ÁLGEBRA
Nº
05
ACADEMIA ADUNACADUNAC- CICLO VERANO 2019 FACTORIZACION
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Identificar la factorización como una operación inversa de la multiplicación y manejar adecuadamente los métodos para factorizar expresiones algebraicas con rapidez y seguridad.
FACTORIZACION DE POLINOMIOS
METODOS DE FACTORIZACION METODO DE FACTOR COMUN Factor común monomio.- Es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado. El factor común se extrae de cada término, elevado a su menor exponente. 5
3
2
x y . Factorizar es el proceso que consiste en Ejemplo (1): Factorizar x y xy transformar una expresión algebraica racional y entera en un producto indicado de factores Factor común polinomio.- Cuando existe un polinomio contenido en todos los términos del primos en el campo R. polinomio considerado. FACTOR.- El factor de una expresión es aquél que la divide exactamente. Ejemplo: Ejemplo (2): Factorizar x( a 1) (a 1). *a.b.c = X a, b y c son factores de X. Solución: Extraemos el factor común (a-1) 2 * y(y+1)=y +y y y (y+1) son factores de x(a 1) (a 1) (a 1)(x 1) y2+y. Factor común por agrupación de términos .Factor primo.- Es aquel que no se puede Se agrupan los términos de 2 en 2, de 3 en 3, descomponer en otros factores (diferentes de etc. considerando alguna característica común. uno). Ejemplo (3): Factorizar x4a x4y z4a z4y Ejemplo: (5) (7), donde 5 y 7 son factores Solución: Agrupando en la forma indicada: primos.
4
4
4 z4)
– Es un polinomio de x (a y) z (a y) (a y)(x POLINOMIO PRIMO. –
grado diferente de cero divisible sólo entre sí y METODO DE LAS IDENTIDADES entre cualquier constante. Por ejemplo: x 2+1 es un polinomio de segundo grado divisible sólo En este caso utilizaremos los productos entre sí mismo. notables. Si en una multiplicación indicada, uno de los Diferencia de cuadrados: factores tiene las características de un polinomio cero, dicho factor se denomina 2 2 factor primo. a b (a b)(a b)
PROPIEDADES
Solamente se pueden factorizar las Ejemplo (4): Factorizar expresiones compuestas (no primas). ( x 1) 2 ( y 1) 2 El máximo número de factores primos que puede tener una expresión estará dado por su Solución : grado. ( x 1) ( y 1) ( x 1) ( y 1) Las expresiones de primer grado, llamadas ( x y 2)( x y ) también expresiones lineales, necesariamente son primos.
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METODO DEL ASPA Método del aspa simple.- Se utiliza para factorizar
trinomios
de
la
forma.
2m mn 2n ax bx y cy . Factorizar a
7 x
x
6,
5
2x
4
3,
posibles ceros: ..................................................
Ejemplo (8): Factorizar:
3 x 3x 4
Solución: Solución: Posibles “ceros”:
Ejemplo (5): 2
3
posibles ceros: ...................................................
x
1, 2, 4
.
Se anula para x 1 (x-1) es factor. El otro factor se obtiene al dividir por Ruffini entre (x-1)
2
b 3a 3b 2ab 28
Solución: (a b)2 3(a b) 28 (a b 7)(a b 4) a b 7 a b - 4
1 1
0 3 -4 1 1 4 1 1 4 0 Segundo grado
2 Método del aspa doble.- Se utiliza para La expresión factorizada es: (x 1)(x x 4) . factorizar polinomio de la forma: METODO DE LOS ARTIFICIOS.- En este caso, 2 2 Bxy Cy Dx Ey F Ax Ax
Ejemplo (6): Factorizar x
2
2 x y 4 y 3 xy 7 x 8 y 12
4y
x
4
x -y 3 Los factores son: (x+4y+4)(x-y +3). Caso particular. – – Se emplea para factorizar polinomios de la forma: Ax A x 4 n + B x 3 n + C x 2 n + D x n +E.
Ejemplo (7): Factorizar 4
3
2
x + 7 x +17x +26x+12.
mediante sumas y restas trataremos de formar trinomio cuadrado perfecto para exponentes pares o suma o diferencia de cubos para exponentes impares. También se pueden hacer cambios de variables.
Ejemplo (9): Factorizar 4 x
8
81y
4
MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO MÁXIMO COMÚN DIVISOR
PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIÓN: Para
obtener el MCD de dos o más expresiones algebraicas, en primera instancia se factoriza DIVISORES BINOMICOS.- Se utiliza para éstas y luego se forma el producto de los factorizar polinomios de cualquier grado factores comunes elevados a su menor siempre que tenga por lo menos un factor de exponente. primer grado. Regla: Se calcula los valores de las variables que anulen al polinomio para obtener factores MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO binomios (ceros del polinomio). PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIÓN: Para Ejemplo, si se anula para: determinar el mcm de varias expresiones se * x = 3, entonces (x - 3) es factor factorizan estas y a continuación se forma el * x= - ¼, entonces (4x + 1) es factor producto de los factores comunes y no Se divide por Ruffini al polinomio entre el factor comunes elevados a su mayor exponente. o factores binomios obtenidos, para obtener el PROPIEDADES: factor que falta.
Regla para obtener los posibles “ceros”: Si el coeficiente del término de mayor grado es la unidad, los posibles “ceros” son los divisores del término independiente. Si el coeficiente del término de mayor grado es diferente de la unidad, los posibles “ceros” serán, los divisores del término independiente divididos por los divisores del coeficiente del término de mayor grado. Ejemplo:
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–
–
El MCD de dos o más expresiones primas entre sí es la unidad y su m.c.m es el producto de ellas. Sólo para dos expresiones algebraicas A y B se cumple que:
A.B = MCD ( A,B ).m.c.m. (A, B ) –
Cuando no hay factores comunes el MCD será 1 y el mcm, el producto de ellas.
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EJERCICIOS
10. Si luego de factorizar T(x)=4x4-13x2+9 1. Encuentre una diferencia de los factores Se obtiene: primos y mónicos de: A = de los factores primos R(x) = (x+10) (x+11)(x+12) + (x+10) (x+11) + B = de los términos x+10 independientes independientes de sus factores a) 2 b) 1 c) 3 primos. d) 4 e) 0 C = Número Número de sus sus factores primos 2. Factorizar: P(x;y) = 25x4 – 109x – 109x2y2 + 36y4 Indique el número de factores primos lineales. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8
Calcular: a) 1 d)
AB C
R=
6 x 4
b)
2 x
e)
x
2
c) 2
4
3. Factorizar: P(x) = x6 – x – x2 – 6x – 6x – – 9 9 11. Determine “” si es un cero de P(x) Indicando el número de factores primos P(x) = 7X3 – 57X – 57X2 + 57x-7 obtenidos a) =2 b) = -7 c) 1/7 a) 1 b) 2 c) 3 d) = -1 e) = -1/7 d) 4 e) 5 4. Cuál es el binomio que es divisor de la suma de los factores primos de: P(a;b) = a 4 + b4 – 4ab(a – 4ab(a2+b2)+5a 2b2 a) a+b b) a-2b c) a-b d) a+2b e) 2a-b 5. Calcular la suma suma de los factores primos de: 2 R(x;y) = X (x-y)2 – 14xy – 14xy2 (x-y) + 24y4 a) 2 (2x-y) b) 4x-y c) 4x d) 4 (x-y) e) 4(x+y) 6. Calcular un factor de: a 2 + 2a + ab + b + 1 a) a+b+1 b) b+1 c) b-1 d) a-1 e) a+b
12. Factorizar: X3 – 3x – 3x2 + 4x-2 e indicar un factor. a) x + 1 b) x-1 d) x2+2x-2 e) x+2
c) x2+x+1
13. Luego de Factorizar: N(x;y) = 6x2 + 19xy + 15y 2-11x+4-17y Indicar un factor: a) 2x + 3y-1 b) 2x-3y+1 c) 3x-5y+4 d) 3x+y+4 e) 3x+5y+4
14. Factorizar: P(x) = x5(x-3) + x3(2x-1) + (x+2)2-8 e indicar un factor primo 7. Factorizar: m2-4p2+4mn+4n2 y calcular la a) x +2 b) x3-x-2 c)x3-x2+x-2 suma de los factores primos obtenidos a) 2m + 4n b) m + n + 2p c) m+n d) x2+1 e) x2-x-3 d) 2m+n e) m+2n 8. Calcular la la suma de coeficientes coeficientes de un factor 15. Luego de factorizar M(y) = y5-3y4-23y3+51y2+94y-120 indique primo: cuál es el f actor que no proviene de “M” S(m;n) = 7m4+29m2n4 – 36n – 36n8 a) y-5 b) y+4 c) y+2 a) 48 b) -1 c) 35 d) y-1 e) y+3 d) 42 e) 0 9. Factorizar: P (a;b;c)= a2+a-b2+b-c2-c+2bc Y dar un factor primo: a) a+b+c b) a-b+c++1 c) a-b-c d) a-b-c+1 e) a+b+c-1
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16. Factorizar: P(x;y) = 6x2 – 2xy – 2xy – – 3x 3x – – 24y 24y – – 8y 8y2 – 1 – 18 8 e indicar un factor primo a) 3x+4y-6 b) 2x+2y-3 c) 2x+2y+3 d) 3x+4y+6 e) 3x-4y+6 17. Factor:
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R(x;y) = 28x2-69xy-22y2-36x-71y-40
d) 9
e)10
e indicar el término independiente independiente de un factor 25. Hallar el término lineal del MCD de : primo obtenido A = x4 + x3 – 6x – 6x2 – 5x – 5x – – 1 1 a) 5 b) 4 c) 8 4 2 d) 2 e) 1 B = x – 7x – 7x + 1 a) x b) 2x c) 3x 18. Si luego de factorizar: d) – d) –3x 3x e) – e) –2x 2x
M(x) = 2x4 – 3x – 3x3 – 1 – 1
Un factor se evalúa para x =
2
a) 2-
c) 5 +
d) 1+
b) 1-
2
2
e) 3 +
2
, se obtiene: 2
2
19. Indicar un factor primo obtenido al factorizar: E(a;b;x;y) = ab(x2+y2) + xy (a2 + b2) a) a+x b) a+y c) ab+x
d) b+xy
e) ax+by
20. Al factorizar:
A = (n-1) (n-1) (n+2)( (n+2)(n-3 n-3)(n )(n-6)+ -6)+7n 7n2-28n+1 Se obtiene 2 factores que se diferencia en: a) 2 b) 5 c) 7 d) 12 e) 16
21. Hallar el MCM de los polinomios P(x;y) = 2x2+xy-15y2-4x+10y Q(x;y) = 2x3-5x2y+2xy2-5y3 a) (2x-y) (x+y-2) (x2+y2) b) (x-5y) (2x+y-2) (x2+y2) c) (x+5y) (2x-y+2) (x2+y2) d) (2x-5y) (x+3y-2) (x2+y2) e) (2x+5y) (x-3y+2) (x2+y2)
26. Hallar el MCD de :
A = x5 – ax – ax4 – a – a4x + a5 B = x4 – ax – ax3 – a – a2x2 + a3x a) x+a d) (x+a)/x-a)2
b) (x-a)2 e) (x+a)2
c) (x-a)(x+a)2
27. Hallar el MCD de :
A = x6 – y – y6 B = x3 – 2xy – 2xy3 + y3 +2x2y2 C = x8 + x4y4 +y8 a) 1 d) (x-y)2
b) (x+y)2 e) x2 – 1 – 1
28. El T.I. T.I . del MCD de : A = x4 + x3 + x2 + 2x + 1 B = x5 + 2x3 + x2 + x + 1 a) 1 b) 2 d) -1 e) – e) –2 2
c) (x+y)(x-y)
c) 3
29. Hallar la suma de coeficiente del MCD de :
A = x6 + x4 + x – x – 1 1 6 3 2 B = x – 2x – 2x – x – x + x + 1 a) 3x2 d) – d) –x x2
b) – b) –2x 2x2
c) x2
e) no tiene
22. Hallar el MCD de los polinomios
M(x) = 2x4 + 5x3 + 2x2 – x – x – – 2 2 4 3 2 N(x) = x - x - 6x + 4x + 8 e indica la suma de sus coeficientes a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) – e) – 2 2 23. Indica la suma de coeficientes del MCD de los polinomios
ESTUDIA MUCHO Y TRIUNFARÁS
P(x) = x25 + x2+1 y Q (x) = x5+x+1 a) -2
b)1
c)3
d) -4
e) – e) – 1 1
24. Hallar el MCD de los siguientes A = 3x5 - 2x4 – x – x3 + 2x2 – 2x – 2x 5 B = x – x – x e indica el número de divisores algebraicos que posee a) 6 b) 7 c) 8
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