Instituto Superior de Formación Docente Nº 19 Prof. Walter Jeckel
Profesorado ETP
Año 2012
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FÍSICA. CINEMÁTICA. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Apuntes Apuntes complementari complementarios os de las clases teóricas teóricas y la ejercitación ejercitación práctica La CINEMÁTICA es la la rama rama de la Física Física que describe describe el movimie movimiento nto de los los cuerpos cuerpos sin considera considerarr sus causas. causas. En la descripción del movimiento se utilizan los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración.
1. INTRODUCCIÓN 1.1. Partículas Un cuerpo se considera una partícula cuando sus dimensiones son muy pequeñas en comparación con las demás dimensiones que participan en el fenómeno. P.ej. un automóvil de 3 m de longitud que se desplaza de una ciudad a otra que queda a 400 km de distancia. Cuando un cuerpo se puede considerar como una partícula, el estudio de su movimiento se simplifica considerablemente. De aquí en adelante consideraremos a los objetos como partículas, salvo que se indique lo contrario.
1.2. Sistemas de referencia Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas que se utiliza para especificar la ubicación de un cuerpo en el espacio. Un sistema de referencia consiste de: - Un punto de referencia referencia fijo 0 , denominado origen. - Un conjunto de ejes específicos específicos o direcciones, con una escala apropiada y nombres en los ejes. - Instrucciones de señalamiento de un punto en el espacio con respecto al origen y a los ejes. Si la localización de un punto se hace sobre una línea, se utiliza una sola coordenada; si se hace sobre un plano (sistema 2D), se necesitan dos coordenadas (x; y), y si se localiza en el espacio (sistema 3D) se utilizan tres coordenadas coordenadas (x; y; z). Uno de los sistemas coordenados coordenados aplicados usualmente usualmente es el sistema cartesiano de coordenadas.
2. MOVIMIENTO MOVIMIENTO RECTILÍNEO RECTILÍNEO UNIFORME Se denomina movimiento rectilíneo uniforme a aquel en cual un cuerpo se desplaza con velocidad constante a lo largo de una trayectoria en l ínea recta. El desplazamiento Δd de un objeto se define como su cambio de posición y está dado por: Δd = df - di . Donde di indica la posición inicial y df la posición final. La unidad de desplazamiento en el SI es el metro (m) La distancia expresa la longitud del camino recorrido por un cuerpo. La distancia recorrida puede o no coincidir con el desplazamiento. Por ejemplo, en una carrera de natación ida y vuelta en una pileta de 25 m de longitud, el desplazamiento total es cero, dado que la posición final e inicial del nadador coinciden. Sin embargo, la distancia recorrida es de 50 m. La trayectoria es la curva formada por todas las posiciones posiciones tomadas sucesivamente por un móvil . móvil . La rapidez es el módulo o valor del vector velocidad en un instante determinado. [un velocímetro indica rapidez, que es una magnitud escalar]. La velocidad es una magnitud vectorial que expresa expresa la rapidez de un cuerpo y el sentido de su movimiento. [la velocidad aporta más información que la rapidez]. Si un auto se desplaza por una carretera recta y plana, y su rapidez es de 60 km/h, significa que en una hora recorre 60 km, en 2 horas recorre 120 km y en 3 horas recorre 180 km. Por lo tanto la distancia d que recorre recorre se calcula calcula como:
d = v.t
Esta ecuación sólo es válida cuando la velocidad permanece constante.
2.1. El diagrama de velocidad en función del tiempo (diagrama v x t) Con los datos del ejemplo anterior, la Figura 2.1 muestra que un gráfico de velocidad constante en función del tiempo resulta en una recta paralela al eje del tiempo y que el área bajo dicha línea proporciona el valor de la distancia recorrida.
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Figura 2.1.
2.1.1. Significado de una velocidad negativa Se puede establecer una convención para el uso de los signos cuando se expresa una velocidad. La velocidad será positiva si el móvil se desplaza desde el punto de partida al punto de llegada. La velocidad será negativa si el móvil se desplaza en sentido inverso. De esta forma, cuando se dice que la velocidad de un auto es de – 60 km/h se debe entender que se desplaza a 60 km/h en el sentido que se considere negativo.
2.2. El diagrama de distancia en función del tiempo (diagrama d x t) En un movimiento con velocidad constante, la distancia recorrida, d , es directamente proporcional al tiempo t . La gráfica d x t resultará una recta que pasa por el origen, y cuya pendiente es igual al valor de la velocidad. Un auto en movimiento uniforme recorre: 60 km en 1,0 h 120 km en 2,0 h 180 km en 3,0 h 240 km en 4,0 h a) Trazar la gráfica d x t para este caso.
Figura 2.2 b) Con base en el gráfico calcular la velocidad del auto. La velocidad está determinada por la pendiente de la curva d x t, es decir,
v = Δd / Δt Al elegir dos punto s cualesquiera, por ejemplo, A y B, tenemos: Δt = 3,0 h – 1,0 h = 2,0 h v = Δd / Δt = 120 km / 2,0 h
donde
Δd = 180 km – 60 km = 120 km v = 60 km/h
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2.3. El diagrama posición en función del tiempo
En algunos casos, además de interesar la distancia recorrida por un cuerpo, también se desea conocer su posición, es decir, en qué punto de su trayectoria se encuentra en determinado instante. Por ejemplo, cuando se dice que un auto se encuentra en el kilómetro 80 después de cierto tiempo de estar en movimiento, se está proporcionando la posición del auto en ese instante. Esto no significa que la distancia recorrida haya sido de 80 km, pues no tuvo que haber partido necesariamente del kilómetro cero.
Figura 2.3. En la Figura 2.3., d representa la posición de un auto en relación con el punto de partida. En el instante t = 0 (cuando se empieza a cronometrar) el auto se hallaba en la posición d = 20 km, es decir, en el km 20 de la carretera. Después de 1 h de viaje, se encontraba en el km 80, habiendo recorrido, por lo tanto, 60 km. De t = 1,0 a t = 3,0 el auto permaneció parado en el km 80. A partir de t = 3,0 el valor de d empezó a disminuir, indicando que el auto estaba regresando y se aproximaba al punto de partida. En el instante t =5 h, d = 0, o sea que en ese instante llegó al kilómetro cero.
3. MOVIMIENTO VARIADO Un cuerpo tiene movimiento variado cuando el valor de la velocidad no se mantiene constante. Este es el caso de un móvil en el cual el velocímetro indica diferentes valores en cada instante. El valor que indica el velocímetro en un instante dado, representa la velocidad instantánea en dicho momento.
Un automóvil en movimiento variado que pasa por el punto A en el instante t, con una velocidad instantánea v (lectura del velocímetro en ese momento). Transcurrido el intervalo Δt, el auto estar á en B, habiendo recorrido una distancia Δd. En un movimiento uniforme: v = Δd/Δt (recuerde que en este caso la velocidad es constante). Pero, al tratarse de un movimiento variado este cociente generalmente no coincide con la lectura del velocímetro en el instante t. Si en cambio el punto B se tomara muy próximo a A de modo que Δt fuera infinitesimalmente pequeño, el cociente Δd/Δt ser ía muy cercano a la velocidad instantánea en A. La velocidad instantánea v es el límite de la velocidad promedio conforme el intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño: v = lim Δd Δt→0 Δt La notación lim
Δt se hace
significa que la relación Δd / Δt se evalúa de maner a reiterada para intervalos de tiempo Δt Δt→0 cada vez más pequeños.
2.4.1. Determinación gráfica de la velocidad instantánea
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La figura 2.4.1. representa la distancia recorrida por un automóvil en función del tiempo. El movimiento del auto es variado, ya que si fuera uniforme, la gráfica d x t sería rectilínea. A partir del grafico es posible determinar la velocidad instantánea del automóvil en un instante cualquiera t1. Para ello, se debe trazar la tangente en el punto de la curva correspondiente a ese instante (punto P1). La inclinación de esta tangente proporciona el valor de la velocidad en el instante considerado. De la misma manera, para obtener la velocidad en el instante t2, se debe determinar la inclinación de la tangente en el punto P2. Debe observarse que la inclinación (pendiente) de la tangente en P2 es mayor que en P1, por lo tanto, la velocidad instantánea en t2 es mayor que en t1.
La inclinación de la tangente en una gráfica d x t proporciona el valor de la velocidad instantánea. Velocidad media es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido: v m = distancia total recorrida = d tiempo transcurrido t Si un automóvil recorrió 560 km en 8,0 h, puede decirse que la velocidad media fue de 70 km/h, aunque la velocidad pueda haber sufrido variaciones, por encima o por debajo de la velocidad media.
2.4.2. Determinación gráfica de la distancia recorrida Cuando el movimiento de un cuerpo es uniforme, la distancia que recorre está dada por d = v.t. Cuando el movimiento es variado, la relación d = v.t no se puede aplicar. No obstante, el área bajo la curva v x t proporciona la distancia
recorrida en cualquier clase de movimiento.
Ejemplo. Un auto detenido en un semáforo arranca con una velocidad que varía de acuerdo con el gráfico. ¿Cuál es la distancia recorrida por el auto después de 10 s?
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Solución
El movimiento es variado, pues la velocidad varió de v = 0 a v = 20 m/s en 10 s. La distancia puede calcularse por medio del área bajo la curva v x t. En la figura del problema, esta área es la del triángulo sombreado, cuya base corresponde al tiempo de 10 s y su altura corresponde a la velocidad 20 m/s. Dado que el área del triángulo = base x altura/2, resulta que: d = 10s x 20m/s = 100 m 2
4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Se denomina aceleración al cambio de velocidad de un objeto con el tiempo. Se llama movimiento rectilíneo uniformemente variado al movimiento en línea recta en el cual la aceleración es constante. Ejemplo: 1ª observación de un móvil (en t = 0) …………………………… 30 km/h Δv = 5 km/h 2ª observación de un móvil (1 s después de la 1ª) ……………. 35 km/h Δv = 5 km/h 3ª observación de un móvil (1 s después de la 2ª)…………….. 40 km/h Dado que el cambio de velocidad se mantiene constante para un intervalo de tiempo determinado, su aceleración es constante. Se llama v1 a la velocidad del móvil en el instante t1. Si el movimiento es variado, en un instante cualquiera t2 su velocidad tendrá un valor v2, distinto de v1. Es decir: durante el intervalo de tiempo Δt = t 2 – t1, la velocidad sufre una variación Δv = v2 – v1. En resumen:
a = v 2 –v 1 t 2 – t 1
a = Δv
o bien,
Δt
Si v1 = 10 m/s y después de 12 s ( Δt = 12s) la velocidad v2 = 70 m/s ¿Cuál es la aceleración del cuerpo? a = Δv = 70 m/s – 10 m/s = 60 m/s Δt 12 s 12 s
a = 5,0 m/s s
Este resultado significa que la velocidad del cuerpo aumentó 5,0 m/s cada 1 s. Esto se expresa 5,0 m 2 s El movimiento en el cual la velocidad aumenta en el tiempo, se denomina movimiento acelerado. Si la velocidad disminuyera en el tiempo, se le llama movimiento retardado. Por ejemplo, si v1 = 36 m/s y después de 5,0 s cambia a 6,0 m/s, la aceleración del movimiento será: a = Δv = 6,0 m/s – 36 m/s = - 30 m/s Δt 5,0 s 5,0 s
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a = - 6,0 m/s
Esto significa que la velocidad disminuyó 6,0 m/s cada 1 s. NOTA: observe que en el movimiento acelerado, el valor de la aceleración es positivo, y en el movimiento retardado, la aceleración es negativa (se está considerando la velocidad siempre positiva).
4.1. Cálculo de la velocidad Imagine un cuerpo con movimiento uniformemente variado. La velocidad v del cuerpo variará de la siguiente manera: En t = 0 la velocidad es v0 (velocidad inicial) En t = 1 s la velocidad es v 0 + a . 1s En t = 2 s la velocidad es v 0 + a . 2s En t = 3 s la velocidad es v 0 + a . 3s Es decir que la velocidad v después de transcurrido un tiempo t cualquiera, está dada por:
v = v 0 + at
Ecuación 1
6 4.1.1. Cálculo de la velocidad media cuando la aceleración es constante Mientras la aceleración sea constante, la velocidad media de un objeto se determina igual que el promedio aritmético de dos números. Dadas una velocidad inicial y una final, la velocidad media es simplemente:
v = vf + vi 2 4.2. Cálculo de la distancia recorrida En el movimiento uniformemente variado, la velocidad aumenta (o disminuye) linealmente con el transcurso del tiempo. La distancia recorrida por el cuerpo se puede obtener mediante el área bajo la curva v x t que se muestra en la gráfica. Observe que v = v 0 + at es la ecuación de una recta (v y t son variables; v0 y a son constantes).
En la gráfica se observa que el área bajo la curva es la suma de las áreas de: Un rectángulo de lados v0 y t:
área = v0.t
Un triángulo de base t y altura at:
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área = t x at = 1 at 2 2
Por lo tanto, la distancia d recorrida por el cuerpo, que es numéricamente igual al área total bajo la curva estará dada por:
d = v 0 t + 1 at 2 2
Ecuación 2
4.3. Velocidad en función de la distancia Puede ocurrir que se requiera calcular la velocidad de un cuerpo luego que ha recorrido cierta distancia, sin que se conozca el tiempo t del movimiento. Para ello, se despeja t de la Ecuación 1: t = v – v0 a y se reemplaza en la Ecuación 2: d = v0 . (v – v0) + 1 . a . a 2
v – v0 a
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Efectuando el desarrollo algebraico se obtiene una ecuación de velocidad sin incluir el tiempo:
v 2 = v 02 + 2ad
Ecuación 3
NOTA: Recuérdese que la velocidad se considera siempre positiva; cuando la velocidad disminuye, el movimiento es retardado y la aceleración es negativa.
7 5. CAÍDA LIBRE Cuando se deja caer un objeto próximo a la Tierra, desde cierta altura, se comprueba que su velocidad aumenta, es decir, su movimiento es acelerado. Si se lanza un objeto hacia arriba, su velocidad disminuye gradualmente hasta anularse en el punto más alto, o sea que el movimiento ascendente es retardado.
5.1. La aceleración de la gravedad Galileo comprobó que el movimiento de caída libre es uniformemente acelerado, pues su aceleración es constante. Tal aceleración se denomina aceleración de la gravedad , y se representa g . Su valor es el mismo para 2 todos los cuerpos en caída libre, aproximadamente: g = 9,8 m/s . Esto significa que un cuerpo en caída libre aumenta su velocidad 9,8 m/s en cada intervalo de 1 s. Si el cuerpo es lanzado en dirección vertical hacia arriba, su velocidad disminuirá 9,8 m/s en cada lapso de 1 s. Dado que la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado, se pueden aplicar las ecuaciones del MUA reemplazando a = g. También se pueden aplicar dichas ecuaciones en los cálculos del movimiento ascendente, recordando que se trata de un movimiento uniformemente retardado.
Si un cuerpo es lanzado hacia abajo con una velocidad inicial v0, después de caer durante cierto tiempo t y haber recorrido una distancia d, son válidas las ecuaciones:
v = v 0 + gt Recuérdese que la aceleración es g .
d = v0 t + 1 gt 2 2
v 2 = v 02 + 2gd
8 5.2. Convención de signos en problemas de tiro vertical y caída libre Analice la figura 5 .2.
Figura 5.2 Imagine una pelota lanzada hacia arriba. La pelota se mueve hacia arriba en línea recta hasta que se detiene y regresa siguiendo la trayectoria descendente en la misma recta. Considere al punto de lanzamiento como el de desplazamiento cero (y = 0) [como el cero en un sistema coordenado rectangular]. El signo del desplazamiento
será positivo en cualquier punto ubicado arriba del cero, y negativo en cualquier punto por debajo de él. Observe que no importa si la pelota se está moviendo hacia arriba o hacia abajo; sólo su ubicación (la coordenada y de su posición) es la que determina el signo del desplazamiento. El desplazamiento sólo se vuelve negativo cuando la pelota se encuentra debajo del punto de lanzamiento.
La velocidad de la pelota será positiva siempre que el movimiento se dirija hacia arriba y negativa, cada vez que su movimiento va hacia abajo. No importa que la velocidad cambie con el tiempo, ni tampoco su ubicación en el espacio. Finalmente, considere la aceleración de la pelota. La única fuerza que actúa sobre ella durante su recorrido es su peso, el cual siempre está dirigido hacia abajo. Por lo tanto, el signo de la aceleración es negativo durante todo el movimiento. La aceleración es negativa cuando la pelota se mueve hacia arriba y también cuando se mueve hacia abajo.
9 TRABAJO PRÁCTICO. Cinemática. Movimiento rectilíneo 1. Un satélite artificial de 5 m de diámetro, gira en la órbita terrestre a 500 km; el radio de la Tierra es de 6000 km. ¿Se puede considerar a la Tierra como una partícula? SI / NO ¿por qué? ¿y el satélite? SI / NO ¿por qué?
2. Calcule: a) La distancia que recorre un auto a v = 54 km/h en 30 minutos. b) La velocidad (constante) de un nadador que recorre d = 100 m en t = 50 s. 11 8 c) El tiempo expresado en minutos, que tarda la luz en llegar del Sol a la Tierra. d = 1,5 x 10 m; v= 3,0 x 10 m/s.
3. El gráfico representa la posición de un automóvil, contada a partir del origen cero de la carretera, en función del tiempo.
a) ¿Cuál era la posición del auto al principio del movimiento (t = 0)? b) ¿Cuál era en el instante t = 1,0 h? c) ¿Qué velocidad desarrolló en esta primera hora de viaje? d) ¿En qué posición y por cuánto tiempo permaneció detenido? e) ¿Cuál es su posición a las 4 h de viaje? f ) ¿Cuál es su velocidad en el viaje de regreso?
4. Un automóvil recorre una distancia de 150 km y desarrolla en los primeros 120 km una velocidad media de 80 km/h, en tanto que en los últimos 30 km tiene una velocidad media de 60 km/h. a) ¿Cuál fue el tiempo total del viaje? b) ¿Cuál fue la velocidad media del automóvil en el transcurso total?
5. Un automóvil circula a una velocidad de 10 m/s. El conductor pisa el acelerador ejerciendo una aceleración constante que aumenta la velocidad a 20 m/s en 5 s. Considérese t = 0 el instante en que el conductor pisa el acelerador. a) ¿Cuál es la aceleración del automóvil? b) Si el auto mantuviera la aceleración calculada hasta el instante t = 10 s ¿Cuál es la velocidad en ese momento? c) ¿Cuál es la distancia recorrida por el auto desde el inicio de la aceleración hasta el instante t = 10 s? d) En el instante t = 10 s el conductor pisa el freno, desacelerando el auto con una aceleración negativa de 6,0 2 m/s ¿Qué distancia recorre el auto desde ese instante hasta que se detiene?
6. Un cuerpo en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado desarrolla en el instante t = 0, una velocidad 2
inicial v0 = 5,0 m/s y su aceleración es a = 1,5 m/s . a) Halle la velocidad del cuerpo en el instante t = 8,0 s. b) Calcule el aumento de la velocidad del cuerpo en el intervalo de 0 a 8,0 s. c) Trace el diagrama v x t para el intervalo de tiempo considerado. d) ¿Qué representa la pendiente de la gráfica?
7. Se deja caer un cuerpo en reposo desde un edificio, y tarda 3 s en llegar al suelo. Considere despreciable la resistencia del aire. a) ¿Cuál es la altura del edificio? b) ¿Con qué velocidad llega el cuerpo al piso?
8. Un tren reduce su velocidad de 60 km/h a 20 Km/h en un tiempo de 8 s. Encuentre la aceleración en unidades del SI.
9. Un objeto en movimiento incrementa uniformemente su velocidad de 20 m/s a 40 m/s en 2 min. ¿Cuál es la velocidad media y cuán lejos llegará en esos 2 minutos?
10 10. Un avión aterriza en la cubierta de un portaaviones con una velocidad inicial de 90 m/s y se detiene por completo en una distancia de 100 m. Encuentre la aceleración y el tiempo necesario para detenerlo.
11. Un tren que viaja inicialmente a 16 m/s se acelera constantemente a 2 m/s2 en la misma dirección. ¿Cuán lejos viajará en 20 s? ¿Cuál será su velocidad final?
12. Se deja caer una pelota del reposo. Encuentre su velocidad y su posición después de 1, 2, 3 y 4 s. Construya una tabla de tres columnas: tiempo t (s); velocidad final a tiempo t (m/s); Desplazamiento a final del tiempo t (m).
13. Lex Lutor empuja a Luisa Lane desde lo alto de un edificio de 180 m en caída libre a velocidad inicial cero. Superman llega a lo alto del edificio a los 4 s de que se inicia la caída, y se lanza con velocidad constante para salvarla. ¿Cuál es el mínimo valor de velocidad que debe desarrollar Superman para alcanzar a Luisa antes de 2 que se estrelle contra el suelo? Asuma que g = 10 m/s .
14. Una pelota se arroja hacia arriba con una velocidad inicial de 96 ft/s. Demuestre que el movimiento ascendente 2
es exactamente inverso al movimiento descendente, tomando el tiempo en intervalos de 1s. g = 32 ft/s .
15. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, con una velocidad inicial de 20 m/s. a) Calcule el tiempo necesario para que alcance la altura máxima. b) Determine la altura máxima. c) Determine su posición y su velocidad a los 1,5 s. d) ¿Cuáles son su posición y velocidad a los 5 s?
