
en to n ce s ♦ L u eg o : f(x )= (3 x -I)(6 x * + 5 x + l)= (3 x - l)(2 x + l)( 3 x + l)
Luego existe un núm ero r e l - 2 ; 0[/f 1 f r ) = 0
♦ E ntonces = f ( x ) = ( 3 x - l ) f 2 x + l ) f 3 x + l ) = O
W X ••TTp X 3
♦ Aplicando Ruffini a f t f x ) : 1 2
-1 1
i
El conjunto solución es [3 ’
*-* i
*>»< i ->
1 II
i
-1 2
-1 2
\o
=> x = -1 es un cero.
EJEM PLO
"T | X —*“TT 2 3 2 9 3)
3:
Luego un fa c to r es (x + 1) El polinom io original queda expresado com o :
♦ D em ostrar que la ecuación x 3- 1 5 x + 1 = 0 tiene tres soluciones en el intervalo [ - 4 ; 4 ]
ffx) = x 4+ xs-13xt-x + 1 2 = (x-1 )(x 3+2xí- l lx-12 )
♦ Por otro lado ffO ) = 1 > 0 y f f l ) = - 1 3 < 0, entonces
= f x - l ) f x + l ) f x * + x - 12)
f f O ) * f t t ) < o.
= (x -l)(x + l)(x + 4 )fx -3 )
♦ Luego existe un núm ero e JO; 1 [ tal que f f x ¡ ) = 0 . E ntonces x t es una solución en : JO ; 1 [ c 1 - 4 ; 4J.
♦ Entonces f f x )=0
♦ Tam bién f ( 3 ) = - ! 7 < 0 y f f 4 ) = 5 > 0 . Luego existe un núm ero x 2 e J 3 ; 4 [ tal que f f r 2) = 0 . E ntonces x t es una solución en J3; 4 [ cz l —4 ;4 ]
O B S E R V A C IÓ N
♦ Por últim o, f f - 3 ) = 1 9 > 0 y f f - 4 ) = - 3 < 0 .
x = l , x = - l , x = -4 , x = 3
:
Hay un teorem a q u e nos indica que dada la ecuación polinomial : a Bx " + a ^ j x ""1 +
+a¡x + a0= O
Sus posibles raíce 6 racionales son de la form a r= p / q , donde p es un divisor de a 0 y q un divisor de a n . . EJEM PLO
Luego existe un núm ero x 3 e / —4 ; - 3 / tal que f f r s) = 0 . E ntonces x s es una solu ción en J -4 ;- 3 [ c J-4;4J ♦ Lo anterior prueba que x s- 1 5 x + l = 0 tiene tres soluciones en [ - 4 ; 4J. N otése que estas soluciones son núm eros irracionales.
E J E R C IC IO S
2:
Resolver la ecuación 1 8 x 3 + 9 x 2 - 2 x - 1 = 0 R E S O L U C IÓ N
:
@ ) Calcula los siguientes lím ites : x —4 A ) L im *~*4 x - 4
nx t : TZ B) L i m j x x -* 4
m 18x + 2 C) L i m --------x->2 x -3
♦ Sea f f x ) = 1 8 x 3 + 9 x 2 - 2 x - 1 una fu n ción polinomial, la cual es continua en R . ♦Las p osib les ra íces ra cio n a le s s o n : ± 1 , ± 1 /2, ± 1 ¡ 3 , ± 1 / 6 , ±1/ 9,±1/ 18 com o f f 0 ) = - l < 0 y f ( l ) = 2 4 > 0 entonces f f 0 ) x f ( l ) < O. Luego existe un núm ero r e J O ; l [ , estas s o n : r = l / 2 ; 1 / 3 ; 1 / 6 ; 1/9 ; 1/18. ♦ Haciendo la prueba con r = l / 2 aplicando R u ffin i:
D j L i m ( 3 x + 2 ) E ) L im * ~ * . x-*0 X-¥l 2 + X
F) U m ~ ~ X-+1 x - 1
Calcular los siguientes lím ites : A )U m (x‘ -7 ) ( 2 x - l ) x-+2
B) U m ( 3 x s - 2 ) ( 2 x - 1 ) *-»-/
C )U m (3 x 2 - 4 x ) ( 9 x + l ) D J U m (-2 x * - 2 x + l ) ( 2 x + l) x - .7
.xciCLorvniA sois] (?í^)Sea f í x ) una función definida en [O ; 8J. Calcular
©
C onfecciona una tabla de valores y calcula el
lím ite, en el punto x 0 = 3 , de la fun ción : A) L im fix )
f ( x ) = ^ í - — - . A con tin uación calcular el m ism o x-3 lím ite , pero analíticam ente .
B) L i m f i x )
x-+3
C )U m f(x)
( Q ) C onfecciona una tabla de valores y calcula el
x -+ 7
lím ite , cuando x 0=0 , de la fun ción : f { x ) = — Sean: IC
{
^
0 *
3
.H alla L i m g i x ) , si existe , x = 2 x ->2
fx2 + I , x <
B) h i x ) =
C onfecciona una tabla de valores y calcula el lím ite , cuando x-»+qo , de la función : f { x ) = — C on el gráfico siguiente calcula cada uno de
ñ 5
i , Halla L i m h i x ) , si existe ,. X x = 2 x -*2 p x -l,x > 2
los límites q u e se indican. ri
a - x + 1 , x < 2 ^ j j aj i a r ( a j p a r a q u e
C> f ( x ) =
- +a -l.x > 2
A ) L im f í x )
e x is ta L im f(x )
x -> -3 +
2 x~+2 Calcula los siguientes lím ites : A ) L im
1
x ~+8 X — 3 x +3
D ) L im x-*4 x 9 - 1 6
____ 3 B ) L im 2 ( x + 2)2 5x
E ) L im - 2* 3 x + 6
C ) L im
B ) L im f í x ) X -* -I
3 -x
*~>3 { x - 3 )2 F) L im t-*o
( 1
C ) L im f í x ) X->1 D ) L im f í x )
-7
i® 5
@ ) Indica la verdad o falsedad de :
-3 -2
-I
En el siguiente gráfico , calcula cada uno de los límites que se indican :
A ) Si D o m f = R - { x 0 } } ,en ton ces existe L i m f i x ) *-**o necesariamente .
A) L im fix)
fiJ S iD o m f = R , entonces siem pre existe U m f i x )
B) Lim f i x )
Justifica la respuesta en cada caso .
C) U m f i x )
X -H -a o
x -> 0 +
Indica la verdad o falsedad de : A) Si f í x J = L , entonces L i m f i x ) = L x~+xo
B jS i f í x J = L , entonces existe L i m f i x ) Justifica tu respuesta en cada caso.
Yk
D) U m f i x )
X
x -> 0 ~
E) U m f (x ) x -+ 0
En el siguien te gráfico , calcula cada uno de
Indica la verdad o falsedad de las siguientes
A) Lim f
proposiciones :
x~*3
A) L im (x * + 2 x - 1) = 7
x-+S
C) L im ($ x - $ x + 2 ) = i 3+0 (^jj))Se& f ( x ) =
(x )
B ) U m ( x 3 + 3x* - x ) = 3
3+5
D ) Lim ( x 4- x 2 + 2 ) = +
. Indica la verdad o falsedad de:
B) Lim f
(x )
x -* 4
C) Lim f
(x )
X -+ 1
D) Lim f
(x )
x -+ 4 ,5
A) Cuando x + -feo, las imágenes f í x ) se aproximan a 1 B) Cuando x ~+ -
CJ Cuando x - » 3 +, f í x ) ->+<0 D ) Cuando x - > 3 ~ , f í x ) -» -00
En el siguiente gráfico , calcula cada uno de los lím ites que se indican.
ip g y ffi A ) L im f( x ) B ) L im f í x )
*-*9
x~>2~
Dada la función f , analiza la continuidad en
Xq
C ) U m f í x ) D ) L im f í x ) x -* 2 *
* -* *
=
1.
x + 2
fíx )»
3 - x 2; si x > 1
B) U m f í x ) F ) U m f í x )
x-*—2
;a ix < l
x-*8
o i2 1
G) U m fíx ) H ) U m fíx ) 3+-00
Analiza la continuidad de la siguiente función en x 0= 3 : f (x )=
- x 2 + 4 x - 2 ; si x < 3 4 - x
Sea:
( Q ) Calcula los siguientes lím ites :
3 - ax2 ; x < 1 fíx ) =
A) L i m i x * + 2 x - l ) 3+2
B) L i m ( x 3 + 3 x 2 - x )
C) L i m ( 6 x - 6 x + 2 )
D)
x~*0
; si x > 3
2
+x
; x
£ 2
D em uestra cóm o debes elegir el valor de **a99 para que la función f sea continua de x 0 = 2 .
L im ix 4 - x 2 + 2 ) X -f + x
Calcula los siguientes lím ites laterales : Dada la función : A)U m
x* + 2
B) Lim
x-+2+ x - 6
x -> 2 '
x2-l
D )L im s~+r x - 1
E )L im x-t-3
X2 - 1 C )L im --------x-+l+ x - 1
x2+2 X -2 X2 + X - 6
X+3
1 * 1 ;• x * 0 fíx ) = 0
F ) L im x-+0*
¿E s con tin u a o d isco n tin u a en x Q = 0 ? Justifica tu respuesta efectuando el gráfico de la función .
(Í ^ C a lc u la los siguientes lím ites : A) L i m x-*e
B) L im
x 2-3 6 x -6 ( x + 2)2 - 3
x -+ 2
C ) L im j +0
; x = 0
J 2 ^ x -J 2
/í
j . X2 + 1 D} .J S x 3 + 2 x K l
4
Dada la función f í x ) = x - |x|, analiza si es continua o discontinua en su dom in io . Justifica tu respuesta efectuando el gráfico de la función .
La fu n ción : f f x ) =
Indica la verdad o falsedad d e la afirm ación: Una función f puede ser continua en p = x fl y no estar definida en dicho punto .. « --
n o está definida en
x -3 x 0= 3 . Trata de definirla de m odo que sea continua en x 0 = 3 . ¿Q ué clase de discontinuidad hay en este punto?
^ I ) Indica la verdad o falsedad de la proposición: Existe una función f tal que L i m f ( x ) = f ( x 0 )p a ra X -+ X Q
todo x 0 de su dom inio . Justifica tu respuesta .
Analiza la continuidad de la función f en 3 - x 2 ; x < 2
* 0= 2 . fíx ) =
Indica la verdad o falsedad de :
3
; x = 2
-1
; x > 2
. í3 ; x ¿ 4 A) f vx) = « , no es con tin u a en x 0 » 4 (x ; x > 4
Trata de redefinirla para que sea continua en x 0= 2 De ser a s í , ¿cóm o lo harías?.
x *x £ 4 * ,n o es con tin u a en x 0 = 4 3 ; x> 4
Halla las raíces de las siguientes ecuaciones
{
/ . . . ÍS + x ; x ¿ 4 C) i f + g )\ x ) = { , es continua en x 0 = 4 [x + 3 ; x > 4
a ) x 3 + 4x2 - l l x - 3 0 — 0 b)x3 + x* - 26x + 24 = 0
Indica la verdad o falsedad de : La función
definida
por f ( x ) = ------
X
•
if
se puede
redefinir en x = 3 , de m odo que sea continua en x = 3 Justifica tu respuesta .
c)6x4 + 5x3 - 14x2 + x + 2 = 0 d)36xs + 72x4 - 13x3 - 26x2 + x + 2 = 0
B I
i o b b IBM
CICLOPE/HA S O I»]
• El binom io : x - ( - 1 ) = x + 1 , debe ser sim plificado para levantar la indeterm inación . • Veamos : PRO BLEM A
r. x3+l ( x + l ) ( x 2 - x + 1) L im —s------ = L im x-*-l x-*-l X 2 - 1 (x + l ) ( x - l )
1
x 2 + ax - 2a2 Calcular : L im X-Kl x *2 - a 2 A) 1
B) 2
(x * a );(a > 0 )
= L im
C) 3
R E S O L U C IÓ N
x2- x + l
( - l f - ( - ! ) +1
x —1
(-1-1
X— +-I
D ) 2 ,5
: PR O B LE M A
* Evaluando :
a2+a2 -2 a 2
r . x2+ a x-2 a ? T. ( x - a ) ( x + 2a) L im =-------=-------= Lim 2 2 x-*a x-*a ( x - a ) ( x + a ) x -a a + 2a
x +a
a + a 99
B ) -2
introducim os una nueva variable :
* Supongam os que : D ) 12
* Se c a n c e la
0
L = L i m C ^ = L i m ( y - 1 ) ( y * + y ‘ + y + 1) = (y ~ l)(y 2 + y + l) y-*i y - 1
o
3 . ..2
(x + l)(x + 7)
RPTA: “ C PR O B LE M A
- L im x -> -i(x + l ) ( x - 2 )
yfl +
Calcular :
X
B) 1
C )2
por - 1 .
* Evaluam os : RPTA: “B
2 jj-I
Lim
99
x9 +1
D ) +¡2
Lim
*'-+i x 2 - 1 C) o :
(-lf +1-0 * Evaluamos : ( - l f - 1 o
D) 2
E )i 3
0 ^ 2 -1
:
+¡1 + 0 + 0 2 - 1 9
■Jl + x + x * - I
x * 0
{4l + x + x 2 + l)
x -> 0
B)-l,5
; x*Q
0 * Racionalizando el denom inador :
3
R E S O L U C IÓ N
x + x~ - 1
x-+0
R E S O L U C IÓ N
2
+ X + X2 + i )
* E fectuando el num erador se tiene : L im x~+0
99
5 :
* En la nueva función equivalente se reem plaza a x ( ~1 ) + 7 ] - 6 [(-1 ) - 2 ] -3
y +y + l
y-*¡
v i
PRO BLEM A
= y2
3 j ..2
( x + 7) denom inador: Efint/r- oT *-> - I (X — 2 )
n J
y
* Luego :
en el n u m e ra d o r y en el
x+1
'
'^ 7 = i
fa cto riza n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r b u s ca n d o cancelar los factores que hacen cero la función . x2- x - 2
v ifc =
es u n a e x p re s ió n in d eterm in a d a , se
x 2+ 8x + 7
J
* Intercam biando lím ites : si x - > l , entonces :
:
, . (-1)2 + 8 (-l) + 7 L i m ----------- s-----------------. ,->.2 ( - l f - (-1 ) - 2
p i
=
E ) 72
• Se reemplaza a x p or - 1 :
Calcular :
:
3fZ = ( 12¡Z)4 - «4
C)0
R E S O L U C IÓ N
L im
E) 7
D) í
c> i
Com ún índice : M .C .M . ( 3 ;4 ) = 1 2 i
2
D eterm in a r: L im x- * - í x 2 - x - 2
* C om o -
A) 1
fo rm a —. P a ra le v a n t a r e s ta in d e te r m in a c ió n
x 2 + 8x + 7
A) 1
3£ c - l Calcular : L im ------
* Veamos que al sustituir x = 1 , el lím ite tom a la
3 R P T A : tfE
PRO BLEM A
:
R E S O L U C IÓ N
é
x + 2a
4
0
0 a2- a 2 * Factorizando el num erador y el denom inador para simplificar el bin om io ( x - a ) ; entonces :
= L im x-*a
9»
RPTA: “B
1+ x + x 2-1
x (V l + X + X* + l)
Lim
x(x +1)
{& + X + X 2 + l)
Ktmw&iPAi
(£ {sim plificando la
fflg S
que hace la indeterm inación}
r . x + 1 L im . ------= x ~>° 4 l + x + x 2 + í
1+ 0
1 . = — *72 + 0 + 0 - 2 2 R PTA: “A
PRO BLEM A
iú s b
ÍW H
mJ m m t m s ñ )
(2x+3)a(3 x -2 )2 ( 2 x + 3 f (3 x - 2 )8 x5 Lim = Lim x -* x x* + 5 / . a
99
6 :
Lim X -+ X
+ 2 H a lla r: L i m 4 L # ~5x + 4 A) 1
B) 1
3 (x - 3 * + 2 ; J
D) 4
C )0
1+
~|
x -4
1+
r . (2 x + 3 f ( 3 x - 2 ) 2 L im ---------------- = 72 x +5
E)-2
R P T A : f,D
R E S O L U C IÓ N * Al sustituir x = 1 , el lím ite tom a la form a oo - oo.
r x+2 L = Lim |_(* - D ( x - 2 )(x - 4) = L im
PR O B LE M A
x-*a
3(x + 2)(x-2) + (x-4)(x - 4)
4 (x -lf
L = L im
4 (x - 1)
-= L im =0 *->/ 3 (x - l ) ( x - 2 )(x - 4 ) x-w 3 (x - 2 )(x - 4) RPTA: “C
PRO BLEM A
99
7 : 2x
4 x - -Ja + V * - a
■7x 2 - a O a
B) &
3(x-l)(x-2)(x —4)
X -+ I
9 :
Calcular :
x - 4 ------ 1 3 (x - 2> r * - 2;J
99
R E S O L U C IÓ N * Evaluando :
D) a
E)
3a
:
+ j a 3 —a 3
-0
3
* D esdoblando con venientem ente :
-3 x + 4
Calcular : L im
X - ►+<»
A) 2
Vx 4 + l
B) 4
D )-l
O 0
R E S O L U C IÓ N
-J x 2 - a 2
■jx2 - a 2 E) 8
:
* Calculando cada lím ite independientem ente .
QO * Evaluando se tiene : — oo
7 * - 7 a , _. {x -a L im - ■ + L im . ■ *->a j x 2 - a 2 ■r'*° 4 x 2 - a 2
* D ividim os el n u m era d or y d en om in a d or p or el término cuyo exponente sea el m ayor de todos los términos .
j • (7 * -7 a )(7 * + 7a) , r. 4x-a = Lim + Lim x ~*a J (x + a ) ( x - a ) ( T í + 7 a ) jx +a jx -a
* Dividir entonces por ftx 3f*
= U m - = = - = = ?-=
2x‘ ~3x + 4
Lim
. **
= L . im — =
2 ^3 + ±
X»
B
1
2 -? -+ ± X X2 = _ L im
2- 3 +± JT+d
f l x
x* _ 2 -0 + 0
Jl + 0
=2
1
j a + a (7 * + 7a )
Va + a
7a
m
a
R E S O L U C IÓ N
:
v
Calcular cada u n o d e los lím ites siguientes :
:
0 36
U ) L im
x- >6- X - 5
D) 72
E) 0
IV) Lim
■ , -3x v 2 ^
ln ) Um x - 5
v ; L im
-4 ■
*-** x ( x - 3 r
4
7^ + 3
7
:
00 * Evaluando se tiene : — oo • Dividiendo el num erador y el denom inador por ux 5,t
R P T A ; "A 91
99
Calcular : Lim *2* + 3? (Sx ’ 2 >* x 8+ 5
B) 32
2
*-** yjx + a
1
I) L i m — L _
Aj 8
é _.
7=\ + L im —r------
ja -a
PR O B LE M A ^^ 1i0 R P T A : "A
8
x -a
yjx-a = L im + Lim x ~*a y/x + a ( 7 * + 7 a ) yjx + a
=2
f r PRO BLEM A
•
x->o v * - a V * + a t V * + V a )
--------
SX4 + 1
2xx - 3 x + 4 L im . ** ■— s L im
t
V7J L im 8 r-*— ( 2 x - 5 r 2 ^
3x + 2 A+ -%•3 ’ ‘i *
4x
V II) L i m x~+r x 2 - 4 x + 3 VIII) L im
4x
etCLoruMUA so te ]
(A Jtr R E S O L U C I Ó N
:
P R O B L E M
* - = L im 4 . L im —O *-+5“ x-*5~
I) L im
X
Í
— = 4 ( -< o ) = -o o
X
A
1 2
:
—l
*x > 2
. H a lla r U m
—5
f(x ) .
x~*2 II) L im —
= L im 4. L im —
x-ktf X —O
x-*B*
1 ;x < 2
= 4 ( a o ) = oo
x 2 + 3 : x *
X-+5* X - 5 Sea
W U I) L im
*-*3 x ( x - 3 ) 2
fíx ) =
. H a lla r L i m f f x ) .
12
= —.00 = 00 *-3 ( x - 3 ) 2 3
= L i m - . L im
X
3
; x = 3
x ~*3
a - 2 x ; x < 1 U I) Si fíx ) =
I V ) L im , 3 x ! 2 = L im 3 x + 2 T - .S + x 3 + x * - 6 x x-> 2+ x ( x + 3 ) ( x - 2 )
= L im _ 3 * l 2 x ->m* x
.
(x + 3)
x -+i
=
+(x - 2 )
—
VI)
X^ T
L im
■ S
-5
( 2 * + 5)*
5
R E S O L
V I /) L i m —j x~*r x
= L im
4 x
*-*r ( x - 3 )
6
= - 0 0
D
*
2
=
2
(e o ) =
1 1
x-k2r
x -> 2 + (x > 2 )
II) En
®
n o e x is te lim f í x ) x~*2
x -k 2 *
este
caso
no
la te r a le s , t e n e m o s :
+ 0 0
c o m o s o n d ife r e n te s ,
L im fíx ) = L im (- 1 ) = 1
*
00
es
n e c e s a r io u s a r lím ite s
L im fíx ) = L i m (x 2 + 3 ) = J 2 . x-k3
x-+9
* L im fíx ) = L im (a - 2 x ) = a - 2
x-*r
(x < ¡)
4x
1
U C I Ó N :
x~*2(x < 2 )
*
*-*r ( x - 3)( x - 1 )
L im
L im f íx )
L im f(x ) = L im (l) = 1
7
= (-2 )(-o o ) =
= L im
*-»r x - 4 x + 3
Sea
)
x -> r ( x - l ) ( x - 3 )
4 x
P R O B L E M A
00
4 x
L im -— 1 — jr-»I" ( x - 1 )
x-+í~ ( x - 3 )
= L *m
L im
= L im
- 4 x + 3
V 7 /I ) L i m
x(-
X~*~2
4x
e x is ta
X -+1
X^ T X + J
, = L im 2
que
x 00 = 00
V ) L i m ——~— zr — L i m — •L i m — ^ - 5 - = x - a- 7 x + 3 -j- 7 X^ * x > § _
X^ T
6 x - a ; x > l
para
i
, h a lla r e l v a lo r d e " a
( x -1 )
= (-2 )(
00
) =
L im f í x ) = L im (6 x - a ) = 6 - a X -+ J +
X -k l*
1x>l) -0 0
* P a r a q u e e x is ta L im f í x ) = L im f í x )
x-*r
:
( x ) la f u n c ió n d e la fig u r a a d ju n t a , q u é p u e d e s
a fir m a r a c e r c a d e lo s s ig u ie n t e s lím ite s :
x-ki*
P R O B L E M A
♦
S e a la fu n c ió n : y
s e d e b e c u m p lir q u e :
1
¿ e d o n c |e : a - 2 = 6 - a = > a = 4
1 3
:
= f (x f;
c u y a g r á fic a e s :
C a lc u la r :
A) lim h (x ) *-»r
B )
A) l i m fíx) X-F-l
U m h (x )
B ) L im ffx ) C)
L im h (x ) x+4
R E S O L U C I Ó N
R E S O L U C I Ó N
:
A ) T enem os : L im h ( x ) = 3 , x-+~Z
:
A ) A n a liz a n d o e n e l p u n to d e a c u m u la c ió n : x
L im h (x ) = 3 . x-*-Z *
I)
L im f í x ) =
= -1
-0 0
C o m o s o n ig u a l e s , d e c im o s q u e e x is te L i m h ( x ) = 3
jp— >*2
B ) L im h (x ) = 5 = L im h ( x ) ; x-+Cr
lu e g o e x is te L im
x-kO*
II) 6
*-*°
(x ) y
L im fíx ) = 0 x -k -l*
III) C om o
L i m f í x ) *■ L i m
fíx )
X -* -l
L im h (x ) = 5
x-+0
* E n to n c e s n o e x is te : L i m f í x )
C ) T enem os : L i m h ( x ) = 2 x -k f
Luego no existe Ldmh(x)
y
L im h (x ) = 4 . X~k4+
•i
B ) A n a liz a n d o e n e l p u n t o d e a c u m u la c ió n : x
I) L im fíx) = 3 x -k s r
II) Lim fíx) = 3 x~>2+
= 2
10SI III) C om o : L i m f l x ) = L im /T x) = 3 x^ sr
¿O
m itios
♦ La gráfica será :
*-* 2 +
♦ E n to n ce s : L i m f l x ) = 3 x -* 3
PRO BLEM A
14
:
Calcular si existe : L im f l x ) ; donde :
x a + 3 ; si x < , l
• f(x) =
PR O B LE M A
x + 1 ; 8 ix > l R E S O L U C IÓ N
Calcular los lím ites laterales en , x = 2 de:
:
IxJ
(x 2 + 2
flx )-
lim f(x ) = L i m ( x 3 + 3 ) = 1 + 3 = 4
x~*r
17:
)
x-+r
/ sí; x < 2
L i m f l x ) = L i m ( x + 1) = 2 + 2 = 2 x-*I*
x> 1 o
* Entonces : / L im f l x )
x -* 3
<=> | x l = 2
X-+1+
X-+1+
X-+J+
I I ) Lím ite lateral por la izquierda : x < 2
x 2
; si x £ 2
8 -2 x
;a ix > 2
L im f l x ) = L i m \fx = \/i = 2 x -+ i*
x~+r
PR O B LE M A
:
L im f l x ) = L im x 2 = 2 2 = 4 x -* 2 ~
l< x < 2
L im f l x ) = L im (x 2 + 2 ) í x ¡ = L im (x 2 + 2 ) = 3
Calcular si existe: L im f l x ) ; donde :
R E S O L U C IÓ N
:
♦ Luego :
15:
/r * j=
R E S O L U C IÓ N
I ) Lím ite lateral por la derecha : x > 1
♦ Com o : L im f l x ) * L im f l x ) x-*r x-+i*
PR O BLEM A
; si: x * 2
x -+ 2 ~
18:
í -x ~a J - 4
Calcular : L i m
XS -4
jr-»2'
L im f l x ) = L im 8 - 2 x = 8 - r 4 = 4 x -* Z +
R E S O L U C IÓ N
x -* 2 +
: 1; Si x 2 e [l; 2 )
♦ Como : U m f l x ) = L i m f l x ) x -> 2 +
x -* r
Si: * e \ l ; 2) => 1 **] =
♦ Entonces : 3 L i m f l x ) = 4
2 ; S i x 3 e \2;3)
x -+ 2
PRO BLEM A
16
Sea la función :
3 ; S i x 3 s [3 ; 4)
:
f x 2 _ g •x > 1
flx ) = 6
Calcular si existe L im f l x ) y trazar la gráfica de la función. x~*t R E S O L U C IÓ N :
♦ Se observa que antes de “ 1 99 y después de M1 ” se observa diferentes reglas de correspondencia p or lo que es necesario calcular los lím ites laterales . L im f l x ) = L i m i x 2 - fi) = 5 x -* Ú '
'
L im f l x ) = L i m ( - x - 4 ) = - 5 x -+ T
e [ l ; >Í2 )
2; Si x
e \j>Í2; >¡3 )
3; S i x
e \>¡3;2)
;x = l
- x - 4 ; x < l
x -* I*
1; S i x
x -+ T
♦ P uesto que los lím ites la tera les ex isten y son iguales entonces : U m f l x ) = - 6 0 jr->J
[ x a1 =
♦ Luego: L im g-—^ = L im x->r x * - 4 x-*r x PR O BLEM A
* = +*> —4
:
19
2x
Calcular : Z,¿OTí | í — [ ) V2 x + 2 ) R E S O L U C IÓ N
:
♦ Vemos que este lím ite tom a la form a j ® : r. 2x —2 2 , Um 2 ÍT Í = 2 = 1
-
]
Iritis l i o s a ] liiS»
* Estos límites se calculan usando la definición de e. • Haciendo 2 x = h x -+ c c , h->
2(1,f + 1
Lim __ =e -2
3+0
I
tan%2
4
x
=6
4 aY d + i)
(yP + xtenx+>Jcot2x )
2 PR O B LE M A
a en \u\ lx
Hallar el lím ite : L im
• D ividiendo num erador y denom inador p or Xa. •en x Y te n x
:
20
T C J C L O P E D iA g o l a ]
+4 -2 )
23
:
C a lcu la r: L i m ( l + a e n x ) 1!x
x -+ 0
R E S O L U C IÓ N
R E S O L U C IÓ N
:
* S e a : V x 2 + 4 - 2 = u -+ x * = u ( u + 4 ) + 4 . S i x
0 ,
:
* Tom a la form a r *>:
¿ + b )h = e
en ton ces: u = 4o* + 4 - 2 = 0
* R ecordando que :
* Luego :
* T ransform ando se tiene : 8en
L = Lim u-+0 u ( u + 4 )
u-*o \
u
9€HX
L i m [ w + a e n x ) M*jr 3+0
A i* + 4 /
* H aciendo s e n x = h com o x -> 0 * Tendrem os :
=m («T j)= í PR O B LE M A
21:
.. -----mnx . -iLim
fcj L im (l + h )h H-+0
x 8 + 1
0.
=
Calcular : L i m — * x -> -i a e n ( l - x )
PR O B LE M A
R E S O L U C IÓ N
Halle las asíntotas de y = J x ~J y luego esboce su g r á fic o . U ' 2
:
* Se tiene que:
. L c
R E S O L U C IÓ N
.
(l + x )(ló x + x * )
L ilT T l
*-*+
24
-
m
"
aen(l-x*)
(l + x ) ( l - x ) ( l - x + x * )
L lf f l
A 1
*-*•*
“
■
(l-x)ten (l-x?)
:
:
* D om inio = (-a y lJ u ( 2 ;-HJo) • A S ÍN T O T A V E R T IC A L ;
L= ^
l ' e n a - x ‘l \i ~ ^ T ~ J={Jl [ - T n ~ J = 2
PR O B LE M A
Evaluar : L im x-+0
22:
-+ x = 2
%¡1 + x a e n x — \ lco s2 x
R E S O L U C IÓ N
+00
es una asíntota vertical derecha .
* A S ÍN T O T A H O R IZ O N T A L :
x tAa n 2 — :
* -* * 1 x - 2
* Evaluando en x = 0 : Vl~+0 - V i _ 0 (indeterm inado) 0 o * Racionalizando el num erador :
L im
=
L im im x-*2 >2*1 x - 2
*PeR
• Es decir no se obtiene un núm ero real , luego no existe asíntota h orizon tal. * A S ÍN T O T A O B L IC U A :
y flT x s e ñ x - y fc o s 2 x
V i + x s e n x + V eos2 x
x3 - l
X tAa n 2 —
V i + x a e n x + > ]co a 2 x
x - 2
x~+0
L i m ------
m = L im
m = Lim
x
x 3-1
= I
Vx 3 - 2 x 2
I + x a e n x - coa 2 x
t a n 2 -— ( V i + a e n x + \ l c o s 2 x ) £
, , 2 a e n 2x + x s e n x L i m --------------■ — ■■ ■
b = Lim 3+4«
(l)x
. . V* - 1 - Xyj x - 2 Um . — —* I » b
*-♦+«
yJX-2
-+ A síntota oblicua derecha sería : y = x + 1 ■-
tan2 —{yjl + senx + yfcoa2x)
* A nálogam ente por la izquierda se encuentra com o asíntota oblicua izquierda a la recta : y = - x - I
H
f m
m
1069B
9
i l y
i i T
E
s
]
-> La recta y = 2 x - l es una asíntota oblicua derecha para la gráfica de f.
♦ Bosquejando el gráfico :
♦Cuando x - > - « = 2
m = L im X -+ -< X >
X
b = L i m f f f x ) - 2 x ) = -1
~ »la r e c ta y = 2 x - l es u n a a s ín t o t a o b lic u a izquierda para la gráfica de f .
X
♦ C om o f es una fu n ción racion al, en ton ces f se puede escribir a s í : 5 0 f f x ) = 2 x - 1 ___ - __, cuando x -> ±oo; x +3 x + 3 ♦ P or lo tan to f f x ) se acerca a la recta y = 2 x - 1 , la cual vien e a ser u n a a sín tota d erech a e izqu ierda de la gráfica d e f .
Sea f la función definida p or : 2x2 + 5x - 8
f(x ) =
x + 3 Determ inar las asíntotas verticales , h orizon tales y oblicuas de la gráfica de f y trácela . R E S O L U C IÓ N
:
. 2x2 + 5x - 8 f f x ) = ----------— ------ ; D f = R - ( - 3 ) x + 3 ♦A S ÍN T O T A S V E R T IC A L E S ; Um ffx) = U m x -* S ~
— -— ~
~8
X + 3
x -+ ~ 3 ~
= Lim { ( 2 x 2 + 5 x - 8 )
x +3
= ( - 5 ) ( -<©) = oo Sea f la función definida por : f f x ) =
— —2x - 8x D eterm ine las asíntotas h orizon ta les, verticales y oblicuas de la gráfica d e / y trácela.
rx/ i r * 2xS+ 5 x - 8 L i m f f x ) = L i m --------------------x->~3*
X -+ -3 *
= Lim { f 2 x * -> -3 +
X + 3
+ 5x
f - 5 ) ( oo) =
-00
R E S O L U C IÓ N
:
x + 3J
[
_> x = - 3 es una asíntota vertical de la gráfica de f ♦ A S ÍN T O T A S H O R IZ O N T A L E S : ♦ A S ÍN T O T A S H O R IZ O N T A L E S : 2 + * - * 2xs + 5 x -8 X —sao L im (x )= L im = L im fx) i 3 x +3 jr-+±ao -+ X
Lim f f x ) = Lim
- , -
X-VX 2 X
—
= Lim ^ 8X 2 J P -+ J C
* Cuando x - + » ,♦ 2 x * + 5 x - 0 _. **Lim ---------------- =Lim x / x + 3) —
6= L im f/ Y x ) » L im (
2x) = U m [
* ~^ 1 « -
*-+* V x + 3 )
*-*• (
1 =o b « -1
(x + 3)
ro=2 j+ i - 2x1
)
O
i - x
Lim f ( x ) = Lim
♦A S ÍN T O T A S O B L IC U A S ; /Y*)
A
x*
-> la gráfica de f no tiene asíntotas horizontales.
r*
-x p = —00
= 00 = L im — * 2 _8_ 2 Xa - 8 x X -> la gráfica de f n o tiene asíntotas horizontales.
, ^
♦ A S ÍN T O T A S V E R T IC A L E S : 1 Lim f f x ) = L i m n * - X n . •L i m — -— = - — (+*>) = -oo x-*-2 * *-*-2* 2 x f X - 2 ) -** x + 2 16
Lim f ( x) = Lim
1 -x
Lim - J — = 2x f x - 2 ) x +2 16
=«
jyiítí
x = - 2 es una asíntota vertical de la gráfica de f . 1 -x4 _ i m_ Lim4- = -J-(-oo) = oo Lim fíx) = L x-*o- 2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) x-.o- x 8 1 -X L im fíx ) = L im m-+Q+ 2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) *-*0+ _
_
t íW — = - —( » ) = - » x-+o+ x 8
x = 0 es una asíntota vertical de la gráfica de f . T. 1 -x 4 L i m ----------------------------*->2“ 2 x ( x + 2 ) ( x - 2 ) 1 -x 4 r . 1 = L i m ___________ L i m x->2~ 2 x ( x + 2 ) x - t i r x - 2
CiCtMPEDIA aoia]
|io«*l
15, . -------- ( - ° ° ) - oo 16
PR O B LE M A
28
: -1
La función f definida p or fíx )=
; ai x = 2
x*+ x-6 _x* + a x + b
; ai x * 2
es continua en x * 2 , calcular : a b R E S O L U C IÓ N
:
* Por definición : f ( 2 ) = l , en x = 2 , entonces : r . L im f(x) = f(2 ) L im x-*2 x-*2
luego, si f e s continua x* + x - 6 —=--------------- = 1 x2+ax + b
-+ x 2 + x - 6 - x 2 + a x + b 1 -x
•L i m Lim x->2+ 2 x ( x + 2 ) x-* 2+ x - 2
15 (c o )
-+ x - 6
55 — 0 0
= ax + b
16
-+ x = 2 es una asíntota vertical de la gráfica de f . * ASÍN TO TAS O B L IC U A S :
• Igualdad se verifica s i : a = 1 y b = - 6 • S e p id e : ( l ) ( - 6 ) = ^ 6 PR O B LE M A
Como : f ( x ) = --^ -+ J ^ L i m J ~3 * X0 ■= 0 2 2x a - 8x 2xs - 8x
:
29
Dada la función : f í x ) =
2 x-3 , se afirm an 6 x * - 2 3 x + 21
I ) La función es discontinua en x = 3/2 y x = 7/3.
la
I I ) En el punto x 0=3/2 la discontinuidad es salvable.
re cta y = ~ es £ una a s ín t o t a oblicua derecha e iz q u ie r d a d e la gráfica de f .
I I I ) Si fí3/2) = 2 /5 , la fu n ción es continua en x = 3 / 2
* e n ton ces
PR O BLEM A
Son verdaderas : R E S O L U C IÓ N
Factorizando tiene : 2 7
:
[ 1; 9ix>l ¿La función f í x ) = { es continua en x = 2 ? [~ l;a ix< l R E S O L U C IÓ N
:
d en om in a d or de la fu n ción se
2 x-3 I)fíx) = . La fu n ción f e s discontinua ( 2 x - 3 ) ( 3 x - 7) para aquellos valores que anulan al denom inador,
e s to e s : 2 x - 3 = 0 y 3 x - 7 = 0 <=> x t =3/2 y x 2 =7/3 .................................. (VERDADERA).
• J e D om f
I I ) Vemos que : fíx ) =
* L im f í x ) n o existe
2 x -3 (2x-3)(3x-7)
3 x -7
yX*3/2
\
La función tiene discontinuidad salvable en x 0=3/2
X -* I
* f í l ) = l * L im f í x ) X+i
Luego, la afirm ación es VERDADERA .
=> f í x ) no es continua en x = 1 * Sin em bargo : * l e D om f '
el
:
* L im f í x ) = 1 J+
* f í 1 ) = L im f í x ) X -¥ l
• Entonces f f c ) es continua por la derecha .
i ID ) L im f í x ) = L im ( 1= ' X-+3121 x-*Ü 2\3X-7) 3(3/2) - 7 ................................ (ESFALSA).
= -iL * fí3/2)=í 5
9
5
PROBLEM A 30 : Explicar p o r qué la ecuación c o s x = x tiene al m enos una solución .
R E S O L U C IÓ N : * La ecuación se puede escribir com o : c o s x - x = 0 , de donde f í x ) = c o s x - x .
* C om o g ( x ) = c o s x y h ( x ) = x son continuas en R , tendrem os que f í x ) = c o s x - x es continua en R . * Por otro lado , com o f (0 ) = 2 > 0 y
[io m i'g u x E S
f Q ñ s iffC T
n tT tiS r p s
c o s ( a + PJ = co a a coa P - s e n a s e n $
/ ‘( | ) = co* ( f ) " | = _ f < 0 >entonces: f l O ) f { ^ ] < 0 * Luego existe al m enos un núm ero x e ]0; x/2 [ tal que
TÍJIITES]
* Se obtiene :
eos—eos
fl* J = 0. * Lo anterior prueba que la ecuación c o s x = x tiene al m enos una solución. * Los anterior se puede visualizar efectuando las gráficas de las funciones g ( x ) = c o s x ; h ( x ) = x e n un sistema de coordenadas tal com o se indica . Yi 1 E n el p u n to de h ( x ) —x in te r s e c c ió n p se , v [ tiene que h ( x ) = g ( x ) g (x )= C O S X . M. r es decir : c o s x = x
L im
- 2y)
- s e n —sen
2
2
x-*0
• C om o: coa— = 0 y sen
s e n -— = 2 , re s u lta :
sen l y < y - 2 ) Lim----- .2 y-*o | y(y-2>
* y < y -2 )
Lim y-> o
§ fy -u
= -U m L (y-2)= -l(0-2) =x y~*o 2 2 PR O B LE M A
33
: k
Calcular :
U m ( 3 + 2 e tanx)
-2
x
x-*¡r!2
PR O B LE M A
31:
R E S O L U C IÓ N
Calcular : U m a r 9o s ^ ~ x ¿ 42x-x* AJI
B) 2
*
* Sea y = L i m (.3 + 2 e ,anx Y * y e n t o n c e s : x -*x!2
C )3
R E S O L U C IÓ N
D) 4
E) 0
:
H acem os: a r e c o s ( l - x ) = 0 -> 1 - x = c o s O
r 3e~tanx + 2 L n y = U m •( x - 2 x ) •L n tanx x~*x¡2
= U m { ( x - 2 x ) [ L n ( 3 e ,anx + 2 ) - L n ( e ,a,,x) ] } X -+ * ¡2
* Entonces elevem os al cuadrado :
+ 2\ + ( x - 2 x ) t a n x = L im \ ( x - 2 x ) L n í — x -* x !2 [ l e ,anx
( l - X ) 2 =CO82 0 - * l - 2 x
:
+ x 2 = i - sen2d
—►2 x - x 2 =
sen20
= Lim
(I)
( x - 2 x ) ‘Ln(0 + 2) + 2
x - > ttl2 '
sen x
(H
sen
H
* Además: -si x -> 0 => e o s 0 -> 1 a 0 -> 0 i
* Ahora reem plazando ( I) , én lo pedido resulta : 9 Um = 1 e^o sen 9 ff R PTA : “A PRO BLEM A
32 : TíX
BJ x
DJ 2
E)2it
PR O B LE M A
34
=> y = e 2 :
:
* Sea : f l x ) = x * - x - 3 y g ( x ) = s e n * x + c o s x * Luego : L i m f ( x ) = + < n y - l < g ( x ) < 2 ; V x e J R
:
3
^
* Hacemos : l - y / x = y - * x = ( l - y ) 2 . Si x - > l - » y - > 0
* Reemplazando : X
* E ntonces : L n y = 2
R E S O L U C IÓ N
C JI
R E S O L U C IÓ N
x -*w/2
x 2 —x ~ 3 Calcular : L i m =-------------sen x + óosv
eos— Calcular : U m jL 2 -V x
AJO
= L im {(0 + 2 s e n x ) } = 2
* E ntonces : L i m ~--------------- = +co *-*+® s e n x + c o s x PR O B LE M A
-y /
L im
o
c o s ^ -(l-2 y L im 2 -----------y-*o y
yf )
C a lcu la r:
35 :
L i m x /llx/
JT-++00
R E S O L U C IÓ N
coa ± + ± ( y s - 2 y ) 2 2 y * Lim
:
* Si : x - * 0 => -¿ -+ 0 * = > 0 < — < l ; V x > l =: X
X
y-*o
* Ahora aplicando :
* E ntonces : L i m x ( llx* = L i m x ° = 2 X -+ + ®
X -M -®
¿ i-»
\\ioee\l PRO BLEM A
4'JCLOPEBiA 2 0 1 2 ]
36 t AJI
Graficar : 2 x 4 - 1 5 xs + 39x* - 41x + 1 5 x 3 - S x2 + 5 x + 12
h (x ) =
x2+ l
C) |
BJ4
; si x * 0
D )8
Hallar : L i m ( - - - - j * x -+ 3 \ X + 3 A) 2
B )5
m
H a lla r : L i m — x -* l x
A) 1
B )2
C )-2
D) -5
03
D) 4
E )j
2
9
9
E )2
;six < 0
4
R E S O L U C IÓ N
:
* Si X > O : => h ( x ) = ( x ~ 1 ) 2 ( 2 x - 5 ) ( x - 3 > (x-4 )(x + l)(x -3 ) D o m h = IR - { 3 ; 4 } * Interceptos:
Calcular : L i m x -+ 3
A) 1
x 2 -9
)
B) 2
fx = J
:y=0=Hl x
W
Calcular : L i m
« /2 = 6 5
A) 1
L i m < * - V 2( 2 * - V m+00 X-+4+ ( x — 4 ) ( x + l )
“
B )9
r ,,
1
7-
=2 = m A) 4
b4
- 2x = -3 = b
B) 2
r. llar: L i m
AJI
B) 2
A) -2
B )-l
3 ) Calcular : L im X-t+OD (8 7 )C a lcu la r : L i m ( x 2 + 2 x + 4 )
©
x
+
T-+4 V x - 3
2
e4
+ 1 D ) -2
E )-l
x4-4 x 3+6x2-4 x + l ---------------- =------------------x 2+1 OO
D) 8
E ) 16
_ . , r . 6x 2 - 3 x + 1 Calcular : L i m — =-------------*-*1 x - 2 x + 5
x=4
4
X
OO
'V v = 2 x - 3
A) D) 8
D,L
of
Calcular : L i m x-*m 2 x 4 +
©
C) 7
4x 3 + 2 x 2 + 7
x 3 + x 2 +1
A) 1
Yk
B) 6
E)0
Calcular : L i m ——= 5-------5 x s + 2 x z + 10
* Luego una asíntota oblicua será : y = 2 x - 3
A) 1
E )4
O -I
B ,í
A )7 5
( X - 4 ) ( X + 1)
• Graficando :
9
°> 6
X L im
E) 6
Calcular : L i m X~+1 KJX - 1
(x - 1)2(2x - 5)
(x - 1)2(2x - 5)
D) 4
4
I
+ - = 5/4 x2 + l 4
< x -4 )(* + l )
3
V x -l
* Entonces una asíntota horizontal, será : y — —
L im
0
1
* Entonces una asíntota vertical, será : x = 4 x X —+ — 0 0
B) 2
„ , t T í Vx + 6 - 3 Calcular : L i m —— X ~ + 3 \ y ¡ X + l — 2 J
r (X - 1 ) 2 (2 x - 5 ) _ L i m ----------------------------= —o o x-+4' ( x — 4 ) ( x + 1 )
Lim
Vx
.......(secante)
* Asíntotas :
E> i
x 3 -2 7
E }e Y : x = O =$■ y = 5/4
Eje X
E ) 16
E ) 10
37 5
B)
68 8
Calcular : L im
OO
D) 1
E) 2
(3 x + 2 )2 (2 x - 8 )3 7x5 - 4 x3 + 2 O
72 7 2 x-5
yjx2 + 3x - 1
D)
87 11
E)
79 13
[l?WiriOA7?^ A) - 5
L iy tm s s ] C )0
BJ-2
B) 0
@ )H a lla r : L fm í-— ^ l
C )-l
D) 2
X-k+ao
D ) - 00
0 2
11
I»
« i
Calcular : £***• x-+8 4 x - 2 ^ 2
m
B)L2
BJ-
E )i
D )l
x 2 —4
®í
°> ¡
x
—1 J
EJNJL
D‘ ¡
C >~3 yll + X - 1
2
D J -l
O I
B )1
EJNJL
E )1
D>1
E )í
x ,00- l
*-> !
E) 1
x2- x - 6
x -* 2
Calcular: L im
E) 0,01
Evaluar : L i m "^ Ó ¡ 1 + X - 1 3
C )~3
Calcular : L im
A)l
DJ 0,06
0,1
7)
2004
[ 2 1 1 Evaluar : L i m —=-----------------
E) + 00
yfx- 2
«i
0
B ) 0,3
*-> j L x 2 - 1
^ _. 5xs + 2x + l QN ^Calcular : L i m n 3------------X-»® 2 x + x + 1
* !
A ) 0,5
------------------- + (* + í) + 2
Hallar : Lim[_3Ü 3x + 5 + ^ ¡ —5 —3 x ] x-k’ 2 A J -l B) 31 OO DJ 52
2x + 3
B) 1
A) 5
Ej _2
x3 + x 2+ l
(Í ^ C a lc u la r : L i m AJO
E) 3
x 2 +1
Calcular : L i m A) 1
D )1
2x4 - 6x3 + x 2 + 3
Calcular : L i m 4 X-+1
BJ-5
A ) -8
50
Xw - 1
x -1 OO
D) 8
E )5
Calcular : L i m i x 3 - l ) ( 3 x 2 + 1) x -> 2
B) 2
AJI
0
D )4
3
É) 8
A) 57
B) 80
Calcular : L i m x ~ k í* 1 - x 2
A) +oo
B) - o o
Hallar : L i m D) 0
O 1
«
Calcular : L i m x-+2* x
A )+ oo
D) 1
E )2
B) 8
m
BJ - 1
O o
Calcular • L i m x -k l
■
4
-
B )0
D )1
E) 2
a ) Hallar : L i m
A J -l
E )~ i
3(x4- l ) 6x
B) -2
+ 18x + 1 2 OO
DJ 1
E) 2
o ~
í
0
2
4
3
x3- l ) D) 4
©
Sea la función: F ( x ) =
E) 6
E ntonces el
X -+1
B) -3
E) 6
l-y[x
Hallar : L i m [ ( 2 x - í f ° + 2 x 2 - 5~\
A) 3
D ) 12
1 D > -4 3
O o1
“4
J 2 x -l-$ x
Calcular : L i m { * -> «A x 2 + I A )-2
. 3 + x > O 10
x -* 0
4 x - 4 - \ 3 x -1 4 A ) -2
E) 202
9 -x
x -5
Calcular : L i m
D) 104
¡1 + X - 1 - — Calcular : L i m =------ —
-5 x + 6 OO
B) -ao
AJ 4
y
4 -x
x~*~3
E) 2
0 91 f ~ 8Y
0 2
D) -2
E) 0
A) 2 008
L im
F (x ) e s :
B) 2 007
O I
X -+2008
x-2008 2008 - x
D J -l
E) No existe
isauoggiE
fAJTy
C IC LO PE D iA 2 0 1 2 ]
Sea F la fu n c ió n d e fin id a p o r la reg la de
B ,-í
C>L
D )-2
E )-l
correspondencia: '3x+a Ffx)
©
;-3 < x < -2
Se sabe que:
x+3 a + b - 10; x = - 2
L=Um 40
> jx + 3 - 6 ; x > - 2
fa - 4)x3 + fb - 2 )x 2 + abx +1 ( a - b ) x + 2003
Si L es un núm ero real fin ito y diferente de cero,
Sabiendo que L i m F f x ) = F f - 2 ) , calcular el valor
calcular: y j 2 L + l
de: a b A)1
A )V 3 B )2
C )3
D) 4
B )2
0 3
D )y ¡5
E )5
E) 5
( f í ) Sea: 3 ) Sea la fun ción : F f x ) =
5 * - 2 + 3 * +1 5X+ 3
a 2 i. f a - 5 ) x 3 + b x 2 - a 2 x z + a b + ---------- --------------------00 x +1
x -l
L = L im
El valor de L i m F f x ) es : Adem ás: - 7 < L < - 5
X-+CO
A) 0,01
B ) 0,02
O 0,03
D ) 0,04
E ) 0,05
Sean F f x ) y G f x ) dos funciones polinom iales,
Calcular: E = 4y¡L2 + L + 2 A) 2
B )i¡2
02Ü 2
D )1
E )4 2 + l
tal que: L im [ F f x ) + G f x ) ] = 2 a L i m [ F f x ) - G f x ) ] = 1
Sea “ n ” un núm ero entero positivo, tal que
Calcule el valor de: L i m [ F f x ) . G f x ) ]
L im
x -* a
V
00 x 7 n + x + 2
C >-2
i
E )1
-x ~ 2
r .. \y¡7x2 + T 4 x + 1 + 5 x L = Lim x-* «o y ¡3 x 2 + V x 4 + 1 + 7 x E)
X a +
Sea la función: H f x ) =
Cíf
30
3x2- 7 x - 6
Calcular: U m H f x ) B)
Calcular:
C )2 ,5
D)
E) 12
17
A J~í
( x - V í 7 21 L im — 2 y ¡4 x + l - 3
B )-6
B )2
0 -1
D) 0
E)1
E>\
« - i Sabiendo que: Z = L i n t
2 x -x
Calcular:
0 2 7
2 x + 3 \l0
x-+ oo1 2 x
Um X->1 V 2 6 + X - 3
B ) 12
E )i
D)6
o - i
Calcule: L i m f x + ^ j l - x 3 ) X—* 00 A )1
A) 3
E )í
E = L i m f ^ 9 x + - J 2 5 x + 1 - y ¡ 9 x + y/ 3 6 x + 1 ) 40
x -> 2
A)
D )2
C alcular el valor de:
x3 -3 x 2 + 7 x-1 0
12
E) 5
Calcular:
S x -6
L = U m ( * 3 - * 2 - 8* + 12Y *-*2 \ x - 1 2 x + 1 6 )
= 0
E ntonces la sum a de los valores de 44n ” es: A ) 21 B ) 15 0 10 D) 6
Calcular:
17
x2 -3 x + l
D ) 54
E ) 18
E)~2 1
—1
dar com o respuesta el valor de: M =
1+ LnZ 1-L n Z
Calcular:
Lim o
(i - i f T 2x
aí
« i
E )4
E M C J G X K fi
©
1 0 6 9 füSW
H I lí/V O S
iá > tr r E s \
•R esuelva los p rob lem a s sig u ie n te s m ed ia n te el gráfico : y»
Sabiendo que:
A = ZJmfX + X-+ 0 O\ X + 2 J
B = Lim(x x-* o
;
+ x + l)*
son las raíces de una ecu a ción cu adrática, dicha ecuación es: A ) x * - e ( e + l ) x + e* = 0 B ) x * + e(e - I J x - e * = 0 C) x* - e*(e + l ) x + e* = 0 D ) x * ~ e(e* - l ) x + e 4 = 0 E) x* - ( e + l ) x + e = 0
-2
2 x 2 - 1
( x 3 + 2 x + l \ 3 *+*
Hallar: L = L i m X - +
A) e
©
B)e*
Xa - X 2 +1
OO
Calcular : Í S 3 f<*>
D) es
C) e 2
E )é
A) O
B) 1
0 2
D) 3
E) i
0 2
D )-l
E)t
Calcular :
Sabiendo que: ' 200aj r r 1 + i P =L im o
O
AJO
B )1
2004
(lx + l - l J 2 0 0 3 x + 1002
Q =Lim Ln OO
Calcular :
x+ í AJO
L in t f ( , x-+4
B) 1
0 2
D) 3
2 0 0 3 x -1 0 0 2
calcular el valor de: M =
m
P +l
E)t
Del siguiente gráfico cuya fun ción es f (x}.
2-Q A) 2 003
B ) 2 002
Sabiendo que:
C) 1 0 0 2 ¡p f x ) —
el valor de l i m F ( x ) es: x-+ O A) LnlO B ) Ln6 C) L n l5
D ) 4 007
E) 1
5 X + 2 X + 4* - 3
D ) L n 40
E ) L n l2 0
Estudiar si existe en : x = - 2 a x = 1 /-v © S e a . L ÍM IT E S
Calcular : A ) L im L x x-*2*
L A T E R A L E S
(6 5 )C a lcu la r si existe : L i m f tx), donde :
fíx ) ”
A) O
C )2
Calcular si existe
B)1
B )L im f{ ) x->2~
D) 3
~ ^ (x + l);a i:x > l £ E) 4
f ixy t donde :
Hallar: A ) L i m g (x) 3+r
Sea:
4x + l;si ; x > 2
0 2
D) 3
O L im f ( ) x->2 KXf
2 x - 3 ; 8 i : x <,1
3 x - í ;s i : x < 2
AJO
\x + 3 ; 8 Í : x ¿ - 2
x 2; s i : x > 0 x ; si: x < 0
B) 1
f{x) -
_
H allar A >L Í™ A x) x -+ 3 *
x -* r
C ) L i m g (x) * -* i
2 x + 1; si : x < 3 f(x ) -
E) i
B ) L i m g (x)
1 0 - x;8Í : 3 £ x B)LimfM x -> 3 ~
C ) L i m f (x)
»m O P K P M 2012}
lio yol A )jfy 1
ffi^ D a d a la fun ción :
B )0y 2
C )¿ y 0
D ) 3; 4
E) 2; 3
2 x + 3 ;s i : x < 1
2
f(x ) ~
; 8Í : x = l
7 -2 x ;8 Í: x > 1
Dada la fu n ción : h (x ) =
m
Hallar : A ) L im f (x)
B J U m f ix)
x~*r
G U m fa
x -+ r
2 x-4
Hallar : A ) l i m \ x)
ÓH tj Hallar el U m — 'C -X x ~ *0 x
si existe.
AJO
DJ x
B)1
x
Hallar : L im
x -> 0 |*|
AJO
B) 1
D )x
«f» la
E ) N o e x is te lim ite
C )U m ^
fun ción definida p or : [2 x + 7 ;s i : x < -1
hx) = ¡ 3 - 2 x
\¡4x2 + 9
0 -1
B ) L i m h»x \ x -> 2 ~
Sea
C )-l
| y - 2|
;a i :- K x < 2
x 2 -3 x + l;s i:x > 2
E ) N o e x is te lim ite
E stu d ia r:
Dada la fu nción : $
3 + x2 ; a i : x < - 2 O ;ai: x = -2
S(x) =
Justifique su respuesta Sea « g » la función definida p or :
6 ~2x ; si: x < -2
l l - x 2;8i: x > - 2 Hallar : A ) U m g (x)
B ) L i m g (x)
x -* -2
x2 - 3x;si: -2 < x ^ 3 2 x - 4 ;si: x > 3 Limgíx) y Limg(x)
8(x) =
x -* -2 T
f lx) Calcular si existen : U m f (x) y Lx -im >4
Estudiar :
x— ¥— 2
x ~+3
Justifique su respuesta
D onde:
x 2 ; si : x < 1 Calcular si existe :
f(x) = ‘ x
¡si : l < x < 4
A) 4
4 - x; si : x > 4 A )ly0
B) 1 y 2
C )2 y0
D )lyO
x-5 ;si : x £ 5 l-y/x-4 f(x ) -
x 2 -1 2 x + 35 ; si : x < 5 x -5
Hallar :
A) Um fix)
Calcular si existe
E)0 y 0
^ q )D a d a la fun ción :
B ) L i m f ix)
B) 3
AJO
B) 1
L i m /} x) x->2
l - x 2 ;si: x < 1 f(x ) -
1
D )1
EJ 0
3x + \x : Um x->o 7x-5\x 0 2
D) 3
E )Í
C i A Y E S D E i .A P R I M E R A P R A C T I C A 01) C 08) B 08) B 04) A 05) E OO) R 0 7 ) C OS) B 0 9 ) B 10) C 11) C 18) B 18) C 14) B 15) B 10) E 17) B 18) C 19) B 80) B 81) B 88) B 88) B 84) € 85) B 80} D 87) A 88) C 89} B 80} A
8 )D
Donde:
0 2
C L A V E S D E L A S E G U N D A P R A C T IC A
x -* 1 T
0 ) Calcular si existen : L i m /Jx ) y
x - 2x2 -4x + 8 Um x -> 2 x-2\
;si : 1 < x <> 2
\x -3\;8i : x > 2
8 )D 4 ) E t 5 ) f f l 0 ) A ’F )a \ s j n m e io j c
lt)C m e 14JJW5)D\Í6Jáll7)A Í8J9il9JE\Z0m C 1 A IE S D E I A 01 ) c 8) B OO) B 07) B 18) B 11) C 10) E O I) B 05) B
T E R C E R 1 PR XCT1CA \ 04) B 05) C 08) E 09) B ÍO ) B OS) B 15) C 18) B 14) B 08) D 08) E 04) D
wymm^
O B J E T IV O S
:
* Adquirir con claridad el concepto de derivada de una función en un punto.
* Distinguir en tre derivada en un punto x = x 0 de una función f ( x ) y fun ción derivada de f l x ) . * Calcular rectas tangentes a una curva f l x ) . * Aprender la técnica de derivación de funciones f l x ) . * In terp reta r a sp ectos de c r e c im ie n t o / decrecim iento, concavidad/convexidad de funciones a partir de la función derivada y derivada segunda de una función f l x ) .
* Identificar el problem a del trazado de la tangente a una curva en un punto . * Identificar la tangente com o lím ite de las secantes. * D eterm in ar la p en d ien te de la ta n g en te com o límite de las pendientes de las secantes. * O btener geom etrica m n en te la derivada de una función en un punto. * Determ inar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto por m edio de la derivada. * Determ inación de valores m áxim os y m ínim os de funciones f l x ) y resolver problem as de optim ización
IN T R O D U C C IÓ N / El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario m edir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. P or ello es una herram ienta de cálculo fundam ental en los estu dios de Física, Química y Biología. Tam bién en las ciencia? sociales com o la E co n o m ía y la S o c io lo g ía s e u tiliz a el análisis m a tem á tico para e x p lica r la ra p id ez de cambio en las m agnitudes q u e les son propias. Conocer la variación de una función en un intervalo grande no inform a suficientem ente bien en el sentido de entender com o se p rod u ce dicha variación . Se n ecesita e s tu d ia r v a r ia c io n e s d e la fu n c ió n en in tervalos cada v e z m ás p e q u e ñ o s para lle g a r a en ten der el con cep to d e v a ria ción in sta n tá n ea o referida a un punto, es decir el de derivada en un
O
IPtOKgVAtPAS ]
punto U n hallazgo im portante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cam bio instantáneo. Así pues cuanto m ayor es la inclinación de la recta tangente en un punto m ayor es la rapidez de cam bio del valor de la función en las proxim idades del punto. El con ce p to de derivada segu n da de una fu n ción derivada de la derivada de una fun ción tam bién se a p lic a p a ra s a b e r si la r a p id e z d e c a m b io se m antiene, aum enta o dism inuye. A sí el concepto de convexidad y concavidad aspectos geom étricos o de form a de una fu n ción están relacion ad os con el valor de la derivada segunda. La d e r iv a b ilid a d d e u n a fu n c ió n e n u n p u n to (propiedad relativa a la existencia de tangente en u n p u n to ) está a socia d o al de con tin u id a d . E ste aspecto tam bién será tratado en esta unidad. Finalm ente verem os la relación que tiene la derivada co n los p roblem as de o p tim iz a ció n de fu n cion es. Estos problem as decim os que son de m áxim o o de m ín im o (m á x im o r e n d im ie n t o , m ín im o c o s t e , m á x im o b e n e fic io , m ín im a a c e le r a c ió n , m ín im a distancia, etc). C onocer la gráfica de una fun ción perm ite tener un conocim iento m uy preciso de su com portam iento . E n m uchos casos sencillos que hem os visto en temas anteriores, basta el análisis de unos pocos elem entos para poder con stru ir su gráfica . En otros casos se requ iere de herram ien tas un p oco m ás poderosas para graficar la función con m ayor precisión . Vamos a estudiar algunas de esas herram ientas , todas las cuales están basadas de una u otra m anera en el concepto de derivada . C om encem os analizando la fu n ción f í x ) — —9— 7 . X + J De esta función podem os decir que :
l'rVto11 0 72,1lito»
XCMCIOPEMA 2012)
•En el gráfico se observa la curva que representa una función y que depende de x .
*D f = R
* Es continua en R
• Para trazar la tangente a la curva en el punto
* Es impar (la gráfica de / es sim étrica con respecto al origen)
x = x a , inicialm ente se dibuja una recta que corte a la curva en el punto x = x t . La pendiente de dicha
* Intercepta al eje X una sola vez en ( 0 ; 0 )
recta es : .* V r f, - m , - — ¿ y V t-yo , m , --------------' AX X ,-X *
* La recta y = 0 es una asíntota horizontal a la derecha y a la izquierda, pues L i m flx ) = 0 *->±00 * f e s positivo si x > 0 y negativa si x < 0 . Con esta inform ación ¿ podem os realm ente precisar cóm o es la gráfica de / ? A c o n tin u a c ió n m o s tr a m o s las g r á fic a s q u e corresp on d en a fu n c io n e s q u e sa tisfa ce n las características m encionadas anteriorm ente y que , sin em bargo , son m uy diferentes .
j j j J
f(-0
X X
*
*
4 Si hacem os m ás pequeño el valor de Ax , la recta secante corta a la curva en el punto correspondiente a x = x 2 y la pendiente de y2-yo dicha recta es m2 “ _ „ *2 ~ x o * P o d e m o s p r o c e d e r h a c ie n d o m á s p e q u e ñ o el in cre m e n to Ax y de e s ta fo rm a ir a ce rca n d o la -
Nos quedam os sin con ocer aspectos im portantes de la gráfica , com o la ubicación exacta de los puntos P y Q . Con las herram ientas que vam os a estudiar en este tem a resolverem os estos problem as . %
P E N D IE N T E D E L A R E C T A TANGENTE
seca n te a la ta n g en te . Si h acem os q u e A x -+ 0 entonces la pendiente de la recta secante es igual a la pendiente de la recta tangente . Vi
D e la g e o m e tr ía a n a lít ic a , el c á lc u lo to m ó la representación gráfica de las funciones en un plano de co o rd e n a d a s ca r te s ia n a s . El p ro b le m a de calcular la p en d ien te de la recta ta n gen te a una curva no se pudo resolver con las herram ientas que hasta ese entonces tenían las m atem áticas . H oy en día , cu alqu iera de las ra m a s del co n o cim ie n to , necesita de la investigación científica com o fuente fu n d a m en tal para el a n á lisis d e los fe n ó m e n o s, objeto de su estudio . El m étodo gráfico es de gran ayuda para el buen éxito de dichas investigaciones .
• C om o la im agen de x es flx ) la im agen d ex + A x será flx + Ax) , por lo tan to la pendiente está dada por la expresión :
r . f ( x + A x ) ~ f (x ) m = L im -------------------------As-+0 Ax
f(x+ Ax)
flx+Ax)
_
siem pre que exista .
•Luego : t g a — m a m = t g a se le llama “ p e n d i e n t e ” de la recta L. * Se observa adem ás q u e la pendiente de la recta
x x+ Ax* b *X
x
x+Ax
X
L : y = m x + b es el coeficien te p rin c ip a l.
1072
E C U A C IÓ N D E L A R E C T A
EJEM PLO 1 :
Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de ecuación y = 3 x 2- 1 en el punto x = 3 . R E S O L U C IÓ N
:
* Se escribe la exp resión q u e perm ite calcu lar la pendiente de la tangente : f(x + A x)~ f(x) m = L im Ax-*0 Ax
TANGENTE U n a re cta se c a r a c te r iz a p o r q u e el v a lo r de la pendiente es siem pre el m ism o, n o im porta cuales puntos de la recta se utilicen para su cálculo ya que el ángulo de inclinación se m antiene constante .
• C om o f ( x ) = 3 x 2 - 1 e n to n ce s : f ( x + á x ) = a ( x + A x 2) - 1 • Por lo tanto :
..
f(x + Ax)-f(x)
m = L im -
Ax
Ax-*0
'
..
[ s ( x + Ax)S -i]-(á tr * - / )
= LT— im ---------- ------------- ----------------~ á*-+o áx-*0 Ax
* Se desarrolla el cuadrado del bin om io y se reducen términos sem ejantes : r . 3 x2 + 6xA x + 3 (A x )2 - l - 3 x 2 +1 m = L i m -------------------------------------------------------Ax-+Q AX m = L im A x —>0
6xA x
* La recta de la figura pasa por los puntos :
3 ( A x )2
. Ax
? 2 = ( * 2 : 7a)
Pi = (* i ;y ¡ ) >
Ax
*Se r e e m p la z a a A x p o r c e r o y se c a lc u la la expresión: m = 6 x + 0
y 2 —y¡
* Por lo tanto su pendiente es : m “ T x2~xl * Si tom am os cualquier otro pu n to P = ( x ; y ) por
* La pendiente en x = 3 , es m = 6 ( 3 ) = 1 8 . EJEM PLO 2
y-y¡ x
:
Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y = 3 x 5 , en x = 2 . R E S O L U C IÓ N
:
* Se aplica la d efin ición de pendiente de la recta tangente a una curva .
f(* + Ax> - f(*> m = Lr i m ¿ y _ = Lr i m --------------------------á x -+0 A x A x ~*0 Ax .. 3 (x + A x f - 3 x 3 ~> m = L i m A X —* 0 Ax
• Se desarrolla el cubo del binom io :
m = Lim —------------------------------------------ --------Ax
A x -* 0
3 x 3 + 9 x 2 + Ax + 9x (A x )3 + 3 ÍAx)3 - 3 x3
-* m = Lim --------------------------------------------------------A x -* 0
r.
AX
m
AX
f 9xsAx 9 x(A x)3 3(zlx)Sl = Lim\ + ------------+ ----------Ar-*01_ Ax Ax Ax J
-> m = Lim\_9x2 + 9 x(A x) + S ( i * ) ] á x -+ 0
• Luego se cancela A x , resultando : m = 9 x * * Reem plazando para x = 2 ; m = 9 ( 2 ) s = 3 6
y-yz
m = ---------- o m = ----------x - x x - x
* Por lo tanto la ecuación de una recta de la cual conocem os la pendiente y un punto por donde pasa es:
EJEM PLO
1
:
Calcular la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto P = ( - 3 ; 5 ) R E S O L U C IÓ N
:
• Se escribe la fórm ula de la ecuación : y -y , = m (x-x¡)
• Se reemplaza la pendiente y el punto conocido : y -5 = l(x -(-3 ))
4
9 x 2A x + 9 x ( A x f + 3 (.A x )S
-> m = Lim ------------------------------------Ax-+Q
donde pase la recta , se debe cu m plir que :
• A l reducir, resulta la ecuación de la recta : 3 x - 4 y + 29 = 0 EJEM PLO
2
:
Calcular la ecuación de la recta tangente a ; y = x * - x , en x = 8 . R E S O L U C IÓ N
:
3 4
NCICLOPEDtA 2012)
[107*111
£ ♦Cuando x = 2 y tom a el va lor : y = ( 2 ) * - 2 = 2 .
* Es decir , cuando : a = 4, a = - 4
Por lo tanto la recta tangente pasa por el punto P = ( 2 ; 2)
• Luego la recta tangente a la curva x y = 2 tiene
•La pendiente de la recta se calcula con la expresión:
pendiente - - en los puntos O
m , = L im 1 AX-+0
Ax
2/7) N ótese
• Se desarrolla el cuadrado del bin om io : x 2 + 2x Ax + (Ax)2 - x - A x - x 2 + x
Ax • Se reducen térm inos sem ejantes : áx~+0
Ax • Se distribuye el denom inador : m t = Lim
(Ax)2
Ax
Ax
A x -+ 0
• Cuando x = 2 , la pendiente vale m = 2 (2 ) -J =3 • Por últim o se halla la ecuación de la recta : y - y j = m ( x - x ¡ ) => y - 2 = 3 ( x - 2 ) => y - 2 = 3 x - 6 = > 3x-y-4 = 0
EJEM PLO 4 :
* Eligiendo Q , com o un punto variable , con abcisa 2= 4 + 6 * La velocidad m edia (pendiente de la recta secante) está definida com o : v
:
l ) Hallar la pendiente de la tangente a la curva
- *«+*> 6 * E n el lapso q u e tra n scu rre d esd e 2 = 4 hasta 2 = 4 + 6 , la velocidad m edia está dada por: t
x y = 2 , en el punto de abscisa x = a .
¿En dónde la pendiente de la tangente es
igual a - — ? 8 III) ¿Q ué le ocurre a la recta tangente a la curva en el punto
í “ j cuando a s e aproxim a a cero?
R E S O L U C IÓ N
:
I) Tenem os que : / ( x ) = — ; x 0 = a X
• Luego: f (a + h ) - f (a ) _ mT = L i m — — ' = L i m ° * fe— — h->0 h-*0 -2 = L im s Lim h-+o h a ( a + h ) h-*oa(a + h) -2 h
II) Esta pendiente será a
o
es
* C onsiderando que x ( t ) = 5 t s es la posición de la partícula en el in sta n te t y P 0 , el pu n to fijo que tiene abscisa 2 = 4 .
• Se pasa al lím ite : m t = 2 x - 1
W
siem pre
R E S O L U C IÓ N :
A x -+ 0
3
pendiente
¿A q u é v e lo cid a d se m ov erá la p a rtícu la cu an do hayan transcurrido exactam ente 4 segundos?
• Se cancelan factores : m . = L im ( 2 x + A x - 1)
EJEM PLO
la
A n a licem os el m o v im ie n to de u n a p artícu la a lo largo de una trayectoria en línea recta que en los prim eros t segundos recorre una distancia de 51? m etros .
2 x Ax + (A x)2 - Ax
2xA x
que
negativa . C uando a se aproxim a a cero (ya sea por la izquierda o p or la derecha) , la pendiente decrece ilim ita d a m e n te (e s t o es , m - + - « ) ) y la re cta tangente se hace cada vez m ás v e r t ic a l.
T . ( x + A x )2 - ( x + A x) - x 2 + x m . = L i m ----------------------------------------------Ax-*0 Ax
m, = L i m Ax-+0
■ -D
f(x + A x)-f(x)
* Se reem plazan f í x ) y f í x + A x ) :
m, = Lim
K )
-4
cuando:
a2
*
t
~
X (4+h)
X (4)
h Reem plazando : _ 6 ( 4 + h ) 2 - 5 ( 4 ) 2 _ 5 Í 8 h + h 2) _ g , 5 t
m h h * Esta velocidad m edia v m se aproxim a a un valor preciso , cu an do Q se aproxim a a P g . (es decir, cuando 6 se aproxim a a cero)
[E iw :io iV ij:^
H fm m v
m r ñ ñ im
* Esto indica que la velocidad m edia se aproxim a al valor límite de la velocidad instantánea V , en cuyo caso : V = L i m Vm = L im 5 ( 8 + h ) = 4 0 m !s ■h-*0 h-kO ♦ Es decir, la v e lo cid a d e n e l in s ta n te t = 4 ,es V = 40m / s .
♦Generalizando, tenem os que siendo V ( t ) = L im Vm, k-*o nos queda : VM = L im w h-kO
X U+h)
* (/)
O B S E R V A C IÓ N
si existe . :
♦ El cam bio en el valor de x , que es x 2 - x ¡ , se denomina v a r i a c i ó n d e x y se denota por : A x = x 2 - Xj
♦ Tam bién se puede representar así:
♦ De m anera sim ilar , el cam bio en el valor de y , que es y 2 ~ y ¡ > se denom ina v a r i a c i ó n d e y , esto es: Ay = y 2 ~ y ¡ = f ( x z ) - f ( * i )
♦ Se denom ina ta sa d e v a r ia c ió n p r o m e d io (T V M ) de una función y = f í x ) sobre un intervalo de la variable independiente que va de x a x + A x a l a razón
Es decir :
Ay Ax
mide la tasa de variación prom edio de la función y = f í x ) con respecto a x . «
G e o m é t r ic a m e n t e , la TVM es la pendiente de la s e ca n te p o r P y Q y p o r t a n t o la v a r ia c ió n instantánea en P será com o casó lím ite la pendiente de la recta tangente en P . ♦ De lo e x p u e s to h a s ta el m o m e n to , p o d e m o s concluir que las soluciones de los problem as de la recta tangente y de la tasa de variación instantánea están basados en el cálculo de un lím ite de la form a: __ f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ) L im = k— kO h ♦ En m u ch os o tr o s p rob lem a s , e stos lím ites se siguen presen tan d o, por lo que es conveniente darles un nom bre . Así direm os que a un lím ite de la form a anterior se le llama d e r i v a d a d e f í x ) en el punto de abscisa x 0 . D E R I V A D A S
Se llama derivada de la fun ción y = f í x ) en el punto x ; al límite del cociente increm ental :
-A y - r:
A x-kO
A x
= L im A x ~*0
f ( * + A x) - f ( x ) Ax
prim a») cuyo v a lor en cada punto x 0 e D o m f es \ t * f ( x Q + h ) - f ( x o) ------ *-------, ( x o ) = L i m —i
s ie m p r e
y
cuando exista tal lím ite .
Ax i*
L im = —
:
La derivada de una fun ción f es otra f ‘ (se lee «f
f
Ay _ f ( x + A x ) - f ( x ) Ax
D E F IN IC IÓ N
Al proceso em pleado para en con trar la derivada se le llama d e r i v a c i ó n (diferenciación) .
O T R A S D E F IN IC IO N E S E Q U IV A L E N T E D E L A D E R I V A D A
f ( x ) - f ( x 0) A)f'(x o) "
B ) f 9( x 0) = Lim v v*
x - x 0
x -> x 0
f ( x 0) - ( x 0 - h )
h->0
h
C) Sea f u n a fu n c ió n d e fin id a e n u n in te rv a lo abierto I que contiene a , x = a . Se dice que f e s derivable (diferenciable) en el punto x = a , si existe el siguiente lím ite :
f(x)-f(a) Lim x-ka x-a * En este caso al valor lím ite se le denom ina derivada de f en el punto ( a ; f í a ) ) y se le denota por : f ia) Así tenem os :
f i a ) = Lx -* im a
f(x)-f(a) x-a
\1Q76\ Mis N O T A C IO N E S P A R A L A D E R IV A D A
NCICLOPEDLÍ 2012]
EJEM PLO
3
:
Si f ( x ) = 3 x * + 5 x + 4 , hallar f * ( x )
A lo largo de la historia se han utilizado diferentes notaciones para la derivada , las cuales en m ayor o m enor grado y en dependencia de la aplicación de que se trate , se sigue utilizando en la actualidad .
R E S O L U C IÓ N
:
f(x +h )-f(x ) 3 (x + h)a + 5 ( x + 6) + 4 - ( 3 r 2 + 5*+ 4)
Si y - f ( x ) ,1a derivada se puede denotar com o : d f(x )
y
Dx f(x ) L e ib n itz x Dx y
dx
L a gra n ge
dy
f(x ) J
fM = Um C a u ch y
3x2 + 6xh + 3h2 + 5x + 5h + 4 - 3x2 —5x —4 3h* + 6xh + 5h
* '> = í " ?
dx
-> f, , = Lim (3h + 6x + 5) = 6x + 5
y * : N ewton (fundam entalm ente cuando la variable
h^O
-> f(x) - b x + 5
independiente es el tiem po) Se leen : “ Derivada de f con respecto a x ”
* S i x = 2 , o b te n e m o s f^2) = 7 7 , lo cu a l co n fir m a
EJEM PLO
la r e s p u e s ta e n el e je m p lo a n te r io r .
1
:
Sea f f x ) = 4 - 9 x , calcula f ' (4 )
O bsérvese la ventaja de calcular
R E S O L U C IÓ N
de un x arbitrario, pues así se tiene una expresión q u e p e rm ite c a lc u la r la d e r iv a d a e n c u a lq u ie r núm ero en que ella exista . A tal fun ción se le llama función derivada .
:
♦ Aplicando la definición : f ( 4 ) = U m f -{ 4 + H)- f ( 4 ) = U m \4 - 9 (4 + h) h-+0 k-*0
EJEM PLO f ' ( 4 ) = L im h -+ 0
EJEM PLO
9 ^4 + H) + 9 ^4 ) = L i m ( . - 9 ) = - 9 h h~*0 2
:
:
calcular la derivada de la fun ción : y = c o s x , aplicando la definición de derivada . R E S O L U C IÓ N
Calcular la derivada de la fu n ción y = 5 x s + J en el punto x = 3 R E S O L U C IÓ N
4
:
:
♦ Si y = c o s x , entonces : y ' = L im
eos ( x + A x ) - eos (x ) Ax
A x -+ 0
♦ Aplicando la definición :
com o función
♦Se tiene al aplicar ; co s fx + y ) = cosxco8 y -s e n x s e n y
y' = Idm fiX + A x)- f í x ) A x -+ 0
A x
r . 5 ( * + A x ) 2 + 1 - ( B x 2 + 1) -+ y = L i m -----------------------------------------A x -+ 0 Ax ,
_.
crv** t 2 x Ax + ( Ax) 2) + 1 - 5 x 2 - 1
' = L im g (* 2 + i m ------------------------------------------A —x - ,0 -Ax ,
5 x 2 + 1 0 x A x + 5 Í A x 2) + 1 - 5x = L i m — — --------------------------------Ax~*0 Ax
• lO x A x + 5 ( A x ) 2 = L i m --------------------------A x -* 0 Ax y
= Lim A x -* 0
lO x A x t 5 ( A x ) 2 Ax
Ax
-1
cosxcosAx - senxsenAx - eos (x) y ' = L im A x -+ 0 Ax cosx (eosAx - 7) - senxsenAx L im Ax-+0 Ax cosx (cosAx - 7) senxsenAx -> y = L i m óx-kO J_ Ax Ax * Se aplican las propiedades de los lím ites :
co8x(co8Ax - 1) senxsenAx y = Lim----------------------- Lim------------óx-*o Ax Ax~*o Ax . T. (cosAx-1 ) senAx ■4 y = Lim cosx •Lim-----------------Lim senx -Lim-------Ax~+0
♦ Se aplica lím ite a la sum a de funciones : y ’ = lQx + O = lOx ♦ Se calcula la derivada en x = 3 : y \ 3)= 1 0 ( 3 ) = 3 0
Ar+O
AX
Ar+O
At-*0 AX
♦ Calculando el lím ite se tiene : y ' = c o s x (O ) - s e n x ( l ) -> y ' = - s e n x
♦ E ntonces , Si : y = c o s x => y r= - s e n x
[r iw m v ig ^
IfeMj 1 0 7 7 BÜW~
H f m t TQ 4
MPWCHMV/UPjtíV]
IN T E R P R E T A C IÓ N G E O M É T R IC A D E L A D E R IV A D A Consideremos el gráfico de la función f representada por la curva y = f í x ) t tom em os los puntos A y B , el punto B m uy próxim o al punto A cuyas coordenadas son ( x ; f í x ) ) com o se m uestran en la figura :
recta tangente recta secante
f(x+h)
P E N D IE N T E D E L A R E C T A S E C A N T E L
:
ms = tg a = ----------------------
x -a
En este caso hem os supuesto un h > 0 . O bservem os que B es un punto de la gráfica de f que se desliza a través de ella a medida q u e variam os h . Si hacem os que h se aproxim e a cero , la recta A B inicialm ente secante se convierte en tangente . • Observemos que antes de hacer esta aproxim ación de fe a cero , la pendiente de la recta A B era : _ f ( x + h ) - f (fe) ™S h *Y ahora haciendo que fe -> 0 , la pendiente de la recta (que ahora es tangente) es :
P E N D IE N T E D E L A R E C T A T A N G E N T E
mT = tgO = Lim ms = Lim x-*a
x-+a
—í M X —a
=> La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f , en el punto ( a ; f í a ) ) es la derivada de f, evaluando en " a 99.
E C U A C IÓ N D E L A R E C T A _t fTlrp — Xri íl /7 _
h->0
fe
— ■'
TANGENTE
• Y es lo que hem os definido com o la derivada de f . • En conclusión :
•"> En el punto ( a ; f í a ) ) J g a = f(¡c ) f r ----
E C U A C IÓ N D E L A R E C T A N O R M A L
En el punto ( a ; f í a ) ) f 9( x ) rep resen ta g eom étrica m en te, (en ca so de existir) a la pendiente de la recta tangente (de la gráfica de f ) en el punto ( x ; f í x ) ) t con x e D o m f y donde D o m f ' c D o m f (m = f ' ( x ) )
• Si S = S ( t es una m agnitud física que depende del tiempo / , entonces
dS
con que cam bia S en el instante **t99. • En particular , sea :
e8
rapidez
;
E lio rs IB * La recta norm al a la gráfica de una función f, en el punto ( a ; f í a ) ) es aquella recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto . EJEM PLO
1
SCICLOPED iA 9019}
C A S O S D O N D E E X IS T E L A R E C T A TANGENTE Y NO E X IS T E L A D E R IV A D A E N E S E P U N T O
:
Determ inar las pendientes de las tangentes de la parábola y = x 2 en el vértice y en el punto de abscisa 1 * 2 * R E S O L U C IÓ N
:
x = X o es tangente al gráfico de f e n Xq Lim x-*x‘0
f M
- f (x„) _ = -00 x —x 0
f ' ( x ) = m T = ( x 2)' = 2x * Luego : f ' ( 0 ) = 2 ( Q ) = 0 => m r = 0
(en . e l v é r t i c e ) (en x = — )
1 => ntr = 1 EJEM PLO 2
x-x< x = x 0 es tangente al gráfico de / en xq
:
Determine la ecuación de la rqcta norm al y tangente a la gráfica de la fun ción f ( x ) = x 3 , para x = 2 R E S O L U C IÓ N
:
* Calculemos las coordenadas del punto : (2 ; f ( 2 ) ) = ( 2 ; 8 ) . Tam bién calculem os la pendiente de la recta tangente en (2 ; 8 ) en base a la derivada: m T = f ' ( 2 ) = L im = x -* 2
x 3 ~ 25 x -2 Lim -é
r . ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + é) => mm = L i m ------------------------------------= x -* 2
x -x 0
f ( x ) - f ( x 0) _ = —
x = x 0 es tangente al gráfico de f .
X —2
= L i m x 2 + 2 x + 4 = 1 2 => m T = 1 2 x -* 2
f M - f ( « , ) = +oo
1
* Luego :
¿ y - f ( 2 ) = f(2) ( x - 2 ) => ütT : y - 8 = 1 2 ( x - 2 )
I)
Yk
iüif'¿79iiM i s —00 X
-
X ,
Lim ' < * > - ' ( * • ) = +. *-**Z x - x0
. f ( 2 ) = u m f i 2 + h ) - f {2K u m « 2 + h h» k-*o~ h-+0~ h-*0 (h<0)
f V
y llA
) + h
l
&]
+
LA T E R A LE S
Por definición , sabem os que la derivada es u n lím ite , y com o un lím ite existe si y sólo si los lím ites laterales e x iste n y s o n ig u a le s , te n d re m o s las siguientes definiciones de derivadas laterales :
A) DERIVADA POR LA DERECHA DE f EN EL PUNTO xQ: f*
I H
= Lim- = I h-*o~ h
x = «o es tangente al gráfico de f .
D E R IV A D A S
W
f ( x 0 + h ) - f ( x 0)
h-*o+
h
(h>0)
h->0*
h
r . 3h = Lim — = 3 h-+o* h Com o /*_ ( 2 ) * f + ( 2 ) , entonces f ' ( 2 ) no e x is te . EJE M PLO
2:
Sea f la función definida por:
2» + 5 ; x<¿ 2
(* o ) = L im fix) =
x* + 3 ; x > 2 D eterm inar :
si tal límite existe .
B) DERIVADA POR LA IZQUIERDA DE f EN EL PUNTO x0:
I ) f . ( 2 ) , f'+{2) I I ) ¿Es f derivable en x = 2 ?
*R E S O L U C I Ó N
:
m: c»■u - ru**)-ra>. Um k->o" k->0
h
h~»om
h
2h o = Lr im — —= 2
si tal límite existe .
h->0' h
• Es con secu en cia in m ed ia ta de la d e fin ició n de límite que f ' ( x 0)e x is te si y sólo si las derivadas laterales existen y son iguales .
= U m l ( 2 + H)* + 3 - 7 ] k-*o* hh
h h
. h*+4h = Lim = Lim (h + 4) = 4 k->o* h h~*o*
f '( * o ) = f + ( x o ) = f. ( * o ) * Por tanto f es diferenciable en x 0 . C O N D IC IO N E S D E
f + ( 2 ) = Lim k-+o* -+o*
E X IS T E N C IA
I I ) C om o /*. ( 2 ) * f + ( 2 ) , entonces no existe f '( 2). DE
L A D E R IV A D A
EJEM PLO
3
:
En co n se cu e n cia in m e d ia ta de la d e fin ic ió n de
¿E s derivable en x 0 = 1 , la fun ción f(x )= | *-l| ?
lím ite, f ' ( x o ) e x is te si y s ó lo si las d eriv a d a s laterales existan y son iguales , es decir :
R E S O L U C IÓ N
:
v . d ) - L ,„ r u + M - r u h ~ *o* h TEOREM A
:
f es derivable en (a ; f i a ) ) = > f es continua en 1
h -* o *
h
w * !6 j —• h _ = L im — = L im — = I h->o+ h h -> o + h
{D e r i v a b i l i d a d - C o n t i n u i d a d )
EJEM PLO
=
(a ;/*(a ))
= lim h-+tr
:
Sea f ( x ) = í * + ^ f : hallar f ’ ( 2 ) , si e x iste : [3 x - 1 ; x > 2 R E S O L U C IÓ N
* Luego : f+ (7 ) = I f(l + h )-f(l) * f l ( I ) ■ L im h h-+0‘
:
* C om o la ruptu ra del d o m in io está dada en 2 , debemos aplicar derivadas laterales .
T . \h\ T . - h = L im — = L im — = - 1 h-*o~ h h~*o~ h
•Luego : f
(j) =
•Corno f + ( i ) *
( j ) => f
no es derivable en
xq =1
B lio s o lB
X C iC L O P E D M A 2 0 1 2 ]
I I ) f es derivable en [ a ; 6 ) si f es derivable
en (a ; b) y existe
(a )
f+
I I I ) f es derivable en (a ; 6 ] si f es derivable
en (o ;
b) y
existe
(6 )
f
IV ) f es derivable en [a ; 6 ] si f es derivable O B S E R V A C IÓ N :
* Desde un punto de vista geométrico , las derivadas laterales representan pendientes de rectas tangentes por cada lado del número analizado . En muchos casos estas tangentes laterales no coinciden y la curva presenta puntos angulosos . Por el contrario , en aquellos puntos de la gráfica donde las derivadas laterales coinciden se dice que la curva es «suave». Cuando una función sedefine por tramos es muy probable que la gráfica que resulte no sea suave en los puntos de unión de los tramos e incluso la función ahí puede ser discontinua .
en ( a ;
b)
y existen
f+ (a )
y
f
(b)
EJEM PLO 1 :
Sea f una función cuya gráfica se muestra en la figura adjunta , indicar los intervalos en los que f es derivable .
•Si f no es continua en x 0, entonces f no es diferenciable en xQ. * Si fes continua en x0, no se puede afirmar que f sea diferenciable en x0. R E S O L U C IÓ N :
f
es
derivable
(o
en
diferenciable)
(-«>; 4 ) , [ 4 ; 6 ) , { 6 ; 9 ] y (9 ;oo) EJEM PLO 2 :
Sea f la función definida por : 3x + l ; - 2 5 x < 0 / (* )= ! 2
EJEM PLO :
x2 -1 ;
La función fíx) = \x - 1| es continua en x 0 = l , pero no es diferenciable en
Xq = I
, como ya se vio .
* Luego f *(x) existe Vx e R - (i) 9
d if e r e n c ia b l l iiia d e n
un
IN T E R V A L O En muchos problemas se requiere que una función sea derivable , no es uno , sino en todos los puntos de un intervalo . Definamos este concepto con precisión :
0
¿Es diferenciable en [-2 ;2] ? R E S O L U C IÓ N :
* Veamos esto : * Es fácil determinar que : 3 ; - 2 < x <0 f (x ) = 2x ;
O < x <1
para: x = O r -
fih )-f(O )
f- (0 ) = &
r.
Ti
= t f
i M
=Limf
„ =3
3h T
D E F IN IC IÓ N :
Sea fuña función se dice que : l) fes derivable en (a ; b) si para cada x en (a ; b)
existe f '(x )
f;(0)=LiraM h-*0* •Como
f_' (O) * f + (0)
h
0
h~*0+ h entonces
f
no
es
Kf Tifvo.v
IIJB H flA IM A í]
WB& 1081 N IflW ^RS^^R
diferenciable en x = 0 por lo tanto f no es diferencíable en [-2 ; 2] . Obsérvese que no ha sido necesario calcular EJEM PLO
( 2 ) y f_ (i )
3 :
Dada la función : .
\\x\; x > 2
f (x )=
♦ Como f no es continua en xQi no existe f 9enx0 , ya que f no está definida en x0. ♦g y h son continuas en x0
2 x < ,2 x J; %
Analizar si es diferenciable en todo * r * R E S O L U C IÓ N :
♦ Existe la derivada de g en x0
♦ Graficando la función tenemos :
♦ No existe la derivada de h en xQ EJEM PLO 1 :
x2+ 1 ; x 50 La función f definida por f ( x ) = 2x ; x > 0 ¿Será diferenciable en x = 0? R E S O L U C IÓ N : •Como Lim f ( x ) * Lim f ( x ) , se tiene que no existe
x~>
x~*o*
L i m f ( x ) y en consecuencia f no es continua en
x-kO
x= 0.
♦Vemos que no es diferenciable en x = 2\ entonces no es diferenciable con todo r . D IF E R E N C IA R IL ID A D F C O N T IN U ID A D D E UNA F U N C IÓ N
EJEM PLO 2
Los conceptos de continuidad y diferenciabilidad están relacionados entre sí . Veremos que si una función es continua en xot entonces puede ser diferenciable o no en dicho punto . TEOREM AS
Por el teorema (II) anterior , decimos que f no es diferenciable en x = 0. :
Encontrar los valores de a y 6 para que f 9(1) exista, si: f ( x ) = \ x2 !X<1 [a x + 6 ; x * 1 R E S O L U C IÓ N
í
I) Si fes diferenciable en x0, entonces fes continua en x0.
:
♦Si f Y1) existe , entonces f es continua en x = l . ♦Luego f (V ) = f ( l * ) de donde 1 = a + b . ♦ Como f(l~) = 2 y f ( l * ) = a
II) Si f no es continua en x0, entonces f no es diferenciable en x0.
♦ Se obtiene a = 2
I I I ) Si
se obtiene a = 2 ; b = -1
f es continua en xQi entonces no necesariamente es diferenciable en x0 (es decir, si f es continua en x0, entonces puede ser diferenciable o no en dicho punto x0)
♦Resolviendo las ecuaciones o = 2 a o + 6 = 1,
EJEM PLO 3 :
¿La función f definida por fíx ) = |x| es diferenciable en x = 0? R E S O L U C IÓ N
:
♦Tenemos que : f ( x ) =
' x
; x £0
-x ; x<0
♦Ahora: Lim f ( x ) = L i m f i x ) = f ( 0 ) = 0, luego X—>0 ’ x-kO* X f es continua en x = 0 .
Jmím-qm e jN tJi.
lio sa 1
X C I C L O P E O I A S O IS ]
casos ha resultado demasiado tedioso . A «ÜUMIIUW continuación de iqsitt reglas , w» las n uu ^exponemos . 1«UUB una u.m serie u« f. \0) = L im --------- = L im — -— s lAm \ -l) = - l cuales, junto a las anteriores , nos permitirán k -+ 0 h h~+0 ~ k h -+ 0 , . J , , , . ^ calcular con prontitud las derivadas : t; (0) = Limtt- +h¡- - ( (0¡ = Um ^ = Um{l) = l
* Analizamos la diferenciabilidad en x = 0 : f(0 + h)-fiO) r . (-A )-O r . , „
h~*0*
h
h-+0*
k
h~+0*
R E G LA S D E DERIVACIÓN
Conozcamos los principales teoremas que se utilizan en el marco de la diferenciación de ciertas expresiones . Para esto , sean f , g funciones diferenciabas en un intervalo , una constante , entonces : «Derivada de la suma» 2
|[ f ( x ) g ( x ) ] ' = f ' i x ) x g ( x ) + g ' i x ) x f ( x )
^ 5
6
i
m
f'ix )
f '(x)g(x) - f ( x ) g ’ (x )
I 7 (* )
_g(x)
J
[*<*>]*
r ( x )= o
f (x ) = x f i x ) = cx;c
g
R
f ( x ) = x n; n
f'(x) = c
/■’(* )=
n
TEOREM AS FUNDAM ENTALES
f ( x ) = c;cG R
H
A continuación estudiaremos las reglas necesarias para operar con funciones diferenciales en un cierto intervalo . Para el efecto emplearemos una lista de derivadas de algunas funciones especiales , que permiten deducir otras más complejas . Asimismo aprenderemos a evaluar las derivadas de funciones en puntos x0 de su dominio .
D erivada
Ii
* Como f. (0) * f+(0) entonces no exite f 9(0) , es decir f no es diferenciable en x = 0 .
Función
g
f(x )= | x |
R
1r ; x ±0 24x
f ' ( x ) = nxn- ‘ f 'ix ) = r £ 7; * * 0 1*1
f ( x ) = ex
f ' ( x ) = ex
f i x ) = Lux
f ' i x ) = —; x * 0 X
f (x ) = a x
f ' i x ) = a xLna (a > l
a
a * 1)
f ( x ) = senx
f ' i x ) = cosx
f ( x ) = cosx
f ' i x ) = - senx
f ( x ) = CSC X
f ' i x ) = -e s e x ctgx
f i x ) = tg
f ' i x ) = sec2 x
f ( x ) = cotx
f ' i x ) - -esc 2 x
f í x ) = secx
f ' i x ) = secx tgx
f[g(*)]
f ' [ g ( x ) ] = f [t{Il]g ' ( x )
D E R IV A D A S DE F U N C IO N E S T R IG O N Ó M E T R IC A S IN V E R S A S
1) f(x) —arcsenx => f (x) =
; - 1< x < 1
3) fíx) = are tangx => f íx ) =
; xeR
Todas estas reglas pueden demostrarse a partir de la definición de derivada . D E R IV A D A S D E A L G U N A S F U N C IO N E S E S P E C I A L E S
Hasta el momento, el proceso seguido para encontrar la derivada de una función se ha basado en aplicar la definición f ' ix ) = Lim — Xh-+0
h
t lo cual en algunos
1+ x 2
4) fíx) = are ctanx => f ’(x ) =
1 1+ x
5)fíx)=arcsecx=> f '(* ) = — J xsx*- 1 6) fíx) = are esex
; xe R
x< -lvx> l
pg
ff;i>w:/QATO => f ' ( x ) = -
x J x * -l
1089 fíB S
; x < -1 v x > 1
♦Aplicando la regla de la derivada de un cociente
Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes:
C) flx) =
f \ _ f'g -fg g g2 ( 2 x + 3 ) ( x 2 +--------------------------------2 ) - ( 2 x + 3 ) ( x a + 2) y , „ --------------------
B) flx ) = 4xs + 3x2
3 x 4- 2 x 3 + 5 x
]
R E S O L U C IÓ N :
EJEM PO 1 :
A) flx) = 4x3
MPEM€M\rj\ tP A S
D) f lx ) = (x3+2x-3) (x3-x)
x 2 - 3 x + 2 F) flx) = 3x4 E) /■(*) = x+2 .3 G) flx) = 3x4 + 2x H) flx) = 4x?-3x*+x+2
(x2 +
2)
2 ( x 2 + 2) - (2x + 3) (2x)
-2 x a -6 x + 4
( x 2 + 2)
(x
+ 2)
-
D f l x í ^ + S x + l f l x 2^ )
J) f ( x ) = x a + 3x + 1 xa-9x
EJEM PLO 4 :
Sea f ( x ) =
, hallar f 9(x)
R E S O L U C IÓ N :
x — 5x +1 R E S O L U C IÓ N :
A)
f ’( x ) = 3 ■4 x 2
♦ Aplicando la regla de la derivada de un cociente :
B)
f ’ ( x ) = ( 4 x 3) ' + ( 3 x 2) ’ = 1 2 x 2 + 6 x
= 12x‘
1
g
C ) f ' ( x ) = ( 3 x 4) ' - ( 2 x 3) ’ + ( 5 x ) ’ = 1 2 x 3 - 6 x ! + S D ) f ’( x ) = (x 2 + 2 x - 3 ) ’ ( x 3 - x ) + ( x 3+ 2 x - 3 ) ( x 3 - x ) ’
= (2x + 2)(xs- x ) + (xa + 2x + 3)(3xa- 1) (x 2- 3x + 2)'(x + 2 ) - ( x * - 3 x + 2)(x + 2Y E ) f ’(x) = (x + 2f _ (2x-3)(x + 2) - ( x 2 -3x + 2)( l )_ x 2+ 4 x - 8 (x + 2)2 ~ (x + 2)2 F) f ’(x) = 3 ■4xs = 12x3 G) f ’(x) = (3x4) ’ + (2x ) ’ = 12x3 + 2 H) f'(x) = (4x3r-(Sx2r + ( X ) ’ + (2)' = 12x2- 6x + 1 I) f'(x)=(x*+3x+l)'(x2- 9x)+(x2+3x+1)(x2- 9x)’ = (2x + 3)(x 2-9x) + (x 2-3x + l)(2 x - 9) J ) f '( x ) =
(x 2 + 3x + l)'(x 2 - 9 x ) ( x 2 + 3x + l ) ( x 2 -9 x )' (x 2 - 9 x f (2 x + 3)( x 2 - 9 x ) - ( * * + 3 x + í)(2 x - 9)
(x2 - 9 x ) EJEM PLO 2 :
flx ) = líx n = flx ) = X *
2x + 3 sí y - x ¿ + 2 * hallary> •
* Tenemos flx ) = 3(xa - 5x + 1) -t f ' ( x ) = s [ ( * 2 - 5x + l)"J] = 3
U
2
- 5x + l )
(x 2 - 5x + 1) = -3 x
2x-5 ( x 2 - 5 x + 1)
F U N C IÓ N D E R I V A D A E V A L U A D A E N UN P U N T O
Con f*(x) designamos al valor que f 9 le hace corresponder a x . Si xQ e Dom f 9t entonces f 9(x0) es un valor numérico que se obtiene al reemplazar x por x0 en la regla de correspondencia de f* ; esto quiere decir que la función derivada está evaluada en x0.
La última expresión nos indica que para hallar f 9 ( x 0 ) t primero debemos calcular f * ( x ) y a continuación reemplazar x por x 0 (donde x 0 e
Dada la función flx ) = x s + 4 >¡x , hallar : 1) f 9(1) I I ) f Y4) III) f Y V
R E S O L U C IÓ N :
EJEM PLO 3 :
[gG*)]2
EJEM PLO 1 :
flx) = lfxn; n e N
-n .#i+i
'(*)J
g'(x)
Dom f 9) .
Hallar la derivada de la función :
= > f ’ (x) = -7IX "-1 => f 9(x) =
1
x n;
-n ,»+!
R E S O L U C IÓ N :
♦La derivada de flx ) = x 3 + 4 -Jx es :
f'(x) = 3 x 2 +
2yfx
= 3x2 +
2 45
XCICLOPEOIA 2012}
\108*\
I) Para * = 2, nos queda f ' (1) = 3 + - j j = 5
EJEM PLO : y = (3x2 + x - 5 ) 4
W Para x = 4 , f (4) = f ' (* )|„. = [a*’ + 2
T í Ijr**4
= 3(.4)2 + 4 = = 49 n i) Para x = xe>f' ( x) = f ' (*0)| *o = 3x02 EJEM PLO
2 :
2x Calcular la derivada de y = en el punto x=3. 3x + l R E S O L U C IÓ N : •
.
•La función y es el cociente de las funciones f = 2 x y g = 3x + l ; por lo tanto para calcular y' se aplica la fórmula para hallar la derivada del cociente de dos funciones . y
=
D E R IV A C IÓ N D E UNA FUNCIÓN COM PUESTA La derivada de una función compuesta está basada en el siguiente teorema : Si u es diferenciable en * , y g es diferenciable en u(x)yentonces g o u , es diferenciable en * , luego se
(3 * + 1)2
6x + 2 - 6x
[ £ ( w ( a ; ) ) ] ' = £ ' ( u G v ) ) .u' ( x )
(3x + l ) 2 2 (3) = 100 50 (3 (3 ) + 2) (3x + l f 2
EJEM PLO
P a r te E xtern a
EJEM PLO
3 :
Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva ffx ) = sen x co sx , en el punto de abscisa x 0 = — . R E S O L U C IÓ N :
* De ; ffx ) = s e n x cosx, ten em os: f 9fx) = fs e n x )9co sx + fs e n x jfc o s x )9
•Luego : dx
Esto a veces se representa esquemáticamente como una " cadena99de variables , lo cual da nombre a la regla que ver ent os más adelante : y -> p -> x y podemos leer , y depende de //; // depende de * . Estudiaremos la derivada de una composición de funciones , la cual es de gran importancia en la resolución de problemas físicos , químicos , etc .
TEOREMA :
2 (3* + J) - 2x (3)
-+ y ' =
•entonces podemos considerar : y = j f donde // = 3 0 + x - 5
(x)=cosx coa* + sen*•(-senx) = coa**- sen2x
'
dx
|„£
x - s e n2-x - ) U = ----------------------------(cos 2 ----------
'x 4
4
=eos2 ( í ) - sen -> %
= —- — = 0
2
2
1 :
Supongamos que deseamos encontrar la derivada de la función f definida por ffx) = (5x4 + 7)ia. ¿Será necesario elevar el binomio a la potencia 15 , para posteriormente derivar ? Lo anterior no es necesario t para esto existe la r e g la d e la cadena . • Por el teorema: g(u(x)) = (5x4 + 7 )" => u(x) = 5 x 4 + 7
luego: g(u) = u 1B * Ahora : g’(u) = 15 U’4 y
* Entonces : »nT _«*/■ = ^ -(*)1
P a rte In tern a
dx
u ’(x) = 20xs
[5x4 +7]U = g ' ( u ( x ) ) . u ' (*) = 15u14. 20x3
= 15 (5x4 + 7)U . 20x3 = 300xs Í5x4 + 7Y* •Observa que para obtener el resultado primero se deriva la función externa (la función potencial) y el resultado se multiplica por la derivada de la función interna (que es 5x4 + 7). EJEM PLO 2 :
R E G LA
D E
L A
CADENA
Cuando una variable y depende de una variable independiente * en una forma muy complicada, es conveniente considerarla como una función compuesta de dos o más funciones .
Calcular la derivada de la función: y = f3x - 2)3 R E S O L U C IÓ N :
•La función cúbica es externa y 3x - 2 es la función interna. y ’ = 3 ( 3 x - 2 ) 2 3 = 9(3x-2)2 Externa
¡¿tern a
lU ffs E J E M P L O 3:
Calcular la derivada de la función h(x)=(5x - 2)a
N O T A C IÓ N D E L E I B N I Z P A R A L A R ECLA D E L A CADENA
•Por lo tanto :
Sea y = g(u(x)). Queremos expresar , ahora , el teorema anterior de manera más simple . * Para esto hacemos v = u(x)[v depende de x, dv , . ,i entonces — = g (x)¡
A(*) = fgo/)(x) = g(/rxJ) -> A(x)=(5*-2/
* Nos queda : y = g(v) [y depende de v , entonces :
R E S O L U C IÓ N :
•La función h(x) es una función compuesta por : fíx ) = 5 x - 2 y g (x ) = x 3
dx
h'(x) = g t(fíx )).f,(x)
- + A ’ (x )= 3 (5 x -2 f
5
D e riva d a d f D ir íu id a d f
lo /knd¿n
lo /bortón
Jntómo
C O R O LA R IO :
* Reemplazando en el teorema anterior : = ^ [ # (« (* )) ] = g ( u ( x ) ) . g ’ (x )
Suponga que g es una función diferenciable y que I) Si fíx) = x", entonces f *(x) = nx1*-7
dy dy dv •Nos queda : dx dv dx EJEM PLO 1 :
27) Si ffx) = [g(x)]n, entonces :
Halle la derivada de la función : fíx) = (3xs + x - 6 ) 4
ne Z .
f ’ M = n [g (x )]*-1.g*(x)
R E S O L U C IÓ N :
EJEM PLO 4 :
Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes ; -. 7) fíx) = (4x* - 3x + 6)s
* Sea y = fíx ) , luego podemos escribir : , Y = M* donde g = 3x* + x - 5 7^ L = 4g3 y ^ L = 6x + l , como ^ = dg dx dx dg dx
3
• Entonces :
a ,f M ■( f r ? J
dx
= 4g3.(6x + 2) = 4(3x* + x - 5 ) s.(6x+l)
V f(x ) = ffx* + 1 / + 4]*
EJEM PLO 2 :
IV)fM =J(2 x + s r
^ -$ x 4 - 3 x s + 2
Calcular :
R E S O L U C IÓ N :
. ''' '
I) f ’ (x) = 5(4x 2 - 3 x +
6 ) 4( 8 x
- 3)
R E S O L U C IÓ N :
•Seay = %Ix4 - 3 xs + 2 = ( x 4 - 3 xs + 2 )IÍS, debemos
w r
(S g j calcular 3 (.x - 1 ) - (3x +1) (.x - 2 )S
f ' (* ) =
3 (3x + 1)* (-7 )
-2 l(3 x + l ) (x - 2 )*
n i) f '(x) = 4[(xí + 1/ + 4J3. 6 (x* + 1) 5 .2 x = 48x(x* + l ) s[(x* + 1)* + 4]3
dx
* Efectuando el cambio de variable : u = x 4- 3 x3 + 2 ........................... (u depende de x) * Nos queda y = $fü = u s/3 ( y depende de u)
• Utilizando la notación de Leibnitz : dy _ dy^ du dx
(l)
du d x
•Pero- ^L = ^ - U,ia = - u il3 IV) f ’(x) = (2x+3)~* - + f ’(x) = - 2(2x + 3;-* (2) 4 f ' (* ) = (2x - 3)
du
du
3
>•
^
dx
= 4 ~ ( x * ~ 3x3 + 2) = 4x3 - 9x* dx
•
•
- 1 ' V-9^r.t
|io«g|
c
* Reemplazando en (I) :
EJEM PLO S :
^ = h t ^ 3Á4x 3 - 9 x 2) dx 3
1 ) Si y = %[x = x IIS, entonces
= H x 4 - 3xs + 2 )'m Á4x 3 - 9x2) 3
* Es decir: dx
Í J ~ - 3x 3 + 2) 3
2
R E S O L U C IÓ N
dx
= —x 3 3
2) Si y = y jg (x ) y g es diferenciable entonces de y - ¿¿i» don(j e ji — g (x ) se sigue que :
.(■áxa - 9 x 2)
£
dx
*
d g dx
V --. n
. w - i { g t o f i . g ' (*) n
* Es decir:
4x 3 - 9x 2 3\¡(x 4 - 3x 3 + 2 ) EJEM PLO 3 : 20 Hallar : — (3x 2 + 2 x - l ) dx
NCMCLOPEOMA 2012t\
2
{ ¡ g ( x ) } = ^d-[g(x)Tn [ g ( x Y f ln = = ^n*[ g i x f y 1 3 > 4 -{tIx 2 + l } = ^ - ( x 2 + / ) " 3 = M dx dx 3
,
•( x)
g
,-2/3
x 2 + Í)
.2 x
:
♦Sea y = (3x* + 2x - l ) 20, debemos calcular
} = - l ( x ’ + 1)-«4.2x 4
dx
* Haciendo el cambio de variable : u = 3x* + 2 x - l (u depende de x) * Nos queda : y = u 20 (y depende de u )
Halle la derivada de la función y = [g(x)J mn asumiendo que g es diferenciable .
* Utilizando la notación de Leibnitz :
R E S O L U C IÓ N
É t = & á E = {20u» ) ( 6x + 2 ) dx
du d x
= 2 0 Í3 x 2 + 2 x - 1Y 9 (6 x + 2 )
TEOREM A :
E J E R C IC IO
dy dy dg m , , . mr t ,, . -r 1 = = — g n -g (x) = — [* (* )]" >g‘ (x) dx dg dx n n m d ir / \m/n~u /n
Si f es una función continua e inyectiva , definida en un intervalo , entonces su función inversa f * también es continua .
Si fes una función inyectiva diferenciable, entonces su función inversa f es diferenciable :
:
* Es claro que y = g mln donde g = g(x), luego :
dx "
TE O R E M A :
:
n
D E R I V A D A S D E F U N C IO N E S TR A S CENDENTE S
De acuerdo a lo estudiado anteriormente tenemos que las funciones logarítmicas y exponenciales son continuas en todo su dominio de definición . Se demuestra que dichas/unciones son también diferenciables . Tenemos las siguientes reglas de derivación. I) Si: fíx) = e*t entonces : f *(x) = ex
O B S E R V A C IÓ N :
Si asumimos que f *es diferenciable , la fórmula obtenida en el teorema anterior se puede deducir a partir del hecho que :
f ( f ’ (y)) - { f o f* (y)) = y : VyeRf En efecto , si derivamos ambos lados , obtenemos que: f *(f(y)) . (f)*(y) = 1 y entonces ( f ' ) ' ( y) = •1
, V y e R f 00X1 f* (f (y)
fíf'(y))
II) Si: fíx) = e*(*\ entonces : f J(x) = g'(x)e*(xJ IB )
S i : fíx ) = Lnx , entonces : f f(x) = — x
IV) S i : fíx) = Ln[g(x)J , entonces/ *(x) =
g'(x)
V) S i: fíx) = Logbx , entonces : f *(x) = — Logbe X
VI) Si : fíx) = bxt entonces : f 9(x) = (Ln b).b
[y ;»ff’i o . v k atrm rÑ taÑ EJEM PLO 1
:
Derivar : flx ) = e*a+2r
R E S O L U C IÓ N : f(x ) = e ' S+21. — [ * 3 + 2 * ] = ( a * 2 + 2 ) e * a+2*
ax EJEM PLO 2 :
P R I M E R A D E R IV A D A : dy , df *f ; Df dx9 * dx S E G U N D A D E R IV A D A
Calcular la derivada de : y = Ln x 3. R E S O L U C IÓ N : 1
3
y = Lnx 3, luego y ' = —3 3x2 = ~ X
EJEM PLO 3
construimos lo que llamaremos derivadas de orden superior : Si continuamos derivando, obtenemos las funciones f t9f(x) = f 3,(x) ; (x) = f 4>(x), etc . Cualquiera de las siguientes notaciones se usan para las derivadas de y = fíx ) .
2.. <ÍJL.
a
y» .
j2
r
_
dx 2 * 9 dx 2 * * D E R IV A D A D E O R D E N n
:
D f
Calcular la derivada de y = Vex +1 R E S O L U C IÓ N : * Hacemos y = [ex + ¿]
V2
* Se aplica la fórmula de la derivara de una raíz . + 1 ) = M e * + I T 1* e * = * 2 2 je * + l
*
= i u - + 1 )w ' 1 dx 2 dx
EJEM PLO 4
dx2
Calcular la derivada de y = coa(Ln x*)
A
* Si y = coa(Lnxf)
y *_
.
- v
v
donde el símbolo -r- indica dx
dx
lá operación derivar .
R E S O L U C IÓ N : * La función y = coa(Lnx2) ; es de la forma y=cos u donde u es una función de la forma u = Ln v donde v es una función de x . F '
sen (L n x 2 )
=> y * = — aen (L n x EJEM PLO 5
Sabemos que representa la segunda derivada, es decir, es la “derivada de la prim era derivada así: d y =
:
i
Ten presente (por definición) ¿qué representa ¿ y2 dx
■
:
EJEM PLO Función (v) 2x*- 4j t - I + J 2 3
1 : derivada«
(y*) 6x* - 8 x - d
coax
-aenx
— coax
EJEM PLO 2 :
R E S O L U C IÓ N :
Sea y = x3t hallar : y 999
— [Ln(aenx)]=—- — (aenx) = —-— . C08X= Ctg X dx aenx dx aenx
R E S O L U C IÓ N :
Si la derivada de la función f definida por fíx) = xs es una nueva función f 9, definida a su vez por f 9(x) =5x 4; es fácil concluir que si podemos derivar la función f 9, obtenemos una nueva función f*9, definida por f 9(x) = 5(x 4) 9 = 5x4x 3 = 20x3, a la que llamamos segunda derivada de f , mientras que a la anterior, primera derivada de f . Sabemos que la derivada f * es diferenciable, obtenemos otra función (f* )9. Continuamos con este proceso,
I2x - 8
12
0
Primera Segunda Tercera Cuarta Quinta Función derivada derivada derivada derivada derivada .;a,
Calcular f 9(x) , s i : fíx) = Ln(aenx)
D E R IV A D A S D E O R D E N S U P E R IO R
j Tercerá d A k írderivada derivada (y1”) . (y««)
aenx
coax
-aenx
* Tenemos : y = x * => y 9 = 5x 4 => y 99 = (5x4) 9= 5(x 4) 9 = 5(4x3) = 20X3 * Ahora : y 999=(20x 3) 9= 20 (x 3) 9= 20 (3x*) = 60x* EJEM PLO 3 :
Sea y = aenx , hallar : yf5> R E S O L U C IÓ N :
* Tenemos : y= aenx y 9 = coax => y 99 = (coax)9= - aenx =>y9” = (-aenx) 9 = -(aenx ) 9 = - coax -* y4 = (- coax)9= (-coax)9= - (- aenx)= aenx
(A
J O
4tS M €M M M ¿A
=> y fs>
í.t o
=(senx)’=cosx
D E R IV A C IÓ N
llOBBl
IM P L ÍC IT A
En las funciones que hemos estudiado hasta ahora , la variable dependiente se expresa en términos de la independiente , y = ffx) . Los problemas prácticos conducen a ecuaciones en las cuales “y ” no está explícitamente despejada , no se expresa a “y ” en función de *x” Por ejemplo , la ecuación de la circunferencia con centro en P = fO; 0) y radio 0 , está dada por : y* + ** = 3 6 . Como en esta ecuación , no se ha expresado a “ y” en función de “x”; y = ffx) , se dice que la variable dependiente “y ” está implícita como función de ww
'X C J C L O P E D I A 2 0 1 2 ]
•
* En algunos puntos de la circunferencia , se han dibujado las rectas tangentes . Estas rectas tangentes tiene diferentes pendientes de acuerdo a la ecuación :
y-y0= mtx-xj ♦ La pendiente de la recta tangente varía de
EJEM PLO :
Dada la ecuación de la circunferencia : y2 + xl = 4 , encontrar la expresión para calcular la tangente en cualquier punto . R E S O L U C IÓ N :
* Un procedimiento que se puede aplicar consiste en despejar a la variable “y ft para expresarla en función de "x 99 . En este caso se obtendría la _____ ecuación : y =
±>¡4-x2
* De los dos valores de la raíz se escogería uno de ellos para trabajar con la semicircunferencia. Luego se procede a derivar respecto a x . * Otro procedimiento , más práctico , consiste en calcular la derivada implícitamente . Para la ecuación y2 + xa = 4 , se derivan ambos miembros de la igualdad respecto a la variable independiente
acuerdo con la expresión : — = dx
y
D E F IN IC IÓ N : Una ecuación Qfx,y) = 0 , define implícitamente una función y = ffx) s i, sólo si al sustituir «y» por ffx) en la ecuación , se llega a una identidad . Por suerte, no es necesario despejar “y " de una ecuación en función de x para hallar su derivada ; en su lugar se puede emplear el método de derivación implícita. Dicho método consiste en derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x para después despejar y* de la ecuación resultante. En los ejemplos de esta sección y de los ejercicios correspondientes, se supone que la ecuación dada determina a uy 99 en forma implícita como función diferenciable de ttx t\ de modo que se pueda aplicar el método . EJEM PLO 1 :
dy
Si x 2y + 2y 3 = 3 x + 2y , hallar — ♦Se aplica , derivada de una suma de funciones :
* Para derivar el primer término del lado izquierdo de la igualdad se aplica la regla de la cadena ; y en el segundo término , la derivada de la función cuadrática . * La derivada respecto a x del miembro de la derecha es cero , porque 4 es una constante. 2yy9+2x = 0 * En la ecuación se cancela el 2 y se despeja y*. * Geométricamente , la ecuación y 2 + x* = 4 corresponde a una circunferencia de centro en el punto f 0 ; 0) y de radio igual a 2 , ilustrada en la figura .
R E S O L U C IÓ N : * Pensamos en “y " como una función de “x 99 , v derivamos ambos miembros de la ecuación respecto x :
♦Obtenemos: ♦ Se factoriza
dx
dy
{x 2 + 6y 2 - 2 ) = 3 - 2xy
y luego se despeja
dy
:
dy _ 3 - 2xy dx x 2 + 6y 2 - 2 EJEM PLO 2 : dy I) S i: x* + y 2 = 25 , hallar y ’ v dx
Determinar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 + y 2 = 25 en el punto (3 ; 4)
II)
toa»
ttw jn i& ip s R E S O L U C IÓ N :
EJEM PL O
I) En la ecuación x* + y* = 25 derivamos con respecto a x , así:
Sea :
2x + 2y y ' = 0 -> y »= —*
sen k t
3
R E S O L U C IÓ N :
.
Dt y = (coskt) • k a D gx = cost coskt Dxy = k. cost
Luego , la ecuación de la recta tangente es : y - 4 = - —( x - 3 ) 4
EJEM PLO
D E R IV A D A S
3 :
dy
Calcular la derivada implícita - r - en la ecuación x
; k : es cte
Calcule Dxy
U) Para el punto P(3 ; 4) ; la pendiente m de la
recta tangente es : y* en (3 ; 4) igual a
= sen t
P A R C IA L E S
Sea / una función en dos o más variables . Tenemos una función de tres variables :
+. y. . 2 - 2o y- . = 0
w = f( x ;y ;z )
Se tiene:
R E S O L U C IÓ N : * Dado que "y" depende del valor de "x’\ entonces
se derivan ambos miembros de la igualdad, respecto de la variable x :
df_
dx
derivada parcial de f respecto a x .
df
2
derivada parcial de f respecto a y .
¿r
derivada parcial de f respecto a z . dz * Se aplica la regla para derivar la suma de ^ para ^ der¡vadas p arciale8 de una función funciones . respecto a una variable en referencia ; las demás variables se asumen como si fueran constantes . Las derivadas parciales tiene aplicación en matemáticas superiores como , por ejemplo , en la resolución de * Para derivar el primer término del lado izquierdo ecuaciones diferenciales . de la igualdad , se aplica la derivada de una potencia E J E M P L O : y para el segundo y tercer término , la regla de la Obtener las derivadas parciales de la función : cadena: 0 , j.. • ’ * L + 2y * y - 2 ^ ~ & S f(x;y;z) = 3x 2yz 1 ~ ^ y 3z 4
dx
dx
* Se factoriza la derivada de “y ” respecto a “ x".
R E S O L U C IÓ N : - - 6xyz - -4ya»3» z
dy
* Se despeja
dy _ x : t e ' 4 (1 - y)
D E R IV A D A S P A R A M É T R IC A S Sean fy g , 2 funciones derivables en L La derivada de C definida por:
y
— =
dy
3
7
2 xyz
d f = 2ni1 x 2y z 6 - —x 1 y3 —L dz 7
APLICACIÓN DE LA DERIVADA
y = g(t) en el punto P - ( x (tg) ; y(lg))
„ 2 7
3 x z
'Las variables "y” y ' ”zMse comportan como constantes
i)R E G L A D E L BERNOULLI
* se define como :
Sea
f(x)
H O S P IT A L
en donde la expresión
flx )
-
toma la
0 9 O )| 0
00
u
e n c ic l o p e d ia )
forma — o — para x = a y además fíx) y g(x) son
* Al trazar la gráfica , de izquierda a derecha , observar que la función f crece en un cierto intervalo
expresiones derivables en "a”,
(la flecha apunta hacia arriba).
f. i f( x)= Lfim ff'M r. f'M r' L m - - - - « Lim - — = Um gte) *-♦« g (x) *-*• g te) *-*• 8
te)
= ..
Se deriva separadamente las funciones fíx ) y g(x) ; hasta que el límite de la fracción sea determinada . EJEM PLO ; yi » . r*m — 9en Calcule: U - —5x x^o
2x
FUNCIONES M O N Ó T O N A S
R E S O L U C IÓ N : * Al evaluar para x = 0 , resulta tenemos la
indeterminación — . 0
intervalo (la flecha apunta hacia abajo) .
* Aplicando la regla de L *Hospital: sen5x r . (s e n 5 x ) ’ L im — -----= L im — ———— x-*o 2 x *-*o (2 x) r .
Lim
5cos5x
x-*0
5cos0 5 r . sen5x = - => L im ---------2 2 x->o 2x
5 2
Sea f - O f -> jRuna función . Se dice que f es :
Además las formas : 0 • 00 / 00 — 00 / 0 0 :ao 0 o* 1t pueden ser transformadas a las formas
I) CRECIENTE ; si a , 6 e
tanx
9
,
R E S O L U C IÓ N :
y a < b, entonces :
fía ) ¿ fíb)
0 ®
EJEM PLO :
lu.(***)]■
L i m f a e n x f " * = L im e Ut,mnxf“ ' = L im e t g g 1 2 i
U) ESTRICTAMENTE CRECIENTE : S\a , b e D f y a < 6 , entonces: fía) < fíb) IB) DECRECIENTE :
Si a , b e D j y a <
D E C R E C IM IE N T O S
F DEC R E C IM IE N T O S *' Este acápite está dirigido a reconpcer cuándo y dónde una función es creciente o decreciente , siendo esto de vital importancia para efectuar el desarrollo de máximos y mínimos . ’ierttef +)
6
, entonces : fía) >_fíb)
IV) ESTRICTAMENTE DECRECIENTE :
Si a , 6 e
= Lime *«** =e 1 ° = e° =1 A N Á L IS IS
Observa que la recta tangente a la curva, en cualquier punto donde f crece , tiene pendiente positiva; mientras que en donde decrece tiene pendiente negativa . Luego decimos : F U N C IO N E S M O N Ó T O N A S X
O B S E R V A C IÓ N :
Calcular: Idm (senx)
* Al trazar la gráfica , de izquierda a derecha , notamos que la función f decrece en un cierto
yo <
6
, entonces : fía ) > fíb)
[*•:i>ie7ot vi-;.v
| (^
1091
iP *;n t\ .\ M K \ S ]
Cuando se dice que una función es monótona se entiende que se trata de una función que es creciente o bien decreciente . Las funciones estrictamente crecientes y las funciones estrictamente décrecientés reciben el nombre genérico de
creciente en ] - oo ; 0[ .
“estrictamente monótonas
Determinar los intervalos en los cuales fes creciente y en los cuales f es decreciente .
• Más adelante veremos un teorema que permite determinar los intervalos en los que una función es estrictamente creciente y decreciente . EJEM PLO :
Dado el siguiente gráfico , determinar en qué intervalo crece la función y en cuál decrece :
EJEM PLO 2 :
Sea f la función definida por : ffx) = x 4 - 12x* + 36 ; x e[- 2;3]
R E S O L U C IÓ N : f 9fx) = 4x 3 - 24x = 4xfx 2 - 6)
= 4x( x + \Í6){x - yfú) r H
+ +-
+-o
-2
0
1
f 9fx) > 0 en {-2 ; 0)
* entonces f es estrictamente creciente en [-2 ; 0]
f 9fx) < 0 en{0;¿6) * entonces fes estrictamente decreciente en f 9fx) > 0 en (¿6 ; 3 ^
* entonces fes estrictamente creciente en • En el gráfico observamos que : y = ffx) decrece si : -6 < x < -3
y = ffx) crece s i : -3 < x < 2 y - ffx) decrece si : 2 < x < 5 y ~ ffx) decrece si : 5 < x < 7 D EFIN ICIÓ N :
EJEM PLO
[76
; 3 ~\
3 :
Sea f la función definida por: ffx) = 4x + — . Hallar los intervalos en donde fes creciente o decreciente . R E S O L U C IÓ N : * Tenemos que f f x ) = 4 - —§■, Ahora :
* f' f x) > 0 %si 4
X
j > 6 , de donde —j < 4 . X
Sea fuña función diferenciable en Ja ; b[ I) Si f 9(x) > 0 ; V* e ]a ; ó[, entonces f es creciente en ¡ a ; b[ I I ) Si f 9f x ) < 0 ; V x e ] a ; 6 [ , entonces f es decreciente en ]a ; b[ EJEM PLO 1 : Sea f la función definida por ffx) = x 2 . Hallar los
intervalos en donde fes creciente o decreciente. R E S O L U C IÓ N :
Para responder la pregunta , basta con encontrar la derivada : f *fx) = 2x . Aplicando la definición anterior , tenemos : * f ’fx) > 0 si 2x > 0 , de donde x > 0 . Entonces f es creciente en JO ; oo[. * f 9fx) < 0 si 2x < 0, de donde* < 0. Entonces fes
* Resolviendo : x e
* Luego f es creciente en • Por lo tanto decreciente en
M Á X IM O S Y M ÍN IM O S R E L A T IV O S D E UNA FUNCIÓN Gran parte de las aplicaciones de las derivadas a los fenómenos naturales y tecnológicos radica en el cálculo de los puntos donde una función tiene un mínimo o un máximo relativo , lo cual es de gran utilidad , como por ejemplo para saber cuándo el costo de una mercancía es mínimo y cuál es dicho mínimo .
'Ve* [ l 0 9 2
c
¡
L A I ' X t K M H ’ IC n iA )
*En el segundo caso, en el que f 9fc) no existe , el gráfico de y = ffx) presenta un pico o un punto anguloso en x = c .
Máximo absoluto y —f f x ) o global f= 0
Máximo relativo o loca! Máximo relativo
Minimd relativo Míninio relativb o local ¡Mínimo bbsolutc local o global
Xj
X¡ 0
x3
x4
x5
Xg
* Las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos A , B , C #D , 25 y F es cero , es
decir , las derivadas en dichos puntos es cero . * Obsérvese también que la función f puede tener varios máximos o mínimos relativos (o locales) , pero un solo máximo o mínimo absoluto (o global) . Pero , sea máximo relativo o absoluto o mínimo relativo o absoluto , las derivadas en dichos puntos son iguales a cero .
X O B S E R V A C IÓ N :
Los puntos de extremo local de una función sólo pueden ocurrir donde la tangente es horizontal o no hay recta tangente o en los extremos del dominio de la función .
fie) = 0
*Sin embargo (aunque no es muy usual), si tenemos una función f cuya gráfica como la siguiente , se observa que , en el punto P , f 9no está definida , pero en P , se da un máximo global de la función f. EJEM PLO 1 :
Determinar los puntos críticos de la función : ffx) = x * - 6x + 7 R E S O L U C IÓ N : * Derivando la función resulta : f f x ) = 2x - 6 Como f *(x) existe para todo x , entonces los únicos puntos críticos de ffx) son aquellos en que f 9fx)
P U N T O C IU T IC O El valor x = ce D¡ , es un punto crítico de la función y = ffx) si: f 9fe) = 0 ó f 9fe) no existe ♦ En el primer caso , en el que f 9fc) = 0 , la recta tangente al gráfico y = ffx) es horizontal en el punto
se hace cero . f 9( x ) = 0 = > 2 x - 6 = 0 = > x = 3 EJEM PLO 2 :
Determinar los puntos críticos de la función : ffx) = 2x a - 6x a - 18x + 1 R E S O L U C IÓ N :
* Hallamos la derivada de la función : f 9f x ) = 6x 2 - 1 2 x - 18 * Igualamos a cero dicha derivada : f 9fx) = 6x 2 - 12x - 18 = 0 6(x2- 2 x - 3) = 0 6fx-3)(x + l) =0 x = 3 ; x = 1 ............ (puntos críticos)
[fcfiw m w á? MrmwÑ4P&
M ÍN IM O Y M Á X IM O R E L A T IV O
O B S E R V A C IO N E S í I) Una función puede carecer de puntos críticos. EJEM PLO : Sea : fíx) = 3x + 5
que fíe) 5 fíx) para todo x e ]a ;
-* f ( x ) = 3 -» f'fx) = 3 = 0 - » x0e é “En ningún lugar del dominio la pendiente de la función se hace cero” Una función puede tener infinitos puntos críticos . II )
EJEM PLO
:
Sea: fíx) = sen x - * f 9(x) = eos x - » x
3x
*o =
“En todos los puntos de absisa : la pendiente se hace cero”
(6
Z)
3 :
Consideremos la función fíx) = x s ; x e R * La gráfica defse muestra en la figura adjunta . Es claro que f ( 0) = 0 , de lo cual se sigue que 0 es un punto crítico de f . Sin embargo , 0 no es punto de extremo
V
C O M E N T A R IO
6[
.
Si fíx) < fíe). Vxe ]a ; &[, entonces fíe) es un máximo relativo de la función en f . Al menor de todos los mínimos relativos en [a ; b] se le llama M ÍNIM O ABSOLUTO y al mayor , MÁXIMO ABSOLUTO. ♦ Si f está difinida en un intervalo / , y si c es un número del dominio , tal que f 9(c) = 0 ó f 9(c) no existe o c es uno de los extremos del intervalo I (si es que fuese cerrado); entonces decimos que c es un punto crítico de la función f .
9(x) = eos X = 0 5x
f
x °~~2* x ° ~~2~
EJEM PLO
El número fíe) es un mínimo relativo de la función f , si existe un intervalo /a ; b[ que contiene a c, tal
:
“El punto crítico puede ocurrir para un extremo relativo máximo o un extremo relativo mínimo”
♦ Del gráfico anterior, podemos deducir que para la existencia de un máximo o mínimo de una función , esta debe ser continua en un intervalo cerrado . Así tenemos el siguiente teorema :
T E O R E M A D E L A E X IS T E N C IA Sea / una función continua en un intervalo cerrado [a ; b] , entonces f tiene un máximo y un mínimo en dicho intervalo . Ahora nos preguntamos : ¿cómo podemos calcular los mínimos y máximos relativos ylo absolutos de una función en un intervalo dado? Para entender esto , basta con dar una chequeada a la gráfica anterior y podemos concluir : “Paro encontrar máximos ylo mínimos relativos de una función continua f , es un punto crítico x = c , basta con que la función sea creciente por un latió de **c99y decreciente p o r el otro (o v i c e v e r s a Esto trae consigo el siguiente
teorema.
C R IT E R IO D E L A P R IM E R A D E R IV A D A
Pico (máximo) V alle (m ínim o) $9
X
Siendo f continua en [a ; b], calcular los puntos críticos ce ]a ; fc[, donde f*(c) = 0 6 f*(c) no existe. A continuación : I) Representa en la recta numérica estos puntos , junto con los extremos **a99 y “b 99 del intervalo
♦ En A: ocurre un valor crítico x0 que determina un extremo máximo relativo .
cerrado construyendo de esta manera un cierto número de intervalos .
♦En B : ocurre un valor crítico x0 que determina un extremo mínimo relativo .
II) Determina el signo de f *(x) en cada uno de los
intervalos construidos .
[a m*
Igglll09*l IY&
acaaaasi
L A EN C IC LO P ED IA ]
III) Si al ir de izquierda a derecha de x = c .
O es un punto de máximo local
i) f * (x) pasa de + a
fíO) = 36 es máximo local.
entonces f ( x ) tiene un máximo en * = c, el cual es fíe).
Vfi es un punto de mínimo local
ii) f *(x) pasa de - a + , entones fíx ) tiene un mínimo en x = c, el cual es fíe).
f(y¡6 ) = 0 es un mínimo local. 3 es un punto de máximo local
iii) f 'f x ) no cambia de signo, entonces fíx ) no tiene máximo ni mínimo en x = c .
fí3) = 9 es un máximo local. yA
* Para un mejor entendimiento del teorema anterior, veamos los siguientes gráficos de funciones .
36
Yk
r< o
f> 0
EJEM PLO 2 : o
c
x
Máximo relativo
Mínimo relativo
X
Hallar 1°®extremos relativos de la función : y = fíx ) = x 3 - 6 0 + 2 y esboza su gráfico . R E S O L U C IÓ N :
* Hallamos los puntos críticos : f f x ) = 3 0 - 12x, f f x ) = 0 si x = 0 y x = 4 * Los puntos críticos de f son x = 0 ; x = 4 ► * Construimos la siguiente tabla para establecer el comportamiento de la función :
f< 0
r < o S r - ;v ¡s[ h H x 0 M á xim o n i m ín im o r e la tiv o
c
N i m á xim o n i m ín im o r e la tiv o
Función *9 Signo de
EJEM PLO 1 :
Determinar todos los extremos locales y puntos de extremos local de la función : fíx ) = x 4 - 12x* + 3 6 ; x e [-2 ; 3] R E S O L U C IÓ N : f ' f x ) = 4 x3 - 24x = 4 x (x 2 - 6 ) =
4 x { x + y ¡6 ){x - y¡6)
* Puntos críticoB : f ’(x) = 0 1 X = 0 ; x = S (como f 'fx) es un polinomio, entonces f 9(x) siempre
x<0
en x0 Función ftx ) Extremos
-1
f ( - l ) = 15 > 0
Crece
0
r(2t “ -12 < 0
Decrece
x>4
5
f(5l m 15 >0
Crece
Máximo rrMnvo en*= 0 Mínimo relativo enx= 4
•La función tiene un valor mínimo local de * =4 y ese valor es fí4 ) = -30 , y tiene un valor máximo local de * = 0 y ese valor es fíO) = 2. •El siguiente gráfico corresponde a fíx) = 0 - 6 0 + 2
existe) * Extremos de D ¡: x = -2 , x = 3. r
-2
+ l---------- 1-------------o--------o
+ +
F-O
1
Jé
3
* Por el criterio de la primera derivada tenemos que: -2 es un punto de mínimo local =+ fí-2 ) ss 4 es máximo local.
EJEM PLO 3 :
Determinar los extremos relativos de la función fíx) = x 3 - 6 0 + 12x - 6 y esboza su gráfico .
m
1095g
R E S O L U C IÓ N : f *(x) = 3 x * - 1 2 x + 12 = 3(x - 2)*
-> f Yx) = 0 sólo si x = 2 x = 2 es punto crítico de f . ♦Nota que para cualquier valor de x* 2 se tiene: fYx) = 3 ( x - 2 )2 > 0 ♦ Por consiguiente , x = 2 no corresponde a un extremo relativo de f . ♦ El esbozo del gráfico será :
MPICltlXZAMP.XS }
En el primer caso , L está debajo de la gráfica de la función , mientras que en el segundo L está arriba de la gráfica . Esta diferencia es la que genera el concepto de concavidad que definimos a continuación . Una curva será “cóncava hacia arriba” en cualquier intervalo de crecimiento de la pendiente y “cóncava hacia abajo”en cualquier intervalo de decrecimiento.
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
♦Sea I un intervalo abierto. Se dice que fes cóncava hacia arriba en J, si y sólo si f es cóncava hacia arriba en cada x de /. ♦ Se dice que f es cóncava hacia abajo en / si y sólo si f es cóncava hacia abajo en cada x de I.
TEOREM A : Hemos visto que es útil conocer la primera derivada de una función para determinar los intervalos en los que ella es creciente o decreciente . Sin embargo, esta información no es suficiente para conocer bien el comportamiento de una función . Por ejemplo , suponga que f : [a ; b ] -> R es una función creciente en [ a ; b]. Las figuras adjuntas muestran las gráficas de funciones que satisfacen la condición anterior .
Sea f una función diferenciable en un intervalo (a ; b) que contiene a x0 tal que f 'Yx^) existe : I) Si f 'Yxg) > 0 , entonces fes cóncava hacia arriba en x 0. II) Si f "(Xfj < 0 , entonces fes cóncava hacia abajo en x0.
Cóncava hacia Cóncava hacia abajo arriba (r$ )< o )
Es claro que ambas gráficas son distintas pues se doblan en diferentes sentidos. ¿Cómo distinguir entre estos dos tipos de comportamiento? Tornemos x en (a;ó) cualquiera , y sea L la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (x ; f(x)) .
(r(x)>o)
C O R O L A R IO : Sea f una función diferencial en un intervalo abierto I . a) Si f ff(x) > 0, Vx e I , entonces f es cóncava hacia
arriba en í . b) Si f ” (x) < 0 , Vx e /» entonces f es cóncava
hacia abajo en /. EJEM PLO :
Determinar los intervalos donde la función f ( x ) = x 4-1 2 x * +36 es cóncava hacia arriba o abajo.
Mp|lO»6|fcfBa
m im k m m ^
L l n xt'H iA tP E n iA )
R E S O L U C IÓ N :
O B S E R V A C IÓ N :
flx) = x4- 12x%+ 36 -> f ’(x) = 4x3 - 24x
Si f ”(x) es una función continua , entonces ella cambia de signo al pasar por c si f*(c ) = 0 .
- + f ’ ’(x) = 12x*- 2 4 = 12(x + 4 2 ) ( x - 4 2 )
Si embargo , si f ”(x) es discontinua en c , entonces en dicho punto también podría haber un punto de inflexión .
r + + I------------------ 1---------------------------1--------------------- 1
-4 2
EJEM PLO :
42
* f es cóncava hacia arriba en (
* Véase que la concavidad cambia en los puntos y q ( - 4 2 ; f ( - 4 2 ) ) . Estos puntos son muy especiales en la gráfica de una función . P{42;f(42))
PU N TO S
DE
IN FLE X IÓ N
Aquellos puntos de la gráfica de una función , en los que la concavidad se invierte , son llamados puntos de inflexión .
Los puntos A , B , C y D son puntos de inflexión de la gráfica de f . P R O C E D IM IE N T O P A R A P U N T O S D E IN F L E X IÓ N .*
H ALL AR
I) Determinar los puntos donde f "(x) es cero o no
existe. I I ) Para cada uno de estos puntos críticos c :
Si f es continua en c . Si f*(x) cambia de signo en c entonces (c ; f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f . A estos tipos de puntos (A y B) se les denomina puntos de inflexión . Como los puntos de inflexión ocurren donde la concavidad cambia de sentido , debe suceder que en ellos f ” cambia de signo . Así, para localizar posibles puntos de inflexión necesitamos sólo determinar los x en que f "(x) = 0 o en el que f ” no está definida . Esto es análogo al procedimiento de localización de extremos relativos de f . O B S E R VA C I Ó N
Si (c ; f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f , entonces es f "(c) = 0 o f "(x) no está definida para x = c .
D E FIN IC IÓ N : Sea f una función y sea ceD^ si : * f es continua en c . •La concavidad tiene diferente sentido a cada lado de c .
EJEM PLO 1 : Para la función flx) = x 4- 12x2 + 36, se tiene que : f "(x) = 0 para x = - 4 2 ; x = 42 r + - v + I------------------ \--------------------------- 1--------------------- 1
-4~2
4~2
* Es claro que en -42 y en 42 cambia la concavidad de f . Por lo tanto , los puntos de inflexión de la gráfica de/son P j { - 4 2 ; 16) y P2 ( 4 2 ; 1 6 ) ■ O B S E R V A C IÓ N : Si f "(c) = 0 entonces no necesariamente se cumple que (c ; flc))sea un punto de inflexión de la gráfica
de/ EJEM PLO 1 :
Consideremos la función flx ) = x 4 f *(x) = 4xa y / ”(x) = 12xs
1 0 9 7 lg * Se calcula la primera derivada : f ’(x) = x 1 - x - 6 * Se hace f *(x) = 0
=0
* * -* -6
-» (x + 2 ) ( x - 3 ) = 0
•Los puntos críticos de esta función son: x = - 2 y x =3
* Ahora determinamos los máximos y mínimos, calculando f ” (x) en los puntos críticos :
•Es claro que f ”(0) = 0 y sin embargo la concavidad no cambia de un lado al otro en 0 .
f ” (x) = 2 x - l ;
f ” (-2 ) = 2 ( - 2 ) - 1 = - 5 < 0
O sea que f e s cóncava hacia abajo en x = - 2 , y éste es un máximo de la función . f "(3 ) = 2 ( 3 ) - 1 = 5 > 0 , f e s cóncava hacia arriba en x = 3 , por lo tanto es un máximo de la función.
C R IT E R IO D E L A SEG U N D A D E R IV A D A Otra aplicación de la segunda derivada es para determinar los valores máximos y mínimos locales de una función .
EJEM PLO 2
:
Sea f la función dada por
T E O R E M A ( C R IT E R IO D E L A S E G U N D A D E R IV A D A ) S
f(x ) = x 4 - 1 2 x ‘ + 3 6 . x e X f ’(x) = 4x3 - 24x = 4 x (x t - 6)
Sea c un punto crítico de f en el cual f *(c) = 0
= ( x + y ¡6 )(x - $ 6 ) - + f ” (x) = 12xt - 2 4
I) Si f ”(c) > 0, entonces c es un punto de mínimo
local . II) Si f f,(c) < 0, entonces c es un punto de
* Los puntos críticos f son - $ 6 ; \¡6
máximo local .
recta tangente horizontal .
BI) Si: f*(c) = 0 , el criterio no brinda información.
* Luego : f "
(-V tf)
= 48 > 0
entonces f
(~ V fí)
es un punto de mínimo local.
Máximo relativo
Yk
\
*
Mínimo relativo Cóncava hacia arriba (fn(c ) > 0)
0
0 :
El criterio de la segunda derivada sólo es aplicable para puntos críticos con tangente horizontal. * Si f*(c) no existe siendo f continua en c , entonces f ”(c) tampoco existe . •Si fíe) = 0 y f ”(c) = 0 no puede afirmarse nada acerca de c . EJEM PLO 1 :
Encontrar los puntos críticos de la función 2 fíx) = - 6x + 100 y determinar máximos y 3
2
mínimos . R E S O L U C IÓ N :
f ”(0) = -24 < 0 * entonces f( 0) es un punto de máximo local.
* entonces f ( $ 6 ) es un punto de mínimo local.
fíe
(f(o )< 0 )
O B S E R V A C IÓ N
0 , todos con
f " U e ) = 48 > o
^
abajo
y
G R Á F IC A D E UNA FU N CIÓN X
A partir de los conceptos y procedimientos que hoy hemos estudiado , tenemos a nuestra disposición , sólidas herramientas para hacer un análisis más completo de la gráfica de una función . EJEM PLO
:
x3
Sea: fíx ) = ^ - ^
1 -x *
Determinar las asíntotas, puntos de inflexión , extremos relativos , intervalos de concavidad e intervalos donde la función es estrictamente creciente y decreciente , y su gráfica . R E S O L U C IÓ N
:
* Domf = R - { ! ; - ! } *ASÍNTOTA VERTICAL : x = ± l cuando f(x)
±oo
IfiÜxí\\IQ98]
¡A lv
*ASÍNTOTA HORIZONTAL: No existe. •ASÍNTOTA OBLICUA: y = -x f cuando x ♦Cálculo de f f(x) y /**Vx): r
±00
♦ EXTREMOS RELATIVOS : f ' ( x ) = 0 -> x = 0 v x = ±V3 >0
-»
en x = -V 3 , hay mínimo :
Para un trazado de la gráfica de unja función, lo más preciso posible, se recomienda seguir los siguientes pasos: 1) Determinar el dominio de la función y posibles
puntos de discontinuidad. 2) Determinar los puntos críticos de primera
especie. Esto es, los puntos en que la primera derivada es cero o no existe. 3) Determinar el signo que tiene la primera derivada
f í - V s ) » ^ /• ' (>/3) > 0
Lut HXCMCLOrEDlÁi
TECNICAS D E G R A FIC A C IO X
(x) = x ¿ ( 3 - * * / ; f " w = í Ü - ’ * * ) ( « + 2 * ') ( i - * 2) ' 0 -* * )
/* ' (-V s )
1Jc'TJ!
en x = >/3 » hay mínimo :
en cada uno de los intervalos en que los puntos críticos de primera especie dividen al dominio. 4) De acuerdo a lo hallado en el paso 3, determinar
f(S ) =^ -
♦POSIBLES PUNTOS D E IN F L E X IO N : f " ( x ) = 0 => x = 0 , ±1 ♦ Crecimiento y Decrecimiento ; con f 9(x) Para x < -V 3 => f 1 (x ) < O ............ (DECRECE) Si - y f 3 < x < y ¡ 3 => f ' ( x ) > 0 ............ (CRECE). Para x>y¡3 => f ' ( x ) < 0 .............. (DECRECE) ♦Concavidad ; con f 99(x) Si x < -1 99(x) > 0 (Cóncava hacia arriba) En x = - 2 la función no está definida . -1 < x < 0 ^ f "(x) < O (Cóncava hacia abajo)
En x = 0 hay P.L a f(0) = 0 . 0 < x < 1 =>f "(x) > 0 (Cóncava hacia arriba)
En x = 1 la función no está definida. Si x > J => / "(x) < O (Cóncava hacia abajo) ♦ GRÁFICO :
los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. 5) A cada punto crítico de primera especie aplicar
el criterio de la primera derivada o el criterio de la segunda derivada, para determinar si en tales puntos críticos existe o no existe un extremo relativo. 6) Hallar los puntos críticos de segunda especie. Esto es, los puntos en que la segunda derivada es cero o no existe. 7) Determinar el signo que tiene la segunda derivada
en cada uno de los intervalos en que los puntos críticos de segunda especie dividen al dominio. 8) De acuerdo a lo hallado en el paso 7, determinar los intervalos en que la gráfica es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
En cada punto crítico de segunda especie verificar si cambia o no cambia la dirección de la concavidad y así, determinar si existé o no existe un punto de inflexión en tales puntos. 9)
10) Para mayor precisión hallar, en cada punto de
inflexión, la pendiente de la recta tangente con la finalidad de dibujar la dirección de la curva en dicho punto. Puede omitirse este paso. 11) Hallar las asíntotas verticales, horizontales y
oblicuas, si existen. 12) Hallar los puntos en que la gráfica intersecta X al eje Y y, si es posible, al eje X. 13) Dibujar una curva que verifique los resultados
obtenidos en los pasos anteriores. Es recomendable expresar en tablas los resultados que se van obteniendo, tal como veremos en los
siguientes ejemplos. EJEM PLO 1 :
Sea la función f ( x ) = í ( x 3 - 9 x 2+15x+5) . Hallar 4
los intervalos de crecimiento y decrecimiento; los extremos relativos, si existe; los intervalos de concavidad; los puntos de inflexión, si existe. Luego, trace la gráfica de f. R E S O L U C IÓ N : El dominio de f es R . Derivada se tiene: f ' ( x ) = ¡ ( 3 x 2 - 18 x + 1 5 )= ^ (x - l ) ( x - 5) 4
4
Puntos críticos son solo donde f' (x)=0. Osea, x = l y x=5. Estos puntos dividen al dominio en los intervalos (-a>;l),(2;5) y {5 ;+a>). El signo de f ( x ) en cada uno de estos intervalos es como muestra la
¡w íif ÍK im S j Da esta figura y por el criterio de concavidad se deduce que la gráfica de fes cóncava hacia abajo en el intervalo {-a>;3) y cóncava hacia arriba en el intervalo (3;+ao). Así, existe punto de inflexión en x=3. La siguiente tabla muestra estos resultados. X
x< 3 x= 3 x>3
fíx )
f ”(x) —
-1
0
+
Ctnclusión | gráfica cóncava hacia abajo es punto de inflexión gráfica cóncava hacia arriba
Otro dato adicional es que como f es una función polinomial, su gráfica no tiene asíntotas. Además, la gráfica cruza al eje Y en el (0;5). Omitimos la intersección con el eje X pues encontraríamos que la ecuación f( x) =0 no son racionales. Con estos datos adicionales y la información que muestran las Tablas encontramos que la gráfica de f es :
Signos de f'(x) De esta figura se deduce que f es creciente en los intervalos (-«>; í) y {5; +«o); es decreciente en el
intervalo Por el criterio de la primera derivada encontramos que f tiene un valor máximo relativo en x = l y un mínimo relativo en x=5. La Siguiente Tabla , muestra los resultados obtenidos. X
.
fíx)
f'(x)
3
+ 0
X<1 X=1
l
—
0 +
-5
Conclusión fes creciente es máximo relativo fes decreciente es mínimo relativo f es creciente
Derivando nuevamente, se tiene:
EJEM PLO 2 :
Trazar la gráfica de la función fíx )= -x 4+8x 2-10. R E S O L U C IÓ N :
El dominio de f es R . Derivando se obtiene: f f(x) =-4x(x + 2) (x-2) de donde encontramos que los puntos críticos de primera especie son: -2 ; 0 y 2 . Los signos de f ’(x), en cada una de las regiones en que estos puntos críticos dividen al dominio, son mostrados en la Figura.
f " ( x ) = ¡ ( 6x - 18)=%(x - 3) 4
2
de donde vemos que existe punto crítico de segunda especie solo si f"(x)=0 •Es decir, cuando x = 3 . Este punto divide al dominio en los intervalos (-a>;3) y (3;+co). El signo de f*(x) en estos intervalos se muestran en la siguiente figura .
Signos de f( x )
Signos de fí(x)
De la Figura y por el criterio de la primera derivada se obtienen los datos que muestran la Tabla. X fíx) n * \ . Conclusión ' x<-2 + creciente x= - 2 0 máximo relativo 6 ~2 < x <0 decreciente x = 0 -10 0 mínimo relativo 0
Signos de f w(x)
m \n o o
43
E N C IC L O P E D IA
¿es de máximo o de mínimo local?
Derivando nuevamente» se tiene: f " ( x ) = - 12 \ x +
U
^db
TEO REM A R E ROLLE
x43
Si f : [a ; b ] -+ R es una función tal que:
de donde encontramos que los puntos críticos de segunda especie son: ”
2
2
* Es continua en [a ; b] Y *08 signos de f f(x)
son como muestran la Figura. De esta figura y por el criterio de concavidad se obtienen los datos que muestran la Tabla. X 2 x <— = 43
fíx )
«te i it
10 ~ 9
2 2 — _ < x < -~¡= 43 43 2 x ~4¿ 2 x > -¡= 4s
rxx)
* Es diferenciable en {a ; b)
* fía ) = fíb) n f ’( c )= 0
Conclusión cóncava h acia abajo
0
p u n to de inflexión
+
cóncava hacia a rriba
t
10 9
a 0
X
p u n to de inflexión cóncava hacia abajo
entonces existe al menos un número c en (a ; b) tal que f 9(c) = 0 NOTA :
Adicionalmente encontramos que la gráfica no tiene asíntotas. Dicha gráfica intersecta al eje Y en el punto (0;-10). Omitimos las intersecciones con el eje X. De todo lo hallado encontramos que la gráfica de f es como muestra la Figura. n (-2#)
Las condiciones de la continuidad de/en y de [a; b) su diferenciabilidad en (a ; b) sori indispensables, pues si no se cumpliera alguna de ellas no se podría garantizar la conclusión del teorema de Rolle .
n
n No coní,'n“ a
a
c
b
No diferenciable
x
0
a
X
* El teorema de Rolle se puede interpretar geométricamente de la manera siguiente: yxi-x +8x -10
LOS TEOREM AS D E R O LLE Y D E L V A LO R M E D IO En muchas ocasiones , es importante determinar la ubicación precisa de los puntos de máximo y de mínimo local . Ya sabemos que estos puntos están entre \os puntos críticos de la función , pero nos falta saber los siguientes : * Dado un punto crítico ¿Es o no punto de extremo local? • Si un punto crítico es un punto de extremo local
Bajo las condiciones del teorema de Rolle, existe un punto (c ; fíe )) de la gráfica de fía < c < b) tal que la recta tangente en ese punto es horizontal.' •El teorema de Rolle garantiza la existencia de por lo menos un c en (a ; b) tal que f*(c) = 0; pero no dice cuántos “c” con esa característica existen. El teorema siguiente, conocido como el teorema del valor medio , se puede considerar como una generalización del teorema de Rolle ; pues éste puede verse com o un caso particular en el qu e fía ) y fíb ) son iguales .
(F O frfo .v i;^ w fT ii^ o .v
110 1
♦entonces:
T E O R E M A D E L V A LO R M E D IO
cose =
1-0 * -0
Si f : [a ;b ] R es una función tal que : * Es continua en [a ; 6 / * Es diferenciable en' (a ; b) entonces existe al menos un “e” en (a ; 6 ) tal que :
2 => cap —— x
2
c = arcos EJEM PLO 2 :
Estimar una raíz de la función: ffx) = x 7 + x - 1 , en forma aproximada . R E S O L U C IÓ N :
• Geométricamente :
♦ Se deduce que : f(0) = -1 ; f ( l ) = 1 ♦ Luego por el teorema del cero ; como : f( 0). f ( l )<0 , entonces existe una raíz en
¥
\ pendiente f 9( c )
(0
; i).
T E O R E M A D E L A R A ÍZ M Ú L T IP L E
f(c)
Si a es una raíz de multiplicidad k de la función ffx) se cumple :
f(a) = 0
X
a
a
TEOREM A Sea la función f continua en el intervalo (a;6) se cumple que s i: m % fía) fíb) < 0 => 3 * 0 e (a ; 6 ) tal que fíx 0) = 0 . ¿ 'l * ♦ Gráficamente :
a
f ’ (a) = 0
f " (a) = 0 a
.............
a
f "(a) = 0
f k l(a) = 0
a
♦ Donde : f (x'* = 0 es la derivada de orden (k - 1) de ffx) . EJEM PLO :
Sea P(x) = x 4 + ax 3 + bx + c Calcule : a - 6 + 3c, si wi 99es una raíz Pfx) de multiplicidad tres . R E S O L U C IÓ N :
♦Pfx) = x 4 + ax 3 + bx + c x = 1 => P ( l ) = 1 + a + 6 + c = 0 ................... (I) ^ * P 9(x) = 4x 3 3 +. 3ax + 6
x = 2 => P 9( l ) = 4 + 3 a + f EJEM PLO 1 :
Calcule el valor e que satisfaga el teorema del valor medio para los valores de a y 6 indicados . n ffx) = senx ; a = 0 ; 6 = — R E S O L U C IÓ N :
♦El c buscado debe satisfacer x f ' f c ) —^ ^
^ ^ b -a
* Pero : f ' (*) = cosx, fíb) = f fía ) = f ( 0 ) = 0
=1
6
=
0
* P ”(x) = i 2 ** + 6 a*
x = 2 => P ,9( l) = 12 + 6a = 0 * De (271) : a = -2 * Reemplazando en (77); 6 = 2 ♦ Reemplazando en ( III) : c = - 2 ♦ Se pide : - 2 - 2 + 3(-2) = - 7
(777)
S O L I D E L A S P O T E N C L IS D E L A S R A ÍC E S Se tiene la función polinomial ffx) y f 9(x) su /Yx) derivada al efectuar la división , por Homer se tiene:
f'(x) /
LA /¡A ( H Í,« m ) /A ¡
H (Z
/
s
• ♦
f(x) < • \
a0Gj Cl2Gs ...... &n......
donde: a 0 = Xí + X2 +
* 3
+ •••+*n °
a,=x, + Xo+Xo+...+x n arf + at| + x f + ...+ a r 2 f l o “ arf + x ¿ + x 3 + ...+ ÍC 2
• La diferencia flx + h) - flx ) recibe el nombre de incremento de / desde x a x + h, y se denota A f . A f = flx + h) - flx ) * El producto / *(x)h se denomina diferencial en x con incremento h , y se denota d f . d f = f ' (x)h\
«n =
* " + x 2 + x 3 +
donde x ¡ ; x 2; x s ; de grado n .
••+ x n
, x n; son raíces de f(x) que es
EJEM PLO :
Sean : a ;b ; c y d raíces de : x4 + x s + 1 = 0 Calcular : a s + 6 a + c3 + ds R E S O L U C IÓ N :
•Por lo tanto :
* Sea : flx) = x* + x 2 +1 => f ' ( x ) = 4x 3 + 2 x f 1(x) * Dividiendo L— L Z , por Horner : f(x) 4 0 -1 0 -1
0 0 0 -4 0
•Usualmente , a h se le denota por A x , entonces : A f = f ( x + Ax) - f ( x ) ; d f = / Yx)Ax • La figura nos dice que para h pequeño, A f y d f son aproximadamente iguales A f « d f . • Del gráfico anterior , cuanto más cercano esté el punto Q del punto P , la diferencia entre Ay y dy será menor o tiende a cero , es decir : A y - dy = 0 Entonces : flx + Ax) - fíx) - / *M Ax - 0
2 0 0 -4 0 0 0 4 0
Esta relación es la llamada propiedad de aproximación del valor de una función por diferenciales . EJEM PLO 1 :
Determinar el valor aproximado de 4145 0 0 2
0
4 0 0 -2 0 0 0
4
0 -4 2 0 \ \ t 1 \ Qo a¡ 02 as Os
R E S O L U C IÓ N : ÓSea : flx ) = 4 x , entonces : f ' M —¿4x
•Como : f ( x + Ax) = f ( x ) + f ' (x)Ax •Luego : 4 x + Ax = 4 x + —^=Ax 2 \X
* Entonces : a 3 + bs + cs + d 3 = 2 D IF E R E N C IA L E S
En la figura está representada la gráfica de una función f y , debajo de ella ( la gráfica de la recta tangente en el punto (x ; fl x) ). Como se observa en la figura , para h pequeño , se puede aproximar flx + h) - flx) *h ta n a , pero t a n a = f *(x), entonces flx + h) - flx) * h f ’(x)
• Haciendo : x = 144 y Ax= 1 , tenemos : 1 4144 + 1 = 4 1 4 4 +
24144
xl
145
4145=12 + — = 12 12 EJEM PLO 2 :
Determinar el valor aproximado de 8 e n 3 2 ° R E S O L U C IÓ N :
nirgMrSrgps * S i: f f x ) = senx
S I:
1108 dtf+AD-d*
f ' ( x ) = cosx
Distancia
* Además :
f ( x + Ax) = f(x) + f'(x)Ax -> senfx + A x) = sen x + c o s x Ax * Haciendo: * = 30° = — * Entonces : ®
d(t)
A r = 2° = ^ -
a
dft+At)
Velocidad instantánea = d ' ( t )
7t Razón de cambio instantánea de la distancia sen32° = sen30° + eos 30° x recorrida por un móvil . 90 Luego, la velocidad del ferrocarril en el instante 1 J? sen32° = - + ^ ~ -x {0 90348) sen32° - 0 ,0 1 5 1 = 4 será igual a d 9(4) . A sí, primero calculamos £ £ d * (t) = 8t + 10 y enseguida :
R A Z Ó N D E C A M B IO
d * (4) = 8(4) + 10 = 42 kmih
Recuerda que anteriormente definimos la derivada como una razón de cambio . En este sentido , las derivadas pueden representar cantidades , como la razón a la cual crece o decrece una determinada población , el costo de producir un objeto , la tasa de inflación , la velocidad de un objeto en movimiento, etcétera. El objetivo de este tema es mostrar la relación entre derivadas y razón de cambio a partir de situaciones prácticas . Dada la función y = ffx), recuerda que para x —x0. * razón de cambio promedio = f í x°
ffxo/ Ax
* razón de cambio instantánea = f 9(*s> EJEM PLO 1 :
Supón que estamos interesados en determinar la velocidad de desplazamiento del ferrocarril central que une a las ciudades de Lima , Huancayo y Huancavelica . ¿Cómo calculamos la velocidad promedio del ferrocarril? ¿A qué velocidad se desplaza el ferrocarril a las cuatro horas de viaje? Especialistas de la empresa administradora de este servicio de transporte han estimado que la distancia recorrida después de t horas de viaje es : donde 0 <.tZlO* R E S O L U C IÓ N : * Para cualquier móvil, se sabe que : velocidad promedio = cambio de distancia cambio de tiempo
d ft + A t ) - dft) ->Vt> = At
NOTA :
* Si y = fft) es una función de posición de un objeto que se mueve en línea recta, entonces la función de velocidad en el tiempo t es : V ( t ) = f ’(t). * Además , se puede hallar la razón de cambio de la
velocidad , que es la función de aceleración en el tiempo t . Es decir : aft) = Dt fV ft)] = D J f 'f t ) ] = f ”(t) Función de aceleración, medida en fm/s2)9fkm/h*), etc. f **ft) es la segunda derivada . EJEM PLO 2:
Una ciudad tiene la forma de un rectángulo de lados x a fx + 3) kilómetros . A causa de la^expansión urbana , x está creciendo a razón de — km laño . Hallar la razón de cambio (instantáneo) del área urbana cuando está ocupada 108 km 2. R E S O L U C IÓ N : * Las variables que intervienen son el área, los lados que dependen de "x” y el tiempo " t *\
A continuación relacionamos las variables , así: El área urbana A es función de x . Afx) = x ( x + 3) = x * + 3x ........................ fl) * Por dato, nos dicen que * está creciendo a razón 1 dx de — km/año t lo cual simbolizamos por —r r , nos u Cft dx 1 queda d i = l ................................................
M
(III)
•Luego: ^ - = ( 2x + 3 ) dx dt
dt
dA
•Para encontrar —— , a partir de ( III) necesitamos dt
conocer el valor de x (ya que se conoce
dx
).
dA
•Pero nos piden —r - cuando A = 108 . Ui Luego: A = xfx + 3) = 108 , de donde x = 9. •Luego en ( III) : £ £ = (2x + dt
= ( 2 x 9 + 3 ) x ~ = 7 km 2¡año. dt 3
EJEM PLO
3 :
Una masa m cae verticalmente por acción de la gravedad , partiendo del reposo . Asuma que la resistencia del aire es depreciable . Hallar la tasa de cambio de la velocidad en el instante t . R E S O L U C IÓ N :
•En el instante inicial (t=0) parte del reposo(ó = 0) • En el instante t , después de iniciado el movimiento , la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es el peso mg . Al in ic io ••--------- t = 0, v = 0 Instante t
-•------------
LA
i i o * I tm
t= i t v = v
i mg •Por la segunda ley de Newton , asumiendo como positiva la*dirección del movimiento hacia abajo ; nos queda : , , , ai; , dv ma = mg , de donde = mg luego — = g dt dt •Entonces, la tasa de cambio de velocidad respecto al tiempo (aceleración) es la gravedad. A partir de aquí, nota que la velocidad es : v = gt+c , donde c es una constante ; como la masa cae a partir del reposo, tenemos para t = 0, v= 0 . Luego reemplazando en la ecuación encontrada tenemos que c = 0 . * Finalmente , encontramos que la velocidad está dada por v = g t .
hasta 6 . Por lo contrario, los valores de fíx) irán disminuyendo si x disminuye desde b hasta a. Cuando la curva está definida por medio de ecuaciones paramétricas, puede ocurrir que cuando t aumente, x aumente o disminuya. Esta doble posibilidad hace que la aplicación del criterio de la primera derivada, a partir del signo de dyldx, se haga confusa en algunos casos. En lugar de hacer el análisis a partir del signo de dyldx es más conveniente hacerlo a partir de los signos de dxjdt y dy/dt. La concavidad de la curva se determina de la misma forma que para las curvas definidas por ecuaciones de la forma y=fíx); es decir, a partir del signo de dsy!dx2. Sabemos que para curvas parametrizadas en que x(t) e y(t) son funciones diferenciables, se verifica : dy _ dyl dt dx
dx j dt
Expresión que nos permite calcular dyldx en términos del parámetro t. Si ahora hacemos: dy _ y = dx
d y d 2y dx ' dx 2
Por la regla de la cadena, se tiene: dy' dt
dy' dx x dx dt
d 2y dx dx 2 * dt
Si dx ¡d t * 0 1 entonces dividiendo entre dx/dt> se obtiene: = dy'l dt dx 2
dxldt Expresión que permite hallar d2y / dx2 en términos del parámetro t y para los t en que y* sea
diferenciable. EJEM PLO :
Trace la gráfica de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son: x = 2 t2 + 2t + 2 ; y = t3 - 3t + 3 ; t e R R E S O L U C IÓ N :
Derivando cada una de las ecuaciones paramétricas se obtienen:
GRAFIC ACIÓN D E CURVAS P A R A M E T R IZ A D A S
dx dy ^ = 4t + 2 • ~ = 3 t 2 - 3 = 3(t + l ) ( t - l ) at dt
Para curvas de ecuaciones de la forma y = fíx ) puede considerarse que x es el parámetro. Al analizar los signos tanto de fí(x ) como de f* 9(x)$ siempre se considera que x aumenta. Así, cuando se afirma que f es creciente en el intervalo [a; b], significa que los valores de fíx) aumentan (crecen) a medida que los valores de x van aumentando a partir de a
y luego reemplazando estas derivadas en la
ecuación , se obtiene: dy y = dx
3(t + l ) ( t - l ) 4t + 2
(I)
Vemos que dyldx=0 si t= ~ l ó t = l . Vemos también que dy¡dx no existe (es infinito) en t= -112. Así, los
[ g
i i f r / O
i V
K
y
w
i t
u
t
BSHI l í o s HM
.v
í o
puntos críticos son: -1,-112 y 1. Estos puntos dividen al dominio en 4 intervalos. Por el método de los puntos críticos se determinan los signos que tienen dx/dt y dy/dt en cada uno de estos intervalos, tal como se muestra en la Tabla. • '« y
-
' ( x; y)
-® < t < -2 t =-l <2; 5) -l< t< -l/ 2 t = -112 (3/2; 3518) -1/2 < t <1 t =l (6il) t >1
\dx/dt' -
4
x decrece, y crece y tiene un máximo relativo
0 0 +
+ 00
—
+
—
—
0
0
+
i
+
x y x y x
decreciente, y decrece no tiene extremo relativo crece, y decrece tiene un mínimo relativo crece, y crece
En la tabla se concluye que en el punto (2;5) y tiene un máximo debido a que al aumentar t desde - oo hasta -2, x decrece e y crece. Esto significa que los puntos de la gráfica se van generando hacia la izquierda y hacia arriba, hasta el punto (2;5). Luego, si cuando t aumenta de - 2 a - 2 /2 , x sigue decreciendo pero y decrece, significa que del punto (2;5), los puntos se van generando hacia la izquierda pero hacia abajo. Así, en el punto (2;5), y tiene un máximo relativo. Análices semejantes se hacen alrededor de los otros puntos críticos, determinando las conclusiones de la Tabla. Derivando la ecuación (I), se obtiene:. dy' dt
3 (t 2 + t + l ) ( 2t + 1) 2
y luego reemplazando valores en la ecuación, se obtiene: d y _ 3(2 +2 + 2) dx2 ' 2 ( 2 t V l f Como 2* + 2 + 2 > 0 para todo t, entonces el único punto crítico es t = - 2/2. Además, d 2y/dx2< 0 para t< -1/2, y d 2y/dx2> 0 para 2 > - 2/2. Por lo tanto, la gráfica es cóncava hacia abajo para t < - 1/2 y cóncava hacia arriba para 2 > - 1 /2 . La Figura muestra la gráfica de la curva. Nótese que para / = -] y 2 = 2 , la recta tangente es horizontal, y para 2 = - 2 /2 , la tangente es vertical. Nótese también que la curva pasa por un mismo punto dos veces. A tal punto se le denomina punto doble . Para hallar dicho punto doble se resuelve el sistema: 2tf + 2t¡ + 2 = 2t\ + 2ts + 2,
2? -3 2 ,+ 3 =
-3 2 , + 3
cuya solución es 2, = - 2 y 2 ,= 2 que determinan, casualmente, el punto ( 6;1 ) en donde y tiene 6u valor mínimo.
PR O BLEM AS D E M ODELACIÓN T O P T IM IZ A C IÓ N En esta sección aplicaremos, los procedimientos descritos para hallar los valores extremos de las funciones, a la solución de problemas ya sean geométricos o físicos o de aplicación a las ciéncias, ingeniería o la administración. Las empresas están interesadas en maximizar sus ganancias y a su vez, minimizar sus costos. Así, es frecuente observar en el mercado que las latas que contienen, por ejemplo lOOcm3 de un determinado producto, todas, independiente de la marca, tienen iguales dimensiones. Esto no és una casualidad, sino que obedece a que existen dimensiones que determinando un volumen de lOOcm3, minimizan la cantidad de metal a usar en la manufactura de la lata. Generalmente en el proceso de solución de un problema de aplicación, no se tiene inicialmente ecuaciones matemáticas que debamos resolver. Más bién, previamente debemos realizar una formulación matemática del problema que nos permita hallar dichas ecuaciones. En lo^ siguientes problemas de aplicación de máximos y mínimos, describiremos los procedimientos más usuales en la formulación matemática y posterior solución de las aplicaciones más frecuentes. EJEM PLO :
Se dispone de una lámina cuadrada de cartón de 60cm de lado y con ella se quiere construir una caja abierta por arriba, cortando un cuadrado de cada esquina y doblando los bordes. Encontrar las dimensiones que debe tener la caja de modo que tenga un volumen máximo. ¿Cuál es este volumen máximo? R E S O L U C IÓ N :
Sea x cm la longitud del lado del cuadrado a recortar. La Figura muestra la lámina con los cuadrados
¿VW recortados de cada esquina. Luego de doblar como se indica se obtiene la caja rectangular que muestra la Figura. Rrir * 7 z z * i_ 60
U
IW
í CUH'ICIHA)
semejante. Se recomienda seguir los siguientes pasos: 1 ) Si es posible y necesario, hacer un dibujo ilustrativo. 2) Identificar cuáles son las variables y encontrar
relaciones entre ellas.
?!I x?
3) Reducir el número de variables hasta encontrar
n i
una función de una sola variable que debe ser maximizada o minimizada.
60 (a)
M
La figura muestra también las dimensiones de la caja. El volumen de la caja será: V = x(60 - 2 x f = 4x 3 - 240x2 + 3600x Obtenemos una caja solo si x es un valor del intervalo (0;30). Sin embargo, puede considerarse que si x= 0 , la altura de la caja es 0 , y que cuando x=30, el lado del cuadrado de la base es 0. Podemos considerar que el volumen de la caja es función de x tal que: V(x) - 4x3 - 240x2 + 3600x, x e 10; 30] siendo V(x) una función continua en el intervalo cerrado [0;30J. Por lo tanto, la solución del problema se reduce a calcular el valor máximo absoluto de una función en un intervalo cerrado en donde es continua. Bastará determinar los puntos críticos de V en el intervalo [ 0;30] y luego, evaluar V en dichos puntos críticos y en los extremos 0 y 30. El mayor valor que se obtenga nos dará la solución que buscamos. Así, derivando: V %x) = 12x 2 - 480x + 3600 = 12(x - 10)(x - 30) Si V 9(x)= 0, entonces x = 1 0 0 6 x=30. Así, los puntos críticos son 20 y 30. Ambos números están en el intervalo [ 0;30]. Evaluando V en los puntos críticos y en los extremos del intervalo, se tiene: V(10) = 26000, V(0) = 0 , V(30) = 0. De los tres valores el mayor es V(10)=16000. Por lo tanto, la longitud del cuadrado a recortar para obtener el volumen máximo es x=10. Con este valor encontramos que el lado de la base medirá 40cm y su altura será de lOcm. Así, el volumen máximo que puede tener la caja será de 26000 cm3. O B S E R V A C IÓ N :
Muchos problemas de aplicación de máximos y mínimos presentan una formulación matemática parecida al del Ejemplo anterior , por lo que para sus soluciones puede seguirse un procedimiento
4) Hallar el dominio de la función; es decir, el
conjunto de valores de la variable para los cuales se obtiene un valor posible. 5) Encontrar los valores máximos y mínimos de la
función en el dominio hallado. EJEM PLO :
Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que Be puede inscribir en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 50 y lOOcm respectivamente, en los siguientes casos: I) Si dos de sus lados están sobre los catetos y un vértice en la hipotenusa. I I ) Si dos vértices están sobre la hipotenusa y los otros dos vértices uno en cada cateto. R E S O L U C IÓ N : A
A
100-y 100
100
I) La Figura (m) ilustra este caso. Sean x cm e y cm las longitudes de los lados del rectángulo. Por semejanza entre los triángulos ADE y ABC , se
obtiene la siguiente relación: 60 y = 100 - 2 x 100 El área del triángulo es: A = xy = 100x-2x*. Se obtienen áreas diferentes variando la posición del vértice E sobre la hipotenusa. Si E coincide con A, x = 0. Si coincide con C, x = 50. Así, el área es función * 100 - y
«rm m y
1107
de x; es decir: A(x) = 1 0 0 x - 2 x í ; x e [O; 50] Notamos que A(x) es continua en el intervalo [0;50]. Para hallar los puntos críticos hallamos la
derivada e igualamos a cero: A'(x) = 100 - 4x = 0 => x = 25 e /O;50] Así, los puntos críticos son: 25 y 50. Evaluando A(x) en estos puntos se obtienen: A (25)=l 250; A (0)=0; A(50)=0 El mayor de los tres valores es 1 250. Por lo tanto,
concluimos: el área máxima que puede obtenerse es de 1250cm*, y los lados del rectángulo medirán 25 y 50 cm, respectivamente. II) La Figura (n) ilustra este caso. Denotemos por a y b las longitudes (en cm) de los lados del
rectángulo inscrito. Por semejanza entre los triángulos EBG y ABC y entre los triángulos AFE y EBG , se obtienen las siguientes relaciones, respectivamente: x 50 a x _ b t b _x y 100 * y 100- y * 100 - y a o bién: y = 2 x ; ab = x (100 - y ) = x (100 - 2 x ) El área del rectángulo es A = ab = 100x-2x2. Se obtienen áreas diferentes variando la posición del punto G sobre el cateto BC. Vemos que x puede variar de 0 a 50. Así, el área es función de x tal que: A ( x ) = 1 0 0 x - 2 x 2;
a
fe =
10\Í5cm.
E J E R C IC IO S
(^7) Completar la siguiente tabla : Función Conitante Identidad Potencia Raíz cuadrada Exponencial Logaritmo Logaritmo Natural
Regla de correspondencia ffx ) c X
sen x cosx tg x c o tg x sec x cosec x
Verificar si es verdadero o falso Función
Derivada
f ( x ) = g ( x ) + h(x)
f ' ( x ) = g ( x ) + h'(x)
f(x) = g(x)h fx) f ( x ) - kg( x ) , k e U
f f x ) = g ( x ) h f x ) + g (x )h'(x) f ' ( x ) = k ¿ (x )
f(x) =^ l , h ( x ) * 0 h(x)
f'(x)
f ( x ) = (g(x))m
f ' ( x ) = n[g(x)]n ‘ g ' ( x )
f ( x ) = g( h ( x ) )
f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) h'(x)
Derivada
&'fx)h(x)~g(x)h'x W xíf
Relacionar cada función con su respectiva derivada: -3 A)f(x) = 10 1) B )f(x)= x 14 2 yx 15 11)14x1
C ffx) = x - 9
-9
U ld tfi 3
D) ffx) = í/ í
IV) ~io
E )fíx ) = i¡x 7
V)0
F)f(x) =
VI)
V* 3
xe(0;50)
Encontramos que es la misma función de la parte (/). Por lo tanto, el área máxima que puede tener dicho rectángulo es de 1250cm* y se obtiene para x=25cm. Para este valor y =50 cm. Con estos valores las dimensiones del rectángulo son: a = 25\¡5cm
Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
Si fíx ) =
>1X-1
mx 4
; halla f 9(5)
a) Halla la derivada de la función definida por f f x ) = I + y/ 4- X ,en el punto (3;2). b) Encuentra la pendiente de la recta tangente de
dicho punto . c) Halla la derivada de ffx) con respecto a x . d) Efectúa la gráfica de ffx) y de f*(x) . ¿A qué conclusiones puedes llegar acerca de la función pendiente? Dada ffx) = — ; halla f ( 2 ) .
xm 4xtx> 0 ax e* L o g jz :) Lnx
Igual que el caso anterior, pero ffx) = 1 - — y el punto es
(-D
Halla la derivada de cada una de las siguientes expresiones :
\\ l l 0 8 l
a) y = Í3x4 - £fc3 + 2 ) (x
-sen x + * )-
b) f(x) = - ¡ - I ----- = x -5x + 6 c) ffx) = 5 ( x 2 - tanx + 2 )= d) y = 38en x - 4cosx =
e)(jLY ^ - - ( y - 3 )2 = i g )^ -+ y í = I
Para cada una de las siguientes ecuaciones t dy
x2-3
calcula —
x 3 + 2x - l
flh a) Si y = Logfx + 2 ) f x - l ) , halla y*. fx + 2) f x - l ) , 6) Si y —Log— — — — , halla y . (x + d)
tío*
r
© a)
ex - e x
3x
f) x 2 - 2x + y 2 + 4xy = -2xy , en x = 3.
a) Sea y = 3x4- 5x 2 , halla y " \
, halla y9.
+ 5=
d ) — f]x * + y lx 4 + l = dx
dx
h)~~(3x 2 - 6x - 8enx )4=
e)
dx d
©
dx
senfx2 - 5x)=
f i — sen(cosx)=
c)— [x 3 >/x*+2 ]=
b) 5 - 2x2y + 2xy = 3x , en x = 0.
e) l&r* + y* = 3 , en x = 1.
Usando la notación de Leibinz , calcula : — Hx2 -
a) x 3 - 2xy + 3xya = 0 , en x = 1.
d) 9x3 - y 3 = J , en x = 2.
d) Si ffx) = x 2.eKnx, halla f 9fx) e) Si y =
en el punto dado :
c) x 2 + 2y2 - 3xy - 16x = 9 , en x = -2 .
c) Si ffx) = Lnylsx2 - 3 * halla f 9fx)
e* + e'x
a ) x 2 + y 2 = 25
c ) ( x - l f + (y -2 )2 = 9
e) f(x) = 7 Jx* - 3tfx* + 2$** = /5 /te; =
U ENCICLOPEDIA
dx
Aplica la regla de la cadena y calcula la
b) Sea y = cosx , calcula y/St. c) Sea y = encuentra yfH . d) Demuestra que si y = e* +senx , entonces y(4t = y. dy e) Halla los valores de x que hacen -z - < 0 1 cuando y = 3x 2- 6 .
Dada la gráfica adjunta, entonces existe f*(a). ¿Es verdadero o falso? Justifica tu respuesta .
derivada de las siguientes funciones : a )y = ( 2x - l )2 =
d)y = Í4 x 2 - 3 x ) =
(7x - 3)2 b)y = x -1
( 4x + 3 )s e)y = ( 2x - 3 )2
c)y = 7(x + l ) 2=
f)y = 12x(4x - 3)s=
.
Halla la derivada de cada una de las siguientes expresiones : 6 6 (x * + 2 x ) a )y = (3 x 2 - 4 x + 6) = d )y = ( x s - 2x Y b )y =
e)y
x
* -5
x
% 2x + 8
5x c ) y = V2X3 + 3 x 2 - 2 x =
J
f)y =
x
(x 2 + 3) "*
( 1 _ x *r
Deriva implicitamente y despeja la derivada
en cada una de las siguientes ecuaciones:
la gráfica de y f corresponde a la de la función derivada de y = (x - 3)s + 2 .
l i o » BMBBSI
Indica la verdad o falsedad de la siguiente regla: [f(x)xg(x)xh(x)]'=f'(x)xg(x)xh(x) + f ( x ) x g ,(x) xh(x) + f(x) xg(x)xh '(x)
I I L
W
I V
A
f l A
^
]
todo su dominio . Demuestra que flx ) = cosx es diferenciable sobre R . x 2 -1 ,x < 3 Dada la función flx) = -
Si es falsa, ¿cuál sería la regla verdadera?
2ax
,x¿ 3
Indica la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones :
a) ¿Para qué valor de "a ”, fes continua en todo su
a) f(x) = - x 2 + 4x , entonces f *(x) = -2x + 4
b) ¿Existe
x
b) Si flx) = 4 % 5 - x 2 , entonce / ' (x) = c) Si í(x) = xa- 2x , entonces / Y2J =2 d) flx) = se/zx + 5x , entonces / *
V25- x 2
j =5
Calcular las derivadas de : a)flt) b)k(x) O flx) d)flx)
= 22 - 3t 4 + 42a = (2x2 - 4x + 2Jfte - 5) = (4x - 5J i (3x + 2) = 2 / (2 + x + x 2 + x a)
Indicar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones : a) La recta tangente a una curva y = flx) en el punto yo) » corta a la gráfica de la función necesariamente en otro punto . Justifica tu respuesta gráficamente . b) La recta tangente a una curva y = flx) en punto (x0, y^ no corta a la gráfica de la función en otro punto. '¿ y * c) La recta secante a una curva y = flx ), corta a la gráfica de f en dos o más puntos. La siguiente proposición es verdadera o falsa: Existen funciones que tienen la misma derivada . Justifica algebraicamente tu respuesta . Por ejemplo considera flx) = x + 2 y g(x) = x - 3. Da un par de ejemplos más . Indica la verdad o falsedad de la siguiente afirmación : Si f es una función diferenciable, entonces flx) y flx) + c tienen la misma derivada . Indica la verdad o falsedad de la siguiente proposición : Si una función f es continua en x0, entonces será diferenciable en x 0 . Justifica tu respuesta. Demuestre que flx ) = Vx es diferenciable en
dominio? (3) y f \ (3) ?
c) ¿Es f diferenciable en ]g ? Dada la función flx) = x 4 - 3\fx + 2 , halla b )f(8 )
a) f ( l )
c )f(x j
Halla la pendiente de la recta tangente a la curva definida por flx) = 2x + senx en el punto abscisa xQ = — Halla la pendiente de la recta tangente a la curva definida por flx ) = xa + 3 en el punto de ordenada y 0 = 4 . Dada la función definida por : (2-3x
f x <, 1
f(x ) =
3 3x 2 2 2 a) Determina si fes continua en x = 2. b) Determina si f es diferenciable en x = 2 .
Dada la función flx) = x|x| a) ¿Es continua en x = O? b) ¿Es derivable en x = O?
Dada la función definida por 1 ; x *-i x+1 3
; x = -1
a) ¿Es / diferenciable en x = -2? b) ¿Es / continua en x = -2 ?
Sea f(x) = 15x2 + (65 - 10x)2, halla los máximos y mínimos relativos de / , si existen. Dada la función / (x ) = x +
3600
, halla los
valores extremos relativos de / , si existen. Efectúa la gráfica de / (* ) = —
M EJVriCIMPLDL t]
B a im o ia B \¿$7) Efectúa la gráfica de fíx) = 3 x 4 - 8 0 - 6 x * + 2 4 x
¿Qué número positivo sumado a su inverso aditivo , hace que la suma sea mínima? Justifícalo. PROBLEMA D E FABRICACIÓN: De una
hoja de cartón de 1 8 c m x J 8 c m , deben ser recortados cuadrados iguales, de modo que doblando la hoja, siguiendo las líneas punteadas , resulte una caja (de calzado) que tenga la mayor capacidad posible. ¿Cuánto debe medir cada lado del cuadrado? La relación entre las ventas o y el costo de publicidad p para un producto está dada por la fórmula : v = 25(20p 2 - p)
Encuentra la rápidez de cambio en las ventas, para p = SI. 1 0 0 0 . (T7) Una partícula es lanzada hacia arriba (a lo largo del eje coordenado «y» positivo , desde el origen) , con una velocidad inicial de 49 mis , de modo que la ecuación de su movimiento está dada por: 7 S(.t) = - - t 2 + 4 9 t 2 (S en metros y t en segundos). Responde . a) ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en alcanzar el punto más alto de su trayectoria? ¿Cuál será la altura máxima alcanzada? b) Al término del 4° segundo , ¿la partícula está subiendo o bajando?
f ’(x i = D ¿ 3 x * + 5 ) (2 x + 3 ) + (3 x t + 5 ) D x(2 x + 3 ) = (6 x )(2 x + 3 )+ (3 x * + 6 )(2 )= 1 2 x * + 1 8 x + 6 x * + T 0 - + f '( x ) = 1 8 x * + 1 8 x + 10
C) Aplicando la regla del cociente: „ , , _ D x ( 2 x 2+ 1 ) ( 3 x + 2 ) - ( 2 x 2+ 1 )D x ( 3 x + 2 )
(3x + 2 )2
f
(4x) (3x+2)-(2x 2+ 1)(3) (3x+ 2)2 f'(x )=
6x +8x - 3 (3 x + 2 )s
D) Aplicando la regla de la potencia: f ’(x ) = 7 ( x 2+ 9 ) 6 D x(x 2+ 9 ) = 7 ( x ‘ + 9 ) 6(2x ) - + f ’( x ) = 1 4 x ( x * + 9 ) 6
E) Aplicando la regla de la cadena: f ( x ) = U j( 3 x + 4 )a)D x(3 x + 4 )= ^ J (3 x + 4 ) 3(3) £ £ 4
- + f ( x ) = ~ J ( 3 x + 4 )3 £ PR O B LEM A 2:
Calcular f Y0)t sabiendo que fíx)=y](3x+4 )6 • R E S O L U C IÓ N :
* Hallamos la función derivada f ’(x): 6 * Sea y = u 2 y u =3 x+4 . Así 3 dy du ( b 0 15 = — •— = — u 2 1*3= — u 2 dx du dx \2 ) 2
... . dy
15
-
♦Por tanto: f '( x ) = — (3x+4)* 2 * Calculamos fí(0): P R O B LE M A 1:
Utilizando las fórmulas y reglas de derivación, determinar la derivada de las siguiente funciones: A) fíx) = 8x* - 7x* + 27 B) fíx) = (3x* + 5) (2x + 3) 2x*+l C) f(x) «■ 3x+2
D) fíx) = (x* + 9)7
E> f{x)=-¡(ac+4f R E S O L U C IÓ N : A) Aplicando la regla de la suma se tiene : f ’(x)= DJ8x3) -D x(7x*) + Dx(27) = 24x*-14x+ 0
15 •Así: f ' ( 0 ) = — ( 3 ( 0 ) + 4 ) * = ^ j á 3 = ^ ( 8 ) = e 0 2 2 2 NOTA:
En algunas situaciones es necesario usar la regla de la cadena conjuntamente con la regla del producto o la regla del cociente para encontrar la derivada de una función. P R O B L E M A 3:
Determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función definida por fíx ) = 3 x * en el punto (1; 3) (aplicando límites) .
-> f ’(x)=24xt - 14x
R E S O L U C IÓ N : * Tenemos que el punto de tangencia es P 0(l;3), de
BJ Aplicando la regla del producto se tiene:
donde
x 9= l .
KtTBM&OSg
B
* Luego: m. = L im h-+0
= Lim f*-+o
h
1111 M C) Tenemos:
h
= Lim 3 (2 h + h 2 ) = L im 3 ( 2 + h)= 6 h-+0 h h->0 P R O B L E M A 4:
Sea x (t)= (2 t+ 3 )s la distancia en metros recorrida por un móvil transcurridos t segundos, hallar la velocidad en el instante t=5s (aplicando límites).
f'(x )= U m ñ x± hí ~ ü x ) =Lim x+h+3 x+3 h-*0 h h~+o h -h =Um =Lim h^o h(x+h+3)(x+3) h-*o h(x+h+3)(x+3) = U m -------- — h~*o (x + 3 r D) Gráfica de y =
x+3'
R E S O L U C IÓ N : * Tenemos:
. L,
h-*o
- ” IS) - L .J 1 » w w » 1* - ■«« h h-*o h
m
= L im h-*0
¿ im(52+4h)=52m!s h— >0
h
P R O B L E M A 5: A) Hallar la derivada de y — ■^ , en e/ punto de aóecisa x = 5 (aplicando su definición) . B) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica
de y = —
X+3
en el punto de abscisa x=5.
* 9
C) Hallar la derivada de
x+3 con respecto a x.
D ) Graficar la función y ——
X +3
y /a función
derivada y’= f(x ). R E S O L U C IÓ N :
1 1 A)f'(5)= L im M l b t J ^ = L im 5 ± h ± 3 l5 ± 3 h-+0 h h-*o h -h . . -1 = L im =Lim h~*o h(h+ 8)( 8) h-x) ( h + 8)8 ~ 64 1 * Luego f ' (5 )= 64
K
Derivar las siguientes funciones: I) f(x)=xx I I I ) ffx )= 2 e*+'1*
* Como mT= f ' ( 5 ) = - — t luego la ecuación de la 64
recta tangente es: Lt : y - y„=m
crece: cuando x -> - 3 % la pendiente decrece ilimitadamente; y cuando x -+ +oo, la pendiente de la recta tangente se aproxima a cero (la recta tangente se aproxima a ser horizontal) P R O B L E M A 6:
B) Para x=5 tenemos y = — ; luego el punto de paso 8
es
Se deduce que la función derivada tiene las siguientes características: * Para x e ]-oo;+3[, la pendiente de la recta tangente decrece: cuando x se aproxima a - 3, por la izquierda, su imagen decrece ilimitadamente , y cuando x -> - qo, la pendiente de la recta tangente se aproxima a cero . * Para x e ] 3;oo [, la pendiente de la recta tangente
I I ) y = xx* IV ) f(x)= L n ( j x + J x + are aenx)
R E S O L U C IÓ N : I) Tomando logaritmos: Lny = xLnx
* Derivando, resulta: , entonces y ~ ^ = ~ ^ x ~ 5^
Lj.: x+64y - 13=0
y ’=y(l+L n x) -¥ y ' = x x(l+Lnx)
( H
/7) Tomando logaritmos: Lny=xxLnx ♦ Derivando ambos miembros:
-
a
H
la
I E
m ig o P iiiiM ]
tantas veces como sea necesario, hasta levantar la indeterminación. P R O B L E M A 8:
+ (x*)'Lnx
-> y'=y[x*~I +xx( l +Lnx) Lnx]
d_ sen ( eos (x 2 - 2x )) Calcula: dx R E S O L U C IÓ N :
-> y '= x ^ [x * -l+x£Lnx(2+Lnx)]
* Sea: y =sen(cos(x2- 2x )) debemos calcular É L .
según (I)
dx
//)/-Y*;=[ 2 ‘'*+'yíLn 2 ](e* + V * )’ = [ 2 ^ +J* L n 2 ] [ e x + j ¡
/• ' M
IV )f'M = x + J x + arcsenx - 1/2
-1/2
{•Jxhfx +arcaenx i
* Luego: ÉL se expresa como: dx dy dy dv du dx dv du dx »
f' (x) =
Vx +%fx +arcsenx Calcular:
eos 2 x+ sen x Lim n n - 2x X~*2 R E S O L U C IÓ N :
Al tomar el límite al numerador y denominador encontramos que el límite tienen indeterminación de la forma 010. Es posible por manipuleo algebraico levantar la indeterminación y calcular el límite. Sin embargo, la aplicación de la Regla de L ’Hopital es más inmediato, como veremos a continuación. Derivando el numerador y denominador del cociente cos2x + senx n - 2x
se tiene:
dx
■
i
■
(I)
9
♦Pero: & = ¡¡-(sen v) = co»u ;
PROBLEM A 7 :
£ (cos2x + sen x)
* Empezando de “adentro hacia afuera”, efectuamos los cambios de variable: * Cambio: u=x 2 - 2x, nos queda: y=sen(cos u). * Cambio: v=cos u, nos queda y=sen v.
(x-2x)
/
------ =sen2x — cosx 2 -2
= eos(eos (x 2 - 2 x )) ( -s e n (x 3 - 2x))( 2x - 2) Nota que el mismo resultado se obtiene si derivamos primero la función externa y el resultado se multiplica por la derivada de la función interna. Veamos esto: (x?-2x)es (2x-2) } I______________ ._______ f La derivada del coseno es -seno PROBLEM A 9 :
y como : d (cos2x + sen x) Um dx , u J sen2 x — cosx * 2 y° ( x 2 x ) S"*2 d x .......... 2
entonces, por la Regla de L ’Hopital, concluimos: d cos2x+sen x = Lim Lim M x - 2x X * 2
dx
—eos (eos u) •[-sen (x 2 - 2 x í] *( 2 x - 2 )=
? *m(co»(x2- 2 x » =coa(cm(xl - 2 x » ( - sen(x3 - 2 x » ( 2 x -2 )
_2sen2x+CMX
-
dv dv dv d , . du n — = — (eosu) = - sen u; — - = 2x - 2 du du dx * Reemplazando en (I): dy = eos v •(-senu) •(2x - 2) luego: dx
(cos2x+sen x ) =0
dx
Determinar las cuatro primeras derivadas de: f (x) =X 3 R E S O L U C IÓ N : A) f 1 (x ) = 3x 2 + A r + 12 x -t!4 xa B) f il (x ) = 6x -
x
( x - 2x)
En ocasiones ocurre que el límite del cociente entre las derivadas también tiene indeterminación de la forma 0/0. En tal caso se aplica nuevamente la regla,
X
2 * 16X
-
3X-*4
C) f iu (x ) = 6 + % + 1 -^ x D ) r ( x ) = - ™ - ^ x -ist4 6
16
3/4
1119
PRO BLEM A 10 :
Calcular: Lim
* Por lo tanto :
sec2x - 2 ¿q/> x
Calcular :
R E S O L U C IÓ N :
El límite tiene indeterminación de la forma 0/0. En este caso parece ser que el manipuleo algebraico no levanta la indeterminación. Derivando, se tiene:
dx
sec* x tan x _ 2 *ec2 x —4sen4x
(l+co&4x)
H m _ (sec2x - 2tan x) _ j j m dx l+cos4x
(sec x - 2tan x)
dx
( 1 + co 8 4 x )
(I)
Aplicando nuevamente la Regla de L ’Hopital : d
(tanx - 1)
aec2x L im * 4 coa 4 x ,.
o (»en4x) 4 dx
X-+* »en4x
1) Lim x-*l
2x7 + 3x2 - 4 x - l x
+ 2 x —3
x - a rctn x
III) L im x-*0
1 . __. -------- . . ~ ( U ) 2
sec2x - 2 ta n x L im x_ l+cos4x ~ ( i K 4
r . 2x 7 + 3x2 - 4x - 1 r . 14xfí + 6x - 4 Li m =-------------------= Li m -------------------*-> /
x + 2 x -3
Determinar y ” de la función y = fíx ) definida implícitamente por : x2 - x y + y* = 9 R E S O L U C IÓ N :
2x - ( y + x y 9) + 2yy 9= 0 -> 2 x - y - x y 9+ 2y x y ” = 0 => (2y - x ) y 9 = y - 2x
14 + 6 - 4 =4 2+2 II ) Se observa que la expresión 2x 4 - x 3 + 4 x - 5 x2 + x -2 0 toma la forma — para x = 1 , luego aplicando la regla de L 9Hospita l.
. . 2x 4 - x 3 +4x - 5 T. 8x 3 - 3x 2 + 4 Li m :----------------- = Li m --------------------X~>1 *~*i 2x + 1 xz + x - 2 8 -3 + 4 =3 2+1 0
L im
x
1 ,. =---------= —Lim
*
0 IV ) Evaluando toma la forma — lo que implica que
habría que levantar la indeterminación . La expresión puede escribirse :
(2y- x f
™ x - ( X + 3 )112 - ( 4 x + 3 )V3
• Aplicando la regla de L ’Hospital - Bernoulli : 1 - í (3x - 2 X m (3) - 4 (x + 2) 213(2) Lim
--------------------^ 1 - U x + 3 )~112 (1) - U á x + 3 ) 2I3 (4) 1
2
(2y-x?
1+x 3x
x - ( 3 x - 2)1/2 - ( * - 2)m
■ - ( y ,- 3 ) ( ^ y - j f ) - ( y - & r ) ( ^ y , - l ) _ 3xy'-3y
tí
1-
x-ardan x
x-+0
(I)
* Observemos y 99 derivando de manera implícita, de nuevo con respecto a x, usando la regla del cociente y sustituiremos y por lo hallado en (I) :
. ’M
2x + 2
I I I ) Forma de indeterminación — ; por L'Hospital :
P R O B L E M A 11 :
.
x2+ x - 2
2x 7 + 3 x 2 - 4 x - l I) Se observa que la expresión x 2 + 2x - 3 0
r. Li m ---------- =---------= Lim x-+0 x-+0
y - 2x y = 2y - x
+ 4 x —5
R E S O L U C IÓ N :
x-ardan x
,
2x - x
X-y/3x-2-yJx + 2 IV ) L im ------- , x-+6 X - y j x + 3 -
* Finalmente, reeplazando (B) en (I), se obtiene:
(2y - * f
II) U m x~*l
•Toma la forma — para x = I , luego aplicando la regla de L 9hospital:
2 } ( tan x - 1 sec x ■H A sen4x
tan x - 1 = L im — _ * senAx
+ ( 2y - *)
PR O B LEM A 12 :
I+coá4x
^ (s e c 2x - 2tan x)
=
3 117 * Evaluando se tendrá : 148
I A E N C ii'J A t P E M Á }
[A M
PR O B LEM A 13 :
Calcular:
—> y
L im x-+o v sent 2x
x 2J
m = a 3 sen ax = a s eos ^ax + 3
El límite tiene indeterminación de la forma oo- oo. En estos caeos tratamos de cambiar al tipo de indeterminación de la forma OJO. En efecto, reescribiendo: x 2 - sen2 x x+aenx x-senx ( I) xsen2x x 2* * 2
• Entonces : y ín* - artcoa| ax + 2 _ 1 - cos2x IB ) Como : sen x = f ( x ) = L . S 2^ 2 2
El límite del primer paréntesis de (I), es: x + senx
1+
) = {
senx
* Luego su enésima derivada , será :
y
f
y por lo tanto : x -s e n x L i m f — ^ ---------^ -1 = 2 L im {sen x x J x~*° xsen2x Teniendo en cuenta que D xsen*x = sen2x, entonces
aplicando sucesivamente la Regla de L'Hopital, hasta levantar la indeterminación, se tiene: x -s e n x _. 1 - eos x L im ------------- =Lim x-*o xsenx x-*o sen2x+xsen 2x senx = Lim x-+o 2sen2x + 2x óós2x
eos X r , x -s e n x r . L im ------------- =Lim -------x-+o xsenx 6 cos2x- 4xsen2x 6 - 0
y reemplazando en (II), se obtiene: n X2 )
3
PR O B LEM A 14 :
Determinar la n-ésima derivada de : I)
flx) (ax + b)n
III) f(x) = sen*x
dxn \ 2 )
dxn {
vale cero
-> f n (x ) = - — (cos2 x ) 2 dxn -> f n (x ) = - ^ . 2 " cos^2x +
J ........(ver I I )
IV ) De : y = ( 1 - 3X) 1
6
y " = < -2 )(-2 )U -3 x )_2 (-3 ) 2 -> y *" = ( - i ) ( - 2 ) ( - 3 ) ( J - 3 x ) _s(-3 ) 3 * De donde se puede inducir y deducir que : / £ )= 3 nn '( J - 3 * ^ ,' , PROBLEM A 15 :
=2(i)= i
le )
cos2 x
y ’ = ( -2 ) ( 2 -3 x ) 2 (-3 )
Puesto que el límite sigue indeterminado, derivamos una vez más. Así:
i _ L im *-*o { seni 2x
* 0I = - a sen ax = a coa( ax + — l 2)
-> y " = - a 2 eos ax = a 2 cosí ax + 2 — ] l 2)
R E S O L U C IÓ N :
Lim ( *~+o v
1
Calcualar « y 9», en: I ) 4 * y + 2x = 4y J3) cost(x + y) = 1 W) x’ = y r R E S O L U C IÓ N :
^ | ( ^ y ) " i/2 (* y ,+ y ) + 2 = ^
I I ) flx) = cosax IV ) f(x) = ( l - 3 x ) -i
R E S O L U C IÓ N : I) De : y = (ax + b)n -> y ’ = na (ax + b)"'1 -> y ” = n(n - l ) a 2 (ax + b)n'2
y ” ' = n(n - l ) ( n - 2)a 3 (ax + b)
* Despejando y 9 resulta : y' =
Vx - x
I I ) Derivando, resulta : - 2cos(x + y) sen(x + y) ( l + y 9) = 0 -> y 9 = - 2 I I I) Tomando logaritmos : yLnx = xLny
* De donde se puede inducir que : y* = n! a*(ax + b )** -> yn = nía
* Derivando , resulta : “ + y'Lnx =
II) D e: y = coa ax
* Despejando
y
Lny
utc ft/\:m
in g M
i
]
xsenx Lim í x-+o* Vxcosx + xsenx ]) - £ 0
P R O B L E M A 16
Determinar y’ e y” de
Seguimos Aplicando L f Hospital y + Vx
+ \í + J* l = s u
_ . f xcosx + senx \ 0 Lim —------------------- = — = 0 x-*o+ v 2cosx - xsenx ) 2 * Por lo tanto :
y y -V x
R E S O L U C IÓ N :
* Elevando al cuadrado tenemos:
Lim \ — - cotx \ = 0 x-*0+\X )
y z J * + y±JL = 25l4-2=17l4
y + Vx 0
=
(y +
y -V x
(y
P R O B LE M A 16 :
1 /2 ^
) - ( y - ¡ x ) ( y '+ i /
2 V*)
(y + (y - -Jx) (y '+ 1 /2 y[x) - ( y + ¡ x ) ( y '- l / 2 yfx) (y - V* ) 2 ♦ Simplificando obtengo : 0 = y ' (~8 yx) + 4y 2 -+ y ’ =
2x
Sea: x = L n ( 3 - 1 )
:
dy Calcular : - r dx R E S O L U C IÓ N :
I I ) Lim L.nX X-900 xlx
V)Umxx x->0
V I) L im x wenx x —tO
I) lÁm^— jr = Lim— j = Lim-^—z
JT-MOX6
x—><0 5x4
*->« 20 tc
ex ex ex = oo = Lim mLim-?— = Lim X-900 60x2 120x 120
4x
X— 900
2t y = 1+ t
=> Lim —=■= 00
*-**> x 5
II)
Lim
x-+oo ifjx
=
Um
ltx...
X~+
=
r . Lnx -» Lim r = 0 *-*«© kJx
* Primero derivamos respecto a «t» . dx _ -1 ~dt ~ 3 - t dy = 2 ( l + t ) - 2 t ( l ) _ 2 2 2 dt Ci + t ) (i + t >
Lim 3x'113 = 0 X-+C0
mcosmx
„ „ U m L n ÍK n m x ) _ U m x-*o Ln(senx) „ x-*o
* Luego :
cosx
m8enxco8mx = Lim x~+o 8enmxco8x -m senxsenmx + mcosxcosmx = mLim x->o -senxsenmx + mcosxcosmx -6 + 1 ^ _ _. Ln(senmx) =m 1 - » L im ; r- = 2
dy dy _ "7 dt _ ( l + t f _ 2t - 6 2 -1 dx dxA (1 + t) dt 3-t PR O B LEM A 18 :
(1 Calcular : *_*o+Vx
IV ) Lim arcsenxctgx
R E S O L U C IÓ N :
= 1*
4x2 PROBLEM A 17 :
l)L im x X
Ln(senmx) 111) Lim x-*o Ln(senx)
n __ y ' 2 x - 2 y * Entonces :y 4x2 y . 2x - 2y _* y "
Determinar los siguientes límites (por ¿'Hospital si es posible) .
-0 + m )
COSX
Ln(*enxJ
R E S O L U C IÓ N :
* Lo pedido, será : senx - xcosx \ f 1 cosx} T . ( se\ Lim ---------------- = L im — xsenx ) ,-, 0+V.x \ x senx senx) *-+o+V * Entonces debemos aplicar L 9 Hospital
/V ) Lcm
0 0
x->o
arcsenx 2anx
coa2x
Lim ^ = Lim x— +o sec x x~>° ¡ 1 - x 2
T ■ arcsenxctgx t O)® Lim = ■ / — ■= 2, *-.0 ¡1 -0
c
rauuai
* En efecto si calculamos las derivadas laterales :
V) Lim xx = Lim e1™* = Lim exLnx x-*0 x-*0 x~+0 Vx Ln* Lim UmxLnx Lim —- a — ox-*Q = e *->0 / te — ¿ > =e = e *-*0-lte*
= c— o
~ f (2 ) = * 2 - 2-2 = 4 x-> x -2 x -2 ♦ Podremos verificar que son iguales a 4 y por ende es derivable en x = 2 2
PROBLEM A 22 :
= g*-»0-cojcr/»í/i x — gx-»0 joco» r . aenx . ¿un .niiyx
— gX-»0
X
x -2
f. (2 ) = U m f
Lim Ln* = U m e*,nxLnx = e^ 0,l‘mx x-*0 llx Lim •en*x
Um
x -2
x-> 2 ‘
=e°=l
VI) U m x-+0
M EXCMVJMPEñiA)
=e
(-JK0)
Determinar los valores de a y 6 , tales que f ' (1) exista , s i:
=1
x 2, si X < 1 f(x) = a x + b9si K x
$ Lim x 9*"* = 1 x->0 PR O B LEM A 20 :
¿Es f diferenciable en todo dominio?
I) Hallar y : si x 2 + y 2 = 6 xy
R E S O L U C IÓ N :
Z7) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva dada por x 2 + y 2 = 6xy en el punto , (3 ;3).
(1 + h f - (a + b) T. h 2 + 2h + ( l - a - b ) = Lim -------------------------- = L im ------------------------------h h-+o* h A-»0*
R E S O L U C IÓ N :
* En la ecuación x 2 + y 2 = 6xy derivamos con respecto a x : 3x* + 3 y 2y ' = 6y + 6xy' ,_ -+ x 2 + y 2y ' = 2y + 2x y ' -* y ' =
-x y - 2x * Para el punto (3 ;3) la pendiente ro de la recta tangente está dada por y1evaluada en (3 ; 3)
2y
, ro = -------- = - i 9 -6 ♦Luego, la ecuación pedida es: y - 3 = - ( x - 3 ) 6 -9
l
f ; (2) = Lim
f l ( 1)
2
.
q j,
A
7
= Trfiw(A + 2) = 2 h-*or
(II)
= Lim ^ 1 + HB 7 (i) = A->0+
/»
a (2 + /») + 6 - ( a + &) ah L im --------------------------------- = Lim h
k->o+ h
( III)
♦ Como / 1 ( 2 ) existe, se tendrá que /*_(l ) = ( 2 ), es decir de (II) y (///): a = 2 ♦Luego reemplazando a = 2 en(I) 9obtenemos b = -2 ♦ Entonces tenemos que f es derivable en x = 2
x2 ; x <2 S i: f ( x ) = 4x + b; x ¿ 2
es derivable en x = 2. Calcule « 6 » R E S O L U C IÓ N :
♦ Finalmente , /*|(x) = x2es derivable en todo su dominio (x < 1 ) y f s (x) = 2x - l es también derivable en todo su dominio (x ¿ 2 ) í con la cual decimos que f es derivable en todo su dominio g .
fes derivable en x = 2 2
♦Luego: Ziro/‘(x)= 2 (2 )
PRO BLEM A 23 :
=> Por límites laterales : L i m f ( x ) = Lim 4x + b = 8 + b .... x->2+ x->2* L i m f ( x ) = Lim x 2 = 22 ............. x~*2~ x-*2~ * De (I) y (II):8 + b = 4
♦ Para que exista el límite y por tanto la derivada, debe ocurrir que : l - a - b = 0 ................. (I) ♦ En cuyo caso , además :
h-*o+
P R O B L E M A 21 :
=> /“es continua en x =
,; u ) , i i „ £ < í± * L íW h h->0‘
b= 4
(/) (//)
Verificar la función : |x + 2 |; x
<0
f { x ) \2 - x 2; 0 < x < 2 x2 - 4 x + 2; x ¿ 2
[ig p w m m ^
«BgÉiiirnasa
nt7B*MSMP&
es derivable en * = 0 y
obtenemos :
*= 2
R E S O L U C IÓ N :
* Observe que ffO) = 2 ; f( 2) =-2 fíx) es continua para x < 0 fíx) es continua para 0 £ x < 2 y como Lim f (* ) = Lim \x + 2| = 2 x->0+ x-kOr Lim f (* ) = Lim 2 - x 2 = 2 x-+0 x-*
PROBLEM A 25 :
Determinar los puntos críticos de la función 4
x-*0
£
f(x) = x 3 -1 2 x 3
=> f es continua en x = 0 analizaremos la diferencialidad en x = 0 .
R E S O L U C IÓ N :
f A o ) , L i m ú i ± j ‘i z m
* Derivando la función resulta :
h->0
H
,
h->0
h
= L im 1 = f_ (0 ) = 1 h->0'
4x-12 f(x) = 2 3x 3
f . ( 0 ) . L i m r (0 i hl : I Í ° J . /.-»o+ h
Como f (0) *
(0) entonces f no es derivable en 0.
* Ahora para x = 2 A-#0* h 2 - (2 + n f - (-2 )
_. h2 -4 h =A-> L im ----------= L im -' 0
6
4 — 4 - 4 f ' (* ) = — x 3 - 4 x 3 = —x 3 - - 2 3 3
6
* f ' (x ) existe para todo * diferente de x = 0 , es
decir f ' ( 0 ) no existe . * Pero como x = 0 , es un elemento del dominio de la función, x = 0 es punto crítico de f . * Además f ’ (* ) = 0 , sólo si: 4 x - 12 = 0 * luego *=3 es punto crítico de f .
= Lim - h - 4 => /*_ (2) = -4
PROBLEM A 26 :
T í ) , um
Determinar los puntos críticos de la función : f i x ) = x 2e x
h'~+0*
-
h
. . i2 + h ) 2 - 4 Í 2 + h) + 2 - { - 2 ) Ltm ------------------------------------------------h-+0*
h
= Lim h=> f + (2)
* Como /*_' (2 ) * f+ ( 2 ) entonces f no es derivable en 2 . PR O B LEM A 24 :
R E S O L U C IÓ N :
* Derivando la función resulta : f 9fx) = 2x e * + x 2e * ( - l ) f f x ) = xe~*(2 - x) * El factor e * nunca es cero, luego f 9fx) = 0, si x(2 -x) = 0 , es decir , x = 0 ó x = 2 * La función tiene dos puntos críticos : x=0 y x = 2 .
Esbozar la gráfica de una función continua en jg, que cumpla las condiciones :
PROBLEM A 27 :
* =f(\ } = m = 0 •f (-€ ) = l . f (-2 ) = 4, f ( 0 ) = 3, f ( l ) = -2, f (3) = 4
R E S O L U C IÓ N :
* f '(-€) = f ' ' (-2) = 0 ; f ' ( l ) a/"'(3 ) no existen.
* Y '(* )< 0 ,V * e ]-o o ;-6 [u ] - 2 ; I [ u ]3;<¡o[ •/•'(*)> 0,V * e ] - 6 ; - 2 [u J l;3 [ R E S O L U C IÓ N : * Ordenando los datos en el plano y graficando
Si ffx) = x 3 - Sx + 4 , hallar los intervalos en los que ffx) crece y aquellos en los que decrece. * Los puntos críticos nos sirven para construir los intervalos en los que se analiza el signo de f 9fx) . f 9fx) = 2 x - 8, f 9fx) = 0 => x = 4 Intercalo x<4 x>4
*0 0 6
aigno de f ’(x) en x0
f (0) * -8 < 0(-) f ' (6)-4>0(+)
IÍ1 Í I M * VeamoB que si x < 4, la función y = fíx ) es decreciente , y que si x > 4 la función , y = fíx) es creciente . PRO BLEM A 28 ; Determinar los valores máximos y mínimos absolutos de : fíx) = x 3 + 3 x * - 2 4 x - 10 en [0 ; 4] R E S O L U C IÓ N : * f es continua en el intervalo [0 ; 4J; por lo tanto
se puede garantizar la existencia de los extremos absolutos de f en ÍO ; 4] f ’( x ) = 3 ( x - 2 ) ( x + 4)
* Puntos críticos:
♦ Como de un lado a otro de x = 2 , la segunda derivada cambia de signo , x = 2 es un punto de inflexión .
PR O B LEM A 29 :
determine
sus
valores máximos y mínimos absolutos . R E S O L U C IÓ N :
♦ Es claro que f es continua en .el intervalo [ 4 ; 2] ; por lo tanto , podemos garantizar la existencia de los extremos absolutos de f en [4 ; 2],
♦ En resumen : fíx) es cóncava hacia arriba en el intervalo /- oo;2 [ fíx) c« 'nbia su concavidad en x = 2 , fíx) es cóncava hacia abajo en el intervalo ] 1 ;2[ , fíx) cambia de concavidad en x = 2 , fíx) en cóncava hacia arriba para x > 2 , en el intervalo /2 ; oof P R O B L E M A 31 :
4-x ( x 2 - l ) x \ ( l + x 2)
♦ Se puede determinar que los puntos críticos de f 9son x = - 4 ; x = 2 ; x = 0 ; x = l ; x = - l -16 fí-4) = 17
♦ Como de un lado al otro de x = 2 la segunda derivada cambia de signo , o sea varia la concavidad de la gráfica , x = 2 es un punto de inflexión . ♦ Evaluamos f 99(x) a la izquierda y a la derecha de x = 2 . Tomemos x = 1 ,5 y x = 3 . f 99(1,5) = -0,25 y -O¿ 5 < 0 f 99(3) = 3 * - 3 ( 2 ) + 2 = 5 y 5 > 0
x = 0;x=2;x = 4 -> fíO) = -2 0 ; fí2 ) = - 32 ; fí4 ) = 6 * El máximo absoluto es : fí4 ) = 6 * El mínimo absoluto es : f í 2) = -32
4\x\ Si f(x) —~ 1+ x
♦ Para averiguar los posibles puntos de inflexión debemos hacer f >9(x) = 0; x* - 3x + 2 = O, factorizando la expresión obtenemos: (x - l ) ( x - 2) = 0 . ♦Los posibles puntos de inflexión son : x =1 ó x = 2 ♦Evaluamos f l9(x) a la izquierda y a la derecha de 2 ; tomemos x = 0 y x = 1 , 5 : f " (0) = O2- 3 ( 0 ) + 2 = 2 y 2 > 0 f ” (1,5) = 1,5‘ - 3(1,5) + 2 = -0 ¿ 5 y -0 2 5 < 0
Determinar los intervalos en que la curva correspondiente a fíx) = x 3, es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo .
f í - 1 ) = -2
f(0) = 0 ; f í l ) = - 2 ; fí2) =
-8
♦ El valor máximo absoluto es: 0 = fíO) ♦ El valor mínimo absoluto es: -2 = fíl) = fí- 1 ) PR O B LEM A 30 :
Encontrar los intervalos donde la función x4 xa fíx) = — - —
+ x + 2 0 , es cóncava hacia abajo y
te donde es cóncava hacia arriba . Encontrar los puntos de inflexión . R E S O L U C IÓ N :
♦ Se calcula la primera y segunda derivada : x2
3 x2
f ' (x) = + - = + + 2 x O te
; f " (x) = x 2 - 3 x + 2
R E S O L U C IÓ N :
♦ Se calcula la segunda derivada de la función: f 9(x) = 3 x ; f ” (x) = 6x ♦fíx) es cóncava hacia arriba si f “(x) > 0, es decir, cuando : 6x > 0 -> x > 0 ♦ fíx) es cóncava hacia abajo cuando f 9f(x) < 0, es decir, cuando : 6x < 0 x < 0 ♦ Por lo tanto fíx) = x 3 es cóncava hacia arriba en
[ijJH irfO ATO Jt I7ILVO A
1119
el intervalo y es cóncava hacia abajo en el intervalo ] -OO9 01 PR O B LEM A 32 :
Determinar los intervalos en donde es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo la curva de la función f(x) = 5x* - 20x + 3
*5 —4- —3
R E S O L U C IÓ N :
•Se halla la segunda derivada de la función : f 9(x) = 10x -2 0 f ”(x) = 10 •Como f 99(x) = 1 0 y 10 > 0 para toda x, podemos decir que la curva de la función fíx) = 5x2 - 20x + 3 es cóncava hacia arriba en todo b u dominio . PR O B LEM A 33 :
Hallar los máximos y los mínimos , relativos y absolutos, de la función fíx) = x s- 3x + 2 en donde -5^x
x0 = x0 = x0 = x0 =
_L.i L -1 es un máximo relativo . 1 es un mínimo relativo . 3 es un máximo absoluto . -5 es un mínimo absoluto .
P R O B L E M A 34 :
Una pelota se proyecta verticalmente hacia arriba uS n metros del punto de partida . En el instante / (segundos) donde : S = 6 4 t - 16t*
.
R E S O L U C IÓ N :
¿Cuál es la máxima altura alcanzada?
•Encontramos los puntos críticos de la función : • Como esta función es de dominio restringido puesto que sólo se define para el intervalo [-5 ; 3 7 , ya se tienen dos puntos críticos : x0 = -5 ; x0 = 3 • Ahora averigüemos otros puntos críticos con la primera derivada : f ’(x) = 3x* - 3 = 3(x + l ) ( x - 1) •Otros puntos críticos son : x0 = -1 , x 0 = 1 •Veamos cuál de los dos anteriores puntos críticos es máximo y cuál es el mínimo : • Reemplazamos x = -1 en f t9(x) = 6x -> f ”( - l ) = 6 ( - l ) = -6 < 0 luego f 'Y- 1 ) > 0 •La función es cóncava hacia abajo alrededor de Xff——2 * •Entonces xQ= -2 es un máximo en el intervalo
A) 64
1-5 ; U
•Reemplazamos x = 1 en f 99(x) = 6x -> f 99( l ) = 6(1)>0 , luego f 9(l ) > 0 • La función es cóncava hacia arriba alrededor de : Xq — 2
.
•Luego x0=les un mínimo en el intervalo 1-1 ; 3 1 . • Para decidir cuáles de los puntos críticos son máximos y mínimos , relativos o absolutos, calcularemos fíx) es esos puntos: fl- 5 ) = - l 0 8 ; f í l ) = 0 ; f l - l ) = 4 y f í 3) = 2 0 •Según lo anterior :
B) 0
C) 16
D) 32
E) infinita
R E S O L U C IÓ N : • Como se quiere calcular una altura máxima en un
instante determinado , calcularemos la primera derivada de S con respecto a t . ^ = 64 - 32t dt
• Para que la altura sea máxima : 64 - 3 2 t = 0 -»/ = 2
• Reemplazando en la igualdad inicial . S = 64(2) - 16(2) 2 = 64 R P T A : 44A ” PROBLEM A 35 :
Una caja tiene una altura * y una base cuadrada cuyo lado es un número entero, donde p+h = 60, siendo p el perímetro de la base . Calcular el volumen de la caja de mayor volumen . A) 10* B) l a x 10* C) 1,6 x 10* D)2xl0* E) 3 x 10* R E S O L U C IÓ N :
Lu\ E N V li X O m )M ]
1 SQ\ *h = 6 0 - p
•Volumen : V = ^ P l_ F l
v = ( ? ) V - p>
16
(l)
hi
16
•Para determinar volumen máximo , derivamos y encontramos el punto crítico : 16
**
16
=>p = 40 , para que el volumen sea máximo . * Reemplazando en (I) : V =« W
- « í i . 2000
16
16
RPTA: “D ” P R O B LE M A 36 : x b [1 ;1 1 ]
V
2 2V 2 +x r — +x r x r_ ) r * Analizamos en qué valores de r , la cantidad de M = 2 x^
Traza la gráfica de f(x) = 4xs - 33x 2 + 84x - 60,
material es mínima :
R E S O L U C IÓ N :
* Aplicamos el criterio de la primera derivada : f '(x) = 12x* - 66x + 84 =>f ’(c) =0 o 12c1 - 66c + + 8 4 = 0 o c = 2 ó c = 7/2 ‘ Analizando los signos de f ’(x) :
\ ¿
d ecrece
*d M dr
2V
r
+ 2 nr
dM . Haciendo —7 — = O . obtendremos: r = ? dr d 2M d r2
Elegimos f * (x) > 0 y nos queda :
crece
* De: V = x r 2 h ....................................... O) •La cantidad de material (M) que debe emplearse está dada por el área lateral del depósito más el área de la base de dicho depósito . * Así: M = A t + Ab M = 2 x rh + *■r* ...... (II) * De (I) y (II) , se obtiene :
% + 2 * . Como
>0
/
7/2 c re c e
•En x = 2 , hay máximo : f( 2) = 5 . * En x = 7/2 hay mínimo : f(7/2) = 6/4.
•Entonces existe un mínimo en r
cuyo valor
es M = 3$4 v I . Siendo las longitudes de r y h , las siguientes :
•Como xe[i;n],tenemo6que:/r2J=-5y/r22J =2195 Radio de la base: r =
; altura del depósito : n '
PR O B LEM A 38 :
Un señor tiene 240 metros de cerca con los que quiere limitar un corral. Planea cercar todo el corral y después subdividirlo teniendo un cerco a lo ancho del terreno. ¿Qué dimensiones deberá tener el corral rectangular para que quede demarcada la máxima área posible con la cantidad de cerca de que dispone? PROBLEM A 37 :
R E S O L U C IÓ N :
Calcular la máxima cantidad de material (área) que debe emplearse para fabricar un depósito en forma de cilindro recto sin tapa , que tenga una capacidad de uVn. R E S O L U C IÓ N :
a
B * Del perímetro: 4 a + 3 h = 240 ....
(I)
* Del área limitada :
30
A = 2ah ............. * De (I) y flO : A = (2 2 0 -f
m E K iim is l JIJ5i ^ * Entonces en x = 36 ocurre un mínimo , cuyo valores: 600x36 ./0_. 2A = --------------+ 4(36) = 864 cm2
(II)
= J20fe - |fe2, ahora :
P R O B L E M A 40 :
A* = 120-3h y A 9= 0 <=> fe = 40
Hallar la gráfica de la función: fíx) = 3 ^ - Sx3 .
* Pero A ” = -3, entonces A" U«4o= -3 < 0 * luego existe un máximo en fe = 40, cuyo valor es: 220
• Las dimensiones de la página son: Ancho : x = 36 cm . Largo : y = 24 cm .
R E S O L U C IÓ N :
El dominio es R . Derivando, se obtiene: f ( x ) = 1 5 x *(x + l) (x-1)
- f x « ) x 40 = 60 x 40 = 2400 m 2
de donde encontramos que los puntos críticos de primera especie son: - 2, 0 y 2. Los signos de fí(x) se muestran en la Figura:
* Las dimensiones del corral son : * Largo del corral: 2a —60 m . * Ancho del corral: fe = 40 m . PRO BLEM A 39 :
En la página de una revista, el texto impreso debe ocupar 600 cm2. Los márgenes superior e inferior deben ser iguales a 2 cm , los de izquierda y derecha, iguales a 3 cm . Tomando en cuenta sólo la economía de papel, ¿qué dimensiones de página 6erían las más ventajosas?
Signos de f '(x)
R E S O L U C IÓ N :
72 Signos de f ”(x) >y
De la Figura y por aplicación del criterio de la primera derivada, se obtienen los datos que muestra la siguiente Tabla : X
•Sean “x 49e “y 99 las dimensiones de la página. * Dato : (x - 6)(y - 4) = 600........................ (I) • Piden que el área de la página sea mínima, para esto hacemos A = xy ....................... (II) •De (I) y (II) : . 600x . A = -------- + 4x x -6
x< -1 x=-l - l < x <0 x =0 0< x < l X=1 X>1
2
f'M + 0
0
0
fíx)
—
-2
0
+
Conclusión creciente máximo relativo decreciente no es extremo relativo decreciente mínimo relativo creciente
Derivando nuevamente, se tiene:
=* A ' = 600. ( x ) ( X - -6 ) ( x - 6) -6 A ' = 600. +4 (x - 6 )
+ (4x)'
f ”(x)=60x
72 fc)(* ) de donde encontramos que los puntos críticos de 7
segunda especie son: ♦Ahora: A' = 0 ^ > - ^ ^ + 4 = 0 o x = 36 (x -e f
, „ .. 6x600 x2 . ' 8 . ♦ Pero A = ------------ = - y A " L . 38= — > 0 ( x - 6)8 30
+
2
99 y ~2 ‘ ^°s ^S 1108
f ”(x) se muestran en la siguiente Figura .
De esta figura y aplicando el criterio de concavidad se obtienen los datos que muestra la siguiente tabla
\l 1 2 2 1 X
ffx)
rfx)
1 X<~ l 2
-t e 1 II
H
~ ¡ 2
—
742 8
0
0 —
7yf2 8
II
j
cóncava hacia abajo punto de inflexión
+ . cóncava hacia arriba
0
0
Conclusión
X>l 2
punto de inflexión cóncava hacia abajo
0
punto de inflexión
+
cóncava hacia arriba
Adicionalmente, encontramos que la gráfica no tiene asíntotas. Dicha gráfica intersecta al eje Y en el origen de coordenadas. La siguiente Figura muestra la gráfica de f Nótese que existe simetría respecto del origen, lo cual era de esperar, puesto que f es una función impar. Y
cajón sería : I(x ) = x(50 - 5x) = 50x - 5xs •A sí, la utilidad que obtiene el agricultor es : U(x) = I(x ) - Cfx) -> Ufx) = (50x - 5x*) - (150 - 15x) ~*U(x) = -5 x s + 6 5 x - 1 5 0 •Para determinar el máximo valor que puede tomar la utilidad Ufx) , aplicaremos las técnicas ustudiadas en el tema anterior . Así , primero debemos buscar los puntos críticos en la forma usual y luego analizamos su naturaleza . • Derivando , obtenemos la razón de cambio : U 9(x) = -lO x + 65 • Y haciendo U 9(x) = - lOx + 65 = 0, hallamos el punto crítico x = 6,5. Luego construimos la siguiente tabla : Intervalo 0
Xo Signo deC'(x) en x0 Función Cfx) 6 U'(6) = 6 > 0 Crece Valor máximo en x = 6,5
x>6,5
( - 1;2)
LA m T ÍW B P M ]
7
U'(7) = - 5<0
Decrece
•De esta forma hallamos que la función de utilidad Ufx) obtiene su máximo valor para x = 6 ,5 . Por lo tanto, el cajón de papaya debe ser vendido a Sj.6,5 para maximizar la utilidad. P R O B L E M A 42 :
(1; - 2) P R O B L E M A 41 :
En la hacienda Pucayacu , ubicada a quince kilómetros de la ciudad de Tarapoto, se estima que el precio de producción de un cajón de papaya es de S/.3. Al fijar en x nuevos soles el precio del cajón, el dueño de la hacienda espera vender 50 - 5x cajones de papaya . ¿A qué precio debe ser vendido el cajón de papaya para que el agricultor obtenga la máxima utilidad? R E S O L U C IÓ N :
* El costo de producción de 50 - 5x cajones de papaya es : Cfx) = 3(50 - 5x) = 150 - 15x •El ingreso que obtendría el agricultor por la venta de 50 - 5x cajones de papaya al precio de S/. x el
Un centro de estudios subsidia un viaje de promoción, el cuál costará S/.150 a cada alumno si no lo hacen más de 150 alumnos. Sin embargo, el costo por alumno se reducirá en 50 céntimos por cada uno que sobrepase loe 150. ¿Cuántos alumnos deben realizar el viaje á fin de que el centro reciba los mayores ingresos brujos? R E S O L U C IÓ N :
• Sea x el número de alumnos y Ifx) los ingresos brutos . • El valor de ingreso se obtiene al multiplicar el número de alumnos ux n por el precio del pasaje. • Cuando x<150, el ingreso es Ifx) = 150x . • Cuando x > 150 , el ingreso es : 1 2 I(x ) = [l50 - 0 , 5 ( x - 150)]* = 225* - - * 2 • La función que resulta es : 150x ; ai x 5 150 l(x) =
1 2 225x ----- x ; s i x > 1 5 0 2
• Como por definición x es un número entero, para
p S
tener una función continua supondremos que x toma valores reales . ♦Por otro lado , Be prueba fácilmente que l(x ) es continua en x 0 = 150 . ♦Ahora aplicando el criterio de la segunda derivada: r i , t [150 ; x < 150 r (x) = 3 [225x-x ;x>150
♦Haciendo V (x) = 0 , entonces : 225 - x = 0 ,luego x = 225.
♦Además : /* (x)
ro
150 1 - 2 ; A: > 150 ;
x
<
♦ Como x = 225 , entonces I "
<0 x-225
UiCHMX’iXMKXS]
1 1 * 6 BH3B
luego
ocurre un máximo cuando x = 225. ♦ Finalmente, decimos que deben viajar 225 alumnos. P R O B L E M A 43:
Un fabricante de radios cobra 90 dólares por cada unidad cuando el costo medio de producción por unidad es de 60 dólares. Para conseguir mayores pedidos de los distribuidores, el fabricante está dispuesto a reducir el precio de un radio en 0,10 dólares por cada unidad adicional pedida a partir de las 200 primeras. Hallar el mayor pedido que podría admitir el fabricante para obtener un beneficio máximo. R E O L U C IÓ N :
Consideremos que el número de unidades pedidas supera a 200. Si el pedido fuera de 202 unidades el adicional seria de 2 unidad y el precio en dólares de cada radio sería de será 90 - 1(0,1); si el pedido fuera de 102 unidades el adicional será 2 unidades y el precio será 90 - 2(0,10); si el pedido es de 103 unidades el precio será 90 - 3(0,1), etc. Así, si el pedido es de (100 + x) unidades, entonces el precio de cada radio será de 90 - 0,1 Ox. El beneficio b por unidad en dólares será: b(x) =90 - 0,10x-50=30 - 0,1 Ox y el beneficio total B en dólares será: B(x)=(100+ x)(30 - 0,10x)=3 000+20x-0,10x2,
El beneficio por unidad y el beneficio total son funciones del número de unidades adicionales x. Para hallar el dominio de estas funciones consideramos que el fabricante no puede disminuir el precio indefinidamente. El beneficio por unidad b(x) no puede ser negativo (perdería). Así, debe verificarse:
b(x)=30 - 0,10x ¿ 0 => 300 ¿ x =* 0 5 x 5 300. Nótese que x solo puede tomar valores enteros
positivos. Sin embargo, puede considerarse que el dominio es todo el intervalo [0;300J. Así, tomamos: B(x) = 3 000+20x- O.lOx2 ; x e [0,-300]
siendo B(x) continua en el intervalo Z0/3007. Hallando la derivada e igualando a cero, se tiene: B ( x ) = 2 0 - 0 , 2 0 x = 0 =>x=100. Así, los puntos críticos son 100,0 y 300. Evaluando B(x) en estos puntos, se obtienen: B(100)=4 000 ; B(0) =3 000 ; B(300) =0. De los tres valores el mayor es 4 000. Por lo tanto, el beneficio máximo es de 4 000 dólares y se obtiene para x =100 unidades adicionales; es decir, cuando
el pedido sea de 200 unidades. Por ensima de este valor el beneficio empieza a disminuir por lo que no tiene sentido aceptar mayores pedidos, lo que implica aumentar la producción, si el beneficio no aumenta. Así, concluimos: el mayor pedido que puede aceptar, a fin de obtener un beneficio máximo, es de 2 0 0 unidades. P R O B L E M A 44 :
Un agricultor del valle de Chanchamayo dedicado a la producción de naranjas deduce que por la venta de x cajas de esta fruta sus ingresos semanales son: f(x) = 14x + 0,05x2, 05x5200 A) ¿A cuánto asciende su ingreso semanal si vende ochenta cajas de naranjal B) Si en una semana el ingreso es de SI. 1900, ¿cuántas cajas de naranja se vendieron? C)éCuál es la fiinción que mide la razón de cambio en el ingreso ? D) Determinar I 9(140) e interpretar el resultado. \
R E S O L U C IÓ N :
A) El ingreso normal por la venta de ochenta cajas es 1(80) = 14(80) + 0,05(80)* = 1440 B) Si el ingreso es I(x) = 1900 soles, reemplazando
se obtiene la ecuación ; 2900 = 14x + 0f05x*. De donde resolviendo , x = 100 . Es decir , por la venta de cien cajas de naranjas el ingreso es S/.1900. C) La función que mide la razón de cambio en el ingreso es la derivada de la función ingreso V(x) V(x) = 14 + 0 ,lx llamada también función ingreso m a rg in a l
iVtt*w ¡ * * \ !>Ü» U EX0T4 XOPEPI/ll O) Conocido /Yx), sólo resta evaluar esta función R E S O L U C I Ó N : para x = 140 ; a s í : El canal transportará el máximo volumen de agua V(140) = 14 + (0,1 ) (140) = 28 nuevos soles. cuando el área de la sección sea máxima. Si h es la Significa que por la venta de la caja número 141 el altura, B la base mayor, y 6 la base menor del trapecio isósceles, medidos en cm, entonces su área ingreso que recibirá el agricultor es de S/.28. será: ; PRO BLEM A 45 : A = ~ h (B + b ) ................................. (I) Una inmobiliaria tiene un edificio de 120 apartamentos . Cuando la renta de cada uno es de 9.330 al mes , todos los apartamentos están ocupados . La experiencia ha demostrado que por cada incremento mensual de $.30 en la renta, se desocupan 5 de ellos. El costo de mantenimiento de cada apartamento rentado es de $.30 mensuales. ¿Qué renta debe cobrarse para maximizar la utilidad? De la Figura, se tiene: R E S O L U C IÓ N : h =100 senO ; 6 = 2 0 0 ♦La utilidad está dada por el ingreso menos el gasto. B=lOO+2OOcos0 Es decir: V = I - G ..................................... (I) Reemplazando en (I) : A = 1 0 OOOsen0(1 + cos0) Sea x el número de incrementos (de $30) que se han efectuado, luego Ingresos = (alquiler) (número de Variando el ángulo $ se varía el área del trapecio. apartamentos) Observamos que Q puede variar desdeQ hasta — . / = (330 + 30x)(120- 5x) ................... (II) Así : A(0) =20 000 sen0(l +cos0) ; 0 e [0, zf2] . costo = 30(120 - 5x) (IB ) ♦Reemplazando (II) y ( III) en (I): ♦ Vemos que A(0) es continua en el intervalo V = (330 + 30x)(120 - 5 x ) - 30(120 - 5x) cerrado f 0;xl 2). Derivando: =>U = (120 - 5x)(300 + 30x) AY0)=20 OOO[co80(1 + CO80) - 8en0(sen0)] ♦ Simplificando : U = 3600 + 2100x - 160xs =20 000(2 CO80 - I)(cos0+1) ♦
U Ahora : -d— = 2100-3 0 0 x y U 9= 0 <+ x = 7
♦Pero:
dx d 2U = -300 dx 2
Si A'(0)=O
d 2U = -300 < 0» dx 2 jr*7
♦entonces existe un máximo en x =7, cuyo valor es: ü = (120 - 5x 7X300 + 30x 7) = $43 350 ♦La renta que debe cobrarse para maximizar la utilidad es : 330 + 30x = 540 . P R O B LE M A 46 :
Se va a construir un canal de regadío cuya sección transversal debe ser un trapecio isósceles con las dimensiones indicadas en la siguiente figura . Determinar el valor de 0 de manera que el volumen de agua que transporte sea máximo.
CO80= — V CO80 = - 2 2
=> 0 = -
3
V 0=X
De los dos valores de q solo — pertenece al intervalo 3
[0;nf2). Así, los puntos críticos son:
■^;0 y ^ . Evaluando A en estos puntos, seobtienen: u ¿ A ( x / 3 ) = 7 5 0 0 j 3 ; A (0)=0 ; A (x/2)=10000
El mayor de los tres valores es 7500^3- Así, concluimos: el valor de 0 para que el canal transporte el máximo volumen de agua es de —
O
radianes. PROBLEM A 47 :
El costo de producción de x pantalones es ; c = 2 + 3x soles y el precio de venta por pantalón es p = 5 5 - 2x. ¿Cuál debe ser el número de pantalones producidos por día para lograr la utilidad máxima?
fy;i> wm vK^
1125
R E S O L U C IÓ N :
* El costo de x pantalones es : c = 2 + 3x. * El precio de venta por pantalón es : p = 55 - 2 jt. Luego el ingreso por la venta de x pantalones es: p x = (55 - 2x)x = 55* - 2 ^ * La utilidad es: U = I - c =(55x - 2x*J- (2 + 3*J = 52* - 2** - 2 •Ahora :
dÜ
= 5 2 - 4x%a
2
Pero
d */
= —4 =>
dx
l/' = 0
2 d U
o
* = 23
u e iu
\:\ i *i 1
£ ¡]
x =0 y significa que se decide ir directamente por la zona de parqueo. Si Q=B, x=24 y significa ir por el
borde de la zona de parqueo hasta el punto B, y luego a través de la zona de parqueo de B a C. Así, * puede variar de 0 a 24. Por lo tanto, el costo total C es función de * y tal que: C (x)= 72x + 1204(24 - x ) 2+(16)2; x e [0; 24]
Observamos que C(x) es continua en el intervalo cerrado [0;24], Derivando, se tiene: 120(24 - x)
C'(x)=72~
4 ( 2 4 -x)2+(16)* = -4 < 0
dx jt»13
* Luego en * = 23 ocurre un máximo, cuyo valor es U = 52(13) - 2(13)’ - 2 = 336 soles . •Entonces el número de pantalones producidos por día debe ser 23 , con lo cual se consigue una utilidad diaria de S/.336 . PR O B LEM A 48 :
Un contratista debe conectar agua potable a una tienda A de un centro comercial (ver siguiente figura ). Para ello, debe llegar hasta cierto punto C de la cañería principal de agua situada debajo de la zona de parqueo. Le costará 220 soles por metro si es que cava, coloca la tubería, cubre y retoca la zona de parqueo; pero solamente 72 soles por metro si coloca la tubería por el borde de la zona de parqueo. Hallar la distancia * del punto A al punto Qt donde el contratista debería cambiar la dirección de la tubería hacia C para reducir el costo al mínimo.
C*(x) existe para todo * en [0;24] por lo que existirá punto crítico solo si vale cero. Haciendo C f(x)=0
se tiene: 120(24- x ) - 72^ 5(24 _ x )=3$(24 - x)1+(16)* (24 - x)* + (16)*
Elevando al cuadrado y resolviendo se obtiene *= 22. Así, los puntos críticos son: 22 ; 0 y 24. Evaluando C(x) en estos puntos se obtienen: C(12)=3264 ; C(0)=960$13 * 3461 ; C(24)=3648 De los tres valores el menor es C(12). Así,
concluimos: el punto Q, donde se debe cambiar la dirección de la tubería para que el costo sea mínimo, está situado a una distancia de 2 2 metros del punto A. P R O B L E M A 49 : *
Una caja rectangular con la base cuadrada debe tener una capacidad de 125 cm9. El material de la base tiene un costo de SK20 por centímetro cuadrado y el material para los lados , de S/.10. Determinar las dimensiones de la caja abierta que se quiere fabricar, para que el costo del material sea mínimo. R E S O L U C IÓ N :
24 m
R E S O L U C IÓ N :
Consideremos que en la figura , todas las dimensiones están en metros. Las distancias de Q a B y de Q a C son: d(Q;B) =24 - x ; d(Q;C) =4(24 - x)2+(16)2.
* Volumen = 1 2 5 => x s y = 1 2 5 * Costo : C = 2 0 ** + 1 0 (4 x y ) .. * De (I) y (II), se obtiene :
El costo del tramo AQ será de 72* soles y el costo del tramo. QC será de 120yj{24 - x)2+ 256 •Si se varía la posición del punto Q se varia los costos. El punto Q puede ser cualquiera del tramo AB. Si Q=A,
C = 20x* + 4 0 x ^ f j = 20x 5000 • A h ora : C ' = 4 0 x -
(I) (II) 2 t 5000
LA £ W m
W M IT z e
♦Entonces: C 9 = 0 o 40x - **999. = q o x = 5 ♦Pero : C" = 40 + IÉ99É. entonces C H
>0 x=5
yes decir
hay mínimo en x = 5 ♦Las dimensiones de la caja son x = 5 cm e y =5cm. P R O B L E M A 50 :
Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área, de lados paralelos a los ejes coordenados, que puede inscribirse en la región encerrada por las parábolas: 3y= 1 2 - x* y 6y=xs-12. R E S O L U C IÓ N :
La siguiente figura muestra la gráfica de las dos parábolas y un rectángulo inscrito en la región encerrada por las parábolas. Ambas parábolas se
6
PEP¿ll
De los tres valores el mayor es A(2). Por lo tanto, concluimos: el área máxima es 16 us y se obtiene cuando las dimensiones son b=4 y 6=4. P R O B L E M A 51:
Una isla se encuentra en el punto A , a 12 km del punto más cercano B de la costa . Un señor de la isla desea ir al punto C a 23 km de B sobre la costa. El señor puede alquilar un bote por S/2,60 por kilómetro y desplazarse por el agua hacia el punto P que se halla entre B y C , luego puede tomar un taxi que le cuesta S/.2 por km y viajar en línea recta desde P a C . Determinar la ruta menos costosa para ir del punto A al punto C . R E S O L U C IÓ N :
intersectan en los puntos ( - 2y¡3; 0) y (2>¡3; 0 ) . Sean b y h la base y la altura del rectángulo, respectivamente. De la figura: . b = 2x y2 = ^ ( 1 2 - x ¿) y , = ¡ ( x 2 - 12 )
h=y2 - y i = ~ ( 1 2 ~ x2)
*
* Costo por agua : 2, 50x = 2 ,50¡144 + x 2
* Costo por tierra : 2(18 - x) * Costo total = C(x) = 2 ,50¡144 + x 2 + 2 ( 1 8 - x) + 2 (—l).
C(x) = 2,50¡144 + x
Luego C *(x) = 0 <=>x = 16 144
Como C"(x) = -2,50x y , = í ( x 2- w
El área del rectángulo será: A=bh =2xx ¡-(12 - x 2)=12x - x 3 2
Se obtienen diferentes rectángulos si x se hace variar de 0 a 3. Así, el área de los rectángulos es función de x, siendo: A ( x ) = 1 2 x - x s , x e [0;2y[3J
Como A(x) es continua en el intervalo cerrado [ 0 ; 2 t¡3 ] , bastará determinar los puntos críticos. Derivando e igualando a cero: A'(x)=12~3xz= 0 = > x = 2 v x = - 2 Solo 2 pertenece al dominio. Evaluando A(x) en 2 y en los extremos del intervalo, se tiene: A(2)=16 , A(0)=0 , A(2>f3)=0
C ” (x) < 0
, entonces
(144 + x 2) 2,
♦ Esto nos indica que en x = 16 hay un mínimo. ♦ Luego debe desplazarse en el agua hasta un punto P de la costa que se encuentra a 16 km de B . P R O B L E M A 52 :
Un espejo plano de dimensiones 80x90 cm*> se rompe por una esquina según una recta. De los dos trozos que quedan, el menor tiene la forma de un triángulo rectángulo de catetos 2 0 y 12 cm, correspondientes a las dimensiones menor y mayor, respectivamente. Hallar el área máxima del espejo rectangular que se puede construir con el trozo mayor. R E S O L U C IÓ N :
Y ls r l
La siguiente figura muestra el trozo más grande que queda del espejo, siendo el segmento AB la línea de rotura, y
(90;0)
R E S O L U C IÓ N : * Idenfícamos las variables . •Siendo P la población , tenemos : x = número de personas que escucharon el rumor. P - x = número de personas que no escucharon .
(90;80)
f
número de personas que no la han escuchado . ¿Cuándo el rumor sedifunde con la máxima rapidez?
X
En dicha figura se ha incluido un sistema de ejes rectangulares con origen en el punto O. Según este sistema los puntos A y B tienen coordenadas A=(0;70) y B=(12;80) y el segmento AB tiene pendiente m=5¡ 6 . Entonces la ecuación del segmento AB es: y - 7 0 = —( x - 0 ) obién y = ~ (x + 8 4 ) (I) 6 6 Sea ( x; y) el punto sobre el segmento AB desde
donde sedeben hacer los cortes, paralelos a los lados, para obtener un espejo rectangular. El ancho de dicho espejo será 90 - x cm y la altura será y cm. El área del espejo será: A =(90 - x)y: Se obtienen espejos diferentes si el punto (x;y) se hace variar desde el punto A hasta el punto B ; es decir sí x varia desde 0 hasta 12. Reemplazando el valor de y de la ecuación (I), encontramos que el área de los espejos es función de x, siendo:
• Del enunciado, el rumor se difunde como: flx ) = k x ( P - x) , donde k es la constante de proporcionalidad positiva . * Para encontrar la máxima rapidez , derivamos: f ( x ) = k P - 2kx. Ahora f 9(x) = 0 <=> kP - 2kx = 0
x
<=> =
• Pero : f 99 (x) = - 2k < 0, luego en x = © ocurre 2 un máximo . * Decimos que el rumor se difunde con máxima rapidez cuando la mitad de la población se ha enterado . P R O B L E M A 54 :
Se tienen dos esferas con centros en O y O’, de radios R y r (R > r), respectivamente y tal que la distancia entre los centros es d > R + r. Hallar un punto P en la línea que une los centros tal que la suma de las áreas de los casquetes que se ven en cada esfera desde el punto P sea máxima. Aplicar los resultados al caso en que R = 3 6 cm, r =25 cm y d=93 cm. El área de un casquete esA = 2xrh , siendo r el radio de la esfera y A la altura del casquete. R E S O L U C IÓ N :
A (x )= -^ (x 2 - 6x - 7 560); x e 10; 12] 6 Vemos que A(x) es continua en el intervalo cerrado 10;12]. Hallando la derivada e igualando a cero, se
tiene:
A'(x) = - - ( 2 x - 6 ) = 0 6
x=3
Así, el único punto crítico es 3. Evaluando A(x) en el punto crítico y en los extremos del intervalo, se tiene: A(3) =6307,5; A(0)=6300 ; A (12) =6240 De los tres valores el mayor es A(3). Por lo tanto,
concluimos: el área máxima del espejo que puede obtenerse es de 6 307,5 cm2, siendo sus dimensiones 57x72,5 cm*. PRO BLEM A 53 :
En una ciudad la rapidez con que un rumor se difunde es proporcional al producto del número de personas que han escuchado la ♦‘habladuría” por el
Si de un punto P cualquiera 3e mira la superficie de una esfera se observará un casquete de la esfera. Los límites de dicho casquete están determinados por las líneas tangentes a la esfera trazadas de dicho punto P. La siguiente figura muestra la sección plana que produciría sobre ambas esferas un plano que pase por la línea que une los centros. En dicha figura, PQ y PS son tangentes a las circunferencias de radio R y r, respectivamete. El segmento QM es perpendicular a la línea que une los centros. Q
ívw [u a a l
Sean x la distancia del centro de la esfera de radio R al punto P ,u la longitud del segmento OM y H la longitud del segmento M A . Nótese que el casquete de la esfera de radio R, vista desde el punto P, se obtendría rotando el arco AQ alrededor de la línea que une los centros. La altura de dicho casquete será H. De la figura, se tiene: Por semejanza de triángulos, se tiene: u__R R=x
R
u=
Reemplazando en (I) : H=
R(x-R)
X
Ar = 2 x R H = 2 k R
(II)
Si en la ecuación ( II) cambiamos x por d - x y R por r , encontramos que el área del casquete, vista desde el punto P sobre la esfera de radio r , es:
Nótese quex varía desde R hasta d - r . Así, si A es la suma de las áreas, entonces: x e [R; d - r )
Vemos que A(x) es continua en el [R;dr- rj. Derivando, se tiene:
intervalo
(d -x )(-l)-(d -x -r )(+r*. (d -x ?
de donde operando y simplificando:
de donde vemos que A(r) es el mayor y seria el área máxima. Si el punto crítico pertenece al intervalo [R ; d -rL entonces se tendría que evaluar A(x) en el punto crítico y compararlo con los valores en los extremos del intervalo. El valor de A(x) en el punto crítico resulta ser una expresión compleja y difícil de determinar si es mayor o menor que los valores en los extremos del intervalo. Sin embargo, si hallamos la segunda derivada de Ate)» Be obtiene:
Haciendo A ’te)=0, se obtiene: R3
*
r3
R 7R
(d - x f
X
(d-xf
Puesto que x y d - x son positivos, deducimos que A ” (x )< 0 para todo x. Por lo tanto, la segunda derivada en el punto crítico será también negativo. Así, por el criterio de la segunda derivada, el valor de Ate) en el punto crítico será un máximo relativo. Al haber un solo punto crítico, ese máximo relativo será el máximo absoluto de Ate) en el intervalo [R ; d-r]. Por lo tanto, el valor de x que indica la ecuación ( I I I ) , dá la posición del punto P desde donde la suma de las áreas de los casquetes vistos será máxima. Para el caso particular en que los valores de R, r y d sean 36 cm, 26 cm y 93 cm, respectivamente, entonces el intervalo [ R ; d - r ] es igual a [3 6 ; 68]. Reemplazando valores en la ecuación ( I I I ) encontramos que el punto crítico es: 216(93) « 68,91 341
P R O B L E M A 55: d -x
de donde despejando, encontramos que Jr
R* A m(x) - * [ xs
Vemos que dicho punto crítico está en el intervalo [36 ; 68] y dá la posición del punto P para este caso particular.
ÁW - * { £ - w h ? ]
r
extremos del intervalo. Evaluando A(x) en ambos extremos, se tiene:
X
y el área del casquete sobre la esfera de radio R es:
X
XC1CLOPUDMA S O I»]
am
es el único punto crítico. Es bastante razonable pensar que dicho punto crítico pertenesca al intervalo [R; d -r). Sin embargo, con R ,r y d -r como parámetros, puede no ser posible probar claramente que tal punto crítico es un número intermedio entre R yd-r.
Si dicho punto crítico no perteneciera al intervalo (R : d -rL entonces solo serían puntos críticos los
En un pequeño poblado con 6000 habitantes, la tasa de propagación de una epidemia (índice de variación del número de personas infectadas) es proporcional al producto del número de personas infectadas por el número de personas que no están contagiadas . Si la epidemia se difunde con una tasa de 9 personas por día cuando hay 100 personas infectadas, expresar ; A) La tasa de propagación de la epidemia como función del número de personas enfermas. £)¿Con qué tasa se difunde la epidemia cuando 200 personas ya se han contagiado?
[w-:nt*m v i ; 8
nr^nrv4P&
DJEMtrV,\M9.tS ]
a * » «asa
C)¿Cuál es el máximo número de personas contagiadas?
Sea o el ángulo en el centro del sector circular que queda. Entonces, la longitud del arco que subtiende
R E S O L U C IÓ N :
* Sea x = número de personas contagiadas. -*5000 - x = número de personas no contagiadas. * Del enunciado: ffx) = número de personas contagiadas por día, luego': A) ffx) = kx(5000 - x), donde k es la constante de proporcionalidad positiva. Por dato, cuando hay 100 personas infectadas fx = 100), hay 9 personas contagiadas por día [ f f 100 ) = 9 ] , luego reemplazamos y calculamos 6 . ♦Así: 9 = kflOO)(5000 - 100); de donde : 490000 * Reemplazando, nos queda : ffx) = — - — xxx(5000 - x) ................... (I) 1 490000 b) Cuando x = 200, en fl): 9 f( 200) = x 200x(5000 - 200) = 17,6 ' 490000
personas / día. c) Derivando (7) : f fx) =
(5000 - 2x)
9 Como: f nfx) = (-2 ) , 490000 * entonces f " fx)\xs2óoo < 9 * Luego ocurre un máximo en x = 2500. * Finalmente el máximo número de personas contagiadas es 2500. P R O B LE M A 56 :
Se va a construir un vaso de papel en forma de cono circular recto, quitando un sector circular a una hoja de papel con forma de círculo y.de radio R , y uniendo después las dos orillas rectas del papel restante. Calcule el volumen del vaso más grande que se puede construir. R E S O L U C IÓ N : La s ig u ie n te figura m u e s t r a la p o r c i ó n d e l c i r c u l o d e ra d io R q u e q u e d a al q u it á r s e le u n s e c t o r c i r c u l a r . D i c h a p o r c i ó n es
jS
R2#-
Uniendo los bordes OA y OB se formará un cono. Sean r y h la altura del cono. Debe verificarse que la longitud de la circunferencia de su base debe ser igual a la longitud del arco del sector circular. Así, 2n r = R 0 = > r — .................... ( I ) 2tt También debe verificarse que la generatriz g del cono debe ser igual al radio R del sector circular. Así, g = ¡ h 2 + r 2 = R = t , h = ¡ R 2 - r2.............. ( I I )
Reemplazando fl) en (27), se obtiene: h = -^—>¡4-k —O2 ..................... (UI) 2k Usando las ecuaciones fl) y (777), encontramos que el volumen del cono será: V = — 7Tr 2h = 3
en donde
490000 * Ahora : f 9fx) = 0 o x = 2500.
tam bién un s e c t o r circu la r.
y el área del sector son, repectivamente: R0 y
— 7r
3
Re
2
2tt 4 k 2 —O2 > 0 .
debe verificarse:
Resolviendo, 0 £ [0;2rr]. Así, simplificando, se tiene: , _ . R3 V (0 ) = 0 2¡ 4 k 2 - O 2; 0 g[0;2tt]. 24k
Vemos que V(0) es continua en el intervalo \0;2x\. Derivando: V'(0) =
í R3 ]
20>¡4k2 - O 2 + 0 2x 2 24n R 24n
-2 0 2>¡4k —O2
0(&x 2 - 3 O 2) \¡4k * - 0 2
Haciendo V ( 0 ) = 0 , se obtieneq = q y q = J8J3tv' Vemos también que V'(0) no existe si Q = 2n •Así, los puntos críticos son:
0 ; y¡8!3n
y 2n . Evaluando
V ( 0 ) en cada punto crítico, se tiene: V(0) = 0;V(yf8Kto) = ^ = - ; V ( 2 n ) = 0
De lo anterior, concluimos: El volumen del cono más grande que puede construirse, a partir de un sector circular, es 2nR 3 19>¡3 y se obtiene cuando el ángulo en el centro de dicho sector es j 8 / 3n radianes.
im lu a o l
C iC L O P iH H A 8 0 1 g )
PROBLEM A 57 :
R E S O L U C IÓ N :
En un restaurante se observa que el número promedio N(x) de clientes para el almuerzo depende del precio x del menú , de acuerdo a la función :
En la figura, los triángulos rectángulos EAP y EQP son congruentes. Tracemos el segmento EF, paralela al lado BC, tal como se muestra. El rectángulo AEFD está formado por 4 triángulos rectángulos cuyas dimensiones son las que indican dicha figura. Debe verificarse:
xr/ .
1000. . A r N(x) = — Tr-ll + Ln
para x^SI.1,50
Cf)].
Determinar el precio que maximiza N(x) y el número máximo correspondiente de clientes. R E S O L U C IÓ N :
y¡L2 —x 2 = y¡9(2x —9) + y¡L2 —x 2 —81.
Elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene:
* Aplicando el criterio de la segunda derivada: f . 1000 1 + Ln
r , [
iooo
= ~P
Elevando nuevamente al cuadrado, se obtiene:
or ( x \ u J
8l [9 - x 2f = 9 ( 2 x —9)(L 2 - x 2 - 81)
♦Ahora: N '(x) = 0 < * - l - 2 L n
o
(!)-
Ln
(J M
o x = 4e 2
1000 entonces ♦ Como N " (x) = 1 + 6Ln x (?)]■ N rJ/2 < 0
■w u
♦ Luego en x = 4e~12 existe un máximo, que es: 4e 1000 .................... 1 + Ln i/2
iv(e-" 2)=
( 4 e l >2 )
1000
9(9 - x) = % j 9 ( 2 x - 9 ) ! l 2 - x 2 - 81.
lOOOe
1
16
2
t = S5
32
de donde despejando L2: 9 (9 -x 2) L2 = + x 2 +81=>L2 =
2x (D 2x —9 (2x-9) El valor de x que hace mínimo a L 2 también hará mínimo a L. Por lo tanto, hallaremos el mínimo de L 2. Para determinar los valores de x en ( I ) , invitamos al lector a tomar una hoja de papel y doblarlo como indica el enunciado del problema. Se observará que los valores de x disminuyen a medida que la posición del punto Q va descendiendo, y aumentan a medida que Q va ascendiendo. La posición más baja de Q es cuando el punto E coincide con B, tal como se muestra en : B
C
B._____________
C
♦ Finalmente el precio es 4e~l¡t = Sl.2,47 y el número promedio de clientes es 85 . F=Q P R O B LE M A 58 :
Una hoja rectangular de 9 por 12 cm se coloca sobre una superficie plana. Una de las esquinas se coloca sobre la arista larga opuesta (ver Figura), y se mantiene en dicha posición mientras se dobla el papel. Hallar el valor de x de modo que la longitud L del doblez, sea mínima.
x=9
D =P
De dicha figura, se deduce que: y¡9(2x - 9) + 3y¡7 = 12=> J 9 ( 2 x - 9 ) = 1 2 - 3y/7. Elevando al cuadrado y resolviendo la ecuación se Qjzj ^
*•
*
X
J»(2 x -9 )
9
~ obtiene x=16 —4*j7 ¡=s5,42 y es el menor valor que puede tomar x. La posición más alta del punto Q se obtiene cuando el punto P coincide con D , tal como se muestra la . En este caso, x=9 y será el máximo valor de x. Así, diremos que L 2 es función de x. Si denominamos por f a dicha función, entonces:
« ir n t o A * IB É 2* L2 = f ( x) = ;5,42
i i
2x —9
Derivando se obtiene: (2 * - 0 f de donde vemos que el único punto crítico, dentro del dominio de f, es x = 27/4, en donde la derivada vale cero. Evaluando fíx) en el punto crítico y en los extremos, se obtienen: fí27l4)=136,69 ; fí5, 42)=173,07 ; fí9)=162
El menor valor de los tres es 136,69. Este valor es el mínimo de f y será el menor valor de L 2 . Su raíz cuadrada, 11,69 será el mínimo valor de L. Por lo tanto, concluimos: el valor de x que hace que la longitud L sea mínima es 27/4 cm.
Un depósito en forma de cono invertido tiene una altura de 10 m y un diámetro de 6 m . Si el depósito está llenándose a razón de 2 m5js, ¿a qué velocidad se eleva el nivel de agua cuando dicho nivel se encuentra a 7 m de la parte superior del depósito? R E S O L U C IÓ N :
♦Como el depósito se está llenando, efectuamos un gráfico en un instante t después que ha comenzado el proceso , siendo las variables : *h = h(t) = nivel del agua con respecto'al punto 0. ♦La velocidad con que se eleva el nivel de agua está dada por
triángulos para eliminar una de ellas . ♦Así A OAB es semejante a : AOCD = - = — => r = — h 3 10 10
* En (I)
y es la incógnita del problema.
B
3 ,)
.
3n . 3 -h = 100 ■ v - r ( 10 )
dV ♦ Derivando respecto a t : dt donde d V = 9k h2 dh dt 100 dt
♦ Reemplazando: 2 = 100 dh _ 200 dt
P R O B LE M A 59 :
dh
* í WEB!
3x 100
^ d e donde
dt
81n
♦Por lo tanto el nivel de agua se elevará a una 200 velocidad de -tt— m!s. o lx P R O B L E M A 60 :
Un hombre está en un bote a 2 millas del punto más cercano de una costa recta. Ha de ir a un punto Q situado a 3 millas sobre la costa y 1 milla hacia el interior. Si puede remar a 2 millas/hora y caminar a 4 millas/hora. ¿Hacia que punto de la costa habría de remar para alcanzar el punto Q en un tiempo mínimo? S O L U C IÓ N :
En la siguiente figura , R es la posición inicial del bote, A es el punto más cercano de la costa al punto R , B es el punto de la costa más cercano al punto Q y P es el punto de la costa hacia donde el hombre remará para luego caminar en en línea recta hasta el punto Q.
* r = r(t) = radio de la “superficie libre” de agua. * V = V(t) = volumen de agua en el depósito. ♦Como el depósito está llenándose a razón de 2ma¡s dV = 2> 0 tenemos dt
♦ El volumen de agua contenido en el depósito es V = - x r 2h 3
(I)
♦ Como hay dos variables, aplicamos semejanza de
Sea x la distancia del punto A al punto P. Entonces las distancias de R a P y de P a Q, son: ¿ (B ;P ) — yjx2 + 4 , d(R;Q) — #(3
x) +2
.*1 mWJ
{1 1 3 2
respectivamente. Se sabe que el tiempo es igual a la distancia entre la velocidad. Por lo tanto, si la velocidad con que rema es de 2 millas/hora y la velocidad con que camina es de 4 millas/hora, entonces el tiempo ti que emplea en remar de R a P, y el tiempo t%que emplea en caminar de P a Q, son: , _ 4x 2 + 4 J ( 3 - x f + l
1 2 4 Diversas posibilidades se obtiene al considerar que P puede ser cualquier punto del tramo AB. Así, los valores de * varían de 0 a 3. De este modo, el tiempo total empleado es función de x, siendo dicha función: J (3 x f+ 1 x2+4 *(*)= + — — -------- : 0 < x < 2 4 Vemos que t(x) es continua en el intervalo [0;3].
Derivando, se obtiene: + ( S - * )(-* )
t'(x) = 24x2+ 4
4^(3 - x f + 1
Si hacemos*'(*) = Ose obtiene la ecuación: *
24x 2 + 4
.
(
3
-
*
)
2^(3 - x f + 1
=>•2x^(3 —x )2 + 1 = (3 —x ) 4 x 2 + 4 Elevando al cuadrado y realizando operaciones, se obtiene la ecuación polinomial: x 4 - 6 x 3 + 9 x 2 + 8 x - 1 2 = 0 ....(I) A simple vista se observa que * = 1 es solución de (I) y pertenece al intervalo [0;3]. Puede verificarse que (I) no tiene más raíces racionales en dicho intervalo. Sin embargo, podría tener raíces irracionales. Aún cuándo parece improbable que t(x) pueda tener más puntos críticos en el intervalo [0;3], no podríamos afirmarlo con convicción. Por el método de la división sintética encontramos que la ecuación (I) es equivalente a la ecuación: ( x - l ) ( x 3 - 5 x 2+ 4 x + 12) = 0............... (II) Ahora si consideremos la función: g(x)= x 3 — 5x2+ 4x+12 es claro que g es una función continua y diferenciable. Si evaluamos esta función en los extremos del intervalo, se obtienen: g(0 )= 1 2 y g(3)=6, ambos valores positivos. De estos resultados deducimos que si g(x) solo tomará valores positivos en el intervalo [ 0;3], implicaría que x = 1 es la única solución de la ecuación (I). Por lo contrario, si g(x) tomara valores negativos significará que la gráfica de g, correspondiente al
X C IC L O P E M ttA 2 0 1 2 ]
■Um*
intervalo [0,3], cruzaría al eje X al menos en dos puntos, tal como se muestra . Es más, significaría que g tiene al menos un mínimo en dicho intervalo y tal mínimo tendría que ser necesariamente un número negativo. Derivando e igualando a cero, se tiene: g (x)=3x 2 - 1 0 x + 4 = 0 Resolviendo, se obtiene
X
=
5 , 4l3
— ±
— — -
Valores aproximados para ambas raíces son: 0,4648 y 2,8685. Ambos valores están en el intervalo [0;3] y son los puntos críticos de g en dicho intervalo. Evaluando g en ambos puntos críticos, se obtienen: g(0, 4648) =12,8794 ;g(2, 8685)=5,9353
Ambos valores son positivos. Por lo tanto, la función g no puede decrecer hasta tomar valores negativos; es decir, la gráfica de g no puede ser como la de la penúltima . Dicha función tomará valores mínimos y máximos en los puntos críticos, pero su gráfica, correspondiente al intervalo [0;3], siempre estará arriba del eje X. Por lo tanto, concluimos: g solo toma valores positivos en el intervalo [0;3] y 1 es la única solución de la ecuación (I) en el intervalo [ 0;3]. Así, 1 es el único punto crítico de t(x). Evaluando dicha función en 2 y en los extremos 0 y 3, se obtienen: *i1) - ® h6770,t (0)= 1+ ^ ~ ****7906„t (3) = ^ ~ +^ « 2*0528 El menor valor es t(l). Así, concluimos: el hombre
debe remar hasta el punto P, situado a una milla del punto A, a fin de llegar al punto Q en el menor tiempo posible. P R O B L E M A 61 :
Calcular en forma aproximada : I)^640
HQ tan 45° 3* 20"
I I ) y/200
IV) are sen (0,54)
R E S O L U C IÓ N : I) De: f ( x + Á) = f(x) + f ' ( x ) A x t —> \¡x + A x = yfx +
f= A x
24x
y¡625 + 15 = y¡625 +
2^625
yf640 = 2 5 + 0,3 = 25,3
(15)
w f7 if,to y ® De:
A( r) = 2 n r 2 +
Ar
= Sfx+
M>rcnm\n.\s ]
M gl u s a 2V0
; rG(0,*+oo)........... ( I I I )
,3 a/**, $ 216 - t e =
A(r) es continua en el intervalo (0; +oo). Como este
(-16) ,3 ¡2 1 6 2 ,
SI200 = 6 - 0,148 = 5,352 ID) De : ton (x + /dx) = tanx + (sec2x )¿lx
-> tan(45° + 3 ’ 20") = tan45°+ (sees45o)(3 , 2 0 '’) 20 \ n tan 4S°3 '20" = 1 + (V 2 f ( 3 + 60 J 180°
60 '
0 A'(r) = 4 . r - 2V° 4* r * 2V‘ r2 r2 en donde observamos que A 9(r) existe para todo
rG {0 ;+ o o ). Así, habrá punto crítico solo si
->tan45° 3 920“ = 1 + 0,0135 = 2, 0235 IV) De :aresenix + Ax) = arcsenx + Jü ^2
-* arcsen(0 + 0,54) = aresenO +
intervalo no es cerrado no se puede seguir con todo el procedimiento descrito cuando el intervalo es cerrado. En este caso se modifica el procedimiento. Hallamos también los puntos críticos dentro del intervalo. Así, derivando:
Ax
(0,54) 'jl-O
-> are sen(0,54) = 0,54 P R O B L E M A 62 :
Se desea construir una lata metálica cilindrica para embazar V0 cm3 de un determinado producto. Determinar el radio y la altura de dicho cilindro de modo que el material a emplear en la manufactura 6ea mínimo.
V ’(r)=0. Es decir si: 4 n r3 - 2V0 = 0 => r = 3¡ 0 2k
Existe un solo punto crítico. Podemos aplicar uno de los criterios: el de la primera derivada o el de la segunda derivada, para determinar si en el punto crítico se tiene un máximo relativo o mínimo relativo. Optaremos por aplicar el criterio de la primera derivada. Así, al analizar para que valores de r , A '(r ) es positivo y para que valores es negativo, encontramos lo siguiente: A ’(r )< 0 si 0 < r < a — ; A ' ( r ) > 0 2k
S O L U C IÓ N :
Sean r y h (en cm) el radio y la altura del cilindro, tal como se muestra. Se obtienen cilindros diferentes variando los valores de r y ht pero de modo que se verifique en todos los casos la relación: 7T = V0................... ( I) Para construir la lata se deberá cortar de una placa metálica (de espesor pequeño), dos círculos de radio r para las tapas y un rectángulo, con las dimensiones que muestra la siguiente figura derecha, para la parte lateral. 2nr
si;?J
2n
< r < + oo
Lo anterior significa que A (r) es decreciente a la izquierda del punto crítico y creciente a la derecha. Por el criterio de la primera derivada, concluimos: A tiene un valor mínimo relativo en dicho punto crítico. Al no haber más puntos críticos es claro que dicho mínimo relativo es también el mínimo absoluto de A(r) en el intervalo (0;+oo).Como h = V 0l n r 21 entonces los valores: 4Vo o r = , h = 3¡ 2n v 7r
son las dimensiones del cilindro para que el material empleado en su manufactura sea mínimo.
h
P R O B L E M A 63 : (a)
(b)
La cantidad de material a usar será mínima cuando el área de la superficie total del cilindro sea a su vez, mínimo. El área total es: A = 2 x r 2+ 2 x r h ............... v............. (II) Despejando h de la ecuación (I), reemplazándolo en la ecuación (II) y observando que r * 0 » se obtiene:
Un cono se circunscribe sobre una esfera de radio a. Determinar el volumen mínimo que puede tener dicho cono. S O L U C IÓ N :
Si el cono está circunscrito a la esfera, entonces será tangente a la esfera. Así, un plano que pase por el vértice del cono y por el centro de la esfera producirá una sección plana tal como muestra la siguiente
[
U H B< ■?
A M * MiWCMXMMA
figura en dicha figura, el triángulo es tangente a la circunferencia. En la figura: 9
AQ = h; AC = ¿ r2 + h2;AO = h - a
El volumen del cono será: V = —7ir2h 3
un punto crítico entonces este mínimo relativo es también el mínimo absoluto de V en todo el intervalo (2a; +«?). Reemplazando h =4a en ( III) 6e obtiene que el valor de es : r=Va . Reemplazando a su vez ambos valores en (I), encontramos que el volumen mínimo que puede tener el cono es: v„„„=!*<*•’
..M )
P R O B L E M A 64 :
La condición de tangencia de los lados del triángulo ABC y la circunferencia determina la semejanza entre los triángulos rectángulos ADO y AQC. B De dicha semejanza se obtiene la relación: a r
N C IC IM P E D IA 2Q I& ]
[1 1 3 4 1
C *-
h -a ••
4 r2+ h
Un tubo de longitud L se transporta por un pasillo A de ancho a, y luego alrededor del punto C hacia otro pasillo B que forma ángulo recto con el primero. Determinar el ancho mínimo que debe tener el pasillo B de modo que el tubo pueda pasar horizontalmente.
.(II)
Elevando al cuadrado esta ecuación, se obtiene: a2 (h-a)2 l J ~ 7 2+h2~
Realizando operaciones y despejando: a 2h r2= h-20
...(III)
De (II) y ( III ) , deben verificarse simultáneamente: h > a y h>2a
Ambas relaciones se verifican si h > 2a y tal que h puede crecer ilimitadamente. Reemplazando ( III) en (1), encontramos que el volumen es función de la altura, siendo: m > = 4 *a2 í — — — ) ; {2a;+<*>) 3
\h -2 a )
'
Nótese que el dominio no es un intervalo cerrado. Derivando, -4a) 2a)
...(IV)
Vemos que V*(h) existe para todo h e (2a;+oo) Así, los puntos críticos se producen solo si VYh)=0. Es decir, si h = 0 o h=4a. Solo 4a e (2a;+oo) y es el único punto crítico. Puesto que h > 0 t entonces de la ecuación (IV ), se deduce que: V'(h)<0 si h<4a ,V'(h)>0 si h>4a y por lo tanto, V(h) es decreciente en el intervalo (2a; 4a) yes creciente en el intervalo (4a; -h»). Por
el criterio de la primera derivada concluimos que V tiene un mínimo relativo en h=4a. Como solo hay
R E S O L U C IÓ N :
Si el ancho del pasillo B fuera grande para la longitud del tubo, no sería necesario que los extremos del tubo hagan contacto con las paredes de los pasillos, ni que el tubo toque la esquina C. Si no es tan grande ocurrirá, en el peor de los casos, que toquen las paredes en la forma que muestra la Figura . Denotemos por P y Q los extremos del tubo. Supongamos que el ancho del pasillo B fuera bastante grande (equivalente a que el pasillo solo tiene la pared inferior) y que se transporta el tubo en la forma que muestra la figura. El extremo Q del tubo no tocará la pared superior del pasillo B y pasará sin dificultad. En la Figura, y es la distancia del extremo Q a la pared inferior del pasillo B. A medida que el tubo gira alrededor de C, y aumentará desde cero hasta un valor máximo y luego, disminuirá nuevamente hasta cero. El tubo pasará sin dificultad si el ancho del pasillo B es mayor que el valor máximo de y. En cambio, si el ancho es menor que el máximo de y, no pasará el tubo. Deducimos que el mínimo ancho del pasillo B debe ser igual al máximo de y. De la Figura se obtienen las siguientes relaciones: L¡ = asecO ; y = L 28en9 ; L 2 = L - L¡ Combinando estas relaciones, encontramos que y
M*l7nwN4*&
DERtVi\IP+\S ]
es función de O, siendo: y = LsenQ - a tanfí
Para hallar los valores de 6 consideramos que al inicio el extremo Q está sobre la esquina C. En esta posición el 0 (valor inicial) eB 0X= are eos— . ft A partir de este valor 0 irá disminuyendo basta cero. Así, y = L sen 0 - a tan 0, 0 5 0 5 0/
...(1)
dO
Haciendo dyjd0 =
0
R E S O L U C IÓ N :
La Figura muestra el lago, los puntos P, Q y una posible posición del punto R= (x; y). De la figura: d f = ( x - 2 )2 + ( y - 3 )3 , d f = ( x - 4)2 + ( y - 5)2
El costo total de los dos canales será:
Derivando se obtiene: — = L cos0 - a sec2 0
plano x 2+ y2 5 1 • Se deben construir canales rectos desde los puntos P=(4;5) y Q=(2;3) hasta un punto común, R, de la orilla del lago. Determinar las coordenadas de R, para que el costo sea mínimo.
...(II)
, se obtiene:
L cos0= a sec20 => cos0=ya¡L
De la ecuación (I) vemos que dyld0 no existe si sec0 no existe; es decir, si 0=x/2. Este valor no pertenece al dominio, por lo tanto, 0=arc eos yjalL es el único punto crítico en el dominio. Para este valor de 0, sen 0=>Jl -(a lL )213 , tanO= %¡L/ayjl - (alL)213
■Reemplazando estos valores en la ecuación (I), se obtiene: y = ¡ l - ( a / L ) 2l3( L - a $ L Í¿ ) que es el valor máximo de y (puesto que en los extremos del dominio y=0) y será el ancho mínimo, que debe tener el pasillo B, para que un tubo de longitud L pueda pasar del pasillo A al pasillo B. O BSERVACIÓ N :
Con frecuencia, en la formulación de un problema de valores extremos, encontramos que la variable que vamos a maximizar o minimizar parece ser, aparentemente, función de 2 o más variables independientes. Sin embargo, dichas variables independientes están relacionadas entre ellas por algunas ecuaciones, llamadas restricciones, lo que indica que en realidad, no todas las variables son independientes. El proceso de eliminar variables hasta reducir el problema a una función de una sola variable puede ser complicado y en algunos casos, imposible. La aplicación de la derivación implícita puede facilitar las operaciones, tal como veremos en los siguientes problemas. PR O B LEM A 65 :
Se sabe que el costo de constnyr un canal de regadío es proporcional al cuadrado de su longitud. Cierta región plana tiene un lago que ocupa la porción del
C = k(df+df)
donde k es una constante de proporcionalidad. Vemos que si queremos minimizar el costo, deberemos minimizar la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales. Para ello, denominemos por D a la suma de los cuadrados. Es decir : D = d f+ df = > D = ( x - 2)2+ ( y - 3 ) 2+ ( x - 4 ) 2+ ( y - 5 ) 2...(I)
Aparentemente D parece ser una función de las dos variables x e y. Sin embargo, estas dos variables están relacionadas por la ecuación x*+y*= 2 que, como antes vimos, define implícitamente a y como dos funciones de y = \ l l - x 2 v y = - > f] l - x *
....(II)
siendo el dominio el intervalo [-1; 1]. Si reemplazáramos cada una de estas relaciones en la ecuación (I), encontraríamos que D es función de la única variable x. Pero vemos que D como función de x no es única, por lo que el procedimiento de eliminar una variable alarga la solución, al tener que considerar dos casos. El uso de la derivación implícita evita tener que descomponer el problema en los dos casos mencionados, como veremos a continuación. Considerar simultáneamente las ecuaciones (I) y (II) equivale a considerar simultáneamente las dos ecuaciones: D(x; y ) = ( x - 2 ) 2+ ( y - 3 ) 2+ ( x - 4 ) 2+ ( y - 5 ) 2 ...(UI) x 2 + y2 = l ; -2 5 x 5 2
...(IV)
r a in a g l Hacemos la siguiente reflexión: D es función de x e y, pero y es función de x (aunque no única), entonces D es también función de x (pero tampoco única). El dominio para D será, en los dos casos, el intervalo l- l; l ]. Por las expresiones (//) y (IV ) es evidente que D es continua en el intervalo cerrado [-1;!]. Por lo tanto, para hallar los extremos absolutos de D en el intervalo cerrado bastará seguir el procedimiento antes descrito para funciones continuas en intervalos cerrados. Así, derivando la ecuación ( III) implícitamente respecto de x, se tiene: ^
=2(x - 2 ) + 2(y - 3 )¿ f+ 2 (x - 4)+2(y ax ax
dx
dD dy ^ =4(x-3)+4(y-4) ^ ax dx
y
Reemplazando (VI) en (V), se obtiene: ^
= 4(x-3) + 4(y-4){- dx ^ y)
Si
hacemos
Hallar el área mínima que puede tener una elipse circunscrita en torno de un rectángulo dado. R E S O L U C IÓ N :
Supongamos que las dimensiones del rectángulo son 2m y 2n, respectivamente. Una ilustración gráfica del problema se muestra en la Figura. La ecuación de la elipse será: a¿
b¿
A=nab
Derivando la ecuación (IV ) implícitamente respecto de x, se tiene: dy _ Q dy = x 2x+2y— = 0 .••(VI) dx
P R O B L E M A 66 :
d D / d x = 0 tse
...(V II)
obtiene y = — ^ . O
Reemplazando en la ecuación (IV) y resolviendo, se 3 3 4 obtiene: x = ± — . Para x = - — corresponde y —- ~ , 5 3 5 3 4 y para corresponde y . También, de la o o ecuación (V II) vemos que dD/dx no existe si y=0, o bien para x=~2 y x = l . Así, los puntos críticos 3 3 son:- 2 ; - — y 2.Todos están en el intervalo 5 5 A continuación debemos evaluar D en cada punto
crítico. Nótese que esto equivale a evaluar la K 5
m n + = 2 ...(III) a
Variando la posición del vértice (a;0) se obtienen diferentes elipses. Notamos que a debe ser siempre mayor que m pero puede crecer ilimitadamente. Es decir, a puede tomar todos los valores del intervalo (m;+oo). Si en la ecuación ( III) consideramos que b es función de a, entonces el área A es función solamente de a, con dominio (m;+ao) y continua en dicho dominio. Derivando la ecuación (II) implícitamente respecto de a, se obtiene: dA ( db d ¿ = * 6+0 5 7
..•(IV)
Derivando la ecuación ( III) implícitamente respecto de a, se obtiene: 2m 2 a
2n2 db b da
db da
b3m2 •••(y) a n
Reemplazando (V) en (IV): dA
(_
BJ
| - ; - | y (1;0) de la circunferencia. Así, podemos considerar que estos puntos son los puntos críticos de D(x; y). Evaluando, se obtienen: D ( -1;0) = 68 , D(-3/5;-4¡5)=76 D(3/5;4/5)=36 , D (l;0 )= 4 4 . De los 4 valores el menor es D(3/5,4/5) . Por lo tanto, concluimos: las coordenadas del punto R , para que costo de los canales sea mínimo, son x = 315 e y=4/5.
...(II)
Como (mt n) pertenece a la elipse, entonces:
ecuación ( I I I ) en los puntos (-1;0)A (3 4 \
(a#)
y el área de la elipse será:
de donde simplificando:
dx
¡VClCLOPElllA s o i s ]
Observamos que dA/da existe para a e {m; +ao) Así, punto crítico ocurre solosi dA/da Es decir, si b3m2 b- 2 t a n
t
b
on m
...(VI)
Reemplazando ( V I ) en ( I I I ) y resolvien encontramos que a = 4 2 m . Entonces, b=4¡¡ Encontramos que hay un solo punto crít
[F fiw m v K .9
n a r lg ? !!
(a=42m ) y el dominio es el intervalo abierto
(m;+ao). Para determinar si en dicho punto crítico hay un máximo o un mínimo, tendríamos que aplicar el criterio de la primera derivada, o el de la segunda derivada. Este procedimiento puede resultar complicado y largo. En vez de eso y como el problema es geométrico, analizaremos qué condiciones y limitaciones geométricas existen. En la Figura se obtienen diferentes elipses inscritas variando la posición del vértice (a;0) a lo largo del eje X positivo. Si el valor de a fuera ligeramente mayor que ro, el valor de b sería bien grande (si a tiende a ro en la ecuación ( III) , b tiende a infinito). Esto implica que el área de la elipse crecería ilimitadamente. Por lo contrario, si a aumenta, b disminuye y el área de la elipse irá disminuyendo. Cuando a se hace muy grande entonces 6 decrece y se aproxima a n (si a tiende a infinito en ( III) , b tiende a n) y el área crece nuevamente ilimitadamente. De todo lo anterior, deducimos que el área no está acotado superiormente. Así, de haber un valor extremo, este será un mínimo. En efecto, si de un valor muy grande (infinito) empieza a decrecer para luego volver a crecer ilimitadamente, significa que decrecerá hasta un valor mínimo a partir del cual empezará a crecer. Así, concluimos que en el único punto critico, el área tiene un valor mínimo (mínimo relativo y mínimo absoluto a la vez). El mínimo valor del área será: Amin —n(>j2m)(y¡2n) - 2xmn
r y a , pero de (II), r es función implícita de a. Por lo tanto, diremos que V es función de la única variable a. De ( II) , 47xr2= S ~ 6 a 3 . En esta ecuación debe
verificarse, lo siguiente: S0 - 6 a 2 Z 0 = > a 2 < S oi 6 = > 0 < a < yJS0 / 6
Así, V es función de a y su dominio es el intervalo cerrado [0; yJS0l6] Nótese que V es continua en dicho intervalo. Derivando (I) implícitamente respecto de a, se tiene: dV . 2 dr 0 2 = 4nr +■3a da da
...(III)
Derivando ( II) implícitamente respecto de a, se tiene: «o = n d r = ----------3a •••(IV) 8ox r — + 12a 0=> — da
da
2xr
Reemplazando (IV) en (III): ** m4 n r* da
2xr)
3a 2
•••(V)
Observamos que dVjda no existe si r=0. Pero r = 0 implica a = jS 0 ¡6 (punto crítico). Si hacemos dVlda=0, entonces: - 6 a r + 3a2 = 0 => a = 0 v a = 2 r Si a =0 en (//) se obtiene: r = S0 f 4x . Si a =2r en
m
( II) se obtiene: a = yjS0 1(6+ x ) . Así, los puntos
y la ecuación de la elipse será: 2 2 2m 2
críticos (valores de a) son: A¡Solté + x) , 0 y Los correspondientes valores de r,
2n2
—^
PROBLEM A 67 :
Suponiendo conocida la suma de las superficies de una esfera y un cubo, demostrar que la suma de los volúmenes será mínima cuando el diámetro de la esfera iguale a la arista del cubo. ¿Cuándo será máxima la suma de los volúmenes?
0 /(6
+ x) ,yjS0 I 4 x ) y 0, respectivamente.
Evaluando el volumen en los puntos críticos, se _____ obtienen: V(y¡S0 /(6 + x ) ) =
o Yo+x
» 0,055y¡(S0)s ,
R E S O L U C IÓ N :
V(° ) =
Sean r y a el radio de la esfera y la arista del cubo, respectivamente. La suma de los volúmenes de la esfera y del cubo será:
V (js ¿ 7 6 ) = J(S0/6)3 » 0,068yj(S0)3
V = - x r 3 + a3
...d)
Por la condición del problema, si la suma de las superficies es S0 , entonces: 4 x r 2 + 6a2 = S0
...(II)
De (I), aparentemente V es función de las variables
^son:
- 0 ,0 9 4 j(S 0)3
Comparando los tres valores encontramos que el menor valor del volumen se obtiene para a = J S J ( 6 T x ) ; r = ! J s /J (6 + x ) .
Osea, cuando 2 r = a, o bién, cuando el diámetro de la esfera (2r) se iguala con la arista del cubo. También encontramos que el mayor valor del
1.5k,* lÜ&i \ l 1 » 8 1
volumen se obtiene para a = 0 ; r = f S 0 / 4 x . Nótese que a = 0 implica que solo habría esfera y no cubo.
CMCLOPE&LX 8 0 1 8 ]
( O ) Si:
= (3x3 - 2)
Hallar : R ' M A) 5 Í 3 x 2 - 2 ) 4
B) 9x2
D) x 2 (3x3 - 2 )4
E) 45x2 (3x2 - 2)
(07) Si: fix) = 4xs + 2 x . Hallar: f (d A)22
B) 23
C )24
Si: f ' (I )= 3x2
D) 25
B) 22
0 23
Hallar: f(3) + f i2)
A) 27
D) 24
E) 25
A) 51
B) 35
0 36
D) 45
B) 46
0 80
D) 35
E) 90
M S i : f ' ix)= 6 x A f i0)= 3
4x9 + J . Calcular: G '(j)
<@) Siendo: GU)
f (0) = O
E) 26
(05) Siendo: fíxy = 3x2 + 4 x - 2 . Hallar: f (3) A) 21
a
C )9 5 x l0
E) 54
Hallar: f (8í A) 60
Siendo: G ^) = x° - 2 ar
0 80
B) 65
D) 75
E) 78
-
Hallar:
Hallar: G \ 4)- G \ 3) A) 17
Si: fu) = 3 x 3 + 2x *
B) 21
Siendo:
018
D) 19
E) 20
= x3 + x
A) 18x + 20 D)9x + 20
Hallar: f \ 2)+ f tff(3) A) 18
B) 22
D) 21
C) 19
y además: f ' (/)= 2 2 ; f " í2)= 2
E) 20
Hallar: —
n
Hallar: f ' (x) B)Jx
Siendo :
A) 5
C)
Tí
D)
E )2 jx
2\fx
B) 2
= i x 2 + 3 )4
D) 7
E) 1
E)l
r . y/x + 8 —2 Hallar : U m . — —
©
B )8x(x2 + 3 f
0 4
x3 -6 x 2 + l l x - 6 Calcular : Lim x-*i x2 -5 x + 4 2 D )-~ A lt B ,-í C ,í 3
Hallar: A)8x ( x 2 + 3 Y
O 1 8 x + 10
^ Dada: f¡xy = x m + nx
Dada: /Jxj = T í + 3
A) 1
B)18x + 22 E)9x + 10
C)8Íx2 + 3 )
jx +4 -2
D) 4Í x 2 + 3 )
E)4
A )2
Si: Pix) = 8Üx . Hallar: p A) 2i[y3
B) 2([y~3
(y)
C) f[y *
D) ffc
Hallar: m \ x) e 5 A) X a
@
B) x 8
_7 C)xa
A)
7
5
D)xa
E) 8x 8
Sí: f(x) = T 4x + 9
E)L5
tyx+6-x Hallar : Lim x-»2 yJx + 2 - X
E) y3
Siendo: mw = 3%/í
B)~ 3
11
B) i
C)l
Hallar: L im [ B 'l l + b x ^ 1 + dx ~ A x->0 V X ) A )— + — B ) - + -
a
Hallar: f ’ (0)
c
c
c
O c d + ab
Siendo: f (x) = ( x 2 + 1)
i vA > 3
® i
C )1
o lí
® !
E )~9
D )J
Hallar: f ' (x)
6
D) 0
E)
b+d
ac
[r»ir:fO iW .4 nimwNtPS A) 6 Í x 2 +1 )
1199 C)12x ( x 2 + 1)
B)(x x~2 + 1)
B) a +1 O <** - a + 1 (x 4 -4 Hallar: Lim V2 Kx - J § ,
E )(9 x f
D) 12x
_ Si: G,^ (*) = (3x + l ) s (2x - 1)3 Hallar : G *<0) A) -1
A) a 2 + a + 1
B) -9
A)42
C )-42
D)1
E) - 8 4 2
E) -7
D) 9
C) LO
B)8>f2
D) a - 1
Hallar : f \ x) Siendo: /Jx) = \¡ 3 x - 2 + 3
Si: fíx ) = 4 x , calcule f *(8)
B)S¡(3x-2) E)x-2
A) yj(3x - 2)'2 D)3
C )¡(3x - 2)
C)9
m * 2
3
2
D)
E) A) 1
B) 3
0 5
iü x
A) 2
E)
C )3
Además: f ' (2)= 3 ; f(2) = 14 B) 27
D) 33
C) 30
A) 0
f ' (x>-
+ 2 )9 A A*) = (mx + n)P D) 0
C)-l
B )2
E) -2
Determinar el mínimo número que toma : f ix) = x 2 + 6x + 10 B) 2
0 3
Calcular: Lim
D) 4
E) 5
(x-a) - b
a
C)
2a
Calcular el verdadero valor de : x 5 + ax4 + x 3 + ax2 + x + a F=
x3 + ( a + í ) x 2 + ( a + l ) x + a
B) 1
D) 4
O 3
D)l/2
E) 2
l-ifx 0 2
D) 1/2
E) 1/8
A) 6
B) 8
O íd
D) 12
E) 24
Se tiene la derivada de una función F(x) = 8x + 5 Calcular : F( l ) , si F(0) = 3 A) 12 B) 7 0 8
D) 6
E) 5
F(x) = 4 x 2 + 16 * calcular FY3) A) 5 B) 1/5 0 2/5 D) 3/5
E) 4/5
Sea la función :
X~*a+b( x - b ) - a 2
B)
E) 9
Halle: f (2), s i: fíx) (x-1)4
Hallar:
para: x = a
Calcular : Lim x-k¡
E) 36
(£5j) Siendo:
A) — a
E) 6/4
3 -3 x 2 + 4
B) -3
Calculan f(3)
A) 1
D) 7
x l00- 2 x + l Calcular : Lim x-ki x 60- 2 x + l A) 24/25 B) 49/24 C) 98/25
Si: fu ) = mx* + "-r
A) 1
E) 1/12
Calcular : L im —¿— — 3— — ----- — x-k2 X '3 - 7x + 16x -1 2 x-k2 x
Hallar: m ' (J)
A) 24
D) 1/16
2x4 - 3x2 + 5 x - 4 Calcular : Lim x-aí x - 2x + 2 x - 1
¡x + S fx
Si; m(x) =
O 1/8
F(x) = mx3 + 3n ; si F f( l ) = F ( l ) . Calcular : m/n A) 3/4 B) 4/3 0 2/3 D) 3/2
Hallar: h ' (í) a;
B) 1/4
Sea la función :
3x2 + 1 = 4x - 1
£#) Siendo:
A) 1/2
D)
36f 2a
Sea la derivada de una función : F(x) = 6x - 5 , sabiendo que : F(0) = 2; Calcular: F ( -l ) A) 6 B) 8 O 10
D) 12
E) 14
( H U H ‘ I'IH \ 8 0 /8 ] x n - nx + n -1 ;n e Z + Calcular : Lim 71+/ *-> /1 x - ( n + l ) x + Uj n -1 A) n+1
n B) n -1
n+1 C) n
n+1 E) n -1
n -1 D) n
A) 1/4
( g ) Halle f ('Z) , si flx ) = (x -2 ) B)3
A)2
D)12
C)6
D) 2
O 2/3
E) L oga
x
E) 6
D) 3
D) 5/2
E) 1
D) 2
E) 3
D) 9/7
E) 7/9
Calcule : Lim ^ *->1 1 - l f x A) 7/3
n)f
E) 5
—3 x + 2
Calcular : Lim x-*i x 4 - 4 x + 3 B) 1/2 O 1/3
A) 1
Calcular : Lim *->2 W 4 x + l - 3
©
E) 1/64
Calcular : Lim *->2 x 3 + 2 x 2 - l O x + 4 A) 1 B) 2 0 3 D) 4
x - 4x + 2
B'\
D) 1/32
x 3 + 4xJ + 2 x -2 8
f 4 l + X -y fl+ X
O 10/3
B) 1/3
E )e
Calcular : Lw » , — , x->o \$jl + x - y/l + X , B) 2/5
O 1/16
Dada la función : F (x ) = 3a x2+b
E)24
A) 1/6
Calcular : Lim —---- *->o x B)a OO D) Ln a A) 1
A) 3/4
B) 1/8
Si: F *(l) = F(l)> calcular : a/b
ex -1 Calcular : Lim *-*o x AJO B) 1 0 -1
r .
Si : f ( x ) = i f c , calcular f Y16)
B) 7/2
O 7/4
T E R C E R A
E)1
P R A C T IC A
Hallar el valor de la derivada de la función: Sean los números reales a = x + 4
;
F(x) = — en el punto x = 2 D )1
K . i
O btener: Lim
( 3% x + l - 2 4 x + l - l
A l- i
m A)
Calcule: Lim x-*0
12
b
)-L
Indicar el área máxima de un rectángulo de
x
x-*0
B) 1
E)¿2
b = x -1 0 . ¿Para qué valor de «x » el producto «ab» será el mínimo? A) 5 B) -5 0 3 D) 2 E )-l
lados ( 4 - x ) y (5 + x ). D) 4
C)10
E)i
21 A) 4
4x 3 + 8 - 4 x ^ + 4
c ,l
43 B) 2
81 O 4
15 D) 2
56 E) 3
Indicar el mínimo valor que toma la función:
m í
A )1
F (x) = 2 x 2 - 4 x + 11 B) 3 0 5 D) 7
E) 9
Hallar el máximo valor que puede tomar la Q£(0 Determ inar un polinom io P (x ) de cuarto grado, si verifica las siguientes igualdades: • P(2) = P *(2 )= 0 ; P ” (2) * 0
función : F (x ) = - x 2 + 6 x - 4 A) 1 B) 2 0 4
D) 5
E) 8
Un agente en bienes estima que el beneficio
• P ( - l ) = 0 ; P ’( - l ) * 0
mensual P es soles que obtiene al alquilar un edificio de **n” pisos está dado por ;
• Pf-JJ = 16 ; P ( 0) = 12
P = 92n - 2 n 2. ¿Qué número de pisos hará más rentable el edificio? A) 22 B) 23 0 24 D) 25 E) 32
Hallar: P(3) A) 24 B) 27
O 36
D) 72
E) 80
M
ie i n * i pggg
i 7 n r $ r * 0 &
Si un número y el cuadrado de otro suman 192r hallarlos para que su producto sea máximo . Indicar el mayor de dichos números . A) 8 B) 64 C )120 D) 128 E) 160 Si “ M ” y t,m 99 son el máximo y mínimo relativo de la función : F fx) = x 3 - 3x2 + 1 Calcular : M - m A) 4 B) -4
0 6
D) -6
E) 8
Se quiere construir un jardín que tenga la forma de un sector circular con un perímetro de 30 m . Determinar la mayor área posible de obtener: A) 56,25 m2 B) 54,50 m2 O 52,35 m2 D) 3 6 ¿5 m2 E) 3 6 ¿0 m2 Una persona dispone de 40 m de alambrado para cercar un jardín rectangular. Sabiendo que sólo debe colocarla sobre 3 lados, porque el cuarto limita con su casa. Determinar el área máxima que puede cercar. A) 40 m2 B) 100 m2 O 2 0 0 m 2 D) 300 m2 E )400m 2 Una empresa de computadoras ha encontrado que su utilidad está dada por : Ufx) = 400x - x 2 , en millones de nuevos soles , donde x representa, el número de unidades vendidas. Hallar la máxima utilidad . A) SU 200 B) SU 400 O SU 16000 D) SU 40000 E) SU 60000 ©
Hallar el volumen del mayor cilindro recto que
se puede inscribir en una esfera de radio r = >¡3 . A) nm 3 B ) x 2 m 3 C)n 3m 3 D )x 4m 3 E)ji6m 3
tiene su base sobre el eje X y sus otros dos vértices en la curva ffx ) = 12 - x 2 . A) 10m2 B) 15m2 O 20m* D) 32m2 E) 36m2 (T fo Si un número y el cubo de otro suman 108, hallarlos para que su producto sea máximo. Indicar el mayor de ellos. A) 3 B) 24 0 60 D) 81 E) 90 ( í ^ ) Una pelota se dispara vertical hacia arriba , ‘ V * metros del punto de partida . en el instante “ 2” (segundos) donde : S = 2 4 t - 2 t2 ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? A) 60m B) 64m O 70m D) 72m
E) 78m
Se tiene una hoja rectangular de papel , de lados 8 y 15 pulgadas, se desea hacer con ella una caja sin tapa , cortando en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente las partes restantes . Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados de tal manera que se obtenga el mayor volumen posible . A) 5/3 B) 5/2 02/3 D) 3 E) 2/5 ©
E n con tra r la m ayor área p osib le de un
triángulo isósceles cuyo perímetro es 18 pulgadas . A) 9 ¡3
B) 6 ¡ 2
C) 12
D) 2 ¡ 6
E) 4,5
(¡£lj) Encuentre el punto en la parábola ; f = 2 x que esté más próximo al punto (1 ; 4) A) (3;3) B) (1;5) O (2;2) D) (-1,3)
E)(4;2)
S) Hallar las coordenadas del máximo relativo de la función : ffx ) = x 3 - 9x2 + 15x - 3 A) (0;5) B) (0;4) O (1;4) D) (1;6) Encuentre el
E) (2;5)
punto sobre la gráfica de
y = x 2 + 2 más cercano al punto (3;1) A) (1;2) B )(2 ;l) 0 (3 ;!) D) (1:8)
E) (0;1)
Un fabricante de pernos puede vender “ x de ellos por semana al precio P —200 -
X
99
soles;
siendo C = 5 0 x + 2000 soles el costo total de la producción. Hallar la cantidad de tornillos que deberán de fabricar de modo que la utilidad que se obtenga sea máxima . A) 1000 B) 2000 O 4500 D) 6000 E) 7500 ( l a ) Calcular el área del mayor rectángulo que
( 8 Í ) In dicar el área m áxim a de un trián gulo rectángulo cuyos catetos m iden ( 6 - x ) y (x + 2 ) metros . A)9m 2 B)12m2 016m 2 D)24m2 E)25m2 Hallar el menor valor que puede tomar la función : F fx) = x 2 - 8 x + 21 A) 1 B) 3 0 5
D) 7
E) 9
Hallar el máximo valor que puede tomar la función : F fx) = 2 x2 + 8 x -l A) 1 B) 3 0 5
D) 7
E) 9
Siendo P y Q el máximo y mínimo relativos
de la función :
[íT ial F (x) = x 3 - 12x +1 Calcular : P -Q A) 32 B) -3 2
C )30
A i tC LO PE M A 2012]
el cardinal de dicho conjunto es: A )1 B) 2 0 3
D) 28
E) 25
D) 4
E) 5
Sea la función: H (x) = (2 x9 - x + 4)
3 ) Se tienen los números reales a = 15 - x 3 y 99
b = x - 6. ¿Para qué valor de * el producto “ a b será máximo? AJI B) -1 0 2 D) 5 E )6
Form ar una ecuación cuadrática con las soluciones de la ecuación F*(x) = 0 t sabiendo que: F(x) = 3x4-4 x 9- 126x 3+ 540x + 1 A ) x * - 2 x - 15 = 0 B )x* + 2 x - 15 = 0 C )x * -8 x + 15 = 0 D )x* + 8x + 15 = 0 E) x 9- 14x - 15 = 0 Sea P ( x )
un p olin om io cu a d rá tico de
coeficiente principal positivo, tal que: P (x ).P (x ) s 8 x 3 - 12x2+ m x - 6 ; m e R Calcular el valor de: E = yJ P (3 )+ l A) 8
B )4
C )2
D )$ 2
E )i¡2
Sea el Polinomio:
Calcular el valor de: T = 12-JlT(l) A )i¡5
B )yfs
C )5
D )2 5
E )125
Dada la función: G (x) = y¡4x + 1 + 3yjSx2 + 7 a Si: G>(2)= — (fracción irreductible), entonces el valor b de 36 - 2 a es: AJ 5 B) 4 0 3 D) 2 E) 1 El m ayor valor de ux ** que verifica a la inecuación I T ( x ) £ 0 , tal que: _ ^2x H (x )= x
-x + x
es:
a )b 4oj ©
BjiJdj o 34oü D)VId E)-(fid
Sea la función: F (x) = L n (3 x 2 - x + 1)
Luego de resolver la inecuación: F '(x )^ 0 , dar como respuesta la suma de los valores enteros de no mayores que 199. A) 19 900 B) 19 999 O 20 000 D) 20 900 E) 21 990
P(x) = x * ° ° - x í99 + x I98- x 197 + ... + x 2- x + 2 005 Calcular el valor de: 3 f = P (0 ) + P *(l) A) 2 005 B )100 0 2105 D) 105
© E) 3105
L= Um
x
299
P (x) = a 0 x 301 + a t x ™ + a t x***+ ... + a soox + a 301 a0* 0
AJ -3
+ 2x
B J -l
O 0
A )9
\ G -i
B )7
063
D)
E>79
^¡(1 + a x )( 1 + b x )( 1 + ex ) - 1 F (x ) = 2x
Además: H (x) = (F G )(x ).
x* + 2
E) 6
Sea la función:
F (x) = x 1+ 2 x * + 3 x s+ 4 x 4+ 5 x 9+6x$ + 7 x + 8 G (x) = 6xs + 5 x 4+ 4x 9+ 3x *+ 2 x + l
3) Sea la fu n ción : F (x )=
D) 2
x~+i % fx — 1
Sean los polinomios:
Calcular el coeficiente de x 5 en H*(x) A) 685 B) 672 O 667 D) 663
-x +2
« ) Calcular el valor de: L = U m
Luego de calcular P (x )t dar como respuesta el valor de: E = Coef.fx*°°) + C o e f ( x I0°) A) 200aJ0Í + 100a^ B) 201al00 + 101c D) 200a 1Q0 + lOOa^ O ZOla^ + 100a *00 E) 200atoo + 100atoo
-x
x3 +3x2 +5x + 6
x-> -2
Dado el siguiente polinomio: .300
Calcular el valor de:
Halle el valor de: U m F ( x ) x-*0
A )a + b + e D)
E) 659
, adem ás se
define al conjunto: A = { x e Z ¡ F '(x) £ 0 }. Entonces
a +b +c
B )a b c
O a ,b + b c + c a
^ .a + b + c E)
Un arrendador ha adquirido un nuevo edificio con 100 departamentos para rentar y encuentra que entre más unidades “x " que quiera rentar, menos deberá ser su precio P (x) de acuerdo a la fórmula.
fg f T
I I ^
O
B B K fK Í a iij
S
P r x ) .2 8 0 - J ,2 x ; OSxSJOO ¿Cuántas unidades debía rentar y a qué precio para maximizar sus ingresos? A) 75; 90 B) 70; 95 C) 40; 25 D) 80; 60 E) 10; 20
es Ja; b ], calcular: 4 b - 3 a
(^ 9) Una ventana tiene la forma de un rectángulo
A) 2
rematado por su parte superior con un semicírculo y se quiere contornear con ( x + 4 ) metros de borde metálico. Calcular el radio de la parte semicircular, sabiendo que el área total de la ventana es máxima. A) Im B) l,5m C) l,2m D) 1,8 m E) 0,8 m
(^(¡) Si el polinomio:
©
Dada una hoja cuadrada de lado "a ", se desea
construir con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determine el lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible. a E) D' t 11 ©
Si el rango de la función:
m
F (x )= x 3 + 3x2 - x + 1 ; - 2 ¿ x < 0
B)y[2
C )3
D)yÍ3
E )4
P ( x ) = x 5 - 5 6 x + 4 a ; 0 A a e M a (X * 0 admite a “ r ” como raíz doble, hallar:
A) a
E = ~ + a 4 - 0 B+ 1 0B D )2 B )0 OO
E)a + 0 + 1
C L A V E S P R IM E R A 09) O I) A OO) R 07) 19) 11) E 10) R 17) 99) 9 1 ) tt 90) A 97)
Sea la función:
P R A iT I C A R 09) C A OS) t í R 19) E tí 1S) A A 9 9 ) tí A 9 8 ) tí
(D E R IV A R A S )] 05) E 04) R 09) C IO ) tí 1 4 ) tí 15) A 90) C 19) A 94) E 9 5 ) tí 99) C 9 0 ) tí
F : R - » R fF (x )= x 3 - 5 x 2+ 3 x + 9 Dar el valor de verdad proposiciones:
de las sigu ien tes
]H
(
) Es monótona en
(
) El máximo relativo de F es 4
(
SEGUNDA P R A C T IC A (D E R IV A R A S ) O I) E 0 9 ) t í 0 9 ) tí 0 4 ) t í 0 5 ) II OO) C OO) R 0 7 ) R OS) * 10) C 11) A 19) C 19) • 14) R 15) C 90) R 10) A 17) C 1 9 ) tí 1S) A 01) R 09) B 09) C 0 4 ) tí 0 5 ) E
—
T I rRCERA O I) c 09) OO) R 07) 19) 11) R 10) R 17) 01) C 09)
) Es monótona Vx e ]-< © ;-2 ]u [3 ;+ «o [
A) W F
B) FFV
C) V W
D) FFF
E) FVF
Esbozar la gráfica de la función: F(x) = ( 2 - x ) ( x s + x - 6 )(x + 6 )2(x s + x - 20) A) B) r ♦y
Ir
E>
7
A f V
m
< . x
P R ACTIVA (R E R R A R A S ) 0 4 ) t í 0 5 ) tí C 09) E A OS) A 09) C IO ) R 1 9 ) tí C 1 4 ) E 1 5 ) jD R 1S) A 90) C 19) A 0 9 ) tí 04) C 05) R
C L A V E S D E IJk C U A R T A P R A C T IC A
2)B\it)C\4)A 5)B 0)D\7)B 8)A fl)tí\lQ)A 11)0 1511 IGM17)C 18)A im m D
um
G E N E R A L IZ A CLONES El eoneapto simple de derivada ds una funeíón real da una sola variable ha sido generalizado de varías manaras: -Cálculo de varíes variables ‘Derivada dlrecclonal. extiende el concepto de derivada parcial. ‘Derivada parcial, que se aplica • funciones realas da varias variables. ‘Análisis complejo: ‘Función holomorta. que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funcional de variables eomplajas ‘Análisis funcional: ‘Derivadafracciona!, que extiende el concepto de derivada de ordensuperior a orden r, r no necesite ser necesariamente un número entero como sucede en lae derivadas convencionales. ‘Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones da un espacio vectorial de dimensión no finita.
"í x c m 'l o i ’ iímua ¿ o í s ]
1>,5&
O B J E T IV O S
:
♦ La competencia que busca desarrollar este grupo de objetos de aprendizaje es que el alumno aprenda a determinar el dominio y rango de una función exponencial o logarítmica, además de representarla gráficamente y simplificar expresiones logarítmicas aplicando las propiedades de los logaritmos. ♦ En particular, este objeto de aprendizaje introduce al alumno en el tema exponiendo las diferentes aplicaciones que tienen las funciones exponenciales y logarítmicas. IN T R O D U C C IÓ N : Las funciones exponenciales así como la función logarítm ica son dos de las fu n cion es más importantes, razón por la cual se les hace un estudio especial . Estas funciones aparecen en una amplia variedad de aplicaciones como por ejemplo : “ Respuesta a la publicidad en televisión” El porcentaje R de audiencia que responde a un comercial- de televisión para un nuevo producto después de “ 2” días se determ ina m ediante la fórmula: R = 70 - lO O e ^ ' I) ¿Qué porcentaje se espera que responda después de 10 días? U) ¿Cuál es el máximo porcentaje de personas que se espera respondan?
♦Como 1,73<1,732 < l,7 4 ,e ntonces: 2 L74
♦Como 1,732 < 1,7321 < 1,733, entonces: 2 L7SS < 2 1’7921 < 2 h7SS y así sucesivamente. En cada desigualdad se tiene una potencia de 2 , en donde el exponente es, cada vez más, una mejor aproximación del valor de J 3 , y por consiguiente se tiene una mejor aproximación del valor de 2 ^* • Una discusión sim ilar se puede dar para toda potencia irracional de un número positivo. ♦ Otra fuente de la que provienen las funciones exponenciales es del estudio de varios fenómenos naturales. Por ejem plo, un biólogo que cultiva cierta clase de bacterias en su laboratorio , como parte de su investigación, desea estudiar cóm o varía el núm ero de b a cteria s con el tiem po . En circunstancias favorables se encuentra que mientras dure el alimento, el tiempo necesario para que el número de bacterias se duplique no depende del tiempo en que se comienza el experimento. Además si suponem os que cierto día hay A 0 bacterias presentes y que el número de bacterias se duplica cada día , entonces tenemos: Día en que empieza la observación: A 0 (bacterias) Un día después de comenzar la experiencia : 2 A 0 (bacterias) Segundo día después : 2 (2 A ^ = 2* A 0 (bacterias) Tercer día después :2 (22 Aq) = 2a A 0 (bacterias) • ♦
III) ¿Cuántos días deben transcurrir para que fi exceda el 40 por ciento? Este tipo de problemas es uno de los muchos que pueden ser m odelados utilizando las funciones exponenciales. Otro ejem plo es la aproxim ación decim al para
2^3 que se puede obtener teniendo en cuenta que ai 1,7321 y haciendo: * Como 1 < 1,7 < 2 , entonces: 21 < 2 1’7 < 2 1*8 • Como 1,7 < 1,73< 1,8, entonces: 2 1'r< 2 1'73 < 2 1*
• •
• «
* *
*
»
n días después: 2 (2"~J A0)= 2" Á 0 (bacterias) ♦ Luego , n días después el número A de bacterias presentes está dado por la ecuación : A = A 0 2 n donde « n » es un entero positivo. Si suponem os que el núm ero de bacterias no se multiplica bruscamente cada 24 horas , sino que aumenta constantemente a lo largo de todo el día , entonces podíamos preguntarnos , por ejemplo: ¿Cuántas bacterias hay en ~ día o
días?
¿C uántas había 2 días antes de com en za r el experimento , es decir , antes de efectuar el primer recuento?
i*trrnrNn&
[ten.
F t w c w n E x p o n u n c ltz i y 2 o ffiin f6 iiic < i]
1145
Estas preguntas se pueden contestar mediante la ecuación A = A 0 2 H si se permite generalizar el exponente «n» a cualquier valor racional. ♦ Las ecuaciones de la forma A = A 0 2 n son modelos m atem áticos sa tisfa ctorios para d escrib ir fenómenos de crecimiento, al menos en períodos limitados de tiempo. Se llega de esta forma por dos caminos diferentes a la idea de una función que asocia a cada número real x un núm ero a*. Lo anterior sugiere la siguiente definición: F U N C IÓ N E X P O N E N C IA L L O G A R ÍT M IC A
Y
Estas funciones se denominan trascendentes además se caracterizan por ser una inversa de la otra 1)F € N C IÓ N E X P O N E N C IA L D E R A S E ééb ”
* Rf € < 0 ; o o >
Sea “6 ” un número real positivo y diferente de 1. La función f: R R definida por:
♦ y = b* > 0 , Vx e R
o Se denomina función exponencial de base “6 ” . El dominio de esta función es
=R y
♦ Si. x = 0
y = bx = l
♦ Si: * < 0
y = 6T> 2
- o o =+ y = b* —+ oo
* Si: x
su rango es ^ * Si: x > 0 => y = b* < 1
Rf —(0; + o o ). t ■♦
oo
■♦ Si: r
0
y = b
O TR O EJEM PLO : * Grafícaremos :
y — f(x )
-f = 2 * 2
* il
X
^
-3 -2 -1 0
b>l
0
A ) P R IM E R CASO í
EJEM PLO: v x
Rf y ♦Gráfica :
—oo +oo
•90
9
3
1/8
Cuando la base es mayor a la unidad (b > 1)
♦ Tabulando , obtenemos los siguientes pares de valores :
*>r x
2
1 1/2 1/4
B ) SEGUNDO CASO í
13J
•40 - 2
4 2
1
Cuando la base está comprendida entre “ 0 ” y “ 2 ” ( 0 < b < 1).
* Caso particular : y =
8
-2
3
1 2 1 1 r 3 9
0
é#• +oo •••
0
EJEM PLO : ♦ Caso particular : y = 3* ♦ Tabulando , obtenemos los valores : X
—oo
•••
Rf y
+ oo
0 94
Dr
-2
-1
1
1
9
3
0
1
2
• 99
+ oo
1
3 9
999
+ oo
B lu * « | /Vi3o Gráfica :
NCICLOM'EDIA 2 0 1 2 ]
matemáticas. * Las aproximaciones del número ue ” se pueden determinar con la expresión :
Y ly = b
9
e = 1H
3 __ 1^ -2-1
X
P ropiedades d e : y = b x ; ( b > 1)
-3 2
R , e < 0 ; oo > *Si: x = 0
*
Si:x < 0 -+ y = b x < 1
*
Si:x m -o o => y = b x -> O
*
Si:x > 0 =>y = 6* > 1
*
Si:x —► oo —►y = 6*
-2
y = b X= 1
2 3
—» oo
* Gráfica remos : y = ff x ) = 2 X
y=2*
-3
1 /8
-2
114
-1
112
0
1
1
2.
2
4
3
8
0,05 0,14 0,37 1 2,72 7,39 20,09
-3 -2 -1 O
II)F U N C IÓ N IN V E R S A DE E X P O N E N C IA L O F U N C IÓ N L O G A R ÍT M IC A :
OTRO EJEM PLO:
X
0 2
v i II
té .
X
* y = fe1 > 0 Vx € R
de
* La gráfica de y = e x es :
1 2
* Df € < —o o ; o o >
1------ 1------ » ... H + ... 2 ! 3 ! 4! n!
*E1 valor de ue ” son siete decim ales aproximación es : e = 2,7182818
t$ ’’ • •
0
1!
h
Yk Si ub n es un número real positivo diferente de la unidad entonces una función uf* será logarítmica si y sólo si: al cual llamaremos “ función logaritmo de base “6 ” ” i -4
-3
-2
-1
O
PR O PIED AD ES D E L A FUNCIÓN EXPONENCIAL
y ~ 6lo
* Si O < b < 1,1a función ffx) = b* es decreciente en todo su dominio. * Si b > 1, la función ffx ) = 6 ' es creciente en todo su dominio. ♦ La gráfica de la función exponencial de base “ b pasa por el punto fO ; 1)
99
*Si 0 < 6 < I , entonces: L im b x = + oo n—*—oo
•
9
L im b x=0 n —*+oo
LA FUNCIÓN EXPON EN CIAL
b> i
o
F u n ción L ogarítm ica
y = ffx ) = b x
y = ffx ) = Logbx
D p 6< —oo ; oo >
D f £ < 0 ; oo >
Rf e < 0 ; o o >
R f £ < —oo ; oo >
Nótese que : V b € R + — {2 }
DE
DASE ♦La función y = e s donde we ” es número irracional trascendente juega un rol muy importante en las
L o g by = x
H fm fo y
flwwctow E x p o n e n c i a l y L o fjw itn tle u ]
11*7
Permutando *xnpor "y"
-
i
• 9
114 1/2 1 2 4 8 16 9 é
y = Logbx Función Inversa y = L o g bx
* Representación gráfica de :
x 1
A ) P R IM E R C A S O : Cuando la base está comprendida entre “ 0 ” y “ 2 ” (0 < 6 < 1)
Yk
y : •
2 1 0 -2 -2 -3 -4
y =Log¡¿x
• •
Del gráfico:
S i : L ogb x ¡ > Logb x ¡ o x ¡ < x 2
EJEM PLO : t í ) S E G U N D O CíYSO :
* Caso particular : y = L o g ¡ x 3
Cuando la base es mayor que la unidad (b > 1)
* Tabulando ; obtenemos los valores : Tncr 2 1 »• » X 0 1 3 9 Df 9 3 1 y +oo 9 9 9 2 1 0 - 1 - 2
EJEM PLO: •• + oo
•
•♦ —oo
* Caso particular : y = L o g 3 x * Tabulando, obtenemos los valores:
•
D f <«— •
♦ Gráfica : y = L o g bX
0 f'
X
y
—
0
•♦•
oo
•••
2
3
9
9 •0
9
1 3
+oo
-2
-2
0
1
2
999
+oo
2
* Gráfica : Yk
Propiedades de : y = Logbx ; ( 0 < b < l ) Df e < - O ; o o >
/
< - o o t oo >
* Si: x < 0 -> L o g b x 'Á en g
* L ogb 6 = 2
P r o p ie d a d e s d e :
y -Logjc ( b>l)
y = L o g b x ; (b > 1)
* D f e < 0 ; oo > * R f € < -o o # oo >
* L og b 2 = 0
* Si: x < 0 -k L ogbx ^enlR
* Si: x > 1 => L o g b x < 0
* L ogb b = 1
* Si: x —► oo => L o g b x —► —oo
*
* Si: x < 1 -+ L ogb x > 1
*
Si: x > 1 =* L ogh x < 0
* Si: x -> 0
*
Si: x —► oo ==> L og b x — k oo
OTRO EJEM PLO:
*
Si: x < 1 -> L ogb x < 0
* Graficando : f ( x ) _ L o g í x
*
Si: x -> 0 => L og b x -+ —oo
L o g b x —>■ oo
2 * Tabulando :
L ogh 1 = 0
OTRO EJEM PLO: * Graficando : fíx ) = L o g %x
E l i i * s l l VÜte
I A M * MmMCMMáUrA
* Sus gráficas muestran en la figura: 2 < e < 3
* Tabulando para algunos valores : X
y
1 8 -3
•a•
as »
2
2
4 -
N CBCLOm m iA s o i s ]
2
2
4
0
1
2 3
8
16
000
4
0&0
2
2
-
2
• Uniendo estos puntos tenemos:
* a L o g tx se denom ina logaritm o natural o neperíano de x y se denota como Ln x . * a L og ¡0 x se denomina logaritmo decimal o vulgar de x y se denota con L og x . • Del gráfico:
S i : Logb x 2 > Logb x¡ o x* > x¡
P R O P IE D A D E S D E L A P U N C IÓ N L O G A R ÍT M IC A D E B A S E **b"
* Por la fórmula de cambio de b a se, la relación entre Ln x y L og x , está dada por : LogX as I * * LnlO
De donde: * Si: 0 < b < 1, la función g (x ) = L o g b x es decreciente en su dominio ( R + ). * Si: b > 1, la función g (x ) - L o g b x es creciente en
Log x ^ 0,4343 L n x
ó
6
Lnx =
Loge
L n x ^ 2,3026 L og x
* Aunque estas funciones son casos particulares de las funciones exponenciales y logarítmicas es necesario recordar lo siguiente:
su dominio ( R + ). * La gráfica de toda función logarítmica pasa por el punto (1; 0). * S i : 0 < b < I , entonces : Lim Log b* = +OC
y
* S i : b > 1 , entonces : L im Log b x = - o q y
L im L og b x = + oo¡
Si: Logb x¡ > Logb x 2 A O < b < 1 =>0 < x t< x¿
* Si: L og3 x > L o g a 6
x > 5
x —y + o o * Si: L o g j X > L o g ¡ 2 = > 0 < x < 2 NATURALES T
D E C IM A L E S
Como e es un número positivo y diferente de 2 , las funciones defin id as por f(x) = ex.... (función exponencial de base e ). g (x ) = L og t x
3
3
* Además: Si: b > 2, entonces se cumple L ogbx > a => x > 6a
(función de base e ) L ogbx < (3 => O < x < b 0
Son tales que : ,
Xj > x 3 > O
EJEM PL OS:
I
* Df = R
D E S IG U A M M A D E S L O G A R Í T M I C A S Si: Logh x t > L ogb x 2 A b > 1
-f*oo
D E
2) e 1** = x
Lim L og 61
x->0+
L O G A R IT M O S
1) L n (ex) =s x
R f = {O, + oo)
* Dg = ( 0 , + o o ) ; R g = R * Una es inversa de la otra
Log2 x > 2 => x > 4
Si: O < b < 2, entonces se cumple : L ogbx > c t = * 0 < x < b
a
[ ^ [ F u n c i ó n ExpmaencixtM ff ¿ o flo n Y fiiic q
O B S E R V A C IO N E S
:
* Si: 0 < a < 1
I) Dadas dos expresiones positivas Ff x) y G fx) de valores reales , tales que :
Yk
L o g b F(x) = L og b G fx) ; b > 0, b ^ l
y = C o lo g ax
C o lo g m
La ecuación expuesta es equivalente al sistema algebraico mixto: L ogm
Éx) > 0
Sj
G(x) > 0
S2 C .V J l.
E(x) = G f x ) .... S3
y =L og x EL NUM ERO
* Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación vendrá dado por : CS = S¿ fl S2 D S3
g ( x ) > 0 ...................... sp2 a (x ) > 0 A a (x ) * 1 ........ sp3 ffx ) = g f x ) -+ C.S. = s p 2
..................... sp4
n sp 2 n sp s n sp 4
III) La inecuación L ogafx) f ( x ) > L o g afxf g (x ) es equivalente al conjunto de sistemas siguiente:
(ct)
f(x)>0
ffx)>0
g fx ) > 0
g fx ) > 0
af x) > 1
(0)
LU R TE
ffx ) = (1 + x ) x ; g fx ) = i + i
X)
♦ Para que f y g estén definidas en el campo real , sus respectivas bases deben ser positivas y diferentes de la unidad , es decir : l + x > 0 A x ^ O ; 2 + — > 0 ; x =* 0 x ♦ Por lo tanto , los dominios de f y g se dan a continuación : Domf =
(— i ; 0 ) u ( 0 ; + o o ) ;
Domg =
(—o o ; —i ) U {0 ; + o o )
♦Los gráficos de f y g se muestran a continuación
0 < a fx ) < 1 ffx ) < gfx)
ffx ) > gf x) C .S.= S ( a ) u S ( $ )
FIWCMOJV COLOGARITMO Vx > 0 ; a > 0 ; a ^ J ;
COM O
Sean las fu n cion es f y g cuyas reglas de correspondencia se dan a continuación :
II) La ecuación L o g afxJf ( x ) = E o g afxJg f x ) es equivalente al sistema mixto. f(x ) > 0 ...................... sp¡
«e»
co lo g a x = -L o g a x
-2 0 * El número e por definición es un límite de f cuando x tiende hacia cero (por la derecha o izquierda) ; o también puede ser igual al límite de g cuando x tiende hacia +oo ó —oo es decir :
* Si: a > 1 f
21 Lim 2 + — x—*+oo X V —oo
X
=e
í lY Lim 2 + —I = e x —++oo x) V —oo
♦ Además, el número «e» es un número irracional , cuya aproximación decimal es: e =¡2,7182 C R E C U H E N T O y D E C R E C IM IE N T O E X P O N E N C IA L E S Un tem a clá sico del estu d io de la fu n ción exponencial es el del crecimiento y decrecimiento exponencial . A continuación , presentamos una breve introducción al tema. Cuando se manifiesta
TBSl i / s o l E ! X C iC IO P E M A 2 0 1 2 ) ivíái tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo que “ una población crece exponencialmente” , esto del intervalo . Esto sucede en los siguientes casos significa que la situación puede ser descrita por reales : medio de una función exponencial creciente de la • C recim ien to d e b a cteria s . forma: y = A b kt Donde 6 > 1 ;A es la cantidad existente en el instante t = 0 , * es igual a una cantidad positiva que define el ritmo del crecimiento . EJEM PLOS:
• C recim iento de otra s p obla cion es anim ales y vegetales. * In terés d el d in ero a cu m u la d o. * D esin teg ra ció n ra d ia ctiv a . IN T E R P O L A C IÓ N
1) El crecimiento de una población de bacterias está dado por y = 2*. A q u í, A = 1, ya que una bacteria estaba al comienzo, es decir, en t = 0. Asimismo k = 1, lo cual significa que el número de bacterias se duplica cada hora. 2) La población del m undo (en b illon es de
L IN E A L
Dados el L o g x 1 = N ; L o g x 2 = M , se pide calcular el L og x, siendo x s < x < x s. Si x¡ * * * x %, entonces podemos calcular el valor aproximado del L o g x , utilizando para esto una recta como aproximación de la curva logarítmica. Y*
B
habitantes), está dada por : P (t)= 4 x 2 3B, donde t es el número de años después de 1985. Aquí salta a la vista que A = 4 , que es la población existente en 1985 . También se observa que k = 1135; lo cual indica que la población se duplica cada 35 años y t es igual al número de años. 3) Si la tasa de inflación aumenta 129e cada año, entonces un artículo que actualmente cuesta 100, costará C(t) en t años , tal que : C (t) = 100 (l,1 2 )í Donde A = 100 es el costo actual; k = 1, lo cual significa que el costo aumenta 12% (se multiplica por 1,12) cada año.
¡7 x* X
A
* x -x ] " Xs-Xj d on d e y = L o g x
y -N _ M -N Por semejanza de triángulo : X — x Xo—X M -N x ( x —x ¡ ) + N y= x « —x EJEM PLO: Si L og 129,8695 = 2,113507 L og 129,4254 = 2,112019
4) El valor de un reloj está dado por ; V(t) = 200x2~Of2t dólares , donde / es el tiempo en años contado desde que el reloj era nuevo. a) ¿Cuánto costó el reloj cuando era nuevo?
Determinar el valor de L og l2 9 ,5 6 2 8 . R E S O L U C IÓ N : * Graficando kY
b) ¿Cuánto costará 20 años después? R E S O L U C IÓ N
2,1 1350 7
a ) Cuando el reloj estaba nu evo, no había transcurrido ningún tiempo , es decir t =0 y su valor era:
y 2,112019
V(0) = 200x2-°Jf0) = 2 0 0 x 2° = 200 dólares b) 20 años después, es decir, cuando t = 20, el valor será: V(20) = 2 0 0 X2-*™» = 2 0 0 = 2 0 0 x
A P L IC A C IO N E S
~ = 12,5 d ó la res
lo
D E
129,4254 129,5628
129,8895 X
* Por semejanza de triángulos : LA
F U N C IÓ N E X P O N E N C IA L La función exponencial aparece cada vez que se analiza un proceso que evoluciona de modo que el aumento o disminución en un pequeño intervalo de
= 0 ,5 6 2 8 - 0 ,4 2 5 4
y - 2 ,1 1 2 0 1 9 2 ,1 1 3 5 0 7 - 2 ,1 1 2 0 1 9 -> y = 2,112480
0 ,8 6 9 5 - 0 ,4 2 5 4
L og 129,5628 = 2,112480
[ i ? p
i r m
v
E
^
i i f 7
i n
o
A
B H r j l J I |(|B!Ií,’iiim;»ów E x p o n e n c ia l / / I.tifjtrríi riu c«]
¡
O B S E R VA C I O N E S
* De aquí obtenemos que:
I) El com portam ien to g rá fico de la fu n ción logarítmica y función exponencial con respecto a sus bases son:
A) S i: a > b > 1 => L og a x > L o g b x
j* J
‘
» Y v = i« ;
|s )
♦ De aquí obtenemos que: AJ S i; a > 1 a m > n =+ a m > a n B) Si .* 0 < a < 1 A m > n =+ a m < a n II) Si: a > 1, entonces , 0 < —<1 por ello : L ogax = L o g ,, a
i
= —L o g 1x
XJ
* Así obtenemos el siguiente comportamiento de las gráficas:
y = L o g 2x - y
—L n x
y =L ogx
B) Si: 0 < a < b < 1 => L og a x > L ogb x H IS T O R IA D E L O S L O G A R IT M O S No s« déba ver la historia da las matemáticas como una marcha triunfal a lo largo de una avenida sin obstáculos. Al contrario, esta historia pressnta numerosas interrupciones, y el camino seguido raramente se parece a una línea recta, encontrándose incluso a veces en un callejón sin salida.-.Hubo avances bruscos debidos anuevos conceptos, que respondieronaproblemas a veces muy alejados de las cuestiones iniciales qut los hablan generado. Los logaritmos son unejemplo de este desarrollo caótico yfecundo a lavez. Partiendo de una idea simple, pero cuya puesta en práctica necesitaba un gran trabajo (la construcción de las tablas), han sido en primer lugar el motor de un desarrollo de las matemáticas aplicadas, antes de revelarse como la solución de un problema geométrico. Objeto de estudios teóricos seguidos de profundizaciones, han sido también una herramienta indispensable para la modeüzación de múltiples fenómenos físicos. La presentación pedagógica tradicional de ios logaritmos privilegia el logaritmo llamado «neperíano». Se lo Introduce eomo la función primitiva de lafunción inversa que se anula parael valor 1de lavariable. Aunque esta introducción sea matemáticamente satisfactoria se halla muy lejos de ser evidente para los estudiantes y su propiedad fundamental queda oculta. Por supuesto, el problema histórico que llevó a concebir los logaritmos también está ausente, mientras que su uso para presentar esta nueva noción tiene la ventaja de la simplicidad: se trata sencillamente de construir una tabla que permita realizar rápidamente multiplicaciones, divisiones y potencias. Hoy la utilización de los logaritmos para el cálculo está en desuso, pero el concepto sigue siendo fundamental en la cultura matemática básica y están presentes tanto en fisiea como en química. Su historia es sin duda un capitulo modesto, pero su ejemplaridad, incluso su riqueza dan testimonio del desarrollo de las Matemáticas. El origendel conceptode logaritmose encuentraen unproblemamatemático, sin duda, pero en un problema de matemáticas aplicadas: se trata de simplificar la pesada tarea de los calculadores, excesivamente complicada encuanto implicamultiplicaciones, divisiones, incluso potencias o extracción de ralees. Enlos siglos XIV, XVy XVI (y seguramente antes) los campos implicados no son tanto las cuestiones económicas como los problemas ds agrimensura, ysobre todo, laastronomía, snparticularensuaaplicacionesalanavsgación. Estas operaciones exigen ahora cierta.precisión . SI los progresos de la numeración han podido hacer avanzar las cosas, como la utilización de las cifras llamadas árabes, los algoritmos de multiplicación y de división son desconocidos; los números racionales, sistemáticamente escritos en forma de parte entera más una fracción de la unidad, convierten incluso a la suma en una operación muy complicada. Se debe al matemático árabe IBNJOUNISal haber propuesto, en el siglo XI, un método, llamado prostaféresis , para reemplazar la multiplicación de dos senos por una suma de las mismas funciones, y este método permaneceré mucho tiempo en vigor. La multiplicación de senos (y su división) es uns operación esencial, ya que todo cálculo en geometría, en particular la resolución de triángulos, es una operación sobre longitudes no medibtes, obtenidas a partir de la medida de ángulos. XAPM ER T B R I G G S John NAPIER(escrito también NEPER) nació en 1550. Procedente de la baja nobleza ascocesa, mostró toda au vida un espíritu curioso y dinámico, a pesardeunavidaalejadade los centrosculturales delaépoca. LaIntroducción de los logaritmos no es su único titulo de gloria, puesto que escribió también un texto sobre las ecuaciones e imaginó además un sistema de cálculo por medio de regletas graduadas (Rsbdologfs) En 1614 publicó •( «Mirifici logerithmorun ctnonla deecriptio...» donde. utilizando una aproximacióncinemática, pone en ralación una progresión geométricacon unaprogresión aritmética. Laprimeraes lade laadistancias recorridasconvelocidades proporcionales adas mismas, lasegunda. lade laadistancias recorridasconvelocidadconstante;éstassonentonces los «logaritmos* de las primeras(al neologismo es de NAPIER). Launidadelegidaes 10', yla obra comprende unatabla de logaritmos de senos, cuya Importancia hamos mencionado anteriormente, con loa ángulos variandode minutoen minuto. En1610apareció unasagunda obra. «Miritid logarrthmorumcanonlt constructio....»dondeel autorexplicacómo calcular los logaritmos. Estaobra es póstuma. puesto que NAPIERmurióen 1617. Mientras tanto, un eminente matemático de Londres, Henry BRK3GS. habladescubierto la importanciadaestoa trabajosy viajó aEscocia para encontrarsecon el autor. Retomandola ideafundamental, peroconsiderandounaprogresión geométrica simple, lade laapotencias de 10. publicaen 1617unaprimeratabla,con 6decimales. Eilogaritmodeunnúmeroxea por lo tantodefinidocomo el exponento nde 10, tai que ■eea igual a1 0 elevado an. Siguieronotras tablasque permitieron ladifusión del método, en particularenel continente. Enrealidad, laideaestabaenel aire; uncolaborador de KEPLER.el suizoBUROI. proponíaen la mlama época, para simplificar los cálculos que debía realizar, hacer corresponder una progresión aritmética (números rojos) y una progresión geométrica (números negros); sin embargo sus trabajo* no fueron publicados hasta 1620.
[y*
m
1152
4T¿M2M*M€S%
MCMCMJ1PEU1A 2 0 1 2 ]
■tete
a x > b x, V x > 0 • Entonces (II) es VERDADERA PROBLEM A 1: El número de bacterias en un cultivo dado después de t horas por el modelo exponencial de crecimiento:
' 1 '* 0
q (t) = 50 e°’7t I) Hallar el número de bacterias, q 0 en el cultivo. II) ¿Cuántas bacterias- hay en el cultivo después de 10 horas? R E S O L U C IÓ N : I) Para encontrar q 0, tenemos que encontrar el valor de q (t) cuando t = 0: q (0 ) = 50 e°'7(0} = 50 e° = 50 = q 0 * Luego , inicialmente hay 50 bacterias en el cultivo. II) El número de bacterias en el cultivo después de 10 horas está dado por q(10):
♦ Entonces ( / / / ) es falsa R PTA : “ D ft PROBLEM A
3:
Determinar el rango o dominio, según sea el caso :
q(10) = 50 e°'7
I) fíx) = |3^“ *| ........................................¿ra n g o ?
PROBLEM A 2 :
W fíx ) = Logogie^ +ex — 2 )
Dar el valor de verdad de las sigu ien tes proposiciones :
UI) fíx) = e~]x'~2
I) Si: 0 < a < b < 1, entonces a x > bx, V x > 0 II) Si: 1 < a < b, entonces a x > b x, v x < 0
.....
A )V W
B)FFV
C)FFF
I) f(x) =
3 XX = 1
s \x\-x
j
D)FVF
R E S O L U C IÓ N : I) Mediante la exponencial decreciente :
¿ra n g o ?
R E S O L U C IÓ N : ; x*0 => R fj = 1
3-*m K= S - ^ í x < 0 => R fu = ( i ; 00)
p o sitiv o
BI) Si: 0 < a < 1, entonces a x <
¿d om in io?
R f = R f , v Rf„ = { i } u (J ;o o ) = [i; oo) E)VFF 2x
U) D e : e * * + e x - 2 > 0 * > i e xX + — 2)
,2 e*+ — - 9 -> o 2) 4
9 >— 4
3 >— 2
x
1 3 x 1 3 => e + — > — V e + — < -----2 2 2 2 => e x > 1 V e x < —2 => D f = (J;oo) *> o
x i
III) Definiendo : * Entonces (I) es FALSA II) Mediante la exponencial creciente
-x -1
f(x) =
si x > 0; (Exp. decreciente)
x -1
ai x < 0; (Exp. creciente) ♦ Calculando el rango : D f \ x < 0 V x > 0 => ex < e ° V e x > e ° => ex 2 < e I V e x < l =>
e x i < e ¡ v e~x l 5 e 1 =>
0 < e*-1 < e~l v 0 < e**'1 5 e~l R ango I
R an go II
[F P fr m w ^
1159
* Luego: Q <
< e ~ 2 ~+ R f = ( 0 ; e z] fix T
PROBLEM A 6 : Hallar el dominio de la función f definida por : ffx ) = jL o g x —2 + x + 1
PROBLEM A 4 : Resolver las siguientes inecuaciones : II) L o g g x - 1 ) > 0 2
I) L o g J 2 x —1 ) < 0
(U k
R E S O L U C IÓ N : * De la regla de correspondencia : logx-1 >0 a x > 0
III) Logs(2x —l ) > Log.Jx —5)
=> L ogx > 2 A x > 0 => x > 2 0 A x > 0
IV) L o g g x 2 + x + l ) < 0
=> * € (lO.oo) -> D f = [lO; oo)
3
PROBLEM A
R E S O L U C IÓ N : I) De :
II)
La siguiente función: f:[a ; 8 ] - * [ b ; 6+27, definida por ffx ) = L o g s x es sobreyectiva , hallar a +6.
2x - 1 > 0 /\ 2 x - 1 < 1
R E S O L U C IÓ N :
—►x > — A x < 2 —► x £ ( —; 2 2 \2 DE; x - 1 > 0 A x - 1 < 1
* A partir del dominio : a < x < 8 A a > 0 * Conformando la regla de correspondencia :
x > 1 f\ x < 2 -> x £ <1; 2> UI)
P r im e r o :
2x - 2 > 0
-+x>~
a x
L og2a < L o g 2x < L og 22 3, a > 0
- 5 > 0
A x>5
> 5
L ogaa <
♦ Como la base es mayor que uno entonces : 2x ~ 1 > x - o ->■
x > -4
7:
- » C.S. = (5; + oo)
IV) De : x s + x + 1 > 0 Por teorema de trinomio positivo
L og 2x logarítmica creciente
♦ Además por ser suryectiva : R f = flo g 3 a ; 3 ] = [ b; 6+27
=> x £ R
♦ Luego : x 3 + x + 1 > 1
=> L og2a = b A 3 = 6 + 2 => L og 2a = 2 A b = 1
-» x 2 + x > 0 - » x ( x + l ) > 0
a =2 Ab=1
♦ Entonces : a + 6 = 3 PROBLEM A 8 : Determinar la gráfica de la función f cuya regla de correspondencia está definida por :
x £ < - o o ; —2 > U < 0 ;+ o o >
ffx ) = L n f 2 - x ) + 2
—* C.S. = < —o o ;—2 > U < 0 ;+ o o >
R E S O L U C IÓ N : v ♦Aplicando traslaciones ; mediante la secuencia :
PROBLEM A 5 : Bosquejar la gráfica de ; ffx ) = Ln \x
L n x - » L n f —x ) -> L n [—(x —2)] -+ L n [2 —x] + 2 ♦ Obtendremos :
R E S O L U C IÓ N : ♦ Esta es una función PAR con dominio
r
_ {o }
ln x ;I x > 0 f(x) = ln\x\ = ln(-x) ; x < 0 ♦ Su gráfica total la obtenemos por simetría : y=Lnf-x)
<3, a > 0
n
y=Inx
-€
y=Ln\x\
Graficar: fíx)=\LogM\
In s z E R E S O L U C IÓ N : * Primero grafiquemos : y = L og2\x\
WCICLOPKUIA 2 0 1 2 }
* Como se aprecia 4 intersecciones , luego habrá 4 soluciones . P R O B L E M A 11 : S i : h (x ) = 3 - 3 \ x - l \ 2 - 2 ^ .
1
3
Determine el máximo valor de h(x). R E S O L U C IÓ N : * Haciendo : h (x ) = fíx ) + g (x ) * donde :
fíx ) = 3 - 3\x - 1\2
parábola invertida de vértice * Además :
(l;3)fíx)=3-3(x -1 ) 2 g (x ) = - 2 ^ 1
exponencial de imágenes ( 1 ; -1 )
negativas y
vértice en
* Graficando : 3
(1;3) 3-3 (x -l)2
Determinar el número de raíces o soluciones de la ecuación: |ae/»x| = ÍL/í|x—tt|| R E S O L U C IÓ N : * Primero : yi
1 /2 1 3/2 (1 ;1 W
X
- 2 (x- 1]
sen * El máximo valor ocurre en la suma de los vértices: h M max = 3 + (-1 ) = 2 PROBLEM A 12 : Grafique las siguientes relaciones : In | .r -7 t |
I ) R i = { ( x ,y ) e R 2/y5.2x,y'z\ ¿^ , * + y í3 | ►
II) Ro = { ( x , y ) e R 2¡ y < L o g s x 9y Z 0 f 2 x + 3 y - 6 ¿ 0 } R E S O L U C IÓ N : I) La gráfica de la relación RJt es la parte sombreada de la figura : * Luego ¡
/ / ) La gráfica de la rela ción ¡ t 2 t es la parte sombreada de la figura :
m a m as
[g »/r fO iV K .< m m V o ^
w fe H
n
. v i í A v F .iy o A i:A Y ’i , t i . y i , f l f i i K i r . w r . i l
.
.
.
.
.
PROBLEM A 14: i
Si flx ) es una función exponencial, cuya gráfica se muestra, determinar f l - 4 ) :
PROBLEM A 13 : Graficar la intersección de R} y R 2 , en : R ¡ = { ( x ; y ) e R 2ly > ( x + l ) L o g (x+1)x } 'w. ♦ | R 2 = { ( x ; y ) e R 2!y < 1 + L o g f x + 2 ) } R E S O L U C IÓ N : * Grafiquemos R ¿ :
• Como la función es exponencial , debe ser de la forma y = 6*, donde la base b puede determinarse reemplazando los valores de x e y , que corresponden al punto (- 2 ; 100), el cual se ha obtenido de la gráfica dada : y = bx; donde x = - 2 ; y = 100
y > ( x + l ) log(? 1)x = x —
j > x
102 = (b-1)2
b 1 = 10 => 6 =
* Por lo tanto la función es :
• Pero : x + 1 > 0 a x > 0 - * x > 0
fl-4 ) =
1 \10)
= {l0~l )
—4
10
_( 1 Y y - t ( ) - 1l o ) = 10~4 = 1 0 000
PROBLEM A 15: ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una característica de la función flx ) = Ln\x\ donde X&O ? A) f es una función par .
y= x
B) Conforme x se acerca a 0 , f l x ) disminuye . •Luego grafiquemos R g : y < l+ !o g (x + 2 ) * Por traslación de la gráfica : y< l+ log(x+ 2) y=J+log(x+2)
C) Si x aumenta , siendo positivo , entonces flx ) también aumenta . DJSi x disminuye , siendo negativo , entonces flx ) también disminuye . E) Si x disminuye, siendo negativo, entonces flx ) aumenta . R E S O L U C IÓ N : • La gráfica de la función flx ) = L n |x | ;
* Finalmente i í ¡ r\ R2 :
Rtn
rs
A) En una función par se cumple que:
fA JT,« # £ « M A
'n c m c l o p e d m a
f ( x ) = f ( ~ x ) =*Ln\x\ = Ln|-x|Ln |x| = Ln|x| -> A es correcto.
♦De donde: a = O A b = 16
B )D el g rá fico se observa que cuando x - > 0 ffx) -> -oo -> B es correcto .
PROBLEM A 18 :
C) Del gráfico se observa que ffx ) para x > O es una función creciente. -4 C es correcto . D) Del gráfico se observa que ffx ) para x < O es una función decreciente, con form e x disminuye f f x ) aumenta , es incorrecta. E) Del gráfico se observa que ffx ) aumenta cuando x disminuye. -4 E es correcto. R PTA: “ D ” PROBLEM A 16 : Si f es una función definida por : ffx ) = |5 - lo g x | + |2 + lo g x |, entonces el rango de f e s : A ) [ 6 ;o o )
B )[8 ;o o )
D)[0;oo)
E)(0;6)D (6;oo)
-Jb=a+4 RPTA: “ C ”
S ia < 6 < 0 < c
y f es una función definida por
—ax
b' ffx ) = e x , entonces hallar el valor de verdad a de las siguientes proposiciones: p i f e &creciente, Vx £ d om ff) q : f es decreciente, V x € d om ff) r i f e s acotada, Vx 6 d om ff) A)VFV B )F W C)FFF R E S O L U C IÓ N : b\ ♦ De: ffx ) = e x \a) a< b < 0
C )(0 ;o o )
-4 l > —>0 a
R E S O L U C IÓ N :
2 0 12 }
a
D) VFV
E)FVF
—ax
; a < b < 0 < c
a <0
b 1> a
> 0 ,pues - a > 0 —a
* Nótese que: D o m f = (0;*foo) * Para : L og x < - I ; ffx ) = 5 - L o g x - 1 - L o g x = 4 - 2L ogx
♦ Entonces : ff x ) = e x ( - ] [a
es una función
decreciente , Vx € R » cuya gráfica es :
L ogx < -2 -4 2 L ogx > 2 -* 4 - 2 L og x > 6 - y ffx ) > 6 * Para: -2 < L og x < 5: ffx ) = 5 - L o g x + 2 + L o g x = 6 -± ffx ) = 6 * Dada : L og x > 5: ffx ) = L og x - 5 + 2 + L og x = 2 L og x - 4 -> L ogx > 5 -> 2 L og x > 10 -> 2Logx - 4 > 6 -> ffx ) > 6 * De los tres casos analizados : /Tx) > 6 R PTA: “A " PROBLEM A 17: Si (a;b) es el dom inio (m áxim o) de la función ffx ) = L o g sf4 - L o g zx ), entonces la afirmación correcta es: A) 5a + b > 2 B) b - 16a < 16 C)JS=A + 4 D) a* + b * = 25 E) ab = 8 R E S O L U C IÓ N : ff x ) = L og sf4 -L og ¿x) * f está definida si : 4 - L o g ¡x > O ->Log¿x < 4 -4 O < x < 2 4 * Luego , el dominio máximo es :
D o m f = {0;16) = {a ;b)
# q es VERDADERA r es FALSA ( f no es acotada) R PTA: “ E ” PROBLEM A 19 : Sea M un conjunto definido por : M = { c x ^ . R Í g f x ) = s (a -2 )x ffx ) = 5 (Q~10ÍX
es
es
cre cie n te
d e c r e c ie n te },
y
en ton ces
determinar el valor de verdad de cada una de las afirmaciones* siguientes: I) M C [2; 20) 72)La función J ^ 2 ~12q +22^x es decreciente, (<¿.6 Af) 1H) La función h fx )= 2 ax es creciente, (a £ A2)
|^ }| 1 1 3 7 IffCTI D) F W
A/VFV B )W F C) VFF R E S O L U C IÓ N :
EJFFV
f e s creciente 4
*
fe s decreciente 4___ y 0 < a < 1
PROBLEM A 21: La figura que mejor representa la gráfica de la función f í x ) = 1 + 2 1 - 2 \ es:
Recuerde que para : fíx)'= a* ; a > 0. *
n wrwkv nvi*o,vi:vfM i, y i^ # ;.i/tá .iiir.ij
ya > 1
g es de creciente —> 3 °~ 2 > 1 —>a > 2 f es decreciente —* 0 < 6 ° ~ 10< 1 —> a < 1 0 * Luego : 2 < a <10 -» M = (2 ;2 0 ) / ) A fC [2 ;Í 0 ) ................................(VERD ADERA)
R E S O L U C IÓ N :
U)
* Primero , la gráfica de : y = ( 3 l)x = 3 ^ E s: Yi
J a 2-i2a+22)x 9 , h (x) = 4 a * -1 2 a + 22 = ( a - 6 ) 3 - 14 -> 2 < a < 10 -> —4 < a —6 < 4 0 < ( a —6)2 < 16 -1 4
<4 <4
—14 < { a — 6) —14 < 2
(a -e r -u
a-12a+22
14 —
<4
<16
‘ Segundo , la gráfica de : y = 3~tx~I) = i•A _ Es : -> * (* ) puede ser creciente o decreciente , según el valor que tome q ................................ (FALSA) UB h (x) = 2 ax; 2 < a < 1 0 - + 2 2 < 2 ° < 2 10 -> 4 < 2 a < 2 10 -+ 1 < 2 T
% {VERDADERA)
h es creciente .........
RPTA: PROBLEM A 20 : Sí
f
es
una
VA”
- V i, - '■ ‘ '
función
definida
1 * Luego , la gráfica de : y =
X es :
Y
por
fíx ) = 2 u ^x \ x e [ - 3 ; 3 ] tal que \f(x)\ <¿ k, entonces el menor valor de k es: AJO
B )S
C)1
E)3
D) 2
R E S O L U C IÓ N : • Nótese q u e : • De: f ( x ) = 2 J-W ; x e [ - 3 ; 3 ] f í x) = ||3H ** + 1|-2| = 13J-|jrl - 1
- 3 < x < 3 -> 0 < |* |< 3
Entonces , la gráfica de y = -+ 0 > — |a: |> —3 -+ l > l - \ x \ > - 2
- < l f ( * ) i < 2 -+ 2 < * - >
=2 RPTA: “ D 9 »
-1
es:
IBBBli 15 8 v m
[A j í €iW2M*M*J4 * Luego , la gráfica de : ffx ) = Yi
-1
1 \ es:
WCMCLOPEDMA 2 0 í ¿ ]
PRO BLEM A 39 : A
«
Si f es una función definida por : f f x ) = 2 x entonces la figura que mejor representa la gráfica de f e s :
1
X R PTA: 4‘D 99
PROBLEM A 22: Si f e s una función definida p o r ; , entonces la figura que mejor representa la gráfica de f e s : A)
4 1
R E S O L U C IÓ N : X
-1 C)
D)
Y¡ -1
D e : fíx) = 2 4~x * = 2 4~ ^ ; x e R
• «
•
9 9
-7
* La gráfica de y = 2*~x es : n
i i
R E S O L U C IÓ N : * La gráfica de : y = (2~*)'*-*' = 2~'x~*' o * La gráfica de: y =
*La gráfica de f ( x ) = 2 4~^x*^ tiene un comportamiento análogo al anterior puede verse que ambas ramas son más cercanas at eje "Y ” . RPTA: “ D ” PRO BLEM A 40 : En la figura adjunta, se muestra la gráfica de la función y = L ogb(A x + C), entonces la afirmación correcta es :
1 1 8 9
r t W C B Ó A * K X H O X E X n U s
A) La base 6 6 {0; l )
—> x > ^ —> D o m f =
C) La gráfica corresponde a: y = L og f (x + 2)
* Además : flx ) —L o g a
l2 x - 2
* Sean : x Jf x g £ D o m f/ x , < x g
0
<
2 x j
—
2 <
2
x
2
—
2
( l ; 0 ) e f -> 0 = lo g h(A + C ) -+ A + C = l -> l = logb(2 A + C ) -> 2 A + C = b
lo g 2
( 1 6 ; 4 ) e f -> 4 = logb(1 6 A + C ) -> 26A + C = 6 ' * Resolviendo : A + 2 = b
a
; +00
Xa
E)b> 2 R E S O L U C IÓ N : * Para: y = L o g J A x + C), y de la gráfica mostrada, se tiene: ( 2; 1 ) e /
L O G A K Í T M I C A ]
x > 0 A >¡2x — 1 > 0 - > x > 0 A x > — “ 2
B) La gráfica corresponde a: y = L o g j x + 2)
DJla curva mostrada se intersecta con
Y
15b - 1 4 = b 4
2 x¡ —1
>log2
• Es decir : si ; x t < x g
* De donde : b = 2 ; A = 1 a C = 0 * Luego : y = L og s(x) * Esta , tien e un pu n to de in tersección con
2x¿ — 2
2 2 x 2 —J
2x o — 2
f[x¡) > f{(**)
- » / e s decreciente, V x e D o m f. • Luego, la gráfica de y = f l x ) será :
x* y “ - 7 - ; el punto (2 ; 2 J 4 R PTA : “ D tt P R O B L E M A 41 : Si f es una función definida por : f(x) = L og 2
4 2x + j
en ton ces
la
fp
¡gura que mejor representa la gráfica de f es: En la figura adjunta se muestra la gráfica de la función : flx ) = L n (ea - x ) + 1
0
* De : flx ) = L og2 [ . *---------- --------2W 2*© 2 42x+l D o m f = |x 6 R /
" 7 ¿ 7 7 >0]
* De la inecuación : 2________ ( y ¡ 2 x
—
Í ) ( 4 2 x
+
2)
AJI
B)e
C)5
D) e4
E)e*
R E S O L U C IÓ N : * De la figura : (0; 5 ) e f - + 5 = L n (ea - 0) + 1 ->4= L n ea -> a = 4 * Por otro lado : D o m f = { x £ R/ea - x > 0 } e a —x > 0 —* e 4 > x —►D o m f = (—o o ; e 4)
> 0 - > (V 2 Í-2 )(V 2 ^ + 2 ) > 0
* De la figura :
D o m f = (—00; 6 ) -> b = e 4 R PTA: “ D ”
[A F G J K ffK A
fllSB li JgQlfégg
! "¿>NCJCM.OrEMPiA 2012 }
PRO BLEM A 43 :
R E S O L U C IÓ N :
Si f e s una función definida por :
• De : fíx ) = |L og s (5 - x)\; D o m f ( - 00 ; 5 )
fíx ) = - L og s(x + 1 ), entonces determinar el valor
* La gráfica de g (x ) = L og 5(-x ) es :
de verdad de cada una de las siguientes proposición es : p : La gráfica de / pasa por.el origen de coordenadas. q : f e s decreciente en todo su dominio. r : La recta x = - 1 interseca a la gráfica de la función ; g (x ) = \fíx) \ AJWF
B )V W
C)VFF R E S O L U C IÓ N : .
DjVFV
E )F W
*De: fíx ) = -L o g s(x + 1) ; D om = {—i ; 4 -00} I) (0; 0) G f , pues: fíO )= - L og 3( l ) - 0 -> La gráfica de f pasa por el origen * Luego, p es verdadera
(V erdadera)
II) Sea x r x 3 G D o m f i xs < x 2 -> L og3(x l + 1 ) < L o g 3(x 2 + 1 ) -> - Log3 (x1 + 1 )> L og 3(x2 + 1) + f(x¡) > f(x2) -+ f e s decreciente, V x ^ D o m f. * Luego, q es verdadera......................... (V erdadera) BD g(x) = \fíx) | = |-L o g 3(x + 1) | -+ g (x ) = \Log3(x + l)\ %
* Sea (-1 ; m ) G x = - 2 . Si esta recta intersecta a la gráfica de g
(-1 ; m ) G g
-> g (- „ = m - + 1L og s ( —l + l)\ = m * Pero L og 30 no está definido. -> x = -1 no intersecta a la gráfica de g * Luego ,
r
es falsa
.................................... (Falsa) RPTA: “A ”
PR O B LE M A 44 : Si f es una función definida por : fíx ) = \Logs(5 - x ) |, entonces la figura que mejor representa la gráfica de f e s :
PROBLEM A
45 :
En un cierto cultivo bacteriano, si fít) bacterias se encuentran presentes a los t minutos, entonces : fít) = B . e°’05t siendo B una constante . Inicialmente hay 1500 bacterias presentes , ¿cuántas habrá después de 2 hora? R E S O L U C IÓ N : * Inicialmente , es decir , en 2 = 0 , hay 1500 bacterias ; así fíO) = 1500 . Por tanto 1500 = B . e 0t0sm => 2) = 1500 • Reemplazamos este valor en la función fít) dada, de este modo el valor de t correspondiente a una hora (t = 60 minutos) será: f(6 0 ) = 1500e°t0sm) = 1500 e s PR O BLEM A 46: Una sustancia tiene una constante de decrecimiento del 5% por hora . Si 600 g se tienen inicialmente , ¿cuánta sustancia queda después de 4 horas? R E S O L U C IÓ N :
H
fT
I I Y
O
E S 1 1 6Í 1M
.V
* En general tenemos que el modelo exponencial de decrecimiento es : q (t) = q 0 e~h* * Para nuestro modelo se tiene: q 0= 500 g (ya que la cantidad inicial es 500g) y k = 0,05 (ya que la constante de decrecimiento es 5 # por hora) * De donde después de 4 horas: q<4) =500 e ~o,0S'4' = 500
i ’i .vmó.v K.tpQ.vK.vrtu, r tofciHrfT.wr.t] *
II) Sea y = - 2 x : -112 L = L im
L = L im I 1 -
-J/2 -» L =
= 500(0,8187) = 409,4
= e i/2=
L im 2 + *->-* i y
1
Vi
* Luego, hay 409,4 g de sustancia
5/2
PROBLEM A 47 :
in)
En cierta ciudad de población A, el 209c residentes escucharon un anuncio por radio de un suceso político local . Después de “ 2” fft) personas sabían del comentario.
L = L im
1+
X -* -c c
de los acerca horas, .
2* L i m I 2 + —— I y. L i m * v
(haciendo y = 2x)
* De los datos : i = — — =» B 5 1+ B 1_ 1 2 1 + 4 e -k
Si 2 =
0,5A = ----1 + Be
2 2 => k = Ln4
+ 4e~k = 2
A A * Se logra: ft* )= J + 4e-rt»«* = i +
0,8A =
/V ) L = H m { l + x ) 1A2ix) = iim (2 + x )[(2 + x ) ;¿r] x— +0
_______
4
1 + 4 1-* ^
5
x -+0
- » L = (2 + 0)xe~ * = 2/e* PR O B LE M A 49 : Calcular: /i L im 7 X -+ 0+
=>4 + 4 2'* = 5
2* = e 5/2
L im l 2 + —^ y->-*
R E S O L U C IÓ N :
* Si ; fít) = 0,8A
1+ 5/2
Si el 509c de la población supo del suceso después de una hora. ¿Cuánto tiempo transcurrió hasta que el 809c de la población se enteró de la noticia?
Si 2 =
2+
ln x 2
+ —L n 2(1 + x 2 ) 4
2
+ x2
lnx
1 + 4 e I~i
=> 4 2” ' = 1 => 4 * - t = 4°
=9 2 - 2 = 0 => 2 = 2
m X-++OQ Lim
I
, J r + —L n 2(1 + x a ) 4
X
R E S O L U C IÓ N :
PROBLEM A 48 :
I) L = L im
Calcular los siguientes límites
X-+0
' I/x
f 15r+3
í
I) L im 2 + X-+0 3
m?
— EnX o + ~ L n x ——L n ( l + x 2) 2(1 + x 2 ) 2 4
L im
X—+—oo
2+— 2
x
IV) L i m ( l + x )
Lnx
1 r + —L n x 2(1 + x 2) 2
—» L = L im
(x -2 )fx
, r . ( L n x ) r. I 1 r . L n x f x* 1 T L = L i m -— — 2 - ------=- \= L i m — - — *->o* 2 L 2 + x*J *-*o* 2 Ll + x JJ
x -+ 0
R E S O L U C IÓ N -+ L = L i m
l) Sea: y = 3 L = L i m [ ( l + y ) Ily]
-+ L = L i m ( l + y ) lly\113 = e 1/3 = $Ie J
+
L = Lim
O x f-c o j
2
1/6
y -+ 0
y —* o
x aL n x Lnx
2/x*
= Lim
-> L = L i m - ^ - = 0 4
2 /x
-4/X*
(H ospital)
C.1CLOPEOIA 2 0 / 2 } Lnx
m L = Lim X—4+00
X*
+ —Ln 2 (1 + x x) 4 I + x2
oo •••fe
= 0 + —L n l = 0 4
PROBLEM A 50 :
L n 5 = x v* L n 5 = e 1
-yfxLnx
Lnx
v r + ¿vr 1
f ( x ) = 5 * r* x 4*
■Jx P R O B L E M A 51 : Grafícar :
Lnx
2 ¡x
= —o o ; La recta x = 1 es asíntota l ; Ln2 x
xL n3x
conclusiones
f r(x) . r ( x )
R E S O L U C IÓ N :
f (x ) f(x )
O—
PUNTOS CRÍTICOS : x = e : POSIBLE PUNTO DE INFLEXIÓN: x = e ‘
.112
Hallar la derivada de : f ( x ) = 5
L n f(x ) = x x
x-ki- L n x
=—
vertical f'(x ) = ^
L i m ------L=*-4+00 £,fm\f_^.|+li,n 4x ) 4 *-400 l + x
//i
Um
%fx Lnx
Ln5
Ln5
<0;l) 0;e) (e/e*) (e*;4)
<0 <0 >0 >0
<0 >0 >0 <0
/
decrece, cóncavo - abajo decrece, cóncava - arriba crece, cóncava - arriba crece, cóncaua - abajo
* Graficando : y
Ln5
fíx ) = x 1'1*
R E S O L U C IÓ N : * D o m f = (0 ;+ o o ) entonces la recta x = O es una
PROBLEM A 37 :
ASÍNTOTA VERTICAL
Grafícar : fíx ) = 2xe~*
* Luego :
R E S O L U C IÓ N : f 9 (x) = 2(1 - x)e~* f f 99(x ) = 2 (x - 2 ) é
f '(x) = 2e
= 0=> x = l
(punto crítico)
f "(x) = « “ **** [4(Ln x f - 2 L n x + 2¡ Jx2 f "(x) = eiLnxj¡t 2 L n x ---2
7 + — /x 4
-* f ” (x) > 0 , Vx > O, entonces la gráfica de fíx ) es siempre cóncava hacia arriba . Luego , en x = 1 : f í l ) = l es un valor MÍNIMO pues se cumple que f ” (1) > O. Y
* PU N TO C R IT IC O : x = 1; posible punto de inflexión : x = 2 fíO.> = 0, f í l ) = 2/e = 0,73.... ; /T2) = 4/e* = 0,54.. >s V conclusiones ú + Y f ”(x) f'M {- 4¡D (l;2) (2; 4)
>0 <0 <0
<0 <0 >0
crece cóncava - abajo decrece cóncava - abajo decrece cóncava - arriba
* el punto de inflexión (úhico) es :
Grafícar : fíx) = —----Lnx
R E S O L U C IÓ N : * D o m f = ( 0 ;2 ) u { l ;+ o o ) r im • ------x = -------O = 0; n L r im ■ = -— x = — = + oo L x— 40+ L n x —o o x-+i Lnx 0+
(2 ; f ( 2 ) ) = (2 ; 4/e2) ;
fl* ) =
ff$c) • Además : m = L im = L im 2 e * -4 0 0 X JT-+OQ
0
b = Lim [fíx) — 0 .x ] = Lim ^ = L im =0 - 4“ x-+oo e x-^oo e •De esta forma obtenemos la asíntota horizontal derecha y = 0.
[ E
i w
m
m
» *
H
fm
m
s » '
11 « 8
i i .xciO x fím > .vi;.vfxt/ y i,o fi,iitjr,w r,t)
PROBLEM A 38 :
R E S O L U C IÓ N :
Sea: f ( x ) = (- ^ j ^ - + L n ( x - 1 )
* Con los criterios de la primera y segunda derivadas hallamos la gráfica de : ffx ) = exp f - 0 )
I) Indicar su dominio W Graficar ffx ) UI) Determinar la ecuación de la recta tangente en x = 2 R E S O L U C IÓ N : I) Como L n fx - 1) está definida para x - 1 > 0 , entonces D o m f = ( i;o o ) II) ff2) = 1 1 2 , f f x ) = f x - 1) + fl/fx - 1 ) ) , f f x ) = 0 no puede ocurrir (en caso contrario , fx - l ) s = -1 lo cual es absurdo), luego ffx ) no tiene puntos críticos y como x - 1 > 0 , entonces f 9 fx) > 0, Vx 6 ( i ; o o ) , y por lo tanto f resulta estrictamente creciente. * Además :
f'(x) = 1 - [ll(x - 1)2]
-» ff x ) = 0 para x = 2 , x = 0 se descarta * Si xe( l ; 2) : f 9fx) < 0 ( f cóncava hacia abajo)
Af x) = 2 x ff x ) = 2 x e * s ; x > 0 rectángulo)
(área del
-> A'(x) = 2 e x 2 ( l - 2 x s) = 0 o x = l/j2 -> A ',(x) = 4 x e ~ x 2 ( 2 x 2 - 3 ) = > A ' Í l l j 2 ) = -4 j2 le < 0 * De lo cual, el área del rectángulo es máxima cuando: x = l / ¿ 2 * y es^e m odo los vértices superiores deberían situarse (por la sim étrica respecto al eje y de la gráfica) en : (x; ffx)) = [n j2 ; u 4 é)y en f - x ; f ( - x ) = (-11 #2 ; 1 j é ) PR O BLEM A 53 :
* Si*€(2;*«): f 99(x) > 0 ( f cóncava hacia arriba) * Por lo tanto f2 ; ff2) ) = (2 ;1¡2) es un punto de inflexión. * Como U m ffx ) = + oo ; Lim ffx ) = - o o X-*X>
X-+1+
* Entonces la recta: x = 1, resulta ser una asíntota vertical . * Graficando :
La velocidad de desintegración de un material radiactivo es proporcional a la cantidad presente de dicho material. I) Encontrar la cantidad.de material presente, / años más tarde, dado que la cantidad inicial es de R0 kilogram os y que un cuarto del material se desintegra en 5 años. II) ¿Cuánto tiempo tardará en desintegrarse la mitad del material? R E S O L U C IÓ N : I) Sea R f t ) = cantidad de m aterial radiactivo presente en el instante t. R q = RfO) = cantidad inicial de material radiactivo. ♦ Siendo la velocidad de desintegración proporcional a la cantidad presente , entonces:
UI) f 9fx) = fx —1) + IIfx - 1) ; f 9f2) = 2, así que la ecuación de la recta tangente pará x = 2 es: L T: y - f f 2 ) = f Y2) ( x - 2 ) L T: y - 112 = 2 f x - 2) PROBLEM A 52 : Un rectángulo tiene un lado sobre el eje x y los dos vértices superiores sobre la gráfica de f(x) - e-*2 . ¿En qué puntos deberían situarse los vértices superiores para que el área del rectángulo sea máxima?.
R'(t) = k R (t) => f
dt = f k d t
L n R (t) = k t + a =+ R ft) = e kt e a = c e kt ♦ Además RfO) = c , luego: R ft) = R ¿ekt * Al cabo de 5 años se ha desintegrado Í R 0, 4
o
quedando presente —R 0 y por lo tanto:
R(S) = ~Ro , donde: R (5) = R desk
11 1 6 4
20 Í2
i«
3 sk —= e 4 m * L uego: R ( t ) = Ro
es
la X
cantidad presente al cabo de t años. II) Hallaremos el tiempo t para el que R(t) = RJ2: f/5
5 Ln 2 => t = L n (413)
Graficar: H (x) = A)
Y 1___
t 2
* A este tiempo se le llama “ TIEM PO D E VIDA M EDIA” de dicha sustancia radiactiva.
D)
E)
Y J.
( S í ) Indique el valor de la verdad en :
i
1 2
( ) G (x) = $ * = > D o m (G )= {5 } ( ) H ix) = 2 * => R un(H ) = < 0 ; +<*>>
( ^ ) Graficar: T (x) = L og0 -*
( ) F (x) = 4 X => D om (F) = R A )F W B)FVF C )V W D)FFF
A) i
B)
C)
E )W F
Y
(0;1) (S^) Hallar el don lin io de la función: H (x ) = L o g ( x - l ) B)x < 2 C )x > 1 D)x < 1
A)x> 2
(1:0)
(1 :0)
x
E) x >0
D)
($¡j$)Hallar el dom inio de la función:
ay
E)
t
Y
G (x) = Logyj5 - x A)x>5
B )x< l
A) A y
C )x<-5
D )x> -5
(0;7¡9)
E)x<5
H (x)=3x B) l y
Graficar: H (x) = L o g ^ ( x - 4) A)
(0;1) (1&)
(-1,0)
B)
♦y
A
-► X
X
(5:0) E) Ay
D) A (0;1I3)
(0:5) (4;0) X
w G ra fica r: G (x ) = 2 X+ 4 Resolver: L og sx £ -1
indicando el complemento de su conjunto solución B)
A)(-ao;±
D)[ - 5; +
a o
>
E) < -
C)
+ CD
r i .v riá v KXPO.VK.vaiM LOfiJHITMICl]
1165
(Í ^ L u e g o de g r a fic a r :
w Determine el dominio de la función:
F :R *> 3 /y = F (x ) = ^ 0 ,5 * + 2 Y
indica su r a n g o . A )< 2 ;+ c o > B J o 0 ;+ ¿ c > D J < -« ? ;0 >
- Lo^
(
2x-3
C J < - ao;2 >
FJ < - 2 ; +
B ) < 3 ;+ < x »
Á ) ( -2 ;
C ) < - 2 ;3 >
( 0 ) S e m u e s tr a la g r á fic a d e u n a fu n c ió n D ) (-2 ;
(T^)Sea la
u < 3 ; + °o> función:
H (x)
Calcular: { H ( - l ) } u'2‘ ¿ a ;-í b) 2
B )2
C )3
C )2
D )1
E )4 3
Graficar: 7Y*J =
¿Cuál es el valor de f¡% ? A)1
= 3 * 2- i
D )4
A)
E )j3
(íl?)D eterm inar el punto de intersección de las gráficas de F y G donde: II: R = > R l y = H (x) = 2 <1+x> T: R => R/y = T (x) = 4<2x+B> A ) ( - 3 ; 9)
B )( - 3 ; 4)
D)
E)
(-»? )
C )(4 ; - 3 )
A
E)
A
♦Y
(*?)
(í^ )C alcu lar «m + n » a partir de la gráfica *y
•
*r - . Graficar: S (x) = A ) Ay
m
si: H ( x ) - L o g 4( x - l ) AJI B)2 C)3
D) D)4
*Y
E)5
Determine el punto de intersección de las gráficas de H y F, si:
X
H (x) = L o g (x - 2J FfxJ = L og (4 - x j A) (0;3) B) (1;3) C) (3;1)
D)(3;l) E)(3; 0)
Determine el número de soluciones reales de la siguiente ecuación: L og 2x - |x| = 0 A) 1
B) 2
C )0
D) 3
E) 4
Resolver: L o g 3 x 2 t L o g 3 ( x + 2 ) A)[2;+
B ) < - 2; - 1 ]
D ) < - 2 ; - 1 ] u [ 2 ; +oo >
C )<-2;+ao> E ) < 2 ; +ao>
Ixi H IAH’ lCniA s o is ] Si T es el C.S de la ecuación: L o g ,(7 + 9 x l ) = 2 + L o g ¡(l + 3 ’ -‘ ) ©
Considerando que: L og2 = 0,301, entonces la
A ) T e z [3; 5 [
suma de las soluciones de la ecuación: A) 1,301
16x = 100(4*-* - D e s : B) 2,301 C) 1,161 D) 2,161
entonces se puede afirmar que: B) { 0]
D ) 3 x 2, x 2 e T / x¡+ x2 = 3
C ) T n { - l ; 0; 3; 4 } = T E)VxeT, x 2+ x > 3
E) 3,322 Si Xj y x 2 son las soluciones de la ecuación:
¿A Una de las soluciones de:
fa6)* + a 6 = a x+1 + b x+I
LoSt4x)<2x>+ l °Sí9x)(3x) =2 resulta ser una fracción irreductible de la cual se pide la suma de sus términos. A) 5 B )7 C )9 D)13 EJ10
LoS i-,* ( 6x *-5 x + l ) - L o g ¡_3x ( 4x 2- 4 x + 1 ) = 2 y dar como respuesta su solución aumentada en uno o * 5
M A) Log ja D)Logab + l
Resolver la ecuación:
b >~
siendo a, b e i? + - { 2 } a a b * l ; hallar el valor de:
E)
D)76
22
©
= ^ x2 + l
B) L o g b C) Log ja +1 E) Hay dos correctas
Con respecto a la solución de la ecuación;
L og 4 7 x + 4 + L o g 4 2 x + 3 =2 + L o g l,5 podemos afirmar que: A)xeM
Resolver la ecuación: ©
B )x > 5 C )xeN D)xeQ E ) 5 > x > 2 6 Resolver: x 9*** - í =0 l. 4 x
e indicar el producto de sus raíces. A) nr* B) i& 1 o io D) i o 2
Indique por respuesta el valor de: E ~ L og bx~x + L og ^ b ^
E) 1
( í ^ Con respecto al siguiente gráfico: AJO
B)2b
O -2b
D> - 1
E
) -b
Si se proyecta un haz de luz de intensidad uk n verticalmente hacia abajo, dentro del agua, entonces su intensidad “/ " a una profundidad de “x ” metros es: F íx) = k e I’4x ¿A qué profundidad es la intensidad la mitad de su valor en la superficie? (Ln2 = 0,693). Dar el valor más próximo. A) 0,1 m B) 0J2 m C) 0,3 m D) 0,4 m E) 0,5 m Calcular el producto de raíces de: A) -1
B) 1
O 8*
D)3*
E) Cero
A) a > b > 1 > c > 0 C) c < 1 > b> a > 0 E )c> b> a> l
B) b > a > 1 > c > 0 D) c > 1 > a > b > 0
De la figura adjunta: Y4
7) Sean x¡ y x g las soluciones de la ecuación: L og x 4 \U>gjX_ l L og 4x x
y=\Logax\ ’Z ^ J = \ L o g bx\
Siendo: x ¡ < x 2, calcular el valor de: E ~ 4x¡ + A)
17
B)
C) 17
10
D)
257 16
E)
16 257
X ¿cuál de las siguientes alternativas no representa a una relación entre a y 6? A) b > a > 1 B)0<6
f i ; i w
m
v
K
t9
m
7
i i ,Y
O
■ffjgl 1 1 0 7 bH B
^
Esbozar la gráfica de la función:
m .xciOx
f:u * o ,v i:m 11, r i^ofi.iH /T.nir.i]
Resolver la desigualdad: 4I 8¡ Í -2 \ f0 ,8 ) < > y f 0,64) 6
H ( x ) = \\Loga\x + l\\-l\
Si " x ” es un entero positivo, indicar lo correcto: A) Hay infinitas soluciones. B) El mayor valor de “x ” es 11. O Solamente cumplen los enteros impares menores que 25. D) La suma de todas las soluciones es 21. E) menor valor de “x ” es 15. G raficar la función: F ( x ) = 2 ( 2 * - 1 ) A)
B)
2
Yk
-2
Sea F una función definida: F = { f x ; e x - e ~x) f x e R } Dar el valor de verdad de: ( ) F es creciente. (
r*
) F es impar.
( ) F es inyectiva. AJW V B) W F © A)1
C) VFF
D) F W
E) FFV
El número de soluciones de la ecuación: |Senx| = |L/t|x -^x | es : B) 2 C )3 ; " D )4
t•
Con respecto al siguiente gráfico: E) 6
Graficar la función: Ff x) = L o g s(x - [ X ] ,
podemos afirmar que: A) a> b > c > 1 O 0 < a < 1 < b
F U N C IÓ N
B )c> b> a> l D) 0 < a < 1 < c < b
E X P O N E N C IA L
( p í ) De las siguientes funciones exponenciales: f(x)=3x ; g(x)=(0,2)x; H kx)={j2f ; p(x)=^-j^j ; q(x)=< ¿Cuántas son crecientes?
E l f f 8 » B &> B)2 C)3 D)4 E)5 A)1 /•(*) = e 1+x , es : ¿En cuáles de los siguientes casos se verifica (0 ; e) que < , > / ? _ te» _ II) III) a-0’7 > a '0’8 I) a ° ¿ > ! AJSóloI D)II y IU
B)Sólo I I I E)I, II y III
O I y IU
o
WCHEOPEUIA 2 0 1¿] (0 ; e)
B) 0
y
y J
D)
0 /W,e) /(O c)
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
^ e)
Q
X
verdaderas? ©
4
5
(!) < 1
ID (0,2í)°a < I III) ( M 12 < 1
» A) Sólol D) II y III
B)S6lo III E)If II y III
Si: f ( x ) =
* * * * * A) f(bc)
O I y III
í ( 3 x +3~x)
g ‘ s B)fíb)
20 % a n u a l, los p recios deberían aproximadamente en: A) 1 año B)2 años D) 4 años E)5 años ©
r O fíc)
S u pon ien do una tasa de in fla ción del doblarse C)3 años
Si y = 10* es un número comprendido entre
1000 y 10000 entonces Mx ” está entre: A) -1 y 0 B)2 y 3 D) 5 y 10 E)10yl00
,) D)2
E)1
03y5
Una función f cuyo dominio es
5 ) Si: f (x ) = 27* . Hallar “a ” tal que f (a) = 9 .
el conjunto
{-2 ; - 1; 0; 1; 2} está definida por f ( x ) = 4'x . Hallar el producto de los elementos del rango f .
B)
*>í
D)2
c4
E )3
A) 16
B)8
04
D)2
E)1
Hallar la base de una función exponencial
La función definida por f ( x ) = e|jrl está mejor
cuya gráfica incluye el punto
representada por: A) 2 a)
y
y
o
l*
m
j
0
0 f
X
0
X
B)4
08
D)16
E)64
Si: f ( x ) = 2 * t en ton ces: f ( a + l ) - f ( a ) ) X
igual a: A) 2
B)1
O f(a )
D)ffl)
es
E)2ffa)
La función definida por : f ( x ) = \ 3 -2 x \ está D)
mejor representada por : A)
o
4
Sean: f ( x ) =3*' I ; g ( x ) = 3 * y h ( x ) = f ( x ) + g { x )
0
¿Cuál es el valor de x tal que h(x) = 4 9 A) - J
B)0
OI
D)2
y x
E)3 D)
2ax— 0 8 ) Sea: A = {a 6 M f (x) = S2" " 4 es crecien te}
V
B = { * e B IS -41 > 0 } 0
Hallar: A n B A ) B ) ( 0 , 00 ) C ) ( - o o , 0 ) D ) 0 E R O , 1 , 1 0 } El gráfico que mejor representa la función:
©
La ecu a ción : 3 X —4 = a con a E R
sólo
tendrá soluciones reales para: A ) a > —4
B )a<4
C )a > —3
E D )a<3
E )a > í 4
( Q ) De la ecuación :
x ; 2 3*
1149 H E j
.w iáv f:Y ro.vi:vm i, i logihítmhw
= í , podemos afirmar
que:
F U N C IO N
L O G A R IT M IC A
A) T ien e u n a ú n ica s o lu c ió n . B) T ien e d os so lu cio n es.
Graficar: Ffx) = 3*
C) T ien e tre s so lu cio n es.
A)
D) T ien e in fin ita s so lu cio n es. E) N o a d m ite n in g u n a so lu ció n rea l.
Indica el número de soluciones que tiene la siguiente ecuación: 3* - 3 = 2x • A) 0
B)1
C)2
D)3
EjNinguna anterior
¿Cuál de los siguientes gráficos representa a:
C)
D)
y
>k
F ( x ) = 2~ix- 6 ?
Graficar : F ( x ) = y
B)
yk
D)
y
C)
T
H
Graficar: F ( x ) = x L n x a)
yk
y - >• A *. -ív:
C)
D) A
Graficar : F ( * ) =
-
0
j
—
A)
y
B)
yk
c)
yk
D)
yk
¿Cuál de los g rá ficos corresp on d e a: F í x ) = \CoLog2x\ ? a)
y
b)
TÍ7 D)
C)
0
y
[AX,
\\1170
y
C)
Graficar : F f x ) = ~2 x
D)
y
B)
A)
J
x
\ X
X
G raficar: G (x ) = |Logx| A)
b)
yi
L
x
D) Sea : F ( x ) = 3 ^ +2^- 1 , indicar yi
A)
B)
bu
y
L
C)
gráfica
yi
L !
G raficar: F ( x ) = Log\x A)
x
x
C) C) (
t
y
X X
Graficar : F (x )= - 5 B)
yi Dada la función «F» indicar su dominio si:
\
F ( x ) = L o g 3 (4-|x|) X
A) ]0;41 B)1-4;4[ ©
C)]3;4h
D) ]-3;3[
E)]-3;4[
Hallar el dominio de F si: F ( x ) s L og 2-Jx2 - x - 2 + L o g ( x - 3 )
C)
A ) ] - l ; 2 [ B) ] 2 ; o o {
C ) } 3 ; oo[ D)[l;3\ E )\ -3 ;3 [
Sí Hallar el dominio de : F ( x ) = L o g ( x 2 + x + 1) + L ogs (|*|+ 3) Graficar : F ( x ) = L o g ( x + l)
A) ]3;oo[
B) ]2;oo[
C)
D) {1}
E )R
Si * . satisface : 9**2 = 2 4 0 + 9 X entonces podemos afirmar que : aj
é ~ € \~1;1} xo
B) 8x0 6 [5; 9]
C ) x i > 32
u n -1
D )3 x , = l
B) 4
C)6
D) S
A) 3
B) 4
0 5
D)6
Si : F ( x ) = a L o g 2 ( x - l ) - b
E)3
E) 7
hallar : a6
si : F ( 1 7 ) = 19 ; F (2) = 3
Indicar el valor de verdad de : A) 6 ( ) 2
r t o e , iicítmmca]
hallar: E = F ( 1 0 ) + F ( 1 )
E )xó‘ e ]l;3 [
Hallar x en : 2 " ' - 2 a’ 1 + 2* +2 - 2 r“* = 336 A j2
i i ,vfi0,v
B) 8
0 -1 2
D) -21
E)36
> 2 6~ ^ Hallar el dominio de : F (x ) = L ogs (2 - 2 Xj
( j Log73 4 2 > L o g 27 2 ( ) LoS7j2 8 > L ° 81_6
A )]0 ;o o [
J B )]2 ;o o [
D)R
E)]-l;l[ A
3
A) FFF ©
B )W F
C )]-o o ;0 [
C)FFV
D) V W
E)FVF
m
Grafícar :
F (x ) = 2 ^ J
Indicar el valor de verdad de :
( ) L ogIts3 > 0 ( )L og a7 j 2 < 0 ( ) l o g 27 > lo g 23 A) FFF
B)FFV
C )W F
D) VFV
E )V W
7) S i : L o g (H (x)) = F (L o g (x )) - 1 donde : F (x) = x + L o g 2 x ; hallar : H(100) A) 10
B) 20
C)30
D) 40
E)60 á ) Grafícar : F ( x ) =
8 ) Para qué valores se cumple que: F( x ) < 0
¿ 2 .V
siendo : F ( x ) = 2 A)x £ R +
D)
x 2 ~x +3
B )xe]0;l[
C)xe
D )x£R ©
E )xe]l;2 [ 2 Sea : p ( ^ ) - 3 X +3, hallar para qué valores * ) B 5)C \ 0)tí\ 7)C 8 )1 9 ) Á 10)A IH)Í i m 15)1 [)6)Bil7)D ÍH)A í 0)11 2 0 0
de x se verifica : F(x) > 0 A)x£
B )x £ R +
D )x£R
£ )]2 ;o o [
C)x£R
C L uW E S D E MA S E G U N D A P R A C T IC A * ) A \'S)E\0)R[7)A\H)D \9)E\lO)E iim u m w E w z i m i í m i B m j n m n '
Indicar el valor de verdad de : ( )
L og 26 > L o g 23 4 2
( )
L o g ll2l/3 > L o g l¡34
( ) Log 0901 > - 2 A) F W B )V W O FFV
©
Si : F (x )a L o g (x )+ 2 Logx
D) FFF
E) VFV
CMA O I) OO) 11) 10) 21)
l i e s i n : t A T E R C E R A P R A C T IC A 02) E c 02) E O *) O 0 5 ) B 11 07) C OS) tí 0 9 ) B 1 0 ) tí 12) C 1*) C 15) C c 12) E A 17) A 1S) B 1 9 ) tí 2 0 ) B R
CEA l E S D E 1A C l rA K T A P R A t T H A to i) A 02) D 0 2 ) C O* ) C 0 5 ) tt OS) B 09) C 10) B OO) C 07) B 12) E 12) E 1*) c 15) C ti) C 1 S ) C 1 9 ) tí 2 0 ) B 10) B 17) B 02) C 0 5 ) tí 0 2 ) C O *) A 01) a
( v
u
[117X1
r ,
Luego , la sucesión de áreas es la siguiente :
O B J E T IV O S : ♦Aprender los conceptos de sucesión, sucesión acotada, sucesión monótona y sucesión convergente/ divergente. ♦ Conocer la relación entre acotación, monotonía y convergencia de una sucesión. ♦ Aprender los conceptos de orden de magnitud de una sucesión y de comparación de ordenes (mismo orden, mucho menor y/o grande). ♦ Estudiar la convergencia de una sucesión definida de m odo ex p lícito con técn icas de lím ites de funciones con ayuda de la regla del sandwich o de modo recursivo, estudiando monotonía y acotación.
entonces Sn = - ^ j Todo el mundo comprende , por intuición , que el área S n puede llegar a ser tan pequeña com o querramos , tomando n suficientemente grande. S U C E S IÓ N Es toda función definida sobre el conjunto de los números naturales TV ( Dominio) y toma valores en J^(su rango será un subconjunto de los números reales). N O T A C IÓ N : La sucesión, a : N —y R es denotada por :
IN T R O D U C C IÓ N : Recordando que una función: F : R —* R , es una correspondencia entre los elementos de 2 conjuntos llamados dominio y rango , tal que a cada, elemento del dominio le corresponde un único elemento del rango, luego se llama sucesión de números reales a toda función definida sobre el conjunto de los números naturales y que toma valores en R . Dicho de otra manera, una sucesión es una función cuyo dominio es TV y cuyo rango es un subconjunto de R . Veamos el siguiente ejemplo : Un cuadrado de lado igual a la unidad, que representamos por C¡. Si se unen los puntos medios de sus lados (por segmentos rectilíneos) se obtiene otro cuadrado , C2 : uniendo los puntos medios de los lados de C2 se obtiene otro cuadrado , C3 ; y continuando así indefinidamente , uniendo cada vez los puntos medios de los lados del último cuadrado obtenido, se llega a una sucesión de cuadrados. C j , Cg, C j f C/1 •••••i Cn ,••• Representemos las áreas de estos cuadrados por SJ9 S2, 9» n9 respectivamente. En primer lugar calculamos la expresión jdel área Sn. •••
XCiCLOPEOIA 2 0 i ■&]
*
S,=f
K M “ n } ó { « « } n>l Lo cual se puede apreciar en :
a
♦ Usualmente la forma de definir una sucesión , es por extensión , que consiste en escribir imágenes en el siguiente orden definido : ♦ Donde el número a¡ es el primer término a 2 es el segundo téi'mino y en general, a n es el n -ésim o término. La sucesión a J; a 2; a 3;...; a n;... ; se puede representar por: EJEM PLOS :
} v K } 71>1
[E iw m w ^ ± f x n 3 2 5 4 * i c« r • O; —; ---- ; —; ------ ; .... x nJ 2 3 4 5
S I W tC S M I P .X I C S ]
EJEM PLO 2 : Si
* La sucesión : ~^>~7í o 4 5 escribir
se puede
6
como
la
su cesión
{ o n} e s t á
d efin id a
por:
a n+i = a n + a n—i * con a J = a 2 = í , se tiene la sucesión de Fibonacci . Halle a m. * En efecto :
a¡ = 1 a 2 =1
‘ Los primeros 6 ténninos de la sucesión (¿ñ ) son :
a3 = a 2 + a¡ = 1 + 1 = 2
1 ; - j 2 ; * l 3 ; t fá ; t¡S ¡ $ 6
a4 = a 3 + a2 = 2 + 1 = 3 O T R A S F O R M A S D E D E F IN IR U N A S U C E S IÓ N
a5 = a 4 + a 3 = 3 + 2 = 5 a6 = a 5 + a4 = 5 + 3 = 8
I) PO R CORRESPON DEN CIA :
Oj = a 6 + a s = 8 + 5 = 13
Dando el n-ésimo término a n , del que se obtienen
a 8 = a 7 + a 6 = 13 + 8 = 21
sus términos al hacer : n = 1 ; 2 ; 3 ; ....
O B S E R V A C IO N :
EJEM PLO : n
Dada la sucesión :
No siempre es posible
n = 2 —►a « = —
n = 3 4 0,=
•
T
r
Luego : {
i
«
1
„
2
)
3
.
10
.......
una
expresión del
n-ésim o término mediante una función explícita de n . A veces las sucesiones se definen mediante una propiedad que verifican todos sus térm inos (la sucesión de los números pares , la de los números primos, etc.) Otras veces el n-ésim o término se expresa a partir de los términos anteriores (por ejemplo:
n = l -» a, = —
• Evaluando
dar
TI
a¡ = 2 ; a 2 = 3 ; a n = 2an_i + 5 o „_ 2, V n > 2 ) ; en este último caso se dice que la sucesión se ha definido por r e c u r r e n c ia . La palabra recurrente se utiliza para designar a este tipo de sucesiones porque para determ inar un térm ino hay que recurrir a los anteriores . El siguiente ejemplo muestra diferentes formas de presentar una sucesión .
U ) POR RECURRENCIA í
NOTA:
Dando el primer
Llamaremos sucesión infinita a toda función, cuyo
término y una relación entre
° » y a n-l
dominio es el conjunto
EJEM PLO 1:
* Esto se puede generalizar a s í:
Dada la sucesión { an } : a ¡ = 1, an = 2an_¡ + 1; n > 2
n
. {(n ; f i n ) ) ! n £ n }
( n ; f ( n ) ) ¡ n £ N t n > n 0 , donde n0 £ /¥ y fijo.
se tiene : Oj = 1 a 2 = 2a j + 1 = 3 Oo = 2 a + 1 = 7 a a = 2 a « + 1 = 15
* Luego: { a „ } : 1; 3; 7; 15;........ ; 2 n —l ;
G R Á F IC A D E
U N A S U C E S IÓ N
Una sucesión se puede visualizar graficando sus términos en una recta num érica o trazando su gráfica en vista de que una sucesión es una función cuyo dom in io es el con ju n to de los núm eros naturales, su gráfica está form ada por puntos aislados cuyas coordenadas son:
(1 ; a t), (2 ; a j , (3 ; a j 9
(n ; a j t
•
•
•
y ctC L O P E m .x s o i a] n Por ejem plo la su cesión = se puede n+1 visualizar geom étricam ente por una de las dos figuras siguientes : i a, a* a3 0
a 1 2
1
O B S E R VA C I Ó N Considere la sucesión definida mediante la función a n = yin - 6 , en este caso el dominio está formado por los números naturales n > 6 . Esto nos indica que podemos am pliar la definición de sucesión considerándola como una función f cuyo dominio con siste de tod os los núm eros naturales ^consecutivos a partir de un número natural fijo n distinto del número 2:
Figura 1 1 2 3 4 representación gráfica de Figura 2 representación gráfica de(Jn=-^-j EJEM PLO 1 :
f: (6; 7; 8 ; ...) —> JB - > o n = y jn -6 O P E R A C IO N E S
C O N
S U C E S IO N E S
* Sean { a n} : a n = ~ ; n e N ti
Debido a que una sucesión es una función entonces las operaciones aritméticas (adición , sustracción , etc.) de una función se aplicarán análogamente para las sucesiones. I) La sucesión {a n } es igual a la sucesión { bn} si y sólo si a n = b n para todo n £ N . II) Dadas las sucesiones { a n}, {ó n} se define la suma de ellas como la i suma {c „}, donde c„n = a „n +&„. ‘ fl #/ a Se denota {cn} = { a n + bn} = { a n} + {6,,}.
EJEM PLO 2 : .3 " El gráfico de la sucesión . . ’ es : n! Yi 4,5 4-
3,37 3 2
(2; L » ) t 4 9
BI ) Dadas las sucesiones {« „ }* {6 „ } 6e define el producto de ellas como la sucesión con c» = « A
IV) Dadas las sucesiones {a w} # {&B} con
J 3 ;4 ,S ) %% %
0
«
la sucesión {c n} con
\ %
1.
\ j S ; 0,675)
0,675
Se denota : { c n } = -
.............. jí
1 5
1
6
7
• Se tiene :
a
V) Dada la sucesión { c nl, se define la multiplicación por un escalar , a s í :
32 3a 34 36
nit
Efectuando :
*
n
* Observe que la6 ordenadas tienen una tendencia a cero, para valores de «n» muy grandes. 3
bn* 0
para todo n € N se define la división de ellas como
%
1 f j . ÓyOéf 9 07) 1 •
— ~ >
Se denota A > = K 6»> = K > A >
EJEM PLO: 3n : 3 ;4 ;5 ;4 t5 ;3 ,3 7 ;0 ,6 7 5 , n¡t
•Finalmente se puede inferir que si «n » tiende a 3" infinito entonces tiende a cero. t ni
Determinar { d n „ }* »>/
,
SI
a . +c, a H= 2 n + 1; bn —— •cn = -2 y d , _ '• fl 2b, R E S O L U C IÓ N : De :d n = ^ ^ ^ d . = 2n + 1 + 2bn
©
( -
1 )
[ F
W
f r f O
.V
F
^
-»dn = n2
K
i T
I l S W
BBS i t 7 ñ «sen
P *
{dm}n>1: 1 ; 4 ; 9 ;
CLASES
D E
; n2; .
.si ’i:i-;.%m.xii.s)
Consideremos la diferencia :
n+ 1
S U C E S IO N E S
n+1 — G— n — *\n+l
I ) S U C E S IÓ N C O N S T A N T E í
n 2*
♦Por lo tanto {a M} es una
sucesión
constante
[a = c , c é R
s i:
,V n £7V
< 0 c%n+l —
«n 2n
es una sucesión decreciente.
a , > a n > a „ > ••• > a_n > a n + 1 > ...
La sucesión {4 } es constante pues a n = 4, Vn £ N .
es decir si:
Este ejemplo nos sirve para indicar que todos los términos tienen el mismo valor 4 . at = 4
* 5 —4
1 -n
C ) N O C R E C IE N T E :
EJEM PLO :
a2= 4
n
P e r o q u e c a d a u n o d e e llo s c o n s id e r a d o . co m o té r m in o d e la s u c e s ió n y d is tin to
a n > «n + J V » G W
EJEM PLOS : ♦ (an) : 3 ; 2 ; 2 ; 1; 0 ; 0 ;0 ; - l ;- 3 ;- 3 ;. .„
d e la s d em á s.
* {/ W ♦ Así tenemos que el primer 4 es un término distinto del tercer 4 por estar ubicados en lugares distintos; uno en el primer lugar y el otro en el tercer lugar de la misma sucesión.
1}
1; 1} 1;
...
D ) N O C R E C IE N T E :
a , <- a « < a , < ... < a n < a n+1 < ... *+t
U ) S U C E S I Ó N M O N Ó T O N A .*
¿ J í * si: Si la sucesión { a j(} #I>J es monótona , entonces esta puede ser: r ~¡ EJEM PLOS : S ♦ ( a j : 2 ; 4; 4 ; 6; 7; 8 ; 8 ; 8 ; 10; .... A ) C R E C IE N T E f
*
Será cuando cada uno de sus términos es mayor que su predecesor , es decir : a i< a i < a 3 <
• • •
<
°
»
<
a
»
+ i
<
ÁA
• • •
an
i’.
EJEM PLOS :
* {2n -l}n±1; 1; 3; 5; 7; ... ; 2 n - l ; ... ♦ Es claro que: a B+J = (n + 1 )2 > n* = a n entonces
{ / J ¡ t ¡ ) ; 1; 1; 1; 2 ; 2 ; 2 ; 3; M ÁS EJEM PLOS: n 1) La sucesión {« „ }.“ **~ n + V ¿es monótona? ♦ Veamos : « +2 n ~ n ~ n + 2 ~ n+1 _
Considere la diferencia :
_
{n 2} es una sucesión creciente. B ) D E C R E C IE N T E
^
í
Será cuando cada uno de sus términos es menor que su predecesor ; es decir :
a n + l “ fln “
(w + 2 ) ( n + l )
> 0 ;V n
« B+j > a n ; V n e N ♦Luego {a,,} es creciente , por tanto monótona.
a¡ > a 9> a s >... > a H> a H+1>... 2) La sucesión {£>„};
» ¿es monótona?
EJEM PLOS : ♦ Veamos : jf í li . i, ; 2 . 2 . 2 . l n j n>i 2 3 4
_2 n
Considere la diferencia : W
j
-b
= (n + 2)\=r
n+l
nif
S .xcici.on v n iA 2012)
\117« \ ♦Nótese que para algunos «/»» la diferencia es positiva y para otros es negativa. Luego { bn} no es creciente ni decreciente, por tanto es no monótona. 3) La sucesión {c w}; c H = (-1 )*, ¿es monótona? * Veamos :
2 j — — > — , V/i £ N n+2“ 2 C ) S U C E S IÓ N A C O T A D A í Se da , cuando es acotada tanto inferiormente como superiormente , es decir cuando admite una cota superior «y», y una cota inferior «x ». Entonces :
Al desarrollar algunos términos se tiene :
{c ,
inferiormente , dado que existe ~r € R , tal que :
-1 ; 1; -1 ; 1;
y podemos notar que no es creciente ni decreciente , por tanto es no monótona. O B S E R V A C IÓ N :
EJEM PLO :
Se dice que una sucesión es alternante u oscilante , f 21
si y sólo si a n x a n+¡ < 0, V » £ TV (estas sucesiones no son monótonas).
2 2
♦ Podemos apreciar que :
EJEM PLO:
{ a n}n>l : - l ; 3 ; - 6 ; 1 0 ; - 1 5 ; ..... m )
f 2
S U C E S IO N E S A C O T A D A S
0 < a n < 2;Vn £ TV, entonces {«*„}„>/ es acotada. :
A ) SUCESIÓN A C O TAB A SIVIKM OH M LVTE Se da, cuando existe un número «y» llamado cota
O B S E R VA C I Ó N También se puede decir que { a M} es acotada , s i : 3 6 / |an|< 6 ,Vn £ N
superior de la sucesión , tal que : a n < y,Vn £ TV
D ) S U C E S IÓ N N O A C O T A D A :
♦ Simbólicamente :
Es aquella que carece de cota superior, cota inferior o no posee ninguna cota.
S erá a co ta d a
, Si 3y £ R ! a n < y;Vw £ TV
su p eriorm en te
La
EJEM PLO : J2l La i r
\n ) n>j
*
o
4
...... es acotada
tenga
superiormente, dado que existe 2 £ R , tal que:
B ) SUCESIÓN A C O T A B A
INEEBIOBMENTE
Se da, cuando existe un número «x» llamado cota inferior de la sucesión , tal que a_ > x , Vn £ TV.
in feriorm en te
, S i 3 x £ R / x < a n; V n £ N
EJEM PLO: \ n* I ^
^,noes
acotada superiormente, dado
bastará que n > 3 6 .
* { « „ } = U - n 3) }
{ a H}: - 2 ; - 8 ; -2 7 ; ....
Esta sucesión no está acotada inferiormente, pues dado un número Af, por pequeño que sea, para que - n 3 < Af, bastará tomar n > -A f.
-< 2 ,V i»e 7 V n
Será a co ta d a
Jn l
que un número «6 » por grande que sea, para que se
, 2 2 2 ¿
EJEM PL OS :
M AS EJEM PLOS : 1) La su cesión
[ C osn \ i 2 ^ j está acotada , pues
Cosn
1 .1 S —9— t S t en este caso un valor de Af n* + 4 4 n2 + 4 esM =±.
1 4 9 16 : es acotada
2) Respecto de la sucesión { aH}: a n = n* + 3. ¿es acotada?
BBWj 1 1 7 7 USB
[EnUCMIHVEfii M97nMÑ4P& R E S O L U C IÓ N :
fin* m tiH txttfi)
OJO : Una subsucesión es también una sucesión .
V n e N : n > l = > n 2 > 1 =>n2 + 3 > 4
L ÍM IT E
a n > 4 ; Vn
B E
U N A
S U C E S IÓ N
♦ Luego { « _ } es acotada inferiormente . Cuando los términos de una sucesión n+2 3) Respecto de la sucesión {6 B}: b* ~ ñ + 1 * ^es acotada?
,
se aproximan a un número L, se dirá que la sucesión tiende al límite L, y se denota: L im a n = L
(0 cuando a m-> L, cuando n —> o o )
R E S O L U C IÓ N : , n+2 (n + l) + l , 7 o_ = --------= ---------------- = I + n+7 » +7 n+1
G R A F IC A M E N T E
V n € J V ; n > 7 = > n + 7 > 2 = * O < - 4 — < i_ “ n+ 7“ 2 7 => 0 < b n < — 2 ♦Luego {bH} es acotada superior e inferiomente por tanto es acotada. o
k*
/
l
7
7
3 3 15
4) Se tiene: {a„} ••2 ! 2 ! 4'’ 2 ! ~4! .......................... ♦ Cuya gráfica es :
D E F IN IC IÓ N :
°"A
Se dice que L es el límite de la sucesión [ a n } cuando para todo núm ero e > 0 ; dado arbitrariam ente pequeño, se puede obtener N E N , tal que todos los
•- *t
3,75
i i I
i 9 I
I) I íu .
7,5 0,75 0,5
térm inos a n, con ín d ice
*
n>N
cum plen la
..
condición: Ia n ~
< . e
1 yew com c e r o
.1 '*
1
2
3
4
5
6
n
♦ Se puede observar que esta su cesión es no decreciente y no está acotada superiormente. S U B S U C E S IÓ N : {a n} será una subsucesión de {&„}, si {a»} es una sucesión que se obtiene tomando un númnero finito de términos de {/>„} en el mismo orden que aparece
OJO : Esta im portante defin ición significa que para valores muy grandes de « n » , los térm inos a m, permanecen tan próximos a «L » cuanto se desee, dado q u e : |an - I | < £ = > - € < f l „ - L < e ^ L - £ < a l( < L + e
en{fc}* EJEM PLO :
♦ Las sucesiones que tienen límite (finito) se llaman CONVERGENTES y las demás DIVERGENTES. NOTA:
{22n}n>, : 4; 16;64;256;
P&ra n > N los términos de la sucesión están todos a menos de e unidades de L.
* Í 2 2n- 1} n> i : 2 ;8 ;3 2 ; 128; Serán subsucesiones de: • { 2 " } n>1; 2 ; 4; 8; 16; 32; .
♦ Si una sucesión { < 0 coincide con los valores de una función f en todo entero positivo n, y si ffx ) tiende a un límite cuando x - + o o , entonces la
NCMCLOPEIMA 2012]
\H78l sucesión debe converger a ese mismo límite. •Antes de continuar debemos saber el siguiente principio : P R IN C IP IO A R Q U IM E D IA N O Si «a » y «6» son 2 números reales positivos entonces existe un número entero positivo « » » , tal que : a < nb . EJEM PLO : Cuando a =2 y b = e f entonces :
de los Logaritmos Neperianos. R E S O L U C IÓ N : • Busquemos «N » en función de «s», entonces partamos de : n Í2l - 0 = —- < £ ;V e > 0 ie) e (J. < Lnz - + n > - L m • Tomemos logaritmos : Ln
Ve > 0 ,3 n e N I - < e n
N
O B S E R VA C I Ó N
-Lm
Para calcular el lím ite de una sucesión , será suficiente calcular el límite de « aw»9 .
n
t [-Lne] +1
A P L IC A C IÓ N : • Luego tomaremos «TV» al entero : Dada : |— I
demostrar que : L im — = 0
TV = f —L n e/ + 1> con 1° *lue se con clu ye la demostración.
R E S O L U C IÓ N :
TEOREM AS :
• Por definición :
Si Lim a n = a y lim bn = 6 ; a , b G R entonces:
Lim — = 0<=> V e > 0 ,3 N > 0 / f * > N n-fao n
- -0 n
I
1
n
e
< 6 => — < E —> 71 > — Esto es verdadero Ve>0, p o r el principio arquimediano
•Luego para demostrar lo pedido, será suficiente tomar: p f —í ; pero deseamos que este último sea € un núm ero n atu ral, en ton ces harem os:
1) Lim (a„ + 6„) = a + 6 n -+ x
3) Lim (kan) = k a ; k = cte. rt— >OO 4) Lim OO
a rt
rt )
* CASOS D E INDETERMINACION : Sean ( a n) y vdos su cesion es, las in determ in acion es pueden presen tarse en las
-lll-
Representación simbólica
Operación
NOTA: Para cada número real s > 0, dado arbitrariamente, es posible obtener un número natural «N» en función de «&*,tal que
2) Lim (a „ 6 „ ) = ab n-+oo
< £ , siempre que n > N •
* Según la definición nuestro problema es hallar «N » en fu n ción de <*e », siendo « e » cualquier número real positivo muy pequeño. EJEM PLO :
on o*
sian -+ 0a6„ -►0
0 0
sian -> oo a bn -+ oo
00 ao
aHbn, si an -> O a 6 b +oo
0*00
a „ - b nt si am-» m a bH-> ®
oo—oo
aj", si a* -+ 0 a bn -+ 0
0o
ai*» si a„ -> oo a Demostrar que : L im \—1 = 0 , siendo «e» la base n-*c \ e )
-+ 0
a¡", si a» -» 1 a &„ -> oo
-
■
s
• ••
-¿í.P:: * • 1*4 , j i'» • -.-"íí «• . ,¿£ ^.0 ■' .
■ . ? ■■- r s m «..a+i
íf:o w m w ^
R r 7 i n ro ^ O B S E R VA C I Ó N ----------
S i 74:KSmXK&\ n3 + 1 3) Sea la sucesión : {
1179
Para el cálculo del límite emplearemos los teoremas ya vistos en el capítulo de límites de funciones reales de variable real. EJEM PLOS 1) Dada la sucesión { « „ } “ <*„ =
R E S O L U C IÓ N :
5 n 2 + 2n + 6
Lim c_n = Lim n -+ oo
7n2 — 5
ns + l
L im c n = + oo n — >oo
n -+ o o 3 n 2 + 1
4 Luego : Lim c„ = +oo
hallar : Lim a n II—400
El límite de la sucesión es + oo
R E S O L U C IÓ N : L im a n = L im
C O N V E R G E N C IA Y D IV E R G E N C IA D E U N A S U C E S IÓ N
5n 2 + 2n + 6
n-w
7n2 - 5
5n2 + 2n + 6 n 7 n * -5 n
Lim a„ = L im (I-4 X
* -4 X
N O C IÓ N IN T U IT IV A D E D E UNA S U C E S IÓ N :
C O N V E R G E N C IA
Consideremos la sucesión j^j de la cual damos dos representaciones gráficas :
Lim an = Lim n+»
A+r
n2 - 5
n
7-
«» =
n2
a¿a4 íij i < 1 1 1
tu 0
5 4
* Luego : L im a n = —
3
a2 \ 1
n
2l
2
R — 400
a ,= l
El límite de la sucesión es 5/7
i -
2) Dada la sucesión {6 „ } * bn = nS en
2
/f (tt)= I71
calcule el
límite de 4a sucesión. R E S O L U C IÓ N : 71
L im 6» = L im nS en — R—*0C
Note que la primera gráfica corresponde al eje Y de la segunda gráfica.
n
Observamos que conforme n aumenta , los puntos
S e n í—
Lim b„ = Lim *-4«
A+t
\n
7r x S en L im 6n = L im «-► o o
n — >-0©
f l « = n- parecen acumularse alrededor del punto 0
1_ n
en ambas gráficas , lo cual se expresa diciendo que «los valores a IV. = 1/n tienden al núm ero 0 conforme n aumenta indefinidamente su va lor,
7T in j
7T
o que la sucesión j^J tiene límite L = 0 o también
n Sen L i m b n = L i m ti x L i m —
ll-MC
R-+O0
n_
n * Luego Lim bH= n -> El bmite de la sucesión es p .
71
n
que
la sucesión j^j converge hacia cero .
D E F IN IC IÓ N : Respecto de la sucesión K
) :
Si Lim fl„ = £ con £, £ R f diremos entonces que la
y n a o w m i 2012 ]
B B B iig o íB H sucesión { o n }
es c o n v e rg e n te
* L » es f i n i t o d iv e rg e n te .
y co n v e rg e a L s i
y ú n ic o , e n c a s o c o n t r a r io
es
e n to n ce s to d a su ce sió n de { « « } co n ve rg e co n <*x».
TEOREM A *
:
T o d a s u c e s ió n c o n v e rg e n te es a c o ta d a , p e ro lo re c íp ro c o n o n e c e s a ria m e n te se c u m p le .
NOTA: *S i Lim a n = + 0
0
, d ire m o s e n to n c e s q u e la sucesión
TEOREM A S : { a n } es d iv e rg e n te . T o d a su cesió n m o n ó to n a y n o a co ta d a es d iv e rg e n te , • S i L im a n = —0
0
, d ir e m o s e n to n c e s q u e la
sucesión { < * „ } es d iv e rg e n te
lo hace a
ó —00 .
2 , es m o n ó to n a y n m>l
Um i_
{ 3/ 5 } n>1 — r in ™ t 5 n = 5 " “*°° n = 5 ^ L ~
00
EJEM PLOS :
EJEM PLOS : i_
-4-
n —>00
=2
,
T e o re m a 2 , co n ve rg e . *
entonces {*5/ 5 } co n v e rg e a 2 .
a c o ta d a , lu e g o p o r el
{
,
es m o n ó to n a , p e r o n o es a c o ta d a ,
e n to n ce s d iv e rg e .
(!)
— =>Lim f3 n-*x <2> H¿I
=00
n>i , es a c o ta d a , p e ro n o es m o n ó to n a ,
e n to n c e s
e n to n ce s d iv e rg e .
d ive rg e a + 0 0 .
{ ( - i f ) n>l => Lim (—2 )" = 2 ó n^oo
(n*par)
Lim (—2)" = —1 #•— *0 0
{n^im par)
n • L a su cesió n d iv e rg e n te {6 *} = es m o n ó to n a n+1 p e ro n o a co ta d a .
S U C E S IO N E S
entonces { ( —j ) ” } no es c o n v e rg e n te . E s ta su cesió n es o s c ila n te , a e s te tip o de s u c e s ió n ta m b ié n lo co n s id e ra re m o s com o d iv e rg e n te .
D IV E R G E N T E S
S on a q u e lla s q u e n o a d m ite n u n lím ite , este ú ltim o puede ser, d iv e rg e n te a +
0 0
, a — 0 0 u o s c ila n te .
P R O P IE D A D E S : 4n + 7 2n + 1
-2
*
I) S i IÁfn a n — + '
n—»oo
Lim (a „ + 6 „ ) = entonces
4n + 7
00
y (b J "
1es
a c o ta d a , e n to n c e s *
+00
/ I— +O O
2n + l 9
es c o n v e rg e n te .
II) Si L im a n —+ n—*oo
00
y e xiste c > 0 ta l que b
> c
TEOREM A 1 : V n € N , e n to n ce s Toda su cesió n m o n ó to n a y a c o ta d a , es c o n v e rg e n te . C O R O L A R IO
:
UI) S i a n >
(D E R O L Z A X O W E T E R S T R A S S )
Toda su ce sió n a co ta d a de n ú m e ro s rea le s posee u n a sucesión c o n v e rg e n te . T E O R E ¿ I A 2 : (U N IC ID A D D E L L Í M I T E )
C
L im ( a n6n ) - +
> 0, bn > 0 V rt € N y a
e nton ce s Lim —
= +
bn = 0 ,
00
n
IV) (a n) está a c o ta d a y Lim bn = +
U n a s u c e s ió n n o p u e d e c o n v e r g e r e n 2 lím ite s d ife re n te s .
00
«-► oo
00
, e n to n ce s
a n
TEOREM A 3 : T E O R E M A D E L A M E D IA G E O M E T R IC A S i la s u c e s ió n
{ a n } „ > 2 c o n v e rg e
en
x£R
,
Sean (a n) t (bH) y (cn) sucesiones de n ú m e ro s reales ta l que :
H8
(!E W r fO ilT O
IU R E S O L U C IÓ N :
Lim a n = L im cn = L y a B < 6B < c «-FOO n-foo
*"“!
*Se puede apreciar que p id e n : ¿¿JJ1 (M A )
para todo número natural n suficientemente grande, entonces la sucesión (bM) tiene límite que coincide con las otras dos sucesiones, es decir: U m bn = L # n-»oc
* Luego bastará calcular : L im L n { n + l ) ^ n
.----------------------
U m V n + 1 = e "-* 00
= e n^ °° L’hospital : Lim — í -
.-------------------
Calcule : Si
n
n —* o o
♦ Consideramos la regla de
EJEM PLO 1 :
L n (n + 1 )
L im
n
L im $ n + l = n+í = e = 7 /l-KX ♦Entonces por el teorema de la media aritmética ,
L im J a " + b n + c n J l+ X
0 < a
R E S O L U C IÓ N :
2 + ¿ 3 + $ 4 + ..... + $n + l =1 se tendrá que : Lim m~*oo n
♦ Elevando al exponente «n » :
EJEM PLO 2 : Calcular :
0 5 a* < c" Sum ando :
0 5 6" 5 c"
♦ Extraemos raíz enésima : ^ c" < ^ a n + bn + c n
Lim c
n— too
*oo n+1 —
s j
♦ Se puede apreciar que :
♦ Sumando : íc"J ; c ” < a " + 6" + c" < 3c"
♦ Como :
L im ^Jn + 1 — n—foo
R E S O L U C IÓ N :
0 5 a " +6" <2c
=> c < v a " + 6 " + c " < 3 "
L im
X
C
L im 3 " x c = C
4 7 72 n2 + 3 o* = — ,'do = — ,*a» =s — /<** = J 15 2 30 5 55 5n2 + 70 * De donde : 3 7+ n*+3 n2 Lim a n = Lim 9 s Lim 70 n~+oo w-foo 5/1 + 70 n-+oc 5+ n ♦Luego , por el Teorema de la Media Geométrica , * j . , • ,4 7 72 n* + 3 se tendrá que : L i m « — x— x — x .... x * - * » V7 5
entonces :* L i m y ] a n + b n + c n = c «-+OO T E O R E M A D E L A M E D IA A R IT M É T IC A
TEOREM A
30
55
5n*+10
5
:
I) La sucesión {r * } converge a cero si |r|<7 (es decir L im r " = 0, | r | d j R — tOO
Sea {ctft }n¿J una sucesión convergente.
II) La sucesión
Luego :
L im r n = oo, |r I> 7) n— >00
{r*}
diverge
si |r|>l (es decir
EJEM PLOS : T E O R E M A D E M E D IA G E O M É T R IC A Sea
una sucesión convergente .
♦ Lim y j = 0 , puesto que rsz( y )
♦ Lim
too \5
Luego :
= + 00, puesto que r =
i
C R IT E R IO S PARA D E T E R M IN A R LA CONVERGENCLl O D U E R G E N C Ll D E CNA SECESIÓN
1 ) C R IT E R IO D E L A R A Z Ó N :
EJEM PLO 1 : Calcular:
Um 2 + ^ «+x
+ $ £ + .... + V ^ + 7 71
Sea la sucesión {a n}«>j tal que : Lim
an+1
a,
=r
c_________________________________________ luego:
■ i wm
B lu s a IB
XCiCt.OrFMMA 2012]
MU) SUCESIÓN D E CAUCHY í
I) Si: r < 1 =* La sucesión converge a cero. Sea { a n 11) Si r = 1 => No podemos afirmar si converge o diverge .
EJEM PLO :
EJEM PLO :
Um
a
si: Ve > 0 ,3 N > 01 m > N ,n > N => |a m - a n |< e
US) Si : r > 1 => La sucesión converge.
Dado
se dice que es una sucesión de Cauchy,
Probar que \— [ , es una sucesión de Cauchy. 'Fl Jnzl
! í{n¿ n 7!)mi¡ ’ lueg° ! 2»+i B±J-\ = U m
a. I
R E S O L U C IÓ N :
(n + 2)/ = U m —=—•5=0 < 1, 2n ■-w! n + l
♦ Consideremos la propiedad arquimediana, en p a rticu la r: a =2 y 6=e, en ton ces
n! Entonces la sucesión converge .
2 < n e => — < — n 2
B) CRITERIO DE STOJLZ - CEZARO :
♦ Ahora :
2 n
Sean: { a „ } nW A { 6 „ } rtSj , tal q u e :
_2_ 1 2 1 2 = — + < + < —+ — = e m n n n m 2 2 desigualdad triangular
1)
es monótona y U m a n = L im bn = 0 ll-+r
Con lo que:
2) { K } n¿x es monótona y U m bn — + oo n-Mr
- . y[2 + yÍ5 + -JlO + ... + y ti2 + 1 L i m ---------------A-+OO n2 + 3 R E S O L U C IÓ N : bn = n* + 3
-» a„ = ¡ 2 + -JE + 4 l0 + .... + ¡n * +1 + ¡ ( n + l)* +1 y bH = (n + l ) * + 3 ♦Ahora como { 6 .} es monótona y U m bn =oo * *-9* aplicar
el criterio de
= L im ° n+1 ~ q " = L im *-►00
6n+1 - 6n
*
ii— ► oo
2n + J ¿
Lim n -k »
LEMA X í Toda sucesión de Cauchy es acotada.
LEMA 9 :
Sean: an = ¡2 + ¡5 + -fiÓ + ..~ + ¡n ? +1
II
es de Cauchy
Toda sucesión convergente es una sucesisón de Cauchy.
EJEM PLO :
L im rt—K»
f 21
LEMA 1 :
Entonces: U m ^ - = L i m ^ l — ^ i.- « bn
♦ Entonces podemos Stolz-Cezaro :
* V »,m > TV = — £
2+— n
2
Toda sucesión de Cauchy cfefinida en el conjunto de los números reales es convergente. NOTA : Según la definición, cuando «m » y «n » son muy grandes, entonces a m y a n están muy próximos entre sí. O B S E R VA C I Ó N Al querer demostrar la convergencia o divergencia de una sucesión , tomar en cuenta las siguientes equivalencias , es decir , aquellas cuyas relaciones por cociente tienden a 2. 1) S en x < > x < > a reS en x o a r c ta n x , (cuando x -> 0 ) 2) n i O
n ne ‘n+l2nn , (cuandon —¥ oo)...(fórm ula
H¡g
118*
de Stirling) 3) L n (l + x ) o
x, (cuando x~*0)
4) a 0n p + a 1n ,>", + ... + a p o n —►00 )
0^ ^
(cuando
n = c*
5) Lim 2 + — n-kool
rt
>fñ = 2 6) «Lim -► O O
7) SUMA DE RMEJLIXX: b —a L«m6 - a g f a + ¿| = J ' f ( x ) d x n~+oo TI n . * En particular para a = 0 y b = 2, se obtendrá:
ñ ) = / < / U ) d * » siendo: EJEM PLO
=¿
:
y e o s í P + — x — = f c o s (P + x )d x éí l nJ a Jo
N OTA: En el siglo III a.C., Arquímedes intentó calcular el número ,t . S u idea era utilizar una secuencia de polígonos regulares que hacia el círculo. - , Construimos algunos polígonos regulares a partir del círculo* de radio 2. *»( V Las figuras que obtenemos son: • -«"'"“i) •’
IW<|WW4Iwfai. Area «I
/ff
4r#« • ff*..
O bservam os que la su cesión , adem ás de ser creciente y estar acotada, parece que tiende hacia un número determinado, el área del círculo, que es /T.
SUCESIÓN D E FIBONACCI En matemáticas, la s u ce s ió n d e F ib o n a c c i es la siguiente sucesión infinita de números naturales: 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 1 3 ; 2 1 ; 34 ; 55 ; 8 9 ; ............ El primer elemento es 0, el segundo es 2 y cada elemento restante es la suma de los dos anteriores:
W '.M C & tlI .X W C S ]
0
si / = 0
fi = { 1
si i = 1
f(i-2 ) + /( i- 1 )
si í > 1 A cada «(«manto da «ata sucesión s« l« llama número de Fibonacci. Esta sucesión fus descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también eonocido como Fibonacci. Tiene numerosa* aplicaciones en ciencias de lacomputación, matemáticas y teoría da Juegos. Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci habla sido descubierta por matemáticos indios tales eomo Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes hablan investigado los patrones rítmicos que se formaban con silabas o notas da uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n da pulsos) era f„ 41, que produce explícitamente ios números 1; 2 ; 3; 5; 8; 13: 21. etc. La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de lacria de conejos: «Cierto hombre fen/a una pare/a dacon«/os juntos en un lugarcañado y uno daaaasaber cuántos son craadoa apartir daastapar an un año cuando as munsturatazs parir otro par an un aímpia mss, y an al segundo mas los nacidos parir también*. De este manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Libar Abad, publicado en 1202. Muchas propiadades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce mi la actualidad. También Kepler describió los números de Fibonacci, yel matemáticoescocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonaeci sucesivos f„*, / fñss acarea a la relaciónáurea ff () cuanto mis sa acerque • infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo limite. Esta strie ha tenido popularidad en el siglo XXespecialmente en el Ambito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók u Olivier Masajeen la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales. * En la pág. 61 de la novela de *Dan Brown * El código OaVinel aparece una versión desordenada da los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2. 21, 1,1, 8, 5), que funcionan eomo una pista dejada por al conservador dtl museo del Louvre, Jacques Sauniére. * En al álbum Lataralus de ta banda estadounidense • Tool, los patrones de la batería ( Danny Carey) de la canción «Lateralus» siguen la Sucesión da Fibonacci del número 13 (número de pista* del disco): 1,1,2.3.5.8.13.1.1.2.3.5,8.13.1.1,... * En ia minisari* Abducidos, la Sucesión de Fibonacci, eomo la Ecuación de Dios, es descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3dados y un pulgar, 1597 avlstamlentos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la hibrida humino-extraterreetr* Allie, y que finalmente el número de abducidos era da 46368. Incidentalmente ae habla an de un hombre que fue abducido 13veets. 1, 3, 5,13, 55,1597, 48368, todos números Fibonacci. * En el filme de Darren Aronofsky • Á al orden da! caos el • judío Rabbi Cohén presenta la teoría en • hebreo transcrito en números en la eual «I personaje Max Cohén relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando ervconclusión que todo esta basado an la ley del orden y el caos. * En un lateral de la cúpula de ia antigua sinagoga ahora convertida en el Museo Nazionale del Cinema, más conocida como Mole Antonelliana, an Tocino (Italia), se puede observar una instalación luminosa de la sucesión de números de Fibonacci. * El Dr. Walter Bíshop de Userle de televisón * Frínge use números de la serie de Fibonacci para las contraseñas de sus cajas ds seguridad. La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de fibonacchi: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y asi sucesivamente. El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza. En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, ia sucesión de Fibonacci hasta el 5. Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que ios zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero si que tiene une madre (1. 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1. 1, 2), tras bisabuelos, ya que el padre de le reina no tiene padre (1,1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1,1, 2, 3, 5), ocho tatarataterabuelos (1, 1, 2, 3, S, 8) y asi sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.
[JP J. #2 MCM9MM.S9
Si n € N y
PROBLEM A 1: si
(a ,!
es
una
su cesión
r i Í1 3 5 7 t a « IneN = 1 3 f 5 ’*7 ; 9
1
d efin id a
por
, ’ entonces el n ~ ésuno
término es: 2 n —l B) 2n + l
3n —2 A) 3n + 2 D)
n2 + l
2n + l l C) 2n —l
n+1 E) n -1
n 2 —1
es una su cesión definida
n + 2 An +1 9 ÍM n n el k -ésim o término es: A)ns + 1 n2 —k + 3 D) n
E)n
C)n2 - 1
+k +6
R E S O L U C IÓ N : n2 + 2 n +1 n —1 1 ; -------; n ; --------;...f = n n n )
• Se obtiene :
* Dando una forma adecuada a los términos , en función de la posición u ordinal de cada término:
n f e } k£N
+2 n
n +1 _____ 9 n •
r ~ 2 ( l ) - l f— 2 (2 ) -l
cf" 3
) +2
•Entonces se deduce que el término enésimo será : 2n -l 2n — l -+ a n = «n 2n -l + 2 2n + J R PTA: “ B ”
n 9
+0 n
• D on de:
{° n }ñ €w
{ a n}«ejv neJV
í2 13
A w 9
su cesión
Í315 4 5 4)
d efin id a
por
6
* Es decir : a k = 3 -k ; k € TV n2 + 3 - k * Luego : bk = n
n -k+ 3 n
n+1 D) n+2
PROBLEM A
99
4 :
entonces
el
•
sb X
= J2 . £ .
4 ’ 2 7 ’ 256’ “
••J, el térm iino de
lugar 20 es :
n+1 B) n rt+3
n
En la siguiente sucesión :
n - ésimo término es: n A) n+2
-
RPTA: “ D
una 4
n
{« * } * = * = { 2 ; l ; 0 ; - í }
PROBLEM A 2 : Sea
9 9
, n +ak ~+ bu = --------- 2n
2( ) - l +2
n -1 > » •••* entonces n
n + k —3 B) n
• Analizando :
R E S O L U C IÓ N :
M -'C \ +2
•c i c l o p i u h a s o t e ]
ÍV.fc*\ l 1 8 * 1 PROBLEM A 3 :
n+2
n+1 C) n+2
n+i
n+1 E) n+2
AM20)20 B X 2 1 )20 C ) \ j -
20
2J D) 20 J
21 E) 20
21
R E S O L U C IÓ N : * Prim ero determ inem os el térm ino general o enésimo , dando una forma adecuada :
R E S O L U C IÓ N : • Analizando cada integrante de cada término, se obtendrá : 6+1 4+1 3+1 3 + 1 2 + 1) a3 = ; a2 = a ,= 4+1 3 + 1) 2 + 1J • Entonces : n+3 +1 On = í — 1 = ^ •* • [n + 2 /
71 v i 1
20
»
RPTA: “ D ”
2
3
1* 2 2 * 3 S 9 4 (M
=
3
4
2
13
3
5 x4 9 9
4
tn +• 1i * De donde se nota que : bH = n
* Pero com o se pide el término del lugar 20,
lW fAܻfeH
R fm v o ^ entonces hacemos n = 20 , resultando : 20 20 (2 0 + 2 21 b 2o — { 20] 1 20
-> Esta sucesión es decreciente PROBLEM A
7 :
Indicar la sucesión o sucesiones que verifican la
RPTA: " D ” PROBLEM A 5 : D eterm inando si una S u cesión es M on óton a. Discutir 6Í son monótonas las sucesiones : 2n n n i ) c n = l)aK = 3 + ( - V n II)K = 1+ n ' " 2n - i R E S O L U C IÓ N :
relación : a H > a H+J; Vrt > 2 n I)(3 n - 2 ) II) 3" A )S óloI DjlyU
III)
B)Sólo U EJIl y IU
5n3n O S ólo III
R E S O L U C IÓ N :
I) {«»}*' * í 4; 2 ; 4 ; esta sucesión alterna entre 2 y 4, luego no es monótona.
I) { a n } n€jv - Í 3 n - 1 } n < n + 1 —t 3n < 3(n + 1)
27) Sabemos que 0 < 2 = 0 + 4 n + 2 n s< 2 + 4n + 2 n s
• Luego : {a n} no satisface la condición. n+l n+l K + 1 . 3 n+l <1 U) [K U „ = { ^ } = n 3n
2n < ---------2n + 2 1+n 2+n
2n (2 + n) < (1 + n ) (2n + 2) 2n l +n
2 {n + l) 1 + (n + l ) ^
bn
•Luego es monótona, pues cada término es mayor que su predecesor. ui)
/ \ f 4 9 16 K } f í ’ 3 - 7 ’ J5
*No es monótona porque el segundo término es mayor que el primero , pero menor qué el tercero . PROBLEM A
3 n - 1 < 3( n + 1) - 2—*
a H< a n+\
* Pues : 2 n > 2 > 1 - + 2 n + n > l + n n+l 3n > n + 1 <2, V n £ N 3n b n+I < 2 ~+bn+l < b n -> 6n > + J* Luego {&„}, 6i satisface la condición dada. 3 3 ( 3 n + l)
6 :
Clasificar las siguientes sucesiones : • Claramente : V n 6 i V
A) « „ +J = 3 a n, a ¡ = 5
3(3n + 1) < 3 [3 (n + 1) + 1] 1 1 8 <-
B) {a n} = (parte entera de 4 ñ ) c > a n+i = 3 “ < V « j = 7 2 D)an = 12
3 (3 n + l)
n
8
3 [ 3 ( n + l ) + l]
5
8
5
8
3
3{3n + l)
3
3 \ 3 in + l ) + l\
-kCn < c n+1 . Luego , la Sucesión {c B} no satisface la condición dada . -> S ólo I I
R E S O L U C IÓ N : A )a n+J - a n = 3 a n ~ a n= 2 a n > 0 , ya que todos sus términos son positivos. ♦ Entonces : a n+i - a n > 0 ->an+i > a n Vn £ N
RPTA: “B” PROBLEM A 8 : Sean n e N sucesiones.
y con respecto a las siguientes
Esta sucesión es creciente. B) Esta sucesión es no decreciente puesto que a B+1 > a n V/i £ N lo cual se puede notar en la lista de sus términos. (an); 1; 1; 1; 2 ; 2; 2: .... C) Esta sucesión no es monótona , puesto que sus términos son : (an); 1; 2; i ; 2 ; 2; 2 ; .... D)an+i
=
1
n+l
2
« » +I -°n < 0
1
[ir. 2)
° n
n
2-ii-
2 + i
<
n + i
2 a
m
íz
1
V
n
£
[2 N
<0
« f e }
n>l
II) f
e
}
La afirmación correcta es: A) I es acolada y creciente B) II es acotada y creciente C) ¡II es acotada y creciente D) I sólo tiene cota superior E) III sólo tiene cota superior R E S O L U C IÓ N :
III) { « * } n>2
n > l
•K'jlíl
ll 301
{ 6n } es c r e c ie n te ..............................(F A L S A )
{^r}={'-^J *
CMCLOPKMPLA 2 0 1 2
Vn G TV: » +7 > 2 —►0 < — < ~ n+1 2
O>
j
w+1
2
n€F 3^ 1 c _ = n . _ 2 + 2 = l + _____ { _____ n
—►{ a rt } es acotada
2 n - 3
* «n+j “ « n = * ----J+ — n+2 n + 1 1 > 0 ,V /i G TV «»+ i " a - = n (n + 2 ) ( n + 1)
c »+ i
c»
2 ( 2 n - 3 )
2 + 2 (2 n — l)
2
< 0; V n £ N c n+i ~ e . = " 2 (2 n - l)(2 n - 3)
{ c rt } es decreciente
cn + l < c n
* Luego: [ a n } es acotada y creciente
es m o n ó t o n a ...................................... (F A L S A )
* (77) y (I I I ) se puede analizar sim ilarm ente RPTA: “A PRO BLEM A
9 :
{ ¥
}
10
:
I) { a n} = { 8 + ( - I ) * ) R E S O L U C IÓ N
es acotada .
decreciente .
681011
PR O BLEM A
D eterm ine si son convergentes las sucesiones:
11) La sucesión { ( —! ) ” 1 (—n ) n } ne/v es mo nñtona
U I ) La sucesión
R P T A : “ 25”
PP
D eterm inar el v a lo r de v erd a d de las sigu ien tes afirm aciones : I) La sucesión
:
1) Com o { a B} = {8 + ( - 1 ) " } tiene térm inos 7 ; 9 ; 7 ; 9 ; .... que oscila en tre 7 y 9, n o hay lím ite y la sucesión diverge.
77) Para { 6 n} podem os dividir por «ro» num erador y denom inador para obtener
{ ¿ d ? } n€N
A )W F B)VFF C)VFV R E S O L U C IÓ N :
n o es m onótona L im — —— = L im
D)FFF
71— 400 $ —4n
E )W V
A—400 O n
—
^
i) K } = {l ^» } J n€JV ; c - = i “ »
PR O BLE M A
Si : L im a n = 5 n > l= > 0< — < l= > 0> n
n
n— ¥oo
> -1
11
-> { a B} es a c o ta d a ........................... (V E R D A D E R A )
7
A )--
:
; L i m bn = - 4
; L im c n = —
^
_ &a n + ^a r»b,*
n-H»
B) 2
VneJV; z < — n
n" < ( » + /) 7 (n + i)
A+J
rt" (n + 1) . < 6m . +1 -+ &
—n
C) 4
R E S O L U C IÓ N
/»— +oo
^
705 D) 8
{6 n} = { ( - l ) n- , x ( - » ) - }
¿ =>bn = ( ~ i ) x n
4
Halle el valor al cual con verge : a n
=>1 > 1- Í > 0 = > l > a n >0 n
6„ = { - 1 Y - 1 x (—n)~” = ( - ! ) ( - ! ) " x ( - » )
4
7
•Luego la sucesión converge a
W
2 (2 n -3 )
-2
{ a „ } es creciente
a n+i > « „
2
:
L im d = L i m ^ ± ^ i ¿ n 71— 400 n 11—400 4c. • A plicando los teorem as : 5 L im a n + 3 L i m a n L im b n
n—► oo
n—hx> 4 L i m e 71 n -* o o
• Reemplazando :
n-+oo
3
n
E) O
(¿MW m V E á i
ivre.v )
1187
105
5 (5 )+ 3 (5 )(-4 )
8 R PTA: "D
-!)
91
IV) L a su cesión es co n v erg en te AJW VV B)VFVF C)VFFV DJFVFV R E S O L U C IÓ N :
E )F W V
PROBLEM A 12 : t°-W
Halle el n - ésimo término para la Bucesión cuyos , . pnmeros términos son
2 8
26 80
242
5n + l
Notése que : &n =
— r - ; — *4—- r — 1 ¿ O ¿4 1¿\) y decidir entonces si converge o no. R E S O L U C IÓ N :
I) a n + l ~ « n
* Los num eradores son 3" - I , el proceso de determinar a n a partir de la observación de los primeros términos de una sucesión es un ejemplo de razonamiento inductivo.
5n + 6 3n + 2
•Para los denominadores , tenemos :
n+J
1=1
3n-l
5(n + l ) + l
5n + l
3 (n + 1 ) _ 1
3n_ ¡
5n + l 3n-l ^
v
(3n + 2 ) ( 3 n - l )
^
<0
n
^n+J
-► { a n} es decreciente................................... (FALSEA)
2 = 1x2 6= 1x 2 x 3
TI) a8í “
24 = 1 x 2 x 3 x 4 120 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5
IB)
* Lo cual sugiere que los denominadores vienen dados por n ! . Finalm ente, com o los signos se alternan, podemos escribir el enésim o término como: 3n - l an = l - i r
\ 2 , S , 8 , U , "'i
X
n!
5(81) +1
406
203
3(81) - 2
242
121
( VERDADERA)
5n + l Notése que : Li m a n = Lim n-^oo «-► oo 3n - 2
5
3
- > { a M} es con v erg en te; por p ropiedad, toda sucesión convergente es acotada (VERDADERA) LVJ {a M} es convergente................. (VERDADERA) RPTA: “E ”
•Pero para cualquier k fijo : Lim —- = 0 «-►oo ni
PR O B LE M A 14 :
Ello significa que el factorial crece más rápido que cualquier exponencial. " 'H V * Tam bién si : Lim |an |= 0 en ton ces :
Estudiar la convergencia de la sucesión : n2 + 2 i t - l 3n2 + n + 2 R E S O L U C IÓ N : n2 + 2 n - l
Ldrn a n = 0 para cualquier sucesión {a B}
* En este caso :
* Luego se deduce que :
* Se puede escribir como :
3 n —1 Lim\an \= L im ----- — = 0 = L im a n y por tanto n -+ oc n -* o o n! « -+ 0 0 {a n} converge a cero.
q« =
n +2n-l 3n2 + n + 2
°« =
n2 n
PROBLEM A 13 : « , . r 1 Í6 Sea la sucesión t a n j „ 6* =
11 16 21
1
'
3n2 + n + 2
n
1+ - -
n2
3+U 4 n n
n
3+U * . n 12
• El numerador converge a 2 y el denominador converge a 3 , por lo tanto a_ converge a 2/3, lo que n2 + 2 n - l
entonces hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones.
se escribe como Li m «-►<» Sn2 + n + 2
fí La su cesión es crecien te
PROBLEM A 15 :
203 II) El térm in o d e lu g a r 81 es -jjj
2 8 18 32 ) 2 9 6 **2 2 :! 20 ^ Í0S valores de esta su cesión se encuentran en el
IW La su cesió n es a cota d a
{
3
f
(U 'I.O flC n iA S 0 1 2 }
J*8 8 1
in te re v a lo [a ;6 ) siendo «a »
el
mayor
valor
posible y «b» el menor valor posible , entonces el valor de T = b - a es: AJI BJ3I2 C)5/2 D) 3 E) 4 R E S O L U C IÓ N : * Analizando se obtendrá:
2
18
m— 1
+12
18(0) +12 9 (0 + 4
0
=ó U m a_ = — — -------- = 3
lim a . = Um n-+oo n-400
n-+ 00 2 +4 9 3 * Luego : {a B} converge a 3
R PTA: “ D ” PROBLEM A 17 :
=
El valor de convergencia de la siguiente sucesión: 2 ;4 ;9 ;16 ;
son los números cuadrangulares
(n1; n e N ) 1; 3 ; 6 ; 10 ;
■
(jn + l-> [ñ ) Jn +
son los números n(rt + 2)
triangulares
;n £ N
2n + J} " ^ 7
es:
n€JV 01/2
AJ1/3 B)1I4 R E S O L U C IÓ N : * D e:
n2 •Luego: a - "
1
/ X i a n J»€JV
D )1
{yjn + l - y/ñ)
♦ Analicemos :
n+
E)2
2 ] n€iV
Lint a n = L im ( V ñ + 2 - V ñ ) yjn + ^ R— tOO n— too V n € l : 2<»A/i
Dividiendo L im a n = Lim ¡ r *
+n+J
»4oo 2n n+1
2n n+1
-+ 1 < a
"
A a
"
* Luego : 6 = 2
a
a = 2-+T = 6 - a = 2 99 RPTA: "A
n+
ea una
|
Tí L im a7-1 = Lim n-too y¡n + l + yjñ n— too
PROBLEM A 16 : Si { ° n } new
entre T í
»+ o o /rt+ l + V»
< 2
—>• 2 < a B < 2
I ^r
1+ su cesión d efin id a por
lim a . = lim »-«» »-*<»
J r
i
"
i + —+1
j l + O+1
n
9 (2 ” + 4 (3 " ) ) {«»}=
9 {2 a'1) + 4 (3 a-1) n>l
, entonces el valor de
AJI
C)2
D) 3
«400
—^ —
La sucesión { a_} converge a 7/2 PRO BLEM A 18 :
E)Es divergente
Sea la sucesión { u„ } donde u „_ , = J k + un , k > O. Suponiendo que la sucesión es convergente, calcular el valor al cual converge.
R E S O L U C IÓ N : * Acomodando el término a H a s í :
l + J l + 4k A) 2
18 ( 2 " - ’ ) + 1 2 (3 " ^ ) °n =
9(2"-’ )+4(3"-’ )
21"“ ' 3a- 1 23 I) a« = n-í +4 3—1 » (§ ] ♦ Como : L *m an = O, Va 6 ( - 2 ;2 ) R-FOO V 1 * Se tiene:
2
RPTA: 4,C 99
convergencia de la sucesión { o } es: 3 B )2
, TJm n ^L im a
(2 18 3
m l + J l-4k
W
2
„ J - J l + 4k
w
-------
R E S O L U C IÓ N : 71— 1
+ 12
* Si es convergente :
= ^
n- 1
9Í
+4
* También : L im un+¡ = L n—too L im uH+I = Lim j k + u„ => L im u „+J = Lim j k + u R — tOO R-tOO n— too r— too => L =Jk+L ; L > 0 -> L2 = k + L
1M89 „ l + sll + 4k . , l + ¿ l + 4k => L = ------—> {u } converge a 5------
.v y
s m
x i c s )
convergencia de la sucesión {a B} es: A)1
RPTA: “ A ”
< ' E
B)2
C)3
D) 5
E)6
R E S O L U CIÓ N :
PROBLEM A 19 :
• Com o la sucesión es con vergen te, entonces:
Si { a n} n€jv es una sucesión tal que a j = $¡60 v
L im a . = L , entonces n — kso
o B+I = $]60+an; V n > 1, en ton ces el va lor de
4 * En la reglas de recurrencia :
convergencia de la sucesión {&„ } «n€N e« es: A)2 BJ5Í2 04 D) 8
3/6 + 7 Lim a (a»+i) = f*™ (^6 + 7a„) => Um o „ w = al FJÍ6
R E S O L U C IÓ N :
(X + IJ(L + 2 J ( L - 3 J = 0
* Sea: L = Lim a n => Lim a n+1 = L
* De donde : L = 3
R — 400
RPTA: " C ”
* Como: a n+; = ^60 + a n
PROBLEM A 22 :
=> Lim a rt+i = L im $¡60 + o
Sea la sucesión { ° « } nejv tal *lue a i “
R — 40©
L9 = 6 0 + L
a %~ &
y a n = 3 a n_j - 2 a n _ 2, Vn > 2 . La afirm ación correcta es:
=» L im a n+i = s¡60 + L im a n n —400 V n —400 => L = $¡60 + lL
- + L = $¡6 + 7 L - + L3 - 7 L - 6 = O
* Además, nótese que o B > 0 , V r a £ N - > L > 0
* Considerando que {a w} es convergente
R — 400
A-OO
/ I-+ O G
=>L = 4
A) La sucesión { a rt } n€VV converge a un valor finito
RPTA: “ C " PROBLEM A 20 :
B) a n > 129; V n > 9
C) a n < 100; V n > 5
D) a H < 2 ” + 1; Vn£VV E )a M< 1000, Vn£TV Sea { a /i}new una su cesión tal que: a 2 = 3 y 25) 0*+2 * 2 S +
R E S O L U C IÓ N : * De la regla de recurrencia ya se deduce que:
V n £ T V # entonces el va lor de *
convergencia de la sucesión {<*„ A)5
B)3
02
es: D)0
F)J2
a » - a »-t = 2 K - j “ S e a : * , . ! = a . " a *-i
a . = 2 Í2 " - 2 - 1) + o 2
R — 400
25 Liw» (°ji+i ) = Lim — °n + R — 400 R -4 0 0 2 an)
RPTA: “ B 99 PROBLEM A 23 :
n — ►0 0
25 £5 L = - ( l + ^ I AL>0=>2L = L + ^=>Z,*=25=>L = 5 2\ L L tr RPTA: “A PROBLEM A 21: una
su cesión
an = 2n , + l
* S i« = « : a s = 2 7 + 1 = 129 -► Vre > 9 ; a „ > 129
r • 25 -+ L im a n+J = — L im a n ^+ — ----#»-+oo ¿ n—>oo Lim a
tal
que
SÍ { a n }n€^v es
y <*n+i -> ¡0 + 7an , entonces el valor de
una
sucesión
tal que a 0 = 2 ;
a ¡ = 3 y a A+i = 3 a k - 2 a k _v Vn £ N , entonces el valor de convergencia de la sucesión { A#»}n€w tal es:
que bn 2
<*j
a n -l ~ a n - 2
. 2 o n -2 Luego: o „ - a „_, =
• Sea L = Lim a n -> Lim a n+l = L
{ a n}
“
bn_t = 2 n~2 x 62 -> 6 ,. ! = 2 " -2
* Como: a¡ = 3 > O A a n > 0 ,V n £ N
Sea
^ * -2
* Reemplazando: bn_¡ = 2 * 6B_2 A b¡ = a 2 - a¡ = 1
R E S O L U C IÓ N :
R — ► OO
J
AJ5I2
n
B)2
OI
D ) 112
E)l¡3
SOIS]
r a il i ao ir a R E S O L U C IÓ N : *De la regla de correspondencia , se deduce que: ° , +J - a n = • S e a :
{ c B}
Entonces el valor de ~
4
lcH = a n - a n_,
4 B)~3
* 3 -*■ c i = a ¡ - a 0 = l A c n+I = a n+1 - a n
♦ Luego : a m- a «I
= 2 H~1 x Cj -+ c n = 2 « - i a = 2n~I
a0 =2°
«2
a2= 2*
a5
a2 = 2 2
Sum ando m iem bro © a m iem bro
a . — a n—i = 2 - i an—
para n suficientemente
grande, se aproxima a:
- <*„-!>
c n+i = 2 c n
n
D)0
CJ7
E)1
R E S O L U C IÓ N : * De: A» +i = A« + 4 n = 1 : bt = b¡ + 4
5+4
n = 2 ; b3 = bt + 4
5 + 4 + 4
n = 3 : b4 = b 3 + 4
5 + 4 + 4 + 4
-+ bn = bn l + 4 = 5 + 4 ( n - l ) => bH = 4n + 1 * De: Cn+J = "SC» n = 1 : c2 = -3 x 5
*
— 2 ° + 2* + 2 ^ + .. * + 2 ” *
n = 2 : c3 = + 3 x 3 x 5 n = 3 :c4= - 3 x 3 x 3 x 5
-> a n. - a » = 2 n - 1
a „n = 2 n + 1
* „ , . L o» 2n + l ♦ Con lo cual : b = — = ——— " 2 2
•41 bn = l + 2 n
-4 Lim 6 1„9 = L im (1 + 2 “" ) = 1 -> { 6 S} converge a 1
=>cm= (~3hl x 5 => cn = - —(-3 )"
RPTA; “C 99
PROBLEM A 24 : Sea la Ofl =
sucesión
definida
mediante: a x = y¡2
Nos piden
para n grande
n
bn ) = Lim 4n + l Lim = lt~*QO Cn , n -+ oo -| (-3 )n 3
22.. Lim
+ a rt_i . Podemos entonces afirmar que:
A)amconverge a O C)amestá acotada p o r 1 D) amno converge R E S O L U C IÓ N :
B) a mes decreciente
=0
R PTA: “ D ” PRO BLEM A 26 :
E) amconverge a 2
8n si K
♦ Si la sucesión { a n} converge entonces: Lim an = L = Lim an_t —> L im a n = Limy]2 + a n_¡
} „ €^ es una sucesión tal que a n = i + ¿ n)
entonces el valor de convergencia de la sucesión {a H} es: A) e 118
B ) e 43
C )ems
Lim a n = y/Lim 2 + Lim a n_t
R E S O L U C IÓ N :
L = yf2 + L = > L s - L - 2 = 0
* Recuerda que:
- > ( L + 1 ) ( L - 2 ) = 0 => L = - l
a
L = 2
♦ Como L > 0 , la sucesión converge a 2 . RPTA: “ E ” PROBLEM A 25 : Sean las sucesiones : 6 B+J = bn + 4 con b¡ = o Cn+Z ~
n
0011 CJ = S> n ^ R
D)e2
E )e24
U m 2 + -1 n = e n-+oo n) an
♦ Más general:
1 ) Lim 1 + H—900 an
= e, a > 0
♦ Luego: **14 9
0m L im o . = L im \l + — » -k » 1 n
s L im ft—*30
t
-
n
BS L im i + — n » —too
3
3
mu
RPTA: “ E 99
[F im m w .v HgmrXTM
ii9 i
PROBLEM A 27:
& I ? 9 'E > % 9 4 L V B &
PROBLEM A 29 :
Si { a n }n€iv es una sucesión definida por
Calcular: Lim yfrt! n
2
[3 K > n€N
30
• 11 f
10 . í 3 1
10
'U o
u
• [69] 9 Í6 8 J
68
A )1
• 9
—900
B )2
D )e
C )8e
B)
geométrica: Lim yfñ = 1
= *{“ « }=
JO TA ; “ A ” PROBLEM A 30 :
. 09 f 1 10 y 30 i 11 • f• t 1+ — ; i + — ; i+ — & a 9 ••• 10 [ SO \ 68 y
1 h • 1 1*3 •í 1 1 *3 •i • i+ r L f i + T— f J+r V 65
=>{“ » } =
n~too
0
♦ Dando al enésimo una forma conocida : 90 69 09 ¡11' 10 .(£ 1 1 $ • \ í s 9 {° « }»62V = U ’ 10 ’ U o 681 i+ l
« — 900
• Podem os aplicar el teorem a de la media
O
R E S O L U C IÓ N :
1
E) >¡2
+ De : Lim yfñ7 = L im ^ (2 )(2 )(3 )...(n ) 1 1 -9 0 0
B )4e
D) O
C)3
R E S O L U C IÓ N :
¥
entonces el valor de convergencia eB: A )e
]
w
Calcular : Lim 4 4 2 x ? ¡ 3 x i ¡ 4 x $ 5 ... x n+4 n + 1 n
A) 1 9••••
—900
B )2
C)3
D )4 2
E)0
R E S O L U C IÓ N : ♦Se observa que a ¡ = \J2 , a 2 = $ 3 , a 3 = (¡4,.... ¿ a n = n*ljn + l => L im a n = L im in + 2)"+i = 2
i+ ♦ Donde: bn —» o o , cuando n —►oo
/ I— 9 0 0
n — 900
♦Luego por el teorema de la media geométrica se * Luego: L im a n = Lim 2 + °
L im a n = e
6/1-900
/ I— 9 0 0
RPTA: **D99
tiene : Lim 4 4 2 X y¡3 x iÍ4,..n+y¡n + 2 = 2 fl-MO R PTA: “A 99
PROBLEM A 28 :
PROBLEM A
Calcular : * ^ 2 + ? - + $/3+?/— + 3 _ V g _ L im n -+ o o W ñ + W
Dada la sucesión: { a „ } ; a¡ = 4 2 ; a» = N / 2 + a „.J, n > 2
AJI
B )j2
C )g4
+ sL *L Sn + 1
...
D ) a¡2
31:
¿es convergente? en caso afirmativo indique a que valor converge. R E S O L U C IÓ N :
E )2
♦ Extendiendo la sucesión se tiene :
R E S O L U C IÓ N : f 4n ♦Como la sucesión y n + j 4n *Pues
£ 5 2 v 'n
+ 2
{ o „ } ••-Í2 ; ¡ 2 + ¡ 2 ; ¡ 2 + ¡ 2 + ^ 2 ; ........ converge a ^4
I) Veamos si es monótona : a ¡ = 4 2 < >j2 + 4 2 = a 2
j L i m — —- j - = ^ 4
f l~ 2 +
a 2 = y¡2 + 4 2 < y¡2 + y¡2 + 4 2 = n
n
•Entonces se puede aplicar el teorema de la media aritmética, dividiendo al numeradory denominador por n. L im
Va
V6 rt
7»
Vn + J v
0
♦ supongamos que : a n_¡ < a nVn
$2n+Ü3
♦ Debemos demostrar : a n < a „ +JVn
1»
h-+00 y n + l
1
X
1Í2
-[«si* w II
♦ Probem os que es creciente por el m étodo de inducción matemática.
¡
99
♦ Sabemos que : an = y]2 + an_¡
CiCLOPEDMA 2 0 1 2 ]
BBHIi 1 9 2 1 n
♦ Luego : a n+I = j 2 + a „
< a„ <
4n2 + n * Nótese que : a*+i - o * = a n - a„_, > 0 , de (*) -*• “ » + / > a n ! a n > 0 V n
“ > « n + / > a n >'V "
-* {a B} es creciente, esto implica monótona W Veamos si es acotada :. * De lo a n terior hem os probado que {<*„} eB creciente. * Luego es válido proponer : «n -1
<
♦ Además: n n = Lim L im —¡--------- = Lim =2 n~¥°° 4 n 2 + J n_fo° L2 + 7 n-*°° Jn* + n n ♦Finalmente, por el principio del encaje : L im a n = 2 n — ►OO
PROBLEM A
Converge o diverge :
in+1)n + l 2 n+1 (n + l ) ! (n + I ) " = L i m -----------L im n n-koo n—koo 2 n n n
-> {a B} es acotada * Luego hemos probado que { a B} es monótona y acotada entonces {a B} es convergente. III) Veamos a donde converge :
2 nn ! n
* Sabemos que: a n = ^/2 + a n_J
= — L im ! + L 2 n—4oo nj sucesión diverge.
* Tomando límite: L im a n —Lim ^ 2 + 0 ^ n—k» n—► oo
e = — , pero
e 2 > J ’ en ton ces la
¡2 + I A m a ~ j V
ii—►oo
* Ahora, supongamos:
°n ©
• Por teorema: L i m a n+1 = L
Dada la sucesión:
n -x »
* Luego, se tiene:
2 nn ! n>l
♦ Utilicemos el criterio de la razón :
-* («» “ 2 )(°n + 1 ) < 0 -+ - l < a „ < 2
n —►oo
n
R E S O L U C IÓ N :
Xa „ - 2 < 0
—> L im a n =
33:
« n
a n-i + 2 < a n + 2 -+ > n . i + 2 < J a n + 2 ~+ « n < « n + 2 - + <
n ,V n£N 4n2 +1
{ a \ = { l ; 15; 53; 1 2 7 ;.... } £, = y¡2 + L —*L* = 2 + L
- k L * - L - 2 = 0~k ( L - 2 ) (L + 1) = 0 -> L = 2 v L = -1
el valor de a ]0 - a 9 es: B) 542 C) 543 A) 541
D) 545
E) 547
C alcular el térm in o de lugar doce en la
♦ L es único, como {a B} es una sucesión creciente y de términos positivos tomamos L = 2 {a B} converge a 2 PROBLEM A 32 :
siguiente sucesión:
v
{4 ; 9 ; 1 8 ; 3 3 ; 5 8 ;
AJ 4241
B) 4242
C) 4243
. . . .
}
D) 4 341
E) 4 342
C alcular el térm in o de lugar cien en la
Calcular : siguiente sucesión:
+ ... +
lim n-+oo
* + I1 yin2 Vn2 + 2 R E S O L U C IÓ N ;
4n ?+ 3
1
4n2 + n
'
A )J 0 1 _
10101 * Consideremos lo pedido a:
» luego:
J^
, 7 a 10 t 13 t
5 *
9 '
15 f
J 0 0 _
10102
2 3 " " ^
10103
10104
1
y¡n2 + n
4n
+ n —l 4n2 + 2 ’n* términcé
) 304
10105
Sea la sucesión {a n}fa 1 = 2; a 2 = 2 y además
* Dado que: 1
1
1 “ B« 4 í « n t i + “ J . V n E 2 +Vrt2 + 1 ^ . . i i j rr «2000 "«7099 * Calcular el valor de: H = «2 005 ~ a 2004
w im V o A ’ A) -2
B) 4
C )-8
D) 16
E) -32
Se define la sucesión:
converge a: A) 1 B )e
O e -i
D)2e
E) 3e
{Sn} es una sucesión definida por: {a " > _ { 2 ; V ' 6 : Y e ’' " ' }
K ) ={ ^¡ an + b n } n e N
¿A partir de qué lugar los términos de la sucesión { a ,} son menores que í ? 5 A) 14 B) 20 O 21
E) 25
D) 26
( - 2 ) n+ 3 n n+1 , on+2 ( - 2 ) n*l +3
Encontrar el punto hacia el cual esta converge.
a>¡
C) 3
E)2
III)0
proposiciones:
. ; sin es par
2n2 +3 «n = Xn + 1 ; si n es impar 4/» + 3
(
) {a n }; a n= - — — t es acotada. 1+ n
(
) { b n} ' K =-^ 2^ —/ es acotada. n‘ + 1 n2 ) { c n} : c n= , es acotada 2n + l
Si dicha sucesión es convergente, calcular: A) 15
E = l + X + X 2 + X3 B) 156 O 400 D) 820 Dada la sucesión:
E) 1111 ^ r íf
{a } = ! - • A . A . _ L . 4 ;v * { 8 9 1 2 9 16* 2 0 * J y sea L el valor límite de esta sucesión, ¿a partir de qué término de la sucesión, dicho término se acerca tanto a L que la distancia entre ellos es menor que 0,01? A) 71 B) 72 C) 73 D)74 E)75
m
6 > 0
Indicar el valor de verdad de las siguientes
Dada la sucesión {a R}, tal que: 5n2 - l
a
II)0
Sea la sucesión:
B)1
Datos: I)a>0
inferiormente, siendo su cota inferior—. 2 A) FFF B)W F O VFV D) FFV E) VFF Sea la sucesión: {a n} ! a n =
nC os( n 2 + 1) n3 + 2
Dicha sucesión converge a: B )2
A) 3
o>¡
«i
Calcular el valor al cual converge la sucesión
E )0
Demostrar que la secesión t e ,} , tal que:
{a B}, tal que: 1
1 1 1 1 a n = —+ — + — + — +... + n 6 12 2 0 30 n2 + 3n+2 A) 072 B) 0,4 O 0,5 D) 1 E) 1,3
* , = -J3; x „ =sj 3xn_ , ; n i 2 es convergente, en caso afirmativo, determine el valor al cual converge. A )3
B )1
O - D )í 2
E )E s oscila n te
2n —3 Q ( h Sea la sucesión ( a „ } : a , = ^ rt " 8n+l Calcular el número de puntos que caen fuera del intervalo abierto 1 L; L+ , donde L = Li m a 100 100 A) 28 B) 30 C) 40 D) 41 E) Infinitos puntos
luego indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones: ( ) {a n} es monótona
©
(
) {a n} es acotada
(
) { « „ } es convergente
La siguiente sucesión: 2 \n*+2n 2+2n+n l + 2n + n 2
4
Definirnos la sucesión {a n} recursivamente: a n = 4 6 + a n-i* V n > j
A)FW
B) VFF
C) FFF
a
ax =46
D) FVF
E)VW
TTBS
W S\1194 A qué valor converge la sucesión { « _ } definida
AJ
128
q« = A)6
B) 1
D) -1
B )0
D)
120
B)
155
E) -5 f , 11 7 17 31 t a "Jne* “ 1
I ’ el térm in o de
lugar 8 es:
{<*„}, tal que: a n = $ ñ A)1
205 C) 8
i « o ía ]
En la siguiente sucesión :
(n + l ) ¡ C) 0
Calcular el valor al cual converge la sucesión
©
435 B) 12
71+2
por:
c ia o f m
A t,
C )2
D )$ 2
E )4 l
AJ
137
Sea la sucesión { « „ } , tal que:
„ , 2 11 26 an= " i— x — x — n xl5 17 37 Dicha sucesión converge a: AJ 0,4 B) 0,5 C )0,65
127 B) 10
C)
117
116 E) 15
C onsidere la siguiente sucesión {<*n} n€JV
3 n 2 —1 4 n 2 +1 DJ 0,75
117 D) 12
E) 1 ¿ 5
Dada la siguiente sucesión { a_}, tal que:
7 9 1 1 13 3 ! 6 ; ~9 1 2
{
3 a n+2 = 4an+i - a n; V n e Z + con respecto a dicha sucesión podemos afirmar que: AJ Converge a 0 B) Converge a l C) Converge a 2 D) Converge a 3 E) Diverge
- ¿A
partir de qué lugar los términos de la sucesión son 3 menores que —? 4' A)20 B)21
a¡ = 3 a a 2 = —, además: u
1
C)22
D)23
E)24
Se define la sucesión { « „ } „ eJV de 1® siguiente 19 a _ = 6n + 9 ' V n > 3 forma : a t = 2 ; a 2 = g , „ 3n + j ¿Qué elementos de la sucesión cumplen la condición
¡0 Í)S i
\°ninen
{&„}
\
es una
’
5
7
’
su cesión
’
9
J >
d efin id a
por
entonces el
A)
B)
3n-l
3n2 D) 2n-l
2n 2 C) 3n + 2
3n 2n2 - 1
D eterm in ar el val or de verdad de las afirmaciones siguientes:
3n2 - 1 E) 2n
Si
BJTodos los elementos a partir de ag C)Sola>nenie at y at D) Todos los elementos excepto a s y a4 E)Ningún elemento
n-ésimo término es: 2n
A)Todos los elementos
3 n -7 M 2 -7T I)
3Ín2 + l )
es una sucesión definida por
f . Í2 2 3 3 25 1 neN = [ 2 í 2 ; 7 í 2 ; _ T ........J {°«W
entonceB
, el
+ 3 i»€*
(-2 )" U)
16n* + 1 ne*
es creciente
es acotada
n- ésimo término es: A )n * ± l n
2*
n D) —^—— l + 2n
C) ns + n n+1
III) { ( - 3 ) " + 3 n } b6At es no decreciente E )— 2n
A)FW
BjWF
Si { a n }n€*
es
CjVFF
D)FVF
una
su cesión
E)FFF tal
que
^ Si { q n }ne * es una sucesión definida por n 2 +2 fa X I a "/n e * - y
\ 9 9 4 9 9 32
término de lugar 8 es:
*
)
en ton ces
el
q n =
, entonces indicar el valor de verdad
n +n + l de las siguientes afirmaciones:
jjj^ i J iosT K gW
Aíwrf'nsmjvwc.s ] a, = 1 a2 = 2
7J { a« } « €w converge a un valor menor que 1 U) V n e N : a n g [0 ;2 ] UI) Si n > 99 entonces |an| > 0,99 AJFW
B)VFV
C)FFV
D )W F
a n = g K - 2 + a n- , ) , V » > 2
E)FVF
Se definen las sigu ien tes p rop osicion es lógicas:
entonces el valor de |a/0/ - a í00( es: A )2 * 7
p : Si { a B} es acotada, entonces la sucesión es convergente q : Si {a n} es creciente, entonces la sucesión no es convergente r : Si {a B} es no decreciente, entonces la sucesión puede converger t : si {a n} y {feB} son convergentes, entonces {a B + 6n} es también convergente Si Af es el núm ero de p rop osicion es lógicas verdaderas y TVes e! número de proposiciones falsas, entonces la relación correcta entre los valores de Af y AF es: AJ Af>AF BjAf
Indicar
I) La sucesión
n + 11 es decreciente n n€N
L og
U) La sucesión
n+1
B)VFF
de
verdad
de
las
II) La sucesión
(-7 )" 13n es convergente n+1 n£N
III) La sucesión A )W V
B)VFV
( 6n + 2 l \3n + 2)
new
OVFF
D) FFF
es divergente E)FVF
Sea {&/i}„eAr una su cesión d efin id a por ru i _\5 ( nSn£N
7 9
11
1 J * entonces el valor de
convergencia es:
es creciente
C )F W
va lor
E)2~I0t
I) La sucesión
1
2
B>-3
C )3
3 E )2
D)1
Si { a n } „ e^ es una sucesión definida por
UI) La sucesión {(-J )n /V ñ } n6Ar es monótona AJVFV
el
D )2 -t0°
3 n + 2 n+i es decreciente 3 n+1 + 2 n #*€*
A)0
n
02-™
siguientes afirmaciones:
(T7)) Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
B)2*a
D) V W
9 19 33 2; —
{
E )W F
1
, entonces el valor de
convergencia es: ©
Indicar el valor de verdad de las siguientes A)4
afirmaciones : 1) La sucesión {(-7 )2n+/}
U) La sucesión
[ 2
está acotada
UI) La sucesión { ( - 2 ) n+í} AJ V W
B )V F F
es acotada
nn-i|
l 3
C )F W
B)2
f . y (6 15 30 51 \ K } b^ = { 3 2-¿ -; 7 7 ; 7 ^ ; "*I convergencia es: AJ2 B)3 04
el
vaIor
D) 8
de E)9
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: -2n
Si { a n } n€^r es una sucesión cuyos elementos implen las siguientes condiciones:
D)
Si { ^ n} Bejv es una sucesión definida por
no está acotada D ) F F F E )FV F
OI
1 E )1
2
^
3J
es una sucesión convergente
[i 1 0 6
T ia o m iM
g o ig ]
'b n es 27) Si 0 < a < 6, entonces la sucesión \a J i»6W convergente 22/) Toda sucesión acotada es convergente
entonces el valor de convergencia de la sucesión {a*} es: A)-1I3 B)l/3 C)2/3 D)4I3 E)5¡3
A )W V
siguientes:
B)FVF
Sea
C)VFV
{ « „ } n€JV
D)FFF
una
E)VFF
su cesión
tal
que
2tt + 6 G-n = ---------- . Si L es el valor de convergencia de la 3n + 3 2n + 6 - L < 0,005 entonces sucesión { a * } * €* Y 3n + 3 el máximo valor que puede admitir k (con n > k ) es: A)268
B)267
0266
D)265
E)264
Indicar el valor de verdad de las afirmaciones l) La sucesión : {ia -b )’Jñ+(b*c)'Jn+l+(c-a)+Jn+2} IfeJ
es
divergente H ) La sucesión : 2-
2 )
1-
22J
2-
2n
32)
n>2
converge a
Si { a n }n€,/v es una sucesión definida por { a « } = { 2 ; 5 ; 9 ; 14;20;....} , entonces el valor de convergencia de la sucesión 1— l l + 5n A)0
B)
10
A )F W ■87 E )1 0
Si el vigésim o térm in o de la su cesión { a" } = f é r r r L „
es I« unidad, en ton ces el
1 C )J¡
AJO
E)2
D) 1
Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones : (
6
5
4
3
1
(1
II) La sucesión
3
2 9
9
2
n>l
B )V W
O F FV
K L e*
es
D)FFF
una
E )W F
sucesión tal que
a „ + 2a n+—V/i > 2 , entonces o, =2; o , - 2 y flfl+2 — - « ^ su cesión K L e * 1 B )2
converge a: 3 C )4
7 D )4
5 E )2
Si la siguiente sucesión : { o B} neA = {>/ñ^ - n + 2 - n A - ¿?} es convergente al valor de cero, entonces indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
converge a la I) A x B > O I I ) A = - Í A B = 1 m i A x B = - í 4Í¡ « AJVFV B)FFF O FVF D)FFV E)VFF
unidad 9
Si
2 A )4
valor de convergencia de la sucesión { a n } es: 1 B>4
\3n2 + 2
converge a ^
es:
D) 2
OI
III) La sucesión
í 3n2 + 2
~n2
4
4Á*t3 ;b ) ; 5
6 ►••••
es
Si la siguiente sucesión :
divergente III)
La su cesión
{yjatt2 + bn + c -*(%/a)n} nGiV
valor de cero, entonces la relación correcta entre los valores de p y q es:
bja converge al valor de 2a AJVFV
B)VFF
OWV
neN
n¿ +2 I n + 2 - n p - q ‘ es con vergen te al
D )D W
E)FFV
/i+/ + ^n Si i a n}ne¡V eS Una sucesión / « „ = 3 n+t _ 2 „ 2
A) q = 2 p B) p q > O O q > p D ) p = q E ) q < p Dado que a ¡ > l considere además que la sucesión verifica a n = yjnan , .
[i? p ir :w m ^ w fm v o .s Halle el valor de
A)2001* B>
74
S g 'FISHVVWSS]
)p i
a 2001
Entonces, la afirmación correcta es:
a 2002
A) x n+3 = 2m xn+2- x n
B) x n = 2 m x n+1 - x n+2
C) *n +2
10) x n+4 = 2 m x n+3 —x n+2
2002
C)
D) (2002)'
2001
E)1
2 m x n+i —x n
E) x n+5 = 2 m x n+4 - x n+3
Si {G n } n^^y es una sucesión definida por
{ c „ } n€W
5 Í 2 " ) - 3 ( 5 n+1)
100 Í2 n) + 2 (5 " )
*, entonces el valor de ( 6 Í ) Sea
convergencia es: A)1
B) -
15
Si la sucesión
0~
17
D)0
E) -
15
na + 2 n - 3 \ nb - 2 n + l ¡ neJV converge a
3 t entonces la relación correcta entre a y b es: A) a - 3 b = 6 D) 3b - a = 3
B) a - 3 b = 8 E) a + 3b = 8
C) 3a - 6 = 6
Se define la sucesión { a n } rteJV n n£N
x sen l } n \l + n\
mr
2 ,
(a n)
la su cesión
1
, en ton ces la
A)2001
B)
C) 2004
B)3p + J
C)
(3p + 2 )p
E)p* + p
(Ufí Se define la sucesión ( am) tal que: a*-t - ° » + 20 0 2
V w > 2 ; a J> 0 . Hallar :
Se define la sucesión { a n} n6Ar la¡ = y]3 + >¡3 y + a n,j ,Vn > 2 . Entonces ( la afirmación
correcta es :
f
k=i °k a 2003 ~ a l
A)2-*
B)3
C)3~l
2 D>3
E)8
Si (an) es una sucesión definida por :
=2 * a n+2- 2 a H+1- a n, Vn > 1 , además a 23=156 • hallar: a J0+ a 20 A)200 B)300 C) 175 D)95 E)245
A) { o „ } n€JV converge a J 3
¿A partir de qué térm inos de la sucesión
W {°n}ne/V es decreciente
n+1 , la diferencia de dos términos consecutivos 2n + 3
C) { a „ } b€jv es acotada
E> { a »}n€ 2V co n v erg e a
E)
Dada la sucesión ( am n) de a a= 3 n - l entonces la suma de sus «p» primeros términos es:
1 E)Es convergente al valor de —
D) { « „ } ngA, converge a
D)
9
afirmación correcta es : A)Es convergente al valor de 1 B)Es divergente C)Es convergente al valor de cero D)No es acotada
an =
a¡=2;
2a - + l ; n i I. Calcular a 2000 « n -/ = = «
p (3 p + 1) A) 2 D)p(3p+1)
por :
tal que:
es menor que
1 -4 Í3
100 B)4*
A) 3\*r 1 + 4 Í3
m
C)5*
Dada la sucesión
D)6 io
4 n - 3 n+; U n + 4 n~2
E)7m'
, ¿a qué valor
converge Se define la sucesión: { * « }
« /*i “ ® 1
R+J = mxn +sj{m2 - l ) x 2 + p 2 , m £ N ; p £ Z .
*4
B)4
016
3 D>~4
4 E )1
r e WtMKS%.
Indicar el valor de verdad en cada una de las
converge a _
A )W V
B )W F
C)FVF
5 * 2
D)FFV
A que valor converge la sucesión B)e l
3n + 5 5"
indicar el valor de «fe» AJI B)0 Cb-2
E)FFF n2+I n +3n n n2 +4n
5 C )3
1 D )3
4 E )~3
convergentes? r-i/* ir A) Sólo 1 D) I y II
IW
2n + 3 n
B) Sólo II E) Todas
Hallar : L im
X —KX3
converge a: 2 b + 4 f
D) - i
E)Absurdo
C)Sólo IU
f
1 )i
l
2*) {
2
A)
1 C )4
1 1 J
3*1 3 D ) ~2
—
i T n
E)j2
Indicar el valor de verdad en cada una de las
)
Si:
2n 4n +1
cl u ® v a l ° r converge
( í í j ) S i: | — ~ “ ” j »
siguientes proposiciones. (
2 B )3
C)e -2
Si la sucesión
©
E) FFF
¿C uáles de las siguientes sucesiones son
£
Aje
D)VFF
qué valor converge?
n+ 1 — rt converge a 0. n + 1
. f n 2+ n + i1 converge a ^ Si 1: l 2n + 7 J
( j
CJVFV
B )W F
( 6 11 16 21 1 Sp Dada la sucesión Yq * * ~8~* ~ íí*....... J*
3
3n2 + n + 1 ( ) Si:
es convergente A) V W
siguientes proposiciones : ( )Si: . 2n* + n + l
( H LOM’ CIH A SOIS 1
\1198\
A)1
converge
B)e
1 C)~ e
D) 0
E) yje
Indicar cuál o cuáles sucesiones cumplen (
(
)
Si:
) Si:
A )W F &
n
diverge
S en (n + 1) n3 +4 B )V W
a n < °n + 2Vw e N ; n > l , si:
CJFVF
D)FFF
Dada la sucesión { a * } —
3" - J yf2x3n
EJVFV indicar
la afirmación correcta : A)La sucesión no converge B)La sucesión es monótona creciente C)La sucesión no es acotada D)La sucesión es monótona decreciente E)La sucesión es acotada pero no converge 3) Indicar el valor de verdad , de las siguientes • »
proposiciones : ( ) La sucesión (n2- n ) es monótona ( ) (2
es decreciente n es m últiplo de 2 „ , j entonces (a ,) 0 en los demas casos *
f
II)
I) {3n + 5}
' converge
A) Sólo I D) I y l l
B)Sólo II E) I y / / /
UI)
2n 3n C) Sólo IU
C L A V E S D E M A M»MUAMEMMA PMMACTMCA 9 )A \ 8 )C \ 4 )lÍ 5 )0 0 ) 0 7 )E 8)E 9)Ú¡[¡0)C 15)A 16)12 17)V Í8)A 19)D[20)C¡1 í
UMAVMIS D E MA 09) E PV D 90) D 07) D 19) D ti) A te) B 1 7 )0 99) B 91) A 90) E 97) D
E
SEGUNDA PMLtCTMUA 09) C 04) B 05) B 0 9 ) C IO ) D 08) A 18) C 14) C 15) B 90) € 18) D 19) B 89) A 94) B 95) D 99) D 90) € 88) B
62) C
CUw e s d i : m a O I) e 09) A OO) c 07) B 19) O 11) B 10) D 17) A
T E RUE ML1 P R A C T IC A 08) B 04) A 05) E 09) C 10) B 08) O 14) E 15) A 19) C 19) A 80) A 18) B
HBWI no» «gal
[EUtVJtíXRS H fm V O y
O B J E T IV O S
fiK H W K fi ]
inferior y «n » es el límite superior .
:
* Calcular la suma de series convergentes utilizando ciertos métodos .
EJEM PLO 1 : S i : f(i)= 4 , entonces :
* Aplicar los criterios de convergencia en las series.
6
5
IN T R O D U C C IÓ N Z
,
{.3 *
Dado un con ju n to de núm eros n símbolo representa su suma indicada o
el
k=t
l +l + l 3 4 5
EJEM PLO 2 : Si f ( i ) = coa ix, entonces : n
ws
X f ^ = X 008 ** = cosx + cos2x + cos3x + ... + coanx i*J
sumatoria. Es decir :
O B S E R V A C IÓ N : n En la sumatoria ^ f (¿)> existen ( n - m + 1) términos La letra griega sigma £ denota la sumatoria y a k los cuales son f ( m) ; f ( m + l ) ; f ( m + 2);„.if(m + ( n - m )) representa el 6 -ésimo término . La letra k se llama ,, 9» índice de sum atoria o variable de sum atoria y * enparticular,si:m=iy n £ 1; entonces en ^ f ( i ) existen adquiere valores enteros sucesivos. i-j n términos, es decir : EJEM PLO : ^ V 4 4 Calcular : .
k*
^
R E S O L U C IÓ N :
P R O P IE D A D E S D E L A SUM ATORIA
* En este caso 0^= 6*. Para evaluar la sumatoria
Sean f , g funciones definidas V í e Z , k constante.
sustituimos k por 1 ; 2 ; 3 y 4 y se suman los términos resultantes . Así ,
Iíj^ k = hn
Z / ) ¿ k r (0 =
IW
1*1
<*>
fl/J ¿ * =(n - m+1)* m £ ( f ( 0 ± g ( 0 ) = ¿ r ( i ) ± £ g (0
¿ > * = I * + 22 + 3 * + 42 = 1 + 4 + 9 +16 = 30
Um
UI
V + / - ( « ) = * f f ( i - c) V / > ¿ /•(.)-
UI
UI
/•(•+ e)
SU M ATO R IA Consideremos «m » y «n » dos números naturales tal que m S n , y */» una función definida para cada 91 i e N donde: m 5 i 5 n, luego la notación : £ i*M nos representa la suma de los térm in os
2»* V Z /r i¿ (/'(* )-/‘ ( i- i) ) = f( n ) - f( A -J L .f J r a Uk
R eg la
Telescópica Generalizada)
ui .....
f ( m ) ; f ( m + l ) ; f ( m + 2 ) ;....;f(n); es decir :
(2da Regla Telescópica)
M (2da Regla Telescópica Generalizada)
donde «i» es el índice o variable , «m » es el límite
♦ Para denotar el índice de una sumatoria se pueden usar otras letras como « k » , «i» ,«j» .
liaool i>ía*
:
EJEM PLO S :
_ (k+D*-k*
í= 7
1= 1
2
•S>* = a i + a ¡ = c + c = km¡
2A+ 2
2 2c =Y j C
“ * = a l + a 2 + a 3 = C + C + C = 3 c = £ c
A*1 9
A=J
100
_=_ y " _ J
JL]
_(A + l ) 2
A2 J
10200 (J O I)2
10202
E J E R C IC IO 3 :
* Z ®* = ° * + a « + « 7 + a « + «#
40
JU5
Halle el valor de : ^¡T(V2 ¿+ 1 - 4 2 i - l ) (Propiedad Telescópica)
SU M AS F IN IT A S N O T A B L E S Existen sumas finitas que son utilizadas en una serie de problemas prácticos de gran interés, los principales son : i)
~
= J_ i ± -> A = 1 Lo OI)2 22_
3
* £
i
A2 (A + i ) 2
kml
3
r i 11 + J) ~ L(* + J>* ~"^J
i
*= As(A + 2)* “ Entonces :
• t k *= ti2= Íj* = 3 0 k=l
XCICLOPEDIA 2012]
b ^n{n + í) ifi 8
ivj M Z*‘
*♦ Mediante . .la regla , -Telescópica , . - se tiene :
f(i)=42i + l= > f(i-l)= 4 2 i -1 40
-+, Y X 42 i + l - 4 2 i - l ) = f ( 4 0 ) - f ( Q ) i=t
y* jlI r n(n + l)(2n + i) U) *-j 0
ni)
i=I R E S O L U C IÓ N :
« (# » + l ) ( 2 n + J ) ( » n 9 + 5 /» - i )
30
=481-1=9-1=8 E J E R C IC IO 4 :
9%
Hallar una fórmula para la sumatoria:
E J E R C IC IO 1 :
R E S O L U C IÓ N :
%_ m
"
* Aplicando la Regla telescópica 6e tiene : Calcular : S = V , *— r £ , 6 ( 6 + 2)
jr [(í + 2) /- i/] = f (n) - f ( 0 ), donde ; f (i) = (i + 1) ! I»Í * Simplificando mediante propiedad del factorial la expresión dentro del corchete .
R E S O L U C IÓ N : * El equivalente , será :
^ (i /(¿ + 2) - ¿/) = (n + 2 ) /- 2 , dedonde; i=I
s =í , ( í - i 7 7 ) - Í , ( m - í ) 1 * Donde se puede hacer : a k = — h
a k+i —
™
6
¿ (W / + i ! - i ! ) = (n + 2 )/- 2
+2
* Recordando la propiedad telescópica :
E J E R C IC IO 5 :
Hallar una fórmula para la sumatoria: ^ 5* R E S O L U C IÓ N : ¿=i * Mediante la Regla Telescópica se tiene : ♦Luego: S = - í —1------ -]= 2 Vao + 1
1)
Y X 5 u l - 5 l ) = f í n ) - f ( 0 ) , donde; f ( i ) = 5 i+i
i—í
E J E R C IC IO 2 : 100 ftL _ | Calcular : A = Y Q t i A2 ík + 2)
í=;
2k - 1
♦ En este caso a» = ---------------=- el cual se puede k 2 (6 + 2)
í=j
5Í S n - í ) -*
R E S O L U C IÓ N :
escribir como :
¿(5.5¡-5i)=0”+ ' -5 ->¿4.5‘ =5(5" -i)
1 -----4
i=J
E J E R C IC IO 6 : Calcular : V
-í
—
£ J < 6 + 2 ) ( 6 - 2 ) /
[f g iiw m v y ^ h i rrtrÑgpAí
n
R E S O L U C IÓ N :
*Multiplicando numerador y denominador por «k», así: y 1 ¡Zjik + D k i k - l ) !
ttzti ]
1801
Y
k
i=i
•Y mediante la 2da regla Telescópica se tiene :
- Y k + 1~ 1
n
£ J(A + 2 )/ £ }(* + !)/
coa{n + l ) x + c o s ( n x ) - c o 8 x - l = - 2 a e n x ^ t aen (ix ),
= £ í - * ± i _____ M = £ í - ____ — 1 £ jU A + 2 )/ (* + 2 ) / J - £ i U / <* + *>•'J n 1 J V f 1 Á in + l ) ! - ! + 1)! k ! ) {(.k + l ) ! J (n + 1)! * Por lo tanto: n
•]^[cos(¿ + 2 )* -c o s (i - 2 ) * ] = - 2aenx J]aen (¿*)
n
despejando £ aeniix ) se tiene : í*j A \ l + co 8x- cos(nx)-co8(n + l ) x -> j^aenKix) -----------------2 aenx i=l
(n + l ) ! - l (n + 1)1
S E R Í E S
E J E R C I C I O 7: ac
Calcular : S = Y t i
— 5----Ik 2 - 1
R E S O L U C IÓ N : * Haciendo :
2
2
Sea {a B} una sucesión de números reales . La expresión aJ+a2+a3+~.oil+~. se denomina serie numérica o simplemente serie . Para denotar una serie , se emplea la notación de sumatoria : 00 _ Z «„ o bien 5 > „ /?=/ En la última serie se sobre entiende que la variable de sum ítoria es n . Cada número a h,k = 2; 2; 3; ....es un término de la serie y an es el w-ésimo término. *
—
= 2M
______ L J
4k2 - 1 ( 2 k - í ) ( 2 k + 1 ) 2 l 2 k - l 1 ... i________ 2 _ ] ~ *4 k 2 - l 2[2(k.+ l ) - l 2 k - l \
2k + l \
EJEM PLO S :
Los siguientes son ejemplos de series numéricas O | flO OlV n ,»+/ 2 ¿ « Z "í* 2* n=i JJE n 11 H»J0 nsj
* Luego lo pedido será :
Surge una pregunta natural: ¿Qué sentido tiene hablar de la suma de una cantidad infinita de términos?. Por ejemplo es fácil convencerse de que no es posible calcular una suma finita como la serie:
- . s = - | ( 0, d = | E J E R C IC IO 8 : n Calcular: ^ a e n d x )
i=¡
Á
j'-
vrj. -.
'^ 0
2 + 4 + 6 + 8 + . ..+ 2 n + •••
v
ya que se obtiene sumas acumuladas que crecen conforme «n» aumenta . Sin embargo , si comenzamos sumando losvtérminos de la serie . 2 2 2 2 2 — + — + — + — + — + •44 #••
i-l
R E S O L U C IÓ N * Usando la identidad e o iA -c o ifi= -2 «e n
—
»
* De donde haciendo la sustitución se tiene: A + B __ A + B = 2ix 1 2 resolviendo el A - B = 2x I A-B ¡ A = ( i + 2)* teñe « ‘«tema se tien e: <
\ B = (i- j)*
(II)
* Reemplazando (II) en (2) se tiene : coa ( i + l ) x - coa ( i - l ) x = - 2 a e n i X a e n x , aplicando
sumatoria a ambos miembros :
2
4
8
16
32
2n
• Obtendremos n
Suma de loeprimeroe n términos
1 2 3 4 5 6 10 20 25
0 ,5 0 0 0 0 0 0, 750000 0, 8 7 5 0 0 0 0, 9 3 7 5 0 0 0, 9 6 8 7 5 0 0 0, 9 8 4 3 7 5 0 0, 9 9 9 0 2 3 4 0, 9 9 9 9 9 9 0 5 0, 9 9 9 9 9 9 9 7
Es decir, cuanto más términos sumemos , las sumas acumuladas o parciales 6e acercan cada vez más a
L tf,
lilao* I
1. Esto nos muestra que al sumar infinitos términos
podemos aproximarnos a un cierto valor o por el contrario la sumas pueden ir aumentando permanentemente. Así cuando escribamos deseamos indicar que si sumamos la i**f cantidad suficiente de términos de la serie, podemos aproximamos todo lo que queramos al número S . Así: ±
±
= ¿ + l +í +i
~ 2 n
2
4
8
11 16
+ ...—
2n
Desarrollaremos estas ideas con más detalle en la siguiente sección donde estudiaremos el concepto de convergencia de sucesión y series numéricas . D E F IN IC IÓ N :
Una serie es la adición de todos los términos de la sucesión (a n) y se denota mediante el símbolo : 00
5 > „ . También podemos usar las siguientes nsf notaciones: co
X fln “
n»/
series de términos cualesquiera . ♦ Sea la sucesión (an) de números reales , a partir de ella , formaremos una nueva sucesión (SH ) , donde: ~ S ,= a , S, = a, + a 2 Sumas parciales S , = a I + a 2+ a a «
Sj * a 7 + a 2 + a s +... + a n, etc Los números Sn se llaman sumas parciales de la
serie
parciales de la serie
= L im (a ¡ + a2 + a3 + ...an) = lAm n-Ko
n -w
ak
*=/
Además, a la suma : a¡ + a 2 + a3 +... + a n denominaremos n-ésima suma parcial de la serie y la denotaremos por SH EJEM PLO :
CO N VER G EN CIA O D IV E R G E N C IA D E UNA S E R IE La serie y an es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales tienen límite finito, a este límite n S = LimSn = lim y ak se le denomina suma de n -*00 k=¡ rt-HO
EJEM PLO 1 :
♦Sea: q. = * * H k + í)
h 2 4 8
2n
mi ♦Luego: 1 1 1 2 4 8
k
k+i
*
1
2
2
3
_
n
n+ 1
¿¡
+ —1 + 2n
^
1 “ 12n
= Sn
Se denomina /t-ésima suma parcial G E N E R A L ID A D E S Z
♦ Las series que tienen todos sus sumandos , positivos se denominan series de términos positivos. ♦ Las que los tienen alternativamente positivos y negativos , se denominan series alternadas. ♦ Aquellas en el orden de aparición de los términos positivos y negativos es arbitrario, se denominan
n+ 1
( n n
co 1 2n
*
= L im — =1 Y a A = ---------►Lim\ Y a t = Lim — & h n+1 \ n + 1 i»-»« 2 + ~
* Construimos la serie : 1 1 1 2 4 8
—
♦ Luego : A 1 1 1 1 2 2 A , 2 ) ttjL= + — +..♦.+ - —------ = / OlL = i — - ■ £}
ní
.
es una serie divergente .
n
1
ya (Sn) se le denomina sucesión de sumas
la serie. Si LimSn = ±00 o no existe se dice que J ]an
= ° í + ° 2 + * 3 + •—
*A partir de la sucesión:
NCICLOPEDIA 2012}
♦ Entonces : ^ a k"converge a V k=i EJEM PLO 2 : 00
£ k 2 = i 2 + 22 + 3 2 +...; por simple análisis k=i
podemos decir que esta serie diverge; ya que su 6uma tiende a -k» (no tiene suma)
S E R IE
G E O M É T R IC A
La sucesión; a ; a r ; a r 2 ;
a r n~l
es una
progresión geométrica y la suma: £ a r n= a + a r + a r 2 + a r 3 91=0
r*0 ;a*0
SRRMKS 1
Recibe el nombre de serie geométrica , cuya razón es r . Veamos en qué casos esta serie converge o diverge . Calculemos la enésima suma parcial de la serie .
Donde: * bm A es el n - ésimo término de una sucesión de F ó z*° 6 3 er orden .
Sn= a + a r + a r + ....+ a r n-1
* cn es el n-ésimo término de una sucesión geométrica . Este tipo de series converge si la razón de la sucesión geométrica es mayor que 1 , si la razón es menor o igual que uno diverge. Para el caso de convergencia el valor de la suma designémosla por S se obtiene formando la diferencia
i(-)
r Sn= a r + a r 2 + a r 3 + ••••+ ar" U - r ) S n= a ( l - r n)
-* Sn =
1-r
,r*l
S - - . S .........(r es la razón de la sucesión geométrica) r Si |r| > l ; r n -> oo ; Um Sn = aa-+ la serie diverge B-HD
a 1 -r
S i\ r\ < l; r “ -+ 0 ; lim S,
B+«
la serie con verge
EJEM PLO :
77 1A 77 * Obtengamos : 5 + £ + i_ +— + — q
2
4
8
designando
16
por S la suma propuesta tales que : < _. 5- 3+ -^ 2+ t2 ^+ _14 + +— 17 ^ S +
TEOREM A : 00
Si |rl < 1 , la serie geométrica £ ar" converge y 71=0 tiene por suma a
4 (-) l S - l + 8 +l l +l ± +
I-r
2 b ~ 2 4 8 16 Q 2 C*— ^ ^ ^ , 3
* Si |r| * 1 la serie diverge
~2
EJEM PLO 1 :
~
~2 ~4 H
~16
”
Etunatariagaomi tricada
razón.* -
¿ Í - T = - + - ^ + - ^ + . . se trata de una serie 3 3 3a geométrica de razón r = — , por tanto convergente , 3
2
* (Nótese que los numeradores forman una sucesión aritmética de 2 er orden y los denominadores forman una progresión geométrica de razón r = 2) 3
—> — S =5 + 3 i - i
luego por teorema : 2-
' 3
2
2
S E R IE S
EJEM PLO 2 : a
S=
3 5
3 3 3 , , i + ------------+.... se trata de una sene 10 20 40 2
1 + ± + ± + ± + ± + ••• 2° 3° 4° 5°
• Estas series son 3
luego por teorema : S=
2 6
El n-ésimo sumando de este tipo de serie , es decir , am b A es de la forma : a_ = - *
.> n n=i
C o n v erg en tes p a r a a > 1 D iv e r g e n te s p a r a a S 1
* Por ejemplo para a =2: 2+—
-H ) S E R IE S A R IT M É T IC A S G E O M É T R IC A S
A R M O N IC A S
Se denomina así a la serie de la forma :
geométrica de razón r= ~ —, por tanto convergente,
5
S=16
2
+ — + — +.... esta serie es divergente 3
4
P R O P IE D A D E S D E LA S SE R IE S IN FIN IT A S 00
00
Si
kn = K , un número real ,las
an=A ;
ns/
71*i
ra iig o * i series que siguen convergen a las sumas indicadas . I
¿ Ia n =k A
}NCICL0PEDIA SOLg]
C) Si
convergen a «A » y «B» respectivamente y sea <*k» una constante, entonces:
n rnl
I) ^ )k a n =
II
£ ( a „ + k n) = A + K R3 J
n > X (an * *..) = X °n ± E 6- converge a « A ±B »
III
£ ( an - k n) = A - K n» í
EJEM PLO :
£ ( * a n + fikn) - X A + fiK n« 1 ( linealidad de las series)
A que número converge
IV
C R IT E R IO S D E CO N VERG EN CIA
a n converge a «kA»
R E S O L U C IÓ N :
Considerando las propiedades se tendrá que lo pedido será :
Antes de enunciar los criterios debemos considerar que una condición necesaria para la convergencia de la serie
1J (n + 1) - -3n
43 4 3 r \ í \
an , es que:
♦Luego aplicando la propiedad telescópica en «a » y la suma de una progresión
♦ Es decir : oo
Si laserie£ a n es convergente, entonces « sj
geométricadecreciente de razón « ^ » , se obtendrá :
L im an = 0
2
fi-rtD
Si Lima„ = 0 la serieV anno necesariamente
converge, esdecir, puedeser convergenteo divergente. I I I Si Lim an * 0 entonceslaseriediverge
-3
5 r 5 = ----- > L a serie converge a — 2 6 2
II
Jl+ffD
EJEM PLO : V4°i Jl /» t+
La serie ie V > ---t i
»
%
es divergente , dado que :
1 ) C R ITE R IO D E COM PARACIÓN DIRECTA S
eo Sean ^ a n y ^ 6 n dos series de términos n«i n«J positivos , si flB 5 bn para todo n suficientemente grande , entonces se cumple :
+
Lim a n = Lim í i Ü ] = 2 * 0 n-**>\n + 2J O JO :
Es importante tomar en cuenta lo anterior , dado que en algunos casos permite determinar rápidamente la divergencia de una serie .
EJEM PLO 1 :
TEOREM AS :
Determinar si la serie
A) Si
R E S O L U C IÓ N :
es divergente y k eR, entonces la serie es divergente .
B) Si x « * es convergente y
entonces :
^en n Dado que : n(n + í ) bn es divergente ,
(an + b n) será divergente ,
Como : an < bn y
converge
n (n + í ) rn bn es convergente , luego
íx o s mam v,
Sen
00
n
S “ ■ ■ ^ ? Ü Í T i ' ° " ,erge
* Por tanto la serie ^ -?L. ee convergente .
'
n=l %
EJEM PLO 2 :
EJEM PLO 2 :
» j Estudiemos la serie : V ---------- x ♦ cu nZi2n + * * Sabemos que : 2" + n
> 2
« 2^ Respecto de : ^ — aw
1
,V n +
2n , V n
2n+ n2
oo 2 * Luego : £ — es convergente por tratarse de una n=J-2 serie geométrica de razón — <*> 2 * Por lo tanto : V ---------- =- es convergente . 2n + n2
•Sea a„ =— -+ L i m ^ ^ - = Lim A-f+® 6/ A-m» 6/ 2k+I 2 = Lim k ! — =— — r = Lim ~ ^ —=0 A->-KO (k + i ) ! 2 h-¥+
-> La serie dada es convergente .
EJEM PLO 3 :
S) CRITERIO D E LA R A ÍZ (O DE CAUCHY)
® 2 Respecto a la serie : V -------
Dada la serie :
* Sabemos que : k >Lnk ; V k * 2
V a¿;con a k * 0 y L im *ja h = L e R; entonces *=/ *-"*
00
fczLnk
00
* Entonces : — < — — ; V k * 2 k Lnk
Luego :
®
i
S iL < lt entonces ^ a kes convergente
A-1
2
— es divergente por tratarse de una -
k=2 k
n
serie armónica . 2 * Por lo tanto X t — r es divergente # kst2 Lnk -• V r
M
00
X an con i »=i
L im
an*0,VneTV
y
Analizar la siguiente serie : £ — R E S O L U C IÓ N :
Limzfal = L i m m = Lim —= 0 < 1
a.
rt-foo - -
V
V/lrt
n— fw n ----------
* 2 * Entonces V — converge
S í r < I A» sen e co n v erg e
níl*
22
Si r > 1 ¡a serie d iverge
222
Si r =J n o se p u e d e afirm ar ai co n v erg e
EJEM PLO
o d iv e r g e
Con respecto a :
2 : l
*72 ( L n k)h
EJEM PLO 1 : * Con respecto a la serie :
* Sea : a». =
oo
# I« J
f»-KB a n
CO j
* Usando el criterio de la raíz :
¿¿'
’n+i = r entonces
* Tenemos que a n = ^ ♦Así •
diverge
Si L =l, el criterio no permite asegurarla Convergencia o divergencia de la serie.
EJEM PLO 1 :
t ) CRITERIO D E LA R A ZÓ N (D ' A L A M B E R T )
Sea la serie
S ÍL>1, entonces
1
(Lw 6 ) 2n
L = L i m t f a I = L im y ¡(L n k T k = L i m —— - = 0 A— A-KO ■ >co v * • *-»® L n k
; luego a„+J =
»-*» 2n* ¡ .n
—
2n
=-<
2
* Como L < 2 el criterio de la raíz nos dice que la serie es convergente .
M
* ) CR ITER IO D E L A COM PARACIÓN POR L D U T E S : ♦ Sean aB.*0, 6 n £0
' H
'L O
P E
M
A
8 »ia ]
♦Sí L = 0 , entonces: Si P >1 => la serie converge Si P 5 1 no se puede a firm a r algo
l i m ^ - = L ; entonces se
a
n-Kr
cumple: Si L > 0 y (L * ao), entonces J]a B y J ] 6B ambas convergen o ambas divergen a la vez. Si L = 0, entonces : 11 Si J ] 6 b converge - J]o B converge, Si L * oo, entonces III Si J]&„ diverge = £ am=> diverge.
♦Si L=oo, entonces; Si P>2 ^ nada se a firm a Si P 5 1 => /a serie diverge EJEM PLO 1 :
Analizar la serie : V -
¿- n 2 + 2n
.
R E S O L U C IÓ N : n2
Veamos: L im n pan = Lim — = 1, se aprecia que n-Ko n-»® n + i
EJEM PLO :
Determinar la convergencia de :
A * ao y P = 2 > 1 => V — 5—— converge
" n +2 n
^
l
n(n + í ) )
R E S O L U C IÓ N :
a 6 - ’ n (n + 2 )
L im — = Lim
fl-KO I»
( - f e( n + l ) n (n + 2 ) n(n+i)
= Ln L im í 1 + — y— n - k o n(n (n + i)
converge
=Lne=l>0
es convergente , entonces :
5) C R IT E R IO B E “ n * ~ (O E i'R IN G S IIM ) a
Sea L = L im n pa n = L im n p,-^= = 1 n n ♦ Si P>1
Y a . = y * L n íi+ - ; ^— r ] , será convergente . ^ \ n \ n + l)J
Sea ]T a B
R E S O L U C IÓ N :
L * 0 y L * 1, entonces:
rt-HO
y como
2 :
Demostrar que V —13 -, converge si P >2, y diverge K=i« si P< 1 (La P - series).
Consideremos :
Ln
EJEM PLO
L i m n pa„ = L ; luego :
♦ Si P 5 2 => Y ^ r diverge n Las P - Series son importantes en la comparación con otras series .
* ^
= í +b b i + " " !diverge
Se llama serie armónica
Si L * oo("L" es finito, pudiendo ser cero), entonces: Si P > 1 => y aB coniíer^e Si L * 0 ("L" puede ser hq o " ) , entonces : ii
Si P 5 2 => X a« diverge
C O N S E C U E N C IA S :
* Si L & 0
a
L * oo, entonces:
Si P > 1
la serie converge
Si P < , 1
la serie diverge
G) C R IT E R IO ABSOLUTA
OE
LA
CON VERGEN CIA
S i : y |a„| converge => J ]o n converge
Diremos que una serie converge absolutamente , si la serie de valores absolutos de sus términos convergen , también se dirá que es absolutamente convergente.
H rrw m s '
1907
EJEM PLO :
« / j\ » la serie £ — , es absolutamente convergente , «=A 2 ' C O dado que: y = £ — = 2 , converge n=./^ nsl
HT
O B S E R VA C I O N E S :
* Una serie convergente cuyos términos son todos del mismo signo es absolutamente convergente . * Toda serie absolutamente convergente es convergente. * Pero no toda serie convergente es absolutamente convergente. * Una serie convergente £ an tal que z w n«=i n=i diverge, se llama condicionalmente convergente
además Iim a n = O con lo cual podemos afirmar que n+® w ao ✓ -xR+J ja ser{e y (-D es convergente. La serie n=l 00n n+I (-i) es convergente, pero no es anarmomca I 71=2 n G O ¿ *+/ ®J (-1) absolutamente convergente, ya que £ aJ ]»=i n es la serie armónica que es divergente. Por lo tanto la serie £*
00
£ (_ j)n+ a n i la cual será convergente, si; 71=1 I II
an+l < *n Lim an = 0
R-WO
EJEM PLO :
C D (-2)" ¿ Converge y 2 n= +» R E S O L U C IÓ N : * Como :
(- 2)" W +/I
(n + 2)* + n + 2 n* + 2n + 2
* Además que: lim a n = lim —j ------ = 0 71—+00 n-xo n + n 00
* Con lo que : J ] (-2 )n+ an> si converge #1 * J
O B S E R V A C IÓ N
La siguiente serie llamada anarmonicamente ® i-lY **1 2 y j i— t en este caso a n = — , por tanto la sucesión (o.) es no creciente y de términos positivos,
— es condicionalmente convergente.
8 ) C R IT E R IO D E R A A B E :
Sea
a,, una serie de términos positivos . R*Í
•Sea r = Lim n i R-k«0
I II III
7 ) C R IT E R IO DE LAS S E R IE S A LTE R N A N TE S O D E L E IB N IZ :
Una serie es alternante , si sus signos de sus términos , son opuestos alternantes , es decir será de la siguiente forma :
í —i ) " +l
an J
entonces:
Si r > 1 -> la serie converge Si r < l -> la serie diverge Si r = 1 -> no se puede afirm ar nada
EJEM PLO 1 :
« 2 ¿ Converge : »£-/ a nY.~ » ? +^ R E S O L U C IÓ N : 1 a» « n + 2 A
“
(n + 2)a+ 2
= J ; luego no sepuede aplicarel criteriodela razón;aplicandoel criteriode Raabese tiene ; Lim nÍ 2 - f ^ 1 =L¿m3n,+3”*'*'W=3>2 L °« J •“*" (n + 21)) + 2 *por lotantolaseriedada converge. EJEM PLO 2 :
¿ Converge : y 2 x 4 x 6 x 8 x . . . x ( 2 n + 2) q 2 x 3 x5 x 7 x ...x (2 n -2 ) R E S O L U C IÓ N :
* Primero : 2 x 4 x 6 x 8 x... x [2 (n + 2) + 2] aB+J 2x3xgx7x...x [2(n + 2)-2] _ 2n+4 an 2x4x6x3x...x ( 2 n + 2 ) 2 n +2 2 x 3 x 5 x 7 x...x ( 2 n - 2) * Entonces aplicando el criterio de RAABE : r-
(1 an+A W
(1 2n + 4 \
..
2n + 4 2
Lim n 2— — |=Lim n 1 - —------- \ -L im —- — = —< J , ^ 0 n J R-+0O V 2ft + 1 J l*+® üR 3
luego la serie dada no converge.
Xt'If 'IMPEDÍA 2012}
lia o s !
9 ) C R IT E R IO D E CO N D EN SACIÓ N D E CAU CDY : 00 Sea ^ O n una serie de términos positivos tal que n = 1 CP
a n > €in+J V n e N ; entonces la serie s « *
nsl
converge CP
(o diverge) si y sólo si la serie X (o diverge) .
a 2n converge
EJEM PLO 2 :
¿ Converge
? n«/c
R E S O L U C IÓ N : * Lo dado es : X f(x) =■— =x e'*,entoncesf(x)> 0 s/x>Jpor tanto, f e&una fundón
decrecienteen/!;+<»>, asi tenemos.■ x e *dx =2e ' - (A ♦í)e Acomo J * x e 'd x s ¿ í m [ l e >- ( A +
'' ] = 2 * '1
4-mv
Entonceslaseriedadaconvergeenbasealcriteriodelaintegral.
EJEM PLO :
O B S E R V A C IÓ N : 1
¿ Converge £ —y ?
Sea X a- , una serie de signos alternantes , tal que
R E S O L U C IÓ N :
a„+,|<|a„| a L i m a „ = 0 , entonces: |S„-S„|
* Se tiene que :
EJEM PLO :
qn = ~ T ^ qn+l = -"I:> qn >qn+i> ^ » ( » + 2) * Entonces podemos aplicar el criterio de condensación , es decir: 00
CP
y 2 "q «» = Y n«l ^
|
2"
00
|
X— — 5-= Y — = 1 , (2 ") » -i2"
•Luego : ^ — 5- converge . «■ in 1 0 ) C R IT E R IO B E L A IN T E G R A L :
Sea f(x)zO, monótona decreciente y continua , Vjce[N;oo), NeZ y es fijo , luego definamos :
II
S i X a n diverge o
f ( x ) d x diverge
EJEM PLO 1 :
Demostrar con el criterio de la integral que la serie armónica diverge .
Sea f { x ) = —; x'Z.l luego , dado que es decreciente * y continua v*e[j,co) y f(x )zo , ahora: Lim f f ( x ) d x = L i m f
f+A Jí f-+® *1
= Lim L
f-im Jí xV 1
n t
dx
Lim \L nt-Ln í\
= 00^ Y — diverge. n tln
/ —+00
x^
1
2!
3!
aproximar j / e~x d x con un error menor a ÍO'4. R E S O L U C IÓ N :
9
Se tendrá que : e
£ -**dx a =2- - + 3 5x2/
v6 = 2 -------+ -----------2 2/ 3! V2
44
( *g ______ 0 3 + 5x2/ 7x3/ 2 2 + + 7x3! 9x4! 22x5/ *3
444
0,000076<¡0
< I ac I < 20 + -----3 v20 42 226
d x = S K= l
£ NOTA:
Si una serie converge , entonces al reordenar sus términos la nueva serie puede converger o no , e incluso si converge lo puede hacer a otro valor . EJEM PLO :
Se sabe que:
R E S O L U C IÓ N :
X^
Sabiendo que : e* = 1 + — + — - + — + ...;V * e R
q,=/tn) , VneZAn>)V, entonces: Si J]a „ converge <=> J^/*(*)dx converge
X
2 Ln2 = 2 2
Ln2
2
1
1
3
4
5
L - L ¿ J_ 2 4 6 8 * 10
444
—L n 2 = 1 + ------- + —>+_+.„ 2 3 2 5 7 T n 2 2 2 2 2 —> L n 2 = — + — + — + «44
3
9
6
25
22
\ z
[k i * w i :w4p *\tk &
S E R IE
it f m
D E
nrkikn)
tx o s i ^
v o ^
P O T E N C IA S
* Entonces : I ) Si \x\ < 1 —> La ]£ a n convergeen :
S E R IE D E F U N C IO N E S Z
x e { - 2, 2) *
Análogamente a las series numéricas casi se define la serie de funciones , entonces sea {/^(xjj^una sucesión , luego la adición de sus términos lo representaremos así :
= X fní*)
+ •••= X /» ftaj
I I ) Si 1*1> 1 ->■ X « n diverge en :
x e jff - [ - 2 ; 2 ] determinar su convergencia.
C O N V E R G E N C IA U N IF O R M E
EJEM PLO : * Sea f n (x ) = e-nx
ao
La ^ f n(x ) convergerá uniformemente en el = e ~ * + e ' 2x+ e -3* + ....
CONVERGENCIA D E SERME D E FU N CIO N ES Lá serie ^ f „ (* ) es convergente en el intervalo n
(a; ti¡, si y sólo si
intervalo de convergencia J
I I I ) Si \x\ = 2 hay que aplicar otro criterio para
00
f¡ (*) + fi (*) + fa
►i 9
S fn
f converge en (a ; b) ; k=i J es decir si su sucesión de sumas parciales es convergente en (a ; b) . O B S E R VA C I Ó N :
Debido a que para cada valor de «x» la sucesión de sumas parciales da origen a una serie numérica, entonces se pueden emplear para analizar la convergencia de series de funciones, todos los criterios que se estudiaron en series numéricas .
f»«J
intervalo {o ; 6 ), si : ]¡T f n ( x ) = f ( x ) , donde f(x) n »1
x
es la suma de la serie ^ fM(x ), esto da entender I»bJ que para valor de «x» , se puede aproximar a /(*) «> mediante la enésima suma parcial de £ , es decir, que se puede escribir fix) *S„(x), cometiéndose un error Rn (x ) = f ( x ) - S n (x ), y que este error tiende a cero cuando «n» tiende al infinito .
C R IT E R IO S D E L A CO N VERG EN CIA UNIFORM E I) CRITERIO DE WEIERSTRASS : Sea una sucesión convergente de números reales, tal que l/^íx^a^ ; Vn a V x g (o ; b) ;
EJEM PLO ;
Determinar el intervalo de convergencia de : 00
entonces £ f n(x) converge uniforme y
n
y (_ i)" — nVr n
absolutamente en (a ;
6 }.
EJEM PLO :
R E S O L U C IÓ N :
* Haciendo : a n+1 = ( -! )
n
n+1
x " +1 n +1
^ n+1
®l»+/ an
( i r 1x
n+1
( i ) nX
n xn =ix n+1 n +1
n
n-> oo
'n+1
an
y de la convergencia de
Ttf
y el criterio de
Weierstrass . II) CRITERIO DE CAUCHY:
* Luego por el criterio del cociente : Lim
C98PX es uniforme y absolutamente n=i n cosnx convergente en R, dado que: ; Vx e R n n
n = 1x1.2 = |x n-4® n + 1
= \x\ Lim
x
La serie ^ n*i
(x ) converge uniformemente en el
intervalo (a; fi} si y sólo si dado
1a
r a íig io i
>
frías
rt+f e>0, 3N > 0 ¡ E /*(*> < t;Vn > N a Vxe (a ; 6)
NCMCLOPEDIA 2018] iU existen otros valores de «x» , para los cuales la serie converge estos forman una vencindad de x0de radio «r».
P R O P IE D A D E S
P R O P IE D A D E S í
Las siguientes propiedades se refieren a series uniformemente convergentes .
I) Toda serie de potencias es absolutamente
i
k -n+1
l) Si f ( x ) = ^ f n(x) en (a?6), y cada fn(x) es
continua en
entonces fíx) es continua en (a; 6).
convergente en su intervalo de convergencia , I I ) Toda serie se puede derivar o integrar en 6U intervalo de convergencia y la serie resultante es también una serie de potencia que tendrá el mismo intervalo de convergencia que la serie inicial .
II) Si las funciones que forman la sucesión {/„(*)}
ni) sí
son continuas y derivables en (a; b)y si se tiene que:
entonces :
2>„
y 5 >„ convergen a los números A y B ,
00
f(x) - £ fn(x) a g (x)= £ fn ix ), entonces:f ' i x ) =g (x)
« > E K ± bn) = z «„ ±
n*2 it=2 OcTO ; Lo anterior da entender , que la serie , formada por las derivadas de los términos de una serie uniformemente convergente , es uniformemente convergente y su suma es la derivada de la suma de la serie original .
= A ±B
w (5 > „ )(2 > „ )= AxB c )^ -= jj;B n *°y b o *0
Según la propiedad 21: siendo f i x ) =
an (x - x 0)n n =0
S E R IE S D E P O T E N C IA S
-» /■'(*)= X nan (x - xo)"~'’ V x e (xo - r
Se define por serie de potencias con centro en x0 , a:
; * 0 + r)
n=0
* Además: J £
n=0
( * - xoT
n+1 n=0n + I
,V x e (x 0 - r ; x0 + r )
,V a n e R Siendo adetnás los « an» constantes .
EJEM PLO 1 :
CONVERGENCIA D E UNA SERIE DE PO TEN CIAS
Se sabe que la solución de :
Toda serie de potencias cumple lo siguiente:
determinar la serie de potencia de ex. R E S O L U C IÓ N : . Sea; f ( x ) = a 0 + a ¡x + a 2x 2 + a3x 3 + a 4x 4 + ...
f i x ) = f i x ) ; f i O ) = l ; es : f { x ) = e x
3r>0/ la serie converge en el intervalo /= (x0 - r; x 0 + r ) y en los puntos (x0 - r) y (x0 + r)
-> f '(x ) = a x + 2a2x + 3asx 2 + 4a4x 3 +...
la serie puede converger o diverger; y diverge en el intervalo (-oo ; x 0+ r) U (x0+ r ;+a>).El intervalo «I» es llamado intervalos de convergencia y «r» se llama radio de convergencia . —OO p
* Utilizando los datos , es decir de : /(0)=J y f (x)=f{x), se obtendrá que : a 0 = 1; a, = a 0 = l; 2a2 = a t = 1 +00
1 o 1 a + ^2 ~ 2 f 3 ~ a 2 ~* a 3 ~ 2 x 3 9 a * ~ ° 3 a 4 = - tz— í — 7 ,.... se deduce que: a n = — 4 2x3x4 H " n!
* Entonces: Diverge Cuando x=x0 la serie de potencias converge, debido a que todos sus términos son iguales a cero . si
^ xn x2 x 3 x = 2 +x +— - +— - + T7+--= rnri 2 ! 3 ! 41
E
[r
R tT n w S r & s
m c m in e s
I
1 *1 1
& E R IE & ')
OJO :
Paradeterminarel intervalodeconvergencia, por logeneral utilizaremos el criterio del cociente o de la razón . +J = 0 < l #V * e J? L im (n + j)/ - L i m n +« n + 1
n — »oo
n!
con intervalo de convergencia (x 0 - r? x 0 + r) • Donde los coeficientes «c^» se obtendrán derivando f(x) y evaluando en xot de la siguiente manera:
-> es = V converge V x e J? . .0 - n/ n
*)*+
C R IT E R IO B E CO N VERG EN CIA (Por Cauchy - H ad am aro ): Dada una serie de s J 00
potencias centrada en x0 , I
...
.
0
0
,
= Sa2 + 3 x 2 o 9( x ... -
n=0
v > • / - X q)»*
x 0) + 4 * 3 * 4 ( x —
—
a n( x - x 0T .
llamaremos radio de convergencia al valor r > 0, el cual está dado por : ó p o r r = L im —== r = Lim n -*oo a'»+! n ^ X!^l\al
*/(*)
+ 2 x 3 x 4a4( x - x 0)2 + .«
t f $ = n i a n + ( n + l ) ! a , , 7 j ( x - x B) + ( n + 2 ) ! a „ t ( x - x 0 ) ’ + . ~
Se dice que : 00
I)
am( x - x0 )*, converge absolutamente n =0 en {x0 - r; x0 + r)
Reemplazando estos valores en ffx), se obtendrá :
H) Z an(*-*o)"d«*^geenJ?-[x0 r >m* o + r ] m=0
S
s '2ti
•Donde ( x0 - r ; x 0 + r ) será el J-intervalo de convergenda .
f w
= n x
-
0)
-j f -
+ f
^
(x - x
0)
( x
- x
0Y
+ ... +
+
E
p
L
{ x - Xoy
+
- ( * - * 0 )* + . . .
Es decir :
EJEM PLO :
Determinar el intervalo de convergencia de : 00
E (-i>
2n+J X
n
n -0
2n + l
R E S O L U C IÓ N :
Calculemos : r = L im
n -+oo
a n+l
es la serie de Taylor alrededor del punto x0.
S E R IE S D E M A C L A U R IN K
( - 2)"
Si en la serie de Taylor hacemos que x0 = 0, entonces se tendrá:
2n+3
Es decir :
= L im
n -+cc
Luego la serie converge absolutamente en: (-2 ; 2), dado que x0 = 0
SERVES D E
TAYLO R
Si una función «/» tiene derivadas de todo orden en un cierto intervalo alrededor de un punto x0 se puede expresar como una serie de potencias del término (x-x^); es decir :
f (*>= f (o> + f ( o) + f ^ M x *+ + . . . 21 3/ EJEM PLO :
Determinar la serie de M ACLAURIN f (x ) = eo8X R E S O L U C IÓ N : * f ( x ) ~ c°sx=> f { 0 ) - c o s 0 ° = l * f \ x ) = ~ aenx:=>f ' ( 0 ) - - s e n 0 ° = 0
de
iVkSil í i a i a l
INTM'MFÉDMA 2 01 2 )
* f 1 ’ (#) = - cosx ==>f m(o) = - eos0o = -2 *f
, V|x|<2
(x ) = senx => f "(0) = 8en0° = 0
En consecuencia : x*
,VW<2
x*~ ~ x*
f ( x) = co ,x = l- — + -
6/
3/ CD
( - i )"*1 *"
L n (l + x )= £
n
n=0
.YO 71-1 ; Al integrar el «cosa?» se obtendrá el desarrollo del senx así: x3 x5 x7 x9 senx= jcosxdx mx — + -7 + 3 ! 5 ! 7! 9!
X X X
=x
+— 3
2
a r c t a n x = Y (-1)* x n+I = x - — + — - — +
h
3
«o sen h x= 2 )
2n+l
5
7
x3 x 5 x7
£í,(2n + l) ! = X+3T+7J +TT +~
EJEM PLO 1
Determinar la serie de la Tbnx R E S O L U C IÓ N : * Ahora tabulemos y grafiquemos las funciones que se aproximan a y = senx .
ife
X
0
0
* Se sabe que: T a n x = senx cosx x3 x6 x7 ->a0+aIx+a2x2 + a3x3 +... = X- 3 ! + B ! - 7 l + .
0
4
2/
4/
X
6
42 42
0,0998 .
0120550
40
42955
438030
44
438933
6/
~3 X „5 X “o+“/*+(“*- fy)* + ( “a- f 7 ) X +»— af-^ 7 + 57
9
0,2087
Luego comparando los coeficientes, se obtendrá: a0 =0; a , = l ; a 2 = 0 - > a3 - í = - £
-> a3= i
* Luego :
cuya gráfica será :
x3
2 x 6 17x 7 tanx = x + — + ------- + --------- +... 3 15 315 \ fe Estos coeficientes se h allan tomando más términos del "cosx"
yk y —senx
EJEM PLO x
A continuación mostramos algunas funciones con su respectiva serie MACLAURIN.
^ ( - 2)" *2r— "+í = x xs-+ —xa--------x 7 + .a* 3! 5 ! 71 £S <2 i*+ 2)/
R E S O L U C IÓ N :
** Z - a a r m‘ —2!
*4 41
x6 + «aa 6!
X_
x
x
2
x3
* - 1 <’ 77+ '5 T + ffl+ '" o * Haciendo x = ~ , se obtendrá :
senx = > —y
.
2 :
n 1 1 2 + -----— 4 +— — 8 — +... Calcular : 2t + -------3x2/ 9 x 2 ! 2 7 x 3 !
* De la serie:
—
X *
1- — + —T- — + .••
409983 0120807
* i-ir * "
2 X*
f
C
“
t Jf+
2
4 8 ■ H------------ + + ••• 3 xi/ 9x2! 27x3!
I” 0/ n * Entonces lo pedido , será : e 3 = V e
fF
im
m
w
BH9 t a i » BHB
m m wX& Ag
.v
X K tU tS S )
PROBLEM A 3 : n Si 3 ^ (k + l ) ( k + 2) = 83n , entonces el valor de n es: PROBLEM A
A-i
1 :
A) 10
El valor de la siguiente suma :
300 E) 301
parciales , así: 1 1 1 S = ■1' ■ + 1 + 11 + «M+ 1 1x3 3 x 5 5 x 7 19x21 0
* Multiplicando por 2 : o
2
2 ~+ ——2 —+ ——
1x3
3x5
5x7
D) 7
E) 6
* Transformando el miembro izquierdo :
* Descomponiendo cada sumando, enfracciones
o
C)8
R E S O L U C IÓ N :
S = — + — + — +•••+ -------es; 3 15 35 399 99 100 199 10 A) B) C) D) 100 101 201 21 R E S O L U C IÓ N :
2S =
B) 9
+ •••+
2
i k * + 3 Í k + ± 2 = *± h=I * A-1 A-1 fc«J a n(n + l){2n + l ) Sn(n + l) 0 83n -+ ----------------------- + --------------- + 2n= -----+3k + 2) = 6
2
3
* Simplificando , se obtiene: n2 + 6n = 72 - * n ( n + 6 ) = 6x 12 -» n = 6 RPTA: uE 9f PROBLEM A 4 : 1% Si £ 2k(3 k - 4) = 15540, entonces el valor de n
A=1
19x21
es:
2S = 1~ \ +\ ~ í +^ ~ \ + - +^ ~ í i 2S = 1 -
20 2S = 21
21
S=
20
21 RPTA: " D ”
PROBLEM A 2 :
A) 18
m nm término»
valor de n para que S sea igual a 2912 es : A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 R E S O L U C IÓ N : ^ V..v * Factorizando 4 en cada sumando :
r-E) 14
S = 4 (2 + 6 + 12 + ...”rt”términos) -» S = 4 [ l x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + n ( n + l ) ]
D) 21
^[üÍ£L± l)(2n + 1 ) . n(n+
E) 22
R E S O L U C IÓ N : * Aplicando directamente las propiedades de la n n sumatoria , se obtendrá : 3 k = 7770
A-1
3n(n + l ) ( 2 n + l ) n (n + í ) - » ------------------------------ 4 -------------- = 7770 6 2 * Reduciendo : n(n + l ) ( 2 n - 3) = 20x21x37 T_______________i n=20 RPTA: "C " PROBLEM A 5 :
En el siguiente sistema : f 4 (a k + b) = 10
-+ S = 4 ¿ 6 (6 + 1) = 4 Í ¿ 6 2 + ¿ 6 kmj VA-! kmj 6
020
A-i
En la siguiente suma S = 2 x 4+4 x 6 +g x 8 +... el
=
B) 19
el valor de T = a - b es ; ., 2 ](a 6 + 6 ) = 14
2)1
.6*1
2 J
A) 6 B) 7 0 8 R E S O L U C IÓ N :
4 n{n + l)(n + 2) -+ S = —
•Pero por dato :
D )9
* Restando miembro a miembro :
- n ( n + l K n + 2) = 2912 3
£ ( a 6 + 6 ) - 2 ( « 6 + 6 ) = -4 A-0 A-1
* Transformando adecuadamente :
A+ ¿ (oA+k)4 f
-» n ( n + í ) ( n + 2) = 1 2 x 1 3 x 1 4 - * n = 12 RPTA: “ C "
\ak + b) a - 4
kmi
k"l
+ b=-4
.
E) 10
TT ¿A
\121*
PROBLEM A 8 :
* Luego de la 240 ecuación : £ ( a 6 - 4 ) = 2 4 - > a [ í ^ \ - 4 ( 4 ) = 1 4 -> a = 3 *=1
V
2
NCJCLOPEDIA g 012]
Si Af y N
son dos series definidas por
7
entonces la
* Se pide: T = 3 -( -4 ) = 7 >
RPTA: “B f f
M ■M p ) y w relación correcta entre M y N es :
PROBLEM A 6 :
A )2M = 3N B )2N = 5M C)4N =3M D )M = 3 N E)4M =3N
Si T es una expresión definida por :
R E S O L U C IÓ N :
12 r= Z
40
£ (V26 + 1 - y [2 k ^ l) (2/ - 5) t entonces
♦Desarrollando «Af», se obtiene : M
Ís¿ k=i el valor de T es : A) 400 B) 600 C) 700 R E S O L U C IÓ N :
E)900
D) 800
i l i l í + —=- + —5- + —5- + —5- + 2* 2 2 32 4 52 6
=
U2
3 5
Y \ ( 42k + l - V 2 6 ^ il ( 2 ¿- 5 ) °*+J °* ) )
) \ 22
4
•
1 ...
y
*7í UA-/)*
12
RPTA: “C”
¿=3
12
3" = £ [ ( 9 - 2)(2¿ - 5)] -+ T = 2tf£ ¿- 40 £ (j) 12x13
-
5)
i=3
- 40(10x1)
PROBLEM A 7 :
El valor de la siguiente suma : S = 1 + 2 x 3 + 3 x 3 * + 4 x 3 ° + 5 x 3 4 + .... + 50x349es:
99 x 5®° + i
4
Si S es una serie definida por : 0 r t o 2 3 2 3 2 32 S=2 + 3 + — + — + — + — + — +— + — + 4
9
16
3 ) 9 9 x 3 ° ° +1
c;
99x5®° +1
„ 99 x3a0 +1 E ) ----6
A) 6 B) 7 C)8 R E S O L U C IÓ N :
D) 15
E) 18
S = 2 ( 2 + — + —jT+ —v + ...1 + sTi + — H-5“H-----o"+ { 3 3* 3* ) { 4 4* 43 ) +3
S =2
1-
j r z H s - 2( l ) - sCI)-r 4J RPTA: “B
♦Se tiene:
99
PR O B LEM A 10 :
S = 1+ 2x 3+ 3x3* + 4x3^ + •••+ 50x 349 3S = 1 x 3 + 2 x 3 * + 3 x 8 * + .» + 4 9 x 3 49+ 5 0 x 3 50
♦ Luego de multiplicar por 3 a «S» (formándose la serie «3S»), y restar miembro a miembro resulta: 2S = 50x36o-(2 + 3 + 32 + 35 +... + 349) 3 60- 2 2 S = 5 0 x 3 5° 3 -1
64 81
♦ Analizando se deduce que «S» se puede expresar como la suma de dos series geométricas decrecientes:
R E S O L U C IÓ N :
€
27
entonces
el valor de convergencia es : RPTA: “D "
d)
PROBLEM A 9 :
3
-+ T = 16(75) - 400 = 800
A)99 x 3 m
I *
T = £ [(
1-3
)
4Af = 4 N + M -+ 3M = 4N
Af = 2 V + -^ (A f)-> 2
1=3
6
15- + 1—5T + ... H ^ 1 ó"( 1—9 + —ñ" 1 + —«“ 1 +•••\ 3 5 ) 2 vi 2 3 )
U2
40
P= Z i«S ♦ Por la propiedad telescópica :
+ ...
A f = ( —=-H— 9 H— ^- + ...] + í —5- H— 5- + —«■+ •••]
UM 1=■4 —> A f =( —
♦Analizando la parte interna : 12
—>
l
S=
99x360 + 2 RPTA: “D 99
Si S es una serie definida por : 2 23 19 97 £ = — + —5- + — 5- + — 3- + ..., entonces el valor de 6
6
63
64
convergencia es: “'I R E S O L U C IÓ N :
C )í 5
D ) 35 36
*S
♦ Dando una forma conocida a cada sumando se obtiene :
[i:iPM4'i4pArr<:.%
it y m
BB8H u t a H 1
V o ^
S E R ÍE S ]
k+2 00 S=I k=i 2k (k2 + 6)
„ 3 - 2 3 2 + 2 2 33 - 23 3 4 + 24 fl =--------+------s---- + ------ =----+ -------7---- +...
6 ^ 3 2 32 2 2 3a 2 a 3*4 2,4 —> S = — -r-H 5-+ — 5- + — — —S"+ —~T+ —T + ••• 6 6 62 62 6* 6a S4 64 1 1 1 1 1 2 ~ 3 + 2 2 + 32 + 2 3
QD
-4
S=
o2
00
6 Í k + k) 2 k ( k 2 + 6)
yj
*=16 +6 *^2
s J U J - + i +J - + ) +U +J > +J i + ... (2 2‘ 2* 2‘ J l 3 3' 3a 3‘ 31 -4 S 4
2 1
4
2
I 3
S=
2 - k >
6xi -> S = 22 (2 - 0 )— f = 2 2 - 6 - > S = - 2
i - i =* 4 4
2 -2
3
RPTA: “fl 99 RPTA: "A
99
P R O B L E M A 13 :
P R O B L E M A 11 :
Si S es una serie definida por S =— + ¿ +
6 72 864
4
....
entonces el valor de convergencia es : 17_ C) 33
A)
12 D )1 R E S O L U C IÓ N : * Transformando los sumandoB , así : c _ 6 ‘+ l
5 — ‘ "'
61+1
+ “
72
+
62 +1 "" " 864
12 24 4
2
4
C)l2 R E S O L U C IÓ N :
+ MI
2
¿ 6
S= 6 + 1-
1-
12
1 = 3 + 11~33
12
PRO BLEM A 12 :
Si S es una serie definida por : - r 2 k+2 _ 6kz _ e k \ S = 7 ----r— -------- r------- , entonces el valor de ¿ A 2 kk 2 + 2 hk ) ' C) -3
.(6/) 2*.(6/)J
k=l 00
/
P R O B LE M A 14 : RPTA: “C ”
convergencia es : A) -1 B) -2
D )i
S = I 2*-í.(6 -2 / ) 2\(6/) *=i °* °*+j ♦Luego aplicando la propiedad telescópica , resulta: 2 2 Ss = 2 - 0 -> S=2 2 x0/ 2® x 00/ RPTA: “fl
X^?- x-L 12
E )0
* Transformando adecuadamente :
+ ———+ y & i72 664*
2
Si S es una serie definida por S = Y ^, « « * .( * / ) entonces el valor de la convergencia de fl es :
E )1
fl 1& l ^ s - \ * + * + * - + „ » —+ — + — — + MI 6 72 864 <6 72 864
+ -L .
00
D)-4
R E S O L U C IÓ N : * Transformando la sumatoria , así :
2)2
m
Si fl es una serie definida por fl» Y 7-------- 77--------- 7 . ¿Í(5n + 2)(5n-S )' entonces el valor de convergencia es: 1 7 7 A )— B )— c r io 10 9 R E S O L U C IÓ N :
D)
8
E)
10
* Tratando de dar una forma tal , que se pueda
aplicar la propiedad telescópica , así : n 7 S=Lim y £J (56 +2) (5 6 - 3 ) 5 -> S = L i m . —V 7----------77--------- 5 ¿ ¡(6 k + 2 )(5 k -3 )
i
\1 816l 7 n f
•Aplicando la propiedad telescópica , se obtiene:
1
S = L im .- Y
fl-MO 5 A=J 5 * -3 5k + 2 V a*• °fe+/ / • Por la propiedad telescópica :
S = 2w'mj— i»-*® 1(0 + 2)/
(n + 2 )! J
99
PROBLEM A 17 : 00
------- 77—------ -r, es (3n +1) (3n + 4) convergente , si lo es , calcule su suma . Estudiar si la serie Y
-+ S = L i m X U - - J - ) M í - o ) i»->® 5\2 5n + 2 ) 5\2 )
S=—
10
RPTA : “B
99
PROBLEM A 15 :
7
R E S O L U C IÓ N :
• Tratando de formar la propiedad telescópica , así:
Si S es una serie definida por 1
« =Z & Ln$e ■Log2 (e (n+l)l)
s
, entonces el valor de
n £ }3 U * + i Jy f "
convergencia es : B )L n 2
—r—1 -> S = 1 ~ 0 = 1
t
RPTA: “A
S = L i m . - { —r \ ------------ - — ) »-«> 5 { 5 ( l ) - 3 5 n + 2 )
A )Ln4
o a o P E P ia sois]
■+*á\ í *■
C )-L n 2 2
D )1
E )e
3k + 4 )
1
3 £ jL 3 * + 2
1
y f _ ? _____
3j£jK3k + l
1
3 ( * + 2) + iJ
1(1 3\4
3k + 4 )
1 ) 3n + 4)
•Luego: L im S n - Liml —\ —------ n-x» n-Ko |_3\4 3 n + 4
12
R E S O L U C IÓ N :
• Aplicando las propiedades de los logaritmos , se obtendrá: 00 00 y _________ A t i L .(„ + !)/ Lne log2 e Log2 e ^ t (n+í)!
z
.
Tt
• Entonces la serie dada converge en —
AJé
P R O B L E M A 18 :
Sea r0 = — ; para k = l ; 2; 3; ... se cumple: 2
-+ S = L / t 2^¿( n "+ í rn+2)/ ^ 4 — ( n- +1l ) ! j1 + il ): !J = ¿ n2 “¿j U
Tu =
-> S = L n 2 f \ \ ~ - ¿ 1 -1
serie Sk = r0 + rt + r2 +... + rk
•Aplicando la propiedad telescópica , se obtendrá :
A) converge a cero C) converge a 1 E) oscila al crecer k
■ ti\-n !
S=Ln2 í —
in+í)l\
-oolj ] - L n 2 ( l - 0 ) - > S = Ln2
U/
RPTA: “B
2x0!
jt +
3x1!
,
4x2!
5x3!
entonces
D) Ln2 E) la serie, es divergente
R E S O L U C IÓ N :
• Dándole una forma de sumatoria , así: oo
s = fXc 0 ( k
00
+ 2)h!
z
k+1
fc 0(k + 2 H k + l)k !
y. h+1 f f k+2 1 ) *+0(fe+ 2V £ 0\(.k + 2)!~(k + 2)!¡ • ( 1 ] )
BJconverge a 112 Djcrece indefinidamente
• Tabulando: n i .k * 1+— 1 Para = l : r, = — 1 3 4
el valor de convergencia es: A) 1 B) E C) -
2 h + l ' 2 k + 2 ........ 2 k + 2 k ’
99
Si S es una serie definida por + -s~
"
entonces la
R E S O L U C IÓ N :
PR O B LEM A 16 :
S=
.
'
Para h =2 : r9 = — I---- 1------ 1— 2 5 6 7 8 Para k =3 : rq = —+ — + ...
3 9 10 => Sk = r 0 + r1 + r 2 +... + rk
,
1
(1
1} ( 1 1 1 1} (1 1 } k = — + — + — + — + — + — + — + — + — +... 2 U 4) U 6 7 8) K9 10 ) ~+Se forma la serie armónica que crece
indefinidamente . RPTA: “D ” PR O B LEM A 19 : Analizar la convergencia o divergencia de la
1917 B
B
siguiente serie :
V I) Tomando : r f =nl 4ñ + n llllY ii Bn n
& 2 *l+ l
n(2n + 3n) -> Lim na n = Z im = 2 * 0 y PS2 => n-Mo a- w n*+5 la serie diverge . PROBLEM A
20 :
I) Se tiene:
»/
. . 2f2n/+2 I 1 ------------ -— L im = L im — n ^ 2 n ! + I n ^ » 2 l 2 n ! + I 2n/+iJ
¿Converge V — - — f "./5n + 7 • « -* 0 + i
= ¿n-w tm 4 í l - 2 n4! + l ]1 42^ 0 o 2L •Así pues , el límite del término general no es cero y , en consecuencia, la serie diverge. II) Si kzO ,se tiene que 3k +1 > 3k > 0 y por tanto 0<
3k +1
R E S O L U C IÓ N :
Utilicemos el criterio de la comparación , dado que: ; y como V00 —2 converge (dado 5n +1 5n h i Sn que es una serie geométrica decreciente de razón I I O £ ---------- < —
entonces :
* Luego, la serie dada está dominada por la serie ® 1 j geométrica J ] que es convergente, porque r
$ n~+ } converÉ»e •
P R O B L E M A 21 :
k=i$ * Finalmente el criterio de comparación nos dice
que la serie dada es convergente . I II) Veamos :
os/
í
+ n > ^Jñ ^ 4ñ_ _ 1 _ f i V * Lnn Ln L nn n fñ v »J
00 '** I*• * Tenemos que a H < bH y como/ diverge entonces ^ fen diverge «“i * n5 IV) Haciendo : an = Ab. = rt 5n4 ~2
rt + Sn
R E S O L U C IÓ N :
Consideremos adicionalmente la serie divergente: CD 1 Z r n ~ ln
•Ahora por el criterio de la comparación por límites, se tendrá que: 4n2 - n + 8
' n-xx>
i i - kd
OD
* Sabemos que
. ín 2 ~ n + 8 , ¿converge 2, - „ y . ~ ?
n
bn es divergente nml
1 8\ 4 -----+ —j n n2 =4=L 8_ 2+ n2 /
L > 0 a L * oo (entonces ambas divergen
* Veamos a qué es igual:
ambas convergen)
=— > 0
5+0)
00 * Por la comparación por límites :
diverge n*l
V) Utilicemos el criterio de *r f »
v* 4ns - n + 8 Z - -g-7-r - 7diverge /i-i rt + 8 »
PRO BLEM A 22 :
Analizar la convergencia de: /) y ( 2 n + 3 ) n ¿ A 2" J
* Tomando : n?=n3
00
2n - 7
R E S O L U C IÓ N :
-* Ltmw3aw= L i m U n-Ko
serie converge.
n-Ko n
— — = 5 y P>1 + 2n + 2 /buo
la
I) Como :
¿4'ma, A+4D
* - M
o
L » JW*
lr&*U s i s l
WICLOPEDiA 2012]
•■>ÍÁ¡
diverge, dado que II) Por ser el término general una expresión racional en que el grado del denominador es mayor en 1 que
el del numerador , usaremos el criterio de i f con rP — —11
lnnírn :. Ltmn r > /*am= Lim r • — *** 3 (.2n? —7) , luego
2
_
»-*• 3n* + 5n +2 3 entonces la serie original diverge . PROBLEM A
3 2 s = _ 7 ____7 _ = 3_2 = 7_ 2_3 t _ 2 4 5 20 7 7 S es convergente. RPTA: "C” PROBLEM A
23 :
25 :
Analizar la convergencia de c* i sene -V£ ,(^x 2 - i )ín + I Si la t i
es convergente ,
^ >[3n + i —>¡3n
2 n -3
n=l
determine el valor que puede tomar x eR . A) 162 B )16-l C)264 D) 4 R E S O L U C IÓ N : * Como la serie es convergente , entonces :
E)¿ 2
*Por propiedad de límites, dividimos los coeficientes principales , es decir
I) Como : 0< yfsñ+l -V5ñ n
RPTA: “B ”
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones : 00 I) Si 0 < a < b < l , entonces la serie S = a6* es %
k=Q
convergente. es convergente .
7
49
343
A) V W B) FVF O WF R E S O L U C IÓ N :
es divergente. 6
D) FFV
E) VFF
I) Como se trata de una serie geométrica
decreciente f entonces es convergente . (o
entonces será convergente . III) Dando forma conocida a los sumandos : _ 3 - 2 32 - 2 2 33 - 2 s S= + + ~^3— +-
2[$n*!i *
a
dado que
P>1
* Luego por el criterio de la comparación directa , se tendrá que la serie (I) converge . 2JJ Utilizando el criterio de la raíz :
PR O B LEM A 24 :
+
n {js ñ + y¡3ñ)
donde la serie V c o n v e r g e , . rt3/2 n=l* n
* Por lo tanto : x = J ó x = -1
III) La serie S = — + —
n(j3n + l+ J sñ )
corresponde a E Z
=0
ü ) La serie T
1 CD J
L im a =LiJ j l z l k i ¿ =o n+oo n-Ko 2 n -3 x2- l
R E S O L U C IÓ N :
\rt Lim
= 1 > luego no se puede concluir
n+oo n + 1) nada; sin embargo si analizamos :
L im an = L im f = L im ------— - = — * 0 , 71-MO fl-KO\ n + 1) B-+®^ e
=3- La serie (II) diverge dado que: U m a n 4* 0 PR O B LEM A 26 : Si f es una función, entonces indicar el valor de
verdad de cada una de las afirmaciones siguientes ; n+1
I ) ¿ [ f (k + 2) -/ (£ )]= f (n + 2 ) - f (re) k=i x n*i _ 1 X -1 k=/ n x n+*(xn - l ) n i ) £ x n*k = x -1 k=l A) FFV B) V W O VFV R E S O L U C IÓ N : I) Descomponiendo , a s í:
D) VFF
E) FFF
[n m r jm v K fi
« fB
i t r t .v
^»6 2+56+6 A (*+5)/ " £ 1 ( 6 +
n+l
jX fík +2 )-fík j] k=í n+l
c
=$;[/■(*+2 )-/ -(* + j ) +/•(*+D - r (* )] A=/ n+l
V ^ L tíz i 6 1 ~*t¿L(A + 4)/ + (A + 5)/J 1
n+l
- U6-0n í 3)/ (.k + 4)! (fe+ 5)/J
= É [ f ( A + 2 ) - f ( k + 2)]+ ¿ [ f (* + 2)-/"(A)] A=i *=>1 * Pero por la propiedad telescópica :
oo
1
1
S =*"(* I + 3)/
n+l Y é[ f í k + 2 ) - f ( k ) ' ] = f { n + 3 ) - f { 2 ) + f ( n + 2 ) - f ( D n k=l
00
|
00
*“ »(* + 4)/ « fIo í k + 5)! f —
00
f —
s = T —— ¿ y +ey £ 66// £ £*/ *=3 *=* /
W Desarrollando : S = Ie - l 1 + 1+
£ **+1 = x 2 + *3 + x 4 + x B+... + *Btí A=i
1+ 1 +
í)M -(
-+ S = S e -
k=i k+l
2 Í X , , - J >]
iT T r J --T 7 -
PROBLEM A
Si ,
97 12
RPTA: “C”
X n+2 - X
UI) Desarrollando : n ^n+6 = _ ^fi+2 , ^n+2 , ^n+3 JP X +4? + X i
) 1
1+ 1 + ¿ + - + ~ i i 2 6 24)j
+6
“> £ x * +í = x 2( i + * + x 2 + ... + *"“*) V*
W
, • 21»
es
S
28 :
una
serie
definida
por
:
6=2
®~*+ ^ + ^ + 7 § 2 + j§ fj + *"* entonces el valor de convergencia es :
£ x M*k = x n*i ( l + x + x 2 + x 3 + ... + xn-1)
A ) $¡e*
B ) i/e
C) V é
D ) V e*
E )ife ‘
k=l
n n+k n+l1 * £ * =X
R E S O L U C IÓ N
1
* Considerando que :
X- l
A-/
x
RPTA: “A ” PROBLEM A
27 ;
— + - + -L 1! 21 3!
+ J- +
41
P
x 3
x 4
1 + J ] + - 2 t + J 7 + J 7 + ~' = e*>' V x e R
.1
Si el número de Néper «e» se puede aproximar mediante la siguiente serie: e = i +
:
entonces el valor de
-> S * l + -g + j g + j£g + j ^ + ... _ s = i +^
+- £ - +^
3x1
32x 2
- +
39x 6
3*x24
* Esto se puede colocar apf :
convergencia de la serie «? p
l , 1 , 1 . 1 ( l ! ) ( 4x5) ( 2 0 ( 5 x 6 ) ( 8 l ) ( 6 * 7 ) ( 4 l ) ( 7 x 8 )
+... es:
s=J
(2 1 ) 3 x 4 x 6 x 6
+ ( 4 ') 5 x 6 x 7 x S + ’" ^ 2x3 3x4 4x5 5x6 4 3* — + + + + 999 5! 6! 71 81
tí
(6 + 5 )/
.
2 RPTA: “A ”
PROBLEM A 4x5 (31)4x5x6x7
29 :
Si T es una serie definida por m
5x6
(fe+2)(6+3)
2!
í i l í l L
:
* Transformando los sumandos : 2x3 3x4 s + -j----:------- - + (11)2x3x4x5
1!
2 S = e3
A)Se- — B)3e~— C)3e~— D)3e~— E)Se~ — 12 13 12 13 12 R E S O L U C IÓ N
i l L
T
X
X
=■ X + ~ r = + - i
X
+ ' r—
X
+ «»•' / ■
■¡2 Ti* Vi3
4¥->
+...» entonces
el valor de la convergencia es : A)
•fin
B)
C ) { 4 2 - l ) x D)
E)
15
(Ya
lU 'iq
íia s o ]
X iltL O V E lH A 2012]
-
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
♦Analizando se deduce que se trata de una progresión geométrica decreciente de razón : ij]2
A) Sea ; f ( x ) =
♦ Entonces :
x2
_
n
T=
x42 4 2 -1
1-
^ y ; para x > 2 (3x + 5)
2
2
( 3 x , + 5 )*
RPTA: “D
99
(3
x
2 + 5)
.2
=> f escontinua,decrecientey de valores positivosV ¿ 2.
por lo tanto,sepuede aplicar la prueba dela integral:
PRO BLEM A 30 :
. , . <* 2 dx = L i m I* dx i-Kt Ji (3x + 5)' r (3x +5) 2
Si Ln2 = 2 -4 : + — - — + — - — + •••♦ entonces el 2
3
4
5
6
valor de convergencia de la serie : = L im
(-ir +— 2 'n(n + l ) 20
1 + (-2 )
2+
2
s -Z
n*J
A ) — + 2Ln2 99
B )--L n 2 99 99 E) - Ln2 100
D )— + Ln2 100
6-no
3 (3x + 5)
es
C ) — + Ln2 99
B) sea ; f ( x ) = ----- -— j-; parax > 2
(x + 2)5 3 3 (x2+ 2)2 < (x2 + 2)2
x2
* Descomponiendo la sumatoria , así : ** o
«AJI ¿O*
, 1y
3
3
( x , + 2)2
(x ¡¡+ 2 )2
f escontinua,decreciente y de valorespositivos V * 2.
* + < -* > "
2o ¿fed f¡n (n + l)
por lotanto, sepuede aplicar la prueba dela integral; dx
= Lim t
b-¥X h
( x + 2 )5
2 l9
111
*1
2[
¿Jn +l j
n
t ,
»
n +l
dx
6
2
Lim 6-4®
(x
3 + 2)2
i (x + 2)s 2
= Lim 6-*®
2 , + i/S
(6 + 2 ) 5
,♦Pero D : Lr n „2 = ,l — 1 + --------+ 1 1 1---------+ 1 ... = Y -----------2 3 4 5 6 " n
* por lo tanto la serie de (B) es convergente .
♦ Entonces reemplazando :
C)Sea:f(x) = - ^
-> S = - + 1 - L n 2 = — - L n 2 RPTA: “B ” P R O B L E M A 31 :
Aplicar el criterio de la integral para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series 2 2 A )T, 2 n-/ (3w + 5) n=l(n + 2 )*
o n*2 l ^n f
jf— -> f (x) ss----- ^------ ; cuando x'¿.2 9f'(x)es negativo x => f escontinua,decrecientey de valorespositivosV > 2. por lo tanto,sepuede aplicar la prueba dela integral;
99
® n=I
¡3
Xa
\ . _ (i i i i Y| S = ± + l l —Ln2 + \ — —— + — —— + •••II 99 2 [2 3 4 5 )\ * UUx2 J 99
12
♦ por lo tanto la serie de (A) es convergente .
R E S O L U C IÓ N : s_ 1y
= L im
2 2 + 3(36 +5) 24
e tln n
Lnx
Lnx
dx ~ 3 f x »-+* «J2 x * luego deaplicarla integraciónpor partes = L im
f
seobtiene; Lim
b-W
Z/i6
2
Ln2
16
Ln2 1 + — -■ i l -L U n l-y * 1 2 ¡ ? ~ w +~ ¡ r + 16 f6J k-w [ 26*J 8 16
* luegodeaplicar h'ospital seobtiene; r .
L iim m
.í* L Lns nx,
Ln2 1 — = -d x -------+ — L"“J
** J 4-w «s ***
8
20
[K W C fO A T O
1991
W fm tO A ’
♦por lo tanto la serie de (C) es convergente . -
♦ demostraremos quean+j
t/x
Djsea : f f x ) = — =■ * f'(x) = - L e IIX X
^
-+ f Y* ) =
2_
+ eV a
2 X
a
„3
+ 2 j ; cuando x 2.1
>f'f x) esnegativo =o f es continua , decrecientey de valorespositivosV 21 «por lo tanto ,se puede aplicar la
prueba déla integral: Vx
Vx d x = L i m f* Ó4x J2
r
S E R ÍE S ]
n n3 + 2
Ln n n+1 _ n a„ Ln(n+1)
♦ por lo tanto la serie de fD) es convergente . P R O B LE M A 32: •
**: ••39.—
.
. 'Wmm\ •: '
j
a* *
Aplicar el criterio de las senes alternantes para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series - • oo
_ n A ^ í-lf^ s e n n=2 n
.
oo
B )Y , ( ~ l ) n+i * na + 2 ’ n-2
Ln(n+1) „ n — -r <1 (n + 1)2 Bnn
(n + íf
-> “ n+i<“ n.,V »6Z* ♦entonces por el criterio de las series alternantes concluimos que la (CJes convergente.
9
lf*+
n . n*2 R E S O L U C IÓ N ; A) laseriedadaesalterna, con;
,
j» * j .»
3" i»
-
i
D) la serie dada es alterna, con : 3n g(n+i) a n “ ~ f A a »+2 “ nM (n+1) 2 ”
00 ♦donde: L i m a H= L i m 9 H-KC fl* 00 ♦por 2 vecesh'ospital: S"
L im a n= L im sen — = 0 i+X n+x n
♦demostraremosque an4l
00
n -+ x
♦ i. 1 : Lr im • — ■=—= L irm- - (^^n)= 0/* ♦por u» h ospital «4x n »-»* 2n ♦demostraremos que a n+I
6-+x
a »+j _
(» s+j ) +2]
On+/<«n.*V» 6 Z+ ♦entonces por el criterio de las series alternantes concluimos que la (B ) esconvergente. C) la serie dada es alterna, con ; Lnn Ln(n+2) *n = — r AB*+is — 1 n (n + J) L/t n 00 ♦donde: L im an= L im s n-*x
00
n
.3 " T . 3"Ln3 . . 3" (Ln3)* im—= = L im -----------= L im — -------— = 00 L « -«
n+1
71 •en— n
/ l“3
#1400 *400
Z 2n S
2
H n— 4+x *
♦entonces por el criterio delasseriesalternantes, donde el límite no existeconcluimos que la ( D ) esdivergente.
♦entoncespor el criterio delasseriesalternantesconcluimos que lafA) esconvergente .
P R O B L E M A 33:
B) laseriedadaesalterna, con:
Determinar el intervalo de convergencia de .* oo ¿n + 1 ^ 2 n
4" ' x . S fi-0 n + 3
n2 _ ( n + 1f A an+l = °* n3 +2 (n + 1)3 + 2
♦donde: Limon=Ltm—^ — = L im — ^ - = 0 n-*c
n-w:
+3
ih »
2
n+ n
R E S O L U C IÓ N : g*+1jg2m sea t a. Aa*+i ■ n+3
n+4
♦aplicando el criterio de la razón:
Lim *-♦30
=Lim 4m'* x * m+* n+4
n +3
4"*1**'
i
— ♦
I ♦
ra iig g a i
1
4(w + 3) = 4* 71+ 4
Lim A+X
71 R p ta : "diverge n— 15n * + 3 00 C ) £ sen— .....................R pta : "diverge "
♦como ; 4x2 < 1 ~+ — <.x < — 2
a
2
n
n «I
♦para; x = — a x = - — se tiene la seriedivergente
00 caen
^* jn+A M2n jn+t x x — n+
n =1
n
»
1
<30
♦por lo tanto, el intervalo deconvergencia es PROBLEM A
WICLOPEDIA 2012}
íyü*
^
34 :
Calcular coa58Q aproximadamente con 4 cifras decimal es:
R pta : "converge" R pta : " diverge "
E / »'*Lj l ~ r + vn
OO p; x - # t“ 1n +j ® 7
.Rpta ; " converge R pta : " diverge"
R E S O L U C IÓ N : x2 x4 x6 ♦Sabemos que : coa x = 1 -------+ ------------- +... M 2! 4! 6! ♦se nos pide cos58° , de donde :
eos
™
1 f5 8 * f ~ 2!{180J
1 (58x\4
—
+4/
i,280 J "e/tisoj
Calcular $¡> aproximadamente con 4 cifras decimales. R E S O L U C IÓ N :
=i »
♦Sabemos que :
n
♦se nos pide
2n
n =1
* n2*"
P R O B LE M A 34 :
= 1 + X +
x 2 x3 x4 x 6 ------ + -------- + — - + ^ iitt 2! 3! 4! 6!
t 1
1
1
5
25
2
1
1 x —+ 1 1 x —1 +
125
6
625
24
3125
Rpta
n
í»
E j'Z f-l)
1 x —1
R p ta : [-2; 2]
+1 019 ..rt 2 nx
X
í
R p ta : nconverge"
Rpta ; (-2 ; 2)
00
, de donde : x = —
-* e 5 = 1 + — h— x —+
I
R p t a : " converge
222) Determinar el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias :
>00858° = 0 ,5 2 9 9
€
n+l
1 (58x Y
^ c o » 5 8 ° = l - 0 , 5123665 + 0 ,0 4 3 7 5 3 - 0 t 001494
x
7 -—
00
90
*
®
n s l 3 n - eos n
a-o* 5 5 * , 29* 58° = rad 180
R pta : "converge"
(2 n -2 )3 * " J
•'( 2 ; s )
Rpta ; ( - 00; 00) Rpta :< -9 ; 2 ]
n
F ) ^* Ln(n + 1)
Rpta : f-1 ; 1 >
120
-¥ e 5 = 1 - 0 , 2 + 0 ,0 2 + 0 ,0 01333 + 0 ,0 00066 + 0,0000026
G ) £ n “( x - 3)" ..................... Rpta : {3} n ai
I) Determinar si convergen o no las siguientes
«o H ) £ n ' * .......................... Rpta : (~e;e) ^ .* f/ Tt n £oo ( _i r l * 3 x 5 x x ( 2 n - l ) xlnt¡ — 2 x 4 x 6 x .... x ( 2n)
series :
..............................................................R p f a ; [ - 2 ; 2]
Ve = 1 ,2 2 1 4
E J E R C IC IO S
J ¿JX n =1 >¡n3 +1
R p ta : "converge"
2V)Demostrar el desarrollo de las siguientes series de potencias , y determinar el radio de convergencia
B M íx sa
[F i> w m v K .< x2
2 x 8 17X7 62x 9 A ) tgx = x + — + -------+ --------+ — — + 15 315 2835
_ fc . 1 x B ) ctgx = — x 3
xs
2x‘
45
945
— -
+
1
x
7x 9
6l x a
277x 1
x
6
860
720
8064
G sH
M
A)E
u
¡SI
2x3
2
\ «M »N
Ix3 x5 x7
2x4x5
2x4x6x7
22 x 4 x 5
x2 x4
x2 2
A)
I
J
2835
x4
xa
17 x 8
45
2x4x6x7
•• « H i t
t
x2
3x9
2! -
3! -
9x4
v
37x 8
Síx9 et
_X 3
_5 X
_X 7
«cuhx * x +— +— +---- +» + 31 5!
t V £»•*!■-/
W
3
15
(*»)' 315 2835
3
5
1 + —* U )a rc cotghx « — x
7
Sn+l
+
3x9 ‘ 5xa
1
+1 (2n + l ) x 2m
(
©
Calcular : S = ¿ 3n=i ^
A) 2
B) 3
( D) 5
C )4
60 2) Calcular : S = ]jT
i
*
D ) 4e+4
E)2e
B)
22
15 C) 24
96
25 D) 36
E)
28 35
Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones : 00 fl + 1 ( ) La serie : J ] —— — es convergente n«i 5n + 2
2n + l
+ —1 - +
C) 4 e-3
A )L o g 2 B ) - L o g 2 C )2 L o g 3 D ) - 2 L o g 2 E )^ L o g 2 3
T )a rc lg h x = x + * L + * ! + * ! + _ + * ------ ♦
*
4 2 -1
oo Sumar la serie : X Dog n=2
O .. L x9 2xs 1 7 x7 62x 9 S) tghx mx - — + — - — - + ------*
42'
C) j t - D E ) H 4 2 -1 42 + 1 3
B) 4e+2
33 A) 16
2n
x% x4 X4
42*
Calcular la suma de la serie : 00 1 jz£ j n ( n + 2 ) ( n + 4)
7!
R ) eoe kx a ¡ + --- +---- + J ! 41 31
- ■+ a , +
«■o n •
+*
, x 2 8x* 0 x a 3 x a 58 x 7. V i 9 » J + x + -------------------------------+ ----- ^ + 2! 4! 5! 6! 7f%k 1l
i®Aeoix
4n -1
® I Sabiendo que : e = — - hallar la suma de la
A AA. V. s v A>4
N ) « t9X « I + X + —r + ----~ + — - + —— +......
O) e
+
E ) " a" 2
4 ^ n+ 3 p . sene : £ -------t n¿ fl=i
w ir J r X* Mx4 6 2 x 9 M ) Ln tgx * Lnx + — + ------+ -------- -f * 3 90 2835 * r . te*
3!
2n-4
4n -1
+2
) J
m
2520
n *-l
6
Calcular; S = a +
17 x
180
C)
2n*-l
A )^ L 3
6 12
E)E 2
dicha serie s i: S„ = " 2n + 2
X3 X5 X 7 J ) arctgx - X - - — + —----- — + 3 o 7
L ) Lncoax
D)
C)1
B >1
5x3!
n -2
l* 3 x 8
2x3
K ) Lnaenx = Lnx -
4x2!
•
x l x 3 x 8 +-------------1x3 x 5 x 7 x + ------- +
I ) arccoBX = —
3x1!
Si SMrepresenta la suma de los «n» primeros términos de una serie halle el término general de
r 20l í1 ^ 1 * L
X + — + — + •«»•*<+ 3 5 2n 2 n -l
H ) arcaenx = x +
C)S6 2
F)a' = l + xLna + & ™ ± ' - + < & £ - + 2! 3! x2n-l x 9 Xa X
G) Ln
50 D) 51
Hallar: S=4+ 0 * + . * , + . *«,,+■—
4725
E ) (i * x ) - - i r n x +
B)2
A)1
. x 2 5 x 4 61x7 277x9 C ) tec x = I + — + ------ + ------- + --------2 24 720 8064 D) coaecx = — + —+
.V K K /K . s ]
K )6
) La serie
-s e r
) La serie ;
A) V W
es divergente
oo ^¿^11 — - — es convergente
n*l 5
B ) VFV
C jíW
D ) FFF
3 Determinar : 8 = £ . N—^ ¿ n ín + ¿lM )(n +
3 )
E ) V FF
Xt'JCJJtPEMA 2012]
I.VíSi
15 A) 12
B) í l 15
C) I L 12
E)
<
B ) I y i n co n v erg en D ) N in g u n a c o n v e r g e
A ) I y I I c o n v er g e n C) T odas co n v er g e n E) S ó lo I c o n v e r g e
12
( ÍJ ) Calcular : $ = £ + J L + 4£ + :*Z + w 5 5 5 5 15 32 23 C) D) A) B) 32 16 n n 2) Hallar el valor de : S = (* + 1) + (n - *) M=2 *=i
E)i
A ) n3
B ) n * + n -2
Calcular : B)
C ) n 2+ n - l
S
2x3x5
D ) n *+ n
3x5x7
E ) n *-n
5x7x9
E)
C)1s 18 D )1 n i . n 2 12 28 50 78 Calcular : S = — + — + — + — + h 1! 2! 3! 4! 5! A) 4e+ 3
© Sobre el radio de una semicircunferencia describimos otra semicircunferencia, sobre el radio de esta nueva semicircunferencia describimos otra nueva semicircunferencia y así sucesivamente. Calcule la suma de las longitudes de todas las semicircunferencias, siendo el radio de la primera
12
B ) S e+ 2
C )4 e + 1
D) 5e+ 3
rn A) 8
E )4 e + 5
B)
Si:
rn
C)
B)
•
D)
°?
34
E )2
18
A)
Calcular : Y —¡r tyJf+1r A) D)
2«-/ 2 "+ n + 2
2n - n - 1 B) 2n l 2n- n - 1 E)
3A B) 8
3
>n+!
Calcular: S = 2 + ^ - + ^ - — 4- + ^ - + .. 00 3
42
5
B)
C)
D)
30 C) 93
8
z
2
C jC o n v e r g e a l
Calcule la suma de la siguiente serie:
14 E) 96
n=¡ O 0
Respecto a las series : 00 * * k*-4 ^ Z -A o* i d *T i - 2 h=i o +8"
B )C o n v e r g e a —
D ) C o n v e r g e a 3 E ) E s D iv e r g e n te
D)
C )3
E)2n
Zé * podemos afirmar: n=l * + q« A )C o n v e r g e a 0
Calcular: S + P Si : S = £ nTt P = B) 2
D )n
an
oo g%n
A) 1
E)
4A
E)
" 1 Calcular : Z 7 —-------777-r jf?, (2n - í ) ( 2 n + 5) 23 A) 90
2
3A
00 Sea 5] °n una serie de términos positivos que A-J cumplen con la condición an -> 1 . De la serie +
2 A)
D)
c ’i
Sabiendo que: j — 4 + - 4 — L + J-. 2 + .... = x 12
©
C)
2"
2
i
Calcule la suma de la serie: co Z A rcTg n2 + n + f ) n=l
k=l
2n - n + l
E)2rn
jK ( 2 k - 1 )
35 96
D )rn
1 — j = A , halle el valor de la suma:
OO 2n + 1 Calcular : Z - ^ R«1 * 27 A) 16
rn
n E) 5
III ) Z k=t
11a
ir
nB n 6
f»=; 2*
Dj 4
00
11*
(k + 1) e
k
A)
60
B)
24
CJ
10
D )Í8
Halle la suma: ^ L o g ^ 2 2k.Tgk ^ + k t j j
E )l
H f T ii. v o . v
en ténninos de **nn.
A) 3 e - 4
A)2m*IL og2 B)(2*+l - l )L o g 2 C ) (g**M+ l )L og 2 D)2(2*+1 -1 )L og 2 E )2 (2 m*1 +2 )L og 2
37 C) 303
2>Si
C )3 e - 2
E)3e
D ) 3e - 1
n
£
= (n + 1) + x r=l
determine el valor de **x A) 0
^ {2 5 k x+5k-6 20 B) 303
2n+tf k = l V.
Determine el valor de: 60/ 2 10 A) 303
B )3 e -3
41 D) 303
B) 1
S —1 + — +
9
101 A) 80
h+2
( n k + 1) I© k*i
36 121 C) 80
215 B) 73
eo
3
TJJ- + ...
215 D) 101
425 E) 80
on-i
y
±____
t i ( l + 2n) ( l + 2n~1) E )2
D)1
-i
A }i
Indique el valor de convergencia de la serie: A k2 +3k + 3
E) FFF
—¡kl *4 + 6 k° + l l k 2 + 6k
Determine la suma de la serie: AJI
s=1+l + l . +í l + 4 16 64
JT+
*r¡ Determine la suma de la 6erie;
determine el valor de verdad de los enunciados siguientes: ( ) Es divergente. ( ) Converge a cero. x + x 1 ( ) Convergente a: x 2( x - l ) 2 A) V W B) VFV C) F W D) FFV
E ) 71
Determine la siguiente suma: 0 , 2 26 242
53 E) 303
En relación a la serie: tC
D )n
C )n
©
1
B)
E)2
Calcule el valor de: 13
C)?3
64
'£t ( ¿ 5 k - l - ¿ 5 k + 4 ) ( 2 i - I D 1=4 k=l
» =£ El conjunto: OO
A ) -9 0 6
71 \ A
converge
F=\xeJt/J^
= , <1 - x f
es igual a:
B ) -9 6 0
2
2
2
5(12)
12(19)
19(26)
+ •••
B,7 [ ? - 5 i b ] c4 [ l E) 1 2 k + 5J
0! hallar: jpféJ=— 11
a2
a3
a
36
tiene **kn sumandos. Entonces Sk es igual a:
D)
E ) -9 7 6
13 , determine' el valor de “a n converge a —
Q í ) La suma finita: Su =
D ) -9 8 6
Si la serie: D 2 22 222 2222 S = — + — ^ + — =- + — =— +.. a
A ) R B)< 0;-h» >
C ) -9 6 8
1! 21
2k 2! 31
3! 41
41 51
A) 18
B)13
4 TJ\IV E S 01) c 02) OO) c 07) 12) 11) B 10) C 47)
m : D B B A
10 C) 13 1 A /I M P R tU T lV A 04) C OS) C 02) c lO ) C OS) B 09) C 12) B 14) B IB ) C 2 0 ) ii j 1S) A 19) C
CLAVESDE LA SEGUNDAPRACTICA 3)A4)E S)B6)D]7)R8)B9)DU0)B |7i>B 12)Cm m 15)Cim m m í
Iiaaej
{vm.w^ + hm í; m k m * s %.
OBJETIVO : * Realizar un estudio elemental del cálculo
integral y sus aplicaciones. I N T R O I i U C C IÓ N :
XCU'JAtPEUMA SOIS,)
todas las anteriores es de la forma : Ffx) = xs + c , donde c es una constante real . O B S E R VA C I Ó N
•y§oS
En la unidad anterior , nuestro estudio se centró en el cálculo de la derivada de una función f. Es decir, se conocía ffx) y queríamos calcular f'(x):
•Derivadas OO fMHll
Dom ffx) = f ' fx) = ?
f'fx)
Ahora el trabajo se centrará en el «proceso inverso», conociendo f ' (x) queremos encontrar ffx) : f(x) = ? ..........................-> f'(x ) En física , por ejemplo , si conocemos la velocidad de un cuerpo (en movimiento) , cuya notación es ~~,¿cóm o encontramos la posición fft) en un La integral y la derivada son operaciones inversas .
instante dado?
4 ♦
En economía , si conocemos la tasa de crecimiento de las ganancias en una compañía , cuya notación es
¿cómo hallamos la ganancia Gft) en un
A N T ID E R IV A D A D E UNA F U N C IÓ N
Una función F es llamada ANTIDERIVADA de otra función f en un intervalo J si se cumple : F '(x ) = f(x)
futuro dado?
En ecología , si conocemos la tasa de cambio del nivel del monóxido de carbono , cuya notación es ¿cómo encontramos el nivel de monóxido de dt carbono cft)?
Los hechos anteriores y muchos más nos llevan al estudio de este «proceso inverso» . EJEM PLO :
Hallar la función Ffx) que tenga la propiedad : F ' f x ) = 5x4 R E S O L U C IÓ N :
Como F'fx) = 5:k* es una función potencia, intuimos que Ffx) debe ser otra función potencia . Ahora , recordando las derivadas de las funciones potencias «razonando regresivamente» , concluimos que Ffx) = xe. Pero otras respuestas pueden ser F(x) = xs+ 8 (ya que F'fx) = 5x4) ó Ffx) = x s - ¿ 2
(ya que F'fx) = 5x4) Una respuesta que involucra a
; VxeJ =e
EJEM PLO :
* Una antiderivada de : f ( x ) = 3 x 2 enU esF(x) = x 3
•Pues : F '(x) = 3x2 = f f x ) ; V * € S
A N T ID E R IV A D A G E N E R A L Sea f una antiderivada de una función f en un intervalo J . Entonces la función G dada por G ( x ) = F f x ) + c , donde « c» es una constante arbitraria, es llamada ANTIDERIVADA GENERAL de la función f en J . EJEM PLO : G = x 2+c es la antiderivada general de ffx=2x en ]g ANTIDERIVADA DE LA FUNCIÓN DE LA FORMA ffx) =*" *
En el siguiente cuadro se ilustran algunas funciones y las antiderivadas respectivas :
[ F i n n o . m ^ nwmwNoN Función ffx) 1 X
A N TID E R IV A D A S T R IG O N O M É T R IC A S í
Antiderivada gfx) x+C X2 — +C 2 -8
La función ffx)=cosx es la derivada de g(x)=aenx. Además es la derivada de las funciones :
—+c 3
X2
A N T ID E R IV A D A D E F U N C IO N E S E X P O N E N C IA L E S Y L O G A R ÍT M IC A S
x4
Si n es un número real diferente de - 1 , la antiderivada de la función ffx) = x ” t es el cociente entre la base elevada al exponente aumentado en uno y tal exponente aumentado también en uno . E n sím b o l o s :
—1 ,entonces,
)a
xn + l +C antiderivada de ffx) es: g (x) = n+1
porque la derivada de: y = ex + Cesex4 función g(x) = Ln x + C porque la derivada de la función es:
E JE M P L OS :
y-Lnx +C
es y' = —.
IN T E G R A L IN D E F IN ID A
*La función antiderivada de f (x) = x~* es la función: “ ~2 + J
-2 +1
-i
~
+C=— +C
♦ La función f(x)=xp tiene por antiderivada la x° +1 +C=x+C función: ¿?(x) = 0+ 1 Recuerda : x ° = j
+C
2
Recuerda : J x = x 2 f(x ) = JL o f(x ) = x 8 es
-2
+C=
=> j f { x ) d x = F(x) + C ♦Donde F es una antiderivada de f y C es una constante arbitraria. ♦ La función ffx) se llama integrando ; dx indica la variable en términos de la cual debe darse la función resultante . EJEM PLO S :
*La antiderivada de la función -3+1
♦ Se utiliza el símbolo : Jque se llama una integral o símbolo de integración.' J f(x)dx: integral indefinida de f.
2x*
+C= V +C=
El conjunto de todas las antiderivadas de ffx) se llama la integral de ffx).
N O T A C IÓ N :
♦ La antiderivada de la función ffx) = Jx es :
-3 + 1
En el capítulo anterior ya se estudió las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas ; la inversa y la antiderivada , se puede encontrar con el mismo procedimiento que se ha venido desarrollando en este acápite ♦ La antiderivada de la función : f (x ) = e*es g(x) = ex + C ♦ I^a antiderivada de la función f(x) = — osla
Si f f x ) = x n, n £ R ; n
g(x) =
y = senx + C
y = cot x .
E N GENERAL :
g(x) =
y = sen x - 3n
y = senx+C son funciones antideñvadas de
g(x) = - — + c = — + c 3+1 4
g(x) =
y = senx + j í
4
Observa como la antiderivada de ffx)=x* es: x5+ l -• +C=— +C g(x) = 5+ 1 6 También si flxj^x3, la función antiderivada es: -3 + 1
y = sen x + x
♦ Las funciones : r? y=aenx ; y = senx+n; y = senx-3^—,
— +C 4
X3
M.XK/CGMi.XI.t:* ]
1227
-2
+C =
—2x
+C
♦ La notación J x 3dx se lee integral de la función f(x) = x3 respecto a la variable x. ♦ La notación J cosxdx se lee la integral de la
NCICLOPEDIA 2012}
función f(x) = cotx respecto a la variable x
OBSERVA :
* J(3**)dx = x5+ c
♦La integral de la función g(x) es ^ de la integral de la función fíx). Es decir :
6 * íix * + 2x + 3)dx = — + x* + 3 x + c J 6
/4
porque: -fL ͣ -+ x * + 3x + c = x s + 2x + 3 dx\ 6
f cosx dx = — — senx+ C 44 4
— cosx dx = —
EN GENERAL S
j
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la
CÁCULO d e i n t e g r a l e s IN M E D IA T A S
función. J k f í x ) d x = k j f í x ) d x , donde k £ R
Se llaman integrales inmediatas a aquellas que son fácilmente reconocidas como la antiderivada de una función . La integral de la función 2x es x a + C porque la derivada de **+C es 2x .
Hallar la integral respecto a x de la función f(x) = 7x4 .
* En símbolos : j 2 x d x = x 2 + C ,
R E S O L U C IÓ N :
IN T E G R A L D E M O N O M IO S í
La función fíx) es el producto de la constante 7 y la función h(x)=xi . Por lo tanto :
La integral de expresiones de la forma x n > se obtiene aplicando la expresión estudiada en el taller
EJEM PLO 1 :
X
J 7x4 dx = 7 j x 4 dx = 7
5 ¡
+C
f ior : \ x nd x = --------- + C ; n * - l anterior J n+l
IN T E G R A L D E L A S U M A D E F U N C IO N E S :
EJEM PLO S :
La función g(x) = x + 1 es la suma de las funciones
«6+í
r
r
x2 f(x ) = x y h ( x ) = l . Por ser J xdx = — +Ct y
X6
=— +C
7+c=
jl d x = x + C2 t la integral de la suma de las funciones
-7 -7
* jx 2 dx =
2
+ c = -± _ + c = o_
6+Jx5
+c
2 LA IN T E G R A L D E UNA C O N S T A N T E P O R UNA F U N C IÓ N í
será:
f
(x + l)d x = J * x d x + f l d x =
+C
+ (x + C 2
* Como la suma de dos números reales es otro número real , es suficiente escribir una sola 2
2 constante. ^ + c , + x + C2 = — + x + C
Entonces: J (x + 2)dx =
— + x + Cdonde
C=C/+Ci
x3 ♦ La integral de la función : f ( x ) = x 2 es — + C 3 5x* * La integral de la función g ( x ) = 5x* es +C
Calcular : J ( x + x + l ) d x
porque la derivada de Ü!£Í es igual a 5xs -
R E S O L U C IÓ N :
O B S E R VA :
*La función g ( x ) = x 2 + x + l es la suma de las
15x* dx=5 veces J x sd x = ^ ~ + C = 5 veces y + C
funciones: f (x ) = x2, h ( x ) = x, y r(x) = 2 por ser:
* La integral de la función : fíx ) = eosx es senx + C O ♦La integral de la función: g(x) = —cosx es —senx + C 4
a
P a rq u e la d e r iv a d a d e
EJEM PLO 2 :
J ( x 2 + x + l)dx = J x 2dx + J x d x + J ld x
♦ D o n d e : j x 2d x = x + CX; jx d x = ^ - + C s; 3
M
—aenx+C es—eozx
jld x = x + Cs;
w rm to ^ + ^x2dx+^xdx+^dx = ^ - + C t + ~ -
[IBJ^ Mxxy 1 1 ^ + Ct
J (Jj£jf)(x)tlx = B J f ( x ) d x , K constante
+ x + Cs
¡{x2 + x + l)d x = ^ - + ? ~ + x + C
♦Donde: C/+Qf+Clf=C EXGEXEMLW:
La integral de una suma o resta de funciones respecto a la misma variable es la suma de las integrales de las funciones sumandos .
♦ En el siguiente cuadro se presenta una síntesis de las funciones estudiadas , sus derivadas y las integrales inmediatas más notables : Función
Derivada
y = x",n * 1
é l
dx
\xmd x - x *** + C ; n * - 1 3 n+l
y = o*
— = a’ Lna
fa xd x =
Hallar la integral de : fíx ) = 3xs - 7x + 3,5
y = aenx y = c o sx
R E S O L U C IÓ N ;
♦ Por ser la función fíx ), la suma de las funciones h(x) = 3x3; l(x) = -7xy ; r(x) = 3,5 se tiene :
=
dx
y = e* y -L n x
EJEM PLO 3 :
]
y - ta n x y = cot x
J (3 x2 -7 x + 3,5)dx=J3x2d x - J 7xdx+J3,5dx
y - secx
= J 3x2dx - J 7xdx + J 3,5dx
y t=cae x
Integral
J
— +C
Lna
je * d x = e* + C dy dx dx dx
/ x
\— = L n x + C J x
c o sx
\coa xdxm aenx + C
= -aenx
iaenxdx « - coax + C
)•«?* xd x - la n x + C
dx
í cae2 xd x = - cot x + C
dx & - a e c x ta n x dx dx
j aec x tan xd x = aecx + C
= - c s c x c o t X \ca excot x d x - - c a c x + C
7^.2
=^ - +C ,- —
+ C2 + 3,5* + Cs
♦ Entonces :
FÓRM U LAS ELEM EN TALES D E IN T E G R A C IÓ N
J*(3x2 - 7x + 3,5)dx = x 3 - ^ ~ - + 3,5x + C
R E S O L U C IÓ N :
un + l 3) I undu = n + l + c; n = -1
♦ Se calcula el cuadrado del binomio : f(x)=(4x + 3)s =16x * + 2 4 x + 9
* U
U + c ; a > 0 Aa 5) i a udu s Lna
1
-y j (4x + 3)2dx = j (l6x2 + 24x + 9)dx
6) Jsenudu = -coau + c = J 16x2dx + j 24xdx + J 9dx 7)
Jco8udu = 8enu + c
♦Luego: J(4 x+3)2 dx = ^ - + 12x2 + 9 x + C
PR O PIED AD E S D E L A IN TEG RAL IN D E FIN ID A Sean f y e funciones que tienen definidas antiderivadas en un intervalo J , entonces : (f ± g) admite antiderivada en J :
8) J
íg u
du = Ln\secu \+
c
9) jctgudu = Ln¡8enu\ + c I® ^secudu = Ln\ secu + tanu\ + c 11) fc8cudu = Ln\c8CU-cotu\ + c
(kf) admite antiderivadas en J :
12) js e c 2u du —tg u + c
a
EJEM PLO 4 :
5
f^ A y Hallar la integral de la función fíx) = (4x + 3)2
J
2)
II
1)
cdu.
!1 11
p ¡ du = u + c
+c
\IS90\E
13) jcsc2udu = - ctgu + c
Xt l í LOPLDL\ 2012)
#
14) jsecutgudu = secu + c 15) jcscuctgudu = -c8cu + c 16) jsenhdu^coshu + c
rf(y+2) = Lw(x+3) + c J x+3
17) jcoahdu —senhu + c *
18) jtanudu = Ln\co8hu\ + c 19) jsech2udu = tanhu + c 20) jsech2 udu = tanhu + c jsechu tghu du = - sechu + c
*
22) jc8chu ctghu du = - cschu + c 23) f - / - - j = larctg^+c ; (a > O) 3a* + uz a a _ 1 L n u - a + c ; ( a > O) 24) u+a *u2- a 2 2a r du
3a 2 - u 2
u+a + c ; (a > 0) u -a
2a
/ n\ = arcsen — + c ; va > O) 26) a W a1- » 1 r
27) I
u ,
du au
du
= Ln u + 4 u 2 ± a 2
Vu* ± a
TÉ C N IC A S D E IN T E G R A C IÓ N V
f
L
Iw I .
/
^
28) I- T i ----- f = - a r c s e c l- l + c ; ( a > 0 ) a uva - a 2 ^ 29J J V ^ - i ^ d u s ^ u V a 2 - * !2 +a*arc9en—J+ c ; ( a > 0 )
30) JVm2 + a 2du = ^ [« V u 3 + a ! + a 22>i (u + Vu2 + a 2)] + c 32) JVw2-a*du
= -^\uyftJ~^~a* - a xln(u + -Jü*~^~a*)\+c
c : constante arbitraria . EJEM PLO S :
Evaluar : *
I) IN T E G R A C IÓ N
POR S U S T IT U C IÓ N ALGEBRAICA (CAMBIO D E VARIABLE)
Uno de los métodos para calcular integrales es el de sustitución . Este procedimiento consiste en realizar un cambio de variable de tal forma que se transforme la función en una integral inmediata . * Por ejemplo , la integral jix3 + 2)* 3xsdx t no es inmediata ; es decir , no se puede hallar directamente. Es necesario transformarla en otra función cuya integral sea inmediata , para lo cual se hace un cambió de variable . * La función fíx) = (xs + 2 )2 3x2 es el producto de la función compuesta g(x) = (x3 + 2)2y la función h(x) = 3x2.
R i7 n E & * p &
f g p ir J O iW ^
\ m
♦La función h(x) = 3xs es la derivada interna de la fiinción ffx). ♦Por ser 3x* la derivada de xa + 2 , se hace u = 0 + 2 , de donde se obtiene que: du = 3x* ; du = 30d x. dx
♦ En la integral J(*3+ 2)S3xfdx, se sustituye la variable u por 0 + 2 y du por 3x9d x .
u
du
&
. ¿ f
f 2. Ii1' * ( x " + 2 ) ~ I u du == — + C = ---------- + C J 3 3 ♦Paraverificar, sederiva la función resultanterespecto a x. Se debe obtener la función ffx) = f 0 + 2 0 3 0 . 3
♦ La derivada d e gfx) =
U 3+ 2 )
equivale
♦ Se sustituye la función y¡0~+l+ P°r * * * Y xdx por du. ém J1L
_Ut - f - 2 = - f ^ L 3 i f u ~ * d u m l uM
♦Entonces : J
♦ Para expresar la respuesta en función de * , se sustituye nuevamente a u por x 3 + 2 . Í^ S
la derivada de la función u = 0 + l . — dx . du a , xdx = -y .
2 1 1
J Jx* +2 **jü J 2ulix 2J
Integral inmediata
3
♦ Se llama : u = x* + 1. ♦Con la función numerador hfx) = * Bepuede formar
f ." I *
f (x3 + 2 f 3x2dx = f u2du = — + C '
M.VTRGHAMJKSe]
i z * i is a
+C
um + C
+^
♦ Se sustituye u por 0 + 1 : u13 + C = f 0 + l ) m + C
♦ Por consiguiente : f
xi4x
= 4ü + C = 4 x 2 + 1 + C
J EJEM PLO 2 :
+ C es:
Calcular : f
+%)4 dx
¿ (x) = 3(xS + 2)2 3x2 = 3x2 (x3 +2)* = f (*)*.
3
^
P A S O S P A R A A P L IC A R E L M É T O D O O E S U S T IT U C IÓ N .*
El método de sustitución se emplea de la siguiente forma: ♦ Se identifican las funciones cuyo producto es la función que se desea integrar . ’ ♦ Una de las funciones corresponde a la función primitiva y debe existir la posibilidad de obtener con la otra función, su derivada . ♦ Se halla la derivada de la función compuesta. ♦ Se designa con una variable la primera función que forma la función compuesta . ♦ La función que se debe integrar se expresa en términos de la nueva variable . ♦ Se expresa la integral hallada en términos de la primera variable . EJEM PLO 1 :
Hallar j ' * dx JPTi R E S O L U C IÓ N : X
^ no es inmediata. La ♦ La integral jI ^ " 2" fiinción denominador es compuesta.
R E S O L U C IÓ N : ♦ Sea : v = 0 + 2 => dv = 2x dx
♦ Luego : f 4x(x2 + 2? dx = f 2 ( x 2 + 2 ? 2xdx = 2 f v4dv = 2 — + c J 5
-> f 4 x ( x 2 + 2 Y d x = ?-(x2 + 2)8 + e
J EJEM PLO 3 :
5
w
Probar que: J t a n x d x = Ln\secx\ + c R E S O L U C IÓ N : sen x d x r s e n xdx J ta n x d x = J cosx ** cosx ♦ Sea; v = cosx =» dv = - sen x dx dv => J ta n x d x = - J — = - L n \ v + c 1 1 t => f ta n x d x = = L n + c = Ln +c J V cosx => J t a n x d x = Ln\secx\ + c EJEM PLO 4 : Calcular : f e^+'d x
r i^ a í
R E S O L U C IÓ N : •Sea : u = 8x + 1 => dv = 8 dx
dx =
•Luego :
m
~3~
u i iJA £
Se hace u = x s + 5 x + 2 de donde du=(2x + 5)dx. • Se sustituyen estos valores en la integral : /
f eBxJrld x = f éD-
J
J
= - f evd v = - e ° + c 8 8J 8
XUK'LOPEDtA SOIS]
2x + 5
_ -----
.
r adu u
.
dx = I — = Lnu + x ¿ + 5x + 2 J u
• Finalmente, volvemos a la variable original:
i
9
f J ** + d— dx = L n ( x 2 + 5 x + 2) + C J x*+5x + 2
O B S E R VA C I Ó N
Se puede proceder así: a*+¡ 1 e dx = — f fi
p I J
EJEM PLO 9 : 8x+l
8dx = —
3
f e ^ d (3r +J) = — e8x+1 + c
J
exdx
e^+I
R E S O L U C IÓ N : exdx _ c d(c*)
R E S O L U C IÓ N :
* La función a integrar es el producto de dos funciones , una de las cuales es la derivada interna de una función compuesta . Llamamos u al exponente de e , u = x 4, con lo cual du=4xsdx. Al sustituir estos valores en la integral tenemos:
E J E M P L O 5:
Calcular:
Calcular : J 4x3ex dx
= arc/oníe*) + c
j* 4xsex*dx = J ex* Í4xsdx) = J eud u .
;
Esta es una integral inmediata.
EJEM PLO 6 :
Calcular j
•Luego: J 4x3ex*dx = J ex4du = eu + C , volviendo
dx ¿ni**;
a la variable original , Tenemos : J 4x3ex4dx = e* + C
R E S O L U C IÓ N ;
dr c dx = r k - . ^ = f —í — d (Lnx) f — = f J Lnx l.t ir r J /.ni? J Lnxx r«r* )^ xLnx J x J Lnx dx I Lnxx = Ln lnx |
E J E M P L O lO :
Calcular : f a ,anxsec2x d x R E S O L U C IÓ N :
EJEM PLO 7 :
* Si llamamos u = tan x , entonces ; du = sec2x dx
Calcular : JlOxcosix2 +n)dx
* Al reemplazar en- la integral tenemos : R E S O L U C IÓ N : J 1 0 x c o s ( x 2 +7r)dx = 5 J [ c o s ( x 2 + n )]2 x d x
= 5J*[coa(x2 +7r)]*d(x2 +7r) = 5 a en (x 2 +
tt)
+
f a tanxsec2x dx = í a ud u = - ^ — + C J J Lna
* Al volver a la variable original : tanx a +C a tanxsec x d x = f Lna
c
EJEM PLO 8 :
E J E M P L O 11 :
2x + 5 dx Calcular : J* x2 +5x + 2
Calcular .
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
*La función que aparece en el numerador es la derivada de la función del denominador .
* Cuando en una integral tanto el numerador como el denominador son binomios de grado uno , se
+5 fx x + ~dx
* J x+3
[fjw w m y y ;^ B f n i ^ o F
MJVrTM£4¿HJtMJKS ]
1999
divide el numerador entre el denominador : x + 5 l* + 3 -x-3 1
J * £ £ z = xe - J e * ' d x u
dv
J xexd x ~ xex - ex + c
2 EJEM PLO 2 :
* Por lo tanto : x + ^ = í + ^ x+3 x+3 [1 1 1 ^ = J x+3
f (J + ^ _ U J [
x + 3)
= f dx + 2 f —^ J
J x+
* Se hace u = x + 3 t de donde du = dx
R E S O L U C IÓ N : * Se hace : u = x
x+5 dx = x + 2Ln\x + 3 1+ C x+2 I I ) IN T E G R A C IÓ N P O R P A R T E S
Cuando la función que se desea integrar es igual al producto de dos funciones , una de las cuales es la derivada de una función conocida , se puede aplicar el método de integración por partes. *Si uy v son funciones tales que u=f(x) yv = g (x )t se tiene: * Al aplicar la derivada del producto de dos funciones : ax
Hallar: J x s e n x d x
dx
y dv = sen x d x : Jm d v = u v - Ju d u
*
Se obtiene: v = J d v
=J
sen j r d
r = -cosx y
du ~ dx
^xsenx dx = x (-c o s x ) - J(-cosx)dx “
Jv
= xcosx + rIcosx dx
J x sen x dx = -x co s x + senx + C
EJEM PLO 3 :
Hallar la integral de la función fíx) =Ln x respecto a la variable x. R E S O L U C IÓ N :
* A funciones iguales les corresponde integrales T ^Lnxdx . Se hace u=Ln x y d v = d x , se tiene : iguales respecto a la misma variable l . ¿& \~-^ du = íy v = x+ C . dv dx + dx uv - / i * dx /• a jL n x d x = ju d v j u d v = uv - jvdu > 't
“La integral de la derivada de una función es la función” * Al despejar , se tienerr^/ (u £ )d * = u ^ »£ U * Se escribe la expresión en forma diferencial
u
do
* Entonces : J udv-(Lnx)x—J x —dx=Lnx — J dx=xLnx—x+C * Entonces : J L n x d x = x ( L n x - l ) + C EJEM PLO 4 :
Hallar la integral de la función: fíx) judv = uv-jvdu
R E S O L U C IÓ N :
Es la fórmula de la integración por partes . *Una de las técnicas de integración más ampliamente usada es la integración por partes.
jx*e*dx * Se hace .*u = x3 y dv = ex dx entonces :
i?= jdv = ex + C;du = 2xdx
E J E M P L O 1:
* Entonces : J ¿ e x dx =
Calcular: J xexdx
« R E S O L U C IÓ N : u=x =$■ du=dx
* Sean:
dv=exdx
e*
v=ex
Aplicamos : J u d v = uv —J v d u
de
« *»
J e x (2x)dx v du
(/)
* Pero: J ex {2x)dx = 2 j exxdx porque : J kf{x)dx = hJ f(x)dx * Observa que fe'xdx no es inmediata pero se puede
»V4Cae?I i g a + I
hallar por partes, así: * Si u =x; dv=e*dx, entonces: du =dx y r=J* dv=ex+C ♦ Entonces :
h x
x dx = x e
dx = x e x - e x + C
-1 ♦Sesustituya je* x dx por xeT-ex+C en la ecuación (I) : jx*exdx=xsex- 2 ( x e x- e x)+ C = e x( x * - 2 x + 2) + C
i mi 11*1
" ! i V/ J€LOPEDIA 2012]
reemplaza en ellas las expresiones u, du, v, y dv. ♦ Como has obtenido la expresión : J e*aen x dx = - e xcosx - J - e Mcosx dx , llegaste casi al mismo punto de partida . ♦Calcula jexcosxdxt aplicando el método de integración por partes. ♦Ahora has obtenido : J e xcosx dx = e xsenx —J e xsenx dx Observa que
¡R IC U IR D A !
El método de integración por partes se aplica a funciones que sean el producto de dos funciones , una de las cuales es la derivada de una función conocida.
la última integral es igual a la que inicialmente se quería calcular . La expresión obtenida hasta el momento es: -> J exsen x dx = - excoax + J e xcoax dx
Para aplicarlo se procede de la siguiente forma: ♦ La función que se desea integrar se expresa como el producto de dos funciones. A una de ellas se le nota por u t la otra función incluido dx se nota por do.
♦ Expresa J ex»en x dx a un solo lado de la igualdad y despeja : J exsen x dx . ♦ El resultado es : í exsen x dx = ——e xcosx + J e*sen x + C J 2 2
♦La parte seleccionada como do debe ser integrable. ♦El sustraendo jvdu debe ser más simple que judo.
E J E M P L O 7:
E JE M P L O 5:
Calcula la integral J x cosx d x . Ten en cuenta las siguientes, ayudas : ♦Identifica las funciones factor que se han de integrar : ♦Como Jx pos* dx es la integral del producto de las funciones x y cosx, llama a una de estas funciones u y a la otra llámala dv. ¿Por qué es más conveniente llamar u = x y do = cosx dx ? ♦ Calcula du y v respectivamente. ♦ Reemplaza estas expresiones en: ju dv = uv -
4
du
Usando integración por partes , calcular: jc o s 2x d x
R E S O L l X IÓ N :
;
jsen * x d x
*
a) j eos9x dx = j cosx cosx dx
♦Sean : cosx => du = is e n x )d x ydv = cosxdx => o = senx 14
=
♦ Luego :
f £osx-cosx dx = (cosx) •(senx) — f (senx)(—senxjdx »
'
dv
\
J eos2x dx = coa xsen x + J sen2x d x
= coa x •senx -f
eos2 x)dx
♦Como : 14= x ; du = dx ; dv = cosx dx ; v=senx
J eos2x dx = cosx *senx + J dx - J eos2xdx
♦ La integral Je'cwr dx , que deseas calcular se
2 Jeos2xdx = cosx *senx +
reduce a : je xcosx dx = xsenx - jsenx dx
coa x ♦senx + x J eos2 dx —
E J E M P L O 6:
Calcula : jexsen x dx R E S O L U C IÓ N :
♦Llama : u=e* y dv=senx dx ♦Calcula du y v. ♦ Aplica la fórmula de integración por partes y
tI i)I N T E G R A C M Ó N P A R C IA L E S
POR
F R A C C IO N E S
Si no se tiene éxito al aplicar la integración por doble sustitución , puede aplicarse otra técnica, integraremos funciones de la forma
qíx)
, donde
p(x) y q(x) son polinomios. A este tipo de fracciones
Bar**»* tus?
« f u r io ^
Be les denomina funciones racionales . ♦El caso más simple se da cuando el denominador esde primer grado , como veremos en estos ejemplos: EJEM PLO 1
que el de q , hay que transformar ésta en fracciones parciales , como se indica en estos otros ejemplos . EJEM PLO 3 : x— - 2te J fX Calcular: ] » dx
x*+3*+3 dx
í
ZX'W'BcViKALiCfi ]
x2 +x
x+ 1
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
* Como el numerador es de mayor grado que el denominador , se efectúa la división y el resultado se reduce a un polinomio y una fracción del tipo A x+1 '
* Transformemos la fracción como suma de dos fracciones simples. Primero factorizamos el denominador, luego descomponemos: x -2 _A | B
* Esto permite efectuar la integración sin problemas , porque es fácil integrar una función polinómica y también la fracción : * Como primer paso dividimos : x*
+ 3x + 3
Ix
2
x+2+
* Igualando numeradores :
* Entonces : x —2
x+ 1
x+1
dx
x dx+J 2dx+J
+2*+lrelx+ll+c
E JE M P LO 2:
Calcular : f * - dx 3x + 2
R E S O L U C IÓ N :
x 2 * Podemos comprobar que x + 2 =1~x + 2 ’ ^ue^0:
í-^ -d x Jx + 2 - j m =x-2¡
x+2
2)
dx
3
2dx 3x + 2
dx = x - 2Ln\ x + 2\dx + c
* Puede notarse que al final aparece una integral del tipo: f ^ ’í , donde A y b son constantes : así r
3x+b
x +1
* De aquí vemos que A =-2; A + B = l y B = 3
* Y la integral se convierte en : r x 3+3x+3 , J ----------x+1
X
x -2 _ A (x+l)+B x x i x + 1) x ( x + l)
x (x
x+ 1
l)
x - 2 = A ( x + l ) + Bx; x - 2 = ( A + B ) x + A
2x + 3 -2x-2
luego: xs+3x + 3 = x + 2 +
+
* Efectuando la suma en el segundo miembro :
+ 1'
x+2
-X * - X
x(x
J
esta integral es fácil de calcular . Basta con recordar = AZ^ilx + 6l + c p L = in \u\+c que: J Lnu 1 1 3x + b * Pero no siempre el denominador será de primer grado, y para integrar funciones racionales del tipo en cualquier caso, donde el grado de p es menor
—2
yj y= — +
3
;
ahora, sí procedemos a integrar
x -2 -— 2 + ------3 dx dx f — -/( x x+1 J x g+2 2dx = — 2Ln\x\ + 3Ln\x + J|+ c 3f x + 1 — 5 *
* Un método alternativo para hallar A y B consiste en darle valores adecuados a x en la identidad : x - 2 = A ( x + 1) + Bx * Así tenemos : Si x = -1 ^ - 1 - 2 = A(0) + B ( - l ) => B = 3 Si x = 0 => 0 - 2 = A => A = -2 * El procedimiento anterior permite descomponer cualquier función racional cuyo denominador tenga factores lineales no repetidos . Cuando el denominador tenga factores lineales repetidos , factores de mayor grado no reducibles a lineales , debemos considerar variantes en el procedimiento , como las que se indican a continuación : * Por cada factor (x - a)n donde n es el número de veces que (x - a) se repite, corresponden fracciones parciales ; así: _ A _ + f e L _ + ....+ _ * f e x - a (jc-a) (x-a)
* Si en el denominador hay un factor cuadrático x2+ 6x + c , que no se puede factorizar en el campo real, y sólo aparece una vez , corresponderá a una fracción parcial de la forma: Ax + B x 2 + bx + c
H M \l2 8 0 l * Estas y otras variantes se podrán aplicar en un
curso que tenga mayor extensión y, por tanto, sugerimos sólo considerar casos como los que se presentaron como ejemplos . EJEM PLO 4 : dx Calcular: J :* + x
1 _ A t B x+C xa+ x X X3 +1 1 x x x
O B S E R V A C IÓ N : x A 4xs - x + 4x2 —1 4x2 —1 4x2 — 2 4xa —1 * A B + 4x2 —1 2x —l 2x + 1 x = A ( 2 x +1) + B ( 2 x —1) * * = Í > - j = - 2 B => B = 1 .
R E S O L U C IÓ N :
* ♦ * *
y t 'iCLOPEDlA 2 0 í ¿ )
x
= L ; L = 2A ~
A =l
4x = * +i +i 4xs - l 4 2 x - l 4 2x + 1 4x \-^ -d x = ¡X + + 4xs - l >4xs JL 4 \ 2 x - l ) 4 \ 2 x + l )J dx £Í 2 4 32 x - 1 4 32x + 1
= A(x2 + 1) + (Bx + C)x = 0 ; 1 =A = 1 ; 1 =2 + B + C = - l ;1 = 2 + B - C
dr
=> B = - l a C = 0
2 x*+x
2 + j¡L n \2 x -l\ +jjL n \2x + l\ +c
1 x x x*+l
EJEM PLO 7 :
Luego: r _ ^ = j f l _ 6
3x 3 + x
\x
*
w
Calcule: /=f-4— : V+2
x 2+ l)
= Lnx - f— 4 — dx = L n x -i~ [—^ — dx 3 x* + 1 2 3 x +1
= L n x - l l n ( x s+ l)+ C
•Sea u = ex :
EJEM PLO 5 :
1=
f í i — i_ )d u = f * 1 3u(u + D J U u + l ) 3 u 3u + l = L n u - L n ( u + 1) + C = Ln(ex) - L n ( e x + l) + C
dx Calcular: •• I-x ( x + l f R E S O L U C IÓ N : 1 =A + ^ - + x(x+2)* * x+ 1 (*+ 2)* * 1 = A(x + 1) 2 + Bx(x + 1) + Cx
l = \ - ^ — = x - L n ( e x + l) + C 3 ex +1 IV ) IN T E G R A C IÓ N P O R T R IG O N O M É T R IC A
X =
dx = lnx - ln(x + í ) + +c Luego: J (x + 1) x(x + l ) EJEM PLO 6 :
EJEM PLO 1 : x2dx c9+x
R E S O L U C IÓ N :
Construimos el siguiente triángulo en función de 9 ó 3* y x :
R E S O L U C IÓ N : 4x3 4x2 - 1 4x3 4x2 - 1 =x+
Va2-,*2; Vo^+x2a^x2-a? , las sustitución de ciertas funciones trigonométricas pueden simplificar el integrando .
Calcular : A=J
4X3 dx
Calcular:
S U S T IT U C IÓ N
En las integrales que contienen expresiones como
0; 1 = A * * = -1 ;1 = -C C = -1 ♦ X = 1 ; 1 = 4 + 2 B - 1 => B = - l *
R E S O L U C IÓ N : / - f — dx « r ( J — ± - ) d u 3 u(u + l) H u ii + 2/
B A 2 x - l 2x + 1 4xs - x + x 4x3 - x 4x2 - 1 4x2 - l x
4x2- 1
4x2 - 1
1667
[F m r f o .w .v nw7w*w$m& t ■^ ♦ Se toma la función :
♦ Reemplazando tenemos que :
*e-f
0= arcte (f )
x = 3íg0
dx = 3 sec20dO
1/2 ♦Además : secQ =
1/2
(x* + 9)*'* = 3sec0
3
♦ Ahora hacemos las sustituciones : í
/= = »/ =
x
arcsen
a
x
+C
aj a *
x arcsen a)
2
y
+c
EJEM PLO 3 :
*****,,, = \ 9le‘ Q3tecS6d0 =9Ítgíe *¡c&de
^ » x>a
Calcular : p “ J -í)*ec0d0 = 9j*(*cca0-sccfl)d0
R E S O L U C IÓ N :
^(íg0-»«c0 +L»|fg0 + #ec9 |)-£n|/g0 +*ce6 p A=—(fg0 ••en0- Ln\tgO + #ee0|) + c
-+ A = 9
♦ Construimos el siguiente triángulo :
2
— Ln y t 4x* + 9 + c
->A*— 2
3
-A -» 2 3-J9 + X2
—Ln
3
x + >¡9 + x
+c
EJEM PLO 2 :
♦ Se toma la función : Calcular : I = f ***** ■ a > O
sec0 = — a x = a sec9
J 'a’ - x 2
R E S O L U C IÓ N :
♦Sea : x=asen0 ;
0 = are sec
(i)
\dx = a sec 9tg0d$
* Además : tg0 = V** ~°* =» V*» - a* = oíge a
♦ Entonces : 0= crecen— a
•"'I Af ■» ¿A Va* - ** = +]a2 - a2sen20 =.Var ÓDS40 = a eos0 ♦Pues de(-ni2 ¡ní2) implica que* cosO > 0 ♦Además d x = a c o 0 d 0 _
r ( a 2sen29)acos9d9 *r 1 = 1 ------------------------------= a I sen 0 d9 J n/nmtí J aco<0 2 f 1 - e o s 26 dt = J (l-co»29)d0 '= • '/ 2 2 sen29 + C = — [9 - senS cos9] + C =>/ = 92
♦ Como : X = asen& , 0 e {-n/2;n/2) ; Construimos el siguiente triángulo para 9e(o;^j; así: £ senQ = * x a 0080=
f . <** J +¡x* - a 2 J
= fsecOde
alg0
J
B = Ln |sec0+ fg0|+ c¿ = x
Vx2- a + C| a
-» B = Lw|x + Vx* -a*| + c¿ - Lna = Ln|x +Vx* EJEM PLO 4 :
Calcular : I= J
dx x+¡4x*-9
R E S O L U C IÓ N :
♦Sea : x = ^secO; 6 e
2)\j[0;nl2)
dx = ^-secO tanO dO; +¡4x2 - 9 = 3tan0 4&
— sec0 tanO d0
,
- i h --------—sec9*3tan0 9 2 1 2x + C /T = — + C = —are sec—
3
3
3
a* + e
[A M ^
'XCICiMPEDMA 2012]
m.
base por la altura. Para calcular el área de cualquier figura limitada por segmentos , se divide la región en rectángulos y triángulos , y se calcula el área de cada región. Cuando el área que deseamos calcular está limitada por curvas , este último procedimiento no se puede emplear. Para determinar el valor de estas áreas hace falta el cálculo integral tal como lo estudiaremos a continuación . * La gráfica corresponde a la función continua
EJEM PLO 5 : dx
Calcular : ' = f a z ( x s- 2 r + 5 ) R E S O L U C IÓ N : r_ f dx _ r d (x —l) I ( x - l ) * + 4 ~ ' f (x —l)2 + du 2 2’ ^ =” x — l , a = 2 /
« 2 + a 2
y=f(x)
1 4 —+ u C - -4 2- = — 2 arctg x - 1 ->2. = —arctg +C a
a
2
E J E M P L O 6:
<¿r Calcular : 2>= JU * -2 * + 5 r" R E S O L U C IÓ N :
* A la integral escribiremos así : dx
i( * * - 2 *
r
+ 5)”
dx
-f
[ ( * - / ) * + .< ][(* - í ) 2 + 4 ]
* Construyendo el siguiente triángulo :
* Se desea hallar el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función . el eje Xylas rectas x = a y x = b .
x —1
♦ Se toma la función : *ge = x =
0 = arctg x -
x -1
1+
2 /g Q
1)
d x = 2 s e c 20 d 0
♦además : 8ec0= V(x-l)* + 4 + 4 = 2aec0 2 ♦ Ahora hacemos la sustitución en la integral: dx
r
2 sec20
d0
♦ Para tal efecto , se divide el intervalo [a;b] , en dos subintervalos. Se busca de esta forma aproximar la suma de las áreas de regiones rectangulares al área de la región bajo la curva.
.3/2 = / D = I (x2 — 2x + i)*** J ésec20 *2sec0
D = J j cos0 d0 =
sen#
IN T E G R A L
x -1 +c= +c £ r : 2X + 5
D E F IN ID A
El área de cualquier figura se puede calcular por procedimientos geométricos siempre y cuando se encuentre limitada por segmentos . En geometría elemental se aprendió que el área de un rectángulo e6 igual al producto de la base por la altura ; y el área de un triángulo es igual al semiproducto de la
* Si se divide el intervalo cerrado [a ; b] en cuatro subintervalos, se logra una mayor aproximación:
MXTMS4¿MAM.tCAi ]
1229
•El área del 6-ésimo rectángulo es : A - f ( a + k,\x) a» •Se halla la suma de las áreas de todos los rectángulos : f ia + Ar) •Ar + f i a + 2Ax) •Ar +... + f i a + nAr) ■x =
19
=
* Hemos dividido el intervalo [a ; b] en dos su b¡i» tervalos igu aIcs: [a ; a + Ax] y [a +Ax;6]; al tomar como base cada intervalo, se construyen dos rectángulosde altura f{a +Ax) y flb), respectivamente. Si se calcula el área de cada rectángulo y luego se suman, se obtiene una aproximación al área bajo la curva f e n el intervalo [a; 6] . Si se divide el intervalo [a;b] en cuatro subintervalos y se efectúa el mismo proceso, la aproximación al valor del área es mayor. De igual forma , el grado de aproximación aumenta al incrementar el número de subintervalos a 8 y 16, etc . •Entre más rectángulos tomemos , nos aproximamos más al área real bajo la curva en el intervalo [a ; bj.
f i a + kAx)Ax
DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA Si la cantidad de intervalos n tiende a infinito, la sumatoria de la áreas corresponde al área bajo la curva de la función y = flx ) , continua y definida en el intervalo cerrado [a;b]. f i a + Ar) - Ax+f ia +2Ax ) *Ax+... + / (a +/»Ar) *Ar = n
= ^/* (a + A A r) A x • El área bajo la curva es igual al límite de la suma de las áreas de n rectángulos , a medida que el número de rectángulos se acerca a infinito , y la base de los rectángulos se acerca a cero . • El límite de esta suma de áreas se llama integral definida y se define como la integral definida de la función y—flx) entre los valores a y 6 : % H L \ f i x ) d x = Lim Y f i a + kAx)Ax , donde Ar q a
" “**
* 6 de la función
*E X FO R M A G EN E R A L í
y se lee integral definida entre a flx) , respecto a x.
Si deseamos calcular el área A bajo la curva positiva y = f(x) , entre y = 0 f x = a y x = b, se procede de la siguiente forma : * Se divide el intervalo [a ; b] en n subintervalos iguales. La longitud de cada subintervalo será:
• El lado izquierdo de la ecuación muestra la notación de la integral definida. Los valores a y 6 que aparecen , respectivamente , abajo y arriba del signo de la integral , se llaman límites de integración. El límite inferior es " a " y el límite superior es“ a ”
Ar = 6 - a . Luego, los puntos de subdivisión del n
NOTA:
intervalo [a ; b] serán en su orden : a ; a + A r;a + 2&x;a + 3 Ar; + ... a + nAr.
y
Observa que los valores de la función flx) son no negativos , flx) £O . *A diferencia de la integral indefinida , la «integral definida» de una función / continua sobre un intervalo J es un valor real (positivo , negativo o nulo) obtenido a partir de la función /, al someterla a un proceso , llamado de integración sobre dicho intervalo J . La integral definida se aplica en el cálculo de áreas, de superficies , volúmenes de sólidos , longitud de arco , centro de gravedad , momento de inercia , etc. D E F IN IC IÓ N :
* Se construye en cada uno de los subintervalos, un rectángulo de base Ar y altura igual a f , calculada en el extremo derecho del intervalo ; es decir , f i a + k Ar) con k í n .
Una función f se dice que es integrable en «7= [a ; b] si es continua en J . Esto significa que para que exista la integral definida de f sobre un intervalo [a ; b] , f debe ser
c
LOPEDLX 2 0 j 2 ]
continua en dicho intervalo cerrado .
IN T E R PR E T A C IÓ N G EO M ÉTR ICA DE JLA IN TE G R AL DEFIN IDA
N O T A C IÓ N :
Sea/ una función continua en J = [ a ; b]. Entonces la integral definida de / de «a» hasta «6» se denota por : £ f ( x ) d x
Sea / una función continua en [ a ; b ] . Si fí*)>0 Vxe[a; ^entonces: J^/(x)c£res numéricamente igual al área de la región limitada por la gráfica de /, las rectas x = a , x=b y el eje X.
D E F IN IC IO N E S Z
yi
1) Si a < b entonces £ f ( x ) d x = - £ f ( x ) d x 2) Si fe s una función definida en «a»: J6/ (x)dx = 0 P R O P IE D A D E S D E JLA IN T E G R A L D E U N A F U N C IÓ N C O N T IN U A
Sean fíx) , g(x) dos funciones continuas en [a ; b]t entonces :
i, h*; p
fe
• r. kV + -
Y" 4?
:' ' >,r <
a
b X Á r e a ( R ) = \b f ( x ) d x Ja
1)
2)
£ [ / ( x ) ± £ ( x ) ] d x = l^ /(x )d x ± J ^ ^ (x )< ír
* El procedimiento seguido para calcular la integral
^kf(x)dx = k^f(x)dx;k
definida de una función es muy sencillo. En los siguientes ejemplos se calcula la integral definida de algunas funciones y luego se plantea el teorema fundamental del cálculo .
cte
. real
3) ^f(x)dx= ^f{x)dx+^f{x)dx;ct[a;Q
E J E M P L O 1:
Hallar el área de la región limitada por la gráfica de la función el eje horizontal y las rectas
4) | jV (x )d x < £|f(x)|d!* P R IM E R T E O R E M A F U N D A M E N T A ! . D E L CÁLCULO IN T E G R A L
Sea / una función continua e n J = [a; b] y G es
x —2 a x = 6 .
R E S O L U C IÓ N : * La figura delimitada por las rectas es un trapecio:
la función definida por G(x) = £ f ( t ) d t , x e J , entonces : - ~ - G i x ) = f i x ) ; Vx e J
dx SEG UNDA TEO REJLX F U N D A M E N T A L D E L CÁLCULO
Si y = f ( x ) es una función continua en [a ;b ] entonces:
donde
F'ix) = fíx) * Donde:
J / a yb x
- ✓
: símbolo de integración : función integrando : límites de integración fa<6) : variable de integración (a
*Área del trapecio : A = ^B + b)h * La superficie del trapecio ABCD corresponde al área buscada : *3 +J * 4 = 8 é
Area del trapecio —
O B S E R VA C I Ó N
• Si en la integral \ ' ^ x
unidades cuadradas. x3 -4
valores x = 2 ; x = 6 así:
- J
K im
(+ « )-(*
B
v o ^
J g * l BMffl
+ C = 9 + C - 2 -C = 8 u n i d a d e s
cuadradas . * Se obtiene el valor correspondiente a la integral ye
definida de la función fíx) =— en el intervalo cerrado
T E O R E J L l: Sean f y g funciones continuas e n J = [a ; bj y de fíx)g(x) V x e[o; 6]. Entonces el área de la región R limitada por las gráficas de f y g y las rectas x= a y
x
=
b -
y .
6x —dx = 8 unidades cuadradas. fé
M
*La integral definida Ji — 2 dx también se nota -
‘
6
/
2
APLICACIONES D E L A IN TEGRAL Á R E A D E R E G IO N E S P L A N A S * Sea f\[a; b] -> R continua y fíx ) >0 Vxe [a ; 6]
♦ Entonces el área de la región A limitada por la gráfica de f , el eje X y las rectas x = a yx=6se define como :
-X Donde:
2
=
EJEM PLO 3 :
Calcular el área limitada por la gráfica de las funciones f ( x ) = 2 - x , g(x) = x *-5 x y las rectas x=0 y x=3.
Área (A) = |£ f (x)dx
R E S O L U C IÓ N : EJEM PLO 2 :
Calcule el área de la región limitada por la gráfica de f dado por fíx) =4 - x 2t el eje X y las rectas X ——1 y x=2 rk
Yk
R E S O L U C IÓ N :
X
Área (A) = |£[f(x)-g(x)]rixja* -►A=|j'J>[(2 - x) - (x* - 5x)]dx)« 2 -X —>•A=|j^ (2+4x —x 2)dx^u2
Área : R 22 = |J ^f(x)dx^u2 = |j* (4 —x 2)dx^u R = 4x —
u
■i
2? = 1— — — llu2 = 9u2 3 [ 3
Q\u2 A= 2*+2x2 - ^ \ [ S
A = ( 1 5 - 0 ) u s=15us
E J E M P L O 4: Hallar el área comprendida entre la gráfica de la
2012]
í>£* [J 8 * 8 |
_ (-10 f (-3 0 1_ 1 . 9 _ í 2 l 2 j 2 2 * Entonces el área de la región es 4 .
fiinción ffx) = -x s + 6 y el eje £ . R E S O L U C IÓ N : * La gráfica de la fiinción es una parábola cóncava hacia abajo que corta al eje X en los valores * = -¿6
L...4--1 n1-
i , l.\ 1 V i 1 i1"
1
-3 - 2
- i
iN
X
VOLUM EN D E UN S Ó L ID O
♦ Si en la integral U-x* + 6)dx = ~— + 6x + C se * 3 sustituyen los valores x = - j 6 y x = V5> de la siguiente manera : ( T6)_+6( _ ^ ) + c _|_(V ÍL+6V6 + C 3
1 3
-8j6
* El valor obtenido corresponde a la integra}
Si la región comprendida entre una curva , el eje X y una recta paralela al eje Y , gira sobre el eje X , se genera un sólido cuyo volumen se puede calcular por medio del Cálculo Integral . El volumen del sólido que se genera al rotar la curva es igual a la suma de los volúmenes de cada uno de los cilindros que tienen de radio ffx) y de altura a*, Al volumen se llega por sucesivas aproximaciones : 1 —^
^ "
definida: j^(ó- x a)dx = ~8¿6 EJEM PLO 5 :
Hallar el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función ffx) =— el eje X y las rectas x x = l y x=4. R E S O L U C IÓ N : * Recuerda la gráfica :
*^
* El área de la región rayada es la integral J—dx 4
4
*X
J— d x = Ln\x\\4 ¡ = L n 4 - L n l ■L n 4
Para tal efecto dividimos el intervalo cerrado [a;b] en cuatro intervalos iguales. Se observa que la suma de los volúmenes de los cilindros obtenidos se aproxima al volumen del sólido . m
* Si se divide el intervalo [a ; b] en ocho EJEM PLO 6 :
Hallar el área de la región limitada por la gráfica de la fu nción f(x)= - * , las rectas x= - 3 y x = - 1. R E S O L U C IÓ N :
* El área correspondiente entre las rectas x = l es -i
la integral J-xdx-> J - xdx = x 2
-i
subintervalos iguales t se observa que la suma de los volúmenes de los cilindros obtenidos , se aproxima más al volumen del sólido . ♦ Si el intervalo se divide en un número cada vez mayor de intervalos iguales , se puede lllegar a obtener un número infinito de cilindros cuya suma de los volúmenes tiene por límite el volumen del sólido , y se expresa por la integral definida de la función correspondiente .
i¿ w M I R E S O L U C IÓ N :
4\
♦Si flx) representa el radio de cada cilindro y Ax el espesor , se tiene que la suma de volúmenes :
V=(7t|i'l[V*], clv)«3
x f ( X i)* Ax + ffx 2 )2ó x + x f (x3Y Ax+... + x f (x A)* Ax
il_ Ü 2 2
= j / (*»)]* A* d*
U
£ Í = í Tt-----.
2
ij
EJEM PLO 3 :
♦ El volumen del sólido de revolución es la integral definida en el intervalo [a;b] de la función cuya gráfica al rotar sobre un eje , determina el sólido :
Halle el volumen del sólido que se genera por la rotación de la región limitada por la curva: y=— y el eje X en el intervalo de : [2 ; 8] R E S O L U C IÓ N :
Yi\
Yk
E JE M P L O 1:
Hallar el volumen del cono generado por el triángulo que rota respecto al eje X , limitado por ■ la gráfica de la función y = x en el intervalo cerrado [0:81.
8
R E S O L U C IÓ N : V=7T f ' ( - ) dx= -7T - f =-7T (— ——) = —ir u J* lx
x | 2
\8 2) 8
O T R A S A P L IC A C IO N E S D E L A IN TEGRAL DEFINIDA
♦El cono se forma por un conjunto infinito de cilindros de radio y=x , espesor Ax cada uno de los cuales tiene por volumen el conjunto: ttx2Ax ♦La suma de cilindros tiene un límite que es la a
integral JW* dx que corresponde al volumen del cono. 0 8 ♦ Entonces : V = J ttx2 dx 8 08 —►V= J n x 2 dx = * J x 2 dx = n o o EJEM PLO 2 :
Aparte de aplicarse en el cálculo de áreas, también se utiliza en otros campos como la física, química, ecología, etc. Sirviendo para estimar acontecimientos futuros o pasados . E J E M P L O 1:
Una partícula que parte del reposo, efectúa el movimiento a una velocidad dada numéricamente por v=(3t*+5) cm/8. Hallar la distancia recorrida por la partícula en los primeros 5 segundos . R E S O L U C IÓ N :
8\ 8 7x83
512n
Hallar el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje x de : y = Jx ; el eje X ; x = l ; x=4
♦ Tenemos: v=3t*+6 =>•^£^*S/*+5=>f(#)-/, +5/+c«(/) OI ♦Como parte del reposo : ff0)=0 ; en fl) : 0 = 0 + c =>c = 0
♦Reemplazando en fl) , nos queda : fft) = t3 + 5t ♦ Para t = 5 , nos queda : f(5 )= 5 3+25=150cm , que es la distancia recorrida por la partícula.
NI'HIMPEDÍA 20J2]
EJEM PLO 2 :
EJEM PLO 1 :
Se estima que dentro de t meses la población P de
Determinar la longitud de la circunferencia:
dP
-
cierto pueblo cambiará a una tasa de — = 2+9tspor mes. Si la población actual es de 25000 personas, ¿cuál será la población dentro de 32 meses? R E S O L U C IÓ N : dP * Como — = 2 + 9 t5 , entonces P dt
9
R E S O L U C IÓ N : * Despejando : y = ± ]tt2-x 2 * Tomamos primero la parte positiva (en el eje y ) , y
luego duplicamos lo hallado :
2 t+ 5 t*+ c
--------y = VR2 - x2
yk
9
* Es decir: P(t) = 2 t + 5 ¿s + c (I) * Pero cuando t =0, la población es de 2 5 0 0 0 , en (/); 25000 = 2 (0) + ¡(0 )+ c O * Luego c = 25000 ; en (I) :
= - V R 2 - X2
P(t) = 2 t + 5f* + 2500O................(II)
* Para f=32, en (II):
9 5
P(32) = 2(32) + 5 ( 3 2 ) “ + 25000= 27624 La población dentro de 32 meses , será de 27624
personas .
dx
Jr 2 - X2
Luego lo pedido , será : / 9 \2
LO N G ITU D D E A R C O
- 2C
Sea fi [a; b] -> r una función con derivada continua en [ a ; b], entonces la longitud del arco de la curva y=f(x) desde el punto cuya abscisa es “a 9” hasta el punto cuyo abscisa es “a f> es expresado por la fórmula.
f /
R -R J
dx
d x = 2 f U 1 + W z ^ dx R
dx r
= 2Rarcsen—
a -R
2 - X2
i
\
7T 7T L = 2R[arc sen(l) —aró seni-l)] = 2R 12 2J L = 2nR
y=ff*)
EJEM PLO 2 :
o
Calcular la longitud total de la hipocicloide + y*ts = Rm R E S O L U C IÓ N : * Graficando :
O B S E R V A C IÓ N :
Si g: [c ; d] -> r es un función continua en fe; d], entonces la longitud del arco de la curva x=g(y) desde el punto A(g(c),c) basta el punto B(g(d),d) es expresado por la fórmula :
+~X
R
x ^
+ y 2!3= R 2J3
3/2
y = (R 2,3- x 213)
-> l =4 r * . i i +
dx
Jo V
dy dx
dx
L = 4 f * J l + x 213 {R 2J3- x 2,3) d x = 4 ¡ BiJx-2l3R 1U3d x
0
B
x - ,l3Rtl3dX = 6x113R113\"0 = 6fi
[K w u m v K .v i?/7/f.vos
tÁTM'i:€iMtAl.tCAi ]
PROBLEM A
4 :
Calcular: & = f L n ( x + -J1 + x 2 ) dx PROBLEM A 1 :
R E S O L U C IÓ N :
Calcular : A=J e^dx R E S O L U C IÓ N :
* Sea : x = z2=>dx = 2zdz , entonces : | e ^ d x = 2| ze*dz • Integrando por partes : du = dz
u = z
du =
u = Ln[x + 41 + x 2) •Haciendo : dv = dx
yf¡ + x v= x
* Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes : J
Haciendo : dv = exdz
L n (x
+ 4 l ¿ x 2)dx = x L n [ x + 4l + x
2)
—J
Xt^X
D = xLn{x + 4 7 + x 2 ) —>ll + x 2 +
•Aplicando la fórmula de integración por partes :
PROBLEM A 5 :
A = |e^dr=2(ze*- je*dz)+c = 2(ze*-e*)+c
Í2x2 + l ) d x
Calcular : E = J
(x + l ) 2(x —3)
-+ A = 2e x( z - f ) + c = 2e^* ( j x - l ) + c
PROBLEM A
dx
R E S O L U C IÓ N :
2 :
* A la integral dada expresemos en la forma:
Calcular : B = J x sLnx dx R E S O L U C IÓ N :
I
* Cuando se tiene un producto de una función logarítmica inclusive afectada de un exponente por una expresión en x , en todos estos casos , se toma así: dx du = * Haciendo : fu = Lnx dv = x 2dx v= *Ahora reemplazamos en la fórmula de integración por partes :
(2x2 + l)dx dx ix + l f t x - 3 )
B
ri A ^U +J
(x + 2)* *
•Ahora calculando las constantes A , Í2x2 + l)d x
B y C :
B
(x + 2)2 ( x - 3 )
x+1
(x + 1)2
x -3
A (x + l ) ( x - 3 ) + B ( x - 3 ) + C (x + l)2 (x + 1)2 ( x - 3 )
• Igualando los numeradores se tiene : 2x2 +1 = á ( x 2 —2x —3) + B(x —3) + C ( x 2 +2x + l)
j x xLnxdx = ^ - L n x - } ^ — — x3Lnx
, simplificando:
• Ordenando :
x +c
2x2 + 1=(A + C)x2 + (—2A + B + 2C)x —3A —3B + C
•Ahora por identidad de polinomios se tiene :
PROBLEM A 3 :
Calcular: C =
> 9*-1
A +C =2
A =C =
-2 A + B + 2C = 0
dx
-3 A -3 B + C = -1
13 16
4
R E S O L U C IÓ N :
* Luego reemplazando los valores de A, B yC en (I):
* Haciendo :
H fr d x _ 3 r d x f 13 r dx E = f (2x2 + l)d x = 13 d ¿i /va. n 2 ífíJ x —3 ( x + l f ( x - 3 ) 1jfíJ 6J x + 1 4 (x+ 1)
u = 3X, du = 3xLn3dx => dx =
du u Ln3
_e (w*+ u)du _ 2 t(u Mutj/a + l)du
c = í(ii* o -2 )iiL n 3 c
J u* -2
= n 3 Ju Í" ^- 1í = -rL nr3 ^ l3‘ " 21+c L
E = — Ln\x + 1\+ . 3 , +. — L n \ x —3| + c 16 4 (x + 2) 16
PROBLEM A
Calcular:
F=
6 :
f x s e n x dx Jo
i’ \k.
R E S O L U C IÓ N :
-> B = ] du = dx r = —cosx
\u = x ♦ Haciendo • : dv = sen x d x \
/
C U LO rU IP Lt 2012 1 0 \8
*
o
o* f o
x a e n x d x = —x c o a x
H ~ J x V l + x dx =
pw
+ /
_ 396
coa x d x
r - r 1 *t * + 2 t dx I ~ J o 3f p e^ 3t2 + 4
I *s
Calcular:
Calcular : G = f x j l — xdx J-3
R E S O L U C IÓ N :
•
R E S O L U C IÓ N :
♦ Hacemos i _ x ~ u%t es decir x = l - u * , elegimos X=1
x = -3
W: 2 3\
G=f
U
(l —u2)u(—2u)du = ^r~z—
-+ G = - 2
32
0
5
3
♦ Se realiza un cambio de variable para calcular la antiderivada : * Si u = Ú + 3É2 + 4 , entonces
0 dx = —2u du :
<=> u
o
du = (3t2 +6t) d t ; 4 du = (t2 + 2t)dt ; luego : 2 1 ua r t +2t * =¿r‘*i=¿ f‘u~*du=L +C 2 4t +3t2 + 4 3 0 ua i 30 3 3
T j
*,
112 15
r
PROBLEM A 8 :
Calcular: H = f x 4 l + x d x Jo
*
'
* + * — dt = M t 8 + 3t2 + 4)2/S+ C
>/#s + 3#* + 4
r I_
2
= d t = ¿ (ts + 3/2 + 4) 2/3
t ^
3 + 3f2 + 4
R E S O L U C IÓ N :
evaluamos la integral indefinida j x j l + x d x realizando el siguiente cambio de variables : u = 4 l + x ; u 2 = l + x ; x = u2 —l ; d x = 2udu
Jo ^ f3 +372 +4
2
Fil)
♦ Sustituyendo tenemos: —f J x j l + x d x = J (u 2 —l)u[2udu) = 2J iu 4 —u2)du
f x j l + x dx = — u6 — — ws + C J 5 3
♦ Luego, se calcula la integral definida: 8 f f = í x 4 T + x d x = —( l + x)5l2——(l + x)3/2 Jo R 3 0 8
H = í x4I+xd x = Jo —(1+8)512 - ~ ( l + 8 ) m 5 3
- ( 1 + 0 ) 512 - - ( l + O f 2 5 _________ 3 _______
F(8)
FÍO)
1 = 2 —^¡2
Fio )
P R O B L E M A lO :
v. Hallar el área de la región limitada por el eje x y la gráfica de la función ffx) = 4x - x 3 en el intervalo [0:2]. : * «
f x 4 l + x d x = — (1 + x)*2 — — (1 + x)3/2+ C J 5 3
df =
M l + 3 + 4f 3 - M o + 0 + 4)2'3 2
+C
3
♦Para calcular la integral definida, primero
'• 'V -
-4 J5
PROBLEM A 9 :
PROBLEM A 7 : p
5
1
4 _ 1192 15 15
5
= —xcoaxi + aenxL =» F = —(—tt —O) + (O —O) = n o 0
a = VF7 X i
i ■■■
0
•W
.
x l l + x dx = -(2 4 3 )- 1 8
2 3
«
•
R E S O L U C IÓ N :
♦ Se hace la representación gráfica de la función a integrar .
1X47 WSBñ
(is rm 'jm x E Ñ iÜ T m Ñ o s
•El área de la región sombreada es el área a calcular. • Una tabla de datos facilita la representación: x f(x)
- 2 ¡ - 1 I 0 J it 2 0 »1 - 3 [Ó 3 Ii 'O i
* El área de la región es la integral: 2 /Jo u ■x+ x 3)dx = 2x — Jo = 2(2)2 - —
* J
=4
P R O B L E M A 11 :
Hallar el área de la región de la función f ( x ) = 4x —x 3 , en el intervalo [-2 ; 0] . R E S O L U C IÓ N :
* »
■ »
* ■ -A- 1 -L
i. J -
* Parte del área que se debe hallar corresponde a valores negativos . Por lo tanto , es necesario hallar el área correspondiente a la función positiva y el área correspondiente a la función negativa y luego sumarlas. Aj representa el área sobre el eje X , y es la integral: —>
(unidades ?
y¡4x dx =
♦De la gráfica se deduce que la región ocupa la parte inferior al eje X . Por lo tanto , el área se calcula con la integral negativa :
A2 representa el área por debajo del eje X , y es la
- f ° ( 4 x - x 3)dx = /2x 2 - X =4 4 ) -2 PRO BLEM A 12 :
integral: —> A2 = f \Í4xdx = ^(unidades ? vQ 3 • Entonces el área de la región del plano limitada por la gráfica de la relación y2 = 4x y las rectas
Hallar el área de la misma función : f(x) = 4 x - x 9 en el intervalo 1-2 ; 2] R E S O L U C IÓ N :
32
32
64
x = 0 y x = 4 es: — + — = — P R O B L E M A 14 :
#
•El área de la región es la suma de las áreas en los intervalos [-2 ; 0] y [0 ; 2] , es decir .* 4 + 4 = 8 unidades (según problemas 10 y 11) *Observa que con mucha facilidad se puede cometer el error de calcular el área entre los dos extremos sin tener en cuenta que una es negativa y la otra es positiva , en tal caso el área se anularía .
Hallar la función g(*)tal que f ' (x) = g(4)=l
1 &
y
R E S O L U C IÓ N :
•Como
f ' (x) = x ~m ; g(x)
debe ser una
antiderivada de x~If2 J x~ll2dx = 2xi¡2 + C , luego
/ >
x 3)dx = 2x¿ -
-
2 (2 )-
(2)4
2(2? -
4 J-2 (-2 ?
g(x) = 2xlt2 + C =0
* Sobra aclarar que el método anterior es incorrecto.
para ajguna constante
g(4) = 1 = 2 • 4 I/2 + C = 4 + C f&síC = - 3
• Entonces la función pedida es : g(x) = 2xV2 —3
PRO BLEM A 13 :
PRO BLEM A 15 :
Hallar el área de la región del plano limitada por la gráfica de la relación y2=4x y las rectas x=0 y x=4-
Halle
la integral definida de la f(x)= 2; en el intervalo : I = [ - 1 ; 3]
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
* Si
entonces y = 4 Íx ó y = —y¡4x La tabla muestra algunas parejas de la relación que sugieren la siguiente representación gráfica: y2 = 4x
X
0
1
2
3
4
±^4x
0
±2
+2sf2
±2&
±4
C .
• Gráficamente vemos :
¿i
función:
[I2t8\ f * f ( x ) d x = f * ( - 2 ) t i x = - 2 x [ t ¡ = - 2 ( 3 ) - (- 2 ( - l ) ) = - 5
♦ Luego: A = —J f ( x ) d x = — (—8) = 8 PRO BLEM A 16 :
Halle el área de la región sombreada .
N C t c i M r t :i > i A
2012 ]
• El área de la región comprendida entre las dos curvas, se obtiene al hallar la diferencia de las áreas de las regiones limitadas de las funciones gfx) = 2x - x ! y ffx ) = x 2, las cuales son iguales a las integrales . J q (2x —x ^ jd x y J ^ x 2 d x t si se denomina con
la letra A a dicha región, se tiene : 4 A = f ‘ { 2 x - x s ) d x - j ‘ x 2 dx = 2 x 2
x3
2
3
1 0
3
PRO BLEM A 18 :
Hallar el área de la región del plano comprendida entre la gráfica de la relación y 2 = 4x y la función y = 2 t-4 .
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N : s +x 2
A = J (x + l)dx =
-4 A = [—
2 +2 2
+5
\2 PROBLEM A 17 :
27 2 — u
* Es necesario hallar los puntos en los cuales las gráficas de la relación y de la función se cortan . Para esto se resuelve el sistema : y 2 = 4x ; y = 2 x - 4
• Las gráficas se cortan en los puntos
Hallar el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones ffx) = x 2 y gfx) = 2 x - x * R E S O L U C IÓ N : * Se hace la representación gráfica de las
X
y X
f(x)
- 2
- 1
0
1
2
4
1
0
1
4
X
- 2
- 1
0
1
2
g(x)
- 8
-3
0
1
0
0 1 0 ±2
2
3
± 2 y ¡2
± 2 y ¡3
4
-H
funciones :
A = f4 ;4 ) y B = (l;-2) ♦ Observa la gráfica determinada por la representación de la relación y de la función :
X
0
1
3
4
5
y
-4
-2
2
4
6
♦ Es necesario hallar los puntos de corte de las gráficas : y = 0 ; = 2x - x 2 Se aplica el método de igualación : 0 = 2x - 0 * Se reducen términos semejantes y se factoriza 2x : 2x: - 2 x = 0 - 4 2x (x - 1) = 0 Por lo tanto x = 0 ó x = 1
• En el intervalo [0 ; 1] , la parábola en sus dos ramas está por encima de la recta. El área de la región en [0 ; 1] es el doble del área bajo la curva y =Jx.
En el intervalo [1 ; 4] la parábola está por encima y la recta por debajo .
M
* 9 m
1949 B B 5
w S r4 P &
* Es necesario descomponer el intervalo [0 ; 4] en
* El área total es : A = A 7+ A2 + A3
dos intervalos [0 ; 1] y [1 ; 4],
= ) d * = i-*3 Aj — f V 1 Jo o ( x * ) d x = Ía~ x ' o" 3
A¡ = (\ y [4 x -~{-y[4x)\dx i * El área de la región: A2 = f [yÍ4x —(2x —4)]dx Jo * El área total entre las dos curvas es:
Ag = J
20
( —x + 2 0 ) d x =
A3 = - f “ fs (x)d x =
A = J^Jj4x —(—4 ix )\dx+ j * \-J~4x—(2x—4)\dx = 9 ->
PRO BLEM A 19 :
20
_ f _ + 20*
22 f* (x 20
= 2 0 0 - 7 2 = 128
2
22 -2 0 )d x =
-2 0 x
20
=2
64 A = A ¡ + A 2 + A 3 = — + 128 + 2 3
Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y= x*+ 2\ y = - x ; x = 0 y x= 2
PROBLEM A
21 :
R E S O L U C IÓ N :
parábola y = — x 2 + 4x — 3 y las tangentes a esta en los puntos (0 ; - 3 ) y ( 3 ; 0) .
Hallar el área de la figura comprendida entre la
R E S O L U C IÓ N : yi
4x-y=3
x Haciendo g(x) = — x ; f ( x ) = x 2 + 2 y graficando aplicamos : ‘ y♦0
y = -x * + 4x-3 = l-(x -2 )* y - 1 = - ( x - 2 ) \ V(l;2)
b Área ” f [f ( x ) —gíx)]dx a* -. V* x* ■ x2 A = J*[{x2 + 2 ) - (-x)]dx = 2x + 3 2 o = 8 + 4 + 2 _> A = ? 1 u2 3 3 PR O B LEM A 20 :
Hallar el área de la región limitada por el eje X ; la recta vertical x = 22 y la gráfica de la función
dy = (-2 x + 4)|x=3 = —2 = - x * + 4 x - 3 =$ dx x*3 L2: y - 0 = - 2 (x - 3) de donde L3: 2x + y = 6 dy = (~2x + 4 )U 0 = 4 dx x=0 Lg:y + 3 = 4(x - 0) de donde L%: 4x - y = 3 -+ A = r*2[ ( 4 * - 3 ) - ( - * 2 + 4 * -3 )]d * +
Jo
f(x) = \X ! X ^ 4 [—x + 20 ; x > 4
f [(6 — 2x) — (—x 2 + 4x —3)]dx J 3/2
R E S O L U C IÓ N :
A= f
x 2d x + f
JO
J 312
3/2 -
3
-> A = — 3 A
(x2 —6x + 9)dx
3
+ —----- 3x2 + 9x
X
0
3
3/2
=*+ 9 4 8
P R O B L E M A 2 2 «:fe
Hallar el área A encerrada por la elipse : £ Í + ¿ _ =/ o3 6*
9= 9 4 8
[
g jK iiK y i
llg g Q IE I
TT
c ic ím p e ih a
R E S O L U C IÓ N :
-> A = (1/3) + (5/96) =
♦ Calcularemos el área A, de la región correspondiente al primer cuadrante :
PROBLEM A
a»»a]
37 96
24 :
Sean los puntos A = (-2 ; 4), B = (1 ; 1) sobre la parábola y = x*, y los puntos C = (1 ; a) y D = (-2 ; r) tales que el segmento de recta CD es tangente a la parábola y es paralelo al segmento de recta AB . Hallar el área de la región encerrada por la parábola y por los segmentos AD #DC y CB.
y b
R E S O L U C IÓ N :
a ,=
2 dx
Jo o
—►At =
?ra6
/ 2 — x 9 + a 2are sen— TT va a
2a
* Por lo tanto , el área buscada es igual a : A = 4Aj = n a b PROBLEM A
23 :
♦ Es suficiente hallar la ecuación de la recta L que contiene al segmento CD . Sea : L : y = mx + b y como L // AB , entonces
Hallar el área encerrada entre las curvas ; fl y = x3 y 8y =2x3 + x* - 2 x . R E S O L U C IÓ N :
4 —1 m ~ —2 ^ 1 = ~ 2 = > L : y = - x + b
•Puntos de intersección :
♦Además , si y =f(x) =x* entonces f '(x) - 2x , y por lo tanto m = - l = f 9(x0)=2xo => x0=-I/2 ♦ Así obtenemos el punto de tangencia
x3 = 2x s + x 2 - 2 x = > x 3 + x 2 - 2 x = 0 = > x(x*+ x - 2 ) = 0
x ( x - IH x + 2) = 0 => x = - 2, x = 0, x = I.
po - ( xo ! f { xo ) ) - ( ~ 1/2; 1/4) sobre la recta L.
♦ Así , los puntos de intersección son ( - 2 ; -1 ),(0 ; 0), (1 ; 1/8) ; y = (2x3 + x: - 2x)/8
♦ Luego hallamos b= - 1/4 y completamos la
y = x 3/8
iy
ecuación de L : y ——x —— . Procedemos a 4
calcular el área A : A
r fl;l/8) x
PROBLEM A
♦Aquí hemos utilizado necesariamente los criterios de la primera y segunda derivadas para encontrar los máximos y mínimos relativos , los intervalos de crecimiento y decrecimiento , así como las concavidades en ambas gráficas . Por lo tanto , ya podemos establecer la fórmula adecuada para el área : A = + As W . •*
x 9 - 2x
8
x 8
x dx+SÓ 8
2xs + x 2 —2x
8
25 :
Calcular el área A de la región S limitada por la curva (y - x - 2)f = 9x y por uno o ambos de los ejes coordenados .
\ 3 - \ -1 y = x 3/8
o2 x s +
J.2
X2 -
1 —X ----- dx = 4 4
R E S O L U C IÓ N : x > 0 . Despejandoy =x + 2 ± 3 \fx =... (dos ramas) Intersecciones con los ejes: Eje Y , si x = 0: y = 2 .
EjeX,ei y =0, para la rama0=x +2 + 3 j x > 2 , no existe; pero para la rama x+2 - 3 jx = 0 dx
> x s + 4x + 4 = 9x => x* - 5 x + 4 = 0 (x —4) (x — i) = 0 •
1BB i m M
ntTttwñwss
* Así la gráfica corta al eje X en * = 1 y x = 4 . La región S es la que corresponde a la rama con el signo (-) y por lo tanto , A = A¡ + Aa A = J (x + 2 —3yfx)dx + J ^ —(x + 2 —3yfx)dx
2
2
* Entonces : V =7T r ; { [ T * - ( - 2 ) ] 2 - [ * 2 - ( - 2 ) ] 2}d* = ^ ^ oU
jo
PROBLEM A
28 :
Encontrar el volumen cuando el área plana encerrada por : y = - x * - 3 x + 6 , y , x + y - 3 = 0 gira alrededor de y = 0. R E S O L U C IÓ N :
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = 0 y las rectas x = 0 ; x = 2 . R E S O L U C IÓ N :
y = - 0 - 3x + 6 => y —
33
* + -1 2
parábola
x+y—3=0
♦ Graficando : —x2 -3x+6
x .= X
. - 0
y = -* 2 -3 * + 6 ^ _ ;c2L3x + 6 = 3 _ ís y=3 -x (x+3) ( x - l ) = 0
- > 0 + 2 x - 3 =0
i/ =7r If 2y 2dx j =7r If 2x 6dx j = -------128ir V Jo
PROBLEM A
Jo
=>x = - 3 \/ x -1
7
27 :
Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor de la recta y =-2 la región comprendida entre las curvas y = 0 y y = j x .
V=tt f , (x4 + 6x3 - 4x2 - 30x + 27) dx = 1 J ‘3
PROBLEM A
15
29 :
* ♦ Intersecciones entre las curvas : (0;0) y (1;1).
Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región comprendida entre la curva y=0-~2x y el Eje X , alrededor del eje de abscisas .
Además, y =-2 => c=-2
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
MCMg
fVi>tó
\i2 ss\
radio = f(x) •Los puntos de intersección del Eje X con la curva son : Í0 ; 0) y (2 ; 0) . Si definimos fíx) =x2 - 2x entonces fíx) está debajo del Eje X. Las secciones transversales circulares tienen radio : - fíx ) . Por tanto ,
CICLOPEDiA 2012]
Como la derivada no está definida en x=0 entonces se puede considerar x=g(y) como función de y, en lugardey=/fx). Así, despejando: x = ±y3/2 *donde * * = y312 para y e ¡0 ; 4] (Arco OB ), y *x = -y 3,2 para y e f0 ; 1] (Arco OA ) ; entonces dx 2
dx
L . rJy=0 '.u * dy]
A(x) =7T [—f (x)]2 = 7T [ f (x)]2, x e [0 ; 2] V = f 7T[x2 —2x] dx = 16n!15 Jo
W .y «
PR O B LEM A 30 :
Encontrar el volumen del sólido generado por la rotación de la región entre las curvas y = x* + 4 e
2J
2
dy
“y * i :
dy
1 + 3 U2 2y
2 dy
L = — {l3y¡13 + 80yfÍ0 - 1 6 ) 27
y = 2x2 alrededor del eje X . R E S O L U C IÓ N : * Graficando : y
i
2
Completa el siguiente cuadro con las derivadas de las funciones algebraicas estudiadas en la unidad anterior : Derivada
Función
y=x H II
2x* = x* + 4 x 2 = 4 =>x = ±2
y = x2 + 4 y = 2x*
y = cx" v y = f ( x ) + g(x)
V = 7Tj 2 l ( x * + 4 ) * ~ ( 2 x * f dx 2
1024tt V =7r J ^(—3x4 + 8x2 + 16)dx = 15 P R O B L E M A 31 :
Hallar la longitud de arco de la curva C : 2 y - x 3 en tre x = -1 y
x = 8.
R E S O L U C IÓ N :
dx dy
us
y = f(x)-g(x) _ f(x ) y g(x)
Completa el siguiente cuadro , escribiendo la función antiderivada de las funciones dadas : Función
Antiderivada
f(x) = l
F(.x) = x + C
f(x) = *
F ( x ) =D+C
f ( x ) = 2x
F ( x ) =D+C
uxmwñiAtAts ]
[e m c m o x w s s n
Calcula las antiderivadas de las funciones:
f ( x ) =3x2
F(x)=a+C
f(x) = 4x3
F(x)=o+C
f(x) = 7xB
F ( x ) =a+C
A) fíx) = 3x<
B) fíx) =8en x
C) fíx) = 0
D) fíx) = nec’x
E) fíx) =sec x tgx F) f f x í ^ - x * 1
Determina la función f(x) si :
f(x) = xs
F(x)=a+C
m Completa el siguiente cuadro con las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas, estudiadas en la unidad anterior: Derivada
Función y = ex
A) f ’(x) = 6x
B) f *(x) = cosx
D) f ’(x) = <>*
E)f'(x) = xex
F) f *(x) = 3x*
G ) f 9(x) = 5 x 7
H) f 9(x) = 4tanx sec x
y~Lnx
2x N ) f 9(x) = x*+l
y = Logx y = eu,donde u = fíx)
—5
O) f *(x) = tanx
Calcula las siguientes integrales :
y = au,donde u » fíx)
-
y = uvfdonde u - fíx) y v = gíx) y = Ln u, donde u = f (x)
Completa el siguiente cuadro escribiendo en la columna de la derecha la antiderivada de la función escrita en la columna de la izquierda : Función
Antiderivada
fíx) = ex
A) J x 2dx
B) J x4dx
C) j x 7dx
DJ J ¡ x d x
E) ¡ ¡ x * d x
F) ¡Jx3 dx
H) \x 3¡ x f dx
I) ji/x^dx
r dx
G) J3Í~5
x 2 + C , ¿a qué Si la integral de y = x es — 2
será igual la integral de 3x1 La integral de y =senx es igual -cosx + C , ¿a qué será igual la integral de A senxl
fíx) = axLna /■<*>= Lna
© Explica si son correctas las siguientes afirmaciones:
f ( x ) = 2xe'* f ( x) = l ¡ x
r x*+2 A) Si fíx) = x*entonces I kxndx = k +C ; n * 1 d
fíx) = u’/u donde u - fíx) a) Halla la antiderivada de las funciones: 3
B) fíx) = X 4
C) fíx) = x * F) ffx) =
D) fíx ) = x
G) fíx) =
I) f *(x) = 2xJ) f f(x) =
2-Jx
K) f 9(x) = - j 3 *ec*xL) f *(x) = 3 M) f 9(x) = -6 csc*x x
y ~ax
A) fíx) =
C)f *(x) =
H) fíx) = £f.
5
n + l
r x"+i B) Si fíx) s senx entonces ¡ k senx dx = ksen------- + C d n+ l
Verifica si : A) j^J2coexdx = 3 senx+ C
B) 4 j — -dx = jé x ’2 dx
Analiza las siguientes igualdades y determina si son correctas. En caso de ser incorrectas corrígelas :
i i J C i .O P E M A 2 0 1 2 )
r 3x2 + 3xyfx —2x —2\fx dx + yjx >
,
A) J3r*dr = X a + C
B) f —senxdx = cosx + C
E)
C) \-^ j-d x = 4 i+ C
D) J*4xs dx = x4 + C
Emplea el método de sustitución para efectuar estas integrales :
Calcula las siguientes integrales :
d x p ) J -------------
/( ? -
A) J (2x + l )4 dx
B) jj3 x + 5 d x
A) í 4xsdx 1
B) f —3x7 dx J
C) f o i í * J 2xa
c, , .7 C)J(x2 - l ) x d x
D j f j p i F 8*
E) f y f & S d x
F) f - x 4 dx
g) j n J 2sen2xdx
G ) f k x ,0dx
H) ¡ T ^ d x
+ 3 xd x r v s ? Jo F) f sec22xdx
G) f cosÍ5x2 + 3)• x d x
J
Halla la función g(x) que satisfaga la condición dada : A) f 9(x) = 4xs, g ( l ) =2 B ) f ' ( x ) = 3x* - 4 x + 3 x * , g (2 ) = C) f *(x) = s e n x - c o s x , g ( 0) — 3
dx C> / 1 ?
B)J2xy[xdx
4x —3
D)
D ) f ’(x ) = e* + x , g ( 0 ) = 2
J1 x + 1
calculen las siguientes integrales : A) f ^ ~ ~ d x
|
H) f -------
dx E )¡3 j5 d x
F )j(x + 3 fd x
E ) f * ( x ) — n s e c 2 x , g (7 ) = 0
G) J ( 4 x 3 + 3x 2 + l ) d x
F) f *(x) = ( 3 - 2 x ) * , g ( 3 ) = 2 G) f ’(x ) = ( x - 1 ) (x* + 3), g (0 ) = 3 H) f ' ( x ) = 2* + x 1, g (3 ) = -1
©
Verifica si :
A) J ( x + l )d x = J ( l + x )d x
H) J ( x —l ) 2 dx
l ) J ( 4 x If2 - 2 x 2!3)dx
J) J x ( l —x)dx
K) f ( 2 x + 7 f d x
L) f ( x 3 —>fx)dx
Realiza la descomposición en fracciones parciales , para las siguientes funciones racionales:
%
B) f ( x 2 + x + l )d x = J ( x + l + x 2)d x
5x —1 A) ~ 2 — 7 x —2
( Q ) Escribe la propiedad que justifica la igualdad:
B)
x + 2x — 3 x+1
x-6 C) x 2 - 2x
J f ( x ) d x + J g ( x ) d x + J h [ x ) d x = J [ f { x ) + g i x ) + h {x )]d x
4x + 8
(x - 2)
Calcula las siguientes integrales : Efectúa las siguientes integraciones : A) J x d x + J x 2 dx + J x 3 dx
/x+3
t3x íx + 4 . , r-dxr
dx J X + 1
B) i senxdx + J 5cosxdx + 9 j sec2xd x
r 4x + 8 , C) I —9--------------- dx J x + 2x —3
C) J x 3 dx + J 5xs dx + 9 j x '2 dx
Por grupos calculen las siguientes integrales:
Calcula las siguientes integrales : r
A) J Í4xe —5x + 8) dx B) f (x 3 —&4x + x>fx)dx 3x4 - 5x C> J
dx
3 x s +6 D> f
15
x —6 dx 2x
dx
2x —6
.
^ + 25 ^ JI ~2 x ---—6x
xsen í ! 1dx B )f 12 j
20 C)
+
dx
D)
+ldx
[i ?w w 7 o ,v k ^
E)
k
rm v o ¿
dx
F) J 5>Jt4 — t 2 (20t3 -10t )dt
..2
s H
2dt G) i (x2 - 1)
dt &
I) f (cosx)e*"r dt
J) [ —[l + Inx] dx J x
2x'¿ + 1 K) J
Í2x3 + 3x + l)
2/3
nx + 5 . L) I dx ’ J x+3
dx
Dibuja y sombrea la región representada en las siguientes integrales :
Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes integrales: A) J Inx dx
B) J x l n x dx
C) J
X aex dx
D> I x j x + l dx E) J e x senx dx F) J x a x dx
E) J 2 ( x 2 — l ) d x
F )J 2 ~ x 2 dx
AJ s i (2x —5 ) d x
B) J
(3x2 —5x + 6)dx
C) J
DJ J
(3senx —4cosx) dx
ix + 4)3 dx
[aenx —tg x aecx] d x F ) j*^ [co a * + s e c 2x ] d x
Calcula las siguientes integrales : A) í — ^ - 7 (3x + 2)
B) f $¡(5 - 2x)4 dx J
D) J j 7 —3x dx
C) $
V5+*
E) / > GJ /,
F) ^{3x2 + 6 ) x 20 tlx r
«/
B) J x 2 dx
C)
2x + 1 dx
2
dx
*>*
,
f COSX
Una compañía ha determinado que la función de costo marginal para la producción de un cierto artículo esta dada por : C 9(x) = 125 + lOx + l/9x *, donde C ( x) en soles, es el costo total de producción de * unidades del artículo. Si los gastos generales son 260 soles . ¿cuál es el costo de producción de 15 unidades? AJ 3375
B) 2125
,
dx
C)4000 D) 6000
E) 8000
|^) La función de costo marginal esta definida por C 9(x) = 6xt donde C (x) es el número de cientos de soles del costo total de'* cientos de unidades de cierto artículo. Si el costo de 200 unidades es 2000 soles, obtenga los gastos generales. A)8 Cientos
^ + 1 dx
se^+l
3
dx
4sen2xdx I) / eos xsenxdx J) J — dx o J Jsen x ln*x
♦
8
(2?) Encuentra :
E> C
Ilustra gráficamente y sombrea la región que representa el área representada por las siguientes integrales :
(x — 3)dx c) J (x + 2)dx
B)
D )jj x 2 dx
B) r x 3 dx Jo
A) j ' y - i ) d x
A) s ; senx dx
Halla el valor de la integral en cada caso : AJ J q 2xdx
3
B) 6
C) 4
D) 12
E) 24
El volumen de agua contenida en un tanque es V metros cúbicos cuando la profundidad del agua es h metros . Si la intensidad de cambio (la derivada) de V con respecto a h es : p (4h2 + 12 h + 9J, determine el volumen de agua que hay en el tanque cuando la profundidad es 3 m. A) 117m3 B) 243
Escribe la integral que te permite calcular el área sombreada .
CJ 58
D) 107
E) 902
Calcular A) 2
BJ-3
C) 3
D) 1,5
E) 2
¡ v f f a o m i M a w iil C Á L C U L O IN F IN IT E S IM A L O C Á L C U L O D IF E R E N C IA L E IN T E G R A L
Calcular A) 24/25
Jo
B ) 49124
D ) 1/2
C) 3/16
E) 2
dx
r3
(Síj) Calcular : J _ 2(x + 2)' A )0
B j 12/25
C ) 1,2
D ) 1/2
E ) 1/8
3
Calcular : J [x + 2)Jx + ldx A) 6
C) 10
B) 8
Calcular :
J
senjx
D ) 12
E ) 24
dx
&
A) - 2cosJx + c
R) -2sen\[x + c
C> - C 0 8 y [ x + C
D) - s e n j x + c
E )0
Calcular : J* 2x'\jx2 + 2dx A) 5
©
C )2/5
BjO
D ) 3/5
E ) 4/5
Calcular el área de la región acotada por las
curvas x = y2 A x = y3 A) 1/6
O 10
B) 8
D ) 1/12
E ) 14
( O ) Calcular el área de la región acotada por el lazo de la curva y 2 = x 2 {4 —x ) 256 A) 15
B)
0 3
12
D) 6
E)1
Calcular el volumen del sólido que se genera al girar , alrededor del eje X , la región limitada por la curva y= x 4 , la recta x = l y el eje X . A)2n
B )^ r- O
Sn
D)
2n
15
E) 24it
Calcular la longitud del arco de la curva 9y*=4xs del origen al punto (3;2j3) A) 0
B) 1
0
2/7
D)14/3
E )2
Calcular la longitud del arco de la curva : 2¡3 . . 2 3 x'^+y*"• del punto donde x = l / 8 hasta el punto donde x = l
A) 0
B ) 9/8
0 2/5
D)14/3
E) 2
CLAVES D E L A S E G U N D A P R A C T IC A m \ t ) A 3)A 4)D * ) C \ g) B 7 )A 18)t\ \9)D\ltí)D 13)1) 14)11
El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad «cálculo», tiene su origen en la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño). Eudoxo y Arquímedes utilizaron el «método de agotamiento» o exhaución para encontrar el área de un circulo con la exactitud finita requerida mediante el uso de polígonos regulares inscritos de cada vez mayor número de lados. En el período tardío de Grecia, el neoplatónico Pappus de Alejandría hizo contribuciones sobresalientes en este ámbito. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo antiguo. En el siglo XVII, Cavalieri y Torrícelli ampliaron el uso de los infinitesimales, Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y Derivación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoria de la gravitación universal, fue anterior ai de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca controversias sobre quién de los dos fue el primero. Newton utilizó el cálculo en mecánica en el marco de su tratado «Principios matemáticos de filosofía natural», obra científica por excelencia, llamando a su método de «fluxiones». Leibniz utilizó el cálculo en el problema de la tangente a una curva en un punto, como limite de aproximaciones sucesivas, dando un carácter más filosófico a su discurso. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz por su versatilidad.
Enet sigloXVIII aumentóconsiderablementeel númerodeaplicacionesdel cálculo, peroel usoimprecisode lascantidades Infinitaseinfinitesimales, asi comotsintuicióngeométrica, causabantodavíaconfusiónydudasobre sus fundamentos. Dehecho, ianoción de limite, central enel estudiodel cálculo, eraaunvagaeimprecisaeneseentonces. Unodesuscríticosmás notables fueel filósofoGeoroeBerfcelev. En el sigloXIXel trabajo de los analistas matamáticos sustituyeronesas vaguedadesporfundamentossólidosbasadosencantidadesfinitas: Bobino y Cauchy definieron con precisiónlos conceptos delimíteentérminosde épsilon.delta ydederivada, Cauchyy Ríemanohicieronlo propiocon las integrales, yDedekindyWeierstrassconlosnúmerosreales. Fueel período delafundamentación del cálculo. Por ejemplo, sesupoquelasfunciones diferenciales soncontinuasyquetasfuncionescontinuassonintegrables, aunquelosrecíprocossonfalsos. Enal sigloXX, elanálisisnoconvencional, legitimóel usodelos infinitesimales, al mismotiempoque iaapariciónde tasComputadorashaincrementadolasaplicacionesyvelocidaddel cálculo. Actualmente, el cálculoInfinitesimal tianeundobleaspecto: porunlado, se haconsolidadosu carácter disciplinario en laformación de lasociedad culta del conocimiento, destacandosn esteámbitotextos propios dala disciplinacomoel deLouisLeithold, el deEari W. Swokowskí oel deJames Stewartentremuchosotros; porotrosudesarrollocomodisciplinaeiantífica que ha desembocado en ámbitos tan especializados como el cálculo fraccional. lateoriadefuncionesanalíticasdevariablecomplejaoel análisis matemático. El éxito del cálculo ha sido extendido con ei tiempoa las ecuacionesdiferenciales, al cálculode vectoras, al cálculodevariaciones, al análisis complejo y alas topología algebraica y topologia diferencial entremuchasotrasramas. El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en dia en balística, calefacción, refrigeración, etc. Como complemento del cálculo, en relación a sistemas teóricos o físicos cuyos elementos carecen de continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida como Matemática discreta.
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O B J E T IV O :
* Conocer unos de los métodos más utilizados en la demostraciones de los teoremas MATEMÁTICOS. IN T R O D U C C IÓ N í
La inducción es el proceso de razonar por el cual se extraen conclusiones a partir del análisis de casos particulares. La deducción , por el contrario , permite extraer conclusiones particulares a partir de casos generales . Cuando un experimentador observa que varias sustancias se dilatan al aumentar su temperatura, y de e6ta observación infiere que todas las sustancias tienen dicho comportamiento , está haciendo uso del proceso de inducción, sin embargo el análisis de algunos casos no permite saber a ciencia cierta que la conjetura sea válida, por ejemplo el agua cuando pasa de 0°C a 4°C, se contrae, no se dilata. En M ATEM ÁTICA , disciplina deductiva por excelencia, el razonamiento inductivo sólo es utilizado en la fase creativa y de construcción. Cuando un matemático encuentra ciertos patrones y regularidades al manipular los objetos matemáticos , utiliza el razonamiento inductivo al proponer una conjetura a partir de los casos que ha analizado , pero para demostrar dicha conjetura deberá utilizar necesariamente métodos deductivos. Aclaremos esto con un ejemplo, supongamos que un alumno ha sumado los tres primeros números impares positivos, obteniendo 1 +3+5=9, observa además que 9 es el cuadrado de tres. Toma ahora un número mayor de sumandos , digamos 6, y obtiene 1+3+5+7+9+11= 36 , observa ahora que 36 ,es el cuadrado de 6. Esto no puede sercasualidad, el alumno sospecha que debe existir algún patrón general , al parecer siempre se obtienen cuadrados perfectos al sumar los primeros números impares. El alumno inicia una comprobación ordenada. * Con un sumando : 1 =1 * Con dos sumandos : 1+3 = 4 * Con tres sumandos : 1 +3+5 = 9 * Con cuatro sumandos : 1 +3+5+7=16 Sucede que en cada caso se obtienen números cuadrados perfectos, además tenemos que cada cuadrado está en relación con el número de
r \ 7 i r « ’lá .V
W .IT I3 .U ÍT lC t
sumandos, observemos esto. * Con un sumando : 1 =1=12 * Con dos sumandos : 1+3 = 4= 22 * Con tres sumandos : 1 + 3 + 5 = 9=32 * Con cuatro sumandos : 1 + 3+ 5+ 7= 16= 42 El alumno ahora utiliza el razonamiento inductivo para elaborar una conjetura sobre la suma de los n primeros impares: 1+3+5+7+...+ (2n -1 ) = n2 , enunciándola verbalmente seria: La suma de los n primeros impares positivos es ig u a l a l cuadrado del número de términos.
Preguntamos ahora ¿bastará la comprobación de unos cuantos casos particulares para asegurar la validez de esta proposición? Es evidente que no, hemos comprobado la proposición para n=í; 2; 3; 4, pero nada nos asegura que el patrón se siga manteniendo. Para poder afirmar categóricamente que la propiedad se verifica para cualquier valor de n deberíamos comprobarla para cada uno de estos valores. Es decir, un proceso infinito, o inventar un conjunto de pasos que nos garanticen la comprobación para infinitos casos. Es aquí que acude en nuestra ayuda un método de demostración conocido con el nombre de METODO D E IN D U C C IÓ N M A TE M Á TIC A . Aunque su nombre haga referencia al proceso inductivo de razonamiento, este método es deductivo. Fue el matemático francés Blas Pascal, quien en el siglo X V II, lo usó por primera vez de manera sistemática logrando demostrar con su ayuda numerosas propiedades numéricas. El método goza hoy de gran prestigio entre los matemáticos, y ha servido para demostrar teoremas en geometría, en teoría de grafos, teoría de números y otros campos de la matemática.
EL E FE C TO D O M IN Ó :
U*- RJ «mMC M£MWSÍ
B E B ÍiagjfliB B I
Veamos cuáles son las ideas tras el método, aplicándolo a la demostración de la conjetura que nuestro alumno elaboró. Supongamos que hemos colocado una hilera infinita de dominós, de pie, de modo que la distancia entra cada uno de ellos es menor que la longitud de una ficha. Alguien empuja la primera ficha y cae. Conclusión: todas las fichas caerán. Este modelo fisico nos muestra las ideas básicas del método de inducción matemática, considera a los números enteros positivos como fichas de dominó . Supón que demuestras que si una propiedad se cumple para uno de ellos (digamos A), también se cumple para el siguiente k + 1 . A continuación verificas que la propiedad se cumple para el primer número. Conclusión: la propiedad se cumple para iodos los números enteros positivos. Se puede pensar en el método de inducción matemática como en una máquina automática que verifica enunciados, la cual comienza con P (¡i y continúa sobre la lista de manera progresiva demostrando cada proposición. Veamos cómo trabaja, encendemos la máquina verificando que P (if es verdadero . A continuación introducimos P(lf en la máquina. Esta utiliza el hecho de que P (If es erdadero y automáticamente demuestra que P (2) es verdadero. Entonces tomamos P(2^y lo introducimos en la máquina . De nuevo ella utiliza el hecho de que P(2) es verdadero para obtener la conclusión de que P(3) es verdadero, y así sucesivamente. Observemos que cuando la máquina va a demostrar que P(k+l} es verdadero, ella ya habrá demostrado que P(k> es verdadero (en el paso anterior) Así al diseñar la máquina podemos suponer que P(k) es verdadero, y nuestro trabajo consiste en asegurar que P fk+¡) también sea verdadero. No olvidemos que para empezar el proceso, debemos verificar que P flf sea verdadero. Podemos ahora formalizar el método. La demostración de: P (nf es verdadero para todo n e Z * por inducción matemática consiste en dos pasos: I) Demostrar la validez del enunciado P(1). II) Suponiendo que el enunciado P(k> es verdadero, demostrar que el enunciado P (k+I) es verdadero. De los pasos (I) y (II) se concluye que la proposición Pfn) es Para cualquier valor de n, entero positivo. Apliquemos este método a la conjetura de nuestro alumno. La proposición a demostrar es P (n) : 1 + 3 + 5 + .....+ (2n*l) = n2 , para todo n entero positivo.
4 TÜ5T x c í c l o p e í d a 2 0 iz]
Verifiquemos la validez de P,^.evidentemente 1 =12 Supongamos ahora qv¿ la proposición se verifica para un entero positivo k . l+3+5+7+„. + (2k-l)= k2 Si a esta expresión le sumamos a ambos miembros ( 2 ( k + l ) - l ) obtenemos: l + 3 + 5 + 7 + . . . + ( 2 k - l ) + ( 2 ( k - l ) + l ) = k 2+ 2 ( k + l ) - l l+3+5+7+...+(2k-l)+(2(k+l)‘l ) = k 2+ 2 k + l= (k + l) * Como vemos la proposición P fk+J) también se
verifica. Entonces por el método de inducción matemática deducimos que la conjetura del alumno es valida para cualquier entero positivo . Como hemos visto sólo cuando se ha realizado el método de inducción matemática podemos elevar la conjetura al nivel de teorema o propiedad.
ACCIDEN TES INDUCTIVOS : Sería errado que el alumno plantee la validez del enunciado sólo porque verificó algunos casos particulares , sin embargo la historia de la matemática nos cuenta algunos casos de errores famosos del uso inadecuado del proceso inductivo, por ejemplo consideremos el trinomio n2+n+41, estudiado por Leonhard Euler, si reemplazamos para n = 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 y 10.
Obtenemos
cada vez
un
número primo (47;53;61;7l;83;97;113;131 y 151 respectivamente) de aquí Euler infirió que al sustituir n por cualquier entero positivo se obtendría, un número primo , pero posteriormente observó que con n = 40 , obtenemos 402 + 40 + 41= 1681= 41x41.
G.W. Leibniz, eminente matemático alemán del siglo X V II y uno de los fundadores del cálculo, demostró que cualquiera que sea el entero positivo n el número n3-n es divisible por 3, el número n5 -n es divisible por 5 y el número n 7 - n es divisible por 7. De aquí supuso que para todo k impar y cualquier n natural el número n k-n es divisible por A, pero pronto observó que 29 -2 = 510 no es divisible por 9. Veamos otro ejemplo de carácter muy instructivo. Si evaluamos 991n2 + 1 para n = 1;2;3... no obtendremos el cuadrado de un número por muchos tiempo que dediquemos a ello . Sin embargo, sería erróneo deducir de aquí que ningún número de este tipo es un cuadrado. Usando un programa de computo podemos encontrar entre los números de tipo 991n2 + 1 cuadrados perfectos; el valor mínimo de n para el cual 991 n 2 + 1 es un cuadrado es n = 12055735790331359447442538767.
INDUCCIÓN M ATEM ATICA Si n es entero positivo y «P n» es el enunciado matemático (xy)n = x" y", se obtiene la siguiente
R irn to F sucesión infinita de enunciados: Enunciado P¡ : (xy)1 = x‘ y EnunciadoP2 : |xy|2 = ,*,! (xy)3 = x*y* Enunciado P3 : Enunciado Pn ; (xy)n = ^y. Es fácil demostrar que P v P2 P3 son afirmaciones ciertas. Sin embargo, es imposible comprobar la validez de Pn para todo entero positivo n. Para demostrar que Pn es cierta para toda ti se necesita el siguiente principio:
P R IN C IP IO D E IN D U C C IÓ N M A T E M Á T IC A si para cada entero positivo n hay asociado un enunciado , Pn , entonces todas las afirmacipnes Pn serán válidas siempre y cuando se satisfagan las dos condiciones siguientes : I) Que Pj sea cierta I I ) Que siempre que P n sea válida para un entero positivo “n **, entonces PB+J también es cierta. La inducción es un razonamiento que permite
Un entero acaba por 6 si se puede escribir así: 10a +6 , con a entero. La hipótesis es, pues, 6n=10a + 6. Entonces 6n+I = 6(10a + 6) = 60a + 36 = 60a + 30 + 6 = 10(6a + 3 ) + 6 = 10c + 6, con c=6a + 3 , entero. Esta última escritura prueba que 6n+1 acaba por 6 , o sea que Pn+2 es cierto. * Luego Pn es cierto para todo »;>2 C O N C L U S IÓ N :
se ha demostrado : [P(l) es V] a {[P(h) es V] -►[P(h +1) es V]} •métododría ¡mduerióm malrmdtU+x
La inducción es válida por la construcción misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. De hecho, la inducción limita la construcción del conjunto : 0 es un natural, y, si n lo es, entonces n+1 (sucesor de n) lo es también. Existen otras inducciones, para otros conjuntos elaborados de forma distinta, como por ejemplo la inducción tra n s fin ita , y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional. O B S E R V A C IÓ N :
demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N • El esquema del razonamiento es el siguiente: Llamemos Pn la proposición al rango n : * Se demuestra que P0 es cierta (iniciación de la inducción). * Se demuestra que si se asume Pn como cierta, entonces Pn+l lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n. (relación de inducción).
Al aplicar el principio de inducción matemática, siempre se siguen dos pasos. 1) Demostrar que P¿ es válida . 2) Suponer que Pn es cierta y , a continuación, demostrar que P„+í , es cierta también. Con frecuencia , el paso 2 se presto a confusión. Nótese que no se demostró que P n sea cierta,a excepción de cuando n =1. Lo que se demostró es que si se cumple que Pn es cierta , entonces el enunciado Pn+Í también lo será .
E N C O N C L U S IÓ N :
La hipótesis de que Pn es cierta se llama h ip ó te s is
Se ha demostrado , por inducción , que Pn es cierto para todo natural n. La inducción puede empezar por otro término que Po> digamos por P„o. Entonces Pn será válido a partir del rango nQ, es decir , para todo natural n £ nQ. E JE M P LO 1:
Demostrar que para todo n > 1 ; 6" es un número que acaba en 6. R E S O L U C IÓ N :
*SeaPn: “6" acaba en 6” . * Obviamente Pt es cierto porque 61=6. También lo es P2 pues 62=36 acaba en 6. * Supongamos que Pn es cierto para un valor de n, y probemos Pn+2*
DEINDUCCIÓN. EJEM PLO 2 :
Mediante inducción matemática, demostrar que para todo entero positivo n, la suma de los n primeros enteros positivos es: « » o n (n + 2) 1 + 2 + 3 +...... + n = — ^ f2
R E S O L U C IÓ N : PASO 1 : Si se sustituye n = 1 en PH entonces el primer miembro sólo contiene al número 1 , y i ( i + i)
el segundo miembro es
,que
también es
igual a 1. Por lo tanto , P7es válida, o cierta. PASO 2 : Supóngase que Pn sea válida. Entonces, la hipótesis de inducción es :
tea l l l g O l É S , O , 1+ 2 + 3 +
n {n + l ) + n = -2 El objetivo es demostrar que Pn+1 es válida ; es decir, que: 1 .1 .» .
. . . ( . . Q . f e l i f f l » - ) * '! ' .' 2 * se puede demostrar que la última fórmula es cierta volviendo a escribir el primer miembro y empleando la hipótesis de inducción como sigue : 1 + 2 + 3 + .......+ n + { n + l ) = {1 + 2 + 3 + .......... + i*) + ( n + l )
A f K /H I » /;!» /,! gQJ¿]
* PASO 2 : 0 suponiéndose que cumpla n = 6 , h (2 h -l)(2 h + l) P ( h ) ~ -------------—-------------- es verdadera por la h ¡p í> « i. ¡nductiv. . Ahora probaremos si P (h ) es verdadera, entonces P (h + 1 ) es verdadera ; en efecto : P (h + l ) = l 2+ 3 2+ 5 2+ . . . + ( 2 h - i f + \ 2 l h + l ) - i f hip6te*i$ 'inductiva -> P (h + l ) = K * h - I )( 2 h + 1) + (2 h + l)* 3 {2h + l)[h(2h - 1) + ( 2h + / ) !
= -----—
+ { n + í ) . . , p o r hipótesis , n { n + 1 ) + 2 { n + 1) '
3
{2h + l)(2h*+5h + 3\
= ----------^
¿
Ü
(2h + í)(2h + 3)(h +1)
2
{n + l ) { n + 2)
3
2
(2h + l)[2(k + 1 )-1 ][2(h + 2J-1]
(n + 2 )[(n + 2) + 1 ] “ ~2
3 P°r 1° tanto Ia proposición dada es válida .
* Con lo cual se demuestra que Pn+J es cierta y , por consiguiente , se termina la demostración empleando la inducción matemática. C O N C L U S IO N :
C O N C L U S IÓ N : se ha demostrado : „ , [JY1J ~ V | .([ffl.1 « , V ] - , [ P » . . l l « . V]) dm la imhtoeiám matemática
86 ha dem08trad° : [ P ( l ) e» V ] a { [ P ( h ) es V ] — \P(h + 1 ) es V ]} m étod o do la inducción matomátum
«
«
1
iMsawafcHioKti
"•m u rn m
PROBLEM A 2 : Dem0strar que para cada entero positivo n . «
1 1 + “ ------+ ---------h 1x2 2x3 3x4
1 -I
«
n ------- 7 = -------n (n + l ) n+l
RESOiucion , * S ea:
PROBLEM A 1 :
p (n ) =
Demostrar que para cada entero positivo n.
,2 S2
/. V R E S O L U C IÓ N :
|, 'i n (2 n - í){2 n + 1) / ~ ^
+_J_ +_J_ + ' 1x2
1 í >! T
Z
1
1
1 n (» + J)
n
^ n n +l
= 2 , (sólo se
1
' - r - i - k s
"
* PASO 2 :
• PASO 1 : Verifiquemos que cum pla para sumaría un término). . j»
3x4
* PASO 1 : Verifiquem os que cum pla para sumaría un término).
♦ figo •
p
2x3
}
(1){2 ~ W
3
+1)
n = 2 , (sólo se
3
3 es verdadero
,
Suponiéndose que cumpla n = h , *./<,*. w \ = e6 verdadera por
la
h ip ótesis in d u ctiva .
* Ahora probaremos : si P (h ) es verdadera, entonces P (h + 1 ) es verdadera ; en efecto :
pBJ 1 B 6 I IBS Pf* + s _ L .+_ iL +_L _+ 2x3
1x2
.+
3x4 1
h + l * (h + l)(h + 2)
i t r V; 1r / c i ]
se ha demostrado : A(A +J) (A +i)(A + 2)
[P (D es V ] a {[P (h) e s V ] - > [P (h + l ) e s V ]}
klftmh ÚJrnmtm
P(h + 1)
rvi> f rccw fcv
h +i [(/»+ 2) + i]
A ( ft + 2 ) + l
(h + l)(h + 2)
mModo déla Inducción matemática
PROBLEM A 4 : * Por lo tanto la proposición es válida para n = h + l , siempre que lo sea para n=H ; esto completa la demostración por inducción.
Probar que para cada entero positivo n . (n* + 6 n ) es divisible por 2
C O N C L U S IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
se ha demostrado :
* Sea :
[P(D es V] a {[P (6 ) e s V ]-> [P (h + l ) e s V ]} métododola Inthseoidn matemática
P (n ) = |n e N l ( n 2 + 6 n ) es divisible por 2 j
PROBLEM A 3 :
♦ PASO 1 :
D em ostrar que para cada en tero p o sitiv o n .
Verifiquemos que cumpla para n =2 : P ( l ) : l 3 + 5 (2 ) = 6 = 2
x n - y n es divisible por x - y R E S O L U C IÓ N : * S ea: P (n ) = |n e N / x n - y n es divisible por x - y } * PASO 1 :
Verifiquemos que cumpla para n =2 :
* PASO 2 : Suponiéndose que cumpla n = h , o P ( h ) : h 3 + 6 h es 2 es verdadera por la hipótesis inductiva . * ahora probaremos : si P (h ) es verdadera ( entonces P (h + 1 ) es verdadera ; en efecto : P ( h + l ) = ( h + l ) * + S ( h + 1)
x 1 - v1 P (2 ) ; -------— = 2..........................se verifica * “ *
-> P (h +1) = h* + 2h + 1 + 6h + 5 -> P (h + 1) = h* + Bh + 2 (h + 3) hipótesis e Inductiva *
■ ’
* PASO 2 : Suponiéndose que cumpla n = h ,
+
-
-
*•**
k h ( 2 h - l ) ( 2 h + 2) .p ** P (h ) = — -------- —--------- - e s verdadera por O V hipótesis in d u ctiva .
. se verifica
. la
* Ahora probaremos : si P (h ) esúerdadera, entonces P (h + 1) es verdadera ; en efecto : P ( h ) = x h - y h es divisible por x - y hlpótetiz Inductiva
* Luego : P (h + 1) = x h¥l - y A+í = x hx ~ y hy - » P (h + l ) = x Hx - y x H + y x h - y hy
-> P (h + l ) = 2 el primer término de la izquierda es divisible por 2 por la hipótesis inductiva t y el segundo término también es divisible por 2 , entonces P (h + 1) tiene como factor a 2 . * Por lo tanto la proposición es válida para n = 6 + 2 , siempre que lo sea para n = h ; esto completa la demostración por inducción. C O N C L U S IÓ N : Se ha demostrado : [P(l) e s V ]* { [ P ( h ) e*V \-*[P (h + l ) esV]}
->
P (h
+ 1) = x A ( x -
y)
+
y ( x h - y h)
-> P (h + l ) = x h ( x - y ) + y P (h ) El primer término de la izquierda es divisible por x * y * y P°r hipótesis inductiva el segundo término es divisible por x - y , entonces P (h + 1 ) tiene como factor a x - y . * Por lo tanto la proposición es válida para n = 6 + 2 , siempre que lo sea para n = h ; esto completa la demostración por inducción.
C O N C L U S IÓ N :
métodoéoimtnéweeíén metoméHe* PROBLEM A 5 : Probar que para cada entero positivo n . 5 ♦S6 + 9° ♦.... + n6
(<
R E S O L U C IÓ N : * Sea : P(n) mU 5 +$5 +S6 +....+, / ) +( A * 7+/ +....+»7)
■(
fy u r.
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s jn r s i
X t H t .O P E I H A S O IS ]
2:
♦PASO 1 :
* P A S O
Verifiquemos que cumpla para n =2 :
Suponiéndose que cumpla n = h , pfA;.-(i+p)* * J+Ap es verdadera por la hipótesis inductiva .
P ( l ) : l ‘ + l 7 = 2 1(1
ñ
-
2
se verifica
PASO 2 :
•Ahora probaremos : P (h ) es verd a d era , entonces P (h + 1 ) es verdadera ; en efecto : p (h + 1) = ( i + p )
= (i + p)
Suponiéndose que cumpla n = h t -> P (A + l> = I + p + Ap + Ap
P (h ) = 2
h [h + l
es verdadera por la hipótesis
inductiva . * ahora probaremos : ai P (h ) es verd a d era , entonces P (h + 1) es verdadera ; en efecto : P(h + 1) » P ( h ) + (/» + 1)
5
+ (h + l)
7
t
\h+l
-> PfA + n * ( / + p )
2
( i + p ) s ( i + A p )(l + p )
Jt 1 + fA +
l)p
2 1 + fA + j ) p
• Por lo tanto la proposición es válida para n = h + l , siem pre que lo sea para n = h ;esto completa la demostración por inducción. C O N C L U S IÓ N : se ha demostrado : [P (D es V] a {[P ( h) es V] - » [P (h + 1) es V]}
P(h + 1) = 2
método de la imimxiún matemática
a
(a +
h
P (h + l ) - 2
+ 2H + 2
]
PROBLEM A
7 :
Demostrar que :
a (b + c ) = a ft+ o c
se generaliza para n sumandos en la forma : -» P(h + 1) = (ft + l ) 4
-+ P(h + 1) =
8
(* ♦ !> ( h2 + 2 h + 2)
(* + *) { h4 + - . 8 _ 2 8h + 24/» + 32/» + 16) 8
2)
P f A + 2)
a (b ¡ + b t + b 3+... + b n)= a b j + a b g+ a b 3+ ... + a b n R E S O L U C IÓ N : • para n = 2 resulta válido de inmediato que: a b j= a b j •supongamos para n = h (hipótesis inductiva) a (b j + b 2+ b 3+... + b k) = a b ¡ + a b s+ a b 3+ „ . + a b h
* Por lo tanto la proposición es válida para n = fe+ 2, siem pre que lo sea para n = h ;esto completa la demostración por inducción. C O N C L U S IÓ N :
a (b l + b 2+ b 3+ ...+ b k+J) = a ( b J+ b 2+ b s+ ...+ b h'¥¡)
se ha demostrado :
= a (b ¡ + 6 j+ 6 s+... +bfi)+ a (b fl^1)
[P (l) es V] a {[P (h ) es V] - » [P (h + 1) es V]} wi«todhd>fa frA—JA» wwlirfllm PROBLEM A 6 :
(2 + p )*
= a b j+ a b s + a b 3+ ...+ a b h+ a b k+I C O N C L U S IÓ N : se ha demostrado :
Sea p un número real tal que p 'Z .—l . Demostrar €*Ue*
• la propiedad quedará demostrada , si en base a esta hipótesis probamos que la propiedad se cumple para n = fe+ 2 . en efecto :
[ P ( l ) es V ] a {[P (h ) e s V ] ^ > [ P ( h + l ) es V ]} método de la inducción matemática
¿2 + n p
PROBLEM A 8 :
R E S O L U C IÓ N :
Demostrar que para cada entero positivo n.
Sea :
2n*2
P in ) = | n e Z + /(2 + p ) n > 2 + n p J
+ 2 6n+t es divisible por 22 ;V/t £ 2
R E S O L U C IÓ N : •PASO 2 ; Verifiquemos que cumpla para n =1 : P ( 2 ) ; (2 + p ) ; £ 2 + p
se verifica
• PASO 2 : Verifiquemos que cumpla para n =2:
K im v o .v
1269
32(l)+2 + 26(2)+2 =2Q9=ix x 19 e s divisible por 11 verificado PASO 2 : * ahora probaremos : si PfA ) es verdadera, entonces P (h + 1) es verdadera ; en efecto : t, , l i j. • ,, P(h) = 3o 2 6 + 2 +2„
h ip ó tesis
•Luego:
,
PfA + I ) ^
r v n r w iá s f
*PASO 1 : Verifiquemos que cumpla para n = 4 : 2 43= 2 * 4 -2 % I verificado
* PASO 2 : Ahora probaremos : si P (h ) es verdadera t entonces P (h + 1 ) es verdadera ; en efecto : P(h) :
in d u ctiv a
,
2 +J) + 2 + 2 6 ( f c + , >+ ,
2 h+l 3 _ 2 x 2 h 3
-> P ( h + l ) = 9 x 3 2H+2 + (9 + 5 5 ) 2 6A+J
0
0
2 h~3 i . h - 2 hipótesis i n d u c t i v a
* probaremos que 2h+I~3 ¿h + 1-2 > en efecto •'
-» P(h + 1) = 3232A+2 + 2ff26A+í
- » P ( h + l ) ^ 9 ^ 3 2 h + 2 + 2 € h +1 } + l l { 5 x 2 6 h + I }
ní.\t k !h A t w c \}
*2(h-2)*(h +l)-2
p u esto que p a r a h * 4 -* h > 3
* Luego por transitividad :
0
2 h+l-S z h + 1 _ 2
- + P ( h + l ) = 9 x l l + 11=* 11
•por lo tanto : 2n~3 zn -2 ;v m 4 por el principio de la inducción matemática .
C O N C L U S IÓ N : Be ha demostrado : [P (l) es V] a {[P fW es V] - + [P (h +1) e s V ]} méfodo dt la indumÓM to a tm iá iiea
PROBLEM A
11 :
Demostrar en la sucesión : ai = 0 ;a 2 = l;a n =
PROBLEM A 9 :
,rt * 3
Demostrar que dado el conjunto : {x. / mg* } 2
[ ( x 7 = $60 A x n4l= B]x n + 6 o ) => ( x „ < 4 ) ] ;V « 2: 1
2 (-i)”
= 3 +7 7 rT R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
* PASO 1 : Verifiquemos que cumpla para n =1 t x ¡ = ^ 6 0 < ^ 6 4 = 4 -> x ¡ < 4 > ■■ » ■ ■ ■ — *'
verificado
*P A S 01: Verifiquemos que cumpla para n = 3 : ao =
1+ 0
a2 + a 1
1 2 2 (-/) a3 = “ — ” a A as - —+ — 3
3 2
1 2
verificado
PASO 2 : * ahora probaremos : si P (h ) es verdadera, entonces P (h + 1) es verdadera ; en efecto : P(h) :
x k < 4
*P A S 02: Ahora probaremos ; si P (h ) es verdadera , entonces P (h + 1 ) es verdadera ; en efecto : O ,+Ohl - 2n]
hipótesis inductiva
P ( h ) : a h = 4 ( u al_ ,
* probaremos que xh+¡<4 ; en efecto : x h < 4 -> x h + 60 < 4 + 60
hipótesis inductiva
•Luego : s (-,)■ )P7 3 2
2
-►x htI = $ x h + 60 < $ 6 4 = 4 -+ * h ,i< 4
•por lo tanto : *„ < 4; Vn * 11 por el principio de la inducción matemática . PRO BLEM A 10 :
h+1
= 4(°fc + ah-t) = 4 h+1
¿
(0
+M ͱ ) 3
3
2
h---
h+1 3
3
2
/ \b~i' * í(-i) s 2 TTT~ J_
h+1
’ 2
¿ :2
s
r
h+1
%—
Demostrar que : 2 n~3 ^ TI — 2 ,*V /l > 4 R E S O L U C IÓ N :
por
lo
tanto
: « „ = *- + S Í-*)" 3
3 2
* 3 por
el
ra iia g g l ' m principio de la inducción matemática .
que son en teros p ositiv os por h ip ótesis de la in d u cción , en ton ces queda com pleta la demostración deseada .
PROBLEM A 12 : Demostrar que vn ¿ 1 *
PROBLEM A
(2 + ^ ) " + ( 2 - ^ ) ” S„ =
X tT C L O P E ltiA 2 0 1 2 }
es un entero positivo.
Demostrar : n . . E eos ( 2 k
13 : sen (2 n x)
.
- l ) x « ----------*-----------L ; n ¿ I a s e n x * 0
2 senx
k=l
R E S O L U C IÓ N : ♦ PASO 1 :
R E S O L U C IÓ N :
Verifiquemos que cumpla para n =1 :
*PASO 1 : Verifiquemos que cumpla para n =1 : 1 c o »(2 k - l)x = 009(2 x J - 1 ) = c o s x
Si =
(2 + Já)1 + (2 - Já)1
verificado verificado
a e n [2 (l)x ]
*en2x
2 senx
2 senx
* PASO 2 : Ahora probaremos : si S (h) es verdadera , entonces S (h + 1 ) es verdadera ; en efecto : (2 ♦ f s ) H + (2 - f a f S(h) : Sh * - --------- -------- --------- L
2»en x
cosx
PASO 2 : ♦ahora probaremos : si P (h ) es verdadera, entonces P (h + 1 ) es verdadera ; en efecto :
e» un entero P(h):
hipótesi» inductiva
A /« , s e n (2 h x ) Yé c o s (.2k - í ) x = —o —2 sen x
♦Luego :
hipótesi» inductiva
♦ Luego : (2 + fa )h+l + (2 - fa )h+1
2 senx c o s x _
h+l
h+l
'JY cos(2k- l)x =^
(2 + vs)* ( 2 + m + (2 - v í)* (2 - v í)
= f f n(2A*) + co
cos(2/r- l)x + co8^2(h +1)-j]x
2fc +
2senx =2
( 2 + 1/ 3 )* + Í 2 -VS)*
J3
(2 + 1/ 3)
- ( 2 -V 3 }
2 senx
(2 + & )k - ( 2 - & ) h = 2&. + 3 2 j3
_ sen2(A + I )x 2 senx
Q~h ♦nos queda dem ostrar que Q h tam bién es un número entero positivo , para ello utilizamos de nuevo la inducción , a s i: Qh+l
( 2 + f 3) h+1 - (2 - f s )h+1
2J 3
( 2 ^ ) H(2 + r a ) - ( 2 - J ! ) h ( 2 - ^ )
2S (2 , fa )h - (2 - t i ) h 2J 3
^sen(2hx) +28enxco8(2h + í ) x ] 2 senx [jsen(2hx) + \sen2(h + f ) x - se /i(2 6 x )]]
(2 + f a f ♦ (2 - f a f 2 j3
, 2Qk + k l ^ t k z ^ . , 2Qh + s h entero resultando SA+J y QA+J la suma de 2 expresiones
JL, . , . sen(2nx) ♦por lo ta n to: y , c° * ( 2 6 - i) x = —^— — -p o r A— t s principio de la inducción matemática . PR O B LE M A 14 : Demostrar que V n e N ; P t q , * i,b i e R n n n 2p q Y a K k=i k=i k=i R E S O L U C IÓ N : ♦Recordando que : 2 a b < a 2 + b 2 ♦ PASO 1 : Verifiquemos que cumpla para n =1 : 1 2 P 9 ^ « A = Z p qap , = 2 (q a ,)(p b ,)
* (
el
[ñnÜ T iixw zm H i r n t O A 1
B H tiSHit I B B
PASO 2 : ♦ ahora probaremos : si P (h ) es verdadera, entonces P (h + 1 ) es verdadera ; en efecto :
P(h) .■2 p q '^ a „b h <. 9
* ^ ° ? +
i . w i Tf € i ó . v
’fv+i,i n c i ] (6+2 \( h+l s « í , 6*2 U «2
0 > f 6 0 . ^í 6 Q L « í + « í +J I 6 f + .6=2 , ,6*2 y
\ )
p3^ b‘
hipótesis inductivo
♦ Luego : h+l
( h
\
2 p ? ^ « * A = 2pq\jE,«kb* +2(qaktl)(pbhtl)
* q2j f ta ‘ + p *J?¡b‘ + porlo hipótesisinductivo
1 + 2 + 3 + ...................... + ( n - l )
+
W í| > ¡ h+l
♦ Demostrar por inducción matemática cada una de las siguientes fórmulas y enunciados :
2 +4+6+
+p
2 k l hi b
oz> 2a + 3 , + 5 * + ________ + ( 2 n - í f = n * { 2 n * - l )
Demostrar la D E SIG U A LD A D D E SCHWARZ , la señala que:
CAUCHY-
N ; a i9bi e R 2
i »
3 ) 2a + 4S+ 6a + .............. + (2 n ) * 2n* (n +1)
2Z5 I + 3 + 32 2E (&
*PASO 1 : Verifiquemos que cumpla para n =1 ; ^2l2 ^ „ 2 l2 Qj Oj á d j Oj evrí/ifodo PASO 2 :
n 5x7
1’ ♦ —— 2* +-----3' + 1x3
3x5
5x7
(2 n -2 )(2 n + 2)
2 i 1x2x3 2x3x4 3x4x5
2n+l
»*
»(n + 1)
( 2 n ~ i ) ( 2 n + 2)
2 ( 2 n + 1)
1_________n(*i+5)
n(n+2)(n+2) 4(n+i)(n+;2)
© 4n>w* ; VnüS
=1
y
©
5n >l + 4n ;
Vn£2
SSin!>2n ; V n ¿4 2 " >n2 ; V n*5 3n > 2 n + 2 ; V n *2
\2
(
£ a kbk >=i )
=
h
£ a kbk + a A+i6A+2 U=2
= I £ a kbk 1 + ^ a h+lb h+l £ a kbh + a h+Jbh+l k=l
3x5
1
hipótesis inductiva
♦Luego : h + l
+3
1
♦ ahora probaremos : si P (h ) es verdadera, entonces P (h + 1) es verdadera ; en efecto : x2 ✓ t x^ * X
l , “A
1
1x3
R E S O L U C IÓ N :
-
+ 33 +
3n- 2
rt-í
s 1
P(h)
= n ( n + 2)
,» (n + 2)(2n + i) 2 +2 +3 +.......+n*» * n— *-- ^ ¿ 6
P R O B L E M A 14 :
V /i e
2n
+ bh+l
h+l
9
...................... +
=
n(n-l)
i
n8 - n es divisible p o r 3 ; V n£2 0
- n es divisible p o r 5 } Vn ¿ 1
k=l
$2n + 2 + <¡6n+l ea ^ ivigihle p o r 1 1 ; Vn £ 2
i « í ] í i 6 * l + k 2+i Z a í + a í + íI 6 í |+ a g+A g+í k-1 Mi A *=i ) l 6=2 p o r h ip ótesi* in d u ctivo
<¡2n+2 _ 2*1+1 es divisible p o r 7 ; Vn £ 2
p o r *1 p r o b l e m a a n terio r
4n - 1 es divisible p o r 3 ; Vn i 2
= í «* k=i
2 +a bt2 +. blh +l h+i £ bt + * í + i ^=2
2^n + 5 e* divisible p o r 8 / Vn £ 2
\i2oe\i
2 + 6 + 18 + .............. + 2 x 3 n l = 3 " - 1
3nr 4 l5n + 6 es divisible p o r 6 ; V n ¿J
n> 2n
2 ) x 2n+J + y 2 *1* 1 es divisible p o r x + y ; V n Z l
Demuestra que 1 + 2 " < 3 n para cualquier
m
;
9 es fa c to r d e 1 0 "* I+ 3 x l 0 n + 5 sen ( 6 + n n ) = (-2 )" senO
entero positivo. Dem uestra que si un con ju n to A tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos.
m ©
Demuestra que 3n - 1 es divisible por 2 para
[ r(co a d + isen $ y y = r" ( coanO + isennO) = 1 ;V n * l
x 2 n + l _ y 2 n + l e| divisible p o r x-y ¡ Vn 2 2
cu alqu ier instante de
tiempo, la cantidad de hombres en la Tierra que se han dado un número impar de apretones de manos , es par.
c o s í 0 + n n ) = ( - i ) " co sO
(-2)
todos los enteros positivos n . Dem uestra que en
X C M C L O P rn U A 2 0 1 s ]
(Í7}) (o6)n =anbn ; Vn^í
©
n(3n +7) 6 6 1 n + 4 ♦ -r+----:—- + .... + Íx2x3 2x3x4 3x4x5 n(n +i)(n +2) 2(n + /)(n +2)
Demuestra que la fórmula: 2 + 4 + 6 + ....+ 2 /i= n 2 + n + 2 cumple con el segundo paso del principio de inducción matemática . Esto es, si la fórmula es verdadera para n = k , también lo es para n = k + 1 . Sin embargo, esta fórmula no es válida para n = 2 . ¿Qué deduce de esto? EL TEOREMA DEL MAPA DE DOS COLORES:
* 9 n 3 +(/» + 2) +(n + 2 )
es divisible p o r 9 ; Vn'Z.l
ff) Demostrar que vn £ 2 • (3 + 2¿ 2) n + (3 - 2V2) ” sn = '
572
es un entero positivo par.
Demostrar que Vn £ 2 :
♦
Si se traza en un plano líneas rectas que empiezan y terminan en un borde de la hoja, este mapa puede ser coloreado con sólo dos colores sin que ninguna región adyacente tenga el mismo color. Demuestra que cualquier conjunto de número
(i + l Í 7 ) n + U - l Í 7 ) n es un entero positivo . 2" ¿ 1 7 ( í ^ ) Demostrar n
en la sucesión : , an - l + an - 2 0 = 2; a n = -------------- ,n ¿ 3
€tj = 0 ;
naturales, con un núm ero fin ito de elem entos, contiene un número natural máximo.
(i+ 4 is )H- u - m n
°n -
2 n¿ 1 3
Demuestra que la derivada de flx ) = x " es nxn'1
Demostrar que dado el conjunto :{* „ /» € * }
para cualquier entero positivo n. Adecúa el m étodo de inducción matemática para demostrar proposiciones que son validas a partir de un valor n Q.
[(x, = ¿ 2 a X ^ ,= ¿2 + Xm) => ( x n <; 2)] ;Vn2:1 (T 5) Demostrar que dado el conjunto : {x./ne/v} <: 2
*0=° **n=6+ i > 2 ---- ©
2n
Vn * 2
» -2 +V
n+1
; Vn2>2
senx + aen3x + sen 5x +... + sen (2n - l ) x
* Demostrar por inducción matemática cada una de las siguientes fórmulas y enunciados :
@ 1 +4 +7 +
, 0
+ (3 n - 2) =
n ( 3 n - 2 )
2
-J
n ’ (n + i y ¿ 1 6 $ ñ ! ) r
fn'
n
3 J
j
/ \ n
n
st' •i 5
1
+
.2,
2aenx
6
f \
>
1 - eos 2nx
j - * n 2n + 2
4*(m f
(2n + i ) /
(tp o h Z i ¿
e
p
E M C M itX L S K l i t i ñ o s )
o s
P O L IN O M IO S E N UNA V A R IA B L E 1 ) N O C IO N E S P R E L IM IN A R E S .* Un polinomio en una variable compleja x , es una función de la forma:
donde a 0$ a J9 a 2 , a n son números complejos, llamados coeficien tes de P fx), y n es un entero no negativo. * Si a 0 * 0 1se dice que el g ra d o de P fx) es n , y se escribe: grado P fx) = n .
S ) IG U A L D A D , A D IC IÓ N Y M U L T IP L IC A C IÓ N D E P O L IN O M IO S 9
D E F IN IC IÓ N 1 : Dos polinomios son igualen (idénticamente iguales), si tienen el m ism o grado, y sus coeficien tes son respectivamente iguales. Es decir: P fx ) = Ofpcm + + ... + a m y Q (x) = bfpf + b t x " '1 + ... + bn son iguales si m = n y , además , a 0 = b0 , a 1 = b ¡ , •. •,* a tn™b n.
En este caso, a 0 se llama coeficien te p rin cip a l de Pfx) . Las expresiones
D E F IN IC IÓ N 2 : Si: P fx ) = dgx" + o j x " -‘ + •••• + an * +b Q ( x ) = b 0x ” + b i x 7»-l i
OfpT, UjX*'1, a sx*~*,..., a MBe denominan térm inos de P fx ), y a¿xHse llama térm in o p r in c ip a l de Pfx) .
entonces: P (x)±Q (x)= fa 0 ±b0)x*+(a¡ ± b t)x*~l+ ...+(am±bm),
* Si a 0= l , P fx ) recibe el nombre de p o lin o m io m ónico. El término a m se conoce como térm in o constante de P fx). '«
eligiéndose en cada paréntesis el signo + ó el signo según que se trate de una sum a o resta de polinomios.
i
* Si a 0= a j = a s = ..t = a n=Ot P f x ) se denom ina polinom io id én tica m en te n u lo. 4
y
NOTAS: 1) Los términos que no aparecen en el desarrollo de un polinomio pueden escribirse con coeficientes nulos, en caso de ser necesario.
* Si a o= a J= ...= a n_J=0, pero o H * 0 , P fx ) = a n se denomina p o lin o m io co n sta n te. Se dice que un número complejo z es un cero de un polinomio P fx) si P (z)= 0
2) Se dice que un polinomio está completo si en su desarrollo existen todos los términos que siguen al término principal.
NOTAS:
EJEM PLO:
1) Los térm inos con coeficientes nulos suelen omitirse en el desarrollo de P fx ).
Si P fx) = 3x4 + 2 x s - 3 x + 8 y
2) El grado de un polinomio idénticamente nulo no está definido. 3)
El grado de un polinomio constante es cero.
EJEM PLO: En el polinomio P (x )= 2 x 5+ 3 x 4-4 x*+ 6 x - 7 : 2 es el coeficiente principal.
Q fx) = x € - x 4 + o x 3- 2x* + 4 x + 1, entonces se puede escribir: P ( x ) = Ox1+ Ox5+ 3 x 4 + 2 x 3+ 0 x ‘ - 3 x + 8 . Q (x )= x , + 0 xs- x 4+ 5 x3-2 x í + 4 x + 1. * Luego, la suma es: P(x)+ Q (x)=(0+D x 4 +(0+0)xe + ( 3 - l ) x 4 + ( 2 + S)x 3 + (0 -2 ÍX * + ( - 3 + 4 )x + (8 + l)= x ‘ + 2 x 4 +7x3 - 2 x* + * + » .
2x5 es el término principal.
y la resta:
7 es el término constante.
P fx) - Q fx )= ( 0 - l ) x *+ ( 0 - 0)x‘ + ( 3 + l ) x 4+ ( 2 - S)x3
5 es el grado de P fx). 2 es un cero de P fx ).
+ (0 + 2 ) x 3+ ( - 3 - 4 ) x + ( 8 - 1 )
= - x " + 4x4 - 3x3+ 2x * - 7x+ 7
L l L W ’H x a w íiílil 2012] D E F IN IC IÓ N Si:
3 :
* + ...+ a my Q(x) =b0x n+ b t x B_,+ ...+ 6n, P(x) = a0x m+ a1 x
m -2
el p rod u c/o P (x)Q (x) está definido por: P (x )Q (x )= c
y
Q (x) = x * - 3 x + 5.
donde fífr ) es nulo o g ra d R (x )< g r a d Q fx). Los polinomios S (x) y R (x) se denominan co cien te y resid u o , respectivamente, de la d ivisión de P fx) entre Q fx ). Si R fx ) es nulo, se dice que P fx ) es divisible por Q fx), o que Q fx) es d iv isor o fa c to r de P fx). El cociente Sfx) y el residuo R fx) se calculan por el conocido proceso de división ordinaria. EJEM PLO: Sean ; P fx) = 4xs - 3x3+ x * + 2 x -1 y Q fx) = x 3 + 2x* +5. Efectuando la división ordinaria: 4 x s + 0 x 4 - 3 x 3 + x 2 + 2 x - l |x 3 + 2 x 2 + 0 x + 5 -4 x 5- 8 x 4- 0 x 3 -2 0 x 2
R E S O L U C IÓ N : E scribiendo P ( x ) = a 0x 3+ a s x * + a sx + a 3 y Q fx)= b (p f + b ¡x + b t resulta m = 3 y n = 2; además:
13 x 3 - 1 9 x 2 + 4 2 x - l - 1 3 x 3 - 2 6 x 2 - Ox - 65
+ cJx k~1+ ... + c k
- 4 5 x 2 + 4 2 x - 66
se tiene 6 = 3 + 2 = 5 y, además, co = a 0b0 = (2)(1) =2 c¡ = a 1b0 + a 0b¡ = ( l ) ( l ) + (2)( - 3) = l —6 = - 5 c 2 = <*26, +a,& , + a 062 = (0)(1) + (1)( - 3) + (2)(5)
* Luego, S (x )= 4 x * -8 x + 1 3 y R fx )= -4 5 x 2+ 4 2 x - 66 son el cociente y el residuo, respectivamente, de la división de P fx) entre Q fx). Por lo tanto, se puede escribir: 4x6 - 3x3+x* +2x- 1 = (4xs -8 x + 1 3 )(x*+2x2+5) - 46x2+42x-66.
= 0 - 3 + Í0 = 7
4 ) EL C3 -
+ 13
8x 4 +16x 3 + 0x 2 +40x
bq ~ I, b j —"3 j bg = 5, b3 — 6 , — ... = 0. P fx)Q (x) =
x
-8 x 4- 3 x 3-1 9 x 2 +2x
a0= 2, a x= 1, a3 = 0 ,a 3 = -1, a 4 = a a= ... =0; Luego, para
4x 2 - 8
T E O R E M A D E L R E S ID U O
Y
EL
a sbo + a 2b i + a , b2 + a „ b 3 %
= f - I ) ( l ) + (0 )fl)+ fl)f5 ) + (2)f0) = - l + 0 + 5 + 0 = 4
TEOREM A D EL TACTO R Z
TEOREM A 2 : C4 “
a 4b 0 + ° 3 b í
+
°2 b2
+
a tb 3
+
a 0b 4
= (0 )(l)+ f - l ) f - 3 ) + (0)f5) + (D (0) + f2)f0)
(E L T E O R E M A D E L R E S ID U O K
= 0+3 + 0 + 0 + 0 = 3.
El residuo de la división de un polinomio P fx) entre x -a e s P fa ).
c5 = aBbQ + a4bx + .a 3b2 + a¿b3 + a2b4 + aQbB
D E M O S T R A C IÓ N :
= (0)(D + (0)f - 3 ) + f - D (5 )+ (0)(0) + (D (0) + (2)(0) Por el algoritmo de la división, existen Sfx) y R fx) tales que: P fx) = S fx )fx - a ) + R (x ), con : = 0 + 0 -6 + 0 + 0 + 0 = -6 . g ra d R fx ) < g r a d fx - a ) = l . Se deduce entonces que c6 = c7 = ... = 0 grad R fx) = 0 y , por consiguiente , que R fx) es con stan te. En con secu en cia , resulta que Por consiguiente, P fx) =S (x)(x~a) + r , donde r es una constante.
P(x)Q(x)= 2x5- 5x4+ 7x3 +4x2 +3x - 5. 8 ) E L A L G O R IT M O R E L A D IV IS IÓ N Z
T E O R E M A 1 : (E L A L G O R I T M O D E L A D IV IS IÓ N ) Dados dos polinomios P(x) y Qfx) * O, existen dos polinomios S fx) y R fx) tal que : P fx ) = S fx)Q (x) + rfx ),
Haciendo x = a en esta última igualdad se obtiene;
P(a) = 8(a )(a -a )+r = 8 ( a ) ( 0 ) + r = 0 + r= r, con lo cual queda demostrado el Teorema. EJEM PLO: El residuo de la división de P fx ) = 2 x 4 - 3 xs + 5 x - 6 entre x - 2 es:
[T E W H A í
BBS
X ’ W M .V W W O »
I , K
U n iC IO X E S
i* e » W S f
P (2 ) = 2 (2 )4 - 3 ( 2 ) a + 5 ( 2 ) - 6 = 32 - 24+ 10 - 6 = 1 2 Utilizando la división ordinaria se obtiene el mismo resultado.
K U B E tfO A h
Entonces: a 0x n + a Jx #,J + a 2x n~2 + ... + a n = f60x " -1 + b ¡x *~2 + b2 x n~3 + ...+ bn^ j ) ( x - c ) + r = bQx n + (b ¡ - c 6 0J x ,*~, +(b 2 - cb¡ ) x n~2 + . . . + ( bn_j - e6„_2 ) x + r - cbn_¡
En efecto, |x - 2 _______________
2x4- 3xs + 0xs + 5 x -6
-2x4 + 4x3
Igualando los coeficientes respectivos se obtienen las igualdades:
d j = 6j
2xs + x2 +2x + 9
—cbQ, €t2—b2
= b „ ,¡-c b n_2,an=r-cb„_¡
x3 +0x 2
Transponiendo términos resulta:
- x 3 + 2 x2 2x2 +5x
= an_ i+ c b n_2;r = a „
- 2x2 + 4x
9 x -6 - 9 x + 18 1 2 = r
TEOREJIA 3 í (T E O R E ¿IA DEL F A C T O R ) Si c es un cero de un polinomio P (x ), entonces x - c es un factor de P (x ). Por el algoritmo de la división, existen S(x) y r tal que: P (x) = S (x) ( x - c ) + r. Si c es un cero de P ( x ) 9 en ton ces P (c)= 0 ; además , por el Teorema del Residuo, r = P (c). Luego , r = 0 y , por . lo tanto, P (x) = S ( x ) ( x - c ) . En consecuencia, x - c es un factor de P /x).T am bién se cum ple el recíproco de este Teorem a, cuya demostración Be deja al lector. . TEOREM A 4 :
•4
i
+ c6„_,
r
De este modo se pueden hallar el residuo y los coeficientes del cociente S (x ), en función de los coeficientes del dividendo P (x) y del divisor x - c. Estos resultados se disponen en una tabla, dando lugar al procedimiento llamado división sintética, tal como se indica a continuación: a 2 ........................ a n - l
a n
____________ C b 0
c b l ..................... c b n ~ 2
c b n -l
a 0 ~ b0
b 2 .........................b n ~ l
If
a l
a 0
bl
|
C
E JE M I’ L O : Hallar, por división sintética, el cociente y el residuo de la división de P (x) = 5 x4- 8 x3+ x - 1 0 entre x -2 . R E S O L U C IÓ N : Por el proceso anteriormente descrito escribimos:
l
Si x - c es un divisor de P (x ), entonces c es un cero de P (x ). E JE M P L O :
5
-
8
0
10 5
2
1
-1 0 8
4 4
9
18 |_3^
Sea el polinomio P(x) = x 3- 6 x*+ l lx -6 . Se observa que P(3) =0 ; luego, 3 es un cero de P (x ). Por lo tanto, x -3 es un divisor de P (x). En efecto,
Luego, el cociente y el residuo son:
x 3 - 6x 2 + l l x - 6 = ( x 2 - 3 x + 2 ) ( x - 3 ) .
S ) NÚMERO D E CEROS D E
5 ) L A D IV IS IÓ N S IN T É T IC A
í
Estudiaremos a continuación un proceso para calcular el cociente y el residuo de la división dé un polinomio P(x) entre un binomio de la forma x - c , sin necesidad de recurrir a la división ordinaria. Este proceso se conoce con el nombre de división sintética. Por el algoritmo de la división, sabemos que existen S (x) y r tal que: P (x) = S (x) ( x - c ) + r. Sean: P ( x ) = a 0x n + a Ix n~I + a 2x n~2 + ... + a n a S ( x ) = b0x n~l + b Ix n' 2 + b 2x n~3 + ... + b n_2
v
|2
Sfx) = 6x3 + 2x: + 4x + 9,
r = 8.
CN POLIN OM IO
TEOREM A 5: (fo ¿ S e o te m
a ^ u n d c tm e n la / < ie ¿
Todo polinom io de grado positivo tiene un cero complejo. Este Teorema deja establecido que el sistema de núm eros com plejos C resuelve el problem a algebraico de hallar un sistema de números (como extensión de R ), en el cual todo polinomio definido en él tenga un cero en el mismo sistema. Se sabe, en
c particular, que el sistema de números Reales r no satisface tal condición, un ejemplo de lo dicho lo constituye el polinomio P (x ) = x 2+ l , el cual no tiene ceros en r . La d em ostra ción del Teorem a Fundamental del Álgebra escapa a los alcances del presente tratamiento, razón por la cual es omitida. Una consecuencia muy importante del TEA. es el siguiente: TEOREM A
6 :
Todo polinomio de grado n tiene exactamente n ceros. D E M O S T R A C IÓ N :
IA
TEOREM A 8 :
(S e o b e m a < Ie S A fa n & d a d ) Si dos polinomios Pfx) y qfx) son del mismo grado n y coinciden en n + l valores diferentes de la variable *, entonces Pfx) y Qfx) son idénticamente iguales. D E M O S T R A C IÓ N :
Por el T E A ., P (x) tiene un cero complejo, tal como r 2. Luego, por el Teorema del Factor, x - r x es un divisor de Pfx) y se puede escribir: P fx ) = ( x - r ¡ )q¿ (x ),
Sean:
donde QSM es un polinom io de grado n -2, cuyo término principal es a ax "“2 i Repitiendo este proceso n veces se obtiene: P f x ) = ( x - r J) f x - r 2 ) . . . ( x ~ r n )Q n( x ) .............. ( I ) donde QnM es un polinomio de grado n - n = 0 , cuyo término principal es 0 ^ ° = a ^ Es decir, QnM es
2012)
de los factores): P fx) = a 0(x -r ¡) (x -r 2) , . . (x~rn), donde a 9es el coeficiente principal, y rt. rt, ... s mson ceros de Pfx). Una consecuencia de los teoremas anteriores es el siguiente.
Sea: P ( x ) = a 0x n+ a 1x n'1+ . . . + a n , c o n a 0 * 0.
siendo Q} (x) un polinomio de grado n-1, cuyo término principal es a^x"'*, pudiéndose calcular sus demás coeficientes por d ivisión sin tética . A plicando nuevamente el T E A ., Q / x ) debe tener un cero, tal como r2; luego, x -r ? es un factor de Q2fx). Esto permite escribir: Q¡(x)= (x - r j qs fx) y P (x )= (x - r I)(x~r2)q2 fx),
LVí
P ( x ) = a 0x n + a ¡ x n l + •••+ CL Q ( x ) = b0x n + b , x n l +
con a 0 * 0 y b0 * 0. Puesto que P fx) y Q fx) coinciden en n + l valores diferentes de x, el polinomio
D(x) = P (x)~ Q(x) = (a0 - b 0)xn +(a1- b I)xn~I +... + (an- b n) se anula para n+i valores diferentes de *. Si a¡ - *
0 , para algún i = 0 ; 1 ; 2 ; . . . ;n, se tendría
que grado Dfx) ú n. Luego, D fx) sería un polinomio con grado no mayor que n, pero con n + l ceros, lo cual es una contradicción (Teorema 6). Por consiguiente, a ¿-6|=0 para todo* = 0 , 1 , 2 , . . . , n. Es decir,a¡=b¡ para todo i = 0 , 1 , 2 , . . . ,_n. En consecuencia, Pfx) y Q fx) son idénticamente iguales.
constante e igual a a0 * 0. En consecuencia, se puede expresar Pfx) en la forma factorizada
7 ) M U LTIPLIC ID A D D E UN FACTO R S
P ( x ) = a 0(x - r ¡ ) ( x - r2 ). . . (x - rn )
Si fx - r )m, con m entero positivo, es un factor de un polinomio P fx), pero no lo es fx - r ) m + J , entonces se dice que (x - r ) es un fa c to r d e m u ltip licid a d m de P fx ); además, en este caso, se dice que r es un cero d e m u ltip licid a d m de P fx).
(II)
Evidentemente, r¡ , r 2 , ... , r n son ceros de P fx ). Ningún otro número complejo r , diferente de r , , rs .. •J Mt es cero de P fx). En efecto, haciendo x = r , no se anula ningún factor del segundo miembro de la igualdad (1) y, por consiguiente, p(r) * 0. Se concluye, por lo tanto, que P fx) tiene exactamente n ceros . Con herramientas no dadas en el presente tratamiento, se demuestra que la descomposición factorial obtenida en este teorema es única, salvo el orden de factores. Este resultado Be conoce con el nombre de Teorema de Factorización Única y se enuncia de la siguiente forma: TEOREM A
7:
(& eo% em a d e 9 tx cío * ¿^ a ció n ^ U n ica ) Todo polinomio con coeficientes complejos, de grado n , se puede expresar de una única forma (salvo el orden
D E F IN IC IÓ N :
EJEM PLO:
Sea P fx) = 8 x 3 - 4x2 - 2 x + 1. Se puede escribir: P fx ) = f 2 x - l ) 2 (2x + i ) . Luego, Pfx) tiene un factor 2 x - l de multiplicidad 2, y un factor 2 x + ¿ de multiplicidad i . Además, 1/2 es un cero de multiplicidad 2 (cero doble) y -2 /2 es un cero de multiplicidad 2 (cero simple) de P fx). 8 ) E L PR O CED IM IEN TO D E
UORNER
:
Usando el Teorema del Binomio, toda potencia de x se puede expresar como un desarrollo polinómico de potencias del binomio lineal x - a , para cualquier número a 6 C .
IB M 1271 I B
[ir ts a n iA t u : P o t i y o M w > s En efecto, a* + na"'1( x - a ) +
x* = [ a + ( x - a ) }
M H V M O X E S RVMStÑnfÁ
9 ) M ÁXIM O COMÚN D IV IS O R í
n (n -l)
a
~ *< x-a f
D E F IN IC IÓ N 1 :
EJEM PLO:
Un polinomio P (x) es irred u cib le si no se puede expresar como el producto de dos polinomios de grado positivo. En caso contrario, se dice que P (x ) es reducible.
Expresar x 4 en potencias de x-2 .
N OTA:
+ * ( n - DJn ~ 2 ) a n~3(x - a )3 + ....... 1x2x3
Puesto que, según el Teorema de Factorización Única, todo polinomio de grado n puede descomponerse en un producto de n factores lin eales, los únicos polinomios irreducibles son de grado 1 (lineales).
R E S O L U C IÓ N : x 4 =\2 + ( x - 2 ) \ 4 = 2 4 + 4 x 2 3 ( x - 2 ) + J ^ 2 2 ( x - 2 j *
1
J
1x2
+ 41, *x 2Í xX29 2 ' ( x - 2 ) 3 + 41 * 39 * l * lJ 2° ( x - 2 / * D E F I N I C I Ó N 2 : 3 Ix2x3x4 = 16 + 3 2 ( x - 2 ) + 2 4 / x - 2 f + 8 ( x - 2 f + ( x - 2 ) 4.
Una consecuencia de lo anterior es que todo polinomio P(x) puede desarrollarse en potencias de x -a , para cualquier complejo a . Se puede escribir entonces, P(x) = Ao + A f x - a ) + A2( x - a f + . . . + An( x - a ) n. Los coeficientes A0, A J9. . . , A n de este desarrollo se pueden calcular por repetidas aplicaciones de la división sintética. En efecto, escribiendo:
Dos polinomios no nulos son a socia d os si uno de ellos es igual al otro multiplicado por una constante. EJEM PLO :
Los polinomios P fx )= 3 x + 6 y Q fx ) = x + 2 son irreducibles, sin embargo, ellos son asociados, pues: P (x) = 3 Q (x). En cambio, el polinomio S (x )= x 3+ l es reducible, tal como lo indica la descomposición: x 3 + 1 = (x + 1) fx* - x + 1).
P(x) * Ao+fx-alPifx) con Pl(x)=At + Ag( x - a ) + •M+ An( x - a r l D E F I N I C I Ó N Pj(x) =A,+(x-o)Pt (x) con
Ps(x)=A Jt + A3( x - a ) + ». + An( x - a r - t
3:
Pm_1(x) = An_í +( x- a) PM(x) conPm(x) = Am
Se llama máximo común divisor de dos polinomios no nulos P (x) y Q fx), a un polinomio D (x ) que satisface las siguientes condiciones:
* Se observa que:
1) D (x ) divide a P (x) y a Q (x)
Ao es e l resid u o d e la d ivisión d e P ( x ) e n tr e x - a ,
2) Si S(x) divide a P (x) y a Q fx ), entonces S(x) divide a D (x).
f , . j í r í = A».* + (x -a )P m_1(xtconP„_I(x) = An_t + A J x - a ) )
es e l resid u o d e la d ivisión d e P f x ) e n tr e x - a, A i es el resid u o d e la d ivisión d e P2 (x ) e n tr e x - a , es e l resid u o d e la d ivisión d e P m_2 fx ) e n tr e x - a , Ah_j es e l resid u o d e la d ivisión d e P„_f x ) e n tr e x - a ,
A„=F-ía:/(constante) es el últim o de los cocientes obtenidos en este proceso de división por x-a . EJEM PLO :
Expresar P(x)=3x 4 +x*-2x*+x-7 en potencias de x - i . R E S O L U C IÓ N :
Efectuando abreviadamente las divisiones sintéticas por X - 1 . O I O f j J 3 I -2 1 -7 3
4
2
3
3
7
9
112
3
10
|J9
3
113
| -4
O B S E R V A C IO N E S :
1) Si un polinomio cumple con las condiciones I y 2 , también las cumplen sus asociados. 2) Se prueba que el m*M. de dos polinomios es único, salvo asociados. D E F IN IC IÓ N 4 :
Se dice que dos polinomios son primos relativos o primos entre sí, 6Í el máximo común divisor de ambos es constante. El procedimiento para calcular el m.c.d. de polinomios es análogo al usado para hallar el m.c.d. de números enteros y se fundamenta en los siguientes teoremas: TEOREM A
Si un polinomio Q fx) divide a otro polinomio P (x ), el m .c.d . de am bos es Q (x ). La dem ostración es inmediata de la definición de m.c.d. TEOREM A
15 Tomando los residuos en orden de aparición se escribe:
P(x) = -4 + 12(x -1 ) + 19(x -
l f +
13(x-
ff:
l f
+ 3(x -
lf.
10:
Si Q(x) no divide a P (x ), y grad qfx) <. grad p(x), el m.c.d. de P(x) y Q fx) es el mismo que el de Q fx) y el residuo de la división de P fx) entre Q fx).
LA 2012) Esto completa la prueba de que Rnes el m.c.d.de P y Q.
D E M O S T R A C IÓ N :
Por el Algoritmo de la División, existen S (x) y R (x) tal que: P ( x ) = S ( x ) Q ( x ) + R ( x ) t con grado R(x)
EJEM PLO :
Hallar el m .c.d. de los polinomios:
P (x ) = x 5+ x 4+ 5 x 3 -
R E S O L U C IÓ N :
Dividiendo P entre Q (por coeficientes separados): 1 1
5 - 2
- 1 0 - 2
3
0
-3 3
R 3
9 Se obtiene
R 4 ~ R2
1
1
-10 -2
6
-3
|3 - 3 0
12
1
6 9
6
3 0
12
9 18 el cociente
3 - 3
Rj =S 3 R 2 + R 3 R 2 — S4R 3 + R4
R, = P - S , Q R 2 = Q —S 2 Rj R 3 = Rj —S 3 R 2
-2
2 - 1 2
-1 2
1
S 2 = x +1 y
el
residuo
R 2 = 9x2+ 9 x+ 1 8 . Dividiendo R ¡ entre —r 2 ; 3
Q = S2 Rj + R 2
El último divisor R nt así obtenido, es el m.c.d. de P y Q. Para demostrar esta a fírmación diremos que Rn divide a Rn^ y, por lo tanto, a R n_2\si R n divide a R n_s> en ton ces d ivide a y así sucesivamente, . . . , dividiendo a Rs divide a R2; si divide a R 3 y a Rst divide entonces a R j; diviendo a Rs y a divide a Q; finalmente, si divide a R 2 y a Q, divide a P . Además, si D es un divisor de P y Q t es también divisor de:
6
3 0 -3
&n+IR n.
1
- 10 11 0
3 - 3 0 -1 2 Se obtienen así el cociente S ¿= x + 1 y el residuo R j = 3 x s - 3 x s - 1 2 . Tom ando 3Q (para evitar fracciones) y dividiendo entre R v
Rv entonces se escribe: R ¡ =S 3 R 2+ R d, donde grado
R n-1 -
1
1 3 - 1 - 1 -1 0 - 2 1
R 2
S n R n-1 + R n
-1 0 y
Q (x ) = x 4+ 2 x 2 - x + 2
P = SjQ +R j, con grado R ¡
R n -2 "
2 x 2+ x
-3
0 -1 2
-3
-6
-6
-6
-1 2
6
6
12
|3 1
3
6
-2
0 0 0 Luego, el último divisor es el m .c.d. ; es decir: m .c.d.( P ;Q ) = x z + x + 2 . E J E R C IC IO S : v
o
Descomponer P (x) = x + 3 x + 4 x + 4 , sabiendo que, salvo un factor-constante, puede escribirse en la forma (x 2 + m x + n ) 2 - x 4. ) Calcular la raíz cuadrada del polinomio. x 6-1 2 x 5+ 60x4-1 6 0 x3+ 240x2-1 9 2 x +64 <
Determinar Xa// para que el polinomio
R3
R n ~~R n~2 ~~^nRn-l
P (x ) = x 4+Xx3+ p x 2+12x+4. sea cuadrado perfecto.
Ir E tfJ B lA jPJE J>O L L V O W O A i
E iH C IO N E S leVHiJVOS]
m Evaluar:
m Desarrollar:
P(x) = x 3 - 3x p a ra x = \¡a+ -Ja2 - 1 + $¡a - 4 a 2 - 1
a )x4+ x* - 3 x + 2,
en potencias de x - 1 .
b)x5 + 3 x + 4 ,
en potencias de x + 2,
Evaluar: P(x)= (1 - x )(l - a x )(í- a2x )(l - a3x )(l - a4x) Si a es una raíz quinta de la unidad.
c) 2x6 - 4x3 + x2 - 8 , en potencias de x + 1. en potencias de x - 2 .
d )x6 +1,
Verificar que X = 1 +>¡2 es un cero del polinomio. En cada ejercicio, hallar el m.c.d. de los polinomios que se indican:
Hallar el valor numérico de
A = 2x4 - 4x3 - 7 x - 1 4 para x - 1 +43. D eterm inar el valor de a y b , tales que A = a x "+/+ 6xn +1 sea divisible por (x-1 ) 2. Hallar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones, usando la división sintética:
a ) x 3- l y
x 4 + x 3 + 2 x 2+ x + l.
b)2x3 + 6 x 2 - x - 3
a
x4 + 4 x s + 3 x 2 + x + 1.
c ) x4 - 6 x 2 - 8x - 3
a
x 3 - 3 x - 2.
T E O R ÍA D E E C U A C IO N E S
a)2x3+ x 2 - 4 x + 7
entre x + 7
b)3x4+ x 2 - 2x+7
entre x - 43
c)x5 - 7 x 2+ x - 5 i
Una igualdad de la forma P (x )= 0 , donde P (x) es un polinomio , se denomina ecuación polinómica ; x se entre 3 x - 2 llama incógnita y los ceros de P (x) de denomina raíces , de la ecuación P (x ) = 0. El grado de una ecuación es el entre 2 x - i Igrado del polinomio que la define. En toda ecuación se entre x —J + / Pue^e suponer que el coeficiente principal es positivo.
entre x + 5i
d)x4+ix2 - 9x+6 e)4xs - 3 x 2+ * + 2 f)3xs+5ix4 - 7 x 2+4i @
d )P (0 ,l)
De acuerdo a lo estudiando en polinom ios, se puede afirm ar que toda ecu ación de grado no tiene exactamente en raíces.
b )P ( ¿ 3 )
e )P (-2 i)
9 ) ECUACIÓN R ED U C ID A f
ó )P (l/ 2 )
f)P (l
Dado P (x ) = x 1 - 3 x4 + x 3 + 2 x + o.
Calcular:
1 ) DEEINICMÓNES JP R E L IM IN A R E S í
a ) P (-5 )
t:
+ i)
(O) Sin efectuar la división, demostrar que: a) x 4- x 3 + 3x2- 5 x - 10 es divisible por x 2 - x - 2 . b) 2xs - 9x4 7x3+ 7x2 - 5 x + 6 es divisible por x 2 - 5 x + 6,
Si P (x) = 0 es una ecuación de grado n y r e s una raíz, se puede escribir: P (x )= (x -r )Q (x ) donde Q (x) es un polinom io de grado n -1 . Toda raíz de P ( x ) = 0 , diferente de r es raíz de Q (x )= 0 y reciprocamente , toda raíz de es P (x) = 0 e s , a su v e z , raíz P (x) = 0 . En este caso. Q (x) = 0 se denomina ecu a ción reducida de P (x)= 0 ,
c)2 x4 + x 3 + 3 x2 + x + 1 cs divisible por x2 + 1.
EJEM PLO :
d)3x4 + 2 x3 -7 4 x 2 - 50x - 25 es divisible por x 2 - 25.
Resolver la ecuación: P (x )= x 4-8 x 2-4 x + 3 = 0 f si tiene las raíces -1 y 3.
e)2x* + 7x2 - 3 x - 3 es divisible por
2x + 1
R E S O L U C IÓ N ;
Usando la división sintética con -1 : f) 9xs + 18x4 - 4 x3 + x 2 - 4 es divisible por 9x2 - 4. En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar una ecuación que tenga las raíces que se indican.
a) l ; - 2 ; 3 b) i; -i; 4 c ) l ; 2 ; 2 ;- 3
1 0 - 8 - 4 3
b l
- 1 1 7 - 3 1 - 1 -7 3 \0
d )3 ;l± ¿ 2 e) 1; 1± ¿5 f ) l ± i ;2 ± 3 i .
Se obtiene la ecuación reducida Q j(x )= x 3 - x 2 - 7 x + 3 = 0 Reduciendo a su vez Q / x) =0 , aplicando la división sintética por 3:
[¿ A M -,
1 - 1 - 7 3 3 6 - 3 1 2
-1
TEOREM A
13
\0
Resolviendo Qs (x) = 0, se hallan las raíces:
las cuales s o n , a su v e z , raíces de P fx ) = 0. Por consiguiente, el conjunto solución de p fx ) = 0 es: {-1 ; 3 ;-1 ± J2 } ENTRE
+ a n-l + a n = °>
y sean r , , r 2 ,..., r n sus n raíces. Entonces se cumplen las siguientes REJLA C I O N E S :
S 1=r1+r2+... + r „ = - a¡
x= - 1± \Í2
8) RELACION ES
1:
Sea la ecuación mónica de grado n : p fx ) = x n + a ¡ x""1 + a 2 x n-2
Se obtiene Q ¡ (x) = x 2 + 2 x - 1 = 0, que es una ecuación de segundo grado.
Y
LA ENCH'iwuotA 2012)
Ih'TTT r r m
r»= a S 2 = r Jr 2 + r i r 3 + r 2 r 5 + . . . . + r .n. - l, 'n S 3 =r1r2r3+r1r2r4+...+rn_2rn_1rn = - o 3. Sn= r ir 2 -+ r n= ( - l ) na n
LAS
R A IC E S
D E M O S T R A C IÓ N :
Puesto que,
LO S CO EFICIEN TES í
Sea la ecuación mónica de segunda grado : x2 + bx + c = 0. Si r7 y r 2 son las raíces de esta ecuación , se puede escribir:
P fx) = x " + a 1xn~1+ ...+ a n = f x - r f ( x - r a)*... (x -r n) , basta probar que se cumple la fórmula:
x * + b x + c = (x - r i) (x -r 2) = x 2- ( r J+ r 2) x + r Ir2
La d em ostración se efectu ará por indu cción matemática sobre n.
igualdad de polinom ios, se sigue que: r 7 + r2 = -b
,
r 7 r 2 = e.
Es decir, en toda ecuación mónica de segundo grado , la suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término con signo contrario , y el producto de dichas raíces es igual al término constante. Sea ahora una ecuación cúbica de la forma: x9+ bx2+ c x + d = O y sean r J(r , y r3 sus raíces . 4
Entonces sé escribe:
(x-r1)(x -r 3)...(x-rn)= x n-S 1x n t +S2 xn_2-...+ (-2 )"S II.
Para n = 1 , la igualdad es obvia. En efecto, (x -r¡) - x 1- SjX° = x -S j donde S2 = r 7. Para n = 2 y n = 3 , se ha comprobado que se cumple dicha fórmula. Supongamos que se cumple para n = h ; es decir. (x-rJ) (x -r j.,. (x-rh) = x h- S l x*"J+Ssx h~s Luego , para n = h + 1 resulta:
+ f-1) hSh
x3+ bx 2+ c x + d = f x - r j ) f x - r 2) f x - r 3) = x3- f r i + r s + r 3 )xs + fr ¡ r s + r ¿ r 3 + r 2 r 3)x
( x - r t) ( x - r 2).„ f x - r h ) f x - rh+i)
’ rirtr3 Igualando los respectivos coeficientes se obtienen las relaciones entre
= x h+1 - ( S í +rh+ ,)xh+(S2+rh+¡S,)xh- 1 ~(S3+rh+,S2)
r , + r , + r „ = -b r ,r¡ + r ,r a + r ír s = e r , rs rs ~ ~ d Es decir , la suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término con signo contrario ; la suma de los productos , dos a dos , de las raíces es igual al coeficiente del tercer término ; y , finalmente , el producto de las tres raíces es igual al término constante con signo contrario. Estos resultados pueden obtenerse en forma análoga para las ecuaciones de 4o grado , 5o grado, etc. El siguiente teorema es una generalización de las relaciones m encionadas entre las raíces y los coeficientes.
= (xh - S ^ '+Sü x h 2 - .... + ( - l ) hSh)(x - rh+I)
Pero:
x h-2+ . . . + ( - l ) h+,rh+lSh
raíces + r h+i es la suma de la6 h + 1 r ]9 r 2 , r h+J; «Si + r A+JS i es la suma de los productos, dos a dos , de las h + 1 raíces , S3+ rh+iS2 es la suma de los productos, tres a tres, de las h + 1 raíces ;.... r h+i es producto de las h + 1 raíces. Por consiguiente , la fórmula se cumple para •• n = h + 1 , siempre que se cumple para n =h , lo cual completa la inducción. Se puede concluir así que dicha fórmula se cumple para todo entero positivo n , como se quería demostrar. EJEM PLO 1:
Resolver la ecuación x 4- 2 x3-3 x 3 + 4 x + 4 = 0 , si tiene dos raíces dobles. R E S O L U C IÓ N :
[H fiS 1 1 7 1 f
(T E O R Í A MIE
Sean r , r , a y 8 las cuatro raíces. Por el Teorema anterior se satisfacen las igualdades: v*Xv*Xo + /fI * ' r* + rs+ r»+ rs + r s + «2= - 3 ................................... (2) r^a+da+rs 2+ra 2= - 4. (3)
E D IC IO N E S
K U D IÑ O S }
Lo cual prueba que z es raíz de P fx ) = 0. N O TA : Es importante observar que , de acuerdo al teorema demostrado , toda ecuación de grado impar y con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.
r V = 4 ....................................... .................................. (4) E J E M P L O : Es decir: r + a = l ....................................................................... f l )
Resolver P fx) = x 4 + x 3-1 4 x 2 + 26 x - 20 = 0 , si tiene la raíz 1- i
r 2 + 4rs + a 2 = - 3 ................................................ (2) R E S O L U C IÓ N : r*8 + ra2 = - 2 ..................................... = 4
(3) Por el teorema anterior, 1 + i también es raíz de esta (4) ecuación.
Resolviendo f l ) y (3) se obtiene:r+a =2 y r s — 2 , de lo cual se sigue que: r = -2 y a = 2. Por consiguiente, la solución de la ecuación dada es:
Luego: [ x - fl - i) Jlfx -(1 + i)]= [(x -1 ) + i ] [ x - 1) - i ] = (x -l)~ + l = x '- 2x +2 es un factor de P fx ). Dividiendo P fx) entre x 2-2 x +2 resulta:
{-2 ;-2 ;2 ;2 } EJEM PLO 2 :
P (x )
Resolver 4x - 4ar - x + 1 = 0, si una raíz es el opuesto de otra. R E S O L U C IÓ N * La ecuación se puede escribir:
x 3 - x 2 - í x + í = 0. 4
4
- x 2+ 3 x - 1 0
A Asi, las dos raíces de 1a ecuación reducida x son las raíces restantes de P (x )= 0 . Tales raíces son: x = 2 , x = -5 . Por lo tanto, la solución de la ecuación dada es: { 2 ; - 5 ; 1 ± i]
r-
T raíces , . * A\ A ^ '5 ) R A IC E S D E L A F O R M A a + V O : Las son J de 1la rforma, r , - r y a . D Por 1lo 4 tanto, TEOREM A 3 : r„ - r + a = l ........................................ /i i ® ^ • ^ \ Si una ecuación con coeficientes racionales tiene una -r* - r a + ra = -2 /4 .......................... (2) i r*s — 2/4 (3) ra^Z ^orm a a + ^b * donde a y b son números Resolviendo f l ) y f 3 ) ,se obtienen lós valores: 8 = l y r = ± 2/2 que son las raíces buscadas.
racionales , pero noV& , entonces tiene también la rafz a - 4 b
En consecuencia , la solución ©B: { ±*2/2 ; 2 }
D E M O S T R A C IÓ N :
* )R A I C E S C O M P L E J A S C O N J U G A D A S : TEOREM A 2 :
Sea P fx ) = 0 y una raíz a+Jb con las hipótesis del enunciado. Dividiendo P fx) entre el producto:
Si z es una raíz com pleja de una ecuación con
[x -(a + 4 b )][x -fa -4 b )]= [fx -a )-4 b ][(x -a )+ 4 b ~ \
coeficientes reales, entonces z también es raíz de tal
= ( x - a f - b =x 2 - 2 a x + a 2 - b
•*
ecuación. Demostración: Sea la ecuación P fx ) = a Qx n + a ¡ xn l + ... + a n = 0 ,
ge 0b^jene un cociente Q fx) y un residuo R fx) = m x + n , con coeficientes racionales (pues , el dividendo y el divisor tienen coeficientes racionales).
con a 0 , a v ..., a n , números reales.
Resulta así:
Si z es raíz de P fx) =0, P fz) = 0. Es decir, P fz) = a 0z
+* djZ
+ ... + a n = 0.
Tomando c o l g ados resulta: 0 = 0 = P (z )= a o z n+ a Jz n 1+ ....+ a n _____ n, n -i. = a Qz + a tz + ...+ a rt 7T»n +. a - ¡(z 7Z\n~1^ _n = a Q(z) ) + ....+. a = P (z ).
P (x )= fx 2- 2 a x + a 2 - b) q fx ) + m x + n. por seVa+j£ raf2 de P fx ) = 0 , se sigue que m (a + J b )+ n = 0 ........................................................ (1) » rr 7i+ma , „ . si m * 0, vfe=-------------seria un numero racional, en m contra de la hipótesis. Por consiguiente ,m = 0,^y , r & reemplazando en f l ) , n = 0. Esto significa que R fx) = 0. Se concluye de inmediato que x 2- 2 a x + a 2b
lé m ia r o m m es un divisor de P (x) y , en consecuencia, también lo
LA
2012}
es x - Ya - •Jb). De esta última afirmación se sigue que
divide a b", entonces c divide a a 0 . El Teorema queda así demostrado. Una consecuencia muy importante de este Teorema es el siguiente
a — J b es raíz de P (x ) = 0 t completándose así la demostración del Teorema.
C O R O L A R IO
EJEM PLO :
Resolver : P (x ) = x 4 - 3 x3 + 2X3 -1 9 x + 5 = 0, si
:
Toda raíz racion al de la ecu ación m ónica con coeficientes enteros x n+ a Jxn~1+.... + a n=0
tiene la raíz 2 + sÍ3.
es una raíz entera y , además, es un divisor del término constante
R E S O L U C IÓ N :
EJEM PLO 1:
Por el teorema anterior , 2 - 4 3 también es raíz.
Hallar todas las raíces racionales de 3 x4 - x3 + 4 x2 - 20x -1 6 = 0
Luego, P (x) es divisible por el producto:
a_.
R E S O L U C IÓ N :
[x - (2+$3 )] [ x - (2 - $3 j ] = [(x - 2 ) - $3 ]
Las posibles raíces racionales son:
[ ( x - 2 )+ $ 3 ]= (x - 2 )2 - 3 = x2 - 4 x + l
±1 ,± l/ 3 ,± 2 ,±2/3 ,± 4 ,± 413,±8,±813,±16,±1613 Probando por divisiones sintéticas abreviadas: -2 0 3 -1 4 -1 6
P(x)
Efectuando la división, se obtiene: “ 5—:— : = ^ + x + 5 *
x* -4 x + l
Resolviendo la ecuación reducida x s + hallan las raíces:
x + 6 = 0 , se
“ i ± ^ r ~ i Por consiguiente , la
solución de p (x ) = 0 es: 2 ± 4 3 , - ~ ± ^ ^ - i 6 ) MAÍCES ESTERAS
y
MAICES RACIONALES :
TEOREM A 4 : Si un número racional ble , con b y c enteros primos entre s í , es una raíz de la ecuación con coeficientes enteros.
1
3
2
6
-1 4
-3 0
-1
3
-4
8
-2 8
12
1/3
3
0
4
-5 6 1 3
-2 0 0 1 9
-1 1 3
3
-2
1413
-1 9 4 1 9
-2 3 8 1 2 7
2
3
5
14
8
0
se halla que 2 es una raíz. Puesto que todos los coeficientes de la ecuación 3xs + 5 x*+ 1 4 x+ 8 = 0 son positivos, tal ecuación no tiene raíces positivas Probando ahora para raíces negativas: -2 -2 1 3
acxn + a 2x n_I + ... +an-jX + an = 0; (a0>0) b divide al término constante a Hy c divide al coeficiente principal a 0 ! Demostración: Sustituyendo x por ble en la ecuación, resulta n-1
( M
+ « » - z ( ^ } + a n=0-
Efectuando las potencias indicadas y suprimiendo denominadores se obtiene: a 0b* + a jb n~Ic + ...+
bcn~* + a Hcn=0
lo cual se puede escribir: n - 2 \_ b (a 0b H-l + o J6"'*e+ ... + a n_1c”~*) En esta última igualdad se observa que b divide al producto a nc" ; pero b no divide a cH (pues b y c son primos entre si), luego 6 divide a a n. Por otra parte , escribiendo la igualdad en la forma. c6""*+...+ a ncn~1) = - a jb n se observa que c divide al producto a 0bn ; pero c no
3 5 3 -1 3 3
14 8 16 -24 12 0
se halla así una segunda raíz -213. La ecuación reducida 3 x s+ 3 x +12 = O ó x 2 + x + 4 =0 se puede resolver por la fórmula general de solución -6 ± v * 2 - 4ac ; siendo, de una ecuación de 2° grado x= 2a
en este caso , a = l , b =1 y e =4 ; resultan las raíces: i Por lo tanto . las únicas raíces racionales
2 2 de la ecuación dada son 2 y -2/3. En consecuencia , el conjunto solución de dicha %
ecuación es
$16 . • l ’ 3 '
2
EJEM PLO 2 :
Hallar todas las raíces racionales d e : x 4 + 4 x3 - 8x* - 40x -3 2 = 0
[ y js o n f /1
T E 5 I 1 * 7 7 «K a
b is
R E S O L U C IÓ N :
Las raíces racionales de esta ecuación , 6Í las tuviera, tendrían que ser enteras Las posibles raíces enteras son: ± 1, ± 2 , ± 4 ,± 8 , ±16, ± 32, que Bon los divisores de 32. Probando por divisiones sintéticas: 1
4
-8
-4 0
-3 2
1
1
5
-3
-4 3
-7 5
-1
1
3
-11
-2 9
-3
2
1
6
4
-3 2
-9 6
-2
1
2
-12
-1 6
-0
se obtiene la raíz -2 . Continuando la prueba con la ecuación reducida 4 -4
lem a:
1
2
-12
-1 6
Si r es raíz de una ecuación P fx) =0 con coeficientes reales , - r es raíz de la ecuación P (-x ) = 0.
1
6
12
32
D E M O S T R A C IÓ N :
1
-2
-4
0
se halla la raíz -4 . Resolviendo la ecuación reducida x*-2 x-4 = 0 , se obtienen las raíces 1 ± 1E Por lo tanto, las únicas raíces racionales son -2 y -4 . El conjunto solución de la ecuación dada es
NOTAS:
E D I C I O N E S M U rn iÑ O S ] toda raíz negativa r de P fx) =0. Existen varios criterios para determinar las cotas de las raíces reales de una ecuación. En este tratamiento elegimos el criterio más sencillo de aplicar y , además, el que en general proporciona la mejor cota. Nótese que si Af es una cota superior , cualquier núm ero Af’ >Af tam bién es cota superior. Análogamente, si m es cota inferior, cualquier número ni
{-2 ;-4 ;l
± ¡s }
Por simple inspección de los coeficientes de una ecuación con coeficientes reales y en virtud del Teorema del Residuo , se establecen las siguientes reglas:
I) Si todos los coeficientes de una ecuación P fx ) = 0 son reales y positivos , la ecuación no tiene raíces positivas. En efecto , si a > 0 , P fa) tendría todos sus términos positivos y , a s í, P fa ) > 0. II) Si una ecuación P f x ) = 0 tiene todos sus coeficientes reales y alternadamente positivos y negativos , entonces no tiene raíces negativas. En efecto, si a < 0; Pía;tendría todos sus términos de igual signo, luego p fa ) * 0. EJEM PLO S:
1) 2x4 + 5x3 + x * + 4 x + 9 = 0 no tiene raíces positivas. 2) x s- 4 x 4 + 7 x3-2 x * + x - 1 0 = 0 no tiene raíces negativas 7) ACOTACIÓN D E R A ÍC E S : Una importante cuestión en el estudio de las raíces reales de una ecuación es la acotación de las mismas. El problema consiste en hallar un número real 5/ >0 tal que si r es una raíz positiva de P fx) = 0 , debe ser r 5 Af. En este caso Af se denomina co ta su p e rio r de las raíces positivas de P fx) =0. Análogamente, una cota inferior de las ra ices negativas de P (x )= 0 es un número m <0 tal que r t m , para
Si r es raíz de P fx) = 0 , se puede escribir P fx) = fx -r ) Q fx), donde Q fx) es el cociente de la división de P fx) entre x -r . Por consiguiente, P ( - x ) = ( - x - r )Q (-x ) = - f x + r ) Q (-x ), de donde se sigue de inmediato que x = - r es raíz de Q (-x )= 0 , como se quería demostrar.
TEOREMA 5 : Sea P fx) = 0 una ecuación con coeficientes reales. Si r es un número real positivo, tal que la división de Pfx) entre x - r proporciona un cociente con coeficientes no negativos y un residuo no negativo, entonces r es una cota superior de las raíces positivas de P fx) =0 L>K M O S T R A C I Ó N :
Sea: P fx) = a Qx n+ a í x n~I+ ...+ a H con coeficientes reales , y sea r un número real positivo. Supongamos que al efectuar la división sintética por x - r se obtiene:
ao
«2
rbt b¡
•••
b2?
rbn 2 n-1
an rbn-1 bn=R
donde b0, b ¡ f ... bH- l y R = bn son no negativos. Luego , el cociente y el residuo de la división son , respectivamente, Q(x)=b¿xn~l +btx ”~*+...+ bn_l yR=bm . Se puede escribir la igualdad .* P fx) = (x -r ) Q fx) + R . Para todo valor 8 > r,s-r y Qfs) son positivos. Por consiguiente , P (s )= (s - r) Q fs) + R es positivo y , a s í, s no puede ser raíz de P fx) =0. Se concluye de aquí que P fx) = O no tiene raíces positivas mayores que r ; es decir, que r e6 una cota superior de las raíces positivas de P fx) =0.
TEOREMA e : Sea P fx) = 0 una ecuación con coeficientes reales. Si r es un número real positivo tal que la división de P (-x )
re Baga entre x - r proporciona un cociente con coeficientes no negativos y un residuo no negativo , entonces - r es una cota inferior de las raíces negativas de P (x) =0. La demostración de este Teorema es una aplicación directa del Teorema 6 y del Lema que le precede. Loe dos Teorema* anteriores te traducen en sendos criterios que permiten determinar las cotas superiores e inferiores de las rafees ds las ecuaciones con coeficientes reales.
C R IT E R IO 1 :
Si r es un número real positivo tal que al efectuar la división sintética del polinomio P (x) (con coeficientes reales) entre x - r , todos los números que aparecen en la 3a. fila son no negativos , r es una cota superior de las raíces positivas de P (x) =0. C R IT E R IO 2 :
Si r es un número real positivo tal que al efectuar la división sintética de P (-x ) entre x - r , todos los números aparecidos en la 3 a . fila son no negativos , - r es una cota inferior de las raíces negativas de P (x)= 0.
LA
201$
c) x4 - x s -9 0 + 3 x + 1 8 S 0 ; r = - 2 ;3 d) xa-2(1 + i ) x a- ( l - 2 i ) x + 2(1 + 2 i ) = 0 ; r = 1+2 i e )x 4 + 2 x a - 5 x s + 6 x + 2 = 0; r = - 2 + y¡3~ f ) 3 x 4+ 11 x3 -3 4 x a + 4 6 x -1 2 = 0 ; r = 113 ;-6 @
Resolver:
a) x s -1 2 x s+ 3 9 x - 2 8 = 0 si sus raíces están en progresión aritmética. b) x 3 + 3 x 9 - 6x - 8 = 0 si sus raíces están en progresión geométrica. Q O c )x -3 x + k x -1 2 = 0 si el producto de dos raíces es -6 . ¿Cuál es el valor de 6? d) 4x4 + 2 x , -3 x 1 + d x + e = 0 si tiene una raíz triple. Hallar d y e. e)2 xs- x s-2 2 x - 24 = 0 si dos de sus raíces están en razón de 3 : 4 . f í x 3 - 14xs + 6 1 x - 8 4 = 0 si una raíz es la suma de las otras dos.
EJEM PLO :
<6^}Hallar todas las raíces enteras y racionales de:
Hallar una cota superior y una cota inferior para las raíces positivas y negativas >respectivamente , de la ecuación: P (x) = 2 x s-7 x 4+ x 2+ 2 x - 9 =0.
a) 0 - 9 0 + 1 6 x - 14 = 0 b) 2 x 3 + x s -2 x - 6 = 0 c ) x 5 + 3x4 + 5 x s + 8 0 + 6 x + 4 = 0
R E S O L U C IÓ N :
Efectuando las divisiones sintéticas entre los primeros enteros positivos: 2 -7 0 1 2 -9 1 2 2 2 3 2
-5
-5
4i
-2
-11
-3 -1
-6
-11 -8
20 -22
-4 9 -7 6
2
1
17
70
271
4
-3 4
se halla que 4 es una cota superior de las raíces positivas de P (x) = 0. Probando con P (-x ) = - 2 x 3 - 7x4 + x ! - 2 x - 9 = 0 , es decir, con la ecuación 1
2
7
0
2
9
9
-
1 8
2
10
9 19
hallamos que 1 es cota superior de las raíces positivas de P (-x ) =0 y , en consecuencia , -1 es cota inferior de las raíces negativas de P (x ) =0.
E J E R C IC IO S
d ) 2 x 6 + x s - 2 x 4 - x 3 - 12xs - 6 x =0 e) 12x4 - 20x3 - 57x* + 5 0 x + 75 = 0 fí 8x4 - 24x3 + 5 0 + 52x - 15 = 0 (^D eterm inar una cota superior y una cota inferior para las raíces reales de cada una de las siguientes ecuaciones: a) 4x5-8 x 4+22x3+ 98xs- 73 x + 5 = 0 b) x 4 - 8 x 3 + 12xs + 16x -5 0 = 0 c) x s - 5x4 - 13x3 + 2xs + x - 70 = 0 d) 6xB + 27x4 -100x3 -200x - 50 = 0 e) x 4 - 6x3 + 46x~- 8x + 28 = 0 fí x 5 - 6 x 4 +3xs-2 x + l= 0 (6^ Hallar los números reales a y b de modo que z = l +¿ sea raíz de la ecuación x s+ a x 3+ 6 = 0 Determinar a tal q u e * 3 - 5 5 x + a = 0 tenga dos raíces mutuamente recíprocas. Hallar tales raíces. 8 ) SO LU C IÓ N
DE
E CU ACIO N ES
E C U A C IO N E S B IN O M IA S
(Q)Resolver las siguientes ecuaciones dado que tienen las raíces que se indican.
Las ecuaciones binomias son de la forma
a) x 3 - 7 x - 6 = 0 , r = - /
y n-A =0^ ........................... donde A es una constante no nula.
b) 2 0 x 3 - 3 0 x s + 1 2 x —1 = 0 ; r =/£
Si
(1)
B es una raíz enésima de A , haciendo Y=Bx se
[T E Q U I A
M
IE
P 0 L L V 0 W
0 3
E M U C M O N E S M U IS IX O S ) convierte así en la solución de la ecuación reducida correspondiente. El método expuesto a continuación recoge bésicam ente losllneam lentos dados por F.Vieta (1540 - 1603). J
tiene B"x n - A =0. Pero , como B" = A , resulta: A x " - A =0 x n -1 =0. Es decir : x" =1 , Luego , las n raíces de la ecuación (1) se obtienen multiplicando cada raíz enésima de la unidad por el valor de B. Las raíces enésimas de la unidad son de la forma 2hn , . 2kx + isen , n n para todo valor k = 0; 1; 2 ; ...; n -1 . (probarlo) Por la fórmula de De Moivre, las raíces enésimas de la unidad se pueden expresar com o potencias wht(k=0;l;2;...;n 1.), de la raíz. 2x . 2x w = eo s— +t sen — n n Por lo tanto, las raíces de la ecuación binomia (1) son: B, Bw, B w 29..., B w n I
It f á y
Haciendo y — * -
(3 )
3z
y sustituyendo en la ecuación (2) resulta:
eos
3
P_
+P
3z
3z
j+ g = 0 .
Efectuando las operaciones indicadas y reduciendo ^3 n3 D términos semejantes se obtiene: * - - - - 3 +q=Q> jSw X
de donde resulta la ecuación cuadrática:
z6+qzs - 2 —=0, * 27
(4)
Resolviendo esta ecuación para z 3 , se halla:
EJEM PLO :
Resolver .'X a + 32 = 0 q 2+ 4 p
R E S O L U C IÓ N :
Haciendo B = (-3 2 )15= -2 y y considerando las 5 raíces quintas de la unidad: 1 ,u > , w2, w3 , w4t con 2n 2x w = e o s — + i sen —
27 _
z3= - í ± +
qx
v-'*
„2
nS
4
27
se obtienen las raíces de la ecuación dada, a saber: y X j=
Haciendo
B = -2
* ( 2 ) » se puede escribir:
X 2 = Bio = - 2(cos 2x15 + i sen 2x15 z3= - í ± 4 r
X 3 = Bw2 = - 2(co8 4 x 15 + i sen 4xjl
4
2 Se tienen así dos ecuaciones binomias en z:
%
X4 = Bw3 = - 2(co8 6x15 + i sen 6x15) X 5 = Bir4 = - 2(cos Sx/5 + í sen 8x15) 9 ) SOLUCION A L G E B R A IC A BE ECUACION
UNA
CUBICA 2
za= - ^ + ¿ R (5)
Efectuando: y3- by2 + 6* y/3 - 6a ¡27 + 6y*- 2 6 a y¡3 + b 3!9+ cy bc¡3+ d = 0 Reduciendo y ordenando: y3+ (c - fe2 I3)y + 2 b 3127 - bc/3 + d = 0 Esta última ecuación se puede escribir en la forma: y3 + p y + q = 0,................................................... (2) donde p = c - bs¡3 y q = 2b3¡ 2 7 - bc¡3 + d. La ecuación (2) recibe el nombre de ecuación cúbica reducida de la ecuación (1) El problema de resolver una ecuación cúbica se
z a =
- |
- V
B
......................
(6 )
Si jz )o, las raíces reales de estas ecuaciones son:
Sea la ecuación cúbica x 3+ b x2 + e x + d = 0......J1) ‘a Haciendo x = y - 6/3 se tiene: fy - 6/3;* + 6 íy -b /3 /* + c(y-b/ 3)+ d = 0
a
A = ?i- ^ + 4 R
y
respectivamente. Por lo tanto, las raíces de las ecuaciones (5) y (6) son: A,Au>,Au>2
y
B t B u,Bu)2 ,
respectivamente , siendo
1 sÍ3 w= — + — i raíz cubica de la unida. En consecuencia 2 2 , las 6 raíces de la ecuación (4) son: A , A w , A w s , B , B w , B w 2, donde w es la mencionada raíz cúbica de la unidad. (o su conjugado w , que también es raíz cúbica de la unidad: ¡¿=w2 ) ¿Cómo obtener de estas 6 raíces las 3 raíces de la ecuación cúbica reducida (2)2 a de notarse que se
LA E X C ti'iW im tA 2012} cumplen las siguientes relaciones: A B » - ^P , AwBw2** - — , Aw*Bw~ - —. 3 3 3 Es decir, cada raíz z está asociada de este modo a una raíz
EJEM PLO 2: Resolver ;
x s+ 3x * -1 5 x - 4 7 = 0.
R E S O L U C IÓ N : Haciendo x = y - —= y -
, de tal suerte que
Además , la suma de tales raíces es , por la relación (3) , igual a una raíz de la ecuación cúbica reducida (2). Por consiguiente, las raíces de la ecuación cúbica reducida son: yt = A + B y í =A w +B w * y 3=Aw 3+Bw.
1
y sustituyendo en la ecuación
dada, se obtiene la ecuación cúbica reducida: (y - l ) s + 3fy - 1 ) * - 15(y - 1 ) - 4 7 = 0 Efectuando y reduciendo términos: y s-1 8 y - 30 = 0. A quf,p = -1 8 y q = -3 0 , entonces
Por tan to:
Estas expresiones para las raíces de una ecuación cúbica reducida se denominan Fórmulas de Cardano.
A = f/-| + J R = $15+ 3= $18 ;
Refiere Joseph E. Hofmann en su obra "Historia de la Matemática” que fue el profesor boloñés Scipio del Ferro quien halló un método de solución algebraica de la ecuación cúbica , por el año 1500 , sin publicarlo ; posteriormente , en 1545 , G. Cardano publica su propio método que difiere muy poco del de Ferro.
B = a j-J -jR = H Í S ^ 3 = $12 ;
Por la sustitución realizada
j , se sigue que las
y las raíces de la ecuación cúbica reducida son:
y¡ = A +B = $¡18 + $12 y2 =A iv+B w2= $¡18 w+ $¡12 w2 y3 =Aw2 +Bw= $¡18 w 2+ $¡12 w, 1
donde «* * -—+ — i,ra íz cúbica de la unidad.
soluciones de la ecuación (1) son:
Finalmente,la9solucionesdelaecuacióncúbicadadason: x ¡ = y j - \ - y j - l - $18+ $1 2 -1 u
x , = y l -^ = A u > + B w í
x2 = 3,2 -
*3= y¡ - ^ = A w ! + b w - ^ EJEM PLO 1: Resolver la ecuación x s- 6x + 6 = 0. R E S O L U C IÓ N : En este caso p = S y q = 6. Luego,
Entonces,
<
S O L U C IÓ N
H-3+1 — H2 = $/HZJ=-1/4
Por tanto: y , - A + B = -t¡2 -1 / 4 y , - A«c + B u > * - - í /2 ^ - j +
$12uf -1 $¡12u>-l
T R IG O N O M É T R IC A .
El caso en queB
«*
B = fj-j-y / R
t3 = >,2""3= $18w+
x 3 = ys ~ = y3 - 1= $¡18u? + 3 IO ) CASO IR R E D U C IB LE
=-8+9=1.
■ f f s
y[ 3
“
y/3
i
A = ~ l+ iJ H A B = -J -iy F Ü . 2 2 Para hallar dichas raíces cúbicas, se debe expresar A y B en sus formas trigonométricas. Con este fin se calcula el módulo r y el argumento $ de A:
mj ( Ü 2 + 1 / 4 )-j(1fÜ > 8-1/432 )i 1
y .- A w ’ + Bu,—
L
J ( $ 2 + $ 4 )+ J ($ Í0 8 -$ 4 3 2 )i 2 2
y
- i F
- í f H
i H
- r
con e en el primer cuadrante
2 si q<0 ó en el segundo cuadrante si q > 0 .
[T L o ie Z i p jg j * o L i y o w f > 8 por consiguiente: A » !--—!
E D IC IO N E S 2 bx x +—
(conQ+i ten 9)
Análogamente se halla:
(coa 0 - i sen 9).
Tomando las raíces cúbicas :
+í#en§ ]
Sumando
H S -) y +~
KUHM ÑOS
x 2-d x -e .
en ambos miembros , se
obtiene la expresión: i bx x* + — +
que $Á fÍB - £ , se 8 obtienen las raíces: y¡ = $A + $B
y
^R~)fr§ { cos§ " ' " " f ) *
y 2 = $Aw + $Bws y3=$Aw* + $Bw,
#vm 2* +i aen— 2* con w=eoM— 3 8 Es decir: y,=2J § « » § p
(
Se sabe que una ecuación de 2o grado se puede escribir como un trinomio cuadrado perfecto si , y sólo si su discriminante es cero. Por consiguiente , el segundo miembro de la igualdad (2) será cuadrado perfecto de un polinomio lineal en x si , y sólo si se cumple la 2 condición,
-c + y
4
(6 .2 *
)
" f f
- e j = 0.
Efectuando las operaciones indicadas resulta:
EJEM PLO :
b2v2
b2v2
2
4
—---— bdy + d2
Resolver la ecuación ; x 3- 3 x + l = 0.
+b*e+cy2 - 4ce - y a+ 4ey=0;
R E S O L U C IÓ N
reduciendo y ordenando como un polinomio en y , se obtiene: y3 - cy2 + (bd - 4e)y + 4ce - b 2 e - d 2 = 0,
Para esta ecuación se tiene p = - 8 ,q = l y R = - —< 0.
LLAMADA ECUACIÓN CÚBICA RESOLVENTE de la
4
£. »2 a ¿sarc
Por lo tanto:
^~*Vj-a rc
2* En consecuencia ,8= — y las raíces son: y, = 2 «
m
^
=
2 ,5 3 2 0 8 8 8
8x
2coa— = -1 ,87 98 8 62 9
yg = 2 c o s ( ~ - +
ya= 2 e o » (? I +
_4x']=
2 c o a ^ = - 0,3472963,
“
3 )
ecuación cuártica (1). Cualquier raíz y¡ de esta ecuación permitirá representar el 2o miembro de la igualdad (2) como el cuadrado perfecto de un polinomio lineal en x. Sea m x + n dicho polinom io; entonces se
2 bx puede escribir: ^x * + — +
Extrayendo raíces cuadradas , se obtienen las ecuaciones de segundo grado: 2 ,b x
Vx
g . tíx
yx
x + — + — =mx+n , x + — + - = - mx - n, 2
aproximadamente.
(m x+n) .
2
2
2
I i ) SO LU C IÓ N D E L A ECU ACIÓ N C U Í R T H A :
cuyas raíces serán las 4 raíces de la ecuación (1).
El método de solución de una ecuación cuértica se debe a L. Ferrari, discípulo de Cardano, quien lo publica en 1545 en la misma obra en que Cardamo publicó sus fórmulas de solución de la ecuación cúbica. “Ars Magna”.
EJEM PLO 1:
Sea la ecuación de cuarto grado:
Resolver la ecuación: x 4+ 3 x3 - 2 x * - l O x - 1 2 = 0. R E S O L U C IÓ N :
Siguiendo el método de Ferrari , despejamos los 3 últimos términos: x 4 + 3xa = 2 x 2 + lOx + 22.
* '+ 6 * 5+ c**+ d x + e = 0.......................................(1) Transponiendo los 3 últimos términos:
Completando cuadrados en el primer miembro de la
x 4 + bx5 = - c x s- dx- e y completando cuadrados en el primer miembro de la
igualdad; x *+ 3 * s + 9 * _ _ ^ - + 2 x 2+ 1 0 x + 1 2 . 4 4 Factorizando y simplificando resulta:
igualdad: x 4 + bxs+ —— = — 4
4
cxs - d x - e .
Esta última igualdad se puede escribir:
f
X
+ —
17
= —
x
.
+
m
± io
LA Sumando
— Jy (*“+ ¥ )
+ — en ambos miembros:
ü v m x o i» B ü iíi2 0 I 2 j
Obtenemos así la ecuación cúbica resolvente: y +
l l y s - 4 0 y - 4 7 6 = 0.
Una raíz de esta ecuación es y = -7 . Sustituyendo en ( x*+f ) +(* ,+ f ) ^ 4 =( * í+ f ) ^ T +T x¡+iae+I2 2
+— + 2 -
+12
2 2 , x * + 2 x - 2 = 0,
Para la raíz y, = - 4 de esta ecuación la igualdad (1) se convierte en: 2
x 2 + ^ - ~ 2j2 = ^ j - + 4 x + 1 6 = [ ^ + 4 De aquí se obtienen las ecuaciones cuadráticas: ,« + * £ -* .* + < 2 2 x s+ x -6 = 0
, 2
; - 1 ± +¡3
so n , a su v e z , raíces de la ecuación cuártica.
Efectuando y simplificando se halla la ecuación cúbica resolvente. y3+ 2y* + 18y + 104 = 0.
es decir:
- L =2x+ 2 2 osea, x 2 - 2 x - 5 = 0
cuyas respectivas raíces 1 ± J 6
3y
-fJ
t 7 _ 3 x 9 - —= - 2 x ----- ,
x*
Igualando a cero el discriminante del 2° miembro.
(
4x2+6x+
H ■ (--ir de donde se obtienen las ecuaciones:
Factorizando y simplificando, 3x
(1 )resulta
2
, x 2+ 2 x + 2 = 0 .
cuyas raíces 2; -3 y - i ± i son las 4 raíces-de la ecuación cuártica dada.
E J E R C IC IO S :
Resolver las siguientes ecuaciones binomias: a ) x 4 + 1 = 0.
e ) x e + 64 = 0.
b) x e - 9
= 0.
f)xB - 8
c)x7 - 1
= 0.
g) x 9 + 2 i = 0.
d) x 8 + i = 0 .
= 0.
h ) x 4 = 1 + i.
Resolver las siguientes ecuaciones cúbicas: a ) x 3 - 12 - 2 0 = 0
f) 2x3 - 3x+ 5 = 0
b) x 3 + 3x +1= 0
g) x 3+6x2+6x -1 0 = 0
c )2 x 3 - 6x - 5 = 0
h) 3x3 - 6 x 2 -2 = 0
d )x3 - 9 x -12 =0
i ) x 3 +6x2 -3 6 = 0
e ) x s + 30x +15 =0
j ) x 3 - 3 x s - 18x - 36=0
En este ejemplo , la ecuación cuártica tiene raíces racionales. En general es conveniente antes de aplicar el método de Ferrari verificar la existencia de tales raíces , lo cual reduciría el problema a la solución de la ecuación reducida correspondiente.
b )x 3+ x 2 - 2 x - 1 = 0
e) x 3 - 6 x +2 = 0
EJEM PLO 2 :
c ) x 3 - 9x + 9 = 0
f ) x 3 + x 2 - 4 x + l =0
Resolver ; x 4- l l x x-6 x + 1 0 = 0
Por el método de Ferrari: x 4 = 11 x í + 6 x -10. Sumando x 2 y + — en ambos miembros: 4 2 2
x 4+ x 2y + — = x 2y + — + l l x 2+6x - 1 0 ; \2
jc2 + j J
3
d ) x 3 + Sx2 - S x -4 = 0
- 5x -1 = 0
Resolver las siguientes ecuaciones cuárticas:
R E S O L U C IÓ N :
simplificando, ^
Resolver :
^ 2
=(y+ll)x2+6x+^--10...(l)
Anulando el discriminante del 2o miembro:
3 6 - 4 ( y + l l ) \ 2— — 10 \=0.
a )x 4 - 4x*+x+2=0 f ) x 4 -3 7 x 2+ 1 8 x -2=0 b )x 4+x3 - 5x2+2=0 g ) x 4+ 9 X 2 +14x+30=0 c) x 4+6x 9+8xt +8x -16=0 h) x 4 - 2X3+ 3x2 - 2x +2=0 d ) x 4 + 2xs - 8x2 - 6 x - 1=0
e) x 4- x 2+10x-4=0
I X ) G R Á F IC A
DE
i)x 4+ x3+5x2+5x+12=0 j ) x 4 -2 4 x s+84x-13=0
P O L IN O M IO S
:
Se sabe que un polinomio es una función continua (sin “ in terru p cion es” ). La d eterm in ación de las coordenadas de los puntos de la gráfica de un polinomio se realiza dando valores reales a la variable x y calculando los correspondientes valores P fx) ; la gráfica del polinomio P fx) es , pues , el conjunto de puntos: ifx ;P (x )) : x e R ) } Sin embargo , existen algunos criterios que permiten determinar aproximadamente
¡TFtfHl/1IMI2 FO/.I.VOMfO*
U i m HLXMiS KUUMÑOM
la gráfica de un polinomio , liberando así de la tediosa tarea de tabular los puntos (x ;P ( x )). En primer lugar , los puntos de la gráfica que corresponden a los ceras reáles de un polinomio están sobre el eje X y son de la forma (x;0) . 1) Si x = a es una raíz real simple de la ecuación P(x) = 0 , la gráfica de P (x ) corta al eje X en el punto ( a ; 0). (Fig. 2). 2) Si x = a es una raíz real de multiplicidad m par, la gráfica de P (x) es tangente al eje X en el punto (a;0). (Fig.2). 3)Si x = a es una raíz real de multplicidad m im par, la gráfica de P(x) es tangente y corta al eje X”en el punto (atf)). (Fig.3). (En este caso se dice que (a;0) es un punto de inflexión de la gráfica de P (x )).
gráfica de P (x ) es además tangente al eje X en (a ; 0 ); es decir , (a ; 0) es un punto de inflexión de la gráfica de P (x) . Un punto importante en la gráfica de P(x) es (0;P(0))\ esto es , el punto de intersección con el eje Y. Nótese que P(0) es el término constante del polinomio P (x). Se pueden determinar, además , los intervalos en los cuales se encuentran las raíces reales de una ecuación P (x) = 0 , usando la siguiente regla. REGLA: Sean a y 6 son dos enteros consecutivos, con a < 6 . Si P (a) y P(b) son de signos iguales, entre a y 6 existe un número par de raíces reales, o ninguna raíz real de P (x) = 0. (Fig.4). Si P(a) y P (b) son de signos contrarios, entre a y b existe un número impar de raíces reales de P (x) = 0. (Fig.5). En cada caso , una raíz de multiplicidad m es contada m veces. y Fig. 4
*>X
La propiedad (1) se sigue del análisis de la expresión: P (x ) = ( x - a ) Q (x)
Fig.
3
Para x ligeramente menor que a , x -a < 0 , luego P(x) tiene signo contrario a Q(x) ; para x ligeramente mayor que a t x - a > O , entonces P (x) tiene el signo de Q (x ). Es decir, P (x) cambia de signo cuando x “pasa” por a y,por lo tanto,la gráfica de P (x) corta al eje X en (a ,0). La propiedad (2) se deduce de la expresión: P (x) = (x - a )m Q (x), siendo m par. Si x es ligeramente menor o mayor que a , (x - a)m > 0 ; luego P (x) tiene igual signo que Q (x). Es decir, P (x) no cambia de signo cuando x “ pasa” por a , de lo cual se puede afirmar que la gráfica de P(x) no corta al eje X: así , (a;0) es un punto de tangencia de P (x) con el eje X. Finalmente , si P (x) = ( x - a ) m Q (x), siendo m impar , se sigue que
-
af*
< 0 t para x
ligeramente m enor que a : y (x - a)m > 0 , para * ligeramente mayor que a. Por consiguiente , P(x) cambia de signo cuando x “ pasa por a ”, y entonces la gráfica de P(x) corta al eje X en el punto (a ;0 ). En cálculo diferencial se prueba q u e, en este caso, la
Fig.5
X P(a) •« • ®• \ 0
« :\
/ / \ / V /
/
\ \ \ i
b
\ l \\ j. %*
►X
P(b)
1 3 ) SIGNO ¡1E UN P O L IN O M IO : Si P (x) = a 0x n + a t x n~l + ... + a^’con a o* 0 , es un polinomio con coeficientes reales , para valores de x suficientemente grandes en valor absoluto P (x) tiene el mismo signo que a 0x n. Intuitivamente se ve q u e, para x suficientemente grande en valor absoluto , a 0x” será numéricamente mayor que la suma de los demás términos y , por consiguiente , su signo prevalecerá sobre el signo de dicha suma. Una consecuencia de la afirm ación anterior es que toda ecuación con coeficientes reales de grado impar tiene , por lo menos , una raíz real de signo opuesto al término constante. (El coeficiente
LA principal se considera positivo):. En efecto , si P (x) = a o0 + a ¡ x n~* + ...+ a n=0 es una ecuación con coeficientes reales , siendo n impar , por teoría de límites:
201$
sobre el eje X. Probando para raíces positivas. 1 0 -2 1 1 1 -1 2 1 2 2
P (-ooJ= - c o f P (0 J = a n a P ( + ooJ= + oo
1 -7 0 -7 5 3
4 -3 10
de lo cual se sigue que si a m > 0, P (x ) = 0 tiene una raíz negativa en el intervalo < -oo; o > ; y si a m < 0 , P (x) = 0 tiene una raíz; positiva en el intervalo
Se observa que los coeficientes obtenidos en la división sintética por 2, son todos positivos ; luego , 2 es una cota superior de las raíces positivas de P (x) = 0.
{0; 4«o). También se cumple que toda ecuación con coeficientes reales de grado par , cuyo térm ino constante es negativo, tiene al menos una raíz negativa y al menos una raíz positiva. Ciertamente, si P (x ) = a o0 + a t x*~* + ... + a n = 0 tiene coeficientes reales, siendo n par y a*
Además .pu estoqu eP(0) =4 ,P (1) = - 3 y P ( 2 J = 10, existe una raíz en el intevalo (0;1) y una raíz en el intervalo (1;2) (al menos una). Probando para raíces positivas: 1
0
-2
1
-7
4
-1
1
-1
-1
2
-9
13
P /-o o )= + oo;P(0) = an < 0 a P ( + co) = + co
-2
1 -2
2
-3
-1
6
Luego existe al menos una raíz negativa en {-oo; o) , y
-3
1 -3
7
-2 0
53
-1 5 5
Los coeficientes alternadamente positivos y negativos obtenidos en la división sintética por -3 .indican que -3 es una cota inferior para las raíces negativas de P (x )= 0 .
al menos una raíz positiva e n . {0 ;+ oo). EJEM PLO 1:
Graficar el polinom io: P (x ) = (x - 1 0 (x + 3 0 (xs - 2 x + 2) R E S O L U C IÓ N :
La ecuación tiene las raíces enteras 1 de multiplicidad 3 , y -3 de multiplicidad 2. Las raíces de la ecuación reducida 0 - 2 x + 2 = 0 , son complejas conjugadas: 1 ± i . Luego , la gráfica corta y es tangente al eje X en el punto (ltf)) y , adem ás, es tangente en (-3¿0).
Además , como P (-2 ) = 6 y P (-3 ) = - 155 , existe al menos una raíz en el intervalo (-2 ;-3 ). La gráfica aproximada de P (x) es una de las siguientes: (La única certeza con la cual podemos contar es que existe una sola raíz negativa ; este hecho resulta de la aplicación de la Regla de Descartes , explicada en el párrafo que viene).
De otro lado , -co^= -<*>,P(0)=-18 y P(+»)=+*> E n ton ces , la g rá fica de P ( x ) es ,
Discutir la gráfica del polinomio: P (x ) = x 5 - 2 0 + x* - 7 x + 4 R E S O L U C IÓ N :
Se tiene, de un lado , q u e : P ( — C O j= -
OO ,
P(0)=4 A P ( +00j ^
+GO
Luego, la curva “ viene” debajo del eje X y se “ aleja”
derivada P*(x) del polinomio P (x ) permite determinar
[ W g Q J l l A l> U J R D J L I N O N tie P S
g fg j
con precisión la gráfica de P fx).
NÚM ERO D E R A ÍC E S R E A L E S D E UNA E C U A C IÓ N
E M M C iO N K S
división sintética por 2, se puede afirmar que 2 es una cota superior de las raíces positivas de P fx) = 0 y, por lo tanto, no hay más raíces positivas aparte de las que están en fO ;1) . Probando para raíces negativas:
El número de raíces reales de una ecuación con coeficientes reales puede ser determinado usando el siguiente criterio, llamado: R E G IA
DE LOS
S IG N O S
DE
-1 -2 -3
D ESCARTES
Si P fx )= 0 es una ecuación con coeficientes reales, con término constante no nulo: El número de raíces positivas de P fx) = 0 es igual al número de variaciones de signo de sus coeficientes, o menor que él en un número par. @)E1 número de raíces negativas de P fx) = 0 es igual al número de variaciones de signo de P f-x) , o menor que él en un número par. Esta última afirmación obedece al hecho que las raíces positivas de Pf-x) = 0 son las raíces negativas de P fx) = 0. Los térm inos nulos no se con sid eran en la determinación de las variaciones de signos de los coeficientes de P fx) = 0 Para una demostración de la Regla de Descartes,consultar la obra de L.E. Dickson: "New First Course in the Theory o f Equations” . EJEM PLO :
KUitMJVOSj
1 1 1 1
3 2 2 0
0 -1 -2 1 2 3 0
-1
2 1 -4 5
-3 -4 5 -1 8
Se tiene que P ( - l ) = —4, P f-2 ) = 5 y P (-3 ) = -1 8 . Luego, hay un número impar de raíces negativas en el intervalo f-2 ; - 1 ), y también en el intervalo ( - 3 ; -2 ) (iUna en cada uno!). Además, puesto que los coeficientes obtenidos en la división sintética por - 3 son alternadamente positivos y negativos, se sigue que -3 es una cota inferior de las raíces negativas de P fx) = 0. (Nótese que los coeficientes 0 se pueden considerar positivos o negativos, según convenga el caso). De esta forma se reduce la tabla a las siguientes posibilidades: + — c 2 2 2 3 2 0 Por lo anterior se puede afirmar que la gráfica aproximada de P fx) es una de
Determinar el número de raíces positivas, negativas y complejas de la ecuación P fx ) = x* + 3 x 4 - x 2 +2x-3 R E S O L U C IÓ N :
P f x ) presenta 3 variacion es de sign o en sus coeficientes, luego hay 3 raíces positivas o 2 ,de P (x )= 0. P (-x) = - x s + 3x4 - x * - 2 x - 3 presenta 2 variaciones de signo en sus coeficientes, entonces hay 2 raíces negativas de P fx ) = 0. Combinando todas las posibilidades, se puede construir la siguiente tabla, (incluyendo el número de raíces complejas). + * c 1 0 4 1 2 2 3 0 2 3 2 0 De otro lado, probando por división sintética para raíces positivas, se tiene: 1 3
0 - 1 2 - 3
1
4
4
3
5
Por métodos del cálculo diferencial, se puede determinar con precisión si la raíz en (0;1) es una raíz triple, y, por consiguiente, si el punto correspondiente en que la gráfica corta al eje X es punto de inflexión.
E J E R C IC IO S Determ inar el núm ero de raíces positivas, negativas y complejas de cada ecuación y discutir la gráfica del polinomio correspondiente. a ) 3x3 + 9x2 - 7x + 4 = 0 b) x 4 + 12x2 + 5 x - 9 = 0
2 c
Puesto que PfO) = - 3 y P f l ) = 2., entonces existe un número impar de raíces positivas en el intervalo (0 ¡1). Observando los coeficientes obtenidos en la
)
x
3 +
x
3 - 2
x
1 +
x
- 2
=
d) x 3 - 8x* - 9 = 0 e) 2x3 - 5x¡ + 2 x + 6 = 0
0
EG&sflfSI
yk. f l x 4 - 10xa + Xa + 6 x + 11 = 0. mc
punto C; es decir,x v
g) 3x4- 4x3 - 7** - 18x - 2 2 = O. h ) x 3 + x 4 - x + 12 = 0. i ) x 3 - 2 = O.
j) x 7 + 2 x s- 3 x4 + 8 x 3 -9 x = O
R A ÍC E S IR R A C IO N A L E S M É T O D O S D E A P R O X IM A C IÓ N Aislar una raíz real de P (x) = O, significa hallar un intervalo (a ;b) que la contiene y que no contiene a otra raíz de P (x) = 0. Existen varios procedimientos para determinar, una vez aislada, una raíz irracional por aproximación. Aqui, se estudian básicamente dos de tales métodos: la interpolación lineal y el método de Homer.
A)
L 1 E X C tc iw u u iA 2012)
Si flXj) = hj <0 y existe un número 8¡ muy próximo a x v tal que P(», >=k¡ >o t entonces la raíz r se encuentra en el intervalo (x ¡; Sj); se puede repetir el proceso de interpolación lineal para obten er una segunda aproximación x s de r. Cuanto más veces se repita este proceso, tanto mayor será la aproximación obtenida.
EJEM PLO 1: Sea la ecuación: P (x) = x 3 + 2 x 2 - 3x - 4 = 0 . Por la Regla de los signos de Descartes, se sabe que la ecuación tiene una sola raíz positiva. Por división sintética se halla que P ( l ) = - 4 y P (2 )= 6. De esta manera queda aislada la raíz positiva en intervalo (1;2) .
IN TERPO LACIÓ N L IN E A L :
Y
% Q<2;6) n !\
Sea r una raíz irracional de P (x) = 0 aislada en un intervalo (a ;b) .Supóngase que P(a)=h<0 /\P(b}=k>0 fde manera que los puntos P (a ;h ) y Q (b ;k ) pertenecen a la gráfica de P(x) . o
Puesto que entre a y 6 se encuentra la raíz r, el punto C de abciBa x ¡, en que el segmento PQ corta el eje X, estará relativamente próximo al punto de abcisa r, en que la gráfica de P (x) corta al eje X.
A C¡ r v
iB
/
i
/
y
i
J i . ............. ¡R(2;-4) P(l;-4) FIG.13
En la figura (Por comodidad se ha forzado un poco la gráfica), se puede apreciar que los triángulos CBQ y
Q (b ;k )
PRQ son semejantes, entonces resulta: PJ?
►X
P ( a; h)
R(b;h)
FIG.12 El valor de la abcisa de este puntó es, así, una primera aproximación a la raíz r , y se determina usando las relaciones de semejanza de los lados de los triángulos CBQ y PRQ ; tal como: —
P R R Q
PR = b - a ; B Q = k ; RQ = k-h
sustituyendo:
CB b -a
k-k
de
y
donde
Pero,
E ntonces, se
P e r o P R = 2 -1 = 1 ,B Q = 6 a R Q = 6 + 4 = 1 0 . Reemplazando estos valores resulta de donde se obtiene: C B =0,6 Por consiguiente, una primera aproximación es x¡ = 2 -0 ,6 = 1,4. Repitiendo el proceso, hallamos por división sintética que P (l,4 )= -1 ,5 3 6 , P (l,5 )= -0,625, P (l,6 ) = 0,416 Entonces, la raíz r se encuentra en el intervalo < 1,5;1,6> . Ya a (l,6 ;0 ,4 1 6 ) A
tien e: 0
CB=
^ .Calculando de este modo el valor del R -n
A r 1,51
c /
\B \1,6
♦
lé
segmento C B , se resta de b y se obtiene la abcisa del
RQ
i'.
P f 1 .5 :^ 0 .6 2 5 ) R (1 .6 :-0 .6 2 5 l
E D IC IO N E S
[T F O H L l f I F F O /J A O W I O * En el gráfico se tiene :
0,416 0,416+0,625
0,1
luego: C B =° ,°^ 2g = 0>Q3 2,042 Por lo tanto, una segunda aproximación de la raíz r es: * ,= 1 ,6 -0 ,0 3 = 2 ,5 7 Así , se puede obtener una aproximación cada vez mayor conforme repitamos este proceso.
EJEM PLO 2:
Calcular una raíz positiva de P ( x ) = x 3 - 5 x z + x + 4
0,381 0,381+0,272
AC
0,416 1,041
0,1 de donde:
R U IIIÑ O A j
0,381 0,653
—
_ 0,0381_ _ ^ 0,653 Así, una segunda aproximación a la raíz es x , = 1,1 + 0,05 = 1,15. Por consiguiente, la raíz aproximada a dos decimales de P (x) =0, en el intervalo (1;2), es r = 1,15. La interpolación lineal se usa, en general, para ecuaciones reales de cualquier tipo, en una variable. t í ) M É TO D O D E U ORN ER í
con dos decimales de aproximación. R E S O L U C IÓ N :
P(x) =0 tiene una raíz positiva en (1&) yotraen (4;5). Calculando por interpolación lineal la raíz positiva de (1;2): yi
El m étodo de H orner se aplica solam ente para ecuaciones polinómicas (algebraicas) con coeficientes racionales. Este método se ilustrará con los siguientes ejemplos: EJEM PLO 1:
Hallar una raíz real d e : P (x) = x s + 8 x -1 6 0 = 0, P (l;l) w \£SL 2¡ *2\
0
con dos decimales de aproximación. R E S O L U C IÓ N :
B !2
La única raíz de P (x) = 0 se encuentra en el intervalo L S-(4;5), puesto que P (4) = -64 y P (5) = 5.
4 \¡ Q(2;-6) R (l$6) P(l)=l * En la figura: E6 decir:
AC
fía . 13 ,
¿ 7
Entonces, tal raíz debe ser de la forma : x = 4 +
Luego : x - 4 = — , Expresando P (x) en potencias de
-(-i.
x - 4 , por el proceso de H om er (IV, 8):
* luego: A C = Í = 0,1
8
-160
16
96
Una primera aproximación es : x ; = 1 + 0,1 = 2,2
4
24
|-6 4
Evaluando, por división sintética, se P (l,l) = 0,381, P ( l ¿ ) = - 0 ¿ 7 2
4
32
,
8
|56
halla
que
Luego, la raíz está en <2,1;2,2>. Interpolando:
4 1
FIG.16 P(l,l&,381)
0
1.2?I i9 II w
P(x) = -6 4 + 56(x-4) + 12(x-4)* + (x-4)
P (4 + ^
' B
\c
) = - 6 4 + 5 6 ( ^ ) + 1 2 ( i °o .) 2 + ( — w r )3
De donde se obtiene una ecuación en a , tal como: P,(a) =a3+120 a *+5600 a - 6400 = 0 Ciertamente, ^
\« Q ( l ¿ ; 0,272)
R (1,1:^0,272)
[12
Sustituyendo * - 4 = — , se puede escribir
í\ I V : I 9 a;
10
donde a es un número comprendido entre 0 y 20
P (2 )= -6 jk A t»
AP RP
AC RQ
tí
• ív:
está entre 0 y 1; luego, para obtener
un decimal de aproximación de la raíz x, basta hallar la parte entera de a . Por división sintética, se obtiene
c
L 1 f i i w x o w s i i i l 2012]
que: 9 < a < 10 ; entonces, se puede escribir: a=p+—
intervalo
donde b está entre 0 y 10.
donde «-9=*-^; siendo 0 < 6 < 2 0 *
Puesto que
a - 9~TZ, IU
expresamos P } (a) en potencias de a - 9, usando nuevamente el proceso de Homer: 1 120 5600 - 64000 19 9 1161 60849 129 6761 I-315J 9 1242 138 18003 9 \147 Luego : Pt(a)=-3151+ 8003 (a -9 )+ 1 4 7 (a -9 0 + ( a - 9 0 : b sustituyendo a =9+ 10'
Lo cual da origen a la ecuación: P2( b ) = b 3 + 1470 b 2 + 8003 0 0 b - 315100 0 = 0 Por división sintética 6e halla que b está entre 3 y 4.
10
P , ( a ) = - 1 4 1 + 10 83(a - 9 ) + 5 7 (a - 9 ) 2 + ( a - 9 ) 3 Sustituyendo a
»igualando a cero y suprimiendo
denominadores resulta la ecuación: P2(b )= b 3 +570b2 +108300b-141000=0 que tiene una única raíz positiva 6. La parte entera de 6 será la segunda cifra decimal de la raíz buscada. Aislando la raíz 6 en el intervalo (1;2) se sigue que >0 < c c 10
Repitiendo el proceso, expresamos P 2 (6Jen potencias de 6 -J ; P J b)= -32129+ l 09443(b-l) + 573(b - l ) s + (b - 1)3 R eem plazando
igualando a cero y
suprimiendo denominares se obtiene la ecuación: donde la parte entera de la única raíz positiva será la tercera cifra decimal de la raíz buscada.
9 3 En consecuencia, Es decir: * = 4 + — + ----- + 10 100 1000 x = 4,93 es una raíz aproximada de P (x) =0. EJEM PLO 2 : Calcular por el método de Homer y¡7 , con 3 decimales de aproximación. R E S O L U C IÓ N : x = $ 7 es la única raíz real de la ecuación x 3- 7 = 0 Por división sintética, se la aisla en el intervalo (1;2). a Entonces, se tiene que: * = J + — , dedonde
o
con o < a < 10 .Expresando P (x) = x 3 - 7 en potencias de * •1, se tiene, por el proceso de Horner: -
« = 9 + — , de
P3( c ) = c 3 + 5730c + 10944300c-32129000=0
Luego: x =4+— = 4 + — (9 + — )=4+— [-9 +— (3 + — jl * 10 10 10 10 L 10 10 J
P(x) =
tanto
Expresando P ¡ (a) en potencias de a - 9 :
6 » i +^ de donde
- )T)=-3151 = - 3 1 5 1 + 8003( Pl(9 + ^ 8 0 0 3— ( ~ ) + 1 4 7 (^ z)2 + ( ^ :T)s 10 10 10 10
Por consiguiente, 6 = 3 +
(9;10) ; y, por lo
6 + 3(x- 1 ) + 3(x - 1 f
+
(x - 1 )3
sustituyendo x ~1~ ^ »y suprimiendo denominadores, r esul t a I i ec ua c i ó n : PI(a)= a3+30a2+300a -6000=0,
que tiene una única raíz positiva a . La parte entera de a será la primera c fra decimal de la raíz x. Por división sintética, se logró aislar a en el
Aislando dicha raíz en el intervalo (2;3), se sigue que c= 2+ —
Finalmente, de la sucesión de igualdades : x = 2 + — ;a = 9 + — ;6 = J + — ;c = 2 + — 10 10 10 10
se deduce que la raíz x de la ecuación x 3 - 7 = 0 es x = 1,912, aproximada a 3 decimales.
E J E R C IC IO S (oj) Hallar, por in terp ola ción lin eal, las raíces irracionales con 3 decimales de aproximación, de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x 3 + x* - 3 = 0 6) x 3 - 12x - 2 0 = 0 c) 2x3 + x*~ 7 = 0 d) x 3 +3x2 - 2 x - l = 0 e ) x í - 2 x 3 + 2 1 x -2 3 = 0 f) 4x* - 4x* + 7X3- 8 x - 2 = 0 (fíSy Por el m étodo de Horner, calcular las raíces irracionales, con 3 decimales de aproximación, de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x 3 + lOx2 + 3 4 x - 60 = 0 bjx3 - 4 x 2- 5 x + 20 = 0 ; c) x 3+ 33x - 1 1 0 = 0 d) x 3 - 18x - 42 = 0 ; e) x 3 + 6x* + x - 9 = 0 Por el método de Homer, calcular las siguientes raíces con 3 decimales de aproximación: a )?¡2
c)%fld
d)Ü 9
e)Ü 2
d )^ 8
íf*K O CiK
,
o b j e t iv o s
1« I#>.V W A l i U ,
i :n t t i i K \ i :s itu is iñ o M
[HB3/ « « >
:
* Captar la idea de la programación lineal y sus posibilidades de aplicación a problemas prácticos. * Dominar el lenguaje propio de la programación lineal : función ob jetivo , restriccion es f región factible, etc... * Aplicar las técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales . * Saber representar regiones factibles y determinar gráficamente los puntos donde puede darse la solución óptima. * Saber encontrar esa solución óptima. * Saber plantear un problema de programación lineal partiendo de su enunciado en términos generales. * Conocer y valorar el origen de la programación lineal y su influencia en la historia de este siglo. * Utilizar y valorar las nuevas tecnologías. (Q tá je n
%
Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que resuelven la situación de optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo sujeta a ciertas restricciones en la forma de desigualdades lineales. Así p o r e je m p lo : Minimizar:
C = 2x + 7y 4— Es la función objetivo Sujeto a: 3 x + 5y £ 3000 Ox + y ^ 2500 4 x + 9y £ 1000 x > 0 \c o n d ic ió n d e y Z 0 J n o n e g a tiv id a d
•restricciones
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como N ewton , L eib n itz , B e m o u illi y , sobre todo , bagrange , que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal , se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.
C.II. Dunt/ig
P osteriorm en te el m atem ático frán ces Jean B aptiste-Joseph F o u r ie r (1768 - 1830) fue el primero en intuir , aunque de forma imprecisa , los métodos de lo que actualm ente llam am os p rogram ación lin eal y la potencialidad que de ellos se deriva.
Si exceptuamos al matemático G aspar M onge (17461818), quien en 1776 se interesó por problemas de este género, debemos remontarnos al año 1939 para encontrar nuevos estudios relacionados con los métodos de la actual programación lineal. En ese añ o, el m atem ático ruso L eonodas V italyevich K a n ta r o v itc h publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción, en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida llamada, hoy en día, programación lineal. En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por K oopm ans y K a n ta rovitch , razón por la cual se suele con ocer con el nom bre de p r o b le m a d e K oopm an s-K an tarovitch . Tres años más tarde, G .Stigler plantea otro problema particular con ocido con el nom bre de régim en alimenticio optimal. En estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundialv, en Estados Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era un problem a de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal. Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las técnicas de computación y los ordenadores , instrumentos que harían posible la resolución y simplificación de los problemas que se estaban gestando. En 1947, G.B. D a n tzig formula , en términos matemáticos muy precisos , el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament o f Air Forcé, formarían el grupo que dio en denominarse SCOOP (Scientific Computation o f Optimum Proginms).
U Una de las primeras aplicaciones de los estudios del grupo S C O O P fue el puente aéreo de Berlín. Se continuó con infinidad de aplicaciones de tipo preferentemente militar; Hacia 1950 se constituyen, fundamentalmente en Estados Unidos, distintos grupos de estudio para ir desarrollando las diferentes ramificaciones de la programación lineal. Cabe citar, entre otros, Rand Corporation, con Dantzig ,OrchardHays, Ford, Fulkerson y Gale, el departamento de Matemáticas de la Universidad de Princenton, con Tucker y Kuhn, así como la Escuela Graduada de Administración Industrial, dependiente del Camegie Institute o f Technology , con Cham es y Cooper. Respecto al método del simplex , que estudiaremos después , señalaremos que su estudio comenzó en el año 1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau o f Standards SEAC COMPUTER, ayudándose de varios modelos de ordenador de la firma IBM . Los fundam entos m atem áticos de la program ación lineal se deben al m atem ático norteam ericano de origen húngaro J a n o s von N eum an (1 9 0 3 -1 9 5 7 ), quie en 1928 publicó su famoso trabajo Teoría de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de David Hilbert en Gotinga y , desde 1930, catedrático de la Universidad de Princenton de Estados Unidos, hace que otros in vestigad ores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina „ En 1858 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto: el cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú . En este problema había 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan óptimo de transporte,calculado con el ordenador Strena en 10 días del mes de junio, rebajó un 11# los gastos respecto a los costes previstos. Se ha estimado , de una manera general, que si un país subdesarrollado u tiliza se los m étodos de la programación lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentaría entre un 10 y un 15% en tan sólo un año. ffa
f£ ¿n ea l Jfiace JftÁÍoUa é / / m e n te a e r e e ( t e / f t e r f t n
En 1946 comienza el largo período de la guerra fría entre la antigua U nión Soviética (U R SS) y las potencias aliadas (principalm ente , Inglaterra y Estados Unidos). Uno de los episodios más llamativos de esa guerra fría se produjo a mediados de 1948, cuando la URSS bloqueó las comunicaciones terrestres
i& y o r x o /’gitffl 2012]
desde las zonas alemanas en poder de los aliados con la ciudad de Berlín, iniciando el bloqueo de Berlín. A los aliados se les plantearon dos posiblidades: o romper el bloqueo terrestre por la fuerza, o llegar a Berlín por el aire. Se adoptó la decisión de programar una demostración técnica del poder aéreo norteamericano ; a tal efecto, se organizó un gigantesco puente aéreo para abastecer la ciudad: en diciembre de 1948 se estaban transportando 4500 toneladas diarias ; en marzo de 1949, se llegó a las 8000 toneladas, tanto como se transportaba por carretera y ferrocarril antes del corte de las comunicaciones. En la planificación de los suministros se utilizó la programación lineal. (El 12 de mayo de 1949, los soviéticos levantaron el bloqueo) En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. Para hacernos una idea más clara de estos supuestos, veamos dos ejemplos : EJEM PLO 1:
&%oíiema & e *Alénénw4 Una campaña para proqiocionar una m arca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0,5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0,2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para ferm entación. El costo de producción de un yogur de limón es de 30 soles y 20 soles uno de fresa. En los dos ejemplos descritos está claro que tanto la cantidad que deseamos maximizar como la cantidad que deseamos minimizar podemos expresarlas en forma de ecuaciones lineales. Por otra parte , las restricciones que imponen las condiciones de ambos problem as se pueden expresar en form a de inecuaciones lineales.
________ E D I C I O N E S
Trataremos de plantear en términos matemáticos los dos ejemplos enteriores : 1) Si designam os por x al núm ero de sacos de com binity de clase P y por y el número de sacos de com binity de clase Q que se han de vender, la función : z =3oox +sooy y representará la cantidad de soles obtenidos por la venta de lós sacos , y por tanto es la que debemos maximizar. Podemos hacer un pequeño cuadro que nos ayude a obtener las restricciones : N° p
X
Q
y
kg de A 8x 10y < 80
kg de B 2x 5v w <25
Por otra parte, las variables x e y , lógicamente, han de ser no negativas , por tanto : x ¿ o , y ¿o Conjunto de restricciones: 8 x + lOy < 80 2x + 5 y < 2 5 xZO; y ^ O 2 ) Si representamos por x el número de yogures de limón e y al número de yogures de fresa , se tiene que la función de costo es Z = 30x + 20y. Por otra parte , las condiciones del problema imponen las siguientes restricciones : • De número : x + y <80 * De fermentación: 0,5 x + 0,2 y < 9000
HURM ÑOSj función lineal de n variables x. j = l;2;3;...n : ligadas por relaciones lineales (ecuaciones o inecuaciones) llamadas restriccion es. Entre las restricciones se distinguen: • Las del tipo x # ¿0. imponiendo a una parte o al conjunto de las variables ser no negativas. Usualmente, son llamadas restriccion es d e n o negatividad. • El resto de las restricciones , del tipo que sean , a las que a veces de les denom ina r e s t r i c c i o n e s verd a d era s. Exceptuando el caso de los problemas lineales en núm eros enteros. Las variables pueden tom ar cualquier conjunto de valoi*es reales que satisfagan las restricciones . Precisamente , se tratará de encontrar , de entre estos posibles valores, aquel que de un mejor valor a la función lineal antes mencionada. Las restricciones son norm alm ente inecuaciones o ecuaciones. Se puede suponer siempre que sea necesario , que algunas in ecu acion es se han multiplicado por -1 , para que todas las desigualdades tengan el mismo sentido , y que algunas variables se han sustituido por sus opuestas para que las únicas con dicion es suplem entarias im puestas a estas variables sean restricciones de n o n egativid ad . Un problema de programación lineal en dos variables , tiene la siguiente formulación estándar : Maximizar : Z = f ( x ; y ) = a x + by + c sujeto a : a 2x + b 2y < c 1 a 2 x + b 2y < .c 2
% 4
9
• * 4
SP+o^tamacián (lineal
9
«
• 0
a nx + bn y £ C n La programación lineal se puede definir como un medio matemático que busca la optimización (maximización o minimización) del uso de recursos limitados. La cual tiene por objeto ayudar a los responsables en la toma de decisiones sobre asuntos en donde intervienen un gran núm ero de variables. La represen tación matemática de dicho óptimo se conoce como función objetivo y consiste generalm ente en maxim izar utilidades, beneficios, ingresos , eficiencia o alguna medida efectiva; o en minimizar costos errogaciones, gastos ,etc. Toda limitación, condición o disponibilidad de los recursos o actividades se denomina restricción y debe expresarse matemáticamente por medio de desigualdad (no estricta) o igualdad.
puediendo cambiarse maximizar por minimizar , y el sentido de las desigualdades. v
(le ¿
a
l
i
n
e
a
l
e n e ltlP e b ú Desde los primeros años de la década del 60 diversas empresas y entidades han aplicado la programación lineal para la tom a de decisiones en problemas específicos. Dentro de las aplicaciones conocidas en nuestro medio , mencionaremos las siguientes:
Tanto la función objetivo como las restricciones deben poderse escribir linealmente: de allí el nombre dado a este método: P rog ra m a ción L in eal (E L .).
PETRO PER U
El problema general de Programación Lineal consiste en la búsqueda del óptimo (máximo o mínimo) de una
• Modelo de refinerías para la obtención de gasolinas del octanaje adecuado al mínimo costo.
• M odelo matemático de transporte de crudos y refinados para la asignación óptima de la flota nacional.
c
if f lg
* Modelo matemático para la planta de lubricantes del callao N IC O L IN I
Su resolución lo veremos más adelante. En infinidad de aplicaciones de la industria, la econom ía, la estrategia m ilitar, etc., se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas fu n cion es que se en cu en tran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
H N O S . S .A .
* Modelo dé mezcla insumos para la fabricación de alimentos balanceados para aves. U N IL E C IIE S .A . * Modelo de transportes para las asignaciones de rutas y vehículos de reparto de leche en Lima Metropolitana. S ID E R P E R Ú * Modelo de mezcla de insumos para la alimentación del alto homo.
& / 'Aíode/o t , M a t e m á Ü c o (De ÍEa
M IN IS T E R IO D E T R A N S P O R T E S * Modelo de evaluación de proyectos de construcción vial considerando los efectos regionales de centros de producción y consumo. IN S T IT U T O N A C IO N A L P L A N IF IC A C IÓ N
DE
J I c i I’ S T F M O IMF A F M C t7 ,T M A J o U ll tate
S u jeto a an Xj + a l2xs + ... + a h xn = b 2 *2¡X1
^
bn
IZ v n F K sm '
* Modelo de rotación de cultivos para los valles de la costa norte de] Perú. A continuación presentaremos un ejemplo práctico de la programación lineal. EJEM PLO 1 Suponiendo que una empresa manufacturera que produce dos artículos, el 1 y el 2, cuyas demandas son limitadas. La siguiente tabla indica los tiempos de procesamiento requerido por cada producto en tres departamentos por los que deben ser procesados y muestra además, la disponibilidad en horas hombre de estos por semana, y la ganancia unitaria de cada articulo.
Opto. A
Dpto. B
Dpto. C
Ganancia UniL
Producto 1
2
1
4
1.00
Producto 2
2
2
2
1.50
160
120
280
Disponibilidad
En general con rigor matemático el problema de Programación Lineal se presenta en los siguientes términos m a x . (m in . ) Z = c ix í + c ¡fxJ,+ ...c /lxn••••••« (I)
* Modelo de selección de cartera de proyectos de desamollo económico.
S
ZEinecU
o-m,x, + « m¿*2+ - +
Y la s r e s tr ic c io n e s d e n o n e g a tiv id a d xj
= 0 ,
j = 1; 2; 3 ; . . . ; n .
................................. (IU)
En las ecuaciones o inecuaciones ; b¡ ; c¡ son valores conocidos y el problema consiste en hallar los valores de las xf que optimicen la función (I) sujeta a las condiciones (H) y (III) Las variables x f se llaman variables de decisión. La estructura anterior se puede expresar como : n (m a x. o m in .) Z = £ c j X j = C fX j =*
Sujeto a :
Donde A=
1
X=0 El problema consiste en decidir la cantidad de cada producto que debe elaborarse con el objeto de lograr el mejor empleo de los medios de producción (horas disponibles en los departamentos), para obtener el máximo beneficio total. Dicho de otro modo, quien decide, debe asignar los recursos (tiempo disponible en los departamentos) con el propósito de optimizar un objetivo (maximizar la ganancia total) satisfacer otras condiciones definidas (no exceder las capacidades de trabajo de cada departamento).
(II)
—bm
m x/i>
C-
Xj ;X =
l¿j
X2 i
í6 l l b2 ;B =
L
En un problema de programación lineal debemos tener en cuenta que los beneficios, capacidades, etc. Son funciones que se deben maximizar; en cambio los costos, las pérdidas, los accidentes son funciones que se deben minimizar.
[ l » K O r ; l < L L V z l é ’I Ó
.V
19 M
f v f .V liL t f ,
En Programación Lineal se tienen los siguientes elementos • Una función objetivo. • Un conjunto de restricciones. • La no negatividad de las variables decisorias. Para mayor comprensión del tema en este trabajo, lo plantearemos en dos variables decisorias; por ello nuestro problema de Programación Lineal tendrá la siguiente estructura. Maximizar : Z = f ( x ; y ) = c ¡x + c2y + c3 sujeto a : a n x + a í2y 5 b¡ a 2lx + a& y á b2
+ a m2yZbm con x > 0 ; y'¿.O a m Ix
D E FIN IC IO N E S :
En un problema de programación lineal intervienen: VARIABLES
DECISORIAS
Son
cantidades
desconocidas que indican los valores numéricos de los actos o actividades que se van a emprender con el fin de lograr el objetivo. FUNCIÓN OBJETIVO : Es la representación matemática de la función a optimizar (max. o min.) f(x&) = a x + by +c En esa expresión x e y son las variables de decisión , mientras que a , b y c son constantes. REGIÓN FACTIBLE : Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones de no negativida'd. Existen dos tipos de región factible.
X
E l H C t O X E S RUKIÑOSÁ
SOLUCIÓN OPTIMA : Es una solución factible que maximiza o minimiza la función objetivo. P O L ÍG O N O C O N V E X O : D ados dos puntos cualesquiera que pertenecen al polígono, el segmento de recta que los une está contenido en dicho polígono.
POLÍGONO POLÍGONO NO CONVEXO CONVEXO Un polígono se dice que es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180° . LAS RESTRICCIONES que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ...( menores :< 0 s); como mínimo de ... (mayores: > 0 ¿ ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.
jéfi/¿ca€¿oneb tle ¿a texjtott fítctiéíe ^Problemas de producción : En estos problemas se trata de determinar la cantidad de productos que se deben fabricar para obtener los máximos beneficios en la venta de los mismos, o bien, calcular los mínimos costos en su fabricación. *Problemas de aumentación : En estos problemas se trata de determinar la cantidad de cada uno de los alimentos que constituyen la alimentación diaria de un coqjunto de personas o animales, de manera que el costo sea mínimo. * P roblemas de transporte : En estos problemas se trata dé elegir el camino óptimo de envío de una mercancía desde varios orígenes (por ejemplo, plantas de producción) a diferentes destinos (centros de almacenamiento o consumo), de manera que el costo sea el mínimo. ^ a n d a in e n / a e e e n d e la
región factible no acotada
SOLUCIÓN FACTIBLE: Es cualquier punto situado en la región factible. SOLUCIÓN BASICA : Es aquella que se encuentra en la intersección de rectas o hiperplanos o en la intersección con los ejes coordenados
tA ía / e m á / tc a
& >/U M 0U M jn €u xón ¡£ ¿ n e a l
La Programación Lineal se fundamenta en un conjunto de teoremas. TEOREM A 1 : El conjunto de todas las soluciones factibles a un problema Lineal es un conjunto convexo (resulta de la intersección de las ecuaciones e inecuaciones de restricción),éste teorema demuestra, además que si un programa lineal tiene más de una solución, entonces
{ tendrá infinitas soluciones.
[IffiBIlSgg BgH
TEOREM A 2 : La función objetivo alcanza su máximo en un punto extremo del conjunto convexo, generado por el coryunto de soluciones factibles al Programa lineal. De estos dos teoremas concluimos que sólo es necesario investigar las soluciones en los puntos extremos (es decir en los vértices o las aristas del polígono convexo del programa lineal) B E TER M IN A C IÓ N B E L A R E G IÓ N
L|
L V (t / t . o
se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. * La región factible está formada por la intersección o región com ún de las solu cion es de todas las inecuaciones. La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de que exista , debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada. La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio o en sentido estricto (< o > ). Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el núm ero de restriccion es. El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente: 1 ) SE RESUELVE C A B A INECUACIÓN P O R SEPARADO . Es decir , se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones . * Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplenos . * Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0;0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuación . Si lo hacen , la región en la que está ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación;
m
A
2 0 1 ¿ ]
2)La región factibfe está formada p o r la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones linéalas, los sistemas de Inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto s sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.
* VEÁM OSLO C O N l
‘.V
EJEM PLO :
Dibuja la región factible asociada a las restricciones: x + y Z 4
y ¿4 y^x
La solución de la programación lineal, en el supuesto que exista, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región fa c tib le, y puede estar o no acotada.
* Se resuelve cada inecuación por separado, es decir,
*e
en caso contrario, la región válida es la otra.
F A C T IB L E
El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente:
e
(0;0) S e m ip la n o a s o c ia d o a la r e c t a Elegimos el punto O (0;0), que se encuentra en el semiplano situado por debajo de la recta. Introduciendo las coordenadas ( 0 ; 0 ) en la inecuación x + y a 4 , vemos que no la satisface: 0 + 0 = 0 < 4 . Por tanto, el coqjunto de soluciones de la inecuación es el semiplano situado por encima de la recta r : x + y = 4 . Y
La recta t asociada a la rectricción pasa por el origen, lo cual significa que si probásemos con el punto 0 (0 $ ) no llegaríamos a ninguna conclusión. Elegimos el punto (1;0) y vemos que no satisface la inecuación y ¿ x ( y = 0 < 1 = x ) .Por tanto, el conjunto solución de esta inecuación es el semiplano determinado por la recta t que no incluye al punto (1$).
[ p / g o i ; i i 2y m < :n > .v
B gg
Procedemos como en el paso anterior. Las coordenadas satisfacen la inecuación y £ 4. ( 0 * 4 ) - Por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuación es el semiplano que incluye al punto
La región factible está formada por los puntos que cumplen las tres restricciones, es decir, se encuentran en los tres semiplanos anteriores.
a x + b y = k son los que determinan su pendiente. Por tanto , si k¡ es distinto de k s , las rectas a x + by = k ¡ y a x + b y = k g son paralelas. Luego , trazada una cualquiera de esas rectas , las demás de obtienen por desplazamientos paralelos a ella. Si lo que se pretende es resolver un problema de programación lin eal, los únicos puntos que interesan son los de la región fa ctib le , y las únicas rectas de nivel que importan son aquellas que están en contacto con dicha región . Como el nivel aumenta (o disminuye) desplazando las rectas, el máximo (o el mínimo) de f ( x y ) se alcanzará en el último (o en el primer) punto de contacto de esas rectas con la región factible. Veamos ahora como se aplica todo esto a la resolución de un problema de programación lineal: M axim izar Sujeto a :
Para aplicar este método es necesario seguir estos pasos: * Representar gráficamente la región factible. * Representar las rectas de nivel.
<
* Determinar la solución óptima.
0<.xZ4 y*/2
1)
Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor.
Z ~f(x?y)~x + y 0<.yú4
tA íé k x fo (3 'u ífic o o 'A ié lo d o d & fa A 0 le c la + Q )e tA ftw e l
E I U C I O X E S RUHMÑÓf^
I B
R iW R E S E X T A W K S L A R E O iÓ X F A C T IB L E Z
* La recta s : x = 4 pasa por el punto (4;0) y es paralela aleje Y. Las soluciones de o s x s 4 son los puntos entre el eje Y y la recta x = 4 . * La recta r : y = 4 pasa por el punto (0;4) y es paralela al eje X. Las soluciones de o s y s 4 son los puntos entre el eje X y la recta y = 4 . * La recta / : y = x/2 pasa por los puntos (0;0) y (2;1) Las soluciones de y a x l 2 son los puntos de su izquierda.
Para encoptrar la solución óptima de una función objetivo a partir de las rectas de nivel, es necesario representarla y desplazarla paralelamente a sí misma dentro de la región factible hasta encontrar el vértice que determine dicha condición.
Resolviendo los sistemas correspondientes calculamos los vértices de la región factible :
Si la función objetivo es F (x ;y ) = A x + 6 y, las ecuaciones de las rectas de nivel 6on de la forma:
{ x=4; y = 4
} nos da el vértice B(4;4)
{ y —4; x = 0
} nos da el vértice C(0;4)
Ax + by = k, donde * e Z
2)
NOTA: * Las rectas de nivel dan los punto del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor. * Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones. Si la función objetivo es f ( x y ) = a x + b y + c t la ecuación de las rectas de nivel es de la forma : a x + b y + c = 0 <+ ax + b y = k Variando k (ó p ) se obtienen distintos niveles para esas rectas y , en consecuencia, distintos valores para f(x y ). En un problema todas las rectas de nivel son paralelas , pues los coeficientes a y b de la recta
{ y = x l2 ; x = 0 } nos da el vértice O (0fí» { x = 4 ; y =x!2 } nos da el vértice A(4;2)
r e p r e s m n t a h o s l a s r e c t a s b e x iv e l z
En nuestro caso son rectas de la forma x + y = k . Inicialmente representamos Z = x + y = 0 . Trasladándola hacia la derecha, obtenemos las rectas x + y = 2 ; x + y = 4 ; x + y = 8 , es decir aumenta el nivel. 3 ) O B T E X E tlO S L A S O L C C iÓ X Ú 1 T D L X Z
Se obtiene en el punto de la región factible que hace máximo k. En nuestro caso esto ocurre en el punto B; es el último punto de contacto de esas rectas con la región factible, para el que * = 8. Si hay dos vértices, P y Q, que se encuentran en la misma recta de nivel ,de ecuación a x + by = k . Es evidente que todos los puntos del segmento PQ son de esa recta ; por tanto,
im
IA
E N
4 'i C
J M
m£
M
1
2 0 1 $
en todos ellos f(x& ) vale 6 . Así pues, la solución óptima es cualquier punto de esa recta; en particular los vértices P y Q.
obviamente esta implícita la circunstancia de no poder considerar cantidades a producir negativas, por tanto se debe escribir: x * 0 ; y *0
PROBLEM A :
• En resumen y simbolizando la función ganancia total con Z se tiene: [M a x]Z = x + l,5 y
Suponiendo que una empresa manufacturera que produce dos artículos, el 1 y el 2 , cuyas demandas son limitadas. La siguiente tabla indica los tiempos de procesamiento requerido por cada producto en tres departamentos por los que deben ser procesados y muestra además, la disponibilidad en horas hombre de estos por semana, y la ganancia unitaria de cada Dpto.A
Dpto. B
Dpto. C
Producto 1
2
1
4
1
Producto 2
2
2
2
1
160
120
280
Disponibilidad
Sujeto a : 2 x + 2y $ 160 ....(restricción 1) x + 2y s 120....... (restricción 2) 4x + 2y s 280. (restricción 3) C on : x^O ; y ¿0 Como este problema contiene sólo dos variables es posible representarlo y resolverlo gráficamente. Graficando las tres restricciones se tiene:
Ganancia Unit.
El problema consiste en decidir la cantidad de cada producto que debe elaborarse con el objeto de lograr el mejor empleo de los medios de producción (horas disponibles en los departamentos), para obtener el máximo beneficio total. Dicho de otro modo, quien decide, debe asignar los recursos (tiempo disponible en los departamentos) con el propósito de optimizar un objetivo (maximizar la ganancia total) satisfacer otras condiciones definidas (no exceder las capacidades de trabajo de cada departamento). R E S O L U C IÓ N Paso 1 : (Variables decisorias) Sea x el número de unidades producidas del artículo 1 . Sea yel número de unidades producidas del artículo 2. Paso 2 : (construcción de la función objetivo) El beneficio obtenido al vender x unidades del artículo l e y unidades del artículo 2 será : x + l ,5 y considerando la función ffx ; y ) = x + l,5 0 y (función objetivo) el problema consiste en hallar x, y tal que esta función sea máxima, teniendo en cuenta que x e y están sujetas a las sigu ien tes con d icion es (restricciones).
La figura que ha quedado definida no es otra cosa que un polígono convexo. El problema de la Programación Lineal, entonces, se reduce (nada más ni nada menos) a la selección del punto que sea factible y que a su vez maximice la función objetivo. Asignando a Z un valor arbitrario para que pueda ser graficada. Por ser Z una recta, para cualesquiera valores asignados a Z se obtendrán rectas paralelas ya que tienen igual pendiente. E s:
Paso 3 : (Restricciones o limitaciones) En el ejemplo la producción está lim itada por el tiempo disponible de m anufacturación en cada departam ento. Observando los valores del cuadro anterior se puede deducir fácilmente que:
* El tiem po de m an u factu ración requ erido al departamento A, es igual a 2x + 2y pero el requisito no debe exceder la capacidad del departamento A, por la que la expresión anterior queda completa con: 2x + 2y s 160 con igual razonamiento para los departamentos B y C, se tiene: x + 2y ¿ 120 4x + 2 ys 280
Es evidente que se podrá seguir desplazando Z hasta que se alcance el último punto común entre ésta y el polígono. Dicho punto es A tal como se verifica en el gráfico que sigue.
I J F lw
1«9 7 ¡iv.w
ir
E D M C ID X E S
KUM UÑOM
EJEM PLO M a x im iz a r S u jeto a :
Z = f ( x ;y ) = 3x + 8y 4 x + 5 y < 40 2 x + 5 y < 30 x ^ O ; y7>0
1) HALLAR LOS PUNTOS DE CORTE DE LAS RECTAS ASOCIADAS A LAS RESTRLCCLONES : Calculamos las soluciones de cada uno de los seis sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que se pueden formar con las cuatro restricciones : { 4 x + 5y = 4 0 ; 2 x + 5y = 30}. Este es el punto de Ganancia Total Máxima o punto óptimo. Corresponde por lo tanto a la solución óptima. La respuesta al problema es entonces Xj = 4 0 ; x s = 40 . Y el valor de la función objetivo es Z = 100 M ÉTODO A N A L ÍT IC O O M É T O D O D E L O S VÉ R TICE S Para aplicar este método es necesario seguir estos pasos: • Hallar los puntos de corte de las rectas asociadas a las restricciones. • Determinar los vértices de la región factible. • Calcular los valores de la función objetivo para determinar la solución óptima. La evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible permitirá encontrar la solución óptima.
El siguiente resultado , denominado
te o r e m a
FUNDAMENTAL DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL, nO S
Solución A(5;4) { 4x + 5y = 40 ; x = 0 }
Solución: B (0;8)
{ 4 x + 5y = 40 ; y = 0 }. Solución: C(10; 0) { 2 x + 5y = 30 ; x = 0 } Solución: D(Ofí>) { 2 x + 5y = 30 ; y = 0 }. Solución : E(16&) { x = 0; y = 0 }
Solución: O(0;0)
2) DETERMINAR LOS VÉRTICES DE LA REGLÓN FACTIBLE : Los vértices de la región factible son aquellos puntos que cumplen todas las restricciones. Si sustituimos los puntos en cada una de las desigualdades tenemos que: * B no cumple la segunda restricción 2 x + 5 y < 3 0 , ya que 2 x 0 + 5 x 3 = 40 . Por tan to, el punto B no es un vértice de la región factible. * E no cumple la primera restricción 4 x + Sy'z. 40 , ya que 4 x1 5 + 5 x 0 = 60 . Por tanto, el punto E no es un vértice de la región factible.
permite conocer otro método de solucionar un 3) CALCULAR LOS VALÓRES DE LA FUNCIÓN programa con dos variables. OBJETIVO EN LOS VÉRTICES :
En un programa lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo , ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan. En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero , si lo hace , éste se encuentra en uno de los vértices de la región . La evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible nos va a permitir encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) en alguno de ellos.
f(A)=f(5;4)= 8x5 + 8x4 = 47 f(C hf( 10?0)*8 x10+8x0=80 flD) = ftO;6) = 3x0 + 5x6 = 48 f(0) = f(0&) - 3 x 0 + 8x0 = 0 La solución óptima corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor máximo. En este caso es el vértice D (0 ;6 ).
ESQUEMA PRACTICO í Los problemas de programación lineal pueden presentarse en la forma estándar, dando la función objetivo y las restricciones , o bien plantearlos mediante un enunciado. Si éste es el caso , puede seguirse el camino que indicamos a continuación, ejemplificado con el siguiente problema:
Bflsg n a s ffl
L\ W C t r w z D i A 2012]
PROBLEM A M O D ELO :
•P A SO 3 ° ;
En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se han de tener almacenados un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje es el mismo para los dos tipos de aceite (/unidad m onetaria). ¿Cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea máximo?
Expresar el problema en la forma estándar.
O B S E R V A C IÓ N : Puede parecer algo absurdo maximizar los gastos, pero se ha enunciado de esta forma para que el ejemplo sea lo más completo posible.
EJEM PLO : M a x im iza r
Z = f(x;y) = x + y
S u jeto a :
x + y 5 150 y^x/2 x * 20; y * 4 0
Aquí termina el planteamiento del problema. Para su resolución hay que continuar con : * PA SO 4°: Representar gráficamente las restricciones y marcar claramente la región factible. Y
• PASO I o:
x=20
LEER DETENIDAMENTE EL ENUNCIADO :
determinar el objetivo , definir las variables y escribir la función objetivo.
Recta» de nivel
E L O B J E T IV O : hallar cuántos bidones de cada tipo hay que almacenar para maximizar los gastos. Suponemos que tal objetivo se consigue almacenado x bidones de aceite de girasole y de aceite de oliva. Cómo cada bidón de aceite de girasol cuesta almacenarlo 1 unidad monetaria y lo mismo para uno de aceite, los gastos serán x + y . Luego la función objetivo es : Maximizar la función Z = flx& ) = x + y. • P A S O 2 *:
Reordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas , x e y, escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones.
100
1 x+y=150
Para las restricciones anteriores debemos representar las rectas: x + y =150 ; y = x/2 ; x = 2 0 e y = 40, obteniéndose la región factible que en la figura se encuentra sombreada. • PA SO 5 o: Hallar las coordenadas de los vértices del polígono obtenido.
• Un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol: x*20-
Resolviendo los sistemas:
• Un mínimo de 40 bidones de aceite de oliva: y * 40.
{ y = x/2 pe + y = Z50} ; {x + y =150 pe = 20};
• El número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol: y * x/2
se obtienen los vértices : A (2 0 ;4 0 ) , B (8 0 ;4 0 ) f C ( 100;50) , D(20;130).
• La capacidad total del almacén es de 150 bidones: x + y 5 150.
Sustituir las coordenadas de esos puntos en la función objetivo y hallar el valor máximo o mínimo.
Además, los números de bidones deben ser cantidades positivas : x * 0 ; y * 0 .
Sustituyendo en f(x& ) = x + y , se tiene :
O B S E R V A C IÓ N : Como veremos en ejemplos posteriores en algunas ocasiones puede interesar utilizar una tabla para recopilar toda la información y hacer los dos primeros apartados.
{ x = 2 0 ;y = 40 } ; { y = x l 2 ; y = 4 0 } ,
* PA SO 6o:
f(20;40) =60
;
f(100; 50) = 150 ;
f(80;40) = 1 2 0 ; f(2 0 ;1 3 0 )= 1 5 0
Como el valor máximo se obtiene en los puntos C y D, puede optarse por cualquiera de los dos, o por cualquier punto perteneciente al segmento que los une. Así, por ejemplo , se obtendría el mismo gasto con 40 bidones
KS3 1*99 de aceite girasol y 110 bidones de aceite de oliva ; o 90 y 60 respectivamente. * PASO 7o: También es conveniente representar las rectas de nivel para comprobar que la solución gráfica coincide con la encontrada. Esta conveniencia se con vierte en necesidad cuando la región factible es no acotada. En nuestro caso , puede comprobarse que las rectas de nivel tienen la misma pendiente que la recta límite de la restricción x + y £ 1 5 0 ; por tanto, hay múltiples soluciones.
ICMPIUIOXLS R V R IÑ O S] ♦ Variables : x = n° de casas tipo A y = n° de casas tipo B.
♦ F u n ción o b je tiv o : Maximizar Z = f ( x fy ) = 4 x + 3y. ♦ C o n ju n to d e r e s t r i c c i o n e s : El costo total 3 0 x + 2 0 y £ 1800. La m unicipalidad im pone x + y < 8 0 . De no negatividad : x £ 0 » y ^ O Tiene por región factible la región sombreada. Si hallamos los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices :
*P A S O S °:
f ( 0 ) = f(0 ;0) = 0 ;
Por último , como en la resolución de todo problema es necesario criticar la solución : cerciorarse de que la solución hallada es lógica y correcta. En este ejemplo , no todos los puntos del segmento CD son soluciones válidas , ya que no podemos admitir valores de x e y no enteros, como ocurriría en el punto (9 0 x 5 ;5 9 x 5 )
f(D ) = f(20;60) = 260 ; f(E ) = f(0 ;8 0 ) = 240
O B S E R V A C IÓ N :
Si un problema en la forma estándar no indica que se debe realizar por el método analítico o gráfico , seguiremos para su resolución los pasos del 4° al 3°. TUPOS D E SO LU C IO N E S Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser : FACTIBLES:
f(C ) = f(6 0 ;0 )= 240 ;
La solución es única , y corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor máximo. En este caso es el vértice D (2 0 ;6 0 ). Por tanto se deben construir 20 casas de tipo A y 60 de tipo B con un coste de 260 millones de soles. P R O B L E M A CON SO LU C IÓ N M Ú LTIP LE Si existe más de una solución. Maximizar la función: Z = flx& ) = 4 x + 2y sujeta a las restricciones : 2x + y <4; x - y < l ; x ^ 0; y^O. R E S O L U C IÓ N :
Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. A su vez, pueden ser: PROBLEM A CON SOLUCIÓN ÚNICA í En una urbanización se van a construir casas de dos tipos : A y B. La empresa constructora dispone para ello de un máximo de 1800 millones de soles, siendo el coste de cada tipo de casa de 30 y 20 millones, respectivamente. La municipalidad exige que el número total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es 4 millones y de 3 millones por una de tipo B t ¿cuántas casas deben construirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio? R E S O L U C IÓ N :
Los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices son: f ( 0 ) = f(0;0) = 0 , f(A) = f ( l $ ) = 4 ; f(B) = f(5¡3;213) = 3 , f(C) = f(Q;4) = 8 . La función objetivo alcanza el valor máximo en los vértices B y C, por tanto , en todos los puntos del segmento BC. Hay infinitas soluciones, solución múltiple , que corresponden a los puntos del segmento situado entre dos vértices de la región factible. En estos casos la función objetivo es paralela a una de las restricciones. PROBLEM A
CON
SOLUCIÓN
ACO TABA : Cuando no existe límite para la función objetivo. Maximizar la función :
Z = /favyj = x + y
NO
E ia O 0 lM sujeta a las restricciones : y £ 2 x ; y £ x/2 R E S O L U C IÓ N ;
U
E\t ic l o u i :d i A 2012]
variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: ♦
Ú tfa / ttttcrt tt f fje fir t
jtf
¿rf ra/< i H tfh iiM en e/
rét/fce*"/, en/atce* Im *j ruta atr-tfn (ftte/ ta tfe J e s J , a f< fttifji (fe fa ctfd / ja m n en fft.
X
Tieneporregiónfactiblelazonasombreadaqueapareceenla figura, queesunaregiónnoacotada. Lafuncióncrece iaieflaitfimeitepanvalorescrecientesde*ey. Enestecaso noexisteunvalorextremoparalafunciónobjetivo,porloque puededecirsequeelproblemacarecedesolución. Paraque sucedaestasituaciónlaregiónfactibledebeestarnoacotada. P R O B L E M A S N O F A C T IB L E S í
El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig . El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra m atricial y el proceso de eliminación de Gauss - Jordán para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex. Vamos a resolver mediante el método del simplex el siguiente problem a:
Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes.
M axim izar
Z ~ f ( x ;y ) = 8x + 2y
sujeto a :
2 x + y £ 18 2 x + 3 y £ 42
Maximizar la función:
3 x + y £ 24 xH O A y ^ O
Z = fíx ; y) = 3 x + 8y
Se consideran las siguientes fases :
sujeta a las restricciones x + y £ 6; x + y <,2; x ^ .0 ; y'¿.O ¥
R E S O L U C IÓ N :
I) C O NVB MT L IG U A L D A D E S
LAS
D E S IG U A L D A D E S
EN
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones , para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2 x + y + h = 18 2 x + 3y + 9 = 42 3 x + y + d = 24
U) IGUALAR LA FUNCIÓN OBJETIVO A CERO No existe la región factible, ya que las zonas coloreadas que aparecen en la figura son únicamente soluciones de alguna de las inecuaciones . Por tanto, el coryunto de soluciones del sistem a de desigualdades no determina ninguna región factible. Este tipo de problemas carece de solución.
-3x-2y + Z = 0
¡U) ESCRIBIR LA TABLA INICIAL SIMPLEX: En las columnas aparecerán todas las variables del problema y , en las filas , los coeficientes de las igualdades obtenidas , una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo
M É T O D O D E L S IM F L É X Es un p rocedim ien to itera tivo que perm ite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera , el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de
Tabla I . Iteración n° 1 Base
h
s d
Z
VuriuH#efetiückiónVariabledshotjun Valores solución X
y
h
8
d
2 2
1 3 1 -2
1 0 0 0
0 1
0 0 1
3 -3
0 0
0
18 42 24 0
[I » J f
B
1801 É É
K 1H C M X K &
Fila del pivote:
/V ) ENCONTRAR LA VARIABLE DE D E C IS IÓ N QUE ENTRA EN LA BASE Y LA VARIABLE DE HOLGURA QUE SALE DE LA BASE .
A) Para escoger la variable de decisión que entra en la base , nos fijamos en la última fila , la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto).
Nueva fila del pivote = (Vieja fila del pivote): (Pivote) *Resto de las filas : Nueva fila= (Vieja fila)~(Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) x (Nueva fila del pivotej Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla U ) :
* En nuestro caso , la variable x de coeficiente - 3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior , entonces se elige uno cualquiera de ellos. Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo , significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto , lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color verde). B) Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base , se divide cada término de la última colum na (valores solu ción ) por el térm ino correspondiente de la columna pivote , siempre que estos últimos sean mayores que cero. En nuestro caso: 1 8 + 2 = 9 ] ; 4 2 + 2 =21 y 2 4 + 3 = 8 Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. El férmino de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor , indica la fila de la variable de holgura que sale de la base , d. Esta fila se llama fila pivote . Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base. C) En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.
V) ENCONTRAR LOS COEFICIENTES DE LA NUEVA TABLA :
M tlTKM Ñ O& j
Vieja fila de 8
2
3
0
1
0
42
C oeficien te
2
2
2
2
2
2
X
X
X
X
X
X
1
1/3
0
0
1/3
8
0
7/3
0
1
-2/3
26
N ueva fila p iv o te Nueva fila de 8
T a b l a l l . Ite r a c ió n n°2 B ase
h 8 X Z
V a r ia b le de d e cisió n
X 0 0 I 0
V a r ia b le de h o lg u r a
-
-
•'
Vahmidsclia
y
h
8
d
t/3
1
- 2 /3
2
7 /3
0 0 0
0 1 0 0
- 2 /3
26
t/3
8 24
1 /3
-i
l
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo , - 1 , significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso : A) La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente - 1 . B) Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2+113=6 ; 26+713=7817 y 8+113=24 y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h. CjEl elemento pivote , que ahora hay que hacer 19es 113. Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla: T a b la iU . Ite r a c ió n n °3 B ase
y 8 X z
V a r ia b le de d e c is ió n
V a r i a b l e de h o l g u r a
Valommlmctís
X
y
h
8
d
0
i
3
0
■2
0
0
■7
0
0
-i
0
0
3
0
6
Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuación m ediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, - i , significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso :
También se puede hacer utilizando el siguiente esquema :
A) La variable que entra en la base es d t por ser la variable que corresponde al coeficiente - I
1 0
4 1 -l
12
8 24
ü -ijr ,
I A &\TiCj.arEi9ti\ 2012)
B) Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:
♦ En esta segunda iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice B (8;0): Z = f(8 ;0 ) = 24
6¡(-2) = -3 ; 12/4=3 , y 6 + 1 = 6
Sigue por la arista B C , hasta llegar a C, donde se para y despliega los datos de la Tabla III.
y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s.
En esta tercera iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice C(6;6) : Z = f(6 ;6 )= 3 0 .
C) El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1 , es 4
Continua haciendo cálculos a través de la arista CD, hasta llegar al vértice D. Los datos que se reflejan son los de la Tabla IV. Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la solución no mejora al desplazarse por la arista DE) El valor máximo de la función objetivo es 33 , y corresponde a x = 3 e y = 1 2 (vértice D ). Si calculas el valor de la función objetivo en el vértice E(0;14), su valor no supera el valor 33
T a b la J V . F i n a l d e l procedo Baae
V a r ia b le «fe decixión
X
y
V a r i a b l e de h o l g u r a
h
*
Vnlorn *JneU»
1 d
y
0
i
•t!2
0
0
12
d
0
0
~7!4
0
l
3
X
1
0
-314
0
0
3
2
0
0
514
0
0
33
Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos , hemos llegado a la solución óptima. Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: D(3;12) * Si en el problema de maximizar apareciesen como restricciones inecuaciones de la forma: a x + by + c; m ultiplicándolas por -1 se transform an en inecuaciones de la forma - a x - by - c y estamos en el caso anterior. * SI en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el mismo proceso , pero cambiando el sentido del criterio, es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la función objetivo, sea el mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son negativos.
IN TER P R E TA CIÓN G E O M É TR IC A D EL M É T O D O D E L S IM P L E S
Lassucesivastablasquehemosconstruidovanproporcionando el valor de lafunciónobjetivoenlosdistintosvértices, ajustándose,alavez,loscoeficientesdelasvariablesiniciales ydeholgura. Enlaprimeraiteración(Tablaí) hanpermanecidotodoslos coeficientesiguales, sehacalculadoel valordelafunción objetivoenelvérticeA(0;0), siendoeste0 *AcontinuaciónsedesplazaporlaaristaAB, calculandoel valordef ,hastallegaraB. y EstepasoaportalaTablaII. u(3:¡2) , E (0 :1 4 )
C(6tf)
B(S.'O)
SOLUCIÓN GRÁFICA R E P R O B L E M A S R E P R O G R A M A C IÓ N LIN EAL Muchos problemas de administración y economía están relacionados con la optimización (maximización o minimización) de una función sujeta a un sistema de igualdades o desigualdades. La función por optimizar es la función objetivo. Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones objetivo. El sistema de igualdades o desigualdades a las que está sujeta la función objetivo reflejan las restricciones (por ejemplo, las limitaciones sobre recursos como materiales y mano, de obra) impuestas a la solución (o soluciones) del problema. Los problemas de esta naturaleza se llaman p rob lem a s d e p r o g r a m a c ió n m a tem á tica . En particular, aquellas donde la función objetivo y las restriccion es se expresan com o ecuacion es o desigualdades lineales se llaman p ro b le m a s d e p rogra m a ción lin ea l. Un problema de programación lineal consta de una función objetivo lineal por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades lineales. Desigualdades lineales se llaman p ro b lem a s d e p rogra m a ción lin ea l. Siempre que el problema incluya únicamente dos o tres variables de decisión, podem os representar gráficamente las restricciones para dibujar en su intersección el poliedro convexo que conforma la región de factibilidad F. Si el número de variables es dos , las restricciones, semiespacios cerrados, son semiplanos delimitados por la recta que corresponde a cada restricción. Si el número de variables es tres , los semiespacios en este caso están delimitados por planos. Para hallar gráficamente la solución de un problema de P rogram ación L ineal con dos variables.
[ i - k » < ;k a .h « i«> ,v M.irvihXM,
ln tel i a M
procederemos del siguiente modo: PASO 1: representaremos todas las restricciones del problema para determinar la región de factibilidad F. Si ésta es vacía, el problema no tiene solución óptima, se dice que es inconsistente. En otro caso, ir al paso 2. PASO 2: identificar los extremos o vértices de F. PASO 3: dibujar una de las rectas que pertenece a la familia de rectas paralelas que representa la función objetivo f(x ;y )= k . Habitualmente, suele dibujarse f(x& )= 0 por comodidad. PASO 4: desplazamos paralelamente a sí misma la recta que representa la fu n ción objetivo para determinar la dirección de mejora que será aumento o disminución según si el objetivo del problema es la maximización o minimización de dicha función. PASO 5: el punto extremo de F al que corresponde el valor óptimo para la recta que representa la función objetivo es la solución óptima finita del problema. N O T A : hay que tener en cuenta que pueden pi'esentai'se las situaciones estudiadas en el apartado anterior, cuando existe más de un punto extremo o la región de factibilidad es no acotada. Como ejemplo de un problema de programación lineal en que la función ob jetivo debe m axim izarse, considérese el siguiente problema de producción con dos variables PROBLEM A
M ODELO 2:
El granjero López tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? ¿Cuál es ésta utilidad máxima? M aíz: Utilidad: $40 por hrs. Trabajo; 2hs por hrs. Trigo:Utilidad: $30 por hrs. Trabajo: lh s por hrs.
K IU C iO N F S ItlHIiiiOS]
^
La cantidad total de tiempo por hectáreas para sembrar maíz y trigo está dada por 2 x + y horas que no debe exceder las 300 horas disponibles para el trabajo. Así se tiene la desigualdad: 2 x + y < 8 0 0 En forma análoga, la cantidad de hectáreas disponibles está dada por x + y , y ésta no puede exceder las hectáreas disponibles para el trabajo, lo que conduce a la desigualdad. Por último, si no queremos tener pérdidas, x y y no pueden ser negativa, de modo que x >0 y >0 En resumen, el problema en cuestión consiste en maximizar la función objetivo P = 4 0 x + 3 0 y sujeta a las desigualdades 2x+ y< 800 x+y<480 x>0 y>0 R E S O L U C IÓ N
G R Á F IC A
:
Los problemas de programación lineal en dos variables tienen interpretaciones geométricas relativamente sencillas ; por ejemplo, el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programación lineal bidimensional si no es inconsistente define una región plana cuya frontera está formada por segmentos de recta o semirrectas, por lo tanto es posible analizar tales problemas en forma gráfica. Si consideremos el problema del granjero Lópezt es decir, de maximizar P = 4 0 x + 3 0 y sujeta a : 2 x + y < 800 x+y <480 x> 0; y>0 El sistema de desigualdades define la región plana S que aparece en la figura 5. Cada punto de S es un candidato para resolver este problema y se conoce
R E S O L U C IÓ N :
* Como primer paso para la formulación matemática de este problema, se tabula la información dada (Tabla 1). Si llamamos x a las hectáreas de maíz e y a las hectáreas de trigo. Entonces la ganancia total P , en dólares , está dada p o r: P = 4 0 x+ 3 0 y Que es la función objetivo por maximizar. E lem en tos
M a íz
T rigo
H oras
2
1
H ectáreas
1
1
800
$40
$30
480
U tilidad p o r u n id a d
d isp on ib les
como solución factible. El conjunto S se conoce como conjunto factible. El objetivo es encontrar entre todos los puntos del conjunto S el punto o los puntos que optimicen la función objetivo P. Tal solución factible es una solución óptima y constituyen la solución del
m cm k
m s . -m.
ggLiiiidiffl
problema de programación lineal en cuestión. Como ya se ha observado, cada punto P (x; y) en S es un candidato para la solución óptima del problema en cuestión, por ejem plo, es fácil ver que el punto (200; 150) está en S y, por lo tanto, entra en la competencia. El valor de la función objetivo P en el punto (200;150) está dado RESUM EN
:
La programación lineal es una técnica que facilita la resolución de problemas de planificación económica o social. Su objetivo es optimizar, es decir, reducir los costos elevados o elevar los beneficios, utilizando las restricciones o condiciones impuestas por el problema. Así también en lugar de maximizar se puede minimizar y cambiar el sentido de las desigualdades. Intervienen: * La función z = a x + b y + c se llama fu n ción objetivo y es la que se va a optimizar. * En la expresión, r e y son las v a r ia b le s decisión, mientras que a, b y c son constantes.
de
f j EXCirMWCBLt 2012) •Organizar la información mediante una tabla. •Asignar una variable a cada una de la incógnitas.
•D eterm inar las restriccion es que se crean conveniente. •Determinar la función objetivo. DETERMINACIÓN DE LA REGIÓN FACTIBLE La solución de la programación lineal, en el supuesto que exista, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región fa c tib le , y puede estar o no acotada. El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente: • Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. • La región factible está formada por la intersección o región com ún de las solu cion es de todas las inecuaciones.
* Las restriccion es son las inecuaciones lineales. Su número lo define el problema.
DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA
* Al conjunto de valores de x e y que verifican cada una de las restricciones en su totalidad se le denomina con ju n to (o región) fa c tib le . Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema.
La solución óptim a es aquella que maxim iza o minimiza la función objetivo. Dicha solución se encuentra en la frontera de la región factible.
* La solución óp tim a del problema será un par de valores (x0; y f del conjunto factible que haga que z tome el valor máximo o mínimo. La cantidad que se desea maximizar o minimizar se expresa en form a de ecu acion es lin eales. Las restricciones que imponen las condiciones de los problemas se expresan en forma de inecuaciones lineales.
T IP O S D E SO LU CIO N ES Los tipos de soluciones que se presentan en los problemas de programación lineal con dos incógnitas pueden ser: •FACTIBLES : Aquellas que tienen un conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones del problema.
Para la resolución de un problema de programación lineal se tiene tres tipos de métodos:
•N O FACTIBLES : Aquellas que no tienen un con ju n to de solu cion es que cum plan con las restricciones del problema.
* Método práctico.
SO LU C IÓ N F A C T IB L E í
* Método analítico o de los vértices.
•SOLUCIÓN Ú N ICA; Una solución es única cuando la solución óptima se encuentra sólo en uno de los vértices de la región factible.
* Método gráfico o de las rectas de nivel. M ÉTODO PRÁCTICO Para resolver un problema de programación lineal, es necesario seguir estos pasos: •Planteamiento. •Determinación de la región factible. •Determinación de la solución óptima. R L A N T E A M IE N T O
:
Para plantear un problema de programación lineal se debe:
•SOL UCIÓN M Ú LTIPLE: Una solución es múltiple cuando hay infinitas soluciones que corresponden a los puntos del segmento que tiene por extremos a dos vértices de la región factible. •SOLUCIÓN N O A C O T A D A : Una solución no es acotada cuando la función objetivo no tiene valores extremos, pues la región factible es no acotada. •SOLUCIÓN N O FA C T IB L E : Una solución es no factible cuando no existe la región factible por falta de puntos comunes en el sistema de inecuaciones.
| * K O r ; I C 1
4
f Ó *
1 ,0 7 ^ 1 1
2305
' Matemático norteamericano de origen húngaro. Él planteó los fundamentos de la programación lineal y en 1928 publicó su famoso trabajo Teoría de juegos. En 1947 conjeturó la equivalencia de ios problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos.
E D IC IO N E S
K lJ ttM Ñ O S b
positivas de los ejes X e Y. Si se tiene:
x + y * 30 con x * O y*0
Graficando:
lI
I
13 i
OBSERVACIONES PARA EOS PROBLEMAS RESUELTOS Se va a resolver problemas de programación lineal en dos variables cuya in terp retación se va a dar geométricamente. Así tenemos: 1) La gráfica de la función objetivo son rectas paralelas.
4) La in tersección de todas las gráficas de la restricciones es una región plana S , que es un conjunto convexo en r 2 . Yi
..Función fÁ objetivo
Función objetivo
D
X
2) La gráfica de cada inecuación de primer grado (lineal) es un semiplano. Si se tiene x +y<* 30-
Y
3 )Las restricciones de no negatividad (x * 0;y zo) hacen que toda la zona rayada sólo nos interesa la que está en el primer cuadrante incluyendo las partes
5) Cada punto del plano S es un candidato a resolver un problema de programación lineal y se conoce como solución factible. Así entonces, el objetivo, en nuestro problema dado, es encontrar de entre todos los puntos del conjunto S, el punto o puntos que optimicen la función objetivo. Esa solución factible es una solución óptima. O B S E R VA O TO N ES 1) Si un problema de programación lineal tiene una solución, esto debe aparecer en un vértice (esquina) del conjunto factible S , asociado con el problema. 2) Si S está acotado, entonces z = fíx ; y ) tiene un valor máximo o un valor mínimo en S. 3) Si S no está acotado y los parámetros a y 6 son negativos, entonces fíx ; y ) = a x + by. Tiene un valor mínimo de S, si las restricciones que definen a S incluyen las desigualdades x * O; y * O. 4) Si S es un conjunto vacío, entonces el problema de programación lineal en fíx ; y ) no tiene un valor máximo o un valor mínimo.
M5$ i8 o e iSfes
L 1 fiv rirx o y U P M 2 0 /2 ]
función objetivo:
PROBLEM A
z= 3x+ y
E s q u in a d .
1:
z=3(0)+5=5
A(0;5)
Minimizar z = 3 x + y . bÍ—
Sujeta a:
1 2 ) C(3;0)
3x + y £ 5 x + 3 ;y > 3
x£0 y*0 R E S O L U C IÓ N :
z=3(0)+0=9
•Sea P = 3 x + y lo que se debe minimizar. Luego: El mínimo de P es 5 y recae en las esquinas A y B a lo largo del segmento A B . NOTA
La fu n ción ob jetivo es un a fa m ilia d e recta s qu e
Para resolver éste problema de programación lineal en dos variables aplicaremos el m étodo d e los vértices o d e las esquinas , que en general se enuncia a s í: Sea la función objetivo: flx ; y ) = a x + by. Luego se ha de realizar los pasos siguientes: 1) Graficar el conjunto factible. 2) Hallar las coordenadas de todas las esquinas (vértices) del conjunto factible. 3) Evaluar el conjunto objetivo en cada esquina. 4) Hallar el vértice que nos proporcione el máximo o mínimo de la función objetivo.
Sujeto a las siguientes restricciones:
NOTA
R E S O L U C IÓ N :
SI existe un sólo vórtice con las características anteriores, este constituye una solución única al problema.
I) De las restricciones:
son p a ra lela s a l segm en to Á B • PROBLEM A 2 :
Maximizar z = 2 x +10y.
x + y < 30 x-3y < 0 x>0 y > 0
x + y < 3 0 hacemos
L jt x + y = 3 0
x - 3 y < 0 hacemos
L2: x - 3y = 0
X > 0
hacemos
L3: x =0
Graficando las rectas:
y £0
hacemos
L4: y = 0
•L2:3 x :+ y = 5 •L2: x + 3y = 3; c o n x £ 0; y > 0
II) Resolvemos gráficamente el sistema de inecuaciones formado, para ello graficar las rectas: L¡, Lr Ls y L 4YkL
SI la función objetivo se mantiene o minimiza en dos esquinas adyacentes de S, entonces existe una Infinidad de soluciones al problema dado que se optimiza en todos los puntos de segmento de recta que une estos vértices.
Y xzr L,
A(0;30)
B(45I2;15I2)
;
b X Cálculo del punto B: 3 ( x 0; y 0) = L¡ n L2 Resolviendo el sistema formado: 3 x=— Sx+y=5 2 B(x. 1 x+3y=3 y=2 Reemplazando las coordenadas de las esquinas en la
III) Calculo del punto B: B(xa; yQ) = L. n L 2 R esolviendo: í 45 (L¡ : x + y = ,30 1 2 15 \l 2 : x - 3 y = 0
y=
B (xQ ; y Q) =
45
[p H
o
M ü
7 ¿ IL 1 7 M C 1 I> J V
íaor
IV) Reemplazar las siguientes coordenadas de las esquinas en la función objetivo:
K 1 H C IO X E S
lllUSM XOS)
de 4 lados. III)VERDADERO: El valor óptimo es 5. RPTA : “ D ”
Esquina \
z=2x+10y
PROBLEM A
4 :
O(0;0)
z=2(0)+l0=0
A (0;30)
z = 2 (0 )+ 1 0 ( 3 0 ) = 3 0 0
Determine los valores óptimos de la función objetivo z = 3x + y sujeto al conjunto factible S. Yk
■■'(t H t )-* V) El máximo de z es 300; cuando x = 0; y = 30. PROBLEM A
3 :
(0;2)
Al maximizar: x + y ; x ,y e jt sujeta a las siguientes condiciones: 2x+3y^6 2x+ y < 6 01
y <4
R E S O L U C IÓ N :
x^O y*0 Indique la alternativa correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I) Los puntos (2;2) y (4;1) pertenecen a la región admisible.
Se puede observar en la gráfica que los vértices (esquinas) son puntos de intersección de cierto sistema de ecuaciones. Vamos a evaluar la función objetivo en cada esquina:
Esquina"Ss. z = 3 x + y
//) La región admisible es un polígono de cuatro lados. III) El valor óptimo es 5 . A) V V F B) V V V D) F V V E)FVF
(LO)
C IV FV
A (0;2)
z = 3 ( 0) + 2 = 2 (m in im o)
B (l;3 )
z=3(l)+3=6 z = 3 ( 4 ) + 0 = 1 2 = (m á x im o ) z =3(1)+0=3
C (4;0) D (1 ;0 )
R E S O L U C IÓ N :
• Graficamos las restricciones : . y 1
Así tenemos que los valores óptimos de la función objetivo z = 3 x + y. Son: z (m áxim o) — 12 z (m ínim o) = 2 PROBLEM A
5 :
Minimizar z = 2 x + 3 y Sujeto a : x + 2 y > 8 ; 2 x + y z 7 ; 4X+5y<29 ; x * 0 ; y > 0 reg ió n a d m isib le
A) 15
B )ll
D )2 1
E )3 2
013
R E S O L U C IÓ N :
• Gráficando : /
2x + y - 6 •Evaluamos en los vértices del polígono : (0; 2) => x + y =2 (0; 4) => x + y = 4 (1; 4) => x+ y= 5 (m á xim o)(óp tim o) (3; 0) => x + y = 3 •Del gráfico obtenem os: I) FALSO: (2;2) Pertenece a la región admisible. W VERDADERO: La región admisible es un polígono
ky
(P1 : x + 2 y = 8 : 2x+y=7 4x+5y=29
Región factible
c
1A EXCMCJf-*>im EOL\ 2012)
w m is o a R E S O L U C IÓ N :
fm Ufo-* ^ rá mínimo en P .
♦ Graficando adecuadamente, así :
* Calculando P : Tjr\3P2 x+2y=8\ 2x+y=7j ♦Luego:
+
x=2
¡3 x + 3 y = 1 5 x+y=5 a
fm
5
y=3
ZMÍM“ z (2;3) “ 2(2) + 3 (3 ) - 1 3 CLAVE: “ C 19 PROBLEM A
6
:
Maximizar la función :
Z = f(x¡pc2) = 4 x I + 3xs
sujeta a las restricciones : 30xI+20xi <, 1800 ; x l+xs <, 80 A) 260
B ) 200
C )230
R E S O L U C IÓ N :
♦Restricciones:
X x *0 a x £ 0 * ^a solu ción óptim a se en cu en tra en P e f m ; 1 2 (cualquiera otra recta paralela a f Qque pase por la D) 290 E) 210 región factible contiene puntos de esta donde f tomará valores menores que en P ) . Calculando P : x+2y=6
Xt+xo ^ 80 a x
15
„
(1 2
15}
*=T ’ 5"=T
5x+3y=15
30xt +20x 2 ^ 1800 Xj * 0
12
*
2 ^0
, 24 45 69 = * f^ -T +T - Y
♦ Graficando: *x
RPTA : “E ” PROBLEM A
» B=(20;60)
8
:
A continuación se muestra 4 regiones en el plano XY indique cuál(es) de ellas representan la región tangible de un problema de programación lineal bidimensional. r Y
A)
B)
*
\
\ i *En
A =(0;80): f,AI= f(0!so^240
♦En
B = (2 0 ;6 0 ): f(B)~ f (20¡60)= 260
C)
♦En C =(60;0): f(c>= fteo ,-o)= 240 ♦ Luego: ZMÁX=260 RPTA PROBLEM A
7
U A
:
A)1
x+ 2 y < 6 5 x + 3 y 5 15 ix * 0,-y > 0 B)9
C) 2
E)A ó C R E S O L U C IÓ N :
Determine Max (2x+3y)
Sujeto a :
9
D)10
E)69f7
♦ En programación lineal bidimensional (en R 2) cuyas restricciones son inecuaciones de primer grado , las cuales forman regiones delimitadas por segmentos de rectas, entonces solo es posible que A y C sean regiones factibles en estos problemas . RPTA : “E ”
ÍI»K
#>f
X€ : t l + V
;
PROBLEM A
Í&E3 1 8 0 9 1|(a»
I v l . VM'ltlg.
9 :
E lU C IO X E S
PROBLEM A
Una fábrica produce cám aras fotográ fica s convencionales y digitales. Se obtiene un ingreso de SI.400 por cada cámara convencional y SI.700 por cada digital. En un día no se pueden fabricar más de 300 cámaras convencionales ni más de 200 digitales ni tampoco se pueden producir más de 400 en total. Si logra vender toda la producción del día. ¿Cuál es el número de cámaras de cada clase que conviene fabricar para obtener un ingreso máximo? R E S O L U C IÓ N :
Planteamiento del problema. Sea: •x : número de cámaras convencionales • y: número de cámaras digitales i) Se pide maximizar el ingreso: I = 400x + 700y las restricciones según datos son: x ¿ 300 y <2 200
M SVieiXOS)
10 :
Determine el máximo valor que asum e: f(x& ) = 2 x + y Sujetoa: y < x +2 ; y < - x +3 x ^ O /\ yt0 A )2
B)18
C )ll
D )2 9
E) 6
R E S O L U C IÓ N :
* Se desea el máximo de f( x ^ ) = 2 x + y y
* Graficando :
Donde: x > 0 1 condición de y > 0 Jno negatividad ii) Graficando la región factible S . Y solución óptima. x+y=400
*
será máxima en (3 0 )
fmá* = ff3 ;0 )= 2 (3 )+ 0 = 6 RPTA
y =200
P R O B L E M A 11 o
:
Sea f :R =>R una función definida por f(x& ) = -3 # + y • Determine el punto de la región convexa mostrada en la figura , donde f alcanza su mínimo. ¿¿¿/Cálculo de las esquinas (vértices): A (0; 200) B (200; 200) C(300; 100) D (300; 0) 0 (0 ; 0) iv ) Evaluar la función objetivo en cada esquina:
E sq u in lt\ I= 400x+ 7 00y A(0;200)
1= 400(0)+ 700(200)=140 000
B(200;200) 1=400(200)+700(200) =220 000(*) C(300; 100) 1=400(300)+700(100) =190 000 D(300;0)
1=400(300)+ 700(0)=120 000
0(0:0)
1= 400(0)+ 700(0) =0
V)Se concluye que se deben producir 200 cámaras convencionales y 200 cámaras digitales para así obtener un ingreso máximo de SI. 220000.
(2;3) B ) (2;0) A)
C) (0;3) D) (G;4) E) (4 ,* ) R E S O L U C IÓ N
( Aplicación de fórmula o teorema Tenemos: (0; 3), (6; 4), (1; O), (0; 0) los vértices de la región poligonal con vexa. La fu n ción objetivo f(X;y) =
+ y puede alcanzar su minímo valor en los
vértices (0;3) , (6;4) ó (1;0) de la región convexa. Evaluando en estos puntos se tien e: f(0;3} = 3(0} + 3 = 3 f<6;4) ~ -3 (6 )+ 4 = -14 f(l;0) ~ -3 (1 )+ 0 = -3 ♦Entonces su mínimo valor es -14 y este se da en el punto (6;4). RPTA : “D ” PROBLEM A
12 :
Sea F ( x ¡f x s) = a x J+ b x í , la función objetivo del problema P. * P : minimizar F(x1, x 2) sujeto
IA
£ Y
( 7 f x o
l1
2012]
♦ Por lo tanto: a + b = 6 R PTA; “ C ” PROBLEM A
13
:
Dadas las siguientes proposiciones respecto a la programación lineal: I) Las restricciones de desigualdad son polinomios de primer y segundo grado II) El punto óptim o se encuentra en la región admisible. III) La región admisible contiene puntos , los cuales tienen alguna de sus coordenadas valor negativo Son correctas: A) Solo 1 B) Solo III C) Solo II D) Solo I y II E) Solo II y III R E S O L U C IÓ N :
♦ De acuerdo a la forma general de un problema de programación lineal en dos variables : m á x (m ín) f fx;yJ=CjX + C2y
A) 2
a n x + a í2y < bj
B) 4 C) 6 D) 8
a 2lx + a 22y < b2 a 31x + a ^ y < b3 Restricciones:
E) 10 a nlx
+ a n2 y ^ b n
variables de decisión : x ; y >0
R E S O L U C IÓ N :
* Dado que el lado CD de la región admisible S es solución del problema P , podemos tomar cualquier punto del segmento CD y reemplazarlo en la función objetivo F ( x I, x í ) = a x t + b x 3 . Así tom ando los extremos C y D , y evaluamos * Para: C = (4 ; 3), resulta F (4; 3) = 4a +36 y * Para: D = (2 ; 5) , tenemos F (2; 5) = 2a +56 * Dado que el valor óptimo de F está entre 20 y 25; =>20
♦luego: I) FALSO : pues las restricciones de desigualdad son funciones lineales. II) VERDADERO ; pues la región admisible se ubica en el 1‘“‘cuadrante (incluyendo los ejes coordenados); en esta región se encuentran las soluciones admisibles y obviamente se encuentra él punto óptimo. III) FALSO : pues ninguna solución admisible tiene coordenadas negativas. RPTA : “ C ”
=>20
a
2 0 < F (2 ; 5) <25
PROBLEM A
=>20< 4 a + 3 b < 25
a
20<2a+5b<25
Considere el problema : maximizar z = 3 0 x j+ 2 0 x s. Sujeto a las restricciones x 2 < 60
* Luego: 20<4a+36<25 20<2a+5b<25
<=>
0 0 < í2 a + 9 < 7 5
20<2a+5b<25 8 0 < I 4 a + I 4 6 < 100
40 , 50 =s> — < a + 6 < — 7 7 * Entonces, los valores de (a + b ) están en el intervalo 40 50\ 7
; 7/
14 :
x2
<75
IO xj + 8 x 2 < 800 x2¿ 0 x2 ¿ 0 Dadas las siguientes proposiciones problema.
referidas al
[P H O C IL Ü > fclf : / 0 *
E D IC IO N E S
7) No existe región admisible
R E S O L U C IÓ N :
77) El óptimo se da en el punto (6 0 $ )
* De acuerdo al problema tenemos:
III) Una solución factible es el punto (0;75)
maximizar z = f ( x ¡ ; x 2 ) = x 1+ l , 5 x 2
Son correctas: A)SoloI B jS oloII R E S O L U C IÓ N :
M U D IÑ O S )
2Xj+ 2x 2 S 160 C)Solo III D )I y II E)ÍI y III
x,+ 2xs £ 1 20 sujetoaj 4x,+ 2xg ú 280
* Sea: ( x y ) = ( x 2pc2) t piden maximizar Z =30xJ+ 20xs sujeto a las siguientes : fx¡s x ¡ s 75
x l * 0 t x2 7:0
* Luego la región admisible es: Y2
restricciones-í 10xM+ 8xs £ 800 Xj*0 ;x2 * 0
4x ,+2 x9=280
* Al graficar las restricciones tenemos:
t=120
x ¡+ x 2-8 0
* Se observa que existe la región admisible. • Entonces , evaluando en los vértices para hallar la solución óptima se tiene que: f{ 0; 60)= 90 fl40; 40)=100 f(60; 20)=90 f(70; 0)=70
z = f ( x 1; x 2 ) = x I + 1 . 5 x g la solución óptima es (40:40)
* Luego todos los puntos (x} \x2 ) que pertenecen a la región factible se llaman soluciones factibles. Ahora , para hallar el punto óptimo , debemos evaluar la ^ * V, -a *> función Z en los vértices. ¿ V* (0;0) Z=0 ' • y (0;75) => Z=1500 vi * * \ < s' (20:75) => Z=2100 if (60;25) => Z=2300(máx) => (60;25)
Minimizar la función f ( x y ) = 2 x + 8 y sometidas a las restricciones:
es la solución óptima. (60;0) => Z=1800
A)2 B)1I5 R E S O L U C IÓ N :
* Son correctas sólo III R P T A :“C”
PROBLEM A
2 x + 4y > 8 x*0;y*0
2 x ¡ + 2 x 2 Zl60 4 x ¡+ 2 x 2 £280
problema maximizar
; x 2+ 2 x 2 £ l 2 0 ;
x 1* 0 ; x 2 ^0
a
:
2 x —5 y
0a
C)1I
—
x +5yú5
D) 104/9
E) 177/5
* Sujeto A:
2x + 4y * 8 2x - 5y <.0 - x+ 5y <* 5 x * 0 ; y *0
* Graficando adecuadamente así
Indique la secuencia correcta después de determinar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. 7) No existe región admisible 17) El óptimo es el punto (60;20) III) Una solución admisible es el punto (40;40) A ) V V V B ) F F V C) V F V D) V V F
16
* Se desa minimizar : f ^ - z x + s y
PROBLEM A 15 : En relación al siguiente Z = X j + l , o x 2 sujeto a:
RPTA : “B ”
E) V F F
; t
BM f 0: 2 x + 8 y = 0
íb j h
L t h’j\rc ii J.ni’t:ulA 2012)
UM
; f m/lf0
* luego f será mínimo en P e f m. Calculando de P . [2x-5y=0 20 8 { ~+ x = — 1y= — [2x + 4y=8 9 9 •entonces : f ^ f ^ a y 2
)
+s(f)=
10419
RPTA : “D ” PROBLEM A 17 : MaximizarZ(x ;y ) = 3 x + 2 y Sujeto a las restricciones; x+ y £ 2 A)0
; x > 0 ,7 > 0 B)3
C)-2
D)-3
E)-4 R E S O L U C IÓ N : •Restricciones :
♦ La solución óptima se encuentra en el punto P e f m. C a l c u l a n d o l as coor den adas d e P .
x + y = 80
P eSf¡n^f2 -►x+ 2(x+y)=180 - 4 x= 20 A y=60 4 P=(20;50)
fx+y£i { x £ 0 A y £0
Z*Ax = ZíiOeeo^ 4 (2 0 ) +3(60) => Z ^ =260
•Graficando éstas rectricciones.
RPTA : “E ” PR O BLEM A 19 : Maximizar f ( x y ) = x + y ; s i: { x + y £ 150; y ^ ^ ; ; X 'Z .20 y * 4 0 ; x y e Z*
A) 150 B)100 E)190 R E S O L U C IÓ N :
♦En A = (0 ;1 ): Z (Aj= z (0;I)=2
OUO
D)180
♦Graficando las tres primeras restricciones :
•En B=(J;0J; Z fB) = z fIj0) =3 ♦Veamos , a lo largo de AB , donde se encuentran las condiciones extremas del problema , se tiene que : 2 * Z(xiy) ^ 5 a como Z(xjyf es lineal. ^Z>máx~ 2 RPTA : " B " PROBLEM A
18:
Determinar el máximo valor de f ( x y ) =4 y +3y (x;y)e‘ A)210
la
expresión :
(x ; y ) e R * 130x + 20y £ 1800 x + y £ 80 ; x > 0 ; y £ 0 B)240
C)250
E)260 R E S O L U C IÓ N : ♦Se pide maximizar : • Restricciones:
f ( x ; y)= 4 x + 3 y
D)200 Be
B =(100;50)
C e ^ n ^ -
C = (U 0;40)
♦Luego:
f (A) f(80 i 40) =
3 0 x + 2 0 y £ 1800 x + y £ 80
x ZOAy ZO
f(C)~f(l 10;60)-122
fhSÁX-l5 ® RPTA : “A ”
BB!
[ P W Q G I L W lt y O iV PROBLEM A
20 :
CfO~C(jíO:60)-1200
Determine el máximo valor de f ( x y ) = 3 x + 6 y , tal que: AJ48
x +y ¿8
B)30 040
y 2x + — <8 2 x > 0 ;y > 0
D)238
;
K V H IÑ O S ]
C(D) “ C(3oo ¡O)-* 800
* De donde : c ^ ^ i u o RPTA : "C 99 PROBLEM A 22 : Maximizar Z = 4 x + 6 y . sujeta a :
E)60
x+3y<6 ;3x+y<8 ;xzO;yzO D)13 A) 33/2 B)10 012 R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
•Graficando:
E D IC IO N E S
L
Z=4x+6y=2(2x+3y)
U fo
• Restricciones :
fo
E) 17/2
x+ 3y £ 6 3*+y2S x ^ O A y *0
f será máxima en P = ( 0 ; 8) •Luego : fmáx= ff0!a,=8 (0 )+ 6 (8 ) f máx= * 8 RPTA : “A ” P R O B L E M A 21 : Minimizar: C(x& ) = 6 x+ 8 y , sujeta a las restricciones 40x+10 y >2400 ;1 0 x+ 1 5 y >2100 5x+15y>1500; x > 0 ; y > 0 A)2200 B)1120 C)1140 R E S O L U C IÓ N :
D)1800
C(x& ) = 6 x + 8 y = 2 (3 x + 4 y ) Restricciones:
40x + 10y>2400 10x+15y>2100 5x+15y>1500 \ x>0Ay>O
E)1220 fe .
Los valores extremos de la función se encuentran a lo largo de la frontera ABC, puesto que f e s lineal. Para hallar el máximo de f sólo basta evaluar ésta en los puntos A ; B y C . El mayor valor entre ellos será el máximo de f . * E n : A —(0 ;2 ): Z ^ —ZfQ^—12
Graficando: En
En
(Mí Z(c)=Z
IM'
33 2
32
3
RPTA : “A ” PROBLEM A
B=(30;120) C e y 2 n y a -> C=(120;60) •Luego: UÍAJ=CfO;MW= i9 2 0 ; C(BI*'C{30{120)“ 1140
23 :
Beatriz tiene 80m*de tela de algodón y 120m* de tela de lana . Un traje requiere Jm2de algodón y 3m2 de lana; y un vestido de mujer requiere 2m 2de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar Beatriz para maximizar los beneficios; si un traje y un vestido se venden al mismo precio.
A) 20 trajes y 30 vestidos B ) 20 trajes y 18 vestidos
IB L is m is M Sujeto A : x2:0Ay¿0 Hora en maquina I : 2x+y<180 Hora* en maquina I I : x+3y < 300
O S5 trajes y 26 vestidos D) 15 trajes y 30 vestidos E) 27 trajes y 40 vestidos R E S O L U C IÓ N :
* Haciendo un cuadro(tabulación) con los datos: Traje Vestido 1 2 3 2
Algodón Lana • Sean: x : # de trajes
• Grafícando: y 280 GJIG,
m 80 120
; y : # de vestidos
x + 2 y < 80
* Restricciones:
300 X
3 x + 2 y < 120
G, será máxima en P , cuyas coordenadas so n :
x^.OñyZ.0
2x+y=180 x+3y=300
• Si k es el precio de cada prenda, entonces la función objetivo será. f(X;y) ~ k te+y)
x=48,y=84
=>La ganancia será máxima cuando se produzcan : 48 piezas del tipo A y 84 piezas del tipo B . R P T A : “A ” PROBLEM A 25 : Priscilo tiene 24 Ha en la que puede sembrar cebada o maíz. El calcula que tiene 40 horas de trabajo disponible duranté la estación crucial de verano . Dados los márgenes de utilidad y requerimientos siguientes : M a íz:
f tomará su máximo valor .E n P e f.
Trabajo: 2 hrs por Ha .
•calculando las coordenadas de P . x+2y=80 x=20 a y=30 3x+2y=120 1
C ebada :
Utilidad: $30 por Ha . Trabajo: 2 hr por Ha .
* Se deben confeccionar. 20 trajes a 30 vestidos RPTA : “A ” PRO BLEM A 24 :
Ü2VZTOI7R-S.A. requiere producir dos clases de recuerdos de viaje: del tipo A y B.Cada unidad tipo A producirá una ganancia de $0,8. Para fabricar un recuerdo tipo A se necesitan dos minutos en la máquina I y 1 minuto en la máquina I I . Un recuerdo tipo B requiere 1 minuto en la máquina I y 3 en máquina II. Hay 3 horas disponibles en la máquina I y 5 horas disponibles en la máquina I I para procesar el pedido. ¿Cuántas piezas de cada tipo débe produ cir UNITOUR-SA. para maximizar la ganacia? . A)A=48 ; B=84 B)A=60 ; B=32 C)A=65 ; B=42 D)A=72 ; B=50 R E S O L U C IÓ N :
* Sean
Utilidad: $ 4 0 por H a.
x : # piezas de tipo A . y: # piezas de tipo B.
* Sea G , la ganancia obtenida tal q u e: Gfx¡y¡= x+ 0 ,8 y
¿Cuántas hectáreas (H a) de cada cereal debe plantar para maximizar su utilidad? A)600 B)880 C)400 D)7600 E)180 R E S O L U C IÓ N : • Sean: x : # Hectáreas de maíz ; y : # Hectáreas de trigo •La utilidad [j (función objetivo se d a . \J(xfy)=40x+30y * Restricciones :
x+y < 24 Terreno: Horas de tra b a jo: 2x+y < 40 x '¿ .O a y £ 0 Además:
[p
:f i + v ^
k
v i^ í l
r
U será máxima en P , cuj'as coordenadas son : x + y = 24 2x+y=40
191* ♦ Luego:
x = 1 6 ;y = 8
93
Luego: l7MXx = U a 6 .^ = :4O (26)+ 30W = 8S 0 RPTA : “D ” PROBLEM A 28 :
En los Olivos , se van a construir casas de dos tipos : nivel I y nivel I I . La empresa constructora dispone de $ 1800 000 , siendo el costo de cada tipo de casa $ 30 000 y $20 000 respectivamente. La municipalidad exige que el número total de casas no debe superar a 80. Sabiendo que el beneficio por la venta de una casa n ivel II es de $4000 y por n ivel I $3000. ¿Cuántas casas n ivel /deben construirse para obtener el máximo beneficio? A)10 B)60 C)50 D)90 E)100 R E S O L U C IÓ N :
9$C } (60;0)=1000(240) =240 000 ♦ El máximo beneficio se obtienen en cuando se contruyan : 20 casas n ivel I I a60 n iv el I RPTA : “B ” PROBLEM A 27
:
Un club social encarga a una empresa de trasporte el viaje para llevar a los 1200 socios a ver la final de su equipo, la empresa dispone de autobús de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada viaje en el autobús es de 252 dólares y el del viaje en microbús de 180 dólares . Sabiendo que la empresa dispone de 28 conductores. ¿Cuál es el costo máximo del viaje? A) 6125 B) 6000 C) 6002 D) 70000 E) 6336 R E S O L U C IÓ N :
♦ Sean x : # de casas n ivel I I
♦ Sean:
y : # de casas n ivel I A El beneficio
KMPICMOXMCS n U lllÁ TOS\
x : # de autobuses.
5 3 ^ :
9g(x . y)= 4000x+3000y= 1000(4x+2y)
y : # de microbuses . 9 En costo K del viaje será :
♦Restricciones:
K(x;y)=252x+180y
♦ Sujeto a las restricciones :
30000x+20000y 5 1800 OOfr x+y 5 80 x*0Ay*0 •
1
♦Las cuales , piden quedar a sí;
1
N 9 conductores: N 9 aficionados:
Además:
a
x +y < 28 50x+30y < 1200 x>0A y>0
í>
3x+2y 5 180 x+y 5 80 AX* 0 s > y * 0 Graficando:
♦ Calculando las coordenadas de P . x+y=28
50x+30y=1200
x=18 Ay=10
i
♦ Luego :
Kmáx = & ( 18,-10)
K máx=252(18 )+ l80(10)=6336 RPTA : “E ”
U E X C tC J M mE D L \ 2 0 1 2 ] B ia ig lS B r PROBLEM A 28 : Soles) B) 200 C) 520 D) 880 E) 320 Una microempresa se especializa en vender dos tipos A)Sf.l60 de artículos A y B . Si 44x ” representa la cantidad de R E S O L U C I Ó N : artículos producidos deí tipo A , 44y “ representa la ♦ Sean; x : # artículos magnéticos. cantidad de artículos producidos del tipo B sujeta a: y : # artículos eléctricos 2 x+ y< 8 ;2 x + 3 y <12 aLs unidad u, definida p o r: \J(x;y)=4x+6y=2(2x+3y) Determine la utilidad máxima kj si está dada p o r : \ j(x y )= (3 x + y )x 2 0 0 dólares A)$300 B)$800 C) $200 R E S O L U C IÓ N :
♦ De la tabla , extremos las siguientes restricciones : 0)9000
E)$2400
K j(x,y)= 2 0 0 (3 x+ y) 2x+y<8 ♦Restricciones:
M á q u in a A
2 x + y <180
M á q u in a B
x + 2 y < 160
M á q u in a C
x + y <100
A d em á s:
¿0
2 x + 3 y < 12 x+ 0 A y¿ 0
♦Graficando:
B = (3;2) ♦ Calculando las coordenadas de Q y R , se obtiene: Q=(40 ; 60) a R (80 ; 20) ♦ Luego: \J
u (q ñ Uí4O;«w=2 r80 + i$ 0) =520
U(A)~ VfOtéi-2 0 0 (0 + 4 ) = 8 0 0
Uflü=U (ao.20)=2(160+60)=440
u (B)= v (3 ;S)= 2 0 0 (9 + 2 ) = 2 2 0 0
UfS;=U<9Q!0)=2(180+0)=360 => (Jm¿x =520
u ,c>= \j(4 ;OÍ= 2 0 0 (1 2 + 0 ) = 2400
=>La utilidad máxima es : \j
RPTA : "C ” mjx =2400
dólares
PROBLEM A
30 :
RPTA : “ E 99 Santillana SA. planea utilizar una sección de planta para producir dos libros de texto. La utilidad unitaria PROBLEM A 29 : es de S/J2 para el libro 1, y S/.3 para el libro 2. El UNIjCOMPANY produce dos tipos de artículos texto I requiere 4h para su impresión y 6h para su mecánico y eléctricos mensualmente cada uno requiere en cu adern ación . El texto 2 requ iere 5h para para su fabricación del uso de tres máquinas A ; B y imprimirse y de 3h para su encuadernado.Se dispone C. En la tabla adjunta se muestra la información de 200 h para imprimir y de 210h para encuadernar relacionada con la fabricación de estos tipos de . Determine la máxima utilidad que puede obtener. artículos. A)S/.120 B) 180 C) 100 D )U 0 E) 1000 U tilid a d i R E S O L U C IÓ N : B C A U nidad
M ecá n ico
2h
Ih
Ih
S i .4
E léctrico
Ih
2h
Ih
S / .6
M á x. d e h o ra » d iip o n ib les
180h
160h
10 0 h
Se sabe que la compañía vende todos los atículos que produce. Determina la utilidad máxima mensual ( en
♦ Haciendo un cuadro de datos :
Texto 1 Texto 2 Horas 200 4 5 Impresión 3 210 6 Encuadernar ♦ Sean :
x : # de unidades del texto I
JLMN&AJL
IffiB Q sy rZ M S * Graficando:
y : # de unidades del texto 2
e iu c io x e s
m
itiN o s )
* Restricciones: 4x+5y¿200; 6 x + 3 y ¿ 2 1 0 \X £ 0 A y * 0 * Función objetivo : Uf *
j —2 x +3y
CU (PI= CU lo.4m =10(3;480) = 14 400 c lC(Q)= c l ¿ (32O;, 6OI=10(1280+ 480) = 1 7 600 4 x + 5 y = 200 6x+3y=210 * Luego :
= U(2Si¡t0} = 2(25) +3(20)
Trabajo : 2 horas por hectárea Utilidad : $30 por hectárea
R E S O L U C IÓ N :
Trabajo : 1 hora por hectárea
♦ M ATEM ATIZACIÓN D EL PROBLEM A : MAYORISTA MAYORISTA Necesidades A B minimas Naranjas 16cajas 8 2 Plátanos 1 l 6 cajas Manzanas 20 cujas 2 7 ISOKm 300 km Distancia
P R O B L E M A 31 : La universidad de la selva tiene 480 hectáreas en la que puede sembrar yuca o café . Se calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial de verano. Dados los márgenes de utilidad y los requerimientos laborales que se adjunta.
café :
Utilidad : $40 por hectárea
¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima? A)17600 B)18000 C)19200 D)12210 E)24200 R E S O L U C IÓ N : * Sean:
4fA »»
Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de m anzanas. D os m ayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades , pero sólo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 2 de plátanos y 2 demanzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas , una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300km , calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista , con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.
RPTA : “D ”
:
RPTA PROBLEM A 32 :
U MÁX= 1 1 0 soles
yuca
=17600
x : # Hectárea de maíz
y :# Hectárea de trigo * La utilidad
: c L L (x ;y )= 4 0 x + 3 0 y = 1 0 (4 x + 3 y )
* Restricciones : Terreno ; x+ y ¿ 480 Horas de tra b a jo : 2 x+ y ¿ 800 Además: x ^Oa y ¿ 0
* VARIABLES INSTRUMENTALES : Llam am os x : al núm ero de contenedores del mayorista A Llamamos y : al núm ero de contenedores del mayorista B ■ * FU N CIÓN OBJETIVO (M inim izar) f(x ty ) = 150x + 300y
IA
EN iu
x
2012]
• PUNCIÓN O B JE T IV O (M IN IM IZ A R ) í
* RESTRICCIONES 8 x + 2 y fe 16
f(x,y) = 150x + 200y
x +y * 6
• R ESTRICCIO N ES í
2x + 7 y t 2 0 xZ .0;ytQ
* REGIÓN D E SOLUCIONES FACTIBLES
x + 2 y *7 0 2x+2y * 130 4x+2y * 150 x*0;y*0 • R E G IÓ N B E S O L U C IO N E S F A C T IB L E S í
Observamos que el mínimo se alcanza en el punto R(3;2) (solución óptima)Por tanto el frutero solicitará 3 contenedores del mayorista A y 2 contenedores del mayorista B. PROBLEM A
33 :
Una compañía tiene dos minas : la mina A produce diariamente 1 tonelada de carbón de antracita de alta calidad , 2 toneladas de carbón de calidad media y 4 toneladas de carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. La compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad , 130 de calidad media y 150 de baja calidad . Los gastos diarios de la mina A ascienden a 150 dólares y los de la mina B a 200 dólares. ¿Cuántos días deberán trabajar en cada mina para que la función de coste sea mínima? R E S O L U C IÓ N :
• MATEMAT1ZACIÓN D EL PROBLEM A M in a A
M in a B
N ecesid a d es m in im a s 130
B aja
4
2 2 2
70
M edia
1 2
150
C oste
d ia r io
150$
200 $
A lta
El mínimo se obtiene en el punto R (60;5) es decir, la compañía debe trabajar 60 días en la mina A y 5 días en la mina B para que el coste sea mínimo. * VALOR DEL PROG RAM A L IN E A L : Como la función objetivo es f ( x y ) = 150x + 200y el valor del programa lineal (gasto) es ; f í x y ) = 1 5 0 x6 0 + 200X 5 = 10 0 0 0 $ diarios. PROBLEM A
34
:
Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas , hidratos de carbono y grasas son , respectivamente , 3 ; 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando dos productos A y B , cuyos contenidos por Kg son los que se indican en la siguiente tabla: Proteínas
Hidratos
Grasas
Costo/kg
A
2
6
1
600
B
1
1
3
400
*VARIABLES INSTRUMENTALES :
a ) ¿Cuántos Kg de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo?
Llamamos *: alnúmerodedíastrabajadosenlaminaA I osy :alnúmerodedíastrabajadosenlaminaB
b) ¿Cuántos Kg de cada producto deberíamos comprar si el precio de A subiera a 1000pts/Kg ?
.la m a n
[ r it o r ; k ,it lio < > íV
BgBa l a i a l f f l B i _______________ f llllC IO A T S
B U B IÑ O S )
R E S O L U C IÓ N :
PROBLEM A 35
* MATEMATIZACIÓN D EL PROBLEM A :
En la elaboración de un producto A se necesita una sustancia fí. La cantidad de A obtenida es menor o igual que el doble de f í utilizada , y la diferencia entre las cantidades del producto fí y A no supera los 2g mientras que la suma no debe sobrepasar los 6g. Además se utiliza por lo menos I g de fí y se requiere Ig de A. La sustancia A se vende a 6 millones y la B cuesta 4 millones el gramo. Calcular la cantidad de sustancia fí necesaria para que el beneficio sea máximo.
A .
B
Necesidades
Proteínas
2
1
8
H idratos
6
1
12
Grasas
1
3
9
600
400
Goste
• V A R IAB LES IN STR U M E N TA LES í Llamamos x : al número de Kg. usados del producto A Llamamos y : al número de Xg. usados del producto B • FUNCIÓN O B JE T IV O (M IN IM IZ A R ) Z f ( x y ) = 600* + 400y
* RESTRICCIONES
Z 2x+yZ8 6x+y*12 x + S y 'í 9 x ¿0 ;y ¿0
*REGIÓN B E SOLUCIONES FACTIBLES •
:
R E S O L U C IÓ N :
* V AR IABL E S IN ST R U M E N T A LE S Z Llamamos x a la cantidad de sustancia A Llamamos y a la cantidad de sustancia fí * • FUNCIÓN O B J E T IV O (M A X IM IZ A R ): f(x ;y ) = 5 x + 4y • R E S T R IC C IO N E S x £ 2y y - x <,2
y+
x£5
x^Lyzl ■3
* R E G I Ó N B E S O L U C IO N E S F A C T I B L E S Z
f * SOLUCIÓN F A C T IB L E Ó P T IM A Z Todos los puntos que forman la región F son soluciones factibles , y por paralelismo con la recta de beneficio nulo f vemos que R(3;2) es el punto mínimo. Por tanto , deben comprarse 3 kg. de A y 2 kg. de fí para que el gasto sea mínimo. • VALOR
D EL
P R O G R A M A LINEAL Z
Cuando la función objetivo es f ( x y ) = 600x+400y el valor del programa lineal (gasto) es 2600 p ts . Si la función objetivo es f ( x y ) = lOOx + 400y la solución óptima está en el punto Q (1; 6) y el valor del programa lineal (gasto) es 3400p t s .
Se encuentra en el punto Q(10/3;5I3) , es decir la cantidad de sustancia B para que el beneficio sea máximo debe ser 513 g . PROBLEM A
36 :
Se considera la región del plano determinada por las inecuaciones: x + 3 Z y ; 8 Z x + y ; y x - 3 ; x ^ . 0 ; y '¿O
•LU
c a)
¡ A FN C tiJ.w LV iA 2(H¿¡
Dibujar la región del plano que definen, y calcular de las 3000 toneladas.- x +y <3000 sus vértices. La función objetivo que da el beneficio en miles de soles b) Hallar el punto de esa región en el que la función y que hay que maximizar viene dada por: F(xy) = 6x + 4y alcanza el valor máximo y calcular f(xty) = lOOOx + 1500y dicho valor. Representando las rectas : x = 2000; y = 2000 , R E S O L U C IÓ N : x + y —3000 correspondientes a las fronteras de las a) Hay que dibujar la región factible correspondiente. restricciones obtenemos la región factible: Para ello vamos a representar las rectas : x=2000 YI x -y =-3 ;x + y =8 ;x -y =3
La región factible es la determinada por los vértices OtA ,B ,C y D. Las coordenadas de los vértices son:
\
o\ \ c
y =2000
A (3$);B (5x5;2x5); C (2 x 5 ;5 x 5 ) ;D (0 ;3 )y 0 (0 $ ). O
x+y=3000
Donde los vértices obtenidos son : A(2000t;0);B (2000; 1000) ;C(1000;2000J #D (0;2000) y 0 (0 ;0 ) .
Al sustituir sus coordenadas en la función objetivo /resulta: f(A) = 2000 millones de soles.; f(B) = 3500 millones de soles; f(C)=4000 millones de soles ; f(D) = 3000 millones de soles y f(0)= 0 soles. b) Para
determinar dónde la función objetivo F(xtf) = 6x + 4y alcanza su máximo, calculamos los valores que toma en los vértices : F(A)=18 ; F(B)=43 ; F(C) = 37; F(D)=12 ; F(O) = 0. * Luego la función alcanza su máximo en el vértice B y su valor es 43. PROBLEM A 37 :
La función objetivo alcanza su máximo en el vértice C, por lo que las cantidades a pescar son 1000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape. PROBLEM A 38
:
Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A esté compuesto de un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q t siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones : La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos.
Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1000 soleslkg y el precio del rape es de 1500 soles/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?
b) i Qué mezcla hace q mínimo?
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
* Sean : x = número de toneladas de merluza y = número de toneladas de rape Del enunciado deducimos las restricciones : •Como máximo 2 0 0 0 toneladas de merluza: x <.2000
* Sean x e y, respectivamente, los gramos de las pinturas A y B que aparecen en la m ezcla. Traduzcamos a inecuaciones las restricciones a las que se han de someter esas cantidades.
* Como máximo 2 0 0 0 toneladas de rape : y ^ 2000 * Las capturas de estas dos especies no pueden pasar
* Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos : 30 Z x - y Z 10
a) i Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p?.
* La cantidad de A es mayor que la de B : x > y
L fX J E A L
IB S 3 l « g | M
* B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos : 30^ y ^20
Además sabemos que
0, y 2 0.
Veamos las cantidades de pigmento de cada tipo : Cantidad de pigmento de tipo p: F p(x, y) =0,3x + 0,5y Cantidad de pigmento de tipo q: F q(x,y)= 0,4x +0£y La región factible es la que aparece en la imagen del margen.
MCMPMCMOXES RU/KMÑO&j
La última columna la hemos obtenido de la siguiente forma :
Como x + y + z = 800, se tiene que z = 800-x-y, de donde, 600 - z = 600 - (800-x-y) = x + y- 200. Ahora bien, todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que cero. Por tanto, se obtienen las siguientes desigualdades: x 2 0 ; 1000 - x 2 0 ;
y 2 0; 700 - y 20
; 800- x - y 2 0 ; x + y-2 0 0 2 0
Sus vértices son A (20;10)^ (40;10), C(60;30) y D(40;30). Simplificando las desigualdades anteriores, seobtienen a) La mayor cantidad de pigmento p, se produce para las siguientes inecuaciones: 60 gramos de la pintura A y 30 de la B : 1000 2x 20; 700 2 y 20; 8002x+y20 Recordemos que nuestro objetivo es abaratar al Fp(40;30) = 0,3x40 + 0,5x30 = 27; máximo los costes de transporte. Estos costes se hallan Fp (20;10) = 11 ; F p (40;10)=17; F p (60; 30)= 33 multiplicando las cantidades enviadas a desde cada b) La menor cantidad de pigmento q, se produce para fábrica a cada tienda por los respectivos costes de transporte unitario. 20 gramos de la pintura A y 10 de la B: F q(40;30)=0,4x40+0,2 X30=22; F q(20;10) = 10; Se obtiene: Fq (40;10) = 18 ; F q (60; 30) = 30
z - f ( x ; y ) = 3 x + 2(1000) + 7 y + 2 ( 7 0 0 - y ) + ( 8 0 0 - x ~ y ) + 6 ( x + y - 200) => Z = f(x ;y ) = 6 x + 10y + 3000
PR O B L E M A 39 :
En definitiva, el programa lineal a resolver es:
Una empresa dedicada ala fabricación de componentes de ordenador tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 2000; 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costos de transporte, en soles por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el transporte paraque el coste seamínimo?
M in im iza r
Z=6x+10y+3000
Sujeto a :
1000 ¿ x ¿ 0 700 ¿ y ¿ 0 800 ¿ x +y ¿ 0
La región factible se da en la imagen del margen.
R E S O L U C IÓ N : %
Fábrical Fábrica II
Tienda A Tienda B Tienda C 3 7 1 2 2 6
En este tipo de problemas se exige que toda la producción sea distribuida a los centros de ventas en las cantidades que precisa cada uno; por tanto, no puedengenerarse stocks del producto ni en las fábricas ni en los centros de ventas. En consecuencia, los 300 artículos producidos en la fábrica I deben distribuirse en las cantidades x , y ,z a A , B y C , de manera que A(200;0) ; B (800;0) ; C(100;700) ; D(0¡700) y E(0;200) x + y + z = 800. Pero, además, si desde I se envían x unidades a A, el resto, hasta las 2000 necesarias en El coste, el valor de Z en cada uno de esos puntos, es: A, deben ser enviadas desde la fábrica II; esto es, 2000 *en A, 4200 *en B , 7800 - x unidades serán enviadas desde II a A.Del mismo •en D , 10000 modo, si desde I a B se envían y, el resto necesario, •en C , 10600 700 - y, deben enviarse desde II. y lo mismo para C, * en E , 5000 que recibirá z desde / y 600 - z desde II. En la El mínimo se da en A , cuando x = 2 0 0 e y=0. siguiente tabla de distribución se resume lo dicho : Tienda A (1000) Tienda B ( 700) TiendaC (600) Envíos Tienda A (1000) Tienda B (700) Tienda C (600) Envios 600 200 0 Desde la fábrica 1(800) X 800-*-y Desde la fábrica i( 80Q y 700 0 800 Desdela fábrica II ( 1500) 700-y x +y - 200 1000-* Desdóla fábrica Ii { 1500)
B
H
í r e
s
B
L 1
H
fjv c u jw v iH A 2012}
P R O B L E M A 40 :
Enunagranjadepollos se daunadieta “paraengordar” con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos : el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B , y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 soles y el del tipo Y es de 3000 soles. Se pregunta : ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo ? . R E S O L U C IÓ N :
Escribe la inecuaciones que lo definen b) Maximiza la función Z = x + y a)
R E S O L U C IÓ N : a) Hallamos la (2;0) y (0;2) :
ecuación de la recta que pasa por
El problema se llama así porque en sus orígenes y = m x + n (0¡2) -4 2 = m*0 + n n = 2 - 4 y « - * + 2 - 4 * + j « 2 consistió únicamente en determinar la dieta humana (2.0) -* 0 * m*2 + 2 - 4 » * - ] más económica. En su forma industrial más corriente, el problema consiste en saber cómo mezclar de laforma Los puntos del recinto (por ejemplo, el (0;0) ) verifican más económica posible las materias primas que * + y s 2 constituyen un producto de fórmula química conocida. * Ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por Podemos organizar la información mediante una tabla: (0;2) : y = 2 . Los puntos del recinto verifican y ¿ 2 Unidades Sustancia A Sustancia B Costo * Ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por Compuesto X X 5x ÍOOOx X 3000y Compuesto Y (0;-I):y =-1 Los puntos del recinto verifican y ¿ - l y y Total IOOOx+ 3000y i. 15 i 15 * Ecuación de la recta paralela al eje Y que pasa por La función objetivo del costo total, f \ si se emplean x (2;0) : x = 2 Los puntos del recinto verifican x ¿ 2 hg del compuesto X e y k g del compuesto Y, es : * Ecuación de la recta paralela al eje Y que pasa por (- 2 ;0 ): x = - 2 . Los puntos del recinto verifican x z -2 Z = f(xy) = lOOOx + 3000y Las inecuaciones que cumplen los puntos del recinto * El conjunto de restricciones es : son : i----- ;—. . x £ 0 ; y £ 0 ; x +5^.15 ; 5x + y £ 15 x +y £ 2 * Con estos datos representamos la región factible y -2 £ x ú 2 las rectas de nivel de la función objetivo. De todas las -1<4 y £ 2 rectas de nivel que tocan a la región factible, hace que el coste Z sea mínimo la que pasa por el vértice b) Como la dirección de la función Z=x+y a maximizar A(2,5;2f5). \i es la misma que la del borde x + y = 2, resulta que esta recta es tal que deja todo el recinto a un lado , precisamente del lado que hace x + y s 2 . Por tanto, el máximo de Z=x+y para (xy) en el recinto se alcanza para cualquier punto de ese segmento del bordey tiene por valor 2. .
/RECUERDEí
Un problema particular que se resuelve con los procedimientos de la programación lineal es la Lasolución óptima se obtiene comprando 2,5 unidades situación conocida como problema del transporte o problema de la distribución de mercancías. Se trata de de X"y2,5 unidades de Y. encontrar los caminos para trasladar mercancía, desde El coste total es : varias plantas (orígenes) a diferentes centros de Z=f(2f5;2,5) =1000x2,5+ 3000x2,5 = 10000 soles. almacenamiento (destinos), de manera que se minimice el costo del transporte. Paraque un problema P R O B L E M A 41 : pueda ser resuelto por el método del transporte debe Considera el recinto de la figura en el que están cumplir: incluidos todos los lados y todos los vértices. 3\5x+y=15 15
1) La fu n ción ob jetiv o y las restriccion es deben ser
[P K O é m W lC M iV
1999
E tP lC M IP X E S KlTttM Ñ Oái
toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 lineales. toneladas diarias. 2) El total de unidades que salen en origen debe ser El costo del transporteen soles por tonelada desdecada igual al total de unidades que entran en destino. almacén a cada mercado viene dado por el siguiente PROBLEM A 42 : cuadro: Dos fábricas de papel producen 3 tipos diferentes de Almacén Mancado 1 Marcado 2 Marcados papel de bajo grado, medio grado y alto grado. Se tiene contrato de venta para proveer: 16 Tn. de bajo grado, A 10 15 20 5 T n .d e medio gibadoy 2 0 T n .d e alto grado los costos B 15 10 10 de operación son de S/.1000 /día para la primera Planificar el transporte para que el coste sea mínimo. fábrica y S/.2000 /día para la segunda. La fábrica ¿Vo1, produce 8 Tn. de bajo grado, ITn.de R E S O L U C I Ó N medio grado y 2Tn. de alto grado en un día de Podemos hacer el siguiente cuadro que nos ayude a operación. La fábrica N°2> produce 2 T n . de bajo grado, obtener la función objetivo y las restricciones 1 TV», de grado medio y 7 TVi. de alto grado por día. Am acén Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3 ¿Cuántos días debe trabajar cada fábrica a fin de cumplir con el mencionado contrato de venta en la A X Y io -p c + » forma más económica? 8 -Y B 8 -X X + Y -1 R E S O L U C IÓ N
Sean x : Número de días de trabajo de la fábrica 1 y : Número de días de trabajo de la fábrica 2 la función objetivo será : (Min:) Z = 1 OOOx + 2000y Sujeto a:
8x
+
2y Z
x + y
16
Del cuadro anterior se puede observar •Del almacén A se transporta X Tn. al mercado 1, Y Tn. al mercado 2, y lo restante al mercado 3. • Del almacén B se transporta lo faltante a cada mercado. De los dos cuadros anteriores se puede obtener la función objetivo la cual viene dada.
Z 5
2 x + 7y S: 2 0 x Z
0
A y
¿
0
Gráficamente
F(Xs Y) = 10X + 15Y + 20(10 - (X + Y)+15(8 X )+ 1 0 (8 - Y) + 10(X + Y - l ) ,
de donde efectuando se tiene: F(X; Y) =390-15X- 5Y
Teniendo en cuenta que las cantidades repartidas a cada mercado son positivas entonces se tiene: JO - X + Y *0 Á 8 - X * 0 ; 8 - Y *0 X+Y-1*0\; X * 0 a Y * 0 Las cuales representan las restricciones del problema Gráficamente :
Lasolución óptima se encuentra en el punto A donde: x = 3 ; y = 2 ; z = 7000 PROBLEM A 43 :
Desde dos almacenes A y B , se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de JO toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8
ia * *
c
El costo de transporte en cada en cada vértice es : A = (0; 1) , B = (0; 8) ,C = (2; 8) D = (8; 2) , E = (8; 0) , F = (1; 0) Vértices valor del objetivo F : 385; 350 ; 320 ; 260 menor costo ; 270 ; 375
I A f i v f / i x o p t i f L l 2012 )
Resolver 2x - y <. 4
La solución óptima ocurre en el vértice D = (8;2) lo que indica que se deben transportar del almacén A: 8Tn al mercado 1¿2 Tn al mercado 2 y al mercado 3 nada. Así mismo del almacén B , al mercado 1nada, al mercado 2,6 Tn y al mercado 39 Tn. De esta manera el costo mínimo es de S/.260.
C)
D)
PÍ I
l
i
•t*
E)
@Dado el conjunto: A={(x;y) e R2!x+y > 5} Calcule la solución en forma gráfica.
Dado el conjunto:
A)
5
1* fe;
={(*;;y ) c S * l y * T x+4 o
:38
Hallar la solución.
*
C)
4
C)
- 5\¡*
D)
m
k
Calcule la solución gráfica de xú2y. Yk *+ »
1 0
Calcule la solución gráfica de A)
B)
Y
6
.3
C) 0
r-
1 'V •4 4% Tt
E) )8 -5 !
A)
*
B)
A)
‘ v *.$7 .f
B)
m « «
’ f
i
-í : X
E D I C I O N E S R U D IÑ O S j
im
w Resolver el sistema:
m Calcule la solución de y < - 2 . a/ y B)
rv* k
*
-2
'
y
fe •2
x+y £ 3
...a )
5x - y
_Js
B)
c>
O) vV>. f' K-f
-2
y 2 •
D) Í£‘ & *2JL ..
— 1w «••
@)Resolver 5x + 6y < 60. A)
C)
B)
i uy
D) ii f ^
'
4»
(£7^Dados los conjuntos:
•A = {(x; y) e Rz¡2y < x - 5 }
•B = {(* ; y) e Rz/2x+5y á 10}
E)
Calcule la solución de A n B .
-'«i
Dado el conjunto : P = { t e; y) e R ¡2x < Calcule su solución. Ai v,
B)
té
- H
I A ESCU'J*o m c m A 2012} 1 R E CO R D AR QUE X
Halle el máximo valor de Z = 3 x + 6 y , tal q u e:
En un problema de programación lineal intervienen: 1) LA FU N CIÓN OBJETIVO : Es la función que se va optimizar (maximización o minimización) sujeta a ciertas restricciones. Las funciones de ganancias (maximización) y de costos (minimización) son algunos ejemplos de función objetivo. Su representación: f ( x ;y ) = a x + by + c Donde: x , y 4 son variables de decisión a , b y c-+ son constantes 2)R ESTR ICCIO N ES; Las restricciones son generalmente inecuaciones o ecuaciones; su número depende del problema en cuestión. Si se tiene la desigualdad x £ 0 , nos indican a la variable ser no negativa. Usualmente son llamadas restricciones de no negatividad. 3) SOLUCIÓN FACTIBLE: fíx ; y) Son los valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones. Todo punto formado con estos valores pueden ser soluciones del problema, como también aquellos puntos que no pertenecen a ese conjunto no puede ser solución. NOTA A la solu ción fa ctib le se le co n o ce tam bién com o conjunto o región fa ctib le. 4) LA SOLUCIÓN ÓPTIMA En todo problema la solución óptima será un par de valores (xQ;y J del conjunto factible de tal manera que f í x ; y ) asuma un valor máximo o mínimo. 5) REGIÓN AD M ISIBLE : Es el conjunto de todas las soluciones posibles o factibles.
x + y <80 A) 200 13)300 C)400 0)480 E)600
y 2x + — <80 2
x>0 yzO
Maximizar fíx& ) = x + y si X
x+y < 150 ;y ^ — ; x £ 20 ; y £ 40; xy e ¿T+ 2
A) 120
0140
B )130
Maximizar f (x¡y)= 4 x+ 6 y . sujeta a : x+3y£6 A)9,8
; 3 x + y £ 8 ; x 7 > 0 ;y * 0
B)10,7
C)12
Minimizar la función f(x ;y )= 2 x + 8 y sometidas a las restricciones:
\x>0 y>0 2x + 4 y > 8 2x—5y < 0 —x + 5 y < 5
104 A) 9 B) 104
C )~
D) y
E)26
Minimizar Z = 2 x } + 3 x2 Sujeto a : x t+ 2 x 2 > 8 r
sujeta a las restricciones :
m
4xt+ 5 x 2 < 2 9 ;
E) 280
Determine el máximo valor que asume : 2 x + y Sujeto a :
y < * + 2 ;y í - * +S
A)6
x > 0; y > 0 C)15
B)14
D)20
2xd+ X 2
Xj ¿ 0 B)9
7
>
x 1; x 2 > 0 D)16
E)17
; 5 x t+ 3 x2 £ 15
; xs ^ 0 C) 6917
D)10 E )11
Determinar el máximo valor de la expresión : Z =4 y +3y
30x+20y £ 1800 ; x+ y <.80 *2s0 yZQ D) 260
;
A) 13 B)14 C)15 _ \ r n Determine M áx (2x¡ + 3 xs)
A)8
C) 250
E)18
5 x+ 1 5 y> 1 5 0 0 ; x > 0 ; y > 0 13)1140 C)1200 D)1800 E)1920
A)1100
(£7) Maximizar la función : Z = f(x 9y) = 4 x+ 3 y
B) 240
D)16,5
M inim izar : C ( x ; y ) = 6 x + 8 y , sujeta a las restricciones 4 0 x+ 1 0 y> 2 4 0 0 ; 10x+ 15y> 2100
Sujeto a : x x+ 2 x 2 < 6
A) 220
D)150 E)160
9i* r- . v ííz ¡ ( x ; y ) e E * f3 0 x + 2 0 y ¿ 1 8 0 0 ( ,yJ \x + y $ 8 0 ; x * 0 ; y * Q A)220 @
E)30
B)240
C)250
D)260
E)280
Resolver el problema de programación lineal
Maximizar: Z (x & )= 3 x + 2 y
R g g i& g y jg
Sujeto a las restricciones . x + y < 1 A)-2
B)0
C)2
; x z O ;y z O D)3
E)4
A continuación se muestra 4 regiones en el plano XY indique cuál(es) de ellas representan la región tangible de un problema de programación lineal bidimensional. I) II)
E IH C iO X E S
K I ’IC IX O S )
deben construirse para obtener el máximo beneficio? A)20 B)40 050 D)60 E)70 Un granjero tiene 480 hectáreas en la que puede sembrar trigo o maíz . El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial de verano . Dados los m árgenes de utilidad y los requerimientos laborales que se adjunta. Maíz
Utilidad : $40 por hectárea Trabajo : 2 horas por hectárea
Trigo
Utilidad : $30 por hectárea Trabajo : 1 hora por hectárea
—X
- X A)I-IV
B)I-II
O lh lll
D)II-IV
E )¡l-rv
@ Una compañía produce dos tipos 'de artículos mecánico y eléctricos mcnsualmente cada uno requiere para su fabricación del uso de tres máquinas A ; B y C. En la tabla adjunta se muestra la información relacionada con la fabricación de estos tipos de artículos. Utilidad / Mecánico Eléctrico Máx. de horas disponibles
A
B
C
2h lh
lh 2h
lh lh
Unidad $4 $6
ISOh 160 h lOOh
Se sabe que la compañía vende todos los atículos que produce. Determina la utilidad máxima mensual ( en dólares) A)$360 B)$400 C)$440 D)$480 E)$520 (Q) En una urbanización del distrito de Surco , se van a construir casas de dos tipos : económicas y super económicas . La empresa constructora dispone de «* 1800 000 , siendo el costo de cada tipo de casa $ 30 000 y $20 0 0 0 respectivam ente. La municipalidad exige que el número total de casas no debe superar a 30. Sabiendo que el beneficio por la venta de una casa económica es de $4000 y por la super económica $3000. ¿Cuántas casas super económicas
¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima? A)12560 B)14500 0 1 7 6 0 0 D)18210 E)20200 Silvestre tiene a su disposición 16m2 de algodón l i n t 2 de seda y 15m2 de lana . Un traje requiere lo siguiente: 2m 2 de algodón, lm 2 de seda , lm de lana, una túnica requiere lo siguiente: l m 2de algodón , 2m 2de seda 3m 2 de lana. Si el traje se vende por $30 y una túnica por $50. ¿Cuántas piezas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero? A) 8 trajes 0 túnicas B) 4 trajes 3 túnicas O 7 trajes 2 túnicas D) 3 trajes 4 túnicas E)5 trqjes 0 túnicas (Q ) Un sastre tiene 30m*de tela de algodón y 120m2 de tela de lana . Un traje requiere lm de algodón y o o 3m de lana ; y un vestido de mujer requiere 2m de cada una de las dos telas . Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios ; si un traje y un vestido se venden al mismo precio . A) 10 trajes y 20 vestidos B) 20 trajes y 10 vestidos O 30 trajes y 20 vestidos D) 20 trajes y 30 vestidos E) 20 trajes y 40 vestidos A
Una editorial planea utilizar una sección de planta para producir dos libros de texto . La utilidad unitaria es de $2 para el libro 1 , y $3 para el libro 2. El texto 1 requiere 4h para su im presión y 6h para su encuadernación . El texto 2 requiere 5h para imprimirse y de 3h para su encuadernado. Se dispone de 200 h para imprimir y de 21 Oh para encuadernar . Determine la máxima utilidad que puede obtener. A)$70 B) $110 O $120 D) $140 E) $160 Un grupo de aficionados de una equipo de fútbol encarga a una empresa de trasporte el viaje para llevar a los 1200 socios a ver la final de su equipo, la empresa dispone de autobús de 50 plazas y de microbuses de
[ S
M
x
30 plazas . El precio de cada viaje en el autobús es de 252 dólares y el del viaje en microbús de 180 dólares. Sabiendo que la empresa dispone de 28 conductores. ¿Cuál es el costo máxima del viaje? A) 6048 B) 6056 C) 6336 D) 7056 E) 7080 La compañía Stock S A . requiere producir dos clases de recuerdos de viaje rdel tipo A y B.Cada unidad tipo A producirá una ganancia de $ 1 £ 0 . Para fabricar un recuerdo tipo A se necesitan dos minutos en la máquina I y l minuto en la máquina H . Un recuerdo tipo B requiere 1 minuto en la máquina I y 3 en máquina II. Hay 3 horas disponibles en la máquina / y 5 horas disponibles en la máquina II para procesar el pedido. ¿Cuántas piezas de cada tipo debe producir Stock S A para maximizar la ganacia? A )A =48 ; B = 8 4 B )A = 6 0 ; B = 3 2 C )A=65 ; B = 4 2 D )A = 7 2 ; B = 5 0 E )A = 4 0 ; B = 6 8 Lewis tiene $2200 para invertir durante los siguientes 5 años. Al principio de cada año puede invertir su dinero en depósitos a plazo fyo de 1 ó 2 años. El banco paga el 8% de interés en depósitos a plazo fijo de un año y el 17% (total) eñ depósitos a plazo fijo de 2 años: además al principio del segundo año, la compañía Western Unión ofrecerá certificados a tres años. Estos certificados tendrán una ganancia del 27% (total). Si Lewis reinvierte su dinero disponible cada año formular un programa lineal que muestre como maximizar su ganancia total al final del quinto año. Una refinería puede comprar dos tipos de petróleo: petróleo crudo ligero y petróleo crudo pesado. El costo por barril de estos tipos de petróleo es de $11 y $9, respectivamente, de cada tipo de petróleo se producen por barril las siguientes cantidades de gasolina, keroseno, y combustible para reactores. OamMna
K erosene
C om bustible p a ra rea ctores
Petróleo crudo ligero
0,4
0.2
0,35
Petróleocrudopetado
0,32
0,4
0.2
Obsérvese que durante el proceso de refinamiento se pierden el 5% y el 8% del crudo , respectivamente. La refinería tiene un contrato para entregar 1 millón de barriles de gasolina , 400 000 barriles de keroseno , y 250 000 barriles de combustible para reactores . Encontrar el número de barriles de cada tipo de petróleo que satisfacen la demanda y que minimizan el costo total. Una fabrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña la fabrica dispone de 80 k g de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta de
a
g
g
LA UNCUi . o
j M
r t a t l
2012}
paseo se necesitan 1 k g de acero y 3 k g de aluminio y para construir una bicicleta de montaña se necesitan 2 k g de acero y otroB 2 k g de aluminio. Si se vende las bicicletas de paseo a 200 soles y las de montaña a 150 soles, ¿cuántas bicicletas de cada tipo se deben construir para que el beneficio sea máximo? Lila necesita mensualmente 60 unidades de carbohidratos , 45 unidades de proteínas y 30 unidades de grasa ; de cada libra del alimento A , ella recibe 5 unidades de carbohidratos, 3 de proteínas y 4 de grasa. El alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos, 2 unidades de proteína y 1 de grasa por libra; si el alimento A cuesta 5 soles la libra y el alimento B cuesta 4 soles la libra. ¿Cuántas libras de cada alimento debe comprar Lila cada mes para mantener un costo mínimo? Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 10 céntimos, por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 20 céntimos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos com o máximo.
Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada. Si siembra trigo gasta S/.300 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto es de Sf.400 por hectárea. El capital total disponible es de S/,25 000 Por otra parte, también existen restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, según se indica: Mes
Consumo m*tHcta Consumo m*/Hcta
Dispon Utilidad
Trigo
Cebada
m3
Octubre
900
650
57.900
Noviembre
1200
' 850
115,200
Una hectárea cultivada rinde 3 Tm de trigo o 2,5 Tm de cebada según sea el caso. Los precios vigentes por Tm son de S/.150 para el trigo y S/.200 para la cebada. Utilizando el método gráfico, determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que maximice su beneficio. Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m 3 de espacio refrigerado y 40 tn3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos refrigerados y 1200 no refrigerados. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica par minimizar costos si el tipo A se alquila a Si.30 m3 y el B a Sf.40 ro3?.
jfffli 13S9 ygn^
Kt9TnrÑ4>&
J » J t O r W
© Encuentre el valor mínimo de z = 2 x - 3 y sujeto a las restricciones: x +. 2« y £^ 10 2 x + y < .l l B) -15
0 -1 1
D) -1
3 x -2 y * -6 3x +y * 3 x¿3 A) 18
B) 19
L I A
I ^ U
J
S 1 2\
EJO
Maximizar la función objetivo F = 2x + 2y sujeta a las restricciones:
x; y *0 C) 20
!ll)iV
E) A
x; y *0 A )-17
g ^ » l¿ l*
\%
1 2\
D) 21
E) 22
(í£^) De la gráfica, señale las restricciones de la región factible. Y
Un estacionamiento puede atender un máximo de 100 vehículos entre automóviles y camiones, un automóvil ocupa 10ms mientras que un camión ocupa 20 m2. Si el área total de estacionamiento es 1 200 m2 y además se cobra una tarifa mensual de $ 20 por automóvil y $ 30 por camión, ¿cuántos vehículos de cada tipo proporciona al dueño una ganancia máxima? A) 30 autos y 50 camiones. B) 40 autos y 40 camiones. C) 20 autos y 80 camiones. D) 50 autos y 40 camiones. E) 60 autos y 30 camiones.
/"
7) El administrador de una cafetería dispone de
Regióhs factibl^ 5\X
A )x + y < 5 y -x £ l -2 y +xZ 2 x * l ; y *0 D )x + y £ 5 y -x íl y -2 x ^ 2 x í l ; y *0
B )x + y £ 5 y +x £ l 2y + x * 2 x * l; y *0 E )x + y * 5
C )x + y <¡ 5 y~x£l 2 y -x $ 2 x * l ; y *0
y- X *1 y * 2; x £ l
(¡2Íx Dada la función objetivo z = x + y, sujeta a: x - y <*2; x - y * -2; x * 0; y * 0 , señalar el valor de verdad de las proposiciones: ( ) (1; 1) pertenece ala región factible. ( ) (3; 0) no pertenece a la región factible. ( ) (2; 2) es el valor óptimo. A) VFV
B) V W
C) FFV
D) W F
E) FFF
Señale la región factible sujeta a las restricciones: y+2x¿4 y + lz x y<3 ;x * 0
a lo más 600 raciones de comida diariamente, algunas calientes y otras frías, basado en su experiencia anterior se pronostica que el número de raciones frías es a lo más 75 unidades menos que el número de raciones calientes, además como mínimo la cafetería debe vender un número de 50 raciones frías diariamente, ganando 15 céntimos por cada ración caliente y 10 céntimos por cada ración fría. ¿Cuántas raciones de cada tipo se tendrá que vender para maximizar sus ganancias? A) 550 raciones calientes B) 200 raciones calientes C) 250 raciones calientes D) 400 raciones calientes E) 500 raciones calientes
y y y y y
50 raciones frías. 50 raciones frías. 150 raciones frías. 250 raciones frías. 400 raciones frías.
Una fábrica de ropa confecciona pantalones y chompas. La ganancia que obtiene por cada pantalón es de S/. 6 y por cada chompa S¡. 5 , se necesita 2 m de tela para los pantalones y 1,5 m para las chompas; debido a ciertas limitaciones la fábrica no puede manufacturar más de 10 artículos por día y no puede usar más de 18 m de tela al día. Si la fábrica puede vender todos los pantalones y chompas que produce, calcular el número de artículos que deberá producir diariamente para obtener la
L
m
J E
A) 15 de M y 30 de N. C) 30 de M y 30 de N. E) 10 de M y 30 de N.
máxima ganancia. A) 6 pantalones y 4 chompas. B) 8 pantalones y 3 chompas. C) 5 pantalones y 4 chompas. 2» 4 pantalones y 4 chompas. E) 10pantalones y 5 chompas.
Mil alumnos de Hotelería y Turismo van a ir
de excursión. Para el vi^je se contrata a una empresa que dispone de 15 autobuses de 60 pasajeros cada uno y 12 de 40 pasajeros cada uno. Si la empresa tiene al menos 18 conductores y el alquiler de cada autobús grande cuesta 500 soles y cada pequeño 400 soles, ¿cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? A) Autobuses grandes: 15 y autobuses pequeño: 3 B) Autobuses grandes: 10 y autobuses.pequeño: 12. C) Autobuses grandes: 8 y autobuses pequeños: 12. D) Autobuses grandes: 14 y autobuses pequeños: 4. E) Autobuses grandes: 10 y autobuses pequeños: 6. ©
B) 10 de M y 20 de N. D) 15 de M y 20 de N.
Una compañía requiere producir dos clases de
Un comerciante al por menor vende dos marcas de trajes, A y B. Nunca hace pedidos mayores de 60 trajes a la semana. La marca A le cuesta $ 20 y la vende en $ 23, mientras que compra B en $ 40 para venderla en $ 44. Si restringe su gasto a $ 1 600 por semana, ¿cuántos de cada marca deberá comprar para que su utilidad sea máxima? (Admítase que vende todos los trajes). A) 150 B) 200 C) 250 D) 300 E) 350 ©
Ni'iCMjOPEDlA 2 0 1 2
liaaolE
,
El número de unidades de químicos A, B y C
en una caja de fertilizante 1 y fertilizante 2 son dados en la siguiente tabla:
recuerdos de viaje del tipo A y del tipo B. Cada unidad del tipo A producirá una ganancia de $ 2, mientras que uno del tipo B generará una ganancia de $ 1,20. Para fabricar un recuerdo tipo A se necesitan 2 minutos en la máquina 2 y 2 minuto en la máquina II. Un recuerdo tipo B requiere 2 minuto en la máquina I y 3 minutos en la máquina II. Hay 3 horas disponibles en la máquina I y 5 horas disponibles en la m áquina II para procesar el pedido. Si se desea maximizar la ganancia, ¿cuál es la ganancia máxima? A) $100 B) $120 C) $148,8 D) $ 9 0 E) $ 160 Sofía y Carmen ganan 10 millones de nuevos soles en una lotería y les aconsejan que los inviertan en dos tipos de acciones, Ay B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio anual del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7 # anual. Después de varias deliberaciones ellas deciden invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, deciden que lo invertido en las acciones de tipo A sea, por lo menos, igual a lo invertido en las de tipo B. ¿Cómo deberán invertir los 10 millones de nuevos soles para que el beneficio anual sea máximo? A) 6 millones de tipo A y 4 millones de tipo B. B) 2 millones de tipo A y 8 millones de tipo B. C) 5 millones de tipo A y 5 millones de tipo B. D) 8 millones de tipo A y 2 millones de tipo B. E) 7 millones de tipo A y 3 millones de tipo B.
Químicos
A
B
C
Fe rtiliza n te 1
1
1
3
Un fabricante produce dos tipos de llantas,
F e rtiliza n te 2
2
1
1
para pista seca y para pista mojada. Durante la producción de las llantas requieren del uso de dos máquinas, A y B . El número de horas necesarias en ambos tipos se muestra en la siguiente tabla:
Un obrero quiere obtener al menos 20 unidades del A, 16 del B y 24 del C para fertilizar un pedazo de tierra. Si el costo por caja de fertilizan te 1 y fertilizante 2 es de $ 24 y $ 12, respectivamente, encuentra el mínimo costo de fertilización. A) $288 B) $ 240 C )$ 3 0 0 D) $ 336 E) $ 480 £5) Una com pañía de quím ica program a la producción de ciertos tipos de mezclas, donde el material M es igual a 8 dólares por paquete y con un peso de 4 kilos, el material N es igual a 5 dólares por paquete con un peso de 2 kilos. Se requiere 100 kilos de la mezcla y se necesita emplear no menos de 20 paquetes de N para hacer la mezcla. ¿Cuántos paquetes se debe usar para minimizar los costos?
Llanta Pista seca
M áquina A 2 horas
Pista mojada
3 horas
•
M áquina B 3 horas 2 horas
Si cada máquina se puede utilizar 24 horas al día y las utilidades en los modelos son de 3 y 5 dólares, respectivamente, ¿cuántas llantas de cada tipo deben producirse por día para ob ten er una utilidad máxima? A) 8 llantas para pista mojada. B) 8 llantas para pista seca. C) 4 llantas para pista mojada y 4 llantas para pista seca.
wf7ii.vo^
[ p q
1 3 3 1
Di 0 llantas para pista mojada y 2 llantas para pista seca. E) 4 llantas para pista mojada y 2 llantas para pista seca. (Td) Un herrero con 80 Kg de acero y 120 Kg de aluminio quiere fabricar bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente, a 2 000 y 1 500 nuevos soles, para obtener el máximo beneficio. En la elaboración de la bicicleta de paseo empleará 2 Kg de acero y 3 Kg de aluminio, y en la de montaña 2 Kg de cada metal. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá el herrero para obtener el máximo beneficio? A) 30 de paseo y 20 de montaña. B) 20 de paseo y 20 de montaña. C) 30 de paseo y 30 de montaña. D) 20 de paseo y 30 de montaña. E) 18 de paseo y 32 de montaña. ©
La compañía Ruedas S.A. fabrica triciclos y
bicicletas. La experiencia indica que debe producir al menos 10 triciclos. La fábrica puede producir a lo más 60 triciclos y 120 bicicletas por mes. Si la ganancia es de $ 134 por triciclo y de $ 20 por bicicleta, y puede fabricar 160 unidades combinadas, determinar la cantidad de triciclos y bicicletas que se debe producir para maximizar las ganancias. A) 155 triciclos y 5 bicicletas. B) 10 triciclos y 150 bicicletas. C) 40 triciclos y 120 bicicletas. D) 60 triciclos y 100 bicicletas. E) 120 triciclos y 40 bicicletas.
Una mezcla de alimento
A
¿
a v jk ju l
]
precio del tipo X es de 20 euros y el del tipo Y es de 30 euros. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cu brir las necesidades con un costo mínimo? A) 2 unidades de X y 2 unidades de Y. B) 1,5 unidades de X y 1,5 unidades de Y. C) 2,5 unidades de X y 2,5 unidades de Y. D) 2 unidades de X y 2,5 unidades de Y. E) 2,5 unidades de X y 2 unidades de Y. Una compañía fábrica dos tipos de lámparas. Se lleva el doble de tiempo fabricar el tipo A que el tipo B, pero si todas las lámparas fueran del tipo B la compañía podría producir 2 2 5 0 por día. Sin embargo debido a la disponibilidad de materiales, la producción diaria total de ambos tipos no puede ser mayor que 800. Además la producción diaria del tipo A no puede rebasar 400 y la producción diaria del tipo B no puede ser mayor que 700. Si la utilidad de cada tipo de lámpara A es de SI. 8 y la utilidad de cada tipo B es de SI. 6, ¿cuántas lámparas de cada tipo deben fa b rica rse por día para maximizar la utilidad? A) 400 tipo A y 400 tipo B. B) 100 tipo A y 200 tipo B. C) 200 tipo A y 200 tipo B. D) 500 tipo A y 300 tipo B. E) 300 tipo A y 500 tipo B.
[CLAVES DE LA PRIMERA PRACTICA) Í )D 2)A S)D 4 )D S)D (¡)B 7)A 8)A 9)C 10)D 11)1) 12)A m
tt)D m
16)C 17)0 m
19)C
{CLAVES DE LA SECUNDA PRACTICÓ y alimento
B
debe
elaborarse de manera que contenga al menos 45 onzas de nutrientes N¡ y 40 onzas de nutrientes N r El costo por libra de A es $ 4 y cada libra de A contiene 2 onza de 2 onzas de N2. El alimento B cuesta $ 8 por libra y cada libra de B contiene 1,5 onzas de Ns y 0,5 onzas de /V2. Si el peso de la mezcla no debe exceder de 40 L b , ¿cuántas libras de cada alimento deben utilizarse de manera que el costo total sea mínimo? A) 5 Lb de Ay 10 Lb de B. B) 10 Lb de Ay 10 Lb de B. C) 20 Lb de Ay 10Lb de B. D) 8Lb de Ay 10 Lb de B. E) 12 Lb de A y 10 Lb de B.
En una granja se da una dieta “para engordar” con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el m ercado sólo se en cu en tra n dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B , y el tipo Y con una composición de cinco unidades de A y una de B. El
¡))D S)C 6)C 7}A 8)A 9)11 10)0 2 )1) m *»*i\ m n 12)0 1S)C lt)A Í5)A 10)0 17)0 18)0 19)C 20)Á / RECUERDE / Resolver un problema de Programación Lineal consiste en optimizar una función sujeta a restricciones, entendiendo por optimizar encontrar el máximo o el mínimo, según los casos. Pero ese punto óptimo está sujeto a limitaciones, ya que las variables que intervienen en la función a optimizar se encuentran relacionadas por medio de un conjunto de desigualdades. Por tanto, hay que resolver un sistema de desigualdades y, una vez resuelto, ver en qué punto o puntos del conjunto de soluciones la función a optimizar alcanza su valor máximo o mínimo. Naturalmente, tanto la función a optimizar com o las desigualdades que constituyen las restricciones del problema pueden ser o no lineales: si lo son nos encontramos ante un problema de Programación Lineal. El número mínimo de variables del problema será de dos, aunque el número puede ser mucho más alto. Este tipo de problemas complejos sólo es accesible mediante la ayuda de un ordenador capaz de manipular un alto número de variables. Quedan fuera de nuestro alcance métodos de resolución como el Simplex, creado por Dantzig, o el Método Húngaro, aplicable a determinado tipo de problemas.
r*
¡¡l « 0 8
Í
v
I I ) Hacemos A A ( B A C ) = P
PROBLEM A 1 :
Si A c B a A n D = 0 Simplifique : [ í A n f l cí n B c ] u [ B u M - f l | ] A )A n B
B )A
C )B
D )0
E )D n B
R E S O L U C IÓ N :
* Si: A
:
I I I ) Hacemos CABC = Q * Luego simplificaremos :
[íA r .P c ; r . g c M [ g ^ í A - i P ;] Ar\f RkjA
=> é \j B PROBLEM A
s B
RPTA: “C”
2 :
Dados los conjuntos A , B y C en U simplifique la expresión. [ a a ( B A C ) ] A [ C A B C] D) A C )C ° A )A C 3 )3 ° R E S O L U C IÓ N : * Para dos conjuntos M y N, se tiene : M A N = ( M \j N ) - ( M c\ N )
E )B
I V ) D e ( I ) y ( I I ) g ra fic a m o s P u Q . U
V) De ( I I ) y ( I I I ) g ra fic a m o s P n Q .
* Nos piden simplificar la expresión : A A ÍB A C jjA |C A g f |
i I ) Al graficar (BACJtenem os:
VI) Finalmente graficamos.
PAQ - [A A (B A C )] a [CABc]
r c n iu jw w
nwrniÑspN
m
U R om j.yvxs kb.s iv u .t o s me r k f a &o ]
i t a s a yr o f l
de las siguientes afirmaciones I ) A n C contiene B - D I I ) La intersección de B con el complemento de C - D es $ . I I I ) f ( A ) ' u s ( B ) v ? ' ( B n D ) = U son verdaderas.
A) todas D) solo I y II * Entonces , el gráfico resultante es: A c . RPTA: “A ”
PROBLEM A 3 :
Al sim plificar: { A n [ ( B - C c ) u f B - C ) X } - { A r i [ B - f C - A ) F r*Bc }
Se obtiene : AXAnB)
B jA u B
C) +
D)B
E)Ar\B
R E S O L U C IO N : {An[(B-Cc)v < B -C )f}-{A ^ [(B -C c ) v ( B - C ) f }
* Sea: p = {A n [(B -C c )u (B -C )í F = ¡ A n [ ( B n>C)\j(B n C c )]}... Ley de laDiferencia => P = A n B n ( C v C ) ' u
...Ley Distributiva
=>P = A n ( B n U f = > P = { A n B c } n * También:
Q= .A n [B -(C -A )f n B M z > M = [ b - ( C n A C) ]
Af = [ B n ( C n A c )c ]
Ai =
B) solo II C) solo I y II E) solo II y III -
R E S O L U C IÓ N : * Según el diagram a tenem os: //) VERDADERA ; Se aprecia que B y D son disjuntos , por lo tanto B - D = B y adem ás (A n C ) contiene a B. II) VERDADERA ; Se aprecia que B
l /
SÍBJkj U7= U7
! /
RPTA:
“A”
PROBLEMA 5 : Dado tres conjuntos A , B y Cr tales que (A[)B)c:(A\JC)
a
A) B c C D ) (A U C) c B R E S O L U C IÓ N : •
ÍA n ® cA n C en ton ces.
B) B =C E ) (A U B)
c
C) C C
c
B
Si (AwB) c (A^C): Gráficamente:
...Ley de laDiferencia ...Ley de la Diferencia
[ B c u ( C n A C ) ] . . . Ley de laD'Morgan
* Luego en Q=A n [ B C v ( C n A c ) j o B c ... Ley de Absorción
tf
SI (AnB) c (AnC): Gráficamente: Notwy
Q = {A n B c }
se aprecia que P = Q , entonces:. P - Q = $ * Finalmente al simplificar se obtiene: 4 RPTAP'C”
PROBLEMA 4 : Dado el diagrama Rpta: B c C
RPTA: “ Atf
/T T ^A # PROBLEM A 6 : Sean P y Q conjuntos tales que: Si p e P , entonces p ^ Q . Luego se puede afirm ar que : A) Si - 3 e Q , e n to n c e s - 3 g P
U M O B K D IA 2 0 1 2 )
* Por lo tanto AJB = 4 ; sin em bargo. A * B R P T A :“ B ” PROBLEM A 8 : Sea A = { 1 ; 2 ; 3 }
C) Si 10 £ Q, en ton ces 10 &P
Determ ine el valor de verdad de las siguientes expresiones: I ) 3 x e A V y e AJx2< y + l
D ) Si 0,10 e Q , en ton ces 0 ,1 0 £ P
I I ) V x e A 3 y e AJx2 + y 2< 1 2
E) Si 1 £ Q , en ton ces í e P
III) 3 x e A V y e A 3 z e A / x z + y 2 < 2 z 2
R E S O L U C IÓ N : * Por la proposición condicional se tiene: Si p e P , entonces p e Q equivale a decir que
T V ) 3 x e A 3 y e A V z € A i x 2+ y 2< 2 z 2
B) Si 13 £ P , en ton ces 13 £ Q
* Entonces, de las alternativas se puede afirmar que: Si 10 £ Q, entonces 10 £ P OTRO M ÉTODO : Recuerda a
=>b es
equivalente
a p eP^ > p eQ es equivalente p e Q = > p * P RPTAs“C"
PROBLEM A 7 :
In d iq u e la secuencia co rrecta después de determ inar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F)\ I)S\A = { + } ¿entonces AcIYAL'fYA) potencia de A II) AA B eP(A uB )
III) Si AjB =4 entonces A=B A) W V B) W F D) V F F E) F F F
C) V F V
R E S O L U C IÓ N :
I) VERDADERO : El conjunto potencia de A está formado por todos los subconjuntos de A.
VA, A
c A a A e P (A )
Si A = { f} ^ P ( A ) = {{t};<¡>} Luego {¿}
A )V F W C ) V W F B )W F V R E S O L U C IÓ N :
D )F V W E )V W V
I) VERDADERA : *S ¡: 3x = l ; V y e { l ; 2 ; 3 } * Entonces: l < y + l = > 0 < y * Por tanto, y e { l ; 2 ; 3 } IS)VERDADERA ; * Si: 3 y = l ; V y e { l ; 2 ; 3 ) * Entonces: x 2+ l < 1 2 ^ > x 2<11=> - J T Í < x < J Í 1 * Por tanto: x e { j ; 2 ; 3 } !II) VERDADERA ; * Si: 3 x = l ; 3 z = 3 ; V y e { l ; 2 ; 3 } * Entonces: l + y 2< 2 ( 9 )
=> y 2 < 1 7 => - J l 7 < y < J Í 7
* Por tanto: y e { l ; 2 ; 3 } V/) FALSA : ♦Si: 3 x = l ; 3 y = l ; l + K 2 z 2 => l < z 2 =$ z > l v z < - 1 * Entonces, no cumple V z e { l ; 2 ; 3 ] , pues falla para z = l RPTA : “C” PROBLEM A 9 :
Sea x un conjunto no vacío y R c z P ( x ) un subconjunto no vacío del conjunto potencia de x , R e s un anillo de conjuntos si para cualquier par de elem en to s A y B en R se cum ple A k j B e R a AIB e R . Si R es un anillo de conjuntos. Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: D A A B gR II)A n B eR III)jeR A) V F F B) FVF C )W V D) W F E) VFV
II) V E R D A D E R O :
R E S O L U C IÓ N :
(AAB) c f A u B )
* Se dan: V A ; B e R : A u B e R ............................ (I)
-* (AAB) e P ( A u B)
IIDFALSO : A/B= +-> A=B no necesariamente Contra ejemplo : A={2;3}
,
B={1;2;3;4}
A - B e R ................................................... (II) * Analizando cada afirmación dada: / ; VERDADERO: A A B e R s \ A ; B e R
rROMJJlAS KVSHEI.TOS IPK REPASO] * Por ( I I ) : ( A - B ) y ( B - A ) e R * Luego por ( I ) : (A -B )u (B -A )eR ^ > A A B eR I I ) VERDADERO : A H B e R * Entonces ( A u B ) e R a ( B A A ) e R * Además : A C ] B = ( A < j B ) - ( A A B ) * Luego por ; A n B e R
I I I ) a3 - b 3 > 0 son ciertas A)IyII D) 1 9II y III R E S O L U C IÓ N :
(a + l f > ( b + l f
A - A e R => é e R
* Justificación: é es subconjunto de cualquier conjunto y los elementos de R subconjuntos. E jem p lo: * D a d o X = {a ;6 ;c } a ; b ; c : diferentes =* P íX > = {9 ;{o };{6 };{c };{a ,6 };{6 ,c };{a fc };X } aquí , por las condiciones dadas , uno de los anillos R es : R = { { a ] ; { b } ; { a , b } ; t } RPTA: “ C ” PROBLEM A 10 : Sean los conjuntos : A = |x=—f r ; s e Z;con K r < 3 y 0 < s < 3
B= (x e ZJ1 < x < 2 } . Calcule A u B B )(l;2 ]
2 > )[J ;2 ]
C )[l;2 >
R E S O L U C IO N : S i:2 < r < 3 = > r = 2 *
Si: 0 < s <3=>s = 2 v s = 2 * Luego: A = { 2 ; 1 } ; B
{x e R/2
-00
T 1
• T 2
+00
+00
—00 AuB -00
I I ) VERDADERA I I I ) VERDADERA
a2 > a > b a3 > b 3
a 3 - b3 >0 * Por to tanto, las 3 proposiciones son verdaderas. RPTA: “D ”
PROBLEM A 12 : Sean a , b , c y d cuatro núm eros reales positivos tal que a - b = c - d y a < c. Diga la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. T. O C | C O • |«>f . C Ot I) — < * — ; s i a < b I I ) ~ < — ; 8 i c < d I I I ) —< — b d d b b d A )F F V B )F W D )V F V E )V F F R E S O L U C IÓ N : * S e sabe qu e: a , b , c ,d > 0
* Además: a - b = c - b = > d = c + b - a a < c ........................................ I ) VERDADERA:
E )[2;3)
+00
A u B = [2;2]
O I y III
* Invirtiendo tenemos: 0 > a > b > - 1 a+1 > b + 1 I ) VERDADERA: '“T "
$ e R entonces VA e R
III) VERDADERO :
A ) (l; 2 )
B) II y III E) 8 0 lo II
OFVF
(I)
* S i: a < 6 = * ^ < 4 d e (D o d ~ (a -b )(a -c )< 0 ^ a (c + b - a )-b c < 0 a -b < 0 Q C a -b < 0 => ad - b c< 0 => a d < b c => —< — b d I I ) FALSA: _ c a * Si: a b a
* Dado que: a -c < 0 a a -b < 0 com o : (a - c ) ( a - b ) > 0
c 6 -(c + 6 -a )a > 0
, , c a => c b > d a => —> — I I I ) FALSA:
RPTA: “ D ”
PROBLEM A 1 1 :
—<—=> c - a > 0 por (c+b) b d => fc+6J(c-aJ>0=> c (b + c - a ) - a b > 0
5ea - < ~ < - l donde a y 6son números reales, entonces dadas las proposiciones f) (a + l f < ( b + l f I I ) a2 > t f
RPTA: “E M
[1336]
(u%M^ViWilWtK.u'X
PROBLEM A 13 : Partiendo de la desigualdad a 2 - 2 a b + b 2 * 0 donde a y b son reales no negativos , podemos demostrar que :
A ) a —b * 0 D)
a+b
* \¡ab
9. JiW!
B )a + b * ab
C )a + b < ,2 y [a b
E )a á b
.
CJCLOPE1P1A 2 0 1 2 ]
»
PROBLEM A 15 : _____ S ea el c o n ju n to A = { x e R ¡ 4 x - 1 e Z } . El elem ento de A que se encuentre en la posición 5 0 es. A) 2104 B) 2205 C) 2301 D ) 2402 E) 2403 R E S O L U C IÓ N :
* De acuerdo al dato: A = { X e R / 4 x - l e Z }
R E S O L U C IÓ N : * En lo dado : a 2 - 2 a b + b 2 * 0 * Sumando 4 a b ambos miembros :
* Asumiendo que: 4 x - l = K
a 2 + 2 a b + b 2 * 4 a b => ( a + b ) 2 * 4 a b
a
KgZ
* Entonces: K e Z % a x = K 2 + 1 * Luego evaluando para los siguentes valores: K = 0 => x t = ( ? + l
* Como : a b * 0
K = 1 => x 2-=12 l +1
a + b * 2\¡ab
_ o2 2 + 1 K = 2 => x3= R P T A : **D99
K = 4 9 = > x 60=492+1 = 2402
PROBLEM A 14: Dadas las siguientes proposiciones. ¿Cuáles son verdaderas?
* Por lo tanto , el elem ento de A que ocupa la posición 50 es: 2402
S i: a , 6 e R/a>0 a | 6 | < I = > ( a b + a + 1 ) es siempre m ayor que i . I I ) Si: a , 6 e i ? + el m áxim o valor que tom a
PROBLEM A El conjunto
I)
5ab a 2+ 2 + 3 a b 6S ’2‘ III) SU 3 + a 2 - a 4< M , V a e R = > e I menor valor entero de M e s 3. A )FFF B) V F F D) V V F E) V W R E S O L U C IÓ N : 1) VERDADERO : * Si: a ,6 g R ; a > 0 a |6 |< 2
C )F V F
0 < o 6 + a < 2 a
o
o a 2+62+3o6 * 5ab o 0 <
A = {x e R¡ ; a< - 4 a 2 - cuO'Jx+ax* } es igual 3 .
A ) ( - 0 ; co] w
a
B)
*00
C)IR
E)
D ) \— .*oo a R E S O L U C IO N :
2 -a x > 0
a 2 + 6 2
* 2ab
(-a o ;-
a
^ _ _____
x + a x 2 * O => 2 > a x a x ( 1 + < e x ) * 0 2 1 •Se sabe qu e: a < - 4 : x > — a O ú x ú — 'a a * Luego intersectando se obtiene: a
mm
5ab
<,1
a 2+ b 2+ 3 a b
5ab
:
* Resolviendo la desigualdad: C.V.A.
2 < a 6 + a + I < 2 a + 2
^ a6 +a + J>Í ¡I) VERDADERO : * Si: a , 6 e R + => ( a - b ) 2 ¿ O o
16
x e A o 2 -ax>\lx+ax? ; a <-4
entonces - K b < l a a > 0 o - a < a b < a o
R P T A : “ D*f
=1
-00
2 a
*mmnm O
f 1
+00
a
a 2+ b 2+3ab máx III) FALSO : * Por las condiciones del problema: 2 13
a 4 - a 2+—>3 - M+ 4
>
4
* Elevando al cuadrado: 2 - a x > 4 x + a x 2 w M
13 13 *Si se cum ple: VaeR=> — - M £ 0 = > M * - 4 4 Afmenor entero =d irA
RPTA: **D*9
4 - 4 a + a 2x 2 > x + a x 2 => (a 2 - a ) x 2 - ( 4 a + l ) x + 4 > 0 .................... ( a ) •A q u í: coeficientes principal = a 2 - a > 0 discriminante - 2 4 a + 1 < 0 * Entonces: ( a ) se verifica V x e R .
i*KonLMiA& h / v i t / t o s
1997
* Por tanto:
RPTA: “f í ”
I) Si x e { - 1 ; 5 )
A = r¡ r\r2 = (-oo; - 2 ] u [ i ; + oo) * Entonces: R - A = { - 2 ; 1 )
de
verdad
de
las
R P T A :“ D ” PROBLEM A 19 :
2x + 5
e ( 0 ; 1)
Resuelva: ( V s W s ) ' + ( V a - T s ) " * 34 A ) —3 £ x £ 3
II) Si x e [ 0 ; 4 ) = > ]j ^ - j - - 4 x + l > 0 III) Si
x +3
B)FVF E)VVV
C)FFV
J 2 <1 => —< 5 2x+5
III)
* Se sabe que: y¡3 ± ¿ 8 =y[3 ± 2 ¿ 2 = ¿ 2 ± 1 * Entonces,la expresión dada es equivalente a:
* Luego haciendo ( 4 2 + l ) x= a , tenemos: (V)
a + —¿ 3 4 ;a > 0 a
^
a+2+ — £36=5 a
£36
4 2 < J ™ ^ - * 48 Vx + 2
=>>/a + - Í £ 6 = > 3 -2 4 2 $ j a ¿3 + 2 4 2 ja * Finalmente reemplazando a resulta.
-l< -4 x + l ¿ 1
(4 $ - 1)2 <, Vr4 $ + i r s (4 $ + i) 2
16- x —4 x + 1 > o. x +2
x -1
C )-4¿x¿4
(¿ 2 + 1 )* + (¿ 2 - l ) x £ 34 => (4 2 + 1 )* + —jJ------- £ 34 (j2 + l)*
R E S O L U C IÓ N : * Al analizar las proposiciones se obtiene: I ) - l < x < 5 => 3 < 2 x + 5 < 1 5
II) 0 £ x < 4
B )¿ 8 ¿ x ¿ 2 4 8
D ) - 4 2 ¿ x ¿ 42 E ) - y ¡ 3 ¿ x ¿ 4 3 R E S O L U C IÓ N :
=> x < - 3
A) F V V D)FFF
(V)
x -1
(x+1) > x => ------------ x > 0 = > — <0
x+ 3
§u:r.\S4p]
= > x e ( - c o ; - 2 ] u [1; + oo)...................... (r2 )
A=C.S=C.V.A=[fl ; - ^ - j
PROBLEM A 17 : Determine el valor afirmaciones.
de
_
X
=>(42+1)-*
£(42+1)*
¿ (4 2 + 1 )2;4 2 + l > l
= > - 2 ¿ - ¿ 2 = * ~ 4 ¿ x ¿ 4 = > C.S. = H ; 4 ]
(x+3)
x+ 3
(V )
=> x + 3 < 0 => x < - 3 . . . * Por lo tanto , resulta V V V
RPTA: “ C“ PROBLEM A 20 : Calcule el conjunto solución de la inecuación : ( x - 2 ~ 2 ) 2+ 4 x + 2 < 0
RPTA: *4E ” PROBLEM A 18 :
Si el conjunto : A = { * e
m /1x 2 - 1
Entonces el conjunto
-
A) 4
r
a
- J\x - 1\ s 0 }
está dado por
B ) [ ~ 2 ; 2]
D)(~2 ; 1)
R E S O L U C IÓ N : * Transformando la inecuación dada tenemos:
+ 3 <0
C ) ( - 2 ; 2)
E) [ - 2 ; 1 ]
R E S O L U C IÓ N : * Hallando el conjunto A se tiene: I) C.V.A.: x 2 - 1 ^ 0
=> x e < -a o ;-2 ]u [l;+ c o )......... ............... ( rt )
* Luego factorizando por aspa simple, se tiene: [ X - 1 + * )(* '‘ 1 * 3) < ° ^° ( * '+ f ) ( * '+ T ) <0 * Entonces los puntos críticos son: { " ^ * ' " 7 }
II) Elevando al cuadrado yjx2 - l z j\x - 1\, se obtiene: x 2 - l ' z f a - l ] ^>1-xz £
x
-1 £
x
2 -1
= > 1 - X 2
(x + 2 ) ( x - l ) * 0 A x ( x - l ) Z O
-00
+00
* Finalmente: C .S .= lRPTA:
“fí
99
o d o m
\133S \ P R O B L E M A 21 : Los valores enteros x e y son los lados de un rectángulo. Si se cumple que a 2x + y < - f L a+1
1 -4 5
1 + 45
x < 1 + 45
- ? j x + y < l l + —í — f
* Solo resolvemos :
para a >
* Tomamos logaritm o en base 4 :
a2
u i a o /a ]
4
a +1
0,
halle el rectángulo de m ayor área.
A) 2 u 2 B ) 3 u 2 C) 4 u 2 D) 5 u2 E) R E S O L U C IÓ N : * Al sumar las desigualdades se tiene:
+ 2y <
a2 +
* Nos piden el m ayor valor x y con 2
1
en tal caso a + —j * Se sabe que: a
u2
V
a
2x + 2 y < 1 2 = > x + y
12
x ; y eN ;
=2 /menor
conjunto solución ( - 3 ,- 5 ) . Halle b + c A) 16 B ) 18 R E S O L U C IÓ N :
PROBLEM A 22 : Determine el conjunto solución de la inecuación 4X - 4~x < 1:
-4~5
B ) (-« > ; o)
E) (
C) 20
D ) 22
* La inecuación x 2 - 2 b x - c < 0 para todo jre n ( - 3 ; 5 ) .
E ) 24
se verifica ,
son raíces del polimonio P (x ). * Aplicando el teorem a de Cardano : x x + x 2 = 2b a x xx 2 = - c = > 2 = 26 =>6 = 2
RPTA: “ E ”
1\
]
4
* Luego : x j —~5 y x 2 = 5
< 6
i i 1 4 2 3 3 2 4 1 = 6 u2 (xy) * J 'mayor =2 x 3 = 6 => A_ ayor
A ) ( o ¡ h o g 4 f 1+^
Log
R P T A :“ C”
debe ser el m enor posible.
a
=> c s =
x < Log4
PROBLEM A 23 : La inecuación x 2 - 2 b x - c < 0 tiene como
a 2+ -^ j- £ 2 ; V a * 0 z=>ia2 + — * Luego:
6
C ) / - < o ; L og 4 ^1+^
Log4 4 i -
-1 5 = -c
c = 15
a
b + c = 16
R P T A :" A ”
PR O BLEM A 24 : ¿Para qué valores de * se verifica la inecuación?
, 3x+10 _ 2< <2 #+7 A) - H 2 < x < 7 B )-l < x < 5 D) 3 < x < 8 E) 1 < x < 5
C) - 3 /2 < x < 4
R E S O L U C IÓ N :
1< 3— — <2 o I < — <2 x+7 x+7
R E S O L U C IÓ N :
4X - 4~x < 1 x4x.»..(4x>0;Vx€lt) ) 2 => Í4X) - 4 * - 2 < 0 . ........................ (I)
a
J < 4X
♦H acem o s :4 x = m * En ( I) : m2 - m - l < 0 * Aplicamos el método de los puntos críticos : i-4 B 1+4E * Raíces : **j = — : ™2 = —
x+ 7 x+ 7 1 x+7 H < x + 7- < 1l l, => — ^ < x < 4 => — < ------ < 1*=> — 2 11 2 2
R P T A :“ C” PROBLEM A 25 : Dados los núm eros reales A y B tales que A < B < 0 , dé el valor de verdad de las siguientes afirmaciones :
1) Ak
II) -n r < -n r < 0 ; V6 e Z+ A* fl
Ak III) — > 0 ; V6 e Z * luego :
1 -4 5 1 + 45 -
A /F F F D )W F R E S O L U C IÓ N :
B )F W E )F F V
C) VFF
[m /fI O .V I C S « f7 < fiV O ^
1999
l* K 4 H U J :> L \S H IÍS IW I.T O S M
K K IltS lT ]
I) FALSA :
Como Ares par ,entoces: k = 2 n ;n e Z ♦Luego : A < B < 0 = > A z" > B 2n> 0 III) FALSA: Como A < B < 0 analicemos dos casos
-o o
—2
3
4
+ c0
C .S . = { x g R i - 1 < x < 3 u x > 4 }
:
RPTA:“B ” PROBLEM A 28 : ¿Para qué valores de a en la inecuación c u a d rá tic a s ig u ie n te se c u m p le q ue para
0 Si k = 2 n ;n < = z+ invertiendo ^ K \ < 0
elevando a la 2 n : —L~>—U ->0 2n 2n B
ii) Si k=2m+l
B
2n + l
todo x e R ?
2n+l
B) a e ( - 1 0 ;- 7 )
A ) a g (- 6 ; 2)
<0
D) a g (-15;-10)
III) FALSA:
C ) a e (2 ;3 ) E) a g (3 ; 6)
R E S O L U C IÓ N : ♦ Por el Teorema del Trinomio Positivo , se sabe:
Como A
eZ*
A x 2+ B x + C > 0 ; V x g R
RPTA: “A ” PROBLEM A 26 : ¿Cuántas de las proposiciones siguientes son verdaderas?
I)S i : \fx2> l
x 2+ a x - 2 < 2 x * - 2 x + 2
♦con: A ; B ; C e R = > A > 0 A B 2 - 4 A C < 0 * Luego aplicando el teorem a , resulta: (a + 2 )2 - 4 ( 4 X 0 => ( a + 6 ) ( a - 2 ) < 0 ^ > a e . ( - 6 ; 2)
=> x > l
RPTA: “A ”
II) Si : \£¿X>1 =>x2> l III)S i : x <-1 =>x2 <-1
PROBLEM A 29 : H alle el con ju n to solución de la s ig u ien te
IV )S i: x > l =>x2 > l
desigualdad: ¿ i - x + ¿ 1 + x ¿ ¿ M
V)Si : x ¿ <1=>x <1 A)1
B) 2
C )3
D)4
E) 5
R E S O L U C IÓ N : ♦Analizarrdo proposición por proposición , tendremos :
I) FALSA: /~T , * = > x > 2 v x < -1 7 vx > 2 = ^,¿ r, > 2 II) VERDADERA:
4 - H
]
“'b - í M
D )(-l;l)
E )[-l;l]
R E S O L U C IÓ N :
* Hallando el conjunto de valores admisibles C .V A . 1 - x 2 0 a 1 + x 2 0
y[Z¿ > 2 = > - x £ 0 = ^ x £ 0
entonces : - x 2 1 x2 > 1 III) FALSA: x < -2 => x2 > 2 IV) VERDADERA: x > l= > x 2 > l V) VERDADERA: x2<2=>-l
4 > Q. =$----------------------x - 3x - 4 > 0 x --------x -3 x -3
♦Usando puntos críticos :
(x+l)(x-4) >0 x -3
? - - ']
^
x
<1a
x
2 - 1 = > - 1 < x <1
♦ Entonces: 17 = [-2 ; 2] ♦ A l efectuar se tiene: 2+
2 V 2 -X 2
^ | x | = > 2 v 2 - x 2 ^ | x | - 2 ....... ( I )
♦ Como l x | - 2 < 0 , pues del C.VA. ! x | < 2 . ♦ En ( I ) se verifica Vx g U => C .S .[-2 ;2 ]
RPTA: “E ” PROBLEM A 30
si: -1 0 < a < -5
:
2 < b < -l ;2 < c < 5 ; e n t o n c e s
ab
está comprendido entre. A ) - 1 0 y - l B )- 10yl C )2yl0 D )2y20 E )0yl0 R E S O L U C IO N :
i'i)
*
5< -a< 10 (x) l< -b < 2
5
d)
1
iV.Üa
•De ; 2
1 1 1 » —< - < — 5 c 2.
(II)
*De (J)x(II) :1<— <10 c ab entonces estara — comprendido entre 0 y 10. R P T A :“ E "
P R O B L E M A 31 : Sea el intervalo cerrado f a ; b j e I complemento del conjunto solución de la desigualdad x 2 -{%[2 + y f 2 ) x + 2 m > 0 . Sea tam bién
\w -a6\ ^ 3 y \z - b 6\<5 . Entonces la longitud del intervalo que recorre la variable real w + z es : A) 6 B) 8 C) 10 R E S O L U C IÓ N : * Como: (x - $ 2 ) ( x - y f 2 ) > 0
A&x e Ac s
(-q o ;^ 2 ) u ( V
D ) 13
E) 16
2 ;+ o o )
[ ^ 2 ; V 2 ] = [ a ; ó ] =>
a = y f2 , b=>¡2
* Luego , reemplazando en las desigualdades: |uj - 4| ^ 3 a \z - 3| ^ 5 Siendo w , z e IB. -3
1
P R O B L E M A 32 : Una empresa contrató a un estudiante como promotor de ventas de un producto y le dieron a elegir dos modalidades de sueldo. Modalidad A : Una comisión de $ 3 , 2 0 por cada artículo vendido. Modalidad B : Un sueldo fijo de $ 8 6 0 más comisión de $ 1 , 8 0 por cada artículo vendido que exceda las 5 0 unidades. La suma de las cifras, de la cantidad mínima de artículos que debe vender para que la primera opción sea más conveniente , es: A) 9 B) 10 C)ll D ) 12 E) 13 R E S O L U C IÓ N : * Sea >r el número de artículos * Modalidad A : 3 , 2 0 x * Modalidad B : 8 6 0 + 1 , 8 0 ( x - 5 0 ) * Por condición del problema tenemos: 3 ,2 0 x > 8 6 0 + l,8 0 (x - 50)
g Q ltf)
PROBLEM A 33 : Sea N un número natural tal que la tercera parte de! que la precede disminuida en una decena es mayor que catorce , y la cuarta parte del número que el siguiente aumentada en una decena es menor o igual que veintinueve . Entonces la suma de todos los posibles valores de N es. A) 74
B ) 75
C) 149
D )73
E ) 222
R E S O L U C IÓ N : * Planteando ¡o enunciado :
N -l - 10> 14 => N>73, (I) 3 N +1 +10 < 29 =$ N < 75.............. (II) 73< 2 V £ 75 => T V e {74;75} * De ( I ) y (II): •Luego la suma pedida : 74 +75=149 R P T A :“ C " P R O B L E M A 34 : Sean x , z , N enteros no negativos. La cantidad de números N tales que 1 0 < N < 3 5 , que no se pueden expresar en la forma N = 5 x + 8 z es igual a : A) 1 B) 3 C )7 D) 5 E) 9 R E S O L U C IÓ N : * Sabemos: N = 5 x + 8 z * Luego por condición: 1 0 < 5 x + 8 z < 3 5 , existe 2 4 valores enteros : x g {0; 1; 2; 3 ; 4; 5 ; 5} z e {0 ; 1; 2 ; z = 0 => N = 5x z = l= > N = 5x + 8 z = 2 = > N = 5x + 16 z = 3 = > N = 5 x + 24 z = 4 = > N = 5 x + 32
3 ; 4} x = 3 ; 4; 5 ; 6 =>4 valorea x = 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 => 5 valorea x = 0 ; 1; 2 ; 3 4 valorea x = 0; 1; 2 =>4 valorea x =0 =$4 valorea
* Se aprecia que 1 7 valores que cumplen con dicha combinación lin e a l * Entonces , 7 números no se pueden expresar de dicha forma. R P T A ;“ C ”
PROBLEM A
35 :
x -a x -b A , Dada la inecuación , < -------- , con 0 < b < a x+a x+b Su solución es unión de dos intervalos , siendo uno de ellos. A )(-o o ;-6 ) B ) { - b ; 0) C ) ( - b ; + oo) D ){-a;-b) E ) ( - a ; + oo) R E S O L U C IO N : *De lo dado : ) — — x +a
=> l,4 x > 7 7 0 => x > 5 5 0
=> x={55f; 552;....} =$ xm¡n-551 => Y.c ifra s = ll
CICIAtPEUlA
^ J ^ x+b x+b
° <0 x+a
<-) x (b -a )
R PTA:“ C "
(x + a)(x + b)
<0
(x + a)( x + b)
>0 = * x(x+a)(x+b)<0
te n iic m x k g
n
a
i* * i
* Luego por puntos críticos:
«
1‘HOIII.K'LIS HKSirh:i,T1*X Mí KM’A S o)
a
* Por tanto: x e { - j 3 ; j 3 ) . R P T A : **D”
-a
- a o
« 6
0
PROBLEM A 38 : Halle la intersección de los conjuntos:
+ c o
^ C.S.x e (-a ; - 6} o (0 ; + a>) * Nos piden un intervalo
P=Jj e Rlx3 - 2x+a ¿ oj y Q=|x e JP/x2- ax- 2a2 Soj
♦ Por tanto uno de los intervalos es: ( - a ; - b )
donde 4 * a < l
RPTA: “D** PROBLEM A 36
c
:
, .
a 2(x~1) x a 5~x (a 23'"1)3' Sea la inecuación 5---------< —a 4 x + 2 con a 5x 0
C )0
D )1
E) 2
4
A) 4
B )[-a ;l-J l^ ]
D)\l + j l - a
„3 -4 x
. „ 2 x 2 -5 x -2
< a
jl-a}
u [l+ V i
- a ; 2a]
o x - J í iJ l - a v x - l S - f l - a 1+yjl-a
3 - 4x>2x2 - 5x -2=> 2 x 2 - x - 5 < 0
2 -00
* Luego completando cuadrados resulta: x -1 (4 x-lf< 4 1 = > = * -----------------
;1 -
y](x - l f ¿ y jl-a o |x- J|¿ j l - a
0 < a < l ; entonces
1 -J4 Í
E )[-a
R E S O L U C IÓ N : * Analizando el conjunto P se tiene: O x2 - 2x+a ’z O < = > (x -lf ¿ I - a #como—< a < l 4 por lo tanto: 0 < 1 - a; * Luego:
* Al afectuar miembro a m iem bro se obtiene: a * Se sabe que:
; oo)
=>p=
1 + JÜ
< x < ------------------
v x < 1 - V i-a
1 -J l-a
1 + J lT a
+00
(-oo ; I - V l - a ] u [ l + J l - a ;+oo)
* ahora analizando el conjunto (?se tiene:
x2 - a x -2 a 2 <0 -2 a (x - 2 a )(x + a ) < O
-2
l-$ 4 l - 1 0 1 1+J41 4 4 * Entonces , el menor valor entero es x = - 1 RPTA: “B ”
PROBLEM A 3 7 : Los números x que satisfacen la desigualdad 2 x2 + íl - 3 x 2 + l\-4 < 0 se encuentran en el
Q = [ - a; 2a] * Luego intersecando , se obtiene:
P r\Q =\ _-a ;l - J l - a ] u
[j+Va - 1; 2 a ] R P T A : “E ”
intervalo
A)(-j2;>/3)
B){-
D ) { - j3 ; j3 )
_ E ) ( - j2 ; j2 )
C
Ja )
R E S O L U C IÓ N :
* Tenemos por dato: \x2 + - 3 x2+ * Aplicando aspa simple se tiene:
2
-4 <0
(\x2 + l\ - 4 ) ( \ 2 Como: ( x 2 + l ) e R+ => \x2 + Entonces tendremos:
PRO BLEM A 39 : * Sea a tb e R tales que | x - a | < 2 6 . Entonces los números p y q para los cuales se tiene b , v x - q + 36 son respectivam ente. A )¡-;1 5
B ) ± ; f5 5
C )-1;1D )0;1
E ) - l h 5
R E S O L U C IÓ N : * Dado que | x - o | < 2 6 ; entonces b > 0 !
x2+l
x 2 + 1 - 4 < 0 = x 2<3 o —■ J 3
-2 b < x - a < 2 b
^ 6 < x - o + 36 < 5b < U 1 <
56 x - a + 36 6
5 x - a + 36
<1
J tA
c * Pero
<
p
\18*2\
x - a + 86
q ; (por condición)
i
y
í
s
'CJtCMjQPfflHA 8 0 1 » 1
b
* Ahora resolviendo la inecuación, se obtiene:
* Por lo tanto o b se rv a m o s que hay posibilidades de acuerdo a las claves:
*0=>X-1*0=>XZ1 Sj =[2;+«o)
-
u
-2
p = — a
*Por lo tanto, el CS. ={«Sj oS^};xg[2;2)
O 1 5 q = l, p = 0 a q = l
R PTA :“ B ”
2+co y
p = - 1a q = l
5 * Pero, si consideramos p y q máxima cota inferiory mínima cota superior respectivamente los valores serían: p = l / 5 y q = 1 RPTA: “A" PROBLEM A 40 : Determine en qué conjunto de números negativos debe estar contenido xpara que: x 4 - 1 7 x 2+ 6 0 x (x
>0
- 8x+5)
A )(-¡1 2 ;-¡5 )
B j ( —oo; - ¡1 2 )
C )(-¡1 2 ;0 )
E )(-¡5 ;0 ) R E S O L U C IÓ N ; * Al factorizar el numerador de la fracción obtenemos lo siguiente:
PROBLEM A 42 : Sean a , b , n enteros que verifican :
n -l< a + b < n + l jx *
w
7 ^ o * 6 ^ j%* * 8
10
(H )
a s + b *+ n 2 ' es 2 2 a 2+ b * - n 37 c )12
condición x<0, entonces:
D ) - 4 - ! 11
n - 1 < n - 3 + b < n + 1 => 2 < b < 4 => 6 = 3 * Del mismo modo en (III): *3 15 < „ ^ — < n < — => {n = 7 A a = 4 }
1 0 < n -3 + n < 1 2
4 + 3 + 7 * Entonces lo pedido es :
X
-¡1 2
'4
-¡6 RPTA: “A ”
P R O B L E M A 41 : El conjunto solución de la inecuación :
(U +3| + * - J ) ( W - 2 ) A){-2;2)
B )[l;2>
PROBLEM A 43
:
Halle el valor de P=\x-y\ donde x e y son números enteros positivos que satisfacen las siguientes desigualdades: 5x-3y > 2 ; 2x+ y< ll ; y >3
A )-l B)7 R E S O L U C IÓ N : * Del sistema :
OI
D)(-2}-l]
E )(-2;-1]
(I)
es C )[-l;l] v
[1;2)
2 x + y < ll
(ID -
y>3
.(UI)
D)8
(-) x5
R E S O L U C IÓ N : * En la inecuación, determinamos el cálculo del C. V.A.
2-W«s0a(|* + 3|+ * - 1 ) ( W - 2 ) * 0
* Reemplazando en (I) y (II):
í
2
a x
*{±2;-1)
*Luego, obtien e : C.V.A. = { * e (-2 ; 2) - { - j}...S j}
(5x>14)
a
E) O
x2
51 3
-2Sx
22
RPTA: "C ”
5 x -3 y > 2 ¡ 2 + ¿ \ { l - x 2)
37 “
x -4 l2 < Ó ; x - 4 5 < 0 ; x2 - 8 x + 5 > 0 * Por lo tanto, la inecuación nos quedaría así: (x + ¡ ¡ 2 ) ; (x + ¡s )< 0
E ) - 25 13
R E S O L U C IÓ N : * De (I) + (II) : 2 n - 8 < 2 a < 2 n - 4 =>n -4a = n -3 * Reemplazando en (I)\
(x 1 - 12Xx* - 5 ) _ (x + 4 l2 )(x - 4 l2 )(x + y Í5 )(x - 4E) x ( x 2 -8 x + 5) x (x * -8 x + 5) * Pero como
(ni)
......
- U y > -5 1
14 ^ 7 (2x<7)=> — < x < —
5
2
PHOMJ&MAS nKSIWl.TOS Mi REPASO] a I) a e ( 0 ; l ) <=> e (0 , + co) 1 -a
* Como x e Z entonces x = 3 ♦ Piden : \x - y|=2 RPTA: “ C” P R O B L E M A 44 : Dadas las desigualdades :
//J I íx < 2 o O S .& \ 2x 2 x * -l
x+1
\]x2y 2 + 2 (x - 2 ) < 0
III)- 2 < x < -1 o 4<2
0 - 3 ) | l + ]axy|| > 0 ;a < 0
A)VVV B)VVF C)VFF D)FFV E) F F F R E S O L U C IÓ N : * Analizando las tres afirmaciones para verificar su validez o no:
Luego, podemos afirm ar que x - y es : A) m enor qu e - 2 B) m en o r q u e 0 C) m enor que 2 D ) m en o r q u e -1 E) m enor que 1 R E S O L U C IÓ N : ♦De la primera inecuación :
/^Vernos que a e ( 0 ; 2 ) < ^ y ^ G { 0 ; + o o ) * Luego formando la expresión se tiene:
x 2y 2 2>0 => x 2y 2 + 2 * 2 = > $ x 2y* + 2 * $ 2 > 0 x - 2 < 0 = x < 2.
yjx2y 2 + 2 ( x - 2 ) < 0
= - 1 + -------- => 0 < a < 1 1 -a 1 -a (a ) o O < l - o < J o l <
(+) ♦Ahora de la segunda inecuación : 11 + |«^y|| > o ......... (por definición)
a ♦ Luego: y ^ e (
♦Luego : (y-3)|2+ |ax y|> 0= > y-3> 0= > y> 3— (fl) (+)
PROBLEM A 45 : Halle el valor de E = 4 x + 3 y , donde x ? y son los valores enteros que satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones. ' 'V 2x + y < l l y > 3 .. A) 20 B) 24 R E S O L U C IÓ N :
C) 25
0
1-a
<¿> 0 < - l +
;+oo)„
1-a
VERDADERA
II) 1 <, x < 2 o 0 S J— - < — 1 <. x 2x 2
•3 * Tomando x = 1 se tiene que: nz < 12- X ¡ 2 es FALSA. RPT/k:“D " * 2x 2 x 2- l
De a y p : x —y < —J
5 x - 3 y > 2 . ____
<8
III) - 2 < x
4<2
X+1
<8
♦ En efecto , como la función exponencial en cualquier base es creciente , se tiene que:
....(/)
x *-l
2 2< 2
(II) .(III)
X +1
<2
=> 2 < | x - 2 | i < 3 = >
E) 36
D) 32
* Efectuando 2+3(ZZ2): 5 x > l l - + x >
< -!< = >
2 2< 2
<29
2 < x -l< 3 v-3 < x -l< -2
=> 3 < x < 4 v - 2 < x < - I — ¿JxIjf+/ + 1 < 8 no implica ♦ Luego se observa qué 4 < 2
11
♦ Efectuando 2 2 - III: 2 x< 8 - x < 4 de donde obtenemos : ♦ Reemplazando (lV)er\ (II) : 2 ( 3 ) + y < l l ^ y < 5 ♦ Se tiene y<5\ pero por ( m ) , y > 3 luego, se concluye que ; y = 4 =>4(3) + 3(4) = 24 RPTA: “B” PROBLEM A 46 : Señale la altern ativa que tien e la secuencia correcta , después de determ inar la veracidad ( V ) o f a l s e d a d ( F ) de las s i g u i e n t e s proposiciones.
que - 2 < x ' < - 2 ; luego , la afirmación es FALSA. RPTA: “C” PROBLEM A 47 : Siendo X = jx g JBl\x2 - 5x|<4j e Y= jx g JR/\x2 - 6x+6| 5 2| Entonces , X n Y es igual a : A) 4
B ) [1; 4]
C ) ( - « ; - i ) u { 4 ; oo)
R E S O L U C IÓ N : ♦ Para resolver este problem a, utilizaremos el hecho que X n Y = j si y solo si no existe x que
[vllv
t U l A H 'L D l A
satisfaga simultáneam ente las siguientes Inecuaciones :
3023 ]
SI: x > O Eliminando los valoras absolutos: 3«+i -(3PU1J3 3X+2
X- | a | < 4 o - 4 < a < 4 Reduciendo: 3.* 3 —2.3*-1=0
4
Y: \a+ 6\*2< *-2*a+ 6*2< z> -8*a*-4 • Siendo x2- 5x = a (a en función de x) * Luego intersectando los valores de a se tiene:
M 8
-
4
4
* Se aprecia que no existen valores de a, entonces, no existen valores de x ; esto implica que X r> Y = j. RPTA ; “A " PROBLEM A 48 : Determine el conjunto solución de la inecuación : I* - 2|- 3|* + 22|< O
(-oo;- 32,5)u (-25,25; + oo) B) (-co;-22,5) C) (-225;-4,5) D) {-32,5;-15,25) E) ( - o o ; -32,5) u (— 4,5; + q o ) A)
| * -2 | < 3 | * + 2 2 | = > | * -2 | < | 3 x + 5 3 | ..
=> (x - 2 ) 2<(3x+63f => 0<(3x+63)2 - ( x - 2 ) 2 =>0<(4x+61)(2x+65) * Luego los puntos críticos son:
A- —
x=0
Si: - 1 á x á O eliminando los valores absolutos: 3X+1 +3 * -1 = 3 *+2 Reduciendo: 3 C#‘1 =3 Tenem os: x+1 = 1 d e donde: x=0 Oe - 1 á x < 0 SI: x < —1 Eliminando los valores absolutos: 3_x' 1 + ? / x - i = y x + 2 Reduciendo: 3*_1 = 3 Tenem os: —x—1=1 d e donde: |x = -2 |
C .S. {—2;0>
• L u e g o : C.S.= { - 2 ; 0 ] => x 1+ x 2= - 2
RPTA: "B” PROBLEM A
R E S O L U C IÓ N : *
Tenem os: 3=1
50 :
Sea la función f ( x ) = 4 + 3 l ( 4 -3 90nx) , definida en el intervalo <260P;360?]. Entonces los valores mínimo y m áxim o de la función son , respectivamente. 37 53 A )~ l y 5 B ) - l y O C ) j ¡ y 5 D ) 5 y 7 E ) ^ y 5 R E S O L U C IÓ N : * Se sabe que: f ( x ) = 4 + --------------
-4-00
(I)
4 - 3**nx
* Dado que: 2 6 0 ° < x * 360° => -2 * 8e#i* * 0 * Entonces: 3 ^ nx es creciente cuando - 2 * sen x * O * E n to n ces:
C.S.=(-oo;-32,5)vj(-25,25;*+«>) ^ RPTA: “A ”
P R O B L E M A 49 :■ Si {xx;x 2} es el conjunto
3|jr+íIx2 es: A )- 4
3* - 2
=3
solución
de
+ 2 entonces la suma de x x y
B J -2
R E S O L U C IÓ N :
C )0
D) 2
E) 4
* P o rta n te : — * 3 aenx* l 3 1 * Por ( - 1 ) : - 1 * -S *™ * ~ O Sumando 4 : 3 S 4 - 3 ™ * * — el recíproco
• Por 3 :
11 Sumando 4 :
4-3*cnx
*1
££ < 4+ 3 22 “ 4 -3"** mínimo
<
JjL máximo
f(x)
53 * De (I): f(x)máx=5 A fíx )m(n= 11
RPTA:“E”
MBSt18M iM ñ P R O B L E M A 51 : Las soluciones reales de L og^x 2~20 x ) = 3 son :
* Entonces , como la base es menor que uno, la
ecuación
R P T A :“ E ”
A) (-■£■;3) D ) JE
B )B -\ --;3\
inecuación
C)
x 2>4=> \x{>2
PR O BLEM A 54 : Al resolver la desigualdad:
X2 - 20 x=53 o x 2 - 20x - 125=0 x ^ ^ ^ -2 5 5 ♦Por tanto: x =25 v * = - 5 * Dado que estos valores satisfacen al C.V.A , entonces son las soluciones reales: x t = - 5 a x2 =25
la
2x2+l>
R PTA : **B99
C.V.A: x - 2 0 x>0 ^ x<0 v x>20 * Aplicando logaritmo se tiene:
de
2
se tiene:
A) no existen B ) únicam ente x = 2 5 C| ónicam ente x = 5 D j x ; = 5 , x g= 2 5 E) x t = - 5 , x s= 25 R E S O L U C IÓ N :
PR O B LE M A 5 2 : El conjunto solución Log3 \ 3 - 4 x \>2
UKOHBJMAS H IS I’EI.TOS l*K RICM&o]
35 3x + Logs 8 I r ’ determine la suma de todos los números x enteros que la satisfacen. A) 2 B) 4 C )6 D) 8 E)10 R E S O L U C IÓ N : * Analizando el problema tenemos:
—x 2 - 3 x + — > 0 2
8
4x2 - 2 4 x + 3 5 > 0 2 x ^ ^ -7 2 x 0 ^ -5 (2 x -7 )(2 x -5 )> 0 * Puntos críticos:
•
- f l '3
E)IR-(-^;3
R E S O L U C IÓ N : 3 X* Logg\3 - 4x\>2 o L o g 3 \3 - 4x1 >L'og3 9 4 * Dado que la base es mayor que l t se tiene \3-4x\>9t de donde : o 3-4x>9 v 3 -4 x < -9 = > — > x v 3 < x 2 * Finalmente: te — X
- x 2 - 3 x + — < l ^ > 4 x 2 - 24x+35 < 8 2 8 4x2-2 4 x + 2 7 < 0 = > ( 2 x -3 ) (2 x -9 ) < 0
m .
-3 2
* Puntos críticos:
R P T A : **B»»
PR O B LE M A 5 3 : El conjunto solución LogI/3(2x2+ l)< -2 es. B)
Logt ^ x 2 - 3 x + ^ < l o g s l
x
de
3 9 * €t 2 ; 2
la inecuacón *D e (a)r\(p):
|> 2
C ) \x \>
E ) \x \< 2 R E S O L U C IÓ N :
* Como: C.V.A.= 2x2+l > 0 ; Vx e R JY
* Resolvemos: L ogl¡3(2xz + l)< L o g í¡3\| 1¡3 3)
V2
CS = x e
2
2
2
2
* Nos piden soluciones enteras , entonces ; x = 2 v x = 4 son aquellas que satisfacen los requerimientos * Luego la E valores enteros es ; 6 R P T A :“ C ” PROBLEM A 5 5 : El conjunto de los números reales que satisface la inecuación: L o g e f x + 3 - 3 4 x + 1 ) < 1 es :
CIC1M PEU1A 2012} A) {ah 1 £ a <0}
B){alO
\x\<3 =$ x =-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2
C) { a j-l£ a < 25}
D) {ai3
x
E) { a i-K a < 0 } \ j { x í 3 < x < 25} R E S O L U C IÓ N : * Haciendo un cambio de variable : 4x+i = y / x 2 - l ; y 2 0 se tiene Loge(y2 -3y+2)
= -2 => |y|<2 => y = -2 ; 0 ; 2
♦ En: (x; y)=(-2;-i); (-2; o), (-2; i), resulta 3 pares x = -l=>\y\
y2 -3y + 2>0**(y
♦ Luego para x = 1 y x = 2 , por simetría resulta la misma cantidad de (x ; y ) que para jr= -2 y x = - 2 respectivamente.
♦ Resolviendo la inecuación : ->y2 -3 y + 2 < 6
-+y2 -3 y -4 < 0
y\< o no existe ( x ; y ) falto
<->y e (-2;4).......... (II)
♦ Por tanto, P tiene 8 elementos
♦D e (I)n (U ):
y e [0;i)u(2;4) ♦ Luego, reponiendo y por VíTT
RPTA: “B ” PROBLEM A 58 : La gráfica de la siguiente desigualdad x*+y*<2 es :
0 < Vx+2 < 2v 2 < 4x+ l <4 => -1< x <0v 3 < x <15 =>Los núm eros reales que satisfacen la inecuación son:
A)
lY
{ a / - l < a < 0 } v { x / 3 < x < 15} RPTA: “E ”
PROBLEM A 56 : Si la relación : R = {(2, 2a);(2,7);(5l l) : (l,3a-5);(7,9)} es una función, la suma de los elementos del rango de dicha función es :
A)22
B) 15
C)27
D)16
= (2;3a -S)= $2a = 3 a - S ^ a = 5 Luego : R={{ 1 ; 1 0 ) , ( 2 ; 7 ) , ( 5 ; 1 ) ,( 7 ;9 ) >
(l;2a)
♦ Entonces :
* '*
E) 10
R E S O L U C IÓ N : ♦Dado que R es una función :
♦
D)
R a n g /7 y = {1 0 ; 7 ; 1; 9>
♦entonces la suma de elementos del Rangf/y es ; 1 0 + 7 + 1 + 9 = 2 7
R E S O L U C IÓ N : ♦ Como gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = 2 una circunferencia de radio 4 2 , entonces gráfica de la inecuación x 2 + y 2 < 2 será región comprendida por el interior de circunferencia de centró C0= (0 ;0 ).
es la la la
Y
R PTA : “ C ”
PROBLEM A 5 7 : Dada la relación definida por: s
= { ( * » y ) e R
* * / b l < W » ’ l* l < 3 }
Halle el número de elementos del conjunto.
P A) 4
= {(* , y) e S/x , z Z } B) 8
C) 9
RPTA: “D ”
D)13
E) 27
R E S O L U C IÓ N : ♦ Sabemos que P es un conjunto de pares ordenados de números enteros. ♦ Analizando 5 en los enteros, se tiene:
PROBLEM A 59 : La gráfica adjunta corresponde a y = - x 2 + 6 x - 5 . Se inscribe un rectángulo con los lados paralelos a los ejes coordenados. Entonces la expresión para el área de ese rectángulo es.
K9TIttÑ1>&
1887
k ís i
]
P R O B L E M A 61 :
A )2 (3 -x )-[4 -(x -3 f ] y
A = {(x ; y)ly < 2 x 2+ 3 }
B) ( 3 - x ) [ 2 - ( x - 3 ) * ] Sea :
C )(3 -x )[4 -(x -3 f\
y)ly £
x -3 r 3 x ^ 2 * l D) 2 (3 -x ^ 4 -
u e k m w a s o
- í ^ }
Una de las regiones sombreadas adjunta, representa ( A- B) kj ( B- A) '
(x -3 )2
R E S O L U C IO N : * La ecuación dada es : y=-**+ 6x -5 y su gráfica viene dado por :
Y
R E S O L U C IÓ N : •Graficando cada ecuación : 2
-(x-3 ) + 4 ••
A ~[(x; y) f y < 2x2+s}
(6-x;-(x-*?) + 4)
B )^ x ;y )!y Z ~ x + 4 ^
a
X 2(3-x) • Luego el área del rectángulo es : 2 (3 -x )[-(x -3 )2 +4] = 2 (3 -x )[4 -(x -3 f~ \ - . RPTA : f A tf P R O B L E M A 60 : La gráfica del conjunto :
4
x * Luego :
(A— B) A y
(B-A)
%%
ju ífO .-O /J e s :
A=
(A -B )\j(B -A )es :
R E S O L U C IÓ N : * Analizando tenemos: A = { ( x; y) f ( x>0 a y < x 2 ) v (x<0 a y Z. - x 2 ) } u { ( 0 ; 0 ) } * Finalmente resulta la siguiente gráfica:
Yk *i
PR O B LE M A 62 : Dadas las sig u ien tes
inecuaciones
x 2 - y < 0 ; x + 4 < 3 y ; y < x + 2 , en ton ces los pares (x ,y) que satisfacen estas inecuaciones están representados por la región sombreada . C)
V M \ ia * s \ R E S O L U C IÓ N : ♦ Al graficar por partes se observa: x 4 Il)y>H + 3 lU)y
r
.
y > - 3 a y < 8 ^ y = { - 2 ; - l ; 1:2) => loa parea to n : ( 3 ; - 2 ) ( 3 ;-l)< 3 ; 0)(3 ; 1) (3:2)
♦ Por lo tanto, tiene 17 pares ordenados. RPTA: “B**
r
tir -i
P R O B L E M A 64 : La gráficas de la desigualdad |x|+|y| < 4 e s
*
é 4
l* 3
i
C IC IJH * E O L\ 2 0 ÍS ]
A)
Y
4 -4/ \4 \ / X -4
X * Luego intersectando obtenemos: D)
Y* -2*
%
-2
* Por datos los bordes no pertenecen a la región, por lo tanto la alternativa más próxima es la A . RPTA: “A ”
R E S O L U C IÓ N : ♦Analizando dos casos se tiene: y* 0 y< 0 A
Y
Sin considerar los bordes de la región , cuántos pares ordenados con coordenadas enteras tiene dicha región. D)14
A
y < 4-
PROBLEM A 63 : Sea R la región limitada por las curvas ;
A) 18 B) 17 C) 16 R E S O L U C IÓ N : ♦Realizando los gráficos :
X
E) 15
y > \x\- 4 lY
\4 \X 4
- i r♦y / " jt -4
♦ Por lo tanto , uniendo las gráficas resulta: Y 4i ✓ h L# r t( V \ / x \
RPTA:“E ” PROBLEM A 65 : Sean A y B los con ju n tos dados A = { ( x , y ) e R sl y < x + l} B = { ( x , y ) e R 2fy Z x 2} La gráfica del conjunto
y >(x-2)2 - 4 a y < 4 - ( x - 2 ) 2 ♦ Los pares ord en ad o s que presentan componentes enteros son : ♦ Para x = l : y > - 3 a y <3=>y = { - 2 ; - l ; 0 ;1 ;2 ) =» losparesson .*(7 ; - 2 ) ( l ; - l ) (1;0) (1;1) (1;2) ♦ Para x = 2 : y > -4 =>
a
y <4=>y
=
; - 1 ; 0 ;1 ¡ 3 )
k*pm *s9on: (2 ;-3 )(2 ;-2 )(2 ; - l ) ( 2
♦ Para jr=J ;
;
O) ( 2 : 1 ) ( 2 ; 2 ) ( 2 ; 3 )
£ = {(*, y) e R 2I ( x , y) e A a (xf y ) e B } es: A)
D)
B)
por
19*9
prom jm as
nt:sM'Ki.n*s / » ;
repaso)
PROBLEM A 67 : Sea el siguiente sistema de inecuaciones:
R E S O L U C IÓ N : ♦Graficando los conjuntos dados :
3x2+2y <4 2x + 3y2 < -2 Entonces, el conjunto representando por la región:
solución
está
Y
* Nos piden : C { ( x ; y ) e ü 2/(x;y) e ¡(A o B)} * Es decir: C = A c \ B Y
ru R P T A :“ B "
PRO BLEM A 66 : Determine el número de puntos de A n B , si A y B están dados por A = { ( x ; y ) e
R 2 /\x\+\y\s4)
y 2 > 2 x + 2,
B = { ( * ; y ) e R*/|*|-|y|s 4} A) un p u n to. D) ocho puntos.
CJIII A)1 B)II R E S O L U C IÓ N : * Se tiene: ¡y < 2 -\x
B ) do» pun tos. C) cu a tro puntos. E) infinitos puntos.
R E S O L U C IÓ N : ( * Como: A = { ( x ; y ) e R 2l\x\ + \y\í4} T *!
EJV
D)IV
(I)
(II)
* Graficando las desigualdades (I) y (II) (U)
a)
T .m
T • Intersectando ambos gráficos: r
B={(X;y) e £ 2/W -|y | ¡> 4¡ => W S W - 4 y ^ -W + 4 * Por lo tanto, la gráfica corresponde a la reglón IV
RPTAC'D” PR O BLEM A 68 : Dada la ecuación de la circunferencia x 2+ y 2= l . * Se observa que la Intersección: A fl B = { ( 4 ; 0 ) ; ( - 4 ; 0 ) }
* Por lo tanto , el número de puntos de A D B es 2. RPTA: “B ”
Para cuál de los siguientes valores de a , la recta: L : x + 2 y = a , es ta n g en te a dicha circunferencia.
A)1 B ) - $ 3
C)-2
D)2
E )-$ 5
r a ia iig g o n R E S O L U C IO N : ♦Graficando las ecuaciones dadas ,así : Yk
CMCLOPlilUA s o i s ]
♦ Luego se ob serva que los puntos de intersección son: A = (r ;0 ) a B = ( 0 ; - r) =>G & = {(r ; 0)f( 0 ; - r ) } RPTA: “ C " P R O B L E M A 70 : Sean f l x ) = - ( x - l f + 2 . S \ A (x )= b f(x )l(l-x ), con
Sf: x + 2 y = a ;a > 0
b > 0 y f ( x + b ) = f ( x ) . Halle en que intervalo se encuentra A ( x ) , cuando o < x < 1 A ) (-6 ; 7 ) B ) { 2 ; 4 ) C ) ( 0 ; l ) D ) { 0 ; 4 ) E ) ( l ; 4 )
Sf: x + 2 y = a ;a < 0 ♦ Se observa dos rectas , cumplen tales condiciones y que el sistema : x * + y * = l.............................................. (I) x + 2 y = a ..............................................(II) Posee solución única (Por ser tangentes) ♦ De (II) : x = a-2y. ♦ En (I) : ( a - 2 y / + y 2= l .
R E S O L U C IÓ N :
♦ Por dato : f ( x + b ) = f ( x ) = > b = 2 - 2 x ♦ Luego :
♦ Pero : o < x < l
=>6y*-4ay + a 2 - l = 0=>A = ( - 4 a ) * - 4 ( 5 ) ( a * - l ) = 0
= > - J < x - l < 0 = > l > ( x - l )* > 0
=>a = -4 É v a = 4 Í
=> 2 < - 2 ( x - 1 ) 2 + 4 < 4 RPTA: “JE”
PR O B LE M A 69 : El conjunto de soluciones del siguiente sistema
¡ x 2+ y 2= r 2
(I) para r > 0 , es: x - y = r...... (U )
A )* B) un con ju n to u n ita rio C) un con ju n to con dos elem en tos D) un con ju n to con tres elem en tos E) un con ju n to con c u a tr o elem en tos R E S O L U C IÓ N : ♦ Reemplazando (II) y = x - ren (I) se obtiene: x 2+ ( x - r ) 2= r 2 => 2 x ( x - r ) = 0 => x = 0 ♦ Luego reemplazando Sí: x = 0 tenemos y = Sí: x = r tenemos y = ♦ Entonces el conjunto C .S . = {(0
Otra forma
2
(x)
< 4 => RPTA: “B ”
P R O B L E M A 71 : Determine el conjunto de valores del número
real rtal que la función fíx)=(rx2 -2 rx + ir* esté definida en [ 0 ; IJ. A ) [ - o o ;0 ) B)(0; +
00)
,
C j [ 0 ; 2 > D){-
R E S O L U C IÓ N :
♦ Al estar f ( x ) =
1 definida en [ 0 ; 1 ] t rx2 - 2 r + l
se cumple: nx?-2rx+l*0;\bce{0;2] * Si x = 0 =>(se cumple y r e J2)
x=r en (II) se observa: - r 0 de solución es: ; - r ) ; ( r ; 0 )} v
♦ Al graficar la circunferencia y la recta se tiene:
* Sixe(0;l] despejando r e dado que :
1 (x-l)2-l
0< x¿l= > -l< x-l¿0 ^ > 0 ¿ ( x - l ) 2< l = > - l ¿ ( x - l ) 2 - 1 < 0
1 1 S -2 = > (x -1 )2-1 ( x - 1 ) 2 -1 ♦ Luego , f e stá definida en [ 0 ;1 J si re(-co;2) RPTA:“D ” P R O B L E M A 72: La gráfica de función fíx) =\x - 2\ + \x - 4\ e s
f
definida
por
[F9ir/OA7;.v wyTB/.to^
flfeMt 19*1 USES CT *y
A) i r
PKOM.KrtAS H i:si T v J . T O
rt
UK KMíPA&O ]
P R O B L E M A 74 : Asuma^ue la función f , dada por * n s f(x ) = ^x + 2 a [ x + 2 a [ x + está bien difinida (los puntos suspensivos indican un proceso infinito). Entonces también podemos escribir. _______ A ) fíx ) = 2a + x B) fíx ) =2yja 2 + x 2
J
D) \Y
2 , 2 x +a
C )fíx )
D )fíx ) = ° v x + a
2
E) fíx ) = a +yj a * + x R E S O L U C IÓ N : * Para graficar f , redefiniremos esta función ,y graficando : yj
R E S O L U C IÓ N : * Si: fíx)— ¡x+2ayjx+2aj¡v+Z.;fíx) * 0 fui
í6 -2 r
f(x)
;
* Expresar: f ( x ) = y j x + 2 a x fíx)
x<2
* Elevando al cuadrado ambos miembros y completando cuadrados resulta:
; 2 ^ x< 4
2
2 x-6
;
4 íx
f 2(x) - 2af(x) + a 2= x + a 2 RPTA: “C” P R O B L E M A 73 : Indique la gráfica que mejor representa a :
x2 - 4 - 3 ; x e R
f(x )=
=> ( f í x ) - a ) 2 = x + a 2 * Despejando :
( f í x ) - a = ± ( yjx + a 2 )=> f ( x ) = a ±(
y
f í x ) = a + y ¡ x + a 2 > 0 , VaeJR
B)
A)
RPTA: t4E ” P R O B L E M A 75 : El rango de fíx) = -r-¡[.(x - l ) 2 + 2\x\] es : 1*1
A )R -[-l; J]
°A k ¿ L ,-2
; I) C){0,aá¡ D){-^Ó¡ E)[-U ^
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N : * Graficamos paso a paso :
f í x ) = ^ [ f x - l ) 2+2\x\\ ; D o m f = R - { 0 ) • Si / *>0.* fi(x)=Z[(x - l f + 2(x)] - Xa + 1
V
•Si;
v \¿ V V / V
(-x)
x*+i
ffx)
a
(x~ 2f+ 3
+
X
- 2
/ +
; x >0 3
¡ x<0
* Al graficar F se observa :
Lucqoc * H U * - 41-31
* Por lo tanto:
Ran(f) = (-oo;-J) u (l;+co)= R - [~l;l]
l
|
1
¡7
RPTA: “A”
*
•Si queremos aproximar la gráfica de A a una de las alternativas dadas podría ser la D.
RPTA: “D”
P R O B L E M A 76 : El rango de la función f: JR\{0} => St definida por
fíx)=x+— es: x
n a o rm i A ) JB- ( - 2 ; 2 )
B ) m - [ - 2 ; 2]
D ) M - [ - l g 1]
E)S-{0}
C ) S - { - l ; 1)
R E S O L U C IÓ N : * Dado que: x * 0 . => x > 0 v x < 0 => * + — £ 2 v x + — £ -2 X X
=>^r+¿j e{-®;-2]u[2/ + oo)=>Ran(f)=M - (-2;2 ) RPTA: “A PROBLEM A 77 : Dadas las funciones :
'Factorizando: f ( x ) - 5<5x' ' 3 )(x ~ 2) 5x+3 * Reduciendo:
f(x)-5(x-2)
«Si:
xe
/ 3 3 \ 5’S
* Entonces:
3 5
«Restando 2:
2 < x -2 s | -2 5 5 ~
★Por 5:
ffx) = yjx2 - 4
ro ir ]
3 5
< X - 2 s I = > -1 3 < 5 (x -Z )¿ - 7 5 5 f(x)
7 £ 5 x -2 0 l< 2 3
; g(x) = y jx -2
halle el rango de ffx) g(x) A ){2;4)
Por lo tanto , el rango de |/}*j|es [7 ;2 3 > .
B ) { 2 ; + oo)
D J ( - 4 ; - 2 )
C J (-o o ;-2 >
RPTA : “D 99
E)(0;+oo )
P R O B L E M A 79 : Sea ffx )= x 2+ —^ + l una función definida para los
R E S O L U C IÓ N : ♦ Analizando las funciones tenemos:
q ue c umplen la siguiente relación: j x 2 - i < >/3 -Halie el intervalo donde varía ffx)
/fxj = yjx2 -4 =>Dom(f) = {-oo;-27 U[ 2; +co) * ,x>=
1 . *
Dom(g) = (2;+oo)
A)
2 ;
- 2]
B ) [2 ; 2 , 2 5 )
C) [2 ; 5 ]
* Entonces
D ) [2 / 5 , 2 5 )
• D om ff x g )= D om (f)n Dom (g) = (2;+a>)
R E S O L U C IÓ N : ♦ Hallando el dominio de la función a partir de
• (f Xg)(xHf)(x) XgW = 4x 2-4 =>(f *g)(x)=4x +2; Domf f
yjx2 - l <43 , se tiene:
Jx -2
xgjfrj = <2;+oo)
♦ Luego hallando el rango
R J [3 ; 5 ,2 5 )
I) x 2 - l e t 0 o x e (-o o ;-2 ]l^'[2;+oo).-.C .S,J
, resulta
II) x 2 - 1<3 o x
g
(-2; 2)...............„...C.S.2
Domff) = C.S.2 rtC.S. 2=(-2;-2]v-»[2;2)
x e D o m ff x g )= > x > 2 ^ x + 2 > 4 => y j x + 2 > 2 => ( f X g )(x)> 2
♦En: /*(xJ = x 2+ -^ -+ 2 ; / / -xJ=/T xJ;V e Domff) x
♦ Por tanto , el rango d e : / / 'x g j = (2;+oo) RPTA
i9l
P R O B L E M A 78 :
5x 2 - 7 x - 6 , definida Dada la función /TxJ= x +3/5 sobre (“ f »’§]• Halle el rango de |/*|:
♦ Se observa que es: función par. ♦ Por lo tanto, será suficiente analizar en: x g [ 2 ; 2 ) además ,
f '(x) = 2^x ffxj es creciente Vx
) > 0; Vx g [2 ; 2) g
[2; 2)
/TxJ g [/Y2J;/Y2J) => ffx) g [3;5,25) RPTA: “E”
AJ ( -
23
2>J[7;23)
-
B J (-
23
5 RJ (7 ; 2 3]
R E S O L U C IÓ N :
-
[7 23 CJ 1.5 ; 5
PROBLEM A 80 : La función f, que para todo x diferente de 0 ; 1 y - 1 satisface la ecuación.
es
W M 'iasa I M
Í>KOIHJ:.*IAS KICSIJEMSTOS MHi KlCrA&o]
Determine el valor de A) f(x,J \ ^ M ± Z Ú . J '
B) ^ = 2 [ ^ ™
] '
L
_ f J x2 (1 + x) C)fM = ^ [ ^ ~ J 3 D )f(xt
A) 0 B) 1 C )2 R E S O L U C IO N : ♦Nos piden:
B‘ f'-'m4P r r
(g + f ) ° f - 2
Sugerencia: tener presente que 1 -x 1 -z z = ------ <=>x = ----1+ x 1+z R E S O L U C IÓ N : ♦ De la ecuación: - x fix ff +x al cambiar x por
7t t
g°g
-" (H )
(I)
(II)
RPTA: “A P R O B L E M A 81 : Sean las funciones : £ G = { ( 3 ; 9) ; ( 4 ; 1 6 ) ; (5 ; 25) ; ( 6 ; 3 6 )}
1
V.
+
D)
G o F = {(1 ; 9) ; (2 ; 1 6 ) ; (3 ; 2 5 ) > ) (4 ; 3 6 ) } A) F={(1 > 4) ; B) F={(1 ; 2) ; C) F={(1 ; 3) ; D) F={(1 ; 3) ; E) F={(1 ; 3) ;
(2 ; 3) ; (2 ; 4) ; (2 ; 4) ; (2 ; 4) ; (2 ; 4) ;
( 3 ; 6) ; (3 ; 6) ; (4 ; 6) ; (3 ; 5) ; (3 ; 5) ;
X
*
(4 ; 6)} (4 ; 6)} ( 5 ; 6)} ( 4 ; 36)} ( 4 ; 6)}
R E S O L U C IÓ N : ♦ Por dato , tenemos: G = {(3 ; 9) ; (4 ; 16) ; (5 ; 25) ; (6 ; 3 6 )} ♦ Luego se sabe que. (G o F )(l)= 9 => G(F(1))=9=> F(1)=3=>(1;3) e F (G oF)(2)=16 => G(F(2))=16 => F (2 )= 4 = > (2 ;4 ) e F (G oF)(3)=25 =>G(F(3))=25 => F(3)=5 =>(3 ;5 ) e F (G oF)(4)=36 =>G(F(4))=36 =>F(4)=6 =>(4 ;6 ) e F
•Por tanto
,F es : F = {(1 ;3 );(2 ;4 );(3 ;5 );(4 ;6 )} RPTA: “E ” PROBLEM A 82 : En la tabla siguiente aparecen varios valores de dos funciones f y g . X 5 6 7 8 fix) 8 7 6 6
g(x)
7 8
E) 4
(6)A ( g + f ) ° f ] ( V - 2 g o g(6)
f(x)=x2 -\X\ A g(x) =Jx . Entonces la gráfica de la función composición g o f e s aproximadamente Y A) Y
f(x)
X
D) 3
g(g(6)) (f+g)(7)-2 _ f(7)+ g(7)-2_ 6 + 6 - 2 = g(8) g(8) 5 RPTA: “ C” PRO BLEM A 83: Sean f, £ : [ l ; 00) => R funciones definidas por
se tiene que:
obtenga F
gog
usando la tabla se tiene
*Luego dividiendo (I)2 * (II) resulta: 2
(6)
♦ Sebemos que: (fog ) ( x ) = f ( g ( x ) )
1+x
f 3(x)
U g + f) o f- 2
6 5
1
I +%
¡LA
H i
R E S O L U C IÓ N : * Por datos: _ 2 f(x)=x* -|x|» x ¿ 1 => f(x)= x2 - x ;
x¿I
g(x) = J x ; x ¿ 1 * Se sabe que: (g o f)(x) = g(f(x)) ♦De donde: x e { x e D om (f)/f(x) e D om (g )} ♦ Entonces: ( g O f ) ( x ) - ¡ X 2 - x ; X e { * * i/ * * - X 2l 1 }
♦Sea: y
x;xe
;+®
=ar - x
i “íK * ~ í)
■y2=^ (hipé,boia)
♦ Finalmente graficando (g o f) tenemos:
1 W | E
2 0 í2 )
Xj * x 2 pero f í x 2) = f ( x 2 ) RPTA: “E” PROBLEM A 85 : ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una
1+yfS
característica de la función f íx )= Ln\x\? donde RPTA: “A ”
PROBLEM A 84 : Determine el valor de verdad de las afirmaciones. I) Si x1=x2 =>fíxl)=(x2) para toda función f . U) Si fíx )=
- ; x e [ -2 ;4 ) =$ f es una función a x —4 sobreyectiva sobre x e [ - 2 ; 2 ) . IIíJToóa función impar es univalente.
AJVW D )F F R E S O L U C IÓ N :
B )W F E )V F F
C)FVF
A ) f e a u n a fu n ció n p a n B) C on form e x se a c e r c a a 0, f í x ) dism inu ye. C) Si x a u m en ta , sien d o p o s itiv o , en ton ces fíx ) tam bién a u m en ta . D ) Si x d ism in u ye, sien d o n eg a tiv o , en ton ces fíx ) tam bién d ism in u ye. E) Si x d ism in u ye, sien d o n eg a tiv o , en to n ces fíx ) au m en ta. R E S O L U C IÓ N : * Si graficamos la función: L n x ; si x > 0 fíx) = Ln\x\ L n ( - x ) ; si x < 0
I ) VERDADERA : x ¡ = x 2 entonces los pares ordenados ( x 2; f ( x 2) ) ; ( x 2 ; f ( x 2 J) => f ( x 2 ) - f ( x 2 ) II) FALSA: * Siendo: f: \-2 ; 4 ) = $ B tal que f ( x ) = — - —
L
ax-4
* Probando para a > 0
A) f ( x ) e s función par, es válido puesto que I) x e Dom(f) =R - {0} => (-x)e Dom(f)=R - {O} I I ) V e Dom(f)=R
- {0}:fí - x)= fí - x)
B) Cuando x se acerca a 0, ffx ) disminuye es válido pues : L im fíx ) = -co K
x -* 0
C) Si x aum enta, para valores positivos, entonces fíx) también aumenta, es válido pues
L im fíx ) = + oo X+®
R a n f = ( ^ ; f ( - )]u{f( ) ^ ) = B 2
<
4
»
■
•
(c o n ju n to d e lle g a d a )
* Restringiendo x a [ - 2 ; 2 ) se deduce: f ( 4 ) * f ( 2 ) => f no es sobreyectiva III) FALSA: ffx) = sen x es una función impar, pero f= sen x
D ) Si x disminuye, paira valores negativos, en ton ces f f x ) a u m e n ta , pero segú n al alternativa: * Si x disminuye, siendo negativo, entonces fíx ) también disminuye, lo cual falso pues:
Limfíx)=+
E) Si x disminuye cuando x es negativo entonces f f x ) au m en ta, es válido pues: L im fíx ) = -No jr-Mo RPTA: “D ” PROBLEM A 86 : Si la gráfica adjunta, representa a y = fíx) 4
l*KOIU.t:?tAS Ht.Sl W.T49S Mi REPASO J ¿cuál de las gráficas, representa a : y = f(~x) ? A)
1 B)
4 V “
C1 ^ 2
R E S O L U C IÓ N : * Analizando la gráfica y=f(x), tenemos:
y = f( x ) = - ± x +l * Luego y=/T-¿r) será: 7 = f f - # ) = ^- + 1 J * Graficando:
De las siguientes relaciones: a 6 n2=4m p II ) m n III) abc=m np ¿Cuáles son verdaderas? A )S olo I D )Iy II
RPTA: “ D 9» PR O B LE M A 8 7 : Sean
f ; R => B ; g ; # / { 0 } => R
funciones
B )S olo I I E )II y III
O S oio n i
R E S O L U C IÓ N : * Del gráfico las funciones f y g . ( l)...a x 2+ 6 * + c= 0 son equivalentes y ( 2 )...m x 2n x + p = 0 tienen solución única
*. é * D e ( 2 ) : A = 0 => n 2 - 4m p = 0 => n 2 = 4mp gM~ — x '* Luego , por ser equivalentes tenemos: ¿Para qué valores de m las funciones f y g a _ 6_ c a _ 6 admiten dos puntos de intersección? m n p m n A) { -2 ; oo) B) (-1 8 ; 0) u (0; <*>) C) ( - 4 .^ 1 8 )
definidas por f(x)=m x+12; m * 0 .
•Nótese que 5 > /n por ser la gráfica de f más
£>){-co ;co) E )(-1 8 ; 18) R E S O L U C IO N : •Al graficar funciones nota que intersectan dos puntos :
cerrada que la de g , entonces — * 1 * Finalmente : m afee o _ fe _ c * I => afee * mnp m np m n
m>0
las se se en
* Luego solo / y II es correcto RPTA: “D ” m<0
* Igualando las reglas de correspondencia : o mx + 12 = — => mx1 + 12* - 2 » 0 ;C .S .{* 1;jcs )
PRO BLEM A 89 : Indique la gráfica de g M = f(x + \ x \ )f si la gráfica de f e s :
=> 3{* j; * j } c R o A > 0 * Luego 22 2 + 8 m > 0 => m > - 1 8 * De la gráfica m > 0 ó m < 0 * Luego de estas desigualdades obtenemos : m e {-1 8 ; 0) u (0 ; oo) R P T A :“B ” PROBLEM A 8 8 : En la figura adjunta se muestra las gráficas de as funciones f y g definidas por: f(x )= a x 2+ b x + c g ( x ) = m x2+ n x + p
*
[ *%
4 j¿
C1CLOPED1A 2012
R E S O L U C IÓ N :
f(y )= (2 -> j4 -x )2
♦ Se la regla de correspondencia obtenida del gráfico: f 1( x ) = l , 0 < x < l f(x > = f 2( x ) = 2 - x , l< x< 2 ♦ Piden el gráfico de: g ( x ) = f ( x + \x\) ♦ Luego calculando g tenemos:
P R O B L E M A 91 : Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta , d e sp u é s de determ in ar si la proposición es verdadera (V ) o falsa (F ) . I)Sea : r => r una función biyectiva y creciente, entonces t x\ R => R es decreciente.
1) g 1(x )= f1(x + \ ^ )= l;0 < .x + \ x \ < l
II) Sean f, g : m ^>r fundones decrecientes tales que fog existe , entonces fog es decreciente.
=>gt( x ) = l ; x < — ® g2(x)= f2 (*+WJ = 2-fx+|x|J;J
RPTA: "A ”
g (x ) =
1 x< — 2
g 2( x ) = 2 - 2 x , —< x < l ♦ Por lo tanto , la gráfica es: Y
III) Si f . R = > R es una función creciente y definamos una función g: r ^> r mediante g( x) =f( \x\) , VxeRf entonces g es creciente. A)V V V D)F V F
B)VFV E)FF F
C)FVV
R E S O L U C IÓ N : ♦ Analizando las afirmaciones mediante contra ejemplos se obtiene: I) Sea f( x )= 2 x + 3 creciente , entonces:
1 es crecientes la afirmación es falsa. 1
1
I I ) Sea f(x )= -3 x + l decreciente g(x)=>hx+lfxúO decreciente .
X R PT A :“ C”
PROBLEM A 90 : Dada la siguiente función: f ( x ) = 4 ¿ x - x ; x e [0,2]- Halle f*(x ) , donde f* es la inversa de f.
♦ Entonces: ( f o g ) ( x ) = - 3 j ¿ ¿ x + l , x < 0 -
A ) f (x)= ( 2 - 4 1 ^ 5 f
B )f(x)=(3-¿4^xf
III) Sea la función f(x ) = L n x creciente , entonces: g(x)=f(\x\)=L n{\x\)¿ce J S -{0 )
C)f'(x)=(2+¿4-x)2
D )f'(x)=(3+¿4-x)2
♦ Observamos que: f o g es creciente afirmación es falsa.
la
♦ Observamos que: g no es creciente ni decreciente en todo su dominio.
E ) f '( x ) = ( 4 -¿ 4 ^ 5 ) 2 R E S O L U C IÓ N : ♦ Se sabe que: f ( x ) = 4 j x - x ; 0 < x < l ♦ Entonces haciendo f(x), así:
y=f(x)=4 - (¿x —2 )2 ♦ Se aprecia que f e s decreciente para x e [0;l\f por tanto es inyectiva. Por tanto existe f*. ♦ Luego hallando la inversa: x=f*y) ♦D e: y = 4 - ( > f x - 2 ) x se tiene ( 4 x - 2 ) 2= 4 - y ♦ La afirmación es falsa. ♦ Entonces tenemos: FFF
<=> -sfx - 2 = ± J é - y o yjx=2±y]4 - y
♦ Dado
que 0 < x < 1: J x = 2
- Jé -
y
RPTA: “E”
fw = ® - F ^ y ) 2
PR O BLEM A 92 : Diga cuál de las siguientes gráficas representa aproximadamente a las funciones f,g:R-{i)=>R
♦ Finalmente cambiando y por x s e tiene:
definidas por f(x )= 2 x+1
♦Luego
x =(2 -j4 -yf ,
es
decir
y
g(x)=21/(x'1)
{ § ■ : 4 hpxtwc^ A)
Btuw*wÑr4}&
w ¿K
19*7
y
m ¡v o ]
A) F*(x)=/(\/5 - 4 x + l ) 2 , (-< * > ;-5 } 4 B)F*(x) = - i - ( j 4 ^ 6 x + l f . 4 C) F * ( x) = - i - ( j 5 ^ 4 Í + l f , ( - o o ; - 5 ) D ) F * ( x ) = - —( - j 6 - 4 x - l ) s , ( - o o ; - 5 )
c) y
E)
y
E ) F * ( x ) = - í ( j 4 x - 5 - l ) * , (-o o ;-6 ) 4 R E S O L U C IÓ N : * Dato: -----.— f f x ) = x - J -x + l => f f x ) = - ( - x + j - x ) + 1
2 •í
* Al completar cuadrados se tiene:
:n h h - ¡ R E S O L U C IÓ N :
* Veamos que A es inyectiva: Sean x t ; x 2 e D o m ( f)/ f(x ¡ ) = f (x 2) tal que:
_o-*+7 * Para: f : J R - ( l ) ^ JR; f ( x ) = 2
<=>ffx)
X *1
f ( x l ) = f ( x 1) ^ ~ \ j i ¡ r ¡ + ^
=> x ,= x 2
ffx) = 2
(+) * Luego resulta que A es inyectiva , entonces, existe la inversa de A ll
* Hallando : dominio de /* = rango de f : * Como
: * < -4 = >
* Para la fundón atenem os: i E-(l)=>JR; g(x)=2* i;
D o m ( f * ) = ( - a o ;- 5 }
D f = ( - « ; i ) o ( I ; + oo)
Lim 2
2
* Hallando AV*):
y=i j *-Í
+f=-(A+f
- ( Asíntota =i\
, ( Asíntota =>y=2 [^Horizontal) ^Horizontal )
* Despejando
i
w • 2f.*'1 = /.0 ;L . im • 2«*-/ =+ao|( Asíntota \ Lim *->r x->l* \Vsrtieal )
at :
x= - U j T = lj - l)
2
* Finalmente:
f* M = - ~ (y¡5 - 4 x - i ) 2 ; v x € ( - o o ;- 5 ) RPTA: “D” P R O B L E M A 94 : Halle el número de
t» PROBLEM A 93 : Sea f una función
definida por f l x ) = x - j ~ x - i ;x < - 4 halle f * ( x ) (inversa de f) indicando su dominio.
raíces que tiene la ecuación: \Log2 \x \\+x2 - 5 = 0 A) 1 B) 2 C )3 D) 4 E) 5 R E S O L U C IÓ N : * Esta ecuación es no lineal. Para determinar su número de raíces, igualamos: l o g 2 \x\\=S-x2 * Se define las fundones:
y=5 - x 2
a
y-\Log2 W
MCM
i
v
i
i
C1CLOPEBLX 2PAZ)
»
Yf
* Luego utilizamos el método gráfico: Se puede observar que existen 4 puntos donde las dos curvas se interceptan , esto significa que la ecuación tiene 4 raíces Y
(y=8-2x) U ;8-2) X ♦Área del rectángulo es: A (x ; y ) = xy, pero y = 8 - 2x ♦ Completando cuadrados y agrupando:
4&
A(x) = x(8 -2x)= -2xa+8x = -2(x - 2)2+8.».(I ) ♦ La ecuación (I) es una parabola cuyo máximo
x y=5-x2
♦ Por lo tanto , el número de raíces son: 4 RPTA: “D " PROBLEM A 9 5 : La población de venados de una región está dada por la función V(t)=t4+2it*+ioor donde t es el tiempo en años. Entonces, el intervalo de tiempo, donde ocurre la población máxima de venados es.
A)[0;1] D) [3;4] R E S O L U C IÓ N :
B) [1;2] E)[4;5J
C) [2;3]
* Si queremos obtener el máximo valor que toma la función vam os a com pletar cuadrados. Para ello sumamos y restamos —1 » 441 44í\ 21t + —- - ——\+100
V(t)
^
í ' 841 * V (t)seré máximo cuando el primer sumando sea nulo , es decir:
valor es: 8 cuando x = 2 = > A ( x ) = 8 (máx)
RPTA: “A 9$ PROBLEM A
97 :
Dada la función: flx)=k+—?—;V x * k x—k Halle todos los valores que puede tomar k para que la gráfica de la función f y de su inversa sea la misma.
A ) [ 1; 2 )
B ) [ 0 ; 1]
D ) [ 0 ; + ao) E ) (-ao ; + ao) R E S O L U C IÓ N : 1 Dom (f) = R-{k} f(x) = k + x -k * R an (f) = R - {6 } ♦ Como Aes biyecti va existe f * ; hallando f* 1 1 y = x + -------- => y - K = X - K X -K 1 =>x = +K y-x y-x ♦Intercambiando x con y ; 2 ,
i
f(x) = — — (*
ir )
de donde
w
" 3 >2 4 .
* La máxima población de venados ocurre en el intervalo: t e [ 3 ; 4 \ RPTA: “D " PROBLEM A 96 : Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados y el cuarto vértice sobre la recta de ecuación y = -2 x + 8. El área máxima que puede tener el rectángulo es igual a: A) 8 B) 9 R E S O L U C IÓ N :
C )10
* Del enunciado graficamos:
D ) ll
E) 12
C ) [ - 1 ;1 ]
X - K
+ X ; Dom (f*)=JE - {**}
se observa que f = f * ♦ Luego f y f * siempre presentan la misma gráfica V x e R =>xe (-ao;+co) RPTA: "E ” PROBLEM A 98 : La inversa de la siguiente función
f(x)=45 - x(\x-5\ + 1 + x) es dada por : A i2 0 - x 2 rrt v o J 8 0 - x * r . A) — —— ; x e[0;®) B) — ^ — *X ^\P ;®) 36 36 x2-2 0 x 2-180 ;xe(0;o o) D) C) ;x e [0 ;c o ) 36 36
f
u
9twm g& i*s
rKOltlJMAG HtíSI'KLTOS Mí lil-iMSO
1959
R E S O L U C IÓ N :
♦ Determinando el dominio, se tiene: 5 —x z 0 = > x ¿ 5 ♦ Luego redefiniendo iá función f(x ) = V5 - x ( 5 - x + l + x )
♦ Asumiendo x como el lado del cuadrado: ♦ De la gráfica se obtiene: m +n=a=> n = a -m m2+n2=x2 ♦Luego: x 2= ♦Entonces:
=> f(x ) = 6 j 5 - x = y ♦ Se sabe que: x ¿ 5 => y * 0 => Ran(f)=[0;+
=> Au= m 2+ (a - m )2
A0 =Aim)= 2 m 2 - 2am + a 2
♦ A (m) será mínima cuando A'(m)= 0
m =^ reemplazando en (I):
4 m -2 c t = 0
. . . . 180 - X 2 r. . => f M = — — — , y e [ 0.+®)
P o r lo ta n to resu lta ; A„,ÍB=A^-^-j = ^
* Intercambiando x <=> y se tiene la función inversa, de donde: Domf f f f x ) = Ranf f ) = [0,-h») 280- x 2 : x e [0 ;+ ® ) f fx) = 36 RPTA: “B ”
* Por lo tanto:
PROBLEM A
(I)
99 :
La función es inversa de ;
f(x)= L og 2( x - 2 ) + Log2(x-h2) es : ^ A)f*(x)=-x*+4 B)f*(x)=jx2 - 4 C)f(x)=yl2* * 4
R P T A :“A ” PROBLEM A
101 :
Una caja tiene una altura h y base cuadrada cuyo lado es un número entero, donde p + h = 60, siendo p el perímetro de la base. Calcular el volumen de la caja de mayor volumen. B ) l , 2 x 10 C ) 1 , 6 x 20 ---------A)103 D)2xl03
E ) 3 x 10
3
R E S O L U C IÓ N :
♦ Si graficamos la caja:
D)f*(x)=y¡2* +4 E)f*(x)=y¡2x+4 R E S O L U C IÓ N :
♦De lo dado se aprecia que :
. D f = [ x > 2 a x > -2 }= (2 ;+ ® ) ♦ Luego: ffx)=Log2fx2 - 4 )=y => 2y= x 2 - 4
=> x y = 2 y+4
= ¿ 2 y+4 R P T A : **E” P R O B L E M A lO O :
Sea un rectángulo con lados a, b (a
a
♦Dato: 4 x = p ; p + h = 6 0 ; x e Z ♦ Nos piden calcular el volumen máximo: V = x XX Xh => V = x ? X(60 - 4 x ) = Gto? - 4x? ♦ Luego calculando el volumen máximo: V ' = 120x - 12x2 = 0 => {x = 0 v x = 20} ♦Como x > 0 (lado caja)=>a = 20 •Por lo tan to : Vmás = 6 0 fl0 )2 - 4 f l 0 ) 3 = 2 x 103
a
2 4 R E S O L U C IO N :
♦ Del enunciado graficamos : i------------- 6 ----------
i
0
i
R PTA : “ D ” P R O B LE M A 102 :
El rectángulo de mayor área , en el primer cuadrante con dimensiones enteras , cuyos lados son paralelos a los ejes , dos de ellos sobre los ejes y una vértice en la parábola de ecuación y = - 2 x 2+ 8x , tiene como área. A) 6
B ) 12
R E S O L U C IÓ N ;
C) 14
D ) 16
E) 18
JJ !»■!
CMCLOPED1A 2 0 1 2 1
AMA^afl
• Se gráfica la parábola cuyo vértice es ( 2 ; 8 ) hacia abajo:
entonces ( 4 eos2 x - 1 ) 2 será máximo : * Pero : -1 < co sx < 1= > 0< eos2 x < l = > 0 < 4cos2x < 4 = > - K 4 cos2x -1 < 3 = >
0^ < (4 cos2 x - l f < 9 mínimo máximo
* Reemplazando en (I) : 23 Valorminimof~ ^
1 ~ RPTA: “E ”
PROBLEM A 105 :
=> S 'fb)= - 6b2 + 16b=0=> 16 = 0 * Se pide dimensiones enteras, entonces considerando el valor entero: b = 3 . • De aquí se deduce finalmente que el área máxima es: S(3)= 18a2 RPTA:“E” PROBLEM A
103 :
Sea f : [a; 6]
Se desea fabricar una ccga de base cuadrada y sin tapa , con una hoja cuadrada de plata pura de lado x , cortando cuadrados de lado / en cada esquina y doblando los lados. El rango en que debe estar x para que , numéricamente, el volumen sea mayor que el área total de la caja es. A)(0;2t
í+ i l -l
D ) { 21
toda t, siendo a|6 |>0 , e s : b2 - 2
R E SO L, U C IÓ N :
E)Í2t
2L>
C ) ( b - a j t ? D ) ( b - a f E) a 2+ b f L
R E S O L U C IÓ N : •De la condición a a|6|>0 a > 0 f: [a; b] -+ R * Se observa que b>a , luego b > a > 0 *Como f(t)= t*
C) (0 ; 2 t )
f(ttt
El menor valor de Artal que \ f(t)(b - a)\ < k ,para
A )b 2 - c ? B)
B ) { 2 ¿ ; 00)
*
se cumple
astsb
elevando al
L
1
fx-2L)
I
L
cuadrado : a2 < t2 < b 2........................ / / )
L
L
además ( b - a ) > 0 ...................................(II)
» » L L\ 1 • r+ 9 • 9 » • ir • • • : l
( a ) -
\^U4£,/
ISyb-IU
L t **
ta-Mj
1L j
L
ix-lU
L
L*•
00
L
* Según condición del problema tenemos:
• multiplicando ( b -a ) x ( I ) se obtiene :
Volum en(ca)a) > Á rea (caJa)
a2(b - a ) < |t2(b - a)\ < (b - a) 62
* Al reemplazar se obtiene:
como \t2( b - a ^ < k e\km(n será b2( b - a ) R P T A :"C ” P R O B L E M A 104 : Halle el valor mínimo de la función : —^3~(2co82x+cot2x)2
ix - 2 h f L >
+4
2L(L+1) x>2L>2 ^ (x- 2L)L >x-2L+4L => x> L -l
* Luego efectuando resulta : Í2L(L+1)
A) No existe B )0 C) 1 D) 1/8 E) 1/64 R E S O L U C IO N : • Sabemos que : 2cos2x + c o s 2 2 x = 4 co s2x - 1 * Luego en el problema : f ( x ) = 2 3-(4co’ 1‘ x- I)2 =
t^4conXx - l f
(I)
* Como queremos el valor mínimo d e f ,
* * { — -T “ ; " RPTA: “E ” PROBLEM A 106 : Un avión realiza una maniobra a velocidad supersónica , según la trayectoria. 2 y 2 - x 2= 4 8 Halle la menor distancia de la trayectoria al punto ( 6 ; 0). A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 6
[ l ? f > N
7 Q
.Y f ^
usa
H i TBMÑ49&
R E S O L U C IÓ N : % % • De acuerdo a la ecuación se tiene: ^ — — = i 24 48 (ecuación de ta hipérbola con eje focai en eje y)
b
l*ROR9.»i?iAS MlSI'KITItS
»> *
llf j
KEPASli]
• El valor máximo del A(x) del terreno será 125 000 m* y ocurrirá cuando x=250 Por tanto: Amáx = 125 000 mf R P T A :“E ” PROBLEM A 108 :
Halle la suma de números complejos : A = (l+ i)+ (2 + i2 )+ (3 + i3 )+ (4 + i4)+ ....+ (4 n + i4n) A ) n(2n + l)
B)2n(4n+1)
D)rt(4n+1)
C)0
E)2n(4n-1)
R E S O L U C IÓ N : • De A tenemos: A = ( l + 2 + 3 + . . . . + 4 n ) + ( i + i 2 + i 2+ ...+ i 4n) • pero : •Aplicando distancia entre dos puntos: x2 d=y¡(x - 6 ? +ys donde 2 y 2 - x 2=48 => y 2= — +24
• l + 2 + 3 + ... + 4 n = 4 n ( 4 n + 1) = 2 n ( 4 n + l ) 2 * i + i 2+ i 3+ i4
=
i5+ i 6+ i 7+ i 8 = 11 . ¿12 _
• Luego reemplazando:
i * + i I 0 + i , 1 + i 1* =
i+(~l)+(~i)+l=0 i + i 2+ i 3+ i 4= 0 i+ i* + i° + i* = 0
é
d = J x 2 -1 2 X + 36 + —
• •
9
+ 24
* De lo anterior se deduce que: i + i 2+ i 3 +
* Reemplazando en A se tiene:
= > d = ,l^ (x -4 )2 + 36
A =2n (4n +l)+0=2n (4n +l)
* Pero d es mínimo si x = 4 => dmfn= 6 RPTA: “D PROBLEM A 107 : Un agricultor quiere levantar una cerca alrededor de un terreno rectangular que está ubicada en la ribera de un río t usando 1 000 mde material, ¿cuál es el área más grande que puede cercar, considerando que no va a poner una cerca a lo largo del río?
A) 50 000 m* B) 62 500 m* D) 100 000 m* E) 125 000 m* R E S O L U C IÓ N :
...+ i4n= 0
C )67500 m*
RPTA:“B 99
PR O BLEM A 109 : Efectúe: t¡2\¡ í - V í + ^ f A )1 + i
B )1 - i
C )i
D )$2i
E)
-1 + i
R E S O L U C IÓ N : * Número imaginario, número complejo a + bi en el cual la componente imaginaría, b, es distinta de cero. Es decir, todos los números complejos que no son números reales son imaginarios . Los números complejos sin parte real, bi, b * 0, se llaman Imaginarlos puros. Los números imaginarios no representan nada en el mundo real, pero matemáticamente son fáciles de usar y son de gran valor en las ciencias físicas para representar fenómenos periódicos. •Conocemos que : i = i5 =>ffi = fíí* = í;|>£7 = i •Entonces : E = y¡2
1 000-2x * Sea: A(x)= área de la cerca * Entonces: A (x)=(l 0 0 0 -2 x )x = -2 x i +1000x
RPTA: “A " PROBLEM A llO : Si la gráfica del
* Completando cuadrados , resulta: A (x )= - 2(x2- 500x + (x-250)2+125 000
2502)+
2502 x 2 = -2
1+ai
*=-
7,‘ a e R
1 - a i
figura :
número
com plejo
es el que se muestra en la
XUM1'M.OPERIA 2 0 1 2 ]
W ñ \l3 S 2 \T !!ñ x s=4
Im
a
3x=4y 9
z
x =
Re
± 2 A y= ± — 2
R P T A : “B 99
P R O B L E M A 113
Entonces el valor de a es A) 4 Bh2 C) 1
Dhl
E) 2
Si n = 8k y k e Z * r calcule el valor de R
R E S O L U C IÓ N :
R = [7 J22 + 7J22 Í) + { ~ J 2 + J 2 Í)
1+ai ♦ Del esquema : R e (z )= 0 como * = - ------: 1 - ai ♦Luego para que sea imaginario puro : z = k if k > 0 . \ í= > (a = k )A (a k = l) ^ 1 + a ii = k i + a k >< -
- p
-| -| [= > 6 =
I a a =
■■■■ ■■■■■/ ) PROBLEM A
A) 0
B) 1
D) 3
C)2
E) 4
R E S O L U C IÓ N :
f i 1 /?= ~¡= + ~¡=i
1
\J2
n r v r i . u a i) RPTA: “C
42
f f
(
1 1 J) , .+ + — -==+—= 1 ;n = 8 k ;k e Z )
T**
\
J2
J2
T 1
)
1®*
111 :
El número complejo z 0 satisface la ecuación : 5 + 3i 2i 0 . ----------= 2i - 4 + 1 Zq Determine el valor de /¡'¿¿¿donde f(x)=x*-3x+3. A) 1 +i
B) 1-i
O -2 + i
D) 2+y[2i
E) i
R E S O L U C IÓ N :
1 miembro a miembro , se
£ ± « + l. « - * -4 + i z0
+ J
4+i
=
2i •0
T ^ A '- h
h
+[|f~ 2 ¿>]
=
T -
=(i)4k+ (-i)4k =1+1=2
11=2
RPTA: “ C ”
PR O B L E M A 114 :
♦ Si sumamos obtiene:
l + 4i
-[(a
Si \zi\=4, Arg[z(l+i)]=— , entonces el número complejo z en su forma polar es. A) 4^cos^ + i
t . 2i t 2i + 1 => - i = ------- 2i + l o
C) ^cos J + i s e n
D
) —^coaJ+i s e n ^
R E S O L U C IÓ N
-2 i
, . (1-if , . = 1 -1 =>— — — = z 0 = > * „ = ! - * z0 1-1
* Luego reemplazando en f(x)=x2+3x+3 tiene: fTz0 ) = (l- i)g - 3 ( l - i ) + 3 ^ f(z0)=¡
B) 2^ coa^ + i sen
* Nos piden ¿ e n su forma polar \zi\=4 * Por datos y por propiedades: se
RPTA: PROBLEM A 112 :
*«|=|*||*|=j*|=|*| =>\z\=4 * De la otra condición:
A rg [z (J + /) ] = —
* Por proporciones: 2 A rg[z(l+ i)1= A rg(z)+ A rg(l+ i)
En c , los valores de x e y, al resolver la
xi 3x+4i ecuación siguiente : ~J+Ji— x+ 3 y ' son A) x = ± l , y = ± 3 / 4
B )x = ±2 ,y= ±3 /2
C) x = ± 3 , y = ± 2 / 3 D ) x = ± 3 , y = ± 3 / 2 E) x = ± 2 , y = ± 5 / 4 R E S O L U C IÓ N :
♦De lo dado , se obtiene : x2i + 3 x y i = 3 x + 3 x y i + 4 i - 4 y x *i+ 4 y = 3 x + 4 i
* Por igualdad de complejos :
=>Arg(z)+ Arg(l+ i)= ^ * Como: * Arg(l+i)=J=> Arg(z)+J= J=> 4 4 2
=> Arg(z) =J =>z=4\ eos^+isen —| 4 v 4 4) R P T A : “A ” PR O B LE M A 11S :
Dada la región : A=
\ Z -2 -i\ < 3 v \ Z + 2 -i\ < 3
/ 7
í
f
47
0
, V
i : >
K
1 7 Í 1 . V
O
A
piunti ti'Lxs M .s i t :i .i o s na
;
Halle Zj y Z¿ en A tal que |Z ,-Z 2| sea el valor
z -1 >3 Z+1
máximo . De como respuesta Z t - Zr A) -2 9 B) -2 8 C) - 2 6 D ) -2 0 E) -1 8
- K
k /:p .is g \
H
R E S O L U C IÓ N :
A=[Z eC / ¡Z - (2 + i)|< 3 v \Z- i - 2 + ij <, 3}
5 IRE 99 La gráfica anterior muestra al conjunto A ♦ Nos pidenz, ,*z,eA tal que |Z,-Z2|sea el valor máximo , estos valores gráficamente son: Z,=5+i
Z2= - 5 + i
a
1*R OBIjEM A 117 : Indique gráficamente todos los puntos de plano que verifican las relaciones <>1 y \z\ £ 1 donde z = x + iy A)
v
B)
v
C)
* Por lo tanto: Z¡Z2= - 2 6 RPTA : “ C ”
PROBLEMA 116 : Si z = x + y i , grafique todos los puntos en el plano cartesiano que representa el conjunto : z -1 >3 / z+1 B) .• Ai 1*' % R E S O L U C IÓ N :
(-5/4,01 \ * whmmJ
¡
\/=3/4 /
('
X
o
t
y
}
• - .......................... *
N
t • 3
( O
4
.
0
-
/ ',5*1.0' \ ’
\
s
3
—
\
X
a-i'
*
x+ty
-yjx2 + y 2 < 1
5 2 a
V
Z l * x 2+ y 2 <.1
=> ex £ e °
a
x 2 + y 2 s 2 = > j t S 0 a x 2+ y 2+
£ 2
♦ Graficando se observa que forman el semicírculo sombreado de radio 1
V_
\ \ *
/ (-34.0i \/r=3 4
í )
r
i x+iy
K*
i
*
♦Asumiendo que: Z = x + y i ; x , y e
,'y
v
/
£ 2 a Iz <,1
♦ Por el dato se tiene:
( (3/4.0) \ ' 'r=*3/4\/ V M • V^rty; #
.................
4
R E S O L U C IÓ N :
z - x +yi entonces: \z- 21 = ' ¡ ( x - í)2 +*y 2 a
jz
+ 1| = \¡(x+l)2 + y 2
♦ Luego: z -1
>3=>.\
> 3 = , Xí r 2 x + 1 + f
x a+ 2 x + l + y 2 (x+l)2 + y 2 9x£ 2 + 18x + 9 + 9y.2 =>x2 - 2 x + l+ y*>
z+1
RPTA : “ D ”
>9 PROBLEM A 118 :
Determine la suma de la raíces de la ecuación: 1 6 ( z 2- 2 / z - l ) 2= z 4
=> 0 > 8xs + 20x + 8 + 8y2 => 0 > x 2 + —x + 1 + y 2
A )^ 4 ± 25 o n 5 25 , 2 9 — > x~ + 2 x - + — + 1 + y => — > 16 4 16 16
15
B ) ^ 4? C ) 4^ 5
15
D )= * +J J . E ) 6 4 i
R E S O L U C IÓ N :
♦ Resolviendo: 1 6 ( z - i f = z 4
15
196*
P R O B L E M A 121 :
=> 1 6 (z4 - 4 z 3i + 6 z2i 2 - 4zis + i4 )= z 4 => 1 5 z4 - 64iz3 - 9 6 z2+ 6 4 iz + l6=0 * Aplicando el teorema de cardano , entonces la suma de raíces es: 64i => z¡+z2+z3+z4= ■2 15 RPTA: “E ff PROBLEM A 119 :
El número complejoz~
co870+i$en70
’C ICLOPEDIA SOÍS]
•k*S
es igual a.
Determine la representación geométrica de todos los puntos del plano complejo que satisfacen la condición: | Z -1 | * 6 -| Z + H ^
y
*
B)
(0; 242)
r
J(3;0)
(0:242)
■x
( 0,-242)
\(0;-242)
A)cos7(0 )B )c o s \ ^ C;cos(70) D)tan7(0) E)aec7(0) yk <0:242
R E S O L U C IÓ N :
♦ Expresando en senos y cosenos Z s e tiene:
C)
. senO ( co 8 0 + Í8 en & V l+ i r CO80J _V, CO80 Z= cos70+Í8en 70 cos70+Í8en 70
(0:242) (-3:0)
}Ó;¿4»)
♦ Usando la fórmula de Moivre resulta: ( w 576++«ea7B ) x sec7 0 Z= => Z = s e c 7 0
(0:-2j2)
E)
008
44TZff
RPTA. E
f-242{0)
*i(2&0)
PROBLEM A 120:
Halle el argumento de un número complejo que equidista de los complejos: -2 ; - 2 i y 3\Í2 (eos x¡4 + i s e n x 14) A)n}8 D)xí3
B )x í6 E )2 x 13
C) x i 4
\(0;-3> R E S O L U C IÓ N :
♦Haciendo: z = x + y i ; z e € * Entonces: |X - 1 + y»| á 6 - \ x + 1 + yi ■)(x - 1)2+ y 2 z e - H + t Y + y 2 ♦ Elevando al cuadrado se obtiene:
R E S O L U C IÓ N :
♦ Sean los números complejos : Z¡ = ~2; Z2= - 2 i; Z3 = 3 + 3 i ♦ Graficando :
< 1 (región elíptica)
3* ¿82 ♦ Finalmente graficando tenemos: yi V (0: 242)
(-3$) (0;- 242)
RPTA: “B ” PROBLEM A 122 :
* El complejo que equidiste de Zx, Z2 y Z3 se ubicará en el centro de la circunferencia ¥ ; del gráfico ,C está en la bisectriz del primer cuadrante , luego , su argumento es x f 4 .
RPTA: “ C”
Si zx y z2 son las raíces cuadradas del número complejo z * 0 , entonces el valor de (zx+z2f es. A) z tzs B) ZjZft C) 0 D) 1 E) z 5 R E S O L U C IO N :
♦ Se sabe por fórmula D ' Moivré:
pKOiitMMAS g u :srt:i,ra s
1965
b e mu:p a s o ]
R E S O L U C IÓ N :
> / * = M c i 8 ^ e + Bk* y k = o ,i
♦ Transformando los radicales dobles a simples:
6 = 0 ; zi = \ ( íü c w ^ j= > k = l : z 2 =J\z\cis^~ + n
4 7 -2 Ü 0
= ¡ 5 - ¡ 2 a 'J 8 + 2 ¡ Í 2
= ¡ 6 + sÍ2
* Luego , racionalizando en el segundo miembro : ♦ Se aprecia que poseen igual módulo y sus argumentos difieren en n , por tanto f son complejos opuestos. ^
j
3(n/6+V2)
4 (¡6 -¡2 )
Vi 1- 2 Ü = (V5 - ¡ 2 ) { ¡ s + VS) + ( S + ¡ 2 ) ( J e - ¡ 2 )
i (Ve - V5) ^ jír ~ 2 ¡r (^ _ + 7_ ) ( v _ _ ^ => 4 i i - 2 4 x = S - 45 ii
- 2 4 x = (J g - 4 E ) 2
=> 1 1 - 24x = 1 1 - 2430 =; * = 30 R P T A ; "A ” PROBLEM A 125 : => Z j + z 2 = 0
♦ Entonces el valor (zi + z 2 f
es: 0
RPTA: “C99
Sea la ecuación 4x2-2x+3 =0, cuyas raíces son a y b. Halle otra ecuación cuadrática que tenga por raíces
(2a -1) y (2b-l).
PROBLEM A 123 :
El valor de x e n la ecuación : x - a 2»2 o* x - b*2 c 2 x - c 2a 2 = a 2 + b2 + c =-----r - + ---- ^------ = -+ a*+ b b + c c2 + a2 es : A) abe D) a 9b * + b V + a V
B) a * b * - b V + a V fij a V + f t V - a V
C) 0 6
A) y 2 - y + 1= O
B) y - y ~ 2 = 0
C) y 2+y + 3 = 0
D) y 2 - £ y - 2 = 0
E) y 2 - —y + 3 = O 4
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
♦Evaluando y agrupando convenientemente se obtiene:
♦ Sea : 4x2- 2 x + 3 = 0 (raíces a y ó) ♦ Me piden una ecuación cuyas raíces son: (2a - 1 ) y (2b - 1).
X-
1
£
- 4
t e
♦ Luego efectuando se tiene: (| 9 - o 2.2 2 2 .2 2\ ( .2 2 2.2 2 6 - o c - b e I I 9 - 6 e -ab -o i l ' - w
- H
£
- 4
*
♦ Por Cardano : a + 6 = —; a b- ~
♦ Construcción de otra ecuación de raíces : A 2-*2.2-»2/ ' !
-
YJ= 2 a - l ; y 2= 2 b - l = > y 2± (y i + y 2) y + y 1y2= 0 =>Y2-[2 (a + b )-2 ]y + [4 a b -2 ( a + b ) + l] = 0 ♦ Reemplazando los valores obtenidos :
♦ Factorizando se obtiene: 2^2
2-2 RPTA: “C”
diferentedeoero ♦ Finalmente se tiene:
PR O BLEM A 126
RPTA :“D” 124 :
Calcule la solución de la ecuación : 1 3 4
4Tl-24x A) 30
B)5
:
Determine los valores de m para que el
X = a 2b 2 + a 2c 2 + b 2c 2 PROBLEM A
3
J7-24IÓ
^8+445
C)20
D)13
polinomio P (x)= x2+ m x + m 2+6m , valores negativos en x = 0 y en x = 2 . A ) m e (-8; 0) C) m e {-4 + 2 4 2 ; + od)
B ) m e {-6 ;0 )u (4 - 2 4 3 ; + * ) D ) m e ( - 6 ; —4 + 2 4 3 )
E) m e [-4 - 2 43;4 + 245]
E)10
R E S O L U C IO N :
tenga
\1 9 6 S \ los valores de m para los cuales ^<0)^9 A P(2) < 9
C1CLO PED IA 2012]
♦ Se pide
— OO
+ 00
* P(0)=m s + 6m < 0 => m (m + 6 ) < 0 => m e (~6;0) * P(2J=m 2+ 8 m + 4 < 0 => m e (~4 - 2\Í3 ; - 4 + 2 4 3 ) ♦ Intersectando :
-4 -2 4 3
-6
RPTA : “ E ”
9 •J#
PROBLEM A 129 :
4
Halle
-4+-2J3
0
=> me {-6 ; - 4 + 243) RPTA ; “ D ” PROBLEM A 127 :
Si A es el discriminante de la ecuación b x 2+ a x + c = 0 f b * 0 tal que A > 0 , entonces la diferencia entre las raíces mayor y menor de esta ecuación es : A)
41 \a\
B) 4a ' |6|
C)
4a
♦ Luego: a d - b c = - 3 6 + 3 2 = - 4
D)
E) tal
todas
fas
raíces
C) x¡= 4 / 3 ;x2= l/ 3 ;x 3=2 D ) x ¡= 4/3;x 2= 2/3;x 3=2 E) Xj=5/3 ? x s=l/3; x 3=3 R E S O L U C IÓ N :
♦Como P(x) se anula para x = 2 Aplicamos Ruffini :
161
9 i i
x= 2
18
D =x¡ - x 2 => D 2 = ( Xj + x 2 ) 2 - 4 x ¡ x
r - < §)
= > D *=
D=
4a 161
R P T A : “B ” PROBLEM A 128 :
¿En qué intervalo debe variar k de modo que una raíz de 9 0 -3 6 x + k 0 = O se encuentre en el intervalo
-3 6
16
8
LQ_
R PTA : t€D ” PROBLEM A
130 :
La condición cuadráticas :
para
que
( a ; 6) u ( c ;d ) halle el valor de ad -b c .
D) (c - c ’) 2 + (bc' - b'c) E )-4
las
ecuaciones
x 2+ b x + c = 0 a x 2+ b ,x + + c ,= 0 tengan una raíz común es : A ) ( b - b ’f + ( c - c') (bc' - b ’c ) = O
Si el conjunto solución es de la forma
D ) -J
-1 6
x¡ =2 ; x 2=4¡3 ; x 3 =2/3
B )( c - c ') 2 + (b -b ') = 0 C) (b - b')(bc' - b ’c) = O
C )0
44
♦ Luego: P ( x ) = ( x - 2 ) ( 9 x s -1 8 x + 1 8 )= 0 => P (x )= (x - 2 )(3 x - 4 )(3 x - 2)= 0
Sea: b x 2 + a x + c = 0 = > a 2 - 4 b c > 0
B) 2
-3 6
9 -1 8
a2 - 4bc
polinomio
P(x)=9x2 - 3 6 x 2+ 4 4 x -1 6 • SI una raíz del polinomio es igual a la suma de las otras dos, entonces: A )x I= l/ 3 ;x 2= 2/ 3;xs= l B )x 1= l ¡ 2 ;x 2= l/ 2 ;x 3=2
R E S O L U C IÓ N :
A) 5
del
=O
E) (c - c')2 + ( b - b')(bc' - b'c) = O
R E S O L U C IÓ N :
R E S O L U C IÓ N :
* El polinomio 9 x 2- 3 6 x + k 2 por. poseer una
♦ Asumiendo que x es la raíz común de las ecuaciones , entonces: x 2+ bx + c = 0 .................................. (I)
raíz en el intervalo ( —; 2 j aplicamos el teorema
[9(20-36f2)+0]
x 2+ b'x + & = 0 ................................ (II) ♦ Luego restando (I) -(II), se tiene: c —c (6 - 6 ' ) x = c ’ —c => x = 6 -6 ' ♦ Reemplazando en (I), resulta: (c -c 'J *+ (b -b ')(b c '-b 'c )= 0
RPTA: “E ”
K
Í T W
P R O B L E M A 131
. V
O
pfej 1867|É¿Í
F
:
Dada la ecuación 2x*+mx+30 = 0 y xJt x2, sus raíces. ¿Para qué valores de m se cumple la x , 3 relación x2 5 A)\m\=16 B)\ml—10 C)\m \=14 D)\m \=8 E)\m \=20 R E S O L U C IÓ N :
* Siendo xs y x2 las raíces de 2x2+m x+30=0 * Usando la propiedad de las raíces tenemos: m x ¡+ x 2 = ~2 x ¡ x 2 = 15
• Es decir : x 2 - 2 ( a + 1) x + ( a 2+ 2 A - 8 ) = 0 * Calculando la discriminante : A = 4(A +1)2 - 4(A2 + 2 A r 8)............. •De donde : a = 36 * Reemplazando en (I) :
x2-7 4 x + 1360= 0 * Producto de raíces 1360 suma cifras de 1360 es 10
- - - 1 x 2+ 2(a +b)x+ - =1 b a) b a Para que las cantidades resultantes sean iguales en magnitud pero de signos opuestos. M. a - b ab ^.a+b A)—a b¡ r B>— ir c >—a bir a —b
15K2= 15 = > K = l v K = - l • Resulta que: m = - 1 6 v m = 16 => \m\ = 16 RPTA : “ A
tf
Las raíces de la ecuación x + j x - 2 = 4 son: A) Solo x = 6
B) S olo x = 3
D) x = s ¡6 ; x = 3
E) N o ex isten solu cion es
C) x = 3 , x =6
R E S O L U C IÓ N :
I ) Hallamos el C.V.A. £ 0
=> x 2 2 =3 C.V.A. = [2 ;+ oo) II) De la ecuación j x - 2 = 4 - x a x < 4 * A! elevar al cuadrado se obtiene:
x ¡ + k = - (x2 + h ) => k ~ 2 * Aplicando el teorema de Cardano resulta: 2(a+b) a b b a _ ab k=2 a -b ab * Entonces , se debe sumar: r a -b RPTA : “B ” PROBLEM A 135 :
(x-3)(x-6)=0=> x=3
El
v x = 6 no es solu ción , pues no es m enor o igual a 4+
n ú mero
de
raíces
de
la
ecuación
V i - 9 x 2= 2 x 4 1 - 9x* es igual a : 99
:
Una ecuación cuadrática tiene como raíces a a +4 y a - 2 . Halle la suma de las cifras del producto de e s ta s raíces , si endoA el discriminante de la ecuación. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 RESOL, U C IÓ N :
* Reconstruyendo la ecuación cuadrática de raíces a+ 4 y a-2 tenemos :
x 2 - ( 2 A + 2)x + (A + 4 ) ( A - 2 ) = 0
_ %a - b e>—ab¡ -
* Suponiendo que: x t ; x 2 las raíces de la ecuación. * Luego sumamos k a cada raíz y por toda la condición se tiene:
x - 2 = 1 6 - 8 x + x 2 => x 2 - 9 x - 1 8 = 0
RPTA: 4tB
ab a+b
R E S O L U C IÓ N :
PROBLEM A 132 :
PRO BLEM A 133
(I)
¿Qué cantidad es necesaria aumentar a las raíces de la ecuación?
m
x - 2
tu: Kt.rASo]
P R O B L E M A 134 :
x2 = 5 K
Xo
if#M t:»;ros
R P T A : (fA 99
* Se sabe que: x ¡ * 0 y x 2 * 0 • De acuerdo dato , sabemos: Xj=3K i _ * Luego:
cnoititcMAS
A) 0
B) 1
D) 3
C )2
E) 4
R E S O L U C IÓ N
• Dado que la ecuación : Ví - 9 x 2 = 2 x V i - 9 x 2 es irracional , entonces calculamos el C. VA resultará: 1 - 9 x 2 £ 0 => — £ x 2 => — > x 9 3 = >
i- - í x £i ~
3
3
^
„C.X T A i V.A = r
i
i
L3
3J
* Luego reduciendo la ecuación dada como dato:
L *
C M C LO PE D Lt 2 0 1 2 )
h -9 x~ - 2 x'jl-9 x2=0 => j l - 9 x 2 X(1 - 2x)=0
2t - 3t - 9 = O
=>4l-9xs=0v 1 -2 x=0=*I-9 x2=0 v 1=2x =>-= x* v - = x 9 2
2 t' ^ L ' 3 t^ * < -3
i
5
i
e
í;
' i
—=> SpaJ~;— S la a
il
^ 21
-3 ) = 0 ; t > 0 = > t-3 = 0=>t = 3
=>C-S=CKAn^p=[-¿;|]n||;¿;-i}={|;|}
•Entonces: 4 x 2+ x + 3 = 3 ^ x 2+ x - 6 = 0 * Por lo tanto , existen 2 raíces de la ecuación
RPTA:
“ C”
PROBLEM A 136 :
El producto de las raíces reales de la ecuación :
y]x2+3x+6 - 3 x = x 2 + 4 A) -2
B) -1
C) 1
D) 2
=> C.S. = {-3 ;2} * Por tanto , la suma de estos únicos elementos de A será: -3 + 2 = -2
RPTA: “B ” E) 3
R E S O L U C IÓ N :
•De la ecuación dada la expresamos:
y]x2+3 x+6 = x2+3x+4 * Se observa que : * 2+ 3 * + 4 > 0 ;
(x + 3)(x - 2 ) = 0 = > x = - 5 v x = 2
Vx e R =>C.V.A=R
•Sustituyendo : a = x 2+ 3 x + 4 ; a > 0 ....(1)
P R O B L E M A 138:
La función polinomial P(x) = ax3 + bx2- b + a , con a e Z + , y tal que P(l) < 4 , tiene 2 raíces positivas iguales , entonces un valor de a - b es. A) 3 B) 4 C )5 D) 6 E) 7 R E S O L U C IÓ N :
• S e sabe que:
P(l)<4=>a + b -b + a<4
* Se tiene : >/ a +2= a
a <2
* Elevando al cuadrado ambos miembros y luego factorizando se obtiene : a 2 - a - 2=0 0
a=2
v a=-2 =>a =2(pues a>0)
* Para a = 1 la ecuación (I) no tiene raíces reales. * Para a = 4 la ecuación ¿ y tiene como raíces:
=> a = 2 p u es a e Z +
* Factorizando P(x) = x3+ bx2- b + 1 resulta: P (x )= (x + 2) 8*ner° negativa
(x 2 + ( b - l ) x + l - b ) debe generar doe raicee positiva* iguales ( 0 )
A = (6 -1 )2 -4 (I _ 6 ) = 0 = > X v b = -3 genera raíce» generar raíce» n u las positivas
x2+3x+4=2
♦Luego: a = l * b = - 3 = > a - b = 4
=> X j = - 2
PR O BLEM A 139
RPTA: “B
v x 2 — - 1 => X jX 2 = 2
R P T A : “D ” PROBLEM A 137 :
Si A es el conjunto solución de la ecuación 2 x 2 +2 x - 3 $ x 2 + x + 3 = 3 / entonces la suma de los elementos de A es. A ) -3 B) -2 C)1 D) 3 E) 4 R E S O L U C IÓ N :
* De la ecuación:
2x2+2x-3y¡x2+x+3=3 2x2+2x - 3 -3yjx2+x+3=0 2(x2+ x + 3 ) - 9 - 3 j x 2+x+3=0. ..... (I) * Sabemos que: x2+x+3>0, V x e R * Luego haciendo: s¡x2+x+3=t; t>0 * Reemplazando en (I) , resulta:
Pf
:
3 Dada la ecuación algebraica. x 2 - 4 = —x x+3 2 Determine el número de raíces reales que posee dicha ecuación. A) 0 B) 1 C )2 D) 3 E) 4 R E S O L U C IÓ N :
„ „
„ X2 - 4 3 • *+3>0 o x> - 3 =>--------- = —* x +3 2 • Al simplificar resulta: jc2+9* + 8 = 0 => (x + l)(x+ 8) =0 => *= - 2 v x= - 8 • Pero x > - 3 , sólo cumple x = - 1
• x+3<0 <=> x < - 3
x-4
3
= — x
¡contradicción! + +
1969
* Entonces , la ecuación solo presenta una raíz real. R P T A : **B*9 ; x2 4 3 Dada la ecuación algebraica. -¡------^r= —x PROBLEM A 140
|x+3| 2 * Determine el número de raíces reales que posee dicha ecuación. AJO B) 1 C)2 D) 3 E) 4 X
+
3
>
0
O
X
>
-
3
=
>
—
--------------
ii» j
tu :p A S o)
El número de 20-uplas de números enteros ( x ltx 2f....x20) que son solu cion es de la ecuación anterior es igual a: A) 0
B) 1
C )1 9
D ) 20
E) oo
R E S O L U C IÓ N :
* Asumiendo que:
a = x2- x2 q = x3 - x 4
—= ~ X
x +3 * Al simplificar resulta: x
M»KaitrMtAS k k s i tcí.t o s
b = x2 - x 3
R E S O L U C IÓ N : *
f lf lS H f
2
b — X
2 + 9 x + 8 = 0 => ( x + l ) ( x + 8 ) = 0
=> x = - 1 v x = ~ 8 * Pero x > - 3 , sólo cumple x = - 1
19
— X 2Q
l = x 20- x t * Al sumar se tiene: a + b + c +.../ -
0 ..............( I )
Por dato tenemos: a2 + b 2 + c2 + . . . ? = 1 ............... (II) * Dado que x ¡ tx 2,x 3,...,x 20 e Z , entonces: a , 6 ,c , ....,/ e Z
icontradicción!
a 2 + b 2 + e 2 + ...Z2 + 2 [a b + b c + .... + a l]= 0 1 + 2[ab + 6c + .... + a l]= 0 * Entonces , la ecuación solo presenta una raíz real. R P T A : “B ” P R O B L E M A 141 :
Las raíces de la ecuación x + Jx - 2=4 son: A)Soiox=6 B) Solo x=3 C) x=3f x=6
D) x=\¡6 ; x=3
E) No existen soluciones
R E S O L U C IÓ N :
I) Hallamos el C.VA.
x - 22.0 => x 2 2 => C .V Á . = [2;+
oo)
II) De la ecuación J x - 2 = 4 - x a x < 4 ♦ Al elevar al cuadrado se obtiene: x - 2 = 1 6 - 8 x + x 2 => x~ - 9 x —1 8 = 0 ( x - 3 ) ( x - 6 ) = 0 => x = 3
v x = 6 no solu ción , pues no es m enor o igual a 4*
RPTA: “ B ” PROBLEM A 142:
(x19 x2,....x20)e s
una 2 0 -upla de números reales. Sea la ecuación
(Xj - X2)2 + (x2 - x3f + (x3 - x4f + ...+ ( X19 - X20>2
+(X20- X 1)2 =
1
a b + bc + ...a /= - 1¡2( => c )
* Entonces , la ecuación no tiene solución , puesto que la suma de productos enteros no puede ser un número fraccionario. RPTA: "A " PROBLEM A 143 :
Determine el polinomio mónico de menor grado de coeficientes enteros que tenga como raíces a los números reales 4 2 - 3 y 4 3 - 2 . Dar com o respuesta la suma de sus coeficientes. A) 28
B) 42
C)56
D) 70
E) 84
R E S O L U C IÓ N :
♦ Sea x 2 ; x 2 ; x 3 ; x 4 las raíces de un polinomio mónico P, entonces: P = ( x - x 1) ( x - x 2) ( x - x 3) ( x - x 4) ♦ Luego , si en una raíz del polinomio es de la forma a + 4 b , entonces , otra raíz debe ser a - J b cuando los coeficientes son racionales. ♦ Según las condiciones del problema: X j = —3 + 4 2
2= -3 -> ¡2
X q = - 2 + j3
4= - 2 - 4 3
* Luego,el polinomio mónico de menor grado es:
P(X)~(X - Xj ) ( x - X2) ( x - x a ) ( x - X4)
= (x2 - ( x j + x 2)x + x jx 2) ( x 2 - ( x 3+ x4) x + x 3x 4) = (x 2 - ( - 6 )x + 7 )(x 2 - ( - 4 )x + l) = (x 2+ 6 x + 7 )(x 2 + 4 x + l) £ coef(P) =Pfl)=(14) (6) =84
R P T A : t(E 99
PR O BLEM A 144 :
El producto de los coeficientes de la función polinomial de menor grado que pasa por los puntos (0 ; 0); (1; 1); (2 ; 0) y (3 ; 1) es. A )-
15 4
B)
14 9
D)
C)59
15
E l-
lñ
R E S O L U C IÓ N :
* Entonces : c4 = — 5 * Reemplazando en (a ) se obtiene : c&
b 4
* Como el sistema es dependiente de un parámetro, tenemos: c = l= > a = 5= > 6 = 4 = > a + 6 + c = Í# c = l=>a = 5 ^ b = - 4 c = 0 = > a = 0=>6 = 0 c = 2 = > a = 80=>6 = 128 99 R P T A : “A PROBLEM A
146 :
El polinomio ; P ( x )=8x
b
- 6 0 x 4+ 1 2 6 x 3+ a x 2+fix - 45
( 2 ; 0 ) e P = > P ( 2 ) = 0 ¡ ° V 2 s ° n raíces
tiene sus tres raíces reales en progresión aritmética , las otras dos raíces son complejas y de la forma ± 6*. Si b es entero , calcule b.
= > x ; ( x ~ 2 ) son factores
A) 1
* Tomando como P(x) el polinomio: ( 0 ; 0 ) e P ^ > P ( 0 ) = 0\
(3;-l)eP=>P(3) = - l
como datos
=> P ( x ) de menor grado será de la forma P ( x ) = x ( x - 2 ) ( a x + b) * Sabemos que: P ( l ) = l=> ( - l ) ( a + b) = 1 a + b = - 1 ........................... P (3) = l= > .3(3a + b) = -1 1 3a + b =
(I)
a o7*= —4 3
* Entonces P ( x ) = - ( x 3 - 6 x 2+ 8x) 3 * * Se pide el producto de coeficientes:
16
145 :
Sea P ( x ) = x 6 - a x + b un polinomio con coeficientes enteros. S iP fx )e s divisible por ( x - c ) 2 , entonces el valor de (a + 6 + c ) es A)10 B)7 0 8 D)9 E) 14 R E S O L U C IÓ N :
* Si c e s raíz de multiplicidad 2 de P(x) => P (o ) = c 5 - a c + 6 = 0 .........( a ) * Derivando : ( c )
=
E) 5
* Además : x 4 =b¿ a x 5= - b ¡ * Usando el teorema de Cardano 60 X»+Xo+Xo + Xa+Xk = Xo = — 8 cero 3x2 45 45 X2X2X3X4Xg = 8 ( f - r ) ! ( ! + r ) r 6í JM, í j = 8 => (25 - 4r )b =9= *
6 = ± J =* 2 5 - 4r2 =9 b = ± 3 => 2 5 - 4 r 2 =1
♦ De estas dos posibilidades las raíces que verifican la suma de productos binarios cumplen solo con la primera condición. =>b = ±l ;dado que b es entero
*—j-
4ÍT399 R P T A : ‘E
P
D) 4
* Sean x x, x2, x3 sus raíces reales las mismas que por condición cumplen +x1 . x2 . x3 ; + (x 2-r ) . x2 x2+ r
(II)
* De las expresiones ( I ) y (I I ) tenemos que:
PROBLEM A
0 3
R E S O L U C IÓ N :
( l ; l ) e P ^ > P (l)= l
1 a =— 3
B)2
5 c 4 - a = 0 ................................................. ( f i )
RPTA; “A ” PROBLEM A 147 :
Indique la verdad o falsedad de los siguientes enunciados: I) Sea P (x) = a x 3+ b x 2+ c x + d , a * 0 , d 0 Si P tiene tres raíces reales , entonces
tendrá
las mismas raíces. I I ) Todo polinomio complejo siempre tiene raíces complejas y sus respectivas conjugadas. III) Si la suma de las raíces de un polinomio es racional , entonces cada una de ellas también es racional.
[ r i i f i f i m
c
. v
K
i m
m
3 i8 7 i
v
C) V F V
B) F V V E) W V
A) F F F D) W F
PKOitrtc+iAS t u : s r t : t . r o s t>*: m uípaso ]
R E S O L U C IÓ N :
I) FALSO : ♦ Haciendo un contraejemplo: de raíces x¡ ; x 2; x 3l luego P ( x ) = a ( x - x 2) ( x - x 2) ( x - x 3 ) ♦ Luego cambiamos * por — , tenemos:
♦ Considerando xcom o incógnita , resolvemos:
la siguiente ecuación: ( x - 5 ) ( x - 8 ) ( x - l l ) = 0 ♦ Por lo tanto , la menor raíz es: 5
R P T A : “E ” PR O B LE M A 149 :
p(í]=o">a( í - * ' B _*a) t í- * a)=o
Calcule Q(A) ,
1
1 1 =>X = VX= V X = --I *2 ♦Se aprecia que
(1
2
2
1
siendo A no tiene las mismas
raíces de P (x)=0.
A)
¡I) FALSO : ♦ Haciendo un contraejemplo :
1
0}
0
1/
D)-4
P (x)= x2 - (2+i)x+2i
si Q ( X ) = ( l + x ) ( l - x )
B)
1
1\
1
1
1
1}
1
14
E) - 14
C)-2
(1
fl 1
1 1
♦ polinomio complejo donde sus raíces son: 2 ; i
R E S O L U C IÓ N :
♦ Por tanto , no podemos asegurar que las raíces son conjugadas. ♦ Entonces , no todo polinomio complejo tiene raíces conjugadas.
♦ Piden: Q(A) ♦ Dato: Qfx) = (1 + x ) (1 - x ) Qtj¿=(l+A)(l-A)=> 0 ,^ = 1 - A 2 1 O ']
///) FALSO : ♦ Haciendo un contraejemplo
fl
2'
jJ “ U
l
1 2\ 2 1
P ( x ) = x 2 - 2 / polinomio donde sus raíces son: (números irracionales) ♦ Luego se aprecia que la suma de sus raíces es: 0 (número racional) R P T A : “A” PROBLEM A 148
:
Sea a, b, cuna terna de números enteros tales que a + b + c = 2 4 , a2+ b 2+c2 = 2 1 0 ,abe = 440. El menor número de esta terna es A) 1
B) 2
C )3
D) 4
=>
j) RPTA:
“D”
P R O B L E M A ISO :
Determine los valores del número real x para que la matriz A=
E) 5
sfc+3
J
3
Jx-5
sea invertible.
R E S O L U C IÓ N :
A) x £ 5
B) x 2 0
♦ Se sabe por dato:
B ) x * -3
E) x * 5 y x * 6
a + b + c = 24 ; a 2 + b 2 + c2 = 2 1 0 ; abe = 440 ab+6c+ac=183
R E S O L U C IÓ N :
♦ Luego formando una ecuación cúbica de raíces a; b ; c, se tiene: => x 3 - 24x2+ 183x - 440= 0
lA l * ° |A| = ¡ x + 3 ¡ x - 5 - 3 * 0 * Resolviendo: x + 3 > 0 a x - 5 ¿ 0 = > x ¡z 5. .............( I )
♦ Aplicando Ruffini, se obtiene:
* Elevando al cuadrado: sj (x + 3 ) ( x - 5 ) * 3
C) x * 5
* Para que la matriz A sea invertible, se cumple:
1372 j
c x
- 2 x - 2 4 4 O => x 4 6
v
x 4 - 4
♦ Por lo tanto de (I ); x ^ & y x * 6 R P T A : “E ” P R O B L E M A 1 51 :
a
D
II) det a 4 0 y el sistema corresponde a dos rectas que coinciden. III) det A = 0 y el sistema corresponde a dos rectas que se intersecan en un punto.
b bc + x Sea la matriz A= los valores de a todos los ;rpara los cuales existe una matriz B i o tal que a b = b a = o i son A) 0 B)1 C) todo n ú m ero real D) todo real no nulo E) todo real p o sitivo
A) F W D) F F V
R E S O L U C IÓ N :
Dato: C.S. = { 3 - 2 t ; t }
♦ Dado que la condición AB = BA = I, entonces: |A|*0
Como no hay condición para /.
B) VFF E) F V F
O W F
(b ,
a
R E S O L U C IÓ N :
* D el sistem a :A
=> A =
J>2 asx + a2y = b t ajX + a4y = b2
Luego
\a 3
a 4
PRIMER CASO : - b c 4 0 = bc + x - b c 4 0 = > x 4 0 * Por lo tanto: x e / - { o ) RPTA : “D ” PROBLEM A 152 :
Sea Kun número real no nulo. Calcule (E + L ) -( T + U) , si E , L , T y U satisfacen el siguiente producto de matrices :
AJO
L'1
Y
E
T
T U*
B) 1
/parámetro /te R =>el sistema tiene infinitas soluciones det(A )= 0 como F a P = F ; F v P = P
I) F II) F III) F SEGUNDO CASO: t e R / t es fijo el sistema tiene solución única ♦Y
Y E
C)2
D) 3
E) 4
Solución única
R E S O L U C IÓ N :
* Al multiplicar las matrices se obtiene: YE YL Y 0^ TE + UT
TL + U 2 *
X I) F II) F III) V ♦La tabla de verdad final se obtiene uniendo ambos casos : FFV RPTA : “D ”
E L)
* Por igualdad de matrices: • Y E = Y ; com o Y 4=0 =>E =1 • Y L = 0 ; com o Y * 0 = > L = 0
P R O B L E M A 154 :
• TL+U 2= L ; com o L = 0 => U=0
Sea A una matriz de orden 2 x 2 , con A 2 =B , donde b2í= 0 y a21± Q . Si traz=(B) = b n + b 22 entonces el valor de M =traz(B)+2det(A) es.
. T E +U T =E ; com o E = 1,U = 0 => T=1 ♦ Finalmente nos piden:
A )-l
(E +L ) - (T + U )= (l +0) - (1 +0) =0 R P T A : “A PROBLEM A
ff
B )0
V
es
*S ea ; A =
=
+t
D )2
R E S O L U C IÓ N :
153 :
La solución del sistema :
C)1
au
a 12
a .21
a 22)
y como
A2 =B
2
Dé el valor de verdad de. I) d e t A * 0 y el sistema corresponde a dos rectas que no se intersecan.
*11 + *12*21
*11*12 +*21*12
^*21*1 1 + *2 2 *2 1
*2 2 *1 2 + *22
♦ Por dato
E )3
fe
[ P 'J
rH O itt.i^ ú ts n t i s iu t n o s u u
)
pues :
III) FALSO :
a 2la ll^’ a 22a 2 t~ 8 a 2Í y como a 2í ^ 0 a 1/ + a 22=0
k ic p a s ó
(A+B) (A -B ) =(A+B)A - (A+B)B=AA+BA - A B - B B = > (A + B )(A -B )= A 2+ B A - A B - ^ * A 2 -E ^
* Se pide : ^ =ífl^i+ai2a2J+a2JaJ2c^ ) + ^ ai^,22 ^
=0
* "*
a
b
Sean las matrices A = [j s ] > f i = c d 1 O que A S = ’ ° O 1 Entonces el valor á e a + b + c + d e s A)-l B) O C)-2 D) 1
tales
E) 2
B=
1
3'
3
2
;
C=
7
1
x
2
B) 3
0 4
D) -14
E) 14
R E S O L U C IÓ N :
♦ Al analizar las matrices del enunciado, se deduce: ♦ A y B son invertibles ♦ Cno es invertible si x = 1 4
a by c
2
B=
2
El valor de xpara que tres de las seis matrices no sean inversibles es; A) 0
A lA B = A 1x I = > B = A 1 2 ¿
21 ; -6 ]
ri
D = ABC; M = A 2B 3C 4; Q = A B 1
♦ Por dato tenemos : AB = I , ♦ Dado que: |A¡*0 . ♦ Al multiplicar por la inversa de A resulta:
3 2 ¿ 2
:
Se tienen las 6 matrices : s
R E S O L U C IÓ N :
-1
RPTA: “D ” PROBLEM A 157
(
AB=BA .
R P T A ; “B ”
ROBLEM A 1 5 5 :
3 -1
Dado que no siempre :
d
D 1 = C ^ B ^ A '1
2)
n o in v e r tib le
M~l = (C 4 y 1(B 3 )~2(A 2 F 1 n o in v e r t ib le
3 ; ok = => a = —
1 ; c = 1 ; ^a = 1— 2 2 2 2 3 1 1 H—1 =1, => a + b + c + d^ = -------------2 2 2 2
Q 1 —BA~1 R p T A . ,.D 99
PROBLEM A 156 :
n o in v e r tib le
♦ Por lo tanto, para que existan 3 matrices no invertibles, debe ocurrir que Csea no invertible y ;r debe tomar el valor de 14
RPTA : “E ”
Sean A y 8 matrices de orden 2 x 2 . Señale la secuencia correcta , después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F)\ I) Si A £= 0 = > A = 0 II) Si AB=0=>A=0 ó B= 0 III) (A+B) (A-B)= A*-B2
Similarmente al caso de los números reales , se dice que la matriz Af es la raíz cuadrada de la matriz /Vsi entonces , el valor de xpara el cual
A)VVV D)FFF
es :
B)VVF E) F W
C )F F V
PR O BLEM A 158
la m atriz^
_7 ] es la raríz cuadrada de
R E S O L U C IÓ N :
A) 0
I) F A L S O :
R E S O L U C IÓ N :
♦ Luego,
a
=> A' A * =I =»
*0
1 -1 P J
tenemos: ( 7
II) FA LSO :
Si :
-1 6 } (7
-r j , i
a B=
E )n o ex iste
-16>
(1 "U
0\ K
♦ Efectuando: (7
A=
D ) 16
♦ Entonces por las condiciones del problema
0) "'V i0 - v \o 0
2= o
a
C) - 16
l
Si *A = 31 * 1 -1
B) 3
H
(1 -1 \
:
i
4
AB=
♦Luego, A * 0 a B p<0=> AB = 0
'i
f
i
y
J °
0' 0,
-1 6 }
(1
-? r i o
0}
iM
( 49 - 1 6 x 0
49 -01 6 x 1 ) -í1 ( o
°1 1)
*
4 9 - 16x=l=> x=3
RPTA: “B”
18331137* ¡ E l PROBLEM A 159 :
-i
i\ SiA=| ' ¡ s at i sf ace l 0 - 2 ) ■ (! x s + 3 x + 2 I = 0 ,donde
la
ecuación
0
W ciC L O P E m A 2 0 1 2 ]
determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz original salvo el signo. A) V W B) VFV C) W F D) F W E) FFF R E S O L U C IO N :
,entonces
el valor de B - C , donde B y C son matrices de elementos enteros que satisfacen, A = B S+C3, es igual a: A)A-2I B) A-I C) A D) A + I E) A+2I R E S O L U C IÓ N :
•Por condición tenemos: A = B 3+ C 3 * Al descomponer A convenientemente, se obtiene: -J 2^\ (0 0 A= 0 -2
PROBLEM A
161 :
Definamos la matriz A„= o
> O II
II
• La primera posibilidad que se presenta es: 0 1' . (-1 0 AC = lo -1 , 0 -1 . • Luego por la forma que presentan, asumimos: 0 -1 0' B= =-/ l 0 -lá J0 n ) •Entonces: c 3 = ( - I ) = - I * Para calcular m y n, tenemos que:
• Se sabe por las propiedades de determinantes que: I) Si todos los elementos de una fila o columna son ceros , su determinante es cero. I I ) Si dos filas (o columnas) no nulas de una matriz cuadrada son iguales , su determinante es cero. III) Si en una matriz cuadrada se intercambian dos filas (o col umnas ) , ent onces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz original , salvo el signo. * Por lo tanto la respuesta es: VFV R P T A : “B ”
b 3=
fO mn2)
o
„3
(O
1)
J = [0
,
.
Entonces la
matriz B= A1A2A3„ A nA„MJ... es. ( At enci ón; nótese que n no crece indefinidamente) \ 2 A) B) E) U -21 ) [o l )
: 3°CK 3
.
_ 2J = * { » = - ! A 'm -1 }
R E S O L U C IÓ N :
0 1 => B = 0 -1
* Analizando la matriz se deduce lo siguiente:
* Por lo tanto, el valor pedido es: i 1\ B -C = = A + 2I 0 0
n = i^
RPTA
itr?99 (E
COMENTARIO: se pueden obtener más valores para (B -C ) por e j e mpl o si tomamos B = /a C = Í ° 1 ( o -7 entonces : B -C = -A -2 I PROBLEM A 160
2n 1
:
3
=( o í ) As =
fi
L)
lo
*)
=> A ¡=
í‘
[o
1)
t3
................ - C
f )
* Luego: i
2*
B=
1
1 2»+J
0 0 1 n o * Multiplicamos por partes tenemos: B=
1
i + -L
2a
*••
.n+1
0 * como: n => ce ( • Se o b tien e fin a lm e n te : B = 1 lo
¡ } H2 1 J
II
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I) Si todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada es cero , entonces , su determinante es cero. II) Si dos filas (o columnas) no nulas de una matriz cuadrada son iguales , entonces su determinante es diferente de cero. III) Si en una matriz cuadrada se intercambian dos filas (o col umnas) , ent onces el
n=
n= 2
l\o
2/
RPTA : “B 99
[ f f i g g fr
1 9 7 ¡i
J S fS fl
PROBLEMA 162 : Sean las matrices :
^ A2 - 2 A +1 = B + C + I /1: matriz Identidad
1}
7 2 B= [ c 5/ \3 1 )/ te \ Tal que AB = BA , calcule el valor de (a + c). A) 1/4 B) 112 C )1 D) 2 E) 3 RESOLU CIÓ N : * Si: AB = BA / a
a 1 Jlc 5 ,
a c
2a -c
-3 ]
( 2a + 3
- a + í\
3a + c
8)
^ 2c + I 5
-c + 5y
3 =>
1
KMcsiict/ros m c m u c m so )
5
A2 -2 A - B = C=>A2 - 2 A = B + C
a
2 -1
i* K O iii,f :» M
= > (A -If = B + C + I * Luego reemplazando los datos, se obtiene: 3* vA
-
C
3
* Tomando en cuenta el dato, resulta: A -I =
2
0}
(3
=> A
0 3
"U
0 4
R P T A : “ A 99
* Igualdando matrices resulta: PRO BLEM A 165 :
-3 = -a + Í a 3 = -c+ 5 a=4 a c = -3
Dada la matriz : Af=
* Luego : a +c = 4 - 3 = l
R P T A : 4tC
ff
t*}\yB n= 2 cj P
6>
A) M
c>
/ =
0
1
A) -1
** Dada r* a la i
C) 0
b D) 1/2
E) 1
RESOL UCIÓN: * Sabemos que: A + B = I =3
a 6 0 c
+
2 6
Í
s
Ó]
b
2c
* Entonces: a + 2 = 2 = > a = - I 1 ♦ 2c = 1 => c = — 9 6 = 0 2 ♦Nos piden: a + 6 + 2 c = 0
N
+ • ** \ 2 co820 matriz: Af=
RPTA : “D ” PRO BLEM A 166 : Sea la matriz :
1
\
'3 i ;B = 51 ; C w lo 1 J V
=
(09 0'
* Sabemos además que:
0
1
1 0 0
1
entonces la matriz x n es.
[o 0 ,
tales que A2- 2 A - B = C La matriz A con elementos no negativos que satisface esa ecuación es (dar como respuesta la suma de los elementos de la matriz A) A) 7 B) 10 C) 8 D)1 E) 9 RESO LU CIÓ N :
1
X= 0
PROBLEMA 1 64 Sean : a =
sen20
2 8en 0 / * Luego formamos el polinomio característico de M : P (x )= x 2 -traz(M)x+\M\ * Hay que tener en cuenta lo siguiente: traz(M )= 2; \M \-0.
RPTA: “ C a
E) 8M
=> P(x) = x 2 - 2x + 0 ; P(M) = 0 P(M) = M 2 - 2M =0 => M 2= 2 M M 3 = 2Af 2 => M 3= 2(2M) = 4M
\d+2 i 2b
6 c
C )3 M D) 4M
\ 8en20
, halle a + b + 2 c.
B) -1/2
B )2 M
R E S O L U C IÓ N :
Si se cumple que A + B = I t donde 0}
^sen20 2sert20J
Entonces la matriz M3 es igual a.
PROBLEMA 163 : Sean las matrices a = ( a 0
1
2cos20 sen20}
10 0 A) 0 1 10 0 1024 D) 0 1024
10' 100 0 100' 1000 0 1 000' 0 B) 0 1 0 C) 0 1 0 10 100 0 100 1 000 0 1000 0 1024 '59 049 0 59 049' 1 0 E) 0 1 0 0 1024 59 049 0 59049
R E S O L U C IÓ N :
m
[T ¿ 7 6 1 0
1
x ¡= 0
0
Ü
C U 'J .O P E D IA S O I S ]
>
1
1 0
(US)2
0
0
(1/2f
=*Aa=A *xA =
1 0 1 m *F orm a n d o la r e c u r r e n c ia ten em os : -
«
1 0 1 x * = x .x = 0 1 0 1 0 1
\
1 0 T 0 1 0 1 0 1
—
A3=
O
o
4 0 4 0 1 0 4 0 4m •
0 2n~l 1 0 ; Vn € N
2*~* 0
0
A 1000=
ai2)IOO° 100Qx.(U2fot‘ 1000 o (1/2)
0
R P T A : “D PP P R O B L E M A J3S
2 Hl
valor de M1003 es : A)
“" ( i
R P T A : “ D 99
A) 0 0
0
0}
0
1/2 1/2
¡000
3
; "3
PROBLEM A 16 7 :
71/3),00° 0
-C v ).
entonces el
C ) a ¡000
B)a 1003
G
’ 3
R E S O L U C IO N :
♦De lo dado se tiene: -i M 2=a2 => M 2= - a 2I o -ij
es
(1/3/000 0 0 112 (l/2)tM0 B) 0 (1!2)IOO° 1/2 0 1/2 0 0 (l/2)í00° A
l
[i -3
E )a 1003
0
t
1/2)
U m )1000 o
2t0 0 2io‘ 1024 0 1024 x n= 0 1 0 S 0 1 0 2*o 0 2io 1024 0 1024
0 0
0
0
(r n f
o
Dada la matriz M
El valor de
{ J
(m f
1/2
O
♦ En nuestro caso n = l l , entonces:
113
(113 0 2 X(112? 0 1/2
a ¡2 )3 3 x (l/ 2 f
♦En general tenemos: 2 Mi X m= X ml. X = 0
o
'(1/3)2 O
1 0 1 2 0 2 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1 2 0 2
2 0 2 X *= X *.X = 0 1 0 2 0 2
o
0
f
=> M t003= ( M 2 ) 50,M = ( - a 2D M/a
0
-í\
\J
o)
.
'(1/3)19* 0 1000/2 1000/2 D) 0 (l/2)tt0° 1000(2tfm 0 1/2 0 <1/2/900
, (l/3)"m 0 C) 0
o
PROBLEM A 169
R E S O L U C IÓ N
0 0 ' 1/2 1/2 0 1/2)
1/3 sea :A =
0 0
1/3
0
0
1/2
0 ' 1/2
0
. o
0
l/2á , o
0
0 '
1/2
1/2
0
1/2 j
♦ Por inducción se puede hallar el valor matricial (1/3)2 0 A *=
0
0
(1/2)2 2
0
0
X
(r n f
(112)
tal que det(H )~4
Luego / f e s : A)
1/3
:
Sea la matriz
♦ Nos piden calcular : ¿*ooot A*=A x A =
RPTA : “B ”
B)
1)
G D)
-2
-
C)
E)
R E S O L U C IO N :
♦ De la matriz H dada ,se tiene : deti7=** +3x=>x* +3x=4^>x*+av-4=0 de donde x = - 4 ó x - 1 * Reemplazando para cada valor obtenido :
i « 7
7
|
^
p k o u l k *í a s
l ]
kksvkltos
i>t:
k i;im
s o ]
*Como:
e n — -e rx :t) —
c . n
(1
5
1}
A= 0
2
7
0
0
3
U) Sí x ~-4=> *
-
268 -51 H‘ ={ 68 13
(
"
n
—
-
c
n
c
n
a
)
2= 0
x=l
RPTA : “D ”
1 A3= 0
PROBLEM A 170 :
Dadas la matrices : (1 0\ C= 1 1
D= f 1
1
{O
1
A)
D)
8
73
73
9
8
1
2
7
0
2
1"
1
15
39"
7 — 0
4
35
B) E)
71
8
9
1
(71
9
8
1
O
72
8
9
1
♦ Por inducción obtenemos: (1 o\ 1 1
: K
1 o c 3= 3 1
• r i: t 3 -
♦
0 1
8
-■
'"4 .w >
.
.
•
0
2
7 — 0
8
#
o
0
3
J0
0
27)
2 10 . 0 3 10
* N otar: que el produ cto de m atrices triangulares superiores es siempre una matriz triangular superior , y los elementos de las diagonales se multiplican entre sí. * Luego los elementos de la diagonal de A 10 son: 110; 2 10; 3 10 * Entonces: 2 + 2 10+ 3J0= 60074 RPTA : (4D ” PR O BLEM A 172 :
b
3 -G 3
A )-2
*■ (:
♦Si:
B) -1
C) 0
D) 1
o b =2 ^ ad - bc = 2 c d
♦ Entonces: 9
1
1
1 8 73J RPTA
44A 99
P R O B L E M A 171 :
a+2 6 i d +2 =(a +2)d - ( c+2)b +2(b —d )=ad - bc=2 c+2 d 1 b RPTA : 44E 99 PRO BLEM A 173 :
Sea la matriz : 1
5
1
El valor del determinante de F
A= 0
2
7
A) (a - b) (b - c) (c - a)
0
0
3
B) (a - b)(c - b)(a + c)
entonces , la suma de los elementos de ia diagonal de A10 es: A) 40230 D) 60074 R E S O L U C IÓ N :
B) S6 E)10*
E) 2
R E S O L U C IÓ N :
3
0 (1 0
fí
1
\
a b 2+ a b 1 d Si c d =2 halle el valor de 2 + c d + 2 1 b
♦ Con lo obtenido resulta: 8
35
4
0
o
*v*
3
C8 =
3, o 0 3, 15 39" 1 5 r 00
0
R E S O L U C IÓ N :
« ■ (:
1 5
0
A I0= 0
Entonces se puede afirmar que C?D? e s. 9
1"
0
♦Luego la alternativa que aparece es para
1
5
C) 60014
C) (b - a )(b + c)(a - c) D) (a + b)(b - c)(a - c) E) (a - b)(b - c)(a - c) R E S O L U C IÓ N :
2 a
b*
1
b 1
es
c
CJCMA1PEDLX 2012] PR O B LE M A 17S :
a? a 1 F = b2
c2
Sean las matrices :
1 (intercambio columnas 2 y 3)
b
a2
2 2 2 2 0 -2 0 u = 2 4 2 ,V = 0 0 1 2 1 -1 0 1
b2 (transpuesta)
Q = a U + p V donde
e l
1 a F= 1 b
l e e 2 ♦ Usando Van der Monde se obtiene: 2
F- a
2
2
b e
Los valores de a ,p para los cuales existen los números p , q tales que , simultáneamente se cumple. 2 1 ’ 2 “ 2 Q = 2 = P 2 , Q 0 = V 0 son 2 1 -1 -2 A) solam en te a = p = 0 B) solam en te a = 0 ; P o rb ita r io C) sola m en te p = 0 ; a o rb ita r io D) N o existe tales n ú m eros E) a y p son a rb itra rios %
t? é
F=-(b-a) (c-aXc-b) =>F=(a-b) (b-cXn-c) RPTA : Í4E ” PR O BLEM A 174 :
Sean a y b números enteros positivos pares ; con estos números se forma la matriz . a - b -a A = 0 1 2 , ai d e t(A + I) = 12 1 1 b (la matriz identidad), halle el determinante de a 2a la matriz Jb2 b A) -2 2
B) -10
C) 10
D) 12
E) 16
R E S O L U C IÓ N :
* Dado que: |A+/|=22 * Al reemplazar tenemos: 2
2
=22
1 1 b+í * Al restar la columna J d e la columna 2 resulta: a+2 -b - a+b 0 2 o\ =12 1 2 b
* Por dato: a ,/? e R ♦ Además: '1 2 1
U= 2
4
1
0 -1
2 ;V = 0 0 1 -1 0
1 2
(a + p
Q=aU + PV
2a
0 1
2a
a-p\
4a
2a
' 2 ’ 0 s
’ 20} 0 => ‘
20
~2 0
.
( 1 *0
2 0-' ' 2 0 = V 0
1 O
- q
.
1 = 20
(Ii)
-i
♦ Se observa que: p = 6a a q = 2p, * Entonces: a ; p s on arbitrarios
a+2 - a + 6 2 b
= 22
RPTA PROBLEM A 170:
* Al efectuar tenemos.
a ( b + l) = 2 x 3 ~ 1=— ^ T Finalmente:
R E S O L U C IO N :
.
a+2 - b - a 0
«
\P~P 2a a + pt * Entonces: 2 0a ' 0a 1' 9 22a 22a = P 2 q = . .L '1 ' '1 ' 0a 2 0a ti) 1
* Matriz dé identidad / = o
A + /l=
a»/?eR
a=2ya que b=2 a ; b aon parea
16
=
-1 2
RPTA : “A”
Sean las matrices Q
i i
í ü i-
Q
lOt
8
sabiendo que Q|-3
-6
donde >1es
441791
$E
(e o
h io n i:*
m rgB w N os
un cierto número real. Entonces, el vector « y el número * tales que Pu = au son: a
[8] [1] A) 3 ;0 B) 1 ; - l 5 1
C) m
l*KOltf
1979
0 -8 r *i 0 ;I D) -8 \;-lE) 3 ;0 1 5 m
*
•
R E S O L U C IÓ N :
"i 0 0 A) 49 1 0 989 49 1
1 0 0 B) 49 1 0 1080 49 1
1 0 0 D) 49 1 0 1127 49 1
1 0 0 E) 49 1 0 1274 49 1
•
* Como :
f 8} = X\ - 3 I X e R
Q -3
(I)
•C
II
" 8' -3 *5,
' 8' ' 8' Reemplazando 11) t*n*mot ^q 2 -3 = 1* -3 -5
♦ Si multiplicamos sucesivamente por Q llegamos a : ' 8'
í S>
’-8 ' '-8' Multiplicando par •! ^q/0] 3 mXm 3
QlOl -3 = XW1 -3
3
= X101
An =
.
♦ Hallando X .
-A
10
J 49
PROBLEM A
0 0 I 0 4 1
i n n( n + l )
o o} 1 0 n
; VneN
1
49
0' 0
' S
1
\
1
0
0'
49
1
1225
49
0 1/
>
178 :
A es una matriz de orden 3. Se intercambian la primera y tercera filas y se obtiene la matriz A ¿ . En A 0 a la primera fila se le multiplica por 3 y a la tercera por 2 obteniéndose la matriz A, de manera que det(Ax) = 6 6 Halle ó et(A 'J).
A)-ll
:
una matriz , entonces la matriz
A49 está representada por :
1 h
RPTA: "C ”
A f l = 0
11 1
'
1
0 1
B) -
11
C)
33
D )ll E)le
R E S O L U C IÓ N :
1 0 0~ Sea A = 1 1 0
0' 0
♦ Luego para n = 4 9 tenemos:
y
R P T A ; “E” PROBLEM A 177
n
49(50) \ 2
7 í 8> f 8) 1 1 - 3 =X - 3 4 ~4J { - 5 j l-sj
♦ Finalmente : ~J 1-
o 0'
A 49=
♦ Reemplazando en (I) :
-8 \ 3 5
i
l + 2 + 3 + ». n n
-•’TI '
2 7 -1> ♦Como : Q = \ i i i - 1 4 - 4
♦ De aquí: x=0
(1 o o'\ (1 0 0\ ' 1 o A 3 =AxA= 2 1 0 1 1 0 2 1 3 2 1 1 1 1 / \1 + 2 + 3 3 (1 O 0\ (1 0 0\ ( 1 A 4= A s xA = 3 1 0 1 1 0 3 1/ Ni i i N6
A
3
>5 J * Comparando con el dato Pg=ag tenemos' r-ay _ ,101 i M~ 3 a a = X /? * r ' ** 6 5.
( 2 1 {-*
fl 0 O'l 1 0 0^ 1 0 0' A*= 1 1 0 l i o 2 1 0 1 1 1 í i i J + 2 2 l)
* se observa que siempre se forma una matriz triangular inferior , entonces tenemos que:
Como p = Qwl entonces : P
«
♦ Al deducir primero An y después calculando A49 obtenemos :
* Multiplicando por Q : ’ 8' Q* -3
1 0 0 C) 49 1 0 1225 49 1
R E S O L U C IÓ N :
-5
-5
KtCSi tCMOS ÍPtl MUCPASO]
* Sea Ia matriz
a
au
a 12
a J3
: A = *21
*22
a 23
y!a 31 a 32
a 33j
De las operaciones indicadas se obtiene la
f
:y»
c
3 « „ $ a 32 a2t a22 {.2atl 2al2
P R O B L E M A 18 0 :
r
« •
II•fe
¿Para qué valores de K el sistem a de ecuaciones x + Ky = 3 y K x + 4 y = 6 tiene solución única? A) K * - 2 ; K * 3 B) K * - 2 ; K * 2 C) K * - 3 ; K * 3 D) K * - 3 ; K * 2 E)K * - 2 ; K * - 3
a 23 2 <*13,
• Por dato : |A, | = 6 6 * Hallando el determinante de At :
&$1 &32 a33
A2\=6 Q>21
a 22
a 23
a ll
a 12
a 13
R E S O L U C IÓ N :
• Aplicando la regla de Cramer : A ,.X ¿=Ax¿ * Para que el sistema de ecuaciones tenga solución única se debe cumplir que:
* Cambiando fx por f3 :|A7|
-6IA
•P o r dato:
-11
- 6 |A| =
=>|A|
66
I 4- 11 1 * Nos piden: IA I = —: =
A.
A)
179
f
0
' a 5
B)
\a r
D)
a ) 0 a5 > 0
0
K^ - a 5>
■
0 j
,a
E)
,
0
a ‘
aa
0
C)
ra 6
0
0■ - a 5
• Si:iV=
A
0)
*
0
RPTA: 44B " P R O B L E M A 181
A) V W D) V F F
R E S O L U C IÓ N ¿
10 - « 1
A,= k 4
*0
:
Si A y B son matrices 3 x 3 y 0 un número real , indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I) det (AB) = det (A) det (B) II) det (A+B) = det (A) + det (B) III) det (rA) = r det (A)
j* I entonces N5 es:
Sea TV=I °
1 k
* Por ta n to :4 -fe 2 * 0 = ^ f e * 2 A f e * - 2
1
RPTA : 44B ff PRO BLEM A
C IC IA tP E M A 2 0 1 2 ]
B)VVF E) F F F
C) F V V
R E S O L U C IÓ N :
10 (,!
* Asumimos que: J=
I) VERDADERO : det (AB) = det (Á) det (B),..E s una propiedad II) FALSO : CONTRAEJEMPLO: Pues si A = I3t B = I 3
- i
0 0
- 1
1
0
• Entonces: N=aJ • Expresando de la manera siguiente:
Ns=(ajf=a 6J5.............................(I) • Pero:
Det( I2 + 12) Det( 2I2)
Det(I2) + Det(I2)
22Det( Is ) =
2
1
+
1
= - /
■ e
M
; jh
* / : identidad * De aquí j 2= - i
;
-
2 *( 1 ) = 2 4=2 III) FALSO:
K
, se obtiene:
CONTRAEJEMPLO: Pues si: r = 2 ,A
J 3= J 2x J = - J J 4= J 2 x j 2= - l J 5= J 4 x J = J * Reemplazando en (I) / resulta
rDet(A ) 2Det( I2)
22Det(I2)
2 (1 )
2
( 1 )
4 99
h
Det( rA) Det( 212)
2
RPTA :t4B
(absurdo)
2
2 .
.......................
(absurdo)
RPTA: “D ”
[rcnn /o /vr;,*
PHOU2FJHAS K E S V E tfi'O S jptc Kl/PASO]
1981
R E S O L U C IÓ N :
P R O B L E M A 18 2 :
Si x e M2 es solución del sistema A x=b, calcule TRAZ(x *b).
♦ De las matrices dadas, se obtiene: 1
1
1
= (c-a)(c-b)(b-a)
lAl = Donde : AJO
í); B) 1
6
a
" (i)
C )2
E) 112
D ) 3
R E S O L U C IÓ N :
B\=
♦Dado que | A | = - i entonces A es invertible.
I - 1){-2
b
1 ,2
e
0
1
1
1
b
c
a + b b2
ahora de : Ax=b
t)
0
1
1
b -c
c
c2
a + b b* - c * A 1Ax=aA lb => Ix
- ( i ) ’ * '* '-
i : t)(í
B\=(b -
13)= > x‘ b = (-1 3 )
tra z (x *b ) = l
(1)
y o =
~v
d
^
Si m y n son primos relativos, un valor para m+n+d sería. A)0 Bhl 02 D)-3 E)4 R E S O L U C IÓ N :
♦ Sabemos por dato: 2fn + n
d
♦ Lo cual resulta: 7m =-5n ♦ Analizando esta última condición y como por dato, m y n son primos relativos tenemos:. n= 7)
v (m = 5
a
\
b2
\a 0 1 Sea la matriz k , donde a * 0 ; b e JP
Entonces los valores xjr xy xy x4 tales que a
°]\*i
**L p
«JL**
*A
°]
JJ
1°
1 b2 p0,— « 1~ AAk ) — *— a a a
E )¡, a
son (en ese orden):
»»* b » 0* , — 1 B ) — , —j a a a
o
a
™ 6 „ 1 C ) — i , —í » O i- — a a a
0 , - ^ . a a
R E S O L U C IÓ N :
♦ Según los datos tenemos:
ax
un 99
0
1
1
1
b
c
a +b
b2
a x 2
[O
1J
1
a x ,= l a x 2= 0
\
0}
bx, + a x 9 bx g+ a x 4J
♦ Luego:
:
entonces podemos afirmar que : A ) |A| = |B | B ) \A\ = ab\B\ C )
a x 2- 0
bxt+ax9=0 => x3=
ra
b x t + a x 4= l => x 4 —— a
|A | =
£|B |
O
D ) |A |=(a + 6 )lB
P R O B L E M A 185 :
♦ Operando se tiene:
RPTA Dadas las matrices : / r1 i r b c A B = A= a
99
n = -7 )
♦ Finalmente se obtiene: m+n+d= - l v m+n+d= - 5 P R O B L E M A 184
RPTA: “E
a
~ 4n~ 5m
d
a
♦ Luego comparando las expresiones (I) y (II) se tiene :
=
*o_
(m = - 5
6 + c ) - ( a + b)\ = ( b - c )(c - a )„ M I )
:
La solución de un sistema no-homogéneo (*o yo) donde x 0 = y& dada según la regla de tram er por. -4 m m -1 n 2 5 n d
c )[f
RPTA: “B ”
P R O B L E M A 183
*o =
(I)
E ) | A | = (o -6 )| B |
♦ De donde: xt = — ; x2 = 0 ; xs = — \ ; x4 = — a o o
RPTA : “D
99
liasal
[uSW .dm W£M*1h Ü Í
P R O B L E M A ía e :
♦finalmente lo deseado: x 2+ x 2+x3=3 RPTA : "A ”
Para qué valor de x el sistema siguiente
P R O B L E M A 18 9
X x+y=0 X x+ z= l
Al
Admite infinitas soluciones. A) 1 B)0 C)2
D)-l
E) -2
♦ Sumando las ecuaciones tenemos ( X+l)(x+y+z)=X+l ♦Luego tendrá infinitas soluciones si A+1=0=> X = - l 187 :
Sea la tema (a, b, c) solución del sistema de ecuaciones : 7x + 4y - 4z = 7 ................................. (I) 7y + 5z = 12 ................................ (II) l l y + 8z = 19 ...............................(III) entonces, la suma (a + b + c) es igual.
B) -2
de
ecuación
Obtenemos
A) Cuatro soluciones con (-2 ; -2 ) una solución, B) Tres soluciones, con (1 ; 1) una solución. C) Dos soluciones, con (1 ; 1) una solución. D) No hay soluciones reales. E) Podemos en con tra r m uchas soluciones va riando x e y.
OI
D) 2
♦ Si factorizamos en el sistema de ecuaciones, tenemos: (x+y-l)(x-y)=0
(I)
x 2+ y ~ 2 = 0
(II)
♦ De (I); x -y = 0 v x + y - 1=0 ♦ Luego tenemos:
E) 3
(I)
R E S O L U C IÓ N :
♦ Eliminando z de (II) y (UI); 8(II)-5(III) y = 1 en (II) z = 1 ♦ Ahora reemplazando los valores óe yy z en (I) obtenemos que: x=l ♦ Entonces: C .S .= { { 1 ;1 ;1 } } ♦ Luego tenemos que: a = l, b = l , c = l => a + b + c = 3 188 :
- x 2+ 2x2 + x3 = - 2
(II)
[ x2+y = 2
A y = 1
=> S2= (1 ; 1)
♦ Y por otro lado resolviendo el sistema (U), se tiene:
l + yfs
1 -JE
2
2
1 + >Í5 l-+¡5
X = --------- A V = ----------
l-y¡5
=—
-—
A y=
'
2
1+yfE
2
->Í5 l + JE
♦ Por lo cual, el sistema presenta cuatro soluciones. R PTA: "A ”
3 x 2+ 6x2 + 3x2=6 3x2- x3=4 El resultado d e ^ + x ^ + x ^ e s : A) 3 B) 4 0 7 D)10
íx + y - 1 = 0
x2+y = 2
x = 1
X
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
x =y
♦ Entonces al resolver el sistema (I) resulta: x = - 2 A y = - 2 =>S2= ( - 2 ; - 2 )
RPTA; “E ” PRO BLEM A
sistem a
R E S O L U C IÓ N :
RPTA: “D ”
-3
el
x —y —2 —0
R E S O L U C IÓ N :
A)
re so lver
:
x2 - y 2 - x + y = 0
X x+ x= X
PRO BLEM A
C t t 'l A H 'E M A S O I S )
P R O B L E M A 190 :
E) 15
R E S O L U C IÓ N :
♦ Ordenando adecuadamente el sistema : - x 2+ 2 x 2 + x 3 = - 2 , .............................. (I)
-3x2+6x2+3x3= - 6 ............................(II) - 3x2- x3=4............................ UU) ♦ Al efectuar 3(I)-(II) : - 6 x 2= - ! 2 => x¡=2 ♦ Reemplazando en (III): 3 * 2 ~ x 3=4=> x3=2 ♦ Reemplazando en (l):- 2+2x2+2 = - 2 => xs= - i
Dado el sistema de ecuaciones: 4 5 - 5 x+y-1 2 x-y+ 3 2 3 1 -7 x+y-1 2x-y+3 5
(I)
(II)
el valor de x + y es igual a: A )-l
B) 0
C)1
D) 2
E) 3
R E S O L U C IÓ N :
♦ Multiplicando por 5 e n (II) y sumando con (I) resulta:
W fTtM O .V 19 _ 5 ----------r = - 7 - — <=>
*+y- 2 2 =>x+y - 1 =- 2
[|j^
1 9 9 9 IffiEgg
* Al Completar cuadrados en (I) , obtiene: ( x + 2 y )2 ~ 4 x y= 25.................... (a)
= > £
x+y-
2
~
i ,ho« i+ „» m ,< a t : s i i : i r a s utc mu;§*aso)
2
x+y=- 1 RPTA .* “A ”
P R O B L E M A 191 :
* Luego reemplazando (II) en (a): 7 2 - 4 xy=25 => xy =6 => 2xy=12....(III) * Resolviendo (II) y (III) , se tiene:
La función polinomial : iTx;y;z>=[fx-y;(y-z43jf+[fx-yJ6r-x+3jf+fx4y+í-3/
x+2y = 7 x(2y) = 12
tiene N raíces (x;y;z). Entonces N es igual a:
x = 4 a 2y = 3 se descarta porque 2y>x
A) 0
B) 1
C )2
D) 3
E) 4
R E S O L U C IÓ N :
v x = 3 a 2y = 4
* Hacemos : F (x ;y ;z ) = 0
x=3;y=2
= > (x -y J (y -z + 3 J = 0 A (z -y J (y -x + 3 > = 0 A X + y + z = 3
=>[x-y=0vy- z+3=0] [z- y=0vy-x+3=0] De d onde: a
a
x+y+z=3
* Entonces: C.S. = {(3;2)}=> — =
RPTA: “f í ” P R O B L E M A 19 3 :
x -y =0 z -y = 0
Un grupo de estudiantes deciden aportar en cantidades iguales para contratar un profesor de Física . Si hubieran 10 estudiantes más , cada uno pagaría s/.lO menos. Sin embargo, si el número de estudiantes fuera 2 menos, cada uno pagaría s / , 5 más. ¿Cuántos estudiantes forman el grupo y cuánto se le paga al profesor. A) 20 ; SI. 120 B) 10 ; SI. 200 O 8 ; S/.160 D) 8 ; Sí. 200 E) 20 ; SJ.200
= * C . S ; = { (1 ,1 ,1 )
x + y + z -3 = 0
x - y =0 y -x + 3 = 0
=> C .S ^ 0
x + y + z -3 = 0 y -z + 3 = 0 z - y= 0
c .s ^
R E S O L U C IÓ N :
r
0
¿Cuántos estudiantes forman el grupo y cuánto se le paga al profesor? Sea: «a» el número de estudiantes
x + y + z -3 = 0 **
«b» el pago de cada estudiante
y -z + 3= 0 y -x + 3 = 0
|Cantidad T Aporte )¿¿ralumno» de c)u
= > C .S ;= { ( 2 ; - 1 , 2 }
x + y + z -3 = 0
C.S.={(1;1;1);(2;-1;2)}
RPTA: “ C ” P R O B L E M A 10 2 :
Dado el sistema X2 +
BJ— 2
C )2
D)— 3
E )3
R E S O L U C IÓ N :
* Del sistema tenemos: x 2+ 4 y 2 =25.
.(I )
x + 2 y = 7 . ...... .
(II)
recaudaaoJM
Inicial
a
b
axb
Sifueran JOmás
a+10
b-10
ab+lQb-lOa-lOO
Sifueran $meno*
a-2
6+5
ab-2b+5a-10
Igualando el dinero recaudado en cada caso , pues el profesor cobró lo mismo en todos los casos , tenemos: ab=ab + 10b - 10a - 100=ba - 2b+5a - 10 * De donde a=20;b=10 * Número de estudiantes: a=20 * Pago al profesor: ab=200 R P T A : ”fí”
i i'mMHRi .„■■,VR
\1S8*\WM PROBLEM A 194: Dos cam pesinas llevan al m ercado 100 m anzanas, una de ellas tenía m ayor núm ero de m anzanas que la otra; no obstante ambas o b tu vie ro n ig ua le s sum as de d inero. Una de e lla s dice a la otra: Sí yo hubiese te n id o la can tid ad de m anzanas que tú tuviste, y tú la cantidad de m anzanas que yo tuve, hubiésem os recibido respectivam ente 15 y 20/3 soles. ¿C uántas m anzanas tenia cada una? A)30 y 70 B)35 y 65 C)40y60 D)45y55 E)48 y 52 RESOL UCIÓN:
15¡y
2da. persona
y
20!3x
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.
2 x 2+ 5xy - 1 8 y 2 = 0 ............................(I) x y + y 2 - 1 2 = 0 ............................. (II) A) ( - 4 ; 2 ) , ( - 2 ; 4) B) ( - 4 ; - 2 ) , ( - 2 ; 4) C ) ( 4 ; 2 ) , ( - 4 ; - 2 ) D) (4 ; 2) , ( - 2 ; 4) E) ( 4 ; - 2 ) , ( - 4 ; - 2 )
♦ Notar que si x = y = 0, entonces sólo se cumple (I), pero no (II). ♦ Sea y * 0 , entonces en (I) tenemos:
j w r : .-------OSTODE 0MANZANA CAC DAMANZA:NVAC V-.
X
PROBLEM A 196 :
R E SO L UCIÓN:
♦De acuerdo al enunciado , tenemos:
Ira . peraoñá
C i 4 1 .0 P E D I A 2 0 1 2 ]
.1
' \ * í í
♦Como ambos tienen la misma suma de dinero , entonces :
RPTA: “ C”
x
A
-
18=0
=>
7-X
2x
+9
= 0
„
=> — =2 ó = - 9 => x=2y ó x = - —y y y ♦ Luego en (II) tenemos:
3y 2 + y - 12=0 ó -¿y 2 + y 2 - 12=0
PROBLEMA 195 :
¿Cuáles de los sistemas de ecuaciones está representada por la gráfica adjunta?
y~=4
I) x - y = -1 6x + y = 8 x + y = 3
y=
II) 6 x + y = 8 III) x - y = -1 x + y = 3 2x + y = 4 2x - y = 0 x + y = 3
±
ó
- 7 y 2=24
2
N o p u ed e ser
Por lo tanto: C.S.={(4;2) ; ( - 4 ; - 2 ) }
RPTA PROBLEM A 1 9 7 :
A) Sólo I
Sea N el número de pares de números reales (x ;y ) que son soluciones de la ecuación J y - x + Jx - y = x 2+ y 2
B) Sólo l y III C) Sólo III D) Sólo I y II
Entonces /Ves igual a : AJO B) 1 C)2
E) Sólo II
R E SO LU C IÓ N :
RESO LU CIÓ N :
D) 3
E) oo
\
♦ Dado que la ecuación:
•Identifiquemos las rectas
J y - x + J x - y =x2+y2 es irracional , entonces calculando el C.VA . (valores admisibles) resultará:
y-x'Z.O a x - y ^ O y'Z.x a x ^ y = > x = y C ^ L j :2 x + y=»4
♦ Luego reemplazando en la ecuación irracional se obtiene: Jy-y+yJy - y ^ + y 2 =>o=2¡y2 =>y=0
C o n c lu s io n e s
=> CJS.={(0;0)} ♦ Se sabe que N es el número de soluciones con componentes reales , entonces N = 1
RPTA: “ C
99
RPTA : “B”
P
i-K tu tity t.x s i t i : s n : i : r o s n t: tu:Mm A sa ]
H
PROBLEMA 198 :
XZ Si: - = 8 ; - yZ =6 xy =6 ; 5 x + 4y 3x + 2z 3 y + 5z Determine él valor E - —— x-z 25 15 A) 5 B) C)10 D) E ) 25 xy = 6 => 6(5x+4y) = x y 5x+4y 5 x + 4y I 5+£ =£
6 y
a;
w
P R O B LE M A 2 0 0 : Al resolver el sistema siguiente : $x+y + 2 - $ 2 x - 3 y - 7 = - 3
3$jx + y + 2 - 3 y j 2 x - 3 y - 7 = -9 => 0 $¡x + y + 2 = 0
* De (f?) y (0) se obtiene: £ _ £ ^ X=4K * z x=38 K =12 => z=36 * Luego de (0) resulta:
%¡x + y + 2 = 1=> x + y + 2 = 1=> x + y = -1
Z~3K
* Sustituyendo en ( a ) :
RPTA : “B 99 PROBLEM A 201 :
Determine tal que Log y[27 =
A)
=5
RPTA: “A
99
PROBLEMA 199 :
Al resolver , en el conjunto de los números complejos, el sistema.
(1 + i)z - w = - 1 - i ...............................(I) 2iz + f l - i j i r = i ................................... (II) z
El valor de — es. A )-í ~ 2
6
B )--2
6
C )- + 2
243
B)
C)
81
27
1
6
2
6
2
RESOLU CIÓ N :
* Al multiplicar (I) por (1+i) :
tenemos: 2iz - (1 + i)w = -2i \ de (2) : 2iz-(l-i)w= i > - 2 iv = ~3i 3i =>mj - 2 * Luego reemplazando en (II) resulta: 2 i z + (l -i )-i = i
2
0. 3 . 3 . 3 i 3 .1 =>2iz+—!+—=i =>2iz = ----- =>z = —i —2 2 2 2 4 4
E)i
D )J
R E SO L UCIÓN:
* Dado que a es base del logaritmo , entonces a >0 y a* 1 .
* Si : Lvga$27 = - 1 * Entonces : i a 2 = $ 2 7 =(27~I)-V2
27
RPTA: " C9f
D )--+ - E )---
6
(* )
2 $ x + y + 2 + 3yj2x - 3 y - 7 = 14
-sy * í2 = 6' ..........................................r w
12
E) 2
Multiplicamos por 3 la primera ecuación y sumamos con la segunda ecuación :
2 3 1 i + í = s ......................................... M
* - z
RPTA : “ C”
• Piden: x + y
6
y
6
R ESO LU C IÓ N
* Análogamente de las otras dos ecuaciones :
y = 60 => E =
2
2*]x+y + 2 + 3$2x —3y —7=14 se obtiene que el valor de (x+y) es: A) -2 B) -1 C)0 D) 1
RESOL UCIÓN:
ay
• Nos piden: — = £ + i-
PR O BLEM A 202:
S i Logabc = x n,Logbac = y n,Logcab = zn para todo n e N . Calcule el valor de
E=— n A)2n
xn + 1
B)n
yn+1
C)n2
zn + l J
D)l/n
E)n/2
R E S O LU C IÓ N :
•Agregando 1 a las condiciones :
Loga bc + Logaa = x n +1=> Logaa b e = xn +1 Logba c + Logbb = y n +! => Logba b e = y n +1 Logc ab + Logc c = zn +1=> Logaa b e = zn +1
* Reemplazando e invirtiendo los logaritmos ,se obtendrá :
F =JrfLogabtJa + L ógabc b + L ogabe c E = J jí n
RPTA : 44D
ff
♦ Sabemos que la ecuación es equivalente a: x + Log2{,2^) =1 0 ^3 (2 ^) * Luego efectuando tenemos: 3 3 3 x =— x +— = — 8 4 8
PROBLEM A 203:
PROBLEM A 200:
Al calcular el logaritmo de am\fa en base anr$a ; donde m ,n > 0 ,a > 0 y a * l; obtenemos m n B) m n C) A) D )m E) n m n
Dado el siguiente sistema :
RESOL U CIÓN :
♦ Lo pedido es : B°g-nm¡^amy[a
=
mn + 1 m+£ n ~(~LOgaa " mn +1 n+
m
m
PROBLEMA
m
n RPTA: 44C**
=>n2-7n + 1 0 = 0 => (n -2 )(n -5 )= 1 0 * Entonces :n=2=>m=5 n=5=>m=2 ♦ Finalmente , dichos números son: 2 y 5
ab
Log2x = Log2y ♦ Como: x * y
O
L
U
C
I
Ó
N
:
1
y
♦ En ( / ) :
(Loga +Logb)(Loga - L ogb) = (Logy) (Loga +Logb) a b a b2 - a 2 ♦Entonces: y=-r=> x - y = — —= ----- — b a b ab
RPTA: i4B** PROBLEM A 2 0 7 :
El valor de la suma : n+J +i n r 22* tanK(z/4+Kx)^ K=¡ L
es
B)2(2n+I -l)L o g (2 )
A ) ( 2 n - l)L og(2)
D ) 2(2n - l)L og(2)
RESO L UCIÓN :
♦Como se sabe que:
tan{fY* 4K ] = i;V B e < z , entonces la suma n+1
D) 5/8
y
x= —
E )2(2n+ l)L og(2)
es : C) 1/2
Logx = - Log y => x= —
RPTA : 44D "
Jx + Logjg \¡J2 y¡\Í2 = J L o g y j $ 2\Í2
(I)
Logx =Logy =>x=y
C)2(2n+I+l)Log(2)
205 :
B) 3/8
E , b2~ a* ab ab
* Aplicando logaritmo a la 2da ecuación :
*
El valor de x que satisface la ecuación
S
ab
-b ^ D ) ab
Loga [Log +Logx\=Logb [Logb+Logy] -Log2a - Log2b=(Logy) (Logb) - (Logx) (Loga)».
* Sean los números m y n. ♦ Datos: m2+n2=29 a Logm+Logn=l m m * De (II) se tiene que:/77/7= Z 0 y m >0 ; n > 0 * Además : (m+n) 2=m 2+n2+2mn ♦ Luego reemplazando se tiene: (m+nf= 49 => m+n=7 =>m=7-n ♦ Dado que: mn=10 => (7-n)n=10
E
determine el valor de x-y.
* Aplicando logaritmo a la 1ra ecuación:
RESOL UCIÓN:
A ) 218
(x * y ,a > 0 , 6 > 0 )
_yL ogy
R E S O L U C IÓ N :
La suma de los cuadrados de dos números es 29 y la suma de sus logaritmos (en basei0) es 1. Dichos números son: A)-2y5 B) 4 y 5 C)2y-5 D) 2 y 5 E) 3 y 20
R
x L ogx
204 :
PROBLEMA
ff
a L o g ( a x ) = b L o g (b y )
A)
m+i n L og jo n+— o m
RPTA: (4B
E) 3/4
„
n+1
pedida: « = I Log2 2K= Y 2KLog2 K K+2 K+l * Aplicando el teorema de la sumatoria:
[ K I W 'I O i t T O
« I T I f it O ñ !
1887
B
S = Log2 £ 2K=Log(2 + 2* + 29+ ... + 2**1) k+í ,—r\-------------- titlL i l
2-J
=> S = 2{2n+1 - l)Log2
A) 0
B) 1
C)2
D) 3
E) 4
R E S O L U C IÓ N :
* Transformando la ecuación tenemos:
+Logb(2x+l)=xLogb^ j+ L o g b72 ,
RPTA: 44B " PROBLEMA
HUSCtCLTOS i*ti KMCrASO
208 :
* De donde: b=1424
X+Logb(2*+l) = xjMgífi - xLogb2 + Logb72
Dada la siguiente ecuación :
=> Logb(2*+l)=Logb72- logb2* => Logb(2x+l)=Logb [ | | j
calcule ; sen(x)
A)
—
4
B)
C)
—
2
-
D )
3
—
E)
5
- L
V2
RESOLU CIÓ N :
=> 2X+1 = — o (2Xf +2X - 72= 0 2X
* De lo dado , se obtiene :
=> 1 ^ < Í ) ( 2 X - 8 ) = 0 ; 2 x + 9>0
(LogKnx2)(LogKníxll256) = -
=> 2 X=8 => x= 3
1
senxO a senx * 1 ................................... •(I ) * Transformando la ecuación se reduce a: (L°g~n* 2)(Log„ns2 -‘ ) = -l
=>(L°8mnx 2) i ~^=> L
2~ -
^vL ogmHX2 = |
1 v senx = 4 A => aenx = — 1 v x e 4A => aenx = — 4 4 . 2
200 ;
El conjunto de soluciones reales de la ecuación 10 OOCf09* - 4xlO& 09*+ 4 = 0
D ) { - j 2
C ) { l ; \Í2 }
B){j2} ;
yÍ2
}
E ){i
¡
4 2
;
-
y/2
:
Del sistema 3 X+1 - 2 y= l l Halle Logy x,
B) 2/3
a
O 3/2
3 x + 2 y+x=41 D) 2
E) 4
R E S O L U C IO N ;
RPTA: “A ”
A) 4
P R O B L E M A 211
A) 1Í2
* Este último de (I), entonces: «enx = PROBLEMA
* Entonces , C .S .= { s } , por lo tanto , la ecuación tiene una solución. RPTA: 4$B ”
}
RESOLU CIÓ N :
* Dado: 3 (T ) - 2Y = 11 3* + 2(2y) = 41 (II) *De (I)x 2 + (H).7(3x) = 63=>3 x = 9 = > x = 2 * Al reemplazar en (I) resulta: 2 7 - 2y=ll=> 2y=16=> y=4
* Por tanto; Logyx = Log42 =
* No se debe olvidar que: 10Logx = x ; Vx e R* * Resolviendo la ecuación, se obtiene: (10Logx)4-(1 0 Logx) 2 +4 = 0<$x4-4 + x 2 +4 = 0
2 PRO BLEM A
21 2
RPTA : “A ”
:
=ó (x 2 - 2)2 = O2 = 0 <$ x 2 - 2 = 0
Halle las raíces en la siguiente ecuación jLogx = Log-Jx
=> (x + \[2)(x-yf2) =0=>|x=-s¡2 VX=yf2J
A )x 2= 1 ; x 2 = 10 4
B ) x ¡ = 10~2; x 2- 1 0 2
C ) x t = 10- X; x 2 = 10 3
D ) X j = 1 0 ’ x; x 2 = 10 2
* Sabemos que: x e £* => x = V2 => C.S. = {72}
RPTA: “B ” PROBLEMA 2 1 0 :
Al resolver la ecuación:
x +Log 1424(1 + 2 X) = xLog 1424*712+Eog 1424 72 entonces podemos decir , que el número de soluciones es :
E ) x x= l ; x 2 = 1 0 6 R E S O L U C IÓ N :
I) C.VJL: Logx £ 0 X 'Z .l
a
A
x>0 x>0
=> x S ¿ =0 C.V.A. =[¿;+oo) II) Elevando al cuadrado la ecuación.
’C I C L O P E M A 2 0 1 2 ]
[j% .M ^4322M *W *Xlh
Log x=\Logx2) =$L ogx= -(
¡ u* x
0 = Log2x - 4 L o g x = > 0 = L o g x [L o g x -4 ]
a - ar < ar < ar
+ a
=> J - r < r
2
■¡5 -1 yÍ5+l
♦Resolviendo: r e
2
2
♦ Restringiendo :
=>L ogx = Ov L o g x = 4 = > x = l v x = 104
r
Sp={l;104} { S p : solución particular) C.S.=C.V.A. r\ S p = { l ; 10 4 }
44Aff
RPTA
e
y¡5 - 1 •1 L..CS,
♦ Cuando r = 2 no se forma una progresión
P R O B L E M A 213 :
Dada la siguiente ecuación : L o g (2 x - l f +Log(x - l ) 10*"** = n Halle x , sabiendo que n es cualquier entero positivo y log es el logaritmo en base 10 . A)6
B)3
C)4
D )2
R E S O L U C IÓ N :
E> l Lg *
* Como: L o g ( 2 x - l ) n+ L o g ( x - l ) * í
=n
♦ Entonces se tiene: L o g (2 x -)n+ Log(x - l)n............................(I) ♦ dado que n es cualquier número entero positivo. => ( 2 x - l > 0 a x - 1 > 0 ) .......................... (II) » i * x>l
=>
-
♦ o , - ^ :*•€ (— - — ;— Í +-^— ♦ Resolviendo \ 4¡ £ ♦ Restringiendo al intervalo analizado :
>f5-l ♦ Por haber analizado en secciones disjuntas : r e
♦ De (I) obtenemos: ¿L o g (2 x
a r -a < ar2
4.
l ) + ¿ L o g ( x - 1)=#
Logí0(2x - l ) ( x - 1)=1
=>
RPTA: “E ”
(2x-l)(x
-
1) =10
2 x 2 - 3 x - 9=0
2x 'nJL- ' 3
x =—
2
v x = 3
x
♦ Finalmente teniendo en cuenta (II) resulta que: x = 3 RPTA ; “B ” P R O B L E M A 214 :
La medida de los lados de un triángulo está en progresión geométrica de razón r, lo verdadero 6S * A) 1 < r B) 1
2 J5 + 1
R E S O LU C IÓ N
♦ S i: 0 < r < 1
PROBLEM A 21S :
Sean (a2 ; a2 ; a j y (b2 ; b2 ; b j los tres primeros términos de una sucesión aritmética y geométrica , respectivamente , tales que. a 2 b2 = |fl3 ~ 63 | = 0,4 Si la razón aritmética es 2 y la razón geométrica es 1/2 , entonces el valor de b2 asociado al menor valor posible de a2 es. A) -4 ,8 B) - 8 O - U $ D ) -14,4 E) -17,6 R E S O LU C IO N : (a ¡ ; a 2 ; a 3) * ( a í ; a 1 + 2 ; a 1+ 4 )
(b2 ;b2 $b3) m
b¡
* Si: « 3 - 6 3 zO
E)J í - L < r < J l±±
a 1+ 2 - ^ b 1 = a 1 + 4 - ^ b l = ^ bt = - 8 donde a 2 = - 6 ,6 * S\:a3 - b 3<0 a¡ + 2 - ¿ b í = - a , - 4 + í b l = - L b2 = - 11,2 donde a 2 = - 7 ,2
[ r e í t i 4
f# m ? ^
| p^ 1 * 8 9 ||!¡|^
K iT ifiY o ^
* Eligiendo 3 ,= -7 ,2 entonces bs será:
es el menor valor de a
11,2 RPTA: “ C”
PROBLEMA 216 :
i'K O iu .iO L X s
a4 = Log 2 ; (4 = 2 2) de = 0
A) 1/3
* Finalmente :
D) 2
E) 3
RESOLUCION * Piden: q * P or «erR G . D e cre cie n te 0 < q < 1 ★ Del dato RG. L,q: t ^ , donde: q = razón. ★N o s dan: lj + t t q + t 1q 2 = 13
ate k íc p a s o )
t :t ;r o s
a- = Log3; (3 = 3l)
>'a36 = ° ; a n = 0
C)2/3
i :s i
a i = Log p ; (1 = p °p a r a algún o prim o) a2 = Log 2 ; (2 = 2l)
La suma de tres términos consecutivos de una progresión geométrica es 13. Sabiendo que si los dos primeros términos se incrementan en dos unidades y se disminuye en la misma cantidad al tercero, los números forman una progresión aritmética. Determine la razón de la progresión geométrica decreciente. B) 1/2
H
= Log 2 ; (8 fln = Log 3 ; (9
«8
2a) &)
a 12 = 0 ; a í8 = 0 ,-a^ = 0
O j+a^+aj+a^+a^+a^+ap+a^+a^+a^+a^+a^s Log p + 3Log2 + 2Log3 = Log72p * Por tanto , para p Log 144.
= 2 ;
la
suma
es
RPTA: “E ”
13 ★D e s p e ja m o s f t | = ------------ =• * i+ q + q ★ Luego: R A .+ q ♦ 2 . + 2 . t jq 2 - 2
PROBLEM A 218
:
La solución de la inecuación :
2e~2*+e~3x<3e~x, es el conjunto. * Entonces: ^ q +
—?
A) R B ) R - { 0 } C){ 0; oo) D)< 0 ;oo) £)<-oo; 0 )
★ Efectuando: q (1 - 2q + q 2) = 4 . . . © ★ R eem plazando: t ^ n @
R ESO LU C IÓ N :
* Haciendo que : y=e~x/y > 0 ^ - T ''( l - 2 q + q 2 ) - 4
( 1 +Q+Q J
* Al reemplazar y operando :
* R educiendo: 3 q 2- 10q + 3 * 0 * Factorizando: (3 q - 1Xq - 3) = 0
★Tenemos:q1
1
y 3 + 2 y 2 - 3 y < 0 => y ( y 2 + 2 y - 3 ) < 0
1
vq2 “ 3 * '^ " 3 porserdacredorta
* Pero la P.G. es decreciente; entonces ,
9
=^
RPTA: “A ” PROBLEMA 217 :
Sea la sucesión { a ( n > 0) definida por: an = Log p , si existe un primo p y un k entero no negativo tal que n = pk y an = O en cualquier otro caso . Entonces , la suma de los términos am , donde m es un divisor (positivo) de 7 2 , es igual a : A) Log 8 B) Log 24 C) Log 36 D)Log72 E)Log 144
=> y { y + 3 ) ( y - l ) < 0 = > y - l < 0
=> y < l
es p o s itiv o
* Al sustituir el cambio ; e~x
* Tomando log en base e ; -x < 0 * Multiplicando por (-1 ) : x>0
RPTA: “D ” PROBLEM A 210
:
La suma de la serie tiende a :
3
+ _L + ...+ L _ + 8 15 ks - i
RESOLUCIÓN:
* Según las condiciones del problema: * Nos piden la suma de los términos amdonde m es un divisor (positivo) de 72. * Luego los divisores de 72 son : í;2 ;3 ;4 ;6 ;8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72 * Usando la definición de an tenemos:
A ) ao
B )7
C)
D)
E) 1
R E SO L UCIÓN:
* Sabemos que: S —— + — + — + — ■+ ... + —~ — + ...
3
8
15
24
k2 - l
C 1 C L O P E D IA 2 0 1 2 ]
* Luego , el menor valor de Sn , cuando n=>+ 00, ocurre si x = - 1/2 , es decir :
♦ Luego analizando 5 , resultará: / 3
-
1 8
■
í ( f )
í d - l )
Í5
-
m
L(l 2{3 - i )
ir a 2\24 )
*W - í )
«a
jL
24
I K
)
• u rn a lím ite
(+)
SJxX m ín im o =4
SJx)m ínim o~ ~
- 7
RDM
RPTA
PR O BLEM A aaa :
—J
2 -
PROBLEMA
I
[A -i
El valor de la expresión
* + /J
2 3
. . . j
K
R P T A : “ C t»
2S0 :
B J - 16
8 27
D)i
CJ o
R E S O L UCIÓN :
Determine el valor de: S(n) = j {-¿—+— —1 0 .4 # -1 2n+l\ 2n 3n B) CJ 2n+l 3n+l 2n+l
n A) 2n+l
AJ- 1
4 9
E) 1
* Sea: la P .G .s a í; a 2 ; a 3; . „ de razón r * Además se sabe que:
ax + a 2 + ••• = ~
1 —r
E) n + Í 2n+l
R ESO LU CIÓ N :
;|r| ^ -í
* Aplicando en el problema , resulta:
- 1 2
D
1 2
1
2
8
27
= — + — + — + — + — + —
2
* Separando en sumandos la expresión dada:
3
4
9
+ •••
2 3
s - "
M
«
k
K
( k
{2
í )
1
1
,n
9
27
)
2_ ± 2
i 3
RPTA: “ C”
PROBLEM A 223 :
1
(2k + l )J 2n + l 2n+1 -1 + n 1 2n + l + 2n + l 2n + l
8 J {3
=>D = 1-1 = 0
" ,5,[(2» + l)(2k - J / ] + n ( 2 n + l ) o =y L _ L _ " til< 2 k -l)
4
PROBLEM A 221 :
En un cuadrado de lado 4 se inscribe otro cuadrado uniendo los puntos medios de los lados de dicho cuadrado. Repetimos este proceso indefinidamente. Entonces la suma de los perímetros de todos los cuadrados así construidos será:
Sea P(x)=x2+ x + l y la sucesión
AJ64 (2 - 4 2 J BJ48 (2 - 4 2 J
=>Sn
3n 2n + 1 RPTA:**C**
k=0 Entonces el menor valor es Sn(x) cuando n es arbitrariamente grande , es : AJO BJ 4 CJ 8 DJ arbitrariamente muy grande EJ no existe RESO LU CIÓ N :
* Sn(x) , cuando n=$+ 00, toma su mínimo valor si P(x) es mínimo. * Entonces , completando cuadrados se tiene: P (x )=x 2+ x + l= ^ x + j^ Sn(x )= '£ (P (x ))k= Y i \\x+ " *=0
k -0 Lv
V
CJ32 ( 1 + 4 2 J
DJ16 ( 2 + 4 2 ) EJNo s e p u e d e c a lc u la r R E SO L U CIÓN :
* Los lados de los cuadrados considerados en el problema tienen las siguientes medidas como se presentanenel gráfico: I ^-- 4------ 1
* Entonces , la suma de los perímetros es: •7
4 }=I^l?-=16j2(yÍ2+l) __JL- I T í - I J*
serie geométrica de razón
t*K O iu.t-:yi*& h / v im / jo v
B p q 1 9 9 J |K ^
l t l 7 I M rQ 6 '
S =I6(2+42) R P T A : (tD "
t> r
kjcm’A S o
]
R E SO L UCIÓN :
♦ Desarrollando la sumatoria se tiene: Sjl = —t + —t + —t— + —r— + —r— + ... + —r—— r'fk i 1 2 +1 2* + 2 2*+ 3 2*+ 4 2 k + 6 2k + 2 k
* Para números positivos Si : a l < a 2 < a 3 < ......... < a n M i n
an ) < M . A
< MÚX(€i¿ja 2 í‘ an)
PROBLEMA 224 :
Com o se in d ic a en la fig u ra a d ju n ta se construye progresivam ente circunferencias tangentes de radio cada vez m e n o r, tangentes a dos sem icircunferencias de igual radio R. Use dicha construcción p ara d eterm in ar la sum a de la serie infinita. 2 Z + Z + Z . ------- + ••• + + ... 1x2 2 x 3 3x 4 nx(n + 1 )
2 «+i+i
2k
2 K+ 1
2 K+1
* Pero: K-+
RPTA: " E ” PRO BLEM A 2 2 6 :
Sea
la sucesión Sq, s ¿, s ^ . - v sk
donde
S0= 49, 82= 7, 82=>¡7 , —8tt= 7kfk~l> ,f)ara Entonces la suma de las cifras del producto de todos los términos de la sucesión será igual a. A)3 B) 4 D) 6 C) 6 E) 7 RESOL UCIÓN :
A) 2R
B)R
R C) 2
* Como:
SJ=71
E)1
D)
RESOLU CIÓN :
S2=72= 7i*s i i s s 7 8 x2 ~ 2 2x3
* Piden determinar la suma: 00
1 z ¿¿¡nfn + l) 1x2
2x3
2x4
S0=7 2
n(n + l)
♦ Luego hallamos la suma parcial se tiene: Sm=_*-+— ?+_?_+.„+-1-" 2 x 2 2 x 3 3x4 n(n+l) = > s . = ( i - | ) + ( | - | ) + ( | - j ) +- +( í - Í T 7 ) =>S„ = 2 ---- —
n+1
: 1 J _ Sk=7k(h-*}=7(*-I¡k, para 6 * 2 Nos piden: 2 2 2 i
7 2 x 7 1 x 7 lx2 x 7 2x3 x 7 3x4.. . 7 k(k- v ... ♦ Entonces el producto de los términos de la sucesión: 2+ 1 + + + +... +-—:—■ —■+ ••• k(k-l) 2x2 2 x 3 3x4 = 7
♦ Finalmente tomamos límite:
UmS„ = Lim (1 ^ ] = í => Y — i — -= J „=+» ■=»+»(. n+1 ) £,n(n+l) RPTA : “E 99 PROBLEMA 225 :
D ) j < : S K
RPTA; “E 99
* ^ 2 tse puede afirmar :
n-1 W '+nJ b) I s s k < ± A) 1 ¿ S K
E)j
=7 =72+1+1= 74= 2401 * La suma de las cifras de este producto es: 7
Para la sucesión definida por:
2k
2+1 +
c ) l * s K* l
PROBLEM A 2 2 7 :
reales números En la sucesión de 20,25+xZ xk+i ó para k=0; 1 ; 2 ...se sabe que 2Xft x5= 4,5 ; entonces x10S será igual a.
[ Á
M
.
m
c
4
# jP j g y m
A) 4,5 D) 4,5555
B) 4,55 E) 4,555555
R E SO LU C IÓ N :
__
* Dada la suceción: xk+¡=
iv ' m
13921
C) 4,555 2
f * Xk 2x
* an= $Jn+l - \¡ñ = Lim a„ =Lim( $Jn+l — \¡ñ) X-+*> Lima_=Um
• Entonces, para k=5 resulta: * 6=
2x k
2 .
=
2
# —
RPTA : “A ” PROBLEM A 228 :
Dada la sucesión de término general : Sn=yj n+l - Jñ
>0, cuando n
3 4¿
>oo
RPTA : “D ” PROBLEM A
230
:
Sea la sucesión definida por : /1 x" , ne N ' donde bx—
J
Entonces la sucesión converge al valor: B) 0
2
C) — 3
O)
E)1
R E SO LU C IÓ N :
•Debemos recordar : Teorem a:
D ) Sn converge a n * Se tiene :
E) Sn diverge
3¡ñ
Por lo tanto , (an) converge a 0
A )-
entonces se puede decir que. A) Sn converge a 0 B) Sn converge a l C) Sn converge a 2
$n+l2+%n+l $fñ+$fñ*
>/n+l*+$In+l tfñ+yfñ"
4,5
+x& = 4,5 7 2xe • Se deduce que la sucesión es constante , es decir: xk=4,5;Vk eZ + 0 => x í0S=4,5 • Para k=6 se obtiene:
=0
^ O ía .=
(4, 5) +(4, 5) = 2(4,5)
= >*6
2012}
. (yjn+1 -\fñ)(yjn+l2+ yjn+l yfn+yfñ2) => Um an=Lim
• Por dato: xR=4,5
(4, 5)2+ ( x b ) 2
iV CM CLOJPEIM A
L im
b n+i = Lim
bn = L
* ,= 4
RESOL UCIÓN :
i S um a lím ite: S =
• Dado S„= y¡n+1 -+Jñ
:M<
1
• Por la igualdad de la diferencia de cuadrados, expresamos: S (n+D -n 1 n yjn + 1 +>fñ yjn +1 +y/ñ~ • Luego calculando el límite de Sn se tiene: Lim S. = U m
—¡==0
X'=Xti 4 n+l + >[ñ
• Por definición de convergencia: Sn converge a 0
* Para determinar el valor de convergancia tomamos límite: R P T A : “A ”
PROBLEM A 229 :
Seafa„) la sucesión cuyo término general es an=\¡n+l - y f ñ . Entonces podemos afirmar que. A ) an diverge a o o B ) an converge a n C) an converge a 1 D ) an converge aO E) an converge a - a > R
E
S
O
L
U
C
I
Ó
N
:
serie geom étrica
i
Lim 6 n. = - 1 - + —5 - = n -K o
•Entonces
,
2
i
1
« -i la sucesión { b
1
2
+1 =0 2
converge a 0.
RPTA: “B ”
M £ l rn
M
Ñ
4
P
1398 * ¡m
Iffife l
&
PKOBM.tCPLXS ntCSCICUTOS
PROBLEM A 231 :
R E S O L UCIÓN :
Sean las sucesiones : ¿ « j = bn+ * con b ,= 5 cn+1 = -3cn con Cj=5 ; n e N bn Entonces el valor d e ~ , para
* Aplicamos inducción :
n
suficientemente grande, se aproxima a :
B) -4/3
C)3/4
D) 0
E) 1
=> x2=a(ax0+b)+b=asx0+b(a +l) •SÍ n=2: x3=ax2+b
=>xs=a(a2x0+ b (a + l))+ b = a 3x0+b(a2+a +l)
RESOLU CIÓ N :
•Si n=3: x4=ax3+b
* Hallando la Ley de formación de bn\ bn+ l = b„+4 bj=5 (dato) n = 1 b2 =bt +4 = 5 + 4 x l n = 1 b3 =b2 +4 = 5 + 4x2
=>x4=a4x0+b(a3+a2+ a + l)
•
MUCKASO]
•Si n=0: Xj=ax0+b •Si n=l: x2=axj+b
cn
A) 413
l> £
2 => xn=anxa+b(an l+an 2+..*+az+a+l)*,.,(I)
•
K ~ bn-í +4 =5+4(n - 1) * Se obtiene, término enésimo bn= 5 + 4 (n -l) * Luego hallamos la Ley de formación de Cn\
n=l c2 = - 3 c 1 = -3 x 5 = 5 . ( - 3 ) 2Í n = 2 . . . . c 3= - 3 c 2= - 3 ( - 3 x 5 ) = 5 x ( - 3 ) 31 resulta :cfí= 5 ( -3 ) nI * Luego
:
* De (I) : * S ia = 4 = > xn=x 0+b ( l + l + l + ...+ l ) =x0+nb n veces
1 -a * Si a * 1 => xn=anx0+ 1 -a RPTA: “B ”
K _ s + 4 (n -B 5{-3)>*»-/ n
C i PROBLEM A 233 : Sea la sucesión d efin id a m e d ian te al entonces •Asum iendo que a¡ =J2 / an=yj2+an-i Podemos entonces afirmar Cn que. 5 + 4(n-l) f- i o» = A) an converge para 2 5( - 3)"-1 B) a es decreciente • Por el criterio de la razón analizamos la C) anestá acotada por 1 convergencia: ■r D) an no converge 5+ 4n R E SO LU C IÓ N : Um (-3)-*(5 + 4n) = i< i Um n = Lim 5x7^3)" «-►co fl^ « 5 + 4(n-l¿ an 3 5+ 4(n-l) * De las sucesión , se tiene: 5xjr-3/,**, (an )= {jF ;¡2 + j2 ;j2 + s f2 + 7 2 ;...} * De aquí resulta, que la sucesión converge a 0 -
-1
RPTA : “D ” PROBLEMA
232 :
Sean a y b números reales. Si se cumple que: , n= 0; l ; 2 ;..., Xn+l=a*n+b entonces: 1 —on A) xn=n(x0+b), si a=l yxn=anx0+ b, si a * 1 1-a i
xn=anxQ+\ -- -- b, si a * 1 {1-a, 1
}y
1
B) \x„=Xo+nbt si a=l
V
y¡ 2+an<2 => an+1<2
9
4
C) xn=nx0+bnt si a=l y x„=(l-n)x0+anb, si a* 1 [
* Se aprecia que es una sucesión creciente (monótona): Veamos que es acotada (por inducción) * Luego probamos que: a„<2;Vn e N ax= j2 < 2 * Entonces , supongamos que : a.<2 =>2+a„<4
i+ n^ ~Y^—bt si a* 1
E) xn=(l - n)x0- nb, si a=l y x„=(l-a)x0+b, sia*l
* Resulta que es acotada , entonces (an) es convergente por ser monótona y acotada. * Asumiendo que el Lim an= L , entonces: L = j 2 + L;L>0=¿> L2= 2 + L=> L= 2
* Por tanto, (an)ne2Vconverge a 2
RPTA:
“A ”
(Y ijr ,
c jc lo pe m a
I
%
P R O B L E M A 234 :
sois]
LímVn+1=Lím y¡K+Un oo
Sean las sucesiones 5 y P donde: &o~l> S¡=0;S2= 0 ; S j = — ;
S 2j¡(_2= — ;
P0= l; Px~ 7; P2= 0; P3=-—
;k '¿.2
P2k-i—~Z> ^2/,—! * k"¿.2
LímUn+1= / . Lím(K+Un) n=^oo y =>L =¡ K + L =>L > 0 =>L2=K + L => L 2 - L - K = 0 , 1+ J1 + 4K 1 -s ll- 4K =>L= ------- v L. =--------
te ti Entonces los límites a Jos que convergen las sucesiones 5 y Pson respectivamente: A) 0 ; 0 B ) 0 ; 1 C) No existe; No existe D) No existe ; 1 E) 0 ; No existe
♦ Como: L>o*>{un) converge a
R E S O L U C IÓ N :
PROBLEM A 236 :
♦ Recordar que si la sucesión converge al punto a , entonces , todas las subsucesiones convergan al punto a. ♦ En (Sk)k^w t tenemos que :
Se sabe que el siguiente sistema de ecuaciones:
Sq= 1; Sx=0: S2=0 ; S 2 ^ 2= ^ ; S 2A = 0 ; k >
S3=~—,*...
2
LimSok ¡ = L i m —= 0 y L imS2fi= L i m 0=0 k-x* “ k->00 k fe->oo ♦ Dado que los límites son iguales de las dos subsucesiones ; entonces , (Sk)k^ converge a 0. Análogamente , en ia sucesión ( P * 4 eNse tiene * * P0= l; P¡=7; P2=0; P3= — P2k-i~~j^ P2K= l;k £2 ♦ De nuevo tomando límite: L im P2jhi= L im —=0 a L im P2k = L im 1=1 k-k«> h-kto h h~+00 £->00 ♦ Dado que los límites son diferentes de las dos subsucesiones , entonces , el límite de la sucesión (Pk)keN NO EXISTE. RPTA : “E ” 235 :
Sea la sucesión { un} donde un-i^>Jk+un tk>0. Suponiendo que la sucesión es convergente, calcule el valor al cual converge.
. .l + 'Jl + 4h
A)
1 + Vi —4k n Í “ Ví + 4h
----
t í ) -------
C)---- ----
B )iz J E R 2
RPTA: “A 99
(y 2 + 6 ) ( x - I ) = y(x 2 +l) ( x 2 + 6 )( y - 1) = x(y 2 +l)
tiene un número finito de soluciones reales. Pruebe que el número de soluciones es par.
te
♦Tomamos límites para analizar la convergencia:
PRO BLEM A
1 + 41 + 4K
2
R E S O L U C IÓ N :
♦ Sea L el valor al cual tiende{t7„} cuando n tiende a infinito: LímUn=L =>LímUn+]=L n=xo
♦Al tomar límite en la regla de recurrencia Un+J=^K+Un , se tiene :
R E S O L U C IÓ N :
Notemos primero que el sistema es simétrico en x e y, es decir, si tenemos un par (a;b) que es solución del sistema entonces el par (b;a) también es solución. Luego cada solución (a;b) del sistema nos generará la solución (b;a), la cual es distinta, cuando a y b son distintos. Por lo tanto tenemos un número par de soluciones en este caso. Resta probar que existe un número par de soluciones (a;b) con a = 6 . Cuando x = y, se tiene qu e: (x2 + 6)(x - 1) = x (x2 + 1) , que implica x3- x 2 + 6x - 6 = x3 + x . Simplificando nos queda la ecuación cuadrática x2 - 5x + 6 = 0 , o equivalentemente, (x -2) (x- 3) = 0 cuya soluciones son x, = 2 y x = 3, es decir, los pares (2;2) y (3;3) son las soluciones del sistema en este caso. Así el sistema tiene un número par de soluciones. PROBLEM A 237 :
Considere 10 números enteros positivos, no necesariamente distintos, que sumen 95. Encuentre el menor valor posible de la suma de sus cuadrados. R E S O L U C IÓ N :
* Supongamos que la secuencia xx; x2; tiene suma
S = x f + x<¡ + x3 + ....... + x 10
ix 10
m in im a l.
[
i
s
m
c
m
a
m
#
«
i
m
m
'Bisa 1895 |g
y
Adicionalmente supongamos que los números están ordenados de menor a mayor, es decir, x1
BU.PASO]
x e y tales que x + y = 1995 y xy = 1995 k para algún k entero. Nótese que: 1995 = 3X5X 7X19. Dado que 3 divide a 1995 , tenemos que 3 divide a xy. Si 3 divide a x , entonces la primera ecuación nos dice que 3 también divide a y . Similarmente si 3 divide a y tenemos que 3 divide a x . Repitiendo el argumento para los primos 5 ; 7 y 19 , se obtiene que ambos, x e y son múltiplos de 3 x 5 x 7x19 = 1995 , y por lo tanto su suma no puede ser 1995 . En consecuencia no existen números x, y con las condiciones pedidas. PROBLEM A 240 : Sea la ig u a ld a d : 'x — a + 6 l= l x + a — b
(*)
. &
A )(*) si y sólo si: x = 0 V a 2= b 2 B) (*) si y sólo si: x — a = b C)(*) si y sólo si: x = 0 A a = b
A'
q u e x 1 - y 2 — ( x + ¡/> (a : -
podem os
/>/■;
entonces la prop osición verdadera es:
PROBLEMA 238 :
R E S O L U C IÓ N :
PKOHt.iitLlS ULSiTCI/i'OS
c o n s id e r a r
y) ,
la s
D )(*) si y sólo si: x = 0 V a = b E) (*) si y sólo si: x = a = - b
e c u a c io n e s x + y = a2 y x X y = a. E stas
R E S O L U C IÓ N :
ecuaciones tienen solución x = a[a + 1)/2
P ara la r e s o lu c ió n d el p ro b le m a utilizaremos el siguiente teorema. |*|=|y|<=>*=y v x = - y
. Com o a ó a + 1 es par, x es un entero. Similar razon am iento nos dice que y es un entero. En con secuencia la ecuación siempre tiene soluciones enteras.
* A plicando el teorem a : \x - a + 6| = \x + a - b\ <¿>x-a + b = x + a - b v
PROBLEMA 239 :
x - a + b = -(x + a -b )
¿ Existen dos enteros positivos a y b ta le s q u e su s u m a s e a 1 9 9 5 y su producto sea un m últiplo de 19951
* R esolver las ecuaciones obtenidas.
RESOL U C IÓ N :
* Supongamos que existen dos enteros
2b = 2 a v x - a + b = - x - a + b o
b = a v 2x = 0
<¿>b = a v x = 0 = > x = 0 v a = b R P T A : “D ”
IÜ
íw
PR O B LE M A 2 41 :
IE
A E .V fiix o # * £ P líi 2012]
Sabiendo que P (a ) = 20, calcule: J P ( —3a)
Si:
iL u .2 f . - i 3 y* x * ~ 6
A) 4 B) 5 C)8 D)10 E)12 R ESO L U C IÓ N : * Para la resolución del problema se necesita
x*+y2=5
lo siguiente:
; x < 0 < y
y | y |< |*|. calcular el valor de: S=¿2y + ¿3x A )-2 B) -1 C)0 R E SO LU CIÓ N :
D)1
E)2
* Gráfica de funciones cúbicas. * Raíces reales de funciones polinomiales. * Características de las funciones cúbicas.
•Hallamos el equivalente de la primera ecuación del sistema.
* Teorema del factor.
Debemos
:
* Identificar las raíces reales de la gráfica. ecuación.
* Aplicar el teorema del factor.
* Restringimos algunos valores por la condición del problema.
* H allar el coeficiente principal de P(x)
• Tenemos el sistema :
U ) P ix>=b(x+2a)x(x-2a) 13
fL + t í
IH ) Evaluamos x = a 20 P(a) =b(3 a )a (-a ) = 20=>b = 3a* 20 « Luego : P (x)= - — y fx + 2 a ) x ( x - 2 a ) 3a
(*)
y2 x* 6 x 2 + y 2 = 5 .............. (0) x < 0 < y; \y\< \x\ * D e (a) 8e
tie n e :
$ x4 -
í
3 x 2y 2 +6y4 = 0
• Factorizamos:
(3x* - 2 y * )(2 x 2
1) Del siguiente gráfico las raíces son -2a; 0; 2a
Similarmente, para x = - 3a
(-fi)(-3 0 )(-5 ft) -
R ^ lO O
3y2) = 0=>3x* = 2y 2 v 2 x 3 = 3y*
■* 29 xr* 3 y = tí y2 = 3 v y * De (fi)y (Á ) tenemos :
JP(Sa) “ 10
x “
W
RPTA
II
243
(xs =2 a y 2=3) v (x*=3 a y 3=2)
E l gráfico de la función F se muestra a continuación:
Como |y| < |x| entonces, solo es posible
x 2 = 3 / \ y 2 = 2
a
y = ±42
y como x<0
x = -4s Ay ~ 2^ S = 42y+43x = 42(42) + (43)(-4S) = -l R P T A :“B ” PRO BLEM A 242: En la figura se muestra la gráfica del polinomio cúbico P(x): A y P (x )
determine, aproximadamente, gráfico de la inversa de la función:
G (x )= \ F (x -2 )+ ^ ; - 1 < x < 1
[PROHLEMAS RKSIELTQS
D)
♦
B [ 18071
Ü D ICIO m SS R V U tX O S } PR O B LE M A 244
OE REPASO
Y
1 1 1 1
Sia,6 ycsonconstantespositivasy G’1
x x x
a 0 0 0 b 0 0 0 c
determineel valorde«x»
RESOL U C IÓ N :
* Paralaresolucióndel problemasenecesitaconocer losiguiente: *Propiedadesdelasgráficasdefunciones. •Gráficadelafuncióninversa.
abe A) a + b+ c a + b+ c D) abe
«. B)
abe ab + ac + be
be
ac
a
b e
ab
R E S O LU C IÓ N :
* Parael cálculodel determinantedeunamatrizde rden (4x4), se utilizará el método de menores * Identificarlagráficadefe nel dom inioindicado. o complementarios, y esnecesariotambiénel método * Usarlaspropiedadesdegráficasdefuncionespara deSarrusparaunamatrizdeorden{3x3}. construirg(x). Debemos: *Graficarlafuncióninversa. * Identificarlafilaocolum naquecontengamásceros. Luego: *Aplicarel métododemenore*sc♦omplementarios. I) Com onosinteresalagráficade *Aplicarel métododeSarrus. f(x-2), para-1 < X <,1 = > - 3 < x - 2 £ - l esdecir,sólo nos interesa la gráfica de f en el intervalo Luego : 1111 [ - 3 ; - l ] c Domf.
Debemos:
x a 00 xObO
W
x 0 0 c
111 1
111 i 111 x a 00 II) x 0 b 0 = - x ObO +a x b 0 ....(a) 0 0c xOc *
x 00 c
f(x-2)+l be
///)
O
+ ++
como:
f(x_2) + l * 0; V x e [ - l ; l ] K + ++
\f(x-2) + -*| = f(x-2) + 1
Reemplazamosen(a ) ¡
luego ;
1111
g(*)=\f(x-2)+ = f(x-2) + l ; - l £ * £ l UI)
Porlotanto, lagráficadeg'l(x) será
xa 00 xOb 0 x00c
=- xbc+a(bc -
(bx+cx))=0
abe =>-xbc+abc - abx - acx=0 => x= ab+bc+ac RPTA : “B ” PR O B LE M A 245 :
Siel conjuntosolucióndelainecuación:
La gráfica de g
RPTA
( * - x)(3* - Logsx)(x* -9 )(3X-9 )> 0 es de la forma 2
rm 11 8 9 8
S=(a;6)u(c;+vX)), hallera + 6+c A)0 B) 1 C)2 D )3 RESOL U CIÓ N : Debemos :
~
L1
M il] Comparando con el dato, obtenemos a=0, 6=0y e=3
E) 5
R V f J Q .o i‘ t n t l
^ a+b+c = 5 RPTA : “E ”
* Graficar las funciones exponenciales y logarítmicas para compararlas. * Simplificar los factores positivos que aparecen en la inecuación. * Usar el criterio de los puntos críticos para determinar los valores dea, b y c.
P R O B L E M A 246 : De un grupo de 12 profesores; 5 son de la U N I, uno de los cuales es mujer; 4 son de la UNA, uno de los cuales es mujer, y 3 son de la UNM SM , todos varones. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar ternas constituidas por un profesor de cada universidad y que no pueda haber una mujer de la UNA?
A) 0,06 B) 0,15 D) 020 E) 024 Luego : I) Debemos recordar las gráficas de las funciones R E S O L U C IÓ N
C) 0,18
* Cuando se requiere hallar el número de formas en que se puede seleccionar r objetos de un total de n objetos diferentes entre sí, podemos em plear el siguiente cálculo: n!
siguientes:
r rí(n-r)! Además, el cálculo de la probabilidad de un evento se calcula: Cantidad de casos
favorables cantidad de casos totales Análisis y procedimiento esorea
rarone*
mujeres total por miventéoé
m i
4
1
®
VNA
© 3
i
4
0
©
UNMSM
total: 12 Ahora seleccionaremos temas de profesores: Piden hallar la probabilidad (P) de que estas temas seleccionadas estén constituidas por un profesor de cada universidad y que no pueda haya una mujer de la UNA, entonces: p c f xCf xCf _ 9
C3
44
La probabilidad es 020 aproximadamente.
II) En la inecuación debemos considerar x>0 para que log¿x exista. (2X¿ ) (3*-log^xj(x2-9) (3x-32)>0 = > ( x - 3)(x +3)(3* -3 *)> 0 III) Puntos críticos: - 3; 3 y 2
-3
0
2
RPTA : “D” P R O B L E M A 247 : Si los números: 49; 4489 ; 444889 ; ...., obtenidos colocando el número 48 en medio del anterior, son los cuadrados de números enteros, halle la suma de los dígitos del sexto número entero .
A) 36 B) 37 C) 38 D)39 E)40 R E S O L U C IÓ N : * Cuando tenemos una sucesión de números, debemos 3
=> C S = ( 0 ; 2 ) ( 3 ;+«>
identificar una regla de formación que nos permita encontrar cualquier término de la sucesión. D e los térm in os d e la su cesión :
[ P R O H L F . t L X S
R K S I T . L T G S
M
I
R
E
P
A
S
O
KmCMOXES HUDMNOS]
ras» * » » «
Reemplazandoen(Q) tenemos0 + 0 = 68 =>as+a 68=0 nosindicanquecadaunodeellossonloscuadradosde Seobservaque a=4 esraíz=> (a-4) esunfactor. números enteros; por lo tanto, analicemos cada AplicamosRuffini paraobtenerel otrofactor. término. Número*entero* 1 0 1 -68 49; 4489; 444889;...
Números
ríevadoealcuadrado
4 i 4 16 68 1 4 17 0
Innúmero 49 =72 2° número 4489 =672 3 r número 4448889=6672 6.° número:
( a - 4 ) (a +4a + 17) = 0 ú<0 (no tieneeolueiónrealJ Entoncesa=4
= 666667* el eextonúmero enteroelevadoal cuadradoee666667
Reemplazamos
Pidenlasumadelosdígitosdelsextonúmeroentero;aquí x = 0=>y = 8 sedebeentenderqueserefierenal sextonúmeroentero ElconjuntosoluciónesCS= {(0;8),(4;-8)} queestáelevadoalcuadrado, estoes
RPTA: “B ”
6+6+6+6+6+7=37
PROBLEM A 2 4 9 :
Lasumadelosdígitosdelsextonúmeroenteroes37. SeaP(x) el polinomiodegrado«w> donde«n» esel RPTA : “fí” menor posible y cuya gráfica se representa a
PROBLEM A 248 ;
Determineel conjuntosolucióndelsistema: x 2 —4x + y 2=64 x 3 —6x 2+ 12x + y =8 AHÍO; 8), (2 ; 2 »
B ) { ( 0 ; 8), (4 ; - 8 ) )
C ) { ( 0 ; 8). (0 ; - 8 ) )
D ) { ( 4 ; - 8 ) , (2 ; 8 ) )
E ){(1 ; 2 )f (4 ; - 8 ) }
fe'l
R E S O L U C IÓ N :
• Pararesolver el sistemanolineal utilizaremos el Encuentreel residuoal efectuar iadivisióndeP(x) métododeGhubs;esdecir, eliminarunaincógnita. conQ(x) = x - 3 A)-6 B) - 4 C J -2 D) 1 E) 4 Debemos : R ESO L U C IÓ N : • Completarcuadradosycubos. Debemos: * Eliminamosunaincógnita. * A partir de la gráfica, hallar la regla de * Factorizamosaplicandoel métododelosdivisores correspondenciade P(x). binómicos. * Aplicarel teorem adel resto y LUeg° :
x * - 4 x + y*=64 ZZ x 2 - 4x + 4 + y2 = 64+ 4 (x - 20 +y2= 68..... (0) x 3 - 6x 2 + 1 2 x + y = 8 x 3 - 6x 2 + 1 2 x - 8 + y = 8 - 8
Luego:
I) p(0)= i
( x - 2) 3 + y 2 = 0................ (a)
En(a) tenemos: y=-(x-20 Reemplazandoen(0 ) obtenemos:
II)
1*
r a i l de m u lt ip lic id a d par ^ r a í z de m u l t ip lic id a d im p a r
2^
X
P(x) = k(x- 10a(x - 2)2b~s;a,beZ*
Comoel gradodeP(x) esel menorposible, entonces
(x-2)*+ (-(x-2)3)* =68=. (x-2)* + (x-2)6=68 ... (0) UI) H aremosuncambiodevariableparafactorizarlo.
a=ly
sea (x-20=a
De la gráfica:
6=2
Luego tenemos P (x ) =k(x-10(x-2)
1A EXCJt'J.qmmmiA 2012} iB j« o o r a así: P(0) = 2=> P(0) =k ( - l f ( - 2 ) =>P(0) = 2 => k = - l Luego P (x )= - ( x - l ) * ( x - 2 ) U l) f(2; 2) =200(2) +300(2) U) Aplicandoel teorem adel restotenemos =$f(2; 2) =1000 (máximo) [ J % .
M
,
x -3
G
W
2
M
S
B
=> R ( x ) = P ( 3 ) => P ( 3 ) = - ( 2 ) * ( l ) => P ( 3 ) = - 4
El residuodedividirPfx) entrex - 3 es - 4
R P T A :“ B 99
PROBLEM A 2 5 0 :
f(3; 0) =200(3)+300(0) =$fí3;0)=600
La empresa obtendrá la mayor utilidad cuando fabrique2decenasdesillasy2decenasdemesas. RPTA ; “C” P R O B L E M A 251 :
Sea«u» elnúmerodedecenasdesillasy«v» elnúmero dedecenasdemesasquefabricaunaempresaal día. El sistemadeinecuaciones: x-3 y<6 Si lautilidaddiariaestódadapor 200u+300v y se tienenlassiguientesrestricciones: 2* + y > 4 u+v< 4 2u+3v< 10 40u + 20v < 120
x + y<6 x>0 y>0
encuentre el númerode decenas de mesasy sillas, determinaenelplanounaregiónR . Podemosafirmar respectivamente,afabricardiariamentedemodoque que: laempresaobtengalamayorutilidad. A)R esunaregióntriangular. A)3y1 B) 1y 3 C)2y2 B)R esunaregióncuyobordeesuncuadrado. D) 2y 3 E) 3y 2 C)R esunaregióncuyobordeesuncuadrilátero. R E S O L U C IÓ N : •Enestetemaserequieredeterminarlaregiónfactible, D)R esvacía. lacualseobtienemediantelarepresentacióngeométrica E) R esuncuadrante. de las restricciones dadas, para luego calcular las coordenadasdelosvérticesdelaregiónypoderevaluarel R E S O L U C IÓ N : máximoomínimovalordelafunciónobjetivo. • Una inecuación con dos variables se puede representargeométricamenteenunplanocartesiano; Debemos : porejemplo ,paralainecuación •Identificarlafunciónobjetivo. x + 2yz 12 •Representacióngráficadelasrestricciones. •Evaluarlafunciónobjetivoenlosvérticesdelaregión factible. Luego: l) Lafunciónobjetivoesf(u;v) =200u+300v
Debemos:
*Grafícarlasdesigualdades J/)Vamoe a representar geométricamente las *Intersecardichasregiones. restricciones. *Identificarlafiguraysuborde.
1 2 3 4 5 6
U
S e p u e d e a firm a r q u e R esunaregióncuyobordees Comouyv representanelnúmerodedecenasdesillas uncuadrilátero. ymesas,entonces, soncantidadesenteras, porloque RPTA: “C” evaluaremoslafunciónobjetivosoloen(2;2)y(3;0);
f
WCWMWCMePIVMC&i
m jJ Q Q
J N t
PRIMER SEMINARIO 01. Si
los monomios $x9+b\ tyx6 + c ;
V xa+C tienen grado 10 ; determine el grado del monomio: M (x ,y .z ) = V x ^ .^ /y 3’. ^ ’ A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) N.A. 02. Determine la suma de los coeficientes del siguiente trinomio P(x; y)=(m - 3 )x^m+rnxm“2 yft" + y 17‘ 2m A) 10 D) 4
B) 8 E )7
C) 6
03. Indique uno de los grados absolutos que puede tomar el polinomio: P(x; y) = 5x*~2 + 6y " 1 + A) 5 B)6 D) 8 E)9
C) 7
04. Determine el grado absoluto del polinomio: 3 10 P(x; y) = -Z—xm~nym+2x®_rtly*'3 m-n n -3 B )4 A) 3 C) 5 D) 6 E )7
M +b+ | 1 05. SI f(x) = 6(xa + 1)8+0
8 8 -1
X* +
1 - B y | x | + a 2 + a , es una expresión
cuya equivalencia es un polinomio, indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos. I. GR(f) = 180 II. El término constante es la mitad del grado. III. La suma de coeficientes de f(x) es: 10 1 . A) l, ll y III B) solo I 0 ) solo II D) solo III E) I y III 06. Se define el polinomio fr-4 y8*b*3 + ^2**b-3 P(x; y) ‘ 25 x84 de grado / absoluto 41, y la diferencia de ios grados relativos a x e y es 2 . Determine el valor de £ =
a+6+1 6 -8 C) 6
A) 3 B) 5 D) 7 E ) 10 07. Sea P(x; y) el polinomio dado p o r P(x; y) = 2x2,~' v 5 - 3x **2 . y*“ * + x3 y2*-7 - x^ 5 y . Calcule grado absoluto mínimo que puede tomar P(x; y) A) 12 B) 13 C)15 0 )1 6 E) 17
el
08. Sea el polinomk>:P(x; y) = 4x2n^ y 9 a"" 1 - 12 x "*3 a1^ y ^ + 6 x ^ y "“7 b"*1 + 2x*"° bn a y b constantes no nulas, cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos? I. El minimo valor de n es 8 . El máximo valor de n es 9 I. El mínimo grado absoluto que puede tom ar P(x; y) es 13. A) solo I B) II y III C) I y II D) solo III E) t y III 09. El polinomio P(x) = (9x* - 7)"(2x 2 + 3x^-1 r 2(x9+3) tiene como grado 47, entonces se puede afirmar que: %¡coef principaldeP(x) es: A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 27 10. Se definen los polinomios: P(x; y) - x y ’ + x""*’ y2" Q íx -.y J -x '" '1 y"*2 - rF f 2 R(x; y) = P(x; y).Q(x; y) Además en el polinomio R se cumple que GR, = GRy. GA = 14. Determine el grado del polinomio S{x; y) = P(x; y) - Q(x; y). A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 11. Indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: I. P(x) = 6 X 3 + 5X2 + 6 I x I + 1 es un polinomio ordenado. I. Q
StM2NMMJ*zsaM***+ ** **JL 14. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo P(x; y) = x™ + x" " 2 y2 + y4 + para que sea de grado 40 respecto a la variable Hy” A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23 15. Sea P(x;y; z) un polinomio homogéneo de grado 3 que cumple P(1; 2; -1 ) * 4. Determine el valor de P (-4 ; - 8 ; 4). A )-2 5 6 B) -1 2 8 C) -3 2 D) -1 6 E) 64 16. Si el polinomio: P(x;y) = nxm(m"1>. y - (x3)'*"1 y " + m x ^ + y , m; n e N es homogéneo, determine P(1; 2). A )-1 2 B )-4 C) 6 D) 14 E) 28 17. Si el polinomio P{x) = x2**1 + 2x ^ 3 + 3x c*2 + .... es completo y ordenado decrecientemente y posee “ 2c" términos, determine el valor de a + b + c. A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E ) 18 18. Determine el valor de 2B + 3C, si se cumple: 6 Ax + 8 C + (2 x ' + 1)(3x+l) x? +D X + E A) —
B)
0)3
E)
11
3“1(a - b) xb2’nyn es homogéneo. Determine el producto de sus coeficientes A )-2 8 ) -1 C )0 D) 2 E) 3 t3 . Si se cumple q u e : A(x - 1){x - 3) + B
18 11 6
C) 2
19. Si el polinom io P(x; y; z) = ax28*21^ + by2b*2e-« +cz^ * 2»-fe es homogéneo, determine el valor de T = [a+bf+ib+cf y n e N (N es e<
(c+af
12. Si el polinomio: P(x;y) * T \a + b) x *2” 1 - y**2*12 +
1
conjunto de los naturales), a * 0. B) 2 E) 5
A) 1 D )4 20. Si
Es
ab 8
b A) 44 D) 47
S,
C) 3
; determine el valor de
6
B )45 E )48
C) 46
21. Sea a > 0 , si se cumple que: (a 4 + eT* - 5) / (a3 + a"2) determine a + a“ \ A) 2 B) 3 C) 7 D) 12 E ) 18
6.
JE .
!y¡u*
22. Si el polinomio P(x) = (ab - ac - n ^x 2 + (bc - ba - 2 n)x + (ca - bc - 1 ) es idénticamente nulo, determine el valor
24. S ia 2 + b2 + c, = 2 (a + b + c)(1 + ab + ac + bc) = 32, determine: a + b + c A) 2 B) $32 0) 4 D) 16 E) 64 25. Determine E = (a + b)2(b + c - a)(a + c - b) + (a - b fta + b + c)(a + b - c). A )-S abe 3 B) -2 a b C )a bc D) 2abc4 E) 4abc 2 26. Determine el valor de: 3m x-nx-3m y+ny E= , SI x - y = ny2 - nx2 - Smy2 + 3rñx2 2n x . y - 2 m + n m -n
m
D)
1
m+n
2
P
1
2m
C)
1
2n
E )0
27. Sea P„(x; y ;z ) = xr' + yn + zn Si: Pi(x; y: z) = 3 y; z) = j PrfK y; z) = 9 Calcule el valor de J = 3 P,(xy; yz; zx) - Pi(x;0;0) P,(0;y;0) Pi(0;0;z) A) O B )2 C) 5 D)6 E) 7 28. Un polinomio de grado (n + 1) cuyo 1 er coeficiente es la unidad, es divisible entre (x" + 2). Si el resto de dividirlo separadamente entre ( x - 1 ) y (x + 2 ) son respectivamente 12 y 258. Determine el valor de n. A) 6 B) 9 C) 10 D) 11 E ) 12 29. Determine n en la división: [nx""1 + (2n-1 )yf~2 + (3 r> -2 )x^ + ...+ (n2 - n+1)] + (nx - 1 ) . Si nueve veces la suma de los coeficientes del cociente entero es igual a cuatro veces el resto de la misma. A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E ) 13
1
7
7
Determine el valor de a + b + p A) 6 D )9
C) 8
B) 7 E) 10
b c
b
b c b •
21
21
22 124 E) — x + — 23 21
b
c c
c2
c
B) 3x + 2 C) 2x + 1 E) 7x + 11
32. Al dividir x3 + y3 - 3xy + 1 entre x +. y + 1 se obtiene un cociente . q(x; y) que al igualarlo a cero se obtiene: A) x = O, y > O C) x + y = O E) x > O, y = O
36. Determine la relación entre q y r; si la siguiente división es exacta: x 5 - 5 q x + 4r B) r4 = q*
C )ri = q 4
E J iW
a
representa la división de dos polinomios en x por ef método de William Horner, indique ei resto. A) x + 2 D) 4x + 7
nv 22 100 D) — x + -----
21
A) j = q35 D )f* = q5
a b
b
21
( x - cy
31. Si el esquema a
21
cy
3
a
o 22 93 B)x — x +—
AY 23 104 A) — x +----' 21 21 ~ y 23 107 C) — x + ----21
2
C) 2
23. Determine el valor de: (a -b )3 + (b -c ) 3 + (c -a ) siendo (a -b X a -c )(b -c ) a * b * c. A )-3 B) 1 C )2 0) 3 E) 4
B)
a
-b
B) 1 E )5
A) —
3
1
\-acaptx\ z o T z )
L A MüVCi
30. En la división por Horner se tiene
1 2 1 de 6C = --------+— a b e
A) O D )3
1402
B) x < O, y = O D) x = y = 1
33. Para que la división de x - nx + k entre x 2 - 2 x + 1 sea exacta, 1 9
entonces el valor de t = IL íJ £ es; k+1 B) 2 C )4 A) 1 D) 19 E) 38 34. Un polinomio de grado n en la variable x es divisible entre (x **1 + x'*' 2 + 1 ) y tiene por término independiente 2. Además dicho polinomio disminuido en 9 es divisible entre x - 1 y disminuido en 388 es divisible entre x - 2 . Calcule el grado del polinomio. A) 3 B )4 C) 5 D) 6 E )7 35. Se tiene un polinomio P(x) de tercer grado tal que si se divide P(x) entre x2 - x + 1 el residuo es 4x - 4, Si se divide P(x) entre x2 + 4x el residuo es x + 1. Determine el residuo de dividir P(x) entre ( x - I K x + 1).
37. Si al dividir 5X3 + 6 x4 - 1 entre x + 3X2 - 2 se obtiene un resto de la forma mx + n, determine el valor de m - n . A )- 4 B) -1 C )0 D) 4 E) 5 38. Determine la suma de coeficientes del polinomio cociente que se obtiene de la siguiente división: (x - 3 )7 + (x - 2 )5 + 2x - 1 + x2- 5x + 6 A )- 6 9 B )-6 5 C )-6 3 D) 63 E) 69 39. Determine el residuo de dividir (x-2 ),0e9 +(x—1)199e+7 entre (x-2 X x-1 ) A) 3 B) 2 x - 1 C) 3x + 2 D) 2 x - 4 E) 2x + 4 40. Al dividir el polinomio: P(x) = 2 r - 3x4 - x3 + 1 entre x3 + x2 + bx + b, se obtiene de resto R(x). Determine el resto de dividir dicho resto entre x + 1 . A) - 6 B) —3 C )-1 D) 1 E) 4 41. Determine la suma de los coeficientes de! residuo al dividir (x2+ x +1 )5( x - 1)20por (x - 1 ) V + x - 1 ) A) O B) 1 C) 2 D) 32 k E) 64 42. Si n e Z*; determine el resto de la /v _
1 ^
2
siguiente d ivisió n : -— —— ( x - 1)2 + x A) O B) x C) x + 1 D) - x + 1 E )-x 2x 119 +1 43. Determine el resto al dividir --------x - x +1 A) X - 3 D) 2 x - 3
B) 4 - 2x E) 3 - X
C) 3 - 2x
44. Calcule el residuo de la división
X*»7+(X- 1 ) ^ + 3 x2 - x +1
(n e n te ro p o s itiv o )
1 4 0 3
A) 1 D )4
8)2
C )3
E )x" + 3
45. Determine el residuo . de dividir (x182+ 182) entre x3* x2 + x + 1 . A) 183 B) x2 + 182 C) X2 + 183 D) x2 + 192 EJx 2 +193 46. Al dividir un polinomio P(x) entre x + 3 se obtuvo por resto - 5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. Determine el residuo de dividir p(x) entre x - 1 . A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 47. Un polinomio de sexto grado tiene raíz cúbica exacta. Es divisible por x 1 pero al dividirlo entre x + 1 da como resto 216. Su gráfica corta al eje de las ordenadas en (0,8). Determine la suma de coeficientes del polinomio. A) -2 B) -1 C) O D) 1 E) 2 48. Un polinomio P es tal que es divisible por (x^1 + 1 ) tiene por término independiente -3 y por grado n. determine n si se sabe que al dividido separadamente entre (x - 1) y (x - 3) los restos obtenidos son - 2 y 732 respectivamente. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 49. Un polinomio de tercer grado, cuyo primer coeficiente es la unidad* es divisible por (x - 2 ) y por (x + 1 ), al dividido por (x - 3) da de resto 20 ¿Qué resto daría dicho polinomio al dividido entre (x + 3)? A )-1 0 B) O C) 6 D) 8 E ) 12 50. Un polinomio P(x) de cuarto grado es divisible separadamente p o r (x2 + 1 ) y íx2 + 2x + 2). Si se divide: P(x) por (x - 1 ) se obtiene por residuo 6X2 + 6x + 8. Luego el término independiente de P(x) es: A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 51. Un polinomio P(x) de cuarto grado cuyo coeficiente del término de mayor grado es 3, es divisible por (x2 - 9) y por (x - 1). Si al dividir P(x) entre (x - 2) se obtiene como residuo - 50, determine el residuo de la división de P(x) entre (x + 1 ). A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E ) 18
52. Si el polinomio 2x5 + x4 + ax2 + bx + c es divisible por x4 - 1 , determine el a+b valor de E = a -b
A. - 1
B )-1
D )5
E> !
C ,-|
53. Si se dividen respectivamente los polinomios: P(x) y S(x) entre (x2 + 2) y x2 - 1 , los residuos hallados son: -1 9 x -1 y 10x + 2 siendo: P(x) = bx 3 + ex2 + dx + e S(x) = (e + 8 )x2 + dx 2 + ex + (b - 9) Halle el residuo de dividir: JP
B) 22 E) 42
C) 27
57. Determine el número de términos en el desarrollo del cociente notable: ^5m+10 _ y5m-50 ; m, n € N , m < 32 A) 12 D) 15
B) 13 E) 16
C) 14
58. Si el tercer término del cociente 2n
notable -
~
n
es x 16 y4, determine
el número de términos. A) 6 B) 7 D) 9 E ) 10
C)8
59. Sabiendo que n2 - 31 n + 234 * 0, halle el número de términos de la x "~ V -y " siguiente división exacta xy+y2
A) 11 D) 17
B ) 12 E ) 18
C )1 3
60. Determine el valor numérico del término central del cociente notable originado al dividir (x+ y), 00- ( x - y ) 10Q ; para x * 3 , 8xy(x 2 + y2) y = 2j 2 B) 2 E ) 1000
A) 1 D) 200
O 100
61. Determine el término común que presentan los desarrolles de los cocientes notables: x150 _ y200 ¿204 _ y138
1T 7 A) O D) x
112
y 52
B )x 7V ’ C) x90 y73 E )x y8*
62. Del cociente notable que se genera *"-40 .^•72 de , el noveno término
x *-/
es: x40 y°: b < 9, además el número de términos del C.N. es 17, determine y 8(a+n)(b+c) be B) 3 C) 6 A) 1 D )9 E) 12 63. Luego de sim plificar y ejecutar la división algebraica en: 10IÍX33 - y® 2)2 + (x33 + y9” )2] + [(x + y *2)5 + (x - Y* 2)2] ; y > 0 , indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: I. No es una división exacta. II. El cociente es un polinomio P(x;y) de grado 64. El término central del cociente es lOx32/® A) solo D ) ly
B ) s o lo
II
E ) II y III
C ) s o lo I
1*04 64. Los trinomios 2X2 + ax + 6 y 2x* + bx + 3 admiten un factor común de la forma 2 x + c. Determíne el valor de E = (a - b)c. A )- 3 B )-2 C )2 D) 3 E) 6 65. Al factorizar en Z el polinomio P(x) = x3 + 2X2 - 2x - 1 el número de factores obtenidos, es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E )5 66 .
Determine un factor de P(x) = x5 + x4 + 2x 3 + 2x2 + 2 x + 1 A) x2 —x + 1 B )x 3- x + 1 C )x 3 + x2+1 D) x3 + x + 1 E) x3 + x2 + x + 1
67. Factorice e indique un factor primo del polinomio. P(a; b; c)*a(b - c)2+b(c - a)2+c(a bf + 8abc. A )a 2 + b2 + c 2 B )a + b + c C) a - b D) a + b E) ab + ac + bc 68.
Se define el polinomio: P(x; y: z) = x 4y 3 + xz 3 + z3y + x y + x3/ z + z4, indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos I. P(x; y; z) es divisible por x+ y + z II. Un divisor de P(x; y; z) es x2 + y2. III. P(x; y: z) es divisible entre x y + z ó x + yz. A) I y II B) II y lll C) I y D )s o lo l E )solo
69. Indique é l término independiente de uno de los factores primos del polinomio: p(x; y) = (x + y + 3 )2 + 7x + 7y + 31 A) 2 B) 7 C) 8 D) 3 E) 39 70. Determine uno de los factores primos del poBnomio: P(x;y; z) * x4 - y 4- z4- 2x*yz - y V A )x 2- y 2 + z 2- y z B) x2 + y 2 + z2 yz C )x 2 + y2 + z 2+ y z D )x 2 + xyz + y2 E) x2 + y2 + z2- x y z 71. Factorice P(x;y;z)= 5(x+y )2 - (x+z )2 5(y - z )2 e indique uno de sus factores primos. A) (2x + 5y - 3z) B) (x + y - z) C) (2x - y + z) D) (x - 3y) E )(x -z ) 72. Si P(x) = x3 + x2 + ax + p Q(x) = x3 + yx2 + px + p MCD(P, Q) = x2 - 2 x + 1 M C M (x): MCM ( - 4) = -7 5 Determine: ap + ypp
A ) -1 0 5 D )-3 0 5
B )-1 1 0 E) - 470
C )-2 1 0
1
73. Si el M.C.M de dos polinomios P, Q, tal que: P(x) = (x - 2KX3 + x2 + 3x + 3) Q(x) = (x2+ 1XX3 + 3X2 + 3x + 9) Es de la forma: (ax - 2XX2 + b)(x + 1) (dx + 3XCX2 + 1), entonces T = a.b.c.d es: A )- 4 B )-3 C )3 D) 6 E) 9 74. Halle el resto que se obtiene al extraer la raíz cuadrada de: x4 - 5 + 6 X 2 + 4x 3 - 12x A )-1 3 x + 12 C) 1 3 X -1 2
B )-6 x -1 6 D )-1 6 x -6
E )5x
75. Determine la suma de los coeficientes de la raíz cuadrada de P(x) = x6 + 2x 4 + 2X3 + x2 + 2x + 1 admitiendo que P(x) tiene raíz cuadrada exacta. A) 3 B )4 C) 5 D) 6 E )7 76. Determine (a + b) si la raíz cuadrada del polinomio ax4 + (3a - 5)x 3 + (a + Sbjx 2 + 94x + 43 deja como ■residuo: 10x + 7. A) 12 B) 28 C) 48 D) 53 E) 75 77. En relación a la radicación: y¡256x4+ 32x3 +33x 2 + 11x+ 4 , indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: I. La raíz cuadrada es: 16X2 + x + 1 . La suma de coeficientes del residuo es 12 . La suma de los términos lineales de la rafz cuadrada y el residuo es 10 x. A) solo II B) solo lll C) soto I D) I y lll E) I. IIy lll 78. SI el polinomio P(x) = 1 + ax + 9X2 + px3 + 16x4 posee raíz cuadrada exacta, determine el valor de E = a.p. A )-1 6 B) - 8 0 )0 . D) 8 E) 16 79. Si el radical doble: I— +— + E ; x, y e Q+. \4 x 5y \2y Se transforma en radicales simples, determine la condición que relaciona a x e y. A ) x = ^ 4 y B)y = j0M C )x = 2y D) / = 3 ^y E) x = 0,3y t
x
80. Simplifique:
r -3 & -M T = ~ _ ------------------JlS 13V2 + n/10 + 2V3
A)-g5-2j3
B)-JÍ5+2V3
C )-2jíS *2j3
D )- 2 i/Í5 -
B)-M - J2 81. Si A es una expresión definida por: A=
1
(J2+J3+J5) - 2j 2-$j 2-SjÍ
entonces al racionalizar y simplificar A, el denominador resultante, es: A) 12 B) 15 C) 18 D) 32 E )42 82. Racionalice: E
vé-b +^b-c +^c-a
de cómo respuesta el número de factores lineales que se obtiene en su denominador. A) 1 B)2 0) 3 D )4 E)5 83. El factor racionalizante para hacer racional el denominador de: 3
'SAT+’ s/y
; es:
B) C) D) 'víx - '§/xy + E) 84. Si el radical doble jax + by + Jxy(ab+ c) se expresa como una suma de radicales simples. determine el valor de E = — . c
A» i
B,I
D) 2
E) 3
85. Simplifique
C)1
_______
T=(ilTf-ilz)j6+4j3 C )3 A )1 B )2 D) 2>/3 E )3 ,/3 86 . Halle la raíz cuadrada de: (x + 1) - 2 Siendo x > 3
+VxJ-x-6+i2 -(x - 1)'
fM 5M 9M C W M V M 2&
A )V x T 3 -^ T 2
J t£ 7 I# J C V O ^ g
B) ^ 7 3 + ^ 2
J
B U B l A 4Q S
f(a° = 1) + f(b2 i 0) + f(c
1) + f(1 =2). f{0 = - 0 )
C) Jx +2-'J*+2 E )V x + 2 -V x ^ 3
D) V x T 2 -V x Í3
87. Determine el valor de: E=
VV2 - 1 V3 + 2 / 2 Vn/2 + 1 . 'ljsj2-7
A )-1 0 D) 0
B )-2 E) 1
C) - 1
J2 +J2 +J2 J2 -J 2 -J 3 I 2 lz A )-
&
J3
B )-
D) £ - J l
C )-
3
E) £
2 8
89. El valor de:
12
es: A) 2 >/2- 2 ^ - 9 C) 2 j2 + 2 j3 ~ 9 E) 5+J2+5&+2
B)2>/5 + > 6 -1 0 D) 2J2 + 2-/3 + 9
90. Después de racionalizar la expresión 2^8
T=
A)
, se obtiene
y¡2j 2 - 2>¡Z^S J5- 1 B )V 5 -1 2
D) J5 + 1
C)
J5+1
E )2 (V 5 + l)
91. Racionalizar
— r* * — 3/ 9 - 3/ 3 + 1 B) 3/3 + 2 C) 3/3 + 3 E) 12 E=
A) $3 +1 0 )3 5 + 4 92. Sean p fx ): x2 + x +
1
> 2 X a x < - x2
qfx) : x2 - 3 x > 0 v x < -
obtenga el valor de verdad de las proposiciones siguientes: I. P f0 )~ q (0 ) II. p ( 1) A
q ( - 1)
III.r ip (-1 ) - > q ( 1 ) ] A p f - 1 /2)
A) VFV D) F W
B) W F E) VFF
C) V W
93. Si f es una función lógica mediante;
10six
es verdadero
ffx) = - 2 si x es una proposición abierta - 5 si x es falso
Determine el valor de:
C )-3 6
94. Si p, q, r, t y u son proposiciones lógicas, tal que (p v r) - * (q -> p) es falsa. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. (q o p) <-> (t a p) II. (t v - 1) A (p a q) III. (p a r) a t A) W F B) FFF O VFV D) FVF E) VFF 95. Sean p, q, r, s, t proposiciones lógicas simples y se cumple: (~ p a q) -> fp v r) s (s a t) o ( 'S v - t ) entonces, simplifique: [(p A r) - ) ( s v t ) ] a (q A t) A) s v t B) - t C) - 8 D )t E )s 96. Si [(p —> q) a ' q] v [(- p v r ) -» q] es falsa, determine el valor de verdad de: I. [r -> ~ (p v q)] a p II. [fp o q) a r] t III. ( p A q ) o - r A) VFV B) W F O FFF D) F W E) V W 97. Se definen los operadores * y 0 medíante; . p *q = -p -» ~ q p 0 q a -p A q Determine a qué es equivalente T - (<~q) 0 p) * (H >) © q). A) p B )q OPAq D )V E )F 98. Si p ++ q es falsa y r - + (p a q) es falsa, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. (p a q) r II. r+ -» (p v q ) III. (p < -> -q )A r A) FVF B) FFV C) V W D) FFF E) W F 99. Se define p Qq « (p a - q) v (q v * p) Simplifique: I( ~ p a q ) - » q ]- > [p - » ( q O p ) ] A) p B) q C) - p D )~ q E )V 100. Simplifique: T = p # ( - p v q ) si: p#q F w VF V FV F FF F A) p B )q C) p A q D) - p a q E) p a - q 101. Determine la forma más simple de T = p*fp*q) si: p
definida
B) - 46 E )-2 0
A )-5 6 D )-3 0
q
P V V F F
q p*q V F F F V F F V A )p v q B )p A q C) ~ p a q D) p a ~ q E) - p v q 102 . S i p * q = p A ' q , entonces e equivalente de: (p*~p) -> {(~ p *'q ) ' (P*P))es; A) V B) -p v q C) ~q D )F E) -p 103. Si # es un operador lógico definidc por: p # q » (p a q) + (p v q) entonces p # q es equivalente a: A) tautología B) contradicción C) p D) p v q E )q 104. De la simplificación de ia siguiente proposición: [p <-Hq v ~ r)J a {[p -> (q a - r)) a [p a (q - » r)]} se puede afirmar que: A) Es equivalente a p. B) Es equivalente a r. C) Es equivalente a q. D) Es una contradicción. E) Es una tautología. 105. Simplifique la fórm ula lógica I(P a q) v (p a ** q)] v (—p a —q) A) p -+ q B) q -> p C) p D) q E) V 106. Simplifique la fórmula lógica: P a {[
u s E M E M B D iia ir a iB u n a fifiSQ<9sas8as<9s©ca)4]s Em i M u i i a — n c a n i a ©A ® s m svo e s
m m e® a®
am aa os (¡a os asió® v® mMammmmmMmmmwmwM Efi 5 0 5® VA V& 5® W 5*3, 5® OS E iK s n c iia c in n n E fl Cifi SS CS ©0 £® ©8 (39 9© SS) í® A I A I \) \ < f mi íq o®, ®a o® ®s os í© ss na® A B H 1)1 t) \D
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n n n n is
1800 I
S
*'íÓ*>
SEGUNDO SEMINARIO 01. Sean los conjuntos: a = m , «+», « y B = {ft}, 0} - {k), indique cuál (es) de los siguientes enunciados son correctos. I. B - A *k M e A -B III. A A) sólo I D) I y II
B) sólo II E) l y
C) sólo
02. Determine cuántos de los siguientes enunciados son correctos: I. {1, {1}} c R e {1} H. { 1} A {{ 1}} * ó III. A o {A} = k, donde A c R IV. A A (B w C) c A A B AJO 0 )3
B) 1 E )4
C) 2
03. Dado el conjunto E = {x e R / x2-2(9k-20)x + 7(6k-11) = 0; k e N}, determine k; para que E sea un conjunto unitario. A) 1 B) 3 C)5 D) 7 E) 9 04. Dado los conjuntos A = {x e R / 2 x - 5 < 4 - » 6 x + 3 > 1} B = {x e R I 4x - 1 < 2x - 3 < 5x + 2), determine A A B A) (-1-, * )
B) *
C) R
D)(-f;"1) E) í H
- ( - H
05. Determine el conjunto por extensión: A = {x e R / (x2 + x > 6 ) -» (x3 - 6 X2 + 1 1 x < 6 )} A) <3; oo) O) [3; oo)
B) <2; oo) C )[2;oo) E) <- ce, 3]
06. Sean los conjuntos A = {a e Z / a5 + 4a = 5a3} y B = {a e A / 3 b e Z ; a = b 2} Determine la suma de los elementos del conjunto A - B. A) 1 B) - 1 C) 2 D )-2 E) 3 07. Dados a, b e Q, A y B conjuntos tales que B * A B es unitario,
A = {a 2 + 2b, b2 + 1} y A u B = {a + 4b, b + 1 - 3a), determine A n B. A) {10}
B) {-1 0 }
C) 74 49
18 D) E) {11} 7 08. Determine cuántos de los siguientes enunciados son correctos: I. A c B + Bc c A ° , A, B c U II. A .B c U , A n B * 6 + (A c B CA B c A°) III. A c U , A c A c -> U = 4> IV. A, B c U, A A B = ó -* (A = B =
B) 1 E )4
C) 2
09. Indique cual de los siguientes enunciados son correctos: I. S iA c n B = A r» B -+ B = <|> S ¡A A B c = B - > A c B .S iA c A B = A - » B c A A) solo I B) solo II C) solo D) I y II E) II y III 10. Dados tos conjuntos A, B y C. Si se tiene que: x « (A a Bc) u Cc. ¿Cuál o cuáles de los enunciados siguientes son verdaderos? I. ( X í A a X € B ) a X £ C x e (C - A) v x g (B o C) . x e [( A ° u B ) - C ° ] A solo I B) solo II C) solo D J Iy il E) II y 11. Si A c B, simplifique: { [ (A n B) u (B u (A - B )) ] n [(Ac - A) r* (Bc - B)]} u (B A A) A) B - A D) A
B)4> E) U
C )B
12. Sean A, B, M subconjuntos de un conjunto universal E, entonces ( A n B n M ) U ( A n B c n M )U (A o B n Mc) U (A o Bc n Mc) es igual a: A) B - A B) A - B C) B D) M E) A 13. Al sim plificar (A u B)c u [(B n Ac) u (A n B )}: obtenemos. A ) A u B B )(A u B )c C) A u . B D) (A o Bc)c E) 4> 14. Aplicando leyes de conjuntos siendo A y B subconjuntos no vacíos de un conjunto universal U simplificar: M = {[(B u A ) n (Bc n C ) ] u A c } u Bc Si A c B . C )B B) A A) A D ) B E) C
I
M
Z
J
P
M
**
C M
S
]
15. Dados los conjuntos A, B y C tales que: A c B y C n A = f Simplifique: (A u (B -C )]n [B u (C -A )] A) A n 8 D J B -C 16. Si M * [2, 4) S = [M° conjunto de universo. A) [2, 3) D)«>
B) A - B E) C - B
C J B -A
y P = (3, 8), determine (M c Pf f , siendo el los números reales el B) (3, 4) C) R E) [0, + ao)
17. Sea A = {$, B, C} y P(A) es el conjunto potencia de A. De ios enunciados i- {*}£ P (A J ti- {{+» £ P(A) III. k c P(A) IV. k £ P(A) V. {k} c P(A) ¿Cuántos son correctos? A) 0 B) 1 C) 2 D )3 E )4 18. Dados los siguientes enunciados: I. P(A) - A =4>+h» A = 4> II. P(A) - {A} * <|> III. Sean A = {a}, B = {b}, a * b, entonces P(A - B) = P(A) ¿Cuál(es) son coiTectos? A) sólo l B) sólo II C) sólo III D) I y II E)II y III 19. Dados los conjuntos: A = {3; ó; {5; 7}; {3}} B = { * ;{3 ;5 } ;{ 7 } } C = {x / x es el número de elementos de A v x es el número de elementos de B} ¿Cuántos de los enunciados son correctos? I. {3 ;{3 }}c P (A ) II. (3; 7} e P(C) III. k e P ( A u B u C ) IV. {{3; 5}} c B V. {ó: 3} e P(A u B) A) 1 B)2 C) 3 D) 4 E)5 20. Siendo A y B dos conjuntos y, n (A u B) = 11, ?i (P(A))+ x\ (P(B))=192. Determine t|[P (A n B J ] B) 9 C) 16 A) 1 E) 32 D) 4 21. Si n [P(A>] = 128; n [P(B)j = 16; n [P(A n BJ] = 8, determine n[P (A uB )] C ) 64 B ) 16 A) 4 E ) 256 D) 128
m o7
22. Sea el conjunto: A = {x e [-15. 20] / 3 y e [-10. 12] con x + y ® 26). Determine el número de elementos de A r» Z. Si Z es el conjunto de los números enteros. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E )9 23. Sean los conjuntos A, B. C c U que cumplen: 1) n(A) = 44 2) n(B) = 41 3) ti(C) = 45 4) n(A o B rs C) = 5 5) q(U) = 100 6 ) q [A -(B u C )] = 20 7) i)[B -(A o C )] = 15 8) ji[C -(A u B )I = 20 9) t][(A a B )- C] = i)[(A n C ) - B] + 1 Determine ri((B o C) - A] A) 11 D) 14
B) 12 E) 15
C) 13
24. Los conjuntos A y B que tienen 3 elementos comunes se inscriben en un universo U. Si n (A u B) + q < A n B ) « 3 3 ;n ( A ) - n ( B ) - 17 y q (B -A ) = ii[(A o 0)°]. entonces q(U) es: A) 33 B) 35 C) 37 D) 39 E) 40 25. Sean los conjuntos: A = {x e R /x e B -» x e [0 ;5 ]} B = { x e R / x = 2n+1. n < - 1 v n > 1 }, determine el número de elementos del conjunto A n Z , donde Z es el conjunto de los números enteros. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 26. Sean los conjuntos: A = (P(x) / P es un polinomio mónico de grado 3} B = (P(x) / P es un polinomio cuyas raices son las raíces de la ecuación x2 - 7x + 12 = 0} C = (P(x) / P es un polinomio con coeficientes reales que cumple . P(1) = 36}. D = {a e R / P(x) e A n B n C a P(a + 1) = 0}. Determine el conjunto D. A) {3; 4; -5 } C) {2; 3; - 5} E){2; 3; - 6}
B) {2; 4; - 3} D) {2; 3; - 8}
27. Si . 5 ^ = ! y el número de m 4 subconjuntos de A y el número de subconjuntos de B suman 320 subconjuntos. Además A y B tienen 2 elementos comunes, determine t|{A u B ). A ) 10 B)11 C) 12 D) 13 E)14 28. Si los conjuntos A y C; B y C son conjuntos disjuntos, además: n ( A - C ) = n ( B - C ) = i2 n [P (A )^P (B )] = 18 n (A u B u C) = 23 Calcule: ri(C )+ n (A n B ) A) 6 B) 7 C) 8 D) 12 E)20 29. Sean A, B y C conjuntos no vatios; que cumple q (A A B) = 22. 71
33. Sea U = {1; 2; 3; 4 ;.......; 20} A = {4; 5; 6 ; 7; 8 ; 9; 10; 11; 12}, determine el número de elementos de E = {x e U / x e A « 2 x e A0} A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E )7 34. Dado el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5; 6 ; 7; 8 ; 9}, determine que enunciados son correctos I. 3 x e A / x + 7 < 1 5 II. 3 x e A / x + 7 = 7 III.V x e A : x + 7 s 1 6 A) solo I B) solo II C) solo III D) I y III E) II y III 35. Dado el conjunto A = {-2; -1 ; 0; 1; 2}, indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos. I. V x e A , V y e A : x 2 + 2 > y II. 3! x e A, 31 y e A / x * y a x 2 = y2 I I I . V x e A . V y e A : x2 + y2 2 0 A) solo I B) solo II C) I y III D) II y III E) solo III 36. Dados los conjuntos A = 8}, B = {1; 2; 7} ylos siguientes enunciados I. 3 x e A / V y e B : x + y * 9 II. 3 Xt, x2 € A a 3 y,, y3 e B / 2 (x, + x2) = yt + y 2 III. V x e A, V y e B: x + 2 y < 3 Determine cuál(es) son correctos A) solo I B) I y II C) I y III D) I, II y III E) II y III 37. Determine el conjunto: A = {b e R / b V + bx = bJ + b, V x e R} por extensión: A ) {0} B) R C )R -{0 ) D) R* E) R" 38. Dados los conjuntos A = {-2 ; 0; 1}, B = {-1 ; 1; 2}, indicar cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: I. V x e A, 3 y e B /x + y e N II. 3 x e A, V y e B : x + y e A III. 3 x € P(A), 3 y e P(B), x * y * + tal que x A y = {0 ,1 } A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) II y III 39. Determine que enunciados son correctos: I. x y = 1 ; x > 0; y > 0 =óx + y * 2 II. x + — 2 2; V x e R ' X
III. ^ - í . 2 jx y ; V x, y e R+ A ) s o lo I
B ) s o l o II
D ) II y I I I
E ) 1,11 y III
C ) s o l o III
1 * 0 * f j n m jjm üÑrem 40. Dados los siguientes enunciados: A) I y II B) solo I C) solo II D) II y III E) solo III I. Va, b e R : a + b = b + a 46. En R, se define la operación A, II. Va e R : a.0 = 0 mediante a A b = a + b - 8, V a e R. i. Va, b € R : (a + b )2 = a2 + 2ab + según esta operación, determine la suma del elemento neutro con el IV. Va, b, c e R : ab + ac = a(b + c) inverso d e - 2 5 A) 3 B) 9 C) 27 SI M representa el número de D) 41 E) 49 enunciados que son axiomas y N representa el número de 47. Determine el conjunto por extensión: enunciados que son propiedades en el sistema de ios números reales %ft+x A = x e R / \ f t + x + (R). La relacióncorrecta entre M y N es: A) M > N B) M < N C )M = N A) {1} B) { } C) D) M = 3N E) N = 3M D ){3) E ){4 } 41. Si a € R* y ( - b) e R*cuál(es)de 48. Determine el conjunto solución de la los enunciados son correctos ecuación: I. (b - a).(ab ) '1 € R* b (x-b ) a (x-a ) . [a ( - b>r’ e R* =x ; a * 0 , b *0 a L [(-a) (b -') (-b)J € R* A) solo I B) solo II C) I y II A ){a -b > B )(bj C) {a + b} D) II y III E) I. II y D ){a} E )(a + b2} 42. Indique cuál(es) de los siguientes 49. Determine la solución de la ecuación enunciados son correctos: a2 +1 * 2^ 2 - 2 I. V a e R+ 9(6 (3x - 3 ) ] + 8 <4x - 3) = 72(x - 3) a+1 b 1 13 . V a, b, c e R* B )- — c ,li A )a t^ + c 2 Tac 61 1 61 ' 61 .S i aS+bJá-2j2 el minimo ‘ D) - — E )- — 61 ' 61 valor de aab" es >/4
A) solo I D) i y Ii
B) soto II E) I. II y
C) solo
43. Indique cuál(es) de los siguientes enunciados son axiomas de los números reales. I. V x e R : x2 a O H. V x, y e R : x.y = O -►x = O v y = O III. V x , y e R : x < y v x = y v x > y A) solo I B) solo II C) solo D) I y II E) II y III 44. Determine E = r ' # ( r ' # 4 '1), donde # es una operación definida por a # b = a + b - 5, a"1 denota el elemento inverso en la operación definida. A) 8 B) 9 C )1 0 D )11 E ) 12 45. Se define la operación * en R mediante: a * b = 2(a + b) + 3 , V a, b € R Determine que enunciado son correctos: I. La operación • es conmutativa II. La operación * es asociativa. til. La operación * tiene elemento neutro.
50. Determine el conjunto solución de la siguiente ecuación de primer grado 2 7 j . . . 19a2(3 -x ) en “a* 3a x2 A )<-2> D ){4)
C){3>
B) (2) E) {9}
51. Resolver para x: 1 i r 1- x + J — = a x - 1 + ab b 1 I+ b 1+ a ab j a+b a+b 2a+b A) B) C) a -b a -b ab a+ab ab D) E) ab +1 ' ab +1 52. Resolver la ecuación en x: x + 1 + ai -■ b■■■+■ 1 — x+a+b x + a -b b-1 a C) x e {a}
A) X 6
E) xe
b-1
B) xe D )x e {b }
1
53. Se considera la ecuación de raíces reales: x2 + mx + n = 0 y c s = {r1f r^, determine que enunciados son correctos: I. x2 - mx + n = O, posee c.s = { - r 1; - r 2> II. n x2 + mx + 1 = O, posee c.s =
1
1
ri r-'2 . I. (x + 1 )‘2 + m(x + 1 ) + n = O, posee c.s = {r%- 1 ; r2 - 1} A) I y II B) I y III C) I. II y III D) solo I E) solo II 54. Determine la ecuación de 2do grado de coeficiente principal 1 y de raíces m y n si se sabe que: x2 + (m - 1)x + m - 2 * 0; tiene solución única real; x2- (n + 1 )x + 2n = O tiene una raíz igual a 3. A) x2 - 9x + 18 = O B) x2 + 9x + 16 = O C) x2 + 10x + 18 = O D) x2 - 9 x - 16 = O E) x2 - 9x + 20 = O 55. Dadas las ecuaciones cuadráticas: x2 - 5x + n = O ........... (1) x2 - 7 x + 2 n = O ........... (2 ) Determine el valor de n, si una de las raíces de la 2 da ecuación es el doble de una de las raíces de la le ra ecuación. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 56. Señale una de las raíces de la ecuación cuadrática: (x2 + ax - 10)(1 - a) = (2 a + 6){1 - x) A) a + 2 B) 2 C )2 -a D) a E) a - 2 57. Se tienen las ecuaciones: x2 + bx + c = 0; x2 + px + q = O, donde' las raíces de la primera ecuación son la suma y el producto de las ralees de la segunda y las raíces de la segunda son la suma y el producto de raíces de la primera, entonces T = pb es: C) 1 D) 2 E )4 58. Determine ‘‘aa de tal manera que la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: x2 - (a - 1)x + a - 2 = 3 sea mínima. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7 59. Se define la ecuación de segundo grado en x:
LA
1 4 0 9
2r? - 5x + 4 - 0, siendo sus raíces r y s, determine ei valor de E = r6 + s6 o3
123
A )f D) 9®
E )12 6
C)
60. Si a y b son las raíces' de la ecuación x2 - 10x + 1 = 0, determine el valor d e E = ylá+Ob y= B) s¡2j2 +3 A) jzJz +2
67. Determine la recta tangente a la parábola y = 2 x2. si la recta es y = mx - 8 . A) y = 8x + 8 B) y = 8x - 8 C) y = 6 x - 8 D) y = 6 x + 8 E) y = 6 x 68 . De las gráficas, determine el valor de E = a + h + k. y = x*
vértice aoL^x
D) jJZ+2
C) y¡2jZ +1 E) 72>/3 + 2
61. Sabiendo que (p + q )2 y (p —q)2; son las raíces de cierta ecuación cuadrática reciproca, donde p y q son raíces de la ecuación ax + bx + c = 0, a > b > 0 halle a4 - b4. A) 2abc B) -2abc 2 C) 4abc 2 D) - 4ab2c E) - 4abc 2 62. Halle el valor absoluto de la diferencia entre las raíces de P(x) = c + bx - x2, si el mayor valor de P(x) 6S 9 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E ) 12 63. Determine k para que las raíces de x2 +3x 2 k -7 : sean la ecuación ---------5x+ 2 2 k -5 ' simétricas. C) 3 B) 2 A) 1 E )5 D) 4 64. Determine la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: (2k + 2)xJ + (4 - 4k)x + k - 2 = 0; sabiendo que ias raíces son reciprocas. A) 5 D) 13
B) 82 9 E) 15
C)1 0
65. Determine todos los valores de m de manera que las raíces de la ecuación: x2 - 2mx + m 2 - 1 = 0 tenga una raíz menor que 2 y otra mayor que 2 . A) <-1¡ 2) B) <0; 3) C) <1; 3) D) <3; 10) E )[3 ;x > 66 .
Halle los puntos de la parábola y = x2 + 2x + 25 en los que las rectas tangentes a dicha parábola pasan por el origen. De como respuesta la suma de las coordenadas de dichos puntos. A) 40 B) 60 C) 100 D) 110 E) 120
y=ax2- 2ahx+ah2+k
C) 2
« .-i E, - i
69. Indique en que intervalo debe variar “m” para que la ecuación 2X2 + (2m + 3)x + 8 = 0 tenga una raiz en (3, 8). A) R+ B )R " C) (1 ,2 ] o ,( - m - |)
s ( o , i)
70. S ix e R * y A = jk /k = - = - í -----\ x -3 x + 4 entonces indique cuál es el enunciado correcto. A) Ar\ [1/2, 2] = ♦ B) A c (11/10, 15/10) C) A c ( 0 ,1 ] D) A o < 4 , 7 ] * * E) A - (1/2, 1] = é 71. Determine el conjunto A por extensión: A = {xe R /Ox+27 + =4j A) {54} B) {-26} CH54;- 26} D )é E) {1} 72. Si xlt x2, xs y X4 son las raíces de la ecuación ax + 48X2 + b = 0, donde (xi.x 2)"1 + (X3.X4)"1 = 12, indique el valor de “b” (x2 = - x1t X4 = - x3) A) 1
B) 0
C )-1
D) 1 E )4 73. Determine el conjunto de valores de “a” para que la ecuación bicuadrada x 4 + (a + 2JX2 + (a + 4) = 0 tenga solamente raíces reales. A) [- 4 ; -1 ] B) [ - 4; -2 ] C) [ - 4; + x ) D) [- 4 ; - V¡2 ] E) <- » ; - 2 ]
2012]
74 Determine la ecuación bicuadrada si una de sus raíces es el doble de otra de sus raíces, si además al coeficiente principal es 1 y la suma de sus coeficientes es 45. Como respuesta da el término independiente. A) 44 B) 45 C) 50 D) 60 E) 64 75. Si el producto de tas raíces de la ecuación bicuadrada: (5n2+ 2)x4- (4n4+ 9)x*+ 3(n 2 + 2) = 0 es igual a la unidad. Determine la mayor raíz en valor absoluto. _2 _ £ c> £ A) B) £ £ E )5 D) 76. Si una raíz de la ecuación: 9x4 - 37X2 + m = 0 es 1/3, determine m. A) - 4 B) - 3 C) 3 D) 4 E) 5 77. Si la suma de las raíces positivas de x4 - (m + IJx 2 + m = 0; es el 75% del producto de las raíces; determine la menor raiz. A )-2 B) 0 C )1 D )2 E )4 78. En relación al conjunto: A = {x e R / 4x4 - 9X3 - 26X2- 9x + 4 = 0}, indicar cuál(es) de los siguientes enunciados son (es) correctos: I. n (A) = 3 II. A - { - 1 ; - 2 ; - 3 ) = {4; 1/4) III. A A Z * {1/2} A) I y II B) I y III C) I, II y III D) solo I E) solo III 79. Si A = {xi, x2, X3} es el conjunto formado por las raíces reales de la ecuación. 2x 5 - 7x4 + 6 x3 - 6X2 + 7x - 2 = 0. halle XiX2x3. A) - 1
B )- i
« i
D) 1 E) 0 80. Determine la menor raíz de: ex6 - 1 3X5- 6 ** + 2&x3-
B )-1 o ,f
- 13x ♦ 6 =0
- !
E) 1
81. Dar la menor solución de ecuación: 6 x4 - 35x 3 + 62X2 - 35x + 6 = 0 A> ; D) 2
C )1
E ) 3
la
82. Dada la ecuación redproca x4 + x3- x2 + x + 1 = 0 , determine la parte imaginarla de una de sus raíces. A) >/2+2>/ñ
B)
q yk + 2VÍ3
E)
0)
•J2 +2 J3 1+Vñ
1 + /Í3
83. Determine la menor raíz irracional de la ecuación: x '- e x ’ + i o ^ - e x + i = 0 A) 5 - S 0 )2 - &
B)A-J2
C)3-J2
E )2 -S
A) 1 D) 4
B) 2 E)5
las
C) 3
E )-2 5
87. Determine el mayor valor de k con la . . , 2az + 3(b2 +c2) . propiedad = = — - ¿K aV3bc Va, b, c e R+ A) 1 D) 4
B) 2 E) 6
A) (a2 + b7 + cs ; 00) B) <- x ; a2 + b7 + c5) C) (0; a2 + b7 + c5) D) (a2 + b7 + c5; 1) E) <1;«) 89. Sabiendo que: 0 < a < b, determine v h* v el valor de V e n ; < -------b a a b A) x > - (b2 + ab + a2) B) x > a2 + b2 C) x > 2a + a2 + b2 D) x > - (a2 - b2 + ab) E) x < a2 - ab + b2 90. Determine el conjunto solución de la inecuación cuya variable es x:
A) <- » ; a] C) < -x ; 0] E) [0; + x )
86. Sea x e [1/4; 5/4] y sean M el menor valor y m el mayor valor que x +5 satisfacen m ¿ s M . Entonces x -2 T = Mm es: 25 A) 24 B) 20 C) D )25
A) 6 D )9
- ( x - a ) s x - - ( x - b ) ; a > 0, b > 0 b a '
84. Determine el conjunto A A = {x e Z / 1 5x* + 13x4 - 258X3 + 258)? - 13x - 15 = 0}, indíc n(A). AJO B) 1 C) 2 D )3 E )5 85. Determine cuántas de proposiciones son verdaderos I. V a e R : a2 > 0 II. 3 a e R / a 2 < a III.a < b -> a + c ^ b + c , c e R IV .a á b A C S d -> a + c á b + d V. Va, b e R ; a < b - » a < b
4x <1 a2 +b7 +c5
C) 3
88. Resolver para x; a, b, c e R4; 1 1 1 4 a2 b7 c5 a2 +b7 +c az +b - x a +c - x b ' + c - x . + —V ■ + ------- 9 " + c5 b7 a2
B) <- x ; b] D) <- ®; a + b]
91. Resolver la inecuación en x: (2 m -n )x + 2 m -n (2m+n)x | 2m+n m -n m +n m +n m -n ; m
C) 8
B) 7 E) 10
96. Determine los valores de k para que la inecuación se cumpla para cualquier valor de x en R. x2 +kx+1 <2 x*+1 A) <0; • ) B) (-1 ; 1) C )<-3;3> D) (-2 ; 2) E) <2; x> í x 12 x+1 M * IxeZf ------< — 1 x+1 19 x+ 2 indique n(M) A) 1 B )2 C) 3 D) 4 E) 5 98. Se define el conjunto: 97. Si
A = ( a e Z A x e R :- 3 < ^
a<~ 2 <2
X2 - X + 1
determine el número de elementos del conjunto A. A) 0 D) 3
B)1 E) 4
C) 2
99. Determine el conjunto solución de x4 - x2 - 6 _ la inecuación — s--------- s 0 x2 -1 A) (-1 :1 ) B) [3; + x ) C) { - x ; 2] D ) l - E) [ - , / 3 ; - l > U <1; S] 100. Sean: y x (8 - x ) A * - x e R / —- — )T +x B = JxeR / 4 ? ~16x+68>
4
el conjunto B - ( A n B ) . 93. Determine el conjunto solución de: — < i, s i0 < a < b . x -a b A) (a; b) B)
, V x e R
A) B) C) D) E)
< - * :- 1 > u < 0 ; + *> <0: + *> (-co; - 1 ]u [0 ¡ +co) ( - x ; - 1 ) u [ 0 ; + oo)
101. Resolver. x(2x + 1)(x - 2)(2x - 3) > 63 A) ( - x ; 2) u (3; 00)
C) (0 ;« ) °> ( " od:“ 7 ) u (2:m) E) (-x ;-l) u {l;o e )
halle
y&*>
102. Si V a.beR*, se verifica (a + b)3 < k (a3 + b3), el mínimo valor que puede admitir k es: A) 3 B) 4 C )5 D) 6 E) 8 103. Determine el conjunto solución de la inecuación: (x2 + 1 )(x -5 )(x 2 -1 3 x + 4 0 )< 0 A) [5; 8] B) (5; + x> C) <- x ; 5] D) [5; + x> E) ( - x ; 8] 104. Sea S s {a} u [b, cj el conjunto solución de la inecuación x(x - 2)2(x - 3 )5 (x + 1)6 < 0. determíne el valor de E = a + b + c. AJO B)1 C) 2 D )3 E) 4 105. Si el conjunto solución de la inecuación: (x3 -8 )(x 2 -9 )2(x2 -7 x ,1 3 ) o (1 -x )(4 -x 3)
M
"
S = ( - a; b) u { - c; c}, c < 0 Determine el valor de E = a + b + c. A) - 2 B) —1 C )0 D) 1 E) 3 106. Si
indique Ac. A) R B)<> C) (1; ce) D) <0; 1J* E ) < - * ; 0j 107. En relación al conjunto S de los siguientes enunciados: V x e S : Ix 2- ^ + (x2 —4 1 = 5 Indicar cual(es) son correctos: I. S n Z = (3, 2, - 3, - 2} II. S c (-JÜ S x < - 2 v 2 < x 5 JÜ) III. S - N = (1, 2, 3} A) solo I B) solo II C) I y II D) I y lll E) II y lll 108. En relación al conjunto solución S de la ecuación: |x* -3 x | + 5 x 2 + |x+3|
Cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: I. S c < - ao;- 2 ] u [1; oo) Si x = lll.
S rv R = —-
A ) s o lo I D ) I y lll
entoncesb + c = 7
L A KX€2Mrt**nrMSB»a¿\ £ 0 1 2 ]
1 4 1 1
115. El conjunto inecuación:
109. Si V x 6 H : I x2 - 3x + 2 1 = 4 - x2 + I x I Indicar cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: I. n (H) = 3.
<- x; a] u [b: c). entonces es verdad que:
A) bc = 1 B) ab < 0 C)ac > 0 D) b2 = 8c E) a = bc 116. El conjunto solución de la inecuación: |1 —|x —8 ! k \¡2S- x se
irracionales. I. q [H n Q] = 2; Q conjunto de los racionales. A) solo lll B) I y lll C) solo I D) solo II E) II y lll 110. En relación al conjunto solución “S" de la ecuación:
puede expresar como : [a; b] u [c; d], indique el valor de: T = la | + I b | + |c | + |d A) 18 B) 17 C) 15 D) 13 E) 11 117. El conjunto solución de la inecuación: v / M ^ o - x 2) ¿ 0 e s [a ;b )
=1
x2 f 6x + 7 Indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: I. S = R - r S = R* u {0} S uR += R A) I y II B) I y lll C) II y lll D) solo I E) N.A. 111. Si V x e ( - ao; a) o (b¡ c)u
(I x + 3| +
x2 + 4 a 13x + 2 1 - 7 x Se obtiene: x e <- x ; p] u [q, x), cuál(es) de los enunciados siguientes son correctos: I. pq > 0 . p + q = - 7 - JÍ9+J2 p2 + q2 = 10 C) solo A) solo I B) solo II D) I y II E) II y lll x2 -2 x | + 4 113. Al resolver: s i , se x + | x + 2|
obtiene x e <- x , a] u [b, + x ), cuál (es) de los siguientes enunciados son correctos: I. a + b = 0 ab = - 4 a- b=6 A) solo I B) solo II C) solo lll D) I y II E JN A 114. Resolver x - 2 l 2- 3 l x - 2 l - 2 8 < 0 A) <- 4¡ 9) B) <- 5; 9) C) <- 3; 6 ) D) <- 5; 6 ) E) (-2 ; 3)
x
“ 1)(|x |“ 2 )
Halle a + b. A) 1 B )2 D) 4 E) 5
C) 3 4
118. Si V x e M :
|x + 1 | - 2
-— —r— < |x + 2| |x + 3| —1 1 1 * *Determine el valor d e a + b + c + A )- 8 B )- 9 C ) - 12 D) - 14 E) N.A. 112. Si se resuelve la desigualdad:
de la
M L J is o |x + 2 |-|x -3 | Se puede expresar como:
; I conjunto de los
x2 - 6 l x l + 7
solución
d
Cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: I.M c R ‘ II. M - <1; 3] c (-2 \/2 - 1; - 3> III. M - ( - 2 -J2 - 1, —3) = {1} A) I y II B) II y lll C) solo lll D) solo II E) solo I C L A V E S D E L S E M IN A R IO 0 2 4a (ÍÉ (K) (W) og 0X5 ^ d© (T® □ □ □ D B B D Q D aa m as aa m m a? m a® D B O B Ü B B ia ia m m mm m m m m
m m
mm m m
va m s® w>
m M ffi M flT 03 (8> 63) B B B K a B D 8 6 8 S 8 6 ® 6 ^ 6 0 5/> B I C I D O D r7.U C I H I) I) | C B B B B B n 38 38 96 36 M 33 S© 3® S3) &L <8 B D B 6a6S6 B D B
E
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A
D
A
A
D
B
8nftr7M 80*9.0 w m 85M & m > w 8 HMw D I D
D
D
D
A
A
D
® a® 82® ® G ® 6® $® 3$© ® ® ÍK M ) B D H D B D D O A DC BE D m sos m m m m m m m . B B iE C I B C IB A QC B C D A I E ana m ñas m a a s n n s m na® B B B B B B I
141*
TERCER SEMINARIO 01. Dada la función: f = { (2; 5), (m + n2; m), (-1 ; - 3), (2; 2m - n), (-1 ; n - m ) }. Determine Dom(f) c\ Ran(f) A) ó D) {3}
B) {-1 } E){5>
A) {-*> : - 1 )u (1 ; 2] B) (0; oo) C )(-x ,- 2 )w (1 ;x ) D) (1; 2 ]u <3; 5] E) ( - ®i - 1) 09. Al determinar el dominio de la función cuya regla de correspondencia es:
C ){2 } f(x)
02. Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4}. Se define en A las funciones f = {(1;1), (2; 3), (4; 2), (3; 3), (4; m)} y g(x) = mx^ + bx + c. Si f(1) = g(1) y g(2) » 4, determine la suma de los elementos del rango de g. A) 26 B) 32 C)38 D) 42 E) 56 03. Sea f una función tal que f(x + 3) = f(x) + f(3), V x e Z. Indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: l)f(0 ) = 0 II) f(12) = 4f{3) III) f(-3 ) = - f(3) A) solo I B) solo II O) solo D) I y III E) I, II y III 04. Sea f: N -+ N una función tal que f(x) = 2x + 3, indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos I) V y e N, 3 x e N / f(x) = y II) Si í(a) = f(b) entonces a = b III) Si f(ax) = af(x) y f(b + x) = b + 2 + f(x), V x e N , entonces a + b = 3 A) solo I B) solo II C) solo III D) II y III E) I y III 05. Dada la función f: A -+ R tal que x3 + 2x 2 + x determine f(x) = x -2 dominio máximal A de f.
su
B )(-o c ;0 ) C )< 2 ;+ x ) A) R - {2} E )< -« ; 0 jv j< 2 ; + « ) D) <0; 2> 06. Sea f(x) = v x -T x + 2 , determine su dominio maximal A) [2; + a ) B) [-2 ; x ) C) [-2 ; 0] D )[1: + » ) E) [-1 ; + «>
Se obtiene: x € < - x , p ) u ( q ;r ) u ( s ; x> Calcule: J = pz + q2 + r2 + s2 A) 14 D) 21
B) 16 E) N.A.
C) 19
C)
D)
H (4
E) <0; 6 )
11. Sea la fundón f tal que: f(x)= s /l 5 - |x + 2 | si el Dom(f)=[-a; b], entonces T = a + b es: A )- 4 B) 12 C) 15 D) 17 E) 30 12. Sea la fundón f tal que: 1
f(x)=
Tx 2 + 4 x + 4 -
08. Sea f una función definida p o r: TF tal que f<-2 ) = J j f
1lx\
determine el dominio de
B) [-1 , +
C)
D,[i. -)
E) R*
17. Se define la función f p o r ... 4x2 -4 x + 9 R / f(x) = el f: R 12 x2 - 12x +8 rango tiene ia forma : [a; b], determine el valor de J = 1 + 3a + 15b + 45ab. A) 12 D) 22
B) 16 E) 50
C) 18
18. Determine el rango de f(x) = |x+ , s ie l
|x + 3|-1
Dom(0 = <- x , a) u (b, c) u (c, d) u (d, e) Calcule :J = a + b + c + d + e A) - 16 - >/3 B) - 14 - ¿3 C ) - 1 2 -^ 3 D )-1 0 -^ E) N A. 13. Sea
07. Determine los valores de x para tos cuales existe f(x) = J-X-T4-X2 . A) [1¡2] B) [0; 2] C) [-1 ; 0] D) 1-2; 01 E) <- oc; 0]
A)
16. Dadas fas funciones f: R-»R, g: R R definidas respectivamente por f(x )= —x + 3x + 1; g(x) = 3x* + 2x + 1 Si Ran(f) n Ran(g) = [a, b] entonces T = 1 2 (b -a ) es igual a: A) - 27 B) - 25 C) 31 D) 30 E) 36
Je + 5|x| - x2 B)
A) (1; 4] B) {1/2} u [1; 4] C) {1/2} u (2; 4] D) <0; 1/2) E)<1; 4)
Determine el rango de la fundón:
^1 - J4x|x| - 9
A) ( - 6 ; 6 )
f
+^ 2 ~ ^ ^ 1 5 . Sea f una fundón cuya regla de correspondenda: 2 x - 2f(x); x &1 f(x) = ^ 1 4 xf(x)-4x+ 1¡ 0
10. Determine el dominio de la siguiente fundón: f(x>-
14. Determine el rango de ta función definida por: x2; - 2 5 x s -1 í(x)« 1/2; 1 s x £ 5
x * 0. A) <0; x )
B)
(H
C)
D ) [1 ;x ) E )[2 ;x ) 19. Dada la función f: [-2 ; 4)
R / f(x)
|x + 1 |-3 = 1+M
I '
determine el rango de f. > 4
.
f(x )= y
^
t í p k 12sgn(li;+ 12) ^ x -3 |-s g n (x 4 -1 6 )
- 1 , x <0 Si Sgn(x) = 0, x =0 , determine el 1, x >0 dominio de f. A) R - ( - 4; 4) C )(- x ;- 4 ) E) ( - 4; 4)
B ) R - < - 4 ; 4] D) <4; + x )
A) »
D)
-!■ 3é
B )(1 ;x )
C) - i .
9
E) R
20. Si f es una fundón constante, determine T = a 2 + b2 f = {(ab; a - b), (a + b; b), (a ; 1 ), (3b; a - 1 ) } A) 1 B) 2 C) 3 D )4 E )5
21. Si f : R -> R es una función constante no nula, calcule el valor de: f(f(20))+4f(2005) E= 3f(0)+ 17f(f(3)) ‘ B) 4
C) 5
A )I D) 6 E) 8 22. Dada ia gráfica de la función:
C) 5 A) 2 B) 4 D) 9 E) 11 23. Sea g una función cuadrática definida en R tales que g(0) = 1 y g(x + K) - g(x - K) = 4(2x - 1). V x e R, determine el único valor de x e R tal que g(x) = 0. i
26. Sí f(x) =
A) 3 D) 6
XS1
X+1
, x >1
2x + 3 Determine los valores de x; para que x - 1
B )4 E )7
C) 5
31. Si la gráfica de la fundón f: R -+ R definida p o r f(x )= x + 4 x -a
es
27. Si f: R -> R es una fundón, cuya regla de correspondenda es f(x) = ax2 + bx + c , x € R, a, b, c son constantes suponiendo que f{2) = 4, f { - 1 ) = 1 y f(x + y) = f(x) + f
Donde f(5 )-f(1 ) = 4 Determine f( J í )
«
1,
£OÍ2\
L l
1 4 1 »
C )0
* '4 D) 1 E )2 24. Si la gráfica de la fundón f, tal que f(x) = a + V x + b , x e [3; x ), cuya gráfica es:
f(x )s
V 3x-1
[ x - 2] '
si el dominio de f es
Dom(f) = [a; b) u [c; x), entonces el valor de T = 12a + 4b - c es: Nota: |x ] = n < + n < x < n + 1 , n € Z A x g R. A) 5 D) 16
B) 6 E) 17
C) 9
29. Dadas las funciones: f(x) = x2 + 2x - 3, ,g(x) = x2- lOx + 21, cuyos gráficos se muestran, determine el valor de E = a + b + m + n + p + q.
y
C) 1
« •-i E)3
32. Dados los siguientes enunciados: I- f = {(t; t2) / 0 < t < 4} es una fundón par. I. 9 = «x; y ) / y - lx + 2 l} es una fundón par. L V x e ( - 2 ; 2 >, la fundón h; es impar, donde : h (x) = x3. Indique cuál(es) son correctas A) solo) B) I, IIy III C) solo III D) solo II E) I y III 33. Sean las fundones: f(x) = + X+X 2 -V l-X + X 2 g(x) = 2 1x I - x 2
A )- 9 B) - 6 C) 2 D) 6 E) 9 25. Determine la medida de la región rectangular ABCD en términos de V descrita mediante la gráfica, donde la abasa de B es x.
y = -x 2+ 4x
A) B) C) D) E)
- 2 x 3 + 6x2 -1 4 x - 2 x 3 + 10x2 -1 2 x - 2 x 3 + 12X2 - 10x - 2 x 3 + 14x2 - 8 x - 2 x 3 +16x2 -1 0 x
D) 15 E) 17 30.. El gráfico adjunto corresponde a la fundón f(x) = b - 2 J a -x con a > b > 0 , determine a + b.
¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta? A) f y g son pares. B) f y g son impares. C) f y g no son pares niimpares. D) f e i impar, g es par. E) f es par, g es impar. 34. Indique cuál(es) de los siguientes enundados son correctos: I. Si f es una fundón constante entonces la gráfica de f es una recta. II. Si f es una fundón creciente entonces f no es par. III. Si f es credente entonces f es impar. A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) II y III 35. Sea f ( x ) = - 4 r M Indique cuál(es) de los siguientes enundados son correctos I. Ran (0 = <-1; 2] II. Ran (f) = (-1 ; 1)
r M5M+wa-**J*rwy&~ _______ III. fe s creciente en R. A) solo I B) solo II C) solo D) I y II E) II y III 36. Dada la función f(x) = ax + b y los siguientes datos: f(x) es creciente, f((1; 2]) = [107; 901], calcule T = a - b. A) 481 D )1008
B) 687 E ) 1481
1414!
) r.Vx>
y A 1
C) 794 41. Determine el gráfico de y = | jx - 5 - 2 |
37. Dada la función f cuyo dominio es: [ 1 ; 2 j l ] y tal que su regla de
-1
E)
y
43. Dada la función: f(x) = x3- 3x2 + 3x - 1. La gráfica que mejor representa a 1 1 - f (1 + x) | es:
correspondencia es f(x) = Vx2 +1 + x, si el rango R(f) = [a; b] determine el valor de T = a + b. B)
A) J2+1 B) V 2+3 C )> /3 + 2 D) 3-^2 + 1 E) 3-J2+4 38. Demuestre que f(x) = x W x 2 +1 es una función creciente en [ Jz ; oo), determine el rango de f. A) [0; co) B )[1 ;« ) C )[£ \ *) D) [2 + \/3 ;oo) E) [2 S ; »> 39. Indique la función que corresponde a la siguiente gráfica adjunta:
funciones
definen las - 1, x < 0 Sgn(x) = 0, x = 0 1. x > 0
42. Se
A) f(x) = x - 1 - 2 B) f(x) = x + 1 - 1 C) f(x) = 2 x - 1 1 - 2 D) f(x) = 2 x | - 2 E) f(x) = 12x —1 1 —1 40. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la función definida por g(x)= l l x + 1 | - 2
f(x)=S gn
x j- 2 '
, entonces la gráfica
xl + i ; de: 1 —f (1 —x) es:
44. Graficar g = f(2 - x), si la gráfica de f
y 9
_
2 1
++
-1
A)
y
y A
*
. . . .
. 2.
—o
o -4 -o
1
-1
-3
C)
D)
L
A
K .v n c t w ü iH A
8 0 1 2 ]
♦x
0
47. Se muestra la gráfica de la función f, determine la gráfica de g(x) = 1 — I f (1 — lx
45. Determine la gráfica de g(x) = f(- 2 - | x | ), si la gráfica de f es:
49. Dadas las fundones: f(x) = 2x + 3; x e (-2 ; 5) fl » «1:3). (2; 7), (3; 9), (7; 12), (0:10)} Determíne el número de elementos de Ran(f ♦ g). A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 50. Dadas las funciones: f(x) = 2 Vx ; x * 0 g = {(-2 ; 4), (0;2 ), (2; 3), (1; 5), { 4 ;- 2 ) 1 (-1;3)> Halle la suma de los elementos del rango de: f 2 - 3g. A) - 11 B) - 6 C )-1 D) 4 E) 10 51. Sean las fundones f= {(0 ;0 ), (1; 0). (2; 1), (3; 2), (4; 3)} h(x) = (x + 3)1'2, x e (-3 ; 3), Determine a, s i: (f + h2)(a) = 3 f{2) A) 0 B) 1 C) 2 D )3 E )4 X x s -1 52. La fundón f(x) = -x, - 1 < x s 0 1 - ( x - 1)2,
x >0 se expresa como f = h + g, h p a r y g impar, determine g(x). ♦x
♦x
A) g(x) = f(x) + f(-x) B) g(x) = f(x) - f(-x)
46. Si la gráfica de f(x) es:
C ) 8(x) = |( f( x ) + f(-x))
D)
C)
D) 0
♦X
♦x
E) 8
Obtenga la gráfica de y = |f( 1 - lx 46. Sea f: R
R, cuya gráfica es: ♦Y
f(x) = 5x(x + 2) + 9 ; x € ^-
♦x
rango
A) ¿Cuál de las siguientes representa a la fundón - f ( - x)7
gráficas
A) [0; 8] D) (1; 4>
♦X
C)
D)
B) (0; 3] E )<1; 6 ]
54. Sean las fu nd o n e s: f(x )= lx - 1 1 - X 2 x * ;x a 1 9 (x )x ; x <1
C ) <0; 8 )
de
[ J I5M*WCW«*J%rM5& Determine el rango de f + g A) [0; + » ) D )< -x ; 1]
B )[1; + *> C) R E X -® ; 10] 1
55. Sean f(x+1) =
fl(x - 2) = 3x+1 ' jx+2 determine f + g y su dominio. Dar como respuesta T = (f + g) (-2) b, b
«7
_ :
C )0
A) - 4 x + 1; x € [-5 ; 0] B )-2 x + 1; x e < -3 ; 0] C) - x + 1; x e [-5 ; 5] D) 1; x € {-3 ; 0] E) 2x + 1; x € (-5 ; 0) 57. Dados los siguientes enunciados: I. Si f; g : R 4 R son pares, entonces f + g es par. Si
f(x) = (T x )2 y 8(x) = v /? entonces son funciones iguales. Si f; g; R 4 R, f es impar y g es par entonces fg + 2 f es impar , indique cuál(es) son conectas. A) l, ll y III B) I y III C) I y II D) II y III E) solo I 58. Dada las funciones g = {(1 M ),(2 ; 2). (3; 3), (4; 4). (5; 5)} y f = {(x; 1) x e N a 1 < x < 5}, determine el valor de [(f + g) + fg - g / f - (g - 01M , con respecto al mayor x. A) 2 B )4 C) 5 D) 6 E) 8 59. Sean las funciones: g = {(2; 2a), (3; 32)} f = « 1 ;g (2 ),(2 ;g (3 )), (3; 8)} 9 V x -2 ; x a 2 h(x) = x+1 ; x <2 Determine el rango de f — . 9 A) (0; 1} B) (4; 9} C ){0 ;1 ;4 ) D ){4} E) {9; 7} 60. Sean las funciones f y g definidas por f = {(-1 ; 1), (2; 0), (1; -1 ), (5; - 1), (3; 1)} 9 = «3; 0), (5; 4), (1; 0), (-1 ; 2)} Determine cuantos valores toma y0, si f2 g 9
(>0=y-
A) 1 D) 4
B) 2 E )5
C) 3
61. Dadas las fundones f y g definidas por: f : {(—x; 1 + x) / x e R) a Q = {(x; x2 - 1) / x € R), entonces la función g/f es: A ) { ( x ,x - 1 ) /x e R } B ){(x ;x + 1 )/x € R a x í - 1 } C) {(x; - x - 1 / x e R a x * 1} D ){(x ; - x - 1 ) / x e R a x * - 1 } E) {(x ; x —1) / x e R a x * - 1 }
4
56. Sean f y g dos funciones definidas p o r f(x)= | a ♦ Ix | | + |x - | x | |+ 1 ;x e < -3 ; 5] g(x) = x( | x I + 1 ); x e [- 5; 0], entonces la función f + g es:
Ii.
141S
62. Sean las funciones: f = {(2; 3), (4; 9), (8 ; 27), (16; 81)} 9 = ({2; 1), (4; 3), (6 ; 5), (8 ; 9)} Determine el rango de f / g. A) {1} D) {2; 4; 8}
B) {3} E) {2; 4}
C) {2; 4; 6}
63. Dada la función f : R 4 R, tal que f(x) = f(—x) a f(x + y) = f(x) + f(y) + 6 xy + 35, determine cuál(es) de los siguientes enunciados, son correctos I. f( 1 ) = - 3 2 II. 4f(a) - f(2a) = -1 0 5 III. f(b) = f(3b) 4 b = 0 A) solo I B) I, II y III C) II y III D) I y II E) solo III 64. Dada f una función definida por: f: R - {0}—v R,tal que x' 1 f(-x)+ f(x"1)= x Indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos. I. f( 1 ) = 1 II. C(3) + f(- 3 ) = 9 III. La gráfica de f(x) corta al eje x en - 1. A) solo I B) II y III C) I. II y III D) I y II E) solo II 65. Dados los siguientes enunciados: I. Sea f y g decrecientes en R, entonces f o g es creciente. II. Sea f y g crecientes en R, entonces f o g es creciente. III. Sea f creciente y g decreciente en R, entonces f o g es creciente. Indique cuál(es) son correctas. A) I y II D) i, ll y III 66 .
B) solo I E) solo II
C) solo III
Halle el rango de f o g, para: f = {(1; -2 ). (2; - 5). (3; 0). (4; - 1)} 9 s {(0; 1), (1; 0), (3; 3), (-1 ; 4), (2; 1)}
A) (-1 ; 0} B) (-2 ; -1 ; 0} C) { - 5; -2 } D) {-2 ; 0} E) {-5 ; 0} 67. Sean las funciones: f = { ( x ;y ) /y = 2x - 1 } y 9 = {(0; 3), (1; 4), (2; 0), (3; 8 ), (-4 ; 1)}
Halle la suma de los elementos del conjunto {w I (f o g)(w) * 1 } A) 3 B) 4 C)6 D) 8 E) 9 68 . Halle el producto de los elementos de x. ( x + 1 ^ - 6x {x / f(x) = 72} si f U -1 (x - 1 f A )- 4 9 B )-9 0 )10 D) —
E) 29
12
69. Determine: E = (f o g) (a) + (f o g)(b) Si f(x) = 2>/x + 3, x e [1; 4] 9 (x) = (x - 1 )2 , x e [ 1 ; 6 ] y Dom(f o g) = [a, b] A) 7 B ) 12 C) 14 D) 20 E) 31 70. En la tabla solo aparecen varios valores de las funciones f y g X n f(x) 9M
5 "
6
7
8
8
7
7
8
6 6
5 5
Determine el valor de
f ((f+ g )o f)- 2 ' fog
(6)
A )0 B) 1 C) 2 D) 3 E )4 71. Si í(x) = 2x - x2. Dom(f) = [1; 10] g(x) = x3; x e [- 8 ; 8] determine g o f A) (g o f)(x) = x3(2 + x)3, x e [2; 6 ] B) (g o f)(x) = x3(2 - x)3, x e [-2 ; 4] C) (g o f)(x) = x3(2 + x), x e [1 + T ? ; 3+T7] D) (g o f)(x) = x3(2 + x)3, x e [1 + i/7 ; 3+T7] E) (g o f)(x) = x3(2 - x)3, x e [1 -T 7 ;2 + V 7 ] 72. Sea v la
función:
f(x) =
1;
x <1
x2 ;x >1
Determine el dominio de f o f A) R - {1} B ) ( - o c ; - 1 ) ^ ( 1 ; + oo) C) (1; + ce) D) R E )< -o o ;-1 ) 73. Sea f(x) = Vx2 -1 6 x + 64 + Vx2 - 2x +1 si g(x) es constante en [a,b] determine T = 2a + b sabiendo que g(x) = ffx3) A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 74. Si 4.f(x - 3) = x2* 4 y Ran(g) = (-3 , 3). Indique ios valores que puede tomar "a", siendo: g(x)= f(2 x_3)~ ax f (2x - 3 )+ x B) [-5 ; 0] C) (-5 ; 1) A ) (-1 ; 0] D ) R E) (2 ; oo)
lA J g
« t -f»
75. Sea f(x) = (V x + i+ t)2 , x £ 3, calcule f(x - 2 >/x) A) x2 - 1 D )- x + 1
B )x C) > /x ^l E) V x-1
76. Sean f y g dos funciones cuyas gráficas son:
y
y
f : [0; x>
II.Dom(gof) =
42 42
" 2 ' 2 Rang(gof) = [0; Vi]
f‘.4JUv
L A
79. Sean A = {1, 2, 3}, B = {1. 2, 3, 4). Si f = {(3 :1 ), (x; 3), (2; 3)} es una función de A en B, g = {(3; 1), (y; z), (1; 3)} es una función inyectiva de A en A y si h = {(1; 1), (2; w), {3; 2), {4; 2)} es una función suryectiva de B en A. Halle el valor de T = yz - (x - w). A) - 6 B) - 5 C) 5 D) 6 E) 8 80. Determine
Si el coeficiente principal de f es 1. En relación (gof)(x) indique cuáles de los siguientes enunciados son correctos. I. g(f(x) = % - x2
14171
el
conjunto
A tal que f(x) =
A x x2 +1
suryectiva. A) [0; 4] B) [0; 2] C) (0; 1] D) [0; Vi] E) [0¡ %) 81. Si f: R -» B es una fundón sobreyectiva, cuya regla de correspondencia es f(x) = | x — 3 1 - x + 1 . Determine el conjunto B. A) <-3; + »> B )(0; + *> C )[-2 ;+ x > D) <- 8 ; + ®) E )<-1; + x>
Iy III D )l. I Iy
A )
B ) II y III E ) l y
II
C ) s o lo
83,-¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función biyectiva?
♦x
B)
84. Sea la función f tal que t <-1; ' • _3] , • ->
es
62. Si f: R -> B; es una función suryectiva tal que: f(x) = I x ^ x + 1 1 - |x*+ x —2 1, entonces el conjunto B es: A )[-1 ; + *> B )< -* ;7 ] C ) (- « ;-1 > u ( 7 ; + «> D )(-1:7] E)R
A) solo I B) solo II C) solo D) I y II E) I, II y III 77. Dados los siguientes enunciados cuántos son correctos. I. ft A B, A, B c R si es creciente, entonces es inyectiva II. Si f: R -> R es decreciente, entonces f no es inyectiva. III. Si f, g : R - * R ambas inyectivas, entonces f + g es inyectiva. IV. Si f : R -> R es inyectiva, entonces f es inyectiva V. Si f2 : R -> R es inyectiva, entonces f es inyectiva. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 78. Indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: I. Si f es una función definida p o r 2 x -5 f(x) * con x > 3, entonces f es x -2 inyectiva. II. Si g es una función definida p o r g(x) = Vx2- 16-1 con x e (-5 ; - 4), entonces g es inyectiva. .S i h es una función definida p o r h(x) = - x2 + 2x + 2 con x e (0 ; 2 ], entonces h es inyectiva.
2 0 í 2 )
a si
. Gráfica de (gof)(x);
y
K ,v r :ic i,« r * g iil/I
Indique cuál(es) de las siguientes enunciados son correctos I. fe s biyectiva f| no es biyectiva f l - 1 , no es monotona (credente o decreciente) A) I, II y III B) I y II C) I y III D) solo I E) II y III 86 .
Sabiendo que la función: f:[5; bj->[a; 72] tal que f(x) = x2- 8x + 7 es biyectiva, indique el valor de T = a + b es: A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13
87. Sean f, g, h: R -* R determine el valor de verdad de los sigujentes enundados e indique como respuesta el número de enunciados verdaderos I. f a g biyectivas entonces f o g a g o f es biyectiva. . f biyectiva entonces f + k, k = constante es biyectiva. . f + g biyectiva entonces f a g es biyectiva. IV. fg biyectiva, siempre que f a g sean biyectivas. V. h o h es biyectiva A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 88. Dada la fundón f biyectiva, tal que f: [m; 4] -> [6: n], f(x) = - 2X2 + 16x - 24. m +5 Determíne el valor de T n A) 1 B) 2 C) 3 E )5 D) 4 89. ¿Cuáles de los siguientes enundados son correctos? I. f(x) = 13x | - x es una función inyectiva. g: [-3 ; + » ) -+ [1; + x ) definida por g(x) = x2 + 6 x + 10 es biyectiva.
m*
f.y^Vy 1 4 1 * w rM*Mr%.r4 * . h(x) = V3X2 +5x + 3 es inyectiva, ^ f 9^ _ xz + 16 g) ** ~16 2x 2x V x € < -« ; -1 ). x2 - 8 A) sólo I B) solo II C) I y II C) r ( x ) = 4 i i D) f(x )= D) II y III E) I, II y III 2x 2x 90. Indique el gráfico de la función inversa x 2 -1 4 E) f( x ) « ’3x, x < 0 2x de f, si f(x) = \ , 97. Sea f una función definida por: A , X*1 M u f ( x ) - x + 1 - ^ í , si x < - 4, determine f* indicando su dominio. A) f( x ) =
A » M-Dr+rwi*r^** ar*» j » €*& ] halle el rango de f o g. A) {4} B) {2; 4}C) { - 4} D) {2) E) {3} 104. Se define la función f por: f : R -> R tal que (x - y) f(x + y) (x + y) f(x - y) = 4xy(x* - y2); x, y, e R, cuát(es) de los siguientes enunciados son correctos: I. f es una función inyectiva II. f o f = 2x 9 + x3 +1 III. f*(x) posee la gráfica:
- i ) 2, x e ( - x ; - 5)
B) f'(x ) = 2 (V 3 ^ x -2 )J ,x e < 0 ;« ) C) f*(x) = - i( V 3 ^ 2 Í - 2)2. x e ( 1;»> D) f"(x) = ( 2 - > /x ^í )2 -1, xe (i; 4] E) f’ (x) = - 1 (1 98. Si
f(x) =
,
p .x -6
f OÍ* = loom{f) Si f es biyectiva entonces: f O f* = lRan(f)Si í o g es biyectiva entonces f y g también lo son. A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) II y III 94. Sean f y g funciones inyectivas tales . 2x , . x+ 3 que:F(x) = — g(x) = — x -3 x -2 si (g* o 0 (a) = 3, halle ( f o g)(a + 2) A ) - 6 B )- 4 C )0 D) 1 E) 3 95. Dada la función f(x) = mx + n, x e [-3 ; 3]; m >
si
h(x) = f(x) + f*(x) = | x + h a l l e “m+n"
tal
q -5 x
Dom(f*) = R 91. Si la función f: [2; 5] —> [1; 4] es lineal; biyectiva y decreciente. Determine f{ 3). A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 92. Indique cuál(es) de los siguientes enunciados son verdaderos: I. Si f es creciente y g decreciente entonces g o f es creciente. II. Si f es creciente entonces - f* es decreciente. III. Si f es inyectiva entonces f2 es una función par. A) solo I* B) solo II C) solo III D) I y II E) II y III 93. Indique cuál(es) de los siguientes enunciados son verdaderos: I. Si f es biyectiva entonces:
yf
;
x > 3
f*, determine
f(x) =
A) f*(x) = -3 - V l 6 + x2 ; x e ( - oo; 0] B) f‘ (x) = -3 + Á 6 + X2 ; x e ( - « ; 0] * . ' C) f* (x) = -3 - V l6 + x 2 ; x g ( - » ; 0) E) f*(x) = V l 6 +x 2 ; x e ( - x ; 0) 100. Dadas las siguientes funciones; f(x) = x 2 + bx + b; x > g(x) = x + b h(x) = c + V x+ Í Halle T = b + c tal que f o g = h A) 1 ó - 1B) 2 ó - 2 C) 3D) - 3E) 0 101. Dada la función f(x) = 4 x + m, si se cumple f ( 2 m) = f(m2); m * 0 , determine el valor de E = f(o ).f (o). A) i- B ) ' 21
C) 9 D) 17 ' 1024
102. Sea f: R -> R tal que i f 3
— E) — 47 68 \ p +i i
f* (3h) =
. P * 0, p * - i calcule 5p + 4 5 el valor de: S = - 59 p + 6 A) 32 B) 38 O) 42 D) 48 E) 50 103. Dadas las funciones f y g cuyas reglas de correspondencia son: f(x) = - A r . x e ([0, 4] - {2 » ;
9(x) =
(x - 3 ) 2 , 1
s
x
< 5
1- x 3
a f(x )e [ 1 ; 2], s ix e [a; p].
Determine el valor de J = a 3 +p6 A) 1
D) r(x ) = -3 + >/l6 + x2 ; x g (-ao; 0)
x + 3 , - 6 ¿ x < 1 f ( x ) = x + >/x2 + 1 6
b
que
p y q (en ese orden). A) -2 ; 2 B) 2;1C) -2 ; 3 D) 2; - 2E) 0; 1 99. Determine la función inversa de: f(x) = -V x 2 + 6 x -7 ; x g (-oo; - 7]
x -2
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 96. Determine la función inversa de f,
x e ( 2 ; 8)
A) solo IB)solollC)so!o IIID) I y HE) i y iil 105. Halle el menor número real M tal que |f(x) | < M si f: R -> R es y? definida por f(x) = - * — xr +4 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 106. Sea la fundón f: R -> R tal que: f(x), = - j12 , indique la menor cota x‘ +4 superior siendo f acotada. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 107. Se define la función f por f: R - { 1 } -> R tal que
B) Í 9
C) 5
D ) i E) — ' 8 ' 5
C LAVES
D E L S E M IN A R IO 0 3 O J » > 2 « ) ;W I M 0 5 m w te . te A E :c ci C i E O I te m na m n te te a? E !E B B C c E E A E sa m m m a m □ 1 3 0 0 0 0 1 O o o o K o o io io n a o iB i O
O O O lC lO E lO llE i m e s s© ©6 e© m m te O O O B O O O O O I ©a m m
fA
B
BIS 1 D O E B M U í iü : m a is n®® D Le I D D |E O
A
D D $$ m O O
zW¿*
CUARTO SEMINARIO 01. Determine el máximo valor de la función f(x) = S2*'*2 A) 1 B) 2 D) 4 E) 5 02. Sea f una función
C) 3 dada
B )d
A )3 l
f jj
14191
^
90191
C )5 ±
D ) f ii 08. Dada la función f tal que f(x) = + x - 2 y los siguientes enunciados: I. Tiene una raíz única. II. En el intervalo [-2 ; -1 ] existe una sola raíz. III. En el intervalo [1; 2] existe solo una raiz. ¿Son correctos? A) solo I B) solo II C) solo III D) II y III E) ty III
e"*
por:
f( - ) - ] determine el dominio 5‘ - 7 x maximal. A) (-2; 0) B) (0; 2] C) [-2; 0) <0; 2] D )(-1 ;1 > E) [-2; 0] 03. Sea la función f: R -+ R definida por f(x) * b \ b > 1 , calcule b2 si la gráfica de f es^
+ x
09. ¿Cuál de los gráficos corresponde a f(x) - |3 u|xl - 4 | - 1 .
(4,16) 11. Determine el dominio de la fundón f, cuya regla de correspondenda es: f(x)=k>03 A) 1 B )2 D) 4 E) 5 04. Dada la función f: R -> R definida por f(x) =x"* y los siguientes enunciados I. Su rango es ( - ao, 0) II. f es una función decreciente. III. La ecuación f(x) = x tiene una solución, indique cuál(es) son correctos A) I, II y III B) solo II C) II y D) solo I E) solo 05. Dada la función f(x) =
r
V x e R, si f(x) £
■ ■ Q ( X ) , Vx a a. Determine el menor valor entero que puede tener “a”. A )0 B) 2 C) 4 D) 7 E) 10
07. Determine f(4) de modo que f(x) sea independiente de *a* y "b”; f(t) s 1 , f(2) = 2 si f: Z -» R tal que f(x) = a“ + b".
A)
B) ^ - £ 3 ] C) <3; 4]
D) <- 1; 3)
E)
(H
12. Sea f(x)=to 0(, . J)(x! -1) Determine el dominio maximal A) <- 4; - 1) u <1; + 00 - {-3 } B) < -< ® ;-1 )u < 1 ; + ®) C)<1; + oo) D)<1;4> E) ( - 4 ; - 1 ) 2* 13. Sea f(x) = ^;—- , determine f*(x) )
r
c < 0 < a < b, indique cuál(es) de los enunciados siguientes son correctos. I. f es creciente. II. f es decreciente. III. f es constante. A) solo I B) solo II C) solo III D) I y III E) II y III 06. Sea las funciones f(x) * x2, V x > 0
'9 —x +3 U lo g ^ x + I) 9
indicando su dominio. A) f (xj = log,
j . x e (0,1)
►X
10. Grafícar la fundón f: R por f(x)= | e '- e
R dada
C) r(x ) = IOQ2
X e <0. 2)
D ) f( x ) = IO0, ( ^ ] . x e ( 0. 2) E) r(x ) = log,
♦x
x e (0,3)
14. Determine cual(es) de los siguientes enundados son correctos: I. Ellogaritmo en base -ji de16 es 24 ■ Si ig *í—] = - — entoncesx = — . *U J 3 15
[
M
2 n M
C W
* P I%
? W
2 S i
M
* W
JM
Z M
La gráfica de y = lo g ,|x +Vx 2 + t j
& T 0 P
¡g p u to B U I
iM?m
W
T I %
A) 0 D )3
18. Graficar f(x) = llo g a lx - ll | +1
es simétrica respecto al origen. A) soto I B) solo II C ) solo 0) I y II E) ly III 15. Se define la función: f : A -►R tal que f(x)= ( W F * -
j p
L S
*
. M
O
M
* *
O
* ]
C) 2
B) 1 E )4
24. Si iogpm = a a logq m = b, entonces determine log^m , en fundón de a y b. ab a+b B) C) a+b ab a b D) E) a+ b a+b
+ (003^ - 1/ 2)
CuáKes) de tos siguientes enunciados son correctas: I. fe s creciente. II. Dom(f) = [35 + k>g2 25; + 00) III. f(x )¿ 0 A) soto I B) solo II C) solo III D) I, II y III E) I y II 16. En la figura g es una función lineal, f es una función logarítmica, halle la suma de las coordenadas del punto P.
25. Sabiendo que a ♦ b > 0, simplifique para que obtenga el valor de L log3 iog9(a+b )18 1+1093 k ^ ía + b )
y A
C )1
A) 2 1
d
t
t
« i 26. Sea f una fundón cuya regla de
D)
correspondencia es: f(x) = 3to^ x , x e [2, x ). Calcule la inversa de la fundón f, si existe. A ) r ( x ) = 2l° ^ , .x e [3 .o 0>. B) f*(x) =
D) 1/2 E) 2 17. El gráfico aproximado f(x)= l l o i l x l - 1 | es:
19. Conociendo log2 = 0,30103 determine x = ^78Í25 de A) 0,72316 0,72318 D) 0,72315
6
(2, x ).
D) C(x) = 2°^ ' , x e [4, se). E) No existe fundón inversa 27. El equivalente de: E_ 1 [ 1 | 1 1 + 1093(1 Oe)+ 1+ Ln30+ 1 + log(3e) es;
B) 0,72317 C) E) 0,72320
20. Si log2 = 0,30103, calcule el valor de E = k>g£ faob A) 1,6566 D) 0,6566
X
B) 2,6566 E) 4,6566
C) 3,6566
21. Si iog 12(3) = m, determine : (912(8) A) í ( m + 1)
B)
D ) i( 1 - m ) 9
E) 4m - 3
C) ^
calcule loga(logb N) - lo g a(logc N) A )-2 B)-1 C)0 D) 1 E) 2 23. Si a = logi218 y P = 1092454, entonces determine et valor de E s op ♦ 5(a - P) - 1
A) 1 B) Log3 C) Ln10 D) Ln30 E) Log(3e) 28. Indique el conjunto de valores de x que definen la fundón f por f(x) = Lnflog,* ((og2( 9 - x )]. A )< 7 ;*) O)< 1 ¡ 8>
B) <7; 8) E )(1; 9)
C) (7; 10)
29. En la escala de Richter, la intensidad M de un terremoto, se relaciona con su energia E (en ergios) por medio de la fórmula: LogE = 11,4 + 1.5M Si un terremoto tiene 1000 veces más energia que otro, ¿cuántas veces mayor es su Índice de Richter M?
A) Dos unidades mas que el primero B) Tres unidades más que el primero C) Cuatro unidades mas que el primero. D) Cinco unidades mas que el primero E) Seis unidades mas que el primero
íiV j m w »
14*1
Í.v.moy
i A
30. Considere la función :
« ( i ! )
o ife .
E)
K K
A) - 3 S x £ 3 C )-Síxs¿3 E)-¿2íx<¡j2 C) <0; e]
31. Sea f una función cuya regla de correspondencia es f(x) =
34. Reducir tofl^'anolo^xIoflgS))]' togj5 i
ln [— -— 1; si x e
C )1 D) 2
A )(0 ; x> D) R
B ) ( e ;x )
M Q 1 2 ]
41. Resolver: (3 + T5) 1<+ ( 3 - ^ ) ,,s34
determine el rango de f. B)
v i x c M c a * * * M ma e M 9 l A
1 + 2 tog? b
C)<1 ;x >
E)R¿
32. En el siguiente gráfico de las funciones logarítmicas, determine el valor d e :a + b + p + q + r + s + t + u
E) x
35 ,
si — ---------- = 9, 1 > a > b > 0 . 1 + 2colog,bb
a Calcule: E = loo*b|-j+ co lo g ^(a b ) « - i
c ,-i
B) - 4 £ x £ 4 D)>/5sxs2 ¿ i
42. éi xl,J' 5“ e - 1 , determine el número de ralees reales. A) 1 B)2 C) 3 D) 4 E) 5 43. Determine x en: log 2(log 4 (Iog2x))+log 4(log 2{log 2xj) = 2 A) 2 B)2 C) 2* O) 2* E)2 " 44. Si x - log2 x = 2 C alcule: x + lOQjX A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E ) 12 45. Indicar el producto de las cifras del valor de x que satisfacen la ecuación: x2 = 9^* A) 6 B)9 C) 14 D) 18 E )27 46. Resolver loQjX-Stog 2 2 - 3 » 0 determine la suma de raíces
36. Sim plificar ^Íog2+^íog3-»^ÍÓg4+...+yiog100 ^ 0( ^ 2 + ^ 0053+ Jflog5 4+.,.+^k)fl^100
D) 6 + log24 E) 24 33. Dada la función f definida por f(x) = I Ln I x 11 ¿Cuál es su gráfica?
A) log 1 B) log2 C) log3 D )log5 E) log 10 37. Si : log(log(logx)) = 0, entonces el valor de E 3 log(x log(x logx)) log 1 1 . A) 0 B) 8 C )1 0 D) 11 E) 20 38. Determine el conjunto A por extensión, tal que: A « {x 6 R /4 * * 3 ( 2 ^ ° ,)+ 4 1t'/Fj A) {0} B) {4} C) {0; 4} D )< 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ) E ){0 ;2 ;4 ) 39. Si V x e M : 3 (1 0 "- 6 w2) + 4(10 **1) 3 5(10 *“1 + 6 1"1), indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos. I. n (M )*1 II.M cZ
iiim- r = l ° ^ ( S A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) t y III 40. Resolver 5 1*2* + 6 1+x = 30 + (150)*, si X1 y x2 son sus soluciones, entonces el valor de R * lo(k(xt x2) es: A)- 2 B) - 1 C)0 D) 1 E) 2
A) —
B) 6
D) k
E) —
C) 8
; 2 47. Determine la suma de los cuadrados de las soluciones posibles de la ecuación k>g3 (3x 2 + 2 x + 1 l)*3 2
B )H
C )1 6
225 289 D) — E) 4 4 48. Calcule el número de soluciones de la ecuación: - I x ~ 4 1+ 3 = |k>g|x-4| A) 0 B) 1 C) 2 D)4v E) 6 49. Dada la siguiente ecuación: Lm j2 2 , determine el valor (Lnx+1) de T * e.x4 A je - * C) e B) * - 5 D) e"® E) e"* 50. Si a es la raíz real de la ecuación: (log2)x3+ (log12)x2+ (log27)x + log9 0
entonces se cumple: A) - 1 < a < 0 B) a < - 1 C) a = 2 D) 2 < a < 3 E) a > 3 51. Halle el conjunto solución de: Sbgi (k>g(logx))69P 9x)
* -1 5
A) k C) [10, + ®) E) <10, + ®)
!>*'*> i m 62. AJ resolver la inecuación:
B) (O, + x ) D) (1; + x )
lof l^ [ ( M - 3)(lxl + 1) ] >lo9 j6 ''Í T 5 sabiendo que b2 < b, se obtiene:
52. Indique un intervalo del conjunto solución, al resolver. 4*~1 + 1 ¿17(2*-3) A) {-1 ,0 ] B) { - 3, - 2) C) [3, x ) D )<-1,0> E ){ - 3, - 1 ) 53. Al resolver 3(9*)-10(3*) < - 3 Se obtiene el conjunto solución: (a, b), determine M = a + b. A)-1 B) 0 C)1 D) 2 E )4 54. Resolver 2(4*) - 2*(5) + 2 < 0 A) (0;® ) B )(1 ;« ) C )(-2 ;2 ) D) <—1; 1) E)<2;®) 55. Determine el intervalo solución positivo de la inecuación
A)xa2
B )xsi
A) <- 3, 3) B) <- 3, x ) C) (3, * ) D) <- 3, - 3/2) E) (-3, 3) u (3, ®) 63. AJ resolver la inecuación logarítmica 109 se obtiene x € | i; b 2
halle a + b.
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 60 64. En relación a la gráfica mostrada referida a las fundones f1( f2, f3, f4:
C )x>i
D)xs2 E) - 2 < x S 2 56. Al resolver 2*M+3, se obtiene: A) [2, 3] B) [-1 ,1 ] C) [-3 , -1 ] D)[1, + ®) E) (0, + » ) 57. Resolver ia inecuación exponencial
Indique cuál de las siguientes gráfica corresponde a: P(x) = fi(x).f2(x).f3(x).f4(x).
2x 3
|x f “ ' < 1 A) (1; 3) B) <1; 3] D) <<* 1) E) (0; 1] 56. Si el conjunto A»
C) [1; 3)
\
r
-i
v M
/ .
y\
tiene la forma (m; ®). Determine el valor de m. A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 59. Determine el conjunto solución de la inecuación (4* - 8)(k>g3 x - 2) < 0. B )x£3
y
A ) - 3
B ) - 1
D)
E ) 4
A)
B)
y
y
C )xá~ 2
D ) 0 s x s i E )xí 1 3 60. Resuelva la siguiente inecuación: LogaB(3x - 2 ) > - 2 , el conjunto solución es: (a; b). Determine el valor de T = 3a + 4b. A) 11 B) 12 C) 13 D) 15 E) 17 61. Si a > 1 al resolver la inecuación togt x+ k> g ,(x+ 1)< lo g i (2 x + 6 ) se obtiene como conjunto solución el intervalo (a, b) entonces b - a es: 3
A) 282 B) 292 C)324 D) 325 E) 372 67. Si P es una fundón polinomial definida por: P(x) = x 3- 6 x2 + 1 1 x - 6 , entonces la figura que mejor x represente la gráfica de P es:
- i >0
X€
A) - s x s 9 2
De las raíces de P(1 - |x|) se puede afiimar. A) Son seis, tres positivas y tres negativas B) Todas son positivas C) Son cuatro, dos positivas y dos negativas. D) Todas son negativas E) Son ocho, cuatro positivos y cuatro negativos 66 . Si P es una fundón polinomial de raíces reales de grado 7 con coefidente principal - 1 y cuya gráfica se muestra en la figura adjunta, si P(2) = 16, entonces el término independiente es:
C ) 1
65. Si P es un polinomio cuya gráfica es: Ay
E)
1 4 2 :»!
68 .
En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función polinomial mónica de cuarto grado. La suma de las raíces reales de la ecuación P(21 x + 7 1 + 1) = 0 es:
una de sus raíces es: +$£¡2, determine el coeficiente del término lineal de este polinomio, si es de grado mínimo. C ) - 15 A) - 71 B) - 6 0 D) - 4 E) 75 74. Determine la menor raiz irradonal de la ecuadón: 2x3 - x 2 - 7 x - 3 = 0 , si dos de sus raíces suman uno.
y
•x
A)
1 -V Í3 2
D) 1 + yfíí A)-4 2 D )-3 8
B)-40 E )-3 7
•x
Ei coeficientes principala— -
6
La raíz re
2
E) 3^17 1
C) - 3 9
69. Sea P es una fundón polinomial definida por P(x) = ax3 + r - 2 x + b con a * 0, cuya gráfica se muestra en la figura adjunta. Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I.
LA
f
H)
El valor de P(2) = - 3 A) W F B) FVF C rW V D) FFV E) VFF 70. Determine el mayor valor de n tal iue una de las raíces de ta ecuación y - 13x + n = 0 es el triple de la otra raíz. A) 3 B) 8 C) 10 D) 16 E) 12 71. Si las ecuaciones poiinómicas con coeficientes racionales: 3X3 - (a + 5)x* - (3a - 12)x + 6 = 0 a x3 - 6x - 4 = 0, tienen una raíz irracional común determine el valor dea A)- 5 B) - 2 C) 4 D) 6 E) 8 72. Si a, b, c son las raíces de: x3 + 2x ♦ 5* = 0: determine _ a4 +b 4 +c 4 a2 +b 2 + c 2 A)- 3 B) - 2 C) 1 D) 2 E) 4 73. En un polinomio mónico de coeficientes radonales, se sabe que
1
75. Sabiendo que a, b, - y - son las a b raíces de la ecuadón: x4 + x3 + nx2 + x + 1 = 0 1 8 b Halle el valor de R * a b + — + - + ab b a A) n B)n - 1 C ) n - 2 D) n + 1 E) n + 2 76. ¿Para que valor de “n" el producto de las raíces de la ecuadón. (5nJ + 2)x 4 - (4n 2 + SIJx2 + 3(nJ+2) = 0, sea igual a 17 A) ± Í2 B) ±73 C) ± 2 D) ± 3 E) i Js 77. Se define la fundón: . f: R -♦ R / f(x) = 4x4+2x 3- q x 2 +2x + r la gráfica de dicha fundón es tangente al eje horizontal en x = 1 y corta al mismo eje en otros dos puntos distintos. Calcular rq. A) 34 B) 38 C) 44 D )48 E) 54 78. Sean las fundones polinomieles de coefidentes en Q: f(x) = x 5 + 4x 4 + 4x3 - x2 - 18x + m g(x) = x4 + 6 X3 + 5X2 + nx - 4 MCDff, g) acepta como raíz a - 1 + n/5 Indique el valor de mn. A) - 38 B) - 4 0 C)-48 D)-52 E) —56 79. Determine n(A), s i: A = {x € Q / x 5 + 5 x 3 - 3 x 4 - 7 x 2 + 6x - 2 = 0} A) 1 B) 2 C) 3 D )4 E )5 80. Sea P(x) = x7+ 3x®+ 7x4+ 5 x3+ 5x* + 3x + 1, indique cual(es) de los siguientes enundados son correctos: I. El polinomio Pfx) es tangente al e j e x e n x = - 1. II. El polinomio Pfx) tiene 2 raíces complejos y 5 reales.
R v rjf
El polinomio Pfx) es secante aí eje x en = - 1 . A) soto I B) solo II C) solo III D) I y II E) II y III 81. Halle la mayor raiz real de la fundón polinómica: f(x) = x4 - 2 x 3 + 4x 2 + 6 x - 2 1 sabiendo que dos de ellas son opuestas. A) 1 + 3 72 B) 1 + ./3 C ) 1 + 2 v5 D) 1 - 3 ^ 2 E) & 82. Si A es un conjunto definido por A = {x e R / xs - Bx3 + 16x - x 4 + 8X2 - 16 s 0}, entonces el conjunto Ac es: A )(-* ;0 )u {1 } B) (1; ®) C) <-1; ®> - {2} D) R* E )(0; 1) 83. En la siguiente ecuación: 8x 4 + 30X3 + 29x* - 2x - 30 = 0. determine la suma de las raíces radonales. A )o,
13
B l-I
c - i
I
* 7 64. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si a > O y b > 0, entonces (a - biH . Esta en el tercer cuadrante. Si Z - e1* v x e R, entonces Iz l = 1. Si Z = (1 + i)10 - (1 - i)10, entonces su equivalente es k Z = 64e? . A) VFV B) F W C )W V D) FVF E) W F 85. Si Z es un número complejo, tal que z l 2 = 5Re(Z), entonces el valor de Z - 2 .5 1 es: C)2 ' i “
86 .
1
E) 3
Sean Z\ y son dos números complejos definidos por Z ^ f m - ú + Si
Z ^ i - i 2 m Si ZiZ 2 es un complejo reai, entonces Z 1Z2 es: A)- 3 B) — 1 C)0 D) 1 E) 3 87. Si Z 1 y Z 2 son dos números complejos no nulos que cumplen la condidón ^ = Z j , entonces el v a lo r
d e
la
I4«4 expresión: ReíZ,) tnUZ,) T * 11+ es: im ’ íZ jjJ Re3(Z j); A) 16 B) 13 C) 9 D) 5 E) 1 a+W 68. Sean a y b de R - {0}. Si E = b + ai tal que E < 0, entonces el valor de E - 1 es: A) - 3B) - 2 C) - 1 D) 0 E) 2 89. Si Z es un número complejo definido por Z = (x, y) y Z-' = [ - . y ] es su complejo reciproco, entonces la gráfica que mejor representa al complejo Z es:
Siendo Z + Z = 2k, k € Z (enteros). Determ ine: Z 4 A) - 5 B) - 4 C) 1 D) 2 E) 3 94. Sea z e C, tal que |z | - z = 1 + jz i , entonces el valor de: E=^ l,d o n d e z e lV C . Nota: z opuesto de z. A ) - 2 B ) - 1 C ) 1 D ) 2 E) 2i 95. Determine una expresión equivalente al reducir E = (|z+ 21 + |2 - * I ) ( M ) A) 4 z + l l B) 4 z + i. C )2 z + 2 i D) 2 z ♦ 2 ¡12 E )3 z + i 96. Si z es un complejo y satisface 1 - 2 =1 1 +z
, dados los
siguientes
enunciados: I. z=1+i z=2 z es imaginario puro Cuáles son correctos A) solo lll B) I y II C) I, II y D) solo II E) I y lll 97. Si z e C tal que z2 = z, determine el mayor módulo de z. A) 0 B) 1 C) Y D) 1/4E) 1/3 98. Determine el número complejo z, en su forma exponencial, si
A) 2 - iB) i - 1C) 2k¡ D) 4k + iE) 2k + k2i 91. Dado Sn = ifl + r 2n Determine: E = S , + S 2 + S3 + ....+ Sftoe A) 1 B) 1 + i C) - 1 D) i E) i - 1 92. Determine el valor de m en la igualdad: 3' ^ + 2ltfz + 'tfü Í= : 96i A ) - i B )lc )ÍD )5 E )1 0 5 10 5 93. Si Z = 4 - 2i - m(1 - i), cuya representación es lm
104. Si |z | < - entonces un valor 2
para M en 1(1 + i)z 3 + iz l < M e s : A) —1
■ í
d i? y 105. D adoZ e C tal que: 1- i =1 1+ z -1 Determine el valor de verdad de las proposiciones I. Re(z) = - lm(z) Re(z) = lm {z) Re(z) = lm
z 1+1
A) W F B )V W C) FVFD) FFVE) FFF 106. Determine cuál(es) de los siguientes enunciados son verdaderos. I. V z e C - {(0, 0)} :
|arB(z)i
|z i| = 8 , A rg[z(1+i)] = £
.V z,; z2 € C : Iz , + z2 l 2 + |z , z2 l J = 2 ( |z 1 i 2 + |z2|2)
A) 8e '^ ) B) 2e '^ ) C)
.V x€ R : e
6
90. Determine el valor de: E = j + ¡2 + i3 + .......
modulo 16. Determine la suma de ellos. A )2 Jl B) ^ C) 0 D )- 2 Jz E)2jZ\ 103. Sabiendo que I z + ai | = I z + bi | , con a * b ambos reales, entonces el valor de E = z - z es: A) (a ♦ b) i B) 2(a + b)í C) -(a + b) i D ) (a - b ) i E) (a2 - b2) I
D) 4e - 'il 99. Determine verifica que conjugado e A) 3 i
E) un complejo z que su inverso es igual al igual a su opuesto. B)±i C )^+i
D) - l + — \ E) 2 i / 2 2 1 100. Si z1t z2 e C, (Zi + z2) y zi.z 2 son reales. Determine cual(es) de los . siguientes enunciados son correctos I. z, = z2 Z ,= - Z 2
Z ,= Z2 A) solo f B) solo II C) solo lll D) I y II E) II y lll 101. Determine el módulo del número complejo Z = (3 + 4¡)(5 - 12¡)(2V2 + ¡)(1 + J3i) A) 390 B) 400C) 450 D) 560 E) 630 102. El cociente de dos números complejos, conjugados entre si, tiene argumento x/3, y el conjugado del cuadrado de su producto tiene
=1
A) solo lll B) I, II y D) II y lll E) I y II 107. Dado el complejo:
C) I y lll
Z = Vea - s/36a2 - 36b2 + ( Va+b a > b > 0. Calcule: Arg(z) A) -
. B) - C) — D) — E) — 3 3 2 4
6
O L A V IS
m
D K L S IM IN A R IO
0 4
sM w m n p n a ií M a
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no n® act nz na n© s i
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A U
M
O
T A
M
. L E
#
M
O
W inaQ m a
Si: f es una función definida por:
©
14MB
*
E
L
V x > 0 :ffx )> 0 5
IL
fes fundón aotada superiormente
IU
f es fundón acotada
D
: x e (- 12). determine elmáximo valor
x +4
de m.
Ájl
Bjl
Cji
D) —
Í 7 4 Si f es una función definida por:
A)
S obl
B)Sob Ii
D)
11yin
EllylU
X
B
X
E
S
H
U
B
M
Ñ
O
M
O Sobra
B) S obl E) S o b 01
Sea f la función definida por
C)Sob UI CuáKes) de bs siguientes enunciados son correctos:
Sea f una función definida por:
1.
f es fundón acotada. Vx e [-1.1]
x € (—L l) y dados los siguientes
U.
[f(x)|s2>/2. V x e [- J 5 . j5 ]
enunciados: L
M
AJUylU ' D) ly Ui
CuáUes) son correctos:
©
Bt -
C
Cuál(es) son correctos.
©
f(x ) =
M
f f i.
f es función acotada sob inferiormente. A) lyU D) S ob l
f es función acotada superiormente.
B) nyUI E) SoblU
O I.H y lil
f(x ) = —5— determine el menor m € R tal que x *+ l
11. f es fundón acotada inferiormente.
f(x) £ m.
UL f es fundón acotada.
©
IV El máximo valor de f(x)esl.
correctos:
Cuálíes) son correctos.
l.Lafu n d ón f(x)= 2|x|-xz: x e ( - 2:2) es función
Ají
B)2
CjS
D)4
B)6
Dada la función f definida por:
A) S ob l Dlsob IV
•w -s d b ü
: 8 '
B)1
C)1
acotada.
E)I. n y m
:
Vx e R : determine el menor valor de M
A/i
CU y IV
B)SobU
U. Dada la función f cuya regla de
©
D/l?
8/í?
- 3x.
correspondencia es:
x£2
:six€ [-4.5].
5 .X S 3
Dada la fundón f definida por: f (x ) = x + i Cuáfces) de kx siguientes enunciados son correctos. L
fes fundón acotada en R - {0 }
0.
f noes función acotada en R - {0 }
A) Sólol D) 1y U
BlSóbO E lU yin
determine el mínimo vabr de f. A )- 5 B J -4 D) 0 E) 5
Q S ób lU
Se define la función f
IU. La hindónh(x) = — L . x€[0:31 - f l ) función acotada. B) I y UI
D) ly 11
E) I.UyUl
f W = ( a - l ) x 2+ ax+a + l * halle el menor vabr
O U yU l
8
positivo "k- tal que |f(x)| £ k, Vx e R . si f(l)= 1 .
bjA
n
c /_ 1
d /2 1
41
22
e/JL 23
j es fundón acotada.
L
V x e:ftx )> 0 .
IL
f es fundón creciente.
UL La cpáfica de f tiene una asíntota horizontal y= 2. A) S o b l D) lyU
U) g: (l< r\ lO )-> R . g(x)= 1 + i no es función acotada.
,(x )= ; d
E Si h. yh» son funciones acotadas en un mismo dominio entonces h.+h, es función acotada. CM Iyltl
^
+F r i r r 5
Se define
f(x ) = —7
I. V x € R :| f(x )| £ | .
conréelos:
©
B) SobU E) ly DI
C) Sob IU
la función
f mediante
cuál (es) de bs siguientes enunciados son correctos:
IL
V x>0: f(x) es acotado.
E
V x > l: |f(x-l)| £ 1. A) S o b l D) ly II
entonces h es función
, x e [l;x ) ¡ d e t e r m i n e
Dom
Cuálíes) de ios siguientes enunciados son
Si: h (x ) = - j
A) SoblU
«
tal que:
Sea fuña fundón definida por f: R -+ Rtal
L
; x <0
Cuál(es) de bs siguientes enunciadas son correctos:
correctos:
B) SóblI E) Iy in
es fundón
1 6 -2 “ *
Ajl
A jS ó b l D) Iy )l
[-1
acotada.
C )- 3
Cuálles) de ios siguientes enunciados son
I) f: R —{0> - »R ffx )= eos
La fundón g (x ) = | x +1 ' * €
Se define la función f mediante:
©
01. f es fundón acotada y es una fundón impar.
Cuál(es) de bs siguientes enunciados son
B) SobU E) I. Uy UI
Q Sobm
* ( « ! ) C ,[L „) D,(
acotada enR. 0. Si f es función biyectiva entonces f es función acotada.
©
Se
B) sobl E) lylH define
la
f
por:
: x >0 y dados bs siguientes enunciados:
x 3+ 2; taJque: f(x )
CJUyUI
función
©
Determine el
rango de
ta función
definida por f(x)*=2*-2 * .x e R
01 Si fy gson fundones acotadas entonces g o f es fundón acotada. A) sobD D) ly II
Se define la función f por: f:R -+ R
0 £ x <2
10
; 2£x£S
10 —
: x > 5c
y dado bs siguientes enunciados:
AJR B) R* = {0. x ) C] R = (-«,0) D/R*w( 0) = [ 0,») A R ' u { 0} - ( - * . 0] ©
Se define la función f mediante:
L
V x * 0 : 2 < f (x )£ l0
U.
f es fundón acotada Inferiormente.
f ( x ) « v 2*' -
IU.
fes fundón acotada.
maximalde f(x).
2* : determine
el
dominio
í
L A
AJ (-H*. - 3 ]v j[3 .+ « )
B) ( - * , - l ] w [ l . + » )
L
E ra n god eF lxi-g^ xles: {4 }
k
n
c
'j . w
h
e
A
m
8018)
D)f(xim20\xzK
0. f
D ) (-*.-5 ]v _ j[5 .+ x )
A) Sotan D) Iy 01
f t ( - » , - 4 ] 'j [ 4 í+ x )
©
Se define la función f mediante
E )f* (x )m 2,*’ ,;x € R -
ra. fíx i + r ix » = f(2xj
©
B) i y II E) I. II y 10
C )S o b l
° B Se
l ( x ) « V 2 - f x - 3 : determine el dominio maximal deflx).
L £ > [2 ,+ «)
D) [1/2,2)
B } [ - 2,4®)
C> (-1/2.+-»)
f
por:
determine
el
A/(-
Cfl~3tS)
B>(5;®)
Si; b> 1. entonces f(b) + g(b)>0.
0.
E) (-x .;-2 ) w(4;oc)
Si: b> 1. entonces gfb) - f(b) >0.
!ü. Sibc(0;a).entonces ( f ( b ) > 1v g (b ) < - l ) . A) Soto! D) ly lfl
Graftque la fundón f:R * + R definido por:
fix )»| 3 -2 ' .
función
dominio maximaL
Dj (-x ;-3 ]^ [S .x r )
Al [1. + « )
la
f(x ) = ^ o g T(x 2- 2x - 8) - l .
Se definen las funciones f y g por
f(x)=log 4x:g(x)=log.,x: 0< a < l. Cuáles) de los siguientes enunciados son conectas;
©
define
B) SoioD E) Uyni
©
Se define b función f de b siguiente manera:
f(x)=tog., [ x - 121. de los siguientes enunciados.
C) Iy II
L
f es función creciente
D.
La gráfica de f corta al eje x en un sólo punta
DI
La gráfica de f tiene una asíntota
^ S e a : Hx)=tag. ^tag-fx- 3 )) cuái(es) de tas siguientes enunciados son correctas: vertical:x =
LSk x e (4,-wo). entonces x € (-2,+-*).
2-
Qjál(es) son correctas: D .S ¡:x € (4 ,+ ») .si y sota si x es soludón de
A) Sota] D Iv IU
x8(x -4 )> 0 . fll. X e ( - 4 , « ) .
B) SotoO E) I. II y 111
C) SotaOI
correctos:
B)
Bi [L 3 )o | - 3 ;-l]
D) (0.1)
L
Si: 0 < b < l y0
tt.
Sfcb>lyO
f(x ) = ^tag^log(l4-|x“ -5|) .
determine el dominio maximaL Af (1;2]
C) I y 11
Cuál(es) de tas siguientes enunciados son
A) Soioí D) Iy 01 Sea:
B) SotalD E 'llv I I I
C)¡2;3)
IQ. S i:0 < b < l y 0
® [l;2 )v (2 ;3 ]
B) Sobfl E) llylü
OSotoOl
& tag¿6=a t a g ^ * ^ Calcule lo g j. ©
¿Cuál de loe gráficos representa mejor ia Se
fundón f definida por f(x)ss|ea~* + 2 |-
define
ia
función
f
por:
1.
Ai
logl ,(X )
_ f c r JL
|x + 2[-2
l + log|x- 2j- | x - 2|-
2ab a -1
A)
2ab a+1
B)
D)
2ab b -1
E) b -1 2ab
determine ei dominio
C)
b +1
Dada b siguiente rebdón: de h e indique (D^omíf) n Z ). A ii-3 , -2 , -1 , 0) B > M , -3 , - ft - i . O, I, í ) O W
-3 . - * - / )
D K -4 , - t . 2)
2tagin* +Jog¡aJ -ISIog^a + 4 = 18(log^n-bg*a) Si: a > 1. b > 1. n > 1. entonces M = log* n* + tag. a3 cuyo vatar es:
B H - 3 ,- 2 ,- 1 ,0 ,1 }
A) 1 D) 4
Sea f una fundón definida por
*(*) = k>9w (* " 2N + 0 +
(l “ N * * l)
tal que su dominio maximal es de la forma:
^ b )-(c ). V+l
©
Se definen bs fundones f y g mediante:
2
.7 - ■- **
Calcule el valor de T » a+b+c. A) 3 B) 4 D) 6 E) 7 ^
C)5
©
A jf* (x) ~logtflog¿c)t * > * B if* (xi-log/laggX), x > 3 Cuáles) de k » siguientes enunciados son correctos: C j f * (x )m 3 * * ';X € R '
C )3
Dados tas siguientes enunciados:
L
antitag_(bg.x)=iog.(airibg.x). Vx e R .
IL
Si:a* =b*
ax
* 0 .entoncesa=b
OI. Si: f(x )* a x entonces f es fundón credente V a * l. A) Sotal D) I y II
Se define b fundón f por f(x ) = 2>°b * tal
que Domff) * R~. Determine b inversa de f.
B) 2 E)6
© 1
Se
B) SobD E) II y IU da
an tibgcobgx
la
C) Sobm
siguiente
‘ • “ P a r)-
ecuación: (tag tag n - 1)
cobg^lCK- .determine el 6 bs valores que debe tomar n para que sota exista una raíz real
M
M
A) 10000 D) 45000
T
A
L
L
BJ 20000 E) 60000
K
K
44
0
C) 15000
EMCUtXES RUIiWÑOM
1*97
5
II.
La mantisa del logaritmo de un número positivo
del logaritmo de la milésima parte del numera
•1 S ea :a :b eR ~ -{l} tal que:
( x - l) ^ < ^ I p
01 Si la característica del logaritmo decimal de ~n~
= l°9Ía -ta g *,b
tog* colog.
y se define la función f de modo que;
B) 52 E) 132
Determine
la
C) 9 2
A) 25
B) 49
Cuál(es) son correctos.
D) 121
E) 144
A) Sólo I D) I y II
de
A) V5
B) 5>/5
D) 125
E) 25n/5
C) 114
Q S óbH I Sea la inecuación: ZApi < ir. Determine el
“
ffx j^ ic o ta g ^ x 2)
conjunto soludón.
C) 25
A) (l;+oo)
bj ( 0,1)
D) <2:4)
E) <3:-w>)
O <1;2)
ifTtj Dada b inecuación {e~^ - 4) |x - 2)>0.
Los valores de ~x~que satisface a b ecuación
Bf
A)
B) Sóofl E) I y Eli
Si: 4-' - 4N_:=24: calcule el valor de T={2x)\ gráfica
El conjunto solución es (m ;+ x ). Determine nr*.
es 1. entonces 10s n < 100.
f(x) =antibg x + log^x. determine el valor de f|—] AJ 3 2 D) 11 2
|IJf Al resolver b siguiente inecuación:
de tres cifras es tres unidades menor que la mantisa
Determine el conjunto sotadón.
2'--+4'=80. son. Af 3 y—- r log 2
BfaoioS
-1
Di -3y
C ítolo _JL log 2
A> <-In2;l)
Bf <-ln2;2)
Df (In2;In8)
Ef (ln 2 ;*)
Determine el conjunto solución de b
E)*olo ~S
bg 2
Cf
/'3 Y W i* S (0 ;4 )
inecuación: I — I
Cf
hvtm Determine el valor de "x" en la ecuación:
D)
[«log^ J 5 J A) ^4
B) 5
8
D)
- 2 7 '= 0
A) (0;32]
B) [12: 321 O [l/2;32)
D) [14: 16J
E) [14:321
C) 3/6 Determineel amjuntosobción de b siguiente
E) 1/3
inecuación: L o g,# *-21 log. ,(2x-:- 4 )> - 2 Sea:
a>0.
1
A)
B) JL 27
37
1
D)
B) 131 E) 134
C) 132
A) 17 D) 20
B) 18 E) 21
H. V x e A ,9 < x 3<16 ID. r i(A n Z ) = 2 CuáJ(es) son correctos.
f (x ) = log2(1 2 + x + >/2- x ) .entonces el Rarrff). es:
C) 19
m
AJÍ1-.21
B) [1 :3 2 ]
D) [0: 2]
El [2 ¡2 j2 ]
AJ (3:4)
B) (5;6)
DI (7;8)
E) (2:3)
C) (6;7)
0 (0 :3 2 1
< «-^32* A j{ 0 :* )
Bf (-L 1 )
D Jlyü
EJIy ID
O Sotofi!
inecuación: (1.25)l b*'* <(0,64)Z*'",A‘ Bf (0,1)
Df (-x;-1)vj(1;oo)
E) (-c e ;-2 )w {2 ;*)
O (0 ;2 )o (3 ;+ x )
Df (0;1/2)*_í(32;x) Ef (1;3/2)vj(5;*)
0 (- l:»>
El conjunto soludón de b inecuación logT[3-4x|>2. es:
y n"*** <
Dado ios siguientes enunciados.
•
■*4 ( - | : 3 )
se obtiene x e [a; b ). determine T=ab. número mayor o igual a la unidad es positiva.
BlSotaD
A/(5;-wo)
* ♦ 5
O Al resolver:
I La característica del logaritmo decimal de un
A lS o lo l
Determine el conjunto solución de la
Determinar b solución de la inecuación
Si x es un número positivo que tiene en su itera 6dígitos en b parte entera, entonces logx es un valor que pertenece al intervalo:
Ef (2;5)
1.3x, e A/|x| = 5/2
C *u W el número de cdms de, pmdurto
T2 x 12* conociendo: iog7 = 0.84509 ylog2 = 0.301030. log3= 0.477121
Di (2:8)
Cf +
log¿(3 - |x|}
Se define la función f mediante: P
Bf
Sea A el conjunto solución de b inecuación
k flj 1(x ~ 1) = 2+ tag3(x - 1) 1 BJ4 C) 6 EJ8
A) 2 D) 7
Af {tog, ( 9/4) 12)
C) i _ 25
Determine el valor de ~x~ en:
Iog3=0.477121 A) 130 D) 133
además
E) _ L 36
35
primera cifra significativa tiene el número 0.0066-.?. sfc Iog2=0.301030y
y.
—0 . determine el valor de x.
(7X)19®*
¿Cuántos ceros, entre la coma dedmat y la
x>0
A) 2 3
BJ 15
D ) 2
E>
5
7 3
0 53
D)R
» R - [ - | 3]
O R - | - | :3}
LA ^
Sea: S = (o .b )w (c;d )eI conjunto solución
O
iflfc
DI
de la inecuación: ( l o g j x j - 3 + x ) (x + 2 )s 0 . determine el valor de T=¿d +bc. A) 3 B )2 CÍO D) -2 E) -4 Con respecto a la ecuación P(1 - jx| )=0. cuál(es) de los siguientes enundados son correctos:
^ Si VxGR:x, togi | ^ ^ j +2xbgJ( - ^ j + lo g j^ ^ - >
0 .e l
A /\ /~ X
«
intervalo d e y e s :{a ;b ).
1. Tiene 6 raíces: 2 son positivos. 2 son negativos y 2complejos conjugados.
2
7 T 4
\
obtener a + b Sea P una función polinomial de grado n. de A l -5 ? 31 ©
B)
O -— 31 31
D;
£// 31
0. Tiene 8raíces: 4 son positivos. 2 negativos y 2 complejos conjugados. . DI. Tiene 6raíces: 3 son positivos y 3 son negativos. A) Sólol D) I y II
coeficiente prindpal -1 y cuya gráfica se muestra en
Determine cuál de las gráficas representa
B lS ó b lI E) II y IH
C lS óblII
La ecuación P|x)=x' - nx+n -1 * 0 .
mejor a b fundón polinomial: n e Z * y n > 1. admite como rafe a x = l: determine b multiplicidad de dicha raíz.
P(x)=3xi +24x; +48x. B)
A)
A) 3 D) n deP
/
A) 8 D) 14
-1
B) 10 E) 32
C) 12
Determine cual de las alternativas representa
©
p f S ¡:a " - a " :;
-
E — a + b.
hfxjsstf+mx+n. m * 0.
Dt
es una de las raíces de:
xs -3 x -b . Determine el equivalente de:
mejor la gráfica de la función polinomial:
C)
B) 2 C> 4 E) raíz simple
A) 5
B)2a‘
D a-*
£•12
C)2a
Bj Determine la gráfica aproximada de
\
jO
:
f(x)=36x' + óOx1 +37xJ +10x+ 1.
\
©
E)
menor grado: cuya gráfica se muestra.
Si: x.. Xj.x« y
son b raíces de becuación
2)C - 3xs - l2x*+7x+6=0. tal que x-
O
Ai B jffx)= - x f x -2 ) * f x - 6)
#
C tffx)= - x f x - 2)*fx - SJ*
£
Si: x.. Xj y x, son rafees de la
x *+ 8 x-24=0. entonces el valor de
D )p x i= x fx -2 )* (x -6 ) B )ffx )= x fx -2 ),f x - 6 ) t
A) 120 D) -430
Determine b gáfica de b fundón polinomial:
f u T ^ + x - w ix + o 1. Ai
..
B) 240 E l-9 6 0
xf + Xj + Xj.es: C)480
Si: x.. x.4 y x,- son las raíces de b •
B)
2x- - 6x2+ 8x - 5=C. calcule el valor de:
„
1
1
ecuación:
ecuación: 1
x? -3x, +4 + x| -3 x2+4 * x£ -3x^+4
/C ^
A) X
X
—
En b figura adjunta se muestra b gráfica de b función polinomialy -P M .
2
B)
í
C) 2
[ S K P 1 1 X A
f f f O
D I
T A M
.L K K .
#
0
de sus raíces suman 1. entonces determine b suma de las raíces negativas.
E» 1
Si: a: b: c son las raíces de Ja ecuación: 2 k + x1 - 3x + 2 = O: determine el valor de: n 1 1 1 E= — +— +— ab ac bc A ;- 2
C;0
E )/
D >1
Siendo a. b y c las raíces de la ecuación: x5+ x + 3=0. determine el valor de T = aí +bs+cí . A) - 9 D) - 4
E D M E IO X E S K I / i m O A l
1**9
5
B) - 7 E) - 2
A} -T Í3
B) ~1 ~7 Í3
D) 1 -7 3
E) A
A) 4 D) 64
cj
Píx) de grado 2 y término independiente 1 Q {x )= íx -l}.P (x } + 3 x + l Si: Q (2 )=7 y P (l)= 2 . entonces determine b suma de los cuadrados de las raíces de b ecuación Q(x) =0.
C) - 5
d )15
mi
'1 1 1 -----+ ------+ x,x2 x?x« M i A) 12 D) 24
1)f i *J
B) 16 E) 28
53 24
n
ecuación: xí -axI + 2a x -b = 0: a> 0. sabiendo que su c.s.= {x.: x2: x<}. xf + x2+X3 = 2 1 y xz = 2x} * O .
El polinomio:
r
A )5 r a íc e s d ife r e n te s
mr
mn;
Ah 5
equivalente a Z es: A) 4i B) 8¡ D) 4 E) 1+i
0 6
SiZ e C Z + ]= l determine el mayor |Z
A)2
E)1 r a íz d e m u ltip licid a d 5.
Si b suma
•A) - 5 D >-2
C )-3
B) - 4 E) - 1
D )2
Ch I
B) 2 E) 5
raíces
de
la
ecuación:b
I.
plx)=0tiene dos raíces reales del mismo signo p(x)=0tiene dos raíces reales del mismo signo
II.
Todas las raíces son enteras.
III. Si: x.. x, son rafees reales de p (x )= 0 .
II. Si z se localiza en el tercer cuadrante. (1 + i)z se localiza en el cuarto cuadrante.
A) Solol D) Üyin
B) lyII E) Solo III
Q S oloIl
A) II y III D) Soblll
Sea P una función polinomial mónita de
grado5: adémas: P|l) = 3. P(2) = 5.P(3) = 7.P(4| = 9. P(5) = 11. además si Glx) =P{x) - 2x - 1. determine el número de raíces reales de G(x) = 0. B )2
C)3
D)4
C h 0,2
D )0 ¿
E )0 ,l
al
D )i
E)
i
4x- - 16x4 - 31x- + 145xx - 66x - 72 = 0: indique ei número de raíces negativas que posee. A )l
B )2
C )3
D )4
E )6
.** S f í l Sea b ecuación 2x‘ - x í - 7 x - 3 = 0. Si dos
B) 2 E) 6
C)3
C L A V E S D B A. S B M IN A R IO O S
C) I y UI
En b ecuación polinomial:
La ecuación x' - 12x - 5 = 0. posee 2 raíces
B h 0,4
A) 1 D )4
de p(x)=3x’ - 2x- - xs - 12x - 4. B) i
C) ly III
esetconjugatíode ^ + 4 i .determineelvabrde: Ct Cs E=(a - l )1 + ( b - 1 )4
Determine b suma de bs raíces racionales
E )5
cuyasuma es 2. Determine b suma de las inversas de las otras 2 raíces.
B) I y 11 E) Solo II
B) Solo II E) lyJI
Sielcomplejo Z = — + 7— — .ayb e R a + bi b + ai
entonces x, e (-3 ,-2 ) a x 2> 0.
La suma de dos de sus raíces es - 4.
A h 0,6
2
conectes:
plx) = xe + x - 66. cuál(es) de bs siguientes enunebdos son correctos:
II.
A )í
E )0 L A
Cuál (es) de bs siguientes enunciados son
E)4
Una raíz positiva.
^
D/>l5
III. a = -1 . siempre que Re
C )3
I.
A IS o b I D) 1y 111
2
C )l
I. Si z se localiza en el segundo cuadrante, -iz se localiza en el segundo cuadrante.
Se define b función f por: f(x)=x¿ - x - 1
A) 1 D) 4
2x-+9)é + 10x+ 3=0. están en b proporción 1: 2: 6. de los siguientes enundados:
m.
B)
de las raíces de b ecuación
Se define b función polinomial f como: las
8
Determine el número de rafees reales.
Bh2
Si
C)
D )1 r a íz d e m u ltip licid a d 4,
X- + pxs + 23x 4-15 = Oes-9. Determine b menor raíz de dicha ecuación.
Pl — + — + — . nr
C y esta definido por:
(0;6 )
Píx) = x-'-3x 4-6 x s + 10x£ +21x +9: presenta:
P(m) = P(n) = P(r) = 0. Determine el valor de n
€
, (l; lf . (2 ; 2 )! .(3;3)! Z = -— ^ — — • entonces el complejo
Dado el polinomio: P(x)=x£+3x£ - 9 si
-fm
Si Z
C )2 r a i* d e m u ltip lic id a d 2 y o tr a d e m u ltip licid a d &
B) 2 E) 12
E) 8
B )2 r a íc e s d e m u ltip licid a d
C) 18
Determine el producto de las raíces de b
Al 1 D| 8
C)32
m = l + y i. n=u + vi: (y. u. v ) c Z ‘ . si adémas se cumplen: m +n=a + 51 m .n = - l -4-13i siendo "a" un número entero comprendido entre 1 y 9. Determine el mayor vabr de "u". A) 3 B)4 0 5 D)6 E)7
E) 11
Determine el valor de a. si se sabe que las raíces de la ecuación 4x4-28x-+(2a+S)x¿- 14x a = 0. satisfacen ia rebelón:
B) 2
Sean bs números complejos:
Dados los siguientes polinomios:
A, 5
t— 12 iguales a 2. entonces: E = Jzu +wv|‘ +|zv- wüj es:
Dados bs complejos z. w. u. v de módulos
c c.
VA B
LA ENCJrj.sprKntA 20í¿\
1*90
frite*
y® - x
iy
I V I Determine x. si el complejo:
w jm m m o m R m m
z — (1 —i)1 [cosíx + 180°) +isen |x+180°)]:2. 0 i x < 360° es imaginaño puro: indique cuálfes) de los siguientes enunciados son correctos: Simplifique el número complejo
(6?8)4 /
2=
ir\27 ,
xe +
D.
x e {0P; 90°}
m.
x e j24C°: 270°}
^30
+ (l;V 3 )'
<4 ^ 31) A) 2P (l+ l) D) 2í:
I.
B) T ' (1+i) E) 0
C) 2“ í l - «)
A) 1y II Dlsóbfl
B lIylU E) sóbUI
C)IIyIU
h/3+i)‘ Determine: M « 4
V2 -V Í
(1 + J3Í)2
©
o
Dados los siguientes enunciados, indique
cuál(es) son conectos: A) 4 + 1
1 D )2
B) 2¡
« i
E) 1
Í K f Determine el valor de 'a ' de manera que se
Si z = (-2 + 2 V3 i)* =*z = 2:2
D.
_ A-ta S iz= 4e !6
m.
|z + l|
i 4
*1
»
o ,}
E) 1
C> 5
Determine el valor de z . sí se cumple:
fz-i)4 =(;2 -a-z-i )2
1
Al ubicar C> 3e 2
ik±
1+ ie 2
1 -íe 2
►x
©
Determine la gráfica del conjunto:
C )l y III A *= {z e C
|lm(z)|s |Re(z)|-l}
e2 l- « C )0
las raíces de
la ecuación
x¿: - i = 1. en el plano compleja determine cuántas de estas se encuentran en el tercer cuadrante. A) 22 B) 13 C)24 D) 25 E) 26
ik* D / l-e 2
1 -e
-+
determine: Re(w) A) -2 B) -1 D) 1 E) 4
*§
ik¿
Bisólo II El 1. II y 111
1
1-8
e 2
1-te 2
le“l = er
SI e es un raíz compleja de r* - 1 =0 y
w=
Aj
D|\y = y =x
I.
cumpla 2 = e*-';
y-
B ; l + 2e 2
Determine una de las rafees cúbicas del ( ¡ g
SeazenCtalque:z = ( J3 -1 ) —í
determine el valor Re{r2) Aj2a
B j-2 ‘*
C )2‘*
D b -2 *
E )2 ,s
Al resolver: )r = - 4 -J5 + 4 -JZ. indique cuáKes) de bs siguientes enunciados son conectas: L
La rafe principal esta en el 2° cuadrante.
Q.
Una de sus ralees posee argumento 285°
HL Sus rafees están ubicadas en el I o. 3o y 4o cuadrarte. A) sólol D) sólo Q
©
S in g u e
A) 1 + 2 D) - 1
Bisólo 111 E) II y ID
C) ly II
iU ÍQ - -% (—1 + ¡ ) í —1—V3) B) 2i E) 4n - 1
Cl 0
Aj
„
£
i
2
2
i
\£
* r -r ©
£
„
i
* - T -2
„
i
Cj-r —
( T + 3 if (1+51 Y1 (b+Ti'f Li- 3 J +U - 5 j +L5i— 7J +... "2n" entonces A) 1 + 2 B) 21 D) - 1 E) 4n -1
C) 0
¿Cuál de las gráficas representa mejor al
conjunto? A * {z e C
Im
E j-i
Seaz = 1 + i y con respecto a tas realces de
Vz se proponen bs siguientes enunciados: I. En el ler cuadrante están ubicadas dos de tales de raíces. • II. En el 2do cuadrante están ubicadas tres de las tales rafees m. En el 3er cuadrante están ubicadas dos de tales raíces. Indique cuál(es) son correctos.
Determíne la siguiente suma compleja:
©
A) sób 1 D lly ll
B) sób II El UyIII
C) sób III
La figura que mejor representa la gráfica del conjunto. A = {Z e C
1 < Im (1 z) s Red z)} es:
y
|Re(z)| + Re( z ) - |Im(z)|S1) bn
[5 im V v I« IO ^
#
TALLEM E
1*31
041
Indique la región que le corresponde al
conjunto:M = ( z € C (|z|£l-lm (R e(zl)sl)A
©
E D IC IO N E S A) 0 D) 3
Determine el número de elementos de E que
tengan parte real e imaginaria entera.
HMJ1tlÑ O Ñ l
B) 1 E )4
C )2
Se define b matriz A mediante A = (85)2*3.
E = |z/|z|£4,[eiz2|
A) 32 D) 35
y b matriz Bcomo
C)34
Determine una de las raíces de b ecuación: r - (2 +i)z - (13 - 13i) = O AJ 3 + 5i BI 1+21 C) 3 - 21 D) 1 +i E) 2 + 3i *-Re
Sx^-^-ÓiJx 1 + (3 - K )x + 1 + 3i = 0. si se sabe que una de sus raíces es real Indique una de las raíces complejas no reales.
©
2 i-l l-2 i B )l + ¿ O ——- D ) E)2 - Si 3 3
-z" definidos por el conjunto: (z1opuesto de 2)
A s (a¡j)3x4 tal que:
1 .......................
a ij *
J [i + j ; si
1
o . ll Bt
23
Cj
59
Di
2
E)
35
3
determine x. si se sabe que: (2x)' + A' = 2B. indique b traza de x. A) 5 BJ6 C )7 DJ 8 E)9 ©
Se definen la matriz A = ( a ^ ^ como
b. = 1+ j - 1 sea C = AB. Determine el valor de CL. A) 11 B) 18 CJ 25 D) 32 E) 43
íi-j;s i i * j
A = Jz + %z i Re(l + z) + lm(z - i) £ 1J
A
i32 ft
2i - j; si I £ j a,J = | i - 2j; Si ¡ > j V b matriz B ^ b - ^
Dada la matriz A. definida por:
Determine b regiónde lee números complejos
x es una matriz que satistoce b ecuación: (2B - A A T - 2 x = (x + B)\ determine trfx).
S 8
Resuelva b ecuación:
A>- 1 - i
■ -[í3
= j
Determine b suma de todos los elementos de A A) 6 B) 12 C) 0 D) 8 E) 4
Considere las matrices i2. i c j
Dados los siguientes enundados:
A = (85)3*3 tal que a, -
i-M>J
1. .Si A es una matriz cuadrada tal que A£ = 0. entonces A = 0. Q. SiAyBson matrices antisimétrica, entonces b matriz AB - BA es ansimétrica.
Zi = j
0.¡< j B = {*>5)3*3 tal que b;
n. i~ j i + j,i> j
m. Dada bs matrices A y B. si la matriz transpuesta del producto AB es una matriz columna, entonces A es una matriz fUa. Cuáles son correctas. AJ sólo] D) sólo D
B) i y II
1. n y ni
Ej
©
0 Si A es un conjunto definido por As={zeC/lm(z 2) s 2 A
3 71
z -2 z+2
3 a
A= 2 b
£lA
x
cjn y ia
C) 17
es una matriz 3
Im
ln>
B) 15 E) 42
Se define b matriz Ag*g =
simétrica, determine b matriz B = aA + bA + xA A) 3A B) 4A C) 5A . D) 6A E) 7A
£ Arg(z) < 2it
el valor de: T = m.. + m.. + n «4 v - rru. *• *• A) 12 D) 21
1 a+b 0 Si
Si M s l m j j ^ talque M = A B entonces determine
á y = -l;i = j a¡j = 1;» * j
Si B = A -Al. entonces determine b suma de los elementos b2„* + b.. te-i de la matriz B. A) 12 B) 14 O 18 DJ 16 E) 20 í l Dadas las matrices:
Se define P(x.y) = 2x‘ - 3xy + y*
Re
-2 1
A=
3
B
5
(4
2'
"1 -3 7,
. Halle P(A.B). e
indique b suma de ios elementos de b diagonal de P A) -33 B) -81 C) 33 D) 81 E) 13
A)tm Rp *
- 2y = Í[ 2X‘ x - :2y
0
R« S iA
ej
y - z l B = l bij= i ' i 0 J |b-,¡ = i+ j.
+
B = » C
i=i U j
" [ I
I]
Si A y B son matricesconmutables, determine el valor de T ** 2x —3y A )-1 B) O C)2 D)B B)7
rh b
-e a -» -
[c
d
y el conjunto definido
por M = {(a: b: c: d) XA = AX}. determine por extensión el conjunto M. A)M * ( f i ; O; O; 0)\ B)M = «O ; O; 1; 2))
4“
e n to n c e s d e te r m in e T = x
V ]:
Sean A y X dos matrices definidas por
3 Se define las matrices
r E)
S -[»
+ y
+ 2
C)M * {/o; 0; O;di!ayd e i?)
1**M
(
ÍV5&5
L A f l V n r x o r f t í i l A 2012]
D)M = { ( 0 ; l ; 0 ; 0 ) l c e R)
enunciados:
A) 25
B)
26
E)M
Ia . IL
D) 29
E)
30
"«■9* Dados
bs
- a . *= i
Dado el sistema de matrices: * lV.b «
A + B:- C = 1 A --B + 2 0 = 31 2A: + B + C = 51 Determine la matriz B A) 1 B) 2 1 D) 31 E) 121
2
Acerca de las matrices A. B y C. se dan los « — (¡ :mi determine el valor de la Tr (x-2).
L Si A no es nula, entonces A- no es nula. 11. Si B es
una
íXís:
matriz simétrica, entonces
SiAyBoonmutanentoncesAyB-conmutan.
U.
& A y B conmutan entonces A"* y B*: conmutan.
:)■
1
ri Vi * Determine la traza de matriz x tal que se
. entonces O - L
O
BMIylII E) !. II y III
Q ly lII
Sea ia matriz A =
fx* - x + 1)
C / fx*-x)* f - x * + x + l)D )2fx* - x ) * Bh2
f \ O')
x
Bt x
0 1
O
x
-1
0;
0 2
0 2
3 -1
0
o
1— »
O
Calcule
11. Determine la matriz E = A :e + A:T. si
-í
-1
7/2'
1/2
3
9/2
1/2
5
ni.
D -D -‘- =
1
:
200 - 1001 1 200 100 -200 0 | -100
“ I0° 200 1
200 100 384 ® [ 100 200 ]
y dado bs
3
'1
3 ,
Se define la matriz: A - 0 o n
A n =
o o
i
1 1 tal que 0
h
. n e Z ^ y dado bs siguientes
B) 4 ■3‘ E) 3*~-
C)-2
SiAesdeorden4x 4y |Aj = ^ ¡2 determine
A} 1
B) 2
D) %¡2
E) ^2
O V2
Si A es una matrizx de orden 5 tal que
Ia 3I+ i
= 42. determine el vabr de
h’ de modo que: (1 - h) |AT| + 8 |A2J— -15 a |A| e Q A) -33 B) -35 C) -39 D) -41 E) -43
Simplificar E = (|kl-A! + |kl-C|)(|kl-A| - |kl-C¡)
-5/2
5 5/2
3/2
3 7/2
3/2
3 7/2
A) sólo 1
B) sólo II
D) ly II
E) IIyin
1
-1
A = 0 1/2 0
0
-1> -1 1/4/
AJO
B i i A + CI
D )| A + 1 |
E) |A-C|
C) 2 | A -C [
Sean A y Bdos matricesde orden 3 x 3 donde
CuáUes) son conréelas: C) sób UI
|A| = 5. |B| = 2. Determine el valor de:
Iat -2 Bt Iat E=
Dadas las matrices A y B tales que 1 0>
tal que
SeaC = HAHK- | C | *0 .k eR
-384
D) I[ -384
i* j
Trz D-: = 3
♦
100 -100 * [ 100 -100H 384
'9/2
C) 6:í
B) 6:2 E) 6'{
A) 3D) 0
E )3
Dada la matriz: A = 0 0 2 : determine
A) 612 D) 6:i
o
3"
2
i i1 4
siguientes enunciados:
I.D + D-: =
* .
2
A B + AB' = 61. Calcule |A|
D)2
Sea la matriz: D = 1 3 4
••
b._ =
el valor de T =Ja 2
rl
3 0 0
E) 2040
n tal que b, +
X es una matriz que satisface la ecuación A = AX':. determine la traza de la matriz X: A) -19 B) -13 C)-6 D) 5 E) 12
f1 o lj
C) 120
E )30
Si A es una matriz definida por
0
-r
DJ29
la traza de la matriz inversa de A. A t -l B)0 OI
1 A= 0
0 1
1002
C )28
1 n Dada ia matriz A = 0 0 1 0 1 o
:x¿ halle M1
JO 1003 Dt x U
-1* o 0
fQ —x'1
j ¡< j o i =j - j• «1 > j%
Si B = (b j es una matriz cuadrada de orden
f\
O
entonces halle la TríA1* + A'’*"1) A)0 B)(x* -
1 A= -1
E íIy lII
C) sóbIII
'
B)27
yn eN . x**-x
m
D) 1y II
D) 1024
3' ' i 2' 2 X -f1 .4 7j 13 5
'2 Aj26
1003 Bt x
B) sóbII
Calcule el determinante de A A) 0 B) 1
00
A] ly il D) sólo IU
1003
A) sób l
Sea A = (a¡j)5_5tal que aij =
E) 2
Indique cuál(es) correctas:
C/x
A inversible entonces
¿Cuál(es) son correctas?
cumple la siguiente igualdad.
1003 A jx
M = A_: BA. A.
* 5
'1 UI. SiC = -1
enunciados
1.
III. Si M‘ =
K M ! Si x es una matriz que satisface la siguiente
siguientes enunciados:
siguientes
(con A ^. y B^J
n{n~ ^
Determine cuál* es i son correctas: A) I. ni y IV B) sóbl C) II y IH D) KII. DI y IV Eí SóbU
C) 4
C) 28
/ a
b c
y B= o
d
\o
o
si B es la inversa de A. Calcule T = a + b + c + d + e + f
e
\
JAB| A) 250000
B) 256000
D) 120000
E) 300 000
C) 100000
i f Sea A una matriz cuadrada de orden 4 x 4 con |A| = 2 . Determine el vabr de ](A:-A)*'(2A)'
(SE^U Xi tW F O TjXM.LKR 4tfi OU AJ2 C) 8 B) 4 D) 16
E) 32
Determine la matriz inversa de A* + I. si A cumple A" + A: + 2A* + A = 0. donde ) A| * 0 . Al
A1- A + I
D)
AZ + Z A + ! E)AÍ - 2A + 1 5 Si H =
B) A: + A - 1
\2 3 x
A J1 -V 5
B 11-V 5
D) 1 + V5
E) 1 + &
A
Q A *-A + I matriz:
C) 1 + V2
Entonces el valor del detíA) es: A )x * y
B ix y *
C/xV
©
Calcule el valor del siguiente determinante:
x
x+2
4
x
7 : es singular:
x -2
8
1
C )0
D ll
B )2
H
:il
q H
I
b g (3 5 -x 3)lo g (5 - x )x
x e Z / 3x + l
C )6
* - ( T
D )6
™ J -
E j3 6
U. ID.
B) IyII ElIlvIU
C )ly m
A= 1
x
0
0 2x •
-1
-1
-5
1-4 -3
-2
-20
5 -4
1
-15
B /41
. B = x-1 3 de
c
10
1 4
20
10 0 0
042
D )4 3
2 0'
3
4 6 9
2
1
7
6 7 2
2
1
8
4 5 5
x.
tal
A) 0 D) 208
que
H.
a c
b
3
2 1
8
6
4 2
9
9 9 6 3
8
8
8
8 4
5
5
5
5 5 D i 120
-4
3
1
0 - 1 - 2
2
0 - 1 - 2 - 3
4
2
1
0 - 3
5
3
2
3
B )4
c
=0 a sob n
14 3
3
3
31
3
4
3
3
3
3
3 4
3
3
3
3
3 4
3
3
3
3
# "k\ para que la matriz A = inversa.
- 1N 0 2 k : no tenga 4 0 -k 1
E i 240
3 4 016
D ilO
l log2 log22 log32 log42
C) 154
1+a
1
1
1
1
1 -a
1
1
1 1
1 1
1+ b
1
1
1 -b
i l i log20 log200 bg220 log2200 bgs20 bgs 200 log420 bg4200
A jl2
Bi36
Iog2000 log22000 log32000 log42000
072
E )8
l Iog20000 log2 log3 bg4
Di44
Bi288
SSA= (a-|j)n.ndefinido por:
O 216
a
b o
o
.... o o
o
a b o
.... o o
o
o a b
.... o o
A=
0 0 0 0
2 3 4
0 1
4
6 0
3
2
1 0
5
B h íB O
A la1x x* . calcule el IB
o
o
Blata x xi*
a
b
o
a
Cia*(a + xj*
D ita + xix* Bita - x lfa + xi* Calcule el \&ior del siguiente determinante:
0180
D i 189 E J2 0 0
Si A es una matriz definida por
x-y
x+y
x+y
x+y
x-y
x+y
x+y
x-y
x-y
x+y
x-y
x-y
x+y
x-y
x-y
x-y_
0
-1
0 0
ax
a
-1
0
ax3
ax2
ax
a
-1
ax4
ax3
CM 3
A f -1 8 9
Determine el mayor valor que debe tomar
'k
D i ¡2 8
Indicar el valor det determinante.
B) 62 E) 242
-12
b a
B) l y II E) LII y 111
0
«
Si B es la matriz definidad por: 1
c
E ilB O
=0
a b e
A] sólol DllylO
E )2 6
-8
064
b o b a
-6
B}64
A j6
para a = ^72 = ^108 . A) 6 B) 36 D) 1296 E) 65
a a a
a b
4
2 -2
E )4 4
Determine el valor del siguiente determmante:
a b e
f f l.
D )1 8
Calcule elvalor de! siguiente determinante:
C)-2
a b e a =0
+ 6 = ab
5 6 7
P(x) = ax2 + bx + c Qíx] = x1 ' -1 Tienen una raíz común, indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos:
b c
A j6
14
Los polinomios
L
2 x-l
Determine el valor delsiguiente determinante:
' -1
Determine el valor |2A- B|= 8x: - 2 0 x - 4 . A) 2 B) 1 D)3 El -3
6
A i4 0
Se define las matrices: -l1
6
Olio
-1 -5 0 -5 Determine: a + b + a: +
j(At)*A: |=cosí a + 1
2
x+1
De la siguiente igualdad:
As| = . W a - I E
1
1 3
calcule el valor delsiguiente determinante:
-x-
eos * ± cuáKes)
traz (A*:) ** 2cos a + 3
A) sóbD D) sóloUl
4
B )1 0 O
Determine el número de elementos de fie A) 0 B)1 O2 D) 3 E)4
de los siguientes enunciados son verdaderos. I.
2x +2
2x
De cómo respuesta la suma de estos valores. B )2
A J9 0
Se define el conjunto A mediante: 2x x+1 -1
la matriz dada es singular.
»
3
Calcule el valor delsiguiente determinante:
l l Determine los valores de "x" para los cuales
i >
1 2
B/-39
Ab40
"K1 b,H:31°I-M di
A ¡0
E )l6 x y *
su valor del detíH) = 4.
B t-6
A=
D )8 x * y
1 1 1 1
Determine los valores de x para los cuales la
f\ -2
determine H*. de cómo respuesta la suma de dichos elementos de EF. AbS
RUJIlÑItS)
1*88
ax
a
a
-1
0
ax
a
ax2
0
Ciaría + xi* B lata x x i * A /o 'x jt 4 D)ta + xix* Bita - xlfa - xi*
Bil
AjO
im C)2
L 1 Dj3
EJ4
Sea A una matriz cuadrada de orden n cuyo
tenga infinitas soluciones}. determine el número de elementos delconjunto A(n(A)) A jí
Al resolver e! sistema lineal:
determinantes es d (d x 0). Si B = A ' y la matriz C se obtiene multiplicando por dala tercera y cuarta fila de la matriz B. Calcule el valor del det'ABC). Aid" B)d"** Cid1"*9 D )d B u l* » * *
Bi2
(m2 + l)x + (m + l)2y = m - l
son correctos: I. Cualquier determinante ja.. de orden superior a 2 y tal que aL = i - j. es cero.
cx + az = b
As + A x + A y = 2m(3m + 5)
II.
S¡ m = 0 el sistema es incompatible.
A) sólol D) lyII
cy 4 bz = a Determine el valor de x: + 2bc
Si ]A| = |B | ->Tr(A) = TrlB)
II.
Si AT•B*; es no singular -> A-**es no simular.
UI. Si A
1 4
6
3
6
7
5
5
2
3
6
5 - 3 - 5
1
é
A) n! D) (-l)-(n +1)!
C) sólo ni
♦
n, i ^ i n c N C} (-1)
-•n
ax + y = 3 x-by = 4
Determine el valor de a + b si el sistema tiene como conjunto solución: A){(!{!)}
B )2
C hl
D )3
E )-2
Determine los valores de a . de manera x + ay = 1
que el sistema
tenga solución.
ax + y = a A ja e R
B )a e R -[-I)
D ja e R -{-l,l\
EjaeR*
C ja e R -{l)
l » i t i Determine los valores de a. para que el
sistema fineal
x+ay = l x-y =2
a2 . h2 .2
E) a +b ~ c
2bc
Si el sistema lineal
y dados bs siguientes enunciados
2x + y + 3z = 3
I.
Si a = 1 el sistema es indeterminado
x - y - 2 z = 2a
D.
Si a = -2 et sistema es incompatible
x 4- 2y + 2z = 4a x+y+z=3 es consistente, entonces x •y •z •a es:
Cuál(es) son correctos: A jeó lo I
B )1 y 11
D jIyU l
E j¡, ü y III
A j4
B j-4
CJ8
tencp soluciones positivas:
| Determine los valores del parámetro m da
El siguiente sistema de ecuaciones lineales:
(l-m )x + y - z = 0
( m + l)x - 3 y = 2m = > 4 x - m y = m + 3 esindetermmado para m = k. e incompatible para m = k.. Determine elvabrde J=2k.+3k. • * AJ -6 B) -8 C) -10 D) 4 E) 2 .*Ei« Un tanque tiene dos orificios de desagüe. Se
2x - my - 2z = 0 x - y -(1 - m)z = 0 presenta soluciones diferentes a las triviales: Ajnt = 0 v m = I
B jm ~ ~1 v m = í
C)m s O v m = 2
D )m = I v m = 1
E)m * 0 v m = 3
abren bs dos y cuando llevan una hora vaciando, se obstruye uno de ellos y tarde el otro 2h12m en vaciar el resto, fero si hubiera sido este orificio el obstruido, el otro hubiera terminado de vaciar el estanque en 2h45m. ¿En cuántas horas hubiera podido vaciar el estanque cada uno de bs orifidos? A) 2h: 3h B) 4h: 5h C) 3h: 4h D) 5hy6h E)4hy6h
Al resolver el sistema: x-3y + z = 1 - x - 2 y 4- z = 0 1 2 x-y-z = 2 usando el método de cramer. Determine el valor de E = 3x 4- y - z AJI
Que valor debe tonar ~k~.en e! sistema lineal {k + Dx + 2y = 3 ló í-(k -2 !y = 4 para que sea inconsciente 3 A jO B i^ C )l
B )2
C )3
D) (—x , l )
E) (-x.1/2)
C) (-o c ,-l)
J(a+b)x +(a-b)i -b)y = 42 ¡ ¡ ¡ 3 Si el sistema lineal: |{2a+b)x+(3o_ 2b)y = 113 admite como solución a: x = - 2 a y = 5. determine
4x-3y+z = 0 6 x - l l y + 21z = 0 3
DJ 2
De bs siguientes enunciados: E j2
Un inversionista tiene S80.000 en inversbnes al 10% y 12% anual, ¿cuánto invierte en cada una si obtiene ingresos anuales de S9000? Ai$50,000 a l I2*í 330,000 a l 10% 0 9 2 5 ,0 0 0 a l 10% $65,000 a l 12%
el valor de T = a + b
E j$35,000 a l 10% $45,000 a l 12%
I.
Ei sistema posee solución única.
II.
El sistema es incompatible
III.
El sistema es indeterminado
Cuál(es) son correcto: A) sólol D) sólo III
B) sóbII E) sób II y UI
Si A = { (a.b) e R: el sistema lineal: x + y + 2z = 3
by + z = a
C) Iy II
Calcule z al resolver el sistema x +y a -b
x 4- 2y - z = 1
D )4
Apártir del sistema lineal 3x + y - 9 z = 0
D j$60,000 a l 10% $20,000 a l 12%
B) <-x,0 )
EjlG
O s ó lo II
B j$45,000 a l 10% $35,000 a l 12%
A) R
D h8
t
U l= J
B)(-l)'n.' E)0
Seaelsistema: •
Dado el sistema lineal: ax - y = 2 - a
2bc
manera que el sistema homogéneo:
Calcule |Anxn si A = (a j (a j = •
D ) ~a " b ~ c
(A| = 0
B) sólo II E) ly UI
u2 M
_2
III. Si a * 0 el sistema es compatible
Indique cuál(es) son correctos. A) sólol D) IIy III
C) sólo ni
2 x -(a + l )y - 2 , a € R
1.
2
B) sóloII E] IIyin
» , b2 4c2 - a 2 2bc
2bc
C) sóloIII
los siguientes enunciados:
.a x 0. b * 0. c * 0
III. Si m = -1 el sistema es indeterminado.
m. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n con AB t- BA. se cumple que |AB| =¡BA|
SeanA. B yC matrices de orden nxn. Dados
E)4
bx 4 ay = c
L
II. Si A. B y Cson tres matrices de orden n tales que |B| * 0 y |AB - CB |= 0 entonces A =C
B) IIyin E) 1.11 y III
D )3
{m + l ) x + (m - l)y = m +1
Cuáties) son correctos:
A) sólo 1 D) ly III
OO
Sea el sistema lineal:
De los siguientes enunciados: Indique cuálles) de tos siguientes enunciados
¿0 / 2)
= a+b
x -z a+b x -z
= a -b
U)
(2)
a+b (3 )
z-y
a -b
E j5
S K P ÍM
N j \ Í U
#
D
A) ab
B) (a-b)s
D) ta~b):
I f f lh l ü s
0 4 $
Q as - b*
A) sólo I
B) sólo II
D) IyIII
E) Iy II
4 „ =5 2x-3y
15 2x + y
2x-.3y
=5
D) 72
Entonces el valor de T = x + y + zes: A) 3 B) 8 C) 12 D) 14 E) 16
6 y determine (x - y + z) A) 15 B) 16 D) 20 E) 25
del siguiente sistema: xy 5x + 4y xy 3x +2z
B) -3 E) -5
Entonces, calcule el vabr de T =
A) 0 D) 3
2y
B)
CJ10
’
2
z2
2
2 xj + X 2 + X 3 + X4 + X 5 = 2
X1 + x 2 + x 3 + 4 X4 + x 5 = 2
X1 + X2 + X3 + X4 +5x5 Indique el valor de x.: B) - 2 E) 2
Si:
1 0 An*n — 1 ¥ 9
1 0
1
1
*% 9
1 •»
1 1 . .
0
además b eR \ x e R' lineal: /fii = b y
%»»» 1
1 1
respecto al
B) 1 E) 4
No tiene solución
0.
Tiene solución única.
------ B = 1-xy • 1-xy ’
a-b
E)
C)
ab-1
a-b a b -1
1 a b -1
x-^xy + y2 = 105
BJ 8a^
C)2
D)
E )3
9 Sean a. y. z e R‘ tal que satisfacen el siguiente
Z*=y2*
sistema:
2Z = 2(4X) x+y+z=16 C) 125
Entonces determine el vabr de:
A/6
x + Vx2 - y2
x - V x 2 - y 2 _ 17
x - jx z -y2
x + V x 2 + y2
B sistema posee 4 soluciones reales.
D.
Elsistema es inconsistente
II.
El sistema posee solución única.
B 1D |R
C)I. IIyl!I
E D DÉ m m a w m w a............................. m m r.Sliir 5-2 Q B EI E I O B C 1H O H Q kl m
2
=
,m
?
B ) 2 8
C ) 5
;m
m
:
fc fiM l3 ll* lK á il3 Í1 5 P lia iS iB 8 M 1 1 3 i ü á l l g :S S te i;W © & ; W i
D D Q B K IO O D I sa$ g& . «r-® & s
n E S K U D r a a iiin im
es (xf . y.) determine: 4xí - 2y,..
aam m m wm aM m D ) 6 1
l
C
\ m :m
*
B I C |B I D Q
B K 9 Q D X 9
;35®.T6«3r7»38
BJ Iy III E) IIyin
4
11a
22
( x + y)1/2 - (x - y)1' 2 = Í ^ - V 2 - y2}1/2 U 4J (x + y) "1
E )12
C i B |E
El par ordenado que cumple en el sistema:
sistema
D )1 0
m í |V2
Cuál(es) son correcto: A) sófol D) I y 11
C)9
B )8
C L A V E * D E L S E M IN A R IO O S j¡ ¡ | | E E
IB. Tiene infinitas soluciones Cuái(es) son correctos
2
I0S3y +10927 z + ^927 x = 5 log4z + lo g ^ x + lo g ^ y = 5 Determine el vabr de x: A) 2>/2
0 2
L
Dados los siguientes enunciados
1.
0
tag2 x + loga y + log8 z = 5
x(x + y) + y x 2 + xy + 4 = 52 Dados bs siguientes enunciados:
C J-l
0 1 1 1
2
B)
ab -1
C )4
Al resolver el sistema:
x2 + 3x3 + X4 + X5 = 3
A) - 4 D) 1
100
=
T = antibg Vx + 3cobgy + bgx(lo&z|
xj + 2x 2 + x 3 + x 4 + X5 = 0 xl +
z
"176"
Al resolver el siguiente:
Calcule el vabr de T = x - 2yr A) -125 B) -131 D) 131 E) -124
( ¡ 0 Al resolver el sistema:
y
b-a
2x + y = 2
->»
f iÁ
Determine el vabr de T = x •y A) 36 B) 12 Cl 18 D) 32 E) 0
x3 + x2(y +1) + y2 + xy + 2y +1 = 0
EJ2S
D ) ~2
y2
Dado elsistema:
Xo-Vo 25
O
x2 + y-Jxy = 70
Determine la solución real x e y del sistema: 15
x2
0 -2
Determine el vabr de T * x + 3y A) 2 B! 3 ■D) 5 EJ 6
6
2'
ab-1
en e! siguiente sistema de ecuaciones no lineales: Xí _ y S _ X + y = 0 .........(I! x + r - 2-o (2:
2x2 - x y - y 2 = 5 - 2 — 3y + 52
23
b -a¿
A)
Determine cuántos soluciones racionales x2 - x y + y2 = 3 presenta el sistema:
=8
y3
0 2
x2 +xy + y2 = 13 Sea elsistema < x+ y = 4
=6
U Ñ
indique el valor de “y".
•*53^'
y^: z,)} es el conjunto solución
JM
2
D)
C) 17
R M
Resolver elsistema: a
B) 1 E) 4
A) -4 D) -1
E S
y**;*
Determine la suma de sus soluciones enteras
Resolver el sistema x + y = y + z +4 z + x - 8 =
S iA =
C) 45
Determine cuantas soluciones reales tiene el
1 11 13 x + y = — x y z^ x + z = — xy2=* + x = — xyz
X
determine el vabr de la suma de las cuartos potencias de una solución: A) 81 B} 16 C) 1250 D) 625 E) 0
E) 80
A) 0 D) 3
O
x3
x
x5 -- yu5 = 992 sistema:' x -y = 2
Resolver el sistema en R
M
Al resolver el sistema no lineal
el sitema de ecuaciones siguiente: x + y = 12 x: + jr = z A) 6 B) 36
SielC.S. * {(x,..y,.)} entonces 4x,. + 9y,. = es: A) 17 ' B) 21 C) 22' D) 26 E) 31
C
C) sólo in
Determine el mínimo valor de z que satisface
Resolver e! sistema:
A}5
M
E) a + b
2
5 2x + y
E M
E ) 7 2
a
i a
n
n
o
o
í MCMMM
fo to
SEPTIMO SEMINARIO 01. Sean los números complejos: Zi = 1 - i; z2 = - i; Z3 = - & - 2 . Determine el número complejo z y dé como respuesta su parte real: Z=[ Z ,3 + 2222- 3 z 3V 2 [Z ,.Z 2.Z3] A) 4 D)-1 02. Determíne
B) - 3 C) 2>/3 - 5 E) 0 V en la siguiente
igualdad A) 1
C) e
s il
D)3e E )e 2 03. Determine en forma polar el número complejo:
z-
f - i4
A) 4(senx + ¡senx) B) 8(cosx + ¡senx) C) 8(senx + icosx) D) 4(cosx + i senx) E) 8(senx + i senx) 04. Determine un número real x que satisface la ecuación. (senx + ¡ cosx)4 = senx - i cosx A)-x
B)
°)f
E)x
c ,f
10
05. Si n = 3k, k natural, calcule P
V3,
E=
(1 -
radios vectores es - . 4 II. 3 x £ R / |e tal< 1. III. En la ecuación Z 30 = - i, la raiz principal es e1"'20. Entonces, el (los) enuncíado(s) verdadero(s) es(son): A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I y ifl 10. Si z e C tal que z30 + i = 0, indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos. I. La raíz principal es cis(15°) II. Una raíz es cis(123°) III. En el IIIC existen 7 raíces. A) solo III B) I, II y III C) Iy II D) solo II E) solo I y II 11. Si Zt; z2; z3 son las raíces cúbicas de un número complejo tales que . sus afijos forman un triángulo equilátero, entonces determíne el zf.z2valor de T = Zí Zj + Z ^ + Z jZj + I
- L * , B) - 2 E) 3
C )0
2(1-I)s (cos0-Isen0)® A) 2e(*♦»> B)3e (*-6p C) 2e ‘ 1 5 8
D)2e
A)- 2
B )-I
n i
E) 2
A
f J
wK
r
O)
C)
►Re
E) 16. Si z = x + y i. Determine cual de las siguientes gráficas representa menor a a rg (z+ l) = - j
C )0
12. Si 1, w, w 2 son las raíces cúbicas de la unidad, determine el valor de: E = (1 + w - w ^ O +w 2-w 4)(1+w 4 - w 8) (1 ♦w 8- w 1^ ......18n factores. A) 2 18n B) 2 C )2 16n D )2 10 ,u"n E )29n 13. ¿Qué valor natural de n verifica la ecuación en los complejos, siendo w una de tas raíces cúbicas de 1 . Y - 3 w +5 w2'
E) 4ea,*~G, 07. Sea z un número complejo que cumple: z42 +3 z2 + 1 = z, calcule -21 z en el primer cuadrante. A)- 4 B) —2 C)-1 D) 2 E) 4 08. Indique una raíz de la ecuación 6 ' 2z + 2f z e C z - i
A ={z e C /|e '2 U l ) Im Im
2
ijz f .(eos o +isene)7
s ig u ie n t e
15. Grafícar la región
Im
f— \í>
2
A)- 3 O) 2 06. Determine: M=
/
CÍS300-2 CÍS300+1 A) B) cis300+1 cos300 -2 CÍS300+1 ds300+1 C) D) fUCÍS300 -i cis300 -2 —1 cis30Q+2 E) cis300 $ 09. Se proponen los siguientes enunciados: I. Si z, = 1 + i y z 2 = (1 + i)ew", entonces el ángulo entre sus
1 -W
A) m
Im
” , =0 W B)3 C)4 E) 6
A) 2 D) 5 14. Reducir (1 +w)(1 +w 2)(1 +w 3)(1 +w 4)(1 +w5) E= (1 + w - w 2)3 + (1 - w + w 2*3 ¿)
«•-i
D)
♦Re
C) - 1
5
3
E)
iJ l
1437
valor del área definida
A) - 8 B) - 6 D) 2 E) 4 26. Sea la matriz
IRe(z) I + Ilm (z)| <1
A=h L / a r ¡ 8a(a' E)
r zeC/lm z + Z)
20
lm(z)
lm(z)
Se proponen los siguientes enunciados: I. Sea P(x) = ax3 + bx2 + ex + d, a * 0, d * 0. Si P(x) = 0 tiene tres raíces reales, entonces P :;h
►Re(z)
►Re(z)
B)
A) lm(z)
lm(z)
►Re(z)
19. Determine la región de todos los números complejos z = x + yi para los cuales se cumple que: l°gi; 2 |z - 2|> k >fl1/2|z|
►Re
► Re
tendrá las mismas raíces. II. Todo polinomio complejo siempre tiene raíces complejas y sus respectivas conjugadas. . Sí la suma de (as raíces de una ecuación polinomial es racional, entonces cada una de las raíces, también es racional. ¿Cuántas son falsas? A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) 1,11 y III Sea P un polinomio complejo cuya regla de correspondencia esta dada por P(z) = az3 + bz2 + cz + d, indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos: I. P puede tener una raíz compleja y 2 reales. II. P puede tener 2 raíces complejas diferentes y una raiz real. . P puede tener 3 raíces complejas. A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I, IIy III 22 Halle “a + b" si P(x) = x2 + 6 x + 2 ix + a bi tiene raiz cuadrada exacta. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 23 Halle la raíz cuarta de - 8 - 8 ji i que esta en el segundo cuadrante A) - 1 + >/3¡ B) - J z + i 2
D ) - S +i
2
E) - £ + * í ,
' 2 2 24 Determine “x + y" si el complejo: z = a 2 + 3ai + 6 a + x - yi tiene raiz cuadrada exacta « i E) 2 ►Re
25 Dado el siguiente polinomio
Determine el valor de E = 822 + 832 —954 ~ 2 A) 0 B) 1 D )3 E )4
4
0
•
SI l*j
C) 2
27. Dada la matriz simétrica: '1 2 b' A = x 5 a , determinar la tr(AAl) 0 2 3r A) 20 B) 32 C) 51 0 )6 2 E) 73 28. Determine la traza de la matriz simétrica a 5 7 A » a + 2b 2b 3c+a 2b + 3c 20 3c A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18 29. Determinar traza(M) si se definen las matrices T = < tn W ti = 2j - Í . sí j > i; T es antisimétrica. t t 1 -1 f w = - y 6 z -1 z -1 1 >
2
o
\
C) —u‘
E) 2x u2
5 0 1 5 1
si i = j
►Re — ^u*..2 B)
M
C )-5
1
18. Grafique
o y g P
K>
D)*u*
f r A
0
8
C
0 N 1b W
17. Determine el por la región E = ( 2 £ Cl ; lz -¡l s i ) * ’
V
P(x) = x4 - x3 +2x - 5, determine el valor de P(1 - i).
D)
C)
R
1
l
W es simétrica - 12W + W *+ 2 9 1 = (M*)! - 13(W*)* - 29(TV + 1. A) 9 B ) 11 C ) 13 D) 15 E) 18 30. Definimos las matrices
=i • P = MH = (P|)4x9 Calcule: (Pm + 25)(Pii + 11) A) 130 B) 125 D )110 E )100 31. Dadas las matrices As C*
'1 2
0
-1 1 4 -2
C) 115
Ó 1 B= 3 -1
1
3 -2 Determine tr(X), si la matriz X, satisfacen la ecuación matncial: CX + AB 1 = BB\ A) - 36 B) - 30 C)-22 D ) -2 0 E) - 1 8
f
M
£ M
0 W
* JW
4 P Z %
T T Z &
J H
t
g Z T fW
32. Dado 4 A= ; B= 7 :h =c : 3 Determine X en la ecuación matrícial 2(X - 3A) = (B - C) + 4(X - A - B) 1 2>
6 4lc) -5 3 2 OJ ' 0 -1
O ^
1 4 1 3 »
38. Si A = ( a j ^ , a^= 1 ; 1 s i s j s n , determine la suma de los elementos de A". a\ rsK _(H2 A) n.2n B) ri C) n D) rT} E) n"-2 39. Determine el menor n e N tal que An = 0 .0 matriz nula y donde 0 10
33. Si M, C y S son matrices cuadradas de igual orden ¿cuál(es) de los siguientes enunciados son coméelos. I. Si (M + S)2 = M 2 + 2MS + S2 entonces M y S son conmutativas. Si C.S = 0, entonces C = 0 ó S = 0. Si MC = MS entonces C = S. A) solo III B) solo II C) I y II D) solo I E) II y III 34. Determine x.y en la ecuación matricia! 7 0 3' x 0 5 r 51 0 2 ' 4 5 2 0 3 4 — 3 15 18 0 -51 / 3 0 6 3 0 y. 136 \ B) 66 C) 21 A ) - 66 D) 42 E) 46 35. Dada la matriz 0 1 0' A = 0 13 1 -1 --1 -1 Determ inar: A 25 B )0 A )- A C)1 D) A E )A 2 i 1 0 -2 36. Dada la matriz A = 0 1 0 o o 1 Determine la matriz A 215 1 0 -215 '1 0 -430' A) 0 1 0 B) 0 1 0 0 0
1
0 0
1
4
0
01 0
1 0 215
C) 0 1
0
D) 0 1
0
0 0
1
0 0
1
( - 2) o E) 0 1 1 0
0 0
215
1
37. Sea la m a triz'A = ( a ^ tal que 1 . sii* j hallar la suma de v 2 . si I = j ' los elementos de la matriz An. A )2 n+1 B) 5(2") C) 2(3") D) 4(3") E) 5"
1 1 1
A=
00
10
0
00
0 1
0
00
0 0
48.
a
B, dar como respuesta la suma de sus elementos. A )- 1 B )0 C ) 1 D ) 2 E) N.A. 41. Si B = P“ AP, V '1 8 ' y P = donde A = f 5 4 U 1/ ,6 -7 , calcule la traza de B. A )2 B )3 C) 4 D) 5 E) 6 Í 0 -1 42! Sea la matriz B = , halle ia 1
49.
1
suma de los elementos de la matriz. (B 34 - 2 B9 + I) '1 A ) - - B ) - - C ) - D) - E) 3 7 ' 7 7 7 43. Al determinar A -1' s e a K calcular: a + p + y + obtiene: J H s i: 16 '0 2 15 2 0v!5 'i r A= 11 V lo 0) (0 2J O - r 10 B) -2 “12 A )-Tu E) -2"® D ) - Z* I: matriz
1 3 identidad de orden 2, determine X a partir de (AXA-V=3(A-1), e indique la traza de X. B) - 1 5 C)-10 A)-2 0 E)3 D) - 5 0 01
45. Si A = - 1 2 0 calcule traz A -1 1 2 3
) i
«i
0
1
. B» 1 2
0
0
4 dando
a1 1 0 m como respuesta la traza de la matriz incógnita.
47.
1 f 2 A= y b = , determine X1 2 1
D
1 2
matricial:
1 0a
A) 10 D) 14
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 40. Si X es una matriz solución del sistema Ax = B, donde
1
0 3
0
A= 0
»
46. Resolver la ecuación (AX"1B)t = AB, donde
0 0
44. Si (A + I)* s 1 0 430
/ .'« ¿ ¿ j í í
50.
51.
B) 12 C) 11 E)0 'a b c Si A = d e f y cumple: no o h A 2 - 5A + 5I = 0. determine traz(A - 3I)"1 siendo a + b + c = 1 5 . A) 7 B) 6 C) 9 D) 10 E) N.A. Si A es una matriz cuadrada no singular que cumple A 3 = 21, determine la matriz inversa de A 2 + A+1 A) A + 1 B) A - I C) A +21 D) A - 2 1 E) A + 31 Si A, B son matrices cuadradas del mismo orden e inveriibles, despeje X, a partir de: A(XB + B-1)B = B A (A-1 B"1 + A-1); si B - A = I. A) A” 1B“2 B) 2A“ 2B“1 C) A-2B_í D) 2A‘‘ 1b_2 E) 2(AB) a+ b a -b la 10 calcular Si )c a - c+ d c -d A) - 4 0 B)-30 C)-20 D) 10 E) 20 Sea P(x) = IA | , donde A = l a * 2b
|, además P(1) =
Determine el v * 5Í E =— abe 6 . A) 2 B) 3 E) 10 D) 7 52. Sea A =
27X2
3
C )5
, donde I a I =27,
. 9x 6 , entonces determine el valor de E = 36x2 + 1
A) 12 B) 13 C) 15 D) 16 E) 17 53. Sea A una matriz de orden 4 x 4 con |a | = 2 , determine el valor de E = I I A I A 21 |A 3! C ) 2 14 A) 2 2 B) 2 13 15
D )2
E ) 2
143»
c
54. Sea A = (a ^ W Determine el valor de: |a ,| t I t aT| I , si |a | * 0 1 'lAl [1-n2 B) 2"|A [
A) 2n2 |A|"2 0 C) 2|A|
«2.n1
D) 2 ^ |A | "J'n
E) 2 ^ |A|V h ” ’ 55. A es una matriz cuadrada de orden 3x3. Si se intercambian la primera y tercera fila se obtiene una matriz A;. En A i a la primera fila se le multiplica por 3 y a la tercera por 2 obteniéndose la matriz A2, de manera que det(A2) = 66 . Hallar el det(A‘ ’ ). A)-11
B)- —
11
C)
33
E) 11
D)? 56. Si abe * 0 , hallar en valor T=
de
—! ^ L sabiendo que abc|B| H c.2
- 2bc c2 b2
A*
- 2ac
b2
a b c B= b c a c a b A) - 6 B) - 4C) - 2 D) 2 57. Determine el valor de la “k" si: a+b b+c c+a a p+q q + r r + p = k P x+ y y+z z + x x A )-l
E) 4 constante b c q r y z
B )-1 C) j D) 1 E )2
rin2 In4 In 8 58. Si M = In8 In256 In512 Jn4 In16 In64 , fln1/2 coln4 coln16 ln1/4 coln256 coln1024 ln l /8 coln32 coln128 Nota: coln (x) = colog«(x) A) 3ln2 B )4ln2 C) 5ln2 D) In ^ E) ln22 59. Determine I a I , si 1
1
1
A= a b c a2 b2 c 2 A) (a + b) (a + c) (b + c) B) ( a - b ) ( b - c ) (a + c) C) ( a - b ) ( b —c)(c —a) D) (a + b) ( b - c ) ( c - a ) E) (a - b) (b + c) (c - a)
60. Sea M = { A / det(A) = 0 } 70 72 z D onde: A = 105 108 z+ 3 140 144 z -3 Determine q(M) A) - 3 B) 0 C )1 D) 2 E) N.A. 61. Dada la matriz A = [ a j* * donde /• • . V
i;
i> j
1;
i = j, detenmine |a | :
•
»
1
1
1
0 - 1 0
65. Si A *
1
1
3 3 3 3 B )4 E) 32
1 1
C) 8
1
1
1
a4 a * 1 a8 a *-1 a12 a12 a18 A Determine (1 -a ) 9(1 +a) 3(1 +a + a2)2
C) 45
A) a 10 B) a 13 C) a 15 D) a 18 E) N.A. 69. Indique la suma de las raíces de la ecuación:
1
a3 a6 a9
1
1
1
1
1 1-x
1
1
1
1
1 1
2-x
1
1
1 1
1
3 -x
1 1
1
1
1 4 -xj
T
1 2 0 0
3 0 1 0 0 4 1 0
C) 324
4
3 6 10 1 4 10 20 A) 0 B) 1 D) 3 E) 24
=0
B) 3 C) 6 A) 2 D) 10 E) 24 70. Si B = (b^na,, tal que + b| =
l
2 ,l = i y AB + AB* = 61, halle | a | . 0 ,i*H A) 3 B) 2 C) 2n D )3 n E) 6 " 71. Sea A = [a j una matriz de orden x+m;i = j V , si a ,» determine x ;i*j IA I. A) (nx + m)m 2 B) (nx - 2m)m 3 C) (nx + 2m)m4 D) (nx)mn E) (nx + m jm 0-1 72. Determine el valor de “a" de manera que el sistema x+ay*9 sea inconsistente. 2x+3y = 10
calcule | B | si
1 1 1 1
3
3 3 3 4 3
1 1
B = 3A 2 A) 115 B) 232 D) 410 E) 512 66 . Determine el valor de 1 2
67. Calcule 4 3 3 3 4 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 A) 2 D) 16
C) - 97
3 5 3 a Determine el valor de verdad de los siguientes enunciados I. ¿ a e N / Ia I > 0 II. 3 ! a e R / A| = 0 V e N : |A < 0 A) VFV B) F W C) FFF D) VFF E)VW 64. Calcule el determinante de la matriz: a b c d -b a d -c A* -c -d a b -d c -b a i A )abed B) 0 C) (a 2 + b2 + c 2 + d2)2 D) (ab + cd )2 E) 4abcd n
<9181
a a2 68 . Si A - 1 a2 a4 1 a3 a6 1 a a9
•
IJ: '< J A) - 99 B) - 98 D) - 63 E) - 4 5 62. Evalué 6 5 3 4 4 7 4 7 E= 2 6 5 7 3 4 5 6 B) 44 A) 40 D) 48 E) 49 63. Dada la matriz a 2a-1 3 1 A=
a2 - 2a b
Mjjl
1
C )2
« i b> í D) 3 E) 5 73. Determine los valores del parámetro V real para que el sistema 5x = 7 - n y n 9 , tenga solución única -x+y=5 5 A) n € R 5; 5} B) n e R 1} C) n e R - {2; - 2} D) n € R - { 0 ; 1} E) n e R
[ M-OMPM02M0PJWC &
M*WJW*M2%r**Si
7 4 . P a r a q u é v a l o r e s d e l p a r á m e t r o "k “
80. En
el s is te m a (k + 1 )x + (k + 3 )y = k + 12
A) k = 3
B) k = 3
C) k = 1
D) k = 2 v k = -1
la
A)
m e
R -{2 )
lu n a e n e x c u r s i ó n . U s t e d t e n d r á u n
B)
m e
R -{1 }
h ijo q u ie n
C)
m e R - {1 , 2 }
D)
m e R -
{-1 , -2 }
E)
m e R -
{-1 . 2}
v
En
k = 7
será
h abrá
v ia je s
a
a d u lto p a r a a q u e lla
una
de
esas
e x c u r s io n e s
v ia ja
8 7 . C o n s id e r e e l s is te m a :
u s t e d e n c o m p a ñ ía d e 9 a d u lto s y 5 n iñ o s
E )k = 4 v k = 1
m ás.
e x c u r s ió n
v a lo r d e
2050
u n n iñ o p a r a a q u e lla é p o c a .
T i e n e in fin ita s s o l u c i o n e s
qué
año
é p o c a y e s t e t e n d r á u n h ijo q u e s e r á
(k + 1 7 )x + 3 0 y = k + 72
75. P ara
el
n " e l c o n ju n to
por
s o lu c ió n d e l s is te m a :
la
El
o r g a n iz a d o r
r e c ib ió
500
e x c u r s ió n .
Si
de
x +ny+z = m+n
ia 2
“s u p e r s o le s " u ste d
h a b r ía
te n id o
que
pagar
x + m y + ( n + 1 )z =
60 s e p u e d e a f ir m a r q u e :
e s { (b ; b ) }
¿ c u á l s e r ía e l p r e c io d e c a d a p a s a je
A ) E s ig u a l a 1
e n “s u p e r s o le s ” .
B) E s m enor qu e 1
A ) 4 5 y 15
B) 5 5 y 5 C ) 5 0 y 10
C ) E s m ayor q u e 1
D) 4 0 y 2 0
E) 35 y 25
D ) E s ig u a l
C) 6
B) 4
D)8
E) 10
7 6 . E n e l s is te m a
s is te m a P
es
ten g a
el
v a lo r
s is te m a
de
no
m
ten g a
D e t e r m in a r N -
que
el
tie n e
s o lu c ió n .
A) -1
B) 0
D )2
E )3
C )1
sea
ig u a l a
2
y -z =
1
3 x - y + a z = 14
s o lu d ó n
ú n ic a ,
B) - 1
D)
E )3
2
x + y -
en ton ces
e l v a lo r d e a.
A )- 2
T ie n e C )1
2
z =
s o lu c ió n
d e te r m in e
el
- 6
ú n ic a ,
c o n ju n t o
“y* e n
2 x + y -z = 3
e l s ig u ie n te
B) { - 10 }
A)
D) R - { - 10)
*A ) - 2 8 D )“ Í E ) 3 133
~ 5 5 9
133
D)
B) - 2 0
38
E)
8 3 . D e te r m in e
7 8 . S e a n la s m a tr ic e s
13
el
8 9 . S i {(a ; b; c ) } e s el c o n ju n to s o lu d ó n
C ) 30
d e l s is te m a :
45
v a lo r
de
"x "
2 x , - x2 - 3 x 3 = 5
el
en
Xi + X 2 - X 3 = 6
s ig u ie n te s is te m a :
M=
2
2
cos2 d
sen 20 2
s e n 2fl
-s e n 2 G
N= 2
(n + p )x =
2
m
2 x i + nx2 + 2 x 3 = -
(m + n ) z + (n + p )x - (m + p )y =
2
n3
- x ,
(n + p )x + (m + p )y -
(m + n )z =
2
p3
A )x = m + 2p + n
B) x = p2 + 2
O) x = m2 + p
D ) x = n2 + p
(m + p )y + (m + n )z -
s e n 2fl
sen2 Q
-s e n 2 6
cos2 0
E ) x = n2 - n p + p2
E n t o n c e s , l o s n ú m e r o s X, x , e y q u e s a t i s f a c e n la e c u a c i ó n :
8 4 . D e te r m in e V 2
son
= X
x - y - z =
2
z - x + y =
6
B> Ta
a
C)
I)
O
ten g a
in fin ita s
s o lu d o n e s .
s is t e m a s d e te r m in a d o s :
2x -
a x + 3 y = 16 (*).
bx+4y=18
z =
B) 7
II)
D)
4 x + b y = 12
8 6
D) 4
B) 2 E)
6
E)
. D e te r m in e
el
C )3
x + y + ( m
-
1
abe *
0
C) 2
1
c o n ju n t o
)z =
2
de
v a lo r e s
.............. ( 1 )
x + (m -1 )y + z = 3
.............. ( 2 )
(m -
.............. ( 3 )
1)x + y + z = 4
t e n g a s o l u d ó n ú n ic a
D e te r m in e z e n té r m in o s d e a , b y c . A)
(a 2 -
B)
( a 2 + b 2 - c 2) / a b
C)
( b 2 + c 2 ' - a 2) / 2 b c
D)
(a 2 -
E)
( a 2 + b 2 - c 2) / 2 a b
x2 + ( y -
q u e a d m ite *m s p a r a q u e e l s is te m a
S o n e q u iv a le n te s A) 1
3
,
b 2 + c 2) / a c
b 2 + c 2) / 2 a c
tie n e s o lu d ó n ú n ic a ?
0
3 x + ky + z = 0 3x+ay=14
C )0
9 1 . ¿ P a r a q u e v a l o r d e a , e l s i s t e m a (* )
5y + 3z = 0
x - y +
a + b ♦ c + n.
ay + bx = c 25
s is te m a
X3 = - 4
s is te m a :
bz + cy = a
8 5 . D e t e r m i n e e l v a l o r d e *k” p a r a q u e e l s ig u ie n te s
n
’ ex + az = b
D> T a
D ) 1; 1; 0
io s
E) 4
9 0 . E n e l s ig u ie n te
C) 1; 1; 1
si
D) 3
a
A) — a 3
B ) 1 , a r b it r a r io , a r b it r a r io
a .b
B )-1
a
AV 11 7
A ) 0 , a r b it r a r io , a r b it r a r io
E ) 2 ; a r b it r a r io , a r b it r a r io
A )- 2
e n e l s is te m a 2
+
D e te r m in e e l v a lo r d e
2y - x - z = 4a
r e s p e c t iv a m e n t e :
7 9 . D e te r m in e
E) R -
D e te r m in e e l v a lo r M = x - y - z
B) 1 C )
C) R -{1 0 ) 50
x + 2 y - 3 z = -2
ay = 34 1
v a lo r e s
5x-y+ 2z = 1
ax + 4 y = 119
A) -
de
q u e a d m i t e “a "
s is te m a ?
5x -
en ton ces
8 2 . A l r e s o lv e r e l s ig u ie n te s is te m a
7 7 . ¿ Q u é v a l o r d e b e t e n e r “a “ p a r a q u e V
x +
d e te r m in e
P.
a2n
. S i el s is te m a :
2 a x -3 y = 1
s o lu c io n e s , p a ra
8 8
2x + ay = 4
p a ra q u e el
in fin it a s
+ 1
E ) E s ig u a l a 2 m
ax + y = 3
3 x + (5 -m )y = 2 + m S i N e s el v a lo r d e m
n
8 1 . S i e l s ig u ie n te s i s t e m a :
m x+2y = 5
....( 2 )
S i y . m , n e N , e n t o n c e s d e la e x p r e s ió n
“s u p e r s o le s " p o r et p a s a je d e lo s d o s
2
n
....(3 )
7y + n x = 5 1
A)
2
x+y+nz = n
h u b ie r a
l l e v a d o a s u n i e t o a la e x c u r s i ó n , u d
1 3 x -n y = 17
. . .. ( 1 )
1)2 = 1
O y = a -x
2
A )-1
B )0
D )2
E )3
C )1
9 2 . H a lle la r e l a d ó n e n t r e a y b p a r a q u e el
s ig u ie n te
s o lu d o n e s :
s is te m a
ten g a
2
í;m&c¡
1 4 4 1
U l
9 9 . D e te r m in e e l n ú m e r o d e s o lu c io n e s y = -, x
a
> 0
d e l s is te m a d e e c u a c io n e s :
x2 + v 2 = b B) a = 2b
D )3a = b
M
C) 2a = b y = x +
E) a = - b
9 3 . R e s u e lv a e l s is te m a : ( x - y ) ( x + y + 1 ) = 50
fe
x (x + 1) + y ( y + 1) = 62
D) 4
E) 5
94
16
D) -
1
B) — 14
D e te r m in e
el
v a lo r
n e g a tiv o
x + y + z = xy + yz
2
y + x + z = x z + xy
2
z + x + y = xz + yz
x2 + y 2 + z 2 = A) 2 —
«
Se
en ton ces
B ) 1 - & E) -
i
3 -> /6
2
2x *
H a lle
m ayor
v a lo r
A) 1
B)
D) 2 ^ 2
E )4^2
Vx + Vy = V2 a I n d iq u e e l v a l o r d e :
102.
y
Si x
e
y
x + y <
E ) 5*
9 6 . D e te r m ín e
la
de
Y
v a lo r e s
x
de
e
y
de
que
tod os v e r ific a n
lo s
2
son
C) 4
v a r ia b le s
en tera s
-3y
2
B)
D)
E) 9
2
A)
S i M e s u n c o n ju n t o d e fin id o p o r :
E )7
E)
12
C ) 15
rep resen ta r
g r á fic a m e n te
el
x - y s a
o r a r a
B )4u
C )6 u
D )8 u
E) 10u
R e s o lv e r el s is te m a e n T
z - y
(3 ) a -b
I n d iq u e e l v a l o r d e b) 2
C )a
2
A)
+ b:
D) 15
(a-b)* E) a + b
O)
105.
9 8 . S e a e l c o n ju n t o A = {(x, y ) e R x R / 2 | x l - y = 1 -
lyl
=
3
},
en ton ces
c a r d in a l d e l c o n j u n t o A e s : AJO
B) 1
D )3
E )4
c r ia d o r e s
lo
s ig u ie n te
n ú m ero
de
m is
a
que
el
c u á d r u p le
el d o b le de
es
lo s tu y o s ;
lo s
tu y os
es
“e l
m ayor p ero el m ayor
lo s d e m i c u ñ a d o ;
m a ñ a n a m a ta ré 4 d e lo s m ío s y io s resta n tes d o b le
de
¿C u á n tos
serán lo s
que
m en ores tie n e
c o n e jo s
iw a©, a® ¿as B B B B
que
el
mi cu ñ ad o tie n e
Ii
m u?i
C
8
S ff
mi
m
m
Q 3 G8 > ® S
DB B B B B 0® as s e s© ff® nos
A li D r a í
m m m m m m m ais
c o n e jo s
d ia lo g o :
c o n e jo s
de
s ie te v e c e s
de
e s ca ©a c® O B O
C ) 12
ocu rre
que C) 2
3
1
a n n o B B B B B
2»
E) 24
E n tre
a® a® a i
B B r a r a 40 4$ 4)8 4B á © QS> c Oa BM b o B fr n d 80 8® 68 SB ® S %fü 6 © 0 ® B B B B ü lB B D m m os GS> B D L C B B B B B
ID D
T = x .y .z
B ) 10
6
ís?
DI B I H I I) I H r a a® QD as
aa m aa aa a©
m
- 1
y < 4
B ) (a -
x
<
m ®® *» A DQ D
n m sa m se fd ws s©
2 x - y + 5 z< 1 3
A) ab
CLAVEB DEL IEMINARIO 0 7
m
A ) 2u
D e te r m in e z .
E) 15
a a i a C*r aA
2x + 3y + 5z > 23
z -y
e le m e n to s
C ) 11
U D D ( n m íiís na m as
x -z _ a+b
de
B) 9
8
-x - y s a
104.
n ú m ero
r a r a
es:
(2)
a+b
a
en
(1)
= a -b
+ 4 x í 2
8
á r e a e s 3 2 u 2, e n t o n c e s e l v a l o r d e a =a +b
el
D) 12
S e o b t ie n e u n a r e g ió n c e r r a d a , c u y a
a -b
x -z
B)
-x + y s a
e c u a c io n e s
2
d e l c o n ju n t o M e s :
C .I
x, y, z: x + y
E n ton ces
x + y s a
23
9 7 . D a d o el s is te m a d e
3
6
Al
40
» ?
M -{(x;y )e Z x Z /2 y + x
s ig u ie n te s is t e m a
B)
C) 7
6
x2 + 6 x + 3 < 3 y )
D) 2 0
=-17
+2y2 =12
A) 1
8
A)
103. x - y-4x
es:
A) 5
108.
E n t o n c e s e l v a lo r d e T s x .y e s : -
2
E) V2 0
d e l c o n ju n t o A
el
s is te m a : x+y+6x
C) 4
. E n to n c e s el n ú m e ro d e e le m e n to s
que
1 1
y>
su m a
B) 3
5x - 3y > 2
C) 3a
2
D) 4a
que
S i A e s u n c o n ju n t o d e fin id o p o r
q u e s a t is fa c e n la s c o n d ic io n e s : B) a
d is ta n c ia
1
s a t is fa c e e l s is te m a
Jx + Jy = Ja
cerra da ,
A = {(* y )e Z * Z / y -)í+ x + 6 > 0 A y -x < -3 j
y2 = y2 * +
9 5 . R e s o lv e r a l s is t e m a : (a > 0 )
r e g ió n
m ayor
>/8
107.
+ l o g 4y
el
la
D) J Ü
S e a e l s is te m a : 1
una
el o r ig e n c o o r d e n a d a s e s :
- i
E> l
x2 =
C )- I - Y e
el
e x i s t e e n t r e u n p u n t o d e la r e g i ó n y C
°> 5 101.
D )-2 -j6
o b tie n e
A)
2
>/6
-
g r á fic a m e n te
y - x - 3 s 0
8
x + y + z d e l s is te m a : 2
rep resen ta r
x 2 + y2 - 6 y á - 7
D a r e l v a lo r d e x.
del
Al
C) 3
s ig u ie n te s is te m a :
lo g « (2 x + 4 z ) = 2
E) 4
E) 5
C) 3
9 * "* = 2 7
C)- 3
D) 4
R e s o lv e r e l s is te m a :
4 x+2y = I n d iq u e e l m e n o r v a l o r e n t e r o d e y .
B) 2
106.
1
B )2
100.
A) 1 M j
A) 1
u n o tie n e al m e n o s
un c o n e jo .
x2 + y 2 = 4
A) a = b
A) -
cu ñ a d o?. C ada
li I Ii I I) I H I I)
1W Z
■»rAv
2 Qt¿\
lu\
Indique el valor de T = x y z.
A) 6
B) 8
0 10
D)12
E)14
Determine el valor de E=
m
Indique el número de soluciones
naturales d31 sistema:
x + 2y < 5 x- y < 3
A)1
B )2
C )3
D )4
E )5
el siguiente sistema de inecuaciones lineales. z -l< x + y < z+ l z -7 < x -y < z -5 10 < x + z < 12; x, y, zeZ*
.v%
Resolver en Z, .el siguiente sistema: 3x + 2y < 20 ■2x - y - 2 3x - y > 3
C)2
A) 2
B)2
C)0
D)4
E)3
determine el conjunto solución de: [log„2(5x-12)<-3
y determine T = x + y
A) 3
D)1
] 8 < 2X< 32
E) 7
A) {4,co)Bj (3,<*>)C) (3,4) D) (4,5) E) (&«») Sean x; y números enterres. Al resolver determine el mayor valor que toma
el sistema
3x - 4y > 10 x + 2y < - 12 y > -6 Determine T = x + y
A )-5
B) - 8
C )-10
ux + y” al resolver el siguiente sistema:
y-x2+6x-12>0 D)0
2 y - x <4 x.y f=Z
E)2
Un escolar encola de nuevo todos sus
B) 6
A) 8
D)9
O- 7
E)0
rx
sellos en otro álbum similar. Si pega 20 sellos en cada hoja entonces no le alcanza el álbum, si pega 23 sellos, le sobrará por lo menos, una hoja vacía y si eol escolar se le regala igual álbum con 21 sellos en cada hoja, el escolar tendrá en total 500 sellos. ¿Cuántas hojas tiene el álbum?
A)18
B)15
014
D)13
Resuelva el sistema lineal de:
E)12
Al resolver: logx3 > logx2 - 1 ln x3 < ln x3 - 1 El conjunto solución de este sistema es (a, b), determine T = 10a + b . e
A)2
B)3
C) 8
DjlO
y Indique el sistema cuya solución gráfica es:
N
x + y + z <6 x + y >3
Inecuaciones
x+z± 5
E)15
X
v
ÍW V fJ X IIK fO ’TAWJl.KK #8
A;
X+y ¿1
x + y >1
x - y < 3
jx + y < 3
B)
E D IC IO N E S K H B t @
Iy > x “ ; x > 0 ;y > 0
y * x 2, 'x > 0 ;y > 0
C)
>+Y g lM l
x + y >1
x + y ¿1
x -y <3
x + y <3
D)
y ;> | x | ;x > 0 ; y > 0
y < | x | ;x > 0 ;y > 0
x + y > 1
E)
x + y <3 y < x | :x > 0 : y > 0
Dados los conjuntos: A = { x ; y } e R 2/ y / 4 < x / 2 < y } B = j( x ;y |e R 2 / y < ( x - l ) ( x + l)J
La región sombreada corresponde a
E>
Determine el valor del área definida p o r : A = { ( x ; y ) e R x R /x 2 + y 2 < 9
A) D)A - B
E)B - A
5 ( 7i - 2 )u 2
D j9 (ji-2 )u “
B) 7 ( n - l ) u z
A
X + M -3}
C) 8 ( t t - 2 ) u
E) 6 nú2
*>>
_
Determine la solución del sistema:
x|+ |y|< 4
1
.,
En la sucesión:
. .
Í4 11 31 89
. .
término de lugar 5 es:
x + |x| + y + | y ¡> 2
240
A)
247
B)
250
C)
259
D )~ e
t
260
E)
.5
■*v 1 * 4 4
H jp
la
sí
a i=
a 11+ 1 = 10
!•
lan, Tn > 1, determine el término enésimo. A)10~ in l> D )1 0 n
( y
C)10 -'•+*
B ) 1 0 f- 2t E )1 0 ”
^ T . n ^2 >
l n ~ 1J
AJsólo II
B jly ll
DJI, I I y III
E )IIo III
. fl Sea la sucesión:
C )I y III
2
0
1 2 )
I. Es decreciente III. Es divergente B jsólo II
D )I y II
E )II y III
( g ) Si
8^
Indique cuál(es) de los siguientes
enunciados son correctos: n
I.
l
Si {an} / an= £ ~ T €nt°m:es {a } es «..i n + k
decreciente y acotada II. Si {a n }e s ,
II. Escovergente A)sólo I
IV. { a j y {b j} convergen hacia el mismo punto. A)sólo IV B jsólo III C)I9 I I y IV D jsólo I E jsólo II
7 37 175
ln dique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos.
C)sólo III
una sucesión tal que 12
i A
III. Vn: a.. .>b
a! es una sucesión acotada III. í n"*■+. i1
9
r t o
a t=a; b t=b; 0 < a < b Indique cuál (es) de los siguientes enunciados son correctos I. {a } es creciente. 1 nJ II. {b n} es decreciente.
II. 1— 7 1 es decreciente
IA
r j r i .e
a_ + b S. w U — fa?n + b n : —_£___ o > ° n -l “ t/ 2 2
an+1
I. { a j es creciente, a{ = J2
^
M
III. /a n- 2 / ■*4 => n > 16 A)sálo I I B jsólo I C )I y II D )II y III E)I9 I I y III
Indique cuál(es)de los siguientes
a, =
\
< ¡ $ Se definen las sucesiones (a n| y lbn}
enunciados son correctos
-
L
,
an - J 4 - “ +' ^ . Indique cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos. I. La sucesión {an}n
a. =
1
+
+ ... +
Vn +1
Jñ
1 n'
tal
que
entonces {a les L nJ
decreciente. III. Si {a ft} es una sucesión creciente y acotada entonces {a n} es convergente. AJsólo I B )I y I I C )II y III D jsólo I
m
E jsólo III
Si |an}n€N€s una sucesión tal que 2«v*i ^ 3^*1
2*1+3
im
3
e n to n c e s la su ce sió n co n v e rg e a :
[S fC fim iU O
A)
44
1*45
~ 8
«IV
R n tC J O X E S K U R IN O &
valor de convergencia de la sucesión {a n}.
_1_ B)
81
c > h D> h
27
m '
10
A) 2?
17 C) 27
15 B) 27
41 E) 27
21
D) 2?
A qué valor converge la siguiente 3 Determine el valor donde la sucesión íf' 3 '3 ' 4 V í 5 ? sucesión: 112
A)0
, ’ l.3
B)1
|12 24 44 72 es convergente. |‘4 ’ ’ ~7 ' ' Í 2’’ j 9 "¡
J \4 C)e
D)e3
A)2
Eje
B)3 oí c * i
•
C)4
D)5 1 1 1 '
c
la sucesión: ( n * l | ( n . 2 | f
CJe1
lU l
'
•t•
13 converge a gg , determine el valor de “a” .
|(n- llln - 2))" '
B)e 3
111
ü Silasene: ^ = 3- + — + — 5- + - ^ 3 3 3
Determine el valor de convergencia de
A)e-e
E) 7
A)18
D)e2 Efe
y Se d efin e la su cesión S t por
B)13
C)
10
13
D>3
« 4
I) Sea Jxa} una sucesión tal qué x x= 3 y 311 + x J
[/
S=< - — u n + l j
A)1
=
*:1a sucesión converge él valor de J
B)e 1
C)e s D)e
E) 2
. D eterm ine el valor de
3+x_
convergencia:
B)2
C)3
E)5
D)1
Sea la sucesión ¡ « f e , definida por 50
Determine el valor de E = 2,.4 r r - l
an= Vn + 1 - ¡ ñ , con relación e esta sucesión 58
podemos decir que converge hada:
A )-2
B ) -1
C)0
D) 1
E)2
150
50
100
A j 101 B ) 101
C ) 101
D } 101
Calcule el valor de convergencia de la
A)
1
n x -(n + 2)
igualdad 2. £?n(n + l)(n + 2 )
(2n + l ) ‘ ( 3 n - l ) 1
136 B) 55
C) 144
D)
144
E)
136
E)
200 101
Determine el valor de “x ” en la
I l 3 + 2 3 + ... + n
sucesión
1
1
99
Aj 2
B ) 102
102
C) 99
103 202
D)
34 11
« 2
♦1.
Si jan¡ n «N _ e s una sucesión definida ,
por.• (a "
,
|1 1
111 1111
,= ] 3 0 ’ 3 0 0 ’ 3ÓÓO;
] *; ^ ^ m in e
el
En la expresión siguiente encontrar el valor de la constante A.
LA m 74x oraniA 20t¿\
1 **9
c
2n + 3 Z £ = a 33n k*l ° n U
215 121 B) 73 C> 80
101
Aj 80
215 425 D) 101 Ej 80
1
A) “ T 4
Determine la siguiente suma £ 2n + l
« 2
Calcule el valor de: V = f ; [£
í^ín (n + l)
B)2
AJI
( V 5 Í T T - V 5 k T 4 )( 2¡ - 1 1 )
C)3
E)5
D)4
1-4 U -l
B)- 960 E)- 976
AJ- 906
D)- 986
2n+l
O - 968
\ k+2
-
l
£ ] k + Z ( 2r - 1 ) H -1 { i-l
'S i :
n + 1 >3 + x
B)1
C)n
E)n3
D)n*
£ k=4 \
.
'1
determine el valor de x
A)0
Calcule la siguiente suma:
V
A) 16 J 5
Ej
21
Determine 0 ,2 8 7 1 -¿
' 5
' .
1
i_ C)
6
1) 6
.
n*l
+3n.2"n
1 A jí
D) 3000 -T _
B^ 2
E) 2801 - Z
^ 4
09
D = 3 + 10 + 29 + 66 + . . . + 1002 A)3045 w B)2025 C)5025
D)70025
E)6025
z n*l
A)1
Determine el valor de la suma: _ 1 t —
2x4
1
4x6
1
6x8
7 8 B) 25 C) 25
+ ♦.* +
1
E)
°> 8
16
Determine la suma de la serie:
Determine la suma finita
A) 25
3/
♦CO
k + k2 8 , 2071- i -
2
B) .3,. \
!^ k 4 + i+ k 3
A) 200-
1
2
i
Determine el valor de la suma finita:
^ k = l
1
p , 2 26 242 S —1 + — + T- + ■"V + ... 9 3 3
, Vn2+ n
C)3
B/2
48x50
Determine la siguiente suma
V n + 1 - Vn
D)4
E)5
Determine b suma de la serie \ / 0*1
1
11 21 25 Ej 25
\
z
( l + 2 )(l + 2'1’ 1) 1
Aj g
Bl 4
1 C j¿
/
D)1
E)2
Halle el valor de lña convergencia de la serie:
í5 K 5 ¡S ¡H i5 xii7 í# r¡M
1**7
a ’»»
r .n tc io x r .s
R v n ix tm
k-ó v
U
Z 3^ {
ü
A)14 D)72 0
e
i
- J
y
_
L
J
í
+
1
‘ 'I Í í n 2+ n j’ [ + 9n2+ 3 n -2
B)28 E)36
C)18
" 71 ' ©
© ' 1yTlj
Z i ; k«CK 71 j
2k-*l
^
cV y Determine la suma de la serie:
AJ
1 —
w z ©
éí4n‘ - l D)
1
1 a; ?
6ti + 7
7n + 6 B)
71
2ti+3
Ej
71
n+ 1 O
671
7t
271 + 3 Ó7t
Determine la edad de la persona ©
Sea X anijbna serie de términos
positivos que no cumple con la condición a ->0. oo r. ;— ~ , podemos Z
n*l *
n
AJ14 B)1
afirmar:
Bjconverge a 1 Djconverge a 1
A Jcow rerge a 0
C)converge a 3 Ejes divergente
3 C)8
D>S
EJ1
AJI
k2 +3k+3 k4 +6k3 + l l k 2+ 6k
1
2
4
B>3
C )3
D )3
E)27
A
'' 3
EJ2
Halle M + N +D si los sumandos representan los puntos de convergencia de las series:
2
"
3
_41 3 6 ‘ 2 Determine la suma de los elementos de P que también pertenecen a P9. p
AJ 3
♦ f i g ) Indique el valor de convergencia de
la serie: £
A
p
k-1
Bh
D)21
¡2
la serie: £ ( 2 k - l ) 5 "
Aj g
CJ18
Dadas las progresiones aritméticas:
Determine el valor de convergencia de
1
menor, sabiendo que estás forman una progresión aritmética creciente, cuya suma es 63 y la suma de sus cuadrados es 1395 (son 3 personas)
©
-
3 1
41 131 BJ - y CJ - r j -
DJ -
75 „ 2
31 6
Tres nñumeros enteros en PA cumple la siguiente relación: la suma de los tres al cuadrado es igual a su producto. Determine la suma de estos números.
A)26
B)36
0*6
056
E)76
Se prepara una cantidad de reserva de comida para 31 conejos , sabiendo que estos consumen 6 1/2 kg semanales cada
>t v
uno. Dicha reserva número de animales perm aneciera fijo p ero cada sem ana disminuye un conejo, la comida reservada duró el doble del tiempo previsto. ¿Qué cantidad de comida se preparó?
A)3224 kg D)3432 kg
B)3324 kg E)3424 kg
LA EXt ‘i r f w m t f A 2012]
1**8
C)3234 kg
En una progresión geométrica se conoce que el primer término es 7, el útimo es 567 y la suma de todos los términos es 847. Determien la suma del número de térm inos y la razón de la progresión geométrica.
A)5
B) 6
0)7
D) 8
E)10
Determine el valor de cuatro nímeros ( ^ ) Se han interpolado entre 3 y 384 un
a, b, c, d, si los tres primeros de términos están en progresión aritmética y los tres últimos en progresión geometría, siendo la suma de Iso extremos 14 y la suma de los medios igual a 12. Indique el mayor de ellos
cierto número de medios geométricas cuya suma es 178. Determine la razón de interpolación.
A)2
Aj 2
B)4
C) 8
D)12
E)16
B )2
C>3
D >6
Si los números positivos x l? x2 y x3
( ¿ y Una progresión geometría finita tiene
están en RA y los números positivos y , y y y3están en RG y se sabe que:
n términos. Si “S” es suma de susu términos, S1la suma de sus recíprocos y P el producto de sus términos entonces en la expresión
x i = s, i = 3
x 2 - y 2 = 6 y x 3 = y3-
•
' S
¿
P “ =
xX
:j el valor de “x”es:
Determine el valor de: 2
A)81 B)84
D)112
0)70
E)98
A)n
B)2n
0)3n D) |
E) ^
D ado un círvculo de radio r. se geometría: 2; 2 + r. 2 + 2 i . . . Determine el valor de r.
AJ-1
BJ-2
C)0
D)1
E)2
a
Si 1término de lugar 2n es *nwveces el término de lugar “n” en una progresión geometía cuyo primer término es wn” . Determine el término de lugar(n+l) en dicha progresión.
A)n
B)2n
0)3 n
D)n*
construye un segundo círculo cuyo diámetro sea el radio del anterior, un tercero cuyo diámetro sea el radio del segundo y así sucesivamente. ¿Cuál será la suma de las áreas de todos los círculos asi formados? *
711,2 T»k 4 n r2
A) — B) —— O)
27rr2
_ k 57ir2
_ k 7wr
D) —— E) —
Determine el valor de “ n” en la
E)2n% sigu ien te igu ald ad .
r . n i c i o x n s r tn t iÁ o s ]
[ S ü W X U l f O K IU J Ü K # ~8
1 + 2(2) + 3(3) + . . . + n(n!) = 719
B)5
A)4 m
C) 6
D) 7
E) 8
(1!+ 2!)(2!+ 3!)(3!+ 4!)...(19!+ 20!) J= 201.19!.18!...3!2!1!
B)109 5
C)20
Cuántas números de los tres dígitos,
sin dígitos repetidos, pueden escribirse con los dígitos del conjunto (3, 4, 5, 6, 7, 8}
Determine el valor de:
A)10
(g )
D)21,
A)120 Di280
B)210 E)300
E)22
6
C)222
¿De cuántas formas pueden sentarse Determine el valor de “n” en la un padre, su esposa y sus tres hijos en una fila de 5 asientos?
siguiente igualdad: [3(3n2+ 10n + 8)J(3n+5)!(3n + 4)! = 108!
(3n + 5)!-|3n + 4)!
A)22
B)16
C)17
D)12
E)34
Determine la suma de los valores de “n" que verifican la siguiente iguladad n!(n!- 321) 5(n!)-9
A)3
B)40 E)120
C)7
E)10
D)9
C)80
¿De cuántas formas diferentes se podrían sentar en una fila de 7 asientos, 4 hombres y 3 mujeres, de tal manera que las 3 mujeres siempre estén siempre juntas?
A) 180 D)720
= 80
B)5
AJ30 D)100
,«4
BJ360 E)1440
C)480
•«‘
¿Cuántas números menores que 2367 Determine una expresión equivalente 2 n[ ( 2 n )!
al simplificar:
A)2nl D)(n+1)!
A)2
B) 6
C) 8
DJ10
E)12
(4n)!!(2n-l)ü
B) B)(2n+1)! (2n+l)! E)4n!
C)rü
.^i¡+
Un hombre se encuentra en el origen de un sistema cartesiano rectangular de ejes OX y OY. El hombre puede dar sólo un paso a la vez, para el norte (N) opara el este (E). ¿Cuántas trayectorias puede recorrer, si da exactamente 4 pasos?
A)18 D) 8
se pueden formar con los dígitos 1,2, 3 ,4 si cada dígito se usa una sola vez?
B)4 EJ32
C)16
Un joven estudiante ordenará nueve libros en la repisa de su dorm itorio. Determine de cuántas maneras los puede acom odar si la condición es que libros específicos jamás deben estar juntos.
A)332640 D)30244
B)332660 E)332666
C)30240
¿Cuántas números pares y mayores que 5 x 105se pueden forman con los dígitos 1, 2, 3, 4. 5, 6. Si no hay repetición de dígitos?
BHgjggg A) 120
B )420
C)360
bolsas, de las cuales 5 son azuales; 3 son blancas y las restantes de color negro. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar dichas bolas en fila? AJ1320
BJ1660
D)2024
E)2520
y
0220
D)240
E)260
Determine “n” en C? + 3C‘\ + 3 C n¿ + C" .
A)32
c
;a c i
A )86
B)114
D)186
E)217
5 C*y - 2 0120
Si c" + c; + es +...+c^, = 30 entonces el valor de “n” es: A)3
B)4
C )5
D )6
E)7
Se considera una baraja de 20 naipes
una mesa, si uno de ellos siempre debe estar entre otros 2 cuántas maneras lo pueden hacer. B)200
Cx y-i
CJ2010
Ocho amigos se sienten alrededor de
A)180
LA j-'Jirj*y.oi*eiHA 2012]
D )450 E)720
; Sobre una mesa se encuentran 10
m
•c^>
c -,
.+c~, —
B)34
C)35
37- r
A )18486 0)1 864 8
T-
D )36
repartida en cuatro colores, cada color se compone de 5 naipes: as, rey, dama, valet, diez; se denom ina “ m ano” a todo subconjunto de 5 naipes elegidos de esta baraja. Obtenga M + N si: M es el número de “manos” distintas N es el número de “manos” distintas que contienen dos ases. B )18468 E )18846
018864
E)37 Se quiere seleccionar 5 preguntas de
Si
un total d .12, pero 2 de ellos no pueden
H = í x 6 Z '/3
escogerse a la vez .¿Cuántas formas existen?
10x^ 4 1 9 6 Íy |=0 = (abe)
Indique el valor de a + b + c A)8
B )7
0 6
D )5
E )4
H ) Determine el valor de “x” en la C2* +C2*
19
siguiente igualdad: c ^ T c ^ L = 16 x -2
A) 16
B)17
018
D )19
E)20
Determine el valor de J = 3x + 7y, si se cumple:
A) 680
B)672
D)1080
E)162
0920
C L A V K 8 D K L iS E M I N A R I O O O am ( m f£83 (ES GKD
[ SEMIXilKIO TALLER # O
EM HCM OXES K l l t t Ñ O S 1 A) (a * + b * + c *)4 O (a 6 + fl< + 6 c ^
f¡x + y - 8 z + fjy + z - 8 x + $ l z + x + 8 y = 0 Hallar:
%(y+z)2 + y ( z + x ) 2 + z ( x + y ) 2 B) 6
A) 0
Dj 12
C )8
Calcular el resto que se obtiene al dividir f ( x z o o o } entre f (xf.
xyz A) 4
B) 1
A) 490
B) 497
6
a ( b - l ) + b ( c - 1 ) + c ( a - l ) =0 abe=3
B) 2/3
A) 16
C )-l/ 3
D) 0 *"+l <«+b +c> a ’’ * l + b " * l + c n* ‘
© C a lc u le : M = £ J n >2
E )4!3
(b +C/ +1 (c+
G )j(m
- l)(m + 2)
E ) — m (m + 1)
@
C )3
D )a b c
E)
abe
cúbica exacta , se anula para x = 2 es divisible entre ( x + 2 ) , el resto de dividirlo entre ( x + 1 ) es 729 , la sum a de sus coeficientes es 2 7 . Señala el térm ino Independiente de dicho polinom io. A) 2 7 B ) 501 0 427 D) 612 E ) 511
Sabiendo : x 4- 3 x * + l = 0
Si: a + 6 + c = 0 , a 6c *
q ,
E) 4
proporcionar el equivalente
a 11+ b 1* + c íi iI + l l ( a b c ) ° ( a b + a c + b c ) lla b c
B) - 4
0
5
D) 3
E) 2
I) P ( x ) - x s- 2 x 4+ 4 x 3+ 2 x + 6 es Irreductible en Q .
10
D) - 2
A )6
De las siguientes afirm aciones:
10 .8 + x 1 2 - x lu+x°+l
5
Los restos de las divisiones de un polinom io entero
P ( x ;y ; z ) = ( x y + x + y f = 4 x y ( x + l ) ( y + l ) ( x + y ) + 4 x 2y + x y 2
20
0
E) 2
(75) Cuántos factores prim os tiene?
Calcular uno de los valores de :
B) - 3
D ) 256
Q (a ; b ; c ) = a 4+ b 4+ c 4+ a 2b 2+ b 2c 2 + a 2c 2- 2a b c ( a + b + e ) es: A) a + b + c B) a b + b c + a c O a* + b*- c* •D ) a 2+ b 2+ c s- a b - b c - a c F ) a 2 + b * + c * - a b + b c - a c
é r* fé r
B )a + b + c
O 128
Un factor prim o de :
a b e * 0.
Hallar
B) 64
en “ x “ por los binom ios ( x + 3 ) ; ( x - 2 ) ; ( x - 1 ) son 1 6 ; 11 y 4 respectivam ente. Entonces el residuo de la división de dicho polinom io entre x 3 - 7 x + 6 será : A) 1 B ) 2 O x * +1 D) x * + x + l E )2 x*+ x+ l
2
Si: a *b ! + a *c 1+ b ~ 1c * = a b + a c + b c = l
de:
- x
6 /m
Un polinom io P fx) de noveno grado , tiene raíz
i
Donde: { a ; ó ; c } £ x + m (m - 1 ) A ) — m (m + 2 ) B ) 2
©
B) 200
-y el térm ino de lugar 12 es: x 720y 528
M = a 3 ( l + a b ~ 2 ) + b - 3( l + b c - 2 ) + c 3 ( l + c a 2 )
A) 3
Dj 180
X
Donde: ( a b + b e + a c ) e R Calcular el valor de:
A )1
O 498
Calcular “ m n ” , si en el cociente notable:
a 3 + b 3+ c 3= 1 1 7
2
Bh2000
; a ( x 2 - l ) b. Hallar : ( a + b ) .
Dadas las relaciones:
D)
O) 2000
( x + l )999+ ( x - l )999 , _. , , „ --------------------------------------existe un term ino de la forma
x + y + z + = a x + b y + c z = a 2x + b ay + c 3z = l Calcular: k = a 3x + b 3y + c 3z + ( l - a ) ( l - b ) ( l - c ) A )1 B )-l 0 2 D) - 2 E )0
Sabiendo que:
O -1
En el siguiente cociente notable:
Bi 16
Sabiendo que :
A) 8/3
E) 0
f ( x ) = x 1999+ x I 998+ x I 997 + . . . + x + l
Sabiendo q u e :
m
B ) (a*b*+a*c*+b*c*) D) (a + b + c)a b c
I I ) R ( x ) = x 9- x 5- 2 x 3+ 4 x - 2 f a d m ite u n a ú n ica descom posición en dos fa ctores, donde el grado de uno de ellos es inferior a 3 . III) F (x ) = 2 x 4- 4 x 3 + 3 x 2 + 2 1 x + 1 2 presenta 4 factores algebraicos. Indicar verdadero (V ) o falso ( F ) : A )V W B )W F O FFF D) FVF E )V F V
© (C u á n to s factores prim os posee :
P (x ; y) = x 4+ x 4y 4+ y 4 - (x4+ x 2y 2+ y4)2?
[
1A ENCJFF.arFMA 2012}
JT v
A) 5
@
B) 4
C )3
Realizar: a
E) 1
D) 2
Indique un factor prim o en: B) a + b + 2 c E )a + 7 b -c
O a+4b+c
para: x = a + b . A) 0 B) 1
P ( x ) = x 83+ x 46+ x 2I+ l Indicar la sum a de coeficientes del factor prim o de m enor grado. A) 2 B )4 C )2 2 D ) 10 E ) 12 m Indicar la sum a de coeficientes de un factor prim o de: P ( x ) = x 4( 4 x + l ) - ( x 2- l ) 2( x 2 + x + 1 ) 2 ( x 2 - x + 1 ) s A) 5 B) 7 0 6 D) 8 E) 3
@ > In dicar la suma de los coeficientes de los térm inos lineales de los factores prim os obtenidos al factorizar: P(x)=(n2-n )x 4+(2n2-n + l)x s+(3n2 - 2/x2+(2n2+n+J)x+n2+n O 2n + 1
D ) 2n
x 2- a 2-b 2 D) a+b
C )-l
E) 2 n -l
P(x)=x4+4x3+ a x s + l l x +6 Q ( x ) = x 4- x 3+ x 2- b x - 4
Si el M C D de P y Q es de tercer grado. Hallar: a xfe. A ) 10 B) 12 C ) 16 D ) 18 E ) 24 Si: P (x) = (x + 3 )[x s + (a - 2 )x - 2 a ] Q ( x ) = ( x - 2 ) [ x s + (b + 3 )x + 3 b J
y teniendo que: el T.L del M C M es 1 2 0 y el coeficiente de al efectuar: M C M + M C D es 1. Calcular: a~l + fe-1; a > b. A) 0,01 B) 0 ,0 5 C) -0 ,0 5
@ )¿ C u á n t o s fa ctores de m u ltip licid a d sim ple se obtiene en: R = 2 ( m n + n z + m z ) 3 + ( m 2 + n 2+ z 2) 33 ( m n + n z + m z ) 2(m 2+ n 2+ z 2) A) 1 B) 2 0 3 D )4 E) N in gu n o
1 Si:
1
(y-zf
Se puede a firm a r:
1
(z-xf
(x-y)
A) 8
z - x
x - y
C )2
B) 16
D) 4
E) 6
mx3 ~(m + 7)x + (m + 8 )x -(m + 1 ) mx3 - (m+9)xz + (m + 1 6 )x-(m + 7 ) admite sim plificación. ¿Cuál es el denom inador que se obtiene si se efectúa dicha sim plificación?
Luego de factorizar el polinom io: 4 ( x * + a x + a * ) s- 2 7 ( x + a ) ! a 1x t
Afirmamos: A) Sólo tiene tres factores primos. B) Sólo tiene dos factores primos. C) Sólo un factor primo se repite dos veces. D) Todos los factores primos se repiten dos veces. E) Hay dos correctas
A )2 x + IB ) 2 x - l
Sean:
O 2x + 3
D) 2 x - 3 E )2 x + 5
\
Calcular: A ( a + b )10 , ( a + c ) A= —: + — a 6b b' a
P ( x ; y ; z ) = ( x + y ) * ( y + z ) * ( z + x ) 2+ 2x 2y 2z 2- x 4( y + z ) 2-
A) 2048
B) 512
10
C) 1
(b + c)
D )1 0 2 4
Si el M C D de los polinom ios:
Podemos decir:
P ( x ) = x s + a x 2+ 1 8
A) Tiene 2 factores primos solamente. B) Tiene 4 factores primos solamente. C) 1 factor primo se repite 2 veces. D) 1 factor primo se repite 3 veces. E) Hoy 2 corree/o».
10
b 7c *
y 4( z + x ) 2- z 4( x + y )2
E ) 3072
Q ( x ) = x 3+ b x +12
es de segundo g ra d o , encontrar la sum a de los factores n o com unes. A )2 x+ 1 B) 2 x + 2 C ) 2 x + 3 D ) 2 x + 4 E) 2 x + 5
Si: a + b + c 2= a b +1 ; b * l +azl
El valor de “ x ” es m uy pequeño, de m odo que su
( b - l f - c 2 a -b C )1
a d e m á s:
a , b , c e R -{0 )\
( a + b + c )2= 3 ( a b + a c + b c )
@ ) Dado el polinom io :
B ) ab
=4
La fracción:
A) Tiene 2 factores lineales. B) Tiene un factor primo cuadrático . C) Tiene un factor primo cúbico. D) Tiene un. factor primo de grado n>3. B) b y c son correctas.
A )b
E ) -0 ,0 4
;x * y * z y -^ z
P ( x ) = 3 x * - 3 x * + 2 x 4- 8 x 3+ 6 x 2.+ 1 8 x-1 8
D ) 0,20
Calcular: S =
@ ) D e l siguiente polinom io:
Halle: F -
E )a -b
Dados los p o lin o m io s:
Luego de factorizar en Q , el polinom io:
A) 2 n 2 B ) n + 2
x 2+ a 2 - b 2
x * -a * + b *
2[ ( a + b + c ) s + a b c ] + ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) A) a + 3 b + c D )a + 5 c-c
a+b
D )- 1
E)
a + b a - b
cu a d ra d o y d em á s p o te n cia s s u p e rio re s pueden omitirse. Entonces el valor de:
í SFJWXARIO TAIJ.ER # »
íjKLgl I M » M
5
Á )3 -— x
B
) 3
x C J J Z r - 0 /)J57,r+í>
^ 1 , t / - - . j i . . j - . c#« Calcular el coeficiente del term ino que adm ite a “ x y z ” en:
B) 105
C)203
racionalizar: D) 513
E) 230
B) 918
C )1 9 2 7 8
D ) 15362
E ) 1254
Determinar el coeficiente del térm ino de lugar ( k + 1 ) en el desarrollo de: (1 + x )12 A ) 2 ~ kC ¡ k
B ) ( - l ) k 2 - hC % k
C) ( - l ) h , 4
kC * k
D) 2
hC t k
-7 = — _ — 4 —_— — . ^ Í0 -$ ¡3 -$ f6 + $ 2 Ó + $ 5 -$ [Í2
ge obtiene com o denom inador:
Determínese el coeficiente del térm ino en x 10 del desarrollo de: (1 + 3¿ 2 + 3 x 4)7 A) 8 0 7
núm eros enteros, para que: x 4+ a x s + b x 2+ a x + l .tenga . , , . raíz cuadrada exacta.
i ^ [ —yfx+3$fy - —i¡z 1
A) 1052
HITBMÑOS]
(^ R a c io n a liz a r : Ife .s ft.a n : in d ic a n d o su 7"^ , v^+vo+v4 denominador. A)2 BJ47 CJ73 D) 19 E) 3 Determ inar el m ínim o valor de (a+b), siendo o , 6 ,
j^ g 3/s ;— ,— ; se puede e s crib ir: x+i r
17
E IU Q IO X H S
A>40 2 c* 6 D)S E* 5
E )C ¿ k
A) VFF
B) VFV
O FW
D) V W
E) FFV
Asum iendo que: Sn= i n+i~2n; donde : í = 7 - í (67) Calcular el térm ino independiente en el desarrollo
Calcular el m odulo del com plejo resultante de: g + 5 + 5 + 5 + ..•+ 5
de: ( x + l + j- f
A) 2
A) 1218 B) 1118 01208 D) 1107 E) 1120 Determinar ui el uoeucienue coeficiente uu de x n en ei el ue&arruiiu desarrollo («~2 )uei*?rnuiiar ¿e.
(g )C a lc u la r el m ín im o v a lo r n atu ral de que fl-í i verifica la igualdad: ^ j j ^ j = -^ ('[3 + l); i = > f í si este es
(1 - 2 x + 3 x 2 - 4 x 3+ .. .) n ; (\x\<1) AJCfJí'
B)C^X\ C H - l f C ^ t D H - l f d f f j 1 E ) ( - l f C £
- 1
A )1 ° ° 0 .
Efectuar:
A ) 13
C)28
D) 286
E) 300
j s + 2 ¿ 3 {¿4 7 - 2 ¿3 - ¿ 8- 2 ¿ 3 )
B) 17
C ) yf2
D ) 7 -J2
3 nr A )~ ¿2
4
■■
A) ¿6 + 1
D ) 1005
$ ¡2 6 + y¡6 7 5 + $ ¡ 2 6 - > ¡ 6 7 5 -.6 nr ^ . 3 B )— 42 C ) — xÍ 3 D ) 2 > ¡ 3
4
B )¿ 7 + ¿ Ü
A) 1
E )¿3 - ¿2
B) a
( g ) Si : Z ¡ ; Z 3 e C E )2 > ¡2
Ob y se sabe que:
D) ai
real C)Número racional
B) Número imaginario D) Número imaginario puro
E ijlay 4o, correcta.
Sean: *, ;z s e cl\xt\=>Í3=^ Calcular: B) 1897
02191
0)3284
E)2
Ejbi
\Z¡+Zs\=\Zt - Z s \;
, , r entonces podem os afirm ar que: ~ j r , es: a )Número
¿32 - ¿1 6 + ¿ 4 - ¿2 + 1
C )¿ S + ¿ 4 Í
“ +6Í + ° “ 6‘ + a + 6i , b -a i b+ai M = b ,a+ bi a - b í , ó © . -ir : — h a 2 b - a i b+ai
—
Señale el denom inador racionalizado de: j
A)1
E) 1006
(Q) Si : a b * 0;i=>hl ¡reducir:
E )2
J 2 6 + J 6 7 5 - j2 6 -> ¡6 7 5
4
01004
D )¿3 + ¿2
E )14
Reducir ^2(1 +(¡76+43¿3 - ¿5+$14¿5+18¿3) _ A)¿3+1 B ) ¿ 3 - 1 C )y¿3 D )1
i--------
B) 1009
Reducir: A =-¡=(\¡8 - J -6 i+ i> ¡7 - \ h ó ¡ ) ^ 3 ________ ________
@
vr> i @ )R e d u cir:
E )¿8
D )-¿2
C alcu lar “ n ” en: (1 - w ) 2" = - 2 1 8 7 w Siendo 4tw ” _ _ , ,. . . . ... una de las raíces cubicas de la unidad. A ), B)4 C)5 Dj y £j g
tiene com o parte literal a: x 2y sz 4u>. Determ inar el número de ténninos de la expansión. B) 260
C ) ¿ J
de 4 cifras.
Si un térm ino de la expansión d e : 3 < 2 ' t 3 * - 7 2 1 y - - z + 8 U> r
A)S60
B )2
[
JO
IA EX€'JM>*m FM9lA2Ql2} A) 1/2
M = \ zj+ z 2\4 - 2[(zIz2)2+(z¡z2)2] + z t - z 2 A) 256
B) 474
C) 441
D) 594
E) 729
Si “ w ” es una de lás raíces cúbicas imaginarias de la unidad, calcu lar: (i-w+u>*)(i-w*+w*)
o 2-
bí ( - i r
A)1
Di 2 *
E) 2
h allar el v a lo r d e “ n ” q u e cu m p le la sig u ien te identidad: B )6
C) 9
D ) 12
D ) 1/4
E)l/12
jx + a + jx - a _ 4 x -a
Señale: x * + a x + a * A )^ -a 2 B )^ -a 2
C )-a ‘
16 16 4 Resolver la ecuación:
x+mab+nbc pac
x+mab+pac nbc
D )^ -a 2
16
E )^ -a 2
25
x+pac+nbc _____ 9*_____ _ mab mab+nbc+pac **
Determ inar el denom inador positivo de dicha raíz. A) 2
B) m a b + n b c+ p a c
(1 + w j+ (l+ w 2)“ +(1 +tc3)3+ ( l +tc40 + * .+ (! +W3* f8* = 584
A) 8
C) 1/6
@ 1 Luego de resolver:
2m
Si : 1 f w , w 2 son las raíces cúbicas de la unidad ,
B) 1/3
C) m np
D) 1
E) a + b + c
Resolver la siguiente ecuación: ( x j x - 8 ) ( x - j x - 6)
E) 15
x jx -x -2 jx -1 2
f iiY) 4 Íf ll--Vj 77i ] 4 ™ , ( ll++Jj 7 El equivalente de: I — 2— J + 1— 2— ) ^ :
A) 2
B) 10
C )4
D) 3
E) Absurda
Resolver: (a + b )x2 —(a2+bs )x —2abx+ a b(a + b) A) 1
Bi -1
C )3
Di 5
E )6
y z 2 representan un núm ero real
Sabiendo que:
y un núm ero imaginario puro respectivamente. Hallar el valor de: R = p - q ; p q *0 D onde:
p + q + 2i ____ p + ( q + 8)i z l -------------------77» *2 —---------------- 7 p - q -81 p -q * p a q en R.
A) 30
B) -3
C )-€ 0
a 2 + a
A) - a
B) -b
- 6 - a 6
O ob
D ) —— o
E) a + b
Resolver el siste m a : 3 5 x + 3 y + z -4
5 2 x -y + 3 z +7
13 6
------------------------ + -------------------------- s ................ J I)
D ) 10
E) 24
De la igualdad: „
(a - b)x2(a 2+ b2 )x+ 2 a b x - ab(a - b) a 2+ a b - a - 6
i ♦_____ *_____ = - " 2 x -y + 3 z -7 4 x -2 y + z - 5 30 1------- +-------- ?------------------5 x + 3 y + z -4 4 x - 2 y + z - 5 15
J z L ± * f „
ao (ni)
Señal e x y z . 11)
ni)
A ) -4
B) 6
12 O —T
O*
D )-1 2
E) 24
Resolver: 2
)
\
2
H 2 p x - y
Podemos afirm ar que son correctas: Ai I y II
B) I y III
C) I I y n i
D ) Ninguna
E) Todas
@ )C a lcu la r el valor de:
4
............................................m 24 ________
1 5 y / 2 x + y + 4 j 2 x - y = 3 ^ 4 x 2 - y 2 ........................... .(II)
Señale: x 2+ x y + y 2 A) 2412
A = 4 A rcT a n
" i
' 3 j2 x + y
c)$
B )\ ¡3 T g^ -n 3
D ) ¿ 2 nC o s — n 4
E ) j 2 ttS e n - n 4
C) 3254 V
D ) 6341
E)
1171
Después de re s o lv e r:
2x E)
¿ x + y + y j5 x + 2 5 y = \Í5 + 2 5 ......................................(I)
Hallar la expresión: M =C J* -C ¡¡ +C¡¡ -C " + ...+ C nn A )\ Í 2 S e n — n 4
B) 1532
C)\Í2 C o s —n 4
Un comerciante compra 54 kilos de té y café. Si hubiera comprado cinco sextos de la cantidad de té y cuatro quintos de la cantidad de café , habría gastado nueve onceavos de lo que realmente gastó y si hubiera comprado tanto té como compró de café y viceversa, habría gastado 5 dólares más de lo que gastó. El té es más caro que el café , y el precio de 6 kilos de café excede al de dos kilos de té por 5 dólares. Indique la diferencia de los precios de un kilo de té y un kilo de café.
J x + 5 y - sj 5 x + 5 y = 5yÍ5 - 5 ..................................... (II)
Señale x y . A) 25
B) Cero
C) - 750
D) - 625
E) - 120
@ ) Hallar el valor de “y ” en : a + b _ 2 a n + a m + 2bm +bn x + n y+m (2m + n )(2n + m ) c d _ 2cn +cm - 2dm - nd x + n y+ m (2m + n )(2n + m ) A) 2m
B) m
C)2n
D) n
E) mn
Luego de re s o lv e r: fj(x -y )3 x -y
i¡(x + y ja _ x+y
2 15
j¡(x - y)3 t t ¡ ( x + y f _ 2 4 (x -y ) 4(x + y ) 15
I S F M 1W R IO TAM.LER # O
I M iC M O N E S R i m i N G S ]
1483 Si la ecuación :
Señalar: x + 8 A) 240 B) 316
D) 361
C) 132
B) 24
Indicar el valor » de verdad de cada uno de las
TI) a>0 Ab<0
a
(Tf) Dada la expresión matemática
(x + lffx -lf (x2+ x + l)(x s -S x + 6 )
a
Halle el ínfim o del conjunto B = {x e Rtfix) a o } A) 0 B) -I 02 D) -2
=> ^-< °
o b -a III) 0
C)FVF
D )V W
E )W F
Siendo a , b y c n ú m eros reales y p ositivos (d ife r e n t e s ). H a lle e l m a y o r v a lo r d e k , si a b (a + b ) + b c(b + c) + a c (a + c ) zk a b c. B )4
C )6
D) 8
9
£
D) 16
E) 12
Siendo a ; b y c núm eros reales p ositiv os, indique el menor valor de H , más el m ayor de k , si: //= A) 2
(a+b)2 „ (b +c)3 . (a+c)2 Zk bc ac a6 B) 6 OO
D) 24
E) 4
B) +
O 10; 2]
(x 2+ 3 )
0 < - « ;- 3 7
x -1 AJI
A) 2
06
¿W<-3r+®>
@
0 -2
D) 4
D) 7
E) 8
Cuántos pares de núm eros reales ( x ; y ) verifican
A) 1 D) 6¡ 14
B) 3
[x+\y\=l
E) 2; 14
B) 2
03
E) 1
Si tenemos una función polinom ial y = F ( x ) cuya
D)4
E) más de 4
( Q ) C u án ta s tem a s de n ú m e ro s reales (x ; y ; z )
verifican el sistema. 2
1+y2
7 _ ** 2 1+z*
E )< -2 ;8 >
solo valor de x que es x 0 , hallar a + x 0 . B) 8
E) 6
es la única solución de la inecuación
@ ) Si la inecuación x 2 - 1 < a(x - 1) se cum ple para un A) 2
E) [0; 2>
^ 2 (x s+3) es [ a ; b > , hallar a b x2 -1 B) 2 0 3 D) 4
Indique A c B)4
D) R
el sistema de ecuaciones.
@ ) Dado el conjunto : A = { x e R/3x<2x+l < x - 2 }
A)R
ge ^jupie B¿j0 para
xt-4xy+5y1+2x- 8y+5<0 calcule X0+ y 0
< M ; V x e \3; 4 \
O 5; 8
E) 6
s?+a
( ¡ » ) Si ( x 0 ; y ^
el menor valor que satisface la desigualdad. 2 x * -3 x -5 A) 4; 8 B) 3; 8
l)(x?+GX+1) ^
desigualdad
Halle m y Af , donde m es el m ayor valor y , M es 4x 2+6 x +2
D )4
( Q ) S i el c o n ju n t o s o lu c ió n d e la in e c u a c ió n
son reales y positivas. Halle el valor de 2a+b+— 0 8
C)3
H alle e l in terv a lo de v a ria ció n de “ a ” si la
x > l. A) <0; 2>
x 5- l O x4 + a x s + b x * + c x - 3 2 = 0
B) 6
verifique y * € j?+ A)1 B) 2
B) 10
Si las raíces de la ecuación
A) 40
B) 6
Hallar el m ayor valor de k tal que £ ¿ ( i + x ) a k x , se
B jF W
A) 2
ab+b2 - c2 : — = 0 ;a * 0 ab+cd
es equivalente a la inecuación 4 x s - 4 k x + K 0 . Halle el m enor valor de k . A)1 Bhl C)-6 D) 2 E)0
siguientes proposiciones: I) a>0 a6<0 =>
ax+
2 A)1
B) 2
0 3
1+x2 D) 4
B) más de 4
Si la inecuación (x + 2 ) ( * U* ¿ 0 (x -6 )2 C.S.=[a; +
tiene:
A )-2
D )8
B) 6
0 2
E) 0
Luego de resolver el sistema x - —+ J — - x > - s e n x
4 \3
A)¿
B)R Q <-2;3>AD
D<2¡5> E)<-1;7>
a x + 2 x + s e n —> 0 ; a > l 2 Indique el com plem ento de su conjunto solución:
A ) + B)(-<*;6) C){ 2)
E)R
-ÍM l
©
Si
el
ra n go
de
la
fu n c ió n :
f - { ( 2 ; a - 8),(a; l)(b; p )t(2;b+3)} y está incluido en el cor jun ti {l;2;4;5}yD om f={m m )-C a\cu \ar2m +2n +4p A) 2 ©
B) 4 C a lc u la r
C) 8
el
D) 20
d o m in io
de
la
E) 40 fu n c ió n .
IA EKCirj.ofMiOiA 2012}
nasa
im h
PROBLEMA 27: ( f 28- x 2J - 2) j s e - x * ( f x/ + f ~x/)(x - f x f + 1)
Resolver
S j { - 6 ; 6}
A j[-6 ;-5 )^ (5 ;6 ]
D ) { - o o ;- 5 ) u (5;+ ® ) E ) { - 6 ; - 5 ) v (6 ;6 ) PROBIJCMA £8 :
ffx) =^J\x\-2 -x + 8 D )[-2 ;2 ]
x* + b ;-4 < .x < ¡ 2
Dada la función : f í x ) =
[2 ;ll\
C )[-6 ;6 ]
a - x 2 - 2 x ; -2 S x <3
E )[-2 ;ll]
D eterm ine el núm ero de elem entos de R a n fn Z . Si a - b = —1 a o e Z
Según la gráfica de la función f ffx)=ax*-(2+a)x+a-5
A) 29
C) 31
B)30
D) 32
E) 33
PROBLEM A 20 :
SÍ 2 < X < 3 Calcular Rangf. Si fí*) - 13*+2 | A ){4 } B ){2 ;3 } PROBLEMA 20 :
Calcule a + 3 6 + d A) 10 B) 2
D) 6
C) 12
E) 14
Esbozar la gráfica de: M |_ |[x - 4\+4 - x f l fíx) - J —z + [x ]
D ){2 ;3 ;4 }
E ){3 )
H allarlos valores de b para que la gráfica de la función f este siem pre por debajo o corte a la gráfica de g . D onde:
f f x ) ~ - \ x - 3\+ b g (x ) = y / 4 - x ; x ¿ 3
B )b e (3 ; 4 ]
A ) b e [ 4 ; +ao)
C)
Y
B)
A)
C ){2 }
C)be
(2; 3)
D ) b e <1 ; 2 ) E)b e PROBLEMA 3 1 : ____ Halle el m ínim o valor de la función &(*) = 4 4 - x : x s s
D)
kY
E)
*Y
A)-2 B)-1 PROBLEMA 32 :
CJ-1/2
D)0
E) 1
Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) ffx) = {(x ;y ) e R i /x + y - 2 A x y ^ l ] e s una función. II) f í x ) = {( x ; x ) e R 2} es una función. U i ) S i f f x ) - { ( x ; y ) e R * ly = ffx)} es una fu n ció n , entonces {(a:;y) e R* l x = ffy ) } es una función.
D ada la fu n c ió n f : [3;+
A)FVF
<&) Resolver:
Sea la función : f í x j = x - ± . x e [ ^ . 2] x x +3 Si m £ ffx) £ M . Halle la sum a entre el m ayor valor de Af y el m enor valor de Af
A )x e (i D )x e
\Z ^ 1* 1 x -1
-'4 1
4]
[1 4 ]
E )x e
A) 1/2
4 - ]
B)VFF
B) 113
Halle el dom inio y rango d e la siguiente fu n ción : ffx) - ^ x \ -1 X a¡ R an f
-
[ 0 ; l )
C)1
D)VW
0 )2
E)WF
E) 2/3
( @ Si m y n son las abcisas de los puntos de corte de las gráficas de: f(x ) = - [V i j
PRO BLEM A 2 6 :
A) D om f = { - j 2 ; - f 2 )
C)FW
g(x) = x s - 14x + 46
Calcular m 2 - n 2 si m > n B íD om f = (2 ;2 ) R anf -
( - 1 ;
2)
D )D om f « [0 ;J 2 )
EJDomf - (-J ;2 )
R an f « [0 ;2 )
R a n f = {0 ;l)
CJDomf ~(r & ; j 2 ) R ^ n f = (o ¡2 )
A) 56
B) 48
C) 14
D) 64
@ ))D ad a la función f : A=> B Dar los valores de verdad I)
Si ( x ; y ) e f
a
( x ; z ) e f -* y = z
I I ) Si ( x ; y ) e f a ( z ; y ) e f ^ * x = z
E) 28
H O I C M O M iS R m u V O S ] A)(0;l) B ) C ) ( 2 ; +oo) D)R*- { 1 } E)(0;T)u(l;2)
í SEMINARIO TjU .L V K # 9 IW R anf c B IV )
Si ffx) = x + 5 a A = [-3; 2] -> f(3) = 8
A )V W
B)VFVF
QVFW
E)VWF
D)W FV
@ Si {a;6;cj c R+-{i} y los números 1 ; Logbc y Logea son raíces de la ecuación en x: x 3 - ( L oga a 3b ) x 2 + (L o g b 6sc ) x - 1 = 0
Dada la función g : A c Z + R Indique la suma de los elementos del dominio de g t si gfx) = -Jx - 1 + \¡6-x A) 15
B) 10
C) 14
D) 20
E) 21
Halle el rango de la fu n ción f dada por
Halle • ° 2 + b2
b2 + c 2
a2 + c2
bc
ac
ab A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
EJO
@ Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
f = {(* íy ) e R2/* > 2 a y = x + -^ ~ 2 ¡
A )(0;+co) B )(2 ;+ a o ) C ) [ 6 ; + oo) D ) ( 2 ; 6 ] E )R El rango de f(x) = ^ - \ ( x - í ) 2 + 2\x\^ es. A JR -[-J;7]
B ;R -(-J ;i)
D )(-< n ;0 )
E ) (—Í ;+ o o )
II) 42Log6 3 = *$9 Log07 37Log, x t III) Si ffx) = Sgn •
ffx) = -1
E ogoj
C /< 0 ; + oo)
A)VW
@ ) Sea f una función. Demostrar que f se puede expresar como ffx)=g(x)+hfx)
(j}>)
Donde g(x)=g(-x) y h (x )= -h (- x), V*eR.
A )1
B)VFV
C)VFF
D)FW
E)FVF
Determine el valor más simple de: { - C o L o g 3 [ A n /í L o g 4 ( L o g 4 8 ) ] } B) 2
Según las siguientes gráficas
C )3
B)Loga
E) 5
D) 4
l + Logab
Simplifique la expresión A)a
Log3 4
a [ l + L o g ba
} E)Logka
D)b
C)Logb
(75) Halle x , al resolver : L ° g 2 ( ~ y ) “ 1 = L o g 2 í j ¡ ) " L o g * ** " 5 * A) 3
B) 4
C)5
D) 6
B)7
Calcule x al resolver Log[Log3 {Log^x)]+ L og [L og (UgjX) 7 ] = L o g 3 -L o g ( Log7 x )
Si tenemos la condición L o g 2 ( x 2 + í ) + L o g 2 ( y 4 + 1) + L o g ¡¡ ( z 2 + l ) = 0
A) 27
Halle : x (y -l ) (x-2) AJO
B) 1
* C) 2
D)
B ){-2 ;-l)
H 1
D )3
2 ' 2
C )[-y f3 ;-l)
E) 81
L o g a { 4 b 2 - x 2 + 4 c 2 - x 2 ) = 'L o g a b + L o g a c - L o g a x
Donde a = b 2 + c 2 a b ; c e R bc
A)
_ . C)
- . 1 1 1 B)
JH
bc Jb2 + c2
2 -2
E)
D)
Q ) Si are y son números reales positivos para los cuales se cumple:
L o g , x 3 = _3 ; y B ° g 2 * + L o g 2 y = ^ L o g3r94 | 9 Log3x - L o g 3y
m
b e
E )J b 2 + c 2
b2 + c2
Resolver l o g x U x 2 + 4 + J x 2 + 9 ) = 2 L o g 2 5
A ) {2 }
Calcule
C ){ }
B)
D)
E)
Resolver : L o g U. J} ( x - 3 ) 2 = 2
A)<1) • '( 1 ) ’
D) 48
E) 4
Jb2 + c2 3
C) 45
Resolver en x
(ff¡) Indique un intervalo que no está en el conjunto solución de S U g ^ ^ I x g ^ J , A)
B) 30
c'( í T
0 ,3
Si \tt\< i , resolver : L o g íJft{ ( l - tal)* > 2
E m
B){3)
R e so lv e r:
C ){)
/ -v-LqgW2
V4J
D){2)
E)<4)
[ y -*
¡A
A ){-5 ;5 ) D ) ( - 2 0 ¡ 20 >
B ) (-10 ¡ 10) E ){1 0 } 00
C )(-l;l)-{0 }
16 0
m
Í+I r l* + x Si L n ( l + r ) = ] T f 1) X — y fíx) & = in t a Ul Halle la traza de f ( A ) tal que '* A)0 B)2 C) 4 D)1000 E)1257
“
\L oga x (3 _ *)) ¿ \L ogs *| + \Lo g , (3 - *)|
Resolver : A)[1;3]
E )(-l;l)
B)[0;3>
C)<-1;1>
D) [0;5>
i
C )2
E )1
Hallar *
Resolver L o g x < 4 j L o g x D )(l0 ;1 0 ,e )
32 1 6 |»ta^clu e ,l » k c Z *'Calcule
n k
k
A ) ( l ; 1 0 ) B ) ( l ; 1 0 , e ) C )4
E V < m a p g P M 2012]
b + c
c + a
a + b
bj+Cj
C i+ a t
a¡ +bj
b2 + c 2
c2 ^ a 2
a 2 + b2
= k
a
b
c
ai
bi
Cl
a2
b2
c2
E)[1;2) B)2
A)¡ •
Resolver en * :
G r a f i q u e la f u n c i ó n
( Logm*y)
0)4
C)1 f:R = > g
d e f i n i d o p o r:
( n 2Log” mA Lo*’>*yJ = n x ; { m ; n ; y } c R * - { 1 } B) 3
A) 4
C) 2
0 )5
E) 6
fl x y 1 + z + w ' i y * t +X+ W valor de la determ inante de 1 z w 1 + x + y es W X 1 + y + Zj A) xyzw
B) x+y+z+w
Si la m atriz
C)0
0)1
E)2
2 j es una raíz de P(xi = Xa - p x + q ,
calcule el valor de -P— q +1 B)2 A)1
0 )3
C)-1
E)0
@ J S ea A = ^#. _ 2j : * = J - i . Calcule \PiAf\ sabiendo que P ( x ) = l + x + x s + x s + ... A)1
B) 0
C )-1
0 )4
£)5
n . tu t :S SE>II\AKI4I 9 . P:\RTEI I 04) € 03) A o í ) b 09) A 09) €' 07) e OH)B 09) C 10)0 Jl> E 19) O 13) B 14) E 15) B 17) B MH)A J9)A 90)D Í0 ) € 91) E 99) 11 93) E 9 4 )0 95) C 99) A 3 7 ) E 98) C 99) r 30) D 31) E 39) E 33) .1 34) B 33) € 39) C 37 )• 38) * 39) • 40) *
Sea A
1 7) ; B * ( 9 fi) además X+Y=A ; X - Y = B Calcule traza (2 X + 3 Y J A)1 B) 2 C) 4 D) 0 E)8 A es una m atriz nilpotente de orden 2 .
Halle B = [(/ + A) "+( / - A ) " ] , si l: Identidad y n e N ; n * 2 A) A B)2A C) 21 Sean:
,
[ i 4]
n
[ 7 «1
D)nA
E) l+A
T \l o l
0 Determ ine la sum a de los elem entos de la m atriz resultante de A 2- B 2- 6 ( A - B ) + 1 8 1 1 . A) 390 B) 280 C) 240 O) 800 E)122 m 1) Siendo f1 0 (2 } 2 A =: a \¡B = <2a) *C = [o 1 0) UJ
; D = A & .C y £ = C '.B '.A '
Si se cumple D = k E , calcule k A)5 B)2 C)1
D)3
E)4
oe) 11) 19) 91) 99) 31) 39)
4.
97) r OH) E 09) A 19) II 1 3 ) 0 14) B 17) .1 1 8 )E 19) D .1 99) A 93) II 93) E E 97) c 38) B 99) II € 39) B 33) E 34) C B
u c A
E)3
A 10) C 15) D 9 0 )0 93) II 30) B 35) C
ÍLAVES Sl.tlLXARIO 0 - PARTE III ! OI) A 09) € 08) A 04) B 05) D 09)11 07) B 08) V 00) • 10) B I I ) B 19) B 13) r 14) B 15) C 19) .1 17) B 18) 11 19) D 30)E 91) B 99) r 93) .1 34 )B 05) A 99) A 97) E 98)11 30) E 80) E 31) E 39) E VL.M ES SEJIIXARIO 0 - PilRTE IV ¡01) B 09) E 03) B 04) E 05) € 06) A 07) • 08) • 09) A 1 0 ) 0 11)C 19) B 13) B 14) A 15) B 19) E 17) A 18) C 19) C 30)C t l ) C 99) A 93) B 34) E 95) ( 89) C 97) A 98) A 30) 11 30) € 91) E 3 9 ) C 3 3 ) V 3 4 ) B
[
J !C M
P M
0 Z M
4 * JV W
C &
»
M
*
M a íz
D E C I M O SEMINARIO 0 1 . R e s o lv e r
el
p r o b le m a
de
A) $4000
U ilid a d
: $ 4 0 p or h ectá rea
T r a b a jo
:
: $ 3 0 p or h ectá rea
M a x im iz a r
T r a b a jo
:
a
x + y s l
debe
x ¿ 0 , y 20
u tilid a d ?
A ) -2
B) 0
D) 3
E )4
3x + y
y , s u je t a a :
6
£ 8
B ) 1 0 ,7
D ) 1 6 ,5
C ) 12
4x
¿C u ál
cad a
uno
m a x im iz a r es
la
A) 2
una
C ) 17600
u r b a n iz a c ió n
S u rco, de
se
dos
del
van
a
+
3y
s u je t a
a
la s
30
000
r e s p e c tiv a m e n te .
r e s tr ic c io n e s : 30x + 20y £ 1800 ; x + y £ 80; x £ 0;
ysO B) 240
D) 260
E) 280
C ) 250
0 0 0
,
000
e x ig e q u e e l n ú m e r o tota l d e c a s a s n o d e b e s e r s u p e r io r a 8 0 . s a b ie n d o
la s u p e r e c o n ó m i c a ¿cu á n ta s
x + y £ l5 0
deben
casas
$3000.
su per
c o n s tr u ir s e
e c o n ó m ic a s
para
ob ten er
el
13
21
11' 1 9 ’ 29
2n -1
2 n -3
A)
B) 4n - 3
2n2 - 3
n* + n
- 1
C)
n2 - n
+ 1
n2 + n
- 1
D) n2 - n
m u n ic ip a lid a d
c a s a e c o n ó m ic a e s d e $ 4 0 0 0 y p or
0 4 . M a x im iz a r f ( x , y ) = x + y s i
C)
{21
7
' 5
y
q u e e l b e n e f i c i o p o r la v e n t a d e u n a
A) 220
20
B ) 21
1- i -
em p resa
$20
La
625
s u c e s ió n :
c o n s tr u ir
La
y
20
{20)
s ie n d o e l c o s t o d e c a d a tip o d e c a s a $
la
1 2 . D e t e r m i n e e l n - é s í m o t é r m i n o d e la
d is t r it o
tip o s : e c o n ó m ic a s
e c o n ó m ic a s .
en
su
D) E) 20200
64
20
u tilid a d
co n s tru cto ra d is p o n e d e $ 1 8 0 0
0 3 . M a x im iz a r la f u n c i ó n =
p a ra
D ) 18210
su per
E ) 18
= f(x.y)
de
8 )1 4 5 0 0
casas
x 20 , y ¿0
Z
p la n t a r
de
A ) 9 .8
h ectá rea s
té r m in o
4 ’ 2 7 ’ 256
h e ctá re a s p or h ora
1
A ) 12560
08. En
6
el
s u c e s ió n
m á x im a ?
C) 2
0 2 . M a x i m i c e f ( x ,y ) = 4 x + x + 3y s
¿C u á n ta s
la s r e s tr ic c io n e s
1 1 . D e te r m in e
9
U ilid a d
S u je to
E) $12 000
T r ig o
p r o g r a m a c i ó n lin e a l z (x ,y ) = 3 x + 2 y
D ) $11 0 0 0
h e ctá re a s p or h ora
2
B )$ 8 0 0 0 C ) $ 1 0 0 0 0
+ 2
n2 - n - - 3 E) n2 + n - 5 1 3 . ¿ C u á n t o s t é r m i n o s t i e n e la s i g u i e n t e s u c e s ió n ? { 1 3 ; 1 6 ; 2 1 ; 2 8 ; 3 7 ; ......... ; 7 9 6 ) A) 26
B)
27
D) 29
E ) 31
C ) 28
1 4 . D e t e r m i n e e l t é r m i n o r v - é s im o d e la
m á x im o b e n e fic io ? x >
2 0
;
y >40
.
x, y e Z *
A ) 120
B) 130
D) 150
E ) 160
0 5 . M in im iz a r : C (x ,y ) =
C ) 140
A) 20
B) 40
D) 60
E) 70
x +
y , s u je t a a
8
p a ra
40x + 1 0 y > 2 4 0 0
m á q u in a s
10x + 15y > 210 0
0
,* y >
0
D )1800
E) 1920
m 2 d e a lg o d ó n , 1 1 m la n a .
seda,
2
1
r e q u ie r e
de
2
16
d e se d a y 15
t r a je
r e q u ie r e
la n a .
lo
a lg o d ó n . 2 m Si
Un
2
m 2 d e a lg o d ó n ,
m2
m2 de
1
U na
s ig u ie n te : d e seda, 3m
1
lo
m2
de
d e la n a .
2
Mecánico Béctñco Max. de horas disponibles Se
sabe
tod os
m u estra con
m á x im a
D) $ 480
para
ob ten er
h acer la
t r a je s B ) 4 t r a je s C ) 7 t r a je s
0 tú n ic a s 3 t ú n ic a s D ) 3 tr a je s
2 tú n ic a s
E ) 5 tú n ic a s
4 1jn i c a s
0
la
0 7 . U n g r a n je r o t ie n e 4 8 0 h e c t á r e a s e n
la
la
fa b r ic a c ió n
de
c r u c ia l
m árgen es
r e q u e r im ie n to s
de de
la
4n+3n
D)
E) 3n
3n n -3
15. S i S
e s la s u m a d e lo s “n"
•-
3n+2
p r im e r o s té r m in o s d e u n a s u c e s ió n .
A)
^
m
rc
(3 n + 5 ) ( 3 n + 2 )
C)
(3n+5)(3n+2)
11
3n -5 D) — (3 n + 5 ) ( 3 n + 2 ) (3n+5)(3n+2)
c o m p a ñ ía
(3 n + 5 )(3 n + 2 )
vende
que
p rod u ce.
u tilid a d
m á x im a
1 6 . S i (a )
1 "JneZj
_ e s una
s u c e s ió n
C) $ 440
V s e e s p e c ia liz a
a , =7,
a «= 49 , n 5
c ifr a s
del
7n*n- ’)
a „=
2, en ton ces
ta l q u e
^ 1
la s u m a d e
p rod u cto d e
la s
to d o s
lo s
B. S i V
r e p r e s e n t a la c a n t i d a d d e
n c r e c e Ilim ita d a m e n te e s .
a r tíc u lo s
p r o d u c id o s
A) 3
del
la c a n t i d a d
tip o A
de
y
a r tíc u lo s
p r o d u c id o s d e l tip o B , s u je t o s a: x + y
D e te r m in e
D)
a, la u t ilid a d m á x i m a
D ados
e stá
u t ilid a d
y
lo s
P (x . y ) = (3 x + y )
que
se
B )4 E)
6
C) 5
7
17.D a d a la s u c e s i ó n { a 1(
< 8
veran o.
la b o r a le s
4 ° - 3°
3"
t é r m i n o s d e la s u c e s i ó n { a n} , c u a n d o
2 x + 3 y £ 12
d u ra n te
3"
e n v e n d e r d o s t ip o s d e a r tic u lo s A y
El c a l c u l a
h oras d e
C)
H a lle e l t é r m in o a ^ v
E) $ 520
2
q u e tie n e 8 0 0
2n - 3 n
B)
3n
ta b la
in fo r m a c ió n
B) $ 400
la q u e p u e d e s e m b r a r t r i g o o m a í z .
a d ju n t a :
En
2n + 3 n
(e n d ó la r e s ).
rep resen te
t r a je s
d is p o n ib le
la
1 0 . U n p e q u e ñ o n e g o c io
c a n tid a d d e d i n e r o ?
io s
la
a r tíc u lo s
D e te r m in e
A) $ 360
debe
que
tos
el
c o n fe c c ió n
e s ta c ió n
C.
tres
f + 2"
E)
cad a
t r a b a jo
y
u so
S '2 7
3n-2
m ensual
8
B
del
A)
r e q u ie r e
A B Utilidad/unidad C 2h 1h $4 ih 1h 2h 1h $6 180h 160h 100h
tú n ic a p o r $ 5 0 , ¿ c u á n t a s p i e z a s d e
A)
uno
tú n ic a
e l t r a je s e v e n d e p o r $ 3 0 y u n a
sa stre
A,
se
C ) 1200
0 6 . U n s a s tr e tie n e a s u d is p o s ic ió n
s ig u ie n te :
Cada
e lé c tr ic o s
e s t o s d o s t ip o s d e a r tíc u lo s . B ) 1140
de
y
fa b r ic a c ió n
r e la c io n a d a
A ) 1100
m2
su
a d ju n t a
5x + 15y > 1500
m e c á n ic o s
m e n s u a lm e n te .
la s r e s t r ic c io n e s
x >
s u c e s ió n
0 9 . U n a c o m p a ñ ía p r o d u c e d o s tip o s d e a r tíc u lo s ,
6
C) 50
P , si
=
J í
y an*t
=
...........a n) ; ^
,v n
d e te r m in e e l e x p o n e n t e d e
2
si *
en
1
el
t é r m i n o an
dada por .1 0 0 0
d ó la r e s .
A ) 2“" D) 1 -2 "”
B) 1 -
2n
E )f e
,
C ) 1 + 2 “"
LA
y*EUZD
c 18. S e a
ia
s u c e s ió n
{ a ,,} c u y o s
p r im e r o s
cu a tro
S on verdad eros.
13 A)
té r m in o s
B) 7
2
C)
6
£ £ -1 1 1 1 *
i
5
*
1 0 1 5
0. J
20
de
la
s u c e s ió n
son
B)
D ) 21
E) 22
1 9 . I n d iq u e
la
19
o
q u e c u m p le n : a n <
v n >
26. S ea
1
an> I. { 2 n + 1 }
II)
E)Hy
B )2
C) 3
D )e
E) 5 {a n }n«N
s u c e s ió n
I5 (a n + 1 ) 2
y
0
una
=
2
+
7 a „;
B ) s o l o II
D ) I y lll
E ) I y II
2 0 . D e te r m in e
C ) s o l o lll
D)
E)
6
E
Si
cu á n ta s
{a j
p r o p o s ic io n e s
es
[b j
c r e c ie n te ,
c r e c i e n t e c u a n d o bn = a * + Si
{a j
es
c r e c ie n te ,
2
°
{-a „}
es
A ) s o lo I
B ) s o l o II
D ) I y II
E ) II y lll
~
1
+
{a ^
. M
B )e
D) e*
E) e *
3 5 . D e te r m in e
e l v a lo r d e
cóm o
que
resp u esta
h a c ia
la s u m a
cero de
De
e stos
A )-2
B ) -1
D) 1
E) 2
con verge a -
{a n }
es
L a s u c e s i ó n {a n } e s d iv e r g e n t e
D ) I y lll
E ) II y lll
C ) s o l o lll
2 2 . D a d a s l a s s u c e s i o n e s : { n 2 ~ n} ,
1
D e t e r m in e e l v a lo r
A) 10605
B) 10505
D) 12700
E) 13705
{ n 2 },
B )i
D) 2
E )4
C )1
d e la s u c e s i ó n :
B) 0
D )2
E )3
D) 4
E) 5
n e N
1-25” nit C )1
I.
T oda
s u c e s ió n
c r e c ie n te
( n + 1 )n
a cota d a . II. T o d a s u c e s i ó n c r e c i e n t e y a c o t a d a e s con v erg en te. III. T o d a
s u c e s ió n
B ) s o l o II
D ) I y lll
E ) lll
C ) I y II
A )0
B) 1
D) 3
E )4
A) 40
B) 60
D ) 31
E ) 51
.
(a
)•
C ) 20
3 9 . D e t e r m i n e e l v a l o r d e n a l r e s o l v e r la k = 4{n+1).
d e fin id a p o r :
C)2
an = ^ 1 - £ j
u 3
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2 9 . D e te r m in e e l v a lo r d e c o n v e r g e n c ia III.
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c u a t r o p r i m e r o s t é r m i n o s e s - 1 5 ; la
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c ie n c ia s , 2 d e r a z o n a m ie n to y 3 d e lo s
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cu á n ta s
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n ú m e r o s c o m b in a to r io s
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p o s ib le s
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B )1036300
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A ) 1036200
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8 6
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l i b r o s d is t in t o s d e á l g e b r a ,
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A) 360
81. S o b re
6
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p erson as,
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n a c io n a lid a d s e s ie n t e n ju n t o s .
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. E n u n a m e s a r e d o n d a s e s ie n ta n a
pueden
a r g e n tin o s
que
a
B)
d eg u sta r
p a n a m e ñ o s p u e d e n s e n t a r s e e n fila
7 2 . C a l c u l e e l v a l o r d e n a l r e s o l v e r la
56
sen ta rse,
m an eras 4
"A ”
que
el
8 7 . ¿ C u á n t a s p u ls e r a s s e p u e d e n h a c e r
B) 24
p eru an os;
ir d e
c a m in o s
c a lc u le
m e s a c ir c u la r ?
C )720
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A ) 12
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de
g r á fic o ,
q u e s e s i e n t e n e n u n a m e s a c i r c u la r
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una
s ig u ie n te
6 5 . Si ei n ú m ero
36
podem os
D ) 880 cu á n ta s
el
A
, 1 3 ( 1 3 ' )
A ) 13
12
c ifr a s
de
B) 624
80. D e
E ) 120;
9
lo s lu g a r e s p a r e s ?
7 1 . D e te r m in e e l v a lo r d e :
e c u a c ió n
y
m u je r e s d e fo r m a q u e e s t a s o c u p a n
8
( 1 3 ! ) 13' . ( 1 2 ! )
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6
D) 100; 36
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A ) 520
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24
r e c o r r id o m ín im o .
a n t e s d e e n c o n t r a r la c o r r e c t a ?
n términos A) 4
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7 0 . D e te r m in e e l v a lo r d e n e n : 0! 3e| ^ 2!
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C)
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c o m b in a c ió n A) 1
B ) 120;
pa ra
m a r c a d o c o n lo s d íg ito s : 1, 2 , 3 , 4 y
n e N.
A) 60; 36
n ú m ero
c o m b in a c ió n d e 4 a n illo s , c a d a u n o
5;
p a la b r a s
e n c u á n t o s d e e l l o s tie n e n la s
84. En
13
(n +
de
d is t in t a s q u e p u e d e f o r m a r s e .
D ) 126
A) 20
78. Q u erem os (n +
n ú m ero
s ie m p r e
3,
d ife r e n te s
C )ag
la p a l a b r a
C ) 2880
d e la p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a ?
D) a ;
4
lo s
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de
B )an
la s le tr a s d e
3 l e t r a s E ju n t a s .
ord en arse
n ú m eros
A ) a io
t e r m in a n
P ic a s s o ,
¿cu á n tos
...
el
C ) 28
cu ad ros
cu ad ros,
77. C on
to d a s
120
P a r ís , s e v a n a c o l o c a r e n
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C) 50
E)
i)
7 6 . E n u n a e x p o s ic ió n e n el m u s e o d e
5.
g e o m é t r ic a fo r m a d a .
A) 30
y
6
d e V an G o g h . ¿ D e cu á n ta s m a n era s
s ie te
D) 95
C ) 81
"S E L E N E " d e te r m in e e n e s e o r d e n :
cu a d ro s d e R em bran d t y 2 cu a d ro s
C )1456
B) 72
ii)
d ife r e n te s 67. S e
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A) 36
83. C on
7 5 . C o n r e l a c i ó n a la p a l a b r a " T E O R I A *
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es: A ) 648
C ) 5424
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4
C)
I n t e r p o la
g e o m é tr ic o s
B )4320
le tr a s c o m ie n z a n
h a lle l a r a z ó n d e la P . G . A) 2
A ) 2140
ÍJX
st e l deben
C)482
IMiS 101. 9 0 . D e te r m in e
el
v a lo r
de
x-2
en
la
Un
p r o fe s o r
tiz a s
X
c; c4
e c u a c ió n :
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de
4
tie n e
c o lo r e s :
r o ja s ,
x-1
una
c a ja
de
b la n c a s ,
6
109.
4
C u á l(e s )
de
I.
Al
1'“ 2x.3 +— xj
d e s a r r o lla r
to m a r 3 t iz a s d e c o l o r e s d ife r e n te s , A) 3
B) 4
9 1 . D e te r m in e
C) 5 el
D)
E) 7
6
v a lo r
de
n
la
s ig u ie n te e c u a c i ó n : / \ / V ( 1\\ n' + 14 + 36 + 24 = 256 1 2 , l¿ j .1 ; W A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E)
A ) 141 102. y
D) p3n n
el
+
103.
C) c f
v a lo r
“n"
fn
« —
en
la
A n
B)
C)
6
cu á n ta s
D) 9
8
E ) 10
m an eras
se
pueden
u n a c o le c c ió n d e 5 c o r b a ta s ?
p re g u n ta s
B) 23
r e g u la r e s
d ifíc ile s .
¿D e
cu á n ta s
d ife r e n te s
puede
e la b o r a r s e
104.
fís ic o s
de
m an era
que
en
A) 120
B) 140
D) 180
E ) 240
96. ¿C u á n ta s
m anos
y
poker
A )3744
B )3850
D) 4884 9 7 . S e is
*
s e is
fo r m a s
y
s e is
p r im e r o s
m u je r e s
el
n ú m ero
D) 6300
E) 7560
C o n 4 fu tb o lis ta s
s u b c o n ju n t o s te n d r á u n t o t a l? E )81
7,
si
la s
o b lig a to r ia s , m an eras
dos
p r im e r a s
d e te r m in e puede
de
son
cu á n ta s
escoger
su s
p re g u n ta s. A) 24 De
B) 36 C ) 42 D) 48 E) 56 7
h om bres
escoger
6
m u je r e s
2
p a s a je r o s
gru pos
Q
5040
y
pueden
fo r m a rs e
uno,
de
ta l
A) 250 B) 300
2
m u je r e s ? C) 360 D) 450 E) 525
O b te n e r el del
d e s a r r o llo , n e N . B ) 14
¿C u á n tos
C ) 35 D) 42 E) 56 té r m in o s
p resen ta
el
d e s a r r o llo
de:
n ¡-x + y
si
lo s
té r m in o s
de
lu g a r e s
7m o
B) 47 C) 48D ) 49
D e te r m in e
e l v a lo r d e
y
8
vo
E) 50 “n "; s i e l
de
x2 +
A) 30
1 Y c o n tie n e B) 40 C )
6 6
a
x 12.
D) 70
E) 78
B) 600
G daB ffixsaG ein srossaea®
D) 805
E) 896
Al
d e s a r r o lla r
C ) 696
el
b in o m io
+.1 —
cen tra l
x 60
cu ya
p a rte
y 800, d e t e r m i n e
A) 25
un D 2 í i ® i M M a s f f l ¡ i 8 f i e s 5
E iD in ia iiia iiiim r a m m m w m w m w m
m o o n r a r a u E iE i sBsesaasass&assffXBi
lite ra l
E n a n r a m u E iK a ia
e l v a lo r d e
fflíB á ía a íB íB fflflS ÍO B I
B) 38 C) 44D ) 49
E) 60
O E iiio o ia B E a
gBB®S3S8S®05S38S>fflD
D e t e r m i n e la r e l a c i ó n e n t r e r y n que
lo s
c o e fic ie n te s
té r m in o s d e lu g a r e s 3 r b in o m io
(1
A) n = r
+ x)
y
de
Si
r + 2 del
r +— X;
el
í
B S $ ( 8 Q ( jB ®
í
(S/<33(3D9J
SS¡BS8S¡05SaS8SS80S)E¡l
D E io o o r a B E ie in
d e s a r r o llo
del
b in o m io
21
EB£B EB¡30 ES Sffi ® SS 0P SU) D E IO E O ÍB B B IE IB B
e l t é r m i n o d e lu g a r (r -
2
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sflSB S® $8S8Sffis® s8s® nn®
D m a r a r a o n n im a
q u e o c u p a e l lu g a r (r -
2
) con ta d os a
p a r t ir d e l p r im e r t é r m i n o ? A) 27
®
HE3E1E3E1E3E1DE1E]
s e a n ig u a le s .
B ) n + r = 0 C ) n = 2r
en
E l i ! 13 E l E l I I E l E l E l
lo s
D ) r = 2n E) n = 3r 106.
r a a iio o ia ia ia ia ii
, s e o b tie n e un s o lo
e s e l g r a d o r e la tiv o a x d e l té r m in o
d e b e n h aber,
29.
in d e p e n d ie n te
n ad ad ores
8
p od rá
c o m ité
té r m in o
es
t é r m i n o d e l u g a r 2 5 , e n la e x p a n s i ó n
t i e n e p o r g r a d o r e la t iv o a x , 7 ¿ C u á l
el
x)
112.
p erson a s. ¿ D e cu á n ta s m a n e ra s s e sí e n
de
1>
de:
vagón.
c o n t a d o s a p a r tir d e l ú lt im o t é r m i n o
esto;
c o m ité
se
lo s té r m in o s 1o , 2 o y 3 o d e l d e s a r r o llo
111.
5
h acer
un
y
lo s c o e fic ie n t e s d e
A) 224
para
p r e g u n ta s , d e la s c u a l e s h a y q u e
de
CLAVAS DEL SEMINARIO I O
107.
9 9 . S e tie n e u n e x a m e n q u e c o n s t a d e
elegir
la s
E = m + n. -
La su m a
C ) II y
m e n o s u n fu tb o lis ta ?
té r m in o
e le m e n to s c a d a u n o ¿ c u á n t o s
110.
el
p o r lo
es
C) 32 D) 64
el
in te g r a n te s c a d a
6
n -1 0
B) 16
que
,n+20
9 8 . S i un c o n ju n t o tie n e 1 5 s u b c o n ju n t o s
A) 7
m an eras
B) 3 78 0
casos:
2
ig u a l
a le a to r ia m e n te
cu á n ta s
de
D) 163 0 0 0 E) 164 0 0 0
E ) I, II y III
p re g u n ta s
C ) 120 D ) 180 E) 274
•A ) 1 2 6 0
106.
A ) 1 6 0 0 0 0 B ) 161 0 0 0 C )1 6 2 0 0 0
D ) s o l o III
d ic h o
m a n era q u e e n c a d a g ru p o s e ten g a
son
B ) s o l o II
A) 46
de
m u je r e s
p u estos
d e te r m in e
o
A ) s o lo I
A) 7
B) 60
o c u p a d o s p o r cu a tro h o m b r e s y d o s
debe
p re g u n ta s
al
c o n t a d o d e s d e e l fin a l.
1 0
y 4 e n el v a g ó n resta n te?
E)5772
h om bres
m ayor
¿C u á n tos
c o m p ite n r e a liz a n d o c ie r ta ta r e a . S i
100.
3
grado
40 3 r +— 1> o c u p a xVx xj
d e s a r r o lla r : lu g a r
5
tie n e n igual c o e f ic ie n t e ?
105.
C )4 5 5 0
de
v a n e n un v a g ó n , 3 e n e l otro v a g ó n
c o n t i e n e n e x a c t a m e n t e u n ful l ( 3 d e u n a d e n o m in a c ió n y d o s d e o t r a )?
té r m in o
N u e v e p e r s o n a s a b o r d a n u n tre n
¿D e
cad a
C ) 150
de
vez
escoge
u n o s e e n cu e n tra n 4 m a te m á tic o s ?
1 0
y
4
q u e tie n e 3 v a g o n e s , c a d a p a s a je r o
m a te m á tic a s
6
su
A) 30
C ) 25 D) 26 E) 28
p u e d e n to m a r c o n
de
fá c ile s ,
d ifíc ile s ?
9 5 . ¿ C u á n to s g r u p o s d e 7 m ie m b r o s s e
lo s
05
p re g u n ta s
a
e le g ir d o s o m á s c o r b a t a s d e e n tre
A ) 21
. El
6
a la s r e g u la r e s y e l n ú m e r o d e e s t a s
94. ¿D e
5
de
fá c ile s d e b e s e r e s tr ic ta m e n te m a y o r
3
A) 4
x /
s ie m p r e
un e x a m e n
e x a m e n si el n ú m ero d e
- 1
V 5 ;✓
si
e s 7.
gru pos
m u je r e s e n e l g r u p o ?
2
P a ra e la b o r a r
de
de
fo r m a r á n
et
.
a l d e s a r r o lla r :
p re g u n ta s s e d is p o n e d e un b a n c o
f
\
rr
se
¿cu á n tos
2 1
ocu pa
32
A ) 1600 B) 1200C ) 720D ) 450E ) 100
s ig u ie n te ig u a ld a d : /
p erson as,
d e b e haber
E) r>24nn
9 3 . D e te r m in e
5
in d e p e n d ie n te
el
II. E l n ú m e r o d e t é r m i n o s r a c i o n a l e s
5 m u je r e s ; s e v a n a fo r m a r g r u p o s
d ife r e n te s
6
lu g a r
B) 282C ) 383 D) 4 2 4 E) 564
E n u n a r e u n ió n h a y 1 0 h o m b r e s
de
9 2 . D e t e r m i n e la s u m a :
s = (cs f +(ci f +(c; f + A) Cn"/2 B) c 1
té r m in o
s i e l s i e m p r e u s a u n a t iz a b l a n c a ? en
s ig u ie n te s
e n u n c ia d o s s o n co r re cto s :
5 a m a r illa s y 3
v e r d e s . ¿ D e c u á n ta s fo r m a s p u e d e
lo s
B ) 31 C ) 3 5 D ) 3 9
E )43
a¡n cas c®e asa cas caa cae ate m as®
E 1 E 1 D IE 1 I1 e i
ana
ALGEBRA LA ENCICLOPEDIA ROLE
PROBLEERA
E D IT O R IA L
ROBENOS
E :
H)
A ) {2}
S e ñ a le la a lte rn a tiv a q u e p re s e n ta la s e c u e n c ia
R E S O L U C IO N s
c o rre c ta d e s p u é s d e d e te rm in a r si la p ro p o s ic ió n es v e rd a d e ra ( V) o fa ls a (F).
I)
(p - >
q)
II)
(p-*q)v p = q
III)
q a (p —
-{i}
D) R - { 2 } E) R
• A={(x+1) e R I x 2 - 2 x + l > 0 }
x2-2x+l>0
r = p - > (q -> r ) q)
B)
C) R
Sean p, q, r p ro p o s ic io n e s ló g ic a s .
( x - l ) 2> 0 = > x e R - { l } = * ( x + l ) e R - { 2 } A = ( - « > ; 2 ) u ( 2 ; + ao)
(q -> p ) • B = { ( x - 2 ) e R l x 2+ 6 x + 9 £ 0}
A) V W
B) VFV
C) FVF
R E S O L U C IÓ N
D) FFV
E)FFF
x 2+ 6 x + 9 > 0
s
(x + 3 )2 z O ^ > x e R ^ ( x - 2 ) e R
P ara d e te rm in a r e l v a lo r d e v e rd a d , u tiliz a re m o s
B=R
la s le ye s ló g ic a s . .
I) FALSA: ( p - + q ) - * r = p -> ( q - > r )
~pvq
RI4x2- 4 x + l < 0
(2x - l ) 2 £ 0 => x = l ¡ 2 =>- = 2 x => C = { 2 )
- pv ~ q v r
P or lo ta n to , n o s o n e q u iv a le n te s .
II) FALSA :
g
4x2 - 4 x + l £ 0
~qvr
(iqta - p ) v r
C= ^ -
(p —> q ) v p = q
. D = { x e R / 2 5 x 2+ 1 0 x + l < 0 }
25x2+ 1 0 x + 1 < 0
V e rd a d e ro
P or lo ta n to , n o s o n e q u iv a le n te s .
(5x+1)2< 0, (iabsurdo )
UI) VERDADERA :
=> D = 4
E ntonces:
q * ( p - > ~ q ) = ~ (q -> p )
V -qvr
v
(AnB)=(AnR)=A
RPTA PROBLEERA 2
=> [ ( A n B ) \ D ] = [ A \ j ] = A
<|A~p
?A~p
=> [(A r\B) \ D ] kj C = A u C
s “ O "
= ((-o o ; 2 ) kj( 2 ; + c o )) u {2 }
s
=> [(A n B) \DJ kjC =R
D ados lo s c o n ju n to s :
RPTA
A={(x+1) e R / x 2 - 2x+I>0 }
PROBLEERA 3
B={(x- 2)e
S ean lo s c o n ju n to s
R I x*+6x+9 2:
0}
s “ E”
i
A = { x e M ¡\x - |a?|| £ M )
C=
—
g
R I4x
x D ={xeR
-4
x
+ 1<>0
I 2 5 x 2 +1Q v + 1 <
B = { x e R }\x + \x\ £ A f}
0}
E n to n c e s lo s v a lo re s d e M ta le s q u e A n B son:
Calcule [(A n B)\D] u C
A ) M e { 0 }
D) M e [Q;m)
r / n E) M* {-«;«>)
C) M e [ - 1;1]
PREGUNTAS
T IP O
A D M IS IO N
U N I-S A N
1465
S
M ARCOS
/
R E S O L U C IÓ N s
PRORLEM A
Sabemos que:
Dadas las siguientes proposiciones:
• Si b
£ 0 : \a \<, b => a
e [-
I) “Si existe
b; b]
• S i6 < 0 ;| a | £ 6 =>a no toma ningún valor en
tal que n2 < 0, entonces existe n e N tal que n - 5=0”. n e N
II) “Si para todo x
*
A = {xe R\x - |x||* M) B = {x e ^ Af}
Dados:
a
B=^ => A n B=¿
Luego:
III) “Si existe n e N tal que existe ar e R tal que e* < 0”.
AnB*f++MZ. O<- > M e [0; ao) RPTA
§ “ D ”
A = {*efí/|*H *||<;l}y B = { x e A I \ x - \ x \ - l |£ i } Entonces p o d e m o s d ecir q u e AfB es: C > [ - ± ; o]
m [-L ;o )
E) [ ( , ; . }
feV
R E S O L U C IO N 8
B) V F V
C )F W
D) W F
E )F F F
La tabla de verdad del operador condicional es la siguiente.
p q p->q v v V
Sean los conjuntos:
U *
< 0, entonces
R E S O L U C IÓ N 8
/
4
n2
Indique la secuencia correcta después de determinar si es verdadera (V) o falsa (F). A) V W
PRORLEM A
R se tiene x * '¿.O, entonces
e
existe ar e ( - í ;i ) tal que e* < 0”.
Tenemos que: • V M ^ 0: x —0 e A n B =$ A n B * j
• V Ai < 0: A=f
2 0 1 2
* Se utilizarán desigu aldades c o n valor a b solu to y operaciones c o n intervalos. A De A: \x -J«*r|| ■ y
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F »o * rexisten e N 1 . [ e x i s t e n e Af j I ) Si . . i - \ ,enton ces [ta l que n - 5=0 J [fa lq u e n <0\ F
V
..
•í T
. v .
I ) Si t f * 0 = > - J £ * - * £ / = * - Í £ 0 £ l I I ) Si x < 0 = > - l ¿ x + x ¿ l ^ ) y
=> — £ ar £ — a x < 0 <-> x 2
2
e
V
•
p a r a tod o existe x e R x e I I ) Si , en ton ces se tien e x 2 * 0 tal qu e e x < 0 ►
[ - f
De ( I ) y (11)
F
+® . f e x i s t e n e Af eR ] III) Si I \ en ton ces\ x [fa lq u en < 0 ) [ t a l q u e e * <0 J
De B: X e A a I x - | x I - J | £ J
-1 £ x - \x\- 1 £ 1 +> 0 £ x - \x\ £ 2 I ) Si a r * 0 = > 0 £ a r - x £ 2 a x e A
= ^ X *0 A X * -^ = > X *0
Por lo tanto, la secuencia correcta es VFV. RPTA
I / } Si ar < 0 => 0 £ ar+rr £ 2 x
PROBLEM A
< 0 a 0 ¿ x ¿1=>xg +
Luego, B=[Og +<*>)=> A /jB=
£
- ^
; 0
RPTA8 “ D ”
6
8 “ B ”
8
En un colegio el 60% aprobó aritmética, el 32% aprobó álgebra y los que aprobaron aritmética y álgebra representan el 60% de los que no
ALGEBRA LA ENCtCLOPEOLA ROLE
E D IT O R IA L
a p r o b a r o n n in g u n o d e l o s d o s c u r s o s . Si a p r o b a r o n a r it m é t ic a
y
42
á lg e b r a , c a l c u l e e l
2 x 2 2 - 6 x2~l
n ú m e ro d e a lu m n o s d el c o le g io . A )U O
BJ350
CJ360
66 4 _ 4
4 x 2 2 +2~2
M=
D )3 7 0
R U R IN O S
8 -3 RPTA
E )380 PROBLEM A
R E S O L U C IO N s
s “ O ”
O i
L os d a tos d el p r o b l e m a re p re se n ta re m o s
H alle el p r o d u c to d e la s u m a d e lo s c o e fic ie n t e s
g rá fica m en te m e d ia n te lo s co n ju n to s .
d e ( 2 x 2 - 3 y f c o n la s u m a d e lo s c o e fic ie n t e s d e ( x + y ) 4.
N: Número total de alumnos del colegio
Aritmética
A) 15
Algebra
(60% N J
B ) - 16
0
30
D ) - 18
E ) 20
R E S O L U C IÓ N i
(3 2 % N )
C o n s id e r e m o s lo s sig u ien tes e j e m p l o s : Si: P(xt= x 2+ 2 x + 5 , lu e g o la s u m a d e c o e fic ie n t e s se rá : P a , = 8 4
8% N +42
Si s e tien e m á s d e u n a variable:
no aprobaron ninguno de loa doecunoe
40% N
p u :yl= 3 x 2+ 5 x y + 6y 2 s u m a d e c o e f i c i e n t e s = P atI)= 1 4
Por d a to : 4 2 = 6 0 % ( 8 % N + 4 2 ) => N = 3 5 0
350.
=> La ca n tid a d d e a lu m n o s d e l c o le g io e s RPTAs PROBLEM A
7
* P (x;y)= ( 2 x 2 - 3 y ) s
“ B ”
s u m a d e c o e f i c i e n t e s =-Pa . 1)= ( 2 - 3 ) s = - 1
s
Si x y= 2 (d o n d e x > 0 ) , halle el valor d e la expresión
* Q<*;,>=(x + y ) 4 s u m a d e c o e f i c i e n t e 8 = Q a;J)= ( l + l ) 4= 1 6
( 4 x y ) x~y x ( x * y ) y + ( x 2 r y
N os p id e n :
2 x 2y - 6 x ~ y A) 3
B)
11
16
C)
4
D)
13
E)
(-1)(16)=-16 RPTA
16
5
PROBLEM A
9
s “ B ”
:
f (x+ 6 )=ax+b ; f(2) =-14 ; 2 9 , h alle e l v a lo r d e 2a - b.
S a b ie n d o q u e
R E S O L U C IÓ N s
f(~ 3) =
Leyes d e ex p on en tes: Sea * e R ; se cu m p le
X
„
A) 8
m _ n+m *X mmX
-
B )-6
0
10
D) 4
E) 12
R E S O L U C IÓ N s
. (x n)m= (xm)n=xnm
D e la c o n d ic ió n f i x + 6 ) = a ( x ) + b , al h acer el cam bio de variable
• X_,* = í—) ; x
* 0
Dato. x r= 2 ( x > 0 )
_ r 6
1
x + 6 = n , te n e m o s
Piden el valor d e =>
M =
( 4 X> ) x~y M x * y f
+ ( x 2)-y
A n a liza m o s lo s d a to s:
2 x 2y - 6 x y
U tilizando p r o p ie d a d e s y le y e s d e e x p o n e n te s , p o d e m o s transform ar la exp resión ; luego, ten em os: x°= l
f(2) = - 1 4 a( - 4) + b= - 1 4 - + - 4a+b= - 14....(I) • f (3) = - 29 •
-2
3 f=
y i f c í S t ó ? - J í: t í S
( X y / x y , + ( x 3f) 2 x (x y)
- 6 (x y)
-i
Finalmente, reemplazamos x Y= 2 y operam os
2a -b =2(3)-(-2)=8
N os p id e n :
RPTA t “ A ”
PREGUNTAS TIPO ADMISION 1467 PROBLEMA JO t =>a2+ Si ab=3 y a2+b2=199calcule el valor de a3 +bs. A) 75
B ) 60
C) 80
D ) 120
b + 2c+
UNI-SAN MARCOS 0 0 1 3 2 ~ be z 2 |_ -bc.~do
=> a2 + 62 + c 2 +
E ) 90
RESOLUCIÓN s
=4
RPTA r "A ”
=> a 2+62+c2=4
* Recuerde el desarrollo de algunos productos notables. (x+y) 2 = x 2 + 2 xy + y 2
(x+yf = x 3 + 3x2y + 3xy2 +y3
PROBLEMA
12 ¡ Sabiendo que a+b+c-0, ab+ac+bc- - 7 y abe- - 6 calcule
ó
(x+y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy(x + y) Piden el valor de a3 +b3 Datos:
ab=3 a2+b2=19 De acuerdo a los datos, podemos determinar el valor de a+b y luego, en dicho valor, debemos hallar lo requerido.
Io) (a+b)2 =q2 +b2+ 2 ab (a+b)2= 19 + 2(3) =25 => a+b =5 v a+ 6= - 5 (no obtiene alternativa)
A,41 36
a
C)— D)— E )36 36 36 6 RESOLUCIÓN s Datos: a+b+c-0 ■ fl) ab+ac+bc=-7, .(¡I) (III) abc= - 6............. B)49
Piden el valor de
1 1 1 2 + —^ + —
a~ b~ c Al dividir ¡I con ¡II se obtiene ab + ac + be
__ 7
abe
~~6
1
1 1 + —+ — = — c b a 6
Elevamos al cuadrado y desarrollamos el trinomio cuadrado
* Consideraremos: a +6=5
2o) (a+b) 3 = a3+ b3 + 3ab(a+b) 53 = a3 +b3 +3 (3) (5) as+bs=80
49 ^ + ¿ - + 4 - + 2 Í-t:+ — + . a b c \ab ac be 1
RPTA g “ C”
PROBLEMA I I g Si a(b+c)=- be y a+b+c=2, entonces el valor de a2 +b2 +c2 es A) 4 B) 2 C)2+Í2 D) 3 E) 4+Í2 RESOLUCIÓN g Recordemos el desarrollo de un trinomio al cuadrado. (x+y+z)2 - x 2 +y2 +z7 +2 (xy+xz+yz) Datos: a(b+c) = - be.................................. (I) i
a+b+c-2....... Piden el valor de a2 +b2 +c3. Elevamos al cuadrado en el dato / / ;
an
1 1 «í c ♦ + —T 2 + —X + 2
36 49 36
+ 2
a 1 1 1 49 + “ T- + T- = a2 b2 c2 36 PROBLEMA 13 /
RPTA g “ B”
Al dividir un polinomio p(x) entre x4 -1 se obtuvo como residuo: 3x3 +nx2+mx - 2; si además se sabe que el resto de dividir p(x) entre (x2 - l ) es 5x - 4, entonces el valor de m" es: A) -4
B) - 2
RESOLUCIÓN g
(a+b+c)2 =2 2 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)—4
+
a" b~ c abe ) Según el dato I, a+b+c=0. 2
36
« i
° 'h
E) 4
siendo D(x)\d(x)polinomios
Dada la división * * (x )
ALGEBRA LA EMC/CLOPEBtA 2 0 1 X
E D IT O R IA L
n o n u los, tal q u e ° [ D (x)) * ° [ d (x}) s e tien e q u e :
...... ■ • ■
•1
RESOLUCION t • C a m b ia n d o la fo r m a de con ven ien tem en te , o b te n e m o s
V
— 1+X+X
d o n d e : q (x) y R (x) s o n p o lin o m io s . Por dato:
R U B IN O S
la
ecuación
= 7 - ( 1 + x + x 2)
H acem os ca m b io d e variable (incógnita)
* P (x)= ( x 4- l ) q M + 3 x 3+ n x 2+ 6 m x - 2
0)
• P (x = ( x * - 1 ) Q m + 5 x - 4 ......................... (*)
an
Sea y = l + x + x 2; luego, en la e c u a ció n ten em os que — = 7 - y o y 2 -7 y + 1 0 = 0 y
De ( I I ) te n e m o s P (1)= l a Pf_,»= - 9 .
<=> ( y - 5 ) ( y - 2 ) = 0 <=> y = 5 v y = 2
R e e m p la z a n d o e n ( I ) P (1)- 3 + n + m - 2 = 1 P f_I}= - 3 + n - m
- 2
V olvem os a la incógnita inicial
n+m =0
x 2+ x + l = 5
= - 9 => n - m= - 4
v
x 2+ x + 1 = 2
x 2+ x - 4 = 0 v x 2 + x —1 = 0 n = - 2 Am = 2 => m " = 2 * = 4
U tilizam os la form u la g e n e ra l para c a d a c a s o y ob ten em os lo siguiente:
—1+4Í7
RPTA s “ D” PROBLEMA
d esa rrollo d e ( x + a ) 2"* 5 tien e 5 2 4 térm in os. B ) 305
2
14 s
D e t e r m i n e e l v a l o r d e n , s a b i e n d o q u e el A) 295
X¡ = -----
C) 2 5 9
D) 209
—2 - 4Í7 V x2 = —
-1+45 -1 -4 5 x 3 = — - — V x 4=
2 " 2 Entonces, la sum a d e las solu cion es positivas es
E) 269
RESOLUCIÓN s
Xj+X3=
- 2 + 45 + 417
RPTAs “ B”
Por las ca ra cte rística s q u e p re se n ta el p r o b le m a ; e s d e cir, e s o p e r a tiv o y tie n e e n su d e s a r r o llo
PROBLEMA IS s
cierta f o r m a c i ó n , a p l i c a m o s el m é t o d o d e ra z o n a m ie n to in d u ctivo.
Si jc e y son núm eros enteros positivos q u e satisfacen las e cu a cio n e s
Desarrollo, d e l b in o m io ca n tid a d d e té rm in o s ( x + a ) f= x + a
^
( x + a ) 2= x 2+ 2 a x + a 7
3=2+1
x +y 6x
2=1+1
( x + a ) 3= x 3+ 3 x 2a + 3 a 2x + a 3
4=3+1
A) 105
uno. Para el c a s o ( x + a ) 2**5, la ca n tid a d d e té rm in o s es 2 n + 5 + l = 5 2 4 , p o r d a to.
B ) 104 C) 103
PROBLEMA 15 s La su m a d e tod a s las s o lu c io n e s positivas d e la
1+x+x2
..-2-J5+JÍ7 A)
i
es:
B}
2
-3+45+4Í7 -.3+45+417
U) ------- r------- té)
v
El sistem a d e e cu a cio n e s n o lineales es
6x Mx + y
(I)
x y - x - y = 9 ............ (72) En la e c u a c ió n ( I ) o b s e r v a m o s la a d ició n d e d os núm eros recíp rocos n o negativos cuya sum a es 5/2; luego, uno d e ellos e s 2 y e l otro 1/2 o viceversa. Entonces, ten em os d o s casos. Prim er c a s o :
_ -2+45+417
r-------
2+45+4l7 C)
el
R esolu ción d e e cu a cio n e s irracionales y cuadráticas.
RPTA s “ C”
= 6 - x- x
hal l e
D ) 102 E) 106
RESOLUCIÓN s
x +y 6x
=>n=259
ecu ación
ti
valor de 13x+9y.
Se o b se rv a q u e la ca n tid a d d e térm in os s e o b tie n e c o m o e l e x p o n e n t e d e l b in o m io a u m e n t a d o e n
10
,
6x 5 4I = —y x y - x - y = 9, yx + y 2
2 ~ ~
x+y = 2 ; con x e y enteros positivos. 6x
=>
6x
=> y = 2 S x
PREGUNTAS
T IP O
A D M IS IO N
Son las soluciones:
Analizamos la e cu a ció n (II). x y -x -y = 9
U N I-S A N M A R C O S S O I S
1469
C . S . U - § ,!,§ }
=> x y - x - y + l = 1 0
=> ( x - l ) ( y - l ) = 1 0 , c o n x , y e n Z * . La sum a d e las solu cion es e s - 2 .
C om o y = 2 3 x => ( x - 1 ) ( 2 3 x - 1 ) = 1 0
RPTA i “ B”
Puede observarse q u e ningún entero positivo verifica esta ecu ación; p o r lo tanto, no hay solu ción entera positiva. S egu n d o c a s o : co n x e y enteros positivos.
PROBLEMA IS s Sea P ( x ) = x 3- 3 a x 2- a 2x + 3 a 21 d on d e a > 0 y Q ( x ) = - P ( x - a ) . D iga c u á l d e las s ig u ie n te s afirm aciones es correcta: A ) Q (x) ¿ P (x ), V x < 0 B ) Q (x ) ¿ P ( x ) 9 V x e (0 ; a )
■=> x + y = — => x = 2 y 6x 4
C) P (x ) ¿ Q (x), V x e (a ; 2 a ) D ) Q (x) ¿ P (x ¿ V x e (2 a ; 3a)
Reem plazam os la e cu a ció n (II).
V x>3a
=> 2 y 2 - 2 y - y = 9 ;
x y -x -y = 9 =>
2 y * -3 y -9 = 0 = >
=>
2y+3=0
(2 y + 3 )(y -3 )= 0
RESOLUCIÓN i
C om o y e Z + , en ton ces, y = 3 .
• Factorización d e p olin om ios y criterio d e los puntos críticos. P ( x ) = x 3 - 3 a x 2 - a 2x + 3 a 3
En con secu en cia, x = 2 ( 3 ) = 6 .
=> P ( x ) = ( x - a ) 3 - 4 a 2 ( x - a ) ; a > 0
Luego : I 3 x + 9 y = 1 3 ( 6 ) + 9 ( 3 ) = 1 0 5
C om o Q ( x ) = - P ( x - a )
v
y -3 = 0
RPTA s “ A ” PRORLEM A
17 t
1 Dada la ecu a ción 2 x + — 2
2
1 - 7 x + — = - 0 , halle la
2
'
^
suma d e sus solu cion es. A )-l
Rfx) = ( x - a f - 4a9ffx - a)+(x - 2 a f - 4a9fx - 2a) R(x)=(2x - 3a)(x9 - 3 a x - a 9) R(x)=(2x-3a)
C J -4
É )-2
■=3- Q f x ) = - l ( x - 2 a ) 3 - 4 a 2 ( x - 2 a ) ] Luego, si R ( x ) = P ( x ) - Q ( x ) , en ton ces
4
4
4
2 1 1 * +- - 7 x +—+ 6 = 0 2 2
-X
2
II 3 ^ X+-H - — v 21 2 1 3 => x + —* — 2 2
r)
Q fx) ¿ P (x )
S - V Í 3 >) Y (3 + )? )(* -(
.
(2x-3a )
^3
Los puntos críticos son
-2
X+ 2
i
_
-3
1
2
)
L u ego
Factorizando la e cu a ció n ob ten em os :
X+ 2
f 3+423)
Si resolvem os R ( x ) < 0 , ob ten em os P (x ) - Q fx) < 0 o
i
) f
J°¿ r l
E J -íl
RESOLUCION t
21* + -
3 -4 1 3 )
! o ;(
x + ^ -2^=0 x+J =2 1
* +2
« i
L u ego , V x e ( 2 a ; 3 a ) , e n to n c e s , s e cu m p le q u e - 2
x
=
í
v
x
■
- 2
v
*
=
— 2
v
*
**!■ 5 2
Q fx ) ¿ P ( x ) .
HPTAl “ C ”
A L G E B R A LA ENCICLOPEDIA E O IE
E D IT O R IA L
PROBLEMA LO i Halle la suma de los valores de x que satisfacen la ecuación: 2|x+3|-3|*-$| + |*-i5|=*+6 A )- 3
B )-7
C )1 0
D) -1 5
E ) 18
RESOLUCIÓN t
Pára reconstruir una ecuación cuadrática de raíces rys, se aplica: X
2
-(r+ a )x + rs= 0
Dada la ecuación x 2 - p x + q = 0 de raícesrys. Por Teorema de Cardano: ;
Para la resolución de la ecuación
De:
2 \ x + 3 \ -3 \ x -6 \ + \ x -1 5 \ = x + 6
ROBENOS
rs=q
( r + 8 ) 2= p 2
r 2+ 8 s + 2 r s = p 2
se trabajará por zonas o casos.
r 2+ s 2= p 2 - 2 q
Es decir:
Tam bién: ( r s ) 2= q 2.
Se nos pide la ecuación cuadrática de raíces r*ys* Aplicando la propiedad se tiene: x 2 - ( r 2 + s 2 ) x + r * s 2= 0
Tenemos que:
2
\x+31- 3 |x- 6 |+ \x- 151=x+ 6
Entonces: x 2 - (p 2 - 2 q )x + q 2= 0
1 *■ C A S O :
Ordenando se tiene:
x < - 3 : - 2 x -6 + 3 x - 1 8 - x+15=x+6
x s + ( 2 q - p 2 ) x + q 2= 0
d e d on d e x = - 1 5
RPTA i “ E”
2 a0 C A S O :
PROBLEMA 21 s
-3 £ x < 6 : 2x+6+3x -1 8 - x+ 15 = x+ 6
La ecuaciones de segundo grado: x 2+ b x + c = 0 y x 2+ b ’ x + c ’= 0 tienen raíz común s i:
d e d on d e x = l 3 " CASO: 6 £ x < 1 5 ; 2 x + 6 -3 x + 1 8 - x+J5=x+6
( c - c * ) 2+ ( b - b ’) ( b c f- b * c ) = 0
d e d on d e x = l l
Determínese la condición para que las ecuaciones
4° CASO: x
x * + p x + q = 0 y x 2+ x + r = 0
£ 1 5% : 2 x + 6 - 3 x + 1 8 + x - 1 5 = x + 6
de donde x - 3
^nQ Cump|e |a condición)
Los valores de x son: - 1 5 ; de los valores de x es: - 3.
1
y / / . Luego, la suma
RPTA
1
"A "
PROBLEMA 2 0 e Si r y s son las raíces reales distintas de x g - p x + q = 0 , entonces la ecuación cuyas raíces son r2 y s2 es: A) x 2+(p2 - 2q)x+q*=0. C) x2 - (2p - 3q2)x+p*=0.
B) x* - (2q - 3p* )x+q=0. D)x2 -{2p - q 2)x+p =0.
E) x 2+(2q - p 2)x+q2=0.
RESOLUCIÓN s Recordando el Teorema de Cardano, se sabe que en toda ecuación cuadrática de la forma: a x 2+ b x + c=0; a * 0 de raíces r y s se cumple que: b c r+ 8= ;rs = — a
a
tengan una raíz común. A) ( r - p - r ) ( r * - p r + q ) = 0 B ) ( r + q ) 2+ ( r - p - l ) ( r * - p r + q ) = 0
C) ( r + q ) * + ( r * - p r + q ) = 0 D ) ( r + q ) 2+ ( r - p - l ) = 0 E) ( r + q ) * - ( r + p + l ) ( r * - p r + q ) = 0
RESOLUCIÓN / Recuerde que si r es una raíz del polinomio P (x )= a 0xn+a ,x"
+... + a n; a„ * 0,
entonces: decir aúrn+ a Jrn-* + ...+ a n= 0 Como las ecuaciones x3+ p x + q - 0 y x 2+ x + r = 0 tienen una raíz en común que sea x 9, luego se tiene que: x s0 + p x Q+ q = 0 ............. (I )
P (r)=0;es
x l+ x»+ r= 0
(I I )
En (II), multiplicando por x 9, tenemos que x 3+ x 2 + r x 0= O y - x 2 Q= - x 0 - r <+ xü - x„ - r + r x n= 0
PREGUNTAS TIPO ADMISION
U N t -S A N M A R C O S 2 0 1 2
1471
Luego se tiene el sistema:
D )5 1 3 000
E )6 13 000
RESOLUCION s En la ecuación x2-(a+d)x+ad - bc=0, de raíces Xj=3 y x2=5 aplicamos el teorema de Cardano: xJ+x3 =8 =a+d...~ ..../a ; xJx3=15=ad-bc
*© +(r- I )x0 - r = 0
x 3 +px 0 + q = 0 Restando (III) y (I) , tenemos : (r- p - l ) x 0 = r + q
_
r+q r-p - 1 Reemplazando en (II), se tiene:
En la ecuación
y2-(as+d5 +3abc+3bcd)y + (ad-bc)s=0 ,de raíces yJfy 3 Aplicamos el teorema de Cardano:
_ z ± 9 _ Y + í_ r ± ± J )
r-p -l)
\r-p -l)
+r =0
Yt *y2=(ad-bc)5=155= 3375 yt+ y 3 = a3 + d 5 + 3abc + 3bcd................ (0 )
Multiplicando por ( r - p - l ) 2, se tiene:
(r+q)2 +(r+q)(r-p- l ) + r ( r - p - 1 ) 2 = 0 (r + q)2 +(r- p - l ) ( r + q + rs - r p - r ) = (r+q)2 +(r- p - l ) ( r z - pr+q) = 0
De (a) '- a+d=8 , elevamos al cubo 0
a5 + d 5 + 3ad(a + d) = 8 5 a5 + d5= 83 -3ad(a+d) Reemplazamos en (0) :
RPTA g “ B "
y x + y 2 = 8 3 - 3 a d (a + d ) + 3 b c(a + d )
PROBLEMA 2 2 s
= 83 - 3 ( a + d )[a d -b c\ ¡5 8
Para que en la ecuación p x 2+ I 0 x - 2 = 0 , una de las raíces sea 1 /8 , el valor de p debe ser A) 64
B) 48
C) 36
D ) 69
E). -1 / 3
y¡ + y2 = 8 - S(8)(15) = 152
Nos piden :
RESOLUCIÓN Recuerde que dada la ecuación cuadrática ax2+ b x + c = 0 , si a es raíz de la ecuación, entonces reemplazamos x = a . Luego se cumple lo siguiente: a ( a f + b ( a ) + c = 0 Se tiene la ecuación p x 2+ 1 0 x - 2 = 0 . . . ( I )
Como x = —es raíz de la ecuación
( i) - 2 -»
RPTAi “ D” PROBLEMA 2 0 : Si a, b y c son raíces de la ecuación: x5 - px2+qx - r = 0 donde r * 0 * halle el valor
D) RPTA i
“B”
PROBLEMA 2 3 s Si las raíces de la ecuación x3-(a+d)x+ad-bc=0 son xt=3, x 3=5\ y las raíces de la ecuación: y 2- (a5 + ds + 3abc + 3bcd)y + (ad - be) 5 =0 B)313 000
=> El valor de y f y 2 + y ¡ y 2 €S 5 1 3 0 0 0
a2 b2 c2 A)¿ + 2 pr_ B)¿ j z 2 pr
Por lo tanto, p=48
AJ213 000
y f + yiy\ = 3 3 7 5 ( 1 5 2 ) = 5 1 3 0 0 0
P -+ * -2 = 0 64 4
son yj9yr Entonces el valor de
y iy t = y¡yg f y ¡ + y 2 )
d e —” + m r +
Reemplazamos en (I) • + 10
y íy z+
yf
^2 + ^/^! es:
0 4 1 3 000
q2 + 2 p 2
E)
C) q* -
2p
q2 + 2 r
RESOLUCIÓN g
P De la ecuación cúbica x3 - px2+-qx - r=0, cuyas raíces son a, b y c, se cumple por el teorema de Cardano a+b+c=p ab+bc+ac=q abc=r Luego, nos piden calcular el valor d e :
EDITORIAL
A LG E B R A LA EBC/CLOREDÍA Z 9 1 Z
(bc) 2 + (ac) 2 + (ab) ... (a) a2+ b2 + c2 (abe) P or o tro la d o , s a b e m o s q u e :ab+bc+ac=q
4 x ~ 2 y +2z= 2^
1
e le v a n d o a l c u a d ra d o
RURINOS
x + 4 y + 2 z = ~l ' Se o b tie n e 5 x + 2 y + 4 z = 1
(***)
(a b + bc + a c )2 = q 2
Las e c u a c io n e s q u e se o b tie n e n (* ), (* * ) y (***) s o n e q u iv a le n te s a la s p rim e ra s .
=> ( a b ) 2 + ( b c ) 2 + ( a c ) 2 + 2 ( ( a b ) ( b c ) + ( b c ) ( a c )
E n to n c e s , p o d e m o s in d ic a r q u e la s p ro p o s ic io n e s
+ (a b )( a c)) = q2
=> ( a b ) 2 + ( b c ) 2 + ( a c ) 2 + 2 ( a b c ) ( b + c + a ) = q 2 => ( a b ) 2 + ( b c ) 2 + ( a c ) 2 + 2 ( r ) ( p ) = q 2
I y III d e l p ro b le m a c o in c id e n c o n (* ) y (* * * ); e n c a m b io , II n o c o in c id e c o n (* * ); e n to n c e s , n o p o d e m o s a g re g a rlo a l s is te m a . => P o d e m o s a g re g a r la s e c u a c io n e s / y / / .
( a b ) 2 + ( b c ) 2 + ( a c ) 2 = q 2 - 2 r p ....(P )
1
1
PROBLEMA 2 0 s
( p ) en (a )
F in a lm e n te , re e m p la z a m o s
A l re so lve r e l sistem a:
q 2 - 2rp
1
RPTAs **C”
a
xz= 6 (x + y )* =1000
RPTA i “ B ” PROBLEMA ES s D a d o e l s is te m a 2 x - y + z = 7 x + 4y + 2z = - /
(x + y )z=1000 e l v a lo r para y es:
A) 5
xlog(x + y)=loglOOO => xlog(x+y) =3
e l c o n ju n to s o lu c ió n n o varíe?
D)solo II
E)solo III
RESOLUCION s
De ( y ) se o b tie n e :
z l o g ( x + y ) = l o g l O O => z l o g ( x + y ) = 2 Luego de (1) y (2):
x
3
U n a c a ra c te rís tic a d e lo s s is te m a s e s q u e si s u m a m o s o re s ta m o s la s e c u a c io n e s e n u n a
— = — enton ce s x = 3 k ; z = 2 k z 2
c a n tid a d fin ita n o se a lte ra e l c o n ju n to s o lu c ió n .
R eem plazando e n ( a ) te n e m o s:
D el d a to :
E) 9
X)e(p)$e o b tie n e :
p u e d e a g re g a rse a l s is te m a a n te rio r d e m o d o q u e
C)I y III
D) 8
N o ta r que x , y , z > 0.
x~5y-z = 2 II)3x+3y+3z=2 III) 5x+2y+ 4z = / ¡)
B)I y II
0 7
RESOLUCIÓN s
¿Cuál d e la s s ig u ie n te s e c u a c io n e s
A)solo I
B) 6
2x-y + z = / x + 4 y + 2z = - /
6
k2 =
6
;
k>
0
entonces x = 3 ; z = 2 De ( y ) se o b tie n e : ( 3 + y ) 2=1000 => y = 7
• A l re s ta r la s e c u a c io n e s
RPTAs “ C”
2x - y + z = 1
PROBLEMA 2 7 s
x + 4y + 2z Se o b tie n e x - 5 y - z = 2
(* )
A l s u m a r la s e c u a c io n e s
H a lle e l c o n ju n to d e v a lo re s re a le s d e c u a le s e l s is te m a
lo s
rm x --2. y = 5
{
tie n e s o lu c ió n ú n ic a .
x + 4y + 2z (**)
• M u ltip lic a m o s p o r 2 a la p rim e ra e c u a c ió n y s u m a m o s c o n la s e g u n d a e c u a c ió n .
m p a ra
-3 x + (m - l)y = 1
2x - y + z = 1
Se o b tie n e 3 x + 3 y + 3 z = 0
k=l
A)M
B) { - 2; 3} O {3} D ) R - { - 2 ; 3 } E ) { - 2 }
RESOLUCIÓN í A p lic a re m o s la s ig u ie n te p r o p ie d a d :
a x + by = c
UN!-SAN MARCOS 2 0 1 3 PROBLEMA 2 9 i Sea p(x) un polinomio con coeficientes reales
d x + ey = f
cuya gráfica se muestra a continuación:
PREGUNTAS TIPO ADMISION
i473
El sistema lineal:
Y
tienen solución única si: a
b
b
e
Se tiene el sistema siguiente : m x-2 y =5 -3 x + (m - l)y = 1
Para que el sistema presente única solución, se cumple que m -2 _ — * --------- , c o n m e R -3 m -1
m(m-l) * 6 m2- m - 6 * 0
Indique la sucesión correcta después de verificar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones: 0 P(x) tiene grado 3. II) p(x) tiene solo 2 raíces complejas.
(m -3 )(m + 2 )* 0
III) Existe c e R tal que p (*+ c) no tiene raíces
m * 3
complejas.
a
m
* -2
A) W V
Luego, m e R - { - 2 ; 3} • El conjunto de valores dem es R - i - 2; 3}
RPTA i
B) W F
C) VFF
D) F F V
E) FFF
RESOLUCIÓN s
íéU0':j Consideremos la siguiente función polinomial. P(xj~xS~ x 4 + %xS+ xs- x + 2
PROBLEMA 2 0 s .•f 5' Si el par (l;a) es solución del sistema: f\ \ 3x-y-k 5x+y-k-2 Halle el valor de a. 4 W -5 E)1 A) 2 B) 5 C)-2 Sí, RESOLUCIÓN g > Recuerde que si (a;b) es solución del sistema en
Si procedemos a factorizar en los reales, tenemos
p(x= ( x * + l ) ( x * - x + 2 ) Al graficarlo se obtiene:
variables* e y *
•
[nx+ny=p ax+Py= 6 Al reemplazar simultáneamente en cada ecuación, esta se verifica también en forma simultánea. Como el par (l;a) es solución, es decir, * = 1 y = a del sistema a
3x-y = h 5x + a = k - 2 Reemplazamos: J3 - a = k .... (I) 5+a = k-2 (II) Restando (II) con (I) : 2+2a=-2 de aquí a - - 2
RPTA g “ C”
Por lo que podemos concluir que: • **+/ tiene raíz real negativa * = - / y 2 raíces complejas imaginarias. • x3 - x + 2 tiene 2 raíces complejas imaginarias. Luego Podemos afirmar que las proposiciones ¡y IIson falsas. Ahora recordemos que p(x+c) es un desplazamiento de la gráfica en el eje X, por lo
ÁLGEBRA LA ENCICLOPEDIA 2 0 1 Z
que no se altera el número de relices reales. Entonces la proposición / / / es falsa.
RPTA i “ E” PROBLEMA 3 0 s Determine la gráfica que corresponde a la función
f(x)=(x+2)(x+l0(x - 3)*(x - 6 )s
EDITORIAL RUBINQS PROBLEMA 31 / Halle el conjunto de los números reales x , tal que la suma del número x y su inverso multiplicativo sea mayor que 2. A ){ x *RI x > 0 a x * 1} B ) { x e R ! x > l } C ) { x e R ¡ x < l ) D ){xeR lx< -l} E ){x eR fx * 0 \
RESOLUCIÓN s De la condición: x + — > 2 => x+ —— 2 > 0
x x2 -
2
x x +l „ > 0
(x -1) x
> 0
De donde (x - l ) 2 t Q ; x * l =>— > 0 ^ > x > 0 = > { x g R / x < 0 a x * 1 }
X PROBLEMA 3 2 s
RPTA
i “A "
Halle el mayor número real r que satisface la relación r £ x 2 + 4 x + 6 t V x e R . Recuerde que: Iro ) Las raíces reales de la función polinomial intersecan al eje X. 2*°) Si la raíz es de multiplicidad impar o simple, interseca al eje X\si la raíz es de multiplicidad par, es tangente al eje X. Se observa que: 6 es raíz de multiplicidad impar. - 1 es raíz de multiplicidad impar. 3 es raíz de multiplicidad par. - 2 es raíz simple. Además si x > 6 f( > 0 Entonces, tenemos que la gráfica aproximada es.
A )-2
B)2
C)0
D)1
E )-l
RESOLUCIÓN s * Recuerde que: Para todo real se cumple que a2 >0=& mínimo de a3 es cero. Si M £ ffx); MeR; Vx e R , entonces, el máximo valor de M es igual al mínimo valor de f(x). Nos piden el mayor número real r que cumpla ^ue r£x 2 + 4x + 6 ; Vx e R • » f(x)
Entonces, el mayor valor de r es el mínimo valor Procedemos a completar cuadrados en f(x) para luego minimizarla.
Y4
f(x)=(x2 +4x+4)+2 => f(x)=(x+20+2
r a íz d e m u ltip lic id a d im p a r Ip u n to d e in fle x ió n ) r a í z d e m u ltic ip lid a d
El mínimo valor de fM= (x + 20 + 2=2 v v ' mínimo valor
otO
Por lo tanto, el mayor valor de r es 2
RPTA
8
“ B”
PROBLEMA 3 3 / Halle el conjunto solución de la inecuación: r a í z d e m u ltip lic id a d im p a r (p u n to d e in fl e x i ó n )
RPTA g “ D ”
2
A){1 ; 26)
*44 (2 X~4 - 1 ) <2 * -16
B)(0 ; 16)
C)(0 ; 4)
D){2 ; 8)
E) {4 ; 64)
PREGUNTAS TIPO ADMISION RESOLUCIÓN i Según la teoría: para b>í se cumple que: M
U N I -S A I * M A R C O S 2 0 1 2
1+75
intersectando <* 0
m < «]
RPTA i “ D”
Dada la inecuación:
PROBLEMA 3 5 /
2** 4( 2* 4 - 1 ) < 2 * - 1 6
La tabla adjunta muestra parte del dominio y rango de una función lineal f.
Operando: 2 tx - 2 X+4 < 2 X - 1 6
W'x \f(x)
( 2 x ) * - 1 7 x 2 * + 16 < 0 2X
\
i 2
16
2 10
5 8 V ‘¿jjgj a 28 37
La suma de a y fe es A) 30
Puntos críticos en la recta numérica:
B) 25
C)40
D) 45
E) 35
RESOLUCIÓN s Se utiliza la ecuación general de una función lineal
-00
1
Entonces: i < 2 x < 1 6 = > Luego: 0
+ 00
16
f(x)=mx+b; m * 0 Sea f(x)=mx+b; m * 0 Del dato:
2 ° < 2 M< 2 4
W* f(x)
RPTA s “ C” i*. PROBLEMA 34 : Halle el conjunto solución del sistema de inecuaciones: yjl + x + 2 -Jx * 1 - -Jx *
0
A)[0, + oo)
B) (0,+ao) ^ C) (0,2) 0)70,17 ‘ E)[l,+co) RESOLUCIÓN i Io) Hallaremos el conjunto de valores admisibles (CVA). 2o) Efectuaremos operaciones para eliminar radicales. Piden resolver: yjl + X + 2-Jx * 1 -J x * 0 • Hallando el CVA: x * 0 = CVA = x ; • La inecuación se puede escribir de la siguiente manera. ¡
41 + x
+ 24x * i - 4 x a 1 - 4 x * o
Completando cuadrados: ^ 2* + ' J x * + 2 - J x X 2 * l - \ í x A 1 * -Jx
2 10
5 8 a 28 37
Tenemos
f(2)=10; f(8)=28; f(5) =a; f(b)=37 Reemplazando en fix)=mx+b, se tiene f(2 )= 2 m+b = 1 0 ............. (a) f(8)=8m+b=28 ............ (0 ) Restando (fl)-(a) : 6m=18=>m=3 Reemplazando en (a) :b=4 Luego, f(x) =3x+4 entonces:
f(5)=3(5)+4=a => a=19 f(b)=3b+4=37 => b=ll Por lo tanto, a+b=30. RPTA i “A” PROBLEMA 3 6 / Halle el rango d e la función f (x = - x 2+ 2 x , sabiendo q u e su d om in io es igual al con ju n tos d e los núm eros reales.
J (l + yfx)’ t l - J x A Í k *
A J (-q o ;0] B ) (-oo; 2) C ) { - oo; eo) D ) [ ü ; oo) E ) ( - 00;2]
=> 1 + -Jx * 1 - y f x A X S 7 => 2 - J x * 0 A X ^ l
RESOLUCIÓN s
=>
X * 0 AX * 1
Se tiene la función f (x>= - x 2+2 x ; x e R ,
ALGEBRA LA ENCBCLORERIA 2 9 1 X
E D IT O R IA L
C om pletam os el cuadrado.
P o r lo ta n to , e l m ín im o v a lo r d e
f(xj = - ( x s - 2 x + l ) + l => f(x)= - ( x - l f + ¿ C om o
x es
un núm ero real, en ton ces:
RPTA i
Luego: - ( x - l f < , 0
=> f(x)< l = * R an(f ) = {-<*; 1]
RPTA i “ E”
L a s u m a d e la s c o o rd e n a d a s d e lo s p u n to s d e in te rs e c c ió n d e la s g rá fic a s d e la s fu n c io n e s f y g , d e fin id a s e n e l c o n ju n to d e lo s n ú m e ro s re a le s
PROBLEMA 3 7 s
f tx)= x * - 2 x + 3
S ean f y g d o s fu n c io n e s d e fin id a s p o r :
* w = f+ 2
3 a e n 9x - l
flx)= ( j 2 ) * ~ ~ - ’ ; y g lx)= f £ j
L a s u m a d e l v a lo r m ín im o d e f c o n e l v a lo r m ín im o d e g es ig u a l a ® 7
«*.*
fV x e R , A) 3114
» - J
“C"
PROBLEMA 3S s
Sumamos / e n a m b os m iem bros.
" I
es —
* El m ín im o v a lo r d e f s u m a d o c o n e l m ín im o v a lo r d e g es 1 / 2 .
( x - 1 ) 2 7*0
-(x -1 )2 +1 ^1
g
R O B IÑ O S
E)1
D' - í
B ) 31/3
C ) 41/4
D ) 41/3
E ) 33/4
RESOLUCIÓN b L a te o ría n o s d ic e q u e lo s p u n to s d e in te rs e c c ió n d e la g rá fic a d e fu n c io n e s f (x) y g fr;se o b tie n e n ig u a lá n d o : f (x) = g ( x )
RESOLUCIÓN i
Se n o s p id e h a lla r la s u m a d e c o o rd e n a d a s d e lo s
Fbra su re s o lu c ió n d e b e m o s re c o rta r la s s ig u ie n te s
p u n to s d e in te rs e c c ió n d e la s g rá fic a s d e fu n c io n e s
p ro p ie d a d e s .
fy g
Sí 6 > J a n < x < m , e n to n c e s , b n < b x < b m . Si 0 < 6 < I A n < x < m , e n to n c e s , A d e m á s, d e b e m o s te n e r e n c u e n ta q u e
-1 < s e n x < 1 - ^ 0 < s e n z x < 1; V x e R
6 m.
S e g ú n e l e n u n c ia d o :
x f (xí= x* - 2 x + 3 ; g (x) = Yz+2
~2 C o m o q u e re m o s lo s p u n to s d e in te r s e c c ió n ,
ig u a la m o s f
x2-2x+3 = - + 2 2
• Se sa b e q u e -1 < s e n x < l ; V x e R M u ltip lic a m o s p o r
3y
re s ta m o s
I
-3 - 1 < 3 sen x -1 < 3 -1
C o m o J2 es m a y o r q u e / , e n to n c e s ■J2~* <. y¡2
3 a e n x -l
2x2 -5 x + 2 = 0 x = 2 ;
x =|
R e e m p la z a n d o e n la fu n c ió n g , o b te n e m o s : \x=2 ; gtft—3
<.y¡2
L u e g o lo s p u n to s d e in te rs e c c ió n s o n : P or lo ta n to , e l m ín im o v a lo r d e f e s — 4 • A d e m á s , 0 < sen 2x < i . M u ltip lic a m o s p o r
3y
re s ta m o s / .
3 te n * x - 1
(¿ N i)
y
F in a lm e n te , la s u m a d e la s c o o rd e n a d a s es: 2 + 3 + i + * = *i
2
4
4
3 ( 0 ) - 1 < 3 s e n 2x - 1 <¡ 3 ( 1 ) - 1
C o m o — es m e n o r q u e 1, e n to n c e s
(2; 3)
RPTA i “A” PROBLEMA 3 9 s Si Xq e y0 s o n n ú m e ro s
re a le s ta l q u e
s a tis fa c e n e l s is te m a d e e c u a c io n e s :
xy (x + y)=30 x 3 + y3=35
x0> y0
y
PREGUNTAS
T IP O
A D M IS IO N
halle el valor de x0 - y0 A) 6
B) 2
C) 1
U N I -S A N M A R C O S 2 0 1 2
1477
* Restamos (I) de (III) : E) 4
D) 3
(a -l)x =
(V )
RESOLUCIÓN i
* Dividimos (IV) + (V):
Dado el enunciado, tenemos el siguiente sistema:
a -1 a -1
xy(x + y)=30 l
= l - 2 a ^ a - l =(a -l)(l-2 a )
=> a -1 = a -1 - 2aa + 2a => 2aa = a + a
RPTA i “ B”
x 3 +y3 =35
Recordemos la siguiente propiedad algebraica:
(x+y)3 =xs+y3 +3xy(x+y)
PROBLEMA 41 / Si las ecuaciones 2 f x + -S = = 5 y a x 2 + b x + 8 = 0 V*
Según el sistema, donde la solución es (x0; y0) :
tienen las mismas raíces, hallar a+b. A ) - 34
*®y®(*<.+y0)= 3 o ...... 41)
B ) - 32
C )-3 0
Recordando que en la ecuación cuadrática
Operando 3(I)+(II) resulta: *0 + ?o+ 5*0 y0(Xo+y0)= 3 5 + 3 (3 0 )
ox2 +bx+c = Ot cuyas raíces son cumple lo siguiente: xJ+xs=—6 A a Datos:
=>■(x0+y0f-1 2 5 =¡> (x0 +y0)=5 De (I) : x0y0 = 6
.
Se nos pide hallar: x0 - y0 Para tal fin aplicaremos la identidad de Legendre: ( * 0+y0)* - (x o - y0) 2=4xoyo
Sustituyendo valores tenemos: 5 2 - < x 0 - y 0) * = 4 ( 6 ) = > ( x 0 - y 0) t = r
'*
se
c Xj .x2=—
a
2 f x + - = = = 6.....
(I)
ax2+bx + 8 = 0
(U )
Jx
-
ya que: x0 >y0 =>x0- y0=l
yfxX+ 2
= 5
V i
RPTA i “ C” PROBLEMA 4 0 s
” 1
2 fx
x+y+z=2
V
¡2 4
ax+by+z=4a ax+0y+z=O
x - l jx
i
tiene la solución ú r ú c a ( x 0$y 0, z 0) donde y0 - 0 . Halle la relación correcta entre a y a . C ) 8aar=a+a
E) a a = 4a +4a
En
^
^
-
2
- 2} = 0 => 2 \fx- t = 0 v fx - 2 = 0
= > * ,= -
B) 2aa= a + a
- 6 f x + 2 =0
2 fx
y
El sistema de ecuaciones lineales
D) aa=2a +2a
E ) 24
RESOLUCIÓN s
x’o + y 3 = 35............. (II)
A) 4aa=a+a
D )-2 6
V
X ;=4
ecuación
la
a n
tiene raíces x . = — ; ax* + b x + 8 = 0 4
RESOLUCIÓN /
Se cumple que:
Resolviendo el sistema lineal, usando el método de reducción. Como y=0, el sistema lineal se reduce a * + z = 2 ........................... (I)
•
x ¡ = 4 (d a to)
* , x * , = £ = > ( £ ) x (4 ) = |
a=8 b x ¡+ x , =- - ^
1 J b 1 + 4 = - -
a x + z = 4 a . ............................( I I ) a x + z = 0. ................................ J I I I )
Se concluye que el valor de a + 6 es - 26.
* Restamos (I) de (II) : (a -l)x = 4 a -2
=>b = -3 4 = > a + b = 8 + (-3 4 ) = -2 6
RPTA i “ D” (IV )
ALGEBRA LA E88C8CLOREBLA 2 9 1 2
E D IT O R IA L
B U B IN O S
Asimismo si se tiene:
PROBLEM A 4 2 s
Halle el área de la región limitada por el gráfico de la relación. R - {(x; y) e R2 /x= \y|v x=5}. A)20 u*
B)30u*
Cm ú*
E )1 2,5 u 1
D)15u*
R E S O L U C IÓ N 8
• Recuerde las siguientes gráficas. Y
Ya
-^•eetor
‘ y=\x
circular
Br* ; 0 en radianes A
Tenemos la siguiente relación: Nos piden el área de la región limitada por las _ - (recta perpen d icu la r gráficas. a las a b a s a s en(5;0)
R = { ( x ;y ) e JO2 /|jr| ^ y £ \fl Según la condición: \x\
\^
Estableciendo las relaciones «interiores para hallar el área de la relación R , tenemos: tY
r>y = 5 o y = - 5
Finalmente
y= s
base-j j-altura
Área de la región = = 25u sombreada ~ ^ RPTA 8 “ C” PROBLEMA 4 3 s Halle el área de la región determinada por el gráfico de la relación
= y jl — X
La nueva región surgida de la intersección de ambas relaciones es representada por $.
R-{(x;y) e R2/\ x\^ y ^ ^ l - x 2} A) l u 2 B) nu2 C) 4xu2 D) ^ u 2 £
E) 2 b u 2
4
RESOLUCIÓN s
Se nos pide hallar el área S.
• Recordando que la gráfica de la relación
t 2
it
\
2..2
(U'u
X 2 —U
4
RPTA
8
“ O”
PROBLEMA 4 4 / Dada la siguiente relación: y - ly |=jc—|jc| ; diga cuál de las siguientes gráficas es la que le
PREGUNTAS
T IP O
A D M IS IO N
U N I -S A N M A R C O S 2 0 1 2
1479 c o n e l g r á fic o 2
cou espon d e: Y
Yt B)
A)
/
C)
O
O X
X
Y **3 *
o
r
X
O
X
La gráfica d e la r e la c ió n e s
RESOLUCION s RPTAs “ O”
En la r e s o l u c ió n d e l p r o b le m a , a p l i c a m o s la d e fin ició n d e v a lo r a b so lu to .
PROBLEMA 4 5
x ; si x ¿ 0
{
Sea f una función tal q u e:
-x ;s ix < 0
fT x - 2 j x ) = 2 ( x - 4 j x ) , x 7 > 4 .en ton ces:
En el p r o b le m a n o s p id e n la g rá fica d e y -\ y \ = x - \ x \
caso
D o m ( í ) n Ran(F) es igual a:
(1 )
A ) [0 ;o o )
y ss
C ) { 0 ; ®)
D )\4; «o)
E ){1 ; « )
• C om p osición d e fu n cion es
R e e m p la z a m o s e n / -
B ) [ l ; «>)
RESOLUCIÓN !
1: y* 0
y
s
• Cálculo del d om in io y rango
x^O
x - W —► X = \X
fíx -2 ¿ x )= 2 (x -4 ¿ x );x * 4
¥Tv. * J
cu ya gráfica será Y* 5C*
T* v•
= fíx - 2 ¿ x + 1 -1 ) = 2 ( x - 4 > [ x + 4 - 4 ) = f ( ( J i - 1 f - 1 j) = 2 (( y f x - 2)* - 4))
= f ( í 4 i - l f - l ) ) = 2 {fjx - 1 - l f - 4)) La ¿ x - 1
CASO M :
f í a 2 - 1 ) = 2 ( ( a - 1 ) 2 - 4 ) ...............
GiéAcol
y <0
= a y ob ten em os
C om o x z 4 = > ¿ x * 2 = > y f x - l * l
R e e m p la z a m o s e n 1 y + y = x-\ x\
~+ y =
x -\ x
= > a*I= ^ a**I= > í»2- i *0 Luego d e ( * ) se tiene lo siguiente:
0 ;s i x * 0
y=
x ;ú x < 0
p ero c o m o y < 0 - *
y = x; x <0
D o m f = [ 0 ; +oo)
T am bién a * 1
=> ( * -
V>
= > ( a - I ) 2 - 4 i. - 4
0 =* ( a - l ) s * 0
=> 2 ( ( a - l ) 2 - 4 ) 2s - 8
luego d e ( * ) se tiene lo siguiente R a n f = [ - 8 ; -Hx>)
RPTA8 “ A ”
PROBLEMA 46
8
S ea n las fu n c io n e s :
f,s, =
- J64- x2
g ( x ) = ( x 3) 8 g n ( x ) ,
Luego, la gráfica p ed id a es la unión del gráfico 1
d on d e sgn es la función signo
ALGEBRA LA ENCICLOPEDIA EOWE
Luego, el número de elementos de {(x,f(g(x)))} es: A) 0
B) 1
C )2
D) 3
E D IT O R IA L
Q A)
’ - í2 )í - í4 - ' * 2
E) 4
Nos piden el número de elementos de {*; f(g(x))}. Para eso, analizaremos cada una de las funciones fyg. Veamos:
C)
Determinamos su dominio: Domf=CVA
E)
0 8
**
64- x*¿0 a 64 ¿ x* X i - 8)
A
( - 8 < .x < . 8)
(x - l)‘ + ^ .x ¿ 2
D)
4
-© ir © —
8
Recuerde Sean las funciones f:A ^ > B
Dom (f+ g ) = D om f n Domg
* Nos piden determinar f+g.
- x 3; x < 0
Datos:
Ahora veamos la composición (fog). Io) D(f o g)= {xlx e Dg a g(x) e Df)
f(x)= \ x -2 \ + 2 ; D om f= R
= {x/xe Dg a gM e
8(x)= - x 2- 2 tD o m g = R
D(f o g) = {xlx g R+a x 3 e {8 ; - 8 }} v
----------------- V------------------— 4 {2 }
{xlx e # A
*-------------------
e {8 ;-8 }} v
v----------------------- 4 {-2 }
{* /* = 0 A O e { 8 ; - 8 } }
’
yg;C=>D
Se define: ( f + g ) (x)= f (x)+ g (x)
0 ;x = 0
‘
+ l ’x < í
RESOLUCION t
í x 3; x > 0
=
2
- ( x + l f - ^ ,X< 2
~{*+i)
Entonces la función f={( 8 ; 0); (- 8;0)} * 8 m = * 3 x sgn(x) Entonces: 8 (x )
(*+i ) - ©
a
( x ¿ 8 v
++ x= 8 ; -
B)
1 \* 9 * + 2J + 7 ’ * <2
RESOLUCIÓN /
| x | -8 S
ROBENOS
Entonces ■■«+g)M = f(x)+gM Reemplazando los datos: ( f+ g )(xj= \x - 2 y además: Dom ( f + g ) = D om f n Domg = R n R
\ -x 2
=R
Redefiniendo la función: - x 2 + x - 2 ;x Z 2
? ----------------
( f + g ) (x) =
D(f o g) = {2 ; —2 } 2°) Hallamos:
- x 2- x + 2; x < 2
Completando cuadrados, obtenemos lo siguiente.
( f ° g)
( f + g \ x) =
x = 2 : ( f o g ) (_2)= f ( g (_2l) = f m = 0
+ l ; x < 2 RPTA
( f o g ) = { (2 ; 0 ) ; ( - 2 ; 0 ) } RPTA PROBLEMA
0 7
/
" C "
¡
Dadas las funciones f, g:R=>R, definidas por f(x)=\x - 2\+2 y g(x)-- (x2 +2). Determine
t
“A ”
PROBLEMA AO s La raíz cú b ica del n ú m ero c o m p le jo % = - 2 d e m ayor argum ento principal, e s tam bién raíz Já-ésim a de otro c o m p le jo u=a+bi c o n a y b n ú m ero reales. Determine a+b.
A )2 5(¿ 3 + 1 ) B ) 2 e C )2 7(¿ 3 + 1 )
D ) 2 S E) 2®
PREGUNTAS TIPO ADMISION RESOLUCIÓN s
U N I -S A N M A R C O S 2 0 1 2
1481
* Forma polar y radicación d e núm eros co m p le jo s
Rden :1+4+4=9
$ fz= ?P 2 = ?Í2
Pero X
RPTA i “A”
X
c o 8 —+ i*en — 3 3 « r a . co 8 * + isen x eos
PROBLEMA 5 0 i
+ i s e n ^ (mayorargumento principal) u 3
Entonces , la raiz d e z = - 2 d e m ayor argum neto es
Sean los números complejos z=x+iy y u = a + iy, x > 0 y los conjuntos
A={z¡l
5x , 6x e o s — + isen —
¿Cuál
de
las siguientes gráficas representa a
Por dato sa b em os q u e : 5x . 5x e o s —— + i s e n ^ = * * ¡0 + 5 1 3 3 <=> 2 6 ( c o 8 3 0 x + i s e n 3 0 x ) = a + b i
o
2 6 ( l + L 0 ) = a + b i <=> 2 6 + 0 . i = a + b i
o a=26
a
6 = 0 => a + b = 2 6
RPTAi “ B” PROBLEMA 0 9 i a
lz Al resolver el sistema i'
3£|
=2
donde z=x+iy
y - x * = 1
es un número complejo; la suma de las ordenadas de los puntos solución es: * ^ A) 9
B) 8
C )7
D )6
E) 5
RESOLUCIÓN s Para dar respuesta a este problema, debemos recordar el módulo de un complejo y relacionarlo con la ecuación de una circunferencia, finalmente resolveremos una ecuación cuadrática. Dado el sistema: \z - 3 A = 2 . . . ( I )
y - x * =1... (II) Laecuación (I) representa una circunferencia con centro en (0; 3) y radio r=2. Como z=x+yi < > (x&), la ecuación equivalente a I es x*+(y- 3)*=2K...(III) De (II) obtenemos x2=y - / , reemplazamos en (III) y obtenemos y - l + ( y - 3 ) 7 =4. y* -5y+4=0=> (y-l)(y-4)=0
y y 2=4
Reemplazando (¡I) :
RESOLUCION s En la resolución de este problema utilizaremos algunas propiedades de módulo de un complejo y luego graficaremos regiones generadas por conjuntos cuyos elementos son números complejos. Hallamos las regiones determinadas por los conjuntos A y fl.
A = {z = x + yil 1 s ¡i + 4i\ ^ 2} 1 ^ lz +
4i I5 2 1
*
z + 4i
+* 1
¿
|z - 4 i \ ¿ 2
**
2
Se observa que el conjunto A es una corona centrada en z0 =4i, de radios r=l a r=2. Es decir:
A LG E B R A LA EMCÍCLOREOLA BALE
E D IT O R IA L
B = { u = >fx - y i / \ u + 4 i\ > 0 / \ x > 0 }
C o m o | u + 4 /j ^ 0 s ie m p r e s e c u m p le a e n to n ce s ,
Be s u n
s e m rp la n o d e p u n to s
x
>0,
(x;y)ttal
R Ü R IN O S
L as s o l u c i o n e s d e la e c u a c i ó n n o fo r m a n u n p o líg o n o d e n la d o s.
IIJ FALSO
8
qu ear> 0 .
V e a m o s u n c o n tr a e je m p lo :
Es d e c i r :
r. „ ¡ x 3 )r De 0 e ( —; — 4
tom am os 0 = — 2
4
entonces, a = 0 y b = l t
IIIJ VERDADERO Como
V2
8
a, p e {0;2x); p > a
además, C o s a =C o a p \entonces, a + p = 2 x de donde = ei(2x) = 1 => La proposición verdadera es solo ///.
RPTA8 “ C” PROBLEMA 5 2
D adas las sig u ien te p r o p o s ic io n e s :
I)
L as r a í c e s d e
ein - 7 = 0 ,
p e r t e n e c e n a un
p o líg o n o regular d e n la d o s,
U) Si
€
¡0
. «•
-a+biy
n ~ BE
fít
e N Bn
en ton ces
8
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F)\ I) La composición de una función par con una función impar es una función par. II) El producto de dos funciones impares es una función impar. III) La suma de dos fundones pares es una función par. A) VFV
B) W V
C) F W
D) FFV
E) VFF
RESOL UCIÓN s lll)
D a d o s a , p e ( 0 , 2 x)t t a le s q u e
P > a t si
* / es una fun ción par si y solo si
e o s ( a ) = c o s ( f 3 ) , e n t o n c e s e i
Vx; -
Indique c u á le s s o n c o r r e c ta s . A )solo I
B js o lo I I
C)aolo I I I
D )I y I I
E )I I y III
En e l p r o b le m a a p l i c a r e m o s la d e f in ic ió n d e e x p o n e n cia l c o m p le ja . V e a m o s c a d a u n a d e las a fir m a c io n e s :
U FALSO s R e s o lv e m o s
= e
(considerando e = 2 ,7 1 8 2 8 1
2 fc / r i
-> n = 2 k x ;
fcl
irt
k e Z
. « - 8* - 6* -4 * - 2 x
g D o m ff)
* f es una fu n ción im par si y solo si
I) V E R D A D E R O : La composición de una fundón par con una impar es una función par. Efectivamente, sean f y g funciones par e impar, respectivamente, teniéndose: fx)-f(-x)
«*»• II
e
x
Í m >V x ; - x g D o m f f )
RESOLUCION s
e ín - J = 0
T en ien do en cu en ta las siguientes d e fin icio n e s:
V x ; - x e Dom ff)
8i-x>= ~ 8 (x, V x ; - x e Dom(g) Entonces : ( f o g)(_ M) = f tg<_ x)) =ft-t(x>}>ya que 8 es impar
0 ¿X
4k
6x
8* ...
^/^i.yaque/espar = ( f ° 8 ) ,xí
UNI-SAN MARCOS ROIA PROBLEMA 5 4 s
PREGUNTAS TIPO ADMISION Luego, íog es una función par. II] FALSO s
1 4 8 3
El producto de dos funciones impares es una función impar. Teniendo en cuenta el siguiente contraejemplo: Siendo f M~xay gU)=x3 dos funciones impares, ya q u e :
f í - - *)*= - ( * * ) = - f(x) & . „ = ( - x )*= -(x a) = ~g(x) = **•**
Pero :(f-g)M=fM
Si 2(4*) —3(2X) —20=0, halle el valor de Log2(4*). J3 ) 3
A) 2
Según las condiciones del enunciado, recordemos: • La factorización por aspa simple y • La propiedad de logaritmos
La suma de dos funciones pares es una función par. Efectivamente, siendo fyg dos funciones pares, tenemos: (f+ g h x i “ f x) + 8 (X)
=f<-x>+g(-x» Pues f y 8 son Pares
2(2X ) 2 - 3(2x)~ 20=0 2 (2 * )
RPTA t “A " es divisible entre x 2 - 1 y lasumade los valores de x que cumplen P(x)= 0 e s - 4 . Calcule el producto de a y fe. 6
D) 5
(2 * )^ 4 (2(2X)+5)(2X- 4 )
=0
(+)
=> 2X=4 Además se nos pide: L o g 2( 4 * ) = L o g 2(2 x ) = L o g a4 = L o g 22^J= 4 L o g ¡ 2 = 4
RPTA / “ C "
=(f+g)<-*> Se concluye q u e (f+g) es u n a función.par.
C)4
1
Factorizando la ecuación:
III] VERDADERO s
B) - 4
E ) 16
Log^n=nLogba; a>0; b>0 A b ^
Sintetizando, tenemos dos funciones impares cuyo producto es una función par.
A)- 7
D) 8
RESOLUCION s
.6
es par, ya q u e : ( f •g ) (xi= x = ( - x ) = ( f ' g ) í x,
PROBLEMA 5 3 s S p ^ x ’ +ax* - *+6 -
0 4
E) 8
PROBLEMA 55 s Sea f; R —> R una función definida por ^ i w |i + *l i w l + 4x\ i T f 1-x r'“ = 2 Log°a [ r ^ \ + 2 e ° a 7 n r | + 2 ^ " a [ i T ^
donde a >0 y a * /, cuyo dominio es un intervalo de la forma A) 5
RESOLUCIÓN
A
Halle p -
B j-2
C)1
D) 3
E) 4
Recordando que si P(x¡ es divisible por ( M ix) . N fx))
RESOLUCIÓN
con °[P M ] * ° [ M ixr N m 1 => P(x) es divisible por M (x) y divisible por N (x)
Recordando que la función logaritmo f(x)=Logbx queda bien establecida si x>0 A fe>0 A b 1
Yaqu e'.Pfxi=x*+
Queda bien establecida la función fM, si:
es divisible por : x* - 1 * ( x + l ) ( x - 1) p => P,., es divisible por * - 1 => —— es una división exacta '* x-1 => ^,,=0 (por teorema del resto) ^ 1+a —J+6 —6=0 => a+b=6.. ............ (I)
(l+4x) 1 -x ( 1 +x] > 0 Aa > 0 Aa a 1+4x 1 +x 1 -x Se cancela a porque a > 0.
También, para :
1+ x > 0 a I+ J í
« l x 3+ a x 2 - *+ 6= 0
1
sabemos por dato que la suma de los valores de * es - 4. => suma de las raíces= - 4
a x 6=6 R P T A
-x
1+ X
> o a - Í ^
l + 4x
>
> 0
o
o (1 + x ) ( l - x ) > 0 A ( 1 + 4 x ) (1 + x ) > 0 ( l - x ) ( l + 4 x ) > 0 x * 1;1
por Cantono
o - a = - 4 «+ a= 4 Reemplazamos en (1): b = 2
g
9SB99
*
— ;1 4
x & 1; — 4
Empleando en cada inecuación puntos cnticos, tenemos:
ALGEBRA IA EMCtClOPERÍA ROMO
J
-o o
I
-I
1
-J
gfx)
4*oo
1 6 x *+ ^ 4a x RPTA
I 4*00 PROBLEM A
T
s
_
-1
-I
5 7
t
“ B ”
/
Sean A J I conjuntos no vacíos. Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera ( V ) o falsa ( F ) . I)Si
Interceptando:
00
16 - I £ l x ’ + 1 \+ 4x + ™ = - “ x ’ + 4 x 3 3
^ gfx)~
i
_ i -0 0 -1
ROBLNOS
g (x) = 2 a ( x 24 1) + 2 b x + 2 c
r r
n -O O - 2
4*00
E D IT O R IA L
+0G
(x, y ) ; (x 9 z ) € f - { ( x , y ) l x e A , y € B } C A x B
implica que y -z t entonces podemos decir que f es un función de A en B. =>p=4 A g = l
= > p —q = 3
II) Toda función sobreyectiva f; A RPTA
PROBLEM A
5 6
i
“ D ”
í
Si f : JR—> R es una función cuadrática que satisface las condiciones fUi = 2 ; f(_i} = - 2 y /¡ 2j =
i halle
= f(x+i) + f(x-D.
16 A ) g (x)= - — x * + 4 x + l
16 B ) g (x)= ~ - — x * + 4 x 3
8 x * - 4v x — O e<*>= 3
16 D ) g (xí= - — x * + 4 x - 1
inyectiva. III)Toda función inyectiva f:A sobreyectiva. A )V W
B )V F V
RESOLOCION
C )V F F
B
es
B
D )F F V
es
E )F F F
s
Para determinar el valor de verdad recordemos la definición de función. fe s una función de Aen B o V x e A f 3* y e B tal que ( x ; y ) t f
U VERDADERO ¡
E ) g <*>=~\x 2 + 2 x + Y
* Recordando la forma general de la función cuadrática: f(x)=ax2 +bx+c; a * O.
Pues si ( x ; y ) e f a ( x ; z ) e f implica y = z . Significa que dos pares ordenados diferentes de f no tienen la misma primera componente. Por lo tanto, f es una función.
Ya que f(x)=ax2 +bx+c; a ;
IIJ FALSO í
RESOLOCiON i
O
Pues tenemos la siguiente función constante
Se remplaza los datos:
f : R
fn)=a+b+c= 2 f(-n=a - b+c= - 2 f(2)=4a+2b+c=-4
f
es sobreyectiva, pero no es inyectiva.
u n FALSO Í Pues si tenemos la función lineal
Al resolver el sistema, tenemos: K b=2O;
- > { A } , p a r a f (x) = k .
f : [ 0 ; 6 ] - > f O ; 6 ] tal q ue f (x) = x
8 c = —; a = —8
3
3
* Nos piden hallar:
gfx)~fX+i) =» g
es inyectiva, sin embargo, no es sobreyectiva, pues el Ranf=¡0; 5] es diferente al conjunto de llegada B=fO; f
La secu en cia correcta e s VFF. RPTA: “ C ”
PREGUNTAS TIPO PROBLEMA SS:
A D M IS IO N
III) Si x e
Señale cuál de las figuras representa adecuadamente la gráfica de la función
r(x)=Log(\x\+l)+Log(\x\-1 ) • Y
-2
:« *• *» «« i • •
:a y 2 *• • * • • l • «* 0 :-i • • • -I ««• • ' -2
:-2 »
:-i
• » 1 »»
-i
1 1
-2
: y
«
2
iJ
i : " * r .......... f * " ‘ | » i : i
;
•
Ii
•
a
«
2
X
/
1
/•
-2
C)
f
i
2
X
¿2 2 X * Finalmente, como la función es par, su gráfica es dada por:
1
/:- l i
1
i
0
*
2
♦ «
« •
» •
• i
•
•
•
-I
-2
RPTA : "A ” :
Recuerde que f es una función par si y solo si fu)=f(-x) ¡ V - x a x eDom(f)%y que la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje Y. I). La existencia de la función está garantizada cuando |x|-/ > 0.
Luego, D o m ( f ) -
{ - o o ; - j ) u
»5 r
X
Di
\x\ > Í= > x e
también
M
-2 • v •
-I
• /
y
« a
Además, x=I es una asíntota y es fácil de ver que fa)< / . Entonces, la gráfica de fes dada por.
2
•
•
= L o g (x 2 - 1 )
r
«
•
]
0
:
•
• •
r 1 - 2 l:-i i •
:
f f x = L o g ( x + l ) + L o g ( x - 1)
( i ; +<*>)
Yi
B)
A )
1 1
U N I -S A N M A R C O S 2 0 1 2
1485
PROBLEMA 5 9
8
La región sombreada de la figura mostrada, representa al conjunto solución de un sistema de inecuaciones. Determine dicho sistema. .
aÁ7*** 17 ~ D) í y - e * * 0 \y + tan x ¿ 0
y - e " *0 y - tan x ¿ 0 B)
E)
(i; + oo)
II). La función es par. En efecto, sea x e D o m ( f ) =>fCx)=Log(\x|+ J) +Log( \x\-l) =Log(|- x |+1) +Log( |- x \-1) =ft_xt
y - e * ¿0 y - tan x i O
x¿
( l ; + oo)
y + e * ¿0 y + tan x * 0 C)
2
RESOLUCION s * Recordando las gráficas de las funciones fíx) = e x
gfri= ta n x; s(x)
n
2
n
< x< — 2
EDITORIAL RUBINOS
A L G E B R A LA ENCICLOPEDIA AOJE
Observamos que la ecuación de la circunferencia
* Trazando la gráfica de la re g ió n : R - jfo * y ) € R 2 / y ¿
e~x a y £ t a n x
;
x ;> -
x 2
de centro C=(0;0)tradio r=2 y como y 2 ¿4-x* se sombreará fuera de la circunferencia.
tenemos:
el cual corresponde a la gráfica mostrada.
RPTA s “ E” PROBLEMA SO : El gráfico del conjunto solución del sistema de inecuaciones x * + y s ¿ 4 x2- y2 ¿ 1
es representado por la región sombreada:
Y
A)
Graficamos (11) : Graficaremos la siguiente igualdad:
x 2 - y 2= l
Observamos la ecuación de la hipérbola. 12
l2
Antes de sombrear, debemos observar que el (fl/OJcumpla la inecuación; solo entonces sombreamos la zona que está entre las ramas de la hipérbola.
B)
C)
Intersecando ambas regiones, tenemos: r
y
•
YC
*
E) X
RESOLUCIÓN : La intersección de cada desigualdad nos da el conjunto solución: 9 rafie am os (I) : Graficaremos la siguiente igualdad: x 2+ y s= 2 2
RPTA i “A” P R OB L E MA
61
Halle el producto de los valores de x que satisfacen la ecuación L og 22x - 5 L o g 2x + 6 = 0
PREGUNTAS A) 12
TIPO
B )6
A D M IS IO N
Cj 30
D) 32
U N L -S A N M A R C O S 2 0 1 2
14 8 7
E) 5
Además, en el dato se tiene que
RESOLUCIÓN t
a2 + b 2 =11
Resolvemos la ecuación logarítmica mediante un cambio de variable para facilitar la factorización de la expresión logarítmica. Luego, se iguala a cero cada factor para calcular los valores de la incógnita x y , finalmente, el producto de ellos.
a b 11 + (a b ):-- + — = — b a ab
(L o g 2x ) 2 - 5 ( L o g 2x ) + 6 = 0
,
,
De (I) : f l O + —j = = =$ a b = f l O +J10 ab
RPTA s “ O*
Hacemos el cambio:
PROBLEMA 6 3 s Si 22y*I+5x2r=12, halle 2(y+l)
L o g 2x = t ; x > 0
Luego: t 2- 5 t + 6 = 0 Factorizamos (t-2)(t-3) = 0
A ) L o g 23
B ) 3 L o g 25
D) 7Log27
E) ± L o g 23
= > t-2 = 0 v t-3 = 0
RESOLUCIÓN g
= > f = L o g 2x = 2 v t = L o g 2x = 3
• Definición de logaritmo
Por definición de logaritmos obtendremos : x = 22
vx
C) L og2 9
L ogbN = x ++ b x= N ; x > 0 ; b > 0 A b * 1
Propiedad de logaritmos (regla del sombrero)
= 23
Luego: x ¡ = 4 v x 2 = 8 Nótese que ambas soluciones son positivas. Por lo tanto, x t x 2- 3 2 • El producto de valores de * que satisfacen la ecuación es 3 2 . RPTA / “ O "
K L ogbN = L o g „ N K
Nos piden 2 ( y + I ) Del dato tenemos 2 2y+,+ 5 x 2 y= 1 2 2 (2 y )2+ 5 ( 2 y) - 1 2 = 0 -> 2 y=3l2
2 (2 y )
La suma de los cuadrados de dos números reales positivos es II y ia diferencia de sus logaritmos, en base 1 0 , es 1/2. Determine el producto de dichos números.
l(2 y) ' ^ ^ ~ +4 -» 2y=-4(Xy)
A fyfíT
B) J l ó
C )j7
D fjjo
E íifíó
Luego
2y =312 2y+1=3 => log2 3 = y + l x 2 : 2(y+l) =2Log2 3 -L og 2 9 RPTA g étC9§ PROBLEMA 6 4 g
RESOLUCIÓN i • Definición de logaritmos: L°gb N = x +> bx= N
Sea a un núm ero real positivo diferente d e / . Halle el valor d e y q u e satisface el sistem a d e ecu a cion es
x > 0 ;b > 0 a b ± 1
Propiedad de logaritmos
a x +y = 1 6 ; a * - 2 y = í .
M L ogh M ~ L o g b N =zL° g b
^
-3
PROBLEMA 62 :
N
4 A) Log 6 B) Log 64 C ) L o g 4 D) Loga16 E) Log 8
* Sean los números reales positivos ay b.
RESOLUCIÓN g
Del enunciado
De la segunda e cu a ció n o b te n e m o s
L oga —L og b =
£
L og*?- = — => — = f l b . . . ( I ) O & O
a 1 =— 2y a
o
2y x a a* = —
EDITORIAL RUBINOS
ALGEBRA LA ERCiCLOPEOLA AGIA R eem plazam os en la primera e cu a ció n tenem os
a x .ay = 16 a 2y
=> a 3y = 6 4
x a y = 16
Extraemos la raíz cú b ica y o b te n e m o s
ay y=ioga4
Tom am os logaritmo en b a se
: ay=4
ob ten em os
RPTA s “ C” PROBLEMA GS s Halle los valores de x que satisfacen la ecuación f* lo g x ( x
-6 x + 1 5 )
A) 2 y 4 D) 2 y 3
Recordando la siguiente propiedad : Para a > l , M > 0 , N > 0 se tiene que M < n +» Logam < LogaN Hallamos el conjunto de valores admisibles. x z O . ........................ (I)
o
Luego la inecuación queda : 3 x< 2 l~x Usando la propiedad obtenemos : Log3(3x2x ) < L o g 3(2t x ) x 2 - x < (1 - x)Log32
g l o g x 25
x ( x - l ) + ( x - l) .L o g 32 < 0
C) 3 y 4
B) 3 y 5 E) 2 y 5
(x - l ) . ( x + L o g 32 ) < 0
RESOLUCIÓN s
es p ositivo
Utilizaremos las siguientes propiedades: . b*1 = b*2 <=> Xj = x 2; V b > 0 A b * 1 • l°gbx i = l°8b x 2 * * x i = x 2; V b > 0 a b * 1
(II)
X <1
De (I) y (11) 0¿ x < 1
RPTA s “ B”
log
,a
*bC = c
*fc° V a , 6 , c € Í f + - { j }
Tenemos la ecuación g t o g x ( x 2 -S x + lS )
___
g ° 8x 2S
= 2 5 °g* 3 = 5 2lo* * s = 5 l° « x 9 5
= 5 K>gx 9
PROBLEMA G7 Halle el valor de x en la siguiente ecuación: logx10** - logx - 6 = 0 Dé como respuesta la suma de las soluciones. A) 10,01 D) 999,99
B) 99,99 E) 1 000,01
C) 100,01
RESOLUCIÓN s <=> l o g j x 2 - 5 x + 1 5 ) = ¡pgx 9 o x 2 - 5 x + 1 5 = 9; x > 0
a
Regla del som brero
x 2 - 5 x + 15 > 0
<=> x 2 - 5 x + 6 = 0 < ¿ > (x -2 )(x -3 ) = 0
Siendo a; b positivos, se tiene logab*=nY.log(fb con a * l ; n e R
ío g x logx - lo g x ~ 6 = 0
o x = 2v x = 3
Como x=2; x =3 satisfacen las desigualdades arriba mencionadas, entonces son las soluciones de la ecuación.
RPTA i “ D”
(lo g x )x (lo g x ) - lo g x - 6 = 0 (lo g x)2 - lo g x - 6= 0 lo g x \
^
- 3
lo g X '^ * ^ ^ - + 2
PROBLEMA GG s
(logx - 3 ) x (lo g x + 2 ) = 0
Resuelvala inecuación exponencial 3[ac|S~w < 2 J~ ^ e indique el intervalo solución.
lo g x = 3 v l o g x = - 2
A) [0; +oo)
B) [ 0;1 )
D) 10; Log3 2)
E) {l;L o g 3 2)
R E S O L U C IÓ N s
C) ( i ; + ao)
r > x = 1 0 3 v x = 10 2 estos va lores g a ra n tiza n la e x isten cia d el lo g a r itm o
Por lo tanto, la suma de soluciones= 103 +10~2 = 1 0 0 0 ,0 1
RPTA : “ E”
PREGUNTAS TIPO ADMISION PROBLEMA GS s
U N I -S A N M A R C O S 2 0 1 2
1489
Halle el valor de M=z
i | i . | i l + loga(10e) + 1 + Ln(30) + l + log (3 e)
Se observa que las gráficas se cortan sólo en un punto; entonces, solo tiene una solución real.
i -2 loga(e)
donde “e” es la base de logaritmo neperiano. A)
lo g (3 )
B)
10
D) Ln(3)
L n (3 )
L n (3 )
C)
10
La cantidad de elementos de S es 0.
E) 1
RPTA8 éiAfr PROBLEMA 70
RESOLUCIÓN s
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I) Si i4 es una matriz de orden nx/i, entonces
Recordemos: * log'X = Lnx; x> 0
= loga b; a,b > 0 ;b * l ;a * 1
logba * l=logbb; b > 0 a b * 1
A-AT=0. ¿ 1) Si
Luego: M=
1
lo g 3 3 + ¡o g 3(1 0 e )
lo g r e
+
lo g , 3 0
lo g lO + lo g (3 e )
lo g 3 e
La suma de logaritmos en la misma base es logaritmo del producto. M =
1
1
1
loge30e
+
1
Iog30e
log3e
- 1
M = t ° 8 s o e 3 + l o g 30 e C + log30e10 + logt 3 - l v
RPTA s “ O”
PROBLEMA 09 s
fe Sea S el conjunto solución de la ecuación, en r , x s* - 7 x .2 * + 1 5 -9 =
A =
C )2
2+a 5
11
1+ 6 4
B) W F
1 a
= L o g ( 3 sX
D) F W
E ) FFF
•A"= A x A x A x ...x A
r
x > 0; x * 1
ÍW
0
1
=5 AT =
0 01
[1
0)
A -A 7
IIJ VERDADERO s En efecto, induciendo el resultado.
a
x > 0 ;
x
* 2
A=
(U r
C) FFV
Debemos tener en cuenta la siguiente definición. • A*=A
Si A =
L o g y.
Graficamos:
13
E )4
D )3
Para determinar el número de soluciones reales usaremos gráficas de funciones. Para ello reducimos las expresiones; así:
fw
a 2
Por ejemplo
RESOLUCION s
= $-(x-l)(x-3)2
donde n es un número natural. III) Si
U FALSO s Porque si a e Rnxn*no necesariamente A=AT
3 5
Halle la cantida de elementos de S.
=
0 !
1
Log
x * -7 x ‘ + 1 5 x -9
,wentonces A n=
RESOLUCIÓN s
%
B)1
0 1
A) V W
*
M = / + L n 3 y í = Ln3
A)0
55
1 n
entonces a -6 = 0
M = lo g ^ 30e + L n 3 - 1 s
11
1 •O »
log3 30e
8
A2=
11\
01
1 1 (1 í\
12'
01
01
01
ALGEBRA LA ENCICLOPEDIA 2 0 1 Z
E D IT O R IA L
A sea invertible. A) k e #1{0} B) ke R C)ke R\{4} D)k=-4 E) k=0 RESOLUCIÓN i 1° Para que una matriz cuadrada A sea invertible
As =
1 n
An=
0 1,
UU VERDADERO s
|A|*0.
En -ji efecto, cicliu, operando upercuiuo tenemos leí a 2 ] J l 3 l [ a + 22b < 3a + 2
2
14 k A = 1 k 4 sea invertible
Igualando con el dato, obtenemos a + 2b b+1 <+
3a + 2 ~ \ \ 2 + a 5 4 1+b 4
J [
1 k
a
k
Entonces |A|*
a+2b=2+a a 3a+2=5 6=1
o Aplicamos operaciones con filas.
Piden el conjunto de valores para que la matriz
4
[6 + 1
[ó ij
J 1 \
.
0
Aplicando las propiedades
F2 -F,
a=l
* E n ton ces: a - 6 = 0
IA| = F.-F.
RPTA i “ O” PROBLEMA 71 s Considere la ecuación matricial donde X es una matriz. Calcule det(X). A) 6
B) 7
C )8
X
i
5
4
0
2
7
-1
2
1
0
DJ11
3
4
0
2
7
-1
2
2
7
1
3
2
7
4
-1
0 2
0~
i
4
k-4 0 => k * 4 RPTA í " C "
PROBLEMA 73 : Indique la secuencia correcta después de determinar si las proposiciones relacionadas a matrices son verdaderas (V) o falsas (F):
simétrica. UI) Si Ay B son matrices del mismo orden, ambas simétricas, entonces AB es simétrica.
o*
3
*-< i•
\X\
1
0
0 Si A2 es simétrica, entonces A es simétrica. U) Si A+B y B son simétricas, entonces A es
Por dato se tiene que : 1
k
|A|= (k - 4 ) 2 * e R -{4}
E ) 19
Para la resolución del problema aplicamos la siguiente propiedad: SiAyB son matrices cuadradas del mismo orden, entonces
4
|A|= 0 k - 4 4 - k
RESOLUCION s
X
R U B tN O S
A) F F F
\X\xl = 8 ^>\X\ = 8 0
El determinante de la matriz X es 8
RPTAt " C " PROBLEMA 72 :
B) FFV
O FVF
RESOLUCIÓN
D ) VFF
E) W F
b
Recordemos que si A es una matriz simétrica, se cumple que: |a=at
i) FALSO: Si A2 es simétrica, entonces A es simétrica.
"1 4 k Considere la matriz A= 1 k 4 1 k k
Teniendo en cuenta el siguiente contraejemplo, tenemos:
Determine el conjun to d e valores d e k para que
A=I
" l=> A* = AxA
■C -3
G -3 C - 3 —
C 3
PREGUNTAS
TIPO
A D M IS IO N
U N I -S A N M A R C O S 2 0 1 2
1491
Observamos que A3 = (A2) T9 pero Ano es simétrica.
II) VERDADERO: Si A+B y B son simétricas, entonces A es
a
III) FALSO: Si Ay B son matrices del mismo orden, ambas simétricas, entonces AxB es simétrica. Debemos demostrar que ( A B ) - ( A B ) T................ 0 ) De los datos: A=Ar y B=BT Suponiendo que (I) es verdadero
0>
0
0
0
f
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
,0
0
0
Oj lo
0
0
r
0
1
0
0
0
0
0
OJ 0'
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
,0
0
0
Oj
¿0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
,0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4= a 3 . a =
A +0=A t+ # A = A r ; A es sim étrica
0
1
Sabemos q u e ( A + B ) = ( A + Ó ) T y B = B T A + B = A T+ B T
1
0
A3=A2.A=
simétrica.
0
'
0
JO 0 0
,
,
0
^
de donde existe k = 4 , tal que A4= 0 ; se concluye que A es una matriz nilpotente. ¡II) FALSO
Veamos un contraejemplo: Dada la matriz , entonces, Ar =
=> A x B = ( A x B f => A x f l = B t x A t
i
i
=> A x B = B x A
Lo cual no se cumple necesariamente, pues el producto de matrices no es siempre conmutable. Entonces, lo supuesto es siempre falso.
RPTA s “ C” PROBLEMA 74 s Indique la secu en cia correcta d esp u és d e determ inar si la proposición es verdadera (V ) o falsa (F). I) Si A es un matriz d e orden m x n y B e s una matriz
RPTAi “ C” PROBLEMA 7 5
En un antiguo texto, se encuentra la matriz: 1 x 0
A=
0
0
y
0
0
z
del producto
y
%
U)
Si A=
1
0
o
0
0
1
o
0 0
0
0
o
0
1
columna, la cual es es una matriz de orden 4x4,
o
B )V F F
RESOLUCIÓN
C )F V F
D )F F V
E )F F F
8
¡ ) FALSO
En efecto , si A = ( a J mxn y B = ( b i ¡ ) está definida la suma A + B , pues A y diferente.
r e ntoces B
II) VERDADERO
Hallemos las potencias de A. 0 0 1 0' 0 1 0 0\ 0 1 0 0 ' 0 0 1 0 A *= 0 0 0 1 0 0 0
la última
*
2
. Halle la matriz A.
-1
entonces existe un número natural k tal que Ak= 0 . AJVFV
A 2A T
-6
de orden n x £ ,en ton ces A + B es d e orden m x £ . 0
8
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
,
0 0 0 1 0 0 0 0 s'0 0 0 0 /
, no son de orden
~1
3
0'
A) 0
0
2
1
2
0~
B) 0
0
3
0
0 -1
0
1
1
0‘
0
3
E) 0
0
2
0
2
0
0
3
0
0 - i
1
1
D) 0 0
RESOLUCION
1
1
0
C) 0
0
2
0
0
I
*
8
• Operaciones con matrices. • Transpuesta de una matriz. Hallamos A2 y A2. A T
'
1
X
0
0
0
y
0
z >
0
fi
X
0
0 0
' y — z j 0
i
X
xy
0
0
yz
T0
0
ALGEBRA LA ERCtCLOPERÍA ROÍA / a
* .a t =
1
X
*7
1
0
o'
0
0
yz
X
0
0
E D IT O R IA L E n ton ces,
o
9 0
J0
o
*2
' * 2 . *i (x +1)
=> a 2 . a t =
A 3 = A ++ A sk = A ; V k € Z +
O O
* 2y
R eem plazam os e n A 42 + A 55 = ( A 3 ) 14 + ( A 3 ) I8A = A + (A)A = A + A 2
D e te rm in a m o s :
-1 0
De la con d ición dada ten em os lo siguiente xyz 2 y*
= a - a 3 = * ( é ; m a triz n u la )
y
___2 xy’ xyz 2 2 y z . yzr
1
p (A¡
. 0
2
-i - i - i 1 J 0' 0 0 0 = 0 0 0 0 i , .0 V0 0 fe
-1 0 0
-r 0
fl
1
'-6 '
1'
-i
=> z 5 = - 2 a y z 2 = 2 a x y z = - 6 => z = - 1 /\ y = 2 /\ x = - 3
65 La m atriz A 42 + A ° ° es
RPTAi “ A"
0 0
i ,
(0
0
0
0
0
0
0
1,
PROBLEMA 7G í Si A =
-2
PROBLEMA 7 7 í
- 1
0
0
0
0
1
S
=A« + i
0
1
A )A = 0
0
0
B) = A 0
0
0
2
0
0
C) = A 0
0
0
0
-1
0.
0
0
0
2
1
0
0
-1
0
D) = A 0
0
0
0
0 - 2 0
1
E) = A 0
o
o
o
o
3
0
-- 2
RESOLOCION i Para d e term in a r p o t e n c ia s d e u n a m atriz, u n a d e la s
fo rm a s
es
m ediante
el
polinom io
ca racterístico: )x)
H allem os e l p o lin o m io ca ra cte rís tico d e A. P(x) = d e t ( A - x I ) m
P (x>
-i! 0 0
-2 0 0
{-1 -x ) ^ > P (x)
-2 0 2 -1
—
Si ( x ¿ y j es la solu ción d e l sistem a: 4 e 2xe y + e x e y = 5 e
0
0
-1 '
RPTAí “ B”
0
0
0 0 - 1' 0 0 0 .0 0 2.
- 2' 0
-1
->A* + A = 0 0 0 + 0 \0 0 L , 0
k* >
-2
ROBENOS
X
0
0
0
x
0
0
0
x
1
0
- x
0
0
0
a - x )
^
P(x) #
=
e 2* e y + e x e y = 2 e
¿ c u á l d e las s i g u i e n t e s r e g i o n e s s o m b r e a d a s corresp on d e al con ju n to solu ción d el sistema: 6 x 0u + 3 y 0w < 1 - 3 x 0u + 9 y 0w * - 2
PREGUNTAS TIPO ADMISION RESOLUCIÓN s
U N I -S A N M A R C O S R O I A
1493
Teniendo en cuenta el sistema
Del sistema
4x* + y* = -25
«,**+* + e * > = 2 e
(fl)
........................ (II)
De ( a ) se infiere que:
Restamos las e cu a cio n e s ( I ) - (II): => £ e 2r+y = 0 e
(a)
\x\ \2x-3\ + y = 10.
................ ( /)
4 e 2s+* + e x y = 5 e
*
=> 2 x + y = 1 .....................
(III)
Reem plazam os en (II):
1*1 => x < 0 ^ 4 x * +y* =25.............. (7) Deduciendo de ( f l ) y considerando que
e l + e x y = 2 e => x - y = l ............................. ( I V )
x < 0 observamos q u e :
De las ecu a cion es (III) y (IV ) se obtiene: 2 1 *=— a y = -— 3 3 Luego, el sistema d e e cu a cio n e s es e l siguiente: w * 1
- ( t M - i )
4x*+y* * 0, entonces- 2 5
( 2 x - S ) + y = 10 <-> - (2 x - 3) + y = 1 0 => - 2 x + 3 + y = 1 0
Despejamos y : Reemplazando en (I) 4 x * + (2 x + 7 ) 2= 2 5 => 4 x 2+ 4 x 2+ 2 8 x + 4 9 = 2 5
w *-2
8x 2+ 2 8 x + 2 4 = 0 => 2 x 2+ 7 x + 6 = 0
w * 4 u -1
2x ^ 1 ^ + 3 +2
2 2 w * — u+— 3 3 R esolvem os gráficam ente
2x+3=0
v
*+2=0
v
*= - 2
.J.\x * =
2
Finalm ente, el m enor valor de * es - 2.
RPTA i “ C” PROBLEMA 7 9 s Halle el valor de a e R tpara que la inecuación (a2 -14) x 2 - 4 x + 4 a< RPTAi “A”
A )-6
Señale el menor valor para * que dé solución al sistema siguiente:
RESOLUCIÓN s
1*1 \ 2 x-3 \ + y = 10 A) - 4
B)-3
C)-2
D )-l
RESOLUCIÓN s
x\
=
\0; -x;
B )-4
0 -2
KD) -1
E) -1/2
Para resolver el problema vamos a utilizar las siguientes propiedades. lm) Dada la ecuación ax2 +bx+c; a * 0 de raíces x¡; x¡t se cumple que : Xj +
2rfo)
b
x2
a
XjX2
= —
a
x = 0 x<0
(a2 - 14)x2 - 4x+4a <>0; CS=[ - 2; 4]
x>0
En
A
c
inecuación cuadrática ax2 + bx + c%0 ; a * 0 . los puntos críticos son las raíces. Piden el valor de a e R , tal que.
Teniendo en cuenta que x;
E) 0
,tenga como solución
el conjunto 1-2; 4).
PROBLEMA 70 i
4x* + y* = - 2 5
0
una
ALGEBRA LA ENCtCLOPEBtA BOLA
E D IT O R IA L
Entonces, a2 - 14 > 0; - 2 a 4 son los puntos críticos. Aplicando la propiedad anterior: , a *-1 4
-2 + 4 =
2) (Al
...
a - 2(a2 - 1 4 )
a 2 = 1 6 ( a = 4 v a = - 4 )
(a =
4 y/a
=
-
2 a 2 + a -
a
=0
4 J a ^ o = ^ v
a
B) {(1; 2), (2;1), ( L - l ) } D) {(1; Oh (0;1) }
Completando cuadrados en la primera ecuación se tiene (x - í f = y
2 5 = 0
( 2 a - 7 ) ( a + 4 ) = 0
a
A) {(!;!), (2 ;-1 ),(1 ;0 )} C ) i ( l ; 0 ), ( - ! ; - ! ) )
Para resolver un sistema de ecuaciones no lineales se pueden graficar las ecuaciones y evaluar los puntos de corte que serían las soluciones del sistema.
Se tiene ¿ i a 2-14) = /
es:
RESOLUCIÓN s
, a *-1 4
^
R U B IN O S
x' + y 2 = i
= - 4 j
Yt
Por lo tanto,
a = -
Graficando se obtiene:
4.
PROBLEMA 3 0 / Dados los conjuntos: A ^ U a ,; a 2J g
R2 !(a1; a2)
B = { f & , ; & 2j G
F 2/ 6 f + 6 * £ J } .
g
[ 3 ; 4 ] x [ 4 ; 5]}
a
Se observa que los puntos de corte son (0; 1) y (1 ; 0 ), y estas son las soluciones del sistema no lineal.
Si se define A+B={a+6 / a e A, b e B } 9 determine el área de A+B. A) 1 +n
B) 2+n
D) 5+n
El 6 + n
x* + y* = í
RPTA t “ O” PROBLEMA SE s Sea S la región limitada por las siguientes
C) 3 + n
RESOLUCIÓN s
inecuaciones:
Utilizaremos la definición del producto cartesiano y la suma de pares ordenados en R2. De la definición de (A+B) , la circunferencia se va ha trasladar hacia la derecha y hacia arriba, entonces tendremos una gráfica aproximada: cuarto de ci rcunferen cia
x
• y - x
X
P
4
Sumando
4 ------
X
- y
k - 2
al minimizar F(x;y)t sobre S se afirma que: A) Si F,_ s> = x + y, entonces se tiene 2 soluciones. = y - x , entonces
1 6
es solución.
C) Si FlX' j< = ~2 + y* entonces (2; 0) es solución. X
8 2' B
i
D) Si F tStff -~ 2 ~ y» entonces se tiene infinitas soluciones.
* 4—
2
8
t
*
I
1 2 8 4 6
4
t
x
X
Es decir un elemento de A+B es (<*,+6,; a2 +b2) entonces el área de A+B es : =
-
2 ~ y * °
B) Si F 8
y + -¿* 6
< 4
1 + 1 + 1
+ 1 +
1 +
4
(5)'
5 + n
PROBLEMA SI l El conjunto solución del sistema:
x2 - 2 x - y = - l x3 +y2=l
RPTA s “ O”
E) Si F fx yl = y - — , entonces (6; 3) es solución.
RESOLUCIÓN t Graficando las relaciones, obtenemos lo siguiente y
PREGUNTAS
TIPO
A D M IS IO N
1495
Intersecando las rectas se obtienen los puntos A = (-l;3)
B
a
U N !-S A N M A R C O S 2 0 1 2
Ahora, graficamos el conjunto de restricciones
y 16
C = (6 ;3 )
a
3 A n alizando las alternativas r s o lo se c u m p l e la p roposición E.
Veamos lo siguiente: Para determinar
m ín f(x
X
y) = y - —, elevaluamos £
en los vértices de la región convexa 1 _5 f(A )-f(-l;3 ) ~ 3 + 2 ~ 2
Luego, el valor mínimo que toma la función objetivo P(x;y) se encontrará en un vértice o dos vértices consecutivos. En este caso, los vértices son (1 ; 1 ) A (2 ; 0 ). Evaluando en P(x; y)-10x+20 y, se obtienen
f(C) ~ f(6;3) = 3 “ 3 = 0
f
=f ( l ;y )
5
3
3
Como queremos el mínimo valor de f , este se encuentran en B y C, ya que f(B)~G A f(C) = 0 Entonces, se encuentran en todo el segmento B C y, como (6;3) e B C ,entonces , es una solución.
RPTAg “ E” PROBLEMA 83 : Determine el valor mínimo que toma la función objetivo, JP(x;y) = l0x+20 y sujeta a las restricciones: x + y >2.
x- 2y < y^x A)-70
B) - 2 0
C)0
2
D) 2 0
E) 30
RESOLUCIÓN g Para resolver el problema, vamos a graficar el conjunto de restricciones para hallar la región factible, luego, evaluamos en los vértices y elegimos el menor valor.
Piden el valor mínimo que toma la función P(x;y)-10x+20 y sujeta a las restricciones
x+y * 2 x - 2y < ¡2
P(l;í)=30 ; P(2;0)=20 Luego el valor mínimo que toda la función objetivo P(x;y) es 20 .
RPTA g “ O” PROBLEMA 84 s En relación a un programa lineal, indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I) Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas. U) El número de puntos extremos de la región admisible es finito. 111 ) En un programa lineal pueden variarse los coeficientes de la función objetiva y aún mantenerse la solución óptima. A )V F V
B )F F F
D )F W
E )V F F
C )F F V
RESOLUCION g En el problema debemos recordar las definiciones básicas de programación lineal.
U FALSO
y ^ x
Reordenando el conjunto de restricciones y * - x + 2 .............. 1 x - 2
11
...............
y<
..................... IU
Si x, y son variables de decisión, entonces por la condición de no negatividad se cumple que x *0; y*0 .
II] VERDADERO
ALGEBRA LA ERCtCLOPEBtA 2 0 1*
Pues el número de vértices de toda región factible es finito.
UIJ VERDADERO Pues dada la región factible § y la función objetivo f(x;y)=ax+by+c. Supongamos que (xt;y2) e S es la solución óptima del problema, entonces puede ser también solución óptima
E D IT O R IA L
R U B IN O S
los vértices (puntos extremos) pueden ser otros y cambiar la solución. Veamos un contraejemplo. m áxr = x + y
(3;0) X La solución es (2;2) Yk r n a X f
—x + y
(X & )
(0 ;2 )
RPTAi “ O” PROBLEMA 0 5 s Sea: S = { t e » y ) / a |j c + f e i y £ C , ;
a2x + b 2y < C 2, x * 0,y 2 0 }
La región admisible de un problema de programación lineal. Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). !) Si se modifica 5, obteniéndose S,= {to,yJ/alx + &Jy < C¡; a2x + b2y < C2;
A
(2 ;0 )
x
La solución es cualquier punto de la recta AB Por lo tanto, la proposición I es falsa.
II) Como S¡ £ S y f(x0, y0)< ffx; yMx; y) eS porque estamos minimizando, entonces un caso particular es (x; y) = (x¡; y¡) e S¿ c S. ^
f (xo ; yo }
Por lo tanto, la proposición II es verdadera. III) S¡ en relación a S sí puede variar como el ejemplo de la proposición /. Por lo tanto, la proposición III es verdadera.
RPTA
a3x + b3y < C3, x Z 0, y Z 0}, la solución no cambia, en un problema de maximización. U) Si f{x;y) es la función objetivo, y (x^ y j es la solución en St entonces, en un problema de minimización se tendrá fíx^yj ¿ f(Xpyt). ¡II) En general Sp la nueva región admisible, puede o no variar en relación a S. A) F F V
B )F W
C )F F F
D )W F
E ) VFV
RESOLUCIÓN e Condición de mínimo en un problema de programación lineal
ffx? y*) es el mínimo v (x; y) eS <-> f(x0 ; y0) < f(x;yMx;y) e S I) Al aumentar una condición más (a¿x+bsy <>C3) se obtendrá un subconjunto S, de S; por lo tanto,
PROBLEMA
8
g
“B "
Gs
Un lago se llena de dos especies de peces Sl y S2. La especie S, proporciona un peso promedio de 4 kg de carne y la especie S2 un peso promedio de 2kg. Dos tipos de comida F, y F2 están disponibles en el lago. El requerimiento promedio de la especie S7es / unidad de Fty 3 unidades de F21 mientras que el requerimiento de S2 son 2 unidades de Ft y I unidad de F2 cada día. Si se dispone diariamente de 500 unidades de Fl y 900 unidades de F2, determine el número total de peces en el lago que maximice el peso total de carne de pescado. A) 360
B) 380
C) 400
D) 4 2 0
E) 460
RESOLUCIÓN i G ra fica rem os el c o n ju n to d e re striccio n e s y
PREGUNTAS
TIPO
A D M IS IO N
aplicaremos el teorema de la programación lineal T ip o s d e
* ».c o m
* l’« P eso
*
U N I -S A N M A R C O S 2 0 1 2
1497
RESOLUCION : Recuerde:
$
Número de peces
1 +2+3+ 4 + ;* +n =
i d a ^•
p,
F2
Se tiene el camino AB en el que se colocan n piedras. 1 2
S,
4
X
i
3
s 2
2
y
2
1
Función objetivo M á xf'
(x; y)
=4x+2y
n ( n + 1)
A
3
4
»
■
•____________
n -1
, . .
2m 2m 2m
n
2m
B
Se deben coger las piedras y llevarlas al punto B, empezando por la que se encuentra en A. Ello se debe hacer recorriendo la menor distancia. Por dato tenemos que los recorridos son los
Sean las restricciones: x + 2 y < 5 0 0 . ........................................................ (I) 3 x + y<* 9 0 0 ........................................................ (II) x ^ O ; y > 0 . .................................................. (III) 2 (n -3)
Graficando las restricciones
El recorrido total es [2 (n - 1 ) ] + 2 [2 (n - 2 ) + 2 (n - 3 ) + ... + 2 (2 ) + 2(1)]
pordtUm = 2 0 [ 2 ( n - l )] 4[ ( n - 2 ) + ( n - 3 ) + . . . + 2 + l ] = 1 9 [ 2 ( n - 1)\ ( n - 2 ) l j ^ I3"|_
2 = 19
En la función objetivo
f
* (X¡ y )
=4x+2y J
Valorando los puntos extremos (tt»> =0 • f<*3*oi =500 ; fl2Mt l29/=1280 f f>9OCk0, =1200
Entonces, el número total de peces que maximice el peso total es 260+120= 380. RPTA : téB t 9
PROBLEMA 8 7 s
_____
A lo largo de un camino AB ; se coloca n piedras separadas 2 metros una de otra; la primera en A y la última en B. Se coge la primera piedra y se la lleva a B recorriendo la menor distancia; se coge la segunda piedra y se la lleva a B, recorriendo también la menor distancia; y así sucesivamente. Si al terminar se ha recorrido 20 veces la distancia entre la primera y la última piedra, halle n. A) 19
B) 2 0
C) 2 2
D) 23
E ) 21
Como nos piden hallar el valor de nt entonces,
n=2 1 . RPTA / " O " PROBLEMA OS s Si 7~3r- 6 ( 7 ~ 2r) = 7 l~r f ca lcu le el valor de la expresión 1
1
(-r)(l-r)
(l-r)(2 -r)
A)— 5
B)*l 98
o -
5
+ ... +
48 D) 49
(48-r)(49-r) 49 E) 50
RESOLUCION s En este tipo de serie notable, para llegar a reducirla hay que descom poner cada sumando teniendo en cuenta la siguiente forma.
ÁLGEBRA LA ENCiCLOPEüiA ZOIZ 1
1 _ b~a
a
b
E D IT O R IA L
1 -
Piden el valor d e la expresión t? — "■■■■“1 ■ 1■ + E ■■ 1 + •••+ — (-r )( 1- r ) (1 - r)(2 - r) (4 8 - r ) ( 4 9 - r )
Hallaremos el valor d e r e n el dato 7 ~ *-6 (7 -2' ) = 7 i- ’
Multiplicamos p or T3'
x 7 ^ - 6 ( 7 '2r) x7>= ( 7 t~r) x 7 *
3
La longitud de los lados de un triángulo forman una progresión geométrica de razón q > 1 . Entonces q toma los valores l+ y ¡5
7 (7 r) 2 + 6 (7 r ) - 1 = 0 \
-I
/
+1
7
=> 7r =— o
E)
7r = - l
2
fr s R
l+y/7
l+y [ 6 2
M
2
B
1 i» = -----i + -------I + ...+ E 1x2 2x3 49x50
+Í
1+ \ Í6
1 + y fE
intermedio, entonces, los lados serán :
Luego, reem plazam os en lo p e d id o :
£ = í' |
D)
2
RESOLUCIÓN ¡ Sea q la razón geométrica y a la longitud del lado
7
r= -1
B)
1+y/S
C) 1
1+J5
„ J - j 5
2
Por aspa sim ple en
7 (7 )
RPTA í “ E”
PRORLEMA 9 0 :
A) q >
7 * - 6 x 7 r= 7 2r+I
3 S = 4
1
2S =
ab
R U B IN O S
9? , 1 49 => E = 1 -------= — “ / + , " + ^ ~ i 5i 0 50 50 4
RPTA f “ E” PROBLEMA SO s ¿Cuál es el valor de
AB=— s =l +F + F + ' F +£ A) 213
B) 819
C) 312
+-
D)1
q
?
E) 314
RESOLUCIÓN s Sea la serie geométrica decreciente infinita: S Sj =
+ 12 + tg + Í4 + t5 +...
V g 'xq 'xq 'xq
L uego,
x5Í
2
3
4
3 * 3 # 3 5' V
\
\
\
*
5
+ 3'a +
\
3*
33 31
J
5
q - q+—<— \
4
]-
\3S=1 + —+*L+é¡ + §¡ + '" ' 3
q2 - q - 1 <0.
Completando cuadrados
Se pide el valor aproximado de S. /
0
q
I-qr 1
Como todo lado es menor que la suma de los otros dos, el mayor de los lados debe ser menor que la suma de los menores lados. Ac| •
tj aprox
BC=a AC=axq
45 2
4
< q
(
1\*
5
q --------< — \*
1
4E < ----2 2
2 )
4
1-45 ^ J - 4 5
------------ < q < -----------2 H 2
RPTA i “ B” 2S=1 + i + v 3 3* 3 a 3 4 5* V /\ y \ y \ y v
X1 X1 X1 XL X1 3 3 3 3 *3
PROBLEMA 91 / m 1 * Sabiendo que Y —-=e, halle la suma de la serie Y
t í ni
fl
----- —
tH n + l)l
PREGUNTAS A) 0,5
TIPO
B) 1, 0
ADMISION
C) 1,5
D) 2, 0
1499
E) 2, 5
U N !-S A N M A R C O S R O I A
Luego:
RESOLUCIÓN s
flt+R3 +RS+ = £
Recordando que, para hallar la suma de la serie, se debe expandir de manera conveniente la serie. Ya que el primer sumando es cero, se puede escribir la serie del siguiente modo: y
y (n + 1)~ /
n
RPTA / “ B” PROBLEMA 9 3 s Sea una sucesión de rectángulos fl/f Rr
fl*,
donde el k-ésimo rectángulo tiene lado ~ y , * ■;
¿
«
entonces, la suma de las áreas de todos los rectángulos es igual a:
L-]
-y U ii
R+ O
¿íL(n + lV (n + í)/J
A )1
B ) 11
18
s k 'u + j)/]
C )7 s
EJÍ
D )1
RESOLUCIÓN :
L im ± I h - T - h 1
Para resolver este problema haremos uso de algunas propiedades de sumatorias, en particular de la propiedad telescópica. V (n + l)/
Lim 11 -
~ f ( k + l > ) = f ( l ) ~ f(n+l)
RPTA s “ B” PROBLEMA 02 i Sea una sucesión de rectángulos A , # f l 2 , fl* ,... tales que para cada k 2 1 , el k —ésim o rectángulo tiene lados de longitudes - j - y
.
1
ft
E ntonces ,1a
B ) 1,0
C) 1,5
E ) oo
D ) 2 ,5
RESOLUCION i
IMi
+ («3 “
Según dato: ^
k+ 1
R
_ £ 3C £
_
k-
£
J
* k k + 1 fe(fe + i) Nos piden hallar la suma: fl* = A j + flg + R S + ... + =J
/
\
k+3 —
k+1
k+1
k+2
k+2
k+3
=- í 1 í— ¡ - } + e { — -------- — ] + 3|_*-'U k + l) * -'U + I k + 2 )
1
el área de la región del
l í -
3 *fefc
■■ « s +
1
1
= -
fe
k^i
j así:
*=¡{k(k + 3)
3*= 'U
Ú '
|
fl*
Z A „ = 2 T'
k=l
a 4) + »• + ( « * - ° k + J )
í /« *•* (,
k+ 3
representa el área de este Luego, Ak= k(k + 3) k-ésimo rectángulo. co Luego, debemos calcular
Teniendo en cuenta la propiedadjtelescópica k Z K - a ~ i ) = ( a » - “ *) + ( “ » - aí ) +
Sea
k
ft T I
suma de las áreas de todos los rectángulos es igual a ; A) 0,5
Finalmente, aplicaremos límites cuando n tiende al infinito y obtendremos el resultado requerido. Sc s {fl.} la sucesión de rectángulos, tal que el 1 1 k-ésimo rectángulo tiene de lados — y —— - .
ésim o rectángulo.
+ s f —
* -'U + 2
i ____L - l
vfe k+ lj
= ¡--lím ( x (¡-~ 3 fe
fe ll
k + 3)J
z { — ------
tmi\k +
1
£ { — ----------- — 11
k=*[k+ 2
k + 3) J
Usamos la propiedad telescópica y obtenemos
ALGEBRA LA EMCiCLOPERIA REIR \
£ A k = ~ r lim *
h ‘ l
d a d a s p o r S n( x ) =
i
1/°
3
EBim^AL
/U1
+ 2
jí+ 2
3
jt+ 3
27
correcta despu és d e determ inar si la p rop osición es vedadera (V ) o falsa (F).
oo
£A „ = — *=> * 18
“ >s-
RPTA i “ B”
(i)
PROBLEMA 9 4 :
III) S n
Sea la sucesión:
A )W F 3
con vergu e a 2 cu a n d o n tiende a 00. con v eg u e a 0 cu a n d o n tiende a 00. B )F V F
CJFFF
D )F W
E )F F V
RESOLUCIÓN i
5
al ~ ° ’a2 = 1,a3 = 2 'a4 = 4 ’a5 =
8
Se sábe que
S ;°S
=W ’a 7 = = | § f ....... .entonces la sucesión{an }converge a:
a 6
In d iq u e la s e c u e n c i a
.
0 3 a( l ) divergue cu a n d o n tiende a 00.
18
1
n T ,x
ROBIÑOS
2 x k= l + x + x 2+.., = — - — ; V* e (-2;2) k=o 1 -x Entonces , se observa lo siguiente 1) VERDADERO :
A)
c>i
°>¡
12
E ) oo
D )1
S n ( l ) = ¿T 2a = 2 + 7 + . . . + 2 = n + 2
RESOLUCION i
k=o
L uego, si n - > o o , e n to n c e s , S n( 2 ) -> oode d o n d e
Por dato se tiene «1; a2> * 3; 1 T 1 1 n + 12 ,.
Sn( I ) divergue si n tiende al infinito
“4; 1
1
1 3 5 11 4 8 16 2 Multipliquemos por 3 y dividimos entre 3 a cada término. 0
1L s r I
I
3I
2*
3
9
15
2’
4;
8 ’
1
I
2 2 - 1l
lf n ^ + l ’
En efecto,ten em os
33
1 6 ’ "J
, 1
23 + l
I
I
2 * -l 2®+l
1 22
’
2a
’
2
2 +
PUB8 S« ll) =í+| +7+- +( | luego , si n
00, e n ton ces
s" ( 7 y = 7 r r r 2 III) F A L S O :
1 0ó 0 +{ l k ) +- +(í5ó) ni ^ d ) =1+^
luego , si n -> 00, en ton ces ,
Entonces, tenemos la regla de formación -2
n
Pues S •« •
^
I ) VERDADERO :
S.
n -2 ; n * 2
fJ L L J U — . l 2 O0 >l x 2_ 100
Tomando límite: *
7 lin t a n = l í m 2+ n->-nx> n-^-Kc 3
0
/A 2 3
100 99
RPTA: “A”
Para observar libros y videos sobre algebra preuniversitaria de la editorial rubiños, visitar: w w w .M I A C A D E M I A '1 ,b l O0 e p o - t . c o m W W W .S IC 5 L 0 2 1 X . b l o g & p o t . c o m
Es decir, {«„} converge a —
♦
RPTA: " C " PROBLEMA 9G s n Dada la serie S x k=o
, cu ya ^sumas p a rcia les son
w w w .W 2 0 1 2 .b l o g & p o t . c o m w w w .R U t 3 I N O S S . b I o g s p o t . c o m w w w .A L G E S R A T O T A L .b l o g & p o t .c o m