Canek: Canek: Portal Portal de Matem´ aticas aticas
C´ alculo diferencial e integral I alculo Ignacio Canals Navarrete Ernesto Javier Espinosa Herrera Manuel Meda Vidal Rafa Ra fael el P´erez ere z Fl Flore oress Carl Ca rlos os An Anto toni nioo Ul´ın ın Ji Jim´ m´enez en ez
Universidad Universidad Aut´ onoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco onoma Editor Edi torial ial Revert´ Reve rt´e Barcelona Bogot´ a Buenos Aires Caracas M´exico 2008
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Universidad Aut´ onoma Metropolitana onoma Rector general Dr. Jos´ e Lema Labadie Secretario general Mtro. Luis Javier Melgoza Valdivia Valdivia Universidad Aut´ onoma Metropolitana-Azcapotzalco onoma Rector Dr. Adri´ an an de Garay S´ anchez anchez Secretaria Dra. Sylvie Sylvie Turpin Marion Director de la Divisi´ on on de Ciencias B´ asicas asic as e Ingenie Inge nier´ r´ ıa ıa ´ Mtro. Mt ro. Jos´ Jo s´ e Angel Ange l Rocha Ro cha Mart´ınez ıne z Jefe del Departamento de Ciencias B´asicas asicas Dr. Luis Enrique Enrique Nore˜ na na Franco c
Dr. Ignacio Canals Canals Navarrete Navarrete M. en C. Ernesto Javier Espinosa Herrera M. en C. Manuel Meda Vidal Dr. Rafael P´ erez erez Flores y Dr. Carlos Carl os Antonio Ant onio Ul´ın ın Jim´ J im´enez enez
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Departamento Departamento de Ciencias B´ asicas asicas Divisi´ on on de Ciencias B´ asicas asi cas e Ingen I ngenier´ ier´ıa ıa Unidad Azcapotzalco Universidad Aut´ onoma Metropolitana onoma Av. San Pablo 180, col. Reynosa Reynosa Tamaulip Tamaulipas as Deleg. Azcapotzalco, C.P. C.P. 02200 M´ exico exico D.F.
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Revert´ e Ediciones, S.A. S. A. de C.V. R´ıo P´anuco, anuco, 141, col. Cuaht´ emoc emoc Deleg. Cuaht´ emoc, emoc, C.P. 06500 M´ exico exi co D.F. D. F.
ISBN de la colecci´ on on 978 968 6708 73-8 ISBN del volumen 978 968 6708 74-5 Primera Primera edici´ on on 2008 Impreso en China
Portada: Lucila Montoya Garc Gar c´ıa Cuidado Cuidado editorial: editorial: Concepci´ Concepci´ on on Asuar Todo el material de este libro se encuentra en l´ınea en la direcci´ on: on: http:\\canek.azc.uam.mx
Universidad Aut´ onoma Metropolitana onoma Rector general Dr. Jos´ e Lema Labadie Secretario general Mtro. Luis Javier Melgoza Valdivia Valdivia Universidad Aut´ onoma Metropolitana-Azcapotzalco onoma Rector Dr. Adri´ an an de Garay S´ anchez anchez Secretaria Dra. Sylvie Sylvie Turpin Marion Director de la Divisi´ on on de Ciencias B´ asicas asic as e Ingenie Inge nier´ r´ ıa ıa ´ Mtro. Mt ro. Jos´ Jo s´ e Angel Ange l Rocha Ro cha Mart´ınez ıne z Jefe del Departamento de Ciencias B´asicas asicas Dr. Luis Enrique Enrique Nore˜ na na Franco c
Dr. Ignacio Canals Canals Navarrete Navarrete M. en C. Ernesto Javier Espinosa Herrera M. en C. Manuel Meda Vidal Dr. Rafael P´ erez erez Flores y Dr. Carlos Carl os Antonio Ant onio Ul´ın ın Jim´ J im´enez enez
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Departamento Departamento de Ciencias B´ asicas asicas Divisi´ on on de Ciencias B´ asicas asi cas e Ingen I ngenier´ ier´ıa ıa Unidad Azcapotzalco Universidad Aut´ onoma Metropolitana onoma Av. San Pablo 180, col. Reynosa Reynosa Tamaulip Tamaulipas as Deleg. Azcapotzalco, C.P. C.P. 02200 M´ exico exico D.F.
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Revert´ e Ediciones, S.A. S. A. de C.V. R´ıo P´anuco, anuco, 141, col. Cuaht´ emoc emoc Deleg. Cuaht´ emoc, emoc, C.P. 06500 M´ exico exi co D.F. D. F.
ISBN de la colecci´ on on 978 968 6708 73-8 ISBN del volumen 978 968 6708 74-5 Primera Primera edici´ on on 2008 Impreso en China
Portada: Lucila Montoya Garc Gar c´ıa Cuidado Cuidado editorial: editorial: Concepci´ Concepci´ on on Asuar Todo el material de este libro se encuentra en l´ınea en la direcci´ on: on: http:\\canek.azc.uam.mx
´ Indice
Pr´ ologo ologo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
Introducci´ Int roducci´ on on Cap Ca p´ ıtul ıt ulo o 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI I I Loss n´ Lo umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . umeros
1.1 1.2 1.3
Algunos Algunos tipos de n´ umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaci´on on geom´etrica etri ca de los lo s n´ umeros reales . . . . . . Propiedades algebraicas de los n´ umeros reales . . . . . . . . 1.3.1 1. 3.1 Propiedades b´ asi asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Cons Consec ecue uenc ncias ias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Factorizaci´ actorizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Orden de los n´umeros umeros reales reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Tipos de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Operaciones con intervalos . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Resoluci´on de desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Desigualdades tipo ax + b 0 con a = 0 & b R . 1.7.2 Desigualdades tipo ax + b cx + d . . . . . . . . . 1.7.3 Desigualdades tipo a1 x + b1 a2 x + b2 a 3 x + b3 M con M > 0 . . . . 1.7.4 Desigualdades tipo ax + b 1.7.5 Desigualdades tipo ax + b M con M > 0 . . . . ax + b 1.7.6 Desigualdades tipo 0. . . . . . . . . . . . cx + d ax + b k . . . . . . . . . . . . 1.7.7 Desigualdades tipo cx + d 1.7.8 Desigualdades tipo ax2 + bx + c 0 con a = 0 . . . 1.8 Ap´endice ice del cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Igualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| |
≥ ≥ ≥ |≤ |≥ ≥ ≥
∈
≥
≥
VII
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1 4 5 5 7 12 14 20 20 23 26 33 34 37 40 44 46
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
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51
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53 66 66 67 70
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1
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VIII
C´ alculo diferencial e integral I 1.8.4
Cap´ ıtulo 2
Otras desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Funci´ on real de una variable real . . . . . . ´ 2.3 Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . 2.4 Composici´on de funciones . . . . . . . . . . 2.5 Gr´ afica de una funci´on real de variable real 2.6 Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Funciones mon´otonas . . . . . . . . 2.6.2 Funciones pares e impares . . . . . 2.6.3 Funci´on lineal . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Funci´on cuadr´atica . . . . . . . . . 2.6.5 Funciones polinomiales . . . . . . . 2.6.6 Funciones racionales y algebraicas . 2.6.7 Funci´on definida por partes . . . . 2.7 Transformaciones de funciones . . . . . . . . 2.8 Modelando con funciones . . . . . . . . . . . Cap´ ıtulo 3
L´ ımites
. . . . . . . . . . . . . . .
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4.1 4.2 4.3
5.3 5.4
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. 73 . 75 . 77 . 79 . 82 . 90 . 91 . 92 . 95 . 96 . 98 . 99 . 101 . 111 . 124
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140 143 156 162 172 183 183 186
Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
La derivada
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
La recta tangente . . . . . . . La derivada de una funci´ on . 5.2.1 La regla de los cuatro Velocidad instant´ anea . . . . La derivada y la continuidad .
Cap´ ıtulo 6
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
. . . . . . . . . . . . . . .
Continuidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Tipos de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Continuidad en intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Cap´ ıtulo 5
5.1 5.2
. . . . . . . . . . . . . . .
73
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.2 Algebra de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 L´ımites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Ap´endice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Criterio –δ para l´ımite de una funci´on 3.6.2 Algo m´ as sobre l´ımites infinitos . . . . Cap´ ıtulo 4
. . . . . . . . . . . . . . .
71
. . . . . . . . pasos . . . . . . . .
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237 247 251 254 264
Reglas de derivaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Reglas b´ asicas de derivaci´on Regla de la cadena . . . . . Derivadas laterales . . . . . Derivadas infinitas . . . . . Derivadas de orden superior Derivaci´on impl´ıcita . . . .
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267 276 286 288 292 294
´Indice
IX
Cap´ ıtulo 7
Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Cap´ ıtulo 8
Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
8.1 8.2 8.3
Derivabilidad y monoton´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 M´ aximos y m´ınimos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Cap´ ıtulo 9
Gr´ afica de una funci´ on
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.1 Bosquejo de la gr´ afica de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 9.2 Interpretaci´on de gr´aficas y s´ımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Cap´ ıtulo 10
Optimizaci´ on
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.1 Problemas de optimizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Anexo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
Soluciones Soluciones Soluciones Soluciones Soluciones Soluciones Soluciones Soluciones Soluciones Soluciones
a los ejercicios a los ejercicios a los ejercicios a los ejercicios a los ejercicios a los ejercicios a los ejercicios a los ejercicios a los ejercicios a los ejercicios
del del del del del del del del del del
cap´ıtulo 1 . cap´ıtulo 2 . cap´ıtulo 3 . cap´ıtulo 4 . cap´ıtulo 5 . cap´ıtulo 6 . cap´ıtulo 7 . cap´ıtulo 8 . cap´ıtulo 9 . cap´ıtulo 10
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393 400 413 418 427 428 430 431 432 441
Pr´ ologo
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero sin excederse en ello.
Albert Einstein
C´alculo diferencial e integral I es un libro confeccionado para los estudiantes de primer ingreso a la Divisi´on de Ciencias B´asicas e Ingenier´ıa de la Universidad Aut´onoma Metropolitana (Azcapotzalco). Se trata de un material pensado especialmente para coadyuvar con el aprendizaje de c´alculo en los estudiantes procedentes de bachillerato (o del nivel medio superior: preparatorias p´ublicas o privadas, Colegio de Bachilleres, Cecyt del IPN, etc.), que inician la formaci´on profesional en ingenier´ıa. Sin perder el rigorismo, pero tampoco exager´andolo, se ha tratado de definir con claridad los conceptos que conforman cada uno de los temas. De la misma manera, se presenta un gran n´ umero de ejemplos y ejercicios desarrollados con bastante detalle. En cada uno de los cap´ıtulos del libro, hemos contemplado una did´actica que atienda la formaci´on previa tan dis´ımbola de los estudiantes. Este material especialmente se ha nutrido con nuestra experiencia de ense˜nanza de C´alculo diferencial a los estudiantes de la UAM. Todos los autores hemos impartido esa materia en muchas ocasiones; tanto en el sistema tradicional como en el sistema de aprendizaje individualizado (SAI), hemos expuesto en forma sucinta la teor´ıa haciendo participar a los alumnos y resolviendo un gran n´ umero de ejercicios similares a los que se proponen en las evaluaciones parciales, globales y de recuperaci´on publicados por la UAM y que tambi´ en se encuentran disponibles en internet en la direcci´ on http: canek.azc.uam.mx. Para nosotros el alumno es el centro fundamental de la ense˜nanza, por lo que deseamos que con este material adquiera las bases necesarias para seguir aprendiendo y asimilando los nuevos conceptos durante su formaci´on en ingenier´ıa.
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XI
Introducci´ on
Este libro contiene los temas b´ asicos de un primer curso de C´alculo diferencial. Durante el proceso de elaboraci´on de este material, siempre estuvo presente la idea de presentar, tanto la teor´ıa como los ejercicios, en forma asequible para cualquier estudiante de nuevo ingreso en escuelas de ingenier´ıa, en particular para los alumnos de la Divisi´on de Ciencias B´asicas e Ingenier´ıa de la UAM-Azcapotzalco. Por esta raz´ on, como elementos did´acticos para la comprensi´on de los contenidos, se ha incluido un n´umero muy grande de apoyos visuales, concretados principalmente en gr´aficas, ejemplos y ejercicios. Hemos puesto atenci´ on en una did´ actica que desarrolle los procesos de abstracci´on impl´ıcitos en el contenido matem´atico presentado en todos los cap´ıtulos que a continuaci´ on describimos. umeros reales, trata sobre el universo donde se desarrolla esta parte de la matem´atica El primer cap´ıtulo, Los n´ denominada c´alculo diferencial. Se presentan los n´ umeros reales destacando sus subconjuntos: los n´umeros naturales, los enteros, los racionales y los irracionales. Se hace ´enfasis en la ubicaci´on de ´estos en una recta horizontal, en sus propiedades algebraicas y en su orden. Por la gran utilidad que tiene en el estudio del c´ alculo se muestra el proceso de soluci´on de diferentes tipos de desigualdades.
El segundo cap´ıtulo, Funciones , centra la atenci´on en uno de los elementos fundamentales de la matem´atica: el concepto de funci´on y, como caso particular, el de funci´on real de variable real. De ellas damos una representaci´on gr´afica, definimos operaciones incluyendo la composici´on y se explica la manera de transformar funciones obteniendo nuevas funciones a partir de una conocida. Clasificamos las funciones como sigue: funciones mon´otonas, pares e impares, lineales, cuadr´aticas, c´ ubicas, polinomiales, racionales y algebraicas. Analizamos tambi´en las funciones definidadas por partes. Por ´ultimo se muestra c´omo se usan las funciones para representar o modelar situaciones de la vida real. En el tercer cap´ıtulo, L´ımites , presentamos otro concepto fundamental del c´alculo: el l´ımite de una funci´on. En ´el encuentra el lector el ´algebra de l´ımites, l´ımites laterales, infinitos y en infinito. En el cuarto cap´ıtulo, Continuidad , se utiliza el concepto de l´ımite de una funci´ on para tipificar las funciones continuas. Desglosamos las diferentes formas en las que una funci´on puede no ser continua. En el quinto cap´ıtulo, La derivada , utilizamos nuevamente el concepto de l´ımite para definir otro concepto fundamental del c´alculo: la derivada de una funci´on. Se hace hincapi´ e en la derivada como raz´ on de cambio instant´ anea de una funci´on. Posteriormente definimos en particular la recta tangente a una curva y la XIII
XIV
C´ alculo diferencial e integral I
velocidad instant´ a nea de un m´ovil. Puntualizamos la relaci´ on entre derivabilidad y continuidad de una funci´ on. on , desarrollamos lo siguiente: puesto que la derivada es un l´ımite, En el sexto cap´ıtulo, Reglas de derivaci´ y que en general es dif´ıcil o por lo menos laborioso calcular l´ımites, se presentan distintas reglas que nos permiten calcular la derivada mediante la mera aplicaci´on de f´ ormulas. Se resalta en particular la regla que nos permite determinar la derivada de una composici´on de funciones (regla de la cadena) y la derivaci´ on de una funci´ on definida impl´ıcitamente.
En el s´eptimo cap´ıtulo, Razones de cambio relacionadas , calculamos la derivada o raz´ on de cambio instant´ anea de una funci´on a partir de una expresi´on que vincula la funci´on que derivamos con otras funciones presentes en el contexto de un problema. En el octavo cap´ıtulo, Aplicaciones de la derivada , se muestra el uso de la derivada para encontrar cu´ando una funci´ on crece o decrece (tipo de monoton´ıa), para calcular y clasificar sus puntos cr´ıticos (m´aximos y m´ınimos) y para describir los intervalos de concavidad de la funci´ on. afica de una funci´ on , se articula un gran n´ En el noveno cap´ıtulo, Gr´ umero de conceptos presentados en los cap´ıtulos anteriores para determinar el comportamiento de una funci´ on en su dominio y representar la gr´ afica de la funci´on con mayor precisi´on. on , culminamos nuestro estudio con el an´ En el d´ecimo cap´ıtulo, Optimizaci´ alisis de una situaci´on real, la cual modelamos mediante una funci´ on real de variable real. De esta funci´on se determina d´onde alcanza sus valores extremos (su m´aximo y su m´ınimo). Es decir, optimizamos un modelo que representa un proceso real.
Por u ´ ltimo, en el anexo, Soluciones a los ejercicios , proporcionamos al lector las soluciones a todos los ejercicios que aparecen en este libro.
cap´ ıtulo
1 Los n´ umeros reales
OBJETIVOS PARTICULARES 1. Identificar y ubicar en la recta num´erica a los n´ umeros reales (naturales, enteros, racionales e irracionales). 2. Aplicar la notaci´on de intervalos y operar con ellos. 3. Aplicar propiedades algebraicas y de orden de los n´umeros reales. 4. Aplicar propiedades b´asicas del valor absoluto de un n´umero real. 5. Resolver desigualdades de los tipos siguientes: ax + b
≥ 0;
ax + b
≥ cx + d; a x + b ≥ a x + b ≥ a x + b ; ax + b + b 0 & | ax + b | ≤ M & | ax + b | ≥ M con M > 0; ax ≥ ≥ k ; cx + d cx + d = a ax + bx + c ≥ 0 & a x + b x + c ≥ a x + b x + c con a (y las correspondientes para >, < y ≤). 2
1.1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
1
Algunos tipos de n´ umeros
El conjunto de los n´umeros naturales o enteros positivos N es: N =
{ 1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . . } ;
´estos son una parte de los n´ umeros enteros Z : Z =
{ . . . , −(n + 1), −n, . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n , n + 1, . . . } . 1
2
2
C´ alculo diferencial e integral I
A los n´ umeros Z − = . . . , (n + 1), n, . . . , 3, 2, 1 se les conoce como enteros negativos por lo que vemos que los n´umeros enteros est´an constituidos por los naturales, el cero y los enteros negativos, esto es, en s´ımbolos: Z = Z− N. 0
{
−
−
− − −}
∪{ }∪
Expresi´on que se lee: el conjunto de los n´umeros enteros Z es igual al conjunto de los n´umeros enteros negativos Z − uni´ on con el cero, uni´on con el conjunto de los n´ umeros naturales. A su vez, los n´umeros enteros son una parte de los n´ umeros racionales Q : Q =
p p q
& q
∈Z
∈ N
.
Esta u ´ltima expresi´on se lee: Q es igual al conjunto de los n´umeros de la forma
p tales que p es un entero q
y q un natural. N´otese que al ser q natural no puede ser 0. a na 2a 3a , o bien , . . . , o bien Observemos que todo n´ umero entero a se puede escribir como , o bien , n 1 2 3 para cualquier n´umero natural n de donde se sigue claramente que los n´umeros enteros son una parte de los n´ umeros racionales. Es decir tenemos que Z Q.
⊂
Usando la notaci´on decimal, todo n´ umero racional se puede escribir como una expresi´on decimal peri´odica, por ejemplo: 1 1 = 0.333, = 0 .3; = 0 .5000, = 0 .50 = 0.5; 3 2 1 = 0.142857142857, = 0.142857. 7
· · ·
· · ·
· · ·
La representaci´on decimal de un n´ umero racional q . Ejemplificamos con el racional
4 : 7
p se obtiene dividiendo el numerador p entre el denominador q
0.571428 7
40 50 10 30 20 60 4
Como los diferentes residuos tienen que ser cero o un natural menor que el divisor 7, a lo m´as tendremos 7 residuos diferentes, entonces si continuamos el proceso de dividir m´as de 7 veces, necesariamente nos tiene que aparecer un residuo repetido y a partir de ´el tambi´en se producir´an exactamente las mismas cifras en el cociente, por lo que la representaci´on decimal ser´a efectivamente peri´odica. 4 = 0 .571428. 7 Otros n´ umeros son los irracionales I , es decir, aquellos cuyas expresiones decimales son no peri´odicas, como por ejemplo: 2 = 1.414213562 . . . ; π = 3.141592653589 . . . ; e = 2.718281828 . . .
√
1.1 Algunos tipos de n´ umeros
3
Los n´ umeros racionales Q y los irracionales I constituyen los n´ umeros reales R . Esto es: R = Q
∪ I .
Que visualizamos as´ı:
Q
Z
R I
N
agina 393 Ejercicios 1.1.1 Soluciones en la p´
Expresar el n´umero racional dado mediante una expresi´on decimal finita (es decir, con periodo 0) o bien peri´odica infinita: 1.
3 . 8
4.
17 . 3
7.
1 . 10
2.
5 . 6
5.
−100 .
8.
1 1 = 2. 100 10
3.
−8 .
6.
25 . 22
9.
1 con n 10n
125
9
∈ N.
10. D´e un ejemplo de n´ umero entero no natural. 11. D´e un ejemplo de n´ umero racional no entero. 12. ¿C´ omo har´ıa para hallar la representaci´on decimal de un n´ umero racional de la forma
p con p entero q
y q natural? 13. Transforme la representaci´on decimal peri´odica 0.3 en racional de la forma
p con p entero y q natural. q
p con p entero y q natural. q p con p entero y q 15. Transforme la representaci´on decimal peri´odica 0.142857 en racional de la forma q
14. Transforme la representaci´on decimal peri´odica 0.50 en racional de la forma
natural. 16. Transforme la representaci´on decimal peri´odica 0.13 en racional de la forma
p con p entero y q natural. q
p con p entero y q natural. q p 18. Transforme la representaci´on decimal peri´odica 0.3123 en racional de la forma con p entero y q q
17. Transforme la representaci´on decimal peri´odica 0.212 en racional de la forma
natural.
4
C´ alculo diferencial e integral I
1.2
Representaci´ on geom´ etrica de los n´ umeros reales
A los n´ umeros reales se les suele representar (o ubicar) en un eje, es decir, en una recta en la cual hay un punto fijo 0 llamado origen, una unidad de longitud convencional y un sentido. Si a partir del origen marcamos la unidad de longitud consecutivamente en el sentido del eje, obtendremos una sucesi´on de puntos cuya distancia al origen es, respectivamente, 1 , 2, 3, . . .; (estos puntos representan a los n´ umeros naturales).
0
1
2
3
Los sim´etricos de estos puntos con respecto al origen, es decir, los puntos que se obtienen al marcar repetidamente la unidad de longitud en el sentido contrario al del eje, representan a los n´umeros negativos.
-3
-2
-1
0
1
2
3
p si p q
Adem´ as hay puntos en el eje cuya distancia al origen es el racional
∈ N ∪ { 0 } o −q p
si p
∈
Z−
(q N ). Es decir, si dividimos la unidad de longitud en q partes iguales y tomamos p de ellas en el sentido del eje, si p es natural y en el sentido opuesto si es entero negativo, encontramos un punto cuya distancia al p p origen es o dependiendo de si p es natural o entero negativo.
∈
q
− q
− 12
-3
-2
-1
1
5
2
3
0
1
2
3
1 3
Adem´ as de los puntos cuya distancia al origen es un n´umero racional, tambi´en se encuentran puntos cuya distancia al origen es un irracional. Por ejemplo si representamos un tri´ angulo rect´angulo is´osceles cuyos catetos midan 1, por el teorema de Pit´agoras, la hipotenusa mide 12 + 12 = 1 + 1 = 2; entonces podemos marcar un punto cuya distancia al origen sea precisamente 2.
√ √
√
y
√
2 1
x
√
2
-2
-1
0
1
2
√
1.3 Propiedades algebraicas de los n´umeros reales
5
Los n´ umeros reales com´ unmente se representan con letras min´usculas. De esta manera a cada n´umero real positivo r le hacemos corresponder el punto P cuya distancia al origen es dicho n´ umero r. Al real negativo r le hacemos corresponder el punto P que es el sim´etrico de P con respecto al origen.
−
P
P
−r
0
r
A todo punto del eje le corresponde un n´umero real asociado a la distancia del punto al origen y a dos n´ umeros reales diferentes les corresponden dos puntos distintos. Por esta correspondencia biun´ıvoca entre los n´umeros reales y los puntos de un eje, es usual referirse indistintamente a un n´ umero real o a un punto. Es costumbre dibujar horizontal al eje y considerar positivo el sentido de izquierda a derecha. Por eso se usan expresiones como “a la derecha” o “a la izquierda”. agina 393 Ejercicios 1.2.1 Soluciones en la p´
1. ¿Cu´ando se dice que 2 puntos A y A son sim´etricos con respecto a un tercero O ? 2. Dados dos puntos A y O ¿c´ omo hallar´ıa el sim´etrico de A con respecto a O ? 3. Con regla y comp´as ¿c´omo divide un segmento en 2 partes iguales? 4. Con regla y comp´as ¿c´omo divide un segmento en 3 partes iguales? 5. ¿C´ omo dividir´ıa un segmento en q partes iguales (donde q es un n´ umero natural)? 6. ¿C´ omo hallar´ıa el punto en el eje real que le corresponde al n´umero racional
− 53 ?
7. ¿C´ omo hallar´ıa el punto en el eje real que le corresponde al n´umero racional
p donde p q
8. ¿C´ omo hallar´ıa el punto en el eje real que le corresponde al n´umero irracional
√ 5?
9. ¿C´ omo hallar´ıa el punto en el eje real que le corresponde al n´umero irracional
√ 3?
1.3 1.3.1
∈ Z y q ∈ N ?
Propiedades algebraicas de los n´ umeros reales Propiedades b´ asicas
En los n´ umeros reales se definen dos operaciones, adici´on y multiplicaci´on, las cuales tienen ciertas propiedades:
6
C´ alculo diferencial e integral I
Propiedades
Adici´ on
Multiplicaci´ on
Conmutatividad
a + b = b + a
a b = b a
Asociatividad
(a + b ) + c = a + (b + c)
(a b) c = a (b c)
Existencia del elemento neutro
a + 0 = a
a 1 = a
Existencia del elemento inverso
a + ( a) = 0
·
·
· ·
· a · a−
1
−
· ·
= 1 si a = 0
Propiedad distributiva de la multiplicaci´on con respecto a la adici´on a
× (b + c) = (a × b) + (a × c)
Al producto de dos n´ umeros reales a, b lo denotaremos indistintamente poniendo punto entre ellos: a b , o : a b o simplemente yuxtaponi´endolos: a b.
·
× × • Conmutativa.
Ejemplos:
1. 8 + 2 = 2 + 8.
4. 3
× 6 = 6 × 3. 5. a × 5 = 5 × a.
2. a + 3 = 3 + a. 3. x2
2
− 1 = −1 + x .
• Asociativa.
Ejemplos:
1. (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). 2. (a + 7) + g = a + (7 + g). 3. (y2 + c) + 2 = y 2 + (c + 2).
4. (3
× 6) × z = 3 × (6 × z). 5. (5 × x ) × 9 = 5 × (x × 9). 6. y × f ) × h = y × (f × h ). 2
2
2
• Existencia del elemento neutro. Ejemplos:
1. 5 + 0 = 5. 2. (a + c) + 0 = a + c. 3. (ya) + 0 = ya .
4. 8
× 1 = 8. 5. (g + h) × 1 = g + h . 6. (g × h) × 1 = g × h.
• Existencia del elemento inverso. Ejemplos:
1. 7 + ( 7) = 0.
− 2. c + (−c) = 0. 3. 3b + (−3b) = 0.
4. 4
1
× 4− = 1. 5. 15 × 15− = 1. 6. h × h− = 1 si h = 0. 1
1
2
1.3 Propiedades algebraicas de los n´umeros reales
7
• Propiedad distributiva de la multiplicaci´on con respecto a la adici´on. Ejemplos:
1. 7
× (a + h) = (7 × a) + (7 × h) o bien 7(a + h) = 7a + 7h. 2. b × (5 + c) = ( b × 5) + (b × c) o bien b(5 + c) = 5b + bc. 3. f × h × (g + b) = [(f × h) × g] + [(f × h) × b] o bien (fh)(g + b) = (fh)g + ( fh)b. • Expresiones tales como: {[(a + b) + c] + d} + e + · · ·
o bien
{[(a · b) · c] · d} · e · ...
o bien
a b c d e
se escriben simplemente as´ı: a + b + c + d + e +
···
· · · · · ...
pues son equivalentes y no se prestan a confusi´on. Ejemplos:
1. [(3 + a) + g ] + 7b + 5
{ } − d = 3 + a + g + 7 b + 5 − d. 2. {[(7 · a) · c] · d} · 2 · a · c = 7 · a · c · d · 2 · a · c. 1.3.2
Consecuencias
Sean a,b,c,d,
· · · n´umeros reales:
• a + b = a + c ⇒ b = c. Esta expresi´on se lee: si a + b = a + c, entonces b = c . Es decir, se puede cancelar un mismo t´ermino de los dos miembros de una igualdad.
• a · 0 = 0. • a · b = a · c & a = 0 ⇒ b = c. N´ otese que no podemos cancelar el 0 como factor, pues entonces tendr´ıamos aberraciones del tipo siguiente: 0 1 = 0 & 0 2 =0 0 1= 0 2 1 = 2.
·
• a · b = 0 ⇒
·
⇒ ·
· ⇒
a = 0 o bien b = 0.
Esta propiedad se usa para resolver ecuaciones: si logramos factorizar un polinomio de grado n, P (x) = Q (x)R(x)
entonces, resolver la ecuaci´ on P (x) = 0 es lo mismo que resolver las dos ecuaciones Q (x) = 0 y R (x) = 0 que no son de grado mayor que n. Ejemplo:
Se tiene que x 2
− 3x − 10 = (x − 5)(x + 2); (x − 5)(x + 2) = 0 ⇒ x − 5 = 0 o bien x + 2 = 0 ⇒ x = 5 o bien x = −2.
8
C´ alculo diferencial e integral I
Se definen la sustracci´on y la divisi´ on como: def
• a − b = a + (−b). • ab = a · b− con b = 0. def
1
Algunas igualdades importantes son:
•
1 a
= a −1 si a = 0.
Ejemplos:
1. 2.
1 = 3−1 . 3 1 ab
= ( ab)−1 si ab = 0.
• a − b = 0 ⇔
a = b (esta expresi´ on se lee: a
− b = 0 si y solamente si a = b).
Ejemplos:
1. a
− 5 = 0 ⇔ a = 5. 2. a + b − z = 0 ⇔ a + b = z . • ab = 1 ⇔ a = b con b = 0. Ejemplos:
1. 2. 3.
2 c z
6
=1
⇔
=1
ac =1 h
c = 2.
⇔ z = 6. ⇔ ac = h con h = 0.
• −0 = 0. • 1− = 1. • −(−a) = a. 1
Ejemplos:
1.
− (−10) = 10. 2. − [−(h × g)] = h × g. • (a− )− = a con a = 0. 1
3.
−[−(a + b)] = a + b.
1
Ejemplos:
1. (3−1 )−1 = 3. 2. [(a
1
1
× b)− ]−
3. [(8+ a)−1 ]−1 = 8 + a. = a
× b.
1.3 Propiedades algebraicas de los n´umeros reales
9
• −(a + b) = −a − b. Ejemplos:
1.
− (2 + 4) = −2 − 4. 2. − (5 + c) = −5 − c. • (a × b)− = a− × b− . 1
1
1
Ejemplos: 1
1. (3
1
1
× g)− = 3− × g− . 2. [(b + c ) × f ]− = ( b + c )− × f − . • a(−b) = (−a)b = −(ab) “m´as por menos es menos”, “menos por m´as es menos”. 1
1
1
Ejemplos:
1. ( c)
− × h = −(c × h) = c × (−h). 2. (−3) × g = −(3 × g) = 3 × (−g). 3. (−1) × (5 + c) = −[1 × (5 + c)] = 1 × [−(5 + c )] = −(5 + c ). • (a − b) × c = (a × c) − (b × c) propiedad distributiva de la multiplicaci´on con respecto a la sustracci´on. Ejemplos:
1. (3
− z) × g = (3 × g) − (z × g). 2. [(f × h) − y] × 2 = [(f × h) × 2] − (y × 2). • (−a)(−b) = a · b “menos por menos es m´as”. Ejemplos:
1. ( 5)( 3) = (5)(3) = 15.
− − 2. (−z )(−6) = (z )(6). • ab = dc ⇔ a × d = b × c donde b × d = 0. Ejemplos:
1. 2.
a
2 7 c
= =
b
5
⇔ 5a = 2b.
h f
⇔
7f = ch donde cf = 0.
• ab ± dc = (a × db) ×± d(b × c) donde b × d = 0. Ejemplos:
1. 2.
7 4
− (4)(2) = 21 − 8 = 13 . − 23 = (7)(3)(4)(3) 12 12 2 c (2 × 5) + (a × c) 10 + (a × c) + = = donde a = 0. a a×5 5 5×a
10
C´ alculo diferencial e integral I
• ab × dc = ab ×× dc donde b × d = 0. Ejemplos:
4 3×4 12 = = donde z × f = 0. × z f z × f f × z 8×a h 8×a×h × 2. = donde b = 0. b 5 5×b a • bc = ab ×× cd donde b × d × c = 0. 1.
3
d
Ejemplos:
3a (3a)7 21a 1. 5c = = donde c = 0. 5c 5c 7
2 2 f 2. g = f
× h donde f × g × h = 0. × g
h
• −ab = −ab = −ba donde b = 0 “m´as entre menos es menos”, “menos entre m´as es menos”. Ejemplos:
c −c − −9 9 = 9 . f × z f × z −(f × z ) 2. = − = donde d = 0. −d d d • −−ab = ab donde b = 0 “menos entre menos es m´as”.
1.
c
=
Ejemplos:
−2 = 2 . −(ac) = ac donde bd = 0. 3. −7 7 −(bd) bd −z = z donde b = 0. 2. −b b • aa ×× cb = cb donde a × c = 0, de numerador y denominador se puede cancelar el mismo factor siempre 1.
que ´este sea diferente de cero. Ejemplos:
1. 2.
4 4
× g = g donde h = 0. ×h h a × g × f a×g = donde f = 0. 5 × f 5
• Si n es un n´umero natural, se definen: a
n
=
a an−1
·
si n = 1; a si n > 1;
esima potencia de a . n es el exponente, a es la base y an es la en´
1.3 Propiedades algebraicas de los n´umeros reales
11
Ejemplos:
0
1. a1 = a .
4. 62 = 61
2. 21 = 2.
5. a3 = a 2
3. a2 = a 1
6. 93 = 92
=1
•a
× a = a × a. (con a = 0).
× 6 = 6 × 6 = 36. × a. × 9 = 729.
Ejemplos:
1.
0
4. (3 + a)0 = 1.
= 1.
2. 30 = 1.
5. (c
3. (a + b)0 = 1.
• a−
n def
= (a−1)n = ( an )−1 =
1 an
(con a = 0).
Ejemplos:
1 1. b−2 = (b−1)2 = (b2 )−1 = 2 . b
1 2. 7−3 = (7 −1 )3 = (73 )−1 = 3 . 7
• √ a = b ⇒ b n
n
= a (si n es par entonces a
≥ 0).
Ejemplos:
1.
√ a = b ⇒ b
2
2
= a .
2. En la ra´ız cuadrada poner el ´ındice
√ c = 4 ⇒ 4 = 16 = c . √ 3. a + c = d ⇒ d = a + c . • Si n es impar b = a ⇒ √ a = b. 2
3
3
n
n
Ejemplo:
⇒ √ a + c = d . ∈ Q.
1. d3 = a + c
•a
m def n =
√ a n
m
si
m n
3
Ejemplos:
√ 2 =2 . √ 2. π = π = π • √ a · b = √ a · √ b. √ a a • b = √ b . 1.
3
5
2
6
n
n
n
n
n
5 3
6 2
n
0
= 1.
0
= 1.
× d) 6. (8 × 2)
3
.
2
es opcional:
12
C´ alculo diferencial e integral I
Propiedades de los exponentes. Si r & s son n´ umeros racionales: r
• (a × b)
= a r
r
× b . Una potencia de un producto es el producto de las potencias de los factores:
Ejemplos:
1. (3
2
= 32
2
2
×a . 2. [(a + b) × c] = (a + b) × c .
r
• a ·a
s
× a)
2
×a
=9
2
3. (3
2
× 2)
2 5
2
= 35
× 2
2 5
.
= a r+s . Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes.
Ejemplos:
1. a2
3
2+3
5
× a = a = a . 2. b × b = b × b = b = b . 3. (3 × a) × (3 × a) = (3 × a) × (3 × a) = (3 × a) = (3 × a) . = a − si a = 0. Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes. 1
1
1+1
2
r
• aa • (a ) s
r s
2
2
1
2+1
3
r s
= a r·s . Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes.
Ejemplos:
1. (a2 )2 = a 2×2 = a 4 .
3. (71 )2 = 71×2 = 7 2 = 49.
2. (b3)4 = b 3×4 = b 12 .
4. [(a + b )2]3 = (a + b )2×3 = (a + b)6 .
Estas propiedades tambi´en son ciertas en el caso de exponentes irracionales pero eso lo veremos posteriormente. agina 394 Ejercicios 1.3.1 Soluciones en la p´
Simplificar las expresiones num´ericas siguientes 3 4 1. + 2 3 2. 3.
−
2 . 5
4.
− − − 3 8 4 5
1.3.3
4 . 15
8 15
−1
5.
− − 2 3 + 3 5
3 2
3 2
3 1 + 2 4
2 3
4
.
5 . 3
−1
.
2
6. (16) 5 (8)− 5 .
Factorizaci´ on
Otras igualdades importantes se denominan productos notables que tambi´en se pueden ver como una factorizaci´ on. Por factorizar una expresi´on algebraica se entiende escribirla como un producto. Algunos ejemplos de factorizaci´on son:
• ax ± bx = (a ± b)x.
Sacar factor com´ un, observen que en realidad es la propiedad distributiva de la multiplicaci´ on con respecto a la adici´on o a la sustracci´on. Ejemplos:
1. ax + x = ax + 1 x = (a + 1)x.
3. 5ac + 2acx = (5 + 2x)ac.
2. xb2 + 6b2 = (x + 6) b2 .
4. 6x2 y + 3y = (2x2 + 1)3y.
·
1.3 Propiedades algebraicas de los n´umeros reales 2
• a −b
2
= (a + b )(a
13
− b). Diferencia de cuadrados.
Ejemplos:
1. x2
2
− z = (x + z )(x − z). 2. 4a − 9b = (2 a) − (3b) = (2a + 3b)(2a − 3b). 3. c − 1 = (c + 1)(c − 1). √ √ √ 4. x − 3 = x − ( 3) = (x + 3)(x − 3). 2
2
2
2
2
2
2
•x
2
2
+ (a + b )x + (ab) = ( x + a)(x + b ). Factorizar un trinomio. Ejemplos:
1. x2 + 9x + 14 = x 2 + (2 + 7)x + (2)(7) = (x + 2)(x + 7). 2. x2
2
− 5x − 6 = x + (1 − 6)x + (1)(−6) = (x + 1)(x − 6). 3. x − 11x + 24 = x + (−3 − 8)x + (−3)(−8) = (x − 3)(x − 8). • a ± 2ab + b = (a ± b) . Trinomio cuadrado perfecto. 2
2
2
2
2
Ejemplos:
1. a2 + 2az + z 2 = ( a + z )2 .
3. c2d2 + 2cdz + z 2 = ( cd + z )2 .
2. x2
4. c4 + 8 c2 + 16 = (c2 + 4)2 .
2
− 6x + 9 = (x − 3) . • a ± 3a b + 3ab ± b = (a ± b) . Cubo perfecto. 3
2
2
3
3
Ejemplos:
1. x3 + 3x2 z + 3 xz 2 + z 3 = ( x + z )3 . 2. a3
n
•a
2
3
− 6a + 12a − 8 = (a − 2) . − b = ( a − b)(a − + a − b + a − b + · · · + a b − n
n 1
n 2
n
3 2
2 n
3
+ abn−2 + bn−1 ).
Ejemplo:
(a
n
•a
+ bn
3
− b)
2
= (a
2
− b)(a + ab + b ). = ( a + b)(a − − a − b + a − b − · · · + a b − − ab − n 1
n 2
n
3 2
2 n
3
n 2
+ bn−1 ) si n es impar.
Ejemplo:
(a + b )3 = (a + b)(a2
2
− ab + b ).
Si P (x) es un polinomio de grado n & r es una ra´ız (es decir, P (r) = 0) entonces r )Q(x) donde Q(x) es el cociente de dividir P (x) entre (x r), y es un polinomio de grado
Teorema del residuo.
P (x) = (x n 1.
−
−
−
Ejemplo 1.3.1 P (x) = x 3 6x2 + 11x luego P (x) es divisible entre x 1.
−
−
3
2
− 6; si x = 1 : P (1) = 1 − (6 · 1 )+(11 · 1) − 6 = 1 − 6 + 1 1 − 6 = 0,
14
C´ alculo diferencial e integral I En efecto x2 x
−
x3
1
−x
3
0
− 5x + 6 − 6x + 11x − 6 2
+ x2
2
− 5x
5x 2
+ 11x
− 5x
0 + 6x
−6
−6x + 6 0
Por lo que x 3 6x2 + 11x 6 = ( x 1)(x2 5x + 6). Y el grado de x2 5x + 6 (que es 2) es una unidad menor que el de x 3
−
−
−
−
−
2
− 6x
+ 11x
− 6 (que es 3).
agina 394 Ejercicios 1.3.2 Soluciones en la p´
1. ¿Cu´ales son las soluciones de x2 = a 2 ? 2. Calcule (x + 1)(x + 2)(x + 3). 3. ¿Cu´ales son las soluciones de x3 + 6x2 + 11x + 6 = 0? 4. ¿Puede dar una soluci´on o ra´ız de x3 5. ¿Puede dar una soluci´on o ra´ız de x3
− 8 = 0? − a = 0? 3
6. ¿Puede dar una ra´ız de x 3 + 8 = 0? 7. ¿Puede dar una ra´ız de x 5
− 32 = 0?
8. ¿Puede dar una ra´ız de x 5 + 32 = 0? 9. ¿Puede dar una ra´ız de x 4
1.4
− 81 = 0?
Orden de los n´ umeros reales
Un n´ umero a que pertenezca a los reales ( a
∈ R ) es positivo si est´a a la derecha del cero; esto se denota as´ı: a > 0 o bien 0 < a.
0
Un n´ umero a que pertenezca a los reales ( a as´ı:
a
∈ R ) es negativo si est´a a la izquierda del cero; esto se denota a < 0 o bien 0 > a.
1.4 Orden de los n´ umeros reales
15
a
0
El s´ımbolo > se lee “mayor que”. El s´ımbolo < se lee “menor que”.
a > b o bien b < a
quiere decir que a est´ a a la derecha de b o bien que b est´ a a la izquierda de a ; tambi´en significa que a b > 0.
−
≥ b
quiere decir que a > b o bien que a = b . El s´ımbolo se lee “mayor o igual que”.
≤ b
quiere decir que a < b o bien que a = b . El s´ımbolo se lee “menor o igual que”.
a
≥
a
≤
• Si dos n´umeros reales son positivos se cumple que su suma y su producto tambi´en son n´umeros positivos: a > 0 & b > 0 ⇒ a + b > 0 y tambi´ en a · b > 0 . • Ley de tricotom´ıa. Se cumple una de tres: a∈R ⇒ a>0
o bien
a=0
o bien
a < 0 .
• a > 0 ⇔ −a < 0. −a
0
a
0
−a
Ejemplo:
a = 5 > 0 &
− a = −5 < 0.
• a < 0 ⇔ −a > 0. a
Ejemplo:
a =
−3 < 0
&
− a = 3 > 0.
Es decir, dos puntos sim´etricos representan n´umeros reales con distinto signo. Cualquier expresi´on que contenga uno de los cuatro s´ımbolos > , <,
≥ o bien ≤ se llama desigualdad. Una desigualdad consta de dos miembros, lo que est´ a escrito antes del s´ımbolo > , <, ≥ o bien ≤ se llama primer miembro y lo que est´a escrito despu´es de cualquiera de esos s´ımbolos se llama segundo miembro.
16
C´ alculo diferencial e integral I
Ejemplo 1.4.1 Algunas desigualdades:
− 5 ≤ 6. 2. 3 ≥ 3.
4. x2 < x + 2.
3.
5.
1.
3 x + 1 > 7. 4
3x 1 > 8. 7 + x
−
Dos desigualdades en las que aparece en ambas el s´ımbolo > o bien en ambas el s´ımbolo < se dice que son del mismo sentido.
Ejemplo 1.4.2 Desigualdades del mismo sentido: a > b & d > c. Ejemplo 1.4.3 Desigualdades del mismo sentido: c < d & f < a.
Si en una desigualdad aparece el signo > y en otra el signo < se dice que son de sentidos contrarios. Ejemplo 1.4.4 Desigualdades de sentidos contrarios: a > 7 & b < c.
Algunas propiedades de orden son las siguientes:
• Ley de tricotom´ıa, una de tres: a & b∈ R ⇒ a>b
o bien
a = b
o bien
a < b.
• A los dos miembros de una desigualdad se les puede sumar una misma cantidad y se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que la dada:
a>b & c
∈ R ⇒ a + c > b + c.
Ejemplo:
Sabemos que 7 > 2, entonces sumando 1 a cada miembro de la desigualdad se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que la original: 7 + 1 > 2 + 1. En efecto, 8 > 3.
• Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un n´umero positivo, se preserva el sentido de la desigualdad:
a > b & c > 0
⇒ a · c > b · c.
Ejemplo:
De 5 > 3 se tiene 5 2 > 3 2. En efecto, 10 > 6.
·
·
• Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un n´umero negativo, cambia el sentido de la desigualdad:
a > b & c < 0
⇒ a · c < b · c.
Ejemplo:
De 6 < 8 se tiene (6)( 1) > (8)( 1). En efecto,
−
−
−6 > −8.
• Sumando miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido:
a>b & c>d
⇒ a + c > b + d.
1.4 Orden de los n´ umeros reales
17
Ejemplos:
1. 5 > 4 & 10 > 9
⇒ 5 + 10 > 4 + 9.
En efecto, 15 > 13. 2. 5 > 4 &
− 5 > −10 ⇒ 5 − 5 > 4 − 10. En efecto, 0 > −6. • Transitividad: a > b & b > c ⇒ a > c. c
b
a
Ejemplo:
1. 6 > 4 & 4 > 2
⇒ 6 > 2.
• El cuadrado de cualquier n´umero distinto de cero es positivo: a = 0 ⇒ a > 0 . 2
Ejemplos:
1. El 1 es positivo: 1 = 12 > 0 . 2. a = 4
2
⇒ (4) > 0. En efecto, 16 > 0. 3. a = −5 ⇒ (−5) > 0. En efecto, 25 > 0. • a + 1 > 0 para a ∈ R . • Cualquier potencia de un n´umero positivo es un n´umero positivo: b > 0 ⇒ b > 0 . 2
2
n
Ejemplos:
1. 32 > 0. En efecto, 9 > 0. 1 1 > 0 . 2. 6−2 = 2 > 0. En efecto, 6 36
• Cualquier potencia par de un n´umero negativo es un n´umero positivo: a < 0 ⇒ a > 0 si n es par. n
Ejemplo:
( 4)2 > 0. En efecto, 16 > 0 .
−
• Cualquier potencia impar de un n´umero negativo es un n´umero negativo: a < 0 ⇒ a < 0 si n es impar. n
Ejemplo:
( 4)3 < 0. En efecto,
−
− 64 < 0.
18
C´ alculo diferencial e integral I
• 0 < a < b ⇒ 0 < a
n
< bn .
Ejemplo:
0 < 3 < 5
• a < b < 0 ⇒
⇒
0 < 3 2 < 5 2 . En efecto, 0 < 9 < 25 .
an > b n > 0 n
si n es par; si n es impar.
n
a < b < 0
Ejemplos:
1.
2
2
> 0. En efecto, 16 > 4 > 0 .
3
3
< 0. En efecto,
− 4 < −2 < 0 ⇒ (−4) > (−2) 2. − 4 < −2 < 0 ⇒ (−4) < ( −2) • 0 < a < b ⇒ 0 < √ a < √ b para n ∈ N .
− 64 < −8 < 0.
n
n
Ejemplo:
⇒ 0 < √ 4 < √ 8. En efecto, 0 < 2 < 2.8284. ⇒ √ a < √ b < 0 si n ∈ N es impar. 0 < 4 < 8
• a < b < 0
n
n
Ejemplo:
−64 < −8 < 0 ⇒ √ −64 < √ −8 < 0. En efecto, − 4 < −2 < 0. = a y (−a) = −a con n ∈ N . 3
2n
• (−a)
2n
2n+1
3
2n+1
Ejemplos:
1. Como 6 es par (6 = 2 3), entonces ( 2)6 = 26 = 64.
·
−
2. Como 3 es impar (3 = 2 1 + 1), entonces ( 3)3 = En efecto, 27 = 27.
−
−
·
−
−3
3
.
• Si el producto de dos n´umeros es positivo y uno de ellos es positivo el otro tambi´en lo es: a b > 0 & a > 0
·
⇒ b > 0.
Ejemplo:
(3)(8) > 0 & 3 > 0
⇒ 8 > 0. 1
• El rec´ıproco de un positivo es positivo: a > 0 ⇒ a− > 0. El rec´ıproco de un negativo es negativo: a < 0 ⇒ a− < 0. 1
Ejemplos:
1. 7 > 0 2.
⇒
7−1 > 0. En efecto, 1
− 5 < 0 ⇒ (−5)−
1 > 0 . 7
< 0. En efecto,
1 = 5
1 − < 0 . 5 −
• El cociente de dos n´umeros positivos es positivo: a > 0
& b > 0
⇒
a > 0. b
1.4 Orden de los n´ umeros reales
19
Ejemplo:
2 > 0 & 9 > 0
•
m n
⇒
2 > 0. 9
≤ pq ⇔ mq ≤ np .
agina 394 Ejercicios 1.4.1 Soluciones en la p´
Determinar la relaci´on de orden que hay entre los racionales siguientes: 1.
11 20 y . 5 9
4.
33 . − 103 y − 10
2.
2 8 y . 3 13
5.
2 y − . − 126 315 5
3.
441 7 y . 189 3
6.
6 − 25 y − . 46 11
7. Si a, b son dos n´ umeros reales tales que a2 + b2 = 0, ¿qu´ e se puede inferir acerca de los n´umeros a , b ? 8. Si a, b son n´ umeros reales tales que a
≥ b
& a
≤ b, ¿qu´e se puede inferir acerca de a , b ?
agina 394 Ejercicios 1.4.2 Soluciones en la p´
1. Como 8 > 5, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad: 8 + c ? 5 + c , donde c
∈ R .
2. Como 8 > 5, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad: 8c ?
5c, donde c > 0 .
3. Como 8 > 5, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad: 8c ? 5c, con c < 0 . 4. Como 8 > 5, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad: 8 + 8 ? 5 + 5. 5. Como 5 > 0, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad: 514
? 014 (= 0).
6. Como 5 > 0, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad: 513
? 0.
7. Como 5 > 0, poner el signo que procede (sustituir el ?) en la desigualdad:
−5
?
0.
