Operaţii cu numere binare 1. Regulile operaţiilor cu numere binare reprezentate fără semn a) Adunarea 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 0 şi 1 transport la rangul imediat superior (cu "depăşire") Exemplu:
1 1 1 1 1 (transport) 01101 + 10111 ------------=100100
b) Scăderea 0−0→0 0 − 1 → 1, cu împrumut 1 de la rangul imediat superior 1−0→1 1−1→0 Exemplu
* * * * (steluţa marchează bitul de unde există împrumut) 1101110 − 10111 ---------------=1010111
c) Înmulţirea 0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1 Exemplu
1 0 1 1 (x) × 1 0 1 0 (y) --------0 0 0 0 ← Corespunde unei înmulţiri cu un 0 din y + 0 01 0 01 1 +1011 --------------=1101110
← Corespunde unei înmulţiri cu un 1 din y
1
2. Reprezentarea numerelor binare a) Reprezentarea numerelor binare în valoare absolută şi semn Fie numărul binar x, atunci reprezentarea lui în valoare absolută şi semn va fi: x
sgn x x
unde: sgn x este cel mai semnificativ bit al numărului binar şi reprezintă bitul de semn – sgn x=0 înseamnă un număr binar pozitiv, sgn x marchează un număr binar negativ |x| este valoarea absolută a numărului binar, formată din restul biţilor Exemplu
Fie numărul +10 în zecimal, reprezentat ca număr binar în valoare absolută şi semn va fi 0/1010 Fie numărul -10 în zecimal, reprezentat ca număr binar în valoare absolută şi semn va fi 1/1010
b) Reprezentarea numerelor binare în complement faţă de 1 Complementul faţă de 1 este o alternativă de reprezentare a numerelor binare negative, astfel că numerele binare pozitive se vor reprezenta ca în binar cu valoare absolută şi semn, iar numerele binare negative se vor reprezenta în complement faţă de 1. Fie numărul binar x, pentru a obţine reprezentarea numărului în complement faţă de 1, se complementează toţi biţii reprezentării sale pozitive, începând de la cel mai pu ţin semnificativ bit, inclusiv bitul de semn. x compl1
xn x
Exemplu
Fie numărul +10 în zecimal, reprezentat ca număr binar în valoare absolută şi semn va fi 0/1010, iar reprezentat complement faţă de 1 va fi tot 0/1010 Fie numărul -10caînşizecimal, reprezentarea sa pozitiv ă ca număr binar în valoare absolută şi semn va fi 0/1010, iar complementul faţă de 1 va fi 1/0101
c) Reprezentarea numerelor binare în complement faţă de 2 Şi această reprezentare este tot o alternativă pentru reprezentarea numerelor binare negative, astfel că numerele binare pozitive se vor reprezenta ca în binar cu valoare absolut ă şi semn, iar numerele binare negative se vor reprezenta în complement faţă de 2. Obţinerea complementului faţă de 2 se poate realiza în două modalităţi: - se parcurge şirul de biţi de la cel mai puţin semnificativ bit către cel mai semnificativ bit al reprezentării pozitive a numărului. Până la găsirea primului bit de 1, nu se efectueaz ă nici o modificare asupra numărului. În momentul în care s-a identificat primul bit de 1, acesta se lasă
nealterat, iar toţi biţii aflaţi la stânga lui se vor complementa, inclusiv bitul de semn Exemplu
Se doreşte transformarea numărului -10 din zecimal în binar. Se porneşte de la reprezentarea binară pozitivă a acestuia, 0/1010, şi se aplică algoritmul de mai sus: 1/0110
2
- a doua metodă constă în utilizarea complementului faţă de 1. Astfel se porneşte de la reprezentarea binară pozitivă a numărului, se realizează complementul faţă de 1, şi apoi se adună 1 la cel mai puţin semnificativ bit. Rezultatul fa vi complementul faţă de 2 Exemplu
Fie numărul -10 în zecimal. Se porneşte de la reprezentarea binară pozitivă a acestuia, 0/1010. Se realizează complementul faţă de 1, 1/0101. Apoi se adună 1 la cel mai puţin semnificativ bit, rezultând complementul faţă de 2: 1/0101+ 1 1/0110
3. Adunarea şi scăderea numerelor binare cu semn a) Adunarea şi scăderea numerelor binare reprezentate în valoare absolută şi semn Fie numerele binare x, y şi rezultatul operaţiei z. x
sgn x x
sgn y y z sgn z z y
a1) Adunarea numerelor binare reprezentate în valoare absolut ă şi semn
Regulile de adunare: dacă cele două numere au biţii de semn identici, sgn x = sgn y, atunci se face adunarea între cele două valori absolute: z
x
y
iar bitul de semn sgn z sgn Exemplul 1
Fie două numere binare +10 şi +4, reprezentate în binar 0/1010 respectiv 0/0100. Deoarece cele două numere au biţii de semn identici, se va face operaţia de adunare între cele dou ă valori absolute ale celor două numere: (+10)+(+4)=(+14) 1010+ 0100 1110 Deci rezultatul final este 0/1110 3
Exemplul 2
Fie două numere binare -15 şi -9, reprezentate în binar 1/1111 respectiv 1/1001. Deoarece cele două numere au biţii de semn identici, se va realiza adunarea valorilor absolute ale acestora: (-15)+(-9)=(-24) 1111 1111+ 1001 11000
transporturi la rang superior
dacă cele două numere au biţii de semn diferiţi, sgn x cele două valori absolute: z
x
sgn y, atunci se face scăderea între
y
Dacă există împrumut la cel mai semnificativ bit al operaţiei, atunci bitul de semn al rezultatului este sgn z sgn , iar valoarea absolută z trebuie complementată faţă de 2. Dacă nu există împrumut la cel mai semnificativ bit al operaţiei, atunci bitul de semn al rezultatului sgn z sgn x iar valoarea absolută z rămâne rezultatul operaţiei. Exemplul 1
Fie două numere zecimale +10 respectiv -4, reprezentate în binar 0/1010 respectiv 1/0100, pentru care trebuie efectuată operaţia de adunare. Deoarece cele două numere au biţii de semn diferiţi, se va efectua operaţia de scădere între cele două numere: (+10)+(-4) = 10-4 = +6 10100100 0110 Deoarece nu există împrumut la cel mai semnificativ bit, bitul de semn va fi bitul de semn al descăzutului, iar rezultatul operaţiei va fi 0/0110 Exemplul 2
Fie două numere zecimale 4 respectiv -10, reprezentate în binar 0/0100 respectiv 1/1010, pentru care trebuie efectuată operaţia de adunare. Deoarece cele două numere au biţii de semn diferiţi, se va efectua operaţia de scădere între cele două numere: (+4)+(-10)=4-10=-6 * * - împrumut la rang superior 01001010 1010
4
Deoarece există împrumut la rangul superior, rezultatul se va complementa faţă de 2: 1010 0110, iar bitul de semn va fi complementul bitului de semn al descăzutului. Rezultatul final va fi: 1/0110 a2) Scăderea numerelor binare reprezentate în valoare absolut ă şi semn
Regulile de scădere: dacă cele două numere au biţii de semn identici, sgn x = sgn y, atunci se face scăderea între cele două valori absolute: z
x
y
Dacă există împrumut la cel mai semnificativ bit al opera ţiei, atunci bitul de semn al rezultatului este sgn z sgn x , iar valoarea absolută z trebuie complementată faţă de 2. Dacă nu există împrumut la cel mai semnificativ bit al opera ţiei, atunci bitul de semn al rezultatului sgn z sgn x iar valoarea absolută z rămâne rezultatul operaţiei. dacă cele două numere au biţii de semn diferiţi, sgn x sgn y, atunci se face adunarea între cele două valori absolute: z
x
y
iar bitul de semn sgn z sgn
b) Adunarea şi scăderea numerelor binare reprezentate în complement fa ţă de 1 Fie numerele binare x, y şi rezultatul operaţiei z. x
sgn x x
sgn y y z sgn z z y
Regulile operaţiei: numerele binare pozitive se reprezentă în valoare absolută şi semn numerele binare negative se reprezintă în complement faţă de 1 se efectuează operaţia de adunare sau scădere dacă bitul de semn al rezultatului este sgn z 1 , atunci valoarea absolută a rezultatului z trebuie reprezentată în complement faţă de 1, iar dacă sgn z 0 , atunci valoarea absolută a rezultatului z este rezultatul obţinut dacă la cel mai semnificativ bit al operaţiei apare transport sau împrumut, atunci acesta va fi adunat sau scăzut de la cel mai pu ţin semnificativ bit, în funcţie de operaţia efectuată. Exemplul 1
Fie dou zecimale 7înrespectiv careabsolut trebuieă adunate. pozitiv, num va fi reprezentat binar cu -13, valoare 0/0111, iareste numnum va fi ărulă 7numere şi semn, Deoarece ărulăr-13 reprezentat în complement faţă de 1: 1/0010. Se va realiza operaţia de adunare, inclusiv pentru bitul de semn:
5
11 0/0111+ 1/0010 11001
transport
Deoarece bitul de semn al operaţiei este 1, rezultatul va fi obţinut prin complementarea valorii absolute: 0110 = 6. Rezultatul final este -6 Exemplul 2
Fie două numere zecimale -14 respectiv -19, pentru care trebuie efectuată operaţia de adunare. Deoarece ambele numere sunt negative, vor fi reprezentate în complement faţă de 1, conform regulilor de la punctul 2.b): 1/10001 respectiv 1/01100. Se efectuează operaţia de adunare (inclusiv pentru bitul de semn): 1 110001+ 101100 1011101
transport
Conform regulilor, deoarece bitul de semn este 1 (1/011101), rezultatul va trebui complementat faţă de 1. Înainte însă, deoarece avem transport dincolo de cel mai semnificativ bit, acesta va fi adunat la cel mai puţin semnificativ bit: 1 011101+ 1 011110 Rezultatul va fi complementat rezultând 100001 = 25+20=32+1=33. Deci rezultatul final este -33
c) Adunarea şi scăderea numerelor binare reprezentate în complement fa ţă de 2 Fie numerele binare x, y şi rezultatul operaţiei z. sgn x x y sgn y y
x
z
sgn z z
Regulile operaţiei: numerele pozitive se reprezintă în binar cu semn numerele negative se reprezintă în complement faţă de 2 se efectuează operaţia de adunare sau de scădere
ă bitul de semn al rezultatului este sgn z 1 , atunci valoarea absolută a rezultatului z -trebuie dac reprezentat ă în complement faţă de 2, iar, dac ă sgn z 0 , atunci valoarea absolută a rezultatului z este rezultatul obţinut. dacă la cel mai semnificativ bit al operaţiei apare transport sau împrumut, atunci acesta nu se va lua în considerare.
6
Exemplu
Fie două numere zecimale 9 respectiv -14, pentru care trebuie efectuată operaţia de adunare. Deoarece este număr pozitiv, numărul 9 va fi reprezentat în binar cu valoare absolut ă şi semn, 0/1001, iar numărul -13 va fi reprezentat în complement faţă de 2: 1/0010. Se va realiza operaţia de adunare, inclusiv pentru bitul de semn: 0/1001+ 1/0010 1/1011 Deoarece bitul de semn al rezultatului sgn z 1 , valoarea absolută a acestuia trebuie reprezentată în complement faţă de 2: (1011)c2=>(0101)2= 5. Cum bitul de semn este 1, adică minus, rezultatul final este -5.
7
