Abelardo Puccini (Auth.)-Matemática Financeira Objetiva e Aplicada (2012)

Matemática Financeira Objetiva e Aplicada

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Abelardo de Lima Puccini

冢 Matemática Financeira Objetiva e Aplicada 9ª edição revista e atualizada

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Nota: Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação, impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação ao nosso Serviço de Atendimento ao Cliente, para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão. Nem a editora nem o autor assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ou perdas a pessoas ou bens, originados do uso desta publicação.

CIP-Brasil. Catalogação-Na-Fonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ. P972m 9.ed. Puccini, Abelardo de Lima, 1942Matemática financeira: objetiva e aplicada / Abelardo de Lima Puccini, Adriana Puccini. - 9.ed. - São Paulo: Elsevier, 2011. Acompanhado do CD ISBN 978-85-352-4672-8 1. Matemática financeira. I. Puccini, Adriana. II. Título. 11-1794. 31.03.11

CDD: 650.01513 CDU: 51-7 01.04.11

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À minha mulher, Zelia, companheira e parceira inseparável, e ao meu filho Eduardo, amigo e incentivador permanente. À minha filha Adriana, um agradecimento especial pela contribuição nas últimas edições do livro, com ideias inovadoras, o que a credencia como a minha natural sucessora na atualização do livro para garantir a sua permanência no mercado em posição de destaque.

SOBRE O AUTOR

Abelardo de Lima Puccini é Engenheiro Civil pela PUC/RJ, formado em 1964, com curso de mestrado em Engenharia Econômica obtido na Universidade de Stanford, Califórnia, em 1967. De 1967 a 1970 foi Professor Associado do Departamento de Engenharia Industrial e do Rio Datacentro da PUC/RJ, em regime de tempo integral. De 1970 a 1979 exerceu funções executivas na área financeira de empresas do governo (Vale do Rio Doce, Nuclebrás e BNDES). Atuou como Diretor Financeiro da Aracruz Celulose de 1979 a 1983 e, em seguida, foi Superintendente Geral da Bolsa de Valores do Rio de Janeiro até o final de 1988, quando assumiu a função de Presidente Executivo do Grupo Supergasbras, onde permaneceu até 1992. De 1993 a 1997 atuou como Diretor Administrativo Financeiro da Casas Sendas. No sistema Petrobras exerceu as funções de Diretor Financeiro da Petrobras Distribuidora (2001 a 2003) e de Presidente da Liquigás Distribuidora (2004 e 2006). É professor de Matemática Financeira, Análise de Investimentos e Fundamentos de Finanças em programas de pós-graduação de diversas instituições de ensino, do governo e da área privada.

PREFÁCIO À 9a EDIÇÃO Matéria obrigatória nas escolas de Administração, Economia e Finanças, a Matemática Financeira e suas aplicações no campo das finanças e na avaliação de investimentos encontra no livro do Professor Abelardo Puccini um rico depositório de conceitos teóricos e práticos. Talvez seja uma das mais marcantes características do livro “Matemática Financeira Objetiva e Aplicada” a forma didática, clara e pragmática como o autor apresenta a matéria, utilizando convenções e simbologias internacionais de fácil compreensão. Os temas são desenvolvidos a partir de exemplos costumeiramente encontrados no mercado, dispensando o leitor de grandes conhecimentos matemáticos para a leitura e compreensão do conteúdo da obra. O Professor Puccini, ao longo de sua brilhante carreira profissional, notadamente na área financeira, não só aproveitou o seu conhecimento prático como teve o mérito de manter seu livro sempre atualizado, desde a primeiríssima edição (1977), bem como incorporou novas tecnologias na solução de problemas. Dessa forma, o livro tornou-se uma referência permanente no mercado financeiro, o que justifica sua indicação como livro-texto em cursos universitários, bibliografia obrigatória para concursos públicos de instituições governamentais e fonte de consulta no sistema financeiro. Foi pioneiro na utilização da calculadora HP-12C para a solução de problemas financeiros anteriormente resolvidos somente com o auxílio de Tabelas Financeiras. Posteriormente incorporou a Planilha Eletrônica Excel como ferramenta de apoio no tratamento de problemas mais complexos. Esta 9a edição traz, como parte integrante do livro, um CD que disponibiliza um Banco de Questões com 200 problemas selecionados, o que oferece ao leitor a oportunidade de testar seus conhecimentos por meio de provas com questões de múltipla escolha. O programa faz automaticamente a correção de cada questão, com a possibilidade de acessar a solução do autor e, no final, fornece o resultado da prova. Particularmente interessante é o Capítulo 11, que apresenta com clareza e objetividade os Métodos de Análise de Investimentos, ferramentas amplamente usadas na análise da viabilidade econômica de projetos e indispensáveis à tomada de decisão sobre alternativas de investimento, matéria de fundamental importância para executivos da área financeira. O sucesso desta obra do Professor Puccini, um clássico na literatura econômica do país, é atestado pelos mais de 200 mil exemplares vendidos, marca rara quando se trata de matéria especializada, cujo público-alvo é normalmente reduzido. Sua leitura é, a meu ver, indispensável a uma sólida formação acadêmica dos estudantes das áreas de Administração, Economia e Finanças, além de altamente recomendada aos analistas de projetos e do mercado financeiro e de capitais.

X

Matemática Financeira

O Professor Puccini, nesta edição do seu livro, atualiza e aperfeiçoa edições anteriores, mantendo a Matemática Financeira acessível a especialistas e a leigos. Esse é o legado máximo que pode alcançar um escritor. Sergio Franklin Quintella Vice Presidente – FGV/RJ

NOTA DO AUTOR À 9a EDIÇÃO

A maioria dos livros de Matemática Financeira costuma apresentar a matéria com uma simbologia complexa, e com o desenvolvimento de fórmulas para cada situação específica, criando, assim, um mito de dificuldade para o seu aprendizado. Privilegiamos em todas as edições o aspecto prático da matemática financeira, apresentando os conceitos por meio de exemplos resolvidos pela calculadora HP-12C e pela planilha eletrônica Excel. Entendemos que a grande aceitação dessas duas ferramentas de trabalho pelos profissionais do mercado, justifique plenamente a permanência de ambas nesta edição. Apesar desse enfoque simples e prático, os conhecimentos adquiridos neste livro permitem a solução de problemas que envolvem o manuseio de qualquer fluxo de caixa, independente do grau de sua complexidade. Essa especificidade faz deste livro referência no meio acadêmico e em concursos públicos de relevantes instituições do Governo. Nesta 9a edição a simbologia adotada ao longo do livro na apresentação dos fluxos de caixa, utiliza a nomenclatura da calculadora HP-12C (n, i, PV, FV e PMT), o que já se tornou uma marca registrada desta obra. Em relação à estrutura do livro, os nove primeiros capítulos são desenvolvidos na hipótese de moeda estável, sem inflação, de acordo com o tratamento convencional da matéria. Essa moeda é representada genericamente pelo símbolo $, que pode corresponder à moeda corrente de qualquer país com economia estável, sem inflação. No Capítulo 10 – Fluxos de Caixa e Inflação, mostramos a aplicação da Matemática Financeira quando a moeda não é estável, ou seja, quando há perda de valor do dinheiro em função do fenômeno da inflação. O Capítulo 11 – Métodos de Análise de Investimentos, merece destaque, na medida em que apresenta uma das aplicações mais importantes da Matemática Financeira: a análise dos fluxos de caixa para a tomada de decisões de investimentos. O “CD do Leitor”, cujo conteúdo está resumido em nota específica do autor, foi incluído a partir da 8a edição como parte integrante da obra. Seu principal objetivo foi o de oferecer ao leitor uma alternativa digital para colocar em prática os conhecimentos adquiridos ao longo do livro. Para isso, desenvolvemos um Banco de Questões interativo, abrangendo todo o conteúdo da obra, com 200 problemas propostos e resolvidos. Além disso, o CD contém o arquivo – em Excel – do Simulador da HP-12C e os três apêndices do livro (Apêndice A – Utilização da HP-12C, Apêndice B – Funções Financeiras do Excel e Apêndice C – Uso de Tabelas Financeiras). Os dois primeiros devem ser lidos por aqueles que estão tendo o primeiro contato com esses instrumentos

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de apoio, para facilitar o aprendizado da matéria. O terceiro deve ser lido por aqueles que estão se preparando para concursos públicos que não permitem a utilização de calculadoras financeiras. Disponibilizamos na Internet pelo site www.elsevier.com.br/puccinicompleta o Simulador da HP-12C, os três apêndices e artigos técnicos de Matemática Financeira, e oferecemos aos professores cadastrados as soluções dos problemas propostos e amplo material didático para o preparo das aulas. Abelardo de Lima Puccini

NOTA DO AUTOR SOBRE O CONTEÚDO DO CD

A partir da 8a edição passamos a incluir o “CD do Leitor” como parte integrante da obra, com a principal finalidade de oferecer ao leitor uma alternativa digital para colocar em prática os conhecimentos adquiridos no livro texto e, assim, desenvolvemos um Banco de Questões interativo com 200 problemas propostos e resolvidos, abrangendo todo o conteúdo da obra. O Banco de Questões, principal aplicativo deste CD, tem uma estrutura de fácil uso e oferece ao leitor duas opções de provas, com respostas de múltipla escolha: ra prova customizada, onde o leitor tem a flexibilidade de criar a sua própria prova, definindo os capítulos do livro que nela devem ser incluídos, a quantidade de questões e o nível de dificuldade das mesmas (alta, média ou baixa); ra prova padronizada, com 10 questões, gerada automaticamente pelo sistema, composta por problemas de todos os capítulos do livro, a partir dos três níveis de dificuldade. O sistema faz automaticamente a correção de cada questão e, no final, fornece o resultado da prova. Na solução dos problemas o leitor pode utilizar o Simulador da HP-12C e ter acesso à solução do autor para todos os problemas propostos. Além do Banco de Questões o “CD do Leitor” inclui os seguintes conteúdos: rSimulador da HP-12C O Simulador da HP-12C é um arquivo Excel que reúne as suas principais funções financeiras com uma apresentação esquemática para facilitar o registro dos dados, e que tem uma aparência semelhante à calculadora HP-12C, na medida em que apresenta na sua parte superior as teclas n, i, PV, PMT e FV e na sua parte inferior o visor da calculadora. Ele é utilizado na solução dos problemas do livro, de forma simples e didática, como se fosse a própria calculadora HP-12C. A sua montagem está explicada, em detalhes, no Apêndice B – Funções Financeiras do Excel. rApêndice A – Utilização da HP-12C Neste Apêndice mostramos as operações básicas da calculadora e a utilização das suas principais funções financeiras na solução de problemas, que também são resolvidos por meio do Simulador da HP-12C. A sua leitura é recomendada para os leitores que estão tendo o primeiro contato com a matéria. rApêndice B – Funções Financeiras do Excel Neste Apêndice apresentamos uma revisão das nomenclaturas e convenções adotadas na representação de fluxos de caixa e mostramos a forma de operar das principais funções financeiras da planilha Excel, com todos os detalhes da montagem do Simulador da HP-12C. A sua leitura é recomendada para os leitores que estão tendo o primeiro contato com a matéria.

XIV


rApêndice C – Uso de Tabelas Financeiras Neste Apêndice apresentamos o Uso das Tabelas Financeiras, método tradicional da matemática financeira, na solução de problemas mediante a utilização única e exclusiva de fatores preestabelecidos. Sua leitura é recomendada para os leitores que pretendem fazer concursos públicos que, normalmente, não permitem o acesso às calculadoras e/ ou planilhas eletrônicas. rMaterial Adicional Neste segmento apresentamos artigos sobre temas importantes relacionados à Matemática Financeira, tais como “Cálculo de Debêntures”, “Projeções Financeiras”, e “Ano Civil x Ano Comercial”. Abelardo de Lima Puccini

SIMBOLOGIA E CONVENÇÕES ADOTADAS – HP-12C

PV

i 0

FV

PMT

i 1

i 2

i 3

i 4

PV

i ...

i n

0

Final de período – série postecipada END

FV

PMT

i

i

1

2

i 3

i 4

n

–

número de períodos de capitalização de juros;

i

–

taxa de juros em cada período de capitalização;

PV –

valor presente, capital inicial aplicado, principal;

FV –

valor futuro, montante no final de n períodos de capitalização; pagamentos periódicos de mesmo valor, que ocorrem: no final de cada período (END), ou no início de cada período (BEGIN).

Fórmulas interligando PV, PMT e FV – convenção de final de período:

FV = PV[(1 + i)n ]

...

Início de período – série antecipada BEGIN

em que:

PMT –

i

PV = FV

1 ⎤ ⎥ (1 + i)n ⎥⎦

PMT = PV

i(1 + i)n ⎤ ⎥ (1 + i)n − 1 ⎥⎦

PV = PMT

(1 + i)n − 1 ⎤ ⎥ i(1 + i)n ⎥⎦

PMT = FV

⎤ i ⎥ n (1 + i) − 1 ⎦⎥

FV = PMT

(1 + i)n −1 ⎤ ⎥ i ⎥⎦

n

XVI


Observações:

r VUJMJ[BSTFNQSFBDPOWFOÉÈPEFàOBMEFQFSÎPEP BQFTBSEFB)1$QFSNJUJS o uso da convenção de início de período; r BVOJEBEFEFUFNQPEBUBYBEFKVSPT J EFWFTFNQSFDPJODJEJSDPNBVOJEBEF de tempo dos períodos (n); r PWBMPSEFOQPEFTFSGSBDJPOÃSJP r TÈPTFNQSFJOUFSMJHBEPTPTDJODPFMFNFOUPTEPáVYPEFDBJYB O JFNBJTPT valores monetários PV, FV e PMT); r PWBMPSNPOFUÃSJP 17 '7PV1.5 RVFOÈPQBSUJDJQBSEPQSPCMFNBEFWFTFS registrado com o valor igual a zero.

Capítulo

Conceitos Básicos e Simbologia

1 1.1.

Introdução

Este capítulo introduz os conceitos básicos e os principais fundamentos que norteiam o estudo da Matemática Financeira. São apresentados os conceitos de fluxo de caixa e, ainda, as convenções e simbologias adotadas nas suas representações. O valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos interligados e indispensáveis ao desenvolvimento do estudo da Matemática Financeira.

1.2.

Fluxo de Caixa – Conceitos e Convenções Básicas

Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Podemos ter fluxos de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de operações financeiras etc. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos. A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros, ou esquematicamente, como na Figura 1.1: FIGURA 1.1

Fluxo de caixa

(⫺) $

(⫺) $

(⫺) Pagamento

0

1

(⫺) $

(⫹) $

(⫹) Recebimento

2

3

Eixo horizontal: Tempo (Períodos)

...

n

2


Em que são respeitadas as seguintes convenções: a) a escala horizontal representa o tempo, dividido em períodos descontínuos, expresso em dias, semanas, meses, trimestres, semestres ou anos. Os pontos 0, 1, 2, 3, ..., n substituem as datas de calendário, e são estipulados em função da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 representa a data inicial (hoje), o ponto 1 indica o final do 1o período e assim por diante; b) os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais; c) os valores monetários só podem ser colocados no início ou no final de cada período, dependendo da convenção adotada. Nenhum valor pode ser colocado ao longo dos períodos, uma vez que eles não são contínuos. Assim, quando os períodos correspondem a trimestres, não há condição de se indicar um valor ao longo do trimestre. Uma solução possível, nesse caso, é diminuir a unidade de tempo dos períodos, por exemplo, para meses; d) saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas por setas apontadas para baixo; e) entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima.

1.3.

Juros

1.3.1.

Conceito

Define-se juros como sendo a remuneração do capital, a qualquer título. Assim, são válidas as seguintes expressões como conceitos de juros: a) remuneração do capital empregado em atividades produtivas; b) custo do capital de terceiros; c) remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. 1.3.2.

Unidade de Medida

Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia). Exemplos: 12% ao ano ⫽ 12% a.a. 4% ao semestre ⫽ 4% a.s. 1% ao mês ⫽ 1% a.m. A obtenção do valor dos juros do período, em unidades monetárias, é sempre feita pela aplicação da taxa de juros sobre o capital aplicado. Assim, por exemplo, um

Ca p í t u l o 1 – Con c eitos Básic os e Simbol ogia

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capital de $1.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a. proporciona, no final de um ano, um valor de juros igual a: 8% ⫻ $1.000,00 ⫽ (8/100) ⫻ 1.000,00 ⫽ $80,00 1.3.3.

Regimes Adotados

Os regimes de juros estudados na Matemática Financeira são conhecidos como juros simples e juros compostos. No regime de juros simples, apenas o capital inicial, também chamado de principal, rende juros. Nesse regime os juros de cada período, que não forem pagos no final do período, não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. O regime de juros simples é apresentado nos Capítulos 2 e 3. No regime de juros compostos, os juros de cada período, que não forem pagos no final do período, são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render juros. O regime de juros compostos é apresentado nos Capítulos 2 e 4. É importante ressaltar que a capitalização ou não de juros só tem sentido quando os juros do período não são pagos, pois, em havendo o pagamento dos juros do período, não há porque falar na sua capitalização.

1.4.

O Valor do Dinheiro no Tempo

Do ponto de vista da Matemática Financeira, $1.000,00 hoje não são iguais a $1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por período. Assim, um capital de $1.000,00 aplicado hoje, com uma taxa de juros de 8% a.a., implicará um rendimento anual de $80,00, proporcionando um montante de $1.080,00 no final de um ano. Para uma taxa de juros de 8% a.a., é indiferente termos $1.000,00 hoje ou $1.080,00 daqui a um ano. Um capital de $1.000,00 hoje somente será igual a $1.000,00 daqui a um ano na hipótese de a taxa de juros ser considerada igual a zero. A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros. Eis os mandamentos fundamentais da Matemática Financeira que nunca podem deixar de ser observados: a) valores de uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas e somadas algebricamente;

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b) valores de datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas e somadas algebricamente após serem movimentadas para uma mesma data, com a correta aplicação de uma taxa de juros.

1.5.

A Matemática Financeira

A Matemática Financeira tem como objetivos principais: a) a realização de cálculos em fluxos de caixa, com a correta aplicação de taxas de juros, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo; b) a obtenção da taxa interna de juros que está implícita nos fluxos de caixa; c) a análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa.

1.6.

Moeda Estável e Inflação

Nos nove primeiros capítulos, a matéria está desenvolvida na hipótese de moeda estável, isto é, assume-se que a moeda utilizada no fluxo de caixa mantém o mesmo poder aquisitivo ao longo do tempo. Essa moeda é genericamente representada pelo símbolo $, e pode corresponder ao real, ao dólar americano, à coroa sueca, ao euro, ou à moeda de qualquer país com economia estável. O Capítulo 10 mostra os reflexos da inflação na análise dos fluxos de caixa, segundo os Modelos Prefixado e Pós-Fixado. Os conceitos de Matemática Financeira, entretanto, são integralmente aplicáveis tanto nos fluxos de caixa sem inflação, expressos em moeda estável “forte”, como nos fluxos de caixa com inflação, expressos em moeda “fraca”, que perde seu poder aquisitivo ao longo do tempo, em decorrência da inflação. A diferença básica existente nos dois modelos corresponde ao valor do percentual da taxa de juros a ser adotado em cada caso. É evidente que nenhum conceito de Matemática Financeira sofre qualquer alteração pela mera variação do valor da taxa de juros.

1.7.

Simbologia Adotada

A simbologia e a convenção utilizadas em todo o compêndio para os diversos elementos de um fluxo de caixa, tal como nas edições anteriores, são idênticas àquelas adotadas pela HP-12C, calculadora financeira de grande uso no mercado. As grandezas monetárias podem ser representadas no fluxo de caixa de acordo com as convenções de final de período e de início de período, que são apresentadas a seguir. 1.7.1.

Convenção de Final de Período – Série PMT Postecipada

A representação dos fluxos de caixa, de acordo com essa convenção, se faz segundo o Diagrama Padrão, indicado a seguir:

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FIGURA 1.2

Convenção de final de período – série PMT postecipada – diagrama padrão

FV PMT

PV

i 0

i 1

i 2

i 3

i ...

i n⫺1

n

Pela convenção de final de período, todos os valores monetários que ocorrem durante um período são indicados no final do período correspondente, uma vez que não podem ser representados ao longo dos períodos, pois os mesmos não são contínuos. Os elementos desse Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa estão definidos a seguir. Calculadora HP-12C A Calculadora HP-12C adota as seguintes convenções e simbologias para definir os elementos do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa: n

Número de períodos de capitalização de juros, expressos em anos, semestres, trimestres, meses ou dias, podendo tomar os valores 0, 1, 2, 3… Assim, por exemplo, se os períodos correspondem a meses temos: n ⫽ 0 indica a data de hoje, ou a data do início do 1o mês; n ⫽ 1 indica a data do final do 1o mês e assim por diante.

i

Taxa de juros por período de capitalização, expressa em porcentagem, e sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, trimestre, mês ou dia). Por exemplo: i = 10% ao ano = 10% a.a. = 10/100 = 0,10

PV

Valor presente (“Present Value”), ou seja, valor do capital inicial (principal) aplicado. Representa, na escala horizontal do tempo, o valor monetário colocado na data inicial, isto é, no ponto correspondente a n = 0.

FV

Valor futuro (“Future Value”), ou seja, valor do montante acumulado no final de n períodos de capitalização, com a taxa de juros i. Representa, na escala horizontal do tempo, os valores monetários colocados nas datas futuras, isto é, nos pontos correspondentes a n = 1, 2, 3…

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PMT

Valor de cada prestação da Série Uniforme (“Periodic PayMenT”) que ocorre no final de cada período (Série Postecipada). Representa, na escala horizontal do tempo, o valor de cada uma das prestações iguais que ocorrem no final dos períodos 1, 2, 3… Por exemplo, num financiamento com prazo de 12 meses, a ser pago em 12 prestações mensais de $600,00, o valor de PMT é igual a $600,00.

Em relação aos elementos do Diagrama Padrão são relevantes os seguintes comentários: a) os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais. Assim, por exemplo, todos os meses têm a mesma duração de 30 dias; b) a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve necessariamente coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n; c) os problemas comuns de Matemática Financeira envolvem, em geral, apenas quatro elementos, sendo que dois deles são obrigatoriamente a taxa de juros i e o número de períodos n. Os outros dois elementos a serem relacionados podem ser PV com FV, PV com PMT, e FV com PMT. Existem, entretanto, alguns problemas em que os cinco elementos estão relacionados; d) as fórmulas deste compêndio são desenvolvidas apenas para esse Diagrama Padrão, com a convenção de final de período. Os problemas que se enquadram nessa situação têm solução imediata. Os demais problemas são enquadrados nesse Diagrama Padrão mediante desdobramentos e outros artifícios que não alteram o enunciado do problema; e) a Calculadora HP-12C, apresentada no Apêndice A, está preparada para resolver os problemas que se enquadram nesse Diagrama Padrão, com a convenção de final de período. Ressaltamos os seguintes pontos relevantes:

r QBSBRVFBDBMDVMBEPSBVUJMJ[FBDPOWFOÉÈPEFàOBMEFQFSÎPEPÊOFDFTTÃSJP que a função END esteja ativa (acionar as teclas g e END, e verificar que a palavra BEGIN não esteja indicada no visor);

r PTWBMPSFTEPOÙNFSPEFQFSÎPEPTOQPEFNTFSOÙNFSPTJOUFJSPTPVGSBDJPnários. Por exemplo, n pode ser registrado em anos, fração de ano, fração de mês etc.;

r VNBUBYBEFKVSPTEF QPSFYFNQMP EFWFTFSSFHJTUSBEBDPNBDPMPDBÉÈP do número 8 na tecla correspondente a i. A calculadora, internamente, faz as operações com 8%, isto é, com 8/100 ⫽ 0,08; r BDBMDVMBEPSBEFWFUFSTFNQSFBMFUSB$JOEJDBEBOPWJTPSGSBDJPOÃSJP" inclusão ou exclusão da letra C é feita pelo acionamento sequencial das teclas STO e EEX, para que realize todos os cálculos a juros compostos, independente do valor de n ser um número inteiro ou fracionário;


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r PTWBMPSFTNPOFUÃSJPT 17 '7F1.5 EFWFNTFSSFHJTUSBEPTOBDBMDVMBEPSB sempre de acordo com a convenção de sinal, isto é, as entradas de caixa (recebimentos) devem ter o sinal positivo (⫹), e as saídas de caixa (pagamentos) devem ter o sinal negativo (⫺); r BDBMDVMBEPSBTFNQSFJOUFSMJHBPTDJODPFMFNFOUPT O J 17 1.5F'7 1PS exemplo, no caso de obtenção do PV, a HP-12C calcula a seguinte relação: PV ⫽ valor presente de FV ⫹ valor presente de PMT (1.1)

r PTQSPCMFNBTRVFFOWPMWFNBQFOBTRVBUSPFMFNFOUPTEFWFNTFSSFTPMWJEPT com o registro do número zero para o elemento monetário (PV, FV ou PMT) que não participa do problema. r PTDJODPFMFNFOUPTEB$BMDVMBEPSB)1$ O J 17 1.5F'7 QPEFN ser revistos a qualquer tempo. Para isso basta acionar a tecla RCL e em seguida o elemento cujo valor se pretende revisar. Exemplo: RCL PV traz para o visor da HP-12C o valor contido da tecla PV.

Planilha Eletrônica Excel A Planilha Eletrônica Excel, apresentada no Apêndice B, dispõe de funções financeiras básicas que têm exatamente as mesmas definições e convenções da HP-12C. Na sua versão em português, a Planilha Excel batiza os elementos financeiros do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa (Figura 1.2) de forma diferente da HP-12C, conforme mostramos a seguir:

a) número de períodos de capitalização r OB)1$ ÊSFQSFTFOUBEPQFMBUFDMBn; r OP&YDFM ÊSFQSFTFOUBEPQFMBGVOÉÈPNPER;

b) taxa de juros por período de capitalização r OB)1$ ÊSFQSFTFOUBEBQFMBUFDMBi; r OP&YDFM ÊSFQSFTFOUBEBQFMBGVOÉÈPTAXA;

c) valor presente ou “Present Value” r OB)1$ ÊSFQSFTFOUBEPQFMBUFDMBPV; r OP&YDFM ÊSFQSFTFOUBEPQFMBGVOÉÈPVP;

d) valor futuro ou “Future Value” r OB)1$ ÊSFQSFTFOUBEPQFMBUFDMBFV; r /P&YDFM ÊSFQSFTFOUBEPQFMBGVOÉÈPVF;

e) valor de cada prestação da série uniforme r OB)1$ ÊSFQSFTFOUBEPQFMBUFDMBPMT; r OP&YDFM ÊSFQSFTFOUBEPQFMBGVOÉÈPPGTO.

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Os parâmetros das funções financeiras básicas do Excel estão indicados a seguir: TABELA 1.1

Função Financeira do Excel

Parâmetros da Função do Excel

VP

(TAXA; NPER; PGTO; VF; TIPO)

VF

(TAXA; NPER; PGTO; VP; TIPO)

PGTO

(TAXA; NPER; VP; VF; TIPO)

TAXA

(NPER; PGTO; VP; VF; TIPO; ESTIMATIVA)

NPER

(TAXA; PGTO; VP; VF; TIPO)

A Planilha Eletrônica Excel, apresentada no Apêndice B, tem amplas condições de resolver os problemas que se enquadram no Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa, com a convenção de final de período, e são relevantes os seguintes pontos: a) para que as funções financeiras da planilha Excel utilizem a convenção de final de período, é necessário que o parâmetro TIPO seja igual a zero. Na ausência dessa informação, as funções financeiras do Excel assumem essa condição, e as operações são realizadas segundo essa convenção; b) os valores do número de períodos NPER podem ser números inteiros ou fracionários; c) os valores monetários (VP, VF e PGTO) devem ser registrados na planilha de acordo com a convenção de sinal também adotada pela HP-12C; d) as funções financeiras do Excel, tal como na HP-12C, sempre interligam os cinco elementos (NPER, TAXA, VP, PGTO e VF). Por exemplo, a função financeira VP sempre calcula a seguinte relação: VP ⫽ valor presente de VF ⫹ valor presente de PGTO

(1.2)

e) os problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser resolvidos com o registro do número zero para o elemento monetário (VP, PGTO ou VF) que não participa do problema, tal como na HP-12C.


9

1.7.2. Convenção de Início de Período – Série PMT Antecipada A representação dos fluxos de caixa, de acordo com essa convenção, se faz segundo o diagrama mostrado a seguir: FIGURA 1.3

Convenção de início de período – série PMT antecipada

PV FV PMT

i 0

i 1

i 2

i 3

i ...

i n⫺1

n

Pela convenção de início de período, todos os valores monetários que ocorrem durante um período são indicados no início do período correspondente, uma vez que não podem ser representados ao longo dos períodos, pois eles não são contínuos. Em relação ao diagrama da Figura 1.3, destacamos que os cinco elementos do fluxo de caixa (n, i, PV, FV e PMT) têm definições idênticas às do Diagrama Padrão, exceto com relação ao posicionamento dos valores monetários, que, agora, são colocados no início de cada período. São, portanto, válidos todos os comentários anteriores a respeito do relacionamento dessas grandezas, exceto com referência aos pontos destacados a seguir: a) a convenção de início de período não altera as posições relativas de PV e FV usadas no Diagrama Padrão. Observar que nas duas convenções (início e final de períodos) a distância relativa entre PV e FV é sempre igual a n períodos; b) de acordo com essa convenção, a Série Uniforme PMT passa a ser antecipada, pois as prestações ocorrem no início de cada período de capitalização de juros; c) a HP-12C está preparada para resolver os problemas que envolvam a Série Antecipada, bastando, para isso, que a calculadora esteja com a função BEG ativa (acionar as teclas g e BEG, e verificar que a palavra BEGIN esteja indicada no visor); d) a Planilha Excel tem amplas condições de resolver os problemas que envolvam a Série Antecipada, bastando, para isso, que o parâmetro TIPO das funções financeiras seja fixado com valor igual a um. Na ausência dessa informação, as funções financeiras assumem a condição de Série Postecipada (TIPO= 0). 1.7.3.

Simulador da HP-12C

No Apêndice B, foi desenvolvido um Simulador da HP-12C com as funções financeiras básicas (NPER, TAXA, VP, PGTO e VF) da Planilha Excel, cujo arquivo eletrônico pode ser encontrado no “CD do Leitor”.

10


Um ícone do simulador pode ser colocado no plano de fundo do seu micro e, ao acioná-lo, uma HP-12C simulada estará disponível, para realizar as operações usuais do mercado financeiro. Esse Simulador da HP-12C tem as funções financeiras básicas do Excel e os seus respectivos parâmetros colocados de uma forma horizontal predefinida na mesma sequência das teclas da HP-12C, conforme mostra o esquema a seguir: SIMULADOR DA HP-12C – CÁLCULO DE PMT

n

i

PV

PMT

FV

x

x,xx

xx.xxx,xx

xx.xxx,xx

xx.xxx,xx

Em relação a esse simulador da HP-12C, destacamos os seguintes pontos:

a) foi desenvolvido com as funções financeiras da Planilha Excel atendendo às mesmas condições do Diagrama Padrão da Figura 1.2; b) a representação do fluxo de caixa respeita a convenção de final do período, e, portanto, o simulador só considera a série postecipada; c) os dados a serem inseridos pelos usuários, ou seja, os valores correspondentes a cada um dos respectivos elementos do fluxo de caixa são colocados na linha inferior da tabela e podem ser registrados em qualquer ordem de entrada; d) os parâmetros financeiros (PV, PMT e FV) devem ser registrados de acordo com a convenção de sinal; e) o parâmetro financeiro (PV, PMT ou FV) que não fizer parte do problema deve ter o seu valor registrado como “zero”, para não interferir no resultado; f) a célula em destaque é sempre aquela que contém a função financeira do Excel e que dispara o cálculo da operação desejada. É nessa célula que aparece o valor da solução do problema: r OPFYFNQMPBOUFSJPS FTTBDÊMVMBDPSSFTQPOEFBPQBSÄNFUSPPMT. É abaixo dela que inserimos a função PGTO do Excel para realizar o cálculo da prestação postecipada, a partir dos demais parâmetros, localizados horizontalmente ao seu lado. O parâmetro TIPO não é informado e passa a ser assumido como zero, como exigido no cálculo da prestação postecipada; r BEPUBNPTBOPNFODMBUVSB1.5OBQBSUFTVQFSJPSEPTJNVMBEPSQBSBDPSSFTponder à tecla PMT da HP-12C, apesar de o Excel utilizar a nomenclatura PGTO; g) o número de períodos de capitalização é representado por n na parte superior do simulador, para corresponder à tecla n da HP-12C:


11

r RVBOEPFTTFQBSÄNFUSPÊVNEBEPEPQSPCMFNB QPEFTFSSFHJTUSBEPDPNPVN número inteiro ou fracionário, o que facilita a tarefa de compatibilizar as unidades referenciais de tempo para a taxa de juros e o número de períodos;

r RVBOEPÊBJODÓHOJUBEPQSPCMFNB TFVWBMPSÊDBMDVMBEPQFMBGVOÉÈP/1&3 do Excel colocada na célula inferior correspondente, que é apresentada em destaque. O resultado obtido pelo simulador por essa função não é arredondado para o primeiro número inteiro superior como faz a HP-12C; h) a taxa de juros por período de capitalização é representada por i na parte superior do simulador, para corresponder à tecla i da HP-12C:

r RVBOEPFTTFQBSÄNFUSPÊVNEBEPEPQSPCMFNB QPSFYFNQMP BUBYB deve ser informada pelo registro do número 8. Internamente, o simulador, tal como a HP-12C, converte esse número para 8/100= 8%;

r RVBOEPFTTFQBSÄNFUSPÊBJODÓHOJUBEPQSPCMFNB PTFVWBMPSÊDBMDVMBEP pela função TAXA do Excel, colocada na célula inferior correspondente, que é apresentada em destaque;

r BGVOÉÈPTAXA, que realiza o cálculo da taxa de juros tem um parâmetro adicional denominado ESTIMATIVA, que corresponde à estimativa inicial para o valor da taxa de juros, obtida por um processo interativo. No simulador, o parâmetro ESTIMATIVA é fixado automaticamente pelo método dos juros médios apresentado no item 8.2.6, do Capítulo 8; i) o valor presente é representado por PV na parte superior do simulador, para corresponder à tecla PV da HP-12C:

r RVBOEP FTTF QBSÄNFUSP Ê B JODÓHOJUB EP QSPCMFNB TFV WBMPS Ê DBMDVMBEP pela função VP do Excel, colocada na célula inferior correspondente, que é apresentada em destaque; j) o valor futuro é representado por FV na parte superior do simulador, para corresponder à tecla FV da HP-12C:

r RVBOEPFTTFQBSÄNFUSPÊBJODÓHOJUBEPQSPCMFNBPTFVWBMPSÊDBMDVMBEPQFMB função VF do Excel, na célula inferior correspondente, que é apresentada em destaque.

Esse simulador também pode ser considerado como uma representação esquemática da própria calculadora, na medida em que apresenta na sua parte superior as teclas n, i, PV, PMT e FV e na sua parte inferior o visor da HP-12C. Pelo fato de o simulador ter essa dupla função, é utilizado constantemente como uma forma didática de representar os dados dos problemas, seja na solução pela HP-12C seja pelas funções financeiras do Excel. O uso sistemático do simulador fará com que o usuário, de uma maneira espontânea, associe a teoria acima explicada com a utilização prática da calculadora HP-12C e/ou da planilha eletrônica Excel.

12


Para o usuário que estiver utilizando a sua calculadora HP-12C para o acompanhamento dos exemplos e problemas propostos pelo livro, ou seja, utilizando o simulador como uma mera representação gráfica da sua calculadora, destacamos os seguintes comentários: a) a HP-12C deve estar operando com a função END para realizar os cálculos somente com a prestação postecipada, e com a letra C mostrada no visor para que todos os cálculos sejam realizados a juros compostos, conforme explicado no Apêndice A. A inclusão ou exclusão da letra C é feita pelo acionamento sequencial das teclas STO e EEX. b) na parte inferior, são colocados os valores correspondentes a cada um dos respectivos elementos do fluxo de caixa, que podem ser registrados em qualquer ordem de entrada; c) os parâmetros financeiros (PV, PMT e FV) devem ser registrados de acordo com a convenção de sinal; d) o parâmetro financeiro (PV, PMT ou FV) que não faz parte do problema deve ter o seu valor registrado como “zero”, para não interferir no resultado; e) a célula em destaque indica que a tecla do parâmetro correspondente é a última a ser acionada, e que dispara o cálculo da operação desejada, e mostra a solução do problema.

1.8.

O Enfoque Adotado

A Matemática Financeira pode ser estudada com ênfase nos seus aspectos teóricos e, nesse caso, o leitor precisa ter um bom embasamento de matemática para poder acompanhar o desenvolvimento da matéria, e entender as notações algébricas e simbologias complexas comumente adotadas. O enfoque adotado neste livro é totalmente prático, a fim de exigir do leitor um conhecimento de matemática bastante reduzido. Os conceitos são ilustrados com problemas reais que ocorrem frequentemente no mercado. Após o entendimento dos exemplos numéricos é que, quando necessário, se faz o estudo teórico para a obtenção de fórmulas genéricas. A simbologia adotada também visa a simplicidade e a abrangência de sua aplicação. Assim, não se utiliza nenhuma nomenclatura matemática, mas sim uma simbologia mnemônica simples e de fácil assimilação, que é a mesma adotada pela calculadora HP-12C e pela planilha eletrônica Excel.

Capítulo

2 2.1.

Juros Simples e Compostos – Conceitos

Introdução

Este capítulo apresenta os conceitos de juros simples e compostos e, por meio de exemplos numéricos, mostra como se comporta o crescimento do dinheiro ao longo do tempo nesses dois regimes de juros. O regime de juros simples é apresentado em detalhe no próximo capítulo, e o regime de juros compostos é estudado ao longo de todo o livro, pois este é na realidade o único regime universalmente aceito como correto, e é nele que estão embasados todos os conceitos de Matemática Financeira que são utilizados na análise de fluxos de caixa.

2.2.

Juros Simples – Crescimento Linear

No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período, que não forem pagos no final do período, não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. É como se fossem duas contas independentes: uma conta para o principal, que rende juros, e uma outra conta para o rendimento dos juros do principal, que não rende juros. Os exemplos numéricos a seguir servem para fixar esse conceito. 2.2.1.

Exemplos Numéricos de Juros Simples

Banco ABC – Juros Simples – Um Investimento de Quatro Anos Considere-se o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco ABC, pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. Calcule o valor do saldo credor desse investidor no Banco ABC no final de cada um dos quatro anos da operação.

14


Solução: A Tabela 2.1, de fácil compreensão, contém os valores solicitados. TABELA 2.1

Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a.

Saldo no Ano início do ano

Juros do ano

Saldo no final Saldo no final Pagamento do ano antes do ano após o do ano do pagamento pagamento

1

1.000,00

8% x 1.000,00 = 80,00

1.080,00

0,00

1.080,00

2

1.080,00

8% x 1.000,00 = 80,00

1.160,00

0,00

1.160,00

3

1.160,00

8% x 1.000,00 = 80,00

1.240,00

0,00

1.240,00

4

1.240,00

8% x 1.000,00 = 80,00

1.320,00

1.320,00

0,00

A representação gráfica dos valores da Tabela 2.1 é mostrada a seguir: FIGURA 2.1

Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a.

Saldo ($) 1.400,00 1.300,00 1.200,00 1.100,00

Juros simples (Linear)

1.000,00 0

1

2

3

4

Anos

Em relação à Figura 2.1, são válidos os seguintes comentários: a) o ponto 1 da escala representa o final do 1o ano e o início do 2o ano, o ponto 2 representa o final do 2o ano e o início do 3o ano, e assim por diante; b) os valores dos saldos no final dos quatro anos ($1.080,00, $1.160,00, $1.240,00 e $1.320,00) representam um crescimento linear do capital inicial de $1.000,00 (principal). Observar que cada valor é obtido pela soma de uma razão constante de $80,00 (⫽ 8% ⫻ $1.000,00) sobre o valor anterior. Neste capítulo, é desenvolvida a equação genérica do crescimento do dinheiro a juros simples. Assim, pode-se afirmar: r OPSFHJNFEFKVSPTTJNQMFT PEJOIFJSPDSFTDFMJOFBSNFOUFPVFNQSPHSFTTÈP aritmética ao longo do tempo.

Ca p í t u l o 2 – Ju r o s S i m p l es e Compostos – Con c eitos

15

É importante ressaltar que o Banco ABC sempre aplicou a taxa de 8% ao ano sobre o capital inicial de $1.000,00 (principal), embora os juros de cada ano ficassem retidos no banco. Assim, apesar de os juros permanecerem no Banco ABC, nunca foram remunerados por aquela instituição durante todo o prazo da operação. Banco ABC – Juros Simples – Dois Investimentos de Dois Anos Considere-se o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco ABC, pelo prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor decide reaplicar esse valor no próprio Banco ABC, por mais dois anos, nas mesmas condições da 1a aplicação. Calcule o montante acumulado no final dessa 2a operação. Solução: O quadro do problema anterior informa que o valor do saldo credor desse investidor no Banco ABC, no final de dois anos, é de $1.160,00. Esse valor passa a ser o principal da 2a operação, que tem um rendimento anual de juros igual a 8% × $1.160,00 = $92,80. O montante acumulado no final da 2a operação é, portanto, igual a: FV ⫽ 1.160,00 ⫹ 2 ⫻ 92,80 ⫽ $1.345,60 Observe que esse montante é $25,60 superior ao montante de $1.320,00 obtido na Seção anterior, em que o investimento de $1.000,00 foi feito no banco ABC pelo prazo de quatro anos. A razão desse incremento é porque os juros dos primeiros dois anos ($160,00) passaram a render juros anuais de 8% × $160,00 = $12,80 nos últimos dois anos. Isso só aconteceu porque o saldo de $1.160,00, no final do 2o ano, passou a ser o principal da segunda operação.

2.3.

Juros Compostos – Crescimento Exponencial

No regime de juros compostos, os juros de cada período, que não forem pagos no final do período, são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros. Assim, os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o capital inicial (principal) aplicado. Os exemplos numéricos a seguir servem para fixar esse conceito. 2.3.1.

Exemplos Numéricos de Juros Compostos

Banco XYZ – Juros Compostos – Um Investimento de Quatro Anos Vamos agora considerar que o investidor do exemplo anterior tivesse aplicado $1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Calcule o valor do saldo credor desse investidor no Banco XYZ no final de cada um dos quatro anos da operação.

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Solução: A Tabela 2.2 contém os valores solicitados. TABELA 2.2

Crescimento de $1.000,00 a juros compostos de 8% a.a.

Saldo no Ano início do ano

Saldo no final Saldo no final Pagamento do ano antes do ano após o do ano do pagamento pagamento

Juros do ano

1

1.000,00

8% x 1.000,00 = 80,00

1.080,00

0,00

1.080,00

2

1.080,00

8% x 1.080,00 = 86,40

1.166,40

0,00

1.166,40

3

1.166,40

8% x 1.166,40 = 93,31

1.259,71

0,00

1.259,71

4

1.259,71

8% x 1.259,71 = 100,78

1.360,49

1.360,49

0,00

A representação gráfica dos valores da Tabela 2.2 está indicada na Figura 2.2, juntamente com o gráfico da Figura 2.1, a juros simples, visando comparar os dois regimes de juros. FIGURA 2.2

Crescimento de $1.000,00 no tempo: juros simples e compostos de 8% a.a.

Saldo ($) Juros compostos (Exponencial) 1.400,00 1.300,00 1.200,00 1.100,00

Juros simples (Linear)

1.000,00 0

1

2

3

4

Anos

Em relação à Figura 2.2 são válidos os seguintes comentários: a) o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples; b) os valores dos saldos no final dos quatro anos ($1.080,00, $1.166,40, $1.259,71 e $1.360,49) representam um crescimento exponencial do capital inicial de $1.000,00 (principal). Verificar que cada valor é obtido a partir do valor anterior pela multiplicação de uma razão constante igual a 1,08 (⫽ 1,00 ⫹ 8%). No Capítulo 3, é desenvolvida a relação genérica do crescimento do dinheiro a juros compostos. Assim, pode-se afirmar: r OPSFHJNFEFKVSPTDPNQPTUPTPEJOIFJSPDSFTDFFYQPOFODJBMNFOUFPVFN progressão geométrica ao longo do tempo.


17

É importante destacar que o Banco XYZ sempre aplicou a taxa de 8% ao ano sobre o saldo existente no início de cada período. Assim, após cada período, os juros são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros. A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e o período de tempo considerado é denominado período de capitalização. As capitalizações podem ocorrer anualmente, semestralmente, trimestralmente, mensalmente e até diariamente. Em resumo, pode-se concluir que: a) a juros simples, os juros de cada período são sempre calculados sobre o capital inicial aplicado (principal), não havendo incidência de juros sobre juros; b) a juros compostos, os juros de cada período são sempre calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, havendo incidência de juros sobre juros. Nos exemplos apresentados, os montantes disponíveis para o investidor, no final do 4o ano, estão na Tabela 2.3: TABELA 2.3 Banco

Regime de juros

Valor no 4o ano

XYZ

Juros compostos

$1.360,49

ABC

Juros simples

$1.320,00

Diferença

–

$40,49

Essa diferença de $40,49 corresponde ao rendimento de juros sobre juros proporcionado pelo Banco XYZ, que opera no regime de juros compostos. Banco XYZ – Juros Compostos – Dois Investimentos de Dois Anos Considere-se o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor decide reaplicar esse valor no próprio Banco XYZ, por mais dois anos, nas mesmas condições da 1a operação. Calcule o montante acumulado no final dessa 2a operação. Solução: Pela Tabela 2.2, temos que o valor do saldo credor desse investidor no Banco XYZ, no final de dois anos, é de $1.166,40. Esse valor passa a ser o principal da 2a operação, cujos saldos acumulados são os seguintes: a) no final do 1o ano da 2a operação (final do 3o ano): FV ⫽ 1.166,40 ⫹ 1.166,40 ⫻ 8% ⫽ 1.166,40 ⫹ 93,31 ⫽ $1.259,71

18


b) no final do 2o ano da 2a operação (final do 4o ano): FV ⫽ 1.259,71 ⫹ 1.259,71 ⫻ 8% ⫽ 1.259,71 ⫹ 100,78 ⫽ $1.360,49 Observe que esse montante é exatamente igual ao montante do investimento a juros compostos, com o prazo de quatro anos. A razão dessa igualdade é porque, no regime de juros compostos, os saldos do início de cada período é que são remunerados com a taxa de juros do respectivo período. Ou seja, a operação de quatro anos é equivalente às duas operações deste exemplo numérico, desde que a 2a operação seja realizada nas mesmas condições da 1a. Banco ABC – Pagamento de Juros Periódicos – Um Investimento de Quatro Anos Vamos agora assumir que o Banco ABC permita que o investidor retire os $80,00 de juros anuais no final de cada ano, ao longo dos quatro anos. No final do 4o ano, além dos juros anuais, o investidor retira ainda o principal de $1.000,00. Em que regime de juros passa a operar o Banco ABC? Simples ou compostos? Solução: A resposta é que o Banco ABC passa a operar a juros compostos, pois os juros de cada período passam a ser calculados sobre os saldos existentes no início dos respectivos períodos. Senão vejamos: a) no final do 1o ano, os juros de $80,00 são creditados, elevando o saldo para $1.080,00, e imediatamente retirados pelo investidor, fazendo o saldo retornar ao valor de $1.000,00. Assim, não há possibilidade de os juros serem capitalizados, voltando a base de cálculo para o 2o ano a ser o saldo remanescente de $1.000,00; b) no final dos anos seguintes, o processo se repete, garantindo que o Banco ABC remunerou em cada período o saldo existente à disposição do banco no início do respectivo período. E o investidor, quanto terá acumulado no final dos quatro anos? Solução: A resposta a essa pergunta depende da utilização que o investidor resolva dar aos juros recebidos no final de cada ano. Assim: a) se o investidor meramente guardar os juros recebidos no cofre de sua casa, o total acumulado no final de quatro anos será de $1.320,00. Isso corresponde a só retirar os juros do Banco ABC no final do 4o ano e voltar à situação em que o banco opera a juros simples, pelo prazo de 4 anos; b) se cada parcela de juros retirada do Banco ABC for aplicada pelo investidor no Banco XYZ, a juros compostos de 8% ao ano e pelo prazo necessário para completar os quatros anos, o total acumulado no final do 4o ano será de $1.360,49. Isso equivale a aplicar os $1.000,00 iniciais no Banco XYZ, a juros compostos, pelo prazo de quatro anos. A reaplicação dos juros é que produzirá o resultado adicional de $40,49, para fazer o montante de $1.320,00 atingir


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o valor de $1.360,49 no final do 4o ano. A Tabela 2.4 mostra o resultado dessas operações: TABELA 2.4 Banco ABC

Banco XYZ

Ano Aplicação Retiradas Juros do 1o ano Juros do 2o ano Juros do 3o ano inicial anuais Aplicação Saldos Aplicação Saldos Aplicação Saldos 0

1.000,00

1

80,00

80,00

2

80,00

86,40

3

80,00

93,31

86,40

4

1.080,00

100,78

93,31

80,00 80,00 86,40

Assim, a situação do investidor no final do 4o ano pode ser vista na Tabela 2.5: TABELA 2.5 Disponível a) No Banco ABC

Receita de reaplicações

1.080,00

b) No Banco XYZ Saldo da 1a reaplicação

100,78

20,78

Saldo da 2 reaplicação

93,31

13,31

Saldo da 3a reaplicação

86,40

6,40

1.360,49

40,49

a

Soma

As receitas de reaplicações totalizam exatamente $40,49, porque as taxas de reaplicações são iguais a 8% ao ano. Essas receitas serão superiores ou inferiores a esse valor caso as taxas de reaplicações sejam maiores ou menores que 8% ao ano, respectivamente.

2.4.

Análise dos Exemplos Numéricos

Com a finalidade de reforçar os conceitos de juros simples e juros compostos, vamos analisar os fluxos de caixa dos exemplos numéricos anteriores.

20


1a Situação: Banco ABC – Juros Simples – Um Investimento de Quatro Anos. Neste caso, o fluxo de caixa do investidor está representado na Figura 2.3: FIGURA 2.3

Banco ABC – Juros simples de 8% a.a. – Um investimento de quatro anos

(⫹) 1.320,00

(⫺) 1.000,00

1

0

2

3

4

Anos

O investidor que aplicar $1.000,00 para receber $1.320,00 no final de quatro anos está fazendo um investimento a uma taxa de 8% ao ano, no regime de juros simples. Esse fluxo de caixa, se for analisado pela ótica do regime de juros compostos, que é a visão correta, necessariamente oferece uma taxa de juros menor do que 8% ao ano, porque a juros compostos de 8% ao ano o montante acumulado no final do 4o ano é de $1.360,49 (o rendimento desse investimento, a juros compostos, é de 7,19% ao ano). 2a Situação: Banco XYZ – Juros Compostos – Um Investimento de Quatro Anos. Neste caso, o fluxo de caixa do investidor está representado a seguir: FIGURA 2.4

Banco XYZ – Juros compostos de 8% a.a. – Um investimento de quatro anos

(⫺) 1.000,00

0

(⫹) 1.360,49

1

2

3

4

Anos

O investidor que aplicar $1.000,00 para receber $1.360,49 no final de quatro anos está fazendo um investimento a uma taxa de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Este fluxo de caixa, analisado pela ótica do regime de juros simples, que é uma visão incorreta, oferece uma taxa de juros maior do que 8% ao ano, porque a juros simples de 8% ao ano o montante acumulado no final do 4o ano é de $1.320,00 (o rendimento desse investimento, a juros simples – é de 9,01% ao ano).


21

3a Situação: Banco ABC – Juros Simples – Dois Investimentos de Dois Anos. As duas operações de dois anos realizadas no Banco ABC, no regime de juros simples, têm os seguintes fluxos de caixa para o investidor: FIGURA 2.5

Banco ABC – Juros simples de 8% a.a. – Dois investimentos de dois anos (⫺)1.160,00

(⫺)1.000,00 (⫹)1.160,00 0

1

(⫹)1.345,60 3

2

4

Anos

O montante acumulado no final do 4o ano, pelas duas operações de dois anos, é maior do que o montante da operação de quatro anos. Este acréscimo ocorre porque, com duas operações de dois anos, o montante do final do 2o ano passa a ser o principal da 2a operação de dois anos no Banco ABC, a juros simples. Com isso, os juros dos primeiros dois anos passam a render juros nos últimos dois anos da 2a operação, e justificam esse acréscimo de valor. 4a Situação: Banco ABC – Juros Simples – Quatro Investimentos de Um Ano. Caso o investidor consiga realizar quatro operações de um ano no Banco ABC, a juros simples de 8% ao ano, os saldos no final de cada ano serão reaplicados no ano seguinte, com o nome de principal, e os juros de cada ano passarão a render juros nos anos seguintes, de forma idêntica ao regime de juros compostos. Nesse caso, o principal de $1.000,00 conseguirá produzir o mesmo montante de $1.360,49, desde que as taxas de juros das reaplicações sejam iguais a 8% ao ano. 5a Situação: Banco XYZ – Juros Compostos – Dois Investimentos de Dois Anos. As duas operações de dois anos realizadas no Banco XYZ, no regime de juros compostos, têm os seguintes fluxos de caixa para o investidor: FIGURA 2.6

Banco XYZ – Juros compostos de 8% a.a. – Dois investimentos de dois anos (⫺)1.166,40

(⫺)1.000,00 (⫹)1.166,40 0

1

2

(⫹)1.360,49 3

4

Anos

22


Repare que o montante que acabamos de observar na Figura 2.6 é igual ao calculado na 2a situação. Isso acontece porque, a juros compostos, a operação de quatro anos é absolutamente equivalente às duas operações de dois anos, desde que as taxas de juros das operações sejam iguais. No regime de juros compostos, são os saldos de cada período que são remunerados pelas taxas de juros de cada período. Dessa forma, os juros dos dois primeiros anos são igualmente remunerados nos dois últimos anos da operação de quatro anos, ou nos dois anos da 2a operação, desde que as taxas de juros sejam idênticas. 6a Situação: Banco ABC – Pagamento Periódico de Juros. Neste caso, com o Banco ABC pagando os juros periodicamente, no final de cada ano, o fluxo de caixa do investidor é o seguinte: FIGURA 2.7

Banco ABC – Juros compostos de 8% a.a. – Pagamento periódico de juros

(⫹)1.000,00 (⫺)1.000,00 (⫹)80,00 0

1

(⫹)80,00 2

(⫹)80,00

(⫹)80,00 3

4

Anos

O Banco ABC está, rigorosamente, operando com juros compostos de 8% ao ano nesse investimento, pois está remunerando o saldo inicial de cada período a essa taxa, ao longo dos quatro anos da operação. O montante acumulado pelo investidor no final do 4o ano depende da taxa de juros obtida nas reaplicações dos valores recebidos no final de cada ano. Se todas as reaplicações forem feitas a 8% ao ano, a juros compostos, o montante acumulado no final do 4o ano será igual a $1.360,49.

2.5.

Conclusão

Neste capítulo, apresentamos operações com juros simples e com juros compostos, com o objetivo de deixar bem claro que o regime de juros simples é totalmente incorreto e que nunca deve ser utilizado como ferramenta de análise de fluxos de caixa, pois somente o capital inicial (principal) é que é remunerado com juros. Na prática, entretanto, os juros simples são utilizados pelo mercado, pela facilidade de cálculo, e porque aumentam ficticiamente a rentabilidade efetiva das aplicações financeiras e reduzem ficticiamente o custo efetivo dos financiamentos. Aplicar $1.000,00, para receber $1.440,00 no final de dois anos, representa uma aplicação financeira com rentabilidade de 20% ao ano, a juros compostos, ou com rentabilidade de 22% ao ano, a juros simples.


23

Recomendamos a seguinte linha de ação para uma análise correta de qualquer operação financeira: a) obtenha o fluxo de caixa da operação, a partir de uma análise cuidadosa dos dados fornecidos. Somente nesta fase é que os juros simples podem ser utilizados, se necessário, exclusivamente com a finalidade de obtenção dos valores do fluxo de caixa da operação; b) efetue todos os cálculos e análises do fluxo de caixa exclusivamente no regime de juros compostos. Em resumo, os juros simples só devem ser utilizados na obtenção dos fluxos de caixa das operações financeiras, quando o enunciado do problema implicar a adoção desse regime de juros. Uma vez obtido o fluxo de caixa da operação financeira, ele só deve ser analisado e comparado com fluxos de caixa de outras operações financeiras, no regime de juros compostos. A utilização do regime de juros simples na análise e comparação de fluxos de caixa é totalmente contraindicada e pode levar a decisões erradas, provocando prejuízos desnecessários.

2.6.

Problemas Propostos

1. Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros simples. Mostre o crescimento desse capital no final de cada trimestre, a contar da data da aplicação dos recursos, e informe o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do 6o trimestre, após a efetivação do último depósito. 2. Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostre o crescimento desse capital no final de cada trimestre, a contar da data da aplicação dos recursos, e informe o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do 6o trimestre, após a efetivação do último depósito. 3. Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre. Entretanto, os juros são pagos trimestralmente, de acordo com a taxa prometida. Assim, esse investidor poderá retirar dessa instituição, no final de cada trimestre, a quantia de $50,00, a título de juros dessa aplicação financeira. Pergunta-se: a) Essa instituição financeira está remunerando seus depósitos a 5% ao trimestre no regime de juros simples ou de juros compostos? b) Qual será o montante acumulado por esse investidor, no final do 6o trimestre, se: b.1) o investidor não reaplicou os juros recebidos no final de cada trimestre? b.2) o investidor reaplicou os juros recebidos trimestralmente, a uma mesma taxa de 5% ao trimestre, com todas as reaplicações vencendo no final do 6o trimestre?

Capítulo

3 3.1.

Juros Simples – Fórmulas Básicas

Introdução

Neste capítulo, vamos desenvolver as fórmulas básicas de juros simples e mostrar suas aplicações por meio de exemplos numéricos. O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, notadamente nas operações de curto prazo, em função da simplicidade de cálculo e serve para reduzir ou aumentar ficticiamente a taxa de juros compostos das operações, o que facilita a tarefa de colocação dos produtos para investidores e/ou tomadores de recursos financeiros. Juros simples só devem ser utilizados para a obtenção do fluxo de caixa da operação financeira, quando ela for contratada nesse regime de juros. A partir dos valores do fluxo de caixa, deve-se utilizar o regime de juros compostos para se fazer sua correta avaliação e tomada de decisão.

3.2.

Capitalização Simples

A rigor, o processo da capitalização só ocorre no regime de juros compostos, em que os juros se transformam em capital e passam a render juros. Entretanto, é comum o emprego da expressão “capitalização simples” para se referir ao crescimento do dinheiro no regime de juros simples. 3.2.1.

Dedução da Expressão Genérica

A expressão genérica do Valor Futuro (FV), no regime de juros simples, em função dos parâmetros n, i e PV, é baseada no fluxo de caixa representado na Figura 3.1, que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.

26


FIGURA 3.1 Capitalização simples: taxa de juros i – desconto “por dentro” PV

FV

i

i

i

i

i

i Q

Q

No regime de juros simples, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de juros i sempre sobre o principal PV, fazendo com que os juros tenham o mesmo valor em todos os períodos. Assim, temos: juros de cada período : PV i juros de n períodos : n PV i O valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de um principal PV, durante n períodos, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros simples, é obtido pela expressão: FV montante principal juros PV n PV i ou seja: FV PV (1 i n)

(3.1)

em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n. 3.2.2.

Verificação da Expressão Genérica

A Expressão Genérica (3.1) pode ser verificada pela reprodução dos valores obtidos no Problema “Banco ABC – Juros Simples – Um Investimento de Quatro anos”, da Seção 2.2.1, do Capítulo 2, em que são utilizados os seguintes parâmetros: PV $1.000,00 n 8% ao ano O montante FV, no final de cada ano, está demonstrado na Tabela 3.1: TABELA 3.1 Final do

Valor de n

Valor de FV ($)

1o ano

n1

FV 1.000,00 (1 0,08 1) 1.080,00

2o ano

n2

FV 1.000,00 (1 0,08 2) 1.160,00

3o ano

n3

FV 1.000,00 (1 0,08 3) 1.240,00

4o ano

n4

FV 1.000,00 (1 0,08 4) 1.320,00

Ca p í t u l o 3 – Ju r os Simpl es – Fór mul as Básic as

3.3.

27

Desconto “Por Dentro”, ou Racional

A taxa de juros i, também denominada taxa de rentabilidade ou, ainda, taxa de desconto “por dentro”, pode ser obtida a partir da Relação (3.1), que fornece: i = ⎛ FV – 1⎞ × 1 ⎝ PV ⎠ n

(3.2)

O valor do desconto, expresso em $, corresponde aos juros acumulados no tempo. Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro FV, ou montante, e o valor presente PV, ou principal, ou seja: Desconto FV PV O valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, é obtido multiplicando-se o valor presente PV pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n, ou seja: Dd PV i n Na prática, entretanto, o valor presente é sempre a incógnita, sendo normalmente conhecidos o valor futuro FV, o prazo n e a taxa de desconto i. Vamos a seguir deduzir a fórmula que permite obter o valor do desconto racional a partir das variáveis conhecidas. O valor do desconto “por dentro”, ou racional, é também obtido pela aplicação da expressão geral para desconto, isto é: Dd FV PV

(3.3)

A partir da Expressão (3.1) pode-se obter a seguinte relação: PV ⫽

FV 1⫹i⫻n

(3.4)

Substituindo na Relação (3.3) o valor de PV fornecido pela Relação (3.4), temos: Dd FV ⫺ e finalmente:

(

FV 1 ⫽ FV 1 ⫺ 1 ⫹i ⫻n 1 ⫹i ⫻n D d ⫽ FV ⫻

3.4.

i⫻ n 1 ⫹ i ⫻n

) (3.5)

Exemplos Numéricos

1. Calcule o valor do montante acumulado em 12 meses, a partir de um principal de $10.000,00, aplicado com uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros simples.

28


Solução: Os dados do problema são os seguintes: n 12 meses PV $10.000,00 i 1% ao mês 0,01 FV ? A Relação (3.1) fornece: FV PV (1 i n) 10.000,00 (1 0,01 12) $11.200,00 2. Calcule o valor do principal que deve ser aplicado com uma taxa de juros de 1,5% ao mês, para produzir um montante de $10.000,00 no prazo de dois semestres, no regime de juros simples. Solução: Os dados do problema são os seguintes: n 2 semestres 12 meses FV $10.000,00 i 1,5% ao mês 0,015 PV ? A Relação (3.4) fornece: PV ⫽

FV 10.000,00 ⫽ ⫽ $8.474, 58 1 ⫹ i ⫻n 1 ⫹ 0,015 ⫻12

3. Calcule o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, com uma taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples. Solução: Se o valor de PV $100,00, então FV $200,00, e os dados do problema seriam os seguintes: PV $100,00 FV 2 100,00 $200,00 i 2% ao mês 0,02 n ? Pela Relação (3.1) temos: FV 200,00 PV (1 i n) 100,00 (1 0,02 n) 200,00 100 2 n que fornece n 50 meses. 4. Calcule o valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que faz um principal de $1.000,00 se transformar num montante de $1.250,00, num prazo de 20 meses.


29

Solução: Os dados do problema são os seguintes: PV $1.000,00 FV $1.250,00 n 20 meses i ? (% ao mês) Pela Relação (3.2) temos: i⫽

⎛ FV ⎞ 1 1.250,00 1 ⫺1 ⫻ ⫽ ⫻ ⫽ 0,0125 ⎝ PV ⎠ n 1.000,00 ⫺ 1 20

⎜

⎟

ou seja, 1,25% ao mês. 5. Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” usada numa operação de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é $10.000,00 e cujo valor do principal é $9.750,00. Solução: Os dados do problema são os seguintes: PV $9.750,00 FV $10.000,00 n 60 dias 2 meses i ? (% ao mês) Pela Relação (3.2) temos: i⫽

⎞ 1 ⎛ 10.000,00 ⎞ ⎛ FV 1 ⫺1 ⫻ ⫽ ⫺ 1 ⫻ ⫽ 0,01282 ⎠ n ⎝ 9.750,00 ⎠ ⎝ PV 2

⎜

⎟

⎜

⎟

ou seja, 1,282% ao mês. 6. Uma instituição financeira oferece a seus clientes uma taxa de rentabilidade de 1,2% ao mês, a juros simples. Calcule o valor da renda de uma aplicação de $10.000,00 efetuada nessa instituição, por um prazo de 18 dias. Solução: Os dados do problema são os seguintes: PV $10.000,00 n 18 dias 1,2% i 1,2% ao mês ao dia 0,04% a.d. 0,0004 a.d. 30 Renda FV PV ? Pela Relação (3.1) temos: FV PV (1 i n) 10.000,00 (1 0,0004 18) $10.072,00 e, portanto, a renda é igual a (10.072,00 10.000,00) $72,00.

30


7. Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por dentro” é de 1,2% ao mês. Solução: Os dados do problema são os seguintes: FV $1.000,00 n 60 dias 1,2% i 1,2% ao mês ao dia 0,04% a.d. 0,0004 30 Desconto FV PV ? A Relação (3.4) fornece: PV FV/(1 i n) 1.000,00/(1 0,0004 60) $976,56 e, portanto, o desconto “por dentro” é igual a (1.000,00 976,56) $23,44. 8. Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques a descoberto e que cobra 1,5% ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias que a conta ficar descoberta. Calcule o montante de juros cobrado no mês de abril, assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques: Data

Valor do cheque ($)

1o de abril

2.000,00

11 de abril

1.000,00

21 de abril

1.000,00

Solução: Os dados do problema são os seguintes: 1,5% i 1,5% ao mês 0,05% ao dia 0,0005 a.d. 30 a) Calculando os juros devidos por período: r +VSPTEFo de abril a 10 de abril Durante esses 10 dias o saldo devedor é de $2.000,00, e portanto: Juros 2.000,00 0,0005 10 $10,00 r +VSPTEFEFBCSJMBEFBCSJM Durante esses 10 dias o saldo devedor é de $3.000,00, e portanto: Juros 3.000,00 0,0005 10 $15,00 r +VSPTEFEFBCSJMBEFBCSJM Durante esses 10 dias o saldo devedor é de $4.000,00, e portanto: Juros 4.000,00 0,0005 10 $20,00

31


Assim, o total de juros devidos no mês de abril é igual a: Juros do mês de abril (10,00 15,00 20,00) $45,00 b) Utilizando o conceito de saldo médio: O saldo devedor médio no mês de abril é obtido pela relação: Saldo médio

2.000,00 10 3.000,00 10 4.000,00 10 $3.000,00 30

Para o cálculo dos juros mensais, tudo se passa como se a conta corrente tivesse ficado com um saldo devedor de $3.000,00, durante os 30 dias do mês. Assim temos: Juros do mês de abril $3.000,00 1,5% $45,00 resultado que coincide com o obtido anteriormente. Os resultados obtidos pelas duas formas de cálculos são sempre iguais, e a sistemática de cálculo comumente adotada no mercado é a do saldo médio multiplicado pela taxa de juros mensal.

3.5. Desconto “Por Fora”, ou Comercial 3.5.1. Dedução da Expressão Genérica A expressão genérica do valor do desconto “por fora” ou comercial, no regime de juros simples, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir. FIGURA 3.2

Desconto simples: taxa de Desconto d – “por fora”

d

PV d

d 0

1

d

d 2

FV

3

d

d ...

n–1

n

No regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d sempre sobre o valor futuro FV, ou montante, fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos. Assim temos: desconto de cada período: FV d desconto de n períodos: n FV d

32


Observe que a taxa de desconto d (“por fora”) é aplicada sobre o valor futuro FV para produzir o valor presente PV, ao passo que a taxa de desconto i (“por dentro”), ou taxa de rentabilidade, é aplicada sobre o valor presente PV para produzir o valor futuro FV. Assim, o valor do desconto “por fora” (Df), ou comercial, é obtido multiplicando-se o valor futuro FV pela taxa de desconto d por período, e esse produto pelo número de períodos de desconto n, ou seja: Df FV d n

(3.6)

O valor presente PV, ou principal, resultante do desconto “por fora” sobre o montante FV, durante n períodos, com uma taxa de desconto d por período, é obtido, a juros simples, pela expressão: PV montante descontos FV n FV d ou seja: PV FV (1 d n)

(3.7)

em que a unidade referencial de tempo da taxa de desconto d deve coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n. Convém ressaltar que a Expressão (3.7) para o cálculo do valor presente PV tem limitações práticas, pois só pode ser usada para valores de d e n tais que o produto d n 1, pois, caso contrário, podemos chegar ao absurdo de encontrar valores de PV 0. A Relação (3.7) fornece a seguinte expressão para a obtenção da taxa de desconto d “por fora”, ou comercial: ⎛ 1 PV ⎞ ⫻ d⫽ 1⫺ ⎝ n FV ⎠ 3.5.2.

(3.8)

Exemplos Numéricos

1. Um título com 119 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado, a juros simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 15% ao ano. Assuma o ano comercial com 360 dias e calcule o valor da aplicação que proporciona um valor de resgate de $1.000,00. Solução: Os dados do problema são os seguintes: FV $1.000,00 n 119 dias 15% ao dia 0,04167% a.d. 0,0004167 a.d. d 15% ao ano 360 PV ?


33

A Relação (3.7) fornece: ⎛ ⎞ 15% ⫻ 119 $950,42 PV FV (1 d n) $1.000,00 ⎝ 1 ⫺ ⎠ 360 ⎟

⎜

2. Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5% ao mês. Solução: Os dados do problema são os seguintes: FV $1.000,00 n 60 dias 1,5% ao dia 0,05% a.d. 0,0005 a.d. d 1,5% ao mês ⫽ 30 Desconto FV PV ? A Relação (3.7) fornece: PV FV (1 d n) $1.000,00 (1 0,0005 60) $970,00 e, portanto, o desconto “por fora” é igual a (1.000,00 970,00) $30,00. 3. Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por fora” usada numa operação de desconto de 60 dias, de um título com valor de resgate de $10.000,00 e com valor do principal igual a $9.750,00. Solução: Os dados do problema são os seguintes: FV $10.000,00 PV $9.750,00 n 60 dias 2 meses d ? (% ao mês) A Relação (3.8) fornece: ⎛ ⎛ PV ⎞ 1 9.750 ⎞ 1 d⫽ 1⫺ ⫻ ⫽ 1⫺ ⫻ ⫽ 0,0125 ⎝ ⎝ FV ⎠ n 10.000 ⎠ 2 ⎟

⎜

⎜

⎟

ou seja, 1,25% ao mês.

3.6.

Relação entre as Taxas de Desconto “Por Dentro” e “Por Fora”

As Expressões (3.4) e (3.7) permitem escrever a relação:

PV

FV FV(1 d n) 1 i n

34


que fornece:

1 d n

1 1 i n

Nessa relação, ao se explicitar a taxa i (desconto “por dentro”), ou a taxa d (desconto “por fora”), obtém-se, respectivamente: i⫽

d 1⫺ d⫻n

(3.9)

d⫽

i 1⫹ i ⫻n

(3.10)

Nessas duas relações, as unidades referenciais de tempo das taxas i e d devem coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para medir o número de períodos n. 3.6.1.

Exemplos Numéricos

1. No Exemplo 5, da Seção 3.4, e no Exemplo 3, da Seção 3.5.2, foram calculadas as taxas de desconto “por dentro” e “por fora”, respectivamente, de um mesmo título com as seguintes características: Principal aplicado PV $10.000,00 Valor de resgate FV $9.750,00 Prazo da operação n 60 dias No Exemplo 5, a taxa mensal de desconto “por dentro” encontrada foi de 1,282% ao mês, e no Exemplo 3 a taxa mensal de desconto “por fora” encontrada foi de 1,25% ao mês. Use as Expressões (3.9) e (3.10) para verificar a relação entre essas duas taxas de desconto, assumindo o ano comercial com 360 dias. Solução: Os dados do problema são os seguintes: i 1,282% ao mês 0,01282 d 1,25% ao mês 0,01250 n 60 dias 2 meses A Relação (3.9) fornece: d 0,01250 i 0, 01282 1,282% ao mês 1 d n 1 0,01250 2 A Relação (3.10) fornece: i 0,01282 d 0, 0125 1,25% ao mês 1 i n 1 0,01282 2 confirmando, assim, a relação entre essas duas taxas de desconto.


35

2. Um título com 39 dias a decorrer está sendo negociado com uma rentabilidade de 1,20% ao mês. Assuma o ano comercial com 360 dias e calcule a taxa anual de desconto “por fora” que corresponde à essa taxa de rentabilidade. Solução: Os dados do problema são os seguintes: i 1,20% ao mês (1,20% 12) ao ano 14,4% a.a 0,144 a.a n 39 dias (39/360) anos d ? (% ao ano) A Relação (3.10) fornece: d

i 1 i n

0,144 1 0,144

39 360

0, 1418

ou seja, 14,18% ao ano.

3.7. Desconto de Títulos – Exemplos Nas operações bancárias de desconto de títulos, costuma-se utilizar o conceito de taxa de desconto “por fora”, que normalmente é denominada simplesmente taxa de desconto. Os exemplos a seguir mostram os cálculos dessas operações. 1. Uma empresa oferece os seguintes títulos para serem descontados num banco comercial: Vencimento (dias)

Valor do título ($)

30

10.000,00

60

20.000,00

90

30.000,00

Total

60.000,00

Calcule o valor a ser creditado na conta dessa empresa, por essa operação de desconto, assumindo o mês com 30 dias, e sabendo-se que a taxa de desconto acertada é de 1% ao mês. Solução: Vamos aplicar a Relação (3.7) para cada um desses títulos, conforme indicado a seguir: a) título com vencimento em 30 dias: PV1 FV (1 d n) $10.000,00 (1 0,01 1) $9.900,00

36


b) título com vencimento em 60 dias: PV2 FV (1 d n) $20.000,00 (1 0,01 2) $19.600,00 c) título com vencimento em 90 dias: PV3 FV (1 d n) $30.000,00 (1 0,01 3) $29.100,00 Assim, o valor a ser creditado na conta da empresa é igual a: PV PV1 PV2 PV3 $9.900,00 $19.600,00 $29.100,00 $58.600,00 Nas operações de desconto de títulos, existem outros custos adicionais que não foram considerados no exemplo anterior, tais como a incidência de impostos e a exigência de saldo médio na conta corrente. O saldo médio corresponde a uma retenção na conta corrente da empresa de um percentual do valor da operação, que não recebe qualquer remuneração do banco, por se tratar de depósito à vista. O exemplo a seguir esclarece esse conceito e permite avaliar o aumento do custo da operação pela inclusão do saldo médio. 2. Um banco comercial realiza suas operações de desconto de títulos com uma taxa de desconto de 1,2% ao mês (“por fora”), porém exige um saldo médio de 20% do valor da operação, como forma de reciprocidade bancária. Esse banco foi procurado por uma empresa para descontar $100.000,00 de títulos, todos com vencimento de 90 dias. Assumindo o mês com 30 dias, calcule o valor a ser creditado na conta da empresa e a rentabilidade mensal do banco, a juros simples, sem o saldo médio e com o saldo médio. Solução: a) sem o saldo médio: O valor a ser creditado na conta da empresa é obtido pela Relação (3.7), isto é: PV FV (1 d n) $100.000,00 (1 0,012 3) $96.400,00 A taxa de rentabilidade do banco é obtida pela Relação (3.2), ou seja: i⫽

⎞ ⎛ 100.000 ⎞ ⎛ FV 1 1 ⫺1 ⫻ ⫽ ⫺1 ⫻ 0,012448 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ PV n 96.400 3

⎜

⎟

⎜

⎟

que fornece a taxa de 1,2448% ao mês. b) com o saldo médio: O saldo médio de 20% sobre $100.000,00 corresponde a $20.000,00. Tudo se passa como se o banco, por ocasião da liberação dos recursos, fizesse uma retenção de $20.000,00, deixando apenas o valor de $76.400,00 à disposição da empresa. Esses $20.000,00 ficam parados no banco, na conta corrente da empresa, durante os três meses da operação. Na liquidação da operação (final do 3o mês), a empresa precisa desembolsar apenas $80.000,00, pois o banco já dispõe de $20.000,00 retidos em sua conta corrente. Essas situações são resumidas no fluxo de caixa da Tabela 3.2:


TABELA 3.2

37

Fluxo de caixa para o banco

Sem a inclusão do saldo médio

Saldo médio de 20%

Com a inclusão do saldo médio

Início do 1o mês

() 96.400,00

() 20.000,00

() 76.400,00

Final do 3o mês

() 100.000,00

() 20.000,00

() 80.000,00

O valor da rentabilidade mensal do banco, levando em consideração o saldo médio de 20%, é obtido pela Relação (3.2), conforme indicado a seguir: i⫽

⎛ FV ⎞ ⎞ 1 ⎛ 80.000 1 ⫺1 ⫻ ⫽ ⫺1 ⫻ 0,157068 ⎝ PV ⎠ n ⎝ 76.400 ⎠ 3

⎜

⎟

⎜

⎟

que fornece a taxa de 1,5707% ao mês. Assim, o saldo médio de 20% elevou a rentabilidade do banco (e consequentemente aumentou o custo para a empresa) de 1,2448% ao mês para 1,5702% ao mês, no regime de juros simples.

3.8. Conclusão Neste capítulo, desenvolvemos as principais fórmulas do regime de juros simples e ilustramos suas aplicações em diversos problemas do mercado. Ressaltamos que, no regime de juros simples, a taxa de desconto d (“por fora”, ou comercial) é comumente utilizada apenas com o nome de taxa de desconto. A taxa de juros i (taxa de desconto “por dentro”, ou racional) é mais conhecida como taxa de rentabilidade. No regime de juros compostos, a taxa de desconto i (“por dentro”, ou racional) é comumente utilizada apenas com o nome de taxa de desconto. A taxa de desconto d (“por fora”, ou comercial) não é praticamente utilizada pelo mercado nesse regime de juros. A HP-12C dispõe de funções especiais para realizar cálculos no regime de juros simples. Entretanto, os exemplos deste capítulo foram desenvolvidos sem o uso dessas operações especiais da calculadora, pois as fórmulas e expressões de juros simples são de fácil solução com as operações convencionais de qualquer calculadora. O regime de juros simples só é utilizado na obtenção das relações envolvendo PV e FV individualmente, que foram desenvolvidas neste capítulo. O restante do livro estuda apenas o regime de juros compostos, que é o sistema indicado para efetuar cálculos e análises de fluxos de caixa de forma conceitualmente correta.

38


3.9. Problemas Propostos Assuma em todos os problemas o ano comercial com 360 dias. 1. Calcule o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a partir da aplicação de um principal de $10.000,00, com uma taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros simples. 2. Calcule o principal que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de juros de 10% ao ano, para produzir um montante de $10.000,00, num prazo de 15 meses. 3. Um título com 123 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado a juros simples, com uma taxa de rentabilidade de 1,3% ao mês. Calcule o valor da aplicação que proporciona um valor de resgate de $1.000,00. 4. Um título com valor de resgate de $1.000,00, com 80 dias a decorrer até seu vencimento, está sendo negociado a juros simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 15% ao ano. Calcule: a) o valor do principal desse título; b) o valor do desconto simples; c) a rentabilidade mensal desse título, até seu vencimento. 5. Imagine que o título do Problema 4 seja vendido com a garantia de recompra num prazo de três dias, e que nessa operação de três dias seja assegurada uma rentabilidade de 1,2% ao mês. Calcule: a) o valor do título por ocasião da recompra e b) a rentabilidade mensal e a taxa de desconto anual (“por fora”) desse título para o seu prazo remanescente de 77 dias a decorrer até seu vencimento. 6. Um título com 92 dias a decorrer até o vencimento está sendo negociado a juros simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 12% ao ano. Calcule o valor da rentabilidade mensal desse título. 7. Um investidor aplicou um principal de $1.000,00 para receber um montante de $1.300,00 no prazo de 36 meses. Calcule, no regime de juros simples: a) a rentabilidade trimestral do investidor e b) a taxa de desconto anual (“por fora”) que corresponde à rentabilidade do item a. 8. Um banco comercial empresta $15.000,00 a um cliente, pelo prazo de três meses, com uma taxa de 1% ao mês, juros simples, cobrados antecipadamente. Dessa forma, o valor líquido liberado pelo banco é de $14.550,00, e o cliente deve pagar os $15.000,00 no final do 3o mês. Além disso o banco exige um saldo médio de $1.500,00 ao longo de todo o prazo do empréstimo. Calcule a taxa de rentabilidade mensal do banco nessa operação, a juros simples.


39

9. Um investidor deseja depositar uma determinada importância num banco de investimentos, para ter o direito de retirar $10.000,00 no prazo de três meses e $10.000,00 no prazo de seis meses. Sabendo-se que esse banco remunera seus depósitos com uma taxa de 1,2% ao mês, juros simples, calcule o valor que deve ser depositado por esse investidor, para lhe garantir as retiradas desejadas e a rentabilidade prometida pelo banco. 10. Uma empresa deseja descontar títulos num banco comercial que opera com uma taxa de desconto comercial de 1% ao mês, juros simples. O primeiro título tem um valor de $10.000,00 e vencimento no prazo de 90 dias. O segundo título tem um valor de $10.000,00 e vencimento no prazo de 180 dias. Calcule o valor a ser creditado pelo banco na conta dessa empresa, pelo desconto desses títulos. 11. Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de $10.000,00, com uma taxa de 1,2% ao mês (desconto “por dentro”), juros simples, que pode ser liquidado no final de cada mês. Decorridos três meses, essa empresa resolve liquidar esse empréstimo com recursos obtidos, no mesmo banco, por meio de um novo empréstimo, com uma taxa de 1% ao mês, também a juros simples. Decorridos alguns meses, a empresa decide liquidar o segundo empréstimo e verifica que o total de juros acumulados nos dois empréstimos é de $981,60. Calcule: a) o valor do segundo empréstimo suficiente para liquidar o primeiro; b) o valor do pagamento final para liquidar o segundo empréstimo; c) o prazo do segundo empréstimo e d) a taxa média mensal, a juros simples, paga pela empresa, considerando os dois empréstimos em conjunto. 12. Um investidor deposita uma determinada importância numa instituição financeira. No final de quatro meses, ao encerrar sua conta, verifica que o montante acumulado até aquela data totaliza $10.480,00. Esse mesmo valor é então depositado em outra instituição financeira, por um prazo de cinco meses. No final desse período, o montante acumulado na segunda instituição é igual a $11.108,80. Sabendo-se que as duas instituições operam com juros simples e remuneram seus depósitos com a mesma taxa, calcule: a) a taxa mensal de juros simples das duas instituições e b) o valor do depósito inicial na primeira instituição.

Capítulo

4

Juros Compostos – Capitalização e Desconto

4.1. Introdução O objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas básicas de juros compostos e mostrar suas aplicações por meio de exemplos numéricos. Inicialmente, mostramos o problema da capitalização composta, que consiste no crescimento do dinheiro ao longo do tempo, no regime de juros compostos. As outras fórmulas de juros compostos são deduzidas a partir da expressão genérica para a capitalização composta. Em seguida, estudamos o problema inverso, que consiste na diminuição das grandezas futuras ao serem trazidas para o presente, mediante as operações de desconto composto. Nos dois casos, apresentamos as deduções de fórmulas genéricas e suas aplicações em exemplos numéricos, cujas soluções são apresentadas pelo Simulador da HP-12C, desenvolvido no Apêndice B.

4.2. Capitalização e Desconto “Por Dentro”, ou Racional No regime de juros compostos, os juros de cada período, quando não são pagos no final do período, devem ser somados ao capital e, consequentemente, também passam a render juros. A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e como ele acontece no regime de juros compostos costuma ser chamado de capitalização composta. 4.2.1. Dedução da Expressão Genérica para Capitalização Composta A expressão genérica do valor futuro (FV), no regime de juros compostos, em função dos parâmetros n, i e PV, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir, que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.

42


FIGURA 4.1

Capitalização composta: taxa de juros i – desconto “por dentro”

FV

PV i i

0

i

1

i

i

2

3

i

i

...

n⫺1

n

No regime de juros compostos, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de juros i sobre o capital aplicado no início do período de capitalização. Assim, temos: a) no 1o período de capitalização (n 1) capital no início do período PV juros do período PV i capital no final do período FV PV PV i PV (1 i) b) no 2o período de capitalização (n 2) capital no início do período PV (1 i) juros do período PV (1 i) i capital no final do período FV PV (1 i) PV (1 i) i PV (1 i) (1 i) e portanto: FV PV (1 i)2 c) no 3o período de capitalização (n 3) A expressão para o valor futuro FV, ou montante, no final do 3º período de capitalização pode ser deduzida de forma análoga, e toma o seguinte aspecto: FV PV (1 i)3 d) no enésimo período de capitalização O valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de um principal PV, durante n períodos de capitalização, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos, é obtido pela expressão: FV PV (1 i)n

(4.1)

em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n. Cada movimentação de um Valor Presente (PV) por um período para o futuro é obtida pela sua multiplicação por (1+i). A sua movimentação por n períodos é obtida pela expressão (1+i)n.

C a p í t u l o 4 – Ju r o s Com p os t os – Capital iz aç ão e Desc on to

43

4.2.2. Verificação da Expressão Genérica A Expressão Genérica (4.1) pode ser verificada pela reprodução dos valores obtidos no Problema “Banco XYZ – Juros Compostos – Um Investimento de Quatro anos”, da Seção 2.3.1, do Capítulo 2, no qual são utilizados os seguintes parâmetros: PV $1.000,00 n 8% ao ano O montante FV, no final de cada ano, está demonstrado na Tabela 4.1: TABELA 4.1

Verificando a expressão genérica

Final do

Valor de n

Valor de FV ($)

1o ano

n1

FV 1.000,00 (1 0,08)1 1.080,00

2o ano

n2

FV 1.000,00 (1 0,08)2 1.166,40

3o ano

n3

FV 1.000,00 (1 0,08)3 1.259,71

4o ano

n4

FV 1.000,00 (1 0,08)4 1.360,49

4.2.3. Desconto “Por Dentro”, ou Racional Pela Expressão Genérica (4.1), podemos obter a seguinte relação: PV =

FV (1 + i)n

(4.2)

que fornece o valor do principal PV a partir de FV, em função dos parâmetros n e i. Cada movimentação de um Valor Futuro (FV) por um período para o presente é obtida pela sua divisão por (1+i). A sua movimentação por n períodos é obtida pela expressão 1/(1+i)n. O valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, expresso em $, é obtido pela aplicação da expressão geral para desconto geral para desconto, descrita no item (3.3), combinada com a Relação (4.2), isto é: Dd = FV − PV = FV

4.2.4.

[

]

(1 + i)n −1 (1 + i)n

(4.3)

Dado PV Achar FV

O problema envolvendo o cálculo do valor futuro FV a partir do valor presente PV consiste na solução da Expressão Genérica (4.1), em que a relação (1 i)n precisa ser calculada para os parâmetros i e n. A expressão (1 i)n pode ser calculada, para qualquer valor de i e de n, com a utilização da HP-12C ou do Excel, e os cálculos são apresentados no Simulador da HP-12C.

44


Utilização da Calculadora HP-12C e da Planilha Excel O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de problemas do tipo “Dado PV achar FV”:

n

i

PV

PMT

FV

x

x,xx

xx.xxx,xx

0,00

xx.xxx,xx

Em relação a esse Simulador destacamos os seguintes pontos: a) na parte inferior são colocados os valores de cada um dos respectivos parâmetros; b) o parâmetro financeiro PMT, que não participa do problema, deve ter seu valor registrado como zero; c) a célula do parâmetro FV está em destaque para indicar que esse parâmetro é que está sendo calculado e o resultado da operação é mostrado nessa célula em destaque; d) se a operação é realizada com a HP-12C, essa célula em destaque indica que a tecla correspondente ao parâmetro FV é a última a ser pressionada para acionar o cálculo desse parâmetro; e) se a operação é realizada com a Planilha Excel, essa célula em destaque corresponde à célula onde são inseridos o sinal de igual () e a função financeira FV. Cabe ressaltar que esse Simulador, usado ao longo de todo o livro, assume que a HP-12C e a Planilha Excel estão preparadas para operar com o Diagrama Padrão desenvolvido no Capítulo 1, assumindo portanto a convenção de final de período (série PMT postecipada). Outra questão que merece destaque é a convenção de sinal adotada pela HP-12C e pelo Excel no registro dos valores monetários PV, FV e PMT – entradas de caixa como sinal positivo () e saídas de caixa com sinal negativo (). Exemplo Numérico Calcule o valor acumulado no final de seis anos, no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva* de 10% ao ano, a partir de um investimento inicial (principal) de $1.000,00. Solução: n 6 anos i 10% ao ano PV $1.000,00 PMT $0,00 FV ? * Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. (Veja item 5.2.)


45

Os dados desse problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

6

10,00

1.000,00

0,00

1.771,56

que fornece $1.771,56 para o resultado do valor futuro (FV), no final do 6o ano. Observe que o valor de PMT foi registrado como zero. Observe, ainda, que na HP-12C e no Excel o valor de PV é informado com o sinal negativo, e que o valor de FV é obtido com o sinal positivo. Se PV for informado com sinal positivo, então o sinal de FV será negativo. 4.2.5. Dado FV Achar PV O problema envolvendo o cálculo do valor presente PV a partir do valor futuro FV consiste na solução da Expressão Genérica (4.2), em que a relação [1/(1 i)n] precisa ser calculada para os parâmetros i e n. A expressão [1/(1 i)n] pode ser calculada, para qualquer valor de i e de n, com a HP-12C ou com a Planilha Excel, e os cálculos são apresentados com o Simulador desenvolvido nos Apêndices. Utilização da Calculadora HP-12C e da Planilha Excel O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de problemas do tipo “Dado PV achar FV”:

n

i

PV

PMT

FV

x

x,xx

xx.xxx,xx

0,00

xx.xxx,xx

Em relação ao Simulador, destacamos os seguintes pontos: a) o parâmetro financeiro PMT, que não participa do problema, deve ter seu valor registrado como zero; b) a célula do parâmetro PV está em destaque para indicar que esse parâmetro é que está sendo calculado e o resultado da operação é mostrado nessa célula em destaque; c) se a operação é realizada com a HP-12C, essa célula em destaque indica que a tecla correspondente ao parâmetro PV é a última a ser pressionada, para acionar o cálculo desse parâmetro; d) se a operação é realizada com a Planilha Excel, essa célula em destaque corresponde à célula onde são inseridos o sinal de igual () e a função financeira PV.

46


Exemplos Numéricos 1. Calcule o valor do investimento inicial (principal) que deve ser realizado no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1% ao mês, para produzir um montante acumulado de $1.000,00 no final de 12 meses. Calcule o valor do desconto “por dentro”, expresso em $. Solução: n 12 meses i 1% ao mês FV $1.000,00 PMT $0,00 PV ? Dd ? a) cálculo do valor presente Os dados desse problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,00

887,45

0,00

1.000,00

que fornece $887,45 para o valor presente (PV). Observar que o valor de PMT foi registrado como zero. b) desconto “por dentro”, em $ O valor do desconto “por dentro”, expresso em $, é obtido pela Relação (4.3), conforme indicado a seguir: Dd FV PV $1.000,00 $887,45 $112,55 2. O montante de $1.000,00, colocado no final do 4o mês do diagrama indicado a seguir, deve ser capitalizado e descontado com a taxa de 1% ao mês, no regime de juros compostos. FIGURA 4.2 (⫹) 1.000,00

$?

0

1

2

3

4

5

$?

6

7

Meses

Calcule: a) o valor acumulado no final do 7o mês, pela capitalização do montante de $1.000,00 indicado no diagrama;


47

b) o valor que deve ser investido no final do 1o mês, para se obter o montante de $1.000,00 indicado no diagrama. Solução: a) montante no final do 7o mês A solução desse problema pode ser visualizada no diagrama a seguir, que enquadra o problema no Diagrama Padrão desenvolvido no Capítulo 1. FIGURA 4.3 PV ⫽ $1.000,00

0

2

1

3 (Nova escala):

FV ⫽ ?

4

5

6

7

(0)

(1)

(2)

(3)

Meses

Assim, o valor de $1.000,00 fica colocado no ponto zero da nova escala de tempo, e deve ser tratado como um valor presente PV, que precisa ser capitalizado três meses para atingir o final do 7o mês. Usando o Simulador da HP-12C temos:

n

i

PV

PMT

FV

3

1,00

1.000,00

0,00

1.030,30

que fornece $1.030,30 para o valor futuro (FV), no final do 7o mês. b) montante no final do 1o mês Nesse caso, para enquadrarmos o problema no Diagrama Padrão, precisaremos colocar o valor PV (a ser determinado) no ponto zero da nova escala de tempo, conforme indicado a seguir: FIGURA 4.4 PV ⫽ ?

0

FV ⫽ $1.000,00

1

2

3

4

(0)

(1)

(2)

(3)

5

6

(Nova escala)

7

Meses

48


Assim, o valor de $1.000,00 fica colocado no ponto 3 da nova escala de tempo, e deve ser tratado como um valor futuro FV, que precisa ser descontado três meses para atingir o final do 1o mês. Usando o Simulador da HP-12C temos:

n

i

PV

PMT

FV

3

1,00

970,59

0,00

1.000,00

que fornece $970,59 para o valor presente (PV).

4.3.

Desconto “Por Fora”

4.3.1. Dedução da Expressão Genérica A expressão genérica do valor do desconto “por fora”, no regime de juros compostos, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir, que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1. FIGURA 4.5

Desconto composto: taxa de desconto d – “por fora”

7= K

K 0

-=

K

1

K

K 2

3

K

K ...

n–1

n

No regime de juros compostos, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d por período, sobre o capital existente no início do período de desconto. Assim, temos: a) no 1o período de desconto capital no início do período FV desconto do período FV d capital no final do período PV FV FV d FV (1 d) b) no 2o período de desconto capital no início do período FV (1 d) juros do período FV (1 d) d capital no final do período PV FV (1 d) FV (1 d) d FV (1 d) (1 d)


49

e, portanto: PV FV (1 d)2 c) no 3o período de desconto A expressão para o valor presente PV, no final do 3o período de desconto, pode ser deduzida de forma análoga, e toma o seguinte aspecto: PV FV (1 d)3 d) no enésimo período de desconto O valor presente PV, ou principal, resultante do desconto de um valor futuro FV, durante n períodos de desconto, com uma taxa de desconto d por período, no regime de juros compostos, é obtido pela expressão: PV FV (1 d)n

(4.4)

em que a unidade referencial de tempo da taxa de desconto “por fora” d deve coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n. Observe que a taxa de desconto d (“por fora”) é aplicada sobre o valor futuro FV para produzir o valor presente PV, ao passo que a taxa de desconto i (“por dentro”), ou taxa de rentabilidade, é aplicada sobre o valor presente PV para produzir o valor futuro FV. O valor do desconto “por fora” (Df), expresso em $, é obtido pela aplicação da expressão geral para desconto, descrita no item (3.3), combinada com a Expressão (4.4), isto é: Df FV PV FV [1 (1 d)n]

(4.5)

4.3.2. Exemplo Numérico Um título com o valor de $10.000,00, com 60 dias para seu vencimento, é descontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto “por fora” igual a 1,2% ao mês. Calcule o valor presente do título e o valor do desconto composto, expresso em $. Solução: FV $10.000,00 n 60 dias 2 meses d 1,2% ao mês 0,012 a.m. PV ? Df ?

50


a) valor presente do título O valor presente do título é obtido pela Relação (4.4), conforme indicado a seguir: PV FV (1 d)n $10.000,00 (1 0,012)2 $10.000,00 0,97614 $9.761,44 b) valor do desconto “por fora”, em $ O valor do desconto composto, “por fora”, é obtido pela Relação (4.5), conforme indicado a seguir: Df FV PV $10.000,00 $9.761,44 $238,56

4.4. Problemas Resolvidos 1. Calcule o valor acumulado no final de 24 meses, com juros compostos de 1% ao mês, a partir de um investimento inicial (principal) de $2.000,00. Solução: n 24 meses i 1% ao mês PMT $0,00 PV $2.000,00 FV ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

24

1,00

2.000,00

0,00

2.539,47

que fornece $2.539,47 para o valor futuro (FV), no final do 24o mês. Observe que na HP-12C e no Excel o valor de PV é informado com o sinal negativo, e que o valor de FV é obtido com o sinal positivo. Se PV for informado com sinal positivo, então o sinal de FV será negativo. 2. Calcule o valor do investimento inicial (principal) que deve ser realizado no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1,25% ao mês, para produzir um valor acumulado de $1.000,00 no final de dois anos. Solução: n 2 anos 24 meses i 1,25% ao mês FV $1.000,00 PMT $0,00 PV ?


51

Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

24

1,25

742,20

0,00

1.000,00

que fornece $742,20 para o valor presente (PV). 3. Um investimento inicial (principal) de $1.000,00 produz um valor acumulado de $1.150,00, no final de 10 meses. Calcule a taxa de rentabilidade mensal desse investimento, no regime de juros compostos. Solução: n 10 meses FV $1.150,00 PV $1.000,00 PMT $0,00 i ? (ao mês) Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

10

1,40743

1.000,00

0,00

1.150,00

que fornece 1,40743% ao mês para a taxa de juros i, pois o número de períodos foi informado em meses. 4. Calcule o número de meses necessários para fazer um capital dobrar de valor, com a taxa de juros de 6,00% ao ano, no regime de juros compostos. Solução: Supondo um valor de PV $100,00, teríamos FV $200,00, e os dados do problema seriam os seguintes: i 6,00% ao ano FV $200,00 PV $100,00 PMT $0,00 n ? (anos)

52


Esses dados têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

12,00

6,00

100,00

0,00

200,00

que fornece 12 anos para o número de períodos n. O número correto é 11,896, mas a HP-12C sempre arredonda o valor de n, nessa operação, para o 1o número inteiro superior ao valor fracionário encontrado. Assim, seriam necessários 144 meses para o capital dobrar de valor. 5. Um banco comercial realiza suas operações de crédito com uma taxa de juros de 1,00% ao mês, ou seja, 6,00% ao semestre. Entretanto, os juros são pagos antecipadamente, por ocasião da liberação dos recursos. Assim, para cada $1.000,00 de empréstimo, a ser liquidado no prazo de seis meses, esse banco libera um principal de $940,00. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nessas operações, no regime de juros compostos. Solução: n 6 meses FV $1.000,00 PV $940,00 PMT $0,00 i ? (ao mês) Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

6

1,03659

940,00

0,00

1.000,00

que fornece 1,03659% ao mês para a taxa de juros efetiva mensal. 6. Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois anos e valor de resgate de $10.000,00. Calcule seu valor de emissão (principal) para que seja garantida ao investidor uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos. Solução: n 2 anos i 10% ao ano FV $10.000,00 PMT $0,00 PV ?


53


n

i

PV

PMT

FV

2

10,00

8.264,46

0,00

10.000,00

que fornece $8.264,46 para o valor presente (PV) do título. 7. Calcule as taxas efetivas mensal e diária de um título de renda fixa que tem uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos. Solução: a) taxa mensal efetiva Em um ano, com uma taxa de 10% ao ano, $100,00 se transformam em $110,00. A taxa mensal procurada é aquela que faz $100,00 se transformar em $110,00 no prazo de 12 meses. Assim temos: n 12 meses FV $110,00 PV $100,00 PMT $0,00 i ? (ao mês) Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

12

0,797414

100,00

0,00

110,00

que fornece 0,797414% para a rentabilidade mensal desse título. b) taxa diária efetiva Em um ano, com uma taxa de 10% ao ano, $100,00 se transformam em $110,00. A taxa diária procurada é aquela que faz $100,00 se transformar em $110,00 no prazo de 360 dias (assumindo o ano comercial). Assim temos: n 360 dias FV $110,00 PV $100,00 PMT $0,00 i ? (ao dia)

54



n

i

PV

PMT

FV

360

0,0264786

100,00

0,00

110,00

que fornece 0,0264786% para a rentabilidade diária desse título. 8. Resolva o Problema 6 utilizando as taxas mensal e diária obtidas no Problema 7. Solução: a) usando a taxa mensal de 0,797414% n 2 anos 24 meses i 0,797414% ao mês FV $10.000,00 PMT $0,00 PV ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n 24

i 0,797414

PV 8.264,46

PMT 0,00

FV 10.000,00

que fornece $8.264,46 para o valor presente (PV) desse título, idêntico ao obtido no Problema 6. b) usando a taxa diária de 0,0264786% n 2 anos 720 dias i 0,0264786% ao dia FV $10.000,00 PMT $0,00 PV ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

720

0,0264786

8.264,46

0,00

10.000,00

que fornece $8.264,46 para o valor presente (PV) desse título, idêntico ao obtido no Problema 6.


55

9. Um financiamento de um banco de investimentos deve ser liquidado com um único pagamento no final do 6o mês após a liberação dos recursos. A taxa de juros cobrada por esse banco é de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Por razões operacionais, a cobrança dessa taxa é desdobrada em duas parcelas: a) uma taxa mensal de 0,8% ao mês cobrada de forma postecipada, ao longo do contrato; b) uma parcela antecipada cobrada no ato da liberação dos recursos. Calcule o valor do percentual que deve ser cobrado antecipadamente por esse banco para que a taxa de 1,2% ao mês seja alcançada. Solução: a) taxa postecipada de 0,8% ao mês Inicialmente precisamos calcular o montante acumulado a partir de um principal de $100,00 aplicado a 0,8% ao mês pelo prazo de seis meses. Os dados para resolver esse problema são os seguintes: n 6 meses i

0,8% ao mês

PV

$100,00

PMT $0,00 FV

? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

6

0,8

100,00

0,00

104,90

que fornece o resultado de FV $104,90. Assim, para um principal de $100,00, a taxa postecipada de 0,8% ao mês provoca um pagamento de $104,90 no final do 6o mês. b) cálculo da taxa antecipada Vamos fixar em $104,90 o valor do pagamento da operação, no final do 6o mês, para um principal de $100,00. Precisamos, agora, descontar esse montante com a taxa de 1,2% ao mês, desejada pelo banco. Os dados para resolver esse problema são os seguintes: n 6 meses i 1,2% ao mês FV $104,90 PMT $0,00 PV ?

56


Esses dados têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

6

1,20

97,65

0,00

104,90

que fornece o resultado de PV $97,65. Dessa forma, para cada $100,00 financiados, o valor do pagamento no final do 6o mês é de $104,90, e deve haver uma retenção de $2,35 no ato da liberação dos recursos, fazendo com que o valor líquido do financiamento seja igual a $97,65. O valor do percentual que deve ser cobrado antecipadamente é obtido pela relação: % antecipada

($100, 00 $97,65) $2, 35 2, 35% $100,00 $100

10. Um banco de investimentos está oferecendo uma rentabilidade efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos, nos seguintes papéis de renda fixa de sua carteira: Papel

Prazo até resgate

Valor de resgate ($)

A

2 meses

1.000,00

B

3 meses

2.000,00

C

4 meses

3.000,00

Calcule o valor de aquisição de cada um desses papéis para que a taxa de 1% ao mês seja alcançada. Calcule o valor de aplicação de um investidor que adquirir os três papéis. Solução: O fluxo de caixa desses papéis está representado na Figura 4.6: FIGURA 4.6 PV

0

1 PVA PVB PVC

2

$1.000,00

$2.000,00

$3.000,00

(A)

(B)

(C)

3

4

Meses


57

a) valor de aplicação do papel A, de $1.000,00 n

2 meses

i

1,00% ao mês

FV

$1.000,00

PMT $0,00 PVA ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

2

1,00

980,30

0,00

1.000,00

que fornece o resultado de PVA $980,30. b) valor de aplicação do papel B, de $2.000,00 n

3 meses

i

1,00% ao mês

FV

$2.000,00

PMT $0,00 PVB ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

3

1,00

1.941,18

0,00

2.000,00

que fornece o resultado de PVB $1.941,18. c) valor de aplicação do papel C, de $3.000,00 n

4 meses

i

1,00% ao mês

FV

$3.000,00

PMT $0,00 PVC ?

58



n 4

i

PV

PMT

1,00

2.882,94

0,00

FV 3.000,00

que fornece o resultado de PVC $2.882,94. d) valor de aplicação do investidor O investidor que adquirir os três papéis terá de aplicar o equivalente à soma dos valores de aquisição de cada papel, isto é: PV PVA PVB PVC $980,30 $1.941,18 $2.882,94 $5.804,42 O valor de $5.804,42 é definido como o valor presente do fluxo de caixa formado por $1.000,00 no final do 2o mês, $2.000,00 no final do 3o mês e $3.000,00 no final do 4o mês, para a taxa de desconto de 1% ao mês. Outra maneira de obter o valor presente desse fluxo de caixa está indicado a seguir: $3.000,00 valor do papel C no final do 3o mês $2.970,30 1,01 o valor do papel B no final do 3 mês $2.000,00 $4.970,30

valor dos papéis B e C no final do 3o mês valor dos $4.970,30 no final do 2o mês valor do papel A no final do 2o mês valor dos três papéis no final do 2o mês

$4.970, 30 $4.921,09 1,01 $1.000,00 $5.921,09

e finalmente o valor do investimento inicial (principal) é calculado pela relação: PV

$5.921,09 $5.921,09 $5.804, 42 2 1,02010 (1 0, 01)

Os resultados obtidos com essas duas modalidades de cálculos são idênticos porque todas as operações foram realizadas no regime de juros compostos. Poderíamos, alternativamente, acumular os três valores para o final do 4o mês, encontrando o montante de $6.040,10. Esse valor, ao ser descontado para o ponto zero, produz o mesmo principal de $5.804,42. Essas mesmas operações, se realizadas no regime de juros simples, produziriam resultados diferentes, porque naquele regime apenas o principal (valor colocado no ponto zero) rende juros.


59

11. Um certificado de depósito bancário tem um valor de resgate de $10.000,00 e um prazo de 90 dias a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor a ser aplicado nesse papel para que sua taxa de remuneração efetiva seja de 10% ao ano. Realize os cálculos no regime de juros compostos, considerando o ano comercial com 360 dias. Solução: a) obtendo a taxa diária equivalente a 10% ao ano Cálculo da taxa diária n 360 dias PV $100,00 FV $110,00 PMT $0,00 i ? (% ao dia) Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

360

0,0264786

100,00

0,00

110,00

que fornece a taxa diária de 0,0264786%. Cálculo do valor de aplicação n 90 dias i 0,0264786% ao dia FV $10.000,00 PMT $0,00 PV ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

90

0,0264786

9.764,54

0,00

10.000,00

que fornece o resultado de PV $9.764,54. b) trabalhando com n fracionário Nesta solução, vamos transformar os 90 dias em fração de ano e trabalhar com a taxa de 10% ao ano. Esta solução só é possível porque a HP-12C e a Planilha Excel operam com o valor de n fracionário. Certifique-se de que a

60


Calculadora HP-12C apresenta a letra C no visor (acione as teclas STO e EEX), para que ela opere a juros compostos na parte fracionária de n. n 90 dias 90/360 0,25 anos i 10% ao ano FV $10.000,00 PMT $0,00 PV ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

0,25

10,00

9.764,54

0,00

10.000,00

que fornece o resultado de PV $9.764,54, idêntico ao anterior. Caso a HP-12C opere sem a letra C no visor, o resultado encontrado será igual a $9.756,10, que corresponde ao principal obtido no regime de juros simples, ou seja: 10.000,00 $9.756,10 PV 0,1 1 90 360 12. Uma debênture tem um valor de resgate de $10.000,00 e um prazo de dois anos e três meses a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor a ser aplicado nesse papel para que sua taxa de remuneração efetiva seja de 12% ao ano. Realize os cálculos no regime de juros compostos, assumindo o ano comercial com 360 dias. Solução: Coloque a letra C no visor da HP-12C, acionando as teclas STO e EEX, para garantir que todos os cálculos sejam realizados a juros compostos, tanto para a parte inteira de n como para sua parte fracionária. Com a letra C no visor a HP-12C e a Planilha Excel operam da mesma forma, e os resultados obtidos são idênticos. n

2 anos e 3 meses 2,25 anos

i

12% ao ano

FV

$10.000,00

PMT $0,00 PV

? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:


61

n

i

PV

PMT

FV

2,25

12,00

7.749,25

0,00

10.000,00

que fornece o resultado de PV $7.749,25. Ao se repetirem as mesmas operações com a HP-12C, sem a letra C no visor, o resultado obtido é igual a $7.739,75, que corresponde ao seguinte: rDÃMDVMPBKVSPTDPNQPTUPTOBQBSUFJOUFJSBEFn (2 anos); rDÃMDVMPBKVSPTTJNQMFTOBQBSUFGSBDJPOÃSJBEFn (0,25 ano). Para confirmar essa situação, vamos inicialmente calcular o valor do papel, a juros compostos, com dois anos a decorrer até o vencimento. Certifique-se de que a letra C está indicada no visor, para que o cálculo seja realizado a juros compostos:

n

i

PV

PMT

FV

2

12,00

7.971,94

0,00

10.000,00

Vamos agora descontar este valor (PV $7.971,94) por três meses, a juros simples de 12% ao ano: PV

$7.971, 94 $7.739, 75 0,12 1 3 12

resultado que coincide com o calculado sem a letra C no visor, confirmando o que foi enunciado.

4.5. Conclusão Neste capítulo, desenvolvemos as principais fórmulas do regime de juros compostos, bem como ilustramos suas aplicações em diversos problemas do mercado. A Expressão Genérica (4.1), que define o crescimento do dinheiro ao longo do tempo como sendo a exponencial (1 i)n, é a equação fundamental do regime de juros compostos. Todas as demais fórmulas desenvolvidas no livro, para esse regime de juros, são obtidas a partir dessa expressão genérica. A taxa de desconto i (“por dentro”, ou racional), no regime de juros compostos, é usualmente denominada taxa de desconto. A taxa de desconto d (“por fora”, ou comercial) praticamente não é utilizada pelo mercado nesse regime de juros.

62


É indispensável que a HP-12C tenha a letra C indicada no visor (acionar a tecla STO e depois a tecla EEX) para que ela realize os cálculos a juros compostos na parte fracionária de n.

4.6. Problemas Propostos Assuma em todos os problemas o ano comercial com meses de 30 dias. 1. Calcule o montante acumulado em seis trimestres, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos, a partir de um principal de $10.000,00. 2. Calcule o principal que deve ser investido para produzir um montante de $20.000,00, num prazo de dois anos, com uma taxa de 12% ao semestre, no regime de juros compostos. 3. Um investidor aplicou $10.000,00 para receber $11.200,00 no prazo de um ano. Calcule a taxa de rentabilidade mensal desse investidor, no regime de juros compostos. 4. Calcule o montante acumulado em oito trimestres a partir de um principal aplicado de $10.000,00, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. 5. Calcule o número de meses necessários para se fazer um capital triplicar de valor, com uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros compostos. 6. Um banco comercial realiza suas operações de desconto de títulos a juros simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 1,5% ao mês, e exige um saldo médio de 20% do valor da operação. Uma empresa descontou $100.000,00 de títulos nesse banco, todos com vencimento no prazo de três meses. Calcule o valor líquido colocado à disposição da empresa, na data da operação, e as taxas mensais de rentabilidade do banco, nos regimes de juros simples e compostos. 7. Um investidor deseja fazer uma aplicação financeira a juros compostos de 1,5% ao mês, de forma a garantir uma retirada de $10.000,00 no final do 6o mês e outra de $20.000,00 no final do 12o mês, a contar da data da aplicação. Calcule o menor valor que deve ser investido para permitir a retirada desses valores nos meses indicados. 8. Uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de $10.000,00 vencida há três meses, e ainda antecipar o pagamento de outra de $50.000,00 com cinco meses a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor do pagamento a ser feito de imediato pela empresa para liquidar essas duas notas promissórias, levando em consideração uma taxa de 1,2% ao mês, juros compostos, e assumindo os meses com 30 dias. 9. Uma empresa contraiu um empréstimo a juros compostos de 1,2% ao mês, para ser liquidado no prazo de um ano, com dois pagamentos semestrais iguais de $100.000,00. Esse empréstimo, entretanto, pode ser quitado com um único pagamento no valor de $197.755,02. Calcule no final de que mês deve ser feito esse pagamento para que a taxa de 1,2% ao mês seja mantida.


63

10.Um banco de investimento que opera com juros compostos de 1% ao mês está negociando um empréstimo com uma empresa que pode liquidá-lo com um único pagamento de $106.152,02, no final do 6o mês, a contar da assinatura do contrato. Calcule o valor que deve ser abatido do principal desse empréstimo, no ato da contratação, para que esse pagamento seja limitado em $90.000,00, e para que a taxa de 1% ao mês seja mantida. 11.Calcule o valor de uma aplicação financeira que produz um valor de resgate de $10.000,00 ao final de 21 dias, com uma taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. 12.Calcule o valor de resgate de uma aplicação financeira de $10.000,00, realizada no regime de juros compostos, com uma taxa de 15% ao ano, pelo prazo de 18 dias. 13.Um investidor tem uma poupança de $100.000,00 aplicada num banco que lhe garante uma remuneração de 0,8% ao mês para os próximos três meses, e lhe são oferecidas as seguintes alternativas de investimentos: a) aplicação de um valor máximo de $50.000,00, a uma taxa de 1,5% ao mês, por um prazo de três meses e manter o saldo na poupança. b) aplicação de um valor mínimo de $100.000,00, a uma taxa de 1,0% ao mês, por um prazo de três meses. Defina a política de investimentos para esse investidor, para os próximos três meses, sabendo-se que todas as aplicações são remuneradas no regime de juros compostos. 14.Um banco de investimentos realiza suas operações de financiamento com uma taxa efetiva de juros de 12% ao ano, no regime de juros compostos. Entretanto, essa taxa é cobrada em duas parcelas: r VNBQBSDFMBEFBPBOPDPCSBEBEFGPSNBQPTUFDJQBEB BPMPOHPEPDPOUSBUP r VNBQBSDFMBBOUFDJQBEBDPCSBEBOPBUPEBMJCFSBÉÈPEPTSFDVSTPT Calcule o valor do percentual que deve ser cobrado antecipadamente, no ato da liberação dos recursos, para que a taxa de 12% ao ano seja mantida, sabendo-se que os financiamentos são liquidados com o pagamento de uma única parcela no final do 6o mês, a contar da liberação dos recursos.

Capítulo

5

Taxas de Juros

5.1. Introdução Os cálculos financeiros realizados pela HP-12C e pelas funções financeiras do Excel estão baseados na condição de que a unidade referencial de tempo da taxa de juros coincide com a unidade referencial de tempo dos períodos de capitalização. Uma taxa de 6%, por exemplo, pode ser interpretada como sendo: a) uma taxa de 6% ao ano, e nesse caso os períodos de capitalização (n) correspondem a anos; b) uma taxa de 6% ao semestre, e nesse caso os períodos de capitalização (n) correspondem a semestres, e assim por diante. Entretanto, nos problemas práticos, as taxas de juros e os períodos de capitalização nem sempre satisfazem essas condições. Neste capítulo, vamos mostrar como as taxas de juros são informadas no mercado e como adequá-las às condições padronizadas pela HP-12C e pelo Excel.

5.2. Taxa Efetiva Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas: rBPNËT DBQJUBMJ[BEPTNFOTBMNFOUF rBPUSJNFTUSF DBQJUBMJ[BEPTUSJNFTUSBMNFOUF rBPTFNFTUSF DBQJUBMJ[BEPTTFNFTUSBMNFOUF rBPBOP DBQJUBMJ[BEPTBOVBMNFOUF Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano. A taxa efetiva é a taxa utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções financeiras das planilhas eletrônicas.

66


5.3.

Taxas Proporcionais – Juros Simples

5.3.1. Conceito Taxas proporcionais são taxas de juros referenciadas a unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. O conceito de taxas proporcionais está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros simples, e é esclarecido pelos exemplos numéricos e pelas fórmulas desenvolvidas nos próximos itens. 5.3.2. Exemplo Numérico Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de $100,00, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: a) 12% ao ano b) 6% ao semestre c) 1% ao mês Solução: Usando a expressão genérica do crescimento do dinheiro no regime de juros simples (Relação 3.1), e considerando o valor do principal PV $100,00, teremos as seguintes expressões, para cada taxa de juros: a) i

12% ao ano

n 4 anos FV PV (1 i n) 100,00 (1 12% 4) 100,00 (1 0,12 4) $148,00 b) i

6% ao semestre

n 4 anos 8 semestres FV PV (1 i n) 100,00 (1 6% 8) 100,00 (1 0,06 8) $148,00 c) i

1% ao mês

n 4 anos 48 meses FV PV (1 i n) 100,00 (1 1% 48) 100,00 (1 0,01 48) $148,00 Ressaltamos que os cálculos foram realizados no regime de juros simples, e que nos três casos o principal e o prazo foram os mesmos.

67

Capítul o 5 – Taxas de J ur os

Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a $148,00, podemos concluir que as taxas de 12% ao ano, 6% ao semestre e 1% ao mês são proporcionais, pois produzem o mesmo montante de $148,00 ao serem aplicadas sobre o mesmo principal de $100,00, pelo mesmo prazo de quatro anos, no regime de juros simples. 5.3.3. Fórmulas Relacionando Taxas Proporcionais Inicialmente, vamos demonstrar a fórmula que relaciona as taxas proporcionais mensal (im) e anual (ia). Para isso, consideremos as Figuras 5.1 e 5.2 indicadas a seguir: FIGURA 5.1 Taxa mensal – juros simples – crescimento linear FV PV

im

0

1

FIGURA 5.2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Meses

Taxa anual – juros simples – crescimento linear FV

PV

ia

1

0

Anos

No regime de juros simples a Figura 5.1 fornece: FV PV(1 im 12)

(5.1)

FV PV(1 ia)

(5.2)

E a Figura 5.2 fornece:

Para que essas taxas sejam proporcionais, é preciso que os montantes (FV) dos dois esquemas (Figuras 5.1 e 5.2) sejam iguais. Assim, podemos igualar as Relações (5.1) e (5.2), obtendo: (1 ia) (1 im 12)

68


e finalmente:

ia im 12 As demais expressões, relacionando a taxa anual com as taxas proporcionais semestral, trimestral e diária, podem ser obtidas de maneira análoga. Se considerarmos o ano comercial (360 dias), as fórmulas que permitem o cálculo dessas taxas proporcionais estão a seguir indicadas: ia is 2 it 4 im 12 id 360

em que: ia is it im id

(5.3)

taxa de juros anual taxa de juros semestral taxa de juros trimestral taxa de juros mensal taxa de juros diária

A utilização dessas fórmulas é esclarecida pelos problemas resolvidos na próxima seção. 5.3.4. Problemas Resolvidos 1. Calcule as taxas semestral e mensal que são proporcionais à taxa de 12% ao ano. Solução: ia 12% ao ano Pela Relação (5.3) temos: a) taxa semestral is ⫻ 2 ⫽ ia

i s⫽

ia 12% 0,12 ⫽ ⫽ ⫽ 0,06 2 2 2

i m⫽

ia 12% 0,12 ⫽ ⫽ ⫽ 0,01 12 12 12

ou seja, 6% ao semestre; b) taxa mensal i m ⫻ 12 ⫽ i a

ou seja, 1% ao mês. Comparar esses resultados com os obtidos na Seção 5.3.2. 2. Calcule as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 24% ao ano. Solução: ia 24% ao ano


69

Pela Relação (5.3) temos: a) taxa semestral is ⫻ 2 ⫽ ia

i s⫽

ia 24% 0,24 ⫽ ⫽ ⫽ 0,12 2 2 2

ou seja, 12% ao semestre; b) taxa mensal i m ⫻ 12 ⫽ i a

i m⫽

ia 24% 0,24 ⫽ ⫽ ⫽ 0,02 12 12 12

ou seja, 2% ao mês; c) taxa diária i d ⫻ 360 ⫽ i a

i d⫽

ia 24% 0,24 ⫽ ⫽ ⫽ 0,000667 360 360 360

ou seja, 0,0667% ao dia. 3. Calcule a taxa mensal proporcional à taxa de 7,5% ao semestre. Solução: is 7,5% ao semestre Pela Relação (5.3) temos: i m ⫻ 12 ⫽ i s ⫻ 2

i m⫽

is 7, 5% 0,075 ⫽ ⫽ ⫽ 0,0125 6 6 6

ou seja, 1,25% ao mês. 4. Calcule a taxa diária proporcional à taxa de 1,5% ao mês. Solução: im 1,5% ao mês Pela Relação (5.3) temos: i m ⫻ 12 ⫽ i d ⫻ 360

id ⫽

im 1, 5% 0,015 ⫽ ⫽ ⫽ 0,0005 30 30 30

ou seja, 0,05% ao dia.

5.4. Taxas Equivalentes – Juros Compostos 5.4.1. Conceito Taxas equivalentes são taxas de juros referenciadas a unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.

70


O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos, e é esclarecido pelos exemplos numéricos e fórmulas desenvolvidas a seguir. Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos. 5.4.2.

Exemplo Numérico

Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de $100,00, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros: a) 12,6825% ao ano b) 6,1520% ao semestre c) 1,00% ao mês Solução: Usando a expressão genérica do crescimento do dinheiro, no regime de juros compostos (Relação 4.1), e considerando o valor do principal PV $100,00, teremos as seguintes expressões, para cada taxa de juros: a) taxa anual i 12,6825% ao ano n 4 anos FV PV (1 i)n 100,00 (1 0,126825)4 $100,00 1,6122 $161,22 Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

4

12,6825

100,00

0,00

161,22

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $161,22 obtido para FV, que coincide com o calculado anteriormente; b) taxa semestral i 6,1520% ao semestre n 4 anos 8 semestres FV PV (1 i)n 100,00 (1 0,06152)8 $100,00 1,6122 $161,22 Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme se segue:


71

n

i

PV

PMT

FV

8

6,1520

100,00

0,00

161,22

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $161,22 obtido para FV, que coincide com o calculado anteriormente; c) taxa mensal i 1% ao mês n 4 anos 48 meses FV PV (1 i)n 100,00 (1 0,01)48 $100,00 1,6122 $161,22 Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, como indicado a seguir: A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $161,22 obtido para FV, que coincide com o calculado anteriormente.

n

i

48

PV

PMT

100,00

1,00

FV

0,00

161,22

Observe que os cálculos foram realizados no regime de juros compostos, e que nos três casos o principal e o prazo foram os mesmos. Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a $161,22, podemos concluir que as taxas de 12,6825% ao ano, 6,1520% ao semestre e 1% ao mês são taxas equivalentes, pois produzem o mesmo montante de $161,22 ao serem aplicadas sobre o mesmo principal de $100,00, pelo mesmo prazo de quatro anos, no regime de juros compostos. 5.4.3.

Fórmulas Relacionando Taxas Equivalentes

Inicialmente, vamos demonstrar a fórmula que relaciona as taxas equivalentes mensal (im) e anual (ia). Para isso, consideremos os esquemas indicados a seguir: FIGURA 5.3

Taxa mensal – juros compostos – crescimento exponencial FV

PV im

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Meses

72


FIGURA 5.4

Taxa anual – juros compostos – crescimento exponencial

FV PV

ia 0

1

Anos

No regime de juros compostos, o esquema da Figura 5.3 fornece: FV PV (1 im)12

(5.4)

FV PV (1 ia)

(5.5)

E a Figura 5.4 fornece: Para que essas taxas sejam equivalentes, é preciso que os montantes (FV) dos dois esquemas sejam iguais. Assim, podemos igualar as Relações (5.4) e (5.5), obtendo: (1 ia) (1 im)12 As demais expressões, relacionando a taxa anual com as taxas equivalentes semestral, trimestral e diária, podem ser obtidas de maneira análoga. Se considerarmos o ano comercial (360 dias), as fórmulas que permitem o cálculo dessas taxas equivalentes estão a seguir indicadas: (1 ia) (1 is)2 (1 it)4 (1 im)12 (1 id)360

(5.6)

em que: ia taxa de juros anual is taxa de juros semestral it taxa de juros trimestral im taxa de juros mensal id taxa de juros diária A utilização dessas fórmulas é esclarecida pelos problemas resolvidos na próxima seção, com o auxílio da HP-12C e do Excel. 5.4.4.

Problemas Resolvidos

1. Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 1% ao mês. Solução: im 1% ao mês Pela Relação (5.6) temos:


73

a) taxa anual (1 ia) (1 im)12 (1 1%)12 (1 0,01)12 (1,01)12 1,126825 e então: ia 1,126825 1 0,126825 ou seja, 12,6825% ao ano. Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,00

100,00

0,00

112,6825

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $112,6825 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 12,6825% ao ano; b) taxa semestral (1 is)2 (1 im)12 (1 is) (1 im)6 e então: is (1 im)6 1 (1,01)6 1 1,061520 1 0,061520 ou seja, 6,1520% ao semestre. Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, como se segue:

n

i

PV

PMT

FV

6

1,00

100,00

0,00

106,1520

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $106,1520 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 6,1520% ao semestre. Compare esses resultados com os obtidos na Seção 5.4.2. 2. Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 3% ao trimestre.

74


Solução: it 3% ao trimestre Pela Relação (5.6) temos: a) taxa anual (1 ia) (1 it)4 (1 3%)4 (1 0,03)4 (1,03)4 e então: ia (1,03)4 1 1,125509 1 0,125509 ou seja, 12,5509% ao ano. Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

4

3,00

100,00

0,00

112,5509

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $112,5509 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 12,5509% ao ano; b) taxa semestral (1 is)2 (1 it)4 8 (1 is) (1 it)2 (1 3%)2 e então: is (1 0,03)2 1 (1,03)2 1 1,060900 1 0,060900 ou seja, 6,09% ao semestre. Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

2

3,00

100,00

0,00

106,0900

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $106,0900 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 6,09% ao semestre.


75

3. Calcule a taxa mensal que é equivalente à taxa de 10% ao ano. Solução: ia 10% ao ano Pela Relação (5.6) temos: (1 im)12 (1 ia) (1 10%) (1 0,10) 1,10 e então: im (1,10)1/12 1 1,007974 1 0,007974 ou seja, 0,7974% ao mês. Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

12

0,7974

100,00

0,00

110,00

A célula em destaque (abaixo de i) mostra o valor de 0,7974% obtido para a taxa i, que coincide com o calculado anteriormente. 4. Calcule a taxa diária que é equivalente à taxa de 1,5% ao mês. Solução: im 1,5% ao mês Pela Relação (5.6) temos: (1 id)360 (1 im)12 > (1 id)30 (1 im) (1 1,5%) 1,015 e então: id (1,015)1/30 1 1,000496 1 0, 000496 ou seja, 0,0496% ao dia. Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

30

0,0496

100,00

0,00

101,50

A célula em destaque (abaixo de i) mostra o valor de 0,0496% obtido para a taxa i, que coincide com o calculado anteriormente.

76


5.5. Taxa Nominal 5.5.1. Conceito Taxa nominal é uma taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre referenciada ao ano, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais: rBPBOP DBQJUBMJ[BEPTNFOTBMNFOUF rBPBOP DBQJUBMJ[BEPTTFNFTUSBMNFOUF rBPBOP DBQJUBMJ[BEPTUSJNFTUSBMNFOUF rBPBOP DBQJUBMJ[BEPTEJBSJBNFOUF A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos. Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples. Nos exemplos anteriores, as taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das taxas nominais são as seguintes: rBPBOP DBQJUBMJ[BEPTNFOTBMNFOUF 12% a.a. ⫽ 1% ao mês 12 meses rBPBOP DBQJUBMJ[BEPTTFNFTUSBMNFOUF 24% a.a. ⫽ 12% ao semestre 2 semestres rBPBOP DBQJUBMJ[BEPTUSJNFTUSBMNFOUF 10% a.a. ⫽ 2, 50% ao trimestre 4 trimestres rBPBOP DBQJUBMJ[BEPTEJBSJBNFOUF 18% a.a. ⫽ 0, 050% ao dia 360 dias Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cálculos financeiros, no regime de juros compostos, com os valores das taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1% ao mês, 12% ao semestre, 2,50% ao trimestre e 0,050% ao dia. A taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida no regime de juros simples. A taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre


77

maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior for o número de períodos de capitalização da taxa nominal. 5.5.2.

Fórmulas

Vamos, inicialmente, assumir o ano comercial com 360 dias e as seguintes simbologias e denominações: (em % a.a.) iN taxa de juros nominal anual is taxa semestral efetiva implícita (em % a.s.) it taxa trimestral efetiva implícita (em % a.t.) im taxa mensal efetiva implícita (em % a.m.) (em % a.d.) id taxa diária efetiva implícita As taxas efetivas, que estão implícitas nas taxas nominais anuais, são obtidas em função do número de períodos de capitalização da taxa nominal, pelas expressões relacionadas na Tabela 5.1: TABELA 5.1

Taxas efetivas

Período de capitalização de iN

Número de períodos de capitalizações no ano

Diária

360

id

⫽

Mensal

12

im

⫽

Trimestral

4

it

⫽

Semestral

2

is

⫽

5.5.3.

Taxa efetiva implícita iN 360 iN 12 iN 4 iN 2

Problemas Resolvidos

1. Calcule as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% ao ano, com os seguintes períodos de capitalização: a) mensal; b) trimestral e c) semestral. Solução: iN 9% ao ano a) capitalização mensal – taxa efetiva mensal:

78


im

9% 0,75% ao mês 12

Pela Relação (5.6) temos: (1 ia) (1 im)12 (1 0,75%)12 (1,0075)12 ia (1,0075)12 1 1,093807 1 0,093807 ou seja, 9,3807% ao ano. Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

12

0,75

100,00

0,00

109,3807

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $109,3807 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 9,3807% ao ano; b) capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral: i 9% it ⫽ N ⫽ ⫽ 2,25% ao trimestre 4 4 Pela Relação (5.6) temos: (1 ia) (1 it)4 (1 2,25%)4 (1,0225)4 ia (1,0225)4 1 1,093083 1 0,093083 ou seja, 9,3083% ao ano. Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

4

2,25

100,00

0,00

109,3083

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $109,3083 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 9,3083% ao ano; c) capitalização semestral – taxa efetiva semestral: 9% is⫽ ⫽ 4, 5% ao semestre 2 Pela Relação (5.6) temos: (1 ia) (1 is)2 (1 4,5%)2 (1,045)2


79

ia (1,045)2 1 1,092025 1 0,092025 ou seja, 9,2025% ao ano. Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme os valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

2

4,5

100,00

0,00

109,2025

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $109,2025 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 9,2025% ao ano. Se repetirmos esse mesmo problema para as taxas nominais de 12% a.a., 24% a.a. e 36% a.a., obteremos os resultados indicados na Tabela 5.2, com apenas duas casas decimais. TABELA 5.2

Taxa nominal anual (%)

Taxas efetivas anuais

Taxas efetivas anuais equivalentes (em %) quando o período de capitalização for anual

semestral

trimestral

mensal

9,0

9,00

9,20

9,31

9,38

12,0

12,00

12,36

12,55

12,68

24,0

24,00

25,44

26,25

26,82

36,0

36,00

39,24

41,16

42,58

Ao analisarmos os valores da Tabela 5.2 podemos tirar as seguintes conclusões: a) a taxa efetiva anual é sempre maior do que a taxa nominal anual correspondente; b) a diferença entre essas duas taxas aumenta quando: r BVNFOUBPOÙNFSPEFQFSÎPEPTEFDBQJUBMJ[BÉÈP r BVNFOUBPWBMPSEBUBYBOPNJOBM 2. Calcule a taxa efetiva trimestral que é equivalente a uma taxa nominal de 15% ao ano, capitalizados mensalmente. Solução: Taxa nominal: iN 15% ao ano capitalização mensal – taxa efetiva mensal:

80


im

15% 1,25% ao mê s 12

Pela Relação (5.6) temos: (1 it)4 (1 im)12 (1 it) (1 im)3 (1 it) (1 1,25%)3 (1,0125)3 it (1,0125)3 1 1,037971 1 0,037971 ou seja, 3,7971% ao trimestre. Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

3

1,25

100,00

0,00

103,7971

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $103,7971 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 3,7971% ao trimestre. 3. Calcule a taxa efetiva mensal que é equivalente a uma taxa nominal de 10% ao ano capitalizados trimestralmente. Solução: Taxa nominal: iN 10% ao ano capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral: 10% it 2, 5% ao trimestre 4 Pela Relação (5.6) temos: (1 im)12 (1 it)4 (1 im)3 (1 it) (1 im) (1 2,5%)1/3 (1,025)1/3 im (1,025)1/3 1 1,008265 1 0,008265 ou seja, 0,8265% ao mês. Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

3

0,8265

100,00

0,00

102,50


81

A célula em destaque (abaixo de i) mostra o valor de 0,8265 obtido para a taxa i, que coincide com o calculado anteriormente. 4. Calcule o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar $1.000,00 à taxa de 9% ao ano, capitalizados mensalmente. Solução: Taxa nominal: iN 9% ao ano capitalização mensal – taxa efetiva mensal: 9% i m⫽ ⫽ 0,75% ao mê s 12 Podemos resolver esse problema de duas maneiras, conforme mostrado a seguir: a) transformando o ano em meses: PV $1.000,00 n 2 anos 24 meses im 0,75% ao mês O valor de FV pode ser assim obtido: FV PV (1 im)24 1.000,00 (1 0,75%)24 1.000,00 (1,0075)24 1.000,00 1,196414 $1.196,41 Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n 24

i

PV

PMT

FV

0,75

1.000,00

0,00

1.196,41

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $1.196,41 obtido para FV, que coincide com o calculado anteriormente. b) transformando a taxa mensal na taxa anual equivalente: Pela Relação (5.6) temos: (1 ia) (1 im)12 (1 ia) (1 0,75%)12 ia (1,0075)12 1 1,093807 1 0,093807 ou seja, 9,3807% ao ano. Temos então os seguintes dados: PV $1.000,00

82


n 2 anos ia 9,3807% ao ano O valor de FV pode ser assim obtido: FV PV (1 ia)2 1.000,00 (1 9,3807%)2 1.000,00 (1,093807)2 1.000,00 1,196414 $1.196,41 Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

2

9,3807

1.000,00

0,00

1.196,41

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $1.196,41 obtido para FV, que coincide com o calculado anteriormente. 5. Calcule o montante do problema anterior se a capitalização for trimestral. Solução: Taxa nominal: iN 9% ao ano capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral: 9% im 2,25% ao trimestre 4 Transformando o ano em trimestres teremos: PV $1.000,00 n 2 anos 8 trimestres im 2,25% ao trimestre O valor de FV pode ser assim obtido: FV PV (1 it)8 1.000,00 (1 2,25%)8 1.000,00 (1,0225)8 1.000,00 1,194831 $1.194,83 Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:

n 8

i

PV

2,25

1.000,00

PMT 0,00

FV 1.194,83

A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $1.194,83 obtido para FV, que coincide com o calculado anteriormente.


5.5.4.

83

Tabela Price

A tabela Price, que tem grande aceitação no mercado, é utilizada principalmente para calcular o valor das prestações de financiamentos imobiliários. Sua grande característica consiste em ter a taxa nominal como elemento de entrada para obtenção dos fatores. Entretanto, os fatores são calculados com a taxa efetiva decorrente da taxa nominal, em função do número de períodos de capitalização. Assim, por exemplo, uma tabela Price de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, tem as seguintes características: a) a taxa de entrada, para a obtenção dos fatores, é de 12% ao ano, capitalizados mensalmente; b) os períodos dessa tabela correspondem a meses; c) a taxa utilizada no cálculo dos fatores é a taxa efetiva de 1% ao mês. Assim, uma tabela Price de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, corresponde a uma tabela de 1% ao mês, que representa, em termos equivalentes, uma taxa efetiva de 12,68% ao ano.

5.6.

Taxas Proporcionais Versus Taxas Equivalentes

5.6.1.

Comparação de Taxas Anuais

As taxas de juros proporcionais e equivalentes são obtidas, respectivamente, nos regimes de juros simples e compostos. A Tabela 5.3, a seguir, apresenta uma comparação de diversas taxas anuais, proporcionais e equivalentes a determinadas taxas mensais. TABELA 5.3 Taxas efetivas mensais

Taxas anuais proporcionais (*) (juros simples)

Taxas anuais equivalentes (juros compostos)

1,00%

12,00%

12,68%

3,00%

36,00%

42,58%

5,00%

60,00%

79,59%

7,00%

84,00%

125,22%

10,00%

120,00%

213,84%

12,00%

144,00%

289,60%

15,00%

180,00%

435,03%

20,00%

240,00%

791,61%

(*) Correspondem às taxas nominais.

Observe que a diferença entre as taxas anuais aumenta significativamente quando as taxas mensais atingem valores mais elevados.

84

5.6.2.


Exemplo Numérico

Uma instituição financeira remunera suas aplicações com juros simples de 1,50% a.m., em todas as operações com prazos de até 45 dias. Considere três aplicações financeiras com os seguintes prazos: a) 15 dias; b) 30 dias e c) 45 dias. Determine qual das três aplicações tem a maior taxa efetiva mensal, no regime de juros compostos. Solução: a) operação com prazo de 15 dias

r KVSPTTJNQMFTmUBYBTQSPQPSDJPOBJT Obtenção do valor de resgate de uma aplicação de $100,00: 1,5% 0,050% ao dia 0,0005 a.d. id 30 n 15 dias Valor de aplicação PV $100,00 Valor de resgate FV $100,00 (1 0,0005 15) $100,75

r KVSPTDPNQPTUPTmUBYBTFRVJWBMFOUFT PV $100,00 FV $100,75 n 15 dias Obtenção da taxa diária: FV 100,75 PV (1 id)15 100,00 (1 id)15

e então: (1 ⫹ i d )15 ⫽

100,75 ⫽ 1,0075 100,00

que fornece: id (1,0075)1/15 1 0,00049826 0,049826% ao dia Obtenção da taxa efetiva mensal equivalente, com o auxílio da Relação (5.6): (1 im) (1 id)30 (1,00049826)30 1,015056 e então: im 1,015056 1 0,015056 1,51% ao mês Podemos obter esse mesmo valor para a taxa mensal efetiva com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:


85

PV $100,00 FV $100,75 n 15 dias 15/30 0,5 mês A célula em destaque (abaixo de i) mostra o valor de 1,5056 obtido para a taxa i, que coincide com o calculado anteriormente. Observe que a taxa obtida já é a taxa mensal efetiva, pois o prazo da operação foi fornecido em fração de mês; b) operação com prazo de 30 dias

n

i

PV

PMT

FV

0,5

1,5056

100,00

0,00

100,75

Nas operações com prazo de 30 dias a taxa de 1,50% ao mês, a juros simples, é idêntica à taxa mensal efetiva, a juros compostos; c) operação com prazo de 45 dias r KVSPTTJNQMFTmUBYBTQSPQPSDJPOBJT Obtenção do valor de resgate de uma aplicação de $100,00: 1,5% id 0,050% ao dia 30 n 45 dias Valor de aplicação PV $100,00 Valor de resgate FV 100,00 (1 0,0005 45) $102,25 r KVSPTDPNQPTUPTmUBYBTFRVJWBMFOUFT PV $100,00 FV $102,25 n 45 dias Obtenção da taxa diária: FV 102,25 PV (1 id)45 100,00 (1 id)45 e então: (1 ⫹ i d ) 45 ⫽

102,25 ⫽ 1,0225 100,00

que fornece: id (1,0225)1/45 1 0,00049458 0,049458% ao dia Obtenção da taxa efetiva mensal equivalente, com o auxílio da Relação (5.6): (1 im) (1 id)30 (1,00049458)30 1,014944

86


e então: im 1,014944 1 0,014944 1,49% ao mês Podemos obter esse mesmo valor para a taxa mensal efetiva com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir: PV $100,00 FV $102,25 n 45 dias 45/30 1,5 meses A célula em destaque (abaixo de i) mostra o valor de 1,4944 obtido para a taxa i, que coincide com o calculado anteriormente. Observe que a taxa obtida já é a taxa mensal efetiva, pois o prazo da operação foi fornecido em meses. A análise dos resultados desse exemplo numérico permite as seguintes conclusões,

n

i

PV

PMT

FV

1,5

1,4944

100,00

0,00

102,25

quando a taxa de juros simples for mensal: a) para prazos de aplicação inferiores a 30 dias, a taxa efetiva mensal é sempre maior que a taxa mensal de juros simples, e é tanto maior quanto menor for o prazo da aplicação; b) para prazos de aplicação iguais a 30 dias, a taxa efetiva mensal é igual à taxa mensal de juros simples; c) para prazos de aplicação superiores a 30 dias, a taxa efetiva mensal é sempre menor que a taxa mensal de juros simples, e é tanto menor quanto maior for o prazo da aplicação.

5.7. Outras Denominações 5.7.1.

Taxa Bruta e Taxa Líquida

Costuma-se denominar taxa bruta de uma aplicação financeira a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição financeira. Por outro lado, denomina-se taxa líquida de uma aplicação financeira a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, já levando em conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição financeira. Assim, a taxa bruta é sempre maior do que a taxa líquida.


5.7.2.

87

Taxa Real e Taxa Nominal

Essas duas denominações estão diretamente ligadas ao fenômeno da inflação. Costuma-se denominar taxa real a taxa de juros obtida após se eliminar o efeito da inflação, e taxa nominal a taxa de juros que inclui a inflação. Assim, a taxa nominal é sempre maior do que a taxa real. A influência da inflação na análise dos fluxos de caixa será tratada no Capítulo 10; porém, podemos antecipar que todos os conceitos da Matemática Financeira são aplicados, indistintamente, nos fluxos de caixa com valores expressos em moeda “fraca” (que perde o poder aquisitivo no tempo, com a inflação) ou em moeda “forte” (que mantém o mesmo poder aquisitivo no tempo).

5.8. Conclusão Neste capítulo, foram apresentadas diversas formas de informar e calcular taxas de juros. Destacamos os seguintes pontos: r Btaxa efetiva é a taxa utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos, pelas calculadoras financeiras e pelas funções financeiras das planilhas eletrônicas; r Btaxa nominal tem uma taxa efetiva implícita em seu enunciado, que depende do número de períodos de capitalização. Essa taxa efetiva é a que deve ser utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos; r taxas proporcionais são taxas de juros que permitem o mesmo crescimento do dinheiro, no regime de juros simples; r taxas equivalentes são taxas de juros que permitem o mesmo crescimento do dinheiro, no regime de juros compostos; r taxa bruta e taxa líquida estão ligadas à questão do imposto de renda; r taxa real e taxa nominal estão ligadas ao fenômeno da inflação.

5.9.

Problemas Propostos

Assuma em todos os problemas o ano comercial com 360 dias. 1. Calcule as taxas mensal e diária proporcionais à taxa de 3,6% ao trimestre. 2. Calcule as taxas trimestral e anual proporcionais à taxa de 0,9% ao mês. 3. Calcule as taxas mensal e trimestral equivalentes à taxa de 9,0% ao ano. 4. Calcule a taxa diária equivalente à taxa de 6% ao semestre. 5. Calcule as taxas efetivas trimestral e anual equivalentes à taxa de 1,05% ao mês. 6. Calcule as taxas efetivas anuais equivalentes às taxas de 2,0% ao trimestre e 4% ao semestre. 7. Calcule a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 8,5% ao ano, capitalizados trimestralmente.

88


8. Calcule as taxas efetivas trimestral e anual equivalentes à taxa nominal de 11,4% ao ano, capitalizados mensalmente. 9. Calcule o montante acumulado no final de dois anos ao se aplicar um principal de $1.000,00 à taxa de 10,20% ao ano, capitalizados mensalmente. 10.Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa de 1,20% ao mês, no regime de juros simples. Calcule os valores de resgate e as taxas efetivas mensais de uma aplicação de $10.000,00, nas seguintes hipóteses para o prazo da operação: a) 10 dias e b) 60 dias. 11.Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa efetiva de 1,20% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule os valores de resgate e as taxas mensais, a juros simples, de uma aplicação de $10.000,00, nas seguintes hipóteses para o prazo da operação: a) 10 dias e b) 60 dias.

Capítulo

Série Uniforme – Prestações Iguais

6 6.1.

Introdução

O objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas usadas nas soluções de problemas envolvendo uma série uniforme de valores monetários (pagamentos ou recebimentos), no regime de juros compostos, e mostrar suas aplicações por meio de exemplos numéricos. Essa modalidade de prestações (pagamentos ou recebimentos) é usualmente conhecida como Modelo Price, no qual todas as prestações têm um mesmo valor, que genericamente representamos por PMT. O fato de as prestações terem um mesmo valor e serem equidistantes permite a obtenção de fórmulas simplificadas para a capitalização e o desconto dessas parcelas, mediante a utilização da expressão para a soma de termos de uma progressão geométrica, conforme mostrado no decorrer do capítulo.

6.2. Dado PMT Achar FV 6.2.1.

Dedução da Expressão

Consideremos o seguinte fluxo de caixa: FIGURA 6.1

Um fluxo de caixa

FV ⫽ ?

PMT i

i 0

1

i 2

i 3

i ...

n

90


O problema do tipo ‘‘Dado PMT achar FV’’ consiste em determinar o montante acumulado FV, no final de n períodos, a partir da capitalização das n prestações iguais de uma série uniforme, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos. O valor dessas prestações é genericamente representado por PMT ("Periodic Payment"). Observe que a série uniforme PMT está de acordo com o Diagrama Padrão do Capítulo 1, obedecendo à convenção de final de período, sendo portanto uma série postecipada. O montante FV, no final do período de ordem n, acumulado por essas prestações, corresponde à soma dos montantes individualmente calculados para cada prestação até esse mesmo período. Assim temos: r Ba prestação capitaliza juros durante (n 1) períodos, e seu valor futuro no final do período n é igual a ………. PMT (1 i)n1 r Ba prestação capitaliza juros durante (n 2) períodos, e seu valor futuro no final do período n é igual a ………. PMT (1 i)n2 r BQFOÙMUJNBQSFTUBÉÈPDBQJUBMJ[BKVSPTEVSBOUFQFSÎPEP e seu valor futuro no final do período n é igual a ………. PMT (1 i) r BÙMUJNBQSFTUBÉÈPOÈPDBQJUBMJ[BKVSPT FTFV valor no final do período n é igual a …………………… PMT Assim, o montante FV é obtido pela soma dessas parcelas, isto é: FV PMT [(1 i)n1 (1 i)n2 … (1 i) 1]

(6.1)

Os termos entre colchetes correspondem à soma dos termos de uma progressão geométrica, cuja fórmula pode ser obtida multiplicando-se ambos os lados da Expressão (6.1) por (1 i). Assim temos: FV (1 i) PMT [(1 i)n (1 i)n1 … (1 i)2 (1 i)]

(6.2)

Subtraindo-se da Expressão (6.2) a Expressão (6.1): FV i PMT [(1 i)n 1] e portanto: FV ⫽

PMT[(1 ⫹ i)n ⫺ 1] i

(6.3)

O problema do tipo “Dado PMT achar FV” envolve a obtenção do valor futuro FV, a partir do valor de cada prestação PMT de uma série uniforme, e consiste na solução da Relação Genérica (6.3). A expressão pode ser calculada para os parâmetros i e n, com a utilização da HP-12C ou do Excel, e os cálculos são apresentados com o Simulador da HP-12C.

Ca p í t u l o 6 – S é r i e U n ifor me – P r estaç ões Iguais

6.2.2.

91

Utilização da HP-12C e do Excel

O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de problemas do tipo “Dado PMT achar FV”:

n

i

PV

PMT

FV

x

x,xx

0,00

xx.xxx,xx

xx.xxx,xx

Esse Simulador assume que a HP-12C e o Excel estão preparados para operar de acordo com o Diagrama Padrão desenvolvido no Capítulo 1, assumindo, portanto, a convenção de final de período (série PMT postecipada). O registro dos valores monetários PV, FV e PMT deve obedecer à convenção de sinal, na qual as entradas de caixa têm sinal positivo () e as saídas de caixa têm sinal negativo (). 6.2.3.

Exemplos Numéricos

1. Calcule o valor do montante FV do fluxo de caixa que segue, com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. FIGURA 6.2 FV ⫽ ?

PMT ⫽ $1.000,00 i

i 0

1

Solução: n i PMT PV FV

i 2

i 3

i 4

5 anos 10% ao ano $1.000,00 $0,00 ?


5

Anos

92


n

i

PV

PMT

FV

5

10,00

0,00

1.000,00

6.105,10

que fornece $6.105,10 para o valor futuro no final do 5o ano, imediatamente após a efetivação do último depósito. 2. Um investidor efetua os quatro depósitos anuais de $5.000,00 indicados no fluxo de caixa a seguir. FIGURA 6.3 PMT ⫽ $ 5.000,00

i

i 0

i 3

2

1

i 4

Anos

Sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma taxa efetiva de 8% ao ano, no regime de juros compostos, calcule o valor acumulado por esse investidor no final do quarto ano, nas seguintes situações: a) imediatamente após a realização do quarto depósito; b) imediatamente antes da realização do quarto depósito. Solução: a) saldo imediatamente após o 4o depósito n 4 anos i 8% ao ano PMT $5.000,00 PV $0,00 FV ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

4

8,00

0,00

5.000,00

22.530,56

que fornece $22.530,56 para o saldo após o 4o depósito; b) saldo imediatamente antes do 4o depósito O saldo acumulado, imediatamente antes da realização do 4o depósito, é obtido subtraindo-se, do saldo calculado no item a, o valor do último depósito, isto é: $22.530,56 $5.000,00 $17.530,56


6.3.

Dado FV Achar PMT

6.3.1.


93

Consideremos o seguinte fluxo de caixa: FIGURA 6.4 FV PMT ⫽ ? i

i 0

i

1

i

i ...

2

3

FV

PMT [(1 i) n 1] i

n

A Relação (6.3) fornece:

Assim, o cálculo de PMT a partir de FV é obtido pela relação inversa, isto é: PMT ⫽ FV

i (1 ⫹ i)n ⫺ 1

(6.4)

O problema do tipo “Dado FV achar PMT” envolve a obtenção do valor PMT de cada prestação, a partir do valor futuro FV, e consiste na solução da Relação Genérica (6.4). A expressão pode ser calculada para os parâmetros i e n, com a utilização da HP-12C ou do Excel, e os cálculos são apresentados com o simulador. 6.3.2.


O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de problemas do tipo “Dado FV achar PMT”:

n

i

PV

PMT

FV

x

x,xx

0,00

xx.xxx,xx

xx.xxx,xx

O registro dos valores monetários PV, FV e PMT deve ser feito obedecendo à convenção de sinal, na qual as entradas de caixa têm sinal positivo () e as saídas de caixa têm sinal negativo ().

94


6.3.3.

Exemplos Numéricos

1. Calcule o valor dos quatro depósitos trimestrais do fluxo de caixa que se segue, capazes de produzir o montante de $10.000,00 no final do 4o trimestre, com uma taxa efetiva de 3% ao trimestre, no regime de juros compostos. FIGURA 6.5 FV ⫽ $10.000,00 PMT ⫽ ?

i

i 0

i

i

2

1

Trimestres

4

3

Solução: n 4 trimestres i 3% ao trimestre FV $10.000,00 PV $0,00 PMT ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

4

3,00

0,00

2.390,27

10.000,00

que fornece o resultado de PMT $2.390,27. 2. Calcule o valor de seis depósitos mensais, iguais e sucessivos, capazes de produzir um montante de $5.000,00 no final do 6o mês, imediatamente após a realização do 6o depósito, sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. FIGURA 6.6 FV ⫽ $5.000,00 PMT ⫽ ?

i 0

1

2

i

i

i

i

3

4

i 5

6

Meses


95

Solução: n 6 meses 12% i 1% ao mês 12 FV $5.000,00 PV $0,00 PMT ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

6

1,00

0,00

812,74

5.000,00

que fornece o resultado de PMT $812,74.

6.4.

Dado PMT Achar PV

6.4.1.


Consideremos o seguinte fluxo de caixa: FIGURA 6.7 PV ⫽ ? PMT

i

i 0

1

i 2

i 3

i ...

n

O problema do tipo “Dado PMT achar PV” consiste em determinar o valor presente PV (principal), a partir do desconto das n prestações iguais de uma série uniforme, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos. O valor de cada prestação é genericamente representado por PMT. Observe que a série uniforme PMT está de acordo com o Diagrama Padrão do Capítulo 1, obedecendo à convenção de final de período, sendo portanto uma série postecipada.

96


Esse problema pode ser resolvido em duas etapas, conforme indicado no esquema a seguir. FIGURA 6.8 FV ⫽ ?

(2)

(1) PV ⫽ ?

PMT i

i 0

1

i 2

i 3

i ...

n

Inicialmente, vamos calcular o montante acumulado FV por essas n prestações PMT, no final de n períodos de capitalização da taxa de juros i, com o auxílio da Relação (6.3). Isto é: FV

PMT [(1 i) n 1] i

Devemos agora transformar esse valor futuro FV no valor presente PV (principal), usando a Relação (4.1). Assim: FV PV (1 i)n Ao substituir o valor de FV na 1a relação obtemos: PV(1 i) n PMT e finalmente:

[(1 i) n 1] i

⎡ (1 ⫹ i)n ⫺ 1⎤ PV ⫽ PMT ⎢ ⎥ ⎢⎣ i(1 ⫹ i)n ⎥⎦

(6.5)

O problema do tipo “Dado PMT achar PV” envolve a obtenção do valor presente PV, a partir do valor de cada prestação PMT de uma série uniforme, e consiste na solução da Relação Genérica (6.5). A expressão pode ser calculada para os parâmetros i e n, com a utilização da HP-12C ou do Excel, e os cálculos são apresentados com o simulador. 6.4.2.


O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de problemas do tipo “Dado PMT achar PV”:


n

i

PV

PMT

FV

x

x,xx

xx.xxx,xx

xx.xxx,xx

0,00

97

Os valores registrados devem obedecer à convenção de final de período e à convenção de sinal explicadas no Capítulo 1. 6.4.3.

Exemplos Numéricos

1. Calcule o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, sucessivas e iguais a $1.000,00. Solução: n 12 meses i 1% ao mês PMT $1.000,00 FV $0,00 PV ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,00

11.255,08

1.000,00

0,00

que fornece o resultado de PV $11.255,08. 2. Calcule o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de $10.000,00 no final de cada um dos próximos oito anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa efetiva de 10% ao ano, no regime de juros compostos. Solução: n 8 anos i 10% ao ano PMT $10.000,00 FV $0,00 PV

?

98



n

i

PV

PMT

FV

8

10,00

53.349,26

10.000,00

0,00

que fornece o resultado de PV $53.349,26.

6.5.

Dado PV Achar PMT

6.5.1. Dedução da Expressão Consideremos o seguinte fluxo de caixa: FIGURA 6.9 PV

PMT ⫽ ? i

i 0

i

1

2

i 3

i ...

n

A Relação (6.5) fornece: ⎡ (1 ⫹ i)n ⫺ 1 ⎤ PV ⫽ PMT ⎢ ⎥ ⎢⎣ i(1 ⫹ i)n ⎥⎦ Assim, o cálculo de PMT a partir de PV é obtido pela relação inversa, isto é: ⎡ i (1 ⫹ i)n ⎤ PMT ⫽ PV ⎢ ⎥ ⎢⎣ (1 ⫹ i)n ⫺ 1 ⎥⎦

(6.6)

O problema do tipo “Dado PV achar PMT” envolve a obtenção do valor PMT de cada prestação, a partir do valor presente PV, e consiste na solução da Relação Genérica (6.6). A expressão entre colchetes pode ser calculada para os parâmetros i e n, com a utilização da HP-12C ou do Excel, e os cálculos são apresentados com o simulador. 6.5.2.


O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de problemas do tipo “Dado PV achar PMT”:


n

i

PV

PMT

FV

x

x,xx

xx.xxx,xx

xx.xxx,xx

0,00

99

Os valores registrados devem obedecer à convenção de final de período e à convenção de sinal explicadas no Capítulo 1. 6.5.3.

Exemplos Numéricos

1. Calcule o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 8% ao ano, no regime de juros compostos, sabendo-se que o valor do principal é $1.000,00 e que o prazo da operação é de quatro anos. Solução: n

4 anos

i

8% ao ano

PV

$1.000,00

FV

$0,00

PMT ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

4

8,00

1.000,00

301,92

0,00

que fornece o resultado de PMT $301,92. 2. Utilizando os dados do problema anterior, realizar as seguintes operações: a) calcule as parcelas de amortizações e juros de cada uma das prestações anuais; b) calcule o saldo devedor (principal remanescente) do financiamento, imediatamente após o pagamento da 2a prestação; c) verifique que as amortizações crescem exponencialmente na mesma taxa do financiamento. Solução: a) cálculo das amortizações e juros As amortizações e os juros de cada prestação são obtidos na Tabela 6.1:

100


TABELA 6.1

Anos

Amortização e juros de cada prestação

Saldo no início do ano

Juros do ano

Saldo no final do ano após pagamento

Pagamentos no final do ano

Total

Juros

Amortização

0

Saldo no final do ano após pagamento 1.000,00

1

1.000,00

80,00

1.080,00

301,92

80,00

221,92

778,08

2

778,08

62,25

840,33

301,92

62,25

239,67

538,41

3

538,41

43,07

581,48

301,92

43,07

258,85

279,56

4

279,56

22,36

301,92

301,92

22,36

279,56

0,00

A Tabela 6.1 obedece ao regime de juros compostos e foi elaborada de acordo com os seguintes critérios: rPTKVSPTEFDBEBBOPDPSSFTQPOEFNBEPTBMEPEPQSJODJQBMEJTQPOÎWFM no início do respectivo ano; rBTBNPSUJ[BÉ×FTEPQSJODJQBMFNDBEBBOPTÈPJHVBJTBPWBMPSEBQSFTUBÉÈP anual menos o valor dos juros anuais correspondentes. Observe que no final do 4o ano o saldo devedor do financiamento se anula mediante o pagamento da última prestação, o que confirma que a taxa de juros de 8% ao ano está correta, pois ao longo de todo o prazo do contrato houve a remuneração de 8% ao ano sobre o saldo do principal aplicado em cada ano; b) saldo devedor (principal remanescente) após o pagamento da 2a prestação Uma forma de se resolver esse problema consiste em calcular a soma das amortizações que faltam ser pagas, isto é: Saldo no final do 2o ano amortização do 3o ano amortização do 4o ano $258,85 $279,56 $538,41 O mesmo resultado pode ser obtido descontando-se o valor das prestações que faltam ser pagas, isto é, calculando-se o valor presente (no final do 2o ano) das últimas duas prestações. Isso pode ser alcançado pelas operações indicadas a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

2

8,00

538,40

301,92

0,00


101

c) amortizações crescem exponencialmente a 8% ao ano Amortização do 1o ano $221,92 Amortização do 2o ano $221,92 1,08 $239,67 Amortização do 3o ano $239,67 1,08 $258,85 Amortização do 4o ano $258,85 1,08 $279,56 Fica assim demonstrado que as amortizações do Modelo Price crescem exponencialmente (em progressão geométrica) com a mesma taxa do financiamento. Dessa forma, podemos afirmar que qualquer amortização do Modelo Price pode ser obtida a partir da 1a amortização pela relação: An A1 (1 i)n1

(6.7)

Essa relação é equivalente à Expressão (4.1), que interliga PV e FV, exceto que o valor presente PV está colocado no ponto zero da escala de tempo e tem, portanto, n capitalizações para atingir o valor futuro no final do período de ordem n. A 1a amortização (A1), que está colocada no final do 1o período, necessita de (n 1) capitalizações para atingir a amortização de ordem n (An). A Figura 6.10 apresenta, de forma esquemática, os valores das amortizações e juros anuais desse financiamento: FIGURA 6.10 Modelo Price – amortizações exponenciais

PMT ⫽ $301,92 Juros

Amortizações

0

8%

1

$80,00

$62,25

$43,07

$22,36

$221,92

$239,67

$258,85

$279,56

8%

2

8%

3

8%

4

Anos

3. Uma loja de eletrodomésticos financia seus produtos em seis prestações mensais, iguais e sucessivas, e obtém nessas operações uma remuneração efetiva de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule o valor dessas prestações para um financiamento com um principal de $3.000,00.

102


Solução: n 6 meses i 1,5% ao mês PV $3.000,00 FV $0,00 PMT ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

6

1,50

3.000,00

526,58

0,00

que fornece o resultado de PMT $526,58.

6.6. Problemas Resolvidos 6.6.1. Problemas Envolvendo PV e PMT 1. Um banco de investimentos financia a venda de equipamentos num prazo de dois anos, com uma taxa efetiva de 3% ao trimestre, no regime de juros compostos. Calcule o valor da prestação trimestral de um equipamento cujo valor à vista é de $20.000,00. Solução: n 2 anos 8 trimestres i 3% ao trimestre PV $20.000,00 FV $0,00 PMT ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

8

3

20.000,00

2.849,13

0,00

que fornece o resultado de PMT $2.849,13. 2. A compra de automóveis está sendo financiada em 12 prestações mensais de $91,68 para cada $1.000,00 de principal. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nesse financiamento, no regime de juros compostos.


103

Solução: n

12 meses

PV

$1.000,00

FV

$0,00

PMT $91,68 i

? (% ao mês) Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,50

1.000,00

91,68

0,00

que fornece a taxa efetiva de juros de 1,50% ao mês. 3. O preço à vista de um equipamento é igual a $11.400,00. Uma loja o está anunciando por $1.400,00 de entrada e mais quatro prestações trimestrais de $2.580,00. Calcule a taxa efetiva trimestral de juros cobrada na parte financiada. Solução: n

4 trimestres

PV

$11.400,00 $1.400,00 $10.000,00

FV

$0,00

PMT $2.580,00 i

? (% ao trimestre) Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

4

1,27196

10.000,00

2.580,00

0,00

que fornece a taxa efetiva de juros de 1,27196% ao trimestre. 4. Uma dívida deve ser liquidada em três prestações trimestrais iguais de $1.000,00. Calcule o valor do principal dessa dívida sabendo-se que o custo efetivo desse financiamento é de 1% ao mês, no regime de juros compostos. Solução: O fluxo de caixa dessa dívida pode ser visualizado nas Figuras 6.11 e 6.12:

104


FIGURA 6.11 PV ⫽ ? $1.000,00

$1.000,00

0

1

2

4

3

5

6

7

$1.000,00

8

9

Meses

FIGURA 6.12 PV = ? $1.000,00

$1.000,00

1

0

$1.000,00

3

2

Trimestres

a) transformando os trimestres em meses: Nesse caso, vamos usar a taxa de 1% ao mês e descontar individualmente cada parcela de $1.000,00. Em seguida, devemos somar os valores assim obtidos, conforme indicado a seguir. Podemos realizar essas operações, como se segue:

n

i

PV

PMT

FV

3

1,00

970,59

0,00

1.000,00

6

1,00

942,05

0,00

1.000,00

9

1,00

914,34

0,00

1.000,00

Soma

$2.826,98

que fornece o valor do principal como sendo igual a $2.826,98; b) transformando a taxa mensal na taxa trimestral equivalente: A taxa trimestral equivalente à taxa de 1% ao mês pode ser obtida com as operações indicadas a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

3

1,00

100,00

0,00

103,03010

que fornece a taxa de 3,03010% ao trimestre.


105

Os dados do problema passaram, então, a ser os seguintes: n 3 trimestres i 3,03010% ao trimestre PMT $1.000,00 FV $0,00 PV ? Esses dados têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

3

3.030,10

2.826,98

1.000,00

0,00

que fornece resultado idêntico ao alcançado anteriormente. 5. Um financiamento de $1.000,00 de principal deve ser amortizado em cinco prestações mensais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a taxa efetiva de juros é de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e admitindo-se meses com 30 dias, calcule o valor da prestação mensal desse financiamento, nas seguintes hipóteses: a) pagamento da 1a prestação ocorrendo um mês após a liberação dos recursos (série postecipada); b) pagamento da 1a prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos (série antecipada). Solução: a) série postecipada n 5 meses i 1% ao mês PV $1.000,00 FV $0,00 PMT ? Esses dados têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

5

1,00

1.000,00

206,04

0,00

que fornece o resultado de $206,04 para o valor da prestação mensal postecipada.

106


b) série antecipada Inicialmente, o principal de $1.000,00 deve ser “puxado” um mês para trás, com a taxa de juros do financiamento (1% ao mês), o que é alcançado pela operação: 1.000,00 PV $990,10 1,01 As Figuras 6.13 e 6.14 esclarecem essa movimentação do principal que permite seu enquadramento nas condições exigidas pelo Diagrama Padrão: FIGURA 6.13 Série antecipada PV ⫽ $1.000,00 PMT ⫽ ?

⫺1

0

1

2

3

4

Meses

4

5

Meses

FIGURA 6.14 Série postecipada – principal descontado PV⫽ $990,10 PMT ⫽ ?

0

1

2

3

Com esse novo posicionamento do principal, podemos realizar o cálculo da prestação, como se segue:

n

i

PV

PMT

FV

5

1,00

990,10

204,00

0,00

que fornece o resultado de $204,00 para o valor da prestação mensal postecipada. 6. Uma empresa anuncia que seus financiamentos são concedidos com uma taxa de juros de “1,5% ao mês”. Para simplicidade operacional, as prestações são calculadas pela sistemática indicada a seguir: a) cálculo dos juros do financiamento: r+VSPT Taxa de juros (% ao mês) Prazo Valor financiado


107

b) cálculo do valor da prestação: Valor financiado ⫹ Juros rPrestação ⫽ Prazo Assuma os meses com 30 dias e calcule as taxas efetivas de juros mensais desses financiamentos, para o prazo de quatro meses, nas seguintes hipóteses: a) pagamento da 1a prestação ocorrendo um mês após a liberação dos recursos (série postecipada); b) pagamento da 1a prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos (série antecipada). Solução: Vamos inicialmente calcular o valor da prestação mensal para o financiamento de $1.000,00 no prazo de quatro meses: Juros 0,015 a.m. 4 meses $1.000,00 $60,00 Prestação ⫽

($1.000, 00 ⫹ $60,00) ⫽ $265,00 4

a) série postecipada n 4 meses PV $1.000,00 PMT $265,00 FV $0,00 i ? (% ao mês) Esses dados têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

4

2,3722

1.000,00

265,00

0,00

que fornece a taxa efetiva de 2,3722% ao mês para a série postecipada. b) série antecipada Como a 1a prestação de $265,00 é paga no ato da liberação dos $1.000,00, podemos considerar um principal líquido conforme indicado a seguir: PV $1.000,00 $265,00 $735,00 Esse principal líquido de $735,00 deve ser liquidado com três prestações postecipadas de $265,00. Assim, os dados do problema passam a ser: n 3 meses PV $735,00 PMT $265,00 FV $0,00 i ? (% ao mês) Esses dados têm a seguinte apresentação:

108


n

i

PV

PMT

FV

3

4,0286

735,00

265,00

0,00

que fornece a taxa efetiva de 4,0286% ao mês para a série antecipada. 7. Uma loja de eletrodomésticos oferece seu Plano de Natal, no qual as vendas de dezembro podem ser financiadas com o 1o pagamento só ocorrendo em abril. A taxa de juros efetiva cobrada nesse financiamento é de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos, e os cálculos são feitos considerando-se que os meses têm 30 dias. Um cliente realizou, em 15 de dezembro, compras no valor de $1.000,00 e deseja pagá-las em quatro prestações mensais, iguais e sucessivas. Calcule o valor dessas prestações mensais, nas seguintes hipóteses: a) pagamento da 1a prestação ocorrendo em janeiro; b) pagamento da 1a prestação só em abril, aproveitando a oferta do Plano de Natal. Solução: a) primeira prestação em janeiro Nesse caso os dados do problema são os seguintes: n 4 meses i 1,5% ao mês PV $1.000,00 FV $0,00 PMT ? Esses dados têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

4

1,50

1.000,00

259,44

0,00

que fornece a prestação mensal de $259,44 para ser paga a partir de janeiro; b) primeira prestação em abril Inicialmente, devemos capitalizar o principal de $1.000,00 durante três meses para obter o saldo do financiamento no mês de março. Isso é alcançado com os seguintes dados:

n

i

PV

PMT

FV

3

1,50

1.000,00

0,00

1.045,68


109

Agora devemos calcular as quatro prestações mensais para esse novo valor de principal, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

4

1,50

1.045,68

271,30

0,00

que fornece a prestação mensal de $271,30 para ser paga a partir de abril. 6.6.2.

Problemas Envolvendo FV e PMT

1. Um investidor deposita anualmente a quantia de $1.000,00, no final de dezembro de cada ano, num banco que remunera seus depósitos com a taxa efetiva de 10% ao ano. Assuma o ano comercial com 360 dias e calcule o saldo credor desse investidor imediatamente antes da efetivação de seu quarto depósito anual. Solução: Inicialmente, devemos calcular o saldo credor após o 4o depósito anual, com os seguintes dados: n 4 anos i 10% ao ano PMT $1.000,00 PV $0,00 FV ? Os dados têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

4

10,00

0,00

1.000,00

4.641,00

que fornece o resultado de FV $4.641,00. Para obter o saldo credor antes do 4o depósito basta subtrair o valor do depósito, isto é: $4.641,00 $1.000,00 $3.641,00 2. Uma instituição financeira remunera seus depósitos na base de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos, e realiza seus cálculos considerando os meses com 30 dias. Um investidor efetua nessa instituição seis depósitos mensais e iguais a $800,00, ocorrendo o 1o depósito no final do mês de janeiro e o último no final do mês de junho. Calcule os valores dos saldos acumulados nas seguintes datas do mesmo ano:

110


a) final de junho, após o depósito do mês; b) final de setembro. Solução: A Figura 6.15 ilustra o problema: FIGURA 6.15 FV1 ⫽ ?

FV2 ⫽ ?

PMT ⫽ $ 800,00

0

Jan.

1

2

3

4

5

Jun.

6

7

8

Set.

9

Meses

a) saldo no final de junho De acordo com a Figura 6.15 os dados do problema são os seguintes: n 6 meses i 1,5% ao mês PMT $800,00 PV $0,00 FV1 ? Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

6

1,5

0,00

800,00

4.983,64

que fornece o resultado de FV $4.983,64; b) saldo no final de setembro Agora precisamos capitalizar o saldo de junho por mais três meses, para obter o saldo no final de setembro, conforme mostrado no Simulador da HP-12C a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

3

1,5

4.983,64

0,00

5.211,28

que fornece o resultado de FV $5.211,28 para o saldo no final de setembro.


111

3. Uma caderneta de poupança oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 1% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule o valor do depósito mensal necessário para acumular um montante de $10.000,00 no final de um ano, imediatamente após o 12o depósito mensal. Solução: Os dados do problema são os seguintes: n 1 ano 12 meses i 1% ao mês FV $10.000,00 PV $0,00 PMT ? Com os dados do problema, o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,00

0,00

788,49

10.000,00

que fornece $788,49 para o valor dos depósitos mensais. 4. Um banco comercial remunera seus depósitos na base de 1% ao mês, no regime de juros compostos, considerando os meses com 30 dias nos cálculos de suas operações. Um investidor efetua, nesse banco, seis depósitos mensais e iguais, ocorrendo o 1o depósito no final do mês de janeiro e o último no final do mês de junho. Calcule o valor do depósito mensal necessário para produzir saldo de $5.000,00 no final de dezembro. Solução: a) saldo no final de junho Devemos inicialmente achar o valor presente do saldo de $5.000,00, no final de junho, pois este é o mês onde ocorreu o último depósito. Assim temos: n 6 meses i 1% ao mês FV $5.000,00 PMT $0,00 PV ? Podemos realizar essa operação com o Simulador da HP-12C, conforme indicado:

n

i

PV

PMT

FV

6

1,00

4.710,23

0,00

5.000,00

que fornece $4.710,23 para o valor do saldo no final de junho, que será usado no cálculo do valor do depósito mensal.

112


b) valor do depósito mensal Agora os dados do problema passam a ser os indicados a seguir: n 6 meses i 1% ao mês FV $4.710,23 PV $0,00 PMT ? Com esses dados, o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

6

1,00

0,00

765,64

4.710,23

que fornece $765,64 para o valor do depósito mensal. 5. Um investidor efetuou quatro depósitos consecutivos de $5.000,00 numa caderneta de poupança, no final de cada trimestre. Calcule a rentabilidade efetiva trimestral dessa caderneta de poupança sabendo-se que o saldo acumulado por esse investidor, imediatamente após a efetivação do último depósito trimestral, é de $21.000,00. Solução: n 4 trimestres FV $21.000,00 PMT $5.000,00 PV $0,00 i ? (% ao trimestre) Para os dados do problema o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

4

3,26182

0,00

5.000,00

21.000,00

que fornece a taxa efetiva de juros de 3,26182% ao trimestre. 6.6.3.

Problemas Envolvendo PV, PMT e FV

Nesta seção, vamos resolver alguns problemas envolvendo os cinco elementos do Diagrama Padrão, isto é, problemas que incluem os parâmetros básicos i e n e ainda os três parâmetros monetários PV, FV e PMT.


113

1. Um título de renda mensal foi emitido com os seguintes parâmetros: prazo valor de emissão valor de resgate juros mensais valor do cupom mensal

= 12 meses = $10.000,00 = $10.000,00 = 1% ao mês = $100,00

Obtenha: a) o fluxo de caixa do investidor que adquirir esse título e conservá-lo até seu vencimento; b) o valor presente dos 12 cupons de $100,00; c) o valor presente dos $10.000,00 que serão recebidos pelo investidor no final do 12o mês; d) a soma dos valores presentes dos itens b e c. Solução: a) o fluxo de caixa do investidor está indicado a seguir: FIGURA 6.16

FV ()$10.000,00 PV ()?

PMT () $100,00

0

2

1

3

4

5

7

6

8

9

10

11

12

Meses

b) valor presente dos 12 cupons de $100,00:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,00

1.125,51

100,00

0,00

que fornece PVcupons $1.125,51;

114


c) valor presente do resgate de $10.000,00 no 12o mês:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,00

8.874,49

0

10.000,00

que fornece PV $8.874,49; d) soma dos valores presentes dos itens b e c: PVtítulo $1.125,51 $8.874,49 $10.000,00 Podemos obter o valor presente do título com uma única operação na HP-12C/Excel, pois os cinco parâmetros estão sempre em operação. Isso pode ser alcançado com os dados indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,00

10.000,00

100,00

10.000,00

que fornece $10.000,00 para o valor presente do título. 2. Calcule o valor de venda, na data de emissão, do título do Problema 1, caso se queira proporcionar uma rentabilidade de 1,5% ao mês para o investidor que conservar o papel até a data de seu resgate. Solução: Podemos obter o valor presente do título com uma única operação na HP-12C/ Excel, pois os cinco parâmetros estão sempre em operação. Isso pode ser alcançado com os dados indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,50

9.454,62

100,00

10.000,00

que fornece $9.454,62 para o valor presente do título. 3. Calcule a rentabilidade do investidor que adquirir o título do Problema 1 com 5% de deságio sobre o valor de emissão de $10.000,00. Solução: Com o deságio de $500,00 (5% sobre os $10.000,00), os dados desse problema são os seguintes: n prazo 12 meses PV valor de venda $9.500,00

115


FV valor de resgate $10.000,00 PMT valor do cupom mensal $100,00 i ? (% ao mês) Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,4572

9.500,00

100,00

10.000,00

que fornece a taxa efetiva de juros de 1,4572% ao mês. 4. Um financiamento com o valor do principal de $10.000,00 deve ser liquidado em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas, com uma taxa de juros efetiva de 1,2% ao mês. Calcule: a) o valor da prestação mensal; b) o valor do saldo devedor (principal remanescente) desse financiamento imediatamente após o pagamento da 4a prestação. Solução: a) valor da prestação mensal Os dados do problema têm a seguinte apresentação:

n

i

PV

PMT

FV

10

1,20

10.000,00

1.067,18

0,00

que fornece $1.067,18 para o valor da prestação; b) saldo devedor (principal remanescente) após a 4a prestação: O saldo devedor após o pagamento da 4a prestação pode ser obtido de três maneiras distintas, desenvolvidas a seguir: Calculando-se o valor presente das seis prestações que faltam ser pagas: O fluxo de caixa dessa solução está indicado a seguir: FIGURA 6.17 PV ()? PMT () $1.067,18

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Meses

116


O valor presente das seis prestações que faltam ser pagas é obtido conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

6

1,20

6.142,53

1.067,18

0,00

que fornece o valor de $6.142,53 para o saldo da dívida no final do 4o mês. Capitalizando-se o valor do principal ($10.000,00) até o final do 4o mês e subtraindo-se desse montante o valor das quatro prestações pagas, também capitalizadas para o final do 4o mês: O fluxo de caixa dessa solução está na Figura 6.18: FIGURA 6.18 FV ()? PV ()$10.000,00 PMT ()$1.067,18

0

1

2

4

3

5

6

7

8

Meses

10

9

O valor do principal capitalizado para o final do 4o mês é obtido conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

4

1,20

10.000,00

0,00

10.488,71

O valor acumulado pelas quatro prestações pagas, no final do 4o mês, é obtido conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

4

1,20

0,00

1.067,18

4.346,17

e portanto o saldo da dívida, no final do 4o mês, é igual a: Saldo devedor $10.488,71 $4.346,17 $6.142,54


117

Podemos obter esse mesmo valor para o saldo devedor com uma única operação na HP-12C/Excel, fazendo os cinco elementos entrarem em operação, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

4

1,20

10.000,00

1.067,18

6.142,54

que fornece $6.142,54 para o valor do saldo da dívida, após o pagamento da 4a prestação. Observar que PV foi registrado com valor () e PMT com sinal (). Calculando-se a soma das amortizações das seis prestações que faltam ser pagas: O valor de cada uma dessas amortizações pode ser obtido conforme mostrado no Exemplo 2 da Seção 6.5.3. Assim: TABELA 6.2 Amortização 5a prestação

$993,47

6a prestação

$1.005,39

7 prestação

$1.017,46

8 prestação

$1.029,67

9 prestação

$1.042,02

10 prestação

$1.054,53

Soma das amortizações

$6.142,54

a a a

a

que fornece o resultado de $6.142,54, idêntico aos obtidos anteriormente. 5. Calcule o valor da taxa mensal de arrendamento para uma operação de leasing, com os seguintes parâmetros: a) b) c) d) e)

valor da operação $100.000,00 prazo 12 meses taxa efetiva de juros 1,4% ao mês valor residual garantido (VRG) 20% prestações são mensais e pagas no final de cada mês

118


Solução: Os dados do problema são os seguintes: PV $100.000,00 VRG FV 20% de $100.000,00 $20.000,00 n 12 meses i 1,4% ao mês Taxa mensal de arrendamento PMT ? O fluxo de caixa dessa operação de leasing está indicado a seguir: FIGURA 6.19 FV ()$20.000,00

PV ()$100.000,00 PMT ()?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Meses

Podemos obter a taxa de arrendamento mensal (PMT) com uma única operação na HP-12C/Excel, fazendo os cinco elementos do problema entrarem em operação, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,40

100.000,00

7.568,79

20.000,00

que fornece $7.568,79 para o valor da taxa de arrendamento mensal. Vamos agora verificar o resultado obtido calculando o valor presente do fluxo de caixa, com a taxa de juros de 1,4% ao mês, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,40

16.926,79

0,00

20.000,00

12

1,40

83.073,22

7.568,79

Soma

0,00

100.000,01

que fornece $100.000,01 para o valor da operação. A pequena diferença de $0,01 para o valor original da operação deve-se ao arredondamento das parcelas.


6.6.4.

119

Problemas Envolvendo Prestações Perpétuas

Nesta seção, vamos desenvolver a fórmula para o cálculo das prestações PMT quando o número de períodos n tende para o infinito, isto é, para o cálculo de prestações perpétuas, ou perpetuidades. Vamos nos basear no Problema 1 da Seção 6.6.3, que apresenta o seguinte fluxo de caixa: FIGURA 6.20 PV = (–)$10.000,00

FV = (+)$10.000,00 PMT = (+)$100,00

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Meses

É importante lembrar que esse título obedece ao conceito fundamental do regime composto. Senão vejamos: a) no 1o mês, o principal (PV) de $10.000,00 rende juros de $100,00 obtidos pela aplicação da taxa de 1% sobre os $10.000,00 (saldo do principal no início do mês), elevando o saldo aplicado para $10.100,00 no final do 1o mês; b) no final do 1o mês, o investidor recebe os $100,00 de juros do 1o mês, e o saldo aplicado para o 2o mês volta a ser $10.000,00; c) no 2o mês, o processo se repete, e o saldo aplicado para o 3o mês continua a ser $10.000,00; d) essa sistemática é mantida em todos os meses até o mês de vencimento do papel, em que o investidor recebe os $10.000,00 originariamente aplicados. Quanto maior o número de meses (n), menor a importância do valor de resgate do principal aplicado colocado no último mês do fluxo de caixa, e portanto menor seu valor presente. Se o valor de n tender para o infinito, então o valor presente dessa parcela futura de $10.000,00 tenderá a zero. Assim, quando n tende para o infinito, o principal PV passa a ser equivalente a uma série perpétua de prestações PMT PV i, e são válidas as relações: rWBMPSQSFTFOUFEFQSFTUBÉ×FTQFSQÊUVBTDPNWBMPS1.5

PV ⫽ PMT

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ i⎠

(6.8)

rWBMPSEBTQSFTUBÉ×FTQFSQÊUVBT1.5QBSBVNQSJODJQBM17 PMT PV i

(6.9)

120


1. Calcule o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de $1.000,00, de forma perpétua, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa efetiva de 10% ao ano, no regime de juros compostos. Solução: A partir da Relação (6.8) podemos escrever: PV ⫽

$1.000,00 $1.000,00 ⫽ ⫽ $10.000,00 10% 0,1

2. Calcule o valor da prestação mensal perpétua que remunera um investimento de $100.000,00 com a taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Solução: A partir da Relação (6.9) podemos escrever: PMT $100.000,00 1,2% $100.000,00 0,012 $1.200,00 3. As ações preferenciais de uma determinada empresa pagam um dividendo anual de $5,00/ação. Calcule o valor da ação preferencial dessa empresa sabendo-se que a taxa de desconto utilizada no mercado é de 8% ao ano. Solução: Assumindo que essas ações preferenciais pagam regularmente esses dividendos anuais, e como as ações preferenciais não têm data de resgate, podemos considerar os dividendos pagos por essa ação como sendo uma perpetuidade. Dessa forma, o valor dessa ação preferencial é obtido pela Relação (6.8), isto é: PV ⫽

6.7.

$5,00 $5,00 ⫽ $62,50 8% 0,08

Conclusão

Neste capítulo, desenvolvemos as fórmulas que permitem transformar prestações uniformes de valor igual a PMT em seu valor presente PV e em seu valor futuro FV correspondente. Desenvolvemos também as fórmulas que realizam as operações inversas, permitindo transformar o valor presente PV e o valor futuro FV em suas respectivas prestações de valor igual a PMT. Todas as simplificações proporcionadas pela série uniforme PMT são baseadas na fórmula da soma de termos de uma progressão geométrica, e só são alcançadas porque as prestações uniformes são consideradas equidistantes no tempo. Assim, se as prestações são mensais, as fórmulas que envolvem o cálculo com PMT assumem que todos os meses têm 30 dias.


121

Essa situação não ocorre, normalmente, nas operações de crediário, em que as prestações costumam ter vencimento numa mesma data de calendário. Entretanto, é praxe do mercado realizar os cálculos considerando os meses com 30 dias, e cobrando as prestações em datas fixas de calendário. Nas soluções dos problemas, os fluxos de caixa foram enquadrados no Diagrama Padrão para permitir o uso da solução com a HP-12C/Excel.

6.8.

Problemas Propostos

Assuma em todos os problemas o ano comercial com 360 dias. 1. Um empréstimo, cujo principal é de $20.000,00, foi realizado a juros compostos, e deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações mensais, iguais e sucessivas. Calcule o valor dessas prestações sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. 2. Um principal de $10.000,00 deve ser liquidado em quatro prestações semestrais, iguais e sucessivas. Calcule o valor dessas prestações para uma taxa de 1,5% ao mês, a juros compostos. 3. Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um equipamento, cujo valor à vista é de $10.000,00. Para diminuir o valor das prestações, ele pretende dar uma entrada de $3.000,00 por ocasião da compra. Calcule o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte financiada, sabendo-se que o financiamento é realizado a juros compostos de 15% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. 4. Um equipamento cujo valor à vista é de $25.000,00 está sendo financiado a juros compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um ano. Calcule o valor que deve ser dado de sinal, a título de entrada, para que o valor das 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, seja limitado a $1.700,00. Assuma que a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. 5. Um cliente de uma agência de automóveis adquiriu um veículo financiado em 24 prestações de $1.500,00 com uma taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros compostos. No final de um ano, esse cliente procurou a mesma agência para vender esse automóvel, e a agência lhe ofereceu $18.000,00, para pagamento à vista. Calcule a parcela que deve ser paga ao cliente para que a agência adquira esse veículo assumindo o restante do financiamento, com a mesma taxa de 1% ao mês. 6. Um equipamento tem o valor de $25.000,00 à vista, e pode ser financiado num prazo de seis meses, com um multiplicador de $172,50 para cada $1.000,00 de principal. Calcule o valor da prestação mensal do financiamento desse equipamento e sua taxa mensal de juros, no regime de juros compostos, assumindo que a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.

122


7. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado com 10 prestações mensais, sucessivas e iguais a $1.075,00. Calcule a taxa interna de retorno desse financiamento, no regime de juros compostos, assumindo que a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. 8. Um financiamento, com o principal de $10.000,00, deve ser liquidado em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Assuma os meses com 30 dias e calcule o valor dessas prestações nas seguintes hipóteses: a) a 1a prestação deve ser paga 30 dias após a liberação dos recursos; b) a 1a prestação deve ser paga no ato da liberação dos recursos, a título de entrada; c) a 1a prestação deve ser paga 120 dias após a liberação dos recursos. 9. Um financiamento de $10.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações mensais de $900,00. Calcule a taxa efetiva mensal desse financiamento, no regime de juros compostos, nas seguintes hipóteses: a) a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação do principal; b) a 1a prestação ocorre na mesma data da liberação do principal. 10.Uma loja de eletrodomésticos realiza financiamentos de $1.000,00, para serem pagos em prestações mensais iguais, calculadas a “1% ao mês”, pelo seguinte plano: r+VSPT 1% Prazo (meses) $1.000,00; ($1.000, 00 ⫹ Juros) Prazo (Meses) Calcule as taxas efetivas mensais desses financiamentos, a juros compostos, para o prazo de seis meses, nas seguintes hipóteses: a) pagamento da 1a prestação 30 dias após a liberação dos recursos; b) pagamento da 1a prestação no ato da liberação dos recursos, a título de entrada.

rPrestação ⫽

11.Um empréstimo de $100.000,00 é realizado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos, e deve ser amortizado no prazo de 10 anos, com os dois primeiros anos de carência. Calcule o valor das oito prestações anuais, iguais e sucessivas, que deverão ser pagas a partir do final do 3o ano, nas seguintes hipóteses: a) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência são pagos no final de cada ano; b) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência não são pagos e sim capitalizados. 12.Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de $2.000,00 numa instituição financeira e verificou que o saldo a sua disposição, imediatamente após a efetivação de seu último depósito, era de $21.000,00. Calcule a taxa de remuneração mensal desses depósitos no regime de juros compostos.


123

13. Uma empresa tomou um empréstimo de $100.000,00 que deve ser liquidado em 25 prestações trimestrais iguais e sucessivas, com juros compostos de 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente. Logo após o pagamento da 8a prestação, essa empresa manifestou sua intenção de aumentar o prazo desse empréstimo, de forma a liquidá-lo em 30 prestações trimestrais adicionais, iguais e sucessivas. Calcule o valor dessa nova prestação trimestral, para que a taxa de 3% ao trimestre seja mantida. 14.Um investidor resolveu efetuar seis depósitos trimestrais sucessivos de $5.000,00 numa caderneta de poupança que oferece uma remuneração de 12% ao ano capitalizados trimestralmente. O primeiro depósito é efetuado no ato da decisão do investidor, e os cinco depósitos restantes no final de cada um dos próximos trimestres. Calcule os saldos acumulados por esse investidor nessa caderneta de poupança, nas seguintes ocasiões: a) imediatamente após seu último depósito; b) no final do 2o trimestre após a efetivação do último depósito. 15.Uma caderneta de poupança que remunera seus depósitos a juros compostos, com uma taxa de 15% ao ano, capitalizados trimestralmente, recebeu de um cliente seis depósitos trimestrais consecutivos, todos de mesmo valor. Calcule o valor desses depósitos trimestrais para que esse cliente possa retirar dessa caderneta de poupança a quantia de $20.000,00 no final do 4o trimestre após a efetivação de seu último depósito. 16.Num determinado ano civil um empresário efetua quatro depósitos mensais, iguais e sucessivos, num banco que remunera seus depósitos a juros compostos, com uma taxa de 1,2% ao mês. No final de dezembro desse exercício o total acumulado por esse empresário, por esses depósitos, é de $100.000,00. Assuma os meses com 30 dias e calcule o valor desses depósitos mensais nas seguintes hipóteses: a) o primeiro depósito ocorre no final do mês de janeiro; b) o primeiro depósito ocorre no final do mês de abril. 17.Assuma que no Problema 16 os depósitos sejam efetuados em meses alternados. Assim, se o primeiro depósito ocorrer no final de janeiro, os outros três depósitos ocorrerão no final de março, maio e julho, respectivamente. Assuma ainda que a taxa de juros e o montante acumulado no final do ano são iguais ao do Problema 16. Calcule o valor desses depósitos mensais alternados nas seguintes hipóteses: a) o primeiro depósito ocorre no final do mês de janeiro; b) o primeiro depósito ocorre no final do mês de abril. 18.Um financiamento, cujo valor do principal é de $100.000,00, deve ser liquidado mediante o pagamento de 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, a partir de 30 dias da liberação dos recursos. Sabendo-se que a taxa efetiva desse financiamento, a juros compostos, é de 1% ao mês, calcule:

124


a) o valor das prestações mensais; b) o valor dos juros e da amortização, contidos na 1a prestação; c) o valor da amortização do principal contida na 20a prestação; d) o valor do saldo devedor (principal remanescente) imediatamente após o pagamento da 12a prestação. 19.Um banco de investimentos realiza suas operações de financiamento com uma taxa efetiva de juros de 15% ao ano, no regime de juros compostos. Entretanto, essa taxa é cobrada em duas parcelas: a) uma parcela de 10% ao ano cobrada de forma postecipada, ao longo do contrato; b) uma parcela antecipada cobrada no ato da liberação dos recursos. Calcule o valor do percentual que deve ser cobrado antecipadamente, no ato da liberação dos recursos, para que a taxa de 15% ao ano seja mantida nos seguintes esquemas de amortização do financiamento: a) liquidação do financiamento em uma única parcela, no final do 12o mês da liberação dos recursos; b) liquidação do financiamento em quatro parcelas trimestrais de mesmo valor, ocorrendo a 1a parcela 90 dias após a liberação dos recursos. 20. Uma loja de eletrodomésticos financia suas vendas em quatro vezes “sem juros”, mediante pagamentos mensais, iguais e sucessivos, a partir do 30o dia da data da venda. Calcule o valor do percentual de acréscimo que essa loja deve aplicar em seus preços à vista para que possa obter uma remuneração efetiva de 1,4% ao mês em seus financiamentos. 21.Uma instituição financeira que opera no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1% ao mês, oferece a seus clientes os seguintes planos de financiamento: a) plano mensal: 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, ocorrendo o pagamento da 1a prestação 30 dias após a data da operação; b) plano trimestral: quatro prestações trimestrais, iguais e sucessivas, ocorrendo o pagamento da 1a prestação 90 dias após a data da operação. Um cliente dessa instituição financeira deseja tomar um financiamento de $100.000,00, para ser pago parte pelo plano mensal e parte pelo plano trimestral. Calcule as parcelas que devem ser financiadas em cada plano para que a prestação do plano trimestral seja o dobro do valor da prestação do plano mensal. 22.Uma debênture foi emitida com um valor de $10.000,00 e com um valor de resgate de $10.000,00 no final de cinco anos. Os juros desse título são pagos


125

anualmente com uma taxa efetiva de 8% ao ano, e portanto os cupons anuais de juros têm o valor de $800,00. Calcule a rentabilidade de um investidor que adquirir esse título na data de sua emissão com um deságio de 5% e que o conservar até seu vencimento. 23.Calcule o valor da taxa mensal de arrendamento para uma operação de leasing, com os seguintes parâmetros: a) valor da operação = $10.000,00 b) prazo = 36 meses c) taxa efetiva de juros = 1,5% ao mês d) valor residual garantido (VRG) = 25% e) prestações mensais pagas no final de cada mês 24.Um autor de livro didático tem um contrato de edição, em caráter perpétuo, com uma editora que paga direitos autorais anualmente, na base de 10% do preço de capa de cada livro vendido. O volume de vendas dessa obra é de 3.000 exemplares por ano e seu preço de capa é de $50,00. Calcule o valor presente desse contrato, assumindo uma taxa de desconto de 10% ao ano.

Capítulo

7 7.1.

Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno

Introdução

O objetivo primeiro deste capítulo é expandir e consolidar o conceito de valor presente de fluxos de caixa no regime de juros compostos, introduzido em capítulos anteriores. O segundo e principal objetivo é apresentar, por exemplos numéricos selecionados, os conceitos de valor presente líquido e taxa interna de retorno de um fluxo de caixa.

7.2.

Valor Presente e Taxa de Desconto

7.2.1.

Conceitos

Valor presente, taxa de desconto e equivalência de fluxos de caixa são conceitos absolutamente interligados. Denomina-se valor presente de um fluxo de caixa o valor monetário (PV) do ponto zero da escala de tempo, que é equivalente à soma de suas parcelas futuras, descontadas para o ponto zero, com uma determinada taxa de juros. A taxa de juros utilizada para descontar as parcelas futuras do fluxo de caixa é denominada taxa de desconto. Os exemplos desenvolvidos neste capítulo servem para consolidar esses conceitos. A equivalência de fluxos de caixa está ligada à taxa de juros, pois pagar à vista uma determinada compra equivale a pagá-la a prazo, em parcelas futuras, desde que se aceite uma taxa de juros no caso do parcelamento. O conceito de equivalência é apresentado, em detalhes, no Capítulo 8, e é extremamente importante para o processo de tomada de decisões.

128

7.2.2.


Exemplos Numéricos

1. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado no diagrama a seguir, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos.

FIGURA 7.1 PV ⫽ ?

ia ⫽ 8% a.a.

$1.000,00

$1.000,00

0

$3.000,00 $1.000,00

3

2

1

Anos

4

1a Solução: decompondo o fluxo de caixa O fluxo de caixa pode ser desdobrado nos fluxos de caixa indicados a seguir: FIGURA 7.2

Fluxo (1) ia 8% a.a.

PV1 ?

$1.000,00

0

$1.000,00

3

2

1

FIGURA 7.3

$1.000,00

4

Anos

Fluxo (2) ia 8% a.a.

$3.000,00

PV2 ?

0

1

3

2

4

Anos

Podemos, então, calcular os valores presentes desses dois fluxos de caixa, conforme indicado a seguir: a) valor presente do fluxo (1) PV1:

n

i

PV

PMT

FV

3

8,00

2.577,10

1.000,00

0,00

C apít u l o 7 – Va l o r Pr e s e n t e L í q u i d o e Taxa In ter n a de Retor n o

129

b) valor presente do fluxo (2) PV2:

n

i

PV

PMT

FV

4

8,00

2.205,09

0,00

3.000,00

O valor presente procurado é igual à soma dos valores presentes desses dois fluxos, isto é: PV PV1 PV2 $2.577,10 $2.205,09 $4.782,19 a

2 Solução: descontando individualmente cada parcela do fluxo de caixa O desconto individual de cada parcela do fluxo de caixa pode ser realizado com as operações indicadas a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

1

8,00

925,93

0,00

1.000,00

2

8,00

857,34

0,00

1.000,00

3

8,00

793,83

0,00

1.000,00

4

8,00

2.205,09

0,00

3.000,00

Soma

4.782,19

que fornece o valor presente de $4.782,19, igual, é claro, ao obtido anteriormente. Esse valor de $4.782,19 é equivalente às parcelas futuras do fluxo de caixa que foi fornecido, com a taxa de desconto de 8% ao ano utilizada para efetuar o desconto de todas as suas parcelas. Da ótica do financiador, podemos afirmar que o investidor que aceitar uma remuneração de 8% ao ano sobre seu capital concorda em fazer um investimento de $4.782,19 para receber três parcelas de $1.000,00 no final dos próximos três anos e mais uma parcela de $3.000,00 no final do 4o ano. Da ótica do financiado, podemos afirmar que o tomador de um empréstimo de $4.782,19 para ser pago em três parcelas anuais de $1.000,00 e mais uma parcela de $3.000,00 no final do 4o ano concorda em remunerar o capital do financiador com a taxa de juros de 8% ao ano, que é o custo efetivo do financiamento.

130


2. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado no diagrama a seguir, com uma taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros compostos. FIGURA 7.4 PV ?

im 1% a.m.

$10,00/mês

1

0

$10,00/mês

2

3

4

5

6

7

8

Meses

1a Solução: decompondo o fluxo de caixa O fluxo de caixa pode ser desdobrado nos fluxos de caixa indicados a seguir: FIGURA 7.5

Fluxo (1)

1

0

im 1% a.m.

$10,00/mês

PV1 ?

FIGURA 7.6

2

3

4

5

6

7

8

Meses

Fluxo (2)

im 1% a.m. PV2 ?

0

$10,00/mês

1

2

3

4

5

6

7

8

Meses


n

i

PV

PMT

FV

4

1,00

39,020

10,00

0,00


131

b) valor presente do fluxo (2) PV2: Cálculo do valor futuro de três parcelas de $10,00, no final do 8o mês:

n

i

PV

PMT

FV

3

1,00

0,00

10,00

30,301

Cálculo do valor presente de uma parcela de $30,301 no final do 8o mês:

n

i

PV

PMT

FV

8

1,00

27,982

0,00

30,301

O valor presente procurado é igual à soma dos valores presentes desses dois fluxos, isto é: PV PV1 PV2 $39,020 $27,982 $67,002 $67,00 2a Solução: somando e subtraindo $10,00 no final do 5o mês Podemos somar e subtrair $10,00 no final do 5o mês, o que não altera o fluxo de caixa, pois a soma líquida é igual a zero. Dessa forma, o fluxo de caixa passa a ter a seguinte apresentação: FIGURA 7.7

Fluxo (3)

PV ?

()$10,00

im 1% a.m.

$10,00/mês

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Meses

Agora, podemos descontar as oito parcelas mensais de $10,00 e subtrair o desconto de uma parcela de $10,00 no final do 5o mês. Essas operações estão indicadas a seguir:

132


n

i

8

1,00

5

1,00 Soma

PV

PMT

FV

76,517

10,00

0,00

9,515

0,00

10,00

67,002

que fornece o valor de $67,00, idêntico ao anterior. 3a Solução: descontando individualmente cada parcela do fluxo de caixa O desconto individual de cada parcela do fluxo de caixa pode ser realizado com as operações indicadas a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

1

1,00

9,901

0,00

10,00

2

1,00

9,803

0,00

10,00

3

1,00

9,706

0,00

10,00

4

1,00

9,610

0,00

10,00

6

1,00

9,420

0,00

10,00

7

1,00

9,327

0,00

10,00

8

1,00

9,235

0,00

10,00

Soma

67,002

que fornece o valor presente de $67,00, igual, é claro, aos obtidos anteriormente. O valor de $67,00 é equivalente às parcelas futuras do fluxo de caixa que foi fornecido, com a taxa de desconto de 1% ao mês utilizada para efetuar o desconto de todas as suas parcelas. 3. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado no diagrama a seguir, com uma taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros compostos.

133


FIGURA 7.8 im 1% a.m.

PV ? $200,00/mês

$100,00/mês

0

1

4

3

2

5

6

Meses

1a Solução: decompondo o fluxo de caixa O fluxo de caixa pode ser desdobrado nos fluxos de caixa indicados a seguir:

FIGURA 7.9

Fluxo (1) im 1% a.m.

$100,00/mês

PV1 ?

0

1

4

3

2

5

6

Meses

6

Meses

FIGURA 7.10 Fluxo (2) $100,00/mês

im 1% a.m.

PV2 ?

0

1

2

4

3

5


n

i

PV

PMT

FV

6

1,00

579,55

100,00

0,00

134


b) valor presente do fluxo (2) PV2:

n

i

PV

PMT

FV

3

1,00

294,10

100,00

0,00

O valor presente procurado é igual à soma dos valores presentes desses dois fluxos de caixa, isto é: PV PV1 PV2 $579,55 $294,10 $873,65 2a Solução: descontando individualmente cada parcela do fluxo de caixa O desconto individual de cada parcela do fluxo de caixa pode ser realizado com as operações indicadas a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

1

1,00

198,02

0,00

200,00

2

1,00

196,06

0,00

200,00

3

1,00

194,12

0,00

200,00

4

1,00

96,10

0,00

100,00

5

1,00

95,15

0,00

100,00

6

1,00

94,20

0,00

100,00

Soma

873,65

que fornece o valor presente de $873,65, idêntico ao obtido anteriormente. Esse valor de $873,65 é equivalente às parcelas futuras do fluxo de caixa fornecido, com a taxa de desconto de 1% ao mês utilizada para efetuar o desconto de todas as suas parcelas. 4. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado na Tabela 7.1 com uma taxa de juros de 10% ao ano, no regime de juros compostos.


135

TABELA 7.1 Ano

Valor ($)

0

–

1

2.350,00

2

1.390,00

3

3.350,00

4

4.275,00

5

5.350,00

Soma

16.715,00

Solução: O fluxo de caixa é totalmente heterogêneo, não permitindo qualquer simplificação algébrica. Assim, a única maneira de se obter seu valor presente é mediante o desconto individual de cada uma de suas parcelas, o que pode ser alcançado com as operações a seguir indicadas.

n

i

PV

PMT

FV

1

10,00

2.136,36

0,00

2.350,00

2

10,00

1.148,76

0,00

1.390,00

3

10,00

2.516,90

0,00

3.350,00

4

10,00

2.919,88

0,00

4.275,00

5

10,00

3.321,93

0,00

5.350,00

Soma

12.043,83

O valor presente do fluxo de caixa é, portanto, igual a $12.043,83, que é equivalente às parcelas futuras do fluxo de caixa, com a taxa de desconto de 10% ao ano. 7.2.3.

Comentários

Os três primeiros exemplos numéricos do item anterior serviram para mostrar diversas maneiras de se determinar o valor presente de cada um dos respectivos fluxos de caixa.

136


As simplificações foram alcançadas porque esses fluxos de caixa apresentam uma certa uniformidade que permite seus desdobramentos em outros fluxos, nos quais foi possível a utilização de operações envolvendo o parâmetro PMT para realizar o desconto das parcelas futuras. Nesses três exemplos, a última solução sempre foi pelo desconto individual de cada uma das parcelas dos respectivos fluxos de caixa. O quarto exemplo apresentou um fluxo de caixa totalmente heterogêneo que não permite nenhuma simplificação algébrica, e a única forma de se obter o seu valor presente é pelo desconto individual de suas parcelas futuras. O valor presente de qualquer fluxo de caixa pode ser sempre obtido pelo desconto individual de suas parcelas futuras, que devem ser, posteriormente, somadas algebricamente. No Capítulo 9, mostramos a função especial NPV da HP-12C e a função VPL do Excel para efetuar o cálculo do valor presente de qualquer fluxo de caixa, mediante o desconto individual de suas parcelas.

7.3.

Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno

7.3.1.

Conceitos

Nesta seção, vamos desenvolver os conceitos de valor presente líquido e de taxa interna de retorno de um fluxo de caixa. O valor presente líquido (VPL) ou “Net Present Value” (NPV) está diretamente ligado ao valor presente do fluxo de caixa, explicado na Seção 7.2. O valor presente líquido de um fluxo de caixa é igual ao valor presente de suas parcelas futuras (que são descontadas com uma determinada taxa de desconto), somado algebricamente com a grandeza colocada no ponto zero. No caso de investimentos a grandeza colocada no ponto zero corresponde ao valor desembolsado para a realização do investimento e tem sinal negativo, uma vez que representa uma saída de caixa. A taxa interna de retorno (TIR) ou “Internal Rate of Return” (IRR) de um fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz seu valor presente líquido ser igual a zero. O valor presente líquido é igual a zero quando as grandezas futuras, ao serem descontadas com uma determinada taxa, produzem um valor presente para o fluxo de caixa que é igual ao investimento inicial (desembolso) colocado no ponto zero da escala de tempo. No Capítulo 9, mostramos as funções especiais NPV e IRR da HP-12C e as funções VPL e TIR do Excel para a obtenção do valor presente líquido e da taxa interna de retorno de fluxos de caixa que não apresentam qualquer uniformidade nas suas parcelas. Os exemplos desenvolvidos a seguir servem para consolidar esses conceitos.


7.3.2.

137

Exemplos Numéricos

1. Calcule o valor presente líquido do fluxo de caixa indicado a seguir, com uma taxa de desconto de 8% a.a. FIGURA 7.11 ia 8% a.a. ()$100,00

()$121,00

1

0

2

Anos

Solução: Inicialmente, vamos desdobrar o fluxo de caixa do investimento nos dois fluxos indicados a seguir: FIGURA 7.12 Fluxo (1) ()$100,00

0

ia 8% a.a.

1

2

Anos

FIGURA 7.13 Fluxo (2) ia 8% a.a. PV ?

0

()$121,00

1

2

Anos

O fluxo (1) corresponde a um investimento inicial de $100,00, tem sinal negativo porque corresponde a uma saída de caixa, e não deve ser descontado com a taxa de desconto, pois já é uma grandeza que está colocada no ponto zero da escala de tempo. O fluxo (2) corresponde à parcela futura de $121,00, que representa uma entrada de caixa no final do 2o ano e, portanto, tem sinal positivo. Essa parcela futura é que precisa ser descontada com a taxa de desconto de 8% a.a., para se obter seu valor presente. Essa operação de desconto está a seguir indicada:

138


n

i

PV

PMT

FV

2

8,00

103,74

0,00

121,00

Com relação a essa operação de desconto, cabe ressaltar os seguintes pontos: a) a HP-12C e o Excel exigem que as parcelas tenham sinais trocados, e optamos por colocar FV () $121,00; b) o que importa é que, com a taxa de desconto de 8% a.a., o valor presente da parcela de () $121,00 do final do 2o ano é igual () $103,74; c) a parcela de $103,74, no ponto zero, é equivalente, a 8% a.a., à grandeza futura de $121,00, no final do 2o ano; d) tanto faz receber $103,74, no ponto zero, como receber $121,00 no final do 2o ano, com a taxa de juros de 8% a.a.; e) quem investir $103,74 para receber $121,00, no final de dois anos, está fazendo um investimento com uma taxa de 8% a.a. Como o investimento inicial foi de apenas $100,00, podemos afirmar que esse investimento de $100,00 será remunerado com uma taxa superior a 8% a.a. O valor presente líquido do fluxo de caixa, com a taxa de 8% a.a., é igual à soma algébrica desse valor presente de ()103,74 com a parcela de ()$100,00 colocada no ponto zero (investimento inicial). Assim temos: VPL (8%) () $100,00 () $103,74 $3,74 Como o valor presente líquido é positivo, para a taxa de 8% a.a., podemos afirmar que o investimento inicial de $100,00 tem uma taxa interna de retorno superior a 8% a.a. Vamos, agora, comentar o que significa o VPL de um investimento ser positivo, para uma determinada taxa de desconto. No exemplo em análise, vamos explicar o significado do VPL (8%) () $3,74 para o investimento de $100,00. Para isso, vamos realizar as seguintes operações: a) capitalização de $100,00 a 8% ao ano, por 2 anos:

n

i

PV

PMT

FV

2

8,00

100,00

0,00

116,64


139

b) subtrair dos $ 121,00 a receber no 2o ano, o valor de $116,64, encontrando um saldo positivo de $4,36 no 2o ano, cujo valor presente, a 8% ao ano, pode ser obtido como segue:

n

i

PV

PMT

FV

2

8,00

3,74

0,00

4,36

Assim, podemos montar os seguintes fluxos de caixa: FIGURA 7.14 Investimento original ()$121,00

()$100,00

0

1

2

anos

FIGURA 7.15 Fluxo (3): $100,00 a 8% a.a. ()$116,64

()$100,00

0

1

2

anos

FIGURA 7.16 Fluxo (4): excedente a 8% a.a. ()$4,36

()$3,74

0

1

2

anos

O investimento original de $100,00 garante um recebimento de $121,00 no final do 2o ano, que pode ser desdobrado nas parcelas de $116,64 do Fluxo (3) e $4,36 do Fluxo (4). A parcela de $116,64 do Fluxo (3) descontada a 8% ao ano produz um valor presente de $100,00, e a parcela de $4,36 do Fluxo (4) descontada a 8% ao ano produz um valor presente de $3,74.

140


Assim, o VPL positivo de $3,74 do investimento original da Figura 7.14, para a taxa de desconto de 8% ao ano, significa: a) que o investimentto de $100,00 está sendo remunerado com a taxa de 8% ao ano, conforme mostrado no Fluxo (3) da Figura 7.15; b) que o investimento de $100,00 gerou um excedente de recebimento de $4,36 no final do 2º ano, cujo valor presente é igual a $3,74, conforme mostrado no Fluxo (4) da Figura 7.16. O VPL positivo de $3,74 para a taxa de desconto de 8% ao ano significa que o investimento de $100,00, para receber $121,00 no final do 2o ano, está sendo remunerado a 8% ao ano e, além dessa remuneração, está gerando um aumento de riqueza de $3,74, expresso em moeda do ponto zero. Assim, esse investimento, para uma taxa de 8% ao ano, está agregando para esse investidor um valor econômico de $3,74, expresso em termos de valor presente. 2. Consideremos o mesmo fluxo de caixa do problema anterior e vamos realizar as seguintes operações: a) cálculo do valor presente líquido para a taxa de desconto de 12% a.a.; b) cálculo da taxa interna de retorno do investimento em termos anuais; c) elaboração de um gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto. Solução: a) valor presente líquido para 12% a.a. Devemos, inicialmente, descontar a parcela futura de $121,00, conforme se segue:

n

i

PV

PMT

FV

2

12,00

96,46

0,00

121,00

Então, o valor presente líquido para a taxa de 12% a.a. é obtido pela relação: VPL (12%) () $100,00 () $96,46 () $3,54 Como o valor presente líquido é negativo para a taxa de 12% a.a, podemos afirmar que o investimento inicial de $100,00 tem uma taxa interna de retorno inferior a 12% a.a; b) taxa interna de retorno Os valores presentes líquidos para as taxas de 8% a.a. e 12% a.a. obtidos anteriormente estão indicados a seguir: VPL (8%) () $3,74 VPL (12%) () $3,54


141

Como a taxa interna de retorno é a taxa de desconto que anula o valor presente líquido, podemos concluir, com os resultados anteriores, que ela está compreendida entre 8% a.a. e 12% a.a. Vamos, então, calcular o valor presente líquido para uma taxa de desconto compreendida entre esses dois valores, por exemplo 10% ao ano. Essa operação de desconto está indicada a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

2

10,00

100,00

0,00

121,00

Então, o valor presente líquido para a taxa de 10% a.a. é obtido pela relação: VPL (10%) () $100,00 () $100,00 $0,00 o que garante que a taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano. Como o fluxo de caixa envolve apenas PV e FV, a taxa interna de retorno pode ser obtida diretamente pela seguinte operação indicada:

n

i

PV

PMT

FV

2

10,00

100,00

0,00

121,00

Vamos a seguir analisar o conceito de taxa interna de retorno de uma forma genérica, usando a equação algébrica do valor presente líquido, que tem a seguinte apresentação para o fluxo de caixa do problema: VPL (i%) ()100,00 121,00

1 (1 i)2

(7.1)

Vamos fazer a seguinte mudança de variável: x

1 1i

(7.2)

Assim a Equação (7.1) passa a ter a seguinte apresentação: VPL (i%) ()100,00 121,00 x2

(7.3)

Como a taxa interna de retorno (TIR) é aquela que anula o valor presente líquido (VPL), podemos escrever: VPL (TIR %) ()100,00 121,00 x2 0

(7.4)

142


A Relação (7.4) corresponde a uma equação do 2o grau com duas raízes, que podem ser calculadas pela fórmula do trinômio do 2o grau, com os seguintes coeficientes: a () 121,00 b 0,00 c ()100,00 As duas raízes são obtidas conforme indicado: 6 b2 4ac () 4 121,00 ()100,00 22 11,002 10,002 Então temos: 6 2 11,00 10,00 220,00 (⫹)110, 00 (⫹)220, 00 x1 ⫽ ⫽ 2 ⫻ 121,00 121,00 (⫺)220, 00 (⫺)110, 00 x2 ⫽ ⫽ 2 ⫻ 121,00 121,00 2

O valor da taxa i é obtido a partir da Relação (7.2), que fornece: i

⎛ 1⎞ 1 ⎝ x⎠

⎟

⎟

e, portanto, temos os seguintes valores para as duas raízes: i1 i2

⎛ 1⎞ 121,00 1 () 1 1,1 1 ()0,10 ()10% ⎝ x1 ⎠ 110,00

⎟

⎟

⎛ 1⎞ 121,00 1 () 1 1,1 1 ()2,10 ()210% ⎝ x2 ⎠ 110,00

⎟

⎟

Em relação às duas raízes cabe comentar: 1. a primeira raiz, no valor de 10% ao ano, é positiva e coincide com a apresentada anteriormente, com o Simulador da HP-12C; 2. a segunda raiz, no valor de () 210%, é negativa e não tem qualquer sentido econômico. c) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto Esse gráfico é, normalmente, desenvolvido apenas para valores de taxas de desconto maiores que zero, pois os valores negativos das taxas de desconto não têm o menor sentido econômico. Se a taxa de desconto for nula, o valor presente líquido será igual à soma algébrica dos valores do fluxo de caixa, pois nenhuma parcela futura sofre qualquer desconto de valor ao ser trazida para o ponto zero. Assim temos: VPL (0%) () 100,00 121,00 $21,00


143

Se a taxa de desconto tende para o infinito todas as parcelas futuras se anulam quando descontadas para o valor presente. Nesse caso, o valor presente líquido é igual ao valor da parcela colocada no ponto zero (investimento inicial), que não sofre qualquer desconto. Assim temos: VPL (%) () 100,00 Podemos resumir todos os valores calculados, até o momento, na Tabela 7.2: TABELA 7.2 Taxa de desconto (a.a.)

Valor presente líquido VPL ($)

0%

() 21,00

8%

() 3,74

10%

0,00

12%

() 3,54

%

() 100,00

O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está indicado a seguir: FIGURA 7.17 Valor Presente Líquido (VPL) VPL ($) 25 20 15 TIR 10% a.a.

10 5 0 5 10

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

Taxa (a.a.) No limite ()$100,00

3. Um equipamento cujo valor à vista é $1.000,00 está sendo financiado por uma instituição financeira mediante o pagamento de quatro prestações mensais de $260,00. A 1a prestação deve ser paga 30 dias após a liberação dos recursos do financiamento.

144


Calcule: a) o fluxo de caixa da instituição financeira; b) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de desconto; c) a taxa interna de retorno, ou seja, a taxa efetiva mensal de rentabilidade da instituição financeira. Solução: a) fluxo de caixa da instituição financeira O fluxo de caixa da instituição financeira está indicado na Tabela 7.3: TABELA 7.3 Mês

Valor ($)

0

() 1.000,00

1

() 260,00

2

() 260,00

3

() 260,00

4

() 260,00

Soma

(+) 40,00

Esse fluxo de caixa da instituição financeira é usualmente conhecido como fluxo de caixa de um investimento, porque corresponde a um desembolso inicial e recebimentos futuros. b) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto Os dois valores limites do gráfico são assim obtidos: r UBYBEFEFTDPOUPEF VPL (0%) ()1.000,00 4 260,00 $40,00

r UBYBEFEFTDPOUPEF%: VPL (%) () $1.000,00 Vamos agora calcular o valor presente líquido para a taxa de desconto de 1% ao mês, como se segue:

n

i

PV

PMT

FV

4

1,00

1.014,51

260,00

0,00


145

Então, o valor presente líquido para a taxa de 1% a.m. é obtido pela relação: VPL (1%) () $1.000,00 () $1.014,51 () $14,51 Como o valor presente líquido é positivo para a taxa de 1% a.m., podemos garantir que o investimento inicial de $1.000,00 tem uma taxa interna de retorno superior a 1% a.m. Vamos, então, calcular o valor presente líquido para uma taxa de desconto superior a 1% a.m.; por exemplo 2% ao mês, como se segue:

n

i

PV

PMT

FV

4

2,00

990,01

260,00

0,00

Então, o valor presente líquido para a taxa de 2% a.m. é obtido pela relação: VPL (2%) () $1.000,00 () $990,01 () $9,99 Como o valor presente líquido é negativo para a taxa de 2% a.m., podemos garantir que o investimento inicial de $1.000,00 tem uma taxa interna de retorno inferior a 2% a.m. Os valores presentes líquidos para as taxas de 1% a.m. e 2% a.m. obtidos anteriormente estão indicados a seguir: VPL (1%) () $14,51 VPL (2%) () $9,99 Pela análise desses resultados podemos concluir que a taxa interna de retorno está compreendida entre 1% ao mês e 2% ao mês. Os valores do gráfico do valor presente líquido, calculados até o momento, estão resumidos na Tabela 7.4: TABELA 7.4 Taxa de desconto (a.m.)


0%

() 40,00

1%

() 14,51

2%

() 9,99

%

() 1000,00

O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está indicado a seguir:

146


FIGURA 7.18 Valor Presente Líquido (VPL) – Investimento VPL ($) 50 40 30 TIR 1,5875% a.m.

20 10 0 0,5%

10

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

Taxa (a.m.) No limite ()$1.000,00

20 30

c) taxa interna de retorno Como o fluxo de caixa envolve apenas PV e PMT, a taxa interna de retorno pode ser obtida diretamente pela seguinte operação:

n

i

PV

PMT

FV

4

1,5875

1.000,00

260,00

0,00

que fornece a taxa de 1,5875% ao mês. Vamos, agora, confirmar que essa taxa de juros é a taxa interna de retorno do fluxo de caixa da instituição financeira. Para isso, vamos calcular o valor presente líquido para a taxa de desconto de 1,5875% ao mês. A operação de desconto está indicada a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

4

1,5875

1.000,00

260,00

0,00

Então, o valor presente líquido para a taxa de 1,5875% ao mês é obtido pela relação: VPL (1,5875%) () $1.000,00 () $1.000,00 $0,00 o que garante que a taxa interna de retorno é igual a 1,5875% ao mês.


147

Observe que esse valor de 1,5875% ao mês está indicado no gráfico do item b como sendo o ponto em que a curva do valor presente líquido corta o eixo dos x, que corresponde aos valores da taxa de desconto. 4. Vamos considerar os mesmos dados do Problema 3 e analisar a situação do comprador do equipamento que tomou o financiamento da instituição financeira. Assim, precisamos determinar: a) o fluxo de caixa do tomador do financiamento; b) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de desconto; c) a taxa interna de retorno, ou seja, o custo efetivo mensal do financiamento. Solução: a) fluxo de caixa do tomador do financiamento Os fluxos de caixa do tomador do financiamento e o da instituição financeira são absolutamente opostos. A instituição financeira desembolsa $1.000,00 no início da operação, por ocasião da liberação dos recursos, e recebe quatro prestações mensais de $260,00. O tomador do financiamento recebe $1.000,00 no início da operação e paga quatro prestações mensais de $260,00. O fluxo de caixa do tomador do financiamento está indicado na Tabela 7.5: TABELA 7.5 Mês

Valor ($)

0

() 1.000,00

1

() 260,00

2

() 260,00

3

() 260,00

4

() 260,00

Soma

() 40,00

Esse fluxo de caixa do tomador do financiamento é usualmente conhecido como fluxo de caixa de um financiamento, porque corresponde a um recebimento inicial seguido de pagamentos futuros. b) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto Os valores do gráfico do valor presente líquido podem ser obtidos a partir dos resultados do Problema 3, bastando apenas inverter os sinais, conforme indicado na Tabela 7.6:

148


TABELA 7.6 Taxa de desconto (a.m.)


0%

() 40,00

1%

() 14,51

2%

() 9,99

%

() 1.000,00

O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está indicado a seguir: FIGURA 7.19 Valor Presente Líquido (VPL) – Financiamento VPL ($) 30 20 TIR 1,5875% a.m.

10

No limite

()$1.000,00

0 10

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

Taxa (a.m.)

20 30 40 50

Observe que o gráfico do fluxo de caixa do financiamento (comprador do equipamento) é simétrico ao gráfico do fluxo de caixa do investimento (instituição financeira). Isso ocorre porque os dois fluxos de caixa têm todas as suas parcelas iguais, porém com os sinais trocados. c) taxa interna de retorno A taxa interna de retorno, que corresponde ao custo efetivo do financiamento, é igual à rentabilidade efetiva da instituição financeira, ou seja, 1,5875% ao mês. Assim, tanto a curva do VPL do investimento como a curva do VPL do financiamento cortam o eixo do x no valor de 1,5875% ao mês, que é a taxa interna de retorno desses dois fluxos de caixa.


149

5. O estudo de viabilidade econômica de um projeto resulta no fluxo de caixa indicado na Tabela 7.7: TABELA 7.7 Ano

Valor ($)

0

() 11.500,00

1

() 2.350,00

2

() 1.390,00

3

() 3.350,00

4

() 4.275,00

5

() 5.350,00

Soma

() 5.215,00

Determine: a) o gráfico do valor presente líquido desse investimento, em função da taxa de desconto; b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva anual de rentabilidade desse investimento. Solução: a) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto O fluxo de caixa é totalmente heterogêneo, não permitindo qualquer simplificação algébrica. Assim, a única maneira de se obter seu valor presente é mediante o desconto individual de cada uma de suas parcelas. O fluxo de caixa do 1o ao 5o ano é idêntico ao do Exemplo 4 da Seção 7.2.2, e seu valor presente foi calculado para a taxa de desconto de 10% ao ano, produzindo o resultado de () $12.043,83. Assim, o valor presente líquido para essa taxa de 10% a.a. é igual a: VPL (10%) () $11.500,00 () $12.043,83 () $543,83 O VPL positivo de $543,83 para a taxa de desconto de 10% a.a. significa que o fluxo de caixa desse projeto está remunerando o investimento de $11.500,00 com a taxa de 10% a.a., e ainda está gerando um aumento de riqueza de $543,83, expresso em moeda do ponto zero. Assim, o investimento nesse projeto está sendo remunerado a 10% a.a. e agregando um valor econômico de $543,83, expresso em termos de valor presente.

150


Sendo positivo o valor presente líquido, para a taxa de 10% a.a., podemos garantir que o investimento inicial de $11.500,00 tem uma taxa interna de retorno superior a 10% a.a. Vamos agora calcular o valor presente das parcelas futuras, com a taxa de desconto de 12% a.a., pelo desconto individual dessas parcelas, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

1

12,00

2.098,21

0,00

2.350,00

2

12,00

1.108,10

0,00

1.390,00

3

12,00

2.384,46

0,00

3.350,00

4

12,00

2.716,84

0,00

4.275,00

5

12,00

3.035,74

0,00

5.350,00

Soma

11.343,35

Assim, o valor presente líquido para essa taxa de 12% a.a. é igual a: VPL (12%) ()$11.500,00 ()$11.343,35 () $156,65 A Tabela 7.8 resume os resultados já obtidos para o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento, e os valores extremos para as taxas de descontos de 0% e %. TABELA 7.8 Taxa de desconto (a.a.)

Valor presente líquido ($)

0%

() 5.215,00

10%

() 543,83

12%

() 156,65

%

() 11.500,00

O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está indicado a seguir:


151

FIGURA 7.20 Valor Presente Líquido (VPL) – Investimento VPL ($) 6.000 5.000 4.000 3.000

TIR 11,54% a.a.

2.000 1.000 0 1.000

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

Taxa (a.a.) No limite ()$11.500,00

b) taxa interna de retorno Pelos resultados obtidos até o momento, podemos garantir que a taxa interna de retorno está compreendida entre 10% a.a. e 12% a.a., pois o valor presente líquido é positivo para a taxa de 10% a.a. e negativo para a taxa de 12% a.a. O valor da taxa interna de retorno pode ser obtido pelo processo das tentativas, no intervalo de 10% a.a. a 12% a.a., e também pode ser aproximado por interpolação linear. O valor exato da taxa interna de retorno, que é igual a 11,54% a.a., pode ser obtido pela função especial IRR da HP-12C e da função TIR do Excel, como é mostrado no Capítulo 9. Vamos a seguir analisar o conceito de taxa interna de retorno usando a equação algébrica do valor presente líquido, que tem a seguinte apresentação para o fluxo de caixa do problema: VPL (TIR%) ()$11.500,00 $2.350,00 x $1.390,00 x2 $3.350,00 x3 $4.275,00 x4 $5.350,00 x5 0,00 em que temos: x⫽

1 1 ⫹i

A equação do valor presente líquido, nesse caso, é um polinômio do 5o grau e, portanto, tem cinco raízes. Entretanto só estamos interessados nas raízes reais e positivas, pois são as únicas que têm significado econômico.

152


A regra de sinal de Descartes garante que os polinômios cujos coeficientes só apresentam uma única variação de sinal têm apenas uma raiz real positiva. Essa é exatamente a situação do fluxo de caixa do investimento em análise, que apresenta uma única variação de sinal, do 1o para o 2o coeficiente. Portanto, sua única raiz real positiva é igual a 11,54% a.a. As outras quatro raízes devem ter valores reais negativos e/ou imaginários. 7.3.3.

Comentários

Os três primeiros exemplos numéricos do item anterior envolvem apenas os parâmetros PV e FV ou PV e PMT e serviram para mostrar os conceitos de valor presente líquido e da taxa interna de retorno de fluxos de caixa. Os cálculos dos valores presentes líquidos e das taxas internas de retorno foram apresentados com o Simulador da HP-12C. O quarto exemplo apresentou um fluxo de caixa totalmente heterogêneo, e a forma de se obter o seu valor presente líquido foi pelo desconto individual das suas parcelas futuras, com o auxílio do Simulador da HP-12C. O Simulador só permite apresentar a obtenção da taxa interna de retorno desse último exemplo, pelo processo de tentativas e/ou interpolação linear. No Capítulo 9 mostraremos as funções especiais NPV e IRR da HP-12C e as funções VPL e TIR da planilha Excel para efetuar, respectivamente, o cálculo do valor presente líquido e da taxa interna de retorno de qualquer fluxo de caixa.

7.4.

Conclusão

Neste capítulo apresentamos os conceitos de valor presente líquido e de taxa interna de retorno de fluxos de caixa. Quando os fluxos de caixa apresentarem parcelas futuras sem qualquer lei de formação, recomendamos que essas duas grandezas sejam calculadas com as funções especiais NPV e IRR da HP-12C e com as funções VPL e TIR do Excel, conforme é mostrado no Capítulo 9. A equação algébrica do valor presente líquido de um fluxo de caixa com parcelas futuras até o período de ordem n é um polinômio de grau n. A taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é a taxa de desconto que anula seu valor presente líquido, e, portanto, é uma das raízes desse polinômio de grau n que tem n raízes. Se os coeficientes desse polinômio de grau n só apresentam uma única variação de sinal, como ocorre na grande maioria dos casos, então, a regra de sinal de Descartes garante que esse polinômio só tem uma raiz real positiva, que é a única raiz que tem significado econômico. As demais raízes são valores reais negativos e/ou imaginários.


7.5.

153

Problemas Propostos

1. Calcule os valores presentes dos fluxos de caixa indicados a seguir, para uma taxa de desconto de 1% ao mês, no regime de juros compostos. FLUXO (A) im 1,00% a.m.

$2.000,00/mês $1.000,00/mês

0

1

3

2

4

5

6

7

8

10

Meses

9

10

Meses

9

10

Meses

9

FLUXO (B)

im 1,00% a.m.

$100,00/mês

$100,00/mês

0

1

3

2

4

5

6

7

8

FLUXO (C) $2.000,00/mês

im 1,00% a.m.

$1.000,00/mês

0

1

2

3

4

5

6

7

8

FLUXO (D) im 1,00% a.m.

$50,00

$50,00

0

1

2

3

4

$50,00

$50,00

5

6

7

8

$50,00

9

10

Meses

154


FLUXO (E) $100,00 im 1,00% a.m.

$50,00/mês

0

1

3

2

4

5

6

7

8

9

10

Meses

2. Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabela a seguir: Trimestre

Valor ($)

0

() 4.000,00

1

() 500,00

2

() 500,00

3

() 500,00

4

() 500,00

5

() 500,00

6

() 500,00

7

() 500,00

8

() 1.000,00

Total líquido

() 500,00

Determine: a) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de desconto, no intervalo de 0,00% a 3,00% ao trimestre, com incrementos de 0,50%; b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva trimestral de rentabilidade desse investimento.


155

3. Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabela a seguir: Semestre

Valor ($)

0

() 4.500,00

1

() 800,00

2

() 800,00

3

() 800,00

4

–

5

() 800,00

6

() 800,00

7

() 800,00

8

() 800,00

Total líquido

() 1.100,00

Determine: a) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de desconto, no intervalo de 0,00% a 6,00% ao semestre, com incrementos de 1,00%; b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva semestral de rentabilidade desse investimento. 4. Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabela a seguir: Ano

Valor ($)

0

() 14.000,00

1

() 5.250,00

2

() 4.350,00

3

() 3.000,00

4

() 2.850,00

Total líquido

() 1.450,00

156


Determine: a) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de desconto, no intervalo de 0,00% a 16,00% ao ano, com incrementos de 2,00%; b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva anual de rentabilidade desse investimento. 5. A tabela a seguir mostra os valores presentes líquidos do fluxo de caixa de um investimento, calculados para diversas taxas de desconto, no regime de juros compostos: Taxa de desconto (a.m.)

Valor presente líquido ($)

0,0%

() 255,00

0,5%

() 127,18

0,8%

() 51,71

1,0%

() 0,00

1,2%

() 47,54

1,5%

() 120,94

2,0%

() 241,38

Pela análise dos dados desse quadro, responda: a) Qual a taxa interna de retorno desse investimento? b) Você desaplicaria seus recursos que estão rendendo 1,5% ao mês para realizar esse investimento?

Capítulo

Equivalência de Fluxos de Caixa

8 8.1.

Conceito de Equivalência

Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes, a uma determinada taxa de juros, se seus valores presentes (PV), calculados com essa mesma taxa de juros, forem iguais. A equivalência de fluxos de caixa é sempre analisada no regime de juros compostos. A equivalência de fluxos de caixa depende, necessariamente, da taxa de juros usada para descontar os fluxos, a fim de se obter seus valores presentes. Assim, se dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa de juros, essa equivalência deixará de existir se a taxa de juros for alterada. Se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor presente, a uma determinada taxa de juros, então, seus valores futuros (FV) após n períodos, obtidos com essa mesma taxa de juros, são necessariamente iguais. Dessa forma, a equivalência de fluxos de caixa não precisa obrigatoriamente ser verificada no ponto zero da escala de tempo. Ela pode ser verificada no final de qualquer período n, desde que o período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos de caixa.

8.2.

Planos Equivalentes de Financiamento

Vamos considerar, nesta seção, um financiamento com os seguintes parâmetros: Principal

$1.000,00

Taxa de juros 8% ao ano Prazo

4 anos

A seguir, vamos desenvolver e analisar quatro planos equivalentes para amortizar esse financiamento dentro dos parâmetros anteriormente definidos.

158


8.2.1. Plano A – Pagamento no Final Nesse plano, o financiamento é liquidado mediante o pagamento de uma única parcela no final do 4o ano, havendo capitalização de juros no final de cada ano. A Tabela 8.1 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos quatro anos da operação.

TABELA 8.1

Anos

Plano A – Pagamento no final (principal = $1.000,00, taxa de juros = 8% ao ano, prazo = 4 anos)


Juros do ano



Total

Juros

Amortização

0


1

1.000,00

80,00

1.080,00

0,00

0,00

0,00

1.080,00

2

1.080,00

86,40

1.166,40

0,00

0,00

0,00

1.166,40

3

1.166,40

93,31

1.259,71

0,00

0,00

0,00

1.259,71

4

1.259,71

100,78

1.360,49

1.360,49

360,49

1.000,00

0,00

1.360,49

360,49

1.000,00

Soma dos pagamentos

Por esse quadro de amortização do Plano A, o financiamento de $1.000,00 é liquidado com um único pagamento de $1.360,49, realizado no final do 4o ano, sendo $1.000,00 de amortização do principal e $360,49 de juros acumulados ao longo dos quatro anos. Essa modalidade de pagamento se aplica a diversas operações do mercado, tais como operações de capital de giro e de desconto de títulos, e aplicações em títulos de renda fixa. 8.2.2. Plano B – Pagamento Periódico de Juros Nesse plano, o financiamento é liquidado da seguinte forma: a) no final de cada ano, são pagos os juros do respectivo ano; b) no final do 4o ano, além dos juros anuais, é efetuado o pagamento integral do principal.

Ca p í t u l o 8 – E q u ival ên c ia de Fl uxos de Caixa

159

A Tabela 8.2 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos quatro anos da operação. TABELA 8.2

Anos

Plano B – Pagamento periódico de juros (principal $1.000,00, taxa de juros 8% ao ano, prazo 4 anos)



Juros do ano


Total

Juros


Amortização

0

1.000,00

1

1.000,00

80,00

1.080,00

80,00

80,00

0,00

1.000,00

2

1.000,00

80,00

1.080,00

80,00

80,00

0,00

1.000,00

3

1.000,00

80,00

1.080,00

80,00

80,00

0,00

1.000,00

4

1.000,00

80,00

1.080,00

1.080,00

80,00

1.000,00

0,00

1.320,00

320,00

1.000,00

Soma dos pagamentos

Por esse quadro de amortização do Plano B, o financiamento de $1.000,00 é liquidado com quatro pagamentos anuais de $80,00, correspondentes aos juros de cada ano, e mais um pagamento de $1.000,00 no final do 4o ano, para amortizar integralmente o principal do financiamento. Essa modalidade de pagamento se aplica a diversas operações do mercado, tais como operações de leasing e aplicações em títulos de renda periódica (anual, mensal etc.). 8.2.3.

Plano C – Prestações Iguais – Modelo Price

Nesse plano, o financiamento é liquidado pelo pagamento de quatro prestações anuais de $301,92, cujo valor presente pode ser obtido conforme indicado:

n

i

PV

PMT

FV

4

8,00

1.000,00

301,92

0,00

160


As prestações de cada ano são subdivididas em duas parcelas: a) juros do ano, calculados sobre o saldo no início do respectivo ano; b) amortização do principal, obtida pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do ano. A Tabela 8.3 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos quatro anos da operação. TABELA 8.3

Anos

Plano C – Prestações iguais – Modelo Price (principal $1.000,00, taxa de juros 8% ao ano, prazo 4 anos)


Juros do ano



Total

Juros

Amortização

0


1

1.000,00

80,00

1.080,00

301,92

80,00

221,92

778,08

2

778,08

62,25

840,33

301,92

62,25

239,67

538,40

3

538,40

43,07

581,48

301,92

43,07

258,85

279,56

4

279,56

22,36

301,92

301,92

22,36

279,56

0,00

1.207,68

207,68

1.000,00

Soma dos pagamentos

Essa modalidade de pagamento é conhecida como Modelo Price, e é bastante utilizada em operações de financiamento imobiliário e de crédito direto ao consumidor. Pelo quadro de amortização do Plano C, verificamos que a 1a prestação contém $80,00 de juros, correspondentes a 8% do saldo do início do ano ($1.000,00). A amortização da 1a prestação ($221,92) é obtida pela diferença entre o valor da prestação ($301,92) e o valor dos juros do 1o ano ($80,00). O saldo remanescente do principal para o 2o ano é assim obtido: $1.000,00 $221,92 $778,08 Os juros do 2o ano ($62,25) são obtidos pela aplicação da taxa de 8% a.a. sobre o saldo do principal no início do 2o ano ($778,08). Assim, os juros de cada ano vão diminuindo de valor ao longo do tempo, e as amortizações, inversamente, vão aumentando de valor de forma exponencial, conforme mostrado no Exemplo 2 da Seção 6.5.3 do Capítulo 6.


161

Ressaltamos que no Modelo Price as amortizações são obtidas a partir dos valores das prestações e dos juros, conforme indicado a seguir: Amortizaçãop Prestação Juros

(8.1)

8.2.4. Plano D – Sistema de Amortizações Constantes (SAC) Neste plano, o financiamento é liquidado mediante o pagamento de quatro prestações linearmente decrescentes, subdivididas em duas parcelas: a) amortização do principal, obtida pela divisão entre o valor do principal do financiamento e o prazo da operação; b) juros do ano, calculados sobre o saldo no início do respectivo ano. A Tabela 8.4 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos quatro anos da operação. TABELA 8.4

Anos

Plano D – Sistema de amortizações constantes (principal $1.000,00, taxa de juros 8% ao ano, prazo 4 anos)


Juros do ano



Total

Juros

Amortização

0


1

1.000,00

80,00

1.080,00

330,00

80,00

250,00

750,00

2

750,00

60,00

810,00

310,00

60,00

250,00

500,00

3

500,00

40,00

540,00

290,00

40,00

250,00

250,00

4

250,00

20,00

270,00

270,00

20,00

250,00

0,00

1.200,00

200,00

1.000,00

Soma dos pagamentos

Essa modalidade de pagamento é bastante utilizada nas operações de financiamentos imobiliários e nos financiamentos de longo prazo de um modo geral. No quadro de amortização do Plano D, devemos, inicialmente, calcular o valor da amortização anual ($250,00) dividindo o valor do principal do financiamento ($1.000,00) pelo prazo da operação (quatro anos).

162


Os juros do 1o ano ($80,00) correspondem a 8% do saldo do início do 1o ano ($1.000,00), e o valor da prestação ($330,00) corresponde à soma da amortização com os juros de cada ano. O saldo remanescente do principal para o 2o ano é assim obtido: $1.000,00 $250,00 $750,00 Os juros do 2o ano ($60,00) são obtidos pela aplicação da taxa de 8% a.a. sobre o saldo do principal no início do 2o ano ($750,00). Dessa forma, o quadro de amortização do Plano D indica que o financiamento de $1.000,00 é liquidado mediante o pagamento de quatro amortizações anuais de $250,00 e mais quatro parcelas anuais de juros ($80,00, $60,00, $40,00 e $20,00). Assim, as prestações e os juros de cada ano vão diminuindo linearmente de valor ao longo do tempo, e as amortizações permanecem com o mesmo valor de $250,00. Ressaltamos que no sistema de amortizações constantes as prestações são obtidas a partir dos valores das amortizações e dos juros, conforme indicado a seguir: PrestaçãoSAC Amortização Juros

(8.2)

8.2.5. Comentários sobre os Quatro Planos Equivalentes O financiamento de um principal de $1.000,00 pode ser amortizado no prazo de quatro anos, com uma taxa de 8% ao ano, pelos seguintes planos equivalentes de pagamentos: TABELA 8.5 Anos

Quatro planos equivalentes de pagamentos a 8% a.a.

Plano A

Plano B

Plano C

Plano D

1

80,00

301,92

330,00

2

80,00

301,92

310,00

3

80,00

301,92

290,00

0

4

1.360,49

1.080,00

301,92

270,00

Soma

1.360,49

1.320,00

1.207,68

1.200,00

Esses quatro planos de pagamentos são absolutamente equivalentes a 8% ao ano, pois eles têm o mesmo valor presente de $1.000,00 se descontados a essa mesma taxa, conforme pode ser verificado a seguir:


163

a) valor presente do Plano A a 8% ao ano:

n

i

PV

PMT

FV

4

8,00

1.000,00

0,00

1.360,49

PMT

FV

b) valor presente do Plano B a 8% ao ano:

n

i

4

8,00

264,97

80,00

0,00

4

8,00

735,03

0,00

1.000,00

Soma

PV

1.000,00

c) valor presente do Plano C a 8% ao ano:

n

i

PV

PMT

FV

4

8,00

1.000,00

301,92

0,00

PMT

FV

d) valor presente do Plano D a 8% ao ano:

n

i

4

8,00

198,46

0,00

270,00

3

8,00

230,21

0,00

290,00

2

8,00

265,77

0,00

310,00

1

8,00

305,56

0,00

330,00

Soma

PV

1.000,00

Cabe, ainda, observar nos quadros de amortização desses planos que: r PTBMEPEPQSJODJQBMEPJOÎDJPEFDBEBBOPGPJTFNQSFSFNVOFSBEPBBPBOP r PQBHBNFOUPEPàOBMEPo ano liquidou integralmente o saldo remanescente do principal e os juros devidos de cada plano.

164


É erro grosseiro analisar planos de financiamento pelo valor total pago em cada plano, conforme vamos demonstrar a seguir. Os totais das prestações de cada um desses quatro planos estão indicados na Tabela 8.6: TABELA 8.6 Plano

Total pago ($)

A

1.360,49

B

1.320,00

C

1.207,68

D

1.200,00

O Plano D, aparentemente, é o melhor plano para quem tomar esse financiamento, pois representa o plano com o menor valor a ser pago. Segundo esse mesmo raciocínio, o Plano A seria o pior de todos, pois apresenta o maior valor a ser pago. O erro básico é que no Plano A o principal financiado só foi devolvido ao financiador no final do 4o ano, e, portanto, tem de ser remunerado durante os quatro anos, juntamente com os juros que são capitalizados. Já no Plano D, o principal é amortizado ao longo do prazo da operação, e, portanto, apenas o principal remanescente (saldo) é que deve ser remunerado, produzindo consequentemente um menor valor de juros a ser pago pelo “aluguel” do principal que ficou à disposição do financiado. Os planos são equivalentes a 8% ao ano, pois apresentam o mesmo valor presente de $1.000,00 com essa taxa de desconto, e não são equivalentes com qualquer outra taxa de desconto. Somar as prestações de cada plano corresponde a calcular seus valores presentes com a taxa de desconto de 0% ao ano, e, por isso, são diferentes os valores obtidos para o total de pagamentos de cada plano. Outra forma de analisar a situação é usar o cálculo das reaplicações, com taxa de 8% ao ano, dos valores que ficaram disponíveis em cada plano, antes do final do 4o ano. As possibilidades de reaplicações em cada plano estão definidas a seguir: r 1MBOP"OFOIVNWBMPSBSFBQMJDBS r 1MBOP#SFBQMJDBÉÈPEBTUSËTQSJNFJSBTQBSDFMBTEFKVSPTEF BUÊPàOBM do 4o ano; r 1MBOP$SFBQMJDBÉÈPEBTUSËTQSJNFJSBTQSFTUBÉ×FTEF BUÊPàOBMEP 4o ano; r 1MBOP % SFBQMJDBÉÈP EBT USËT QSJNFJSBT QSFTUBÉ×FT F $290,00), até o final do 4o ano. As diferenças entre os totais pagos nos quatro planos são compensadas pelas receitas de reaplicações, a 8% ao ano, das parcelas recebidas antes do final do 4o ano, conforme mostrado na Tabela 8.7, cabendo ao leitor a verificação desses valores.


165

TABELA 8.7

Plano

Total pago ($)

Receitas de reaplicações a 8% ao ano

Montante acumulado no final do 4o ano

A

1.360,49

0,00

1.360,49

B

1.320,00

40,49

1.360,49

C

1.207,68

152,81

1.360,49

D

1.200,00

160,49

1.360,49

O Plano de Pagamento Periódico de Juros é idêntico ao mostrado na Seção 2.3.1 para o Banco ABC, onde as receitas de reaplicações foram devidamente demonstradas. O valor de $1.360,49 corresponde ao valor futuro de cada um dos quatro planos, no final do 4o ano, que pode ser obtido com a taxa de 8% ao ano, conforme indicado a seguir: a) valor futuro do Plano A, no final do 4o ano, a 8% ao ano:

n

i

PV

PMT

FV

4

8,00

1.000,00

0,00

1.360,49

b) valor futuro do Plano B, no final do 4o ano, a 8% ao ano:

n

i

PV

PMT

4

8,00

0,00

80,00

FV 360,49

Pagamento do principal no final do 4o ano

1.000,00

Soma

1.360,49

c) valor futuro do Plano C, no final do 4o ano, a 8% ao ano:

n

i

PV

PMT

FV

4

8,00

0,00

301,92

1.360,49

166


d) valor futuro do Plano D, no final do 4o ano, a 8% ao ano:

n

i

PV

PMT

FV

3

8,00

330,00

0,00

415,71

2

8,00

310,00

0,00

361,58

1

8,00

290,00

0,00

313,20

Pagamento da prestação do final do 4o ano

270,00

Soma

1.360,49

A equivalência dos quatro planos de pagamentos pode ser verificada, com a taxa de 8% ao ano, no final de qualquer período, desde que seja o mesmo para todos os planos, e assim podemos afirmar: a) os quatro planos de pagamentos são equivalentes, com a taxa de 8% ao ano, porque têm o mesmo valor presente (PV $1.000,00), quando seus valores são descontados com essa mesma taxa; b) os quatro planos de pagamentos são equivalentes, com a taxa de 8% ao ano, porque têm o mesmo valor futuro (FV $1.360,49) no final do 4o ano, quando seus valores são capitalizados para essa mesma data, com a taxa de 8% ao ano. Com referência ao Plano C (prestações iguais – Modelo Price) e ao Plano D (sistema de amortizações constantes), são válidos os seguintes comentários adicionais: a) no Plano D, todas as amortizações têm o mesmo valor, que é obtido pela divisão do principal do financiamento pelo prazo da operação, e por essa razão o plano é conhecido como sistema de amortizações constantes; b) no Plano C – Modelo Price –, as prestações são iguais e as amortizações crescem exponencialmente com a mesma taxa de juros do financiamento. Assim, todas as amortizações são equivalentes, na taxa de juros do contrato, pois têm o mesmo valor presente ao ser descontadas com essa mesma taxa. Podemos, então, dizer que o Modelo Price é um sistema de amortizações equivalentes. 8.2.6.

Juros Médios – Um Processo Aproximado

Os quatro planos equivalentes apresentados têm a mesma taxa efetiva de juros, que é igual a 8% ao ano. Vamos assumir que, no caso do Plano C (prestações iguais – Modelo Price), a taxa de juros não fosse conhecida. Assim, os valores conhecidos seriam: Principal $1.000,00 Prazo 4 anos Prestação $301,92


167

Uma das maneiras de se achar um valor aproximado para a taxa de juros é pelo processo dos juros médios, cujo procedimento é o seguinte: a) cálculo do prazo médio do financiamento, pela expressão: prazo médio ⫽

prazo ⫹ 1 2

No caso do Plano C (Modelo Price), temos: prazo médio ⫽

4 anos ⫹ 1 ⫽ 2, 5 anos 2

b) cálculo da porcentagem total de juros em relação ao principal, com o auxílio da expressão: soma dos juros % de juros ⫽ principal No caso do Plano C (Modelo Price), temos: % de juros

$207,68 0,2077 $1.000,00

c) cálculo dos juros médios, com o auxílio da expressão: % total de juros juros médios ⫽ prazo médio No caso do Plano C (Modelo Price), temos: juros médios

20,77 8, 31% ao ano. 2,5 anos

Vamos, agora, aplicar esse processo dos juros médios no Plano D (sistema de amortizações constantes – SAC), como indicado a seguir: % total de juros juros médios

$200,00 0,20 $1.000,00

20% 8,00% ao ano 2,5 anos

Com relação à taxa de juros obtida pelo processo de juros médios, para esses dois planos (Modelo Price e SAC), temos a comentar: a) nos financiamentos que são liquidados pelo sistema de amortizações constantes, a taxa de juros fornecida por esse processo de juros médios é sempre exata;

168


b) nos financiamentos que são liquidados pelo Modelo Price – prestações iguais –, a taxa de juros fornecida pelo processo de juros médios é sempre superior à taxa exata do financiamento.

8.3.

Exemplos Numéricos

As soluções dos exemplos desenvolvidos nesta seção são apresentadas com o Simulador da HP-12C. 1. Em relação ao fluxo de caixa indicado a seguir, realize os seguintes cálculos com a taxa de 1% ao mês, no regime de juros compostos: a) cálculo do valor presente; b) cálculo do montante acumulado, no final do 12o mês; c) cálculo do montante acumulado no final do 12o mês a partir do valor presente obtido no item a. FIGURA 8.1

Fluxo de caixa (A) $1.000,00

0

1

2

3

4

$2.000,00

5

6

7

$3.000,00

8

9

10

11

12

Meses

a) valor presente O valor presente do fluxo de caixa (A), a 1% ao mês, pode ser obtido pelas operações indicadas a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

9

1,00

2.743,02

0,00

3.000,00

6

1,00

1.884,09

0,00

2.000,00

3

1,00

970,59

0,00

1.000,00

Soma

5.597,70

b) valor futuro, no final do 12o mês O valor futuro do fluxo de caixa (A), no final do 12o mês, a 1% ao mês, pode ser obtido pelas seguintes operações:

169


n

i

PV

PMT

FV

9

1,00

1.000,00

0,00

1.093,69

6

1,00

2.000,00

0,00

2.123,04

3

1,00

3.000,00

0,00

3.090,90

Soma

6.307,63

Assim, o fluxo de caixa (A) equivale aos fluxos de caixa (B) e (C), indicados a seguir. FIGURA 8.2

Fluxo de caixa (B)

$5.597,70

0

1

FIGURA 8.3

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Meses

Fluxo de caixa (C) $6.307,63

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Meses

12

c) valor futuro a partir do valor presente Como o fluxo de caixa (A) é equivalente aos fluxos de caixa (B) e (C), com a taxa de juros de 1% ao mês, então, necessariamente, esses dois últimos fluxos de caixa têm de ser equivalentes entre si. Isso pode ser comprovado pela operação indicada a seguir:

n 12

i

PV

PMT

1,00

5.597,70

0,00

FV 6.307,63

170


2. Verifique se os fluxos de caixa indicados na Tabela 8.8 são equivalentes a uma taxa de 6% ao ano: TABELA 8.8

Fluxos de caixa equivalentes a 6% ao ano

Anos

Fluxo A ($)

Fluxo B ($)

Fluxo C ($)

0

100.000,00

1

20.336,26

28.859,15

2

20.336,26

28.859,15

3

20.336,26

28.859,15

4

20.336,26

28.859,15

5

20.336,26

6

20.336,26

Soma

100.000,00

122.017,56

Fluxo D ($)

141.851,91 115.436,60

141.851,91

Solução: Para que esses quatro fluxos de caixa sejam equivalentes a 6% ao ano, é necessário que qualquer uma das duas condições a seguir sejam satisfeitas: a) seus valores presentes, a 6% ao ano, sejam iguais a $100.000,00; b) seus valores futuros, no final do 6o ano, a 6% ao ano, sejam iguais a $141.851,91. As operações para calcular os valores presentes dos fluxos de caixa (B), (C) e (D) estão indicadas a seguir: a) valor presente do fluxo B, a 6% ao ano:

n

i

6

6,00

PV

PMT

100.000,00 20.336,26

FV 0,00

b) valor presente do fluxo C, a 6% ao ano:

n

i

4

6,00

PV

PMT

100.000,00 28.859,15

FV 0,00


171

c) valor presente do fluxo D, a 6% ao ano:

n

i

PV

PMT

FV

6

6

100.000,00

0,00

141.851,91

Como os valores presentes dos fluxos de caixa (B), (C) e (D), a 6% ao ano, são iguais a $100.000,00, podemos afirmar que esses fluxos de caixa são equivalentes ao fluxo de caixa (A), cujo valor presente também é igual a $100.000,00. Como os valores presentes de todos os fluxos de caixa são iguais a $100.000,00, podemos garantir que seus valores futuros, no final do 6o ano, a 6% ao ano, são iguais a $141.851,91, que é o valor futuro do fluxo de caixa (D). 3. Calcule o valor de Z para que os dois fluxos de caixa indicados na Tabela 8.9 sejam equivalentes, com a taxa de juros de 10% ao ano. TABELA 8.9 Ano

Fluxo A ($)

Fluxo B ($)

0 1

1.000,00

2

1.000,00

3

1.000,00

4

1.000,00

Soma

4.000,00

Z

Z

Solução: Podemos solucionar esse problema calculando o valor futuro dos dois fluxos, no final do 4o ano, conforme mostrado a seguir. a) valor futuro do fluxo A, no final do 4o ano, a 10% ao ano:

n

i

PV

PMT

FV

4

10,00

0,00

1.000,00

4.641,00

172


b) valor futuro do fluxo B, no final do 4o ano, a 10% ao ano, para Z $1,00:

n

i

PV

PMT

FV

2

10,00

1,00

0,00

1,21

Como os dois valores futuros devem ser iguais, podemos escrever: Z 1,21 $4.641,00 que fornece Z $3.835,54. 4. Calcule a taxa efetiva mensal, no regime de juros compostos, que faz com que os dois fluxos de caixa indicados na Tabela 8.10 sejam equivalentes. TABELA 8.10 Ano

Fluxo A ($)

Fluxo B ($)

1

3.000,00

1.000,00

2

3.000,00

1.000,00

3

3.000,00

1.000,00

4

3.000,00

10.282,01

Soma

12.000,00

13.282,01

0

Solução: Esse problema só pode ser resolvido por tentativas. Devemos arbitrar um valor inicial para a taxa de juros e calcular os valores presentes dos fluxos de caixa (A) e (B). Se esses valores forem iguais, então a taxa foi encontrada; se forem diferentes, devemos prosseguir nas tentativas. Essas tentativas são feitas, e os resultados estão colocados num gráfico do valor presente em função da taxa de desconto anual. 1a tentativa: taxa 0% ao ano Com essa taxa de juros, os valores presentes dos fluxos de caixa correspondem meramente à soma algébrica de seus valores, isto é: PVA (0%) $12.000,00 PVB (0%) $13.282,01 2a tentativa: taxa 8% ao ano Os valores presentes dos dois fluxos estão calculados a seguir:


r WBMPSQSFTFOUFEPáVYPEFDBJYB "

BBPBOP

n 4

173

i

PV

PMT

8,00

9.936,38

3.000,00

FV 0,00

r WBMPSQSFTFOUFEPáVYPEFDBJYB #

BBPBOP

n

i

PV

PMT

FV

3

8,00

2.577,10

1.000,00

0,00

4

8,00

7.557,58

0,00

10.282,01

Soma

10.134,68

e, portanto: PVA (8%) $9.936,38 PVB (8%) $10.134,68 3a tentativa: taxa 12% ao ano Os valores presentes dos dois fluxos estão calculados a seguir: r WBMPSQSFTFOUFEPáVYPEFDBJYB "

BBPBOP

n

i

PV

PMT

FV

4

12,00

9.112,05

3.000,00

0,00

r WBMPSQSFTFOUFEPáVYPEFDBJYB #

BBPBOP

n

i

PV

PMT

FV

3

12,00

2.401,83

1.000,00

0,00

4

12,00

6.534,40

0,00

10.282,01

Soma

8.936,23

e, portanto: PVA (12%) $9.112,05 PVB (12%) $8.936,23

174


A Tabela 8.11 mostra os valores presentes desses dois fluxos de caixa, para as taxas de desconto utilizadas nas tentativas: TABELA 8.11 Valores presentes dos fluxos de caixa

Fluxo de caixa

Taxa de desconto anual 0%

8%

12%

(A)

$12.000,00

$9.936,38

$9.112,05

(B)

$13.282,01

$10.134,68

$8.936,23

A análise dos valores do quadro anterior permite afirmar que a taxa de juros procurada está compreendida entre 8% a.a. e 12% a.a. Vamos, então, fazer mais uma tentativa, com a taxa de 10% ao ano. 4a tentativa: taxa 10% ao ano Os valores presentes dos dois fluxos estão calculados a seguir: rWBMPSQSFTFOUFEPáVYPEFDBJYB "

BBPBOP

n

i

PV

PMT

FV

4

10,00

9.509,60

3.000,00

0,00

rWBMPSQSFTFOUFEPáVYPEFDBJYB #

BBPBOP

n

i

PV

PMT

FV

3

10,00

2.486,85

1.000,00

0,00

4

10,00

7.022,75

0,00

10.282,01

Soma

9.509,60

e, portanto: PVA (10%) $9.509,60 PVB (10%) $9.509,60 Como os dois valores presentes encontrados, a 10% ao ano, são iguais a $9.509,60, podemos afirmar que a taxa de 10% ao ano é a taxa que faz os dois fluxos de caixa serem equivalentes.


175

Mostramos na Figura 8.4 o gráfico dos valores presentes dos dois fluxos de caixa em função da taxa de desconto: FIGURA 8.4 VPL($) 14.000

Fluxo A

13.000 PVA PVB $9.509,60

12.000 11.000 10.000 Fluxo B 9.000

2%

6%

4%

8%

10%

12%

14%

16%

Taxa (a.a.)

Pelo gráfico, podemos verificar que a taxa que proporciona a equivalência entre os dois fluxos é aquela correspondente à intersecção das duas curvas de seus valores presentes, pois nesse ponto os valores presentes dos dois fluxos são iguais a $9.509,60. 5. Um banco de investimentos realiza suas operações financeiras a juros compostos, com uma taxa efetiva de juros de 1,4% ao mês. Os financiamentos são realizados com um prazo de um ano e podem ser liquidados pelos seguintes planos de pagamentos: a) em 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, ocorrendo a 1a prestação 30 dias após a liberação dos recursos; b) em quatro prestações trimestrais, iguais e sucessivas, ocorrendo a 1a prestação 90 dias após a liberação dos recursos. Calcule o valor das prestações desses dois planos para um financiamento com principal de $10.000,00, de tal forma que os mesmos sejam equivalentes à taxa de 1,4% ao mês, no regime de juros compostos. Solução: a) prestação mensal O valor da prestação mensal pode ser assim obtido:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,40

10.000,00

911,10

0,00

que fornece $911,10 para o valor de cada uma das 12 prestações mensais.

176


b) prestação trimestral O valor da prestação trimestral pode ser obtido com o auxílio da taxa trimestral equivalente a 1,4 % ao mês, que é calculada da forma indicada a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

3

1,40

100,00

0,00

104,25907

que fornece a taxa equivalente de 4,25907% ao trimestre. Esquematicamente, temos: FIGURA 8.5 it 4,25907% a.t.

PV $10.000,00

PMT ?

0

3

2

1

Trimestres

4

A partir da taxa trimestral equivalente, podemos obter o valor da prestação trimestral, com a seguinte operação:

n

i

PV

PMT

FV

4

4,25907

10.000,00

2.771,74

0,00

que fornece $2.771,74 para o valor de cada uma das quatro prestações trimestrais. Outra forma de obter a prestação trimestral é mediante o esquema indicado a seguir: FIGURA 8.6 PV $10.000,00

im 1,40% a.m.

0

1

2

3

4

5

6

7

x?

x?

x?

x?

8

9

10

11

12

Meses


177

em que mudamos a escala do tempo para meses e podemos, assim, usar a taxa de juros de 1,4% ao mês. Vamos, agora, assumir que cada prestação trimestral tem um valor unitário ($1,00).

n

i

PV

PMT

FV

12

1,40

0,8463394

0,00

1.00

9

1,40

0,8823856

0,00

1.00

6

1,40

0,9199670

0,00

1.00

3

1,40

0,9591491

0,00

1.00

Soma

3,6078411

Então, podemos escrever: 10.000,00 x (3,60785) que fornece x $2.771,74. Obtemos, assim, o mesmo valor para as prestações trimestrais que aquele alcançado com a utilização da taxa trimestral equivalente. Finalmente, podemos obter a prestação trimestral pela capitalização, com a taxa de 1,4% ao mês, de três prestações mensais de $911,10, que foi obtida no item a, com a seguinte operação:

n

i

3

1,40

PV 0,00

PMT

FV

911,10

2.771,74

que fornece a mesma prestação trimestral de $2.771,74. 6. Um banco de desenvolvimento realiza seus financiamentos de acordo com os seguintes parâmetros: i) prazo de 10 anos, com o início da amortização do principal ocorrendo no final do 3o ano; ii) amortização do principal pelo modelo Price ou pelo sistema de amortizações constantes; iii) taxa de juros de 10% ao ano, no regime de juros compostos.

178


Obtenha os fluxos de caixa de uma empresa que tomou um financiamento de $100.000,00 nessa instituição de fomento, nas seguintes hipóteses: a) juros pagos durante os dois anos de carência e amortização pelo modelo Price a partir do 3o ano; b) juros capitalizados durante os dois anos de carência e amortização pelo modelo Price a partir do 3o ano; c) juros pagos durante os dois anos de carência e amortização pelo sistema de amortizações constantes a partir do 3o ano; d) juros capitalizados durante os dois anos de carência e amortização pelo sistema de amortizações constantes a partir do 3o ano. Solução: a) modelo Price com juros pagos na carência Os juros pagos nos dois anos da carência são iguais a: Juros $100.000,00 10% $10.000,00 O valor da prestação anual é calculado conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

8

10,00

100.000,00

18.744,40

0,00

que fornece $18.744,40 para o valor da prestação anual. b) modelo Price com juros capitalizados na carência O saldo do financiamento, acumulado no final do 2o ano, é obtido pela seguinte operação:

n

i

PV

PMT

FV

2

10,00

100.000,00

0,00

121.000,00

O valor da prestação anual é então calculado pela operação:

n

i

PV

PMT

FV

8

10,00

121.000,00

22.680,73

0,00

que fornece $22.680,73 para o valor da prestação anual.


179

Os fluxos de caixa correspondentes aos itens a e b estão representados na Tabela 8.12: TABELA 8.12 Prestações iguais – Modelo Price – fluxo de caixa

Juros no período de carência Ano Pagos

Capitalizados

0 1

10.000,00

2

10.000,00

3

18.744,40

22.680,73

4

18.744,40

22.680,73

5

18.744,40

22.680,73

6

18.744,40

22.680,73

7

18.744,40

22.680,73

8

18.744,40

22.680,73

9

18.744,40

22.680,73

10

18.744,40

22.680,73

c) sistema de amortizações constantes com juros pagos na carência Os juros pagos nos dois anos da carência são iguais a: Juros $100.000,00 10% $10.000,00 O valor de cada uma das oito amortizações anuais é obtido como se segue: Amortização anual

$100.000,00 $12.500,00 8

O fluxo de caixa desse financiamento está indicado na Tabela 8.13:

180


Sistema de Amortizações Constantes – SAC – fluxo de caixa – juros pagos

TABELA 8.13

na carência

Ano

Amortização

Juros

Total

1

10.000,00

10.000,00

2

10.000,00

10.000,00

0

3

12.500,00

10.000,00

22.500,00

4

12.500,00

8.750,00

21.250,00

5

12.500,00

7.500,00

20.000,00

6

12.500,00

6.250,00

18.750,00

7

12.500,00

5.000,00

17.500,00

8

12.500,00

3.750,00

16.250,00

9

12.500,00

2.500,00

15.000,00

10

12.500,00

1.250,00

13.750,00

Observe que na Tabela 8.13 os juros anuais decrescem de valor numa razão constante igual a: Decréscimo anual de juros 10% 12.500,00 $1.250,00 d) sistema de amortizações constantes com juros capitalizados na carência O saldo do financiamento, acumulado no final do 2o ano, está calculado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

2

10,00

100.000,00

0,00

121.000,00

O valor de cada uma das oito amortizações anuais é obtido como se segue: Amortização anual

$121.000,00 $15.125,00 8

Os juros a serem pagos no final do 3o ano correspondem a: Juros do 3o ano 10% 121.000,00 $12.100,00


181

Os juros anuais decrescem de valor numa razão constante igual a: Decréscimo anual dos juros 10% 15.125,00 $1.512,50 O fluxo de caixa desse financiamento está indicado na Tabela 8.14: TABELA 8.14 Sistema de Amortizações Constantes: Fluxo de caixa – juros capitalizados na carência

Ano

Amortização

Juros

Total

0 1 2 3

15.125,00

12.100,00

27.225,00

4

15.125,00

10.587,50

25.712,50

5

15.125,00

9.075,00

24.200,00

6

15.125,00

7.562,50

22.687,50

7

15.125,00

6.050,00

21.175,00

8

15.125,00

4.537,50

19.662,50

9

15.125,00

3.025,00

18.150,00

10

15.125,00

1.512,50

16.637,50

7. Um empresário deseja vender um imóvel pelo preço de $120.000,00 à vista, porém está disposto a financiar 50% desse valor no prazo de um ano, com juros compostos de 1,5% ao mês, mediante um dos seguintes planos de pagamentos: a) doze prestações mensais; b) doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas parcelas intermediárias de mesmo valor, no final de cada semestre; c) duas intermediárias semestrais de $10.000,00 e mais 12 prestações mensais. Sabendo-se que a 1a prestação ocorre 30 dias após a venda do apartamento e considerando os meses com 30 dias, obtenha os fluxos de caixa desses três planos de financiamento para que sejam equivalentes, na taxa de 1,5% ao mês. Solução: Valor da parcela financiada 50% $120.000,00 $60.000,00

182


a) doze prestações mensais O valor da prestação mensal pode ser calculado com a seguinte operação:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,50

60.000,00

5.500,80

0,00

que fornece $5.500,80 para o valor de cada uma das 12 prestações mensais.

b) doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas intermediárias semestrais Podemos assumir que cada prestação mensal de $5.500,80 é subdividida em duas parcelas, a saber: r a parcela de $4.000,00, que continua sendo paga mensalmente; r a parcela de $1.500,80 ($5.500,80 $4.000,00), que deve ser transferida, de forma equivalente, para pagamento no final do semestre. Assim, o valor de cada intermediária semestral é obtido com a seguinte operação:

n

i

PV

PMT

FV

6

1,50

0,00

1.500,80

9.349,31

que fornece $9.349,31 para o valor de cada uma das duas intermediárias semestrais. c) duas intermediárias semestrais de $10.000,00 e mais 12 prestações mensais Podemos inicialmente calcular o valor presente das duas intermediárias semestrais, como se segue:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,50

8.363,87

0,00

10.000,00

6

1,50

9.145,42

0,00

10.000,00

Soma

17.509,29

Assim, o valor presente que deve ser amortizado pelas 12 prestações mensais corresponde a: $60.000,00 $17.509,29 = $42.490,71


183

O valor da prestação mensal é assim obtido:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,50

42.490,71

3.895,55

0,00

que fornece $3.895,55 para o valor de cada uma das 12 prestações mensais. Podemos, então, resumir os três planos equivalentes de pagamentos para a parcela financiada de $60.000,00: i) doze prestações mensais de $5.500,80; ii) doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas intermediárias semestrais de $9.349,31; iii) doze prestações mensais de $3.895,55 e mais duas intermediárias semestrais de $10.000,00. 8. Um empresário levantou um financiamento de $50.000,00, com uma taxa efetiva de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. Esse financiamento deve ser liquidado mediante o pagamento de 10 prestações mensais de $3.000,00, e mais duas parcelas intermediárias de mesmo valor, uma ocorrendo no final do 3o mês e a outra no final do 7o mês, a contar da data da liberação dos recursos. Assumindo que os meses têm 30 dias e que a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos, calcule o valor dessas duas parcelas intermediárias, para que o custo do financiamento seja mantido em 1,5% ao mês. Solução: Inicialmente, devemos determinar o valor presente (principal) das 10 prestações mensais, com a seguinte operação:

n

i

PV

PMT

FV

10

1,50

27.666,55

3.000,00

0,00

que fornece $27.666,55 para o valor do principal das 10 prestações mensais. Assim, o principal que deve ser amortizado pelas duas parcelas intermediárias é igual a: Principal das intermediárias $50.000,00 $27.666,55 $22.333,55 Vamos agora determinar o valor presente de duas parcelas unitárias (FV $1,00) colocadas no final do 3o mês e no final do 7o mês, com as operações indicadas a seguir:

184


n

i

PV

7

1,50

3

1,50 Soma

PMT

FV

0,9010268

0,00

1,00

0,9563170

0,00

1,00

1,8573438

Se chamarmos de x o valor de cada uma dessas duas parcelas intermediárias, podemos escrever: $22.333,45 x (1,8573438) que fornece x $12.024,40, para ser pago no final do 3o mês e no final do 7o mês. 9. Considere o fluxo de caixa indicado na Figura 8.7 e calcule o valor da prestação mensal x, que ocorre do 1o ao 5o mês e do 7o ao 11o mês, para que a rentabilidade efetiva da operação seja de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. FIGURA 8.7 PV $10.000,00

im 1,20% a.m.

x?

0

1

2

3

4

5

6

7

$3.000,00

x?

$3.000,00

8

9

10

11

12

Meses

Solução: Inicialmente, devemos calcular o valor presente das duas parcelas de $3.000,00, com as operações a seguir indicadas:

n

i

PV

PMT

FV

12

1,20

2.599,89

0,00

3.000,00

6

1,20

2.792,79

0,00

3.000,00

Soma

5.392,68

Assim, o valor do principal a ser amortizado pelas 10 parcelas mensais de valor igual a x corresponde a: PVX = $10.000,00 $5.392,68 = $4.607,32


185

Vamos, agora, obter o valor presente de 10 parcelas unitárias (x = $1,00), colocadas no final dos 11 primeiros meses, exceto no final do 6o mês. Isso é alcançado pelas operações a seguir indicadas:

n

i

PV

PMT

FV

11

1,20

0,87703

0,00

1,00

10

1,20

0,88755

0,00

1,00

9

1,20

0,89820

0,00

1,00

8

1,20

0,90898

0,00

1,00

7

1,20

0,91989

0,00

1,00

5

1,20

0,94210

0,00

1,00

4

1,20

0,95341

0,00

1,00

3

1,20

0,96485

0,00

1,00

2

1,20

0,97643

0,00

1,00

1

1,20

0,98814

0,00

1,00

Soma

9,31658

Se chamarmos de x o valor de cada uma dessas 10 parcelas individuais, podemos escrever: $4.607,32 x (9,31658) que fornece x $494,53 para o valor das prestações mensais. Uma solução particular para esse problema poderia ser alcançada somando e subtraindo a mesma grandeza x no final do 6o mês, conforme mostrado no esquema da Figura 8.8: FIGURA 8.8 im 1,20% a.m.

x?

PV $4.607,32

x?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Meses

Agora, devemos calcular o valor presente das 11 parcelas unitárias, que ocorrem do 1o mês ao 11o mês, e desse valor devemos subtrair o valor presente da parcela unitária colocada no 6o mês. Isso é alcançado pelas operações indicadas a seguir:

186


n

i

PV

PMT

FV

11

1,20

10,24751

1,00

0,00

6

1,20

0,93093

0,00

1,00

Soma

9,31658

que fornece o mesmo resultado obtido anteriormente, pelo desconto individual de cada uma das 10 parcelas. 10. Considere o fluxo de caixa indicado na Figura 8.9 e calcule o valor do depósito mensal x, para que o montante acumulado no final do 9o mês seja igual a $10.000,00, assumindo que a taxa de remuneração dos depósitos é de 1% ao mês, no regime de juros compostos. FIGURA 8.9 im 1% a.m.

x?

0

1

2

3

4

5

FV $10.000,00

x?

6

7

8

9

Meses

Solução: Devemos, inicialmente, capitalizar oito depósitos unitários (x $1,00) para o final do 9o mês, com a taxa de juros de 1% ao mês, com as operações a seguir indicadas:

n

i

PV

PMT

FV

9

1,00

1,00

0,00

1,09369

8

1,00

1,00

0,00

1,08286

7

1,00

1,00

0,00

1,07214

6

1,00

1,00

0,00

1,06152

5

1,00

1,00

0,00

1,05101

3

1,00

1,00

0,00

1,03030

2

1,00

1,00

0,00

1,02010

1

1,00

1,00

0,00

1,01000

Soma

8,42162

187


Se chamarmos de x o valor de cada um desses oito depósitos, podemos escrever: $10.000,00 x (8,42162) que fornece x $1.187,42 para o valor dos depósitos mensais. 11. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado num prazo de quatro anos. A 1a prestação tem um valor de $2.700,00, e seu pagamento deve ocorrer no final do 1o ano. As outras três prestações anuais devem ter um crescimento linear em relação à 1a prestação, fazendo com que as quatro prestações formem uma programação aritmética crescente. Calcule o valor das prestações anuais sabendo-se que a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 8% ao ano. FIGURA 8.10

PV $10.000,00

ia 8% a.a.

3x 2x

x $2.700,00

0

$2.700,00

3

2

1

$2.700,00

$2.700,00 Anos

4

Solução: Inicialmente, devemos calcular o valor presente das quatro parcelas anuais de $2.700,00, com a seguinte operação:

n

i

PV

PMT

FV

4

8,00

8.942,74

2.700,00

0,00

que fornece o valor presente de $8.942,74. Assim, o valor presente que deve corresponder às parcelas x, 2x e 3x deve ser igual a: PVX $10.000,00 $8.942,74 $1.057,26 Vamos, agora, assumir que x $1,00 e descontar as parcelas de $1,00 no final do 2o ano, $2,00 no final do 3o ano e $3,00 no final do 4o ano, com as operações a seguir indicadas:

188


n

i

PV

PMT

2

8,00

0,85734

0,00

1,00

3

8,00

1,58766

0,00

2,00

4

8,00

2,20509

0,00

3,00

Soma

FV

4,65009

Podemos então escrever a equação do valor presente para as parcelas linearmente crescentes: PVX $1.057,26 x (4,65009) que fornece x $227,36, e portanto temos: Prestação do 1o ano $2.700,00 Prestação do 2o ano $2.700,00 $227,36 1 $2.927,36 Prestação do 3o ano $2.700,00 $227,36 2 $3.154,72 Prestação do 4o ano $2.700,00 $227,36 3 $3.382,08

8.4. Conclusão O conceito de equivalência de fluxo de caixa utilizado na tomada de decisão de investimentos foi desenvolvido ao longo do capítulo com exemplos de planos de financiamento, especialmente o Modelo Price e SAC, comumente usados no mercado financeiro. Fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa de juros, se seus valores presentes, calculados com essa mesma taxa de juros, forem iguais. Assim, a equivalência representa o ponto de indiferença entre dois fluxos de caixa. Tanto faz realizar o investimento A ou investimento B se seus valores presentes forem iguais. A questão focal é que essa equivalência, e, portanto, a igualdade de valores presentes, depende necessariamente da taxa de juros usada para descontar os fluxos de caixa, a fim de obter seus valores presentes. Assim, se dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa de juros, essa equivalência deixará de existir se a taxa de juros for alterada. Lembramos, finalmente, que a equivalência deve ser analisada no regime de juros compostos e que pode ser verificada no final de qualquer período n, desde que o período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos de caixa envolvidos.


189

8.5. Problemas Propostos Assuma em todos os problemas o ano comercial com 360 dias. 1. Verifique se os fluxos de caixa A e B, indicados na tabela a seguir, são equivalentes a uma taxa de 1,0% ao mês, no regime de juros compostos. Mês

Fluxo A ($)

Fluxo B ($)

0

–

–

1

–

–

2

208,10

250,00

3

208,10

–

4

208,10

250,00

5

208,10

200,00

6

208,10

344,34

1.040,50

1.044,34

Soma

2. Calcule o valor da parcela x que faz com que os dois fluxos de caixa indicados na tabela a seguir sejam equivalentes, a uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Mês

Fluxo A ($)

Fluxo B ($)

0

–

–

1

500,00

–

2

500,00

400,00

3

500,00

x

4

500,00

600,00

5

500,00

600,00

6

500,00

900,00

Soma

3.000,00

2.500,00 x

190


3. Um Plano de Pagamentos para um financiamento de $1.000,00, num prazo de cinco anos, com a taxa de juros de 10 % ao ano, obedece os seguintes critérios: a) os juros de cada ano são calculados sobre o saldo devedor do início do ano, imediatamente após o pagamento da prestação do ano anterior; b) a prestação de cada um dos cinco anos é obtida pela divisão do saldo devedor no final do respectivo ano (imediatamente antes do pagamento da prestação que está sendo calculada) pelo número de prestações que ainda faltam ser pagas (inclusive a prestação em questão); Em relação a esse Plano de Pagamentos: a) calcule as cinco prestações anuais e verifique se elas são crescentes numa progressão geométrica com uma razão igual 1,10 (1 + taxa de juros). b) obtenha o valor das cinco amortizações anuais. 4. Uma instituição financeira está elaborando os cálculos de seus financiamentos e deseja que a taxa efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos, seja mantida em todas as suas operações. Assuma que os meses têm 30 dias e que o financiamento de um principal de $10.000,00 deve ser amortizado no prazo de 10 meses, e calcule: a) o valor das prestações mensais, iguais e sucessivas (modelo Price, série postecipada); b) o valor das prestações mensais segundo o sistema de amortizações constantes. 5. Um empréstimo de $100.000,00 é realizado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos, e deve ser amortizado pelo sistema de amortizações constantes, no prazo de 10 anos com os dois primeiros anos de carência. Obtenha o fluxo de caixa desse empréstimo nas seguintes hipóteses: a) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência são pagos no final de cada ano; b) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência não são pagos, e sim capitalizados. 6. Uma instituição financeira oferece a seus clientes os seguintes planos equivalentes de financiamento: a) plano mensal sem carência: 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, com o pagamento da 1a prestação ocorrendo 30 dias após a liberação dos recursos; b) plano mensal com carência: nove prestações mensais, iguais e sucessivas, com o pagamento da 1a prestação ocorrendo 120 dias após a liberação dos recursos; c) plano semestral: duas prestações semestrais, de mesmo valor, cujos pagamentos ocorrem no final do 6o mês e do 12o mês, a contar da liberação dos recursos. Sabendo-se que essa instituição financeira opera com uma taxa efetiva de 1% ao mês, a juros compostos, calcule os valores das prestações desses três planos para um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00.


191

7. Uma instituição financeira realiza seus empréstimos a juros compostos, com uma taxa efetiva de 1,4% ao mês, e as operações podem ser liquidadas com duas modalidades de pagamentos: a) em 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, ocorrendo a 1a prestação 30 dias após a liberação dos recursos; b) em quatro parcelas semestrais, iguais e sucessivas, ocorrendo a 1a parcela 180 dias após a liberação dos recursos. Calcule o valor das prestações mensais e das parcelas semestrais para um financiamento cujo principal é de $50.000,00, de tal forma que as duas modalidades de pagamentos sejam equivalentes na taxa oferecida pela instituição financeira. Assuma os meses com 30 dias. 8. Um terreno com um valor à vista de $50.000,00 está sendo financiado num prazo de dois anos, mediante o pagamento de 24 prestações mensais e, adicionalmente, mais duas parcelas anuais de mesmo valor. Esses pagamentos têm as seguintes características: a) as prestações mensais são sucessivas e iguais a $1.500,00, ocorrendo a 1a prestação 30 dias após a venda do terreno; b) as duas parcelas anuais, de mesmo valor, devem ser pagas no final do 12o mês e do 24o mês, a contar da venda do terreno. Assuma os meses com 30 dias e calcule o valor das parcelas anuais para que a taxa efetiva do financiamento seja de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. 9. Um banco de investimentos está elaborando os programas para os cálculos de seus financiamentos e deseja que a taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos, seja mantida em todas as operações. Considere que os financiamentos devem ser amortizados no prazo de dois anos e que a 1a prestação tem vencimento 30 dias após a liberação dos recursos. Assuma um financiamento com um principal de $10.000,00 e determine: a) o valor de cada uma das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas; b) para quanto será reduzido o valor da prestação mensal se no final de cada trimestre for paga uma parcela intermediária de $1.000,00, adicionalmente ao valor da prestação mensal correspondente; c) o valor da parcela intermediária trimestral, se a prestação mensal for fixada em $300,00. 10.Um banco de investimentos financia apenas 80% do valor à vista de qualquer equipamento e cobra juros compostos efetivos de 1% ao mês. Um empresário deseja comprar um equipamento no valor de $25.000,00 e, portanto, pode se

192


habilitar num financiamento de $20.000,00, para ser amortizado no prazo de um ano. Assuma o ano comercial com 360 dias e determine: a) o valor das 12 prestações mensais, sabendo-se que a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos; b) para que valor deve ser reduzida essa prestação mensal se o banco aceitar o pagamento de duas parcelas intermediárias de $5.000,00, sendo a 1a parcela no final do 3o mês e a 2a parcela no final do 9o mês, a contar da liberação dos recursos. Observe que nesses dois meses serão efetuados os pagamentos da prestação mensal e também da parcela intermediária de $5.000,00; c) repita os cálculos do item b na hipótese de as parcelas intermediárias de $5.000,00 já incluírem as respectivas prestações mensais do 3o mês e do 9o mês. 11.Um financiamento cujo principal é igual a $100.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, e de mais duas parcelas intermediárias semestrais, adicionais aos pagamentos das prestações mensais. Assuma os meses com 30 dias e obtenha o fluxo de caixa desse financiamento, sabendo-se que: a) a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,4% ao mês; b) a 1a prestação mensal ocorre 30 dias após a liberação do principal; c) as parcelas intermediárias semestrais, que ocorrem no final do 6o mês e do 12o mês, a contar da liberação dos recursos, têm um valor igual a duas vezes o valor da prestação mensal. 12. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de oito prestações mensais, iguais e sucessivas, e de mais uma parcela intermediária adicional, a ser paga no final do 3o mês a contar da liberação dos recursos. Obtenha o fluxo de caixa desse financiamento, sabendo-se que: a) a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos; b) a 1a prestação mensal ocorre 30 dias após a liberação dos recursos; c) a parcela intermediária é três vezes maior do que o valor da prestação mensal. 13.Um financiamento cujo principal é igual a $100.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de nove prestações mensais, ocorrendo a 1a prestação 30 dias após a liberação do principal. As três primeiras prestações mensais são iguais a $10.000,00, e as três prestações mensais seguintes são iguais a $12.000,00. As últimas três prestações devem ter valores iguais. Calcule o valor dessas últimas três prestações mensais, sabendo-se que a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,3% ao mês, no regime de juros compostos.


193

14.Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de duas parcelas, uma no final do 1o mês e outra no final do 4o mês, a contar da liberação dos recursos. Calcule o valor desses pagamentos sabendo-se que a segunda parcela é quatro vezes maior do que a primeira, e que a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. 15.Um financiamento cujo principal é igual a $30.000,00 deve ser liquidado num prazo de quatro anos. A 1a prestação tem um valor de $10.000,00, e seu pagamento deve ocorrer no final do 1o ano. As outras três prestações anuais devem ser linearmente decrescentes em relação à 1a prestação, fazendo com que as quatro prestações formem uma progressão aritmética decrescente. Calcule o valor das prestações anuais sabendo-se que a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 8% ao ano.

Capítulo

9 9.1.

Fluxos de Caixa Não Homogêneos

Introdução

O objetivo deste capítulo é mostrar a metodologia que deve ser usada no tratamento de fluxos de caixa não homogêneos, isto é, de fluxos de caixa cujos valores são distintos entre si e que não apresentam nenhuma lei de formação que permita uma simplificação do cálculo do valor presente líquido pelo uso da função PMT apresentada no Simulador da HP-12C. A solução para esse tipo de problema se dá com o desconto individual de cada parcela que compõe o fluxo de caixa. No Capítulo 7, a solução desse problema foi apresentada com o auxílio do Simulador da HP-12C, que foi utilizado para descontar individualmente cada parcela futura (FV) e obter seu correspondente valor presente (PV). O valor presente do fluxo de caixa, por definição, é igual à soma dos valores presentes de suas parcelas futuras. Neste capítulo, vamos mostrar, por exemplos, o uso das funções especiais NPV (net present value) e IRR (internal rate of return) da HP-12C e das funções VPL (valor presente líquido) e TIR (taxa interna de retorno) da Planilha Excel, que servem para calcular, respectivamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa não homogêneos. Mostraremos, ainda, o uso das funções especiais XVPL e XTIR da Planilha Excel, que servem para calcular, respectivamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa não homogêneos, que são registrados na Planilha Excel mediante informação da data e respectivo valor de cada uma de suas parcelas. A leitura prévia dos Apêndices A e B, onde estão apresentadas as operações básicas da HP-12C e do Excel, é recomendável para o pleno entendimento deste capítulo.

196

9.2.


Expressão Genérica do Valor Presente Líquido

A Figura 9.1 mostra um fluxo de caixa genérico, ao longo dos n períodos da escala de tempo: FIGURA 9.1

Um fluxo de caixa genérico

CF0

CFn

CF2 CF1 i

0

i 1

2

i

i

i 3

...

n

em que: CF0 – parcela do fluxo de caixa no ponto 0 (Cash Flow no ponto 0) CF1 – parcela do fluxo de caixa no ponto 1 (Cash Flow no ponto 1) CF2 – parcela do fluxo de caixa no ponto 2 (Cash Flow no ponto 2) ..... CFn – parcela do fluxo de caixa no ponto n (Cash Flow no ponto n) Vamos sempre chamar de CF0 a parcela do fluxo de caixa colocada no ponto zero da escala de tempo. Essa parcela normalmente corresponde ao investimento inicial e, nesse caso, tem sinal negativo (), por representar um desembolso, ou seja, uma saída de caixa. Vamos sempre chamar genericamente de CFj qualquer parcela do fluxo de caixa que ocorrer a partir do final do 1o período até o final do último período (n). O valor presente líquido desse fluxo de caixa, para uma determinada taxa de desconto i, tem a seguinte expressão genérica: VPL (i%) CF0 CF1 x CF2 x2 . . . CFn xn

(9.1)

que corresponde a um polinômio de grau n, em que temos: 1 x⫽ 1⫹i O valor presente líquido de qualquer fluxo de caixa, para qualquer taxa de desconto i, é obtido pela função NPV da HP-12C e pela função VPL do Excel, bastando que ele previamente seja registrado pelos seus coeficientes CF0 e CFj. A taxa interna de retorno do fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz com que o valor presente líquido seja igual a zero. Essa condição, colocada na Equação (9.1), fornece: VPL (TIR%) CF0 CF1 x CF2 x2 . . . CFn xn 0

(9.2)

Assim, a taxa interna de retorno do fluxo de caixa corresponde a uma das n raízes da Equação (9.2) de grau n. As únicas raízes que têm sentido econômico são as que correspondem a valores reais positivos.

Ca p í t u l o 9 – F l u xos de Caixa Não H omogên eos

197

A regra de sinal de Descartes garante que os polinômios com apenas uma variação de sinal em seus coeficientes têm apenas uma raiz real positiva. A taxa interna de retorno de qualquer fluxo de caixa é obtida pela função IRR da HP-12C e pela função TIR do Excel, bastando que ele previamente seja registrado pelos seus coeficientes CF0 e CFj.

9.3. Utilização da Calculadora HP-12C 9.3.1. Funções Financeiras NPV e IRR As funções financeiras NPV e IRR da HP-12C servem para calcular o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa que tenham sido previamente registrados na calculadora por meio das seguintes funções: CF0 : para registrar o fluxo de caixa do ponto zero CFj : para registrar o fluxo de caixa de um ponto genérico j ( j = 1,2, ..., n) Nj : para registrar o número de parcelas individuais CFj de mesmo valor e repetidas sequencialmente As funções financeiras NPV e IRR exigem que os fluxos de caixa sejam informados de forma sequencial, sendo indispensável o registro de todas as parcelas do fluxo, inclusive as que tiverem valor igual a zero. Recomendamos a leitura do Apêndice A, que apresenta, em detalhes, todas as funções financeiras dessa calculadora. 9.3.2.

Exemplos Numéricos

1. Considere o fluxo de caixa indicado a seguir, que é o mesmo do Problema 5 da Seção 7.3.2 do Capítulo 7. TABELA 9.1 Ano

Valor ($)

0

() 11.500,00

1

() 2.350,00

2

() 1.390,00

3

() 3.350,00

4

() 4.275,00

5

() 5.350,00

Soma

() 5.215,00

198


Calcule: a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 10,00% ao ano e 12,00% ao ano; b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano. Solução: Inicialmente, devemos registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguintes operações: f REG (limpeza dos registros) 11500 CHS g CF0 (parcela do ano 0 ()$11.500,00) 2350 g CFj (parcela do ano 1 $2.350,00) 1390 g CFj (parcela do ano 2 $1.390,00) 3350 g CFj (parcela do ano 3 $3.350,00) 4275 g CFj (parcela do ano 4 $4.275,00) 5350 g CFj (parcela do ano 5 $5.350,00) Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo do valor presente líquido com o auxílio da função NPV, para diversas taxas de desconto, conforme indicado a seguir: a) cálculo do valor presente líquido 0 i (taxa de desconto de 0,00% a.a.) f NPV (NPV $5.215,00 soma das parcelas) 10

i f

NPV

(taxa de desconto de 10,00% a.a.) (NPV () $543,84)

12

i (taxa de desconto de 12,00% a.a.) f NPV (NPV () $156,65) O fluxo de caixa continua registrado na HP-12C, sem qualquer alteração, e podemos calcular sua taxa interna de retorno com a função IRR, conforme indicado a seguir: b) cálculo da taxa interna de retorno, em % ao ano f

IRR

(IRR 11,537% ao ano)

Compare os resultados aqui obtidos com aqueles apresentados no Problema 5 da Seção 7.3.2 do Capítulo 7, com o auxílio do Simulador da HP-12C. Ressaltamos os seguintes pontos: r IPVWF BQFOBT VNB JOWFSTÈP EF TJOBM OPT WBMPSFT EP áVYP EF DBJYB RVF TÈP os coeficientes da equação do valor presente líquido. Essa inversão ocorreu na passagem do coeficiente CF0 ( $11.500,00) para o coeficiente CF1 ( $2.350,00). Temos, então, uma única raiz real positiva, que corresponde a 11,537% ao ano;


199

r PWBMPSQSFTFOUFMÎRVJEPQBSB DPSSFTQPOEFÆTPNBBMHÊCSJDBEFUPEBT as parcelas do fluxo de caixa. Esse cálculo serve para verificar se os valores do fluxo de caixa estão registrados corretamente na calculadora. r PTWBMPSFTEPáVYPEFDBJYB$' $' $' TÈPBSNB[FOBEPTSFTQFDUJWBmente nas memórias 0, 1, 2, etc. e podem ser revistos a qualquer tempo com a ajuda da tecla RCL. Para isso basta acionar a tecla RCL e em seguida o número da memória que contém o valor a ser revisto. Exemplo: RCL 0 traz para o visor da HP-12C o conteúdo da memória 0 ( (-) $11.500,00)). RCL 4 traz para o visor o conteúdo da memória 4 ($4.275,00).

2. Considere o fluxo de caixa indicado na Tabela 9.2: TABELA 9.2 Mês

Valor ($)

0

() 30.000,00

1

0,00

2

() 10.350,00

3

0,00

4

() 10.350,00

5

0,00

6

() 10.350,00

Soma

() 1.050,00

Calcule: a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 0,50% ao mês e 1,00% ao mês; b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao mês. Solução: Inicialmente, devemos registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguintes operações: f REG (limpeza dos registros) (parcela do mês 0 ()$30.000,00) 30000 CHS g CF0 (parcela do mês 1 $0,00) 0 g CFj (parcela do mês 2 $10.350,00) 10350 g CFj (parcela do mês 3 $0,00) 0 g CFj (parcela do mês 4 $10.350,00) 10350 g CFj (parcela do mês 5 $0,00) 0 g CFj (parcela do mês 6 $10.350,00) 10350 g CFj

200


Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo do valor presente líquido com o auxílio da função NPV, para diversas taxas de desconto, conforme indicado a seguir: a) cálculo do valor presente líquido 0 i (taxa de desconto de 0,00%) f NPV (NPV $1.050,00 soma das parcelas) 0,50

i f

NPV

(taxa de desconto de 0,50% a.m.) (NPV () $437,70)

1,00

i (taxa de desconto de 1,00% a.m.) f NPV (NPV () $157,62) A taxa interna de retorno pode ser calculada com a função IRR, conforme indicado a seguir: b) cálculo da taxa interna de retorno, em % ao mês f

IRR

(IRR 0,866% ao mês)

Ressaltamos os seguintes pontos: r IPVWFBQFOBTVNBJOWFSTÈPEFTJOBMOPTWBMPSFTEPáVYPEFDBJYB PRVFBTTFgura a existência de apenas uma raiz real positiva, que corresponde a 0,866% ao mês; r B)1$SFHJTUSBPTWBMPSFTEPáVYPEFDBJYBOBPSEFNTFRVFODJBMEFFOUSBEB de suas parcelas. Assim, os valores que são iguais a zero também devem ser registrados, para que seja mantida a sequência da entrada dos dados.

3. Considere o fluxo de caixa indicado a seguir: TABELA 9.3 Ano

Valor ($)

0

() 40.000,00

1

() 3.500,00

2

() 7.500,00

3

() 7.500,00

4

() 7.500,00

5

() 15.000,00

6

() 15.000,00

Soma

() 16.000,00


201

Calcule inicialmente: a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 8,00% ao ano e 9,00% ao ano; b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano. Altere o valor do investimento inicial de () $40.000,00 para () $38.000,00 e calcule: c) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 9,00% ao ano e 10,00% ao ano; d) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano. Solução: Inicialmente, devemos registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguintes operações: f REG (limpeza dos registros) (parcela do ano 0 ()$40.000,00) 40000 CHS g CF0 (parcela do ano 1 $3.500,00) 3500 g CFj (parcela do ano 2 $7.500,00) 7500 g CFj (repetir $7.500,00 três vezes) 3 g Nj (parcela do ano 5 $15.000,00) 15000 g CFj (repetir $15.000,00 duas vezes) 2 g Nj Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C podemos fazer o cálculo do valor presente líquido com o auxílio da função NPV, para diversas taxas de desconto, conforme indicado a seguir: a) cálculo do valor presente líquido 0

i f

NPV

(taxa de desconto de 0,00%) (NPV $16.000,00 soma das parcelas)

8

i f

(taxa de desconto de 8,00% a.a.) NPV (NPV () $798,54)

9

i f

(taxa de desconto de 9,00% a.a.) (NPV () $678,84)

NPV

b) cálculo da taxa interna de retorno, em % ao ano f IRR (IRR 8,534% ao ano) O valor do investimento inicial (CF0) é guardado na memória 0 (zero) e pode ser alterado para $38.000,00 com as seguintes operações: 38000 CHS STO 0 (()$38.000,00 registrado na memória 0) Podemos, agora, realizar os cálculos do valor presente líquido e da taxa interna de retorno, conforme indicado a seguir: c) cálculo do valor presente líquido 0 i (taxa de desconto de 0,00%) f NPV (NPV $18.000,00 soma das parcelas)

202


9

i f

NPV

(taxa de desconto de 9,00% a.a.) (NPV () $1.321,16)

10

i (taxa de desconto de 10,00% a.a.) f NPV (NPV () $81,14) d) cálculo da taxa interna de retorno, em % ao ano f

IRR

(IRR 9,941% ao ano)

Ressaltamos os seguintes pontos :

r GPJVUJMJ[BEBBGVOÉÈP/KQBSBJOUSPEV[JSOB)1$BTQBSDFMBTJOEJWJEVBJTEF mesmo valor, o que facilita a entrada dos valores do fluxo de caixa na calculadora; r PVTPEBGVOÉÈP/K FOUSFUBOUP EJàDVMUBBSFWJTÈPFBMUFSBÉÈPEPTWBMPSFTEP fluxo de caixa, pois deixa de existir a relação direta entre o número da memória e o número do período. O Apêndice A mostra como rever os valores do fluxo de caixa com tecla RCL nesse caso. r PWBMPSQSFTFOUFMÎRVJEPQBSB TFNQSFDPSSFTQPOEFÆTPNBBMHÊCSJDBEBT parcelas do fluxo de caixa, e serve portanto para verificar se o fluxo de caixa foi corretamente introduzido na calculadora.

4. Um título é emitido pelo prazo de um ano, com um valor de $100.000,00, e paga cupons trimestrais de juros com uma taxa efetiva de 12% ao ano, no regime de juros compostos. Considerando o ano com quatro trimestres de 90 dias, calcule: a) o valor dos cupons que será pago no final de cada um dos quatro trimestres; b) o percentual de deságio no preço de emissão de $100.000,00, para que os investidores tenham uma rentabilidade efetiva de 13% ao ano, no caso de realizarem a compra na data da emissão e conservarem o título até seu vencimento, no final de um ano; c) a rentabilidade efetiva, em % ao ano, dos investidores que comprarem esse título, na data de emissão, com um deságio de 1,5% e o conservarem até seu vencimento, no final de um ano. Solução: a) valor dos cupons trimestrais de juros Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 12% ao ano, com as operações indicadas a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

4

2,873734

100.000,00

0,00

112.000,00

que fornece a taxa de 2,873734% ao trimestre.


203

Assim, o valor dos cupons trimestrais de juros é igual a: $100.000,00 2,873734% $2.873,73 O fluxo de caixa desse título por ocasião de sua emissão é, portanto, o que se segue: TABELA 9.4 Trimestre

Valor ($)

0

() 100.000,00

1

() 2.873,73

2

() 2.873,73

3

() 2.873,73

4

() 102.873,73

Soma

$11.494,92

b) percentual de deságio para rentabilidade de 13% ao ano Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 13% ao ano, com as operações indicadas a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

4

3,102598

100.000,00

0,00

113.000,00

que fornece a taxa de 3,102598% ao trimestre. O registro do fluxo de caixa na HP-12C é feito com as seguintes operações: f

REG

(limpeza dos registros)

0

g

CF0

(parcela do trimestre 0 $0,00)

2873,73

g

CFj

(parcela do trimestre 1 $2.873,73)

3

g

Nj

(repetir $2.873,73 três vezes)

(parcela do trimestre 4 $102.873,73) 102873,73 g CFj Observe que o valor de CF0 foi colocado como sendo igual a zero para que o valor presente líquido do fluxo de caixa (NPV) represente o preço de venda do título para a taxa de desconto desejada. Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo do valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 3,102598% ao trimestre, conforme indicado a seguir:

204


3,102598

i f

NPV

(taxa de desconto de 3,102598% a.t.) (NPV $99.151,36)

Assim, para se obter a taxa de 13% ao ano, que é equivalente a 3,102598% ao trimestre, é necessário que o preço de venda seja igual a $99.151,36, e, portanto, o percentual de deságio sobre o preço de emissão de $100.000,00 é obtido pela relação a seguir: % de deságio ⫽

$100.000,00 ⫺ $99.151,36 ⫽ 0,849% $100.000,00

c) rentabilidade efetiva anual para deságio de 1,5% Com o deságio de 1,5% o preço de venda do título é obtido pela relação: Preço de venda $100.000,00 $100.000,00 1,5% $98.500,00 Como o fluxo de caixa do título já está registrado na HP-12C, temos apenas de introduzir o valor de $98.500,00 para o preço de venda, conforme indicado a seguir: 98500 CHS

STO

0

(()$98.500,00 registrado na memória 0)

Podemos, agora, realizar o cálculo da taxa interna de retorno, conforme indicado a seguir: f

IRR

(IRR 3,279976% ao trimestre)

A taxa efetiva anual equivalente a 3,279976% ao trimestre é obtida como se segue:

n

i

PV

PMT

FV

4

3,279976

100.000,00

0,00

113.779,629

que fornece a rentabilidade efetiva de 13,779629% ao ano. 5. Um veículo, com o valor à vista de $20.600,00, é vendido a prazo, no dia 1o de março, com três pagamentos mensais, sucessivos e iguais a $7.000,00, que devem ser efetuados a partir do 30o dia da data da venda. Cada prestação vence 30 dias após a prestação anterior. Determine: a) o fluxo de caixa do financiador; b) a taxa de juros diária, que é equivalente à taxa de 9% ao ano, considerando o ano com 365 dias; c) a taxa de juros mensal, que é equivalente à taxa diária do item b, considerando o mês com 30 dias;


205

d) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, por meio do desconto individual de cada prestação, usando o Simulador da HP-12C e a taxa diária obtida no item b; e) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função PMT do Simulador da HP-12C, e a taxa mensal obtida no item c. Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no item d; f) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função NPV da HP-12C, com a taxa mensal obtida no item c. Verifique que esse resultado é idêntico aos obtidos nos itens d e e; g) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao mês, usando a função i do Simulador da HP-12C; h) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao mês, usando a função IRR da HP-12C. Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no item g; i) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função NPV da HP-12C, com a taxa diária obtida no item b. Verifique que esse resultado é idêntico aos obtidos nos itens d, e e f; j) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C; l) a taxa interna de retorno, em % ao mês, que é equivalente à taxa diária obtida no item j, assumindo o mês com 30 dias. Verifique que o resultado obtido coincide com a taxa mensal obtida nos itens g e h; m) a taxa interna de retorno, em % ao ano, que é equivalente à taxa diária obtida no item j, assumindo o ano com 365 dias. Solução: a) fluxo de caixa do financiador O fluxo de caixa do financiador está indicado na Tabela 9.5: TABELA 9.5 Datas

Dia

Mês

1o de março

0

0

() 20.600,00

31 de março

30

1

() 7.000,00

30 de abril

60

2

() 7.000,00

30 de maio

90

3

() 7.000,00

Soma

Valor ($)

()

400,00

206


Observe que, como as prestações ocorrem a cada 30 dias, podemos também realizar os cálculos com os períodos medidos em meses, e usar a taxa mensal equivalente à taxa fornecida. Dessa forma, enquadramos o problema nas condições adotadas pelas funções NPV e IRR da HP-12C. Com a taxa mensal, podemos, ainda, considerar as três prestações de $7.000,00 como um parâmetro PMT no Simulador da HP-12C; b) taxa de juros diária equivalente a 9% a.a., assumindo o ano com 365 dias Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

365

0,02361312

100,00

0,00

109,00

que fornece a taxa de 0,02361312% ao dia; c) taxa de juros mensal equivalente à taxa diária do item b Para calcularmos essa taxa mensal, devemos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

30

0,02361312

100,00

0,00

100,7108244

que fornece a taxa de 0,7108244% ao mês; d) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 – desconto individual das parcelas com taxa diária do item b Os dados para o desconto individual das prestações mensais de $7.000,00, usando a taxa de 0,02361312% ao dia, estão indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

30

0,02361312

6.950,59

0,00

7.000,00

60

0,02361312

6.901,54

0,00

7.000,00

90

0,02361312

6.852,82

0,00

7.000,00

Soma

20.704,95

que fornece o valor presente de $20.704,95;


207

e) valor presente das três prestações mensais de $7.000,00 – desconto com função PMT e taxa mensal do item c Nesse caso, os dados, com a taxa de juros de 0,7108244% ao mês, estão indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

3

0,7108244

20.704,95

7.000,00

0,00

que fornece o valor presente de $20.704,95, idêntico ao obtido no item d; f) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 – desconto com função NPV e taxa mensal do item c Devemos, inicialmente, registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguintes operações: f

REG


0

g

CF0

(parcela do mês 0 $0,00)

7000

g

CFj

(parcela do mês 1 $7.000,00)

3

g

Nj

(repetir $7.000,00 três vezes)

Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo do valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 0,7108244% ao mês, conforme indicado a seguir: 0,7108244

i f

(taxa de desconto de 0,7108244% a.m.) NPV

(NPV $20.704,95)

que fornece o valor presente de $20.704,95, idêntico aos obtidos nos itens d e e; g) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função i do Simulador da HP-12C. Devemos entrar com os dados indicados a seguir:

n 3

i

PV

0,96776693 20.600,00

PMT

FV

7.000,00

0,00

que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês;

208


h) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função IRR da HP-12C Devemos, inicialmente, registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguintes operações: f REG (limpeza dos registros) (parcela do mês 0 () $20.600,00) 20600 CHS g CF0 7000 g CFj (parcela do mês 1 $7.000,00) (repetir $7.000,00 três vezes) 3 g Nj Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo da taxa interna de retorno, em % ao mês, com o auxílio da função IRR, conforme indicado a seguir: f IRR (IRR 0,96776693% ao mês) que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês, idêntica à obtida no item g. i) valor presente das prestações mensais de $7.000,00, pela função NPV da HP-12C, com a taxa diária obtida no item b Para usarmos a função NPV com os períodos medidos em dias precisamos de um artifício simples, que consiste em colocar zeros entre as parcelas do fluxo de caixa, conforme indicado a seguir. Dessa forma, devemos, inicialmente, registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguintes operações: f REG (limpeza dos registros) 0 g CF0 (parcela do dia 0 $0,00) (parcela do dia 1 $0,00) 0 g CFj (repetir $0,00 29 vezes) 29 g Nj 7000 g CFj (parcela do dia 30 $7.000,00) (parcela do dia 31 $0,00) 0 g CFj 29 g Nj (repetir $0,00 29 vezes) (parcela do dia 60 $7.000,00) 7000 g CFj 0 g CFj (parcela do dia 61 $0,00) 29 g Nj (repetir $0,00 29 vezes) (parcela do dia 90 $7.000,00) 7000 g CFj Com o fluxo de caixa registrado com esse artifício, podemos fazer o cálculo do valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 0,02361312% ao dia, conforme indicado a seguir: 0,02361312 i f

(taxa de desconto de 0,02361312% a.d.) NPV

(NPV $20.704,95)

que fornece o valor presente de $20.704,94, idêntico aos valores obtidos nos itens d, e e f;


209

j) taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C Com o fluxo de caixa já registrado com os períodos medidos em dias, precisamos introduzir o valor da parcela inicial de () $20.600,00 e acionar a função IRR, conforme indicado a seguir: 20600 CHS

STO f

0

(() $20.600,00 para CF0 na memória 0)

IRR

(IRR 0,032108956% ao dia)

que fornece a taxa interna de retorno de 0,032108956% ao dia. l) taxa interna de retorno, em % ao mês, equivalente à taxa diária do item j Devemos entrar com os dados indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

30

0,032108956

100,00

0,00

100,96776693

que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês, idêntica às obtidas nos itens g e h; m) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item j, assumindo o ano com 365 dias Devemos entrar com os dados indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

365

0,032108956

100,00

0,00

112,4320528

que fornece a taxa interna de retorno de 12,4320528% ao ano, assumindo o ano com 365 dias. 6. Um veículo, com o valor à vista de $20.600,00, é vendido a prazo, no dia 1o de março, com três pagamentos mensais, sucessivos e iguais a $7.000,00, que devem ser efetuados no dia 1o de cada mês subsequente à venda. Determine: a) o fluxo de caixa do financiador; b) a taxa de juros diária, que é equivalente à taxa de 9% ao ano, assumindo o ano com 365 dias; c) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pelo desconto individual de cada prestação, usando o Simulador da HP-12C, e a taxa diária obtida no item b;

210


d) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função NPV da HP-12C, com a taxa diária obtida no item b. Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no item c; e) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C; f) a taxa interna de retorno, em % ao ano, que é equivalente à taxa diária obtida no item e, assumindo o ano com 365 dias. Solução: a) fluxo de caixa do financiador O fluxo de caixa do financiador está indicado no quadro a seguir: TABELA 9.6 Datas

Dia

Valor ($)

1o de março

0

() 20.600,00

1o de abril

31

() 7.000,00

1o de maio

61

() 7.000,00

1o de junho

92

() 7.000,00

Soma

() 400,00

Observe que, como as prestações não ocorrem a cada 30 dias, não podemos realizar os cálculos com os períodos medidos em meses, e consequentemente as prestações não podem ser consideradas um parâmetro PMT no Simulador da HP-12C. Da mesma forma, para podermos usar as funções NPV e IRR da HP-12C, precisamos realizar os cálculos com os períodos, necessariamente, medidos em dias, e com a taxa de juros diária equivalente à taxa anual. Isso significa que temos necessariamente de usar o artifício de preencher com zeros os intervalos entre as parcelas do fluxo de caixa, como mostrado anteriormente; b) taxa de juros diária equivalente à taxa de 9% ao ano, assumindo o ano com 365 dias Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

365

0,02361312

100,00

0,00

109,00

que fornece a taxa de 0,02361312% ao dia;


211

c) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 – desconto individual das parcelas com taxa diária do item b Os dados para o desconto individual das prestações mensais de $7.000,00, usando a taxa de 0,02361312% ao dia, estão indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

31

0,02361312

6.948,95

0,00

7.000,00

61

0,02361312

6.899,91

0,00

7.000,00

92

0,02361312

6.849,59

0,00

7.000,00

Soma

20.698,45

que fornece o valor presente de $20.698,45; O desconto individual das parcelas com o Simulador da HP-12C também pode ser realizado usando o n como fração de ano (365 dias) e a taxa anual de 9%, conforme mostrado nos Problemas 11 e 12 da Seção 4.4 do Capítulo 4. O leitor poderá realizar essas operações e verificar que os resultados são idênticos aos obtidos acima, com a taxa diária equivalente a 9% ao ano e com o número de dias para cada parcela. d) valor presente das prestações mensais de $7.000,00, através da função NPV da HP-12C, com a taxa diária obtida no item b Para utilizarmos a taxa diária devemos, inicialmente, registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguintes operações: f

REG


0

g

CF0

(parcela do dia 0 $0,00)

0

g

CFj


30

g

Nj

(repetir $0,00 30 vezes)

7000

g

CFj

(parcela do dia 31 $7.000,00)

0

g

CFj


29

g

Nj


7000

g

CFj

(parcela do dia 61 $7.000,00)

0

g

CFj


30

g

Nj


(parcela do dia 92 $7.000,00) 7000 g CFj Com o fluxo de caixa assim registrado, podemos fazer o cálculo do valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 0,02361312% ao dia, conforme indicado a seguir:

212


0,02361312 i f

NPV

(taxa de desconto de 0,02361312% a.d.) (NPV $20.698,45)

que fornece o valor presente de $20.698,45, idêntico ao valor obtido no item c; e) taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C Com o fluxo de caixa já registrado na HP-12C, precisamos, inicialmente, introduzir o valor da parcela inicial de ()$20.600,00, antes de acionar a função IRR, conforme indicado a seguir: 20600 CHS STO

0 f

IRR

(() $20.600,00 para CF0 na memória 0) (IRR 0,031410279% ao dia)

que fornece a taxa interna de retorno de 0,031410279% ao dia; f) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item e, assumindo o ano com 365 dias Para calcularmos essa taxa anual, devemos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

365

0,031410279

100,00

0,00

112,145788

que fornece a taxa de 12,145788% ao ano. 7. Um título é emitido no dia 1o de janeiro, pelo prazo de um ano, com um valor de $10.000,00 e paga juros semestralmente, nos dias 1o de julho do mesmo ano e 1o de janeiro do ano seguinte, de acordo com os dias efetivos de cada semestre. A taxa efetiva de remuneração desse título é de 8% ao ano, no regime de juros compostos, considerando o ano com 360 dias. Calcule: a) a taxa diária que é equivalente a 8% ao ano, assumindo o ano com 360 dias; b) o valor dos juros do cupom semestral, a ser pago no final do 1o semestre, usando a taxa diária do item a; c) o valor dos juros do cupom semestral, a ser pago no final do 2o semestre, usando a taxa diária do item a; d) a rentabilidade efetiva, em % ao dia, dos investidores que comprarem esse título, na data da emissão, com um deságio de 2% e o conservarem até seu vencimento, no final de um ano, usando a função IRR da HP-12C; e) a taxa efetiva anual que é equivalente à taxa diária obtida no item d, assumindo o ano com 360 dias; f) a taxa diária que é equivalente a 9% ao ano, assumindo o ano com 360 dias;


213

g) o valor presente desse título para a taxa diária obtida no item f, usando a função NPV da HP-12C; h) o percentual de deságio no preço de emissão de $10.000,00 para os investidores que comprarem esse título, na data de emissão, pelo preço obtido no item g e o conservarem até seu vencimento. Solução: a) taxa diária equivalente a 8% ao ano, assumindo o ano com 360 dias Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

360

0,02138035

100,00

0,00

108,00

que fornece a taxa de 0,02138035% ao dia; b) valor dos juros a ser pago no final do 1o semestre, usando a taxa diária do item a Devemos entrar com os dados indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

181

0,02138035

10.000,00

0,00

10.394,53

que fornece o valor de $394,53 para o cupom do 1o semestre; c) valor dos juros a ser pago no final do 2o semestre, usando a taxa diária do item a Devemos entrar com os dados indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

184

0,02138035

10.000,00

0,00

10.401,20

que fornece o valor de $401,20 para o cupom do 2o semestre; d) taxa interna de retorno, em % ao dia, deságio de 2%, usando a função IRR da HP-12C Os investidores que comprarem esse título, na data da emissão, com um deságio de 2%, e o conservarem até seu vencimento terão o seguinte fluxo de caixa:

214


TABELA 9.7 Datas

Dias no semestre

1o de janeiro

Dia

Valor ($)

0

() 9.800,00

1o de julho

181

181

() 394,53

1o de janeiro

184

365

() 10.401,20

Soma

() 995,73

Para utilizarmos a taxa diária, devemos registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguintes operações (observar que Nj não pode ultrapassar o valor 99): 9800 CHS 0 90 90 394,53 0 90 93 10401,20

f

REG


g g g g g g g g g

CF0 CFj Nj Nj CFj CFj Nj Nj CFj

(parcela do dia 0 () $9.800,00) (parcela do dia 1 $0,00) (repetir $0,00 90 vezes) (repetir $0,00 90 vezes) (parcela do dia 181 $394,53) (parcela do dia 182 $0,00) (repetir $0,00 90 vezes) (repetir $0,00 93 vezes) (parcela do dia 365 $10.401,20)

Com o fluxo de caixa assim registrado, podemos fazer o cálculo da taxa interna de retorno, em % ao dia, com o auxílio da função IRR, conforme indicado a seguir: f

IRR

(IRR 0,027025437% ao dia)

que fornece a taxa interna de retorno de 0,027025437% ao dia; e) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item d, assumindo o ano com 360 dias Para calcularmos essa taxa anual, devemos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

360

0,027025437

100,00

0,00

110,216721

que fornece a taxa de 10,216721% ao ano;


215

f) taxa diária equivalente a 9% ao ano, assumindo o ano com 360 dias Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

360

0,02394111

100,00

0,00

109,00

que fornece a taxa de 0,02394111% ao dia; g) valor presente para a taxa diária obtida no item f, usando a função NPV da HP-12C Com o fluxo de caixa já registrado na HP-12C precisamos, inicialmente, colocar zero no valor da parcela inicial (CF0), antes de acionar a função NPV, conforme indicado a seguir: 0 0,02394111

STO 0 i f NPV

($0,00 para CF0 na memória 0) (0,02394111% ao dia para a taxa de desconto) (NPV $9.908,77)

que fornece o valor presente de $9.908,77; h) percentual de deságio para o preço de venda obtido no item g O percentual de deságio sobre o preço de emissão de $10.000,00 é calculado pela relação: % de deságio ⫽

9.4.

$10.000,00 ⫺ $9.908,77 ⫽ 0, 9123% $10.000,00

Utilização da Planilha Excel

9.4.1. Funções Financeiras VPL e TIR As funções financeiras VPL e TIR, do Excel, servem para calcular, respectivamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa que tenham sido informados previamente, de uma forma sequencial, nas células da planilha. Todos os valores do fluxo de caixa devem ser informados, inclusive os que tiverem valor igual a zero, pois cada célula corresponde, necessariamente, a um período de capitalização de juros. A fórmula da função financeira VPL tem a seguinte expressão: VPL (taxa; valor 1; valor 2; ...)

216


em que os parâmetros correspondem a: Taxa – taxa de desconto em %, cuja unidade referencial de tempo deve coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos Valor 1 –

valor da parcela do fluxo de caixa colocada no final do 1o período, ou seja, na 1a célula após o investimento inicial

valor da parcela do fluxo de caixa colocada no final do 2o período, ou seja, na 2a célula após o investimento inicial A fórmula da função financeira TIR tem a seguinte expressão: Valor 2 –

TIR (valores; estimativa) em que os parâmetros correspondem a: Valores – valores de todas as parcelas individuais do fluxo de caixa, incluindo o investimento inicial, que devem ser informados de forma sequencial, nas células da planilha Estimativa – valor estimado da taxa interna de retorno em %, que pode ser omitido ou fornecido sempre com o valor igual a zero 9.4.2.

Funções Financeiras XVPL e XTIR

As funções financeiras XVPL e XTIR do Excel, servem para calcular o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa que tenham sido previamente registrados na planilha, juntamente com as datas de calendário de cada parcela. Essas funções calculam o tempo efetivo, em dias, entre as parcelas do fluxo de caixa, e sempre transformam a taxa anual de juros em sua taxa diária equivalente. A fórmula da função financeira XVPL tem a seguinte expressão: XVPL (Taxa; Valores; Datas) em que os parâmetros correspondem a: Taxa – taxa de desconto em % ao ano, com 365 dias Valores – valores de todas as parcelas individuais do fluxo de caixa que devem ser informadas cronologicamente, desde o investimento inicial (ponto zero) até a última parcela Datas – datas de calendário em que ocorrem, cronologicamente, as parcelas individuais do fluxo de caixa A função XVPL calcula o valor presente líquido do fluxo de caixa pelas seguintes operações: a) transforma a taxa de desconto anual em sua taxa equivalente diária, considerando o ano com 365 dias; b) desconta individualmente cada parcela com essa taxa diária, considerando os dias decorridos desde o ponto zero; c) efetua a soma de todos os valores descontados.


217

A fórmula da função financeira XTIR tem a seguinte expressão: XTIR (Valores; Datas; Estimativa) em que os parâmetros correspondem a: Valores – valores de todas as parcelas individuais do fluxo de caixa que devem ser informadas cronologicamente, desde o investimento inicial (ponto zero) até a última parcela Datas – datas de calendário em que ocorrem, cronologicamente, as parcelas individuais do fluxo de caixa Estimativa – valor estimado da taxa interna de retorno em %, que pode ser omitido ou fornecido sempre com o valor igual a zero O valor da taxa interna de retorno calculado pela função XTIR é sempre fornecido em termos anuais, considerando o ano com 365 dias. Nos exemplos a seguir, sempre que possível, utilizaremos as funções VPL e XVPL para calcular o valor presente líquido, e as funções TIR e XTIR para calcular a taxa interna de retorno. No final, compararemos os resultados obtidos pelas respectivas funções. 9.4.3.

Exemplos Numéricos

Os dados dos problemas desta seção são idênticos aos da Seção 9.3.2, a fim de permitir uma comparação nas soluções apresentadas pela HP-12C e pelo Excel. 1. Considere o fluxo de caixa indicado a seguir: TABELA 9.8 Ano

Valor ($)

0

() 11.500,00

1

() 2.350,00

2

() 1.390,00

3

() 3.350,00

4

() 4.275,00

5

() 5.350,00

Soma

() 5.215,00

Calcule: a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 10,00% ao ano e 12,00% ao ano; b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano. Solução: Entrada do fluxo de caixa

218


O registro do fluxo de caixa pode ser feito em qualquer parte da planilha. O importante é registrar todas as parcelas do fluxo de caixa numa ordem sequencial, digitando, inclusive, as parcelas com valores iguais a zero. Na chamada das funções VPL e TIR seus parâmetros são informados pelas células que contêm seus respectivos valores. As células são identificadas de forma matricial, conforme mostrado no Apêndice B. O fluxo de caixa, devidamente registrado na Planilha Excel, está indicado a seguir:

Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos:

r PJOWFTUJNFOUPJOJDJBM OPWBMPSEF FTUÃDPMPDBEPOBDÊMVMB$ com o sinal negativo;

r BTQBSDFMBTGVUVSBTEPáVYPEFDBJYB EPo ao 5o ano, estão colocadas nas células C4 a C8, todas com o sinal positivo;

r BTPNBBMHÊCSJDBEPTWBMPSFTEPáVYPEFDBJYB OPWBMPSEF GPJ calculada com a função SOMA ou Y do Excel, e está colocada na célula C9. Esse valor deve corresponder ao valor presente líquido do fluxo de caixa obtido com a função VPL e com a taxa de desconto de 0%. Valor presente líquido do fluxo de caixa – Função VPL

Devemos, inicialmente, registrar os valores das taxas de desconto de 0%, 10% e 12% ao ano, que estão colocadas nas células B12, B13 e B14, respectivamente, conforme mostrado na Planilha Excel a seguir. Devemos agora, inserir as fórmulas da função VPL nas células C12, C13 e C14, indicando em seus parâmetros as localizações da taxa de desconto e dos valores do fluxo de caixa.


219

A título de exemplo, na célula C13 devemos digitar o sinal de igual () e no menu principal escolher Inserir Função. Na janela das funções, deve ser escolhida a função financeira VPL cujos parâmetros devem ser localizados na Planilha Excel. O Apêndice B mostra detalhadamente todos os passos a serem seguidos, até a obtenção do resultado dessa função VPL. Após a localização dos parâmetros da função VPL, a Planilha Excel tem a seguinte apresentação:

Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos: rBGÓSNVMBDPMPDBEBOBDÊMVMB$FTUÃJOEJDBEBBTFHVJS célula C13 : VPL (B13; C4:C8) C3 em que os parâmetros correspondem a: B13

–

C4:C8 –

célula que contém a taxa de desconto de 10,00% ao ano intervalo entre as células C4 e C8, que contém os valores das parcelas futuras do fluxo de caixa, do 1o ao 5o ano

rPWBMPSQSFTFOUFEBTDJODPQBSDFMBTGVUVSBTBTFSPCUJEPQFMBGÓSNVMBEBGVOÉÈP VPL é somado ao conteúdo da célula C3, que corresponde ao investimento inicial (parcela do ponto zero), a fim de se obter o valor presente líquido de cada fluxo de caixa.

220


O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula colocada na célula C13 é igual a $543,84, e está indicado na planilha a seguir:

Com relação aos valores dessa planilha destacamos os seguintes pontos:

r PTWBMPSFTQSFTFOUFTMÎRVJEPTPCUJEPTQBSBBTUBYBTEFEFTDPOUPEF F 12% ao ano estão colocados nas células C12 e C14, e correspondem respectivamente a () $5.215,00 e () $156,65. Observar que o valor obtido com a taxa de desconto de 0% coincide com a soma algébrica de todas as parcelas do fluxo de caixa;

r BTGÓSNVMBTDPMPDBEBTOBTDÊMVMBT$F$FTUÈPJOEJDBEBTBTFHVJS célula C12: VPL (B12; C4:C8) C3 célula C14: VPL (B14; C4:C8) C3 em que os parâmetros são semelhantes àqueles colocados na célula C13. Taxa interna de retorno do fluxo de caixa – Função TIR Devemos inserir a fórmula da função TIR na célula C16, indicando em seus parâmetros as localizações dos valores do fluxo de caixa. Para isso, devemos digitar na célula C16 o sinal de igual (), e no menu principal escolher Inserir Função. Na janela das funções, deve ser escolhida


221

a função financeira TIR cujos parâmetros devem ser localizados na Planilha Excel. O Apêndice B mostra detalhadamente todos os passos a serem seguidos até a obtenção do resultado dessa função TIR. Após a localização dos parâmetros da função TIR a Planilha Excel tem a seguinte apresentação:

Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos:

r BGÓSNVMBEBGVOÉÈP5*3QBSBDBMDVMBSBUBYBJOUFSOBEFSFUPSOP DPMPDBEB na célula C16, está indicada a seguir: célula C16: TIR (C3:C8) em que o parâmetro C3:C8 corresponde ao intervalo entre as células C3 e C8 que contêm os valores de todas as parcelas do fluxo de caixa, na ordem sequencial, desde o investimento inicial até a parcela do 5o ano;

r P QBSÄNFUSP FTUJNBUJWB EFTTB GVOÉÈP 5*3 RVF DPSSFTQPOEF B VN WBMPS estimado para a taxa interna de retorno, não foi incluído, pois sua omissão não altera o resultado final. Quando a estimativa inicial não é fornecida a função TIR assume que o seu valor é zero. O valor da taxa interna de retorno, obtido pela execução da função TIR colocada na célula C16, é igual a 11,537% ao ano, e está indicado nessa própria célula, na planilha a seguir:

222


Os resultados aqui obtidos são idênticos aos do Problema 1 da Seção 9.3.2, resolvido com a HP-12C. 2. Considere o fluxo de caixa indicado a seguir: TABELA 9.9 Mês

Valor ($)

0

() 30.000,00

1

0,00

2

() 10.350,00

3

0,00

4

() 10.350,00

5

0,00

6

() 10.350,00

Soma

() 1.050,00


223

Calcule: a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 0,50% e 1,00% ao mês; b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao mês; c) o gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto. Solução: Este problema é bastante semelhante ao Problema 1 e, portanto, não serão repetidos aqui todos os passos usados anteriormente. O fluxo de caixa, registrado na Planilha Excel, e os resultados obtidos pelas funções financeiras VPL e TIR estão indicados a seguir:

Em relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos: r BTUBYBTEFEFTDPOUPEF F BPNËTFTUÈPDPMPDBEBTOBT células B13, B14 e B15, respectivamente; r PJOWFTUJNFOUPJOJDJBM OPWBMPSEF FTUÃDPMPDBEPOBDÊMVMB$ com o sinal negativo; r BTQBSDFMBTGVUVSBTEPáVYPEFDBJYBEPo ao 6o mês estão colocadas nas células C4 a C9, e as parcelas iguais a zero também foram registradas, para manter a ordem sequencial do fluxo de caixa; r PTWBMPSFTQSFTFOUFTMÎRVJEPTPCUJEPTQFMBGVOÉÈP71- QBSBBTUBYBTEFEFTconto de 0,00%, 0,50% e 1,00% ao mês, estão colocados nas células C13 a C15, e correspondem respectivamente a () $1.050,00, () $437,70 e

224


() $157,62. Observar que o valor obtido com a taxa de desconto de 0,00% coincide com a soma algébrica de todas as parcelas do fluxo de caixa. As fórmulas da função VPL colocadas nas células C13, C14 e C15 estão indicadas a seguir: célula C13: VPL (B13; C4:C9) C3 célula C14: VPL (B14; C4:C9) C3 célula C15: VPL (B15; C4:C9) C3 em que os parâmetros correspondem a: B13, B14 e B15 – células que contêm as taxas de desconto de 0%, 0,50% e 1,00% ao mês, respectivamente; C4:C9 – intervalo entre as células C4 e C9, que contém os valores das parcelas futuras do fluxo de caixa, do 1o ao 6o mês. Observe que os valores presentes das seis parcelas futuras, obtidos pela função VPL são somados ao conteúdo da célula C3 que corresponde ao investimento inicial (parcela do ponto zero), a fim de se obter o valor presente líquido de cada fluxo de caixa; r BUBYBJOUFSOBEFSFUPSOPPCUJEBQFMBGVOÉÈP5*3 OPWBMPSEF BPNËT está colocada na célula C17, e a fórmula dessa função está indicada a seguir: célula C17: TIR (C3:C9) em que o parâmetro C3:C9 corresponde ao intervalo entre as células C3 e C9, que contém os valores de todas as parcelas do fluxo de caixa, na ordem sequencial, desde o investimento inicial até a parcela do 6o mês. O parâmetro Estimativa não foi fornecido e a função TIR assume que ele é nulo. Os resultados aqui obtidos são idênticos aos do Problema 2 da Seção 9.3.2, resolvido com a HP-12C. O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está indicado a seguir:

FIGURA 9.2

Valor Presente Líquido (VPL)

VPL($) 1.200 900 $ 437,50 600

TIR ⫽ 0,866% a.m.

300 0 ⫺300 ⫺600

0,2%

0,4%

0,6%

0,8%

1,0%

Taxa (a.m.)


225

3. Considere o fluxo de caixa indicado a seguir: TABELA 9.10 Ano

Valor ($)

0

() 40.000,00

1

() 3.500,00

2

() 7.500,00

3

() 7.500,00

4

() 7.500,00

5

() 15.000,00

6

() 15.000,00

Soma

() 16.000,00

Calcule: a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 8,00% e 9,00% ao ano; b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano. Altere o valor do investimento inicial de () $40.000,00 para () $38.000,00 e determine: c) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 9,00% e 10,00% ao ano; d) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano. Solução: Este problema é bastante semelhante aos dois problemas anteriores; assim, mostraremos apenas os resultados das funções VPL e TIR utilizadas para a obtenção dos valores solicitados. O fluxo de caixa inicial, registrado na Planilha Excel, e os resultados obtidos pelas funções financeiras VPL e TIR estão indicados a seguir:

226


VPL

TIR

Com relação aos valores dessa planilha destacamos os seguintes pontos: r BTUBYBTEFEFTDPOUPEF F BPBOPFTUÈPDPMPDBEBTOBT células B13, B14 e B15, respectivamente; r PJOWFTUJNFOUPJOJDJBM OPWBMPSEF FTUÃDPMPDBEPOBDÊMVMB$ com o sinal negativo; r BTQBSDFMBTGVUVSBTEPáVYPEFDBJYB EPo ao 6o ano, estão colocadas nas células C4 a C9, todas com sinal positivo; r PTWBMPSFTQSFTFOUFTMÎRVJEPTPCUJEPTQFMBGVOÉÈP71- QBSBBTUBYBTEFEFTconto de 0,00%, 8,00% e 9,00% ao ano, estão colocados nas células C13 a C15, e correspondem respectivamente a () $16.000,00, () $798,54 e () $678,84. Observar que o valor obtido com a taxa de desconto de 0% coincide com a soma algébrica de todas as parcelas do fluxo de caixa; r BTGÓSNVMBTEBGVOÉÈP71-DPMPDBEBTOBTDÊMVMBT$ $F$FTUÈPJOEJcadas a seguir: célula C13: VPL (B13; C4:C9) C3 célula C14: VPL (B14; C4:C9) C3 célula C15: VPL (B15; C4:C9) C3 em que os parâmetros correspondem a: B13, B14 e B15 – células que contêm as taxas de descontos de 0%, 8,00% e 9,00% ao ano, respectivamente;


227

C4:C9 –

intervalo entre as células C4 e C9, que contém os valores das parcelas futuras do fluxo de caixa, do 1o ao 6o ano. Observe que os valores presentes das seis parcelas futuras, obtidos pela função VPL são somados ao conteúdo da célula C3, que corresponde ao investimento inicial (parcela do ponto zero), a fim de se obter o valor presente líquido de cada fluxo de caixa; r BUBYBJOUFSOBEFSFUPSOPPCUJEBQFMBGVOÉÈP5*3 OPWBMPSEF BPBOP está colocada na célula C17, e a fórmula dessa função está indicada a seguir: célula C17: TIR (C3:C9) em que o parâmetro C3:C9 corresponde ao intervalo entre as células C3 e C9, que contém os valores de todas as parcelas do fluxo de caixa, na ordem sequencial, desde o investimento inicial até a parcela do 6o ano. O parâmetro Estimativa não foi informado e a função TIR que o seu valor é nulo. Os resultados aqui obtidos são idênticos aos do Problema 3 da Seção 9.3.2, resolvido com a HP-12C. Para resolver a segunda parte do problema, devemos alterar o valor do investimento inicial, que está colocado na célula C3, para $38.000,00 e repetir as operações executadas anteriormente. O novo fluxo de caixa do investimento e os valores das funções VPL e TIR estão indicados a seguir:

228


Com relação aos valores dessa planilha destacamos os seguintes pontos:

r PJOWFTUJNFOUPJOJDJBM DPNTFVWBMPSBMUFSBEPQBSB FTUÃDPMPDBEP na célula C3, com o sinal negativo;

r BTEFNBJTDÊMVMBT RVFDPOUËNPTPVUSPTEBEPTEPQSPCMFNB QFSNBOFDFNDPN seus valores inalterados;

r BTGÓSNVMBTRVFFTUÈPDPMPDBEBTOBTDÊMVMBT$ $ $F$QFSNBOFDFN inalteradas. Apenas os resultados obtidos por essas fórmulas é que são alterados, em função da mudança do valor do investimento inicial;

r PT WBMPSFT QSFTFOUFT MÎRVJEPT PCUJEPT QFMBTGÓSNVMBTEBTDÊMVMBT$ $ e C15, para as taxas de desconto de 0,00%, 9,00% e 10,00% ao ano, estão colocados nas respectivas células e correspondem respectivamente a () $18.000,00, () $1.321,16 e () $81,14;

r BUBYBJOUFSOBEFSFUPSOPPCUJEBQFMBGVOÉÈP5*3 DPMPDBEBOBDÊMVMB$ UFN o valor de 9,941% ao ano apresentado nessa própria célula. Os resultados aqui obtidos são idênticos aos do Problema 3 da Seção 9.3.2, resolvido com a HP-12C.

4. Um título é emitido pelo prazo de um ano, com um valor de $100.000,00, e paga cupons trimestrais de juros, com uma taxa efetiva de 12% ao ano, no regime de juros compostos. Assumindo o ano com quatro trimestres de 90 dias, calcule: a) o valor dos cupons que será pago no final de cada um dos quatro trimestres; b) o percentual de deságio no preço de emissão de $100.000,00, para que os investidores tenham uma rentabilidade efetiva de 13% ao ano, no caso de realizarem a compra na data da emissão e conservarem o título até seu vencimento, no final de um ano; c) a rentabilidade efetiva, em % ao ano, dos investidores que comprarem esse título, na data de emissão, com um deságio de 1,5% e o conservarem até seu vencimento, no final de um ano. Solução: a) valor dos cupons trimestrais de juros Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 12% ao ano, com as operações indicadas a seguir:


229

n

i

PV

PMT

FV

4

2,873734

100.000,00

0,00

112.000,00

que fornece a taxa de 2,873734% ao trimestre. Assim, o valor dos cupons trimestrais de juros é igual a: $100.000,00 2,873734% $2.873,73 O fluxo de caixa desse título por ocasião de sua emissão é, portanto, o que se segue: TABELA 9.11 Trimestre

Valor ($)

0

() 100.000,00

1

() 2.873,73

2

() 2.873,73

3

() 2.873,73

4

() 102.873,73

Soma

$11.494,92

b) percentual de deságio para rentabilidade de 13% ao ano Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 13% ao ano, com a operação indicada a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

4

3,102598

100.000,00

0,00

113.000,00

que fornece a taxa i de 3,102598% ao trimestre. Devemos agora registrar o fluxo de caixa na Planilha Excel e descontar suas parcelas futuras com a taxa de 3,102598% ao trimestre, com o auxílio da função VPL, conforme indicado a seguir:

230


VPL VPL

Com relação aos valores dessa planilha destacamos os seguintes pontos: r BGÓSNVMBDPMPDBEBOBDÊMVMB$FTUÃJOEJDBEBBTFHVJS célula C11: VPL (B11; C4:C7) em que os parâmetros correspondem a: B11 – célula que contém a taxa de desconto de 3,102598% ao trimestre; C4:C7 – intervalo entre as células C4 e C7, que contém os valores das parcelas futuras do fluxo de caixa, do 1o ao 4o trimestre. O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula colocada na célula C11 é igual a $99.151,36 e está indicado na planilha a seguir:


231

Assim, para se obter a taxa de 13% ao ano, equivalente a 3,102598% ao trimestre, é preciso que o preço de venda seja igual a $99.151,36, e portanto o percentual de deságio sobre o preço de emissão de $100.000,00 é obtido pela relação a seguir: % de deságio ⫽

$100.000,00 ⫺ $99.151,36 ⫽ 0,849% $100.000,00

c) rentabilidade efetiva anual para deságio de 1,5% Com o deságio de 1,5% o preço de venda do título é obtido pela relação: Preço de venda $100.000,00 $100.000,00 1,5% $98.500,00 Como o fluxo de caixa do título já está registrado na Planilha Excel, temos apenas de introduzir o valor de $98.500,00 na célula C3 para o preço de venda, e executar a fórmula da função TIR, colocada na célula C10, conforme indicado na planilha que se segue:

TIR

que fornece a taxa de 3,279976% ao trimestre. A taxa efetiva anual, que é equivalente a 3,279976% ao trimestre, é obtida, como se segue:

n

i

PV

PMT

FV

4

3,279976

100.000,00

0,00

113.779,629

que fornece a rentabilidade efetiva de 13,779629% ao ano.

232


Os resultados aqui obtidos são idênticos aos do Problema 4 da Seção 9.3.2, resolvido com a HP-12C. 5. Um veículo, com o valor à vista de $20.600,00, é vendido a prazo, no dia 1o de março, com três pagamentos mensais, sucessivos e iguais a $7.000,00, que devem ser efetuados a partir do 30o dia da data da venda. Cada prestação vence 30 dias após a prestação anterior. Determine: a) o fluxo de caixa do financiador; b) a taxa de juros diária, que é equivalente à taxa de 9% ao ano, assumindo o ano com 365 dias; c) a taxa de juros mensal, que é equivalente à taxa diária do item b, assumindo o mês com 30 dias; d) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00 pela função PMT do Simulador da HP-12C e da taxa mensal obtida no item c; e) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função VPL da Planilha Excel, com a taxa mensal obtida no item c. Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no item d; f) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função XVPL da Planilha Excel, com a taxa de desconto de 9% ao ano (365 dias). Verifique que esse resultado é idêntico aos obtidos nos itens d e e; g) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao mês, usando a função i do Simulador da HP-12C; h) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao mês, usando a função TIR da Planilha Excel. Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no item g; i) a taxa interna de retorno, em % ao dia, que é equivalente à taxa mensal obtida nos itens g e h, assumindo o mês com 30 dias; j) a taxa interna de retorno, em % ao ano, que é equivalente à taxa diária obtida no item i, assumindo o ano com 365 dias; l) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao ano, usando a função XTIR da Planilha Excel. Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no item j. Solução: a) fluxo de caixa do financiador O fluxo de caixa do financiador está indicado no quadro a seguir:


233

TABELA 9.12 Datas

Dia

Mês

Valor ($)

1o de março

0

0

() 20.600,00

31 de março

30

1

() 7.000,00

30 de abril

60

2

() 7.000,00

30 de maio

90

3

() 7.000,00

Soma

() 400,00

Observe que, como as prestações ocorrem a cada 30 dias, podemos também realizar os cálculos com os períodos medidos em meses, e usar a taxa mensal equivalente à taxa fornecida. Dessa forma, podemos usar as funções VPL e TIR com os períodos (células) em meses e com a taxa mensal. Além disso, as três parcelas de $7.000,00 podem ser consideradas como um parâmetro PMT no Simulador da HP-12C. A utilização das funções VPL e TIR com a taxa diária e com os períodos (células) em dias implica, necessariamente, a criação de células entre as parcelas do fluxo de caixa para serem preenchidas com zeros, tal como realizado com a HP-12C. No Excel, temos o recurso das funções XVPL e XTIR, que evita esse artifício, como mostraremos a seguir; b) taxa de juros diária equivalente a 9% a.a., assumindo o ano com 365 dias Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

365

0,02361312

100,00

0,00

109,00

que fornece a taxa de 0,02361312% ao dia; c) taxa de juros mensal equivalente à taxa diária do item b Para calcularmos essa taxa mensal, devemos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

234


n

i

PV

PMT

FV

30

0,02361312

100,00

0,00

100,7108244

que fornece a taxa de 0,7108244% ao mês; d) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 – desconto com função PMT e taxa mensal do item c Nesse caso, os dados, com a taxa de juros de 0,7108244% ao mês, estão indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

3

0,7108244

20.704,95

7.000,00

0,00

que fornece o valor presente de $20.704,95; e) valor presente das três prestações mensais de $7.000,00 – desconto com função VPL do Excel e com taxa mensal do item c Devemos, inicialmente, registrar as três prestações de $7.000,00 na Planilha Excel e executar a função VPL, conforme indicado a seguir:

Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos: r BGÓSNVMBEBGVOÉÈP71- DPMPDBEBOBDÊMVMB& FTUÃJOEJDBEBBTFHVJS célula E11: VPL (D11; E4:E6)


235

em que os parâmetros correspondem a: D11 – célula que contém a taxa de desconto de 0,7108244% ao mês E4:E6 – intervalo entre as células E4 e E6, que contém os valores das parcelas futuras do fluxo de caixa, do 1o ao 3o mês O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula da função VPL, colocada na célula E11, é igual a $20.704,95, idêntico ao obtido no item d; f) valor presente das prestações mensais de $7.000,00, pela função XVPL da Planilha Excel e com taxa de desconto de 9% ao ano (365 dias) Com o fluxo de caixa já registrado na Planilha Excel, basta introduzir a taxa de desconto na célula D11 e a fórmula da função XVPL na célula E11, como segue:

Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos: r "GÓSNVMBEBGVOÉÈP971- DPMPDBEBOBDÊMVMB& FTUÃJOEJDBEBBTFHVJS célula E11: XVPL (D11; E3:E6; B3:B6) em que os parâmetros correspondem a: D11 – célula que contém a taxa de desconto de 9,00% ao ano E3:E6 – intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores das parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3o mês B3:B6 – intervalo entre as células B3 e B6, que contém as datas referentes às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3o mês O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula da função XVPL, colocada na célula E11, é igual a $20.704,95, idêntico ao obtidos nos itens d e e;

236


g) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função i do Simulador da HP-12C/Excel Devemos entrar com os dados indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

3

0,96776693

20.600,00

7.000,00

0,00

que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês; h) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função TIR do Excel Com o fluxo de caixa já registrado no Excel, basta introduzir a fórmula da função TIR na célula E10, como indicado a seguir:

Com relação aos valores dessa planilha, destacamos que a fórmula da função TIR, colocada na célula E10, tem a seguinte apresentação: célula E10: TIR (E3:E6) em que os parâmetros correspondem a: E3:E6 – intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores de todas as parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3o mês A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da função TIR, colocada na célula E10, é igual a 0,967766693% ao mês, idêntica à obtida no item g; i) taxa interna de retorno, em % ao dia, que é equivalente à taxa mensal obtida no item h


237

Devemos entrar com os dados indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

30

0,032108956

100,00

0,00

100,96776693

que fornece a taxa interna de retorno de 0,032108956% ao dia; j) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item i, assumindo o ano com 365 dias Devemos entrar com os dados indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

365

0,032108956

100,00

0,00

112,4320528

que fornece a taxa interna de retorno de 12,4320528% ao ano, assumindo o ano com 365 dias; l) taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel Com o fluxo de caixa já registrado no Excel, basta introduzir a fórmula da função XTIR na célula E9, como segue:

Com relação aos valores dessa planilha, destacamos que a fórmula da função XTIR, colocada na célula E9, tem a seguinte apresentação: célula E9: XTIR (E3:E6; B3:B6)

238


em que os parâmetros correspondem a: E3:E6 – intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores das parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3o mês B3:B6 – intervalo entre as células B3 e B6, que contém as datas referentes às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3o mês A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da função XTIR, colocada na célula E9, é igual a 12,430525% ao ano, praticamente idêntica à obtida no item j. O parâmetro Estimativa não foi fornecido e a função XTIR assume que o seu valor é nulo. Os resultados aqui obtidos são idênticos àqueles do Problema 5 da Seção 9.3.2, resolvido com a HP-12C. 6. Um veículo, com o valor à vista de $20.600,00, é vendido a prazo, no dia 1o de março, com três pagamentos mensais, sucessivos e iguais a $7.000,00, que devem ser efetuados no dia 1o de cada mês subseqüente à da venda. Determine: a) o fluxo de caixa do financiador; b) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função XVPL do Excel, com a taxa de 9% ao ano, considerando o ano com 365 dias. Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no Problema 6 da Seção 9.3.2, resolvido com a HP-12C; c) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel, e considerando o ano com 365 dias. Verifique que esse resultado é idêntico ao que foi obtido no Problema 6 da Seção 9.3.2, resolvido com a HP-12C. Solução: a) fluxo de caixa do financiador O fluxo de caixa do financiador está indicado no quadro a seguir: TABELA 9.13 Datas

Dia

Valor ($)

1o de março

0

() 20.600,00

1o de abril

31

() 7.000,00

1o de maio

61

() 7.000,00

1o de junho

92

() 7.000,00

Soma

() 400,00


239

Observe que, como as prestações não ocorrem a cada 30 dias, não podemos realizar os cálculos com os períodos medidos em meses, e consequentemente as prestações não podem ser consideradas um parâmetro PMT no simulador da HP-12C. Da mesma forma, para podermos usar as funções VPL e TIR precisamos realizar os cálculos com os períodos (células) necessariamente medidos em dias e com a taxa de juros diária equivalente à taxa anual. Isso significa que teríamos de criar novas células entre as parcelas do fluxo de caixa e preenchê-las com zeros, o que é totalmente desnecessário, na medida em que a Planilha Excel dispõe das funções XVPL e XTIR. No Problema 6 da Seção 9.3.2 realizamos os cálculos também com a taxa diária, pois a HP-12C dispõe da função Nj, que facilita a colocação de zeros entre os valores das parcelas do fluxo de caixa, transformando a unidade dos períodos para dias; b) valor presente das prestações mensais de $7.000,00, pela função XVPL do Excel e com taxa de desconto de 9% ao ano (365 dias). Os registros das três prestações de $7.000,00, da taxa de desconto de 9% ao ano e da fórmula da função XVPL estão indicados a seguir:

Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos: r " GÓSNVMB EB GVOÉÈP 971- DPMPDBEB OB DÊMVMB % FTUÃ JOEJDBEB B seguir: célula D11: XVPL (C11; D3:D6; B3:B6) em que os parâmetros correspondem a:

240


C11 – célula que contém a taxa de desconto de 9,00% ao ano D3:D6 – intervalo entre as células D3 e D6, que contém os valores das parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3o mês B3:B6 – intervalo entre as células B3 e B6, que contém as datas referentes às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3o mês O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula da função XVPL, colocada na célula D11, é igual a $20.698,45. Esse valor é idêntico ao encontrado no Problema 6 da Seção 9.3.2, com os cálculos feitos com a HP-12C, utilizando a taxa de 0,02361312% ao dia, que é equivalente à taxa de 9% ao ano, assumindo o ano com 365 dias; c) taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR da Planilha Excel Com o fluxo de caixa já registrado no Excel, precisamos introduzir o investimento inicial na célula D3 e a fórmula da função XTIR na célula D10, como segue: Com relação aos valores dessa planilha, destacamos que a fórmula da função XTIR, colocada na célula D10, tem a seguinte apresentação:

célula D10: XTIR (D3:D6; B3:B6) em que os parâmetros correspondem a: D3:D6 – intervalo entre as células D3 e D6, que contém os valores das parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3o mês


241

B3:B6 –

intervalo entre as células B3 e B6, que contém as datas referentes às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3o mês A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da função XTIR, colocada na célula D10, é igual a 12,145788% ao ano. O parâmetro Estimativa não foi fornecido e a função XTIR assume que o seu valor é nulo. Esse valor é idêntico ao encontrado no Problema 6 da Seção 9.3.2, com os cálculos feitos com a HP-12C, que obteve, inicialmente, a taxa 0,031410279% ao dia, para em seguida calcular sua taxa anual equivalente, considerando o ano com 365 dias. 7. Um título é emitido no dia 1o de janeiro, pelo prazo de um ano, com um valor de $10.000,00 e paga juros semestralmente, nos dias 1o de julho do mesmo ano e 1o de janeiro do ano seguinte, de acordo com os dias efetivos de cada semestre. A taxa efetiva de remuneração desse título é de 8% ao ano, no regime de juros compostos, considerando o ano com 360 dias. Calcule: a) a taxa diária que é equivalente a 8% ao ano, assumindo o ano com 360 dias; b) o valor do cupom semestral, a ser pago no final do 1o semestre, usando a taxa diária do item a; c) o valor do cupom semestral, a ser pago no final do 2o semestre, usando a taxa diária do item a; d) a rentabilidade efetiva, em % ao ano (com 365 dias), dos investidores que comprarem esse título, na data da emissão, com um deságio de 2% e o conservarem até o seu vencimento, no final de um ano, usando a função XTIR do Excel; e) a taxa anual para 360 dias que é equivalente à taxa anual obtida no item d, assumindo o ano com 365 dias; f) o valor presente desse título para a taxa de 9% ao ano, assumindo o ano com 360 dias, usando a função XVPL do Excel; g) o percentual de deságio no preço de emissão de $10.000,00 para os investidores que comprarem esse título, na data de emissão, pelo preço obtido no item g e que o conservarem até seu vencimento. Solução: a) taxa diária equivalente a 8% ao ano, assumindo o ano com 360 dias Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

360

0,02138035

100,00

0,00

108,00

que fornece a taxa de 0,02138035% ao dia;

242


b) valor dos juros a ser pago no final do 1o semestre, usando a taxa diária do item a Devemos entrar com os dados indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

181

0,02138035

10.000,00

0,00

10.394,53

que fornece o valor de $394,53 para o cupom do 1o semestre; c) valor dos juros a ser pago no final do 2o semestre, usando a taxa diária do item a Devemos entrar com os dados indicados a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

184

0,02138035

10.000,00

0,00

10.401,20

que fornece o valor de $401,20 para o cupom do 2o semestre; d) taxa interna de retorno, em % ao ano (365 dias), com deságio de 2%, usando a função XTIR do Excel Os investidores que comprarem esse título, na data da emissão, com um deságio de 2%, e o conservarem até seu vencimento, terão o seguinte fluxo de caixa: TABELA 9.14

Datas

Dia no semestre

1o de janeiro

Mês

Valor ($)

0

() 9.800,00

1o de julho

181

181

() 394,53

1o de janeiro

184

365

() 10.401,20

Soma

() 995,73

O registro desse fluxo de caixa, bem como a colocação da fórmula da função XVPL na célula D9, está indicado na planilha que segue:


243

Com relação aos valores dessa planilha, destacamos que a fórmula da função XTIR, colocada na célula D9, tem a seguinte apresentação: célula D9: XTIR (D3:D5; B3:B5) em que os parâmetros correspondem a: D3:D5 –

intervalo entre as células D3 e D5, que contém os valores das parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 2o semestre

B3:B5 –

intervalo entre as células B3 e B5, que contém as datas referentes às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 2o semestre

A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da função XTIR, colocada na célula D9, é igual a 10,365734% ao ano, assumindo o ano com 365 dias. O parâmetro Estimativa não foi fornecido e a função XTIR assume que o seu valor é nulo. Esse valor é idêntico ao encontrado no Problema 7 da Seção 9.3.2, com os cálculos feitos com a HP-12C, que obteve, inicialmente, a taxa 0,027025437% ao dia, para em seguida calcular a sua taxa anual equivalente, considerando o ano com 365 dias; e) taxa interna de retorno, em % ao ano, considerando o ano com 360 dias, que é equivalente à taxa anual obtida no item d, com o ano de 365 dias Para calcularmos essa taxa anual, devemos, inicialmente, calcular a taxa diária equivalente à taxa anual obtida no item d com 365 dias. Para isso, precisamos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

244


n

i

PV

PMT

FV

365

0,027025437

100,00

0,00

110,365734

que fornece a taxa de 0,027025437% ao dia; Agora, vamos calcular a taxa anual, com 360 dias, que é equivalente à taxa diária obtida anteriormente. Para isso, precisamos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

360

0,027025437

100,00

0,00

110,216721

que fornece a taxa de 10,216721% ao ano; f) valor presente do título para a taxa de 9% ao ano, assumindo o ano com 360 dias, usando a função XVPL do Excel Como a função opera com a taxa anual, considerando o ano com 365 dias, precisamos converter a taxa de 9% ao ano (360 dias) em sua taxa equivalente anual para o ano com 365 dias. Para isso, precisamos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

360

0,02394111

100,00

0,00

109,00

que fornece a taxa de 0,02394111% ao dia. Agora, vamos calcular a taxa anual, com 365 dias, que é equivalente à taxa diária obtida anteriormente. Para isso, precisamos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:

n

i

PV

PMT

FV

365

0,02394111

100,00

0,00

109,130540

que fornece a taxa de 9,130540% ao ano.


245

Uma vez obtida a taxa anual para 365 dias, estamos em condições de usar a função XVPL. Para isso, precisamos colocar zero no valor do investimento inicial, na célula D3, a taxa de desconto na célula C10 e a fórmula da função XVPL na célula D10, conforme indicado na planilha a seguir:

que fornece o valor de $9.908,77 para o preço de venda do título. Esse valor é idêntico ao encontrado no Problema 7 da Seção 9.3.2, com os cálculos feitos com a HP-12C, que obteve, inicialmente, a taxa 0,02394111% ao dia, equivalente à taxa de 9% ao ano, com 360 dias, para em seguida descontar o fluxo de caixa com essa taxa diária; g) percentual de deságio para o preço de venda obtido no item f O percentual de deságio sobre o preço de emissão de $10.000,00 é calculado pela relação: % de deságio ⫽

9.5.

$10.000,00 ⫺ $9.908,77 ⫽ 0, 9123% $10.000,00

Conclusão

Neste capítulo, mostramos a metodologia que deve ser usada no tratamento de fluxos de caixa não homogêneos, seja para calcular seu valor presente líquido para uma determinada taxa de desconto, seja para calcular a sua taxa interna de retorno. A taxa interna de retorno (TIR) de qualquer fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz com que seu valor presente líquido (VPL) seja igual a zero, e, portanto, corresponde a uma das n raízes da equação de grau n que representa o valor presente líquido. As únicas raízes que têm sentido econômico são as que correspondem a valores reais positivos, e a regra de sinal de Descartes garante que os polinômios com apenas uma variação de sinal em seus coeficientes têm apenas uma raiz real positiva, que é obtida pela HP-12C e pelo Excel.

246


Inicialmente, mostramos exemplos numéricos com o uso das funções NPV e IRR da HP-12C e das funções VPL e TIR do Excel, que servem para calcular, respectivamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa não homogêneos. Esses fluxos de caixa devem ser registrados de forma sequencial, e todas as suas parcelas devem ser informadas, inclusive as que tiverem valores iguais a zero. No caso do Excel, cada célula corresponde a um período de capitalização de juros. Em seguida, apresentamos as funções financeiras XVPL e XTIR do Excel, usadas para calcular, respectivamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa não homogêneos, que são registrados no Excel mediante a informação da data e do respectivo valor de cada uma de suas parcelas. O leitor que não encontrar as funções XVPL e XTIR na relação das Funções Financeiras do Excel não deve ficar preocupado, pois elas podem ser facilmente incluídas nessa relação, mediante as operações explicadas no Apêndice B. Essas duas funções operam com a taxa anual, considerando o ano com 365 dias, e descontam individualmente, com a taxa diária equivalente, cada parcela do fluxo de caixa levando em consideração os dias efetivos até o ponto zero da escala de tempo. A operação com qualquer outra taxa pode ser feita mediante a utilização do conceito de taxas equivalentes, no regime de juros compostos desenvolvido no Capítulo 5. Recomendamos a leitura do Apêndice B, que apresenta, em detalhe, todas as funções financeiras dessa panilha desenvolvidas neste livro.

9.6.

Problemas Propostos

1. Calcule o valor presente líquido do fluxo de caixa que se segue, para as taxas de desconto de 8% a.a., 10% a.a. e 12% a.a. Ano

Valor ($)

0

0,00

1

() 2.350,00

2

() 2.690,00

3

() 3.200,00

4

() 3.500,00

5

() 3.690,00

6

() 4.250,00

Soma

() 19.680,00


247

2. Assuma que no Problema 1 seja colocado um investimento inicial de $13.500,00. O fluxo de caixa passa a ser o que se segue: Ano

Valor ($)

0

() 13.500,00

1

() 2.350,00

2

() 2.690,00

3

() 3.200,00

4

() 3.500,00

5

() 3.690,00

6

() 4.250,00

Soma

() 6.180,00

Em relação a esse fluxo de caixa, calcule: a) o valor presente líquido para as taxas de desconto de 10% a.a., 11% a.a. e 12% a.a.; b) a taxa interna de retorno, em % ao ano. 3. Considere o seguinte fluxo de caixa: Mês

Valor ($)

0

() 25.000,00

1

() 0,00

2

() 3.000,00

3

() 0,00

4

() 4.000,00

5

() 4.500,00

6

() 15.000,00

Soma

() 1.500,00

248


Em relação a esse fluxo de caixa, calcule: a) o valor presente líquido para as taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50% a.m. e 2,00% a.m.; b) a taxa interna de retorno, em % ao mês. 4. Considere o seguinte fluxo de caixa: Mês

Valor ($)

0

() 55.000,00

1

() 5.000,00

2

() 5.000,00

3

() 6.000,00

4

() 6.000,00

5

() 6.000,00

6

() 10.000,00

7

() 10.000,00

8

() 10.000,00

Soma

() 3.000,00

Em relação a esse fluxo de caixa, calcule: a) o valor presente líquido para as taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50% a.m. e 2,00% a.m.; b) a taxa interna de retorno, em % ao mês. Assuma que o investimento inicial de $55.000,00 seja alterado para $53.000,00 e calcule: c) o valor presente líquido para as taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50% a.m. e 2,00% a.m.; d) a taxa interna de retorno, em % ao mês. 5. Um título com o valor de $100.000,00 é emitido com o prazo de quatro anos, pagando juros no final de cada semestre, com a taxa de 5% a.s. No último semestre, além dos juros semestrais é pago o valor de emissão de $100.000,00. O fluxo de caixa desse título é, portanto, o que se segue:


Semestre

Valor ($)

0

() 100.000,00

1

() 5.000,00

2

() 5.000,00

3

() 5.000,00

4

() 5.000,00

5

() 5.000,00

6

() 5.000,00

7

() 5.000,00

8

() 105.000,00

Soma

() 40.000,00

249

No momento do lançamento do título, é necessário fazer um deságio no preço para atender às condições do mercado. Calcule: a) o valor do percentual de deságio do preço de emissão necessário para garantir uma rentabilidade de 5,5% a.s. ao investidor que adquirir esse título na data de emissão e o conservar até seu resgate, no final do 4o ano; b) a taxa interna de retorno do investidor que adquirir esse título com 5% de deságio e o conservar até seu resgate, no final do 4o ano. 6. Um veículo com o valor à vista de $19.500,00 é adquirido no dia 31 de março com um financiamento para ser liquidado em quatro prestações mensais de $5.000,00, que vencem a cada 30 dias corridos, a contar da data de aquisição do veículo. Assim, o fluxo de caixa do financiador é o que se segue: Datas

Dia

Mês

Valor ($)

31 de março

0

0

() 19.500,00

30 de abril

30

1

() 5.000,00

30 de maio

60

2

() 5.000,00

29 de junho

90

3

() 5.000,00

29 de julho

120

4

() 5.000,00

Total líquido

() 500,00

Calcule: a) a taxa diária que é equivalente à taxa de 12% a.a., considerando o ano com 365 dias;

250


b) a taxa mensal que é equivalente à taxa diária obtida no item a; c) a taxa anual que é equivalente à taxa diária obtida no item a, assumindo o ano com 360 dias; d) o valor presente das quatro parcelas mensais de $5.000,00, usando as taxas de desconto e os métodos indicados a seguir: d.1) desconto individual de cada parcela com o simulador da HP-12C, usando a taxa diária obtida no item a; d.2) desconto de um PMT $5.000,00, com o simulador da HP-12C, usando a taxa mensal obtida no item b; d.3) desconto das quatro parcelas de $5.000,00 com o uso da função NPV da HP-12C e da função VPL do Excel, usando a taxa mensal obtida no item b; d.4) desconto das quatro parcelas de $5.000,00 com o uso da função XVPL do Excel, usando a taxa de 12% ao ano; d.5) Verifique que os resultados obtidos nos quatro itens anteriores são iguais; e) a taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função IRR da HP-12C e a função TIR do Excel; f) a taxa interna de retorno, em % ao dia, que é equivalente à taxa mensal obtida no item e; g) a taxa interna de retorno, em % ao ano, que é equivalente à taxa diária obtida no item f, assumindo o ano com 365 dias; h) a taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel. Verifique que o resultado obtido é idêntico ao do item g. 7. Um financiamento de $58.000,00, realizado no dia 1o de março, deve ser liquidado em seis prestações mensais e iguais a $10.000,00, sendo que todas as prestações têm vencimento no início de cada mês. Assim, o fluxo de caixa do financiador é o que segue: Datas

Dia

Valor ($)

1o de março

0

() 58.000,00

1o de abril

31

() 10.000,00

1o de maio

61

() 10.000,00

1o de junho

92

() 10.000,00

1o de julho

122

() 10.000,00

1o de agosto

153

() 10.000,00

1o de setembro

184

() 10.000,00

Total líquido

() 2.000,00


251

Calcule: a) a taxa diária que é equivalente à taxa de 10% a.a., assumindo o ano com 360 dias; b) a taxa anual que é equivalente à taxa diária obtida no item a, assumindo o ano com 365 dias; c) o valor presente das seis parcelas mensais de $10.000,00, usando as taxas de desconto e os métodos indicados a seguir: c.1) desconto individual de cada parcela com o Simulador da HP-12C, usando a taxa diária obtida no item a; c.2) desconto das seis parcelas de $10.000,00 com o uso da função XVPL do Excel, usando a taxa anual obtida no item b; c.3) Verifique que os resultados dos dois itens anteriores são iguais. d) a taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C; e) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item d, assumindo o ano com 360 dias; f) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item d, assumindo o ano com 365 dias; g) a taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel. Compare esse resultado com o obtido no item f. 8. Um título que paga juros trimestralmente é emitido no dia 1o de janeiro, com um valor de $10.000,00, prazo de um ano e taxa de 10% a.a., para o ano comercial com 360 dias. Os juros trimestrais são calculados sobre os dias efetivamente decorridos em cada trimestre, e pagos nos dias 1o de abril, 1o de julho, 1o de outubro e 1o de janeiro do ano seguinte. Considere o 1o trimestre com 90 dias, o 2o com 91 dias, o 3o e o 4o com 92 dias. Calcule: a) a taxa diária equivalente a 10% ao ano, assumindo o ano com 360 dias; b) o valor de cada cupom trimestral com o uso do Simulador da HP-12C, usando a taxa diária obtida no item a; c) a taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C, para um investidor que adquirir esse título na data de sua emissão, com um deságio de 5%, e o conservar até seu resgate, no final de um ano; d) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item c, assumindo o ano com 360 dias; e) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item c, assumindo o ano com 365 dias; f) a taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel. Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no item e; g) o valor do percentual de deságio necessário para garantir uma rentabilidade de 12% ao ano, com 365 dias, ao investidor que adquirir esse título na data da emissão e o conservar até o resgate, no final de um ano. Use a função XVPL do Excel.

Capítulo

10 10.1.

Fluxos de Caixa e Inflação

Introdução

Nos capítulos anteriores, a moeda representada pelo símbolo $ foi considerada como estável ao longo do tempo. Essa hipótese, porém, é meramente teórica, pois mesmo em países com moedas fortes, existe o fenômeno da inflação, ainda que com taxas percentuais reduzidas. Neste capítulo, nossa moeda teórica, com o símbolo $, deixa de ser estável e passa a perder seu poder aquisitivo por conta da inflação. Os conceitos de Matemática Financeira desenvolvidos ao longo dos capítulos anteriores continuam a ter validade, pois sua aplicação independe da existência da inflação. Em conjunturas inflacionárias, são muito usadas as expressões “a preços constantes” e “a preços correntes”. A primeira expressão corresponde a preços de uma única data, normalmente da data inicial do fluxo de caixa, enquanto a segunda corresponde a preços das respectivas datas em que ocorrem os valores do fluxo de caixa. Na omissão dessa informação, os valores na moeda $ sempre correspondem a preços correntes. A conversão de preços constantes para preços correntes é feita por índices ou indexadores, que refletem a perda do poder aquisitivo da moeda provocada pela inflação. Neste capítulo, a inflação da moeda será medida por um índice teórico, cujas variações percentuais anuais para um período de cinco anos constam das Tabelas 10.1 e 10.2.

254


No tratamento de fluxos de caixa, a inflação pode ser levada em consideração por meio dos modelos pós-fixado e prefixado, cujas características e metodologias de cálculo serão apresentadas ao longo do presente capítulo.

10.2.

Índice para Inflação

Por uma questão didática, optamos por medir a inflação da moeda $ por um índice teórico, cujos valores e variações percentuais constam da Tabela 10.1, que foi construída com as seguintes suposições: r O valor inicial desse índice tem como referência o final de dezembro de determinado ano, e seu valor, nessa data, é igual a $100,00. r As variações percentuais desse índice para um período de cinco anos foram assumidas com o mesmo valor anual de 12%, sendo que no 1o ano a periodicidade foi considerada mensal. Os valores anuais desse índice e suas variações anuais para um período de cinco anos constam da Tabela 10.1 a seguir.

TABELA 10.1 Valores Anuais do Índice Teórico de Inflação

Ano

Variação anual

Valor do índice no

do índice (%)

final do ano ($)

0

100,000000

1

12,00

112,000000

2

12,00

125,440000

3

12,00

140,492800

4

12,00

157,351936

5

12,00

176,234168

Os valores desse índice teórico fornecidos na Tabela 10.1 nos permitem concluir que as cinco variações anuais de 12% ao ano produzem um valor de 176,234168 para o índice no final do 5o ano, o que equivale a uma inflação acumulada de 76,234168% nesse período de cinco anos.

Ca p í t u l o 1 0 – Fl uxos de Caixa e In fl aç ão

255

Para os exemplos numéricos que envolvam períodos inferiores a um ano, adotamos uma distribuição mensal uniforme para as varições percentuais do índice teórico durante os 12 meses do 1o ano, conforme indicado na Tabela 10.2: TABELA 10.2 Valores Mensais do Índice Teórico de Inflação no primeiro ano

Variação do índice Mês Mensal (%)

Acumulado (%)

Dezembro

Valor do índice no final do mês ($) 100,000000

Janeiro

0,948879

0,948879

100,948879

Fevereiro

0,948879

1,906762

101,906762

Março

0,948879

2,873734

102,873734

Abril

0,948879

3,849882

103,849882

Maio

0,948879

4,835292

104,835292

Junho

0,948879

5,830052

105,830052

Julho

0,948879

6,834252

106,834252

Agosto

0,948879

7,847980

107,847980

Setembro

0,948879

8,871327

108,871327

Outubro

0,948879

9,904385

109,904385

Novembro

0,948879

10,947245

110,947245

Dezembro

0,948879

12,000000

112,000000

Os valores do índice fornecidos na Tabela 10.2 permitem concluir que: a) o valor do índice no final de março é igual a 102,873734, indicando uma taxa de inflação de 2,873734% para o 1o trimestre; b) o valor do índice no final de junho é igual a 105,830052, indicando uma taxa de inflação de 5,830052% para o 1o semestre; c) o valor do índice no final de dezembro é igual a 112,000000, indicando uma taxa de inflação de 12,00% para o 1o ano, que coincide com essa inflação anual da Tabela 10.1.

256


Nos exemplos desenvolvidos neste capítulo, usaremos o índice teórico das Tabelas 10.1 e 10.2 para inflacionar e deflacionar os valores dos fluxos de caixa expressos na moeda $. A utilização de qualquer outro índice para medir a inflação deve obedecer aos mesmos procedimentos adotados neste capítulo com índice teórico de inflação dessas duas tabelas.

10.3. Taxas de Inflação, de Juros Real e de Juros Nominal Na análise de fluxos de caixa, levando em consideração a inflação, serão utilizadas as seguintes taxas:

rTaxa de Inflação (“ti”): é a taxa que mede a variação do índice teórico definido na Seção 10.2. Será representada de forma genérica pelo símbolo “ti”. r Taxa de Juros Real (“i”): é a taxa de juros utilizada nos fluxos de caixa expressos em moeda a preços constantes, sem inflação, normalmente referenciados à data inicial do fluxo de caixa. É a taxa “i” utilizada nos capítulos anteriores que foram desenvolvidos com a moeda forte $, sem inflação. Manteremos o símbolo “i” para a sua representação. r Taxa de Juros Nominal (“tn”) é a taxa de juros utilizada nos fluxos de caixa expressos em $ a preços correntes das respectivas datas em que ocorrem, e que incorporam a inflação da moeda. Essa taxa de juros nominal é uma taxa de juros que incorpora a taxa de juros real e a taxa de inflação, e será representada pelo símbolo “tn”. Costuma-se dizer que a taxa de juros real é a taxa de juros nominal descontada a inflação. Não confundir essa taxa de juros nominal com a taxa nominal definida na seção 5.5 do Capítulo 5 – Taxas de Juros.

10.4.

Modelo Pós-Fixado

10.4.1.

Conceitos Básicos e Metodologia de Cálculo

O modelo pós-fixado é normalmente utilizado em operações financeiras de longo prazo. Podemos citar como exemplos, o financiamento de imóveis, todas as operações financeiras com moeda estrangeira, CDBs com remuneração atrelada ao CDI e empréstimos indexados ao IGPM. As principais características do modelo são: r "JOáBÉÈPÊDBMDVMBEBa posteriori, ao longo do prazo da operação contratada, à medida que os valores do índice contratado se tornem conhecidos. r "JOáBÉÈPàDBFNBCFSUPOPJOÎDJPEBPQFSBÉÈP TFOEPBDFSUBEPOPDPOUSBUP apenas o índice que será utilizado na atualização dos valores; r 0TDÃMDVMPTàOBODFJSPTTÈPSFBMJ[BEPTDPNPáVYPEFDBJYBFYQSFTTPFNNPFEB estável, a preços constantes e com uma taxa de juros real (i), sem inflação. No modelo pós-fixado os cálculos são realizados com os fluxos de caixa expressos na moeda $, a preços constantes da data inicial, mediante a adoção dos seguintes procedimentos:


257

r os valores do fluxo de caixa devem ser expressos em $ a preços constantes da data inicial, sem considerar a inflação; r todos os cálculos, na moeda $ a preços constantes, devem ser realizados com a taxa de juros real (i), sem inflação; r os valores expressos em $ a preços constantes devem ser, posteriormente, convertidos para $ a preços correntes das datas futuras, utilizando o índice teórico da Seção 10.2, escolhido para medir a inflação.

Observe que a taxa interna de juros nominal (tn), que inclui a inflação, só pode ser calculada após o término da operação, quando os valores do fluxo de caixa a preços correntes se tornarem conhecidos. Isso porque no modelo pós-fixado a taxa de inflação fica em aberto, e só é conhecida ao longo do prazo da operação. Outra forma de atuar no modelo pós-fixado é mediante a conversão dos valores dos fluxos de caixa para quantidades do índice que mede a inflação, e realizar todos os cáculos, com a taxa de juros real, nessa moeda estável expressa pelo índice adotado. No final, as quantidades de índice devem ser transformadas para $, a preços correntes, utilizando-se os valores do índice nas datas futuras. Os resultados obtidos por essas duas sistemáticas de cálculos são idênticos, e optamos por apresentar apenas a modalidade baseada em $ constantes, e depois fazer as suas correções para obter os valores correntes (inflacionados). 10.4.2.

Exemplo Numérico – Financiamento com Prazo de Um Ano

Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma taxa de juros real de 10% ao ano, para ser liquidado no prazo de um ano, com o pagamento de uma única parcela, que deve ser corrigida pelos seguintes valores do índice que constam da Tabela 10.1:

r OBEBUBEBMJCFSBÉÈPEPTSFDVSTPT r na data da liquidação da operação = 112,00 Em relação a esse financiamento, calcule: a) o valor dos juros cobrados no final do ano, em $ a preços constantes e correntes; b) o valor da parcela cobrada a título de inflação, em $ a preços correntes, e em % ao ano; c) o valor do pagamento, em $, a preços correntes, para sua liquidação no final de um ano; d) sua taxa de juros nominal (tn), incluindo a taxa de inflação.

Solução: Vamos realizar os cálculos em $, a preços constantes, e usar o índice da Seção 10.2 como indexador para obter os valores em $, a preços correntes.

258


a) Juros cobrados no final do ano O valor do principal liberado, em $, foi fornecido como sendo igual a $1.000.000,00. Assim, os juros anuais calculados com a taxa de juros real de 10% ao ano, são obtidos pela relação: juros do ano $1.000.000,00 10% $100.000,00 Esses juros estão expressos em $ a preços constantes, com o valor da moeda $ correspondente à data inicial do contrato, na qual o índice tem o valor de 100,00. Na ocasião do pagamento dos juros, o índice tem valor igual a 112,00, e os juros, expressos em $, a preços correntes, são assim obtidos: $112,00 juros do ano $100.000,00 100,00 $112.000,00 Nesse caso, costuma-se dizer que os juros, no valor de $112.000,00, são “juros corrigidos” à medida que incorporam $12.000,00 a título de inflação; b) Parcela de inflação, em $ a preços correntes Essa parcela corresponde à correção do principal, usando os valores do índice das duas datas. Assim temos: principal corrigido $1.000.000,00

$112,00 $1.120.000,00 100,00

valor da inflação $1.120.000,00 – $1.000.000,00 $120.000,00 Em termos percentuais a taxa da inflação (ti) é calculada pela relação: taxa de inflação ti

$120.000,00 12% ao ano $1.000.000,00

que corresponde à variação percentual ocorrida entre os dois valores do índice (de 100,00 para 112,00); c) Valor do pagamento, em $ a preços correntes, para a liquidação do financiamento no final de um ano A preços constantes, em moeda do início do contrato, esse valor é assim obtido: Principal $1.000.000,00 Juros reais $100.000,00 Montante $1.100.000,00 A preços correntes, em moeda da data da liquidação do contrato, o montante no final de um ano é assim obtido: montante = $1.100.000,00

$112,00 $1.232.000,00 100,00


259

que pode ser desdobrado conforme indicado na Tabela 10.3 a seguir: TABELA 10.3

Parcelas

a) principal liberado

Valor em $

1.000.000,00

b) parcela de inflação do principal, com a taxa de 12% a.a.

c) principal corrigido para o final do ano (A) (B)

d) juros reais de 10% a.a. corrigidos pela taxa de inflação de 12% a.a.

e) montante a ser pago no final do ano (C) (D)

120.000,00

1.120.000,00

112.000,00

1.232.000,00

d) Taxa de juros nominal Essa taxa de juros é obtida pela relação: taxa nominal tn

$1.232.000,00 1 0,232 23,20% ao ano $1.000.000,00

Vamos, agora, analisar o valor da taxa de juros nominal (tn) e identificar sua composição a partir das seguintes parcelas:

r UBYBEFKVSPTSFBM J

r UBYBEFJOáBÉÈP UJ

Os juros corrigidos do final do ano, no valor de $112.000,00, também poderiam ter sido calculados com a aplicação da taxa de juros real de 10% a.a. sobre o principal corrigido para o final do ano ($1.120.000,00) pelo índice de inflação de 12%. Os juros do ano calculados com a taxa de 10% a.a. sobre o saldo devedor no início do ano, antes da aplicação da taxa de inflação anual, são iguais a $100.000,00. Nesse caso, o montante a ser pago no final do ano seria igual a: montante $1.120.000,00 $100.000,00 $1.220.000,00 Os valores obtidos nesses dois processos de cálculo de juros estão resumidos na Tabela 10.4, a seguir:

260


TABELA 10.4 Juros sobre saldo devedor do Parcelas Início do ano

Final do ano

a) principal liberado – em $

1.000.000,00

1.120.000,00

b) montante no final do ano – em $

1.220.000,00

1.232.000,00

c) incremento: (b)/(a)

22,00% a.a.

23,20% a.a.

Quando os juros são calculados sobre o saldo devedor do início do ano, a taxa total de 22,00% ao ano é constituída das seguintes parcelas: a) taxa de juros real do período b) taxa de inflação do período taxa total do período: (a) (b)

10,00% a.a. 12,00% a.a.

22,00% a.a.

ou seja, a taxa total é igual à soma da taxa de juros real com a taxa de inflação. Quando os juros são calculados sobre o saldo devedor do final do período, ou seja, incluindo a inflação do período, precisamos acrescentar os juros (10,00% a.a.) sobre a taxa de inflação do período (12,00% a.a.), isto é: 10,00% a.a. 12,00% a.a. 1,20% a.a. Assim, a taxa total do período, que corresponde à taxa de juros nominal (tn), no valor de 23,20% a.a., tem a seguinte composição: a) taxa de juros real do período b) taxa de inflação do período c) produto das taxas: (a) (b)

10,00% a.a. 12,00% a.a. 1,20% a.a.

taxa total do período: (a) (b) (c) 23,20% a.a. ou seja, a taxa de juros nominal (tn) é igual à soma da taxa de juros real (i) com a taxa de inflação (ti), acrescida do produto entre essas duas taxas. 10.4.3.

Expressão Genérica Relacionando às Taxas

A simbologia adotada para representar as taxas anuais de juros e de inflação, bem como suas respectivas taxas equivalentes, está indicada a seguir: i – taxa de juros real expressa em %, podendo ser representada por: ia – para a taxa de juros expressa em % ao ano is – para a taxa de juros expressa em % ao semestre


261

it – para a taxa de juros expressa em % ao trimestre im – para a taxa de juros expressa em % ao mês ti – taxa de inflação, expressa em %, podendo ser representada por: tia – para a taxa de inflação expressa em % ao ano tis – para a taxa de inflação expressa em % ao semestre tit – para a taxa de inflação expressa em % ao trimestre tim – para a taxa de inflação expressa em % ao mês tn – taxa de juros nominal, expressa em %, podendo ser representada por: tna – para a taxa de juros nominal expressa em % ao ano tns– para a taxa de juros nominal expressa em % ao semestre tnt – para a taxa de juros nominal expressa em % ao trimestre tnm – para a taxa de juros nominal expressa em % ao mês Vamos agora deduzir a expressão genérica para obter a taxa de juros nominal (tn) a partir da taxa de juros real (i) e da taxa de inflação (ti), utilizando os dados do exemplo da Seção 10.4.2. Inicialmente, vamos considerar as taxas expressas em termos anuais. O principal corrigido para o final do ano tem a seguinte expressão: Principal corrigido 1.000.000,00(1tia) Os juros anuais corrigidos, expressos em $ a preços correntes, são obtidos pela relação: Juros corrigidos 1.000.000,00 (1tia) (ia) O montante a ser pago no final do ano, expressos em $ a preços correntes é, portanto, obtido pela relação que segue: Montante 1.000.000,00 [(1tia) + (1tia) (ia)] que fornece: (10.1) Montante 1.000.000,00 [(1ia) (1tia)] Esse mesmo montante pode ser obtido diretamente pela aplicação da taxa nominal, através da expressão: (10.2) Montante 1.000.000,00 (1tna) Igualando as relações (10.1) e (10.2) obtemos a relação desejada: (10.3) (1 tna) (1 ia) (1 tia) Aplicando essa fórmula nos valores do exemplo da Seção 10.4.3: ia 10,00% ao ano tia 12,00% ao ano que fornece:

262


(1 tna) (1 10,00%) (1 12,00%) 1,232 e, portanto: tna 1,232 1 0,232 23,20% ao ano resultado que coincide com o valor obtido anteriormente. 10.4.4.

Relação entre Taxas de Diversas Periodicidades

Vamos, agora, demonstrar que se a taxa de juros nominal anual (tna) obedece à Relação (10.3), então a taxa de juros nominal mensal (tnm) deve obedecer à relação que se segue: (10.4) (1 tnm) (1 im) (1 tim) em que essas taxas mensais são equivalentes às suas respectivas taxas anuais da Relação (10.4). As taxas mensais equivalentes são obtidas pelas relações que se seguem: (1 tnm)12 (1 taa) (1 im)12 (1 ia) (1 tim)12 (1 tia) Ao substituirmos essas fórmulas na Relação (10.3) obtemos: (1 tnm)12 (1 im)12 (1 tim)12 que é igual à relação (10.4), quando eliminamos o expoente 12. As taxas anuais do exemplo da Seção 10.4.2, com suas respectivas taxas mensais equivalentes, estão indicadas na Tabela 10.5: TABELA 10.5 Parcelas

Taxa anual

Taxa equivalente mensal

taxa de juros real

10,00%

0,7974140%

taxa de inflação

12,00%

0,9488793%

taxa de juros nominal

23,20%

1,7538598%

Vamos agora aplicar a relação (10.4) para as taxas mensais equivalentes, conforme se segue: (1 tnm) (1 0,007974140) (1 0,009488793) 1,017538598 que fornece tam 1,17538598% ao mês, como esperado.


263

A relação (10.4) também pode ser expressa para as taxas trimestrais e semestrais, equivalentes às suas respectivas taxas anuais, e as expressões obtidas são as que se seguem: (10.5) (1 tnt) (1 it) (1 tit) (10.6) (1 tns) (1 is) (1 tis) A Tabela 10.6 mostra um resumo das taxas equivalentes do exemplo numérico da Seção 10.4.3, interligadas pelas Relações (10.3) a (10.6), que acabamos de deduzir. TABELA 10.6 Taxas equivalentes e taxas nominais – em %

Período

Taxa de inflação (ti)

Taxa de juros real (i)

Soma das taxas (ti) (i)

Produto das taxas (ti) (i)

Taxa de juros nominal (ti) (i) (ti) (i)

Anual

12,000000

10,000000

22,000000

1,200000

23,200000

Semestral

5,830052

4,880885

10,710937

0,284558

10,995495

Trimestral

2,873734

2,411369

5,285103

0,069296

5,354400

Mensal

0,948879

0,797414

1,746293

0,007566

1,753860

10.4.5.

Exemplos Numéricos

1. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma taxa de juros real de 10% ao ano, para ser liquidado no prazo de cinco anos, pelo sistema de amortizações constantes (SAC). As grandezas futuras devem ser corrigidas pelo índice da Tabela 10.1, que tem o valor igual a 100,00 na data da liberação dos recursos. Em relação a esse financiamento: a) determine seu fluxo de caixa em $, a preços constantes e a preços correntes; b) calcule sua taxa interna de juros nominal, em % ao ano; c) decomponha sua taxa interna de juros nominal, calculada no item b, nas taxas de juros real e de inflação. Solução: a) Fluxo de caixa em $, a preços constantes e a preços correntes A partir do principal de $1.000.000,00 e da taxa de juros real de 10% ao ano, montamos a Tabela 10.7 com os valores das amortizações e juros para os cinco anos do financiamento, em $ a preços constantes.

264


TABELA 10.7

Valores em $ a preços constantes

Ano

Saldo no final do ano

0

1.000.000,00

1

800.000,00

200.000,00

100.000,00

300.000,00

2

600.000,00

200.000,00

80.000,00

280.000,00

3

400.000,00

200.000,00

60.000,00

260.000,00

4

200.000,00

200.000,00

40.000,00

240.000,00

5

0,00

200.000,00

20.000,00

220.000,00

1.000.000,00

300.000,00

1.300.000,00

Soma

–

Amortização do ano

Juros do ano

Prestação do ano

A Tabela 10.8 apresenta o fluxo de caixa do financiamento na moeda $, a preços constantes e a preços correntes, que foram obtidos com os valores anuais do índice da Tabela 10.1. TABELA 10.8 Fluxos de caixa em $ constantes e $ correntes

Ano

Valores em $ constantes

Valor do índice no final do ano

Valores em $ correntes

0

1.000.000,00

100,000000

1.000.000,00

1

300.000,00

112,000000

336.000,00

2

280.000,00

125,440000

351.232,00

3

260.000,00

140,492800

365.281,28

4

240.000,00

157,351936

377.644,65

5

220.000,00

176,234168

387.715,17

Soma

300.000,00

–

817.873,10

Taxa Interna

10,00% a.a.

–

23,20% a.a.


265

b) Taxa interna de juros nominal, em % ao ano As taxas internas dos fluxos de caixas da Tabela 10.8, obtidas com a HP-12C ou com o Excel são as seguintes: r áVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPOTUBOUFT 10,00% a.a. (taxa interna real) r áVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPSSFOUFT 23,20% a.a. (taxa interna nominal) Observe, ainda, que o desconto do fluxo de caixa em $ constantes com a taxa de juros real de 10,00% a.a. fornece um valor presente de $1.000.000,00, que é idêntico ao valor presente do fluxo de caixa em $ correntes com a taxa de juros nominal de 23,20% a.a; c) decomposição da taxa de juros nominal nas taxas de juros real e de inflação Considerando que a taxa de inflação de 12,00% ao ano é a mesma nos cinco anos, a Tabela 10.9 relaciona essa taxa com as taxas de juros real e nominal. TABELA 10.9

Parcelas

% ao ano

taxa de inflação

12,00

taxa de juros real

10,00

soma das duas taxas

22,00

produto das duas taxas

1,20

taxa de juros nominal

23,20

2. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma taxa de juros real de 10% ao ano, para ser liquidado com o pagamento de uma única parcela no final de três meses. A inflação será medida pelo índice da Tabela 10.2, que tem o valor igual a 100,00 na data da liberação dos recursos. Em relação a esse financiamento: a) determine seu fluxo de caixa em $ a preços constantes e a preços correntes; b) calcule suas taxas internas de juros (real e nominal), em % ao mês; c) determine as taxas trimestrais e as taxas anuais que são equivalentes às taxas internas obtidas no item b; d) verifique as relações entre as taxas de inflação, de juros real e de juros nominal para as periodicidades mensal, trimestral e anual.

266


Solução: a) Fluxo de caixa em $, a preços constantes e a preços correntes A taxa de juros trimestral equivalente à taxa de juros real de 10,00% ao ano é obtida pela relação: it (1 0,10)1/4 1 0,02411369 2,411369% a.t. Dessa forma, o valor dos juros, em $ a preços constantes, a serem pagos no final do 3o mês é igual a: 1.000.000,00 2,411369% $24.113,69 e o montante a ser liquidado no final do 3o mês, em $ a preços constantes, é igual a $1.024.113,69, sendo $1.000.000,00 de amortização do principal e $24.113,69 de juros. A Tabela 10.10 traz os fluxos de caixa do financiamento, em $ a preços constantes e a preços correntes, que foram obtidos com os valores do índice da Tabela 10.2. TABELA 10.10 Fluxos de caixa em $ a preços constantes e correntes

Mês Dezembro

Valor do índice no final do mês ($)

Valores em $ a preços correntes

1.000.000,00

100,000000

1.000.000,00

Janeiro

0,00

100,948879

0,00

Fevereiro

0,00

101,906762

0,00

Março

1.024.113,69

102,873734

1.053.544,00

Soma

24.113,69

–

53.544,00

0,797414% a.m.

–

1,753860% a.m.

Taxa interna


b) Taxas internas de juros (real e nominal), em % ao mês As taxas internas de retorno para os dois fluxos de caixa, obtidas com a HP-12C ou com o Excel, são as seguintes: r 'MVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPOTUBOUFT BN UBYBSFBM r 'MVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPSSFOUFT BN UBYBOPNJOBM c) Taxas trimestrais e taxas anuais equivalentes às taxas internas do item b As taxas equivalentes são obtidas pelas relações a seguir: it (1 0,00797414)3 1 0,02411369 2,411369% a.t. ia (1 0,00797414)12 1 0,10000000 10,00% a.a.


267

tnt (1 0,01753860)3 1 0,05354400 5,3544% a.t. tna (1 0,01753860)12 1 0,23200000 23,20% a.a. e estão resumidas na Tabela 10.11: TABELA 10.11 Taxas equivalentes Taxa mensal (% a.m.)

Trimestral (% a.t.)

Anual (% a.a.)

Taxa de juros real

0,797414

2,411369

10,00

Taxa de juros nominal

1,753860

5,354400

23,20

Parcelas

c) Relações entre as taxas de inflação, de juros real e de juros nominal, para as periodicidades mensal, trimestral e anual As taxas de inflação mensal, trimestral e anual, obtidas pelos valores mensais do índice da Tabela 10.2, correspondem, respectivamente, a 0,948879% a.m., 2,873734% a.t. e 12,00% a.a. Vamos confirmar as relações (10.3), (10.4) e (10.5) para as taxas anuais, mensais e trimestrais, respectivamente, que foram obtidas para o financiamento: tna (1 0,10) (1 0,12) 1 0,2320 23,20% a.a. tnm (1 0,00797414) (1 0,00948879) 1 0,0175386 1,753860% a.m. tnt (1 0,02411369) (1 0,02873734) 1 0,0535440 5,354400% a.t. Os valores dessas taxas estão resumidos na Tabela 10.12: TABELA 10.12 Taxas equivalentes e taxas nominais – em %

Período

Taxa de inflação


(ti) (i) (ti)(i)

(ti) Anual


12,00

10,00

23,20

Trimestral

2,873734

2,411369

5,354400

Mensal

0,948879

0,797414

1,753860

3. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma taxa de juros real de 10% ao ano, para ser liquidado com seis prestações mensais e iguais do Modelo Price. A inflação será medida pelo índice da Tabela 10.2, que tem o valor igual a 100,00 na data da liberação dos recursos. Em relação a esse financiamento:

268


a) determine seu fluxo de caixa em $ a preços constantes e a preços correntes; b) calcule suas taxas internas de juros (real e nominal), em % ao mês; c) determine as taxas anuais que são equivalentes às taxas internas obtidas no item b; d) verifique as relações entre as taxas de inflação, de juros real e de juros nominal, para as periodicidades mensal e anual. Solução: a) Fluxo de caixa em $ a preços constantes e a preços correntes A taxa de juros mensal equivalente à taxa de juros real de 10,00% ao ano é obtida pela relação: im (1 0,10)1/12 1 0,00797414 0,797414% a.m. O valor das prestações mensais, em $ a preços constantes, pode ser calculado com a HP-12C ou com o Excel, e o resultado obtido é igual a $171.349,03. A Tabela 10.13 mostra os fluxos de caixa do financiamento, em $ a preços constantes e a preços correntes, que foram obtidos com os valores mensais do índice da Tabela 10.2. TABELA 10.13

Mês Dezembro

Fluxos de caixa em $ a preços constantes e correntes


Valor do índice no final do mês


1.000.000,00

100,000000

1.000.000,00

Janeiro

171.349,03

100,948879

172.974,89

Fevereiro

171.349,03

101,906762

174.616,22

Março

171.349,03

102,873734

176.273,11

Abril

171.349,03

103,849882

177.945,73

Maio

171.349,03

104,835292

179.634,22

Junho

171.349,03

105,830052

181.338,74

Soma

28.094,18

–

62.782,91

0,797414% a.m.

–

1,753860% a.m.

Taxa interna

b) Taxas internas de juros (real e nominal), em % ao mês As taxas internas de retorno para os dois fluxos de caixa, obtidas com a HP-12C ou com o Excel, são as seguintes:


269

r áVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPOTUBOUFT 0,797414% a.m. (taxa real) r áVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPSSFOUFT 1,753860% a.m. (taxa nominal) que são idênticas às taxas obtidas para os fluxos de caixa do Exemplo 2. c) Taxas anuais equivalentes às taxas internas do item b Essas taxas já foram obtidas no exemplo anterior, e estão resumidas na Tabela 10.14: TABELA 10.14

Taxas equivalentes

Parcelas (% a.m.)

Mensal

Anual (% a.a.)

Taxa de juros real

0,797414

10,000000


1,753860

23,200000

d) Relações entre as taxas de inflação, de juros real e de juros nominal, para as periodicidades mensal e anual As taxas de inflação mensal e anual, obtidas pela Tabela 10.2, correspondem, respectivamente, a 0,948879% a.m. e 12,00% a.a. As relações (10.3) e (10.4) já foram verificadas no Exemplo 2 para essas taxas anuais e trimestrais, e encontram-se na Tabela 10.15: TABELA 10.15

Período Anual Mensal

10.4.6.

Taxas equivalentes e taxas nominais – em %

Taxa de inflação (ti)


Taxa de juros nominal (ti) (i) (ti)(i)

12,00

10,00

23,20

0,948879

0,797414

1,753860

Comentários

Ressaltamos que todos os exercícios da Seção 10.4.5 foram desenvolvidos com as seguintes premissas: a) taxa de inflação idêntica em todos os períodos e equivalente à taxa de 12,00% ao ano; b) taxa de juros real idêntica em todos os períodos e equivalente à taxa de 10,00% ao ano. A taxa de juros nominal obtida em cada um desses exemplos se relaciona com essas duas taxas (inflação e juros real) de acordo com as relações (10.3) a (10.5).

270


Nos exemplos da Seção 10.4.5, o desconto do fluxo de caixa em $ a preços constantes, com a taxa de juros real, fornece o mesmo valor presente que o desconto do fluxo de caixa em $ a preços correntes com a taxa de juros nominal. Assim, se a inflação influenciar igualmente todos os valores do fluxo de caixa, tanto faz descontar o fluxo de caixa em $ a preços constantes com a taxa de juros real como descontar o fluxo de caixa em $ a preços correntes com a taxa de juros nominal. No modelo pós-fixado os cálculos são realizados com os valores dos fluxos de caixa expressos numa moeda estável (constante) e com uma taxa de juros real, sem inflação. No início da operação, é apenas definido o índice que será utilizado na atualização dos valores da moeda constante da data inicial. Assim, a inflação fica “em aberto”, para ser calculada a posteriori ao longo do prazo da operação. As grandezas em moeda estável (constante) são, posteriormente, convertidas para a moeda corrente pelo índice definido para aferir a inflação. Nesse fluxo de caixa expresso em $ a preços correntes podemos calcular a taxa interna nominal, após o término da operação. Uma outra forma de atuar no Modelo Pós-Fixado consiste na conversão dos valores do fluxo de caixa para quantidades do índice escolhido para medir a inflação, e realizar todos os cálculos, com a taxa de juros real, nessa moeda estável expressa pelo índice da inflação. As quantidades de índice são, posteriormente, convertidas para $, a preços correntes, utilizando-se os valores dos índices nas datas futuras. Os procedimentos adotados neste capítulo com a atualização da moeda $ pelo índice das Tabelas 10.1 e 10.2 são rigorosamente válidos para qualquer outro índice que for utilizado para medir a inflação.

10.5.

Modelo Prefixado

10.5.1.

Conceitos Básicos e Metodologia de Cálculo

O modelo prefixado é bastante utilizado nas operações financeiras de curto prazo. Podemos citar como exemplo os crediários ao consumidor e as operações de desconto de títulos. As principais características do modelo prefixado são: r "JOáBÉÈPUFNRVFTFSFTUJNBEBa priori, e prefixada no início da operação financeira; r 0T DÃMDVMPT àOBODFJSPT TÈP SFBMJ[BEPT DPN P áVYP EF DBJYB FYQSFTTP FN moeda corrente (com inflação) das respectivas datas futuras, e com uma taxa de juros nominal prefixada, que inclui a inflação. A taxa de juros tem de ser aumentada para incorporar, numa única parcela, a taxa de juros real e a taxa de inflação de cada período. Essa taxa de juros, que inclui uma


271

parcela de inflação, é denominada taxa de juros nominal prefixada, ou simplesmente taxa nominal prefixada, e tem as seguintes características: r ÊEFàOJEBOPJOÎDJPEBPQFSBÉÈP PRVFKVTUJàDBPOPNFBEPUBEP r EFWFDPSSFTQPOEFSÆTPNBEBUBYBEFKVSPTSFBMDPNBUBYBEBJOáBÉÈPNBJT o produto dessas taxas; r UFNPNFTNPWBMPSQBSBUPEPTPTQFSÎPEPTEBPQFSBÉÈP As grandezas em moeda “corrente” podem ser, posteriormente, convertidas para uma moeda “constante” pelo índice definido para medir a inflação, e a taxa interna de juros real desse fluxo de caixa pode ser calculada após o conhecimento de todos os seus valores. Os exemplos numéricos para o modelo prefixado são baseados nos exemplos desenvolvidos para o modelo pós-fixado nas Seções 10.4.2 e 10.4.5. Adotamos taxas nominais prefixadas iguais às taxas nominais que foram utilizadas nos exemplos correspondentes, para que possamos comparar os resultados obtidos nesses dois modelos. 10.5.2.

Exemplos Numéricos

1. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma taxa de juros nominal prefixada de 23,20% ao ano, para ser liquidado no prazo de um ano, com o pagamento de uma única parcela. A inflação será medida pelo índice da Tabela 10.1, que tem o valor igual a 100,00 na data da liberação dos recursos. Em relação a esse financiamento, determine: a) o valor do pagamento em $, a preços correntes, para sua liquidação no final de um ano; b) a taxa de inflação, em % ao ano; c) seu fluxo de caixa em $, a preços correntes e a preços constantes; d) sua taxa interna de juros real, em % ao ano; e) a relação da taxa nominal prefixada com as taxas de inflação e de juros real. Solução: a) Valor do pagamento em $, a preços correntes, para a liquidação do financiamento Considerando a taxa nominal prefixada de 23,20% ao ano, o valor do pagamento a ser realizado no final do ano, em $ correntes, é igual a: pagamento final $1.000.000,00 (1 0,2320) $1.232.000,00 b) Taxa de inflação, em % ao ano A taxa de inflação de 12,00% ao ano é obtida diretamente da Tabela 10.1 com os valores anuais do índice.

272


c) Fluxo de caixa em $, a preços correntes e a preços constantes O fluxo de caixa em $ a preços constantes é obtido deflacionando os valores do fluxo de caixa em $ a preços correntes, utilizando como deflator o índice da Tabela 10.1, conforme indicado na Tabela 10.16. TABELA 10.16

Ano

Fluxos de caixa em $ a preços correntes e constantes


Valor do índice no final do ano


0

1.000.000,00

100,000000

1.000.000,00

1

1.232.000,00

112,000000

1.100.000,00

Soma

232.000,00

–

100.000,00

Taxa interna

23,20% a.a.

–

10,00% a.a.

Cabe ressaltar que primeiro obtemos o fluxo de caixa em $ correntes a partir da taxa nominal prefixada. Posteriormente, obtemos o fluxo de caixa em $, a preços constantes, deflacionando as parcelas em $ a preços correntes com o índice da Tabela 10.1. d) Taxa interna de juros real, em % ao ano A taxa interna de juros real é obtida pelo desconto do fluxo de caixa em $ a preços constantes, e o valor encontrado é igual a 10,00% ao ano; e) Relação da taxa nominal prefixada com as taxas de inflação e de juros real Essas três taxas satisfazem a relação (10.3), senão vejamos: taxa nominal prefixada 23,20% ao ano (1 0,10) (1 0,12) 1 0,2320 23,20% ao ano Os resultados obtidos nesse financiamento no modelo prefixado são idênticos àqueles alcançados no financiamento do Exemplo 1 da Seção 10.4.2 com o modelo pós-fixado. Isso ocorreu porque a taxa nominal prefixada incluiu exatamente a taxa de inflação de 12,00% a.a. e a taxa de juros real de 10,00% a.a. 2. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma taxa nominal prefixada de 23,20% ao ano, para ser liquidado no prazo de cinco anos pelo sistema de amortizações constantes. A inflação será medida pelo índice da Tabela 10.1, que tem o valor igual a 100,00 na data da liberação dos recursos. Em relação a esse financiamento, determine: a) a taxa de inflação em % ano; b) seu fluxo de caixa em $, a preços correntes e a preços constantes; c) sua taxa interna de juros real, em % ao ano; d) a relação da taxa nominal prefixada com as taxas de inflação e de juros real.


273

Solução: a) Taxa de inflação em % ano A Tabela 10.1 fornece a taxa de inflação de 12,00% ao ano, com o mesmo valor para os cinco anos seguintes ao ano da liberação do principal; b) Fluxo de caixa em $, a preços correntes e a preços constantes A partir do principal de $1.000.000,00 e da taxa nominal prefixada de 23,20% ao ano, montamos a Tabela 10.17, em $ correntes, com os valores das amortizações e juros para os cinco anos do prazo do financiamento. TABELA 10.17

Ano


Saldo no final do ano

Amortização do ano

Juros do ano

Prestação do ano

0

1.000.000,00

1

800.000,00

200.000,00

232.000,00

432.000,00

2

600.000,00

200.000,00

185.600,00

385.600,00

3

400.000,00

200.000,00

139.200,00

339.200,00

4

200.000,00

200.000,00

92.800,00

292.800,00

5

0,00

200.000,00

46.400,00

246.400,00

1.000.000,00

696.000,00

1.696.000,00

Soma

–

O fluxo de caixa em $ a preços constantes é obtido deflacionando os valores do fluxo de caixa em $ a preços correntes, utilizando como deflator o índice da Tabela 10.1, conforme indicado na Tabela 10.18. TABELA 10.18

Ano


Valores em $

Valor do índice

Valores em $ a

a preços correntes

no final do ano

preços constantes

0

1.000.000,00

100,000000

1.000.000,00

1 2

432.000,00

112,000000

385.714,29

385.600,00

125,440000

307.397,96

3

339.200,00

140,492800

241.435,86

4

292.800,00

157,351936

186.079,69

5

246.400,00

176,234168

139.813,98

–

10,00% a.a.

Soma

696.000,00

Taxa interna

23,20% a.a.

260.441,78

274


c) Taxa interna de juros real em % ao ano A taxa interna do fluxo de caixa em $ a preços correntes é a própria taxa nominal prefixada de 23,20% ao ano, usada na geração de suas parcelas de juros. A HP-12C ou o Excel pode ser usado para confirmar o valor dessa taxa nominal prefixada, e para calcular o valor da taxa de juros real a partir do fluxo de caixa com os valores expressos em $ a preços constantes. Os resultados obtidos são os seguintes: r áVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPOTUBOUFT 10,00% a.a. (taxa interna real) r áVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPSSFOUFT 23,20% a.a. (taxa interna nominal) d) Relação da taxa nominal prefixada com as taxas de inflação e de juros real Essas três taxas satisfazem a Relação (10.3), senão vejamos: taxa nominal prefixada 23,20% ao ano (1 0,10) (1 0,12) 1 0,2320 23,20% a.a. Verifique que os resultados são idênticos àqueles obtidos no financiamento do Exemplo 1 da Seção 10.4.5 com o modelo pós-fixado. 3. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma taxa nominal prefixada de 23,20% ao ano, para ser liquidado com o pagamento de uma única parcela no final de três meses. A inflação será medida pelo índice da Tabela 10.2, que tem o valor igual a 100,00 na data da liberação dos recursos. Em relação a esse financiamento, determine: a) a taxa de inflação, em % ao ano e em % ao mês; b) seu fluxo de caixa em $, a preços correntes e a preços constantes; c) sua taxa interna de juros real em % ao mês e em % ao ano; d) a relação da taxa nominal prefixada com as taxas de inflação e de juros real, nas periodicidades anual e mensal. Solução: a) Taxa de inflação, em % ao ano e em % ao mês A Tabela 10.2 permite obter as taxas de inflação de 12,00% ao ano e de 0,948879% ao mês; b) Fluxo de caixa em $, a preços correntes e a preços constantes A taxa nominal prefixada de 23,20% ao ano fornece as seguintes taxas equivalentes: it (1 0,2320)1/4 1 5,354400% a.t. im (1 0,2320)1/12 1 1,753860% a.m. O valor do pagamento a ser realizado no final do 3o mês, em $ a preços correntes, é obtido pela relação: pagamento final $1.000.000,00 (1 0,05354400) $1.053.544,00


275

O fluxo de caixa em $ a preços constantes é obtido deflacionando os valores do fluxo de caixa em $ a preços correntes, utilizando como deflator o índice da Tabela 10.2, conforme indicado na Tabela 10.19. TABELA 10.19

Mês



Dezembro

$1.000.000,00

100,000000

Janeiro

0,00

100,948879

0,00

Fevereiro

0,00

101,906762

0,00

1.053.544,00

102,873734

1.024.113,70

Março Soma Taxa interna


52.544,00 1,753860% a.m.

– –

Valores em $ a preços constantes $1.000.000,00

24.113,70 0,797414% a.m.

c) Taxa interna de juros real, em % ao mês e em % ao ano A taxa interna do fluxo de caixa em $ a preços correntes é a própria taxa nominal prefixada de 23,20% ao ano, equivalente às taxas de 1,753860% a.m. e 5,354400% a.t. A HP-12C ou o Excel pode ser usado para confirmar o valor dessa taxa nominal prefixada mensal, e para calcular o valor da taxa de juros real a partir do fluxo de caixa com os valores expressos em $ a preços constantes. Os resultados obtidos são os seguintes: r áVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPOTUBOUFT 0,797414% a.m. (taxa interna real) r áVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPSSFOUFT 1,753860% a.m. (taxa interna nominal) As taxas equivalentes anuais são obtidas pelas relações a seguir: ia (1 0,797414%)12 1 10,00% a.a. taa (1 1,753860%)12 1 23,20% a.a. d) Relação da taxa nominal prefixada com as taxas de inflação e de juros real, nas periodicidades anual e mensal Essas três taxas satisfazem as Relações (10.3) e (10.4), senão vejamos: taxa nominal prefixada 23,20% a.a. (1 0,10) (1 0,12) 1 23,20% a.a. taxa nominal prefixada 1,753860% a.m. (1 0,00797414) (1 0,00948879) 1 1,753860% a.m. Verifique que os resultados são idênticos àqueles alcançados no financiamento do Exemplo 2 da Seção 10.4.5 com o modelo pós-fixado.

276


4. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma taxa nominal prefixada de 23,20% ao ano, para ser liquidado com seis prestações mensais e iguais do modelo Price. A inflação será medida pelo índice da Tabela 10.2, que tem o valor igual a 100,00 na data da liberação dos recursos. Em relação a esse financiamento, determine: a) a taxa de inflação, em % ao ano e em % ao mês; b) seu fluxo de caixa em $ a preços correntes e a preços constantes; c) sua taxa interna de juros real, em % ao mês e em % ao ano; d) a relação da taxa nominal prefixada com as taxas de inflação e de juros real, nas periodicidades anual e mensal. Solução: a) Taxa de inflação, em % ao ano e em % ao mês A Tabela 10.2 permite obter as taxas de inflação de 12,00% ao ano e de 0,948879% ao mês. b) Fluxo de caixa em $, a preços correntes e a preços constantes A taxa nominal prefixada de 23,20% ao ano fornece sua taxa equivalente mensal pela relação: im (1 0,232)1/12 1 1,753860% a.m. O valor das seis prestações mensais, em $ a preços correntes, pode ser calculado com a HP-12C ou com o Excel e o resultado obtido é igual a $177.045,72. A Tabela 10.20 mostra os valores do fluxo de caixa em $ a preços correntes e a preços constantes, obtidos com a aplicação do índice da Tabela 10.2: TABELA 10.20

Mês Dezembro




1.000.000,00

100,000000

Valores em $ a preços constantes 1.000.000,00

Janeiro

177.045,72

100,948879

175.381,56

Fevereiro

177.045,72

101,906762

173.733,04

Março

177.045,72

102,873734

172.100,02

Abril

177.045,72

103,849882

170.482,35

Maio

177.045,72

104,835292

168.879,88

Junho

177.045,72

105,830052

167.292,48

Soma

62.274,33

–

27.869,35

Taxa interna

1,753860% a.m.

–

0,797414% a.m


277

c) Taxa interna de juros real, em % ao mês e em % ao ano A taxa interna do fluxo de caixa em $ correntes é a própria taxa nominal prefixada de 23,20% ao ano, equivalente à taxa de 1,753860% a.m. A HP-12C ou o Excel pode ser usado para confirmar o valor dessa taxa nominal prefixada mensal e para calcular o valor da taxa de juros real a partir do fluxo de caixa com os valores expressos em $ a preços constantes. Os resultados obtidos são os seguintes: ráVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPOTUBOUFT 0,797414% a.m. (taxa interna real) ráVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPSSFOUFT 1,753860% a.m. (taxa interna nominal) As taxas equivalentes anuais são obtidas pelas relações a seguir: ia (1 0,00797414)12 1 10,00% a.a. taa (1 0,01753860)12 1 23,20% a.a. d) Relação da taxa nominal prefixada com as taxas de inflação e de juros real, nas periodicidades anual e mensal Essas três taxas satisfazem as Relações (10.3) e (10.4), senão vejamos: taxa nominal prefixada 23,20% a.a. (1 0,10) (1 0,12) 1 23,20% a.a. taxa nominal prefixada 1,753860% a.m. (1 0,797414%) (1 0,948879%) 1 1,753860% a.m. Verifique que os resultados são idênticos àqueles alcançados no financiamento do Exemplo 3 da Seção 10.4.5 com o modelo pós-fixado. 10.5.3.

Comentários

Os exemplos numéricos desenvolvidos na Seção 10.5.2 com o modelo prefixado foram baseados nos exemplos apresentados nas Seções 10.4.2 e 10.4.5 para o modelo pós-fixado, que apresentam as seguintes características: r UBYBTEFJOáBÉÈP NFEJEBQFMPÎOEJDFEBT5BCFMBTF JHVBJTFNUPEPT os períodos e equivalentes à taxa de 12,00% ao ano; r UBYBTEFKVSPTSFBJTJHVBJTPVFRVJWBMFOUFTB BPBOP A taxa nominal prefixada, em todos os exemplos do modelo prefixado, é igual a 23,20% ao ano, ou seja, é igual à soma da taxa da inflação de 12,00% a.a. com a taxa de juros real de 10,00%, mais o produto entre essas duas taxas. A análise dos resultados desses exemplos numéricos nos permite concluir: a) os fluxos de caixa em $ a preços correntes foram obtidos a partir do principal em $ e da taxa nominal prefixada;

278


b) os fluxos de caixa em $ a preços constantes foram obtidos a partir dos fluxos de caixa em $ a preços correntes e dos valores do índice que mede a inflação; c) os valores dos fluxos de caixa em $ a preços constantes e em $ a preços correntes não são, necessariamente, iguais àqueles obtidos nos exemplos correspondentes do modelo pós-fixado; d) o valor presente e a taxa de juros real dos fluxos de caixa em $ a preços constantes são iguais, em todos os casos, àqueles obtidos nos exemplos correspondentes no modelo pós-fixado. No modelo prefixado, os cálculos são realizados com os fluxos de caixa expressos em $ a preços correntes (com inflação) e com uma taxa de juros nominal prefixada, com o mesmo valor em todos os períodos, que inclui uma parcela de inflação. Nesse modelo, a inflação e os valores do fluxo de caixa em $ a preços correntes são estimados e prefixados, a priori, no início da operação. Os procedimentos adotados nos exemplos numéricos com o índice das Tabelas 10.1 e 10.2 são rigorosamente válidos para qualquer outro índice que for utilizado para medir a inflação.

10.6.

Conclusão

No presente capítulo, apresentamos os modelos pós-fixado e prefixado para o tratamento da inflação em fluxos de caixa expressos em moedas que perdem seu poder aquisitivo ao longo do tempo, por conta da inflação. As principais características do modelo pós-fixado são: r BJOáBÉÈPTÓÊMFWBEBFNDPOTJEFSBÉÈPa posteriori, ao longo do prazo da operação, sendo definido na data inicial apenas o índice que será utilizado para sua aferição; r PT DÃMDVMPT TÈP SFBMJ[BEPT DPN VNB taxa de juros real, sem qualquer parcela de inflação, e com o fluxo de caixa expresso em $ a preços constantes (sem inflação); r BTHSBOEF[BTFNBQSFÉPTDPOTUBOUFTTÈPQPTUFSJPSNFOUFDPOWFSUJEBTQBSB a preços correntes pelo índice que for definido para aferir a inflação; r P DÃMDVMP EB taxa interna nominal só pode ser realizado após o término da operação.

As principais características do modelo prefixado são: r BJOáBÉÈPFPTWBMPSFTEPáVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPSSFOUFTTÈPFTUJNBEPT e prefixados, a priori, no início da operação; r PTDÃMDVMPTTÈPSFBMJ[BEPTDPNVNBtaxa de juros nominal prefixada, que inclui a inflação, e com o fluxo de caixa expresso em $ a preços correntes (com inflação);


279

r BTHSBOEF[BTFNBQSFÉPTDPSSFOUFTQPEFNTFSQPTUFSJPSNFOUFDPOWFSUJEBT para $ a preços constantes pelo índice que for definido para aferir a inflação; r PDÃMDVMPEBUBYBJOUFSOBSFBMEPáVYPEFDBJYBFNBQSFÉPTDPOTUBOUFTTÓ pode ser realizado após o término da operação. Se a inflação influenciar igualmente todos os valores do fluxo de caixa, tanto faz descontar o fluxo de caixa em $ a preços constantes com a taxa de juros real, como descontar o fluxo de caixa em $ a preços correntes com a taxa nominal prefixada, pois os valores presentes líquidos serão iguais nos dois casos. Por uma questão de ordem didática, adotamos um índice teórico para medir a inflação da moeda com o símbolo $, utilizada em todos os outros capítulos do livro. Os conceitos apresentados neste capítulo com esse índice são integralmente válidos para qualquer outro índice que for utilizado para medir a inflação.

10.7.

Problemas Propostos

1. Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa nominal prefixada de 22,10% ao ano. Calcule a taxa de juros real de um investimento realizado nessa instituição, sabendo-se que a taxa de inflação é igual a 11,00% ao ano. 2. A taxa de juros real a ser cobrada num determinado financiamento é igual a 5,00% ao semestre. Sabendo-se que a projeção da taxa de inflação para esse período de seis meses é de 6,00%: a) calcule a taxa nominal, em % ao semestre, a ser prefixada para esse financiamento; b) calcule a taxa de juros nominal anual equivalente à taxa obtida no item a; c) calcule as taxas anuais de juros real e de inflação, equivalentes às taxas fornecidas; d) verifique a relação existente entre as taxas obtidas nos itens b e c. 3. Uma aplicação de $10.000,00 rendeu, no prazo de seis meses, uma taxa de juros real de 12,00% ao ano, capitalizados semestralmente. Calcule o valor de resgate dessa aplicação sabendo-se que a taxa de inflação para esse período de seis meses é igual a 8,00%. 4. Uma aplicação de $50.000,00 deve ser remunerada pelo prazo de seis meses com uma taxa de juros real de 0,90% ao mês. Calcule o valor de resgate dessa aplicação sabendo-se que a taxa de inflação é igual a 1,00% ao mês em cada um dos seis meses desse investimento. 5. Um investimento de $1.000,00 rendeu, no prazo de um ano, juros corrigidos no valor de $138,00. Calcule as taxas de juros nominal e real desse investimento,

280

6.

7.

8.

9.


em % ao ano, sabendo-se que o principal aplicado, além dos juros corrigidos de $138,00, foi atualizado monetariamente pela taxa de inflação de 15,00% ao ano. Uma instituição financeira que opera com o modelo prefixado cobra uma taxa de juros real de 12,00% ao ano em seus financiamentos e está prevendo uma taxa de inflação de 15,00% ao ano para os próximos quatro meses. Usando o regime de juros compostos para a obtenção de taxas equivalentes, calcule: a) a taxa de juros nominal prefixada, em % ao mês, a ser utilizada em suas operações com prazo de quatro meses; b) o valor da prestação mensal fixa a ser cobrada nos financiamentos com prazo de quatro meses e com o principal de $1.000,00. Um equipamento com o preço à vista de $10.000,00 está sendo financiado em seis prestações mensais fixas de $1.816,41. Calcule a taxa de inflação, em % ao mês, projetada por essa entidade financiadora sabendo-se que a taxa de juros real cobrada nessas operações é igual a 1,00% ao mês. Um equipamento com o preço à vista de $10.000,00 deve ser financiado em dois pagamentos anuais iguais, com uma taxa de juros real de 10,00% ao ano. Calcule o valor dessas parcelas anuais, em $ a preços correntes, sabendo-se que a taxa de inflação é igual a 12,00% a.a. no 1o ano e 14,00% a.a. no 2o ano. Um financiamento de $100.000,00 foi realizado no final de dezembro para ser liquidado com seis prestações mensais e iguais, segundo os modelos pós-fixado e prefixado. A taxa de juros real cobrada nesse financiamento é de 9,00% ao ano capitalizados mensalmente.

O índice que mede a inflação da moeda $ tem os seguintes valores para esse período de seis meses: Mês

Variação mensal do índice (%)

Dezembro Janeiro

Valor do índice no final do mês 100,000000

1,000000

101,000000

Fevereiro

1,000000

102,010000

Março

1,000000

103,030100

Abril

1,000000

104,060401

Maio

1,000000

105,101005

Junho

1,000000

106,152015

Calcule no modelo pós-fixado: a) o valor das prestações mensais em $ a preços constantes com a taxa de juros real de 9,00% a.a. capitalizados mensalmente;


281

b) os valores das prestações efetivamente pagas, em $ a preços correntes; c) o valor da taxa de juros nominal, em % ao mês, para o fluxo de caixa em $ correntes. Calcule no modelo prefixado: d) o valor da taxa de juros nominal prefixada, em % ao mês; e) o valor das prestações mensais fixas, em $ a preços correntes, com a taxa de juros nominal obtida no item d; f) os valores das prestações em $ constantes da data inicial do contrato; g) o valor da taxa de juros real, em % ao mês, para o fluxo de caixa em $ constantes. 10. Um financiamento de $100.000,00 foi realizado no final de dezembro para ser liquidado no prazo de cinco anos, pelo sistema de amortizações constantes, segundo o modelo pós-fixado, com uma taxa de juros real de 10,00% ao ano. O índice que mede a inflação da moeda $ tem os seguintes valores para esse período de cinco anos: Ano

Variação anual do índice (%)

0

Valor do índice no final do ano 100,000000

1

9,00

109,000000

2

9,50

119,355000

3

10,50

131,887275

4

11,00

146,394875

5

12,00

163,962260

Calcule: a) os valores das prestações mensais em $ a preços constantes da data inicial do contrato com a taxa de juros real de 10,00% ao ano; b) os valores das prestações efetivamente pagas, em $ a preços correntes; c) a taxa interna de juros nominal desse financiamento, em % ao ano.

Capítulo

11

Métodos de Análise de Investimentos

11.1. Introdução Os conceitos de valor presente líquido (VPL) e de taxa interna de retorno (TIR) já foram apresentados anteriormente, e o objetivo deste capítulo é mostrar as suas aplicações nas comparações de fluxos de caixa de investimentos mutuamente exclusivos e de investimentos independentes. Desenvolveremos, ainda, o conceito de “Payback” Descontado (PBD), que é um indicador do tempo de recuperação do investimento. Ele não deve ser utilizado, de forma isolada, na tomada de decisão sobre alternativas de investimentos, uma vez que não considera os valores do fluxo de caixa do investimento, a partir do ponto de retorno do capital aplicado. Os fluxos de caixa são considerados como um dado do problema e estão expressos em moeda forte ($), sem qualquer consideração da inflação. Nenhum esforço é dedicado à montagem dos fluxos de caixa das alternativas de investimentos. Os investimentos são considerados um desembolso inicial colocado no ponto zero da escala de tempo. O horizonte de um investimento é a data futura mais distante para a qual se faz a previsão do fluxo de caixa do investimento. Taxas de desconto elevadas tornam irrelevantes, em termos de valor presente, as parcelas de caixa projetadas para datas mais distantes. As séries perpétuas têm os seus valores presentes calculados conforme Relação (6.8) do Capítulo 6. Os exemplos do presente capítulo contemplam fluxos de caixa que apresentam apenas uma única variação de sinal nas suas parcelas e, portanto, apresentam apenas uma única taxa interna de retorno, conforme garante a regra de sinal de Descartes para as raízes de polinômios. A maioria dos exemplos é dedicada à aplicação dos dois principais métodos (VPL e TIR) na análise de investimentos mutuamente exclusivos, de mesma duração ou durações diferentes, considerando os casos de desembolsos iniciais iguais ou diferentes.

matemática.indb 283

6/29/11 5:21 PM

284


Mostraremos alguns exemplos com a aplicação do conceito de fluxos perpétuos e, ainda, a análise de investimentos independentes através do método do valor presente líquido. O método do valor presente líquido (VPL) está consagrado como o melhor e o mais utilizado dentre os métodos acima mencionados. A comparação de investimentos exige a fixação de um referencial para que ela possa ser realizada. Esse referencial é a taxa mínima de atratividade do investidor, que denominamos imin, cujo conceito será apresentado no próximo item. A taxa mínima de atratividade é utilizada na comparação com a taxa interna de retorno do investimento, e com a taxa de desconto no cálculo do valor presente líquido (VPL) do fluxo de caixa do investimento.

11.2. Taxa Mínima de Atratividade – imin Para que um investidor possa tomar a decisão de aceitar ou rejeitar um determinado investimento, é indispensável que ele tenha um elemento de comparação à sua disposição. Assim, vamos considerar que, em qualquer situação, o investidor esteja com o seu capital aplicado numa alternativa Z com uma taxa de juros igual a imin, que representa, portanto, o custo de oportunidade do seu capital investido. Essa taxa de juros será denominada taxa mínima de atratividade e, como ela representa a taxa interna de retorno da alternativa Z, podemos escrever:

VPLZ (imin)  0 (11.1)

Em qualquer análise de investimentos, essa alternativa Z deve ser considerada, já que o investidor poderá sempre utilizá-la para a aplicação de seu capital. Os seus parâmetros são os seguintes:

a) a quantia a ser aplicada na alternativa Z pode ser de qualquer valor;

b) o prazo de aplicação na alternativa Z também pode ser qualquer um;

c) a taxa interna de retorno dos recursos aplicados em Z é sempre igual a imin. O fato de a alternativa Z apresentar a flexibilidade dos itens a e b permite que ela seja comparada com qualquer investimento, bastando para isso:

a) considerar o montante investido na alternativa Z igual ao valor do investimento em análise;

b) considerar o prazo de aplicação na alternativa Z igual à duração do investimento em análise. A taxa mínima de atratividade (imin), que representa o custo de oportunidade do capital investido, pode corresponder:


6/29/11 5:21 PM

Ca p í t u l o 1 1 – M étodos de An ál ise de In vestimen tos

285

a) à taxa de aplicação básica no mercado (caderneta de poupança etc.), no caso de pessoas físicas; b) ao custo médio ponderado de capital entre capital próprio e capital de terceiros, no caso de empresas. Assim, cada indivíduo e cada empresa tem a sua própria taxa mínima de atratividade. No caso de empresas, essa taxa varia de acordo com o seu negócio e com a sua estrutura de capital. Dentro de uma mesma empresa pode haver mais de uma taxa mínima de atratividade dependendo das características do projeto e da unidade de negócios da empresa a que ele pertença.

11.3. “Payback” Descontado (PBD) O “Payback” Descontado (PBD) é o tempo necessário para a recuperação do investimento inicial, levando-se em consideração o custo de oportunidade do capital investido. Ele é medido pelo tempo decorrido entre a data inicial do fluxo de caixa (ponto zero) e a data futura mais próxima até a qual o valor do investimento inicial é coberto pela soma dos valores presentes das parcelas positivas do fluxo de caixa. Considere o investimento A representado pelo fluxo de caixa indicado na Tabela 11.1, e para o qual se deseja calcular o “Payback” Descontado (PBD), levando-se em conta um custo de capital de 7% ao ano. Tabela 11.1 Fluxo de caixa – investimento A

Ano

Valores ($)

0

() 50.000,00

1

() 15.000,00

2

() 15.000,00

3

() 15.000,00

4

() 15.000,00

5

() 15.000,00

Soma

( ) 25.000,00

PBD (7%)

3 anos 339 dias


6/29/11 5:21 PM

286


Para a obtenção do PBD, precisamos calcular o valor presente de cada parcela futura do Investimento A, descontada com a taxa de 7% ao ano, e comparar o valor acumulado dessas parcelas descontadas com o valor do investimento inicial de $50.000,00, conforme mostra o quadro a seguir: Ano

Valores ($)

VP de cada parcela com taxa de 7% ao ano

0 (50.000,00)

VPL acumulado até o ano

(50.000,00)

(50.000,00)

1

15.000,00

14.018,69

(35.981,31)

2

15.000,00

13.101,58

(22.879,73)

3

15.000,00

12.244,47

(10.635,26)

4

15.000,00

11.443,43

808,17

5

15.000,00

10.694,79

11.502,96

A análise dos valores do VPL acumulado, demonstrados na última coluna do quadro acima, indica que o valor do PBD está compreendido entre o terceiro e o quarto ano do fluxo de caixa, estando mais próximo do quarto ano. A Figura 11.1 permite visualizar o conceito do PBD, como o ponto do eixo horizontal (período em anos), que é cortado pela curva do VPL acumulado. Figura 11.1 VPL acumulado 20.000

PBD 3 anos e 339 dias

VPL acumulado

10.000

0 (10.000)

1

2

3

4

5

(20.000) (30.000) (40.000) (50.000) Período (Anos)

Esse ponto de interseção com o eixo horizontal é obtido por interpolação linear entre os valores do terceiro e do quarto ano, conforme abaixo indicado: X (365  10.635,26) / (10.635,26  808,17)  339 dias E, portanto, o valor do “Payback” Descontado (PBD) é de 3 anos e 339 dias. O valor do “Payback” sem considerar o custo de capital é de 3 anos e 122 dias e obtido, neste caso, simplesmente pela divisão de $50.000,00 por $15.000,00.


6/29/11 5:21 PM


287

As parcelas do fluxo de caixa que ocorrem após o PBD não são consideradas, o que torna o PBD apenas uma medida parcial de desempenho financeiro, não podendo ser considerado um método independente e completo para a análise de qualquer investimento. O PBD é a rigor um indicador adicional aos métodos do VPL e TIR, que informa o tempo em que o investimento inicial é recuperado. Deve, portanto, ser utilizado apenas como um método auxiliar para informar a mobilidade do capital e não como um método para tomada de decisão.

11.4. Significado de um VPL Positivo Dada a relevância do significado de um VPL positivo, desenvolveremos neste item mais um exemplo numérico para consolidar esse conceito que já foi explicado no Capítulo 7. Considere o fluxo de caixa X, representado na tabela a seguir, para o qual desejamos obter o VPL para uma taxa de desconto de 8% ao ano: Tabela 11.2 Fluxo de caixa X

Ano

0

1 () 4.000,00

2 () 7.030,00

3 () 7.950,00

4 () 8.550,00

5 ()12.000,00

6 ()20.000,00

Valores ($) () 40.000,00

Soma ()19.530,00

Como esse fluxo de caixa apresenta parcelas futuras desiguais o seu VPL para a taxa de 8% ao ano e a sua TIR são obtidos com os conhecimentos do Capítulo 9, que trata de fluxos de caixa não homogêneos. Esses valores, bem como o valor presente (VP) somente das parcelas futuras do fluxo de caixa, estão indicados a seguir: VPX (8%)

() 43.096,66

VPLX (8%)

() 3.096,66

TIRX (% a.a.)

10,0%


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288


O objetivo principal deste item é explicar o significado do VPL positivo (3.096,66) desse fluxo de caixa para a taxa de desconto de 8% ao ano. Para isso, vamos determinar o VPLX desse fluxo de caixa para diversas taxas de desconto, conforme indicado no quadro a seguir:

Taxa (% a.a.)

VPLX ($)

0,0%

19.530,00

2,0%

14.697,12

4,0%

10.391,30

6,0%

6.543,94

8,0%

3.096,66

10,0%

12,0% (2.790,22)

(0,47)

O gráfico do VPLX em função da taxa de desconto está indicado a seguir: Figura 11.2 VPL X 3 Taxa de Desconto 20.000

VPL ($)

15.000 TIRx 10% ao ano

10.000 ()

5.000 0 (5.000)

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

Taxa de desconto (% a.a.)

Observe, na Figura 11.2, que o VPLX positivo a 8% ao ano garante a TIRX maior do que esse valor. Assim, mesmo desconhecendo o valor da TIRX, podemos afirmar que o seu valor é superior a 8% ao ano, pois o VPLX do fluxo de caixa com essa taxa de desconto é positivo. O valor da taxa interna de retorno encontrado é de 10% ao ano, e representa o ponto no gráfico em que a curva do VPLX corta o seu eixo horizontal. Para explicar o significado do VPLX (8%)  () 3.096,66 podemos desdobrar o fluxo de caixa original X nos dois fluxos de caixa Y e [XY], indicados a seguir:


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Tabela 11.3 Fluxos de caixa ($)

Ano

X

Y

0

(40.000,00)

(40.000,00)

0,00

1

4.000,00

3.712,58

287,42

2

7.030,00

6.524,87

505,13

3

7.950,00

7.378,76

571,24

4

8.550,00

7.935,65

614,35

5

12.000,00

11.137,75

862,25

6

20.000,00

18.562,92

1.437,08

Soma

19.530,00

15.252,54

4.277,46

VP (8%)

43.096,66

40.000,00

3.096,66

VPL (8%)

3.096,66

0,00

3.096,66

TIR (% a.a.)

10,00%

X –Y

8,00%

O fluxo de caixa Y foi montado com o mesmo investimento inicial de $40.000,00 e com parcelas futuras que produzam uma taxa interna de retorno igual a 8% ao ano. Evidente que existe um número infinito de soluções, mas o conceito explicado neste exemplo tem validade para qualquer fluxo de caixa Y que atenda às premissas:

• mesmo valor de investimento inicial;

• TIRY igual à taxa de desconto do fluxo com VPLX positivo.

As parcelas futuras do fluxo de caixa de caixa Y do quadro acima foram obtidas multiplicando-se as respectivas parcelas do fluxo de caixa X pela razão constante do investimento inicial sobre o valor presente das parcelas futuras descontadas a 8% ao ano: Razão constante  Investimento inicial / VPX (8%)  $40.000,00 / $43.096,66 Com isso, fica assegurado que o valor presente (VPY) das parcelas futuras do fluxo de caixa Y, com a taxa de 8% ao ano, é igual a $40.000,00, e, consequentemente, o seu VPLY é igual a zero. Portanto, pela definição da taxa interna de retorno, podemos afirmar que o fluxo de caixa Y tem uma TIRY igual a 8% ao ano.


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Faça as contas e confirme os valores do fluxo de caixa Y do quadro anterior. Obtenha outro fluxo de caixa Y que atenda às condições acima mencionadas e calcule o novo fluxo incremental [X  Y]. Verifique que o VPLXY desse novo fluxo incremental se mantém igual a $3.096,66. Assim, o fluxo de caixa X pode ser visto como a soma de dois fluxos de caixa, conforme indicado a seguir: [X]  [Y]  [X  Y] em que [X  Y] é o fluxo de caixa incremental, e portanto podemos afirmar: VPLX (8%)  ()3.096,66  VPLY (8%)  VPLXY (8%) Como o VPLY (8%) é igual a zero, podemos concluir que: VPLX (8%)  ()3.096,66  VPLXY (8%) O VPLX (8%) de $3.096,66 significa que o fluxo de caixa X está remunerando o investimento inicial de $40.000,00 com essa taxa de juros, como garante o fluxo de caixa Y, e ainda está gerando um aumento de riqueza de $3.096,66, expresso em moeda do ponto zero, como garante o fluxo de caixa incremental [XY]. O fluxo de caixa X ao ser descontado com a taxa de 8% ao ano deu um VPL positivo de $3.096,66 e, portanto, está agregando ao investidor esse valor econômico (em moeda do ponto zero), além de remunerar o capital investido a 8% ao ano.

11.5. Análise de um Investimento A decisão de aceitar um investimento A significa retirar o dinheiro da alternativa Z e aplicá-lo na alternativa A pelo prazo exigido por esse investimento. Lembramos que o dinheiro aplicado na alternativa Z está sendo remunerado com a taxa imin, e que o VPLZ é nulo para essa taxa, conforme a Relação (11.1). A alternativa Z apenas remunera o capital com a taxa mínima de atratividade, sem agregar qualquer valor econômico adicional com essa taxa de juros. Assim, o investimento A só será aceito se a sua TIR for superior à taxa mínima de atratividade. De outra forma, essa condição é garantida pela relação a seguir:

VPLA (imin)  0 (11.2)

O gráfico do VPL em função da taxa de desconto garante que se a Relação (11.2) for atendida, a TIR do investimento A é superior à taxa mínima de atratividade. Assim, os métodos do valor presente líquido e da taxa interna de retorno conduzem à mesma decisão, o que será mostrado em detalhe nos exemplos a seguir. O VPLA sendo positivo com a taxa mínima de atratividade, significa que o investimento é remunerado com essa taxa de desconto e ainda agrega um valor econômico para o investidor, aumentando a sua riqueza, o que justifica a retirada do capital da alternativa Z para realizar o investimento A.


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291

11.5.1. Exemplos Numéricos 1. Para aumentar a sua produção, o gerente de uma fábrica pretende instalar um novo equipamento cujo custo de aquisição é igual a $50.000,00. As receitas provenientes das vendas dos produtos desse equipamento e as despesas operacionais previstas para os 8 anos de sua vida útil constam do quadro a seguir. O valor residual do equipamento no final de 8 anos é de $10.000,00. Analise a viabilidade econômica de instalar esse equipamento, sabendo-se que a taxa mínima de atratividade dessa fábrica é igual a 15% ao ano. Solução: Inicialmente, devemos montar o fluxo de caixa do investimento conforme indicado na tabela a seguir: Tabela 11.4 Fluxo de caixa do investimento ($)

Ano

Recebimentos operacionais

Desembolsos operacionais 0,00

Investimento / Valor residual

Valores líquidos

(50.000,00)

(50.000,00)

0

0,00

1

15.000,00

(9.000,00)

0,00

6.000,00

2

18.000,00

(10.000,00)

0,00

8.000,00

3

18.000,00

(11.000,00)

0,00

7.000,00

4

18.000,00

(12.000,00)

0,00

6.000,00

5

30.000,00

(20.000,00)

0,00

10.000,00

6

30.000,00

(21.000,00)

0,00

9.000,00

7

30.000,00

(22.000,00)

0,00

8.000,00

8 30.000,00 (23.000,00) 10.000,00 17.000,00 Soma 189.000,00 (128.000,00) (40.000,00) 21.000,00

Para calcularmos o VPL do investimento à uma taxa de desconto de 15% ao ano e para encontrarmos a sua TIR, devemos utilizar os valores líquidos dos fluxos de caixa do novo equipamento, que correspondem à última coluna da Tabela 11.4. Os valores encontrados estão indicados a seguir:

VPL (15%)

(13.272,78)

TIR (% a.a.)

7,40%


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Como o VPL com a taxa de desconto de 15% ao ano é negativo ($13.272,78), devemos rejeitar o investimento no novo equipamento e manter o capital aplicado na alternativa Z, cujo VPL é nulo para a taxa mínima de atratividade. Podemos confirmar essa decisão de rejeitar o novo equipamento ao compararmos a TIR desse investimento (7,40% ao ano) com a taxa mínima de atratividade de 15% ao ano, que é a TIR da alternativa Z. O gráfico do VPL em função da taxa de desconto está indicado na Figura 11.3: Figura 11.3 VPL  Taxa de Desconto 25.000

VPL > 0 Aceitar Inv.

VPL < 0 Rejeitar Inv.

VPL ($)

15.000

5.000 0 (5.000)

(15.000)

0%

5%

10%

15%

TIRx 7,40% a.a. Taxa de desconto (% a.a.)

A análise da Figura 11.3 permite concluir que apenas para uma taxa mínima de atratividade (imin) inferior a 7,40% ao ano esse investimento deve ser aceito. Como a taxa imin desejada é de 15% ao ano, o investimento deve ser rejeitado. Essa mesma conclusão pode ser alcançada pela análise dos VPLs do fluxo de caixa. Para valores de imin inferiores a 7,40% ao ano, os VPLs do fluxo de caixa são positivos e justificam o investimento. Como a taxa imin desejada é de 15% ao ano, o investimento deve ser rejeitado, pois o valor do VPL (15%) é negativo ($13.272,78). Assim, os métodos do VPL e da TIR chegam à mesma conclusão. 2. Vamos considerar neste exemplo o mesmo fluxo de caixa do investimento A, usado no item 11.3 para introduzir o conceito de “Payback” Descontado (PBD), e indagar se devemos aceitar ou rejeitar esse investimento para uma taxa mínima de atratividade igual a 8% ao ano. Solução: O fluxo de caixa do investimento A, o seu VPLA com a taxa de desconto de 8% ao ano e a sua TIRA estão indicados na Tabela 11.5:


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Tabela 11.5 Fluxo de caixa – investimento A

Ano

Valores ($)

0 (50.000,00)

1 15.000,00

2 15.000,00

3 15.000,00

4 15.000,00

5 15.000,00

Soma

25.000,00

VPLA (8%)

9.890,65

TIRA (% a.a.)

15,24%

Pelos valores acima, podemos concluir que devemos aceitar a realização do investimento A para a taxa mínima de atratividade de 8% ao ano, pois temos: VPLA (8%)  $9.890,65  0 TIRA  15,24% a.a.  imin  8% a.a. O gráfico do VPL em função da taxa de desconto está indicado na Figura 11.4: Figura 11.4 VPL  Taxa de Desconto VPL > 0 Aceitar A

30.000 25.000

VPL < 0 Rejeitar A

20.000

VPL ($)

15.000 TIRA 15,24 % a.a.

10.000 5.000 0 (5.000) (10.000)

0%

4%

8%

12%

16%

20%


A análise desse gráfico permite concluir que, se a taxa mínima de atratividade (imin) for inferior a 15,24% ao ano, esse investimento deve ser aceito, pois investimentos com taxas internas de retorno superiores a imin são vantajosos para o investidor. Como a taxa imin desejada é de 8% ao ano, o investimento deve ser aceito.


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Essa mesma conclusão pode ser alcançada pela análise dos valores dos VPLs do fluxo de caixa. Para taxas de desconto inferiores a 15,24% ao ano, os VPLs do fluxo de caixa são positivos e justificam o investimento. Como a taxa imin desejada é de 8% ao ano, o investimento A deve ser aceito, pois o valor do VPL(8%) é positivo ($9.890,65). O investimento A além de remunerar o capital investido a 8% a.a. está agregando um valor positivo de $9.890,65 ao patrimônio do investidor, expresso em moeda do ponto zero. Assim, os métodos do VPL e da TIR chegam à mesma conclusão.

11.6. Investimentos Mutuamente Exclusivos Na escolha de um investimento entre diversos investimentos mutuamente exclusivos não podemos esquecer da alternativa Z, que está sempre disponível para concorrer com qualquer outro investimento. Essa alternativa Z, descrita no item 11.2, remunera o capital com taxa mínima de atratividade (imin) e tem o seu VPLZ(imin)  0. O método do valor presente líquido (VPL) é extremamente simples, e deve obedecer aos seguintes passos: a) calcule o VPL de cada um dos investimentos, usando como taxa de desconto a taxa mínima de atratividade (imin); b) rejeite os investimentos com VPLs negativos ou nulos, em favor da alternativa Z, pois VPLZ(imin) 0; c) dentre os investimentos com VPLs positivos, aceite o investimento de maior VPL. O método da taxa interna de retorno (TIR) já não é tão simples de ser aplicado, e deve obedecer aos seguintes passos: a) calcule as TIRs de cada um dos investimentos em análise; b) rejeite os investimentos com TIRs inferiores ou iguais à taxa mínima de atratividade (imin); c) classifique os investimentos remanescentes em ordem crescente de valor a ser aplicado; d) analise cada incremento de investimento separadamente: • aceite um incremento de investimento se a sua TIR for  imin; • rejeite um incremento de investimento se a sua TIR for  imin; e) procure investir o máximo possível e encerre o processo com a análise do investimento de maior valor. Observe nos critérios acima que não aceitamos um investimento com TIR  imin ou com VPL(imin)  0. A rigor, essa é uma condição de indiferença entre a alternativa Z e o investimento em análise, e optamos por manter o capital aplicado na alternativa Z.


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295

O método do VPL, o mais utilizado em tomadas de decisão, é extremamente simples e por si só apresenta o resultado correto para a tomada de decisão. O método da TIR, para ser corretamente aplicado, exige a aplicação da análise incremental descrita acima. Nos exemplos desenvolvidos neste capítulo, analisaremos os investimentos pelos dois métodos, VPL e TIR, e mostraremos que o método da TIR, quando corretamente aplicado, conduz ao mesmo resultado do método do VPL. 11.6.1. Análise de Investimentos com Mesma Duração Neste item desenvolveremos exemplos que mostram a aplicação dos métodos VPL e TIR na tomada de decisão sobre investimentos mutuamente exclusivos com mesma duração, igual ao horizonte de análise. Dois Investimentos Mutuamente Exclusivos Os exemplos numéricos a seguir mostram a análise de dois investimentos mutua mente exclusivos, com valores iniciais diferentes (escalas diferentes) e com valores iniciais iguais (mesma escala), pelos métodos VPL e TIR, e ainda comparam os PBD de cada investimento. 1. Escolha, utilizando os métodos do VPL e da TIR, qual dos dois projetos, a seguir representados pelos seus fluxos de caixa, é o mais atrativo, considerando-se uma taxa mínima de atratividade de 8% ao ano. Tabela 11.6 Investimentos mutuamente exclusivos

Fluxos de caixa ($) Anos A B

0

(50.000,00)

(80.000,00)

1

15.000,00

23.000,00

2

15.000,00

23.000,00

3

15.000,00

23.000,00

4

15.000,00

23.000,00

5

15.000,00

23.000,00

Soma

25.000,00

35.000,00


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296


Solução: Observe que o fluxo de caixa do projeto A é o mesmo do investimento A usado no Exemplo 2 do item 11.5.1. A seguir, indicamos os VPLs e PBDs desses investimentos para a taxa mínima de atratividade de 8% ao ano, e ainda as suas taxas internas de retorno (TIR):

Indicadores A

B

VPL (8%)

9.890,65

11.832,33

TIR (% a.a.)

15,24%

13,46%

PBD (8%)

4 anos e 11 dias

4 anos e 89 dias


A análise desses valores nos leva às seguintes conclusões: a) valor presente líquido (VPL) Os VPLs com a taxa mínima de atratividade (imin  8 % a.a.) são positivos e, portanto, os dois investimentos devem ser considerados no processo decisório. A melhor alternativa é o investimento B, pois tem o maior VPL positivo, igual a $11.832,33. Investir $80.000,00 na alternativa B significa que os $80.000,00 estão sendo remunerados com a taxa mínima de atratividade de 8% ao ano e, além disso, o investimento agrega um valor econômico de $11.832,33 para o investidor (aumentando sua riqueza), expresso em moeda do ponto zero. b) “Payback” Descontado (PBD) Os valores dos PBD com a taxa de desconto de 8% ao ano indicam, erradamente, que a melhor alternativa é o investimento A que oferece o menor valor de PBD (4 anos e 11 dias). O “Payback” Descontado não pode ser considerado um método de análise de investimentos, pois ignora as parcelas do fluxo de caixa que ocorrem após o valor do PBD. Só deve ser utilizado como um indicador de liquidez, na medida em que mede o tempo de recuperação do investimento inicial. c) taxa interna de retorno (TIR) – análise incremental Os valores das TIRs indicam que os dois investimentos devem ser considerados na decisão, pois ambos têm taxa interna de retorno superior à taxa mínima de atratividade de 8% ao ano. A opção pelo investimento A, que oferece a maior TIR (15,24% ao ano), está equivocada, pois o método da TIR para ser corretamente aplicado exige a análise incremental, conforme já informado na descrição desse método no início do item 11.6.

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297

Assim, o primeiro investimento a ser analisado é o investimento A com o desembolso inicial de $50.000,00, para em seguida passarmos a analisar o investimento B com o desembolso de $80.000,00. Para aceitarmos o investimento B, precisamos justificar o investimento incremental de $30.000,00. Caso esse incremento seja aceito, devemos escolher o investimento B com o desembolso inicial no valor de $80.000,00. Caso esse incremento seja rejeitado, devemos permanecer no investimento A, com o desembolso inicial de $50.000,00, e rejeitar o investimento B. A Tabela 11.7 apresenta os fluxos de caixa dos investimentos A e B e do incremento [BA], indispensável à tomada de decisão correta pelo método da TIR, e ainda o seu VPL e a sua TIR: Tabela 11.7 Investimentos mutuamente exclusivos  

Fluxos de caixa ($) Anos A B [B  A]

0

(50.000,00) (80.000,00) (30.000,00)

1

15.000,00

23.000,00

8.000,00

2

15.000,00

23.000,00

8.000,00

3

15.000,00

23.000,00

8.000,00

4

15.000,00

23.000,00

8.000,00

5

15.000,00

23.000,00

8.000,00

Soma 25.000,00 35.000,00 10.000,00

VPL (8%)

9.890,65

11.832,33

1.941,68

TIR (% a.a.)

15,24%

13,46%

10,42%

Como a TIRA de 15,24% ao ano, do investimento A, é superior à taxa imin de 8% ao ano, devemos retirar $50.000,00 da alternativa Z para aplicá-los na alternativa A, em que a sua remuneração é superior à taxa mínima de atratividade. O próximo passo é decidir sobre a retirada ou não de mais $30.000,00 da alternativa Z para viabilizar os $80.000,00 necessários para se alcançar a alternativa B.


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298


Como a TIRBA de 10,42%, do incremento [B-A], é superior à taxa imin de 8% ao ano, o incremento [BA] deve ser aceito, o que leva à escolha da alternativa B como o melhor investimento, resultado que coincide com o apontado pelo método do VPL. Podemos, assim, considerar o fluxo de caixa da alternativa B igual à soma dos fluxos de caixa da alternativa A e do incremento [BA], conforme mostramos a seguir: [B]  [A]  [BA]

$80.000,00 $50.000,00  $30.000,00

É válida a seguinte relação dos VPLs desses fluxos de caixa: VPLB (8%)  VPLA (8%)  VPLBA (8%) $11.832,33  $9.890,65  $1.941,68 Como o VPLB (8%) é maior do que o VPLA (8%), podemos afirmar que o VPLBA (8%) é positivo. O VPLBA (8%) positivo indica que a TIRBA é maior do que 8% ao ano, e, portanto, esse incremento deve ser aceito, o que significa aceitar a alternativa B. Fica assim demonstrado que a análise incremental, exigida pelo método da TIR, é feita automaticamente pelo método do VPL, e que os dois métodos conduzem à mesma decisão. Um resumo da análise desses dois investimentos está representado no esquema a seguir: Investimento A TIRA  15,24% a.a.

Investimento B TIRB  13,46% a.a.

  A  $50.000,00 A  $50.000,00  TIRA  15,24% a.a. TIRA  15,24% a.a.

 

Z  $30.000,00 BA  $30.000,00  TIRBA  10,42% a.a. TIRZ  8,0% a.a. Investir $50.000,00 na alternativa A com a TIRA  15,24% ao ano significa deixar o incremento de $30.000,00 investido na alternativa Z com a TIRZ  8,00% ao ano.


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Investir $80.000,00 na alternativa B com a TIRB  13,46% ao ano significa investir os primeiros $50.000,00 no fluxo de caixa da alternativa A com a TIRA  15,24% ao ano, e os $30.000,00 adicionais no fluxo de caixa do incremento [BA] com a TIRBA  10,42% ao ano. Evidente que a melhor opção de investimento é a alternativa B, em que o incremento de investimento [BA] está sendo remunerado com uma TIRBA superior à taxa mínima de atratividade. A análise de investimentos com valores iniciais diferentes, pelo método da TIR, exige que cada incremento de investimento para atingir o investimento de maior valor seja comparado com a sua aplicação na alternativa Z, em que a sua remuneração é igual à taxa mínima de atratividade. O investimento de maior valor, pelo método da TIR, ao ser comparado com o investimento de menor valor, é desdobrado em duas parcelas: • a primeira tem o mesmo desembolso inicial e a mesma TIR do investimento de menor valor; • a segunda tem um desembolso inicial igual ao incremento necessário para o investimento de menor valor poder alcançá-lo. Esse incremento deve ter a sua TIR comparada com a taxa imin da sua aplicação na alternativa Z. d) gráfico do VPL  taxa de desconto O gráfico do VPL dos dois investimentos em função da taxa de desconto permite que o investidor defina o investimento que deve ser escolhido, levando-se em consideração os diferentes intervalos da taxa mínima de atratividade. É, portanto, um forte instrumento para análises de sensibilidade na tomada de decisão. O gráfico dos VPLs dos fluxos de caixa desses investimentos está indicado na Figura 11.5: Figura 11.5 VPL  Taxa de Desconto 35.000

Aceitar B

30.000

Aceitar A

Rejeitar AeB

VPL ($)

25.000 B

20.000

TIRBA 10,42%

15.000

TIRA 15,24

10.000 A

5.000 0 (5.000)

0%

4%

8%

12%

16%



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300


A análise desse gráfico ilustra claramente a decisão mais adequada de investimento. O quadro abaixo apresenta os resultados em função do nível da taxa mínima de atratividade (imin):

Intervalos da imin

Decisão a ser tomada

0 %  imin  10,42 % a.a.

Escolher o Investimento B

10,42 % a.a.  imin  15,24 % a.a.

Escolher o Investimento A

imin  15,24 % a.a.

Rejeitar os dois Investimentos

Observe que o ponto de interseção das duas curvas ocorre exatamente para a taxa de desconto igual à taxa interna de retorno (TIRBA) do incremento de investimento [BA], conforme demonstramos a seguir. O fluxo de caixa B pode ser considerado como a soma dos fluxos de caixa A e [BA], conforme abaixo indicado: [B]  [A]  [BA] Podemos então escrever a seguinte relação dos VPLs: VPLB (TIRBA)  VPLA(TIRBA)  VPLBA(TIRBA) Como, por definição, o VPLBA (TIRBA) é igual a zero, podemos concluir que: VPLB (TIRBA)  VPLA(TIRBA) confirmando que o ponto de interseção das duas curvas dos VPLs ocorre para essa taxa de desconto. 2. Uma empresa realiza sua produção manualmente, com desembolsos anuais de $7.200,00, e está cogitando de mecanizá-la. Dois projetos de mecanização são apresentados para análise, num horizonte de 5 anos. Os fluxos de caixa desses investimentos consistem em:

Mecanização I: a) investimento inicial de $10.000,00 e valor residual nulo no final de 8 anos; b) desembolsos operacionais $4.100,00/ano para os próximos 8 anos.

Mecanização II: a) investimento inicial de $15.000,00 e valor residual de $2.000,00 no final de 8 anos; b) desembolsos operacionais de $3.100,00/ano para os próximos 8 anos.


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301

Indique, utilizando os métodos do VPL e da TIR, a decisão a ser tomada pela empresa, sabendo-se que os recebimentos anuais não serão alterados pela mecanização e que a empresa utiliza uma taxa mínima de atratividade de 8% ao ano. Solução: Inicialmente, devemos montar os fluxos de caixas das alternativas a serem analisadas, e calcular os seus respectivos VPLs, conforme indicado na Tabela 11.8: Tabela 11.8 Investimentos mutuamente exclusivos

Ano

Fluxo de caixa ( $ )

Manual Mecanização Mecanização Ma MecI MecII

0

0,00

(10.000,00)

(15.000,00)

1

(7.200,00)

(4.100,00)

(3.100,00)

2

(7.200,00)

(4.100,00)

(3.100,00)

3

(7.200,00)

(4.100,00)

(3.100,00)

4

(7.200,00)

(4.100,00)

(3.100,00)

5

(7.200,00)

(4.100,00)

(3.100,00)

Valor Residual    

Soma

VPL (8%)

(36.000,00) (30.500,00)

2.000,00 (28.500,00)

Ma MecI MecII (28.747,51)

(26.370,11)

(26.016,23)

Os fluxos de caixa do quadro acima representam os custos das três alternativas que estão sendo consideradas e os VPLs desses fluxos de caixa, com a taxa de desconto de 8% ao ano, indicam que o menor custo à vista das três alternativas é de $26.016,23, que corresponde à Mecanização II, que é a melhor opção da empresa para essa taxa mínima de atratividade. Os fluxos de caixa dos custos das três alternativas não permitem a utilização do método da TIR, uma vez que esses fluxos não possuem taxas internas de retorno. Para se aplicar o método da TIR precisamos calcular os benefícios de cada projeto de mecanização em relação à produção manual, como indicado na Tabela 11.9 a seguir:


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302


Tabela 11.9 Investimentos mutuamente exclusivos

Ano

Fluxo de caixa ($)

Incremento Incremento

Incremento

[MecIMa ] [MecIIMa] [MecIIMecI ]

0

(10.000,00) (15.000,00)

(5.000,00)

1

3.100,00

4.100,00

1.000,00

2

3.100,00

4.100,00

1.000,00

3

3.100,00

4.100,00

1.000,00

4

3.100,00

4.100,00

1.000,00

5

3.100,00

6.100,00

3.000,00

Soma

5.500,00

7.500,00

2.000,00

VPL (8%)

2.377,40

2.731,28

353,88

TIR (% a.a.)

16,64%

14,30%

10,21%

PBD (8%)

4 anos e 46 dias

4 anos e 125 dias

Os fluxos de caixa das duas primeiras colunas do quadro acima mostram as economias alcançadas por cada projeto de mecanização em relação ao processo manual. A última coluna indica o fluxo de caixa incremental da Mecanização II em relação à Mecanização I. Pelos valores dos VPLs podemos constatar que os dois projetos de Mecanização agregam valor econômico à empresa, pois apresentam VPLs positivos para a taxa mínima de atratividade de 8% ao ano. A melhor opção é a Mecanização II, que apresenta o maior VPL positivo no montante de $2.731,28, agregando esse valor econômico para a empresa. O PBD (8%) indica que o menor “payback” descontado a 8% ao ano corresponde ao fluxo de caixa das economias da Mecanização I sobre o processo manual. A escolha desse investimento por esse indicador conduziria a uma decisão errada. Assim, como já foi comentado anteriormente, o PBD só deve ser usado como um método complementar aos métodos do VPL e da TIR. Pelos valores das TIRs, os dois projetos de mecanização devem ser considerados no processo decisório, pois ambos apresentam taxa interna de retorno superior à


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303


taxa imin  8% ao ano. O fluxo de caixa que apresenta a maior TIR corresponde às economias da Mecanização I sobre o processo manual, e a escolha do investimento na Mecanização I estaria errada. Para aplicar corretamente o método da TIR devemos inicialmente classificar os investimentos em ordem crescente do valor inicial aplicado e, em seguida, aceitar o incremento [MecI  Ma ], pois tem uma TIR  16,64% ao ano, superior à taxa imin  8% ao ano. Assim, devemos aceitar o investimento de $10.000,00 na Mecanização I para substituir o processo manual. Como a Mecanização I eliminou o processo manual, precisamos, agora, analisar o incremento [MecII  MecI ], cujo fluxo de caixa está indicado na última coluna da Tabela 11.9. Esse fluxo de caixa incremental tem uma TIR de 10,21% ao ano, superior à taxa mínima de atratividade de 8% ao ano, indicando que esse incremento deve ser aceito. Assim, o método da TIR mostra que a melhor opção da empresa é investir na Mecanização II e confirma o resultado apresentado pelo método do VPL. O gráfico dos VPLs dos fluxos de caixa desses investimentos está indicado na Figura 11.6: Figura 11.6 VPL  Taxa de Desconto Escolher MecI

Escolher MecII

Manter Manual

8.000 MecII Ma

VPL ($)

6.000

10,21 % a.a.

16,64 % a.a.

4.000 2.000 0 (2.000)

MecI Ma 0%

5%

10%

15%

20%

(4.000) Taxa de desconto (% a.a.)

A análise desse gráfico permite definir as faixas da taxa mínima de atratividade (imin) e os respectivos investimentos que devem ser escolhidos na tomada de decisão:

Intervalos da imin


0 %  imin  10,21% a.a.

Escolher a mecanização II

10,21% a.a.  imin  16,64% a.a.

Escolher a mecanização I

imin  16,64% a.a.


Manter o processo manual

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Observe que o ponto de interseção das duas curvas ocorre exatamente para a taxa de desconto igual à taxa interna de retorno do incremento de investimento [MecII – MecI ]. 3. Escolha, utilizando os métodos do VPL e da TIR, qual dos dois projetos, a seguir representados pelos seus fluxos de caixa, é o mais atrativo, considerando-se uma taxa mínima de atratividade de 7% ao ano. Tabela 11.10 Investimentos mutuamente exclusivos

Ano X

Y

0

(10.000,00)

(10.000,00)

1

6.000,00

3.000,00

2

5.000,00

4.000,00

3

4.000,00

5.000,00

4

2.500,00

7.000,00

Soma

7.500,00

9.000,00

Solução: A seguir indicamos os VPLs e PBDs desses investimentos para a taxa mínima de atratividade de 7% ao ano, e ainda as suas taxas internas de retorno (TIR):

Indicadores

X

Y

VPL (7%)

5.147,10

5.719,25

TIR (% a.a.)

PBD (7%)


31,84% 2 anos e 3 dias

26,87% 2 anos e 331 dias

A análise desses valores nos leva às seguintes conclusões: a) valor presente líquido (VPL) Os VPLs com a taxa mínima de atratividade (7% ao ano) são positivos e, portanto, os dois investimentos devem ser considerados no processo decisório. A melhor alternativa é o investimento Y, pois tem o maior VPL positivo, igual a $5.719,25, que é o valor econômico, em moeda do ponto zero, que está sendo agregado por esse investimento, além de remunerar os $10.000,00 com a taxa mínima de atratividade de 7% ao ano.

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305

b) “Payback” Descontado (PBD) Os valores dos PBD com a taxa de desconto de 7% ao ano indicam, erradamente, que a melhor alternativa é o investimento X que oferece o menor valor de PBD (2 anos e 3 dias). Conforme já comentado anteriormente, esse parâmetro só deve ser usado como indicador de liquidez.

c) taxa interna de retorno (TIR) – análise incremental Os valores das TIRs indicam que os dois investimentos devem ser considerados no processo decisório, pois ambos têm taxa interna de retorno superior à taxa mínima de atratividade de 7% ao ano. O investimento X que tem a maior taxa interna de retorno (31,84% ao ano) não pode ser o escolhido sem que antes seja feita a análise incremental. A análise incremental precisa ser feita com um certo cuidado pois os dois investimentos (X e Y) têm o mesmo valor de $10.000,00 para o valor do capital inicial aplicado, e, portanto, o incremento entre os dois investimentos é nulo. O fato de o incremento ser nulo não impede a realização da análise incremental. A questão principal é decidir se o incremento de investimento deve ser [XY] ou [YX]. A escolha deve recair sobre o incremento [YX], pois a soma de todas as parcelas do seu fluxo de caixa é positiva com valor de $1.500,00 caracterizando que esse fluxo de caixa incremental é um investimento. Os fluxos de caixa X e Y e o incremento [YX] estão incluídos na tabela a seguir: Tabela 11.11 Investimentos mutuamente exclusivos

Ano

X

Y [Y – X]

0

(10.000,00)

(10.000,00)

0,00

1

6.000,00

3.000,00

(3.000,00)

2

5.000,00

4.000,00

(1.000,00)

3

4.000,00

5.000,00

1.000,00

4

2.500,00

7.000,00

4.500,00

Soma

7.500,00

9.000,00

1.500,00

VPL (7%)

5.147,10

5.719,25

572,15

TIR (% a.a.)

31,84%

26,87%

13,19%


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306


No quadro anterior, podemos constatar que o incremento [YX] tem uma TIRYX de 13,19% ao ano, que é maior do que a taxa imin  7% ao ano. Assim, o incremento [YX] deve ser aceito, o que leva à escolha da alternativa Y como o melhor investimento, resultado que coincide com o apontado inicialmente pelo método do VPL. d) gráfico do VPL  taxa de desconto O gráfico dos VPLs dos fluxos de caixa desses investimentos está indicado na Figura 11.7: Figura 11.7 VPL  Taxa de Desconto Aceitar Y

Aceitar X

Rejeitar X eY

10.000 8.000

TIRXY 13,19%

VPL ($)

6.000 4.000

X

2.000 0 (2.000)

TIRX 31,84%

Y 0%

10%

20%

30%

40%


A análise desse gráfico permite definir a decisão mais adequada em função do nível da taxa mínima de atratividade (imin), conforme indicado no quadro a seguir:

Intervalos da imin


0 %  imin  13,19% a.a.

Escolher o investimento Y

13,19 % a.a.  imin  31,84% a.a.

Escolher o investimento X

imin  31,84% a.a.

Rejeitar os dois investimentos

Observe que o ponto de interseção das duas curvas ocorre exatamente para a taxa de desconto igual à taxa interna de retorno do incremento de investimento [YX]. 4. Escolha, utilizando os métodos do VPL e da TIR, qual dos dois projetos, a seguir representados pelos seus fluxos de caixa, é o mais atrativo, considerando-se uma taxa de desconto de 8% ao ano.


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307


Anos A

B

0

(1.000,00) (1.000,00)

1

0,00

315,47

2

0,00

315,47

3

0,00

315,47

4

1.464,10

315,47

Soma

464,10

261,88

Solução: A seguir, indicamos os VPLs e PBDs desses investimentos para a taxa mínima de atratividade de 8% ao ano, e ainda as suas taxas internas de retorno (TIR):

VPL 8(%)

76,16

44,88

TIR (% a.a.)

10,00%

10,00%

PBD (8%)

3 anos e 339 dias

3 anos e 294 dias

A análise desses valores nos leva às seguintes conclusões:

a) valor presente líquido (VPL) Os VPLs com a taxa mínima de atratividade (8% ao ano) são positivos e, portanto, os dois investimentos devem ser considerados no processo decisório. A melhor alternativa é o investimento A, pois tem o maior VPL positivo igual a $76,16, que é o valor econômico, em moeda do ponto zero, que está sendo agregado por esse investimento, além de remunerar os $1.000,00 com a taxa mínima de atratividade de 8% ao ano.

b) “Payback” Descontado (PBD) Os valores dos PBD com a taxa de desconto de 8% ao ano indicam, erradamente, que a melhor alternativa é o investimento B que oferece o menor valor de PBD (3 anos e 294 dias).


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308


c) taxa interna de retorno (TIR) – análise incremental Os valores das TIRs indicam que os dois investimentos devem ser considerados no processo decisório, pois ambos têm a mesma taxa interna de retorno de 10% ao ano que é superior à taxa mínima de atratividade de 8% ao ano. Na análise incremental a questão principal é decidir se o incremento de investimento deve ser [AB] ou [BA]. A escolha deve recair sobre o incremento [AB], pois a soma de todas as parcelas do seu fluxo de caixa é positiva com valor de $202,22, caracterizando que esse fluxo de caixa incremental é um investimento. Os fluxos de caixa A e B e o incremento [AB] estão incluídos na Tabela 11.13: Tabela 11.13 Investimentos mutuamente exclusivos

Anos

A

B [A  B]

0

(1.000,00)

(1.000,00)

0,00

1

0,00

315,47

(315,47)

2

0,00

315,47

(315,47)

3

0,00

315,47

(315,47)

4

1.464,10

315,47

1.148,63

Soma

464,10

261,88

202,22

VPL (8%)

76,16

44,88

31,28

TIR(% a.a.)

10,00%

10,00%

10,00%

Pela tabela anterior constatamos que o incremento [AB] tem uma TIRAB  10% ao ano, superior à taxa imin  8% ao ano. Assim o incremento [AB] deve ser aceito, o que leva à escolha da alternativa A como o melhor investimento, resultado que coincide com o apontado inicialmente pelo método do VPL.


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309

d) gráfico do VPL  taxa de desconto O gráfico dos VPLs dos fluxos de caixa desses investimentos está indicado na Figura 11.8. Figura 11.8 VPL  Taxa de Desconto 500 Aceitar A

400

VPL ($)

300

Rejeitar AeB A

200

10% aa

100 0 (100)

B 0%

2%

(200)

4%

6%

8%

10%

12%


A análise desse gráfico mostra que o investimento A deve ser escolhido para qualquer taxa imin  10% ao ano, e que os dois investimentos devem ser rejeitados para valores da taxa imin  10% ao ano. Vários Investimentos Mutuamente Exclusivos Os exemplos numéricos a seguir mostram a análise de vários investimentos mutuamente exclusivos, com valores iniciais diferentes (escalas diferentes) e com valores iniciais iguais (mesma escala), pelos métodos VPL e TIR, e ainda comparam os PBD de cada investimento. 1. Quatro investimentos mutuamente exclusivos, representados pelos fluxos de caixa A, B, C e D, estão sendo analisados por uma empresa que utiliza uma taxa mínima de atratividade de 8% ao ano. Escolha, utilizando os métodos do VPL e da TIR, qual dos projetos é o mais atrativo. Tabela 11.14 Investimentos mutuamente exclusivos

Ano A

Fluxos de caixa ($) B

C

D

0

1

1.500,00

2.800,00

4.000,00

5.700,00

2

1.500,00

2.800,00

4.000,00

5.700,00

3

1.500,00

2.800,00

4.000,00

5.700,00

4

1.500,00

2.800,00

4.000,00

5.700,00

5

1.500,00

2.800,00

4.000,00

5.700,00

Soma

2.500,00

4.000,00

5.000,00

8.500,00


(5.000,00) (10.000,00) (15.000,00) (20.000,00)

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Solução: A seguir indicamos os VPLs e PBDs desses investimentos para a taxa mínima de atratividade de 8% ao ano, e ainda as suas Taxas Internas de Retorno (TIR):

Indicadores A

B

C

D

VPL (8%) 989,07 1.179,59 970,84 2.758,45 TIR (% a.a.) 15,2% 12,4% 10,4% 13,1%

PBD (8%)

4 anos e 11 dias

4 anos e 139 dias

4 anos e 234 dias

4 anos e 105 dias

A análise desses valores permite as seguintes conclusões: a) valor presente líquido (VPL) Os VPLs com a taxa mínima de atratividade (8% ao ano) são positivos e, portanto, os quatro investimentos devem ser considerados no processo decisório. A melhor alternativa é o investimento D, pois tem o maior VPL positivo, igual a $2.758,45. Investir $20.000,00 na alternativa D significa que os $20.000,00 estão sendo remunerados com a taxa imin  8% ao ano e, além disso, o investimento agrega um valor econômico de $2.758,45 para o investidor, expresso em moeda do ponto zero. b) “Payback” Descontado (PBD) Os valores dos PBD com a taxa de desconto de 8% a.a. indicam, erradamente, que a melhor alternativa é o investimento A, que oferece o menor valor de PBD (4 anos e 11 dias). c) taxa interna de retorno (TIR) – análise incremental Os valores das TIRs indicam que os quatro investimentos devem ser considerados no processo decisório, pois todos têm taxa interna de retorno superior à taxa mínima de atratividade de 8% ao ano. Não podemos considerar o investimento A a melhor alternativa simplesmente porque oferece a maior taxa interna de retorno (15,2% ao ano). Para se aplicar corretamente o método da TIR é indispensável a realização da análise incremental dos investimentos envolvidos, obedecendo aos passos descritos no início do item 11.6. O quadro a seguir mostra os fluxos de caixa dos incrementos de investimentos que devem ser considerados na escolha da melhor alternativa, os seus VPLs e as suas taxas internas de retorno:


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Ano  

Fluxos de caixa dos incrementos ($) [B  A] [C  B] [D  B]

0

(5.000,00) (5.000,00) (10.000,00)

1

1.300,00

1.200,00

2.900,00

2

1.300,00

1.200,00

2.900,00

3

1.300,00

1.200,00

2.900,00

4

1.300,00

1.200,00

2.900,00

5

1.300,00

1.200,00

2.900,00

Soma 1.500,00 1.000,00

4.500,00

VPL (8%)

190,52

(208,75)

1.578,86

TIR (% a.a.)

9,4%

6,4%

13,8%

Na análise incremental, cada incremento de investimento deve ser analisado separadamente e a sua aceitação ou rejeição depende de sua TIR ser, respectivamente, superior ou inferior à taxa mínima de atratividade. Começamos a análise incremental aceitando o investimento A, de menor desembolso inicial, por apresentar uma TIRA  15,2% ao ano, superior à taxa imin  8% ao ano. O primeiro incremento de investimento a ser analisado é, portanto, o incremento [BA], que tem uma TIRBA de 9,4% ao ano, superior à taxa imin  8% ao ano. Assim, o incremento [BA] deve ser aceito, o que leva à escolha do investimento B em detrimento do investimento A. Como o investimento B eliminou o investimento A, o próximo incremento a ser analisado é o incremento [CB], que tem uma TIRCB de 6,4% ao ano, inferior à taxa imin  8% ao ano. Assim, esse incremento deve ser rejeitado, o que leva à escolha do investimento B em detrimento do investimento C. Como o investimento B eliminou o investimento C, o próximo incremento a ser analisado é o incremento [DB], que tem uma TIRDB  13,8% ao ano, superior à taxa imin  8% ao ano. Assim, esse incremento deve ser aceito, o que leva à escolha do investimento D, confirmando a escolha indicada pelo método do VPL. Resumidamente, os passos para se chegar à escolha do investimento D foram os seguintes: • inicialmente, retiramos $5.000,00 da alternativa Z para aplicá-los na alternativa A, que fornece uma TIRA  15,2% ao ano, superior à imin  8% ao ano;


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312


• em seguida, retiramos mais $5.000,00 da alternativa Z para aplicá-los no incremento [BA] com uma remuneração de 9,4% ao ano, e assim viabilizamos a alternativa B, com o desembolso inicial de $10.000,00; • o último passo é a retirada de mais $10.000,00 da alternativa Z para aplicá-los no incremento [DB] com uma remuneração de 13,8% ao ano, e assim viabilizamos a alternativa D com o desembolso inicial de $20.000,00. Podemos, então, considerar o fluxo de caixa da alternativa D igual à soma dos fluxos de caixa da alternativa A e dos incrementos [BA] e [DB], conforme mostramos a seguir: [D]  [A]  [BA]  [DB] $20.000,00 $5.000,00 $5.000,00 $10.000,00 TIRD  13,1% TIRA  15,2% TIRBA  9,4% TIRDB  13,8% É válida a seguinte relação dos VPLs desses fluxos de caixa: VPLD (8%)  VPLA (8%)  VPLBA (8%)  VPLDB (8%) $2.758,45  $989,07  $190,07  $1.578,86 Como o VPLA (8%) é positivo, podemos assegurar que a TIRA é maior do que a taxa i min  8% ao ano. Da mesma forma, o VPLBA sendo positivo garante que a TIRBA seja maior do que a taxa imin  8% ao ano. Finalmente, o VPLDB sendo positivo garante que a TIRDB seja maior do que a taxa imin  8% ao ano. Fica assim mais uma vez demonstrado que a análise incremental, exigida pelo método da TIR, é feita automaticamente pelo método do VPL, e que os dois métodos conduzem à mesma decisão. d) gráfico do VPL  taxa de desconto O gráfico dos VPLs dos fluxos de caixa desses investimentos está indicado na Figura 11.9: Figura 11.9 VPL  Taxa de Desconto 2

6.000

Aceitar D

5.000

VPL ($)

C

3.000

1.000

(2.000)

TIRDA 12,4% a.a.

B

2.000

(1.000)

Rejeitar Todos

D

4.000

0

Aceitar A

TIRA 15,2% a.a.

A 4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%


O ponto de interseção das curvas dos investimentos A e D corresponde à TIRDA 12,4% ao ano, cujo valor pode ser obtido com o fluxo de caixa do incremento [DA].


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313

A análise desse gráfico permite definir a decisão mais adequada em função do nível da taxa mínima de atratividade (imin), conforme indicado no quadro a seguir:

Intervalos da imin


0% < imin , 12,4% a.a.

Escolher o investimento D

12,4 % a.a. < imin , 15,2 % a.a.

Escolher o investimento A

imin > 15,2 % a.a.

Rejeitar todos os investimentos

2. Escolha, utilizando os métodos do VPL e da TIR, qual dos três projetos a seguir representados pelos seus fluxos de caixa é o mais atrativo, considerando-se uma taxa de desconto de 7% ao ano. Tabela 11.16 Investimentos mutuamente exclusivos

Ano  

Fluxos de caixa ($)

Projeto A

Projeto B

Projeto C

0 (10.000,00) (10.000,00) (10.000,00)

1

3.800,00

1.000,00

0,00

2

3.500,00

1.500,00

0,00

3

3.500,00

3.000,00

3.500,00

4

2.500,00

4.000,00

5.000,00

5

1.000,00

6.000,00

9.000,00

Soma

4.300,00

5.500,00

7.500,00

Solução: A seguir indicamos os VPLs e PBDs desses investimentos para a taxa mínima de atratividade de 7% ao ano, e ainda as suas taxas internas de retorno (TIR):

Indicadores

Projeto A

Projeto B

Projeto C

VPL (7%)

2.085,70

2.023,13

3.088,39

TIR (% a.a.)

15,88%

12,52%

13,99%

4 anos e 102 dias

4 anos e 192 dias

4 anos e 189 dias

PBD (7%)


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314


A análise desses valores nos leva às seguintes conclusões:

a) valor presente líquido (VPL) Os VPLs com a taxa mínima de atratividade (7% ao ano) são positivos e, portanto, os três projetos devem ser considerados no processo decisório. O melhor projeto é o projeto C, pois tem o maior VPL positivo, igual a $3.088,39. Investir $10.000,00 no projeto C significa que os $10.000,00 estão sendo remunerados com a taxa imin  7% a.a. e, além disso, o investimento agrega um valor econômico de $3.088,39 para o investidor, expresso em moeda do ponto zero.

b) “Payback” Descontado (PBD) Os valores dos PBD com a taxa de desconto de 7% a.a. indicam, erradamente, que o melhor projeto é o projeto A, que oferece o menor valor de PBD (4 anos e 102 dias).

c) taxa interna de retorno (TIR) – análise incremental Os valores das TIRs indicam que os três projetos devem ser considerados no processo decisório, pois todos têm taxa interna de retorno superior à taxa mínima de atratividade de 7% a.a. Não podemos considerar o projeto A o melhor investimento simplesmente porque oferece a maior taxa interna de retorno (15,88% a.a.). O método da TIR exige a análise incremental dos investimentos envolvidos tal como realizamos no exemplo anterior. A análise incremental precisa ser feita com um certo cuidado, pois os três projetos têm o mesmo capital inicial aplicado de $10.000,00, e, portanto, o incremento entre os três investimentos é nulo. Qualquer um dos três projetos pode ser usado como ponto de partida para a análise incremental, e o resultado obtido, se o método for aplicado corretamente, deve conduzir à escolha do projeto C, já anunciada pelo método do VPL. Escolhemos o projeto A para iniciarmos a análise incremental e com isso retiramos $10.000,00 da alternativa Z, com remuneração de imin  7% a.a., para ser aplicado no Projeto A com a TIRA  15,88% a.a. O primeiro incremento deve ser [BA] e não [AB], pois a soma de todas as parcelas do seu fluxo de caixa é positiva com valor de $1.200,00, caracterizando que esse fluxo de caixa incremental é um investimento. Pela mesma razão escolhemos o incremento [CA] e não [AC].


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315

A Tabela 11.17 mostra os fluxos de caixa dos incrementos de investimentos que devem ser considerados na escolha do melhor projeto, os seus VPLs e as suas taxas internas de retorno: Tabela 11.17 Investimentos mutuamente exclusivos

Ano

Fluxos de caixa dos incrementos ($)

[B  A] [C  A]

0

0,00

0,00

1 (2.800,00) (3.800,00)

2 (2.000,00) (3.500,00)

3

(500,00)

0,00

4

1.500,00

2.500,00

5

5.000,00

8.000,00

Soma

1.200,00

2.000,00

VPL (7%)

(62,58)

1.002,69

TIR (% a.a.)

6,56%

11,70%

O primeiro incremento de investimento [BA] deve ser rejeitado, pois tem uma TIR de 6,56% a.a., inferior à taxa imin  7% a.a. Assim, o projeto A elimina o projeto B. Verifique pelo método do VPL que VPLA (7%) é maior do que o VPLB (7%), confirmando essa decisão. Como o projeto A eliminou o projeto B, o próximo incremento a ser analisado é [CA] que tem uma TIRCA de 11,70% a.a., superior à taxa imin  7% a.a. Assim, esse incremento deve ser aceito, o que leva à escolha do projeto C, confirmando a escolha indicada pelo método do VPL.


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316


d) gráfico do VPL  taxa de desconto O gráfico dos VPLs dos fluxos de caixa desses investimentos, em função da taxa de desconto, está indicado a seguir: Figura 11.10 8.000

C

7.000

Aceitar C

6.000

Rejeitar Todos

B

5.000 VPL ($)

Aceitar A

4.000

TIRCA 11,70%

3.000

A

2.000

TIRA 15,88%

1.000 0 (1.000)

0%

5%

10%

15%

20%

(2.000) (3.000) Taxa de desconto (% a.a.)

O ponto de interseção das curvas dos projetos A e C corresponde à TIRCA   11,70% a.a., cujo valor é obtido com o fluxo de caixa do incremento [CA]. A análise desse gráfico permite definir a decisão mais adequada em função do nível da taxa mínima de atratividade (imin), conforme indicado no quadro a seguir:

Intervalos da imin

0%  imin  11,70% a.a.

11,70 % a.a.  imin  15,88 % a.a.

imin  15,88% a.a.

Decisão a ser tomada Escolher o projeto C Escolher o projeto A Rejeitar todos os projetos

11.6.2. Análise de Investimentos com Durações Diferentes Na análise entre investimentos com vidas úteis (durações) diferentes, a questão principal é a definição do horizonte de análise do investimento a ser realizado. Por exemplo, para comparar um equipamento de vida útil igual a 4 anos com outro equipamento de vida útil igual a 8 anos é indispensável definir o horizonte de análise do fluxo de caixa: a) caso o horizonte de análise seja de 8 anos, o equipamento com vida útil de 8 anos cobre perfeitamente o horizonte de análise, ao passo que o equipamento


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317

com vida útil de 4 anos terá que ser substituído por outro equipamento com a mesma vida útil para cobrir os 8 anos do horizonte de análise; b) caso o horizonte de análise seja de 4 anos, o equipamento com vida útil de 4 anos se ajusta perfeitamente nesse horizonte, ao passo que o equipamento com vida útil de 8 anos terá de ser vendido no final do 4o ano. Assim, é preciso estimar o valor residual desse equipamento após 4 anos de uso, e considerá-lo como uma saída de caixa no final do 4o ano. O importante é que para se aplicar o método do VPL é necessário definir o fluxo de caixa para todo o horizonte de análise, inclusive os reinvestimentos necessários para a substituição de equipamentos com vida útil inferior a esse horizonte. O exemplo a seguir mostra a aplicação do método VPL na escolha de dois equipamentos com vidas úteis diferentes, assumindo que a substituição do equipamento com menor vida útil será feita por um equipamento idêntico ao adquirido no início do projeto. 1. Uma empresa deseja criar uma nova linha de produção na sua unidade fabril. Dois projetos são apresentados para análise da administração e os seus fluxos de caixa estão a seguir indicados. Os recebimentos anuais da empresa provenientes dessa nova linha de produção não serão alterados pela escolha do projeto. Considere um horizonte de análise de 8 anos e escolha o projeto que deve ser adotado pela empresa para uma taxa mínima de atratividade de 10% a.a.

Dados

Projeto A

Projeto B

Investimento inicial

$50.000,00

$100.000,00

Vida útil (anos)

4

8

Valor residual

0

$20.000,00

Dispêndios anuais

$7.000,00

$4.000,00

Solução: Como o horizonte de análise é de 8 anos, o equipamento do projeto B, com vida útil de 8 anos, se encaixa perfeitamente no horizonte de análise, ao passo que o equipamento do projeto A, com vida útil de 4 anos, terá que ser substituído por outro equipamento com a mesma vida útil para completar o horizonte de análise. A hipótese usualmente utilizada nessa substituição de equipamentos é a de que o fluxo de caixa do novo equipamento é idêntico ao fluxo de caixa do equipamento inicial, que é descartado no final do 4o ano.


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318


Com o avanço de tecnologia é possível que no futuro apareça um novo equipamento com melhores condições de desenvolvimento do que a do equipamento inicial, mas esse diferencial, por ser de difícil quantificação, não é usualmente considerado e fica a favor da segurança do projeto A, que faz a substituição do equipamento por outro idêntico ao inicial. A seguir, indicamos os fluxos de caixa dos dois projetos e do incremento de investimento [BA] e, ainda, os seus respectivos VPLs e TIRs. Tabela 11.18 Investimentos mutuamente exclusivos – vidas diferentes

Ano

1o Invest.

Fluxos de caixa ($)

Projeto A 2o Invest.

(50.000,00)  

Total

Projeto

Incremento

B

BA

0

(50.000,00) (100.000,00) (50.000,00)

1

(7.000,00)  

(7.000,00)

(4.000,00)

3.000,00

2

(7.000,00)  

(7.000,00)

(4.000,00)

3.000,00

3

(7.000,00)  

(7.000,00)

(4.000,00)

3.000,00

4

(7.000,00)

(50.000,00)

(57.000,00)

(4.000,00)

53.000,00

5  

(7.000,00)

(7.000,00)

(4.000,00)

3.000,00

6  

(7.000,00)

(7.000,00)

(4.000,00)

3.000,00

7  

(7.000,00)

(7.000,00)

(4.000,00)

3.000,00

8  

(7.000,00)

(7.000,00)

(4.000,00)

3.000,00

20.000,00

20.000,00

Valor residual      

Soma

(78.000,00) (78.000,00) (156.000,00) (112.000,00) 44.000,00

TIR (% a.a.)        

14,27%

9.485,60

VPL (10%)    


(121.495,16) (112.009,56)

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319

Observe que no projeto A o fluxo de caixa dos primeiros 4 anos é repetido nos últimos 4 anos e que a 3a coluna do quadro acima mostra o fluxo de caixa do projeto A para os 8 anos do horizonte de análise. Podemos, então, comparar os fluxos de caixa dos dois projetos no prazo de 8 anos. Esses dois fluxos de caixa representam exclusivamente os custos envolvidos no projeto. Os fluxos de receitas não se alteram em função da decisão entre A e B, e, portanto, não precisam ser considerados. A melhor alternativa é o projeto B, pois apresenta, para a taxa imin  10% a.a., o menor VPL no valor de ($112.009,56), que corresponde ao menor custo à vista equivalente do equipamento B. A última coluna do quadro anterior é a do incremento [BA], que representa as economias alcançadas anualmente pelo Projeto B em relação ao Projeto A. Esse fluxo de caixa oferece uma TIR de 14,27%, superior à taxa imin  10% a.a., e, portanto, o incremento [BA] deve ser aceito e consequentemente o Projeto B deve ser o escolhido. O investimento incremental de $50.000,00 para permitir a escolha do projeto B está produzindo um VPL positivo de $9.465,60, que é o valor econômico agregado, em moeda do ponto zero, por esse incremento de investimento, para uma taxa imin  10 % a.a. Podemos chegar aos mesmos valores de VPL dos dois projetos sem a necessidade de repetir os fluxos de caixa no projeto A. Para isso, precisamos calcular a série uniforme equivalente PMT de cada projeto, e considerar que elas se estendem até o final do horizonte de análise. Essa forma de equacionar o problema é interessante, pois serve como base para a solução de situações envolvendo cálculos com vidas perpétuas, como será mostrado no item 11.6.3. Inicialmente, devemos calcular os custos de capital de cada projeto, representados pelas séries PMT correspondentes aos investimentos iniciais e valores residuais de cada projeto, com as respectivas vidas úteis de cada equipamento, conforme indicado a seguir: Cálculo da PMT – Projeto A

n

i

PV

4 10,00 250.000,00

PMT

FV

15.773,54

0,00

PMT

FV

16.995,52

20.000,00

Cálculo da PMT – Projeto B

n


i

PV

8 10,00 2100.000,00

6/29/11 5:21 PM

320


Os custos anuais desses dois projetos podem, então, ser obtidos pelos passos indicados a seguir:

Projeto A

Projeto B

• Dispêndios anuais operacionais 7.000,00 • Custo anual de capital (PMT) 15.773,54

4.000,00 16.995,52

Custo Anual

22.773,54

20.995,52

O melhor projeto é o projeto B, que apresenta o menor custo anual equivalente no valor de $20.995,52 para uma taxa imin10% a.a. A partir desses dois valores de custos anuais equivalentes podemos facilmente calcular os VPLs dos fluxos de caixa dos dois projetos, num horizonte de 8 anos. Para isso, basta assumirmos que esses dois custos anuais equivalentes são estendidos até o final do 8o ano do horizonte de análise, e em seguida calcularmos os seus respectivos VPLs, como indicado a seguir: Cálculo de VP – Projeto A

n

i

PV

PMT

8 10,00 121.495,16 222.773,54

FV 0,00

Cálculo de VP – Projeto B

n

i

PV

PMT

8 10,00 112.009,55 220.995,52

FV 20,00

Verifique que esses valores presentes coincidem com aqueles calculados a partir dos fluxos de caixa desenvolvidos para o horizonte de análise de 8 anos, com a repetição do fluxo de caixa do equipamento com vida útil de 4 anos. 11.6.3. Análise de Investimentos com Durações Perpétuas O exemplo desenvolvido neste item é o mesmo problema que foi resolvido no item 11.6.2, com a única alteração no horizonte de análise, que passa a ser infinito. Os dados do problema estão resumidos no quadro a seguir:


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Dados

Projeto A

Projeto B

Investimento inicial

$50.000,00

$100.000,00

Vida útil (anos)

4

8

Valor residual

0

$20.000,00

Dispêndios anuais

$7.000,00

$4.000,00

321

Os recebimentos anuais da empresa não serão alterados pela escolha do projeto. Escolha o projeto que deve ser adotado perpetuamente pela empresa, para uma taxa mínima de atratividade de 10% a.a. Solução: Como estamos tratando com uma perpetuidade, o equipamento do projeto B, com vida útil de 8 anos, será substituído a cada 8 anos, e o equipamento do Pro jeto A, com vida útil de 4 anos, será substituído a cada 4 anos. As substituições se repetirão por um número infinito de vezes com fluxos de caixa idênticos aos do investimento inicial. O cálculo do VPL dos fluxos de caixa perpétuos será alcançado com o auxílio da série uniforme equivalente PMT de cada projeto, conforme mostrado a seguir. Reveja no item 6.6.4 do Capítulo 6 os conceitos e cálculos envolvendo prestações perpétuas ou perpetuidades.

I. VPL do Projeto A Esse projeto envolve reinvestimentos perpétuos de $50.000,00 a cada 4 anos, com valor residual nulo, e o seu VPL é composto das seguintes parcelas: a) investimento inicial: $50.000,00 b) valor presente dos dispêndios perpétuos de $7.000,00/ano. O valor presente (VP) de uma série infinita de dispêndios anuais de $7.000,00 com uma taxa de desconto de 10% a.a. é obtido pela relação: VP 5 $7.000,00/10% 5 $70.000,00

c) valor presente das infinitas reposições de equipamento a cada 4 anos Inicialmente, devemos calcular a série PMT equivalente ao valor de $ 50.000,00 da 1a reposição de equipamento no final do 4o ano, conforme indicado a seguir:

Cálculo da PMT – Projeto A

n


i

PV

4 10,00 0,00

PMT

FV

10.773,54

250.000,00

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322


Devemos assumir agora que essa série PMT se estende até o infinito e, portanto, o seu valor presente, com a taxa de desconto de 10% a.a., é obtido com a relação: VP 5 $10.773,54/10% 5 $107.735,40 Assim, o valor presente do fluxo de caixa do projeto A é igual a $227.735,40, que corresponde à soma dessas três parcelas.

II. VPL do Projeto B

Esse projeto envolve reinvestimentos perpétuos de $100.000,00 a cada 8 anos, com valor residual de $20.000,00, e o seu VPL é composto das seguintes parcelas:

a) investimento inicial: $100.000,00

b) valor presente dos dispêndios perpétuos de $4.000,00/ano O valor presente (VP) de uma série infinita de dispêndios anuais de $4.000,00, com uma taxa de desconto de 10% a.a., é obtido pela relação: VP 5 $4.000,00 / 10% 5 $40.000,00

c) valor presente das infinitas reposições de equipamento a cada 8 anos No final de cada 8 anos, o projeto B exige um novo investimento de $100.000,00, e o equipamento descartado tem um valor residual de $20.000,00. Assim, o reinvestimento líquido, a cada 8 anos, é igual a $80.000,00. Inicialmente, devemos calcular a série PMT equivalente ao valor líquido de $80.000,00 da 1a reposição de equipamento no final do 8o ano, conforme indicado a seguir: Cálculo da PMT – Projeto A

n

i

PV

8 10,00 0,00

PMT

FV

6.995,52

280.000,00

Devemos assumir agora que essa série PMT se estende até o infinito e, portanto, o seu valor presente, com a taxa de desconto de 10% a.a., é obtido pela relação: VP 5 $6.995,52/10% 5 $69.955,20 Assim, o valor presente do fluxo de caixa do Projeto B é igual a $209.955,21, que corresponde à soma dessas três parcelas.


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323

O resumo desses valores para os dois projetos está indicado a seguir:

• Investimento inicial • VP dos dispêndios anuais • VP das infinitas reposições

VPL (10%)

Projeto A

Projeto B

(50.000,00) (100.000,00) (70.000,00) (40.000,00) (107.735,40) (69.955,20) (227.735,40) (209.955,20)

O melhor projeto é o projeto B, que apresenta o menor custo à vista equivalente ($209.955,21), considerando a taxa mínima de atratividade de 10% a.a., definida pela empresa. No exemplo do item 11.6, com os mesmos dados deste problema e com um horizonte de análise de 8 anos, obtivemos custos anuais de $22.773,54 e $20.995,52 para os Projetos A e B, respectivamente. Se considerarmos que esses custos anuais serão mantidos de forma perpétua podemos obter os VPLs desses projetos dividindo-se esses valores anuais pelo valor da taxa de juros de 10% a.a. Observe que os valores assim obtidos são idênticos aos indicados acima.

11.7. Análise de Investimentos Independentes Neste item, mostraremos um exemplo de aplicação do método do VPL na tomada de decisão sobre alternativas de investimentos independentes e com mesma duração. O melhor conjunto de investimentos para a aplicação de recursos financeiros é aquele que maximiza a soma dos VPLs dos investimentos selecionados para uma determinada taxa mínima de atratividade. Por esse critério, estamos maximizando o valor econômico agregado ao investidor, em moeda do ponto zero, com a taxa imin que for fixada. Lembramos o conceito de que quando o capital está aplicado na alternativa Z, o seu VPLZ(imin)  0 , isto é, o capital é apenas remunerado com a taxa imin, e não agrega qualquer valor econômico para o investidor. Ressaltamos que o método da TIR não se aplica no processo de decisão envolvendo investimentos independentes, pelas seguintes razões: a) a decisão consiste em escolher o melhor conjunto de investimentos, dentro do limite do capital a ser aplicado; b) não podemos priorizar os melhores investimentos apenas comparando os valores das suas respectivas taxas internas de retorno; c) a análise incremental é absolutamente impraticável pelo fato de os investidores serem independentes; d) não podemos agregar as taxas internas de retorno de um conjunto de investimentos num único valor para permitir a comparação com outro conjunto de investimentos.


6/29/11 5:21 PM

324


1. Quatro projetos independentes, representados pelos fluxos de caixa A, B, C, e D, indicados na Tabela 11.19, estão disponíveis para aplicação de recursos de uma empresa. Tabela 11.19 Investimentos independentes

Fluxos de caixa ($) Anos A B C

D

0

(5.000,00) (10.000,00) (15.000,00) (20.000,00)

1

1.300,00

3.500,00

3.300,00

5.100,00

2

1.300,00

3.500,00

3.300,00

5.100,00

3

1.300,00

3.500,00

3.300,00

5.100,00

4

2.800,00

3.500,00

11.300,00

12.600,00

Soma

1.700,00

4.000,00

6.200,00

7.900,00

TIR (% a.a.)

11,2%

15,0%

12,3%

12,5%

Indique os investimentos que devem ser escolhidos para as seguintes taxas mínimas de atratividade e disponibilidades de recursos. a) taxas mínimas de atratividade: 10% a.a. e 12% a.a. b) disponibilidades de recursos: $5.000,00; $15.000,00 e $25.000,00 Solução: Inicialmente, calculamos os VPLs de todos os projetos com as taxas mínimas de atratividade de 10% a.a. e 12% a.a., e os resultados estão abaixo indicados:

Taxa (% a.a.)

VPLA VPLB VPLC VPLD

10%

145,35

1.094,53

924,66

1.288,91

12%

(98,17)

630,72

107,40

256,87

A partir dessas informações, temos condições de escolher o melhor investimento ou grupo de investimentos, para cada volume de recursos definidos pela empresa. a) taxa mínima de atratividade de 10% a.a. • Volume de recursos fixado em R$5.000,00


6/29/11 5:21 PM


325

O único projeto a ser selecionado é o projeto A, que absorve a totalidade dos recursos disponíveis ($5.000,00) e gera um VPL positivo de $145,35. • Volume de recursos fixado em R$15.000,00 O projeto C, que absorve os $15.000,00, tem um VPLC(10%)  $924,66 e não deve ser o escolhido, pois a combinação do projeto A com o projeto B absorve os $15.000,00 e oferece um VPLAB (10%)  $1.239,88, superior ao VPLC (10%), como indicado a seguir:

Combinação dos projetos A e B

Projeto A

145,35

5.000,00

Projeto B

1.094,53

10.000,00

VPL (10%)  $ Recursos  $

Soma 1.239,88 15.000,00

• Volume de recursos fixado em $25.000,00 A totalidade dos recursos é integralmente absorvida tanto na combinação dos projetos B e C como na combinação dos projetos A e D. Para a escolha da melhor combinação de projetos precisamos comparar a soma dos VPLs de cada combinação de projetos, como indicado a seguir:

Combinação dos projetos A e D

Projeto A

145,35

5.000,00

Projeto D

1.288,91

20.000,00


Soma 1.434,26 25.000,00

Combinação dos projetos B e C

Projeto B

1.094,53

10.000,00

Projeto C

924,66

15.000,00



Soma 2.019,19 25.000,00

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326


A escolha deve ser pelos projetos B e C que oferecem o maior valor para a soma dos VPLs a 10% a.a., agregando um valor econômico de $2.019,19 para essa empresa, caso a sua taxa mínima de atratividade seja de 10% a.a. A Tabela 11.20 resume a seleção dos melhores projetos para a taxa imin  10% a.a. e indica os VPLs das respectivas combinações dos projetos selecionados: Tabela 11.20 Taxa mínima de atratividade de 10% a.a.

Disponibilidade de recursos

$5.000,00

Projetos selecionados

A

VPL

$15.000,00

$25.000,00

AB BC

$145,35 $1.239,88 $2.019,19

b) taxa mínima de atratividade de 12% a.a. • Volume de recursos fixado em $5.000,00 O único projeto que poderia ser considerado para o volume de recursos de $5.000,00 deve ser rejeitado, pois o seu VPLA (12%) tem um valor negativo ($98,17). Assim, a melhor decisão da empresa é deixar os $5.000,00 aplicados na alternativa Z e obter a remuneração mínima de 12% a.a., garantida pelo VPLZ(12%)  0,00

• Volume de recursos fixado em $15.000,00 Observe que os $15.000,00 são integralmente absorvidos pelo projeto C ou pela combinação dos projetos A e B. Como o projeto A deve ser rejeitado por ter um VPLA (12%) negativo, devemos comparar o investimento de $15.000,00 no projeto C com o investimento de $10.000,00 no projeto B e $5.000,00 aplicados na alternativa Z. O projeto C tem um VPLC(12%)  $107,40 e a combinação do projeto B com a alternativa Z oferece um VPLBZ (12%)  $630,72, na medida em que VPLZ(12%)  0,00. Assim, devemos investir $10.000,00 no projeto B e deixar $5.000,00 aplicados na alternativa Z.

• Volume de recursos fixado em $25.000,00 A totalidade dos recursos é integralmente absorvida tanto na combinação dos projetos B e C como na combinação dos projetos A e D. O projeto A deve ser rejeitado e substituído pela alternativa Z. Assim, devemos comparar os projetos B e C com o projeto D e a alternativa Z.


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327

Para a escolha dos projetos, precisamos comparar a soma dos VPLs de cada combinação de projetos, como indicado a seguir: Combinação dos projetos B e C

VPL (12%)  $

Recursos  $

Projeto B

630,72

10.000,00

Projeto C

107,40

15.000,00

Soma 838,12 25.000,00

Combinação do projeto D com a alternativa Z

VPL (12%) $ Recursos  $

Projeto D

256,87

20.000,00

Alternativa Z

0,00

5.000,00

Soma

256,87

25.000,00

A escolha deve ser pelos projetos B e C que oferecem o maior valor para a soma dos VPLs a 12% a.a., agregando um valor econômico de $838,12 para essa empresa, caso a sua taxa mínima de atratividade seja igual a 12% a.a. A Tabela 11.21 resume a seleção dos melhores projetos para a taxa imin  12% a.a. e indica os VPLs das respectivas combinações dos projetos selecionados: Tabela 11.21 Taxa mínima de atratividade de 12% a.a.

  Disponibilidade de recursos


$5.000,00 $15.000,00 $25.000,00

Projetos selecionados Z B  Z B  C VPL

$0,00 $630,72 $838,12

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328


11.8. Análise de um Investimento após o Imposto de Renda Na análise de viabilidade econômica de um investimento, devemos, inicialmente, assumir que a sua realização será alcançada exclusivamente com recursos próprios do investidor. O fluxo de caixa deve levar em consideração todos os impostos vigentes e aplicáveis ao tipo de projeto em análise, sejam eles federais, estaduais e/ ou municipais. No item 11.8.1, mostramos o impacto do Imposto de Renda no cálculo da TIR de um investimento realizado integralmente com capital próprio. Destacamos, ainda, a depreciação como uma despesa dedutível para efeito de Imposto de Renda, apesar de não representar uma saída efetiva de caixa. Em alguns casos, quando o montante de recursos próprios é insuficiente para viabilizar a execução do investimento, o investidor precisa financiá-lo parcialmente, com recursos de terceiros. Dessa forma, uma parte do fluxo de caixa do projeto é utilizada no pagamento de amortização e juros do financiamento, e o restante é destinado à remuneração do capital próprio investido no projeto. No item 11.8.2, mostramos como incluir os dados de um financiamento no fluxo de caixa de um projeto, e como calcular a TIR do capital próprio antes e depois da tributação do Imposto de Renda. 11.8.1. Investimento com Recursos Próprios Uma empresa está analisando a compra de um equipamento pelo preço à vista de $15.000,00 e com um valor residual de $3.000,00 no final de sua vida útil de 5 anos. Esse equipamento, se adquirido, deve proporcionar para a empresa um ganho líquido anual de $5.000,00 nos próximos 5 anos. Calcule as taxas internas de retorno desse investimento, antes e depois do Imposto de Renda, sabendo-se que o equipamento será depreciado linearmente no prazo de 5 anos, e que a alíquota de imposto de renda dessa empresa é de 35% sobre a sua renda tributável. Solução: O fluxo de caixa do investimento, antes do Imposto de Renda, é simples de ser obtido e está indicado na coluna (A) da Tabela 11.22:


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329

Tabela 11.22 Obtenção do fluxo de caixa após o Imposto de Renda Fluxo de Depreciação Renda Fluxo de Fluxo de Ano caixa antes linear tributável caixa caixa do I.R.     do I.R. após o I.R. (A) (B) (C) (D)  35%  (C) (E)  (A)  (D)

0

(15.000,00)      

1

5.000,00

(2.400,00)

2.600,00

(910,00)

4.090,00

2

5.000,00

(2.400,00)

2.600,00

(910,00)

4.090,00

3

5.000,00

(2.400,00)

2.600,00

(910,00)

4.090,00

4

5.000,00

(2.400,00)

2.600,00

(910,00)

4.090,00

5 Valor residual

5.000,00 (2.400,00) 2.600,00 (910,00) 3.000,00      

4.090,00 3.000,00

Soma

13.000,00 (12.000,00) 13.000,00

(4.550,00)

(15.000,00)

8.450,00

TIR (% a.a.)

23,25%      

15,52%

Para a obtenção do fluxo de caixa do Imposto de Renda (coluna D), precisamos determinar a renda tributável do investimento que depende de regras aprovadas pelo governo. Uma despesa aceita pelo governo como dedutível do Imposto de Renda é a depreciação, que deve ser, portanto, levada em consideração na obtenção da renda tributável. A coluna (B) mostra os valores da depreciação anual do equipamento, obtidos pela fórmula da depreciação linear, como segue:  Depreciação anual  (Valor inicial  Valor residual) / Prazo (em anos)   ($15.000,00  $3.000,00) / 5  $2.400,00 Importante ressaltar que a depreciação não representa uma saída efetiva de caixa, mas tem uma influência direta no fluxo de caixa do Imposto de Renda, ao reduzir a renda tributável anual, indicada na coluna (C), e obtida pela relação: Renda tributável anual  $5.000,00 – depreciação anual   $5.000,00 – $2.400,00  $2.600,00 Os valores anuais do Imposto de Renda, indicados na coluna (D), correspondem a 35% da renda tributável anual. O fluxo de caixa após o Imposto de Renda, indicado na coluna (E), é igual ao fluxo de caixa antes do Imposto de Renda, indicado na coluna (A), somado algebricamente com o fluxo de caixa do Imposto de Renda, indicado na coluna (D).


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330


As taxas internas de retorno do investimento, antes e depois do Imposto de Renda, são calculadas, respectivamente, pelos fluxos de caixa das colunas (A) e (E). Observe que o Imposto de Renda reduziu a taxa interna do investimento de 23,25% a.a. para 15,52% a.a., e que o investimento foi realizado 100% com capital próprio. 11.8.2. Investimento com Recursos de Financiamento O exemplo deste item é baseado nos mesmos dados do exemplo do item 11.8.1 com a única diferença que o investimento passou a ter uma parcela financiada com recursos de terceiros. Uma empresa está analisando a compra de um equipamento pelo preço à vista de $15.000,00 e com um valor residual de $3.000,00 no final de sua vida útil de 5 anos. Esse equipamento, se adquirido, deve proporcionar para a empresa um ganho líquido anual de $5.000,00 nos próximos 5 anos, e será depreciado linearmente durante a sua vida útil. Para viabilizar esse investimento será levantado um financiamento de $10.000,00, a ser amortizado em cinco parcelas anuais de $2.000,00 com juros de 12% a.a. sobre o saldo devedor. Calcule as taxas internas de retorno do capital próprio desse investimento, antes e depois do Imposto de Renda, sabendo-se que a alíquota de imposto de renda dessa empresa é de 35% sobre a sua renda tributável. Solução: A primeira parte do problema consiste em obter o fluxo de caixa do capital próprio antes do Imposto de Renda, indicado na coluna (D) da Tabela 11.23: Tabela 11.23 Obtenção do fluxo de caixa do capital próprio antes do Imposto de Renda

  Ano    

Fluxo de Amortização Juros s/ Fluxo de caixa caixa  do saldo devedor do capital próprio antes do I.R. financiamento (12% a.a.) antes do I.R. (A) (B) (C) (D)  (A)(B)(C)

0

(15.000,00)    

Financiamento

1

5.000,00

(2.000,00)

(1.200,00)

1.800,00

2

5.000,00

(2.000,00)

(960,00)

2.040,00

3

5.000,00

(2.000,00)

(720,00)

2.280,00

4

5.000,00

(2.000,00)

(480,00)

2.520,00

5 Valor residual

5.000,00 (2.000,00) (240,00) 3.000,00    

2.760,00 3.000,00

Soma


(5.000,00)

10.000,00      

23.000,00

(10.000,00)

(3.600,00)

9.400,00

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331

O financiamento de $10.000,00 tem o seu principal representando uma entrada de caixa no ano zero e as suas amortizações representando as saídas de caixa da coluna (B). Os juros de 12% a.a. sobre o saldo devedor estão indicados na coluna (C). O fluxo de caixa do capital próprio antes do Imposto de Renda está representado na coluna (D) e corresponde à soma algébrica das colunas (A), (B) e (C). A segunda parte do problema consiste em obter o fluxo de caixa do capital próprio após o Imposto de Renda, indicado na coluna (H) da Tabela 11.24: Tabela 11.24 Obtenção do fluxo de caixa do capital próprio após o Imposto de Renda

  Fluxo de caixa Depreciação Renda Fluxo de caixa Fluxo de caixa Ano do capital próprio linear tributável do I.R. do capital próprio   antes do I.R.       após o I.R.   (D) (E) (F) (G)  35%  (F) (H)  (D)  (G)

0

(5.000,00)      

(5.000,00)

Financiamento          

1

1.800,00

(2.400,00)

1.400,00

(490,00)

1.310,00

2

2.040,00

(2.400,00)

1.640,00

(574,00)

1.466,00

3

2.280,00

(2.400,00)

1.880,00

(658,00)

1.622,00

4

2.520,00

(2.400,00)

2.120,00

(742,00)

1.778,00

5

2.760,00

(2.400,00)

2.360,00

(826,00)

1.934,00

Valor residual

3.000,00      

3.000,00

9.400,00

6.110,00

Soma

(12.000,00) 9.400,00

(3.290,00)

TIR (%a.a.)

38,85%      

26,26%

A coluna (D), que representa o fluxo de caixa do capital próprio antes do Imposto de Renda, foi obtida no quadro anterior, e a coluna (E) mostra os valores da depreciação anual do equipamento, conforme cálculos indicados no exemplo do item 11.8.1. A renda tributável anual, para os 5 anos do projeto, está indicada na coluna (F), e é obtida pela relação: Renda Tributável Anual  $5.000,00 – depreciação anual – juros anuais Os valores da depreciação anual e dos juros anuais do financiamento estão indicados nas colunas (C) e (E), respectivamente.


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332


Os valores anuais do Imposto de Renda, indicados na coluna (G), correspondem a 35% da renda tributável anual. O fluxo de caixa do capital próprio, após o Imposto de Renda, está indicado na coluna (H), e é igual ao fluxo de caixa do capital próprio, antes do Imposto de Renda, indicado na coluna (D), somado algebricamente com o fluxo de caixa do Imposto de Renda, indicado na coluna (G). As taxas internas de retorno do capital próprio, antes e depois do Imposto de Renda, são calculadas, respectivamente, pelos fluxos de caixa das colunas (D) e (H), e tiveram os seus valores reduzidos de 38,85% a.a. para 26,26% a.a., respectivamente. O quadro a seguir resume os valores das taxas internas de retorno do capital próprio, antes e depois do Imposto de Renda, que foram obtidos nesses dois exemplos. Tabela 11.25 Taxa interna de retorno do capital próprio (% a.a.)        

Antes do I.R.

Depois do I.R

Sem financiamento

23,25%

15,52%

Com financiamento

38,85%

26,26%

Observe que a TIR do capital próprio aumentou de valor com a inclusão do financiamento, pois a taxa do financiamento de 12% a.a. é inferior à taxa interna de retorno do investimento em análise. Para esclarecer o aumento da TIR do capital próprio antes do IR, de 23,25% a.a. para 38,85% a.a., pela inclusão do financiamento, montamos a Tabela 11.26: Tabela 11.26 Análise dos fluxos de caixa antes do Imposto de Renda   Ano  

Fluxo de caixa total (A)

Fluxo de caixa capital próprio (B)

Fluxo de caixa Fluxo de caixa financiamento proporcional (C)  (A)  (B) (D)  2/3  (A)

0

1

5.000,00

1.800,00

3.200,00

3.333,33

2

5.000,00

2.040,00

2.960,00

3.333,33

3

5.000,00

2.280,00

2.720,00

3.333,33

4

5.000,00

2.520,00

2.480,00

3.333,33

5

8.000,00

5.760,00

2.240,00

5.333,33

Soma

13.000,00

9.400,00

3.600,00

8.666,67

TIR (%a.a.)

23,25%

38,85%

12,00%

23,25%


(15.000,00) (5.000,00) (10.000,00) (10.000,00)

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333

Pelos valores do quadro anterior, podemos constatar que: • quando o investimento de $15.000,00 é realizado com 100% de capital próprio, a sua TIR de 23,25% é a própria remuneração do capital próprio; • quando 2/3 do investimento ($10.000,00) é financiado com juros de 12% a.a., os pagamentos anuais de amortizações e juros desse financiamento são inferiores a 2/3 da renda anual do projeto; • o capital próprio de $5.000,00 ficou com mais de 1/3 da renda anual do projeto e a sua rentabilidade foi aumentada de 23,25% a.a. para 38,85% a.a., pela inclusão do financiamento com a taxa de juros de 12% a.a. Para entender o aumento da TIR do capital próprio, após o Imposto de Renda, de 15,52% a.a. para 26,26% a.a., recomendamos, como exercício, a elaboração de uma tabela semelhante à utilizada anteriormente. Quando o projeto é realizado parte com recursos próprios e parte com recursos de terceiros (financiamentos), diz-se que ele está alavancado. A alavancagem é favorável ao projeto quando o financiamento tem um custo menor do que a taxa interna do projeto calculada com 100% de recursos próprios. O efeito dessa alavancagem é o de aumentar a taxa interna dos recursos próprios, como mostrado no exemplo anterior.

11.9. Conclusão Neste capítulo apresentamos os métodos do valor presente líquido (VPL) e da taxa interna de retorno (TIR), que são considerados os principais métodos de análise de investimentos. Desenvolvemos o conceito de “Payback” Descontado (PBD), que é um indicador de liquidez do investimento, que mede o tempo de recuperação do capital inicial aplicado. O PBD não deve ser utilizado de forma independente na análise de fluxos de caixa, pois pode conduzir a erros de decisão, uma vez que não considera os valores do fluxo de caixa a partir do ponto de recuperação do capital aplicado. A comparação entre alternativas de investimentos exige a fixação de uma taxa mínima de atratividade, que corresponde ao custo de oportunidade do investidor, e que pode ser representada pela taxa de aplicação básica no mercado, no caso de pessoas físicas, ou pelo custo médio ponderado de capital, no caso de empresas. Apresentamos diversos exemplos de decisão sobre investimentos mutuamente exclusivos, que foram resolvidos pelos métodos do VPL e da TIR, e mostramos que os dois métodos levam à mesma tomada de decisão à medida que a análise incremental exigida pelo método da TIR seja corretamente aplicada. A análise de investimentos independentes foi realizada apenas pelo método do VPL até pela impossibilidade de se aplicar o método da TIR nesse tipo de decisão. O método do valor presente líquido (VPL) está consagrado como o melhor e o mais utilizado dentre os métodos de análise de investimentos, não só pela sua simplicidade como também pela interpretação do seu valor.


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334


O VPL de um investimento sendo positivo para uma determinada taxa de desconto significa que o investimento está sendo remunerado a essa taxa de desconto e ainda está agregando esse valor econômico ao patrimônio do investidor, expresso em moeda do ponto zero. Apresentamos, ainda, exemplos de análise de investimentos mutuamente exclusivos com durações diferentes e com horizonte de análise infinito (perpetuidades). Nesses casos, a utilização da série uniforme equivalente (PMT) pode conduzir a soluções mais rápidas, evitando a repetição de fluxos de caixa até o horizonte da análise. Finalmente, demonstramos o impacto do Imposto de Renda na TIR de um investimento realizado integralmente com recursos próprios, e apresentamos o cálculo da TIR do capital próprio, antes e depois do Imposto de Renda, em investimentos que são parcialmente financiados, mostrando o efeito positivo de uma alavancagem financeira, quando o custo do financiamento é menor do que a taxa interna do projeto calculada com 100% de recursos próprios.

11.10. Problemas Propostos 1. Calcule o valor do “Payback” Descontado (PBD) dos investimentos representados pelos fluxos de caixa indicados a seguir, considerando um custo de capital de 10% a.a. a) b) c) Ano

Valor ($)

Ano

0 (10.000,00)

0

(10.000,00)

0

(30.000,00)

1

3.000,00

1

7.000,00

1

(10.000,00)

2

4.000,00

2

5.000,00

2

20.000,00

3

5.000,00

3

4.000,00

3

30.000,00

4

7.000,00

4

3.000,00

4

40.000,00

9.000,00

Soma

9.000,00

5

50.000,00

Ano

Soma

Valor ($)

Soma

Valor ($)

100.000,00

2. Uma empresa de mineração pretende explorar uma jazida de minério de ferro durante 20 anos, no nível de 10 milhões de toneladas por ano. São conhecidos os seguintes dados desse projeto: a) investimentos iniciais (em $ milhões) 60,00 • Equipamentos e instalações fixas na mina (vida útil de 20 anos) 30,00 • Equipamentos móveis na mina (vida útil de 10 anos) 10,00 • Instalações portuárias (vida útil de 20 anos) 20,00


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b) valores residuais ($ milhões) • Equipamentos e instalações fixas da mina • Equipamentos móveis da mina • Instalações portuárias c) custo variável unitário (em $/ton.) • Extração, beneficiamento e carregamento de vagões • Frete ferroviário • Manipulação no porto e carregamento de navios • Comercialização d) despesas fixas anuais ($milhões) e) receita unitária de vendas ($/ton.)

335

7,00 3,00 2,00 2,00 5,20 1,60 3,00 0,40 0,20 5,00 7,00

Assuma que no final de 10 anos serão feitos reinvestimentos nas mesmas condições dos respectivos investimentos iniciais de forma a permitir a exploração da jazida pelo prazo de 20 anos, e verifique a viabilidade econômica do investimento para uma taxa mínima de atratividade de 8% a.a., antes do imposto de renda. 3. A companhia XYZ está analisando a compra de um equipamento que produzirá os seguintes ganhos líquidos ao longo de sua vida útil de 4 anos:

Ano

Valor ($)

0 0,00

1 8.000,00

2 5.000,00

3 3.000,00

4 2.000,00

Soma 18.000,00

Assuma um custo do capital para essa empresa de 10% a.a. e calcule a quantia máxima a ser paga à vista pelo equipamento, de forma a garantir que essa aquisição não trará impacto desfavorável na sua situação financeira. 4. Uma empresa está analisando a troca de um equipamento e dois novos modelos estão sendo analisados. O modelo A custa $15.000,00, tem uma vida útil de 2


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336


anos e proporcionará uma economia anual de $10.000,00. O modelo B também custa $15.000,00, tem uma vida útil de 1 ano e proporcionará uma economia anual de $18.000,00. Sabendo-se que o novo modelo a ser adquirido será necessário por 2 anos e que o custo de capital dessa empresa é de 5% a.a., escolha qual dos dois novos modelos deve ser adquirido. 5. Um investidor está analisando os projetos, mutuamente exclusivos, representados pelos fluxos de caixa indicados a seguir:

Ano

Projeto A

Projeto B

0

(10.000,00) (10.000,00)

1 3.000,00 1.000,00

2

3.000,00 2.000,00

3

3.000,00 3.000,00

4

3.000,00 5.000,00

5 5.000,00 7.950,00

Soma 7.000,00 8.950,00

Indique, utilizando os métodos do VPL e da TIR, qual dos dois projetos deve ser escolhido pelo investidor, sabendo-se que a sua taxa mínima de atratividade é de 15% a.a. 6. Um investidor está analisando os projetos, mutuamente exclusivos, representados pelos fluxos de caixa indicados a seguir:

Ano

0

(1.000,00)

(1.000,00)

1

200,00

100,00

2

450,00

200,00

3

0,00

300,00

4

800,00

900,00

Soma

450,00

500,00


Projeto A

Projeto B

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337

Indique, utilizando os métodos do VPL e TIR, qual dos dois projetos deve ser escolhido pelo investidor, sabendo-se que a sua taxa mínima de atratividade é de 8% a.a. 7. Uma empresa pretende fazer alterações no seu parque industrial e está analisando duas alternativas de investimentos, cujos dados em relação à situação atual estão indicados a seguir:

Investimento inicial ($)

Vida útil dos equipamentos (anos)

Economias anuais em relação à situação atual ($)

Alternativa A

Alternativa B

(20.000,00)

(40.000,00)

6

4

6.000,00

14.000,00

Considere um horizonte de análise de 12 anos e assuma que os reinvestimentos no final das vidas úteis dos equipamentos serão realizados nas mesmas condições dos respectivos investimentos iniciais. Assuma, ainda, como nulos os valores residuais dos equipamentos no final de suas vidas úteis. Indique as faixas de taxas mínimas de atratividade para as quais cada alternativa deve ser aceita. 8. A companhia estadual de eletricidade está analisando a construção de uma usina fornecedora de energia, e dispões das seguintes alternativas:

Hidrelétrica

Investimento inicial ($)

Custo operacional anual ($)

Termelétrica

(100.000,00)

(60.000,00)

(11.500,00)

(14.000,00)

Assuma um custo de capital de 5% a.a. e indique a alternativa que deve ser escolhida pela companhia de eletricidade, assumindo que as duas usinas têm vida perpétua. 9. Um investidor está analisando os projetos, mutuamente exclusivos, representados pelos fluxos de caixa indicados a seguir:

Ano

Projeto A

Projeto B

Projeto C

0

(10.000,00) (10.000,00) (10.000,00)

1 3.000,00 1.000,00 5.000,00

2 3.000,00 2.000,00 4.000,00 (continua)


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338

Matemática Financeira (continuação)

Ano

Projeto A

Projeto B

Projeto C

3 3.000,00 3.000,00 3.000,00

4 3.000,00 5.000,00 1.000,00

5 3.000,00 7.000,00 200,00

Soma 5.000,00 8.000,00 3.200,00

Indique, utilizando os métodos do VPL e da TIR, qual dos três projetos deve ser escolhido pelo investidor, sabendo-se que a sua taxa mínima de atratividade é de 15% a.a. 10. Um investidor está analisando os projetos, mutuamente exclusivos, representados pelos fluxos de caixa indicados a seguir:

Ano

Projeto A

Projeto B

Projeto C

0

(10.000,00)

(10.000,00)

(10.000,00)

1

5.000,00

1.000,00

0,00

2

5.000,00

2.000,00

0,00

3

4.000,00

4.000,00

3.000,00

4

3.000,00

7.000,00

8.000,00

5

2.000,00

7.000,00

11.000,00

Soma

9.000,00

10.000,00

12.000,00

Indique, utilizando os métodos do VPL e da TIR, qual dos três projetos deve ser esco lhido pelo investidor, sabendo-se que a sua taxa mínima de atratividade é de 7% a.a. 11. Um investidor está analisando os projetos, mutuamente exclusivos, representados pelos fluxos de caixa indicados a seguir:

Ano 0

Projeto A

Projeto B

Projeto C

Projeto D

(10.000,00) (15.000,00) (25.000,00) (50.000,00)

1 2.900,00 4.250,00 6.600,00 12.800,00 (continua)


6/29/11 5:21 PM


339

(continuação) Ano.

Projeto A

Projeto B

Projeto C

Projeto D

2 2.900,00 4.250,00 6.600,00 12.800,00 3 2.900,00 4.250,00 6.600,00 12.800,00 4 2.900,00 4.250,00 6.600,00 12.800,00 5 2.900,00 4.250,00 6.600,00 12.800,00 Soma 4.500,00 6.250,00 8.000,00 14.000,00

Indique, utilizando os métodos do VPL e da TIR, qual dos quatro projetos deve ser escolhido pelo investidor, sabendo-se que a sua taxa mínima de atratividade é de 7% a.a. 12. Uma empresa, que tem uma taxa mínima de atratividade de 8% a.a., está analisando os investimentos representados pelos fluxos de caixa indicados a seguir: Ano A B C D E

0

(10.000,00) (30.000,00) (30.000,00) (60.000,00) (60.000,00)

1 2.600,00 7.600,00 8.000,00 15.500,00 18.000,00

2 2.600,00 7.600,00 7.800,00 15.500,00 17.000,00

3 2.600,00 7.600,00 7.500,00 15.500,00 15.000,00

4 2.600,00 7.600,00 7.400,00 15.500,00 14.000,00

5 2.600,00 7.600,00 7.300,00 15.500,00 13.000,00

Soma 3.000,00 8.000,00 8.000,00 17.500,00 17.000,00

Sabendo-se que esses investimentos são independentes e que a empresa dispõe de $100.000,00 para serem investidos, indique os investimentos que devem ser escolhidos para otimizar os resultados dessas aplicações. 13. Uma empresa está avaliando a compra de um equipamento pelo preço à vista de $3.000,00 e com valor residual de $700,00 no final de sua vida útil de 5 anos. Como benefícios da sua utilização a empresa espera, nos próximos cinco anos, uma redução de $2.000,00 nos custos fixos de mão de obra, incorrendo, no entanto, em gastos adicionais de manutenção, energia etc. no total de $500,00 por ano.


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340


Calcule as taxas internas de retorno do investimento, antes e depois do imposto de renda, sabendo-se que a empresa usa depreciação linear e que a sua alíquota de imposto de renda está na faixa de 35%. 14. Assuma que no exemplo do Problema 13 seja levantado um financiamento de $1.000,00 para ser amortizado em cinco parcelas anuais $200,00, com juros de 12% a.a. sobre o saldo devedor. Calcule as taxas internas de retorno do capital próprio, antes e depois do imposto de renda.


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Principais Fórmulas e Relações

3iJLQDGHL[DGDLQWHQFLRQDOPHQWHHPEUDQFR"

Pr i n c ipais Fór mul as e Rel aç ões

343

Capítulo 3 – Juros Simples – Fórmulas Básicas FV PV (1 i n) i⫽

(3.1)

1 FV ⫺ 1) ⫻ ( PV n

(3.2)

Dd FV PV

(3.3)

[1 / (1 + i n)]

(3.4)

⎡ in ⎢⎣ 1 i n

Dd FV ⎢

⎤ ⎥ ⎥⎦

(3.5)

Df FV d n

(3.6)

PV FV (1 d n)

(3.7)

(

)

d 1 ⫺ PV ⫻ 1 FV n i d⫽

(3.8)

d

(3.9)

1 d n i 1 ⫺ i ⫻⫹ n

(3.10)

Capítulo 4 – Juros Compostos – Capitalização e Desconto FV PV (1 i)n

(4.1)

[1 + (1 + i)n]

(4.2)

Dd = FV − PV = FV

[

]

(1 + i)n −1 (1 + i)n

PV FV (1 d)n

(4.3) (4.4)

Df FV PV FV [1 (1 d) ] n

(4.5)

Capítulo 5 – Taxas de Juros FV PV(1 im 12)

(5.1)

FV PV(1 ia)

(5.2)

ia is 2 it 4 im 12 id 360

(5.3)

FV PV(1 i m)12

(5.4)

FV PV(1 ia)

(5.5)

(1 ia) (1 is)2 (1 i t)4 (1 im)12 (1 id)360

(5.6)

344


Capítulo 6 – Série Uniforme – Prestações Iguais

⎡

⎤

(1 ⫹ i) ⫺ 1 ⎥ FV ⫽ PMT ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ i

⎡

n

⎤ ⎥ ⎢⎣ (1 i) 1⎥⎦

PMT FV ⎢

(6.3)

i

n

(6.4)

⎡(1 ⫹ i) ⫺ 1⎤ PV ⫽ PMT ⎢ ⎥ ⎢⎣ i(1 ⫹ i)n ⎥⎦

(6.5)

⎡ i(1 ⫹ i)n ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣(1 ⫹ i)n ⫺ 1⎥⎦

(6.6)

n

PMT ⫽ PV

An A1 (1 i )n1

(6.7)

PV ⫽ PMT ⎜

⎛1 ⎞ ⎟ ⎝i⎠

(6.8)

PMT PV i

(6.9)

Capítulo 9 – Fluxos de Caixa Não Homogêneos VPL (i%) C0 C1x C2x2 … Cnxn em que x 1 / (1 i)

(9.1)

VPL (TIR%) C0 C1x C2x2 … Cnxn 0

(9.2)

Capítulo 10 – Fluxos de Caixa e Inflação (1 tna) (1 ia) (1 tia)

(10.3)

(1 tnm) (1 im) (1 tim)

(10.4)

(1 tnt) (1 it) (1 tit)

(10.5)

(1 tns) (1 is) (1 tis)

(10.6)

Capítulo 11 – Métodos de Análise de Investimentos VPL Z (imin) 0

taxa mínima de atratividade

(11.1)

VPLA (imin) 0

aceitar o investimento (ia imin)

(11.2)

Respostas dos Problemas Propostos

3iJLQDGHL[DGDLQWHQFLRQDOPHQWHHPEUDQFR"

R e s p o s tas dos P r obl emas P r opostos

Capítulo 2 – Juros Simples e Compostos – Conceitos Problema 1 Problema 2

$1.050,00; $1.100,00; $1.150,00; $1.200,00; $1.250,00; $1.300,00 $1.050,00; $1.102,50; $1.157,63; $1.215,51; $1.276,28; $1.340,10 a) Juros Compostos, pois remunera a 5% ao trim. os saldos trimestrais

Problema 3

b.1) Montante sem reaplicações $1.300,00 b.2) Montante com reaplicações a 5% ao trim. $1.340,10 Capítulo 3 – Juros Simples – Fórmulas Básicas

Problema 1

Renda $2.400,00

Problema 2

PV $8.888,89

Problema 3

PV $949,40 a) PV $966,67;

Problema 4

b) Desconto $33,33; c) i 1,293% ao mês

Problema 5 Problema 6 Problema 7

a) FV $967,83; b) i 1,295% ao mês; d 15,04% ao mês i $1,0316% ao mês a) i 2,5% ao trimestre; b) d 7,6923% ao ano

Problema 8

i 1,1494% ao mês

Problema 9

PV $18.890,87

Problema 10 PV $19.100,00 a) PV2 $10.360,00; Problema 11

b) FV2 $10.981,60; c) n2 6 meses; d) imédio 1,0907% ao mês

Problema 12

a) i 1,2% ao mês; b) PV1 $10.000,00 Capítulo 4 – Juros Compostos – Capitalização e Desconto

Problema 1

Montante $12.395,08

Problema 2

Principal $12.710,36

Problema 3

Rentabilidade 0,9489% ao mês

Problema 4

Montante $13.314,73

Problema 5

110 n 111 meses

347

348


Valor Líquido à disposição da empresa $75.500,00 Problema. 6 Rentabilidade juros simples 1,9868% ao mês Rentabilidade juros compostos 1,9485% ao mês Problema. 7 Menor valor a ser aplicado $25.873,17 Problema. 8 Valor do pagamento $57.469,39 Problema. 9 No final do 8o mês Problema. 10

Abater do principal o valor de $15.215,93

Problema. 11 Valor da Aplicação $9.896,32 Problema. 12 Valor de Resgate = $10.070,13 Problema. 13 a) Problema. 14 1,802% antecipado Capítulo 5 – Taxas de Juros Problema. 1 1,2% ao mês; 0,04% ao dia Problema. 2 2,7% ao trimestre; 10,8% ao ano Problema. 3 0,72073% ao mês; 2,17782% ao trimestre Problema. 4 0,03238% ao dia Problema. 5 3,18319% ao trimestre; 13,35373% ao ano Problema. 6 8,24322% ao ano; 8,16% ao ano Problema. 7 0,70337% ao mês Problema. 8 2,87716% ao trimestre; 12,01492% ao ano Problema. 9 $1.225,24 Problema. 10 Problema. 11

a) $10.040,00; 1,20481% a.m.; b) $10.240,00; 1,19289% a.m. a) $10.039,84; 1,1952% a.m.; b) $10.241,44; 1,2072% a.m. Capítulo 6 – Série Uniforme – Prestações Iguais

Problema. 1 $1.776,98 Problema. 2 $3.110,05 Problema. 3 $339,41 Problema. 4 $5.866,37 Problema. 5 $1.117,38 Problema. 6 $4.312,50; 0,9918% a.m. Problema. 7 1,3370% a.m.


a) $1.067,18; Problema. 8 b) $1.054,53; c) $1.106,06 Problema. 9 Problema. 10 Problema. 11

a) 1,2043% a.m.; b) 1,4313% a.m. a) 1,6912% a.m.; b) 2,3923% a.m. a) $18.744,40; b) $22.680,73

Problema. 12 1,0794% a.m. Problema. 13 $3.857,58 Problema. 14

a) $32.342,05; b) $34.311,68

Problema. 15 $2.618,77 Problema. 16 Problema. 17

a) $22.319,61; b) $23.132,79 a) $22.716,48; b) $23.554,20 a) $4.707,35;

Problema. 18

b) $1.000,00 e $3.707,35; c) $4.478,88; d) $52.981,59

Problema. 19

a) 4,3478%; b) 2,7003%

Problema. 20 3,5244% Problema. 21

a) PVmensal $60.239,36; b) PVtrimestral $39.760,64

Problema. 22 9,2953% ao ano Problema. 23 Taxa Mensal de Arrendamento $308,64 Problema. 24 PV $150.000,00 Capítulo 7 – Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno Fluxo (A): $13.147,13; Fluxo (B): $852,93; Fluxo (C): $12.344,54; Problema. 1 Fluxo (D): $235,60; Fluxo (E): $420,31 a) 0,00%: $500,00; 0,50%: $391,92; 1,00%: $287,58; 1,50%: $186,82; Problema. 2 2,00%: $89,49; 2,50%: ()$4,56; 3,00%: ()$95,45 b) 2,48% ao trimestre

349

350


a) 0,00%: $1.000,00; 1,00%: $852,56; 2,00%: $621,31: 3,00%: $404,96; Problema. 3 4,00%: $202,35; 5,00%: $12,41; 6,00%: ()$165,84 b) 5,07% ao semestre Problema. 4 Problema. 5

a) 0,00%: $1.450,00; 2,00%: $788,07; 4,00%: $173,08; 6,00%: ()$399,36 b) 4,59% ao ano a) 1,00% ao mês, pois o Valor Presente Líquido é nulo b) Não, pois estão rendendo mais do que 1,00% ao mês. Capítulo 8 – Equivalência de Fluxos de Caixa

Problema. 1 Sim, pois, no 6o mês: FVA (10%) FVB (10%) $1.061,52 Problema. 2 X $530,88 Problema. 3

a) $220,00; $242,00; $266,20; $292,82; $322,10 b) $120,00; $154,00; $193,60; $239,58; $292,82 a) Price – PMT $1.055,82

Problema. 4 b) $2.000,00; $1.900,00; $1.800,00; $1.700,00; $1.600,00; $1.500,00; $1.400,00; $1.300,00; $1.200,00; $1.100,00 a) $10.000,00; $10.000,00; $22.500,00; $21.250,00; $20.000,00; $18.750,00; Problema. 5

$17.500,00; $16.250,00; $15.000,00; $13.750,00 b) $0,00; $0,00; $27.225,00; $25.712,50; $24.200,00; $22.687,50; $21.175,00; $19.662,50; $18.150,00; $16.637,50 a) $888,49;

Problema. 6 b) $1.202,78; c) $5.466,00 Problema. 7

a) $2.467,31; b) $15.331,77

Problema. 8 $12.991,72 a) $482,02; Problema. 9 b) $152,66; c) $552,64 a) $1.776,98; Problema. 10 b) $939,61; c) $1.128,62 Problema. 11 12 mensais de $6.892,57 e 2 semestrais de $13.785,14 Problema. 12 8 mensais de $965,73 e intermediária de $2.897,19 Problema. 13 3 mensais de $13.679,94 Problema. 14 1o mês $2.103,51; 4o mês $8.414,04 Problema. 15 $10.000,00; $9.328,77; $8.657,59 e $7.986,32


351

Capítulo 9 – Fluxos de Caixa Não Homogêneos Problema. 1 8,00% : $14.784,61; 10,00% : $13.844,47; 12,00% : $12.991,66 Problema. 2 Problema. 3

a) 10,00% : $344,47; 11,00% : () $92,19; 12,00% : () $508,34 b) 10,7848% ao ano a) 1,00% : $197,08; 1,50%: () $423,97; 2,00%: () $1.025,75 b) 1,1570% ao mês a) 1,00% : $132,66; 1,50% : () $1.227,21; 2,00% : () $2.540,58

Problema. 4

b) 1,0480% ao mês c) $1,00% : $2.132,66; 1,50% : $772,79; 2,00% : () $540,58 d) 1,7921% ao mês

Problema. 5 a) 3,167% de deságio; b) 5,7988% ao semestre a) 0,03105378% ao dia; b) 0,9358203% ao mês; c) 11,8262607% ao ano; d.1) $19.540,71; d.2) $19.540,71; d.3) $19.540,71; d.4) $19.540,71; d.5) todos Problema. 6 valores são iguais; e) 1,020461% ao mês; f) 0,03384870% ao dia; g) 13,148040% ao ano; h) 13,148040% ao ano, igual a do item (g) a) 0,02647855% ao dia; b) 10,1457092% ao ano; c.1) $58.327,16; c.2) $58.327,16; c.3) os valores são iguais; Problema. 7 d) 0,03176801% ao dia; e) 12,114072% ao ano; f) 12,292268% ao ano; g) 12,292268% ao ano, igual a do item (f); a) 0,02647855% ao dia; b) Cupons: $241,14 (1o trim.); $243,85 (2o trim.); $246,56 (3o e 4o trim.); c) 0,04105772% ao dia; Problema. 8 d) 15,925488% ao ano; e) 16,163666% ao ano; f) 16,163666% ao ano, igual a do item (e); g) 1,5975% de deságio

352


Capítulo 10 – Fluxos de Caixa e Inflação Problema 1

ia 10,00% ao ano a) tns 11,30% a.s.

Problema 2

b) tns 23,8769% a.a. c) ia 10,2500% a.a.; tia 12,3600% a.a. d) (1 23,8769%) (1 10,2500%)(1 12,3600%)

Problema 3

$12.096,00

Problema 4

$56.007,38

Problema 5 Problema 6

tna 28,80% a.a.; ia 12,00% a.a. a) tna 2,1315% a.m. b) $263,46

Problema 7

tim 1,50% a.m.

Problema 8

$6.854,16/ano a) $17.106,89/ano; b) $17.277,96; $17.450,74; $17.625,25; $17.801,50; $17.979,51; $18.159,31; c) tnm 1,7575% a.m.;

Problema 9

d) tnm 1,7575% a.m.; e) $17.706,76/ano; f) $17.531,45; $17.357,87; $17.186,01; $17.015,85; $16.847,37; $16.680,57; g) tnm = 0,75%ao mês a) $30.000,00; $28.000,00; $26.000,00; $24.000,00; $22.000,00

Problema 10

b) $32.700,00; $33.419,40; $34.289,52; $35.134,77; $36.078,52 c) tna 20,7764% a.a. Capítulo 11 – Métodos de Análise de Investimentos a) 3 anos e 16 dias

Problema 1

b) 1 ano e 321 dias c) 3 anos

Problema 2

Aceitar o investimento, pois VPL (8%) 0 ($65,43 milhões)

Problema 3

Quantia máxima a ser paga $15.024,93

Problema 4

Adquirir Modelo (B), que produz maior VPL (5%) $4.183,67 VPL: Escolher (B), que tem maior VPL (15%) 0 ($1.165,72)

Problema 5

TIR: Os dois projetos têm TIR 15% a.a. Escolher (B), pois TIRBA 16,60% a.a. 15% a.a. VPL: Escolher (B), que tem maior VPL (8%) 0 ($163,74)

Problema 6

TIR: Os dois projetos têm TIR 8% a.a. Escolher (B), pois TIRBA 9,08% a.a. 8% a.a.


353

0% imin 9,81% a.a.

: Aceitar (B)

Problema 7

9,81% a.a. imin 19,91% a.a.

: Aceitar (A)

imin 19,91% a.a.

: Rejeitar (A) e (B)

Problema 8

Escolher a Hidrelétrica que tem o menor custo anual equivalente a 5% a.a. ($16.500,00) VPL: Escolher (B), que tem o maior VPL (15%) 0 ($693,40) TIR: Os três projetos têm TIR 15% a.a.

Problema 9

Aceitar o incremento (BA), pois TIRBA 23,12% a.a. 15% a.a. Aceitar o incremento (BC), pois TIRBC 19,53% a.a. 15% a.a. Escolher o Projeto (B) VPL: Escolher (C), que tem o maior VPL (7%) 0 ($6.394,90) TIR: Os três projetos têm TIR 7% a.a.

Problema 10

Aceitar o incremento (BA), pois TIRBA 8,37% a.a. 7% a.a. Aceitar o incremento (CB), pois TIRCB 8,25% a.a. 7% a.a. Escolher o Projeto (C) VPL: Escolher (B), que tem o maior VPL (8%) 0 ($1.969,02) TIR: Os três projetos têm TIR 8% a.a.

Problema 11

Aceitar o incremento (BA), pois TIRBA 10,9% a.a. 8% a.a. Rejeitar o incremento (CB), pois TIRCB 5,6% a.a. 8% a.a. Rejeitar o incremento (DB), pois TIRDB 7,1% a.a. 8% a.a. Escolher o Projeto (B) Melhor combinação de Investimentos que maximiza a soma dos VPLs dos Projetos:

Problema 12

Investimento

Valor ($)

VPL (8%)

A

10.000,00

381,05

C

30.000,00

455,87

E

60.000,00

2.286,91

Soma

100.000,00

3.123,83

Problema 13

TIR (antes do I.R.) 43,4% a.a.; TIR (após o I.R.) 29,3% a.a.

Problema 14

TIR (antes do I.R.) 56,0% a.a.; TIR (após o I.R.) 37,8% a.a.

Abelardo Puccini (Auth.)-Matemática Financeira Objetiva e Aplicada (2012)

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