FORMULE iz matematike za treći razred tehničke škole (4 sata tjedno), može proći i u gimnaziji...
1-10Full description
zadaciFull description
Zadaci - programiranjeFull description
Full description
Sistemul Conturilor naţionale 1. PNB = PIB + veniturile rezidenţilor primite de peste hotare - veniturile nerezidenţilor primite pe teritoriul ţării. Veniturile nete ale factorilor de producţie pri...
"Element"
Croatian language
Full description
Full description
Full description
Formule Trigonometrice Clasa a IX-a
ssFull description
Full description
INTEGRALI ZADACI ( VIII DEO) REKURENTNE FORMULE
Rekurentne ( rekurzivne ) formule ) formule su formule koje zavise od prirodnih brojeva. One se koriste za snižavanje “reda” nekog integrala. Mi nadjemo kako se izračunava integral čija je podintegralna funkcija reda n preko n preko integrala čija je podintegralna funkcija reda n-1 ( n-1 ( ili n-2, n-3,…). Na taj način dodjemo do podintegralne funkcije funk cije za koju integral možemo direktno da rešimo. Nije pravilo, al se većina ovih integrala radi preko parcijalne integracije.
primer 1.
∫
Odrediti rekurzivnu formulu za
n ax
e dx
ako je a ≠ 0 i n ∈ N
Rešenje:
∫ x e
n ax
dx = ?
Ovaj integral ćemo rešiti parcijalnom integracijom ( ako se sećate, ovo je integral iz prve naše grupe).
x n = u
∫
I n = x n e ax dx = 1
= x ⋅ n
=
a
e ax ⋅ x n a
e − ax
∫
nx 1 a
e ax dx = dv 1
n −1
dx=du
ax
e nx
a
n−1
dx =
e ax ⋅ x n a
−
e
n a
n
− ⋅ I n −1 a
Dakle : e ⋅x ax
I n =
a
n
n
− ⋅ I n −1 a
Kako sad upotrebiti ovu formulu? Dobijemo zadatak da rešimo
∫ x e dx = ?
U našoj formuli je dakle n = 4
4 x
i
a = 1.
ax
=v
∫e
ax
=
x n−1dx
e ax ⋅ x n
I n =
a e ⋅ x4
n
− ⋅ I n −1
x
I 4 =
1
a 4
− ⋅ I 4−1 = e x ⋅ x 4 − 4 I 3 1
I 4 = e x ⋅ x 4 − nI 3
sad radimo za n=3,n=2,n=1
I 4 = e x ⋅ x 4 − 4 I 3 I 3 = e x ⋅ x3 − 3 I 2 I 2 = e x ⋅ x 2 − 2 I 1
∫
I1 = e x ⋅ xdx
Ovaj integral znamo da rešimo:
x = u
e x dx = dv
∫ xe dx = dx = du ∫ e dx = v x
x
e x = v
= x ⋅ ex − ∫ ex dx = xex − ex + C = ex ( x −1) + C u⋅v ∫ v⋅du
Vratimo rešenja unazad…
I 4 = e x ⋅ x 4 − 4 I 3 I 3 = e x ⋅ x3 − 3I 2 I 2 = e x ⋅ x 2 − 2 I 1
∫
I1 = e x ⋅ xdx = ex ( x − 1) vratimo se u I 2 I 2 = e x ⋅ x 2 − 2[e x ( x − 1)] vratimo se u I 3 I 3 = e x ⋅ x3 − 3{e x ⋅ x2 − 2[ ex ( x − 1)]} vratimo se u I 4 I 4 = e x ⋅ x 4 − 4{e x ⋅ x3 − 3{ex ⋅ x2 − 2[ ex ( x − 1)]}} + C
Ovo sad malo prisredite ako vaš profesor zahteva.
primer 2.
Odrediti rekurzivnu formulu za
∫ sin
n
dx
ako je n ≥ 2
Rešenje:
I ovde radimo parcijalnu integraciju:
−
sin n 1 x = u
sin xdx = dv
∫
− − I n = sin n xdx = ( n − 1) sin n 1 1 x(sin x)`dx = du
( n − 1) sin n
−2
− cos x = v =
x ⋅ cos xdx = du
= sin n −1 x ⋅ (− cos x) − ∫ ( − cos x)(n − 1) sin n −2 x ⋅ cos xdx = − sin n −1 x ⋅ cos x + (n − 1) ∫ sin n −2 x ⋅ cos2 xdx Iz sin 2 + cos2 x = 1 → cos2 x = 1 − sin2 x , pa to zamenimo umesto cos2 x
= − sin n −1 x ⋅ cos x + (n − 1) ∫ sin n −2 x ⋅ (1 − sin2 x) dx = − sin n −1 x ⋅ cos x + (n − 1) ∫ (sin n −2 x − sin n x) dx = − sin n −1 x ⋅ cos x + (n − 1) ∫ sin n− 2 xdx − ( n − 1) ∫ sin n xdx = − sin n −1 x ⋅ cos x + (n − 1) ⋅ I n − 2 − (n − 1) ⋅ I n
Da spakujemo:
− I n = − sin n 1 x ⋅ cos x + (n − 1) ⋅ I n − 2 − ( n − 1) ⋅ I n
I n + (n − 1) ⋅ I n = − sin n −1 x ⋅ cos x + ( n − 1) ⋅ I n − 2 I n + n ⋅ I n − I n = − sin n −1 ⋅ cos x + (n − 1) ⋅ I n− 2 − n ⋅ I n = − sin n 1 x ⋅ cos x + (n − 1) ⋅ I n − 2
I n = I n =
− sin n −1 x ⋅ cos x + (n − 1) ⋅ I n− 2 n
− sin n −1 x ⋅ cos x n
+
n −1 n
⋅ I n − 2
Ovo je tražena rekurentna formula. Uočimo da ako je n paran broj , tada postupnom primenom dobijene formule na kraju dolazimo do a ako je n neparan broj dobijamo
∫ sin xdx
∫ dx
primer 3.
dx
∫ sin
Odrediti rekurzivnu formulu za
ako je
n
n ≥ 2
Rešenje:
Ovde ćemo najpre upotrebiti malo trikče: dodamo
dx
sin x
dx
∫ sin x = ∫ sin x ⋅ sin
I n =
n
n
x
=∫
sin sin
, videćemo zašto...
sin xdx +
sin n 1 x
Sad radimo parcijalnu integraciju: sin xdx
∫ sin
n +1
x
=
1
u=
sin xdx = dv
+
sin n 1 x
− cos x = v
?
Izvući ćemo ovaj izvod na stranu jer je izvod složene funkcije... 1
(
)`= (sin
n +1
− ( n +1)
x)`= −( n + 1) sin
− ( n +1) −1
sin x vratimo se na zadatak:
1 sin xdx
∫ sin
n +1
x
1 sin
n +1
x
− cos x ⋅ − cos x ⋅ − cos x ⋅ − cos x ⋅ − cos x ⋅ − cos x ⋅
=
sin n+1 x
−(n + 1)
=u
sin xdx = dv
=
cos x +
sin n 2 x
dx = dv
∫
(− cos x) − ( − cos x )[ −( n + 1) 1 +
sin n 1 x 1 +
sin n 1 x 1
− (n + 1)∫ − (n + 1) ∫
cos2 x sin n
− (n + 1)[∫
+
− (n + 1)[∫
+
− (n + 1)[∫
sin n 1 x 1 sin n 1 x 1
sin n +1 x 1 = − cos x ⋅ n +1 sin
+2
x
− (n + 1)[∫
sin n
+2
− cos x = v cos x sin n
+2
x
dx] =
dx =
1 − sin 2 x
+
sin n 1 x 1
x ⋅ (sin x)`= −( n + 1) sin
x
1
dx = sin 2 x
+
dx −
∫ sin
1
+
dx −
∫ sin
1
+
dx −
∫ sin
dx −
1
sin n 2 x 1 sin n 2 x 1 sin n 2 x 1 sin n + 2 x
− (n + 1)[ I n+ 2 − I n ]
∫ sin
n+ 2
n
n
n
x x x
x
dx] =
dx] = dx] = dx] =
−( n +2)
⋅ cos x = −( n + 1)
cos x sin
n+2
vratimo se od početka: 1
I n = − cos x ⋅
+
− (n + 1)[ I n + 2 − I n ]
+
− (n + 1) I n + 2 + (n + 1) I n
sin n 1 x 1
I n = − cos x ⋅
sin n 1 x
(n + 1) I n + 2 = − cos x ⋅ (n + 1) I n + 2 = − cos x ⋅ I n + 2 =
1 +
sin n 1 x 1 sin n +1 x
+ nI n + In − I n + nI n
− cos x n + ⋅ I n + ( n + 1) ⋅ sin n 1 x n + 1
Dobili smo traženu rekurentnu formulu al po n+2 , da bi dobili formulu po n, kako nam traže , jednostavno ćemo umesto n staviti n-2.
I n + 2 =
− cos x − cos x n n− 2 + ⋅ I n →→ I n = + ⋅ I n −2 n +1 n −1 ( n + 1) ⋅ sin x n + 1 ( n − 1) ⋅ sin x n − 1
∫
Odrediti rekurentnu formulu za I n ,m = x n ⋅ ln m xdx ako je n, m ∈ N
