Izdavač:
IP ’’SVJETLOST" d.d. Sarajevo Zavod za udžbenike i nastavna sredstva
Direktor:
Šefik ZUPČEVIĆ
Za izdavača:
Abduselam RUSTEMPAŠIĆ
Urednik:
Ante BANIĆ
Recenzenti:
Doc.. dr. Šefket ARSLANAGIĆ Nataša DŽUBUR, prof. Nadžija BEGOVIĆ, prof.
Lektor:
Nada JURIĆ
Korektor:
Nada BUTIGAN
Tehnički urednik:
Vanda BABOVIĆ
Naslovna strana:
Mira GOGIĆ
DTP:
Autor
Štampa: Tiraž:
5.000 primjeraka
CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo 51(075.3)(076.1) HUSKIĆ, Adem Zbirka zadataka iz matematike : za III razred srednjih škola / Adem Huskić, - Sarajevo : Svjetlost, 2000. - 352 str. : igraf. prikazi; 24 cm ISBN 9958-10-208-0 COBISS/BiH-ID 7908102
Strogo je zabranjeno svako kopiranje, umnožavanje i preštampavanje ovog udžbenika u cjelini ili pojedinih njegovih dijelova, bez odobrenja izdavača.
ISBN 9958-10-208-0
PREDGOVOR Zbirka zadataka je namijenjena učenicima trećeg razreda srednjih škola.Zadaci su odabrani tako da potpuno pokrivaju oblasti koje se kod nas izučavaju u trećem razredu ovih škola. Raspored zadataka u velikoj mjeri slijedi redoslijed u udžbenicima matematike i prirodan je slijed izlaganja u toku realizacije školskih programa matematike. Zadaci su birani sa namjerom da zadovolje interesovanja i zahtjeve svih učenika. Početni zadaci u svakom poglavlju su jednostavni i zahtijevaju samo neposredno računanje, uvrštavanje i slično,a zatim slijede zadaci koji traže nešto veće napore i na kraju su zadaci za čije uspješno rješavanje je potrebno kako obuhvatnije poznavanje određene oblasti,tako i određen stepen uvježbanosti. Mada je teško zadatke rangirati po težini (zbog velikog broja vrsta srednjih škole i razlika u programima matematike), u zbirci su “teži” zadaci,po mojoj procjeni, označeni zvjezdicom pored oznake broja zadatka. Zadaci su navedeni u prvom dijelu zbirke,a u drugom dijelu data su rješenja,upute ili samo rezultati.Za pojedine zadatke date su upute u cilju usmjeravanja pažnje rješavatelja.Za veliki broj zadataka u zbirci je dato kompletno rješenje.To se posebno odnosi na “teže" zadatke. Na početku svakog poglavlja navedene su osnovne formule, definicije, teoreme i tabele kako bi se olakšalo korištenje zbirke i omogućilo rješavanje zadataka i bez drugih udžbenika i priručnika.U pojedinim poglavljima na početku je naveden niz detaljno urađenih odabranih zadataka koji pokrivaju tipične zadatke cijelog poglavlja,a zatim slijede zadaci. U oblasti trigonometrije kada treba odrediti prirodnu vrijednost trigonometrijske funkcije nekog broja (ugla) ili broj (ugao) kada je poznata vrijednost trigonometrijske funkcije, preporučuje se upotreba kalkulatora koji raspolaže sa odgovarajućim funkcijama. Naravno, i dalje se može koristiti i priručnik “logaritamske tablice”, ali bi korištenje kalkulatora dalo poseban pečat pri rješavanju odgovarajućih zadataka. Nadam se da će Zbirka biti od koristi učenicima koji traže nešto više od onoga što nalaze u samim udžbenicima matematike za treći razred, i omogućiti kompletno utvrđivanje, ponavljanje i samostalno vježbanje. Na kraju zahvaljujem recenzentima koji su savjesno pregledali rukopis, a sugestije Dr. Šefketa Arslanagića su posebno doprinijele podizanju kvaliteta zbirke. Autor 3
1.
T R I G O N O M E T R I J A
__________________ Osnovni trigonometrijski identiteti:________________
. •> , sina cosa sin a+cos a - 1, tgcc=------ , ctga= ------- , cosa sina 1
7Z
1+ tg2a = — -— ,a * (2& + l)—, cos a 2
tgactga—1.
1+ ctg2a = — -— ,a * k n ,k e Z. sin a
Izražavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija preko jedne od njih: Izraz za traženu trigonometrijs îu funkciju pomoću date Tražena Funkcija ctga cosa tga sina
1 sina sina cosa
tga
ctga
± V l-cos2a
ctga
sina
± ^ \ + ctg2a 1 ctga
± Vi -s in 2a
±^j\ + tg2a
±y]\ + Ctg2OC
± V i-sin 2a
± Vi -s in 2a sina
tga 1
cosa
±V l+tg2a
± V l-cos2a cosa cosa
ctga
± Vi-co s2a
tga
1 tga
Svođenje trigonometrijskih funkcija na prvi kvadrant: ARGUMEN1 TRIGONOMET]RIJSKE FUNKCIJE (p) K in 'in 71 "unkcija ----a n -a n+a 2n - a ----- a — +a —+ a 2 2 2 2 sina -sina -cosa -cosa -sina cosa sinp cosa -sina sina cosa -sina -cosa -cosa sina cosP tgP ctg(3
-tga tga ctga -tg a -tg a -ctga -tg a -ctga ctga tga -ctga -ctga tga Trigonometrijske funkcije zbira i razlike (adicione formule): sin(a+B)=sinacosB+cosasinB ; cos(a+B)=cosacosB-sinasinB ctga
sin(a-B)=sinacosfl-cosasinB
;
cos(a-B)=cosacosB+sinasinB
tga+tgB tga-tgB tg(a+B) = —— — ; tg(a-B) = 1-tgatgfi____________ ___________ 1+tgatgB 4
Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla (kuta): sin2"a=2sinacosa
,
cos2a = cos2a-sin2a = 2cos2a -l = l-2sin2a
2tga „ ctg2a - \ . 1- t g 2a . „ 2tga tg2a = ---- , ctg2a = —f --------------- , cos2a = --------, sin2a = ------------— 1- t g 2a 2ctga l + tg a 1+ tg a Trigonometrijske funkcije nekih uglova: PRVI KVADRA NT 45° 60° 90° 30°
Funkcija 0°
sina
cosa
0
n
n ~4
0
~6 1 2
1
£
2
0
tga
A
A 2
A 2
7r
71
7 £
7
3
2
1
A
1 2
0
S
1
3
Nije def.
ctga
1
DRUGI KVADRANT 150° 135° 120° 180° 71 2n 57T 3n
A 3
Nije def.
0
2
~4~
A
2 %
1 ’2
-S
~6~ 1 2
0
VT
-1
2 .A
2 -1
0
3
Æ 3
-1
Nije def.
- s
’rigonometrijs ce fun ccije trostrukog ugla: cos3a=4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a , Trigonometrijske funkcije polovine ugla:
. a , 1-cos a sin—= ± , ---------- . 2
«
<«r
,
V
2
1-cosa = +- sma . = + 1-cosa sina 1+ cosa
±. 1+ cosa
a
, 1+ cosa
cos—= ± J ----------- . 2 V 2 c ,g -= ±
1+ cosa 1 -co sa
Formule snižavanja stepena:
2 l + cos2a cos a = ----------- , 2
. 2 1-cos 2a sin a = ----------2 (X
Izražavanje trigonometrijskih funkcija sina, cosa i tga preko tg—
Funkcije inverzne trigonometrijskim funkcijama (glavne vrijednosti): y=arcsinx, ako je x=siny,
i -l< x< l;
f
n
k
''
V v 2 ~ y ~2 / ~
y=arccosx, ak ojex= cosy i —1 < y=arctgx, ako je x=tgy
i
x
< 1 ; ( 0 < j ><7t).
-oo
/f
K
—< y < —
2
V
y=arcctgx , ako je x=tgy
i
2j
- « > < x < + ° o ; ( 0<_y<7r) .
Osnovne veze među funkcijama koje su inverzne trigonometrijskim:
r,
arcsma = arccos V 1 - a
T = a rc tg
a
Mt
. ,\a < 1 V I- a 1
arccosa = arcsin V i - a 2 = a rcctg ■....i...... , |<^| c 1
Vi- a 2 1 . arctga = arcctg— = arcsin
Q
a ,.......
= arccos—^
y \ + ci2 K
arcsina+arccosa = —,
1
,a > 0
Vi + Q~ K
arctga + arcctga = —.
Trigonometrijske jednačine: sinx=a, \a\ < 1 => x = (-l)karcsina+kjt, ke Z cosx=a , |a| < 1 => x=±arccosa + 2kn , ke Z tgx = a , ae R ctgx=a, ae R
=> x=arctga + krt , ke Z => x=arcctga + kn , ke Z
Orijentirani ugao (kut).Radijan. 180° = 7t radijana, 1°= -^ — ~ 0,01745329 radijana 180 1 radijan - 57,295779° » 57° 17’ 44,8’
6
1.1. Stepeni i radijani Uglove date u stepenima (stupnjevima) izraziti u radijanima: 1.1.a) 90° b) 180° c) 270° d)360° 1.2.a) 30° b) 60° c) 45° d) 15° 1.3.a) 120° b) 135° c) 240° d)300° 1.4.a) 40° b) 100° c) 68° d) 56° Koliko stepeni (stupnjeva) ima ugao (kut) čija mjera je izražena u radijanima: 1.5. a) tc >
b)2rc
1.7.a)— 3 1.9.a)-4
b )— 6 b) -2
c)4n: c) — 3
d) -27t d )— 2 c )-1 8
1.2. Trigonometrijska kružnica
1.6.a) — 2
b) — 3
c) — 4
b)3
c) 5
1.8.a) 1
d )— 6 d) 11
d)-253 r
U trigonometrijsku kružnicu ucrtaj uglove: l.lO.a) 90° b) 180° c) 270° d)360° n , , 3k „11^ 1.11 .a) — b )— c) — d) —r 6 4 3 6 1.12.a) -150° b) -300° c ) -450° d ) -540° 1.13. Pronađi tačku na trigonometrijskoj kružnici koja odgovara datom broju: a) 2 b) 6 c) -3 d) 4 Nacrtaj na trigonometrijskoj kružnici dati ugao i odredi grafičke vrijednosti njegovog sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa: 1.14.a) 30°
b) 120°
c)210°
d) 300° 1.15.a) 2n
b) j
c )^
d )^
1.16.Konstruiši oštar ugao, a ako je: 1 2 a) sincc=0,7 b ) c o s a = - — c )s in a = — d)tga= 3 e) 4 5 ctga=5 Grafički odrediti vrijednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ako je: 1.17.a) cosa=0,5 b) sina=-0,5 c)co sa= -l d) sina=l 1.18 .a) tga=3 b) tga=-2 c) ctga=2 d) ctga=-1 1.19. U kojem kvadrantu se nalazi drugi krak ugla a ako je: a) a=200° b) a=350° c) a=645° d) a=1275° e) a=-855° ?
7
Izračunati vrijednost izraza: 1.20.a)3sin90o-78cos90°+55tgl80° 1.21 .a) 35sin 180°+9cos0° - 55tg360° 12sin270°+5ctg270° 1.22.a) 2sirwi + 5cos7t + 3tg2TC
b) 6cos0°-4sin90o+45tg360° b ) 11cos 180°b) 3cos5ti - sin3u+24ctg7c/2
1.3. Definicije trigonometrijskih funkcija oštrog ugla u pravouglom trouglu
1.23. Katete pravouglog trougla su a=6 i b=8.0dredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija oštrih uglova ovog trougla. 1,24.Izračunati vrijednosti svih trigonometrijskih funkcija oštrih uglova pravouglog trougla kod koga je:a) a=4,c=5 b) b=9,c=15 c) a=10,b=24 d) a=20,b=2 1. Izračunati vrijednost datog izraza: 1.25.a) sin30°+cos60° b) cos60°-sin60° c) sin45°-tg45° d) ctg30o+sin30° 1.26.a) sin30o-cos60°-tg45°-ctg60° b) 2sin60o+7ctg45°-6tg45°. 1.27. sin30°cos600+cos300sin600+2cos450sin45°-tg45°. .
~
.
ft
.
ft
ft
ft
1.28.a) 2sin — + 4cos-----tg — 6 3 4 , , . ft K 7t K 1.29.a) 4sm — ctg-----cos—tg — 3 3 3 6 2 s in 3 0 ° + 3 1.30.a ) —— 10sin30 - 1 j
j
^
2 cos 4 5 ° - s i n 45° b ) ------------- ----- -----1 + sin 45
3111 v ”r ili 2 45° sin 2 J30° + 2¿L, bsin
3 ccoo s2 30° - c co s 2 45° 6 sin 2 4 5 ° -Sctg260°
/g260°
ft
K
b) 4cos-----2sin— + tg — . 4 2 4 K K K ~,K b ) 8sin— cos— tg — +ctg:S— . 2 3 4 6 l + 2 ^ 260° c ) ------- —------ +2. l - 2 / g 260°
fg JU + i ctg245° M J5tg230°
i \
sin2 60° - 2 c o s 2 45°
-v
Odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija datih uglova (koristiti kalkulatore): 1.32.a)44° b) 53° c) 27° d) 42,34° e) 1457° 1.33.a) 42 b) 15 c) 32 d) -12 e ) -676,47 Odrediti ugao x u stepenima,minutama i sekundama ako je dato: 1.34.a) sinx=0,74327 b) cosx=0,95641 c) tgx=0,23458 d) ctgx=5 1.35.a) sinx=0,947 b)cosx=0,124 c)tgx=12,58 d)ctgx=-12,5 Odrediti ugao x u radijanima ako je dato: 1.36.a) sinx=0,53827 b) cosx=-0,53748 c>tgx= 3,143 d) ctgx=0,567 1.37.a) sinx=-0,88 b) cosx=0,48 c)tgx=-3,143 d )ctg x = ll. 1.4. Osnovni trigonometrijski identiteti 12 2 K , odrediti cosa, tg a i ctga. 1.38. Ako ie sm a= ------, a e 13 v 2 1.39. Ako je cosa= — , a e r — , 2n ,odrediti sina , tg a i ctga. V2 y 12 fK N , odrediti cosa , tg a i ctga . 1.40. Ako je sin a= — , a e 13 2 ,K v / A i TC , odrediti sina, ctga i tg a . , ae 1.41. Ako je cosa= 11 \ 2 ’ 71 K\ .odrediti ctga, sina i cosa. 1.42. Ako je tga=3, a e 0, / V 1.43.Ako je ctga=2, a e
.odrediti tga, sina i cosa..
1,44.0drediti vrijednosti ostalih trigonometrijskih funkcija pozitivnog oštrog ugla a ako je dato:
a) s m a = -3 ’
5
^ cosa - — 40 b) ;
41
V7 c) ctga = —
1.45.Ako je tg a = -2, odrediti vrijednost izraza 1.46. Ako je ctga = 3, odrediti vrijednost izraza
4 d) tg a - —
s in a + c o s a eos a - s i n a sin 2 a - c o s 2 a
sin 2 a - 2 co s2 a 1.47.0drediti vrijednost izraza tg a-tg asin. 2'a, ako je 4 . 3;r cosa= — i K < a < — . 5 2
1,48.0drediti vrijednost izraza t g 2a + — ■+ ctg a , ako je sm acosa tga+ctga=3. 1.49. Ako je tga+ctga=5, odrediti: a) tg a + ctg2a b) tg3a + ctg3a 1.50. Ako je sina+cosa=— ,izračunati sin aco sa. 2 s in a -3 c o s a , . 2 1.51. Izračunati----------------------, ako je tg a = —. 3 c o s a -4 s in a 3 Uprostiti date izraze: 1.52.a) l-cos2x b)tgxcosx c) sin2x-l d) 2-2sin2x 1.53.a) 3cos^x-3 b) l-cos2x+sin2x c) ctgxsinx-cosx d) 3-sin2x-cos2x 1 54 a) 1+ cos2a -s in 2a b) sm a c tg a + co sa ć) (l+sina)(l-sina) b) sin4x+2sin2xcos2x+cos4x d) 5-sin255°-cos255°
1.55.a) sin2x-cos4x-sin2x+cos2x c) 1 - cos2x + tg2xcos2x 1.56.a)
sin a cosa -1
tgcc + tgp
. tg a ctg2a - [ c) — ----------------- d) ctga + ctg/3 ctga tg 2a
b)
sin 2 x - c o s 2 x 1.57.a)sin x - cos x
r c)
1.58.a)
i 1
c)
10
v
1
1— COS X A 1 + cos X sin jc
c) ctgx + 1.59.a)
b)
1+
>
sin 2 x f l + co sx sin x
sin x
ctg 2x
co s2 X
sin xctgx d ) -------r-2— tgx sin x cos x , v co sx cosx b ) -----------+ -----------1 - sin x 1 + sin x d) tgx+
cosx l+ s in x
jl+ sin x + jl- s in x
b)
l+ c o s x
l-c o sx
i i - COSX
Vl + COSX
1-siruc V l+ siru v ( jl+ s ir u l+ co sx jl- s in x
l- c o s x
'l - c o s x
V l+cosx
Vl+sinx
l - 2 co s‘ a
1
l + cosx
l- s in x
2 sin 2a - l
yj\ + m - Vi - m . n , ... 1.60. Ako je sin x = ---------- ----------- , 0 < x < — , a < m < 1, odrediti cosx i m dokazati da je sinxcosx = — .
2
1.61.* a) (s in a + c o s a )2
-1
| 2
2 !l+ s in a
V1—sin«
Dokazati slijedeće identitete: 1.62. a) sin4a +sin2acos2a+cos2oc= 1 sin4a + 2sin2acos2a+cos4a= 1 1.63. a) sin4a-cos4a=sin2a-cos2a 1.64. a) (l-cos2a)(l+ tg 2a)=tg2a cos2a+cos2actg2a=ctg2a
b) b) (l+tg~a)cos2a= l b)
co s2 x - l 2 1.65. a) - r - ------ - = tg x sin" jc —1 5 c o sx -4 3 + 5 s in x =0 3 -5 s in x 4 + 5 c o sx 1 1 =1 c) s in 2 x tg 2x , „ x l - 2 s in 2 x 1.66.a ) --------—1 2 cos x —1 x s in x co sx 1.67.a ) f1 + ctgx 1 + tgx c)
b)
tg a + ctga
sinx + igx
b)
d)
b) 1 sin x + cos x
1- sin x
cos x
co sx
l + sin x
sin x - c o s
x
1 + sin * cos x
b)
• = sin x - cos x
s in 2 x - c o s 2 x
t g 2x - 1
sin x cos x
tgpc
tS 2x - \ _ ^ ^ 2 d) l+-^-r— — - = 2 sin2x
= l + cosx
tgx
t g 2x + 1
x x \" s in - + c o s - -1 l.68.a)
2
2
2X — = 2c t £ x 2 t g - - s i n - cos
2
b)
2
1
-------cosx cosx
2
Y1
\
-sinx = sin x co sx smx / 11
sin* cosx tg2x + 1 , , . , 2 -2 b) tg a - s m a=tg asm a 1.69.a ) = —-----sinjc+cosjc cosjc-sinjc tg~x- 1 1.70. Ako je sinx+cosx=m, odrediti sin3x + cos3x. 1.71. Ako je sin x 7 Cosx=m, odrediti: a) sin3x - c o s 3x b ) s in 4x + co s4x
Dokazati: 1.72.* a) 3(sin4a+cos4a ) - 2(sin6a+cos6a)= l b) sin3a(l+ctgcx) +cos3a ( 1+tga)=sina+cosa. k 2k 3n 4k 5k 6k ln 1 1.73.* c o s— c o s— c o s— c o s — co s— c o s— c o s — = —— 15 15 15 15 15 15 15 27
1.5. Periodičnost trigonometrijskih funkcija Odrediti osnovni period date funkcije: d) y=cosx-sinx 1.74.a) y=7sinx b )y = -llco sx c) y=sinx+cosx 1.75.a) y=4+5sinx b) y=12-cosx c) y=2sinx-5cosx d) y=4sinx+tgx 1.76.a) y=sin4x b) y=sin(x-7i) c) y=cos(2x-7i) d) y=5tg2x \ ^ ( KN b) y = tg 4 x - — c) y = t g ------x 1.77.a)>' = 2 sin x + —
4J
6J
,
^ Izračunati vrijednost datog izraza: 1.78. a) sin390° b)tg765° c) cos405° d) ctg750° 1.79. a) cos420°-2sin750° b) sin810°+15cosl 170° c) tg585°+ctg225° 1.80. a) 7sin6300+3cos990°-ctg7650 b) 6cosl500°-sin540°+tg900° Vrijednosti trigonometrijskih funkcija datog izrazi pomoću trigonometrijske funkcije oštrog ugla 1.81.a) sini 130° b) cos800° c) tgl510° d) ctg2405° 25n 197T 7n b) cos l.82.a) sin c) tgd)
\99n
ctg-
1.83. Izračunati vrijednost izraza: . _ . 1?>k . \7 n ,. Sn - 10r a) 2sin— +4ccs— b) cos----- 2lg—
6
12
6
3
3
c) tgT2jt+sm28n-ccsT7n+ctg
9n
1.6. Parnost i neparnost trigomnometrijskih funkcija Ispitati parnost slijedećih trigonometrijskih funkcija: 1.84.a) y=2sinx b)y=-3sinx c) y=4cos2x d)y=-8cosx 1.85.a)y=sinx+ll b)y=tgx+5 c) y=ctgx-4 d) y=sinx+2cosx 1.86.a) f(x)=3-xctgx b) f(x)=4+xcosx c) f(x)=ctgl0x+44 d)f(x)=125sin2x 1.87. Koja od slijedećih funkcija je parna,koja je neparna,a koja nije ni parna ni neparna: . . ^ -s in S * . cos4x . . . . sirfz+ sin * 2 C )/W =
CCS2*
1.7. Znaci trigonometrijskih funkcija U kojem kvadrantu se nalazi drugi krak ugla a ako je: 1.88. sina<0, cosa<0? 1.89. cosooO, tga<0? 1.90. tga<0, sincP-0? Odrediti znak svakog od datih brojeva: 1.91.a) sin 125° b) sin320° c) c o s ll6° d) cos250° 1.92.a) tg265°+5 • b) ctg573° c) cos(-226°) d) sin(-270°) 1.93 .Odredi znak proizvoda: a) sin72°cosl00° b) tg200°sin350° c) cos(-95°)ctg(-1000) 1.94,Odredi znak razlike: a) sin77°-sin25° b) cos67° - cos80° c) tg73°-tg54° d) ctgl2° - ctg86° 1.95.U kojim intervalima je data funkcija pozitivna,a u kojima je negativna: a) y=sinxcosx • b)y=sinxtgx c) y=tgx+ctgx d)y=l-sinx 1.96.U kojim intervalima vrijedi nejednakost: a) sinx<0 b) cos2x>0 c) sin2x>0 d) sin(-2x)>0 1.97.* Naći sva rješenja nejednačine: a) tg2x<0 b) sin2x>0 c) cos2x<0 d) ctg2x<0 1.98.* Odrediti oblast definisanosti (domenu) funkcije:
a ) f ( x ) = -Jsinx
b) f ( x ) = s j - t g x
ć) f ( x ) = V3cosx
1.8. Trigonometrijske funkcije komplementnih uglova (kutova) Datu vrijednost funkcije zamijeniti vrijednošću funkcije komplementnog ugla: 13
o
r-tCfQ 4^
b) sin66° b)cos51° •
O
1.99.a) sin23° 1.100.a) cos 17°
c) ctg24°
d )tgl4° d) ctg72°
1.9. Svođenje na prvi kvadrant Izračunati po formulama svođenja na prvi kvadrant: 1.101. a) sin 120° b )co s150° c) sinl35° 1.102. a ) tg l20° b) ctgl35° c)tgl35° 1.103. a)cos210° b) sin240° c) ctg225° 1.104. a) sin225° b)cos225° c) tg240° 1.105. a) sin315° b)cos300° c) tg300°
d )c o s120° d) ctgl50° d) sin210° d) ctg240° d) ctg330°
Odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija: 1.106. a) sin480° b) sin855° c) sin 1230° d) sin960° 1.107. a) sin 1290° b)cos570° c) cosl230° d) tg960° 1.108. a) cos480° b) ctg855° c) tg 1230° d)cos945° Vrijednosti datih trigonometrijskih funkcija zamijeniti sa vrijednostima ometrijskih funkcija uglova koji su manji od 45°: 1.109. a) sin55° b) sini 14° c)sinl60° d) sin325° 1.110. a) cos87° b)cos215° c ) c o s lll° d) cos400° 1.111. a ) tg 187° b)tg280° c)ctg451° d) ctg600° Izračunati vrijednost izraza: 1.112.a) cos660° b) sin870° c)ctg930° 1.113.a) 4sin810° +3cos720°-3sin630°+5cos900° b) 5tg540°+2cos 1170°+4sin900°-3cos540° , , , . . - . 257T . 13^ . 19^1.114.a)3s m 3t g ------- l-2 co s----6 4 3
d) tg585°
b) 100c/g2990° + 2 5 ig 2540° - 3 c o s 2 990° 1.115. Dokazati da vrijede jednakosti: . . 49 2n 357T . 5k a) s in — K = e o s— b) co s------= - s in — c) 18 9 13 26 ( 29 \ K
tg ~ — K = ~ tg ~
\ 1.116.*
) sin825° c o s (-1 5 ° )+ c o s 7 5 ° s in (-5 5 5 0)+ ig l5 5 °/g -2 4 5 0 = 0
1.117.*
co s2 696° + ig (-2 6 0 °)/g 5 3 0 ° - cos2 156° l ^ 2lo0 ------ --------- ------ ---------------- = —tg 18 . tg 252 + cig 342 2
1.119.* Uprostiti izraz : . . (3 n a) sin — + a cos(a-37t)ctg
2
^3 n A b) s in (a -1 7 ^ -)c o s(^ -t-a )rg ------ a v 2 , Grafici trigonomeetrijskih funkcija
1.10.
Nacrtati grafike datih trigonometrijskih funkcija: 1.121. y=sinx, y=1.120. y=sinx. sinx. 1 1.123. y=sinx, 1.122. y=sinx , y= — sinx , y=2sinx, y=3sinx y=sin2x. 1.124. y=sinx, y - sin —.
n 1.125. y=sinx, y = sin x ~ -
7
71 1.126. y=sinx, y = sin X-\---v 3, 3 . f 1.128.a) v = —sin 2 x - ~ ^ 2 v 3,
iz 1.127. y=sinx, y=sin3x, j= sin3l x —
1.129.a) y=cosx
b) y=cosx, y=2cosx, y= —cosx
b )y = 2 sin
4
K
— JCH---
v3
3y
c) y=cosx, y=cos2x, y=2cos2x, y=2cos(2x+7t) 1.130. y=cosx , y=cos3x .
n 1.131. y=cosx, y —cos x —
1.132.
= 2cos 2x+
K
1.133.a) y=tgx.
b) y=ctgx
1.134.a) _y= 3sin
b) jy = 2sin(4;c + 7r)
V' " • i / ' 7t 1.135.a) y = 2cos 3x H— l 2, 1.11. Adicione teoreme
3 b) y = —cos 2 x ----2 k ^j
1.136. 1.137. 1.138. 1.139.
Koristeći adicione formule,izračunati: a) sin280cos2°+cos28°sin20 a) sin350cosl00+cos350sinl00 a) cos53°cos37°- sin53°sin37° a) cos41°cosl 1°+ sin41°sinl 1°
b) sin33°cos27°+cos33°sin27c b) sin85°cosl5° - cos85°sinl5 b) cos280cos320-sin28°sin32° b) cos780cos33°+sin78°sin33c 15
'
tg24° + tg2\° \-tg24°tg2\°
............ tgl3°-tg2S° 1.141. a) -— —- T r - r ^ r
\ + tgl3° tg2%°
tg34° + tg26° l-tg34°tg26°
tgl2A° + tg56° l-tg\24°tg56°
tg34°—tg4° rr^ : tf \ + tg34°tg4°
tg m °-tg 4 0 °
b) : ~
c) l + /g l0 0 ° fg 4 0 0
1.142.Ako je s in a = —, sin B = — , 0 < a < — , — < B < n ,odrediti : / J 5 17 2 2 a) sin(a+P) b) sin(a-P) c) cos(a-P) 1.143. Odrediti tg(a+p) i tg(a-p), ako je c tg a = —, ctgP=—.
4
1.144. Odrediti tg(a+P) i tg(a-P), ako je cos
rn
6
\
12 . ( n
S\ 5 \3
-a = — , sin — p 13 \.2 v2
— < a < 2 n , 0 < (3 < — 2 2
3
1.145. Odrediti sin(30°-a), ako je tg a = — i 180°
3
1.147. Odrediti tg(45°+ a), ako je cosa= — i 270°
d) ctgl5°
1.150. Dokazati daje a+P=45°, a k o je tg a = — , tgp= —, a i P su oštri pozitivni uglovi. ** 3a/3 | ^ 3 1.151. Dokazati daje a-p=30°, ako je sina= — —— , sinP=—, a i P su
oštri pozitivni uglovi. 1.152.Izraziti: a) sin(a+P+y) b) cos(a+p+y) pomoću trigonometrijskih funkcija od a, P i y.
16
c) tg(a+P+y)
1 1 3 1.153. Ako je s in a = -, sin P = —j = i sin y = - j = ,dokazati daje a + P+ y=
n
Izračunati vrijednosti datih izraza: .
sin20°cos25°+cos20°sin25° cos35 °co sl0 °- sin3 5° sini 0°
sin34° c o s2 3 ^ -sin 5 6 ° cosl24° cos28° cos88° +cosl78° sin208° rg(39I' + a ) + / g (6i - a ) + l + c(g ( 3 8 " - ^ > S (70 + /S ) ' 1 - i s |3 9 * + « M 6 ' - « )
' .156.
-4rt n . k I n Y1 5n n ctgi — c o s -----sin — c o s— 1 + ter— t g — 9 9 18 18 I 5 12 12 5n n
,g n - ,g n Uprostiti date izraze: 1.157. a) sin2acosa-cos2asina c) cos(a+(3)+2sinasin|3 s in (a + P)+ sin(cc- ¡3) .158. a) s in (a + y 3 )-sin ( a - ¡3)
c)
s in (a + /3 )- s in ( a - ¡3)
cos (a + /3) + cos(« - (3) sin (a - [3)cos /3 + c o s(a - j.3)sin /3
b) sin(a+P)sinP+cos(a+(3)cos(3 d) sin(a-P)cosa+cos(a+P)sina co s(a + [3) + sin a sin /3 b) cos (a - ¡3)- sin a sin ¡3
d)
cos (a - /3)cos ¡3 - sin (a - /3)sin /3 1.159. a) cos(oc+p)cos(a-p) + sin(a+p)sin(a-p) b) sin(a+45°)cos(a-45°) - cos(a+45°)sin(a-45°) 1.160. a) sin53°sin67°- cosl4°+cos37°cos23° b) sin20° + sinl30sin57°-sin330sin77° c) sin200°sin310°+cos340°cos310° d) sin30°cos30°tg30° + sin30°cos30°ctg30° 1.161.a) sin 2(30° - a ) + s i n 2(30° + a ) - s i n 2 a b) co s2 (a - 6 0 °)+ co s2 (60° + a )+ c o s2 a 17
1.162.a) tgatgP+(tga+tg(3)tg(a+(3)
c) 1.163.a)
t g { a - p ) + tgp
tg(45° - a ) + t g a
tg (a + p ) - t g p
' l-/& (4 5 ° - a ) t g a
tg a -tg fi t g a + tg p
b) £ M z l _ a g (4 5 . + a ) ctga +1 7T
K
1.164.a)
b)«g,45-+a ) - i ± ® 1- t g a
tg — + a + (§■ A. 4 ctg
b)
K
,gT z"s i 9;r
;r
1+ / g — t g — 28 4
+ a + ctg
1.165 .a) cos2a-sin2atga 2sin(a+/3) -
3tg 15 - 1
9K
-a
\
K
c)
b) sin4a ctg2a - cos4a
c)
c o s( a + p ) + c o ^ a - p )
1.166.a)
cos2(p - a ) + cos2(a + p ) 2 sin 2 a s in 2 p
ctg2a ctg 2p
s in 2 (P + a ) + sin 2 (p - a ) 2 2 c o s a cos p Dokazati da vrijede jednakosti: 1.167.a) sin(45°+a) = cos(45°-a) b) cos(45°+oc) = sin(45°-a) b)
tg a -
c) cosacos|3(tga-tg(3) = sin(a-(3)
d) —(cosa+ -v/3sina)=sii^3tf+a)
•n/6 ( b) V 3 s in a - c o s a = 2 s ir.a 1.168.a) sinl5°+tg30°cosl5c= ---^ V 1.169.a) sin(a + j3)sin(a ~ P ) = sin2 a - sin2 P ,b) co s(a +
p )co s(a - /? ) = co s2 a - c o s 2 P
, . tg a + ctgP cos ( a ~ P ) 1.170.a) —------- — = — ------— . c tg P + tg a cos (oc + P)
. a a b) s m a - c o s a - t g — = tg — 2 2 1•171 .a) t g ( a + p ) - t g a - tg p = t g a t g p t g ( a + p ) 1N
V 2 c o s a “ 2sin(45° ~ a ) _ j 2 2sin(60° + a ) - V 3 cos a 1.172.a) sin2(a + p ) = sin2 a + s in 2 P + 2sin asin P cos(a+ P ) 18
( l - / ‘pa)cos(45° - a ) ( ArQ \ b) A— ---- v--------- - = cos(45 +a ) 1+ tgcc ' 1.173.a) (tga + tg P ) c tg ( a + p ) + ( t g a - t g p ) c t g ( a - p ) = 2 b) {ctga + c tg p )c tg (a + p ) ~ (ctgp - c t g a ) c t g ( a - p ) = - 2
K 1.174. Ako je a+P+y = — , dokazati d aje
tgatgp+tgptgy+tgytga = 1.
1.175.* Dokazati da vrijednost izraza cos2x+cos2(x-a)-2cosxcosacos(x-a), ne zavisi od x. 1.176.* Ako je a+ P= y, dokazati da je cos2a+cos2p+cos2y-2cosacos(3cosy= 1. 1.177.* Ako je a+p+y=180°, dokazati daje cos2a+cos2p+cos2y+2cosacosPcosy = 1. 1.178.* Ako je a+P+y=l 80°, dokazati daje tgcx+tgP+tgy = tgatgPtgy.
1.12. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla i polovine ugla
4
1.179.Ako je sin a= —, a u prvom kvadrantu,izračunati sin2a, cos2a i tg2a. ' ^ 5 1.180.^ko je cosa= — ,a u prvom kvadrantu,izračunati sin2a, cos2a i ctg2a. ^ 12 37Z 1.181. Ako je sinp= —— , n < p < — , izračunati sin2p i cos2p.
1.182. Ako je c o sx = —— , x u drugom kvadrantu,izračunati sin2x, cos2x i tg2x. 1.183. Ako je tgx = 3, x u trećem kvadrantu,izračunati sin2x, cos2x, tg2x i ctg2x. 1.184. izračunati tg a ako je tg2a=2 i a se nalazi u četvrtom kvadrantu. 1.18Š\ izračunati sinP i tgP, ako je cos2P=-^- i 2P se nalazi u III kvadrantu. 1.186. Izračunati tg22 a ako je cosa= “ . 1.187. Izraziti u funkciji dvostrukog ugla: a) sina b) cosa
c) tg a d) ctga a 15 . . a n 1.188. Izračunati sina, cosa i tg a ako je cos — = ----- , i sin— >0.
2
17
2
19
, . a 5 „ , 1.189. Izračunati sina i cosa, ako je tg — = ----- , a u četvrtom kvadrantu.
2
12
1.190. Izračunati sin2a , cos2a , tg2a i ctg2a ako je ctga=-s/2+ 1 . s in a a 1.191. Izračunati vrij ednost izraza -------------- ako je tg — = 2 . 3 -2 co sa 2 1.192.Ako je sinx=
2 4ab
a +b
, ab>0, odrediti sin2x, cos2x i tg2x.
1.193. Ako je sinx+cosx=—, odrediti sin2x, cos2x i tg2x. 1.194. Ako je tgx=-^-, tgy=2, izračunati tg2y i ctg(2x-2y). , 2 1 (1.1951 Ako je co sx = y , siny=—, 270°
c) cos"22°30'2 c o s 2 15° - 1 c) ' l - 2 s i n " 22°30'
Uprostiti date izraze: 1.199.a) 4sinacosacos2a b) cos42a-sin42 a c)2cos2a -l d) 18sin2acos2a b) cos2a + 2sin2a 1.200.a) cos2a -2cos a d) cos4a -6cos2a sin2a+ sin4a c) sin2a-(sina+cosa)2 Skratiti date razlomke: sin 10° 1.201.a) — sin 2 0°
sin 2 2 ° sin 44°
, N co sx b) - r sm 2x l - c o s 2 0° Uprostiti date izraze : 1.203.a) 2cos23°cos67° c) (cos70° - cos20°)( sin70° + sin20°) 1.204.a) 2cos40°cos50° c) 8cosl0°cos20°cos400 1.202.a)
20
sin 10°
sin 40° C) -7 sin 2 0 ° co sx c) l + c o s 2x b) d) b) d)
sin3x a) —
sin 6x
d)
s in 2x l + c o s 2x
2sin70°sin20° 2cos50°cos40° cos20°cos40°cos80° 8cos5°cosl00cos20°cos850
1.205..) (sing +C° SK)2 1 + sin 2 a
b) ^ . - sin0! , ( a~ . ' a~ \ 2 ccos o s----- sin 2 2
c)
1 tg a + ctga
2 k . 3n ( c o s a - s in c c ) 2 - c o s 2a 1.206.a) 2 sin — s in — b) ----------- ------ --------------7 14 2 sin a - s i n 2a Dokazati da vrijede jednakosti: 1.207.a) 4sinl80cos36°=l
b) sin700sin500sinl0°= — 8
c) sin40°sin50°= —coslO0 2 1.208.a) sin3x = 3sinx - 4sin3x
d) sin20°sin500sin70°=—coslO0 4 b) cos3x = 4cos3x - 3cosx
Cv o tg x { $ - tg 2x) c) tg 3 x = ----------- -— 1 - 3tg x
^ sin 3x „ 2 d ) --------= 4cos jc-1 sin x
a r, , sin 8a 1.209.-c o s—cos a cos 2 a cos 4 a = ----------2 , . a 16 sm — 2
,
sin 2 a 1.210. Ako je 3tga=2tgp, dokazati da je tg([3-(x)=-------------- . 5 - cos 2 a Bez upotrebe kalkulatora i tablica izračunati: 1.211.a) sin i5° b) sin22°30’ c) cos22°30’ d) tg22°30’ 1.212;a) s in —
b> c o s—
8
8
d) t g —
c) s in —
12
12
e) ctg —
8
1.213.Ako je s i n a = — , 180° < a < 270°, izračunati sin—, cos— i tg—. 5 2 2 2 4 1.214. Ako je ctga = 90° < a < 180°, izračunati
.a a . a sin —, c o s— i t g — , 2 2 2 i rs 1 c
T
V
.
.
7C
7t
7t
.
1.215. Izračunati sin — , co s— , t z — . / 24 24 24
7Z
eto; — . 5 24 \ iv, 21
Uprostiti date izraze:
a 1.216.a •a).
1 4- C O S — -
1 - cos 4a
6
c)
»
a
cosI 1-
l .217.a) .
l-c o s 3 x
b)
l + cos3x
sin f x ------ + 1 2 j
(n \ 1 - sin — + x 0
/-------------K 1.218.a) V2 + 2 cos a , gdje je — < a <71
c) 2 co s2 — cosx 2
b) 72(1 + sin 2a) d)
1-COSX
X
. ■)
---------- ctg— sirf x 1+ cosx 2
1.219. Dokazati da vrijede slijedeće jednakosti:
a)
b)
c) 16 2
16 2 '
v)Zi
1.220. Dokazati da vrijede slijedeće relacije: X -i . 2 * x -2tgi o r~ « 2tS ^ a) sin x = ------ — b) c œ x = --------— c) fgx=------— i , x~2 X 1+tg22 X i+ r
ii) ctgx = -
1.221.' Skratiti date razlomke:
fl)
1 - cos X
s in
1 + cos X
1 + cos2x
s in x
cos x
1 - cos
d)
2
1.222. Odrediti vrijednost izraza 5sinx+8cosx+3tg —, ako je tg —= Dokazati identitete: 2 sin x - sin 2x , x ^ r ~ = tg 1.223 .a) 2 sin x + s in 2x 2 x . 2* ^ c) t g — + 2 sin —ctgx = sm x 2 2 —
22
1 + cos —
------------
-
13
l + s in x -c o s x x b) --------------------- = t g 1 + sin x + cos x 2 V 2 -co sx -sm x x -4 5 d ) -------------------- = tg --------sin x - cosx 2
--' " —v Q 1.224. sina(sina + sin(3) + cosa(cosa + cos(3) = 2 co s2 - ■ .
-
1.225. (sina - sinp)2 + (cosa - cos(3)2 = 4 sin 2 —■ —■- .
,
x 2
l-c o s x sinx
,
, „ ,,
x 2
sinx l+cosx
1.226.a) tg — = — ;------ ,za x*krc, keZ . b )tg— = -----------,za x^(2k+l)7t, keZ . 1.227.a) tg l5 0+ctgl5° = 4
b) c t g - - t g - = 2. 8
8
1.13.Transformacija zbira trigonom etrijskih funkcija u proizvod i obrnuto.
. a _ . a+p, a~P sina+ sin p - 2 sin---- —cos---- —, 2 2 sin a - sin p = 2 cos a + @ sin ®— !L 2 2 cosa+cosp=2cos(X^
cos- ^ ,
cos a - cos p - -2 sin a + ^ sin ———, 2 2 1 + cos2a = 2cos2a ,
, o sin(cc±P) tga±tgp= -------------, co saco sp
1 - cos2a = 2sin2a
. 0 sin(P±a) ctga±ctgp = . , 0 sin a sin p
sin a sin /3 = [c o s(a - P ) - cos(a+ P )], cosaco s/?= [co s(a+ P )+ cos(a- P )] sinacos /3 = -^-[sin(a+ P ) + s in (a - P )] Date izraze pretvoriti u proizvod : 1.228. a) sin20°+sinl0° b) sin55°+sin5° 1.229. a) sini60°+sin20° b) sin80°- sin20°
c) sin70°-sin20° c) sin l3 2 °-sin l2 c 23
b) cos55°- cos35° 1.230. a) cosl30°+cos50° b) -cos80°- cos40° 1.231. a) cos70°+cos50° K K . n n b) s m ----- co s— 1.232.a) c o s— + c o s— 8 4 b) sin54°1.233.a) cos46°- cos22°-2cos78°
i cos 2 a -
JZ
TZ 12 /
+ sm a - -
r 9jz
+ COS
16
16
k 4n 0 C tg --tg —
sin40°+sinl4°
d) cos12°- 2cos24°+cos36° 2k f 2K b) sin a ------ ■sm a + V 3
c) sin 16°- sin24°+sin40° i n jz 1.234.a) cos a + - + COS a - J 1.235.a) sin a
c) cosl 12°+ cosl2° c) cos75°-cosl5°
5ttx
12
b)
2a
1.236. Uprostiti izraze: .
a)
cos25°
s in a + sin /3
cos24° - cos84°
sin35° + sin85° b)
c)
sin54°
Napisati u obliku proizvoda: 1.237.a) ctg8°+ctgl02° b) ctg7°+ctgl 12° 1.238.a) 1+sina b) a+cosa cosa 1.239>.a) sinl6°+sin24o+sin40° b) sinx+sin2x+sin3x 1.240.a) l-4cos2x b) l-3tg2x l+tgx 1.241.a) cosx+2cos7x+cosl3x b) l-2sinx-cos2x
c o s a - c o s /?
c) ctg(l-a)+ctg(l+ a) c) 1-sina d) 1c) l+sin2x+cos2x c) cos22x-sirfx d) c) sinx+siny-sin(x+y)
Izračunati vrijednost izraza: 1.242.a) cos47°+sin77°- V Š cos 17° 1.243.a)
s in 37 - s i n 53 1 - 2 c o s 2 41°
Proizvod trigonometrijskih 1.244.a) sin70°cos50° b) , 2 n c o s— 71 b) 1.245.a) s •in — 5 5 b) 1.246.a) sin80°sinl0° 24
b) sin56°+cos26°- VŠ cos4° .. cos41° - c o s 7 9 ° b ) ---------2 71 1 - 2 sin
funkcija pretvoriti u zbir (razliku): sinl0°cos40° c) sin80°cos5° s . 3K JZ . 1k 5n s m — co s— c) sm — co s— 4 4 7 7 sin42°sinl6° c) sini l°sin23°
. 5n . 2n . K . 2tt b) s in — sin — 1.247.a) s m - s m — 3 3 7 7 b) cos34°cosl4° 1.248.a) cos50°cos20° K 2K 71 K b) co s—cos — 1.249.a) co s—cos — ----4 5 7 7 1.250. Izračunati: a) cosl3°cos3°- sin5°sin850-cos80cos82° b) sin20°sin70°- sin l4 0cos26°-cos6°cos840
, . 3K . K c) sin — sin — 5 5 c)cosl3°cos7° 2 71 71 c) c o s — c o s — 5 5
Dokazati jednakosti: V3 1.251.a|) sin20osin40°sin80°=---8 Dokazati identitete:
b) tg20°tg40otg60otg80°=3 .
b) šinx + tgx = 2tgx co s'
1.252.a) ctgx - tgx = 2ctg2x
.253.a) tgx + tg2x - tg3x = -tgx tg2x tg3x \ /K XN cos ----1--b)A- V2 sin x = 2V2 sin 8 2 v8 2 y ' l \n 00
[.2 5 4 .a) cos ( 3 x ----- + sin v 9 J
> 71 1 - 5x = 2 cos x cos ( 4a x ----l V
l + co sx + c o s 2x + cos3x _ b) ------------ ----------------------- = 2 cos x 2 cos x + c o s x - l 3 . - 3 1.255.a) sin 3 x co s, 3 x„ +, sin x co s3 x = —sin 4 x 4 b) 4sinxcos3x-4sin3xcosx = sin4x . n t n \ * a+B a+y B+y 1.256.* coso; + co s p + c o s / + cos(a + p + y ) = 4cos— - — cos—- — cos— 1.257.* Ako je a+P+y=7T, dokazati da vrijedi: a) sina=sin([3+y) b) cosoc=-cos(P+y) c) tga=-tg(P+y) 1.258. Ako je cosx+cosy=a, sinx+siny=b, a2+bV0, izračunati cos(x-y). 1.259.* Ako su a , P i y uglovi trougla dokazati identitete:
n 1 a ■a • P ■ Y a) c o s a + c o s p + c o s r = l + 4 sin —sin — sin —
2 B
2 y
2
cc b) c o s a + c o s /? -c o s 7 = 4 co s^-co s^-sin -^-l
25
Dokazati identitete: , sin4x cos2x -x x * - ( 2 A + l), k e N . 1.260.------------------------- - = ctg l + cos4x l + cos2x 4 J ft 3 9 1.261.a) sin x + cos x = \ -----sin 2x. b) 4 . 6a 6 a sin2 a - 4 s m ---- cos — = ------------- cosor.. 2 2 4 Izračunati vrijednost izraza: 1.262. tg 1°tg2° tg3° tg4° ... tg86° tg87° tg88° tg89°. b) sin80° sin60° sin40° sin20°. 1.263.a ) i-—- - 4 sin 50° cos 20 1.264.a) coslO0 cos50° cos70° 1.265.a ) ?— — !------cos 670° V3 cos 220°
b ) -------- — ^--------- — sin 50 + 8 sin 10 b) sin20° sin40° sin80° b ) ----------------------------sin 920° V3sin470°
1.266.* Dokazati identitet:
8 cos4 a +4cos3a -8 c o s2 a - 3 c o s a + l = 2 c o s ^ -c o s —. 2 2 1.267.* Uprostiti izraze: a ) — ---------- b) cos—- s in — . n k 5 10 sm — cos — 18 18 1.268.* Ako je x=tg5°, y=tg20°, z=tg65°, dokazati d aje xy+yz+zx=l. 1.14. Prim jena trigonom etrijskih funkcija na rješavanje trougla Riješiti pravougli trougao ako je dato1: 1.269. a) a=16, a=75°45’ b) b=21, p=43°36’ c)a=13, c=85 1.270. a) b=4, a=36°52’ b) b=84, p=81°12’ c) a=9, b=12 1.271. a) a:b=5:12, c=52 b)b:c=12:13,, a=15 c) c=327 , a=29° 1.272.1zračunati površinu pravouglog trougla u kome je hipotenuza c=327 i ugao P=61°. 1.273.Riješiti jednakokraki trougao u kome je krak b=17,2 i ugao na osnovici a=45°50\ 1 a,b i c su u o b ič a jen e o zn a k e z a d u žin e s tra n ica trou gla, a cc,P i 7 su o zn a k e z a o d g o v a r a ju ć e u g lo v e k a o i z a n jih o v e m jere.
26
1.274. Odrediti dijagonale i visinu romba čija je stranica a=12 i ugao a=38°.
1.275. 1.276. 1.277. 1.278. 1.279. 1.280.
a) a) a) a) a) a)
Riješiti trougao ako je dato: a=18, b=30, a=30° a=40 , b=50, [3=60° c=6 , b=10, P=30° a=40 , a =50°, p=60° c = ll , P=26°15’, b=8 a=8 , p=38°12’48” , y=60°
b) b) b) b) b) b)
a=12, b=13, a=45° b=17, p = 1 14°,c= 12 c=l 1, y= 7 4 °, a= 9 2° b=17, a= 54°, p=33c a=3,42, c=2,28 , y = 2 4 °3 3 ’ b=5, p=13°10’25” , y =
120 °
1.281. Riješiti trougao u kome je poznat radijus opisane kružnice R=34,17 , stranica a=15 i ugao P=130°26’59” 1.282. Izračunati uglove trougla u kome je poznato: R:a=13:10 i y =30°30’37”. Riješiti trougao ako je dato: 1.283.a) a=8, b=3, c=7
b)
a= 10,
b=18, c=9
1.284.a)a=2,
b)
a=52,
b=51 , c=25
b) b) b)
b=33, a=50, c=23,
a=l 1, c=20, b=41,
c=4
1.285.a) a=10, b=20, y=60° 1.286.a) a=16, c=8, p = 120° 1.287 a) b=45, c=15, a=30° a=150° 1.288. Odredi uglove trougla u kome je: a) a:b=15:13 ,a-p=59°29'24" 1.289. Odrediti stranice trougla ako vrijedi: a) b+c=20, a=5 V2 , y=135°
y=45°
~U2 O1!s O0
b=3,
b) a:c==35:8 , P=36°52'12" b) a:b==13:1, c==16 V3 , a=30°
Ako su p i q projekcije kateta a i b na hipotenuzu c i h visina pravouglog trougla, riješiti pravougli trougao ako je dato: 1.290. a) c= 18,7 , ce=65°10' b) a=522 , b=760. 1.291. a) a=4,331 , c=13,96 b) b=88, l l , c=555,39 1.292. a) p= 3, h=4 b) q=5, h=12 1.293. a) a=29, h=20 b) b=10, h=8 1.294. a) p=6, a=10 b) q=12, b=13 1.295. a) q=10, a=37°22' b) p=80, p=54°31' 1.296. Dijagonala pravougaonika d=25 zatvara sa osnovicom ugao od 35°2r. Izračunati stranice pravougaonika. 1.297. Stranica romba je a, i oštar ugao a.Izrazi dijagonale romba pomoću a i a. 1.298. Predmet obasjan sunčenim zracima,koji sa horizontom zaklapaju ugao 15°25', baca sjenu dužine d=12m. Kolika je visina predmeta? 27
Riješiti trougao ako je dato: 1.299. a=49, b=33 i a -(3 = 2y. (3=53°7'48” .
1.300. P=84, a=98°47'51” ,
1.301. a=37, P=180, a=112°37'12” 1.302. a) c=4 , hc=12 , y=14°15'
b) P=10 VŠ, 7=60°, a+b=13 b) a=25, ha=7,2 a=1 1804’21’
1.303. Odrediti nepoznate stranice trougla u kome je dato: a=8, ha=3-\/5 , ta=7. 1.304.* Objasni kako se može odrediti rastojanje između dviju nepristupačnih tačaka M i N. 1.305.* Odrediti ugao a trougla u kome su dvije stranice b=4, c=9 a težišna linija tc je geometrijska sredina stranica b i c. 1.306.* Neka su a i (3 oštri pozitivni uglovi koji zadovoljavaju relacije: 3sin2a +2sin2p=l 3sin2a-2sin2|3=0. TC
Dokazati d aje a+2(3=— .
1.15.
INVERZNE FUNKCIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Odrediti oblast definisanosti datih funkcija: 1.307. a) y = arcsin(x-l) b) y = arccos(2x) 1.308. a) y = arccos(sinx) b) y = arctg(l-2x) 1.309. a) y = arcsin(x2+x) b) y = arccos(logx)
c) y = arcsin(l-2x) c) y = arcctg(5-x) c) y = arctg(logx)
1.310.Ako je dat realan broj x za koji vrijedi 0 A=arcsinx . cosA = a => A=arccosa = arccos
arcsinx
x
X
a
a
x
X
Vl-x2
ctgA=— => A=arcctg—= arcctg----------
28
X
tgA = — => A=arctg—= arctga a ’V l ^
X
Iz navedenih jednakosti,zamjenom vrijednosti za A iz prve,dobivamo:
x V i- * 2 n----- 2 arcsinx= arccosvl —x = arctg —= = = = = arcctg-----------. y \ —x~ x 1.311 .Ako je dat.realan broj x za koji vrijedi 0
v
b) arcctg V3
c) arcctg(- a/3 )
b) arccos----
c) arctg —
b) arccos(sinO)
c) arctg(sinji) ( r c) arccos sin -
33 n b) arcsin cos-
f . 33n 1.320. a) arcsin s in -----V / -n/ P 1.321. a) sin -----arccos — 2 4
V
v
J
p
1.323. a) arccos
\\ //
V
K . V3 b) cos -----arcsm — 2 3
Vš V3 1.322. a) arccos---- + arcsin ---2 2 i
c,) arcsin(-l) c) arccos(-l) c) arctg(-l)
y
b) arccos— + arcsin —
2
f
+ arcsin
b) arccosx+arcsinx:
8n 1.324. a) arctg(ctg-^-) 1.325. a) tg(arcctgV3 + arcctg(2+ V J )) 5 12 1.326. a) ctg(arcsin— + arcsin — ) 13 13 1.327. a) sin(^-arcsin^- - 2 a r c c t g ( - ))
2
Jt
1 + arcsin ■ ( 1^ b) arccos— 2 \ / b) ctg(arctg3 + arctg2) 3 4 b) tg(arcsin— - arcsin —) 1 3 b) cos(—cos— - 2arctg(-2)) 29
Dokazati date jednakosti : 1 ^ 0 arctg— 1 + arctg— 1 + arctg — 1 + arctg— 1 = — TI . 1.328.
8
1.329. a) arctg— + arctg — = — 7 4 4
b) sin2(arctg3-arcctg
♦ 1= — n 1.330. a) arccos - t7= + 2 arctg— VŠO 3 4 sin(2arctg j )+tg( ~ arcsin
1.16.
1
2
b)
)= | b) cos(2arctg2)-sin(4arctg3)=
1.331.a) sin(arctg2 + arctg \ ) = -^0,98 1.332.a) arccos
4
11
25 _6_
arccos — = arccosi---- b) — cos‘ 7 14 4
25
TRIGONOMETRIJSKE JEDNAČINE ■(JEDNADŽBE)
1.333.Riješiti trigonometrijsku jednačinu sinx= —. Rješenje:Nacrtaj{no trigonometrijsku kružnicu (Sl.l .333).Na y-osi odredimo tačku M kojoj odgovara data vrijednost sinusa ^ . Tačkom M povucimo pravu paralelno sa x-osom. Neka je presjek ove prave i trigonometrijske kružnice skup tačaka {A,B}. Tački A odgovara broj arcsin —= — i svi brojevi oblika — +2krc,
SI.1.333.
2
6
6
ke Z , (gdje je Z oznaka za skup cijelih brojeva). JZ 5K . . . 5K Tački B odgovara broj n — = — i svi brojevi oblika — +2krc, keZ.
6
6
6
Naša trigonometrijska jednačina,dakle,ima beskonačno mnogo rješenja.Opće rješenje jednačine je: x = ^-+2k7r, x =-^+2k7i, keZ.
30
Navedeno opće rješenje može se napisati i u obliku x = (-1 f ■— +kn, ke Z. v ' 6 Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.334.a) sinx=l b) sinx=0 c) sinx= -1 d) sinx=2
, . VI 1.335.a) sinx=— b) sin x = - — c) sinx= — d) sinx= - VI 2 2 2 V2 V2 1.336.a) sinx=— b) sinx=——■ c) sinx=sin20° d) sinx=sin50° 2 2 1.337.a) sinx=sin(-20°) b) sinx=sin7T c) sinx=sin(-120°) d) sinx=a, ae R ,
N
•
,
.
■
1.338. Riješiti trigonometrijsku jednačinu cos2x= - . Rješenje:Odredimo na trigonometrijskoj kružnici tačke kojima odgovaraju brojevi y SI. 1.338. sa datim kosinusom.Neka su to tačke M i N. 2n
[ 1
O
sx
i svi brojevi
2K
T
2k . -/■— 1 3
2n
ke Z. 1 2n Opće rješenje jednačine cos2x= — je:2x =±— +2k7i,
N
n ke Z, odnosno, x = ±— + kn, ke Z. 3 Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.339. a) cosx=0 1.340.a) cosx= cos2x=•
b) cosx= 1
c)cosx=-l
V2 b) cosx= - —
. VI c) cosx= —
s \
2
d) cosx= — 2
2
d)
VI
1.341.a) cos3x=cosl2° b) cos4x=sinl0° cosx=m, me R.
c)cos2x=cos200G
d)
31
1.342. Riješiti jednačinu:
tg(2x-30°)= V3 .
Rješenje:Neka je T tačka na osi tangensa kojoj odgovara broj VŠ .Ovoj tački,na trigonometrijskoj kružnici odgovara broj 60° kao i svi ,y f to .V š )
r ~A J
X
brojevi oblika 60°+k-180°,ke Z.Opće rješenje jednačine 2x-30° = 60°+k-180°,keZ => x = 45°+ k 9 0 °,k eZ . Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.343.a) tgx=l
b) tgx=0
c) tgx=0
d) tgx=VJ
SI.1.342.
1.344.a) tgx=- VJ b) tgx= — c) tgx= - — d) tgx= —
1.345.a) tgx=2
b) tgx=3
3
c) tgx=tg40°
3
V3
d) tg3x=tg33°
1.346.Riješiti jednačinu ctg(2x+l )= 1. Rješenje:Na osi kotangensa treba pronaći tačku kojoj odgovara broj 1.Neka je to tačka Q.Prava koja prolazi tačkom Q i koordinatnim početkom siječe SI.1.346. trigonometrijsku kružnicu u tačkama M i N. Tački M odgovara broj ^ i svi brojevi X oblika ^ +2kn, ke Z.Tački N odgovara beskonačno mnogo brojeva oblika + n +2kTt, ke Z. Svi navedeni brojevi imaju kotangens jednak jedinici. Opće rješenje jednačine ctg(2x+l)=l dobijamo na slijedeći način: 2x+l = —+k7t, k e Z => 2x=— -1+krc, keZ => x= — - —+ —kn, k eZ . 4 4 8 2 2 Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.347.a) ctgx=0 b) ctgx=-l c) ctgx=V3 1.348.a) ctgx=
V3
1.349.a) ctgx=2
b) ctgx= -
c) ctgx=—
d) ctgx=- —
b) ctgx=4
c) cosx=sinx
d) cosx=-sinx
1.350. Riješiti jednačinu: 2(l-sin2x) - 5(sinx-cosx) + 3 = 0. 32
d) ctgx=-V3
Navedeno opće rješenje može se napisati i u obliku x = (_])* •—+kK, keZ. v ' 6 Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.334.a) sinx=l b) sinx=0 c) sinx= -1 d) sinx=2 1.335.a) sinx= — b) sinx= - — 2
c) sinx= —
2
d) sinx=-----2
2
Jl 1.336.a) sinx=— b) sinx=— — c) sinx=sin20° d) sinx=sin50° 2 2 1.337.a) sinx=sin(-20°) b) sinx=sin7i c) sinx=sin(-120°) d) sinx=a, ae R 1.338. Riješiti trigonometrijsku jednačinu cos2x=
.
Rješenje:Odredimo na trigonometrijskoj kružnici tačke kojima odgovaraju brojevi y SI.1.338. sa datim kosinusom.Neka su to tačke M i N. Tački M odgovara broj 2K
x _ o blika
2K
i svi brojevi
+2kir, keZ.Tački N odgovara broj
JE 2tt ^ i beskonačno mnogo brojeva oblika: - — +2k7t, keZ. 1 2n Opće rješenje jednačine cos2x= — je:2x =±— +2k7t,
K ke Z, odnosno, x = ±— + kn, ke Z. 3 Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.339. a) cosx=0
b) cosx= 1
V2 1.340.a) cosx= —
,, ^2 . 73 b) cosx=----- c) cosx= —
2
c) cosx=-l
2
d) cosx= -
2
d)
cos2x= 1.341.a) cos3x=cosl2° b) cos4x=sinl0° cosx=m, me R.
c)cos2x=cos200°
d)
31
1.342. Riješiti jednačinu:
tg(2x-30°)= -JŠ .
Rješenje:Neka je T tačka na osi tangensa kojoj odgovara broj VŠ .Ovoj tački,na y ^ trigonometrijskoj kružnici odgovara broj 60° kao i svi
r71
i ( 0, V š ) jednačine 2x-30° = 60°+k-180°,ke Z X
=> x = 4 5 °+ k-90°,ke Z.
Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.343.a) tgx=l b) tgx=0 c) tgx=0 d) tgx= -J3
SI.1.342.
1.344.a)tgx=-V3 b) tgx=
1.345.a) tgx=2
b) tgx=3
3 c) tgx=tg40°
c) tgx= -
3
d) tgx=
V3
d) tg3x=tg33c
1.346.Riješiti jednačinu ctg(2x+1)= 1. Rješenje:Na osi kotangensa treba pronaći tačku kojoj odgovara broj 1.Neka je to tačka Q.Prava koja prolazi tačkom Q i S I. 1.346. , iy koordinatnim početkom siječe / trigonometrijsku kružnicu u tačkama M i N. Q / k r n Tački M odgovara broj — i svi brojevi \
\
K oblika — +2kft, keZ.Tački N odgovara
o /
beskonačno mnogo brojeva oblika
~ + 71 +2k7i, ke Z. Svi navedeni brojevi imaju kotangens jednak jedinici. Opće rješenje jednačine ctg(2x+l)=l dobijamo na slijedeći način: 2x+l = — +krc, k eZ => 2x=— -1+krc, keZ => x= — - —+ —kn, k eZ . 4 4 8 2 2 Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.347.a) ctgx=0 b) ctgx=-l c) ctgx=V3 ft ft ♦ ^2 1.348.a) c tg x = - y b) c tg x = --^ c)^ ctgx= — 1.349.a) ctgx=2
b) ctgx=4
c) cosx=sinx
1.350. Riješiti jednačinu: 2(l-sin2x) - 5(sinx-cosx) + 3 = 0. 32
d) ctgx= - V3 V2 d) ctgx=- — d) cosx=-sinx
Rješenje:Izraze u jednačini ćemo transformisati na slijedeći način: 2(l-sin2x) - 5(sinx-eosx) + 3 = 0 <=> 2(sin2x+cos2x-2sinxcosx) - 5(sinx-cosx) + 3 = 0 <=> 2(sinx-cosx)2 - 5(sinx-cosx) + 3 =0. Ako uvedemo smjenu sinx-cosx = t,dobijena jednačina postaje kvadratna po t: 2t2- 5t + 3 = 0.
3
Rješavanjem kvadratne jednačine dobivamo: tj = 1, t2 = —. Sada se vratimo uvedenoj smjeni i riješimo dvije,jednostavnije, trigonometrijske jednačine: s in x -c o s x = l <=> sin x = l+ co sx <=>
2sin —cos —=sin2—+cos2—+cos2—- sin2—
<=>
2sin —cos —= 2cos2—
2
2
2
i=>
2
2
f
X
V
2
<-->
X
cos—= 0 2
2
<=>
2
n
^
2
2sin —cos —- 2cos2— = 0
^
2
X
2
.
2
. X
X
0 <=> cos—=0 v sin----cos—= 0
cos — sin— cos 2
2
2
2 / X
X
v sin —= cos—. 2
2
Dobili smo dvije nove trigometrijske jednačine.Riješimo ih redom: cos —= 0 2
<=>
—= - + krc,k6 Z
<=>
x = (2k+1)Ji,ke Z.
sin —= cos — => 2 2
2
<=>
2
sin —- sin 2 2
x = n + 2krc,ke Z
=> £ = - - i i + 2k7t,k6Z 2
2
2 2
=> x= -+ 2 k 7 C , k eZ => x = —(4k+i), keZ. 2 2 Uvrštavanjem druge vrijednosti za t, u gore uvedenu smjenu, dobivamo: 3 -\/2 . V2 3 V2 sinx - cosx = — <=> — sin x ----- cosx = --------2 2 2 2 2 3V2 <=> cos45°sinx -sin45°cosx = -----4
. 3-n/2 <=> sin(x-45°) = ------ . 4
^ . 3V2 3V2 3V2 3 3 , .. J 4 . Kako ie ------ = -------= — ¡=— 7= = — > -------- = 1 , a vrnednost sinusa 4 2 -2 2 V 2 -V 2 2-v/2 2-1,5 3
sin(x-45°) može biti najviše l,to za t2 = —jednačina nema rješenja.
33
Opće rješenje jednačine je: x = (2k+l)n, x = -^-(4£ + l),k e Z . Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.351. a)2sinx-l=0 b) sin2x=0 c) 2sin5x=V2
A-
1.352. a) sin— = 2 2
'x } sin —+ 2
v5
2x
-30°
A
2
c)
1 1
y
1.353. a) cos2x= ——
b) 2cosx-l=0
2
1.354. a) eos eos
b) sin
3x
A
2
b) 2cos
x + 10
c) 2cos5x=V3
= V2
c)
3x
v 2 / 1.355. sin2x + 2sinx = 0.
1.356. cos3x + cos5x = 0.
1.357. sinx+cosx = 1+sixcosx.
1.358, 2cos2x - 3cosx + 2 = 0.
1.359. sinx = cos2x. ( n—\ 1.361. sin 2x -
1.360. sin(x-20°) = sin35° .
1.363. tg
1.364. 1+ cos Y_ 3 1-COSX 1.366. tg3xcosx = 0.
~
~
1.362. c o s - = - — 3 2
v8 2 y 1.365. 8cos2x+6sinx-3=0 1.367. 5 tgx + 7ctgx = 12
1.368. tgx+tg2x=tg3x ; tgx?H;l ,tgx^ +
1.369.Riješiti datu homogenu trigonometrijsku jednačinu: a) 3 cos2x - sin2x - sin2x = 0 b) 4sin2x + sinx cosx - 3cos2x = 0 Riješiti date trigonometrijske jednačine: 1.370. cos2x + 3sin2x + 2-^3 sinxcosx =1 1.371. 3sin2x + 4 sinxcosx + 5cos2x = 6 1.372. 4sin2x - 5sin2x - 3cos2x = 0 1.373. sin4x + sinx = sin3x + sin2x 5 7 1.374. sin4x + cos4x = — 1.375: sin4x+cos4x= — sinxcosx. 8
1.376. cosx - 2cos3x + eos 5x = 0 34
2
1.377. -JŠ sinx + cosx = 1.
1.379.) sinx -
1.378. 2sin2x + 3cos2x = V llsin4x
VI c o s x
=
2
1
1.380; 2sinx + 5cosx = 4
1.381. sinx - cosx
1.382. sin3xcosx-sinxcos3x :
"— ^ 1 1.383. sinJx+cos3x = 1 - —sin2x
1.384. sin10x + cos10x = —
1.385 .* cosx2= —
16
cos42 x
VI
1.386.* logtgx + logtg2x = 0
1.387.* tg(T icosx)=ctg(7isinx).
1.388.* 3i+™*+ 2 .32+cos(*+90“) =21
1.389.* 4 sin2(OT) + 3 .4 cos2('a ) = 8
1.390.
1.391.* 2 sin2t+ 4 - 2 cos2jc= 6
16sinx= C0SV4
1.392.* logcos,4 .1 o g
1.393.* logsinx 4 ■log
, 2=1
2 2=4
1.394. Riješiti i diskutovati rješenja jednačine sin3x = msinx u zavisnosti od parametra me R. 1.395. Riješiti i diskutovati jednačinu sinx = asin3x. 1.396. Riješi i diskutuj rješenja jednačine cosx ctgx - sinx = a cos2x u zavisnosti od parametra ae R.
1.17.
TRIGONOMETRIJSKE NE JEDNAČINE (NE JEDNADŽBE)
VI
1.397. Riješiti trigonometrijsku nejednačinu: sinx > — . Rješenje:Posmatrajmo trigonometrijsku kružnicu (SI. 1.397.).
VI
Odredimo tačku M na y-osi kojoj odgovara broj — • Tačkom M povucimo pravu paralelno sa x-osom. SI.1.397. Ovći prava siječe trigonometrijsku kružnicu u JI tačkama A i B.Tački A odgovara skup brojeva —+2kK,k e Z , a tački B JI odgovara skup brojeva K - — + 2 k n ,k e Z .Svi brojevi koji odgovaraju (manjem) luku AB pripadaju skupu rješenja date nejednačine: K 71 _ — 1-2kn < x < n ----- vlkn, k e Z 3
3
Riješiti date trigonometrijske nejednačine (nejednadžbe): l.398.sinx> 0
[.399. sin x < 0
1.401. sinx <
1.402. sinx > -
1.400. sinx > — 2 1
1.403. sinx > 2 35
1.404. sinx <
VI
1.405. sinx >
VI
1.406. sinx <
VI
1.407. Riješiti trigonometrijsku nejednačinu cosx > —. Rješenje:Odredimo na trigonometrijskoj kružnici tačke kojima odgovaraju brojevi sa kosinusom — (S1.1.407).Neka su to tačke M i N.Tački M odgovara 7V
TC
skup brojeva —+2kn , a tački N skup brojeva -—+2kn , keZ.Datu nejednačinu zadovoljavaju brojevi kojima odgovaraju tačke kružnog luka NAM.Skup svih x ovih brojeva je: x |- — +2kn < x <— +2kn,k e Z 1
3
3
što predstavlja opće rješenje posmatrane nejednačine. Riješiti date trigonometrijske nejednačine (nejednadžbe) 1.410. cosx > VI
1.408. cosx > 0
1.409. c o sx < 0
1.411. cosx < — 2
1.412. cosx > —
1.413. cosx > -3
1.414. cosx < —
F) 1.415. cosx> —
1.416. cosx<
2
2
2
VI 2
1.417. Riješiti nejednačinu tg x < 2 . Rješenje:Neka je M tačka na osi tangensa (t) kojoj odgovara broj 2.Prava koja sadrži tačku M i prolazi koordinatnim početkom siječe trigonometrijsku t lj/l(2) kružnicu u tačkama P i Q. Tački P odgovara skup brojeva arctg2+2k7c , a tački Q skup brojeva arctg2+(2k + l)7T.Kako je funkcija y=tgx negativna za sve vrijednosti varijable x iz drugog i četvrtog kvadranta,to su svi realni brojevi kojima odgovaraju tačke na trigonometrijskoj kružnici u drugom ili . 1.417. čertvrtom kvadrantu,rješenja date nejednačine.Datu nejednačinu zadovoljavaju još i brojevi između 0 i arctg2, odnosno, između n i arctg2+7i.
36
Opće rješenja date nejednačine je podskup skupa realnih brojeva M dat na slijedeći način:
M = - j x e R \ - ^ + k n < x < arctg 2 + kn, k& Z j - .
Riješiti date nejednačine (nejednadžbe): 1.418. tgx> -l 1.419. tgx > --JŠ
1.420. tgx < -1
1.421. tg2x< l 1.422. tg(x+l)>V 3 1.424. sinx > cosx 1.425. cosx - sinx < 0 1.427.Riješiti nejednačinu ctg2x < VŠ. Rješenje: Na osi kotangensa (k) odredimo tačku M
1.423. tg(x-l) < - VŠ 1.426. sinx+cosx>0
kojoj dgovara broj -JŠ .Neka prava koja sadrži tačku M i koordinatni početak siječe trigonometrijsku kružnicu u tačkama P i Q (SI. 1.427.) Skup brojeva kojima odgovaraju tačke kružnih lukova PBC i QDA predstavljaju skup vrijednosti od 2x, pa vrijedi 51.1.427. —+ k;r < 2x < n+kn, ke Z , odnosno, —+ krc < x < —+ — , ke Z , 3
6
2
2
Riješiti date nejednačine (nejednadžbe): 1.428. ctgx > 1
1.429. ctgx < 1
1.430. ctgx>
1.431. ctg(2x+l) < 1
1.432. ctg(3x+l) > - V3
1.433. ctg(x-l)< 3
1.434. sin4x + cos4x < — 4
1.435. cosx < sin2x
■Jl 1.437. 2 sinx cosx < —
1.439. tg(7t- x ) < - l
2
1.440. Isinxl < —
1.436. 2 sin (^ - - x)
1.441. sinx > cosx
1.442.
cosx > sin x 1.18. Sistemi (sustavi) trigonometrijskih jednačina (jednadžbi) sa dvije nepoznate cosx + cosy = -v/3 1.443 .Riješiti sistem jednačina:
K
x +y =—
37
K Rješenje: Iz druge jednačine imamo: y = — - x , pa uvrštavanjem u prvu dobivamo jednačinu sa jednom nepoznatom. <=> cosx + eos — cosx + sin— sinx = -J3 3 3
cosx + cos(— - x) = V3 3
1------------------- . /r 3 V3 . rz <=> cosx+ — c o s x + ---- sinx= V-3 <=> — cosx + ---- sinx= V3 2 2 2 2 V3 <=>---- cosx + 2 = 1 7t => x ---- =
6
1 . K . 7 1 . , Tt — sinx = 1 <=> eos— cosx + sin— sinx = 1 <=> cos(x----- ) 2 6 6 6
2kn , ke Z,
=>
x = — + 2krc , y = — - 2kn , ke Z.
6
6
1.444.Riješiti sistem jednačina sin(x+y)=0 , sin(x-y)=0 pri čemu x i y zadovoljavaju relacije: 0 < x < tc, 0 < y < 7t . Riješiti dati sistem trigonometrijskih jednačina (jednadžbi): i cos(x + y) = 0 1.445. \ [x - y - 0
i sin(x + y) = 0 1.446.
1.447.
[sin(x - y) = 0
f sinx + cosy - 1 K x +y = •
[cosx cosy = 0,75
1.448.
Is in x sin y = - 0 ,2 5
í sinx siny = 0,75 ísinx + cosy = l 1.449. 1 1.450.J 3 [tgx tgy = 3 \c o s 2 x - cos2y = 1 cosx cosy =
1.451.
1
sinx + cosy = 0
1.452. s in 2 x + c o s 2 y =
tgx + tgy = 2 í tgx + tgy = 3 1.453. \
[3tg(x-y) = \
38
siny
1.454. |2 ( x + >0 =
k
II
POVRŠINA GEOMETRIJSKIH FIGURA U RAVNI
Pregled osnovnih formula za površinu nekih ravnih figura: FORMULA Elementi koji ulaze u NAZIV FIGURE formulu _ , „ d1 sina P =ab, P=---------PRAVOUGAONIK b 2 (PRAVOKUTNIK) a PARALELOGRA M
P=ah , P=absina a C p_ “K b /
TROUGAO (TROKUT)
_ bh„ _ chc
2
h b \\ ~N A B A c unutrašnji uglovi a + b +c , ,. S= ---- ------- poluobim
2
p _ aZ>sin 7 2
_ acsin (5
bc sin a
2
r-radijus upisane kružnice R-radijus opisane kružnice
Jednakostraničan TROUGAO Pravougli trougao
a - stranica
2
2
Heronova formula P = i]s(s ~a)(s ~ b)(s ~ c) n n abc P -rs; P - —
p_ ° 2V3 4
ab P= — 2
a b
R O M B
-X;d2
P - a 2sina, ? - d'dl 2
a-stranica; di,d2-dijagonale a - ugao među stranicama 39
2.1.Površina pravougaonika jednaka je proizvodu dužina dviju njegovih susjednih stranica. Dokazati! 2.2.0 drediti površinu pravougaonika ako su mu poznate dužine stranica a i b: a) a=l 0 cm, b=5 cm b) a=8 cm, b=6 cm c) a=25 , b=4 cm
40
2.3.Izračunati površinu kvadrata ako je data dužina njegove stranice a: a) a=4 cm b)a= 10cm c)a= 15m 2.4.Date su stranica i dijagonala d pravougaonika.Izračunati površinu: a) a=6 cm, d=10 cm b) b=5 cm, d=l 3 cm c) a=21 , d=29 cm 2.5.Poznata je dužina d dijagonale kvadrata.Odrediti površinu kvadrata ako je:a)d=5"\/2 cm b)d=10-\/2 cm c)d=Fl5V2 m 2.6.. Data je površina P kvadrata.Odrediti dužinu stranice i dijagonale, a) P=64 cm2. b) P= 25 cm2. c)P=100cm 2. 2.7. Poznata je dužina jedne stranice i obim O pravougaonika.Odrediti površinu pravougaonika ako je: a) a=6 cm, 0=18 cm b) a=21 cm, 0=60 cm c) b=7 m , 0=40 m 2.8. Površina pravougaonika je P=18 cm2,a dužina jedne njegove stranice je b=3 cm. Odrediti dužine druge stranice i dijagonale pravougaonika. 2.9. Stranice pravougaonika odnose se kao 12:5, a njegov obim je 68. Izračunati površinu i dužinu dijagonale pravougaonika. POVRŠINA PARALELOGRAM A 2.10. Površina paralelograma jednaka je proizvodu dužina njegove stranice i visine na tu stranicu.Dokazati! 2.11 .Poznata je dužina jedne stranice paralelograma i visine h na tu stranicu. Odrediti površinu paralelograma ako je: a) a=6 cm, h=4 cm b) a=l 0 cm, h=3 cm c) b=60 , h=2 cm 2.12.Udaljenost dviju paralelnih stranica paralelograma je 12 cm, a dužina svake od ovih stranica je 10 cm.Izračunati površinu paralelograma. 2.13.Paralelogram ABCD ima dužinu stranice AB =12 i dijagonale
AC =12.Vrh D udaljen je od dijagonale AC je 4. Koliko je rastojanje vrha D od prave AB? 2.14.Visina' rom baje h=10,a oštri ugao a=30°.Izračunati površinu romba. 2.15.Dijagonala rom baje d=15,a visina je h=12.Kolika je površina romba? 2.16.Površina pravougaonika je 144 m2,a njegove stranice se odnose kao v ^4:9. Odrediti stranice pravougaonika. 2.17.Površina pravougaonika je 10 m2,a obim je 14 m.Kolike su stranice? 2.18. Jedna stranica pravougaonika je 9 cm,a druga je za 3 cm manja od dijagonale.Izračunati dijagonalu i površinu pravougaonika. 2.19.Razlika dijagonale i stranice kvadrata je 2 m.Odrediti površinu kvadrata. 2.20.U pravougli trougao s katetama a i b je upisan kvadrat tako da im je vrh pravog ugla zajednički.Kolika je površina kvadrata? 1 O v d j e p o d " v i s i n o m " p o d r a z u m i j e v a m o n j e n u dužinu.
41
2.21 .Obim romba je 2.Dužine njegovih dijagonala odnose se kao 3:4. Odrediti površinu romba. 2.22.Površina paralelograma je 144 m2,a njegove visine jednake su 8m i 12 m. Odrediti obim paralelograma. 2.23.Naći površinu kvadrata upisanog u jednakostranični trougao čija je stranica a. 2.24.Kolika je visina romba čije su dijagonale 16 i 12 m? POVRŠINA TROUGLA (TROKUTA) 2.25.Površina trougla jednaka je polovini proizvoda dužina njegove stranice i visine koja odgovara toj stranici.Dokazati! 2.26.Izračunati površinu trougla ako je dato: a) a=6 cm, ha=8 cm b) a=10 cm, ha=2 cm c) b=8 m, hb=4 m 2.27.Izračunati površinu pravouglog trougla ako su poznate dužine kateta: a) a=12 cm, b=4 cm b) a=20 cm, b=5 cm c) a=4 m, b=9 m 2.28.Hipotenuza pravouglog trougla je c,a kateta b.Odrediti površinu: a) c=29 m, b=20 m b) c=13 cm, b=5 cm c) b=15 ,c=17 cm 2.29.Izračunati površinu jednakokrakog trougla osnovice a i kraka b: a) a=10 cm, b=13 cm b) a=40 cm, b=29 cm c) a=16, b=l 0 m 2.30.Izračunati površinu jednakokrakog trougla čija je osnovica a=12 cm, a visina na osnovicu jednaka rastojanju sredina osnovice i kraka. 2.31.Dvije stranice trougla su a=10 i b=8.Visinaje ha=2.Izračunati visinu hb. 2.32.Površina trougla jednaka je proizvodu poluobima i radijusa njemu upisane kružnice.Dokazati. 2.33.Obim trougla je 2s, a radijus upisane kružnice r.Odrediti površinu trougla ako je: a) 2s=12 cm, r=l cm b )2 s = 4 2 , r = 4 c)2 s = 3 0 , r = 2 2.34. Katete pravouglog trougla su a=12 m i b=12 m.Odrediti radijus upisane kružnice. 2.35. Sredine dviju susjednih stranica kvadrata spojene su sa četvrtim vrhom.Kolika je površina dobivenog trougla,ako je stranica kvadrata a? 2.36.Dokazati da za površinu trougla vrijedi formula: P = J s(s- a)(s - b)(s - c ) , gdje su a,b i c stranice, a s = a + ^ + c poluobim trougla (Heronova formula). 2.37. Date su stranice a, b i c AABC. Izračunati njegovu površinu ako je: a) a=39 cm,b=42 cm i c=45 cm b) a=13 cm,b=14 cm ic= 15cm 2.38.Stranice trougla su a=32 cm,b=18 cm i c=22 cm.Izračunati : a) visinu ha. b) visinu hb. c) visinu hc. 2.39. Stranice trougla su 26, 28 i 30. Odrediti radijus R opisane i radijus r upisane kružnice. 42
2.40. Stranice trougla su 25,29 i 36 cm. Odrediti radijuse upisane i opisane kružnice. 2.41.Date su stranice trougla:a=21, b=?17 i c=10.Izračunati: a) površinu trougla, b) sve tri visine, c) radij us opisane kružnice, d) radij us upisane kružnice . 2.42.Površina trougla ABC jednaka je 12 cm2.Njegove težišnice AD i BE sijeku se u tački O.Kolika je površina trougla AOE? 2.43. Izračunati površinu trougla ako su date dvije stranice i njima zahvaćeni ugao: a) b= 12, c=54 , a = 30° b) a=8 , b=15 , y = 60° c) a=10, c=12, p = 150° d) b=16, c=l 1 , a = 145° 2.44. Ako su dvije stranice trougla 3 cm i 8 cm, može li površina tog trougla biti: a) 10 cm2 b) 15 cm2 c) 12 cm2? 2.451 Dvije stranice trougla su a=7 ,b=9 i površina P=12 VŠ .Odrediti c. 2.46.Dijagonale paralelograma su 112cm i 78 cm,a manja stranica je 25 cm. Kolika je površina paralelograma? 2.47.Jednakokraki trougao ima osnovicu a=6 i krak b=5.Naći radijuse upisane i opisane kružnice. 2.48.*Neka je hipotenuzina visina pravouglog AABC jednaka h i neka se odsječci p i q na koje ova visina dijeli hipotenuzu razlikuju za m (p-q=m). Izračunati površinu AABC. 2.49. U pravouglom AABC , CA=b i CB=a su katete, CH je visina, AM je težišnica. Odrediti površinu ABMH. 2.50. Odrediti površinu pravouglog trougla ako njegova visina dijeli hipotenuzu na dijelove 32 i 18? 2.51. Težišnica pravouglog trougla jednaka je m i dijeli pravi ugao u omjeru 1:2. Izračunati površinu trougla. 2.52. Izraziti površinu jednakostraničnog trougla kao funkciju: a) od njegove stranice a b) od njegove visine h. 2.53.Izračunati površinu jednakostraničnog trougla ako je poznato: a )a = 12cm b) a=16cm c)h = 8 -\/3 cm 2.54. Izračunati površinu jednakostraničnog trougla ako je zbir stranice i visine 14+7 f i . 2.55. Obim jednakokrakog trougla je 36 m,a dužina visine koja odgovara osnovici je 12 m. Izračunati površinu trougla. 2.56.Katete pravouglog trougla su a i b.Kolika je visina koja odgovara hipotenuzi? 2.57.Izraziti visine ha, hb i hc trougla pomoću njegovih stranica a,b i c. 2.58.U AABC poznate su stranice AB =13 cm, B C =15 cm i AC =14 cm. 43
Izračunati dio površine trougla zatvoren težišnicom i visinom povučenim iz vrha B. 2.59.* Izračunati radijus kružnice upisane u jednakostranični trougao čija je dužina težišnice t = 1. 2.60.* Izračunati površinu trougla ako su njegove dvije stranice a=27 cm, b=29 cm, a težišna linija prema stranici c je tc=26 cm. 2.61.* Odrediti vezu između težišnice ta i stranica a,b i c trougla. 2.62.* Izračunati težišnice trougla čije su stranice: a) a=l lcm,b=T2cm,c=13cm b) a=10 cm,b=15 cm, c=18 cm 2.63.* Izračunati stranicu b trougla u kome je zadano a=4, c=5 i tc= -j . 2.64.* U trouglu je a=60m ,pripadna visina ha=T2m i pripadna težišnica ta=13cm. Izračunati nepoznate stranice. 2.65.* Stranice trougla su 55 m, 55 m i 66 m. Odrediti površinu trougla čiji su vrhovi podnožja bisektrisa uglova datog trougla. 2.66..* U AABC date su stranice AB=13 m,BC=15 m i AC=14 m. Iz vrha B povučene su visina BH,bisektrisa BD i težišnica BM.Odrediti: a) Površinu ABHD, b) Površinu ABMD, c) Površinu ABHM. 2.67.* Izračunati površinu trougla čije su dvije stranice a=10 m I b=12m i bisektrisa koja odgovara trećoj stranici lc=8 m. 2.68. U trougao čije su stranice 16 m, 30 m i 34 m upisana je kružnica. Odrediti površinu trougla čiji su vrhovi tačke dodira kružnice. 2.69.* Dokazati da za stranice a, b i c i površinu P trougla vrijedi p i ^ abc(a + b + c) 16
2.70.Dati su stranica c AABC i uglovi a i 13 na njoj.Izračunati površinu . 2.71 Ako su a,B i y uglovi trougla i a odgovarajuća stranica,dokazati da za .
.. .. -
.
_
a 2 sin B sin y
površinu trougla vrijedi formula: P = --------------- . 2 sin a
POVRŠINA TRAPEZA 2.72. Dokazati daje površina trapeza jednaka je proizvodu poluzbira dužina njegovih osnovica i dužine visine. 2.73. Izračunati površinu trapeza čije su osnovice a i c i visina h, ako je:, a) a=5, c=3, h=2 b) a=8, c=2, h=6 c) a=12, c=8, h=5 2.74.Izračunati površinu jednakokrakog trapeza ako su date njegove osnovice a i c i krak b: a)a=16, c=4, b=10 b) a=50, c=8, b=29 c) a=130, c=4, b=65 2.75. Izračunati površinu trapeza čije su osnovice a i c, a kraci b i d : a) a=60, c=20, b=13,d=37 b) a=20, c=6, b=15, d=13 c) a=36, c=4, b=25, d=29 d) a=16, c=3, b=14, d=15
44
2.76. Osnovice jednakokrakog trapeza su a=14 i c=8,a površina je P=44. Odrediti krak b. 2.77. U jednakokrakom trapezu dijagonale su uzajamno normalne,a visina je jednaka h. Kolika je površina trapeza? 2.78. U jednakokrakom trapezu dužine osnovica su 42 i 54 cm,a ugao pri većoj osnovi je 45°. Izračunati površinu trapeza. 2.79. U jednakokrakom trapezu dužine osnovica su 51 i 69 cm,a dužina kraka je 4 lem. Izračunati površinu trapeza. 2.80. Izračunati površinu jednakokrakog trapeza čije su dijagonale uzajamno normalne, a osnovice imaju dužine 12 i 20 cm. 2.81. Osnovice trapeza imaju dužine 142 i 89 cm,a njegove dijagonale 120 i 153 cm. Kolika je površina trapeza? 2.82. Dijagonale trapeza imaju dužine 20 i 15 cm,a njegova visina je 12 cm. Odrediti površinu trapeza. 2.83. Date su stranice trapeza a=30,b=15,c=16 i d=13.Stranice a i c su osnovice.Izračunati:a) Površinu trapeza, b) Dijelove trapeza na koje srednja linija dijeli trapez. 2.84.*Dijagonale trapeza su 3 m i 5 m,a duž koja spaja središta osnovica je 2 m. Izračunati površinu trapeza. 2.85.* Dvije prave paralelne sa osnovicama trapeza dijele njegove krake na tri jednaka dijela i trapez na tri trapeza.Izračunati površinu srednjeg trapeza, ako su površine krajnjih P] i P2. 2.86.* Paralelne stranice jednakokrakog trapeza su a=24cm i c=10cm, a visina iznosi 17cm.Izračunati radijus kružnice opisane oko trapeza. 2.87. Površina četverougla koji ima normalne dijagonale jednaka je polovini proizvoda dužina njegovih dijagonala.Dokazati! 2.88.Dvije stranice deltoida su a=13 i b=20.Dijagonala deltoida koja nije na osi simetrije je dj=24. Odrediti površinu deltoida. 2.89. Dvije stranice deltoida su 8 i 6 m,a ugao između njih je 150°.Izračunati površinu deltoida. 2.90.*Jedan kvadrat stranice a nastaje rotacijom drugog kvadrata oko njegovog vrha za 45°.Kolika je zajednička površina ovih kvadrata? 2.91 .Ako su di i d2 dijagonale četverougla koje zaklapaju ugao oc,dokazati da di . za površinu četverougla vrijedi formula: P=—^ -= -sin a. 2.92.Date su dijagonale dj i d2 četverougla i ugao a među njima.Odrediti površinu četverougla ako je: a) di =12 cm , d2 =8 cm, a=30° b) di=15 cm,d2 =28 cm, a=135°. 2.93. Dijagonale četverougla imaju dužine 10 i 20 m,a ugao među njima je 60°. Odrediti površinu četverougla čiji su vrhovi središta stranica datog četverougla. 45
2.94. Dijagonale konveksnog četverougla su a i b.Duži čiji su krajevi središta suprotnih stranica četverougla su jednake.Odrediti površinu četverougla. 2.95.Od kvadrata stranice a odrezani su vrhovi tako da se dobio pravilni osmougao. Kolika je površina ovog osmougla? 2.96.* U krug radijusa R upisan je kvadrat i jednakostranični trougao koji imaju zajednički vrh.Izračunati površinu zajedničkog dijela kvadrata i trougla. 2.97.* Na stranici AB trougla ABC uzeta je tačka M tako d aje A M =3 MB , a na stranici AC tačka N tako da vrijedi 2 A N = NC .Površina trougla je m. Izračunati površinu četverougla MBCN. 2.98.* Stranice paralelograma su a i b, a njima zahvaćeni ugao je a. Bisektrise uglova ovog paralelograma grade četverougao.Izračunati površinu tog četverougla. 2.99* U paralelogramu se nalaze dva kruga radijusa r=l cm koji se međusobno dodiruju i svaki dodiruje tri stranice paralelograma.Poznato je daje rastojanje jednog vrha paralelograma od tačke dodira sa kružnicom VŠ cm. Izračunati površinu paralelograma. 2.100. Odrediti površinu kruga ako je dužina kružnice (obim) jednaka 8 m. 2.101. Odrediti dužinu kružnice (obim) ako je površina odgovarajućeg kruga jednaka 1671 m2. 2.102. Odrediti površinu kružnog isječka radijusa R čiji je luk 67°30'. 2.103. Koliki je radijus kružnog isječka ako je njegova površina P i centralni ugao 72°? 2.104.Izračunati površinu kružnog odsječka ako je njegov radijus R i luk od 60°. 2.105. U kružni odsječak čiji je luk 120° i visina h, upisan je pravougaonik ABCD, tako da vrijedi AB:BC=1:4 , pri čemu se tačke B i C nalaze na tetivi. Izračunati površinu pravougaonika. 2.106. Stranice trougla su 13 cm, 14 cm i 15 cm.Odrediti površinu kruga upisanog u ovaj trougao i površinu kruga opisanog oko njega. 2.107. Kako se odnose površina opisanog i upisanog kruga u jednakostranični trougao? 2.108.* Svaki vrh pravilnog šestougla stranice a je središte kružnice radijusa ,¡2 - y - . Izračunati dio površine šestougla koji je izvan kružnica. 2.109.* Oko trapeza opisana je kružnica.Osnovica trapeza obrazuje sa krakom ugao a, a sa dijagonalom ugao B.Odrediti odnos površina kruga i trapeza. 2.110. U kružnicu je upisan kvadrat stranice a.Kolika je stranica kvadrata koji je upisan ujedan od nastalih kružnih odsječaka? 2.11 l..*Izračunati površinu kruga koji je upisan u kružni isječak površine 6n cm2 sa centralnim uglom 60°. 46
2.112.* U jednakostranični trougao stranice a upisan je krug.Drugi krug čiji je radijus jednak polovini stranice trougla opisan je oko jednog vrha. Odrediti odnos površina presjeka krugova i trougla. 2.113.* Nad stranicom a jednakostraničnog trougla kao nad prečnikom, konstruisanaje kružnica. Odrediti površinu onog dijela trougla koji je izvan kružnice. 2.114. Stranica jednakostraničnog trougla je a.Oko njegovog težišta je opisana kružnica radijusa
.Odrediti površinu onog dijela trougla koji
leži izvan kruga.
47
III
ANALITIČKA GEOMETRIJA U RAVNI (tačka i prava) NEKE OSNOVNE FORMULE : TAČKA I PRAVA
Rastojanje d između tačaka A(xi,yi) i B(x2,y2): A B = d = ^(x, —.X,) + (y2
Podjela duži A(xi,yO i B(x2,y2) tačkom M(x,y) tako da vrijedi A M : M B = X xi+Xx2 yi+Xy2
x
i+ x
’
y
\+X
Koordinate sredine S(x,y) duži A(xi,yi), B(x2,y2): xi+x2 x=-
yi+y2
Površina trougla P ako su poznate koordinate vrhova A(xi,yi), B(x2,y2) i C(x3,y3) 2P = Ix 1(y2-y3)+x2(y3-yi)+x3(yry2) I . __________________ JE D N A Č IN A PRAVE: IMPLICITINI (OPĆI) OBLIK: Ax+By+C=0 , A,B,C - realni brojevi EKSPLICITNI (GLAVNI) OBLIK: y=kx+n , k=tga-koeficijent pravca prave, n-odsječak koji prava gradi na y-osi s. y y i1 / / p (n X 0 m ya^) _ / tT o n / SEGMENTNI OBLIK : — + — = 1 , m-odsječak koji prava gradi na x-osi m n n-odsječak koji prava gradi na y-osi NORMALNI (HESSEOV) OBLIK: x-coscp+y sin
Ugao (kut) a između dviju pravih y=kix+ni, y=k2x+n2 k2-k] tg a = ----------, l+k2k]^0 l+k2ki 48
ili ili
Aix+Biy+Ci=0, A2x+B2y+C2=0 A[B2 - A2B j t g a = ----------------- , A]A2 + B)B2^0 . Aj A2 + B[B2
Uvjet (uslov) paralelnosti dviju pravih y=kix+ni , y=k2x+n2 ili Aix+Biy+Ci=0, A2x+B2y+C2=0 k i= k2 ili A]B2 = A2B i Uvjet (uslov) okomitosti (normalnosti) dviju pravih y=k]X+ni , y=k2x+n2 ili A]X+Biy+Ci=0, A2x+B2y+C2=0 k2 = —ik\
ili
A]A2 + B[B2 = 0 .
Uvjet (uslov) da tri tačke A(x,,yi), B(x2,y2) i C(x3,y3) budu kolineame: xi(y 2 -y3 )+x2(y3-y1)+x3(y1-y2) = 0 Jednačina prave koja prolazi tačkama A(i,y,) i B(x2,y2): x-xi y-yi y2-yi ---------- = ------ili y - y i = -------- (x-x,). x2-xi y2-yi______________x2-x,________ Jednačina prave koja prolazi tačkom A(xt,yi) paralelno sa datom pravom y=kx+n, (Ax+By+C=0): y-y, = k(x-xO ili A(x-x,)+B(y-y,) = 0 . Jednačina prave koja prolazi tačkom A(xi,yi) normalno na datu pravu y=kx+n, (Ax+By+C=0):
y-yi = --j-(x -x ,)
ili
A(y-yi)-B(x-X!)=0.
Rastojanje tačke M(xo, y0) od prave Ax+By+C==0 računa se po formuli d=
A x 0 + B y0 + C (-sg n C } j A 2 + B 2
Transformacije koordinata: Translacijom koordinatnog sistema xOy za vektor 00 ',g d je tačka O ’ ima koordinate 0'(a,b), veze između koordinata u (x,y) u starom i koordinata (x',y') u novom kooordinatnom sistemu, date su jednačinama: x=x'+a , x'=x-a y=y'+b , y'=y-b Rotacijom koordinatnog sistema oko koordinatnog početka za ugao a veze između koordinata date su jednačinama: x = x’cosa-y'sinoc , x' = xcosa+ysina y = x'sina+y'cosa , y' = -xsina+ycosa 49
T A Č K A 3.1. Tačke A (-l,4) i C(3,-7) su suprotni vrhovi kvadrata.Izračunati površinu kvadrata. Rješenje: Duž AC čija je dužina AC =d, je dijagonala kvadrata.Površina kvadrata je P = - y .
AC = d = -J{x2 -* ,)2 +{y2 -y ,)2 =^{xc - x Af +{yc - y Af =
= ^(3 + l)2 + ( - 7 - 4 ) 2 = V16 + 121 = Vl37 . P =
=
=
3.2. Pokazati d aje trougao čiji su vrhovi A (l,l), B(2,3) i C(5,-l) pravougli. Rješenje: Izračunavanjem dužina stranica trougla a,b i c provjeravamo da li vrijedi Pitagorina teorema: a = B C = V(5“ 2)2 + ( ~ 1 - 3)2 = 5 ;
b = A C = V (5 -l)2 + ( - l - l ) 2 = l4 Š ;
c = A B = V (2 -l)2 + (3 -l)2 = VT+4 =VŠ. Kako je a2 =25 =20+5= b2+c2 , to je AABC pravougli sa pravim uglom kod vrha A. 3.3. Izračunati površinu trougla čiji su vrhovi M(-l,2), N(8,-2), P(4,5). Rješenje: Uzmimo vrhove trougla upravo onim redom kako su dati i primijenimo formulu PaABc= | | [ x , ( y 2 - y 3) + x 2( y 3 - y 1) + x 3 ( y 1 - y 2)]| =
= | | - l ( - 2 - 5 ) + 8 (5 -2 ) + 4(2 + 2 )|= ^ |7 + 24 + 16| = 1 - 4 7 = y 3.4.Dati su vrhovi četverougla A(-3,12),B(3,-4),C(5,-4) i D(5,8).Odrediti u kojem odnosu njegova dijagonala AC dijeli dijagonalu BD. Rješenje: Ako se dijagonale AC i BD sijeku u tački M(x,y),tada vrijedi: . xa+A,xc xb+X'xd -3+5A. 3+5A.' x = ----------= ---------- = > ----------- = ---------- => X - 4X' - 3 = 0 . 1+A, 1+X,' 1+A, 1+X,’ yA+Xyc
yB+^'yD
12-4A. -4+8A.' => --------- = ---------- => r - 3 U ’ + 4 = 0 . \+X \+X'
\+X \+X' Rješavanjem sistema X - 4X' - 3 = 0 X - 3XX'+4 = 0
50
dobijamo A.- ^ . Znači dijagonala AC dijeli dijagonalu BD,računajući od tačke B,u odnosu 1:3. Predstavi u koordinatnom sistemu date tačke: 3.5..a)A (2,0),B(-5,0),C (0,3),D (0,-4) b) A(l,5), B(5,-2),C(3,-3). 3.6..a) A(-5,3), B(-2,-l), C(-2,6), D (-l,-l)
b) A(3,-5), B(5, V2 ),F(-V 2 ,3)
Odredi koordinate tačaka koje su simetrične,s obzirom na y-osu, datim tačkama: A(4,5), B(3,5), C(7,0) i D(4,8) b) A(-2,5), B(-3,l),C(-7,4). 3.8. a) A(0,5), B(5,0), C(3,3) i D(-4,-4) b) A(0,0), B(2,1), C(-7,-7). Koje tačke su simetrične datim tačkama u odnosu na x-osu: 1 A(5,-2), B(-3,7), C (2,l) i D(-l 1,21) ? b) A(5,0), B(3,17), C(-22,14)? 3.10. a) A(0,2), B (3,4), C(22,-l) i D (-l,l) ? b) A(0,0), B (7 ,l), C(-2,-4)? Odrediti dužinu duži čiji su krajevi date tačke: 3.11. a) A(-3,2), B(5,-4) b) A(-5,-2), B(7,3) 3.12. a) A (6,0), B(0,8) b) A (0,-4), B(3,0) 3.13. a) A (-l,-2 ), B(-4,-6) b) A( V Š, 11), B(0,4)
c) A (l,2 ), B(4,6) c) A(-20,0), B(0,21) c) A(-VŠ ,-2), B(0,6)
Odrediti dužine stranica trougla čiji su vrhovi date tačke: 3 j i ? a ) A(-3,0), B(0,4) i C(0,0). b) A(-6,0), B(3,4) i C(-l,-3). a) A(-3,3), B(6,15) i C(0,7) $)) A(2,l), B(5,-4) i C(l,-6). 3.16.Kolike su dijagonale četverougla sa vrhovima : A(-5,-7), B(9,-4), C( 15,14) i D(l,2)? ("$ Jj^fzračunati obim trougla čiji su vrhovi A(-4,-3), B(8,2) i C(5,6). 3.18.Susjedni vrhovi kvadrata su A(3,-7) i B(-1,4).Kolika je površina kvadrata? 3.19.Suprotni vrhovi kvadrata su M(3,5) i N(l,-3).Odrediti površinu kvadrata. 3.20.Stranica romba je a=5 - J l , a dva njegova suprotna vrha su A(4,9) i C(-2,l). Izračunati površinu romba. 3.21.Dva vrha jednakostraničnog trougla su A(-3,2) i B(l,6).Odrediti površinu trougla. 3.22.Dokazati da su tačke A(2,2),B(-l,6),C(-5,3) i D(-2,-l) vrhovi kvadrata. 3.23.Vrhovi trougla su A(5,0),B(0,1) i C(3,3).Odrediti uglove trougla. 3.24.Vrhovi trougla su A(-VŠ ,1),B(0,2) i C(-2 VŠ ,2).Odrediti ugao a. 3.25).a) Na x-osi naći tačku koja je udaljena od tačke A(2,-3) za 5 jedinica. -b) Na y-osi naći tačku koja je udaljena od tačke B(3, 5) za yf\3 jedinica. V3.26J Koja tačka x-ose je jednako udaljena od tačaka M(7,-4) i N(l,-2)? 51
3.27. Vrhovi trougla su A(-3,-2),B(0,-8) i C(5,y).Odrediti koordinatu y pod uslovom d aje trougao pravougli sa pravim uglom u vrhu A. 3.28,Odrediti središte pravilnog šestougla čija su dva susjedna vrha A(2,0) i B(5,3VŠ). 3.29.Tačke A(8,-3) i C(10,l 1) su suprotni vrhovi romba.Dužina stranice romba je A B = 10.Odrediti koordinate vrhova B i D. 3.30.Odrediti koordinate tačke M(x,y) koja je jednako udaljena od tačaka A(-l,-3), B(-4,6), C(3,-l) i naći to rastojanje. 3.31.Izračunati radijus i koordinate središta kružnice koja prolazi tačkom M (2,-l) i dodiruje obje koordinatne ose. Odrediti koordinate sredine duži duži čiji su krajevi: 3.32.» A(-l,-2), B(5,4) b) A(8, 5), B( 12,-3) c) A(-7,-6), B(l,10) 3.33.a) M(21,-14),N(11,6) b) A(-8, 3), B(2,-3) c) A(9,3), B(11,-5) 3.34. Odrediti koordinate središta stranica trougla čiji su vrhovi: a)A (4,l), B(2,3) i C(6,9). b) A(-l,5), B(3,7) iC (ll,-1 5 ). 3.35.Tačke A'(2,-1),B'(-1,4) i C'(-2,-2) su središta stranica AABC. Odrediti ...__koordinate vrhova . 3.36.Vrhovi trougla su A(-3,0), B(3,8) i C(13,-8).Odrediti dužine njegovih srednjih duži. 3.37.Vrhovi trougla su A(l,4), B(3,-9) i C(-5,2).Kolika je dužina težišnice tb? 3.38:lzračunati dužine svih težišnica trougla čiji su vrhovi: apA(5,0), B(-3,4) i C(l,10). b)A (l,6), B(3,-2) i C(-5,8). 3.39.Tačka S je središte duži AB.Odrediti koordinate nepoznate tačke ako je poznato: a) A(4,2), S(3,l) b) B(8,-5), S(6,-2) c) A (-3,-7), S(-4,3) 3.40.Date su tačke A(3,-l) i B(2,l).Odrediti koordinate tačke M koja je simetrična tački A u odnosu na tačku B. 3.41 .Odrediti koordinate tačke P koja je simetrična tački B u odnosu na tačku A. (Tačke A i B su iz prethodnog zadatka.) 3,4Ž.Tri vrha paralelograma su A(4,2),B(5,7) i C(-3,4).Odrediti koordinate vrha D koji je nasuprot vrhu B. 3.43.Tri vrha paralelograma su A(2,3),B(4,-1),C(0,5).Odrediti koordinate njegovog četvrtog vrha. Date su tačke A i B,odrediti koordinate tačke M koja datu duž dijeli u omjeru X: 3.44.a) A (-l,5 ), B(8,-10), X=AM : M B =2 b) A(4,2), B(-l,3), A M : MB=1:3 3.45.a) A (6,-2), B(-3,5), A.= AM :M B = 5 b) A(5,-6),B(-2,10),X= A M : M B=2:3 346.a)A(-3,-2),B(9,10)A= AM : M B=5:7 b)K(3,-2),B(9,8)A= A M : M B = 6:5. 52
3.47.*Vrhovi trougla su A(xi,yi), B(x2,y2 ), C(x3,y3).Odrediti koordinate njegovog težišta T(xT,yi). Odrediti koordinate težišta trougla ako su poznate koordinate njegovih vrhova: 3.48.a) A(2,-l), B(-3,7), C(13,3) b) A(-l,2), B(9,4), C(7,12) 3.49.a) A( 1,1), B(-9,9), C(-l,2) b) A(3,5), B(2,7), C(12,-3) 3.50.a)A (3,l),B (l,4),C (8,10) b) A(0,1), B(l,2), C(2,3) 3.51.Vrhovi trougla su A(5,-l),B(-3,0),C(7,13).Koliko je rastojanje težišta trougla od koordinatnog početka? 3.52.Dva vrha trougla su A(8,-6) i B(6,9),a težište je T(4,2).Naći dužinu stranice BC. 3.53,Odrediti koordinate tačaka koje duž čiji su krajevi A( 1,-3) i B(4,3),dijele na ^ tri jednaka dijela. 3.54'.Vrhovi trougla su A(2,-5),B(l,-2) i C(4,7).Odrediti koordinate tačke presjeka simetrale ugla iz vrha B i stranice AC. 3.55.Vrhovi trougla su A(3,-5),B(-3,3) i C(-l,-2).Odrediti dužinu simetrale ugla iz vrha A. 3.56)Vrhovi trougla su A(3,-5),B(l,-3) i C(2,-2).Odrediti dužinu simetrale njegovog vanjskog ugla iz vrha B. 3.57.Date su tri kolineame tačke A(l,-1), B(3,3) i C(4,5).Odrediti odnos u kome svaka od njih dijeli duž određenu drugim dvjema tačkama. 3.58.Na pravoj određenoj tačkama A(2,-3) i B(-6,5) pronaći tačku koja ima ordinatu jednaku -5. 3.59.Dati su vrhovi četverougla A(-2,14),B(4,-2),C(6,-2) i D(6,10). Odrediti tačku presjeka njegovih dijagonala AC i BD. Izračunati površinu trougla (trokuta) čiji su vrhovi: 3.60.a) A(-1Q,14), B(6,-10), C(2,-6) b) A(3,4), B(2,-3), C (-2,3). 3.61.a) A(-2,1), B(2,-2) i C(8,6) b) A(-3,2), B(-l,3), C (5,-4). 3.62.Vrhovi trougla su A(-2,5), B(3,5) i C(-3,-3).Izračunati površinu i visinu ha. 3.63.Vrhovi trougla su A(-3,5), B(5,11) i C(9,0).Izračunati visine ha, hb, hc. 3.64.Tačke A(-4,-2),B(2,4) i C(-3,y) su vrhovi trougla.Odrediti koordinatu y tako da površina trougla bude 21. 3.65.Kolika je površina četverougla čiji su vrhovi: A(3,-l), B(6,5), C(-3,6) i D(-2,-3)? 3.66. Izračunati površinu petougla čiji su vrhovi A(-2,0), B(0,-1), C(2,0), D(3,2) i E (-l,3). 3.67,Odrediti pvršinu paralelograma čija su tri vrha A(-2,3),B(4,-5) i C(-3,l). 3.68.Tri vrha paralelograma su tačke A(3,7),B(2,-3) i C(-l,4).Odrediti dužinu njegove visine spuštene iz vrha B na stranicu AC. 3.69.Da li su tačke A(3,-1),B(-1,1) i C(-9,5) vrhovi nekog trougla? 3.70.Pokaži da tačke A(3,-5),B(-2,-7) i C(18,l) pripadaju istoj pravoj. 53
3.71.Nađi nepoznatu koordinatu tačke pod uslovom da sve tri tačke leže na istoj pravoj: A (l,2), B(5,4), C (ll,y). 3.72.Prava određena tačkama A (4,l) i B(-2,4) siječe x-osu u tački M.Odrediti koordinate tačke M. 3.73.Prava određena tačkama A(5,2) i B(-5,7) siječe y-osu u tački N.Odrediti koordinate tačke N. 3.74.Zadane su tačke A(2,1),B(-1>3) i C(l,4).Odrediti koordinate ovih tačaka u koordinatnom sistemu koji nastaje translacijom datog tako da mu se početak nađe u tački C. 3.75.Translacijom za vektor 0 0 ' koordinatni sistem xOy je prešao u koordinatni sistem x'0'y' pri čemu tačka O' ima koordinate 0'(3,-4). U novom koordinatnom sistemu koordinate tačaka A,B i C su: A(l,3),B(-3,0) i C(-l,4).0drediti koordinate istih tačaka u starom koordinatnom sistemu. 3.76.Date su tačke A(2,1),B(-1,3) i C(-2,5).Odrediti koordinate ovih tačaka u koordinatnom sistemu koji nastaje translacijom datog tako da mu se početak nađe u datoj tački i to: a) tački A b) tački B c) tački C . 3.77.* U koordinatnom sistemu xOy zadane su koordinate tačaka A(3,l ),B(-1,5) i C(-3,-l). Nađi koordinate ovih tačaka u sistemu x'Oy' koji nastaje rotacijom sistema xOy za ugao a = - 45°. 3.78.* Odrediti koordinate tačaka A(2,-3), B(-l,5) i C(x,y) u novom koordinatnom sistemu koji nastaje rotacijom posmatranog koordinatnog sistema oko njegovog početka : a) za ugao +90° b) za ugao -90° c) za ugao 180° 3.79.*Koordinatni sistem rotira oko svog početka za ugao 60°.Koordinate tačaka A(2 V3 ,-4), B( V3 ,0) i C(0,-2 -JŠ ) su u novom koordinatnom sistemu. Odrediti koordinate ovih tačaka u starom koordinatnom sistemu. 3.80.*Koordinate skupa tačaka zadovoljavaju jednačinu x2+y2+2x-10y+22=0. Kako izgleda jednačina ovog skupa tačaka u drugom koordinatnom sistemu koji ima koordinatni početak u tački 0'(-l,5), a koordinatne ose su mu jednako usmjerene kao ose datog sistema? P R A V A 3.81.Nekaje data jednačina prave 2x + 3y - 6 = O.Napisati ovu jednačinu u eksplicitnom obliku.Odrediti koeficijent pravca prave i segment na y-osi. 2 Rješenje: 3y = -2x + 6 => y = - — x + 2. 2
Koeficijent pravca prave je k= - —, a segment na y-osi je n=2. 3.82. Odrediti segmente koje prava x-4y+l=0 odsijeca na koordinatnim osama. 54
Rješenje: Dovedimo jednačinu prave x-4y+l=0 na segmentni oblik. Prebacivanjem broja 1 sa lijeve na desnu stranu dobijamo x-4y=-l. Dijeljenjem X
V
dobijene jednačine sa -1 dolazimo do segmentnog oblika jednačine, —- + y = 1, 4
odakle čitamo segmente: m = -1, n = - i . 3.83.Neka je rastojanje koordinatnog početka O od prave a d0=3 i neka normala na pravu sa x-osom gradi ugao 60°.Napisati jednačinu prave a. Rješenje: Jednačina prave a, u normalnom obliku, je 1 x cos60° + ysin60° - 3 = 0 , odnosno, — x + — y - 3 = 0. Množenjem dobijene jednačine sa 2 ona prelazi iz normalnog u implicitni oblik x + VŠ y - 6 = 0 . 3.84. Pravu čija je jednačina 3x-4y-15=0 dovesti na normalni oblik. 3x _ 4 y _ 1 5
Rješenje: Data jednačina se može napisati u obliku —^
— = 0, odnosno u
3 4 . obliku, —- x - —-_y-3 = 0 , što je normalni oblik jednačine prave dobijen iz datog implicitnog oblika. 3.85.Odrediti ugao između pravih x-3y+6=0 i 2x-y-3=0 uzetih upravo ovim redom. Rješenje: Dovođenjem jednačina na eksplicitni oblik: y = - jx + 2, y=2x-3, određujemo koeficijente pravca kj= — i k2=2 i zamjenjujući ih u formulu za tangens ugla između dvije prave dobija se: t
2 -1 ž 1 , ____ 3_ = _ J _ = 2 =1 1+2!
i+ l 1 • 3 3 3 pa iz tg a= l zaključujemo d aje a=45°. 3.86.U jednačinama 3px-8y+13=0 i (p+l)x-2py-21=0 odrediti vrijednost parametra p tako da prave budu paralelne. Rješenje: Da bi prave bile paralelne njihovi koeficijenti pravca moraju biti jednaki,pa mora vrijediti:
55
3 jj j) _j_i 2 _ £ = £...... ; odnosno, 3p-2p = 8(p+l), odakle se dobija p=2 i p = — . 8
2p
3
3.87.Za koju vrijednost parametra m su prave 6x-y=13,2x+3my+8=0 normalne? 2
Rješenje:Kako je koeficijent prve prave ^ = 6 ,a koeficijent druge k2= -----,da bi 3m
2
prave bile normalne,mora biti: kjk2 = -1 = > ------ 6 = - l , odnosno, m = 4. 3m
3.88.Odrediti jednačinu one prave pramena 3x-2y-l+A.(4x-5y+8)=0 koja prolazi sredinom duži na pravoj x+2y+4=0, koju na njoj isijecaju prave 2x+3y+5=0 i x+7y-l=0. Rješenje: Odredimo,prvo,presječne tačke pravih 2x+3y+5=0 i x+7y-l=0 sa pravom x+2y+4=0.Zato riješimo sisteme x+2y+4=0 x+2y+4=0 2x+3y+5=0 x+7y-l=0 Rješenje prvog sistema je (2,-3), a drugog (-6,1). Središte duži ima koordinate S(-2,-l). Uvrštavanjem koordinata središta u jednačinu pramena dobijamo vrijednost parametra X: -6 + 2-1 + A.(-8 + 5 +8) = 0 => X=l. Dobijenu vrijednost za X uvrštavamo u jednačinu pramena i dolazimo do jednačine tražene prave: x - y + 1 =0. 3.89,Odrediti projekciju tačke M(-6,4) na pravu 4x-5y+3=0. Rješenje: Odredićemo pravu koja prolazi tačkom M i normalna je na datu pravu,a zatim ćemo naći presjek ovih dviju pravih.Presječna tačka M ’ će biti upravo tražena projekcija tačke M. 4
5
Koeficijent date prave je k i= — ,a normale kroz M na datu pravu k2= - — pa je jednačina normale
5 y - 4 = - — (x + 6 ),
odnosno,
^=
5
7
Zamjenom ove vrijednosti za y u datu jednačinu dobijamo: 4 x -5 (- —x - —) + 3 = 0 => 41x + 82 = 0 => x = -2 , 4 2 pa je y = -l.Tako smo dobili tačku M '(-2,-l) koja je projekcija tačke M na datu pravu. 3.90.Zadani su vrhovi trougla A(3,2), B(5,-2), C(1,0). Naći jednačine njegovih stranica i visina. 56
Rješenje: Odredimo,prvo,jednačinu stranice AB.Uvrštavanjem koordinata tačaka u jednačinu prave kroz dvije tačke (xi,yi) i (x2,y2 ), dobijamo: y - y , = yi - y i ( x - x , ) => y - 2= ———(x -3 ) => y - 2 = -2(x-3) 5 -3 X- , - x . => 2x + y - 8 = 0 . Dakle, stranica AB ima jednačinu: 2x + y - 8 = 0 . Na analogan način određujemo jednačine preostalih stranica i dobijamo: A C:x-y-l=0 i B C :x + 2 y - l = 0 . Pronađimo,sada,jednačinu visine ha.Tražena prava prolazi tačkom A(3,2) i normalna je na pravu BC.Koristeći uslov normalnosti dviju pravih i jednačinu prave kroz jednu tačku dobijamo: ha : y - 2 = 2(x - 3) , odnosno , ha : 2x - y - 4 = 0 . Slično se dolazi do jednačina visina: hb : x + y - 3 = 0 , hc : x - 2 y - l = 0 . 3.91.Kolika je udaljenost tačke A(6,3) od prave 5x+12y-l = 0 ? Rješenje:Neposrednim uvrštavanjem koordinata tačke A u formulu za udaljenost tačke od prave dobijamo: d = axl +byx +c
5-6 + 12-3-1
65 = 5. 13
V52 +122 ±-Ja2 +b2 3.92.Kolika je visina ha trougla čije su stranice date svojim jednačinama: AB: 3x-4y-3=0 ; AC: 5x+12y+2=0 i BC: 3x+4y+390=0 ? Rješenje: Visina hajednaka je udaljenosti tačke A od prave BC.Odredimo koordinate tačke A rješavajući slijedeći sistem jednačina: AC: 5x+12y+2 = 0 AB: 3x - 4y-3 = 0 . 1 3 Rješenje sistema je što su koordinate tačke A.Udaljenost tačke A od prave BC jednaka je visini ha: axj + byx + c + 4 a 1 +b2
3— 1-42 - V i +4
+39(
3 3 ---+ 3 9 0 2 2 -5
390, 78. 5
3.93.Odrediti jednačine simetrala uglova koji su određeni datim dvjema pravim: 25x-8y+40=0 i 17x+20y-68=0. Rješenje:Jednačine simetrala uglova između dviju pravih aix+biy+ci=0 i a2 X+b2y+c2= 0 imaju oblik: axx + h y + c, , a2x + b2y + c2 v , ... , v ■ , , •• •= + . pa se u našem konkretnom slučaju dobija: 2 +b, 2 ±yja2 + b 2 57
25x-8y + 40_17x + 20y —68 -V 625+64
25x-8y + 40 _ + 17x + 20_y-68
~ >/289+400
-V<589 “ V689 => -( 25x-8y+40 ) = ± ( 17x+20y-68 ). Ako uzmemo znak "+" dobićemo jednačinu jedne simetrale -(25x-8y+40) = 17x+20y-68 O 42x+12y-28=0 O 21x + 6 y - 1 4 = 0. Drugu simetralu dobijamo uzimanjem znaka na desnoj strani: ( 25x-8y+40 ) = - ( 17x+20y-68 ) « 25x-8y+40 = 17x+20y-68 O 8x-28y+108=0 O 2 x - 7 y + 27 = 0. 3.94.Koje od tačaka A(-l,3), B(4,-l), C(2,-2), D(-l,9) pripadaju,a koje ne pripadaju pravoj 2x+y-7=0. 3.95.Tačke A, B i C pripadaju pravoj x-3y+2=0 i redom imaju ordinate 1, 2, -1. Kolike su apscise ovih tačaka? 3.96.Tačke A, B i C pripadaju pravoj 5x-2y+10=0 i imaju redom,apscise 0, -2 i 4. Odrediti ordinate ovih tačaka. U kojim tačkama data prava siječe koordinatne ose? 3.97.a) 2x-3y+12=0 b) x+8y+16=0 c) 12x-16y-l=0 ? Napiši jednačinu prave ako se zna njen koeficijent pravca k i odsječak n na yosi: 3.98.a) k = 2 , n =-3
b )k = - - j , n = 5
c) k=0, n=3 .
3.99. a )k = -5, n = -3
4 b)k= -,n= 10
c )k = 2 2 ,n = ll
Dovesti na eksplicitni oblik jednačinu prave: 3.100.a))2x-y-6=0 b)8x+2y-17=0 c) 13x+2y=0 3.101. a) 12x+y-3 33=0 b)-6x-l ly+22=0 , c) y + l = 0 . Odrediti koeficijent pravca i odsječak na y-osi prave: 3.102;a) 4x-y+l 1=0 b) 3x+2y-6=0 c) 2x+7y=0 3 . i03 .a) -x+2y+31=0 b)-6x-2y+12=0 c) y+8=0 3 .104.Napiši jednačinu prave ako su poznati odsječci m i n koje odsijeca na koordinatnim osama: a) m=3,n=4 b) m= -2, n=5 c) m= -l,n= -1 3.105.a) m= -2, n= -11 b)m=10, n = -20 c)m=-ll,n=2 . Jednačine datih pravih napisati u segmentnom obliku: 3.106.a) 3x+y+5=0 b)3x+4y-12=0 c) 8x-6y+24=0 3.107.a) -x+y-2=0 b)-2x+4y-15=0 c)4x-lly+2= 0 Napiši koeficijent pravca k i odsječke m i n prave,zadane jednačinom: 3.108.a) 2x+3y+12=0 b) y+2x=12 c)x-y+3=0 3.109.a) 8x+3y+l=0 b) 2y+x=2 c) 5x+y+l=0 Odredi ugao koji data prava zaklapa sa pozitivnim smijerom x-ose: 58
3.110.a) x-y-11 =0
b) x+y+22=0
c) x- S
y+98=0
U) U>¡ U)
3.111 .a) x V3 +y+65=0 b) x+ V3 y+5=0 c) 2x-y+1999=0 Kolika je površina trougla koji zatvara data prava s koordinatnim osama: .112.a) 3x-4y-12=0 b) 6x+8y-24=0 c) 3x+7y-21=0 ? .113.U jednačini 2x+my-m-4=0 nađi m tako da prava prolazi tačkom A(-l,3). .114.Pokazati da se tačke A(-2,-3) i B(l,-2) nalaze sa iste strane prave 2x-3y+6=0. U kojim tačkama data prava presijeca koordinatne ose: 3.115.a) 2x-3y-12=0 b) -5x+2y-33=0 c) 22x+l ly-10 = 0 ? 3.116.Stranice trougla ABC date su svojim jednačinama AB: 4x+3y-5=0, BC: x-3y+10=0, CA: x-2=0. Odrediti koordinate vrhova trougla. Odredi koja od slijedećih jednačina prave predstavlja normalni oblik:
3.117.a) x+l=0
b)3x+4y=l
c) j x + - j y - 5 =0
3.118.a) —x - —y+16=0 b) —x- —y+2=0 c) — x+ — y-2=0. 5 53 5 53 13 13 Dovedi na normalni oblik jednačine datih pravih: 3.1 19.a) 3x-4y+11 =0 ,b) 5x+12y-2=0 c) 6x+8y-21=0 3.120 .a) 4x+11 y-2=0 3.12 l.a) y=2x-1
b) x+2=0 b) y=6x+12 b) —+ —=1 7 5
c) 2x-y- VŠ =0 c) y= -x+8 2x 3y c) — + — =1 3 8
3.123.D ataje jednačina prave: a) x-y+2=0 b) x + y -J3 +2=0 c) x V3 + y - 6=0. Odrediti ugao koji zaklapa normala date prave sa x-osom i udaljenost koordinatnog početka od prave. 3.124.Utvrditi da li koordinatni početak i data tačka leže sa iste ili sa raznih strana date prave: a) M (l,-3), 2x-4y-l=0 b) A(2,3), 3x+y+l 1=0 c) B(-3,-l), x+y+5=0 Nađi rastojanje date tačke od date prave: 3.125 .a) (1,2) , x-y-4=0 b) (3,0) , 3x+4y-11 =0 3.126.a) (-1,1), 5x+12y-l=0 b) (2,-1) ,3x-4y+1=0
c) (-2,4), 6x-8y+9=0 c) (4,1),-6x-8y+5=0
3.127. Jedan vrh kvadrata je A(2,5), a stranica kvadrata je na pravoj , 2x+4y-5=0.Kolika je površina kvadrata. 3.128.Jednačine dviju stranica pravougaonika su 3x-2y-5=0 i 2x+3y+7=0 , a jedan njegov vrh je A(-2,1).Izračunati površinu pravougaonika. 59
3.129.Dokazati da prava 2x+y+3=0 siječe duž čiji su krajevi A (-5,l) i B(3,7). 3.130.Dokazati da prava 2x-3y+6=0 ne presijeca duž čiji su krajevi A(-2,-3) i B(l,-2). 3.131.Odrediti međusobno rastojanje paralelnih pravih 3x-4y+4=0 i 3x-4y-l=0. Izračunati rastojanje između dviju datih paralelnih pravih: 3.132.a)5x-12y+26=0 i 5x-12y-13=0 0>)> 4x-3y+15=0 i 8x-6y+25 =0 . 3.133.a) x-y+6=0 i x-y-17=0 b) 2x+3y+4=0 i 4x+6y+44 =0 . 3.134.Dvije stranice kvadrata su na paralelnim pravim: 5x-12y-65=0 i 5x-12y+26=0. Izračunati površinu kvadrata. Izračunati veličinu oštrog ugla između pravih: 3.133.a)' x-3y-6=0 , 2x-y+1=0 b) y= -3x-5, y=2x-2 3.136.a) 3x-2y+7=0 i 2x+3y-3=0 b) x-2y-4=0 i 2x-4y+3=0 . 3 .T37.a) x+4=0 i y+2=0 b ) x V 2 - y V Š + 15=0 i (3+V2 )x+(S )y+l 1=0 3.138.Koliki koeficijent pravca ima svaka prava koja je paralelna sa pravom 2x-3y-4=0 ? 3.139.0dredi koeficijent pravca prave koja je paralelna s pravom (a+3)x+(2-a)y+5a-l=0, (a^-3,a^2) ? 3.140.Dataje prava 2x-3y+3=0.Koliki je koeficijent pravca svake prave kojaje: a) paralelna sa datom pravom b) okomita na datu pravu? 3.141.Koliki koeficijent pravca ima svaka prava kojaje normalna na datu pravu: a) 5x+7y-10=0 b) 1lx+2y-33=0 ? Napiši jednačinu prave koja prolazi datom tačkom,a sa x-osom zatvara ugao a: 3.142.a) A(4,-3), a=135° h) A(-l,5), a=45° c)>B(-2,7), a=60°. 3.143.a) A(4,0), a=30° b) M(3,-5), a=0° c) B( 1,-4), a= 120°. 3.144.a) M(5,-2), a=150° b) N(4,2), a=90° c) B(2,l 1), a=20°. Napisati jednačinu prave koja prolazi datom tačkom,a paralelna je sa datom pravom: 3.145.a) M(-l,3), 7x-y+44=0 b) A(2,-3), 2x-y-12=0 c) B(8,-l),4x-2y+37=0 3.146.a) M (2,l) , 2x+3y+4=0 b) M (5,-6), x+3y+5=0 c>M (-7,l), x+9y+8=0 Napisati jednačinu prave koja prolazi datom tačkom i normalna je na datu pravu: 3.147.a) B(3,l), 3x+6y-l 1=0 b) B(2,-l), 4x-8y-9=0 c)B(-5,3),8x-y+999=0 3,148Ca):B(-6,2), -3x+y-8=0 b) B(0,-8), 44x-4y+11 =0 c) B(2,-3),7x-y+23=0 3.149.Date su jeđnačine dviju stranica pravougaonika x-2y=0, x-2y+15=0 i jednačina jedne njegove dijagonale 7x+y-15=O.Odrediti koordinate vrhova pravougaonika. Odrediti projekciju date tačke na datu pravu: 3.150.a)'P(-6,4), 4x-5y+3=0 b) P(3,-4), 2x+y-l=0 c) P(1,0), x-2y+2=0 3.151 .a) P(2,0), 5x-2y+l =0 b) P(-3,l), -x+y+4=0 c) P(l,-1), -x-5y+7=0 60
3.152.Koja tačka je simetrična tački A(-5,13) u odnosu na pravu 2x-3y-3=0? 3.153.Date su jednačine stranica trougla: AB:3x-y-7=0, AC: 7x+3y-l 1=0 i BC: x+5y-29=0. Odrediti: a) jednačine visina ha i hb . b) koordinate podnožja visine hc. _ Izračunati koeficijent pravca prave koja prolazi dvjema datim tačkama: 3.154.a) A(-3,l), B(7,8) b) M(5,-3), N (-l,6) (§)D (2,-5), E(-l,-4) 3.155.a) A(3,0), B(-4,2) b) M(-4,-2), N(-3,-3) c) D(-2,5), E(7,4) Napisati jednačinu prave koja prolazi datim dvjema tačkama: 3.156.a) A(4,2),B(-2,5) b) M(l,5),N(3,-2) c) C(3,4),D(-l,-5) 3.157.a) A(-3,l), B(l,8) b) M(-5,3), N (l,-6) c) D(-2,5), E(-4,-2) 3.158.Središta stranica trougla su A'(2,1),B'(5,3) i C'(3,-4).Odrediti jednačine stranica trougla. 3.159^Vrhovi trougla su A(2,1),B(-1,-1) >C(3,2).Odrediti jednačine njegovih visina. 3.160)Vrhovi trougla su A(4,l),B(-2,0),C(-l,-4). Odrediti: a) jednačinu stranice a b) jednačinu visine ha. c) jednačine visina hb i hc. 3.161.Dati su vrhovi trougla A(3,2),B(5,2) i C( 1,0).Odrediti jednačine: a) stranica AB, AC i BC b) težišnica ta, tb, tc. 3.162.Vrhovi četverougla su A(-3,l), B(3,9), C(7,6) i D(-2,-6).Odrediti tačku presjeka njegovih dijagonala. 3.163.Dva susjedna vrha kvadrata su A(-3,-l) i B(2,2), a presječna tačka __njegovih dijagonala je 0 (3 ,0).0drediti jednačine stranica kvadrata. 3 J,64,Jednačine dviju stranica pravougaonika su 5x+2y-7=0 i 5x+2y-36=0, a jednačina jedne njegove dijagonale je 3x+7y-10=0.Odrediti jednačine drugih dviju stranica i druge dijagonale. 3.165.Odrediti projekciju tačke P(2,-12) na pravu određenu tačkama : A(-2,3) i B(4,-l). 3.166;Tačka A(-4,5) je vrh kvadrata čija dijagonala leži na pravoj 7x-y+8=0. ^ Odrediti jednačine stranica i druge dijagonale kvadrata. 3.167.Date su jednačine stranica trougla: 4x-y-7=0, x+3y-31=0 i x+5y-7=0. Odrediti koordinate ortocentra H trougla. 3.168.Data su dva vrha trougla A(1,0) i B(5,5) i njegov ortocentar H(4,l). Odrediti koordinate trećeg vrha trougla. Napiši jednačine simetrala uglova između datih pravih: 3.169.a) x-y-3=0, x-7y-7=0 b) 4x+3y-2=0 , 5x-12y+4=0. 3.170.a) 2x+y+l=0, xV2 -y V Š-2=0
b) 2x-3y-l=0 , 7x+y V3 -5= 0. 61
3.171.Vrhovi trougla su A(2,-2),B(3,-5) i C(5,7).Odrediti jednačinu normale povučene iz vrha C na simetralu unutrašnjeg ugla iz vrha A. 3.172.Vrhovi trougla su A(1,-1),B(-2,1) i C(3,5).Odrediti jednačinu normale povučene iz vrha A na težišnicu iz vrha B. 3.173.Kroz presječnu tačku pravih 3x+y+10=0 i 4x+5y+6=0 prolazi prava koja je od koordinatnog početka udaljena za 4,Odredi jednačinu te prave. 3.174.0drediti koordinate vrha pramena 2x+y+1=A.(x-4y+23). 3.175.Date sujednačine stranica trougla:x+2y-l=0, 5x+4y-17=0 i x-4y+l 1=0. Ne određujući koordinate vrhova trougla odrediti jednačine njegovih visina. 3.176.U pramenu 2x+y+l+2i(x-3y-10)=0 naći pravu koja na koordinatnim osama odsijeca jednake odsječke. 3.177.U pramenu x+y-4+A(y-2)=0 odredi: a) pravu koja prolazi tačkom A(l,-1), b) jednačinu one prave koja zatvara ugao 45° s pravom iz zadatka pod a). 3.178.Data je jednačina pramena 3x+2y-9+A(2x+5y+5)=O.Odrediti vrijednost parametra m tako da prava 4x-3y+m=0 pripada ovom pramenu. 3.179.Data je jednačina pramena 5x+3y-7+A(3x+10y+4)=0.Za koje vrijednost parametra m prava mx+5y+9=0 ne pripada ovom pramenu? 3.180.U pramenu 21 x+8y-18+/\.( 1lx+3y+12)=0 naći pravu koju sa koordinatnim uglovima gradi trougao površine 9. 3.181.U pramenu 2x+y+4+A(x-2y-3)=0 naći pravu koja je od tačke P(2,-3) udaljena za d= VlO . 3.182.Data su dva pramena pravih: 5x+3y-2+A(3x-y-4)=0 x-v+ i +/.(2x-y-2)=0 . Odrediti jednačinu zajedničke prave ovih pramenova.
3.183.Na pravoj 4x+3y-12=0 nađi tačku podjednako udaljenu od tačaka (-1,-2) i (1,4). 3.184.Prava y=kx+5 prolazi kroz presječnu tačku pravih 2x+3y-12=0 i 3x-y-7=0. Koliki ugao ona zatvara s pozitivnim smjerom ose y? 3.185.Kolika je površina slike što je zatvaraju prave x-2y+4=0 i x+y-8=0 s koordinatnim osama? 3.186.Vrhovi trougla su A(-3,2),B(-l,-2) i C(l,4).Na stranici BC naći tačku M koja je jednako udaljena od vrhova A i B. 3.187.Površinu trougla čiji su vrhovi A(2,5), B(-4,2), C(8,-3) izračunati na 4 načina: a) pomoću formule 2P= lxi(y2-y3) + x2(y3-y0 + x3(yr y2) |,
62
ah b) pomoću formule P = —
,
c) pomoću Heronove formule P = s{s - a \ s - b \ s - c) i d) pomoću trigonometrijske formule P=-^- absiny. 3.188.0dredi jednačinu prave čiji odsječak između datih pravih 2x-y-2=0 i x+y+3=0 ima središte u tački P(3,0). 3.189.Zadane su stranice trougla AB: x+21y-22=0, BC: 5x-12y+7=0, CA:4x-33y+146=0 Izračunati rastojanje težišta trougla od stranice BC. 3.190.Na pravoj 2x-y-5=0 nađi tačku P tako da suma njezinih rastojanja od tačaka A (-7 ,l)i B(-5,5) bude minimalna. 3.191.Zadani su vrhovi A(3,-l) i B(5,7) trougla ABC i ortocentar H(4,-l). Napisati jednačine stranica trougla. 3.192.Jednačine dviju stranica trougla su 5x-4y+15=0, 4x+y-9=0,a njegovo težište pada u tačku T(0,2).Nađi koordinate vrhova trougla i jednačinu treće stranice. 3.193.Svjetlosni zrak ide po pravoj x-2y+5=0 i odbija se od prave 3x-2y+7=0. Odrediti jednačinu prave po kojoj se kreće odbijeni zrak. 3.194.Zadane su jednačine težišnih linija trougla x-2y+l=0, y-l=0 i vrh A(l,3). Odrediti jednačine stranica i nepoznate vrhove. 3.195.Jedan vrh trougla je B(-4,-5), a jednačine dviju njegovih visina su 5x+3y-4=0 i 3x+8y+l 3=0.Odrediti jednačine stranica trougla i koordinate nepoznatih vrhova. 3.196.* Odrediti jednačine stranica trougla ako je dato: vrh B(2,6) i jednačine visine x-7y+15=0 i bisektrise 7x+y+5=0 koje su povučene iz istog vrha. 3.197.* Odrediti jednačine stranica trougla (trokuta) ako je dato: vrh B(2,-l) i jednačine visine 3x-4y+27=0 i bisektrise x+2y-5=0, koje su povučene iz raznih vrhova. 3.198.* Odrediti jednačine stranica trougla ako je dato: vrh C(4,-l), jednačina visine 2x-3y+12=0 i jednačina težišnice 2x+3y=0, koje odgovaraju istom vrhu. 3.199.* Odrediti jednačine stranica trougla ako je dato: vrh B(2,-7) i jednačine visine 3x+y+l 1=0 i težišnice x+2y+7=0, povučenih iz raznih vrhova. 3.200.* Odrediti jednačine stranica trougla u kome je poznato: vrh C(4,3), jednačine bisektrise x+2y-5=0 i težišnice 4x+13y -10=0 koje su povučene iz istog vrha. 3.201.* Napisati jednačine stranica trougla u kome je poznat vrh A(4,-l) i jednačine dviju bisektrisa uglova: x-l=0 i x-y-l=0. 63
ANALITIČKA GEOMETRIJA U RAVNI - konusni presjeci K R U Ž N I C A Definicija: Skup tačaka u ravni koje su jednako udaljene od jedne tačke S te ravni nazivamo kružnica.Tačka S nazivamo centar ili središte kružnice. Udaljenost ma koje tačke kružnice od njenog središta zovemo radijus ili poluprečnik._______________________________________________________ Ako središte kružnice ima koordinate S(p,q), a radijus kružnice ako je r, tada jednačina kružnice ima oblik: (x-p)2 + (y-q)2 = r2 . Ukoliko je središte kružnice u koordinatnom početku 0(0,0), jednačina kružnice je: x2 + y2 = r2 . P x Jednačina tangente u tački T(xi,yi) kružnice: (X) - p)(x - p) + (y, - q)(y - q) = r2 ili X)X + y,y = r2 , ako je T=0. Uvjet dodira prave y=kx+n i kružnice (x-p)2 + (y-q)2 = r2 je: r2( 1+k2)=(q-kp-n)2 , odnosno, ako je p=q=0: r2(l+ k 2)=n2._______ 3.202.Napisati jednačinu kružnice čiji je centar S(-2,5) i radijus r=3. Rješenje:Uvrštavanjem datih podataka neposredno u jednačinu kružnice dobijamo: (x+2)2 + (y-5)2 = 32 , odnosno , (x+2)2 + (y-5)2 = 9 , ili x2+ y2+ 4x -10y + 20 = 0. 3.203.Odrediti koordinate središta i radijus kružnice date jednačinom (x-l)2 + (y+4)2 = 25. Rješenje: Iz date jednačine neposredno čitamo da su koordinate centra kružnice p—1 i q= -4, a radijus r je -Jl5 . S(l,-4), r=5. 3.204.Odrediti koordinate centra i radijus kružnice čija je jednačina x2+y2-4x+6y+12=0. Rješenje: Datu jednačinu dovedimo na oblik (x-p)2+(y-q)2=r2 i pročitajmo tražene elemente. x2+y2-4x+6y+12=0 O x2-4x+4 + y2+6y+9-1 = 0 O (x-2)2 + (y+3)2 = 1. Sada neposredno čitamo d aje S(2,-3) i r = 1. 3.205.Odrediti jednačinu kružnice koja prolazi tačkama A(-l,2), B(9,0) i C(-3,-8). Rješenje: Kako svaka od date tri tačke pripada kružnici,to njihove koordinate zadovoljavaju jednačinu kružnice.Tako se dobija sistem od tri jednačine sa tri nepoznate: (-1 -p)2 + (2-q)2 = r2 64
(9-p)2 + (0-q)2 = r2 (-3-p)2 + (-8-q)2 = r2 , čije rješenje daje koordinate središta (p i q) i radijus r tražene kružnice. Kvadriranjem binoma u jednačinama sistema,dobijamo: p2-2p+l + q2 -4q+4 = r2 p2- 18p + 81 + q2 = r2 p2+6p+9 + q2+16q+64= r2 . Oduzimanjem druge jednačine od prve i od treće i sređivanjem dobija se: 4p - q = 19 3p + 2q = 1 p2 - 18p+81 + q 2 = r2 odakle se dolazi do traženih vrijednosti: p=3, q= -4, r= V52 . Konačnoj ednačina tražene kružnice je: (x-3)2 + (y+4)2 = 52 3.206.Prava 7x-17y+169=0 siječe kružnicu x2+y2=169 u dvije tačke.Kolika je dužina nastale tetive? Rješenje: Odredimo prvo presječne tačke prave i kružnice.Koordinate tih tačaka dobijamo rješavanjem slijedećeg sistema: \ly-\6 9
X=• 7jc—17_y-hl 69 = 0
<=>
169
X 1 + y 2
+ y 2 = 1 69 \ly-\69
<=> 289_y2 - 2 - 1 7 - 1 6 9 . y + 1 6 9 2 + 4 9 / = 1 6 9 - 4 9 x =
1 7 ^ -1 6 9
<=>
<=>
y 1=5, x j = -12 ; y 2=12, x 2=5.
y 2 - 1 7 ^ + 60 = 0 Presječne tačke imaju koordinate (-12,5) i (5,12), pa je dužina tetive d =V(5 + 12) 2 + ( l 2 - 5 ) 2 = a/338 = 13V2 . 3.207.U jednačini y=kx-4 odredi k tako da prava dodiruje kružnicu x2+y2=8. Odrediti koordinate dodirne tačke. Rješenje:Da bi prava y=kx+n dodirivala kružnicu x2+y2 = r2 mora biti ispunjen uvjet dodira prave i kružnice: r2( 1+k2)= n2 => 8(l+k2) = 16 => k2 = 2 -1 => k2 = 1 = > k = ± l.
65
Kako koeficijent k ima dvije vrijednosti,to postoje dvije prave (y=x-4 i y = -x-4), koje ispunjavaju postavljene uvjete. Koordinate dodirnih tačaka pravih odredićemo rješavanjem slijedećih sistema jednačina: y = ±x-4 y = ±x-4 y = ±x-4 x2+y2=8 <=> x2+(±x-4)2=8 <=> x2 +x2+ 8x+16-8=0 <=> y = ±x-4 <=> y, = -2, y,=2. x2 + 4x+4=0 xi = -2, x2=2. Dodirne tačke pravih sa kružnicom su: T(-2,-2) i T'(2,-2). 3.208.Napisati jednačinu tangente kružnice (x-5)2 + (y-5)2 = 5 koja je paralelna sa pravom x - 2y - 4 = 0. R ješenje: Koeficijent pravca date prave je k=-^- , a zbog uslova paralelnosti dviju pravih, to je i koeficijent pravca tražene tangente jednak ^ .Iz jednačine kružnice određujemo koordinate središta p=5,q=5 i radijus r= V5 , pa koristeći uslov dodira prave i kružnice možemo odrediti nepoznati segment n na y-osi. Uradimo to praktično: r (1+k ) = (q-kp-n)
<=> 5 1+ 1
5 -------n 2
=> n, = 5, n1 —0.
Tako smo dobili dvije prave koje zadovoljavaju uslove zadatka i to: y=^-x + 5
i
y=
x , odnosno, u implicitnom obliku,
x - 2y + 10 = 0 i x - 2y = 0 . 3.209.Odrediti tangentu kružnice x2+y2-25 = 0 u tački T(3,y),y<0. R ješenje: Odredimo,prvo,drugu koordinatu tačke T.Kako je tačka T na datoj kružnici, to njene koorinate zadovoljavaju jednačinu kružnice pa vrijedi: 9 + y2 - 25 = 0, odakle se,uzimajući u obzir dati uslov za y,dobija y = -4. Sada dolazimo do jednačine tražene tangente: 3x - 4y - 25 = 0 . 3.210.Odrediti jednačinu tangente i normale kružnice 4x2+4y2- 16x+8y-149=0 u 3
njenoj tački M(8, —). R ješenje: Dovedimo datu jednačinu na oblik (x-p)2+(y-q)2=r2: 4x2-16x+16 + 4y2+8y+4 = 149+16+4 4(x2-4 x+4) + 4(y2+ 2y+ l) = 169 4(x-2)2 + 4 (y + l)2 = 169
66
(x-2)2 + (y + l)2 =
.
Sada koristimo jednačinu tangente napisanu u obliku (xrp)(x-p)+(yr q)(y-q)=r2 : (8-2)(x-2) + ( | + l ) ( y + l ) = l ^ 6(x-2) + | - (y+l) = ~
=>
24x + 10y - 207 = 0.
Tražena tangenta je 24x + 10y - 207 = 0. Koeficijent pravca ove tangente je k= - — , paje jednačina normale y - y,=(- —)(x-x,), odnosno, y - —= — (x-8) 5 k 2 12 => 5x-12y-22 = 0. 3.211.U presječnim tačkama kružnice x2+y2-10x-12y+36=0 i prave 7x+y-16=0 povući tangente, a zatim odredi njihov presjek i ugao pod kojim se sijeku. Rješenje: Presječne tačke određujemo rješavanjem sistema jednačina: 7x+y-16=0 y=-7x+16 x2+y2- 10x-12y+3 6=0 <=> x2+(-7x+16)2-10x-12(-7x+16)+36=0
<=>
y=-7x+16 x2+49x2-224x+25 6-10x+84x-192+3 6=0 <=>
y=-7x+16 50x2-150x+100=0
y=-7x+16 y=-7x+16 y,=9,y2=2 <=> x2-3 x+2=0 <=> xi=1, x2=2. => X|=1,X2=2 . Presječne tačke su A (l,9) i B(2,2).Odredimo tangentu u tački A(l,9). Jednačinu kružnice transformišimo na slijedeći način: x2+y2- 10x-12y+3 6=0 (x-5)2+(y-6)2 = 25. Jednačina tangente je: (l-5)(x-5)+(9-6)(y-6) = 25 , odnosno, -4(x-5)+3(y-6) = 25 , 4x - 3yj + 23 = 0
=>
k,= -3.
Druga tangenta ima jednačinu: (2-5)(x-5)+(2-6)(y-6) = 25 , odnosno,
-3(x-5)-4(y-6) = 25 ,
3x + 4y - 14 = 0 => k2= . J 4 Izračunamo li sada k2^ dobićemo vrijednost -l,što znači da su tangente normalne. Presječnu tačku tangenata odredićemo rješavanjem sistema linearnih jednačina: 4x - 3y + 23 = 0 3x + 4y - 14 = 0 67
=>
x= -2, y=5 .
Presječna tačka je M(-2,5). 3.212.Grafički riješiti jednačinu x2+y2-4x+6y-l2=0. Rješenje: U datoj jednačini prepoznajemo kružnicu.Jednačina te kružnice može se napisati u obliku: (x-2)2 + (y+3)2 = 25, iz kojeg čitamo d aje središte kružnice u tački S(2,-3) i radijus r=5. Rješenje date jednačine je,dakle,skup svih tačaka ove kružnice,odnosno skup svih uređenih padova realnih brojeva koji su koordinate tacama ove kružnice.(Vidi sliku 3.1.).
SI.3.1. Rješenje nejednačine x2 + y2 - 25 < 0. 3.213.Riješiti nejednačinu x2 + y2 - 25 < 0. Rješenje: Znamo da jednačina x2+y2-25=0 predstavlja centralnu kružnicu radijusa r=5.Kružnica dijeli ravan na dva dijela.Jedan dio je unutrašnjost kruga sa centrom u koordinatnom početku radijusa r=5,a druga oblast je skup svih tačaka u vanjskoj oblasti navedene kružnice.Jedna od navedenih oblasti je rješenje naše nejednačine. Treba odrediti samo koja je to oblast.Naj lakše je da izaberemo pogodnu tačku u jednoj oblasti,recimo M (l,0),i neposredno provjerimo da li njene koordinate zadovoljavaju datu nejednačinu (Sl.3.2.): 1 + 0 - 25 = -24 < 0 . Koordinate tačke M(1,0) zadovoljavaju datu kvadratnu nejednačinu. Sve tačke one oblasti u kojoj se nalazi tačka M imaju koordinate koje zadovoljavaju nejednačinu.Znači,rješenje date nejednačine, grafički j e skup svih unutrašnjih tačaka kruga određenih kružnicom x2 + y2 = 25. Nacrtati kružnicu ako je data njena jednačina: 3.214.a) x2+ y2 = 9 b ) x 2 + y2 = 4 c ) x 2 + y2 = 36 3.215.a) (x-5)2 +(y-3)2 = 1 b) (x+4)2 + (y+2)2 = 9 c) (x-l)2 +(y+5)2 = 4 3.216.Koja tačka na datoj kružnici ima apscisu 3: a) x2 + = 25 b) x2 + y2 = 16 c) x2 + y2 = 4 ? 3. 217.Odrediti apscisu tačke M(x,-2) ako se zna da ona pripada datoj kružnici: a) x2 + y 2 = 4 b) x2 + y 2 = 100 c) (x-l)2 + (y + 3) 2 = 10? 3.218.Koja tačka na datoj kružnici ima ordinatu -1: a) x2 + y2 = 49 b ) x 2 + y2 = 37 c ) x 2 + y2 = 65? 3.219.Kolika je ordinata tačke M (-l,y) ako ona pripada datoj kružnici: 68
a) x2 + y2 = 17 b) x2 + y2 = 1 c) (x+2)2+(y-3)2 = 26? 3.220.Ako je c>0,u kojim tačkama kružnica x2+y2=c siječe koordinatne ose? 3.221 .Koja centralna kružnica prolazi datom tačkom M: a) M(3,4) b) M(5,-12) c)M (-20,21)? 3.222.Koje od tačaka A(l,2), B(0,11), C(3,0) i D(5,10) se nalaze unutar,koje su vani, a koje na kružnici x2+y2=121? 3.223.U kružnicu x2+y2=100 povučene su sve tetive dužine 6.Staje geometrijsko mjesto središta tih tetiva? 3.224.Napisati jednačinu kružnice čije je središte u datoj tački S i radijus r: a) S(2,5),r=3 b) S(-3,4), r=10 c) S(-l,-3), r=2 Odrediti središte i radijus date kružnice ako je: 3.225.a) x2 + y2 = 81 b) x2 + y2 = 5 c) 4x2 + 4y2 = 12 ? 3.226.a) (x-7)2 + (y-3)2 = 4 b) (x+5)2 + (y-2)2 =16 c) (x+4)2 + (y+6)2 = 9 3.227.a) x2+y2-6x=0 b) x2+y2+8x-l=0 c) x2+y2-10x-2=0 3.228.a) x2+y2+2y=0 b) x2+y2+4y+l=0 c) x2+y2-12y-4=0 3.229.a) x2+y2-4x+6y=0 b) x2+y2+8x+2y-1=0 c) x2+y2+10x-6y-3=0 3.230.a) 400x2+400y2-3 20x-600y+189=0 b) 100x2+100y2-200x-600y+951=0 3.23^>.Kako glasi jednačina kružnice čije je središte S(3,4), ako se zna da prolazi koordinatnim početkom? 3.232.Napisati jednačinu kružnice sa središtem u tački S(-3,2) ako se zna da sadrži tačku A (2,1). 3.23$.Prečnik kružnice je duž AB,pri čemu su koordinate tačaka A i B poznate: A(-l,3), B(5,-l). Napisati jednačinu kružnice. 3.234>Prečnik kružnice je odsječak prave x-3y+6=0 između koordinatnih osa. Napisati jednačinu kružnice. 3.235,Odrediti jednačinu one kružnice koja prolazi tačkom M(-3,4) a koncentrična je sa kružnicom x2+y2+3x-4y-l=0. 3.236.Kružnica prolazi tačkom A(4,2) i dodiruje obje koordinatne ose. Napisati njenu jednačinu. 3.237.;Središte kružnice koja dodiruje obje koordinatne ose nalazi se na pravoj 3x-5y+15=0. Odrediti jednačinu kružnice. 3.238.Šta je geometrijsko mjesto tačaka iz kojih se duž AB: A(1,1),B(7,3) vidi pod pravim uglom? 3.239.Kružnica prolazi kroz koordinatni početak a jednačine njena dva prečnika su x+y-14=0 i 2x-3y+12=0.Napisati jednačinu kružnice. 3.240.0drediti jednačinu kružnice koja prolazi kroz tri date tačke: a) A(-4,-2), B(-4,-6) i C(2,-2) b) A( 1,1), B( 1,-1) i C(2,0) 3.241.Središte kružnice je S(3,-l).Kružnica na pravoj 2x-5y+18=0 odsijeca tetivu jednaku 6.Napisati jednačinu kružnice. 3.242.Napisati jednačinu kružnice radijusa r=VŠ koja dodiruje pravu x-2y-l=0 u njenoj tački A(3,l). 69
3.243.Odrediti jednačinu kružnice koja prolazi tačkom A(1,0) i dodiruje dvije paralelne prave 2x+y+2=0 i 2x+y-18=0. 3.244.Napisati jednačinu kružnice koja dodiruje dvije prave koje se sijeku 7x-y-5=Q, x+y+13=0 i to jednu od njih u tački M (l,2). 3.245.Odrediti jednačinu kružnice čiji je centar na pravoj 4x-5y-3=0 i koja dodiruje prave 2x-3y-10=0 , 3x-2y+5=0. 3.246. Jednačine stranica trougla su: x-2y+4=0 , x+y-2=0 , 2x-y-l=0. Odrediti jednačinu kružnice opisane oko ovog trougla. 3.247.Date su jednačine stranica trougla : 7x+y-25=0 , x-2y+5=0 , x+3y+5=0. Naći: a) jednačinu opisane kružnice, b) odnos površina opisanog kruga i trougla. 3.248.Kružnica prolazi kroz tačke A(3,5) i B (l,7),a centar joj se nalazi na kružnici x2+y2= 10. Napisati jednačinu kružnice. 3.249,Odrediti jednačinu kružnice koja prolazi tačkama A(3,4) i B(4,5),a središte joj se nalazi na liniji x2+y2=50. 3.250.Dati su vrhovi trougla A(2,l ),B(-1,5) i C(-6,G).Odrediti jednačinu kružnice sa središtem u ortocentru trougla.koja dodiruje stranicu AB. 3.251.Zadan je trougao svojim vrhovima A(7,1),B(5,5),C(-2,4).Odrediti jednačinu kružnice koja: a) prolazi središtima stranica trougla, b) prolazi podnožjima visina trougla, c) prolazi sredinama odsječaka visina između vrhova A,B,C i ortocentra H. Šta se zapaža na osnovu dobijenih rezultata? (Fojerbahova kružnica). 3.252,Odrediti jednačinu kružnice koja prolazi tačkama A(-2,3) i B (-l,3), a središte joj je na pravoj 2x+3y+2=0. 3.253.Dva prečnika kružnice,koja prolazi tačkom A(5,0),pripadaju pravima x+2y-7=0 i y=3x. Napisati jednačinu kružnice. 3.254.1spitati uzajamni položaj kružnice x2+y2=5 i date prave: a) 3x+y-5=0 b) 3x+y-5 J l =0 c) 3x+y=9. 3.255.Nađi koordinate presječnih tačaka linija x2+y2=10 i y+3=0. 3.256.0drediti koordinate presjeka prave 7x-y+12=0 i kružnice (x-2)2+ (y -l)2=25. 3.257.Nađi rastojanje središta kružnice x'+y'-6x-2y-6=0 od date prave: a) 3x+4y-12=0 b) 3x+4y-33=0 c) 3x+4y-48=0 i na osnovu dobijenih rezultata zaključi kakav odnos imaju prava i kružnica. 3.258.Kolika je dužina tetive koju kružnica x2+y2+8x+6y=0 odsijeca na pravoj 3x+4y+24=0 ? 3.259.Zadana je kružnica x2+y2+6x-4y=0 i prava x-y+4=0.Naći jednačinu simetrale tetive koju kružnica odsijeca na pravoj.Utvrditi kakav je odnos središta kružnice i simetrale.
70
3.260.Napisati jednačinu one tetive kružnice x2+y2=10 koja prolazi tačkom A (l,3 ) kružnice, a paralelna je sa pravom 2x+y-2=0. 3.26] .Pod kojim se uglom iz koordinatnog početka vidi ona tetiva kružnice x2+y2-14x-2y+25=0 koja leži na pravoj 7x+y-25=0? 3.262.Za koje vrijednosti broja k prava y=kx i linija x2+y2-10x+16=0: a) se sijeku b) dodiruju c) nemaju zajedničkih tačaka ? 3.263.Odredi jednačinu kružnice radijusa r=Vl() koja sadrži tačku M (4,3) i dodiruje pravu x-3y-15=0. 3.264.Napiši jednačinu kružnice koja dodiruje prave 3x+4y-35=0, 3x-4y-35=0
1. je tačka kružnice x2+y2+6x+4y+3=0 najbliža,a koja najdalja od prave 3x+y-9=0 ? 3.266:Naći jednačinu tangente kružnice x2+y2-10x-12y+36=0 koja je paralelna sa pravom 4x-3y+10=0. 3.267,'Naći jednačinu tangente kružnice x2+y2+2x+4y+1=0 koja je normalna na pravoj 3x-4y=0. 3^268.Naći centar kružnice radijusa r= l, ako su prave 5x+12y+4=0 i 3x-4y-5=0 njene tangente. 3.269.Napisati jednačinu tangente kružnice x2+y2= 1 u tački T(1,0). 3.270-.U tački T(5,y<0) kružnice x2+y2=169 odrediti jednačinu tangente. 3.271 .Tačkom T(6,6) kružnice (x-2)2+(y-3)2=25 povučena je tangenta na kružnicu. Odrediti njenu jednačinu. 3.272.Napiši jednačinu tangente kružnice (x+2)2+(y-3)2=25 u tački A(-5,7). 3.273.Napisati jednačine tangenata kružnice x2+y2=34 u presječnim tačkama sa pravom 4x-y-17=0,a zatim izračunati površinu trougla koji gradi data prava s^ tangentama. ^3.274.Naći tangentu kružnice x2+y2-8x-l=0 u dodirnoj tački T(x>4, 4). 3.27S.Napisati jednačinu normale u tački T (l,y<0) kružnice x2+y2-6x-2y+2=0. 3.276lOdrediti jednačinu tangenata povučenih iz tačke P(7,-3) na kružnicu x2+y2=29. 3.277,Odrediti jednačine tangenata i koordinate njihovih dira!išta sa kružnicom x2+y2-6x+4y-7=0,ako su tangente povučene iz tačke M(6,2). 3.278.Pod kojim se uglov vidi kružnica x2+y2=20 iz tačke A(2,-6)? 3 ,279;Odrediti jednačine zajedničkih tangenata kružnica (x-2)2+ (y-l)2=l i (x+2)2+ (y + l)2=9. 3.280.Središta i presječne tačke kružnica x2+y2+8x+2y+12=0 , x2+y2-4x-2y-20=0 su vrhovi deltoida.Izračunati njegovu površinu. Kolika je dužina zajedničke tetive datih kružnica: 3.281. x2+y2=20 i x2+y2-12x-4y+20=0 ? 3.282! x2+y2- 10x-10y=0 i x2+y2+6x+2y-40=0 ? 3.283,Odrediti oštri ugao između prave 3x-y-l=0 i kružnice (x-2)2+y2=5. 71
Pod kojim se uglom sijeku date linije: 3.2 84.a) x2+y2=29 i 7x-3y-29=0 ? ® k 2+y2=5 i x2+y2-8x+3=0 ? ...... — — # . 9 9 3.285.Za koju vrijednost broja n je prava y=2x+n tangenta kružnice x'+y“=5? 9 11 3.286.Napiši jednačinu tetive kružnice K(2,3,5) koja prolazi tačkom M( —, — ) i u njoj se polovi. 3.287. Kolika je površina jednog odsječka koji y-osa odsijeca od kruga (x-3)2+y2=18.
E L I P S A Skup tačaka ravni čiji je zbir rastojanja od dviju tačaka F] i F2 te ravni stalan broj, nazivamo elipsa.Tačke Fj i F2 nazivamo fokusi (žarišta ili žiže) elipse. Polovinu rastojanja fokusa FjFt označavamo sa e i nazivamo linearni ekscentricitet elipse.
D
i y Sl.3.3.
BB' = 2b -mala osa elipse
B
M(x,y)
-------
f2 C’
/
o
jJ
b’
ry
FxF2 = 2e , b2= a2- e2, Osna jednačina elipse je: A’(a,0) ■ i 2y2=a 2i2 ... x b2x2+a b ili •> 9 ^ 1 + ^ = 1. a 2 b2
Odnos rastojanja između fokusa i velike ose ( FXF2 : A A' =2e:2a=e:a) nazivamo num erički ekscentricitet elipse i označavamo sa e, pa vrijedi: e =— , a
Prave CC' i DD’ , nazivamo direktrise elipse. Jednačine direktrisa elipse: x = — , x = - — ( i l i x = ± — ). ____________________________ £_______ £_______________ e______ • • 2 2 2 2 222 2 2 Uvjet dodira prave y=kx+n i elipse b x'+a y“=a*b‘ je: a"k“+b = n~.
Jednačina tangente u tački T(xj,yi) elipse:b2X!X+a2yi y= a2b2 ili
72
= 1.
3.288.Odrediti poluosejinearni i numerički ekscentricitet elipse x2+4y2=16. x2
y2
Rješenje.’Dovođenjem jednačine elipse na oblik — + — = 1, neposredno određujemo a2=16, b2=4,pa su poluose a=4 i b=2. Linearni ekscentricitet je : e2=a2-b2 => e2=12 ,=> e=2-/3. Numerički ekscentricitet je e = —= a
4
= ^~ . 2
3.289.Elipsa prolazi tačkama A(6,4) i B(8,3).Napisati jednačinu elipse. Rješenje: Kako tačke A i B pripadaju elipsi,to njihove koordinate zadovoljavaju njenu jednačinu,pa vrijedi: 36b2+16a2 = a2b2 64b2+ 9a2 = a2b2 . Rješavanjem dobijenog sistema jednačina određujemo poluose tražene elipse: 28b2 - 7a2 = 0 => a2= 4 b 2 . Uvrštavanjem vrijednosti za a2 u jednu od jednačina sistema određujemo b~: 64b2+ 36b2 = 4 b V => 4b2 =100 => b2=25 => b=5. Tako dolazimo do jednačine elipse: 25x2+100y2=25-100 , odnosno, x2 + 4y2 = 100 . 3.290.U elipsu b2x2 + a2y2 = a2b2je upisan kvadrat.Odrediti koordinate njegovih vrhova. Rješenje:Neka je ABCD upisani kvadrat i neka tačka A, u prvom kvadrantu, ima koordinate (x,y) (nacrtaj sliku!).Dalje vrijedi B(-x,y), C(-x,-y) i D(x,-y). Kako je AB=AD,to mora biti x=y. S druge strane,tačka A pripada elipsi pa njene koordinate zadovoljavaju jednačinu elipse,tj. vrijedi: b2x2 + a2x2 = a2b2 =>
(a2+b2)x2 = a2b2 =>
x=
ab ■Ja2 + b2 '
Uvrštavanjem dobijene vrijednosti za x i koristeći uvjet x=y možemo napisati koordinate svih vrhova kvadrata: A(
D.
ab
ab
i'j. a ’ \a~ / 2 +b~ ,2 ■Jct+b
.
a^-. _ . , .
V7 +62
ab
ab
ijcr+tr
icr+tr
),
J a 2 +b2 ab
ab
i •> a2 ’’ V \cr+b~ cr+tr
3.291.Odrediti zajedničke tangente kružnice x2+y2=5 i elipse 4x2+9y2=36. Rješenje:Neka je prava y=kx+n zajednička tangenta date kružnice i date elipse. Tada parametri prave k i n moraju zadovoljavati uvjete dodira prave i kružnice, odnosno, prave i elipse,pa se može formirati sistem jednačina 73
r2( 1+k2) = n2 a2k2 + b2 = n2 Rješenja ovog sistema daju one vrijednosti za k i n za koje prava dodiruje i kružnicu i elipsu.Riješimo sistem: 5(1+k2) = n2 9k2 + 4 = n2 Izjednačavanjem lijevih strana gornjeg sistema dobijamo: 9k2 + 4 = 5(1+k2)
=>
4k2 = 1
=>
k , = | , k 2= - i .
Prepišimo prvu jednačinu sisetma: n2 = 5(1+k2) : v i 1 j u2 , 1 N 25 Za k i= — , dobijamo: n = 5(1 + —) = - => 7 1
1
*•
2
<-/i , 1 X
25
Z a k 2= - — , opet imamo: n = 5(1 + —) = —
=>
5 5 ni= — , n 2= - — ■ 5
5
n i= ~ - n 2= - — •
Tako smo dobili četiri zajedničke tangente kružnice i elipse i to: v =—x + —
2
ili
2
y=.i.x+ —
J
2
2
ili
x-2y+5=0, x+2y-5=0
i
y = —x -—
2 2
ili
x-2y-5=0,
y = -— x - —
ili
x+2y+5=0 .
2 2
3.292.U tački A(4,y>0) elipse x2+4y2=20 povučena je tangenta.Kako glasi jednačina ove tangente? Rješenje: Odredimo,prvo,ordinatu tačke A.Uvrštavanjem koordinata 4 i y tačke A u jednačinu elipse dobijamo: 16+4y2=20 => y2=l => y = l, (y>0). Jednačina tangente je: 4x+4y=20 => x+y-5=0. 3.293.U kojim se tačkama i pod kojim uglom sijeku prava y=2x-10 i elipsa 4x2+9y2=900? Rješenje: Presječne tačke prave i elipse određujemo rješavanjem sistema jednačina: y=2x-10 y=2x-10 y = 2x-10 y=2x-10 4x2+9y2=900 => 4x2+9(2x-10)2=900 => x2+9(x-5)2=225 .=> 10x2-90x=0 y=2x-10 => x2-9x=0
=> xi=0, x2=9, y,= -10, y2=8 .
Presječne tačke su M (0,-10) i N(9,8). Odredimo tangentu elipse u njenoj tački M(0,-10).Jednačina tangente je: 4 0 x + 9 (-10)y= 900, odnosno, y+10=0. Ugao između tangente i date prave je traženi ugao između elipse i prave. 74
Koeficijenti pravca su k|=0
i kr=2,pa za traženi ugao a vrijedi ki - ki 2 -0 tg a = ---------- = -----------= 2 . l+k2k, 1+2-0 Dakle,elipsa i data prava se u tački M(0,-10) sijeku pod uglom čiji je tangens jednak 2. Odredimo tangentu elipse u njenoj tački N(9,8).Kao i u prethodnom slučaju dobijamo 4-9-x + 9-8y = 900 ili x + 2y = 25. Koeficijent pravca tangente je k2= - j ,pa kako je k2k,=
-2 = -1 ,
to su tangenta i data prava normalne prave. Zaključujemo da se elipsa i data prava u tački N sijeku pod pravim uglom. 3.294.Napisati jednačine zajedničkih tangenata kružnice x2+y2=8 i elipse x2+3y2=12 i naći koordinate tačaka dodira na objema krivim. Rješenje:N eka je prava y=kx+n zajednička tangenta navedenih krivih.Tada moraju biti ispunjeni uvjeti dodira ove prave i svake krive,tj. mora da vrijedi: r2( 1+k2)=n2 8(l+ k2)=n2 8+8k2=12k2+4 k2=l k=±l a2k2+b2=n2 => 12k2+ 4 = n 2 => n2 = 1 2 k 2+4 => n2=16 => n= ±4' Zajedničke tangente su: y = x+4 , odnosno x - y + 4 = 0 ; y = x-4 , odnosno x - y - 4 = 0 ; y = -x+4 , odnosno x + y - 4 = 0 ; y = -x-4 , odnosno x + y + 4 = 0 . Svaka od ovih pravih ima po jednu dodirnu tačku i sa kružnicom i sa elipsom. Koordinate tih osam tačaka dobijamo rješavanjem osam slijedećih sistema jednačina: y=x+4 y=x+4 y=x+4 y = x+4 y=2 x2+y2=8 => x2+(x+ 4)2=8 => x2+4x+4=0 => x = -2 => x = -2 => Ki(-2,2). y=x+4 y=x+4 y=x+4 y=x+4 y= 1 x2+3y2=12 => x2+ 3( x+ 4)2=12 => ¿ + 6 2 + 9 = 0 => x= -3 => x= -3.
E ,(-3,l).
y=x-4 y=x-4 y=x-4 y=x-4 y=-2 x2+y2=8 => x2+(x-4)2=8 => x2-4x+4=0 => x = 2 => x= 2.
K2(2,-2).
y=x-4 y=x-4 y=x-4 y=x-4 x2+3y2= 12 => x2+3(x-4)2=12 => x2-6x+9=0 => x=3
E2(3.-l).
y=-l => x = 3 .
y=-x+4 y= -x+4 y= -x+4 y= -x+4 x2+y2=8 => x 2+ (- x+ 4)2=8 => x2-4 x+4=0 => x = 2
y=2 => x=2.
K3(2,2).
y=-x+ 4 y= -x+4 y=-x+ 4 y= -x+4 y=l x2+3y2=12 => x2+3(- x+4)2=12 => x2-6x+9=0 => x = 3 = > x= 3.
E3(3,l).
y= -x-4 y= -x-4 y= -x-4 y= -x-4 y= -2 x2+y2=8 => x2+(- x-4)2=8 => x2+4x+4=0 => x= -2 => x= -2.
K4(-2,-2).
y= -x-4 y= -x-4 y= -x-4 y= -x-4 y= -1 x2+3y2=12 => x2+3(-x-4)2= 12= > x2+6 x+9=0 => x = -3 = > x = -3 .
E4(-3,-l).
Dodirne tačke na kružnici su:Kj(-2,2), K2(2,-2), K3(2,2), K4(-2,-2), a na elipsi : Ei(-3,1), E2(3,-l), E3(3 ,l) i E4(-3,-l). 3.295.Poluose elipse su a=12 i b=5, a njeno središte je u tački S(3,4).Odrediti jednačinu elipse. Rješenje: Jednačina elipse je: (x-3)2 (y-4)2 ---------- + ------- = 1 . odnosno, 25(x-3)~ + 144(y-4)2 = 144-25 144 25 25x2-l 50x+225+144y2-l 152y+12304 = 144-25 25x2+ 144y2- 150x-1152y-1071 =0. 3.296.Elipsa je data jednačinom 25x2+169y2+200x+676y-3149=0.Kolike su poluose elipse? Rješenje: Transformišimo datu jednačinu na oblik iz koga se mogu neposredno pročitati poluose: 25x2+ 169y2+200x+676y-3149=0 25x2+ 200x+ 169y2+676y -3149=0 25( x2+ 8 x ) + 169(y2+4y) -3149=0 25( x2+8 x+ 16)-400 + 169(y2+4y+4)-676 -3149=0 25(x+4)2 + 169(y+2)2 = 4225 (x+4)~ !(y+2)2 _ 169 25 Poluose elipse su a= 13 i b=5. 3.297.Na SI.4.4. predstavljena je elipsa sa središtem u tački S(2,2) i fokusima Fj (l , l ) i F2(3,3).Za proizvoljnu tačku M(x,y) elipse vrijedi :F ,M + F tM = 4. Odrediti jednačinu elipse. Rješenje: Prema položaju fokusa Fi i F2 vidimo da se velika osa nalazi na pravoj y=x, što znači da sa x-osom gradi ugao od 45°.Translatirajmo koordinatni
76
sistem xOy za vektor OS, pri čemu je S(2,2) središte elipse.Tako ćemo dobiti novi koordinatni sistem XSY.Veze između koordinata u xOy i XSY su: x = X+2 , X=x-2 y = Y+2 , Y=y-2 . Rotirajmo sistem XSY oko S za 45°.Tako dobijamo sistem x'Sy' u kojem su koordinate vezane sa koordinatama sistema XSY relacijama: X = x'cos45° - y'sin45° Y = x'sin45° + y'cos45° , odnosno, V I,
Zamjenom koordinata X i Y,dobijamo: x’ = ^ - ( x + y - 4 )
y’ =
Sada koristeći gornje veze između koordinata određujemo koordinate fokusa Fi i F2 u sistemu x'Sy': S ,- ( 1 + 1 - 4 ) = -V 2
=>
2—V2 .
pa vrijedi: Fi(-V 2,0) i F2(V 2,0). Iz datog uvjeta |F1M| + |F2 M|= 4 , zaključujemo daj e poluosa a=2.0tudaje b2=a2-e2=4-2=2, t>a u koordinatnom sistemu x'Sy'jednačina elipse ima oblik x y'2 • — + — = 1 , odnosno, x ’2+2y’2=4. 4 2 Uvrštavanjem vrijednosti za x' i y' u posljednju jednačinu dobijamo: {x + y - 4) O
+2
=4
I ( * + >,- 4 ) 2 + 2 ~ ( y - x ) 2 =4
O (x + y - 4 ) 2 + 2 ( y - x ) 2 =8, i konačno,sređivanjem, dobijamo traženu jednačinu elipse: 77
3x2-2xy+3y2-8x-8y+8=0 . 3.298.Riješiti nejednačinu x2 + 9y2 - 36 > 0. Rješenje: Kvadratna jednačina x2 + 9y2 - 36 = 0 predstavlja osnu jednačinu
Sl.3.5. y ' 7
:
O
6 /x
Neposrednim uvrštavanjem koordinata ove tačke vidimo da one ne zadovoljavaju datu nejednačinu.Zaključujemo da je skup rješenja date nejednačine skup svih tačaka koje leže u onoj oblasti ravni u kojoj nije tačka O. To je skup svih tačaka ravni izvan date elipse.
Napisati jednačinu elipse ako su date njene poluose a i b: 3.299.a) a=5, b=3 b )a= 1 3 ,b = 5 c) a=29, b=21 3.300.a) a=7 -<¡2 ,b=3 -Jl b) 3 = 2 ^ 3 ,b=VŠ c) a=10 VŠ, b=10 ^2 Napis3ti jednačinu elipse ako su dati njena poluosa i linearni ekscentricitet: 3.301.a) a=13, e=5 b) a=63, e=62 c) b=6, e=8 3.302.a) a=15, e=12 b)b=12,e=16 c) b=42,e=40 Odrediti poluose i linearni ekscentricitet elipse 2
2
x~ +— y = 1i b) — + ^ 1 = 1 c)\ — 3.303.a) — + ^ - = 1 16 12 5 3 100 4 c)3 x 2+4y2=l 2 3.304.a) 16x2+25y2=400 . b) X2"14 \ 2 "4 b) x2+9y2=4 c) x2+16y2=25 3T305.a) x2+4y2= 100 3.306.Napisati jednačinu elipse koja ima malu osu 2b=24 i rastojanje između fokusa 2e=10. 3.307.Napisati jednačinu elipse koja ima veliku osu 2a=40 i rastojanje između fokusa 2e=32. 3 308^iapisati jednačinu elipse koja ima numerički ekscentricitet e=0,6 i rastojanje između fokusa 2e=6. 3.309.Napisati jednačinu elipse koja ima rastojanje među direktrisama 5 i rastojanje između fokusa 2e=4. 3.310.Data je jednačina elipse: 9x2+25y2= 225.Odrediti: a) poluose b) linearni ekscentricitet c) fokuse d) numerički ekscentricitet e) jednačine direktrisa 3.311 /Napisati jednačinu elipse koja prolazi tačkom M(5,0) i ima rastojanje između fokusa jednako 6. 3.3t2.Napisati jednačinu elipse koja prolazi tačkama A(9,4) i B(-12,-3), 78
3.313.Data je elipsa 4x2+25y2=100.0drediti ordinate tačaka elipse koje imaju apscisu jednaku -3. 3.314.Odrediti tačke elipse 9x2+25y2=900 koje su od desnog fokusa udaljene za 14 jedinica. 3.315.Napisati jednačinu elipse koja se dodiruje u krajnjim tačkama svoje velike ose sa kružnicom x2+y2= 100,ako za njene poluose vrijedi a=2b. 3.316.0drediti numerički ekscentricitet elipse ako se njena mala osa vidi iz fokusa pod uglom od 60°. 3.317.Na elipsi 9x2+25y2=900 nađi tačku čija je udaljenost od desnog fokusa četiri puta veća nego od lijevog. 33J8.O dredi tačke presjeka prave x+2y-7=0 i elipse x2+4y2=25. 3.3T9?U kojim tačkama prava 3x-4y-40=0 siječe elipsu 9x2+ 16y2= 144 ? ~3T320.Ispitati uzajamni odnos prave 2x+3y-25=0 i elipse x2+4y2=100. 2 ^ 3.321.Ispitati uzajamni odnos prave x+4y-16=0 i elipse 3x +16y =48. 3.322.Kolika je dužina tetive koju elipsa x2+2y2=36 odsijeca na pravoj x-2y+6=0 . 3.323.Kolika je dužina onog prečnika elipse x2+4y2=25 koji sa x-osom gradi ugao od 45°? 3.324.Data je elipsa x2+4y =20 i prava y= -x+n.Za koje vrijednosti parametra n prava: a) siječe elipsu b) dodiruje elipsu c) prolazi van elipse? 3.325.Izvesti uvjet pod kojim prava y=kx+n dodiruje elipsu b2x2+a2y"=a2b2. 3.326.Tetiva koju elipsa x2+3y2=36 odsijeca na pravoj x-y-6=0 je osnovica jednakokrakog trougla čiji se vrh nalazi na y-osi.Kolika je površina tog trougla? 3.327.Napiši jednačinu i odredi krajnje tačke one tetive elipse x'+2y~=3 koja prolazi tačkom A (2,l) paralelno sa pravom 2x-y+95=0/ 3.328.U elipsu x2+2y2=36 upiši jednakokraki trougao čija osnovica leži na pravoj x+y-6=0. Naći ostale vrhove trougla. 3.329.Napisati jednačinu tangente elipse 3x2+4y2=48 u njenoj datoj tački: ( I— a) M(2,-3) b) N(-2,-3) c) P 1 , ^ _____ K
_
*
•
V
3.330.Odrediti jednačinu tangente elipse 9x2+25y2=225 u njenoj tački iz trećeg kvadranta koja ima apscisu x= -3. X33IX)drediti jednačinu tangente elipse x2+4y2=20 u njenoj tački T(4,-l) Odrediti uglove pod kojim se sijeku data prava i data elipsa: 3.332. x+y-2=0 , x2+3y2=12. 3.333: x+2y-7=0 , x2+4y2=25? C?334^Pod kojim se uglom sijeku linije x2+y2-8y-l=0 i 3x2+16y2=192?
3.337,Odrediti jednačine tangenata elipse 25x2+169y2=4225 koje su normalne napravu 13x+12y-l 15=0. 3.338,Odrediti jednačine tangenata elipse x2+4y2=16 koje su normalne na pravu x -y -H -o . 3.339)Napisati jednačinu elipse ako su prave x+y-8=0 i x+3y+16=0 njene .... tangente. 3.340.Napisati jednačine tangenti elipse 3x2+16y2=192 koje prolaze tačkom P(0,4). 3.341.Iz tačke M(2,7) povući tangente na elipsu x2+4y2=100. 3.342.Pod kojim se uglom vidi elipsa x2+2y2=6 iz središta kružnice ' x2+y2-2x-y+16=0? 3.343.Za koje vrijednosti broja n prava y= -x+n siječe,za koje dodiruje, a za koje nema zajedničkih tačaka sa elipsom 5x2+20y2=100? 3.344.Napisati jednačinu elipse ako je dato: b=2 i jednačina njene tangente 3x-10y-25=0. 3.345.Da lije prava y=2x-l normala elipse 3x +4y =48? 3.346.Koja je tačka elipse x2+4y2=20 najbliža,a koja najdalja od prave x+y-7=0? Koliko je rastojanje tih tačaka? 3.347.Naći jednačine zajedničkih tangenti elipsi: 4x2+5y2=20 i 5x2+4y2=20. 3.34S.0drediti jednačine zajedničkih tangenti elipse 4x2+9y2=36 i kružnice x2+y2=5. 3.349.Naći obim i površinu kvadrata opisanog oko elipse 9x2+16y =144. 3.350.U elipsu x2+9y2=36 upisan je jednakostraničan trougao čiji je jedan vrh A(6,0). Odrediti koordinate druga dva vrha trougla. 3.351 .Oko elipse x2+8y2=72 opisan je jednakokraki trapez sa osnovicama paralelnim velikoj osi elipse i oštrim uglom od 45°.Napisati jednačine stranica trapeza i izračunati njegovu površinu. 3.352.Elipsu x2+5y2=5 presijeca prava x-y-l=0.U svakoj od presječnih tačaka elipsu presijeca pod pravim uglom i po jedna kružnica sa centrom na pravoj x+y-l=0. Naći jednačine tih kružnica. 1 -i2 , 21 3.353.*Pokaži da tačka M(x,y) sa koordinatama x= a ------^-,y= 6 , 1+ 1 1+ 1~ pripada elipsi b2x2+a2y2=a2b2. 3.354.*Krajnjim tačkama velike ose elipse b2x2+a2y2=a2b2 povuci tangente.Neka je prečnik kružnice odsječak bilo koje druge tangente elipse između navedenih dviju tangenata.Dokaži da ta kružnica prolazi fokusima elipse. 3.355.*Dokaži daj e proizvod rastojanja fokusa elipse od bilo koje njene tangente stalna veličina i jednaka b2.
80
H I P E R B O L A Definicija: Skup tačaka u ravni čija je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od dviju tačaka Fi i F2 te ravni stalan broj nazivamo hiperbola.Tačke Fi i F2 zovemo fokusi ( žarišta ili žiže) hiperbole, a polovinu udaljenosti fokusa e ( F,F, = 2 e ) nazivamo linearni ekscentricitet hiperbole. /K
C
D
y
i Sl.3.6.
f
.
1 F2
x
B’
~šB'= 2b- imaginarna osa hiperbole ;
AA' =2a - realna osa hiperbole;
Fj , F2- žiže hiperbole ; F jF , =2e , e-linearni ekscentrici tet hipe rbole; b2= e2- a2 , b2x2-a2y2= a2b2 - j ednačin.i hiperb 3le. Jednačina hiperbole može se napisati u obliku —------- —= 1. a' b Odnos rastojanja između fokusa i realne ose nazivamo numerički
e
ekscentricitet hiperbole (e): £= — , £ > 1. Prave CC' i DD' su direktrise
a
hiperbole.
a £
a £
Jednačine direktrisa hiperbole su: x = — , x= - —
,
(ili
cr e
x=±— ).
Uvjet dodira prave y=kx+n i hiperbole: a2k2-b2=n2 . Jednačina tangente u tački T(xi,yj) hiperbole: b2X]X - a2yiy = a2b2 ili x ,x v, v , b b . ,• , , —1------- 2 = 1Prave y= —x i y = — x su asimptote hiperbole . a~
b
a
a
81
3.356.Napisati jednačinu hiperbole ako je đato a=6 i e=3-\/5. Rješenje: Prvo se odredi b: b2= e2-a2 => b2=9 => b=3. Jednačina hiperbole je 9x2-36y2=9-36 , odnosno x2-4y2=36. 3.357.Jednakostrana hiperbola prolazi tačkom A(10,8).Odrediti njenu jednačinu i jednačine njenih asimptota. Rješenje: Hiperbola je jednakostrana ako ima jednake poluose,tj.ako je a=b. Koristeći uslov da tačka A pripada hiperboli dobijamo: 9 9 9 9 9 100a-64a =a“a => a =36 (=b‘), pa jednačina hiperbole glasi: x -y = 36. Jednačine asimptota su : y=±x. •
3.358.Na hiperboli x2 - y2 = 16 odredi tačku iz koje se rastojanje između tjemena vidi pod uglom od 45°. Rješenje:Tjemena hiperbole su A(4,0) i B(-4,0).Neka je tražena tačka hiperbole M(xi,yi). Tada je ugao između pravih BM i AM uzetih ovim redom jednak 45°,a njegov tangens je 1.Odredimo koeficijente pravca ovih pravih. Za pravu BM: ki = —— - , i za pravu AM: k2 = —— - . yi yi k-, —k\ . , v ... x, - 4 x, + 4 Kako je r-±-— i- = 1, to možemo pisati: — 1----------i----- - = 1 => kjk\ + i y\ y\ + 1 Xj +4 x, - 4 y,(x, + 4 )-^ ,(x j - 4 ) _ , 8y x > 'T , v ' 7 = 1 => 7 =1 => 8 y ,= y r+ x r-1 6 . y f +{x1 + 4Xx, - 4 ) y I +x, -16 Tačka pripada hiperboli pa vrijedi X]2 -yi 2 =16 , što zamjenom u prethodnu jednačinu daje: 8yi = yj2+yi2+16-16 , 4yj = yi2 => yi= 4 , i dalje je: yj=4 => Xi'=4 -Jl , X]"= -4 -Jl . ..
_
Vidimo,dakle,da se velika osa vidi pod uglom od 45° iz tačaka M (4-Jl ,4) i N(-4 V2 ,4) hiperbole.Koristeći simetričnost hiperbole možemo zaključiti da postoje još dvije tačke na hiperboli, M'(4 V2 ,-4) i N'(-4>/2 ,-4),iz kojih se velika osa vidi pod uglom od 45°. 3.359.Ne tražeći zajedničke tačke prave 7x-4y-l=0 i hiperbole 3x2-y2=3, ispitati da li je prava njena tangenta.
82
7 1 Rješenje: Iz jednačine prave određujemo k= — i n= , a iz jednačine hiperbole dobijamo poluose a=l i b=V3 .Uvrstimo li ove podatke u uvjet dodira prave i hiperbole a2k2-b2=n2 , dobijamo: 49 1 416 ~ 16 ’ što je istinita jednakost, pa je data prava tangenta hiperbole. 3.360.Napisati jednačinu tangente hiperbole 4x2-y2=36 koja je paralelna sa pravom 3x-y-17=0. Rješenje: Jednačinu tangente potražimo u obliku y=kx+n.Iz uvjeta paralelnosti dviju pravih zaključujemo daj e k=3.Poluose hiperbole su a=3 i b=6. Uvrštavanjem ovih podataka u uvjet dodira prave i hiperbole određujemo odsječak n, tj. a2k2 - b2 = n2 => 9-9 - 36 = n2 => n2=45 => n = ±3 S ■ Dobili smo dvije tangente koje ispunjavaju postavljeni uvjet i to: y=3x+3 y[Š i y=3x-3 ■JŠ . 3.361.U tački T(10,y>0) hiperbole x2-4y2=64 povučena je tangenta.Odrediti njenu jednačinu. Rješenje:Korištenjem apscise 10 i uslova da tačka T pripada hiperboli i daje y>0, određujemo y=3.Uvrštavanjam koordinata dodirne tačke T neposredno u jednačinu tangente u tački dodira, dobijamo: 10x-4-3y=64 => 5x-6y-32=0. 3.362.Kako glase jednačine tangenata koje se mogu povući iz tačke P( 1,0) na hiperbolu 2x2-9y2=18? Rješenje: Neka je jednačina tangente y=kx+n.Poluose hiperbole su a=3 i b= V2 . Uslov da tačka P(1,0) pripada tangenti daje jednu vezu između k i n i to: k= -n. Uvrstimo u uvjet dodira sve podatke koje znamo: a2k2 - b2 = n2 => 9k2-2=n2 => 9n2-n2=2 => 8n2=2 => n2= — = > n = ± —. 4 2 Tako smo dobili jednačine tangenata: y = ^ x ~ , y= - ^ x+^- , odnosno, x-2y-l=0
i
x+2y-l=0.
3.363.Odrediti ugao pod kojim se sijeku kružnica x2+y2=25 2x2-y2=2. Rješenje: Odredimo presječne tačke krivih.(Skiciraj krive u sistemu). x2+y2=25 -3y2=-48 y2= 16 2x2-y2=2 => 3x2=27 => x2=9 =>
i hiperbola koordinatnom y=±4 x=±3.
83
Presječne tačke su A(3,4), B(3,-4), C(-3,4) i D(-3,-4). Odredimo tangente na datu kružnicu i datu hiperbolu u presječnoj tački A(3,4): 3
ti (tangenta hiperbole): 6x-4y=2
=>
k]=—.
t2(tangenta kružnice): 3x+4y=25
=>
k2= - —.
3
Ako sa a označimo ugao između tangente ti i t2, tada vrijedi: _3_3 _9 _9 ♦____ k2 ~ *1
_
4
2 _
tg“ ~ u i j ; “
4 _
4 _ 1o
“ ^ T I T “ 4 2
8
8
tga=18 => logtga=l 1,25527-10 =>
3
ti’ (tangenta hiperbole): -6x+4y=2
=>
k,-—,
t2' (tangenta kružnice): -3x-4y=25
=>
k2- — .
3
Ako sa a'označim o ugao između tangenti ti' i t2', tada vrijedi: tg a -
t =18 => tg a -1 8 => logtga'=l 1,25527-10 => a'= 86°49’12"=a ' 3.364.Tačkom Ti(2,y<0) kružnice x2+y2=8 povučena je tangenta na kružnicu i na hiperbolu čiji je linearni ekscentricitet e=8.Odrediti: a) jednačinu hiperbole, b) koordinate dodirne tačke tangente i hiperbole i c) dio tangente između tačaka dodira. Rješenje: a) Druga koordinata tačke Ti je y= -2.Jednačina tangente t je: 2x-2y=8, odnosno , x-y-4=0. Koeficijent pravca ove prave je k=l,a odsječak na y-osi n= -4. Koristeći uvjet daj e ova prava tangenta i hiperbole mora vrijediti slijedeća relacija: a2k2-b2=n , odnosno, a2-b2=16. Veza između poluosa i linearnog ekscentriciteta je a2+b2=e2 , pa vrijedi a2 + b2 = 64. Poluose a i b određujemo rješavanjem slijedećeg sistema jednačina: a2-b2=16 2a2=80 a2=40 a2+b2=64 => 2b2=48 => b2=24. 14*
Jednačina hiperbole je 24x2-40y2=24-40,odnosno 3x2-5y2=120. b) Koordinate dodirne tačke tangente i hiperbole određujemo rješavanjem slijedećeg sistema jednačina: 84
x-y-4=0 3x2-5y2=120 =>
y=x-4 y=x-4 y=x-4 y= 6 3 x2-5(x-4)2=120 => x2-20 x+ 100=0 => x=10 => x=10.
Druga dodirna tačka je T2(10,6). c) Izračunajmo udaljenost između tačaka Tj i T2. 7 ^ = - N/(x2 - x ,) 2 +(y2 - ^ ])2 =V(lO-2)2 +(6+2)2 =V64 + 64 =8V2 .
3.365.Odrediti koordinate središta hiperbole date jednačinom 100x2-49y2- 1000x-392y-3184=0. Rješenje: Transformacijom date jednačine dobijamo: 100x2-49y2- 1000x-3 92y-3184=0 O 100(x2- 10x)-49(y2+8y)-3184=0 O 100(x2- 10x+25)-49(y2+8y+16)-4900=0 <=> 100(x-5)2-49(y+4)2 = 4900. Središte hiperbole je S(5,-4). 3.366.Jednačina hiperbole u koordinatnom sistemu xOy je x2-y2=4. Odrediti jednačinu ove hiperbole u koordinatnom sistemu koji nastaje rotacijom datog za ugao a=-45°. Rješenje:Prema formulama veze između koordinata (x,y) i (x',y'): x = x'cosa - y'sina y = x'sina + y 'c o sa , dobijamo: x = x'cos(-45°) - y'sin(-45°) y = x'sin(-45°) + y'cos(-45°) , F) F> odnosno, x = - y (x' + y') , y = — (-x' + y ') . Zamjenom ovih vrijednosti u jednačinu hiperbole x2-y2=4,dobijamo: x2-y2=4 => i (x' + y’f - i (-x’ + y')2 = 4 => x'2+2x'y'+y’2 - (x’2 - 2x'y’+y'2) = 8
=> x'2+2x'y'+y'2 - x'2 + 2x’y'-y'2 = 8 => x'y' = 2 . Vidimo d aje u novom koordinatnom sistemu jednačina date hiperbole x'y'=2. 3.367.Riješiti sistem nejednačina x2 - 9y2 - 36 < 0 a x2 + y2 - 16 > 0 . Rješenje: Kvadratna jednačina x2 - 9y2 - 36 = 0 predstavlja osnu jednačinu hiperbole čije su poluose a=6 i b=2.Rješenje prve nejednačine je oblast u kojoj je kooordinatni početak. Jednačina x2 + y2 - 16 = 0 predstavlja jednačinu kružnice. Rješenje druge nejednačine sistema je skup tačaka u vanjskoj oblasti kružnice. Rješenje sistema je presjek rješenja prve i druge nejednačine. Vidjeti i analizirati sliku 3.7.
85
Napisati osnu jednačinu hiperbole ako su date njene poluose a i b: 3.368.a) a=10, b=6 b)a=15,b=12 c) a=4, b=l 3.369.a) a=l 1, b=3 b)a=V Š,b=V 2 c) a=2 -JŠ, b=2 VŠ Napisati jednačinu hiperbole ako je data jedna njena poluosa (realna a ili imaginarna b) i linearni ekscentricitet e: 3.370.a) a=4, e=5 b)b=8, e=10 c)a=16, e=20 3.371.a) a=2, e=4 b) a= V2 ,e=5 V2 c )b = l,e = 4 Ako je data jednačina hiperbole,odrediti poluose,fokuse,tjemena i asimptote: 3 .3 7 2 » x2- y2= 1, 3 x2-4y2=4 j $ X 2- 18y2=72 3 .3 7 3 » 5x2-4y2=25 b) 25x2-144y2=3600 x2 - 4y2=16 3.374.»-,4x2-9y2=25 b) 25x2-16y2=l c) 16x2-25y2=400. 3 .375.Odrediti jednačinu hiperbole kojoj je 2e=8 i 2a=6. 3.376.0drediti koordinate lijevog fokusa hiperbole 4x2-y2=4. 3.377.Središte hiperbole je S(5,-4),ose su joj 2a=14,2b=20 i paralelne su sa __ koordinatnim osama. Napisati jednačinu hiperbole. 3,378j4apisati jednačinu hiperbole ako su joj zadane dvije tačke M (2,l) i N(10,7). 3.379.Napisati jednačinu hiperbole koja prolazi tačkama M(10,6), N(17,15). 3.3 80.Napisati jednačinu hiperbole ako su joj fokusi (0,±3),a glavna osa 2a=4. 3.381.Kako glasi jednačina jednakostrane hiperbole koja prolazi tačkom M(3,-l)? 3.382.Odrediti jednačinu hiperbole ako su date jednačine njenih asimptota y = ± |- x i jednačine direktrisa x=±^-- . 3.383.Zadana je jednakostrana hiperbola x2-y2=8.Nađi konfokalnu hiperbolu koja prolazi tačkom M(-5,3). 3.384.Ako je u hiperboli b x -a y =a b a konstantno,a b: A) sve više raste, B) sve se više umanjuje, šta se zbiva sa hiperbolom? 86
3.385.Tjemena elipse su u fokusima hiperbole,a tjemena hiperbole u fokusima elipse.Ako je jednačina elipse 9x2+16y2= 144,kako glasi jednačina hiperbole? 3.386.0drediti tačke hiperbole koje su za 7 udaljene od njenog lijevog fokusa. 3.387.*Odrediti ose i središte hiperbole kojoj je jednačina 9 x2-90x- 16y2-64y+17=0. 3.388.*Odrediti središte i fokuse hiperbole 9x2-4y2-36x-24y-36=0. 3.389. Odrediti uzajamni odnos prave x-y-3=0 i hiperbole 3x2-12y2=36. 3.390. Data je hiperbola x2-y2=8.Odrediti jednačinu njoj konfokalne elipse koja prolazi tačkom M(4,6). 3.391. Data je elipsa 9x2+25y2=l.Odrediti jednačinu njoj konfokalne jednakostrane hiperbole. 3.392. Asimptote hiperbole obrazuju ugao od 60°.Koliki je numerički ekscentricitet hiperbole? 3.393,Odredi tačke presjeka prave 2x-y-10=0 i hiperbole x2-4y2=20. 3.394?Kolika je dužina tetive koju hiperbola x2-4y2=20 odsijeca na pravoj 2x-y-10=0? 3.395.Odredi dužinu tetive koju hiperbola x2-2y2=2 odsijeca na pravoj 3x-4y=2. 3.396.U kakvom odnosu su prava 2x-3y-l=0 i hiperbola x2-3y2= l? 3.397.Pod kojim uglom prava 3x+y-9=0 siječe hiperbolu 3x2-y2=3? 3.398.Pod kojim uglom se sijeku prava 3x-2y-6=0 i hiperbola 3x2-4y2=12? 3.399.Za koje vrijednosti parametra m prava y = j •x+m : a) dodiruje hiperbolu b) siječe hiperbolu c) prolazi van hiperbole? 3.400.*Izvesti uvjet pod kojim je prava y=kx+n tangenta hiperbole b2x2-a2y2=a2b2. 3.401.Izračunati ugao pod kojim se iz tačke M(5,8) vidi tetiva koju na pravoj y=x-3 odsijeca hiperbola x2-3y2= 1. 3.402.Naći one tačke na hiperboli x2-y2=8 čije je rastojanje od centra hiperbole jednako linearnom ekscentricitetu. 3.403.Na hiperboli 9x2-7y2=63 odrediti tačku iz koje se njeno fokalno rastojanje vidi pod pravim uglom. 3.404.Pod koji se uglom vidi realna osa hiperbole 2x2-3y2=50 iz njene tačke M(7,4)? 3.405.Vrhovi četverougla su presječne tačke hiperbole x2-2y2=6 i koncentrične kružnice koja prolazi kroz fokuse hiperbole.Kolika je površina četverougla? 3.406.Odrediti površinu četverougla čiji su vrhovi presječne tačke kružnice x2+y2=25 i hiperbole 9x2-4y2=108. 3.407.Izračunati površinu kvadrata upisanog u hiperbolu 9x2-y2=9. 3.408.Odrediti jednačine asimptota hiperbole 4x2-25y2=100. 87
3.409.Jednačina hiperbole je 4x2-9y2=36.Konstruisati asimptote. 3.410.Koliki ugao zatvaraju asimptote hiperbole 20x2-25y2=500? 3.41 l.Naći osnu jednačinu hiperbole ako je rastojanje između fokusa 6,a 3 numerički ekscentricitet — . , 2 3.4123Mapisati jednačinu tangente koja dodiruje hiperbolu 4x2-5y2=20 u tački T(5,-4). 3.413.U tački T(1,0) hiperbole 4x2-y2=4 odrediti tangentu. 3.4 l4.Naći jednačine tangenata hiperbole x2-y2=16 koje su povučene iz tačke M (-1,-7). 3.415.Tačkom M (l,4) odrediti tangente na hiperbolu 4x2-y2=4. 3.416.Na tangenti elipse 4x2+5y2=20 , povučenoj u tački T(--^,y>0),leži tetiva hiperbole 4x2-y2=36.Kolika je dužina tetive? 3.4lXNapiši jednačinu tangente hiperbole 4x2-y2=64 koja je paralelna sa pravom 10x-3y+9=0. 3.41$.U jednačini (a+1)x-6y-4a=0 nađi a u slučaju ako je ta prava tangenta hiperbole x2-4 y 2=16. 3.419.Napisati jednačinu tangente hiperbole x2-2y2=4 koja sa pravom x+7y-9=0 obrazuje ugao od 45°. 3.420.U jednačini ax-3y-24=0 odrediti a,tako da ta prava bude tangenta hiperbole x2-y2=36. 3.421.Napisati jednačinu tangente i normale hiperbole 3x2-4y2=12 u tački T(4,m>0). 3.422.Sastaviti jednačinu hiperbole tako da prave 1lx-6y-7=0 i 3x-2y-l=0 budu njene tangente. 3.423)Sastaviti jednačinu hiperbole tako da prave 5x-6y-16=0 i 13x-10y-48=0 budu njene tangente. 3.424.Koja je tačka hiperbole 3x2-4y2=72 najbliža pravoj 3x+2y+l=0? Odrediti jednačine zajedničkih tangenata datih dviju linija: 3.425. 6x2+10y2= 15 i 6x2-10y2=60. 3.426, x2-2y2=4 i 7x2+3y2=21. C3.427-a) x2+y2= 1 i 23x2-25y2=575 x2-25y2=100 i x2+y2=100. 3.428.»Odrediti geometrijsko mjesto središta svih kružnica koje dodiruju obje kružnice x2+y2=9 i (x-5)2+y2=4 izvana. 3.429.Odrediti geometrijsko mjesto središta svih kružnica koje dodiruju kružnicu (x+5)2+y2=36 i prolaze tačkom M(5,0). 3.430.Kroz tačku T(2,y<0) na hiperboli x2-2y2=2 povuci normalu na hiperbolu, a u presječnoj tački S normale i hiperbole povuci tangentu. Koliki je ugao između normale u tački T i tangente u tački S? 88
3.431 .Napisati jednačine tangenata koje prolaze tačkom P(-3,5) na hiperbolu 3x2-y2=3? Pod kojim se uglom sijeku dvije date linije: jj.432. x2+y2=25 i 2x2-y2=2 ? , 3.433. 3x2+4y2=84 i 3x2-4y2=12? 3.434. 9x2+25y2=225 i 9x2-7y2=63 ? 3.435. x2-y2=l i x2 + y2 = 2 ? 3.436.Prava prolazi tačkama A(2,0) i B(6,4).Kolika mora biti poluosa b hiperbole b2x2- y2=8b2 da bi prava bila njena tangenta? 3.437.Napisati jednačinu hiperbole čiji fokusi se nalaze u tjemenima elipse 9x2+16y2=576, a tjemena u fokusima elipse. P A R A B O L A Definicija: Skup tačaka ravni koje su jednako udaljene od jedne tačke F ijedne prave d te ravni naziva se parabola. a' + F - fokus, d - direktrisa Jednačina: y2=2px , 2p - parametar, p - poluparametar, Jednačina tangente u tački T(X],yi): y,y=p(x+xi). Uvjet dodira prave y=kx+n i parabole y2=2px je: p=2kn.
3.438.Koja parabola prolazi tačkom A(4,6)? Rješenje:Uvrštavanjem koordinata tačke A u jednačinu y2=2px izračunavamo parametar 2p: 36=2p-4 => 2p = 9. Jednačina tražene parabole je y2=9x. 3.439.Prava y=x+3 je tangenta parabole.Odrediti jednačinu parabole i koordinate dodirne tačke. Rješenje:Iz jednačine tangente "čitamo" k=l, n=3.Uvrštavanjem ovih vrijednosti u uvjet dodira prave i parabole,koji mora biti ispunjen, određujemo poluparametar p: p = 2-1-3 => p=6. Jednačina parabole je y2=12x. Dodirnu tačku određujemo rješavanjem sistema: y=x+3 y=x+3 y=x+3 y=x+3 y2=12x => (x+3)2=12 x => x2+6x+9-12x=0 => x2-6x+9=0 => x=3,y=6 Dobili smo koordinate dodirne tačke (3,6). 3.440.Dokazati da su tangente povučene iz ma koje tačke direktrise parabole y2=2px na tu parabolu međusobno normalne. 89
v
.
.
2
.
.
p
RješenjeiJednačina direktrise parabole y =2px je x = - - j .Uzmimo ma koju tačku M (--j,yi) direktrise.Prave koje prolaze tačkom M imaju jednačinu y-yi=k(x+ y ) . Koeficijent pravca ove prave je k,a odsječak na y-osi je Jcp
n= — +yj. Koristeći uvjet dodira prave i parabole možemo pisati kt) p = 2k( — +yi)
=>
>
p = k2p+2kyi
^1,2
=>
pk2 + 2 y i k - p = 0
_ ~ 2y\ ± ^ 4y 2 + 4 p 2 _ - y \ ± y j y 2 + p 2 2
p
Pronašli smo koeficijente pravca ki i k2 tangenata iz tačke M.Odredimo kik2 : k k = z > v W ^ L + p2 - y \ ~ h \ 2 + p 2 _ j i 2 - ( ^ i 2 + p 2) _ - p 2 _ 1 p
p
p2
p2
Dobili smo daje kik2 = -1 , što znači da su prave normalne. 3.441.U tački T(x,-10) parabole y2=10x povučene su tangenta i normala.Napisati njihove jednačine. Rješenje:Apscisa tačke T je 10 pa tačka ima koordinate (10,-10).Tangenta parabole u tački T je: -10y=5(x+10), odnosno x+2y+10=0. Koeficijent pravca normale je k=2,pa normala ima jednačinu y+10=2(x-10), odnosno, 2x-y-30=0. 3.442.U presječnim tačkama prave 2x-y+2=0 i parabole y2=18x povučene su tangente na parabolu.Koliki je ugao između tih tangenti? Rješenje: Rješavanjem slijedećeg sistema jednačina dobićemo koordinate presječnih tačaka prave i parabole: 2x-y+2=0 y=2x+2 y=2x+2 y=2x+2 yi=3, y2=6 y2=18x => (2x+2)2=18x => 4x2+8x+4-18x=0 =>2x2-5x+2=0 => x 1=-^ ,x2=2.
Presječne tačke su S i(^ ,3) i S2(2,6). Odredimo tangente u tačkama S, i S2 i njihove koeficijente pravca k| i k2: 6y = 9(x+2)
=>
3x-2y+6=0
=>
3y = 9(x+-^-)
=>
3x-y+-^-=0
=>
Neka je ugao između tangenti a. Tad a vrijedi: 90
ki= |
■
k2= 3 .
p
tgtx= p = ------~r~ =-pr = . Zato je: logtgoHog3-logl 1 = \ + k2k{ 1+ 3 .1 11 11 2
2
= 0,47712-1,04139 = 9,43573-10, pa je a = 1 5 ° 1 5 ’. 3.443. Koliko je ugao između parabole y2=9x i hiperbole 3x2-y2= l2 ? Rješenje: Riješimo sistem jednačina y2=9x y2=9x y2=9x x=4, y=6 3x2-y2=12 => 3 x2-9 x- 12=0 => x2-3x-4=0 => x=4, y= -6 . Presječne tačke su M(4,-6) i N(4,6). 9 3 Tangenta parabole u tački N(4,6) je: 6y= —(x+4) => 4y=3x+12 => ki=—. Tangenta hiperbole u tački N(4,6) je: 12x-6y=l2 => 2x-y-2=0 => k2=2 . Ako ugao između tangenata označimo sa a, tada vrijedi: 2 1 Irlr 1 1 2 ■■■ — = ------= - . logtga=log— => logtga=logl-log2 => 14“r^2 |^2 4 2 logtga=-log2 => logtga= -0,30103 => logtga=9,69897-10 =>a=26°33'56".
tg a =
3.444.U kojoj tački je tjeme parabole koja prolazi tačkama A(3,4), B(9,10) i C(9,-2), a ima osu paralelnu sa x-osom? Rješenje: Jednačina tražene parabole ima oblik (y-yo)2 = 2p(x-x0) , pri čemu su (xo,yo) koordinate tjemena parabole. Koordinate svake tačke koja leži na paraboli zadovoljavaju njenu jednačinu,pa vrijedi: (y-yo)2 = 2p(x-x0) (4-yo)2 = 2p(3-x0) (4-y0)2 = 2p(3-x0) (y-yo)2 = 2p(x-x0) (10-y0)2 = 2p(9-Xo) (10-y0)2 = 2p(9-x0) (y-yo)2 = 2p(x-x0) => (-2-y0)2 = 2p(9-x0) => (10-y0)2 = (-2-y0)2 => (4-y0)2 = 2p(3-Xo) (10-yo)2=2p(9-Xo) yo = 4
=>
0 = 2p(3-x0) 36=2p(9-x0)
y0=4
=>
x0 = 3 p=3 y0 = 4.
Koordinate tjemena parabole su (3, 4). 3.445.Jednačina krive linije u koordinatnom sistemu xOy je 9x2-24xy+16y2-62x+41y+54=0. Odrediti jednačinu iste krive u koordinatnom sistemu koji nastaje : a) translacijom datog sistema tako daj e 0 '( 1,-1) novi koordinatni početak. 91
b) nakon izvršene translacije (pod a ) ),rotacijom oko tačke O' za ugao a za koji 3 je tg a = —. Rješenje:a) Neka je X!0'yi sistem dobijen translacijom datog xOy.Tada vrijedi x=xi+l , y=yr l . Uvrštavanjem gornjih vrijednosti u datu jednačinu krive dobijamo: 9(x,+1)2-24(x,+1)(y,-l)+l6(yr 1)2-62(Xl+ 1)+41(y,-1)+54=0 , 9(x12+2x1+l)-24(x,y1-x1+y1-l)+16(y12-2y,+l)-62x,-62+41y,-41+54=0 , 9xi2+18xi+9-24x1y 1+24x1-24y1+24+16yi2-32yi+16-62xr 62+41yi-41+54=0 9x12-24xiyi+16yi2-20x1-15yi=0 . b) Rotirajmo sistem xiO'yi oko O' za ugao a.Neka je novi sistem x'0'y'.Tada vrijedi: x t = x'cosa - y'sina , yi = x'sina + y 'c o s a . 3 3 4 Iz uslova tga= —,određujemo s in a = - i c o s a = j ,pa gornje jednačine postaju: 4 , 3 , X) = —x - —y 5 5 Dalje, dobijamo:
,
3 , 4 , yi = - x + —y . 5 5
1 5 [-x ’+ - y '] = 0 , 5 5 ~ (4x'-3y')2-
(4x’-3y')(3x+4y')+ ^ (3x'+4y')2-4(4x'-3y')-3(3x’+ 4y') = 0 ,
9(4x'-3y’)2-24(4x'-3y')(3x+4y')+16(3x+4y')2-100(4x'-3y')-75(3x+4y')=0 , 9( 16x'2-24x’y'+9y’2)-24( 12x’2+ 16x'y'-9xy-12y'2)+16(9x,2+24x’y'+16y’2) -100(4x'3y')-75(3x'+4y')=0 , 144x'2-216x’y’+8 ly,2-288x’2- 168x'y'+288y'2+l 44x'2+3 84x'y'+256y'2-400x+300y'225x'-300y'=0 , 625y'2 - 625x' = 0 i konačno , y'2 = x'. Vidimo daj e data kriva parabola čija je jednačina u koordinatnom sistemu x'0'y' predstavljena gornjom relacijom. 3.446.Data je jednačina parabole oblika y2=2px.Odrediti parametar parabole: a) y2=10x b) y2=6x c )y 2=12x 3.447.Napisati jednačinu parabole y2=2px ako je poznat poluparametar p: a) p=2 b) p=8 c)p=16 3.448.Napisati jednačinu parabole y2=2px ako je rastojanje njene žiže (fokusa) od tjemena jednako 4. 3.449.Napisati osnu jednačinu parabole koja prolazi kroz datu tačku: a) P(9,6) b)M (5,3) c)D (-l,3). 92
3.450.Ako je parabola simetrična u odnosu na y-osu i prolazi tačkom M(l,l), kako glasi njena jednačina? 3.451.Parabola je simetrična u odnosu na y-osu i prolazi tačkom D(4,-2). Napisati jednačinu parabole. 3.452.Napisati jednačinu parabole ako su koordinate fokusa F(4,0),a jednačina direktrise x+4=0. 3.453.Napisati jednačinu parabole koja ima fokus u tački F(0,-3) i prolazi kroz koordinatni početak,ako je osa parabole y-osa. 3.454.Data je parabola y2=5x.Naći tačke parabole čije je rastojanje od fokusa jednako 4. 3.455.Fokus parabole y2=2px nalazi se u presječnoj tački prave 2x-5y-8=0 i apscisne ose. Napisati jednačinu parabole. 3.456.Napisati jednačinu parabole s tjemenom u koordinatnom početku,ako: a) se parabola nalazi u gornjoj poluravni simetrično u odnosu na osu ordinata i ima parametar 2p=4, b) se parabola nalazi u donjoj poluravni simetrično u odnosu na osu ordinata i ima parametar 2p=6, c) se parabola nalazi u desnoj poluravni simetrično u odnosu na apscisnu osu i ima parametar 2p=3, d) se parabola nalazi u lijevoj poluravni simetrično u odnosu na apscisnu osu i ima parametar 2p=5. 3.457.*Napisati jednačinu parabole čije se tjeme nalazi u tački A(-4,5),a ima fokusu tački F(-2,5). Napisati jednačinu njene ose i direktrise. 3.458.Odrediti fokus i jednačinu direktrise parabole y2=24x. 3.459.Odrediti tačku M parabole y2=20x koja je od fokusa udaljena za 12. 3.460.Naći tačke presjeka parabole y“=4x i prave: a)y=x b) x+y=0 c) x-2y+4=0 d)3x-2y+l=0. 3j4(LUOdrediti tačke presjeka prave x+y-3=0 i parabole x2=4y. 3.462.0drediti tačke presjeka prave 3x+4y-12=0 i parabole y2= -9x.. 3.463.Za koje vrijednosti parametra k prava y=kx+2 : a) siječe parabolu (y2=2px) b) dodiruje parabolu c) prolazi van parabole? 3.464.Izvesti uvjet da prava y=kx+n dodiruje parabolu y2=2px. 3.465.Kroz tačke A(2,y>0) i B(18,y<0) parabole y2=8x povučena je sječica. Napisati jednačinu sječice. Napisati jednačinu tangente date parabole u datoj tački T: 3.466.a) y2=6x, T(0,0). b) y2=10x, T(10,10) c) y2=4x, T(l,-2) 3:467.a);,y2=4x , T( 1,2). b) y2=x, T( 1,-1 ) c) y2= -8x, T(-2,-4) 3.468.a) x2=6y , T ( 2 , | ).
b) x2=4y , T(2, 1)
c) x2=8y , T ( - 2 ,|) .
^ 3.469.Napisati jednačinu tangente parabole y2=3x koja je paralelna sa pravom x-4y+8=0 . 93
OJ OJ OJ OJ OJ
3.470. Odrediti jednačinu tangente parabole y2=8x koja je paralelna sa pravom 2x+2y-3=0. 3.471. Napisati jednačinu tangente parabole y2=16x koja je normalna na pravoj x+2y-5=0 . 3.472. Napisati jednačinu tangente parabole x2=16y koja je normalna na pravoj 2x+4y+7=0. 3.473.'Napisati jednačinu tangente parabole y2=24x koja je povučena iz v-— tačke P(3,9). 3.474. Napisati jednačinu tangente parabole y2=36x koja je povučena iz tačke A(2,9). 3.475. Tačkom A(5,9) povučene su tangente na parabolu y2=5x.Odrediti jednačinu tetive koja spaja tačke dodira. 3.476. U presječnim tačkama prave 2x-y+2=0 i parabole y2=18x povučene su tangente na parabolu.Izračunati ugao između tih tangenti. 3.477. Iz tačke P(-3,12) povučene su tangente na parabolu y2=10x.Izračunati rastojanje d, tačke P od prave koja prolazi tačkama dodira. ,478,Odrediti presječne tačke elipse 9x2+4y2=900 i parabole y2=24x. .479,Odrediti presječne tačke hiperbole x2-4y2= -20 i parabole y2=3x. .480.Odrediti presječne tačke parabola y=x2-2x+l i x=y2-6y+7. .481.Odrediti tačke presjeka krivih y2=12x i 16x2+25y2=400. ,482.Centar kružnice se poklapa sa fokusom parabole y2=8x.Kružnica dodiruje direktrisu parabole.Napisati jednačinu kružnice i odrediti koordinate tačaka presjeka kružnice i parabole.Nacrtati crtež. 3.483.Naći najkraće rastojanje parabole y2=64x od prave 4x+3y+46=0. 20 3.484.Odrediti jednačine zajedničkih tangenata krivih y2=I^ -x i 20x2+45y2=900. 3.485.Pod kojim uglom se sijeku kružnica x2+y2-3x+7y-48=0 i parabola y2=4x 3.486.Nađi jednačinu prave koja prolazi fokusom parabole y2=12x i na kojoj parabola odsijeca tetivu dužine 16. 3.487.U parabolu y2=4xje upisan jednakokraki trougao čija osnovica leži na pravoj y=x-3. Odrediti koordinate vrhova trougla. 3.488.Naći geometrijsko mjesto tačaka iz kojih se parabola y2=2px vidi pod pravim uglom. 3.489.*Naći geometrijsko mjesto središta kružnica koje prolaze kroz datu tačku i dodiruju datu pravu. 3.490.*Naći geometrijsko mjesto centara kružnica koje dodiruju y-osu i kružnicu x2+y2= l.
94
3.491 ,*Iz fokusa parabole y2=24x pod oštrim uglom a prema x-osi usmjerenje zrak svjetlosti koji se od parabole odbija.Napisati jednačinu prave po 3
kojoj se kreće odbijeni zrak ako je tg a = — . 3.492.*Iz fokusa parabole y2=12x pod oštrim uglom a prema x-osi usmjerenje zrak svjetlosti koji se od parabole odbija.Napisati jednačinu prave po kojoj 3 se kreće odbijeni zrak ako je tgoc= — . KRIVE DRUGOG REDA - RAZNI ZADACI 3.493.Odrediti geometrijsko mjesto središta svih kružnica koje dodiruju date kružnice x2+y2=9 i (x-5)2+y2=4 izvana. 3.494.Dokazati:Ako normala u svakoj tački elipse prolazi središtem elipse,elipsa je kružnica. 3.495.0drediti središte,tjemena,ekscentricitet i fokuse elipse 4x2+9y2+ 16x-18y-11=0. 3.496.Odrediti jednačinu elipse čije su ose 2a=8 i 2b=4,središte u tački S(2,-3),a velika je osa paralelna sa x-osom. 3.497.Koordinatni početak O je translatiran u tačku 0 '( 1,-2).Odrediti jednačinu krive x2+2y2-2x+8y+8=0 u novom koordinatnom sistemu. 3.498.Ako se koordinatni sistem xOy translatira tako da se koordinatni početak nađe u tački 0'(-5,l),odrediti jednačinu krive y2=2x u novom sistemu. 3.499.Odrediti translaciju koordinatnog sistema xOy,tako da kriva x2+4xy+y2-6x-3=0 u novom sistemu ima jednačinu u kojoj nema linearnih članova. 3.500.Isto kao u prethodnom zadatku za krivu: x2+xy-3x-y+l=0 . 3.501.Koju translaciju koordinatnog sistema xOy treba izvršiti da bi jednačina elipse x2+5y2-8x+l 1=0 prešla u kanonski oblik? 3.502.Napisati jednačinu krive 52x2-72xy+73y2 = 225 u koordinatnom sistemu koji nastaje rotacijom datog oko koordinatnog početka za ugao a za koji 3 je tg«— 3.503.Data je jednačina parabole y=2x2+6x+7.Napisati ovu jednačinu u kanonskom obliku (y2=2px).Naći rastojanje od fokusa do direktrise. 3.504.Odrediti jednačine krivih: a) 12x2+12xy-4y2=l b) 6x2-4xy+3y2=2 c) 2xy=l , u koordinatnom sistemu koji nastaje rotacijom datog tako da jednačine ne sadrže član sa xy. Riješiti date kvadratne nejednačine: 3.505. x2+y2< l. 3.506. x2+y2>9 3.507.(x+2)2+(y-3)2<16 3.508. (x+2)2+(y-3)2>16 3.509. x2+y2+8x-2y+l>0. 3.510. x2+3y2<9 3.511. x2+9y2>27 95
Riješiti sistem nejednačina: 3.512.a) x2+y2< l i (x-3)2+y2>4. b) x2+y2<9 i (x+2)2+y2> l. 3.513.a) x2+y2-4<0 i (x -l)2+y2-4>0. b) x2+y2-4x-5<0 i x2+4y2>4. 3.514.* Zadane su krive x2+y2=2 i y2=8x.Nađi: a) jednačine njihovih zajedničkih tangenata, b) dužinu tangente između tačaka dodira. 3.515.* Zadane su krive 3x2-y2=12 i y2=16x.Nađi jednačine njihovih zajedničkih tangenata. 3.516.* Kako glasi jednačina kružnice koja prolazi ishodištem i dodiruje kružnicu (x-4)2+(y-4)2=4 u tački M(4,2)? 3.517.* Kako glasi jednačina kružnice koja dodiruje x-osu u ishodištu i dodiruje kružnicu (x-6)2+(y-13)2=25 ? 3.518.* Elipsa prolazi kroz tačke A(6,4) i B(8,3),a parabola kroz tačku C(3,6). Kojim tačkama prolaze obje krive? 3.519.* Normala elipse dijeli apscisu tačke dodira u odnosu koji je stalan i jednak e2:a2. Dokazati ! 3.520.* Kako se odnose površine odsječaka koje prava y=4 odsijeca na krugu K (3,l, V l8 )? 3.521.* Odrediti geometrijsko mjesto sredina duži koje spajaju proizvoljnu tačku hiperbole 9x2-16y2=144 sa koordinatnim početkom. 3.522.* Odrediti geometrijsko mjesto tačaka u ravni čiji je odnos rastojanja od tačke M(5,0) i prave 5x=l 6 jednak
.
3.523.* U trouglu ABC dati su vrhovi A(-3,0) i B(3,0).Uglovi na osnovici zadovoljavaju relaciju tg a tgB= -4. Koju krivu opisuje vrh C? Odredi jednačinu te krive?
96
