Actividad 1: solución de problemas por gráfico
Investigación de operaciones Código: 69203
DIEGO ANDRES RAMIREZ GUTIERREZ
CORPORACION UNIFICADA DE EDUCACION SUPERIOR. CUN ADMINISTRACION DE EMPRESAS 07 de octubre del 2014
Soluciona los siguientes problemas por el método gráfico 1. La compañía financiera Madison tiene un total de $20 millones asignados a préstamos para adquisición de casas y automóviles. En promedio, la tasa anual de recuperación para las casas es del 10% y del 12% para los autos. La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios tiene que ser mayor o igual a 4 veces la cantidad total de préstamos para autos. ¿Cuál es la cantidad total de los préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el monto de recuperación? Función Objetivo: Maximizar monto recuperado Solución: X1= cantidad de millones asignados para adquisición de casas.
X2= cantidad de millones asignados para adquisición de automóviles.
MAX: Z=
S.A
0.10 X1 + 0.12 X2
X1 + X2 ≤ 20
X1 ≥ 4 X2
X1 ≥ 0, X2 ≥ O
Primero identificamos las variables del problema, que son: = cantidad de millones asignados para adquisición de casas = cantidad de millones asignados para adquisición de automóviles Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto a la cantidad disponible para adquisiciones y a la cantidad asignada a cada préstamo. Para el monto total tenemos que:
Mientras para la cantidad total de préstamos hipotecarios y para automóviles tenemos que:
Considerando que no se puede prestar cantidades negativas, tenemos que considerar que: y Además como el objetivo del problema es maximizar el monto de recuperación la función objetivo es:
Por lo tanto el modelo asociado es:
a) Formulación del modelo matemático
b) Solución del modelo matemático
c) Aplicación del modelo como solución del problema origina
La respuesta correcta es: b) ya que se tiene la solución de modelo matemático.
2. Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han vendido dos modelos, de manera que se limitará a producir éstos. Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7 horas del tiempo disponible, mientras el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $120 y $80, respectivamente. ¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta?
a) Formulación del modelo matemático
b) Solución del modelo matemático
c) Aplicación del modelo como solución del problema origina
X1 = Cantidad de biombos tipo I a fabricar X2 = Cantidad de biombos tipo II a fabricar
MAX: Z =
S.A
120 X1 + 80 X2
2 X1 + X2 ≤ 6 unidades de madera)
7 x1 + 8 x2 ≤ tiempo disponible)
X1, X2 ≥ 0
El modelo asociado es:
Donde es el número de biombos del modelo I y biombos del modelo II.
es el número de
3. La compañía financiera Madison tiene un total de $20 millones asignados a préstamos para adquisición de casas y automóviles. En promedio, la tasa anual de recuperación para los primeros es del 10% y del 12% para los segundos. La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios tiene que ser mayor o igual a 4 veces la cantidad total de préstamos para autos. ¿Cuál es la cantidad total de los préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el monto de recuperación?
Prestamos totales = prestamos hipotecarios + prestamos para autos Monto de recuperación = tasa hipotecaria * Monto hipotecario + tasa automotriz * Monto automotriz Tasa hipotecaria = Th = 0.10 y Tasa automotriz = Ta = 0.12 como Ta > Th, es lógico y obvio suponer que entre más prestamos de auto hagamos, más dinero ganaremos y el Monto de recuperación será mayor... pero tenemos la restriccion de que el monto hipotecario (Mh) debe ser 4 veces o
más que el monto automotriz (Ma): Mh >= 4Ma Ma debe ser el máximo y Mh el minimo, por lo tanto escogemos que Mh = 4 Ma, que es la condicion para que Ma sea el máximo y cumpla que Mh sea al menos 4 veces Ma. entonces Mh = 4Ma y Mh + Ma = 20,000,000 por tanto: 4Ma + Ma = 5Ma = 20,000,000 Ma = 20,000,000 / 5 = 4,000,000 y como Mh = 20,000,000 - Ma = 20,000,000 - 4,000,000 = 16,000,000
4. Cierta empresa produce dos artículos que se procesan a partir de dos departamentos: ensamble y acabado. El primer departamento dispone de 120 horas semanales y el segundo 96. la fabricación del producto A1 requiere 4 horas de proceso de ensamble y 5 horas de acabado, en tanto que el producto A2 necesita 2 y 3 horas respectivamente. La utilidad para A1 es de $16.000, mientras que para A2 es de $12.000. ¿Qué cantidad de cada producto se debe producir anualmente para que la utilidad sea máxima? ¿Cuál es el margen de utilidad? La solución al problema es para tiempo comercial (48 semanas).
Producto
Hrs. Ensamble
Hrs. acabado
Utilidad
A1
4
2
$16000.
A2
5
3
$12000
a) Determinar el objetivo : maximizar la ganancia. b) Definir variables : Z= ganancia X1 = Nª de productos tipo A1 a producir; C1 = $ 16.000 / producto. X2 = Nª de productos tipo A2 a producir : C2 = $ 12.000 / producto. c). Establecer restricciones : 1). Tiempo
Departamento de Fabricación : 120 horas semanales
Departamento de ensamble: 96 horas semanales.
Construcción del modelo del problema (fase II). a). Funcion objetivo : Max Z = 8X1 + 10 X2 b). Sujeta a las restricciones :
Departamento de Fabricación : 2X1 + 3X2 " 72
Departamento de ensamble : X1 + X2 " 30
Departamento de pintura : X1 + 2X2 " 40
c). No - Negatividad : X1 " 0; X2 " 0 Sistema de Restricciones Sistema de Ecuaciones 2X1 + 3X2 " 72 2X1 + 3X2 + H1 = 72 X1 + X2 " 30 X1 + X2 + H2 = 30 X1 + 2X2 " 40 X1 + 2X2 + H3 = 40 H1 ; H2 y H3, Con costo cero Función Objetivo : Max Z = 8X1 + 10X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 Sistema de ecuaciones : 2X1 + 3X2 + H1 + 0H2 + 0H3 = 72 X1 + X2 + 0H1 + H2 + 0H3 = 30 X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + H3 = 40 No - Negatividad : X1 "0 ; X2"0 ; H1"0 ; H2"0 ; H3"0. Tabla inicial ( tabla n° 1). Tabla N°1: Entra X2 (a2: seleccionada). Función objetivo. Cj 8 10 0 0 0 Vb bj X1 X2 H1 H2 H3 0 H1 72 2 3 1 0 0 0 H2 30 1 1 0 1 0 0 H3 40 1 2 0 0 1 Sale H3 (R3 seleccionado)
Conclusión: La compañía deberá elaborar 20 productos tipo A1 y 10 productos
tipo A2; para obtener la Máxima utilidad de $ 260, a la semana.
5. Bimbo S.A. fabrica dos tipos de tortas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 Kg. de A, 90 Kg. de B y 150 Kg. de C. Para fabricar una torta T1debe mezclar 1 Kg. de A, 1Kg. de B y 2 Kg. de C, mientras que para hacer una torta T2se necesitan 5 Kg. de A, 2 Kg. de B y 1 Kg. de C. (Modelar el problema y resolver por método gráfico y posterior sensibilización y análisis)
x= n: de tartas T1 y= n: de tartas T2 La función objetivo es: f(x, y)=1000x+2300y La tabla de contingencia es:
BIMBO S.A
Ingrediente A
Ingrediente B
Ingrediente C
Tarta T1
1
1
2
Tarta T2
5
2
1
Restricciones:
Zona de soluciones factibles:
Vértices: A(0, 30) B intersección de r.s:
C intersección de s,t:
D (75, 0)
Valores de la función objetivo:
Hay que fabricar 50 tartas T1 y 20 tartas T2 para un beneficio máximo de 96000 pesos. a. Llamemos ahora p al nuevo precio de la tarta T2. La función objetivo es entonces f(x, y)=1500x+py Siendo iguales las restricciones. Si una solución óptima consiste en fabricar 60 tartas T1 y 15 T2, se tendrá que: f(60, 15)=f(p)=1500.60+15p es máximo Para los puntos A, B, C y D anteriores:
Se ha de cumplir, el el punto (60, 15) ha de ser máximo que:
El menor valor que cumple esta condición es p=3000 pesos y con él el beneficio sería: pesos.
6. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 zonas de ensamble. En la zona A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En la zona B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la zona A dispone de 300 díasoperario, y la zona B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 16 millones de pesos y de 9 millones por cada auto. (Modelar el problema y resolver por ecuación matricial)
x= n: de camiones fabricados. y= n: de coches fabricados. La función a maximizar es: f(x, y)=16x+9y La tabla de días-operario para cada nave es: Días-operario (camión)
Días-operario (coche)
Nave A 7
2
Nave B 3
3
Las restricciones:
La zona de soluciones factibles es:
Siendo los vértices: A(0, 90) B intersección de r,s:
En los que la función objetivo toma los valores: x= n: de camiones fabricados. y= n: de coches fabricados. La función a maximizar es: f(x, y)=6x+3y La tabla de días-operario para cada nave es: Días-operario (camión)
Días-operario (coche)
Nave A 7
2
Nave B 3
3
Las restricciones:
La zona de soluciones factibles es:
Siendo los vértices: A(0, 90) B intersección de r,s:
En los que la función objetivo toma los valores:
Hay que fabricar 24 camiones y 66 coches para un beneficio máximo de 342 millones de pesos.
Hay que fabricar 24 camiones y 66 coches para un beneficio máximo de 976 millones de pesos.
