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Matemática Financeira
Objetiva e Aplicada EDIÇÃO COMPACTA
Abelardo de Lima Puccini Adriana Puccini
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Sumário Capa Aviso Legal Folha de rosto Obrigad o por adquirir este e-book Cadastro Copyright Nota do Autor à Edição Compacta Sobre os Autores Abelardo De Lima Puccini Adriana Puccini
Prefácio Nota dos Autor es Sobre o Conteúdo do CD
Capítulo 1. Conce itos Básicos e Simbolog ia 1.1 Introdução 1.2 Fluxo De Caixa — Conceitos E Convenções Básicas 1.3 Juros 1.4 O Valor Do Dinheiro No Tempo
1.5 A Matemática Financeira — Fundamentos E Objetivos 1.6 Moeda Estável E Inflação 1.7 Simbologia Adotada 1.8 O Enfoque Adotado
Capítulo 2. Juros Simples e Compostos — Conceitos 2.1 Introdução 2.2 Juros Simples — Crescimento Linear 2.3 Juros Compostos — Crescimento Exponencial 2.4 Análise Dos Exemplos Numéricos 2.5 Resumo 2.6 Problema Proposto Observação:
Capítulo 3. Juros Simples — Fórmulas Básicas 3.1 Introdução 3.2 Capitalização Simples 3.3 Desconto “Por Dentro”, Ou Racional 3.4 Desconto “Por Fora”, Ou Comercial 3.5 Relação Entre As Taxas De Desconto “Por Dentro” E “Por Fora” 3.6 Desconto De Títulos — Exemplos 3.7 Resumo 3.8 Problemas Propostos
Capítulo 4. Juros Compostos – Capitalização e Desconto 4.1 Introdução 4.2 Capitalização E Desconto “Por Dentro”, Ou Racional 4.3 Desconto “Por Fora” 4.4 Problemas Resolvidos 4.5 Resumo 4.6 Problemas Propostos
Capítulo 5. Taxa de Juro s
5.1 Introdução 5.2 Taxa Efetiva 5.3 Taxas Proporcionais — Juros Simples 5.4 Taxas Equivalentes — Juros Compostos 5.5 Taxa Nominal 5.6 Taxas ProporcionaisVersus Taxas Equivalentes 5.7 Outras Denominações 5.8 Resumo 5.9 Problemas Propostos
Capítulo 6. Série Uniforme — Prestações Iguais 6.1 Introdução 6.2 Dado PMT, Achar FV 6.3 Dado FV, Achar PMT 6.4 Dado PMT, Achar PV 6.5 Dado PV, Achar PMT 6.6 Problemas Resolvidos 6.7 Resumo 6.8 Problemas Propostos
Capítulo 7. Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retor no 7.1 Introdução 7.2 Valor Presente E Taxa De Desconto 7.3 Valor Presente Líquido E Taxa Interna De Retorno 7.4 Resumo 7.5 Problemas Propostos
Capítulo 8. Equivalência de Fluxo s de Caixa 8.1 Introdução 8.2 Conceito De Equivalência 8.3 Planos Equivalentes De Financiamento 8.4 Exemplos Numéricos 8.5 Resumo
8.6 Problemas Propostos
Capítulo 9. Fluxos de Caixa Não Homogêneos 9.1. Introdução 9.2. Expressão Genérica Do Valor Presente Líquido 9.3. Utilização Da Calculadora HP-12C E Da Planilha Excel 9.4. Resumo 9.5. Problemas Propostos
Capítulo 10. Fluxos de Caixa e Inflação 10.1 Introdução 10.2 Índice Para Inflação 10.3 Taxas De Inflação, De Juros Real E De Juros Nominal 10.4 Modelo Pós-Fixado 10.5 Modelo Prefixado 10.6 Resumo 10.7 Problemas Propostos
Respostas dos Problemas Pro postos Capítulo 2 — Juros Simples E Compostos — Conceitos Capítulo 3 — Juros Simples — Fórmulas Básicas Capítulo 4 — Juros Compostos — Capitalização E Desconto Capítulo 5 — Taxas De Juros Capítulo 6 — Série Uniforme — Prestações Iguais Capítulo 7 — Valor Presente Líquido — Taxa Interna De Retorno Capítulo 8 — Equivalência De Fluxos De Caixa Capítulo 9 — Fluxos De Caixa Não Homogêneos Capítulo 10 — Fluxos De Caixa E Inflação
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Copyright © 2011, Elsevier Editor a Ltda. Todos os dir eitos reservados e pro tegidos pela L ei n o 9.610, de 19/02/1998. Nenhuma parte deste livro , sem autor ização prévia por escrito da edit or a, poderá ser r eproduzida ou transmitid a sejam quais for em os meios empr egados: elet rônicos, mecânicos, fotogr áficos, gr avação ou quaisquer outros. Revisão: Wilton Palha Editoração Eletrônica: ERJ Compo sição Editorial
Elsevier Editora Ltda. Conhecimento sem Fr onteiras Rua Sete de Setembro, 111 – 16o andar 20050-006 – Centro – Rio de Janeiro – RJ – Brasil Rua Quintana, 753 – 8o andar 04569-011 – Brooklin – São Paulo – SP Serviço de Atendimento ao Cliente 0800-0265340
[email protected] ISBN 978-85-352-4673-5 ISBN (versão eletrô nica): 978-85-352-4731-2 Nota: Muito zelo e téc nica for am empreg ados na edição desta obr a. No entanto, podem oco rr er er ros
de digitação, impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação ao no sso Ser viço de Atendimento ao Cliente , para que possamos esclarecer ou encaminhar a quest ão. Nem a editor a nem o autor assumem qua lquer r esponsabilidade por eventuais danos ou per das a pessoas ou bens, ori ginados do uso desta publicação. CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ
P972m Puccini, Abelardo de Lima, 1942Matemática financeira : objetiva e aplicada / Abelardo de Lima Puccini, Adriana Puccini.
- Ed. compacta. - São Paulo : Elsevier, 2011. Acompanhado do CD ISBN 978-85-352-4673-5 1. Matemática financeira. I. Puccini, Adriana. II. Título. 11-1795. CDD: 650.01513 CDU: 51-7
Nota do Autor à Edição Compacta Esta edição compacta tem como referência o livro Matemática Financeira Objetiva e Aplicada, já consagrado pelo mercado universitário e corporativo. Apesar de ter sido reduzido, praticamente, à metade do que lhe deu srcem, sua estrutura principal foi mantida, permanecendo, ainda, a abordagem prática da Matemática Financeira. A redução deu-se, basicamente, na exclusão de alguns exemplos resolvidos, tendo a parte em alguns trechos, reescrita de forma sintética, sem exagerada preo sido cupação comconceitual, demonstrações de fór mulas e aprofundament o teórmais ico. O capítulo sobre Análise de Investimentos e os apêndices, que trazem material explicativo sobre a calculadora HP-12C e a planilha eletrônica Excel, também foram retirados. Para ter acesso a esse conteúdo, cujo entendimento é fundamental para tomada de decisão de investimentos e manuseio de fluxos de caixa, em nível mais avançado, o leitor deve consultar a versão completa do livro Matemática Financeir a Objetiva e Aplicada, 2ª edição. O objetivo desta edição compacta é, portanto, oferecer um bom conhecimento dos principais conceitos da matemática financeira, por meio de uma abordagem simples e prática, aos leitores e alunos que não necessitem de um maior aprofundamento na matéria. Através dos recursos da calculadora HP-12C e da planilha eletrônica Excel, os procedimentos são demonstrados passo a passo, prior izando o desenvolvimento na tural do r aciocínio por parte do leit or. Os nove primeiros capítulos são desenvolvidos na hipótese de moeda estável, sem inflação, de acordo o tratamento convencional da matéria. moeda é país representada genericamente símbolocom $, que pode cor responder à moeda cor renteEssa de qualquer com econo mia estável. pelo O Capítulo 10 — Fluxos de Caixa e Inflação — mostra a aplicação da Matemática Financeira quando a moeda não é estável, perdendo o seu valor, ao longo do tempo, pelo fenômeno da inflação. A taxa de juros que inclui a inflação passou a ser denominada “Taxa Nominal”, em substituição à nomenclatura “Taxa Aparente”, adotada na 1ª edição. No total são mais de 100 exemplos pr opostos e resolvidos, que ilustram as difer entes utilidades da Matemática Financeira no nosso cotidiano: cálculo de juros de crediários, operações de leasing , rentabilidade de títulos, valor das prestações de um financiamento, escolha da melhor opção de investimento etc. O principal diferencial desta 2ª edição é a inclusão do “CD do Leitor” como parte integrante do livro. O CD contém um Banco de Testes com 150 problemas resolvidos e o Simulador da HP-12C para download. O Simulador da HP-12C é utilizado ao longo do livro como forma didática de mostrar a solução dos problemas, na medida em que sua apresentação esquemática facilita o registro dos dados e pela semelhança que o simulador tem com a calculad or a. O Banco de Testes, com estrutura de fácil uso, contém problemas resolvidos que foram especialmente selecionados com o objetivo de consolidar os conhecimentos adquiridos ao longo do livr o e de preparar candidat os para pr ovas de concurso s públicos. A partir do banco de testes podem ser montadas provas de autoavaliação para cada capítulo do
livro, com respostas de múltipla escolha. As provas são facilmente estruturadas com 10 questões selecionadas aleat or iamente a partir de três níveis de dificuldad e. Na resolução das provas, o leitor pode ter fácil acesso ao Simulador da HP-12C e, ao fazer sua opção de resposta, o programa automaticamente faz a correção da questão e, no final da prova, fornece a nota final alcançada. Com as atualizações e inovações introduzidas nesta 2ª edição, o livro ganha novo fôlego para enfrentar a competente concor rência do mer cado. Abelardo de Lima Puccini e Adriana Puccini.
Sobre os Autores Abelardo de Lima Puccini Engenheiro Civil pela PUC/RJ, formado em 1964, com curso de mestrado em Engenharia Econômica obtido na Universidade de Stanford, Califórnia, em 1967. De 1967 a 1970 foi Professor Associado do Departamento de Engenharia Industrial e do Rio Datacentro da PUC/RJ, em regime de tempo integral. De 1970 a 1979 exerceu funções executivas na área financeira de empresas do governo (Vale do Rio Doce, Nuclebrás e BNDES). Atuou como Diretor Financeiro da Aracruz Celulose de 1979 a 1983 e, em seguida, foi Superintendente Geral da Bolsa de Valores do Rio de Janeiro até o final de 1988, quando assumiu a função de Presidente Executivo do Grupo Supergasbras, onde permaneceu até 1992. De 1993 a 1997 atuou co mo Diretor Administrativ o Financeiro da Casas Sendas. No sistema Pe trobr as exerceu as funções de D iretor Financeiro da Petro bras Distribuidora (2001 a 2003) e de Presidente da Liquigás Distribuidora (2004 e 2006). É professor de Matemática Financeira, Análise de Investimentos e Fundamentos de Finanças em pro gr amas de pós-g raduação de diversas inst ituições de ensino, do go verno e da área pr ivada.
A driana Puccini Engenheira Elétrica com Mestrado
em Finanças pelo Departamento de Engenharia Industrial da PUC/RJ. Trabalhou nas áreas financeiras e de marketing da Aracruz Celulose, IBM do Brasil, Ceras Johnson e Companhia Side rúrg ica Nacional. Na área educacional, trabalhou na Escola 24horas, empresa pioneira em novas formas de apoio aos processos de ensino e aprendizagem para a comunidade escolar e corporativa, através da Internet, e na FGV online, onde atuou como Coordenadora da Área de Gerência de Projetos e hoje atua como tutora de cursos à distância.
Prefácio Os relatórios financeiros publicados pelas empresas costumam destacar a qualidade dos ativos entre os aspectos mais relevantes para o seu desempenho. Balanços patrimoniais detalham os ativos para possibilitar a avaliação por analistas financeiros, mas é cada vez mais forte a impressão de que o principal ativo de uma empresa não aparece em seu balanço: trata-se do conhecimento acumulado pelos gestores e demais responsável pela sustentáveis capacidade de diferenciar produtos, serviços e pro cessos, criprofissionais, ando vantagens competit ivas no inovar lo ngo eprazo. Questão semelhante pode ser observada com as medidas de desenvolvimento dos países. Cada vez mais, reforça-se a percepção de que medidas como o Produto Interno Bruto (PIB) são incapazes de refletir o verdadeiro estágio de desenvolvimento, buscando-se alternativas, como o Índice de Desenvolvimento Humano (IDH), da Organização das Nações Unidas, que incorpora dimensões voltadas ao capital humano. O conhecimento, essência deste capital, pode ser classificado na teoria econômica como um ativo não r ival, ou seja, que p ode pertence r a mais de um pro prietário sem que qualquer deles seja privado do seu uso pleno. Entender a natureza do conhecimento talvez seja o primeiro passo para a compr eensão da pr ópr ia evolução da humanid ade. Ao longo dos séculos, o conhecimento serviu tanto para a melhoria do bem-estar, como para a dominação de pessoas e povos. Algumas vezes foi aprisionado em estantes, como complemento da decoração instituições.do ambiente; em outras serviu como instrumento de ação no dia a dia das pessoas e Ao examinar este livro para escrever o prefácio, percebi que ele nascera em linha com o que me parece ser a visão adequad a do co nhecimento, co mbinando precisão conceitual, direcionamento para a aplicação e esforço para disseminação entre o maior número possível de interessados. O texto teve como ponto de partida o conteúdo consistente e sempre atualizado do livro Matemática Financeira Objetiva e Aplicada, do prof. Abelardo de Lima Puccini, utilizado ao longo de muitos anos por um número incontável de alunos e professores. O objetivo principal do novo livro, batizado de Matemática Financeira Objetiva e Aplicada – Edição Compacta, foi facilitar o acesso ao conhecimento para aqueles que precisavam de um entendimento claro apenas dos aspectos fundamentais do assunto, compatibilizando os custos com os benefícios almejados no processo de aprendizado. A espinha dor sal do li vro or iginal fo i mantida, conservando-se a abor dagem prática da M atemática Financeira. Foram reduzidos os exemplos resolvidos e os problemas propostos, eliminados os apêndices e reescr itos, de for ma mais r esumida, alguns t rechos da parte conceit ual. O autor, pro f. Abelardo de Lima Puc cini, trabalhou em parcer ia com Adriana Puccini, ambos meus amigos de longa data. Duas gerações, o mesmo talento e a mesma preocupação em unir tradição e inovação; uma prova de que o conhecimento e sua aplicação responsável são elos fortes a unir a humanidade através dos tempos. Aos dois, pai e filha, meus parabéns por mais esta realização. Aos leitores, sejam professores, alunos ou profissionais, desejo que aproveitem bem este novo
livro, atuando, cada um no seu tempo e espaço, como agentes da disseminação e aplicação do conhecimento. Celso Funcia Lemme Instituto Coppead de Administr ação Universidade Fed eral do Rio de Janeiro 12 de junho de 2005
Nota dos Autores Sobre o Conteúdo do CD A partir desta 2ª edição passamos a incluir o “CD do Leitor” como parte integrante da obra, com a principal finalidade de oferecer ao leitor uma alternativa digital para colocar em prática os conheciment os adquiri dos no livro -texto. Assim, em par ceria co m a Editora Elsevier, desen volvemos um Banco de Questões interativo com 150 problemas propostos e resolvidos, abrangendo todo o conteúdo da de obrQuestões, a. O Banco principal aplicativo deste CD, tem uma estrutura de fácil uso e oferece ao leitor duas opções de provas, com r espostas de múltip la escolha: A prova customizada , na qual o leitor tem a flexibilidade de criar a sua própr ia pro va, definindo o s capítulos do livro que nela devem ser incluídos, a quantidade de questões e seu nível de dificuldade (alta, média ou baixa). A prova padronizada, com 10 questões geradas automaticamente pelo sistema, composta por pro blemas de todos o s capítulos do li vro a partir dos tr ês níveis d e dificulda de. O sistema faz automaticamente a correção de cada questão e, ao final, fornece o resultado da prova. Na Solução dos Problemas o leitor pode utilizar o Simulador da HP-12C e ter acesso à solução do autor para todos os problemas propostos. Além do Banco de Questões o “CD do Leitor” inclui os seguintes conteúdos: Simulador da HP-12C
O Simulador da HP-12C é um arquivo Excel que reúne as suas pri ncipais fun ções financeiras co m uma apresentação esquemática para facilitar o registro dos dados, e que tem uma aparência semelhante à calculado ra HP-12C, na medida em que apresenta na sua par te superio r as teclas n, i, PV, PMT e FV e na sua p arte inferio r o viso r da calculador a. Ele é utilizado na sol ução dos pr oblemas do livro, de forma simples e didática, como se fosse a própria calculadora HP-12C. A sua montagem está explicada, em detalhes, no Apên dice B – Funções Financeiras do Excel. Apêndice A – Utilização da HP-12C
Neste Apêndice mostramos as operações básicas da calculadora e a utilização das suas principais funções financeiras na solução de problemas, que também são resolvidos por meio do Simulador da HP-12C. A sua leitura é recomendada para os leitores que estão tendo o primeiro contato com a matéria. Apêndice B – Funçõ es Financeiras do Excel
Neste Apêndice apresentamos uma revisão das nomenclaturas e convenções adotadas na representação de fluxos de caixa e mostramos a forma de operar das principais funções financeiras da planilha EXCEL, com todos os detalhes da montagem do Simulador da HP-12C. Sua leitura é recomendad a para os leitor es que estão tendo o primeir o co ntato co m a matéria. Apêndice C – Uso de Tabelas Financeiras
Neste Apêndice apresentamos o Uso das Tabelas Financeiras, método tradicional da Matemática
Financeira, na solução de problemas mediante a utilização única e exclusiva de fatores preestabelecidos. Sua leitura é recomendada para os leitores que pretendem prestar concursos públicos que, n or malmente, não perm item o acesso às calculador as e/ou planilhas elet rônicas. Abelardo de Lima Puccini Adriana Puccini
CA PÍT ULO 1
Conceito s Básicos e Simbologia 1.1 Introdução Este capítulo introduz os conceitos básicos e os principais fundamentos que norteiam o estudo da Matemática Financeira. São apresentados os conceitos de fluxo de caixa e, ainda, as convenções e simbolo gias adotadas nas sua s representações. O valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos interligados e indispensáveis ao desenvolvimento do estudo da Matemática Financeira.
1.2 Fluxo de Caixa — Conceitos e Convenções Básicas Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Podemos ter fluxos de caixa de empresas, de invest imentos, de pr ojetos, de oper ações financeiras etc. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de pr ojetos e investimentos. A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros, ou esquematicamente, como na Figura 1.1 :
FIGURA 1.1 Fluxo de caixa
em que são respeitadas as seguintes convenções: a) a escala hori zontal r epresenta o tempo, dividido em períodos descontínuos, expresso em dias, semanas, meses, trimestres, semestres ou anos. Os pontos 0, 1, 2, 3,…, n substituem as datas de calendário , e são estipulados em função da necessidade de ind icarem as posiçõ es r elativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 representa a data inicial (hoje), o ponto 1 indica o final do 1 o perío do e assim por diante; b) os intervalos de te mpo de todos os per íodo s são ig uais; c) os valor es monetário s só podem ser col ocados no início o u no final d e cada período , dependendo da convenção adotada . Nenhum valor pode ser co locado ao longo dos perí odos, uma vez que eles não são contínuos . Assim, quando o s perío dos cor respondem a trim estres, não há condição de se indicar um valor ao lo ngo do trimestre. U ma solução possível, nesse ca so, é diminuir a unidade
de tempo dos per íodos, por exemplo, para meses; d) as saídas de caixa corr espondem ao s pagament os, têm sinais negativos e são repr esentadas por setas apontadas para baixo; e) as entradas de caix a cor respondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são repr esentadas por setas apontadas para cima.
1.3 Juros 1.3.1 Conceito Juro s são definidos como sendo a r emuneração do capit al, a qualquer título. Assim, são válidas as se guintes expressões com o co nceitos de jur os: a) r emuneração do capital empr egado em atividades pr odutivas; b) custo do capital de t erceir os; c) r emuneração paga pelas instit uições financeiras sobr e o capital nelas aplicado.
1.3.2 Unidade De Medida Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia). Exemplos: 12% ao ano = 12% a.a. 4% ao semestre = 4% a.s. 1% ao mês = 1% a.m.
1.3.3 Regimes De Juros Adotados Os regimes de juros estudados na Matemática Financeira são conhecidos como juros simples e juros compostos. No regime de juros simples, apenas o capital inicial, também chamado de principal, rende juros. Juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. O regime de juros simples é apresentado, com detalhes, nos Capítulos 2 e 3. No regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital para o cálculo de novos uros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render juros. O regime de juros compostos é apresenta do no s Capítulos 2 e 4.
1.4 O Valor do Dinheiro no Tempo A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros. Do ponto de vista da Matemática Financeira, $1.000,00 hoje não são iguais a $1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por período. Assim, um capital de $1.000,00 aplicado hoje, com uma taxa de juros de 8% a.a., implicará um rendimento anual de $80,00, proporcionando um montante de $1.080,00 no final de um ano. Pode-se dizer que considerando uma taxa de juros de, por exemplo, 8% a.a., é indiferente termos
$1.000,00 hoje o u $1.080,00 daqui a um ano . Um capital de $1.000,00 hoje somente será igual a $1.000,00 daqui a um ano na hipótese irreal da taxa de juro s ser considerada igual a zero .
1.5 A Matemática Financeira — Fundamentos e Objetivos É importante que fiquem claros para o leitor os principais objetivos da Matemática Financeira, bem como seu mandamento fundamental. Objetivos Principais: a) a transfor mação e o manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das ta xas de juros de cada perío do, para se leva r em co nta o valor do dinheiro no tempo; b) a obtenção da taxa interna de juros que está implícita no fluxo de caixa; c)Mandamento a análise e a Fundamental: comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa. a) os valo res de uma mesma da ta são g randezas qu e podem ser compar adas e somadas algebri camente; valor es de datas diferentes sã o g randezas que só po dem ser co mparadas e somadas algebr icamente depois de serem movimentad as para uma mesma data, com a co rr eta aplicação de uma taxa de juros.
1.6 Moeda Estável e Inflação Nos nove primeiros capítulos, a matéria está desenvolvida na hipótese de moeda estável, isto é, assumindo-se que a moeda utilizada no fluxo de caixa mantém o mesmo poder aquisitivo ao longo do tempo. Essa moeda é gene ricamente representada pelo sím bolo $, e pode corr esponder ao r eal, ao dólar americano, àcor oa sueca, ao euro, o u à moeda de q ualquer país com economia estáv el. O Capítulo 10 mostra Os os reflexos na análise dos fluxos de caixa, segundo Modelos Prefixado e Pós-Fixado. conceitosdadeinflação Matemática Financeira não sofrem alteração emosfunção da taxa de juros e são integralmente aplicáveis tanto nos fluxos de caixa sem inflação, expressos em moeda estável “forte”, como nos fluxos de caixa com inflação, expressos em moeda “fraca”. A diferença básica existente nos dois modelos refere-se ao valor percentual da taxa de juros a ser adotado em cada caso, que irá r efletir a manutenção o u perda do poder aquisitivo da moeda ao lo ngo do tempo.
1.7 Simbologia Adotada A simbolo gia e a co nvenção utilizad as em todo o compêndio para o s diversos elementos de um fluxo de caixa são idênticas àquelas adotadas por todas as calculadoras da marca HP, inclusive pela HP12C. Será mantida a simbologia adotada pelo livro Matemática Financeira Objetiva e Aplicada 1 , obra queAsdeu src em amonet esta ediçã compacta. grandezas áriaso po dem ser r epresentadas no fluxo de caixa de acordo com as convenções de final de pe ríodo e de início de perío do, que são apresent adas a seguir.
1.7.1 Diagrama Padrão — Convenção De Final De Período — Série PM T Postecipada
A representação dos fluxos de caixa, de acordo com essa convenção, se faz segundo o diagrama indicado a seguir. Esse diagrama será usado como referência para a apresentação de diversos conteúdos ao longo do livro e, por esse motivo será denominado Diagrama Padrão: Pela convenção de final de período, todos os valores monetários que ocorrem durante um período são indicados no final do período correspondente, uma vez que não podem ser representados ao longo dos períodos, pois não são contínuos. Os elementos do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa estão definidos a seguir.
1.7.1.1 Calculadora HP-12C A Calculadora HP-12C adota as seguintes convenções e simbologias para definir os elementos do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa :
Em relação ao s elementos do Diagr ama Padrão são r elevantes os seguintes coment ário s: a) os intervalos de temp o de todos os per íodos são iguais. Assim, por exemplo, todos o s meses têm a mesma duração de 30 dias; b) a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve necessariamente coincidir com a unidade refer encial de tempo utilizada para definir o número de períodos n; c) osendo s pr oblemas muns Financa eira g eral, apenas quatro nelementos, que doiscodeles sãodeoMatemática brig ator iamente taxaenvolvem, de juro s i em e o número de períodos . Os outro s dois elementos a ser em relacio nados po dem ser PV com FV, PV com PMT, e FV com PMT; d) as fór mulas deste compêndio são desenvolvidas apen as para este Dia gr ama Padrão, assumindo a convenção de final de perí odo. Os pr oblemas que se enquad ram nessa situa ção têm so lução imediata. Os demais pr oblemas deverão ser enquadrados nesse Diagrama Padrão mediante desdobr amentos e o utros ar tifícios que n ão alteram o enunciado do pr oblema;
e) a Calculad or a HP-12C está prepar ada para r esolver os pr oblemas que se enqu adram neste Diagr ama Padrão, co m a co nvenção de final de per íodo. Ressa ltamos os seguintes pontos: a calculador a está preparada para utilizar a co nvenção de final de per íodo quando a função END estiver ativa (acio ne as teclas g e END, e v erifique se a palavr a BEGIN não aparece i ndicada no visor); a calculador a deve apresentar sempre a letra C indicada n o visor (pressionar concomitant emente as teclas STO e EEX), para que realize todos os cálculos a juros compostos, independentemente do valor de n ser um núme ro inteiro ou fracionário; o s valor es monetários sejam de PV, FV ou PMT devem ser registrados na calculador a sempre de acor do co m a co nvenção de sinal, isto é, as entradas de caixa (recebiment os) devem ter o sinal positivo (+), e as saídas de caixa (pagamentos) devem ter o sinal negativo (–); os pr oblemas que envolvem ap enas quatro elementos devem ser reso lvidos com o r egistro do número zero para o elemento monetário (PV, FV ou PMT) que não par ticipa do pr oblema; os valor es do número de períodos n podem ser números inteiros ou fracionários. Por exemplo, n pode ser r egistrado em anos, fr ação de ano, fr ação de mês et c.; o r egistro de uma taxa de juro s de 8%, por exemplo, deve ser feita com a colo cação do número 8 na tecla correspondente a i. A calculadora, internamente, faz as operações com 8%, isto é, com 8/100 = 0,08; a calculad or a sempre inte rliga o s cinco element os ( n, i, PV, PMT e FV). Por exemplo, no caso de obtenção do PV, a HP-12C calcula a seguinte r elação:
(1.1)
1.7.1.2 Planilha Eletrônica Excel A Planilha Eletrônica Excel dispõe de funções financeiras básicas que têm exatamente as mesmas definições e convenções da HP-12C. Na sua versão em português, a Planilha Excel batiza os elementos financeiros do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa ( Figura 1.2 ) de forma diferente da HP-12C, confor me mostramo s na tabela a seguir:
FIGURA 1.2 Diagrama Padrão — convenção definal de período Série PMT postecipada
Tabela 1.1
A Planilha E letrônica Excel te m amplas co ndições de reso lver os pro blemas que se enq uadram no Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa, com a co nvenção de final de per íodo . Ressaltamos o s seguintes pontos: a) o par âmetro TIPO seja igual a zero (TIPO = 0) para que as funções financeiras da Planilha Excel utilizem a convenção de final de período . Na ausência dessa informação, as funções financeiras do Excel assumem essa condição, e as oper ações são r ealizadas segundo essa convenção; b) os valores do número de períodos NPER podem ser números inteiros ou fracionários; c) os valo res monetários ( VP, VF e PGTO) devem ser r egistrados na planilha de acordo com a convenção de sinal também ado tada pela HP-12C; d) os pr oblemas que en volvem apen as quatro elementos deve m ser reso lvidos com o reg istro do número zero para o elemento mo netário (VP, PGTO o u VF) que não participa do pro blema, tal como na HP-12C; e) as funções financeiras do Excel, tal como na HP-12C, sempre i nterli gam o s cinco elementos (NPER, TAXA, VP, PGTO e VF). Por exemplo , a função financeir a VP sempr e calcula a seg uinte relação:
(1.2)
1.7.2 Convenção De Início De Período — Série PM T Antecipada A representação dos fluxos de caixa, de acordo com a convenção de início de período, se faz segundo o diagrama mostrado a seguir: Pela convenção de início de período, todos os valores monetários que ocorrem durante um período são indicados no início do período correspondente, uma vez que não podem ser representados ao longo dos períodos, pois eles não são contínuos . Em relação ao diagrama da Figura 1.3 , destacamos que os cinco elementos do fluxo de caixa ( n, i , PV, FV e PMT) têm definições idênticas às do Diagrama Padrão, exceto com relação ao posicionamento dos valores monetários, que, agora, são colocados no início de cada perío do.
FIGURA 1.3 Convenção de início de período — Série PMT Antecipada
São, portanto, válidos todos os comentários anteriores a respeito do relacionamento dessas gr andezas, exceto co m r eferência aos pontos dest acados a seg uir: a) a convenção de início de perío do não altera as posições relativas de PV e FV usadas no Diagr ama Padrão . Observar que nas duas conven ções (início e final de perío dos) a distânc ia r elativa entre PV e FV é sempre igual a n períodos; b) de acor do co m essa convenção, a Série Unifor me PMT passa a ser antecipada, pois as pr estações ocor rem no i nício de cad a período de capitalização de ju ro s; c) a HP-12C está preparada para resolver os problemas que envolvam a Série Antecipada, bastando, para isso, que a calculadora esteja com a função BEG ativa (acione as teclas g e BEG, e verifique se a palavra BEGIN aparece indicada no visor); d) a Planilha E xcel tem amplas condições de reso lver o s pro blemas que e nvolvam a Série Antecipada, bastando, para isso, que o parâmetro TIPO das funções financeiras seja fixado com valor igual a um (TIPO=1). Na ausência de ssa infor mação, as funções financeiras assumem a condição de Série Postecipada (TIPO= 0).
1.7.3 Simulador Da HP-12C Com o objetivo de simplificar e padronizar a apresentação do conteúdo deste livro e de atender àqueles leitores que não possuem a calculadora, desenvolvemos um Simulador da HP-12C, 2 utilizando as funções financeiras básicas da Planilha Eletrônica Excel (NPER, TAXA, VP, PGTO e VF) e r espeitando às condições do Diagrama Padrão , Figura 1.2. Esse simulador encontra-se disponível, sem qualquer custo, no endereço eletrônico do site deste livro. Recomenda-se que o leitor faça um download do simulador e o instale em um microcomputador. Assim poderá acessar o simulador da HP-12C a qualquer momento e realizar as operações usuais do mercado financeiro, acompanhando todos os exemplos e exercícios sugeridos neste livro . Esse simulador também pode ser considerado uma representação esquemática da própria calculadora, na medida em que apresenta na sua parte superior as teclas n, i, PV, PMT e FV e na sua parte inferio r, o viso r da HP-12C. Pelo fato de o simulador ter essa dupla função, é utilizado constantemente como uma forma didática de representar dados dos problemas, seja na solução financeiras do Excel. Oos uso sistemático do simulador fará compela queHP-12C, o leitor,seja de pelas uma funções maneira espontânea, associe a teoria explicada com a utilização prática da calculadora HP-12C e/ou da planilha eletrônica Excel. Veja, de acordo com o esquema abaixo, que o Simulador da HP-12C possui as funções financeiras dispostas horizontalmente, de forma predefinida, na mesma sequência das teclas da HP-12C:
Simulador da HP12-C— cálculo de PMT
Abaixo relacionamos pontos importantes para um bom entendimento e utilização adequada do Simulador: a) os dados a serem inser idos pelos usuário s, ou seja, os valor es cor respondent es a cada um dos respectivos elementos do fluxo de caixa são col ocados na linha inferio r da tabela e podem ser reg istrados em qualqu er o rdem de entrada; b) o parâmetro financeiro (PV, PMT o u FV) que não fizer parte do pr oblema deve te r o seu valor registrado como “zero”, não interferir no resultado; aqueles fizerem parte do pr oblema deverão serpara inseridos respeitando-se a conven ção parâmetros de sinais: (+que ) para entradas de caixa e (−) para saídas de caixa; c) a r epresentação do fl uxo de caixa d eve respeit ar a convenção de final do per íodo , e, por tanto, só podem ser r esolvidos pr oblemas que t rabalhem com a sér ie postecip ada; d) a célula em desta que (mais escura) é sempr e aquela qu e representa a incóg nita do pro blema e que, portanto, contém a função financeira do Excel que irá calcular a operação desejada. É nessa célula que aparece o valor da solução do pr oblema. Na represent ação gr áfica do simulador desta seção 1.7.3, essa célula corr esponde ao parâmetro PMT. e) o número de períodos de capit alização é repr esentado por n na parte superio r do simulador, para corresponder à tecla n da HP-12C: quando esse parâmetro é um dado do problema, pode ser registrado como um número inteiro ou fracio nário , o que facilit a a tarefa de compatibilizar as unidades refer enciais de t empo para a taxa de juro sé ea oincóg número de períodos; quando nita do pr oblema, seu valor é calculado pela funç ão NPER do Excel colocada na célula inferio r cor respondente, que é apresent ada em dest aque. O r esultado o btido pelo simulador por essa função não é arredondado para o primeiro número inteiro superior como faz a HP-12C; f) a taxa de juros po r perío do de capitalização é repr esentada por i na parte superio r do simulador, para cor responder à tecla i da HP-12C: quando esse parâmetro é um dado do pr oblema, 8,0 % por exemplo, a ta xa deve ser infor mada pelo r egistro do número 8. quando esse parâmetro é a incógnita do problema, o seu valor é calculado pela função TAXA do Excel, colocada na célula inferior correspondente, que é apresentada em destaque; a função TAXA, que realiza o cálculo da taxa de juros tem um parâmetro adicional denominado ESTIMATIVA, que cor responde à estimativa inicial para o valo r da taxa de jur os, o btida por um pro cesso iterativo . No simulado r, o parâmetro ESTIMATIVA é fixado automaticamente pelo método dos juro s médios apresentado no item 8.3.6 do Capítulo 8; g) o valor presente é representa do por PV na parte superio r do simulador, para cor responder à tecla PV da HP-12C: quando esse parâmetro é a incóg nita do pro blema, seu va lor é calculad o pela função VP do Excel, colo cada na célula inferior cor respondent e, que é apresenta da em destaq ue; h) o valor futuro é repr esentado por FV na parte superior do simulador, para cor responder à tecla FV da HP-12C:
quando esse parâmetro é a incógnita do pr oblema, o seu valor é calculad o pela função VF d o Excel, na célula inferior correspondente, que é apresentada em destaque. i) o valor da prestação de série uniform e é representa do por PMT na parte superior do simulador, para corresponder à tecla PMT da HP-12C: quando esse parâmetro é a incógnita do pr oblema, o seu valor é calculad o pela função PGTO do Excel, na célula inferior correspondente, que é apresentada em destaque. O leitor que utilizar a calculadora HP-12C, como forma de acompanhamento dos exemplos e problemas propostos pelo livro, terá no simulador uma mera representação gráfica da sua calculadora. Nesse caso, deve estar atento aos seguintes pontos: a) a HP-12C deve estar oper ando com a função EN D para r ealizar o s cálculos co m a pr estação postecipada, e com a letra C mostrada no visor para que todos os cálculos sejam r ealizados a juros compostos; b) os dados do pro blema podem se r r egistrados em qualqu er o rdem de entrada, lembrando de reg istrar “zero” par a o parâmetro financeiro que não faça parte d o pr oblema; a tec la da HP-12C, cor respondente à solução do pr oblema, é a últ ima a ser acio nada. Ela irá disparar o cálculo da operação desejada, e mostrar á a solução do pro blema.
1.8 O Enfoque Adotado O enfoque adotado neste livro enfatiza o lado prático da Matemática Financeira e, portanto, não exige do leitor um conhecimento avançado de matemática. Os conceitos são ilustrados com problemas reais que ocorrem frequentemente no dia a dia de qualquer pessoa, como por exemplo a análise de crédito ao consumidor, a escolha do título financeiro mais rentável, a análise da melhor opção de compra que envolva um financiamento de longo prazo etc. Após o entendimento dos exemplos numéricos é que, quando necessário, se faz o estudo teórico para a obtenção de fórmulas genéricas, que irão ajudar na fixação da maté ria e a sua utilizaçã o em qualquer situação que se faça nece ssária. A simbologia adotada também visa à simplicidade e à abrangência de sua aplicação. Assim, não se utiliza nenhuma nomenclatura matemática, mas sim uma simbologia mnemônica simples e de fácil assimilação, que é a mesma adotada pela calculadora HP-12C e pela Planilha Eletrônica Excel. 1 2
Puccini, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicad a, 9. ed. Rio de Janeiro: Campus/Elsevier, 2011.
O Apêndice B do livro Matemática Financeira Objetiva e Aplicad a, do mesmo autor (obra que deu srcem a essa edição compacta), traz explicações detalhadas sobre o Simulador.
CA PÍT ULO 2
Juros Simples e Compostos — Conceito s 2.1 Introdução Este capítulo apresenta os conceitos de juros simples e compostos e, por meio de exemplos numéricos, mostra como se comporta o crescimento do dinheiro ao longo do tempo nesses dois regimes de juros.
2.2 Juros Simples — Crescimento Linear No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial ( principal ) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos uros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. Os exemplos numéricos a seguir servem para fixar esse conceito.
2.2.1 Exem plos Numéricos — Juro s Simples 2.2.1.1 Um Investimento de Quatro Anos Considere o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco ABC, pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. Calcule o valor do saldo credor desse investidor no Banco AB C no final de cada um dos quatro anos da oper ação. Solução:
A Tabela 2.1 apresent a os valor es solicitados:
Tabela 2.1 Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a.
A repr esentação gr áfica dos valor es da Tabela 2.1 é mostrada a se guir :
Em relação à Figura 2.1 , são válidos os seg uintes comentário s:
FIGURA 2.1 Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a.
a) o ponto 1 da esca la r epresenta o fi nal do 1 o ano e o início do 2 o ano, o ponto 2 r epresenta o final do 2o ano e o início do 3 o ano e assim po r diante; b) os valo res dos s aldos no final dos quatr o ano s ($1.080,00, $1.160,00, $1.240,00 e $1.320,00) repr esentam um cr escimento linear do capital inicial (principal) de $1.000,00. Observar que cada valor é obtido pela soma de uma razão constante de $80,00 (= 8% × $1.000,00) sobre o valor anterior. É impor tante r essaltar que o Banco AB C sempre aplicou a taxa de 8% ao ano so bre o capital inicial de $1.000,00, embora os juros de cada ano ficassem retidos no banco. Assim, apesar de os juros permanecerem no Banco ABC, nunca for am r emunerados por aquela instituição durante t odo o pr azo da operação.
2.2.1.2 Dois Investimentos de Dois Anos Considere o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco ABC, pelo prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor decide reaplicar esse valor no próprio Banco ABC, por mais dois anos, nas mesmas condições da 1ª aplicação. Calcule o montante acumulado no final dessa 2ª operação. Solução:
A Tabela 2.1 do problema anterior informa que o valor do saldo credor desse investidor do Banco ABC, no fi nal de do is ano s, é de $1.160,00. Esse valor passa a ser o capital inicial da 2ª oper ação, que tem um r endimento anual de juro s igual a 8% × $1.160,00 = $92,80. O mo ntante acumulado no final da 2ª o peração é, por tanto, igual a: FV = 1.160,00 + 2 × 92,80 = $1.345,60 Observar que esse montante é $25,60 superior ao montante de $1.320,00 obtido na Seção 2.2.1.1, a uros simples, com prazo de quatro anos. Esse incremento ocorre porque os juros dos primeiros dois anos ($160,00) passaram a render juros anuais de 8% nos últimos dois anos (8% × $160,00 = $12,80 ao ano). Isso só aconteceu porque o saldo de $1.160,00, no final do 2 o ano, passou a ser o capital inicial da 2ª operação.
2.3 Juros Compostos — Crescimento Exponencial
No regime de juros compostos, os juros de cada período são sempre somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros. Assim, os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o capital inicial (principal) aplicado. Os exemplos numéricos a seguir ser vem para fixar esse conce ito.
2.3.1 Exemplos Numéricos — Juros Compostos 2.3.1.1 Pagamento de Juros no Final — Um Investimento de Quatro Anos Vamos agora considerar que o investidor do exemplo anterior tivesse aplicado $1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos. C alcule o valor do saldo cr edor desse investidor no Banco XYZ no final de cada um dos quatro anos da operação. Solução:
A Tabela 2.2 contém os valor es solicitad os.
Tabela 2.2 Crescimento de $1.000,00 a juros compostos de 8% a.a.
A representação gráfica dos valores da Tabela 2.2 está indicada na Figura 2.2 , juntamente com o gr áfico da Figura 2.1, a juro s simples , visando comparar o s dois r egimes de juros.
FIGURA 2.2 Crescimento de $1.000,00 no tempo: juros simples e compostos de 8% a.a.
Em relação à Figura 2.2 são válidos o s seguintes comentário s: a) o dinheiro cr esce mais rapidame nte a juros com postos do que a juro s simples; b) os valo res dos s aldos no final dos quatr o ano s ($1.080,00, $1.166,40, $1.259,71 e $1.360,49) repr esentam um cr escimento exponencial do capital inicial de $1.000,00 (principal ). Verifique que cada valor é obtido a partir do valo r anterio r pela multiplicação de u ma r azão consta nte igual a 1,08 (= 1,00 + 8%). É importante ressaltar que o Banco XYZ sempre aplicou a taxa de 8% ao ano sobre o saldo existente no início de cada período. Assim, após cada período, os juros são incorporados ao saldo anterio r e passam, por sua vez, a render jur os. Em resumo, pode-se concluir que: a) a juro s simples, os juro s de cada perío do são sempr e calculados sobr e o capital inicial aplicad o (principal), não hav endo incidê ncia de juro s sobr e juro s; b) a juro s compostos, os j uro s de cada período são sempre calculados sobr e o saldo existen te no início do r espectivo per íodo, havend o incidência de juros so bre jur os. Nos dois últimos exemplos apresentados, os montantes disponíveis para o investidor, no final do 4 o ano, estão na Tabela 2.3 :
Tabela 2.3 Banc o
Regim e de jur os Valor no 4 o a no
XYZ
Juros compostos
$1.360,49
ABC
Juros simples
$1.320,00
Diferença
—
$40,49
Essa diferença de $40,49 corresponde ao rendimento de juros sobre juros proporcionado pelo Banco XYZ, que opera no r egime de juro s compostos.
2.3.1.2 Pagamento de Juros no Final — Dois Investimentos de Dois Anos Considere o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor decide reaplicar esse valor no próprio Banco XYZ, por mais dois anos, nas mesmas condições da 1ª operação. Calcule o montante acumulado no final dessa 2ª operação. Solução:
Pela Tabela 2.2, temos que o valor do saldo credor desse investidor no Banco XYZ, no final de dois anos, é de $1.166,40. Esse valor passa a ser o principal da 2ª operação, cujos saldos acumulados são os seguintes: a) no final do 1 o ano da 2ª operação (final do 3 o ano): FV = 1.166,40 + 1.166,40 × 8% = 1.166,40 + 93,31 = $1.259,71 b) no final do 2 o ano da 2ª operação (final do 4 o ano): FV = 1.259,71 + 1.259,71 × 8% = 1.259,71 + 100,78 = $1.360,49 Observar que esse montante é exatamente igual ao montante do investimento da Seção 2.3.1.1, a uro s compostos, com o pr azo de quatro anos. A razão dessa igualda de deve-se ao fato de, no reg ime de juros compostos, os saldos do início de cada período serem remunerados com a taxa de juros do respectivo período. Ou seja, a operação de quatro anos da Seção 2.3.1.1 é equivalente às duas oper ações deste exemplo numérico , desde que a 2ª o peração seja r ealizada n as mesmas condições da
1ª.
2.3.1.3 Pagamento de Juros Periódicos — Um Investimento de Quatro Anos Vamos agora supor que o Banco ABC permita que o investidor retire os $80,00 de juros anuais no final de cada ano, ao longo dos quatro anos. No final do 4 o ano, além dos juros anuais, o investidor retira ainda o principal de $1.000,00. Em que regime de juros passa a operar o Banco ABC? Simples ou compostos? Solução:
A resposta é que o Banco ABC passa a operar a juros compostos, pois os juros de cada período passam a ser calculados sobre os saldos existentes no início dos respectivos períodos. Senão vejamos: a) no final do 1 o ano, os juros de $80,00 são creditados, elevando o saldo para $1.080,00, e imediatamente r etirados pelo investidor, fazendo o saldo r etornar ao valor de $1.000,00. Assim, não há possibilidade de os juro s serem capitalizados, voltan do a base de cálcu lo para o 2 o ano a ser o saldo remanescente de $1.000,00; b) no final dos anos seguinte s, o pr ocesso se r epete, gar antindo que o Banco AB C remunero u em cada perío do o saldo exist ente à disposição do banco no início do respectivo per íodo. E o investidor, quanto terá acumulado no final dos quatro anos? Solução:
A resposta a essa pergunta depende da utilização que o investidor resolva dar aos juros recebidos no final de cada ano. Assim: a) se o invest idor mer amente guardar os jur os r ecebidos no co fre de sua casa , o total acu mulado no final de quat ro anos ser á de $1.320,00. Isso cor responde a só retir ar os j uro s do Banco ABC no final do 4 o ano e voltar à situação da Seç ão 2.1.1, com o banco o perando a jur os simples; b) se cada parcela de juro s retirada do Banc o ABC for aplicada pelo investid or no Banco XYZ, a juros compostos de 8% ao ano e pelo prazo necessário para completar os quatros anos, o total acumulado no final do 4 o ano ser á de $1.360,49. Isso equivale a aplicar os $1.000,00 iniciais no Banco XYZ, a juros co mpostos, pelo pr azo de quatro anos, tal com o na Seção 2.3.1.1. A reaplicação dos jur os é que pro duzirá o resultado adicional de $40, 49, para fazer o montante de $1.320,00 atingir o valor de $1.360,49 no final do 4 o ano. A Tabela 2.4 mostra o resultado dessa s operações:
Tabela 2.4
Assim, a sit uação do investidor no final do 4 o ano po de ser vista na Tabela 2.5 :
Tabela 2.5 Disponível a ) No Banco ABC
Receit a de reaplicações
1.080,00
b ) No Banco XYZ
Saldo da 1ª reaplicação Saldo da 2a reaplicação Saldo da 3a reaplicação
100,78 93,31 86,40
S om a
1 .3 6 0 ,4 9
20,78 13,31 6,40 4 0 ,4 9
As receitas de reaplicações totalizam exatamente $40,49, porque as taxas de reaplicações são iguais a 8% ao ano. Essas receitas serão superiores ou inferiores a esse valor caso as taxas de reaplicações sejam maior es ou menor es que 8% ao ano, r espectivamente.
2.4 Análise dos Exemplos Numéricos Com a finalidade de reforçarmos os conceitos de juros simples e juros compostos, vamos analisar os fluxos de caixa dos exemplos numéricos anteriores, incluindo nessa análise o Diagrama Padrão de cada uma das situações. 1ª Situação: Banco ABC — Juros Simples: Um Investimento de Quatro Anos . Neste caso, o fluxo de caixa do investid or da Seção 2.2.1.1 está representado na Figura 2.3 :
FIGURA 2.3 Banco ABC: juros simples de 8% a.a. — um investimento de quatro anos
O investidor que aplicar $1.000,00 para receber $1.320,00 no final de quatro anos está fazendo um
investimento a uma taxa de 8 % ao ano, no regime de jur os simples. Esse fluxo de caixa, se for analisado da ótica do regime de juros compostos, que é a visão correta, necessariamente oferece uma taxa de juros menor do que 8% ao ano, porque a juros compostos de 8% ao ano o montante acumulado no final do 4 o ano é de $1.360,49. O rendimento desse investimento, a juro s compo stos, é de 7,1 9% ao ano. 2ª Situação: Banco XYZ—Juros Compostos: Um Investimento de Quatro Anos. Nesse caso, o fluxo de caixa do investid or da Seção 2.3.1.1 está represent ado a seguir :
FIGURA 2.4 Banco XYZ: juros compostos de 8% a.a. — um investimento de quatro anos
O investidor que aplicar $1.000,00 para receber $1.360,49 no final de quatro anos está fazendo um investimento a uma taxa de 8 % ao ano, no regime de jur os co mpostos. Esse fluxo de caixa, analisado da ótica do regime de juros simples, que é uma visão incorreta, oferece uma taxa de juros maior do que 8% ao ano, porque a juros simples de 8% ao ano o montante acumulado no final do 4 o anoéde $1.320,00. O rendimento desse investimento, a juros simples, é de 9,01% ao ano. 3ª Situação: Banco ABC — Juros Simples: Dois Investimentos de Dois Anos . As duas operações de dois anos realizadas no Banco ABC na Seção 2.2.1.2, no regime de juros simples, tê m o s seguintes flux os de caixa para o investidor :
FIGURA 2.5 Banco ABC: juros simples de 8% a.a. — dois investimentos de dois anos
O montante acumulado no final do 4 o ano, pelas duas operações de dois anos, é maior do que o montante da operação de quatro anos. Esse acréscimo ocorre porque, com duas operações de dois anos, o montante do final do 2 o ano passa a ser o principal da 2ª operação de dois anos no Banco ABC, a juros simples. Com isso, os juros dos primeiros dois anos são somados ao principal e passam a render juro s nos últimos dois anos da 2ª oper ação, e just ificam esse acréscimo de valor. 4ªSituação: Banco ABC — Juros Simples: Quatro Investimentos de Um Ano . Caso o investidor consiga realizar quatro operações de um ano no Banco ABC, a juros simples de 8% ao ano, os saldos no final de cada ano serão reaplicados no ano seguinte, com o nome de principal, e os juros de cada ano passarão a render juros nos anos seguintes, de forma idêntica ao regime de juros compostos. Nesse caso, o principal de $1.000,00 conseguirá produzir o mesmo montante de $1.360,49, desde que as taxas de juros das reaplicações sejam iguais a 8% ao ano.
5ªSituação: Banco XYZ — Juros Compostos: Dois Investimentos de Dois Anos .
As duas operações de dois anos realizadas no Banco XYZ, no regime de juros compostos, têm os seguintes fluxos de caixa para o investidor : Repare que o montante que acabamos de observar na Figura 2.6 é ig ual ao calculado na 2ª situaç ão. Isso acontece porque, a juros compostos, a operação de quatro anos é absolutamente equivalente às duas operações de dois anos, desde que as taxas de juros das operações sejam iguais. No regime de uros compostos, são os saldos de cada período que são remunerados pelas taxas de juros de cada período. Dessa forma, os juros dos dois primeiros anos são igualmente remunerados nos dois últimos anos da operação de quatro anos, ou nos dois anos da 2ª operação, desde que as taxas de uro s sejam i dênticas.
FIGURA 2.6 Banco XYZ: juros compostos de 8% a.a. — dois investimentos de dois anos
6ª Situação: Banco ABC — Pagamento Periódico .
Nesse caso ( Seção 2.3.1.3), em que o Banco ABC paga os juros periodicamente, no final de cada ano, o fluxo de caixa do invest idor é o seg uinte:
FIGURA 2.7 Banco ABC: juros compostos de 8% a.a. pagamento periódico de juros
O Banco ABC opera, rigorosamente, com juros compostos de 8% ao ano nesse investimento, pois remunera o saldo inicial de cada p erío do a essa taxa, ao lo ngo do s quatro anos da operação. O montante acumulado pelo investidor no final do 4 o ano depende da taxa de juros obtida nas reaplicações dos valores recebidos no final de cada ano. Se todas as reaplicações forem feitas a 8% ao ano, a jur os com postos, o mo ntante acumulado no final do 4 o ano será igual a $1.360,49.
2.5 Resumo Neste capítulo, apresentamos operações com juros simples e com juros compostos, com o objetivo de deixar bem claro que a utilização do regime de juros simples é totalmente incorreta e que nunca deve ser utilizado com o ferr amenta de análise de flux os de caixa, podendo levar a decisões er radas e a provocar prejuízos desnecessários.
Na prática, entretanto, os juros simples são bastante utilizados pelo mercado, pela facilidade de cálculo, e porque aumentam ficticiamente a rentabilidade efetiva das aplicações financeiras e reduzem ficticiamente o custo efetivo dos financiamentos. Por exemplo, a Tabela Price de 12% ao ano corresponde a uma tabela de 1% ao mês, que é equivalente, na realidade, a uma taxa de 12,68% ao ano. Evidente que fica mais fácil, para o financiador, colocar um financiamento a “12% ao ano” do que a 12,68% ao ano. Recomendamos a seg uinte linha de ação para uma análise cor reta de qualq uer o peração fi nanceira: a) obter o fluxo de caixa da operação, a partir de uma análise cuidad osa dos dados for necidos. Somente nessa fase é que os juro s simples po dem ser utilizados, se necessário , exclusiva mente com a finalidade de obt enção dos valor es do fluxo de caixa da operação; b) realizar todos os cálculos e análises do fluxo de caixa exclusivamente no regime de juros compostos. Em resumo, os juros simples só devem ser utilizados na obtenção dos fluxos de caixa das oper ações financ eiras quand o o enunciado do pro blema implicar a adoção desse reg ime de juros. Uma vez obtido o fluxo de caixa da operação financeira, ele só deve ser analisado e comparado com fluxos de caixa de outras o perações financeiras, no reg ime de juros com postos.
2.6 Problema Proposto 1. Um investidor abriu duas contas numa instituição financeira e depositou $1.000,00 em cada uma. Uma das contas foi r emunerada a juro s simples, a out ra a juro s compostas; ambas foram remuneradas a uma taxa de 5% ao trimestre. Mostre o crescimento desse capital no final de cada trimestre, para cada uma das cont as, a contar da data da aplicaç ão dos recur sos, e infor me o montante que poderá ser r etirado pelo invest idor no final do 6 o trimestre, após a efetivação do último depósito. Compare o s resultados e analise a difer ença.
Observação: As resposta s de todos o s pro blemas propo stos estão disponíveis no final dest e livro .
CA PÍT ULO 3
Juros Simples — Fór mulas Básicas 3.1 Introdução Neste capítulo, vamos desenvolver as fórmulas básicas de juros simples e mostrar suas aplicações por meio de exemplos numéricos. O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, notadamente nas operações de curto prazo, não só em função da simplicidad e de cálculo, mas também com o objetivo de alterar, ficticiamente, a verdadeira taxa de juros das operações, o que facilita a tarefa de colocação dos produtos para investidores e/ou tomadores de recursos financeiros.
3.2 Capitalização Simples A rigor, o fenômeno da capitalização só ocorre no regime de juros compostos, em que os juros se transfor mam em capital e passam a render jur os. Entretanto, é comum o emprego da expressão “capitalização simples” para se referir ao crescimento do dinheiro no regime de juros simples.
3.2.1 Dedução Da Express ão Genérica A expressão genérica do Valor Futuro (FV), no regime de juros simples, em função dos parâmetros n, i e PV, é baseada no fluxo de caixa representado na Figura 3.1 , que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.
FIGURA 3.1 Capitalização simples: taxa de juros i desconto “Por Dentro”
No regime de juros simples, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de juros
i
sempre sobr e o pr incipal PV, fazendo com que os juro s tenham o mesmo valor em todos os per íodo s. Assim, temos:
O valor futuro FV, também chamado de montante, é resultante da aplicação de um principal PV,
durante n períodos, com uma taxa de juros i por período. No regime de juros simples, FV é obtido pela expressão:
ou seja:
(3.1) em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade referencial de t empo utilizad a para defin ir o número de períodos n. A Expressão Genérica (3.1) pode ser verificada utilizando-se os valores obtidos no Problema da Seção 2.2.1.1, do Capítulo 2. Considerando PV = 1.000,00 e n = 8% ao ano, o montante FV, no final de cada ano é: n = 1 FV = 1.000,00 (1 + 0,08 × 1) = 1.080,00 n = 2 FV = 1.000,00 (1 + 0,08 × 2) = 1.160,00 e assim por diante. Observe na tabela 2.1 que o montante FV corresponde ao Saldo no final de cada ano após o pagamento. ⇒ ⇒
3.3 Desconto “Por Dentro”, ou Racional 3.3.1 Dedução Da Express ão Genérica A taxa de juro s i, também denominada taxa de rentabilidade ou, ainda, taxa de desconto “por dentro”, pode ser obtida a partir da Relação (3. 1), que for nece:
(3.2)
O valor do desconto, expresso em $, corresponde aos juros acumulados no tempo. Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro FV, ou montante, e o valor presente PV, ou principal, o u seja:
O valor do desconto “por dentro” (D d ), ou racional, é obtido multiplicando-se o valor presente PV pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da oper ação n, ou seja:
Na prática, entretanto, o valor presente é sempre a incógnita, sendo normalmente conhecidos o valor futuro FV, o prazo n e a taxa de desconto i. Vamos a seguir deduzir a fór mula que permite obter o valor do descont o r acional a partir das variáveis conhecid as. O valor do desconto “por dentro”, ou racional, é também obtido pela aplicação da expressão geral para desconto, isto é:
(3.3)
A partir da Expressão (3.1), pode-se obter a seguinte relação:
(3.4)
Substituindo na Relação (3.3) o valor de PV fornecido pela Relação (3.4), temos:
e finalmente:
(3.5)
3.3.2 Exemplos Numéricos 1. Calcule o número de meses ne cessário para um capita l dobr ar de valor, com uma taxa d e juro s de 2% ao mês, n o r egime de juro s simples. Solução:
Supondo o valor de PV = $100,00, então teríamos FV = $200,00, e os dados do problema seriam os seguintes: PV = $100,00; FV = 2 × 100,00 = $200,00; i = 2% ao mês = 0,02; n = ? Pela Relação (3.1) temos: FV = 200,00 = PV (1 + i × n) = 100,00 (1 + 0,02 × n) 200,00 = 100 + 2 × n que fornece n = 50 meses. 2. Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” usada numa operação de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é $10.000,00 e cujo valor do principal é $9.750,00. Solução:
Os dados do pro blema são os seguintes: PV= $9.750,00; FV = $10.000,00; n = 60 dias = 2 meses; i = ? (% ao mês) Pela Relação (3.2), t emos:
ou seja, 1,282% ao mês. 3. Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por dentro” é de 1,2% ao mês. Solução:
Os dados do pro blema são os seguintes: FV = $1.000,00; n = 60 dias; i = 1,2% ao mês = 1,2%/30 ao dia = 0,04% a.d. = 0,0004
Desconto = FV − PV = ? A Relação (3.4) fornece: PV = FV/(1 + i × n) = 1.000,00/(1 + 0,0004 × 60) = $976,56 e, portanto, o desconto “por dentro” é igual a (1.000,00 − 976,56) = $23,44. 4. Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques a descoberto e que cobra 1,5% ao mês sobr e o saldo devedor, a jur os sim ples, pelos dias que a conta ficar descoberta. Calcule o montante de juros cobrado no mês de abril, assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes c heques:
Solução:
Os dados do pro blema são os seguintes: i = 1,5% ao mês = 1,5%/30 = 0,05% ao dia = 0,0005 a.d. a) Calculando os juros devidos por período: Juros de 1ª de abril a 10 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é de $2.000,00, e portanto: Juros = 2.000,00 × 0,0005 × 10 = $10,00 Juros de 11 de abril a 20 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é de $3.000,00, e portanto: Juros = 3.000,00 × 0,0005 × 10 = $15,00 Juros de 21 de abril a 30 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é de $4.000,00, e portanto: Juros = 4.000,00 × 0,0005 × 10 = $20,00 Assim, o tot al de juros devidos no mês de abril é igual a:
b) Utilizando o conceito de saldo médio: O saldo deved or médio no mês de abril é obtido pela relação:
Para o cálculo dos jur os m ensais, tudo se passa como se a co nta-cor rente tivesse ficado com um saldo devedor de $3.000,00, durante os 30 dias do mês. Assim temos:
resultado que coincide c om o o btido anterior mente. Os resultados obtidos pelas duas formas de cálculos são sempre iguais, e a sistemática de cálculo
comumente ad otada no mer cadoéadosaldo médio multiplicado pela tax a de juro s mensal.
3.4 Desconto “Por Fora”, ou Comercial 3.4.1 Dedução Da Express ão Genérica A expressão genérica do valor do desconto “por fora” ou comercial, no regime de juros simples, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir, que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.
FIGURA 3.2 Desconto simples: taxa de desconto D — “por fora”
No regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d sempre sobre o valor futuro FV, ou montante, fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor em todos os perío dos. Assim temos: desconto de cada período: FV × d desconto de n períodos: n × FV × d Observar que a taxa de desconto d (“por fora” ) é aplicada sobre o valor futuro FV para produzir o valor presente PV, ao passo que a taxa de desconto i (“por dentro”), ou taxa de rentabilidade, é aplicada sobr e o valo r presente PV para pr oduzir o valo r futuro FV. Assim, o valor do desconto “por for a” (D f), ou comer cial, é obt ido multiplican do-se o valor futuro FV pela taxa de desconto d por período, e esse produto pelo número de períodos de desconto n, ou seja:
(3.6) O valor presente PV, ou principal, resultante do desconto “por fora” sobre o montante FV, durante n períodos, com uma taxa de desconto d por período, é obtido, a juros simples, pela expressão:
ou seja: (3.7) em que a unidade referencial de tempo da taxa de desconto d deve coincidir com a unidade referencial de t empo utilizad a para defin ir o número de períodos n. Convém ressaltar que a Expressão (3.7) para o cálculo do valor presente PV tem limitações
práticas, pois só pode ser usada para valores de d e n tais que o produto d × n < 1, pois, caso contrár io, podemos chegar ao absurdo de encont rar valor es de PV < 0. A Relação (3.7) fornece a seguinte expressão para a obtenção da taxa de desconto d “por fora”, ou comercial:
(3.8)
3.4.2 Exemplos Numéricos 1. Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5% ao mês. Solução:
Os dados do pro blema são os seguintes: FV = $1.000,00; n = 60 dias; d = 1,5% ao mês = 1,5%/30 ao dia = 0,05% a.d. = 0,0005 a.d. Desconto = FV − PV = ? A Relação (3.7) fo rnece: PV = FV (1 − d × n) = $1.000,00 × (1 − 0,0005 × 60) = $970,00 e, portanto, o desconto “por fora” é igual a (1.000,00 − 970,00) = $30,00. 2. Calcule o valor da taxa mensal de desc onto “por for a” usada numa oper ação de descont o de 60 dias, de um título com valor de resgate de $10.000,00 e com valor do principal igual a $9.750,00. Solução:
Os dados do pro blema são os seguintes: FV = $10.000,00; PV = $9.750,00; n = 60 dias = 2 meses; d = ? (% ao mês) A Relação (3.8) fo rnece:
ou seja, 1,25% ao mês.
3.5 Relação entre as Taxas de Desconto “Por Dentro” e “Por Fora” As expressõ es (3.4) e (3.7) per mitem escrever a r elação:
que for nece:
Nessa relação, ao se explicitar a taxa i (desconto “por dentro”), ou a taxa d (desconto “por fora”),
obtém-se, respectivamente:
(3.9)
(3.10)
Nessas duas relações, as unidades referenciais de tempo das taxas i e d devem coincidir com a unidade refer encial de tempo utilizada para medir o número de período s n.
3.5.1 Exem plo Numérico 1. No Exemplo 2 da Seção 3.3.2 e no Exemplo 2 da Seção 3.4.2, foram calculadas as taxas de desconto “po r dentro” e “po r for a”, respect ivamente, de um mesmo título co m as seg uintes características: Principal apli cado = FV = $10.000,00 Valor de resgate = PV = $9.750,00 Prazo da o peração = n = 60 d ias No Exemplo 2 da Seção 3.3.2, a taxa mensal de desconto “por dentro” encontrada foi de 1,282% ao mês, e no Exemplo 2 da Seção 3.4.2, a taxa mensal de de sconto “por for a” encontrada foi de 1,25% ao mês. Usar as expressões (3.9) e (3.10) para verificar a relação entre essas duas taxas de desconto, considerando o ano com ercial com 360 dias. Solução:
Os dados do pro blema são os seguintes: i = 1,282% ao mês = 0,01282; d = 1,25% ao m ês = 0,01250; n = 60 dias = 2 meses A Relação (3.9) fornece a taxa de desconto “por dentro”: i = [0,01250/(1 − 0,01250 × 2)] = 0,01282 = 1,282% ao mês E a Relação (3.10) for nece a taxa de desconto “por for a”: d = [0,01282/(1 − 0,01282 × 2)] = 0,0125 = 1,25% ao mês confir mando, assim, a r elação entre essas duas ta xas de descont o.
3.6 Desconto de Títulos — Exemplos As operações bancárias de desconto de títulos são realizadas utilizando-se o conceito de taxa de desconto “por for a”, que nor malmente é denominada simplesment e taxa de desconto . Os exemplos a seguir mostram os cálculos dessas operações. 1. Uma empresa ofer ece os seg uintes títulos par a serem descontados num banco comer cial: Vencimento (dias) Valor do título ($) 30
10.000,00
60
20.000,00
90
30.000,00
T o ta l
6 0 .0 0 0 ,0 0
Calcule o valo r a ser cr editado na conta d essa empresa, por essa operação de descont o, co nsiderando o mês com 30 dias, e sabendo-se que a taxa de desconto acertada é de 1% ao mês. Solução:
Vamos aplicar a Relação (3.7) para cada um desses t ítulos, confor me indicado a seg uir: a) título com vencimento em 30 dias: PV1 = FV1 (1 − d × n) = $10.000,00 (1 − 0,01 × 1) = $9.900,00 b) título com vencimento em 60 dias: PV2 = FV2 (1 − d × n) = $20.000,00 (1 − 0,01 × 2) = $19.600,00 c) título com vencimento em 90 dias: PV3 = FV3 (1 − d × n) = $30.000,00 (1 − 0,01 × 3) = $29.100,00 Assim, o valor a ser creditado na conta da empresa é igual a: PV = PV1 + PV2 + PV3 = $9.900,00 + $19.600,00 + $29.100,00 = $58.600,00 Nas operações de desconto de títu los, existem outro s custos adicionais que não fo ram cnsiderado s no exemplo ant erio r, tais como a incidência de impostos e a exigência de saldo médio na conta-cor rente da empresa. O saldo médio corresponde a uma retenção na conta-corrente da empresa de um percentual do valor da operação não recebe qualquer remuneração do banco por se tratar de depósito à vista. O exemplo a seguir esclarece esse conceito e permite avaliar o aumento do custo da operação pela inclusão do saldo médio. 2. Um banco co mercial realiza suas o perações de desconto de títu los com uma taxa de descont o de 1,2% ao mês (“por for a”), por ém exige um sald o médio de 20% do valor da oper ação, como for ma de recipro cidade bancária. Esse banco fo i pro curado por uma empresa para descont ar $100.000,00 de atítulos, todos com vencimento de 90 edias. Considerando o mêsdocom 30 dias, calcule o valor ser cr editado na conta d a empresa a r entabilidade mensal banco, a juro s simples, se m o saldo médio e com o saldo médio. Solução:
a) sem o saldo médio: O valor a ser creditado na conta da emp resa é obtido pela Relaç ão (3.7), isto é: PV = FV(1 − d × n) = $100.000,00 (1 − 0,012 × 3) = $96.400,00 A taxa de rentabilidade do banco é obtida pela Relação ( 3.2), ou sej a:
que fornece a taxa de 1,2448% ao mês. b) com o saldo médio: O saldo médio de 20% sobre $100.000,00 corresponde a $20.000,00. Tudo se passa como se o banco, por ocasião da liber ação dos r ecursos, fizesse uma r etenção de $20 .000,00, deixando apenas o valor de $76.400,00 à disposição da empr esa. Esses $20.000,00 ficam parados no banco, na co nta-cor rente da empresa, durant e os três meses da oper ação. Na liquidação da oper ação (final do 3ª mês), a empresa pr ecisa desembolsar apenas $80.000,00, pois o banco já dispõe de $20.000,00 retidos em sua conta-corrente. Essas situações são
resumidas no fluxo de caixa da Tabela 3.1 :
Tabela 3.1 Fluxo de caixa para o banco
O valor da rentabilidade mensal do banco, levando em consideração o saldo médio de 20%, é obtido pela Re lação (3.2), confor me indicad o a seguir:
que fornece a taxa de 1,5707% ao mês. Assim, o saldo médio de 20% elevou a rentabilidade do banco (e consequentemente aumentou o custo par a a empresa) de 1,24 48% ao mês para 1,5702 % ao mês, no r egime de jur os sim ples.
3.7 Resumo Nesse capítulo, desenvolvemos as principais fórmulas do regime de juros simples e ilustramos suas aplicações em diversos mercado. Ressaltamos que, no problemas regime de do juros simples, a taxa de desconto d (“por fora”, ou comercial) é comumente utilizada apenas com o nome de taxa de desconto , por ser este o método consagrado pelo mercado nas operações de desconto de títulos comerciais. A taxa de juros i (taxa de desconto “por dentro”, ou racional) é mais conhecida como taxa de rentabilidade. Tanto a taxa de desconto por dentro, quanto à taxa de desconto por fora são valores que não correspondem a “verdadeira” taxa de uros (taxa efetiva) da operação, pelo fato do regime de juros simples ser conceitualmente incorreto, na medida e m que só r emunera o capital inicial (principal) aplicad o. O valor nominal de um título (valor de resgate) descontado a juros simples (desconto comercial) representa o valor que será creditado na conta-corrente do investidor. Esse é o valor presente do título. Para conhecer a taxa efetiva de desconto da operação é preciso comparar o valor presente do título com o seu valor nominal, por meio do cálculo da taxa interna de retorno, que é feita a juros compostos. A HP-12C dispõe de funções especiais para realizar cálculos no regime de juros simples. Entretanto, o s exemplos deste cap ítulo for am desenvolvidos sem o uso dessas oper ações especiais da calculadora, pois as fórmulas e expressões de juros simples são de fácil solução com as operações convencionais de qualquer calculador a.
3.8 Problemas Propostos
Considere em todos os problemas o ano comercial com 360 dias .
1. Calcule o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a partir da aplicação de um principal de $10.000,00, com uma taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros simples. 2. Um título com valor de resgate de $1.000,00, com 80 dias a decorrer até seu vencimento, está sendo nego ciado a jur os sim ples, com uma tax a de desconto “por for a” de 15% ao ano. Calc ule: a) o valor do pr incipal desse título; b) o valor do desconto simples; e c) a rentabilidade mensal desse título, até seu vencimento. 3. Imagine qu e o título do Pro blema 2 seja ve ndido com a g arantia de recompr a num prazo de três dias, e que nessa operação de três dias seja assegurada uma rentabilidade de 1,2% ao mês. Calcule: a) o valor do título por ocasião da r ecompra; e b) a rentabilidade men sal e a taxa de desconto anual (“por for a”) desse título para o seu prazo r emanescente de 77 dias a decor rer até seu vencimento. 4. Um investidor aplicou um principal de $1.000,00 para receber um montante de $1.300,00 no prazo de 36 meses. Calcule, no r egime de j uro s simples: a)a rentab ilidade trimestral do investidor ; e b) a taxa de descont o mensal (“por for a”) que cor responde à r entabilidade do item a. 5. Um banco comercial empresta $15.000,00 a um cliente, pelo prazo de três meses, com uma taxa de 1% ao mês, juro s simples, cobrado s antecipadamente. Dessa for ma, o valo r líquido liberado pelo banco é de $14.550,00, e o cliente deve pagar os $15.000,00 no final do 3ª mês. Além diss o, o banco exige um saldo médio de $1. 500,00 ao long o de todo o prazo do empr éstimo. Calcule a taxa de rentab ilidade mensal do banco nessa operação, a juro s simples. 6. Uma empresa deseja descontar títulos num banco comercial que opera com uma taxa de desconto comer cial de 1% ao mês, jur os simples. O primeir o título tem um va lor de $10.000,00 e vencimento no prazo de 90 dias. O segundo título tem um valor de $10.000,00 e vencimento no prazo de 180 dias. Calcule o valo r a ser creditado pelo banco na conta dessa empresa, pelo desconto desses títulos. 7. Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de $10.000,00, com uma taxa de 1,2% ao mês (desconto “por dentro ”), juro s simples, que p ode ser liquidado no final de cad a mês. Decor ridos três meses, e ssa empresa resolve liquidar esse emprést imo co m recursos o btidos, no mesmo banco, por meio de um novo empr éstimo, co m uma taxa de 1% ao mês, també m a juro s simples. Decor ridos alguns meses, a emp resa decide liquid ar o segundo empréstimo e verifica que o total de juros acumulados nos dois empréstimos é de $981,60. Calcule: a) o valor do segundo empréstimo suficiente para liquidar o primeiro; b) o valor do pagament o final para liquidar o segundo empréstimo; c) o prazo do segundo empréstimo; e d) a taxa média mensal, a juros simples, paga pela empresa, considerando os dois empréstimo s em conjunto. 8. Um investidor deposita uma determinada importância numa instituição financeira. No final de quatro meses, ao encerrar sua conta, verifica que o montante acumulado até aquela data totaliza $10.480,00. Esse mesmo valor é então depositado em outra instituição financeira, por um prazo de cinco meses. No final desse período, o montante acumulado na segunda instituição é igual a $11.108,80. Sabendo-se que as duas instituições operam com juros simples e remuneram seus depósitos com a mesma taxa, calcule: a) a taxa mensal de juros simples das duas instituições; e b) o valor do depósito inicial na prim eira instit uição.
CA PÍT ULO 4
Juros Compostos – Capitalização e Desconto 4.1 Introdução O objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas básicas de juros compostos e mostrar suas aplicações p or meio de exemp los numérico s. O entendimento do co nceito de juro s com postos é muito impor tante, uma vez que esse é o sistema indicado para efetu ar análises e transform ações de fluxos de caixa de for ma conceitu almente cor reta. Inicialmente, apresentaremos o problema da capitalização composta, que trata da valorização do dinheiro ao longo do tempo. Em seguida, apresentaremos o problema inverso, ou seja, o da diminuição das grandezas futuras, na medida em que são trazidas para o valor presente, mediante as oper ações de de sconto composto. Nos dois casos, os estudos incluem deduções de fórmulas genéricas e suas aplicações em exemplos numéricos, cujas soluções são apresentadas pelo Simulador da HP-12C. 1
4.2 Capitalização e Desconto “Por Dentro”, ou Racional No regime de juros compostos, os juros de cada período, quando não são pagos no final do período, devem ser somados ao capital e, conseque ntemente, também passam a r ender juro s. A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e, como ele acontece no regime de juros compostos, co stuma ser chamado de capitalização composta .
4.2.1 Dedução Da Express ão Genérica Para Capitalização Composta A expressão genérica do valor futuro (FV), no regime de juros compostos, em função dos parâmetros n, i e PV, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir, que obedece à simbolo gia desenvolvida no Capít ulo 1.
FIGURA 4.1 Capitalização composta: taxa de juros i — desconto “por dentro”
No regime de juros compostos, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de uros i sobr e o capital aplica do no início do perío do de capitalização. Assim, temos: a) no 1 o perío do de capita lização (n = 1)
capital no início do período =
PV
juros do período
=
PV × i
capital no final do período
=
FV = PV + PV × i = PV (1 + i)
b) no 2 o perí odo de capitalização (n = 2) capital no início do período =
PV (1 + i)
juros do período
=
PV (1 + i) × i
capital no final do período
=
FV = PV (1 + i) + PV (1 + i) × i =
=
PV (1 + i) × (1 + i)
e por tanto:
c) no 3 o perío do de capita lização (n = 3) A expressão para o valor futuro FV, ou montante, no final do 3 o perío do de capit alização pode ser deduzida de for ma análoga, e toma o seguinte aspecto:
d) no enésimo per íodo de capitalização A expressão genérica do valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de um principal PV durante n perío dos de capit alização, com uma taxa d e juro s i por período, no regime de ju ro s compostos é:
(4.1)
em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir co m a unidade referencial de tempo utilizad a para definir o número de perí odos n. A Expressão Genérica (4.1) pode ser verificada utilizando-se os valores obtidos no exemplo da Seção 2.3.1.1, do Capítulo 2. Obser ve na Tabela 2.2 que o m ontante FV encontrado através da fó rmula acima cor responde ao Saldo no fi nal de cada ano após o pagamento.
4.2.2 Desconto “Por Dentro”, Ou Racional A taxa de desconto i (por dentro, ou racional) é usualmente denominada taxa de desconto e é muito utilizada pe lo m ercado financeiro . Pela Expressão Genérica (4. 1), podemos o bter a seguinte relação:
(4.2)
que for nece o valor do pr incipal PV a partir de FV, em função dos parâmetro s n e i. O valor do desconto “por dentro” (D d ), ou racional, expresso em $, é obtido pela aplicação da
Expressão Genérica para desconto co mbinada com a Relação (4.2), isto é:
(4.3)
4.2.3 Dado PV, Achar FV O problema envolvendo o cálculo do valor futuro FV a partir do valor presente PV consiste na solução da Expressão Genérica (4.1), em que a relação (1 + i) n precisa ser calculada para os parâmetros i e n. A expressão (1 + i) n pode ser calculada para qualq uer valor de i e de n, com a utilização da HP-12C ou do Excel, e os cálculos são apresentados no Simulador da HP-12C, que toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de problema do tipo “dado PV, achar FV”:
Além do que já fo i apr esentado nos capítulos anterior es a r espeito da for ma adequada de utilização do Simulador, da planilha Excel e da calculadora HP-12C, especialmente na Seção 1.7.3, deve-se destacar os seguintes pontos: a) a célula do parâmetro FV está em destaque para indicar que esse parâmetro é que está sendo calculado e o r esultado da oper ação ser á mo strado nessa célula em dest aque; b) se a o peração é r ealizada com a HP-1 2C, a tecla corr espondente ao parâmetro FV deve ser a última a ser pr essionada, p ara acionar o cálculo desse parâmetro; c) se a o peração é realizada com a Planilha E xcel, essa cé lula em desta que corr esponde à célula onde são inseridos o sinal de igual (=) e a função financeira FV.
4.2.3.1 Exemplo Numérico Calcule o valor acumulado no final de seis anos, no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva 2 de 10% ao ano, a partir de um investimento inicial (principal) de $1.000,00. Solução:
n = 6 anos;i = 10% ao ano; PV = $1.000,00; PMT = $0,00; FV = ? Os dados deste problema têm a seguinte apresentação:
que for nece $1.771,56 para o r esultado do valo r futuro (FV), no final do 6 o ano. Observar que o valor de PMT fo i r egistrado como zero, por não fazer parte do problema, e que o valor de PV foi inserido com o sinal negativo (investimento). O pagamento FV aparece com o sinal
positivo.
4.2.4 Dado FV, Achar PV O problema envolvendo o cálculo do valor presente PV a partir do valor futuro FV consiste na solução da Expressão Genérica (4.2), em que a relação [1/(1 + i) n] precisa ser calculada para os parâmetros i e n. A expressão [1/(1 + i) n] pode ser calculada, para qualquer valor de i e de n, com a HP-12C ou com a Planilha E xcel, e os cálculos serão aqui apresent ados com o Simulador da HP-12C. Veja abaixo a apresentaç ão do Simulador quando aplicado na so lução de pro blemas do tipo “dado FV, achar PV”:
Aqui o leitor deve estar atento aos mesmos pontos levantados no caso de “dado PV, achar FV”, item 4.2.3, mas deve o bservar que a célula em destaque, nesse caso , é PV.
4.2.4.1 Exemplos Numéricos 1. Calcule o valor do investimento inicial (pr incipal) q ue deve ser r ealizado no regime de juro s compostos, com uma taxa efetiva de 1% ao mês, para pr oduzir um mo ntante acumulad o de $1.000,00 no final de 12 meses. Calcule o valor do desconto “por dentro ”, expresso em $. Solução:
n = 12 meses; i = 1% ao mês;FV = $1.000,00; PMT = $0,00; PV = ?; Dd = ? a) cálculo do valor presente Devemos pr eencher os dados acima no Simulador da HP-12C:
que for necerá $887,45 para o valor presente (PV). b) desconto “por dentro”, em $ O valor do desconto “por dentro”, expresso em $, é obtido pela R elação (4. 3), confor me indicado a seguir:
2. O mo ntante de $1.000,00, colo cado no final do 4o mês do diagr ama indicad o a seguir, deve se r capitalizado e descont ado com a taxa de 1% ao mês, no r egime de jur os co mpostos.
FIGURA 4.2
Calcule: a) o valor acumulado no final do 7 o mês, pel a capitalização do montante de $1.000,00 indicado no diagrama; b) o valor que deve ser investido no fi nal do 1 o mês, par a se obter o montante de $1.000,00 indicado no diagrama. Solução:
a) montante no final do 7 o mês A solução deste problema po de ser visualizada no diagr ama a seguir, que enqu adra o pro blema no Diagrama Padrão apresentado no Capít ulo 1.
FIGURA 4.3
Assim, o valor de $1.000,00 fica colo cado no ponto zero da nova escala de tempo, e deve ser tratado como um valor presente PV, que precisa ser capitalizado três meses para atingir o final do 7 o mês. Preenchendo os dados no Simulador da HP-12C:
obteremos $1.030,30 para o valor futuro (FV), no final do 7 o mês. b) principal no final do 1 o mês Nesse caso, para enquadrarmos o problema no Diagrama Padrão, precisaremos colocar o valor PV (a ser determinado) no ponto zero da nova escala de t empo, confor me indicado a seguir:
FIGURA 4.4
Assim, o valor de $1.000,00 fica colocado no ponto 3 da nova escala de tempo, e deve ser tratado como um valor futuro FV, que precisa ser descontado três meses para atingir o final do 1 o mês. Preenchendo os dados no Simulador da HP-12C:
obteremos $970,59 para o principal, ou seja, para o valor presente (PV).
4.3 Desconto “Por Fora” 4.3.1 Dedução Da Express ão Genérica A Expressão Genérica do valor do desconto “por fora”, no regime de juros compostos, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir, que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.
FIGURA 4.5 Desconto composto: taxa de desconto d — “por fora”
No r egime jur osdo, cosobr mpostos, os descontos cada p erío pela aplica çãotemos: da taxa de desconto e o capital exist entedeno início do do persão íodoobtidos de desconto. Assim, d pordeperío a) no 1 o perío do de descont o (n = 1) capital no início do período =
FV
desconto do período
=
FV × d
capital no final do período
=
PV = FV – FV × d = FV (1 – d)
b) no 2 o perío do de descont o (n = 2)
capital no início do período =
FV (1 – d)
juros do período
=
FV (1 – d ) × d
capital no final do período
=
PV = FV (1 – d) – FV (1 – d) × d =
=
FV (1 – d) × (1 – d)
e, por tanto,
A expressão para o valor presente PV, no final do 3
o
período de desconto, pode ser deduzida de
for ma análoga:
c) no enésimo perí odo de descont o A Expressão Genérica do valor presente PV, ou principal, resultante do desconto de um valor fututo FV, durante n per íodos, co m uma taxa de desconto d por perío do, no regime de ju ro s compostos, é:
(4.4)
O valor do desconto “por for a” (D f), expresso em $, é o btido pela aplicação da Ex pressão G eral para desconto, combinada com a Expressão (4.4 ):
(4.5)
4.3.2 Exem plo Numérico Um título com o valor de $10.000,00, com 60 dias para seu vencimento, é descontado no regime de uro s compostos, com uma taxa de desconto “por for a” igual a 1,2% ao mês. Calcule o valor presente do título e o valor do descont o co mposto, expresso em $. Solução:
n =60 dias = 2 meses; i = 1,2% ao mês; FV = $10.000,00; PMT = $0,00; PV = ?; Df = ? a) valor presente do título O valor presente do título é obtido pela Re lação (4.4), confor me indicado a seguir :
b) valor do desconto “por fora”, em $ O valor do descont o co mposto, “por for a”, é obtido pela Relaç ão (4.5), confor me indicad o a
seguir:
4.4 Problemas Resolvidos 1. Calcule o valor acumulado no final de 24 mese s, com jur os co mpostos de 1% ao mês, a partir de um investimento inicial (principal) de $2.000,00. Solução:
n = 24 meses; i = 1% ao mês; PMT = $0,00; PV = $2.000,00; FV = ? Os dados do pro blema têm a seguinte apresent ação no Simulador da HP-12C:
que for nece $2.539,47 para o valor futuro (FV), no fi nal do 24 o mês. 2. Calcule o valor do investimento inicial (pr incipal) q ue deve ser r ealizado no regime de juro s compostos, com uma taxa efetiva de 1,25% ao mês, para pr oduzir um valor acumulado de $1.000,00 no final de dois anos. Solução:
n = 2 anos = 24 meses; i = 1,25% ao mês; FV = $1.000,00; PMT = $0,00; PV = ? Os dados do pro blema têm a seguinte apresent ação no Simulador da HP-12C:
que fornece $742,20 para o valor presente (PV). 4. Um banco co mercial realiza suas oper ações de crédito com uma taxa de juros de 1,00% ao mês, ou seja, 6,00% ao semestre. Entretanto, o s jur os são pag os antecipadamente, por ocasião da liberação dos r ecursos. A ssim, para cada $1. 000,00 de empréstimo, a ser liquidado no pr azo de seis meses, esse banco libera um principal de $940,00. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nessas operações, no regime de juros compostos. Solução:
n = 6 meses; FV = $1.000,00; PV = $940,00; PMT = $0,00; i = ? (ao mês) Os dados do pro blema têm a seguinte apresent ação no Simulador da HP-12C:
que for nece 1,03659% ao mês para a taxa de juros i. 5. Calcule as taxas efet ivas mensal e di ária de um título de r enda fixa que tem uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos. Solução:
a) taxa mensal efetiva Em um ano, co m uma taxa de 10% ao ano , $100,00 se transfor mam em $110,00. A taxa mensal procurada é aquela que faz $100,00 se transformar em $110,00 no prazo de 12 meses. Assim temos: n = 12 meses FV = $110,00; PV = $100,00; PMT = $0,00; i = ? (ao mês) Os dados do pro blema têm a seg uinte apresenta ção no Simulador da HP-12C
que fornece 0,797414% para a rentabilidade mensal desse título. b) taxa diária efetiva A taxa diária procurada é aquela que faz $100,00 se transformar em $110,00 no prazo de 360 dias (ano comer cial). Assim temos: n = 360 dias; FV = $110,00; PV = $100,00; PMT = $0,00; i = ? (ao dia) Os dados do pro blema têm a seg uinte apresenta ção:
que fornece 0,0264786% para a rentabilidade diária desse título. 6. Um certificado de depósito bancário tem um valor de resgate de $10.000,00 e um prazo de 90 dias a decorrer atéefetiva seu vencimento. Calcule o valor a seroaplicado papel parao que de co m remuneração seja d e 10% ao ano. Realizar s cálculosnesse considerando ano sua co taxa mercial 360 dias. Solução:
a) obtendo a taxa diária equivalente a 10% ao ano Cálculo da taxa diária: n = 360 dias; PV = $100,00; FV = $110,00; PMT = $0,00; i = ? (% ao dia) Os dados do pro blema têm a seg uinte apresenta ção:
que fornece a taxa diária de 0,0264786%. Cálculo do valor de aplicação: n = 90 dias; i = 0,0264786% ao dia; FV = $10.000,00; PMT = $0,00; PV = ? Os dados do pro blema têm a seg uinte apresent ação:
que for nece o r esultado de PV = $9.764,54. b) trabalhan do co m n fracionário Nesta soluçã o, vamos transfor mar os 90 dias em fr ação de ano e trabalhar com a taxa de 10% ao ano. Esta solução só é possível porque a HP-12C e a Planilha Excel operam com o valor de n fracionário. Certifique-se de que a calculadora HP-12C apresenta a letra C no visor (acione as teclas S TO e EEX), para que ela opere a j uro s compostos na parte fracionária de n. n = 90 dias = 90/360 = 0,25 ano; i = 10% a. a.; FV = $10.000,00; PMT = $0,00; PV = ? Os dados do pro blema têm a seg uinte apresenta ção:
que fornece o resultado de PV = $9.764,54, idêntico ao anterior. 7. Uma debênture tem um valor de resgate de $10.000,00 e um prazo de dois anos e três meses a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor a ser aplicado nesse papel para que sua taxa de remuneração efetiva seja d e 12% ao ano. Realizar o s cálculos no r egime de juro s compostos, assumindo o ano comer cial com 360 dias. Solução: Com a HP-12C apresentando a letra C no visor:
Neste caso todos os cálculos da HP -12C são feitos a juro s compo stos, tanto para a par te inteira de n como para sua parte fr acionária. Com a letra C no visor, a HP-12C e a Pla nilha Excel oper am da mesma for ma, e os r esultados obtidos são idênt icos. n = 2 anos e 3 meses = 2,25 anos; i = 12% ao ano; FV = $10.000,00; PMT = $0,00; PV = ? Os dados do pro blema têm a seg uinte apresent ação:
que for nece o r esultado de PV = $7.749,25. Ao se repetirem as mesmas operações com a HP-12C, sem a letra C no visor, o resultado obtido é igual a $7.739,75, que corresponde ao seguinte: cálculo a juro s compostos na parte int eira de n (2 anos); cálculo a juros simples na parte fracionária de n (0,25 ano). Para confirmarmos essa situação, vamos inicialmente calcular o valor do papel, a juros compostos, com dois anos a decorrer até o vencimento. Certifique-se de que a letra C esteja indicada no visor, para que o cálcu lo seja r ealizado a juros com postos:
Vamos ag or a descontar este valor (PV = $7.971,94) por três meses, a juro s simples de 12% ao ano:
resultado que coincide com o calculado sem a letra C no visor, confir mando o que foi enunciado.
4.5 Resumo Neste capítulo, desenvolvemos as principais fórmulas do regime de juros compostos, bem como ilustramos suas aplica ções em diversos pro blemas do mer cado. A Expressão Genérica (4.1 ), que define o crescimento do dinheiro ao lo ngo do tempo com o sendo a exponencial (1 +i) n, é a equação fundamental do regime de juros compostos. Todas as demais fórmulas desenvolvidas no livro, para esse regime de juros, são obtidas a partir dessa expressão genérica. A taxa de desconto i (“por dentro”, ou racional), no regime de juros compostos, é usualmente denominada taxa de desconto . Já a taxa de desconto d (“por fora”, ou comercial) praticamente não é utilizada pelo mer cado nesse reg ime de juros.
4.6 Problemas Propostos Considere em todos os problemas o ano comercial com meses de 30 dias.
1. Calcule o montante acumulado em seis trimestres, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos, a partir de um pr incipal de $10.000,00.
2. Calcule o principal que deve ser investido para produzir um montante de $20.000,00, num prazo de dois anos, com uma ta xa de 12% ao semest re, no reg ime de juro s compostos. 3. Um investidor aplico u $10.000,00 para receber $11.200,00 no prazo de um ano. Calcule a ta xa de rentabilidade mensa l desse inve stidor, no regime de jur os co mpostos. 4. Calcule o número de meses nece ssário s para se fazer um capital triplicar de valor, com uma taxa de 1% ao mês, no reg ime de juros com postos. 5. Um investidor deseja faz er uma aplicaç ão financeira a jur os co mpostos de 1,5% ao mês, de for ma a garantir uma retirada de $10.000,00 no final do 6 o mês e o utra de $20.000,00 no final do 12o mês, a contar da data da ap licação. Calcule o menor valor que deve ser investido par a permitir a retir ada desses valores no s meses indicad os. 6. Uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de $10.000,00 vencida há três meses, e ainda antecipar o pagamento de outra de $50.000,00 com cinco meses a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor do pagamento a ser feito de imediat o pela empr esa para liquidar essas duas not as pro missór ias, levando em consideração uma tax a de 1,2% ao mês, juro s compostos, e considerando os meses com 30 dias. 7. Um banco de investimen to que opera com juro s compo stos de 1% ao m ês está negociando um empréstimo com uma empresa que pode liquidá-lo com um único pagamento de $106.152,02, no final do 6 o mês, a contar da assinatura do contrato. Calcule o valor que deve ser abatido do principal desse empréstimo, no ato da contrata ção, para que esse pagament o seja limitado em $90.000,00, e para que a taxa de 1% ao mês sej a mantida. 8. Calcule o valor de uma aplicação financeira que produz um valor de resgate de $10.000,00 ao final de 21 d ias, com uma taxa d e 1,5% ao mês, no r egime de jur os co mpostos. 9. Calcule o valor de resgate de uma aplicação financeira de $10.000,00, realizada no regime de juros compostos, com uma taxa de 15% ao ano, pelo prazo de 18 dias. 10. Um investidor tem uma poupança de $100. 000,00 aplicada num banco que lhe gar ante uma remuneração de 0,8% ao mês para os pr óximo s três meses, e lhe são of erecidas as seguint es alternativas de investimentos: a) aplicação de um valor máximo de $50.000,00, a uma taxa de 1,5% ao mês, por um prazo de três meses; b) aplicação de um valor mínimo de $100.000,00, a uma taxa de 1,0% ao mês, por um prazo de três meses. 1 2
Consulte o Capítulo 1, item 1.7.3, para informações sobre o Simulador da HP-12C.
Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Mais informações no Capítulo 5, Seção 5.2.
CA PÍT ULO 5
Taxa de Juros 5.1 Introdução Neste capítulo apresentaremos as diferentes denominações das taxas de juros utilizadas pelo mercado financeiro, os seus conceitos e as suas principais utilizações. Vamos mostrar também como adequálas às condições padronizadas pela HP-12C e pelo Excel, já que os problemas práticos e situações cotidianas nem sempre satisfazem às condições de semelhança das unidades de tempo das taxas de uro s e dos perío dos de capitalização.
5.2 Taxa Efetiva Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas: 2% ao mês, capitalizados mensalmente; 3% ao tr imestre, capit alizados trimestralmente; 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; 10% ao ano, capitalizados anualmente. Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano. A taxa efetiva é a taxa utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções financeiras das planilhas eletrônicas.
5.3 Taxas Proporcionais — Juros Simples 5.3.1 Conceito Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no f inal daquele prazo, no r egime de juro s simples.
5.3.2 Exem plo Numérico Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de $100,00, no regime de juro s simples, com as seguint es taxas de juro s: a) 12% ao ano; b) 6% ao semestre; c) 1% aomês.
Solução:
Usando a expressão genérica do crescimento do dinheiro no regime de juros simples (Relação 3.1), e considerando o valor do principal PV = $100,00, teremos as seguintes expressões, para cada taxa de juro s: a) i = 12% ao ano n = 4 anos FV = PV (1 + i × n) = 100,00 (1 + 12% × 4) = 100,00 (1 + 0,12 × 4)= $148,00 b) i = 6% ao semestre n = 4 anos = 8 semestres FV = PV (1 + i × n) = 100,00 (1 + 6% × 8) = 100,00 (1 + 0,06 × 8)= $148,00 c) i = 1% ao m ês n = 4 anos = 48 mes es FV = PV (1 + i × n) = 100,00 (1 + 1% × 48) = 100,00 (1 + 0,01 × 48)= $148,00 Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a $148,00, podemos concluir que as taxas de 12% ao ano, 6% ao semestre e 1% ao mês são proporcionais, pois produzem o mesmo montante ao serem aplicadas sobre o mesmo principal de $100,00, durante um mesmo prazo (4 anos = 8 semest res = 48 meses), no r egime de jur os sim ples.
5.3.3 Fórmulas Relacionando Taxas Proporcionais Inicialmente, vamos demonstrar a fórmula que relaciona as taxas proporcionais mensal (i (i a ). Para isso, consider emos as Figuras 5.1 e 5.2 indicada s a seguir :
FIGURA 5.1 Taxa Mensal — juros simples — crescimento linear
FIGURA 5.2 Taxa Anual — juros simples — crescimento linear
No regime de juros simples, a Figura 5.1 for nece:
) e anual
m
E a Figura 5.2 for nece:
(5.1)
(5.2) Para que essas taxas sejam proporcionais, é preciso que os montantes (FV) dos dois esquemas (Figuras 5.1 e 5.2) sejam iguais. Assim, podemos igualar as r elações (5. 1) e (5.2), o btendo:
e finalmente:
As demais expressões, relacionando a taxa anual (i a )com as taxas proporcionais semestral (i s), trimestral (i t) e diária (i d ), podem ser obtidas de maneira análoga. Se considerarmos o ano comercial (360 dias), as fór mulas que p ermi tem o cálculo dessas t axas propor cionais estã o a seguir indicadas:
(5.3)
5.3.4 Problema Resolvido 1. Calcule as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 24% ao ano. Solução:
Pela Relação (5.3) temos: a) taxa semestral
ou seja, 12% ao semestre; b) taxa mensal
ou seja, 2% ao mês; c) taxa diária
ou seja, 0,0667% ao dia.
5.4 Taxa s Equivalentes — Juros Com postos 5.4.1 Conceito Taxas equivalentes são taxas de juros utilizadas no r egime de j uro s compo stos, que, apesar de ser em fornecidas em unidades de tempo diferentes, levam a um mesmo montante acumulado, quando aplicadas a um mesmo principal durante u m mesmo prazo.
5.4.2 Exem plo Numérico Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de $100,00, no regime de juro s compostos, com as seguintes t axas de juro s: a) 12,6825% ao ano b) 6,1520% ao semestre c) 1,00% ao mês Solução:
Usando a Expressão Genérica do crescimento do dinheiro, no regime de juros compostos (Relação 4.1), e considerando o valor do principal PV = $100,00, teremos as seguintes expressões, para cada taxa de juros: a) taxa anual i = 12,6825% ao ano; n = 4 anos; FV = PV (1 + i)n = 100,00 (1 + 0,126825)4 = $100,00 × 1,6122 = $161,22 Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, confor me indicad o a seguir, através do Simulador da HP-12C:
A célula em destaque apresenta o valor de $161,22 obtido para FV, que coincide com o calculado através da Ex pressão Genérica. b) taxa semestral i = 6,1520% ao semestre; n = 4 anos = 8 semestres; FV = PV (1 + i)n = 100,00 (1 + 0,06152)8 = $100,00 × 1,6122 = $161,22 Podemos o bter esse mesmo valor através do Simulador da HP-12C:
A célula em destaque apresenta o valor de $161,22 obtido para FV, que coincide com o calculado através da Ex pressão Genérica. c) taxa mensal i = 1% ao mês ; n = 4 anos = 48 meses; FV = PV (1 + i)n = 100,00 (1 +0,01)48 = $100,00 × 1,6122 = $161,22 Podemos o bter esse mesmo valor através do Simulador da HP-12C:
A célula em destaque mostra o valor de $161,22 obtido para FV, que coincide com o calculado através da ex pressão genérica. Como o montante obtido no final de quatro anos é o mesmo ($161,22), podemos concluir que as taxas de 12,6825% ao ano, 61520% ao semestre e 1% ao mês são taxas equivalentes.
5.4.3 Fórmulas Relacionando Taxas Equivalentes Inicialment e, vamos demo nstrar a fó rmula que relacio na as taxas equivalen tes mensal (i m) e anual (i a ). Para isso, consideremo s os esquema s indicados a seguir : No reg ime de juros co mpostos, o esque ma da Figura 5.3 fornece:
(5.4)
FIGURA 5.3 Taxa Mensal — juros compostos — crescimento exponencial
E a Figura 5.4 for nece:
(5.5)
FIGURA 5.4 Taxa Anual — juros compostos — crescimento exponencial
Para que essas taxas sejam equivalentes, é preciso que os montantes (FV) dos dois esquemas sejam iguais. Assim, podemos igualar as r elações (5. 4) e (5.5), o btendo:
As demais expressões, relacionando a taxa anual com as taxas equivalentes semestral, trimestral e diária, podem ser obtidas de maneira análoga. Se considerarmos o ano comercial (360 dias), as fór mulas que permitem o cálculo dessas tax as equivalentes estão a seguir indicadas:
(5.6)
5.4.4 Problema Resolvido 1. Calcule as taxas anua l e semestr al que são equivalentes à taxa de 3% ao tr imestr e. Solução:
Utilizar emos a Relação (5. 6) para a so lução dos pr oblemas: a) taxa anual
e então:
ou seja, 12,5509% ao ano. Podemos obter esse mesmo valor com a utilizaçã o do Simulador da HP -12C
A célula em destaque apresenta o valor de $112,5509 obtido para FV, que, em relação ao valor principal de $100,00, indica uma taxa de juros de 12,5509% ao ano; b) taxa semestral
e então:
ou seja, 6,09% ao semestre. Podemos obter esse mesmo valor com a utilizaçã o do Simulador da HP -12C
A célula em destaque apresenta o valor de $106,0900 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de juros de 6,09% ao semestre.
5.5 Taxa Nominal 5.5.1 Conceito Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais: 12% ao ano, capitalizados mensalmente; 24% ao ano, capitalizados semestralmente; 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; 18% ao ano, capitalizados diariamente. A taxa nominal não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos.
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma propor cional, n o r egime de juros simples . A taxa efetiva anual será sempre maior que a taxa nominal, para períodos de capitalização inferio res a um ano, em função dos jur os acumulados a cada ca pitalização. A taxa nominal aqui citada é a taxa utilizada na Tabela Price ( Seção 5.5.4) bastante conhecida no mercado financeiro.
5.5.2 Fórmulas Vamos, inicialmente, assumir o ano comercial com 360 dias e as seguintes simbologias e denominações: iiN == taxa taxa semestral de jur os noefetiva minal implíci anual ( ta em(em % a.a.); % a.s.); s it = taxa trim estral ef etiva implíci ta (em % a.t.); im = taxa mensal efetiva implí cita (em % a.m.); id = taxa diár ia efetiva implí cita (em % a.d.). As taxas efetivas, que estão implícitas nas taxas nominais anuais, são obtidas em função do número de perío dos de capitalizaç ão da taxa nominal, pelas expressões relacio nadas na Tabela 5.1 :
Tabela 5.1 Taxas efetivas
Nos exemplos citados no item 5.5.1, as taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das taxas nominais são as seguinte s: 12% ao ano, capitalizados mensalmente:
24% ao ano, capitalizados semestralmente:
10% ao ano, capitalizados trimestralmente:
18% ao ano, capitalizados diariamente:
Devemos, então, abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cálculos financeiros com os valores das taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1% ao mês, 12% ao semestre, 2,50% ao trimestre e 0,0 50% ao dia, no reg ime de juros co mpostos. Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida no regime de juros simples, dividindo-se o valor da taxa anual pelo número de períodos de capitalização contidos em um ano.
5.5.3 Problemas Resolvidos 1. Calcule as taxas efet ivas anuais que são equival entes a uma taxa nomi nal de 9% ao ano, co m os seguintes períodos de capitalização: a) mensal; b) trimestral; e c) semestral. Solução:
a) capitalização m ensal — taxa efetiva mensal:
Para calcular a taxa efetiva anual, utilizaremos a relação 5.6:
ou seja, 9,3807% ao ano. Podemos o bter esse mesmo valo r com a HP-12C, ou co m o Excel. Isso está apresent ado no Simulador, conforme a seguir:
A célula em destaque apresenta o valor de $109,3807 obtido para FV, que, em relação ao valor principal de $100,00, indica uma taxa de juros de 9,3807% ao ano; b) capitalização trimestral — taxa efetiva trimestral:
Pela Relação (5.6) te mos:
ou seja, 9,3083% ao ano. Podemos o bter esse mesmo valor utilizando o Simulador da HP-1 2C
A célula em destaque apresenta o valor de $109,3083 obtido para FV, que, em relação ao valor principal de $100,00, indica uma taxa de 9 ,3083% ao ano ; c) capitalização semestral — taxa efetiva semestral:
Pela Relação (5.6) te mos:
ou seja, 9,2025% ao ano. Podemos o bter esse mesmo valor utilizando o Simulador da HP-1 2C
A célula em destaque apresenta o valor de $109,2025 obtido para FV, que em relação ao valor principal de $100,00, indica uma taxa de juros de 9,2025% ao ano. Sugerimos que o leitor refaça os cálculos desse problema para as taxas nominais de 12% a.a., 24% a.a. e 36% a.a. e confira os resultados com os valores indicados na Tabela 5.2.
Tabela 5.2 Taxas efetivas anuais
Obs: Valores com aproximação de duas casas decimais
Ao analisarmos os valores da Tabela 5.2, podemos tir ar as seguintes conclusões: a) a taxa efe tiva anual é sempre maio r do que a taxa n ominal anual cor respondent e, a não ser no caso de capitalização anual, quando as taxas são iguais; b) a difer ença entre essas duas taxas aument a quando: aumenta o númer o de perí odos de capitalização; aumenta o valor da taxa nominal. 2. Calcule a taxa efetiva tri mestral que é equivalente a u ma taxa nominal de 15% ao ano , capitalizados mensalmente. Solução:
Taxa nominal:
capitalização m ensal — taxa efetiva mensal:
Para calcular a taxa efetiva trimestral , devemos utilizar a r elação 5.6:
ou seja, 3,7971 % ao trimestre. Podemos o bter esse mesmo r esultado com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valor es indicad os a seguir:
A célula em destaque apresenta o valor de $103,7971 obtido para FV, que, em relação ao valor principal de $100,00, indica uma taxa de juros de 3,7971% ao trimestre. 3. Calcule o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar $1.000,00 à taxa de 9% ao ano, capitalizados mensalmente. Solução:
Taxa nominal:
capitalização m ensal — taxa efetiva mensal:
Podemos resolver este problema de duas maneiras, conforme mostrado a seguir: a) transfor mando o ano em meses: PV = $1.000,00; n = 2 anos = 24 meses; im = 0,75% ao mês O montante acumulado (FV) pode ser assim obtido:
FV
= PV (1 + i
) 24 = 1.000,00 (1 + 0,75%)
m
24
= 1.000,00 (1, 0075) 24 =
= 1.000,00 × 1,196414 = $1.196,41
Podemos obter este mesmo resultado com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:
A célula em destaque apresenta o valor de $1.196,41 obtido para FV, que coincide com o calculado através da Ex pressão Genérica. b) transformando a taxa mensal na taxa anual equivalente: Pela Relação (5.6) te mos:
ou seja, 9,3807% ao ano. Temos então os seguintes dados: PV = $1.000,00;n = 2anos ; ia = 9,3807% ao ano O valor de FV pode ser assim o btido: FV
= PV (1 + i a) 2 = 1.000,00 (1 + 9,3807%)
2
= 1.000,00 (1, 093807) 2 =
= 1.000,00 × 1,196414 = $1.196,41
Podemos obter esse mesmo resultado com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir:
A célula em destaque apresenta o valor de $1.196,41 obtido para FV, que coincide com o calculado através da Ex pressão Genérica.
5.5.4 Tabela Price A Tabela Price, que tem grande aceitação no mercado, é utilizada principalmente para calcular o valor das prestações de financiamentos imobiliários. Sua grande característica consiste em ter a taxa
nominal como elemento de entrada para obtenção dos fatores. Entretanto, os fatores são calculados com a taxa efetiva decorrente da taxa nominal, em função do número de períodos de capitalização. Assim, por exemplo, uma Tabela Price de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, tem as seguintes características: a) a taxa de entrada, para a obtenção dos fatores, é de 12% ao ano, capitalizados mensalmente; b) os perí odos dessa ta bela corr espondem a meses; c) a taxa utilizada no cálculo dos fatores é a taxa efetiva de 1% ao mês. Assim, conforme já colocado na Seção 5.5.1, uma Tabela Price de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, corresponde a uma tabela de 1% ao mês, que representa, em termos anuais equivalentes, uma taxa efetiva de 12,68% ao ano. Em função disso, o tomador do financiamento deverá ficar atento, poi s a taxa efetiva anual do empréstimo é maior que a taxa infor mada pela T abela Price.
5.6 Taxas Proporcionais versus Taxas Equivalentes Veja como o exemplo abaixo ilustra a difer ença entre as taxas propo rcio nais e equivalen tes, obtidas, respectivamente, no reg ime de juro s simples e compostos.
5.6.1 Exem plo Numérico Uma instituição financeira remunera suas aplicações com juros simples de 1,50% a.m., em todas as oper ações, com pr azos de até 45 dias. Considere três aplicações finan ceiras co m os seguintes prazo s: a) 15 dias; b) 30 dias; e c) 45 dias. Calcule qual das três aplicações te m a m aior taxa efetiva mensal, no r egime de jur os co mpostos. Solução:
a)juros operação co m 15 d ias simples —prazo taxasde proporcionais Obtenção do valor de resgate de uma aplicação de $100,00:
n = 15 dias Valor de aplicação =
PV = $100,00
Valor de resgate
FV = $100,00 (1 + 0,0005 × 15) = $100,75
=
juros compostos — taxas equivalentes PV = $100,00; FV = $100,75; n = 15 dias Obtenção da taxa diária:
e então:
que for nece:
Obtenção da taxa efetiva mensal equivalente, com o auxíl io da Relação (5.6):
e então:
Podemos o bter esse mesmo valo r para a taxa mensa l efetiva com a HP-12 C, ou com o Excel. Sejam os valores: PV = $100,00;FV = $100,75; n=15 dias = 15/30 = 0,5 mês
A célula em destaque apresenta o valor de 1,5056 obtido para a taxa i, que coincide com o calculado através da Expressão Genérica. Observar que a taxa obtida já é a taxa mensal efetiva, pois o prazo da operação foi fo rnecid o em fr ação de mês; b) operação co m prazo de 30 dias Nas operações com prazo de 30 dias, a taxa de 1,50% ao mês, a juros simples, é idêntica à taxa mensal efetiva, a juro s compostos; c) operação co m prazo de 45 d ias juros simples — taxas proporcionais Obtenção do valor de resgate de uma aplicação de $100,00:
n = 45 dias Valor de aplicação =
PV = $100,00
Valor de resgate
FV = 100,00 (1 + 0,0005 × 45) = $102,25
=
juros compostos — taxas equivalentes PV = $100,00;FV = $102,25; n = 45 dias Obtenção da taxa diária:
e então:
que for nece:
Obtenção da taxa efetiva mensal equivalente, com o auxíl io da Relação (5.6):
e então:
Podemos o bter esse mesmo valo r para a taxa mensa l efetiva com a HP-12 C, ou com o Excel. Sejam o s valo res: PV= $100,00; FV = $102,25; n = 45 dias = 45/30 = 1,5 mês.
A célula em destaque apresenta o valor de 1,4944 obtido para a taxa i, que coincide com o calculado através da Expressão Genérica. Observar que a taxa obtida já é a taxa mensal efetiva, pois o prazo da operação foi for necido em meses. A análise dos resultados deste exemplo numérico permite as seguintes conclusões, quando a taxa de juros simples for mensal: a) para pr azos de aplicaçã o infer ior es a 30 dias , a taxa efetiva mensal é sempre maior que a taxa mensal de juro s simples, e é t anto maio rquanto menor for o pr azo da aplicaç ão;
b) para prazos de aplicação iguais a 30 dias, a taxa efetiva mensal é igual à taxa mensal de juros simples; c) para pr azos de aplicação superio res a 30 dias, a ta xa efetiva mensal é sempre m enor que a taxa mensal de juro s simples, e é t anto menor quanto maior for o pr azo da aplicaç ão.
5.7 Outras Denominações 5.7.1 Taxa Bruta E Taxa Líquida Costuma-se denominar taxa bruta de uma aplicação financeira a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda e outro s impostos, que são retidos pela instit uição financeira. Por outro lado, denomina-se taxa líquida de uma aplicação financeira a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, já levando em conta o desconto do imposto de renda e de out ro s impostos.
5.7.2 Taxa Real E Taxa Nominal Estas duas denominações estão diretamente ligadas ao fenômeno da inflação. Costuma-se denominar taxa real a taxa de juros obtida após se eliminar o efeito da inflação, e taxa nominal a taxa de juros que inclui a inflação. Assim, a taxa nominal é sempre maior do que a taxa real. Esta taxa nomi nal não é a mesma ci tada nas Seções 5.5.1 e 5.5.4. A taxa aqui em questão está sempr e associada ao fenômeno da inflação e a uma taxa real de jur os. Para entender com detalhes o co nceito da taxa nominal aqui apr esentada, consulte a Seção 10.3. A influência da inflação na análise dos fluxos de caixa será tratada no Capítulo 10. Podemos, porém, antecipar que todos os conceitos da Matemática Financeira são aplicados, indistintamente, nos fluxos de caixa com valor es expressos em mo eda “fraca” (qu e perde o poder aquisitivo no tempo, em que há a presença da inflação) ou em moeda “forte” (que mantém o mesmo poder aquisitivo no tempo).
5.8 Resumo Neste capítulo, foram apresentadas diversas formas de informar e calcular taxas de juros. Destacamos os seguintes pontos: a taxa efetiva é a utilizad a nos cálculos financeiro s, a juro s compostos, pelas calculad or as financeiras e pelas funções financeiras das planilhas eletrônicas; a taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita em seu enunciado, que depende do número de períodos de capitalização. Essa taxa efetiva implícita deve ser utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos; essa é a taxa nominal utilizada na Tabela Price; taxas proporcionais são taxas de juro s que permitem o mesmo cr escimento do dinheiro , no reg ime de juros simples; taxas equivalentes são taxas de juro s que permitem o mesmo cr escimento do dinheiro , no reg ime de
juros compostos; taxa bruta e taxa líquida estão li gadas à quest ão do imposto de r enda e de outro s impostos;
taxa real e taxa nominal estão li gadas ao fenómeno da inflação; a taxa nominal aqui citada é a soma
das parcelas da taxa de juros real com a da taxa de inflação, e do produto entre essas duas taxas; mais detalhes no Capítulo 10, Seção 10.3.4.
5.9 Problemas Propostos Considere em todos os problemas o ano comercial com 360 dias .
1. Calcule as taxas mensal e diári a pro por cionais à taxa de 3, 6% ao tr imestre. 2. Calcule as taxas trimestral e anual proporcionais à taxa de 0,9% ao mês. 3. Calcule a taxa diária equivalente à taxa de 6% ao semestr e. 4. Calcule as taxas efetivas tri mestral e anual equivalentes à taxa de 1,05 % ao mês. 5. Calcule as taxas efet ivas anuais equivalentes às taxa s de 2,0% ao tr imestr e e 4% ao semestre. 6. Calcule a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 8,5% ao ano , capitalizados trimestralmente. 7. Calcule as taxas efet ivas tri mestral e anual equivalentes à t axa nomi nal de 11,4% ao ano , capitalizados mensalmente. 8. Calcule o montante acumulado no final de dois anos ao se aplicar um principal de $1.000,00 à taxa de 10,20% ao ano , capitalizados m ensalmente. 9. Uma instituição financeira r emunera suas aplicaç ões co m uma taxa de 1, 20% ao mês, no regime de juros simples. Calcule os valores de resgate e as taxas efetivas mensais de uma aplicação de $10.000,00, nas seguintes hipóteses para o prazo da operação: a) 10 dias e b) 60 dias. 10. Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa efetiva de 1,20% ao mês, no reg ime de juro s compo stos. Calcule os valo res de resgate e as ta xas mensais, a juro s simples, de uma aplicação de $10.000,00, nas seguintes hipóteses para o prazo da operação: a) 10 dias e b) 60 dias.
CA PÍT ULO 6
Série Uni forme — Prestações Iguais 6.1 Introdução O objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas usadas nas soluções de problemas envolvendo uma série uniforme de valores monetários (pagamentos ou recebimentos) e de mostrar suas aplicações p or meio de exemp los numérico s. Essa modalidade de prestações é usualmente conhecida como Modelo Price, no qual todas as prestações têm um mesmo valor, que gener icamente denominamos PMT. O fato de as prestações terem um mesmo valor permite a obtenção de fórmulas simplificadas para a capitalização e o desconto dessas parcelas. Essas fórmulas são deduzidas através da utilização da expressão para a soma de termos de uma progressão geométrica, conforme será mostrado no decor rer do capít ulo.
6.2 Dado PMT, Achar FV 6.2.1 Dedução Da Express ão Consideremos o seguinte fluxo de caixa:
FIGURA 6.1 Dado PMT, achar FV
Observe que a série uniforme PMT está de acordo com o Diagrama Padrão do Capítulo 1, que obedece à convenção de final de período, sendo portanto uma série postecipada . Essa mesma condição será válida pa ra todos o s outros casos apresentad os ao lo ngo do capítulo. O problema do tipo “dado PMT, achar FV” consiste em determinar o montante acumulado FV, no final de n períodos, a partir da capitalização das n prestações de uma série uniforme, todas com o mesmo valo r e igual a PMT , com uma taxa d e juro s i por período. O montante FV corresponde à soma dos montantes individualmente calculados para cada prestação até esse mesmo período n. Assim temos: a 1ª prestaç ão capitaliza juro s durante (n -1) períodos, e seu valor futuro no final do perí odo n é igual a……….PMT (1 + i) n-1 a 2ª prestaç ão capitaliza juro s durante (n -2) períodos, e seu valor futuro no final do perí odo n é igual a……….PMT (1 + i) n-2 a penúltima presta ção capitaliza juro s durante 1 período , e seu valor futuro no final do per íodo n é igual a……….PMT (1 + i)
a última p restação não capit aliza juro s, e seu valor no final do perí odo n é igual a ……………….PMT Assim, o montante FV é obtido pela soma dessas parcelas, isto é:
(6.1) Os termos entre colchetes correspondem à soma de uma progressão geométrica (PG). A fórmula de uma PG pode ser obtida multiplicando-se ambos os lados da Expressão (6.1) por (1 + i). Vejamos:
(6.2)
Subtraindo-se da Expressão (6.2) a Expressão (6.1):
e, por tanto:
(6.3) A expressão pode ser calculada para os parâmetrosien, coma utilização da HP-12C e do Excel, através do Sumulador da HP-12, que apresenta o seguinte aspecto quando aplicado na solução de problemas do tipo “dado PMT, achar FV”:
Os valores registrados devem obedecer à convenção de final de período e à convenção de sinal explicadas no Capítulo 1. Fique atento, pois essas mesmas convenções devem ser respeitadas ao long o deste capítulo.
6.2.2 Exem plo Numérico 1. Um investidor efetua os quatro depósitos anuais de $5.000,00 indicados no fluxo de caixa a seguir.
FIGURA 6.2
Sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma taxa efetiva de 8% ao ano, no regime de uro s compostos, calcule o valor acumulado por esse investidor no final do quarto ano, nas seguinte s situações: a) imediata mente após a r ealização do quarto depósito; b) imediatamente antes da realização do quarto depósito. Solução:
a) saldo imediatamente após o 4 o depósito. n = 4 anos; i = 8% ao ano; PMT = $5.000,00; PV = $0,00; FV = ? Os dados do pro blema têm a seg uinte apresenta ção:
que fornece $22.530,56 para o saldo após o 4 o depósito; b) saldo imediatamente antes do 4 o depósito O saldo acumulado, imediatamente antes da realização do 4 o depósito, é o btido subtraindose, do saldo calculado no item a, o valor do último depósito, ist o é:
6.3 Dado FV, Achar PM T 6.3.1 Dedução Da Express ão Consideremos o seguinte fluxo de caixa:
FIGURA 6.3 Dado FV, achar PMT
A Relação (6.3) for nece:
Assim, o cálculo de PMT a partir de FV é obtido pela r elação inversa, isto é:
(6.4)
O problema do tipo “dado FV, achar PMT” envolve a obtenção do valor PMT de cada prestação, a partir do valor futuro FV, e consiste na solução da Relação Genérica (6.4). A expressão pode ser calculada para os parâmetrosien, coma utilização da HP-12C e do Excel, através do Simulador da HP-12, que apresenta o seguinte aspecto quando aplicado na solução de problem as do tipo “dado FV, achar PMT”:
6.3.2 Exem plo Numérico 1. Calcule o valor de seis depósitos mensais, iguais e sucessivos, capazes de produzir um montante de $5.000,00 no final do 6 o mês, imediatamen te após a realização do 6 o depósito, sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente.
FIGURA 6.4
Solução:
Cálculo da taxa efetiva implíci ta:
ao mês Outras variáveis: n = 6 meses; FV = $5.000,00; PV = $0,00; PMT = ? Os dados do pro blema têm a seg uinte apresent ação:
que fornece o resultado de PMT = $812,74.
6.4 Dado PM T, Achar PV 6.4.1 Dedução Da Express ão Consideremos o seguinte fluxo de caixa:
FIGURA 6.5 Dado PMT, achar PV
O problema do tipo “dado PMT, achar PV” consiste em determinar o valor presente PV (principal), a partir do desconto das n prestações de uma série uniforme, todas com o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos. Este pro blema pode ser r esolvido em duas eta pas, confor me indicad o no esquema a seguir :
FIGURA 6.6
Inicialmente, vamos calcular o montante acumulado FV por essas n prestações PMT, no final de n perío dos de capita lização da taxa d e jur os i, com o auxílio da Relação (6.3). Isto é:
Devemos agora transformar esse valor futuro FV no valor presente PV (principal), usando a Relação (4.1). Assim:
Ao substituirmos o valo r de FV na 1ª relação o btemos:
e finalmente:
(6.5)
O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na so lução de pr oblemas do tipo “dado PMT, achar PV”:
6.4.2 Exem plo Numérico 1. Calcule o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de $10.000,00 no final de cad a um dos pr óximo s oito anos, sabe ndo-se que es se investimento é r emunerado com uma taxa efetiva de 10% ao ano, no r egime de jur os co mpostos. Solução:
n = 8 anos; i = 10% ao ano; PMT = $10.000,00; FV = $0,00; PV = ? Os dados do pro blema têm a seg uinte apresent ação:
que fornece o resultado de PV = $53.349,26, onde PV representa o valor do investimento a ser feito.
6.5 Dado PV, Achar PMT 6.5.1 Dedução Da Express ão Consideremos o seguinte fluxo de caixa:
FIGURA 6.7 Dado PV, achar PMT
A Relação (6.5) for nece:
Assim, o cálculo de PMT a partir de PV é obtido pela r elação inversa, isto é:
(6.6)
O problema do tipo “dado PV, achar PMT” envolve a obtenção do valor PMT de cada prestação, a partir do valor presente PV, e consiste na solução da Relação Genérica (6.6). O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na so lução de pr oblemas do tipo “dado PV, achar PMT”:
6.5.2 Exemplos Numéricos 1. Calcule o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 8% ao ano, no r egime de jur os co mpostos, saben do-se que o valor do pr incipal é $1 .000,00 e que o prazo da oper ação é de qu atro anos. Solução:
n = 4 anos; i = 8% a.a.; PV = $1.000,00; FV = $0,00; PMT = ? Os dados do pro blema têm a seg uinte apresent ação:
que fornece o resultado de PMT = $301,92. 2. Utilizando os dados do pro blema anterio r, r ealizar as seguintes operações: a) calcule as parcelas de amor tizações e jur os de cada uma das prestações anu ais; b) calcule o saldo devedor (principal remanescente) do financiamento, imediatamente após o pagamento da 2ª prestação; c) verifique que as amortizações crescem exponencialmente na mesma taxa do financiamento. Solução:
a) cálculo das amor tizações e juro s As amor tizações e o s jur os de cada prestação estã o apresentados na Tabela 6.1 : Essa tabela, que será usada como referência ao l ongo de todo este ex emplo, o bedece ao regime de juros compostos e foi elaborada de acordo com os seguintes critérios: os jur os de cada ano cor respondem a 8% d o saldo do pr incipal disponível no início do
respectiv o ano; as amor tizações do pr incipal em cada a no são iguais ao valor da prestação anual (PM T), já calculado no exemplo 1, menos o valor dos juro s anuais cor respondentes. Observar que no final do 4 o ano o saldo devedor do financiament o se anula median te o pagamento da última prestação, o que confir ma que a taxa de juro s de 8% ao ano est á cor reta, pois ao lo ngo de todo o prazo do contrato houve a remuneração de 8% ao ano sobre o saldo do principal aplicado em cada ano;
Tabela 6.1 Amortização e juros de cada prestação
b) saldo devedor (principal r emanescente) após o pagamento da 2ª prestaçã o Uma forma de r esolver este pro blema consist e em calcular a soma das amor tizações que faltam ser pagas, isto é: Saldo no final do 2 o ano = amor tização do 3 o ano + amor tização do 4o ano = $258,85 + $279,56 = $538,41 O mesmo resultado pode ser o btido desconta ndo-se o valo r das prestações que falt am ser pagas, ist o é, calculando-se o valor presente (no final do 2 o ano) das últimas duas prestações. Isso po de ser alcançad o pelas o perações indicadas a se guir :
c) amor tizações cr escem exponencialment e a 8% ao ano
Fica assim demonstrado que as amortizações do Modelo Price crescem exponencialmente (em pro gr essão geom étrica) com a mesma t axa do financiament o. Dessa forma, podemos afirmar que qualquer amortização do Modelo Price pode ser obtida a partir da 1ª amor tização pela relação:
(6.7)
Essa relação é equivalente à Expressão (4.1), que interliga PV e FV, exceto que o valor presente PV está colocado no ponto zero da escala de tempo e tem, portanto, n capitalizações para atingir o valor futuro no final do período de ordem n. A1ª amortização (A 1), que está colocada no final do 1 o período, necessita de (n - 1) capitalizações para atingir a amortização de ordem n (An). A Figura 6.8 apresenta, de forma esquemática, os valores das amortizações e juros anuais desse financiamento:
FIGURA 6.8 Modelo Price — amortizações exponenciais
6.6 Problemas Resolvidos 6.6.1 Pro blem as Env olvend o PV E PM T 1. O preço à vi sta de um equipamento é igual a $11.400,00. Uma loj a o está anunciando po r $1.400,00 de entrada e mais quatro prestações tri mestrai s de $2.580,00. Calcule a taxa efetiva trimestral de juro s cobr ada na parte financia da. Solução:
Como a entrada de $1.400,00 é paga no ato da com pra, podemo s considerar um principal líquido
conforme indicado a seguir: PV= $11.400,00 - $1.400,00 = $10.000,00 n = 4 trimestr es; FV = $0,00; PMT = $2.580,00; i = ? (% ao tr imestr e) Os dados do pro blema têm a seguinte apresent ação no Simulador da HP-12C:
que fornece a taxa efetiva de juros de 1,27196% ao trimestre. 2. Uma dívida deve ser liquidada em três prestações trimestrais iguais de $1.000,00. Calcule o valor do principal dessa dívida sabendo-se que o custo efetivo desse financiamento é de 1% ao mês, no regime de juros compost os. Solução:
O fluxo de caixa dessa dívida pode ser visualizado nas Figuras 6.9 e 6.10 : a) considerando o perío do em meses ( Fig. 6.9): Nesse caso, vamos usar a taxa de 1% ao mês e descontar individualmente cada parcela de $1.000,00. Em seguida, dev emos so mar os valo res assim o btidos, confo rme indicado a seguir. Podemos realizar essas operações, como se segue:
que for nece o valor do pr incipal como sendo igual a $2.826,98; b) considerando o período em trimestres ( Fig. 6.10) A taxa trimestral equivalente à taxa de 1% ao mês pode ser obtida com as operações indicadas a seguir :
que fornece a taxa de 3,03010% ao trimestre. Podemos também encontrar a taxa trimestral
cor respondent e através da relação: (1 + i t)4 = (1 + im)12. Os dados do pr oblema passaram, ent ão, a ser os seg uintes: n = 3 trimestres; i = 3,03010% a.t.; PMT = $1.000,00; FV = $0,00; PV = ? Esses dados têm a seguinte apresentação no Sinuladora da HP-12C:
que for nece resulta do idêntico ao alcançado anterior mente.
FIGURA 6.9
FIGURA 6.10
3. Uma empresa anuncia que seus financiamentos são concedidos com uma taxa de juros de “1,5% ao mês”. Para simplicidade operacional, as prestações são calculadas pela sistemática indicada a seguir: a) cálculo do s juro s do financiamen to: Juro s = Taxa de juro s (% ao mês) × Prazo × Valor financiado b) cálculo do valor da prestação:
Considerando os meses com 30 dias, calcule as taxas efetivas de juros mensais desses financiame ntos, par a o prazo de quatro meses, nas seguint es hipótese s:
a) pagamento da 1ª presta ção oco rr endo um mês a pós a liberação dos r ecursos (sér ie postecipada); b) pagamento da 1ª prestaçã o o cor rendo no ato da liberação dos r ecursos (sér ie antecipada). Solução:
Vamos inicialmente calcular o valor da prestação mensal para o financiamento de $1.000,00 no prazo de quatro meses:
a) sér ie postecipad a n = 4 meses;PV = $1.000,00;PMT = $265,00;FV = $0,00;i = ? (% ao mês) Esses dados têm a seguinte apresentação no Simulador da HP-12C:
que fornece a taxa efetiva de 2,3722% ao mês para a série postecipada. b) série antecipada Como a 1ª prestação de $265,00 é paga no ato da liberação dos $1.000,00, podemos considerar um principal líquido conforme indicado a seguir:
Esse principal líquido de $735,00 deve ser liquidado com três prestações postecipadas de $265,00. Assim, os dados do problema passam a ser: n = 3 meses; PV = $735,00; PMT = $265,00; FV = $0,00; i = ? (% ao mês) Esses dados têm a seguinte apresentação no Simulador da HP-12C:
que fornece a taxa efetiva de 4,0286% ao mês para a série antecipada. 4. Uma loja de eletrodomésticos oferece seu Plano de Natal, no qual as vendas de dezembro podem ser financiadas c om o 1 o pagament o só oco rr endo em abril. A taxa de juros efetiva cobrada nesse
financiamento é de 1,5% ao mês, no reg ime de juro s compostos, e os cálculos são feitos considerando-se que os meses têm 30 dias. Um cliente realizou, em 15 de dezemb ro , compr as no valo r de $1.000,00 e deseja pagá-las em quatro prestações mensais, iguais e sucessivas. Calcule o valor dessas prestações mensais, nas seguintes hipóteses: a) pagamento da 1ª presta ção oco rr endo em jane iro; b) pagament o da 1ª prestaçã o só em abril, apr oveitando a o ferta do Plano de Natal. Solução:
a) primeira prestação em janeiro Nesse caso os dados do pro blema são o s seguinte s: n = 4 meses; i = 1,5% ao mês; PV = $1.000,00; FV = $0,00; PMT = ? Esses dados têm a seguinte apresentação no Simulador da HP-12C:
que for nece a prestação mensal de $2 59,44 para ser paga a partir de janeiro; b) primeira prestação em abril Inicialmente, devemos capitalizar o principal de $1.000,00 durante três meses para obter o saldo do financiamento no mês de março . Isso é alcançado com os seguintes dados:
Agora devemos calcular as quatro prestações mensais para esse novo valor de principal, conforme indicado a seguir :
que for nece a prestação mensal de $2 71,30 para ser paga a partir de abril.
6.6.2 Problemas Envolv endo FV E PMT 1. Uma instituição financeira r emunera seus depósitos na base de 1,5% ao mês, no regime de jur os
compostos, e r ealiza seus cálc ulos co nsiderando os meses com 30 dias. Um investidor efetua nessa instituição seis depósitos mensais e iguais a $800,0 0, ocor rendo o 1 o depósito no final do mês de janeiro e o último no final do mês de junh o. Calcule os valor es dos saldos acumulados nas seguintes datas do mesmo ano: a) final de junh o, após o depósito do mês; b) final de sete mbro . Solução:
A Figur a 6.11 ilust ra o problema: a) saldo no final de junho De acor do com a Figur a 6.11, os dados do pr oblema são o s seguintes: n = 6 meses; i = 1,5% ao mês; PMT = $800,00; PV = $ 0,00; FV1 = ? Os dados do pro blema têm a seg uinte apresenta ção:
que for nece o r esultado de FV = $4.983,64; b) saldo no final de setemb ro Agor a precisamos capit alizar o saldo de jun ho por mais três meses, para obter o saldo no final de setembro , confor me mostrado no Simulador da HP-12C a seguir :
que fornece o resultado de FV = $5.211,28 para o saldo no final de setembro.
FIGURA 6.11
2. Um banco co mercial remunera seus depósitos na base d e 1% ao mês, no reg ime de juro s compostos, consider ando os meses com 30 dias nos cálculos de suas operaçõ es. Um investidor
efetua, nesse banco, seis depósitos mensais e iguais, oco rrendo o 1 o depósito no final do mês de janeiro e o último no final do mês de junho. Calcule o valor do depósito mensal neces sário para pr oduzir saldo de $5.000,00 no final de dezembro. Solução:
a) saldo no final de junho Devemos inicialmente achar o valor presente do saldo de $5.000,00, no final de junho, pois este é o m ês onde ocor reu o último depósito. A ssim temos: n = 6 meses; i = 1% ao mês; FV = $5.000,00; PMT = $0,00; PV = ? Podemos r ealizar essa operação com o Simulador da HP -12C, confor me indicado:
que fornece $4. 710,23 para o valor do saldo no final de junh o, que será usado no cálculo do valor do depósito mensal. b) valor do depósito mensa l Agor a os dados do pro blema passam a ser o s indicados a seguir: n = 6 meses; i = 1% ao mês; FV = $4.710,23; PV = $0,00; PMT = ? Com esses dados, o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresentação:
que for nece $765,64 para o valor do depósito mensal. 3. Um investidor efetuou quatro depósitos consecutivos de $5.000 ,00 numa caderneta de poupança, no final de cada trimestre. Calcule a rentabilidade efetiva trimestral dessa caderneta de poupança, sabendo-se que o saldo acumulado por esse investidor, imediatamente após a efetivação do último depósito trimestral, é de $21.000,00. Solução:
n = 4 trimestr es;FV = $21.000,00;PMT = $5.000,00;PV = $0,00;i = ? (% ao trim estre) Para o s dados do pro blema, o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresent ação:
que fornece a taxa efetiva de juros de 3,26182% ao trimestre.
6.6.3 Problemas Envolvendo PV, PMT E FV Nesta seção, vamos resolver alguns problemas envolvendo os cinco elementos do Diagrama Padrão, isto é, problemas que incluem os parâmetros básicos i e n e ainda os três parâmetros monetários PV, PMT e FV. 1. Um título de r enda mensal fo i emitido co m o s seguintes pa râmetro s: prazo
:12meses
valor de emissão
: $10.000,0 0
valor de resgate
: $10.000,00
juros mensais
: 1% ao mês
valor do cupom mensal : $100, 00
Observe que esse é um título em que os valores de resgate e de emissão são iguais e os rendimentos são pago s perio dicamente. Calcule: a) o fluxo de caixa do investid or que adquirir esse título e o conservar até seu vencimento; b) o valor presente dos 12 cupons de $100,00; c) o valo r presente dos $10.000,00 que serão recebidos pelo investidor no final do 12 o mês; d) a soma dos valor es presentes dos itens b e c. e) a rentab ilidade do inve stidor que adquirir esse título co m 5% de deságio sobr e o valor da emissão Solução:
a) o fl uxo de caixa d o investidor está indica do a seguir :
FIGURA 6.12
b) valor presente dos 12 cupons de $100,00:
que for nece PVcupons = $1.125,51; c) valor presente do resgate de $10.000,00 no 12 o mês:
que fornece PV = $8.874,49; d) soma dos valor es present es dos itens a e b:
Observe que o valo r de emissão ($10. 000,000) é ig ual ao valo r presente dos r endimentos mais (+) o valor presente d e resgate do título. Podemos o bter o valor presente do título co m uma única operação na HP-1 2C/Excel, pois o s cinco parâmetros estão sempre em o peração. Isso pode ser alcançado com o s dados indicados a seguir :
que fornece $10.000,00 para o valor presente do título. e) r entabilidade com aquisição co m deságio Com deságio de $500,00 (5% sobr e $10.000,00) o s dados do pro blema passa m a ser : n = 12 meses; PV (valo r de venda) = $9.500,00; FV (valo r de resgate) = $10.000,00; PMT (valor do cupom mensal) = $10 0,00; jur os mensais = ?
que fornece a taxa efetiva de juros (rentabilidade) de 1,4572% ao mês. 2. Calcule o valor da taxa mensal de arr endamento para uma o peração de leasing , com o s seguinte s parâmetros: a) valor da operação = $100.000,00; b) prazo = 12 meses; c) taxa efetiva de juros = 1,4% ao mês; d) valor residual garantido (VR G) = 20%; e) prestações são mensais e pagas no final de cada mês. Solução:
Os dados do pro blema são os seguintes: PV = VRG =
$100.000,00 FV = 20% de $100.000,00 = $20.000,00
n
=
12 meses
i
=
1,4% aomês
Taxa mensal de ar rendamento = PMT = ? O fluxo de caixa dessa oper ação de leasing está in dicado a seguir :
FIGURA 6.13
Podemos obter a taxa de arrendamento mensal (PMT) com uma única operação na HP-12C ou na Planilha Eletrônica Exce l, fazendo o s cinco element os do pro blema entrarem em oper ação:
que fornece $7.568,79 para o valor da taxa de arrendamento mensal. Vamos ago ra r ealizar uma verificação do resultado o btido, som ando o valor presente das parcelas de prestação mensal e do valor residual:
que fornece $100.000,01 para o valor da operação. A pequena diferença de $0,01 para o valor or iginal da operação deve-se a o ar redo ndamento das parcelas.
6.6.4 Prestações Perpétuas Nesta seção, vamos desenvolver a fórmula para o cálculo das prestações PMT quando o número de períodos n tende para o infinito, isto é, para o cálculo de prestações perpétuas, ou perpetuidades. Vamos no s basear no Pro blema 1 da Seção 6.6.3, que apresenta o seguinte fluxo de caixa:
FIGURA 6.14
É importante lembrar que esse título obedece ao conceito fundamental do regime de juros compostos. Senã o vejamos: a) no 1 o mês, o principal (PV) de $10.000,00 rende juros de $100,00 obtidos pela aplicação da taxa de 1% sobre o s $10.000,00 (saldo do principal no início do mês), elevand o o saldo aplicado para $10.100,00 no final do 1 o mês; b) no final do 1 o mês, o investidor recebe os $100,0 0 de juro s do 1 o mês, e o saldo aplicado para o 2o mês vo lta a ser $10.000,00; c) no2 o mês, o pr ocesso se r epete, e o saldo aplicado para o 3 o mês co ntinua a ser $10.000,00; d) essa sistemática é mantida em todos os meses até o mês de vencimento do papel, em que o investidor recebe o s $10.000,00 or iginar iamente aplicados. Quanto maior o número de meses (n), menor a importância do valor de resgate do principal aplicado colocado no último mês do fluxo de caixa, e portanto menor seu valor presente. Se o valor n tender para o infinito, então o valor presente dessa parcela futura de $10.000,00 tenderá a zero. de Assim, quando n tende para o infinito, o principal PV passa a ser equivalente a uma série perpétua de prestações PMT = PV × i, e são válidas as relações: valor presente de prestações perpét uas com valo r PMT
(6.8)
valor das prestaç ões per pétuas PMT par a um pr incipal PV
(6.9)
6.6.4.1 Problemas Resolvidos 1. Calcule o valor do investimento (PV) necessário para g arantir um recebiment o anual de $1.000,00, de forma perpétua, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa efetiva de 10% ao ano, no r egime de juro s compostos. Solução:
A partir da Relação (6.8) podemos escrever:
2. Calcule o valor da prestação mensal perpétua (PMT) que remunera um investimento de $100.000,00 com a taxa de 1, 2% ao m ês, no r egime de jur os co mpostos. Solução:
A partir da Relação (6.9) podemos escrever:
3. As ações preferenciais de uma determinada empresa pagam um dividendo anual de $5,00/ação. Calcule o valor da ação preferencial dessa empresa sabendo-se que a taxa de desconto utilizada no mer cado é de 8% ao ano. Solução: Assumindo que essas ações prefer enciais pagam r egularm ente esses divide ndos anuais, e como as
ações prefer enciais não têm data de resgate, p odemos co nsiderar o s dividendos pagos por essa ação como sendo uma per petuidade. Dessa for ma, o valo r dessa ação pr eferencial é obtido pela Relação (6.8), isto é:
6.7 Resumo Neste capítulo, desenv olvemos as fór mulas que pe rmitem transform ar prestações un ifor mes de valor igual a PMT em seu valor presente PV e em seu valor futuro FV cor respondent e. Desenvolvemos as futuro fórmulas as operações permitindo o valo r presente PVtambém e o valor FVque em realizam suas respect ivas prestainversas, ções de valor igual atransformar PMT. Todas as simplificações proporcionadas pela série uniforme PMT são baseadas na fórmula da soma de termos de uma progressão geométrica, e só são alcançadas porque as prestações uniformes são consideradas equidistantes no tempo. Assim, se as prestações são mensais, as fórmulas que envolvem o cálculo co m PMT consider am que todos os meses têm 30 dias. Essa situação não ocorre, normalmente, nas operações de crediário, em que as prestações
costumam ter vencimento numa mesma data de calendário. Entretanto, é praxe do mercado realizar os cálculos co nsiderando os m eses com 30 dias, e cobrar as prestações em dat as fixas de cale ndário. Nas soluções dos problemas, os fluxos de caixa foram enquadrados no Diagrama Padrão para permitir o uso da solução com a HP-12C/Excel.
6.8 Problemas Propostos Considere em todos os problemas o ano comercial com 360 dias .
1. Um empresário deseja obt er um financiamen to para adquirir um equipamento, cujo valor à vista é de $10.000,00. Para diminuir o valor das prestações, ele pretende dar uma entrada de $3.000,00 por ocasião da com pra. Calcule o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucess ivas, para a parte financ iada, sabendo-se que o financiament o é realizado a jur os co mpostos de 15% ao ano, mensalmen te, àe que ão o cor re 30 diasfinanciado após a libera juros ação compostos dos r ecursos. 2. capitalizados Um equipamento cujo valor vistaaé1ªdeprestaç $25.000,00 está sendo de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um ano. Calcule o valor que deve ser dado de sinal, a título de entrada, para que o valor das 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, seja limitado a $1. 700,00. Assumir quea1ª prestação oco rr e 30 dias após a liber ação dos recursos. 3. Um cliente de uma agência de automóveis adquiriu um veículo financiado em 24 prestações de $1.500,00 com uma taxa de juros de 1% ao m ês, no r egime de j uro s compo stos. No final de um ano, esse client e pro curou a m esma agência para vend er esse automó vel, e a agência lhe ofereceu $18.000,00, para pagamento à vista. Calcule a parcel a que deve ser pag a ao cl iente para que a agência adquira esse veículo assumindo o restante do financiamento, com a mesma taxa de 1% ao mês. 4. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado com 10 prestações mensais, sucessivas e i guais a $1.075,00. Calcule a taxa interna de reto rno desse fi nanciamento, no reg ime de juros com postos, sup ondo que a 1 ª prestaçã o o cor re 30 dias após a liberação dos recursos. 5. Um financiamento de $10. 000,00 deve ser liquidado mediante o pag amento de 12 prestaçõ es mensais de $900,00. Calcule a taxa efetiva mensal desse financiamento, no regime de juros compostos, nas seguintes hipóteses: a) a1ª prestação ocor re 30 dias ap ós a liberação do pr incipal; b) a1ª prest ação oco rr e na mesma da ta da liberação do principal. 6. Uma loja de eletrodomésticos realiza financiamentos de $1.000,00, para serem pagos em prestações m ensais iguais, calculada s a “1% ao mês”, pelo seg uinte plano: Juros = 1% × Prazo (meses) × $1.000,00;
Calcule as taxas efetivas mensais desses financiamentos, a juros compostos, para o prazo de seis meses, nas seguintes hipóteses: a) pagament o da 1ª pr estação 30 dias após a liberação do s recursos; b) pagament o da 1ª prestaçã o no ato da liber ação dos recur sos, a título de ent rada.
7. Um empréstimo de $100.000,00 é realizado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos, e dev e ser amor tizado no prazo de 10 anos, com o s dois primeir os anos de carência. Calcule o valor das oito pr estações anua is, iguais e sucessivas, q ue deverão ser pagas a par tir do final do 3 o ano, nas seguintes hipóteses: a) os juro s devidos nos dois pr imeir os anos de carência sã o pago s no final de cada ano; b) os juro s devidos nos dois pr imeir os anos de carência n ão são pago s e sim capitalizados. 8. Uma empresa tomou um empréstimo de $100.000,00 que deve ser liquidado em 25 prestações trimestrais ig uais e suce ssivas, com juro s compostos de 3% ao trimestre, capit alizados trimestralment e. Logo após o pagamento da 8ª pr estação, essa empresa manifestou sua i ntenção de aumentar o pr azo desse empréstimo, de for ma a liquidá-lo em 30 prestações trimestrais adicionais, iguais e sucessivas. Calcule o valor dessa nova prestação trimestral, para que a taxa de 3% ao tr imestre seja mantida . 9. Um investidor resolveu efetuar seis depósitos trimestrais sucessivos de $5.000,00 numa caderneta de poupança que ofer ece uma r emuneração de 12% ao ano capitaliza dos tri mestralment e. O primeir o depósito é efetuado no ato da decisão do investidor, e o s cinco depósitos r estantes no final de cad a um dos pr óximo s trimestres. C alcule os saldos acumulados por esse investidor nessa caderneta de poupança, nas seguintes ocasiões: a) imediatamente após seu último depósito; b) no final do 2 o trimestre após a efetivação do último depósito. 10. Um financiamento, cujo valor do principal é de $100.000,00, deve ser liquidado mediante o pagamento de 24 presta ções mensais, iguais e sucessivas, a partir de 30 dias da liber ação dos recursos. Sabendo-se que a taxa efetiva desse financiamento, a juros compostos, é de 1% ao mês, calcule: a) o valor das prestações mensais; b) o valor dos jur os e da amor tização, contid os na 1ª prestaçã o; c) o valo r da amor tização do pr incipal cont ida na 20ª pr estação; d) o valor do saldo devedor (principal r emanescente) imediata mente após o pagamento da 12ª prestação. 11. Um banco de investimentos realiza suas operações de financiamento com uma taxa efetiva de juros de 15% ao ano, no regime de jur os compostos. Entretanto, essa taxa é cobrada em duas parcelas: a) uma parcela de 10% ao ano cobr ada de for ma postecipada, ao lo ngo do contrato; b) uma parcela ante cipada cobr ada no ato da liber ação dos r ecursos. Ca lcule o per centual que deve ser cobrado antecipadamente, no ato da liberação dos recursos, para que a taxa de 15% ao ano seja mantid a nos seguintes esquemas de amor tização do financiamento: liquidação do financiamento em uma única parcela, no final do 12o mês da liberação dos recursos; liquidaçã o do financiamento em quatro par celas trimestrais de mesmo valor, oco rrendo a 1ª parcela 90 dias após a liberação dos r ecursos. 12. Uma loja de eletrodomésticos financia suas vendas em quatro vezes “sem juros”, mediante pagamentos m ensais, iguais e sucessiv os, a partir do 30 o dia da data da venda. Calcule o percentual de acréscimo que essa loja deve aplica r em seus preços à vista para que possa obter uma r emuneração efetiv a de 1,4% ao mês em seus financ iamentos. 13. Uma instituição financeira que o pera no reg ime de jur os co mpostos, com uma taxa efetiva de 1% ao mês, ofer ece a seus client es os seguintes planos de financiament o:
a) plano mensal: 12 prestaç ões mensais, iguais e sucessivas , oco rr endo o pagamento da 1ª prestação 30 dias após a data da operação; b) plano trimestral: quatro prestações t rimestrais, iguais e suce ssivas, ocor rendo o pagamento da 1ª prestação 90 dias após a data da operação. Um cliente dessa instituição financeira deseja tomar um financiamento de $100.000,00, para ser pago parte pelo plano mensal e parte pelo plano trimestral . Calcule as parcelas que devem ser financiadas em cada plano para que a prestação do plano trimestral seja o dobr o do valor da prestação do plano mensa l. 14. Uma debênture foi emitida com um valor de $10.000,00 e com um valor de resgate de $10.000,00 no final de cinco anos. Os juros desse título são pagos anualmente com uma taxa efetiva de 8% ao ano, e, portanto, os cupons anuais de juros têm o valor de $800,00. Calcule a rentabilidade de um invest idor que adquirir esse título na data de sua emissã o com um deságio de 5% e que o conservar até seu vencimento. 15. Um autor de livro didático tem um co ntrato de edição, em caráter per pétuo, com uma editor a que paga direitos autorais anualmente, na base de 10% do preço de capa de cada livro vendido. O volume de vendas dessa obra é de 3.000 exemplares por ano e seu preço de capa é de $50,00. Calcule o valor presente desse contrato, considerando uma taxa de descont o de 10% ao ano.
CA PÍT ULO 7
Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno 7.1 Introdução O objetivo primeiro deste capítulo é expandir e consolidar o conceito de valor presente de fluxos de caixa no r egime de juro s compostos, int ro duzido em capítulos anterio res. O segundo e principal objetivo é apresentar, por exemplos numéricos selecionados, os conceitos de valor presente líquido e de taxa interna de retorno de um fluxo de caixa, indispensáveis para o entendimento da Matemática Financeira e para o processo de análise e tomada de decisão de investimentos em ger al.
7.2 Valor Presente e Taxa de Desconto 7.2.1 Conceito s Valor presente, taxa de desconto e equivalência de fluxos de caixa são conceitos absolutamente
interligados. Denomina-se valor presente de um fluxo de caixa o valor monetário (PV) do ponto zero da escala de tempo, que é equivalente à soma de suas parcelas futuras, descontadas para o ponto zero, com uma determinada taxa de juros. A taxa de juros utilizada para descontar as parcelas futuras do fluxo de caixa é denominada taxa de
desconto .
7.2.2 Exemplos Numéricos 1. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicad o no diagr ama a seguir, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos.
FIGURA 7.1
1ª Solução: decompondo o fluxo de caixa
O fluxo de caixa pode ser desdobr ado nos fluxos de caixa indicad os a seg uir:
FIGURA 7.2 Fluxo (1)
FIGURA 7.3 Fluxo (2)
Podemos, então, determinar os valores presentes desses dois fluxos de caixa, conforme indicado a seguir: a) valor presente do fluxo (1) = PV 1:
b) valor presente d o fl uxo (2) = PV 2:
O valor presente pro curado é ig ual à soma dos valor es presentes desses dois fluxos, isto é:
2ª Solução: descontando individualmente cada par cela do fl uxo de caixa
O desconto individual de cada parcela do fluxo de caixa pode ser realizado com as operações indicadas a seguir :
que for nece o valor presente de $4.782,19, igual, é claro , ao obtido ant erio rmente. Esse valor de $4.782,19 é equivalente às parcelas futuras do fluxo de caixa que foi fornecido, descontadas uma taxa anual de 8%.afirmar que o investidor que aceitar uma remuneração de 8% ao Da ótica do afinanciador , podemos ano sobre seu capital concorda em fazer um investimento de $4.782,19 para receber três parcelas de $1.000,00 no final dos próximos três anos e mais uma parcela de $3.000,00 no final do 4 o ano. Da ótica do financiado , podemos afirmar que o tomador de um empréstimo de $4.782,19 para ser pago em três parcelas anuais de $1.000,00 e mais uma parcela de $3.000,00 no final do 4 o ano concorda em remunerar o capital do financiador com a taxa de juros de 8% ao ano, que é o custo efetivo do financiame nto. 2. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicad o no diagr ama a seguir, com uma taxa de juros de 1% ao mês, no reg ime de juros com postos.
FIGURA 7.4
1ª Solução: decompondo o fluxo de caixa
O fluxo de caixa pode ser desdobr ado nos fluxos de caixa indicad os a seg uir:
FIGURA 7.5 Fluxo (1)
FIGURA 7.6 Fluxo (2)
Podemos então determinar os valores presentes desses dois fluxos de caixa, conforme indicado a seguir: a) valor presente do fluxo (1) = PV 1:
b) valor presente d o fl uxo (2) = PV 2:
O valor presente pro curado é ig ual à soma dos valor es presentes desses dois fluxos de caixa , isto é:
2ª Solução: descontando individualmente cada par cela do fl uxo de caixa
O desconto individual de cada parcela do fluxo de caixa pode ser realizado com as operações indicadas a seguir :
que for nece o valor presente de $873,65, idêntico ao obtido ant erio rmente. Esse valor de $873,65 é equivalente às parcelas futuras do fluxo de caixa fornecido, com a taxa de desconto de 1% ao mês utilizada para efetuar o desconto de todas as suas parcelas. 3. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado na Tabela 7.1 com uma taxa de juros de 10% ao ano, no r egime de ju ro s compost os.
Tabela 7.1
Solução:
O fluxo de caixa é totalmente heterogêneo, não permitindo qualquer simplificação algébrica. Assim, a única maneira de obter seu valor presente é mediante o desconto individual de cada uma de suas parcelas, o que pode ser alcançad o co m as oper ações a seguir indicadas.
O valor presente do fluxo de caixa é, portanto, igual a $12.043,83, que é equivalente às parcelas futuras do fluxo de caixa, com a taxa de desconto de 10% ao ano.
7.2.3 Comentários Os exemplos numéricos do item anterior serviram para mostrar diversas maneiras de determinar o valor presente de cada um dos r espectivos fluxos de caixa. As simplificações podem ser alcançadas quando os fluxos de caixa apresentam uma certa uniformidade que permite seus desdobramentos em outros fluxos, possibilitando assim a utilização de operações envolvendo o parâmetro PMT para r ealizar o desconto das parcelas fut uras. O último exemplo apresentou um fluxo de caixa totalmente heterogêneo que não permite nenhuma simplificação algébrica, e a única forma de obter o seu valor presente é pelo desconto individual de suas parcelas futuras. O valor presente de qualquer fluxo de caixa pode ser sempre obtido pelo desconto individual de suas parcelas futuras, que devem ser, posterio rmente, som adas algebricamente.
7.3 Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno 7.3.1 Conceito s – VPL E T IR Nesta seção, vamos desenvolver o s co nceitos de valor presente líquido e de taxa interna de retorno de um fluxo de caixa. O valor presente líquido (VPL) ou “Net Present Value” (NPV) está diretamente ligado ao valor presente do fluxo de caixa, explicado na Seção 7.2. O valor presente líquido de um fluxo de caixa é igual ao valor presente de suas parcelas futuras (que são descontadas com uma determinada taxa de desconto), somado algebricamente com a grandeza colocada no ponto zero. Na maioria das vezes, a grandeza colocada no ponto zero corresponde ao investimento inicial do projeto e tem valor negativo, uma vez que representa uma saída de caixa. Ao longo dos próximos capítulos, considerar emos, para efeito de simplificação didát ica, que o investimen to ocor rerá todo no ponto zero do fluxo, representando a única saída de caixa do fluxo. Na realidade, porém, o investimento pode acontecer durante todo o prazo de execução do projeto, representando várias saídas de caixa a partir do ponto zero . A taxa interna de retorno (TIR) ou “Internal Rate of Return” (IRR) de um fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz seu v alor presente líquido ser ig ual a zero. O valor presente líquido é igual a zero quando as grandezas futuras do fluxo de caixa, ao serem descontadas com uma determinada taxa, produzem um valor presente que é igual ao investimento inicial (desemb olso ) colo cado no ponto zero da escala de tempo. Os exemplos desen volvidos a seguir servem para co nsolidar esses conceitos.
7.3.2 Exemplos Numéricos 1. Calcule o valor presente líquido do fluxo de caixa indicado a seguir, com uma taxa de desconto de 8% a.a.
FIGURA 7.7
Solução:
Inicialment e, vamos desdobrar o fl uxo de caixa do invest imento no s dois fluxos i ndicados a seg uir:
FIGURA 7.8 Fluxo (1)
FIGURA 7.9 Fluxo (2)
O fluxo (1) corresponde a um investimento inicial de $100,00, tem sinal negativo porque corresponde a uma saída de caixa, e não deve ser descontado com a taxa de desconto, pois já é uma gr andeza que está colo cada no ponto zero da escala de t empo. O fluxo (2) corresponde à parcela futura de $121,00, que representa uma entrada de caixa no final do 2o ano e, portanto, tem sinal positivo. Essa parcela futura é que precisa ser descontada com a taxa de desconto de 8% a.a., para se obter seu valor presente. Essa operação de desconto está a seg uir indicada:
O valor presente líquido do fluxo de caixa, com a taxa de 8% a.a., é igual à soma algébrica desse valor presente de (+)103,74 com a parcela de (–)$100,00 colocada no ponto zero (investimento inicial). Assim temos:
Como o valor presente líquido é positivo, para a taxa de 8% a.a., podemos afirmar que o investimento inicial de $100,00 tem uma taxa interna de retorno superior a 8% a.a. Vamos, agora, comentar o que significa o VPL de um investimento ser positivo, para uma determinada taxa de desconto. No exemplo em análise, vamos explicar o significado do VPL (8%) = (+) $3,74 para o investimento de $100,00. Para isso, r ealizaremos as seguinte s o perações: a) capitalização de $100,00 a 8% ao ano, por 2 anos:
b) subtrair dos $121,00 a receber no 2 o ano, o valor de $116,64, encontrando um saldo positivo de $4,36 no 2 o ano, cujo valor presente, a 8% ao ano, pode ser obtido como se segue:
O investimento srcinal de $100,00 garante um recebimento de $121,00 no final do 2
o
ano, que pode
ser parcelas de de ( a$100,00, ) $116,64e ea de (b) $4,36. A parcela de $116,64 descontada a 8% anodesdobrado produz um nas valor presente parcela de $4,36 descontada a 8% ao ano produz umao valor presente de $3,74. O VPL positivo de $3,74 para a taxa de desconto de 8% ao ano significa que o investimento de $100,00, para receber $121,00 no final do 2 o ano, está sendo remunerado a 8% ao ano e, além dessa remuneração, está gerando um aumento de riqueza de $3,74, expresso em moeda do ponto zero. Assim, esse investimento, para uma taxa de 8% ao ano, está agregando para esse investidor um valor econômico de $3,74, expresso em termos de valor presente. 2. Consideremos o mesmo fluxo de caixa do pro blema anterio r e vamos r ealizar as seguinte s operações: a) calcule o valor presente líquido para a taxa de desconto de 12% a.a.; b) calcule a tax a interna de r etorno do investimen to em term os anuais; c) elabore um gr áfico do valor presente líquido em função da tax a de desconto. Solução:
a) valor presente líquido par a 12% a.a. Devemos, inicialmente, descontar a parcela futura de $121,00, conforme se segue:
Então, o valor presente líquido para a taxa de 12% a.a. é obtido pela relação:
Como o valor presente líquido é negativo para a taxa de 12% a.a, podemos afirmar que o investimento inicial de $100,00 tem uma taxa interna de retorno inferior a 12% a.a; b) taxa interna de r etor no Os valores presentes líquidos para as taxas de 8% a.a. e 12% a.a. obtidos anteriormente estão indicados a seguir :
Como a taxa interna de retorno é a taxa de desconto que anula o valor presente líquido (VPL = 0), podemos concluir, com os r esultados anterior es, que ela est á compr eendida entre 8% a.a. e 12% a.a. Vamos, então, calcular o valor presente líquido para uma taxa de descont o compr eendida entre esses dois valor es, por exemplo, 10% ao ano. Essa operação de desconto está ind icada a seguir:
Então, o valor presente líquido para a taxa de 10% a.a. é obtido pela relação:
o que gar ante que a taxa interna de r etor no seja ig ual a 10% ao ano. Como o fluxo de caixa envolve apenas PV e FV, a taxa interna de retorno pode ser obtida diretamente pela seguinte operação indicada:
Vamos a seguir analisar o conceito de taxa interna de retorno de uma forma genérica, usando a equação algébrica do valor presente líquido, que tem a seguinte apresentação para o fluxo de caixa do pro blema:
(7.1)
Vamos fazer a seguinte mudança de variável:
(7.2)
Assim a Equação (7.1) passa a ter a seguinte apresentação:
(7.3)
Como a taxa interna de retorno (TIR) é aquela que anula o valor presente líquido (VPL), podemos escrever:
(7.4)
A Relação (7.4) corresponde a uma equação do 2 o grau com duas raízes, que podem ser calculadas pela fór mula do trinômio do 2 o gr au, com os seguintes coeficient es: a = (+) 121,00; b = 0,00; c = (−)100,00 Os valor es de x encontrados após a so lução da equ ação são:
O valor da taxa i é obtido a partir da Relação (7.2), que fornece:
e, por tanto, temos o s seguinte s valor es para as duas raízes:
Em relação às duas raízes cabe comentar: 1. a primeir a raiz, no valor de 10% ao ano, é positiva e coincide com a apresent ada anterio rmente, com o Simulador da HP-12C; 2. a segunda raiz, no valor de (−) 210%, é negativa e não tem qualquer sentido econômico. c) gr áfico do valor presente líquido em função da tax a de desconto Esse gráfico é desenvolvido para valor es de taxas de desconto maior es ou iguais a zero, pois os valo res negativ os das taxas de d esconto não têm sent ido econô mico. Se a taxa de desconto for nula, o valor presente líquido será igual à soma algébr ica dos valor es do fluxo de caixa, pois nenhu ma parcela futu ra sofr e qualquer desconto de valor ao ser trazida para o ponto zero. As sim temos:
Se a taxa de desconto tende para o infinito todaso as parcelas futuras se anulam descontadas para o valor presente. Nesse caso, valo r presente líquido é ig ualquando ao valor da parcela colo cada no po nto zer o (i nvestimento inicial), que n ão so fre qualquer desconto. Assim temos:
A Tabela 7.2 r esume os resultados obtid os: O gr áfico do valor presente líquido em função da tax a de desconto está ind icado a seguir :
FIGURA 7.10 Valor Presente Líquido (VPL)
Tabela 7.2
3. O estudo de viabilidade econômica de um projeto resulta no fluxo de caixa indicado na Tabela 7.3 : Calcule: a) o gr áfico do valor presente líquido desse invest imento, em função da taxa de des conto; b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva anual de rentabilidade desse investimento. Solução:
a) gr áfico do valor presente líquido em função da tax a de desconto O fluxo de caixa é t otalmente hetero gêneo, não permitindo qualqu er simplificação alg ébrica. Assim, a única maneira de obter seu valor presente é mediante o desconto individual de cada uma de suas parcelas. O fluxo de caixa do 1 o ao 5o ano é idêntic o ao do Exemplo 3 da Seção 7.2.2, e seu valor presente fo i calculado para a taxa de desconto de 10% ao ano, pro duzindo o resultado de (+) $12.043,83. Assim, o valor presente líquido par a essa taxa de 10% a.a. é igual a:
O VPL positivo de $543,83 para a taxa de desconto de 10% a.a. significa que o fluxo de caixa desse pro jeto está r emuner ando o investimento de $11.500,00 com a taxa de 10% a. a., e ainda está ger ando um aument o de riqueza de $54 3,83, expresso em moeda do ponto zero . Sendo posi tivo o valor presente líquido, para a taxa de 10% a.a., podemos gar antir que o investimento ini cial de $11.500,00 tem uma taxa interna de retorno superior a 10% a.a.
Vamos agor a calcular o valor presente d as parcelas futu ras, co m a taxa de de sconto de 12% a.a., pelo desconto individual dessas parcelas, confor me indicado a seguir :
Assim, o valor presente líquido para essa taxa de 12% a.a. é igual a:
A Tabela 7.4 resume os resultados já obtidos para o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento, e os valores extremos para as taxas de descontos de 0% e ∞ %. O gráfico do valor presente líquido em função da ta xa de desconto est á indicado a seguir:
FIGURA 7.11 Valor presente líquido (VPL) — investimento
Tabela 7.4
b) taxa interna de r etor no Pelos r esultados obtidos até o mom ento, podemo s gar antir que a taxa interna de retorno está compreendida entre 10% a.a. e 12% a.a., pois o valor presente líquido é positivo para a taxa de 10% a.a. e negativo para a taxa de 12% a.a. O valor da taxa interna de r etor no pode ser obtido pelo pr ocesso das tent ativas, no inte rvalo de 10% a.a. a 12% a.a., e também pode ser aproximado por interpolação linear. O valor exato da taxa interna de retorno, que é igual a 11,54% a.a., pode ser obtido pela função IRR da HP-12C e da função TIR do Excel, como será mostrado no Capítulo 9. Vamos a seguir analisar o conceito de taxa interna de r etorno usando a equação algébr ica do valor presente líquido, que te m a seg uinte apresent ação para o fluxo de caixa do pr oblema:
em que temos:
A equação do valo r presente líquido, nesse ca so, é um po linômio do 5 o gr au e, portant o, tem cinco r aízes. Entretanto só estamos i nteressados nas r aízes reais e positivas, p ois são as únicas que têm sig nificado econômi co. A regr a de sinal de Des cartes gar ante que os pol inômio s cujos co eficientes só apresentam uma única variação de sinal têm apenas uma raiz real positiva. Essa é exatamente a situação do fluxo de caixa do investimento em análise, que apresenta uma única variação de sinal, do 1o para o 2 o coeficiente. Portanto, sua única raiz real positiva é igual a 11,54% a.a.
Tabela 7.3
7.4 Resumo Neste capítulo, apresentamos os conceitos de valor presente líquido e de taxa interna de retorno de fluxos de caixa. O VPL de um fluxo de caixa é igual ao VP de suas parcelas futuras, somado algebricamente com a grandeza colocada no ponto zero. A TIR de um fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz seu VPL ser igual a ze ro . Quando os fluxos de caixa apresentarem parcelas futuras sem qualquer lei de formação, recomendamos que essas duas grandezas sejam calculadas com as funções NPV e IRR da HP-12C e com as funções VPL e TIR do Excel, confor me será m ostrado no Capítulo 9. A equação algébrica do valor presente líquido de um fluxo de caixa com parcelas futuras até o período de or dem n é um polinômio de grau n. A taxae, interna deraízes um fluxo caixa é io a taxa anula seu valor presente líquido, portant de o, éretorno uma das dessedepolinôm de grde au desconto n que temque n raízes.
7.5 Problemas Propostos 1. Calcule os valores presentes dos fluxos de caixa indicados a seguir, para uma taxa de desconto de 1% ao mês, no regime de juros compostos.
2. Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabela a seguir :
Calcule: a) o gr áfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da tax a de descont o, no intervalo de 0,00% a 6,00% ao semestre, com incrementos de 1,00%; b) desse a taxainvestimento. interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva semestral de rentabilidade 3. Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabela a seguir :
Calcule: a) o gr áfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da tax a de descont o, no intervalo de 0,00% a 16,00% ao ano, com incrementos de 2,00%; b) desse a taxainvestimento. interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva anual de rentabilidade 4. A tabela a seguir mostra os valores presentes líquidos do fluxo de caixa de um investimento, calculados para diver sas taxas de desconto, no reg ime de juro s compo stos:
Pela análise dos dados desse qu adro , responder: a) Qual a taxa interna de retorno desse investimento? b) Você desaplicaria seus recurso s que estão r endendo 1,5% ao mês para r ealizar r ealizar esse investimento?
C APÍT ULO 8
Equivalência de Fluxos de Caixa 8.1 Introdução Neste capítulo será introduzido o conceito de equivalência de fluxos de caixa, indispensável no processo de tomada de decisões de investimentos. Apresentaremos os principais planos de financiamento encontrados no mercado, entre eles o Sistema de Amortizações Constantes (SAC)e o Modelo Price, muito utilizados nas operações de financiamento imobiliário e de crédito ao consumidor, e nas operações de financiamento de longo prazo de um modo geral.
8.2 Conceito de E quivalência Fluxos de caixa equivalentes são aqueles que apresentam valores presentes (PV) iguais, quando descontados a uma mesma taxa de juro s (compo stos). A equivalência desses fluxos de caixa deixa de existir caso a taxa de juros utilizada para o cálculo do VP seja alterada. Quando isso ocorre, os valores presentes também são alterados, e o conceito de equivalência perde o sentido. Se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor presente, a uma determinada taxa de juros, então, seus valores futuros (FV) após n períodos, obtidos com essa mesma taxa de juros, são necessariamente iguais. D essa for ma, a equivalên cia de fluxos de caixa não pr ecisa obr igator iamente ser verificada no ponto zero da escala de t empo. Ela pode ser verificada no fi nal de qualquer per íodo n, desde que o período escolhido seja o mesmo para todos os f luxos de caix a.
8.3 Planos Equivalentes de Financiamento Considere um financiamen to com o s seguinte s parâmetro s: Principal = $1.000,00 Taxa de juro s = 8% ao ano Prazo = 4 anos A seguir, vamos desenvolver e analisar quatro planos equivalentes para amortizar esse financiame nto dentro dos parâmetro s anterio rmente definidos.
8.3.1 Plano A — Pagamento No Final Neste plano, o financiamento é liquidado mediante o pagamento de uma única parcela no final do perío do do financiamento, havendo capitalização de juro s no final de cada an o. A Tabela 8.1 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos quatro anos da operação.
Tabela 8.1 Plano A — Pagamento no final (principal = $1.000,00, taxa de juros = 8% ao ano, prazo = 4 anos)
Por esse quadro de amortização do Plano A, o financiamento de $1.000,00 é liquidado com um único pagamento de $1.360,49, realizado no final do 4 o ano, sendo $1.000,00 de amortização do principal e $36 0,49 de juros acumulados ao lo ngo do s quatro anos. Essa modalidad e de pagamen to se aplica a d iversas oper ações do mer cado, tais como oper ações de capital de giro e de desconto de títulos e aplicações em títulos de renda fixa.
8.3.2 Plano B — Pagamento Periódico De Juros Neste plano, o financiamento é liquidado da seguinte forma: a) no final de cad a ano, são pagos o s juro s do r espectivo ano; b) no final do prazo do financiament o, além dos juro s anuais, é e fetuado o pagamento integr al do principal. A Tabela 8.2 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos quatro anos da operação.
Tabela 8.2 Plano B — Pagamento periódico de juros (principal = $1.000,00, taxa de juros = 8% ao ano, prazo = 4 anos)
Por esse quadro de amor tização do Plano B, o fi nanciamento de $1.000,00 é liquidad o com quatro pagamentos anuais de $80,00, correspondentes aos juros de cada ano, e mais um pagamento de $1.000,00 no final do 4 o ano, para amor tizar integr almente o pr incipal do financ iamento. Essa modalidad e de pagamen to se aplica a d iversas oper ações do mer cado, tais como oper ações de leasing e aplicações em títulos de renda periódica (anual, mensal etc.).
8.3.3 Plano C — Prestações Iguais — Modelo Price Neste plano, o financiamento é liquidado pelo pagamento de n prestações iguais (PMT), sendo n o prazo da operação. As prestações de cada ano são subdivididas em duas parcelas: a) juro s do ano, calcu lados sobr e o saldo no início do respectiv o ano; b) amor tização do pr incipal, obt ida pela diferença ent re o valor da prestação e o valo r dos jur os do ano. A fórmula do Modelo Price considera que as prestações estejam equidistantes no tempo. Deve-se atentar que esse modelo foi baseado no ano civil com 360 dias e com o s meses de 30 d ias. No financiamen to citado acima, podemo s calcular o valor das presta ções, através do Simulador da HP-12C:
Verifique, na tabela abaixo, os cálculos dos valores desse financiamento no final dos quatro anos da operação.
Tabela 8.3 Plano C — Prestações iguais — Modelo Price (principal = $1.000,00, taxa de juros = 8% ao ano, prazo = 4 anos)
Essa modalidade de pagamento é conhecida como Modelo Price, e é bastante utilizada em oper ações de fin anciamento imobiliár io e de crédito direto ao consumidor. Pelo quadro de amortização do Plano C, verificamos que a 1ª prestação contém $80,00 de juros, correspondentes a 8% do saldo do início do ano ($1.000,00). A amortização da 1ª prestação ($221,92) é obtida pela diferença en tre o valor da prestação ($301,92) e o valor dos juro s do 1 o ano ($80,00). O saldo r emanescente do pri ncipal para o 2 o ano é assim obtido:
Os juros do 2 o ano ($62,25) são obtidos pela aplicação da taxa de 8% a.a. sobre o saldo do principal no início do 2 o ano ($778,08). Assim, os juros de cada ano vão diminuindo de valor ao longo do tempo, e as amortizações, inversament e, vão aument ando de valor de for ma exponencial . Ressaltamos que no Modelo Price as amo rtizações são o btidas a partir dos valor es das prestaç ões e dos juro s, conforme indica do a seguir:
(8.1) Consulte o Exemplo 2 da Seção 6.5.2 e veja a demonstração de que no Modelo Price as prestações são iguais e as amortizações crescem exponencialmente com a mesma taxa de juros do
financiamento. Veja também o gráfico ( Figura 6.8) que ilustra esse mo delo de fi nanciamento.
8.3.4 Plano D — Sistema De Amortizações Constantes (SAC) Neste plano, o financiamento é liquidado mediante o pagamento de n prestações linearmente decrescentes. Cada prestação é subdividida em duas parcelas: a) amor tização do pr incipal, obt ida pela divisão ent re o valor do principal do financiamento e o
prazo da operação; os valor es das amor tizações são ig uais, por isso a denominação de S istema de Amortizações Constantes, b) juro s do ano, calcu lados sobr e o saldo no início do r espectivo ano. A Tabela 8.4 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos quatro anos da operação.
Tabela 8.4 Plano D — Sistema de amortizações constantes (principal = $1.000,00, taxa de juros = 8% ao ano, prazo = 4 anos)
Essa modalidade de pagamento é bastante utilizada nas operações de financiamentos imobiliários e nos financiamen tos de long o pr azo de um modo ger al. No quadro de amortização do Plano D, devemos, inicialmente, calcular o valor da amortização anual dividindo o valor do principal do f inanciamento pelo prazo da operação. Ne sse caso, deve mos dividir 1.000,00 (principal) por 4 (prazo da operação), obtendo ($250,00) como valor anual de amortização. Os juros do 1 o ano ($80, 00) corr espondem a 8% do saldo do i nício do 1 o ano ($1.000,00), e o valor da prestação ($330,00) cor responde à soma da amor tização com o s juro s de cada ano. O saldo r emanescente do pri ncipal para o 2 o ano é assim obtido:
Os juros do 2 o ano ($60,00) são obtidos pela aplicação da taxa de 8% a.a. sobre o saldo do principal no início do 2 o ano ($750,00). Dessa forma, o quadro de amortização Plano D indica o financiamento de $1.000,00 liquidado mediante o pagamento de quatro do amortizações anuaisque de $250,00 e mais quatro parcelas é anuais de jur os ($80,00, $60,00, $40,00 e $20,00). Assim, as prestações e os juros de cada ano vão diminuindo linearmente de valor ao longo do tempo, e as amo rtizações perm anecem com o mesmo valor de $250,00. Ressaltamos que no sistema de amortizações constantes as prestações são obtidas a partir dos valores das amortizações e dos juros, conforme indicado a seguir:
(8.2)
8.3.5 Comentários Sobre Os Quatro Planos Equivalentes Valem o s seguintes coment ário s em relação aos planos de financiamen to: os quatro planos de pagamentos são absolutamente equivalentes, a uma taxa de 8% ao ano, porque têm o m esmo valor presente (VP = $1.000,00) se descontados a essa mesma taxa. o s quatro planos de pagament os são equivalentes, a uma tax a de 8% ao ano, por que têm o mesmo valor futuro (FV = $1.360,49) no final do 4 o ano, quando seus valores são capitaliza dos par a essa mesma data, a uma taxa de 8% ao ano. Como exercício , sugerimo s que o leitor calcule os valor es presentes e futuros para cada um d os planos de financiamento, através do Simulador da HP-12C, verificando assim sua equivalência. o saldo do principal do início de cad a ano foi sempre r emunerado a 8% ao ano; o pagamento do final do 4 o ano l iquidou int egr almente o saldo r emanescente do principal e juro s devidos de cada plano. o valor total dos pagamentos de cada plano (co nsultar as tabelas anterio res: Plano A = $1.360,49;Plano B = $1. 320,00;Plano C = $1.2 07,68; Plano D = $1.200,00) não po de ser usado co mo referência para aná lise do melhor plano, já que não se está considerando o valo r do dinheiro no tempo. Caso isso fosse válido, o Plano D seria o melhor para quem tomasse esse financiamento, pois r epresenta o plano com o m enor valo r a ser pago. Seguindo essa mesma linha de racio cínio, o Plano A seria o pior de todos, poi s apresenta o maio r valor a ser pago . E sabemos que isso não é verdade.
8.3.6 Juros Médios Para introduzirmos o conceito — de Um juros Processo médios, vamos Aproximado considerar que, no
caso do Plano C (prestações iguais — Modelo Price), a taxa de juros não fosse conhecida. Assim, os valores conhecidos seriam:
Uma das maneiras de achar um valor aproximado para a taxa de juros é pelo processo dos juros médios, cujo pr ocedimento é o seguinte: a) cálculo do pr azo médio do financiament o, pela expressão:
No caso do Plano C (Modelo Pri ce), temos:
b) cálculo da por centagem total de ju ro s em r elação ao pr incipal, c om o auxílio da exp ressão:
No caso do Plano C (Modelo Pri ce), temos:
c) cálculo dos jur os médios, com o auxílio da ex pressão:
No caso do Plano C (Modelo Pri ce), temos:
Vamos, agora, aplicar esse processo dos juros médios ao Plano D (Sistema de Amortizações Constantes — SAC), como indicado a seguir:
Com relação à taxa de juros obtida pelo processo de juros médios, para esses dois planos (Modelo Price e SAC), temos a comentar: a) a taxa de juro s for necida por esse pro cesso de ju ros médios é sempre exata nos financiamentos liquidados pelo sistema de amortizações constantes; b) a taxa de juro s for necida pelo pro cesso de juros médios é sempre superior à taxa exata do financiamento nos financiament os liquidados pelo Modelo Price — prestações iguais.
8.4 Exemplos Numéricos As soluções do s exemplos desenvolvidos nesta seç ão são apr esentadas com o Simulador da HP-12C. 1. Verifique se o s fluxo s de caixa indicado s na Tabela 8.5 são equivalentes a uma taxa de 6% ao ano : Solução:
Para que esses quatro fluxos de caixa sejam equivalentes a 6% ao ano, é necessário que qualquer uma das duas condições a seguir sejam satisfeit as: a) seus valores presentes, a 6% ao ano, sejam iguais a $100.000,00;
b) seus valor es futuro s, no final do 6 o ano, a 6% ao ano, sejam iguais a $141.851,91. As operações par a calcular o s valor es present es dos fl uxos de caixa (B ), (C) e (D) est ão indicadas a seguir : a) valor presente do fluxo B, a 6% ao ano :
b) valor presente d o fl uxo C, a 6% ao ano:
c) valor presente do fluxo D, a 6% ao ano:
Como os valores presentes dos fluxos de caixa (B), (C) e (D), a 6% ao ano, são iguais a $100.000,00, podemos afirmar que esses fluxos de caixa são equivalentes ao fluxo de caixa (A), cujo valor presente também é i gual a $100.000,00. Como os valores presentes de todos os fluxos de caixa são iguais a $ 1 00.000,00, podemos garantir que seus valores futuros, no final do 6 o ano, a 6% ao ano, são iguais a $141.851,91, que é o valor futuro do fluxo de caixa (D ). Sugerimo s que o leitor faça esse cálcu lo co mo exer cício.
Tabela 8.5 Fluxos de caixa equivalentes a 6% ao ano
2. Calcule o valor de Z para que os do is fluxos de caixa indicados na Tabela 8.6 sejam equivalentes, com a taxa de ju ros de 10% ao ano. Solução:
Podemos solucionar este problema calculand o o valo r futuro dos dois fluxos, no final do 4 conforme mo strado a seguir . a) valor futuro do fluxo A, no final do 4 o ano, a 10% ao ano:
b) valor f uturo do fluxo B, no final do 4 o ano, a 10% ao ano, para Z = $1,00:
Como os dois valores futuros devem ser iguais, podemos escrever:
que fornece Z = $3.835,54.
o
ano,
Tabela 8.6 Ano
Flu xo A ($) Flu xo B ($)
0 1
1.000,00
2
1.000,00
3
1.000,00
4
1.000,00
S om a
4 .0 0 0 ,0 0
Z
Z
3. Um banco de desenvolviment o realiza seus financ iamentos de acor do co m o s seguintes parâmetros: i) prazo de 10 an os, com o início da amor tização do pri ncipal ocor rendo no final do 3 o ano; ii) pelo noModelo o u pelo Sistema de A mor tizações Consta ntes; iii)amo taxartização de juro sdodeprincipal 10% ao ano, reg imePrice de juros co mpostos. Calcule os fluxos de caixa de uma empresa que tomou um financiamento de $100.000,00 nessa instituição de fomento, nas seguintes hipóteses: a) juro s pagos durante os dois anos de carência e a mor tização pelo Modelo Price a partir do 3 ano; b) juro s capitalizados durant e os do is anos de carência e amor tização pelo Modelo Pr ice a partir do 3 o ano; c) juro s pagos dur ante os do is anos de carência e amor tização pelo Sistema de A mor tizações Constantes a partir do 3 o ano; d) juro s capitalizados durant e os do is anos de carência e amor tização pelo Sistema de Amortizações Consta ntes a partir do 3 o ano. Solução:
a) Modelo Pr ice com juro s pagos na carência Os juro s pagos, em cada an o, nos doi s anos da carência são iguais a:
O valor da prestação anual é ca lculado confor me indicad o a seguir :
que fornece $18.744,40 para o valor da prestação anual. b) Modelo Price com juro s capitalizados na carência O saldo do financiamento, acumulado no final do 2 o ano, é obtido pela seguinte operação:
o
O valor da prestação anual é ent ão calculado pela operação:
que fornece $22.680,73 para o valor da prestação anual. Vale destacar que, nas situações em que não ocorre pagamento de juros ao longo do período de carência, é necessário calcular o valor corrigido do principal do financiamento na data em que se inicia o pagamento das prestações (que nesse exemplo ocorre no final do 2 o ano). Esse valor corrigido é que será usado como valor de PV para o cálculo do valor das prestações do financiamento. Os fluxos de caixa cor respondentes aos itens a e b estão r epresentados na Tabela 8.7 :
Tabela 8.7 Prestações iguais — Modelo Price — fluxo de caixa
c) Sistema Amorem tizações pago s na Os juro sde pagos, cada anConsta o, nosntes doi com s anosjuro da scarência sãocarência iguais a:
O valor de cada uma das oito amor tizações anuais é obtid o dividindo-se o principal pelo prazo da operação:
O fluxo de caixa desse financiamento está indicado na Tabela 8.8 : Observar que na Tabela 8.8 os jur os anuais, ap ós o perío do de carência, d ecrescem de valor numa razão constante igual a: Decréscim o anual de jur os = 10% × 12.500,00 = $1.250,00
Tabela 8.8 Sistema de Amortizações Constantes — SAC — fluxo de caixa — juros pagos na carência
d) Sistema de Amortizações Constantes com juros capitalizados na carência O saldo do financiamento, acumulado no final do 2o ano, está c alculado a seguir :
O valor de cada uma das oito amor tizações anuais é obtido como se segue:
Os juros a serem pagos no final do 3
o
ano correspondem a:
Os jur os anuais decrescem de valor numa razão co nstante igual a: Decréscim o anual dos juros = 10% × 15.125,00 = $1.512,50 O fluxo de caixa desse financiamento está indicado na Tabela 8.9 :
Tabela 8.9 Sistema de Amortizações Constantes: fluxo de caixa — juros capitalizados na carência
4. Um empresário deseja vender um imóvel pelo preço de $120.000,00 à vista, porém está disposto a financiar 50% desse valor no prazo de um ano, com juro s compostos de 1,5% a o mês, mediant e um dos seguintes planos de pagamentos: a) doze pr estações mensais; b) no doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas parcelas intermediárias de mesmo valor, final de cada semestre; c) duas intermediárias semestrais de $10.000,00 e mais 12 prestações mensais. Sabendo-se que a 1ª prestaç ão o cor re 30 dias após a venda do apartamen to e considerando os meses com 30 dias, calcule os fluxos de caixa desses três planos de financiamento para que sejam equivalentes, a uma taxa de 1,5 % ao mês. Solução:
Valor da parcela financiada = 50% × $120.000,00 = $60.000,00 a) doze pr estações mensais O valor da prestação mensal pode ser calculado com a seguinte operação:
quefornece $5.500,80 parao valordecadaumadas 12 prestações mensais. b) dozeprestaçõesmensaisde $4.000,00 e mais duas intermediárias semestrais
Podemos assumir que cada prestação mensal de $5.500,80 é subdividida em duas parcelas, a saber: 1ª par cela de $4.000,00, que continua sendo pag a mensalmente; 2a par cela de $1.500,80 ($5.500,80 − $4.000,00), que deve ser transfer ida, de fo rma equivalente, para pagamento no final do semestre. Assim, o valor de cada interm ediária semestral é o btido co m a seguinte operação:
que for nece $9.349,31 para o valor de cada uma das dua s intermediárias semestrais. c) duas intermediárias semestrais de $10.000,00 e mais 12 prestações mensais Podemos inicialmente c alcular o valor presente das duas intermediár ias semest rais, co mo se segue:
Assim, o valor presente que deve ser amo rtizado pelas 12 prest ações mensais cor responde a:
O valor da prestação mensal é assim obtido:
que fornece $3.895,55 para o valor de cada uma das 12 prestações mensais. Podemos, então, resumir os três planos equivalentes de pagamentos para a parcela financiada de $60.000,00: i) do ze prestaçõ es mensais de $5.500,80; ii) doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas intermediárias semestrais de $9.349,31;
iii) doze prestações mensais de $3.895,55 e mais duas intermediárias semestrais de $10.000,00. 5. Considere o fluxo de caixa indicado na Figura 8.1 e calcule o valor da prestação mensal x, que ocorr e do 1 o ao 5o mês e do 7 o ao 11o mês, para que a rentabilidade efetiva da operação seja de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Solução:
Inicialmente, devemos calcular o valor presente das duas parcelas de $3.000,00, com as operações a seguir indicadas:
Assim, o valor do principal a ser amortizado pelas 10 parcelas mensais de valor igual a x corr esponde a:
Vamos, agora, determinar o valor presente de 10 parcelas unitárias (x = $1,00), colocadas no final dos 11 primeiros meses, exceto no final do 6 o mês. Isso é alcançado pelas operações a seguir indicadas:
Se chamarm os de x o valor de cada uma dessa s 10 parcelas individ uais, podemos escrever:
que for nece x = $494,53 para o valor das prestaç ões mensais. Uma solução particular para este problema poderia ser alcançada somando e subtraindo a mesma gr andeza x no final do 6 o mês, confor me mostrado no esquema d a Figura 8.2 : o Agora, devemos calcular o valor presente das 11 parcelas unitárias, que ocorrem do 1 mês ao 11 o o mês, e desse valor devemos subtrair o valor presente da parcela unitária colocada no 6 mês. Isso é alcançado pelas oper ações indicada s a seguir :
que fornece o mesmo resultado obtido anteriormente, pelo desconto individual de cada uma das 10 parcelas.
FIGURA 8.1
FIGURA 8.2
6. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado num prazo de quatro anos. A 1ª prestação tem um valor de $2.700,00, e seu pagamento deve ocorrer no final do 1 o ano.
As outras tr ês prestações an uais devem ter um cr escimento linear em r elação à 1 a pr estação, fazendo com que as quatro pr estações for mem uma pro gr amação ar itmética crescent e. Calcule o valor das prestações anuais sabendo-se que a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 8% ao ano.
FIGURA 8.3
Solução:
Inicialmente, devemos calcular o valor presente das quatro parcelas anuais de $2.700,00, com a seguinte oper ação:
que fornece o valor presente de $8.942,74. Assim, o valor presente que deve cor responder às parcelas x, 2x e 3 x deve ser igual a:
Vamos, agora, assumir que x = $1,00 e descontar as parcelas de $1,00 no final do 2 final do 3 o ano e $3,00 n o fi nal do 4 o ano, com as o perações a seguir indicadas:
o
ano, $2,00 no
Podemos então escrever a equação do valor presente para as par celas linearmente crescen tes:
que fornece x = $227,36, e portanto temos: Prestação do 1o ano = $2.700,00 Prestação do 2o ano = $2.700,00 + $227,36 × 1 = $2.927,36 Prestação do 3o ano = $2.700,00 + $227,36 × 2 = $3.154,72 Prestação do 4o ano = $2.700,00 + $227,36 × 3 = $3.382,08
8.5 Resumo O conceito de equivalência de fluxo de caixa utilizado na tomada de decisão de investimentos foi desenvolvido ao longo do presente capítulo por meio da apresentação de exemplos de planos de financiamento, especialmente o Modelo Price e SAC (Sistema de Amortização Constante), comumente usados no mercado financeiro . A equivalência r epresenta o po nto de indiferença entre dois fluxos de caixa. Isso significa que tanto faz r ealizar o investimento A ou investimen to B se seus valor es present es for em ig uais. Nas situações em que dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa de uro s, essa equ ivalência de ixará de existir se a taxa de juro s for alterada. Lembramos, finalmente , que a equivalência deve ser analisada no r egime de jur os co mpostos e que pode ser veri ficada no final de qualq uer perío do n, desde que o período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos de caixa en volvidos.
8.6 Problemas Propostos Considere em todos os problemas o ano comercial com 360 dias .
1. Calcule o valor das cinco prestações anuais de um plano de pagamentos para um financiamento de $1.000,00, com taxa de juros de 10% ao ano, que obedeça aos seguintes critérios: a) os juro s de cada ano devem ser calculados sobr e o saldo deved or do início do ano, imediatamente após o pagamento da prestaç ão do ano anterior ; b) a prestação de cada an o é obtida pela divisã o do saldo devedor no final do respectivo ano (imediatamente antes do pagamento da prestação que está sendo calculada) pelo número de prestações que ainda faltam ser pagas (inclusive a prestação em questão); c) desdobr e as cinco prestações anua is em suas parcelas de amor tização e jur os, e veri fique que as prestaç ões são crescentes numa prog ressão geo métrica igual a 1,10 (= 1 + taxa de juro s). 2. Uma instituição financeira está elaborando os cálculos de seus financiamentos e deseja que a taxa efetiva de 1% ao mês, no r egime de jur os co mpostos, seja mant ida em todas as su as operaçõ es. Considerando que os meses têm 30 dias e que o financiamento de um principal de $10.000,00 deve ser amor tizado no prazo de 10 meses, calcule : a) o valor das prestaç ões mensais, iguais e sucessivas (Modelo Price, sér ie postecipa da); b) o valor das prestações mensais segundo o Sistema de Amor tizações Constan tes. 3. Um empréstimo de $100.000,00 é realizado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos, e deve ser amor tizado pelo Sistema de Amortizações Const antes, no pr azo de 10 anos com o s dois pr imeir os anos de carência. Calcule o fluxo de caixa desse empréstimo nas seguint es hipóteses: a) os juro s devidos nos dois pr imeir os anos de carência sã o pago s no final de cada ano;
b) os juro s devidos nos dois pr imeir os anos de carência n ão são pago s, e sim capitalizados. 4. Uma instituição financeira r ealiza seus empréstimos a juro s com postos, com uma taxa efetiva de 1,4% ao mês, e as oper ações podem ser liquidadas com duas modalidad es de pagament os: a) em 24 prestaç ões mensais, iguais e sucessiva s, ocor rendo a 1ª prestaçã o 30 dias após a liberação dos r ecurso s; b) em quatro parcelas semest rais, ig uais e suce ssivas, ocor rendo a 1ª parcela 180 dias ap ós a liberação dos r ecurso s. Calcule o valor das prestaç ões mensais e das parcelas semestrais par a um financiament o cujo principal é de $50.000,00, de tal forma que as duas modalidades de pagamentos sejam equivalentes na taxa oferecida pela instituição financeira. Considere os meses com 30 dias. 5. Um terreno com um valor à vista de $50.000,00 está sendo financiado num prazo de dois anos, mediante o pagamento de 24 prestações mensais e, adicionalmente, mais duas parcelas anuais de mesmo valor. Esses pagamentos têm as seguintes características: a) as prestações mensais são sucessivas e iguais a $1. 500,00, ocor rendo a 1 a prestação 30 dias após a vend a do terr eno; b) as duas parcelas anu ais, de mesmo valor, devem ser pagas no final do 12 o mês e do 24 o mês, a contar da vend a do terr eno. Considerando os meses com 30 dias, calcule o valo r das parcelas anua is para que a taxa efetiva do financiamen to seja de 1,5 % ao m ês, no r egime de jur os co mpostos. 6. Um banco de investimen tos está ela bor ando os pro gr amas para o s cálculos de seus financiamentos e deseja que a taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos, seja mantida em todas as operações. C onsidere que os fi nanciamentos devem ser amor tizados no prazo de dois anos e que a 1ª pr estação tem venc imento 30 dias após a liber ação dos r ecursos. Conside re um financiamento com um principal de $10.000,00 e calcule: a) o valor de cada uma das 24 prestações mensais, iguais e sucessiv as; b) para quan to será r eduzido o valor da prestação mensal se no final de c ada trimestre for paga uma parcela intermediária de $1.000,00, adicionalmente ao valor da prestação mensal correspondente; c) o valo r da parcela int ermediár ia trimestral, se a pr estação mensal for fixada em $3 00,00. 7. Um banco de investimentos financia apenas 80% do valor à vista de qualquer equipamento e cobra jur os com postos efet ivos de 1% ao mês. Um empresário deseja compr ar um equipament o no valor de $25.000,00 e, portanto, pode se habilitar num financiamento de $20.000,00, para ser amor tizado no pr azo de um ano. Considerando o ano com ercial, calcule: a) o valo r das 12 prestações mensais, sa bendo-se que a 1ª prestaçã o o cor re 30 dias após a liberação dos r ecurso s; b) para que valor deve ser reduzida essa p restação mensal se o banco aceita r o pag amento de duas parcelas intermediárias de $5.000,00, sendo a 1ª parcela no final do 3 o mês ea 2 a parcela no final do 9 o mês, a cont ar da liber ação dos r ecursos? Observar que nesses dois m eses serão efetuados os pagamentos da prestaç ão mensal e também da parcela intermediária de $5.000,00; c) repetir o s cálculos do item b na hipótese de as parcelas intermediárias de $5.000,00 já incluírem as respectivas prestações mensais do 3 o mês e do 9 o mês. 8. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de oito pr estações mensais, iguais e sucessivas, e de mais uma parcela intermediária adicio nal, a ser paga no final do 3 o mês a contar da liber ação dos r ecursos. Obt er o fluxo de caixa desse
financiamento, sabendo-se que: a) a taxa efetiva de juro s desse fina nciamento é de 1,5% ao mês, no reg ime de juro s compostos; b) a 1 a prestação mensal ocor re 30 dias ap ós a liberação dos r ecursos; c) a parcela int ermediár ia é três veze s maior do que o valor da prestação mensal. 9. Um financiamento cujo principal é igual a $100.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de nove presta ções mensais, ocor rendo a 1ª prestação 30 dias após a liber ação do pr incipal. As três pr imeir as prestações mensais são iguais a $10.000,00, e as três pr estações mensais seguintes são iguais a $12.000,00. As últimas três prestações devem ter valores iguais. Calcule o valor dessas últimas três prestações mensais, sabendo-se que a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,3% ao mês, no r egime de juro s compostos. 10. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de duas parcelas, uma no final do 1 o mês e outra no final do 4 o mês, a cont ar da liber ação dos recur sos. Calcule o valor desses pagamentos sabend o-se que a segunda parcela é quat ro vezes maior do que a pr imeir a, e que a tax a efetiva de juro s desse financ iamento é de 1,5% ao mês, no regime de juros compost os.
CA PÍT ULO 9
Fluxos de Caixa Não Homogêneos 9.1. Introdução Fluxos de caixa não homogêneos são aqueles cujos valores de suas parcelas são distintos entre si e que não apresent am nenhuma lei de for mação que permi ta uma simplificação do cálculo das funções financeiras. Proble mas envolvendo fluxos de caixa não homogêneos já foram apresentados no Capítulo 7, e solucionados com o auxílio do Simulador da HP-12C. Mas para que fosse possível solucionar esse tipo de problema com o Simulador da HP-12C, cada parcela do fluxo de caixa precisou ser tratada individualmente. Dessa forma, cada parcela futura (FV) foi, uma a uma, descontada para se obter seu correspondente valor presente (PV). O valor presente total do fluxo de caixa foi determinado pela soma dos valor es presente s de suas parcelas futuras. R ecomendamos que o leitor consulte o Exemplo 3 da Seção 7.2.2 para ver ificar tal situação. O objetivo deste capítulo é ilustrar como a calculadora HP-12C e a Planilha Eletrônica Excel solucionam problemas de fluxos não homogêneos: a HP-12C através de suas funções NPV ( Net Present Value) e IRR (Internal Rate of Return), ea Planilha Excel através das funções VPL (Valor Presente Líquido) e TIR (Taxa Interna de Retor no).
9.2. Expressão Genérica do Valor Presente Líquido A Figura 9.1 mostra um fluxo de caix a genérico , ao long o de n perío dos da escala de t empo:
FIGURA 9.1 Um fluxo de caixa genérico
em que: CF0 — parcela do fluxo de caixa no ponto 0 (Cash Flow no ponto 0) CF1 — parcela do fluxo de caixa no ponto 1 (Cash Flow no ponto 1) CF2 — parcela do fluxo de caixa no ponto 2 (Cash Flow no ponto 2) ..... CFn — parcela do fl uxo de caixa n o po nto n (Cash Flow no ponto n) Seja CF0 a parcela do fluxo de caixa colocada no ponto zero da escala de tempo. Essa parcela normalmente corresponde ao investimento inicial e, nesse caso, tem sinal negativo (−), por
representar um desembolso, o u seja, uma saída de caix a. Seja CFj qualquer parcela do fluxo de caixa que ocorrer a partir do final do 1 o período até o final do último perío do ( n). O valor presente líquido desse fluxo de caixa, para uma determinada taxa de desconto i, tem a seguinte expressão g enérica:
(9.1)
que corresponde a um polinômio de grau n, em que temos:
O valor presente líquido de qualquer fluxo de caixa, para qualquer taxa de desconto i, é obtido pela função NPV da HP-12C e pela função VPL do Excel. A taxa interna de retorno de qualquer fluxo de caixa é obtida pela função IRR da HP-12C e pela função TIR do Excel. A taxa interna de retorno do fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz com que o valor presente líquido seja igual a zero. Essa condição, colocada na Equação (9.1), fornece:
(9.2) Assim, a taxa interna de retorno do fluxo de caixa corresponde a uma das raízes da n Equação (9.2) de grau n. As únicas raízes que têm sentido econômico são as que correspondem a valores reais positivos. A regra de sinal de Descartes garante que os polinômios com apenas uma variação de sinal em seus coeficientes tenham apenas uma raiz real positiva.
9.3. Utilização da Calculadora HP-12C e da Planilha Excel 9.3.1 . HP-12C: Funções Financeiras NP V E IRR As funções financeiras NPV e IRR da HP-12C servem para calcular o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa que tenham sido previamente registrados na calculadora por meio das seguint es funções: CF0: para r egistrar o fluxo de caixa do ponto zero CFj: para r egistrar o fluxo de caixa do ponto genérico j Nj: para r egistrar o número de parcelas individuais CF j de mesmo valor e r epetidas seque ncialmente As funções financeiras NPV e IRR exigem que os fluxos de caixa sejam informados de forma sequencial, sendo indispensável o registro de todas as parcelas do fluxo, inclusive as que tiverem valor igual a ze ro . Os exemplos numéri cos deste cap ítulo ir ão i lustrar com detalhes a utilização da HP-1 2 na solução desses problemas.
9.3.2. Planilha Eletrônica Excel
9.3.2.1 Funções Financeiras VPL e TIR As funções financeiras VPL e TIR, da planilha Excel, servem para calcular, respectivamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa que tenham sido registrados, de uma forma sequencial, nas células da planilha. Todos os valores do fluxo de caixa devem ser informados, inclusive os que tiverem valor igual a zero, pois cada célula da planilha corresponde, necessariamente, a um período de capitalização de uros. A fórmula da função financeira VPL tem a seguinte expressão:
em que os parâmetros correspondem a: Taxa — taxa de desconto em %, cuja unidade referencial de tempo deve coincidir com a unidade refer encial de tempo utilizada para definir o número de períodos. Valor 1 — valor da parcela do fluxo de caixa colo cada no fi nal do 1 o perío do, ou seja, na 1ª cé lula após o investimento inicial (perío do 0). Valor 2 — valor da parcela do fluxo de caixa colo cada no fi nal do 2 o perío do, ou seja, na 2ª cé lula após o investimento inicial. A fórmula da função financeira TIR tem a seguinte expressão: = TIR (valores; estimativa) em que os parâmetros correspondem a: Valores — valores de todas as parcelas individuais do fluxo de caixa, incluindo o investimento inicial (parcela no po nto zer o), que deve m ser infor mados de for ma sequencial, nas células da planilha. Estimativa — voalor estimado tax a interna de retorno em % (pode ser omitido o u reg istrado sempre com valor igual a da zero).
9.3.2.2 Funções Financeiras XVPL e XTIR1 As funções financeiras XVPL e XTIR são funções “especiais” da Planilha Excel que têm a flexibilidade de calcular o Valor Presente Líquido e a Taxa Interna de Retorno de fluxos de caixa cujas parcelas não apresentam qualquer lei de formação, quer em relação aos seus valores, quer em relação às suas dat as de ocor rência. A única exigência é que o fluxo de caixa se ja r egistrado de fo rma cronológica, fazendo-se a vinculação do valor de cada uma das suas parcelas às suas respectivas datas de ocor rências. Essas funções calculam o tempo exato, em dias, entre as parcelas do fluxo de caixa, e sempre transformam a taxa anual de juros em sua taxa diária equivalente. A fórmula da função financeira XVPL tem a seguinte expressão:
em que os parâmetros correspondem a: Taxa — taxa de desconto em % ao ano, com 365 dias. Valor es — valor es de todas as parcelas individu ais do fluxo de caixa que de vem ser infor madas cro nolo gicamente , desde o invest imento inicial (ponto zero) até a última parcela.
Datas — datas de calendário em que ocor rem, cro nolo gicamente , as parcelas individuais do fluxo de caixa. A função XVPL calcula o valor presente líquido do fluxo de caixa pelas seguintes operações: a) transforma a taxa de desconto anual em sua taxa equivalente diária, considerando o ano com 365 dias; b) desconta individu almente cada parcela com essa taxa diária, considerando os dias decor ridos desde o ponto zero ; c) efetua a so ma de todos o s valor es descontados. A fórmula da função financeira XTIR tem a seguinte expressão:
em que os parâmetros correspondem a: Valor es — valor es de todas as parcelas individu ais do fluxo de caixa que de vem ser infor madas cro nolo gicamente , desde o invest imento inicial (ponto zero) até a última parcela. Datas — datas de calendário em que ocor rem, cro nolo gicamente , as parcelas individuais do fluxo de caixa. Estimativa — v alor estimado da tax a interna de retorno em %, que pode ser o mitido ou fo rnecido sempre com o valor igual a zero. O valor da taxa interna de retorno calculado pela função XTIR é sempre fornecido em termos anuais, considerando o ano com 365 dias.
9.3.3. Exemplos Numéricos Os exemplos numéricos desse capítulo são todos so lucionados pela HP-1 2C e pela planilha elet rônica Excel para que o leitor se familiarize com os dois métodos de solução. Vale ressaltar que alguns tópicos dos problemas que podem ser resolvidos através do Simulador da HP-12C terão solução idêntica em ambos os m étodos. 1. Considere o fluxo de caixa indicad o no Pr oblema 3 da Seção 7.3.2 do Capítulo 7. Calcule: a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 10,00% ao ano e 12,00% ao ano; b) a taxa interna de retor no desse fluxo de caixa, em % ao ano. 1ª Solução: Calculadora HP-12C
Inicialment e, devemos r egistrar o fluxo de caixa na HP -12C com as seguinte s oper ações:
Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo do valor presente líquido atravésa)dacálculo funçãodoNPV, diversas taxas de desconto, conforme indicado a seguir: valorpara presente líquido
O fluxo de caixa continua registrado na HP-12C, sem qualquer alteração, e podemos calcular sua taxa interna de retor no com a função IRR, confor me indicad o a seguir : b) cálculo da t axa interna de r etor no, em % ao ano
Recomendamos que seja feita uma comparação entre os r esultados aqui obtidos com aqueles apresentados no Pro blema 3 da Seção 7.3.2 do Capítulo 7, com o auxílio do Simulador da HP-12C. Ressaltamos, ainda, os seguintes pontos: houve apena s uma inversão de sinal nos valor es do fluxo de caixa, q ue são o s coeficiente s da equação do valor presente líquido. E ssa inversão o cor reu na passagem do co eficiente CF 0 (− $11.500,00) para o coefi ciente CF1 (+ $2.350,00). Temos, então, uma única r aiz r eal pos itiva, que corr esponde a 11,537% ao ano; o valo r presente líquido para 0,00 % cor responde à soma algébr ica de todas as parcelas do fluxo de caixa. Esse cálculo é útil par a verifi car se os valo res do fl uxo de caixa est ão reg istrados cor retamente na calculador a. 2ª Solução: Planilha Excel:
Entrada do fluxo de caixa
O registro do fluxo de caixa pode ser feito em qualquer parte da planilha. O importante é registrar todas as parcelas do fluxo de caixa numa ordem sequencial, digitando, inclusive, as parcelas com valores iguais a zero. Na chamada das funções VPL e TIR, seus parâmetros são informados pelas células que contêm seus respectivos valores. O fluxo de caixa, devidamente registrado na Planilha Excel, está indicado a seguir:
Com r elação aos valo res dessa planilha, des tacamos o s seguintes pont os: o investimento inicial, no valor de $11.500,00, está colocado na célula C3, com o sinal negativo; as parcelas futu ras do fluxo de caixa, d o 1 o ao 5o ano, estão colocadas nas células C4 a C8, todas com o sinal positivo; a som a algébri ca dos valor es do fluxo de caixa, no valor de $5.215,00, foi calculad a com a função SOMA ou ∑ do Excel, e está colocada na célula C9. Esse valor deve corresponder ao valor presente líquido do fluxo de caixa obtido com a função VPL e com a taxa de desconto de 0%. Valor presente líquido do fluxo de caixa — Função VPL
Devemos, inicialmente, criar uma área na planilha para registrar os VPLs que serão calculados para cada uma das taxas de desconto. Escolheremos as células B12, B13 e B14 para registrar os valores das taxas: 0%, 10% e 12% ao ano , respectivamente. A seguir, devemos inserir as fórmulas da função VPL nas células C12, C13 e C14. Para isso, devemos digitar na célula C13 o sinal de igual (=) e no menu principal escolher Inserir Função. Na janela das funções, de ve ser escol hida a funç ão financeira VPL (marcar catego ria Financeira) cujo s parâmetro s devem ser localizados na Planilha Excel 2. O mesmo procedimento deve ser feito nas outras células, com o cuidado de selecionar os par âmetro s associados a cada uma das t axas de desconto. Após a localização dos parâmetros da função VPL, a Planilha Excel deve mostrar a seguinte apresentação:
Com r elação aos valo res dessa planilha, des tacamos o s seguintes pont os: a fó rmula colo cada na célula C13 es tá indicada a seguir:
que corr esponde à funç ão VPL somada ao valor da célula C 3. Seus parâmetro s cor respondem a: B13 — célula que contém a taxa de desconto de 10,00% ao ano C4:C8 — intervalo entre as células C4 e C8, que contém os valores das parcelas futuras do fluxo de caixa, do 1 o ao 5o ano C3 — valor do investimen to inicial (par cela do ponto zero) que deve ser somado à fó rmula da função VPL a fim de obter o valor presente líquido de cada fluxo de caixa. O valor presente líquido obtido pela execu ção da fór mula colo cada na célula C13 é igual a $543,84, e está indicado na planilha a seguir:
Com r elação aos valo res dessa planilha, des tacamos o s seguintes pont os: os valores presentes líquidos obtidos para as taxas de desconto de 0,00% e 12% ao ano estão colocado s nas células C12 e C14, e cor respondem, r espectivamente, a (+) $5.215,00 e (−) $156,65. as fó rmulas colo cadas nas células C12 e C 14 estão indicadas a seguir :
em que os parâmetros são semelhant es àqueles colocados na célula C1 3. Cálculo da Taxa interna de retorno do fluxo de caixa — Função TIR
Devemos inserir a fórmula da função TIR na planilha. A C16 foi a célula escolhida para tal. Devemos indicar em seus parâmet ros as lo calizações dos valor es do fluxo de caixa . Para isso, devemos digitar na célula C16 o sinal de igual (=), e, no menu principal, escolher Inserir Função. Na janela das funções, deve ser escolhida a função financeira TIR, (marcar categoria Financeira), cujos parâmetros devem ser localizados na Planilha Ex cel. Após a localização dos parâmetros da função TIR, a Planilha Excel tem a seguinte apresentação:
Com r elação aos valo res dessa planilha, des tacamos o s seguintes pont os: a fó rmula da funç ão T IR para calcular a taxa interna de retor no, colo cada na célula C1 6, está indicada a seguir :
em que o parâmetro C3:C8 corresponde ao intervalo entre as células C3 e C8 que contêm os valores de todas as parcelas do fluxo de caixa, na ordem sequencial, desde o investimento inicial até a parcela do 5 o ano; o parâmetro estimativa dessa função T IR, que cor responde a um valo r estimado par a a taxa interna de retorno , não foi incluído, pois sua omissão não altera o r esultado final. O valor da taxa interna de retorno obtido pela execução da função TIR colocada na célula C16 é igual a 11,537% ao ano, e esse valor aparecerá na própria célula C16. Note que os resultados aqui obtidos são idênticos aos obtidos com a HP-12C. 2. Um título é emitido pelo prazo de um ano, com um valor de $100.000,00, e paga juros trimestralment e com uma taxa efet iva de 12% ao ano , no r egime de jur os co mpostos. Considerando o ano com quatro trimestres de 90 dias, c alcule: a) o valor dos jur os impr esso nos cupons e que será pago no final de cad a um dos quatro trimestres; b) o percentual de deságio no preço de emissão de $100.000,00, para que os investidores tenham uma rentabilidade efetiva de 13% ao ano, no caso de realizarem a compra na data da emissão e co nservarem o título até seu ve ncimento, no final de um ano; c) a rentabilidade efetiva, em % ao ano, dos investidores que comprarem esse título, na data de emissão, com um deságio de 1,5% e o co nservarem até seu ve ncimento, no final de um ano.
1ª Solução: Calculadora HP-12C
a) valor do s cupons trimestrais de juros Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 12% ao ano, com as operaçõ es indicadas a seguir:
que fornece a taxa de 2,873734% ao trimestre. Assim, o valor dos cupons t rimestrais de juro s é igual a:
O fluxo de caixa desse t ítulo por ocasião de sua emissão é, por tanto, o que se segue: b) percentual de deságio para rentabilidade de 13% ao ano Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 13% ao ano, com as operaçõ es indicadas a seguir:
que fornece a taxa de 3,102598% ao trimestre. O r egistro do fluxo de caixa na H P-12C é feito co m as seguintes operações:
Observar que o valor de CF0 foi colo cado como sendo ig ual a zero par a que o valor presente líquido do fluxo de caixa (NPV) represente o preço de venda do título para a taxa de desconto desejada. Com o fluxo de caixa registrado na HP-1 2C, podemos fazer o cálculo do valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 3,102598% ao trimestre, conforme indicado a seguir:
Assim, para se obter a taxa de 13% ao ano (equivalente a 3,102598% a.t.), é necessário que o preço de venda seja igual a $99.151,36. O percentual de deságio sobre o preço de emissão de $100.000,00 é portanto:
c) Com rentabilidade efetiva anual para deságio de 1,5% o deságio de 1,5%, o preço de venda do título é o btido pela r elação: Preço de venda = $100.000,00 − ($100.000,00 × 1,5%) = $98.500,00 Como o fluxo de caixa do títu lo já está registr ado na HP-12C, temos apena s de introduzir o valor de $98.500,00 para o preço de venda, confor me indicad o a seguir:
Podemos, agor a, realizar o cálculo da taxa interna de retor no, confor me indicad o a seguir :
A taxa efetiva anual equivalente a 3,27 9976% ao tr imestr e é obtida com o se segue:
que fornece a rentabilidade efetiva de 13,779629% ao ano, encontrada através da relação entre o valor futuro e o valor presente do título. 2ª Solução: Planilha Excel
a) valor do s cupons trimestrais de juros Mesma solução que a apresentada no item a) da Solução com HP-12C. O fluxo de caixa do título é por tanto o mesmo apr esentado na Tabela 9.1.
Tabela 9.1
b) percentual de deságio para rentabilidade de 13% ao ano Mesma solução que a apresentada no item b) da Solução com HP-12C. Devemos agora registrar o fluxo de caixa na Planilha Excel e descontar suas parcelas futuras com a taxa efetiva de 3,102598% ao tr imestre, com o auxílio da função VPL , confor me indicado a seguir :
Com r elação aos valo res dessa planilha destacamos o s seguintes pont os: a fórmula colocada na célula C11 está indicada a seguir:
em que os parâmetros correspondem a: B11 — célula que contém a taxa de desconto de 3,102598 % ao trimestre; C4:C7 — intervalo entre as células C4 e C7, que contém os valores das parcelas futuras do fluxo de caixa, do 1 o ao 4o trimestre. O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula colocada na célula C11 é igual a $99.151,36 e está indicado na planilha a seg uir:
Assim, para se obter a taxa de 13% ao ano (equivalente a 3,102598% a.t.), é preciso que o preço de venda seja igual a $99.151,36. O percentual de deságio sobre o preço de emissão de $100.000,00 é portanto:
c) rentabilidade efetiva anual para deságio de 1,5% O preço de venda do título, já calculado na Solução com HP-12C, é po rtanto $98.500,00. Como o fluxo de caixa do título já está registrado na Planilha Excel, temos apenas de introduzir o valor de $98.500,00 na célula C 3 para o preço de venda, e executar a fór mula da função TIR, colocada na célula C10, conforme indicado na planilha que se segue:
que fornece a taxa de 3,279976% ao trimestre. A taxa efetiva anual já fo i calculada no item c da sol ução co m HP-12C, e tem o valo r de 13,779629%.
3. Um veículo, com o valor à vista de $20.600,00, é vendido a prazo, no dia 1 o de março, com três pagamentos mensais, sucessivos e iguais a $7.000,00, que devem ser efetuados a partir do 30 o dia da data da venda. Cada prestação vence 30 dias após a prestação anterio r. No caso deste exemplo, as questões serão apresentadas juntamente com as soluções, uma vez que os enunciados apresentam pequenas diferenças entre o método de solução através do Excel e o método através da HP-12C. 1ª Solução: Calculadora HP-12C
a) fluxo de caixa do fi nanciador O fluxo de caixa do financiad or está indicado na Tabela 9.2 : Como as pr estações ocor rem a cada 30 d ias, os cálculos tamb ém podem ser r ealizados considerando-se perío dos medidos em m eses. Para isso precisamos calcular a tax a mensal equivalente à taxa fornecida. Dessa forma, enquadramos o problema nas condições adotadas pelas funções NPV e IRR da HP-12C. Com a taxa mensal, podemos, ainda, considerar as três prestações de $7.000,00 como um parâmetro PMT no Simulador da HP-12C.
Tabela 9.2
b) taxa de juros diária equivalente a 9% a.a., assumindo o ano com 365 dias Para calcularmos essa tax a diária, devemos ent rar com o s dados, confor me indicad o a seguir:
que for nece a taxa de 0,02361312% ao dia; c) taxa de juros mensal equivalente à taxa diária do item b Para calcularmos essa tax a mensal, d evemos entrar com o s dados, confor me indicad o a seguir:
que for nece a taxa de 0,7108244% ao m ês; d) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 — desconto individual das parcelas com taxa diária do item b Os dados para o desconto individual das prestações mensais de $7.000,00, usando a taxa de 0,02361312% ao dia, estão indicados a seguir:
que fornece o valor presente de $20.704,95; e) valor presente das três prestações mensais de $7.000,00 — desconto com função PMT e taxa mensal do i tem c Nesse caso, os dados, com a taxa de juro s de 0,7108244% ao mês, estão indicados a seguir :
que fornece o valor presente de $20.704,95, idêntico ao obtido no item d, como era de esperar. O que mudou foi apenas a unidade de tempo dos cálculos; f) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 — desconto com função NPV e taxa mensal do i tem c Devemos, inicialment e, reg istrar o fluxo de caixa na HP -12C com as seguint es oper ações:
Com o fluxo de caixa registrado na HP-1 2C, podemos fazer o cálculo do valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 0,7108244% ao mês, conforme indicado a seguir:
que fornece o valor presente de $20.704,95, idêntico aos obtidos nos itens d e e; g) taxa interna de r etor no, em % ao mês, usando a função i do Simulador da HP-12C. Devemos entrar co m os dados indicados a seguir:
que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês; h) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função IRR da HP-12C Devemos, inicialment e, reg istrar o fluxo de caixa na HP -12C com as seguint es oper ações:
Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo da taxa interna de retorno, em % ao mês, com o auxílio da função IR R, confor me indicad o a seguir :
que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês, idêntica à obtida no item g. i) valo r presente das prestações mensais de $7.000 ,00, pela função NPV da HP-12C, com a taxa diária o btida no item b Para usarmo s a função NPV com o s perío dos medidos em dias, precisamos de um artifício simples, qu e consiste em colo car zer os entre as parcelas do fluxo de caixa, confor me indicado a seguir. Dessa for ma, devemos, i nicialmente, r egistrar o fluxo de caixa na H P-12C com as seg uintes operações:
Com o fluxo de caixa registrado, com a presença dos valores zero em todos os dias que não ocorrem qualquer tipo de pagamento ou de entrada de caixa, podemos fazer o cálculo do valor presente líquido, com o auxílio da funçãoNPV, paraataxade0,02361312%aodia, conformeindicado aseguir:
que fornece o valor presente de $20.704,94, idêntico aos valores obtidos nos itens d, e e f; j) taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C Com o fluxo de caixa já reg istrado com o s perío dos medidos em dias, precisamos intro duzir o valor da parcela inicial de (−) $20.600,00 e acionar a função IRR, conforme indicado a seguir:
que fornece a taxa interna de retorno de 0,032108956% ao dia. l) taxa interna de r etor no, em % ao m ês, equivalente à taxa diári a do i tem j Devemos entrar com o s dados indicados a se guir :
que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês, idêntica às obtidas nos itens g e h; m) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item j, considerando o ano com 365 dias Devemos entrar co m os dados indicados a seguir:
que for nece a taxa interna de r etorno de 12,4320528% ao ano, considerando o ano com 365 dias. 2ª Solução: Planilha Eletrônica Excel
a) fluxo de caixa do fi nanciador O fluxo de caixa do financiad or é o m esmo que o i ndicado na Tabela 9.2. Como as pr estações ocor rem a cada 30 d ias, os cálculos tamb ém podem ser r ealizados considerando-se perío dos medidos em meses. Dessa for ma, podemos usar as funções VP L e TIR com os per íodo s (células) em meses e co m a taxa mensa l. Além disso, as três parcelas de $7.000,00 podem ser consideradas como um parâmetro PMT no Simulador da HP-12C. A utilização das funções VPL e TIR, com a taxa diária e com os períodos (células) em dias, implica, nece ssariamente, a criação de células ent re as parcelas do fluxo de caixa para ser em preenchida s com zero s, tal com o r ealizado com a HP-12 C. No Excel, temos o recurso das funções XVPL e XTIR, que evita esse artifício, como mostraremos a seguir. b) taxa de juros diária equivalente a 9% a.a., considerando o ano com 365 dias Mesma solução que a apresentada no item b da Solução com HP-12C. c) taxa de juros mensal equivalente à taxa diária do item b Mesma solução que a apresentada no item c da Solução com HP-12C. d) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 — desconto com função PMT e taxa mensal do i tem c Nesse caso, os dados, com a taxa de juro s de 0,7108244% ao mês, estão indicados a seguir :
que fornece o valor presente de $20.704,95; e) valor presente das três prestações mensais de $7.000,00 — desconto com função VPL do Excel e com taxa mensal do item c Devemos, inicialmente, registrar as três prestações de $7.000,00 na Planilha Excel e executar a função VPL, confor me indicado a seguir :
Com r elação aos valo res dessa planilha, des tacamos o s seguintes pont os: a fórmula da função VPL, colocada na célula E11, está indicada a seguir:
em que os parâmetros correspondem a:
D11 — célula que contém a tax a de de sconto de 0,7108244% ao mêsE4:E6 — intervalo entre a s células E4 e E6, que contém os va lores das parcel as futuras do fluxo de caixa, do 1 o ao 3o mês O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula da função VPL, colocada na célula E11, é igual a $20.704,95, idêntico ao obtido no item d; f) valo r presente das pr estações mensais de $7.000 ,00, pela função XVP L da Planilha Excel e com taxa de desconto de 9% ao ano (365 dias) Com o fluxo de caixa já registrado na Planilha Excel, basta introduzir a taxa de desconto na célula D11 e a fó rmula da função XVPL na célula E11, como se segue:
Com r elação aos valo res dessa planilha, des tacamos o s seguintes pont os: A fórmula da função XVPL, colo cada na célula E11, está indicada a seguir :
em que os parâmetros correspondem a:
D11 — célula que contém a tax a de de sconto de 9,00% ao anoE3:E6 — intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores das parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3 o mêsB3:B6 — intervalo entre as células B3 e B6, que contém as data s referentes às parcelas do fluxo de cai xa, desde o investimento inicial até a parcela do 3 o mês O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula da função XVPL, colocada na célula E11, é igual a $20.704,95, idêntico ao obtidos nos itens d e e; i g) Mesma taxa interna de rque etorano, em % ao mês, usando solução apresentada no item daa função do Simulador . da HP-12C/Excel g
Solução com HP-12C
h) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função TIR do Excel Com o fluxo de caixa já regi strado no Excel, bast a introduzir a fór mula da funç ão T IR na célula E10, como indicado a seguir :
Com r elação aos valor es dessa plan ilha, destacamos que a fór mula da funçã o TIR, colo cada na célula E10, tem a seg uinte apresentação:
em que os parâmetros correspondem a: E3:E6 — intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores de todas as parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3 o mês A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da função TIR, colocada na célula E10, é igual a 0,967766693% ao mês, idêntica à obtida no item g; i) taxa interna de retorno, em % ao dia, que é equivalente à taxa mensal obtida no item h
Devemos entrar co m os dados indicados a seguir:
que fornece a taxa interna de retorno de 0,032108956% ao dia; j) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item i, considerando o ano co m 365 dias Devemos entrar co m os dados indicados a seguir:
que for nece a taxa interna de r etorno de 12,4320528% ao ano, considerando o ano com 365 dias; l) taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel Com o fluxo de caixa já regi strado no Excel, bast a introduzir a fór mula da funç ão XTIR na célula E9, como se segue:
Com relação aos valores dessa planilha, destacamos que a fórmula da função XTIR, colocada na célula E9, tem a seguinte apresentação:
em que os parâmetros correspondem a: E3:E6 — intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores das parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3 o mês
B3:B6 — intervalo entre as células B3 e B6, que contém as datas referentes às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela do 3 o mês A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da função XTIR, colocada na célula E9, é igual a 12,430525% ao ano, praticamente idêntica à obtida no item j.
9.4. Resumo Neste capítulo, mostramos as diferentes metodologias de cálculo de VPLs e de TIRs quando os fluxos de caixa dos pro blemas apresentados são não homo gêneos. Verificamos que na calculadora HP-12C as funções utilizadas para cálculo do valor presente líquido e da taxa interna de retorno de fluxos de caixa são as teclas NPV e IRR, respectivamente, enquanto na planilha Excel essas são realizadas funções VPL ser e TIR. Os fluxos de caixa devem ser registrados de operações forma sequencial, e todasatravés as suasdas parcelas devem informadas, inclusive as que tiverem valores iguais a zero. No caso do Excel, cada célula da área da planilha escolhida pa ra r egistro do fluxo de caix a cor responde a um p erío do de capitalização de juros. Em seguida, apresentamos, de forma rápida, as funções financeiras XVPL e XTIR, funções “especiais” do Excel, muito úteis no cálculo de fluxos de caixa que não apresentam qualquer semelhança nem em relação a seus valores, nem em relação às suas datas de ocorrências. Caso o leitor queira mais info rmações sobr e essas funções, dev e consulta r o Apêndice B do CD do Leit or. Toda a teor ia aqui cit ada foi il ustrada através de exe mplos r esolvidos, com o o bjetivo de facilitar o entendimento e as peculiaridades de cada um dos métodos de cálculo.
9.5. Problemas Propostos 1. Considere o seguinte fluxo de caixa: Mês Val or ($) 0
(−) 25.000,00
1
(+) 0,00
2
(+) 3.000,00
3
(+) 0,00
4
(+) 4.000,00
5
(+) 4.500,00
6
(+) 15.000,00
Soma
(+ ) 1. 500 ,0 0
Em relação a esse fluxo de caixa, calcule: a) oa taxa valorinterna presente asao taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50% a.m. e 2,00% a.m.; b) de rlíquido etor no,par ema% mês. 2. Considere o seguinte fluxo de caixa:
Mês
Val or ($)
0
(−) 55.000,00
1
(+) 5.000,00
2
(+) 5.000,00
3
(+) 6.000,00
4
(+) 6.000,00
5
(+) 6.000,00
6
(+) 10.000,00
7
(+) 10.000,00
8
(+) 10.000,00
Soma
(+ ) 3. 000 ,0 0
Em relação a esse fluxo de caixa, calcule: a) o valor presente líquido par a as taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50% a.m. e 2,00% a.m.; b) a taxa interna de r etor no, em % ao mês. Consider e que o investimento i nicial de $55.000,00 seja alterado para $53.000,00 e calcule: c) o valor presente líquido par a as taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50% a.m. e 2,00% a.m.; d) a taxa interna de r etor no, em % ao mês. 3. Um título com o valor de $100.000,00 é emitido co m o prazo de quatro anos, pagando j uro s no final de cada semestre, com a taxa de 5% a.s. No último semestre, além dos juros semestrais, é pago o valor de emissão de $100.000,00. O fluxo de caixa desse título é, portanto, o que se segue: Sem estre
Valo r ($)
0
(−) 100.000,00
1
(+) 5.000,00
2 3
(+) 5.000,00 (+) 5.000,00
4
(+) 5.000,00
5
(+) 5.000,00
6
(+) 5.000,00
7
(+) 5.000,00
8
(+) 105.000,00
Soma
(+ ) 40 .00 0, 00
No momento do lançamento do título, é necessário fazer um deságio no preço para atender às condições do mercado. Calcu le: a) o percentu al de deságio do pr eço de emissão neces sário para gar antir uma rentab ilidade de 5,5% a.s. ao investidor que adquirir esse título na data de emissão e o conservar até seu resg ate, no final do 4 o ano; b) a taxa interna de r etor no do investidor que adquirir esse título com 5% de deságio e o conservar até seu resg ate, no final do 4 o ano. 4. Um veículo com o valor à vista de $19.500,00 é adquirido no dia 31 de março com um financiamento para ser liquidado em quatro prestações mensais de $5.000,00, que vencem a cada 30 dias corr idos, a co ntar da data de aquisiçã o do veículo. A ssim, o fluxo de caixa do financiador é o que se segue:
Calcule: a) a taxa diári a que é equivalente à taxa de 12% a.a., consi derando o ano com 365 dias; b) a taxa mensal que é equivalent e à taxa diária obtida no i tem a; c) a taxa anual que é equ ivalente à taxa diár ia obtida no item a, considerando o ano com 360 dias; d) o valor presente das quatro parcelas mensais de $5.000,00, usando as taxas de desconto e os métodos indicad os a seguir : desconto individual de cada parcela com o simulador da HP-12C, usando a taxa diária obtida no item a; desconto de um PMT = $5.000,00, com o simulado r da HP-12C, usando a taxa mensal o btida no item b; desconto das quatr o par celas de $5.000,00 com o uso da função NPV da HP-12C e da função VPL do Excel, usando a taxa mensal o btida no item b; desconto das quatr o par celas de $5.000,00 com o uso da função XVPL do Excel, usando a taxa de 12% ao ano; compar e os r esultados obtidos nos quat ro itens anterior es. e) a taxa interna de reto rno, em % ao mês, usando a f unção IRR da HP-12C e a função TIR do Excel; f) a taxa interna de retorno, em % ao dia, que é equivalente à taxa mensal obtida no item e; g) a taxa interna de retorno, em % ao ano, que é equivalente à taxa diária obtida no item f, considerando o ano com 365 dias; h) a taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel. Compare esse resultado com o obtido no item g. 5. Um título que paga juros trimestralmente é emitido no dia 1 o de janeiro , com um valor de $10.000,00, prazo de um ano e taxa de 10% a.a., para o ano co m 360 dias. Os juro s trimestrais são calculados sobr e os dias efet ivamente decorr idos em cada t rimestre, e pagos nos dias 1 o de abril, 1 o de julho, 1 o de outubro e 1o de janeiro do ano seguinte . Calcule: a) a taxa diári a equivalente a 10% ao ano, considerando o ano com 360 dias; b) o valor de cada cupom trimestral co m o uso do Simulador da HP-12C, usando a taxa diária obtida no item a; c) a taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C, para um investidor que adquirir esse título na data de sua emissã o, co m um deságio de 5%, e o conservar até seu
resg ate, no final de um ano; d) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item c, considerando o ano com 360 dias; e) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item c, considerando o ano com 365 dias; f) a taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel. Compare esse resultado com o obtido no item e; g) o percentual de deságio necessário para g arantir uma r entabilidade d e 12% ao ano, com 365 dias, ao invest idor que adquirir esse título na data da emissão e o conservar até o resg ate, no final de um ano . Use a função XVPL do Excel. 1
O leitor que não encontrar as funções XVPL e XTIR na relação das Funções Financeiras do Excel deve incluí-las através das seguintes operações: 1) escolha no menu principal do Excel a opção Ferramentas; 2) Selecione a opção Suplementos ; 3) marque a janela com a opção ferramentas de análise . Automaticamente as funções XVPL e XTIR passarão a fazer parte das funções do seu Excel. 2 O apêndice B do livro Matemática Financeira Ob jetiva e Aplicada (livro que deu srcem a essa edição compacta, de Abelardo Puccini) apresenta mais informações sobre as funções financeiras da Planilha Excel.
CA PÍT ULO 10
Fluxos de Caixa e Inflação 10.1 Introdução Nos capítulos anteriores, a moeda representada pelo símbolo $ foi considerada como estável ao longo do tempo. Essa hipótese, porém, é meramente teórica, pois, mesmo em países com moedas fortes, existe o fenômeno da inflação, ainda que com taxas percentuais reduzidas. Neste capítulo nossa moeda teórica, com o símbolo $, deixa de ser estável e passa a perder seu poder aquisitivo por conta da inflação. Os co nceitos de Matemática Financeira desenvolvidos ao long o dos capítu los anterio res continuam a ter validade, pois sua aplicação independe da existência da inflação. Em conjunturas inflacionárias, são muito usadas as expressões “a preços constantes” e “a preços correntes”. A primeira expressão corresponde a preços de uma única data, normalmente da data inicial do fluxo de caixa, enquanto a segunda corresponde a preços das respectivas datas em que ocorrem os valores do fluxo de caixa. Na omissão dessa informação, os valores na moeda $ sempre corr espondem a preços cor rentes. A conversão de preços constantes para preços correntes é feita por índices ou indexadores, que refletem a perda do po der aquisitivo da moeda pro vocada pela inflação. Neste capítulo, a inflação da moeda será medida pelo índice cujas variações percentuais anuais para um per íodo de cinco anos constam da s Tabelas 10.1 e 10.2.
Tabela 10.1 Valores anuais do Índice Ano Variação anual do Índic e (%) Valor d o Índice no final d o ano ($) 0
100,000000
1
12,00
112,000000
2
12,00
125,440000
3
12,00
140,492800
4
12,00
157,351936
5
12,00
176,234168
Tabela 10.2 Valores mensais do Índice no 1o ano
No tratamen to de fluxos de caixa, a inflação pode ser levada em co nsideração através dos modelos ós-fixado e prefixado, cujas características e metodologias de cálculo serão apresentadas ao longo do presente capítulo.
10.2 Índice para Inflação Por uma questão didática, optamos por medir a inflação da moeda $ pelo índice cujos valores e variações percentuais constam da Tabela 10.1, que foi co nstruída com as seg uintes suposições: O valor inicial do índice t em como refer ência o final de d ezembro de um det ermi nado ano e seu valor , nessa data, é igual a 100,00. As variaçõ es percentuais do índice p ara um perí odo de cinco anos fo ram assumidas com o mesmo valor anual de 12 %, sendo que no 1 o ano a perio dicidade foi co nsiderada mens al. Os valores anuais do índice e as suas variações anuais para um período de cinco anos constam da Tabela 10.1 a seguir. Os valores do índice fornecidos na Tabela 10.1 nos permitem concluir que as cinco variações anuais de 12% ao ano pr oduzem um valor de 176,234168 para o índice final do 5 o ano, o que equivale a uma inflação acumulada de 76,234168% nesse período de cinco anos.
Para os exemplos numéricos que envolvam períodos inferiores a um ano, adotamos uma o distribuição mensal uniforme para as variações percentuais do índice durante os 12 meses do 1 ano, conforme indicado na Tabela 10.2: Os valor es do índice for necidos na Tabela 10.2 permitem concluir que: a) o valor do índice no final de março é igual a 102,873734, indicando uma taxa de inflaçã o de 2,873734% para o 1 o trimestre; b) o valor do índice no final de junho é igual a 105,830052, indicando uma taxa de inflação de 5,830052% para o 1 o semestre; c) o valor do índice no final de dezembro é igual a 112,000000, indicando uma taxa de inflação de 12,00% para o 1o ano, que coincide com essa inflação anual da Tabela 10.1. Nos exemplos desenvolvidos neste capítulo, usaremos os índices apresentados na Tabela 10.1. A utilização de qualquer outro índice para inflacionar e deflacionar os valores dos fluxos de caixa expressos na moeda $ deve ser feita seguindo os mesmos procedimentos adotados neste capítulo, podendo-se utilizar os índices da Tabela 10.2, quando o horizonte de análise for igual ou inferior a um ano e os perío dos dos fluxos de ca ixa for em expressos em meses.
10.3 Taxas de Inflação, de Juros Real e de Juros Nominal Na análise de fluxos de caixa levando em consideração a inflação serão utilizadas as seguintes taxas: Taxa de Inflação (“ti”): é a taxa que mede a variação do índice definido na Seção 10.2. Será representada de for ma genérica pelo símbol o “ti”. Taxa de Juros Real (“i”): é a taxa de juro s utilizad a nos fluxos de caixa ex pressos em mo eda a preços constantes, sem inflação, normalmente referenciados à data inicial do fluxo de caixa. É a taxa “i” utilizada nos capít ulos anterior es que foram desenvolvidos com a moeda for te $, sem inflação. Manteremo s o símbo lo “i” par a a sua represent ação. Taxa de Juros Nominal (“tn”): é a taxa de juros utilizada nos fluxos de caixa expressos em $ a preços cor rentes das respect ivas datas em que ocor rem e que incor por am a inflação da moeda. E ssa taxa de juro s nominal é uma taxa d e juro s que incorpor a a taxa de juros real e a taxa de inflaç ão, e será r epresentada pelo símbolo “tn”. Costuma-se dizer que a tax a de juro s r eal é a taxa de juros nominal descontada a inflação. Não confundir essa taxa de juros nominal com a taxa nominal definida na Seção 5.5 do Capítulo 5 – Taxas de Juro s.
10.4 M odelo Pós-Fixado 10.4.1 Conceitos Básicos O modelo pós-fixado é normalmente utilizado em operações financeiras de longo prazo. Podemos citar como exemplos, o financiamento de imóveis, todas as operações financeiras com moeda estrangeira, CDBs com remuneração atrelada ao CDI e empréstimos indexados ao IGPM. As principais caract erí sticas do mo delo são: a inflação é calculada a posteriori , ao lo ngo do prazo da o peração contratada , à medida que os valor es do índice contrata do se tor nem conhecid os; a inflação fica “em aberto” no início da o peração, sendo acertado no co ntrato apenas o índice que será utilizado na atua lização dos valor es;
os cálculos financeiro s são r ealizados com o fluxo de caixa expresso em mo eda estável, a preços constantes e com uma taxa de juro s real (i), sem i nflação.
10.4.2 Metodologia De Cálculo No modelo pós-fixado, os cálculos são realizados com os fluxos de caixa expressos na moeda $, a preços constantes da data inicial, mediante a adoção dos seguintes procedimentos: o s valor es do fluxo de caixa de vem ser expressos em $ a preço s constantes da data inicial, sem considerar a inflação; todos o s cálculos, na moeda $ a preços co nstantes, devem ser realizados co m a taxa de juro s real (i), sem inflação; os valor es expressos em $ a pr eços constan tes devem ser, p osterio rmente, convertidos para $ a preços cor rentes das datas futuras, utilizando-se o índice da Seç ão 10.2, escolhido para medir a inflação. Observe que a tax a interna de juro s nominal (tn), que inclui a inflação, só pode ser calculada após o término da operação, quando os valores do fluxo de caixa a preços correntes se tornarem conhecidos. Isso porque no modelo pós-fixado a taxa de inflação fica em aberto e só é conhecida ao longo do prazo da operaçã o. Outra forma de atuar no modelo pós-fixado é mediante a conversão dos valores dos fluxos de caixa para quantidades do índice que mede a inflação, e realizar todos os cálculos, com a taxa de uros real, nessa moeda estável expressa pelo índice adotado. No final, as quantidades de índice devem ser transfor madas para $, a preços co rr entes, utilizando os valo res do índice nas da tas futuras.
10.4.3 Exem plo Numéric o — Financiamento Co m Prazo De Um Ano Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma taxa de juros real de 10% ao ano, para ser liquidado no prazo de um ano, com o pagamento de uma única parcela, que deve ser cor rigida pelos seg uintes valor es do índice que c onstam da Tabela 10.1: na data d a liberação dos r ecursos = 100,00 na data da liquidação da o peração = 112,00 Em relação a esse financiamento, calcule: a) o valor dos juro s cobrados no fi nal do ano, em $ a preços constan tes e corr entes; b) o valor da parcela cobrada a t ítulo de inflação, em $ a preços co rr entes, e em % ao ano; c) o valor do pagament o, em $, a preços co rr entes, para a sua liquidaçã o no final de um ano; d) a sua taxa de juros nominal (tn) incluindo a taxa de inflação. Solução:
Vamos realizar os cálculos em $, a preços constantes e usar o índice da Seção 10.2 como indexador par a obter o s valores em $, a preços cor rentes. a) Juros cobrados no final do ano O valor do pr incipal liberado, em $, foi for necido como sendo igual a $1.000.000,00. Assim, os juros anuais calculados com a taxa de juros real de 10% ao ano, são obtidos pela r elação:
Esses juro s estão expressos em $ a preço s constantes, com o valor da moeda $ cor respondente à data inicial do contrato, na qual o índice tem o valor de 100,00. Na ocasião do pagamento dos jur os, o índice tem valor igual a 112 ,00, e os juro s, expressos em $, a preços cor rentes, são assim obtidos:
Nesse caso costuma-se d izer que os juro s, no valor de $112.000,00, são “juro s cor rigido s” na que incorporam $12.000,00 a título de inflação; b) medida Parcela em de infla ção, em $ a preços cor rentes Essa parcela cor responde à cor reção do pri ncipal, usando o s valor es do índice da s duas datas. Assim temos:
valor da inflação = $1.120.000,00 − $1.000.000,00 = $120.000,00 Em termos percentuais a taxa da inflação (ti) é calculada pela relação:
que cor responde à variação percentu al oco rr ida entre os dois valo res do índice (de 100,00 para 112,00); c) Valor do pagamento, em $ a preços cor rentes, para a liquidaçã o do financiamento no final de um ano A preços co nstantes, em moeda do início do contrato, esse valor é assim obtido: Principal
=
$1.000.000,0 0
Juros reais = Montante
=
$100.000,0 0 $1.100.000,00
A preços correntes, em moeda da data da liquidação do contrato, o montante no final de um ano é assim obtido:
que pode ser desdobr ado confor me indicad o na Tabela 10.3 a seguir:
Tabela 10.3 Pa rce la s a )principalliberado b ) parcela de inflação do principal, com a taxa de 12% a.a. c) principal corrigido para o final do ano [(a) + (b)] d ) juros reais de 10% a.a. corrigidos pela taxa de inflação de 12% a.a. e) montante a ser pago no final do ano (c) + (d)
Va lore m$ 1.000.000,00 120.000,00 1.120.000,0 0 112.000, 00 1.232.000,00
d) Taxa de juro s nominal Essa taxa de juros é obtida pela relação:
Vamos, ago ra, analisar o valor da taxa de juros nominal (tn) e identificar sua composição a partir das seguintes parcelas: taxa de juros r eal (i) taxa de inflação (ti) Os juros corrigidos do final do ano, no valor de $112.000,00, também poderiam ter sido calculados com a aplicação da taxa de juros real de 10% a.a. sobre o principal corrigido para o final do ano ($1.120.000,00) pelo í ndice de inflação de 12%. Os juros do ano calculados com a taxa de 10% a.a. sobre o saldo devedor no início do ano, antes da aplicação da taxa de inflação anual, são iguais a $100.000,00. Nesse caso, o montante a ser pago no final do ano seria= ig ual a: montante $1.120.000,00 + $100.000,00 = $1.220.000,00 Os valores obtidos nesses dois processos de cálculo de juros estão resumidos na seguir:
Tabela 10.4 , a
Tabela 10.4
Quando os juros são calculados sobre o saldo devedor do início do ano, a taxa total de 22,00% ao ano é constituída das seguintes parcelas:
a ) taxa de juros real do período
=
10,00% a.a.
b ) taxa de inflação do período
=
12,00 % a.a.
taxa total do período: (a) + (b)
=
22,00 % a.a.
ou seja, a taxa t otal é ig ual à som a da taxa de juro s real com a taxa de inflação. Quando os juros são calculados, de forma correta, sobre o saldo devedor do final do período, ou seja, incluindo a inflação do período, precisamos acrescentar os juros (10,00% a.a.) sobre a taxa de inflação do período (12,00% a.a.), isto é:
Assim, a taxa total do período, que corresponde à taxa de juros nominal (tn), no valor de 23,20% a.a., tem a seguinte composição: a ) taxa de juros real do período
=
10,0 0% a.a.
b ) taxa de inflação do período
=
12,00 % a.a.
c) produto das taxas: (a) × (b)
=
1,2 0% a.a.
taxa total do período: (a) + (b) + (c) =
23,20% a.a.
ou seja, a taxa de juros nominal (tn) é igual à soma da taxa de juros real (i) com a taxa de inflação (ti), acrescida do produto entre essas duas taxas.
10.4.4 Expressão Genérica Relacionando As Taxas A simbologia adotada para representar as taxas anuais de juros e de inflação, bem como suas respectivas taxas equivalentes, está indicada a seguir: i — taxa de juros r eal expressa em %, p odendo ser r epresentada por : ia — para a taxa de ju ros expressa em % ao ano; is — para a taxa de ju ro s expressa em % ao semestre; it — para a taxa de ju ros expressa em % ao trimestre; im — para a taxa de ju ros expressa em % ao mês. ti — taxa de inflação, exp ressa em %, podendo ser repr esentada por: tia — para a taxa de in flação expressa em % ao ano; tis — para a taxa de inflação expressa em % ao semestre; tit — para a taxa de in flação expressa em % ao trimestre; tim — para a taxa de in flação expressa em % ao mês. tn — taxa de juros nom inal, expressa em %, po dendo ser representada por: tna — para a taxa de ju ros nom inal expressa em % ao ano; tns — para a taxa de ju ro s nominal expressa em % ao semestre; tnt — para a tax a de juros nom inal expressa em % ao trimestre; tnm — para a taxa de ju ro s nominal expressa em % ao mês. A expressão genérica para obter a taxa de juros nominal (tn) a partir da taxa de juros real ( taxa de inflação (ti) está representada abaixo: 3
i) e da
Para períodos anuais:
(10.1) Essa relação pode ser aplicada para qualquer índice que for utilizado para inflacionar (corr igir ) os valor es dos flux os de caix a. A Relação (10.1) também pode ser expressa para as taxas mensais, trimestrais e semestrais, equivalentes a suas respectivas taxas anuais, e as expressões obtidas são as que se seguem:
(10.2) (10.3) (10.4)
Aplicando a fór mula (10.1) nos valores do exemplo da Seção 10.3.4:
que for nece:
e por tanto:
resultado que coincide com o valor obtido anterio rmente. Utilize as fórmulas (10.2) a (10.4) para encontrar os valores das taxas equivalentes mensais, trimestrais e semestrais do financiamento do exemplo numérico da Seção 10.3.4, e consulte a tabela a seguir para verificar os resultados:
Tabela 10.5 Taxas equivalentes e taxas nominais — em %
10.5 Modelo Prefixado 10.5.1 Conceitos Básicos O modelo prefixado é bastante utilizado nas operações financeiras de curto prazo. Podemos citar como exemplo os crediár ios ao co nsumidor e as operaçõ es de desconto de títulos. As principais características d o mo delo prefixado são: A inflação tem que ser estimada a priori , e prefixada n o início da operação financeira; Os cálculos finan ceiro s são realizados com o fluxo de ca ixa expresso em mo eda cor rente (com inflação) das respectivas datas futuras, e com uma taxa de juros nominal prefixada, que inclui a inflação. A taxa de juro s tem de ser aumenta da para incor por ar, numa únic a parcela, a taxa de juros r eal e a taxa de inflação de cada período. Essa taxa de juros, que inclui uma parcela de inflação, é denominada taxa de juros nominal prefixada, ou simplesmente taxa nominal prefixada, e tem as seguintes características: a) é definida n o início da oper ação, o que justifica o nome adotado; b) deve cor responder à soma da ta xa de juros r eal com a tax a da inflaç ão mais o pro duto dessas taxas; c) tem o mesmo valor para todos os períodos da operação.
10.5.2 Conceitos Básicos As grandezas em moeda “corrente” podem ser, posteriormente, convertidas para uma moeda “constante” pelo índice que for definido para aferir a inflação. Nesse fluxo de caixa em moeda constante, pode ser calculada sua taxa interna r eal, após o término da operação. O exemplo numérico apresentado a seguir para o modelo prefixado foi baseado no exemplo desenvolvido para o modelo pó s-fixado ( seção 10.4.3). Adotamos taxas nominais prefixadas iguais às taxas nominais que foram utilizadas no exemplo correspondente, para que possamos comparar os resultados obtidos nesses dois modelo s.
10.5.3 Exem plo Numérico 1. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma taxa de juros nominal prefixada de 23, 20% ao ano, para ser liquidado no prazo de um ano, com o pagamento de uma única parcela. A inflação será medida pelo índice da Tabela 10.1, que tem o valo r igual a 100,00 na data da liberação dos r ecursos. Em r elação a esse fi nanciamento determi ne: a) o valor do pagament o em $, a preços co rrentes, para a sua liquidaç ão no final de um ano; b) a taxa de inflação, em % ao ano; c) o seu fluxo de caixa em $, a preços co rrentes e a preços constant es; d) a sua taxa interna de juro s real em % ao ano; e) a r elação da ta xa nominal prefixada com as taxas d e inflação e de juro s real. a)Solução: Valor do pagamento em $, a pr eços cor rentes, para a li quidação do financiamento Considerando a taxa nominal prefixada de 23 ,20% ao ano, o valo r do pagamento a ser r ealizado no final do ano, em $ cor rentes, é igual a: pagamento final = $1.000.000,00 × (1 + 0,2320) = $1.232.000,00 c) Taxa de inflação, em % ao ano A taxa de inflação de 12,00% ao ano é obtida dir etamente da Tabela 10.1 com o s valores anuais d o índice. c) Fluxo de caixa em $, a preço s cor rentes e a preços constantes O fluxo de caixa em $ a preços co nstantes é obtido deflacionand o o s valor es do fluxo de caixa em $ a preços cor rentes, utilizando como deflator o índice da Tabela 10.1, confor me indicado na Tabela 10.6. Cabe ressaltar que primeir o o btemos o fluxo de caixa em $ cor rentes a pa rtir da taxa nominal prefixada. mente, obtemos o ofluxo deda caixa em $,10.1. a pr eços co nstantes, deflacionand o as parcelas emPosterior $ a preços cor rentes com índice Tabela
Tabela 10.6 Fluxos de caixa em $ a preços correntes e constantes
d) Taxa interna de jur os r eal, em % ao ano A taxa interna de juros real é obtida pelo desconto do fluxo de caixa em $ a preços constantes, e o valor encontrado é igual a 10,0 0% ao ano; e) Relação da taxa nominal pr efixada com as taxas de inflação e de jur os real
Essas três taxas satisfazem a relação (10.3), senão vejamos:
Os r esultados o btidos nesse financiamen to no m odelo prefixado são idênticos àqueles alcanç ados no fi nanciamento do exemplo da seção 10.4.3 com o modelo pós-fixado. Isso ocorreu porque a taxa nominal prefixada incluiu corretamente a taxa de inflação de 12,00% a.a. e a taxa de juros real de 10,00% a.a.
10.6 Resumo No presente ca pítulo, apr esentamos o s mo delos pós-fixado
e prefixado par a o tratamento da inflação em fluxos de caixa expressos em moedas que perdem seu poder aquisitivo ao longo do tempo, por conta da inflação. Citamos as principais características de cada modelo, apresentamos exemplos numéricos dos mo delos pós e prefixado e comparamo s seus resultados. Verifi camos que, se a inflação influenciar igualmente t odos os valor es do f luxo de caixa, ta nto faz descontar o fl uxo de caixa em $ a preços co nstantes com a taxa de juros r eal, como descontar o fl uxo de caixa em $ a preços correntes com a taxa nominal prefixada, pois os valores presentes líquidos serão iguais nos dois casos. Por uma questão de ordem didática, adotamos um índice teórico para medir a inflação da moeda com o símbolo $, utilizada em todos o s outros capítu los do li vro . Os conceitos apresentados neste capítulo com esse índice são integralmente válidos para qualquer outro índice que for utilizado para medir a inflação. Por efeito de simplificação, apresentamos apenas um tipo de exemplo, com prazo de financiamento de um ano. A resolução de problemas com períodos diferentes deve adotar o mesmo raciocínio, usando-se os pr ocedimentos apr esentados ao l ongo deste capítulo.
10.7 Problemas Propostos 1. A taxa de juro s r eal a ser cobr ada num determinado financiament o é ig ual a 5,00% ao semestre. Sabendo-se que a projeção da taxa de inflação para esse período de seis meses é de 6,00%: a) calcule a ta xa nominal, em % ao semestre, a ser prefixada para esse financiamen to; b) calcule a taxa de juros nominal anual equivalente à taxa obtida no item a; c) calcule as taxas anuais de juros real e de inflação, equivalentes às taxas fornecidas; d) verifique a relação existente entre as taxas obtidas nos itens b e c. 2. Uma aplicação de $10.000,00 rendeu, no prazo de seis meses, uma taxa de juros real de 12,00% ao ano, capitalizados semestralmente. Calcule o valor de resgate dessa aplicação sabendo-se que a taxa de inflação para esse perí odo de seis meses é igual a 8,00%. 3. Uma aplicação de $50.000,00 deve ser remunerada pelo prazo de seis meses com uma taxa de juros real de 0,90% ao mês. Calcule o valor de resgate dessa aplicação sabendo-se que a taxa de inflação é igual a 1,00% ao mês em cada um dos seis meses desse investimento. 4. Uma instituição financeira que opera com o modelo prefixado cobr a uma taxa de juros r eal de 12,00% ao ano em seus financiamentos e está prevendo uma taxa de inflação de 15,00% ao ano
para os próximos quatro meses. Usando o reg ime de jur os compostos par a a o btenção de ta xas equivalentes, calcule: a) a taxa de juro s nominal pr efixada, em % ao mês, a ser utilizada em sua s oper ações com prazo de quatro m eses; b) o valor da prestação mensal fixa a ser cobr ada nos financ iamentos co m pr azo de quatro meses e com o principal de $1.000,00. 5. Um equipamento com o preço à vista de $10.000,00 está sendo financiado em seis prestações mensais fi xas de $1.816,41. Calcule a taxa de inflação, em % ao mês, projetada por essa entidade financiador a sabendo-se que a tax a de juro s real cobr ada nessas oper ações é ig ual a 1,00% ao mês. 6. Um equipamento com o preço à vista de $10.000,00 deve ser financiado em dois pagamentos anuais ig uais, com uma taxa de juros real de 10,00% ao ano. Calc ule o valor dessas parcelas anuais, em $ a preços correntes, sabendo-se que a taxa de inflação é igual a 12,00% a.a. no 1 o ano e 14,00% a.a. no 2o ano. 7. Um financiamento de $100.000,00 foi realizado no final de dezembro para ser liquidado no prazo de cinco anos, pelo sistema de amor tizações constan tes, segundo o modelo pós-fixado, com uma taxa de juro s r eal de 10,0 0% ao ano. O índice que med e a inflação da moeda $ tem os seguintes v alor es para esse perío do de cinco anos: Ano Variação anual do Índic e (%) Valor d o Índice no final d o ano ($) 0 1
100,000000 9,00
109,000000
2
9,50
119,355000
3
10,50
131,887275
4
11,00
146,394875
5
12,00
163,962260
Calcule: a) os valor es das prestaç ões mensais em $ a preço s constantes da data inicial do contrato com a taxa de juros real de 10,00 % ao ano ; b) os valor es das prestações efet ivamente pagas, em $ a pr eços cor rentes; c) a taxa interna de jur os no minal desse finan ciamento, em % ao ano. 3
O livro Matemática Financeira Objetiva e Aplicada, do mesmo autor (versão completa que deu srcem a esta edição compacta) apresenta a dedução das fórmulas utilizadas nesta seção.
Respostas dos Prob lemas Propostos Capítulo 2 — Juros Simples e Compostos — Conceitos Prob. 1
Conta remunerada a juro s simples: $1.050,00; $1.100,00; $1.150,00; $1.200,00; $1.250,00; $1.300,00 O mo ntante a ser r etirado no final do 6 o trim = $1.300,00 Conta remunerada a juros compost os:
$1.050,00; $1.102,50; $1.157,63; $1.215,51; $1.276,28; $1.340,10 O mo ntante a ser r etirado no final do 6 o trim = $1.340,10
Capítulo 3 — Juros Simples — Fórmulas Básicas Prob. 1 Montante = $12.400,00 e Renda = $2.400,00 Pro b. 2 a) PV = $966,67; b) Desconto = $33,33; c) i = 1,293% ao mês Pro b. 3 a) FV = $967,83; b) i = 1,295% ao mês; d = 15,04% ao ano Prob. 4 a) i = 2,5% ao trimestre; b) d = 7,6923% ao ano Prob. 5 i = 1,1494% ao mês Prob. 6 PV = $19.100,00 Prob. 7 a) PV 2 = $10.360,00; b) FV2 = $10.981,60; c) n2 = 6 meses; d) i Prob. 8 a) i = 1,2% ao mês; b) PV 1 = $10.000,00
médio
= 1,097 % ao mês
Capítulo 4 — Juros Compostos — Capitalização e Desconto Prob. 1 Montante = $12.395,08 Pro b. 2 Principal = $12.710,36 Pro b. 3 Rentabilidade= 0,9489% ao m ês Prob. 4 110 < n < 111 meses Prob. 5 Menor valor a ser aplicado = $25.873,17 Pro b. 6 Valor do pag amento = $57.469,39 Prob. 7 Abater do principal o valor de $15.215,93 Pro b. 98 Valor de da Aplicação = $9.896,32 Prob. Resgate = $10.070,13 Prob. 10 A melhor política de investimentos para esse investidor é: Aplicar $50.000,00 a 1,5% ao mês, po r 3 meses e manter $50.000,00 aplicado s na Poupança.
Capítulo 5 — Taxas de Juros Pro b. 1 1, 2% ao mês; 0,04% ao dia
Pro b. 2 2,7% ao trim estre; 10,8% ao ano Prob. 3 0,03238% ao dia Prob. 4 3,18319% ao trimestre; 13,35373% ao ano Prob. 5 8,24322% ao ano; 8,16% ao ano Prob. 6 0,70337% ao mês Prob. 7 2,87716% ao trimestre; 12,01492% ao ano Prob. 8 $1.225,24 Prob. 9 a) FV = $10.040,00 e i = 1,20481% a.m.;b) FV = $10.240,00 e i = 1,19289% a.m. Prob. 10 a) FV = $10.039,84 e i = 1,1952% a.m.; b) FV = $10.241,44 e i = 1,2072% a.m.
Capítulo 6 — Série Uniforme — Prestações Iguais Pro PMT = $339,41 Pro b. b. 21 Sinal = $5.866,37 Prob. 3 $1.117,38 Pro b. 4 1,3370% a.m. Pro b. 5 a) 1,2043% a.m.; 1,4313% a.m. Pro b. 6 a) 1,6912% a.m.; b) 2,3923% a.m. Prob. 7 a) PMT = $18.744,40 ; b) PMT = $22.680,73 Prob. 8 PMT = $3.857,58 Prob. 9 $32.342,05; b) $34.311,68 Prob. 10 a) $4.707,35; b) $1.000,00 e $3.707,35; c) $4.478,88; d) $52.981,59 Pro b. 11 a) 4,3478%; b) 2,7003% Pro b. 12 3,5244% Pro b. 13 PV mensal = $60.239,36; PV trimestral = $39.760,64 Pro b. 14 9,2953% ao ano Prob. 15 PV = $150.000,00
Capítulo 7 — Valor Presente Líquido — Taxa Interna de Retorno Prob. 1 Fluxo (A) VPL = $13.147,13;Fluxo (B) VPL = $852,93;Fluxo (C) VPL = $12.344,54; Fluxo (D) VPL = $235,60; Fluxo (E) VPL = $420,31 Pro b. 2 a) i = 0,00% VPL = $1.100,00;i = 1,00% VPL = $852,56;i = 2,00% VPL = $621,31; i = 3,00% VPL = $404,96;i = 4,00% VPL = $202,35;i = 5,00% VPL = $12,41; I = 6,00% VPL = (-) $165,84 ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
b) 5,07 % ao semestre Pro b. 3 a) i = 0,00% VPL = $1.450,00;i = 2,00% = 6,00% VPL = (-)$399,36 ⇒
⇒
VPL = $788,07;i = 4,00%
⇒
VPL = $173,08; i
⇒
b) 4,59% a.a. Prob. 4 a) 1,00% ao mês, pois o Valor Presente Líquido é nulo b) Não, poi s os r ecursos estão r endendo mais do que 1,00 % ao m ês
Capítulo 8 — Equivalência de Fluxos de Caixa Pro b. 1 $220,00; $242,00; $266,20; $292,82; $322,10 Pro b. 2 a) Pri ce: PMT = $1.055,82; b) SAC: $2.000,00; $1.900,00; $1.800,00; $1.700,00; $1.600,00; $1.500,00; $1.400,00; $1.300,00; $1.200,00; $1.100,00 Prob. 3 a) $10.000,00; $10.000,00; $22.500,00; $21.250,00; $20.000,00; $18.750,00; $17.500,00; $16.250,00; $15.000,00; $13.750,00; b) $0,00; $0,00; $27.225,00; $25.712,50; $24.200,00; $22.687,50; $21.175,00; $19.662,50; $18.150,00; $16.637,50 Pro b. 4 a) Prestação mensal = $2.4 67,31; b) Parcelas s emestrai s = $15.331,77 Prob. 5 $12.991,72 Pro b. 6 a) $482,02; b) $152,66; c) $552,64 Prob. 7 a) $1.776,98; b) $939,61; c) $1.128,62 Pro b. 8 8 mensais de $965,73 e intermediár ia de $2.897,19 Pro b. 9 3 mensais de $13.679,94 Prob. 10 1 o mês = $2.103,51; 4o mês = $8.414,04
Capítulo 9 — Fluxos de Caixa Não Homogêneos ⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Prob. 1 a)1,00% VPL = $197,08; 1,50% VPL = (-) $423,97; 2,00% VPL = (-) $1.025,75; b)1,1570% ao mês Prob. 2 a)1,00% VPL = $132,66; 1,50% VPL = (-) $1.227,21; 2,00% VPL = (-) $2.540,58; b) 1,0480 ao mês; c) 1,00% VPL = $2.132,66; 1,50% VPL = $772,79; 2,00% VPL = (-) $540,58; d) 1,7921 % ao mês Prob. 3 a)3,167% de deságio; b) 5,7988% ao semestre ⇒
⇒
⇒
⇒
Pro b. 4 a) 0,03105378% ao dia; b) 0,9358203% ao mês; c) 11,8262607% ao ano; d.1) $19.540,71; d.2) $19.540,71; d.3) $19.540,71; d.4) $19.540,71; d.5) todos valor es são iguais; e) 1,020461% ao mês; f) 0,03384870% ao dia; g) 13,148040% ao ano; h) 13,148040% ao ano, igual à do item (g) Pro b. 5 a) 0,02647855% ao dia; b) Cupons: $241,14 (1o tri m.) $243,85 (2o tri m.) $246,56 (3o e 4o trim.); c) 0,04105772% ao dia; d) 15,925488% ao ano ; e)16,163666% ao ano; f) 16,163666% ao ano, igual à do item (e); g )1,5975% de deságio
Capítulo 10 — Fluxos de Caixa e Inflação Prob. 1 a) tn s =11,30% a.s. b) tna = 23,8769% a.a. c) i a =10,2500% a.a. ; tia = 12,3600% a.a. d) (1 + tna) = (1 + ia ) (1 + tia) (1 + 23,8769%) = (1 +10,2500%) (1+12,3600%) Prob. 2 $12.096,00 Prob. 3 $56.007,38 Prob. 4 a) tn m = 2,1315% a.m. b) $ 263,46 Prob. 5 ti m = 1,50 % a.m. Pro b. 6 Prestação anual = $6.854,16 Prob. 7 a) $30.000,00; $28.000,00; $26.000,00; $24.000,00; $22.000,00 b) $32.700,00; $33.419,40; $34.289,52; $35.134,77; $36.078,52 c) tna= 20,7764 % a.a.
