Ângulos Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Sumário
Página
O ângulo e seus elementos..................................... elementos................................................... ............................ ........................... ........................... .................. 1 Medida de um ângulo.................. ângulo................................ ........................... ........................... ............................ ........................... ........................... .................. 3 Ângulos congruentes congruentes .......................... ....................................... ........................... ............................ ........................... ........................... .................. 6 Ângulo raso e ângulo nulo............................. nulo........................................... ........................... ........................... ............................ .................. .... 7 Operações Operações com medidas de ângulos ........................... ......................................... ........................... ........................... ....................... ......... 13 Transformaçã Transformaçãoo de unidades......................... unidades....................................... ........................... ........................... ........................... .................. ..... 14 Simplificando Simplificando os resultados resultados .......................... ........................................ ........................... ........................... ............................ .................. 15 Adição ........................... ......................................... ............................ ........................... ........................... ........................... ........................... ..................... ....... 16 Subtração Subtração .......................... ....................................... ........................... ............................ ........................... ........................... ........................... .................. ..... 16 Multiplicação Multiplicação por um número natural...................................... natural.................................................... ............................ .................. 18 Divisão por um número natural.............................. natural............................................ ........................... ........................... ..................... ....... 19 Ângulos consecutivos consecutivos e ângulos ângulos adjacentes .......................... ........................................ ............................ ......................... ........... 21 Bissetriz Bissetriz de um ângulo.............................. ângulo........................................... ........................... ............................ ........................... ........................... .............. 24 Construção Construção da bissetriz.................. bissetriz................................ ............................ ........................... ........................... ........................... .................. ..... 25 Ângulo reto, ângulo ângulo agudo e ângulo obtuso .......................... ........................................ ............................ ......................... ........... 28 Retas perpendicula perpendiculares....................... res.................................... ........................... ........................... ........................... ............................ .................. 29 Ângulos complementares complementares e ângulos suplementares........... suplementares........................ ........................... ............................ .................. 30 Ângulos opostos pelo vértice vértice ........................... ........................................ ........................... ........................... ........................... ..................... ....... 34 Uma propriedade propriedade importante dos ângulos o.p.v....................................................................... o.p.v....................................................................... 35 Referências Referências bibliográficas....... bibliográficas.................... ........................... ............................ ........................... ........................... ........................... .................. ..... 38
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Ângulos
O ângulo e seus elementos Veremos como representar matematicamente um ângulo e destacar suas partes principais, utilizando os modelos abaixo:
Nos modelos matemáticos de figuras que surgem a idéia de ângulo, podemos destacar duas semi-retas de mesma origem e não-opostas, que dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.
Denominamos ângulo a região formada por duas semi-retas não-opostas que têm a mesma origem.
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No ângulo da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos:
O é o vértice do ângulo As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo
Para identifi identificar car esse ângulo ângulo utilizam utilizamos os a notação notação AÔB ou BÔA: BÔA : (Lê-se “ângulo AOB”) A letra que corresponde ao vértice deve ficar no meio
OBS.: Quando não houver dúvidas quanto ao ângulo a que nos referimos, podemos utilizar uma notação que indica apenas o seu vértice.
Ângulo Ô ou AÔB
Ângulo P ou MPˆ N
Neste caso, há três ângulos com vértices em O: AÔB, BÔC e AÔC
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Medida de um ângulo A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura, e a unidade padrão utilizada é o grau, que se representa pelo símbolo º após o número. Vamos ver o que representa o grau. As primeiras noções de ângulo foram desenvolvidas na Grécia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicéia (século II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da Astronomia, a primeira divisão do círculo em 360 partes iguais, com o objetivo de medir ângulos. A cada um desses 360 arcos em que a circunferência foi dividida associamos um ângulo cuja medida chamaremos de 1 grau.
O grau é uma unidade de medida de ângulo; 1 grau corresponde à medida do 1 ângulo (com vértice no centro da circunferência) associado a um arco de da 360 circunferência.
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Exemplos:
Assim, para medir um ângulo, comparamos sua medida à medida de um ângulo de 1º. Ná prática, utilizamos um instrumento de medida chamado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º.
Para medir um ângulo: •
•
•
coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo com que seu centro coincida com o vértice do ângulo coloque a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados do ângulo identifique na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado do ângulo
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Exemplos: a) A medida do ângulo AÔB é 45º, e indicamos med (AÔB) = 45º.
b) A medida do ângulo AÔC é 160º, e indicamos med (AÔC) = 160º.
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Ângulos congruentes Consideremos os ângulos AÔB e MPˆ Q abaixo:
Se transportarmos um ângulo sobre o outro, podemos notar que os vértices e os lados dos dois ângulos coincidem:
Assim, Assim, AÔB e MPˆ Q possuem a mesma abertura e, portanto, a mesma medida.
Dois ângulos que têm a mesma medida são chamados ângulos congruentes, e utilizamos o símbolo ≅ para relacioná-los. congruente
med (AÔB) = med (MPˆ Q) AÔB ≅ MPˆ Q usamos o símbolo = quando comparamos medidas
usamos o símbolo ≅ quando comparamos ângulos
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Na prática, utilizamos o transferidor para determinar se dois ângulos são ou não congruentes.
med (ABˆ C) = 56º
med (DÊF)= 56º AÔB ≅ D F
Ângulo raso e ângulo nulo Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou de meia-volta. •
BÂC é um ângulo raso ou de meia-volta
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Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ângulos: o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.
•
ângulo nulo
ângulo de uma volta
Usando um transferidor, podemos determinar as medidas, em graus, dos ângulos abaixo:
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EXERCÍCIOS A (1) Considere o ângulo da figura abaixo e responda: a) Qual é o vértice desse ângulo?
b) Quais são os lados desse ângulo?
c) Qual é o nome desse ângulo?
(2) Na figura abaixo, identifique todos os ângulos e nomei os mesmos.
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(3) Na figura seguinte, dê as medidas dos ângulos indicados:
(4) Usando um transferidor, dê a medida de cada ângulo: a)
b)
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c)
d)
e)
f)
(5) No exercício anterior, identifique os pares de ângulos congruêntes.
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(6) Construa, com a ajuda do transferidor, um ângulo de: a) 42º
b) 90º
c) 125º
d) 180º
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Operações com medidas de ângulos Como vimos, o transferidor mede ângulos com intervalos de 1 em 1 grau. Mas há ângulos que não possuem como medida um número inteiro de graus. Como não é costume utilizar decimais em medidas de ângulos, utilizamos os submúltiplos do grau. O grau tem dois submúltiplos: o minuto e o segundo. Para escrever a medida de um ângulo utilizando o minuto e o segundo, utilizamos a base 60 de numeração.
•
minuto → símbolo : ′
•
segundo → símbolo : ′′
Portanto:
Por exemplo, o ângulo de medida 18,5º pode ser escrito assim: 18 5º = 18º + 0 5º = 18º + 30′ = 18º 30′ ,
,
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Transformação de unidades Vejamos como fazer transformações de unidades de ângulos observando os exemplos:
1) Quantos minutos tem 32º?
Resposta: 32º tem 1920′ .
2) Expresse 2º 7′ 30′′ em segundos.
Resposta: 2º 7′ 30′′ tem 7650′′ .
3) Escreva 5680′′ em graus, minutos e segundos.
Resposta: 5680′′ tem 1º 34′ 40′′ .
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Simplificando os resultados Em algumas situações, principalmente nas operações com medidas de ângulos, precisamos simplificar os resultados obtidos. Vejamos como fazer isso, observando os exemplos.
1) Simplificar 54º 60′ . 54º 60′ = 54º + 1º = 55º Resposta: 54º 60′ escrito na forma simplificada é 55º.
2) Simplificar 18º 126′ . 18º 126′ = 18º + 120′ + 6′ = 18º + 2º + 6′ = 20º + 6′ = 20º 6′ Resposta: 18º 126′ escrito na forma simplificada é 20º 6′ .
3) Simplificar 27º 75′ 80′′ . 27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 80′′ 27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 60′′ + 20′′ 27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 1′ + 20′′ 27º 75′ 80′′ = 27º + 76′ + 20′′ 27º 75′ 80′′ = 27º + 60′ + 16′ + 20′′ 27º 75′ 80′′ = 27º + 1º +16′ + 20′′ 27º 75′ 80′′ = 28º +16′ + 20′′ Resposta: 27º 75′ 80′′ escrito na forma simplificada é 28º +16′ + 20′′ .
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Adição 1) Quanto é a soma de 76º 35′ 53′′ com 47º 54′ 38′′ ?
Expressamos o resultado sempre na forma simplificada . Então:
Resposta: A soma é 124º 30′ 31′′ .
Subtração 1) Calcule a diferença 68º 54′ 37′′ − 38º16′ 29′′ .
Resposta: A diferença é 30º 38′ 8′′ .
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2) Qual é o valor de 105º 32′ 6′′ − 67º 48′ 30′′ ?
Agora calculamos a diferença:
Resposta: O valor de 105º 32′ 6′′ − 67º 48′ 30′′ é 37º 13′ 36′′ .
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Multiplicação por um número natural 1) Qual é o produto de 17º 18′ 30′′ por 6?
Expressamos o resultado sempre na forma simplificada . Então:
Resposta: O produto de 17º 18′ 30′′ por 6 é 103º 51′ .
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Divisão por um número natural 1) Calcule o quociente ( 82º 31′ 40′′ ) : 4.
Resposta: O quociente é 20º 37′ 55′′ .
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EXERCÍCIOS B (1) Efetue as operações indicadas: a) 13º 12′ + 41º 10′ 20′′
c) (27º 36′ 33′′) :3
b) 35º 20′ − 10º 15′ 30′′
d) 4 ⋅ (10º 24′ 45′′)
(2) Determine, na forma mais simplificada possível, o valor das expressões: a) 15º12′ 35′′ + 27º 18′ + 13º 51′ 30′′
b) (50º − 15º 20′) :5
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(3) Na figura abaixo, AÔC é um ângulo de meia-volta. Qual o valor de x?
Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes Observe a figura:
Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB. Verifique em cada uma das figuras seguintes que:
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Os ângulos AÔC e CÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: OC
Os ângulos AÔC e AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: OA
Os ângulos CÔB e AÔB AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: OB
Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados ângulos consecutivos. Assim: Dois ângulos que possuem o mesmo o mesmo vértice têm um lado comum são denominados ângulos consecutivos.
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Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:
Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos comuns
Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns.
Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns.
Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes. Assim: Dois ângulos consecutivos que não possuem ponto interno comum são denominados ângulos adjacentes.
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Bissetriz de um ângulo Observe a figura abaixo:
med med ( AÔP AÔP ) = med med ( PÔB PÔB ) = 25 25ºº
Verifique Verifique que a semi-re semi-reta ta OP divide o ângulo ângulo AÔB em dois dois ângu ângulos los (AÔP ( AÔP e PÔB ) congruentes. Nesse caso, a semi-reta OP é denominada bissetriz do ângulo AÔB.
Assim:
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta de origem no vértice desse ângulo que determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes.
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Construção da bissetriz Com o compasso e a régua, podemos facilmente traçar a bissetriz de um ângulo dado, como veremos a seguir.
Traçar a bissetriz de um ângulo AÔB
Com o centro no vértice O, traçamos um arco com abertura qualquer e determinamos os pontos C e B.
Com centro nos pontos C e D traçamos dois arcos de mesma abertura, que se encontram no ponto E.
A semi-reta é a bissetriz do ângulo AÔB.
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EXERCÍCIOS C (1) Em cada figura, escreva os pares de ângulos adjacentes:
a)
b)
c)
(2) Com o transferidor, desenhe os ângulos abaixo, traçando em seguida a bissetriz de cada um utilizando o compasso. a) 60º
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b) 110º
c) 90º
d) 77º
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Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.
Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º.
Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º.
Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º.
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Retas perpendiculares Se traçarmos duas retas num plano, tais que sejam concorrentes (possuam um ponto em comum), é possível obter 4 ângulos congruentes, ou seja, de mesma medida.
É fácil verificar que cada um desses ângulos mede 90º. a=b=c=d
Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ângulos retos, dizemos que as retas são perpendiculares e utilizamos o símbolo ⊥ para representar esse perpendicularismo.
Na figura ao lado, r e s formam entre si quatro ângulos retos; então r ⊥ s . Símbolo:
⊥
(perpendicular a)
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Ângulos complementares e ângulos suplementares Observe os ângulos AOˆ B e BOˆ C na figura abaixo:
Verifique que: med ( AOˆ B ) + med ( BOˆ C ) = 90º Nesse caso, dizemos que os ângulos AOˆ B e BOˆ C são complementares.
Assim:
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.
Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado. Medida do ângulo x
Complemento 90º − x
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Observe os ângulos AOˆ B e BOˆ C na figura abaixo:
Verifique que: med ( AOˆ B ) + med ( BOˆ C ) = 180º Nesse caso, dizemos que os ângulos AOˆ B e BOˆ C são suplementares.
Assim:
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.
Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado. Medida do ângulo x
Suplemento 180º − x
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Exemplos: a) Determinar a medida do complemento e do suplemento do ângulo de 46º. Complemento: 90º −46º = 44º Suplemento: 180º −46º = 134º Resposta: O complemento do ângulo de 46º mede 44º e o suplemento 134º.
b) Na figura abaixo, determinar o valor de x. Como os ângulos são adjacentes complementares: x + 30º + x − 10º = 90º 2x + 20º = 90º 2x = 90º − 20º 2x = 70º 70º x= 2 x = 35º Resposta: O valor de x é 35º.
c) Na figura abaixo, determinar as medidas ABˆ C e CBˆ D . Como os ângulos são adjacentes suplementares: 3x + x + 12º = 180º 4x + 12º = 180º 4 x = 180º −12º 4x = 168º 168º x= 4 x = 42º Resposta: ABˆ C mede 126º e CBˆ D mede 54º.
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EXERCÍCIOS D (1) Nas figuras abaixo, determine x:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Ângulos opostos pelo vértice Observe os ângulos ângulos AÔB e CÔD na figura figura abaixo: abaixo:
Verifique que: OA e OC são semi-retas opostas OB e OD são semi-re semi-retas tas opostas opostas
Portanto, as semi-retas OA e OB que formam os lados do ângulo AÔB são opostas, respectivamente, às semi-retas OC e OD que formam os lados do ângulo CÔD.
Neste caso, podemos também afirmar que os lados do ângulo AÔB são formados pelos prolongamentos dos lados do ângulo CÔD , e vice-versa.
A esses dois ângulos damos o nome de ângulos opostos pelo vértice.
Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice (abreviamos o.p.v.) quando os lados de um forem prolongamentos dos lados do outro e vice-versa.
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Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v.
Na figura ao lado, os ângulos AÔD e BÔC são opostos pelo vértice. Indicamos por: x = med ( BOˆ C ) y = med ( AOˆ D ) m = med ( AOˆ B )
Como AOˆ B e AOˆ D são adjacentes suplementares: m + y = 180º (I) Como AOˆ B e BOˆ C são adjacentes suplementares: m + x = 180º (II) Comparando (I) e (II) (II),, temos: m + y = 180º m + x = 180º
⇒
m+y = m+x y=x
Podemos enunciar a seguinte propriedade: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
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Exemplo:
►
Determinar os valores de x e y na figura abaixo.
x = 30º → ângulos o.p.v. y + 30º = 180º → ângulos adjacetes suplementares y = 180º − 30º y = 150º Resposta: O valor de x é 30º e de y é 150º.
EXERCÍCIOS E (1) Nas figuras seguintes, calcule ca lcule as medidas de x, y, y, a e b: a)
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b)
c)
d)
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Referências bibliográficas ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. EDUCOM: ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DE TELEMÁTICA EDUCATIVA. Disponível em: . Acesso em: 19 de outubro de 2008. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006. KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em: . . Acesso Acesso em: 7 de outubro de 2008. MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.
39
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