FIZI~
.
OD.UUNA POGLAVUA IZ IIETROLOGIJE, MEHANIIE, TERMODltwll1! E ELEKTROMAGNE'I'IZIIA
lzvodi iz recenzija
FIZIKA ODABRANA POGLA VLJA IZ \1ETROLOGIJE, MEHANIKE, TERMODINA\HKE I ELEKTROMAGNETIZMA Autor Prof. dr Feriz D. Adrovic
Recenzenti: Prof. dr Marko Ninkovic Institut za nuklearne nilllkc Vinca, Beograd Prof. dr Ivan Anicin Fizicki fakultet, Univerzilel u Beogradu
Izdavac COPYGRAF,TUZLA
Udzbenik Fizika - odabrana poglavlja iz metrologije, mehanike, termodinamike i elektrom agn etizm a , autora Prof: dr Feriza Adrovica, odgovara svojoj nameni i o!1logucava da studenti lakse shvate sustinu fizickih zakona i procesa. Polazeei od sopstvenog iskustva u procesu nastave, potrebe savremenog Obra7(lVanja, kao i do~tl1pne literature, autor je koncepirao knjigu tako da je U obradenim oblJstima dao prikaz opstih zakomtosti fizike, iz cijeg ce dllhljeg pozna\'ilnja proiste(~i ilpli a studenti ee n21 taj nacin biti lllotivis[1111 eli! r:1SlIC1lIju. V crnjcm da ee ovako koncepiran udzbenik uspesno dopuniti poqnicce \Id7bcnikc lZ ohl<1sti fizike, ida ce korisno posluziti produbljivanju wanja iz Clvih oblasll fizike.
Stampa COPYGRAF, TUZLA 1I pul>likaei.li Nacin[:lin:l j univcr7ilct:;k:l hil>lintcka Bosnc i Hercegovinc,
Beograd, april 2006. godine
Dr Marko NinkovJe, redovni lnstitut za nuklearne nauke "iIinca Beograd
53l (0758) 536.7 (075.8) 537.8 (075.8) ADROVIC, Feriz D. Fizika - odabrana poglavlja iz mehanike, termodinamike i Feriz D. Adrovic. - Tuzla : slr. : i I ustr. ; 24 em Tiraz 500. - Bibliografija: str. 258 ISNB 9958-9593-6-4
. . . Univerzitetski udzhenik: Fizika - odabrana poglavlja iz metrologije mehal1ike, termodhwmike i elektromagnetizma, autora Pro}: dr Feriza Adrovica, .ie strucno i suptilno l1<1pisano delo, koje 6e studentima kOjl slusaju ovaj kurs fizike ornoguCiti d()bar l1\'id u fizicke pojave i zakonitosti. Tekstovi iz J
oblasti fizike koje su obrilocne u oyom rukopisu, su konzistentni i uglavnom celoviti. PrepoznatIjiva karakteristika ovog udzbenika jeste tecna i jasna prezentacija i ilustracija fizickih pojava i procesa, sa savremenim naucnim pristupom.
Odlukom Senata Univerziteta u Tuzli br. 03-3460-5.1/06 od 31.05.2006. god., ova knjigaje odobrena kao univerzitetski udzbenik.
Beograd, april 2006. godille
Dr Ivan Anicin, redovni profesor Fizicki fakultet Univerzitet u Beogradu
U skladu sa Zakonom 0 (llltorskim pravima, z<1branjeno je prestampavanje u cjeiini iIi djelovima, fotoKopiranje ili objavljivanje hez saglasnosti antora.
COBISS. BH-ID 15037190
3
SADRZAJ
I. l\ckj 1.2
U;-'lh)\'lli Pl)jlll{)"j
!1ljcrnc
tdlJllkC
gll'
lcillllkc. lei-
VISit:
......... " ......... " .................. ,,' 11l.lCillih grcski
111.IUllii: glc~aka
I I
II
13 14 14
II~
i5 grcskc
.) Stclii"lkk~1 ubl~lda PUIIU\ l11.1erell.Ja ........................... ,.,. 1 Si --:dIljd " j !.J-':lJr)U.'>(o lll-:di.!d!!~l i S~dlldJrL[!1u uJ:-,(UjUlljc populacijc \; l.!'--'1...1Ji()::,L i
;-,ullLLllli;l\)
llzorka
15 16 17 10
20 21 22
)
,
30 :10 31 :14 30 42 43
Odrcclll
...:.. . .J
131 l,ilLI I uhl ulli~ 2,)
ill ;,j!id
J
liJ-:[a
Uh!
\:JUilh)\'J I,,:k~)~ji dinl.tmikc
2.()
!~lk\!Jl JilUllliL>--, 2.6.:' Drug; j li ...:ci /,d"tJ(l dill~jjllikc It;lj1LIL, cestice
2J1. l Pn:
2.. j Zal~,;jl pi uilljClh.., i!11Pul:.,a Z,~klH: uLjI2dl\i~1 illlPUJ:.hl U 1/,,)],1\ dJlUlil SiSlc.nlu
o[m.\zo\ anja,
kultu[c
i\I\)!llCl:t ill!jlU!:<1.
~iUlll0l1l :-.ilc
\]I!Jl!Clll illC] C1.lC
kantona.
4, 45 46 47 40 51
51 55 I I, 1
i
Rad i slwga
57 5t) 61
1
II
4
iDJlo\ IJnog- sistelna
5
64
67 67
2.12 Gravil:Kija 2.12.1 Gr:lvilclCi(1l1:l si Li 2.12.2 Z:lk()n op.
2.
4.6.S 4.7 Osnovni kiilcrij1ll1li
6t\
4.t\ Fa~.ni prcla7i ...................................................................... . 4.11.1 EMni prel:)!i prvog redrl ..................................... . 4.1\.2 Fa/ni prcl:lli re:!:l ..................... .
69 71 72 74
4.9 4.1 () Vl:l:7lWSI \";1Yduila
76
Mehanikn (eellosti
Icrl11nr!i:;:;;;;i;k;:I;;;·I;(·)I~i~"...... ... :::::· . . . ..
........................ , .................... .
77
2.14.1 2.14.2 2.14.3 2.14.4 2. j 4.5
Kretanje idcalne Icenosli. Teorel11a 0 neprekic1110sti t(,b Trenje II tecllostil11a. Visl<07nOST Proticanje viskozllt' leclloq i kroz . P081cjcv 7akon LaminrmlO i lurhillenlll() slnl.!:mjc Strllktura Ichosli 2.14.6 Unlltr,,<'nji I: ICCll(,qi. Povr
n 79 i-il 1\3 liS x6 Sl) lJo
5
j
Oscii:1I0rllo 5.1.1 Pr'''Ic'
5.2 Hann()njjsk(~
15lJ
161
kl:l(n::
(,\C!
164
5.2.1 !\1;l1~'m;11 kl,11:1,] 5.2.2 Fi7i!'ko kl:1lno
164 166 1(1)
5.4
5.5
................ ............................. , ...... . -.
5.6 T:ti:'sl1!) lJ3
94
3.4
Rt'I~li\isric'kc (I
99 102
orC'llclwe)
ri1l7inc
105
3.6 \Tcmcn:\ --; Reiativisl icko sZlhil'cnje hl7ill21 ?~ Masa U lcmijl re\;lli\ 110,1: 3.0 Encrgija li lcoriji rCl:l1i\'llO'-;li
O~n()vni
147 149 IS! 151 IS4 ISS 156
lO7
109 ill i i4
lenn(i(;in:llllicki
i 18 118 i 19
4.
.3 4.! .4
175 180
5.1\ 5lJ <;
169 173
lin IX6
I (J
5.! I 5.13 ZV\lcni to!;1c;i .. 5.!3 ! Fizicke k;lr;lktcrir.;tik~ L\'liCnil~ u;L!~;) S.I J.2 Zvucni prilisa~ 5.1:1.:1 Intczilcl/vub
1119 19 ] 192 193 IlJ3 Il)S
196 197
5.1 ].4 ).13.) I'llkl'i 5.14 Ullnv.vuk 5.14.1 Izvori 1I1Ir:l1'.'ub 5.14.2
20()
201 201 203
!20 ]21
4.2
125 127 129 120
]30
6.] f~kklricr::) ,!nikl I< ulnl,(,\ Illk"11
6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
20S 10x
Eicklrii':H\ poIj" Elcklricni
209
4.6.3 Hclnlh(1k('Vil (;lnh()dna cncrgija ..
142
ElektTicn i cii!'ol Dipol II cl"kl:-i('nol'1 6.7 Pol:1rni i nq"nL1rni mn/ckui; .................................................. 6.8 Eleklricili konrle?:l1tori .................................................... . 6.S. I kondcLalor;( u gntl'c ......................................... _...... . 6.9 Polari/lll'ij:l :liclcktrib
4.6.4 Gihsova ,loho(\n;l
i4S
6. I () Elcklricnc slrujc
net!lTdcnnc;ti .
134 i3S 136 138
4.6 Tt:X1l1ndin,lJllicke funkcijc sl:lnji1 4.6.1 l rnlltr;)Snj~! si'-\!cmrt 4.6.2
dO
(,]ohmin:1l'IlI:llpija)
6
............................... " ................. ..
7
212 213 215
217 218 220
223
22S
6.10.1 OSIl()\lli POJllhlVi l) ckklricnoJ slruji 6.10.2 Omov D1kon 6.1 n.3 Rad i snaga clcklricnc slruic 6.11 Ekklrcnc "II U IcCllo,lim,1 6.11.1 Elckll()liliCk.l 6. i 1.2 EJckIIO!J;,l 6.! !.3 F'Lldcic.IC\ i I."k()lli ckkllcl!i/.C 6.12A f'lu\lldl.ji\\hl clckll()I'Il
225 226 23() 232 232
234 235 237
240 241
243 244 245 247
249
251\
Metrolog{ja je spccijaIizovani dio pojcdinih prirodnih i tehnickih nauka, koja sc bavi metodama ll1jcrcnja fizickih velicina, razvojcm i izradom mjcrnih urcclaja, reprodukcijolll 111jemih jedinica. Metroiogija je oblast saznanja koja se vczan
A=(A}[A]
ill
Na pril1ljer, duzilla neke Llciolllce .ie 1= 10111, masa nekog tereta iznosi = 100 kg, temperatura vode neke rijeke iznosi t = 22°C, itd., pri cemu su 10,
9
100, 22 brojne vrijednosti p()~1llatranih vC\icina, dok su Ill, njihn\'e mjeme Jccliniee . .lednaeina (1.1) preelstClvlja OSnnVll11 jednacinu metro Prall{l l'riicdllost l'dihu' jc vrijednost koja karakterise \"clicinu potpllno definisanu u \I~lo\illl;l kuji Sll postoj;lli bela.ic 0\'<1 vrijcdnost odrec1ena. Pra\'Cl vrijednost velieine ideillizoVClll .Ie pojalll i, II opstem slucajll, ne moze hili pcnnata. Sp oraZUlilll 0 pral'([ (dogol'otclla) lTijcdllost l'diCinc je yriJeclnost koj~1 pri b Ii:7Jl:1 vrijedllosti jecinc \clicine, ,lli tZlha (1:1 se ova nijccinnsl upolrchlj:l\';1 \I sl 1I I«1(LI r,l7iib i71l1cc111 O\T dvije vrijednosti moze da huck zanemarljivn mctod;1rn:1 i instru1l1cnti1l1Zl odgonrajllcc Ulcllnsti Vclieine koje ~\I \I d;11nlll si<;felTu \'CliC"in;l prih\Z)c'ellc bo nczavlsnc I'OIllOC:U kojill se nSUllc \clicll1l: lllogu 17rlUiti llaZi 1I se ()SII01'!I{' J'e/jane . Dnk \cli,,'il1" knje S\I 11 Cb!nlll siQelllll wlicill,1 defilli:;lll;,' k:in fllni
F = k IIi
(if
l'oJ)wnlili hrojni b)cfici
m
k =], paje
k[r'm
I " == 1kg· 1---:;-= l-~-'- o s ~
Dccimalni l7le(al'ski sistem .Ie sistem mjernih jeeiinica z"lsnnV,1I1 prototipnvi rna rnel1'a i k i jngril1na i na deci mal noj pndjeli. Ovakl1V ., i qcm primjer, Medunarndni sistcm jeciinica.
10
na
na
1.2 Mjerna greska i relativua'greska Razliku izmec111 izn~jcrelle vrijcdnosti Yj fizicke velieine i njene stvarne (istinite, pr:1ve) vrijednosti x 70velllO n~ierna grc§ka iIi kra6e grdka. Umjesto tih naziva upotrebljZlva se izraz "apsolutna greska ", Oznacimo Ii stvarnu vrijednost mjerene fizicke velicine sa x, a rnjcrenjem utvrdenu vrijednost sa Xi, ondaje prema gornjoj definiciji rnjcrna greska eli : (1 U strogoj teoriji gresaka vclieina {[i zove se stvarna greska (i~lill prava greska), Ako smo, na primjer, mjerenjelll duzine nekog stapa utvrdili vrijednosi Y; = 125.1 1Il1ll, a zilamo da je njena stvarna duzina x =125 mm, ondarremajednacini (1.1) mjcrna () IZIlOSI: (Ii
XI
x
125, mm-125mm=0.I111m
Ovaj primjer lllogno hi nas dovesti do krivog zakIjucka da se stvarna gresb (Ii n1(>ze direktno . Ako hi to bila istina, mogli bismo zakljuciti cia je stv;lrn:l \Tijccinost x Xi (f, Ovakav zakljucak nastao je zhog pogresne pretposlavkc 0 tome da znmnC' slvarnu vrijednosl x mjerene fizicke velicine, lako nema slllllnje (l tome cia pnstnji st\'arna vrijednost x mjerene fizicke velicine, tu istinsku vrijednost nikako i nikClda ne 6emo saznati, jer je moramo Llstanoviti mjernim ek mjerenjem, a rezultat mjerenja uvijek sadrzi gresku. Najvise sto mozemo ueiniti jeste to da saznamo interval za koji 111()ZemO reCi: pC's(oji velika vjero\'(\(noca da se vrijednost 111jerene velicine nalazi u tom intervalu, Zato se u duhu teorije vjerovatnoce jednaCina (1.2) moze opisati ovako: vjerovatna v1'ijecillost x mjerene fizicke velicine jednaka je razlici izmedu izmjerene vrijednosti Xi i vjerovatne mjerne greske {Ii. Buduci da Slvarnu vrijecinost mjerene velicine nikako ne mozemo Llstanovili, rreoslaje nam jedinC' to da je procijenimo, Njena najbolja proejena je jeste srednja vrijednost (aritmeticka sredina), Ona se doh~ja mnogobrojnim ponClvljillljem mjerenja konsti1111ne fizicke velicine, izvrSenim sa ciljom da se sto vise priblizimo stv,1rnoj iIi, drugim rijecima, da sto vise suzimo II
interval u kojem se nalazi llepOZllata sl varna vrijednost. Zato se u mjcrnoj tehnici greska izrazava U OUllOSU prcma srcunjoJ vrijednosti, a ne prema stvarnoj vrijednosti. Strogo se tako definisana greska zove prividna grdka:
Rijec .ie, u stvari, stalno jedinice, tj.
odnosu na
Xi,
8
%.
1.3 Granice mjerne tehnike. Vrstemjernihgr~~ki
po pravilu je
Bezbrojni su uzroci mjernih grdaka, ali i u razlicitim granama one imaju
stoga se pri prakticnom racunanju jednacinom (1.3)
neka zajcdnicka obiljeZja. Stoga ih mozemo klasifikovati prema srodnosti. U privredi, industriji i nauci nastoji se tacnost mjerenja poboljsati do one
Razlika izmcdu prividne greske hi U
istoj vrijednosti iste fizicke velicine
8 = 8 X 10-4 =8 X 10- 2 % =0.08
(1.3 )
neznatna
0
definisane jednacinom (1.4), ali koja je izrazena sa tri razlicite brojcane mjerne
i slvarne greske
(Ii
govori J'ednoslavno 0" vgresci ", a ne 0" prividnoj gresci ". Medutim, podatak 0 velicini mjerne grcske ne uaje dovoljnu infonnaciju
v .
o mjernom postupku. Sta znaci, na primjer, podatak da mjerna greska iznosi hi = 0.1 mm? Kolika .ie pri tom bila duzina mjerenc vclicine, dva kilometra, pola metra') No ako navcdelllo da je ~rcdnjJ nijcdnosl iznosila 125.1 111m, onda nam uporedivanje podataka 0.1 111111 i 125.1 J1J111 pruza dobru informaciju 0 tom mjernom eksperimentu. Ove dv ije vrstc podutaka udruzuje posebna fiZlcka velicina koja se naziva relativna grdka:
gran ice kojaje ekonornski isplativa ili podnosljiva. U vrhullskoj metrologiji, na koju se oslanjaju eksperimentalna istrazivanja svih grana nauke i naucnotehnicki poduhvati, ta ekonol1lska granica prakticno ne postoji. Ipuk, postepeno iwstravanje mjernih postupaka, metoda i ureuC1:ja ima na s\om hajl! IH:saviadivu granicll koju je postavila sarna priroda. Savremena vrhullska Ilielrologija nije jos doprla do te gran ice, ali se U nekirn specijainim slucaje\'imu sukobila s I1Jom. Tu prirodnu gral1lcu opisuje relacija neodredenosti
~
h
x-x
x
x
(1.4)
o=~=~
t:u. Ap
= Ax A(mv) ~h
( 1.5)
koju je Heisenberg izvco iz osnovnih zakona kvantne teorije. U jednacini (1.5) U nasem prirnjeru mjerenja duzine, relativna grdka iznosi:
8
= b = x, j
X
X
X
=0.0008
sirnbol Ax predstavlja neodredenost polozaja elektrona, Ap =A(mv) ncodredenost (rasprsenje) impulsa, a lz = 6.62 x 1O- 34Js je Plankova konstanta.
8 x 10-4
Relacija (1.5) izra.zava cinjenicu da se ne moze istovrel11eno bespogresno ustanoviti i brzina i polozaj elektrona. Ako se pak zadovoljil110 time da brzinu
T\ckada o'c relativlla gresb izrazava i procentima C;o) iii prol1lilima ("/00)' Buduci daje % samo drugi oblik prikazivanja stotinkc, tj. postorak = % = 1/100 =10to za gornji slucaj vrijedi 8 = 8 velicinu
X
10-
4
2
Do relacije neodredenosti (1.5) mozemo doCi i relativno jednostavnim ogledima kakve su ucinili Heisenberg i Bohr. Zamislimo da smo u trcnutku tl
,
=8 X
2
10- o/c = 0.08 o/c. Zbog toga
8 neki au tori zovu " procentnom greskom ". To nije ispravI1o, jer
mjerna jedinica, a
%
je mjcrna jedinica tzv. brojcane velicine, ne srnije
definisati fizicku veliCinu. U tOrn duhu bismo, naime, 8 = 0.8 %0 3 nazvati" promilnom greskom ",jerje: promil = "/(,,) = 1/1000 = 10-
12
elektrona poznajerno s greskorn Av, njegov cerna polozaj prerna (l.5) u najboljem slucaju 1110ci znati s pogreskom ill 6p = ~x A(mv) "" h .
mogli
\'rIo tacno izrnjerili brzinu 1'1 elektrona. Time S1110 s malom greskom saznali i njegov impuls PI = 177 VI . Da bisnlO izracunali trajektoriju elektrona, morarno u iducim trenucima t2, to, ... izmjeriti njegov polozaj u prostoru. Ako se krece po pravoj, mjerenje polozaja svodi se na utvrdivanje koordinata Xz , X}, . . . duz prave, sto se moze s mal om greSkom utvrditi mikroskop0111. Posrnatranje clektrona mikroskopom znaci bombardovanje elektrona svjetlosnirn kvanti~a energije hv=hc I /, . Da bismo precizno utvrdili polozaj tako male cestice kao
13
5tO je elektron, mOra1110 upotr(1)iti svjetlost vrlo male talasne duzine ?, jer je razlucivanje mikroskopa, tj. svojstvo optickog sistema da ucini dvije susjedne tacke vidljivim, iznosi salllo oko A (d =)Jsinex ). Prellla tome, hant svjetlosti ima zhog malog A veliku energiju hC/}c. Takav kvant mora pogoditi elektron, jer inace u mikroskopu nista necelllo vidjeti. Ako je kvant svjetlosti dolwatio elektron neposredno iza trellutka tl, on u iducem trenutku 12 vise nece imati impuls III V I , vee razlicit za Ar !J.p= At !J.(mv) "" h tj. m(!J.,,)= h / A . Buduci da je A""&, odavde slijedi 117(!J.,,)= 11 / ), , a to je relacija neodredenosti (1.5).
1.4 Klasifikacija mjernih gresaka Pojam l1~ienza greska upotrehljan se u svim gr;l11ama nauke, tchnike i privrede, tj. 11 svim Ijudskim djcl;lt1l0stima. Svaka od till mnogobrojnih grana sluii se mnogim rl'ljcrnilll poslupcima i mjernim uredajima. Stoga je OcilO da l1lozemo sastaviti veoma velik opus lIzoraka koji dovode do mjernih gresab. LJprkos (('me grdke se 11logu donekle klasifikovatj, Copsteno, llljerne se greske mogu razvrstati u dvije vel ike grupe. Prvu grade odredljive (odredive, obuhv;ltlji\'c) grdke, tj, one koje moze11l0 iii zna11l0 (ponekad sal110 teoretski) utvrditi, Greske takve grupe najceSce se zovu sistematske. Drugu grupu cine neodredljive greske, koje se najcesce zovu slucajne greske. Njih zapaza11lo priliko11l ponovljenih 11ljerenja isre konstantne fizicke velicine, jer se pojedini mjerni rezllltati prividno bez razloga medusohno razlikuju, Analiza vclikog broja rezultata ponovljenih mjerenja pokazuje da se pojavljivanje rih neodredljivih gresaka, S obzirom nC1 njihovu vrijednost i ucestalost. pokorava zakonu slucaja, tj. teoriji vjcrovatnoce.
1.4.1 Sistematske mjerne greske Ove greske nastaju zbog nesavrsenosti llljernog postupka, rnjera, 11ljernih uredaja, mjerene fizicke \elicinc, kao i zbog odredenih uticaja porcll1ccenih velicina okoline i licilog uticaja ispitivaca, Vecina tih sistematskih grdaka illla stalnu vrijednost, a time i odreden predznak, tj. sistematske greske djeluju jednostrallo. Zoog njihove mnogoorojnosti, sisrematske greske ponekad klasifikujemo u tri grupe. Izvor metodskih sistematskih grdaka jeste sam mjerni postupak, metoda, Zatim, sistematske greske mjernih ureilaja takode su bezbrojne. 14
M.I·erne sistcmarske gresk"v
s,'I'S'("11l'lls'ke . 'h nre d' ". gresVk e IllJernl '~la mogu sc LlSpeSl10 korigov(lti jedino ,lko temcIjno poznajemo karakteristike mjerne I11ctodc, mjernog lIredai;1 i mjenwg ohjckU) Ako djclovallje pojedinih 111icajnih velicin
L'
TrccLl gla\'llll gnq~lIsisll'11ldtskih ~resak
1.4.2 Grube greske Grube greskc~ naslajl1 7bog nepaznje i nemara ispitivaca, I1Jegovog nlanjkavog str\lc'IlClg 11l~1nja I izbo],;l neprikladnog mjernog poslupka. ,\ingu('nnst pojav1ji\ ;lllja h gresaka jedan je od razloga sto se 11ljerenja ponavlj;lju, Ako se 11 III 11 o.\t YLI Llko dobijenih rezultata iedan bitno razlikuje, postoji sn;17na il1dikacija cia je grllho pogrijeseno. LJops~e se s11latra cia je rijec 0 gruboj grc,~ci onda kaela njena vrijednost pre11lasi trostruku vrijedost ,\'redl~ic gre.vke, tj tro<;irllkll \Tijcdnost strl1ldardnog odstupaJlja.
1.4.3 Slucajne grdke Slucajne greske re7Llltat su neizbje7nih promjena koje llilslaju u mjerama, mjernim urccbjima, mjernntn nhjektu, okolini i isririv(1CLl, a koje on nije u stanju ocijcniti i knrekcijnlll lIil'ti u nbzir. Te neodredljive greske mogu se prep07nati ovako: ako isti i.spiti\;,C UZ;1';tOPI10 \i~e puta jednakolll brizljivoscu rnjeri istll konstantllll fizicku \'cl islill1 Illjelllilll uredajelll i pod istim ocjenil. ipak ce dobijati rezultate koji spoIjasnjim Llsiovilllct (prema n mectusohllO odstul'aju; Ti reZlilt
posljedice njihova djelovanja na njegove mjerne rezultate slucajni, zato jer ne zna ustanoviti koji poremeeaji i promjene uticu, i u kojoj mjeri. Uopsteno mozemo izvore slucajnih gresaka svrstati u cetiri glavne grupe: I) nesavrsenost mjera i mjernih uredaja; 2) nesavrsenost Ijudskih cula; 3) utieaj i promjenljivost uticaja okoline; 4) neuovoljno mjerno iskustvo i znanje ispitivaca.
1.5 Sta:tisticka obrada ponovljenih mjerenja:
1.5.1 Srednja vrijednost, medijana i standardno odstupanje populacije Ukoiiko se pod islim Llslovima vrse ponovljcna mjerenja neke velicine dobij.eni rezuitati ce po pravilu imati manje iii vece razlike. Ovo je posljedic~ utlCaja raznlh ometajucih velicina koje se ne mogu niti ukloniti niti u pOlpunosli objaslliLi. LJkoiiko je izvrsen veoma veliki broj N ponovljenih !11.1 erenp Jcdne iste fizicke veliCine pomocu instrumcnta visokc rezolucije, rezultati mjerenja (1.6 )
Uspjesan rad u raZnllTI eksperimentalnim naucnim diseiplinama nemoguce je zamisliti bez analize dobijenih rezultata mjerenja. C:injenica je da ne postoji (Ipso/utno tacna vr~iednost bilo kakvog izvrsenog mjerenja, sto znaci da se ideal no tacna vrijednost mjerene vclicine ne moze saznati, odnosno, rezultat svakog realnog mjerenja saddi u sebi odredcnu mjemu nesigumost. Uzroci mjernih nesigurnosti mogu biti vcoma brojni i po pravilu se ne mogu svi uzeti U obzir. Da bi se postigla jednoobraznost u izrazavanju mjernih rezultata vodece institucije medunarodllog metroloskog sistema, 1993. godine, publikovale su Uputstvo za izrahvanje mjerne nesigurnosti. Obradom mjernih rezultata na nacin opisan u Dputstvu dob~ia se rnjerni rezultat, zatim mjerna nesigurnost i statisticka sigurnost sa kojom vaze dobijeni podaci. Pojam grdka mjerenja odnosi se iskljucivo na razliku dobijenog. rezultata i odgovarajuce vrijednosti dobijene pomocu etalonskog mjernog instrumenta. Koncept izrazavanja mjerne nesigurnosti iznesen u Uputstvu ima kao teorijsku podlogu isti matematicki aparat koji se koristi kod teorije gresaka. Medutim, metod izrazavanja mjerne nesigurnosti je prakticno orijentisan i moze se dobra primjeniti u svim cksperimentalnim mjerenjima. Nasuprot tome, polazne velicine teorije grdaka su slucajne i sistematske greske, koje kao idealizovani pojmovi ne postoje u praksi. Naime, sistematske greske, po klasicnoj teoriji, poticu od fizickih velicina koje izrazivaju promjcnu uvijek iste veliCine i znaka. Nausuprot tome, slucajne greske su prouzrokovane veliCinarna koje izazivaju iskljucivo slucajne (siohasticke) pramjene mjerene velicine. Ovakve pretpostavke nisu ispunjene u stvarnim mjerenjima.
S recI· np vre d nost popu i acije jJ lzracunava se kao aritmeticka sredina rezultata mjerenja nazivaJ·Ll
H I(lclja. ·· P('l~ll
.SC
1
f.-I=
( 1.7)
PomoCLl srcdnjc vrijednosti populacije J1 definisu se odstllpanja ai kao razlike pojedinih reLuilala od srednje vrijednosti (I,
=x, - J-I
( 1.8)
Po pravilu blOj Oci.'lupanja sa poziLinlim znakom blizakje broju sa negativnim znakOIll. L matematickoj statistici uobicajeno je da se karakteristike nepoznatog parametra populacije oznacavaju slovima grcke azbuke.
Medijana karakterise centar statisticke raspodjele tako sto polovina rczuitala mjerenja ima vrijedno:-.l manju iIi jednaku medijani, a druga pOlovina rezuitata mJerenja ima vrijednost vecll iIi jednaku medijani. Za razliku od
aritIl1c~cke sredinc,. koja sc racuna P0l110CU iznosa svih rezullata mjerenja statlsllckc poplliac1)c, medijanCl se naziva poziciollofn sredillom, je to \T1JcdIlost Jednog rezultata mjerenja statisticke populaeije koji se nalazi na sredll1l statlstJckc serije u k.ojoj su rezultati poredani po rastucim vrijednostima. Za statisticku seriju od 11 mjernih rezultata medijana je jednaka vrijednosti
11+1 2
- - clana, ti.
.
014,
16
N
N~X'
n+1
= vrijednosti :2 rezultata mjerenja 17
( /.9)
OdslUpanja pOl1ovljenih mjerenja dobijena raznim instrumentim
devijacija populacije eJ. Standardno odsmpanje populacije eJ cletinise se kao velicina ciji kvadrat pomnozcn sa brojem mjerenja N im;! vrijednost jeclnaku zbirl1 kvadrata
1.5.2 Srednja vrijednost i standardno odstupanje uzorka
Pojam populacijc vezan je za ogroman (teorijski beskrajno veliki) broj llljerenja. Svi elementi pnplllacijc se ne mogll saznati u praksi, pa populacij;l ima uglavnolll teorijski znZlcaj. U realnim eksperimentima mjerenja se ponavljaju ograniccl1 broj puta, 113 primjer deselak iii nekoliko desetina puta. Ako se fadi 0 jednakim il1dustrijskim proizYodima, prakticno se testira manji broj Il djelova, rj. mjercnjem sc dobi,ia skup rezultata
odstupanja , .+ °1-+ ... + (/,~, )
ocinosl1o,
( 1.10)
(Y=
N
' d t . a ....,. 2 k OJ' i se Jl az iva U statistici sc cesto koristl. .I k va drat stan d aranog 0 supan] v
varijallsa iii disperzija.
(I.I I )
. I' I .' pO'.··tllpk'l- (lobiJ' a se POl1l0CU Mjerodavniji dOp!11 0 va Ie nostl !11Jernog" relativllog standardllog odstupanja r, koje se definise izrazo!11 (Y
r=--=-
J1
J1
-
II -" ' NIIXIJ1
N
('c-ut =
-
(--
(1.1'2)
Ovakav manji skup rezull:ll:l se nazivCl uzorak. Svaki uzorak moze se smatrati l'odskupnm populJ.cije. Na primjer, uzorak od 20 cokolacla smatra se ciijelom popuiacije ,,\'ill cokolacla proizvedenih u nekoj seriji u [oj fabrici. VrIo vazno za statisticku obradu podataka je odluka 0 broju elemenata uzorka iz populacije. Velii'in<1 iii broJnost uzorka nazi va se obim uzorka, Vecina istrazivaca se slaze u ocjeni dJ obim uzorka treba da bude najmanje 5 do 10 ok obima posmatrane populacijc, Ij. 112. 5
100
111./
do
n2.~N. Daklc da bi 10
uzorak bio rcprezentmivan, potrebno je da Llzorak bude dovoljno brojan. Jedan od osnovllih zadataka statisticke obrade rezultata je da se na osnovu uzorka dobije sto bolj:l aproksimacija, odnosno ocjena karakteristika populacije, prije svega vrijednosti J1 i stanclardnog odstupanja eJ. vrijeclnosti populacije slllatnl se srednja Najboljol1l aproksimacijom vrijednost uzorka I
11
Il
I
V \I -K=- L,,'
(1.13 )
U matematickoj sta'tistici uobicajeno je da se karakteristike uzorka
oznacavaju slovima latinice. Moze se pokazati da srednja vrijednost ima svojstvo da sum
X, -
x
ima najmanju mogucu vrijednost
a koristi se za izrazavanje ponovljivosti mjerenja. Sto je r manje ponovljivost je bolja i obrnuto.
(1.14)
111 i n
18
19
Izjednacavanjem prvog izvoda (1.14) po X sa nulom dobija se 2
I
(Xi -
x)==O, odakle slijedi izraz (1.7). Posto.ic drugi izvod (1.14) pozitivall
suma kvadrata odstupanja iTlla zaisla minimum. Odstupanja od srednje vrijecinosti uzorka su
( l.lS)
hi ==.I;-x
Uz pomoc izraza (1.13) lako se dokazuje da je zbir svih odstupanja b i jednak nuli, tj. ( 1.16)
Standardno ods-tllpa/lje uzorka od
11
clanova oznacava se sa s, a dato je
lzrazom I ,.
I1",,( L. x;-x-)' ( 1. 17)
.I'==~Hn_l
oznacllJc procjenu sl
manic j;; puta od stanciarnog odstupanja pojedinih rezultata s. Drugim rijccima. srcdnja nijednost x kao mjerni podatak je pouzdanija nego pojcdinacni rczultati Xi. sto opravdava potrcbu visestrukog ponavljanja nekog eksperimenla.
1.5.4 Tacnost, ponovljivost i reproduktivnost rezultata mjerenja Kao krajllji reJ:ullal Ilckog ponovljcnog mjerenja smatra se srednja \Tijcdllu~l Llzorka XI' GrcSka mjerenja sc odrcduje kao razlika iZl1ljcrenog i uslovno tacnog rezultaLa aku se do njega moze doCi. Uslovno tacnom \TijednuscLi 11l0ZC "e smatrati Olla koja se dobiJa etalonskim instrumentom. Tail/os( IIIjcrcllja prclblavlja blt"kost slaganja rezultata mjerenja i prave (usluvno tacne) vrijednosti mjerene velicine. POI/()v(jil'ost se odnosi na seriju Illjerenja izvrsenih pri istim uslovima. [sti usl\J\i mjerenja znace istovjctnost mjernog postupka, posmatraca, mjerila, kao i (0 cia jc pOlla\ Ijanje iZ\Tscno u kralkoll1 vremenskoll1 periodu . Pono\ljivostillslrUlncnta JC lIloliko bolja llkoliko je relativno standardno odslupanje manje
I
Svaka velicina slucajnog karaktera ima svoje sLandardno odstupanje. Srednja vrijednost se dobija na osnovu elel1lenala uzorka Xi cija je priroda slucajna, pa stoga i -,rednja vrijcdnu"t predslavlja sluiajnu veiiCinu. To znaci da srednja vrijedno:,[ x imel svoje standardno odstupanje koje se oznacava sa Standardno odslupanje "rCLinjc vrijedno"li dato je izrazom
( 1.18)
Iz izraza (1.18) vidi se da je standardno odstupanje srednje vrijednosti
20
( 1.19)
L ralllJuj IltcraLUri se urnjcslu lermine[ ponovljivoSl korislio tennin preciZl1ost, c!ja 5e upotreba vise ne preporucuje.
1.5.3 Standardno odstupanje srednje vrijednosti
.1'"
r
1.5.5 Graficko prikazivanje raspodjele rezultata mjerenja - histogram EkspcrilllenlaJllo i,,\-..uslVO pukazuje da se pri ponavJjanju nekog mjerenja rezultall lla oclrcc1eni nacin grupisLi oko srednjc vrijednosti. Ovo grupisanje se sliko\ilo, graficki, prikazuje histogramom koji se dobija na sljedcCi nacin: Puiazi se oel tabiice uel 11 rczultata nekog ponovljenog mjerenja, tj. od uzorka XI. X2, ... , x, .... , X a rezultati mjerenja se porcc1aju po velicini i nanose 11a hurizontalnu OSLl pucev od minilllalnog rezullata X",ill do maksirnalnog xrnax . Ukupni raspon u kome postoje rezultati Xmax - Xmin dijeli se na In jednakih intervala sirine ln
21
t p(x)
( 1.20)
Llr = Xmax - -'"min
x,
III
Pi
Histogram
U svakoI11 od intervala postoji Ilckoliko Illjernih rezultata ciji se broj oznacava sa nx , a naziva se ucestan(}st iii frekvencija darog iZllljerenog rezultata. Svakoll1 intervalu takode odgovara relativl1a lfcestal10st koja je data izrazolll Il\
( 1.21 )
!1~=-'
n
gdje jc
11
ukupan broj Illjcrnih relliltata. Za svaki interval potrehno je odrediti x
takode gustillll relativne ucestanos!i (jrekl'el1cije) Pi !1P 11 \ 17'=-' =-'-' ,
!1r
1/
(1.22)
Lll'
Sl. 1. Graficki prikaz konacnog broja mjernih rezultata histoe:ramom: funkcija raspodjele pri oeskonacnom orojll rezultata (kontinllalna Iinija)
1.5.6 Funkcija raspodjele Posmatraj I1ln histogram nckog vel ikog uzorka rezultata dobijen ih instrumentolll vrlo visoke rezolucije, s1. J. U granicnom slucaju. kada broj rezultaLa n tezi beskonacnosti, uzor(lk prelazi u popuJaciju, a rezultati se prakticno kontinualno raspodjeljuju po x-osi. Pri tome nastaju sJjedeCi granicni procesi: broj seglllenata hi<;\ograllla se beskonacno povecava, 1!1 ---7 oo, dol< sirina segmenata pOq;lje infinitezirn,lia, 6.x - dx; relativna l.lCestanost ]lostaje infinitezim,lia, "" ~ ---7 d PC,), a gustina relativne ucestanosti prei(lzi 1..1 l
---7 p(')'
To znaci da obvojnica histograma formir(l
kontillualnu funkciJu dP(x) p(x)=--
( 1.23)
dx
U nekolll malom intervalu (x, x + d,) ljcrovatl1oca nalazenja datog rezl.lltata predstavljenaje izrazolll dP(x) =p(x)·dx
( 1.24)
dok J' e vJ' erovatnoCa za kon(lcni int,er\Tal [XI' x 2 ] d at a .Izrazom c,
~,2 =
Jp(x)dx
( 1.25)
Svaka fl.lnkcija raspodjele je normirana, kao i histogram. To znaci da je ukupna povrsina ispod krive jednaka jedinici +=
f p(x)dx=1
( 1.26)
Izraz p( x) se nazivaJlllZkcija raspodjele datog Illjerenja. Ako je funkcija rapodjele poznata, srednja vrijednost i standardno odstupanje mogu se odrediti preko sJjedecih formula
22
23
rparametar ( 1.27)
X= jXjJ(X)c1\
( 1.2S)
~L
lSovenea
a za broj mjerenja na osnovu tab lice 1 ustanoviti njegovu gornju granicnu vrijednostq?l. Tabela 1. Gurnjc grJIlicm: Hijccillt!sti palalllctr;J Sovcnea
1.5.7 Kriterijum Sovenea
AKO broj mjcrcnja
11
ncKc velicinc nijc \clik. ;tu.le lldjCcSCC slul:aj. I.~l
(lj.\].I" .... Xi; ) prccblc[' ljd pnlJll:l\;tj. ri· "luzi kriterijulll SUl'cllca da li.ie pri tome lll:ill,lcllci ncb grulla ~IUl:ajll~1 Za primjcnu ovog krilL'riJlIllld pulrcbou jc i7:lJClIIUli . .. aritmcticku srcdinu s\'ih rczull~lla U 1117:U Il jlU11u\ ijcnih Illjcrenja
OCjcllLI da ii Ilcki \lei ()vih rClLlllala
Ix. ~ .\"
11
/I
..
prividnc apsolutllc IPc;Lc POlcclillih mjcl-en,ld ( i wblicno ih srediti) (Ii)
Xi
:::::
r - - I Ii
"
",rcdl1jc k I c[lir,lli]() ud.\lUpclll,iC
/1-
Z<1tlllllC
PO)CciJillil
Illjcrcnia 1I Ilizu
/I
Illjcrenjd
i
PUtlCbllU ()cjcllili
It' uel
.t'i'
naj\lCCzl i pr()\jcntJ
To se POS117C nCl ,,!Jcdcci nCll:in. Za i-tu mjcrcl1je treba izracLlllati jJantmelllr SUl'ellcll
24
(1.29)
25
Ukolikoje
Zavrijeme: (n)
(n)
q; > qg
~
{kriterijum v
(1.30)
Sovenea uoceni rezultat mjerenjaje promasaj, pa ga treba odbaciti Cjelokupni postupak treba zatim ponoviti sa preostalih n-l rezultata mjerenja, pri cemu ce se dobiti nove vrijednosti qjn-I) , qin-1).Ako je za uoceno mjerenje qt- I), qin- I) ,potrebno je odbaciti i ovaj rezultat. Postupak se ponavlja sve dok se ne dode do k-tog odbacenog rezultata I ! mj erenj a za kojeje n - I )
qi >qi-
1.6 Definicije osnovnih i dopunskih mjernihjedinica 1.6.1 Definicje osnovnih mjernih jedinica
Sekunda '~,e traja.l~c od 9 192 631770 perioda zracenja koje odgovara prclasku lzmedu dva hlpelfll1a l1l\'oa osnovnog stanJ3 atoma cezijuma 133. . Zaja6nu elektrible strz4e:
A:llp er je jaCina stalne ~lektricl~e struje koja, kad sc odrza\'a u dva prava paralelna pI.ovodmka, . neogral11cene duzme 1 zanemarljivo malog kruznog poprecnog plesJeka (k~J1 se nalaZl u vakuumu na rastojanju od jednog metra), prouzrokuj~ mcdu tl111 pi ovodnlclllla sllu kOJaJeJednaka 2 x 10' njutna po metru duzine.
Za termodinal11i{ku temperaturu : Kelvin Je termodinamicka temperatura koja jc jcdnaka 11273.16 tcrmodinamickc temperature troJl1c t2.cke vode. Zajacinu svjetlosti:
Kande~a Je ,pcina ,svJetlosti ( u od~Tdenon\ pravcu ) izvora koji cmituje mOnO~11011ldtsko ~n:lcenJc frchcncIJe )-+0 x 10- herea i cijaje jacina zracenja u tom pi il\CU 1 /68.) vata po stcradlJanll.
.
.Za koliCinu supstancije (gl'adiva) : Mol .Ie kolicina sUj!stancijc (gradiva ) sistema koji sadrzi toliko elementarnih Jed1l1i
Tabela 2. Prefiksi SI sistema jedinica
Zaduzinu: Metar je duiina putanje koju u vakuumu prede svjetlost za vrijeme od J/299 792 . 458 sekunde.
c
Zamasu: Kilogram je masa medunarodnog etalona kilograma. / Etalon je mjerni instrument koji je namijenjen da definise ili materijalizuje, sacuva iii reprodukuje jedinicu jedne veliCine da bi mogla poredenjem da se prenosi na druge mjerne instrumente. Medunarodni etalon kilograma je potvrdila 1889.g. I Generalna konferencija za tegove i mjere (CGPM), kada je proglaseno da se ovaj medunarodni etalon ubuduce smatra jedinicom za masu i on se cuva u Medunarodnom birou za tegove i mjere u Sevru kraj Pariza/.
26
27
Tabela 4. Neke izvedene jedinice SI 1.6.2 Definicije dopunskih jedinica 81 VeIicina
Tabela 3. lzvcdcnc jedinice S! sa poscbnim nazivima j oznakama povrlina brzina
VeliCina
ubrz~~Le_ ugaona brzina
frekvencija sila pritisak, napon
u!',a()l1? ubrz~~_~~_ zaprerninski protok _~seni p:()~o~k___ _
energsij~l:~~"~~?l~ tor_~_ snaga, cncrg~iski flub, toplotni fluks kolicinll clektriciteta clektricni napon, elektromotorna silu, clektricni potencijal elektricna
poduma masa
p()~ill~~~_~::.~~__ _ zapreminska masa (gustina ) specificna' zapremina l1l-olama" ~~p~~l1lina- -~- -molamamasa --- .. molama energija -
--~------
k~p!l<:.~tivnost
specificna.eIler~iLlI·
elektricna otpornost
zapreminska energija ko_nc_eI1.t.rac!ja~upst:u1~je
clektricna provodnost
. mag;letni fltlleS
molalitet toplotna kapacitivnost, entropija toplot;;ap-;.~~~ru;~~t---- -
.tl1~gr:et~ai!~~kcij~ ___ _
induktivnost Celzijusova temperatura -~svjetlosni flu~-
kinematicka viskoznost dinamicka viskoznost ja.C!llll e~~cn()g_polja jaCina magnetnog polja . gu~tina struje permitivnost
.()~ vi~t!j~~().:>t aktivnost radioaktivnog izvora apsorbovana doza
peml~a~i!n<.>:'t_ . _ luminacija ekspoziciona doza jonizujecg zracenja energijsk~Ia6~a ~ace~a-
1?~~0_l1~~~~~ac~enj a ekvivalentna doza jonizujueeg zracenja
* Velicine koje se odnose na jedinicnu masu supstancije su specificne ** Velicine koje se odnose na jedinicnu koliCinu supstancije su molame 28
29
rastojanje iZl11edu dveju taeaka u bilo kOl11 sistel11u referencije S· isto kao u sistcl11u S
2.1 Zadatak i podjela mehanike Grana fizike koja sc bavi proucavanjem kretanja matcrijalnih tijela kan i uzroka usljed kojih nastaju promjene stanja kretanja naziva se mehanika. Pri tome, pod kretanjem se podr<1zumijeva prol11jen<1 polozaja posmatranih tijela \l odno>;u 11« koordin~ltni sistcl11 vczan za ncko tijelo koje se uzima kao osnOVllO. Ako je ovo osnOV1l0 tijelo nepokretno, kaie se da je kretanje tijela apsol utno, a II proti\'llom slucaju jc rci:1tivl1o. Uobicajeno je da sc mehanika dijcli na dva dijela: kille11latiku, koja ispituie krctanjc geometrijskih oblika tijela nc \'odeCi racuna 0 uzrocima koji ih izaziv(~ll. ocinosno. razmatra samo pomijeranje U Dl\'isnosti 00 Hcmena, i dinamiku. koja prOllCa\'a krctanja materijalnih tijela pod uticajcm sila kao uzroka koji izazivaju L1 krclClIlja. 2.2 OSllovni po,imovj mehanike
Kretanje se u najsirem smislu rIJeci moze sh\'atiti kao skup promJena koje se odigravaju u toku vremena na posmatranom fizickom objektu iii skupu ohjckta. S\'akn kretanjc jc objckti\an proces koji realno postoji bez obzira da Ii ga neko posl11atra, prollcava iii mijenja. Geometrija l11ahom prueava prostOrIlost rijcla. rj. polozaj tijela 11 prosroru, koji realno postoji. KVClntitativni prostnrm ohlici i vcze prcd,t'-lvll~lll1 V
30
Osim toga, klasiena mehanika bazira se na pretpostavci da je vremenski interval izmedu dva dogadaja isti u svim sistemil11a referencije S', koji se na proizvoljan naCin krecu U odnosl1 na Sls1e111 S
U klasicnoj l11ehallici vnjemc ie apso/ulno, tj. jednako teee za sve sisteme u vasioni i ono se bazira n;l pojnlll apsolutne istovremenosti. Dillamika llzima 1I obzir i drug;) S\ojS[\;l materije. Tu se prije svega misli na inercijll iii mJcnl inercijc - IIWSli tijcla Dinamika izucava zavisnost izmedu kretanja tijcla i uzroka zbog kojih sc tijeJo krece. Matematicka analiza opcrise S<1mo sa Jednlm osno\'nim e!el11entOl11 _ koliNnol1l, pojmoll1 kOJi .'C prikazuje broJcm I kOll se prov!aci kroz sve egzatne niluke. Uzjm~mJe 1I obzir 1 uzrokc koJi lzazi\'ilJU krel
2.3 Odredivanje poloZa,ja tijela PoIozaj i promjena polozaja nekog tijela (eestice) uvijek se odreduju u odnosLl na neko tijelo (iii tijela) iz okoline. To tijelo naziva se referentno iii poredno tijelo. Ako je za koordinatni sistem (referentno tijelo) u kojem se analizira kretanje tijela (cesticc) u prostoru odreden trenutak od kojeg se mjeri vrijeme, rijec je 0 referentnom sistemu. Ako se u takvom referentnol11 sistemu krece tijelo na koje ne djeluju okolna tijela, odnosno tijelo ne interaguje sa 31
I
okolinom, ono ce se kretati ravnomjerno pravolinijski (bez ubrzanja) iIi po inerciji. Ovakvi sislemi referencije nazivaju se inercijalni sistemi. U njutnovskom smislu pod inercijalnim sistemima podrazumijevamo sisteme referencije koji se, U odnosu na postulirani apso]utno nepokretni sistem referencije, krecu uniformno i bez izmjene orijentacije osa. Medutim, za razliku od prethodne definicije inercijalnog sistema, Ajnstajn definise daje inercijalni svaki sistem referencijc u kojem tijelo na koje ne djeluje sila ostaje u stanju mirovanja iii uniforrnnog kretanja. Oyakva definicija inercijalnog sistema il11a i prakticni znacaj jer omogucaya direktnu yerifikaciju. Polozaj tacke u prostoru moze se odrcditi na vise nacina. Analiticki nacin odredivanja poloiaja tacke bazira se na metodu koordinata. Pod koordinatal11a tacke podrazullljeva se skup triju vclicina koji potpuno odreduje polozaj oye tacke. Najpoznatija su tri koordillatna sistema: Dekartov pravougli, cilindricni i sferni koordinatni sistem (sI.2.3-1 ). Z
Veza izmedu pravouglih i sfernih koordinata data je obrascima x = r sin
qJ
= arctg (
y = r sin
esin qJ,
2
= r cos
~ ), za x) 0 ; qJ = ~ , za x = 0,
e
(2.3-1 )
y) 0 ;
J[
qJ=-2,zax=O, y(O;
(2.3-2) (2.3-3)
dokje
veZ3
izmedu sfernih i polamo-cilindricnih kordinata
p=r sine, qJ =qJ, 2 =
........ . M(x, :\',2)
z
ecos qJ,
r
r=~p2+22, e=arccoslr GQ I "x +2 ~ P cos
qJ
(2.3-4) (2.3-5)
( v)
J[ qJ=arctg -'- ,za x)O; qJ=-,zax=O v)O', x 2' -
e
J[
qJ
= - 2.' za x = 0 ,
y <0 ;
(2.3-6)
y Veza izmedu prayouglih i polarno-cilindricnih koordinata je
x SI. 2.3-1
Polozaj tacke :v1u prosloru odreliclljc i trima kourdinatama: x, y,:z: ili p, qJ, z:
P0l110CLI
vcktora polozaja
r
stalne tacke 0, uglom qJ izmedu projekcije M' i stalne poluprave OX i rastojanjem 2 od stalne ravni XOY. Najzad, u sfernom sistemu polozaj tacke
e izmedu duzi
OM i stalne poluprave OZ i uglom qJ izmedu ravni ZOM i stalne rayni ZOx.
32
p cos
qJ,
v =
p sin
qJ,
2
=Z
(2.3-7)
r= YIp2 + ,.7 2
U prayouglom sistel11u polozaj tacke M se odreduje njenil11 rastojanjil11a x, y i z od triju l1wQusobno nonnalnih rami. U cilindricnom sistemu polozaj tacke M se odreduje rastojal~jem p njene projekcije M' na stalnu ravan XOY od
M se odreduje njenim rastojanjem r od stalne tacke 0, uglom
x =
qJ
= arctg (
(2.3-8)
~ ), za x) 0 ; qJ = ~ , za x = 0,
y) 0 ;
J[
qJ = -
2.' za x = 0,
y (0 ;
(2.3-9)
(2.3-1) do (2.3-9) predstavljaju jednaCine koordinatne t~ansformacije i pomocu njih moguce je preci iz jednog u drugi koordinatni slstem. Jednacine
od
33'
Vektorski nacin odredivanja polozaja tacke sastoji se u tome da se on odreduje pomocu vektora ciji je pocetak u jednoj stalnoj tacki prostora 0
r
(koordinatni pocetak referentnog sistema), a kraj u posmatranoj tacki M (sI.2.3-l). Ov<\j vektor r naziva se vektor polozaja iIi radijus vektor. Vektor polozaja u opstem slucaju je funkcija vremena r:::: r(t), .ier se cestica krece. Hodograf ove vektorske funkcije.ie linija po kojoj ce se cestica kretati a naziva se putanja iii trajektorija cestice. Hodograf brzine predstavlja geometrijsko mjesto svih krajeva vektora brzine tacke (cestice), nanetih iz istog nepokretnog pola. Trajektorija tacke moze se nazvati hodografvektora polozaja tacke. Vektoru poloZaja cestice mogu se u datom koordinatnom sistemu pridruziti dekartove koordinate cestice, tj.
r
=r(t):::: xU)! + y(t)7 + z(t)k
(2.3-10)
r(t) do r(t+tJ.t), odnosno, tJ.t=r(t+tJ.t) r(t). Ovaj vektor tJ.rnaziva se
vektor pomjeraja iIi prirastaj radijus-vektora. Odnos prirastaja vektora polozaja (vektora pomjeraja) i njemu odgovarajueeg prirastaja vremena (vremenskog intervala) tJ.{ naziva se srednja brzina cestice (tijeJa) za posrnatrani interval vrell1ena tJ.t, tj.
r(t + tJ.t) - r(t)
::::
tJ.r (2.4-1 )
v
Vektor srednje brzine ccstice < > ill1a isti pravac i sll1jer kao i vektor pomjeraja tJ.r - pravac sjecice ( 51. 2.4-1). Granicnim preiazom, kada se /::"1
smanjuje i tdi nuli, vektor srednje
v
brzine < > tdi nekoj konacnoj vrijednosti, koja je takode vektor. To je brzina u datom trenut"u iii trellutn(1 brzilla :
Koordinate tacke x, )', z su kao sto se vidi sa sl. 2.3-1 , projekcije radijusvektora na ose referentnog sistema, dok su
T, 7, k Oliovi
-
(jedinicni vektori) osa.
Ove koordinate, u opstem slucaju, su funkcije vremena : x(t),y(t) i ::.(1), i one n~jpotpunije moguee opisuju (u Njutnovoj mehanici) kretanje posmatrane cestice. Funkcija
. /::"r
dr
v =: 11m ---::::61 /::"r dt
(2.4-2)
r = r(t) u mehanici se uzima da je jednoznacna i neprekidna
funkcija vremena [jer jednoznacne su funkcije xU), .\'(1) i z(t), tj. cestica se ne moze -istovremeno nalaziti u dvije razlicite tacke, a kriva koju opisuje vrh radijus-vektora, odnosno putanja cestice je uvijek neprekidna linija]. SI. 2.4-1 Sredllja i trenutna brzina cestice
2.4 Brzina i ubrzanje tijela OCigledno je da se kretanja razlikuju jedno od drugog time sto tijela mogu da preiaze za jednake intervale vremena razlicitc puteve, iIi time sto iednaki putevi ll10gu biti prec1eni za razliCite intervale vremena. Ove razllke u kretanjill1a karakterisu se uvodenjem pojll1a brzine. Brzina je jedna od osnovnih kinematickih velicina koja karakterise kretanje cestice (tijela). Pod brzinom kretanja podrazumijeva se fizicka velicina, utoliko veca ukoliko tijelo prelazi veei put za dati interval vrell1ena. Neka se za neki vremenski interval tJ.t cestica pomjeri iz tacke A u
Trenutna brzina cestice (brzina cestice) jednaka je izvodu njenog radijusvektora r (t) po vremenu i ima pnivac tangente na trajektoriju u datoj tacki i smjer kretanja cestice (s1.2.4-1). Dakle, moze se zakljuCiti da pn kretanju cestice po putanji proizvoJjnog oblika, pravac njene brzine stalno se mijenja u toku vre111ena i odrec1en je tangentom na trajektoriju u svakoj njenoj tacki. Pravac brzine cesticc konstantan je samo kod pravolinijskog kretanja. Neka
Sll
projekcije vektora brzine 11 (t) na ose Dekartovog pravouglog
koordinatnog sistema
1\ 1',.1'.-
(sI.2.4-2).
tacku B (sl.2.4-1). Radijus vektor cestice ee se u tom slucaju promijeniti od 34
35
po brojnoj vrijednosti opacla sa vremenOI11, kretanje se naziva ravnomjerno
z~
usporenim. Neka se za neko vrijeme 15.t cestica pomjeri iz tace A u tacku B, a brzina joj se prol11ijeni od 11 (t) do 11 (t + /}.t), odnosno, za /}.i! = i! (t + /}.t) - v(t)
M
(s1.2.4-3). Odnos priraslcua vektora brzine /}.i) i njemu odgovarajuceg prirastaja vrel11ena /}.r naziv za interval vrel11ena 6.t :
y
v(t +6.r)-i!(t)
(2.4-6)
/}.r
Sl. 2.4-2 Vektor brzine u Dekarl()VOlll koonlinalnom
Vektor srednjeg ubrzanja za vrijeme
~i,leJllu
/}.t
ima pravac i sl11jer vektora /}.17.
v(t)
Brzina cestice preko ovih projekcija moze se izraziti kao:
v=v T+1' /+vk -
(2.4-3 )
\'
\
odnosno dr d -;" +)'J+zk) -; v=-=-(XI dt
ddXt -I' -'-, dd t
.-,' -'-,
ddZt' k-
(2.4-4 )
Uporedivanjem velicina koje na desnim stranama izraza (2.4-3) i (2.4-4) stoje uz jedinicne vektore
Sl. 2.4-3 Uz definiciju srednjcg ubrzanja
dt
T, 7,k , dobijaju se projekcije vektora brzine posmatrane
Granicnim preiazom, bda se /}.[ smanjujc i tezi nuli. vektor srednjeg ubrzanja < (i > teZi nekoj kOllacnoj vrijednosti, koja je takode vcktor. To .ie ubrzanje cestice u datol11 trenutku ili trellutno ubrzanje :
cestice na ose nepokretnog Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema: d
dx
v , =-=x, dt
1
=y, V.
dt
dt
Z
(2.4-5)
Ovdje, i svugdje u daljem tekstu, tacke iznad neke funkcije vremena, (na primjer, ,:\: ,\', Z , itd.), oznacavaju diferenciranjc po vremenu. U toku kretanja brzina cestice se moze mijenjati kako po inlczitetu tako i po pravcu. Kinematicka vcliCina koja karaklcrise promjenu brzine ccstice naziva se ubrzanje cestice, Ravnomjerno promjenljivirn kretanjern naziva se mijenja za isti iznos /}.V u toku jednakih i kretanje u kome se brzina
v
proizvoljno izabranih vremenskih intervaJa 6.t. Kada /}.i! ima isti znak kilO i brzina, tj. Kad brzina po brojnoj nijednosti rasLe sa vremenom, kretanJe se naziva ravnomjemo ubrzanim; kad brzilla /}.V ima obrnut znak, tj. kad brzina
36
_ I'1111 (<0- »= , I'I m [\v- =d -v ",.,0 ,,' -,>0 15.t dt
(2.4-7)
_ c!v d(d;::\ d 2 ;:: (/ = -=-1 i=-dt dtldt) dt"
(2.4-8)
({=
d7
odnosno,
Dakle, vcktor ubrzanja u dal011l trenulku, jednak je prvom izvodu vektora brzine po vremenu, odnosno drugom izvodu vektora polozaja cestice po vrel11cnu. Na slican nacin kao i kod brzine cestice, moze se doci do vektorskog izraza za ubrzanjeza ubrzanje cestice U odnosu na Dekartov pravougli
37
koordinatni sistem. Ubrzanje cestice a izrazeno preko njegovih projekcija {{" a ,. , (l~ , na ose Dekarovog koorciinatl1og sistema je :
n_
V
V
n
V
n_
cos(v,i)=--'- , cos(v,./)=-'-, cos(v,k)=-'v v v
(2.4- 14)
odnoSIlO
(2.4-9)
a=aT+a/+{{k . \
\.
:\.
n_
({
odnosno _ dv d --: ' /=-=-(l l .\ i +v I +v. k) dt cit \'.
L
d v \ -;=--/
dt
ci v, --: d v: +--j+--k dt
dt
(2.4-10)
Uporectivanjem velicina koje na ciesnim stnmama izraza (2.4-9) i (2.4-10) stoje uz ieciinicne vektore
posl~1atrane
{{ \
T,}, k,
dobijaju se projekcije vektora uhrzanja
cestice na ose nepokretnog Dekartovog pravouglog koordinatnog
sistema:
(l
\ (l
. a.
elt elt
dv,
d dy
elt
cit elt
dv.
el .elz) elt elt
n_
a
([
a
(2.4-15)
2.5 Ugaona brzina i ubrzanje Ako .ie linija koju opisuje materijalna tatka pri svom kretanju, ili, kako se to kaze, trajektorija, kriva linija, kretanje se nazi va krivolinijskim. Svako krivolinijsko kretanje na malom segmentu putaqje moze da se predstavi kao kruzno kretanjc. Kretanje cestice po kruznici zgodnije je opisati promjenom ugla cp koji opise radijlls vektor, koji je konstruisall iz centra kruznice ( sI.2.5-1 ). y
d 1'\ d d x _ d 2 X _.; = - - = - ( - ) - - - , -x
elt
a.
cos(a,/ )=-, cos(Zi,j)=-" , cos(a,k)=-'-
dr
d2y_.~
=--=-(-)='--,elt-
y
(2.4-11 )
2
el z_::
= --" = - \ - = '--, -.(. elt
elt'
lntezitet vektora brzine cestice v i intezitet ubrzanja cestice a lako se naJaze iz definicije skalarnog proizvoda elfi r:::-:: ~' v =Ivl=-I=-vv.v=v~ +v~7 +1';,~.7 =x- + y·2 +z·2 I ell ,
i
SI. 2.5-1 Definicija ugaonog pomjeraja
Promjena ugla obrtanja 101 radijw;a R i intervaJa vremena !1t u toku kogaje to obrtanje izvrscno, naziva se ugaol1a hrzina cestice (tijela):
(2.4-12) !1cp
oelnosllo,
(j)=-
(2.5- J)
!1t (2.4-13)
Za kompJetno odredivanje brzine i ubrzanja cestice, potrebno je odreditti njihov pravac i smjer, sto se moze uCiniti odredivanjem kosinusa uglova k0.11 ovi vektori zakJapaju sa osama Dekartovog pravougJog koord1l1atnog s1stema :
Ugaona brzina je, kao i brzina llopste, vektorska velicina, cUi vektor leZi na osi rotacije, tj. norm alan je na ra\':m putanje. Za neravnomjerno kretanje po krugu uvodi se pojam ugaone brzine elati trenutak (trenutna ugaona brzina):
(j)
38
. !1cp el cp == llln(-) = 61-'>0!1t elt
(j)
za
(2.5-2)
39
Ako su vektori
\:Ck~l flri nromieni u!.:la:',(O racb ,\ prede p" krugu luk .~\ . !ada.ie
,
•
,
t
.'
'-
...'>.1 (0
::'1
ubrzallja S
.~[r:lJ1e
fJ
ill
istog smjera, rotacija je ubrzana (intezitet ugaone
brzine se povecava), a ako su suprotnih smjerova rotacija je usporena. Kod ravnomjernog kruznog kretanja intezitet brzinc je konstantan ali se kontinuirano mijenja smjcr kretanja. 1z tog razloga se kod krivolinijskog kretanja ukupno ubrzanjc D sastoji iz dvije komponente: tangencijalnog
.,
a f
,
ciji je intezitet
(II
jednak:
IC
dv Of
(2.5-8 )
df
i koje karaklerise promjcnu brzine po velicini, i normalnog ubrzanja
,=wN
all ,ciji je
intezitet (/" : ) JC \'eec r~l\l\li,lIlic laeak\.·
(lei
buil11 il) \cea [lICII" I:lk'~lril~l hUIIl,l r~I/IlC i i nCllrl1C hui 11C. Pm c;:!liU Za
\ljlClllC
odetkk
'J
~\l ==
(2."~1!
r
t
IlIICltll plIll
II";\.'
jC. pn dalOj lI,~~I\l!I\).!
R,l/I1C l,lCkL'
"
LI
hi flliU ';It
uhn a
..;lljedi :
"il! LlIl.!~l. to
U)2d\)
b
pCl;uLiulll ubllanja li.ic la
(!~ poraqe
La
R
T
2Ti. tj. D(P == 27l.
(2.5-9)
:::: 0" r
i()llr~l. Illl~t!U
koje karaktcrise promjcllu brzine po pravcu. Ovo se ubrzanje, koje Je usmjereno prema ,redi~lu rotacije, naziva se centripetabiim ubrzanjem .
.
,~
-;~
U)=-
r
SI. 2.5-2 Tangcllcijaina i normalna komponenta ubrzanja cestice n=
Kod ravnollljcrnog kruzllog kretanja ( v = CUWI.) ukupno ubrzanje je razlicito oel nuJe i usmjereno je ka cenlru rOlacije. Dakle, pri krivolinijskom kretanju puno ubrzanjc Cl moze da se rastavi na dvije komponente: tangencijalno ubrzanje normalno ubrzanje ,j
/J
,.
~j(t)
du)
-== llll1(----\ --
.J!
,.\1
ali
a,:
koje karakterise promjenu brzine po velicini, i
,koje karakterise promjenu brzinc po pravcu.
06igledno je da su nomalno ubrzanje
all
i tangencijalno ubrzanje a,
mcdusobno perpendikularni, odakle slijedi da je vektor ukupnog ubrzanja
a
jednak:
(2.5-10) 41
2.6.1 Prvi zakon dinamike dok je njegov intezitet I
I,
,
a = I u,- + it , -v' "
I( d
,
'l-! +
=~
j!
'1,-
(2.5-11 )
elt )
Dakle, cestica vrsi krivolinijsko kretanje u nekom intervalu vremena ako joj je normalno ubrzanje (i1i:;t:0. U zavisnosti od tangencijalnog ubrzanja. mogu nastupiti sIjedeCi sIucajevi kretanja cestice : >- Ako je u nekom trenutku vremena ai,:;t:O i a. :;t:const., cestica vrsi neravnomjerno krivolinijsko kretanje. 'y Ako je u nekom trenutku vremena (l,,:;t:O
(/, =const. 1= 0, cestica vrsi
jednakoliko promjenljivo (ravnomjerno promjenljivo) krivolinijsko
>
kretanje. Ako je u nekom trenut k'U vremena
U prirodi postoje sistemi refcrencije u odnosu na koje je prostor homogen i izotropan, a vrijeme homogeno, Takvj sistemi nazivaju se illercijallli sistemi. Ako se u takvom sistemu posmatra neko slobodno tijelo koje u nekom trenutku miruje, ono ce ostati neograniceno clugo u stanju mirovanja, jer bi u protivnom slllcaju polozaj i trenutak kad tijclo pocinje da se krece kao i pocetni pravac kretanja predstavljali istaknute elemente prostora i vremena. To vazi j za unifonnno kretanje. Dakle, u inercijalnim sistemima svako tijelo zadrzava stanje mirovanja iii ravnomjernog i pravolinijskog kretanja dok ga druga tijela svojim dejstvom fla primoraju da promjeni to stanje. Ovo je prvi Njunov zakon iii princip inercije. Svojstvo
tijela
da
sacuvaju
stanje
mirovanja
iii
ravnomjernog
pravolinijskog kretanja naziy;) sc inercija. Eksperimenti pokazuju da pri Li"
-1-0' -;I
il,
= 0 , cestica vrsi
jednakoliko (ravnomjerno) krivolinijsko kretanjc i tada je {i =
. U
o\'om slucaju ovakvo kretanje izaziva cinjenicu da brzina, ostajuCi stalna po veliCini, stalno mijcnja svoj pravac.
2.6 Njutnoyj zakoni dinamike Klasicna fizika formirana je prije vise od tri vijeka u cuvenom djelu
jednakim utieajima na razlicita tijcia, razlicito se mijenja njihova brzina. Drugim rijecima, ista djelo\'i1nja izazinju kod razlicitih tijela razlicita ubrzanja. Dakle, ubrzanje, koje dobijaju tijela, zavise ne same od dejstva, nego • i od neke svojstvene osobine tijela. Ta se osobina karaktel'ise fizickom velicinom kOJa se naziva masa. U tom smislu mozemo reCi da je masa mjera inercije tijela, tj. mjera njegOl'og otpora svakoj promjeni stanja njegovog kretanja i ona je jedna od osnovnih fizickih veliCina.
2.6.2 Drugi i treci zakon dina mike
slavnog fizicara, mehanicara i matematicara Ajsaka Njutna, Matematicki
principi prirodne fi1o'Zofije, ohjavljenom 16x7. godine, koje predstavlja sintezll
1z prvog zakona dinamike slijedi da jedino dejstvo jednih matcrijalnih
svih do tada prikupljenih poiedinacnih naucnih rezultata. Njutnova teorija
tijela na druga moze da promjeni stanje njihovog kretanja. To dejstvo jednih
prirode je prva racionalna teorija, kop je zasnovana iskljucivo l1a 110pstayanju
lijela na druga, koje vocii promjeni njihovog kretanja, karakterise se fizickom velicinom koja se zove sila, Promjena stanja kretanja znaci da tijelo mijenja stanje miro\'anja iii ravnomjernog i pravolinijskog kretanja, tj. da se mijenja njegova brzina, da tijelo dohija ubrzanje. Odavde proizilazi da fizicka velicina - sila karakterise taho dejstvo jednih tijela na druga ciji je rezultat ubrzavanje tijela. Uvedimo sad proizvod mase cestice i njene brzine i oznaCimo ga sa
eksperimentalno prikupljenih cinjenicana, a koja se cesto naziva Niutnova klasicna mehanika. Klasicna mehanika je samo granicni slucaj opste relativisticke i kvantne mehanike i vazi samo 11 slucaju kretanja tijela vel ike mase i malih brzina u odnosu na masu i brzinu atoma i elementamih cestica. Temelje klasicne mehanike predstavljaju Njutnovi zakoni. Njutnovi zakoni su dati kao postulati (logika videnja) i kao takyj se ne dokazuju i izyode ali se u praksi provjeravaju
p=m'v
(2.6-1 )
43 42
Ovako uvedena velicina naziva se impuls cestice iIi koliCina kretanja. Ako se impuls cestice mije~1ja u toku vremena, kazcmo da postoji dejstvo izvjesne si Ie. Neka posmatrana cestica u trenutku t ima impuls p, a trenutku t + dt impuls
p+ dj5
Treii zakon dinamike dopunjava sadrzinu drugog zakona, koji istice cinjcnicll da dcjstvo tijcla koje vodi promjeni stanja njihovog kretanja ima karaktcr uzajamnog dejstva: Dva tijela meausobno djeluju jedno na drugo silama koje su jednake po brojnoj vrijednosti a suprotne po usmjerenju:
,tada se prornjena impulsa cestice po jedinici vremena moze
smatrati mjerom ovog dejstva i naziva se sib
F= dp = d(mv) dt
(2.6-6) (2.6-2)
dt
Bitno je da se istakne da sile
F;2 i F21
0
kojima govori treCi Njutnov
zakon ( "akcija " i "reakcija") ne djeluju na isto tijelo.
Prema ovoj definiciji sila koja dejstvuje na neku cesticu jednaka je izvodu impulsa te cestice po vremenu u tom trenutku. Ako je masa cestice stalna, sto odgovara klasicnoj mehanici, gornji izraz se svodi na
dv F=m-=m·Zi
(2.6-3)
dt
te je u ovom slucaju si1a jednaka proizvodu mase cestice na koju djeluje ova sila i ubrzanja te cestiee u posmalranom trenutku. Mada je ova definicija sile dovo1jna za klasicnu mehaniku, jednaCina (2.6-2) je opstija i vazi ne same za klasicnu vee i za relativisticku mehaniku. U Njutnovoj mehanici svi inercijalni sistemi referencije su ekvivalentni sa stanovista mehanike, tj. zakolli mehallikc su invarijantni u tim sistemima. Ne postoji ni jedan mehanicki ekspcriment izveden u jednom inercija1nom sistemu referencije kojim bi se utvrdilo da Ii ovaj sislcm miruje iii se uniformno kreee u odnosu na apsolutno ncpokrctni illcrcijalni sistcl11. To jc posljedica cinjenice da opsti dinamicki zakon )\'jutl10VC mehanike u svi1n incrcijalnim sistemima ima isti bblik. Ako se pretpostavi da na tijclo (cesLicu) l1e dejstvuju dmga tijela, onda zakon kretanja tog tijela gJasi
2.7 Impuls cestice Koristeci matematicki izraz drugog Njutnovog zakona, moze se odrediti znacenjc dejstvujuce sile, mase i ubzanJa tijela (cestice) za odredeni moment vremclla. \'ckaJa je ncophodno odrcditi te karakteristike za llla koji ullaprijcd zadani moment \IcmClla ( buduci iIi prosli). Impuls cesticc je jj
= /Jl
V ,gdje je m masa cesticc ,a
v njena brzina.
lmpuls ceslicc nazi va se jos i ko/iCina kretanja cestice. lz drugog ]\;"jutnovog zakona
dp
-
-=F
(2.7-1)
dt
moze se izracunati prirastaj impulsa cestice ako Je poznata vremcnska zavisnost sile koja djeluje na cesticu, tj. /'2
12
JdP=JF(t)dt
(2.7-2)
il)
d(mv) =0
(2.6-4)
dt
Integraeijom lijcvc stranc jednacine dobija se
Odavde je d(mv) =0, iIi
mv =const.
(2.6-5)
Pc - PI =!J.p =
J"
F(t)dt
Ovo je matematicki izraz za prvi zakon mehanike iii zakon inercije.
44
45
(2.7-3)
Integral na desnoj strani ove jednacine naziva se impuls sileo Ako je cestica
konslantnom i kOjil jc s;lglasilo jcc!naka F,I' Fo_
slobodna iii je ~ila koja djeluje 11a cesticu
intcrval \TCrneniljc
impuls cestice se l1e mijenja, odnosno
P=
F=O,
!J.p =
- PI
F !J.t
P2 - PI
=!J.p
0 iIi
con st.
Ako na cesticu djelije kOl1stal1tna sila cestice je
onda je
,
F:1'
... ,
F-:; /I
•
Tada za svaki t<0
F., 'L11 1=1I1V 1-IIIV"
F=
C0I1St,
prirastaj impulsa
F? ·!J.1 2
. Za cesticu stalne mase je
F, 'L1l, =17l \', (2.7-4)
1z ove jednacine slijedi da se brzina tijela ne moze trenutno promijeniti, vec u toku konacnog vremenskog intervala. Ocigledno je da za .11';to 0 ne moze biti /':,.t
KonaCIlO se dobija da .Ie /I
= O.
" FL1r I ~I
117 \'11
(2.7-6)
i=1
2.7.1 Zakon promjene impulsa Koristeci matematicki izraz drugog Njutnovog zako11a, moze se odrediti znacenje dejstvujuce sile, mase i ubzanja tijela za odredeni moment vremena.
Suma kojai~ lla IIjevoj str<1lli Jcdnacinc, naziva se ukupni impuls promjenljive "lie. Silled! Uil JC UkUplll Impliis promjcnlji\c sile, koja djeluje na tijelo, jecinak promJCI11 lmpllls:l t!JeLI
Nekada• .ie neophodno odrediti te karakteristike za ma koji unaprijed zadani moment vremena (bucluci iii pwsli). Neka u toku nekog trenutka vremena t na tijelo mase
111,
koji se kretalo
brzinom Vn , clejstvovala konstantna sila F . Ona saopstav3 tijelu konstantno ubrzanje usljed cega ce tijelo dobiti brzinu V. Tada, u skladu sa drugim Njutnovim zakonom je
a
F
= m .a=m
v-v o
2.7.2 Zakon oddanja impulsa u izolovanom sistemu .. Pretpostavimo da imamo Il1chnl1icki izolovnni sistem, koji se sastoji od II tIlela. Neka radi primjera to buclu eiasticne iopte, koje se haoticno I~recu u nekIm djelovima pr~stora zahvaljujuci uzajamnim suclarima. Sudarajuci se .Jedno sa drllgll11, tIlela l1lijcnjnjll svoj impuls. Posmatrajmo medusobno cijeiovLll1jc tijcla u toku malog intervala vremen
t
iIi
F t = m· v-m .Vo
(2.7-5)
F., ·..1r=/JI1 \'1-171;1'1
Fe ·iJr=1Il 2v, -Ill 2v2 Impuls konstantne sile, koja djeluje l1a tijelo, jednak je promjeni impulsa tijela. Ova konstatacija izrazavCl zakon promjene impulsa.
F ·!J.r=/JI f
Da bi primijenili zakon promjene impulsa u slucaju djelovanja promjenljive sile, potrebno je uopstiti pojam impulsa sile za ma koji interval vremena. U tom cilju podijelimo interval vremena t na n malih intervala /':,.t\, /':,.t2,
1/
v -111 Ii
F" ·L1t=lI7 v· I
j
I
II
(2.7-7) /l
\'If
-177 1/ ;;Ii
/':,.t" ... , /':,.t n , da sila koja djeluje u toku svakog od njih, moze se smatrati
46
47
gdje je
F; - rezultujuca siJa koja djeluje na
v
VI' - njegove brzine u pocetnom i krajnjem trenutku vremena !1t.
I
i-to tijeJo,
l11i -
masa i-tog tijeJa,
Sredivajuci ove jednacine pO clanovima dobija se n
11
II
~ ~ I11V'~ mv L.J j3·l1t:::: L.J II L.J II
(2.7-8)
I
;=1
I~I
o
;=!
Lijeva strana ove jednacine predstavlja proizvod !1t i geometrijske sume svih siJa, koje djeluju na tijeJo izoJovanog sistema. To su unutrasnje sile; spoljasnje sile na izolovani sistem ne djeluju. Na osnovu treceg Njutnovog zakona slijedi daje If
Vektori
J!
~ mv':::: ~ 111.\7 L.J11L.Jli ;=1
SI. 2.7.3·1 Vektor momenta impulsa cestice
(2.7-9)
1=1
r, f; i l potcinjnvaju se pravilu desne ruke iIi desnog zavrtnja (prsti
(~esne ruke pobzuju sllljer rolaeije L). Inlezitet iIi moduo vektora
To znaci da se suma impulsa svih tijela ne mijenja sa vremenom
Dakle, zakon ocuvanja kolicinc kreLanja ( impulsa) gJasi : U izolovanom sistemu zbir impulsa svih tijela je konstantna veliCilla. Ovaj zakon ocuvanja impuJsa vazi ne samo Ll mehaniei, nego i ima siroku primjenu u prirodi i tehnici.
Ll
l
r prema
f;, a palae pokazuje smjer vektora
Je
L :::: r p sin ex :::: 1 p (2.7-10)
L
(2,7-12)
gclje je ex ugao izmeou vektora rIp, a I::::
I' SI·11r. , \h
najmanje raslojanje
pravea vektora j5 od tacke O.
svakom izolovanom sistemu. On
2.8 Moment hiercije " Posmatr:ljrno kretanje jedne materijalne tacke A mase In , koja se odrzava na perifcriji kruga radijusa r pomocu neke veze (sl. 2.8.1). y
A
2.7.3 Moment impulsa. Moment sHe Neka vektor r odredujc polozaj cesliec A u odnosu na neku proizvoljnu tacku 0 referentnog sistema S, ImpllJs cestice A je p. Moment impulsa cestice L vektora
Ll
odnosu na tacku 0 (sl. 2.7.3-1) odreden jc vektorskim proizvodom
rip :
f L
= r Xp
(2.7-11)
SL 2.8.1 48
Na tacku A djellljc sila tangcl1cijaino uhrzanjc
{{t
.1 stahle vriiednosti. Tacka
A dobija konstantno
odrc(tcno tangcncijalnom komponentom silc j;
linearno ubrzanje (lr povezano sa siIol1l j; i masom m tacke A U opisivanju obrtnog kretanja pomocll lIgaonog ubrzanja 13 ulogu sile igra moment sile M, a ulogu mase III - moment inercije I.
(2.8-1)
2.9 Centar mase sistema. cestica . Normaln
I
ubrzanje. Uvodeci ug
z,~jeclno s reakcijom veze (h~c normalno
13 = ~, pa umjesto (2.8.1) imamo da jc r
Svakoj cestiei sistema moze se pridruziti njen impuls, moment impulsa i kineticka energija: T
Ieo.s ex = mr·f3
,
a mnozeci lijcv\I i dCSJ1ll strZlnll ovog izraza sa r dohija se (2.8-2)
f r cos ex = Il1r"·f3
Proizvod r cos ex jednak jc duzini normale Spllstene na pravac sile iz tacke 0, Velicina M
-
(:?9-1)
n
(2.9-2)
f
i::::.)
i duzine norma Ie, spustene na
pravac sile iz te tacke 0 (cental' obn(lnja). kao sto je ranije naglaSeno, naziva se moment sile U odnosu na tacku 0, Velicilla (2.8-4)
7
II!
7
"
P=LP,
hrnjno jednaka prnizvodu intezitcta sile
1
2
Ove veiiCine su od posebnog lnagaja zbog dubokog fizickog smisla kao i zbog toga sto imaju osobinu aditil'11osti. Ukupni impuls i ukupni moment impulsa sistema cestica se dobijaju vektorskim sahiranjem odgovarajuCih velicina za pojedine cestiee, a kineticka energlJ3 sistema Je zbir kinetickih energija pojedinih cestica :
(2.8-3 )
=Ir cos (i
I.
=-InV-
r-
Kada je u pitanju sistel11 cestica, moze se uvcsti jos jedna dinamicka karakteristika, eentar masa, To je fikti\'na (zamisljena) tacka u prostoru ( u njoj se ne mora nalaziti ni jedna ccstica sistema) ciji se radijus-vektor nalazi na osnovu relaciie: " Ll7l I~
o
o
i
brojno jednaka proi/vocill m(lSC m tacke A i kYactrata njenog rastojanja oei tacke 0 ( centra obrtanja), nZlzin se JlIomclltom incrcijc tacke A U odnosl1 na tacku O. Uvode6i moment sile M i moment inercije I, jednacinu (2.8-2) mozemo napisati
Ll
obliku M
(2,8-5)
= 113
Uporeduju6i jednacine (2.8.1) i (2.8-5), vidimo da je ugaono ubrzanje 13 na isti nacin povezano s momentom silc M i momentom inercije I na koji je i 50
;:::1
rc =--,,-1=)
Imi
(2.9-3) III
i=l n
gclje je
III =
L
111, '
masa sistema cestica
0
mJeren u odnosu na neki inercijalni SI. 2.9-1. Centar mase sistema cestica sistem. Lako je vidjeti da se u siucaju jedne cestice (<
da se ova velicina uvodi samo kod visecesticnih sistema. Centar masa ima posebnu ulogu kod opisivanja karakteristika kretanja sistema kao cjeline. Dakle, zamisliena tacka, centar mase krece se kao materijalna tacka cija je masa jednaka ~asi cijelog sistema, a impuls jednak impulsu sistema.
2.10 SHe pri krivolinijskonlkretanju Veza izmedu vektora sile F i ubrzanja zakonom
a,
izrazena drugim Njutnovim
Dekartove koordinate tacke C su: (2.10-1 )
F=m·(i
I
1 "
/I
,. = - '" v = - '" L m ' ->:I " C L
AC'
m '=1
(2.9-4)
mI )'- I ' ze'
111 '=1
· su x" Vi , ~., Dekartove koorJinate i- te ccstice u datom referentnom gdJe sistemu. Aka se polje sila tcie, u granicama sistema cestica, moze smatrati homogenim, onda je centar mase sistema, tacka C, napadna tack a te sileo Zato se centar mase naziva teZi.l:fe tijela. Za centar mase , tacka C cesto se nazI va I
centar inercije. Brzina centra masa definise se kao izvod vektora
'I 1 elF 1 =~=-~ Ill!,~ 1=- I,m, -' =- Imy, d -::
dt
1 I (
111
el t ~
Ii
;=1
Ii
Ii
)
m
1i=1
LIt
In
opsta je i vazi za ma koje kretanje, bilo pravolinijsko bilo krivolinijsko. Jednacina (2.10- I) pokazuje da sila i ubrzanje u datom trenutku imi.~u isti pravac i smjer. Pri krivolinijskom kretanju, kao sto smo vidjeli, ubrzanje upra\'!jcno je lIe po tangcnti na trajektoriju nego zaklapa s njom neki ugao i moze da se razlozi na elvije komponente: tangencijalnu at i all' Odavde
a
proizlazi da i sib F koja djeluje na tijelo koje se krece krivolinijski, upra\ljcna jc u s\akul1l trenulku poel nckirn uglom na pravac krctanja i moze cIa :-;e razlozi na dvije kompollente: tangencijalnu F; i Ilormalnu
j:c
1 In
po vremenu , tj.
p
Ip =,=1 ' m Ii
_
Prva komponcnta
i;
( sI.2.IO-l).
upravljena je po tangenti na trajektoriju, a druga
F"
po norlllali na nju, tj. po radijLlsLl krivine u smjeru prema ccntru krivine, zbog
(2.9-5)
cega sc nurmailla komponenta sile
F;,
naziva takode centripetalnull1
kOl11pollcntom si Ie.
Dakle, brzina je jednaka kolicniku impulsa sistema i mase sistema In, a onda slijedi da je impuls sistema ceslica p u dalolll sistemu refercncije u datom referentnom jednak proizvodu mase sistema i brzine centra mase sistemu, tj.
(2.9-6) 81. 2.10-1 Centar mase C proizvoljnog sistema ccstica krece se kao da je sva masa sistema skoncentrisana u C i :-,ve sile eljeluju nd C. Salllill1 tim, ubrzanje centra mase C ne zavisi od napadnih tacaka pojedinacnih spoljasnjih sila.
Uz Jefiniciju sile kod krivolinijskog kretanja
Sa :-1 ike 2.10-1 villi se cia je ?rojn
52
53
Tangencijalna i normalna komponenta sile Ff tangencijalnorn i normal nom komponentom ubrzanja
FII povezane su sa ({f
all
relacijama :
kamen a centrifugalna na kanap; kod Mjeseca koji se okrece ,oko Zel11lje. centnpeta[na sIla dJe1uJc na l\1jcscc a centnfugalna na ZemlJu. CnTI prestal . dejstvo centripetalne sile, kao akcione sile, prestane i dejstvo centrifugalne si~e kao reakcione sileo e
2.10.1 Centrifugiranje
')
Kako je
({iI
trajektorije
= II
v-
v linearna brzina tijela a R radijus kri vine
, gdje je R datoj tach dobija se
Centri!llgalna siJa.ie osnova djelova,nja centrifuge, uredaja za odvajaqje cestlca razllcltlh masa sllspendlra!1lh u teC110stlma, a sam taJ proces naziva s centrifugiranje. Princip rada centrifuge prikazanje 11a s[ici 2.1 0.1- J. e . Sedimentacija je proces koji se odvija spontano pod dcjstvom gravitacione sJle, air taJ proces Je \Tlo spor 1\a cesticu zapreminskc mase p koja se nalazi u teenosti zapreminske mase p", djelovaee sila koja predstavlja rezultantu gravitacione sile i si Ie' potiska: v
(2.10-4 )
Pri ravnomjernom kretanju po krivoj (brzina stalna po velicini, tangencijalna komponenta ubzanja jednaka nuli) tangencijalna komponenta sile jednaka.i e nuli i SVQ siia.if' centripetaina Ta sil,L dejstvujuCi po normali na trajektoriju, cini da tijelo neprekidno skreee, ne mijenjajllci njegovu bT7.inu po velicini; kad ne bi bilo te sile tijelo bi se kretalo pravolinijski. Centripentalna sila nije neki poseban tip sile kojaje svojstvena samo kruzl10m kretanju. 1\aziv centripetalna odnosi se na njenu tendenciju da tijelo ili cesticu vucc ka centru oscilovanja iii rotacije. Ta sila moze biti elasticna sila, sila teie, elektricna ili
•
F mg
==p Vg-pyg=Vg(p- pJ
(2.10-6)
. gdje.i e V zapremina cestice, a g graviraciono 1I brzanje. Zavisno od odnosa pIp" eestica ce potonuti (p > pJ iIi ispli\'ati na pO\Tsinu (p < pJ.Kada sc U sUdu koji rotira nalazi nek3 teenost, onda teenost pri obrtanju dobija izdubl.ie~l oblik. tJ pI eSJek u vemkalnoJ raVl1l Je parabola. Pn stalnom broJu obrtaJa tecnost je u ra\'lloteii pod dejst\om centrifugalne incrc~jalnc sile i sil e Zemljine tde.
magnetna sila. Pri kretanju po krugu, U izrazu (2.10-4) Jinearna brzina v moze da se zamijeni sa ugaonom brzinom 0) iii da se izrazi pomoeu perioda R obrtanja T iIi broja obrtaja n. Tada na osnovu relacija v =mR 2n T =2rcnR,
ta log vrijeme
dobija se za centripetaillu silu izraz:
cista tecnost
--------~:ist
-------,
j
....:-'·;'lWJ, II
~
--------~-J _.
f
, f
(2.10-5)
(j)
~
f~ (j)\
I
,
J
(
Po trecem Njutnovom zakonu, pored centripetalne sile pri kretanju tijela po krivoj, postoji i druga sila, jednaka njoj po velicini, i upravljena na suprotnu stranu, koja cini da tijelo koje se kreee skreee. Ta se sila naziva centrifugalna sila. Na taj naeil1 centripetalna i centrifugalna sila su one dvije sile Cije .ie postojanje uslovljeno treeim Njutnovim zakonom; one ne djeJuju na isto tijelo; na primjer, pri obrt£1nju kamena vezanog kanapom, centripetaln£1 sila djeluje n£1
54
;')
i
I
a)
b)
~Oh~: '",PO;'"' ')
I
-------.!
SL 2.10.1-1. Princip rada centrifuge
55
U centrifugi (separatoru) razd'vajanje cestica izvodi se prinudno i brzo u zavisnosti od ugaonog ubrzanja. Ako je brzina rotacije cestice velika, na nju ce djelovati inerciona centrifugalna sila kojajc jednaka
2•.11 Energija mehanickogsisterna; Energija je jedna od najvaznijih fiziekih velieina, koja karakterise sastav Sistema, sposobnost (mogucnost) sIstema da IzvrSl rad pn preJazu iz ·ed stanja u drugo stanje. Energija u najopstijem smislu predstavlja jedan OdJOb;O~ postojanja materije. To znaCi da sve sto postoji u prirodi ima svojstvo ener lka pa se moze re6i da je energija kvantitativna karakteristika stanja lTIaterig~Je, datim uslovima. Ona se ne moze unistiti niti ni iz cega dobiti i il11a razl J Ll obI ike postojanja. Moze prelaziti iz jednog u drugi oblik, ada se pri tOl11e n ~Clte · v· u IZO . IOVa110111 slstemu . d k k'0 IIcma uupna 0 rzava. .Jella •
F, =Illo/R =pVRoJ"
(2.10-7)
koja se javlja samo u sistemu koji rotira (neinercijalnim sistemima) i koja je upravljena ka periferiji centrifuge. Rezultujuca sila koja djeluje na eesticu u centrifugi je
F=pVRo/ - Po VRo/=(p - pJvRol
(2.10-8)
Cestice vece zapreminske l11ase (p > Po) kretace se u smjeru dejstva inercijalne centrifugalne sile i talozice se na pcriferiji. dok ce se eestice manje zaprel11inske l11ase (P < Po) kretati prema centru ceillrifuge. Dakle, teenost koja rotira ne moze prcllositi stalnu centripetalnu silu potrebnu za odrzavanje cestica na kruZl10j orblti i zato se eestice kreCll prema van, daIje od centra rotacije. Kao posljedica toga, cestice vece mase krecu se brzo prerna dnu cijevi i grade talog. Krct::mje sprecava sila viskoznosti koja zavisi od viskoznosti teenosti i velicine dispergovanih ccstica. Ako se u sudu nalaze dvije iii vise teenosti razlicite zapreminske mase, one ce se u centrifugi razdvojiti po slojevima. Ova pojava se koristi u medicinsko-bioloskim istrazivanjima, prvenstveno za razdvajanje organskih supstancija razliCitih molekulskih masa (razdvajanje biopolimera, virusa, submolekularnih cestica) hemiji, biohemiji i dr. Brzina talozenja moze se regulisati promjcnom ugaone brzine OJ, 0<1110S110 promjenom brzine obrtaja. Za obiene laboratorijske potrebe brzina ultracentrifuga iznosi oko 3 x 10 3 obrtaja u Illinuti. Savrcmcnc ultracentrifuge imaju brzine i preko 8 x 10 5 obrtaja L1 minuti.
,
•
•
V.
•
'
y.
Osnovni oblici energije u klasicnoj mehanici su kineticka i potellci'al energija, a njihov zbir predstavlja mehanieku energiju. Kineticku en~r ~Q posjeduju sva tijcla koja se kre6u. Kako je kretanje kao osnovna osobglJU l1laterije stall1o, kineticka cnergija ima zmeajnu ulogu u svil11 oblastil11a fi lna Potcncijalnu energiju (to je energija pOlozaJa) sticu sva tijela u interake~Zlke. . VIom . po I·.lIma. . J1 Sa fiIZIC Kako jc energija k\ aillitati vna karakteristika stanja tijeJa. pro . energije tijeJa zn<1ci i promjenu stanja kretanja tijcla. Promjenu stanja kr:~·:~na tijela u klasicnoj dinal11ici definisu sib i vektor pomjeraja. Kao kvantitati~lJ~l karakteristika dejstvCl koje vrsi sib na tijelo pri njegovoll1 pomijcranju llvodi 11<1 skalarna fizicka velicina koja povezuje silu i vektor pomjen~a i kOJ'a se ... se . n,lGIVa rad sileo
2.11.1 Rad i snaga Tijela djeluju jedno Ila drugo I"aGnil1l silama ( silc teze, elasticnc trcnja, itd) Pomijcranje tijela dcsava se samo pod uticajcm sila. Z. karakterisalljc dejstvCl sila koje dovodi do pomijeranja lijela, u mehanici uzi :1 se fizicka velicina koja je utoliko veca ukoliko je veca kOl11ponenta sile dm~l UZ pravca pomijeranja i ukoliko se na vecu duzinu pOl11jeri njena napadna tack Ta velicina naziva se rad. , a.
U najprostijem slueaJU pravolinijskog kretanja kao i konstantne sile upravljcnc duz pomijeranja, rad je jednak proizvodu sile
A=
F s = F s cOSa'
S6 57
F
i pomijeranja
s:
(2.11_1 )
U slueaju sile proizvoljnog pravea, odnosno, k~da sila koja djeluje na tijelo zaklapa ugao _a s praveem pomjeranja s, sUu F mozemo razloziti na dvije komponente F: - uprayljenu duz pomjeranja i F" - n01111 ainu na pomijeranje.
-
F
I F"z~
F
U praksi .ie cesto vrlo vazno ne same da se zna fad koji vrile sile nego i vrijeme za koje je rau izvrsen. Zbog toga se pored rad uvodi u razmatranje i jedna nova velieina, koja se zove efekat iIi snaga. Snaga je skalarna fizieka velicina koja povezuje rad i vremenski interval u kome je taj rad izvrsen. U fizickol11 smislu snaga predstavlja brzinu kojom se vrsi rad, odnosno, snaga P .ie proporeionalna muu ilA i ohmuto proporeionalna intervalu vremena ~~ za koji.ie taj rad iz\'r.~en :
(2.11-2) s
SL 2.]1.1-1
Rad vrsi same F, komponcnta ,iic duz prJ\"CCl pomjcraja
U slacaJll kada je ugao ex < 90", cos ex > 0 i rad je pozitivan; tada je k0111ponenta sile F, upravljena u smjeru pomijeranja. Za ex > 90" imal110 cos ex < 0 i fad je u OVOI11 slucajll negativan; pri tom je komponenta sile F, usmjerena u stranu kojaje suprotna pomijeranju. Kadaje sila norma1na na pravae pomjeraja, tj. kadaje ex = 0, e1ementarni radje jednak nuli Dakle, rad sile kojaje norma Ina na brzinu eestiee jednak je nuli. Objasnimo ovo na nekoliko primjera : 1) Na tijelo koje leZi na hrapavoj povrsini djeluje sila F koja ga pomjera po toj povrsini; ta sila F usmjerena je u prayeu pornjeranja i vrsi pozitiYan rad. Istovrcmeno na tijelo djeluje sila trenja F", koja je usrnjerena u stranu suprotnu pomijeranju tijcla; rad koji ona vrsi je negativan; 2) Baeeno tesko tijelo leti navise, sila teZe djeluje nadole, tj. na suprotnu stranu od pravca kretanja; rad sile teze je negativan U ovom sillcaju; 3) Tesko tijelo pada; u ovom slucaju sila tde usmjerenajc na istu stranu 11a koju se tijelo kreee; rad sile tde u ovom slueaju je pozitivan. Rad se karakterise sarno brojnom vrijednoscu i zbog toga on predstavlja skalarnu wlicinu. Na osnovu relaeije (2.11-1) definise sejediniea za rad. U S1 sistenmjediniea,jedinica za rad je Diul (1). Jedinicni rad od 1 J izvrsi stalna sila od IN ako pomijeranje tijela iznosi 1m u pravcu dejstva sileo U atomskoj i subatomskoj fizici pogodnija jedinica za rad je 1 eV= 1,6.1 0·19J. Rad, koji je potrebno u!oiiti da hi periferni elektronnapustio atom, ima tipicnu vrijednost od nekoliko eV
58
guje je k koefieijent proporcionalnosti. StavljajuCi k
= 1 dobija se : 11-3)
Ako se sila mijenja sa vremtnom, ni snaga ne ostaje konstantana; u tom slucaju govori se 0 snazi u datom trenutku, podrazumijevajuci pod tim granicnu vri.iednost kojoj tezi ocinos L1A kad vremenski interval ilt tezi nuli : L1t
. L1A P =11111(-) 61->11
dA
L1t
(2.11-4)
dt
Jedinica za snagu je vat ( I W =i.:!. l. Is
2.11.2 Kineticka energija mehanickog sistema Tijelo, koje se moze ~matrati kao materijalna tacka, krecuci se pod dejstvol11 sile mijenja svoju brzinu. Rad te sile vezan je sa promjenol11 brzine. Ta veza izrazava se preko vizieke veheine koja se zove kineth~ka energija materijalne tacke. Is to kao i rad, kineticka energija je ska lama fizicka velicina i izrazava se istom jedinieom, ali za razliku od rada, kineticka energija je uvijek pozitivna Odreaena je masom i brzinom tijela u bilo korn trenutku j ne zavisi od pravea kretanja i nacina l1a koji je tijelo steklo odreaenu brzinu. 59
Radi odreui vanja kineticke energije materijalne tacke, izracunacemo
Tada relacija (2.1 1-8) moze da se napise u obliku
koliki rad treba izvrsiti da bi se proll1jcnila brzina materijalne tacke mase m od vrijednosti
VI
konstantn£1 si]a
do vrijednosti
1'2.
Pustimo da na materijalnu tacku djeluje
F , paralel na vektoru brzine
(2.11-10)
VI ' koj£1 ce u toku nekog interval a
vremena t promjeniti brzinu tacke od vrijednosli vI na vrijednost vrijeme materijalna tacka preci ce put s, i sila F izvrsice rad
liZ·
Za to
Da bi se tijelo koje se krece brzinom )I zaustavilo (VI = 11, jednacine (2.11-8) slijedi da siia koja djeluje o£1 njega mora
)12
da
= 0),
iz izvrsi
m; ; 2
(2.11-5)
A = Fs
Zbog toga sto je sila kOl1stalltna, kretanje ce biti jednako ubrzano, pri cemu je njegovo llbrzanje
ncgativan rad, brojno jednak kinetickoj energiji Ek =
obrnuto, da bi se
tijelu mase /J/ dab brzina v, sila koja na njega djeluje mora da izvrsi pozitivan rad, jednak m/f2, Prclazecl sa posmatrallja jedne materijalnc tacke na sistem materijainib tacaka, primjenicemo relacijll (2.11-8) na svaku tacku sistema
1/=
/
pa je, prema tome, si lajednaka F =
I7l CI
=
V7~VI
IJ1 -~~-
A
(2.11-6)
/
mvC'~
mv~
2
2
~~~--1.
(2.] ] - ] I)
I~
I
Put koji prede materijalna tacka za vrijeme t izracunacemo iz srednje brzine =--'=--'-'- ,
2
K.inetickom energijom sistema E naziva se zbir kinetickih energija svih materijalnih tacaka koje obrazuju sistem
odakle se dobija (2.11-7)
1' -
e
Ovdje indeh i oznacava datu materijalnu taclq, a Ai oznaeava rad sila koje dejstvuju na tu tacku.
-
2
2
E" = '" m1'i , L.t 2
ZamijenjujuCi vrijednosti iz (2. I \-6) i (2.1 1-7) u formuli (2.11-5), nalazi se
Sabirajuci jednacinc (2. \ \-1 \ ) za
A=
(2.11-12)
S\C
matcrijalne tacke, dobija se
V')~)'I
171 --"'---~
t
(2.11-!3)
odakle je
A=
(2.1 1-8)
2
2
Na taj nacin rad sile F brojno je jednak prirastaju ye!icine mil2, koja se naziva kineticka energija Ek =
mv
2
~-
(2.11-9)
2
60
gdje A =
L Ai
pred"la\lja zbiE rado\a s\·ih sib koje djeluju na rnatcrijainc
tacke koje saCinJLlYaJu sistcm. Killetici
izmedu Izvrsenog rada i promjene kineticke energije tijela. Ako je rad negativan, tj. sila djeluje u smjeru sllprotnom od smjera kretanja tijela (na primjer, sila trenja). onda se kineticka energija tijeJa smanjuje za onoliki iznos kolika je vijednost izvrsenog rada.
pomijeranju rijcla duz osjccb L'.s. biti M = Q L'.s cosa, gdje je Q tdina tijeIa, a
0:
ugao koji pravac sile tczc zaklapa s pravcem pomijeranja. : B
J
I
I I I
2.11.3 Potencijaina energija mehanickog sistema
I I I
I
ulaganje rada. U nekim slucajevima tijelo i kada ne dobije kineticku encrgiju
,
............... , .
...
: I I I
moze da dode u takav polozaj da moze odati lliozeni fad pri vraeanju u prvobitni polozaj. C takvom polozaju tijelo ima potencijainu energijll U odnosu na prvobitni polozaj. Za razliku od kineticke energije, koja se moze odnositi na sarno jedno tijelo, potencijalna energija je vezana za sistem tijela (cestica). Svako tijelo u prostoru oko sebe stvara fizicko polje cije su osnovne karakteristike: jacina polja i potencijal polja. Preko jacine polja moze se odrediti sila kojom to poije djeluje na bilo koje tijelo (cesticu) postavljeno u datu tacku polja, a preko potencijala moze se odrediti energija koju tijelo stice posta\'ljanjcm u datu tacku (energija polozaja). Ta vrsta cncrgije, koju tijel0
i:h
~........ ---.-.. ------.- ... -.----- ------~--·~--1·7·-----·-----····--··-
Pomijernje nekog tijela moze da se vrsi pod dejstvom neke sile uz
I
~ SL 2.11.3-1
Kako je L'.s cos
0:
= ~h, gdje jc ~h promjena visine tijela pri pomijeranju
duz odsjecka ~s. Ukupan rad pri pomijeranjll tijela iz Tacke B u tacku Bl biee J
(2.11-14)
stice interakcijom sa fizickim poljem, predstavlja potencijalnll energijll.
Dakle, rad silc Ide pri pomijl'ranju tijela po nekoj krivoj liniji jednak je
Dakle. potencijalna cnergjja je kvantjtativna karakteristika uzajamnog dejstva
radu pri pomijcranju dU7: vcrtikale za vrijednost h, koja Je jednaka razlici visina pocetnc i krajnje tackc pl1t~l tijcla. Rad u pOljll sile tete ne zavisi od
tijela i stoga zavisi od medusobnog rasporeda tijela u ohiru datog sistema. Odnosi se na sistem od najmanje elva tijela. Na primjer, gravitaciona potencijalna energija u polju zemljine teze odnosi se 1121 sistem: Zcmlja tijel0. a potencijalna energija elasticnih sila na sistcm: opruga - tijelo. U mehanici uglavnom postojt' dva oblika ove energije : gravitaciona potencijaina energija i elasticna potencijalna energija. Posrnatrajmo rad koji se vrsi pri kretanju matt'rijalne tackt' u homogenom polju sile tdc. Ovakvo poljt' tde postoji u blizini povrsine Zemlje, gdje sila teze prakticno ne zavisi od vi sine (dok je visina h prakticno mala u poredenju sa radijusom Zemlje R).
ohlika i duzine puta, Ilcgo samo od veliCine visinske razlike izmeilll krajnje i pocetne tacke puta. U prirodi postoje i druge sileo pored sile tde, koje imaju ovu znacajnu osobinu cia rad sila pri pomijeranjn rnaterijalne tacke zavisi samo ad polozaja pocetne i kra,jnjl' tacke pula a nl' Z
Neka se materijalna tacka kreee po nekoj krivoj BJB2 (s1. 2.11.3-1). Izdijelimo krivu BJB2 na elementarne odsjecke, toliko male da se mogu srnatrati pravolinijskirn. Tada et' elernentarni rad
62
M, koji se vrsi prj
tijela, nazivaju se nekonzervativne (nepotenl'ijalne) sile. Takve sila trenja. sila otpora sredinc kroz koju se tijelo krece.
SU,
na primjer,
Znaci, moze se uvesti jedna velicina EI" karakteristicna za polozaj materijalne tacke u polju potcncijalnih sila, tako da rad Au bude jednak razlici
63
vrijednosti
EjlI
E /', kOJ'e velicina E/I ima u tackama (I) i (2):
(2.11-17) (2. I I - I S)
Prema jednacini (2. I 1-14), rad silc teze pri pomijeranju tijela u prostoru od tacke B I do tacke B2 , od kojih druga lezi za visinu h nize od prve, jednak je A = mgh. Ako sa hi oznacimo visilJU tacke BI racunatu od neke nulte visine, a sa h2 visinu tacke B2 , ladaje h =hi h2' paje
iIi pomocu razlike potencija1nih energija (2.1 1-18)
Iz ove dvije jednacine imamo (2.11-! 9)
Ako se uzme usiovno cia je jednacina dobija se
h2
=
°,
na osnovu uporedivanja posljcdnjih
Zbir kinetickc i potcncijalnc energijc sistema naziva se ukupna energija mehanickog sistema E:
(2.11-16)
(2.11-20)
Uslovno je me to da je potencijalna energija lijela na povrsini Zemlje jednaka nuli. Ako tijelo pada sa .vi~ine h, sila tezc vrsi pozitivan rad A = mgh. Pri tome potencijalna encrgija opada. U slucaju dizanja tijela na visinu h rad sileje negativan. Tada izjednacine (2.11-15) dobijamo daje Ep,-Efi,
2.11.4 Zakon odrzanja mehanicke energije izolovanog sistema
Pretpostavimo da imamo izolo\an sistem materijalnih tacaka, u kome djeluju sarno potencijalne sileo Stanje sistema biie odreaeno njegovom konfiguracijom i br;.illal11u materijalnih t{l(~aka koje obra;.uju sistem. Pri prijelazu sistema iz jedllog stanja u drugo, sik koje djeluju na l11aterijalne tackc sistema vrse rad, koji cemo obijjciiti sa Au, uzimajuCi da se indcks 1 odnosi na pocetno stanje sistema (1), a indeks 2 na krajnje stanjc (2). U svakom od tih stanja, koja se razlikuju po brzinuma materijalnih tacaka i njihovom polozaju, sistem ce biti okarakterisan odgovurajucim vrijednostima kineticke energije Ek , i Ek , i potencijalne energije Ep, i E,)"
Tad se rad A 1,2 moze
izraziti na dva nacina: iii pomo6u razlike kinetickih energija
64
Tada jednacina (2.11-19) uobija oblik (2. I 1-21)
lj. dobijul1lo da ukuplla energija iZO[OVllllOg sistema, u kome djeluju sarno potencijalile sile, ostaje stalna. To znaci da se kineticku i potencijalna energija si~lema mogu mijcnjali, ali u\'ijek lako ua njihov zbir il1la stalnu vrijednost. Ako se pod dejstvoll1 konzervativnih sila poveca kineticka energija sistema za neki iznos, onda ce se za isti iznos smanjiti potencija1na energija sistema i obratno. Ovo se naZlva zakoJlom odrzanja mehanicke energije. On predstavlja jcdan od naj\'uznijih rezultata osnovnih zakona mehanike. Kao primjer Llzmimo slobodno padanje nekog tijela sa neke visine h u odno\u lla nekl odrcdeni nivo (~l. (2.11.4-1). Kod slobodnog padanja pocetna brzina jednaka je nub. Onda tijelo I1C111a kineticke encrgije nego sa1110 potencijalnu. Drugim·· rijecima, ukupna energija u pocetnoj tacki A jeste njegova potencijaina energija (2.11-22)
gdje je h AC visinska razlika izmedu pocetnog poloZaja i nultog nivoa ,a m masa tijela.
6S
.,-------GA
2.12 Gravitacija fnterakcija izmedu cestica moze se opisati pomocu sila uzajamnog dejstva iIi pomocLl poIja. Svako tijelo mijenja svojstva okolnog prostora, stvara u njel11u gravitaciono polje. Pomocu polja interakcija se moze opisati tako !ito se kaze da svaka cestica oko sebe stvara iii generise polje koje djeluje silom na drugu cestieu. Polje se onda manifestuje kao prenosnik sile, odnosno poije na cesticu djeluje silo11l, ostvaruje se gravitaciona interakcija.
h
y
'f
C
2.12.1 Gravitaciona sHa Si. 2.11.4-1
Kada tijelo dode u tacku B, koja je od nultog nivoa udaJjena za visinsku raziiku hi, one ima izvjesnu brzinu v, sto znaci da ima kineticku i potencijalnu energiju. Neka je ]I postignuta brzina, pa je n11'212 , El' = mgh: a odatle je i ukupna (totalna) energija
(2.11-23 )
Kako je AB = h - hi ,a
i
= 2g(h - 17.1), ima11l0 daje
m E= 22 g (h-h\)+m g h\ =mgh
(2.11-24)
Vidi se da ie ukupna energija u proizvoljnoj tacki jednaka prvobitnoj ukupnoj energiji tij~la. Da vidimo kolika je ukupna energija tijela kada stigne u tacku C. OCigledno je da u tacki C ima sarno kineticku energiju, jer je visinska razlika jednaka nuli. Dakle, ukupna energija jednaka je kinetickoj energiji
Gravitaciona sila je jedna od osnovnih sila u prirodi, koja djeluje kako izmedu cestica tako i izmedu nebeskib tijela u univerzumu. Gravitaciona sila se zanemaruje u svijetll atoma i cestiea, gdje dominiraju elektricna i nuklearna sila. Gravitacip je jedan od slllcajeva medusobnog djelovanja tijela bez dodira. Pojave kao sto su padanje tijel~ na Zemlju, kretanje Mjeseca po zatvorenoj orbiti oko Zemlje, kretanje planeta oko Sunea, itd., vrse se pod uticajem sila opste gn1\itacijc. Njutn nije razmatrao prirodu gravitacione sile i mehanizme kako se ona prenosi. On je shvatio cia gravitaciona sila potice od mase i zastupao je ideju 0 trenutn011l djelovanju na daljinu. Taj koncept je podrzan uvocienjem gravitacionog polja koje svaka 11lasa stvara oko sebe. Kada se u to polje unese neka druga 11lasa gravitaciono polje trenutno djeluje gravitaeiono11l silom na unetu l11asu. Proble11l011l prirode gravitacione sile i gravitaeionog polja bavio se Albert Ajnslajn u Opstoj teoriji relativnosti. Ta teorija predvida generisanje gra\'itacionih talasa pri uhrzanom kretanju velikih l11asa kao sto su sudar crnih rupa, eksplozija super no\'e, itd. Gmvitacione sile su po rcdu velicine za oko 10% puta sIahije od elektromagnetskih sila, pa su zato potrebne ogromne mase
Dakle, u opstem slucaju zatvorenog sistema, opadanje potencijalne energije dovodi do povecanja kineticke energije i obmuto.
da bi se posljedice njihovog ubrzanog kretanja mogJe detektovati. Ovaj mehanizam podsjeca n3 mehanizam stvaranja elektromagnetskih talasa koji nastaju pri ubrzanom kretanju naeJektrisanja. detekcije Dok je covjek ovladao tehnologijom stvaranja elektro11lagnetskih talasa, gravitaeioni talasi jos uvek nisu eksperimentalno direktno detektovani na Zemljio Ocekuje se da se eksperimentalno dokaze postojanje gravitacionih talasa i njihovih osnovnih ocekivanih osobina: brzine prostiranja jednaku brzini svjetlosti u vakuumu, egzistenciju elementarnih
66
67
2
mvc E=EkC = - -
(2.11-25)
2
Kako je
vE = 2gh, imamo da je (2.11-26)
E=mgh
kvanata gravitacionog polja, tzv. gruvitona sa rlUltom masom mirovanp
(2.12-5)
brzinom prostiranjajednakoj brzini prostiranja fotona.
2.12.2 Zakon opste gravitacije
Ovdje je rijec 0 slobodnom padanju tijela kada nema otpora, pa ni otpora vazduha. Takode nije uzeta u obzir zavisnost siie tde od geografske sirine.
Zakon po kome se ponasaju gravitacionc sile prvi je formulisao Njutn 1687. godine. Po Njutnovo111 zakol1u opstc gravitacije dva tijcla medusobno se privlace silom koja je upravo proporcionalna proizvodu njihovih masa, a
Sila kojom ZCllllja privl:lci neko tijelo mase m zavisi od visine h na kojoj se tijelo nalazi iznac! povrsine Zemlje. Po Njutnovom zakonu opste gra\'itacije, Zemlja privlaci tijelo silom
obmuto proporcionalna kvadratu rastojanja izmcau njih (2. i 2-6)
(2.12-1) getje je R rastojanje od ZelllIjinog centra do tijela; posto je R = R, + h, to je gdje su
I1lI
i
m2
mase tijela koja se privlace, a
1
y =6,670· 10- i Nm/kg2 -
gravitaciona konstanta, koja je nezavisna od prirodc tijela i ima opsti znacaj u
F=y,
prirodi, a njena vrijednost je brojno odrec.lena siiolll kojom se privlace dva tijela jedinicnih masa kada se nalaze 11a rastojanju jcdinice duzine. 1z z:lkona opste gravitacije proizlazi da sva tijela u blizini Zemljine pO\Tsine treba da padaju sa istim ubrzanjem. U stvari, ubrzanje k,* tijcio mase
II!
Za II
Mm
(2.12-7)
1
(R_+h)-
= 0 dobija se "iia kujom Zcmlja djeluje na tijelo na svojoj povrsini.
dobijaje
F
(2.12-2)
0=
2.12.3 Tezina tijela
In
Tezina tijela je rezult:lnta kojoll1 tijelo djeluje na mjemi instrument gdje je
F sila kojom Zemljin:l lopta privlaci tijelo. Po Njutno\om zakonu
gravitacije je
general no se razlikuje ad gravitacione sileo Ta fd.Zlika dolazi usljed cinjenice da Zcmlja zbog rolacije oko sopstvcne ose predstavlja neinercijalni sistem
F=
mM
(2.12-3)
11--' I
R~
gdjc.ic M, masa zemlje a R, njen poluprecllik, pa sliJedi daje
mM_ 1
Me
a = Y--7-'-' -=Y-;:;'R:: m R~
(2.12-4)
Posto su masa Zemlje i njen poluprccnik stalne veliCinc, prema tome se dobija da sva tijela u blizini Zemljine povr~ille padaju s istim ubrzanjem nezavisno od
rcferencije, kao i cinjenice da tdina tijela zavisi od uslova u kojima se nalazi l1ljerni instrument U odnosu na Zemlju. Kada tijelo pritiska neku pO\Tsinu tada na njega ta povrsina djeluje silom koja je po pravcu nOfmaina na datu povr~inu. Ta sib se naziva Ilormaillom silol1l i obijeljeZaya se sa /\'. r\a tijclo koje miruje na horizontalnoj podlozi (sl. 2.12.3-1 a) intenzitet norrnalne sile jednak je intenzitetu gravitacione sile koja djeluje na tijelo, a za tijclo koje sc nalazi na strmoj ravni (sl. 2.12.3-Jb) intenzitel normalne sile jednak je vrijednosti projekcije gravitacione sile na pravac normal an na ponsinu.
njihove mase
68
69
Na tijelo djeJuje i gravitaciona si]a F,
~ N=
F~
Primijenimo Ii II Njutnov
zakon na pravac normale, uzimajuCi u obzir da tijelo miruje na povrsini Zemlje, dobija se
o=F, - N F,
F,
a)
= In"if.
SI. 2.12.3-1
FiIlN!"
cosa
Iz jednacina (2.12 -9) i (2.12-10) dobija se izraz za tdinu tijela
b) N = F~ cosu
Q =In (g - co" R~ cos 2 ~f) Neka se neko tijelo mase m nalazi na mjernom instrumentu koji miruje u odnosu na povrsinu (sI.2.12.3-2). Ugaona brzina rotacije Zemlje je m=2n IT (T ~ 24 h), a poJozaj tijela
U
odnosu na ekvatorijalnu ravan (geografska sirina)
odreden je azimutalnim uglom
(2.12-10)
(f!.
(2.12-11)
Na osnovu ovog izraza zakljucuje se da tezina tijela raste kako se ide od ekvalora ka poln Sada se moze uvesti pojam efektivne vrijednosti gravitacionog ubrzanje Ze-mlje
ct:
(2.12-12)
,(j)
gdje je go vrijednost gravitacionog ubrzanja na poiu, odnosno u tacki gdje ne postoji rotacija. 2.12.4 Gravitaciona i inertna masa
SI.2.12.2-2 Mjerenje tdine tijela lIzimajuci u ohzir rotaciju Zemlje
Normalno uhrzanje tijela usljed rotacije Zemlje iznosi (2.12-8)
gdje je K cosrp poluprecnik rotacije tijela. lntenzitet inercijalne sile je 011('1< =
l1J
all.
Sila
Iv
.ie sila kojom mjerni instrument djeluje na tijelo i po
m
Njutnovom zakonu njen intezitet je jednak intezitetu kojom tijelo djeluje na vagu, odnosno tezini tijela Q, tj.
Masa kao fizicka veJicinajavlj:.1 se u dva izuzetno vazna fizicka zakona: u drugom Njutnovom zakonu mehanike i Njutnovom zakonu opste gravitacije. Masa koja figllri~e 11 clrugom :!\'jutnovom zakonu uvcdenaje kao pojam da bi se objasnilo svojstvo tijela koje se naziV3 inertnost i zato se ova m3sa naziva inertna masa tije-Ja 171;" • U Njutnovom zakonu opste gravitacije mase karakterisu svojstvo tijela koja se privlace i zato se ova masa naziva gravitaciona mgr . Dakle, masa odrazava elva razlicita svojstva supstancije te se, u vezi sa tim, postavlja pitanje 0 odnosu inertne i gravitacione mase. Odgovor na ovo pitanje maze dati Silmo eksperiment. Slohodni pad tijeJa moze posloziti kao dobar primjer. Razmotrimo pad tijela u sistemu vezanom za Zemljll, za koju cemo pretpostaviti da je inercijalan. Na svako tijclo n:.1 povrsini Zemlje djcll0e privlacna sib ciji je intezitet
(2.12-9)
N=Q
70
71
n1 or MF0 - y R~
gdje je
I11gr
(2.12-13)
gravitaciona masa tijela, Me masa Zemlje, Rz njen poluprecnik.
Gravitaciona sila tijelu saopstava ubrzanjc inleziteta
(2.12-14)
Silc koje se javljaju Ll etaslicno deformlsanim tijelim3 nazivajll se eiasticne sile. One mogu biti privlacnc (atraktivne) iIi odbojne (repulsivne) i po prestanku dejstva spoljasnjih sila na tijelo one vracaju tijelo u prvobitne razmjere i oblik. To su medul1101ekularne sile i elektricnog su porijekla. Razmotricemo elasticne silc 11a primjeru mOl1okristall1ih cvrstih tijela, kao 510 su metali. Kod kristala, molckuli iii atomi su prostorno pravilno rasporedeni. Di11lenzijc molckule Sll reda veheine 10 10m . Moleklll interaguje sa okolnim 9 J1lo1ckuli111:l na raslojanju 10 m (sfera medumolekularnog dejstva). Na osnovu ekspcrimcntalnih podataka, pokazalo se da projekcija sile koja djeluje izmedu dva l110lekula na pravac koji spaja molekule, moze izraziti kao
koje se naziva gravitaciono ubrzanje. Eksperimentalnc cinjenice pokazuju da je ubrzanje <~ koje tijelima saopstava gravilaciona sib na povrsini Zemlje isto za sva tijela. Ovaj eksperimentalni podatak prvi je dobio Galilej i moze se uopstiti za sva gravitaciona polja, tj. u istom gavilacionim polju sva tijela slobodno padaju istim ubrzanjem. U formuli (2.12-6) cinilac y M z / R; je isti za sva tijela. Iz toga slijedi da je odnos masa
InRr / mil)
jednak za sva tijela iIi
gravitaciona i inertna masa tijela su proporcionalnc. To znaCi da pri pogodnom izboru jedinica gravitaciona i inertna masa postaju identicne
inRI"
==
min'
q?9
gdJe su ({ i h kOllslante koje zavise o~l prirode kristala, izmedu l1101ekula.
10
12
Iilgr =lIlin' S
r
Je rastojanje
Grafik z<1'vi,llosti "ile F(r) koja djeluje izmedu molekula od njihovog medusobnog rastojanja r, prikazan je na sI.2.13-1.
zbog F(r)
cega se u fizici govori samo 0 m:l;,i tijela. Savremcni eksperimenti d:lju rezultat o jedn:lkosti gravitacionc i incrtne mase
(2.13-1 )
rclali \ nom greskom od q?O
.
2.13 Elasticnost Sva tijela se mogu manje iJi vise deformisati, u zavisnosti od prirode samih tijeJa i sila koje na njega djeluju. Pod deformacijom tijela podrazumijeva se prornjena njegovog obJib i zapremine pod dejstvom spoljasnjih sila. Te dcformacije rnogu biti elasticne i neelasticne. Elasticne deformacije su one pri kojima tijeJo, po prestanku dejstva spoljasnjih sila,
0
./
.--
.-- . .--
.--
:>
1
r
--~------------~_r
U
./
/
/
F;Jrn
I
=
a r
0
7
I
zadrZava prvobitne razmjere i oblik. Ako deformisano tijelo zadrzava razmjere i oblik koji je imalo u trenutku prestunka spoljasnjih sila, onda se takva deforrnacija tijela naziva neelasticnom iIi plasticnom. Za elasticne deformacije tijela postiji granica. Ako se ta granica elasticnosti prede, deformacija tijela postaje plasticna.
Prvi sabirak u jednacini (2.13-1) predstavlja odbojnu silu Fod/) izmedu molekula, koja dominira na manjim rastojanjima od ro. Drugi sabirak prestavlja
72
73
SI. 2.13-1
SI. 2.13-2
privlacnu silu Fpril i zmedu l1101ekula koja je dominantna na rastojanjima r > r() . Kada se molekuli nalaze na rastojanju r", onda je sila medusobnog dejstvajednaka nuli F(rll ) = Q. Ako se molekul pomjeri iz polozaja r = r'h sila koja djeluje na njega imace uvijek smjer da ga vrati u taj polozaj. Molekul u ovom polozaju (r = rl ,) ima minimalnu potencijalnu energiju (sL2.13-2). Ako se rastojanje izmedu posmatranih molekula smanji na r < ro. njihova medumoleku lama sila postaje odbojna i ima sl1ljer da 11l01ekule vrati u ravnoteZni polozaj (s1.2.13-3a) U slucaju da se rastojanje izmedu molekula poveca na r > ro , medumolekularna sila postaje privlacna i ima smjer da 11l0lekule vrati u ravnoteZni polozaj (sL2.13-3b) Ako se rastojanja izmechl molekula povecaju na r > i O'\n, molckule se nece vratiti u ravnotezne poloiaje (sL2.13-3d). Dakle, ako na elasticno tijelo djeluju spoljasnje sile, pa hoce da smanje iii povecaju rastojanje izmedu 11l0lekula, u tijelu ce se pojaviti elasticne sile koje ce nastojati da vrate molekule u ravnoteZne polohje. Te unutrasnJe elasticne sile' ce uravnotezivati spoljasnje sile, i vracace tijelo u prvobitni oblik i razmJere po prestanku dejstva spoljasnjih sila.
..
a)
--7+
$
•
(
-
~
)
r ll
)
F
(J=-
(2.13-2)
S
Kao mjera stepena deformisanosti tijela koristi se relativna deforl11acija. Ona predstavlja kolicnik iz razlike izmedu duzine l tijela na koje djeluje sila F i prvobitne duzine f" tijela
(2.13-3) Prema Hukovom zakonu, mehanicki napon elasticne deformacije (J, srazmjeran je relativnoj deformaciji
b)
F ,6,./ SrI
(J=--=£ - = £ .(5
c)
-
d)
l(
Normalni elasticni napon definise se kao kolicnik iz velicine sile koja 11orl11alno i ravnomjereno dejstvuje po uocenoj povrsini elasticno deformisanog tijela i te povrsine
SI. 2.13-3
'
gdje je F ~ elasticna sila, S - poprecni presjek tijela, (5 - relativna deformacija, E, - JungO\' modul elasticnosti, koji zavisi samo od svojstava supstancije posmatranog tijela. Pomocu Hukovog zakona elasticna sila u defonnisanol1l tijelu moze se izraziti kao
2.13.1 Hukov zakon
S·£
F=~ _ _ r ,6,./=-k,6,.1
f
Zavisno od pravca, smjera i napadne tacke spoljasnjih sila, razlikuju se cetiri vrste deformacija cvrstih tijela: istezanje (iIi sabijanje)
gdje znak
savIJanJe smicanje uvrtanje ili torzija Na sve vrste elasticnih deformacija moze da se primijeni opsti zakon deformacije iii Hukov zakon, koji generalno tvrdi da izmedu normalnog napona i relativne deformacije postoji linearna srazmjerenost.
(2.13-4)
(2.13-5)
(-) oznacava da su elasticna sila F i apsolutna deformacija ,6,.1
suprotnog smjera. Koeficijent k = SE, / I naziva se konstanta elasticnosti. Ako na sve granicne povrsine tijela djeluju normalni naponi, tijelo moze da se deformise i promjenom svoJe zapremine. Ta deformacija je karakteristicna za fluide. Pritisak (nomalni napon) u slucaju deforl11acije zaprel11ine P0l110CU Hukovog zakona moze se izraziti kao (2.13-6)
74
75
gdje je LlV/V - relativna promjena zapreminc tijela (fluida), a Ev - tzv: zapreminski modul elasticnosti. )\egativan znak se uzima zato sto se pn pove6anju pritiska zapremina smanjuJe, pa Je velicina Ev pozitivna ( L1V negativno). Reciprocna vrijednost zapreminskog modula elasticnosti naziva se
Posto je energija elasticno deformisanog tijela posljedica djelovanja medul110lekulskih sila, ana je rasporedena po cijelom tijelu, pa se zbog toga uvo<.ii zaprel11inska gustina potencijalne energije deformisanog tijela
koeficijent stislj ivosti (kompresibilnosti) k
1I c!
1 ,6.V 1 k=-=---·Ev V P
2.14 Mehanika tecnosti
2.13.2 Energijaelasticnih deformacija Da bi se tijclo dcfollllic,alo, pOlrebno je Ilwl njim izvrsiti rad. Ista tako, deformisano tiielo maze da izvrsi rad, sto znaci da posjeduje neku patencijalnu energiju. Ta ;nergija se naziva elasticna potel}cijalna en ergija , a koja je jednaka radu koji se izvrsi pri defarmaciji tijela, pod uslovom da se say rad utrosi na pove6anje elasticne potencijalne energije. Izracunajmo potencijalnu energiju elasticne deformacije pri istezanju nekog tijela. Neka to tijelo isteiemo silom P tako sporo da je u s\akom trenutku ova sila jednaka po intczitetu elasticnoj sili u tijelu, tj. F = Fe/ . Ovakav proces se naziva kvazistatiGki proccs. Neka se tijelo isteze ad x = 0 do x=LlI. Tada vrijcdnost polt:ncijaille energijc koju je tijclo stcklo promjenom svoje duzine za ,6.l iznosi !!.!
f P.dx
(2.13-8)
Glmna osobina tecnosti i gasova, kojom se razlikuju od cvrstih tijeJa, jeste ,·clika pokretljiyost njihovih djcli6a, zbog cega se ani zajcdnickim imcnom nazivaju fluidi. Drugim rijccima dovoljna je i minimalna sila da izazove klizanjc jCdllih djelica po drugim, !ito znaCi da se fluidi skora uopste ne Opin.I promjcni svog oblika. Dakle, moguce je kretanje koje se svodi na pomijeranjc razlicitih djelova istog tijcla jednih u odnosu na druge; pri tom aka se moze smatrati da je tijelo neprekidno i beskonacno veliko, onda se naziva Ileprekiduolll sredinom. Neprckidna sredina moze biti elasticno cvrsto tijelo, i u tom slucaju u njemu mogu da se jave pomijeranja djelova jednih u odnosu na druge i o::;cilacijc (talasi); neprekidna sredina moze biti nestisljiva tecnost u kojoj mogu da se jave strujanja; na kraju, neprekidna sredina maze biti stisljiva tecno::;t iIi gas, u kom sluGaju mogu da se jave kako strujanja taka i oscilacije. Pokretljivost djcli6a fluida pri njegovom kretanju izaziva usljed dodira susjednih sJojeva sa razlicitim brzinama unutrasnje trenje i ova osobina fluida naziva se viskoznost. Svi realni fluidi pokazuju u vecoj iIi manjoj mjeri viskoznost. Fluidi kod kojih je viskoznost tako mala da se maze potpuno zancmariti nazivaju se idcalni fluidi, a za razliku od njih realni fluidi nazivaju se viskozni fluidi. Dio mehanike koji se bavi proucavanjcm krctanja tecnosti naziva se
hidromehanikom. Posta je F = -F;(
P=-ki adJ·eJ·e ('I
'
C
, dobija se za potencijalnu
energiju da je
1 I fx ·dx=-k(,6.l)2 =-5 ·1· 2 2
f',!
U =k
(2.13-10)
(2.13-7)
Koeficijent stisljivosti je najmanji za tecl1osti, veci je za cvrsta tijela, a najve6i za gasove.
A=V;=
UI I <;:7 =-'" =-E·uV 2
e!.
o
76
(2.13-9)
77
2.14.1 Kretanje idealne tecnosti. Teorema
0
neprekidnosti toka
Da bismo prikazali nlspored pravaca brzina u prostoru za odredeni trenutak vremena, uvedimo Iinije eije su tangente u rna kojoj taeki kolinearne sa vektorom brzine (sI.2.14.1.I). Takve linije nazivaju se se strujne linije iii
je brzina toka VI ) i 52 (gdje je brzina toka Vl ). Kroz presjek 51 u jedinici vremena protekne zapremina tecnosti jednaka 5 1]11 a kroz presjek 52 zaprelllina 5 21'2. U slucaju nestisljive tecnosti na mjestu kroz presjek 52 protekne ista zapremina koja protekne krOl presjek SI , odakle sleduje :
linije toka. Posto ova relacUa vazi za ma koja dva presjeka cijevi strujanja, to se uopste moze napisati daje za cijev strujanja :
s .v = COrlst.
(2.14-1 )
SI.2.14.1.1
Pri tome zapazilllo da se strujne linije II svakolll trenutku sastoje od raznih djeliea fluida. dok se putanje djeliea sastoje od niza uzastopnih polozaja istih djeliea pri njihovom kretanju, te se U opstem slueaju strujne linije ne poklapaju sa putanjama djeliea fiuida. Sva teenost, kako se to uobieajeno kaze, predstavlja polje vektora brzine. Uobieajeno je da se strujl}e linije povlaee tako da njihova gustina bude veea tame gdje je vee a brzina toka teenosti. a manja tame gdje teenost sporije teee. U slueaju stacionarnog toka, brzina toka ostaje konstantna u toku vremena. U tom slueaju i strujne linije ostaju neprollljenjene
tj. da je za datu ciJev strujanja proizvod ponsine poprecnog presjeka cijevi strujanja i brzine strujanja nestisljive tecnosti konstantna velieina. Ovaj odnos poznat je pod nazivolll teorema a neprekidnosti taka. Prema teorellli 0 neprekidnosti toka, na mjestima gdjc je cijev sira tecnost teee sporije, a na mjestima gdje je cijev uza tcenost teee brze.
i poklapaju se s trajektorijama djeliea teenosti.
Pri kretanju realnih fluioa, kadgod postoji relativno pomjeranje jednih djelica 11 odnosu na druge, javljaja se ullutra§njc trenje iIi viskoznost i takva tijela nazivaju se viskozni fluidi. Sloj koji se kreee brze djeluje na sloj koji se kreee sporije ubrza\,~ueom silolll. Obrnuto, sloj koji se kreee sporije djeluje na brzi sloj silom koja tezi da ga zadrzi. Ove sile imaju pravac tangenata na povrsine slojeva. Velicina sile unutrasnjeg trenja f utoliko je vee a ukoliko je
Ako kroz sve tacke neke zatvorene konture povucemo odgovarajuce strujne linije dobieemo tzv. strujnu cijev, koja obuhvata mlaz teenosti fluida koji se u posmatranom trenutku kreee kroz oblast ogranieenu omotaeem ovc cijevi (s1.2.14.1-2).
, I I
/
2.14.2 Trenje u tecnostima. Viskoznost
veea povrsina !l5 sloja koju posmatralllo, a zavisi od toga kojolll brzinolll se Illijenja brzina toka tecnosti pri prelazu od jednog sloja na drugi.
,\ I I
SI~"
~ Vj S') /' '\ -: -;-...... ~~------------~'~~
SI. 2.14.1-2
Svi djelici koji se nalaze u na nekom presjeku cijevi strujanja produzuju da se kreeu u cijevi strujanja i ne izlaze iz nje. Takode, nijedna cestica van cijevi ne ulazi u nju. UZlllilllo sada neka dva njena norlllalna presjeka 51 ( gdje
..78
Neka dva SlOj:l (S!. 2.14.2-1), koja se nalaze na Illedusobnolll rastojanju 1'1 i \'2 respektivno. Oznaeimo VI - 1'2 = 6.v . Pravac, duz
6.z , kreel! brzinallla
koga se mjeri rastojanje izmedu slojeva j,z, nOflllalan je na brzinu toka slojeva. .. t...v Vellcma koja pokazuje kojolll se brzinOIll Illijenja brzina pri prijelazu sa 6.z
sloja na sloj, naziva se gradijent brzine.
79
2.14.3 Proticanje viskozne tecnosti kroz cijev. Poazejev zakon ______
6;
1--____
~)V2
Razmotrimo svojstva slojevitog (laminarnog) strujanja viskozne nestisljive tecnosti u horizontalnoj cilindricl10j cijevi malog poprecnog presjeka R (s1.2.14.3-1). Da bi se tecnost kretala kroz cijev stacion:1mim kretanjem, mora da postoji sUa koja savladuje unutrasnje trenje.
----~:Vl
...:====6""S,--'
y
p!
;;;~-----------------7~i;:-~
Pc
--+l~'0~-~,J ---------------~-Jf_--)J . . E'!\H_-Ir
Sl. 2.14.2-1 Na granicnoj povrsini iZ!l1cQU slujeva fluida djeluje viskozna sila
f
\.,
x
~~-----------~~ (
Sila unutrasnjeg trenja proporciullalnaje gradijentu brzine, tako daje:
Lll' f=n-Ll5 , 'Llz
(2,14-2) Sl. 2.14.3-1 Tok \j"kozl1c tecnosli kroz horizontaluu kOllSlantnog poprccnog prcsjcka
iIi u diferencija1nom obJiku, ako fu
----1
0
elv f=77- 5
(2,14-3)
d:::
Velicina 77 . k.uja zavic.i od prirude tecnu~li i ud temperature. naziva se
koeficijentom ul1utra§njeg trel~ja iIi kocjlcijentom visko::)lOsti teCllosti. Stoje veci koefici jent viskoznosti. to se tecnu"t v i;e razlikuje ud ideainc, to se u nJoJ javljaju jac~ sile unutrasnjeg trenja. Dimcnzija za 11 prema (2.14-2) je
11
LI
Cijev jc hvrizontalna, te gravitacija ne utice na kretanje tecnosti. U takvom slucaju krewnje se vrsi samo ako postoji razlika pritisaka na krajevima cijevi. Neka na krajevim'-1 cije\i y!adaju pritiscipi i Pc, tako daje PI> p" Razumljivo je da se tecnost krece od veceg ka manjem pritisku. U ovakvoj cijeyj slojevi tecnosti su kOl1centricni cilimlri. Debljinu slojeva cemo mjeriti od ose cijevi. Prema tome, za cilindricllU pO\Tsinu poluprecnika r povrsina sloja See biti 2rrr·/ , gdje je I duzil1a cijevi. Tako ce sila trenja /, prema Nj utnovom zakonu biti data izraZ0111 : dv / =n2rrr l , dr
(2.14-4)
Ako je strujanje stacionamo, onda zbir sila koje dejstvuju na iLdvojeni clement u pr~1\'cu x ]edl!.ak nuli. Duz x - ose dcjstvujc sila viskoznug trenja i sile razlike pritisaka j, i j" pa imamo
F tl I Ftl (= )!1-1=12" L 5v J
)
1
J
Prema tome, u SI sistemu jedinica viskoznosti .Ie:
" d 11 p,r-rr - p,r-rr = -11 2n rl"
dr
Ns kg 1=Pa·s=I-0 mm·s
80
81
(2.14-5)
dv Negativan znak sile viskoznosti oznacava da je -<0. tj. brzina
dr
l'
opada
Pomocu zakona raspodjele brzina. izracunajmo protok Q iii zapreminu tccnosti koja prock kroz proizvuljni prcsjek cijcvi u jedinici vremena:
kad r raste. Dohija se da je dV
Q=Element protok Integriranjem gomje jednacine po radijusu, u granicama od R, gdje je brzina tecno~ti na zidovima cijevi l' (R) = 0, do r, gdje je v(r) = 11, dobijamo:
(2.14-9)
dr
(2.14-6)
dQ kroz poprecni presjek
strujnog elementa iznosi dQ
= 2n r vd r
, gdje je
dS 11
= 2n r d r
prstenastog
brzina strujanja tecnosti
izrazena jcdnaCinom (2.14-7) Protok tccnosti kroz cio poprecni presjek cijevi jednak je integralu po svim elementarnim protocima od r = 0 do r = R
(2.14-7) (2.14-10) Prema tome, raspored brzina qrujanja \·i"k07nc tccnosti jc parabolicn:\ funkcija rastojanja
r od ose <;lrnjne cijc\'i ka njenim zidoYima. :\jena maksimalna
vrijednost je duz strujne ose (I' = 0) i iznosi Formu la (2.14-10) zove se Poazejeva formula. Iz nJe se vidi vrlo velika zavisnost kolicine tecnosti koja protekne od poluprccnika cijevi.
( 11 m,l.\.
=
l
p -p I 2
(2.14-8)
47]/
2.14.4 Laminarno i turbulentno strujanje
a njena minima1na vr1)edno<;t je na zidovima strujne cijevi i jednakaje nu1i Vlllin = 0, (sloj tecnosti koji je priljepljen na zidove cijevi). Prema izrazu (2.14-7) vidi se da je razlika pritisaka prororcionaina duzini cijevi. Drugim rijecima. u horizontalnoj cijevi konstantnog precnika, rritisak orada linearno sa duzinom cijevi. Opadanje pritiska duz cijevi moze se
Laminarno iii sloje\'ito strujanje fluida je takvo strujanje
II
kome
se
mogll odrediti strujne linije. Pri O\'om strujanju cestica fluida ne prelazi iz jednog sloja u drugi, vee (uvijek) ost(1je
U
okviru svoje strujne cijevi, sto znaci
da se strujne linije medllsobno ne sjeku. Matematicko pred<;tavljanje toga strujanja je :
posmatr3t; i sa gJedista energije. Tecno~t ima konstantnu brzinu duz cijevi. te se njena kineticka energija ne moze mijenjati duz cijevi. Posto je kretanje tecnosti u horizontalnom pravcu, tecnost ne dobiva nikakav rad od gravitacionog ro1ja Medutim, da bi se tecnost kretala, mora se savladivati sila trenja i time vrsiti rad. Prema opisanim lls10vima ovaj rad moze da se vr51 samo na racun energije pritiska, te on mora opadati.
82
v = v(FJ)
(2.14-11 )
tj. svaka tacka prostora ima jednoznacno odreden vektor 11 u datom trenutku. Laminarno strujanje tlllida des(1va se pri malim relativnirn brzinama izmedll njegovih slojeva. Ono moze biti st(1eionamo i nestacionarno.
83
Kad se brzina toka tecl10sti povecava, tok gubi laminami karakter i postaje neureden. Javljajll se kOmpOllente brzine normalne na OSU cijevi. U svakoj tacki tecnosti javljaJu se nepravilna oclsmpanja vektora brzine od njegove srednje vrijednosti. Takvo kretanjc naziva se turbulentno. Prelaz od laminarnog na turbulentno kretanje u cijevima iii kanalima dovodi do naglog porasta otpora. KarakLeristikc tllrblllenLnog strujanja su : a) Ncposlojanje slrujnih linija i slrujnih cijevi. b) Haoticno kretanje cjelokupne mase fluida sa obrazovanjem lokalnih turbulencija.
kinematicka viskozl1ost koja potpunije karakterise ulogu viskoznosti pn strujanju, nego
n, pri ostalirn jeclnakirn uslovima.
Za male vrijednosti Rcjnolclsovog broja, strujanje fluida je laminarno. Medutim, sa poveeanjem Re i njemu odgovarajuce brzine karakter strujanja flu ida. Vrijednost broja
v
kr '
v
mijenja se
Re kr i njemu odgovarajuca brzina
pri Kojima laminarno slrujanje prelazi u turbulentno nazivaju se kriticnim
vrijednostima. Eksperimcntalni rezu1tati pokazuju cia je strujanje fluida lamillarno ako je Rc < 2000 i turbulentIlo ako je Re> 3000 . U prelaznoj oblasti izmedu 2000 - 3000 strujanje fluida je nestabilno.
. .... . . dv c) StruJ
at oF O. 2.14.5 Struktura tecnosti
d) Vrijednosti vip 1.1 svakoj tacki o~cilujLl oko nekih njihovih srednjih vrijednosti. Te srednje vrijeclnosti
vi
fJ ~ILlze kao karakleristike turbulentnog
kretanja. e) Pacl pritiska po cije\i kOTlSLantl1og presjeka nije linearna f1.1nkcija brzine, vee njenog kvaclrata. tj. turbulentno strujanje se ne ponasa po Poazejevom zakonu. • Analiza turbuleillnog krelanja je u tcorijskom pogledu vcoma slozena, pa se obicno pribegava empirijski uc>lall0vljcnim zakonitostima. Postavlja se pitanje pri kojoj brzini ee laminarno kretanje preci u turbulentno? Ta brzina se obicno naziva kriticnom brzinom. Razna ispiti\ anja i anaJize pokazuju cia ta brzina zavisi od vise faktora. ~a prvolll rnje:-.tu pojava turbulentnog strujanja zavisi od koeficijenta viskoznosti
l7, dimellzije mlaza koju eemo kao opstu
geol11ctrijsku velicinu obiljeliti sa I, a i;;to tako od gustine fluida. p. Ove velicinc su precizl10 i jeclnoznacno definisane, pa se sa njima moze jednostavno operisati. Na osnovu eksperimentalnih zapazanJa engleski fizicar Rejnolds je ustanovio cia karakter strujanja \iskozllog fluida zavisi od nijednosti jednog bezdimenzionog broja, koji predstavlja odnos cetiri velicine i naziva se Rejno1dsov broj
na pretpostavci (Bernal) cia sc kod tecllosti javlja simetrija petog reda. To znaCi cia se u ravanskom moclelu (51. 2.14.5-1) svaki molckul tecnosti ima oko 5 najb1izih susjeda, au prostornom moclclu oko 11. Iz ovih pretpostayki proizlazi vise interesantnih cinjenica . Naillle, lak0 je dokazati cia se pri ovakvom "pakovanju" molekula tecnosti sa sigurtloscU moze govoriti samo 0 najblizim sudarima jeclnog molekula, jer se ravan ne moze potpuno prekriti pravilnim petougaonicima, sto je, medutim, l110guce pravIinim trouglovima, sestougaonicima iIi kvadratima. Tak0de se prostor ne moze potpuno ispuniti geometrijskim tijelima cije su stranice pravilni pctougaonici. Na
osnovu
ovoga
se
moze
zakljuciti da pctougaonik koji karakterise nacin pakovanja molekula tccnosti ima razlicite stranice. Ako se u kristalnoj resetki
S\G
cestice nalaze na rastojanju d
jedna od druge (pri cemu jG priviacna Re = pvR = vR 17 v
gdje je
Jedan ocl mogucih pristupa proucavanju strukture tecnosti zasniva se i
p - gustina
fiuida,
v
(2.14-12)
sila medu njima uramote.zena odbojnom silom ), u tecnosti su neki molekuli l1a
sreclnja brzina po poprecnom presjeku cijevi u
pravcu strujanja fluicla i R - poluprecl1ik cijevi. Odnos
84
17
p
=V ,
veeem a neb na manjem rastojanju od
d, dok je srednje rastojanje medu njima nazJVa se
priblizno d.
85
SI. 2.14.5-1 Model strukture tecnosti
Ene~gija uzajamnog dejstva cestica zavisi od rastojanja meau njima. Ona ima minimalnu vrijednost pri r = d. a pri r > d iii r < d energija uzajamnog dejstva raste. 1z tog proizlazi da je na istoj temperaturi unutrasnja energija kristala manja od energije njegovog rastopa. Ovim se objasnjava zbog cega se pri topUenjll kristala mora trositi energija, pri eemu je iznos ove energije (po jedinicnoj masi) svojstvo svake kristalne supstancije. Poreaenjem unutrasnje energije kristala i njegovog rastopa dolazi se do odgovora na pitanje zbog eega se pri niskim temperaturama tecnosti, po pravilu, kristalizuju. Ovo se objasnjava i einjenicom da svaki sistem cestica tezi
minimumu energije. Mnogougaonicima petog reda simetrije ne moze se obrazovati pravilna kristalna resetka. Oni obrazuju djelimieno kompaktne djelove prostora, cija gustina moze da bude veta od gustine kristala. Ovakvi djelovi prostora ~azivaju se pseudojezgra. Medu pseudojezgrima se javUaju pukotine, odnosno, "prostorne supljine". Njihovo postojanje je razlog sto je gustina tecnosti obicno manja od gustine kristalne supstaneije. Pseudojezgra ne predstavljaju stabilni sistem cestica. Zahvaljujuei veeem broju supljina, 'molekllii tecnosti mogu lako da prelaze iz jednog jezgra II drugo, obrazujuCi pri tome petougaonike razlicitih oblika. Kao rezultat toga proistiee da tecnosti, za razliku od kristala nemaju jednu odredenu strukturu vee vise njih, ali sa istom energijom sistema. Kako je entropija sistema odredena brojem razlieitih struktma koje odgovarajll jednom stanju (energiji). oeigledno .ie da je pri istoj temperaturi entropija kristala manja od entropije njegovog rastopa.
2.14.6 Unutrasnji pritisak u tecnosti. Povrsinski napon Na svaki molekul teenosti djeluju sile privlacenja okruzuju<::~ih molekula, 7
koji se nalaze na rastojanju ne vise od 1.5-10- em, tj. koji se nalaze unutar sfere radijusa R 1.5.10-7 em. i koju nazivamo sferom molekulskog dejstva. Posto je ;adijus samih molekula priblizno jednak r
= 5· IO,sem. to je R'" 3r ,
Prema tome, na svaki molekul, koji se nalazi ispod povrsine tecnosti na manjem rastojanjll od radijusa molekulskog dejstva, drugi molekuli dejstvovace sHom koja je upravljena prema unutrasnjosti tecnosti. Na cio sloj koji lezi u blizini povrsine tecnosti djeluju sile u pravcu norrnale na povrsinu, usmjerene u teenost. Povrsinski sloj vrsi na cjelokupnu tecnost pritisak, koji se naziva unutrasnji iii molekulskipritisak. Pod dejstvom ovog pritiska smanjllje se rastojanje izmedu molekula, sto dovodi do pojave sila odbijanja, koje uravnotefuju sile sabijanja koje poticu od povrsinskog sloja. Kako je unutrasnji pritisak upravljen norrnalno na povrsinu tecnosti, to ee masa tecnosti koja nije izlozena spoljasnjim silama (sL2.14.6-1a) zauzeti oblik lopte (sI.2.l4.6-1b), jer ce samo u tom slucajll sile unutrasnjeg
b c
a
Sl. 2.14.6-1 Takva pojava moze se dobiti kod malih mas a tecnosti, kod kojihje dejstvo sile tde zanemarljivo u poredenju sa silama unutrasnjeg pritiska. Sferni oblik imaju npr. male kisne kapi. Od svih geometrijskih tijela, sfera ima najmanju povrsinu pri datoj zapremini. Zbog toga prelaz date mase tecnosti iz ma kog oblika koji nije sferni u sfemi oblik pracen je smanjenjem njene povrsine. Prema tome, dejstvo sila molekulskog pritiska, pod cijim uticajem teenost dobija sferni obUk, analogno je dejstvu koje bi se javilo ako bi povrsina teenosti predstavljala rastegnutu opnu koja tezi da se skupi. Sve pojave koje izaziva molekulski pritisak mogu da se objasne i dejstvomjedne takve rastegnute opne
tj. radijus molekulskog dejstva priblizno je jednak jednom i po precniku molekula. Slijecli cia svaki moleklll tecnosti je u medudejstvu samo sa susednim molekulirna.
86
87
2.14.7 Pojave na granici izmedn tecnosti i cvrstog tijela. Kapilarnost
Da bi se rastegnuta opna odrzala u ravnoteZi, mora se normalno na njenu ivicu dejstvovati silom f, koja je tangencijalna na povrsinu teeno~sti i koja se naziva silom povrSinskog naponu. OCigledno, ta sila je veca sto je veca duzina ivice opne I: f= al
(2.14-13) L-~_ _ _S_l.--,-2._14_.6_-2_ _ _----'
Koeficijent u , koji zavisi od prirode teenosti, zove se koeficijent povrSinskog napona. Iz (2.14-13) slijedi :
Pri dodiru teenosti s evrstim tijelom treba uzeti u obzir kako sHe uzajamnog dejstva izrnedu molekula teenosti, tako i sile uzajamnog dejstva izmedu molekula teenosti i cvrstog tijela. Moguca su dva slueaja : a) sile uzajamnog dejstva izrnedu molekula teenosti llJ.anje su od sHa uzajamnog dejstva izmedu molekula tecnosti i evrstog tijela. b) sHe uzajamnog dejstva izrnedu molekula teenosti su vece nego sile uzajamnog dejstva izmedu molekula teenosti i evrstog tijela;
I
I'
I
''\
\' \
~J
U=
I
(2.14-14)
Prema tome, koeficijent povrsinskog napona?a brojno je jednak sili koja djeluje na jedinicu duzine kraja povrsine teenosti. Za datu teenost koeficijent povrsinskog napona 'I. zavisi od temperature: opada s povisenjem temperature, jer se sa povisenjem temperature povecava srednje rastojanje izmedu m~lekula tecnosti. Kada se temperatura tecnosti priblimje kriticnoj temperatun T~, koeficijent povrsinskog napona f! tezi nuli. Ova Cinjenica je razumljiva kada se zna da u kritienoj taeki nestaje razlika izmedu teenog i gasovitog stanja. Vrijednost kojeficijenta povrsinskog napona zavisi i od vrste materijala sa kojim se granieni teenost. Isto tako, no. povrsinski napon nekog rastvora zavisi od vrste i koncentracije rastvorenih supstanci u njemu. Npr. elektroliti povecavaju efekat povrsinskog napona, dok molekuli supstancija koje su nerastvorljive u vodi (hidrofobni, npr. mene kiseline iIi sapuni) , nagomilavaju se na povrsini i snizavaju povrsinski napon. Snizavanje povrsinskog napona uzrokuje stvaranje finih emulzija, sto ima veliki znacaj za .zivi svijet (npr. usvajanje masti u crijevima). a ima i veliku primjenu u ramnn llHJustnJama.
88
\
j,-.fJ \
\
I!
j
\
\
~
I, I , I .Ln,. I
i
\
_to-
L
a)
b)
Sl. 2.14.7-1 Tecnostkojakvasi tijelo
!I
a)
b)
Sl. 2.14.7-2 Tecnost kojane kvasi tijelo
U prvom slucaju, kad su sHe uzajamnog dejstva izmedu molekula tecnosti manje nego sile uzajamnog dejstva izmedu molekula teenosti i cvrstog tijela, kaze se da tecnost kvasi evrsto tijelo. U slueaju kvasenja, rezultanta sila u sloj u teenosti koji naleze na evrsto tijelo usmjerena je prema cvrstom tijelu. Ugao 0 izmedu tangente na povrsinu teenosti i tangente na povrsinu evrstog tijela zove se ugao kvasenja (ivicni, granieni ugao). U ovom slueaju ugao kvasenjaje ostar, tj.0 S1T 12 . Kadje 0=0 ,kazesedajekvasenjepotpuno. U drugom slueaju kaZe se da teenost ne kvasi dato tijelo. Kad nema kvasenja, rezultantna sila u sloju teenosti koji naleZe na cvrsto tijelo usmjerena je prema tecnosti. U ravnotemom stanju povrsina teenosti zauzima polozaj normalan na silu, usljed cega povrsina tecnosti pored vertikalnog cvrstog zida zauzima polozaj kakavjeprikazannas1.2.14.7-2a. Nahorizontalnoj povrsinikap tecnost koja ne kvasi zauzima oblik spljostene sfere (s1.2.14.7-1b). Kad nem~ kvasenja, granicni ugao je tup 0 ;:::1T 12 ,kad je 8 =1T , govori se 0 potpunom nekvasenju.Naslici2.14.7-1aprikazan je polozaj teenosti koja
89
kvasi uz vertikalni zid, ana slici 2.14.7 -2b izgled kapi tecnosti koja ne kvasi na horizontalnoj povrsini. Kad se stavi na horizontalnu povrsinu cvrstog tela koje potpuno kvasi, kap tecnosti se razlije. Kap tecnosti koja ne kvasi zauzima vise iIi manje sferan oblik (u zavisnosti od njenih dimenzija) i lako se kre.ce po povrsini. Jedna ista tecnost kvasi jedna tijela, a ne kvasi druga tijela. Tako, voda prakticno potpuno kvasi Cistu povrsinu stakla a ne kvasi , npr.parafin, ziva ne kvasi staklo a kvasi cistu povrsinu gvoZda, itd. Pojava kvasenja u biologiji ima, po svojim posljedicama, veliki znacaj. Zna se da tecnost koja potpuno kvasi neku membrallll kroz nju prolazi spontano. (sto je posljedica smanjenja povrsinske energije). Ako tecnost ne kvasi membranu, da bi kroz nju pros la, potrebno je izvrSiti odredeni pritisak, utoliko veci ukoliko je tzv. ugao kontakta veCi. Poznato je, npr. da ce eritrociti iii mikrobi koji se nalaze na granici izmedu dviju tecnosti (recimo, ulja i vode) preci u onu koja ih bolje kvasi. Isto se desava i u sistemu tecnost-vazduh: laka nekvasljiva tjelasca ostaju u gasnoj fazi. Povrsina tecnosti koja kvasi, kad se tecnost nalazi u uskoj cilindricnoj cijevi ima izdubljen oblik (s1.2.14.7-1a), a tecnosti koja ne kvasi ima ispupcen (s1. 2.14.7-2a). Kriva povrsina tecnosti takvog oblika naziva se menisk. Visina dizanja tecnosti utoliko veca ukoliko je manji poluprecnik r cijevi, tj. ukoliko je cijev uZa. Zbog toga je dizanje tecnosti koja kvasi naroCito primetuo u uskim cijevima.Takve uske cijevi zovu se kapilarne cijevi, od latinske rijeci capillus, sto znaCi vlakno. Sama pojava promjene nivoa tecnosti u uskim cijevimanaziva se kapilarnost. Kapilame pojave imaju vamu ulogu u bioloskim sistemima i tehnici. U kapilarama nastaju osnovni procesi koji su vezani za disanje i ishranu organizma.
Izdublje~ s1.oj (s1.2.14:8-1b) u temji da postane ravan tezi da digne slojeve paje dopunskl pntIsak usmJeren u suprotnom smjeru od unutrasnjeg pritiska. Ispod rayne povrsine dopunskog pritiska nema (s1. 2.14. 8-1 c).
Sl. 2.14.8-1
Prirodno je zakljuCiti da dopunski pritisak nedvosmisleno zavisi od sile povrsi~skog napona tecnosti i stepena iskrivljenosti njene povrsine, odnosno, od koeficl]enta povrsinskog napona a i radijusa R krivine povrsine. Karakter zavisnosti je takode ocigledan: dopunski pritisak proporcionalan je koeficijentu povrSinskog napona a obrnuto proporcionalan radijusu kriville povrsine tecnosti:
!1p
2.14.8 Dopunski pritisak ispodkrive povrsine tecnosti Ispod krive povrsine tecnosti osim unutrasnjeg pritiska stvara se jos dopunski pritisak uslovljen zakrivljenoscu povrsine. Neka tecnosti u tri suda imaju konveksnu, konkavnu i ravnu slobodnu povrsinu (s1. 2.14.8-1 ). Ukoliko je povrsinski sloj tecnosti zategnuta opna ispupcene povrsine, tezi da se smanji i postane ravan sloj, usljed cega se javlja dopunski pritisak D.p ,koji jeupravljen u istomsmjerukao i unutrasnji pritisak p (s1. 2.14.8-1a).
a
~-
R
. . Izraz za dopunski pritisak ispod povTsine tecnosti makog obJika teorijskije lzveo Laplas :
)
!1p= ±a (~+_l Rj Rz
(2.14-16)
Ova formula, koja se nazivaLaplasova formula, daje vrijednost dopunskog pritiska, koji vrsi kriva povrsina tecnosti rna kog oblika. Znak plus odgovara ispupcenoj povrsini, a znak minis izdubljenoj povrsj]1i; R i R2 su radijusi krivina dva medusobno normalna presjeka povrsma. J
90
(2.14-15)
91
Glava 3
U siueaju sfernepoVTsine Rl = R2 = R, imamo daje 2a /:!,.p=±-
R
.3 OS]\OVI SPECl.lALNE TEORI.JE RELATlVNOSTI (2.14-17)
Dopunski pritisak, koji djeluje na sferne pOVTsine tecnosti koja kvasi zidove suda moze biti uzrok smetnji pri proticanju viskozne teenosti, narocito, kroz cije;i malog poprecnog presjeka. Naime, ako se u nekoj kap~~amoj ~~jevi, ~oz koju teee neka viskozna teenost koja kvasi zidove suda (zna~l pOS:O]l gradl]~~t pritiska), nade neki vazdusni mjehur (embolus), on ce razdVa]atl tecnost sa dVIJe sfernepoVTsine razlicitih poluprecnikaRj iR2 (s1.2.14.8-2).
Kretanje se u najsirem smislu rijeci moze shvatiti kao skup promjena koje se odigravaju u toku vremcna na posmatranom fizickom objektu iii skupu objekta. Svako kretanje je objektivan proces koji realno postoji bez obzira da Ii ga neko posmatra, proucava iii mijenja. Geometrija mahom prucava prostornost tijela, tj. poloZaj tijela u prostoru, koji realno postoji. Kvantitativni prostorni oblici i veze predstavljaju vazan dio kretanja svakog tijela. Razumije se da se pri prucavanju kretanja nekog tijela mora uzeti jos neka veliCina osim polozaja tijela. Prva velie ina koja se uzima u obzir jeste vrijeme. Otuda osnovna oblast fizike koja proucava kretanje tijela, kinematika, uzima u obzir prostor i \Tijellle, olinosno, tretiru kretanje geometrijskih oblika tijela ne vodeei racuna 0 uzrocima koji ih izazivaju. Ona razmatra, dakIe, samo pomijeranje tijcla u zuvisnosti od vremenu. Dinamika uzima U obzir i druga svojstva muterije. Tu se prije s\cga misli na inercijll iii mjeru inercijc - masu lijela. Dinamika izucava zavisllost iZl11cOU kretanja tijela i uzroka zbog kojih se tijelo kreee.
S1. 2.14.8-2
Kako je radije pokazano" centralni slojevi tecnosti kreeu se maksimalnom brzinom, pa ee zadnji dio sfeflll~ povrsihe embolusa imati povecan radijus ~~v~r:e Rl , u odnosu na radijus krivine R2 prednjeg meniskusa, tj. Rl > R2 . Kako se vldllZ jednaCine (2.14-16), dopunski pritisakje obrnuto proporcionala~ polupreeniCima krivine, pa je onda jasno sto se javlja efekat usporenog kr~tanJa embol~s~ kro~ cijev.Ako se u kapailarnoj cijevi nadu vise embolusa, ova] efekat se pOJacava 1 moze dovesti do potpunog zallstavljanja toka tecnosti. Ovaj efekat je od pose~ne vaZnosti za kretanje krvi u krvnim sudovima, u kojima se mogu na razne nacme stvoriti gasni mjehuri (npr. prelaz organizama iz sredine gdje je vladao visoki pritisak u sredinu gdje vlada nizak pritisak, davanje injekcija, hiruski zahvati, ild.)
92
3.1 Inercijalni sistemi Polozaj i promjena polozaja nekog tijela (cestice) uvijek se odreduju u odnOSll na neko tijelo (iii tijela) iz okoline. To tijelo naziva se referentno iii poredno tijelo. Ako je za koordinatni sistem (rcferentno tijelo) u kojem se analizira kretanje tiJela (cestice) u prostoru odreden trenutak od kojeg se mjeri vrijcme, rijec je 0 rcferentnom sistemu. Ako se u takvom referentnom sistemu kreee tijelo na kojc ne djcluju okolna tijela, odnosno tijelo ne interaguje sa okolinom, ono cc se kretati ravnomjerno pravolinijski (bez ubrzanja) iii po inerciji. Ovakvi sistcmi referencije nazivaju se inercijaini sistemi. U njutnovskom smislu pod incrcijalnim sistemima podrazumijevamo sistemc refere~cije koji se, U odnosu na postulirani apsolutno nepokretni sistem referencije, 'kreeu uniformno i bez izmjcne orijentacije osa. Meautim, za razliku od prethodne definicije inercijalnog sistema, Ajnstajn definise da je inercijalni svaki sistem referencije u kojem tijelo na koje ne djeluje sila ostaje u stanju mirovanja iIi uniformnog kretanja. Ovak va definicija inercijainog sistema ima i prakticni znaeaj jer omogucava direktnu verifikaciju. 93
U Njutnovoj mehanici svi inercijalni sistemi referencije su ekvivalentni sa stanovista mehanike, tj. zakoni mehanike su invarijantni u tim sistemima. Inercijalni sistemi obrazuju jedm1 klasu ekvivalentnih sistema referencije. Ne postoji ni jedan mehanicki eksperiment izveden u jednom inercijalnom sistemu referencije kojim bi se utvrdilo da Ii ovaj sistem miruje iii se uniformno krece u odnosu na apsolutno nepokretni inercijalni sistem. To je posljedica cinjenice da opsti dinamicki zakon Njutnove mehanike u svim inercijalnim sistemima ima isti oblik.
Odavde se dobijaju i obrnute rclacije
, e .e ' , . e+ Y cos e=x cos(y ', x) + y cos(y ,, y) y ,=- X Sill
.r =x cos + Y SJI1 =x cos(x, x)+ y cos(x ,y)
~.
(3.2-4)
M
y'~
\ \
3.2 Transformacija koordinata
, , '.X ...
\ \ \
Posmatrajmo dva koordinatna sistema S (iii Oxy) i S' (iIi O'x'z') u ravni Neka su im ose respektivno paralelne (sl.3.2-1). Neka su koordinate pocekta 0' .vAI.. -'v'
\ O'\!-//-
o
..
,
x=x-x' " ~
v' =.v - Y0
.
(3.2-1)
M
c)'l-", )
Ji
SI. 3.2-2
x' = x cos(x', x) + -v cos(x', -v) + x 0 ----->'<-
Dobijeni rezultati mogu se uopstiti i za sisteme u prostoru
,
(
,
,
Posmatrajmo sada sisteme SiS' tako da im koordinatni pocetak bude
e
+ v cos(y', y)+ Z cos(y', z)+ Yo
(3.2-6)
z'=x cos(z', x)+ y cos(z', y) +z cos(z',z)+zo Prema tome, transformacione formule za koordinate neke tacke u dva sistema SiS' sljedeci oblik
zajednicki, a ose obmute za neki ugao (s1. 3.2-2). lz slike 3.2-2 se dobijaju reJacije x=x'cose- y'sine =x'cos(x,x') + y'eos(x,y')
94
,
x =x cos x, x) -i- v cos(x, y) + z cos(x ,z)+xo
(3.2-2)
y=x' sine + y' cose =x' cos(y,x') + y' cos(y, y')
(3.2-5)
v' =x cos( ./,x) + ,"\' cosl -v'. -y)+ -v 0 .
.
y' =xcos(y',
j~
SI.3.2-3
x'
SL 3.2-1
x =x' +xo ')
v= v' +)' () ~.
o
Na sl. 3.2-3 koordinilte poloz3ja 0' sistema S' oznacene su sa Xo i Yo. Onda se koordinate tacke M u si.ste111Ll S' Izrazavajll II funkciji od koordinata iste tacke u sistemu S P01110CU relacija
:~ x~______~t~)i
Vazi i obmuta transformacija
'--_ _ _ _--'-_ _+) x
x
l
u sistemu S oznacene sa Xo i Yo . Prema sl 3.2-1 je ocigledno da su koordinate x' i .v' tacke M u sistemu S' date u funkciji od koordinata x, y iste te tacke u sistemu S pomocu relacija
_--f-
.-.e)
(3.2-7)
(3.2-3)
95
gdje koeficijenti a ik oznacavaju kosinuse uglova medu odgovarajucim osama,
x' =x-
odnosno,
y'=V-V,1
V
\
(3.2-10)
,
all
Ci ll :::: ([1.\
z =z.-v_ t
= cos(x', x):::: cas(x, x') COS(x', y)= Cos(v, x')
(3.2-8)
= Cos(x', z)= cos(z, x')
Lako je vidjeti da je dx' dt
itd. Ako se sistem S' krece u odnosu na sistem S translatorno konstantnom brzinom \i, onda su koordillate pocetka 0' (sJ. 3.2-4)
d v' dt
dz' \ dt
-'-=-\1,
--=-\i
\
--=-v
'
ili d" x' d" \,,' - - , =0 . -'-' =0 d (d {2
d1 d
Z'
,2
=0
(3.2-11 )
X n =\-' .\ { -V()
Ovi rezultati pokazuju da je transformacijom koonlinata dobiven isti
=vl \
rezultat, zakon inercije, kao u (3.1-5). To je isti matematicki izraz za ubrzanje, gdje su
V,
1]1,
odnosno
velicinc kompollenata brzine \i .
(3.2-12)
Ovaj je oblik prema tome invarijantan, To pokazuje da i za sistem koji se kre6c translatorno uniformnom brzinol1l vaii isti zakol1 kretanja kao i za prvi sistem. Za slucaj rotacije za ugao koji se mijenja u toku vremena, recimo
I
.:._._._._._._._.+ 0'
t
Yo
o
x'
= Vy [
e
propmcionalno vrcmcnu: = WI , transformacione formule su iste kao (3.2-4) s tom razlikom sto je ugao promjenlji\ a ne konstantan kao u (3.2-4). Tako
x
Sl. 3.2-4
transformacione formule u slucaju poklapanja osa sistema SiS' u pocetku Prema tome, koordinate neke tacke M u sistemu S' bice izraiene u funkciji
vremena (t = 0), imaju sljedeci oblik :
od njenih koordinata u sistemu S fOll11ularna:
x'=x coswt+ v sinwt
x'=x-v t'
v'=v-v't~ .' \ J
(3.2-9)
,
Ove relacije vaie 1 za dva trodimenzionalna sistema sa medusobnom transJacionom brzinom \i, odnosno
v'=-x sinwt+)1
~
=1.
l
coswt~
j
.
(3.2-13)
Posmatrajmo sada kakve su transformacione formule za sistem S' koji llna isti koordinatni pocetak sa datim sistemom S, koji rotira oko z-ose stalnom ugaonom brzinom w, Neka u prvom sistemu S vaii zakon inercije, tj.
96
97
(3.2-14)
Odavde su odgovarajuce brzine
dx dt
dz
dy_,
v "0
(3.2-15)
, --v\. , - = V . dt dt .0
invarijantnost izraza za uhrzanje. Otuda i zakljueak da u sistemu S' koji rotira u odnosu S ne vazi zakon inercije, iako u S vazi. Dakle, sistemi u kojima vazi zakon inercije su inercijalni sistemi, koji se jos nazivaju i Galilejevi iIi galilejski sistemi a transformacije:
(3.2-18)
'0
Na osnovu transformacionih formula za koordinate (3.2-13), dohija se dx
dx'
-Wx sinwt+w v coswt+-coswt+-' Sll1wt . dt dt
_ w x cos W t -
dt , dz dl
=
dz dl
dx',
dt
,
dx . dy sin w t - -,- SIl1 wt + - ' cos 0)( , iIi . at dt
Z
W v
d dt
ell dt
+v coswt+v
.\.
. =-w x, - v S Il1 W t + v
.
SIl1W
cos w t
,
=x
v, t
Y =y v , t
v
--=~wv
,
x
dv .
(3.2-16)
Xn
=v
=z v
t
nazivaju se Galilejcve transformacije. Tamo gdje postoji ubrzanje ne vaze Galilejeve transformacije, niti invarijantnost zakona kretanja cestice. U Galilcjevim transformacijama implicitno se podrazumijeva da je vrijeme apsolutno, tj. nezavisno od sistema reference, tj. t = t' , kao i apsolutnost rastojanja medu dvejma tackama u prostoru. Dakle, bez obzira na sisteme i poredbena tijela, vrijeme teee ravnomjerno na svakom mjestu, kao i da postoji apsolutna velieina rastojanja izmedu dvije taeke u prostoru. Ove dvije hipoteze stavljene su u temeU cijele klasiene fizike.
3.3 Princip relativnosti Diferenciranjem ovog izraza dohivaju se komponente llhrzanja d 2 x'
v'l
), d =w' x + 2w-'dt" dt "!
d' " =w - v dt" . 2 _,
~.' =0 dr
I
,1
- 2w -dx I(
17)
dt,
I
Invarijantnost osnovnih zakona za mehanieka kretanja u inercijalnim sistemiima pokazuje slienu, pa i ekvivalentnu ulogu tih sistema. Vazno je istaci jos i to da postoji invarijantnost tih zakona i u odnosu na orijentaciju i mjesto u prostoru. Zakon se izrazava na isti natin i na svim mjestima i u svim pravcima u prostoru. Dakle, postoji i homogenost i izotropnost prostora. To znaei da u
Izrazi (3.2-16) pokazuju da komponente ubrzanja u sistemu S', koji rotira u odnosu na sistem S, imaju drugaeiji oblik nego u sistemu S ( osim ubrzanja duz z-ose koja ostaje ista). To znaCi da se za takav slueaj ne odrzava
klasicnoj fizici vazi Euklidova geometrija, tj. geometrija svakidasnjeg iskustva, bez obzira na njene apstrakcije. Ta pretpostavka da su svi pravci u prostom i sve konfiguracije Dekartovih sistema fizieki medusobno ekvivalentni, stavljena je u osnov euvenog principa relativnosti u odnosu na pravac. Iako je ovaj "princip relativnosti u odnosu na pravac", ipak se kao glavni princip relativnosti naziva
98
99
J'
vee pomenuti pnnClp 0 chivalcntnosti incrcijalnih sistema. To je princip relativnosti trallslacije, koji s~ moze formulisati ovako : ako je jedan sistem in ercijaini, onda je illercUaini svaki sistcm koji se U odl1osu lla njega krece uniformno i bez rotacije. U svim incrcijainim sistcmima zakoni fizike se
gdje su
j1"
rcspcktivno diclcktricna penneabilnost i magnetna
permeabilnost vakuuma, tacno odredene univerzalne konstante. lz pomenutih Maksvelovih Jcdnacina dobivena je opsta jednaCina eleklromagnelnih taJasa u obliku
podudan~u.
Albert Ajnstajn to generise na prirodne zakone. Ovaj princip se naziva princip specijalne teorije relativnosti iii, uze, princip relativnosti u mehanici. Postavlja se pitanje da Ii su i zakoni drugih oblasti fizike, a ne samo ~vim
mehanike, istovjetni u
~istcrnima
incrcijalnim
referencijc? Potvrdan
odgovor bi onda znacio vazenje jednog jedinstvenog principa relativnosti ne samo za mehaniku vee i za cijelu fiziku. U tom slucaju ne bi postojao izdvojeni inercijalni sistem referencije i ne bi postojao eksperiment u fizici koji bi utvrdio apsolulno kretanje jeJIlog inercijalnog sistema referencije. Da vidimo da Ii taj princip vazi za clcktromagnetne proccse i zakonitosti. Da Ji zakoni elektrolllagildizma ostaju illvarUalltni (islovjctni) uz Galilcjevc tran~forl1lacije') Da bi se na ro odgovorilo potrebno jc uzeti neku 0~110\DU jednacinu za ckktrolllagnetne proccsc, kao sto je uzeta osnOVlla Njutnova jednacina za mehanicka kretanja. Kao osnov elektrornchanickih procesa mogu posluziti zakoni koji lzrazavaJu cuvene Maksvelove jednacine. One gJase za vakuum:
I dE rotH---=O, c dt
(3.3-1)
gdje je E vektor jacine elcktricnog polja, Jf vcklor jacine magnelskog polja, dok.ie c koeficijent, cija je nUlllcricna kako se kasnije pokazaJo, ustvari nurnericka vrijeJnost brzine s\jetlo:,li u vakUUlllU. Ove Maksvelove jednacine SLl , dakle. precizirale brzinu prosliranja elektrolllagnetnih porallleeaja, ali nije bilo jasno u odnosu na koju sredinu ta brzina illla datu vrijednost. Danas je brzina sVJetlosti u vakuLllllu U OdllOSLl na inercijalni sistem referencije je tacno odredcna fundamenralna konstanta I
"~ c o J.1"
299792458
100
gdjc F prCdsl
(3.3-3) gdje.ie sa cp oznacena velicina Illa koje 0d komponenta vektora E iIi Ii . Aku se u ~1aks\eIo\iI1l jednacinma iii talasnoj jednacini (3.3-2) izvrse Galilcje\'c transformacije, odll1ah 6e se vidjcti da se dobije sasvirn drugi oblik jednacina. Prema tome i ll,faksvelove jednaCine i talasna jednaCina nisu illvarijantlle U odnosu Ita Galilejeve tramformacije. To pokazuje da se princip relativnosti translacijc nc moze primijcniti na elektromagnetne i opticke pojave. On vazi za mchanicka, ali nc vazi za elektromagnetna i svjetlosna kretanja. Posto je moguenost izdvajanja privilegovanog sistema referencije za
divE=
I dH rotE+--=O, divH=O c dt
c=
(3.3-2)
m s
opisivanje clcktrodinamickih pojava eksperimentalno opovrgnuta (Majkelsonl'vlorli,lev ekspcrimcnt), a same Maksvelovc jednacine su imale neoborivu cksperimcntalnu verifikaciju (HercO\'i ogledi), jedina preostaia moguenost da se izadc iz nastale situacije bila je u reviziji samog principa relativnosti. Ispravno raZljesenje naslalog problema dao je Ajnstajn, definitivl10 odbacujuci pojam apsoiutnog mirovanja j formlilisuei dva osnovna postulala na kojillla je zasnovana jedin"tvena i konzistentna leorija elektrodinumike na osnovu Maksvelovih jednacina, koji gJase:
1. Zakolli fizike su isti u svim inercijalnim sistemima referencije. Ne postoji izdvojeni privilegovani inercijalni sistem referenc~je (Princip relati vnosti ).
2. Brzina svjetlosti u vakuumu ima istu vrijednost c u svim inercijalnim sistemima referencije, nezavisno od relativnog kretanja izvora i posmatraca ( Princip konstantnosti brzine svjetlosti). 101
Ovo su postu]ati Specijalne teorije relativnosti (STR). Prvi Ajnstajnov princip relativnosti dopunjava i nadograduje do tada
y
y'
(x,
S
vaze6i Njutn-Galilejev (klasicni) princip relativnosti, koji se odnosio samo na zakone mehanike. Ajnstajnov princip relativnosti obuhvata sve fizicke zakone zahtijevajuci njihov istovjetan oblik (kovarijantnost u formi), u svim inercijalnim sistemima referencije. Dmgi princip - princip konstantnosti brzine svjetl~sti neposredna posljedica Majkelson-Morlijevih eksperimenata j u direktnoj je kontradikciji sa Galilejevim transformacijama. Na ova dva principa zasniva se cjeJokupna specijalna teorija relativnosti.
S'
)I,
Z, t),
... dogaaaj (x',)",
o} - - - - - - - - +x
0'
z', t')
)-------------~>
x'
3.4 Relativisticke (Loren cove ) transformacije SI. 3.4-1
Mnogobrojni eksperimenti su pokazaii da je brzina svjetlosti univerzalna konstantJ za sve neubrzane posmatmce. tj. za posmatrace koji mimju u nekom inercijalnom sistemu referencije.Takode, eksperimentaine su cinjenice da se fizicke pojave u svim inercijalnim sistemima odigravaju po istim zakonima. Dakle, zakoni fizike moraju biti invarijantni, apsolutni, za sve posmatrace, jer u . suprotnom da li bi uopste bili zakoni. Fizicka pojava odredena mjestom i vremenom svog desavanja, tj. lokalizovana u prostoru i vremenu, u odnosu na dati sistem referencije, skupom koordinata (x, y, z. t). naziva se dogailaj. Neka su (x, y, Z, t) i (x', y', z', t') prostorno-vremenske koordinate jednog dogodaja posmatranog iz dva inercijalna sistema SiS' referencije, koji se
lednacina za transformacijll x koordinate mora izrazavati prirodu rclativnog kretanja SiS' Tacka 0' , tj. x' .osc brzi nom ~. D,tk Ie. obrnuto. iz x = l' t mora da
l'
sistemQ
S'
u odnosu nQ sistem
pojednostavljenja problema izaberimo da je
t
= t'=O,
S (sU.4-l). Radi
kada je
x
uzmimo za pocetni trenutak onaj u kome su se koordinatni poceci
= x'
. tj.
mjerene u dva inercijalna sistema SiS' ? Potrebno je , dakle, naci izraze koji povezuju koordinate dogadaja, posmatranog iz oba sistema. Ti izrazi moraju biti takvo
(x', y', z', t'). Osim toga, izrazi za prelazak iz sistema S u sistem S' moraJu da imaju isti matematicki oblik, kao i oni za obratni prelazak. Ovo je u skladu sa prvim postulatom relativnosti.
= v t,
i
x'=O.
x'=a(x-vt)
(3.4-1)
x=a(x' + vt')
(3.4-2)
iii
za posmatraca u sistemu S'. Velicin~ a ima istu vrijednost za posmatrace u oba sistema. Ona ne smije da zavi~i od x i t , jer bi inace izrazi bili nelinearni. Medutim. ri moze da zavisi od 11 i e , ali tako da bude c,jer se tada ovi izrazi svode na Galilejeve transformacije.
a
= I za
1'«
Za odredivanje ovog kodicijenta a., koristicemo Ajnstajnov postulat 0 konstantnos(i brzine s"jetlosti Ako u trcnutku t = t' = 0, iz tacke x = x' = 0 emitujemo svjetlosni signal (EM talas), on ce se prostirati u obliku sfernog talasa u svim pra v cim:1 brzinom c u svim inercijalnim sistemima. U nekom narednom trenutku
102
x':~ 0 1110ra biti indentican sa iskazom x
SiS'
poklopili (tzv. nulti dogailaj). . Postavlja se pitanje u k011l odnosu stoje koordinate jednog dogailcl]a
b
0 krece se u smjeru pozitivne x-
Pomenute uslove moze da ispunisamo linearna funkcija koordinata, zbog izotropije prostora (to je hitno q'ojstvo prostora u inercijalnim sistemima rcferencije), tako da lransformacija apscise x za posmatraca u sistemu Sima oblik:
krecu jedan u odnosu na drugi duz zajednicke ose x - x' , orijentisane u smjeru relativne brzine
=
t (odredenom u sistemu S), odnosno 103
t'
(odredenom u
sistemu S '), svjetlost stigne u tacku koja jc od koordinatnog pocetka sistema udaljena za x, a od koord~natnog pocetka sistema S' ~a x'. Brzina x . ' . x d . a Ll slstemu S .Ie c slijedi a Je svjetlosti u sistemu S je c t t
Relacije
,
S
=- ,
x
=c t
="
i x'= c t' , pa ako ove vrijednosli za x
1
x zamijenimo u izraze
,
X=
x + vt
R
t + ,
y=v' , z= z'
11 1--:2 V c
t=
vx
,
)
c-
~
(3.4-9a)
f-~
(3.4-1) i (3.4-2), imamo ct'=fX(C-V)t
(3.4-3)
ct=fX(C+V)t'
(3.4-4 )
Iz ova dva izraza se dobija
(3.4-5)
fX=--=== ~ i v-
~1--
Prema tome, izrazi za transformaciju apseisa su:
x
,
x=
x' + vt
(3.4-6)
Posto se kretanje vrsi duz zajednickog pravea apseisnih osa, ostalc dvije koordinate, koje su normalne na pravae relalivnog kretanja, u oba sistema su medusobnojednake
(3.4-7)
y'=y, -::.' =:::. Ako se izjednacina (3.4-1) i (3.4-2) eliminisu x
x', dobijalllo vrijcdnosti za
, x- vt x= 11 _ c
V
v:
y'=y, z'
= z,
predstavljaju cuvene Lorencove transformacije. Vidi se da ove relacije povczuju pros!omo-vremellske koordinate dogodaja. Vremenske koordinate se tako(le mijenjaju prelaskom iz jednog u drugi inercijalni sistem refcrencije. Uzajamna povczanost prostorno-vrcmenskih koordinala jednog dogadaja u dva inercijalnil :-.islema refcrencijc naziva se relativllost vremena, j lezi u osnovi svih relativistickih efckata. Lorencovim transforrnacijama vrijemc gUbl status privilcgovanog i univerzalnog parametra. Svaki sistem referencije ima svoj prostor i svoje vrijeme, a veza izmedu prostorno-vremenskog kontinuma razliCitih inereijalmh sistema refercneije uspostavlja se preko Loreneovih transformaeija. Loreneovc transforrnaeije cine sri postulata Specijalne teorije relativllosti: novog Ajnstajnovog principa relarivl10sti i principa konstantnosti brzine svjctlosti. U oblasti brzina znatno manjih od c, tj. v «c, vrijeme se ispoljava kao apsolutno, i prostorIlo - \Tcmenski kontinumum se raslojava na dvije nezavisne cjciine, proslor i vrijeme. RelatiYisticki efekti postaju bitno izrazeni tek kod brzina ]I "" 0.5 c .
3.5 Kontrakcija duzine Zamislilllo neki stap koji miruje u sistemu refereneijc S' polozen duz
x' - ose , tako da su koordinate njegovih krajeva x; i x;
tit' : (3.4-8)
104
(3.4-9b)
(s1.3.5-1). Proees
mjercnja duzine stapa podrazumijeva istovremeno uocavanje koordinata njegovih krajeva, odnosno polozaj krajnjih tacaka u sistemu koji se kre6e, mora se istovremeno odredivati zbog relativnosti vremena. Jednovremenost se odnosi na vrijeme u sistemu odakle se posmatra.
105
Ondaje
I=l I
I
Xi-X I
r:=; v-
"\
1--
(3.5-4)
c'
(3.5-1)
/
= {)
Vidimo da je duzina stapa koji se krece smanjena za faktor ~
u sistemu S' sopstvena duzina iii duzina mirovanja stapa. Duzina istog stapa u sistemu S, u odnosu na koji se star i sistem S' krecu brzinom v, bice (3.5-2)
Postavlja se pitanje u kakvo111 odnosu stoje ova dva mjerenja jedne iste fizicke velicine u dva inercijalna sistema referencije?
v
v'
S
S'
v2 / c 2
u
odnosu na njegovu duzinu u stanju l11irovanja. Kontrakcija duzina Je reJativisticki efekat koji se moze fonnulisati na sljedeci nacin: Kada se tijelo
translatorno krece brzinom 17 u odnosu na posmatraca, njegova duzina u pravcu kretanja se smanjuje, kontralwje za faktor ~ I -
V2 /
c 2 u odnosu na
duzinu u stanju mirovanja, dok se njegove normalne na pravac kretanja ne mijenjaju. Relacija (3.5-4) pokazuje da se i zapremina tijeJa koje se krece brzinom i; smanjuje u istom odnosu, jer se poprecne dimenzije tijela ne mijenjaju L! kretanju. Dakle,
fv2
v
(3.5-5)
V=V 11-" \,
o· J----io-......-~x'
o J-_ _ _ _ _ _-')IJ>x
J-
C2
gdje je Vo sopstvena zapremina tijeJa, tj, zapremina u sistemu u kojem tijelo mlruJe.
-'
3.6 Dilatacija vremena
;,
Sl. 3.5-1 Prema Lorencovim transformacijama, koordinate zadnjeg i prednjeg kraja stapa u dva sistema referencije SiS' povezane su relacijama: I
2
x =
x, - v t
I~
~ 1- c 2
(3.5-3)
Za dobijanje reJacije meaL! velicinom vremenskog intervala u inercijalnol11 sistemu S' koji se krece translatorno i bez ubrzanja u odnosu na sistem S, uzmimo neki proces u razmatranje. Neka je u sistemu S' pocetak tog
t; ,a kraj procesa u trenutku t; . Onda je taj proces u trajao za vrijeme r~ - r: . Kako trenutkL! t; uS' sistel11u odgovara
procesa bio u trenutku sistemu S'
trenutak tl , trenutku t~ trenutak t2, to ce taj proces posmatran iz sistema S trajati t2 - tl . No, kako po Ajnstajnu vrijeme zavisi od polozaja, a ne sarno od brzine sto pokazuje relacija (3.6-1), to se moze uzeti da se, posmatrano iz S, pocetak dogaaaja desio u tacki apscisc XI sistema S, a kraj u tacki apscise X2 .
odnosno, njihova razlika iznosi
106
107
t-
U sistemu ..
rastopnJem
S'
krece, iii, sat ide sporije kada se krece nego kada miruje, odnosno, vrijeme, vezano za tijeio, teee sporije u kretanju nego u mirovanju. Dakle, kretanjem nastaje dilatacija vremena. Kontrakcija duzine je nuzna posljedica diiatacije vremena. Kontrakcija duzine i dilatacija vremena iako formalno izvedeni iz Lorcl1covih transformacija su realni efekti koji su utvraeni mjerenjcm. Prema Specijalnoj teoriji relati vllosti, kretanje utice na mjerenje prostomih i vremenskih intervala. U klasienoj fizici, mjerenja prostomih i vremenskih intervala su apso/utna, dok u Specijalnoj teoriji relativnosti ova mjerenja su
VX
(3.6-1)
proces se desio na jednom mjestu. Jasno je onda da meau intervalom to_ - tl postoij odnos J
XI l' \lj'eITlenskl'm X2'
(3.6-2)
relati vna U odnosu na posmatraca. Relati visticki efekat kontrakcije duzine i relativisticki efekat dilatacije vremena su u sustil1i posljcdice relativnog statusa koje jc dobilo vrijeme u teoriji relati \Dosti. Za razumijevanje Specijaine teorije relativllosti nuzno se, dakle, odreci usadcnc klasiene prctpostavke 0 apsolutnom sLatusu vrcmena, a prostor i nijemc tretirati kao jednu cjelinu, odnosno jedinstvcn prostorno-vremenski konlinum. Koordinatc u STR za svakl dogadaj ne ogranicavaju se samo na prostorne. nego obavczno obuh vataju i Hemensku koordinatu, dakle (x, y, Z, t ). Teskoca je u llehomogenosLi tih koordinata, .ier samo nijeme t jc heterogeno U odnosu na duzinu, pa se pribjegava mnozenju vremena odgovarajucol11 fizickom velicinom
jer se tijelo (S') Ll kojem se odigra\a proces, premjestilo ~a to rastojanje brzinom v posmatrano jz S. PrCllld Lorenco\ illl transformaclpma generalno vazi
(3.6-3)
da bi se dobili homogeni izrazi. Jasno je da se za homogenost mora vrijeme t a odavde dobijamo
pomnoziti brzinom, da bi sve cetiri koordinate imale dimenziju dnzine. Pri tom eetvrta dimenzija nikako nije duzina, niti duzinska, jer se radi 0 vremenu, a ,odnosno,
mnozcnje brzinom je hOl11ogeniziranje dimenzija.
3.7 Relativisticko sabiranje brzina
(3.6-4)
iIi
Posta\lja se pitanjc kako se sabiraju brzine u STR? Diferenciranje Lorencovih koordinata
Xl
Ovaj relativistieki cfekat dilatacijc vremena moze se formulisati na sljedeCi nacin: Kada se casovnik krece brzinom v u odnosu na posmatraca I
vremenski interval izmeilu dva dogailaja je duzi za faktor
?
l
17 1
V-
')
1/..J 1- v- / c-
+ vt
x=-:===
u
y=y' ,
c2
odnosu na odgovarajuci interval mjeren od strane posmatraca koji miruje u odnosu na casovnik. Izlazi da sat ide sporijc u sistemu u odnosu na koji se sat 109
108
"
dx'+vdt' d x = : , dy =dv', dz. =:dz' ,
(3.7-1 )
Diferencijalni kolicnik prve jednaCine iz (3.7-1) po vremenu daje
dx' -+v d t' dx'
dx' + vd t'
dX dt
(3.7-2)
11-
1+ 11
U
odnosu na sistem S,
d
,
VI
brzina tog istog tijela u sistemu S'.
dt ' gclj~ indeks
= dx
dt
t
oznacava tot a 1nu b rz'11111 ,
¥F; cI x' v-
l+~ c'
cit
<
OznaCimo : u=
d y'
- - =: - - - - - ' - - - - ; -
dx
hrzina sistema S'
brzina ti.jela (il i cestice) u sistemu S. d dt
d v'
cI v -
dt
d/ c
U ovom izrazu je
Dakle, relativisticki zbir brzine svjetlosti sa ma kojom brzinom istog pravca jednak je brzini svjetlosti. Ovo je matematicka formulacija zakona konstantnosti brzine svjetlosti u vakuumu, jer brzina ne zavisi od brzine kretanja izvora svjetlosti. Svi inercijalni posmatraci mjere istu brzinu prostiranja svjetlosti. lz relacija za slagal1je brzina slijedi zakljucak da je brzina svjetlosti (u vakuumu) c najveea od svih brzina. Transformacione formule za ostalc dvije komponente brzine iznose:
dz
d z'
cit
cit
dt'
imamo daje
u+v
v
(3.7-3)
=:---
uv
I
3.8 Masa u teoriji relativnosti
1+-, cDobivena relacija predstavlja relatil'isticko iii Ajnstajnovo sabiranje hrzina. Neka je jedna od ovih brzina jednaka brzini svjetlosti, onda je ocigledno
u+c
v
(3.7-4)
:=--:= C
U
I
1+c
iii neka je v
=c
i u = c, imamo daje
c+c 1+1
(3.7-5)
v =--=c t
110
Pojam mase je prvi uveo Njutn i pod masom poclrazumijevamo faktor proporcionalnosti izmedu sile i ubrzanja. U nerelativistickoj teoriji smatralo se da je masa velicina koja ne zavisi od kretanja. Postavlja se pitanje da li je masa ista u svim inercijalnim sistemima'i Prollcavanjem elektrona u kretanju ustal1ovilo se eksperimentalno i teorijski da se njcgova masa mijcnja sa promjenom njegove brzine. To je ustanovljeno razlicitim skretanjem elcktrona u elektromagnetnom polju pri raznim brzinama. Otvrdeno je cia je mas a elektrona "eea kada mu je brzina veea. To povecanje mase sa brzinom eksperimentalno je prvi ustanovio Kaufman 1901. godine. To istog zakljucka su pomoeu elektronske teorije dosli Abraham, SvarcSlicl i Zomerfeld. Zamislimo neku materijalnu tacku koja miruje u sistemu S' mase mirovanja mo. Ako na tu materijalnu tacku djeluje neka sila f u kratkom
III
vremenskom intervalu, koja ce joj saopstiti neku brzinu. Posto Je sila djelovanja vrlo kratkog vremena, pa ce j prirastaj brzine biti vrlo mali
(3.8-1)
modv' =fdt'
Uvrstimo Ii (3.8-4) u (3.8-1), clobija se dv
Neka se neki sistem S u odnosu na uocenu tacku u sistemu S' krece brzinom v, tad a ce promjena impusla uocene tacke u odnosu na sistem S biti cl(m v) =fclt
(3.8-4)
dt' == adt
(3,8-5)
fadt, iii,
Na osnOVLl (3.8-2) i (3.8-4), dobija se daje
(3.8-2)
dv
111
(3.8-6)
cl(mv) =:: -"-,cr'
KoristeCi formule za sastavljanje brzina u sistcmima S' is, imamo
clv Transformisimo izraz u
dv'+v v+clv=---v l+,civ' c-
odnosno,
v2
, v, v v+civ+-, civ +-, clvcl c-
(3.8-6) na sijedeCi nacin
a! 2
cl va
2
v 2 cl V
--+-)-
a
,
cl v' + v
c-
11
a-
c-a
a
2
vclv adv+v-,ca a-
adv vela a-
=
')
OdllOSIlO
Posto je proizvoJ. dl' dv' beskonacno mali, ima1110 da je
d1l V - , == d(-)
,
v, clv=::(l--,)clv c-
a'
Ustaljene su relativisticke skracenice za slijede6e izraze:
i
Y
f3 == ~, c
a=::
~1- < c
~-- , paje veza izmeau prirastaja brzina u sistemu S i sistemu S' I v2
~I- c 2
dv=a"dv', iii,
,
dv dv =::--
a2
(3.8-3)
dokje na osnovu (3.6-4) veza izmedu vremenskih intervala u sistemima S
g_
gclje je
a
(3.8-7)
a
11
, cla=--)-clv c-a
Na osnovu izraza (3.8-6) i (3.8-7), imamo
m clv cl(mv) = -"-,- = a"
In"
=::
,oclnosno,
11
1-, c-
112
a
(3.8-8)
S'
/',.f'
/',.t
v
d (-) , oclnosno,
113
Ova relacija pokazije da se masa m pove6ava na sasvim odredeni nacin u zavisnosti od brzine v. Ovo je cuvena fonnula prema Ajnstajnovoj specijalnoj teoriji relativnosti zapromjenljivost mase u zavisnosti od brzine. Ako se brzina cestice sve vise priblizava brzini svjetlosti c, onda njena masa postaje neograniceno velika 8to bi vodilo apsurdu. Kao sto eksperimenti potvrduju, nemogu6e je dosti6i iii prevazi6i brzinu svjetlosti polaze6i od bilo koje konacne brzine manje od c, jer onda masa postaje beskonacno velika.
Vd v d , , ' 0 nos no, a c-a-
117"
d I1l == -
,
mvdv==c 2 a 2 dln
V-
J
')
c-
d E = V 2 d m + c 2 din -
E=mc
')
c-(l--7)dm==(c-v-)dm, paje
V2
din, odnosno
2
3.9 Energija u teoriji relativnosti
Neka si la
f
djeluje na nekom putu d 1 onda se pri tom izvrsi rad dA==fdl
(3.9-1)
Ako se rad vrsi na slobodno tijelo, onda je taj elementarni rad jednak pove6anju (promjeni) energije tijela dE==fdl
Kako je: dT
(3.9-2)
-Od f-: d15 d(mv) . . v t, == == - - , nnamo da Je . dt dt' dE==djJ·v
(3.9-3)
Ako diferenciramo 15 = mv , dobijamo djJ==mdv+vdm
(3.9-4)
pa ako ovaj izraz zamijenimo u izraz za prirastaj energije, dobijamo 2
dE==v dm+mvdv
Kakoje: m
m
, dm==----;-da, a a"
Ova se energija uobicajeno naziva energija mirovanja. Energija Eo bi bila ncka unutrasnja energija tijeJa, koja se, kada se posmatra makroskopski, ne mijenja, dok se relativisticka energija E mijenja u zavisnosti od promjene mase In, odnosno brzine tijela. Dakle, svako tijelo ve6 kada miruje ima odredenu energiju i ta velicina energije kada se tijelo krece pove6ava se. Svaka masa je jedna energija sakupljenn na vrlo malo mjesto. Tvrdnja da u fizici visokih energija i u nuklearnoj fizici toboze doiazi do prelaza energije u maSLl i mase u energiju je primjer lose terminologije. Energija se odriava i ne prelazi ni u sta. Postoje sarno uzajamne transformacije razlicitih cestica. Npr. pri hemijsko] reakciji izmedu ugljenika i kiseonika, koju mozemo posmatrati dok zar tinja, ogled a se sustina izrecene konstatacije:
(3.9-5)
v da=---dv 2
c a
114
Ovo je (uvena Ajnstajnova relacija 0 ekvivalentnosti mase i energije. Ovo je najvazniji i najefikasniji rezultat Specijalne teorije relativnosti i teorije relativnosti uop~re. 1z relacije (3.9-6) vidimo da tijelo ima energiju i kada miruje (v = 0) :
'
bi6e
Kineticka energija fotona i molekula CO 2 nastaje u reakciji na racun toga sto je suma masa atoma C i moJekuJa O 2 malo veca od mase molekula CO 2 .
115
:nergija se odrzava, a mijenjaju se sarno njeni nosioci i mijenja se oblik u kom -l TER\IODI\\iVHKA
;e ona ispoljava. . . Kineticka energija je vid energije vezan za kretanje tijela (cestlce) 1 110ra biti jednaka nuli za V = O. Brzina promjcne kineticke energije cestice sa vremcnom u inercijalnom sislemu referencije jednaka je ukupnoj snazi svih sib
Materija se pojavljuje u raz1icitim agregatnim stanjima. Svi oblici materije SLl medusobno povezani i mogLl prelaziti iz jednog oblika u drugi.
Promjene, kako hemijske , tako i fizicke, iz jednog u drugo stanje materije neizostavI1o ukljucuju rad i razmjenu energije. Metod koji se primjenjuje Za objasnjenjc makroskopskih osobina tijela sa stanovista njihove molekularne strukture je u sustini statisticki metod. Taj metod u danasnje vrijeme ima tako siroku primjcnu da sc cijela oblast teorijskc fizike gde se on primjenjuje naziva
Ek = E - E", odnosno
':,
E; =
In
7 " c- . - m c -, = 111
17
(\
,II-~2
\)
C (
I
2
-
I) =
171 C /)
11-~.'-
e
V
I ~
"'V
2
l
If 1 I
l
c'
v2 3 1'4 1, 3 c-(I+--+--, + .. . -1)=-::;-111,,1'-0+ 2 4 8 cL " 2e 7
=//1
-I
(3.9-8)
+ ... )
Ovako defillisana (relativisticka) kincticka energija obulwata i klasicnu definiciju kineticke ellergije (llerelativisticku kineticku energiju ~jutnoye mehanii,e) kao vazecu aproksimaciju za male brzine kret::mja, tj. za v« Tada se clan v2/e 2 i svi visi stepeni ,v
2
1 2"
E =mc-(l+--'-I)=-mv k
"
2e"
C .
zallcmariti, paje
lllOgU
2
E,(kl)
(3.9-9)
Relativisticka zavisnost kineticke energije od brzine Je cinjenica potvraena u svim eksperimentima (na akcelcratorima) koji su testirali pretpostavke Specijalne teorije reJativnosti.
116
statistii5ka .fizi/w. U okviru statisticke fizike se makrofizicke vdicine povezuju sa srednjim vrijednostima odgovarajucih mikrofizickih veliCina. Medutim, moguce je opisivati pojavc i na drugi nacin, da se ponasanje tijela moze opisivati nc ubzeci u razmatranje proccsa koji se pri tome desavaju. Takvo opisivanje je l110guce zahvaljujuci uvodenju pojma energije, njenih transformacija i Ilacina prenosenja i utvrdivanju onih oSl1ovnih zakona kojirna se pokorav,uu transf'ormacije energije iz jednih oblika u drugi. Termodillamika izucava k vantitati vne zakonitosti pretvaranja energije il raz1icitim procesima (topiotnim, mehanickim, eJektricnim, magnetnim, hemijskim, bioloskim i elr), koji su uzrokovani toplotnim (haoticnim) kretanjem molckula. Ona izucava odnose izmedu promjena u sistemima i energetskih efekata koje te promjenc prate. Promjene, kako fizicke tako i hemijske, iz jednog u drugo stanje materije pracene su promjenom energije. Energetske promjene u sistemina su vezane za promjene citavog niza osobina materije. Termodinamika koristi postojanje uzajamne veze izmedu prornjena osobina materije u bilo kojoj vrsti proeesa i energetskih karakteristika tog procesa. Zato tennodinamika predstavlja sastavni dio mnogih naucnih disciplina, prvenstveno u oblasti prirodnih nauka. U zavisilosti od prirode i braktera interakcije sistema i okoiine, i prakticnog znacap termodinamickih velicina koje odreduju razliCita stanja sistema, termodinamika se ja\lja kao termodinamika fizickih procesa, elektrohemijskih procesa, bioloskih procesa, kao hemijsko-inzinjerska termodinamika, termotehnika, itd. U ovom poglavUu razl110trice se osnovni pojmovi jz opste termodinamike, koja razmatra sve procese vezane za promjenu stanja materije pracene energetskim promjenama i osnovni pojmovi termodinamike otvorenih sistema. 117
4.1 Osnovni termodinamicki pojmovi Za potpunije razumijevanje osnovnih termodinamickih procesa i zako11a, potrebno je definisati osnovne termodinamicke pojmove : termodinamicki sistem, termodinamicko stanje, parametri stanja, termodinamicku ravnotdu i termodinamicki proces.
4.1.1 Termodinamicki sistemi Termodinami{ki sistel11 je svaki makroskopski fizicki ohjekat (gasoviro, tecni iii evrsto tijel0 iIi grupa tijela, elektronski iii fotonski gas, itd.) a koji po pravilu saddi veliki broj cestica. Sistem mora biti dostupan eksperimentalnom ispitivanju termodinamiekom metodologijom radi proraeuna energije i supstancije koja se prenosi kroz granice sistema. U zavisnosti od mogucnosti razmjene energije i supstancije preko granice sistema, termodinamieki sistemi se dijele na: izolovane koji sa svojom okolinom ne razmenjuje ni energiju ni supstanciju; zatim na zatvorene, eije granice ne dozvoljav,~u razmjenll supstancije a dopustaju razmjenu energije, i na otvorene termodinamicke sisteme koji sa okolinom razmjenjuju supstanciju i energiju. U odnosu na hemijski sastav i fizikana (termodinamicka) svojstva, sistem~ moze biti homogen Uednofazan) i heterogen (visefazan ) koji se sastoji od smjese vise komponenti. Dakle, komponenta sistema kao sastojak sistema moze se l1a6i u okviru jedne iii vise faza sistema. Homogen sistem je onaj sistem u kome su sve osobine iste u svim djelovima sistema iii se kontinuirano mijenjaju od taeke do tacke iIi povrsine sistema. Na granici homogenog sistema dolazi do nagle promjene neke od njegovih osohina. U heterogenom sistemu postoje tacke iii povrsine gdje se neka osobina iii vise njih naglo mijenjaju.
Faza je homogeni dio heterogenog sistema odvojen od ostalih djelova
4.1.2 Termodinamicko stanje Termodinamicko stanje se predstavlja sa skupom konkretnih vrijednosti svih termodinamickih velicina koje su neophodne da makroskopski opisu osohine sistema kao i odnos sistema i okoline. Terl11odil1amicki parametri stanja sistema karakterisu odnos sistema sa okolinom i informisu 0 stanju unutar sistema. Parametri kojima se ovo stanje opisuje dijele se na spoljasnje (npr. zapremina koja je definisana spoljasnjim tijelima) i unutrasnje (umltnl~nja energija, gustina i pritisak, indeks prelamanja). Parametri, kako spoljasnji tako i unutrasnji, mogu biti intenzivni ( ako ne zavise od kolicine supstancije koju sistem sadrzi. dakle imaju istu vrijednost kako za malu tako i za nliku kolicinu matcrije). kao sto su to temperatura, gustina, napon pare. indeks prelamanja , iii ekstenzivni (ako njihova vrijednost zavisi od kolicine supstancije), kao sto su masa, ukupna kinetieka energija, tdina ti]eia, itd. Vazno termodinamieko stanje sistema je stanje termodinami{ke ravl1oteZe. U o\"om staniu \istcm je stabilan i ostaje u njemu dokle god se spoljasnji parametri ne promijcne. Neophodan uslov termodinamieke ravl10teze visefaznog sistema je k011Stantnost velicina koje opisuju stanje sistema u granicama svake hze. Ako se sistcm nalazi u termodinamickoj ravnotezi i ako Je pri tome energija sistcmn minimaina , sistem se na/azi u apso/utnoj ral'l1oteZi. Staciollarno stanje sistema je takvo stanje kod kojeg se parametri sistema ne mijenjaju u vremenu iako sistcm sa okolinom izmjenjuje energiju. Pri termociinamiekoj ravnotdi, stanje sistema moze se odrediti sa sljedecim parametrima: tempcraturom T, pritiskom p i zapreminom \I, rj. jecinacinom stanja sistema:
f( T, p. V)
=0
(4.1.3-1 )
definisanom granicnom povrsinom, Cije se fizicko-hemijske karakteristike pri promjeni uslova kontinualno mijenjaju. Povrs koja odvaja termodinamieki. sistem od njegove okoline predstavlja granicu termodinal11ickog sistema. Bro.l komponenti sistema je najmanji broj nezavisnio promjenljivih konstituenata potreban da se opise sastav svake faze u sistemu. Broj komponenti nije obavezno isti kao i broj elemenata.
.lednaCina stanja sistema je funkcionalna veza tennodinamickih velicina koje potpuno odreduju stanje tog sistema u termodinamiekoj ravnoteZi. Minimalni broj parametara, kojima se u potpunosti odreduje tem10dinamieki sistem, naziva se termodinamicki broj stepena s/obode, odnosno, broj stepen
118
119
4.1.3 Termodinamicki procesi Pod procesom se -n termodinamici podrazumijeva prelaz iz jednog u drugo stanje, odnosno, termodinamicki proces predstavlja svaku promjenu stanja sistema u toku vremena. Kada se u sistcmu desava promjena, to ne mora da znaci da sc mijcnja sistcm, vce mijenja se stanje sistema. Posto je stanje sistema definisano termodinamickim osobmama stanja iii parametrima stanja, znaci da se mijel1la jcdna lli vise osobina stania sistema, jedan iii vise parametara stanj~. Paramctri stanJ'\ sistema se pri tome mijenjajn po odredenim zakonima. Ako se sistclll nalaZl u termodinamickoj ravnotcii, sistem ee se uk~iuCiti u tennodinaJl1iCki proces samo promjenom vrijednosti spoljasnjih veliCina. Ako se sistctll De naiaZl U staD.lll tcrmodinal1l1C'ke ravnoteZe a vrijednosti spoljasnjih ve1icina su konstantnc. nastaje spolltalli proces. jer sistcm spOlltano prelazi u ramoteZllo stanje. Prilikom proccsa sistcm mozc cia razmJenjuje cnergtju sa okolillOIl1. ~lO se prepoznajc kao nsenje rada ~ako se mijenjaju spoljasnji paramctri) iIi kao razmJt:lla LOplott: (
120
4.2 Temperatura. Temperaturne skale i termometrf OSl1ovna odlika tijela jeste l1eprekidno kretanje cestica od kojih se ono sastoji. Ovo kretanje je periodicno u vecoj iii manjoj mjeri i naziva se toplotno kretanje. Toplota iIi topiotna energija je mjera haoticnog, translatornog i rotacionog kretanja molekula i oscilovanja atoma u njima. Toplotu treba shvatiti kao tok iIi prenos energije sa jednog sistema na drugi, odnosno, toplotu shvatamo kao jedan od naCina prenosenja energije. Naime, ako dode do dodira dva tijela, njihovi atomi interaguju medu sobom, predavajuci jedno drugom energiju. Tijelo koje predaje energiju je vise zagripno, a tijclo koje prima encrgiju je manje zagrijano. Ovakav prelazak energije odvija sc s\e dotie dok se ne uspostavi stanje topiotne ravnoteZe.
Temperatura se definise kao velicina (parametar) koja odreduje da Ii je neko tiJelo ili termodinamlcki sistem u tcrmodinamickoj ravnotezi sa drugim tijelima iii sistcmima. Dva tiieb koja su u termodinamickoj ravnotezi, imaju istu tel1lpcraturu. Temperatura je mjera za toplotno stanje sistema, odnosno, tempt:ratura predsta\lja stepcn zagrijanosti nekog tijela. Temperatura je jedna od l1ajcesce mjerenih velicina stanja. Sopsobnost covjeka da osjeti razlike u stepenu zagrijanosti tijela imala je za posljedicu usvajanje univerzalne skale po kojoj se odreduje stepen zagrijanosti nekog tijcla iii sistema, odnosno na kojoj se odredujc temperatura. InslrLll11enti za mjercnje temperature nazi vaju se termometri. Princip rada termometara zasniva se promjeni osobina sistema u zavisnosti od kolicine toplote na osnovu cega se definise temperatuma skala. Pogodno je da se za mjcrenje temperalure t koristi linearna zavisnost nekog svojstva X izabrane supstancije, tj. (4.2-1)
t=a+!3X
gdjc su a i !3 kOllSlante, koje se mogu eliminisati usvajanjem brojIle vrijednosti temperature t za dva referentna stanja te supstancije. Ove dvije odabranc fizickc pojave uvijek se odvijaju na tacno odredenim temperaturama. Temperature ova dva referentna stanja su repeme temperature. Koriste se nekoliko tCl1lpcraturnih skala : po Celzijusu, po Kelvinu , po Farenhajtu Rankinu.
121
Kod stostepelle iIi Celzijusove skale, cija je jedinica stepen Celzijusa CC), usvojeno je da temperatura mrznjenja vode tl = 0,00 °c bude prva reperna temperatura, a tacka kljucanja 12 = 100.00 "c bude druga reperna temperatura (na
standardnom
pritisku
5
p = 1.0 1325.10 Pa).
Za
reprodukciju
ove
temperaturne skale najcesce se primjenjuje toplotno sirenje. Internacionalno prihvacena temperaturna skala Je Kelvinova temperaturna skala. Ova temperaturska skala naziva se termodinamicka skala iii Kelvillova skala iii apsolutna skala. Temperatura koja se ocitava na ovoj skali naziva se termodinamickom temperaturom, a nuJa na ovoj stali naziva se nul a Kelvina iii apsolutna nula temperature. Nula na ovoj termodinamickoj temperaturskoj skali je najniza moguca temperatura materije. na kojoj prestaje haoticno kretanje molekula u materiji. Medutim. to ne znaci da prestaje i svako drugo kretanje. Odrzava se. npr. kretanje elektrona u atomu. Termodinamicka termperaturna skala ima dvije reperne temperature: za prvu fiksnu tacku uzima temperatum apsolutne nuie, tj = - 273.15 DC iii Tl = o K, a za drugu fiksnu tacku, t2 = 0.0 I°c iIi T2 = 273,16 K, trojnu tacku vode u kojoj su tri faze vode ( voda, led, vodena para) u ravnotezi. Ovak10 definisana temperatura naziva se termodinamicka temperatura (zasnovana na zakonima termodi namike). iii apsolutna temperatura(nije vezana ni za kakvu supstancijul. iii Kelvinova temperatura (predlozena od Lorda Kelvina). Termodinamicki kOllcept temperature je najopstiji i mora se prihvatiti kao bazican. Medutim, i ovaj koncept ima lledostataka jer termodinamika operise sa pojmovima kao sto su : termodinamicka ravnotez:a, reverzibilni procesi, koji su odredena idealizacija stvarne fizicke slike. Fahrenhajtova i Rankinova skala su vrlo slicne gornjim dvjema skalama . Na Farenhajtovoj skali donja fiksna tacka je tacka mrZnjenja vode i ima vrijednost +32 OF , a gornja fiksna tacka je tacka kljucanja vode koja ima vrijednost 212 OF. Razmak izmedu dviju fiksnih tacaka na Farenhajtovoj skali je 180 oF. Preracunavanje temperatura izrazenih u razlicitim skalama moze se izvrsiti pomocu sljedecih izraza: T(K) =
[vee) + 273.15 (" C)]~ . 1°C
JOC veC) = [T(K)-273, 15 (K)]lK
T(R)
lOR = [6(OF) +459,67 (CF)]_ _
v(OF) = 9(OF) [v(°C) + 32Cc)] 5(OC) 122
-459,67(llR)J~ lOR
Medusobni odnos brojnih vrijcdnosti na tim datim skalama vidi prikladno na slici 4.2-1. Celsiusova skala
Kalvinova skala
Fahrenhaitova skala
ro,"
Tacka , kljucanja vode
""'" '"'" E: f''"
"'m E:
.iii! l:' a>
(l)
0.
~
E
Tacka mrznjenja voda
m
,"
c: :co
-'" (0
-212°F Ll& (OF) & ('F)
0-
::;'" c:
~Q)
671,67°R , R)
o.
E .)';
32 OF
]i ~
m
Rankinova skala (I;
£i
," (5 "
se
,"
!!!.
-'"
)
'"
c 'S -- 481
R
15 U)
0-
'"
o I<'!
Apsolutna nula
of< Sl. 4.2-1 TempC'l'alurne skale
Tz slikc se vidi aa u istom rasponu temperatura izmedu tacke mrznjenja vode i tacke kljl1Callja vode, Celsiusova i Kelvinova skala imaju 100 podjela, a Fahrenhajtova i Rankinova 180. lako svaka od te cetiri skale drukcijim brojcanim iznosom iskazuje istu temperaturu, razlika dvaju temperatura je jednaka na odgovarajucoj relativnoj i apsolutnoj (npr. Celsiusovoj i Kelvinovoj Ii Fahrenhajtovoj i Rankinovoj) skali:
T2 - T = V2 J
v(OC) = 5(°C) [v(OF) _32(OF)] 9(OF)
v(OF) = [T("R)
1°F
-
VI
f'...T = f'...f}
123
(4.2-2)
U zavisnosti od vrste termometrijske supstancije i prirode odabrane fizieke veliCine koja karaktcrise ovu supstanciju, a eija se promjena uzima kao mjera temperature, termometri se dijele na manometarske, teene, termootporne, termoelektriene, radijaeione (pirometri) i druge. Manometarski termometri zasnovani su na mjerenju termodinamieke temperature T metodom gasne termometrije, koja se svodi na pouzdano mjerenje pritiska i zapremine gas a zatvorenog u posudi i pri tom se oslanja na Jednaeinu stanja idealnih gasova. Polaziste gasne termometrije je referentna temperatuma taeka Tr = 273,16 K , koja je osnova Kelvinove termodinamieke temperaturske skale. Mjerni opseg ovih gasnih termol1letara je od -250 °e do + 6000 e za vodonieni tennollletar, koji spada u najpouzdanije termometrc, kojirna se llljere samo temperature oko fiksnih taeaka. Za niske temperature koristi jos heliiumski termollletar. a za mjerclljc Vi"OKih temperatura azotni termometar. Tecni termometri illl'~U mjerni opscg od -20U ')e do + 600 ()e . Donja temperaturska graniea primjenc teenih tcrmometara odredena je temperaturom mrznjenja upotrijebljenc tcenosti, a gornja granica temperaturskim svoistvima stakla (omeksivanje stakla). Termootporni termometri illlaju veliku temperatursku osjetljivost a koriste se za temperaturske opsege od - 200 °e do + 200 °e (bakarni) i od261 °e do + 1100 "e (platin:-;ki). Rad ovih lermomctara zasnovan je na promjeni elektriene otpornosti provodnika iii polupro\odnika uslijed promjene nj iiw\c tempcrature. Poluprovodnicki termootpornici izradeni su u obliku tankog filma, a mogu detektovati male kolieinc toplotne energije. Termoe/ektricni termometri Koristc se u tempcraturskom opsegu - 50 °e do + 1800 "e, njihov rad zasnovan je na Zebekovom efektu. Za mjerenje visokih temperatura kori~le ~e pirollJetri. Piroilletri mjcre temperaturu tijela na osnovu zraeenja. Poznato je da zraeenje tijcia \"coma brzo raste sa povecanjem temperature. Kada se takvol11 zraecnjuizlozi tenlloelemcnat moze se na osnovu inteziteta zraeenja odrediti temperatura tijcla. Pirometri se diiele na : radijacione, opticke, fotoc!ektriene , i elr. Gornja graniena tcmp-cratura za radijacionc pirometrc iznosi 4000 °e , za optieke piromctre 10 000 °e a za fotoelektricne 2 200°C. Za mjcrenje veoma niskih temperatura koriste se manomctarski tennometri (opsega od 3,2-0,25 K), zatim termometri zasnovani na mjerenju toplotnog sllma u strujnom pro\odniku (opsega od 2 - 0,02 K), kao i terrni:"tori na bazi germanijuma.
124
4.3 Kolicina toplote. Toplotna kapacitivnost U Il1CdllSobnoll1 dudiru dva tijcla. koja se nalaze na razlicitim lcmpcraturama, dulazi tu lcmpcraturnih promjcna oba tijela. Kazelllo da je luplota prc~la ~a jednog llJcla na drugo, odnosl1o, da je dio llllLltrasnje el1ergije JedJ10g lijcla prc.'.li ((ld\c"ti) lijclu cia bi .sc njegova temperatura povisiia (sniziia) za I K, lj. j"c. 0\ (l :;\oj:,t \ () I ijc b 11<[1.1 va .sc toploll/a kapacitivllost i obdJcZava se sa C. PrcllU lome. ako "c tijclu jl\)\i"j (snizi) temperalura za dT prilikom elm \)l\cnja (ud\ udcl1JCl) kollcinc toplotc 8Q, oncia jc Iljegova loplotna Kapacili\ nosl
c = /5{J
(4.3-1 )
dT
Ako ~e Inplolll
gele je
C
8Q
1/
I/dT
(4.3-3)
kolieina supstancijc od koje.ie tijelo nacinjeno. /; Gram - lIloleklll. iii moL prcdstClvlja broj grama koji je jednak 11101ckulskoj tezini, ·odl1osno molekulskoj masi supstancije na koju se odnosi. 1/
125
dolde ukupna dovedena (odvedena) koliCina toplote data izrazom
Gram-atOIl/OIll Ila/.ivCl1l10 onu kolil'inu datc ~lIp~tancijc cija jc lll'lsa. izralcn,1 U gralllillla. hrnjno jcdn,lka njcgc1Voj ;Itom,koj tclini. Gram-atom raIl iCitih clemcn,lt,1 sadr7.i isti hroj ;llonn Taj broj . koji sc o/n(lca\'a sa N. n;lIj\'C\ sc A vogadrov Im~i, Gra1l1-1l1olcklll ra/licitih slipstanci sadrli isti broj molckula i on jc jcdnak A vogac\w\'olll hrojl!. L/c\'si 1I nh/ir sastav Illolckula ra/.nih c\cmcnata. lako IC naci ll10lckularnu m:\slI u gramim
,u II,
= 0.002
Illolckulc. H~. 02- N 2• 1110iarne masc i =O.032kg'l1lol .,u:-.:, =OJ)2~kg·mori,
Prcmda jc mol Sl - jcdinica I,] koiicinll m:ncrijc. ccsw sc koristi kmol Kolicin;1 matL'rije 1 k11101 hilo knjc Illiltcrijc sadrzi J\= 602213661nki (aloma. ll1olcklli
( 60 \,
1--1 I
\
-
I
dT
(4.3-4)
r
~\
I / I'
e/, > C i ova rll/lib zavisi (lc\ vrslc gasa. Za c!cmcnl;lrIlli c!ovcdcnu (odvedenu) knlicinu (OriOle o(J mOll' ~e ond;l
Kod gasovajc II\ijck
piSLlli da jc d (J =
Q=
T?
fmedT. iIi,
Q=
1'}
fnc", dT
(4.3-5)
1'}
Na osno\'u prethodnih reJacija nalazi se da su izvedene jedinice toplotne kapacitivI1osti, specificne i molarne toplotnc kapacitivnosti
Za
I.
mol'.,Ll p ,
\ II
T)
/Jle
dT
.
lj, dQ=nC",dT
[c]- [Q] -~
-
[~Tr K'
c [ ]-
[Q]
&n][~T]
J kg, K '
,
[Q]
&7J[~T]
=_J_ mol· K
(4.3-6)
Aparati koji sluze za mJerenje koiicine tOjllote zovu se kalorimetri, Osnova svakog kalorimetra jc radno tijelo, poznate topJotne kapacitivnosti, kome se dovodi (odvodi) unutrasnja energija mjerenog tijela. NajceSce koristel1o tijeJo je voda. pa se ovakvi kalorimetri nazivaju vodeni kalorimetri. Zavisno od toga da Ii voda miruje iIi protice, vodeni kalorimetri dijele se na stacionarne i protocne,
4.4 Pni zakon termodinamike Energija iIi energetski sadrzaj nekog sistema daju mogucnost tom sistemu da vrsi rad, Nacin na koji ce taj sistem da izvrsi rad u direktnoj je vezi sa oblikom energije sa kOj0111 sistem raspolaze. Sistem moze raspolagati sa razliCitim oblicima energije: kinetickom iii potencijalnom energijom, hemijskom energlJo111, elektricn0111 energlJom, toplotnom energijom, povrsinskom energlJom, elasticn0111 energijom, nuklearnom energijom, energijom zracenja, itd. Ukupna iii totalna energija sistema predstavlja zbir pomenutih vidova energije kretanja mikroccstica i njihovih medusobnih uticaja. U ukupnoj energiji sistema sadrzana je vrsta energije koja se koristi u termodina111ici. O\'aj vid energije koji ne zavisi od kretanja sistema kao cjeJine, od gravitacije. elektricne iii magnetne interakcije i povrsinskog napona, zove se unutrasnja energija sistema i oznacava se U. Ova energija za\'isi samo od termodina111ickog stanja, odnosl1O zavisi od prirode kretanja i il1terakcije cestica u termodinamicko111 sistemu, a sastoji se kineticke energije haoticnog kretanja 127
126
[C,,]=
molekula, potencijatne encrgije mec1udjclovanja molekula i unutarl1101ekulame energije. U terl11odinamici, dakle, zbog zancmari vanja efekata elektriciteta. magnetizl11a. povrsinskog napulla, gravitacije, i drugih efekata, ukupnu energiju termodinamickog sistema cil1i unutrasnja energija. Unutrasnja energija homogenog sistema je aditiyna yet icina, tj. jednaka.ie zbiru unutrasnjih energija svih njegoviih makroskopskih dje]ova, odnosl1o proporcionalnaje masi. Zatvoreni termodinamicki sistemi mogu razmjenjivati encrgiJu u obliku kolicine toplote i istovrel11enim \TSenjel11 rada sa drugim sistemima iIi okolinom. Izraz koji povezuie procese prenosa energije u termodinamickol11 prenosu se moze napisati u obliku:
Ako se sistem periodicno ponavlja u pocetnom stanju, onda je promjena unutrasnje energije imamo:
flU = O. Tada,
Ll
sagtasnosti prvog principa termodinamike
8A = 8Q
(4.4-2)
To znaci, nCl11ogu6e je napraviti perpetul11 mobile prve vrste, tj, takvu masinu koja periodicki radi, koja bi u jednom periodu proizvda rad ve6i od kolicine encrgijc koju je primila spolja. 4.5 Drugi zakon termodinamike
8Q=dU+5A gdje je sa
oA
(4.4- t)
oznacen rad sistema (rad kuji je sistem izvrsiu nad okolinom), a
sa oQ toplota dovedena sistemu (ba spotja~njih parametara). Jednacina (3.4-1) izraZavapni zakoll temlOdillamike, koji se tUlnae! kao zakoll o odrZanJu energijc u t~rllludillamici. Pni zakon termodinamikc tndi da pri 51'i111 procesima, kojima se sistem prevodi iz Ilekog po(;etl1og U neko krajllje stanje, razlika izmedu razmijenjene top/ole i izvr,~e1/og rada izn()si dU, tj, jednakaje prollljeni ullutrasnje energije sistema. Unutrasnja energija je funkcija st:.lnja "istcmCl i njcID promjena ne z:.lvisi od pocetnog i krajnjeg stanja sistema. Toplota je kao 1 rad ydicinJ. pre!aza kO.li moze da se indentifikuje samo kada prode granice sistema koji medudjeluje sa okolinom, odnosno, rad i toplota nisu S\ojsl\ a ::.i:'lcma. lzrazi rad i top]uta koriste se da oznace dva vida razmjene energijc sistema sa okolinom. Treba naglasiti da rad i toplota zavise od nacina odYijanja prcnosa, pa nijesu totalni difereneijali, kao sto je naglaseno u jedllacini (4.4-1) upotrebom drugacijc oznake za malu promjenu ovih velicina. UocavajuCi da su M i 8Q ekvivalenti energije, prvi princip termodinamike mozemo i ovako fOfmulisati: bllduCi da se energija ne moze sivoriti iz l1icega , niti se moze llnL~titi, moze se samo transformisati izjednog oblika u drugi. Ovakva formulacija pn og prineipa tennudinamike predstavlja najopstiji izraz zakona odrzanja i transformacije energije.
128
Pni zakoll termodinamikc je nedovoIjan da opise termodinamicke prucese kao i da odrecIi smjer procesa pri razllim transformacijama energije. On ne daje mogucnust cIa se odredi smjer u kome ce teb proees izmjene toplote izmedu cha tijela zagrijana na razlicitim tempcraturama. Kod prvog zakona tcrmodinamikc prclaz tuplute sa toplijeg na hladnije tijelo i obrnuto, jednako je vjerovatan. Drugi zakon termodinamike predvida smjer proeesa i ukazuje na mogucnost ili ncmogucnost odvijanja kao i postojanja tih procesa. Osnovni problem kOjl se namcce u svim procesima konverzije topiote urad i rada u toplotu je u cinjcnici da u nekom ciklicllom procesu uvijek se moze say rad prevesti u toplotu, ali sva toplotu se nemoze prevesti urad. Dakle, postavljanje drugog principa tennodinamike nametnula je cinjcnica, da je nemoguce POtPUIlO prcvodenje topiote urad, ada se pri tome ne dogodi nekakva promjena u spolja~l1JoJ ~redini. Predslava 0 nepovratnosti procesa u prirodi, na koju ukazuju pra\ci tih procesa, predstavlja najuopsteniji iskaz drugog principa termodinamike. Konkretniju forl1lulaciju i matematicki izraz drugog principa moze se dubiti na osno\u rnmatranja kruznog procesa.
4.5.1 Kruzni procesi Kruzlli proccs iIi ciklus naziva se proces u kome sislem protazi kroz niz stanja i vraea se u pocetno stanje. Kako je ranije istaknuto, povratnim (reverzibilnim) naziva se taka v proees koji se moze odvijati u oba pravca, pri cemu, ako je proces protekao prvo u jednom pravcu a zatim u suprotnom,
129
sistem mora da se vrati u pocetno stanje a da ne dode ni do kakvih promjena u okolnim tijelima. Da hi se zadovoljio uslov reverzibilnosti, proces se mora odviiati u i~llzetno malim kor~cima i toliko sporo, da se uvijek moze uspostaviti ravnoteZa izmedu komponenti i faza sistema. Posto se prelazak toplote vrsi spontano samo od toplijeg na hladnije tijelo, slijedi da moraju postojati : toplije tijelo, koje ce supstanciji da preda kolicinu to~!ote QI (grijaC) , i hladnije tijelo, kome supstancija predaje koliCinu toplote Q2 (hladionik). Korisni izlazni rad A je koji izvrsi radno tijelo. Efikasnost ovakvog procesa se definise kao odnos korisnog rada i dovedene kolicine toplote i predstavlja velicinu koja se zove termicki koeficijent korisnog dejstva: (4.:1 I
n
Ovaj koeficijent predstavlja maksimalni temperature TI i Ti.
~lepen
koju hladionik predaje radnoj supstanciji i za koju vaii nejednakost Q2 < 0 , pa Je
~+ Q2 Ti
0
(4.5.2-2)
T,
odnosno, ako broj ciklusa reverzibilnog procesa neograniceno raste, imamo da Je ... =0 ,
odnosno, za beskonacan broj tih ciklusa imamo
iskoristene lopo!ote za date
(4.5.2-3) I'
. gdje incieks p oznacava da ie to ]1ovratni ciklus. VeliCina ;o predstav]Ja
4.5.2' Entropija Prirodni smjer toka toplote jeste da se ona prenosi iz toplijih ka hladnijim sistemirna, a prirodni srnjer pretvaranja energije je od mehanicke u toplotnu energijll. Koeficijent korisnog dejstva za direktan ciklus, za reverzihilan proces, moze se napisati kao:
kolicinu toplote, racunatu na jedinicu apsolutne temperature, pa se zato nazi va redukovana kofi6na toplote iIi redukol'ana toplota. Dakle, redukovana kolicina toplote.ie kolicnik kolicinc toplote i odgovarajuce temperature. Sadrzaj jednacine (4.5.2-3) moze se ovako formulisati : pri povratnom ciklusu zbir redukovanih kolicina top]ote jednak je nuJi. Za nepovratne procese oCigJedno vazi relacija
17 = TI - T2 i 17 = Qj -Q2 ,odakle slijedi da je T QI j
odnosno
, i 1i
T, (4.5.2-1)
,odnosno,
< 0
(4.5.2-4)
iIi (4.5.2-5)
gdje su TI i T2 temperature toplog i hladnog tijeJa, respektivno. Ovdje je QI kolicina toplote koju grijac predaje radnoj supstanciji, Q2 - kolicina topiote
130
Pomocu jednacine (4.5.2-3) i nejecinacine (4.5.2-5), KJauzijus je formulisao sljedecu posljedicu drugog zakona termodinamike ( poznata kao 131
KlauzUusova nejednaCina) :
krivolin~iski
integral velicine
8Q
T
.
po zaiVOrelWj
konturi jednak je lluli za reverzibilne proces, a manji je od nule za ireverzibilni proces, tj. -
Analiziraj uci izraz (4.5.2-7). da se zakljuciti da se entropija sistema daleko vise Llveca za istu kolicil1l1 [OplOle na nizoj temperaluri nego na visoj temperaturi. Entropija je jednaka nuJi na apsolutnoj nuli (0 K) i moze se elefinisati na svakoj tel11peraturi kao kolicnik toplote koju treba dovesti nekom sistemu da bi se zagrijao do odrelkne temperature, temperature na kojoj se sistem nalazi. Jeelini uslo\. je ela se na (oj temperaturi sistel11 nalazi u ravnoteil1om stanju.
(4.5.2-6)
Razlika enlropija L1S ( izraz 4.5.2-8) ostala bi ista bez obzira na to koliki konacan broj mogucih putanja bi sistem presao, prelazeci iz stanja I u stanje 2.
Na osnovu formule (4.5.2-6) Illoze ~e zakljuciti da podinlcgralni izraz
8Q predSl
oQ T
= elS
(4.5.2-7)
O\a konslalacija vazi i za biio koju drugu funkciju stanja (npr. razlika pritisaka bi bib isla za ~ve putanje, bo i razlib zapremina pri prelazu iz stanja I u sLanje 2). Integral oJ I do :2 dajc promjcnu cnlropije prilikol11 procesa, pri kome se sistem prcvcde reverzibilno iz tacke I u tacku 2, i integral se izracuna\.a po cijeloj rcverzibillluj putanji koja spaja ova dva stanja. Izraz (4.:1.2-8) \ azi ~~lI11U za pO\Talne procese, rj. za procese gdje nema lrenja niti dlUgih gubitaka. Ukoliku ~G lUl'lula duvodi sistemu, prirastaj dQ (u ~kladu sa U~\ ojenom kOl1vckcijol11 0 znaku toplOlC) je pozitival1, pa ce se rezullUjuc3 entropija pu\Ccali. U isto nijcme entropija okoline sistema, tj. tOp]O(IlOg rezGnuara iz kujcg se uzima top Iota i prenosi sistemu, ce se smanjiti i
tu za istu nijednost za koju ce elltropija sistema porasti. Ako se pak topiota Funkciju S
uveo je u raf.l1latranje Klauzijus jo~ 1865.g. i rwzvao je
entropUom ( od grcke rijeci ell i 1m/ ,ien, ;to znaci unutra~nja promjena). Dakle, uporeelo sa energijol11, entropija se p\Jja kao vazna karakteristika stanja sistema. Kao i unutrasnja energija i enlropija se Illjcri U odnosu na neku referentnu vrijednost, tj. uvijek je izrazena kao promjcna entropija, a ne kao apsolutna vrijednost entropije. Integral totalnog eliferencijala izmedu ma koje dvije tacke 1 i 2, dace razliku ove funkcije izmedu tih tacaka:
od\odi iz sistema, entropija sistema ce opasti, a entropija okoline sistema ce porasti za istu nijednost. Dakle, za povratne procese entropija sistema moze da rastc, opada iIi ostajc neprornijcnjena. Promjcna entropije okoline sistema llvijek ce biti jcdnaka po \Tijednusti, ali suprotnog znaka od promjene entropije ~istema. Kod rC\crzibilllih adijabatskih proces
re\erzlbJlno, vazi Klauzii USU\L\ nejcdnakost: (4.5.2-8)
i
!8Q
J T :': 0, gdje je u ovojm slicaju Si- entropija sistema u pocetnom stanju 1, S2 - entropija sistema u konacnom stanju 2, odnosno predsta\.ljaju predatu iii otpustellll koliCinu top/ote na temperatuti T na kojoj se sistem nalazi u stanju I, odnosno u stanju 2.
132
odnosno,
+
f
(8Q \
i-I
2
~ T Xev
:'::0
Kako je integral po reverzibilnolll dijelu puta jednak promjeni entropije izmec1u tih tacaka, to je
133
2
~ f(8il",
,
I
Ileu/,et/ellosti s(([llia sistellla.
priviaci
Neurecknost sistema.ic pojam koji sve vise i vise
p~llnj 1I
LI skl~ldu s 1111ll;lccnjem llepo\T~ltnosti toplotnih procesa, pojam enrtopije svodi sc i l1a vjcrovatllol'u bkn je to Holeman poka7,1(I:
a u opstem slucaju vazice S == k In Hi
(3.5.3-1 )
(4.5.2-9)
iii u diferencijalnom obliku dS
~
§J!:
(4.5.2-10)
T
gdje znak (» vazi za nepovratne, a znak (=) za povratne procese. Aka je sistem termicki izolovan ( ne razmjenjuje energiju sa okoiinom, tj. 8Q = 0), relacija (4.5.2-10) Sf s\'odi n3 dS
~O
(4.5.2-11 )
gdjc II' tCl'lllOciinamicb vjcnlY .LK i koja im
Svi realni procesi Sll nepovratni, zato mozemo kazati da SVI procesl u konacnom izolovanom sistemu vode povecanju njegove entropije (princip porasta entropije). Ova nejednacina ukazuje i na smjer realnih procesa: moguci su samo oni procesi koji vode povecanju entropije izolovanog sistema ( drugi princip termodinamike). ..
4.5.3 Entropija kao mjera neuredenosti
4.5.4 Entropija idealnog gasa Tr~lll~r()rnwcij(\m
dS 1I7
134
0(2
r
pomol; jcdnac'inc 15(2
Porast entropije izolovanog sistema ukazuje da u sistemu proizlazi snizavanje vrijednosti energije. U izvesnom smislu entropiju mozemo smatrati mjerom snizavanja vrijednosti energije. Zato 8tO je top loti svojstvena najveca moguca neuredenost materije ( haoticno kretanje molekula), moze se kazati, da porastu entropije odgovara porast neuredenosti u stanju sistema. Entropija cvrstog tijela malo se mijenja u poredenju sa tecnim i gasovitim tijelima. Entropija raste onda kada tijelo prelazi iz cvrstog u tecno stanje, a zatim tecnost u gasovito stanje. U tom smislu entropiju mozemo posmatrati kao mjeru
ina/a
i Jcdn
7(1
dU..,.Pd\f
toplotnc bpacitl'tc
C !'
( au I
Jr) II' \ (
i
C,. == '
If ()U
,
I
\
aT
1
dobija sc jedn
dU+pdV
dT+PdV
T
T 135
gdje je P ==
RT
~.
V
R ==
ell - e"
po~lijc
koja se
J- ciT J d.'; == e\" -T
f
inlegraIjenja svodi
p"llll11jCI1IJIVC U OelIlO;"U na I1cku drugu. pod uslovom kada sc preostala prollljL'niji\
Il
d V odnosno. + R --.
V
(3.5.4-1)
3Q=dU+6A
(4.6-1 )
dQ == TdS
(4.6-2)
KUlllbin
(1' =
const.. jednacina (3.5.4-1) illla oblik TdS=dU+
V., clS= R 111-"-
M
(4.6-3)
(3.5.4-2)
\/I
l1a kujoj sc tClllclji cijcla nauLI () luploti i zato ona prcdslavlja
OSIlOV1W
jedna6111l terf11odin({lIIike.
a za izohrskc (V== const.) i izobarske prucec.c (P = const.), Jobijaju se sljedeci lzraZI (3.5.4-3 )
ciS=
T ij
el' 111...2
(3.5.4-4)
'\cka sc ncki tcrmodin
4.6 Termodinamicke funkcije stanja Prcma Termodinamicka funkcija stanja .ie termociinalllicki parametar koji je jednoznacna funkcija stanja sistema u termodinamickoj ravnoteii. Tennodinamicka funkcija stanja ne zavisi od nacina l1a koji je sistem dospio u krajnje ravnotezno stanje iIi od toga po kakvom.ie putu protekao taj proces. Yeliki broj termodinamickih relacija moze se izvesti ako se T iV, Tip, iii P i V posmatraju kao nela visne prollljenij i \·c adS se izrazi pomocll diferencijala tih promjenIjivih i parcijalnih izvoda od S. Posto su unutrasnja encrgija. entalpija, slobodna energija i druge vel icil1c isto taka funkcije stanja sistema, to je slanje (jeclnog homogenog sistcma) u potpullosti biti definisano bilo kojilll parom promjenljivih. Svi parcijalni izvodi svake pojedine 136
pr\"(lJ11
zakullu (cJ"lllociin
dU=-/idV-dA,+OQ
(4,6-5)
a prClllC drugom zakullu termodinamike pri l11a kakvom procesu mora da vazi reiacija
oQ::; TdS pa
ullela
slijedi daje dU ::; - ji dV - dA, + l' dS, odnosno,
]37
o/h s;: r
dS - dU - /) d V
H.6-6)
Ovaj izraz odrcdujc maksimailli kori.wtall nul koji sistcm mo7.c cia lzvrsi pn datol1l proccsu ( pri ccmu znak jednakosti Yazi za J'C\'Cl'zibilnl' proccsl' ). 4.6.1
Unutrasnja energija sistema
paral1letara S i V, a il1lajuci u vidu da je njena prol1ljena totalni diferencijal, ona se moze prikazati kao
dU=[aU I
as)v
dS
+ [au
1
avs
dV
(4.6.1-2)
Uporedivanjeni izraza (4.6.1-1) i (4.6.1-2), dobijamo sljedece relacije
U ukupnoj l'ncrgiji sistema sadrzana .il' \Tsta l'nl'rgijl' koja ,l' kori,ti tI tl'rmociinamici. O\'aj \'id l'nl'rgijl' koji Ill' z,I\'i:-:i od krl'tanja sistl'lll,] kan cjl'linl'. od gravit
T=(~) \ as
- p=
(4.6.1-3) v
au '\I av
(4.6.1-4)
)s
Da bi dU bio totalni diferencijal potrebno je jos da je
a odavde slijedi jednakost (4.6.1-5)
(4.6.1-1 ) dU = T ciS - /) d V Ovaj izraz , kako .ie vee pokazano. objedinjuje prvi i drugi zakon termodinamike za termodinamicke sistcmc u slucaju povratnog procesa. Moze se prihvatiti da .ie unutrasnja encrgija funkcija nezavisnih termodinamickih
Na osnovu izraza (4.6,1-3) zakljucujemo da se temperatura definise kao brzina promjene unutra.~llje energije sa entropijom pri kOllstantnoj zapremini. Za prol1ljenu stanja sistema pri konstantnoj zapremini ( dV = 0 ) mehanicki rad sirenja jednak je nuli, pa je toplotaapsorbov:.lI1a iIi razvijena u toku promjene direktno predstavlja promjenu unutrasnje energije. Posto je unutrasnja energija i funkcija stanja. ona pod ovim llslovima predstavlja ustvari toplotnu funkciju pri konstantnoj zaprel1lini. Unutrasnja energija kao funkcija stanja sistema, zavisi od prirode supstancije, njene kolicine, temperature, zapremine, pritiska i agregatnog stanja. Prol1ljena llnutrasnje energije neke hemijske reakcije predstavlja razliku unutrasnje energije produkata reakcije i unutrasnje energije reaktanata
138
139
dU
= T dS - f! d \I - oA k
Ako u datolll procl'sll sistem Ile vr(i korislan rae!. tj. 8/h svodi na
= 0 . prethoclni
ilr
Ukoliko je unutrasI1ja energija rcaktanata veea od unutrasnje energije produkata reakcije, onda promjena saddaja energije hemiJske reakcije ima negativnu vrijednost (dU <0 ). I obrnuto, ukoliko jc unutrasnja energija prodllkata reakcije veca od unutrasnje encrgije reaktanata, onda promjena sadrzaja energije hemijske reakcije ima pozitivnu vrijednost (L1U)O). Ako se radi 0 toplotnoj cnergUi, ukoliko je sadrzaj toplotne cnergije reaktanata ye6i ad saddaja toplotne energije prodllkala reakcijc, pri takvim reakcijama oslobada se top Iota i takve reakcije se nazinljll egzotermne reakcUe. Kod endotermnih reakcUa toplotni sadrzaj prodllkata reakcije je ve6i od toplotnog sadrzaja reaktanata i u njima dolazi do apsorpcije toplote.
4.6.2 Entaipija
dHj~;\j'
l
p
dS+(dHi dp ldp)S
(4.6.2-3)
Uporedivanjem izraza (4.6.2-2) i (4.6.2-3), koji opisuJu porast entalpije, dobija se daje
dH dp
I
-V
(4.6.2-4)
)s
Usl\w da jc dH lolalni diferencipl daje, preko jednakosti dvostrukih izvoda, relaciju
Osim unutrasnje energije U = u' (S, v), eillropije 5 = S (T, V) II fenol1lcl1oloskoj termodinulllici termodinami6kog sistema operise se i sa nizom drugih funkcija stanja, koje Sll od inleresa U odredenim situacijama. Najvaznije
su : entalpUa, Helmholcova slobodna energija i Gibsova slobodna energija (slobodna entalpUa). lzraz za promjenu unutrasnje energije moze. se prosiri vanjem sa d(p V), tran~formisali tako da pritisak postane nezav'isno promjenljiva velicina: d(U + pV) = dU + pdV + Vdp = T dS - pdV + pdV + Vdp = TdS + Vdp
( av\
(aT\ 1 ~ as)1' \ dp )1
I-I
=1-
(4.6.2-5)
lJ izobanim procesima entalpija igra istu ulogu koju ima unutrasnja energija u izoterl1ll1im procesima. Za razliku od procesa koji se odigravaju pri stalnoj zaprcmini, gdjc je apsorbovana loplola jcdnaka promjeni unutrasnje energije sistema, u sisLel1lima gdje se promjena stanja vrsi izobarno, apsorbovana kolicina toplote trosi se ne sarno na promjenu unutrasnje energi;e . ~J SIS lema yec i na \Tsenje rada sistema tla okolinu.
Ako pri izobarnom procesu sistem prima kolicinu toplote iz okoline, promjena entalpije je pozitivna, a takav proces se naziva endotermni proces. U
Uvode6i novu funkciju stanja
dobija se relacija
1111li a koristeci relacijll: dS = 8Q / T sljedi daje dH = 8Q, tj. kolicina toplote . koju sistem primi jednaka je povecanju njcgove entalpije. Ako je H funkcija nezavisnih velicina S i p , lad a se njen totalni diferencijal moze prikazati kao:
H= U +pV
(4.6.2-1)
dH= TdS + Vdp
(4.6.2-2)
reakcijamLl u kojirna se gubi dio ul1utrasnje cl1ergije sistema pri konstantnom pritisku, promjcna cntropije je negativna jer sistem odaje kolicinu toplote a tak\'i procesi sc nazi\aju egzoterl1llli procesi. Kao primjer za ovaj proces moze posluziti proces mrznjenja vode.
Ovako uvedena fllllkcija slanja naziva se [oplotna funkcija na stalnom pritisku iIi entalpija i predstavlja toplotni saddaj koji sistem prima pri izobarnom procesu. Dakle, njen fizicki smisao se istice u situacijama kada sistem vrsi proces pri konstantnom prilisku. Tada je promjena pritiska jednaka
NajceSce se energetske promjene pri hemijskim reakcijama izrazavaiu preko promjcne entalpije, koja jc jednaka kolicini razmijenjene toplot;e encrgijc pri konstantnom pritisku. Enlalpija je funkcija stanja jer zavisi same od pocetnog . krajnjeg stanja, a ne od puta po kojem se vrsio taj proces. Apsolutna vrijednost entalpije ne moze se izracunati, isto kao ni vrijednost
140
J41
unutrasnje energije. Medutim, promjena entaipije od pocetnog do krajnjeg stanja moze se izracunati i ona je jednaka toploti koju sistem prima iii odaje u uslovima p =const. Dakle, promjena entalpije till je definisana kao top Iota reakcije na konstantnom pritisku. Na primjer. promjene entalpije u organskim hemijskim reakcijama zaVlse uglavnom od promjena jacine veza tokom reakcija.
toplote sistemu dijeli na unutrasnju energiju i zapreminski fad, ali ne objasnjava medusobni odnos unutrasnje energije i rada u funkciji pritiska, zapremine i temperature. Drugim principom termodinamike se kroz stepen iskoristenja objasnjava se cinjenica da ulozena energija na visoj temperaturi moze da sc koristi kao slobodan rad na nizoj temperaturi. Tu se prvi put govori o pojmu slobodnog rada, tj slobodne energije.
Vrijcdnost till moze se u tim reakcijama izracunati oduzimanjem zbira energija formiranih veza od zbira energija raskinutih veza:
U prirodi postoje termodmamicki sistemi u okvihl kojih se odvijaju procesi koji Sl1 egzotermni (dH < 0), i kod kojih se povecava entropija
Zhzr cncrgija )_ [Zhzr energija ) = till [ raskinlltih veza fnrmiranih veza Ako su stvorene veze jace od raskinutih, vrijednost till je negativna i reakcija se definise kao egzotermna (oslobada se toplota). odnosno, ako su stvorene veze slabije od raskinutih, vrijednost till je pozitivna i reakcija se definise kao
endotermna. Pri konstantnom pritisku (u vebni slucajeva to je atmosferski pritisak) odigravaju se mnogi fizicki procesi, razne hemijske reakcije, kao i vecina procesa u bioloskim sistemima. Kako entalpija hemijskih supstanci zav~i od pritiska i temperature, uobicajeno je da se entalpijske promjene daju na standardnim uslovima, odnosno pri pritisku od P = 101,325 kPa i na temperaturi T = 298 K za 1mol supstancije. Ta promjena entalpije pri standardnim uslovima naziva se standardna entaipija I1f{' . Ako se radi 0 nekim drugim uslovima onda se mora naznaciti 0 kojoj se temperaturi radio Isto tako uobicajcno je da se energetskim promjenama, odnosno promjeni entalpije daje ime po vrsti reakcije (npr. entalpija stvaranja, entalpija neutralizacije, entalpija sagorijevanja, itd).
4.6.3 Helmhokova slobodna energija Drugi princip termodinamike definise termodinamicku finkciju stanja entropiju, a kombinacijom prvog i drugog zakona termodinamike definisane su jos dvije termodinamicke funkcije - Helmholcova slobodna energija i Gibsova slobodna energija (slobodna entalpija), koje u svojoj formuJaciji koriste entropiju. Prvi princip termodinamike objasnjava zasto se dove dena kolicina 142
sistema tokom reakcije i raste temperatura (T!1S > 0). Tada je till - T!1S < 0. A kod endotermnih procesa ( dH> 0), a entropija se povecava tokom reakcije, pri ceml1 temperatura ostaje konstantna ( TdS >0), tad a je dH - TdS > 0, ako je dH > TdS iIi dH - TdS < 0, ako je dR < TdS . Dakle, za razlicite reakcijc postoje razlicite vrijednosti dR i dS na razlicitim T. Zato se zbog slozenosti problema U\'odi nO\'Cl termodinamicka velicina, koja je jednaka razlici izmedu dvije termoelinamicke funkcije elf-{ i TdS, koja se naziva slobodna energija. Posto svaka reakcija na konstantnom pritisku ima svoj toplotni efekat dH (entalpiju) i u isto vrijeme je pracena promjena entropije sistema, ukupni energetski bilans entalpije i entropije n
sa d( - TS) , dobija se d (U -TS) = - p dV - OAk + T dS - SdT - TdS ,odnosno,
d ( U - TS) = - p d V - OAk - SdT lTvodenjem termodinamicke funkcije: F prethoelni izraz postaje
= U - TS , tj. slobodne energije, (4.6.3-1)
Fizicki smisao slobodne energije se najbolje sagledava u situaciji kada je konstantna zapremina termodinamickog sistema, V = const. Tada ce u nekom
143
Uporedivanjem izraza (4.6.3-3) i (4.6.3-4), koji opisuju porast entalpije, dobija se daje
procesu na konstantnoj temperaturi T (izotcrman proces), sistem 11106i da izvrsi koristan rad samo na racun smalljenja njegove slobodne energije :
(aF \ 1-) --S \ aT v
(4.6.3-2) Helmholc je funkciju F IJazvao slobodna energija iz razloga sto je njena promjena u reverzibilnom izo[crmn0111 procesu jednaka encrgiji koja se u procesu 1110ze « osloboditi» i pretvoriti Ll mehanicki rad. Energija koja se oslobada tokom velikog broJa hemijskih procesa koristi se za pretvaranje u
koristan rad. Na primjer, sagorijevanjc goriva
Ll
(4.6,3-5)
Cslov ela je prirastaj slobodne energije totalni diferencijal daje, preko jednakosti c!vostrukih izvoda, relaciju :
ap "\ = (as '\ (-I ~ aT en Jr
(4.6.3-6)
-1 i
motorima sa unulrasnjim
)1'
sagorijevanjem, itd. Ako sistem pri konstantnim T i V ne vrsi koristan raJ, slijedi daje i dF
= 0,
tj. nema promjene :'.loboJne energijc LI sistemu i ona se nalazi u stacionarnom stanjll (llliIliIllLllllU). Proizvod SdTu izrazll (4.6.3-1) predstavlja vezanu energiju, jer se taj dio unLltra~l1je encrgijc pri izotennnom procesu ne moze transformisati u mehanicki raJ. Net primjer, \eCi dio izohorno ulozene energije za ispannanje neke teenosti trosi se na njen prelazak iz tecnog u gasovito stanje. Ova energija trosi se direktno za raskidanjc medumolekulskih sita koje vladaju u tccllosti tokOlI1 procesa promjcne agregatl10g stanja. Bez ove energije ne bi doslo do filZlle promjene tccnost-para. Zato sto jc ova e~ergija vezana za f aznu transformaci.J u, ta se cnergija zove vezana energija. Osim ove energije postoji i onaj dio toplotnc energijc koji se trosi na rad sirenja. Taj dio energije ne mora se obavezno potrositi. Promjcna agregatnog stanja moze se odvijati i bez promjcllc zapreminc, a rad sircn]a moze da nastupi i naknadno (npr. kao kod parnih masina). Zato se wj dio encrgijc naziva slobodna cnergija. Ukol iko si»lem ne vr~i koristan rad, tad a je slobodna energija Jednaka:
dF
= - jJ d V - SdT
(4.6.3-3)
Kako je je ona funkcija T i V, njen prirast se moze prikazati kao
d
F= ('~) av
dV + T
(aaTF) d T \
v
(4.6.3-4)
4.6.4 Gibsova slobodna energija (slobodna entalpija) Ako se ullljesto zapreminc :,istema. kao Ilezavisni spoljni parametar uzme pritisak, lad a se izraz kojill1 se opisujc prirast slobodne energije .. :
d F = - p dV - OAk - SdT moze transformisati, prosirenjcm sa d(p V) i slijedi da je:
d (U - TS + P V) = V dp - OAk - S dT
(4.6.4-1)
U\odcnjem novc termodinamicke funkcije: G = U - TS + PV, koja se naziva Gibsova slobodna energija (iii veliki termodinamicki potencijal iii slobodna elltalpija ), prethodni izraz se moze napisati kao :
dG = V dp - S dT - OAk
(4.6.4-2)
Veliki temlOdinamicki potencijal je znacajan za biomedicinske nauke, jer se bioloski i biohcmijski procesi desavaju na konstantnom pritisku i konstantnoj temperaturi. Fizicki smisao velikog termodinamickog potencijala najbolje se oglcda u situacijama kada se sistem nalazi na konstantnom pritisku, tj. p = const. Tada prilikom nekog izotermskog procesa sistem moze da izvrsi koristan rad samo na racun smanjivanja njegovog velikog tennodinamickog potencijala:
144
145
(4.6.4-3) Dakle, rad koji se vrsi u izotermno-izobarskom procesu jednak je smanjenju velikog termodinamickog potencijala. Ukoliko sistem pri ovakvim uslovima ne vrsi koristan rad, znaci da je veliki tennodinamicki potencijal dostigao stacionarnu vrijednost (minimum). Kada sistem ne vrsi koristan rad, porast ovog potencijala se moze prikazati kao: dG
= V dp - 5 dT
(4.6.4-4)
a posto je G funkcija 17 i T, to se njen prirast moze prikazati :
(aGl
faG dp-l-l-
dG= -
lap
aT
7
(4.6.4-5)
dT
1z izraza (4.6.4-4) i (4.6.4-5) dohijaju se slijedeee jednakosti: dG
r
dp
I -V
(4.6.4-6)
)7
1z zadna dva izraza neposredno slijedi:
(4.6.4-7)
Dakle. tennodinamicke funkcije stanja jednog tennodinamickog sistema
Ove jednacine predstavljaju osnovne tennodinamicke jednacine i nazivaju se Gibsove jednaCine. U ovom obliku termodinamicke funkcije stanja U, H, F G naziv,~u se termodinamicki jJotencijali. Postoji analogija izmeou termodinamickih funkcija slobodne energije F i Gibsovog potencijala G. Siohodna energija u izotermno-i70hornim procesima ima istu ulogu kao i Gibsov potencijal u izotermno-izobarskim procesima Zbog toga se i Gibsov potencijal naziva GibsO\'a slobodna energija, Gledano sa stanovista termodinamike hemijska reakcija ee se odvijati pretezno u smjeru nastajanja proeillkata ukoliko se energija sistema smanjuje, a entropija poveeava. U hemiji se reakcije najceSce provode pri konstantnom pritisku (atmosferskom), a funkcija koja nam kaze koji je smjer odvijanja reakcije povoljan (prema produktim
su definisane kao funkcije sljedeeih parametara:
4.6.5 Hemijski potencijal U = U(V, S), H = H (17, 5), Dok su njihove definicione relacije :
F = F (V,
= - p dV -
dU = T d5 - p dV,
dF
dH= Td5+ Vdp,
dG= Vdp -5 dT
146
n.
5dT
G
= G (p,
T)
Na osnovu relacija kojima su definisani termodinamicki potencijali, moze se zak1juciti da oni spadaju u ekstenzivne termodinamicke veiiCine, tj. njihova vrijednost je zavisna od broja molekula u sistemu. Gibsova slobodna energija sistema je aditivna (ekstenzivna) veliCina, jer predstavalja slobodnu energiju nekog sistema koji se sastoji od komponenti i faza koje se nalaze u
147
nekom medusobnom odnosu ravJ10teZc iii neravnotcZe. Sto je mas a komponenti u sistemu veca. to je veca i energija Gibsa tog sistema. Nekacla je 'potrebno pratili prornjenu sloboclne energijc same jcdne komponente u sistemu. pa je njena slobodna energija clio ukupne slob~~n~ encrgijc. Taj dio se nazinl parcijaland sloboclna energija .. iII hemlJskl potencijal. Ona se odreduje tako sto se prati njena molarna vrIjednost. Dakle, hemijskim potencijalom date materije J-lk naziva se velie ina, brojcano je~naka energiji Gibsa, racul1ata po jeclnom molu d3te materije. Hemijski potenclpl s~ matematicki clefinise kao parcijalni iz\od encrgiJe Gibsa G po nckoJ koliCini k-te materije pri kon:-.wlltnoj temperaluri T, pritisku p, I kolieini svih clrugih materija
III (
Jednaeine (4.6.5-3) poznate termodinamickom sistemu.
su
kao
Gibsove jednacine u otvorenom
Po svojim osobinama hemijski potencijal
,u mogao bi se uporediti sa
elektricnim iii gravitaeionim poteneijaiom, jer se se moze odredivati za odredene komponente u razliCitim djelovima sistema. Na osnovu njega se moze odrediti tendencija neke supstancije da reaguje iIi tendencija nckog procesa da se odvija U odredenom praveu. Po pravi\u, smjer transformisanja neke supstancije uvijek ide od viseg hemijskog potencijaia ka nizem hemijskom poteneijalu, sto znaci da sistem u cjelini tezi stanju sa najnizim moguCim sadrzajem energije.
1 :;tk ):
4.6 Osnovni kriterijumi termodinamicke ravnoteze
(4.6.5-1)
O\() parcijalna prol11jcna Gib"o\c ~Iubodnc energije sistema koja se 11;, i tu lla njen hemij~ki potencijal. U odnosi samo na komponcntu mnogokomponentnim sistemima, s\aki sastoiak moze da reaguje sa ostalim komponentama u sistemu. Iz tog razloga hernijski potellcijal svake komponente je funkcija sastava sistema. oclnosno, bruja l1lolu\a s\ake komponcnte u sistemu:
(4.6.5-2) . A l t 'I u ne 1~om s'I~"teInu zanemarlJ' iva Ako .ie interakcija lzmcuU (Omponen mala, a hcmijski potCllcijal k-te komponcnLe za\'isl same od kolicine sopstvene komponente, a ne i od kolieine drugib komponenti, takav sistem predstavlJa idealnu smjdu ( npr. smjcsa ideal nih gasova, razblazeni rastvon, ltd.). Promjene termodinamickih poteneijala, pri promjeni broja cestica sistema, mogu se napisati kao:
dU=TdS-pdV+J-lclN, dF= -pdV-SdT+,udN dH
= T dS + V dp+ f.1 dN,
dG
= V dp - S dT + f.1 clN
148
1 J
(4.6.5-3)
Termodinamicki sislem, koji je izo]ovan iz okoline, dostize stanje ra\llOteZc pri maksimalnoj enlropiji (odnosno minimalnoj unutrasnjoj energiji). Tada s\a Jruga bliska stanja imaju manju entropiju i prema drugom zakonu termodinamike, nemoguc jc prelaz sistema u takva stanja. LJ otyorenim termodinamickim sistemima, kakvi su biolo§ki sistemi, koji sa okolinom razmjenjuju masu i energiju, tendcncija je suprotna, sto znacu da su bioloski sistcmi neraVl1otezni. Tretman bioloskih sistema mora, dakIe, biti zasnovan na neravnoteinoj termodinamici, pomocu koje se omogucava definisanje us10va stabilnosti bioloskih sistema. L llcravnoteznim sistemima sve njegove karakteristike su i funkcijc vremcna. U njima postoji mogucnost proticanja procesa zabranjenih u zatvorenim sistemima, sto je od presudnog znacaja za biologiju ( npr. aklivni membranski lransportjona natrijuma i kalijuma u pravcu porasta njihovih koncentracija). Gibs je formulisao osno\'llC principe temlOdinamicke ravnote.ze za izolovanc sisteme, koji se s\ode l1a sledece opste konstatacije: ako se sistem nalazi u termodinamickoj ravnoteii, tad a ce pri 111a kakvoj promjeni stanja koja ne utice na energiju sistema, varijaeija entropije moratibiti manja od nu1e iii jednaka nuli; pri bilo kakvoj promjeni stanja, koja ne utice na promjenu entropije sistema, varijacija energije mora biti veea od nule iIi jednaka nuli. 1z pomenutih osnovnih principa, Gibs je dao pojedinacne uslove ravnoteze: Za tennodinamicke sisteme sa konstantnim ViS, kombinacija prvog i drugog zakona termodinamike daje
149
(4.7-1)
dU + pdV - TdS ::; 0) Kako
SlI
ViS konstantni, slijedi (4.7-2)
dU::; 0 Dakle, stabilno je stanje sa minimllmom unutrasnje energije. Za sisteme sa konstantnim piS, dobija se uslov ravnoteze
(4.7-3) U izolovanim sistemima sa konstantnim piS mogu se javiti samo procesi kod kojih se smanjuje entalpija sistema, odnosno, sistem je stabilan pri .. K 0 ct SlS . t ema. s"") kon"t')ntnl'm 1/ minimumu enta IplJe. ( ; i T , doblJa se uslov ravnoteze
(4.7-4) Sistem je stahilan pri minimumll slohodne energije. Kod sistema sa konstantnim piT, dobija se uslov ravnoteze y
4.8 Fazni pre1azi Termodinamicki sistem moze sadrZati vise komponenti koje se mogu nalaziti u razliCitim fazama. Pri prelazu iz jedne faze u drugu, u uslovima narusavanja ravnoteZe faza, kaze se da se desava fazna promjena iii fazni preJaz. Fazni prelaz je temlOdinamicki strogo definisan promjenom odredenih termodinamickih funkcija i termodinamickih parametara. Kod visefaznih sistema postoji mogu6nost faznih prelaza. U termodinamickim istrazivanjima registrovan je veiiki broj faznih promjena, npr. prevodenje supstancije iz tecne u gasovitu iii cvrstu fazu, postojanje razlicitih kristainih konfiguracija supstancije (polimorfizam) sa nesto izmijenjenim karakteristikama. Pri faznim prelazima, neki termodinamicki parametri trpe skok, dok drugi ostaju nepromijenjeni. Iz tog razloga, izvrsena je klasifikacija faznih prelaza ( Erenfestova klasifikacija), prema kojoj:
Termodinamicki sistem ima Jazni prelaz n - tog reda za one vrUednosti parametara sistema za koje odgovarajuCi termodinamicki potencijal ima n-1 neprekidnih izvoda, dok n-ti izvod trpi skok, a n +1 izvod divergira. Ve6ina poznatih faznih prelaza moze se svrstati u fazne prelaze prvog i drugog reda.
(4.7-5) Dakle stabilno je stanje sa minimumom termodinamickog potencijala. Gibsova slobo~na enero-ija kontinllirao opada za vrijeme promjene u zatvorenom termodinamick~m sistemu, na konstantnoj temperaturi i pri konstantnom pritisku, dok se ne uspostavi ravnoteZa lz gore pomenutih pojedinacnih uslova ravnoteze uocava se da .se ravnoteZl1O stanje sistema postize kacta odgovaraju6a tennodina111lcka funkcIJa y
ima mimmum.
y
4.8.1
Fazni prelazi prvog reda
su takvi preJazi pn kojima veliki termodinamickl potencijal ostaje nepromijenjen, a prvi izvodi tog potencijala po fizickim paramatrima trpe skok. Za njih su vezane skokovite promjene gustine i unutrasnje energije- (oclnosno zaprcmine i entropije). lJ ove prelaze spadaju npr. prelazi izmedu cvrste i tccne, C\Tstc i gasovite iii tecne i gasovite faze. Kolicina toplote po jedinici mast koja mora da se prenese dok uzorak u porpunosti ne promijeni fazu naziva se topiota Jaznih prelaza (latentna toplota). U tabeli materijaie.
150
Fazni prelazi prvog reda
4.8.1-1
prikazane su toplote faznih prelaza za neke
151
Tabela 3.8.1-1 Toplote faznih prelaza
Toplota .isparavanja [kJlkg]
p
p
452
296 226
cvrsto
kriucna
858
2336 4730
tacka gas
v
T
Ocigledno je da moraju postojati uslovi pri kojima dolazi do ravnoteze dvije (iIi tri) razlicite faze jedne supstancije: pored jednakosti pritiska i temperature u pojedinim djelovima (fazama) sistema, mora postojati ijednakost hemijskih potencijala ovih faza. Uslov ravnoteze faza je, dakle, definisan jednakoscu henijskih potencijala pojedinih faza, pri cemu su oni funkcije temperature i pritiska (4.8.1-1 ) Ovaj uslov mora da slijedi iz relacije: dG = V dp - S dT + f.l dN. Nairne, pri konstantnim p i T,sezajednuidrugufazudobija:dG:=f.ll dN: i dGc=f.lc dN2· Za cio sistem je dG = dG 1 + dG1 ,a zbog termodinamicke ravnoteze, za cio sistem( u kome je uhllpan broj cestica konstantan) mora biti dG = 0 , odakle je : .f.ll dNl = I-L2 dN2 • Kako je dNI = - clN1 ( broj molekula kop. je izasli iz. ?rv~ fa~e jednakje broju molekulakoji su presli udrugu fazu) , defimtlVno se doblJarelaclJa (3.9.1-1). Analogno prethodnom razmatranju, ravnoteza tri faze jedne supstancije definise se uslovom: (4.8.1-2)
(
Kako je ovim definisan presjek triju povrsi, to su rjesenja izolovane tacke u p, T) - prostoru, Cije projekcije na (p, T) ravan definisu trojne tacke u kojimamogu da egzistiraju istovremeno tri faze jedne supstanClJe (sl -+.8.1-1) I-L,
152
Sl. 4.8.1-1 Ravnote±a faza u (T,p) i ( V,p) ravni
Povecanjem temperature, specificna zapremina tecnosti se povecava, a specificna zapremina pare se smanjuje sve do odredene temperature, kada ove zapremine postaju jednake. Ova temperatura se naziva kriticnom temperaturom. Na temperaturi iznad kriticne Tk supstancija moze postojati sarno u gasovitom stanju. Gas cija je temperatura visa od kriticne Tk ne moze da se pretvori u tecnost rna kako bila velika kompresija. Na temperaturama koje su nize od kriticne materija moze, u zavisnosti od pritiska, postojati bilo u gasovitom, bilo u tecnom bilo iSLovremeno u obliku dvije faze. U kriticnoj tacci nestaju razlike izmedu tecnosti i pare, pa je prelaz izmedu njih neometan, tj. specificna toplota prelaza jednaka je nuli, a isto tako i koeficijent povrsinskog napona tecnosti jednak je nuli. U blizini kriticne temperature u cijdoj zapremini gasa obrazuju se i ponovo nestaju lokalni centri zgusnjavanja; usljed toga se ;,)upstancija, u blizini kriticne tacke, zamucena; to je poznato pod nazivom opalescencija. Kod faznih prelaza prvog reda nastaje promjena u rasporedu (pakovanju) cestica supstancije, odnosno u njihovoj uredenosti. Kod cvrstih i tecnih supstanci, pri ovom faznom prclazu, pakovanje moze da bude gusto i rede pakovanje, dok potpuna neuredenost cestica supstancije javlja se kod gasova. Kod cvrstih supstancija sa kristalnom strukturom, cestice oscijuju oko ravnoteznih polozaja na medusobnim rastojanjima koja odgovaraju minimalnim energijama uzajarnnog dejstva na datoj temperaturi. Pri topljenju kristalnih supstancija, njihova prostoma resetka se narusava, a gustina pakovanja cestica se mijenja, i to tako da se ona povecava iIi smanjuje, zavisno od vrste supstancije. Ako se gustina pakovanja cestica povecava pri topljenju 153
supstancije, tj. smanjuje I:astojanje izmedu njenih cestica ( sto se, npL desava pri topJjenju teda), onda nastaje povecanje energije uzajamnog dejstva eestica. Prema tome, toptjenje kristalnog tijela praceno je povecanjem njegove unutrasnje energije za iznos povecanja energije uzajamnog dejstva izmedu njegovih eestica. To znaei da se tijelu pri topljenju mora dovoditi energija. Ukupna poterbna energija za topljenje tijela. na temperaturi topljenja, je toplota topljenja tijela iIi latentna (skrivena) toplota, tj.topIOt~l Oyog faznog prelaza tijela. Ova latentna toplota odlazi na savlaaivanje medumolekularnig sila u kristalnoj resetki, uslijed eega dolazi do top~ienja tijela.
4.8.2 Fazni prelazi drugog reda Fazni prelazi drugog reda su takyi prelazi, pri kojima veliki termodinalllieki potencijal i njegovi prvi izvodi ostaju nepromijenjeni, a njegovi drugi izvodi po terlllodinamiekim parametrima trpe skok. Odnosno, to s~ takyi prelazi koji se desavaju bez prollljene entalpije i promjene zapremine, tj. Mf = T LlS = 0, Ll V = O. U ovom slueaju nema skokovite promjene gustinei unutrasnje energije i za takav proces nije potrebna nikakva latentna ,toplota. Velieine koje t11)e skok u ovom slueaju su one koje su povezane sa drug1ll1 izvodima velikog terlllodinamiekog potencijala, kao sto su specifiene toplote eli i cv, koeficijent termiekogsirenja,koeficijenta kompresihilnosti, itd, . . Dakle, kod faznih prelaza drllgog reda ne mijenja se agregatno stanJe supstancije, ali se mijenjaju neka osnovna fizicka svojstva. Takavi prelazi su, na primjer, prelaz feromagnetika u paramagnetike pri zagrijevanju. U ovom slucaju je pitanju promjena simetrije rasporeda elementamih magnet11lh momenata u uzorku. Kao sljedeCi primjeri faznih prclaza dmgog reda su prelaz teenog helijuma u superfluidno stanie, prom1ena provodljivosti u superprovodljivost kod nekih metala, legura iIi oksida, itd.
4.8 Isparavanje i kljucanje Prilikom prelaska supstancije iz tecnog u gasovito agregatno stanje (isparavanje), iii pak neposrednog prelaska supstanc~je iz cvrstog u gasovito stanje (sublimacija), povecava se unutrasnja energija supstancije. Dovedena kolicina toplote tijela, na temperaturi kljucanja supstancije, jeste top lola isparavanja (ijela. tj. toplota ovog faznog prelaza ( isparavanja), Mehanizam isparavanja moze se objasniti na slijedeCi naCin. Molekuli (iii atomi) koji se nalaze u povrsinskom sloju teenosti (il1 na povrsini sU]1stancllc) odriavaju se u tom polozaju zahvaljujub medumolekulskim privlacnim silama. Da bi eestica teenosti (iIi evrste supstancije) mogla preci u gasovito stanjC, njena kinetieka energija E, mora da bude veca od energije isparavanja Ei , tj.
I11V-
-->
2
E
(4.9-1) I
Ona je jednaka radu koji je potrebano izvrsiti protiv privlaenih rnolekulskih sila i lllolekul se lIdalji iz sfere njihovog uticaja. 1z ovog slijedi da povrsinski sloj teenosti (iIi sustancije) mogu napustiti samo oni molekuli koji zac!ovolja\'aju prcthoc!ni uslo\'. Ovim sc objasnjava zasto pri isparavanju dolazi do hlaacnja teenosti iii tijela. Naime, pozl1ato je da je temperatura tijela odreaena srednjom kinctiekom energijom kretanja njcgovih mokkula. Ako iz tcenosti iIi sa povrsine tijcla iZIau najhrzl molckuli (naJvece kinetiekc energije), onda opada srednja kinetieka energija ostalih molekula, odnosno, temperatura teenosti iIi tijela postaje nih Zbog toga osjecamo hladnocu kada izaaemo iz vode iIi ako na sebi imamo mokru odjecu. Gubitak toplote jc utoliko veci , uk.oliko je intezivnijc isparavanje. Vjctar i strlljanje okolnog vazduha ubrzavaju isparavanje, te pomenuti efekat osjeCamo jaee na vjctru ili promaji. Odriavanje temperature tijela regulise se ovakvim efektom isparavanja na kozi. Zato pri vlaznom vremenu jaee osjecamo vrucinu, jer je tada isparavalDe sa koze neznatno. Da bi se za vrijeme isparavanja teenost odrzavala na konstantnoj temperaturi, mora joj se spolja c!oyoditi toplota. (toplota isparavanja). Dovodenje ove toplote ne dovodi do povecanja temperature tecnosti, nego ide na vrsenje rada pri isparavanju.
154
ISS
Molekuli sa povrsine teenosti iii povrsine tijela isparavaju se na svim
(4.9-1). Islo lako na \\1111 temperaturama postOjl proces vracanja molekula pare u teenost , odnosno na povrsinu tijela, tj. kondezovanje pare. Kada broJ molekuJa koji su napustiii teenost, bude jednak broju molekula koji se vraca.1u u teenost, para se nalazi u dinamiekoj ravnoteii sa svoj0l11 teenoscu 1 nazlva se zasicena para. Dakle, u momentu kada .ie uspostavljena dl!1ami6ka ravnoteZa. broj molekula pare nece vise da raste, para ce biti zasicena, te ce i pritisak pare dobiti stalnu vrijednost, ukoliko temperatura ostaje kOllstanlna. Ovaj pritisak se zove napOll pare, odnosno pritisak zasicene pare. Kada se teenost zagrijeva na visim temperaturama dalazi do burnag isparavanja, adnosno klJueanja. Kljuculljcm se naziva proces pri kome doJazi do isparavallja molekula lZ cijcle zapremillc tecnosti. temperaturama
ako
zadovoljavaju
uslov
Sadrzaj vodene pare u almosferi, odnosno, sadriaj viage, i111a veliki uticaj na meteoroloske prilike, a samim tim i veliki uticaj na bioloske sisteme. Na proces kruzenja vode u prirodi, pored oslalog, i eovjek svojom aktivnoscu svakim danom sve vise utice. To se prije svega odnosi na nekontrolisanu sjeeu suma, stvaranje vjestackih jezera, eksploataciju i preradu uglja j nafte, komplekse hemijske industrije, testiran.1e J111klearnog i drugog oruzja, itd.). Kad vodena para odlazi u atmosferski vazduh, kaze se da vazduh prima vodenu panl. Kada se u vazduhu uspostavi napon pare za datu temperaturu, vazduh sadrzi maksimalnu koJiCinu pare, odnosno zasicen je njome. U zel11ljinoj atmosferi posloje llslovi da se uspostavi napon vodene pare, odnosno da atmosfera dode u stanje zasicenja yodenol11 paramo Mcdulim, slozeni toplotni procesi koji se odigravaju u atmosferi, uticll cia se temperatura vazduha i Zemijilll' povr;ine :-.talno mijcnja, pa se usljed toga mijcnp i brzina
Za proce::o klJucanja vaznu ulogu il1laJu mjeburici gas a (pare) koji se nalaze u tecnosti. Takvi mjehurici obrazuju se na granici teenosti i evrstog
uspostavIjallja llapona zasicene pare u atmosferskom vazduhu. To je od bitnog znacaja za bioloske sisteme.
tijela. MjehuriCi pare koji se stvanju pri kljucanju tec!1osti, najlakse nastaju nZ!
1\a datoJ temperaturi, vazduh moze da primi manju iIi veeu kolicinu \'odcne pare: :v1aksimalna kolieina vodene pare, koju moze da primi Im'
tim vazdusnim mjehuricima. Ovi vazdllsni mjehurici prcdsta\ljaju centre oko kojih pociuje kljucanje. Tecnost u kojoj nema vazduha moze da se pregrije. tj. da se zagrije iznau. Tacke kljucanja a da ne prokljuca. Ako se u tabu pregrijanu teenost ubaci bilo kakva cvrsta cestica, llZ Cljll je ponsinu pn1cl1110 vazduh, ona ce odmah prokljucati. Posto pregrijana tecnost burna klj uea, tezi se cla se pregrijavanje izbegne. DovoUno je u sud sa teenoscu koja se zagrijeva llbaciti kapibrne clJevi u kojima se lako zadrZavaju mjehunci vazduha.Taeka kljucanja tecnosti zavisi od spoljasnjeg pritiska iznad slobodne pO\Tsinc teenostl. Sa porastom spoljasnjeg pritiska, povisav(l se i temperatura kljueanja teenosti.
vazdLiha n'1 odrcdenoj tempcraturi, naziva se maksimalna viaZllost. Maksimalna vlazDost vazduha M raste sa temperaturol11. Kako na datoj tcmpcraturi \azduh DC mora uvijck biti zasiccn vodenom param, tj. moze sadrzati l1cku koliCinu vodcne pare manju od maksimalne, uvodi se pojam apsoJutnc vlazllosti vazduha. Apsolutna viaZllost vazduha ( m ) je kolieina vodene pare koju sadrzi 1 m] vazduha. lako apsolutna vlaznost vazduha pokazuje stvarni sadrzaj vlage u vazduhu u datom trenutku, \la211ost vazduha ne moze da se karakterise preko njegove apsolutne vlaznosti. Neka kolieina vodenc pare u vazduhu net vi~oj temperaturi, koja nije bila dovoljna da zasiti
4.10 Ylaznost vazduha
\azduh, na nizoj temperaturi, ta ista kolicina vodene pare moze da ga u toliko.1 mjeri zasiti da do de do pojave kondezacije, odnosno izdvajanja viska vodene
U zemUinoj atmosferi, vazdusn011l 0l110ta6u nase pianete, uslied permanentnog isparavanja vode sa po\'r~ine zemlje, sa vodenih povrsina rijeka. jezera, mora i okeana, kao i ispara\'anja u bloloskim sisternima. sadrZaj vodene pare neprestalno se mijenja teritorUalno i vrel11enski. Na kolicinu vodene pare u atmosferi utieu razni faktori. kao sto su: temperatura vazduha i vode,
atmosferski pritisak, jacine vjetrova, doba dana i godine, geografski polozaJ, itd.
156
pare u obliku kise, magle iIi rose. Temperatura na kojoj prilikom rashladivanja \azduha nastupa zasiccnje vodenom parom, odnosno na kojoj pocinje kondezacija, zove se tacka rose. Iz tih razloga, "laZllost \azduha se odrec1uje po tome k01iko je trenlltno stanje blizu stanja zasiccnja vJagol11, odnosno pomocu relativne vlaznosti. Relativnll l'/azllost vazdulw 0 definise se kao odnos apsolutne vlaznosti m i maksimalne vlaznosti M, koju vazdllh moze da primi na datoj temperaturi . Ona sc obieno izra.zava u procentima, tj. 157
Glava 5
5 OSCILACIJE I TALASI
(4.10-1 )
b=~·IOO% M
Brzina isparavanja vode u otvorenom prostoru zavisi od relativne vlaznosti vazduha. U potpuno suvom vazduhu relativna vlaznost je 0 % , brzina isparavanja je najveea. Ukoliko je vazduh blize svom zasieenju, ti· ukoliko relativna vlaznost raste, brzina isparavanja opada i jednaka je null kada je vazduh zasieen, tj. kadaje (3 = 100 %. . Relativna vlaznost vazduha igra veoma vaznu ulogu za pOl ave u atmosferi kao i za bioloske sisteme. Na primjer, za odriavanje normalnog rada pluea, relativna vlaznost treba da bude izmeciu 40 % i 70 %. Kada je relativna vlaznost veea, isparavanje tecnosti iz organizma je neznatno, bllo da se radi 0 plucima iii 0 povrsini tijela Tada je reguJacija temperature tijela otezana i onranizam ima manju radnu sposobnost i ima osjecaj omonne. Kad Je relativna vl;znost manja od 40 % , isparavanje vode iz bioloskih sistema je intezivnije. Isparavanje sa povrsine koze moze postati toliko intezivno da se sluzokoza brzo i jako sl1si, nastaje nesnosna zed, promuklost, pucanJe usana, itd. Uredaji koji sluze za odredivanje sadrzaja vodene pare u vazduhu nazivaju se 'higr~metri, koji se zasnivaju na raznim metodama. SadrZaj vlage najcesce se odreduje pomocu tacke rose. Vazduh Cija se vlaznost odreduJe rashladuje se lagano Posto za svaku temperaturu postoji samo Jedna odredena kolicina vodene pare koja dovodi do stanja zasicenja, a to Je maks1malna vlaznost vazduha na toj temperaturi, znaci da je maksimalna vlaznost na tack1 rose brojno jednaka trazenoj apsolutnoj vlaznosti vazduha.
Oscilatornim kretanjem (oscilacijarna) naziva se proces, pri kojem se sistem udaljava od svog ravnotemog stanja i svaki put se iznova vraca ka njemu. Oscilacije predstavljaju vrstu kretanja ili promjenu nekog fizickog procesa koji posjeduju neki stepen ponovljivosti. Ako se to vra6anje vrsi u toku jednakih vremenskih interval a, te se oscilacije nazivaju periodicne. Kod svih oscilacija kretanje se vrsi naizmjenicno u dva suprotna smjera oko polozaja stabilne ravnoteZe. Pri tom naizrnjenicno potencijalna energija tijela prelazi u kineticku, i obmuto. Ovakav naizrnjenicni prelaz jednog obl1ka energije u drugi, moze se smatrati kao jedno od najopstijih svojstava svakog oscilatomog kretanja. U zavisnosti od prirode fizickog procesa koji se ponavlja, oscilatoma kretanja dijelimo na : mehanicka (oscilovanje klatna, treperenje muzickog instrumenta i dr.), elektromagnetska (naizmjenicne struje, elektromagnetski talasi i dr.) i elektromehanicka (oscilovanje atoma cvrstog tijela oko ravnoteinogpolozaja ukristalnoj resetki). Oscilatomo kre"tanje moze da se javi pod razlicitim okolnostima, ali je najces6i uzrok elasticnost tijela. Kada se elasticno tijelo deformise, javlja se elasticna sila koja teZi da tijelo vrati u prvobitni obIik, odnosno u ravnotezno
Pod uticajem takvih sila i inercije tijela, javlja se oscilatomo kretanje. Kao primjer za takvo kretanje moze posluziti tijelo objeseno 0 elasticnu oprugu (sl.5.1-1). U ravnoteZnorn polozaju tezina tijela je uravnotezena silom opruge. Kada se tijelo izvede iz ravnoteznog polozaja, remeti se ravnoteza i javlja se sila koja tezi da tijelo vrati u ravnotezni polozaj. Pod uticajem ove sile tijelo se krece ubrzano, pri cemu njegova potencijalna energija prelazi u kineticku energiju.
T0+ mgLt, . . . . .
!"
81.5.1-1 Oscilovanje tega na elasticnoj opruzi
158
159
Kada tijelo do de u ravnotezni polozaj, prestaje dejstvo sile ali zbog inereije tijelo produzuje kretanje i ualjc nasuprot elasticnoJ sili, koja se sada javlja u suprotnom smjeru i zaustavlja tijelo. Poslije ovoga, tijelo se kreee u suprotnom smjeru i opet uolazi u ravllotezni polozaj, usljed inereije produZava da se kreee, i tako dalje. Tako nastaju oseilaeije. Na slican naCin nastaju l11nogi obliei oscilacija kod razlicitih elasticnih tijela, kao sto su zategnute ziee, membrane, vazdusni stubovi, itd. Oseilaeije nastaju i pod dejstvom drugih sila kojc nisu elasticne prirode. Na primjer, pod utieajem aktivne komponente zcmljine gra\'itacione sile osciluje matematicko klatno. Oscilovanje j0110va oko s\ojih ravnotezmh poloZaja u kristalnoj rdetki desava se pod uticajelll sile elektrostatlcke prirodc. Sve ove sile koje po svojoj prirodi nisu elasticne prirode, ali su njillla anaiognc po obliku zavisnosti od pomjeraja, zovu se kvazielasti(~ne sileo Dakle, elaslicna iii kvazielasticna sila izaziva oscilatorno kretanje. Tak \c sile su pron;jenlj i ve po \dicini i po pm\cu, a intezitet im je srazmjeran pomjcraniu tijela od rmnoteZl1og polozaja One uvijek tde da tijelo vrate u ravnoteini poloiaj, usljed cega se nazivaju re~titucio ne sile. o zavisnosti od karaktem kretanja tijela iii sistema, periodicno oscilatorno kretanje moze biti harmonijsko i neharmonUsko. Ako materijalna tacka iii tijelo osciluje tamo-amo, tj. napnlcd -naz:.ld, oko nckog ra\'l1otcil1og polozaja, pri cemu se kooruinate polozaja ill brzine i ubrzanja mijcnjaju po zakonu periodicne sinusne iii kosinusne funkcije, takvo kretanje se naziva prosto harmon~jsko osciloval~je. Svako drugo oscilovanje tijela, cije se koordinate polozaja milenjaju po bilo kom urugOll1 zakonu, je neharmonijsko oscilovanje. Svako harmonijsko oscilovanje tilda III SIstema oko nekog polozaja ravnoteZe, karakterise se udre(tcnim vel1cinama ( parametrima ) stanja kretanja. Ie velicine su : period oscilovanja T, amplituda A, frekvencija v, kruzna frekvencija W, faza oscilovanja ip, brzina v, ubrzanje a i energija E. Prema vrijednostima pojedinih UVlh vclicina, odnosno parametara, oscilatorna kretanja mogu biti: a) Prema periodu oscilovanja - periodicna, koja se ponavljaju poslije perioda T = COl1st i aperiodicna, ciji je period T:j: const. b) prema amplitudi - neamortizovana, cija je amplituda A = canst. amortizovana, Cija amplituda opada sa vremenom, A -70. 160
c) prcma frekveneiji v - slobodna oscilovanja, kuja se odvijaju bez prisustva spoUasnjih sib i cija je frekveneija v = canst. i prinudna, koja se odvijaju u prisustvu spoljasnjih sila, pa im frekveneija zavisi oel frekvencije prinuelne sile. Udaijenje od ravnoteznog poiozaja u jednom trenutku zove se elongacija, dok je amplituda maksimalno udaljenje od ravnoteznog polozaja. Period oscilovat~ia T je vremenski interval u kome se oscilatorno kretanje tijela ponavlja na isti nacin, odnosno to JC vremenski interval izmedu dvije uzastopne jednake faze oscilovanja. Faza oscilovanja (jJ, iii krace faza, je trenutno stanje odredenog oscilovanja, tj. odredeni polozaj elengacije, brzine i ubrzanja o>.cilatora u datom vremell:-,kol11 trenutku. Oclnos broja oscilacija n i vremena zove se frekvenc~ia (ucestanost), v = 1IT To znaci da se frekvencija moze izraLili kao broj oscilacija u jedinici vremena. Za n = I, vrijeme t odgovara
t
periOdU T oscilacije, tj. t = T Tada jc v ( ] Hz), tj. jedna oscilaeija Ll sekundi.
5.1.1
= liT
ledinica za frekvenciju je here
Prosto harmonijsko oscilovanje
Oscilacije imaju najprostiji oblil\. bela se vrse po pravoj liniji i kada je sila koja vraca tiJdo u ravnotdni poloza] proporcionalna Llstojanju od ravl1oteinog poloZaja, odnosno, kada je restituciona sila srazmjerna elongaciji :
F=-kx
(5.1.1-1)
Ovakvo oscilovanje se obicno n2lZ1Va prosto harmonijsko oseilovanje. Neka tacka M vrsi staltlO kretanje po krugu poluprecnika R (sl.5.1.1-1). DiferencijalI1:l jedn:lcina kretanja tacke IV[ biee: 2
d x
117--. =-kx
dt
(5.1.1-2)
2
iIi 2 d x k --=--x dt" m
1
161
vdv=-OJ 2 xdx
Elongacija x je funkcija vremena t, a u gornjem izrazu je drugi izvod
neg~ltivne konstante -kim i same funkcije x. Ovakav izvod je mogu6 ako je x periodicna funkcija vremena t.
funkcije jednak proizvodu
a integracija ovog izraza daje
gclje je c konstanta integracije. Odavde je
V=~=)2C-OJ2X2
==
ell
\ -
gcljeje
:
(j)~X,~_X2
xr: = 2~' ,nova integraciona konstanta. pa imamo or
_________~O~,:.·0===~.~ML't.--------~~ x ,< x >: :xo
Daije integriranje daje
x arcsin -=wr+({J" Xo
SI. 5.1.1-1 Harmonijsko oscilovanje
gdje je ({Jo nova integraciona konstanta. Konacno se elobija Sa slike vidi se cia je x = x" cos (J) t , pa imamo cia je
(5.1.1-4)
x=x" sin (OJt+({J,,)
dx --=-OJX d[
.
"
Sill
OJt
lednacina (5.1.1-4) predstavlja jednaCinu harmonijskog oscilatornog
kretanja. Velicina d2 x ' --=-or x coswt= dt2
?
-ur x,
oscilovanja i karakterise oscilovanje u pocetnom trenutku momentu vremena t
odnosno,
=
(S.1.l-3)
W
2
=~ >0. lednacina (5.1.1-3) je obicna diferencijalna jednacina m
drugog reda sa konstantnim koeficijentima. dx dlx KakoJ'e v--- odnosno, - - 1 =
-dt'
dr
162
t + ({Jo naziva se Jaza oscilovanja i odreciuje vrijednost
pomjeraja x u clatom trenutku \'I'emena Konstanta ({J" nazi\'(l se pocetna Jaza
0
gdje je
(j)
0. Faza oscilovanja izrazava se u raclijanima iIi stepenima. Posto je sinus
periodicna funkcija, period iIi traj:mje oscilocijc T je vrijeme za koje se izvrsi jedna oscilacija, tj. faza oscilo\'anja dobija prirastaj za 2n. Brzina oscilujuce tacke jednaka je vremenskom izvodu pomeranja x, a njeno ubrzanje nnamo
(l
drugorn izvodll pomeranja x. Neka je pocetna faza ({Jo=O, pa
dv
V
(5.1.1-5)
--d ' imamo daje x
163
dv a == dt
2
d X.. 2 lr) 2 . ( , =-2-=X ==Xo W cos( wt+- ==x()w SIn wt+lr) , dt
Ako je otklon klatna mali, sin e"'"e
2
odnosno
vrsi (5.1.1-6)
lzrazi (5.1.1-5) i (5.1.1-6) pokazuju da se brzina i ubrzanje osciluju6e tacke mijenjaju sa vremenom t po istom zakonu kao i elongacija x, i to sa istom kruznom frekvencijom W i periodom T, ali sa faznom razlikom CPo. Brzina v je
, tada
e
dovoljno
M
matematicko klatno
harmonijsko
oscilovanje
oko
ravnoteinog poloZaja, priblizno po pravoj
T
liniji. J ednacina kretanja matematickog klatna za male otklone bice onda III ({/= -
mg
8
(5.2.1-2)
fazno pomjerena za n!2 u odnosu na elongaciju x, i ima maksimalnu vrijednost
mg
w x" pri prolazu oscilatora kroz ravnotdni polozaj, a minimalnu vrijednost jednaku nuli u amplitudama (x=± x(). Ubrzanje a je fazno pOllljereno za 1( u
Sl. 5.2.1-1
odnosno 2
e
d dt"
odnosu na elongaciju x, a za 1(/2 u odnosu na brzinu v.
171 / - - , =-/71
5.2 Harmonijsko oscilovanje klatna
d2
Pod klatnom se podrazumijcva oscilovanje objesenog tijela oko ravnotdnog poloZaja. Oscilovanje klatana se vrsi pod dejstv01l1 gravitacione iii neke druge sile, koja se pokorava zakonu f == - kx, a koja nije po prirodi elasticna, i naziva se kvazielasticna sila.
e
?e
- - +w- = d t" " gdje je w,~
== g
f?
'
e
. -
, gdJe Je
a,
==
-
2
I cx=
e
{d - - 7 ,paJe dr
0
\ (5.2.1-3)
! 1 . Rjcsenje dobijene diferencUalne jednaCine.ie oblika
(5.2.1-4)
5.2.1 MaternatiCko klatno
e
elongacija oscilovanja klatna, eo amplituda, cpo pocetna faza a Wo gdje je kruzna frekvencija.
Matematicko klatno je idealizovan sistem od ncistegljive niti (zanemarljivo male mase) duzine /, 0 koju je okaccna materijalna tacka mase m, tj. tcZine Q = mg (sI.5.2.1-1). Ako sc klatno izvede iz ravnoteZnog polozaja za neki ugao
e (ugaoni
pomjeraj), tad a normalna komponenta sile teze
fn==mgcose bice uravnotciena silom zatezanja konca,
a
tangencijalna
Period oscilovanja matematickog klatna, amplitudama je
.I; = - mg sine
(5.2.1-1)
w
164
e.
11~
(5.2.1-5)
(1 \.,
Ova fom1Ula je samo aproksimacija izraza koji cemo dati u konacnoj formi, a koji u sebi sadrzi i zavisllost pcrioda oscilovanja od amplitude oscilovanja
primorava otklonjeno k1atno da se krece ka ravnoteinom polozaju, a znak minus pokazuje da ta sila ima smjer suprotan ugaonom pomjeraju
osciluje sa malim
2lr [T T=-=2Jr /II
komponenta sile teze
koje
I' 1.. eo I 3 )7- . 8" Ll1+-S111 -+(--sm -+ ... ~g 2 2 \24 2 .--i
T= 2lr
2
4
165
(5.2.1-6)
5.2.2 Fizicko klatno
8 =8(t) =8" sin (wt+cp,,)
Fizicko klatno je tijelo proizvoljnog oblika koje se moze slobodno okretati oko cvrste horizontalne ose (s1.5.2.2-1). Ako se tijelo izvede iz ravnoteznog polozaja , tdina tijeJa daje moment sile M koji teb da tijelo vrati u polozaj ravnoteze. Moment sile iznosi
gdje je 8 - elongacija oscilovanja klatna(ugaoni pomjeraj), - pocetna faza, a 0) - kruzna frekvencija.
(5.2.2-1 )
M =-F ·!=-mg lsin8
gdje je I udaUenost teZista od ose oko koje se tijelo okreee. Znak minus je zbog toga sto moment ima suprotan smjer od smjera u kome se mjeri ugao (moment teZi da smanji ugao). Kao i kod matematickog klatna, nastaee harmonijske oscilacije za male uglove, tj., sin 8 "" 8 (za 8 < 8°). Tada imamo da je moment sile tde
Kako je
(J)
= 2lC =
T
.Jv mgt , llnamo I
(5.2.2-4)
eo - amplituda,
CPo
da je period oscilovanja fizickog
klatna T=2lC
I
I
(5.2.2-5)
~ mgt
Moguee je podesiti duzinu matematickog klatna tako da one ima isti period oscilovanja sa fizickim klatnom. To su sihrona klatna (Tm=Tf)
rt
2lC1/~ = 2lC v
c,
odakle je M= - mg 1 8
(5.2.2-2)
1,,=_1_ m·1
F Posto se kretanje klatna moze shvatiti kao kretanje po kruznom luku, to je prema osnovnoj jednaCini rotacije krutog tijela
mg
Duzina 10 definisana izrazom (5.2.2-6) naziva se redukovana duzina klatna. Fizicko klatno ponasa se leao matematicko klatno, cija je cjelokupna masa skoncentrisana na udaljenosti I" od ose (sI.5.2.2-2)
SI.5.2.2-1
odnosno,
iIi 2
d e 28 = 0 --+w dt 2 ?
(5.2.2-6)
(5.2.2-3)
Tacka Co na pravcu koji spaja osu oscilovanja 0 i teZiste T i udaljena je In od ose , zove se centar oscilovanja fizickog klatna. Osobina centra oscilovanja je da tijelo, objeseno Ll roj tacki, osci luje istom periodo111 kao i da je objeseno oko prvobitne ose.
mgl
gdje je w- = - - . Izraz (5.2.2-3) predstavlja jednacinu kretanja fizickog I klatna, a njeno opste rjesenje ima oblik kao i kod matematickog klatna SI.5.2.2-2
166
167
5.3 EI.ergija harmonijskog oscilovanja Harmonijski oscilator pri svom oscilovanju oko svog ravnoteinog polozaja neprekidno mijenja polozaj i brzinu kretanja, sto znaci da takav oscilator mora posjedov
mlJenJaJu sa vremenom i polozajem tako da, kada jedna ima maksimalnu vrijcdnost, druga ima minimalnu i obrnuto. Ukupna mehanicka energija hannonijskog oscilatora je jednaka zbiru kincticke i potencijalne energije :
,
)
E=Ek+Ep=m~-x,;[ cos"(wt+({Jo) +sin 2 (wt+({Jo)]' odnosno
E ----"- = const.
(5.3-4)
2
F=-kx Dakle, gdje je x=xo sin (wtHPJ pomijeranje tacke iz r:l\"l1otei110g polozaja. Brzina
ukupna
mehanicka
energlJa
hannonijskog
oscilatora
llna
konstantnu vrijednost i proporcionalna je k vadratu amplitude oscilovanja.
materijalne tacke koja osciluje je v= xow cos (wtHP,,) , pa je njena kineticka 5.4 Prigusene (amortizovane) oscilaci,ie
cnergija
(5.3-1)
E,
Potencijalna encrgija harmonijskog oscilatora jcdnaka jc radu restitucione sile pri njegovom pomaku iz ra\l1otezl1og polozaja, x = 0, do bilo kog pomaka
x:Sx o ' uzetog sa ncgalivnim znakom :
l f
fl
kx 2 E.=- Fdx= kxdx=-~ 2 ..
gdje JC
w1
k
=--
,0
Amplituda s\akog oscilovanja materijalnc tacke koja se ne podrzava spolja u toku \Temena se smanjuje, oscilaciju su prigusene. Uzrok prigusenja predsta\ljaju sile koje koee kretanje, na primjer, sila trenja u taeki vjesanja pri oscilovanju klatna iIi sib otpora sredine. Za odredivanje kretanja oscilatora u nekoj viskoznoj sredini neophodno je u njegovoj jednacini uracunati i dejstvo sila otpora. Sile otpora sredine razlicito zavise od brzine kretanja oscilalora. Za male brzine kretanja oscilatora, sile otpora su proporcionalne brzini: njen smjer je suprotan brzini, tj.
(5.3-2)
F=-ri
d nosno,
In
(5.3-3)
(5.4-1 )
gdje je r - konslanta koja se naziva koeficijent otpora. Ova sila se sabira sa elastic nom si\om iIi kvazielastienom silom ( -kx ), pa je ukupna sila koja djeluje na tacku jednaka: F =- kx - r i, tada jednaCina kretanja za priguseno oscilovanje ima oblik:
Izrazi (5.3-1) i (5.3-3) pokazuju da su vrijednosti kineticke i potencijaine
mx=-kx-ri
(5.4-2)
energije u bilo kom trenutku fazno pomjerene za n12, sto znaci da se one odnosno, dijeleCi obje strane ove jednacine sa masom m, dobija se 168
169
·. k r x=--x--x m m
(5.4-3)
,
=OJ(~
,
Tn
2
,
kretanje oscilatora bice aperiodicno.
Dakle, lllozemo napisati da .Ie
Ako uvedu oznake
k
U protivllOlll slucaju kada je (O,~ < [3
~=2/3
..
(5.4-4)
)
z=-or z
In
(5.4-10)
tada se dobija
(5.4-5)
Rjesenje ove diferencijalne jednacine .Ie isto kao i za linearni harmonijski oscilator i ima slijcdcci oblik
Ovo je homogena diferencijalna jednaCina drugog reda, ciji se oblik podesnom smjenom moze dovesti na obtik diferencijalne jednacine harmonijskog oscilatora. U tom cilju uvedi se smjena
(5.4-11 )
x
(5.4-6)
Z
gdjc su 0" i ((J alllplitlld~l i potetna faza, kje se odreduju iz pocetnih uslova. Kako .Ie poloiaj oscilatora odreden promjenlji\'om x i a ne z, onda sm.lenom ::: ix, jcdna('in
gdje je :: - nova promjenljiva a /3 koeficijent i? jednacine (5.4-4).
(5.4-12)
Ako se izvrsi smjena promjenljivih ujednaCini (5.4-6), koristeCi relacije
Ova jednatina predstavIla zakon kretanja oscilatora pod dejstvom elasticne sile i silc otpora qedine. To je osci iovanje cija se amplituda Sm:11ljl1je po zakonu:
. /3 e -Pi Z. z-
x
X,,=(,-pr 7-7/3e-f3'7+/3 '
"-.,
~
...."
pa imamo
A (t)
= one -Iii
I ---{
{/() e
2111
(5.4-13 )
2f3 7+f3 2 7--",27 -t-' 2f32 ,7-7f3;' , - (, "
"
-
t.V 0 ,.
iii
z
(5.4-7)
Ova jednacina predstavlja diferencijalnu jednacinu hannonijskog oscilovanja po promjenljivoj
z, cije rjesenje zavisi od koeficijenta
tj. perioda priguscnog oscilovanja sm
(5.4-8) Premajednacini (5.4-7) koeficijent w,~
- f32 =w 2 za oscilatorno kretanje treba
da bude pozitivna velicina, sto znaci, da je koeficijent otpora sredine mali i da zadovoljava uslov
Period prigusenih oscilacijaje onda: T= 2n
w
2n
~w,~ - f3"
2n III
(5.4-14)
I.·U··~···
(5.4-9)
170
81.5.4·1
171
....
drugim rijecima, trazicemo Ijesenje pretpostavljajuci da se, kao rezultat svih sita, dobija oscilovanjc Ciji je period isti kao i period prinudne sile. Diferencirajuci jednaCinu (5.5-4) imamo
Koeficijent prigusenja {3 odreduje brzinu smanjenja amplitude oscilovanja. Zgodnije je, medutim , da se step en prigusenja izrazava preko jedne vclicine koja je jednaka prirodnoll1 logarjtmu odnosa dvije uzastopne amplitude u vremcnskom intervalu od jcdne periode oscilovanja. Ta veliCina se naziva logaritamski dekrement prigusenja
.r=- a W sinew t Hp) x=- aw"
COS(WtHp)
(SA. IS)
pa ako ove izraze zamijenimo u jcdnacini (5.5-3), dobijamo - (IW
5.5 Prinudne oscilacije
cos(w tHp) =- a w 2 cos(w t +rp) + 2{3 awsin (w t+ rp) + II cosw t
ili, predstavljajuci trigonometrijske funkcije od slozenog argumenta u raz\ijenol11 obliku
Posmatrajmo oscilacije koje vrsi materijlna tacka ako na nJu pored elasticne sile i otpora sredine djeluje i neka Jopullska periodicna sila. Ukoliko se ta sila, pod cijim se dCjstvOlll vrse prinudne oscilacije moze predstaviti sinusnom iIi kosinusllom funkcijom, tj. da ona ima, npI'. vrijcdnost
(/W
II =H coswt
2
2
(coswt ·cosrp-sinwt ·sjnrp)=-aw,~(coswt ·cosrp-sinwt ·sinrp)+ + 2{3 Wa (sinw[ . cosrp+ coswt . sin rp)-t- It coswt
(5.5-1)
gdje je H amplituda a w kmzna frckvencija prinudne sile, onda se oscilovanje sistema pod dejstvom tak ve silc naziva prinudno harmonijsko krctanjc. C o\"om slucaju diferencijalna jcdnacina kretanja sistema bice: m x = - kx - r x+ H cos W t
Da bi se mil jednacina prctvorila u indetitet, treba da koeficijenti uz coscot budu jednaki sa obje strane jednakosti, a isto tako i uz sinw t, pa imamo - a w" co~ rp =- Cl w,~ cos rp + 2{3
a wsin rp + h
aw" sin rp=aw,~ sinrp+2{3 awcosrp
(5.5-2) iii
H
0
k
111
m m
x =-w,~x-2{3 x+h COSOJt
(5.5-3)
(5.5-4) 172
(5.5-5)
u(w,~ -(2)sinrp+2{3awcosrp=O
(5.5-6)
Izjed. (5.5-6) dobijamo 2{3 w
Kada nema prinudne sile i sile trenja, sistem osciluje s kruznom frekvencijom Wo (sopstvenc oscilacije). Jednacina (5.5-3) predstavlja nehomogenu difcrencijalnu jednacinu drugog reda. Pokusajmo da nademo rjeSenje ove jednaCine stavljajuci da je
x=a cos (w t + cp)
a(w~ - ( )cosrp-2{3a W sinrp =h 2
r
Ako oznaCimo sa h=-, w,~ =-, -= 2{3 , dobicemo
tgrp=-?
w,~
,
(5.5-7)
- w-
Ako jednacine (5.5-5) i (5.5-6) kvadriramo pa ih onda saberemo, dobijamo i
173
Ako je otpor sredine jednak nuli, tj
odakle jc h (/=
~(w,~
(5,5-8)
_0/)2
+4f3
2
W
2
Jcdnacina prinudnog kretanja oscilatora im(lce onda slijedeCi oblik
h
,r
2f3w
- -;=-'=====:::c:===;'" cos ( W 1 + [/ rc tg - ,- - 2 ) w,~
(5,5-9)
13 =0, maksimalna amplituda dobija se kad
je OJ"", =OJ". Pojava, kada koda amplituda prinudnog oscilovanja naglo raste pri odredenoj vrijednosti frekvencije prinudne sile, naziva se mehanicka rezonancija. Frekvencija spoljasllje sile pri kojoj nastaje rezonantno oscilovanje, naziva se rezonantna frekvencija. Rezonancija je cesta pojava u mnogim mehanickim, elektri(~nim, akllsticnim i drugim uredajima.
-w
5;6 Talasno kretanje . ' ]. 1 . 1 'h laci.I'a, lzrazi (5.5-7) i (5,5-8) predst()vlj;)jll iazli 1 amp IIUC 11 pnnuc III Iz ovih formula sc vidi da amplituda (i i fa7;) (ll prinudnih oscilacija zavise oei ocinosa frckvenciic (jJ prinudllt' silt' i frekvcncije (r)u sopstvenih oscilaci,ja onda prell1(l jcdnacini (5.5-8) (lmplitud;l (/ prinllcinog oscibtnr;1 Ako j; 13 , . . k I " ! !lOS,t ()! pI'l'I~I'lzva"a (I) K'lci J'e (1)= (0, 'lmj,li1Uda oscllo\';m,Fl ra.stc. 'ae sc vrlJcc U ." • ('" ' " ' prinudnng oscilovanja tcorijski tdi beskonacnosti, , Ako jc j3 *0 tj, kad poslnji prigllsivanje oscilacija. Ollda amplItuda zavisi i od kocficijent
13 '
a dostize maksimalnu vrijednost kad
1/
imenitelj
jednacine (5.5-8) i11la mini11lalnu vrijednost h (/=
d
~(W(~
[(OJ"
dW"
_0)2)2
-0J")2
(
+4f3 2w
2
+41320/ r~ = O.
odaklc jc
Fosto
CD
ni.le I1ula, imenitelj izraza (4, J .5-8) dostize maksimum za (5.5-10)
, Pojava ovog maks111ll1ma pre dstay j'P u stvari PO]' avu rezonanciJ' e, pa je rezonantna amplituda jednaka 174
Neka se tacka koja oscilujc nalazi u nekoj sredini, Ciji su svi djeliCi povezani meau sobom Tada se encrgija oscilovanja tacke moze predavati okolnim tackallla, lZazl\'alllCi niihovo osciIovanje. Pojava prostiranja poramecaja (oscilm':mja) u llckoj sredini nazi va se talasni proces iIi talas. Talasno kretanje je jedn<1 ud llajra~prostranjeJlih pojava u prirodi. Pojave kao sto Sll zVllk, syjc!lost, razne vrste elektromaglletnog zracenja i pridruzeni fenomeni kretanju mikrocestica, predst:l\'ljaju razlicite obi ike talasnog proccsa. Kod svih tih procesa vrsi se prenosenje energije sa jednog mjesta na drugo na dva 11aCina: kretanjem cestica, talasnim kretanjem (osci lovanjem) cestica sredina iIi oscilovanjem pojedinih velicina koje karakterisl1 odreaeni talasni proces. U zavisnosti od prirode talasnog procesa i sredine kroz koju se prenosi mehanicki, lzazvam talasni poramecaj, pos(oji vise vrsta talasa eIektromagnetni, i kvantnomehanicki iIi taIasi \jerovatnoce. Mehanicki talas javlja se u elasticnoj sredini kada se u njoj izvrsi neki poramecaj, odnosno elasticna deformacija kOj8 izaziva oseilovanje nekog dijela elasticne sredine. U elasticnoj sredini postoje elasticne veze medu cesticama, usljed kojih se deformacija prenosi sukcesivllo na ostale cestice. Usljed inercije cestica deformacija se ne prenosi trenutno, vec iz\jesnom konacnom brzinom koja zavisi od elasticnih svojstava srcdinc. Elektromagnetni i talasi materije mogu se prostirati i u vakllllmll. Talasi materije, tj, talasi vjerovatnoce (de Broljevi talasi), predstavIjaju pridruzeno svojstvo mikrocestica i izazivaju mjerljive efekte u slucajevima kada sc te cestice krecu brzinama koje su bliske brzini svjetlosti, Svi taIasni procesi, bez obzira na razlicitu prirodu, posjeduju neka zajednicka svojstva i odreaenc zakonitosti, po kojima se odreauje njihovo 175
efekte u slucajevima kada se te cestice kreeu brzinama koje su bliske brzini svjetlosti. Svi talasni procesi, bez obzira l1a razlicitu prirodu, posjeduju neka zajednicka svojstva i odredene zakonitosti, po kojima se odreduje nJihovo prostiranje u bilo kojoj sredini. Razmotrieemo mehanicke talasne procese, kOjl se desavaju u svim elasticnim sredinama, a koji su usko povezani sa harmonijskim oscilator!1ll11 krctanjcm materijalne tacke. Pri sirenju oseilovanja oseiluJuei dJeliCi ne premjestaju se zajedno sa prostiranjem oscilovanja, nego osciluju oko svojih ravnoteZnih polozaja. Karakter talasa zavisi od elasticnih svojstava sredine kroz koji se prenosi uspostavljeni talasni porameeaj. Ako djelic osetlu]e po pravoj duz koje se siri talas, takav taJas zove se longitudinalilim (sI.5.6-1u), i oni su uslO\ljeni zapreminskom elasticllom dcformacijom elasticne sredine, a mogu se prostirati kroz bilo koju sredinu. Takvi talasi su, na primjer ZVUClH talasi. Ako Je oseilovanje djelica normalno na pravae talasa, takav talas zove se transverzalnim (s1.5.6-1 b).
?\a sl.(5.6-2) sematski Je prikazan model nastajanja sirenja transverzalnog talasa kroz elasticnu jednodimenzionalnu sredinu (zategnuta ziea) za pet uzastopnih momenata vremena od Tl4. Ako posmatrani skup cestiea 1, 2, 3, ... 14, (u prvom redu s1.5.6-2) prikazuje neprekidnu srcdinu, cija prva cestiea kao izvor talasa u vremenu t = 0, zapocinje translatorno oscilovanje. Na taj naCin ona prouzrokuje pomak susjedne (druge) cestiee, koja zbog inereijc ne zapoCinje kretanje trenutno, vee sa izvjesnim vremenskim zakasnjenjem. Zatim se taj porameeaj prenosi na treeu, pa cetvrtu cestieu itd. Pravae i smjer kretanja (oscilovanja) tih cestiea odreden je praveem i smjerom dejstva elasticne sile F . Kada cestica I ,za wijeme t =TI4, dostigne najveee udaljenje od ravl1oteznog polozaj:.t (arnplitudni polozaj), cestlea 4 do koje je dospio talasni poramccaj zapocinje svojc krctanjc iz ravnoteznog polozaja normalno na pravac prcllosenJa talasa. Ta cestica dalje povlaci za sobom slijedeeu cestieu, cije kretanje je takode sa izvjesnim zakasnj enj em. Na taj nacin sve veCi i veCi broj cestica te srcdine zapocJl1je translatorno oscilovanje. I
2
i
"
5
(,
7
X
<)
10
II 12 13 14
~~
I
1,,= 0
"
~'
f: '11:;
x
LL_.L_
4
5
()
7
X . <)
III
I J 12 13 14
a)
SI.S.6-1
Sem:.tlski pribz: a) longitudinalnog b) transverzalnog talasa
I
Transverzalni talasi su uslovljeni deformacijom smicanJa elasticne sredine, pa se stoga mogu prostirati same u sredinama koje posjeduju osobine takve elasticne deformacije (cvrsto tijelo).
176
_I'j
/'-'4
SI.5.6-2 Sem:.t postanka i prostiranja
transverzalnog talasa
177
Po isteku vremena t = Tl2, kada cestica I ulazi u ravnotezni polozaj i mijenja smjer kretanja, cestica 4 dostize amplitudni pomak navise, a cestica 7
pravcima neke sredine odnosno u prostoru . takvi talasi nazivaju se prostorni talasi , npr. zvucni talasi. Bilo koji oblik talasnog poramecaja, bilo da su to
zapoCinje svoje kretanje. Dalji proces prenosenja oscilovanja susjednih cestica
transverzalni ili longitudinalni, izazvan na jednom mjestu elasticne sredine,
odigrava se na anaJogni nacin. Konacno, kada cestica 1 nacini jednu punu
prostire se kroz tu sredinu (kao linijski, povrsinski iIi prostorni) i pri tome na
oscilaciju, talasni poramecaj se prenio do cestice l3, koja zapocinje iz
svom putL! i u svakom vremenskom trenutku pobuduje na oscilovanje sve ve6i i veci broj cestica. ObJast sredine u kojoj sve cestice osciluju naziva se talasno
ravnoteznog poloiaja isto kretanje i u istom smjeru kao i cestica vremenskim kasnjenjem od t
=T
1, ali sa
u odnosu na pocetnu cesticu. Dakle, cestice
I i 13, nalaze se u istoj fazi oscilovanja. Za to vrijeme transverzalni talas je presao put OA = A koji se naziva talasna duZina. Talasna duzina A predstavlja rastojanje izmeciu najblizih cestica elasticne sredine koje osciluju u istoj fazi, a koje talas precie za vrijeme T faznom brzinom v
v 1,=vT=-
(5.6-1)
v
polje. Granica koja odvaja oscilujuce cestice od cestica koje jos nisu zapocele svoje oscilovanje naziva se talasni front. Ohlik talasnog fronta uslovljen je konfignracijom izvora talasa i svoj<;t\'jma same sredine kroz koju se talas prostire. Geometrijsko mjesto tacaka koje oscillljU u istoj fazi, naziva se talasna povrsina. Pravci duz kojih se siri talas od jedne cestice do druge cestice nazi\'aju se talasni :::raci Talasni zr,lci Sll u\·i.iek normalni na talasne povrsine ito na bilo kom mjcstu eJasticne sredine. Talas, cija je talasna povrsina ravna, naziva se ravan lalas. Talasne pO\Tsine ravnog talasa su paralelne ravni (sI.S.6-
v
= lIT
frekvencija talasa. Fazna brzina
v zavisi od elasticnih
3a). Tabsnc pO\Tsinc tackastog iz\wa talasa, koji osciluje u homogenoj i
svojstava i gustine sredine kroz koju se talas prostire. JednaCina (5.6-1) daje
lzotropnoj sredini, imajll ohlik koncentricnih sfera, a zraci talasa su radijalni pravci (sI.5.6-3b). Talas takvog oblika naziva se sferni talas.
gdje je
vezu izmeciu talasne duzine
A, fazne brzine v
i frekvencije
v,
a ove
velicine karakterisu bilo koju vrstu talasnog kretanja. Razlika u fazi oscilovanja izmeau cestice u izvoru talasa (x = 0) i cestice na rastojanju x od tog izvora, iii za bilo koje dvije cestice na rastojanju ~,=xJ -XI'
gdje su
i
Xl
X2
rastojanja tih cestica od izvora do kojih je talas
dospio za vrijeme M = x/v, proporcionalna je tom rastojanju
(5.6-2)
__ +._____ -__ Ako je to rastojanje
I --_.-to>-
fu = Ie, te dvije cestice osciluju u istoj fazi, pa je
odgovarajuca fazna razlika
k = 2n
A
!J.q; =H=2n , gdje je veliCina
= 2n = (() vT
(5.6-3)
v
tzv. talasni broj. Pomenuti transferzalni i longitudinalni talasi, koji se prostiru duz jednog pravca nazivaju se jednodimenzionalni iii linijski talasi (npr. talasi na zici). Meautim, talasi se mogu prostirati i po nekoj povrsini Takvi talasi nazivaju se povrSinski talasi, npr. talasi na povrsini vode. Talasi se mogu prostirati u svim
178
SI.S.6-3
Shematski prikaz oblika talasnih povrsina: a) ra\'nog i h) sfernog tabsa
179
5.7 Jednacina talasa
Ova jednacina vazi za sve tacke na sferi ma kog poluprecnika r, odnosno za cijclo podrucje prostiranja talasa. Ova jcdnacina predstavlja jednacinu
Objasnimo na koji nacin se talasni proces moze analiticki opisati. Neka se u tacki 0 (sI.5.7-1) nalazi oscilator koji vrsi sinusne oscilacije i neka se oko njega sire taJasi u homogcnoj elasticnoj sredini. Neka se tacka A nalazi u takvoj sredini na sferi jednoga talasa. U pravcu poluprecnika r orijentisimo x ~ osu koordinatnog sistema. Posmatrajmo najprijc oscilator u tacki 0 koji osciluje i predstavlja izvor talasa. Prerna ranijoj analizi pros tog harmonijskog
hannonijskog talasa. Kao sto se vidi, ona definise funkciju lJ'(r,t) 111 prostorno-vremensku raspodjelu talasa u sredini koja ga prenosi. Ako je sredina homogena onda ce prostiranje talasa biti jednako u svim pravcima, pa jc U vccini slucajeva dovoljno da uzmemo samo jedan pravac. Neb to bulle pravac x-ose na sI.5.7-!. Tada se jednacina (5.7-2) moze napisati U obliku
kretanja, jednacina harmonijskog kretanja bice
y
'P='P"
x
sinw(t~-)
OVdje su elongacija i amplituda
pred~lavljene
sa
lJ' i ~) umjesto ranijih x i Xl) . Ovo je ucinjeno razloga sto se zeli uopsteno predstavljanje, bez obzira da Ii se radi 0 transverzalnoj iii longitudinalnoj oscilaciji.
(S.7-3j
v
(5.7-1)
a kako je 1:.= w/v = 2n'A, jcdnacinu (5.7-3) mozemo napisati i kao
r
o
A
x
'P ='P" sin ((ut~ W x)='P" sin (wt~kx) v
(5.7-4)
Argument sinusa u jednacini talasa predstavlja njegovu faw qJ. Oakle,
Sl. 5.7-1 Oscilacija izvora 0 siri se u hOl1logenoj sreuini, odno~no, obrazuje se sferni talas koji se siri u okolnu sredillu brzinom v. Presjek jednc takve sfere je krug puluprccl1ika I. PrelllCl prirodi talasllog kretanja sve tacke preko kojih preoe talas, bivaju dovedcne u oscilo\anje sa istom frekvencijom
w,
odnosno
x
qJ=w(t~-)
(5.7-5)
v
sto znaci da je faza talasa vremensko-prostoma funkcija. Ona se za vrijeme
nalaze se na elnifazl1im pO\TSinallla. Meautim, zbog konacne brzine prostiranja
r=T promijcni za lIT rad. a za ista toliko i na putu x=k Ako se ravni talas
talasa svc tacke oko izvora bivaju dovedcne u oscilovanje sa izvjesnim
krecc: u homogenoj i izotropnoj srcdini konstantnom brzinom v, faza talasa u fiksiranoj tac-ki ima kOl1stantnu Hijednost
zakasnjcnjem, koje .ie utoliko veee, ukoliko se posmatrana tacka nalazi l1a vecem rastojat~U ou iz\ora oscilo\anja. To zakasnjcnje prcdstavlja vrijeme za koje talas prede rastojanjc od izvora do posmatrane tacke. Za tacku A i cijelu sferu, ovo rastojanje je poluprecnik r. Tada vrijeme zakasnjenja lako llalazimo iz t = rlv . Tacka A i s\e tacke na sfcri bice dovedenc u sinusl1u o~ci1aciju iste frekvencije, ali vrijemc u odnosu na osciJaciju izvora zaostajati ce za rlv. Tada se moze napisati
'P = Ill" sin w(t ~~)
(5.7-2)
v
x
W (t ~-) = const.
U toku vrcmcna poloZaj tacke sa fiksiranom fazom se mijenja, tj. fiksirana faza se krece duz x-ose odredenom brzinol1l V. Oiferenciranjem izraza (S.7-6) po vremenu, dobija se
dx
dt~-=O,
v
180
(5.7-6)
v
dx
odnosno, v=dt
18l
(5.7-7)
au
Oakle, brzina prostiranja talasa nije nista dmgo vee brzina pomjeranja faze talasa, pa se zato j nazivaJazna brzina. Na osnovu jednaCine talasa moze se odrediti raspodjela brzina oscilujueih cestica i raspodjela deformacija u elasticnoj sredini kroz koju se talas prostire. Brzina kretanja cestica sredine u prilikom njihovog prinudnog oscilovanja u procesLl prenosenja talasa je
u
w
d \.[1
\.[1" w cos (W t - - x) = \.[1"w cos (w t -
v
df
kx)
a 2 \f'
) .
-;-=-1-=- \.[1()wat
ar-
ae: a"\f'
- = - - =- k \f'
ax ax"
SIll
. Slll
()'
(u){-kx)
(5.7-11)
(wt-kx)
(5.7-12)
UporedivanjemjednaCina (5.7-11) i (5.7-12) dobija se
(5.7-8)
(5.7-13)
Jednacina (5.7-8) pokazuje da se 1 brzine cestica m1.len.la.lu po istom harmonijskom zakonu, s tim sto su te hrzine u suprotnoj fazi U odnosu na
Oobijena diferencijalna jednacin3 predstavlja talasnu diferencijaillu jednaCinu, koja opisuje prostiranje neprigusenog taiasnog procesa u
njihove pomjerL~e P. Da bi se odredio oblik raspodjele deformacije elasticne sredine posmatrajmo prostiranje longitudinalnih talasa duz neke sredine. Ako se sloj
.iednodimenz~jalnoj sredini. U slucaju kada je lJi
=f
(x,y,z,t), talasna jednaCina
dobija oblik
debljine 6.x te sredine, Cijegranice imaju uzduzne pomake \f' j i q/2 , promijeni pri elasticnoj deformaciji za .0, lJi =lJi-:.-lJij , relativna promjena debljine sloja biee jednaka:
. e: t. tV . U gralllcnom s1uca.lU, za t.x v
v
•
A
QX
--i>
(5.7-14) gdje je
0 , d0 b"IJ'l se
a2
~=-1 +
d.c
~ \.[1) a\f' e: lim t.x )-- ax
a
ay-,+
a"
,Laplasov operator.
(5.7-9)
5.8 Brzina prostiranja talasa izrazena svo,jstvima sredine
Oakle, parcijalni izvod jednacine (5.7-4) po promjenljivoj x, odreduje oblik
> 0 nastaje defonnacija istezanja (razredenja), a
Brzina prenosenja talasa kroz razliCite elasticne sredine moze se odrediti za bilo koji oblik talasnog kretanja. Kako se Iongitudinalni talasi mogu prostirati u svim elasticnim sredinama (c\Tstim, tecnim i gasovitim), fazna brzina u svakoj od tih sredina ima razlicitu vrijednost. Brzina prostiranja deformacije 1'. tj. odgovarajuceg talasa, kroz neku sredinu zavisi od njenih mehani6kih svojstava. Ova zavisnost moze se izraziti, U opstem slucaju,
ax < 0 javlja se deformacija sabijanja (zgusnjenja) cestica elasticne
oclnosom promiene pritiska I) nastale dejstvom sile F(t) i odgovarajuee gustine
promjene deformacije sredine po zakonu
a\f'
e:=-=-k\f' cos(wt-kx)
ax
Ako je pri
E
= d\f' /
e: = a\f' / ax
"
(5.7-10)
sredine. Diferenciranjem jednacine ('i.7-8) po vremenu t i jednacine (5.7-10) po koordinati x, dohija se
p sredine na mjestu dejstva te sile:
v=J! 182
(5.8-1)
183
I Posmatrajmo jednostav:m slucaj prenosellja defonnaciJc (talasa) kroz neprekidnu jednodimcnzionalnu sredinu oblika stapa, poprecnog prcsjeka S i gustine p (sI.5.8-1).
Ovo je Njutnova formula za brzinu prostiranja longitudinal nih talasa u cvrstim tijelima. Ako se radi
0
stapu od celika, za koji je Ey = 20,5.10 10 N / m 2
1
1
a gustina p=7,6·I0 kg/Ill ,dobija se za brzinu talasa v",,5,2 .10 3 m/s.
Ako se u kratkom vrcmenskom
U tecnostima i gasovima deformacija smicanja je neelasticna, pa se stoga
intervalu ~t saopsti stapu impuls F 6.t, za to vrijeme cestice koje leze na ceonoJ povrsini 5, pomaknu se pod dejstvom
u nj ima mogu prost irati sarno longitudinalni talasi. Imajuci u vidu da je p=mIV
~l,
spoljasnje sile F za duzinu skrati za tu duzinu.
tj stap se
(posto se prilikom prostiranja talasa mijenjaju p i V), diferenciranjem ove jednacine dobija se
_1····1 __ ;:,.[
V d P + P d V =0, odakle je
S\.5.8-1 Brzina prostiranja IOllgituuinalllog talasa
Nastala deformacija se prenosi sa tacke l1a tacku, pri cemu nastaje duz stapa talasno sabijanje i razre(knjc cestica te srcdinl). Na kraju vremena deformacija sabijanja se prenese na duzinu 1 brzinom v =
lI~t,
~t
a sve cestice
sredine u zapremini V = 5 1 oscilovacc brzinol11 U = ~1I~t. Ako su u pocetku tog vremena cestice ceol;e povrsine stapa bile nepokretne, poslije dejstva sile F prirastaj njihovog impulsa po drugom Njutnovom zakonu dinamike bice jednak impulsu sile F
~t = m . u = pSI ~l
~t
(5.8-2)
gdje je m=p S 1 mas a stapa duzine I do koje dospio talasni poramecaj. S druge strane, po Hukovom zakOllU sib elasticnog sabijanja stapa je F=E 5
\
~l
dV dp=-pV
(5.8-5)
Isto tako, posto pril ikom prenosenp talasa dolazi do zapreminske elasticne deformacije sredine pod dejstvom pritiska, za koju vazi Hukov zakon
dV V
-=-kdj7
'
dV V
d!7=-E \I
(5.8-6)
gdje je Ev modul zaprerrlll1skog sabijanja, a Cija recipmcna vrijednost predstavlja koeficijent stisljivosti (kompresibilnosti) supstancije k = lIEv . Zamjenom rezultata izjednacina (5.8-5) i (5.8-6) u relaciju (5.8-1) dobijamo
(5.8-3)
I
(5.8-7)
gdje je Ey Jungov modul elasticnosti, a 6.1 / I reJativna defonnacija sabijanja. Zamjenom vrijednosti sile F iz (5.8-3) u (5.8-2) dobija se
(5.8-4)
Prilikom prosliranja talasa kroz gasove dolazi do brze prornjene stanja (sto znaci bez razmjenc unutrasne energije sa okolinol1l ), odnosno usljed visokih frekvencija cestica gasa, sabijanje i razredenje se vrsi adijabatski. Za takav pmces vazi Poasol1ova jednacina p . V x = const.
184
(5.8-8) 185
gdje je
X=
C
adijabatska konstanta gasa. Diferenciranjem jednaCine (5.3-8) Cv
dobija se
V Xdp-X pVX-l dV=O odakle je
dV dp=-X p V
(5.8-9)
tih nezavisnih talasa. Rezultat slaganja talasa zavisi od odnosa njihovih faza, amplituda i perioda oscilovunja. Aka dva iIi vise talasa imaju konstantnu faznu razliku, jednake amplitude i frekvencije i u svakoj tacki sredini ostvaruju oscilovanje duz istog pravca, takvi talasi nazivaju se koherentni talasi. Slaganje koherentnih talasa naziva se interferencija talasa. Karakteristiean je slucaj slaganja dva koherentna talasa (s1.5.9-1), koja do tacke A (gdje se posmatra njihova superpozicija) predu razlicite puteve Xl 1 X2 , pri cemu je njihova razlika 6x X 2 - XI .
pa ako se ova vrijednost (5.8-9) i izraz (5.8-5) zamijeni u (5.8-1), dobija se da je brzina prostiranja talasa hoz gas
(5.8-10)
s
gdje je p pritisak datog gasa.
5.9
Interfere~cija
talasa,
Ako se kroz istu elasticnu sredinu prostiru dva ili vise talasa, koji poticu od razlicitih izvora, to se svaki od tih talasa prostire nezavisno, tj. tako kao da drugi talasi nisu ni prisutni u toj sredini. Usljed nezavisnosti prostiranja jednog talasa u odnosu na drugi, nastaje u toj sredini njihova superpozicija iIi slaganje talasa. Takvi talasi ne remete jedan drugoga. Princip superpozicije talasa ispunjen je sarno u slueaju kada oni imaju relativno male amplitude, kao sto su zvueni talasi, a elektromagnetni talasi ovog svojstva su radio-talasi i svjetlost koja potiee od obienih izvora. Ovaj princip ne vazi za udarne talase iIi lasersku svjetlost, jer se u procesu prostiranja ovih talasa, nelinearno mijenjaju svojstva sredine kroz koju se oni prostiru. To dovodi do promjene usJova drugih talasa, pa fizieki uslovi prostiranja pojedinih talasa nisu jednaki, eime se narusava princip superpozicije. Cestica elasticne sredine, do koje istovremeno dospijevaju dva ili vise talasa, osciluje sa rezultujucom amplitudom (pomakom), nastalom geometrijskim sJaganjem nezavisnih pomaka svakog od tih talasa. U dijelu talasnog polja u kome se vrsi slaganjetalasa po principu superpozicije, u svakoj tacki elastiene sredine nastaje slaganje oscilacija izazvanih svakim od 186
SI.S.9-1 Interferencija d va koherentna talasa
Ako su amplitude talasa jednake, onda su njihave jednaeine 'f'! ='f'" sin((J)t
kx I)
'f'2 = 'f'o sin(mt
kx , )
(5.9-1)
sto znaei da je razlika njihovih faza (5.9-2)
jer je rezultat superpozicije ova dva 'f', ='f'! T 'f'2' tj.
talasa u tacki
A rezultujuci talas
(5.9-3) odnosno (5.9-4)
187
5.10 Stojeci talasi
sto znaci da je amplituda rezultujuceg talasa til"')
T
=
\)
"\11 L I
kl'll
n
(5.9-5)
COS'-
2
Minimalna vrijednost amplitude rezultujuceg talasa je
Poseban slucaj interferencije talasa nastaje pri superpozlclJl dva koherentna ravanska taJasa, koji se krecu u istom pravcu jedan drugom u susret (sI.5.1O-1). Takvi talasi obrazuju tzv. stojeCitalas.
ovim tackama su talasi u protivjazi, pa se mcdusobno ponistavaju. Ovo
~7.:~;f\~=~~~~· "'''~~---
proizilazi iz uslova
kfu
cos--=O, 2
·w . .,/ I
,
sto znaci da je argument kosinusa
I
I
kfu
n
2
2
I
-=(2n+ 1)- .
.
_ •• _ ••• u • • • • •
T'
I
~
-
••• , .
'Lx
.--
".,/
,
tTil
,
••
_
"0'.",
1\:
ili razlika pUlcva talasa (posto je k=2nl?r.)
;":'J~.\ t 7T!};
A
(5.9-6) 6x=(2n+ 1)2 gdje je (n = 1, 2, 3, ... ) jHaksimalna vrijedllost amplitude rezultujuceg talasa je 0/,;') = 20/". U ovim tackama su talasi u jazi. Razlika predenih puteva fu talasa do tacaka prostora Au kojima je amplituda talasa najveca nalazi se iz uslova
Sl. 5.10-1 Stojeci talas Jednacine ta dva ravna koherentna talasa, koji se krecu jedan prema drugom u pravcu x-ose su
k6'xl kfu \cos~- =1, odnosl1o, --=n][, I 2 2
odakle je
fu::::
11
(5.9-7)
A
Buduci da se talasi iz S! i S2 (sI.4.2.2-1) prostiru u svim pravcima, to ce u elasticnoj sredini postojati mnostvo tacaka koje zadovoljavaju uslove (5.9-6) i (5.9-7). Stoga, dobijena interferentna slika daje oblasti talasnog po\ja sa pojacanim oscilovanjem tacaka eJastiCJ?-e sredine(maksimumi) i oblasti sa
Rezultat njihove superpozicije je rezultujuci takode harmonijski talas
(5.10-1 ) koji se naziva stojeCi talas zbog prostorne raspodjele njegove amplitude
smanjenim oscilovanjem (minimumi). 188
189
(5.10-2)
If,~') = 21f" cos kx
Na sI.5.IO-1
5.11 Hajgensov prindp
prikazan je oblik stojeceg talasa u osam uzastopnih
vremenskih interval a za t:.t =T18 . Sa slike se vidi da u vremenskim trenucima T18, 3T18, 5TI8 i 7T/8 formirani stojeci talas predstavlja sinusnu promjenu sredine, i na bilo kom mjestu (x = const.) prikazuje vremensku promjenu elongacije oscilujuce tacke, a u vremenskim trenucima 0, T14, TI2 i 3T14 upadni i odbijeni talas se llzajamno ponistavaju, odnosno. talasi su u protivfazi paje If,~')
= O. Ovakvi polozaji su odreckni uslovom Ie
cos kx
=0, odnosno, (5.10-3)
x=(2n+ 1)-
4
gdje je n = I, 2, 3, ... Ove tacke se na pravcu :'~"";(l ova dva talasa nazivaju cvorovi talasa, jer u njima kao da ne postoji tala'mo KrCLan]e. Tacke elasticne sredine koje osciluju sa maksimalnim amplitudama (If,;') = 21f,,) nazivaju se trhusi stojeeeg talasa. Koordinate tih tacaka odreciuju
se iz uslova
odakle je
I,
(5.10-4)
x=n-
2
Dakle, tacke sa najvecim ampjitudama su na mjestima: x =0, ))2, 2IJ2. , ... Iz izraza (6.5-3) i (6.5-4) vidi se da je rastojanje izmeciu dva susjedna cvora iJi trbuha taJasa jednako In, a rastojanje izmeciu trbuha i cvora A/4. Sve tacke izmedu dva cvora oseiluju sa razlicitim amplitudama, ali sa istim fazama. Faza oscilovanja se mijenja za IT kada amplituda mijenja znak, sto znaci da cestice sa suprotne strane cvorova osciluju sa suprotnim fazama,
190
Oblik talasnog fronta u bilo kojem vremenskom trenutku moze se odred!t! na osnovu jednostavnog geometrijskog principa, koji je 1690. godine predlozio Hajgens, i koji je nazvan Hajgellsov princip. Po tom principu, svaka tacka elasticne sredine pogodena talasom i sam postaje izvor novih elementarnih (sekundarnih) talasa. RezultujuCi tal as, koji nastaje interferencijol11 svih tih sekundarnih talasa, odreduje oblik talasne pov;s:ne kao geometrijsko mjesto tacaka koje oseiluju sa istom fazom ::aJgensov prineip, dakle, omogucava da se odn:'dj oblik i pra vcv prostiranja fronta talasa u kasni.)'em mOlTl("ntu \Temen~l. ~~,.J pm UJ Je poznato nJegovo prostiranje u ,
nekom preth"';"~:-L~~:,,: ::,~a talasni (lalOn)
YILi·II~IIl.l
'
,
,-
,::1om) trenutkll, koji se premesta u izotropnci
"y,--,~~2"':,'
.: :
J
1-11
f1~;:='hr;,1", -.:.._,
posli]'e 11f'ko o"
intf'l'\"~lla
\'1'''111''1''] ~ ~"
1"
oJ~
zauzima u :':",r-,-AH
Hctul" dJ\";c,\..! v '
l"lfll{v781 VV"''''~:''',f
"
• ""''' pnnelPu SVilKa tacka talasnog fronta smatra se iz\'orom sekundarnih talasa. U tom' slucaiu. oko svih tacaka talaSllC pO\Tsine' 1 treba opisati sfere poJuprecnika r = v ~t, tako da ohvojniea 2 svih tih elementarnih talasa predstavlja novj front talasa u
momentu t+t:.t., Pri tome, obvojniea sekundarnih talasa se u suprotnom smjelll od smJera prost1ranp talasa ne obrazuje, jer se po Frenelu, koji je upotpunio HaJgensov PrI~c!P, elernentarni koherentni talasi u tom smjcru pri interfcreneiji uzapmno ponlstavaJu. Dakle, pri interferenciji sekundarnih talasa amplitude rezultujuceg oseilovanja svuda su jednake lluli, osim Z(l tacke na obvojniei koja se nalazi na strani prostiranja talasa. Hajgens-Frenelov prineip primjenljiv je i za talase koji se prostiru u nehomogenim sredinama, U tom slucaju vrijednost brzine v a samim tim i poluprecnika r razliCiti su u razliCitim smjerovima.
191
SI. 5.11-1 Prostiranje sfernog talasnog fTOnta
5.12 Difrakcija i polarizacija talasa
kao polarizacija talasa. Na sl.5.12-2 prikazano je dobijanje polarizovanog mehanickog talasa.
Hajgens-Frenelov princlp omogucuJe da se objasni nepravolinisko prostiranje talasa, koje nastaje kada talasni front naide na otvore iIi prepreke Cije su dimenzije reda velicine talasne duzine. Takav slucaj odstupanja talasa od pravolinijskog kretanja iza prepreka iii otvora naziva se "savijanje" (obilaZenje) iii difrakcija talasa. Razmotrijmo slucaj talasl10g fronta ravnog talasa (npr. talas l1a povrsini vode ciji je izvor na velikom rastojanju), koji nailazi na prepreku sa otvorom SI.5.12-2 Dobijanie polarizovanog talasa
sirine u, koja je ml1ogo manja od talasne duzine A (a «Ie ), (s1.5.12-1 a). Kada front talasa, ciji talaslli zraci odreduju pravac kretanja talasa, dospc do otvora, on postaje po Hagel1sovulll prillcipu izvor clementarnih sfernih lalasa koji se sire u svim pravcima, pa cak i u pravcima "geometrijske senkc'"
Ako se na slobodnom kraju zategnutog uZeta, koje je prethodno provuceno kroz prepreku P (polarizator) sa pravougaonim otvorom i drugim krajem pricv1'sceno u tacki 0, izazove vibratorom V nepolarizovani talas
prepreke. U tom slucaju dolazi do difrakcije tih koherentnih talasa. Medutim, u
slozenog llblika (oblika spirale), iza prepreke se siri polarizovani transverzalni
slucaju kada je sirina otvora 111ll0go veca od talasne duzine (s1.5.12-1 b), tada iz
talas
dijela talasnog fronta koji dospije do olvora naslaje n1l105tvo elemenlarnih
SinLlSl10g
oblika, cijc se oscilacije vrse u jedDoj ravni.
Da je prolazni talas iza polarizatora zaista lineamo polarizovan, moze se
talasa, cijom se interferencijolll iza otvora obrazujc paralelna talasna pO\Tsina
lltvrditi ako se lla njegovol11 putu postavi jos jedna prepreka A (analizator) sa
oblika geometrijske slike otvora.
istim otvo1'om. Kaclu Sll p1'avougaoni otvori obje prepreke paralelni, po!arizovalli talas prolazi bez ikabe promjene i kroz drugi otvor prepreke A. U slucaju kada su ti otvori ukrsteni iza analizatora A' nema izlaznog talasa, pa stoga uie miruje.
5.13 Zvucni talasi 5.13.1 Fizicke karakteristike zvucnih talasa h)
Mehunicki longitudinalni talasi koji se obrazuju u elasticnim sredinama i Sl. 5.12-1 Difrakcija talasa na : a)
u~kom
olvoru
j
b) sirokom otvoru
U tom slucaju se difrakcija talasa ne zapaza. Mala savijanja talasa na rubovima otvora utoliko manje izazivaju efekte difrakcije ukoliko je sirina otvora veca. Transferzalni talasi osim pojave difrekcije i interferencije pokazuju i pojavu polarizacije, koja se ogleda u tome da pod izvesnim uslovima cestice elasticne sredine mogu da osciluju samo u jednoj ravni. Ta pojava je poznata
192
cIJe se oscilacije mogu registrovati culom sluha, odnosno koji izazivaju u svijesti osjecaj cujenja, nazivaju se zvucni (akusticni) talasi iIi zvuk. Oblast fizike u kojoj se p1'oucavaju pojave obrazov anja, prostiranja i opste karakteristike zvuka, kao i il1terakcija zvucnih talasa sa elasticnim sredinama nuziva se akustika. 13 Zvucni talasi imaju veoma siroki frekventni interval 10 Hz, ali osjecaj cujnosti izazivaju samo oscilacije sa frekvencijom u intervalu od 1620000 Hz. Te oscilacije zvucnih talasa iz ovog frekventnog podrucja 193
uobicajeno se nazivaju zvukom. Zvucni talasi cije su frekvencije ispod 16 Hz naziv<~u se injrazvuclli talasi iIi inJrazvuk. Infra zvuk se javlja pri raznim podrhtavanjima i potresima sredina (zemljotres, vibracije pojedinih teskih masina, uticaj saobracaja i dr.). Zvuk cija je frekvencija iznad 20 kHz naziva 6 se ultrazvuk, a talasi zvuka c~ja je frekvencija iznad 10 Hz zovu se hiperzvuk. Ultrazvuk nastaje kao prateca pojava elektricnih i magnetnih svojstava nekih materijala a pod uticajem elektricnog i magnetnog polja. Za dobijanje i prostiranje zvucnih talasa neophodni su zVllcni izvori i elasticna sredina za njihovo prostiranje. Zvucni izvori mogu biti: zategnute zice ili strune (muzickih instrumenata), ucvrsceni stapovi iii ploce, zategnute membrane, vazdusni stubovi, zvucne viljuske i dr. Na s1.5.13.1-1 prikazanaje zica duzine I zategnuta na oba kraja. Ako se na sredini zice izazove transverzalna deformacija, tada na duzini I, zbog interferencije progresivnog i odbijenog talasa nastace stojeCi tal as. Oscilacije cestica zice prenosice se na okolinu (vazduh) u vidu taJasa zvuka. Kod zategnute zice formirani stojeCi talas, ~bog promjene faze odbijenog talasa za 1[, Ima jednacinu \.{l = 2\.{l" sin kx COS{J)t . Cvorovi stojeceg talasa su na ucvrscenjim krajevima zice (x i x = I ). Drugi granicni uslov x = 1, za koji je \.{l(x, t) = 0, tj. amplituda oscilovanjajednakaje nuli, ispunjen je pri
°
sin kl
. v v - A -n ){ f --;:-_
(5.13.1-2)
.
NaJniza frekvencija .h = v/21 je osnovn3 frekvencija (osnovni ton) iii prvi harmonik i odgovara najvecoj talasnoj duzini, a ostale frekvencije f~'/l ,... su visi harmonici (vi.~i tonovi. prvi, drugi, Na slican nacin rnogu se tretirati i zVlIcni talasi koji nastaju u vazdusnim stubovima (np1'. kod duvackih rnuzickih instrumenata). Oscilovanje vazdusnog stuba, koji je na jednom krajn zatvoren, anaJogno je oscilovanju sipke, pa u tom slucaju vaze isti izrazi za talasne duzine i frekvencije longitudinal nih zvucnih talasa ka0 i kod oscilovanja zategnute zice.
n=O
I
"joke=>
oK><)
U vazdusnoj sredini zvucni talasi predstavljaju longitudinaine talase cije se prostiranje s\"odi na naizmjenicna zgusnjavanja i razredivanja vazduha. Ove promjene gustinc \·azduha irnaju za posljedicu promjene njegovog pritiska. Pritisak se, dakle, naizmjenicno pove6ava i smanjuje Z3. velicinu· /'o..p
u odnosu na pritisak neporemecenog dijela sredine. Velicina 6.p = P-Po ,gdje je p trenutna vrijednost pritiska, a Po pritisak koji u toj tacki vlada kad se kroz tu sredinu ne prostiru zV11cni talasi , naziYa se zvucni iii akusticki pritisak. Budu6i da se sabijanje i razredenje cestica gasa vrsi adijabatski, akusticki pritisak se moze odrediti na osnovu Poasonove jednaCine p V X = const., cijim
pa.ie u tom slucaju
A l=n2
sa kojima osciluje zategnuta zica, tzv. sopstvene frekvencije, odredene su izrazom
5.13.2 Zvucni pritisak
b)
n1[
Frekvenc~je
diferenciranjem se dobija (5.13 .. 1-1)
dp = -X P
Sl. 5.13.1-1 Stojeci talas na zategnutoj zici Dakle, na zategnutoj zici ( u vazduhu) formiraju se stojeCi talasi, za koje je duzina zice jednaka cijelom broju polovina talasnih duzina. U tom slucaju su moguee samo diskretne vrijednosti talasne duzine:
dV
(5.13.2-1)
V
gdje je V mala zapremina gasa u odnosu na talasnu duzinu zvuka, a X =c/' Ie" ' adijabatska konstanta. Relativna promjena zapremine dVIV moze biti zamijenjena relativnim pomjeranjem cestica sredine
194
195
E=
dT . Naime, ako
dx
se kroz vazdusnu sredinu prostire ravan talas
'P
elJ" sin(wt - kx), relativni
pomak cestica te sredine bi6e jednak
= ax- = - k'P" cos(wt Cl'P
£
kx ),
Intezitet iii jaCina zvuka (zvucnih talasa) predstavlja objektivnu karakteristiku zvuka i definise se kao energija zvucnih talasa dE koja prolazi kroz jcdinicnu normalnu povrsinu i jedinici vrcmena
paje u tom slucaju izraz (5.13.2-1), za k =w1v
I
p'P,w dp="X , cos(wt-kx) v
=
Kako je dE
(PX = jXRT
~ P
\
SI. 5.13.3-1
=> X p=p
, to, uz z(lmjenu
I (5.13.2-3 )
dm
koje
osciluju, paje
diferencijala dp prirastajem /::'p, dobija se
kx)
ukupna energija cestica, ukupne mase
2
fJ
t:,p=pv 'Pow cos(OJt -kx )=17" cos(OJt
(5.13.3-1)
(5.13.2-2)
v
Kako je iz lzraza
dE S dt
t +dt
pv W2'P,~
(5.13.3-2)
------
2
iIi o
i predstavlja zakon promjene akustickog pritiska u prostoru Velicina
vremenu.
(5.13.2-4)
naziva se amplituda akustickog pritiska i koja zavisi od svojstava sredine (p, v) i karaktera talasa ('P" ,OJ), pri cemuje R" =pv ,tzv. akusticki otpor iii
akusticka impedanca, koja se izrazava u akustickilll 0111 irrl:l.
p,~
I
2 pv
(5.13.3-3)
2 R"
gdje je R, impedancija sredine kroz koju se zvuk prenosi. Znaci, intezitet zvuka srazmjeran je kvadratu frekvencije i kvadratu amplitude zvucnog talasa.
5.13.4 Subjektivne karakteristike zvuka Zvucni talasi koji se registruju culom sluha u opstem slucaju dijele se na
proste i s/ozene tonove. Tonovi se karakterisu periodicnos6u promjena u
5.13.3 Intezitet zvuka Ako se kroz stap prikazan na s1. 5.13.3-1 prostire ravanski
harmollij~ki
talas (zvuk), amplitude 'Po, kruzne frckvencije w, brzine v, onua se za vrijeme dt kroz neki njegov poprecni presjek, pOVIsine S, prenese energija talasa dE koja se nalazi u stapu, duzine dx = v dt, iii zaprc111ine d V = S cix. Masa ovog dijela stapa ( u kome cestice prinudno osciluju a111plitudom 'P u i kruznom frekvencijom OJ) jeste dm = p dV:
196
;;rcdini kroz koju se prostiru. Prost ton nastajc prj jednostavl1om harmonijskom oscJiovanju zvucnih talasa sa konstantnom frekvencijom. Takve tonove, na primjer, daje z\ucna viljuska, cija se frekventna karakteristika sastoji same od osnovl1og tona date frckvcncije i amplitude. Slozeni tOllovi su kombinacija vise p1'ostih (cistih) tonova razlicitih amplituda i frekvencija ( koje stoje u odredenom pravilnom odnosu). Ovaj skup 'frekvencija ocireduje tkz. akusticki spektar zvuka. Slozene tonove proizvode muzicki instrumenti, glasovni aparat covjeka, zivotinje, ptice, itd. Frckventnu karakteristiku slozenog tona cini osnovni ton (osnovni harmonik) i visi tonovi (visi harmonici) cije su
197
frekvencije cijeli umnosci frekvencija osnovnog tona, tj. talasa najnize frekvencije. Pored objektivnih iIi fizickih karakteristika ( frekvencija, srednja vrijednost gustine energije, zvucni pritisai<, amplituda, itd ) zvucni talasi imaju subjektivne psihoioske iii biojizicke karakteristike zvuka : visina tona, hoja zvuka i jacina cujnosti iIi glasnost (sllbjektivna jaCina zvuka). Vis ina tona predstavlja subjektivnu ocjenu frekvencije zvuka. Visinu tona odreduje njegova osnovna frekvencija. Ton niske frekvencije izaziva osjeeaj niskog tona kao sto su bas, bariton i to su tzv.duboki tonovi sa frekvencijama nizim od 250 Hz. Srednje tonove Cine zvucni talasi od (2501500) Hz , dok visoki su tono\'i sa frekvencijama iznad 1500 Hz. Mcdutim, l1a osjeeaj visinc tona UtUCll i drugi parametri zvuka. naroCito jaCina zvuka . jer je
I ""
u/ . Zvucni
spektar svih tonova koje covjek moze da cuje dijeJi se na 11
oktava. Pod oktavom se podrazumijeva interval zvucnih frekvcncija izmedu dva tona od kojih
vi.~i
ima dva puta visu frekvenciju. Boja zvuka je subjektivni kvalitct da se prepozna razlik::t u spektralnom sastavu ~!isih harmonika izmeou zvucnih ton ova iste visine,)wji poticu od dva razlicita zvucna izvora. Boji tona odgovara objektivni skup visih harmonika odredenih frekvencija koji cine slozeni ton, odnosno. boja tona je odredena brojem visih harmonika , odnosom njihovih inteziteta i faznih razlika u odnosu na osnovni ton. Glasnost iIi cujnost zvuka je subjektivna ocjena inteziteta zvnka, koja karakterise jacinu slusnog osjeeaja. Kako je intezitet zvuka proporcionalan frekvenciji, I "" CD
2
,
prestaje da se u uhu registruje kao cujl1i zvuk, vee kao osjeeaj bola. Maksimalna jacina zvuka koju covjek moze jasno da cuje je prag bola iIi gOYl~ia gral1ica Ct~inosti. Za frekvenciju od 10' Hz , granica bola je 10 W/m2, odnosno 60 Pa. Na sl. 5.13.4-1 prikazana je zavisnost praga cujnosti i granice hob od frekvencije. Sa sl. 5.13.4-1 sc vidi da najmanji efektivni pritisak odgovara cujnosti oko frekvencije 10' Hz. Zato je zvuk ove frekvencije odabran u svojstvu etalona za sravnjannje zvukova drugih frekvencija sa njime. Prag cujnog zvuka sa frckycneijom od 103 Hz, kome odgovara amplitudni zyucni pritisak od 2· I Pa, nazi\'a se standardni prag cujnosti. Vrijednosti jacine zvuka izmcou grallice bola i granice cujnosti mogu se maksimaillo r~lZliko\ati za IO!; pllta, odnosno, vrijednosti zvucnog pritiska za 3·1 oc, Pa . Iz prakticnih razloga pogodnijil je logaritamska skala tog odnosa od aritmeticke skale. To i fizicki opraYdano i u skladu je sa psihofizickim zakono111 Veber-Fehnera, po kome Ijudsko uho subjektivno osjeea gradaciju inteziteta 7vuka po logaritam~k()m zakonll.
I
I
3
-
5· J 0") Hz. Ova se osjetljivost
,se u vclikoj mjeri smanjuje i ka nizim i ka visim frekvencijama, tako npr. na 100 Hz , osjetljivost uha je na oko 10-8 W 1m
2
,
sto znaci l1a oko 10
i
1
I I I
10
10'
10
4
fCHz)
SI.S.13.4-1 ZaviSIl0st pragn clIjn0Sti i praga hola od frekvencije talasa zVlIka
L definise kao logaritamski odnos inteziteta nuK.a dale frekwncije prema illlezitctu zvuka koji odgovara standardnom pragu cujnosti 1,'( 1,,=10 12 W/m2) Stoga se ni\'o g!asnosti
L=k
I
(5.13.4-1 )
10£~ I"
4
puta vee em intezitetu zvuka. Pri velikim vrijednostima zvucnog pritiska on
198
!
!
granica , cUJl1osn;
10-()
I
oblast cujnosti
I
isti subjektivni osjeeaj jacine tog zvuka. To znaCi da zvucni talasi jednakih inteziteta ali razlicitih visina (frekvencija), izazivaju razliCite osjeeaje cujnosti.
osjetljivost uho ima pri frekvencijama od (10
i j
to objektivna jacina zvuka razlicitih frekvencija ne izaziva
Covjece uho je osjetljivo na veliki interval jacine zvuka. Uho moze da registruje samo one zvucne talase cija je vrijednost inteziteta, tj vrijednost zvucnog pritiska veea od ncke minimalne vrijednosti koja se naziva prag cujnosti iii donja granica cujnosti. Ovaj prag zavisi od frekvencije, za 10' Hz Iznosl 0-12W/m 2, sto odgovara zvucnom pritisku od 2·1O-5 Pa. Najveeu
granka bola
199
gdje.ie k kon~tanta. Jedinica za mjerenje nivoa inteziteta zvuKa naziva se bel (B). Ako je k=1 nivo inteziteta zvuka izrazava se u belima, a ako je k =10 upotrebljava se oeset puta manjajedinica, decibel (dB) iii fon, pa u tom slucaju izraz (5.13.4-1) ima oblik I L=IO log-
(5.13.4-2)
~I
Nivo inteziteta zvuka moze se izraziti i preko nivoa amplitudnog pritiska P
(5.13.4-3)
=2·k·log~
17"
gdje.ie
Pored buke i niskofrekventne vibracije imaju stetno djeluju na covjeka. Vibracije obuhvataju ugJavnom infrazvLlcnu i djelimicno zvucnu oblast. 0iastaju oscilovanjcm odrcdenih sistema i manifestuju se u vidu potresa zgrada, masll1a, alatki, ito. U zaVIsnosti od velicinc frekvencije i amplitude Yibracija, manifestuje se i njihovo stetno dejstvo. Tako npr. vibracije od oko 0,5 Hz javljaju se kod brodovaili aviona i izazivaju fizolosko dejstvo kod covjcka, tzv, kinetoze, nazvanu morskom iIi vazdusnom bolescu. Na vibracije od (I - 5)l-Iz , cije su amplitude velike osjetljiv je kostano-muskulatorni sistem, a na oscilacije od (4 - S) Hz osjctljiv .ie organ za ravnotezu. Pri osci1acijama od (30 - 300) Hz velikih amplituda dolazi do povecanog krvnog pritiska i poramecaja LI vidu ( smanjenje ostrine vida). illtezitct vibracija mjeri se vibrometrima. koji rade na slicnom principu kao i fonometri.
0
jJll
minimalna vrijednost ampliludnog pntiska (2.10- Pa) zvuka Tabela 5.13.5-1. Vrijcdnosti ni\oa glasnosti za neke tipicnc zvucne izvore
frekvencije I kHz.
5.13.5 Buka i vibracije Slozeni ZVUCl11 talas, koji se sastoji od \ise prostih tonova razliCitih amplituda i frekvencija koje se pcriodicno DC poml\'ljaju, odnosno neperiodicnog su karaktera, predstavlja SUlll iIi buku. Zvuk velikog inteziteta, koji nastaje pri snaznom kratkotrajnt)m porame6aju elasticne sn~dinc i koji izazivaju neprijatan osjecaj u uhu, naziva se zvucni udar iIi pucanj. Visoki nivoi z\uka stetno djeluju na cO\jcka. Stetni cfekti buke zmise od njenog inteziteta, spektra, kao i vrelllcna izl:1ganja i njenog uccstalog dejstva. Stetni efekti su utoliko jaci ukoliko je buka veceg inteziteta, I ukoliko dieluje sa cescim prekidima. Ona dckollcetrise i zalllClfLl coyjcka, stetno dJeluJC na organ sInha, na neurovegetativni sistem kao i Il:.t druge urgane. Postoje zakonski propisi 0 dozvuljcnilll mabilllalnim lli\oima buke . IT ciiju zastite oel l1eZeljenog dejstva buke, vrse sc analize buke odredi\anJem l1JerlOg nivoa inteziteta i frekventnog sastava POIllOCll jonometara, sonometara iIi bukometara. Ovi uredaji sastoje se obicno od mikrofona, odgovarajuCih filtera za propustanjc odredenih nivoa i frekvencija zvucnih talasa, kao i decibelske shle za direktno ocitavanje nivoa inteziteta buke. U tabeli (5.13.5-1) date su vrijednosti nivoa glasnosti za tipicne zvucne izvore.
200
Izvori zvukfl
Nivo giasl10sti
Intezitet zvuka
Zvucni pritisak (Pa)
(dB)
(W/m2)
prag cujnosti
0
10- 12
2 X 10-5
sapat, otkucaj sata
20
10- 10
2 xlO-4
tihi sapat
30
10- 9
6,4 X 10-4
tihi gOYOI'
50
10-7
6,4 X 10-.1
glasan govor
70
10- 5
6,4 X 10- 2
vika
uho
80
10-4
2 xlO- 1
auto sirena
100
10- 2
2
pncumatski cekic
110
10"1
6,4
udal gloma
120
gr::l.l1ica bola
130
LIZ
20 10
201
64
5.14 Ultrazvuk Ultrazvuk predstavlja mehanicke talase cija je frekvencija iznad gornje 4 9 granice cujnosti, tj. u opsegu frekvencija od (10 -10 )Hz. Ovi talasi su necujni za covjece uho, ali pas, slijepi mis, ribe i mnoga druga ziva bica mogu ih cuti (regist~ovati). Frekventno podrucje koje pripada ultrazvuku moze se podijeliti na tri oblasti: 5
4
a) Niskofrekventna oblast u sa frekvencijama od (2.10 -10 )Hz b) Srednjefrekventna oblast sa frekvencijama od (l0 c) Visokofrekventna oblast sa frekvencijama od (I 0
7
5 -
10 ) Hz
7 -
J09
1Hz
5.14.1 lzvori ultrazvuka Izvori ultrzvucnih talilSil mogu hiti prirodni i tehnoloski. U prirodi, U svojoj zivotnoj sredini, mnogil ziva bica se orijentisll i komuniciraju emitovanjem i registro\'anjem ultrazvucnih talasa ( slijepi mis, delfin, glodan, ptice i insekti, itd.). Tehnoloski izvori ultrazvuka (UZ) mogu biti mehanicki i ~Iektromagnetni. Kao mehilnicki izvori niskofrekventnog UZ koriste se veoma kratke strune, zice, ploCice, koje se pohuduju na oscilovanje promjenljivom silom visoke frekvencije. inverznog Elektromagnetni izvori zasnovani so nil pojavama piezoelektricl1og efekta i magnetostrikcionog efekta. Piezoelektricni efekat je pojava koja nastaje u slucaju kada se neki dielektricni kristali. podvrgnutl dejstvu elasticne deformacije, elektricno polarizuju, pri cemu se jedna strana kristala ( koji je izrezan na odredeni nacin u odnosu na kristalografske ose) naelektrise pozitivno, a druga negativno. Polarizacija takvog dielektrika je najveca ako se naprezanje kristala vrsi u pravcu n~egove knstalogra:ske ose. Sa promjenom smjera deformacije (npr. ako se umJesto sablJanJil vrSl IstezanJe) nastaje poJarizacija suprotnog smjera. Najpoznatiji piezoelektricni kristall su kvarc (Si0 2 ). turmalin i dr. , kao i odredeni sinteticki materijali (banJum titan at). Medutim, ako se plocica od takvog kristala podvrgne dejstvu periodicnoprornjenljivog elcktricnog polja, njeni dipoli ce teziti da se orijentisu u smJveru polja, sto dovodi do mehanickog naprezanja u kristalu. Pn tome se ploclca
202
kristala rasteze (siri) pri jednom smjeru polja, a pri suprotnom skuplja. Na taj naCin u nioj nastaju vibraciJe sa frekvencijom promjenljivog elektricl10g polja, tj. nastaju prilludne mehanicke oscijacije koje se prenose na okolnu sredinu u vidu ultTazVllcnih talasa. Uspostavljcne mchanicke oscilacije u kristalu bice sa maksimalnom amplitudom kada se izmeau promjenljivog elektricnog polja i kristalne plocice uspostavi rezonancija, ~i. kada se frekvenciJa polja izjednaci sa spostvenom frekvencijom plocice. Pogodnim izhorom debljine plocice i nacina na koji je ona izrezana, mogu se dobiti ultrazvucni talasi sa frckvcllcijom od 50 do 100 MHz. Magnetostrikcioni efekat .ie pojava da se kraCi stapovi od feromagnetnog materijal21 (gyoZde, nikl, kobalt) mijenjaju svije lineame duzine pod uticajem l11agnetnog polja, koje dejst\'uje duz njihove ose. Ako to periodicno m~jenja svoj smjer, dolazi do uzduznog sabijanja i istezanja stapa, tj. do obrazovilnja mehanickih IOllgitl1dinalnih oscilacija koje se prenose 113 okolnu sredinu u vidu ultrazvlIcnih to.lasa. Ako se dimenz~je stapa podese tako da je njegova sopstwna frehc:ncij:l jednaka pobudnoj frekvenciji magnetnog: polja, oscilO\'anje ce hiti sa maksimalnom amplitudom. Na ovaj nacin dobijaju se ultrazvucni talasi frebcncije (0,2 - 0,3) MHz. Fizicke zakonitosti prostiranja zvucnih talasa primjenlji\'e su i za ultrazvuk.
5.14.2 Primjena ultrazvuka i osnovna dejstva na bioloske sisteme lTItrazvl1k pos.ledujc nek(l specificna S\'ojstva koja ga Cine pogodnim za mnogobrojne znacajne primjene u nauci i tehnici. Ta se svojstva ogledaju u slijedecem: a) Ultraz\'ucni tabsi :ie zbog nJike frckvencije, tj. male talasne duzine, prostiru, kao i sVJetlost. prihlizno pra\"olmijskl, sto za prakticne potrebe daje mogucnost da se pomocu akllstickih ogled(lla usmjeranJU u zeljenom pravcu. Ova osobina t:Z se koristi kod metode ultrazvucne defektoskopije za ispitivanje homogenosti materijala i odredi\'anje defekata u njima. b) L'ltraz\'uk prcnosi mnogo vecu energiju nego cujni zvuk, tj. ima veliki intezitet, tako da pri fokusiranju na maloj koncentraciju snage i moze da izazove razne efekte ( hemijske i dr.). Ovo svojstvo UZ naslo je primjenu materiJala vel ike tvrdoce (hladno zavariv<1nje tesko brusenje, itd). 203
povrsini daje veliku mehanicke, toplotne, u mehanickoj obradi topljivih materijala,
c) Kako su amplituda ubrzanja cestica i amplitudni pritisak sredine kroz koju se prostire UZ veoma veliki, u takvim sredinama nastaju jake inercijalne sile koje mogu da izazovu velika naprezanja i trajne deformacije. Pri prolazu UZ kroz teenosti nastaje pojava kavitacije, koja se ogleda u neprekidnom stvaranju i iseezavanju supljina u njenoj ullutrasnjosti. Obrazovanc supljine se obicno 'popunjavaju mjehuricnna vazduha iii molekulima pare teenosti. Kako je varijacija tih supljina perioditna, to se zone prckida u tecl10stima stalno
Glava 6
6 ELEKTRICITET I MAGNETIZAM
6.1 Elektricna strukturamaterije
Struktura
supstancije je elektriene prirode. Svaki atom sastoji se od
mijenjaju. 5tO dovodi do jakih udarnih talasa, koji se koristc za razaranje
pozitivno nadcktrisanog jezgra i ncgativno naelektrisanog omotaea, U sastav
evrstih tijela, dobijanje emulzija tecnosti koje se ne mijesaju, itd. Pomenuta svojstava ultraz\uLl. na~la :,u ;iroku primjcnu u medicini.
svakog aloma ulazi jcdnak broj pozitivl1o naelektrisanih protona i negalivno
Ultrazvuk je jedna od savremenijih metoda koja o,e konsli
makroskopska tijela naeleklrisala, pouebno je razdvojiti djelove negativnog i pozitivnog Ilaeleklrisanja, koji su povezani clektromagnetskim silama. Nosilac najlllanje kolicinc negati\l1og naelektrisanja .ie elektron, a pozitivllOg proton. l\.Jiho\l~ kolicinc naelektrisanja su iste, ali suprotnog znaka i iznose
Za
olkri\:.lIlje
velikog broja oboljenja i sIuzl kao brza, efikasna i neimazima diJagnostlcka metoda. Najeesce se primJenjuje za snil1lanje prol1ljene gustine [kiva u oH:anizmu u cilju vizuelizacije tumora ili odredenih nepra\ illlosti u strukturi tkiva, zatim za ~dredivanje lokacije, polozaja i oblika fetusa , itd. UZ nasao je veoma veliku primjenu u fizioterapiji za ultrazvucnu dijatenniju, tj. za selektivno zagrijevanje pojedinih obulelih tkiva i organa. Koristi se u hirurgiji kao veoma precizan hirurski noz, zatim za razgradivunje trombovu u krvnim i za ozraci\anje spoljasnjih malignih sudovima, a nedavno poceo se tumora. Znatnu primjenu UZ ima u ~lonLlloiogiji za ralbijanje zubnog kamenca. UZ velikog inteziteta sluzi i za unistavunj<: bakterip i virusa, sterilizaciju hiruske opreme i prellrambenih proizvoda. Medutim, pored korisnih efekata, ultrazvuk imu i stetna dejsl\'a na bioloske sisteme. Stetni efekti su posljedica mehanickog, toplotnog i fizikohemijskog dejstvu ultrazvuka. lIZ moze uticati na povecanJe propustljivosti celijskih membrana i na ubrzanu razmjcl1u materijc, a moze imati i razomo dejstvo zbog nastanka ka\itaeije. koja moze biti uzrok odredenih hemijskih i biohemij::,kih reakcija. Toplotno dejstvo VZ utite na oksido-redukcione procese u organizlllu, a moze dovesti 1 do inaktivacije enzima i denaturacije proteina.
naclektrisanih elektrona, pa jc atom kao cjelinu elektricno neutralan. Da bi se
S obzirom da je nadektri;,anje elektrona, odnosno proton a, lljedno najl1lanje do sada USl~lIlO\IJeno "Iobodno naeleklrisanje, ono se naZlva
elementarnim kvantol1l elektriciteta. Postoji bitna razlika u raspodjelama ave elementarne kolicine elektriciteta u elektronu i protol1u. Znamo da je poluprecnik elektrona sigumo manji od 10' IS Ill, pa se 0 clektronima govori kao 0 tackastim eesticama. Elektron zaista prcdstavlja tackastu kolicinu elektriciteta koja je ravllomjerno rasporedena, dok u protOl1U elemcntarna kulicina naekktrisanja nije ravl1omjerno rasporedena. Analizjr~juci sudarne procese elektrona s protonima ustanovljena je slozena raspodjela elemenlarne kolicine elektriciteta u protol1u. Naime, ukoliko bi pozitivl1o naelektrisanje u protonu bilo ravnomjerno rasporedeno po cijeloj masi, odnosno zapremini plotona, tj. imalo sfernu simetriju, onda bi clektricno polje oko tabog naclektrisanja bilo u svim pravcirna jednako, te pri sudarima elektrona i protona ne bi dolazilo elu rasijavanja elektrona. Ovo rasejavanje elektrona moze da potice samo ako negativni elektron pri sudaru sa protonima ponekad naide na djelove protona koji su negativno naelcktrisani, odnosno, ako proton nije ravnomjerno pozitivno naelektrisan.
204
205
Objasnjenje elektromagnetske strukture proton a i neravnomjerne raspodjele elektriciteta u protonu bazira se na teoriji kvarkova. Nairne polovinorn 60-ih godina iznetaje hipoteza da se svi hadroni (od grcke rijeci "hadros" masivan). u koje spadaju protoni i neutroni, sastoje od fundal11entalnUih cestica kojc su nazvane kvarkovi. Kvarkovi il11aju naelektrisanje (u jedinicama elel11entarnog naeJektrisanja). Prel11a kvarkovskom 1110delu proton se sastoji od dva u (upusmjeren nagore) kvarka ijednog d (down-usmjeren nadole) kvarka, a neutron od dva d ijednog u kvarka. 1\'a sI.6.1-1 predstavljenaje struktura (a) protona i (h) neutrona 11a OS110VU kvarkovskog 11lodela. Zbir naelektrisanja sva tri kvarka U protonu iznosi +c. dok zbir naelektrisanja kvarkova unlltar nelltronaje nub. Ako su svi hadroni sastavljeni od kvarkova. logicno.ie ocekivati da postoie i slobodni hark(wi. Slohodne kvarkove bilo bi lako detektovati zbog njihovog necjelobrojnog elektricnog naboja Frakcioni naboji se ne mogu neutralisati bilo kojiim hrojem protonaili elektrona. l\iedlltim, razlomacka naelektrisanjaios nisu detektovana. VeCina strucnjaka danas smatra da kyarkovi u prirodi ne mogu postojati kao slobodne cestice.
tijelimajednaka nuli, odnosno tijela su elektroneutralna. Ako se na neki nacin u tijelu izazove visak cestica jednog znaka (l1lisii se na elektrone iii protone), u odnosu na cesticc suprotnog znaka, tijeJo ee se naelektrisati. Neko tijelo je naclcktrisano negativno ako sadrzi visak elektrona, a pozitivno, ako ima manjak clcktrona, U odnosll na broi koji sadrzi kada je elektroneutralno. Ovo je u saglasnosti sa 7ako11om odrzanja kolicinc elektriciteta, kojim je iskazana Cinjenica da naelektrisanja ne nastaju i ne iscezavaju, vee se prenose sa jednog tiiela na drugo, iIi se prerasporectuju u1111tar samog tijela. Naime, ako se neko tijelo naelektrise negativnol1l kolicino111 elektriciteta "'q, drugo tijelo ce sadrii istu kolicinu pozitivnog naelektrisanja +e;. Naelektrisanje tijela moze da se izvrsi na vise nacina: dodirom iii trenjem, elektrostatickom mdukcijom. fotoelektricnim efektom, itd. Naelektrisanja mogu da budu rasporeciena kontinualno po nekoj liniji, tada se definise linijska gustina naeiektri<;<1nja
~\
lake oni nesumljivo postoje Ul111tar hadrona, kva'tkove je nemoguee izbaciti iz hadrona. Kvark koji primi energiju u sudaru sa elektronom, ne izlijeee iz nukleona kao slobodna cestica, vee rasipa svoju energiju na formiranje kvark-anti kvark pm"ova, tj. obrazovanjenovih hadrona.
( \ \
I
P
(8 12 \ I~
.
(~)
,
)
~ a) proton
b) neutron SI.6.1-1 Stmktura proton:1 i neutrona prema kvarkovskom modelu
II
dq
=di
(6.1 1)
jcdinicama ('/m.
Ako jc naclcktrisanje ras])orcdeno po zapremini nekog tijela i ako se u elementu zapreminf' dV nal,17i kolicina elektriciteta dq,onda kolicnik
de;
(6.1-2)
P=dV
Svako naelektrisano tijelo ima koliCinu elektriciteta jednaku cjelobrojnom umnosku elementarne kolicine elektriciteta
predstavlja tzv. zapreminsku gllstinu elektriciteta, u jedinicama elm' A ako je
q=±ne ,gdjeje n=0,12,3, ...
naelektrisanje rasporedeno po povrsini, kao sto je to slucaj sa naelektrisanjima na metalnim elektrodama u elektrostatici, onda se kolicnik
Od elektrona, protona i neutrona izgradeni su atomi, molekuli i sve supstancije. Ove elementarne cesti\:e razlicitih naelektrisanja, obicno se u tijelima nalaze u istim koliCinama, pa je algebarska suma naelektrisanja u
de;
0"=-
(6.1-3)
dS naziva povrlinska gustina elektriciteta,
U
jedinical1la C/111 2
U odnosu na pokretljivost naelektrisanja, tijela se mogu podijeliti na provodnike, poluprovodnike i izolatore. Feno111eniloski posmatrano provodnici Sll
206
tijela kod kojih postoje s!obodno pokretljiva nacJektrisanja, koja se mogu
207
prenositi po citavoj zapremini. U provodnike spadaju npr. metali i elektroliti.
lzolatori
ili dieleklrici su tijcla kod kojih ncma slobodno pokretljivih
naelektrisanja. Kod ovih tijela, naelektnsanja su vezana za odgoyarajuee ravl10teZne polozaje, u odnoSll na koje se mogu samo malo pomijerati. Dielektriei ~u npr. slaklo, gumil. ebonil, itd. Poluprovodnici Sll tijela koja zauzimaju prelazno mjcsto izmcau provodnika 1 izolatora. U poluprovodnike spadaju npr, silicijum, germanijum, bor, selen, itd.
2
Co
= 8.85418781 .10- 12 C
7
N'mDielektricna konstanta vazduha sc neznatno razlikuje od Eo . Kad izmedu naelektrisanja po;;toji neka sredina, elektrostaticka sila izmedu njih se mijenja . .ier se u molekulima sredine indukuju naelektrisanja koja llticu na velicinu efektivnih naelektrisanja koja il1teraguju. U tom slucaju se u Ku10novom zakonu umjesto dielektricne konstante vakuuma Eo mora uzcti dielektriena konstal1ta te sredine E:
6.2 Kulonov zakon
(6.2-2)
Ispitujuei svojstva uzajamnog dejstva dva tackasta naelektrisana tijela (tackasta naelektrisanja su naelektrisalla tijela eije Sll dimenzije male u poredenju sa nj illOvim mcdusobnim rastojanjem). Kulon je ustanovio zakon
gdjc.ic c, relativna dielektrii!ll{l kOl1stanta tc sredine, koja pokazuje koliko je puta elektrostaticka sib u toj sredini slabija nego u vakuumu.
koji glasi: sUa kojom se meausobno privlace iIi odbijaju dva tackasta flaelektrism~ja,
proporcionalna je proi:vodu tilt llaclektrisallja a obnzuto proporciollalna kvadratu njilwvog meilusobnog naelektrisanja
F =k
(6.2-1) r
gdje je k konstanta propolciona1llosti. Sl jeLiilliea za nae1ektrisanje je kU[Oll (C). Ku1011 se definise kao kolicina elektriciteta koja proue kroz bilo koji presek zice u toku jedne sekunde. ako kroz zieu teee struja odiednog ampera.
Kulollov zakon prcJstadja oSllomi zakon clektrostatike, i on strogo vab sarno za taekasta naelektrisanja kada se nalaze u vakuumu. Elektrostatieka Ku10nova sila .ie sila koja odreuuje strukmru materije. Ona je osnovna interakciona sila iZllledu jezgra i elektroua u atol11u. pomocu nje se ostvaruJu i veze atom a u moleklilu. kao I \eze atoma i l110lckula u teenim i cvrstlI1l tijeiima. Konstanta proporciollalllu"ti k u Ku1uI10VUIl1 zakonn zavisi od osobina u Kojima se nalaze kolieine elektriciteta (jl i (j2 i ima vrijednost u vakuumu:
6.3 Elektricno polje
Svako naelektrisano tije1u lllijcl1ja svojstvo pros lora u kome se nalazi. To pmmijenjeno stanje prostora oko naelektrisanog tijela, u kome se osjeea dejstvo elektrostatieke sile na druga naelektrisana tijela, predstavlja elektrostaticko i'li elektricl10 polje. Dakle, OSnO\110 fizieko svojstvo elektrienog polja sastoji se u tome da na svako naelektrisanje dovcdeno u to polje djeluje elektriena sila. Da bi utndili da li u nekoj taeki proslora postoji elektrieno polje, rasmotrimo medudjelovanje dva pozitivna taekasta nae1ektrisanja q i ql', koja se nalaze na nckom rastojanju
r (s1.6.3-1). Probno taekasto naelektrisanie - q,/ .
mora iIllati mali iznos naeleklrisanja da ne bi vrsilo preraspodjelu naeleklrisanja q, elJil "e karaktetistika polja odreduje. Elektrieno polje utoliko .ie \cce, ukoliko je sib koja djeluje na probno naelcktrisanje veea, koja po Kulonovom zakonu iznosi:
-j (j q I' F -----1' 4n E u r 2 0
2
k =10-7c2=_1_=898755.\09 Nm , 4n E ' C2 ()
gdje je
Co
dielektricna konstanta vakuuma iIi dielektrii!na propustljivost
vakuuma, koja je fundamentalna prirodna konstanta, eija je vrijednost
U
sto znaei da elektriena sib porcd
q
r
zavisi i od velieine probnog
naelektrisanja qp .Vektor ~, je jedinicni vektor vektora polozilja tacke u odnosu l1a taekasto naelektrisanje q koje proizvodi elektrieno polje.
vakuumu tacno jednaka
208
209
q
EEl '..!
Elektricno polje, bilo tackastog naelektrisanja iii naelektrisanog tijela, moze se graficki predstaviti vektorom, u svakoj tacki prostora, koji bi odgovarao po intezitetu, pravcu i smjeru vektoru elektricnog polja Ii. Skup svih tih v~ktora saCinjavaju vektorsko polje. Dakle, elektricno polje je funkcija polozaja E = (x, y, z). Za vizuelno predstavljanje elektricnog polja Faradej je uveo pojam linija sile iii linija elektricnog polja. To su linije Cije se tangente u svakoj tacki poklapaju sa pravcem jacine polja E i imaju istu orijentaciju kao i sila koja djeluje na pozitivno probno naelektrisanje. Zbog toga sto elektricno polje u svakoj tacki prostDra irna odredeni pravac i sarno jedan smjer, linije sile se ne mogu sjeci. Linije sile imaju pocetak na pozitivnom, a zavrsetak na negativnom nae1ektrisanju. Na s1. (6.3-2 a) prikazanje oblik linija polja usamljenog tackastog pozitivnog naelektrisanja. Kada polje potice od dva iii vise naelektrisanja, linije si1e se zakri\'ljuju (s1. 6.3-2 (,c)
F
SI. 6.3-1 Pravac i ,mjer Kulonovc sile izmedu dv
Ako se sa
Cjp
podijeli sila
F , dobija se veliCina koja zavisi
sarno od q i r.
Onda odnos F /qn. za dato q i r . .ie konstantan i ne zavisi od velicine probnog naelektris~11lja (j('.' Zato je ovai odnos karakteristika tacke polja, odnosno, mjerilo za jacinu elektricnog polja: F I q_ E = - = - - - , rn q jl 4n En r-
(6.3-1)
Dakle, jaCina elektrihwg polia u nekoj tacki prostora, jednaka je sili koja . dejstvuje najedinicu pozitivnog naelektrisanja i ima smjer te sileo Kada elektricno polje potice od vise tackastih llaelektrisanja rasporeaelllh u orostoru. onda se komponente polja tih naelektrisanja superponiraju. pa je
uk~lpno E
polje
if
u nekoj tacki prostora jednako vektorskorn zbiru svih vektora
pojedinacnih ]lolja, tj.
- I" -[
E=
i=l
E = -1 4n E {!
In r2 " q,-
(6.3-2)
-'-I'
i=l
Ova jednaCina izra:'i:ava princip wperpozicije elektrostatickih polja~ i moze se koristiti i U onim slucajevirna kada su naelektrisallja rasporeaena bIlo po zapremini bilo po ]lovrsini. Interakcija izmeau dva naelektrisanja vrsi se posredst\"om elektricnog polja, koja se moze predsta\"iti na slijedeci nacin:
naelektrisanje
¢::>
elektricno polje
¢::>
naelektrisanje
SI.6.3-2 Linije sile elektricnog polja: a) usamljenog tackastog pozitivnog naelektrisanja b) u blizini dva istoimena tackasta naelektrisanja; c) u blizini dva istoimena tackasta naelektrisanja, d) u blizini dvaraznoimena tackasta naelektrisanja
Znaci, jedno naelektrisanje uspostavlja s\"oje sopstveno elektricno polje, koje interaguje sa drugim naelektrisanjem i obrnuto. Posto je jacina elektricnog polja po fizickoj prirodi kolicnik sile i kolicine elektriciteta, jedinica jacJl1e elektricnog polja je N/C iIi ekvivalentna jedinica V1m.
210
I
.1
211
. Elektricno polje koje u svakoj tacki prostora ima istu jaCinu i pr~vac n~zi,:a se homogeno polje~ U homogenom polju linije sile su paralelne prave 1 rastoJ~nJa su medu njima ista. Homogeno polje .se forn:ira u pro.~toru oko be~kon~cne, homogeno naelektrisane ravni, iii u prost~n: lZInedu dVl}e raYne ploce kOJ~ s~ . naelektrisane jednakim koliCinama elektriclteta suprotmh predznaka (plocastl kondezatori, s1.6.3-3).
RazliCite velicine probnih naelektrisanja imaju u istoj tacki polja razliCite potcncijalne cnergije. Bez obzira kolika je velicina probnog naclektrisanja. odnos Ep /qp ostaje stalan u nekoj tacki prostora na rastojanju r od naelektrisanja q: (6.4-4 )
1
Kod nehomogenihelektricnih polja, austina linija sila je razliCita u razlicitim tackama prostora; na mjestima gdje je jacina polja veca, linije sile su gusce, a na mjestima gdje je polje slabije linije sHe su 1jede.
iT11ii1
ri~MI'm.*!f.~
2
Sl. 6.3-3 Plocasti kondezator
6.4 Elektricni potencijal .
Ovako uvcdena velicina qJ naziva se potencijal elektrostatickog polja. Elektricni potencijal je skalarna veliCina brojno jcdnak velicini potencijalne energije naeleklrisanja q i jcdinicnog pozitivnog naelektrisanja Cfl' 11 datoj tach Kako je elektricno po!jc orijentisano od pozitime kolicinc cmektriciteta i !
elektricni napol1: Prilikom pomjeran)a ne~og nae~ektris~nja
gP
u el~~?"~statickom polju
nac1ektrisanja q kOj:r:'f;V;:~:~ e ~:::J ~l;~TS(~~d ~JOJI Je Jednak (6.4-1)
(64-5)
fl2
,-
411:8
p
'I '2
0
Jedinica za elektricni potencijal, odnosno za elektricni napon je volt
Rad ovih silajednakje pr~'mjeni pote~cijali1e energije elektrostatickogpolja:
(\V=lJ/JC).
6.5 Elektricni dipol (6.4-2) Uporedivanjemjednacina (6.4-1) i (6.4-2), dobijamo daje E
=_l_qqp 411: 8 0 r 1
,E , p
1
qqp
411: 8 0 '2 odnosno, moze se zakljuCiti da je potencijaina energija probnog naelektrisanja PI
-
qp u polju naelektrisanja q koje proizvodi polje jednaka
E =_l_q p
411: 8 0
(6.4-3)
Elektricni dipo! se sastoji od dva naelektrisanja istc vclicine a suprotnnih pn.:dznaka, koja se nalaze na nekom rastojanju. Posto svako naelektrisanje stvara oko sebe sopstveno elektricno polje, jacina rezultujuceg polJil u rna kojoj tacki prostora oko elektricnog dipola, jednaka jc zbiru jacina elcktncnih polja pozitivnog i negativnog naelektrisanja datog dipola. Osnovna karakteristika elektricnog dipola je elektricni dipolni moment iIi elektricni moment dipola , koji se definise kao
'
p=q 1
(6.5-1)
gdje je q velicina bilo pozitivnog iii negativnog naelektrisanja, a rastojanje izmedu naelektrisanja. Vektor p uvijek ima smjer od negativnog ka
212
213
pozitivnom naelektrisanju. Nactimo vrijednost jaCine polja elektricnog dipola u nekoj tacki P koja se nalazi na osi, dipola (osa dipola je prava koja prolazi kroz
iIi u vektorskom obliku
E =_1_2ql4n Go x 3
oba naelektrisanja) (sI.6.5-I). U tacki P, jacina rezultujuceg
p=q I
E+
p
G'----Oo---,...)I>E:B .... . :: • C
a brojna vrijednost je
E
P
)I
3
(6.5-4)
1 P E = - - -3
4n Go x
»
~(---x~
-E
4n Go x
Slicnim razmatranjem, dolazi se do brojne vrijednosti jacine elektricnog polja u tackama koje se nalaze na pravoj, kojaje normalna na osu dipola i prolazi kroz njegov centar
GI---.::..l-......;)o~ED±7·
polja dipola je jednaka
1 2p----
SI. 6.5-1 Elektricno polje dipola na osi dipoia
(6.5-5)
Ako uporedimo izraze (6.5-3) i (6.5-5) , vidimo da je jacina elektricnog polja . dipola u nekoj tacki koja se nalazi na simetrali dipola , je jednaka polovini vrijedllosti jaCine elektricnog polja u tacki P koja se nalazi na osi dipola na istom rastojanju,
polja u tacki P od naelektrisanja E _ je
Jacina
1'6.6 Dipol u elektricnom poJj~.
q
E 4JT E"
(x _-,-y 'I L.
1
Razmofrimo situaciju kada se dipol postavi u Iwm(Jgel1o elektricno polje, tako da njegova osa gradi ugao a sa pravcem linija polja (s1. 6.6-1). Na oba naelektrisanja dipola djelovace elektricno polje silama istog inteziteta qE, ali u suprotnim smjerovima. Ove sile obrazuju spreg sila Ciji je moment jednak proizvodu jacine jedne sile i kraka sprega (krak sprega je nonnalno rastojanje meau pravcima sila):
)
a doprinos pCini polja u tacki P od naelektrisanja E _ je
q
E
1 ,: (
x+-I ? I
M =Flsina =qElsina
-)
iii
M =pEsina
pa.i e o11da vrijednost jacine \,01j3. dipoia u tacki P na osi dipola jednaka
(6.6-1) (6.6-2)
jer je p = q I. Izraz (6.6-2) predstavlja vektorski proizvod dva vektora, tj.
E
q
--'-----4JT E"
4JT E" (
2x q I
= 1)2
ix+\
(6.5-2)
M=pxE
4JT Eo
2
Ako je x» I ,odnosno, ako rastojanje izmedu naelektrisanja je malo u , pa se odnosu na rastojanje x tacke P ,Clan 14/4 je mali u poredenju sa moze zanemariti. Onda je
E
I
2q l
(6.5-3)
=----,
4JTE" x·'
214
215
(6.6-3)
Tabela 6.6-1 Tipicne vrijednosti jacine elektricnog polja u blizini kucnih urcdaja na rastojanju od 30 em
E lsina - _ E )0
S1.6.6-1 Dipol u homogenom elektrienom polju
Moment sprega tezi da orijentise dipol u pravcu elektricnog polp Obrtni moment ima maksimalnu \Tijednost kad je osa dipola normalna na linijc si1a, a jednak je nuh kad je dipo!ni moment orijeutisan u pravcLl polJa. Znaci dipol Ll spoljasnjem poUu posjeduje izvjesnu potenclJalnu energlJU. Da bi se povecao ugao izmedu P i i za du, mora se iZ\Tsiti rad protlv spoljasnjih sila: dA =M . do. = pEsina do.
(6.6-4) U odsustvu spoljasnjeg elektrieriog polja molekuli mogu biti polami i nepolarni. Polami molekuli su oni molekuli kod kojih se teZista pozitvinog i negativnog naelektrisanja ne poklapaju (s1.6.7-1). Velicina polamosti ovih molekula mjeri se elektrienim dipolnim momentom:
Rad spoljasnjihsila ide na povecanje potencijalne energije dipola
dA=dU(a) paje
U(a)=PEf sino. 00.
U(a)=-pEcosa +C Ako seuzrnedaje C =0, dobijase
iii
=
-pEcosa
U=-p·E
(6.7-1)
(6.6-5)
odnosno nakon integracije, dobija se
U
""'6.7 Polarni i nepolarni molek~ll;
(6.6-6)
Polami molekuli imaju permanentni (staIni) dipolni moment i u odsustvu spoljasnjeg elektrienog polja. Polami molekuli su asimetrieni u normalnom stanju. Uzmimo na primjer, dvoatomni molekul naCilljen od dva razlieita atoma, kao sto je molekul HC!. Kada se formira molekul HCl od prvobitno sfemih H i Cl atoma, elektron sa vodonikovog atoma pomjeri se djelimicno prema Cl atomu, ostavljajuCi jezgro vodonikovogatoma djelimicno ogoljeno. Prema tome, postoji visak pozitivnog naelektrisanja na onom dijelu molekula HCl gdje je H atom, a visak negativnog naelektrisanja na onom diielu molekula 30 gdje se nalazi Cl atom. Velie ina ovog dipolnogmomentaje 3,34 '10 Chl "sto je ehivalentno pomijeranju tdista elektrona za oko jednu pedesetinu nm.
Dakle, najmanja_ vrijednost pOlenei)alne energije dipola je za a =0" , tj. kada je pu smjeru E paje U= - pE, i dipo! se nalazi u stanju stabi!lle ravnotde, a najveca kada je a =180" ,pa je U = pE, i dipol se nalazi u stanju labilne ravnoteze.
216
217
Dakle,javlja se razlika u raspodjeli naelektrisanja oko pojedinog atoma a to rezultira elektrostatskom privlacnom sHorn izmedju atoma u jedinjenju, npr. u jedinjenjima kao sto su HCl, H,O , i kazemo da vodonikov atom ima oksidacioni broj +1, hlorov -l,a kiseonikov -2. S druge strane ujedinjenjima istih atoma povezanim cistom kovalentnom vezom (H" Ct" 0,) razlike u raspodjeli naelektrisanja oko atoma nema, pa je oksidacioni broj svih atoma nula. U tabeli (6.7 -1) date su vrijednosti dipolnihmomenata nekih polarnih molekula. Molekuli kod kojih se tezista obe vrste naelektrisanja, u odsustvu spoljasnjeg elektricnog polja, poklapaju, nazivaju se neftolarni molekuli. Obicno su to simetricno gradeni molekuli, gdj e j e elektricni dipolni moment:
p=o
(6.7-2)
N epolarni su molekuli azota, vodonika, kiseonika, atomi inertnih gasova, i dr. Tabela 6.7-1 Dipolni momenti nekih polamih molekula
oblik i veIicina. Razliciti provodnici naelektrisani jednakim kolicinama naelektrisanja pokazuju razlicite potencijale. Fizicka osobina provodnika po kOJoJ se oni razlikuju naziva se elektricni kapacitet, koji je brojni jednak naele~trisanju koje treha dovesti tOm provodniku da bi mu se potencijal povecao za I V. Kapacitet jednog provodnika se moze povecati, ako mu se dovede i blizinu drugi. suprotno naelc;ktrisani provodnik. Specijalni slucaj koji se u praksi najcesce susrece su dva provodnika postavljena jedan pored drugog i naelektrisana jednakim kolicinam~ elektriciteta suprotnog znaka. Tabv sistem provodnika se nazi va elektricni kondezator. Provodnici koji obrazuju kondezator nazivaju se obloge
kondezatora. Pod naelektrisanjem kondezatora podrazumijeva se apsolutni iznos naelektrisanja q jedne ohloge.
Kapacitet kondezatora definise se kao odnos naelektrisanja kondezatora i razlike poteneijala izmeau obloga :
(6.8-1) i ne zavisi od koiicine naelektrisanja q I napona U izmeau obloga. Jedinica za elektricni kapacitet je I F (Farad) ( J F = 1 C / 1 V ). Kapacitet od IF ima kondezator na ClJim se oblogama razlika potencijala promjeni za 1V, ako' se kolicina naelektrisanja promijeni za JC. S1. 6.7-1 Tezista polarnog molekula se nepoklapaju
Osnovili tip kondezatora je poznat pod nazivom plocasti kondezator. lzolovani provodnici (obloge) toga kondczatora su dvije podudarne i paralelne ploce, povrsine S i na rastojanju d, koje je malo u odnosu na dimenzije obloga. Napon izmeau pJoca kondezatora u vakuumuje : = Ed =_1 q ·d
U ()
Potencijal naelektrisanog provodnika ne odreduje sarno njegovo sopstveno naeiektrisanje, nego i djelovanje naelektrisanja na provodnicima u okolini datog provodnika. Na potencijal pomenutog provodnika uticu velicina i znak naelektrisanja tijela u okolini, takode i raspored tih provodnika, njihov oblik i velicina. Razliciti provodnici naelektrisani jednakim kolicinama
218
IJ
Eo
S
(6.8-2)
dok je kapacitet plocastog kondezatora u vakuumu:
c
=~=c
"U
"
S " j
(6.8-3)
(
219
Vidi se da je kapacitet plocastog kondezatora, veliCina srazmJema povrsini jedne obloge S, a obrnuto srazmjerna rastojanju izmedu obloga d. U slucaju da se izmedu ploca nalazi neki dielektricni materijal dielektricne konstante E"
Zbog toga je kod redne veze kondezatora na svakoj oblozi jcdnako naelektrisanje q, odnosno :
tadaje kapacitet plocastog kondezatora: (6.8.1-1 ) (6.8-4)
Kako je ukupni napon U jednak zbiru napona poiedinih kondezatora :
U
P
I
./.--...!.
81. 6.8.1-1 Redna veza n kondczatora
Osim plocastog kondezatora, u praksi se zastupljeni sfemi, koaksijalni i drugi oblici elektricnih kondezatora. Sferni kondczator sastoji se od dvije koncentricne sferne povrsine poluprecnika R I j R 2 , naelektrisane istim kolicinama elektriciteta suprotnog znaka, q i -q, Ciji je kapacitet jednak
(6.8.1-2) a naponi na pojedinacnim kondczatorima su dati sa :
(6.8-5)
q U -q q U I -- , ... ,TTv.-' ')CI Co "C ' -
U elektrotehnici je od posebnog znacaja sistem od dva koaksijalna provodnika koji se zove kaksijalni kabl. ~eka je poluprecnik unutrasnjeg provodnika je RI a spoijasnjeg R2 , i neka su provodnici naelektrisani linijskim gustinama
pa se telacija (6.8.1-2) moze napisati
naeleklrisanja suprotnog znaka, unutrasnji sa q' ,a spoljasnji sa - q' , kapacitet
U
po jedinici duzine koaksijalnog kabla iznosi
C' =
1... = 2ft E" U
U
obliku :
/
q q q f 1 I --+-+···~=l-+-+ C1
(6.8-6)
II
C2
CII
Cj
C
I
1
+q C ••• )
2
(6.8.1-3)
II
Ekvivalcntni kapacitet baterije kondezatora definisan J·e odnosom kol· I k· .. lcme naee, tn~an.Ja Jedne ohloge ( na primjer, krajnje pozitivne) i ukupnog napona na kIdJe\ lIna date veze (napona izvorajednosmjerne struje). Na osnovu rc1acije (6.8.1-3) pomenuti odnos daje : V·
In R2 RI
i koji se naziva poduini kapacitet. ledinica za poduzni kapacitet je F/m.
6.8.1 Vezivanje kondezatora u grope
C i
==!L C
=
~.+ _1_ + ... ...J..., -) I -I·. III
(C
I
U praksi vise kondezatora medusobno se vezuju tako da obrazuju baterije kondezatora zeljenog kapaciteta. Kondezatori se mogu vezivati na dva osnovna nacina: serijski (redno) i paralelno. Kod serijske veze su naizmjenicno vezane pozitivne i negativne obloge (sI.6.8.1-1). Ako se na oblogu prvog kondezatora dovede naelektrisanje +q, a na drugu oblogu n-tog kondezatora naelektrisanje -q , tada se uticajem (influencijom) ostale obloge svih kondezatora naelektrisu.
220
Co
C
-
Il
(6.8.1-4) , ~a osnovu ovc relacije sJijedi da je reciprocna vrijednost ekvivalentnog Kapaclteta za n redno vezanih kondezatora, jednaka zbiru reciprocnih vnJednostl kapaclteta pojedinacnih konderzatora. 221
Kod paralelnog vezivanja kondezatora (sl. 6.8.1-2), napon U na svakom
6.9 Polnrizacija dielektrika
pojedinacnol11 kondezatoru je isti , tj. (6.8.1-5)
U = U I = U2 = ... = Un
Materijalna sredina koja nema sJobodnih nosilaca naelektrisanja naziva se dielektrik (izolator). Sva su naclektrisanja veZana u okviru molekula (atoma) iIi u okviru rdetke. Rezultuju6i dipolni moment dielektrika kao cjeline u bilo kojem pravcu jednak je nuli, buduci da su dipoli orijentisani haoticno. Kod polarnih molekula tezista pozitivinog i negativnog naelektrisanja se ne poklapaju (sI.6.9-la). Ako se polarni molekuli nalaze u elektricnom polju, tada oni teze da se postave u pravcu polja.
..........c
.-0
~
()---O
~ e--o j
Sl. 6.8.1-2 Paralelna veza n kondezatora
~
Kada se zatvori prekidac P kroz granu sa baterijom, proteCi ce kolicina elektriciteta q koja ce se raspodjeliti na n grana, tj. kolicine naelektrisanja na oblogama kondezatora zavise oct njihovih kapaciteta :
o 0--.
(6.8.1-6)
.-0 ()--O
()--O
c)
o----D o-D
0-0
e--ol
o-JI
~
..E
.-.r1
o-e I
o--e
!
'I
.......-oe--o
U sistemu paralelno vezanih kondezatora ukupno naelektrisanje je :
SI.6.9-1 a) PoIarni l110Iekuli orijentisu svoje dipolne l11ol11ente haoticno (6.8.1-7)
odakle slijedi da je ek vivalentni kapacitet : (6.8.1-8)
Dakle, ekvivalentni kapacitet paralelno vezanih kondezatora jednak je zbiru kapaciteta pojedinacnih kondezatora.
222
u
odsust\·u spoljasnjeg polja h) U spoljasnjem polju dolazi do djelimicne orijentacije dipola c) Nepolarni l110lekuli su t'lektriClw nelltralni II odsustvu spoljasnjcg polja d) Spoljasnje elektricno polje dovod i d6 stvaranja indukovanih dipola, koji se potpuno orijentisll u pravcu polja
Pri unosenju dielektrika sa polarnim molekulima u elektricno polje, dolazi do djelimicne orijentacije permanentnih dipola (s1.6.9-1b.) Do potpune orijentacije ovih dipola ne dolazi zhog termickog kretanja molekula. Sasvim jt' druga situaciJa kada se radi 0 nepolarnim molekulima (sI.6.9! c). Oni nemaju dipolni moment jcr im se centri pozitivnog i negativnog naelektrisanja poklapaju. Kada se nepolari molekuli postave u elektricno polje, tad a polje djeluje na pozitivna naelektrisanja u smjeru polja, dok na elektrone djeluje u suprotnom smjeru. Nepolaran molekul se polarizuje u elektricnom
223
polju, jer se teiista pozitivnog i ncgativnog naelektrisanja razdvajaju. Takav molekul postaje elektricni dipol, koji se naziva indukovani elektriclli dipol. Pri unosenju dielektrika sa nepolarnim molekulima u elektricno J101je dolazi do stvaranja indukovanih elektricnih dipola koji su istovremeno i potpuno orijentisani u pravcu polja (sl. 6.9-1 d). Dipolni momenti polarn~h molekula znatno su veei od indukovanih dipolnih momenata nepolarmh momenata. Razdvajanju teZista pozitivnog i negativnog naelektrisanja kod nepolarnih molekula suprostavljaju se vezivne sile kOJe drze molekul kao cjelinu. One se ponasaju kao elasticne sile, pod c~jim se dejstvom pomjerena naelektrisanja privlace uzajamno. Vezivne sile su ekktromagnetne prirode i imaju suprotan smjer od siia elektricnog poija. Srazmjerne su pomjeranju naelektrisanja iz ravnoteznog polozaja i poveeavaju se dok se nc uramoteze sa silama polja. Po prestanku dejstva polja, nestaje i elektricni dipolni moment. Ako polje nije suvise veliko, indukovani elcktricni dipolni moment se moze izraziti kao:
p =f3E};
(6.9-1)
Koeficijent proporcional nosti [J nazi va se (elektricna) polarizibilnost molekula i zavisi od njihove strukture. Bilo da je polarizacija indukovana, iIi potice usljed orijentacije pennanentnih dipola, U oba je slucaja krajnji ~akrosko~ski efekat isti. Dielektrik u eklricllom polju postaje polarisan, a takva pojava naziva se polarizacija dielektrika. Velicina koja karakterise stepen polarizacije dielektrika je dipolni
gdje je X konstanta proporcionalnosti, koja se naziva dielektriclla sllsceptibilnost iii osjctljivost dielektrika. Susceptibilnost ne zavisi od jaCine elektricnog polja. Velicine u izrazu (6.9-4) su makroskopske mjerljive velicine.
6.10 Elektricne struje
6.10.1 Osnovni pojrnovi 0 elektricnoj struji Usmjereno kretanje naelektrisanja pod dejstvom elcktricnog polja naziva se elektricna struja. Cestice koje ovo naelektrisanje nose, nazivaju se slobodni nosioci naclektrisanja. Shodno tome, elektricna struja moze da se javi sarno u sredinama, tijelima, kojc sadrZe slobodne llosioce naelektrisanja. Slobodni nosioci naelektrisanja mogu da se kreeu po ukupnoj zapremini posrnatrane sredine. Kod metal::t to SLl clektroni, kod poluprovodnika, elektroni i supIjinc, kod elektrolita pozitivni i negativni joni. Naelektrisanje kroz vakuum moze da prcnese proizvoljna realna cestica. Supljine nisu realne cestice, jer po.stoje sarno u poJuprovodnicima, a ne i izvan njih. OSl1ovna velicina koja karakterise elektricnu struju jeste intezitet iIi jaCilla struje. lacina elektricne struje je skalarna veliCina i definise se kao odnos kolicine naelektrisanja koja prode kroz poprecni presjek provodnika. u jedinici vremcna:
moment jedinice zapremine:
(6.10.1-1)
dt
(6.9-2) Ova velicina j5 naziva se vektorpolarizacije dielektrika. Vektor j5 ima pravac i smjer polja. S obzirom da je polarizacija srazmjerna elektricnom polJu, moze se napisati
(6.9-3) , iIi
P=E"X E= (E,-J)E"E
224
(6.9-4)
Ako je proticanje naelektrisanja stacionarno, Jacina elektricne struje Je konstantna vclicina, te se moze izraziti odnosom:
I
q
(6.10.1-2)
gdje je q ukupna kolicina naelektrisanja koja je za vrijeme t protekla kroz poprecni presjek provodnika. ledinica za jacinu elektricne struje je amper A. Amper je osnovna SI jedinica. Ako se kroz provodnu sredinu kreC"u slobodna pozitivna i slobodna negativna naelektrisanja, pri cemu za vrijerne dt kroz
225
poprecm presjek proc1e dq jacina strije.
+
II
jednom i dq· u suprotnom smjeru, tada je
dqT .dq-
(6.10.1-3)
=---r----
dt
dt
Ako elektricno polje, koje u provodniku dejstvuje, sve vrijeme zaddava jedan smjer, pri cemu intezitet polja moze biti stalna ill promjenljiva veliCina, struja se nazivajednosmjerna strl.{ja konstantne iii promjenljive jacine. Mijenia li se smjer polja u odrec1enim vremenskim razmacima, smjer kretanja slobodnih nosilaca takoc1e se mijenja; tada je rijec
0
naizmjenicnoj struji. 011a moze da
Pod dejstvom stalnog elektricnog polja jacine E slobodni nosioci naelektrisanja, sem haoticnog kretanja, izvode i usmjereno kretanje u pravcu polp nekOlll konstantnom brzinom \l koja se naziva brzinom drifta. Moze se pokazati daje brzina drifta srazmjernajacini elektricnog po~ja:
\l=J1E
(6.10.2-2)
gdje se koeficijent J1 nazivapokretljillost nosilaca naelektrisanja. . . U .polju jacine E na nosioce naeiektrisanja lllase m i naelektrisanja q , dJeluJe sda F = qE, te se oni hecu ubrzanjem:
ima proizvoljan, periodicni oblik. 1z svakodnevne prakse najpoznatija je qE
upravao struja sinusnog oblika.
(l=~
Logicno bi bilo da se smjer elektricne struje definise kao smjer kretanja slohodnih naelektrisanja. Siobodna naelektrisanja na primjer, u metalu SLl elektroni, pa bismo na taj naCin smjer elektricne struie definisali kao smjer kretanja eiektrona .. Meoutilll, zakoni elektricne struje ustanovljeni su mnogo prije neg<;> sto je otkriven elektron. S druge strane, takvom bismo definicijom up ali u poteskoce pri definisanja smjer3 struje u rastvorima i gasovima, gde su nosioci strujei pozitivna i negativna naelektrisanja. Zbog toga je uvedena konvencija 0 smjeru struje : Smjer elektricne struje je smjer kojim bi sc kretala
pozitivna naelektrisnja. U srriislu ove konvencije se, na primjer, elektroni u metal nom provodniku kreeu u smjeru suprotnom od kOl1vencijalnog smjera elektricne struje. konvencijalni smjer struje "od plusa prema lllinusu" odnosi samo na spoljasnje kolo struje. Unutar salllog izvora,~llljer struje je od negativnog prellla pozitivnolll polu.
171
l\Josioci naelektrisanp u pro\'odniku cesto se sudaraju sa neutralnim iii vezanim atomima. Poslije o\'ak\"ih sudaril nosioci mijenjaju pravac kretanja i gube dio woje energiie. koja se pret\'ara u toplotu i zagrijeva provodnik. Ako se nosilac do i-tog sudara krece s]ohodno, za vrijeme fi dobija konacnu brzinu: qE v, = af, =
~t
111
Srednja hrzina ovogjednakouhrzanog kretanja (1'" = 0) je :
v;=
(v" +v i 2
qE 2111 '
=-t
Vrijeme koje protekne izmedu dva uzastopna sudara suc!ara do sudara. a time se mijenja i srcdnja brzina
6.10.2 Omov zakon
Brzina drifta se dohij~l ako se hrzina
Ako na duzini /',,1 nekog provodnika postoji potencijaina raz]ika (napon) /'"U, jacina elektricnog polja u provodniku im3 tada vrijednost :
(6.10.2-1)
E=M
226
ti
mijenja se od
nosioca naelektrisanja.
usreclnji na svih
11
sudara koji se
dogode nosiocu u provodniku :
- _ 1 ~ -:
/'"u
j-:-i
v
qE I ~ 2m n
v--Lv·=~-Lf II i~t I i~t i
227
__ _qt, .E 2m
(6.10.2-3)
gdje je sa tc oznaceno srednje vrijeme izmeau dva sudara ( za metale je tc reda veliCine 1O-J4 s ). Uoporedivanjem (6.10.2-3) 1 (6.10.2-2) imamo da je
odnosno , ako se preae na infinitezimalne elemente duzine dl, suma se moze zamijeniti integralom:
pokretljivost nosi laca: qtc
(6.10.2-4)
J1 = 2m
(6.10.2-6)
Kako smo imali daje : gdje je I ukupna duzina provodnika. "Jcdnostavnim razmisljanjem moze se zakljuciti da je jacina struje jednaka duz cijelog provodnika, u protivnom dolazilo bi do nagomilavanja naelektrisanja, sto je u provodnoj sredini nemoguce. Izraz (6.10.2-6) zbog toga, daje :
dq Si=-=ne v dt
gdje je l1-broj slobodnih nosilaca Ilaeleklrisanja po jedinici zapremine provodnika, as poprecni presjek provoJnika, mozemo jacinu struje povezati sa
U= I f_l_dr: = I fp ~d(!
brzinom drifta:
S
(JS
gdje je sa n oznacena koncentracija slobodnih llosilaca naelektrisanja. S obzirom na relacije (6.10.2-1) i (6.10.2-2), prcthodni se izraz moze napisati u obJiku:
(6.10.2-7)
()
()
gdjeje p = Ji(J i naZl\a se spec~ficna otPOrllost. Integral ujednacini (6.10.27) za\'i~i SLlmu od osobina posl11atrallog provodnika, tako da predstavlja S\ojstvo, karakteristicnu osobinu provodnika, koja se l1aziva elektricno otpornost R pomelllltog pro\'odnika. Rclacija (6.! 0.2-7) moze da se napise u obliku :
I-:,.U I-:,.U I=qnuS - = ( J S 'M M
(6.10.2-5) U=RI
(6.10.2-8)
gdje je : gdje je:
(J == q np. (J je !.pec~ficllo provodljivost materijala od koga Je
posmatrani element izraziti
U
1-:,.[
prO\odnika nacinjen. Rclacija (6.10.2-5) moze se
R=
ffct o
obliku :
(
f= f;-ISd C ()
(6.10.2-9)
Za provodnik kOl1stantl1og poprecnog presjeka (S ne zavisi od 1), nacinjen od homogenog materija!a (p ne zavisi od 1), relacija (6.10.2-9) prclazi u: Sabiranjem razlika potencijala I-:,.U, po svim clcmentima duzine provodnika 1-:,.1, dobija se ukupna razlib potencijala na krajevima posmatranog pro\odnika:
(6.10.2-10) lzraz (6.10.2-10) dcfimse elcktricnu otpornost linijskog provodnika (dimenzije presjeka znatno manje od duzine provodnika) homogenog materijaia i
228
229
konstantnog poprecnog presjeka. Kao sto se vidi iz (6.7.2-10), otpomost provodnika ne zavisi od napona i struje, vee je svojstvo datog provodnika. Relacija (6.10.2-8) izrazava Omov zakon koji glasi: Razlika potencijala,
(llapon U), na krajevima jednog provodnika srazmjerna je jaCini struje I koja kroz taj provodnik protice. Koeficijent srazmjernosti R naziva se elektricna otpomost provodnika. Na osnovu reJacije R=UIl, elektricna otpomost izrazava
dA
= U I dt
(6.10.3-2)
Ako se jacina struje i napon ne 111ijenjaju u vrernenu, tada .ie rad u konacnom Illtervalu vremena t dat izrazom :
A = U It
(6.10.3-3)
se u V! A. Ova se jedinica naziva om, Q . Ako su jacina struje i napon vremenske promjenljive velicine, tada se izraz za rad u konacl1om intervalu vremena t dobija integracijom relacije (6.10.3-2), odnosno:
6.10.3 Rad i snaga elektricne struje
f f
Kada slobodni nosioci naeJektrisanja, Cije je ukupno naelektrisanje dq, pro(lu razliku potencijala (napon ) U i to sa viseg na nizi potenc~ial, njihova se
A
=
U Idt
(6.10.3-4)
potencijalna cnergija smanji za iznos izvrsenog rada : (6.10.3-1)
dA = U dq
U zavisnosti od konstrukcije provodnog tijela, odnosno potrssaca kroz koji su ovi nosioci prosli. energija dA se pretvora u drugi vid energije. Ako.ie potrosac neki otorrnik, energija dA se pretvara u toplotu. Ako je, medutim, potrosac elektromotor, tada se pomenuta energija pretvara u mehanicki rad. Ako slobodni nosioci naelektrisanja proJaze kroz gas, energija se trosi na pobuoivanje (eksitaciju) i jonizovanje gasa. pri cemu dio energije napusta gas u obJiku elektromagnetnog zracenja (lla primjer, svjetlosno zracenje). Pretvaranje elektricne energije Udq u toplotu naziva se topiotno dejstvo elektricne struje i moze se objasniti na sljedeei natin. Kada struja protice kroz otpomik, sJobodni nosioci naelektrisanja dobijaju, sem kineticke energije termickog kretanja, jos i dodatnu kineticku energiju usljed dejstva elektricnog polja. Sudarajuci se sa ostalim cesticama u sredini kroz koju se kreeu, ova kineticka energija usmjerenog kretanja neprekidno se pretvara u kineticku energiju termickog (haoticnog ) kretanja, sto ima za posljedicu povisenje
Rad izvrsen u jedinici Hemt'na je snaga : dA
P=-=UI
(6.10.3-5)
dt
Snaga se izrazava u vatima (l W = 1.J / 1s). Na osnovu Omovog zakona, rad i snaga se mogu izmziti i na sljedcCi naCin. preko otpornosti R potrosaca: 7
A =RI-t
U
2 =-(.
R
'
2
P=RI 2 =U R
(6.10.3-6)
Kako je LI OV0111 slucaju potrosac otpomik, rad se pretvara u toplotu. Otpornik st' zagnJe\a. Snaga dcfinisana reiacijom (6.9.3-6) nije nista drugo nego raZ\"lJena top Iota u jedilllci nernena, odnosno brzina oslobadanja toplote :
dQ=RI 2 ,odnosno, Q =R I 2t dt
(6.10.3-7)
temperature otpornika, Ovo toplotno dejstvo cesto se naZlVa i omsko zagrijevanje. Relacija (6.10.3-1) izrazava rad elektricne struje i moze se izraziti preko jacine stmje I. Na osnovu izraza dq = I dt , relacija (6.10.3-1) se moze napisati u obliku :
230
Relacija (6.10.3-7) izraZava poznati Dzul-Lencov zakon. Top]ota definisana OV0111 relacijom ne zavisi od smjera stmje. Dzul-Jencov zakon je poseban oblik zakona 0 odrzanju energije za transforrnaciju elektricne energije u toplotu. Izvedene relaclJe za rad i snagu elektricne struje vaze sarno u kolima u kojima vazi Omov zakon. 231
provodenja elektricne struje, k1'etanjem obje grupe jona k1'oz elektrolit pod
6.11.1 Elektroliticka disocijacija Poznato je da hemijski cista voda nc provodi elektricnu struju. Medutim, ako se 11 vodi rastvori izvjesna koliCina soli iii doda manja kolicina kiseline iii baze, tad a voda provodi elektricnu struju. Prema tome, rastvori neorganskih soli, baza , kiselina u vodi provode elektricnu struju, a nazivaju se elektroliti. Molekuli soli, baza i kiselina su elektricno neutralni. Ako se, medutim, pomenute supstance rastvore u vodi, dolazi do razlaganja. tj. do razdvajanja suprotno naelektri~anih djelova, aloma ili atom,.,kih grupa. Ovi naelektrisani djelovi (atomi ili atomske grupe) nazivaju se joni, a proces razlaganja je
elektroliticka disocijacija. Na primjcr, molekul hlorovodonicne kiseline HCI razlaze se (disocira) u vodi na pozitivni jon vodonika H" i ncgativni jon hlora, Cl .. Ovaj se proccs moze izraziti na sljcdeCi naCin :
dejstvom spoljasnjeg polja naziva se provodenje kOllvekcijom (u elektrolitima _ konvekciona struja, Ll metalil11a - konduciona struja). Danas je, uopsle, poznato da joni nastaju prelaskom elektrona sa jednog na drugi atom i da postoje ne sarno u rastvoru, vee i kod cvrstih tijela. Rendgenografskom analizom je dokazano da se kristali NaCl, a takode i drug a hemijska jedinjenja sa jonskom vezom (heteropolarna jedinjenja) sastoje od jona. Voda u procesu rastvaranja, na primjer, NaCl, savladuje priylacne sile jonske kristalne resetke t\aCl i na taj naCin odyaja jone Na + i cr, a zatim ih rasporedL~jc po cjelokupnom rastyoru. Proces razlaganja eicktrolita na jone, moze da se prikaze na sljedeci nacin: kristali elektrolita, na primer, ;...raCl, cim dodu u dodir sa vodom odvoje se u slobodne jone, oko kojih se okupljaju polarni molekuli vode. lzmedu pozitivnog jOlla .t\'a+ i negativl10g dipola molekula vode javlja se uzajamno privlaccnje, <:t takodc izmedu ncgativl10g jona cr i pozitivnog kraja dipol~ vode, uslJed cega dolazi do razd\'ajanjajona ~a+ i jona cr i njihovog prevodenja u rastvor (sl. 6.11.1-1).
Vrijednost naelektrisanja pojedinih Jona u ovom slucaju jednaka je elementarnom naelektrisanju, tj. nacleklrisanju jednog elektrolla. Poziti\l1i joni su naelektrisani atomi iIi grupe kod kojih postoji manjak elektrona, a negativni, kod kojih postoji visak
elektrona. U slucaju disocijacije molekula C uS04 u
vodi, molekul se razlaze na dvostruko pozitivan negativan jon grupe
SO:~
jOll
bakra Cu++ i dvoslruko
,tj, POZili\110 iIi negatvno naelektrisanje ovih jOlla
jednako je kolicini od dva elementarna naelektrisanja: SI. 6.11.1-1 Orijcntaciono rasporcc1ivanjc dipol-molekula vode oko jona
Broj e1ementarnih naelektrisanja jona pojedinacl1o odgovara hemijskoj valenci. Prema tome, jednovalentni jon nosi jedno, dvovalentan dva, iIi, uopste z-valentan jon, z elementarnih nadektrisanja. Na osnovu izlozenog je jasno da voda provodi elektricnu struju, ako su u njoj rastvorene soli, baze iIi kiseline. U ovim slucajevima nosioci naelektrisanja su joni, te oni omogucuju proticanje struje. U zatvorenom kolu posLoji kretanje i pozitivnih i negalivnih jona, sto
loni ~e u raslvoru vezuju :,a molckulima vode, pa tako nastaju hidratisani joni. Pokretljiyost jona je cesto zayisna od broja molekula vode za koie su oni
\'ezani.~koliko jc taj broj veci, utoliko .ie njihova pokretljivost mania. Stoga se Ll rast voru lJalaze, nisu iSli sa onima koji se nalaze u kristalnoj resetki, Poznato je, na primjcr, da je bezvodni dio CUS04 bijeli prah. Prema 2 tome, joni Cu + i SOcj2-, koji sacinjavaju kristalnu resetku CUS04, su
JOl11, kOJ1
je bitna razlika od provodenja elektricne struje u metalima. Ovakay oblik
bezbojni. Medutim, cim se pomenuti joni pri rastvaranju vezuju sa vodom, jon 2 Cu + dobija playo zelenu boju, koju zadrzava i 11 kristalnom obliku. Ta boja potice od hidratisanih jona bakra.
232
233
Sposobnost disoeijaeije molekula vode objasnjava se cinjenieom da su
Ako .se kroz disocirani rastvor
molekuli vode polami molekuli (dipoli) sa velikim elektricnim momentom
Hel
u vodi, u koji su potopljene
elektr~de, propusti struja nastupa elektrol iza i na elektrodama se tada odigravaju
dipola (Pc =6.1 x 10-'0 C- m). Oni usljed toga na rastojanjima, red a veliCine
slJedeCl proeesi :
rastojanja meau molekulima (r "" 0.1 nm). posjeduju jako elektricno polje:
Na anodi : anjoni predavanjem viska elektrona pretvaraju se u neutralne atome iii atomske grupe. Karakteristican praces koji se izvodi na anodi je prema tome, oksidacija : 2CI- =C1 1
Elektricni poteneijal u tim tackamaje takode relativno veoma visok i iznosi:
t +2e-
Na katodi : . katjoni primaju elektrone iz njenog sastava i pretvaraju se u neutralne atome til atomske grupe. ;'\asllprol proeesu na anodi, na katodi se vrsi
redukcija: sto je znacaJan poteneijal i za makroelektricno polje a da ne govorimo za mikroelektricno polje. Ovo je razlog zbog eega je energij3 uzajamnog dejstva izmeau jona llatrijuma (Na+) i hlora eCI") u molekulu NaCl priblizllo jednaka energiji uzajamnog dejstva izmedu ovih jona i molekula vode. Zhog toga u vodenom ra~tvoru NaC!. molekuli NaCl postaju sistemi sa zllatno smalljellom energijom veze. pa se i prj ohicnim tennickim sudarima raspadaju na jone Na· j cr, tj. disocuju. Posto su joni KaT i joni cr okruzeni velikim brojem
Prema tome, pod elcktrolizom se pucirawmijeva oksido-redukcioni proees koji nastaJe pn prolasku elektncne struje kraz rastvore i rastope elektrolita.
6.11.3 Faradejevi zakoni elektrolize Naelektrisanje nastalih jona prilikom disocijaeije je
molekula vode, zbog dejstva koje je opisano, njihovo kretanje i rekombinacija je otezana. Pored vode, elektroliti mogu disocirati i u nekim drugim
q =Ze
rastvaracima cija je dielektricna konstanta velika, na primjer, u mravljoj kiselini. etanoiu, teen om amonijaku, vodonik-peroksidu itd .. ali slahije. Za pravilno razumijevanje mnogih hemijskih i fizickih proeesa i promjena u organizmima, problem elektroliticke disocijaeije .ie od posebne vaznosti za medicinske nauke, biologiju. farmaciju i dr. Tu se prije svega misli za pravilno
gde je Z - valenca elementa
U
]losrnatranom molekulll. Ako tokom eJektrolizc
kroz elektrolit protekne kolicina elcktriciteta Q, onda je broj jona koji dospije do elektroda :
razumije\'anje pitanja koncentracije vodonikovih jona i njeno mjerenje, zatim za razmnijevanje najkarakteristienije osobine jona - provodljivost elektrolita. a njihova masa
6.11.2 Elekiroliza Kada se atomi iIi atomske grupe neutralisu, mogu da nastanu razni
111
hemijske procese koji pri tome nastaju, nazivaju se elektroliza.
m
IV = -'-' Q " Z·e
111
tj.
l11=kQ
hemijski proeesi sa elektrodama iii elektrolitom, a metali se taloze na elektrodama. Pojave vezane za prolazak stmje kroz elektrolit, ukljueujuCi i
•
=
gdje je
1110 -
masa jednog jona, a
(6.11.3-1 )
k=
~ Z ·e
-
eiektrohemijski ekvivalent
supstancije izdvojene na e1ektrodi. Relacija (6.11.3-1) 234
235
izrazava I Faradejev
z.akon elektrolize, prema kome je masa
proporcionalna protekloj koliCini elektriciteta kroz elektrolit. Ako kroz elektrolit protice strup stalne jaCine J, tokom vremena t. onda je protekla kolicina elektriciteta Q = It, pa se I Faradejev zakon moze napisati U
6.12.4 Provodljivost eJektrolita
supstancije izdvojene na clektrodi
Kada spoljasnje polje nc postoji, jom u elektrolitu izvode haoticno kretanje, pa.ic otuda rezultujuca struja jednaka nuli. U prisustvu polja, meautim, pozitivni joni dobijaju dodatnu brzinu
obliku :
negali\l1i dodalnu brzinu
(6.11.3-2)
m = kI t a ako je jacina struje promjenljiva, tj, i
= i(t), onda
I Faradejev zakon ima oblik
I.
(6.11.3-3)
m =kfidt
suprotnom smjeru. U rastvoru tada pocinje
prcnoscnjc naelcktrisanja, odnOS110 javUa se elektricna struja. Pratirno krctanjc jona makroskopski. Uzmimo u raCUl1 da na jon dejstvuju dvijc sile i to : sib otpora sredine i elektricna sila qE, gdc je q = e naclektris
"
Iz relacije (6.11.3-2) nalazi se daje elektrohemijski ekvivalent:
k=~ It
Ii, U
v+, u smjeru elektricnog polja, a
suprotall ;"llljer od sllljcra kretanja jona i da jc srazmjerna brzini kretanja jona.
(6.11.3-4)
Stok:-,ova otpoma sib koja dejst\uje l1a pozitivne jone, ima vrijcdnost
6rr r+TJ v+ , gde je
17, viskoZllost elektrolita, a
r+
i r_ , poluprecnici.jona
zajedno sa rojem molekula rastvaraca koji ih okruzuju. Ako sc masa pozitivnog Elektrohemijski ekvivaient brojno je jeJnak masi tc supstancije koju u jedinici vremena izdvoji jedinica jacine struje. Drugi Faradejev zakon odreauje oJnos kolicina izdvojenih supstanci za
jona oznaci sa lilt , a njegovo ubrzanie sa usmjerenog kretanja poziti vnog jona:
- A vogadrma konstanta, to je :
k=_I_.M =~.M N II ·e Z F Z
(6.11.3-5)
rnoze se napisati jednaCina
(6.12.4-1)
razlicite elektrolite. odnosno blize odrcc1uje elcktrohemijski ckvivalent. Posto je masa jona (zanemarujuci masu elektrona u manjku iii visku) jednak~ masi 5 atoma. tj. m()=M/N A gdje je M - molarna ma:-.a at01na, a NA = 6.022x 10- lII/lO!
{/+,
Rclacija (6.12.4- I) pokazujc da za male brzine veliku ulogu irna sila elektricnog polja koja dejsl \uje tako da brzinu v+ povecava. Sa povecanjem ove brzinc, rastc i sila trenja. Kada se sila trenja i sila elektricnog poUa izjednace joni se krecu jcdnoliko, ( jI", = const. i (l+ = 0 ), te relacija (6.12.4-1) postaje :
gdje je F =NA e = 96485 e/mol - Faradcjeva kOllstanta, il i naelektrisanje 1 mola jednovalentnih jednozllacnih jona, a J'vLZ - hcmijski ekvivalent elcmenta. Relacija (6.11.3-5) izrazava II Fardejev zakon elektrolize, prema kome
odakle je brzina jona :
je eJektrohemijski ekvivalent svakog hcmijskog elernenta proporcionaJan njegovorn hemijskorn ekvivalentu.
v +
236
qE =--67r1J r~
(6.12.4-2)
237
~olicnik izm~du brzine jona i jacine elektricnog polja naziva se pokretljivost jona .. :okretlJlvost jona jednaka je brojno hrzini koju jon postize pod dejstvom
Analogna se relacija dohija i za hrzinu negativnog jona :
qE v =--- 6n 17 f_
]edlJllcnog pol]a, pa se mogu uvesti oznake :
(6.12.4-3) (6. J 2.4-7)
Kroz poprecni presjek elektrolita S, za vrijeme dt prolaze pozitivni cije su kolicine naelektrisanja n·e·5 ·v + ·dt negativnih joni, n·(,
·5
'11 _
·dt
respektivno. Na osnovu reJacije:
gdje je /1+, odnosno /1-, pokretljivost pozitivnih, odnosno neaativnih nosilaca b naelektrisanja (jona). Prema tome, za specificnu provodljivost elektrolita dobija se:
(6.12.4-8) a Omov zakon za gustinu struje u slucaju elcktricne provodljivosti bice : dobijaju se izrazi za jacine struja T + i I. usljed kretanja pozitivnih. odnosno
(6.12.4-9)
negativnih jona : Na osnovu (5.12.4-8), moze se, mjerenjem specificne provodljivosti elektrolita. uz po:natu kOl1centraciju i valencll jona, izracunati ekvivalentna pOkretljivos~ sVlh ucesmka u clektrolitickoj pro\'odljivosti.
!_=n·e·S·v
1~=n·('·S·v
gdje Je n hroj pozitivnih. odnosno negativnih jona u jedinici
zapremine
(koncentracija pozitivnih, odnosno negativnih jona ). Ukupnu jaCinu struje u elektrolitu saCinjavaju jacine struja usljed kretanja naelektrisanja oba znaka. Ona je , naime, jednaka zbiru jaCina struja obje vrste : I = I + I _ = n· e . 5 . (v T
+
+v - )
(6.12.4-4)
Gustina struje kroz elektrolit bice: I
j=5"=I1'("(1'++1'_) Koristenjem relacije j
= oE
(6.12.4-5)
i izraza (6.12.4-5) dobija se izraz za specificnu
provodljivost elektrolita: (J
v v =n . e . (....2.. + -=-)
E
(6.12.4-6)
E
238
239
6.12 Magnetsko polje Naelektrisanja kop se ne krecu interaguju meousobno elcktrostatickim silama. Eksperimentalna je Cl)el1lCa da naelektrisanja ne samo pri trans 1atornom, nego i pri rotacionom kretanju, kao i prilikom kretanja oko sopstvene ose, izazivaju magnetsko polje. Si]a koja se javlja kao posljedica kretanja naelektrisanja naziva se magnetska iii elektrodinamicka sila. Sve magnetske pojave mogu da se sveuu na uzajamno djelovanje naelektrisanih
a) Struja u provodniku
b) Strujna kontura
cestica koje se kreeu. Magnetsko polje je specijalno stanje u prostoru u kome se zapazaJU sljedeee osobine: • Magnetska igla ima tenuenclJu da se postaYi u odreaen polozaj, it na gvozdene iIi feromagnetne preumete kao i na stalne magnete djeluje • ..
sila. Na proyodnik kroz koji protice struja djeluje siJa. Ako se provodnici krecu kroz prostor gdje postoji magnetsko po1je u
njima se inuukuje elektromotorna siJa. Kako je ranije raLlnatrallO, svako naelektrisanje u okolni prostor izaziva elektricno polje, a kada se ta naelektrisanja kreeu stYara se i magnetsko polje. Da se onda zak1juciti da su elektricno i magnetsko polje prirodno nerazdvojno vezana. To je u st vari elektromagnetsko polje. Elektricitet i magnetizam s1.1 sarno dvije razli(;it~ m:J.IlIfestacij~ jednog lstOg fenomena, koji se n:J.ziv:J. elektromagnetizam. Nosioci svi11 el~ktric!lih svojstava i pojava s1.1 elektroni i protoni, koji s1.1 izvori elektricnog polja, dok magnetsko poljc nema svoje izvore i stvaraju ga naelektrisanja u pokretu. ~lagnctsko polje je orijentisano 1.1 zavisnosti od kretanja ko1icina elcktricneta sto ga izazivaju. 1ako se i to poljc moze slicno elektrostatickom prika;mati POlllOCU magnetskih linija sileo D prirodi se kao OSIlo\ni magnetski clementi pojavljuju magnetski dipoli. Tkz. magnetski mOflopoli, odnosllo magnetskl naboji, nisu do sada pronadeni. Magnetski dipo1 se sastoji od elva pola, tradiclOllalno nazvana juzni i sjeverni. Magnetske linije sile, limje koje pokazuju smjcr polja i cija je gustina povezana s jacinom tog polja, izlaze iz sjc'vcrnog po1a te prolazeei kroz okolni prostor
c) Solenoid
d) Stalmi magnet
Sl. 6.13-1 Izvori magnetskog polja
N~ ~v.oj sl~ci se.vidi da su rna~~ske l~n~je sile u prostoru izvan izvora na· see u bh~l~l kraJeva lzvora (polova III U bl1zmi provodnika) jer je tu magnets~poIJ· a naJJace. " 6.13 Elektromagnetska sUa ~acina .~lektrostatickog polja, kao glavna karakteristika elektricnog polja ako ~e. ramJe pokazano, definise se kao odnos elektrostaticke sile i k l·v. ~ elektnc1teta 0 lcm~
k
- F E=q
(6.14-1)
k .. Glavna k~rakteristika magnetskog polja je vektor magnetske indukcije jj OJ1 pre?stav!~a elektromagnetsku silu koja djeluje u magnetskom r ' provodmkduzmedl, krozkoji proticestrujajaCineI, cijije intezitet po JU na
F B=-
Idl
(6.14-2)
.Ta sila koja djel1.1je na dio provodnika duzine dl kroz kOJ·1· p t· staclOna tru·· I . .. , r o Ice . rna s Ja jacme 1 kO]1 se nalazi u magnetskom polju indukc·e jj naZlVa se elektromagnetska sila i odredena j e vektorskirn proizvodom J , v
v·
(6.14-3)
ulaze u juzni pol gradeci tako zatvorene krive. Na sl. 6.\3-\ prikazani su izvori magnetskog polja. 240
e) Zemlja
241
gdje je d I vektor duzine strujnog elementa, orijentisan u smjeru proticanja
. Palac pokazuje smjer brzine v. prsti smjer djelovanja magnetskog polja
stacionarne struje [ (sl. 6.14-1). Intezitet ove sile iznosi (6.14-3)
F = II B sin (1 ,B)
F
d II"",~----"- B
I dIan pokazuje smjer sile F
S1. 6.14-2 Odredivanje smjera Lorencove sile pomocu pravila desne rukePravac
SI. 6.14-1 Provodnik sa strujom I u magnetskom polju Jedinica za magnetsku indukciju II Sl sistemu je tesla (T). To je indukcija polja koje na naelektrisanje od 1C, koje se krece brzinom od 1mis, normalno na
6.14 Fluks vektora magnetske indukcije
vektor indukcije. djeluje silom od 1N: Ns
N
Vs
Broj linija magnetske indukcije po jedinici povrsine normalne "h pravac broino J' e Je . dnak: VITJe "dnosh. magnetske indukcije B. Ma netskijl na nJI ov • • ' J k'
em
Am
m
Ihjluksvektoramagnetskeindukcije, kroznekupovrsinu dS
1T =~=-= 2
Kada se neka cestica naelektrisanja q i hrzine 11 krece u homo genom magnetskom poljn magnetske indukcije B, na nju ce djelovati sila (6.14-4)
F = qvxB
d
djeluje na naelektrisanje 11 kretanju. Na slici 6.14-2 Sll pokazam dva primjera pravila desne ruke, kojim se
F.
Smjer Lorencove sile je uvijek normalan na
ravan u kojoj Ide vektori v i B. Lorencova sila primorava naelektrisanu cesticu da se u magnetskom polju krece po kruznoj liniji. Pravac ove sile je uvijek usmjeren prema centru putanje i zato je Lorencova sila centripetalna sila. S1. 6.15-1 Uz objasnjenje magnetskog fluksa
242
u s
(6.15-1)
v~dje~e: B~?s<.p - komponenta magnetske indukcije u pravcu normale na povrsll1u o~ kOJ! se rac~a fluks, dS - ve~tor el~menta povrsine dS i ima pravac normalenan]u,a <.p ugaolzmeduvektora BidS (s1. 6.15-1).
ciji izraz je dobijen na osnovu relacije (G 14-3), jer je : II = ( qlt) I = q (lIt) =q v Ova elektromagnetska sila naziva se Lorencova sila. kojom magnetsko polje
odreduje smjer Lorencove sile
jeje~nak:
243
Ukupan magnetski fluks kroz neku konacnu povrsinu S je jednak
C/J
=
J J
BdS =
dC/J =
s
S
J
J
(6.15-2)
BcoscpdS= Bn dS
S
Amperov zakon daje odnos izmedu magnetskih polja u vakuumu i struja koje proizvode ta polja. Prema ovom zakonu linijski integral vektora magnetske indukcijc po proizvoljnoj konturi C (sl. 6.16-1) proporcionalan je zbiru jednosmjernih struja koje ta kontura obuhvata
5
gdje je Bn komponenla magnelske indukcije u pravcu normaie na povrsinu. U najprostijem slucaju, kada je magnetsko polje homogeno 1 normalno na
(6.16-1)
nekoj povrsini S, onda je magnetski fluks jednak (6.15-3)
F=BS
Koeficijent proporcionalnosti flo naziva se magnetski permeabilitet vakuuma j cijaje vrijednost flo = 4n .10-7 Tm/A.
2
Jedinica za mugnet"ki flub je veber (I Wb = 1T 1m ) Fluks vektora magnctske indukcijc pod1ijeZe veoma vaznom zakonu 0 konzervaciji fluksa, koji je jedan ocl osnovnih zakona elektromagnetizma. Prema ovom zakonu, izlazni fluks vektora
B kroz rna koju proslorno zalvorenu
povrsinu jednak je nuli (6.15-4)
Ovaj zakon iskazujc prillcip ncprekidnosti linija vektora magnetske indukcije kojc se zat\'araju same u sebe. Za polje 13 kaze se da. je bez.izvorno polje. Relacija (6.15-4) izrazava Gausovu teoremu za magnetsku mdukcIJU. Kad fluks vektora
B
hoz llla koju prostorno zatvorenu povrsinu ne bi bio jednak
nuli, magnetskc linijc bi pocinjak iIi zmfsavale u nckim izolovanim tackam~: Te tacke bi onda prcdsta\'ljale oclyojene magnctske polove- monopolove, kOJ1 do sacla nisu regi:-,lrO\ ani. Jedini do sada observirani izvori mognctskog polja su
6.15 Arnperov zakon polje
je
posljedica
elektricnc
struje,
bilo
struje. u
provodnicirna, bilo pokretnih naelektrisanja. Kada se radi o. ?oljima L: okohl11 provodnika sa strujama, onda takva polja zavise od geometnJske konflguraclJe strujnih provodnika i od jacine struje u njima. 244
Amperov zakon se odnosi na kvantitativnu vezu izmcdu magnetske inclukcije B i stacionarnih struja koje je proizvode. Cinjenica sto je linijski integral magnetske indllkcijc po zatvorenoj konturi razlicit od Dule, odnosno da
je jednak proizvodu magnctne konslante ,un i ukupne struje koja prolazi kroz tu konturu, govori da je magnctsko polje nije potencijalno nego vrtlozno polje. Amperov zakon omogucaya da se lako odredi magnetska indukcija u sillcajevima II kojima postoji visok stepen simetrije polja, pod uslovom da se zna KvaIilativan oblik tog polja.
6.16 Bio -Savar- Laplasov zakon
elektricne struje, odnosno naelektrisanja u kretanju.
Magnetsko
Sl. 6.16-1 Kontura C koja obuhvata strije
Magnetsku indukciju u okolini strujnog provodnika eksperimentalno putem odredili su 1820. go dine francuski naucnici Bio i Savar. Oni su pokazali da je jaCina magnetskog polja linearno srazmjerna jacini strllje koja protice kroz provoclnik i cia zavisi ocl rastojanja tacke u kojoj se mjeri polje. Njihove eksperimenlalne rezultate Laplas je uopstio i teorijskim putem dosao do izraza za magnetsku indukcijll strujnog provodnika, koji se sada zove Bio-Savar245
Laplasov zakon, a koji glasi: Element strujnog provodnika dl ,kro'Z koji tde
struja jaCine I, daje u nekoj proizvoljnoj tacki M elementarnu magnetsku indukciju magnetskog polja dB :
J1 elB="
47r
Iellsinex
B strujnog provodnika moze se odrediti pravilom desne ruke. Naime, ako desnom sakom obuhvati strujni provodnik, tako da ispruZeni palae pokazuje smjer struje u provodniku, oada -ce savijeni prsti pokazivati smjer magnetske
(6.17-1)
0
r-
IIi u vektorskom obliku f.1 fell xl' el B:= --"- - - ,-
.
47r
(6.17-2)
r'
gdje je r udaljenost tacke M od elementa d l strujnog provodnika (6 17- l), ex je ugao koji obrazuju radijus vektor
r
i pravac strujnog elementa I d I .
S1. 6.17-2 Magnetsko polje pravolinijskog provodnika Magnetsko polje beskonacnog pravog provodnika kroz koji protice jednosmjema strujaltangencijalno je na krugove koji leze u ravni normalnoj na provodnik i koncentricni su sa provodnikom.
SI. 6.17 -1 Magnetska indukcija dB strujnog elementa dl EJementarna magnetska indukcija dB elemenata struje dl Je rezultat sabiranja magnetskih polja rojedinacnih naelektrisanja koja poticu od
tog
elementa. Ukupna magnetska indukcija jj u tacki M, jednaka je zbiru svih
U tacki N koja se nalazi na osi Z, a koja je normalna na ravan krufue konture kroz koju prolazi struja jacine I, parovi strujnih elementa I di koji su simetricni u odnosu na ceptar konture, generisu magnetsku induksiju'[8, Cije transferzalne komponente dB_ se ponistClvaju, a aksijalne komponente dB sabiraju. II
Elementarna aksijalnakomponenta takve magnetske indukcije je
elementarnih magnetskih indukcija dB koje potiCll od svih strujnil1 elemenata
Kakoje
I d I date konture
- JdB=_o - J1 Jldlxr --,-
B:=
47r
dBll = dBcosa
110 =-4rr
r
2
cosa
(6.18-1)
pa zalllJenom u (6.18-1) (6.17-3)
r'
Linije indukcije maanetskog polja pravolinijskog strujnog provodnika Ide u ravni koja je nO~11al11a 11a provodnik Smjer magnetske indukcije
246
I dl sin 90°
247
Ovaj izraz slican je jzrazu za jaCinu elektricnog polja elektricnog dipola, na normali na osi dipola, na rastojanju x od centra ose dipola
dobija se
E=_l_L
4n:£0
X'
(6.18-5)
1z izraza(6.18-4) i (6.18-5) da se zapaziti da, proizvodiSu magnetskoj indukciji, ima istu ulogu koju elektricni dipolni moment pima u izrazu za jaCinu elektricnog polja. Iz tog razloga se ovaj proiz-vod IS i naziva magnetski dipolni momentkruZne struje. Linije magnetske indukcije uvijek su zatvorene linije. Kruzna struja ponasa se kao magnet, kod koje je sjeverni pol sa jedne strane kruzne konture a juzni pol sa druge strane kruzne konture konture (s1. 6.18-2)
s
fdl
f~
SL 6.18-1 Magnetska indukcija kruzne struje u pravcu z -ose .••
V'
Kako se intea-racIJa vrSl sarno po b
dt
-J
B=
U
R
~(z2+R2)3 I·R
j
Ma~etsko
~
_)1/ B- dBII - 4n: Odnosno
'15-/
t k 'ndukciJ'abiceondajednaka ,magne sal
Jdl
polje
lm.iZne strUJe
0
Sl. 6.18-2 Linije indukcije kruZne struje
2
,0
2.j(l +R2)3
(6.18-2)
Zaz= 0, dobija se daje magnetska indukcija u centrukruinekonture B= _WI 0_
(6.18-3)
2R
Kada .e tacka u kojoj se posmatra vrijednost magnets~e induk~ije na osi ~ (k?jaje J 1'~'~e konture) i koja se naluzl na vehkom rastOJanJu od 2) R mariti u normalna na ravan lU U L . H , strujne konture, tj z» 0, tada se u izrazu (6.l8moze zane odnosu naz, pa se dobija u IR2 )10 IS (6.18-4) B= . 0 3 =--3 2z 2n: z v
U prethodnim razmatranjima analizirano je magnetsko polje u vakuumu, tj. u odsustvu bilo kakve supstancije. Kada se magnetsko polje primijeni na materiju, onda u analizi mora da sevodi racuna 0 tome da se materija zamislja kao skup atoma, koji se sastoji od pozitivnog jezgra i negativnih cestica, elektrona, koji se krecu oko jezgra. Kruzenje elektrona oko jezgra moze se smatratijednom krufuom strujom jaCine 1. Ova kruZna struja stvara sopstveno magnetsko polje odredeno izrazom (6.18-2). Kada se na supstanciju primijeni spoljasnje magnetsko polje indukcije B onda na svaku takvu strujnu konturu svakog atoma djeluje spreg sHa 0'
249 248
(6.19-1)
Kada se materijal unese u spoljasnje magnetsko polje indukcije Bo , na atome materijala djeluje moment sile if koji orijentise magnetske momente elektrona u smjeruBo , pa vektor magnetske indukcije nije vise jednak nuli (s1. (6.19-2).
u polozaj' maksimalnog fluksa magnetske koji tezi da postavi konturu indukcijeBo ' • . Za atome se definiSe magnetskl moment elektrona m (6.19-2)
m=IS
a stru'ne konture (putanje elektrona). Magnetski moment gdJe Je S pO,,!Sl~ . d']' Am2 Ako se (6.19-1) unese u izraz (6.19-2) za . l' m magnetskom polju indukcije Bo elektrona se mJ~n 1:' Je . lillcama moment sHe kOJa dJeluJe na atom u spo JasnJe dobijase (6.19-3) . '
Y'
Y
•
Vektorski zbir magnetskih momenata elektrona po je?ini?~ z.apremine .. d' makr·oskopsku velicinu koja se zove magnenzaclJa ill vektor materlJe aJe magnetizacije (6.19-4)
Ai U odsustvu spoljasnjeg magnetskog polj.a magnets~i ~~:n~~t~it~:~ su ~~cajno orijentisani, pa je njihova rezultanta Jednaka nuh, ..
odnosno
.,
M
°
(s1. 6.19-1)
Sl. 6.19-2 Zbog prisilnog usmjerenja l!!agnetskih dipola od strane ukupnamagnetizacijaje M *0
Eo
Dakle, unutar materijala dobija se dodatna magnetska indukcijahj, kojaje proporcionalna vektoru magnetizacije (6.19-4) Dopunska magnetska indukcija nastaje usljed doprinosa koji potice od stalnih magnetnih momenata atoma i od indukovanih magnetskih momenata, koji se javljuju kod svih atoma .kada se unesu u spoljasnje magnetsko polje. Indukovani magnetski moment Bj kod atoma nekih materija1a su istog smjera kao i spoljasnje po~je, dok kod atoma nekih materijala imaju suprotan smjer sa spoljasnjim poljem. Samim tim, magnetska indukcija rezultujuceg magnctskog polja u prisustvu materijala moze biti veca iIi manja od magnetske indukcije u Vah..'1lUffiu. Konstanta proporcionalnosti flo odnosi se na vakuum i u ovom slucaju ona odgovara cinjenici da se elementame atomske strukture nalaze u vakumu, jer se meduatomski prostor smatra praznill1. Rezultujuce magnetsko polje u magnetiku bice onda jednako (6.19-5)
Sl. 6.19-1 Magnetski dipoli se haoticno krecu
250
251
Ako se uvede nova velicina
-
H, koja je jednaka
B
(6.19-6)
H=-" f10
a koja se naziva vektor jacine maglletskog po1ja, jednacina (6.l9-5) postaje (6.19-7) 1z izraza (6.19-7) se dobija
11 =!i_ iII
(6.19-8)
f10
Jedinica za jacinu magnetskog polja je Aim. Eksperimenti pokazuju da je vcktor nugnetizacije proporcionalan Je jaCini magnetskog polja
lW=XH
U praksi se koristii velicina maseni susceptibilitet, koja predstavlja magnetni susceptibilitet j~dinice rnase, a definise se kao Xmas = X / P , gdje je ~ gustina materijala. Cesto se magnetna svojstva supstance izrazavaju i molarnim susceptibilitetom, koji se dobija mnozenjem vrijednosti masenog susceptibiliteta molarnommasom, tj.XM =XmasMm . flr U zavisnosti od veliCine relativnog magnetskog permeabiliteta postoje tri kutegorije supstancija: • dijamagnetski,llr <1, X::::::O, inezavise od temperature iEo • paramagnetski,llr>l, x::::::O,zavisiodtemperature,aline i odEo • feromagnetski, 1lr»l,X »O,zavisiodtemperatureiodEo Kod dijamugnetskih muterijulu magnetski m9menat elektrona in jednak je nuli u odsustvu spoljusnjeg mugnetskog polju Eo • Dijamagnetizam se javlja kod materijala koji ne poseduju permanentne magnetne dipole. Atomi takvih materijala su ustvari nepolarni atomi. Kod njih su svi e1ektroni spareni, te se spinski i orbitalni magnetni momenti ponistavaju. Pod uticajem primjenjenog magnetnog polja dolazi do indukcije magnetnih dipola, koja stvara magnetsko polje suprotne orijentacije od polja koje ga prouzrokuje. Zato se primjenom p_olja na dijamagnetike dobija rezultujuce polje B manje od primjenjenog polja, E o tjB
(6.19-9)
. konstuntl kOJ· u se nazi \:.1 magnetska susceptibilnosf. (osjetljivost) gdje Je X supstancije. Kada se izruz (6.19-9) zumijeni u relaciju (6.19-7), dobija se
Tabela 6.19-1 Magnetska suseeptibilnost nekih dijamagnetskih materijala pri sobnoj temperaturi
(6.19-10)
e:dje je f1 apsolutni magllctski permeabilitet fpropusllji,ost) Sllpstancije, dok
,}e 'Pr relatil'lli maglletski pcrllleabilitet, koji jc neilllc!I()van bra}
u
(6.19-11)
=I+X=-'
f1 r
v
f1"
Kao sto se vidi iz izraza (6.19-1 I), relativan mugnetski permeubiJitet pokazuje koliko puta je yeti magnetski permeabilitet odredene supstancije od magnetskog perrneabiliteta vakuuma.
252
253
Paramagneticni materijali za razliku o~. ~ija~a~etskih mate~j~la s,: gradeni od atoma s nepopunjenim orbitalama kOJl1maJu traJan magnetskl d?po}m moment. Za takve atome se kaze da su pol~~i.. Molekule s~ naJe~see dijamagnetske jer .ele~?ni pri stvaranju heml]skih veza postlZU obleno _ konfiguraeije popunjemh IJusaka. . Dakle, kod paramagnetskih materijala ~a@etski momenat at?~~ m postoji i u odsustvu spoljasnjeg magnetskog pol~~ Eo U od3~stvu ~poIJ.asnJ.eg magnetskog polja magnetski momenti atoma~at~n]ala su slueaJno onJent1sa~ll, a kada se unesu u spoljasnje magnetsko,po.lje Eo (S~.6:19-3)".on~ dO;Z) ~o njihovog uredivanja i stoga do poveeanJa rezultuJueeg pol]a: flo. 0v • 0Kod paramagneta svi atomi iii molekule teze da se post~ve u smJer spolJasnJeg polja da bi smanjili ukupnu energiju svih dipola. U tabeh (6.19-2) pnkazane su vrijednosti magnetske susceptibilnosti za neke paramagnetske matenFle.
, ........
""-. '"
'-
"'"--...
.",..."
~
,.........:
--)?
/
7
polje S.I 6. 19-3 SpolJ·asnJ'e magnetsko ~
-
B
M=C-"
(6.19-12)
T
gdjc je C konstanta proporcionalnosti za dati paramagnetik, koja se naziva Kir{jeva kOllstanta, !\a osno\u izraza (6.19-9) i (6,19-12), dobija se izraz
~
~~
"'-....
Toplotno kretanje atom a u supstanciji remeti ureden raspored atoma u prisustvu spoljanjeg lllagnetskog polja Bo , pa se rezultujuca magnetska indukcija smanjuje sa povisenjem temperature, Vezu izmedu vektora magnetizacije i temperature llstanovio je Pjer Kiri, i danas se ta veza naziva Kir~jev zakon, a koji glasi : Imezitet mugnetizacije paramagnetika je obmuto proporcionalan apsolutnoj temperaturi, pri srednjimjacinama magnetskog polja
M C H T
X=-=~
~
Eo
~ ~
Eo vrsi orijetaciju dipolnih momenata
Tabela 6.19-2 Magnetska susceptibilnost nekih paramagnetskih materijala pri sobnoj temperaturi
na osnovu kojeg se vidi cla magnctska susceptibilnost paramagnetika zavisi ocl temperature a ne zavisi od jacine spoljasnjcg magnetskog polja, i da je pozitivna velicina, Sa povecanjem temperature magnetska susceptibilnost opada, intevizira se termicko kretanJe dipola, a time i njihova dezorijentacija Kacla se paramagnetski matcrijali uklone iz magnetskog polja, termalno kretanje dipola do\"odi do momenata i namagnetisanost paramagnetika izcez:n-3. l\lagnctski momcnti koji 511 orijentisani na nekoj temperaturi 11 spoljasnjeg poJja u stanju su minimuma potencijalne cncrgije. Usl neusmjcrcnih magnetskih dipola u clovodi do oslohachnja encrgije u obliku toplote. Ako se po~i paramaglletni materijal toplotno od okoline. a magnetskih dipola par:nnagneti to Je swnje energije, koje je proisteklo od nji tcrm:linog ?\;" taj na('in paramagnetski materijal se hladi, O\·aj proce, sc nazi\() ad(jabatska demagnetizacUa, kojim se vrsi
\'CC do tJda ohladcllOg materijaia (na tcmperaturama od oko lK), Na ova.1 nacin mugu se poslici temperature od 0.3K sve do 0.00]5 K Za postizanje jos nizih temperatura koristi se slican proces adijabatske nukleame dcmagnet izacije. h
254 255
Feromagnetizam se javlja u materijalil11a, koji kao i paramagnetici, imaju vektor magnetizacije razlicit od nulc i u odsustvu spoljasnjeg magnetskog polja. Kod ferol11agnetskih l11atcrijala je jak uticaj izmcau obJiznjih atoma, tako da kada se jednom urede, odrzavaju poredak i po ukidanju spoljasnjeg magnetskog
polja
Bo'
Ostaju
trajno
llal11agnetisani.
Najrasprostranjeniji
feromagnetik.ie gvozde, zatim kobalt, nikal i njihove legure. Feromagnetizam je uslovljen rezultujucim magnetskim 111omentom atom a, koji je generisan spinskim magnetskim rnomentom njihovih e1cktrona. Joni kristala feromagnetika imaju nesparene elektronske spinove u nepotpunjenom 3d podnivou. U okviru tih nepotpulljenih podniYoa, elektroni se rasporeduju po energetskim nivoima, tako da im Spillovi kod veeeg broja budu orijentisani u istom smjeru, dajuei rezultujuei magndni moment atomu. Spin ski magnetni moment aroma meaudjduje i po\czuje se sa svojim neposrednim susjedima, gradeei male oblasti, tzv. domene, u kojima su svi orijetisani u jednom smjeru. Velicine ovih domena su razlicite, sto pnensheno zavisi od vrste 2 ferol11agnetika i kristalnog stanja, a nalaze ~e u intenalu od 10- 6 do 10. cm". U nemagnetiziranom komadu feromagneticnog materijala, magnetski momenti domena su orijentisani proiZ\oljIlO. Slavljanjem u magnetsko polje rezultirajuci magnetski momenti pojedinih polja orijcntisu se u jednom smjeru, slo dovodi do jakog magnelskog efekta. Pojacanje rezultujuceg polja u feromagneticima pri promjeni spoljasnjeg magnetskog polja moze da bude \'eoma veliko. Rezultujuca magnetska indukcija m02:e da postigne yrijednosti 10' do 4 10 puta veee od nijednosti magnetske indukcije Bo spoljasnjeg magnetskog polja. Uklanjanjem spoljasnjeg polja ovi matcrijali i daljc zadrza\aju svoj magnetizam, jer magnetski mOl1lenti pojedinih podrucja ostaju istosmjcrno orijentisani. Uzajal1ll1o dejstvo meau suscdnim alomima koje izaziva feromagnetizam moze da se oslabi povisavanjem temperature supstancije. Za svaki feromagnetni materijal postoji fiksna temperatura iZllad koje kad se zagrije on postaje paramagnetik. Ta temperatura pri kojoj ferol1lagnetici postaju paramagnetici lOve se Kirijeva temperatura, !C" Kod
feromagnetskih
materijala,
magnetski
permeabilitet
f.1
.~acine.l11agnetskog polja H. Zavisnost B = B(H) zove se kriva magnecenja, Ciji Je obltk pllkazan na slici 6.19-4. Ph poveeanju jaCine primamog magnetsk~g polja H ukll~:la magl1~tska indukcija nelinearno raste do vrijednosti zasicenja, kOja se. postlze pn vrIJednosti polja HII/' Pri daljem povecanju polja, B ostaje nepromljCllJeno. Pri smanjcnju polja na nultu vrijednost, B pada na vrijednost Br remanentne illdukcije i lu vrijednost supstancija zadrzava. Kaze se da je feromagnctlk nal11agnetisan i da je postao perrnanentni (stalni) magnet.
SI. 6.19-4 Histerezisni ciklus i kril'O lI1ugne(;enjo
.. Magnet moze da se razmagnelise primjenom spoljasnjeg polja suprotne ollJentaclle do 'vTljednosll -H, kvercitivnog polja pri kojoj pada na nulu. Ako bi se nastavilo sa poveeanjem spoljasnjeg polja do vrijednosti -Hili, malerija bi se OP~l namagnetlsala Iv zadrzala vrijednost - Br poslije Llkidanja spoljaslljeg poJja. T.ako se doblJa crkllcna kma magnecenja (s1. 6.19-4) koja se lOve histerezisni
clklus. Medu ferornagnetskim rnaterijalima postoje takvi koji se 1ako namagneti.':u .i lako razmagllctisu i koji se zovLlllleki magnetski materijali . Oni se konste za Jczgra soienoida koji se upolrebljavaju u elektronskim kolima (tzv.
feriti). Matcrijali koji se tesko namagnetisu i tesko razmagnetisu ZOVL! se ['vrell magnetski l1laterijali. Oni se koriste za pra\'ljcnje permallentnih magneta.
nije
konstantna velicina, niti je ukupna magndska indukcija B linearna funkcija
256
257
LITERATURA I. J. Janjic, LBikit, N.Cindro, Opsti kurs fizike JI, IP Nauka, Beograd, 2002. 2. A. N. Remizov, Kurs fiziki, Izd. Visa skola, Moskva, 1976. 3. B.M. Javorski, A. A.Pinski. Osnovi fiziki. Izd. Nauka, 1974. 4. A. Milojevic, Talasna optika, Zavod za izdavanje udzbenika R.Srbije, Beograd, 1970. 5. G.S. Landsberg, Optika, Naucna knjiga, Beograd, 1967. 6. D. Ivanovic, V. Vucic, Fizika II, III, Naucna knjiga, Beograd, 19R3. 7. V.Henc-Bartolic, P. Kulisic, Talasi i optika, Skolska knjiga, Zagreb, 1989. 8. E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, 1998. 9. K. David and Livingston, William, Color and Light in Nature, Cambridge University Press, 1995. 10. M. Pejovic, Opsti kurs fizike, izd." Naucna knjiga" Beograd, 1993. II. Ohanian, Hans. Physics, 2nd Ed Expanded, Norton, 1989
258
