Ajuste de Balances de Leyes Usando Lagrange

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

AJUSTE DE BALANCES DE LEYES USANDO LAGRANGE 1. CORRECCIÓN DE LEYES USANDO LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE En el procesamiento de minerales se efectúan muestreos con diversos fines (determinar parámetros de la operación, eficiencia de equipos, detección y análisis de errores en los procesos, etc.). Existen equipos (Clasificadores, Hidroclasificadores, celdas de flotación, mesas gravimétricas, etc.) que pueden tomarse como un nodo en el cual puede haber varias alimentaciones a limentaciones y salidas. Obtención de los flujos normalizados normalizados - Con los datos registrados a corregir (análisis químico- leyes). - Constituir las ecuaciones de Balance de Masa (Ecuaciones de Flujo, Ecuaciones de Leyes). - Normalizar las ecuaciones anteriores (Dividiendo por el flujo A). - Constituir las ecuaciones de error con los flujos normalizados ( ). - Identificar la función quien representa a los flujos normalizados.



 



Derivar parcialmente la función por cada flujo normalizado e igualar a cero. Obteniéndose flujos normalizados corregidos y haciendo a la función, tomar un valor mínimo. (Inicio del hallazgo de todos los flujos normalizados). 2. OBTENCIÓN DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE



Calcular los errores debido a los flujos normalizados corregidos. Reemplazar los flujos normalizados corregidos hallados en el paso anterior. Flujos A = F1 + F2 Leyes

                    

Ahora dividimos a todo entre A


       1 = θ1 + θ2

Erro de flujo, al cual se debe regularizar

                                             ∑( )  ∑        

Calculo de flujos Normalizados

Donde:

Derivamos

         ∑( )  ∑                                                          []        respecto a

(


Hallando los multiplicadores de Lagrange. Calculo de Errores.

                       (  )                                                                              

Función Langragiana

Derivando respecto a Delta

Derivando respecto al

Reemplazando

Hallando los multiplicadores de Lagrange


                                    

Correcciones de leyes

Correcciones de leyes

Corroborando las leyes corregidas.

          FLUJO Cabeza Concentrado Cola

Peso TMPD 100 C T

Tin 21.9 43 6.77

Iron 3.46 5.5 1.76

LEYES Silica Sulphur 58 0.11 25.1 0.12 75.3 0.09

Arsenic 0.36 0.38 0.34

TiO2 4.91 9.24 2.07

Iron 3.46 2.50 0.96

Contenido Metalico Silica Sulphur 58.00 0.11 8.65 0.08 49.35 0.03

Arsenic 0.36 0.19 0.17

TiO2 4.91 3.66 1.25

Tin

Iron

Recuperacion Silica Sulphur

Arsenic

TiO2

81.996

72.254

Tin 21.90 17.96 3.94

14.914

72.727

BALANCE METALURGICO:

 

CALCULO PESOS (%) DE LA CONCENTRACION Y LA COLA:

52.778

74.540


                      ESO ( C ) T=

41.761 58.239

45.455 54.545

34.462 65.538

66.667 33.333

50.000 50.000

39.609 60.391

A = F1 + F2 La A = L1 F1 + L2 F2

L = φ1 + φ2

APLICANDO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PARA CORRECCION DE LEYES: φ1 = 0.3703 φ2 = 0.6297

Ω(A-1) = Ω(2-1) =

-21.1 -36.23

-2.04 -3.74

32.9 50.2

-0.01 -0.03

-0.02 -0.04

-4.33 -7.17

764.453 1312. 6129

7.6296 13. 9876

1651.58 2520. 04

0.0003 0. 0009

0.0008 0. 0016

31.0461 51. 4089

ΔM = 1.71502 λ = -2.23651 ΔA = 1.11825 ΔL1 = -0.41406 ΔL2 = -0.70420

0. 31518 -0.41102 0. 20551 -0.07609 -0.12941

1. 28769 -1.67924 0. 83962 -0.31089 -0.52873

0.00889 -0.01160 0.00580 -0.00215 -0.00365

0. 00519 -0.00677 0. 00338 -0.00125 -0.00213

0. 18514 -0.24144 0. 12072 -0.04470 -0.07602

Ω1 * Ω2 = Ω(2-1)^2 =

2454.7098 3898. 0519

BALANCE METALURGICO CORREGIDO:

FLUJO Cabeza Concentrado Cola La recuperación

PESO TMPD 100 37.027 62.973

LEYES Tin 20.7817 43.4141 7.4742

Iron 3.2545 5.5761 1.8894

Silica 57.1604 25.4109 75.8287

Sulphur 0.1042 0.1221 0.0937

          

Arsenic 0.3566 0.3813 0.3421

TiO2 4.7893 9.2847 2.1460


Contnido Metalico Tin 20.782 16.0750 4.7067

Iron 3.254 2.0647 1.1898

Silica 57.160 9.4090 47.7514

Sulphur 0.104 0.0452 0.0590

Arsenic 0.357 0.1412 0.2154

TiO2 4.789 3.4379 1.3514

Recuperacion Tin

Iron

Silica

77.3517

63.4408

16.4606

ESO ( C ) T= omprobacion

37.027 62.973 0.000

Ratio

Sulphur

Arsenic

43.4037

37.027 62.973 0.000

TiO2

39.5852

37.027 62.973 0.000

71.7826

37.027 62.973 0.000

2.70

37.027 62.973 0.000

Balance usando matrices:

1.000

1.000

100

43.414

7.474

2078.17

1.000

1.000 =

Δ=

43.414

100

-35.94

7.474

1 =

Δ1=

2078.17

-1330.8

7.47

1

100 =

Δ2=

43.4141

2078.1745

Finalmente hallando las constantes se obtiene: Δ1/Δ = C = Δ2/Δ = T =

37.027 62.973

-2263.23142

37.027 62.973 0.000


BALANCE METALÚRGICO DE TRES PRODUCTOS

Alimentacion Conc. Cobre Conc. Plomo Conc. Zinc Relave

% Cu 0.28 27.67 4.29 1.04 0.04

% Pb 1.80 8.98 58.67 1.00 0.21

% Zn 4.21 7.60 6.94 60.14 0.40

  |    | | |                        =


HALLANDO LA DETERMINANTE:

|    |    

DETERMINANTE PARA CADA PRODUCTO



Alimentacion Conc. Cobre Conc. Plomo Conc. Zinc Relave

%peso 100.00 0.25 2.60 6.06 91.09

% Cu 0.28 27.67 4.29 1.04 0.04

% Pb 1.80 8.98 58.67 1.00 0.21

contenido metalico 0.28 0.07 0.11 0.06 0.04

1.8 0.02 1.53 0.06 0.19

recuperacion 100 24.63 39.84 22.52 13.01

100 1.24 84.76 3.37 10.63

4.21 0.02 0.18 3.65 0.36

ratio 100 0.45 401.28 4.29 38.45 86.61 16.49 8.65

% Zn 4.21 7.60 6.94 60.14 0.40


En el método propuesto se considera que existe una Entrada Principal, una Salida Principal, “m” entradas secundarias y “n” salidas secundarias. Todas estas entradas y salidas

están aplicadas a un nodo y se considera que en dicho nodo no existen procesos de reducción de tamaños. Cada una de estas entradas y salidas mencionadas tiene una granulometría determinada que se puede representar por la siguiente tabla:

Los dos conceptos básicos de un balance metalúrgico son: Nodo: Una ubicación específica dentro del proceso en torno al cual se establece las ecuaciones

de balance del tipo: Acumulación = Entrada – Salidas Flujo: Es la cantidad de material involucrado en un nodo.

El algoritmo de ajuste para cualquier elemento i es tal que la función objetivo:

Sea mínima y cumpla con las restricciones de balances de masa del tipo:


Representa un número que se asocia a la calidad de la medición de un elemento determinado. Mientras mayor es el número mayor calidad tiene la medición.

Puesto que las restricciones son lineales, el problema de minimización se puede resolver por el método de multiplicadores de Lagrange, que consiste en:

Ajuste de Balances de Leyes Usando Lagrange

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