Curso de Algebra Moderna

´ Notas de Algebra Moderna Enriquee Rod Enriqu Rodrr´ıguez Castillo

2

2

Contenido

I

Grup os I.11 De I. Defin finic ici´ i´ on y ejemplos . . . . . . . . . . . I.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 El grupo simétrico . . . . . . . . . . . . I.4 El Teorema de Lagrange . . . . . . . . . I.5 Acciones de grupo poss en conjuntos . . . . I.6 Subgrupos normales . . . . . . . . . . . I.7 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . I.8 Grup os os c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . I.99 Mas ap I. apli lica caci cion onees de ac acci cioone ness de gru rupo poss . I.10 Teorema de Sylow . . . . . . . . . . . . I.11 El grupo alternante . . . . . . . . . . . . I.12 Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . I.13 Productos directos . . . . . . . . . . . . I.14 Prod odu uctos semidirectos . . . . . . . . . . I.15 Grup os os libres . . . . . . . . . . . . . . .

II Anillos II.1 Defi Definic nici´ i´ on y ejemplos . . . . . . . . II.2 Dominios enteros . . . . . . . . . . II.3 Anillos cocientes . . . . . . . . . . II.4 Adj Adjunc unci´ i´ on de elementos . . . . . . II.5 Po Polin linomi omios os en en Z[x] y Q [x] . . . . . II.6 Domin Dominios ios de factor factorizaci izaci´ oń u on ńica . . II..7 Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . II II.8 Matrices y bases . . . . . . . . . . II..9 Matriz de cambio de base . . . . . II II.10 Matrices de presentación . . . . . . II.11 Sumas directas de módulos . . . . II.12 II. 12 Ap Apli lica caci cion ones es a ope opera rado dore ress lin linea eale less . 3

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . . . . . . 17 . . . . . . . . . . . . . . 23 . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . . 29 . . . . . . . . . . . . . . 31 . . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . . . 36 . . . . . . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . 48

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. . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

53 53 56 63 64 68 72 77 79 80 87 89 91

4

III Campos y Teor´ıa de Galois III.1 Campos . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Teor´ıa de Galois . . . . . . . . . . III.3 Campos de descomposición . . . . III.4 Teorema Fundamental de la Teor´ıa III.5 Solubilidad por radicales . . . .

CONTENIDO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . de Galois . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

99 . . 99 . . 106 . . 111 . . 113 . . 116

CAP´ ITULO

I

Grupos

Las raices históicas de la Teor´ıa de Grupos surgen en la Geometr´ıa al comienzo del siglo XIX, en la Teor´ıa de N´ umeros y en la Teor´ıa de Ecuaciones Algebraicas al final del siglo XVIII. El matemático frances E. Galois (1811-1832) fue quien introdujo por primera vez el concepto de Grupo al que-hacer matemático y defini´ o las nociones de subgrupos normales y grupos cocientes; su trabajo fue el inspirador para crear toda esta teor´ıa. La primera definici´ on de grupo abstracto se debe al matem´ atico británico A. Cayley (1821-1895) quien hacia énfacis en la necesidad de tener una definici´ on abstracta de lo que es un grupo, pues en aquel tiempo, sólo se consideraban grupos de permutaciones y Cayley demostró que los grupos abstractos que él definio eran algebraicamente equivalentes a subgrupos de algun grupo de permutaciones; la definición antual de grupo fue dada por primera vez por el matemático alemán W. von Dyck (1856-1934). I.1. Definici´ on y ejemplos

Definici´ on I.1.1. Un grupo es un conjunto G provisto de una operaci´ on binaria : G G G tal que

∗

× → (G1) La operaci´ on ∗ es asociativa, es decir, para cualesquiera tres elementos a, b y c de G se satisface que a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c. (G2) Existe un elemento e ∈ G tal que e ∗ a = a = a ∗ e para todo a ∈ G. (G3) Para cada a ∈ G existe un elemento b ∈ G tal que a ∗ b = e = b ∗ a. N´ otese que, por (G2), un grupo es no vac´ıo. Al grupo que consta de un sólo elemento se le llama grupo trivial. Si tomamos cuatro elementos de un grupo G, digamos a,b,c y d, podemos preguntarnos ¿de cuántas maneras diferentes podemos asociarlos para formar productos de estos cuatro elementos? Se puede ver que las siguientes son todas 5

6

Grupos

las maneras diferentes en que podemos poner paréntesis a los productos de cuatro elementos en un grupo: a (b (c d)),

∗ ∗ ∗ (a ∗ b) ∗ (c ∗ d), ((a ∗ b) ∗ c) ∗ d, (a ∗ (b ∗ c)) ∗ d. Nótese que siempre se tiene un ∗ que queda fuera de los paréntesis. ∗ ∗ ∗

a ((b c) d),

Encontraremos una fórmula recursiva para determinar el número de maneras diferentes de introducir paréntesis a un producto de una cantidad finita de elementos de un conjunto no vac´ıo con una operación binaria: Sea c n el n´ umero de maneras distintas de poner par´ entesis para multiplicar los elementos a1 , a2 , . . . , an+1 . Es claro que c0 = 1. c1 = 1, ya que a1 a2 es el u ´ nico producto que podemos formar. c2 = 2 pues tenemos a1 (a2 a3 ) y (a1 a2 ) a3 . En general, para multiplicar a los n+1 elementos, podemos primero contar el número de maneras en que el producto se asocia a1 (a2 an+1 ) y el paréntesis lo podemos asociar de c n−1 maneras distintas; luego, contamos los productos que se ven (a1 a2 ) (a3 an+1 ) y nuevamente, tenemos c1 cn−2 y as´ı sucesivamente; al final, se tiene la fórmula

∗ ∗ ∗ ∗ ···

∗ ∗

∗

∗

···

n 1

cn = c 0 cn−1 + c1 cn−2 +

··· + cn−1c0 =

−

 i=1

ci cn−1−i .

A los n´ umeros cn , se les conoce como n´ umeros de Catalan. Ahora veremos una consecuencia de la asociatividad de la operación en un grupo. Lema I.1.1. Cualquier manera de asociar a 1 , a2 , . . . , an para multiplicarlos con una operaci´ on binaria asociativa en el orden dado da el mismo resultado. Demostraci´ on. Probaremos el Lema por inducción a partir de n = 3. La asociatividad de la operación binaria nos da el primer paso, as´ı que supondremos que el resultado es válido para todo entero positivo menor que n. Sea P el resultado de una manera de asociar a 1 , a2 , . . . , an . Como antes lo mencionamos, existe un que queda fuera de los paréntesis, podemos concluir que existe 1 i n 1 tal que P = (a1 ai ) (ai+1 an ). Por hip´ otesis inductiva, el producto (ai+1 an ) nos da el mismo resultado de cualquier forma que lo asociemos, as´ı que (ai+1 an ) = (ai+1 an−1 ) an y por la asociatividad se sigue que

∗ ≤ ≤ −

···

···

··· ∗ ··· ··· ∗

··· ai) ∗ [(ai+1 ··· an−1) ∗ an] = [(a1 ··· ai) ∗ (ai+1 ··· an−1)] ∗ an. Nuevamente, por la hipótesis inductiva, (a1 ··· ai ) ∗ (ai+1 ··· an−1 ) lo podemos asociar de cualquier forma as´ı que P = (a1 ··· an−1 ) ∗ an , donde en (a1 ··· an−1 ) (a1

no importa como se asocie el producto.

∈

Sea G un grupo. Muestre que existe un único elemento e G tal que e a = a = a e. Tambi´ en muestre que para cada a G existe un u ńico elemento b tal que a b = e = b a. Ejercicio.

∗

∗

∗

∗

∈

7

I.1 Definici´ on y ejemplos

Definici´ on I.1.2. Al elemento e lo llamaremos elemento identidad del grupo y lo denotaremos por 1. Si a G, el elemento b que satisface a b = 1 = b a lo llamaremos inverso de a y lo denotaremos por a−1 .

∈

∗

∗

Al usar notación aditiva, al elemento identidad se le suele denotar por 0 y al elemento inverso de a por a. A continuaci´ on, presentamos dos de las propiedades básicas de los inversos.

−

G un grupo. Si a G, muestre que (a−1 )−1 = a; tambibén muestre que si b G, entonces (a b)−1 = b −1 a−1 .

∈ ∗

Ejercicio. Sea

∈

∗

def

Definici´ on I.1.3. Sea G un grupo. Definimos a0 = 1 y para cada n´ umero − − 1 n n def n−1 n natural n, a = a a y a = (a ) .

∗

Hemos definido as´ı las potencias enteras de elementos de un grupo. En notaci´ on aditiva, las potencias ser´ıan los múltiplos de elementos del grupo y se denotar´ıan por na en lugar de a n . En el siguiente ejercicio, se enuncian las leyes de los exponentes. Ejercicio. Sean G un m n mn

(a ) = a

grupo, a

.

∈ G y m, n ∈ Z. Muestre que aman = am+n y

Ahora, veremos una de las consecuencias de la existencia de inversos en un grupo. Lema I.1.2. (Leyes de cancelación). Sea G un grupo y a, b y c tres elementos de G.

∗ ∗ 2. Si b ∗ a = c ∗ a, entonces b = c. 1. Si a b = a c, entonces b = c.

La demostración querá como ejercicio. Definici´ on I.1.4. Un grupo G se llama abeliano si a b = b a para todo a, b G.

∗

∈

∗

En un grupo abeliano G se tiene que (a b)n = a n bn para a, b G y para todo entero n. Adem´ as, si (a b)n = a n bn para todo par de elementos de un grupo G y tres enteros consecutivos, entonces G debe ser un grupo abeliano. Esta proposición queda como un ejercicio.

∗

∗

∗

∗

∈

| |

Definici´ on I.1.5. El orden de un grupo G es su cardinal y se denota por G . Diremos que G es un grupo finito si G es finito; de lo contrario, diremos que G es un grupo infinito.

| |

Ejemplo:

1. El conjunto de los números enteros Z con la operación binaria + es un grupo abeliano infinito.

8

Grupos

2. Los campos Q , R y C son grupos abelianos aditivos infinitos. 3. Definimos F∗ = F 0 , donde F es un campo. Los conjuntos F∗ son def grupos abelianos multiplicativos. También, R+ = x R : x > 0 es un grupo abeliano multiplicativo infinito.

−{}

{ ∈

}

4. Si n es un n´ umero natural, definimos el conjunto def

C n = ei

{

2kπ n

: k

∈ Z}.

C n es un grupo abeliano multiplicativo finito. 5. El conjunto de n´ umeros complejos de módulo 1 se denota por S1 , el cual es un grupo abeliano multiplicativo infinito. 6. Si X es un conjunto no vac´ıo, definimos def

{

→ X | f es biyectiva}.

S (X ) = f : X

S (X ) es un grupo llamado grupo simétrico en X . En general, S (X ) no def

{

}

es abeliano. Definimos [n] = 1, 2, . . . , n y al grupo S ([n]) lo denotamos etrico de grado n. simplemente por S n y lo llamamos grupo sim´

×

7. Sea F un campo y definamos el conjunto de matrices de n n con entradas en el campo F como el conjunto Mn (F)

def

{

= (aij )n×n : a ij

∈ F}.

El conjunto de todas las matrices invertibles en por GL n (F) y se llama grupo lineal general.

Mn (F)

lo denotaremos

8. Sean G y H dos grupos y formemos su producto cartesiano, G finamos en G H un producto componente-a-componente:

×

∗

def

∗

× H . De-

∗

(g1 , h1 ) (g2 , h2 ) = (g1 g2 , h1 h2 ). G

× H se llama el grupo producto de G y H .

De ahora en adelante, se omitirá la notación a b para el producto del elemento a con el elemento b y se denotará al producto simplemente por ab.

∗

El concepto de subgrupo es muy u ´ til en el estudio de grupos, pues algunas de las propiedades que poseen los subgrupos son transferidas al grupo. I.2. Subgrupos

Definici´ on I.2.1. Sea G un grupo. Un subconjunto H de G se llama subgrupo si

∈

∈

(S1) para todo a, b H se tiene que ab H ,

9

I.2 Subgrupos

(S2) el elemento identidad de G es elemento de H , (S3) cada elemento de H tiene su inverso en H . En el caso cuando H es subgrupo de un grupo G, lo denotaremos por el s´ımbolo H G. Si H es un subconjunto propio de G y es un subgrupo de G, lo denotaremos por H < G.

≤

Ejercicio. Si H es

un subgrupo de un grupo G, muestre que H es un grupo.

Observe que la familia de subgrupos de un grupo G es no vac´ıa, pues al menos 1 es un subgrupo de G. Si G es no trivial, entonces la familia de subgrupos de G tiene al menos dos elementos, el grupo trivial y G mismo.

{}

Lema I.2.1. Sean I un conjunto de ´ındices y H i : i subgrupos de un grupo G, entonces i∈I H i G.



≤

{

∈ I } una familia de

La demostración queda como un ejercicio. Definici´ on I.2.2. Sea S G. El subgrupo generado por S es el subgrupo de G m´ as peque˜ no que contiene a S y lo denotamos por S .

⊆

  De la definición anterior, vemos que si H ≤ G y S ⊆ H , entonces S  ⊆ H . Por tanto, tenemos que S  = H.



S H G

⊆ ≤

⊆ G. Muestre que

Ejercicio. Sea S

S  = {1} ∪ {sǫ1 sǫ2 ··· sǫk : k ∈ N, 1 ≤ i ≤ k, si ∈ S, ǫi = ±1}. 1

2

k

Definici´ on I.2.3. Un grupo G se llama c´ıclico si existe un elemento g G tal que G = g . En tal caso, g lo denotamos por g . Al elemento g lo def llamamos generador de G. El orden de un elemento a G es o(a) = a .

{ }

{ }

∈

  ∈

 

| |

Observe que g = g −1 para todo elemento g .

 

Proposici´ on I.2.2. Sea a un elemento de orden finito de un grupo G, entonces o(a) es el m´ınimo entero positivo k para el cual ak = 1. Demostraci´ on. Si a = 1, entonces o(a) = 1. Si a = 1 tomemos m N tal 2 m−1 que 1, a , a , . . . , a son elementos distintos de G y existe 0 i < m tal m i m−i que a = a . Si i > 0, entonces a = 1 con 0 < m i < m, lo que es absurdo, por la elecció n de m; por lo que i = 0, es decir, am = 1. Ahora, sea k on, existen enteros q y r tales que Z, por el algoritmo de la divisi´ k = mq + r con 0 r < m; luego, tenemos que ak = a qm+r = (am )q ar = a r y as´ı, a = 1, a , a2 , . . . , am−1 .



−

∈   {

≤

}

≤

∈

10

Grupos

Ejemplo:

1. El grupo aditivo Z es c´ıclico infinito generado por 1. Si n también es infinito. 2. Sea H =



An

∈ GL2(Q) : An =

c´ıclico infinito de GL 2 (Q).

  ∈  1 n ,n 0 1

Z .

∈ Z, n < Z

H es un subgrupo

3. El grupo C n es un subgrupo c´ıclico finito del subgrupo infinito S1 del grupo multiplicativo C∗ . 4. El grupo R + es un subgrupo de R ∗ . def

{ ∈

}

5. El conjunto SL n (F) = A GLn (F) : det A = 1 es un subgrupo de GLn (F). Se le llama grupo lineal especial. 6. Los conjuntos G

× {1} y {1} × H son subgrupos de G × H .

El primer matem´ atico que estudio las permutaciones fue el frances J. L. Lagrange (1736-1813) en su trabajo sobre Teor´ıa de Ecuaciones Algebraicas al estudiar como actuaban las permutaciones de las raices de una ecuación c´ ubica. El matemático frances A. L. Cauchy (1789-1857) realizó uno de los trabajos mas importantes sobre permutaciones en el siglo XIX al estudiar las permutaciones de las raices de una ecuacion algebraica, lo que lo condujo a estudiar las p ermutaciones por s´ı mismas. A Cauchy se le atribuyen los conceptos de orden de una permutaci´ on , potencias enteras de permutaciones , la notación ciclica y el concepto de permutaciones conjugadas . Una forma usual de escribir una permutación σ S n es I.3. El grupo sim´ etrico

σ =



∈

1 2 σ(1) σ(2)

··· ···



n ; σ(n)

tambi´ en podemos omitir el primer rengl´ on y los par´ entesis para escribir a la permutaci´ on como una palabra: σ = σ(1)σ(2) σ(n).

···

∈

Definici´ on I.3.1. Sean X un conjunto no vac´ıo, finito y σ S (X ). Diremos que σ fija a un elemento a X si σ(a) = a; diremos que σ mueve a un elemento a X si σ(a) = a. Si k es un n´ umero natural mayor que 1, decimos que σ es un k-ciclo si existen k elementos distintos de X , digamos a1 , a2 , . . . , ak , tales que

∈



∈

≤ i < k se tiene σ(ai) = ai+1,

1. para 1

2. σ(ak ) = a 1 ,

−{a1, a2, . . . , ak }. Si σ es un k-ciclo, lo denotaremos por (a1 a2 ··· ak ).

3. σ fija a todo elemento de X

Esta notació n no es u ´ nica, de hecho, hay k formas distintas de escribir el mismo k-ciclo.

11

I.3 El g rupo sim´ etrico

Definici´ on I.3.2. Un 2-ciclo se llama transposici´ on. Dos ciclos (a1 a2 y (b1 b2 bm ) son disjuntos si a1 , a2 , . . . , ak b1 , b2 , . . . , bm = .

···

{

}∩{

} ∅

··· ak )

Ejercicio. Muestre

que dos ciclos disjuntos conmutan entre si. Adem´ a s, el orden de un k-ciclo es k. Ejemplo: Sea X =

[7] y σ =





1 2 3 4 5 6 7 , 1 5 7 4 3 6 2

entonces σ = 1574362 = (2537) es un 4-ciclo de S 7 . A continuación veremos la importancia que tienen los ciclos en S n . Proposici´ on I.3.1. Sea X un conjunto finito y no vac´ıo. Toda permutaci´ on distinta de la identidad es un ciclo o un producto de ciclos disjuntos. Demostraci´ on. Sea m el n´ umero de elementos en X que σ mueve y hagamos inducci´ on sobre m. Como σ = 1, entonces m > 1. Si m = 2, entonces σ mueve sólo dos elementos de X y as´ı, es una transposición. Supongamos que la proposición es válida para todas las permutaciones que mueven menos de m elementos y sea a1 X un elemento al que σ mueve, si definimos ai = σ(ai−1 ) para i 2 sabemos que existe un entero positivo k tal que



≥

∈

k = min i

{ ∈ N : ai+1 ∈ {a1, a2, . . . , ai }};

ahora, mostremos que σ(ak ) = a1 : sabemos que existe 1 i k tal que σ(ak ) = a i y si i = 1 tendr´ıamos que σ(ak ) = a i = σ(ai−1 ) lo que contradice la inyectividad de σ. Definamos ahora las siguientes permutaciones:

≤ ≤



ζ = (a1 a2 y τ (a) =



··· ak )

a si a a1 , . . . , ak σ(a) en otro caso

∈ {

}

As´ı, σ = ζ τ y τ mueve menos elementos que σ. El resultado se sigue de aplicar la hip´ otesis inductiva a τ . Ejercicio. Muestre

que la factorización en ciclos disjuntos de una permutación es u ´ nica, salvo el orden en que aparecen los ciclos. Adem´ as, muestre que el n(n−1)···(n−k+1) n´ umero de k-ciclos en S n es . k

∈

Definici´ on I.3.3. Sea σ S n . Una inversi´ on de σ es una pareja ordenada (i, j) [n] [n] tal que i < j y σ(i) > σ( j). El n´ umero de inversiones de σ lo def denotaremos por inv(σ). Definimos el signo de σ como sgn(σ) = ( 1)inv(σ) .

∈ ×

−

12

Ejemplo: La

Grupos

permutación on identidad no tiene inversiones, por lo que inv(1) = 0

y sgn(1) = 1. Definici´ on I.3 on I.3.4. .4. Para 1 transposici´ on simple. on simple.

≤ k < n definimos τ k def = (k(k + 1)) y le llamamos

Observe que inv(τ inv(τ k ) = 1 para todo 1

≤ k < n.

∈ S n, entonces inv(στ inv(στ k ) = inv(σ inv(σ) ± 1 para toda 1 ≤ k < n.

Lema I.3.2. Sea σ

Demostraci´ on. Denotemos por σ por σ i = σ σ((i) y escribamos σ =



1 σ1

··· ···

k σk



k + 1 n . σk+1 d ot ots σn

···

Si σk < σk+1 , entonces (k, (k, k + 1) no es inversión on de σ y si es inversión on de στ k ya que 1 k k + 1 n στ k = ; σ1 σk+1 σk dots σn



··· ···

···



De aqu aqu´´ı se sigue que inv( inv(στ στ k ) = inv(σ inv(σ ) + 1. 1. Ah Ahor ora, a, si σk > σk+1 , entonces (k, k + 1) es inversión o n de σ pero no es inversión o n de στ k por lo que se tiene inv(στ inv( στ k ) = inv(σ inv(σ) 1.

−

∈ ≡

≤

−

Corolario I.3.3. Corolario I.3.3. Para σ S n y 1 k < n se tiene tiene sgn(σ sgn(σ ) = sgn( sgn(στ στ k ). l Si σ = τ i1 τ i2 τ il , entonces entonces sgn(σ sgn(σ ) = ( 1) . Ade dem´ m´ as, si σ = τ i1 τ i2 τ i1 = τ j1 τ j2 τ jm , entonces l m mod 2. 2.

···

···

−

···

Ahora, veremos que papel juegan las transposiciones en S n . Proposici´ on I.3.4. Toda permutaci´ on on en S n es producto de transposiciones.

∈



Demostraci´ on. Sea Sea σ σ S n . Si Si σ σ = 1, entonces 1 = (12)(12). Si σ = 1, sabemos que es un product productoo de ciclo cicloss disjun disjuntos, tos, as as´´ı que basta bastar´ r´ a pro probar bar el res result ultado ado para ciclos. ciclos. Podem Podemos os ver que el k-ciclo (a (a1 a2 ak ) se puede expresar como el producto (a (a1 ak )( )(a a1 ak−1 ) (a1 a2 ).

···

···

Teorema I.3.5. S n est´ a generado por el conjunto de transposiciones simples. Demostraci´ on. Bastará mostrar que toda transposición on se puede expresar expresar como productoo de transposiciones product transposiciones simples. Sea Sea τ τ = (ij ij), ), con i con i < j . Podemos ver que τ = τ i

· · · τ j−3(τ j−2τ j−1τ j−2)τ j−3 · · · τ i

Este resultado nos dice que a pesar de que S n es un grupo muy grande, de n! elementos, posee un conjunto muy peque˜ no de generadores, el n´ no umero de umero transposiciones simples en S en S n es es n n 1.

−

∈ S n, entonces sgn(ρσ sgn(ρσ)) = sgn(ρ sgn(ρ)sgn( )sgn(σ σ ).

Corolario I.3.6. Sean ρ, σ

13

I.3 El g rupo sim´ etrico etrico

Demostraci´ on. Supongamos que ρ = τ i1 τ i2 ρσ = ρσ = τ τ i1 τ i2 τ il τ j1 τ j2 τ jm y as´ı

···

···

· · · τ i

l

y σ = τ j1 τ j2

· · · τ j

m

, entonces

sgn(ρσ sgn( ρσ)) = ( 1)l+m = ( 1)l ( 1)m = sgn(ρ sgn(ρ) sg sgn( n(σ σ ).

−

− −

· · · ak ) y y σ σ ∈ S n . Muestre que σζ σ−1 = (σ (a1 )σ (a2 ) · · · σ (ak )) ))..

Sea ζ ζ Ejercicio. Sea

= (a ( a1 a2

sgn(σ σ ) = sgn(σ sgn(σ −1 ). ∈ S n, sgn( Definici´ on I.3.5. Decimos que una permutaci´ on on σ ∈ S n es par p ar si si sgn( sgn(σ σ ) = 1; Corolario Corola rio I.3.7. I.3.7. Para Para toda permutaci´ on σ

en otro caso, decimos que σ es impar. impar. Definamos el conjunto def

{ ∈ S n : σ es par }. Teorema I.3.8. Para cada n ∈ N, An ≤ S n y es llamado grupo llamado grupo alternante. alternante. An = σ

Ejercicio. Muestre

que An =

| | |

n! 2 .

Ahora, estudiaremos un concepto ligado al de inversión on de permutaciones. Definici´ on I.3.6. Una expresi´ on on reducida on reducida para σ S n es un producto de transposiciones simples σ = τ i1 τ i2 τ il de longitu longitud d m´ınima. ınima. La longitud de σ = 1, denotada por ℓ( ℓ (σ ), es la longitud de cualquier expresi´ on reducida para σ para σ.. def Definimos ℓ(1) = 0.

∈

···



Ejemplo: Considere

σ =

  1 3

2 3 = (13). (13). 2 1

Es claro que σ que σ = (23)(12 (23 )(12)(23 )(23)) y también en σ = (12)(23)(12). En este caso vemos que inv(σ inv(σ ) = 3 y as as´´ı sgn( sgn(σ σ ) = 1; esto nos dice que σ se expresa como un producto de un n´ umero impar de transposiciones, y como σ no es una transumero posición on simple, las expresiones dadas para σ son expresiones reducidas y por tanto, ℓ tanto, ℓ((σ ) = 3.

−

Lema I.3.9. Si σ

inv(σ ) ≤ ℓ ℓ((σ ). ∈ S n, entonces inv(σ

Demostraci´ on. Sea k = ℓ(σ ), sabemos que existen k transposiciones simples, digamos τ i1 , τ i2 , . . . , τi k S n , tales que τ i1 τ i2 on reducida τ ik es una expresión para σ . Rec Record ordemo emoss que inv( inv(τ τ ij ) = 1 y por el Lema I.3.2, inv(τ inv( τ i1 τ i2 ) 2.

∈

···

≤

14

Grupos

Probaremos por inducción on que inv(τ inv(τ i1 τ ij ) j : el cas casoo j = 1 es claro; si suponemos suponem os ciert ciertaa la afirma afirmaci´ ci´ on para todo entero menor que j , vemos que on

· · · ≤

inv(τ i1 inv(τ

inv(τ i · · · τ i ) ± 1 ≤ ( ( j = j. · · · τ i τ i ) = inv(τ j − 1) + 1 = j. Por tanto, inv(σ inv(σ ) ≤ k k = = ℓ ℓ((σ). Teorema I.3.10. Para cada σ ∈ S n se tiene que inv(σ inv(σ ) = ℓ ℓ((σ ). Demostraci´ on. Si Si σ σ = = 1 es claro. Supongamos que σ que σ  = 1 y por el Lema anterior, basta demostrar que ℓ(σ ) ≤ inv( inv(σ σ ): sean k sean k = inv(σ inv(σ ) y (i, j ) una u inversión on de j −1

j

1

j −1

σ , entonces i entonces i < j y σ σ((i) > σ( j j). ). Definamos ahora def

m = min r : i < r

≤ j, σ(i) > σ(r)} para tener que (i, ( i, m) es una inversión on de σ de σ y σ σ((i) ≤ σ σ((m − 1), de donde se concluye que (m (m − 1, m) es una inversión on de σ de σ.. Sabemos que inv(στ inv(στ l ) = inv(σ inv(σ ) − 1, donde l1 = m − 1. Si in inv( v(στ στ l ) = 0, en ento tonc nces es inv(σ inv(σ ) = 1 y esto nos dice {

1

1

que σ es una transposición on simple por lo que inv(σ inv( σ ) = ℓ(σ ); si inv(στ inv(στ l1 ) > 0, podemos repetir el proseso anterior k anterior k-veces -veces para obtener transposiciones simples τ l2 , . . . , τl k tales que inv(στ inv(στ l1 τ l2 τ lk ) = 0. As As´´ı, vemos que que σ σ τ l1 τ l2 τ lk = 1 y se obtiene una expresión on para σ como el producto τ lk τ lk 1 τ l1 de transposiciones simples. Por tanto, k = inv(σ inv(σ ) ℓ ℓ((σ ).

···

−

≥

···

···

Sea a < b. Ca Calc lcul ule e inv(τ inv(τ )), donde τ = (ab ab)). Si σ es el k-ciclo ak ), calcule sgn(σ sgn(σ). Tam Tambi´ bién, en, muestre que el conjunto

Ejercicio.

(a1 a2

···

{1, (12)(34) (12)(34),, (13)(24) (13)(24),, (14)(23)} es un subgrupo de S 4 . El matem´ atico suizo L. Euler (1707-1783) estuatico dio la aritm´ etica modular y aun que no la relaetica cionó con el concepto de grupo, dio la demostración on de un caso particular del Teorema de Lagrange as as´´ı como algunas concecuencias de tal Teorema aplicado a grupos ciclicos. La relación on de congruencia en el conjunto de n´ umeros ent umeros enteros eros motiva la siguiente definición, on, que es la adaptación on para grupos de dicha relación. on. I.4. El Teorema Teorema de Lagrange Lagrange

Definici´ on I.4 on I.4.1. .1. Sean G un grupo, H G y a, b G. De Decim cimos os que que a es − 1 congruente con b m´ odulo H si a b H odulo H y y lo denotamos por a H b.

∈

≤

∈

≡

Lema I.4.1. La relaci´ on de congruencia m´ odulo un subgrupo es una relaci´ on de equivalencia en G. Demostraci´ on. Como H H es subgrupo de G, tenemos que a−1 a = 1 H H para todo elemento a G. Si a H b, entonces a−1 b H y también H en su inverso b−1 a H por lo que b H a. Si a H b y b H c, ent H entonce oncess tan tanto to a−1 b como b−1 c estan en H tenem nemos os que H y por la cerradura del producto de H , te − − − 1 1 1 a c = (a b)( )(bb c) H H ..

∈

∈

≡

∈

≡

≡

∈ ≡

∈

15

I.4 El Teorema de Lagrange

Definici´ on I.4.2. Sean G un grupo, H izquierda de H en G es el conjunto def

≤ G y a ∈

aH = ah : h

{

G. Una clase lateral

∈ H }.

Al conjunto de clases laterales izquierdas de H en G lo denotaremos por G/H .

∈

{ ∈ G : g ≡H a}. Demostraci´ on. Sea g ∈ aH , entonces existe h ∈ H tal que g = ah y as´ı, a −1 g = h ∈ H . Ahora, si g ≡ H a, entonces a−1 g ∈ H y as´ı, existe h ∈ H tal que −1 Lema I.4.2. Para cada a G, tenemos aH = g

a

g = h y se obtiene as´ı la otra contención.

Este resultado nos dice que el conjunto de clases laterales forma una partición de G y as´ı, las clases laterales son disjuntas y cubren a todo el grupo. Vemos que H es una clase lateral ya que H = 1H y es la única clase lateral que es un subgrupo de G, pues 1 H .

∈

≤

Corolario I.4.3. Sean G un grupo, H G y R un conjunto de representantes de la relaci´ on de congruencia m´ odulo H , entonces G =



a

donde



aH,

∈R

denota uni´ on disjunta.

También podemos definir la relación de congruencia módulo un subgrupo en otra forma: Definici´ on I.4.3. Sean G un grupo, H G y a, b G. Diremos que a es − 1 congruente por derecha con b m´ odulo H si ab H y lo denotaremos por aH b.

≤

∈

≡

∈

Ejercicio. Muestre

que la relación de congruencia por derecha módulo un subgrupo es una relación de equivalencia en G. Si a G y H G, definamos el conjunto def Ha = ha : h H

∈

{

≤

∈ }

y llamemoslo una clase lateral derecha de H en G. Al conjunto de clases laterales derechas de H en G lo denotaremos G H . Muestre que para cada a G se tiene Ha = g G : gH a . Adem´ as, muestre que los conjuntos G/H y G H tienen la misma cardinalidad.

∈

\

{ ∈

\

≡ }

≤

Definici´ on I.4.4. Sea H G. El ´ındice de H en G es el n´ umero de clases laterales de H en G y se denota por [G : H ]. Lema I.4.4. Sean G un grupo, H G y a, b G, entonces existe una biyecci´ on entre los conjuntos aH y bH . En particular, si H es finito, aH = bH .

≤

∈

| | | |

16

Grupos

Demostraci´ on. Considere la función f : aH bH definida por g ba−1 g. Vemos que f (g1 ) = f (g2 ) si y sólo si ba−1 g1 = ba−1 g2 y multiplicando ambos lados por (ba−1 )−1 tenemos que g1 = g 2 , por lo que f es inyectiva. Para cada g bH , digamos g = b h con h H , tenemos que g = a h aH y

→

   ∈

 ∈

→ 

 ∈  

f (g) = ba−1 g = ba−1 (ah) = b h = g,

por lo que f es suprayectiva.

Corolario I.4.5. Sea G un grupo. Si H G, entonces G = [G : H ] H .

≤

| |

| |

Demostraci´ on. Si expresamos a G como unión disjunta de clases laterales de H en G podemos ver que G = a∈R aH , donde R es un conjunto de representantes de clases laterales de H en G. Por el Lema I.4.4, aH = H y as´ı, G = a∈R H = [G : H ] H .

| |



| | | |

| |



| |

| | | |

Teorema I.4.6. (Lagrange). Si H es un subgrupo de un grupo finito G, entonces H divide a G .

| |

| |

El Teorema de Lagrange tiene varias consecuencias interesantes para grupos finitos. Corolario I.4.7. Sea G un grupo finito. Para cada a G, o(a) divide a G .

∈

| |

Sea a G un elemento de orden finito. Muestre que ak = 1 si y sólo si o(a) divide a k. Ejercicio.

∈

Corolario I.4.8. Sea G un grupo finito. Si a G, entonces a|G| = 1.

∈

n´ umero primo y G un grupo de orden p. Muestre que G es c´ıclico y que cualquier elemento distinto de 1 genera a G. Ejercicio. Sean p un

Un resultado aritmético sobre los ´ındices es el siguiente

≤ ≤ G, entonces [G : K ] = [G : H ][H : K ].

Teorema I.4.9. Sean K H

Demostraci´ on. Si expresamos a H como uni´ on disjunta de clases laterales de K tenemos H = i∈I hi K ; del mmismo modo, G = j ∈J g j H y se concluye que G puede ser expresado como j ∈J g j i∈I h i K y como las uniones son disjuntas,



    

G =

gj hi K

j J i I

∈ ∈

que es una expresió n de G en clases laterales de K . Por tanto, [G : K ] = J I = J I = [G : H ][H : K ].

| × | | | · | |

17

I.5 Acciones de grupos en conjuntos

Las acciones de grupos son una de las herramientas modernas de la Teor´ıa de Grupos. Algunas de sus aplicaciones se encuentran en la Topolog´ıa Algebraica, en la Geometr´ıa, en Combinatoria y en la misma Teor´ıa de Grup os como veremos mas adelante. I.5. Acciones de grupos en conjuntos

Definici´ on I.5.1. Sea G un grupo y X un conjunto no vac´ıo. Una acci´ on de G en X es una aplicaci´ on G X X que asocia a cada pareja (g, x) un elemento g.x X tal que

× →

∈

∈

(Ac1) 1.x = x para todo x X ,

∈

∈

(Ac2) g.(h.x) = (gh).x para todo par de elementos g, h G y todo x X . ua en X , o bien X es un G-conjunto, si existe una acci´ Diremos que G act´ on de G en X . Ejemplo: Sea G un

grupo.

1. G act´ ua en G/H para cualquier subgrupo H por translación: definimos G G/H G/H por g .(xH ) = (gx)H .

×

→

2. G act´ ua en s´ı mismo por conjugaci´ on: definimos G gxg −1 . 3. G act´ ua en si´ı mismo por translación: definimos G

× G → G por g.x =

× G → G por g.x=gx.

≤

4. Sea H G y X un G-conjunto, entonces X es un H -conjunto por restricci´ on de la acción.

Definici´ on I.5.2. Sea X un G-conjunto y g ρg (x) = g.x.

∈ G. Definimos ρg : X → X por

Ejercicio. Muestre

que

1. ρ1 = idX , 2. ρg 3. ρg

◦ ρh = ρgh para todo g, h ∈ G, 1

−

es la función inversa de ρ g para todo g

∈ G.

Teorema I.5.1. Sean G un grupo y X un conjunto no vac´ıo. Existe una biyecci´ on entre las acciones de G en X y los homomorfismo de G en S (X ).

18

Grupos

Demostraci´ on. Sea G X X una acción y definamos ρX : G S (X ) por g ρ g . Por el ejercicio anterior, ρ X es un homomorfismo de grupos. Ahora, sea ρ : G S (X ) un homomorfismo de grupos y definamos la aplicación G X X por g.x = ρ(g)(x). Veamos que esto define una acci´ o n: si x X , entocnes 1.x = ρ(1)(x) = idX (x) = x y si g, h G, entonces

→

× →

→

→

× →

∈

∈ g.(h.x) = g.ρ(h)(x) = ρ(g) ◦ ρ(h)(x) = ρ(gh)(x) = (gh).x,

por lo que G act´ ua en X . Resta ver que estas asignaciones son inversas: Si G act´ ua en X , entonces la acción que induce de ρ X es la misma ya que ρ X (g)(x) = ρg (x) = g.x; del mismo modo, sea ρ un homomorfismo de grupos de G en S (X ), la acción que define este homomorfismo es g.x = ρ(g)(x), pero el homomorfismo ρ(X ) se define por ρ X (g) = ρ g la cual a cada x le asocia g .x = ρ(g)(x). Ejemplo:

1. Sea F un campo, entonces GLn (F) act´ ua en Fn : definimos GLn (F) Fn on de la derecha es la multiplicación Fn por A.x = Ax, donde la operaci´ de matrices, viendo a x como una matriz de n 1.

× →

×

∈

2. Para cada n N, S n act´ ua en [n] por evaluación: definimos S n por σ.i = σ(i).

× [n] → [n]

3. También, S n act´ ua en Fn permutando coordenadas: sea σ S n y B = onica de Fn ; definimos σ.ei = e σ(i) y para cada e1 , e2 , . . . , en la base can´ x Fn , tenemos

{

∈

}

∈

def

σ.x =

n



n

i

x eσ(i) =

i=1

As´ı, tenemos σ.(x1 , x2 , . . . , xn ) = (xσ



xσ

1

−

(j )

ej .

j =1

1

−

(1)

, xσ

1

−

(2)

, . . . , xσ

1

−

(n)

).

Ejemplo:

Definici´ on I.5.3. Denotemos por O(n) al conjunto de todas las matrices en GLn (R) que satisfacen AT A = I d, es decir, def

O(n) = A GLn (R) : AT A = I d .

{ ∈

}

A los elementos de O(n) se les llaman matrices ortogonales. Teorema I.5.2. El conjunto O(n) es un subgrupo de GLn (R) llamado grupo ortogonal.

• Estudiaremos el caso n = 2: Si A ∈ O(2), entonces A = T

T

A A = I d = AA =

    a b c d

a c b d

=

  a b c d

y se tiene



a2 + b2 ac + bd ca + db c2 + d2

19


En consecuencia, se tiene que (a, b) 2 = 1 = (c, d) 2 y (a, b), (c, d) = 0. Por tanto, los renglones de la matriz A forman una base ortonormal de R2 ; como AT = A−1 O(2), se sigue que las columnas de A también forman una base ortonormal para R 2 .







 



∈

Ahora, si A

∈ O(2), entonces

1 = det Id = det(AT A) = det(AT )det A = (det A)2 ,

±1. Sea A ∈ O(2); analicemos estos casos por separado. det A = 1. Como la primera columnas de A tiene norma 1, existe θ ∈ por lo que det A =

[0, 2π) tal que su primera columna es de la forma (cos θ, sen θ). Sabemos que la segunda columna de A tiene norma 1 y es ortogonal a la primera, por lo que se tienen las siguientes dos posibilidades: Ae2 =

 

 − ≡

cos(θ + π2 ), sen(θ + π2 ) = ( sen θ, cos θ) 3π 3π 2 ), sen(θ + 2 )

cos(θ +

= (sen θ,

− cos θ)

Como det A = 1, la segunda posibilidad no es v´ alida y por tanto A =



cos θ sen θ

− sen θ cos θ

Rθ .

Rθ se llama matr´ız de rotaci´ on por un ´ angulo θ. det A =

−1. En este caso, vemos que A toma la forma A =



cos θ sen θ

−

sen θ cos θ

≡

R xθ ,

donde xθ es un vector ortogonal a la recta con pendiente θ. Rxθ se llama matr´ız de reflexi´ on a travez de la recta con pendiente θ. Sea R θ una matriz de rotación por un ángulo θ y supongamos que existen ńgulo x, y R2 tal que R θ x = y , entonces y se encuentra al rotar a x un a θ en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

∈

Definici´ on I.5.4. Para cada n

∈ N definimos el conjunto def SO(n) = {A ∈ O(n) : det A = 1}. Teorema I.5.3. Para cada n ∈ N , el conjunto SO(n) es un subgrupo de O(n) llamado grupo ortogonal especial.

Ahora, estudiaremos la dinámica que presenta una acción de grupo.

20

Grupos

Definici´ on I.5.5. Sea X un G-conjunto y x X . La G-´ orbita de x es el conjunto def OG (x) = g.x : g G .

∈

{

∈ }

El estabilizador de x es el conjunto def

{ ∈ G : g.x = x}.

Gx = g Ejercicio.

Sea X un G-conjunto y x

∈ X . Muestre que G x ≤ G.

Ejemplo:

··· {

∈



1. Sea σ = (a1 a2 ak ) S n y H = σ , entonces H act´ u a en [n] por restricci´ on de la acció n de S n . Vemos que σ i (a1 ) = a1+i y as´ı, es claro que O H (ai ) = a1 , a2 , . . . , ak .

}

2. Considere la acci´ o n de GL2 (R) en R2 , entonces O(2) act´ u a en R2 por restricci´ on. Si x = (r, 0), para r > 0, vemos que

{ ∈ R2 : y = r }.

OO(2) (x) = y

3. Considere la acci´ o n de S n en [n] por evaluaci´ on. Si x = n, entonces (S n )x = σ S n : σ(n) = n .

{ ∈

}

Sea X un G-conjunto, entonces para cada g def Gg.x = gG x g −1 . Aqu´ı, gGx g −1 = ghg −1 : h Gx . Ejercicio.

{

∈ }

∈ G y x ∈ X tenemos ∈ ∈

Definici´ on I.5.6. Un G-conjunto X es transitivo si existe x X tal que OG (x) = X , o equivalentemente, si X = y para toda pareja x, y X existe g G tal que y = g.x.

 ∅

∈

Ejercicio. Muestre

que las dos definiciones dadas en la Definición I.5.6 son

equivalentes.

∼

Observemos que si X es un G-conjunto y definimos la relación x G y si y sólo si existe g G tal que y = g.x, entonces G es una relación de equivalencia en X y las clases de equivalencia son las distintas órbitas en X . Si R es un conjunto de representantes de las órbitas en X , entonces

∈

∼

X =



OG (x);

x

∈R

adem´ as, cada órbita es un G-conjunto transitivo. Ejemplo:

21


1. G/H es un G-conjunto transitivo. 2. [n] es un S n -conjunto transitivo. 3. La acción de G en si mismo por conjugación no es transitiva, en este caso on y se denotan por las órbitas OG (x) se llaman clases de conjugaci´ def conjG (x) = gxg −1 : g G .

{

∈ }

4. La acción de G en s´ı mismo por translación es transitiva. 5. Considere la acci´ on de GLn (F) en Fn . Dados x, y Fn 0 podemos encontrar A GL n (F) tal que A. x = y . El procedimiento es el siguiente: sean x, x2 , . . . , xn , y , y 2 , . . . , y n bases de Fn y A : Fn Fn la transformaci´ on lineal definida por x y y para 2 i n, xi y i . Luego, es claro que la matriz A asociada a la transformación lineal A satisface Ax = y y A GLn (F). Esto muestra que OGLn (F) (x) = Fn 0 para cualquier x = 0.

{

∈

∈

}{

→

}

≤ ≤

∈ 

−{ } → → −{ }

Definici´ on I.5.7. Sean X y Y dos G-conjuntos. Una aplicaci´ on f : X Y es un homomorfismo de G-conjuntos si para todo g G y x X se cumple f (g.x) = g.f (x). Diremos que los G-conjuntos son isomorfos si existe un homomorfismo de G-conjuntos f : X Y que sea biyectivo; en tal caso lo denotaremos por X =G Y .

∈

→

∈

→

∼

∼

Proposici´ on I.5.4. Sean X un G-conjunto transitivo y x X , entonces X =G G/Gx , donde la acci´ on de G en G/Gx es por translaci´ on de clases laterales.

∈

→

→  ∈

Demostraci´ on. Definamos f : G/Gx X por gGx g.x, la cual esta bien − 1 definida y es inyectiva pues gG x = hGx h g Gx h−1 .(g.x) = (h−1 g).x = x g.x = h.x. Ahora, al ser X un G-conjunto transitivo, para cada y X existe g G tal que g .x = y y as´ı, f (gGx ) = y.

∈

⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

∈

∼

Corolario I.5.5. Sean X un G-conjunto y x X , entonces OG (x) =G G/G x . Si G es finito, entonces OG (x) = [G : G x ].

|

|

∈

Ahora, veremos algunas aplicaciones de acciones de grupos a la Teor´ıa de Grupos.

∈ G. El centralizador de g en G es el conjunto def C G (g) = {h ∈ G : hg = gh}. Observe que para cada x ∈ G, C G (x) es el estabilizador de x cuando G act´ ua en s´ı mismo por conjugaci´ on y as´ı, C G (x) ≤ G. Adem´ as, se tiene que ∼ conjG (x) =G G/C G (x) y si G es finito, |conjG (x)| = [G : C G (x)]. Definici´ on I.5.8. Sea g

22

Grupos

Definici´ on I.5.9. Sea S G. El centralizador de S en G es el conjunto

⊆ def C G (S ) = {g ∈ G : gs = sg para todo s ∈ S }.

El centro de G es el conjunto def

{ ∈ G : gh = hg para todo h ∈ G}. Observe que C G (S ) = s∈S C G (s) ≤ G y Z (G) = C G (G) ≤ G. g ∈ Z (G) ⇐⇒ C G (g) = G. Z (G) = g



Adem´ as,

Recuerde que S (G) denota la familia de subgrupos de G y definamos una acci´ o n de G en S (G) por g.H = gH g −1 llamada acci´ o n de G por conjugaci´ on en su familia de subgrupos. que G acci´ on de G en S (G). Ejercicio. Muestre

× S (G) → S (G) definida por g.H = gHg −1 es una

≤

Definici´ on I.5.10. Sea H G. El normalizador de H en G es el conjunto def

N G (H ) = g

{ ∈ G : gH = H g}.

N´ otese que N G (H ) es el estabilizador de H en la acción de G por conjugación en su familia de subgrupos, por lo que N G (H ) G. También tenemos que − 1 gH g : g G =G G/N G (H ) y si G es finito, [G : N G (H ) ] es el n´ umero de subgrupos de G conjugados a H .

≤

∈ } ∼

{

  → (h, k), g en G.

≤

×

× →

H, K G y definamos la aplicación (H K ) G G por hgk −1 . Muestre que esta aplicaci´ on define una acción de H K

Ejercicio. Sean

≤

×

∈ G. Una clase lateral doble de H

Definici´ on I.5.11. Sean H, K G y g y K en G es el conjunto def

{

∈ H, k ∈ K }. Es claro que O H ×K (g) = H gK para todo g ∈ G. Proposici´ on I.5.6. Sea G un grupo finito y H, K ≤ G, entonces para todo g ∈ G se tiene · |K | . |HgK | = |H | H ∩|gK g−1 | HgK = hgk : h

Demostraci´ on. Vemos que

× K )g

(H

def

= = =

{(h, k) ∈ H × K : (h, k).g = g } = {(h, k) : hgk−1 = g } {h ∈ H : g −1hg ∈ K } = {(h, k) : g −1hg = k } {h ∈ H : h ∈ gKg −1} = H ∩ gK g−1

23

I.6 Subgrupos normales

y as´ı tenemos

|H × K | = |H | · |K | . |HgK | = |OH ×K (g)| = [H × K : (H × K )g ] = |(H × K )g | |H ∩ gK g−1| = {st : s ∈ S, t ∈ T }. ⊆ G. Definimos ST def |·|T | Corolario I.5.7. Si S, T ≤ G, entonces |ST | = ||S S ∩T | . Definici´ on I.5.12. Sean S, T

En el trabajo de E. Galois se presenta por primera vez el concepto de subgrupo normal y es el primer matem´ atico que trabaja con cocientes de estructuras algebraicas. Esta noción tiene sus respectivos análogos en otras estructuras como lo veremos en anillos, m´ odulos y espacios vectoriales. I.6. Subgrupos normales

≤

Definici´ on I.6.1. Sea N G. Diremos que N es un subgrupo normal de G si para todo g G se tiene gN = N g. En tal caso, lo denotaremos por N  G.

∈

N´ otese que N  G si y sólo si para todo g Ejercicio. Todo

∈ G se tiene gN g−1 = N .

subgrupo de ´ındice 2 es normal.

Lema I.6.1. Un subgrupo N de G es normal si y s´ olo si g Ng −1 g G.

∈

⊆ N para todo

Demostraci´ on. La necesidad es evidente. Para la suficiencia, sea b G, entonces − 1 bNb N y también tenemos que b −1 N b = (b−1 )N (b−1 )−1 N , de donde se concluye que N bN b−1 .

⊆

⊆

⊆

∈

Ejemplo:

1. Considere T 2+ (Q) GL 2 (Q) el grupo de matrices triangulares superiores de orden 2 con entradas racionales y sea H el subgrupo c´ıclico generado por la matriz con entradas igales a 1, es decir,

≤

H =

  ≡  1 1 0 1

A1 .



Si A es la matriz diagonal con entradas 2, 1 y An = (A1 )n H , se tiene que AAn A−1 = A 2n . De aqu´ı vemos que A1 / AHA−1 y por tal razón, H no es un subgrupo normal de T 2+ (Q).

∈

∈

2. En S 4 considere el 4-grupo de Klein

{

}

V = 1, (12)(34), (13)(24), (14)(23) . Si σ V 1 , entonces su factorización en ciclos disjuntos se conforma del producto de dos transposiciones disjuntas y como todos los posibles

∈ − { }

24

Grupos

productos de dos transposiciones disjuntas en S 4 son los elementos de V , se tiene que V contiene a todas las permutaciones con tipo c´ıclico (2, 2). Por un ejercicio anterior, sabemos que todos los conjugados tienen el mismo tipo c´ıclico as´ı que V contiene a todos los conjugados de cada uno de sus elementos. Por tanto, V  S 4 .

∈ S (G).

3. Si G es un grupo abeliano, H  G para todo H 4. Considere SL n (F) GLn (F). Si A GLn (F) se tiene que

≤

∈ SLn(F), entonces para toda B ∈

det(BAB −1 ) = det B det A (det B)−1 = det A = 1.

·

Por tanto, B AB −1

·

∈ SLn(F) y se concluye que S Ln(F)  GLn(F).

≤ G. Muestre que H K ≤ G si y sólo si H K = K H .

Ejercicio. Sean H, K

≤ (1) Si K  G, entonces HK ≤ G y H ∩ K  H . (2) Si H, K  G, entonces HK  G y H ∩ K  G. Demostraci´ on. (1) Sea h ∈ H , entonces hK = Kh por ser K un subgrupo normal de G y as´ı, hK ⊂ K H para todo h ∈ H . Por tanto, H K ⊂ K H . La otra contención es similar. Por el ejercicio anterior, H K ≤ G. Si h ∈ H y g ∈ H ∩ K , entonces hgh −1 ∈ H , por ser g un elemento de H , y también hgh−1 ∈ K , por ser K normal en G. As´ı, vemos que H ∩ K  H . (2) Por la parte (1) se tiene HK ≤ G. Si g ∈ G y hk ∈ HK , entonces g(hk)g−1 = (ghg −1 )(gkg −1 ) ∈ HK , por ser ambos subgrupos normales Proposici´ on I.6.2. Sean H, K G.

de G. Por tanto, HK ejercicio.



G. El resto de la demostración queda como

Si N  G, definimos una operación binaria en G/N :

∗

def

(aN ) (bN ) = (aN )(bN ),

(I.1)

donde la operación en el lado derecho es el producto de subconjuntos en G. Observe que (aN ) (bN ) = (ab)N ya que (aN )(bN ) = a[(N b)N ] = a[(bN )N ] = (abN ).

∗

Teorema I.6.3. Sea G un grupo y N  G, entonces G/N es un grupo con la operaci´ on definida en (I.1).

∗

Definici´ on I.6.2. Sean G un grupo, N un subgrupo normal de G y G/N el grupo definido en el Teorema I.6.3. El grupo G/N se llama grupo cociente de G por N .

25

I.7 Homomorfismos

El matem´ atico alemán C. Jordan (1838-1922) fue el primero en definir lo que es un isomorfismo de permutaciones y trabajó con series de composición de grupos de permutaciones, despues, el también matemático alemán O. H¨ older (1859-1937) generalizó el trabajo de C. Jordan a grupos abstractos. Aqui estudiaremos las aplicaciones que preservan la estructura de grupo. I.7. Homomorfismos

→

Definici´ on I.7.1. Sean G y H dos grupos. Una aplicaci´ on ϕ : G H se llama homomorfismo de grupos si para cualesquiera a, b G se tiene que

∈

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Un homomorfismo biyectivo se llama isomorfismo; en tal caso, decimos que los grupos G y H son isomorfos y lo denotamos G = H . Si ϕ : G G es un isomorfismo, lo llamaremos automorfismo.

∼

→

Observe que si ϕ : G H es un homomorfismo de grupos, entonces ϕ(1) = 1, ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 y para todo n Z se tiene que ϕ(an ) = ϕ(a)n . Adem´ as, si ϕ : G H y ψ : H K son homomorfismo de grupos, entonces ψϕ : G K es tambi´ en un homomorfismo de grupos; si ϕ es isomorfismo, − 1 entonces ϕ : H G es también un isomorfismo.

→

→ →

∈ →

→

Teorema I.7.1. La relaci´ on de isomorfismo de grupos es una relaci´ on de equivalencia en la clase de grupos. Ejemplo:

1. El grupo aditivo de los enteros es isomorfo al grupo H =

  ∈  1 n 0 1

: n

Z

.

∈

2. Sea G un grupo y g G, entonces existe un u ´ nico homomorfismo de grupos ϕ : Z G tal que ϕ(1) = g.

→

3. Sea N  G y definamos π : G G/N por π(a) = aN . π se llama la proyecci´ on can´ onica y es un homomorfismo de grupos.

→

→ F∗ es un homomorfismo. 5. Sea X un conjunto con n elementos, entonces S (X ) ∼ = S n . 6. Sean H, K ≤ G, entonces H ∼ = K no implica que H y K sean conjugados. 7. Si H y K son dos subgrupos conjugados de G, entonces H ∼ = K . 8. Sea a ∈ G y definamos γ a : G → G como γ a (b) = aba −1 , entonces γ a es 4. La funci´ on det : GLn (F)

un automorfismo de G.

9. Si definimos G H como g 1, entonces esta aplicación es un homomorfismo llamado el homomorfismo trivial y se denota por 0 : G H .

→

→

→

26

Grupos

Definici´ on I.7.2. Sea ϕ : G H un homomorfismo de grupos. El n´ ucleo de − 1 ϕ es el conjunto ϕ (1) y se denota por ker ϕ. La imagen de ϕ es el conjunto ϕ(G) y se denota por Imϕ.

→

Observe que Imϕ

≤ H y ker ϕ  G.

Ejemplo:

1. ker det = SLn (F). 2. Si π : G

→ G/N , entonces ker π = N .

Teorema I.7.2. (Teorema del homomorfismo). Sea ϕ : G H un homomor fismo de grupos y N  G. Si N ker ϕ, entonces existe un ´ unico homomorfismo de grupos ϕ : G/N ¯ H tal que ϕ = ϕπ, ¯ donde π : G G/N es la proyecci´ on can´ onica.

→

≤

→

→

ϕ

G

   G/N Demostraci´ on. Definamos ϕ¯ : G/N esta bien definida: sabemos que aN = bN

⇐⇒

 H   

  ∃!ϕ¯

→ H por ϕ(aN ) ¯ = ϕ(a) y veamos que ϕ¯

b−1 aN = N

⇐⇒

b−1 a N

∈ ⊂ ker ϕ

por lo que ϕ(b)−1 ϕ(a) = ϕ(b−1 a) = 1 y as´ı, ϕ(a) = ϕ(b). Es claro que ϕ = ϕπ ¯ y como ϕ es un homomorfismo de grupos, ϕ([aN ][bN ¯ ] ) = ϕ([ab]N ) ¯ = ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(aN ¯ )ϕ(bN ¯ ).

→ H un homomorfismo de grupos tal que ϕ = ψπ, entonces

Ahora, sea ψ : G/N

ψ(aN ) = ψπ(a) = ϕ(a) = ϕ(aN ) ¯

∈

para todo aN G/N . Teorema I.7.3. (Primer Teorema de Isomorfismo). Sea ϕ : G morfismo de grupos, entonces G/ ker ϕ = Imϕ.

∼

→ H un homo-

Teorema I.7.4. (Segundo Teorema de Isomorfismo). Sean G un grupo y N  G. Si H G, entonces HN/N = H/(H N ).

≤

∼

∩

Teorema I.7.5. (Tercer Teorema de Isomorfismo). Sean H y K dos subgrupos G/K ) normales de un grupo G. Si K H , entonces G/H = ((H/K ).

≤

∼

27

I.8 Grupo s c´ıclic os

Teorema I.7.6. (Teorema de Correspondencia). Sea ϕ : G fismo suprayectivo y definamos los conjuntos

→ H un homomor-

= {L ⊆ H : L ≤ H }, ≤ K }, S (H ) def entonces la aplicaci´ on f : S (G, ϕ) → S (H ) definida por f (K ) = ϕ(K ) es S (G, ϕ)

def

= K G : ker ϕ

{ ≤

biyectiva y satisface

(1) f (ϕ−1 (L)) = L para todo L

∈ S (H ); (2) para K 1 , K 2 ∈ S (G, ϕ) se tiene K 1 ≤ K 2 si y s´ olo si f (K 1 ) ≤ f (K 2 ). Adem´ as, [K 2 : K 1 ] = [f (K 2 ) : f (K − 1)]; (3) si K 1 , K 2 ∈ S (G, ϕ), K 1  K 2 si y s´ olo si f (K 1 )  f (K 2 ). Adem´ as, ∼ K 2 /K 1 = f (K 2 )/f (K 1 ). La demostración de estos teoremas queda como ejercicio.

→

Definici´ on I.7.3. Sea X un G-conjunto y ρX : G S (X ) el homomorfismo inducido por la acci´ on de G en X . Decimos que la acci´ on es fiel si ρX es inyectivo. Teorema I.7.7. (Cayley). Todo grupo finito G es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico S n . ´ Demostraci´ on. Sabemos que G act´ ua en s´ı mismo por translación. Esta acción define un homomorfismo de grupos ρG : G S (G) que esta definido por g ρg : G h gh G. Veamos que ρG es inyectivo: si ρg = idG , entonces gh = ρ g (h) = h lo que implica g = 1. Por tanto, la acci´ on es fiel. Sea n = G , entonces S (G) = S n y as´ı G = ρ G (G) S (G) = S n .

∋ → ∈ ∼

→

∼

≤

∼

→ | |

En esta secci´ on veremos algunos resultados que fueron descubiertos por L. Euler y por K. F. Gauss (1777-1855) usando Teor´ıa de Números, pero en el contexto de la Teor´ıa de Grupos. Uno de los resultados mas importantes sobre grupos ciclicos fue demostrado por Gauss al estudiar el orden de los elementos de un grupo c´ıclico, aun que no usaba esta terminolog´ıa. I.8. Grupos c´ıclicos

Lema I.8.1. Todo subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico.

  m = min{i ∈ N : a i ∈ H }. Como ejercicio queda mostrar que H = am . Lema I.8.2. Sea G = a un grupo c´ıclico de orden n. Si d es un divisor de n, entonces existe un ´ unico subgrupo H d de G tal que |H d | = d. Demostraci´ on. Sea H un subgrupo de G = a y definamos

28

Grupos

 n

Demostraci´ on. Si d = 1 entonces H d = 1 . Si d > 1, entonces H d = a d



n d

1, a , . . . , a

(d−1)n d



{ }

=

el cual es claramente un subgrupo de orden d de G. Sea

K G tal que K = d, entonces K = am para m = min i N : ai K y se tiene (am )d = 1 por lo que n divide a md. As´ı, existe un entero l tal que nl = md y se concluye que

≤

| |

 

{ ∈

∈ }

n

am = (a d )l

∈ H d, de donde inferimos que K ≤ H d , pero |K | = |H d |. Por tanto, K = H d . Proposici´ on I.8.3. Sea G = a un grupo c´ıclico de orden n. Si d1 y d2 son dos divisores de n, entonces (1) H d1

∩ H d

= H (d1 ,d2 ) ;

2

(2) H d1 H d2 = H [d1 ,d2 ] .

| ∩

|

Demostraci´ on. (1) Sea d = H d1 H d2 , entonces d divide tanto a d 1 como a d2 ya que H d es subgrupo simultaneamente de H d1 y H d2 . Supongamos que k es un divisor comú n de d1 y d2 , entonces existen enteros k1 y k2 tales que d 1 = kk 1 y d 2 = kk 2 . Sea m Z tal que n = md 1 , entonces

∈

n k

a = a

md1 d1 /k1

= a

mk1

  n

= a d1

≤

k1

∈ H d

1

≤

≤

por lo que H k H d1 ; similarmente, H k H d2 y se tiene que H k H d1 H d2 = H d . De aqu´ı que k sea un divisor de d y se concluye que d = (d1 , d2 ).

∩

| ≤

|

(2) Sea d = H d1 H d2 , entonces tanto d1 como d2 son divisores de d ya que H d1 , H d2 H d . Ejercicio. Verifique

que [d1 , d2 ] divide a d. n

n

Sea k N un m´ ultiplo com´ un de d1 y d 2 , entonces (a d1 )k = 1 = (a d2 )k ; n como a d H d1 H d2 entonces

∈

∈

n

  n

adk = ad

k

n

n

= a d1 s1 a d2 s2



k

n

n

= (a d1 s1 )k (a d2 s2 )k = 1

por lo que n divide a nd k. As´ı, existe un entero positivo l tal que nl = nd k y se concluye que dl = k, es decir, d divide a k. Por tanto, d = [d1 , d2 ]. Observe que si G es un grupo c´ıclico infinito generado por a y m, n a = a m si y sólo si m = n. n

Lema I.8.4. Sea G un grupo c´ıclico infinito generado por a. Si d ad es el unico ´ subgrupo de G con ´ındice d.



∈ Z,

∈ N, entonces

29

I.9 Mas aplicaciones de acciones de grupos



Demostraci´ on. Sea H = ad , entonces H , aH, . . . , ad−1 H son una familia de subconjuntos ajenos de G. Adem´ as, si m Z existen q, r Z tales que m = qd + r con 0 r < d y as´ı,

≤

∈

∈

am = a qd+r = a r (ad )q

∈ ar H.

Por tanto, H , aH, . . . , ad−1 H son las clases laterales de H en G y as´ı [G : H ] = d. Supongamos que K es un subgrupo de G con ´ındice d, entonces K = ak para alg´ un entero k y por lo anterior, k = [G : K ] = d y se concluye que K = H .



Ejercicio. Sea

G un grupo c´ıclico infinito generado por a. Si d1 , d2

muestre que

∈ N,

 ∩        

(1) ad1 (2) ad1

ad2 = a[d1 ,d2 ] ;

ad2 = a(d1 ,d2 ) .

Sea R un conjunto de representantes de las clases de conjugaci´ on de G. Observe que a Z (G) si y sólo si C G (a) = G y sabemos que G = a∈R conjG (a) = |G| y se tiene la ecuación de clase: |C G (a)|

I.9. Mas aplicaciones de acciones de grupos



a

| |

∈R

|G| = |Z (G)| +

 ∈

 ||||

a∈R a∈ / Z (G)

G . C G (a)

|

Teorema I.9.1. Sea p un n´ umero primo y G un grupo de orden p n , con n entonces Z (G) = 1 .

|

(I.2)

∈ N,

 { } Demostraci´ on. Si a ∈ R y a ∈ / Z (G), entonces C G (a) < G y as´ı, p divide a |G| y como p divide a |G|, entonces p debe de dividir a |Z (G)|. Por tanto, |C (a)| G

Z (G) tiene al menos p > 1 elementos. Sabemos que si b

∈ G, entonces Z (G) ≤ C G(b).

Corolario I.9.2. Si G es un grupo de orden p2 con p un n´ umero primo, entonces G es abeliano.

∈ |

∈

Demostraci´ on. Sea b G. Si Z (G) = C G (b), entonces b Z (G); si Z (G) < C G (g), entonces 1 < Z (G) < C G (b) p2 por lo que C G (b) = p2 , es decir, C G (b) = G lo que implica b Z (G). Por tanto, G = Z (G).

| | ∈

|≤

|

|

Teorema I.9.3. (Teorema de Cauchy para grupos abelianos). Sean G un grupo abeliano de orden finito y p un n´ umero primo. Si p divide a G , entonces existe un elemento de G de orden p.

| |

30

Grupos



Demostraci´ on. Sea G = p n1 1 pns s y n = si=1 ni . Haremos inducci´ on sobre n: Si n = 1, entonces G = p y por tanto G es c´ıclico de orden p y cualquier elemento no trivial de G lo genera. Ahora, supongamos que n > 1 y que el Teorema es válido para todo entero positivo m < n. Sea a G 1 y N = a ; como G es abeliano, N es normal. Si p divide a N , entonces existe k N tal que pk = N y se tiene ak = 1 pero (ak ) p = a pk = 1, es decir, o(ak ) = p; si p no divide a N , entonces p divide a G / N = G/N y G/N es un grupo de orden menor que G, por lo que tiene un n´ umero menor de factores primos. Por hipótesis inductiva, G/N tiene un elemento de orden p, digamos bN por lo que b / N pero b p N . Luego, vemos que (b p )|N | = 1 y definamos c = b|N | ; si c = 1, entonces b|N | = 1 y se tiene que (bN )|N | = b|N | N = N por lo que p divide a N , lo que es absurdo. Por tanto, c = 1 y se concluye que o(c) = p.

| | | |

| |

∈

···

| | | | | | |



| |

∈ −{ }

∈

 

|

∈

| |



Teorema I.9.4. (Teorema de Cauchy para grupos). Sean G un grupo finito y p un n´ umero primo. Si p divide a G , entonces existe un elemento de G de orden p.

| |



Demostraci´ on. (Primera demostración) Sea G = pn1 1 pns s y n = si=1 ni . Haremos inducción sobre n: El caso n = 1 es claro ahora. Supongamos v´ alido el Teorema para todo grupo cuyo número de factores primos sea menor que n > 1. Si existe H < G con p un divisor de H el resultado se sigue por hip´ otesis inductiva; si p no divide el orden de cualquier subgrupo propio de G, entonces p no divide a C G (a) para todo a / Z (G) y por tal motivo, p debe de dividir a |C |GG(|a)| para todo a / Z (G). Como p divide a G y por la ecuación de clase, se tiene que p divide Z (G) por lo que Z (G) no puede ser un subgrupo propio de G, es decir, Z (G) = G. El resultado se sigue ahora por el Teorema de Cauchy para grupos abelianos.

| |

···

| |

|

|

| ∈

∈

|

| |

Demostraci´ on. (Segunda demostración) Sea X = G G G = G p . Sabemos que S p act´ u a en X permutando coordenadas y considere la acci´ o n de C = (12 p) por restricción en X . Definamos

× ···×

 ··· 

{

∈

Y = a = (a1 , . . . , a p ) X : a 1

··· a p = 1},

el cual es un conjunto no vac´ıo pues (1, . . . , 1) Y . Es claro que Y = G p−1 ya que la u ´ltima coordenada queda totalmente determinada por las primeras p 1 entradas. Veamos que C.Y Y : sea ζ = (12 p), entonces ζ i .(a1 , . . . , a p ) = (ai , . . . , a p , a1 , . . . , ai−1 ) y conjugando a a 1 a p con ai a p se obtiene

⊂

(ai

··· a p )(a1 ··· a p )(ai ··· a p )−1

∈ | | | | − ··· ··· ··· 1 = ai ··· a p a1 ··· a p a p−1 ··· a− 1 = ai , . . . , a p , a1 , . . . , ai−1 .

As´ı, si a = (a1 , . . . , a p ) Y , entonces ζ i .a Y para todo 1 i p, es decir, Y es un C -conjunto. Luego, sabemos que las C -o´rbitas de Y son de tamaño 1 o p; si OC ((a1 , a2 , . . . , a p )) es de tama˜ no 1, entonces a1 = a 2 = = a p y as´ı, p a1 = 1. Esto muestra que bastará con encontrar una C -o´rbita de tama˜ n o 1:

∈

∈

≤ ≤ ···

31

I.10 Teorema de Sylow

sean A = a Y : OC (a) = 1 y B = b Y : OC (b) = p , entonces

{ ∈ |

|

}

Y =



a A

∈

| | | |

|

{ ∈ | | OC (a) ⊔ OC (b)



}

b B

∈

|

| |

y como p divide a G , a Y y a OC (b) , se tiene que p debe de dividir a A . Por tanto, A > 1, es decir, existe a A (1, . . . , 1) tal que a p1 = 1.

| |

∈ − {

}

Ejercicio.

∼ · 2. Si F es un campo finito con q = p n elementos, calcule |GLn (F)| y |SL n (F)|. 1. Muestre que ( Z, +) es un subgrupo de ( R, +) y R/Z = ( S1 , ).

Una de las herramientas fundamentales para el estudio de los grupos finitos son los llamados Teoremas de Sylow, los cuales veremos aqui como un sólo Teorema. El matemático noruego L. Sylow (1832-1918) dedico gran parte de su vida a la docencia y a publicar los articulos de su compatriota N. H. Abel (1802-1829), sin embargo, su aportación a la Teor´ıa de Grupos queda plasmada en las concecuencias del Teorema que lleva su nombre. I.10. Teorema de Sylow

Definici´ on I.10.1. Sean G un grupo finito y p un n´ umero primo que divide a G . Denotemos por G p a la m´ axima potencia de p que divide a G . Diremos que g G es un p-elemento si o( p) es una potencia de p; G es un p-grupo si G es una potencia de p. Diremos que un subgrupo H de G es un p-subgrupo si es un p-grupo. Si H es un p-subgrupo de G tal que H = G p , diremos que H es un p-subgrupo de Sylow de G.

| | ∈ | |

| |

| |

| | | |

Ejercicio. Muestre

que

{

∈

T n (F) = (aij ) GL n (F) : a ii = 1, aij = 0 si i > j

}

es un p-subgrupo de Sylow de GL n (F) cuando F es un campo finito con q = p n elementos. Teorema I.10.1. (Sylow). Sea G un grupo finito y p un divisor de G , entonces

| |

(1) G tiene al menos 1 p-subgrupo de Sylow; (2) todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados; (3) cualquier p-subgrupo de G esta contenido en alg´ un p-subgrupo de Sylow de G; (4) el n´ umero de p-subgrupos de Sylow de G es congruente con 1 m´ odulo p.

32

Grupos

Demostraci´ on. Sea G = p n m con ( p, m) = 1 y n > 0. Definamos el conjunto

| |

X = S G : S = p n

{ ⊂ | |

}

el cual es un G-conjunto con la acción por translación a la izquierda. I. Hay una biyecci´ on entre el conjunto de órbitas T de X tales que p no divide a T y el conjunto de p-subgrupos de Sylow de G:

| |

| |

∈ ∈ | | ≤ | | | | | | ∼

sea T una G-´ orbita de X tal que p no divide a T y tomemos A T . Si 1 / A, sea a A y tomemos ahora el conjunto a −1 A = A ′ T ; por tanto, podemos suponer que 1 A. Consideremos GA , el estabilizador de A, y como 1 A se sigue que GA G A .A = A por lo que GA A = p n y GA es un p-subgrupo de G. Sabemos que p no divide a T = [G : GA ] y como G = GA [G : G A ] = GA T , se concluye que pn divide a GA y por tanto, GA = A es un p-subgrupo de Sylow de G y T =G G/GA . Ahora, a cada T le asociamos GA , donde 1 A; n´ otese que A es el u ´ nico subgrupo de G en T . Rec´ıprocamente, sea P un p-subgrupo de Sylow de G y definimos T P = G/P . Vemos que p no divide a T P .

∈

∈

∈ | | | |

∈

⊂ | || |

∈

| |

II. El conjunto X ′ = S X : p no divide a OG (S ) es no vac´ıo:

{ ∈ | |} ′ Escribamos a X − X como unión disjunta de órbitas cuya cardinalidad es un m´ ultiplo de p por lo que p divide a |X − X ′ | = |X | − |X ′ |, es decir, |X | ≡ |X ′| mod p. Es claro que n p (G), el número de p-subgrupos de′ Sylow de G, coincide con el n´ umero de órbitas de X contenidas en X y cada una de éstas órbitas tiene cardinalidad m. Por tanto, n p (G)m = |X ′ | ≡ |X | mod p y como ( p, m) = 1 existen enteros a y b tales que 1 = ap + bm por lo que

  ≡

| | b n (G)(1 − ap) ≡ n (G) mod p. p p

G pn

Nótese que n p (G) no depende de la estructura de G si no de G ; en particular, n p (G) n p (C pn m ) = 1 mod p. As´ı, hemos demostrado (1) y (4).

| |

≡

III. Sean Q un p-subgrupo de G y P un p-subgrupo de Sylow de G. Es claro que Q act´ u a en Y = gP g −1 : g G por conjugació n y si R Y , k entonces OQ (R) = [Q : QR ] = p para alg´ un k 0, 1, 2, . . . , n , pero Y = [G : N G (P )] que divide a m = [G : P ] = [G : N G (P )][N G (P ) : P ] de donde concluimos que p no divide a Y . Como Y es una unión disjunta de o´rbitas, p no puede dividir a la cardinalidad de todas las órbitas por lo que existe una órbita de cardinal 1, digamos OQ (P 1 ) para alg´ un P 1 Y . − 1 Por tanto, qP 1 q = P 1 para todo q Q por lo que se tiene QP 1 = P 1 Q lo que implica que QP 1 G. Sabemos que

| |

|

|

{

∈ }

∈ {

}

∈

| | ∈

∈

≤ |QP 1| = ||QQ|∩· |P P 11|| = |P 1|[Q : Q ∩ P 1] = |P 1| pr , pues [Q : Q ∩ P 1 ] divide a |Q|, por lo que QP 1 es un p-subgrupo, pero P 1 ≤ QP 1 de donde se tiene QP 1 = P 1 ; luego, Q = Q ∩ P 1 ≤ P 1 y P 1 es

33

I.11 El grupo alternante

un p-subgrupo de Sylow de G. As´ı, hemos mostrado (3) y para (2) tome Q un p-subgrupo de Sylow de G.

| | | |

Corolario I.10.2. n p (G) divide a G / G p = m. Demostraci´ on. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G, entonces n p (G) es el n´ umero de subgrupos conjugados a P , es decir, n p (G) = [G : N G (P )] que es un divisor de [G : P ] = m. Corolario I.10.3. (Teorema de Cauchy). Si p divide a G , entonces existe un elemento de orden p en G.

| |

∈ − { }

Demostraci´ on. Sean P un p-subgrupo de Sylow de G y a P 1 . Es claro k 1 que o(a) = p k , para alg´ un k > 0. Ahora, el elemento g = a p es un elemento de orden p en G. −

Ejercicio.

1. Sean G un grupo, P un p-subgrupo de Sylow de G y N un subgrupo normal de G. Si p divide a N , entonces P N es un p-subgrupo de Sylow de N y PN/N es un p-subgrupo de Sylow de G/N .

| |

≤ ∈

∩

| |

2. Sean H G y P un p-subgrupo de Sylow de G. Si p divide a H , entonces existe g G tal que g P g−1 H es un p-subgrupo de Sylow de H .

∩

3. Sean p y q dos n´ umeros primos distintos. Muestre que C p

× C q es c´ıclico.

Abel, en la primera mitad del siglo XIX, dio la primera demostración aceptada de la irresolubilidad de la ecuación general de quinto grado al mostrar que el grupo A5 era un grupo simple y por tal motivo, S 5 no es un grupo soluble. Sin embargo, Galois fue el primero en darse cuenta de que la estructura de un subgrupo de permutaciones asociado a una ecuación algebraica estaba relacionado con la solubilidad de tal ecuación por radicales. De hecho, el concepto de grupo soluble se da gracias a la observación de Galois. Además, Galois mostró que el grupo simple no abeliano mas peque˜ no tenia 60 elementos, que era isomorfo al grupo A 5 . Recordemos que A n es el subgrupo de S n que consta de todas las permutaciones pares de S n . Considerando al grupo c´ıclico C 2 = 1 , sabemos que I.11. El grupo alternante

{± }

sgn : S n

→ C 2

es un homomorfismo suprayectivo con ker sgn = An , por lo que An [S n : A n ] = 2. Además, S n es la unión disjunta de A n y (12)An .



S n y

Definici´ on I.11.1. Un grupo G se llama simple si sus unicos ´ subgrupos normales son 1 y G.

{ }

34

Grupos

En esta sección veremos una de las propiedades mas notables del grupo alternante: su simplicidad. Para esto, necesitaremos de los siguientes resultados.

∈

Proposici´ on I.11.1. Sea σ An . conjS n (σ) = conjAn (σ) si y s´ olo si existe una permutaci´ on impar τ tal que τ σ = στ .

⊆

Demostraci´ on. Sabemos que conjAn (σ) conjS n (σ). ( ) Sea ρ S n An y como τ στ −1 = σ, entonces

⇐

∈ −

ρσρ−1 = ρ(τ στ −1 )ρ−1 = (ρτ )σ(ρτ )−1 con ρτ An por lo que ρσρ−1 conjAn (σ). ( ) Como (12)σ(12) conjAn (σ), existe ρ por lo que [ρ(12)]σ = σ[ρ(12)] con ρ(12) S n

∈ ⇒

∈

∈

∈ An tal que ρσρ−1 = (12)σ(12) ∈ − An.

Si σ An no conmuta con ninguna permutaci´ on impar, entonces conjS n (σ) se parte en dos clases de conjugación del mismo tama˜ no con representantes σ y (12)σ(12), respectivamente.

∈

Ejercicio.

Lema I.11.2. An esta generado por todos los 3-ciclos. Demostraci´ on. Es claro que An esta generado por todos los productos de dos transposiciones as´ı que basta con demostrar que cada uno de éstos generadores de A n se pueden expresar como producto de 3-ciclos. Sea (ab)(cd) un producto de dos transposiciones, Caso 1. Si (ab) = (cd), entonces (ab)(cd) = 1 = (abc)(cba). Caso 2. Si a, b c, d = 1, supongamos que a = c y b = d. As´ı, tenemos que (ab)(ad) = (abd).

|{ } ∩ { }|



Caso 3. Si las transposiciones son disjuntas, entonces (ab)(cd) = (cad)(abc).

≥ 3, el grupo An es simple. Demostraci´ on. Sea N  An y supongamos que N  = {1}. Teorema I.11.3. Para n

Por el Lema I.11.2,

bastar´ a con demostrar que cada 3-ciclo esta en N .

Hecho 1. Si N contiene un 3-ciclo, entonces contiene a todos los 3-ciclos. Como n 5, entonces (abc) conmuta con (de) y por la Proposición I.11.1, conjS n = conjAn N , por ser N normal en A n .

≤

⊂

Ahora, analizaremos por casos: Caso 1. Supongamos que N contiene una permutación σ cuya factorización en ciclos ajenos contien un k-ciclo (a1 ak ), con k 4. Definamos ρ = − 1 (a1 a2 a3 ) y por la normalidad de N , ρσρ N . Luego, N σ −1 ρσρ−1 = [σ −1 , ρ] = (a1 a3 ak ). Por el Hecho 1, se tiene que N = A n .

···

∈

≥

∋

35

I.11 El grupo alternante

Caso 2. Supongamos que N contiene una permutación σ cuya factorización en ciclos ajenos contiene al menos dos 3-ciclos, digamos (a1 a2 a3 ) y (a4 a5 a6 ). Sea ρ = (a1 a2 a4 ), entonces N [σ −1 , ρ] = (a1 a4 a2 a6 a3 ) y por el Hecho 1, N = A n .

∋

Caso 3. Supongamos que N contiene una permutación σ cuya factorización en ciclos ajenos contiene sólo un 3-ciclo y el resto son productos de transposiciones disjuntas. Sea σ = (abc)τ , con τ un producto de transposiciones disjuntas entre si y disjuntas a (abc), entonces N σ 2 = (acb) y por el Hecho 1, N = A n .

∋

Caso 4. Supongamos que N contiene una permutación σ que se expresa como un producto de transposiciones disjuntas, digasmo σ = (ab)(cd)τ , donde τ es un producto de transposiciones disjuntas entre si y disjuntas a ( ab) y (cd). Sea ρ = (abc), entonces N [σ −1 , ρ] = (ac)(bd) y como n 5, existe e [n] a,b,c,d por lo que ζ = (ace) A n . Luego, vemos que N [[σ −1 , ρ], ζ ] = ζ y por el Hecho 1, N = A n .

∋

∈ − {

∋

}

≥

∈

grupo abeliano. Muestre que A es simple si y sólo si A es c´ıclico de orden p, para alg´ un n´ umero primo p. Ejercicio. Sea A un

Teorema I.11.4. Cualquier grupo simple de orden 60 es isomorfo a A5 . Demostraci´ on. Sea G un grupo de orden 60 = 2 2 3 5. Veamos los siguientes hechos:

· ·

Hecho 1. G no contiene subgrupos propios de ´ındice menor que 5. Supongamos que existe H < G tal que [G : H ] < 5. Sabemos que G/H es un g-conjunto y sea ρH el homomorfismo inducido por la acción de G en G/H ; como H es un subgrupo propio de G, entonces ker ρH = G. Al ser G un grupo simple, se debe de tener ker ρH = 1 , es decir, ρH es inyectivo. Pero entonces, la imagen de G en S (G/H ) es un subgrupo de orden 60 en un grupo de orden a lo mas 4! = 24, lo que es absurdo.



{ }

Hecho 2. G contiene un subgrupo de ´ındice 5. Supongamos que G no contiene subgrupos de ´ındice 5 y sea P un 2subgruop de Sylow, entonces [G : N G (P )] 1, 2, 5, 15 y por el Hecho 1 y nuestra suposición, [G : N G (P )] = 15. Sea Q otro 2-subgrupo de Sylow de G distinto de P y supongamos que P Q = 1 ; sea g P Q 1 , entonces C G (g) > 4 y 4 C G (g) por lo que [G : C G (g)] 5. Luego, se tiene que G = C G (g) y as´ı, g Z (G)  G y por la simplicidad de G, esto forza a tener G = Z (G) lo que es absurdo. As´ı, P Q = 1 lo que nos da 15(4 1) = 45 elementos en G de orden 2 o 4.

|

−

|

| |

∈

|

∈ { } ∩  { } ∈ ∩ − { } ≤ ∩ { }

Ahora, G contiene mas de un 5-subgrupo de Sylow y sea R uno de ellos, entonces [G : R] = 12 y as´ı, [G : N G (R)] 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; por el Hecho 1

∈ {

}

36

Grupos

y nuestra hipótesis, existen al menos 6 subgrupos de Sylow de G de orden 5 y se puede ver, como antes, que la intersección de dos 5-subgrupos de Sylow de G es trivial por lo que tenemos 6(5 1) = 24 elementos de orden 5. Pero esto nos da mas de 60 elementos en G, lo que es absurdo.

−

Sea H un subgrupo de ´ındice 5. Sabemos que G act´ u a en G/H y tenemos un homomorfismo de grupos ρH : G S (G/H ) = S 5 , el cual es inyectivo, pues ρH = 0 y G es simple. Identficando a G con su imagen en S 5 , vemos que G S 5 con [S 5 : G] = 2 por lo que G  S 5 . Si suponemos que G = A5 , entonces GA5  S 5 y G A5 GA5 = > 60 G A5

≤

∼

→





| || |∩· | || por lo que se tiene GA5 = S 5 . Luego, |G∩A5 | = |G|·|A5 |/|GA5 | = (60 ·60)/120 = 30 por lo que {1} < G ∩ A5 ⊳ A5 lo que es absurdo. |

Ejercicio.

≥

1. Sea n 5. Si H es un subgrupo propio no trivial y normal de S n , entonces H = An . 2. Muestre que A 4 no contiene subgrupos de orden 6. 3. Si n

≥ 3, entonces Z (S n) = {1}.

4. Sea G un grupo que satisface alguna de las siguientes condiciones: (a) el orden de G es 2m pn , donde p es un n´ umero primo impar y 2k 1 mod p, para cada 1 k m; (b) el orden de G es 30;

≤ ≤

≡

(c) el orden de G es 105. Muestre que G no es simple. 5. Muestre que si G/Z (G) es c´ıclico, entonces G es abeliano. Galois fue quien dio importancia al estudio de grupos de automorfismos en su trabajo sobre Teor´ıa de Ecuaciones algebraicas al estudiar un subgrupo del grupo de automorfismos de una extensi´ on del campo de coeficientes de los polinomios. Sabemos que la composición de homomorfismos de grupos es nuevamente un homomorfismo de grupos; además, si ϕ : G G es un automorfismo, entonces ϕ−1 es también un automorfismo de G. Claramente, idG es un automorfismo de G y es por tal motivo que I.12. Automorfismos

→

def

Aut(G) = ϕ : G

{

→ G | ϕ es un automorfismo de G }

tiene estructura de grupo, con la composici´ on de funciones como operación binaria.

37

I.12 Automorfismos

Definici´ on I.12.1. Al grupo Aut(G) se le conoce con el nombre de grupo de automorfismo de G. a G. Muestre que γ a : G G definida por g aga−1 es un automorfismo de G. A los automorfismos γ a se les llama automorfismos interiores. Adem´ as, muestre que para todo automorfismo ϕ de G se tiene la f´ ormula ϕγ a ϕ−1 = γ ϕ(a) ,

∈

Ejercicio. Sea

para todo a

→

→

∈ G.

Sabemos que γ a γ b = γ ab para todo a, b G y que γ 1 = idG , (γ a )−1 = γ a 1 . As´ı, el conjunto de todos los automorfismos interiores, que denotaremos por Inn(G), de G es un subgrupo de Aut (G).

∈

−

Definici´ on I.12.2. El grupo Inn(G) se llama grupo de automorfismos interiores de G M´ as a´ un, por el ejercicio anterior, Inn (G)  Aut(G). Si definimos γ : G Aut(G) como a γ a , el cual es un homomorfismo de grupos; es claro que

→ ker γ = {a ∈ G : γ a = id G } = {a ∈ G : aba −1 = b para todo b ∈ G} = {a ∈ G : ab = ba para todo b ∈ G} = Z (G), y por el Primer Teorema de Isomorfismo, G/Z (G) ∼ = Inn (G).

→

def

Definici´ on I.12.3. Definimos Out(G) = Aut(G)/Inn(G) y se llama grupo de automorfismos exteriores de G; un automorfismo exterior de G es un automorfismo en Aut(G) Inn(G).

−

Ejercicio. Calcule Aut(Z2

× Z2).

Ejemplo:

∼

1. Aut(Z) = C 2 . 2. Considere el grupo c´ıclico C n = x . Sean x m G, con 0 m < n, C ∞ = y un grupo c´ıclico infinito y ϕm : C ∞ C n definido por yk xmk . Vemos que y n ker ϕm y as´ı, existe un u ´ nico homomorfismo de grupos ϕ¯m que hace conmutar el siguiente diagrama:



 

→

  ≤

ϕm

C ∞

   C ∞ / yn







∈

≤

→

 C n   

ϕ¯m

 

por lo que σm : C n C n definido por x xm es un endomorfismo de C n . Ahora, es claro que Aut (C n ) = σm : m = 0, (m, n) = 1 .

→

→ { 

}

38

Proposici´ on I.12.1. Para cada n entonces Aut(C n ) = ( Z∗n , ).

∼

Ejercicio. Muestre

·

que [m]

Grupos

∈ N, sea Z∗n el conjunto de unidades en Zn,

→  σm esta bien definida.

Demostraci´ on. Definamos ϕ : Z∗n

→ Aut (C n ) como [m] → σm . Vemos que

ϕ([m])ϕ([k]) = σ m σk = σ km = σ mk = ϕ([m][k]), por lo que ϕ es un homomorfismo de grupos. Es claro que ϕ es suprayectivo y si ϕ([m]) = idC n , entonces xm = x para todo x C n de donde se concluye que n divide a m 1, es decir, m 1 mod n. Por tanto, [m] = [1] y se sigue que ϕ es inyectivo.

−

∈

≡

∼

Corolario I.12.2. Si p es un n´ umero primo, entonces Aut(C p ) = C p−1 . Sea ϕ

∈ Aut (G) y H ≤ G, entonces ϕ aplica H isomorfamente sobre ϕ(H ). Definici´ on I.12.4. Diremos que ϕ ∈ Aut(G) fija a un subgrupo H de G si ϕ(H ) = H ; diremos que L ≤ Aut(G) fija a un subgrupo H de G si todo elemento en L fija a H . Diremos que un subgrupo H de G es caracter´ıstico en G si Aut(G) fija a H ; en tal caso, denotamos H car G. Ejemplo: Si N es

un subgrupo normal de G, entonces Inn (G) fija a N .

N´ otese que el ser caracter´ıstico implica ser normal pero la conversa no es válida en general. Ejercicio. Muestre

que Z (G) es caracter´ıstico en G.

≤

Lema I.12.3. Sean H, K G. Si H car G y K car H , entonces K car G. La demostración queda como un ejercicio.

∈

Definici´ on I.12.5. Sean a, b G. El conmutador de a con b es el elemento def − − 1 1 aba b = [a, b]. El subgrupo derivado de G es el subgrupo def

G′ = [a, b] : a, b G .



∈  Observe que [a, b]−1 = [b, a] y para todo a ∈ G, [a, a] = 1. abeliano si y sólo si G ′ = {1}.

Adem´ as, G es

Lema I.12.4. El subgrupo derivado de G es caracter´ıstico en G. Demostraci´ on. Sean ϕ

∈ Aut (G), a y b dos elementos de G, entonces

ϕ([a, b]) = ϕ(aba−1 b−1 ) = ϕ(a)ϕ(b)ϕ(a)−1 ϕ(b)−1 = [ϕ(a), ϕ(b)] por lo que ϕ(G′ ) G′ . Como ϕ−1 Aut , entonces tenemos ϕ−1 (G′ ) aplicando ϕ a esta relación, se tiene la otra contención.

⊆

∈

⊆ G′ y

39

I.13 Productos directos

Proposici´ on I.12.5. Sean G un grupo y N un subgrupo normal de G. G/N es abeliano si y s´ olo si G′ N .

≤

Demostraci´ on. Veamos primero que G/G′ es abeliano: como G′ car G, entonces G′  G. Luego, para a, b G tenemos

∈

[aG′ , bG′ ] = aG′ bG′ a−1 G′ b−1 G′ = [a, b]G′ = G′ , es decir, (G/G′ )′ = G′ . ( ) Supongamos que G′ N . Por el tercer Teorema de Isomorfismo, ′ tenemos que G/N = (G/G )/(N/G′ ) con G/G′ abeliano, por lo que G/N es abeliano. ( ) Si G/N es abeliano, entonces N = [aN,bN ] = [a, b]N para todo a, b G por lo que [a, b] N para todo a, b G, es decir, G ′ N .

{ } ∼

⇐ ⇒

≤

∈

∈

∈

≤

Los productos son un concepto categórico que nos ayudan a descomponer, en este caso a los grupos, en grupos mas peque˜ nos y generalmente, mas amigables. Aqui, veremos cuales son las condiciones para poder descomponer a los grupos en productos de sus subgrupos. Considere una familia de grupos Gi : i [n] y tomemos el producto cartesiano de tal familia G = ni=1 Gi . Definamos una multiplicaci´ on por componentes en G, la cual hace de G un grupo. I.13. Productos directos



{

∈ }

Definici´ on I.13.1. El grupo G = G1 G 2 directo externo de los grupos G1 , G2 , . . . , Gn .

× × ·· · × Gn se llama producto





|Gi| y si σ ∈ S n entonces G ∼= ni=1 Gσ(i) . Lema I.13.1. Sea G = G 1 × G2 × · · · × Gn , entonces (1) Hi = {(1, . . . , 1, gi , 1, . . . , 1) : g i ∈ Gi }  G; (2) G/Hi ∼ = G1 × · · · × Gi × · · · × Gn , donde Gi indica que el factor Gi se N´ otese que G =

| |

n i=1



omite;



(3) cada elemento g de G se escribe de manera ´ unica como un producto g = h1 h2 hn , con hi H i para cada 1 i n.

···

∈

≤ ≤

La demostración de este Lema se deja como ejercicio. Lema I.13.2. Sean G un grupo y H 1 , H 2 , . . . , Hn

≤ G tales que

(i) H i



G para cada 1

≤ i ≤ n.

∈ ···

(ii) Para cada g G existen ´ unicos elementos hi que g = h1 h2 hn . Entonces (iii) G = H 1 H 2

··· H n;

∈ H i, con 1 ≤ i ≤ n, tales

40

Grupos



∩ [H 1 ··· Hi ··· H n] = {1}; (v) si i  = j, entonces hi hj = h j hi para todo hi ∈ H i y hj ∈ H j ; (vi) si g = h1 ··· hn y g = h1 ··· hn , entonces g g = (h1 h1 ) ··· (hn hn ). (iv) H i

  ···  ··· ···  ···

 

Demostraci´ on. (iii) Es claro por (ii).

∈ H i ∩ [H 1

(vi) Sea g

Hi

hi = g = h1

∈



H n ], entonces hi

hn = h 1

··· hi−11hi+1 ··· hn,

≤ ≤

con h j H j para cada 1 j n. Por la unicidad de la expresión en (ii), tenemos h i = 1 y por tanto, g = 1. 1 −1 (v) Por (i), hi (hj h− i hj ) [hi , hj ] = 1 si i = j.



∈ H i y (hihj h−i 1)h−j 1 ∈ H j . Por (vi), tenemos que

(vi) Se sigue de aplicar (v) y la asociatividad a la expresi´ on (h1

 

··· hn)(h1 ··· hn)

Observe que si (i) y (ii) del Lema I.13.2 son válidas, entonces existe un isomorfismo de grupos ϕ : G H 1 H n tal que

→ × · · · × ϕ(H i ) = {1} × · · · × { 1} × H i × {1} × · · · × {1} para cada 1 ≤ i ≤ n.

Definici´ on I.13.2. Si G es un grupo que satisface (i) y (ii) del Lema I.13.2, decimos que G es el producto directo interno de los subgrupos H 1 , . . . , Hn y lo denotamos por G = H 1 H n .

× · · · ×

Lema I.13.3. Sea G un grupo que satisface (i) del Lema I.13.2, entonces la condici´ on (ii) del Lema I.13.2 es equivalente a las condicniones (iii) y (iv) del Lema I.13.2. Demostraci´ on. S´ olo falta ver que (iii) y (iv) implican (ii): es evidente que para cada g G (iii) implica la existencia de elementos h1 H 1 , . . . , hn H n tales que g = h1 hn . Supongamos que un elemento g G tiene otra representación, digamos k 1 kn con k i H i para cada 1 i n, entonces

∈

∈

∈

··· ∈ ··· ∈ ≤ ≤ 1 (k1 ··· kn−1 )−1 (h1 ··· hn−1 ) = k n h− n ∈ H n ∩ [H 1 ··· H n−1 ]

1 y por (iv) tenemos que k n h− a n = 1, es decir, k n = h n ; inductivamente, se tendr´ (ii).

Lema I.13.4. Sea G un grupo con subgrupos normales H y K tales que G = HK , entonces G/(H K ) = [H/(H K )] [K/(H K )].

∩

∩

×

∩

41

I.14 Productos semidirectos

Demostraci´ on. Sea L = H K , entonces L  G. Por el Teorema de Correspondencia, H/L,K/L  G/L cumpliendose as´ı (i) del Lema I.13.2. Adem´ as, tenemos H/L K/L = (H K )/L = 1 por lo que se satisface (vi) del Lema I.13.2. Como G = HK , entonces G/L = (H/L) (K/L) con lo que se satisface (iii) del Lema I.13.2.

∩ ∩

∩

{ }

Proposici´ on I.13.5. Sean G un grupo finito y H 1 , H 2 , . . . , Hn G. Si G es el producto directo de los subgrupos H 1 , H, 2, . . . , Hn y ( H i , H j ) = 1 para i = j , entonces cualquier subgrupo K G es producto directo de los subgrupos K H 1 , K H 2 , . . . , K H n .

 ∩

∩

≤ | || |

≤

∩

Demostraci´ on. Probaremos el resultado para n = 2 y un argumento inductivo completar´ a la prueba: es claro que K H 1 , K H 2  K , pues H 1 , H 2  G; también es evidente que

∩

(K H 1 )

∩

∩

∩ (K ∩ H 2) = K ∩ (H 1 ∩ H 2) = K ∩{1} = {1}.

Sabemos que los elementos de H 1 conmutan con los elementos de H 2 , por ser G el producto directo de los subgrupos H 1 y H 2 ; si k K , entonces existen h1 H 1 , h2 H 2 tales que k = h 1 h2 y veamos que h1 , h2 K : es claro que h1 h2 = 1 por lo que o(k) = o(h1 h2 ) = [o(h1 ), o(h2 )] y como ( H 1 , H 2 ) = 1 y o(hi ) H i , entonces [o(h1 ), o(h2 )] = o(h1 )o(h2 ); por tanto,

∈ ∈

∈   { } || |

| || |

∈   ∩

h1 × h2 ∼= h1h2 = k ≤ K, es decir, h 1 , h2 ∈ K . As´ı, K = (K ∩ H 1 )(K ∩ H 2 ). Ahora, veremos una variación de los productos que nos permitiran generar grupos con propiedades importantes. Adem´ as, aplicaremos aqui el estudio sobre automorfismo hacho previamente. I.14. Productos semidirectos

Definici´ on I.14.1. Sean G un grupo con subgrupos N y H tales que (PS1) N  G, (PS2) G = N H , (PS3) N

∩ H = {1}.

Decimos entonces que G es el producto semidirecto interno de los subgrupos N y H ; en tal caso, lo denotamos por G = N ⋊ H . Observe que si H  G, entonces G es el producto directo de los subgrupos N y H . Ejemplo: Consideremos





el grupo simétrico S 3 y los subgrupos A3 y (12) . Sabemos que A3  S 3 y que A3 (12) = 1 ; por cardinalidades, tenemos S 3 = A 3 (12) y por tanto, S 3 = A 3 ⋊ (12) .





∩ 

 { }  

Supongamos que G = N ⋊ H , entonces tenemos las siguientes consecuencias:

42

Grupos

• por la condición (PS2), G/N =∼ (N H )/N ; por el Segundo Teorema de ∼ H/(H ∩ N ) y por la condición (PS3) se tiene Isomorfismo, (N H )/N = que H/(H ∩ N ) ∼ = H . • Si G es finito, entonces |G| = |N ||H |, por (PS3). • Para cada g ∈ G existen elementos uńicos n ∈ N y h ∈ H tales que g = nh: la existencia se tiene por (PS2) y si g = n1 h1 para n1 ∈ N y 1 h1 ∈ H , entonces N ∋ n−1 n1 = hh − 1 ∈ H por lo que n = n 1 y h = h 1 , por (PS3).

• Sean g1, g2 ∈ G y supongamos que g1 = n1h1 y g2 = n2h2 para algunos n1 , n2 ∈ N y h1 , h2 ∈ H , entonces 1 g1 g2 = (n1 h1 )(n2 h2 ) = [n1 (h1 n2 h− 1 )][h1 h2 ], 1 donde n 1 (h1 n2 h− 1 ) N por (PS1) y h1 h2

∈

∈ H . • Sea h ∈ H y definamos γ h : N → N como n → hnh−1. Es claro que cada γ h es un automorfismo de N y γ : H → Aut (N ) definido por h → γ h es un homomorfismo de grupos. El producto en G lo escribimos ahora como g1 g2 = n 1 γ h1 (n2 )h1 h2 . Observe que si γ es el homomorfismo trivial, entonces G es el producto directo de los subgrupos N y H . Adem´ as, si γ no es trivial, entonces G no es abeliano: existe un elemento h H tal que γ h = idN por lo que debe de existir un elemento n N con γ h (n) = n, es decir, hnh−1 = n que es equivalente a tener hn = nh.



∈

∈







Ejercicio.

1. Muestre que Aut (Z

× Z) ∼= GL2(Z). ∈ → ≤ ≤

2. Sea G un grupo abeliano y a1 , a2 , . . . , an G. Muestre que existe un n u ´ nico homomorfismo de grupos ϕ : Z G tal que ϕ(ei ) = ai , donde ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) para cada 1 i n. Sean N y H dos grupos y ϕ : H Aut(N ) un homomorfismo de grupos. Consideremos G = N H , el producto cartesiano de los conjuntos N y H , y definamos una operaación binaria de la siguiente manera:

→

×

def





∗ϕ (n2, h2) = n1[ϕ(h1)][n2], h1h2 . Ejercicio. Muestre que ∗ϕ es asociativa. Claramente, vemos que (n1 , h1 )

(n, h)

∗ϕ (1, 1) =



·

 · 

nϕ(h)(1), h 1 = n 1, h = (n, h);

(I.3)

43


An´ alogamente, tenemos (1, 1)

∗ϕ (n, h) =



 ·

·



·

1ϕ(1)(n), 1 h = 1 idN (n), h = (1 n, h) = (n, h)

de donde se concluye que (1, 1) es el elemento identidad en G para





∗ϕ . Luego,

podemos ver que (n, h)−1 = ϕ(h−1 )(n−1 ), h−1 , por lo que G tiene estructura de grupos.

→

Definici´ on I.14.2. Sean N y H dos grupos y ϕ : H Aut (N ) un homomor fismo de grupos. El conjunto G = N H con la operaci´ on definida en (I.3) es un grupo, el cual llamamos producto semidirecto externo de los grupos N y H mediante el homomorfismo ϕ y se denota por G = N ⋊ ϕ H .

×

× {1} y H = {1} × H ,

Lema I.14.1. Sea G = N ⋊ϕ H y definamos N = N entonces

≤ G; 2. N ∼ = N y H ∼ = H ; 1. N  G y H

3. G = NH; 4. N

∩ H = {(1, 1)};

 



∈

∈

5. γ (1,h) (n, 1) = ϕ(h)(n), 1 para todo n N y todo h H ;

→ →

→

→

6. si πH : H H y πN : N N son los isomorfismos de grupos (1, h) h y (n, 1) n, respectivamente, entonces existe un isomorfismo de grupos ΦN : Aut(N) Aut (N ) tal que hace conmutar el siguiente diagrama:

→

γ

 Aut(N)   Φ    N  Aut (N ) ϕ

H πH

  H

1. Si (n1 , 1), (n2 , 1) N, entonces

∈ (n1 , 1) ∗ϕ (n2 , 1) = n1 ϕ(1)(n2 ), 1 · 1 = n1 · idN (n2 ), 1 = (n1 n2 , 1) ∈ N; an´ alogamente, si (1, h1 ), (1, h2 ) ∈ H, entonces (1, h1 ) ∗ϕ (1, h2 ) = 1 · ϕ(h1 )(1), h1 h2 = (1 · 1, h1 h2 ) = (1, h1 h2 ) ∈ H. Ahora, si (n, h) ∈ G y (n1 , 1) ∈ N, entonces (n, h) ∗ϕ (n1 , 1) ∗ϕ (n, h)−1 = nϕ(h)(n1 ), h ∗ϕ ϕ(h−1 )(n−1 ), h−1

Demostraci´ on.



 



= = por lo que N



G.

  



  

nϕ(h)(n1 )ϕ(h)ϕ(h−1 )(n−1 ), 1 nϕ(h)(n1 )n−1 , 1 ,





44

Grupos

2. Los isomorfismos estan dados por n (n, 1) y h (1, h). En la parte 1, vemos que estas aplicaciones son homomorfismos de grupos y claramente son biyectivas.

→

→

3. Para (n, 1) N y (1, h) H tenemos

∈

∈

(n, 1)

∗ϕ (1, h) =





nϕ(1)(1), h = (n 1, h) = (n, h),

de donde concluimos que G = NH.

·

4. Es evidente. 5. Para (n, 1) N y (1, h) H se tiene

∈

∈

 

γ (1,h) (n, 1)

∗ϕ (n, 1) ∗ϕ (1, h−1) ϕ(h)(n), h ∗ϕ (1, h−1 )

= (1, h)

 

= =







ϕ(h)(n)ϕ(h)(1), hh−1 = ϕ(h)(n), 1 .

−1 ρπN y es claro que 6. Definimos Φ N : Aut(N) Aut(N ) como ρ πN ΦN es un homomorfismo de grupos; vemos que (ΦN )−1 se define por −1 y as´ı, ΦN es isomorfismo. Ahora, veremos que π H ϕ = γ ΦN : ρ π N ρπN sea (1, h) H, entonces si n N

→

→

∈

→

∈





−1(n) = πN γ (n, 1) ΦN γ (1, h)(n) = π N γ (1,h) πN (1,h)





y por la parte 5, π N γ (1,h) (n, 1) = ϕ(h)(n) = ϕπ H (1, h)(n).

→

Observe que si tenemos dos homomorfismos ϕ, ψ : H Aut(N ) entonces N ⋊ ϕ H no necesariamente debe de ser isomorfo a N ⋊ ψ H . Ejemplo: Considere

al grupo simétrico S 3 con los subgrupos A 3 y (12) . Tenemos dos posibilidades para ϕ : (12) Aut(A3 ) que son el homomorfismo trivial y el homomorfismo que asocia a 1 el automorfismo id A3 y a (12) le asocia el automorfismo que a cada elemento de A3 lo transforma en su cuadrado, es decir, ϕ (12) (σ) = σ 2 para σ A3 . As´ı, A3 ⋊ϕ (12) = S 3 y si ϕ = 0, entonces A 3 ⋊0 (12) = C 3 C 2 = C 6 , el cual es abeliano por lo que C 6 = S 3 .



 



 

→

∈  ∼ × ∼

 ∼



∼

un isomorfismo expl´ıcito de S 3 en C 3 ⋊ϕ C 2 . Además, muestre que S n = A n ⋊ (12) para toda n N. Ejercicio. De



Ejemplo: Sea



∈

 ≤  −   

D2n = R 2π , S n R =

cos 2nπ sen 2nπ

O(2), donde sen 2nπ cos 2nπ

,

S =

1 0

0 . 1

−

45


Queda como ejercicio mostrar las siguientes igualdades: 1. o(R 2π ) = n; n 2. o(S ) = 2; 1 3. SR 2π S = R − 2π ; n n

4. D2n = 1, R 2π , . . . , Rn2π−1 , S , R 2π S , . . . Rn2π−1 S . n n

{

n

 

La parte 3 muestra que R 2π n



  

D2n ; la parte 4 muestra que D2n = R 2π n

  ∩  { } → 

y es claro que R 2π n

}

n

S

    ∼ ∋ → ∈  ∈

S = 1 . Por tanto, D 2n = R 2π ⋊ S = C n ⋊ϕ C 2 , n

−

donde ϕ : C 2 C n esta definido por ϕ( 1) : C n Consideremos el conjunto de puntos en R2 V n =

(cos

b −1

b

2kπ 2kπ , sen ) : k n n

Z

C n .

,

el cual tiene n elementos. Podemos ver que D 2n act´ ua en V n lo que induce un homomorfismo ρ n : D2n S n .

→

que ρn es inyectiva y calcule las imagenes de los generadores de D 2n bajo ρn . Ejercicio. Muestre

Proposici´ on I.14.2. Sean H un grupo c´ıclico y N un grupo. Si ϕ, ψ : H Aut(N ) son dos homomorfisoms de grupos inyectivos tales que Imϕ = Imψ, entonces N ⋊ ϕ H = N ⋊ ψ H .

→

∼

Demostraci´ on. Sea H = x , entonces ϕ(x) = ψ(x) Aut (N ) y as´ı, existen enteros k 1 y k2 tales que ϕ(x)k1 = ψ(x) y ϕ(x) = ψ(x)k2 . Definamos

 



Ψ : N ⋊ ψ H (n, h)

∋

 

≤

→ (n, hk )N ⋊ ϕ H 1

y veamos que es un homomorfismo de grupos: sean (n, h), (n1 , h1 ) entonces



Ψ (n, h)

      ∗    ∋  → ∈

∗ψ (n1, h1)

∈ N ⋊ψ H ,

= Ψ (nψ(h)(n1 ), hh1 ) = nψ(h)(n1 ), (hh1 )

=

nϕ(hk1 )(n1 ), hk1 hk11 = (n, hk1 )

= Ψ (n, h)

De manera similar, Φ : N ⋊ ϕ H (n, h)

ϕ Ψ

k1



∗ϕ (n1, hk1 ) 1

(n1 , h1 ) .

(n, hk2 ) N ⋊ ψ H es un homomor-

fismo de grupos y se tiene ΨΦ (n, h) = (n, hk1 k2 ), pero ϕ(x) = ψ(xk2 ) = ϕ(xk2 k1 )

y por la inyectividad de ϕ, x = x k1 k1 ; luego, ΨΦ = id N ⋊ϕ H . An´ alogamente, la inyectividad de ψ tiene como consecuencia que ΦΨ = id N ⋊ψ H por lo que Ψ es un isomorfismo de grupos.

46

Grupos

Proposici´ on I.14.3. Sean N y H dos grupos y ϕ : H Aut(N ) un homomorfismo de grupos. Si η : N N es un automorfismo de N y definimos γ η : Aut (N ) Aut (N ) como ρ ηρη−1 , entonces N ⋊ϕ H = N ⋊ γ η ϕ H .

→

→ ∼ → → Demostraci´ on. Sea Φ : N ⋊ ϕ H → N ⋊ γ ϕ H definido como (n, h) → (η(n), h). Para (n, h), (n1 , h1 ) ∈ N ⋊ ϕ H tenemos Φ (n, h) ∗ϕ (n1 , h1 ) = Φ (nϕ(h)(n), hh1 ) = η(n)ηϕ(h)(n1 ), hh1 η



      ∗   ∗ 



   

=

η(n)ηϕ(h)(η −1 η(n1 )), hh1

=

η(n)ηϕ(h)η −1 (η(n1 )), hh1

=

η(n), h

= Φ (n, h)

γ η ϕ

η(n1 ), h1

γ η ϕ Φ



(n1 , h1 ) ,

de donde concluimos que Φ es un homomorfismo de grupos. An´ alogamente, si − 1 definimos Ψ : N ⋊γ η ϕ H N ⋊ϕ H como (n, h) (η (n), h), entonces Ψ es un homomorfismo de grupos y se tiene que ΨΦ = idN ⋊ϕ H y ΦΨ = idN ⋊γη ϕ H por lo que Φ es un isomorfismo.

→

→

Proposici´ on I.14.4. Sean s y t dos elementos de orden 2 en un grupo, entonces s, t = st ⋊ s y γ s : st (st)−1 .

     

→ Demostraci´ on. Sean G = s, t, N = st y H = s. Como s y t tienen orden −1 2 2, entonces s = 1 y t = t

as´ı, tenemos

γ s (st) = s(st)s−1 = s 2 ts−1 = ts −1 = t −1 s−1 = (st)−1 . Cada elemento en G se escribe de alguna de las siguientes maneras: (st)k

(st)k s (ts)k

(ts)k t,

para alg´ un entero no negativo k. Vemos que (st)k N N H y (st)k s N H . Ahora, como ts = (st)−1 , vemos que (ts)k = (st)−k N N H y por u ´ ltimo,

∈ ≤ ∈ ∈ ≤ (ts)k t = (ts)k tss = (ts)k+1 s = (st)−k−1 s ∈ N H. Supongamos que N ∩ H  = {1}, entonces s ∈ N y as´ı, existe un entero k tal k k −2 k−2

que s = (st) ; luego, 1 = t(st) st lo que implica 1 = (st) s, es decir, k −2 2 s = (st) . Se infiere que (st) = 1 lo que nos dice que st = ts. Por tanto, s = s k tk .

≡ 0 mod 2, se tiene entonces que s = 1 lo que es absurdo. n ≡ 1 mod 2, se tiene que s = st y en consecuencia, t = 1, lo que es absurdo. Por tanto, N ∩ H = {1} y se termina la prueba. n

47


Ejercicio. Si o(st)

= n <

∞, muestre que st ⋊ s ∼= D2n.

Proposici´ on I.14.5. Sean p y q dos n´ umeros primos con p > q .

≡ 1 mod q , entonces todo grupo de orden pq es isomorfo a C pq . (2) Si p ≡ 1 mod q , entonces todo grupo abeliano de orden pq es isomorfo a (1) Si p

C pq y existe un ´ unico grupo no abeliano, salvo isomorfismo, de orden pq .

Ejemplo:

≡

1. Si p > q = 2, entonces p 1 mod 2 y as´ı, existen exactamente dos clases de isomorf´ıa de grupos de orden pq , a saber, C 2 p y D 2 p . 2. Si q = 3 y p = 5, entonces 5 de orden 15, el c´ıclico.

≡ 1 mod 3 y as´ı, sólo existe un único grupo

≡

3. Si q = 3 y p = 7, entonces 7 1 mod 3 y existen dos clases de isomorf´ıa de grupos de orden 21; si G es un grupo de orden 21 y es abelinano, entonces es isomorfo a C 21 . Lema I.14.6. Si G es un grupo de orden pq con p > q , entonces G es el producto semidirecto de sus subgrupos de Sylow. Demostraci´ on. Sea G un grupo de orden pq y tomemos P un p-subgrupo de Sylow de G, Q un q -subgrupo de Sylow de G. Por el Teorema de Lagrange, el orden de P Q divide tanto a p como a q por lo que P Q = 1 ; por cardinalidades, G = P Q. Sea n p el n´ umero de p-subgrupos de Sylow de G, entonces n p 1 mod p y n p divide a [G : P ] = q de donde se concluye que n p = 1 y P  G.

∩ ≡

∩

{ }

Lema I.14.7. Si p y q son dos n´ umeros primos con p > q . Si q divide a p entonces existe un grupo no abeliano de orden pq .

− 1,

Demostraci´ on. Consideremos los grupos C p = a y C q = b . Sabemos que Aut(C p ) = C p−1 y como q divide a p 1, entonces existe un automorfismo de C p , digamos θ : C p C p , de orden q , por el Teorema de Cauchy; definimos ϕθ : C q Aut(C p ) como ak θk , el cual es un homomorfismo de grupos. N´ otese que ϕθ es inyectivo, pues C q es simple. Ahora, formamos el producto semidirecto G = C p ⋊ϕθ C q y queda como ejercicio encontrar dos elementos en G que no conmuten.

∼ →

→

−

 

 

→

Demostraci´ on. (Proposición I.14.5). Sean P el p-subgrupo de Sylow de G, Q un q -subgrupo de Sylow de G y nq el n´ umero de q -subgrupos de Sylow de G, entonces n q 1 mod q y divide a p. Ya sabemos que G = P ⋊ Q.

≡ (1) Si p ≡  1 mod q , entonces nq = 1 y en tal caso, G = P × Q ∼ = C p × C q ∼ = C pq .

Q



G. Por tanto,

48

(2) Si p

Grupos

≡ 1 mod q , tenemos dos casos:

Caso I. Si G es abeliano, entonces Q



∼

G y G = C pq .

Caso II. Si G no es abeliano, entonces n q = p por lo que Q no es normal en G. Sea γ : Q Aut(P ) el homomorfismo h γ h : P P − 1 definido por γ h (n) = hnh , el cual es inyectivo. Como P = C p y Q = C q , entonces Aut (P ) = Aut(C p ) y podemos pensar que γ, ϕθ : C q Aut(C p ), donde ϕθ es el homomorfismo definido en el Lema I.14.7. Vemos que G = C p ⋊γ C q y como γ y ϕθ son inyectivos, Imγ, Imϕθ Aut(C p ) con Imγ = Imϕθ = q ; por ser Aut(C p ) c´ıclico, Imγ = Imϕθ . Por la Proposici´ on I.14.2, se tiene que G es isomorfo al grupo construido en el Lema I.14.7.

→

∼ →

→

∼

≤

∼

|

| |

∼

→

|

El primero en dar una construcci´ on de un grupo libre a partir de generadores y relaciones fue von Dyck a fineles del siglo XIX quien habia estudiado grupos con F. Klein (1849-1925). I.15. Grupos libres

∈

Definici´ on I.15.1. Sean L un grupo abeliano y x 1 , x2 , . . . , xn L. Decimos que L es un grupo abeliano libre generado por x 1 , x2 , . . . , xn si para todo grupo abeliano A y cualesquier conjunto de n elementos en A, digamos a 1 , a2 , . . . , an , existe un ´ unico homomorfismo de grupos abelianos ϕ : L A tal que ϕ(xi ) = ai para cada 1 i n. En tal caso, deicmos que L tiene rango n.

→

≤ ≤

cada número natural n, el grupo Z n es un grupo abeliano libre generado por los elementos e i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). Ejemplo: Para

Ejercicio. Muestre

que cualesquiera dos grupos abelianos libres de rango n

son isomorfos. Podemos dar una definici´ on mas general de grupo abeliano libre.

⊆

Definici´ on I.15.2. Sea L un grupo abeliano y X L. Decimos que L es un grupo abeliano libre generado por X si para todo grupo abeliano A y toda aplicaci´ on f : X A existe un ´ unico homomorfismo de grupos ϕ : L A tal que ϕ(x) = f (x) para todo x X , es decir, ϕ hace conmutar el siguiente diagrama:

→

→

∈

X 

   L

f



 A     ϕ

Definici´ on I.15.3. Sea X un conjunto no vac´ıo y denotemos por X −1 al con junto x−1 : x X . Una palabra es una sucesi´ on finita en el conjunto − 1 de la forma X X xa1 1 xa2 2 xakk

⊔

{

∈ }

···

49

I.15 Grupos libres

para alg´ un n´ umero natural k y para cada 1 i k, x i X X −1 y a i También es la palabra vac´ıa. Una palabra se dice reducida si

≤ ≤

∅

∈ ⊔

∈ {±1}.

• es vac´ıa, • ning´ un par xai xai+1 es de la forma xx−1 o bien x−1x. i+1

i

Dos palabras u y v son adyacentes, y lo denotamos u ady v, si existen palabras r y s tales que v = rxa x−a s y u = rs; decimos que son equivalentes, que lo denotamos por u v si existe una sucesi´ on de palabras w0 , w1 , . . . , wm tal que v0 = v, vi es adyacente a vi+1 y vm = u.

∼

Observe que

∼ es una relación de equivalencia. −1 x ∼ ∅ ∼ xx−1 ; más aún, Ejemplo: Para cualquier x ∈ X , tenemos que x xx−1 ady ∅ ady x−1 x. Denotaremos la clase de la palabra w por [w]. Lema I.15.1. La clase [w] tiene exactamente una palabra reducida. Demostraci´ on. Si w = x a1 1 xakk no es reducida, entonces existe un ´ındice i tal ai+1 que x ai i xi+1 es de la forma xx−1 o bien x −1 x, por lo que

···

∼ xa1 ··· xai−1 xai+2 ··· xak . ··· xai−1 xai+2 ··· xak , entonces w ∼ w1 y la longitud de w es w

i−1

1

i+2

k

i 1 i+2 k Sea w1 = xa1 1 menor que la de w 1 ; si repetimos este procedimiento una cantidad grande, pero finita, de veces obtendremos en alg´ un momento una palabra reducida. Sea b1 bl p = x 1 xl una palabra y definamos la siguiente sucesi´ on: −

···

p0 =

∅

p1 = x b11

y pi+1 =



pi xbi+1 z

−b

si p i = zxi+1i+1 en otro caso



y probemos por inducción que p i es una palabra reducida....Pendiente una parte porque no le entiendo. Sean u y v dos palabras reducidas en [w], entonces la palabra reducida asociada a u es la misma que la palabra reducida asociada a v. Por tanto, u = v. Definici´ on I.15.4. Sea LX el conjunto de clases de equivalencia de palabras en X X −1 . Para [v], [w] L X definimos la operaci´ on

⊔

∈

∗

def

[v] [w] = [vw]. Lema I.15.2. La operaci´ on definida en I.15.4 esta bien definida.

50

Grupos

Demostraci´ on. Supongamos que v v ′ y w w ′ , entonces existe una sucesión de palabras v = v0 ady v1 ady ady vl = v′ por lo que vw v′ w. Similarmente, v ′ w v ′ w′ y por tanto, vw v ′ w′ .

∼ ··· ∼

∼

∼

∼

Teorema I.15.3. LX es un grupo con la operaci´ on definida en I.15.4.

∈

Demostraci´ on. Sean [u], [v], [w] LX , entonces

 ∗ ∗ [u] [v]

def

∗

[w] =

∗

[uv] [w] = [uvw] = [u] [vw]

=

[u]

∗ ∗ 

[v] [w] .

Definamos 1 = [ ] y vemos que

∅

1 [w] = [ ] [w] = [ w] = [w];

∗

∅∗

∅

∗ ···

del mismo modo, [w] 1 = [w] y concluimos que 1 es el elemento identidad en ak −ak 1 a1 LX . Sean w = x a1 1 xa2 2 xakk y v = x − xk−1 x− , entonces 1 k −

[w] [v] = [wv] = [xa11

∗

··· xak x−k a k

k

··· ··· x−1 a ] = [∅] = 1; 1

an´ alogamente, tenemos que [v] [w] = 1.

∗

Teorema I.15.4. LX es un grupo libre generado por X , es decir, para cada grupo G y para cada aplicaci´ on f : X G existe un ´ unico homomorfismo de grupos ϕ : L X G tal que ϕι = f , donde ι : X LX es la inclusi´ on can´ onica.

→

→

→

∈ LX y supongamos que w = x a1 xa2 ··· xak . Definimos a a a y veamos que ϕ está bien → f (x 1 ) f (x2 ) ··· f (xk ) b ··· xk ....Luego le sigo porque no le entiendo.

Demostraci´ on. Sea [w] ϕ : L X G como [w] definida: si u = x b11 xb22

→

1

1

2

2

k

k

k

Corolario I.15.5. Todo grupo es cociente de un grupo libre. Demostraci´ on. Sea gx : x X un conjunto de generadores de G y definamos f : X G como x g x . Como L X es libre, existe un único homomorfismo ϕ : LX G tal que ϕι = f y como gx : x X Imϕ, entonces ϕ es suprayectiva. Por el Primer Teorema de Isomorfismo, tenemos L X / ker ϕ = G.

{ →

→ →

∈ } {

∈ } ⊆

∼

∼

Teorema I.15.6. Sea K un grupo libre generado por X , entonces K = L X . = Z. { } ∼

Ejemplo: L x

Definici´ on I.15.5. Sea G un grupo y X G un conjunto de generadores. Un conjunto completo de relaciones de G es un conjunto R LX tal que si N es el menor subgrupo normal de LX que contiene a R, entonces existe un isomor fismo LX /N G tal que [x]N x para todo x X . En tal caso, escribimos G = (X, R) o bien G = (X ; R) y decimos que ésta es una presentaci´ on de G.

⊆

→

→

⊆

∈

51

I.15 Grupos libres

Ejemplo: Considere

el grupo D 2n = R, S ; sabemos que





Rn = S 2 = SRS −1 R = 1. Sea X = R, S y R = Rn , S 2 ,SRS −1 R , entonces N = R  LX . Por ser LX libre, sabemos que existe un único homomorfismo de grupos ϕ : LX D 2n tal que ϕ([R]) = R y ϕ([S ]) = S . Es claro que R ker ϕ y as´ı, N ker ϕ. Por el Teorema del Homomorfismo, existe un único homomorfismo de grupos ψ : LX /N D2n tal que ψ es suprayectivo y [R]N R, [S ]N S ; por la suprayectividad tenemos LX /N 2n. Sean r = [R]N y s = [S ]N , entonces

{

}

{

→

}

|

 

⊂ → 

|≥

→ ≤

→ 

rn = s2 = srs −1 r = 1 por lo que LX 1, r , . . . , r n−1 , s , r s , . . . , rn−1 s de donde concluimos que LX /N 2n. Por tanto, LX /N = 2n = D2n y como ψ es suprayectivo, entonces ψ es un isomorfismo. Adem´ as, como D2n = L X / ker ϕ, entonces N = ker ϕ. Una presentación de D2n es R, S ; Rn , S 2 ,SRS −1 R .

|

⊆{

|≤

|

|

{

|

}

|

∼

}{

}

Ejercicio.

1. Muestre que (x, xn ) es una presentación de C n .

∼

2. Sea L = L{x,y} el grupo libre en dos generadores. Muestre que L/L′ = Z Z.

×

3. Sea L{x,y} y definamos u = x2 , v = y 2 y w = xy. Muestre que K = x2 , y2 , xy es libre.



  

 −

i 0 0 1 4. Sean A = y B = dos matrices en GL2 (C) y Q = 0 i 1 0 A, B . Demuestre que A4 = Id y A2 = B 2 ,BAB −1 = A3 = A−1 . Adem´ as, muestre que Q = 8 y que





−

| |

Q = Id,A,A2 , A3 , B , B 3 ,AB,AB3 =

} {±Id, ±A, ±B, ±AB}.

{

Tambi´ en, encuentre todos los subgrupos propios de Q y muestre que son normales en Q y Q no es abeliano. 5. Muestre que (x, y; x4 , x2 y −2 ,yxy −1 x) es una presentación para Q.

≤

→

6. Sean G un grupo, H G, X = G/H y ρX : G S (X ) el homomorfismo asociado a la acción por translación en X . Muestre que ker ρX = −1 . g ∈G gH g



7. Sean p un n´ umero primo, G un p-grupo finito y H Muestre que H  G.

≤ G con ´ındice p.

52

Grupos

CAP´ ITULO

II

Anillos

La Teor´ıa de Anillos es aun mas antigua que la Teor´ıa de Grupos y fue inspirada por el estudio de los anillos de polinomios y el dominio de los n´ umeros enteros. Los estudios realizados por Gauss en Teor´ıa de Números al trabajar con reciprocidad cuadrática, formas cuadráticas sobre los enteros desarrollaron en gran medida el estudio de dominios de factorización u ńica. Los anillos conmutativos aparecen de manera natural en la Geometr´ıa Algebraica y la Teor´ıa Algebraica de los Números y además, dan lugar a la Teor´ıa de Campos y la Teor´ıa de Galois. En estas notas, nos concentraremos en este tipo de anillos. La axiomatizaci´ on de la Teor´ıa de anillos fue hecha por el matemático israeli A. Fraenkel (1891-1965) quien también trabajo en Teor´ıa de Conjuntos. El concepto de anillo es debido a D. Hilbert (1862-1943) y a R. Dedekind (1831-1916) quienes trabajaron con estas entidades teniendo en cuenta la Teor´ıa de Campos numéricos. II.1. Definici´ on y ejemplos

Definici´ on II.1.1. Un anillo asociativo con uno es un conjunto R junto con dos operaciones binarias, denotadas por + y , tales que

·

(A1) la pareja (R, +) es un grupo abeliano;

∈

(A2) para cualesquiera a, b, c R se tiene a(b + c) = ab + ac y (a + b)c = ac + bc.

·

(A3) la operaci´ on es asociativa; (A4) existe un elemento en R, denotado por 1, con la propiedad de que para todo a R se tiene a 1 = a = 1 a.

∈

·

·

53

54

Anillos

Al elemento identidad del grupo (R, +) se le denota por 0. Sean R un anillo asociativo con uno y a R, entonces

∈

·

·

·

·

0 a + 0 = 0 a = (0 + 0)a = 0 a + 0 a y como (R, +) es un grupo, se debe de tener 0 a = 0; del mismo modo, podemos probar que a 0 = 0 para todo a R. Si suponemos que 1 = 0, entonces a = 1 a = 0 a = 0 por lo que R = 0 ; a este anillo se le conoce como anillo trivial. Un moniode es un conjunto M con una operación binaria que satisface (A3) y (A4); as´ı, un anillo es un grupo abeliano aditivo con una operación que se distribuye por ambos lados sobre la suma que hace del conjunto subyacente un monoide.

·

∈

·

·

·

{ }

Nota. En adelante, se evitará la frace “anillo asociativo con uno”y simplemente diremos “un anillo”. Definici´ on II.1.2. Sea R un anillo. Un sobconjunto S de R es un subanillo si es un subgrupo aditivo de R, 1 S y es cerrado bajo el producto

∈

Observe que 0 es un subconjunto de cualquier anillo, pero si R no es el anillo trivial, entonces 0 no es un subanillo, pues 1 / 0 .

{ } { }

∈{ }

Proposici´ on II.1.1. Todo subanillo de un anillo es a su vez un anillo. Definici´ on II.1.3. Decimos que R es un anillo conmutativo si para todo a, b R se tiene ab = ba. Un campo es un anillo conmutativo R tal que (R 0 , ) es un grupo.

∈ −{ } ·

Sean R un anillo no trivial y a R. Decimos que a es una unidad de R si existe b R tal que ab = 1 = ba. Definamos

∈

∈

def

R∗ = a R : a es una unidad

{ ∈

}

el cual es no vac´ıo pues 1 R ∗ .

∈

Proposici´ on II.1.2. El conjunto R∗ es un grupo con respecto al producto en R. Tal grupo es llamado el grupo de unidades de R. Se sigue que un anillo R es un campo si y sólo si su grupo de unidades es R 0 .

−{ }

Ejemplo:

(1) El conjunto de n´ umeros enteros Z con las operaciones usuales es un anillo conmutativo que no tiene subanillos propios. (2) Los conjuntos numéricos Q, R y C son campos con las operaciones usuales. (3) Sea R un anillo, entonces Mn (R), el conjunto de todas las matrices de tama˜ no n n con entradas en R, es un anillo, que en general es no conmutativo. El grupo de unidades Mn (R)∗ lo denotaremos por GL n (R).

×

55

II.1 Definici´ on y ejemplos

Nota. Cuando R es un anillo conmutativo, entonces

{ ∈ Mn(R) : det A ∈ R∗ }.

GLn (R) = A def

(4) El conjunto Z[i] = a + bi : a, b Z es un subanillo de C; los elementos de Z [i] se llaman enteros gaussianos.

{

∈ }

√ def {

√

(5) El conjunto Z [ 2] = a + b 2 : a, b

∈ Z} es un subanillo de R .

(6) Los enteros m´ odulo n, Zn = Z /nZ, es un anillo conmutativo. Si n es un n´ umero primo, entonces Zn es un campo; tal campo se denota por F p , donde p es el n´ umero de elementos del campo. (7) Si R1 y R2 con dos anillos, R1 componente-a-componente.

× R 2 es un anillo con las operaciones

(8) Sean (M, ) un monoide y R un anillo. Definimos el conjunto

·

def

→ R | f −1(R − {0}) es un conjunto finito}

{

R[M ] = f : M

y dos operaciones binarias como sigue: def

(f + g)(m) = f (m) + g(m) y def

(f g)(m) =

·

 ∈

f (i)g( j). 2

i,j M ij =m

Al pedir que el conjunto f −1 (R 0 ) sea finito, aseguramos que casi todos los elementos de M tienen imagen 0 en R por lo que

− { }



f (i)g( j) 2

i,j M ij =m

∈

es siempre una suma finita de elementos no nulos de R. Si f , g , h R[M ] y m M , entonces

∈

∈

[(f g) h][m]

· ·

=

 ·  

(f g)(i)h(z) =

iz =m

=

f (x)g(y) h(z)

iz =m

xy =i

f (x)g(y)h(z) =

xyz =m

=

        f (x)

xj =m

·

· ·

g(y)h(z)

yz =j

f (x)(g h)( j) = [f (g h)][m].

xj =m

56

Anillos

Sea e el elemento identidad de M y definamos la función def

χe (m) =



1 si m = e 0 si m = e



·

·

la cual tiene satisface las propiedades χe f = f = f χe . Queda como ejercicio probar las leyes distributivas. A R[M ] se le llama anillo de monoide. Ahora, veremos algunos ejemplos particulares:

∪{ } ≡

(8a) Si tomamos M = N 0 on de suma, entonces N 0 con la operaci´ R[M ] = R[x], donde R[x] es el anillo de polinomios en la variable x. El isomorfismo está dado por

∼

{a0, a1, . . .

∞

 }→ 

ai xi .

i=0

∼

(8b) Tomemos M = Nn0 , entonces R[M ] = R[x1 , x2 , . . . , xn ]. El isomorfismo esta dado por a : Nn0

→ R → 



(i1 ,...,in )

a(i1 , . . . , in )xi11

∈Nn0

··· xin

n

∼

(8c) Si M = Z, entonces R[Z] = R[x, x−1 ] se llama anillo de polinomios de Laurent. (8d) Si M = G un grupo, entonces R[G] también se denota por RG y se llama ´ algebra de grupo. R. Dedekind fue quein enfatiz´ o la importancia de los anillos donde podiamos cancelar elementos no nulos y los llam´ o dominios enteros. Tambi´ en estudio los llamados dominios de ideales principales . II.2. Dominios enteros

Definici´ on II.2.1. Sea R un anillo conmutativo con 1 = 0. Decimos que R es un dominio entero si para todo a, b R, ab = 0 implica que a = 0 o bien b = 0.

∈

Observe que si D es un dominio entero, a b = c.



∈ D − {0} y ab = ac, entonces

Ejemplo:

(1) Z es un dominio entero. Zn es un dominio entero si y sólo si n es un n´ umero primo. (2) Si D es un dominio entero, entonces D[x] es un dominio entero. (3) Si D es un dominio entero finito, entonces D es un campo.

57

II.2 Dominios enteros

Teorema II.2.1. Sea D un dominio entero, entonces existe un campo C y un homomorfismo de anillos ϕ : D C inyectivo tal que si F es un campo y ψ : unico homomorfismo D F es un homomorfismo de anillos, entonces existe un ´ ¯ de campos ψ : C F tal que

→

→

→

D ϕ

ψ

    C

 F     ¯ ψ

es un diagrama conmutativo. Demostraci´ on. En D

× (D − {0}) definimos la relación (a, b) ∼ (c, d) si ad = bc. Queda como un ejercicio el demostrar que ∼ es una relación de equivalencia. Sea C = D × (D − {0})/ ∼ y definimos las operaciones [(a, b)] + [(c, d)]

def

=

[(ad + bc, bd)]

[(a, b)][(c, d)]

def

[(ac, bd)].

=

Queda como ejercicio probar que las operaciones no dependen de los representantes y que C es un campo. Ahora, definimos ϕ : d [(d, 1)] y queda como ejercicio mostrar que ϕ es un homomorfismo de anillos inyectivo. Sea F un campo y ψ : D F un homomorfismo de anillos; definimos ψ : C F como ψ([(a, b)]) = ψ(a)ψ(b)−1 y veamos que es un homomorfismo de campos:

→



→



    



→

ψ ([(a, b)] + [(c, d)]) = ψ ([(ad + bc, bd)]) = ψ(ad + bc)ψ(bd)−1 = [ψ(a)ψ(d) + ψ(b)ψ(c)][ψ(b)ψ(d)]−1 = ψ(a)ψ(b)−1 + ψ(c)ψ(d)−1 = ψ ([(a, b)]) + ψ ([(c, d)]).



Similarmente, ψ ([(a, b)][(c, d)]) = ψ ([(a, b)])ψ ([(c, d)]). Luego, es claro que

y si χ : C

 

ϕ(a) = ψ ([(a, 1)]) = ψ(a)ψ(1)−1 = ψ(a)

→ F es otro homomorfismo de campos tal que χϕ = ψ, entonces χ([(a, b)]) = χ([(a, 1)][(1, b)]) = χ([(a, 1)])χ([(b, 1)])−1 = χϕ(a)[χϕ(b)]−1 = ψ(a)ψ(b)−1



= ψ ([(a, b)]) de donde se sigue la unicidad.

58

Anillos

el campo de fracciones de C [x], donde C es un campo. Si D es un dominio entero y f (x), g(x) D[x], entonces grad(f (x)g(x)) = grad(f (x)) + grad(g(x)). Ejercicio. Calcular

∈

Ejemplo: Sea

R un anillo conmutativo, entonces

Mn (R)

es un anillo.

Observe que si C es un campo, entonces el campo de fracciones de C , usualmente denotado por Q(C ), es isomorfo a C . En adelante, salvo excepciones, trabajaremos con anillos conmutativos. Definici´ on II.2.2. Sean R y S dos anillos. Un homomorfismo de anillos es una aplicaci´ on ϕ : R S que satisface para a, b R las siguientes tres condiciones:

→

∈

(HA1) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b); (HA2) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b); (HA3) ϕ(1R ) = 1 S . Un isomorfismo de anillos es un homomorfismo biyectivo. Ejemplo:

1. Sea R un anillo, entonces a entre R y R R.

×

∈

→ (a, 0) no es un homomorfismo de anillos → R definido por

2. Sea a R, entonces ev a : R[x] es un homomorfismo de anillos.

Proposici´ on II.2.2. Sea ϕ : R



n i i=0 ai x

→



n i i=0 ai a

→ S un homomorfismo de anillos.

∈

→ S

(1) Para cada s S existe un unico ´ homomorfismo de anillos Φs : R[x] tal que Φs R = ϕ y Φ(x) = s.

|

(2) Para cualesquiera s1 , s2 , . . . , sn S existe un ´ unico homomorfismo de anillos Φ s1 ,s2 ,...,sn : R[x1 , x2 , . . . , xn ] S tal que Φ s1 ,s2 ,...,sn R = ϕ y para cada 1 i n tenemos que Φs1 ,s2 ,...,sn (xi ) = si .

∈

≤ ≤

→

|

Demostraci´ on. Probaremos solamente (2): para cada ¯i c¯i = c i1 ,i2 ,...,in

∈ R



∈ Nn0 definimos ¯ xi = x i1 x i2 ··· xin .

y

1

¯

2

n



Sean p = p(x1 , x2 , . . . , xn ) = ¯i∈Nn c¯i xi y Φ( p) = ¯i∈Nn ϕ(c¯i )ai11 a i22 ainn . 0 0 Veamos que Φ es un homomorfismo de anillos: el ver la aditividad queda como

···

59


ejercicio. Ahora, vemos que si q = q (x1 , x2 , . . . , xn ) =



¯i ¯i d¯i x ,

entonces

          · ··  ··· 

Φ( pq ) = Φ

¯

ck¯ d¯l xi

ϕ

¯i

¯+¯ k l=¯i

¯i

ϕ(ck¯ )ai11 a i22

=

ϕ(ck¯ d¯l ) ai11 a i22

=

¯+¯ k l=¯ i

ϕ(d¯l )ai11 a i22

ainn

¯ k

··· ain

n

ainn

¯ l

= Φ( p)Φ(q ).

El resto de la demostración, queda de ejercicio. Ahora, veremos algunas aplicaciones de este resultado.

→ ≡

→

Z p F p dado por a 1. Sea ϕ : Z [a]. Por la Proposici´ on anterior, se extiende a un homomorfismo de anillos Φ : Z[x] F p [x] tal que i ai xi i i [ai ]x .





→

→

2. Sean x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ). Existe un u ´ nico homomorfismo de anillos R[x, y ] R[x][y] que es la identidad en R y que aplica a cada xi en x i y cada y i en y i para todo 1 i n.

→

≤ ≤

Demostraci´ on. Sabemos que R es un subanillo de R[x] el cual a su vez es un subanillo de R[x][y] por lo que R R[x][y ]. Sea ϕ : R R[x][y ] la inclusi´ on, entonces (por la Proposici´ on anterior) existe un único homomorfismo de anillos Φ : R[x, y ] R[x][y] tal que Φ R = ϕ y Φ(xi ) = x i , Φ(yi ) = yi . Ahora, es claro que R[x] es un subanillo de R[x, y] y sea ψ : R[x] R[x, y] la inclusi´ on, entonces existe un u ´ nico homomorfismo de anillos Ψ : R[x][y] R[x, y] tal que Ψ R[x] = idR[x] y Ψ(yi ) = y i para todo 1 i n. Luego, vemos que

⊆

→

→

→ ≤ ≤

→

|

|

(ΨΦ) R = Ψ(Φ R ) = Ψϕ = Ψ R = ψ

|

|

|

|R ,

|

pero ψ R es la inclusión de R en R[x, y]. Por lo que ΨΦ = id R[x,y] y de manera similar, ΦΨ = idR[x][y] . 3. Sea C (Rn ) = f : Rn on R f es continua , entonces existe una aplicaci´ n n Φ : R [x1 , x2 , . . . , xn ] C (R ) dada por p(x1 , x2 , . . . , xn ) p : R R , donde p se define por a p(a), la cual es un homomorfismo de anillos inyectivo.

{

→ | → →

}

→

→

Demostraci´ on. Sea ϕ : R C (Rn ) la aplicación definida por r r : on constante. Consideremos las funciones Rn R, donde r es la funci´ xi f i (x1 , x2 , . . . , xn ) donde f i (a1 , a2 , . . . , an ) = ai , entonces existe un homomorfismo de anillos Φ : R[x1 , x2 , . . . , xn ] C (Rn ) tal que Φ R = idR y Φ(xi ) = f i . Sea p R[x1 , x2 , . . . , xn ] tal que Φ( p) = 0.

→

→ →

∈

→ 

→

|

60

Anillos

Observaci´ on En R[x1 , x2 , . . . , xn ] podemos definir derivadas parciales formales y estas satisfacen Φ

  ∂ ∂x i p

=

∂ ∂x i Φ( p).

Supongamos que p = 0 y sea c¯i un coeficiente de grado máximo de p, entonces existe una sucesión de derivadas parciales ∂x∂ j , . . . , ∂x∂ j tales



que



∂ ∂x jl ∂ ∂x jl

Φ es absurdo. Ejercicio.

Z

1

l

··· ∂x∂ p = mc¯i con m = 0. Por tanto, mc¯i = Φ(mc¯i) = ··· ∂x∂ p = ∂x∂ ··· ∂x∂ Φ( p) = 0 por lo que mc¯i = 0, lo que j1

j1



jl

j1

Si R es un anillo, entonces existe un único homomorfismo de anillos

→ R

def

En R, tiene sentido hablar de n = n.1 = si n > 0.



n i=1 (

±1), dependiendo si n < 0 o

Definici´ on II.2.3. Sea R un anillo. Un ideal de R es un subconjunto I que satisface (I1) para a, b I , a + b I ;

∈ ∈ (I2) para r ∈ R y a ∈ I , ra ∈ I . N´ otese que −1 ∈ R y as´ı, −a = (−1)a ∈ I . Por tanto, I es un subgrupo de

R. Adem´ as, es claro que la intersección de ideales es nuevamente un ideal. Definici´ on II.2.4. Un ideal es principal si es de la forma = {ra : r ∈ R } = Ra, a def para alg´ un a R. El ideal generado por a1 , a2 , . . . , an

∈

= a1, a2, . . . , an def

 n

ri ai : r i

i=1

∈ R es

 ∈ R

.

Sea R una anillo no nulo. Muestre que R es un campo si y sólo si sus u ńicos ideales son R y 0 . De aqui que cualquier homomorfismo de anillos ϕ : C S con C un campo y S = 0 es inyectivo. Ejercicio.

→

{ }

 { }

Proposici´ on II.2.3. Todo ideal de Z es principal.

{ }

Demostraci´ on. Sea I un ideal de Z. Si I = 0 ya esta. Si no, entonces I es un subgrupo de Z pero Z es c´ıclico por lo que existe un elemento n Z tal que n = I .

∈



→

Sea R un anillo no nulo y χ : Z R el u ´ nico homomorfismo de anillos. Sea N0 tal que ker χ = n . Decimos que n es la caracter´ıstica de R y lo n denotamos por car R. Si n > 0, entonces n = min m N : m.1 = 0

∈

 

{ ∈

}

61


Teorema II.2.4. Sean R un anillo y f (x), g(x) R[x]. Si el coeficiente principal de f (x) es una unidad en R, entonces existen q (x), r(x) R[x] tales que as, R es un dominio g(x) = f (x)q (x) + r(x) con grad r(x) grad f (x); si adem´ entero, entonces q (x) y r(x) son unicos. ´

∈

∈

≤

Demostraci´ on. Si g(x) = 0 o si grad g(x) < grad f (x), entonces q (x) = 0 y r(x) = g(x). Si n = grad g(x) grad f (x) = m, sea gn r1 (x) = g(x) f (x) f m

≥

−

para tener que el coeficiente de grado n de r 1 (x) es gn r1,n = g n f m = 0, f m

−

por lo que grad r1 (x) < grad g(x). Sea q 1 (x) =

gn n m , f m x

−

entonces es claro que

g(x) = f (x)q 1 (x) + r1 (x). Si r1 (x) = 0 o bien grad r1 (x) < grad f (x) ya terminamos; si grad r1 (x) grad f (x), aplicando el mismo procedimiento, podemos encontrar polinomios q 2 (x) y r 2 (x) con grad r2 (x) < grad r1 (x) tales que

≥

r1 (x) = f (x)q 2 (x) + r2 (x). Despues de un n´ umero finito de pasos, encontramos polinomios q k (x) y rk (x) tales que rk−1 (x) = f (x)q k (x) + rk (x) y grad rk (x) < grad f (x). As´ı, tenemos que g(x) = f (x)(q 1 (x) + q 2 (x) + + q k (x)) + rk (x).

···

 

Si R es un dominio entero y g(x) = f (x)q (x) + r(x) = f (x)q (x) + r(x) con grad r(x), grad r (x) < grad f (x), entonces



− q (x)] = r(x) − r(x). Si r(x) − r(x)  = 0, entonces q (x) − q (x)  = 0. Luego, grad[r(x) − r(x)] = max{grad r(x), grad r(x)} < grad f (x) ≤ grad f (x)[q (x) − q (x)] = grad[r(x) − r(x)], lo que es absurdo, de donde concluimos que r(x) = r(x). Como f (x)  =0yR



f (x)[q (x)

 



es un dominio entero, entonces q (x) = q (x).



∈

  

∈





Corolario II.2.5. Sea g(x) R[x]. Si α R tal que g(α) = 0, entonces x divide a g(x) en R[x].

−α

Demostraci´ on. Por el Teorema anterior, existen q (x), r(x) R[x] tales que

∈

g(x) = (x

−

− α)q (x) + r(x)

con grad r(x) < grad(x α) = 1 por lo que r(x) es un polinomio constante. Como g(α) = 0, entonces 0 = (α α)q (α) + r(α) y as´ı, r(α) = 0 de donde se concluye que r (x) = 0.

−

62

Anillos

Proposici´ on II.2.6. Sea C un campo, entonces todo ideal de C [x] es principal.

 { }

Demostraci´ on. Sea I un ideal en C [x] y supongamos que I = 0 . Sabemos que existe un elemento f (x) I tal que

∈

grad f (x)

≤ grad g(x) para todo g(x) ∈ I −{0} y veamos que I = f (x): sea g(x) ∈ I −{0}, entonces grad g(x) ≤ grad f (x) y por el algoritmo de la división, existen q (x), r(x) ∈ C [x] tales que

g(x) = f (x)q (x) + r(x) con r(x) = 0 o bien, grad r(x) < grad f (x), pero r(x) I por lo que grad r(x) grad f (x) o bien r(x) = 0. As´ı se concluye que r(x) = 0 y g (x) f (x) .

∈

∈ 

≥



Ejercicio.

  2. No todo ideal de R [x, y] es principal, por ejemplo x, y  1. No todo ideal de Z [x] es principal, por ejemplo 2, x .

Corolario II.2.7. Sean C un campo y f (x), g(x) C [x] no ambos cero, entonces existe un ´ unico polinomio m´ onico d(x) C [x] tal que

∈



 

∈



(1) d(x) = f (x), g(x) ; (2) d(x) divide tanto a f (x) como a g(x); (3) si h(x) es un polinomio que divide tanto a f (x) como a g(x), entonces h(x) divide a d(x);

∈

(4) existen p(x), q (x) C [x] tales que d(x) = f (x) p(x) + g(x)q (x).



Demostraci´ on. Como C [x] es un D. I. P., entonces existe un polinomio d(x) C [x] tal que

  

f (x), g(x) =

d(x) ;

∈

al multiplicar por una unidad en C [x] a d(x) obtenemos un polinomio mónico d(x) tal que d(x) = d(x) y se sigue entonces que d(x) divide tanto a f (x) como a g(x). Si existiera otro polinomio p(x) tal que p(x) = f (x), g(x) , entonces p(x) y d(x) ser´ıan asociados y al ser m´ onicos ambos, tenemos que p(x) = d(x). Ahora, si h(x) es un polinomio que divide tanto a f (x) como a g(x), entonces d(x) = f (x), g(x) h(x) por lo que h(x) divide a d(x). Luego, (4) se tiene por definición de f (x), g(x) y por (1).







 

 

⊂ 







 



63

II.3 Anillos cocientes

La matem´ atica alemana E. Noether (1882-1935) impuls´ o fuertemente el trabajo sobre concientes de estructuras algebraicas iniciado por E. Galois y tembién, el Primer Teorema de Isomorfismo es conocido como el Teorema de Noether, en honor a esta matemática. Sea I un ideal de R, entonces I es un subgrupo aditivo de R y el grupo cociente R/I = a + I : a R es un grupo abeliano aditivo. II.3. Anillos cocientes

{

∈ }

Teorema II.3.1. Sea I un ideal de R, entonces existe una ´ unica estructura de anillo en R/I tal que la aplicaci´ on η : R R/I dada por a a + I es un homomorfismo de anillos.

→

→

def

Demostraci´ on. Definamos en R/I la operaci´ on (a + I )(b + I ) = ab + I ; tal definici´ on queda forzada por la condició n de que η es un homomorfismo de anillos. Veamos que la operación esta bien definida: sean i, j I , entonces

∈

(a + i + I )(b + j + I ) = (a + i)(b + j) + I = (ab + aj + ib + ij) + I, pero como I es bilateral, aj,ib,ij

∈ I . El resto se sigue inmediatamente. Teorema II.3.2. (del Homomorfismo). Sean ϕ : R → S un homomorfismo de anillos con n´ ucleo I y J ⊆ I un ideal de R. Si πJ : R → R/J es la proyecci´ on natural, entonces existe un ´ unico homomorfismo de anillos ϕ¯ : R/J → S que hace conmutar el diagrama

R πJ

   R/J

ϕ

  ϕ¯

 S   

Teorema II.3.3. (Primer Teorema de Isomorfismo). Con la notaci´ on del Teorema del homomorfismo, si I = J , entonces ϕ : R/J ¯ Imϕ es un isomorfismo.

→

Ejercicio.

1. (Segundo Teorema de Isomorfismo). Si I, J I/(I J ) = (I + J )/J .

∩ ∼

⊆ R son ideales, entonces

⊆ J , entonces R/J ∼= R/I J/I .

2. (Tercer Teorema de Isomorfismo). Si I

¯ la proyecci´ Teorema II.3.4. (de correspondencia). Sea π : R R/J R on natural, entonces existe una correspondencia biyectiva entre los conjuntos

→

≡

{I ⊆ R : I es un ideal de R, J ⊆ I } y

¯ K es ¯ ¯} {K ¯ ⊆ R : un ideal de R ¯ → π −1 (K ¯ ) y para J ⊆ I ⊆ R, J → π(J ). Adem´ ¯ dada por K as, R/I ∼ ). = R/π(I

64

Ejemplo: Demostraremos

que Z[i]/ 1 + 3i es isomorfo a Z10 : definamos la



aplicaci´ on ϕ : Z

Anillos



→ Z/ 1 + 3i como

a

→  a + 1 + 3i ,

el cual es un homomorfismo de anillos. Denotemos por a a la clase de a en Z[i]/ 1 + 3i ; vemos que 1 = ϕ(1) y como 1 + 3i = 0, entonces 1 = 3i y al multiplicar por i tenemos que i = 3 = ϕ(3) por lo que 1, i Imϕ, es decir, ϕ es suprayectiva pues Z[i] = 1, i . Finalmente, vemos que





−

∈

 

ϕ(10) = 10 = 1 + 3 3 = 1 + 3i = 1 + 3i = 0,

·

  ⊆

∈

∈ 



por lo que 10 ker ϕ; si n ker ϕ, entonces n 1 + 3i y as´ı, existen enteros a y b tales que n = (a+bi)(1+3i) de donde obtenemos que n = (a 3b)+(3a+b)i. Luego, vemos que 3a + b = 0 por lo que b = 3a y as´ı

−

n = a

−

− 3b = a − 3(−3a) = a + 9a = 10a ∈ 10 .

El resto es trabajo del Primer Teorema de Isomorfismo.



Definici´ on II.3.1. Un ideal I de R es maximal si I = R y para todo ideal I J R se tiene que I = J . Decimos que I es primo si para todo a, b R tal que ab I se tiene que a I o bien b I .

⊆ ⊂

∈

∈

∈

∈

Ejercicio.

1. Un ideal I es maximal si y sólo si R/I es un campo. 2. Un ideal I es primo si y sólo si R/I es un dominio entero.

 

3. Muestre que R [x]/ x2 + 1 es isomorfo a C.

Ahora, estudiaremos una manera de generar extensiones de anillos al a˜ nadir un elemento abstracto que, por lo general, no pertenece a nustro anillo inicial. II.4. Adjunci´ on de elementos

Definici´ on II.4.1. Si R es un subanillo de R′ , diremos que R′ es una extensi´ on de R. Usaremos otra palabra distinta de subanillo porque es un enfoque distinto. Definici´ on II.4.2. Sean R′ una extensi´ on de R y α R′ . Definimos R[α] como el m´ınimo subanillo de R′ que contiene a R y a α.

∈

Lema II.4.1. R[α] = rn αn +

{

··· + r1α + r0 : n ∈ N0, r0, r1, . . . , rn ∈ R}.

La demostración del Lema queda como ejercicio. Esta es una manera intr´ınseca de ver a R[α].

65

II.4 Adjunci´ on de elementos

Proposici´ on II.4.2. Sean R un anillo y f (x) un polinomio m´ onico en R[x] de grado n > 0, entonces existe un isomorfismo de grupos (de hecho, de R-m´ odulos) n entre R y R[x]/ f (x) dado por





n 1

(r0 , r1 , . . . , rn−1 )

→

−



ri xi + f (x) .



i=0

Demostraci´ on. La correspondencia ϕ : R n



→ R[x]/ f (x) dada por

n 1

−

 →

(r0 , r1 , . . . , rn−1 )

ri xi + f (x)

i=0





preserva sumas por lo que es un homomorfismo de grupos. Ahora, veamos que es suprayectivo: sea g(x) R[x] y supongamos que grad g(x) grad f (x), entonces existen q (x), r(x) R[x] tales que

∈ ∈

≥

g(x) = f (x)q (x) + r(x) con grad r(x) < grad f (x).





    ···

Luego, g(x) + f (x) = r(x) + f (x) y as´ı, el vector de coeficientes de r(x) es preimagen bajo ϕ de g(x) + f (x) . Si ϕ(r0 , r1 , . . . , rn−1 ) = 0, entonces n−1 i rn−1 = 0 de donde concluimos que ϕ es i=0 ri x = 0 por lo que r0 = r 1 = inyectivo.



      



Observe que R[x]/ x2 + 1 es un campo y R[x]/ x2 no es dominio entero pues x + x2 = 0 y (x + x2 )2 = 0; sin embargo, como grupos abelianos son iguales.

∈ R y R ′ = R[x]/ ax − 1, entonces R ′ consiste en agregar a R el inverso de a ya que si [b] denota la clase de b en R[x]/ ax − 1, tenemos que [a][x] − [1] = [ax − 1] = [0] Ejemplo: Sean a

por lo que [a][x] = [1]. Ejercicio. Muestre

que

 − 

 

∈  − 

 − 

Z[x]/ 2x

1 1 = Z = 2

a : a 2n

∈ Z, n ∈ N0



.

∈ − { } ∈ ∈

Lema II.4.3. Sea α = [x] R[x]/ ax 1 , donde a R 0 , entonces todo elemento de R[x]/ ax 1 es de la forma αk r, donde k N0 y r R. La Demostración del Lema queda como ejercicio. R = C [t], donde C es un campo. Si R′ = C [t, x]/ tx entonces R ′ = C [t, t−1 ] = C [Z]. Ejemplo: Sea

∼

∼

 − 1,

66

Ejercicio. Construir

Anillos

expl´ıcitamente el isomorfismo entre los polinomios de

Laurent y R ′ .

∈

Observe que si C es un campo y f (x), g(x) C [x] son dos polinomios que no tienen factores comunes, excepto por unidades, entonces existen r(x), s(x) C [x] tales que 1 = f (x)r(x) + g(x)s(x).

∈

Definici´ on II.4.3. Un polinomio f (x) en C [x] es irreducible si es de grado positivo y sus ´ unicos divisores de grado menor son constantes.

∈

Teorema II.4.4. Si p(x) C [x] es irreducible y p(x) divide a un producto f (x)g(x), entonces p(x) divide a uno de los factores. Demostraci´ on. Supongamos que p(x) no divide a f (x), entonces los factores comunes de p(x) y f (x) son unidades en C [x] y por la observación anterior, sabemos que existen r(x) y s(x) en C [x] tales que 1 = p(x)r(x) + f (x)s(x); multiplicando por g (x) en ambos lados de la igualdad anterior, tenemos que g(x) = p(x)r(x)g(x) + f (x)g(x)s(x). Claramente p(x) divide al primer sumando del lado derecho de la igualdad anterior y por hipótesis, p(x) divide al producto f (x)g(x) con lo que se concluye que p(x) divide a g (x). Teorema II.4.5. Todo polinomio no nulo f (x) en C [x] se escribe de manera unica, ´ salvo el orden, como un producto f (x) = cp 1 (x) p2 (x)

··· pk (x), donde c ∈ C ∗ y los polinomios p1 (x), p2 (x), . . . , pk (x) ∈ C [x] son m´ onicos irreducibles.

Demostraci´ on. Supongamos que el grado de f (x) es positivo y hagamos inducci´ on sobre él: si grad f (x) = 1, entonces f (x) es irreducible. Si grad f (x) > 1 y f (x) es irreducible, ya est´ a; si no, existen polinomios de grado positivo g(x), h(x) C [x] tales que f (x) = g(x)h(x). Como grad g(x), grad h(x) < grad f (x), por hipótesis de inducción, sabemos que g(x) y h(x) se expresan como dice el Teorema y por tanto, también f (x) se expresa de tal manera. Ahora, supongamos que existe otra expresión para f (x), digamos

∈

f (x) = c ′ q 1 (x)q 2 (x)

··· q l(x),

entonces es inmediato que c = c ′ ya que es el coeficiente principal de f (x), ya que cada polinomio es mónico. Luego, cada p i (x) es irreducible y

|

pi (x) q 1 (x)q 2 (x)

··· q l(x),

67

II.4 Adjunci´ on de elementos

por el Teorema anterior, existe un ´ındice 1 j l tal que pi (x) q j (x) pero q j (x) es irreducible y mónica al igual que pi (x), por lo que pi (x) = q j (x). Al ser C [x] un dominio entero, podemos eliminar estos factores y aplicar el mismo procedimiento para cada 1 i k y as´ı demostramos que k = l y, despues de un reindexamiento, p i (x) = q i (x).

≤ ≤

|

≤ ≤

Ahora, haremos un peque˜ no resumen del caso particular C = C y C = R: C = C

C = R

• Todo polinomio de grado positivo f (x) en C[x] tiene una ra´ız α ∈ C. As´ı, x − α | f (x). • Los polinomios irreducibles mónicos en C[x] son de la forma x − α para alg´ un α ∈ C. • La factorización de f (x) en irreducibles es f (x) = c(x − α1 )(x − α2 ) ··· (x − αn ) onicos: los de • En R[x], hay dos tipos de polinomios irreducibles m´ 2 grado uno, x − a con a ∈ R, y los de grado dos, x + bx + c con 2 •

b < 4c. En el segundo caso, el polinomio tiene un para de raices complejas conjugadas. Si f (x) R[x] y α C es una ra´ız de f (x), entonces α ¯ también es ra´ız de f (x). Si α C R, entonces α = α y ¯ as´ı, vemos que

∈

∈ ∈ −  (x − α)(x − ¯ α) |C[x] f (x), pero (x − α)(x − α) ¯ = x 2 − (α + α ¯ )x + α¯ α ∈ R[x] por lo que la factor-

izaci´ on de f (x) en C[x] en factores lineales nos da una factorización de f (x) en R [x] en factores lineales y cuadráticos: k

f (x) =



l

(x

i=1

donde α

− αi )(x − α¯i)

∈ C − R y β ∈ R y



(x

j =1

k

f (x) =



2

(x

i=1

l

− [αi + α¯i]x + αiα¯i)

Proposici´ on II.4.6. Sean C un campo y f (x) f (x) tiene a lo mas n ra´ıces en C .

− β j ) ∈ C[x],



(x

j =1

− β j ) ∈ R[x].

∈ C [x] de grado n, entonces

La demostración queda como un ejercicio. Ejemplo: En

Z8 [x] el polinomio x 2

− 1 lo podemos escribir como (x − 1)(x + 1)

y también como (x Luego, x 2 es u ´ nica.

− 3)(x + 3).

− 1 tiene al menos 4 ra´ıces en Z 8 y la factorización en irreducibles no

68

Anillos

II.5. Polinomios en Z [x] y Q [x]

Uno de los matem´ aticos que estudió con profundidad este tipo de polinomios fue K. Gauss quien utilizaba resultados de Teor´ıa de Números para sus trabajos con tales polinomios o bien, los resultados que ten´ıa al estudiar polinomios enteros los usaba para trabajar con Teor´ıa de Números. Definici´ on II.5.1. Un polinomio f (x) = a 0 + a1 x + + an xn se llama primitivo en Z[x] si sus coeficientes no tienen factores comunes, excepto 1, y an > 0.

···

Lema II.5.1. Todo polinomio f (x)

±

∈ Q[x] − {0} se escribe como un producto

f (x) = c f f 0 (x),

∈ Q y f 0(x) es un polinomio primitivo en Z[x]. Adem´ as, esta expresi´ on

donde c f es unica. ´

Demostraci´ on. Supongamos que f (x) tiene la siguiente expresión a0 a 1 + x+ b0 b1

··· + abnn xn,

as´ı, multiplicando por [b0 , b1 , . . . , bn ] b y dividiendo por (ba0 , ba1 , . . . , b an ) tenemos que b 1 f (x) = [bf (x)]. a a

≡ a

≡

Si definimos f 0 (x) = ab f (x), entonces f 0 (x) es primitivo en Z [x]; luego, es claro que f (x) = ab f 0 (x) y ab Q. Ahora, si f (x) = c ′ g(x) con c′ Q y g(x) un polinomio primitivo en Z[x], eliminando denominadores, podemos suponer que c′ , cf Z. Sean α0 , α1 , . . . , αn los coeficientes de f 0 (x) y β 0 , β 1 , . . . , βn los coeficientes de g (x), entonces

∈

∈

∈

cf αi = c ′ β i para todo 1

≤ i ≤ n. Como 1 = (α0, α1, . . . , αn), entonces cf = ±(cf α0 , cf α1 , . . . , cf αn );

similarmente, c′ =

±(c′β 0, c′ β 1, . . . , c′ β n ) por lo que c f = ±c′ lo que implica α n = ±β n , pero α n , β n > 0 as´ı que α n = β n . Luego, cf = c′ y se sigue entonces que αi = β i para 1 ≤ i < n. Por tanto, f 0 (x) = g(x).

Definici´ on II.5.2. El n´ umero cf del Lema anterior se llama contenido de f (x). Observaciones:

69

II.5 Polinomios en Z [x] y Q [x]

(1) El polinomio f (x) pertenece a Z[x] si y sólo si cf c = (a0 , a1 , . . . , an ) y sgn c = sgn an .

||

∈ Z.

En este caso,

(2) Si f (x)

∈ Z[x], entonces c f | Z[x] f (x).

(3) El polinomio f (x) es primitivo si y sólo si c f = 1. Teorema II.5.2. (Lema de Gauss). Un producto de polinomios primitivos en Z[x] es primitivo. Demostraci´ on. Sea f (x) y g(x) dos polinomios primitivos en Z[x] y definamos h(x) = f (x)g(x), entonces el coeficiente principal de h(x) es positivo pues los de f (x) y de g(x) lo son. Sean p un n´ umero primo y ϕ : Z[x] Z p [x] el homomorfismo de anillos que aplica a 1 en [1] y a x en x. Veamos que ϕ(h(x)) = 0: como tanto f (x) como g(x) son primitivos, p no puede dividir a todos sus coeficientes as´ı que no pueden estar en el n´ ucleo de ϕ y al ser éste un homomorfismo de anillos tenemos

→



ϕ(h(x)) = ϕ(f (x)g(x)) = ϕ(f (x))ϕ(g(x)) = 0,



pues Z p es un campo y por lo tanto, Z p[x] es un dominio entero. Luego, p no es factor comun de los coeficientes de h(x) y por tal motivo, el contenido de h(x) es 1, es decir, h(x) es primitivo. Proposici´ on II.5.3. (1) Sean f (x) y g(x) dos polinomios en Q[x] y f 0 (x) y g0 (x) sus polinomios primitivos asociados en Z[x]. Si f (x) Q[x] g(x), entonces f 0 (x) Z[x] g0 (x).

| | (2) Sean f (x), g(x) ∈ Z[x] con f (x) primitivo. Si f (x) |Q[x] g(x), entonces f (x) |Z[x] g(x). (3) Sean f (x), g(x) ∈ Z[x]. Si f (x) y g(x) tienen un factor com´ un de grado positivo en Q[x], entonces tienen un factor com´ un de grado positivo en Z[x].

∈

Q[x] tal que g(x) = f (x)q (x) y supongamos Demostraci´ on. (2) Sea q (x) que q 0 (x) y cq son el polinomio primitivo y el contenido de q (x) respectivamente. Por el Lema de Gauss, f (x)q 0 (x) es primitivo por lo que g0 (x) = f (x)q 0 (x) y cq = c g . Como g(x) Z [x], entonces cg = cq Z y as´ı, q (x) Z[x].

∈

∈

∈ (1) Sea q (x) ∈ Q[x] tal que f (x)q (x) = g(x). Como f (x) = c f f 0 (x), entonces f 0 (x) |Q[x] g(x) y por (2), sabemos que f 0 (x) |Z[x] g(x). Ahora, observemos que

cg g0 (x) = g(x) = f (x)q (x) = c f cq f 0 (x)q 0 (x) y por unicidad, tenemos c g = cf cq y g 0 (x) = f 0 (x)q 0 (x). (3) Sea h(x) Q[x] un factor com´ un de f (x) y g(x) de grado positivo, entonces h(x) Q[x] f (x) y h(x) Q[x] g(x). Podemos suponer ahora que h(x) Z[x] y es primitivo y as´ı, el resultado se sigue de (2).

|

∈

|

∈

70

Anillos

Definici´ on II.5.3. Sea D on D un dominio entero. Un polinomio p p((x) D D[[x] es irreducible si irreducible si sus ´ unicas factorizaciones son de la forma

∈

− {0}

p((x) = a p a((x)b(x), donde a(x) o bien b(x) son unidades en D[x]. Corolario II.5.4. Sea f ( Corolario f (x) un polinomio en Z f (x) es Z [x] de grado positivo. Si f ( irreducible en Z[x], entonces es irreducible en Q[x]. La demostración on del Corolario queda como ejercicio.

∈

Proposici´ on II.5. on II.5.5. 5. Sea f f ((x) coeficie eficiente nte princ princip ipal al po positivo sitivo,, enZ[x] con co tonces f olo si f ((x) es irreducible en Z[x] si y s´ (1) f f ((x) es un n´ umero primo. (2) f f ((x) es un polinomio primitivo que es irreducible en Q[x].

⇐

Demostraci´ on. ( ) Es claro que los números umeros primos son irreducibles en Z[x]. Ahora, si f f ((x) es irreducible en Q[x] y primitivo en Z[x], entonces f f ((x) no es constante y no es divisible por ningun polinomio racional de grado menor y positivo; luego, sus únicos unicos divisores son constantes en Q[x]. Si f ((x) tiene un divisor en Z [x] de grado positivo, entonces tiene un divisor f de grado positivo en Q [x], lo que no es posible. Si un polinomio constante en Z[x] divide a f f ((x), entonces divide a todos sus coeficientes, lo que no puede ser pues f f ((x) es primitivo, a menos que el divisor sea 1 Z [x]∗ . Por tanto, f tanto, f ((x) es irred irreducibl ucible. e.

± ∈

Z[x]∗ y por ( ) Como f f ((x) = cf f 0 (x) es irreducible en Z[x], entonces cf tener coeficiente principal positivo, c f = 1 y f f ((x) es entonces primitivo en Z[x]. Adem´ as, por el Corolario anterior, f as, f ((x) es irreducible en Q[x].

⇒

∈

Veamos algunas a lgunas factoriz factorizaciones aciones expl´ıcitas ıcitas de polinomi p olinomios. os. Proposici´ on II.5.6. Sean f on f ((x) = a n xn + + a1 x + a0 Z[x] y p un n´ umero primo que no divide a an . Si [f f ((x)] p es irreducible en Z p [x], entonces f f ((x) es irreducible en Q[x].

···

∈

Demostraci´ on. Podemos suponer que f f ((x) es primitivo. Supongamos tambi´ en en que f f ((x) no es irreducible en Q[x], ent entonces onces existen polino p olinomios mios g (x) y h(x) de grado positivo en Q[x] tales que f f ((x) = g(x)h(x) y por un Corolario anterior, f f ((x) = g(x)h(x) en Z[x]. Ade Adem´ m´ as, p no divide a an y as´ı, as, ı, grad grad[[f f ((x)] p = grad f f ((x), pero también en tenemos [f f ((x)] p = [g(x)] p [h(x)] p = [g (x)h(x)] p . Se Sean an bk el coeficiente principal de g (x) y c l el coeficiente principal de h h((x), entonces an = b k cl y p no divide a bk ni a cl . Por tanto tanto,, grad[g grad[g (x)] p , grad[ grad[h h(x)] p > 0 lo que es absurdo. Veamos algunos polinomios irreducibles en Z 2 [x] de grado peque˜ no: no:

71

II.5 Polinomios en Z [x] y Q [x]

Grado 1. Es claro que x que x y x + 1 son irreducibles. Grado 2. Los polinomios x2 = x x

·

x2 + 1 = (x (x + 1)2

y x2 + x = = x x((x + 1)

no son irreducibles en Z2 [x]. As´ı, ı, el unico u ńico polinomio irreducible de grado 2 2 es es x x + x + 1. Grado 3. Los polinomios x3 = x x x x3 + x = = x x((x + 1)2 = x x3 + x2 + x = x((x2 + x + 1)

· ·

x3 + x2 = x 2 (x + 1) x3 + 1 = (x (x + 1)(x 1)(x2 + x + 1) (x + 1)3 x3 + x2 + x + 1 = (x

no son irreducibles por lo que los irreducibles de grado 3 son x3 + x2 + 1 y x 3 + x + 1. Grado 4. Los polinomios x4 x4 + x x4 + x2 x4 + x3

= = = =

x x x x x(x + 1)(x 1)(x2 + x + 1) x2 (x + 1)2 x3 (x + 1)

x4 + x2 + x x4 + x3 + x x4 + x3 + x2 + x x4 + x3 + x2 + x

= = = =

x(x3 + x + 1) x(x3 + x2 + 1) x(x + 1)3 x(x + 1)3

· · ·

x4 + 1 x4 + x2 + x + 1 x4 + x3 + x + 1

= (x + 1)4 = (x + 1)(x 1)(x3 + x2 + 1) = (x + 1)2 (x2 + x + 1)

x4 + x3 + x2 + 1

= (x + 1)(x 1)(x3 + x + 1)

no son irreducibles por lo que los irreducibles de grado 4 son x4 + x + 1

x4 + x2 + 1

x4 + x3 + 1

x4 + x3 + x2 + x + 1. 1.

polinomio f ((x) = x 4 6x3 + 12x 12x2 Ejemplo: Consideremos el polinomio f Vemos que [f [f ((x)]2 = x 4 + x x + + 1 el cual es irreducible en Z2 [x]

− 3x + 9 ∈ Q[x].

−

por lo que f f ((x) es irreducible en Z[x] y al tener contenido 1, es irreducible en Q [x]. Teorema II.5.7. (Criterio de Eisenstein). Sean f ( f (x) = a n xn + + a1 x + a0 umero primo tal que p no divide a an , p a i para 0 i < n y p2 Z[x] y p un n´ no divide a a0 , entonces f f ((x) es irreducible en Q[x].

|

··· ≤

∈

72

Anillos

Demostraci´ on. Por hipótesis, otesis, grad f f ((x) > 0. Vem emos os que que [f [ f ((x)] p = [an ] p xn [an ] p = 0. Supongamos que f que f ((x) es reducible en Q [x] y por tanto, en Z p [x] con [a si f ((x) = g 0, tend tendrr´ıam ıamos os que Z[x]; si f g((x)h(x) con grad g (x), grad h(x) > > 0,

∈



[f f ((x)] p = [g (x)h(x)] p = [g(x)] p [h(x)] p , por lo que [g [g(x)] p y [h(x)] p dividen a [a [an ] p xn . Lu Lueego go,, [g [g(x)] p y [h(x)] p son monomios. As As´´ı, los coeficientes co eficientes de g(x) son todos divisibles por p excepto el coeficiente principal y similarmente para h(x); si b0 y c0 son los coeficientes constates de g (x) y h(x) tenemos que a0 = b 0 c0 y por tanto, p2 a 0 , lo que es absurdo.

|

∈

Sea f ( f (x) Z[x]. Muestre que si f ( f (x) es reducible en Q[x], entonces es reducible en Z[x] y sus factores son de grado positivo. Ejercicio.

Definici´ on II.5.4. Sea p un n´ on umero primo. El polinomio c p (x) = x p−1 + x p−2 +

· · · + x + 1,1,

se llama polinomio polinomio ciclot´ omico. omico. Vemos que (x (x 1) 1)cc p (x) = x p 1 por lo que las raices de c p (x) son las ra´ıces ıces 2kπ kπii k p-esimas p -esimas de la unidad de la forma ζ p = e p para 1 k p 1.

−

−

≤ ≤ −

Teorema II.5.8. El polinomio ciclot´ omico es irreducible en Q[x]. Demostraci´ on. Consideremos ϕ Consideremos ϕ : : Z[x] por ϕ(1) (1) = 1 y ϕ y ϕ((x) = y + 1, Z[y ] dado por ϕ entonces c entonces c p (x) será irreducible en Q[x] si y s´ olo si ϕ olo si ϕ((c p (x)) es irreducible en Q[y ]: vemos que

→

− 1]1]cc p (x)) = ϕ ϕ((x p − 1) = ϕ = ϕ((x) p − 1 = (y ( y + 1) p − 1 p p = ( pi ) y p−i − 1 = y p + ( p1 ) y p−1 + · · · + p p−1 y i=0 = y y p−1 + py p−2 + · · · + p p(( p − 1) 1)yy + + p p y como Q [y] es un dominio entero, tenemos que ϕ que ϕ((c p (x)) = y p−1 + py p−2 + · · · + p(( p − 1) p 1)yy + + p p que que es irreducible en Q [y] por el criterio de Eisenstein. yϕ((c p (x)) = ϕ([ yϕ ([x x

 





R. Dedekind estudio los dominios de factorizaci´ on unica on u ńica cuando trabajo en los anillos de enteros de un campo de números umeros algebraicos ´ al tratar de reparar los problemas del trabajo de A. L. Cauchy sobre el Ultimo Teore eorema ma de Ferma ermat. t. Aqui veremos veremos algunos resultados resultados importa importante ntess sobre sobress la relación on que guarda la factorización on unica u ´ nica de elementos en irreducibles con la noci´ on de elementos primos, as´ on as´ı como lo hizo Gauss al estudiar los enteros gaussianos. II.6. Domin Dominios ios de fact factorizac orizaci´ i´ on on u unica ´ nica

73

II.6 Dominios de factorizaci´ on unica ´

∈ − D∗. (1) Decimos que p es un elemento primo si para cada a, b ∈ D, p | ab implica que p | a o bien p | b. (2) Un elemento p es irreducible si para cada a, b ∈ D con p = ab se tiene que a ∈ D ∗ o bien b ∈ D ∗ .

Definici´ on II.6.1. Sean D un dominio entero y p D

on u ńica(DFU) si se satisface Decimos que D es un dominio de factorizaci´ las siguientes condiciones

∈ − { } ∪ D∗ ) existen p1, p2, . . . , pk ∈ D irreducibles tales ··· (U) para todo a ∈ D − ( {0} ∪ D ∗ ), si a = p1 p2 ··· pk = q 1 q 2 ··· q l son dos factorizaciones en irreducibles, entonces k = l y existe una permutaci´ on σ ∈ S k tal que pi es asociado a q σ(i) para cada 1 ≤ i ≤ k. (F) para todo a D ( 0 que a = p 1 p2 pk ,

Ejemplos de tales dominios son Z y si C es un campo, C [x] también es DFU. Proposici´ on II.6.1. Sea D un dominio que satisface (F), entonces D es DFU si y s´ olo si todo irreducible es primo. Demostraci´ on. ( ) Sea d D un elemento irreducible y sean a, b D tales que d ab, entonces existe c D el cual satisface dc = ab. Supongamos que a = p1 pn , b = q 1 q m y c = r1 rl son las factorizaciones en irreducibles, respectivamente, entonces

⇒ | ···

∈

∈

∈ ···

dr1

···

··· rl = p1 ··· pnq 1 ··· q m. ≤ ≤ |

Por la unicidad de las factorizaciones en irreducibles, existe 1 i n tal que d = p i o bien existe 1 j m tal que d = q j . Por tanto, d a o bien d b.

≤ ≤

|

⇐

∈

···

···

( ) Sea a D tal que a = p1 pn = q 1 q m don dos factorizaciones en irreducibles. Como cada pi es primo y pi y pi q 1 q m , entonces existe un ´ındice 1 j m tal que pi q j ; como q j es irreducible, entonces pi y q j son asociados. Luego, despues de un n´ umero finito de pasos, se muestra que n = m y despues de un reindexamiento, p i es asociado a q i para todo 1 i n.

≤ ≤

|

√ − ⊆ √ − √ {− − }− √ −

− √ −

| ···

≤ ≤

Ejemplo: Sea

R = Z[ 5] on u ´ nica ya que C. En R no hay factorizaci´ 6 = 2 3 y también 6 = (1 + 5)(1 5) son factorizaciones en irreducibles. Observe que R ∗ = 1, 1 . Aqui, 2 es irreducible pero no es primo pues 2 divide al producto (1 + 5)(1 5) y 2 no divide a ninguno de los factores.

·

74

Anillos

Definici´ on II.6.2. Sea D un dominio entero con 1 = 0. Decimos que a divide a b si existe q D tal que b = aq ; en tal caso lo denotamos por a b. Decimos que a es una unidad en D si a 1; si b = aq con a, q / D∗ , decirmos que a divide propiamente a b; decimos que a y b son asociados si a b y b a.



∈

|

∈

| |

|

Proposici´ on II.6.2. Dos elementos a y b en un dominio entero no trivial son asociados si y s´ olo si existe una unidad u tal que a = ub.

⇒

∈ D tales que a = bk1 y b = ak2, entonces

Demostraci´ on. ( ) Sean k 1 , k2

b = ak2 = (bk1 )k2 = b(k1 k2 ),

∈ D ∗. (⇐) Sea u ∈ D ∗ tal que a = ub, entonces b | a y como u es unidad, existe v tal por lo que k 1 k2 = 1 y as´ı, k 1 , k2 que vu = 1 y as´ı

va = v(ub) = (vu)b = 1b = b,

|

por lo que b a. Por tanto, a y b son asociados. Proposici´ on II.6.3.

(1) a es unidad si y s´ olo si (a) = (1) = D.

(2) a y b son asociados si y s´ olo si (a) = (b). (3) a b si y s´ olo si (a)

|

⊇ (b). ⊂ (a) ⊂ (1).

(4) a es un divisor propio de b si y s´ olo si (b)

⇒

Demostraci´ on. (1) ( ) Sea b d D tenemos

∈

∈ D tal que ba = 1, entonces 1 ∈ (a) y as´ı, para

d = d 1 = d(ba) = (db)a (a),

·

∈

por lo que (a) = D. ( ) Como (a) = D y 1 D, entonces existe b

⇐ ∈ ∈ D tal que ba = 1. (3) (⇒) Sea x ∈ (b), entonces existe y ∈ D tal que x = by. Como a | b, existe z ∈ D tal que b = az y as´ı, x = a(zy) ∈ (a). (⇐) Como (b) ⊆ (a), entonces b ∈ (a) y as´ı, existe q ∈ D tal que b = aq por lo que a | b. (2) Es inmediato de (3). (4) (

⇒) Como a no es unidad, tenemos que (a) ⊂ (1) y como a | b, entonces b = aq para alg´ un q ∈ D por lo que (b) ⊆ (a). Si (b) = (a), entonces q es unidad y as´ı, a no es un divisor propio de b, lo cual es absurdo.

⇐

|

⊂

( ) Por (3) tenemos que a b y como (a) (1), vemos que a no es unidad. Sea q D tal que b = aq ; si q D ∗ , entonces (b) = (a).

∈

∈

75

II.6 Dominios de factorizaci´ on unica ´

Ejercicio.

1. Sea D un D. I. P. Muestre que a es irreducible si y sólo si (a) es maximal. 2. Sea D un dominio entero. Muestre que si a es primo, entonces a es irreducible. 3. Sea D un D. I. P. Muestre que todo irreducible es primo. Proposici´ on II.6.4. Sea D un D. I. P., entonces cualquier cadena ascendente de ideales I 1 I 2 I k

⊆ ⊆ ·· · ⊆ ⊆ ·· · se detiene, es decir, existe m ∈ N tal que I k = I m para todo k ≥ m. Demostraci´ on. Sea I = ∪∞ n=1 I n . Afirmamos que I es un ideal en D. Como D es D. I. P., existe un elemento a ∈ D tal que (a) = I ; luego, existe m ∈ N tal que a ∈ I m por lo que I ⊆ I m ⊆ I . Teorema II.6.5. Todo DIP es DFU. Demostraci´ on. Basta probar la existencia de una factorización en irreducibles para cada elemento en un DIP D: supongamos que existe a D 0 que no se puede expresar como producto de irreducibles, entonces a no es irreducible por lo que existen p 1 , q 1 D tales que

∈ − { }

∈

a = p 1 q 1 es una factorización en divisores propios. Luego, al menos uno de los elementos p1 o q 1 no se puede expresar como producto de irreducibles, digamos p 1 , por lo que existen p 2 , q 2 D tales que

∈

p1 = p 2 q 2 , la cual es una expresión para p 1 como producto de divisores propios. Siguiendo con este procedimiento, encontramos una cadena de ideales ( p1 )

⊂ ( p2) ⊂ ··· ⊂ ( pk ) ⊂ ·· ·

que claramente no se detiene. Proposici´ on II.6.6. Todo elemento irreducible en Z[x] es primo. Demostraci´ on. Sea f (x) f (x) g (x)h(x).

|

∈

Z[x] un elemento irreducible y supongamos que

∈

Caso 1. Si grad f (x) = 0, entonces f (x) umero primo. Z y f (x) es un n´ Supongamos que g(x) = cg g0 (x) y h(x) = ch h0 (x) con g0 (x) y h0 (x) primitivos; como g 0 (x)h0 (x) es primitivo, entonces f (x) no puede dividir a todos los coeficientes de g 0 (x)h0 (x), sea a uno de tales coeficientes, y como f (x) cg ch a entonces f (x) c g o bien f (x) c h . Por tanto, f (x) g (x) o bien f (x) h(x).

|

|

|

|

|

76

Anillos

Caso 2. Si grad f (x) > 0, entonces f (x) es primitivo e irreducible en Q[x] por lo que es primo en Q[x]. Como f (x) Q[x] g(x)h(x), entonces f (x) Q[x] g(x) o bien f (x) Q[x] h(x) y al ser f (x) primitivo, entonces f (x) Z[x] g(x) o bien f (x) Z[x] h(x).

|

|

|

|

|

Teorema II.6.7. Z[x] es DFU. Demostraci´ on. Basta probar la existencia de una factorización: escribamos a f (x) como cf f 0 (x) con cf Z y f 0 (x) el primitivo asociado, entonces cf = p1 p2 pk con pi irreducibles en Z. Si f 0 (x) es irreducible ya esta, si no, entonces existen g(x), h(x) Z[x] ( 0 Z[x]∗ ) tales que

···

∈ − { }∪

∈

f 0 (x) = g(x)h(x); como f 0 (x) es primitivo, entonces g(x) y h(x) no son constantes por lo que tienen grado positivo. Si g(x) no fuese primitivo, entonces g(x) = c g g0 (x) con g0 (x) primitivo y como f 0 (x) = cg g0 (x)h(x), entonces cg f 0 (x) por lo que divide a todos sus coeficientes, lo que es absurdo; luego, tanto g(x) como h(x) son primitivos y de grado menor que f (x). Repitiendo este argumento en un n´ umero finito de pasos, terminamos con la prueba.

|

Teorema II.6.8. Sean D un DFU y Q su campo de cocientes, entonces

∈

∈

(1) Sea f (x), g(x) Q[x], f 0 (x), g0 (x) D[x] sus primitivos asociados. Si f (x) Q[x] g(x), entonces f 0 (x) D[x] g0 (x).

|

|

(2) Sean f (x) un polinomio primitivo en D[x] y g(x) cualquier polinomio en D[x]. Si f (x) Q[x] g(x), entonces f (x) D[x] g(x).

|

|

(3) Sean f (x), g(x) D[x], si f (x) y g(x) tienen un factor com´ un de grado positivo en Q[x], entonces tienen un factor com´ un de grado positivo en D[x].

∈

∈

(4) Si f (x) D[x] es de grado positivo en irreducible en D[x], entonces f (x) es irreducible en Q[x]. (5) D[x] es DFU. Corolario II.6.9. Z[x1 , x2 , . . . , x n ] y C [x1 , x2 , . . . , xn ], con C un campo, son DFU. Demostraci´ on. Inducci´ on sobre n. Para n = 1 ya esta. Para n > 1, sabemos que Z[x1 , x2 , . . . , xn−1 ][xn ] = Z[x1 , x2 , . . . , xn ].

∼

Por hipótesis inductiva, Z[x1 , x2 , . . . , xn−1 ] es DFU y por (5) del Teorema anterior, Z [x1 , x2 , . . . , xn−1 ][xn ] es DFU. Similarmente, C [x1 , x2 , . . . , xn ] es DFU.

77

II.7 M´ odulos

Definici´ on II.6.3. Sea D un dominio entero. Decimos que D es un dominio euclidiano siexiste una aplicaci´ on ∂ : (D 0 ) 0 N0 tal que para a, b D existen q, r D que satisfacen

−{ } →

∈

b = aq + r

∈ −{ }

con r = 0 o bien ∂ (r) < ∂ (a).

Ejemplo:

|· |.

1. Los enteros con ∂ =

2. El anillo de polinomios C [x] con ∂ = grad. 3. El anillo de los enteros gaussianos Z [i] con ∂ =

· 2.

Proposici´ on II.6.10. Todo dominio euclidiano es D. I. P. Demostraci´ on. Sea I un ideal en un dominio euclidiano D y supongamos que I = 0 . Definamos

 { }

def

{

∈ I −{0}}, y sea a ∈ I −{ 0} tal que ∂ (a) = m. Si b ∈ I −{ 0}, entonces existen q, r ∈ D tales que b = aq + r con r = 0 o bien ∂ (r) < ∂ (a). Si r  = 0, entonces r = b − aq ∈ I lo que es absurdo, pues ∂ (r) < m. Por tanto, r = 0 y as´ı, b ∈ (a). m = min ∂ (a) : a

El concepto de m´ odulo fue introducido por E. Noether y es otra forma de ver lo que son las representaciones, pero con otro lenguaje. También se puede pensar que los módulos son una generalización de los espacios vectoriales. II.7. M´ odulos

Definici´ on II.7.1. Sea R un anillo asociativo con 1. Un R-m´ odulo es un grupo abeliano M con una multiplicaci´ on R M M denotada por (r, m) r.m que satisface

× →

→

∈ R y m ∈ M tenemos (r1 + r2).m = r1m + r2m; (M2) para r1 , r2 ∈ R y m ∈ M se tiene (r1 r2 ).m = r 1 .(r2 .m); (M3) para r ∈ R y m1 , m2 ∈ M se tiene r.(m1 + m2 ) = r.m1 + r.m2 ; (M4) para todo m ∈ M tenemos 1.m = m. (M1) para r1 , r2

Observe que si R = C un campo, entonces M es un C -espacio vectorial. Ejemplo:

def

1. Si M = R n y definimos r.(m1 , . . . , mn ) = (rm1 , . . . , r mn ), entonces M es un R-m´ odulo.

78

Anillos

2. Si M es cualquier grupo abeliano y R = Z , entonces M es un R-m´ odulo: si r > 0 definimos def + m; r.m = m + m +

 ···   − − − · · · −  r -veces

si r < 0 definimos

def

r.m =

m

m

m

r -veces

def

y si r = 0 definimos 0.m = 0. Vemos as´ı que tanto (M1) como (M3) se cumplen pues son las leyes de los exponentes en notación aditiva. Además, es calro que 1.m = m y como M es abeliano, se cumple (M2). Observe que esta es la única estructura de Z-m´ odulo para M . Definici´ on II.7.2. Sea M un R-m´ odulo. Un subm´ odulo de M es un subgrupo aditivo abeliano N de M tal que R.N N .

⊂

Proposici´ on II.7.1. Los subm´ odulos de R1 son los ideales de R. Definici´ on II.7.3. Sean M y N dos R-m´ odulos. Un homomorfismo de Rm´ odulos o bien, un R-morfismo es una aplicaci´ on ϕ : M N que satisface

→

(HM1) ϕ es un homomorfismo de grupos abelianos. (HM2) para todo r

∈ R y todo m ∈ M tenemos ϕ(r.m) = r.ϕ(m).

Un R-morfismo biyectivo se llama isomorfismo de R-m´ odulos y se denota def ucleo de ϕ se define por ker ϕ = m M : ϕ(m) = 0 y la por M =R N . El n´ def imagen de ϕ es Imϕ = ϕ(m) : m M .

∼

{

{ ∈

∈ }

}

Observe que ker ϕ es un submódulo de M y Imϕ es subm´ odulo de N . homomorfismo ϕ : R n por una matriz con entradas en R. Ejercicio. Todo

→ Rm de R-módulos es multiplicación

Definici´ on II.7.4. Sea N un subm´ odulo de M . El R-m´ odulo cociente es el def grupo cociente M/N con la multiplicaci´ on r.(m + N ) = r.m + N . La aplicaci´ on on π : M M/N definida por m m+N es un R-morfismo llamado proyecci´ natural.

→

→

Teorema II.7.2. (Teorema del homomorfismo). Sean ϕ : M L un Rmorfismo y N un subm´ odulo de M . Si N ker ϕ, entonces existe un ´ unico homomorfismo de R-m´ odulos ϕ : M/N ¯ L tal que

⊆

→

M

   M/N

ϕ

 L   

  ∃!ϕ¯

→

79

II.8 Matrices y bases

Ejercicio. Enuncie

y demuestre el Primer Teorema de Isomorfismo y el Teorema de Correspondencia para R-m´ odulos. Sabemos que Mn (R) es un anillo asociativo con 1 no conmutativo. Si denotamos A = (aij ) Mn (R), defin-

II.8. Matrices y bases

∈

imos def

det A =



sgn(σ)a1σ(1) a2σ(2)

σ S n

∈

··· anσ(n).

Podemos ver que el determinante tiene las siguientes propiedades:

∈ Mn(R), entonces det(AB) = det A · det B, 2. si A ∈ GL n (R), entonces AA −1 = I d y as´ı, det A · det A−1 = 1 por lo que det A ∈ R ∗ . 3. si det A ∈ R∗ , entonces A ∈ GLn (R) y A−1 = (det A)−1 adj A, donde def def adj A = (αij )T con αij = (−1)i+j det Aij y aqui, la matriz Aij se obtiene 1. si A, B

de A al eliminar el renglón i y la columna j .

Definici´ on II.8.1. Sean M un R-m´ odulo y S M . Decimos que S genera a M si todo elemento de M es combinaci´ on lineal de elementos de S ; decimos que M es finitamente generado si es generado por un conjunto finito.

⊆

odulo R[x1 , x2 , . . . , xn ] Ejemplo: El R-m´

no es finitamente generado.

Definici´ on II.8.2. Sea M un R-m´ odulo finitamente generado. Decimos que M es libre si existe n N tal que M =R R n .

∼

∈

Ejemplo: Sabemos

que Zn es un Z-m´ odulo que es finitamente generado pero

no es libre.

{

}⊆

Definici´ on II.8.3. Un subconjunto v1 , v2 , . . . , vk M es linealmente independiente si para cada combinaci´ on lineal nula r 1 v1 + +rk vk = 0 tenemos que r1 = r 2 = = r k = 0. Un subconjunto B M es una base de M si B genera a M y es linealmente independiente.

···

⊆

···

Sea R un anillo asociativo, conmutativo y con 1. Ahora, tomemos n vectores Rm , digamos que vj = (v1j , v2j , . . . , vnj ) con vij R, para v1 , v 2 , . . . , vn formar la matriz A = (vij ) Mm×n (R). La aplicaci´ on LA : Rn Rm dada por

∈

∈ →

∈

def

→ Ax =

x

n



xi v i

i=1

es un R-morfismo. Esta construcción se generaliza de la siguiente manera: sea odulo y B = v 1 , v 2 , . . . , vn M un R-m´ M , entonces L B : R n M definida n por x i=1 xi v i es un R-morfismo.

→ 

{

}⊂

→

80

Anillos

Observe que B es linealmente independiete si y sólo si LB es inyectiva; B genera a M si y sólo si LB es suprayectiva. Por tanto, B es base si y sólo si odulos. LB es un isomorfismo de R-m´ Teorema II.8.1. Un R-m´ odulo M tiene una base si y s´ olo si M es libre. Definici´ on II.8.4. Sean B una base de M y v M . El vector de coordenadas de v con respecto a la base B es el vector

∈

def

1 [v]B = L − (v ), B

es decir, si v =



n i i=1 v v i ,

entonces [v]B = (v1 , v2 , . . . , vn ).

∼

∼

Sean M y N dos R-m´ odulos libres, digamos M =R Rm y N =R Rn . Si B = v 1 , v 2 , . . . , v n base de N y D = w1 , w2 , . . . , wm base de M , entonces para cada R-morfismo T : N M tenemos

{

}

{

→

}

m

T (v j ) =



aij wi ,

i=1

def

y la matriz [T ]D = (aij ) se llama matriz de T asociada a las bases B

D

y

B .

Teorema II.8.2. Si S : M L y C es una base de L, entonces [ST ]C = B C D [S ]D [T ]B . Adem´ as, la matriz [idN ]B es la matriz identidad. B

→

Las matrices de cambio de base no son mas que las representaciones matriciales de automorfismos de m´ odulos. As´ı, la importancia de este concepto queda impl´ıcita. II.9. Matriz de cambio de base

Definici´ on II.9.1. Sean M un R-m´ odulo libre, B y B ′ bases de M . La matriz [idM ]B se llama matriz de cambio de base. B ′

∈ M tenemos [v]

Observa que para todo v

B′

′

= [idM ]B [ v]B . B

Proposici´ on II.9.1. Sea M un R-m´ odulo libre, entonces cualesquiera dos bases tienen la misma cardinalidad. Demostraci´ on. Sean

B y C dos

bases de M y supongamos que

|B | = m < n = |C |, C entonces A = [idM ]B Mm×n (R) y B = [idM ]B Mn×m (R). Luego, vemos C que AB = Id Mm (R) y similarmente, BA = Id Mn (R). Como m < n, tenemos A B A = B 0 = BA = I d, 0

∈

∈

       

∈ ∈

por lo que 1 = det Id = det(B A) = det B det A = 0, lo que es absurdo pues R = 0 . Del mismo modo, m > n nos conduce a una contradicción similar. Por tanto, m = n.

 { }

81

II.9 Matriz de cambio de base

Definici´ on II.9.2. Sea M un R-m´ odulo libre. El rango de M es la cardinalidad de una base de M y se denota por rango M .

∼

Corolario II.9.2. Si Rn =R R m , entonces n = m. Observe que si B 1 y B 2 son bases de N , para cada R-morfismo T : N M tenemos

C 1

y

C 2 son

bases de M , entonces

→

2 2 1 2 1 [T ]C = [idM ]C [T ]C [idN ]B = Q[T ]C P −1 , B2 C 1 B1 B1 B1

donde Q es la matriz de cambio de base entre de base entre B 1 y B 2 .

C 1 y C 2 , P es

la matriz de cambio

Teorema II.9.3. Sea D un D. I. P., entonces todo D-subm´ odulo de D n es libre de rango m n.

≤

Demostraci´ on. Haremos la demostración por inducción sobre n: para n = 0 ya está. Supongamos que n > 0 y sea S un subm´ odulo de D n . Sea

{e1, e2 . . . , en } una base de Dn e identifiquemos a Dn−1 con el subm´ odulo generado por los n−1 u ´ ltimos n 1 elementos de esta base. Si S D el resultado se sigue por hip´ otesis inductiva; si no, definimos

−

⊂

{ ∈ ∃ ∈ D n−1 tal que b e1 + y ∈ S },

I = b D : y

el cual es no vac´ıo y es claro que I es un ideal en D. Por ser D un D. I. P., existe un elemento d tal que I = (d) y as´ı, existe y 1 D n−1 tal que f 1 = d e1 + y1 S . Ahora, sea T = S D n−1 el cual es un submódulo de Dn−1 y por hipótesis inductiva, tiene una base f 2 , f 3 , . . . , f m con m 1 elementos, para algún m < n. Veamos que B = f 1 , f 2 , . . . , f m es una base para S : sea x S , entonces existen b D y y D n−1 tales que x = b e1 + y por lo que b I y as´ı, existe a1 D tal que b = a 1 d. Luego, vemos que

∈

∩

∈

∈

∈

{

∈

}

{

−

}

∈

∈

− a1f 1 = (be1 + y) − (ade1 + ay1) = y − ay1 ∈ T , por lo que existen a 2 , a3 , . . . , am ∈ D tales que x − a1 f 1 = a 2 f 2 + ··· + am f m . x

Por tanto,

B genera

 

a S . Supongamos que

m i=1 ai f i = 0,

entonces

m

a1 de1 + a1 y 1 +

ai f i = 0

i=2

∈ D n−1, existen b 2, b3, . . . , bm ∈ D tales que

y como y1 , f 2 , . . . , f m

m

a1 de1 +

 i=2

bi ei = 0.

82

Anillos

Como e1 , e2 . . . , en es una base, entonces es linealmente independiente por lo que a 1 d = b 2 = = b m = 0 y como d = 0 y D es un dominio entero, entonces a1 = 0. Luego, tenemos que m i=2 ai f i = 0, pero f 2 , . . . , f m es base de T por lo que es linealmente independiente. Se concluye as´ı que a2 = a 3 = = a m = 0 y por tanto, B es linealmente independiente.

{

···

}





{

Definici´ on II.9.3. Sean D un D. I. P. y A 1 i m y 1 j n las matrices

≤ ≤

≤ ≤

}

···

∈ Mm×n(D). Definimos para cada

def

ij k l E ij = (eij kl ), donde ekl = δ i δ j ,

las cuales tienen un 1 en la entrada ij y ceros en el resto de las entradas. Para cada b D definimos la matriz

∈

def

Di = I dm + (b

− 1)E ii , donde Idm ∈ Mm(D).

Operaciones elementales: (1) Sumar un m´ ultiplo a

∈ D del renglón j al renglón i, = j. aRj + Ri , con i  def

Consideremos la matriz T ij (a) = I dm + aE ij , la cual es invertible pues

−

T ij (a)T ij ( a) = (Idm + aE ij )(Idm

− aE ij ) = I dm − a2E ij2 = I dm.

La operación elemental (1) aplicada a la matriz A equivale a multiplicar T ij (a)A. (2) Sea b D ∗ . Multiplicar el renglón i de una matriz A por b equivale a multiplicar D i (b)A, adem´ as, vemos que det Di (b) = b D ∗ .

∈

∈

(3) Intercambiar los renglones i y j de la matriz A equivale a multiplicar P ij A, donde P ij es la matriz que se obriene de Idm intercambiando los renglones i y j . Vemos que det P ij = 1 D ∗ .

− ∈

Las operaciones análogas para columnas son: (1) AT ij (a), (2) ADi (b), (3) AP ij . Definici´ on II.9.4. Decimos que dos matrices A y B en Mm×n (D) son equivalentes si existen matrices P GL m (D) y Q GLn (D) tales que B = P AQ.

∈

∈

83


Teorema II.9.4. (Forma normal de Smith). Sean D un dominio euclidiano y A Mm×n (D), entonces A es quivalente a una matriz diagonal de la forma

∈

   

d1 0 .. .

0 d2 .. .

··· ···

0 0 .. .

0 0 .. .

··· ···

0

0

···

..

..

.

.

0 0 ...

0 0 .. .

··· ···

dr 0 ...

0 0 .. .

··· ···

0

0

..

..

.

.

   

0 0 ...

0 , 0 ...

··· 0 donde d1 , d2 , . . . , dr ∈ D − {0} y para cada 1 ≤ i ≤ r − 1 tenemos di | d i+1 . Demostraci´ on. Si A = 0 ya está. Si no, procederemos por pasos: Paso 1. Permutando renglones y columnas llevamos a una entrada x = 0 de A con ∂ (x) m´ınimo a la posición 1, 1. Nombremos A a la nueva matriz que se obtiene.



Paso 2. Anulamos el resto del primer renglón y columna como sigue: si existe k > 1 con a1k = 0, dividiendo tenemos a1k = a11bk + b 1k con b1k = 0 o bien ∂ (b1k ) < ∂ (a11 ); restamos bk veces la columna 1 a la columna k y obtenemos una matriz equivalente a A cuya entrada en la posición 1k es b1k . Si b1k = 0 se sigue anulando el resto de las entradas y si ∂ (b1k ) < ∂ (a11 ), entonces regresamos al paso 1.



Repitiendo alternadamente los pasos 1 y 2, despues de un número finito de ellos, obtenemos una matriz equivalente a A de la forma

  a1 0

0 B

Paso 3. Si a1 no divide a todas las entradas de la matriz B, digamos que a1 no divide a bij , entonces sumamos la columna j a la primera columna y dividimos para obtener b ij = a 1 q 1 +r1 , donde r 1 = 0 o bien ∂ (r1 ) < ∂ (a1 ). Regresamos al paso 2 y encontramos una matriz equivalente a A con una entrada r con ∂ (r) < ∂ (a1 ). Repitiendo los pasos 1, 2 y 3 obtenemos una matriz equivalente a A de la forma

  d1 0

0 B

tal que d1 divide a todas las entradas de la matriz B. Finalmente, aplicamos los pasos 1, 2 y 3 a la matriz B para obtener la matriz diagonal. Despues de cada operación elemental realizada a B, el elemento d 1 sigue dividiendo a todas las entradas.

84

Anillos

Definici´ on II.9.5. La matriz

   

d1 0 .. .

0 d2 .. .

··· ···

0 0 .. .

0 0 .. .

··· ···

0

0

···

..

..

.

.

0 0 ...

0 0 .. .

··· ···

dr 0 ...

0 0 .. .

··· ···

0

0

···

..

..

.

.

   

0 0 ...

0 , 0 ... 0

se llama forma normal de Smith de A y los elementos d1 , d2 , . . . , d r se llaman factores invariantes de A.

 −  −         −→  − −→ −  −→  − −  −    

Ejemplo: Sean D =

A

0 1 1 0

Aqui, Q =

1 0

1 2

2 1

Z y A =

2 1

1 0

2 y P = 1

1 , entonces 2

2 1

1 2

1 0 2 1

−

0 5

0 1

1 0

1 0 2 1

0 = B, 5

1 . 0

Observe que 1. Si D = Z, podemos elegir di > 0; 2. si D = C [x], con C un campo, podemos escoger d i polinomio m´ onico; 3. si A es una matriz cuadrada de rengo máximo, det A y d 1 d2 en una unidad.

··· dr difieren

Definici´ on II.9.6. Sea R un anillo (asociativo, conmutativo con 1). Si A R m es el R-morfismo asociado a la matriz A, definimos Mm×n (R) y L A : R n def el rengo de A como rango A = rango ImLA .

∈

→

Ejercicio.

Si A es equivalente a B , entonces rango A = rango B.

Ejemplo: Sean D = C [t],

con C un campo, y

−

t2 3t + 2 A = (t 1)3

−

t t2

−2

− 3t + 2



.

85


Vemos que t2 como sigue:

− 3t + 2 = (t − 1)(t − 2) y as´ı, podemos diagonalizar la matriz A

R2 (t 1)R1

− −

→

A

→

C 1 +C 2 R2 +(t 1)2 R1

→−

 − − −  → − −  − − −  →  −− − −  → − (t

1)(t 2) t 2 (t 1)2 0 1 1)2

(t

1 0

(t

t

−

1 1)2

(t − (−1)R1 1

C 2 +(t 2)C 1

0 1)2 (t

− 2)

−

(t 1) t 2 (t 1)2 0

2

0

−

R1 R2

0 (t

−

(t

−

0 1)2 (t



0 1)2 (t

−



2)

− 2)

Teorema II.9.5. Sean D un dominio euclidiano, M y N dos D-m´ odulos libres y T : N M un D-morfismo, entonces existen bases B de N y C de M tales que d1 0 0 0 0 0 d2 0 0 0 .. .. . . .. .. . . . . . . . .. . .

→

[T ]C B =

   

··· ···

0 0 .. .

0 0 .. .

··· ···

0

0

···

..

.

··· ···

dr 0 ...

0 0 .. .

··· ···

0

0

···

..

.

   

0 . 0 ... 0

La demostración queda como ejercicio.

∈

Teorema II.9.6. Sean D un dominio euclidiano, A Mm×n (D), r = rango A y para cada 1 i r definimos ∆i como un m´ aximo com´ un divisor de los menores de A de tama˜ no i, entonces cualquier conjunto de factores invariantes de A difiere por unidades del conjunto

≤ ≤

e1 = ∆1 ,

e2 =

∆2 , ∆1

...

er =

∆r . ∆r−1

∈ Mn(D).

Demostraci´ on. Sea P

• Las columnas de AP son combinaciones lineales de las columnas de A; • sea d un menor de AP de tamaño i, entonces d es combinación lineal de los menores de tamañi i de A: ∆i | d. Luego, ∆i divide al m´ aximo com´ un divisor de los menores de AP de tama˜ no i.

Si Q Mm (D), se siguen obresvaciones similares. Ahora, si B = QAP con P GLn (D) y Q GLm (D), entonces ∆i divide a los menores de tamaño i de B y también a su máximo com´ un divisor Γi . Como P y Q son invertibles, − − 1 1 tenemos que A = Q BP por lo que Γi ∆ i y as´ı, Γi y ∆i son asociados. En particular, si B = diag(d1 , d2 , . . . , dr , 0, . . . , 0), con d1 , d2 , . . . , d r D 0 y di d i+1 para 1 i r 1, entonces Γi = ij =1 dj y como hemos

∈

∈

∈

|

{}

|

≤ ≤ −



∈ −

86

Anillos

visto, ∆i es asociado a Γ i por lo que tenemos las siguientes parejas de elementos asociados: ∆2 ∆1

∆1 es asociado a Γ1 = d 1 para cada 1

≤ i ≤ r − 1

∆i+1 ∆i

es asociado a

es asociado a

Γ2 Γ1

Γi+1 Γi

d1 d2 d1 = d 2 , d1 d2 di+1 d1 d2 di = d i+1 .

=

=

··· ···

Corolario II.9.7. Dos matrices A y B son equivalentes si y s´ olo si tienen los mismos factores invariantes, salvo unidades. Teorema II.9.8. Sean D un dominio euclidiano y M un D-m´ odulo libre con S M un D-subm´ odulo de M , entonces existen w1 , w2 , . . . , wm base de M y v1 , v2 , . . . , vn base de S tales que

{

⊆

{

}

}

≤ m;

(1) n

(2) para cada 1

≤ j ≤ n existe dj ∈ D tal que vj = dj wj ; (3) para cada 1 ≤ j ≤ n − 1, dj | d j +1 . Demostraci´ on. Sea C ′ = {x1 , x2 , . . . , xm } una base de M . Por resultados anteriores, sabemos que rango S = n ≤ m; sea B ′ = { y1 , y2 , . . . , yn } una base de S y consideremos la aplicación T : S → M definida como T (s) = s, la cual es un D-morfismo. Vemos que la matriz de T con respecto a las bases C ′ y B ′ es A ∈ Mm×n (D) cuyo rango es n pues T es inyectivo. Sabemos que existen matrices P ∈ GLm (D) y Q ∈ GLn (D) tales que B = QAP −1 = diag(d1 , d2 , . . . , dn , 0, . . . , 0) donde di son los factores invariantes de A; luego, existe una base B de S para la cual P = [idS ]B y del mismo modo, existe una B C base C de M tal que Q = [idM ]C . Por tanto, B = [T ]C y si B = v1 , v2 , . . . , vn B y C = w1 , w2 , . . . , wm , entonces tenemos ′

{

′

{

}

}

T (vj ) = Bvj = d j wj para todo 1

≤ j ≤ n.

D = Z y M = Z2 . tomemos las bases C ′ = (1, 0), (0, 1) este caso, m = n = 2. Sea T : S 2 1 ; luego, diagonalicemos como 1 2

Supongamos que S =  (2, 1), (−1, 2) y } de M y B ′ = {(1, 2), (−1, 2)} de S . En → M la inclusión s → s y A = [T ] =

Ejemplo: Sean

 −

{

′

C B′

sigue:

      − → → →        −  − A

C 1 +C 2

1 3

1 2

C 2 +C 1

1 0 3 5

R2 3R1

−

1 0 , 0 5

1 0 1 0 1 1 1 1 y P −1 = = ; luego, B = QAP −1 = 3 1 1 1 0 1 1 2 diag(1, 5) y tenemos el siguiente sistema para encontrar la base B : as´ı que Q =

v1 = (2, 1) + ( 1, 2) = (1, 3) v2 = (2, 1) + 2( 1, 2) = (0, 5)

−

87

II.10 Matrices de presentaci´ on

 

1 0 Vemos que Q−1 = = [idM ]C y por tanto, podemos encontrar los vecC 3 1 tores de la base

C :

′



w1 = (1, 3) w2 = (0, 1)

odulo finitaII.10. Matrices de presentaci´ on Sean R un D. I. P. y M un R-m´ mente generado con v1 , v2 , . . . , vm un con junto de generadores de M . Supongamos que f : Rm M es el R-morfismo m suprayectivo asociado (x1 , x2 , . . . , xm ) i=1 xi vi y sea N = ker f , entonces m R /N =R M y N es un submódulo libre de rango n m. Sean w1 , w2 , . . . , wn un conjunto de generadores de N y g : Rn N el R-morfismo suprayectivo asociado; si ϕ : Rn R m es el R-morfismo ι g, donde ι : N Rm es la inclusi´ on n n, entonces existe A Mm×n (R) tal que ϕ = LA . Luego, tenemos M =R R m /N =R R m /(ARn ).

→

∼

∼

→

→

∈

∼



{ →

→ ◦

}

≤

{ →

}

∼

Definici´ on II.10.1. Cualquier matriz A que satisfaga M =R Rm /ARn , para alg´ unos m, n N, se llama matriz de presentaci´ o n de M .

∈

Ejemplo:

1. Sean R = Z y M = Z , entonces M = Z/5Z por lo que [5] una matriz de presentación para Z 5 . 2. Sean R = Z y M =

Z2

Z2

/A

, donde A es la matriz

Z2 = R n

∈ M1(Z) es

 − 2 1

1 . Vemos que 2

→ N → Rm →f M

donde los R-morfismos son

→  (2, 1) → (2, 1) →  (−1, 2) → (−1, 2) y N = ker f = w1 = (2, 1), w2 = (−1, 2). Si v1 = f (1, 0) y v2 = f (0, 1) (1, 0) (0, 1)

son los generadores de M , entonces 0 = 0 =

f (w1 ) = f (2(1, 0) + (0, 1)) = 2v1 + v2 f (w2 ) = f ( 1(1, 0) + 2(0, 1)) = 1v1 + 2v2 ,

−

−

de donde obtenemos las relaciones v 2 = 2v1 y sustituyendo en la seguna ecuación, vemos que 5v1 = 0. As´ı, M está generado por un elemento v1 de orden 5 y por tanto, M =R Z 5 .

−

∼

∈ Mm×n(R)

Proposici´ on II.10.1. Sean R un D. I. P., M un R-m´ odulo y A una matriz de presentaci´ on de M , entonces

88

Anillos

(1) para toda Q GLm (R) y toda P también presenta a M .

∈

GLn (R) la matriz B = QAP −1

∈

(2) Si B se obtiene de A quitando una columna de ceros, entonces B presenta a M . (3) Si la j-esima columna de A es ei y B es la matriz que se obtiene de A eliminando la columna j y el rengl´ on i, entonces B presenta a M .

B =

  1 0 0 5

1 0 0 , entonces M =Z Z2 /B Z2 con 0 5 0

∼ y también, M ∼ =Z Z /C Z con C = [5]. Por tanto, M ∼ =Z Z 5 .

Ejemplo: Si

∼

 

M =Z Z2 /AZ3 con A =

Demostraci´ on.

(1) Sea N = ARn , entonces tenemos el siguiente diagrama: LA

R  n LP

 R m LQ

1

−

Rn

LB

   R m

Como P −1 Rn = Rn , entonces N = AP −1 Rn y del mismo modo, QN = QAP −1 Rn = BRn ...PENDIENTE. (2) Considere el siguiente diagrama: Rn

   N  

  R m

LA

Si c i (A) es el vector que corresponde a la i-esima columna de A, entonces



 



N = c1 (A), c2 (A), . . . , cn (A) = c1 (B), c2 (B), . . . , cn−1 (B) = ImLB por lo que tenemos LB

1 Rn−            

 Rm             N

∼

As´ı, vemos que R m /BR n−1 = R m /N =R M . (3) Por simplicidad de notación, supondremos que i = m por lo que em = cj (A) N . Sean π : Rm Rm /N la proyección canónica y vi = π(ei )

∈

→

89

II.11 Sumas directas de m´ odulos

para 1 i m m,, entonces v1 , v2 , . . . , vm = R m /N . Como em N N ,, tenm emos que vm = 0 y por tanto v1 , v2 , . . . , vm−1 = = R R /N ; luego, tenemos el siguiente diagrama:

≤ ≤







1 Rn−             



∈

LB

 Rm−1             ¯ N

∼

∼ ∼

¯ = Im ¯ =R M =R donde N ImL LB = BR n−1 . Pr Prob obar arem emos os que que Rm−1 /N m m−1 m ¯ = πT ¯ = R /N : se seaa T : R R la inclusi´ on y T on πT ,, entonces ker T − 1 m−1 m ¯ . Como T ¯ es suprayectivo, tenemos que R ¯ =R T ((R T ) N = N N . T /N m R /N y as´ı, B presenta a M a M ..

→

∩

Esta es una manera de generar nuevos módulos odulos a partir de módulos odulos ya conocidos. conocidos. Adem´ as, preparaas, remos el camino para uno de los resultados fundamentales de la teor´ teor´ıa de módulos odulos finitamente generados. II.11. Sumas directas directas de m´ odulos odulos

Definici´ on II.11.1. Sean S 1 , S 2 , . . . , Sk subm´ on odulos de un R-m´ odulo M . La suma de S 1 , S 2 , . . . , Sk es

· · · + S k def = {w1 + w2 + · · · + wk : w i ∈ S i }. Proposici´ on II.11.1. S 1 + S 2 + · · · + S k es un subm´ on odulo de M . S 1 + S 2 +

Definici´ on II.11 on II.11.2. .2. Sean S i subm´ oduloss de M . De odulo Deci cimo moss que que M es es suma directa de directa de los subm´ odulos S 1 ,S 2 , . . . , Sk si (SD1) M = S 1 + S 2 +

· · · + S k ,

(SD2) para para wi S i tales que w1 + + w w2 + = w = w k = 0.

···

· · · + wk = 0 se tiene que w1 = w2 =

∈

⊕ S 2 ⊕ · · · ⊕ S k .

En tal caso, lo denotaremos por M = S 1

⊕ ⊕ · · · ⊕

∈

Si M = S 1 S 2 S k y m M ,, entonces existen elementos únicos M unicos wi S i tales que m que m = = w w 1 + w2 + + wk .

∈

···

Definici´ on II.11.3. Un R-m´ on R -m´ odulo es c´ c´ıcl cliico si existe v v

M tal tal que M M = v. ∈ M Observe que, en tal caso, M ∼ donde I = {a ∈ R R : : av = 0}. Si Si R R es =R R/I , donde I un D. I. P., entonces existe d existe d ∈ R R tal tal que I que I = (d) y por tanto, M tanto, M ∼ R/((d). Si =R R/ R = Z, entonces Z /(d) ∼ = Zd . Teorema II.11.2. I I.11.2. Sean D un dominio euclidiano y M un D-m´ odulo finitamente generado, entonces M entonces M es es una suma directa de m´ odulos c´ıclicos. De manera mas precisa, existen d1 , d2 , . . . , dk D ( 0 D ∗ ) tales que di d i+1 y existe r N0 tal que

∈

∈ − { } ∪

∼

M =D D D//(d1 )

D/((d2 ) ⊕ · · · ⊕ D/ D/((dk ) ⊕ Dr . ⊕ D/

|

90

Anillos

Demostraci´ on. Sea A una matriz de presentación on de M . Sabemos que que existen existen Q y P P ,, matrices invertibles, y elementos d1 , d2 , . . . , dk D 0 con di d i+1 − 1 para 1 diag(d1 , d2 , . . . , dk , 0, . . . , 0) y que i k 1 tales que QAP = diag(d QAP −1 también en pres presenta enta a M . Pode odemo moss supone suponerr que di / D∗ . Sea B = diag(d diag( d1 , d2 , . . . , dk ) Mm×k (D), entonces LB : D k D m , N = Im ImL LB = B BD Dk y M =D Dm /N ; luego, si e1 , e2 , . . . , em es la base canónica onica de Dm y vi = f ((ei ), entonces M f entonces M = v1 , v2 , . . . , vm , donde f f es es el D el D-morfimso -morfimso

≤ ≤ − ∈ ∼ 

{

∈ ≤ ≤

}



Dm

։

→

Dm /N

∈ − { } ∈

|

∼

=D

→ M. ≤ ≤

Como di ei N ,, entonces di vi = 0 para todo 1 N i k. De Defin finam amos os C i = vi para 1 i k y Lj = vj para j k; es claro que M = ki=1 C i + m C i y wj Lj tales que m j =k +1 Lj y tomemos wi i=1 wi = 0, entonces existen r1 , r2 , . . . , rm D tales que ri vi = wi por lo que m i=1 ri vi = 0, es decir, r = (r1 , r2 , . . . , rm ) N N ,, pero N = d1 e1 , d2 e2 . . . , dk ek as´ı que exis existen ten k a1 , a2 , . . . , ak D con r = i=1 ai di ei por lo que

 



∈ ∈ ∈

 

∈

 





∈

≥



0).. r = (a1 d1 , a2 d2 , . . . , ak dk , 0, . . . , 0) Como ri ( (d di ) para i k y ri = 0 si i > k, tenemos que wi = 0 para i > k y wi = = a a i di vi = 0 para i para i k k.. Por tanto, M tanto, M es es la suma directa de tales submódulos odulos c´ıcli ıc lico cos. s. Ahora, sea i sea i k y ϕ i : D C i definido por r por r rv i . Es claro que ϕ que ϕ i es un D-morfismo suprayectivo y vemos que ker ϕi = (gi ) = J i ( (d di ); por otra parte, sabemos que gi vi = 0, entonces gi ei N N y as´ı, gi ei di ei por lo que gi d i . Luego, se concluye que C que C i =D D/ D/((di ). Finalmente, sea j > k y consideremos el D-morfismo ϕj : r rvj . Si J j = ker ϕj = (gj ), entonces 0 = ϕj (gj ) = gj vj por lo que gj ej N .. As´ı, N ı, k existen g1 , g2 , . . . , gk D tales que gj ej = i=1 gi di ei lo que implica gj = 0. Por tanto, ϕ tanto, ϕ j es inyectivo y L j =D D.

∈

≤ ≤

≤

→

∈

∼

∈

→ ⊇ ∈  

|

→  ∈



∼

Observe que todo D todo D-m´ -m´ odulo finitamente generado M odulo generado M es es suma directa de dos subm´ odulos T y L odulos T L,, donde T donde T es de torsi´ de torsi´ on y L es libre on y libre.. Ejercicio.

1. Sea R un R un anillo asociativo, conmutativo con 1 con 1.. Si I I 1 , I 2 , . . . , In son ideales de R, ento entonces nces existe un homom homomorfism orfismoo iny inyectiv ectivo o ϕ : R/ ( nk=1 I k ) R/I 1 R/I 2 R/I k .

×

× · · · ×

2. Con la notaci´ notaci´ on anterior, si I j + on entonces ϕ entonces ϕ es suprayectivo.

 

3. Si R es un D. I. P. y d1 , d2 , . . . , dn entonces R/ entonces R/((d1 , d2 , . . . , dn ) = R/ R/((d1 )

∼

k=j I k





→

= R para todo 1

≤ j ≤ n,

∈ R son primos relativos entre s´ı, R/((d2 ) × · · · × R/ R/((dn ). × R/

1 m2 k Si d D y d = pm pm 1 p2 k , con pi no asociado a pj si i = j , entonces m1 m2 k D/((d) = D/ D/ D/(( p1 ) D D//( p2 ) D//( pm D As´´ı, existen exi sten p1 , p2 , . . . , pn k ). As

∈ ∼

×

··· × · · · ×



∈

91

II.12 Aplicaciones Aplicaciones a operado operadores res lineale lineales s

∼

D primos, primos, posiblement posiblementee repetidos, repetidos, y m1 , m2 , . . . , mn tales que M =D N tales m1 m2 mn r D/(( p1 ) D/ D/ D/(( p2 ) D/(( pn ) D , donde r D/ donde r N0 .

⊕

⊕···⊕

⊕

∈

∈

Corolario II.11.3. Todo grupo abeliano finito es (1) suma directa de grupos c´ıclicos ıclicos finitos. fi nitos. (2) suma direc directa ta de p-gr -grupos upos c´ıcl ıclicos icos finit finitos. os. Teorema II.11.4. I I.11.4. Sean D un dominio euclidiano y M un D-m´ odulo finitamente generado. Si M =D D/ D/((d1 ) D/ D/((d2 ) D/((dk ) Dr con di d i+1 D/ para 1 i k 1, r N 0 y M =D D/ D/((g1 ) D/ D/((g2 ) D/((gl ) Dt con D/ gi g i+1 para 1 i l 1 y t N0 , entonces k = = l l,, r = = t t y los elementos di y gi son asociados.

∼ ≤ ≤ − ∈ | ≤ ≤ −

∼ ∈

⊕

⊕···⊕ ⊕ ⊕ ⊕···⊕

⊕

|

Demostraci´ on. Ve Verr Bas Basic ic Algebra Algebra,, Vol. 1 de N. Jac Jacobs obson on en las p´ aginas 189aginas 192. Ahora, aplicaremos los resultados de las secciones anteriores para estudiar los operadores lineales en espacios vectoriales de dimen´ si´ on finita y obtener algunos resultados clasicos del Algebra on Lineal. Sea C C un campo y V un C -espac -espacio io ve vecto ctoria rial. l. Den Denote otemos mos por End (V V )) al espacio T : V V T T es lineal II.12. Aplic Aplicacion aciones es a operado operadores res lineales

{ → | } y observe observe que (End (V V )), +, ◦) es un anillo asociativo con unidad que, en general, no es conmutativo. Observe que si T ∈ End(V End(V ), ), entonces Φ T : C [t] → End(V End(V )) definido por α → α α y y t → T T es es el unico u ´ nico homomorfismo de anillos. Proposici´ on II.12.1. Hay una biyecci´ on on entre los conjuntos End( conjuntos End(V V )) y

{

× V → V | µ induce una estructura de C [t]-modulo en V } Demostraci´ on. Sea f : : End(V End(V )) → M definido por T por T  → f ), donde M definido f ((T T ), se define como f como f ((T )(gg (t), v) = g )(vv). f ((T f T )) : C C [[t] × V → V V se T )( g((T T )( Si f Si entonces g (T 1 )( )(vv) = g )(vv) para todo v todo v ∈ V f ((T 1 ) = f f ((T 2 ), entonces g g((T 2 )( V y as´ı, T 1 = T 2 . Por tanto, f tanto, f es es inyectiva. Ahora, sea µ sea µ : : C C [[t] × V → V V una una aplicación on que induce una estructura de C de C [t]-m´ odulo en V odulo en V ,, entonces podemos definir T definir T µ : V → V V como v → µ µ((t, v) = t.v t.v.. Como µ Como µ induce induce una estructura de C de C [[t]-m´ odulo, entonces T odulo, entonces T µ es M = µ : : C C [[t]

lineal y vemos que f que f ((T µ )( )(gg (t), v) = µ µ((g (t), v), por lo que f que f es suprayectiva.

Teorem eorema a II.12.2. (Forma (Forma racional) racional).. Se Sean an V un C -espacio -espacio vectorial de dimensi´ on finita n y T End(V End(V )). Si T T induce una estructura de C [t]-m´ odulo

∈

92

Anillos

c´ıclico en V , entonces existe una base B de V tal que [T ]B es de la forma

  

0 0 1 0 .. .. . . 0 0 0 0 0 0

··· ··· ..

.

··· ··· ···

0 0 0 0 ... ... 0 0 1 0 0 1

−a0 −a1

.. . an−3 an−2 an−1

− − −

  

Demostraci´ on. Sean w0 V un generador como C [t]-m´ odulo y ϕ : C [t] V definido por f (t) f (t).w0 . Vemos que ϕ es un C [t]-morfismo suprayectivo y ker ϕ es un subm´ odulo de C [t], es decir, un ideal. Como C [t] es un D. I. P., existe f (t) C [t] tal que ker ϕ = f (t) y as´ı, tenemos C [t]/ f (t) =C [t] V . En particular, tenemos un isomorfismo de C -espacios vectoriales. Sea m = m−1 i grad f (t), entonces la aplicación (c0 , c1 , . . . , cm−1 ) i=0 ci t + f (t) es un isomorfismo de C -espacios vectoriales. Por tanto, m = dimC V = n. Ahora, es claro que [1], [t], . . . , [tn−1 ] es una base de C [t]/ f (x) y por tanto, B = w0 ,t.w0 , . . . , tn−1 .w0 es una base de V . Finalmente, si wi = t i .w0 para 0 −1 i < n, entonces B = w0 , w1 , . . . , wn−1 y si f (t) = t n + ni=0 ai ti , entonces

∈

→

∈





→

{

{

}

} {

  ∼  





}

T (wi ) = t.wi = w i+1





≤

≤ i ≤ n − 1

para 0

  −

y f (t).w0 = 0 por lo que 0 = t n .w0 + tn .w0 =

→

n 1 i=0

− a ti .w , es decir, i 0 n−1 ai ti .w0 .

i=0

Teorema II.12.3. Sean V un C -espacio vectorial de dimensi´ on finita y T : V V un operador lineal, entonces existe una base B de V tal que [T ]B se divide en bloques diagonales B1 , B2 , . . . , Bk , donde cada bloque Bi esta en su forma racional.

→

Demostraci´ on. Sabemos que T induce una estructura de C [t]-m´ odulo en V y como n = dimC V , entonces V es finitamente generado como C [t]-m´ odulo. Por tanto, 1 k Φ : V =C [t] C [t]/( pm C [t]/( pm 1 ) k ),

∼

∈

⊕···⊕

donde p1 , p2 , . . . , pk C [t] son irreducibles y mónicos. Sabemos que dimC C [t] = y as´ı, V no tiene sumandos c´ıclicos isomorfos a C [t]. Sean V i subm´ odulos de V tales que Φ(V i ) = C [t]/( pi ) para cada 1 i k, entonces

∞

≤ ≤ V = V 1 ⊕ V 2 ⊕ · · · ⊕ V k ; al ser V i un subm´ odulo de V , tenemos que t.V i ⊆ V i por lo que T (V i ) ⊆ V i . Adem´ as, cada V i es c´ıclico y por el Teorema anterior, [T |V ] esta en su forma k racional para alguna base B i de V i . Definimos ahora B = la base deseada.



i

i=1 B i para

obtener

93

II.12 Aplicaciones a operadores lineales

A una matriz en su forma racional, entonces el polinomio def −1 a tk + tn . caracter´ıstico de A χA (t) = det(tId A) tiene la forma nk=0 k Ejercicio. Sea



−

∈

{ ∈

}

Sean T End(V ) e I = f (t) C [t] : f (T ) = 0 = kerΦT . Como C [t] es un D. I. P., existe un polinomio m´ onico m T (t) C [t] tal que I = mT (t) .

∈





Definici´ on II.12.1. El polinomio mT (t) se llama polinomio m´ınimo de T .

∈

Teorema II.12.4. Sea T End (V ), entonces existen polinomios m´ onicos y de grado positivo f 1 (t), f 2 (t), . . . , fk (t) tales que (1) f i (t) f i (t),

|

∼



 ⊕ C [t]/ f 2(t) ⊕ · · · ⊕ C [t]/ f k (t). Aqu´ı, f i (t) es el polinomio m´ınimo de T |V , donde V i = Φ−1 (C [t]/ f i (t)) con (2) V =C [t] C [t]/ f 1 (t)

i

Φ el C [t]-isomorfismo de la parte (2).

Demostraci´ on. Sabemos que (1) y (2) se cumplen, pues V es de dimensión finita y as´ı, no tiene parte libre. Sean Φ : V

→ C [t]/ f 1(t) ⊕ C [t]/ f 2(t) ⊕ · · · ⊕ C [t]/ f k (t) el isomorfismo de C [t]-m´ odulos y V i ⊆ V tales que Φ(V i ) = C [t]/ f i (t), entonces cada V i es c´ıclico y T i = T |V es un operador lineal en V i . Sea mi (t) el i

polinomio m´ınimo de T i , como

 entonces f i (t) anula al operador T i por lo que f i (t) ∈ mi (t); por otra parte, si vi es un generador como C [t]-m´ odulo de V i y consideramos el C [t]-morfismo suprayectivo asociado g (t) → g(t).vi , entonces tal morfismo tiene núcleo f i (t) y como mi (t).vi = mi (T )(vi ) = 0, tenemos que mi (t) ∈ f i (t). Al ser ambos polinomios m´ onicos y asociados, debemos de tener mi (t) = f i (t). Probaremos ahora que f k (t) = m T (t): sea x ∈ V , entonces existen xi ∈ V i tales que x = x 1 + x2 + ··· + xk f i (t).x = f i (T )(x)

y



f i (t).V i = f i (t).(C [t]/ f i (t) ) = 0,

y esta expresió n es u ´ nica. Luego, vemos que f k (t).x = f k (T )(x) = f k (T )(x1 ) + f k (T )(x2 ) +

··· + f k (T )(xk ),

como m i (t) = f i (t) f k (t) para todo i, entonces cada f k (T )(xi ) = 0 por lo que f k (t) mT (t) . Finalmente, sabemos que mT (t).V k m T (t).V = 0 de donde concluimos que m i (t) f k (t) .

∈ 



|

∈ 



⊆

Corolario II.12.5. Sea T End (V ), entonces mT (t) χ T (t).

∈

|

94

Anillos

Demostraci´ on. Por los dos Teoremas anteriores, sabemos que

∼



 ⊕ C [t]/ f 2(t) ⊕ · · · ⊕ C [t]/ f k (t) , donde f i (t) es un polinomio mónico de grado positivo para 1 ≤ i ≤ k y f i (t) | f i+1 (t) para 1 ≤ i < k, adem´ as, existe una base de V para la cual, V =C [t] C [t]/ f 1 (t)

la matriz del operador T tiene una forma diagonal en bloques B i de la forma

con f i (t) = t ni +



 

0 1 Bi = ...

0 0 .. .

··· ···

0 0

0 0

··· ···

ni 1 s=0

..

.

0 0 ...

−ai0i −a1

0 1

−aini −2 −an −1

.. .

i i

− ai ts . Luego, vemos que s

χT (t) = χ B1 (t)χB2 (t)

 

,

··· χB (t) = f 1(t)f 2(t) ··· f k (t) k

y como f k (t) = m T (t), se sigue el resultado. Corolario II.12.6. (Teorema de Cayley-Hamilton). χT (T ) = 0.

∈

Corolario II.12.7. Sea T End (V ), entonces V es C [t]-c´ıclico con la estructura inducida por T si y s´ olo si χT (t) = mT (t). Proposici´ on II.12.8. Sean T End(V ) y p(t) un polinomio irreducible en C [t]. p(t) m T (t) si y s´ olo si p(t) χT (t).

∈ |

|

Demostraci´ on. ( ) Es inmediato.

⇒

( ) Sabemos que existen polinomios f 1 (t), f 2 (t), . . . , fk (t) mónicos de grado positivo tales que f i (t) f i+1 (t) para 1 i < k y

⇐

|

≤

χT (t) = f 1 (t)f 2 (t)

··· f k (t). |

Como en C [t] todo irreducible es primo, existe i tal que p(t) f i (t). Como f k (t) = mT (t), se tiene el resultado.

∈

Teorema II.12.9. Sean V un C-espacio vectorial de dimensi´ on finita y T End(V ), entonces existe una base B de V tal que [T ]B se descompone en bloques de Jordan.

∈ C y n 1, n2, . . . , nk ∈ N tales que ∼C[t] C [t]/ (t − a1)n  ⊕ C[t]/ (t − a2)n  ⊕ · · · ⊕ C[t]/ (t − ak )n  , V =

Demostraci´ on. Existen a 1 , a2 , . . . , ak 1

2

lo que induce una suma directa V = As´ı, basta probar que W = C[t]/ (t



k i=1 V i n

 − a) 

k

con V i un C[t]-subm´ odulo de V . tiene una base B tal que [T W ]B

|

95


def

 − a)n.

es un bloque de Jordan: escribamos [f (t)] = f (t) + (t [1], [t], . . . , [tn−1 ] es una base para W por lo que

{

}

Sabemos que

{[1], [t − a], . . . , [(t − a)n−1]}

B =

también es base de W . Sean w i = [(t T (wi ) = t.w i = (t para todo 0

− a + a).wi = (t − a).wi + awi = wi+1 + awi

≤ i < n − 1 y si i = n − 1 tenemos T (wn−1 ) = (t

 

− a)i ] para 0 ≤ i < n, entonces

a 1 Si J a = . ..

0 a .. .

··· ···

0

0

···

..

.

− a)n.w0 + awn−1 = awn−1.

 

0 0 , entonces [T W ]B = J . ...

|

a

Ejemplo:

 − ⊕

1. Si V = C[t]/ (t tal que

1)2

 − 2, entonces existe una base B de V

C[t]/ t

[T ]B

 

1 0 0 = 1 1 0 . 0 0 2

2. Sean V = Q3 , A la matriz

− − −

1 1 1

−2 0 −1

− A =

y T = LA . Consideremos tId



6 3 4



t+1 1 1

2 6 t 3 1 t 4



− − ∈ M3(Q[t]) y −

96

Anillos

calculemos sus factores invariantes: t+1 tId A 0 R2 −R3 1

−

       

−→

−→ ↔R

R1

3

− −→

C 2 C 1

−→

R3 (t+1)R1

−

C 3 (t 4)C 1

− −

−→

C 3 +C 2

−→ −→

R3 +R2

−→

−6 t − 1 −t + 1 1 t−4 1 t−4 t − 1 −t + 1 2

1 0 t+1

2

6

 



−4 t − 1 −t + 1 −t + 1 −6 0 t−4 −t + 1 t−1 −t + 1 −(t − 1)(t − 2)

1 0 t+1 1 0 0 1 0 0

0

t

0

0 t+1 1)(t 2)

− t−1 −t + 1 −(t −

1 0 0

0

t

0 0

−1

−t + 1 −(t − 1)2

1 0 0 t 1 0 0

−

0 0

−(t − 1)2





−

1 0 0 0 t 1 0 . 2 0 0 (t 1)

−

 

− As´ı, los factores invariantes son d1 = 1, d2 = t − 1 y d3 = (t − 1)2 . Como odulo, vemos que Q[t]-m´

∼

 

Q3 =Q[t] Q [t]/ t

de donde obtenemos

 − 1 ⊕ Q[t]/ (t − 1)2

mT (t) = (t y χT (t) = (t

− 1)2 = t2 − 2t + 1

− 1)3 = t3 − 3t2 + 3t − 1.

Luego, obtenemos la forma racional de T

  −   1 0 0 0 0 1

y su forma de Jordan

1 0 0

0 1 2

0 0 1 0 . 1 1

97


Ejercicio.

1. Si V es un C-espacio vectorial y T End V , entonces el polinomio m´ınimo de T no tiene ra´ıces múltiples si y sólo si T es diagonalizable.

∈

2. (Teorema Chino del Residuo). Sean n1 , n2 , . . . , nk enteros positivos primos relativos entre si y n = n 1 n2 nk . Si m Z, denotamos por [m]n su clase m´ odulo n. Muestre que la aplicación [x]n ([x]n1 , [x]n2 , . . . , [x]nk ) es un isomorfismo de anillos.

···

∈ →

3. Sean A1 , A2 , . . . , Ak anillos conmutativos. Muestre que



k i=1 Ai .

∗

  k i=1 Ai

∗

∈ N como def ϕ(n) = |{a ∈ Z : 1 ≤ a ≤ n, (a, n) = 1}| = |Z∗n |.

4. La funci´ on ϕ de Euler se define para cada n

Muestre que (a) si m y n son primos relativos, entonces ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n); (b) si p es un n´ umero primo y m (c) si n

∈ N, entonces ϕ(n) = n

∈ N, entonces ϕ( pm) = pm−1( p − 1); 1 p | n 1 − p .

  

=

98

Anillos

CAP´ ITULO

III

Campos y Teor´ıa de Galois

En este cap´ıtulo estudiaremos campos y sus extensiones con el fin de poder introducirnos a una de las Teor´ıas mas elegantes de las matemáticas: la Teor´ıa de Galois, la cual dio solución a uno de los problemas matemáticos mas persegidos por los muchos de los mejores matemáticos de la historia y además, fue el origen de la Teor´ıa de Grupos. III.1. Campos

En esta parte, permitiremos considerar campos de caracter´ıstica arbitraria, a menos que se especifique lo contrario en algunas

ocaciones. Definici´ on III.1.1. Una extensi´ on de un campo C es un campo E tal que C es un subcampo de E y lo denotaremos por C E . Si C es un subcampo de E y α E , decimos que α es algebraico sobre C si existe f (x) C [x] tal que f (α) = 0; en otro caso, decimos que α es trascendente sobre C .

⊆

∈

∈

Observe que 2πi es algebraico sobre R pero trascendente sobre Q. Adem´ as, si α C , entonces α es algebraico sobre C . Sean E una extensión del campo C y α E un elemento algebraico sobre C . Si ϕα : C [x] E se define por f (x) f (α), entonces ker ϕα = 0 y como C [x] es un D. I. P., sabemos que existe un único polinomio mónico m α (x) C [x] tal que ker ϕα = mα (x) .

∈

→ 

∈

→





∈

Definici´ on III.1.2. El polinomio mα (x) se llama polinomio m´ınimo de α sobre C . Vemos que mα (x) no puede ser un polinomio constante pues ϕα (1) = 1 y que el polinomio m´ınimo depende tanto de α como del campo C . Ejemplo: Sean 4

√

C = Q[i] y α = i = sobre Q es x + 1 pero sobre Q [i] es x 2

√ 2

2 (1

− i.

99

+ i). El polinomio m´ınimo de α

100

Campo s y Teor´ıa de Galois

Observe que el polinomio m´ınimo de un elemento α es irreducible, pues si mα (x) = p(x)q (x) con p(x) y q (x) polinomios de grado positivo en C [x], tendr´ıamos que 0 = mα (α) = p(α)q (α) y al ser C un dominio entero, vemos que p(α) = 0 o bien q (α) = 0 c o n grad p(x), grad q (x) < grad mα (x), lo que es absurdo. Ejemplo: El

polinomio m´ınimo de 0 es x en cualquier campo.

Definici´ on III.1.3. Sean C E y α E . La extensi´ on generada por α, denotada por C (α), es el subcampo de E mas peque˜ no que contiene a C y a α.

⊆

Ejercicio. Los

∈

elementos de C (α) son de la forma



n i i=0 ai α m j j =0 bj α

donde a 1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bm

∈ C y

,



m j j =0 bj α

= 0.

Observe que C (α) es el campo de cocientes de C [α]. Mas generalmente, si α 1 , α2 , . . . , αn E denotaremos por C (α1 , α2 , . . . , αn ) al m´ınimo subcampo de E que contiene a C y a los elementos α1 , α2 , . . . , αn . Similarmente, C [α1 , α2 , . . . , αn ] es el m´ınimo subanillo de E que contiene a C y a los elementos α 1 , α2 , . . . , αn .

∈

∈

→

Proposici´ on III.1.1. Si α E es trascendente sobre C , entonces ϕ α : C [x] C [α] definido por f (x) f (α) es un isomorfismo de anillos.

→ Demostraci´ on. Si ker ϕα  = 0, entonces existe un polinomio mα (x) ∈ C [x] con mα (α) = 0 lo que contradice la trascendencia de α. Por tanto, ϕ α es un homomorfismo inyectivo. Como claramente es suprayectivo, tenemos C [x] ∼ = C [α]. En consecuencia, al ser C (α) el campo de cocientes de C [α], se tiene que C (x) ∼ = C (α). Corolario III.1.2. Si α y β son elementos de E trascendentes sobre C , entonces C (α) = C (β ).

∼

Ejemplo: Q (e)

∼= Q(π) ya que en análisis se prueba que tanto e como π son

trascendentes sobre Q .

Por tal motivo, estudiaremos los elementos algebraicos de un campo C en una extensión E y sus extensiones. Proposici´ on III.1.3. Sean α un elemento algebraico sobre C y m(x) su polinomio m´ınimo o irreducible, entonces C [x]/ m(x) = C [α] y C [α] = C (α).



 ∼

101

III.1 Campos

Demostraci´ on. Sabemos que ker ϕα = m(x) y que ϕ α es suprayectivo. Por el Teorema de Isomorfismo, tenemos C [x]/ m(x) = C [α]. Ahora, como m(x) es irreducible y C [x] es un D. I. P. sabemos que m(x) es un ideal maximal en C [x] por lo que C [x]/ m(x) es un campo y as´ı, C [α] coincide con su campo de cocientes C (α).











 ∼  

el polinomio x2 + 1 R[x], el cual es irreducible. Vimos que R [x]/ x + 1 = C por lo que C = R(i) = R[i]. Ejemplo: Consideremos 2

 ∼

∼

∈

M´ as adelante, veremos que existe un campo A que es extensión de Q pero no está contenido en R.

∈

α1 , α2 , . . . , αn E son elementos algebraicos sobre C , entonces C [α1 , α2 , . . . , αn ] = C (α1 , α2 , . . . , αn ). Ejercicio. Si

⊆

∈

Proposici´ on III.1.4. Sean C E una extensi´ on, α E un elemento algebraico sobre C , m(x) el polinomio irreducible de α sobre C y n = grad m(x), entonces 1, α , α2 , . . . , αn−1 es una C -base de C [α] como espacio vectorial.

{

}

Demostraci´ on. Es un caso particular de la identificación de R-m´ odulos R[x]/(m) y Rn . Ejemplo: Sea 2

∈

d Z y supongamos que d no es cuadrado de ningun entero, entonces x d es irreducible en Z[x] y por tener contenido 1, es irreducible sobre Q . Luego, tenemos

−

Q[x]/(x2

√ √ √ − d) ∼= Q( d) = Q[ d] = {a + b d : a, b ∈ Q}.

Proposici´ on III.1.5. Sean E y F dos extensiones de un campo C , α E y β F elementos algebraicos sobre C . Existe un isomorfismo de campos σ : C (α) C (β ) tal que σ C = id C y alpiqu α en β si y s´ olo si los polinomios irreducibles de α y β son los mismos.

∈

∈

→

|

Demostraci´ on. Sean m α (x) y m β (x) los polinomios irreducibles de α y β sobre C , respectivamente.

∼

⇐

∼

( ) Si mα = mβ sabemos que C (α) = C [x]/(mα ) y C (β ) = C [x]/(mβ ) y en estos isomorfismos, al restringirnos a C obtenemos idC ; adem´ as, es claro que α es aplicado a β .

⇒

( ) Supongamos que existe tal isomorfismo de campos σ. Sabemos que C α (x) [x]/ m





x + mα (x) 





 C (α)

 α 

σ



 C (β )

 C [x]/ mβ (x)

 β 

 x + mβ (x)







102


por lo que tenemos 0 = mα (x) + mα (x) m α (x) + mβ (x) por lo que mβ (x) m α (x); similarmente, mα (x) m β (x) por lo que son asociados y al ser ambos mónicos, tenemos la igualdad.



|

|

 →





Definici´ on III.1.4. Sean E y F dos extensiones de un campo C . Decimos que las extensiones son isomorfas si existe un isomorfismo de campos σ : E F tal que σ C = idC .

→

|

→

Proposici´ on III.1.6. Sean ϕ : E F un isomorfismo de extensiones de C . Si α E es una ra´ız de un polinomio p(x) C [x], entonces ϕ(α) también es ra´ız de p(x). Por tanto, ϕ aplica elementos algebraicos en elementos algebraicos y trascendentes en trascendentes.

∈

Demostraci´ on. Sea p(x) = a 0 + a1 x +

∈

··· + an xn, entonces

n

p (ϕ(α)) =

n

    i

ai ϕ(α) =

i=0

n

ϕ(ai )ϕ(α) =

i=0

n

ai αi

= ϕ

i



ϕ(ai αi )

i=0

= ϕ( p(α)) = ϕ(0) = 0.

i=0

Observe que σ es también un isomorfismo de espacios vectoriales.

→

Corolario III.1.7. Sean ϕ : E E un isomorfismo de extensiones de C y p(x) C [x], entonces ϕ permuta las ra´ıces de p(x) en E .

∈

el polinomio x3 2 Q [x], el cual es irreducible. Si C, entonces las ra´ıces de x 3 2 son α, ζα y ζ 2 α por lo que existe un isomorfismo de extensiones Q = Q(αζ ) tal que α αζ . Vemos que Q (α) R pero Q (αζ ) no. Ejemplo: Consideremos 3 2πi/3

√ α = 2 ∈ R y ζ = e

− ∈ ∼

∈

⊂

−

→

Definici´ on III.1.5. Sea E una extensi´ on de C . El grado de la extensi´ on, def denotado por [E : C ], se define como [E : C ] = dimC E . Ejemplo:

1. [C : R] = 2.

√

2. [Q( 3 2) : Q] = 3 3. [Q(π) : Q] =

∞. ∈ E es algebraico sobre C , entonces [C (α) : C ] =

Proposici´ on III.1.8. Si α grad mα (x).

103

III.1 Campos

Definici´ on III.1.6. Una extensi´ on E de un campo C se llama finita si [E : C ] es finito; de lo contrario, decimos que la extensi´ on es infinita. Si [E : C ] = 2 (resp. 3), decimos que la extensi´ on es cuadr´ atica (resp. c´ ubica). Teorema III.1.9. Si C E ][E : C ].

⊆ E ⊆ F son extensiones, entonces [F : C ] = [F : {

∈ }

{

∈ } ∈ × }

Demostraci´ on. Sean B = xi : i I una C -base de E y C = yj : j J una E -base de F . Queda como ejercicio mostrar que D = xi yj : (i, j) I J es una C -base de F . Luego, vemos que

{

|D | = |I × J | = |I | · |J | = [E : C ][F : E ].

[F : C ] =

Corolario III.1.10. Sean E una extensi´ on finita de C y α algebraico sobre C y grad mα (x) [E : C ].

| Demostraci´ on. Sabemos que C ⊆

∈ E , entonces α es

⊆

C (α) E por lo que [E : C ] = [E : C (α)][C (α) : C ] de donde observamos que [C (α) : C ] es finito y as´ı, α es algebraico sobre C . Adem´ as, sabemos que [C (α) : C ] = grad mα (x) de donde se tiene que grad mα (x) [E : C ].

|

Corolario III.1.11. Sean E una extensi´ on del campo C de grado p, con p un n´ umero primo. Si α E C , entonces grad mα (x) = p y tenemos que C (α) = E .

∈ −

Corolario III.1.12. Todo polinomio irreducible en R [x] es de grado uno o dos. Demostraci´ on. Sea p(x) un polinomio irreducible en R [x]. Por el Teorema Fun´ C tal que p(α) = 0 y como damental del Algebra, sabemos que existe α [C : R] = 2, entonces grad p(x) 1, 2 .

∈ { }

∈

Proposici´ on III.1.13.



(1) Sea C un campo con car = 2, entonces cualquier extensi´ on de campo E de grado dos se obtiene adjuntando una ra´ız cuadrada.

⊆ E y r ∈ E − C tal que r2 ∈ C , entonces C (r) es una extensi´ on

(2) Sean C cuadr´ atica.

Definici´ on III.1.7. Las extensiones del tipo que se describen en (1) se llaman extensiones radicales.

∈ − ∈ 

Demostraci´ on. (1) Sea E una extensión cuadrática de C . Si α E C , entonces 1, α es una C -base de E y as´ı, E = C (α). Luego, como α 2 E sabemos que existen b, c C tales que α2 = bα c y as´ı, α es ra´ız del polinomio cuadr´ atico x 2 + bx + c C [x]. Como sabemos que 0 = 1+1 = 2 en C , tenemos que 1 α = b b2 4c ; 2 digamos que α = 12 b + b2 4c y sea r = 2α + b E C , entonces E = C (r) y además, r2 = b 2 4c C .

{ }

∈

∈

− −

− ±  −  − √ −  − ∈

∈ −

104


(2) Vemos que x 2

− r2 es irreducible en C [x] y as´ı C [x]

  C [x]/(x2

ϕr

 C [r] = C (r)    ∼ =           r2 )

−

de donde podemos ver que [C (r) : C ] = grad x2

− r2 = 2.

Ejemplo:

√

√

1. Considere α = 3 2 y β = 4 5 y sea E = Q (α, β ). Calculemos [E : Q ]: es claro que x3 2 es el polinomio irreducible de α sobre Q y as´ı, [Q(α) : Q] = 3 y tenemos que 3 [E : Q]. Similarmente, 4 [E : Q] por lo que 12 [E : Q]. Como x4 5 Q(α)[x] y E = Q(α)(β ) , al ser β una ra´ız de x4 5 debemos de tener que [E : Q(α)] 4; luego, se concluye que [E : Q] = [E : Q(α)][Q(α) : Q] 4 3 = 12.

−

|

| − ∈

−

|

≤

≤ · 2. Sea f (x) = x 4 + 2x3 + 6x2 + x + 9 ∈ Z[x] y su reducción en F2 [x], [f (x)]2 = 4

x + x + 1 el cual es irreducible; luego, f (x) es irreducible en Z[x] y al tener contenido uno, es irreducible en Q[x]. Supongamos que γ es una ra´ız de f (x), entonces [Q(γ ) : Q] = 4. Si α = 3 2, ¿podr´ıa α ser elemento Q(γ ), de Q(γ ) ? Sabemos que [Q(α) : Q] = 3 y si suponemos que α deber´ıamos de tener 3 4, lo que es absurdo.

√

∈

|

⊆

{ ∈ E :

Teorema III.1.14. Sean C E una extensi´ on de campos y A = α α es algebraico sobre C , entonces A es un subcampo de E .

}

∈

Demostraci´ on. Sean α, β A, entonces [C (α) : C ] es finito y como β es algebraico sobre C (α), pues lo es sobre C , tenemos que [C (α, β ) : C (α)] es también finito. Luego, concluimos que [C (α, β ) : C ] es finito y en C (α, β ) no existen elementos trascendentes. As´ı, todo elemento de C (α, β ) es algebraico y como α + β,αβ y α β son elementos de C (α, β ), vemos que A es cerrado bajo sumas, restas y productos. Si β = 0, entonces αβ −1 es elemento de C (α, β ) por lo que A es cerrado bajo división. Por tanto, A es un subcampo de E .

−



def

{ ∈

}

El subcampo A = α C : α es algebraico sobre Q se llama el campo de los n´ umeros algebraicos. Cantor demostró que A es numerable (ver Theory of sets . Kampen, Dover.) y también se ouede ver que [A : Q] = pues el n polinomio x 2 es irreducible sobre Q para cada n 2.

−

≥

∞

⊆ E se llama algebraica si todo ele-

Definici´ on III.1.8. Una extensi´ on C mento de E es algebraico sobre C .

Teorema III.1.15. Sean C E F extensiones de campos. Si F es algebraica sobre E y E es algebraica sobre C , entonces F es algebraica sobre C .

⊆ ⊆

105

III.1 Campos

Demostraci´ on. Sea α F , entonces existen elementos a 0 , a1 , . . . , an−1 E tales n que 0 = α + an−1 αn−1 + + a1 α + a0 en F por lo que α es algebraico sobre C (a0 , a1 , . . . , an−1 ). Como en cada extensión de la cadena

∈

C C (a0 )

⊆

∈

···

⊆ C (a0, a1) ⊆ ··· ⊆ C (a0, a1, . . . , an−1, α)

se adjunta un n´ umero finito de elementos, vemos que cada extensión es algebraica y por tanto, finita. Luego, concluimos que [ C (a0 , a1 , . . . , an−1 , α) : C ] es finito y as´ı, α es algebraico sobre C . Teorema III.1.16. Sean C un campo y f (x) un polinomio m´ onico de grado positivo en C [x], entonces existe una extensi´ on de campos E tal que f (x) se descompone en factores lineales en E [x]. Demostraci´ on. Por inducción sobre grad f (x). Si grad f (x) = 1 ya está. Si grad f (x) > 1 y f (x) tiene una ra´ız α C , entonces existe q (x) C [x] tal que f (x) = (x α)q (x) con grad q (x) < grad f (x) y por hipótesis de inducción, existe una extensión E donde q (x) se descompone en factores lineales y en tal extensi´ on, f (x) también se descompone en factores lineales. Ahora, si f (x) no tiene ra´ıces en C , sea p(x) C [x] un factor irreducible en C [x] de f (x) (el cual debe de tener grado mayor a uno), entonces la extensión de C dada por E = C [x]/ p(x) contiene la ra´ız α = [x] de p(x). Luego, x α divide a p(x) en E [x] y caemos en el caso anterior.

∈

−

∈

∈





−

El siguiente lema se presenta sin demostración, la cual se puede revisar en el libro de Artin, en el penúltimo cap´ıtulo. Lema III.1.17. Sean E una extensi´ on de C y f (x), g(x) C [x], entonces

∈

(1) el residuo de dividir a f (x) entre g(x) es el mismo en C [x] y en E [x];

| C [x]f (x) ⇐⇒

(2) g(x)

| E [x]f (x);

g(x)

(3) mcdC [x] (f (x), g(x)) = mcdE [x] (f (x), g(x)); (4) si f (x) y g(x) tienen una ra´ız com´ un en E , entonces no son primos relativos en C [x]; (5) si f (x) y g(x) no son primos relativos en C [x], entonces existe una extensi´ on F de C donde f (x) y g(x) tienen una ra´ız com´ un; (6) si f (x) es irreducible en C [x] y f (x) tiene una ra´ız en com´ un con g(x) en E , entonces f (x) g(x).

|

Proposici´ on III.1.18. Sea f (x) C [x]. Existe una extensi´ on E de C tal que f (x) tiene una ra´ız m´ ultiple en E si y s´ olo si f (x) y su derivada no son primos relativos.

∈

⇒

Demostraci´ on. ( ) Sea E una extensión tal que f (x) tiene una ra´ız múltiple α E . Por un ejercicio, sabemos que α es ra´ız de f ′ (x) y el resto se deduce del Lema anterior parte 4.

∈

106


( ) Si f (x) y f ′ (x) no son primos relativos, por la parte 5 del Lema anterior, existe una extensión E donde tienen una ra´ız común y por el mismo ejercicio citado anteriormente, f (x) tiene una ra´ız múltiple.

⇐

Proposici´ on III.1.19. Sea f (x) un polinomio irreducible en C [x], entonces f (x) no tiene raices m´ ultiples en ninguna extensi´ on a menos que f ′ (x) = 0. En particular, si car C = 0, entonces f (x) no tiene raices m´ ultiples en ninguna extensi´ on. Demostraci´ on. Supongamos que f ′ (x) = 0. Basta probar que f (x) y f ′ (x) son primos relativos: si g(x) es un factor comú n de f (x) y f ′ (x) de grado positivo, entonces grad g(x) grad f ′ (x) < grad f (x), pero esto contradice la irreducibilidad de f (x). Ahora, si f ′ (x) = 0, entonces cualquier ra´ız de f (x) es ra´ız de su derivada por lo que f (x) y f ′ (x) tienen una ra´ız común lo que implica que f (x) tiene una ra´ız m´ ultiple.



≤

Ejercicio.



Si C es un campo y car C = 0, entonces car C es un n´ umero

primo.

Uno de los problemas mas apacionantes del a´lgebra fue la resolución de ecuaciones algebraicas por medio de radicales. Muchos matemáticos se introdujeron en esta problematica obteniendo resultados favorables en los casos de ecuaciones de grado menor que cinco. Sin embargo, Abel mostro que existen ecuaciones de quinto grado que no se podian solucionar por radicales. A pesar de que Abel dio la primera prueba de este hecho, el trabajo que Galois realizó fue de mucha mas trascendencia que la solución del problema en si. Aqui estudiaremos un poco del trabajo de Galois y daremos un ejemplo de un polinomio con coeficientes racionales cuyas raices no pueden ser expresadas por radicales. Todos los campos tratados aqui seran de caracter´ıstica cero. III.2. Teor´ıa de Galois

Definici´ on III.2.1. Sea E una extensi´ on del campo C . Un C -automorfismo de E es un automorfimos σ : E E tal que σ C = idC . Denotaremos por Gal(E : C ) al grupo de C -automorfismos de E y se llamar´ a grupo de Galois de E .

→

|

Ejemplo:

1. Sea C = R y E = C . Si γ : z σ Gal (E : C ), entonces

∈

→ z¯, entonces γ ∈ Gal (E : C ). Ahora, sea

σ(i)2 = σ(i2 ) = σ( 1) =

−

−1,

107

III.2 Teor´ıa de Galois

por lo que σ(i) es ra´ız de x 2 + 1; luego, σ(i) σ =



∈ {±i} y se tiene que

idE si σ(i) = i γ si σ(i) = i

−

} ∼

por lo que Gal (E : C ) = idE , γ = C 2 .

{

2. Si C E es una extension cuadrática, sabemos que C (α) = E para todo α E C ; luego, existen b, c C tales que α2 = bα c y α es ra´ız del polinomio x2 + bx + c C [x]. Como α / C vemos que x 2 + bx + c es irreducible sobre C y la otra ra´ız es α′ = b α / C . As´ı, tenemos que C (α′ ) = E y como los polinomios m´ınimos de α y α ′ son iguales, sabemos que existe un C -automorfismo de E que aplica a α en α′ , digamos σ. Ahora, sabemos que α = α′ y α + α′ = b por lo que

⊆ ∈ −

∈

∈

∈ − − ∈

− −

 − α + α′ = −b = σ(−b) = σ(α + α′ ) = σ(α) + σ(α′ ) = α′ + σ(α′ ),

de dodnde se concluye que σ(α′ ) = α y por tanto, σ 2 = idE . Si τ Gal(E : C ), entonces τ (α)2 α, α′ por lo que Gal (E : C ) = idE , σ = C 2 .

∈{

}

{

∈ ∼ }

Definici´ on III.2.2. Sea p(x) un polinomio m´ onico de grado positivo en C [x]. o n de p(x) sobre C es una extensi´ Un campo de descomposici´ on E de C tal que p(x) se descompone en factores lineales f (x) = (x

− r1)(x − r2) ··· (x − rn)

en E [x] y E = C (r1 , r2 , . . . , rn ). Proposici´ on III.2.1. (1) Sean C E una extensi´ on, p(x) C [x] y σ Gal(E : C ). Si α es ra´ız de p(x) en E , entonces σ(α) también es ra´ız de p(x) en E .

⊆

∈

∈

∈

≤ i ≤ n se

(2) Sean E = C (α1 , α2 , . . . , αn ) y σ Gal (E : C ). Si para todo 1 tiene que σ(αi ) = α i , entonces σ = id E .

∈

(3) Si p(x) C [x] y E es un campo de descomposici´ on de p(x) sobre C , entonces Gal(E : C ) act´ ua fielmente en el conjunto de ra´ıces. Demostraci´ on. (1) ya está. Para ver (2), recordemos que cada elemento de C [α1 , α2 , . . . , αn ] es un polinomio en α1 , α2 , . . . , αn con coeficientes en C y si σ satisface la hipótesis, tenemos que σ C [α1 ,α2 ,...,αn ] = idC [α1 ,α2 ,...,αn ] por lo que σ = idC (α1 ,α2 ,...,αn ) ya que C (α1 , α2 , . . . , αn ) es el campo de cocientes de C [α1 , α2 , . . . , αn ]. Finalmente, sea X = α1 , α2 , . . . , αn el conjunto de raices de p(x) en E . Por (1), Gal (E : C ) actua en X y por (2), la acción es fiel.

|

{

}

Observe que existe un homomorfismo inyectivo ρ X : Gal (E : C )

→ S (X ) ∼= S n.

108


Definici´ on III.2.3. Una extensi´ on E de C se llama bicuadr´ atica si (EB1) [E : C ] = 4,

∈

(EB2) existen α, β E que son raices de polinomios cuadr´ aticos irreducibles sobre C tales que E = C (α, β ).

⊆

∈

Si C E es una extensión bicuadrática, entonces existen α, β E que son ra´ıces cuadradas de elementos de C tales que E = C (α, β ). Ejercicio.

Ejemplo: Sean C

⊆ E y α, β como en el ejercicio, entonces C (α)   2   x −b x2 −a             C (α, β ) C          2    2  x −b    x −a C (β )

Podemos observar que α = β y que a = b; adem´ as, el polinomio x2 b es irreducible sobre C (α) y similarmente, x 2 a es irreducible sobre C (β ). Ahora, sabemos que existe σ Gal(E : C (β )) tal que σ(α) = α y σ 2 = idE ; del mismo modo, existe τ Gal(E : C (α)) tal que τ (β ) = β y τ 2 = id E . Luego, vemos que σ, τ Gal (E : C ) y queda como ejercicio mostrar que Gal (E : C ) = σ, τ = V .



  ∼

 −

∈ ∈

∈

−

− −

Teorema III.2.2. (Teorema del elemento primitivo). Sean C un campo de caracter´ıstica cero y E una extensi´ on finita de C , entonces existe un elemento γ E tal que E = C (γ ).

∈

Demostraci´ on. Sabemos que E = C (α1 , α2 , . . . , αn ) as´ı que haremos la prueba por inducci´ on sobre n: si n = 1 no hay nada que probar. Ahora, si n > 1, sabemos que C C (α1 , α2 , . . . , αn−1 ) C (α1 , α2 , . . . , αn ) y por hip´ otesis inductiva, existe β E tal que C (α1 , α2 , . . . , αn−1 ) = C (β ) por lo que E = C (β, αn ) y de este modo, vemos que sólo es necesario demostrar el resultado para n = 2. Supongamos que E = C (α, β ) y sean mα (x) y mβ (x) el polinomio irreducible de α y β sobre C , respectivamente. Si E ′ es una extensión de E donde m α (x) y mβ (x) se descomponene en factores lineales en E ′ [x], entonces las raices de mα (x) son distintas entre s´ı, al igual que las raices de mβ (x) por ser C un campo de caracter´ıstica cero y los polinomios ser irreducibles. Supongamos que α1 = α, α2 , . . . , αn y β 1 = β, β 2 , . . . , βm son las raices de mα (x) y mβ (x),

⊆ ∈

{

} {

⊆

def

}

respectivamente y definamos γ c = β + cα para c C 0 . Mostraremos que para casi toda elección de c, tenemos que E = C (γ c ), por lo que bastará con

∈ − { }

109

III.2 Teor´ıa de Galois

probar que α C (γ c ) ya que as´ı, β = γ c cα C (γ c ): como α es ra´ız de mα (x), entonces (x α) E [x] mα (x) y ahora, definamos el polinomio

∈ − |

− ∈

′

− cx) ∈ C (γ c)[x]; observe que α es ra´ız de h por lo que (x − α) | E [x] h(x). Por un Lema anterior, sabemos que el máximo com´ un divisor de m α (x) y h(x) en C (γ c )[x] es el mismo ′ que en E [x] por lo que x − α también divide al tal m´ aximo com´ un divisor en ′ E [x]. Ahora, r es ra´ız de h(x) si y sólo si γ c − cr es ra´ız de mβ (x) si y sólo si existe 1 ≤ j ≤ m tal que γ c − cr = β j por lo que las raices en E ′ de h(x) son −β j + γ c = β + cα − β j = β − β j + α; δ j = h(x) = g(γ c

′

c

c

c

vemos que δ 1 = α y para j > 1, deseamos que δ j = αi por lo que debemos escoger c tal que satisfaga la relación



 αβ i− −β αj

c=

→ − ∈

para 1

≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m. ∈ −{ }

Como Q C , existe una infinidad de elementos c C 0 que cumplan con tal condición. Si elegimos uno de tales c, tenemos que mcd(mα (x), h(x)) = x α y as´ı, x α C (γ c )[x] por lo que α C (γ c ).

−

∈

Ejercicio.

⊆ Q( √ 2, i). 2. Sea ζ n = e2π i/n . Muestre que 1 + ζ n + ζ n2 + ··· + ζ nn−1 = 0. 3

1. Calcule el grado de la extensi´ on Q

3. Sea p un n´ umero primo. Calcule el campo de descomposición del polinomio ciclot´ omico c p (x) Q[x].

∈

Definici´ on III.2.4. Sean E un campo y G un subgrupo de Aut (E ). El campo fijo de G, se denota por E G , y se define como def

E G = a E : σ(a) = a para todo σ

{ ∈

∈ G}.

Proposici´ on III.2.3. Sean E un campo, G un subgrupo finito de Aut(E ), C = E G , β E y X = β 1 = β, β 2 , . . . , βn la G-´ orbita de β en E , entonces

∈

{

}

(1) β es algebraico sobre C ; (2) el polinomio m´ınimo de β sobre C es m β (x) = (x β 1 )(x β 2 )

−

(3) n

| |G|.

− ··· (x − β n);

110




Demostraci´ on. Sea f (x) = (x β 1 )(x β 2 ) (x β n ) = ni=0 ai xi con an = n i 1 y tomemos σ G, entonces σ.f (x) = σ(β 1 ))(x i=0 σ(ai )x = (x σ(β 2 )) (x σ(β n )) = f (x) por lo que debemos de tener que σ(ai ) = ai para todo 1 i n. As´ı vemos que ai C por lo que f (x) C [x] y hemos mostrado entonces la parte (1). Ahora, si mβ (x) es el polinomio m´ınimo de β sobre C , entonces tanto β como σ(β ) son ra´ıces de mβ (x) para todo σ G pues cada elemento de G es un C -automorfismo de E ; luego, concluimos que f (x) m β (x) y como m β (x) es irreducible tenemos que f (x) = m β (x) con lo que probamos (2). Finalmente, n = grad f (x) = X = OG (β ) G con lo que hemos terminado.

−

∈ ··· − ≤ ≤

−

··· −

∈

 ∈

| | |

−

| ||| |

√

Ejemplo: Sea

− ∈

∼

E = Q ( 2, i), entonces [E : Q ] = 4 y Gal (E : Q ) = V . Ahora, calcularemos E G , donde G = Gal(E : Q): sea a E G , entonces existen r1 , r2 , r3 , r4 G tal que Q tales que a = r1 + r 2 i + r 3 2 + r 4 2i. Sea σ σ(i) = i y σ( 2) = 2, entonces a = σ(a) = r1 r 2 i + r 3 2 r 4 2i de donde se concluye que r 2 = r 4 = 0; de modo similar, si τ G tal que τ (i) = i y τ ( 2) = 2 obtenemos que r3 = 0 por lo que a = r 1 Q . Como Q E G se tiene entonces la igualdad. Ahora, sea β = 2 + i, entonces O G (β ) = 2 i y el polinomio m´ınimo de β sobre Q es mβ (x) = [x ( 2 i)][x ( 2+i)][x ( 2 i)][x ( 2+i)] = 4 2 x 2x + 9.

∈ √ − √ −√ −

√

√

∈ √ ∈ √ √ − − ∈ ∈ ⊆ {±√ ± }√ √ − − − − − −√ √

− √ −

Teorema III.2.4. Sea E un campo y G un subgrupo finito de Aut (E ), entonces [E : E G ] = G .

| |

Demostraci´ on. Por la Proposición anterior, todo elemento de E es algebraico G sobre E y el grado de su polinomio m´ınimo divide a G . Sea C = E G y veamos que E = C (β ) para alg´ un β E apropiado: sea α 1 E C . Si E = C (α1 ) ya está; si no, existe α2 E E 1 = C (α1 ) y sabemos que E 2 = C (α1 , α2 ) es una extensi´ on para la cual existe β 2 E con E 2 = C (β 2 ) por lo que [E 2 : C ] G y [E 1 : C ] < [E 2 : C ]. Continuando de esta manera, obtenemos una cadena de extensi´ ones C E 1 E 2 E i E i+1 E,

∈ −

| | ∈ −

∈

∈

≤ | |

⊂ ⊂ ⊂ ·· · ⊂ ⊆ ⊆ ·· · ⊆ tales que [E i : C ] ≤ |G| y [E i : C ] < [E i+1 : C ]; esta cadena debe ser finita por lo que existe j ∈ N tal que E j = E . As´ı, vemos que [E : C ] ≤ |G| y E = C (β ) para alg´ un β ∈ E . Finalmente, veamos que |OG (β )| = |G|: sea σ ∈ Gβ , el estabilizador de β en G, entonces σ = id E ya que σ |C = idC y σ(β ) = β (recuerde que E = C (β )). As´ı, Gβ = { 1} y se tiene | OG (β )| = | G|. Luego, por la Proposici´ on anterior tenemos [E : C ] = grad mβ (x) = |OG (β )| = |G|.

111

III.3 Campos de descomposici´ on

Teorema III.2.5. Sea E una extensi´ on finita de C , entonces Gal(E : C ) divide a [E : C ].

|

|

Demostraci´ on. Sea G = Gal(E : C ). Por el Teorema del elemento primitivo, existe α E tal que E = C (α) y sea mα (x) el polinomio m´ınimo de α sobre C . Para cada σ G, sabemos que σ(α) es ra´ız de mα (x) por lo que σ(α) s´ olo puede tomar un n´ umero finito de valores por lo que cada elemento de G está determinado por su valor en α ya que son C -automorfismos de E = C (α). Luego, concluimos que G es finito y tenemos C E G E y por el Teorema G anterior, sabemos que G = [E : E ] [E : C ].

∈

∈

| |

⊆

|

⊆

Definici´ on III.2.5. Una extensi´ on finita E de un campo C se llama extensi´ on de Galois si [E : C ] = Gal(E : C ) .

|

|

Observe que si C E G = C .

⊆ E es una extensión de Galois y G = Gal(E : C ), entonces

Corolario III.2.6. Sea G un subgrupo finito de Aut(E ), entonces E es una extensi´ on de Galois de E G y G = Gal (E : E G ). Demostraci´ on. Sea C = E G , entonces G Gal(E : C ) y [E : C ] es finito por lo que G Gal(E : C ) [E : C ] = G . As´ı, vemos que G = Gal(E : C ) y E es una extensión de Galois de C .

| | ≤ |

≤ | |

|≤

⊆

Corolario III.2.7. Sean C E una extensi´ on de Galois y f (x) un polinomio m´ onico e irreducible en C [x]. Si f (x) tiene una ra´ız en E , entonces f (x) se descompone en factores lineales en E [x]. Demostraci´ on. Sea G = Gal(E : C ), entonces C = E G . Si α E es ra´ız de f (x), entonces OG (α) son las raices de f (x) en E y el polinomio mα (x) = a) E [x] es un polinomio irreducible y mónico en C [x]. Como a∈OG (α) (x mα (x) f (x) y f (x) es irreducible, tenemos que f (x) = mα (x).



∈

− ∈

|

Ahora, estudiaremos algunos resultado sobre campos de descomposición que nos seran de mucha utilidad en lo posterior. Comenzaremos haciendo dos observaciones:

III.3. Campos de descomposici´ on



(1) Cualquier isomorfismo de campos ϕ : C C se extiende a un isomorfismo de anillos ϕ : C [x] ¯ C [x] tal que ϕ ¯ C = ϕ y x x. Por tanto, si f (x) = n i ¯ def ai x es irreducible en C [x], entonces f (x) = ϕ(f (x)) ¯ = n ϕ(ai )xi



→

i=0





|

es irreducible en C [x].

→

→ 



i=0

(2) Sea f (x) un polinomio irreducible en C [x] y α una ra´ız de f (x) en alg´ una ¯ extensi´ on E de C . Si α es ra´ız de f (x) en alguna extensión E de C , entonces existe un único isomorfismo de campos ψ : C (α) C (α) tal que ψ C = ϕ y aplica a α en α.

|

 

  →  

112


Demostraci´ on. Se sigue de los isomorfismos

  ∼   →     →  |      →   |     →  ∈ ∈  − −  →  →    |{ →  | | }| ∼

 ∼

¯ C (α) = C [x]/ f (x) = C [x]/ f (x) = C (α).



Teorema III.3.1. Sean ϕ : C C un isomorfismo de campos, f (x) un poli¯ nomio en C [x] de grado positivo y f (x) su imagen en C [x]. Si E y E son los ¯ campos de descomposici´ on de f (x) y f (x), respectivamente, entonces existe un isomorfismo de campos ψ : E E tal que ψ C = ϕ. En particular, si C = C y ϕ = id C , entonces las extensiones son isomorfas. Demostraci´ on. Si f (x) se descompone en factores lineales en C [x], entonces ¯ f (x) tambi´ en lo hace en C [x] por lo que E = C , E = C y ψ = ϕ. De lo conterio, sea g(x) un factor irreducible de f (x) en C [x] (de grado al menos ¯ 2), entonces ¯g(x) = ϕ(g(x)) ¯ es un factor irreducible de f (x) en C [x]. Sean α una ra´ız de g(x) en E y α una ra´ız de g¯(x) en E , C 1 = C (α) y C1 = C (α), entonces existe un isomorfismo de campos ψ1 : C 1 C1 tal que ψ1 C = ϕ y aplica a α en α y por la observación (1), se puede extender a un isomorfismo de anillos ψ¯1 : C 1 [x] C1 [x]. Adem´ as, existen q (x) C 1 [x] y q¯ (x) C1 [x] tales que g(x) = (x α)q (x) y g¯(x) = (x α)¯q (x) y como E es el campo de descomposición de q (x) y E es el campo de descomposició n de q¯ (x), podemos proceder por inducci´ on para obtener el resultado. Lema III.3.2. Sean ϕ : C C un isomorfismo de campos, ϕ¯ : C [x] C [x] su extensi´ on a un isomorfismo de anillos, f (x) un polinomio en C [x] de grado ¯ positivo, f (x) su imagen bajo ϕ¯ en C [x], E y E los correspondientes campos de ¯ descoposici´ on de f (x) y f (x), entonces ψ : E

E ψ

C

= ϕ, ψ es un isomorfismo = [E : C ].

Este Lema muestra el siguiente Teorema, que será muy importante en lo posterior. Teorema III.3.3. Sean f (x) C [x] y E el campo de descomposici´ on de f (x), entonces E es una extensi´ on de Galois de C .

∈

Demostraci´ on. (Lema) Lo haremos por inducción sobre grad f (x): si [E : C ] = 1, entonces E = C y ψ = ϕ es la u ´ nica extensió n posible. Si [E : C ] > 1, supondremos que para campos de descomposición de grado menor, se vale el resultado. Sean g(x) un factor irreducible de f (x) de grado al menos 2, α una ra´ız de g(x) y C 1 = C (α), entonces cualquier isomorfismo ψ : E E que extiende a ϕ aplicará a C 1 en alg´ un subcampo C1 de E y a α lo aplicará en alguna ra´ız α de g¯(x); as´ı, tenemos que C1 = C (α). Rec´ıprocamente, como en la demostración del Teorema anterior, para extender ϕ a ψ, escogemos una ra´ız α de g¯(x) y extendemos ϕ a ψ1 : C 1 C1 = C (α). El n´ umero de extensiones ψ1 : C 1 C1 de ϕ es igual al grado de g(x), el cual

     →     →  →



113

III.4 Teorema Fundamental de la Teor´ıa de Galois



a su vez es igual a [C 1 : C ]. Ahora, para cada extensi´ on dada ψ1 : C 1 C1 existen [E : C 1 ] posibles extensiones a E , por hipótesis de inducción; por tanto, hay [E : C ] = [E : C 1 ][C 1 : C ] n´ umero de extensiones de ϕ a todo E .

→

Teorema III.3.4. Sea E una extensi´ on de Galois de C , entonces E es el campo de descomposici´ on de alg´ un polinomio f (x) en C [x]. Demostraci´ on. Como [E : C ] es finito, existen α 1 , α2 , . . . , αn E tales que E = C (α1 , α2 , . . . , αn ). Si mi (x) es el polinomio m´ınimo de αi sobre C , entonces cada mi (x) se descompone en factores lineales en E [x] y as´ı, f (x) = ni=1 mi (x) C [x] también lo hace.

∈



∈

Corolario III.3.5. Sea E una extensi´ on finita del campo C . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) E es una extensi´ on de Galois, (2) E es el campo de descomposici´ on de un polinomio irreducible en C [x], (2 ′ ) E es el campo de descomposici´ on de un polinomio en C [x], (3) C es el campo fijo de su grupo de Galois, (3 ′ ) existe un sobgrupo finito de Aut(E ) tal que C es su campo fijo. Demostraci´ on. Por resultados anteriores y del hecho que los goupos de Galois son grupos finitos, sólo hay que mostrar (2′ ) (2): sea E = C (α1 , α2 , . . . , αn ) el campo de descomposició n de f (x) C [x]. Por el Teorema del elemento primitivo, existe β E tal que E = C (β ) y supongamos que mβ (x) es el polinomio m´ınimo de β sobre C . Como E es una extensión de Galois de C , todas las raices de m β (x) estan en E por lo que E es el campo de descomposición de mβ (x), el cual es irreducible.

∈

∈

⇒

Ahora, estudiaremos el resultado que establece una fuerte conección entre la Teor´ıa de campos y la Teor´ıa de grupos. En escencia, el Teorama Fundamental de la Teor´ıa de Galois establece la existencia de una correspondencia biun´ıvoca entre subcampos intermedios de una extensi´ o n de Galois y los subgrupos del grupo de Galois de la extensión. III.4. Teorema Fundamental de la Teor´ıa de Galois

Proposici´ on III.4.1. Toda extensi´ on finita esta contenida en una extensi´ on de Galois. Demostraci´ on. Sea E una extensió n finita de C , entonces existen elementos α1 , α2 , . . . , αn E tales que E = C (α1 , α2 , . . . , αn ). Si mi (x) es el polinomio m´ınimo de αi sobre C , tomemos f (x) = m 1 (x)m2 (x) mn (x) y sea F el campo de descomposición de f (x) sobre E , entonces tenemos que C E F y as´ı, F es el campo de descomposición de f (x) sobre C . Por un Corolario anterior, F es una extensión de Galois.

∈

···

⊆ ⊆

114


Corolario III.4.2. Sean C E una extensi´ on de Galois y F un campo intermedio, entonces F E es una extensi´ on de Galois.

⊆

⊆ √ 2 ∈ R. Sabemos que el polinomio m´ınimo de α sobre Q es Ejemplo: Sea α = x3 −2 y sus raices son α, ζα, ζ 2 α, donde ζ = e2π i/3 . Como grad(x3 −2) = 3 vemos que [Q(α) : Q] = 3 y {1, α , α2 } es una Q -base de Q(α). Si K 1 = Gal (Q(α) : Q) y ρ ∈ K 1 , entonces ρ(α) es una ra´ız de x 3 − 2; al tener que Q(α) ⊂ R concluimos que ρ(α) = α y as´ı, ρ = id Q(α) por lo que K 1 = {1}. Luego, vemos que Q (α) no es una extensión de Galois de Q; adem´ as, Q(α) no es el campo de descomposición 3 de x − 2. Del mismo modo, podemos ver que [ Q(αζ ) : Q] = 3 y {1, α ζ , α2 ζ 2 } es una Q-base de Q (αζ ) . Si K 2 = Gal (Q(αζ ) : Q) y tomamos ϕ : Q(α) → Q(αζ ) como el u ´ nico isomorfismo de campos que aplica a α en αζ y ϕ|Q = id Q , entonces la aplicaci´ on γ ϕ : K 1 → K 2 definida por ρ → ϕρϕ−1 es un isomorfismo de grupos. De aqui concluimos que K 2 = {1} y ζ 2 α ∈ / Q(αζ ). 2 2 3

Similarmente, Q(ζ α) tiene grupo de Galois trivial y por tanto, Q(ζ α) no es una extensión de Galois de Q. Ahora, consideremos el polinomio (x

− ζα)(x − ζ 2α) = x2 + αx + α2

recuerde que 1 + ζ + ζ 2 = 0,

el cual es irreducible en C (α)[x]. Afirmamos que Q(α)(αζ ) = Q(α, ζ ) : para ver esto, basta mostrar que ζ Q(α)(αζ ). Luego, podemos ver que [Q(α, ζ ) : Q(α)] = 2 y Q (α, ζ ) es el campo de descomposición de x 3 2 por lo que es una extensi´ on de Galois de Q . Adem´ as, es claro que

∈

−

[Q(α, ζ ) : Q] = [Q(α, ζ ) : Q(α)][Q(α) : Q] = 2 3 = 6,

·

por lo que G = Gal(Q(α, ζ ) : Q) tiene orden 6. Como G act´ ua fielmente en 2 las raices X = α,ζα,ζ α , tenemos un homomorfismo inyectivo ρX : G S (X ) = S 3 y por el cálculo anterior, este es un isomorfismo de grupos. Sea τ 1 : Q (α)(ζα) Q (α)(ζ 2 α) tal que τ 1 Q(α) = idQ(α) y aplique a ζα en ζ 2 α, entonces τ 1 (ζ ) = ζ 2 ya que τ 1 (α) = α y τ 1 es un isomorfismo de campos; luego, vemos que τ 1 (ζ 2 α) = (ζ 2 )2 α = ζ 4 α = ζα por lo que τ 12 = idQ(α)(ζα ) y concluimos as´ı que Q(α)(αζ ) es una extensión de Galois de Q(α). Por tanto, debemos de tener Gal(Q(α, ζ ) : Q(α)) = 2 y H 1 = Gal(Q(α, ζ ) : Q(α)) = τ 1 G. Ahora, sabemos que [Q(ζ ) : Q] = 2 pues ζ es ra´ız del ciclotómico x2 +x+1, el cual es irreducible sobre Q. Una Q-base para Q(ζ ) es 1, ζ y si K = Gal (Q(ζ ) : Q), entonces K = 2 por lo que Q (ζ ) es una extensi´ on de Galois de Q ; luego, el 3 polinomio m´ınimo de α sobre Q (ζ ) sigue siendo x 2 ya que α / Q(ζ ). Ahora, si H = Gal(Q(α, ζ ) : Q(ζ )), al ser Q(α, ζ ) una extensión de Galois de Q(ζ ), sabemos que H = 3. Sea σ H tal que σ(α) = αζ , como σ(ζ ) = ζ , tenemos que σ(ζα) = ζ 2 α y σ(ζ 2 α) = α. As´ı, σ tiene orden 3 por lo que H = σ G. 2 2 2 Vemos que el polinomio (x α)(x ζ α) = x + (ζα)x + (ζα) es irreducible en Q(αζ )[x] y existe as´ı, τ 2 H 2 que permuta a ζ 2 α con α y H 2 = Gal (Q(α, ζ ) : Q(αζ )) = τ 2 ; similarmente para H 3 = Gal (Q(α, ζ ) : Q(αζ 2 )).

{

∼

}

→

→

|

|

 ≤

|

{ }

| |

−

| |

 

∈

∈ −

−

∈

  ≤

115

III.4 Teorema Fundamental de la Teor´ıa de Galois

∼

N´ otese que H  G y K = G/H . Adem´ as, los subgrupos H i son conjugados en G. Teorema III.4.3. (Teorema Fundamental de la Teor´ıa de Galois). Sean C un campo de caracter´ıstica cero, E una extensi´ on de Galois de C y G = Gal(E : C ), entonces existe una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto de campos intermedios def E S = D E : C D

{ ⊆

⊆ ⊆ }

→ Gal (E : D)

Ψ : H

y el conjunto de subgrupos de G, dada por las aplicaciones Φ : D

S (G).

Adem´ as, esta correspondencia esta

→ E H ,

y satisface las siguientes dos propiedades:

| |

(1) si H = Gal (E : D), entonces [E : D] = H y [D : C ] = [G : H ], (2) D

⊆ D ′ si y s´ olo si Gal(E : D ′) ≤ Gal (E : D).

Demostraci´ on. Sea H = Gal(E : D). Sabemos que D E es una extensión H de Galois, pues C E lo es, por lo que E = D. Ahora, si H G, entonces H Gal(E : E H ) y por un Teorema anterior, [E : E H ] = H . Concluimos as´ı que E H E es una extensión de Galois y H = Gal(E : E H ) por lo que H = Gal (E : E H ). Las propiedades (1) y (2) son claras.

⊆

⊆

≤

⊆

| | |

Definici´ on III.4.1. Si σ conjugado de D.

≤ | |

|

∈ Aut(E ) y D ⊆ E , entonces σD se llama campo

Teorema III.4.4. Sean C E una extensi´ on de Galois y D un campo intermedio. Si H = Gal (E : D) y G = Gal (E : C ), entonces

⊆

(1) el campo conjugado de D se corresponde con σH σ−1 . (2) C D es una extensi´ on de Galois de C si y s´ olo si H  G. En tal caso, Gal (E :C ) tenemos Gal(D : C ) = Gal (E :D) .

⊆

∼

Demostraci´ on. (1) Sean D′ = σD y τ H , entonces στ σ−1 d D, tenemos que σ(d) σD = D ′ por lo que

∈

 ∈

∈ Aut(E ) y si

στ σ−1 (σ(d)) = (στ )(d) = σ(d),

por lo que D ′

⊆ E σHσ

(2) (

∈

1

−

. La otra contensión es similar.

⇒) por (1) y la correspondencia de Galois, basta probar que σD = D para todo σ ∈ G: sabemos que D es el campo de descomposición de alg´ un polinomio f (x) ∈ C [x], as´ı, podemos suponer que D = C (α1 , α2 , . . . , αn ) donde αi son las raices de f (x). Si σ ∈ G, entonces σ.f (x) = f (x) por lo que σ(αi ) es una ra´ız de f (x) para todo 1 ≤ i ≤ n y se tiene entonces σD ⊆ D. Similarmente, tenemos que σ −1 D ⊆ D y multiplicando por σ se tiene la otra contensió n. Por tanto, H  G.

116


( ) Para cada σ G sabemos que H = σH σ−1 por lo que σD = D. Luego, consideremos el homomorfismo π : G Gal(D : C ) dado por σ σ D , el cual esta bien definido y tiene ker π = H . Por el primer Teorema de isomorfismo para grupos, tenemos G/H = Imπ Gal(D : C ), pero sabemos que

⇐

∈

→

→ |

∼

≤

[E : C ] | G| |Gal(D : C )| ≤ [D : C ] = [E = : D] |H | ≤ |Gal(D : C )|, por lo que |Gal(D : C )| = [D : C ] y concluimos que G/H ∼ = Gal (D : C ). Por tanto, D es una extensión de Galois de C .

Ahora, aplicaremos las herramientas construidas en las secciones anteriores para encontrar un polinomio de grado cinco cuyas raices no pueden ser expresadas por radicales sobre el campo de los racionales. def Sean Q C C y p un n´ umero primo. Definimos ζ = e 2πi/p y supondremos que ζ C . El polinomio f (x) = x p a C [x], con a = 0, tiene como ra´ıces a las raices p-ésimas de a. Si α es una de tales raices, sabemos que αζ i : 0 i p 1 es el conjunto de raices de f (x). Por tanto, C (α) es el campo de descomposición de f (x). III.5. Solubilidad por radicales

∈

⊆ ⊆

− ∈



⊆

⊆

{

≤ ≤ − }

∈

Proposici´ on III.5.1. Sean C C tal que Q(ζ ) C y a C un elemento que no es potencia p-ésima de alg´ un elemento en C , entonces el campo de descom p posici´ on del polinomio x a tiene grado p sobre C y su grupo de Galois es c´ıclico de orden p.

−

Demostraci´ on. Sea α E una ra´ız de x p a, entonces α / C por lo que [E : C ] > 1 y la extensión C E es una extensió n de Galois por lo que Gal(E : C ) > 1. As´ı, existe σ Gal(E : C ) tal que σ(α) = α por lo que debemos de tener que σ(α) = ζ k α para alg´ un 1 k p 1. Como σ(ζ ) = ζ , vemos que σ i (α) = ζ ik α para todo n´ umero natural i; al ser p un n´ umero primo, o(σ) = p y por tanto, Gal(E : C ) p. Por otro lado, E = C (α) y α es p ra´ız del polinomio x a por lo que debemos de tener [E : C ] p. Luego, concluimos que G = p y en consecuencia, tenemos que G es c´ıclico de orden p y el polinomio x p a es irreducible en C [x].

∈

|

⊆ ∈

|

| | −

−

| −

≤ ≤ −

∈ 

|≥

≤

Definici´ on III.5.1. Sea f (x) un polinomio en C [x]. El grupo de Galois de f (x) es el grupo de Galois de su campo de descomposici´ on. Observe que si ζ p = e2π i/p , con p un n´ umero primo, entonces

|Gal(Q(ζ p ) : Q)| = p − 1. Proposici´ on III.5.2. Sea p un n´ umero primo. (1) Gal(Q(ζ p ) : Q) = F p∗ .

117

III.5 Solubilidad por radicales

(2) para todo subcampo C de C, el grupo Gal(C (ζ p ) : C ) es c´ıclico. Demostraci´ on. Sea G = Gal(C (ζ p ) : C ) y definamos la aplicación χ : G F p∗ como sigue: si σ G, sabemos que σ(ζ p ) es una ra´ız del polinomio ciclot´ omico p−1 p−2 k c p (x) = x + x + + x + 1, digamos que σ(ζ p ) = ζ p con 1 k p 1; as´ı, definimos def χ(σ) = [k] p ,

∈

→ ≤ ≤ −

···

∈

donde [k] p es la clase de congruencia de k m´ odulo p. Ahora, si τ G, digamos l kl que τ (ζ p ) = ζ p , entonces στ (ζ p ) = ζ p por lo que tenemos χ(στ ) = [kl] p = [k] p [l p ] = χ(σ)χ(τ );

∈

luego, si σ ker χ, entonces σ(ζ p ) = ζ p y como σ fija al campo C , entonces σ = idC (ζ p ) por lo que χ es un homomorfismo de grupos inyectivo. Como F p∗ es un grupo c´ıclico, entonces todos sus subgrupos son c´ıclicos, en particular la imagen de G bajo χ. Sabemos que cuando C = Q , G tiene orden p 1 por lo que, en tal caso, χ es un isomorfismo de grupos.

−

Definici´ on III.5.2. Sea C un subcampo de los n´ umeros complejos. Decimos que α C se expresa por radicales sobre C si existe una sucesi´ on de campos

∈

C = C 0

⊂ C 1 ⊂ C 2 ⊂ ·· · ⊂ C m ⊆ C

con las siguientes dos propiedades: (1) α C m ,

∈

(2) para cada 1 j m existe un elemento β j C j tal que C j = C j −1 (β j ) y n existe un n´ umero natural nj tal que β j j C j −1 .

≤ ≤

∈

∈

Observe que si n = rs y β es una ra´ız n-ésima de un elemento b en un r s campo C , entonces β = b. Por tal motivo, agregando eslabones a la cadena de campos descrita en la definición anterior, podemos suponer que las ra´ıces agregadas en cada extensión son raices p-ésimas para algunos números primos p.

 √

Proposici´ on III.5.3. Sea C un subcampo de C y α C . Si α se expresa por radicales sobre C , entonces existe una cadena de campos

∈

⊂ C 1 ⊂ C 2 ⊂ ·· · ⊂ C m ⊆ C

C = C 0

tal que cumple (1) y (2) de la definici´ on y adem´ as,

≤ ≤

(3) para todo 1 j m, el campo C j es una extensi´ on de Galois del campo C j −1 y su grupo de Galois es c´ıclico. Demostraci´ on. Sabemos que existe una cadena de campos C = C 0′

⊂ C 1′ ⊂ ·· · ⊂ C k′ ⊆ C

118


que satisface (1) y (2), por lo que debemos tener que C k′ = C (β 1 , β 2 , . . . , βk ) y por la observación anterior, podemos suponer que existen n´ umeros primos pj p1 , p2 , . . . , pk tales que β j C j −1 . Ahora, formaremos una cadena mas larga π i/pi 2 como sigue: si ζ pi = e , entonces definimos

∈

C 0 = C,

···

C 1 = C (ζ p1 ),

C k = C k−1 (ζ pk ),

≤ j ≤ k definimos

y para 1

C k+j = C k+j −1 (β j ). Por una Proposición anterior, al adjuntar una ra´ız p-ésima de la unidad, obtenemos extensiones de Galois cuyo grupo de Galois es c´ıclico. Por otro resultado previo, sabemos que al adjuntar una ra´ız p-ésima de un elemento a un campo que contiene una ra´ız p-ésima de la unidad se obtiene una extensi´ on de Galois con grupo c´ıclico. Sean f (x) y g(x) dos polinomios en C [x] y E ′ el campo de descomposición de f (x)g(x), entonces E ′ contiene un subcampo E que es el campo de descomposición de f (x) y del mismo modo, contien un subcampo F que es el campo de descomposición de g (x). Proposici´ on III.5.4. Con el escenario anterior, sean H = Gal(E : C ), K = Gal(F : C ) y G = Gal (E ′ : C ), entonces (1) H y K son cocientes de G.

× K .

(2) G es isomorfo a un subgrupo de H

Demostraci´ on. Como E y F son campos de descomposición, son extensiones de Galois de C y por tanto, H = G/Gal(E ′ : E ) y K = G/Gal(E ′ : F ). Ahora, sea ϕ : G H la aplicación definida como σ σ E y ψ : G K la definimos an´ alogamente, σ σ F ; luego, definimos Φ : G H K como σ (ϕ(σ), ψ(σ)), el cual resulta ser un homomorfismo de grupos. Si Φ(σ) = (idE , idF ), entonces σ fija a las raices de f (x) por estar en E y a las raices de g(x) por estar en F . As´ı, σ fija a todo elemento de E ′ por lo que σ = idE y Φ es un homomorfismo de grupos inyectivo.

→

→

∼

∼

→ |

→ | → → × ′

∈

Proposici´ on III.5.5. Sean f (x) C [x] tal que su grupo de Galois H es simple no abeliano y C ′ una extensi´ on de Galois de C con grupo de Galois abeliano. Si ′ E es el campo de descomposici´ on de f (x) sobre C ′ , entonces Gal (E ′ : C ′ ) = H .

∼

Demostraci´ on. Dividiremos la prueba en dos casos: 1 Supongamos que [C ′ : C ] = p con p un n´ umero primo. Sean α 1 , α2 , . . . , αr ′ ′ E las raices de f (x) sobre C y definamos el campo E = C (α1 , α2 , . . . , αr ),

∈

119

III.5 Solubilidad por radicales

entonces E es el campo de descomposición de f (x) sobre C y tenemos el siguiente diagrama: ′    E           L                  G E   C ′                          H  K C Sean G, K, H y L los grupos de Galois de las correspondientes extensiones del diagrama. Como C ′ es una extensión de Galois de grado primo, entonces K tiene orden primo p. Sabemos que existe un homomorfismo de grupos inyectivo Φ : G H K definido por (ϕ1 , ϕ2 ), donde ϕ 1 y ϕ 2 las aplicaciones ϕ1 : σ σ E y ϕ2 : σ σ C . Observemos que H divide a G y también tenemos que G divide al orden del grupo H K por lo que G p H ; de aqui, concluimos que G H , p H . Si G = H , entonces E = E ′ y C ′ E ′ por lo que

→ × → | → | | | | | | | × ∼ | | | | | | | ∈ {| | | |} ⊂ C p ∼ = K ∼ = G/L ∼ = H/L, ′

pero H es un grupo simple, por lo que C p no puede ser cociente de H . Por tanto, debemos de tener que G = H K = H C p . Finalmente, si σ L con ϕ1 (σ) = idE , entonces σ fija tanto a C ′ como a E puntualmente y as´ı, σ = idE por lo que ϕ1 L es un homomorfismo de grupos inyectivo. Luego, realizamos el siguiente cálculo

∼ × ∼ ×

′

∈

|

′ : C ] | G| p|H | |L| = [E ′ : C ′ ] = [E = |K | = p = |H |, [C ′ : C ] para concluir as´ı que L ∼ = H . 2 Ahora, definamos L1 ≤ K tal que K/L1 es un grupo c´ıclico de orden p. ′ ′

Si C 1 es el subcampo de C tal que Gal(C : C 1 ) = L 1 , entonces C 1 es una extensi´ on de Galois de C ya que por ser K abeliano, tenemos L1  K ; luego, concluimos que Gal (C 1 : C ) = K/L1 = C p . Sea E 1 el campo de descomposició n de f (x) sobre C 1 , entonces Gal (E 1 : C ) = H y como [C ′ : C 1 ] < [C ′ : C ], podemos aplicar inducci´ o n sobre el grado de la extensi´ on y reemplazar a E por E 1 y C por C 1 .

∼

∼

∼

Teorema III.5.6. Sean C un subcampo de C y f (x) un polinomio de quinto grado en C [x]. Si el grupo de Galois de f (x) es A 5 o S 5 , entonces las raices de f (x) no se expresan por radicales sobre C . Demostraci´ on. Sea E el campo de descomposición de f (x), entonces [E : C ] = Gal(E : C ) G . Nuevamente, haremos esta prueba por casos:

|

| ≡| |

120


∼

G = S 5 . Sabemos que [E : C ] = 120 y sean r1 , r2 , . . . , r5 las raices de f (x), entonces D = (ri rj )2



−

1 i
≤

≤

es el discriminante de f (x), el cual es una funci´ on sim´ etrica en las raices de f (x) por lo que D es un polinomio en los coeficientes de f (x). As´ı, concluimos que D C (revisar Galois theory de Jean-Pierre Escofier para la afirmación anterior). Supongamos que existe α C tal que α2 = D, entonces x 2 D = (x α)(x + α) y si definimos

∈

−

∈

−

def

δ =



1 i
≤

≤

(ri

− rj ) ∈ E,

tenemos que x2 D = (x δ )(x + δ ) por lo que δ = α C por lo que cualquier permutación de las raices deja fijo a δ , pues tales permutaciones son elementos de G por lo que dejan fijo puntualmente al campo C ; sin embargo, es claro que si τ es una transposición en G, entonces τ.δ = δ por lo que debemos de tener δ = 0. Esto implica que existe una raiz repetida y as´ı, el grupo de Galois de f (x) permuta menos de 5 objetos distintos, lo que es absurdo. Ahora, como δ / C , tenemos C C (δ ) E y δ 2 = D C por lo que C (δ ) es una extensión cuadrática de C y por tanto, [E : C (δ )] = 60. Es claro ahora que Gal (E : C (δ )) = A5 por lo que basta mostrar que las raices de f (x) no se expresan por radicales sobre C (δ ).

−

−

± ∈

−

∈

∈

⊂

⊂

∼

∼

G = A 5 . Supongamos que α es una ra´ız de f (x) que puede ser expresada por radicales sobre C , entonces existe una sucesión de campos C = C 0

⊂ C 1 ⊂ C 2 ⊂ ·· · ⊂ C m ⊆ C tal que α ∈ C m , las extensiones C j ⊂ C j +1 son extensiones de Galois y tienen grupo de Galois c´ıclico. Como el grupo de Galois de f (x) es simple, por la Proposición anterior tenemos que para todo 1 ≤ i ≤ m el grupo de Galois de f (x) sobre C i es A5 . En particular, el grupo de Galois de f (x) sobre C m es A5 , pero α ∈ C m por lo que f (x) =C [x] (x − α)g(x) para alg´ un g(x) ∈ C m [x]. Luego, G deja fijo a α y permuta el resto de las raices de f (x) por lo que G ≤ S 4 , lo que es absurdo pues |G| = 60 y |S 4 | = 24. m

Sean f (x) un polinomio irreducible de grado cinco en Q[x], G su grupo de Galois y α1 , α2 , . . . , α5 sus raices en C, las cuales son todas distintas pues f (x) es irreducible y car C = 0. Si E = Q(α1 , α2 , . . . , α5 ) es el campo de descomposición de f (x), entonces (1) 5

| |G|.

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