Ms Calculo-diferencial Garza

Cálculo diferencial

Cálculo diferencial MANUAL DE SOLUCIONES

B ENJAMÍN G ARZA O LVERA

UNIDAD 1 FUNCIONES

EJERCICIO 1 I. Contesta las siguientes preguntas.

in nitesimales en los cuales di eren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco

1. ¿Qué estudia el cálculo in nitesimal? El cálculo infinitesimal estudia las aplicaciones del cálculo

7. Explica los razonamientos de Isaac Newton sobre el método de las uxiones.

diferencial e integral. 2. ¿Qué aportaciones dieron srcen al cálculo diferencial?

Newton, en el método de las uxiones estudiaba las magnitudes variables introducidas como abstracción de las

diferentes

El cálculo diferencial surge a partir de realizar estudios

formas del movimiento mecánico continuo, las cuales se deno-

sobre el movimiento, es decir, calcular razones de cambio de

minaban uentes. Todos los uentes son variables dependientes

movimiento.

que tienen un argumento común.

3. ¿Cuál es el nombre de los fundadores del cálculo diferencial? Los fundadores del cálculo diferencial son Isaac Newton y Gottfried Leibniz

8. Describe la aportación de Gottfried Leibniz al cálculo diferencial.

dx , la palabra derivada y el dx nombre de ecuaciones diferenciales. Leibniz aportó los términos dx,

4. Cita la aportación de Pierre de Fermat al cálculo diferencial. 9. ¿Qué principios hizo Agustin Louis Cauchy al cálculo La aportación de Pierre de Fermat fue su trabajo referente a los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos. 5. Escribe los conceptos que estableció Nicolás Oresme en el estudio de máximos y mínimos. Nicolás Oresme estableció que en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente. 6. Describe el estudio de Isaac Barrow sobre el triángulo característico.

diferencial? Cauchy aportó las de niciones de función de función y función compuesta. 10. Explica la evolución histórica del cálculo diferencial. El cálculo diferencial se ha desarrollado a través de los años partiendo de la necesidad de resolver dudas sobre el comportamiento de objetos en movimientos, enriqueciéndose con diversos conceptos y simbologías aportadas por un sinnúmero de ilustres matemáticos, consolidándose como una herramienta técnico-

En éste trabajo Isaac Barrow establece que la hipotenusa es un

cientí ca que se utiliza en el análisis de procesos que contienen

arco in nitesimal de curva y que los catetos son incrementos

magnitudes en constante cambio.

EJERCICIO 2 I. Contesta las siguientes preguntas. 1. De ne el concepto de relación. Es la correspondencia de cada elemento de un conjunto con respecto a uno o más elementos de un segundo conjunto.

2. Cita tres ejemplos de relación.

1) Planteando la siguiente igualdad: y  x2, se tiene que para un valor de y le corresponden dos valores de x, donde esta correspondencia se le llama relación.

1 UNIDAD CÁLCUL O DIFERENCIA.L MANUAL DE SOLUCIONES

2) En una carrera de atletismo el tiempo por corredor se escribe en una tabla indicando el nombre y su respectivo tiempo, es decir, el jugador está relacionado con su tiempo. 3) En la cocina de un restaurante se encuentran preparados en la barra de servicio distintos platillos, estos fueron preparados de acuerdo a las comandas que los meseros entregaron, por tanto, cada platillo corresponde a un comanda y a su vez cada comanda corresponde a un comensal.

5) El cubo de un número más uno. Conjunto X

Conjunto Y

1

2

2

9

3

28

4

65

3. De ne el concepto de función. 5. Explica el signi cado del símbolo f (x). La función es la regla por la cual se relacionan los elementos de un conjunto con otro.

A f (x) se le denomina el valor de la función de

x. El cual se

lee f de x. 4. Cita cinco ejemplos de función. 6. ¿Qué es una constante absoluta o numérica?

1) Elevar al cuadrado un número. Es aquella cuyo valor nunca cambia, es decir, conserva su valor Conjunto X

Conjunto Y

1

1

2

4

3

9

solo en un determinado problema permanecerá constante el valor

4

16

asignado, es decir, son cantidades que cambian de valor de un pro-

en cualquier problema. 7. ¿Qué es una constante arbitraria o parámetro? Es aquella a la que se le pueden atribuir valores diferentes y que

blema a otro, pero a lo largo de un problema no cambian.

2) Correspondencia entre las personas que trabajan en una o cina y su peso. Conjunto X

Conjunto Y

Ángela

55

Pedro

88

Manuel

62

8. ¿Qué es una variable independiente o argumento? En una función es la segunda variable a la cual se le asignan valores indistintamente, dentro de los límites que señale el problema en particular. 9. ¿Qué es una variable dependiente o función? Es la primera variable de la función cuyo valor se determina al asignarle un valor especí co a la variable indep endiente.

3) El doble de un número más 3. Conjunto X

Conjunto Y

1

5

2

7

3

9

10. ¿A qué se le denomina intervalo de una variable? Cuando una variable toma valores que están comprendidos entre los extremos del intervalo. 11. ¿Qué es amplitud del intervalo? Son los valores posibles entre los extremos del intervalo que una

4) La mitad de un número.

variable puede tomar.

Conjunto X

Conjunto Y

2

1

4

2

6

3

8

4

12. ¿Cuál es la notación y el signi cado de un intervalo cerrado? La notación usada para representar a un intervalo cerrado es: [a,b] y representa al conjunto de los valores de la variable tales que a ≤ x ≤ b.

[ ab, ] =x{a| ≤x ≤ b

2

}

x

UNIDAD 1 Funciones

13. ¿Cuál es la notación y el signi cado de un intervalo abierto?

1 c) Sustituyendo el valor de x = en la función propuesta se 2 tiene:

La notación usada para representar a un intervalo abierto es: (a,b) y representa al conjunto de los valores de la variable

x 2

3

1 1 1 1 f   = 10 + 12   − 3   − 2    2  2  2 2

tales que a < x < b.

(ab, ) =x{a| < x < b

}

1  1 1 = 10 + 12   − 3   − 2   8 2  4

14. ¿Cuál es la notación y el signi cado de un intervalo in nito?

1

4

4

 1   f  2  = 15

es: (a, +∞) o (−∞ , b) y representa al conjunto de los valores de la variable x tales que ax< <+ ∞ o −∞ xb < < respectivamente.

3

= 10+ − 6 −

La notación usada para representar a un intervalo in nito

Multiplicando por 2:

(a, ∞)= x{a| x< < +∞ }

(−∞, b)=x{ |−∞x< b <

1  2 f   = 30  2

}

Al sustituir el valor de x  2 en la función propuesta se tiene:

15. Explica qué son el dominio y el rango de una función.

+ (12 f ()2 = 10 )− 2() −3()2

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de los primeros elementos (x) de los pares ordenados y se denota por Domf . El rango de una función es el conjunto de todos los

= 10 +

valores de los segundos elementos (y) de los pares ordenados y

2 2

3

24 − − 12

16

f (2) = 6

se denota por Ranf . 16. ¿En qué consiste la regla de asignación o correspondencia?

2

= 10 + 12−(2)− (3) 4 ( )2 8

Multiplicando por 5: 5 f (2) = 30

Consiste en asignar o asociar a cada elemento del dominio con un y sólo un elemento del rango.

1 Entonces, se concluye que 2 f   = 5 f (2). 2

II. Resuelve los siguientes problemas. − 1. Dadaxf ( ) = 10 x+ x x12

−3

2

a) f (1) = 17

2

3

d)tf

d) Sustituyendo el valor de x  t  1 en la función propuesta se tiene:

, demuestra que:

( + 1t)= t − 2−3 9+2

b) f (3) = −35

e) f (−1) = −3

1 c) 2 f   = 5 f (2) 2

f) f (−)2 = −(1 )f 0

17

+ + (− )t +1 f (t +) 1= +10 ( 12 ) (− t )13

2 t

2

31

6

2

9+t 2

2

17

e) Sustituyendo el valor de x  1 en la función propuesta se tiene: 2

+ 12(1) − −3(1) 2 f (1) = 10

3

1

2 −6 −32 − 3− 6 = 101 + + 2t − 123t− t− t t t

f (t + 1)= − 2t−3

a) Sustituyendo el valor de x  1 en la función propuesta se tiene:

2

= 10+ 12+(t − 13 ) + t (+ t 2 − 212 )(t +t t+ +3 ) 3

+ (− f (−)1= 101 )2 − ( 1)− (3−) 1−

2(1)3

= 10 + 12 −(− ) 1 (−)3 1−( ) 2

= 10+ 12 − −3 2

= 10− 12 − +3

f (1) = 17

2

1

3

1

2

f (−1) = −3 b) Sustituyendo e l valor de x  3 en la función propuesta se tiene:

f ) Sustituyendo el valor x  2 de en la función propuesta se tiene:

+ (12 f ()3 = 10 )− 3() −3()3

2

2 3

3

2

+ (− f (−)2 = 101 )2 − ( 2)− (3−) 2−

= 10 + 12−(3)− (3) 9 ( )2 27 = 10 + − 36 −

27

= 10 + − 12 (− ) 2 (−3) 4−( ) 2

81

= 10 − − 24 + 12 16

f (3) = −35

f (−2) = −10

3

2 8

2

3


Sustituyendo el valor x  0 de en la función propuesta se tiene:

+ (12 f ()0 = 10 )− ( 0) −3()0

2

2 0

c) Sustituyendo θ =

2π 3

en la función propuesta, se tiene:

3

 2π   2π  2π  = tan 2  + cot  3   3  3

f 

= 10 + 12−(0)− (3) 0 ( )2 0

⋅

f (0) = 10

 4π  2π = tan   + cot  3 3

Entonces, f (−)2 = −(1 )f 0 . Reescribiendo la funciones en termino se senos y cosenos

2. Si f (θ ) = tan 2 θ + cot θ, demuestra que:

a) f ( 0 ) = ∞

c)

π b) f   = 2 3 6

 2π  2 f  3  = 3

 2π  =  3 

f 

 5π  d) f   = −2 3 6

sen 4 π cos 2π 3 + 3 4π 2π cos sen 3 3 3

−

a) Sustituyendo   0 en la función propuesta, se tiene:

= −

f ()0 = (tan2)

⋅

0 + cot 0

=

sen 0 cos0 0 1

2 1 3

sen 0

+

d) Sustituyendo θ =

π en la función propuesta, se tiene: 6

π  π π f   = tan 2  + cot 6  6 6 ⋅

5π 6

en la función propuesta, se tiene:

 5π   5π  5π  = tan 2  + cot  6   6  6

f 

⋅

 5π  5π = tan   + cot 6 3 Reescribiendo la funciones en términos de senos y cosenos:

π π = tan   + cot 3 6 Reescribiendo la funciones en términos de senos y cosenos:

π

 5π  =  6 

f 

π

=

1

2

3 3

2 + 1

−

cos sen

5π 6 5π 6

3 2 1 2

=− 3− 3

= 2 + 2 2

cos

5π 3 + 5π

2

3

1

sen

−

sen cos π 3+ 6 f   = π π 6 cos sen 3 6 3

2 3

 2π  2 =  3  3

1 0 f ( 0) = ∞

b) Sustituyendo θ =

1

f 

cos 0

+

−

2

= 3−

Reescribiendo la funciones en términos de senos y cosenos:

f ( 0) =

2 + 1

 5π   = −2 3  6 

f 

= 3+ 3

3. Dada φ ( z ) = sen z , demuestra que:

π f   = 2 3 6

φ ( z + 2 h) − φ ( z ) φ ( h)

4

= 2cos ( z + h).

UNIDAD 1 Funciones

φ ( z +) 2h − φ ( z() ) sen z + 2 h − sen ( z ) = φ (z) sen h

= = = =

sen zcos 2 h +cos zsen 2 h − sen

z

sen h sen z 2c cos ( h ( os 2 h −1 )+cos z 2sen

− h)sen

z

sen h 2sen z cos 2 h −sen z +2cos zsen hcos h − sen

z

sen h 2sen z (1 −sen 2 h)−2sen z +2 cos zsen cos h h

sen h

2 h h = 2sen z −2sen z sen h −2sen z +2cos zsen cos

sen h

= =

2cos z sen hcos h −2sen zsen 2 h sen h 2sen h (zcos hcos z−hsen

sen

Entonces,

)

sen h

G x( )+−1 G= x ()G x ())G( − G x (1) ⋅

= 2cos ( z + h)

= G ( x ) (G (1) − 1) ⋅

φ ( z + 2 h) − φ ( z ) φ ( h)

= 2cos ( z + h)

= G ( x ) (5 − 1) ⋅

−x ( )G= Gx( + 1)G x 4( )

4. Dada G ( x ) = 5x , demuestra que:

c) Por el resultado del inciso anterior tenemos que:

a) G (0) = 1

()( ) =x G G x( +) 3 G

⋅

3

)− x ( ) Gx=(4) b) Gx ( + 1G

(()) G x( − )1 = Gx G

⋅

−1

1x c) Gx ( +G )x3−( ) − =G

Entonces,

624

( )

5

3(G− Gx( +)− x)=

1 x)(G− 3 () Gx( )G − () G ⋅

G ( x + 2)

1

⋅

d) G ( x − 1) = G (3)

= G ( x ) (53 − 5−1)

) (y) e) G (z G

 1 = G ( x )125 −   5

⋅

⋅

= Gx( G) ( (3 )G−( ) −1 ⋅

(=z )y + G

a) Sustituyendo el val or x = 0 en la función propuesta: G (0 ) =

= =

=

50

5

G (x)

d) Por el resultado del inciso anterior tenemos que:

51 51 5

=x G()( ) ⋅ G x( +) 2 G (⋅())− G x( − ) 1=G x G

5

G (0 ) = 1

2 1

Entonces,

b) Sustituyendo x = x + 1 el valor en la función propuesta:

G ( x + 2) G ( x ) G (2) = G ( x − 1) G ( x ) G (−1) ⋅

⋅

G ( x + 1) = 5( x +1)

=

= 5x 5 = G ( x ) G (1) ⋅

Generalizando G x( + y)

624

G =x G()( )y

e) Gz Gy( ) ) (=

⋅

⋅

5

52 G (2) = = 53 = G (3) 1 G (−1) 5

z 5y G +)y 5= =z y5(z+ ⋅


b) Sustituyendo los datos indicados:

5. Dada f x ( )x= x2 − − 2, demuestra que:

f ( x)+ h−

f((=x)

2x )h+ −

h 1

Sustituyendo x por x  h y realizando la operación indicada se tiene;

= 2

x2

2 f ( x +) h− f ((= x) + h + ) ( x )−h + −x − +

x

2

= x 2+ 2 xh + − h2 − − x −h +2 +x 2

x

2 x( ) + a + 2+ x +h ⋅

h

2

f((=x )

2x )h+ −

=

h 1

=

 x   , demuestra que: 1 + x 

6. Dada f ( x ) = log

f ( x + h) − f ( x ) h

 x − 1    x + 1

f ( x − 1) − f ( x ) = log 

h

(

h

(

2x( h+ a + ) +x a +2

y

9. Dada f ( y) =

=

x2 (h +a + ) +x a +2

3a 2

se tiene:

1 f ( y + )h −()f y , encuentra: . y +1 h

1

f ( y + )h −()f y

= y2 + y

h

y

=

= y2 + y =

φ ( y +)1 = ( φ) − y

=

8. Dadaf x ( ) =x a2 + , encuentra:

a) f (2 x + a) b)

=

f (x + h ) f−x ( ) h

)

h 1 y+ −

+y + h 1 h y h+ +y1 + 1 1 y+ −

h

6

y + 1+ ⋅

y + 1+

+ y +h + y +h

1 1

hy h + + y 1 +y

1

)

y + h+ 1 +y

−1 1 (+ + y 1+ + y

f ( y + )h −()f y

( ) = 4 x + 3a

+y + h 1 +1

h y h+ +y1

)

=

(

h y + 1− + y +h 1 y + h +1 y +1

1

a) Cambiando x por 2 x + a se tiene: a

1 y +1

−h 1 (+ y+h 1+ +

=

2 +2 x+ a

1 − y + h +1

+y −1 − y − h 1 = hy h + + y 1 +y 1 (+ y+h 1+ +

 3a  c) f   2

f 2 x + a=

)

2

= 4a = 2 a

= y 2+ 2+ y −1− y 1 2

)

 3a   3a   = 2   + a  2  2

7. Si φ ( y ) = y 2 − y , demuestra que φ ( y +)1 = ( φ) − y .

φ (− ) y =( )− y(−) −

a

a

2x( h+ a + ) +x a +2

 x − 1  = log   x + 1

2

a

f 

⋅

φ ( y +)1(= +)y ( − 1 + )

2x

+2 x

2h

c) Sustituyendo x =

 x − 1 x  = log   x 1 + x 

a

2 ( x + h+ ) +a

2 (+ x + h) − a− 2 x

Realizando la diferencia indicada se tiene:

 x − 1   x  f ( x − 1) − f ( x ) = log   + log  1 + x − 1 1 + x 

a

h

2 (+ x) +h− a+

= 2 xh + h2 − h f ( x)+ h−

2 (+ x + h)− a + 2 x

f ( x + h) − f ( x ) = h

h

)

1

1

y y( )+h1 =−

yh+ + (y)+ 1+ +

+1

1

UNIDAD 1 Funciones

a x + , determina 10. Dada f x ( ) =

e) Notación en des igualdad −5 ≤ x < 5

f ( x + h) − f ( x ) . h

Notación grá ca

f ( x + h) − f ( x ) h

= = =

a+ x+ h− a+x h a+ x+ h− + a x

h

=

⋅

−9 − 7 − 5 − 3 − 11357

f ) Notación en desigualdad x < 3

a+x h+a − x − h ( a x+ h+ +a x+

Notación grá ca

)

−∞

h

= f ( x + h) − f ( x )

+ + a+ x +h a x a +x +h + a + x

h

−2 − 1012345

h ( a x+ h+ +a x+ 1 a x h+ + a x+

)

13. Escribe cada una de las siguientes desigualdades en la notación de intervalos y representa su grá ca.

+

11. Dada f ( x ) = log x 2 , demuestra que:

 x + h  .  x 

f ( x + h) − f ( x ) = 2 log f ( x )+ h−

( x() ) + log −x f=

h

2

Logx2

= 2 log( x + h) − 2 log x

a) −4 < x ≤ 8

d) x ≤− 3

b) −6 ≤ x < 7

e) −9 < x < 6

c) −3 ≤ x ≤ 3

f) x >3

a) Notación de inter valos (−4 ,8 ]

= 2 (log( x + h) − log x ) Notación grá ca

 x + h    x 

f ( x + h) − f ( x ) = 2log 

−6 − 4 − 2

0

2

4

6

81

0

12. Escribe cada uno de los siguientes intervalos en la notación de

b) Notación de inter valos [ –6,7 )

desigualdad y representa su grá ca.

a) [−7,5 ]

c) (−6,8 ]

e) [−5, 5)

b)

d) [−4 , ∞)

f ) (−∞ ,3 )

(−4, 4 ]

Notación grá ca −6 − 5 − 4 −3 − 2 − 101234567

c) Notación de int ervalos [ –3,3 ]

a) Notación en desig ualdad −7 ≤ x ≤ 5

Notación grá ca

Notación grá ca

−4 −3 − 2 − 101234 −9 − 7 − 5 − 3 −11357

d) Notación de inter valos (−∞ , − 3 ] b) Notación en desig ualdad −4 < x ≤ 4 Notación grá ca Notación grá ca

−∞ −6 −5 − 4 − 3 − 2

−6 −4 − 2

0

2

4

6

e) Notación de int ervalos ( –9,6 )

c) Notación en des igualdad − 6 < x < 8

Notación grá ca

Notación grá ca −8 − 6 − 4 − 20

2

468

−9 −8 −7 −6 −5 − 4 − 3 − 2 − 101234567

10

d) Notación en desig ualdad x ≥− 4

f ) Notación de intervalos (3, ∞)

Notación grá ca

Notación grá ca ∞

∞ −8 −6 − 4 −2

0

2

46

8

01234567

10

7


14. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de pares ordenados son

16. Determina el dominio y el rango de la función de x para:

funciones? Para aquellos que lo son, identi ca el dominio y el rango e ilustra con un diagrama.

a)

)( )(0, 0 ),( −1,3) , −3, 7 } {(4, 2)( , 3,1,

b)

)( , )4,1 ( ), {(3,2)(, 3,0

c)

)( , )4,5 ( ), {(2,3)(, 3,4

5,6



e) y =

c) y = 25 − x 2

f ) y = x3

x −1

El rango de la función está dado por el sistema de los

 2 1   3 1  5, 7, − ,  ,− ,   5 3   2 4 

)( 2, 5,)

2x 2 − x

a) El dominio de la función está dado por el sistema de los números reales.

números reales.

De los conjuntos anteriores sólo los incisos c y d corresponden a funciones. ) cDomf

b) y = x 2 − 16

4

}

 1 3   3 5   5 7   7 9  d)   ,  , ,  , ,  , ,   2 4   2 4   2 4   2 4   e) ( 0,)( 3,

d) y =

}

7,3

x

a) y = 3 x + 2

= {2,,,3 4 Ranf 5};

b) El dominio de la función está dado ,4 ]. intervalos [ 4, ∞) y (−∞

= {,,, 3 4 5 6}

por la unión de los

El rango de la función estádado por el sistema de los números reales, pero no está de nido para el intervalo (−4, 4 ).

El diagrama representativo es:

c) El dominio de la función son los números pertenecientes al intervalo [−5,5 ].

2345

El rango de la función está definido por el conjunto

{0,3,4 ,

}

21, 24, 5 .

23456

d) Domf

=

{

}

{

1 3 5 7 ,, , ; Ranf 2 2 2 2

3 5 7 9 , 4 4 4 4

= ,,

d) El dominio de la función está dado por el sistema de los números reales.

}

El rango de la función est á dado por el sistema de los

El diagrama representativo es:

números reales.

1

3

5

7

2

2

7

2

1

3

5

7

9

4

4

4

4

4

e) El dominio de la función está dado por el sistema de los números reales, excepto para x = 1. El rango de la función est á dado por el sistema de los números reales, pero no se de ne para x = 1.

15. Dadaf x ( x) = x2 − 2 , determina el conjunto nito de pares or-

f ) El dominio de la función está dado por el sis tema de los números reales.

denados para x = {1,2,3,4, −−1, − 2, 3 }. El rango de la función est á dado por el sistema de los números reales.

Evaluando la función para cada uno de los valores del conjunto x; 2 = −1= − f (1) = (1) 2− 2(1)

1

=−= 4 4 f (2) = (2)2− 2(2)

0

=−= 9 6 f (3) = (3)2− 2(3)

3

f (4) =

(4) 2

− 2(4) = −16 = 8

−= ) −(1 − )2 − 2(1 = +) f (1

= 1 2

) −(2 − )2 − 2(2 f (2 −= = + )= 4 4 = −( 3)−2 − 2( = +3) = 9 6 f (−3)

17. Si f es una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y con regla de correspondencia f ( x)  x 2  2 x  2 , determina:

1  a) f    2

8 3

f (−3)

f)

f ( x − h)

g)

f ( a)

b) f (−1)

8 15

c)

f ( x + a)

Así, el conjunto nito de pares ordenados de la función es:

− )( 2, )( 0 ),( 3,3 )( , 4,8 )( −, −)(1,3 , ) 2,8 , {(1,−,1,

e)

3,15

} 8

h) f

3 d) f    2

i)

( 2)

f ( x + h)

UNIDAD 1 Funciones

2

1  1 1 1 a) f   =   − 2   + 2= − +1 = 2  2  2  2 4 2

12 + +1= 2 ( ) − 1(−) −2 + = b) f( )−1=

, 4,13) , 1, 2 f =−{(1, 2)( ), 2,1, ( )( 3,6)(−− determina el dominio y la regla de correspondencia.

18. Dada la función

5 4 2

El dominio de la función es

5

},

Domf = {1,2 ,3,4 , −1} y la regla

de correspondencia es:

c)

2

) x( −a ) +2 +x f ( x +)a(= +

a

2

=+ x2

2+ ax −a2− 2+ x

2a

2

2

2

2a

2

) +x f ( x + a=

21 − x(+ a −) + a

2

3  3  3 9 3 =2 d) f   =   − 2   + 2= − + 4  2   2   2  2

e)

+=+ f( )−3= ( ) − 3(−) −2329

f)

f ( x −)h(= − ) x (−h ) −2 +x

2

=− x2

2 2+ hx −h+

+=6

f ( x) = x 2 − 3 19. Determina el dominio y el rango de la función f ( x ) = − x 2. El dominio de la función está dado por el sistema de los

5 4 2

números reales. El rango de la función está dado por el sistema de los números

17

reales menores o iguales a cero.

h

2

2+ x

2h

2

2

2h

2

2

+ f (x − ) h= −x ( )21 x h+ + + h

20. Determina el dominio y el rango para la función: f = {( x , y) | y = 45x − } . El dominio de la función está dado por el sistema de los

g)f a

( )a (=)

2

a − ( ) a2 +a =− 22 +

números reales.

2

El rango de la función está dado por el sistema de los números

h) f( ) 2( = ) i)

f ( x +) (h=

2

()

2− 2 + 2=− 2

)+ x−(

f ( x + h )= +x − h

h

2+ =2 −2

2

) +2 + x

+ 2 + x h

h

2

4

2 2

reales.

2

2


3. De ne función algebraica.

1. Cita tres ejemplos de funciones de una sola variable.

Una función algebraica es aquella que está formada por un

a) El costo de la cantidad que secompra de tortillas depende del peso de tortillas que adquieres. b) El costo del servicio del gas natural depende del volumen de metros cúbicos que se utilicen. c) La cantidad de detergente usado en una lavadora depende de la cantidad de r opa a lavar. 2. Cita tres ejemplos de funciones de dos o más variables.

número nito de operaciones algebraicas, dígase suma, resta, multiplicación, división, elevación de potencias, etcétera. 4. De ne función trascendente. Una función trascendente es aquella que no cumple con las condiciones de una función algebraica; se consideran como funciones trascendentes las circulares, circulares inversas, las exponenciales y las logarítmicas. 5. ¿Qué se entiende por función racional?

a) El calentar una carne en el micr oondas depende del peso, el tipo de carne, el estado de la carne (congelada o recién obtenida del animal). b) El voltaje de un toma corrientes depende de la resistencia y la corriente que se tenga en el cableado eléctrico. c) El tiempo de lavado de la ropa depende del tipo de ropa que se desee lavar, del número de enjugues deseados y del tiempo de centrifugado.

9

Una función racional es aquella que se puede expresar como el cociente de dos funciones polinomiales.

6. ¿Qué se entiende por función irracional? Las funciones irracionales son en las que alguna de las variables tiene exponentes fraccionarios o se encuentran bajo signo radical.


7. ¿Cómo se expresa una función entera?

16. De ne función par.

Una función entera se expresa como un arreglo de variables

Es aquella función f en la que todos los valores de la variable

sin tener a alguna en el denominador y no está afectada por

independiente llamada dominio de f que satisfacen la condición ) x =( )f x . f (−

exponentes negativos. 8. De ne el concepto de función polinomial.

17. De ne función impar.

La función polinomial es aquella que se puede escribir

Es aquella función f en la que todos los valores de la variable

de la siguiente forma:

independiente llamada dominio de f satisfacen la condición

f ( x ) = a0+ xn

n

a+ 1x

−n1−+ −a − nx

()f x . f (−)x = − 2

2

a3 x

3

an xn

n

18. ¿Qué es una función inversa? Donde n es un número entero positivo y a0 ,a 1a, a2 , 3,, a

n,

son

números reales diferentes de cero, siendo f una función polino-

Es aquella en la cual si es aplicada a otra función se obtiene

mial de grado n.

el valor de la variable para cada valor de la variable en el dominio, es decir;

9. Si el grado de una función polinomial es 4, ¿qué nombre recibe? Sea f y g funciones inversas, entoncesf (g ( x )) = x para cada vaFunción cuartica.

lor de la variable independiente del dominio de g yg f(x ( ))x = para cada valor de la variable del dominio de f.

10. ¿Cómo se expresa una función fraccionaria? La función fraccionaria se expresa como el cociente de variables o como una variable con potencia negativa. 11. De ne el concepto de función explícita. Es aquella en la cual la variable independiente está involucrada directamente con las operaciones indicadas, que al efectuarse determinan el valor de la función.

19. ¿Cómo se determina una función escalón o mayor entero? Se determina por la ecuación f ( x) =[ ] x , donde el dominio de f es el conjunto de todos los números reales y su rango es el conjunto de los enteros como regla de correspondencia, es decir, [ x ] es la parte entera no mayor que x. discontinua. 20. Explica la diferencia entre función continua y función Para las funciones discontinuas existe un número c tal que no

12. De ne el concepto de función implícita. Una función es implícita cuando se da una relación entre la variable independiente y la variable dependiente por medio de una ecuación.

cumple con las condiciones que se le imponen a las funciones continuas. 21. De ne función exponencial. Es aquella en la cual la variable independiente se ubica como

13. Escribe el concepto de función simple.

exponente de una constante denominada base y se describe por

Es aquella en la cual la relación de la variable dependiente con respecto a la variable dependiente se indica con una sola operación.

la ecuación f ( x ) = a x . 22. Desarrolla el concepto de función logarítmica. Es aquella que se afecta por un logaritmo de base a; también se

14. ¿Qué es una función compuesta?

establece que es la inversa de la función exponencial; se describe

Una función compuesta es cuando una función actúa sobre otra, es decir, si f y g son funciones tales que el rango de g está contenido en el dominio de f, representándose de la siguiente manera:

por la ecuación f ( x ) = sen x . 23. ¿Qué es una función trigonométrica? Es aquella cuyo valor depende de un ángulo en la expresión

( f ° g) = f (g ( x ))

trigonométrica del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; se denota por:

15. ¿A qué se le llama función de función? Es una función en la que y no se de ne directamente como función de x, sino que se da como función de otra variable u la cual

f) ( x = sen x f) ( x = cos x

)( )(

f x = cot x f x = sec x

se de ne como función de x por medio de u.

f) ( x = tan x

)(

f x = csc x

10

UNIDAD 1 Funciones

24. ¿Qué es una función trigonométrica inversa?

j)

Es aquella cuyo valor del ángulo depende del valor de una

f (2) = c Función constante.

función circular directa; se denota por:

k) f ( x ) = arcsen x = sen −1 x

f ( x ) = arccot x = cot −1 x

f ( x ) = arccos x = cos−1 x

f ( x ) = arcsecx = sec−1 x

f ( x ) = arctan x = tan −1 x

f ( x ) = arccscx = csc−1 x

f (x) = 4 x Función polinomial lineal, explícita y continua.

l)

g( x ) =

x x

Función signo explícita.

25. De ne función valor absoluto. Es aquella cuyo dominio es el conjunto de los números reales

m) f ( x ) = [ x + 2 ]

y su rango se limita a la siguiente regla de correspondencia; Función explícita y escalón.

se denota por f ( x ) = x , es decir,

x si x ≥ 0  x =  x si x < 0 

n) f ( x ) = sgn x 2 Función explícita, compuesta de la función signo con la función polinomial cuadrática, continua y par.

II. Clasifica las siguientes funciones. a) y x= x5 − 3x

3

ñ) g ( x ) = loga 5 x

+2

Función compuesta explícita compuesta de la función logaFunción polinomial de quinto orden, explícita, continua e

ritmo con la función polinomial lineal discontinua e impar.

impar.

o) f ( x ) = x 2 + 4

b) y = 4 2 x

Función explícita, polinomial cuadrática y continua.

Función exponencial continua y explícita.

p) f x ( x) = x3 − 5

c) y = cos 2x

Función explícita, polinomial cúbica y continua.

Función circular directa, continua, explícita y par.

q) f ( x ) = x

d) y = x 3 − 5

Función identidad, continua e impar.

Función irracional compuesta con una función polinomial cúbica y continua.

e) y =

r)

x2 +1 3x + 2

Función explícita compuesta de la función circular inversa

Función fraccionaria, implícita y discontinua para x = −

f) y

2

+ xy x +

2

2 3

con la función lineal discontinua e impar.

.

s) fx ( u) =

=0

u xy

=

2

+1

Función explícita, función de función.

Función implícita cuadrática y continua.

t)

2

g) x − xy = 2 Función polinomial implícita discontinua para x = 0.

f (g ( x )) =

x +1 x −1

Función compuesta fraccionaria discontinua para x = 1.

u) f x ( x) = x2 − 2 + 4

h) y = sec x Función circular directa, continua, explícita y par.

i)

f ( x ) = tan −1 2 x


v) y = log x

f ( x ) = [−5.25 ]

Función explícita logaritmo discontinuo.

Función escalón constante.

11


3

w) f ( x ) =

(ax 2 −bx )

y)

x2 + 5

1

f ( x) = 2 x 2

Función irracional. Función explícita, fraccionaria con denominador irracional y numerador de grado cinco.

x) f (x ) =mx

z)

−1

f (x) =

x 2 + 3 x −1 4


Función explícita, racional y discontinua para x = 0.

EJERCICIO 4 I. Dadas las siguientesfunciones, encuentra el dominio y rango, utiliza la notación de intervalos y traza la gráfica correspondiente. 1. f ( x )=

3. f ( x )= 16 − x 2 Se observa que 16 − x 2 no es un número real para 16 − x 2 < 0 , por lo que el dominio de f son todos los valores de x para los cuales se satisface la condición 16 − x 2 ≥ 0 , es decir, −4 ≤ x ≤ 4.

x+3

Lo cual se representa por el intervalo [−4 , 4 ] cuyo rango f de el

x + 3 no es un número real para x + 3 < 0, por lo que el dominio de f son todos los valores x para los cuales se satisface la condición x + 3 ≥ 0, es decir, x ≥− 3. Se representa por el intervalo [−3, ∞) cuyo rango de f es el intervalo [ 0, ∞). La grá ca correspondiente es: Se observa que

intervalo [ 0, 4 ]. La grá ca correspondiente es:

y 4

3

y

2 3

1

2

−4

−3

−2

−3

−2

−1

−1

1

2

x

3

−1

4. f ( x )=

4x − 5

Se observa que 2. f ( x )=

x

1234

−1

1

4 x − 5 no es un número real para 4 x − 5 < 0,

por lo que el dominio de

x2 − 9

x 2 − 9 no es un número real para x 2 − 9 < 0 , por lo que el dominio de f son todos los valores dex para los cuales se satisface la condiciónx 2 − 9 ≥ 0 , es decir, −3 ≥ x y 3 ≤ x . Lo cual se representa por la unión de los intervalos (−∞ , −3 ] y [ 3, ∞) cuyo rango de f es el intervalo [ 0, ∞) . La gráfica correspondiente es: Se observa que

f son todos los valores para los

5 4 x − 5 ≥ 0 , es decir, x ≥ . 4 5 Lo cual se representa por el intervalo  , ∞) cuyo rango de f es  4 el intervalo [ 0, ∞). La grá ca correspondiente es: cuales se satisface la condición

y 5

4

y 6

3 5 4 2

3 2

1

1

−6 −5 −4 −3 −2 −1−1

1

2

3

4

5

6

x 1234567

12

x

UNIDAD 1 Funciones

= x−3 5. f ( x )5

8. f ( x )=

Se observa que el dominio de f son todos los número reales. El rango de f son todos los números reales. La grá ca correspondiente es:

x2 −1 x +1

x = −1, Analizando la función se observa que no está de nida en por lo tanto, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto 1. El rango de f son todos los números reales excepto 2.

y

Si se reescribe la función se obtiene:

6

1 x+ x 2 − 1 ( x −)( )1 = = x− 1, si≠x− x +1 x +1 correspondiente es:

4

y=

2

−1

1. La grá ca

x

1

y

−2

−4

6

−6

4

2

6. f ( x )= x 2 + 6

−3

−2

−1

1

2

x

3

−2

Se observa que el dominio de f son todos los número reales. El rango de f es el intervalo [ 6 , ∞). La grá ca correspondiente es:

−4

−6

y 13 12 11 10

9. f ( x )=

9x2 − 4

3x + 2 2 Analizando la función se observa que no está de nida en x = , 3 por lo tanto, el dominio de f es el conjunto de todos los números 2 reales excepto . El rango f de son todos los números reales 3 excepto 4.

9 8 7 6 5 4 3 2 1

−3

−2

−1

Si se reescribe la función se obtiene: 1

2

3

x

y=

9x2 − 4 3x + 2

=

( 3x −2)(3 2x )+

2

= 3x −2, si x ≠ . La gráfica

3x + 2

3

correspondiente es:

7. f ( x )= 3 x 2 − 8 Se observa que el dominio de f son todos los número reales. El rango de f es el intervalo [−8 , ∞). La grá ca correspondiente es:

y 6

4

y 8

2

6

−0.5865

4

−3

2

−2

−1

−2

1

2

−2

−1

1

−2

x

−4

−4

−6 −8

−6

13

2

3

x


 −6 si x <−3  13. f ( x ) =   −2 si − ≤3 ≤ x 3

10. f ( x )= x − 7

Se observa que el dominio de f son todos los números reales. El

  4 si 3 < x

rango de f es el intervalo [ 0 , ∞). La grá ca correspondiente es: El dominio de f son todos los números reales. El rango de f es el conjunto {−6, −2, 4 } . La grá ca correspondiente es:

y y 4

6

3 2 4

1

2

−6 −5 −4 −3 −2 −1−1

1

2

3

4

5

x

−2 −3 1

2

3

4

5

6

7

8

9

101 11

21

3

x

−4 −5 −6

11. f ( x )= 3 x + 6

Se observa que el dominio de f son todos los números reales. El rango de f es el intervalo [ 0 , ∞). La grá ca correspondiente es:

x − 1 si x ≠ 2 14. g(x ) =   0 si x = 2 El dominio de g son todos los números reales. El rango de g está de nido por (−∞, 1) ∪ (1, ∞). La grá ca correspondiente es:

y y 6 1 4

1

2

2

x

−1

−6

−4

−2

x

−1

 9 − x 2 si x ≤ 3  x − 3 si 3 < x 

 15. f ( x ) =   −3 si x ≤ 5 12. f ( x ) =    3 si 5 < x

9 − x 2 no es un número real para 9 − x 2 < 0 , por lo que la función en x ≤ 3 sólo está de nida para los valores de x que satisfacen la condición9 − x 2 ≥ 0, es decir,−3 ≤ x ≤ 3. Se observa que



El dominio de f son todos los números reales. El rango de f es el conjunto {−3,3}. La grá ca correspondiente es:

Lo cual se representa por el intervalo

[−3, 3 ]. Por lo tanto, el

dominio def está dado por el intervalo[−3, ∞) y el rango def está de nido por f [ 0, ∞). La grá ca correspondiente es:

y

y

3 2

3

1

−1

123456789

2

x

1

−2 −3 −3 −2 −1

14

123456

x

UNIDAD 1 Funciones

 x 2 − 4 si x < 3  2 x − 1 si 3 ≤ x 

 16. f ( x ) = 

19. f ( x )=

El dominio de f está de nido por todos los números reales. El rango de f está de nido por [−4, ∞). La grá ca correspondiente es:

x x

El dominio de f son todos los números reales excepto 0 y el rango de f está de nido por el conjunto {−1,1} . La grá ca correspondiente es:

y

y

9 8

1

7 6 5 4 3 2

−4

1

−4

−3

−2

−1 −1 −2 −3 −4

−2

2

x

4

x

1234

−1

 x si x ≤ 2  4 si x > 2 

 2 x + 5 si x ≤ −1  2 − x si − 1 < x 

20. f ( x ) =  

 17. f ( x )= 

El dominio de f está de nido por los números reales. El rango de f está de nido por el intervalo

(−∞,3]. La grá

ca corres-

El dominio de f está de nido por todos los números reales y el rango de f está de nido por(−∞ , 2 ] y el conjunto {4}. La grá ca correspondiente es:

pondiente es:

y

−2

y

3

4

2

3

1

2

−1

1

2

1

x −1

1

2

3

x

4

18. f ( x )= −2 x El dominio de f está de nido por el intervalo [ 0 , ∞) y el rango de f está de nido por el intervalo (−∞ , 0 ]. La grá ca corres-

II. Traza la gráfica correspondiente para: 1. y = 3 x

pondiente es:

y

y = 3− x

y 200

400

600

800

1000 1200 1400

y

y = 3−x

x

y = 3x

9 8

−10

7 6

−20

5

−30

4 3 2

−40 −50

1

−60

−4

−70

15

−2

2

4

x


2. y = 2 2 x

y

7. y  arccos x

y = 2−2 x y

y = 2−2x

y

y = 22x

9

3.0

8

2.5

7

2.0

6

1.5

5

1.0 0.5

4 3

−1.0

2

−0.5

0.5

1.0

x

1

8. y −4

−2

2

4

=x arctany

=arccot

xy

x

y

3. y = e 2 x

y = arccot x 3

y

y = e2 x

9

2

8 1

7 6 5

−8

4

−6

−4

−2

x

2468

−1

y = arctan x

3 2 1

−2

−1

1

2

9. y = arccsc x

x

y

4. y = log 2 x

0.5

y y = log 2x

1

−10 1

2

3

4

10

x

x −0.5

5. y = ln 5 x 10. y = arcsec x

y

y = ln 5x

4 3

y

2

3.0

1

−1 −1

1

2

3

2.5

x

456789

2.0 1.5

6. y = arcsen x

1.0

y

0.5

1.5 1.0

−20 0.5

−1.0

−0.5

−0.5

0.5

1.0

x

−1.0 −1.5

16

−10

10

20

x

UNIDAD 1 Funciones

EJERCICIO 5 I. Resuelve los siguientes problemas.

e) f 2

a) f  g 

g) 2f  3g

d)

h) 7f  4g

f g

j) [ f + 2 g ]()2= {+ 02=} {9 }

18

⋅

  1   k) 5 f =  2,5( ) 0  () ,4 ,5  2 9   2g   ⋅

k)

c) f  g

5

6 1y}

j) [f  2g](2)

f ) g2

b) f g

2 6=} 7{} i) [ 2 f − g ](4 )= { − ⋅

)0( )3(8 )(4,,6)( 5),,,2 f = {( 2,,,, g = {(0 , 5), (2,,9)( 4),,(7 ) 6, 3 }; determina:

1. Dadas las funciones

l)

6 f − 4g 2g + 3

6 f − 4g 2g + 3

2g + 3

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

 1  , )( , ) , f = (0, 8 ) , 2,, ( 4365   2

9, {−(2,0 ()−

3

1 2

, 3, 5

}

(1)

}

(2)

De tal forma que:

Dom f  Dom g  0.2,4  de (1) y (2) se tiene:

⋅⋅

f = {(2,0)( , 3,64 )( , 4,36 )( )(, 5,4 ) , 6,1

⋅⋅⋅⋅

g 2 = {(0,2 5)( , 2,81 )( , )(4,4)9 , 6,9 39 (+ ) , (4,62 )+ ⋅

⋅

2 f + 3g = {(2, 27,4 )( ),33,6 ( ) ,8

⋅

7 f −= 4 g− {(2, 36 )( , −4,14 )( ), 6, 5

⋅

73 )

, 6,1 2

32

}

47 )

, 6, 7 1

43

}

⋅

 1 +2, 2, (  2



) 0,

 (−0, 8 

)

 1 −2, (2,  2

 4, 3 −1  



) 0, 4,

  1 f − g = (0, ) (2 ,2 ,  , )4, 3 + 1   2 

}

49 − (− ) , (4,)76 ⋅

} b) f −=g

⋅

)

 1   f + g = (0,3) (2 , 2,  ,) 4, 3 −1   2  

} ⋅

 0, 8 (+ 

a) f +=g

}

}

g 2 = {(0,5 )(5 , 2,9 )( 9 )(, 4, 7 ) 7 , 6,3 3

⋅

i) f 2  g2

Domg = {0,1,2 ,4 }; Rang 2, 11,0 , 1−

2

⋅

f ) [f  g](4)

{

}

⋅

⋅⋅

h) 7 f −=4 g − {(2, 70

h)

{

f 2 = {(2,0 ) ( , 3,8 )( 8 , )(4,6 6)( , 5, )2 2 , 6,1 1

⋅

e) f  3g

Domf = { 0, 2, 4, 6 }; Ranf 8,

}

 6   1  f   = (2,0 ), 4,  , 6,   7   3  g  

⋅



3f 4g

}

   1  1  f  = (2, 0 9) , 4,6  , 6,1    7  3  g  

g) 2 f +=3g + {(2, 02

g) [f g](2)

2



4,6 () − 7,6 ) ,1

⋅

f g

Identi cando los dominios y rangos de las funciones:

− f −= g −{(2, )9,4 ( )(,−1,6) , 2

⋅

d)

c) f g

}

⋅

f)

⋅

}

b) f  g

}

⋅

f g = {(2,0) (, 4,4 )(2 ,) 6,3

e)

⋅

 12   8   2   = 2, −  , 4,  , 6, −   7   17   3  

a) f  g

}

)( 7 ), 6,1 3 b) f g = {(2, 0 )9( , 4,6

d)

⋅

{

f + g = {(2,9)( , 4,13 )( ,) 6,4

c) f −=g

⋅

, 1 ,( 2, 0), (4, −1) , determina: g = ( 0, )( 2 , )11

, 0=g +9,4 f+ {2( ,6 ()+7,6 (),1+ 3)

⋅

⋅

 6 0 − 4 9   6 6 − 4 7   6 1 − 4 3  = 2,  ,4,  , 6,   2 9 + 3   2 7 + 3   2 3 + 3 

2. Dadas las funciones:

Domf  Domg  {2,4,6} de (1) y (2) se tiene:

⋅

⋅

⋅

(1)

(2)

De tal forma que:

⋅

⋅

⋅

6 f − 4g

Identi cando los dominios y rangos de las funciones:

a)

 1   1    ,6 ,5 1    2 7    2 3 

6( )

5f

l)

Domf = {2, 3, 4,}5, 6{; Ranf} 0, 8, 6, 2, 1

⋅

 15   5   = (2,0), 4, ,6,   7   6  2g   

2g

i) [2f  g](4)

4, 6 {; Rang 5, 9, 7, 3 Domg = {0 , 2, } }

⋅

⋅

5f

c)

⋅

⋅

17

  

 1    f g = (0, 8 ) 2,2 ( , )0,4  , 3 1  2    ⋅

{

⋅

⋅

}

f g = (0, 4)( , 2,0 ) , (4, 3 )

}

 3 +1   

 y 


d)

 f  = 0, 8 g  

4. Dadas las funciones

 1   1 1   1  ,2,  ,4 , 3  2   2 0   1 

⋅

⋅

f )( x = +x

⋅

f = (0,2) , (4, 3 ) g

{

e)

}

  

(

f 2 + 3g =   0,)( 8

2

a) f + g=

  1 2  + 3 2 , 2,  )( + 0 , 4,   2  

)

 f + 3 g = (0,8 + 32 

(

)

c)

  1 ), 2, 4 ,(4,2 ) 

2

⋅

h)

3f 4g 3f 4g

i)

{ {}} = 1

2

 = 0 , 3 

⋅

⋅

0

1

8

⋅

4

e)

0

  1 1  4  , 4, 3 , 2, 3 2 0  2   ⋅

⋅

⋅

⋅

3 4

⋅

⋅

⋅

1 

  

(

2

2

 1  , 2,   − 0 , 4,    2  2

()

2

3



) x) ( )x=+ ∈x 2 g = {x(gx, ( g

 + 1   

]}

9; x1,4y[

d)

f g

f ( x) (g) x )(+) = f (x ) −+ g + x ∈x2 {( x , +

9

2x

{( x ,+f ( x) (g)

2x

a) f  g

b) f  g

c) f



g

La intersección entre los dominios es:

Domf ∩ Domg = { x x ∈ [1,4 ]} Por lo tanto,

g a) f += f +=g

g b) f −= f −=g

x2

( ) f =(x)+ − x )+ g x∈

f ( x) (g) x )(−) = f (x) −− g − x ∈x2 {( x , −

9

{( x ,+f ( x)

2x

(g) x + ) −g x ∈ x2 )( ) f =(x−

c) f g = {( x , f ( x) (g) x ) ( )f (x) = − g x +∈( x2 ⋅

⋅

⋅

⋅

f g = {( x , f ( x) (g) x ) ( )f (x) g= x+−−2∈x ⋅

d)

f g f g

⋅

 1   =  x , f ( x )  g ( x )  ⋅

⋅

f (x)

1 ⋅

g( x)

]}

= ( x 2 − 9)

x2

10;1,4 x [

(2 x + 1)

]}

} ]}

9;1,4 x [

18 x

1 ⋅

]}

2 x 1;1,4x [

9) (2 x ) 1[ 1,4 ; x]

3

]}

1;1,4x [

8; 1,4x [

  

; x ∈ [1,4 ] 

  1  f ( x ) ( x 2 − 9)  =  x , f ( x ) = ; x ∈ [1,4 ]   g ( x ) g ( x ) (2 x + 1)   ⋅

18

⋅

⋅

2

f +1 2g − 3

x +8 = x−7

=

x +8 x−7

x + 8 +1 2 x − 7 −3

7

7

8 −x= 7 +

f = g

]}, determina:

1; 2,5[

f g = +x

g)

 1   f 2 − g2 = (0,6 ) , 2,( ) , 4,4   4   3. Dadas las funciones f = {( x , f ( x) ) (f)=− x ∈ x2

7

+x− 8 −4 x

f 2 = ( x+ 8= )+x

h)

) (2

+x −8 − x

f)

 1

  3  = 0 ,  , (41, 2 3 )   2 

f 2 − g2 =   0, ( ) 8( ) −

f − g=

d) 2 f − 42g=

f) [ f + g ](4) = { 3 − 1} g) [ f g ]()2 =

+x +8 − x

b) 3 f + 2 g= 3+x+ 8 − 2 x

 −1   

2

3

f y g, con reglas de correspondencia x 7 , determina:

8)( y = g x−

8

7 8)( x + − 7) (− x =

x2

x

56

UNIDAD 1 Funciones

5. Dadas las funciones f ()x = x 3 (y) g x = 2 x2 + 1, determina las ecuaciones para las funciones y el dominio de cada función resultante.

Dom f  ,, Dom g  ,. a) f  g  x3  2x2  1, con dominio ,. b) f  g  x3  2x2  1, con dominio ,. c)

f g= ⋅

x3 2x2 + 1

,c on dominio (−∞,∞).

2x2 + 1

f d) g =

x3

,c on dominio (−∞,0 ∞ ) (∪) 0,

.

6. Dadas las funciones f y g, determina el dominio de la función resultante de:

a) f  g

c) f  g

b) f  g

d)

e)

f g

g f

f) g  f

Para: 1) f x ( ) x=

2) f x ( x) =

2

f x ( ) x=

+1

−4

g− x 3; ( ) =

f (x) =

4)

x 2

− gx7; x ( ) =

3) f x ( ) =x gx ; x( ) =

1.

1

( )=

g− x 3;

1 x −1 ; g(x) = x +1 x

− 5) fx ( ) = x 1 g x

2;

x g x; 6) f x( ) =

(x ) =

x ( )=

2

−9

−3

1

x a) f + = g −+x

3

b) f − = g −− x

3

1

x 1

x

;+ = (∈f Dom

g)≥

{x



x

3}

; − = (∈f Dom

g)≥

{x



x

3}

{

1 1 − 3x ; Dom( f  g) = ∈ c) f  g =   − 3 = x x x

d)

f = g

f x −3 = x x − 3; Dom  = { x ∈  1  g  x



<0≤ x

1 3

}

x ≥ 3}

1

e)

g f

=

g 1 x = ; Dom  = { x ∈   f  x −3 x x−3

f) g f =

1

x −3

; Dom( g  f ) = { x ∈ 

2. f x ( )x = g−x 7; x ( ) =

2

x > 3}

x > 3}

+1

a) f + g= −x + 7+ x=2 + 1 − x 2 b) f − g= −x − 7− x=2 − 1 + −x 2

6;+ Dom = ∈( f

x x

8;−Dom = ∈( f

) {≤ g−∞ x ≤∞ ∞ g)−∞ { x≤ ≤

19

}

x x

}


c) f  g = (+ x 2 −1)= 7− x 2

d)

e)

f g g f

=

=

f ; Dom  = { x∈  g 



−∞ ≤ ≤x∞

g x2 + 1 ; Dom  = {∈x 7  f  x−7



−∞y≤
x−7 x2 + 1

f ) gf  x = ( − +7)2x=x 1−

3. f x( ) = x g;x

(x ) =

2

}

}

7< ≤ ∞x

50; = ∈ x (− ∞  ≤ ) ≤{∞

2 14= + + x x−491 + Dom g2f 14 x

0

x

}

b) f − = g −x + x 2

4; Dom − =( f ∈ g) ≤{≤ x ∞

0

x

}

d)

e)

f g f g

=

=

f ) g f

f (x) =

x x2 − 4 x2 − 4 x

=x (

4; Dom( f =  g)∈ − { x ∞≤ <2

f ; Dom  = { x∈  g 



f ; Dom  = {∈x  g 



2

)− x=4− Domg4;f x

y < x ≤2∞

}

≤0 ≤ ∞ x

<0 ≤ x∞

}

x

}

= ( ∈ ) −{x∞ ≤≤ ∞

}

1 x −1 ; g ( x) = x +1 x

x −1

a) f + g =

x +1 x −1

b) f − g =

x +1

+

−

1

x 1

x

=

x ( x − 1) + x + 1 x2 + 1 = ; Dom( f + g)= ∈{ x0 x(x + ) 1 ( )x x +1

=

x ( x − 1) − x − 1 x 2 − 2 x − 1 = ; Dom( f − g)= ∈ { x0 x(x + )1 ( ) x x +1

1 −1 1− x x = ; Dom( f  g) = { x∈ 1  −∞ y≤
d)

x −1 f x ( x − 1) ; Dom  = { x∈  1 −∞ ≤ y
−∞ ≤ y

1 1 g = x = x + ; Dom g  = {∈x 1  − ∞ ≤ y
}

1− < ≤ ∞x

}

1− < ≤ ∞x

f) g  f =

1 x +1 ; Dom( g  f ) = {1 = ∈x x −1 x −1 x +1



y ≤
20

0 < ≤ ∞x

1< ≤ ∞x

< −x

−∞ ≤ y

x

e)

}



−4

4; Dom + =( f ∈ g) ≤{≤ x ∞

2 c) f  g = x−

}

x

+x − x 2

a) f + = g

4.

6; Dom =( f ∈ g) −∞ { x ≤≤ ∞

}

}

<− x

1< ≤ ∞ x

1< ≤∞x

}

}

UNIDAD 1 Funciones

− 5. fx ( ) = x 1 g x

2;

2

x ( )=

−9

1 x2 − x2 a) f + g= − +

9; not ieneu ni ntervalod efinido.

1 x2 − x2 b) f − g= − −

9; not ieneu ni ntervalod efinido.

c) f  g = −1

d) f = g

e)

g f

=

f )f xg 

( −x

2=

1− x2 = x2 − 9

x2 − 9 1− x2

(

=

6. f (x ) = x g ;x

2

)

9− + = 1− x 2

1− x2 ; Dom f  = {∈ x x2 − 9  g 

g ; Dom  = {∈ x  f 

2y= x

2

)

x2− = 9 − −x1 = 2− −9

1 −

(x ) =



=x

2= −x

}

8

2 ;n

x

}

x −x b) f − g= −

3 ; Dom − (=f ∈g)

 ≤∞ {−x∞ ≤

x

}

3 − x c) f  g = − x =

3 ; Dom(=f ∈g)

− { x∞ ≤ ≤ ∞

f x x = = si x − 3 ≠ 0; Dom( f  g) = { x∈ g x −3 x −3

f

=

x −3 x

x −3

=

10

}

−3 −∞  ≤∞ {x ≤

g

x

10

o se tiene un intervalo definido.

3 ; Dom + (=f ∈g)

e)



}

2 =2y−x

a) f + g= + x − x

d)

{x

10 =x 2∈ ; Dom −≤ ( f < g)

9

x

f ) g f x= − Dom 3 ;g f

si0



{

}

−∞ ≤
<0 Dom( g  f=) ∈{ x −∞0≤da

x≠

x( = )∈

x

3 da 3 < x ≤ ∞}

x <≤ ∞

}

x

}

−∞ x ≤ ≤ ∞

)( ),( 4,6 7. Dadas las funciones f = {(2,4)( , 3,9 }{) , 5,7 (y )g( =})(2 ,3)( , )3,2 , 4,1 , 5,0 a) f  g

determina e ilustra por mapeo.

b) g  f 0

0

123456789

123456789

f

g

0123456789

0123456789

g°f

f°g f

g

0123456789

0123456789

f  g  (3,4), (2,9) 

g  f  (2,1) 

21


8. Dadas las funciones f = {()x , f)( x)(

f =x− ∈ 4 x =2;yx()



a) f  g = {( x , f ( g)(()x)

)

f()g =x −∈4 ( x 2

1)

2; x



f  g = {( x , f ( g)(()x)

)

f()g =x +−∈4 x2

4x

2; x



f  g = {( x , g( f) (()x)

)

2

{

b) g f

=xgf(x , (g)f(x() )

)

g f

=xg{f(x , (g)fx(() )

)

g f

=x{g(f x, ( )g(f()x)

)

g() f=+ x∈

4x

2; x 2

x () = −+∈ x (4 x () = x



2)

− 161 + + ∈2 x

16 x() = x−+∈ x

2

9. Dadas las funciones f )( x = x 2 + 4)( y g x =

} )( )(g =+{∈x, g

x

f x

x2

1; x



}, determina:

} }

} 

1;

6

4

16

5;

} 

1; 

}

}

x , determina x si   f  g y determina el dominio de .

2

φ = f  g = ( x) + 4 = x + 4 El dominio de f es el intervalo , El dominio de g es el intervalo 0, Así, el dominio de   f  g es el intervalo 0, 1

10. Dadas las funciones )f ( x =

a) f  g =

1

(4 x − 5)2 + 9

=

x2 + 9

, (Domf ) =−∞∞y, ( )4 = g x− 5, x

1 16 x 2 − 40 x + 34

; Dom( f



[0,3] = Domg

, determina:

g) = [ 0,3 ].



1  45− x 2 − 45 5 x 2 + 41 =− ; Dom( g  f ) = [ 0 ,3) . − 5 = x2 + 9 x2 + 9  x 2 + 9 

b) g  f = 4 

c)

f



f =

1

 1 2  +9  2 x + 9 

1

=

=

1 4

2

x + 18 x + 81

5 − d) gg =x)4 (4− −= x51−=6 − 205 x

+9

x 4 + 18 x 2 + 81 1 + 9 ( x 4 + 18 x 2 + 81)

(

16] gg= [25; Dom

22



)

0,3 .

=

x 4 + 18 x 2 + 81 9 x 4 + 162 x 2 + 730

; Dom( f



f ) = (−∞,∞ ).

UNIDAD 2 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES


Octágonos inscritos y circunscritos

1. ¿Qué se entiende por límite? El límite es una especie de cota que a veces puede no ser alcanzable y otras no sólo es alcanzable sino superable. A través de éste se pueden visualizar los cambios en el rendimiento mediante pequeños números de unidades. 2. Explica mediante un ejemplo la idea intuitiva de límite. Si se quiere encontrar la velocidad de un auto en movimiento, se eligen dos puntos en la grá ca de posición contra tiempo, uno de los puntos será donde se desea encontrar

Decágonos inscritos y circunscritos

la velocidad y el

otro será cualquier otro sitio. Luego, se traza una línea entre los puntos e iniciamos a acercar cada vez más el último punto al primero, continuando el trazo de las líneas entre ellos. A medida en que los puntos se hacen más cercanos, la pendiente de la línea se acerca a la velocidad deseada. 3. Explica tu idea sobre el límite de una variable. Es el valor que alguna variable puede llegar a tomar sin necesariamente llegar a tomar dicho valor ya que siempre existirá una

Dodecágonos inscritos y circunscritos

in nitesimal distancia entre la variable y su límite. 4. ¿Qué se entiende por límite de una función? Se entiende que los valores de una función se aproximan a un límite K, a medida que se aproxima a un número b, si el valor absoluto de la diferencia entre la función y el número 1, se puede hacer tan pequeña como se quiera tom ando la variable lo su cientemente cercana a b pero no igual a b. 5. Escribe tu propia de nición sobre el límite de una función. El límite de una función en un punto dado es el valor al que se acercan las imágenes cuando las

variables se acercan al

valor límite a. Es decir, el valor al que tienden las imágenes cuando las variables tienden a a.

II. Realiza el siguiente ejercicio práctico. 1. Dibuja polígonos de 8, 10, 12 y 14 lados inscritos y circunscritos a un círculo; compara las áreas respectivas, con base en el concepto de límite.

Tetradecágonos inscritos y circunscritos


Comparando el área respectiva de los polígonos inscritos con los

medida que aumenta la cantidad de lados de los polígonos. Es

circunscritos se observa que el área de estos tiende por izquierda

decir, el área del círculo es el límite al que tienden los polígonos

(circunscritos) y por derecha (inscritos) al área del círculo a

inscritos y circunscritos.

EJERCICIO 7 I. Aplica directamentelas propiedades delos límites y calcula los siguientes límites, si existen.

10. lim ( 4 x 2 −8)+x=5( ) lim −4 x→ 2

→

( lim )x 5 ()

x 2lim + 8

x→ 2 →

x

2

x

2

lim (5) = 4lim ( x 2 ) −8lim ( )x + x →2

1. lim x 2 = (3)2 = 9 x →3

x →2

x→ 2

2. lim ( 4 x)+5

= + 5 (lim ) 4 () x lim

x →0

x→ 0

x →0

x +1

11. lim

x→ 0

2x + 3

x→ 3

= 4 lim ( )x +lim( )5

lim x +1

=

x→3

lim 2 x +3 x→ 3

x →0

lim x + lim 1

lim (4 x + 5 )=(4 )(0) +5=5

=

x →0

x→ 3

x→ 3

2 lim x +lim 3 x→ 3

3.

x→ 2

2

lim 4 − 8) 2 + = 5) ( 5)( ( x 2 8− +x5 = 4) 2 ( )(

lim ( 5 x) −2

= − 2 (lim ) 5 () x lim

x →−2

→− x

→− x

2

2

x→ 3

( 3) + 1 x +1 4 = = 2 x + 3 (2)( 3 ) +3 9

lim x→ 3

= 5 lim ()x −lim() 2 x →−2

→− x 2

12.

lim 5 2 )= (5)( 2 − ( x− )− 2− =12

lim 3 x 2 + 4 x →−2

x42 +

= lim 3 →− x

2

x →−2

= 3 lim x 2 + lim 4 x →−2

4. lim 6 = 6 x →4

lim 3 x 2 + 4 5. lim x = x→

1

= 3(−2) + 4 =16 4 =

x →−2

1 2

2

lim 2 ( x 2 + x 1−

2

6. lim

2 x + x −1 4x−2

x →2

=

x →2

lim (4 x −2

x →2

=

lim

2 x + x −1

x →2

4x−2

=

0

1. lim

x →2

x →2

8 x2 − 2x 2x

x→ 0

( x) −lim (1)

(2)(2 )

2

x→ 2

=

( 4) ( 2) −( )2

x →2

(lim ) −x 2 x →2

lim = ( )4−= ()2

2

x→ 0

x →0

9 6

lim

8 x2 − 2x

4

0

x →2

2.

lim x →−1

2x

) x −1 x 2 − 1 ( )(x + 1 = lim x + 1 →− x +1 1 x x →−1

= lim ()x − lim() 1 x →−1

lim 3 x 2 = 3 lim x=2 −(3= )( x →−2

x →0

= ( 4)(0 )1− = − 1

= lim ( x −1 )

lim 5 x = (5)(− 1)= − 5 x →−1

9.

2x

= 4 lim x −lim1

x→ 0

7. lim ( x 2 −)4=

2 x ( 4 x − 1)

= lim (4 x −1 )

x→ 2

2 + ( 1) (−)

= lim x→ 0

4 lim ( )x −lim( )2 x →2

2

II. Aplica el artificioalgebraico del casoII y resuelve lossiguientes límites que presentan la forma indeterminada 0  .

)

)

2lim ( x 2 ) +lim

8.

→− x 2

2

2)

2

x 2 −1 = (− 1)− =− 1 x →−1 x + 1

12

lim

→− x 2

24

→− x 1

2

UNIDAD 2 Límites y continuidad de funciones

3. lim

5x

x

x →0

= lim 5 = 5

8.

x →0

x2 + 5 x + 4

lim x →−4

x+4

(

= lim →− x

)( x +)4 x + 1 x+4

4

= lim ( x +1 ) x →−4

4.

x+5 x+5 = lim 2 5 x+ )5 x →−5 x − 25 →− x 5 ( x − )(

= lim ()x + lim() 1

lim

= lim x →−5

x →−4

4 →− x

x2 + 5 x + 4 1 = (− 4 + ) =− x+4 x →−4

1

lim

x−5

3

lim 1 x →−5

=

lim ( x −5

)

x →−5

9. xlim →2

lim 1

=

= lim ( x −6 )

lim ( x ) − lim 5

x →−5

x →2

5 →− x

= lim ( x) −lim () 6

x+5 1 1 lim = =− 2 10 (−5) − 5 x →−5 x − 25

5. lim x →1

)( x −)2 x − 6 x 2 − 8 x + 12 ( = xlim x−2 x−2 →2

x →−5

x →2

x2 + x − 2 x2 + x − 2 = lim x 2 −1 x 2 −1 x →1

( x + 1)( x − x + 1) x3 + 1 = lim x + 1 →− x +1 x 1 2

1 x+ ( x −)( )2 1 x+ )1 x →1 ( x −)(

10.

= lim

lim x →−1

1 = lim ( x 2 − x +

( x + 2) x →1 ( x + 1)

=

x →1

)

x →−1

= lim

lim ( x +2

x →2

x 2 − 8 x + 12 lim = (2)− 6= − 4 x−2 x→ 2

= lim ( x ) − lim ()x +lim()1 2

x →−1

)

→− x 1

→− x

1

x 3 − 125 x 5 x 2 5 x25 = lim ( − )( + + x 2 − 25 5 x+ ( x −)( )5 x →5

)

x3 + 1 2 lim = (−) 1( )− −1 +1 = 3 x →−1 x + 1

lim ( x +1 ) x →1

lim ( x) +lim ()2

=

x →1

x →1

lim ( x) +lim () 1 x →1

11. lim

x →1

x→ 5

x 2 + x − 2 (1) + 2 3 lim = = x 2 −1 (1) + 1 2 x →1

( x 2 + 5 x + 25)

= lim

( x + 5)

x →5

6.

2 x2 − x − 3

lim x →−1

x +1

(

)( x + 1)

= lim →− x

1

lim ( x 2 +5 x2+5

2x − 3

=

x →5

x →−1

=

x →−1

2 x2 − x − 3

7. lim x→ 3

x +1

x 2 + 4 x − 21 x−3

lim x→ 5

(

)( x +)7 x − 3

x→3

x 3 − 125 (5) = x 2 − 25

()x +lim( 25 ) x→ 5

x→ 5

x →5

2

+5( 5) 25 + (5) + 5

=

15 2

( x − 2)( x + 2 x + 4) x3 − 8 = lim x−2 x −2 x →2 2

12. lim

x−3

x→ 2

= lim ( x +7 )

= lim ( x 2 +2 x4+

x→3

)

x →2

= lim ( )x +lim () 7 x→3

x→ 5

lim ( )x + lim () 5

1 →− x

= 2 (−1 −)3 = 5−

= lim

x→ 5

)

)

lim ( x 2 ) +5lim

= 2 lim ()x −lim()3 lim

lim ( x +5

x +1

= lim (2 x −3 )

x →−1

x→ 5

lim(4) = lim ( x ) +2lim ( )x + 2

x→3

x →2

x 2 + 4 x − 21 lim = ( 3) +7 1=0 x−3 x→ 3

lim x→ 2

25

x3 − 8 x−2

2

x →2

= (2) + 2(2)+ = 41 2

x→2


III. Aplica el artificio algebraico del caso III y resuelve los si 0 guientes límites que presentan la forma indeterminada . 0

1. lim x →0

3+ x − 3

x

2. lim x →0

3+ x − 3

x

x

 2 − 4 − x  2 + 4 − x    = lim   2 + 4 − x  x x →0     4 − 4 + x   = lim  x →0   x (2 + 4 − x )

  3+ x −3  = lim   x→0   x ( 3 + x + 3 )

  1  = lim   x →0  (2 + 4 − x ) lim

=

1 3 + ( 0) + 3

=

2− 4 − x

x

x →0

  1  = lim   3 + x + 3  x→0  lim

2− 4 − x

x →0

 3 + x − 3  3 + x + 3    = lim   3 + x + 3  x x→0 

  x  = lim   x→0   x ( 3 + x + 3 )

x →0

5. lim

6. lim

25 − x 2

x 2 − 16

x →5 3 −

1

=

x →1

lim

25 − x

x 2 − 16

7. lim x →3

x2 − 9 x2 + 7 − 4

lim lim

  x + 3−4  = lim   x →1  ( x − 1)( x + 3 + 2)

x →3

  x −1  = lim  x →1  ( x − 1)( x + 3 + 2)

8. lim

x →1

x +3−2 = x −1

1

(

(1) + 3 + 2)

=

x →2

2

x +7 −4

x2 − 4 x 2 − 3 −1

x →4

2− x 4−x

lim

9. lim

x

x →1

lim x →4

4−x

=

(2 + 4 )

=

x2 − 4 x 2 − 3 −1 x −1 x2 + 3 − 2

74

)

+ +

)

)

(

x 2 − 31+

= (2)2− +3= 1

2

  x 2 + 3 + 2  x −1   = lim  x →1   x 2 + 3 − 2  x 2 + 3 + 2 

)

(

= lim x →1

lim

4

x →1

26

x −1 x2 + 3 − 2

 

)

( x − 1) x 2 + 3 + 2 = lim  x2 + 3− 4 x →1  

1

 

 x 2 − 4  x 2 − 3 + 1   = lim   x 2 − 3 + 1 x → 2  x 2 − 3 − 1

x→2

4

)

2 +7 = 48 (3)+

= lim

1

 2 − x  2 + x    = lim   2 + x  →4  4 − x 

1

(

x2

(

  4−x  = lim   x→4  (4 − x )( 2 + x )    1  = lim   x→4  ( 2 + x ) 2− x

=

(

( x 2 − 4) x 2 − 3 + 1 = lim  x2 − 3 −1 x→2  

x →2

4. lim

 x 2 − 9  x 2 + 7 + 4    = lim  x →3   x 2 + 7 − 4  x 2 + 7 + 4 

= x →3 x2 − 9

 

(5−)2 =166

=+ 3

(

x +3−2  x + 3 − 2  x + 3 + 2  = lim    x −1 x − 1  x + 3 + 2  x →1 

)

)

( x 2 − 9) x 2 + 7 + 4 = lim  x 2 + 7 − 16 x →3  

2 2

  1  = lim  x →1  ( x + 3 + 2) lim

(

2

x →0

3. lim

4

= lim 3 + x 2 − 16

x →5 3 −

= lim ( 2 + x + 2 )

x →0

1

=

 25 − x 2  3 + x 2 − 16    = lim   3 + x 2 − 16  x → 5  3 − x 2 − 16 

x →5

 x ( 2 + x + 2 )   = lim   x x →0   

2

)

(

  2 + x + 2  x x  = lim   2 + x − 2 x → 0  2 + x − 2  2 + x + 2 

x = +20 += ( ) 2+ x − 2

4 − ( 0)

(25 − x 2 ) 3 + x 2 − 16 = lim  9 − x 2 + 16 x →5  

2 3

 x ( 2 + x + 2 )  = lim   2+ x−2 x →0   

lim

1

(2 +

(

x 2 + 32+

= (1)2+ +3 = 2

) 4

 


1− x 2

10. lim

x2 + 3

x →1 2 +

 1 − x 2  2 − x 2 + 3    = lim  x →1   2 + x 2 + 3  2 − x 2 + 3  (1 − x 2 ) 2 − x 2 + 3 = lim  4 − x2 − 3 x →1  

(

(

= lim 2 − x 2 + 3 x →1

1− x 2

lim

x2 + 3

x →1 2 +

= 2−

(1+ )2 = 3

)  

)

0

IV. Para cada una de las siguientes funciones dadas, determina el

lim

(f x + ) (h )− f x

h→0

1. f ( x ) = mx 2

lim

f ( x +)h ()− f x h

h→0

(

mx 2 + 2mhx + h h

h→ 0

lim

f ( x + )h −()f x h

2

mx −

h

h→ 0

= lim

h→0

2

) m x h+

=lim

= lim 2

2

− mx

2

mx + 2h = mx

h→ 0

2. f ( x ) = ax 2 + bx + c

lim

f ( x +)h ()− f x

c a x− bx − c2 ) ( a x+h ) +2b x+h + −

(

=lim

h

h→ 0

h 2 2hax ax+ + h+ 2+bx +b − h c− a x− bx2 c h h→ 0 h→ 0

= lim = lim

2 hax +h 2 +bh

h→ 0

h

= lim (2 ax +h +b ) h→ 0

lim

f ( x + )h −()f x h

h→ 0

3. f ( x ) =

lim h→0

2= ax + b

1

x

f ( x + )h −()f x h

=lim h→ 0

1 1 − x+h x h

x− x− h

= lim

x ( x + h)

h→ 0

= lim − h→ 0

lim h→0

f ( x + )h −()f x h

=−

h 1

x ( x + h)

1

x2

27

h

.


4. f ( x ) = 5 x 3

lim

f ( x +)h ()− f x

(

h

h→ 0

3

)

5 x + h − 5 x3

h→ 0

h

=lim

3 + x15

5

= lim

2hx +15

2+ − 3 h 35 x

h

x

h

h→ 0

= lim1 5 x 2 +15 hx + h2 h→ 0

lim

f ( x + )h −()f x h

h→ 0

5. f ( x ) =

x2

15 =

1

x2 1

lim

f ( x +)h (− ) f x( h

h→ 0

)

x+h

=lim

(

1 x2

2

x 2 − ( x + h)

)

2

hx 2 (x +h

h→ 0

= lim

−

h

h→ 0

= lim

2

)

( x 2 − x 2 − 2 xh − h2 ) hx 2 (x +h

h→ 0

)2

(2 x − h) = lim − 2 h→ 0 x 2 ( x + h) =−

lim

f ( x + )h −()f x

h→ 0

h

6. f ( x ) =

x 2 −1

=−

( 2 x − 0) 2

x 2 ( x + 0) 2

x3

2

lim h→ 0

(+ x −h)− 1 − x 2 f ( x + h) − f ( x ) = lim h h h→ 0

1

  2 2 (+x) − h − 1 − x(2) 1  x + h − +1 = lim   2 h h→ 0      ( x + h)− +1   2 2 +  x+ 2+ 1 x 2 1  xh −h− = lim   2 h → 0  h x (h + )− x+1 − 2 1   

(

  = lim  h→ 0   

lim h→ 0

f ( x + h) − f ( x )  =   h



)

2x + h 2

(

2

( x + h)− +1 2x + 0

(

2 +1 ( x + 0)−

−x 2

−x

    1 

)

   = 1  

)

x x 2 −1

28

−x 2 −x

2

   1  1 


7. f ( x ) = 2 x 2 + 7 x − 1

lim

f ( x +)h ()− f x

(

2

)2(

+ x ) h+ 7

=lim

h

h→0

+ x1− 2 −h7 1− + x 2

= lim

x

h

h→ 0

4 xh + 2 h 2 + 7 h

h

h→ 0

7 = lim4 x +2 h + h→ 0

lim

f ( x + )h −()f x

4= 7 x +

h

h→0

8. f ( x ) = x 3 + 5 x − 3

lim

f ( x +)h (− ) f x( h

h→0

3

)

+ x h+ 5+ 5−x 3 −h −5 +3x 3

=lim = lim

x

h

h→ 0

3 x 2 h + 3 xh2 + h 3 + 5 h

h

h→ 0

= lim3 x+2 3 + xh +

h52

h→ 0

lim

f ( x + )h −()f x

h→0

h

9. f ( x ) =

ax + b

lim h

0

3= 5x 2 +

+b a (x+h + )− b ax f ( x + h) − f ( x) = lim h h h 0

→

→

 a (x+)h + − + b () b ax = lim  h h→0  

 a x h+ b+ + ax b +    a (x h+ +  )b + ax +b  

  + ah + −b −ax b ax = lim  h→0  ) +ax b+  h a x( h + b+

)

 

 = lim  h→0  

    

(

a

(

)

a (x h+ + )b + ax + b

f ( x + h) − f ( x) a lim = h h→0 ( ax +b + ax b+

a = ) 2 ax + b

10. f ( x) = 3 x 2 − 5 x

lim h→0

f ( x +)h ()− f x h

(

x 5+ h ) 3 +x −h52 5− 3−

=lim

x2

x

h

h→ 0

= lim 6 xh + h 2 − 5 h h→ 0

h

= lim6 x + h − 5 h h→ 0

lim h→0

f ( x + )h −()f x h

6=5 x −

29


11. f ( x ) =

1

ax

, 1

lim h→ 0

() f ( x + h) − f ( x ) = lim h h→ 0

a x+h

−

1

ax ()

+ ax − a x h

= lim

h

h a x( + h )ax

h→ 0

 ax − a x( h+ )  ax + a x( h+ )    = lim    h→ 0   h a x( +h )ax  ax + a x( h+ )   = lim − h→ 0  

=−

lim h→ 0

h→ 0

a (x )+h ax ax ( )+ ax h + a

(

(

a (x )+ 0 ax a x ( )+ ax

+0

)

)

=−

    a 2ax ax

f ( x + h) − f ( x ) a =− 3 h 2 (ax )2

12. f ( x ) =

lim

a

2 x +1

f ( x + h) − f ( x ) = lim h h→ 0

2 2 − 2 + x −1 2+ x+ h 1 x + h +1 x +1 = lim h h x h+ +x1 + 1 h→ 0

 + x −1 + x+ h 1  x + 1+  = lim 2  h→ 0   h x h+ +x1 + 1  x + 1+

+ x +h 1   + x +h 1 

 +x − 1− x− h 1 = lim 2  h→ 0  x 1 +x 1 (+x+h 1+ +  hx h + + = lim − 2   x + h+ 1 +x h→ 0    = −2   x + 0+ 1 +x  lim h→ 0

lim

(

1

(

+ f ( x + h) − f ( x ) x +h −9 + x = lim h h h→ 0

 

 1 

)

9 9  x + h+ + 9

  x + h+ + 9

  + x +h −9 − x 9  = lim   h→ 0  x9 + 9 )  h (x h + + +  1 = lim  9 h→ 0  ( x + h+ + lim

)

x+9

 + x +h − 9 + x = lim  h h→ 0 

h→ 0

0



 1 

h

1 f ( x + h) − f ( x ) =− 3 h ( x + 1)2

13. f ( x ) =

h→ 0

)

1 1+ + x 1+ + x

1+ + x 1+ + x

 

 1 

1 f ( x + h) − f ( x ) = h ( x + 0+ +9

+x

9

)

 

 9 

)

+x =

1 2 x+9

30

+x +x

9 



9 


14. f ( x ) =

1 4−x 1

lim

f ( x + h) − f ( x) h

h →0

= lim h→ 0

4−x−h h

−

1 4−x

− 4 −x − 4− x h h 4− x h − x 4−

= lim h→0

 4 − x − 4 − x − h  4 − x+ − 4 −x h    = lim  x h − x 4 −  4 − x + 4 − x − h  h→ 0   h 4−    −4 − x+ 4+ x h  = lim   h→ 0  4 − x+ − 4 −x h  x h − x 4− h 4 −  ( )   1  = lim    4 − x − h 4 − x ( 4− +x − − h→ 0  4 x h )  lim

f ( x + h) − f ( x ) h

h →0

15. f ( x ) =

lim h→0

=

1

x4 −x

− 4x

(−x4+

−

)

4

1

=

3

2 (4 − x )2

1 8x + 1

1 1 − f ( x + h) − f ( x) 8 x + 8h + 1 8x +1 = lim h h h→0

 81881 + x − + x+ h = lim  x 1 8 +1 h→0   h x8 h+ 8 +

 81881 ++  x  81881 x++

  + 8 x− 1− 8 x− 8 h 1 = lim  1+ h→0  x 1 +8 x  h x 8h + 8+ ( x+8 h +1 + 8  = lim  h→0  h 1 +8 x  8 x + 8+ lim h→0

f ( x + h) − f ( x) = h x 8x + 1 x 8+

1

(

8

1

)

 

 1 

)

8

−8

(

1++8 x +1 + 8 x

1x +8+ + 1

  

+x + h +x + h

8h

 

 1 

)

4

=−

3

(8 x + 1)2

16. f ( x ) = 2 x − 1

lim h→0

22121 + − f ( x + h) − f ( x) x −h− = lim h h h→0

x

 22121221 + − x − h− = lim  h h→0  

 x + −h +   22x + −h +1

x

  2+ 21 x − h− + 2 x 1   = lim  −2 1) h→0  h+ − + x  h ( x 221  2 lim  x + −h + = h → 0 ( 221 lim h→0

  −2 x 1)

2 f ( x + h) − f ( x) = = h ( 2 x − 1 + 2 x − 1)

1 2 x −1

31

 −21x  −2 x 1 


V. Aplica el artificio algebraico del caso IV y resuelve los siguientes límites que presentan la forma indeterminada  ∞ . ∞

1. lim x →∞

VI. Determina gráficamente las asíntotas vertical u horizontal de las siguientes funciones. 1. f x  x3

2t 3 − t 2 + 4

1 4 2− + 3 t t = 2−0+ 0 = − 2 2 1 7 − −7 0−0−7 t2 t

= lim

2t − t 2 − 7t 3

→∞ x

La función no tiene asíntotas verticales ni horizontales. La grá ca correspondiente es:

y 4 3 2 1

7 2. lim x →∞

7 − 3 x 2 = lim 5 x + 9 x 2 →∞ x

x2 − 3 = 0 − 3 = − 1 5 0+9 3 +9 x

−5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

x

−2 −3 −4

3. lim x →∞

6x + 2 3x + 5

6+

= lim x →∞

3+

2

x = 6+0 = 2 5 3+ 0 x

2. f ( x ) =

2x − 5 3x + 2

Para encontrar las asíntotas verticales se calculan los valores

4. lim x →∞

8x 3 − 3x 2 + 1 4 x 3 + 5x − 7

8−

3

+

1

x x3 = 8 − 0 + 0 = 2 5 7 4+0−0 4+ 2 − 3 x x

= lim →∞ x

2 en los que 3x  2  0, por lo tanto, x = − . Para las asíntotas 3 horizontales es necesario hacer el cálculo del límite en el in nito. Así,

lim f ( x ) = lim x →±∞

x→±∞

2x − 5 3x + 2

2

= . La grá ca corres3

pondiente es: 5. lim x →∞

2x 2 + 3 4 + x − 5x2

2+

= lim

4

→∞ x

x

3

x2 1

=

+ −5

2

2+0 0+ 0−5

=−

y

2

4

5

3

x

2 1

6. lim x →∞

4x + 2 8x − 3

4+

= lim →∞ x

11 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −−

2

−3 −4

2 + x x2 = 8 + 0 + 0 = 1 = lim 7. lim 2 5 3 8−0 + 0 x →∞ 8 x − 5 x + 3 →∞ x 8− + x x2 8+

8x 2 + 4 x + 2

8. lim x →∞

9. lim x →∞

x3 + 2 x − 5 = lim 4 x 3 − 3 →∞ x

2 x3 3

x +3

= lim x →∞

1+

4

2 5 − x 2 x3 = 1 + 0 − 0 = 1 3 4−0 4 4− 3 x

1+

2 3

=

2 1+ 0

3. f ( x ) =

2x − 3 2x2 + 3x − 5

Para encontrar las asíntotas verticales se calculan los valores en 5 los que 2 x2 3 x − 5 0, por lo tanto, x = 1 y x = − , para 2 las asíntotas horizontales es necesario hacer el cálculo del límite en el in nito. Así, lim f ( x ) = lim x →±∞

x →∞

x→±∞

2x − 3 2x2 + 3x −5

= 0, por lo

tanto, la asíntota horizontal es el propio eje x. La grá ca correspondiente es:

=2

y 4

x3 x = −2.5

10. lim

x

123456789

−2

x =1 3 2 8− x

4 1− x2 − 4 x 2 = 1− 0 = 0 = lim 2 1 12 1− 0 − 0 x − x − 12 →∞ x 1− − x x2

3

x=1

2 1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

32

1

23456789

x


4. f ( x ) =

3x − 1

y

3x 2 + 5x − 2

1.2 1

Para encontrar las asíntotas vert icales se calculan los valores 1 en los que 3 x 2  5 x  2  0, por lo tanto, x = −2 y x = , 1 3 pero como se observa en la siguiente grá ca, para x = no 3 se aprecia ninguna asíntota ya que el numerador se anula

0.8 0.6 0.4 0.2

−0.6−0.4 −0.2

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2 1.4 1.6 1.8

2

2.2 2.4 2.6 2.8

3

3.2 3.4

x

−0.4

también en ese valor, para las asíntotas horizontales es

ne-

−0.6

cesario hacer el cálculo del límite en el in nito, entonces lim f ( x ) = lim

x →±∞

x→±∞

3x −1 = 0 , por lo tanto, la asíntota 3x 2 + 5 x − 2

horizontal es el propio eje x. La grá ca correspondiente es:

y

6. f ( x ) =

3x 2 − 5 x + 2 6x2 − 5x +1

Para encontrar las asíntotas verticales se calculan los valores en

6

x=1

los que 6 x2  5x  1  0, por lo tanto, x =

4 2

−8

−6

−4

−2

1 3

1 y x = , para las 2

asíntotas horizontales es necesar io hacer el cálculo del límite en 2

4

6

8

−2

10

12

x

el in nito. Así, lim f ( x ) = lim x →±∞

x→±∞

3x 2 − 5x + 2 6x2 −5x +1

1

= . La grá ca 2

correspondiente es:

−4

y 5. f ( x ) =

x +1 − x

x = 0.33

5 4

x = 0.5

3

Esta ecuación sólo cuenta con asíntotas verticales yae qu no existe un valor para el cual los limites laterales sean in nito. Para las asíntotas horizontales es necesario hacer el cálculo del límite en el in nito. Así, lim f ( x ) = lim x →±∞

+x− 1=

x

0, por lo tanto, la asíntota

2

y = 0.5

1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

123456789

x

−2

x→±∞

−3

horizontal es el propio eje x. La grá ca correspondiente es:


4. Explica la continuidad de una función en un intervalo abierto o cerrado.

1. ¿Cómo es la grá ca de una función continua? La grá ca de una función continua es aquella que presenta ausencias de vacío o saltos, es decir, se traza sin despegar el lápiz del papel.

Una función continua en un intervalo abierto o cerrado es aquella que está de nida en todos los puntos contenidos en el intervalo, sin presentar algún salto en su grá ca representativa.

2. Escribe la de nición de una función continua.

5. Cita los requisitos para la continuidad de una función sobre un

Una función f x es continua para el valor x  a si cumple las tres siguientes condiciones: 1. f a existe o está de nida.

intervalo cerrado.

a) f (x) es continua por la derecha en a. b) f (x) es continua en el intervalo abierto (a,b).

2. lim f ( x ) existe. x →a

c) f (x) es continua por la izquierda en b.

3. lim f ( x) = (f) a . x →a

6. Explica cuando la discontinuidad de una función es evitabley cuando es no evitable .

3. ¿Qué es una función discontinua? Se le llama función discontinua a aquella que no cumpla con

Una función es evitable cuando en un punto x  a presenta

algunas de las tres condiciones que cumple una función continua.

discontinuidad, pero se puede realizar una rede nición de f en

33


el punto, logrando de esta forma tratar en forma adecuada de 3. f ( x ) =

llenar la discontinuidad que se tenía en el punto.

1 x −1

Una función es no evitablecuando a pesar de cualquier rede nición de f, no se puede encontrar alguna forma adecuada para

La función racional está de nida cuando x  1. El lim f ( x ) existe,

llenar la discontinuidad que se tenía en el punto.

por lo tanto, sólo es necesario analizar la continuidad en x  1.

x →a

Al analizar los límites a la izquierda y derecha de 1 se tiene: 7. Escribe las propiedades de las funciones continuas. De las propiedades de los limites se deducen las propiedades de para x  a, las funciones siguientes son también continuas en a. 1. f x  gx.

lim

f ( x ) = +∞

lim

f ( x ) = −∞

x →1+

f (x) y g(x) son continuas

las funciones continuas, es decir, si

x →1−

Por lo tanto, f x es continua excepto en x  1.

2. c f x, donde c es una constante arbitraria.

Representación grá ca de f x

3. f x gx 

4.

f (x) , siempre que ga  0. g ( x)

y 8 6

5. f gx, al suponer que f x es continua en ga.

x=1

4 2

II. Discute la continuidad de las siguientes funciones. 2

1. f x  4x  x  4

−1.5

−1 −0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

−2

La función polinomial está de nida para todos los números rea-

−4

les, y para todo valor de a el lim f ( x ) existe, por lo tanto, se

−6

x →a

concluye que f x es continua.

−8

Representación grá ca de f x y 6

4. f ( x ) =

5

x 1+ x2

4 3

La función racional está de nida para todos los n úmeros reales,

2

además para todo valor de a, lim f ( x ) existe, por lo tanto,

1

x →a

se puede concluir que f x es continua. −0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

x Representación grá ca de f x

2. f ( x ) =

x 1+ x2

y

La función racional está de nida para todos los nú meros reales,

0.8

además para todo valor de a, lim f ( x ) , existe, por lo tanto, se

0.6

x →a

puede concluir que f x es continua.

0.4 0.2

Representación grá ca de f x −12 −10

−3

−2.5 −2

−1.5 −1

−8

−6

−4

−2

y

−0.2

4

−0.4

2

−0.6

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

−2

34

x

−0.8

2

4

6

8

10

12

14

x


5. f ( x ) =

x −5 x 2 − 25

7. f ( x ) =

x+4 x 2 + x − 12

La función racional está de nida parax  5 y para todo valor de

La función racional está de nida para x  3 y x  4, además

a ≠ ±5 el lim f ( x) existe. Para el puntox  5, el límite de la x →a 0 función es del tipo , de tal forma que: 0

para todo valor de a  3 y a  4 el lim f ( x ) existe. Para los

lim

x →5±

1 1 x −5 x −5 = lim = lim = 5 x+ 10 x 2 − 25 x→5± ( x −)( )5 x →5± x + 5

x −5

1 x −5 = lim =∞ x →5+ x + 5 5 x+ ( x −)( )5 1 x −5 x −5 lim = lim = lim = −∞ 2 5 x+ )5 x →−5− x − 25 x →5− ( x −)( x →5− x + 5 lim

x →−5+

x→a

puntos x  3 y x  4, se tiene: 1 x+4 x +4 = lim = lim = ±∞ 4 x− x 2 + x − 12 x → 3± ( x + )( )3 x → 3± x − 3

lim

x → 3±

x+4

= lim

x 2 − 25

x →5+

x →− lim4±

x →−5+

1

1

x  3 y x  4, siendo no evitable y evitable respectivamente. La función presenta una discontinuidad en

Entonces, lim

x+4

lim4± ( x + )( 4 x− lim4± x − 3 = − 7 x 2 + x − 12 = x →− ) 3 = x →−


x −5 x −5 ≠ lim x 2 − 25 x→−5− ( x −)(5 x)+ 5

y

x=4

1

La función presenta dos discontinuidades. Cuando x  5, la discontinuidad es del tipo evitable y cuando x  5 es no evitable.

0.5

Representación grá ca de f x −9 −8 −7 −6 −5 −4 − 3 −2 − 1

y

x

123456789

(1,−0.33)

−0.5 4

x = −5

−1 2

(5,0.1) −11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

x

12345

−2

8.

f ( x) =

−4

x−2 x 2 + 3 x − 10

La función racional está de nida para x  5 y x  2, además para todo valor de a ≠ −5a y

La función racional está de nida para x  7 y para todo valor de a ≠ 7 el lim f ( x) existe. Para el punto x  7, el límite de x →a 0 , de tal forma que: la función es del tipo 0 lim

x →7±

≠2 el xf lim

puntos x  5 y x  2 se tiene:

x 2 − 49 6. f ( x ) = x −7

( x −)( 7 x+ )7 x 2 − 49 = lim = lim x + 7 = 14 x−7 x−7 x →7± x → 7±

( ) existe. Para los

x →a

lim

1 x−2 x−2 = lim = lim = ±∞ 5 x− x 2 + 3 x − 10 x→−5± ( x +)( )2 x →−5± x + 5

lim

1 1 x−2 x−2 = lim = lim = 5 x− 7 x 2 + 3 x − 10 x→2± ( x +)( )2 x →2± x + 5

x →−5±

x →2±

x   5 y x  2, la discontinuidad en x  2 es del tipo evitable y la discontinuidad La función presenta discontinuidades en en x  5 es del tipo no evitable.

La función presenta una discontinuidad en x  7, la discontinuidad es del tipo evitable.


y 16


14

x = −5

y

12 10

16

8

14

(7,14)

12 10

6 4

8

2

6 4

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 − 2 − 1 −2

2

−4 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −2

12345678

x

−6

35

(2,0.14) 1234

x


x −1 x2 − 5x + 4

9. f ( x ) =

 3 − 2,x x <1  x, x ≥ 1 

11. f ( x ) =  

La función racional está de nida para x  1 y x  4, además para todo valor de a a ≠1 y

≠4 elxf lim x→ a

puntos x  1 y x  4, se tiene:

( )

existe. Para los

Las funciones polinomiales 3  2x y x, están de nidas en los intervalos ,1 y 1,, es decir, f x es continua para todos los números reales. Se analiza su comportamiento cuando x  1:

1 1 x −1 x −1 lim 2 = lim = lim =− 4 x− 3 ) 1 x→1± x − 4 x →1± x − 5 x + 4 x →1± ( x − )( lim x →4±

x −1 2

x − 5x + 4

x −1

= lim x →4±

1

= lim

4 x− ( x − )( )1

x →4±

= ±∞

x−4

lim (3 − 2 x ) = lim x

x →1−

x →1+

Por lo tanto, la función f x es continua en los números reales. Representación grá ca de f x

La función presenta discontinuidades en x  1 y x  4, la discontinuidad en x  1 es del tipo evitable y la discontinuidad en

y

x=1

6

x  4 es del tipo no evitable.

5 4


3 2

y

x=4

1

1

−4 −3 −2 −1

1

−1 0.5

2

3

4

5

6

x

−2

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 − 2 − 1

x

123456789

(1,−0.33)

−0.5



− 4 x, x ≤ 2  x 2 − 8 x + 2, x >2 

12. f ( x ) =  

−1

Las funciones polinomiales 4x y x2  8x  2, están de nidas en los intervalos ,2  y  2, , es decir, f x es continua

 x , x ≤ 2 10. f ( x ) =   x 2 , x > 2

para todos los números reales. Se analiza su comportamiento cuando x  2:



Las funciones polinomiales x y x 2, están de nidas en los intervalos ,2  y 2,, con base a ello, se deduce que f x es continua para todos los números reales, sólo se analiza su comportamiento cuando x  2:

x →2+

2

Por lo tanto, la función f x es continua en los números reales, excepto cuando x  2.

lim x ≠ lim x 2

x →2−

2 lim−x+ 8x

lim − 4≠ x

x →2−


x →2+

y

Por lo tanto, la función f x es continua en los números reales excepto cuando x  2.

x=2

6


4

y

2

16 14

−4

−2

2

12

−2

10 8

−4

x=4

6 4

−6

2

−2

−1

−1

2

4

6

−8

x

36

4

6

x


13. f ( x ) =

15. f ( x ) = [ x − 1]

x+3 x +3

Como se sabe, la función parte entera tiene discontinuidad de

La función racional está de nida para x  3 y para todo valor

salto en cada entero, es decir, lim [ x − 1] = −1

de a ≠ −3 el lim f ( x) existe. Para el punto x  3, se tiene:

x →1−

x→ a

lim [ x − 1] = 0

x →1+

x+3

lim

= −1

x +3

x →−3−

x+3

lim

La función f x  x  1 es continua por la derecha pero discontinua por la izquierda en cada entero dado que:

=1

x+3

x →−3+

lim [ x − 1] = a −1


(continua por derecha)

x →a−

Por lo tanto, la función f x es continua en los números reales excepto cuando x  3.

lim [ x −1] = a

(discontinua por izquierda)

x →a+

La función f x  x  1 es continua en cualquier número que no sea entero, ya que es constante en cada intervalo a, a  1, donde a es un entero.

y

x = −3

1.5


1

y

0.5

−6 −5.5 −5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 −0.5

0.5

1

1.5

2

3

x

2

−1 −1.5

1

−3.5−3−2.5−2−1.5−1−0.5

x

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.55

−1

14. f ( x ) =

x −5 −2

x −5

La función racional está de nida para x  5 y para todo valor de

a ≠ 5 el lim f ( x ) existe. Para el punto x  5, se tiene:

La función f x  x  x tiene discontinuidad de salto en cada entero, es decir,

x→ a

lim

x −5

lim

= −1

x −5

x →5−

x −5

x →5+

16. f x  x  x

lim x −[ x ] = 1

x →1−

lim x −[ x ] = 0

=1

x −5

x →1+

Por lo tanto, la función f x es continua en los números reales excepto cuando x  5.

La función f x  x   x es continua por la izquierda, pero discontinua por la derecha en cada entero dado que: lim x −[ x ] = a

(continua por derecha)

lim x −[ x ] = 0

(discontinua por izquierda)

x →a−


x →a+

x = −3

y

La función f x  x  x es continua en cualquier número que

1.5

no sea entero.

1


0.5

y −8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

x

123456

−0.5

1

−1 −1.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5

37

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x


5 x3 − 8

17. f ( x ) =

x  2 y para todo valor de

La función racional está definida para

a ≠ 2 el lim f ( x ) existe. Para el punto x  2, se tiene: x →a

lim

x →2−

lim

5 = −∞ x3 −8 5

x →2+

x3 − 8

=∞

Por lo tanto, la función f x es continua en los números reales excepto cuando x  2. Representación grá ca de f x

y 8 6 4 2

−8

−6

−4

−2

2

4

−2

6

8

10

x

x=2

−4 −6

18. f ( x )

x3 − 8

= x−2

La función racional está definida para x  2 y para todo valor de a ≠ 2 el lim f ( x) existe. Para el punto x  2, se tiene: x→ a

lim → 2−

x

x

3

x

−8 = −2 =

lim → 2+

x

lim − x→2

3

−8 = x−2

x

lim → 2−

=

(x − 2)(x2 + 2 x + 4) x

x

x

lim → 2+

lim + x→2

(+ x

2

−2

+2 =x 4

)

1 2

(x − 2)(x 2 + 2 x + 4) x

(+ x

2

−2

+ 2= x 4

)

1 2

La función presenta discontinuidad cuandox  2, del tipo evitable. Representación grá ca de f x

y 16 14 12

(2,12)

10 8 6 4 2

−4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5

0.5 1234 1.5

2.5

3.5

38

4.5

x


19.

f (x) =

4 − x2 3− x2 + 5

La función racional está de nida parax  2, además para todo valor dea ≠ ±2, lim f ( x ) x →a

existe. En el punto x  2, se analiza el límite.

lim

x → 2−

4 − x2 3− x2 + 5

 4 − x 2  3 − x 2 + 5    = lim  x → 2−   3 − x 2 + 5  3 − x 2 + 5  (4 − x 2 ) 3 + x 2 + 5 = lim  2 − x→2  4−x 

(

4 − x2

lim

x →−2+

3− x2 + 5

) =  

(

lim

4 − x2 3− x2 + 5

= lim

x →−2−

(

lim

4 − x2 3− x2 + 5

+ x=2

5

)

6

) =  

(3 +

lim

x →−2+

)

x2 + 5 = 6

  2  3 − x 2 + 5   4 − x  3 − x 2 + 5  3 − x 2 + 5   

(4 − x 2 ) 3 + x 2 + 5 = lim  4 − x2 x →−2−  

x →−2+

−

 4 − x 2  3 − x 2 + 5    = lim  x → 2+   3 − x 2 + 5  3 − x 2 + 5  (4 − x 2 ) 3 + x 2 + 5 = lim  4 − x2 x → 2+  

x →−2−

(

lim +3 x→2

) =  

(

lim +3 + = x2

x →−2−

5

)

6

 4 − x 2  3 − x 2 + 5    = lim  x → 2+   3 − x 2 + 5  3 − x 2 + 5   4 − x 2 3 + x 2 + 5 ( ) = lim  4 − x2 x → 2+  

(

) =  

(

lim +3 + = x2

x →−2+

5

)

6

La función presenta discontinuidades cuando x  2, del tipo evitable. Representación grá ca de f x

y 14 12 10 8

(−2,6)

(2,6)

6 4 2

−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2

20. f ( x ) =

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

x2 + x − 2

( x − 1)2

La función racional está de nida para x  1 y para todo valor de a ≠ 1 el lim f ( x) existe. x→ a

Para el punto x  1, se tiene:

= lim

1 x+ ( x −)( )2 ( x + 2) 3 = lim = lim 1 + =∞ 2 −1 x −1 x →1− ( x ) x →(1− ) ( x − 1)

= lim

1 x+ ( x −)( )2 ( x + 2) 3 = lim = lim 1 + =∞ x −1 x →1+ ( x )− 1 x →(1+) ( x − 1)2

2

lim

x →1−

lim

x →1+

x + x−2 2

( x − 1)

x2 + x − 2

( x − 1)2

x →1−

x →1+

39


La función presenta discontinuidad cuando x  1, del tipo no evitable. Representación grá ca de f x

y 6

4

2

x=1 −45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5

5

10 15

20

25 30

35

40

−2

−6

40

45

50

x

UNIDAD 3 DERIVACIÓN DE FUNCIONES


9. De ne la derivada de una función.

1. ¿Cómo se puede calcular el cociente de diferencias de una función?

Es el límite del cociente de diferencias de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.

El cociente de diferencias de y con respecto a a x en un intervalo

x mediante la siguiente regla: cambio en y cambio en x

=

∆x = cociente de diferencias ∆y

2. ¿Qué es la razón de cambio instantáneo? Se le denomina razón de cambio instantáneo a la razón de cambio

y en un valor concreto de x.

10. Describe la notación de la derivada. La derivada de una función de x es también f x, se utiliza el dy , la cual se símbolo f x. También se hace uso de la notación dx puede abreviar por y  si a una función se le antepone el símbolo d , se entiende que dicha función debe derivarse con respecto a dx d a x; la notación Dx se usa en lugar de . Lo anterior determina dx la siguiente igualdad:

3. Escribe la ecuación de la razón de cambio instantáneo de y en x.

∆y f ( x + ∆y)− f ( x ) dy = lim = lim ∆x dx ∆→ x 0 ∆x ∆→ x 0 4. ¿Por qué la pendiente de una recta es constante en cualquiera de sus puntos? Porque el cociente de diferencias de y con respecto a a x es el mismo para cualquier punto.

f ′( x ) =

dy d = y ′ = [ f ( x )] = Dx ( f ( x)) dx dx

II. Determina el cocientede diferencias de cada una delas funciones entre loscon dosla puntos dados; compara este cociente de diferencias razón de cambio instantáneo de cada punto. 1. f x  5x  11; 1,16 , 2,21  El cociente de diferencias de f x al pasar de x  1 a x  2 es:

5. ¿Por qué la pendiente de una curva no recta no es contante en cualquiera de sus puntos? Debido a que el cociente de diferencias de y con respecto a a x no es el mismo en todos los puntos. 6. ¿Qué se entiende por recta tangente a una curva?

∆ f ( x ) 21 − 16 = =5 ∆x 2 −1 La razón de cambio instantáneo de f x en x se determina por: lim ∆x → 0

f ( x + ∆x ) − f ( x) ∆x

∆f ( x ) 5( x+ ∆ x+) −11 +5 x 11 5∆x = = =5 ∆x ∆x ∆x

Es la recta tangente a un punto especí co de la curva, sin interesarnos que la recta corte a la curva en algún punto. 7. ¿Qué se entiende por recta secante a una curva? Es la recta que corta a la curva en dos o más puntos. 8. De ne la pendiente de una curva en un punto. La pendiente de una curva es igual a la pendiente de su recta tangente en dicho punto y se determina por:

m = lim ∆→ x 0

∆x f ( x + ∆x ) − f ( x) = lim ∆y ∆→ x 0 ∆x

Cuando x

1,

∆f ( x ) = 5 y cuando x ∆x

2,

∆ f ( x) = 5. ∆x

3  2. f ( x ) = 2 x − 3; (0, −3,)  ,0  2  El cociente de diferncias de f x al pasar de x  0 a x = 3 es: 2

∆f ( x ) 0 − (−3) = =2 3 ∆x −0 2


La razón de cambio instantáneo de f x en x se determina por: lim

f ( x + ∆x ) − f ( x)

∆x

∆x → 0

∆f ( x ) 2 ( x+ ∆ x−)32− 3 + x = ∆x ∆x

=

2∆x

∆x

=2

∆ ) f (x ) ( 3 ∆f x Cuando x = 0, =2 y cuando x = , =2 ∆x 2 ∆x 3. f ( x ) =

 3 x ; (0, 0,) 3,   4 x +1

El cociente de diferencias de f x al pasar de x  0 a x  3 es: 3

− 0 ∆f ( x ) 4 ( ) 1 = = 3− 0 4 ∆x La razón de cambio instantáneo de f x en x se determina por: lim ∆x → 0

f ( x + ∆x ) − f ( x) ∆x

( x + ∆x ) x − ∆f ( x ) x + ∆x + 1 x + 1 = ∆x ∆x =

) ∆ (− ( x+ 1)( x+ x x+x)∆ + x 1 ∆x ( x+ 1)(+x ∆ +x 1)

=

1 x 2+ + x ∆x +∆ x −x −x2∆ − x x x = ∆x ()x+ 1 (+x ∆ +) x 1() ( )x + 1 x+ ∆ +x 1

Así,

f ( x + ∆ x ) − f ( x)

lim →∆x

0

∆x

1

=lim

→∆

x

0

x 1) ( x + 1)( x+ ∆ +

Cuando x = 0, )f ′ ( x =1 y cuando ) x(3, =

=

f′ x =

1

( x + 1)2 1

16

.

4. f x  3x2  5; 1,8 , 2,17  El cociente de diferencias de f x al pasar de x  1 a x  2 es:

∆ f ( x ) 17 − 8 = =9 ∆x 2 −1 La razón de cambio instantáneo de f x en x se determina por: lim ∆x → 0

h x( + x∆ )h− x ( )

∆x

) ∆ x+253− 5 3− x62 ∆f ( x ) 3( x+ = ∆x ∆x

) (x 2+ 5∆ 3x + 5 x∆ =

2

6 x∆x + (∆x )

=

∆x

= 6 x + ∆x

Así,

f ( x + ∆x ) − f ( x)

lim →∆x

0

∆x

→∆

(+ x ∆6=x )

=lim6 x

x

0

Cuando x =1, )f ′1( =6 y cuando ) x(2,=

2f ′ 12.=

42

+x −2 ∆x

−

x2

UNIDAD 3 Derivación de funciones

5. hx  x3  2x  7; 1,8, 1,6  El cociente de diferencias de hx al pasar de x  1 a x  1 es:

∆h ( x ) 6 − 8 = = −1 ∆x 1+1 La razón de cambio instantáneo de hx en x se determina por: lim

h (x + x∆ )h− x ( )

∆x

∆x → 0

3

) x( − 2) +x ∆ +x − 72+ x3− ∆h ( x ) ( x+ ∆ ∆x = ∆x 2

= =

x

7

3

) (x∆) − x− ∆ + 2 x− 2+ x −7 x 3+ 33x∆2 +x ∆x ( +

x3

2x

2 3 x∆ + x

2

3∆ (x )∆ x( )+

3

− x∆

2 x

∆x

2

= 3 x 2+ ∆3 x +x∆ ( −x)

Así,

h (x + x∆ )h− x ( )

lim →∆x

∆x

0

→∆

 2 2 ∆ =  lim 3 x+ 3+ x∆x −( x)  x 0

 

2 = 3 x2 − 2

Cuando x = − 1, h)′ (− 1 = 1 y cuando ) (x = 1, h′ 1 = 1. 6. g )( x =

(

x2 (−1; ) 1,0 , 3, 8

)

El cociente de diferencias de gx al pasar de x  1 a x  3 es:

∆g ( x ) 8 −0 = = 2 3 −1 ∆x La razón de cambio instantáneo de gx en x se determina por: lim ∆x → 0

g (x + x∆ )g− x ( )

∆x 2

( x+ ∆ − x) − 1 − x2 ∆g ( x ) = ∆x ∆x

1

 2 2  ( + 1 x )∆ − x − 1 −(x 2) 1  x + ∆x − +  =   ∆x   ( x + ∆x )2− + 1

(+ )2 − 1+ x 2 x ∆ x−

= ∆x

( ( x+ ∆

1

)

2

) + 1 − x2 x−

1

2

2 x∆x + (∆x )

= ∆x =

( ( x+ ∆

)

2

) + 1 − x2 x−

1

2 x + ∆x

( (x + ∆x) − +1 2

−x 2

)

1

Así,

g (x + x∆ )g− x ( )

lim →∆x

0

∆x

→∆

7

∆x

  = lim  x 0  

  =  1  

2 x + ∆x

( (x + ∆x) − +1 2

Cuando x = 1,)g′ (1 = ∞ y cuando ) (x = 3, g′ 3 =

)

−x 2 3 2 4

.

43

x x2 −1

  

−x 2

1 

−x 2

1 

2


(

)

2 9; 3,0 , 4, 7 () 7. f)(t = t −

El cociente de diferncias de f t al pasar de t  3 a t  4 es: 7 −0 ∆f (t ) = = 7 ∆t 4−3 La razón de cambio instantáneo de f t en t se determina por:

f (t + ∆t ) − f (t )

lim

∆t

∆t→ 0

t ∆ − t )2 −9 − t 2 ∆f (t ) = (+ ∆t ∆t

9

  2 2 (+ 9 t )∆ − t −9 − (t 2 ) 9  t + ∆t − + =   ∆t  (t + ∆t )−2 +  9 2 (+ t ∆ − t ) −9 +t 2

=

9 

−t 2

9 

9

(

∆t t (t+ ∆ − )2t+ 9 −

2

9

)

2

9

)

2

2t ∆t + (∆t )

=

(

2

∆t t (t+ ∆ − ) t+ 9 − =

2t + ∆t

( (t + ∆t−) 2

−t 2

+ 9

9

)

Así,

f (t + ∆t ) − f (t )

lim →∆t

∆t

0

→∆

  = lim  t 0  

2t + ∆t

( (t + ∆t )− 2

Cuando t = f 3, ) ′ ( 3 = ∞ ty f cuando ) ( = 4,

8. g)(u =

u 2 −25; ()

(

5,0 , 6, 1 1

+ 9

−t 2 ′ 4 =

  t  =  t2 − 9 9  

)

4 7 7

.

)

El cociente de diferencias de gu al pasar de u  5 a u  6 es:

∆g (u) 11 − 0 = = 11 ∆u 6−5 La razón de cambio instantáneo de gu en u se determina por: lim ∆u → 0

( +∆ gu u )g− u ( ) ∆u

Al realizar el mismo procedimiento, que en los ejercicios anteriores se tiene: lim ∆u → 0

gu( + u∆ )g− u ( )

∆u

Cuando u = g 5, ) ′5(

=

t u 2 − 25

= ∞y ucuando g ) (6,= 6 ′

=

6 11

9. hx  x2  6x 1 1,6, 3,10 El cociente de diferencias de hx al pasar de x   a x  3 es:

∆h ( x ) −10 − 6 = = −4 ∆x 3 +1

44

11

.

  

−t 2


La razón de cambio instantáneo de hx en x se determina por:

lim ∆x → 0

h (x + x∆ )h− x ( ) ∆x 2 2 6 6 +x ∆ x ) x 1( 2 x∆ x− ∆ ∆h ( x ) ) ( x+ ∆ x − 6−x ∆ 6− − x 1+ x+ = = ∆x ∆x ∆x

h (x + x∆ )h− x ( ) lim = lim (2 − x +6∆ = x )− 2 x ∆x →∆ →∆x 0 x 0

2

= 2 x− 6+ ∆ x

6

Cuando x  1 h1  8 y cuando, x  3, h3  0. 10. fx  x3  x; 0,0 , 0.1,0.401 El cociente de diferencias de fx al pasar de x  0 a x  0.1 es:

∆f ( x ) 0.401 − 0 = = 4.01 ∆x 0.1 − 0 La razón de cambio instantáneo de hx en x se determina por: lim ∆x → 0

f ( x + ∆x ) − f ( x)

∆x 3

) x (+ 4)+x ∆ −x − x3 ∆f ( x ) ( x+ ∆ = ∆x ∆x

4x

2

= =

3

x 3+ 3 ∆ x2 + 3x ∆ x ( + ) (x∆) 4+ 4 x+ ∆ 4 −x −

x3

x

x

∆x 2 3 x∆ + x

2

3

3∆ x ( )+ (x )∆

+ x∆

4 x

∆x

2

= 3 x 2+ ∆3 x +x∆ ( +x)

4

Así,

h x( + x∆ )h− x ( )

lim →∆x

0

∆x

(

)

2

2 3 x+ 4 ( 3=x)4 + ∆+ x ∆x +

=lim3

→∆

0

x

Cuando, x = 0 ) f ′ (0 =4 y cuando )x(0.1, =

0.1 f′

x2

4.03. =

III. Resuelve los siguiente s problemas. 1. Se dispara un proyectil a nivel del suelo con un ángulo de 45 °, la ecuación de su trayectoria es:

y= x−

32

v02

(x 2 )

Siendo la velocidad inicial v0  21.9 en ms.

a) Elabora la gr á ca de la tray ectoria del proyectil. y 6 5 4 3 2 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

45

12

13

14

15

16

x


b) Determina la coordenada de la abscisa en que el proyectil toca el suelo. Analizar la grá ca, se observa que: Cuando x  0, y  0 y cuando x  15, y  0; por lo tanto, la distancia total recorrida es de 15 unidades.

3. Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba y está a s metros sobre el suelo después de t segundos de ser encendido, donde s  500t  16t2 (considera la dirección positiva hacia arriba), encuentra:

a) La velocidad del cohete a los 2 segundos después del encendido. Para encontrar la velocidad es necesario calcular la razón de

c) Por simetría indica el valor de x en que el proyectil alcanza su máxima altura.

cambio de s, entonces:

ds dx = s ′ (t ) = 500 − 32t

Por simetría se observa que el proyectil alcanza su máxima altura en x  7.5 unidades.

Cuando t  2 se tiene:

s ′ ()2 = 500 − () 322

d) ¿Cuál es la razón del cambio instantáneo de la altura cuando el proyectil se encuentra a su máxima altura?

= 436

b) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar su altura máxima? La razón de cambio instantáneo para cuando el proyectil

Representación grá ca ds vs t

alcanza la altura máxima es para x  7.5. Por lo tanto,

ds dy = f ′ (7.5 =)− 1 dx

3500

64

= (−7.5)× (21.9)2

8.13 10−4

3000 2500 2000 1500

2. Dada fx   0.009x2  x, calcula la razón de cambio de fx respecto a de x cuando x  10 y cuando x  50.

1000 500 2

d f ( x) dx

= f ′ ( x ) = −0.018 x +1

( )

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

El tiempo en el cual, el cohete alcanza su máxima altura es

+= 1 0. 82 f ′ 10= − 0.018(10) f ′ (50 =) − 0.018(50) += 1

4

Los puntos de intersección son 0,0  y 31.25,0 .

cuando la función es máxima. Entonces, por simetría ocurre en t  15.625.

0.10

EJERCICIO 10 I. Aplicando la regl a general para la de rivación, determina la derivada de las siguientes funciones.

Primer paso

1. y  8x  5

+ b (+x ∆ y + ∆y= a

Primer paso

y+∆y

Segundo paso

y+ ∆y

−y =

8 ( x + ∆ x) − 5

= − 8x ∆y =

∆y

+5

8∆ x

=

∆y b∆x = =b ∆x ∆x dy

∆y 8∆x = =8 ∆x ∆x dx

= a +bx +b x∆ = −a − bx y

Tercer paso

Tercer paso

dy

x)

Segundo paso

y + ∆y= 8 ( x+ ∆ − x) 5

−y

2. y  a  bx

dx

=8

46

=b

b∆ x

t


3. y  2x2 Primer paso 2

y + ∆y= 2 ( x+ ∆ x ) Segundo paso

y + ∆y

−y

2

2 x 2 + 4 x∆ + x ∆ 2 ( x)

=

= −2 x 2 2

∆y

4 x ∆ x + 2 (∆ x )

=

Tercer paso 2

∆y 4 x∆x + 2 (∆x ) = = 4 x + 2∆x ∆x ∆x Cuarto paso (x  0)

∆y = 4x ∆x dy dx

= 4x

4. y  x2  3x Primer paso 2

2

3 x∆ 3= x + y + ∆y= ( x+ ) ∆ x= − − ) (x2∆ +2 ∆ x x − −x ∆ 3 x 3 x Segundo paso

y + ∆y

−y

= ∆y

2

x 2 + 2 x∆ + x ∆( x−) −3∆ x 3 x

=

−x 2

+ 3x 2

=

2 x∆x+∆( x )

−∆ 3 x

Tercer paso

∆y 2 x∆ x+ ∆( x− )2 ∆3 x = = 2 x+ ∆ x− 3 ∆x ∆x Cuarto paso (x  0)

∆y = 2x − 3 ∆x dy dx

= 2x − 3

5. y  ax3 Primer paso

y + ∆y= a (+x ∆) x=

3

+ax3 ∆3+ () 3+ ax2 (x)∆ ax∆ x

2

x

47

3


Segundo paso

y + ∆y

−y

2

3 ) (x) 3ax ax+ ∆ 2+ x ∆3 ax +( ∆

=

3

x

= −ax 3 ∆y

=

3ax ∆2 +x

) (∆ 3∆ax (+ x)

2

x

3

Tercer paso 2 + ∆y 3ax∆ )2 x x ax3∆x( )+(∆ = ∆x ∆x

3

)2

= 3ax 2+ 3ax ∆+ x ∆ x(

Cuarto paso (x  0)

∆y = 3ax 2 ∆x dy dx

= 3ax 2

6. y  2x  7x3 Primer paso

y + ∆y= 2 (+ x ∆)− x(

7+) x∆

3

x

= 2 x+ ∆2− x −7 x3 ∆21 − x2 ∆ − x∆ ( )x 2 ( 7) x 21

x

3

21 7x(∆)x ∆− x 2 x∆ −

2

( )

x

3

−21 ∆2x−2 1x∆ −x (∆ 7 )x

2

( )

x

3

Segundo paso

y + ∆y

=

21 −x 3

2x + 2∆ 7 −x

3

−y ∆y

= −2 x =

+ 7x 2∆x

Tercer paso

∆y 2∆ −x = ∆x

2 21 ∆x− )x x ∆21 x−( ∆

2

( 7)

∆x

x

3

= 2− 21x−2


∆y = 2 − 21x 2 ∆x dy dx

= 2 − 21x 2

7. y  3x2  5x  1 Primer paso 2

( y + ∆y= 3 (+ x ∆ ) x+

5+ ) x∆ − x

1

= 3 x 2+ ∆6 x +x∆ 3 ( +x)2+ ∆5 x− 5 x 1

48

2

∆ 21− x ∆ x 7 ( x)


Segundo paso

y + ∆y

−y

=

2

3 x 2 6+ x∆3 + x ∆(5 5 + x) 1+ ∆ x −

= −3 x ∆y

2

x

− 5x 2

=

6 x∆x+ ∆ 3( x )

+∆

+1 5 x

Tercer paso 2 6 x∆ + ∆y x ∆3 ( x+) ∆ 5 x 3 + = = 6 x+ ∆ x ∆x ∆x

5


∆y = 6x + 5 ∆x dy dx

= 6x + 5

8. s  2t3  4t2  3 Primer paso 3

2

s +s∆t = 2t (+ ∆t)+t(

+ 4t) ∆t( − ) + 3∆ 2

3

= 2t 3+ )t ∆ ()t t + 2t t 6t∆2t+t ∆6 (+

2

+ t ∆4+t2∆ () t8 − − 4∆

3

3

Segundo paso 2

s + ∆s −s

∆s

26 2 t 3t6+ t ∆ t+ t = = −2 t 3

3

2

=

2

2 (3 t ∆t + 3 t ∆2()t +(∆ )t 4t 8t+ 4+ )∆ − 4t 2

−− ∆ + 3t

3

6tt2 ∆ t6t+ ∆ 2(t)+ ()∆

tt8 4 t+ ∆+ ()∆ 3t

−∆

Tercer paso 2

3

2 (t ∆ )tt + t∆2+( )∆ t∆ t + t t ∆( )+ t −8 ∆ ∆t

66s ∆ = ∆t

2

8 −4 = 66t 2t+ t∆ + t ∆2 (t + )t + ∆

2

4

3


∆s = 6t 2 + 8t − 3 ∆t ds dt

= 6t 2 + 8t − 3

9. u  mv2 Primer paso

u+∆ u = mv (+ v∆

)2

2 = mv+ 2mv ∆+v∆m

v(

)2

49

3

2


Segundo paso

Segundo paso 2

2

= mv + 2mv∆v+m∆ v( ) = −mv 2 = 2 2mv∆v + m (v∆ )

u + ∆u

−u ∆u

a

y +∆ y− y=

x + ∆x + a

∆y =

Tercer paso

=

a x + ∆x + a

∆y = ∆x

∆u = 2mv ∆v dv

= 2mv

Primer paso

dx 2

( )t t− ( s + s∆ t=t +∆

3+ )∆ +

a)

a∆x ( x + a)( x+ ∆ + x ∆x

a)

=−

a ( x + a)( x+ ∆ + x

= t + tt2∆ +t ∆(t −) t −3∆ +3

12. y =

6

=−

a)

a

( x + a)2

x2 + 4 2

Primer paso

Segundo paso 2

)3t 3 −6∆ + = t 2 +tt2 ∆ t+ ∆(t − = −t 2 + 3t = 2 2tt∆t+ ∆( ) t− ∆ 3

y + ∆y =

( x + ∆x )2 + 4 2

−6 Segundo paso

( x + ∆x )2 + 4

y +∆ y− y= ∆ = y

Tercer paso 2∆ ( − )2t ∆3 ∆s tt +t∆ = ∆t ∆t

2

−

=

= 2t+∆ − t 3

∆y =

2 2 x∆x + (∆ x) 2

Tercer paso

∆s = 2t − 3 ∆t

2

2 x∆x + (∆x )

∆y = ∆x

= 2t − 3

2 ∆x


a 11. y = x + a

∆y =x ∆x

Primer paso

y + ∆y =

2

x 2+ 2∆ x +x∆ ( +x)− 4− x2 2

dt

x2 + 4 2


ds

a)

6

2

2

∆s

−

∆y a =− ∆x ( x + a)( x+ ∆ +x dy

−s

a∆x ( x + a)( x+ ∆ +x


10. s  6  3t  t2

s + ∆s

) a)

Tercer paso


du

a x+a

( x + a)( x+ ∆ +x

∆y = −

v = 2mv +m ∆

−

a x+a

a x( + a − a) x + ( x∆a +

2

2 mv∆v +m (v∆ ) ∆u = ∆v ∆v

−

dy dx

a x + ∆x + a

50

=x

=

2 x + ∆x 2

4


13. y =

x +1 x

Primer paso

y + ∆y =

x + ∆x + 1 x + ∆x

Segundo paso

x + ∆x + 1

y +∆ y− y= ∆ = y

x + ∆x

−

x +1 x

x x ( + ∆ +x 1) − x(+x 1)( + ∆ ) x ( x + ∆x )

∆y = = ∆y =

x 2+ ∆ x + x −x − x2 ∆ x− − x ∆x x ( x + ∆x )

−∆x x ( x + ∆x )

Tercer paso

∆y −1 = ∆x x ( x + ∆ x)


∆y 1 =− 2 ∆x x dy dx

14. y =

=−

1

x2

1− 2x 2

Primer paso

y + ∆y =

1 − 2 x − 2∆x 2

Segundo paso

y +∆ y− y=∆ = y

1 − 2 x − 2∆x 2

−

1− 2 x 2

Tercer paso 2 x ∆y=− ∆

∆y = −2 ∆x Cuarto paso (x  0)

∆y = −2 ∆x dy dx

= −2

51

x


15. y =

2x + 5 1+ x

Primer paso

y + ∆y =

2 x + 2∆x + 5 1 + x + ∆x

Segundo paso 2 x + 2∆x + 5

y +∆ y− y= ∆ = y

1 + x + ∆x

−

2x + 5 1+ x

x(2 + 2x ∆ + ) 5x1 +x (− 2)(5(x+1x) )+ + ∆

∆y = =

(1 + x+ ∆ x )(+ 1 2 x+2∆ +5x + 2

x)

2+ x 2∆5+ 2 5 2 x− 5 − ∆ x −5x 2 − x− x2 − ∆x

(1 + x+ ∆ x )(+1

∆y = −

3∆x 1 (1 + x+ ∆ x )(+

x x

x)

x)

Tercer paso

∆y 3 =− ∆x 1 (1 + x+ ∆ x)(+

x)


∆y 3 =− ∆x (1 + x )2 dy dx

16. y =

=−

3

(1 + x )2

x x3 + 1

Primer paso

y + ∆y =

x + ∆x ( x + ∆x )3 + 1

Segundo paso

x + ∆x x − ( x + ∆x)3 + 1 x 3 + 1

y +∆ y− y= ∆ = y

) x x (+3 − (x 1x)) + x( + ∆ x (∆ +

∆y =

=

3 (( x + ∆x)+ 1)(+ x3

3

1)

1)

2 4 3x x 4+ + x3∆ x + ∆ x− − 2x∆ −3 x ∆x + 3 x∆( )x− ( )x 3 (( x + ∆x)+ 1)(+ x3

2 − x2 ∆ x3 + x∆x− x ∆ 3 x2 (+ x )∆ ( ) ∆y = 3 (( x + ∆x)+ 1) + x3 1

(

)

Tercer paso 2 3 −1 ∆ 2 ∆ ∆y − 2 x+ 3 x+ x x ( x) = ∆x (( x + ∆x )3 + 1)( x3 + 1)

52

3

1)

x

3

x

x



∆y −2 x 3 + 1 = ∆x ( x 3 + 1)2 dy dx

17. y =

=

−2 x 3 + 1

( x 3 + 1)2

x2 a + bx 2

Primer paso 2

y + ∆y =

( x + ∆x ) 2 a+ b x( +x ∆ )

Segundo paso

( x + ∆x )2

y +∆ y− y= ∆ = y

2 ab +x( + x∆ )

∆y =

=

∆y =

−

x2 a + bx 2

2 2( ∆ (+ x ∆ x )+( a −bx 2 ) + x+ a b( x

(a +b x(+ ∆x 2 ax + 2ax ∆+x ∆a + x) (

a) b+ )(x 2

2 + bx

2

a) b+ )(x 2

2

)

Tercer paso

∆y 2ax +a ∆ x = ∆x ( a + )2 )b +( x b x(+ ∆ x a

2

)


∆y 2ax = ∆x (a + bx 2 )2 dy dx

18. u =

=

)

4 2 (bx3 − x − ax (2 ∆ ∆bx + x )2 ∆ − bx2∆−) bx x4 3 bx 2 x 2 2) (a +b x(+ ∆x a)2b+ )(x

2 ax 2 x∆ a+x (∆ )

(a +b x(+ ∆x

2

x)

)

2ax

(a + bx 2 )2

1 v2 + 9

Primer paso 1 u + ∆u = ( v + ∆v)2 + 9

53

2


Segundo paso

u +∆ u− u

1

u= ∆ =

( v + ∆v )2 + 9

∆u =

=

9 +( v∆ v 2+ −

−

1

v2 + 9 2 − v)

9

2 (( v + ∆v)+ 9)(+ v2

9)

2 v 2+ − 9 v v−2 v ∆2 v− ∆ (− ) 2 (( v + ∆v)+ 9)(+ v2

9

9)

2

∆u = −

2 v∆v + (∆v)

2 (( v + ∆v)+ 9)(+ v2

9)

Tercer paso

∆u 2 v + ∆v =− 2 ∆v 9)(+ ((v + ∆v)+ v2

9)

Cuarto paso (v  0)

∆u 2v =− ∆v ( v 2 + 9)2 du dv

=−

2v

( v 2 + 9)2

19. y  m  nx2 Primer paso 2 + nx + ∆n x ) y + ∆y= (m 2

=m +2

2mnx +

2+ x n+x mn ∆

2∆n 2+ x∆ x2 n2

x

2(

)

Segundo paso

y + ∆y− =y∆ = y+ m 2 + 2mnx 2∆ +

∆y= 2 mn ∆+x

2x ∆ − mn+2 x22 ∆n+ n 2x − x

2 2 ∆ 2 n+ x ∆ x n2 ( x)

Tercer paso

∆y = ∆x

2 mn ∆+ x

n2∆ x 2+ x n∆ x2 ( ∆x

)2

= 2mn + 2n x2 + n 2∆x


∆y = 2mn + = 2n x2 +n2m( nx ∆x dy dx

)

= 2n (m +nx )

20. y  x2  x Primer paso

( x∆ 2 −x + y + ∆y= 2 x+ ∆

= 2 x+ ∆ 2 − x

−2 x

2 x)

∆2 x− ∆x ( x)2

54

2

( x) n−

m2

mnx

n2 x2


Segundo paso

y + ∆y− = y ∆ =y

2 2 +22x∆ − 2x− x∆ −∆ x2 x− ( +x)

x

x2

2

∆y= ∆2 − x 2∆x −x∆ ( x) Tercer paso 2 2∆ x− 2∆ x −x ∆( x)

∆y = ∆x

∆x

= 2− 2 x− ∆ x


∆y = 2 − 2x ∆x dy dx

= 2 − 2x

21. y  5  x2  3x Primer paso ) 3 x 5 −∆ y + ∆y= (− x )( x −2 −3 x∆ 2 2 −3∆ − ∆ 2 − ∆ 3 = 10− 151 − x ∆ 5− x +2 x +3 x∆ x x x x x 3( x)

Segundo paso 2 +3x ∆ 6+ x 2 ∆ x3 −x + (10− x)17 3

y +∆ − y =y∆ = y− 10 −17∆ x17 +

x

x2

2 ∆y= − 17 ∆+ x 6 ∆x +3x ∆ ( x)

Tercer paso

∆y 1 − = ∆x

2 ∆7+ x ∆x6+x ∆ (3 x) = −17+ 6 + x ∆3 x ∆x


∆y = −17 + 6 x ∆x dy dx

= −17 + 6 x

22. s  1  x3 Primer paso

s +∆ s = x(1+x+∆

)3 2

= 1+ 3 (+ x ∆ ) x+(

3 +)(∆ x +)x+ ∆ x

x

3

2

2 ∆ = 1+ 3 x+ 6 x+ ∆ + x ∆ x+3 x )(+ x + ∆3+ x 3

55

3∆x2)( +x∆ 3 x

x

2

x

3


Segundo paso

s+ s ∆s − s =∆ = x+ 13xx+ 6 x2∆ +x∆

2

x+ 3 x3)( +x ∆ x +3x x+ 3 ∆ x +

2 ∆s= x6x∆ +x∆ () +x3∆ 3x+x 3x∆x+

2

∆ x() () + ∆

3

2)(1 ∆ x x+ 3x3 ∆ − − −2

2

3

Tercer paso 2 (x) () 3+x ∆ x 2 ∆s 6 x∆ + 3 x ∆ 3+x2 ∆ x ∆() x+ ∆ + = ∆x ∆x

6 =

x

3

2 + 3x 2 ∆ 3+ x ∆x3 ( x)

x+ ∆ + x +


∆s 3 x 2 +3( x+2 =213 = 6+x +3 = x+ ) ∆x ds dx

23. y =

(1

2

x)

= 3 (1 + x )2

a + bx 2 x

Primer paso 2 a b+ x( +x ∆ ) y + ∆y = x + ∆x

Segundo paso

y +∆ y− y=∆ = y

2 a b+ x( +x ∆ ) a + bx 2 − x + ∆x x

=

2 ( x∆ ) − ) x +x (a x (+ a b+ x( )+ ∆ x 2 + x∆x

=

) b−x∆ − 2 ∆2+ ax+ b x 3+ bx x b x∆ − x( − ax a 3x∆b x x 2 + x∆x

=

2 bx∆ x+b x∆(x −)∆ a x x 2 + x∆x

2

2

2

2 ∆x bx∆ x+b x ∆(x −)a x 2 + x∆x

∆y =

Tercer paso

∆y bx 2 +bx ∆x a− = ∆x x 2 + x∆x


∆y bx 2 − a = ∆x x2 dy dx

=

bx 2 − a x2

56

bx2 ) x

2

−

3

2

3


24. y =

4 − x2

x2

Primer paso 2

y + ∆y =

4 − ( x + ∆x )

( x + ∆x )2

Segundo paso 2

4 − ( x + ∆x )

y +∆ y− y= ∆ = y

−

( x + ∆x )2

4 − x2

x2

2 2) x ( x∆ ) − x 2 (− 4 + x )− ((4 )+x∆

=

4 x 2− 4−23x

=

=

2 − 8∆ x − x ∆ 4 ( x) 2 x 2 ( x + ∆x )

∆y =

2 − 8∆ x − x ∆ 4 ( x) 2 x 2 ( x + ∆x )

∆y −8 x − 4∆x = ∆x x 2 ( x + ∆x)2 Cuarto paso (x  0)

∆y

8

=−

dy

3

dx

25. y =

x 8

=−

x3

x −5

Primer paso

y + ∆y=

x+ ∆ − x 5

Segundo paso

y + ∆y − y = ∆y = x + ∆x − 5 − x − 5

∆y = x + ∆x − 5 − x − 5 Tercer paso

∆y = ∆x

x+ ∆ − x −5 ∆x

−x 5

( x+ ∆ − x −5 −x = = ∆y = ∆x

2

2 ∆x−2 x∆ x4− 8)( 4x− ∆ − x22∆)( x+ x+ 2 x 2 ( x + ∆x )

Tercer paso

∆x

x

2

x 2 ( x + ∆x )

5 )  x + ∆x− 5+

 x + ∆x− 5+

∆x

−x 5  −x 5 

x+∆ − x −5 +x 5 ∆x ( x+ ∆ −x +5 − x 5 ) 1 x + ∆x− 5+

−x

5

57

∆x+2 )( ∆x4

x3

x

x2

x

2


Segundo paso


∆y = ∆x ds dx

1

=

x−5 + x−5

1

1

=

2

y +∆ y− y=∆ = y

x + ∆x

2 x−5

=

2 x −5

2

x

2 x − 2 x + ∆x

x x + ∆x 2 x − 2 x − 2∆x

= 26. y = 1 + 3 x

−

x x + ∆x ( x+

+x ∆ x )

2

−2∆x ∆y = x x + ∆x ( x+ +x ∆

Primer paso

x)

Tercer paso 2

( x∆ + 1 3+

y + ∆y=

x)

∆y = ∆x x x

Segundo paso 2

(x y + ∆ y− = y ∆ = y + 1 +3∆

− x)+ 2

3+( x∆

∆ y= + 1

−x)+

1 1

1 ∆y −2 = =− 3 ∆x 2 x x x2

x2

dy dx 1

2

11 (x 2 ) 

∆y 1+ 3 ( x+ ∆ − x )+ = ∆x ∆x

2 + 3 x+ ∆ x + + 1  2 ( )  1 + 3 x+ ∆ x + + 1

∆x

( x ∆ −x )2− 1 1 3+ +

=

2

( x∆ + x) + + 1 3+

∆x

(

∆y = ∆x

(

2

1 3

x2

   x 

x 2  2

28. y = 2 + 5 x Primer paso

x2 y + ∆y=

x2

1

)

6 x + ∆x

) + 1 1 + 3( x+ ∆ x+

=−

2



1+ 3 ( x+)∆ − x +

=

x

x2

2 5+x ∆5 x +

Segundo paso

)

y + ∆y − y = ∆y=

+ 2 5 +x5∆ − x2+5

x

∆y=

+ 2 5 +x5∆ − x2+5

x

Cuarto paso (x  0) Tercer paso

∆y 6x 3 = = ∆x ( 2 1 + 3 x 2 ) 1 + 3x 2 dy dx

=

∆y 2+ 5+ x ∆5− x + 2 = ∆x ∆x

3 1 + 3x

2

= 27. y =

2

=

x

(

2 + 5 x+ ∆ 5 −x

+2

∆x

5x

)

5 x  2 + 5 x+ ∆ 5 +x 

+2  2 + 5 x+ ∆ 5 +x + 2

2+ 5+ x ∆5− x− 2 5 x 5 x+ 2 5 x ) ∆x ( 2+ +5 x ∆ +

∆y 5 = ∆x ( 2 + 5 x+ ∆ 5 +x + 2

Primer paso

y + ∆y =

)


x2

Tercer paso 2

−2 x+ x∆ (x +x + ∆

5x )

2 Cuarto paso (x  0)

x + ∆x

∆y 5 5 = = ∆x ( 2 + 5 x + 2 + 5 x ) 2 2 + 5 x dy dx

58

=

5 2 2 + 5x

5 x 



5 x 


29. y =

Tercer paso

1 1− x

∆y − 12− −x ∆x 4 ( x)2 x 2 ∆ 12 = ∆x 2 x 3 2 ( x +) ∆x 3 2 ( x+ 3 ) 2+ ∆ x

(

Primer paso 1

y + ∆y =

)(

)

x

3


1 − x −∆x

∆y −12 x 2 −12 x 3 3 = =− =− 5 11 ∆x 2 x 3 (22 )( x 33 x + )2 x3 16 x 2 4x 2

Segundo paso 1

y +∆ y− y= ∆ = y

1 − x − ∆x

1

−

dy

1− x

1− − x

−1 −x∆ x 1 − x− ∆ x − 1 x

=

−1 −x +1 +∆ x

=

31. y =

x

x (−1− ∆ x + x−

1 − x− ∆1 x1 −

5

4x 2

a x3

x) Primer paso

∆x

∆y =

3

=−

dx

1 − x− ∆1 x1 − x (−1− ∆ x + x−

x)

y + ∆y =

a ( x + ∆x )3

Tercer paso Segundo paso

∆y = ∆x 1x− x− ∆x

1

−1x x (−1−x∆ + −

)

1

a a − ( x + ∆x )3 x 3

y +∆ y− y= ∆ = y Cuarto paso (x  0)

3

∆y 1 = ∆x 1x− x − 1 x (− 1+ x − dy

30. y =

x 3 − ( x + ∆x ) 3

x 3 ( x + ∆x )

3

2 (1 − x )2

=

1

=−

dx

)

1

=

1

=−

x 3− x−3

3

2 (1 − x )2

2

( )∆ (x) 3∆x 2− x ∆3 x−

)2 3 x ( )−(x∆ − 3 x∆2 −x ∆ = 3 x 3 ( x + ∆x )

1

)2 −x3 x∆2 − x x ∆ 3 ( )− x (∆ ∆y = 3 x 3 ( x + ∆x )

2x x

Primer paso Tercer paso

y + ∆y =

1 2 ( x + ∆x ) x+ ∆ x

2 ∆y − 3 x − 3 ∆x −x∆ ( x)2 = 3 ∆x x 3 ( x + ∆x )

Segundo paso 1

y +∆ y− y=∆ = y

3 2 ( x + ∆x )

=

−


1 2 x3

∆y −3 x 2 3 = 6 =− 4 ∆x x x

3 2 x 3 − 2 ( x + ∆x )

(

3 2 x 3 2 ( x + ∆x )

)

dy dx 3

4 x 3 − 4 ( x + ∆ x)

=

3

3

2 x

∆y =

(2

( x +) ∆x

2 ( x+) 2+ ∆ x

)(

2 ) − x12x∆− x x ∆12 −( x∆

(

)(

2 x 3 2 ( x +) ∆x

3

3

3

2

) ( )

x 3

4

)

3) 2 2 ( x+ +∆ x

59

x

3

=−

3

x4

3

x 3 ( x + ∆x )

x

3

3

x

3


32. y  1  2x3 Primer paso 3 1 2+ y + ∆y= (+ x ∆2 x ) 2

= 1+ 12 (+ x ∆ )+x ( = 1+

12 +2

x

+ 6)∆ 8 x x( + )x + ∆

x

3

2

)( +x ∆ +6 x +6 x∆ + )2()∆ ( x ∆ 24+ + 8 x3 ∆24 x+ x x∆ 12

24 x

x

2

x

3

Segundo paso 2

2

3

y +∆ y− y= ∆ = y 1+12x +24 xx ∆ + 12 x ∆ x+)(+6x ∆ x6+ x8+ x x 24∆ x+ 2 () ∆ ∆y= 24 x ∆x+ 12 ∆x ()+ ∆x26+ x 2 x∆ 4x + x 24 ∆ x()+ Tercer paso 2 2 ∆y 24 ∆ x +x 12∆ () +x ∆6 + 2 4x∆ + x24 ∆x()()+ ∆x = ∆x ∆x

∆y 2∆ +∆ x x = 24 x+ 12 ∆ + x+6 24+ x24 ∆x

(

x

2

2

x)


∆y 62+ 4 x =+ ∆x dy dx

33. y =

2 24 x 2 +6 (+ 4 x= 4 x+ 1) =

6(2 x

2

1)

= 6 (2 x + 1)2

1 5x

Primer paso

y + ∆y =

1 5 x + 5∆x

Segundo paso 1

y +∆ y− y=∆ = y

5 x + 5∆x

= =

−

1 5x

5 x − 5 x + 5∆x 5 x 5 x + 5∆x 5 x − 5 x − 5∆x 5 x 5 x +∆ 5 x( + 5x

+5∆x

−5∆x ∆y = 5 x 5 x +∆ 5 x( + 5x

5 x)

+5∆x 5 x )

Tercer paso

∆y = ∆x x5x 5 x +∆ x5

−5 5 x +∆ 5 x( +

5

)

Cuarto paso (x  0) 5 ∆y −5 = =− ∆x 10 x 5 x x5 x 55 x ( x + 5 ) 5 dy =− 3 dx 2 (5 x ) 2

60

x

3

2

2

)( x24 ∆ +)(∆ 2

3

3

1 6− − 12x 8 −x −

2

3

x


34. y = 3 ax Primer paso 3

y + ∆y=

+ ∆a x ax

Segundo paso

y + ∆y− = y ∆ =y

∆y=

3

+ ax ∆ − a x

3

ax

3

ax + ∆a −x

3

ax

Tercer paso

∆y = ∆x

3

3 ax + a ∆ x −ax ∆x

3

3 ax + a ∆ x −ax ∆x

=

2 1 1  ) (+ )a∆x +3 ax() ax 3 ∆ + a x+ () ax3  (ax  2 1 1  (ax ) (+ )a∆x +3 ax() ax 3 ∆ + a x+ () ax3

( (

2 3 2 3

) )

ax +a ∆ x − ax

=

(

2

1

1

∆x ( ax +∆ a +x)3

3 ( ax ()ax +∆ +

a ()x)3

ax

∆y a = 2 1 1 ∆x (ax +a∆x +) 3 ax() ax3+(∆ )3 a x+ () ax

(

2 3

2 3

)

)


∆y a = ∆x (ax) 23 (+ )ax 13ax ( )

1 3 (+ ax)

a

=

2 3

2

3(ax )3

dy = a 2 dx 3(ax )3

35. y =

1 3 + x2

Primer paso 1

y + ∆y =

2

3 + ( x + ∆x ) Segundo paso

1

y +∆ y− y= ∆ = y

2

−

3 + ( x + ∆x )

=

3+ x−2

1 3 + x2

+ 3+ (∆x 2

3 + ( x+ ∆ x ) +3

=

2

x) x2

2

(x +3 −x 2− 3+ ∆ 2 3 + ( x+ )∆ 3 x 3 +

x)

(

2 (x 2+ ) 3+ ∆ x + + x

x2

)

x2

)

2

∆y =

− ∆ 2 x− x∆ ( x ) 2

3 + ( x+ )∆ 3 x 3 +

(

2 (x 2+ ) 3+ ∆ x + + x

61


Tercer paso

∆y −2 x −∆x = 2 ∆x ( 3+ ∆( x + +x)2 3 + ( x+ ∆ x ) +3 x 2+

x2

3

)


∆y −2 x = ∆x ( + +x 3 + x2 + 33 x 22+ dy

36. y =

x

=−

3

(3 + x 2 )2

x

=−

dx

x2 )

3

(3 + x 2 )32

x 2 − a2 x 2 + a2

Primer paso 2

( x + ∆x ) − a2 ( x + ∆x )2 + a2

y + ∆y =

Segundo paso 2

( x + ∆x ) − a2 x 2 − a 2 − ( x + ∆x)2 + a2 x 2 + a 2

y +∆ y− y= ∆ = y

=

=

((+x )∆

− x)

( ( x(2− ) + ) +x a2+ a2)∆

2

(( x + ∆x)+2

∆y =

2a 2x(+ ∆x −) ax 2−a2x 2

(( x + ∆x)+2

22

a2 )(+x 2 2(

(( x + ∆x)+2

a2 )(+x 2

a4x x ∆a + 2x

a2 )

∆ )2

2

∆y 4 a 2x +a2 x2 ∆ = 2 ∆x (( x + ∆x )+ a)(+ x2

a2 )

a)


∆y

=

dy dx

4a2 x 2 2

2

(x + a ) 2

=

a2 ( x2

a2 )

a2 )

(( x + ∆x)+2

Tercer paso

∆x

2

x−

2 2 2 2 2x 2) x ) 4(+a ∆ x 2 (+ x ∆) + x( ) a+2 ∆x − x −( a− + x + ∆x − a2 + x

2

=

a2 )(+x 2

4a x

( x 2 + a2 )2

62

a2 )(+x 2

a2 )

x

2

a2 x2

a4


37. y =

a2 + x 2 x2

Primer paso 2

y + ∆y =

a 2 + ( x + ∆x ) ( x + ∆x )2

Segundo paso 2

2

y +∆ y− y= ∆ = y

2

2

a +(x + ∆ x) − a + x x2 ( x + ∆x )2

=

∆y =

2 2 x 2 a+ +( x∆ )−x( + ∆) x

2

a2

x+

x2

2

x 2 ( x + ∆ x)

2 x a x4 (x+2 +(∆ x)− x ( +)a∆) x

x 2 ( x) + ∆x

2

( x2( )a+2 (+)x∆

+

4

(

2

+x + ∆ x

2

2

+x

2

) a2

)

x2

Al analizar por partes el numerador se tiene:

x 4 ( a 2 + ( x+ ∆ x)=) 2

2 2=4x ( x + ∆x )4 ( a+

2 ( a+ x 4+

2 x∆ +∆ 2x = x ) ( +x +) 2

2 +(3x∆ +42 x ∆x +6 ∆ x ( )+ x)∆(

= ax24 + ax243 x∆+6ax 2(

4

+x∆ + x)

22x

x

4

)

x

x

a2

x

2

x2

2 3 4 ()6 x ∆()5 ∆4 a+ x (x) ∆ a (+x) 2∆(x) + x4+x6 ∆x2+4 x ∆ x+

x+( a+ ∆ ( x 4

24 6 a∆ x+ ∆ x5 ) 2( x4

(4 )x + ( x)3

2

+)(∆ x

2

) )x +

x

4

(a

2

2

x

2

4

)

3 2 5 3 ( )4 x 2 ∆6− a2 x∆ )x2∆ x 4 = −2 x∆ 5−x ∆ 4 x4 − x−( ) x3 ∆ (x4)−( ∆ )a2 − x2 ( )x(∆ −

a2 x

Así, 2 3 2 2x 3 − ax( ) x∆ 3 x− (4)∆ ) 2 − x2∆− x55x ∆4 x −4 ( )4ax ∆ x −6x ∆ x( )−a2x 2x (∆)a( −x∆ ∆y = 2 2 2 2( ) 2 2 x x + ∆x ( x ( )a+ (+)x∆ +x + ∆ x +x

4 2

a

3

2 2

x

2

)

Tercer paso 2 2 3() () x 2 − a∆ (a ) 2 x2 ∆ (x) −x()2 ∆ x 3 4 a2 x x 2 ∆y − −2 x 5 ∆ 54x 4− x − 46x3 ∆−x ∆ − = 2 ∆x 2 ( ) + ∆ 2 ( 2( ) + 2 ( +x 2 a2 x2 ) x x x x a +)x∆ +x + ∆ x


∆y −2 x 5 − 4 a 2 x 3 −2 x 5 − 4 a 2 x 3 x 2 + 2a2 = = =− ∆x x 2 x 2 ( x 22 a + x 2 + x22 a + x2 ) 2 x 6 a2 + x 2 x 3 a2 + x 2 ∆y x 2 + 2a2 =− ∆x x 3 a2 + x 2 dy = − x 2 + 2 a2 dx x 3 a2 + x 2

63

3

3

a2

x

3

4

x

3

a2

x

4


38. y =

1 3

x

Primer paso

y + ∆y =

1 3

x + ∆x

Segundo paso

y +∆ y− y= ∆ = y

3

3

=

1 1 x + ∆x − 3 x

( ((x + )∆x +( 2

1

2 3

1 3 +x∆

1

x − 3 x + ∆x ( x + )∆x 3+( )( x)3 +x∆ +x)( 3 3

3

x

1 3

) ( x∈ =

x + ∆x

2

)( x)

1 +x)( 3

x

2 3

x

2 3

) )

1

2

1

3 ∆ (+ )( +x (3 ) x + (x−))x( ( +x ∆ ) − x )∆ x + x)−3(− ∆ x3 x 3

x

3

(

x + ∆x ( x+ ∆)

2 x+3

1 3 ∆ + x

( )( x)

1 + x)( 3

2

+x∆3 x

2 3

−∆x

∆y = 3

x

3

(

2

1

1

3 ∆ x + ∆x ( x+ ∆) x+3 ( )( x)+ x + x)( 3

x

2 3

)

Tercer paso

∆y = ∆x 3 x

−1 3

(

2

1

1

3 ∆ x + ∆x ( x+ ∆) x+3 ( )( x)+ x + x)( 3

x

2 3

)


∆y = ∆x

3

x

3

(

x ( x)

2 3

−1 1 1 ( ) x( )3 x(3)+ x +

2 3

)

=−

1 4 3( x ) 3

1 dy =− 4 dx 3( x ) 3

39. y =

2− x

x−2

Primer paso

y + ∆y =

2 − x −∆x

x + ∆x − 2

Segundo paso 2 − x − ∆x

y +∆ y− y= ∆ = y

x + ∆x − 2

−

2− x

x −2

(2− x−) ∆ x (−2x − () 2(2− )x − − ∆ x = x 2) ( x + ∆x− 2)(− = ∆y =

2 x4− − 2 x+2

x

−x2∆ + x2 ∆ x − +x + 42x ∆ 2 + x2 − x −x ∆ ( x + ∆x− 2)(−x 2)

0

( x + ∆x− 2)(−x 2)

=0

64

x

x

)

2

x3 x

1

x3


Tercer paso

∆y =0 ∆x Cuarto paso (x  0)

∆y =0 ∆x dy =0 dx

40. y  2xa2  x2 Primer paso 2 y + ∆y= 2 (+ x ∆ x )(− a2 −x 2∆ 2−x∆ x ( x) ) 2 2 42x−2 x∆ + x () ∆ = 2 xa2− 2− ∆a− x3 ∆ x − 224 x ∆ −x2 ()∆ x () 2 = 2 xa2− 2− 6 x−2 x∆ + 6 x () ∆ x3 ∆ x − ∆2 a2 ()x 2

x

x

x

2

x

3

x

2

3

3

Segundo paso

y + ∆y− =y∆ = y

2 x+ (2 )−x 2∆2 −a22 ()x− −2 xa 22− 6 x∆3 −6 x∆ 2 x∆ 2

3

) x ∆ ∆y =− x6 ∆ x2 −x6 x ∆ (a2+ 2 −x ∆2 ()

Tercer paso

∆y − 6 x∆2 −6x ∆ x (2)+ x 2∆ 2 − a∆2 ()x = ∆x ∆x ∆y 2 = −6 x 2−6 ∆x + 2 x 2−a2∆ ( x) ∆x

x

3


∆y = −6 x 2 + 2 a 2 ∆x dy dx

= −6 x 2 + 2 a 2

EJERCICIO 11 I. Encuentra la derivada de las siguientes funciones. 3 x−2 +7 1. yx x= 3 +

dy dx

=

d dx

23

2

(3+ x −+ x= 7 2)3x

+3

2

d d − ( x) 7 + ( ) x 2

dx

dx

d dx

( x)

y′ = 9 x 2 + 2 x − 7

65

d

()

dx

xa2

x3


2. y = ax 3 − bx 2 + cx

dy dx

d

=

dx

(ax −3 2+bx =

d

)3a2 cx −

dx

d b( ) x dx

( x) +

c

d dx

( x)

y′ = 3ax 2 − 2 bx + c

x3

3. y =

dy dx

3

= =

y′ =

4. y =

dy dx

=

5x 2

−5

x2

+ 88 x5

x4

 d 5x 2 d  x 3 d 2 − 45 d 85 −2 −5 + 8 8 x 5  = +8 x3x 3 − 5 x x x  dx dx  dx x4

()()

dx  3 x 2

( )

7 d d 65 d 85 x3 −5 x +8 x dx dx dx

( )

7 3

()

( ) −( 6 ) 4 x3

()

− 5( x

1 x5

−3 8

)

1 2 ax

d dx

((2)ax − ) =( −)1 ax2( 1 2

2

d

3

) −2

dx

2ax

−3 2

y′ = − a (2ax ) 5

5. y = ( x 2 + a2 )

dy dx

=

d dx

((+x 2

5 =)a2+()

4 d ( 5) x(2+ = a2) + x)2 dx

2 a+

 d ( )2 x  dx

(d) x 2   dx

4 a2 

5 x2

4

y′ = 10 x ( x 2 + a2 )

6. y = 3 − x 2

dy dx

=

d dx

(

1

)x(2 )−2 −(3 =

)

1 2

1 )2 −(−2 d) 3 3(− x= dx

x 2−

1

() 3

2

x2

−1

y ′ = −x ( 3 − x 2 )

2

7. y = (5 x 2 + 1) 3 x 2 + 2

dy dx

=

d dx

((5x

2

+)(1 3 x 2) + 2

1 2

)

1 d d  2 2 )2 ( 51x2) +  =  (51x 2 (+)  3)+ x( + 2 +  dx 3 x  dx  1

= 10 x (3+ x 2 +) 2(+2 = y′ =

2 )(5 x+ )1

1 2

3x

2

2

−1 2

 2 2  1



6x

30 x 3 + 20 x + 15 x3 + 3 x 3x 2 + 2 45 x 3 + 23 x 3x 2 + 2

66

−1  2

d

 (3) dx

d dx

 x 2  


8. y =

1+ x 2 1− x 2

dy d  −1  = (1 + x 2 )(1 − x 2 ) 2   dx dx 

d 1 (−x)2   dx 1

d ( ) 2 − 12 =  (1 +) x 2 − 1 x(++)  dx  = 2 x (−1 )

−1 2 x 2+ +

 1 −(1 (x 2))  1 − x 2  2

(1 ) = 2 x−

1 2 −+ 2 x+

3 x2 − 2

y′ =

x(− (1 ) x2=) 1

−3 2

x2

−1   2



(−2 x) 3

3

2 x − 2 x + x 3+ x (1 − x 2 )− 2

3 x − x3 3

(1 − x 2 )− 2

a b  9. y =  −   x x2  dy dx

=

d ( −1 −2 ) ax − =bx

(1 ) (d − a− − x2) dx

dx

b

d dx

x

y ′ = −ax−2 + 2 bx−3 2

10. y = 3 x 2 + b 3

dy dx

=

y′ =

11. y =

dy dx

= = =

(+x 22 = b 23 )

d dx 2

x

3

( )d

2

d

dx

2

b3

dx

−1

2x

3

a 2x

−

a

 

11

a2 11

a2



1

d (2 x )2

dx 

a

2

1

−

2

2=



d

1

dx

2

( )a

+1

−1  

1 d

()

a dx

( ) 2 x( +) a (2)x

−1 ( ) 2 2 +

(2) x

a (2)x

− a ()2 x

−1

(2)x

=

y′ =

+ ( )x 3

1 2

a

2x

−3 2

( 2 x ())− a dxd ( 2 x 1 2

−3 2

d dx

−1 2

)

2x

2

2x

a

= + 1 3 ( ) 2 x − 2 (a )2 x (2 ) 2 x

3 2

2 x + a2 3

a ( 2 x )2 12. y = 3 8 − 16 x

dy dx

=

d dx

(

1

−(8 = 16 ) x− 3(

1

)

1

2

) 8 (−16 x) − 3

3

d 8 16 dx

x

−2 3

= (8 −16 )x( ) 16 − 3

y′ = −

16 3

2

(8 − 16 x )− 3

67


1

13. y =

dy dx

4 + x2

=

d dx

(+(4

1

1

= − (4 + 2

y′ = −x ( 4 +

)

1 2 −2 ( )x= − + ) 4( −3 x2 2

)

+ x)2

2

−3

d

2

dx

4

x2

(2 x)

−3 x2 ) 2

2

 2 14. y = 4 − x 

2 dy d (( 1 (2 )4 2 )(− 4x2)−1 d 42 = = − x)−− dx dx dx

= 24( 2− x−)( 21 = y′ =

x−1

)x−2

8 (2 x − 1)

x3 8 (2 x − 1)

x3

15. y = x 2 bx + a

(

dy d 2 = x ( bx)+ a dx dx

( bx+) a = 2x+

1 2+ (

) a = 2 x (+ bx +

1 2

1 2

) = (d ()x 2 ) bx( +)a 12 + x 2  d  dx

y′ =

5bx

 dx

−1  

d x bx+ a 2  (bx  dx 2 2) 1

( +x 2)

1 2

bx

bx 2 )+ = 2 x ( bx + a 1 ( bx ) (+ ) a 2 2 bx + a 2



a

−1 2

 bx + a 2  1



 a) 

b

1 2

+ax 4 1

2 ( bx + a)2

16. y =

a+ x a− x

dy d (a − ) = + x)( a x= dx dx

(

d  −1 +) (  () a) (x a − x) (+ a+)x   dx

−1

−1 −2   d a = (−a) + x (+)a − x (−) a (x 1)( ) −  dx −1 = (− a) (x ) (+) + a x−

a−(x) 1 −

( )−2

d −  a  dx

 x  

1

a− x a+ x = + (a −)x (2 ) a − x 2 y′ =

2a (a − x )2

68

x

−1  

 


17. y =

a2 − x 2 x

(

1 2

dy d −1 ( 2 ) 2 = x a −x dx dx

1 2

1

 dx

−1 

−) 1 1 − ( x− a2

−1

1

=

2

−a + x − x

x2

2

2 )x− (2 2 − ) a2 = −x −2 ( a− 2

 (2  a − x 2) 

(−x−1)1 a(2) − x2 2

1 = −x −2 (−a2 +) x 2 2

= −x −2 (− a2 )+x 2

) (=) d) x−

1 2

d 2 + x−1  a − x2  dx

d 2 2 a  dx 2

1 2 



 x 2  

( 2 x)

−1

x2

2

2

1

x 2 ( a2 − x 2 )2

−a

y′ =

2 1

x 2 ( a 2 − x 2 )2

18. y =

x a2 − x 2

(

−1

dy d ( 2) 2 = x a −x dx dx 2 ) = (a− x

1 2 −2 +x −

2 ) = (a− x

1 2 −2

)2( x) = (a−

1 2 −2 + x

2

) =(  d)

 x  a2(− x)2  dx 

( a x)1  ( 2 −)  2 

2

d 2 + x  a − x2  dx

−1   2



3 2 −2  

 d 2 a − x 2    dx

 1 +x −( a x)  2x −  2 a− x2

−1

3 2 −2

(−2 )

3 2 −2

2

a2 − x 2 + x 2

= (a 2 − x 2 )− 32 y′ =

19. y =

a2 3

(a 2 − x 2 )− 2 1 − ax 1 + ax

(

dy d = (1 − ax )( dx dx

1 2

−1

1) +ax

2

)

1 1 d =  (1 − ax )( 2 + )1( ax+−−) 2(  dx 

1

= (1 − )ax 2

 −1  2

1 2

 d 1 )ax ( (  () 1 −) ax(  +  dx 

1

1 2 +−−

1

) a2((+ = − (1 )ax−− )

1+ ( −) ax

2

a =− − (1 2

1ax + )

ax )(

−1 +2

−( )1 ax

1 ax− +1ax =a−− 1 2 (1 − ax )( 2 1)+ax

−1 2 −

−1

()

2 − ax 1

a )( +)1 ax 2

 d 1 ax  dx 1− ( ) ax

−1   2



1 2 

1  ) ax  1+  2 

1  1 )2  ax (  1a+  2  1 2

1 ax

−3 2

3 2

a

y′ = −

(1 − ax )(

1 2

1) +ax

−3 2

69

−3 2

 −3  2

 d 1 + ax    dx


20. y = 3

a + bx a − bx

(

dy d = (a +bx )( dx dx

1 3a

d =  (a +bx )(  dx

−1

) b−x

3

1 3 bx a++

−2  3

1

2

1 3 

1

( +−) 3(a bx )−

)

1

)

 d = (a + )bx (  () a + )bx ( a −bx )  dx  3

1 3a +−+

(

3

1 b b −2 3+ = + (a b )x( − ( − 3 () − )a bx a) b x + 3 3

4 3

  

2 ab y′ =  2 3 (a +bx )( 3 a )b−x

4 3

  

21. y =

3 1+ 5

bx

−1   3



1  3a

1 )  bx  3

)bx−(

1  1 ) (a3)bx  − b  3

1

3a bx = + (a bx) (−b− ) +(+ −−a)3 bx (

−x + + b a b a bx =  2 3 (a +bx )( 3 a )b−x

d

 dx a

1 3a

bx

−4 3

−4   3

 d a − bx    dx

−

−4 3

x

1+ 2x

(

dy d = (1 + 5)(x dx dx

1 3

1) + 2 x

−1 2

)

1 1 d =  (1 + 5)(x 3 + )1 (2+x+−) 2(   dx

1

= (1 + 5) x 3

1 + )5 x

d

1  dx

2x

−1   2



1 1  1  d 2 ) 1− (5 x 3) 1 ) 2 x+ (  () 1 +) 5 x(  + (−+   1 + 2 x  dx  2

1

2

1

3

1

1   1+ 2 x  2 

1 ( 5 x )3 ()

− 23 )1(− −+ = 5+ 2 x )12 (−+1 ) −5 x (1 5)x( +

3

5

1 3

−2  3 

− 3+5 )1 ++ 2) = + (1 5)x ()( (2 x −−

1 3

1

2x

−3

3 2

10

+ x −1− 5x = 3 32 3 (1 + 5)(x 3 1) + 2 x 2 2 − 5x

y′ =

3(15+ )(x

2 3

12 )+ x

3 2

22. y = 2 x 2 2 + x

(

1 dy d = 2 x 2 ( 2 + x )2 dx dx

d  =  2 x 2 (2 + ) x  dx 

)

1 2

1 d 2 + x 2  + 2(x 2 )  dx 

= 4 x (2 + )x

1 2

1 + 2(x 2 ) ( 2 +)x  2

 −1 

= 4 x (2) + x

1 2

1 + 2 x 2()  )(2 + x  2

−1

1

2

2

 d 2 + x    dx 1

−1

2

= 4 x (+2 )+x 2 (+x) 2 4 x (2 + x ) + x 2 = 1 (2 + x )2 y′ =

−

x

2

8 x + 5x 2 1

(2 + x )2

70

2

2

−3  

 d  dx 1 + 2 x 

2


23. y = (2 x ) 5 − 2 x

(

)

1 dy d = 2 x (5 − 2 x )2 dx dx

d  =  2 x (5 −)2 x  dx 

1 2

1 d +(2 x ) 5 − 2 x 2   dx 

= 2 (5 −)2 x

1 2

1 d 1  + (2 x  )  (5 − 2) x 2  5 − 2 x  2  dx 

= 2 (5 − 2) x

1 2

1 + 2(x  ) (5)− 2 x 2

= 2 (−5) ( )2− x

1 2

=

−2 x 5 2 x

−1

−2

2

−1

2

2 (5 − 2 x ) − 2 x 1

(5 − 2 x )2 y′ =

10 x − 6 x 1

(5 − 2 x )2 2 24. y = (2 x − 5) ( x 2 + 1)

dy d = (( x 2 + 1)(2 x − 5)2 ) dx dx

d  2 =  ( x 2)+ 1 (2−x) (+5)+  dx  2

d

1)  x 2( − 

2 5 

2x



 d 25x  dx

( x ( 1) 2( 25 −x) −2

= 2 x (− 25x + ) +

dx

 

2

= 2 x (2−x + ) 5 + ( x 2−( 1) 2)()2 x 5 2 = (2−x ) 5( ( 2 x−)+ 2 x+ 54

( x2

= (2−x

5)(− 4 x 2+ 10+x

4 x2

y ′ = (2−x

5)(− 8 x 2+ 10 x

4)

25. y =

4)

a2 − x 2 a2 + x 2

(

dy d ( 2 = a − x dx dx

1 2 )2

a x(

2

+

1 2 −2

)

)

1 1 d ) 2( +a−2 )x2 =  (a 2 − x )(2 a2 x−  dx 

=

1))

1 2

2

1 ()a 2 − x 2 − 2 

d 2222   ) (a x− a x(()+) dx

−1

−1

1 2 = (− a) x

2 − ) 2xa( + x2

= −x (− a2)

1 −1 )− 2 x 2 +2 ( a2)−(x 2−

2

(+(2a −)x 2 ) −2

+2

−1  2

 d (a 2  dx

1 2 −2 

−1 x2 2

1 )x  ( (  2

a2

2a 2 x

(a 2 − x

1 2 )2

a x(

2

+

2

−3 x2 2

− x (+a2 − x 2 )− x ( a2 x2 ) = 3 1 (a2 − x 2 a)2x( 2 + 2 )2 y′ = −



1 

2 ( ) − a ) (  2

a +x 2−

x + a(2 )

2

1 x2 2

−1

a 2x

−1  

x2)

3 2 2

)

71

+

2

+

3 2 −2

)

 d 2 a + x 2    dx

3 2 −2  

2


26. y =

a2 − x 2 a2 + x 2

dy d = ((a22x− a)( x2 + dx dx

d  =  (a2222 − x) a (x+  dx 

2 −1

)

)

(a− )−x1)( +

2)

−

2

 d 2 a  dx

−1 ( a2 +(x 2 ))( (1) a)2 + x 2 = −2+ x (a+2 ) x 2 − −

−2 

−1 2) 2 ( )2+ = −2 x (a+ x 2+ − ( a− x )( ) 1 a2

−2

= −2 x (a+2 ) −x 2

2 x ( a2 + − ) x2 ) a2 x2 )

x2

x(2)

x2

−1 

 d a 2  dx 2x

−2

( a2− x 2 )− 2 x ( a2 − 2 x+ = (a 2 + x 2 )2 y′ = −

27. y =

4a2 x

(a 2 + x 2 )2

1 x +1

dy d = (( x + 1)−1 ) dx dx

d = −1(+x ) 1 −2( +) x  dx

 

1 

= −1( x + 1)−2 y′ = −

1

( x + 1)2

28. y = x 2 1 + x 3

(

1 dy d 2 = x (1 + x 3 )2 dx dx

d  =  x 2 (1 +) x 3  dx 

)

1 2

1 d +(x 2 ) 1 + x 3 2   dx 

= 2 x (1 +)x 3

1 2

1 + (x 2 )  1(+ x)3  2

−1 

= 2 x (1 +) x 3

1 2

1 +(x 2 )  1 + x3  2

−1

1 + x3 2

(1 ) = 2 x+

3

(+ x) 4 1 2

2 x (1 + x 3 ) +

=

3 2

 d 1 + x 3    dx

2

2 (3 x 2 )

−1 x3 2

x4

1

(1 + x 3 )2 y′ =

4x + 7x4 1

3(1 + x 3 )2

72

   x 2  


v 2 + a2 v2 − a2

29. u =

du d ( v 2 +a 2v)a( = dv dv

(

)−1

22

−

)

d  )a v a(− ) ( +v + )−a1 =  ( v 2222 +  dv 

2(

d 2 −) 2  v  dv

−1 = 2−vv( a2 ) +2 + v − a ( 2− v( 2a))( (1) −)2 2 −1

= 2v ( − a2)

(v )a2 )( ) 1v +v +a (−2 − −1

= 2−vv( a2 ) −2+ vv 2a((−v2)a 2 vv(

=

u′ = −

2

a− 2 )v− v 2 a( ( v 2 − a2 )2

2

2 2

+

2

)

 2 −2 

a2

−1 

d

v2  dv

2 −2

()

 

 a 2  

2

−2

22

)

4 va2 ( v 2 − a 2 )2

30. s  t2  4t  3

ds dt

=

d dt

2 ) 3 0d )− d 4(t+ ()t

(t−2 + 4=t3

dt

d

()

dt

dt

s ′ = 2t − 4 31. y  3x  22x2  1

dy d = ((3 x + 2)2 ( x 2 − 1)) dx dx

 d =  (3 x )+ 2 2 ( x−2()+ 1)+  dx 

d  2 )+ = 2 (32x + ) (  dx ) 32x + ( ( x) − 132 = 2 (3+x )()2 3−(+ x 2 (+1) ) 3 x

2

2

= 6 (3+x) 2−(+ x 2 (1)+) 2 x 3 x

2

2

= (3+x) 2 (6−(+ x 2 ( 1)+ ) 2x 3x y ′ = (3+x

2 2)(12 + x−

4x

 

)2  d x 2 3 x ( 2−  dx

2

1  2

x+

2x

2x

)

6)

v2

32. y =

4 − v2

(

dy d 2( ) 2 = v 4−v dv dv

= 2 v (−4v )

−1 v2+ 2−

= 2 v (−v4 )

−1 v2+ 2− 1

−1

2

) =( d) v  dv

(2 

d  ( 2) − 12 + v 2  4 − v2  4 − v   dv

2

1 

v )  (4 −)  2

( 2v) 1 v 4 −  2 

= 2−v (4)v( )+2v 2 − v 3 = 4

3 2 −2

3 2 −2

3 2 −2

 d  4 − v 2    dv

(−2 )

8 v − 2 v3 + v3

(4 − v 2 )32 v′ =

8 v − v3 3

(4 − v 2 ) 2

73

−1   2




33. y =

x3 +1 x2 + 3

dy d ( x 3 +)(1 x 2 )+ 3 = dx dx

(

−1

)

d   () 1  )x+2 ( +3 −+ )1 ( x3 )+1  d x 2 =  ( x 3 +  dx   dx

3

−1 

−1 −2  d (3 1) ( 1() + = 33x 2 (+ x 2 )+ (+)− x+ x2) 3  x2  dx −1 = 3 x 2 ( x+2 ) 3+( + )−x 3( +1 )( ) 13 x2

( 2+x )(x3 = 3x 2 ( + x 2 −) 3 1 + = y′ =

34. y =

dy dx

x 4 + 9 x2 − 2 x

( x 2 + 3)2

=

) x2 13

()

−2

   3  

2x

−2

x ( x 3 + 9 x − 2)

( x 2 + 3)2

x ( x 3 + 9 x − 2)

( x 2 + 3)2

1 −x x2

= =

d ( −2 x − x)

dx

d ( −2 ) d x − ( x) dx dx

= −2 x−3 − 1 2

y′ = −

x3

−1

35. y = x a2 − x 2 1

dy = d x ( a2 − x 2 )2 dx dx

(

d  =  x (a2 −) x 2  dx 

)

1 2

1  ( x  )d a 2 − x 2 2  +   dx

1

1 = (−a 2 + x) (2 2− x a )x 2( − 2)

−1  2

2

1

= (− a)2(x) +2 x2 a−x = (a−2 − x) =

1 2 (2 x

1 2

a−x)2

2 − x

2

1 2 −2

 d a 2  dx

 x 2  

( 2 )

1 2 −2

a2 − x 2 − x 2 1

(a 2 − x 2 )2 y′ =

2

a − 2x

2 1

( a 2 − x 2 )2 3

36. y = 2 x 4 + 4 x

dy dx

= = =

y′ =

d dx

(

3 2x 4

−1 4

+ 4x

−1 4

)

( ) ( )

3 d d −1 2x 4 + 4x 4 dx dx

3 2 3 2

−1 4

−x

−1 x 4

−x

x

−5 4

−5 4

74


37. y =

x3 +1 3

x 3 −1

(

1 1 dy d ( x 3 + 1)2 ( x 3 − 1)− 3 = dx dx 1 2 

) 1 d x3 −1 2  ( x 3  dx

d =  ( x 3)+ 1 ( − x 3 (+1)  dx 

−1 +3

 −1 

1)

3



−1 

1  1  3  d −1 −4  d = ( x 3) + 1 2  (( x )3)+ 1  x+ (1+) 3( +)−x3( )1 2   x3 + 1 3  x 3 + 1   dx  2 3 dx

1

1

1

1

2 (x x 3) 1 −) 2 (3 x− = 1 (+ +3 (+1)− −3 ( ) x3

2

=

3 2

−1

3

−1

1 −2 (− x)3

x 2 (+ x)3

( )−3 1 +

x 2 (x3)

4

1 2) ( 1  x3 + 1 − 3 3 x2  3 1

1 2

x3

1

−4

3

3

x 5 − x 2 − x 5 − x2 2 =2 1 4 ( x 3 + 1)3 ( x 3 − 1)3 x 5 − 5x 2

y′ =

1

4

2 ( x 3 + 1)3 ( x 3 − 1)3

x (1 − x )

38. y =

1 dy d = ( x )2 (1 − x ) dx dx

(

)

1 d  d 1  =  x 2 (1 − ) x + x(2 ) 1 − x   dx   dx 

= = y′ =

39. y =

−1

1

1

x 2− (1 +)x − ( x)2 2 1− x − 2 x

1

2 x 1 − 3x 2 x

1+ x2

x

1 dy d ( x )− 2 (1 + x 2 ) = dx dx

(

d =   dx 1

)

−1  x 2 

=− x

 −1  d 2  2 2 (1 +) x + x( )dx 1 + x 

−3 2

2

(+1 +x 2 )

2

=

−1 − x + 4 x

−1

x

2

(2 x)

2

3

2x 2

−1 + 3 x 2 y′ =

3

2x 2

75


II. Determina el valor de la derivada para el valor dado de la variable. 1. y = 3 2 x + 2,x cuando x = 2

(

1 1 dy d = (2 x ) 3 + (2 x )2 dx dx

)

1 1 d  d = (2 x ) 3  + (2 x )2  dx dx 

(

1

= (2)x 3

2 y′ = 3 (2)x

)

1 d 3 ( ) 2x ( )+ 2 x 2 dx

−2

−2

−1

2

d (2 x ) dx

−1

(+) 2 x

3

2

Cuando x  2, se tiene:

y′ =

2 3

2

(2(2) ) −(3 )+ 2(2)

4+x

2. y =

−1

=0.7645

2

,c uando x = 3

x

(

1 dy d = (4 + x)2 x−1 dx dx

)

1 1 d d  =  (4 +) x 2  x(−1 )+ 4 + x 2  x −1   dx   dx  1 d 1  = (4 +) x − (2  ) 4 +( x ) x −1 − 4 + x  dx  2

1

= (+4 ) x

−1

−1 2−x+

2

( )

x

4

1 2

1 2

x−2

x−2

−8 − x

y′ =

1

2

2 x ( 4 + x) 2 Cuando x  3, se tiene:

−8 − 3

y′ =

3. y =

dy dx

=

10 − x 2

x2 − 5

d dx

)2

, cuando x = −3

((10 − x)(

d =  (  dx

= −0.2309

1

2(3)2 (4 +3

1 2 2

1

)x 2 − 5 − 2

1 10 − x 2 2 (− x)2

=

1 2

)

( )



−1  10 − x 2 2 

)

−1 +5− 2

10 (− x)2

−1  2

d

x2  dx

5

1  2 (− 2− ) 10− 10 − x 2 ( x)− 5+ ()( )x2   dx

( )( )

d

1

1

1 2 − 2 ( 2) (− 2 )5 −2 ( 10 ) = −(10 )x − − ) ( − x +x −

−

2

1 2) )x(2 −−

= −x (10 −

−

x 2− ( 5−

1 − 2 )( x

) 10 −

−

x2

x2 ) 1 2

1 2

1 2

1 2

)x 2 − 5



1 

1 2 (  x − 5 2

x2

5

3 2

−5 x (10 − x)( 2

2

2   x − 5 2

− x+3 − 5 x +10 x x3 = 3 1 (10 − x)( 2 2 )x 2 − 5 2 y′ =

 −1 

3 2

76

3 2

2x

−3 

 d 2 x − 5    dx

2


7. u  3v2, cuando v  2

Cuando x  3, se tiene: 5 (−3)

y′ = −

(

2

10 −− ( 3 ) (−3 )5−

2

3

=

)2

15

du d = ( 3v−2 ) dv dv

8

= −6 v−3 4. y  x2 + 2x3, cuando x  4

u′ = 3 dy d = ( x 2 + 2 x) dx dx

(

)

−6 v3

Cuando v  2, se tiene:

 2 d = 3( x 2 +)2 x(  ) x 2 + 2 x   dx 

u=

−6

=−

23

2 = 3(22x + )( x 2 + 2 x) 2

3 4

t4 =− t 8. =s − + − 3t 3 2 ,tcuando 2

y′ = 3(22x + )( x 2 + 2 x)

1

Cuando x  –4, se tiene:

ds d  t 4 = −  + −3t 3 dt dt  2

y  32  2424  422  17 280

5. y =

1

dy d  −1  = (5 + x 2 ) 2   dx dx  1

=− + (5) ( )x 2

−3  2

2

= −2+ t3

9t−2

2

s ′ = −2+ t3

9t−2

2

2



1

9. y = 2

3

x2

, cuando x =1

3 x2 2

(5 + )

2

dy = 1 d x− 3 dx 2 dx

(


3 5 + 12 2

( 6. s = 5 −

1 2t 3

=−

)

2

=− x 1

y′ = − x 3

6 6

du d = 3 ( v 3 − 2) dv dv

2

3

d ( 3) d v − 3 ( 2) dv

2t 4

=3

Cuando t  2, se tiene:

u ′ = 9 v2

3 4

3

 2 10. u = 3v  v 2 −  ,c uando v = 2  v

1 d −3 d (t ) (5) − 2 dx dx

2 (2)

−5

1 −5 1 y′ = − (1) 3= − 3 3

3

s′ =

3


, cuando t =2

= t −4 s′ =

)

−5

6

1

1  ds d = 5 − 3  2t  dt dt 

=

=

d (t ) dx

s  213  912 2  9

x

1

2

Cuando t  1, se tiene:

 x 2 

(5 + x 2 ) 2 (2 x)

y′ = −

y′ = −

d) 3 3( − t dx

−3

1

=−

+d 5  dx

1 d 4 (t+ ) 2 dx

=−

,c uando x = 1

5 + x2

 

2t 

3

dv

Cuando v  2, se tiene:

32

u  922  36

77


3t

11. s = 3 −

5t 2

, cuando t =


3 5

1 3 y′ = ( 4) 2 = 3 2

 d 3 = 3 1 − t −1   5 dt dt 

ds

=3

d dt

(1) −

3 d 5 dt

14. y = x 2 +

(t −1 )

dy d = ( x 2 + 4 x−2 ) dx dx

3 s ′ = − t −2 5

d ( )2 d x + 4( ) x−2 dx dx = 2 x − 8 x−3

=

3 Cuando t = 5 , se tiene: −2

3  3 s′ = −   5  5

4 ,c uando x = 2 x2

=

5

y ′ = 2 x − 8 x−3

3 Cuando x  2, se tiene:

1

12. =y + +

dy dx

= =

1

1

= ,c uando x

x2

x d dx d dx

( x−

1 2

x4

+ x−2 + x−4

( x− 12 ) + d(

dx

y  22  823  3

4

15. u =

)

v 2 + 4v + 1 , cuando v = −1 v+4

du d = (( v+2 +4 v+ 1)( v dv dv

)x−2 (+ )d x−4 dx

−1

4)

)

2− x−3

4 x−5

d −1  =  ( v+2 + v 4) v+ 1 ( )( v4 v)  + +2 +4 ()  dx 

1 −1 2 y′ = − x − 2− x−3 2

4 x−5

−1 = (2+v + )(4v ) − 4+ v +v ( + v2 ( 4)

1

=−

2

−1 2 x −

= (+2 v )(4v+)

Cuando x  4, se tiene: 1 2 ()2 4 −−(3) 4=4−−5 y ′ = − 1 ()4 −− 2

25 256

= u′ =

( v + 4)2

13. y = x x ,c uando x = 4

Cuando v  1, se tiene:

dy dx

= = =

y′ =

d dx d dx 3 2 3 2

( xx 12 ) u′ =

( ) 3 x2

2 − − ( )1 + ( 81 )+ (−1 + 4)2

15

=

8 9

( x 12 ) ( x 12 )

EJERCICIO 12 I. Encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de la tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto cuya abscisa se indica y verifica el resultado al trazar la gráfica correspondiente.

1. y  x2  4x  3, cuando x  3

dy = y′ = d x 2 − 4 d x + d 3 dx dx dx dx y′ = 2 x − 4 4 2 y′ = m= 2 (3−)=

m=2

78

d v dx

4

4

−2

1)

4

−2

1)

v 2 + 8 v + 15

4

)) (1+

1 ( v2 (+4) −4 v−+ v+

44 (2+ v )( v +) − v +v ( 2+ 4 ( v + 4)2

d 1+ v dx

−1


Representación grá ca

m  tan    arctan m   arctan (2)   63°265.82

y 20

θ = 86°59′13.96′′

Representación grá ca −3

y

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

1

0.5

1.5

−20

1.5

1

−40 0.5

θ = 63°26′5.82″

−0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 1.4 1.6 1.8 2

2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8

x

−0.5

4. y  5  8x  2x2, cuando x  1

−1

dy dx

dx

= y′ =

d dx

x2 −

d dx

5 −8

d dx

x+2

d dx

x2

y′ = −8 + 4 x

2. y  x2  3, cuando x  1

dy

= y′ =

+ − 4 ( 1) y′ = m= − 8

d dx

3

m = −12

y′ = 2 x

m = tan θ

y′ = m = 2 (1) = 2

θ = arctan m

m=2

θ = arctan (−12) θ = −85°14 ′10.89′′

m  tan    arctan m

 179°59′60′′ θ=  −85°14 ′10.89′′

arctan (2)   63°26  5.82



θ = 94°45′ 49.11′′


y Representación grá ca

1.5 1

θ = 63°26′5.82″

0.5

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 −0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

y

x

30

−1 −1.5 −2 −2.5 −3

3

20

2

3. y  x  2x  3x  8, cuando x  2

dy d 3 = y′ = − x dx dx

d d 2+ x 2− 3 x dx dx

θ = 94°45′49.11′′

d 8 dx

10

y′ = 3 x 2 − 2 x + 3

= − 3( )2−2−( 2)+ 23 y′ = m

−2

2

m = 19 −10

m  tan    arctan m   arctan (19)   86°59 13.96

79

4

x

x


5. =y −

5

x2

dy dx

2, cuando =− x

= y′ = 5

d dx

7. y =

2

x −2 −

2 + 3x 3 + 2x

dy

d dx

2

dx

= y′ =

m=

10

x

d dx

((2332 + )(x

+) x

−1

)

d  d )3 ( 2+x+−)1 ( 2 + ) 3 x  =  ( 2 +(3) x + 3  dx   dx

y′ = −10 x −3 y′ = m = −

,c uando x = 2

−2  

−1

3

(3− 2) x+( + )(2 = 3+

( 2 x) 3)x 3 +

5 −1

= 3(+3

4


2)− 2+ 3 x) 32 x (+ 2 )(

x

d

3  dx

−2

6x = 9 + 6x − 4 − (3 + 2 x )2

5 θ = arctan   4

=

  51°2024.69

y′ =


y

5

(3 + 2 x )2 5

(3 + 2 x )2

y′ = m =

2

m=

5

(3 + 2 (2))2

5 49

θ = 51°21′24.69′′ −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

m  tan    arctan m 5 θ = arctan    49    5°4934.83

x

−2

x3 6. = y ++ 3


x

1, cuando =− x

1

y dy dx

= y′ =

1 d 3 dx

x3 +

d dx

x+

d dx

1

1

y′ = x 2 + 1

1.5

2

) y′ = m= −( 1+

1

1

m=2

θ = 5°49′34.83′′

m  tan    arctan m   arctan 2   63°265.82

−10

0.5

−5

5

−0.5

Representación grá ca 8. y  x3  3x2  1, cuando x  1

y 6

dy dx

= y′ =

d dx

x3 − 3

d dx

x2 +

4

y′ = 3 x 2 − 6 x

′

2

θ = 63°26′5.82′′

−1 −2

1

2

()

2

()

y = m = 3 1 −6 1 m = −3 m  tan    arctan m   arctan 3   71°33.18

x

−2

80

d dx

1

10

x

2x

 2 x  

 −1   


 179°59′60 ′′ −71°33′0.18′′    108°265982

=

θ = 

=


y′ =

y

6 − 2x + 2x + 1 (3 − x )2

7 (3 − x )2

7 (3 − x )2

y′ = m =

4

θ = 108°26′59.82′′

7 (3 − x )2

m=7

2

−1

1

2

m  tan    arctan m   arctan 7   81°5211.63 

x

3

−2


9. y  x2  1, cuando x  3

d d dy = y′ = x 2 − 1 dx dx dx

y

y′ = 2 x

12

y′ = m = 2 (−3)

10

m = −6 m  tan    arctan m   arctan 6   80°32.64

8

6

2

−6

−4

−2

2

−2


−4

y 10

8

θ = 99°27′44.36′′

11. y =

6

x2 a

, cuando x = a

4

dy 2

−3

10. y =

−2

2x + 1 3− x

dy dx

dx

−1

1

=

x

2

= y′ =

y′ = ,c uando x = 2

1 d

a dx

d dx

((2 x + 1)(3 − x)−1 )

(x 2 )

2x

a 2x

a

y′ = m =

= y′ =

θ = 81°52′11.63′′

4

 179°59′60′′ θ =  −80°32′15.64′   99°2744.36

2a

a

m=2

d  d =  (2 x)+ 1 (3)−( x −) 1 + 2 x(+)1  3− x  dx   dx −1 (3 ) − ( 2(x ) 1) (3 −) x = 2− x + −

−2  

−1 (2 x) 1) 3 = 2 (− 3 ) x+ + (−

−2

x

d

3  dx

−1  

 x  

81

 

m  tan    arctan m   arctan 2   63°265.82

4

6

8

101

2

x



1

1

2 2( +) 5 = (+ 5 )x+ x

y

x2

2

2

= 6

5+ x + x

1 −

2 ( 2 x)

2

1

(5 + x 2 )2 y′ =

4

5 + 2x 2 1

(5 + x 2 )2 θ = 63°26′5.82′′

2

5 + 2 (2)

y′ = m =

2

1

(5 + (2)2 )2 −6

−4

−2

2

4

6

8

m = 13 3

x


13    3 

12. y  6x  x2, cuando x  5

dy dx

= y′ =

d dx

(6 x ) −

θ = arctan 

d ( 2) x dx

  77°019.38 

= 6 − 2x


y′ = 6 − 2 x

y

y′ = m = 6 − 2 (5)

10

m = −4 m  tan    arctan m   arctan4   75°57 49.52

θ = 77°0′ 19.38′′

5

−3

−2

−1

6

x

2 d 1 (− x−)1 (6 x − )4 − 3  dx 6 x 3

 4 

1

 179°59′60′′ θ =  −75°57′49.52′′    104°210.48

2

3

4

5

−5

−10


y

3

14. y =

8

d

6

dx

θ = 104°2′10.48′′

4

6x − 4

x

dy = y′ =

,c uando x = 2

d dx

( x−1 (6 x − 4)13 )

d  =  x −1 (6 x )− 4  dx 

2

1

2

3

4

5

6

789

10

x

) 4 = −x − −2 (6 x +

1 3

= −x −2 (6−x

1 3

−2

=

d  =  x (5 +)  dx 

(5) =+

1 +x 2 2+

y′ = x 2 (6 x − 4)23

)

() x 2

2

4 − 4x

1 x2 2

1

1 −1 (− x )(6 x 3

−6 x + 4 + 2 x

1

(

1 d + (x−1) 6 x − 4 3   dx 

x 2 (6 x − 4 ) 3

13. y = x 5 + x 2 , cuando x = 2

d dy 2 2 dx = y′ = dx x (5 + x )

)4 +

1 3

d +( x ) 5 +  dx 1 − 5( )+x 2 2 

d

1 x 2 2 

5  dx

y′ = m =

  x 2  

m=−

82

1 4

4 − 4 ( 2) 2

( 2) 2 ((6 )2 − 4)3

4

2 − 3

6




 179°59′60′′  −2°0 ′44.43′′ 

m = tan θ

θ= 

θ = arctan m

 1 θ = arctan−   4

θ = 177°59′15.57′′

θ = −14°2′10.48′′


y

 179 °59 60 ′ ′′ θ=  −14°2′10.48′′ 

θ = 177°59′15.57′′

6

θ = 165°57′49.52′′

4


2

y 12

−4

−2

2

10

4

6

8

10

x

12

−2

8

θ = 165°57′49.52′′

6

−4

4 2

−4

−3

−2 −1 −2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

111

2

−4 −6 −8 −10

x

II. Determina la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en al punto dado y construye la gráfica correspondiente. 1. y  3x  x3; P2,2

−12

dy 15. y =

x2 + 1 x

dx

= y′ = 3

,c uando x = 3

d dx

d

x−

dx

y′ = 3 − 3 x 2 2

y′ = m= −3 dy

= y′ =

dx

( x− ( x

d

1

2

1

+ 1)2

)

1

1 2

= −x−2 ( x+2 )+1 2

=

−x − 1 + x x 2 ( x 2 + 1)

1 d 1 (+ x−)1 (x2 + )1 −2  x2  dx 2

1 2

1

( + x)−1 x 2 2

1

 1  

y + 2= − 9(− x 2) y + 2= − 9 x+ 18

9 x + y − 16 = 0

−1

2 ( 2 x)


2 y

1 2

y

= −

9x

1

+

(3) (( )3 2

2

16

3x − x3 10

1

y′ = m =

30

20

x ( x 2 + 1)2 2

9

y − y1 = m ( x − x1 ) Así,

1

y′ = −

+ 1)

P = (2,−2)

1 2 −3

m=−

3(= 2)−

La ecuación de la recta se determina por la fórmula:

dx 1 1 d 2 d  =  x −1 ( x 2 )+ 1 2 + x( −1 ) x + 1 2   dx   dx 

) = −x− +2 ( x 2 +

x3

−2

−1

1

1

2

3

−10

9 10

m = tan θ 3

θ = arctan m

2

2. y  x  2x  x; P1,2

 1   9 10 

dy

θ = arctan−

dx

θ = −2°0′44.43′′

d 3 d 2 d x +2 x − x dx dx dx y′ = 3 x 2 + 4 x − 1

= y′ =

2

(3 ) 1+( −) 4 − 1= −1 y′ = m= −

83

2

4

x



y − y1= − m (−x


x1 )

y − y1 = m ( x − x1 )

y − 2= − 2 (+ x 1)

Así,

y − 9 = 18 ( x − 1)

Así,

y − 2= − 2 x− 2

y − 9 = 18 x − 18

2x + y = 0

−18 x+ +y =9

0

Representación grá ca Representación grá ca

y y

15 10

2x + y = 0

P = (−1,2) −3

−2.5

−2

−1.5

−1

1

9x2

y = 18x − 9

5

−0.5

1.5

0.5

1

1.5

x

2

1

−5 3

2

x + 2x − x

0.5

−2

−1

dy

= y′ = 3

d dx

x2 + 4

d dx

x−

d dx

x

3

5. y  3  3x  x3; P1,1

)1 (=)4 1 = 6(+ y′ = m

10

dy dx


= y′ =

d dx

3+3

y′ = 3 − 3 x

y − y1 = m ( x − x1 )

′

d dx

x−

y − 5 = 10 x − 10

d dx

x3

2

(

)2

3 −3 = 1 y == m −

y − 5 = 10 ( x − 1)

−10 x+ +y =5

2

2

y′ = 6 x + 4

Así,

1

−0.5

3. y  3x2  4x  2; P1, 5

dx

P = (1,9)

−10

0


0

y − y1 = m ( x − x1 ) Representación grá ca

Así,

y

y − 1 = 0 ( x + 1) y −1 = 0

20

3x2 + 4x − 2 10

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5


P = (1,5) 0.5

1

1.5

2

y

x

−10 10

−10x + y = −5

−20

3 + 3x − x3

−30

8

6

4

4. y  9x2; P1, 9

P = (−1,1) 2

y=1

dy d = y′ = 9 x 2 dx dx

−2

y′ = 18 x

−1

1

−2

y′ = m = 18 (1)

84

2

3

x



6. y  x3  x; P2,10

y

dy d 3 d = y′ = x + x dx dx dx y′ = 3 x 2 + 1

2

2 − 3( + 2)

= y′ = m

1

y = −0.13x + 0.75

1.5

La ecuación de la recta se determina por la fórmula: 1

y − y1 = m ( x − x1 ) y + 10 = 13 ( x + 2 )

Así,

−13 x+ −y = 16

P = (2,0.5)

0.5

y + 10 = 13 x + 26

1 1

(2 x ) 2

0 −10

−5


5

10

15

−0.5

y

10

8. y =

y = 13x + 16

−2

−1

1

x

dy dx

= y′ = 4

−10

d dx

( x − 1)−1 −2

y′ = −4 ( x − 1)

P = (−2,−10)

2 y′ = m= − 4 (−

−20

x3 + x

4 ; P (2,4 ) x −1

−2

1)= −

4


y − y1 = m ( x − x1 ) 7. y =

dy dx

1 2x

; P (2,0.5)

= y′ =

d

Así,

y − 4= − 4 x+ 8

1

dx

(2 x )− 2

1

= − (2)x

−3 2

2

y − 4= − 4 (− x 2)

4 x + y − 12 = 0

d dx

( ) 2x


−3

y′ = −(2 x )

y

2 3 )−

2 − y′ = m= − (4 =

1 30

8 y = −4x + 12


20

y − y1 = m ( x − x1) Así,

1 1 y − = − (− x 2 8 1 1 y− =− + x 2 8

1

3

8

4

− x+ + y=

10

2)

P = (2,4)

1 −4

4

−2

2

−10

0

4 x −1

85

4

x

x



9. y  x2  2x  1; P3,4 

dy dx

= y′ =

d dx

d

2

x +2

dx

x+

d dx

y

1

y′ = 2 x + 2

4

) =− y′ = m= 2−( +32

1

4 2


y − y1 = m ( x − x1 ) Así,

( x + 1)2

P = (3,2)

−5

y − 4= − 4 (+ x 3) y − 4= − 4 x− 12

5

y = 0.25x + 1.25

10

x

−2

4x + y + 8 = 0


11. y = 3 x 2 − 2; P (3,5)

dy

y

dx

x2 + 2x + 1

= y′ =

d dx

1

(3 x 2 − 2)2

1 1 ) 2 (− 2 d) 3 x 2 − 2 = (3 x 2 −

30

dx

2

y = −4x − 8

1 1 y′ = (3 x 2 − 2)2 6 x 2

20

2

P = (−3,4) −6

−4

−1

y′ = m = 3(3) (3( )3 − 2)

10

2

=

9 5

La ecuación de la recta se determina por la fórmula: −2

2

4

x y − y1 = m ( x − x1)

−10

Así,

9 y − 5 = ( x − 3) 5

y−5 = 10. y =

x + 1; P(3,2) 9

2

5

5

− x+ +y = dy dx

= y′ =

d dx

1

y − y1 =

1 4

1 (3x 2 − 2) 2

3

2

y = 1.8x − 0.4

1

1 3 y−2 = 4 x − 4 5

P = (3,5)

4

( x − x1 )

y − 2 = ( x − 3) 4

4

5

0

5

1

x + y+

27

y


4

x−


1 −1 y′ = m = (3 + 1) 2 2

1

5

( x + 1) 2

1 −1 y′ = ( x + 1) 2 2

Así,

9

−1.4−1.2 −1−0.8−0.6−0.4−0.2

=0

86

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

x



3

 1 12. y =  x −  ; P (1,0 )  x

1

( x 2 + 2 x + 1) 2

3 d = y′ = ( x − x−1 )2 dx dx

dy

P = (3,4)

dx

3 y′ = ( x − 2

3 x()−1 2

3

)x − x−1

3

−1

y′ = = m −( 2 ()1 ()() 1+

5

4

3 d 3 = ( x − x)−1( 2 ) x − x−1

2

y

y=x+1

2

3

−2

)2 ()1

1

1 −6


−4

−2

2

4

x

−1

y − y1 = m ( x − x1 ) Así,

y = 0 ( x − 3) y=0


dy dx

y

1

; P 2, 

( x + 2)2

1 



16 

d

−2 = y′ = + ( x ) = 2 − (+ )2 x(

dx

2 y′ = m= − 2 (+

y − y = − m −x P = (1,0)

2

4

1

x

−1

(

1 1 (x − y− =− 16 32 1 1 +x y− =− 16 32

1

dy dx

32

x 2 + 2 x + 1; P (3, 4 )

= y′ =

d dx

1 2 2

(+( x ) =1 +) (

x

2

1

−3

2)= −

32


Así,

13. y =

d dx

y′ = −2( x + 2)

1

−2

−3

)+ 2

−3

2

3 2  x − 1     x   



1

14. y =

d ) x dx

x + y−

1 8

x 1

)

2) 1 16

=0

Representación grá ca 1

y

y′ = 1

0.6

y′ = m = 1

y = −0.03x + 0.13 0.4


Así,

0.2

y − y1 = m ( x − x1 )

1

y − 4 = 1( x − 3)

( x + 2)2

y−4 = x −3

−x+ −y =1

−8

0

P = (2,0.06) −6

−4

−2

2

−0.2

87

4

x


Para determinar los puntos de tangencia se sustituye el valor de x en la ecuación de la curva y  x3  x, decir:

3

 1 2 15. y =  x +  ; P (1,8  x dy dx

) 3

d 

dx 

la recta paralela m  4 , se determina la ecuación de la recta tangente a la curva dada.

3 1 1 y′ = m = 1 − 2  + 1 = 0 2 1  1 La ecuación de la recta se determina por la fórmula:

16

y − y1 = m ( x − x1 )

y − y1 = m ( x − x1 )

y + 2 = 4 ( x + 1)

y − 2 = 4 ( x − 1) y − 2 = 4x − 4

y + 2 = 4x + 4

y − y1 = m ( x − x1 ) y−

y = (1) + 1 = 2

Con los puntos de tangencia y la pendiente de la ecuación de

3 1  1 y′ =  x +  1 − 2  2 x  x 

Así,

3

− )3− = 1− 2 y = (1

1 2

1

Para x = 1

Para x = −1

1

1 2 3 1 2 d   x + 1   x +  =  x +  2 x x dx  x 

= y′ =

−4 x+ − y =2

= 0 ( x − 1)

−4 x+ + y =2

0

0


y− 8 = 0

y 6


y

4

4x

+

y

=

2 2

−

4x

+

y

=

−

−

10

x+

2 3

2

B = (1,2)

x

8

−1

−0.5

A = (−1,−2)

6

4

y = 2.83

4x

1

1.5

x

−

y

=

0 −4

x3 + x

p = (1,2.83)

2

0.5

−2

2. y  x3  5; recta paralela 12x  y  17  0 0.5

1

1.5

2

2.5

x dy dx

III. En las siguientes curvas encuentra los puntosde tangencia, la ecuación de la recta tangente que sea paralela a las rectas dadas y construye la gráfica correspondiente.

dy

= y′ =

d dx

x+3 =

d dx

x+ 3 x 2

d dx

x3 +

y′ = m = 3 x

12 A = 12 m =− =− −1 B Así,

Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales, por lo tanto, la pendiente de la recta 4 x  y  0 es:

A m =− =− B

4

3 x 2 = 12

x2 = 4

Al pespejar,

=4

x = 4 = ±2

−1 Para determinar los puntos de tangencia se sustituye el valor de x en la ecuación de la curva y  x3  5, es decir,

3x 2 + 1 = 4 Al pespejar,

5 = 3x 2

2

Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales, por

1

y′ = m = 3 x 2 + 1

Así,

d dx

lo tanto, la pendiente de la recta 12 x  y  17  0 es:

1. y  x3  x; recta paralela 4x  y  0

dx

= y′ =

Para x = −2

3x 2 = 3

Para x = 2 3

y = (− 2)+ =5 − 3

x = 1 = ±1

88

3

y = (2) + 5 = 13


Con los puntos de tangencia y la pendiente de la ecuación de la recta paralela m  12 , se determina la ecuación de la

Para determinar los puntos de tangencia, se sustituye el valor de x en la ecuación de la curva y = 5 − 5 x 2 , es decir,

recta tangente a la curva dada.

y − y1 = m ( x − x1 )

y − y1 = m ( x − x1 )

y + 3 = 12 ( x + 2)

y − 13 = 12 ( x − 2)

y + 3 = 12 x + 24

Para x = −

3 2

 2 5 y = 5 − 5 −  =  3 3

y − 13 = 12 x − 24

−12 x+ −y = 210

2

Con los puntos de tangencia y la pendiente de la ecuación de la

−12 x+ +y = 110

recta paralelam  2, se determina la ecuación de la recta tangente Representación grá ca

a la curva dada.

y 1

20

y

1 2

y x

−

x

1

=

+

5  2 y − = 2  x +   3 3

+

5 4 y − = 2x + 3 3

2

−

15

2x  y  3  0

B = (2,13)

2 1

1

10

y x

5

−2

=

y − y1 = m ( x − x1 )

1

−

1

−1

1

7


=

−

y

2

2

3

x

4

A = (−2,−3)

2

2x − y = −3 −2x + y = 3

−10

A = (−0.67,−1.67) 1

(−5x2+5)2

x3 + 5 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

2

3. =y−

5

dy dx

5 x ; recta paralela 2x − + =

= y′ =

d

y

1

3

0

1

−(5 = 5)x 2−(2

) 5(−5 x)2

dx

2

1

1 − 2

d dx

5

5x 2

4. y = 18 − 9 x 2 ; recta paralela 3x  y  6  0

dy

1 − = (5 − 5 x 2 )2 (−10 x )2 1

dx

2

5x

y′ = m = −

= y′ = y′ =

5 − 5x 2

d dx 1 2

1

) 18( − 9 x)2

2

1 −

− (18 − 9 x 2 )2 (18

y′ = m = −

Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales, por

1

− (18 =9)x 2−(2

lo tanto, la pendiente de la recta 2 x  y  3  0 es:

1 − 2

d 18 dx

9

x2

x)

9x 18 − 9 x 2

Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales, por 2 A =2 m =− =− −1 B

lo tanto, la pendiente de la recta 3 x  y  6  0 es: 3 A =3 m =− =− −1 B

Así, 5x

 Al pespejar,

1 4

=

5  5x 2

5 − 5x 2 25 x 2

=

=

Así,

2

1 5x2

−

−

1 5

4

=

Al pespejar,

18 − 92x = 2 2 − 1 = 1 81x 9x 9 9 2

1

9x2

x2

x =−

=3 2

9 1 = 2 20 5x 9

9x 18 − 9 x 2

=

2 9

x2 = 1

2

x = −1

3

89


Para determinar los puntos de tangencia se sustituye el valor de


x en la ecuación de la curva y = 18 − 9 x 2 , es decir, y 10

Para x = −1

− x2 + 3

y = 18 − 9 = 3 −10

Con los puntos de tangencia y la pendiente de la ecuación

−8

−6

−4

y − y1 = (mx − x1 )

−3 x+ − y =6

−

0

Representación grá ca 6. y =

y 6

dy dx

4

A = (−1,3)

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2 1.4

x

d

d

dx

=x 2−

4

x

−

y

=1 −30

4

= y′ =

1 d 2 dx 2 3 2

3

x2 3

x2 2

x

3

2

Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales, por lo tanto, la pendiente de la recta 3 x  2y  24 es:

5. y  3  x2; recta paralela 4x  y  14  0

dx

+

y=

y′ = m =

1

= y′ = − 3

x 4

=

−1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2

dy

x

x3 ; recta paralela 3x  2y  24  0 2

2

(− 9x2+18)2

dx

6

−20

7

y − 3 = 3 ( x + 1) y − 3 = 3x + 3

−3x + y = 6

4

−10

tangente a la curva dada.

3x − y = −6

2

−2

A = (−2,−1)

de la recta paralela m  3, se determina la ecuación de la recta

A 3 3 m =− =− = B −2 2

2x

y ′ = m = −2 x

Así,

Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales por lo tanto, la pendiente de la recta 4 x  y  14  0 es:

A m =− =− B

4

−1

Al despejar,

=4

2

x

3

2

=

3 2

x=2

Para determinar los puntos de tangencia se sustituye el valor de Así,

−2 x = 4 x = −2

Al despejar

x3 , es decir, 2

x en la ecuación de la curva y = Para x = 2


y=

23

x en la ecuación de la curva y  3  x2, es decir,

=2

Con los puntos de tangencia y la pendiente de la ecuación  3 de la recta paralela m =  , se determina la ecuación de  2  la recta tangente a la curva dada.

Para x = −2 2 y = 3− ( 2)= −

2

1

Con los puntos de tangencia y la pendiente de la ecuación de la recta paralela m  4, se determina la ecuación de la recta

y − y1 = m ( x − x1 )

tangente a la curva dada.

y − 2 = 3 ( x − 2) 2

y − y1 = m ( x − x1 ) y + 1 = 4 ( x + 2)

y−2 =

y +1 = 4x + 8

−4 x+ − y =7

3

− x+ + y =1

0

2

90

3 2 0

x −3




y

4

x2 + 2x −3

1 x3 2

15

y 35

x

+ y

=

2

2 4

10

30 3

x

25

+ y

= −

1

5

20 2

15

A = (2,2) 10

−2

2

4

6

8

1

x

−

x+ 1.5

A

y = −5

−

=

−8

5

(− 3,0 ) −6

−4

−2

−10

3x

−

2y

=

2

x

4

−5

24 −10

−15

8. y  x4  3x2  2; recta paralela 2x  y  4  0

dy

7. y  x2  2x 3; recta paralela 4x  y  23  0

dx dy dx

= y′ =

d dx

x+2

d d 2− x= + 3 dx dx

= y′ =

d dx

d d 3 + x 2= − 2 dx dx

x4 −

4 x3

6x

y′ = m = 4 x 3 − 6 x 2x

2 Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales, por

y′ = m = 2 x + 2

lo tanto, la pendiente de la recta 2 x  y  4  0 es:

A 2 m = − = − =− B 1

Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales, por lo tanto, la pendiente de la recta 4 x  y  23  0 es: Así,

A 4 m = − =− = − 4 1 B

4 x 3 − 6 x = −2 Al despejar, 4 x 3 − 6 + x =2 − ( x

Así,

x = −3

Para determinar los puntos de tangencia se sustituye el valor de x en la ecuación de la curva y  x2  2x  3, es decir, Para x = −3 2

y = (− )3 + ( − 2) −33=

)(4 − 1+ x2

4x

2)

 −1 + 3  −1 − 3  = ( x − 1) x −  x −   2 2  

2 x + 2 = −4 Al despejar,

2

Para determinar los puntos de tangencia se sustituye el valor de x en la ecuación de la curva y  x4  3x2  2, es decir,

Para x = 1 0

4 2 1 = 2 y = (1) − (3) +

Con los puntos de tangencia y la pendiente de la ecuación de la recta paralela m   4, se determina la ecuación de

Para x =

0

−1 + 3 2

 −1 + 3 4  −1 + 3 2   y =   − 3  + 2 = 1.616 2 2

la recta tangente a la curva dada.

y − y1 = m ( x − x1 ) Para x =

y = −4 ( x + 3) y = −4 x − 12

−1 − 3 2

 −1 − 3 4  −1 − 3 2  − 3   + 2 = −0.116     2 2

y = 

4 x + y + 12 = 0

91




de la recta paralela m   2, se determina la ecuación de

x en la ecuación de la curva y  x3  x, es decir,

la recta tangente a la curva dada. Para x = 1

y − y1 = m ( x − x1 ) y = −2 ( x − 1) y = −2 x + 2

(= ) −( y)+− =1−3

2

1

2


m  4 , se determina la ecuación de

de la recta paralela

2x + y − 2 = 0

la recta tangente a la curva dada.

y − y1 = m ( x − x1 ) ( x 0.366) y − 1.616= − 2− y − 1.616= − 2 +x 0.732

y − 1.616= − 2 +x

x= 1−

Para 3

y =)(1)(+ =1

y − y1 = m ( x − x1 )

0.732

2 x + y − 2.348 = 0

y − y1 = m ( x − x1 )

y − 2 = 4 ( x − 1)

y + 2 = 4 ( x + 1)

y − 2 = 4x − 4

y + 2 = 4x + 4

−4 x+ + y =2

−4 x+ − y =2

0

0

y − y1 = m ( x − x1 )

(x y + 0.116 = − 2+

1.366)

y + 0.116= − − 2x


2.732

y

2 x + y + 2.848 = 0

x3 + x

10


y

2

(1,2)

x

+

3

y

= 2

−3

−2

−1

(−1,−2)

2

x y

2

=

x

−

+ y

=

(0.37,1.62)

−15

1.5

x4 − 3x2 +2

−4

1 (−

−2.5

−2

−1.5

.3

7

.1 0 ,−

2

−4x + y = −2

)

1

x

+ y

0.5

=

(1,0)

−1

−0.5

0.5

2 .3

1

4x − y = 17 5

1.5

x 10. y =

dy dx

9. y  x3  x; recta paralela 4x  y  17  0

dx

= y′ =

d dx

x+3 =

d dx

−20

2

−0.5

dy

x+ 3 x 2

1

x

; recta paralela x  2y  6  0

= y′ =

d dx

x

−1 2

=

1 2

x

−3 2

1 −3 y′ = m = − x 2 2

1

y′ = m = 3 x 2 + 1

Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales, por lo tanto, la pendiente de la recta x  2y  6  0 es:

Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales, por 1 A m = − = − =− B 2

lo tanto, la pendiente de la recta 4 x  y  17  0 es:

A m =− =− B

4

−1

=4 Así,

Así,

1

− x

−3 2

2

3x 2 + 1 = 4 Al despejar,

x

−10

−4x + y = 2

2 2 .8 5

2

−5

2.5

+

−3

1

x2 = 1

Al despejar,

x

−3 2

=− =1

x =1

x = ±1

92

1 2

1 2



Por lo tanto, las coordenadas de los puntos de intersección entre

x en la ecuación de la curva y  x3  x, es decir,

las curvas son P2,4  y Q1,1 .

Para x = 1

Para P2,4 1

− y = (1) 2 = 1

Con los puntos de tangencia y la pendiente de la ecuación  1 de la recta paralela m =− , se determina la ecuación de  2 la recta tangente a la curva dada.

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 1= − y − 1= − 1 2

x + y−

3 2

1 2 1 2

(− x 1)

y= x+2 y′ = 1

2x y′ = m= = 1

θ = arctan m

θ = arctan (4 )

θ = arctan (1) θ = 45°

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 4 = ( x − 2)

y − 4 = 4 ( x − 2)

=0

−x+ −y = 2

y − 4 = 4x − 8

x + 2y = 6

1 2

m2 = 1

y − y1 = m ( x − x1 )

2

Representación grá ca x

y ′ = m2 = 1

4

θ = arctan m

−4 x+ + y =4

y

=2 (2)

m1 = 4

θ = 75°57′52′′

1

+ x

y = x2 y′ = 2 x

0

0

Dado que m1  4 y m2  1, se emplea la fórmula para determinar

2

el ángulo entre dos curvas:

0.5x + y = 1.5 1.5

1

tan θ =

(1,1)

1

1− 4 1+ 4

=−

3 5

θ = −30°57′49.52′′

x

2345

 179°59′60 ′′  − 30°57′49.52′′ 

−0.5

θ= 

θ = 149°2′10.48′′

IV. En los siguientes prob lemas encuentra: a) Las coordenadas de los puntos de int ersección del par de curvas dado. b) La pendiente y el ángulo de inclinación de la tangente a cada curva. c) El ángulo formado por las tangente s en cada punto de intersección.

Para Q1,1

y = x2

y= x+2

y′ = 2 x

y′ = 1

= y′ = m1= 22 x − (= 1−) m1 = −2

1. y  x2

θ = arctan (−2 )

yx2

′ 82′′ θ = −63°265. Al resolver el sistema, se tiene:

 179°59′60′′ θ=  − 63°26′5.82′′ 

x2 = x + 2 x2

=

 3 θ = arctan−   5

0.5

−1

m2 − m1 1 + m1m 2

− x− =2 − ( x

+ 2)( x

1)

θ = 116°33′ 54.18′′

x = 2, −1

y − y1 = m ( x − x1 )

Al sustituir los valores en cualquiera de las ecuaciones resulta:

)1 (= ) − 1=2 y (−

y − 1= − 2 (+ x 1) y − 1= − 2 x− 2

y ( 2) = 2 2 = 4

2x + y + 1 = 0

1

93

2

y ′ = m2 m2 = 1 θ = arctan (1) θ = 45°

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 1 = ( x + 1)

−x+ −y = 2

0


Dado que m1  2 y m2  1, se emplea la fórmula para determinar el ángulo entre dos curvas: tan θ =

m2 − m1 1 + m1m 2

y = −2 x y′ = −2

=

1+ 2 1− 2

y ′ = m 2 = −2

= −3

m2 = −2

θ = arctan (−3)

θ = arctan (−2 )

θ = −71°33′ 54.18′′

θ = −63°26′5.82′′

 179°59′60′′   − 71°33′54.18′′ 

θ= 

θ = 116°33′54.18′′

y − y1 = m ( x − x1 )

θ = 108°26′5.82′′

y + 2= − 2 (− x 1)


2x + y = 0 −4x + y = −4

2x + y = −1

y y = x2 6

θ

=

6 .9 30

Dado que m1  0 y m2  2, se emplea la fórmula para deter-

°

minar el ángulo entre dos curvas: tan θ =

4

(2,4)

m2 − m1 1 + m1m 2

=

−2 1

= −2

θ = arctan (−2) 2

(−1,1)

′ 82′′ θ = −63°265.

θ = 108.43°

−5 −4 −3 −2 −1

1

23456

θ = 116°33′54.18′′

x

y=x+2

Para Q1,2 

2. y = x 3 − 3 x

y = x3 − 3x

y = −2 x

y′ = 3 x 2 − 3

Al resolver el sistema, se tiene:

2

1) y′ = m1= 3 x−2 = 3 − 3(− =

x 3 − 3 x = −2 x

m1 = 0

x3 − x = 0

θ = arctan(0)

x = ±1,0

θ=0


y − 2 = 0 ( x − 1)

) = −(2 ) 1= − 2 y (1 )= 1 y (−)1=−(−2

y−2 = 0

2

y (0) = −(2) 0 = 0

y = −2 x

Por lo tanto, las coordenadas de los puntos de intersección entre las curvas son P1,2, Q1,2  y R0,0

y′ = −2 y ′ = m 2 = −2

Para P1,2

m2 = −2

y = x 3 − 3x

θ = arctan (−2 )

y′ = 3 x 2 − 3 y′ = m =1

y − y1 = m ( x − x1 )

3− x 2= 3

θ = −63°26′5.82′′ 2 − 3(= 1)

3

0

θ = 116°33′54.18′′

m1 = 0

y − y1 = m ( x − x1 )

θ = arctan(0)

y − 2= − 2 (+ x 1)

θ=0

2x + y = 0

y − y1 = m ( x − x1 ) y + 2 = 0 ( x − 1) y+2= 0

94

3

0




minar el ángulo entre dos curvas:

y 3x + y = 0

y = −2x

tan θ =

m2 − m1 1 + m1m 2

=

−2 1

4

= −2

3

θ = arctan (−2)

2

y=2

θ = 63.43°

(−1,2)

′ 82 ′′ θ = −63°265.

1

(0,0)

′′ 54.18 ′′ θ = 116°33

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

Para R0,0 

1

1.5

γ = 8.13°

−1

2

x

(1,−2)

y = −2 −2

θ = 63.43°

y = x3 − 3x −3

y′ = 3 x − 3 2

y′ = m =1

2

3− x2 = 3

)− 3 3−(0=

3 3. y = x 2 − 1

m1 = −3

y = 1− x 2

θ = arctan (−3)


θ = −71°33′ 54.18′′ θ = 108°26′5.82′′

x 2 −1 = 1− x2

y − y1 = m ( x − x1 )

2x2 = 2

x = ±1

y = −3 ( x ) 3x + y = 0


y = −2 x

2

y (± −= ) 1(=) ± 11

0

y ′ = −2 Por lo tanto, las coordenadas de los puntos de intersección entre

y ′ = m = −2

las curvas son P1,0  y Q1,0 

2

m 2 = −2

Para P1,0

θ = arctan (−2 ) θ = −63°26′5.82′′

y = x2 −1

y = 1− x2

θ = 116°33′ 54.18′′

y′ = 2 x

y′ = −2 x

y′ = m= = 2x 1

y − y1 = m ( x − x1 )

=2 (1)

y′ = m2 = −2 (1)

2

m2 = −2

m1 = 2

y = −2( x ) 2x + y = 0 Dado que m1   3 y m2   2, se emplea la fórmula para determinar el ángulo entre dos curvas:

θ = arctan (2)

θ = arctan (−2 )

θ = 63°26′5′′

θ = −63°26′5.82′′

y − y1 = m ( x − x1 )

θ = 116°33′ 54.18′′

y = 2 ( x − 1) tan θ =

m2 − m1 1 + m1m 2

=

y − y1 = m ( x − x1 )

y − 2x + 2 = 0

1

y = −2( x − 1)

7

2x + y − 2 = 0

1 θ = arctan   7

Dado que m1  2 y m2   2, se emplea la fórmula para determinar el ángulo entre dos curvas:

θ = 8°7′48.37′′ tan θ =

m2 − m1 1 + m1m 2

4 θ = arctan   3 θ = 53°7′48′′

95

=

−4 4 = −3 3



Para Q1,0 

y = x2 −1

y = 1− x2

y′ = 2 x

y′ = −2 x

) y′ = m1= 22 = x − (=1−

y (3) =

m2 = 2

θ = arctan (−2 )

θ = arctan (2 )

θ = −63°26′5′′

θ = 63°26′5′′

θ = 116°33′54′′

y=

y = 2 ( x + 1)

−2 x+ − y =2

y = −2 ( x + 1)

y′ =

0

6x − 9


m2 − m1

9 4

3 2

x+

6 3

4

2

 4 θ = arctan −   3

y− y−

θ = −53°7′48′′

9 4

4

x 2 3 2

θ = 56°18′35′′

3

θ = 116°33′ 54.18′′

2

9 x+ +y = 2 4

x2

3 θ = arctan  2

= ( x − 3)

3

=0

y ′ = m2 =

y − y1 = m ( x − x1 )

−3

4

y′ =

θ = 56°18′35′′

=

9

y=

4

 3 θ = arctan   2

Dado que m1  2 y m2  2, se emplea la fórmula para deter-

1 + m1m 2

y−

4

y′ = m1 =

y + 2x + 2 = 0

tan θ =

=

 9 Para P 3,   4

y − y1 = m ( x − x1 )

y − y1 = m ( x − x1 )

4

Por lo tanto, las coordenadas del punto de intersección entre las  9 curvas es P 3, .  4 

y′ = m2= − 2−( 1)

2

m1 = −2

(3)2

y − y1 = m ( x − x1 )

0

θ = 143°7′48′′

y−


9 4

3

9

2

4

− x+ +y =

3

= ( x − 3) 2

0

y 2x

−4 +

=

2x

+

3

y

2

3

Si m1 = 2 y m2 = 2 , entonces al emplear la fórmula para determinar el ángulo entre dos curvas:

−3

−2 y

=

tan θ =

−

2

−1

(−1,0) −2

−1.5

y = −x2 + 1 θ = 126.87°

−1

−0.5

y = x2 −1

−0.5

(1,0) −1

θ = 126.87° −1.5

2x

+

=0

θ = arctan (0 )

x

θ=0

−1

y=

m2 − m1 1 + m1m 2

2 −2


−

2

+ 2x

y=

−

−3

y

−

15

−4

10

4. y =

y=

6x − 9

y = 0.25x2

4

x2 4

−6

4

−2

y = 1.5x − 2.25

=

x2

−10

4

6x − 9 = x2 (x x 2 − 6 x+ = 9 −

2 3)

x=3

96

(3,2.25) −2

−5

Al resolver el sistema, se tiene: 6x − 9

−4

5

−4

−6

−8

−10

x


5. y = x 2

1 y m2 = 2 , se emplea la fór mula para deter2 minar el ángulo entre dos curvas: Dado que m1 =

y = 6x − x2 − 5 Al resolver el sistema, se tiene:

x 2 = 6 x − x2 − 5

tan θ =

2 x 2 − 65x + = 0

m2 − m1 1 + m1m 2

1 2=3 1+1 4

2−

=

 3 θ = arctan   4

No existen valores para x que satisfagan la igualdad anterior, por lo tanto, no existen puntos de intersección.

θ = 36°52′11′′

Representación grá ca Representación grá ca

y

y

−6

−2x + y = −1

y = x2

6

−4 5

−2 4

−1 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

x

3

°

−2 2

−4

θ

y = x2

y = −x2 + 6x − 5

1

−2

−1

x

1

y = 2 x 2 −1

x = x2


x = x4

x 2 + 3 = 2x2 −1

x =1

x2 = 4


x = ±2

y1  12  1 Por lo tanto, las coordenadas del punto de intersección entre las


curvas es P1,1 

y(2  2(22  1  7

Para P1,1 


y= y′ =

x 1 2

1 x−2

1 −1 1 y′ = m1 = 1 2 = 2 2

1 θ = arctan   2 θ = 26°33′ 54 ′

y − y1 = m ( x − x1 )

y = x2

las curvas son P(2,7  y Q(2,7 ,

y′ = 2 x

Para P(2,7 

y′ = m2 = 2 (1) = 2 θ = arctan (2 )

′ ′′ θ = 63°265 y − y1 = m ( x − x1 )

y−

2

x−

2

y = x2 + 3

y = 2x 2 −1

y′ = 2 x

y′ = 4 x

= 2x y′ = m= 1 m1 = 4

=2 (2)

4

y ′ = m2 = 4 (2 ) m2 = 8

y − 1 = 2 ( x − 1)

−2 x+ +y =1

0

1 y − 1 = ( x − 1) 2 1

x

2345

7. y = x 2 + 3


1

1

x2

−1

−0.5x + y = 0.5

y = x2

7 .8 38

(1,1)

−6

6. y =

=

θ = arctan (4) θ = 75°57′49′′

θ = arctan (8) θ = 82°52′29′′

y − y1 = m ( x − x1 )

y − y1 = m ( x − x1 )

y − 7 = 4 ( x − 2)

=0

−4 x+ +y =1

97

0

y − 7 = 8 ( x − 2)

−8 x+ + y =9

0


Dado que m1  4 y m2  8, se emplea la fórmula para determinar

8. y = 4 x − x 2

el ángulo entre dos curvas:

y = 8− x2

m2 − m1

tan θ =

1 + m1m 2

=

4 33

4

=


33

4 x − x 2 = 8 − x2

4 θ = arctan    33 

4 x − x 2 = 8 − x2

θ = 6°54 ′40 ′′

x=2 Al sustituir los valores en cualquiera de las ecuaciones resulta:

Para Q(2,7

y = x2 + 3

y = 2x 2 −1

y′ = 2 x

y′ = 4 x

y′ = m1= 22 = x − (=2−)

y ( 2) = 8 − 22 = 2 Por lo tanto, las coordenadas del punto de intersección entre las

y′ = m2 = 4 (−2)

4

m1 = −4

curvas es P2,2 

m 2 = −8

θ = arctan (−4 )

θ = arctan (−8)

y = 4 x − x2

θ = −75°57′49′′

θ = −82°52′29′′

y′ = m1 = 2 x =

θ = 104°2′10′′

′ ′′ θ = 97°730

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 7= − 4 (+ x

y − 7= − 8 (+ x

4x + y +1 = 0

4 − 2 ( 2)

2

4 ( 2) −( )2

2

=0

m1 = 0

y − y1 = m ( x − x1 )

2)

1

θ = arctan0

2)

θ=0

8x + y + 9 = 0

y − y1 = m ( x − x1 ) Dado que m1   4 y m2   8, se emplea la fórmula para de-

y − 2 = 0 ( x − 2)

terminar el ángulo entre dos curvas:

y−2 = 0

tan θ =

m2 − m1 1 + m1m 2

=

−4 33

=−

4 33

y = 8 − x2

 4 θ = arctan−   33 

y′ = −

2x

1

2 8 − x2

′ ′′ θ = − 6°5440 y ′ = m2 = −

θ = 173°5′ 19′′

18

x

16

y

= − x

x

−

14

y

=

+ =

−

10

−

θ = −45°

9

θ = 45°

8

12 y

+

1

9

4

= −1

θ = arctan (−1)

y +

2 (2)

2 8 − (2)2

m 2 = −1


8

1

x 4

+

y

=

−

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 2= − 1(− x 2) x + y−4 = 0

−

1

(−2,7)

θ = 6.91°

8

θ = 6.91°

(2,7)

6 4


y = x2 +3


2

2

y = 2x −1 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

tan θ = 3

3.5

−2

x

m2 − m1 1 = − = −1 1 + m1m 2 1

θ = arctan (−1) θ = −45° θ = 45°

98



Para Q(2, 2 

y x+y=4

y = x2 − 2 y′ = 2 x

4

y′ = m1= 22 = x − (=2−)

θ

1

1

−3

−2

y′ = m2= − 4−( 2)

(4 x

−1

1 −x2 ) 2

1

=

3

θ = arctan (8)

θ = −75°57′49′′

4 5

°

2

m2 = 8

θ = arctan( − 4)

(2,2)

2

(8 − x 2 ) 2

y ′ = −4 x 4

m1 = −4

3

y=2

y = 10 − 2 x 2

5

4

x

θ = 82°52′30 ′′

θ = 104°2′10′′

y−y = m x −x

y − y1 = m ( x − x1 )

y − 2 = 8 ( x + 2)

−1

y − 2= − 4 (+ x

1

(

−8 x+ −y = 18

2)

)

0

y + 4x + 6 = 0 9. y = x 2 − 2 Dado que m1  4 y m2  8, se emplea la fórmula para deter-

y = 10 − 2 x 2


Al resolver el sistema, se tiene: tan θ =

x 2 − 2 = 10 − 2 x 2 3 x 2 = 12

=

12

−31

=−

12 31

 12    31

θ = arctan −

x = ±2

θ = −21°9′40 ′′

Al sustituir los valores en cualquiera de las ecuaciones resulta: 2

m2 − m1 1 + m1m 2

y (± − = ) 2(=) ± 22

θ = 158°50 ′19′′

2



las curvas son P(2,2  y Q(2,2. 

y

y = x2 − 2

Para P(2, 2 2

y = x −2

y

y′ = 2 x

= 10 − 2 x 2

4

x

+

x

y

y′ = −4 x

=

−

−

+

y

=2 (2)

4

m1 = 4

y′ = m2 = −4 ( 2)

+

10

y

=

=

8

8

1 8

6 4

6

y′ = m= = 2x 1

8

x

8 1

(−2,2)

θ = 158.84° 2

(2,2)

θ = 158.84°

m2 = −8 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5

0.5

θ = arctan (4)

θ = arctan (−8)

−2

θ = 75°57′49′′

θ = −82°52′30 ′′

−4

y − y1 = m ( x − x1 )

−4x + y = −6

y − y1 = m ( x − x1 )

y − 4x + 6 = 0

1.5

2

2.5

3

x

−6

θ = 97°7′30 ′′

y − 2 = 4 ( x − 2)

1

−8

y = −2x2 + 10

y − 2= − 8 (− x 2) 8 x + y − 18 = 0

10. y = −x 2

Dado que m1  4 y m2  8, se emplea la fórmula para determinar el ángulo entre dos curvas: tan θ =

m2 − m1 1 + m1m 2

y = 2− x Al resolver el sistema, se tiene:

=

−12 12 = −31 31

x2  2 x x2 x  2  0

12    31 

θ = arctan 

No existen valores para x que satisfagan la igualdad anterior, por

θ = 21°9′40 ′′

lo tanto, no existen puntos de intersección.

99


V. Encuentra las ecuaciones de la tangente y normal a las curvas dadas en el punto específico y construye la gráfica correspondiente.


y 8

1. y  x2  1; P2,5 6

y′ =

d dx

( x 2 + 1) = 2 x

(−3,4)

y ′ = 2 ( 2) = 4

4

normal: −0.25x + y = 4.75

2

y = x 2 + 2x + 1

Recta tangente: −6

−5

−4

−3

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 5 = 4 ( x − 2)

−4 x+ + y =3

−2

−1

1

2

−2

tangente: 4x + y = −8

0 3. y  x3; P2,8 

Recta normal: 1

y − y1= −

m 1

y − 5= − 1

x + y−

4

11 2

4

y′ =

(−x x1 )

d ( 3) x = 3x 2

dx

2

(− x

y ′ = 3 ( 2) = 12

2) Recta tangente:

=0

y − y1 = m ( x − x1 ) Representación grá ca

y − 81= 2 ( x − 2)

−12 x+ +y = 160

2

y=x +1

y 16

tangente: −4x + y = −3

14 12

Recta normal:

10

normal:

1 (−x m

y − y1= −

8

0.25x + y = 5.5

(2,5)

6

1

y − 8= −

4

12

2

1 −2 −1.5 −1 −0.5 −2

0.5 1 1.5 2345 2.5

3.5

4.5

5.5

x

d dx

x + y−

49 6

2)

=0


2. y  x2  2x  1; P3,4 

y′ =

12

(−x

x1 )

y 2 ( x+ ) +2122 x= +

x


12

y ′ = 2 (− 32 +) = − 4

10

Recta tangente:

normal: 0.08x + y = 8.17

y − y1 = m ( x − x1 )

(2,8)

8

6

y − 4= − 4 (+ x 3)

4

4x + y + 8 = 0 2

Recta normal: −4

y − y1= − 1 (−x m

−2

x1 )

1 y − 4 = ( x + 3) 4 1

19

4

4

− x+ −y =

2

−2 −4

−6

0 x3

10 0

4

6

x

x


Recta tangente:

4. y  x3  3x; P2,2 

d ( 3 y′ = x− =3 x )− 3 x 2 dx

y − y1 = m ( x − x1 )

3

y − 1.5 =

2

y′ = 3( 2) − 39= 7

1

4

4

− x+ +y =

Recta tangente:

y − y1 = m ( x − x1 )

7 4 0

Recta normal:

y − 2 = 9 ( x − 2) y = 16 −9 x+ +

1

y − y1= − m (−x

0

4

y − 1.5 = −

Recta normal:

y − y1= − y − 2= − 1 9

x + y−

20 9

( x − 1)

4

1

m 1 9

(−x x1 )

(− x

x + y−

7

2)

29 14

7

(−x

x1 ) 1)

=0


=0

y tangente: −9x + y = −16

10


y 10

normal: 0.57x + y = 2.07


6

4

8 2 6

normal: 0.11x + y = 2.22

−2 4

2 x +1 (2,2)

2

−4

−2

2

(1,1.5) 2

4

6

8

4

x

6

6. y  x2; P1,1 

−2 3

x −3x

−4

y′ =

d ( 2) x = 2x

dx

y ′ = 2 (1) = 2 5. y =

2x +1 3− x

; P (1,1.5)

Recta tangente:

d  d 3 (2 x + 1)(−3)+ x −1+ ( 2 x(−) 1)  dx  dx

y ′ = 

−1 )= ( 2 (− ) 3 3 )− x + ((2−x) )1(− −1 (2 x) 1) 3 = 2 (− 3 ) x+ +(−

=

x x

−2

x

y − y1 = m ( x − x1 )

−1

y − 1 = 2 ( x − 1)

−2 x+ + y =1

1

y′ =

0

−2

Recta normal:

6 − 2x + 2 x + 1 2

(3 − x ) 7 = (3 − x )2

7 2

(3 − 1)

=

y − y1= − 1 (−x m y − 1= − 7 1

4

2

10 1

10

x

−2

3− x

x + y−

3 2

=0

1 2

x1 )

(− x 1)



Recta tangente:

y

x2

y − y1 = m ( x − x1 ) 4 y − 3 = ( x − 4) 3

8

normal: 0.5x + y = 1.5


6

4

7

3

3

− x+ +y =

4

0

Recta normal:

2

(1,1) −4

−2

2

4

6

1

y − 3= − 3

7. y  4x  x2; P2,4  2x

4

(−x x )

m 3 4

1

(− x

4)

x + y−6 = 0

4

d ( ) 4− x = x 2− dx

y′ =

1

y − y= −

x

−2


y′ = 42− (2) = 0 y Recta tangente:

10

normal: 0.75x + y = 6

1

y − y1 = m ( x − x1 )

( x 2 − 7) 2

y − 4 = 0 ( x − 2)

5

y−4 = 0

(4,3)

La ecuación de la recta normal para esta función es x  2.

5

10

tangente: −1.33x + y = −2.33


y8

−5

normal: x=2

6

9. y  4x2; P1,4 

(2,4)

4

tangente: y=4

y′ =

2

2

4

y′ = 8 (− 1=) − 8

x

6

d ( 2) 4x = 8x dx

−2

Recta tangente:

−4

y − y1 = m ( x − x1 )

−6

y − 4 = −8 ( x + 1)

−8

8x + y + 4 = 0

−x2 + 4x

Recta normal: 8. y =

x 2 − 7; P (4,3) y′

d ( )2( ) ( ) 12 x 7 dx =− = − x

=

1 2

x2

7

−

−1 2

d dx

y − y1= − x2

7

1 y − 4 = ( x + 1) 8

1

( x 2 − 7)2 y′ =

4 1

(4 2 − 7)2

1

33

8

8

− x+ −y = =

1 (−x m

4 3

10 2

0

x1 )

x


VI. Resuelve los siguientes ejercicios.


1. Encuentra la ecuación de la tangente y la normal a la curva

y

y = x − 3 , si se sabe que la recta normal es paralela a la

4x2

tangente: 8x + y = −4

25

6x  3y  4  0.

20

La pendiente de la recta 6x  3y  4  0 es:

A 6 m1 = − = − =− B 3

15

2

10

El valor anterior es el inverso negativo de la pendiente de la

normal: 5

−0.13x + y = 4.13 (−1,4) −4

−3

−2

recta tangente, entonces,

−1

x

1

1

m2 =

2

−5

Al derivar a la función y e igualar con m2, se tiene:

y′ = 10. y  x3  2x2  4; P2,4 

d dx

1

1

(− 2 3)− x =

2

1

1 −

(=x

3)2

2

1

( x − 3)−2 = 1 y′ =

d dx

( x−3 + ) 3x2 2 x 2= 4−

y ′ = 3 ( 2)

2

4x

x=4

−(4) 2 = 4

Al sustituir el valor de x en y, se tiene:

Recta tangente:

y = 4 −3 = 1 P = (4,1)

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 4 = 4 ( x − 2)

−4 x+ + y =4

La recta tangente al punto P  4,1  es:

0

y − y1 = Recta normal:

1 2

( x − x1 )

1

y − 1 = ( x − 4) 2 y − y1= − y − 4= − 1 4

x + y−

9 2

1

m 1 4

1

(−x x1 )

− x+ + y =1

0

2

(− x

2)

La recta normal el punto P  3,1  es:

=0

y − y= − 2 (− x 1

x1 )

y − 1= − 2 (− x 4) Representación grá ca

2x + y − 9 = 0 Representación grá ca

y

x3−2x2 + 4 normal: 2x + y = 9

10

−4

−3

−2

20

(2,4)

5

normal: 0.25x + y = 4.5

y

15

−1

1

2

6x + 3y = 4

x

10

5

−


5

(4,1)

−10 −8

−15

−6

−4

tangente: −0.5x + y = −1

10 3

−2

2

−5

4

1

( x − 3) 2 6

x


2. Encuentra la ecuación de la tangente y la normal a la curva y = 4 x − 3, si se sabe que la recta tangente es perpendicular a la recta 2 x  4y  22  0.

3. Encuentra la ecuación de la recta tangente y normal a la curva

y  3x2  8 en el punto A2,6 . Al derivar y sustituir el valor de x, se tiene:

La pendiente de la recta 2x  4y  22  0 es:

A

m1 =−

B

2

1

4

2

= − =−

y′ =

d ( 2 3 x − 8) = 6 x dx

y′ = 6 ( 2) = 12

Como esta recta es perpendicular a la tangente, entonces, es

Recta tangente:

paralela a la normal.

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 61= 2 ( x − 2) −12 x+ +y = 18 0

El valor anterior es el inverso negativo de la pendiente de la recta tangente, entonces,

m2  2

Recta normal:

Al derivar a la función y e igualar con m2, se tiene:

y′ = −1

(4 x − 3)

2

d dx

1

−1

(43 −x )= −(2 = 2) 43x

2

y − y1 = −

2

y − 6= −

=1

+

x =1

1

x+ −y=

12

37 6

1

m

( x − x1 )

1 12

(−x

2)

0


Al sustituir el valor de x en y, se tiene:

y

y = 4−3 =1


80

3x2 − 8

P = (1,1)

70 60 50

La recta tangente al punto P  1,1  es:

40 30 20

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 1 = 2 ( x − 1)

−2 x+ +y =1

10

0

La recta normal el punto P  1,1 es:

y − y1 = − y − 1= − 1 2

x + y−

3 2

1

m 1 2

(2,6)

−10 −8 −6 −4 −2 −10

4

6

8

10 12 14 16

x

4. Determina la ecuación de la tangente a la curva y  x3  5 y que es perpendicular a la recta x  3y  2  0.

( x − x1 )

(− x

2

La pendiente de la recta x  3y  2  0 es:

1)

1 A m1 = − = − B 3

=0 Como esta recta es perpendicular a la tangente, entonces, es paralela a la normal.


El valor anterior es el inverso negativo de la pendiente de la

y x + 2y = 11

recta tangente, entonces,

m2  3

10

1

(4 x − 3) 2

−6

−4


Al derivar la función y e igualar con m2, se tiene:

(1,1)

normal: 0.5x + y = 1.5 −2

2

4

6

x y′ =

−10

d dx

( x+3 =5) = 3 x 2

2

x =1 x = ±1

10 4

3


Al sustituir el valor de x en y, se tiene: ) (1= ) − 15 y(− +3 =

Recta tangente:

y − y1 = m ( x − x1 )

4

y = 2(x )

3

y (1) =( )1 + 5 = 6

−2 x + y = 0

) 1,4 ; Q ( )= 1,6 P = (− Recta normal:

La recta tangente al punto P  1,4  es:

y − y1 = −

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 4 = 3 ( x + 1) y =7 −3 x+ −

1

m

( x − x1 )

1 y = − (x) 2

0 1

La recta tangente al punto P  1,6 es:

2

y − y1 = m ( x − x1 )

x+y=0


y − 6 = 3 ( x − 1)

−3 x+ − y =3

0

y 8

tangente: −2x + y = 0


y normal: 0.5x + y = 0

tangente 1: −3x + y = 3

8

6

4

(1,6) 2

2x

(−1,4)

4

1− x2

x + 3y = 2 2

−6

(0,0) −5

−4

−3

−2

−1 −2

−5 −4 −3 −2 −1

1

2

3

4

5

x

−2

tangente 2:

−3x + y = 3

−4

x3 + 5

5. Encuentra las ecuaciones de la tangente y normal a la curva 2x y= en el punto A0,0 . 1− x2 Al derivar y sustituir el valor de x, se tiene:

y′ =

d dx

( 2 x (1 −) x 2 −1 ) =  d( (2)x()−1  dx

2 −1 ( 4) 2 1 (1 )x+ = 2− −x

y′ =

=

x2



−1 ( ) 2 x 1− x2 − x)2 −

−2

−2

2 − 2x2 + 4 x2

(1 − x 2 )2 2 + 2x 2 2 2

(1 − x ) 2 2 + 2 ( 0) =2 y′ = m = (1 − x 2 )2 m=2

10 5

d dx

1

x2

1

2

3

4

5

6

x

3 UNIDAD CÁLCUL O DIFERENCIAL

EJERCICIO 13 I. Aplicando la regla de la cadena, encuentra 1. y = 3 u 2 + 2

u=

dy dx

para las siguientes funciones compuestas.

x 2 −1 x2 +1

Al derivar a y respecto a u, se tiene:

dy du

=

d

1

d u+2= 2 + (u 2 du

3

du

2)3 =

1 3

1

(u 2 + 2)−3

d dx

2u

y′ =

3 (u 2 + 2)

2 3

Al derivar a u respecto a x, se tiene:

du dx

=

u′ =

d  x 2 − 1   =  dx  x 2 + 1 x2x (

( x 2 + 1)

d ( 2 d x − 1)− ( x 2 − 1) ( x 2 + 1) dx

dx

( x 2 + 1)2

− 1x)x− 2 (

2

2

− 1)

( x 2 + 1)2

=

4x

( x 2 + 1)2

Por lo tanto, 2u 4x dy = dx 3 ( 2 2)23 ( x 2 + 1)2 u +

dy dx

2

=

x 2 −1 4x

x2 +1 2

2

3 ( x 2 + 1)  x 2 − 1 2  + 2 3  2      x + 1  4

8 x ( x 2 − 1)(1 + x 2 )3 dy = dx 3 (1 + ( )x 2 3 3 + 2) x 2 + 3 x 4

2. y  u3  3u  5

x

u=

2

2 3

+3


dy d 3 = (u− +3u= −5) du du

3u2

3


du dx

=

 d  x 1 + 3 =  dx  2  4 x

Por lo tanto,



2



  1   x 1 dy 2 dx = (3u − 3) 4 x =  3  2 + 3 − 3  4 x dy dx

=

9 4

+

6

x

+

1

1

(u 2 + 2) = (u 2 + 2)−3 (2u)

3 x 16

10 6

3


3. y = u

u=

Por lo tanto,

x −1 x +1

dy dx


dy 1 dy d = u= du du 2 u

dx

=

1

1

1 2 (1 + u) 2 2 x

1

=

4 x 1+

x u  x2

6. y  u3  2u Al derivar a u respecto a x, se tiene:


d

( x + 1) du = d  x − 1  = dx dx  x + 1 y′ =

( x − 1) − ( x − 1)

dx

( x + 1) − ( x + 1) ( x + 1)2

( x + 1)2

d

( x + 1)

dx

dy = d (3− u du du

2

=

dy

=

dx

1

2

=

2 u ( x + 1)2

1

1

Por lo tanto,

x − 1 ( x + 1)2

dy dx

1

=

dy

3

x − 1( x + 1)

4. y  u3  4

dx

u  x2  2x

dy

=

d du

= 6x − 8x

2)

2

3

u=

x


dy

(u 3 + 4) = 3u 2

du

=

d du

(1 + u 2 ) = 2u



du du d ) 2x = ( x+2 = 2 x+ dx dx

= (3 − 4u)x2 = (3x−x4

7. y  1  u2


du

4u

du d 2 = x = 2x dx dx

x +1 dy

3


( x + 1)2

Por lo tanto,

dx

2= u 2−)

dx

2

=

d

1

dx

x2 =

1 2 x

Por lo tanto, Por lo tanto,

dy dx dy dx

2 = 3u 2 x( 2 + 2)x= 3x( 2x + 222) (

1 1 dy = 2u =2 x =1 dx 2 x 2 x

+ )

8. y  u8

= 6 x 2 (1 + x)( 2 + x )2

u  1  x2

Al derivar a y respecto a u, se tiene: 5. y = 1 + u

u=

x

dy d = u8 = 8u 7 du du


Al derivar a u respecto a x, se tiene: 1 1 dy d = (1 + u) 2 = 1 du du 2 (1 + u) 2

du dx


du dx

=

d dx

1 x2

=

=

d dx

1 = x 2 )− (−

2x

Por lo tanto,

1

dy 7 − 16 x = −2 x 8u= +(1 dx

2 x

10 7

7

x2 )


9. y =

1 − u2

1+ x2

u=

1 + u2

11. y =

1− x 2

3u + 4

u=

5u − 3

x 1− x

Al derivar a y respecto a u, se tiene: Al derivar a y respecto a u, se tiene:

dy du

1 − u2

d

=

=

du 1 + u 2

dy

1

(1 + u 2 )(− 2 u) − (1 − u2 )(2u)

1 − u2

(1 + u 2 )2

du

=

d  3u + 4 



=

du  5u − 3 

3(5u − 3) − 5 (3u + 4) −29 = (5u )− 3 2 ( ) 5u − 3

2


1 + u2

dy dx

1 + u2

=

−4 u

(1 + u )

(1 − x ) + x 1+ x = 2 x 2 = 2 (1 −) x ( )2 1 − x dx dx 1 − x x du 1+ x = 2 dx 2 (1 − x ) x

−4 u

=

2 2

1 − u2

du 3

(1 − u 2 )(1 + u 2 )


du dx du dx

=

d

1+ x 2

dx

1− x 2

) 1− ( x)2 1 − x 2 (12−)x 2 ()( x−−

=

2x

dy

4x

=

dx

(1 + x 2 )(1 − x 2 )3

Por lo tanto,

dy dx

dy dx

4x

=

(1 + x 2 )(1 − x 2 )3  1 + x 2 2  1 + x 2 2 3  1 +    1 −     1 − x 2    1 − x 2  

2

(1 )+ x

dx

10. y =

12. y =

2 )3

( 1− x

dy

=

d  u + a 



=

du  u − a 

dx

(u −a ) − u ( a+ ) (u − )a

d 4 x )− 2 x = ( x−2 = dx dx

2

(

= )

−2 a u−a

13. y =

2

u −1 u +1

=

u + 1 (u +)1( − )u − 1 2 = u −1 (u + 1)2 ( )u (− 1) u + 1

=

2 (3 − 4 x ) (u − 1)( u + 1)3

b+u u

u=

4

dy d  b + u  =  = du du  u 

= 2x − 4

=

d dx

(3 x− 2 x 2 ) −=

3

4x

2 (3 − 4 x )

=

(32x − x−2 1)− (32x + x 2

x b−x


u−

( b + u )1 2 u

u

=

−b + u 2u 3/ 2


Por lo tanto,

dx

d du

Por lo tanto,

du

dy

=

u  x2  4x


dx

u  x3  2 x

du d = x (−3 =2 x ) dx dx

3


du

2


−32 x 2 (1 + x 4 )

u−a

dy

29 (1 + x ) 2 x (−3 + 5 x + 3 x)

2

8 x ( x 2 − 1)

=−

u+a

du

=−

u −1

dy

( )− 32( x 1 + 2x)8 −1 + x

−29 1+ x 2 2 5  x  − 3 2 (1 − x ) x    1 − x    

u +1

du

4 3

2

=


 1 + x 2   1 − x 2   

−8 x

=

dy

 1 + x 2   −4   1 − x 2 

x

Por lo tanto,

(1 − x 2 )2

1+ x2

d

=

du

−2a −4 a ( x − 2) ( 2 x − 4) = (u − a)2 ( x 2 − 4 x − a)2

dx

10 8

=

d dx

x b−x

x 2b − x 2 b−x = 3 b−x 2 (b − x )

b−x +

=

3

1)

3


Por lo tanto,

dy dx

dy dx

14. y =

−b + u

=

3

2u 2

2b − x 3 2 (b − x )

=

 x  (2b − x ) −b +  b − x 

( 2b −x− )(b b−x + x

=

) 3

3

b −x 4 b ( x −x )2

a−u

x (b − x )3 b−x

4

u = a2 − x 2

a+u Al derivar a y respecto a u, se tiene:

dy du

=

d

a−u

du

a+u

=−

a (a − u )a( u+ )3


du dx

d

=

a2 − x 2 =

dx

−x a2 − x 2

Por lo tanto,

dy ax = dx )(a 2x− a2 (−a )x− 2a (+a2x−

15. y =

u2 + 4

u=

u2 − 2

) )( 2

2

3

ax

=

(

x 2 a)2 − x 2 a + a2 − x 2

4 − x2 4 + x2


dy d  u 2 + 4  2uu( = =  du du  u 2 − 2 

2

− 2) − uu2 ( (u 2 )− 2 2

2

+ 4) −8u = ( ) u2 − 2

2


du dx

=

( 2 x) 4 d  4 − x 2  − 2 x+(4 − )x 2 + 

=

dx  4 + x 2 

(4 +) x 2

2

x2

( )

=

−16 x 4 + x2

Por lo tanto,

dy dx

=

 4 − x 2  −8    4 + x 2 

−16 x 128 x (−16 + x 4 ) =−  4 − x 2 2 2 (4 + x 2 )2 (16 + 24 x 2 + x 4 )2     − 2   4 + x 2 

16. y = u ( a 2 − u 2 )

u = 1− x 2

Al derivar a y respecto a u, se tiene: 2 dy d ) =a = ( u (− a 2 =u 2 )− du du 2 u

5 2

3

u2

a 2 − 5u 2 2 u

10 9

2

2



du d ) = (− 1 x=2 − dx dx


dy 14u − 3 14 1 + x − 3 1 − x = = (1 − x )2 (1 + x ) dx (1 + x )(1 − x)3

x 1− x2

Por lo tanto,

Por lo tanto, 2

dy x a 2 − 5( 1 − x 2 ) x (−5 + a 2 + 5 x 2 ) =− =− 3 dx 1− x2 2 1− x 2 2 (1 − x 2 )4 u2 + 2 17. y = u 2 − 2

dy 14u − 3 14 1 + x − 3 1 − x = = (1 − x )2 (1 + x ) dx (1 + x )(1 − x)3

y

u  x  12

u2

1

=

20.

u

−

x2

1

=

+

Al derivar a y respecto a u, se tiene: Al derivar a y respecto a u, se tiene:

dy d ) = (− 1 u=2 − du du

dy d  u 2 + 2  −8u =  = du du  u 2 − 2  (u 2 − 2)2

u 1 − u2



du dx

du d 2 = ((+x )= 1 )(+ )2 x dx dx

=

d dx

x

1+ x2 =

1+ x 2

1 Por lo tanto,

Por lo tanto,

dy u =− dx 1 − u2

2 dy −8u 2 ( x + 1) −16 (( x +)1( ) )x + 1 = = 2 4 dx (u 2 − 2)2 (( x + 1) − 2) 3 16 (1 + x ) dy =− 2 dx (−2 + (1 + x )4 )

II. Encuentra

x

=−

1+ x2

dy dx

1+ x 2

x 2

1+ x 2

1−( 1 + x 2 )

=

x

−x 2

para las funciones dadas, resuelve por la

regla de la cadena y la regla general de las potencias. 18. y =

a2 − u2

u  ax  x

a2 + u2

1. y  2x3  3x2  412

2

a) Solución por la regla de la cadena.


dy du

=

Dado que y  2x3  3x2  412 se hace u  2x3  3x2  4

d  a 2 − u 2 

−4 a 2 x =  du  a 2 + u 2  (u 2 + a 2 )2

y y  u12, así, al derivar se tiene:

y = u12


du d )a = (ax − x=2− dx dx

y′ =

dy −4 a x a( −)x2 = dx (u 2 + a 2 )2

dy dx 2

=

(−4)a x a −x2

((ax −x

2 )2

a+

2

2

)

=−

[ −x2 ]

(a 2 +a( x−x )2

2

u′ =

d dx

(2 x 3 + 3 x 2 − 4 )

u′ = 6 x 2 + 6 x

= y′ u′ = 12u11c ⋅

2

)

dy

u = 1+ x 1− x

= y′ u′ =( 12 2+ x 3 −( )3 x 2 )+4 ⋅

11

6 x2

6x

b) Solución por la regla general de las potencias.


dy d )) = (u (2−u =3− du du

u

Al sustituir resulta:

4 a 2x a

dx 19. y  u2u  3

du

u = 2 x3 + 3x2 − 4 12

y′ = 12u11

x 2

Por lo tanto, 2

d

y′ =

43u

d dx

(2 x 3 + 3 x 2 − 4)12 = 12 (2 x3 + 3 x 2 − 4 )11 11

d dx

(2 x 3 + 3 x 2 − 4 )

= 12 (2 x 3 + 3 x 2 − 4) (6 x 2 + 6 x)

11 0


x − x3

2. y =


y = x − x 3 se hace u =x x− y3 y u =

Dado que

y= u y′ =

u = x − x3

d

u′ =

u

du

dy

d ( x − x3)

dx

u′ = 1 − 2 x 2

y′ = 1 2 u

dx

, así, al derivar se tiene:

= y′ u ′ = ⋅

1− 2x2 2 u


dy dx

= y′ u ′ = ⋅

1 − 2x 2 2 x − x3

b) Solución por la regla general de las potencias. y′ = y′ =

d

−x= − x3

dx

1− 2 x

d ( = x − )x (3

1 2

1 )−x =(x3−−)2 (d −x)( x 3 ) 1 x

1

dx

2

dx

2

x3

−1

2

2

2 x − x3

3. y  3x  25

a) Solución por la regla de la cadena. Dado que y  3x  25 se hace u  3x  2 y y  u5, así, al derivar se tiene:

y = u5 y′ =

d du

u = 3x + 2 u5

u′ =

y′ = 5u 4 dy dx

d dx

(3 x + 2)

u′ = 3

= y′ u ′ = 15u 4 ⋅


dy dx

= y′ u ′ = 15(3 x + 2)4 ⋅

b) Solución por la regla general de las potencias. y′ =

d dx

(3 x + 2)5 = 5(3 x + 2)4

d dx

(3 x + 25 ) = (3 x + 23 )4 ( )

4

y ′ = 15 (3 x + 2)

11 1

1

2 x2


4. y  x2  13

a) Solución por la regla de la cadena. Dado que y  x2  13 se hace u  x2  1 y y  u3, así, al derivar se tiene:

y = u3 y′ =

d du

u = x2 +1 u

u′ =

3

y ′ = 3u 2

d dx

( x 2 + 1)

u′ = 2 x

dy = y′ u′ = 3u 2 2 x dx ⋅


dy

2

= y′ u′ = 6 x ( x 2 + 1) ⋅

dx


d dx

d

( x 2 + 1)3 = 31( x 2 + )2

dx

( x 2 + 1) = 31( x 2 + )2 (2 x )

2

y ′ = 6 x ( x 2 + 1) 2x +1

5. y =

3x + 1


y=

Dado que

2x +1

y= u y′ = y′ =

u=

d

u

du

u′ =

1 2 u

2x + 1 3x + 1

d 2x + 1 dx 3 x + 1

(31x +) (

u′ =

= y′ u ′ = − ⋅

d )21 +(x− +) ( 21x)+ dx (3 x + 1)2

d 31 x dx

2 (3 x +) 1( − 3) 2 x + 1

(3 x + 1)2

u′ = −

dy

y y = u , así, al derivar se tiene:

3x + 1

u′ =

dx

2x +1

se hace u =

3x + 1

1

1

(3 x + 1)2

1

(3 x + 1)2 2 u


dy dx

= y ′ u′ = − ⋅

1

(3 x + 1)2

1 2

2x + 1

1

=− ( ) 3(x + ) 1 3 2x + 1

3x + 1

11 2



y′ =

d

2x + 1

dx

3x + 1

=− y′ = −

6. y =

(

1

=

−1

d  2 x + 12 1  2 x + 1  =    2  3 x + 1 

dx  3 x + 1 

2

−1 

d  2 x + 1 1  2 x + 1  =    2  3 x + 1

2

dx  3 x + 1 

1  −  (3 x + 1)2 

1

(3 x +()1 3 3) x + 1 1

(3 x +()1 3 3) x + 1 )3

3x + 1

a) Solución por la regla de la cadena. 3

3 y = (3 x + 1) se hace u  3x  1 y y  u 2, así, al derivar se tiene:

Dado que 3

u = 3x + 1

y = u2 y′ =

y′ =

dy dx

d du

d

3 u2

u′ =

1

u′ = 3

3u 2

dx

(3 x + 1)

2 1

= y′ u ′ =

3u 2

⋅

2

(3)


dy dx

1

= y′ u ′ =

3(3 x + 1) 2

⋅

2

(3) =

9

3x + 1

2


= y′ =

d

d 3 (+ ) 3= x1(+) 3)x =1 (+ dx

dx 9 2 9 2

3 2

1 d 3 (3) +=x( ) +2 1 2 dx

x 3

3 1 3x 2

1

1 2 (3)

3x + 1 3x + 1 8

7. y = ( x − 1)


Dado que y = ( x − 1) se hace u = x yyu = ( − 8) , así, al derivar se tiene: 8

8

u=

y = (u − 8) y′ =

d (u − 8)8 du

u′ =

7

y′ = 8 (u − 8)

u′ =

x d dx

x

1 2 x

dy dx

= y′ u ′ = 8 (u − 8)7 ⋅

1 2 x

11 3



dy dx

1

7

= y′ u′ = 8 ( x − 8) ⋅

2 x

7

( x − 8)

=4

x


7

d dx

y′ = 4

3 ( ) ( x − 1)8 = 8 ( x − 1)7 d ( x − 1)2 = 8 x − 1

dx

2 x

1

=4

( x − 8)7 x

( x − 1)7 x

8. y = 3 8 − x 3

a) Solución por la regla de la cadena. Dado que y = 3 8 − x 3 se hace u = 8 − x y3 yu = 3 , así, al derivar se tiene:

y= 3u y′ = y′ =

dy dx

d du

u = 8 − x3 1 u3

u′ =

1 −2 u 3

d dx

(8 − x 3 )

u ′ = −3 x 2

3

2

1 − ) = y′ u′ = u 3−( 3= x 2− ⋅

3

−2

x2 u

3


dy

2(

⋅

dx = y′ u′ = −x −8

x2

2 3 )− 3

x =−

3

(8 − x 3 )2


=

1 d 3 d −8 = x 3 − =(8)−( )x(3 )3 dx dx 1 1 (8 − x)(3 3

x3

−8

3

−1 3

d 8 dx

x3

) 3x 2 −

3

y′ = −

1

x2 2

3(

8 − x3 )

9. y =

1− x 2

x

a) Solución por la regla de la cadena. Dado que y =

y′ =

du

x

se hace u =

1− x2

x


u = 1− x2 x

y= u d

1− x2

u

u′ =

d 1 − x 2 



dx 

x

 

11 4


y′ =

1

u′ =

2 u

x (−2 x ) − (1 − x 2 ) x2

u′ = −

dy

= y′ u ′ = ⋅

dx

1+ x2

x2

1  1 + x 2 

 x 2 

−

2 u 


dy 1+ x2 dx = y′ u ′ = − x 2

1 1+ x2

1

⋅

2

1− x2 = − 2

x3

x


y′ =

d

1− x 2

dx

x

1

=

1

− 1 1 − x 2  2 d 1 − x 2    =     2  x  dx  x 

d 1 − x 2 2



dx 

x

1

1

− 1 1 − x 2  2  1 + x 2  1  x 2 1 + x 2  − 2  = −  =   2  x   2 1 − x 2  x  x2

y′ = −

1 1+ x2 2

x3

a2 − x 2 a2 + x 2

10. y =


Dado que y =

a 2 − x 2 se hace u = a 2 − x 2 y y = u, así, al derivar se tiene: a2 + x 2 a2 + x 2

y= u y′ = y′ =

u=

d u du

u′ =

1 2 u

u′ =

a2 − x 2 a2 + x 2 d  a 2 − x 2 

x (−2 x ) − (1 − x 2 ) x2

2 x a( )+

u′ = u′ =

dy dx

= y′ u ′ = ⋅





dx  a 2 + x 2 

2− x(

( )2− ) a +

2 ()

x2 2x

(a 2 + x 2 )2 −4 a 2 x (a 2 + x 2 )2

1  −4 a 2 x 





2 u (a 2 + x 2 )2 


dy dx

= y′ u ′ = ⋅

−4 a 2 x (a 2 + x 2 )2

1 2

a2 − x 2

=−

2a 2 x

(a 2 −x a2 )( x2 +

a2 + x 2

11 5

2 3

)



1

a2 − x 2

d

2

a +x

dx

=

2

−1

y′ =

1  a 2 − x 2 

1

 −4 a 2 x  = 1  a 2 + x 2 2  −4 a 2 x   2  2 2 2   2  (a + x 2 )  2  a − x  (a 2 + x 2 ) 

4a 2 x

y′ = −

11. y =

2





2  a 2 + x 2 

1

− 1  a 2 − x 2  2 d  a 2 − x 2   =  2     dx  a 2 + x 2  2  a + x 2  dx  a 2 + x 2 

d  a 2 − x 2 2

(a 22− x )( a 2 + x 2 )3

2x 2 1− x 2

a) Solución por la regla de la cadena. 2x 2

Dado que y =

1− x2

y= u y′ = y′ =

se hace u =

u=

d u du

u′ =

1

dy


2x 2 1− x2

d  2 x 2   



dx 1 − x 2 

(1x− x2 )(4x) x− (2) 2 −2 u′ = (1 − x 2 )2

2 u

u′ =

dx

2x 2 1− x 2

= y ′ u′ = ⋅

4x

(1 − x 2 )2

4x

1

2 u (1 − x 2 )2


dy dx

1

= y ′ u′ = ⋅

2

(1 − x 2 )2

2

=

1− x 2

1 3

2 (1 − x 2 )


1

2x 2

d

=

dx 1 − x 2

1

− 1  2 x 2  2 d  2 x 2   =     2 1 − x 2  dx 1 − x 2 

d  2 x 2 2



dx 1 − x 2 

1

1

−  1 1 − x 2 2  4 x  1  2 x 2  2  4x    =     =   2 1 − x 2  (1 − x 2 )2  2  2 x 2  (1 − x 2 )2 

1

y′ =

3

2 (1 − x 2 ) 12. y = 2 − 3 x 2


2

Dado que y = 2 − 3 x se hace u = 2 −x3 y yu =

y= u y′ = y′ =

d du 1

u = 2 − 3x u

u′ =

d dx

, así, al derivar se tiene:

2

(2 − 3 x 2 )

u′ = −6 x

2 u

11 6


dy dx

= y′ u ′ = ⋅

1

(−6 x )

2 u


dy dx

= y′ u ′ = −

3x

⋅

u

3x

=−

2 − 3x 2

b) Solución por la regla general de las potencias. d y′ = −

1 d ( = 2− 3)x 2 (2

2 = 3 x 2−

dx

dx

1

1 1 ) 2 ( 3 x 2) − 2 d 2 3 x 2 −

3x

1 − 2 3 x 2 )−2 (= 6−x ) = (− 2

dx

2

2 − 3x 2

3x

y′ = −

2 − 3x 2

dy

III. Dadas las siguientes funciones, encu entra

aplicando la fórmula para la derivación de funciones inversas, comprueba el

dx

resultado despejando y y deriva con respecto a x. 1. x = 1 − y2 Al derivar con respecto a y se tiene:

dx dy

=

d dy

(

)

1− y2 =

1 2 1− y2

(−2 y) = −

y 1− y2

Al aplicar la fórmula para la derivación de funciones inversas resulta: 1− y2 d 1 1 =− y dx y = dx = − y dy 1− y2 Comprobación.

x = 1 − y2 x 2 = 1 − y2 y = 1− x2 dy dx

Al sustituir y = −1

dy dx

=−

1− y2

y

=

d dx

1 − y2

dy x 2 en= − dx

=−

x

− 1 = x 2−

y

1 −1 + x 2 1− x 2

=−

1− x 2

, resulta:

x2 1− x2

=−

x 1− x 2

2. x  3y2  4y  7 Al derivar con respecto a y se tiene:

dx dy

=

d dy

(3 y−2 +47y= −)

6y

4

11 7


Al aplicar la fórmula para la derivación de funciones inversas resulta:

d 1 1 y= = dx dx 6y − 4 dy Comprobación.

x = 3 y2 − 4 y + 7 3y2

− 4 y+ − 7 =x

0 1

y=

(2− − +173

x)

3 11 = −  −( + 17 3 2

dy dx Al sustituir y =

dy dx

1 3

(−2− +

) en x=

173

1

=

1 (2 − −17 + 3 x ) − 4 3 

1

3 x )=3(−)

23 x − 17

dy

1

dx

6y − 4

, resulta:

1

=

4 − 2− + 17

6 

− 3x )

4

=−

1 23 x − 17

Por lo tanto, las derivadas son iguales. 3. x =

y 4 − y2

Al derivar con respecto a y se tiene:

dx dy dx dy

=

=

d

4 − y 2 (1) − y

y

dy

4− y

=

2

(4 − y 2 ) + y 2

2

1

(4 − y 2 )− 2 (−2 y )

4− y

2

4

=

3

1

3

(4 − y 2 )

(4 − y 2 )

Al aplicar la fórmula para la derivación de funciones inversas resulta: 1 d y= = dx dx dy

3

1 4

=

(4 − y 2 ) 4

3

(4 − y 2 )

Comprobación.

y

x=

4 − y2

x 2 (4 − y2 ) = y2 x 2 (4 − y2 ) − y2 = 0 4 x 2 − x 2 y2 − y2 = 0

y=

4x2 2

x +1 dy dx dy dx

= =

=

2x 2

x +1

d 

2 x   =  dx  x 2 + 1 

1 −1 x 2 + 1 ( 2) − (2 x ) ( x 2 + 1) 2 (2 x) 2 x2 +1

( x 2 + 1)(2) − (2 x 2 ) ( x 2 + 1)3

=

2

( x 2 + 1)3

11 8


2x

Al sustituir y =

dy dx dy dx

= =

en

x2 +1

(4 − y 2 )3 4

3

dy

(4 − y 2 )

=

dx

4

3  4 x 2   4 − 2  x + 1

=

=

4

, resulta:

 4 x 2 + 4 − 4 x 2 3     x2 + 1 4

=

2

( x 2 + 1)3


1 4+ y


dx dy

=

d  1 

 = −



dy  4 + y 

1

(4 + y)2


dy dx

=

1 = dx

dy

−

1 1

= −(4 + y)2 2

(4 + y)

Comprobación.

x=

1 4+ y

4+ y= 1 x

y= dy dx

−4

x

=−

1 dy Al sustituir y = − 4 en = − + (4 x dx

 1 dy = −4+ − x dx

1

1

x2

2

y ) , resulta:

2

 1 4  = − 2 x


1

y


dx = d y− 12 = − 1 y− 32 dy dy 2

11 9

 4 3   2 x + 1 4

8

=

( x 2 + 1)3 4



dy dx

=

1 = dx

dy

3 1 = −2 y 2 1 −3

− y

2

2

Comprobación.

x= x2 = y=

1

y 1

y 1

x2

dy 2 =− 3 dx x Al sustituir y =

1

x2

dy

en

dx

3

= −2 y 2 , resulta:

3

 1 2 1 dy = −2   = −2 3 dx x  2  x Por lo tanto, las der ivadas son iguales. 6. x =

y2 + a 2


dx dy

=

d dy

1

1

1

d

( y 2 + a 2 )2 = ( y 2 + a 2 )− 2

dy

2

1 2

Al aplicar la fórmula para la derivación de funciones inversas resulta: 1

dy dx

=

1 = dx

dy

1 2y

( y 2 + a 2 )2

=

y

1

( y 2 + a 2 )2

Comprobación.

x=

y2 + a 2

x 2 = y2 + a 2 y = x 2 − a2 dy x = 1 dx ( 2 x − a 2 )2 1

Al sustituir y =

x 2 − a 2 en

dy dx

=

( y 2 + a 2 )2 2y

, resulta:

1

dy dx

=

( x 2 − a 2 + a 2 )2 x 2 − a2

=

1

( y 2 + a 2 ) = ( y 2 + a 2 )−2 2 y =

x x 2 − a2

Por lo tanto, las der ivadas son iguales.

12 0

y 1

( y 2 + a 2 )2


Al aplicar la formula general para la derivación de funciones

7. x = 2 y2 2 − y

inversas resulta:


y = 1− x dy

dx dy dx dy

=

d

d dy

2 y 2 2 − y =  

dx

y2

= 4y 2 − y −

2− y

 

2 y 2  2 − y + 2 y 2

=

8 y − 4 y2 − y 2 2− y

=

d dy

dx

2− y

8 y − 5 y2

=−

1 2 x

dy

Al sustituir y = 1 − x en

dx

2− y

dy

1

=

dx


1 2y− 2

, resulta:

1

=−

2 (1 − x ) − 2

=

2 x

Por lo tanto, las derivadas son iguales.

dy dx

=

2− y 1 1 = = dx 8 y − 4 y2 − 2 y2 8 y − 5 y2 dy 2− y

1

9. x =

1− y2


Comprobación.

1 dx d = = dy dy 1 − y 2

x = 2 y2 2 − y

y 3

(1 − y 2 )

x 2 = y2 + a 2

Al aplicar la fórmula para la derivación de funciones inversas

y = x 2 − a2

resulta:

dy x = 1 dx ( 2 x − a 2 )2

d dx

y=

1

Al sustituir y =

x 2 − a 2 en

1 + a2 2

) dy ( x − a = = dx x 2 − a2 2

2

dy dx

=

( y 2 + a 2 )2 2y

1 = dx dy

=

(1 − y 2 ) y

3

(1 − y 2 )

, resulta: Comprobación. 1 1 − y2

x=

x x 2 − a2

x2 =


1

1 1 − y2

= 1 − y2

x2

8. x  y2  2y  1

y = 1−


dx d 2 = ( y− + 2122 y= − ) dy dy

3

1 x

dy y

dx

1

x2 1

− 1 1 2 2 = 1 − 2  = 3 2  x x

1

x3 1−

1

x2


Al sustituir y = 1 −

1

x2

en

dy dx

=

(1 − y 2 )3 y

, resulta:

dy

1 1 = = dx dx 2y − 2 dy

dy dx

Comprobación.

x  y2  2y  1

3

=

(1 − y 2 ) y

=

3  1 1 − 1 + 2  x

1

=

1 − 12 x


12 1

x3 1 − 12 x

=

1

x 3 1 − 12 x


10. x =

a2 y a2 + y


(a 2 +y a) 2a−y 2 dx d a2 y a4 = = = 2 dy dy a 2 + y (a 2 + ) y ( ) a2 + y

2


dy dx

=

1 = dx

1 a4

=

(a 2 + y)2 a4

2

dy

(a 2 + y )

Comprobación.

x=

a2 y a2 + y

x ( a 2 + y) = a 2 y 2 0 = xa+ −xy =a2 y+ a2−x

y( x

a2 )

a2 x y=− x − a2

( x − a2 ) a 2 − a 2 x dy a4 =− = dx ( x −)a 2 2 ( ) x − a 2

Al sustituir y =

a2 x

dy

en

x − a2

dy dx

2

=

( a 2 + y) a4

=

2

2

=

( a 2 + y)

dx

, resulta:

a4

2 2 a 2 + a x   x − a 2 

a4

=

 a 2 x( a− 2 )a+ x  x − a2  a4

2

2  

=

(a 2x −a 4 a−x 2 )2 (−a 4 )2 a4 = = 2 2 ) x − a2 a 4 ( x − a2 ) a 4 ( x − )a 2 (


11. x =

y2 − a2 a2


dx d = dy dy

y2 − a2 a2

=

y a2 y2 − a2

Al aplicar la fórmula p ara la derivación de funciones inversas resulta:

dy = 1 = 1 = a2 y2 − a2 dx y dx y 2 2 2 dy a y −a

12 2

2


Comprobación.

y2 − a2

x= ax4

2

a2

= y a2 −

y= dy 1 = dx 2

dy

12. x =

=

− a2

2a 4 x

a 4 x 2 − a2

dy

a 4 x 2 − a 2 en

Al sustituir y =

dx

2

a4 x 2

a2 y2 − a2 y

=

a 24 a x

dx 2a−

=

a4x

=

a 4 x 2 − a2

a2 y2 − a2 y

a2 −

2

=

a4 x 2 − a2

, resulta:

a2 a4 x 2 a 4 x 2 − a2

=

a4 x a 4 x 2 − a2

1− 3y 3− y


dx dy

=

d

1− 3 y

dy

3− y

4

=−

y 3− (1 − 3)( )y

3


3

dy = 1 = 1 = − (1 − 3 y)(3 − y) dy 4 4 dx − 3 dx (1 − 3 y)(3 − y) Comprobación.

1− 3y

x= x2

=

3− y 1− 3y 3− y

2

(3 − y ) x = 1 − 3 y 3 x 2 − yx 2+ −3 y = 1

0

3 x 2 − y ( x 2 − 3) − 1 = 0

y= dy dx

=

3x 2 −1

x2 − 3

( x 2 − 3) 6 x − (3 x 2 − 1) 2 x ( x 2 − 3)2

=−

16 x

( x 2 − 3)2

12 3


Al sustituir y =

dy dx

3x 2 − 1

en

x2 − 3

dy dx

=−

3

(1 − 3 y)(3 − y )

=−

=−

4

y 3− (1 − 3)( ) y 4

3

, resulta:

3 2 2 1 − 3  3 x − 13 −  3 x − 1   x 2 − 3   x 2 − 3 

4

14. x =

2y + 3

y −1


dx dy

=

d  2 y + 3  ( y −) 1 (2 − )2 y + 3 5  = =−  dy  y − 1  y −1 ( y )− 1 2 ( )

2

3

1  x 2 − 3 − 9 x 2 + 3  3 x 2 − 9 − 3 x 2 + 1   = −    4  x2 − 3 x2 − 3


3 2  4 2  x  2−8  = − 1 8 x = − 14  x−28− 3 x − 3 4 ( x 2 − 3)4

dy dx

=−

dy

16 x

dx

( x 2 − 3)2

1 = dx

dy


=

−

x=

3− y

( y − 1) x− −23y = dy

d  3 + y  (3 −)y( + )3 + y 6  = =  dy  3 − y  (3 −) y 2 ( ) 3 − y

dy

resulta:

dx dx

1 = dx

1 6

=

(3 − y)2 6

y −1

=

x+3 x−2 ( x − 2) − ( x + 3) (x − ) 2

2

=−

( )

5

x−2

2

2

x +3 dy ( y − 1) Al sustituir y = x − 2 en dx = − , resulta: 5

2

dy

2y + 3

0

y=

=

5

( y − 1)2

0

xy − x− 2− y =3

2

Al aplicar la fórmula para la derivación de funciones inversas,

dy

( y − 1)2

( y − 1) x = 2 y + 3


=

=−

Comprobación.

3+ y

dx

1 5

(3 − y)

Comprobación. 2

x=

3− y

(3 − y ) x = 3 + y (3 − y) x− −3 =y

0

3 x − y ( x+ − 1) =3

0

y= dy dx

Al sustituir y =

=


15. x =

3 ( x − 1)

x +1

(x + ) 1

x +1

en

1

y2


( x + 1) 3 − 3( x − 1)

3( x − 1)

dy dx

2

6

= ( ) x +1 2

2 dx d 1 =   = − dy dy y 2  y 3

2

=

(3 − y ) 6

, resulta:


2   6 2 3( x − 1)   3 − 2  dy = (3 − y) =  x + 1  =  x + 1 =

dx

6

2

 x + 3 − 1  5    5 dy   =− x−2 =− x −2 =− ( x − 2)2 dx 5 5

3+ y

6

6

6

( x + 1)2


12 4

d 1 1 y3 y= = =− dx 2 dx 2 − 3 dy y


Comprobación.

17. x =

x=

2 y −1

y

1

y2


1

y=

1 dx d  2 y − 1 y ( 2) − (2 y − 1)  = =  = 2 dy dy  y  y2 y

x

1 dy =− dx 2

1

x3


1

Al sustituir y =

en

x

3

dy y =− =− dx 2

dy

=−

y3

dx

 1 3    x  2

, resulta:

1 1 dy 2 dx = dx = 1 = y dy y2

2

=−

1

1

2

x3

Comprobación.

x=


4

xy − 2 y = −1 y=−


dy

=

d  

4

dy

2 2  = −4 (3 y ) = − 12 y  2 2 y3 + 1 ( y)3(+) 1

dx

dy  y3 + 1


Al sustituir y =

resulta:

dy

1

=

dx

1

=

dx dy

2

=−

− 12 y 2 ( y 3 + 1)

y3 + 1 = y= dy dx

=

en

12 y 2

dy  1   =



dx  2 − x 

dy = y 2, resulta: dx

3


dx d = (+ y) ( = )2 3 + 3 y dy dy

3

dx x

2

2


−1

dy  4

1 (2 − x )2

18. x = ( y + 2)

x x

1 2− x


4 4

=

dy

4 y3 + 1

3

1 2− x

=

1

x−2

 1 2 = y 2 =    dx 2− x

( y3 + 1)2

Comprobación.

x=

y

xy = 2 y − 1

y3 + 1

dx

2 y −1

resulta: 2

2

 1  4 − 3  4  4  x 3 − 1 =  − 1 − 2  = − 2   x 3  x  x  3  4 − x 

4 Al sustituir y = 3 − x

dy 1 en = − dx

dy dx

=

1 1 = 2 dx 3 ( y + 2) dy

2

( y3 + 1) 12 y 2

Comprobación.

, resulta:

3

2  4 − 1 + 1 2 2 3 dy = − ( y + 21) = −  x  2 = 4 2  x 3   12 3 4 − dx y x x  4  12  3 − 1  x 


12 5

x = ( y + 2) 1

x3 = y + 2 y = 3 x −2 1 dy dy 3 = ( x − 2) = 3 dx dx 3 x2


Al sustituir y =

3

dy

x −2e n

=

dx

1 2

3( y + 2)

, resulta:

20. x  y5 Al derivar con respecto a y se tiene:

dy dx

=

1 2

3 ( y + 2)

=

1 2

3( 3 x − 2 + 2)

=

1

dx

33 x 2

dy

=

d dy

y5 = 5 y 4



1 1 d dx y = dx = 5 y 4 dy

19. x  y2

Comprobación.


x = y5 dx d 2 = y = 2y dy dy

1

y = x5 1 dy dy 15 = x = 4 dx dx 5x 5


dy

1

Al sustituir y = x 5 en

dx

1 1 y= − dx 2 y dy dy

dy dx

Comprobación.

=

1 5 y4

1 4

1 5( x 5 )

1 5 y4

, resulta:

1

=

4

5x 5


IV. Deriva las siguien tes funciones de valor absoluto.

x = y2 y= dy dx

=

1. y  x

x dy

x=

dx

1

d

2 x

dx

Al sustituir y =

=

=

dx

x en

dy dx

=

1 2y

x =

x dx x dx

=

x x

Entonces,

, resulta:

x x dy 1 = dx 2 x

dy dx dy

Por lo tanto, las der ivadas son iguales.

dx

12 6

 1, x > 0   −1, x < 0 

= 1; para x > 0 = −1; para x < 0


2. y  x2  2x  4

d dx

x 2 − 2x + 4 =

x2 − 2x + 4 d x 2 − 2 x + 4 dx

( x 2 − 2 x + 4) =

x 2 − 2x + 4 x2 − 2x + 4

(2 x − 2)

Entonces,

 1, x 2 − 2 x+ 4 > 0  2 2 + <4  −1, x− 0 x 

x2 − 2x + 4 x2 − 2x + 4 dy dx dy dx

3. y =

d dx

2;p ara−x 2+> 2 x 4

0

2 < 2;x para−x + 2 x 4

0

= 2− x =−2

x

x =

x d ( x)= x dx

x 1 x 2 x

Entonces,

 1,   −1, 

x x dy dx dy dx

4. y =

=

1 2 x

=−

; para

1 2 x

x <0 x >0

; para

x <0

x2 1− x 2

x2 d

x >0

x2

dx 1 − x 2

x2

2 2 2 d  x2   = 1 − x 2 (1 − x )(2 x ) − x (−2 x) = 1 −2x  dx 1 − x 2  x x2 (1 − x 2 )2 1− x 2 1− x 2

x2 2 = 1 −2x

x

2x

(1 − x 2 )2

1− x 2 Entonces,

 x2  1, >0  1− x2  2  x  −1, <0 1− x2 

x2 1− x2 x2 1− x2

dy 2x x2 dx = (1 − x 2 )2 ; para 1 − x 2 > 0 dy dx

=−

2x

(1 − x 2 )2

; para

x2 1− x2

<0

12 7


5. y  x2  x

d dx

dy 2

dx

2

x −x d ( 2 x −x (2 x − 1) x − x) = 2 x 2 − x dx x −x

x2 − x =

dy dx

= =

−2 a a+x 2a

a+x

; para ; para

a−x a+ x a−x a+ x

>0 <0

Entonces, 9. y =

 x2 − x   x2 dy

1, x 2 − x > 0  − x  −1, x 2 − x < 0  ) ara 1;p −>x 2

= (2−x

dx dy

3− x

9 − 2x d 9 − 2x d  9 − 2 x   = 3− x = 9 − 2 x dx  3 − x  dx 3 − x 3− x

x 0

= −(2− x 1); para−x<2

dx

9 − 2x

x 0

9 − 2x 3 3− x 9 − 2 x (3 − x )2 3− x

Entonces, 1− x 2

6. y =

d dx

1−

x2

1−

=

x2

d

1 − x 2 dx

( 1− x 2 ) =

1− x2 1− x2

−

 9 − 2x   1,  3− x   9 − 2x   −1, 3− x  

x 1− x2



dy Entonces,

dx 1− x2 1− x2

dy dx dy dx 7. y

x

=− =

  1, 1   −1, 1 

x 1− x2

x 1− x2

dy

− x 2 0>

dx

− x 2 0< 10. y =

; para 1 − x 2 >0

=

3 (3 − x ) 2

=−

3− x 9 − 2x 3− x

; para

3 (3 − x ) 2

>0 <0

9 − 2x 3− x

; para

3− x

a

d  a    = x − a  = x a dx  x  a  x 2  dx x d a

x

3

x

   d dx

x −3 =

x −3 d x − 3 dx

( x − 3) =

Entonces,

x −3 x −3

a x a x

Entonces,

 1, x −3 >0 x −3    x −3   −1, x −3 <0 dy dx dy dx 8. y =

dy

= 1; para x −3 > 0

dx dy

= −1; para − x <3

dx

0 11. y =

a−x

  1,     −1,  =− =

a x2

a x2

a x a x

>0 <0

; para

; para

a x

x 2

a+ x a−x

d a−x dx a + x

x d x d  x   = = 2 x dx  2  dx 2 2

a−x

d  a − x  a + x −2 a = a+x = a − x dx  a + x  a−x a+ x a+ x a+ x

x 2  x   x  2  2

Entonces, Entonces,

a−x a+ x a− x a+x

  1,     −1, 

a− x a+x a− x a+x

 x   1, x > 0 2    x  −1, < 0 2  2

>0

2 x

<0



12 8

>0

9 − 2x

a x a

; para 1 − x 2 <0

9 − 2x

a x

>0

<0

<0


dy dx dy dx

x

x

2

2

= ; para x

x

2

2

= − ; para

Entonces,

>0 <0

 1, x −2 >0 x+2    −1, x −2 <0 x+2  

12. y = x 2 + 3

dy dx

2 d 2 x2 + 3 d 2 ( x + 3) = x + 3 (2 x ) x +3 = 2 dx x + 3 dx x2 + 3

dy dx

=

( x +)2( − )x + 2 = 0; para x > 0 ( x + 2)2

=

()− (1 )− ( x+) 2 − ( ) 1+ x ( x + 2)2

2

= 0; para x < 0

dy Entonces,

dx = 0

 1, x 2 +3 >0 x2 + 3    

x2 + 3   −1, x 2 +3 <0 dy dx dy dx

15. y =

= 2 x; para x 2 +3 >0 = −2 x; para x+2< 3

1− x2 1 + x2

0 1− x 2

13. y  x x

d d −x = − 1 ( x − x= ) dx dx

x x

d

1− x2

dx

1+ x2





2 1 − x 2 dx  1 + x 

1+ x

1

2

1− x 2  1 + x 2 

=

Entonces,

d  1 − x 2 

1+ x2

=

−

 1 − x 2 

 2x   (1 − x 2 )(1 + x 2 )3 

1+ x2

 1, x > 0 x   x   −1, x < 0 

Entonces,

dy dx = 0; para x > 0 dy dx 14. y =

1− x2

= −2; para x < 0

1 + x2 1− x 2

x+2

1+ x2

x+2

d x+2 dx x + 2

( x + 2)

= ( x + 2)

=

d + x −2+ dx ( x + 2)2

dy x

2

dx dy

x+2 − x+2 x+2

dx

2

( x + 2)

12 9

  1,    −1,  

>0

1− x 2 1+ x2

2x

=−

(1 − x)( 2

=

1− x2 1+ x2

1 +) x

2 3

2x

(1 − x)( 2

1 +) x

2 3

<0

; para

; para

1− x2 1+ x2 1− x2 1+ x2

>0

<0


EJERCICIO 14 dy

I. Encuentra

para las siguientes funciones implícitas.

dx

1. y5  3y3  9y  9x  27

d dx

d

d

dx

dx

( y)5 + 3( ) +y 39 − 9 ( y=) 5 y4

dy dx

d 27 ( x) dx

d dx

(

)

dy dy 9+ y 2 9+ − 90 = dx dx dy = dx y5

9

2+ y9 2

+9

xy + 3 x

2. y =

d

1

dx 1

( xy)− 2  x

dy

( xy)2 +

+y

 dx

x dy

dx 

1

+ x

dx  y

+

y dx

d dx

−2

3

3

1

+ x

x

1

x3 =

−2

3

3

= =

dy dx dy dx dy dx y

dy dx

=

x

1

+ x

−2

3

3

x 1− y

3. x2  4py

d ( x 2 ) = 4 p dy dx dx 2x = 4 p

dy dx

=

dy dx

x 2p

4. y2  x2  r2

d dx 2y

y2 + dy dx

d dx

+ 2x

x2 = dx dx dy dx

d dx

r2

=0 =−

x y

5. ax2  by2  a2b2

a

d

d y =22 (a b ) dx dy 2 ax + 2by =0 dx

dx

x2 + b

d2

dx

dy dx

=−

ax by

13 0


6. x − xy + y = 1

dx dx

−

d

xy +

dx

dy dx

=

d dx

(1)

1  dy dx  dy =0  x + y  + dx  dx 2 xy  dx

1−

1−

1

x dy

1

2

y dx

2

−+

y

dy

x

dx

=

dy  1 1 − dx  2

0

x 

1

y

y 

2

x

1

y

=

−1

−1 =2 x 2 x 1 x 1− y

1

y

2

3

2

2

3

7. x  2x y  3xy  y  3

d dx

 

x 3 −22  x

dy dx

2 + y

 d d ( 22) dx  d d x  + 3 x3 y + y  − y = ( 3)  dx  dx  dx dx

dx

dy dy 2 3x 22 − x 4− 6+ xy3+322xy − 0 =y dx dx dy dx

(6 xy 2−3−x 2

dy

y 2

dx

) 4= y3− dy dx

8.

2x3



7x2y



y3



32xy −2

=

x

y

4 xy − 3 x 2 − 3 y2 6 xy − 2 x 2 − 3 y2

a3

d ( 3) 2d 3 3d 2 dx x + 7 dx ( x y) +(dx ) y

d

= dx a

 d dy  dy 67x 2 +  y 2 2 x +32x 0  + y =  dx dx  dx 6 x 2 14 7 + + xy

+ x32

dy dx

=0 y 2

dy dx dy dx

=−

6 x 2 + 14 xy 7 x 2 + 3 y2

9. 2x4  8x3y  2y4  40 2

d dx

 dy3 d4 x84 +3  x  dx + y2dx 4x dy 2 8 x 3 8+3+x +24 =8 dx

3

 d d  + 0 y =  dx dx

x y 0 y

dy dx dy dx

=−

8 x 3 + 24 x 2 y 8 x 3 + 8 y3

=−

x 3 + 3x 2 y x 3 + y3

10. ax3  3a2xy  ay3  c

a d x 3 − 3a 2  x dy + y dx  + a d y 3 = d c  dx dx dx  dx dx dy 3ax 23−2 a x 3−2 23+ a0y= ay dx dy dx

=

3a 2y −ay 3

2 −ax3 −3a 2 x

2

=−

13 1

ay − y

2

− x

3ax

2


11.

y x

x

−

y

=a d

y

dx

x

−

d

x

dx

y

d

=

dx

a

 dy   dx dy   x − y dx   y − x  1 x  dx dx  − 1 y  dx dx  = 0     2 y  x2 y2  2 x        dy   dy  x − y  y − x  x  dx y   dx  y  x 2  − x  y 2  = 0 



 x  dy y  dy   x − y − x 2  y − x  = 0  y  dx x  dx 

y2

x dy3

y2 x





y dx

x3

− y2 −

y

dy

y3x

dx

y

+ x y

−5 y−x3

=x

x

+5x y

y dy

0

x dx dy

= x y

0

dx dy

12. y 2 =

y 5 x + x 3 y3

=

dx

y 3x 3 + x 5 y

y + 2x y − 2x d dx

y2 =

d  y + 2 x 





dx  y − 2 x 

 dy   dy  ( y − 2 x ) 2 + 2−2( y + x ) −  2 y dy = dx 2 y( y2)− x 2 dy 2 y ( y2 − x) −2−( y dx

dy

2

dy

dy

dx

dx

dy

2( )+x+

)2=y2 2− ( x2+) (+ )y

dx

dx dx

+ y = 1 y

d

2 + 3y

dx

+

x 2 2 + 3y

2 + 3y +

3x

2

 dx

=

x

y

 x

dy dx

y

x

x

4y 2

2 y(2y)− (x )− 2 (−)y 2+ x+

y(

4y

=

x ) 4 x + 2 y −2 x + y

y

dx dx



(y − 2 x)

=2−2( y ) (+ 2)x − 2 −2+(y () 2)x+ +y

dy

2 + 3y 13. x +

 dx

3

dy dx dy

2 2 + 3y dx

x 2 + 3+ y

+ 1+ y + 1+ y

dy dx dy dx

+ +

d dx

d

y+ = 1 y y

dy

2 1 + y dx

y

dy

2 1 + y dx

dx

= =

y

dy dx dy dx

dy = dx 1 − dy dx

=−

13 2

2 + 3y 3x 2 2 + 3y

− 1+ y −

y 2 1+ y

21 +2 y ( 3 + y) 3x 1 + y+ + 2 3 2 + 3y ( − 21 + y

y)

2


14. x2 y3  y4  x4

d dx x2

d3 dx

d3

y3 +2y

dx

dy

x =34 y

dx

− 4x

dy 3 3 dy 2+ 4xy =43 y − x dx dx

x 223 y x 223 y

d d x32 y = 4 y 4− x dx dx

dy3 dy 3 4− y 34=2− −x dx dx

xy

−4 x 3 − 2 xy3 dx = x 2 3 y 2 − 4 y 3 dy

dy

=−

dx

2 x (2 x 2 + y 3 ) (3x 2 − 4 y) y2

+ y 2 x=

15. xy

d

d

xy +

dx

dx

2y =

d

x

dx

 1  dy dy 1  x + y + 2 =  dx 2 x 2 xy  dx x

dy

2 xy dx

+

y 2 xy

+2

dy dx

=

1 2 x 1

dy dx

=

2

−

y 2 y

x 2 y

dy dx 16.

1

y

+

1

x

d 1 dx y

−

=

+2

y−y x+4 y

=1

+

1 dy

y 2 dx

d 1 dx x

−

1

x2 dy dx

=

d dx

(1)

=0 =−

y2 x2

17. x  y2  x  y2  x3  y3

d dx



2

d

2

( x +) y − ( − ) x= y + dx



dy 2( x + ) 1y  +2 (1 )−  dx  dy 2 ( x) + 2y+( )+ x 2 (− y ) −2 + − x dx

 

x −3y 3 − 3y 3 = + (x

d dx

x3

d dx

dy 

 = x 2 + y2

dx 

y)

dy

x2

dx

y2

2( x + ) y (dy 2 +) − x 3−y dy3 2=2 y 2+ (dy) (− − ) x2 + dx dx dx

dy dx dy dx

= =

x

y3

dy dx dy dx y

x

2 3x+ 2− ( x −)y (+ 2 )x

2 ( x +)y+( 2)−x −y 3x 2 − 4 y 4 x − 3 y2

13 3

y y 3 y2

=

3x 2 − 4 y 4 x − 3 y2


y x c= 18. x y − d

x y−

dx x x

d dx

2 y dx

y x=

d

y + −y dy

1

d dx

dy

y − x= x dx dx

+ −y

y− = x dx 2 x dy

1

x

2 y dx

− x

dy dx dy dx

dy dx

c

0

dy

1

d dx

0

=y

1

− y

2 x 1

y

2 x 1

= x

− y − x

2 y

y ( y − 2 xy )

=

x ( x − 2 xy )

19. x3 y3  3xy2  y2  2xy  6

d dx

d dy 2y− = x dx dx

y

dy dy dy 3x 2 6+ xy 3+ 2+ y 2 2− y 2 −0 = x dx dx dx

y

x 3 + 3x

d2 dx

y+ 32 +2 y − 2

dy

dy 6 xy 2+ y2− dx dx

dy

xy2 +

=

x2

y2

2 y − 3x 2

− 3 y2

6 xy + 2 y − 2 x

−y 2 = 0 d

dy d xy + 2 x +2− y 2=0 dx dx

dx

 1  dy dy  x + y + 2 x +− 2 y  dx 2 xy  dx x

( 6)

dy 2 x=3 −3 −y dx dx

20. xy

d dx

dy

2 xy dx

+

y

dy

2 xy

dx

+ + 2x− x

dy

2 xy dx

1

=

2 2y

y 2

0

dx dy

1

2 y=

dy

0

2 y dx

dy

1

dx

2 y dx

+ 2x −

dy

= − − 2y

dy dx

−2 y − =

x 2 xy

dy dx

y 2 xy

=−

y 2 xy

+ 2x −

d

x2

dy dx

x2 y −

+ 2 xy −2

d2 dx

d d xy + 2 +2 x = y dx dx

dy

xy− + 2+ y220 dx

=x

y

2y

y ( 4 xy + xy ) x (− 2 y + 4 xy + xy )

21. x2y  xy2  x2  y2  0

dx

1

0

dy dx

13 4


dy

x2

dx

dy

dy

= y −2 2− y2

− 2 xy +2 dx

xy

dx

dy dx

=

II. Encuentra la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto indicado.

x

y 2 − 2 xy − 2 x

1. x2  y2  4; P2,0 

x 2 − 2 xy + 2 y

d

22. y3  3x2y  x2  xy2  3

d dx

d

y3 + 3

d x+2 y − =x 22 dx

dx

d

xy(3)

dx

dy dy 3y 2 3+ x 2 6+ 2 +2xy− 2 x0− =x dx dx dx dy dy 3y 3+ 2 x2 − 2 dx dx

2x + 2y

dx

y x= − − y dx dy dx

=

2x

d

x3 +

d3 dx

d dx

x3 y =

=0 =−

x y

6 xy

2 y − 2 x − 6 xy

dy

3y 2 + 3x 2 − 2 x

dx

dy dx

− x2

d

a

dx

x+

2.

d

dy dy 3x32 + y2 − − 2x 20 = dx dx

xy dy dx dy dx

2

4

1

= 2 xy − 3 x 2 =

2 xy − 3 x

2 x

d

+

y=

dx

dy

1

2 y dx

2

dy

3y 2 − x 2

dx

d dx

2

+ y + 6y

dy dy 2 xy 6+ y 22 +1 dx dx

2

dy dx

= (1 − 2)

dy

=−

dx

dx

3.

dx

d

x2 =



( y 2 +) a 2 y( dy )− dx

2x = 2

dy dx dy dx

y2 − a 2 y

dy dx

( a)−2 y−dy dx

36

dx = −

9 =− 2

y2

2 x ( y2 + a) ( y 2 +) a (2 y −) y 2 − a

) dy dx

1

x dy

2

y dx

+

1

y

2

x

1

x dy

2

y dx

+2 +2

dy dx dy dx

dx a 2y

=

dx dx

=1 = 1−

1

y

2

x

1−

=

1 2

dy

y y 2− x = x x +2 4+ y y

1 2 x

dx En el punto dado resulta:

2y

2

=

dy

dy

2

( y 2 + a)

2

=

x

=−

 dy  dy  x + y + 2 = 1  dx 2 xy  dx

dx  y 2 + a 

) + y2 2 x ( y)2 + a(=

y

2 x

1

2 xy + 6 y 2 + 2

d  y 2 − a 



xy + 2

dx

y2 − a

d

( 4,1

x y + y2 x=P;

1 − y2

=

y2 + a

dx

2 y

dy

y2

=− dy

25. x 2 =

( 9)

=0

d d 3 d d 2 dx xy + 2 dx y = dx x − 2 dx y dx

0

En el punto dado resulta:

24. xy  2y  x  2y

2 xy

2

P (9,36 )

y = 9;

x+

dx

3

dy

=−

Lo que implica que la recta tangente es paralela al eje y.

y 2−

3y 2

dx

En el punto dado resulta;

23. x3  y3  x2y  a3

dx

dy dx dx

dy

d

y2 =

dx

dy

dy

2

d

d

x2 +

dx

x ( a + y2 )

dy

2 ay

dx

13 5

2−

= 4+

1 4 =1 4 4 1


2

2

P (8,1)

4. x 3 + y 3 = 5; 2

d

x3 +

dx 2

+

33 x 1 3

x

d dx

2

y3 = dy

2

3 3 y dx

+

1 dy 3

y dx

d dx

(5 )

=0 =0

dy

y

3

dx = − x En el punto dado resulta:

dy dx 5. x  y2x  xy  4;

1

1

8

2

= −3 = −

P2,1  d dx

( x) − y2

d

( )x

+( (+x +)xy

dx

( x − y2 )( x + xy) = −xy=

d dx

x

y2

d dx

(4 )

0

  dy  dy  ( x − y2 )1 + y + x dx  + ( x2+1 xy0) − y dx  =

( x −) y2+

dy x + x +y2 − +( x dx

− y ( x+( y)2−)

)xy=(

x ( x) − y2

2 y) x

xy

dy dx

dy

dy

dx

dx

0

− 2+ y ( x ) xy = − ( + )(+ () x− xy

x

y2 + y x − y2

2 3 dy = − 2 x 2+ 2 xy −2 y − y dx x − 3 xy − 2 xy


dy dx dy dx 6.

2

=−

2 (2) −3(2)(1)

d

3x +

3 2 3x

+

=−

2

2− 2( 1 )( )

6

−6

=1

=1 3,2 P(

2y + 3 x = 5;

dx

3

22 22(1)( )1 (− ()+ ) 1 ( )−

d dx 2

)

d 2 y =(5) dx dy

2 2 y dx

dy dx

=0

=−

3 2y

3

2y

2 3x

2

3x

=−


dy dx

=−

3

4

2

9

=− 1

13 6


7. x2y  xy2  12;

d

x2 y +

dx x2

dy dx

10. x5  y3x  x2y  y5  4;

P3,1 d dx

dy 2 xy+ = y 2 dx

+ 2 xy + x

dy

2

dx

d

xy2 =

dx

2 xy (+

dx

dy

8. x2  y2  3;

d dx

x2 −

d dx

=−

y

2

x 2 + 2 xy

2x − 2y 2y

dy dx dy dx dy dx

d dx

=−

1(6 + 1) 3( 3 + 2)

=−

6 y2

d

y

(5 x

dx

=−

7

dy

18

dx

dx

x 3 y2 − 2

d

=−

2x 3y

( 5 + 1 + 2) 3 +1+ 5

d dx

0 =y

9

dy

dy 2 dy 2 2 3+ y 23 = − x y dx dx dy dx

=

2 − 3x 2 y 2 2 x 3 y + 3 y2


=

2 1

dy

=2

dx

P1,1 

x 2(7) =

d 2

dx

dy 4+ x 4+2 +0 y= x dx dx dy dy 6 y 2 4+ x 4 =2− (+y dx dx dy dx

=−

d dx

x 3y −

d dx

2=

2

2 −3 2( ) (5 ) 3 2 (2) 5 + 3( )5

2

=−

x)

( 4 y + 2 x) 6 y2 + 4 x

P2,1

d dx

x4 − 2

d dx

y4

2x3

=−

x + 2y 2 x + 3 y2

dy 3 dy 8+ y 4 36=2 x − x y dx dx dy dx

=

4 x 3 − 6 x2 y 2 x 3 + 8 y3

=

x 2 (2 x − 3 y) x 3 + 4 y3

En el punto dado resulta: 1+ 2 2+ 3

=−

298 155

dy dy 6 x 2 y2+3 x 4 38=3 x − y dx dx


=−

2

=

12. 2x3y  2  x4  2y4;

dy

dx

8

dx

y

dy

=−

1

dy

2

dx

13 7

=

4(4 − 3) 8+4

=

1 3

xy)

y 4

+ y + 2 xy) 3

3xy2 + x 2 + 5 y4

d y 3 = (321) dx

x

d

=−

P2,5

x+

dx

dy 3x2 2 y 32+ x y23−+2 dx

dx

dx

dy

d

xy +

(4 )

dy

y (2 x + y)

= 2x

dx

dx

x ( x + 2 y)

3

9. 2y3  4xy  x2  7;

y 34+

=xy

11. x3y2  2x  y3  321;

dy

d

dy 2 5x + 0 xy+ + dx dx 4

d

y


dx

dx

d dx

+5x y=

( +x


2

d

dx

4dy 3− 5y = 2 + dx

=0

=

y+x2

dy

)

( 2 xy + y2 )

3d

dx

dy 3xy2 + x 5 4+ dx dx

P2,1

y2 =

2

x5 +

dy 2


dx

2

5x + + y

0

+ 2 xy = − dy

dx 34 3

dy

dx

d (12)

P1,1 


13. 2x  y  x2y  3y2x  5; 2

d dx


P3,1

d d 2 d 2 x − −y+ x 3y = y(5) x dx dx dx

dy 2− − dx

dy 2 dy 2+6 xy3+0 xy x− = dx dx dy

dy

dx

dy dx

y2

6=xy − 2 − 3xy 2 dx

dy dx

2 xy − 3 y2 − 2

=

−1 −

x2

+ 6 xy

=

2 − 2 xy + 3 y2 1+

x2

14. 2 y 2 x =

d

4 yx

4 yx

4 yx

4 yx

dx

−

dx

dy dx dy dx dy dx

1 +9 − 18

y2 x =

d dx

1

=

8

− 6 xy

a) 2y2  xy  x2  16;

=

dx2

2

x x 2 + 23 y x x + 3y x

dy dx

dy dx

=

+

+ 2

3 y2

4 yx −

dx

=

dy

− x − +y= 2 x

0

dx

dy

dy

−x

dx

= y − 2x

dx

=

3y

dy

=

dx dy

x + 3 y dx

y − 2x 4y − x

3− 4 12 − 2

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 3= −

3y

(

Para determinar la ecuación de la recta normal, se utiliza la pendiente recíproca con signo contrario,

)

1 (−x m

x1 )

y − 3 =10 ( x − 2 )

15

y − 3 =1 0 x −20

29

−10 x+ +y =17 0 15. x3  y3  5xy  3;

d dx

x3 −

d dx

y3 = 5

P2,1 d

dx

xy −

d dx

b) x2  2x  4y  4; d

3

dx

dy 2 2 dy 3x 3− y 5dx =5 x dx + y 3x 2 5− 5y = 3x

dy dx

=

dy dx

+ y2

2)

0 x + 10 y −32 =

y − y1= −

=−

1( −x 10

10 y − 30 = − x+2

x 2 + 3 y2

)

1 10

se tiene:

− 2 y2

2 −8 4 + 12

=−

Para determinar la ecuación de la recta tangente en el punto

2

y −3 + 4 x x 2 + 3 y 2

2 (−3 +8 4 12 +

d x 2 = (16) dx

Al sustituir el valor del punto dado, resulta:


dy

d dx

dy

x − 2 y2 x 2 + 3 y2

=

dx

xy +

dx

2

− 2y

2

x2

7 13

P2,3 

d x 2 3+ y2 + (12) dx

1  x + 3 y dy  dx  x 2 + 3 y2 

x + 3y

dy

d dx

4y

+ 2 y2 =

dy

y2 −

)

1 2 x + 6 y dy   dx  2 x 2 + 3 y2 

+ 2 y2 =

d dx 4y

+ 2 y2 =

3y 2

2−6+ 3

2, 2P(

x 2 +3 y212; +

2

dy

=

=

1. Encuentra las ecuaciones de la tangente y la normal a las curvas siguientes en el punto dado.

2

dx

12 − 5 10 + 3

y2


dy

=

III. Resuelve los siguientes problemas generales aplicando la derivación de funciones implícitas.

dy

x 2+ dx

− −

d dx

x2 + 2

d dx

− x4

P2,1

d

d (4) dx

=− y

dx

dy 2 x2+ 4 − 0 = dx dy 2x + 2 = 4

dx

3x 2 − 5 y

dy

5 x + 3 y2

dx

13 8

=

x 2

dy dx

+

1 2


Al sustituir el valor del punto dado resulta:

dy dx

−2

=

2

+

1 2

=−

d) x2  xy  2  0;

1

d

2

dx

x2 +


d dx

xy +

2x + x

se tiene:

P2,3 d dx

dy

+y=0

dx

dy

y − y1 = m ( x − x1 ) y − 1= −

1 2

2=0

dx

=−

2x − y

x


x 2) (+

dy −4 − 3 7 dx = − −2 = − 2

y − 1= − 1 − x 1 2 Para determinar la ecuación de la recta normal, se utiliza la


pendiente recíproca con signo contrario,

se tiene:

1

y − y1= −

− (x

m

y − y1 = m ( x − x1 )

x1 )

7

y − 3= −

2

y − 1 = 2 ( x + 2) y −1 = 2x + 4

−2 x+ − y =5

y − 3= −

0

7

− x+ + y =7 c) y2  4x2  9; d dx

y2 − 4 2y

dy dx

d


− 8x = 0

dx

dx

=

y− 3=

8

2

5

7

Para determinar la ecuación de la recta tangente en el punto se tiene:

y−5 = 9

5

5

− x+ −y =

5

x−

25 7

2 7

6x + 2y

dy dx dy

5

dx

dy dx

y−5 = 5

− x+ − y =5 4

4 5 4

4 7

P2,1 

=0 =−

3x

y



y−5 =

x+

d

Para determinar la ecuación de la recta normal, se utiliza la

5

x1 )

=0

e) 3x2  2y2  10;

16

0

y − y1= −

− (x

d 3 2x 2 − y 210 = dx dx dx

8 y − 5 = ( x − 2) 5

8

x + y−

d

y − y1 = m ( x − x1)

8

m

2 y − 3 = ( x + 2) 7

y


dy

1

y − y1= −

4x

=

− x 7

Para determinar la ecuación de la recta normal, se utiliza la

d x 2 = (9) dx

dy

2

(+ x 2)

0

2

P2,5 

dx

7

1

m

= −6


− (x

x1)

se tiene:

y − y1 = m ( x − x1)

( x − 2) x−

y − 1= − 6 (+ x 2)

5

y − 1= −6 1x− 2

2

−6 x+ + y 11= 0

0

13 9


Para determinar la ecuación de la recta normal, se utiliza la pendiente recíproca con signo contrario,

horizontal y vertical.

a) x2  4xy  16y2  27

1

y − y1= −

− (x

m

x1 )

d dx

1

y − 5 = ( x − 2) 6 y−5 = 1

14

− x+ −y = 6 2

x2 +

d dx

2x + 2y

dx dy dx

dy

d dx

3

dy

d dx

2x + 4 y 4 x + 32 y

=−

x + 2y 2 x + 16 y

=m

Entonces, x  2y, de tal forma:

(9)

2 4 y 2 −82 y+16 =y212=

=0 y=±

=−

x y

=−

27 y 27

3

12

2

=±

Al sustituir,

x  3 Por lo tanto, los puntos en los que las tangentes son horizon-

2

 

tales son P −3,

5

se tiene:

 3  3  y Q  3, − .  2  2

Para que la tangente a la curva sea vertical es necesario que el denominador sea cero. Así, 2x  16y  0

y − y1 = m ( x − x1 ) 2

y − 5= −

x + y−

9 5 5

x  8y

(x −

5 2

y − 5= −

5

=−

x  2y  0


2

d y 2 =27 dx

dx


dx

xy 16 +

Para que la tangente a la curva sea horizontal es necesario que el numerador sea cero. Así,

y2 = dy

d dx

0

P (2, 5 )

f ) x + y = 9;

dx

6

x2 + 4

dy dy 2x + 4 x +4 +32y = 0y dx dx

1

x−

3

2

d

1

2. Encuentra en qué puntos de las siguientes curvas la tangente es

+x

5

2)

Al sustituir en la curva resulta:

4

2 32 64 y 2 − 16 2y 48 + y= 2=

5

y=±

=0

y27

27 48

Al sustituir, se tiene: Para determinar la ecuación de la recta normal, se utiliza la

x  ±6


Por lo tanto, lospuntos en los que las tangentes sonverticales 1

y − y1= − y−5 = y−5 =

−

5 2

+ x −y = 2 5

m 5 2 5 2

− (x

   27   y S  6,− 27 . son R −6,   48  48  

x1)

( x − 2)

b) x2  4y2  4 d

x− 5

dx

x2 + 4

d dx

2x + 8y

0

d y 2 = (4) dx dy dx dy dx

14 0

=0 =−

x 4y


Para que la tangente a la curva sea horizontal es necesario


que el numerador sea cero. Así,

2x2 = 5

x0

x=±

Al sustituir en la curva se tiene:

5 2

Por lo tanto los puntos en los que las tangentes son verticales

y  ±1 Por lo tanto, los puntos en los que las tangentes son horizontales son P 0, 1  y Q 0, 1

 5   5   son R  , 0  y S −  2 , 0 .  2  d) 2x3  2y3  9xy  0

Para que la tangente a la curva sea vertical es necesario que el denominador sea cero. Así,

d d 3 d 2 2 9x03 + y − xy = dx dx dx dy dy 6 x 2 6+ y2 9−9− y0= x dx dx

4y  0

y0

dy dx

Al sustituir en la curva:

=

9 y − 6 x2 6 y2 − 9 x

=

3y − 2 x 2 2 y 2 − 3x


x2  4

que el numerador sea cero entonces. Así,

x  ±2

3y − 2 x 2 = 0

Por lo tanto, lospuntos en los que las tangentes sonverticales

y=

son R 2, 0  y S2, 0 

2 3

x2

Al sustituir en la curva se tiene:

c) 2x2  3y2  5

3

2

d dx

x2 + 3

d dx

4x + 6y

y2 = dy dx dy dx

d dx

2  2 2 x 3 + 2  x 2  − 9 x x2 = 0  3  3

5

−4 x 3 +

=0 =−

16 x 6

=0

27

 16  x 3  x 3 − 4  = 0  27 

2x 3y


x=0 y x=

3

que el numerador sea cero. Así,

4 = 16

3

27 4

27 Por lo tanto, los puntos en los que las tangentes son horizon-

x0

tales son P 0,0  y Q1.89,2.38  Al sustituir en la curva se tiene:

y=±


5

2 y 2 − 3x = 0

3

x=

Por lo tanto, los puntos en los que las tangentes son horizon-



tales son P 0, 



5 

   y Q  0, − 5 .  3  

2 3

y2


 3 

3

Para que la tangente a la curva sea vertical es necesario que

2  2  2 y 3 + 2  y 2  − 9  y 2  y = 0  3   3  −4 y 3 + 16 y 6 = 0

el denominador sea cero.

27

y0

 

y 3 −4 +

14 1

16 y 3 

= 0

 27 


y=0 y y=

3

4 = 16

3

27

Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtiene el punto de

4

intersección entre las dos curvas:

27 4x  y2

(1)

Por lo tanto, lospuntos en los que las tangentes sonverticales son R0,0  y S2.38,1.89 

2

2x  5y  12

e) 16x4  y4  32 d

Al elevar al cuadrado a (1), multiplicar por resultado a (2) se tiene:

d

d 16 x4 + y 4 = (32) dx dx dx

2x2 + 5 − y2 64 x 3 + 4 y 3 dy0 = dx

dy dx

(2)

=−

y

2 − = x12

1 8

y al restar el

4

8 64 x 3

16 x 3

4 y3

y3

=−

y4 8

Para que la tangente a la curva sea horizontal es necesario que el numerador sea cero. Así,

+ 5 y −12 0=

Entonces, y  4 y y  2. Al sustituir los valores en alguna de las ecuaciones se tiene:

x=0 Para y  4

Para y  2

Al sustituir en la curva se tiene: 2

22  4x

4  4x y 4 = 32 x4

y = 4 32 Por lo tanto, el punto en que la tangente es horizontal es

(

)

P 0, 4 32 .

x1

Por lo tanto, las curvas se intersectan enlos puntos P4,4 y

Q1,2 Las pendientes para P, son:


y=0

4x m2 = − 5

4 m1 = 2 y

m1 =

Al sustituir en la curva,

1

m2 = −

2

16 5

Para determinar el ángulo de intersección, se emplea la si-

16 x 4 =32

guiente fórmula:

4

x= 2 Por lo tanto, e l punto en que la tangente es vertical es R

( 4 2, 0 ).

tan θ =

3. Encuentra el ángulo de intersección entre los siguientes pares de curvas:

a) y2  4x; 2x2  5y = 12 y2 2y

dy dx

1 + m1m2

− =

16 5

−

1 2

 16  1  1 + −    5  2 

 37  ′ ′′  6  = 80°47 3

θ = arctan

Las pendientes para Q, son: 2

= 4x

2 x +5 1y =2

=4

4x + 5

dy = 4 = m 1 dx 2 y

m2 − m1

dy dx

m1 =

=0

4

−4

m1 = −1

dy = − 4 x = m 2 dx 5

14 2

m2 = − m=2 −

4x 5 4 5

=

37 6


Para determina r el ángulo de intersecció n, se emplea la siguiente fórmula:

siguiente fórmula: 4

tan θ =

− +1

m2 − m1

=

1 + m1m2

5

=

   5 

4 1 + (−1)− 

tan θ =

1 9

m1 =

dy dx

=

2x − 4 2y

2x + 2y

dx

dy dx dy

= m1

dx

0.4866 + 1.27

2x − 4

m2 = −

2y

x tan θ =

y

m2 − m1 1 + m1m2

=

−0.4866 −1.27 )( −0.4866 ) 1 + (1.27

)° θ = arctan−( 4.632 =− θ = 102°16 ′9 ′′

x2  y2  8

(2)

x= − 82 −4 x

= −4.598

′ ′′ 6 20 24

c) y2  x3; 2x2  3y2  5 y2 = x 3 2y

Al restar las ecuaciones se obtiene: 2 2 x2 + − y

y

m2 = − −1.236 = −0.4866 −2.54

siguiente fórmula:

=−

intersección entre las dos curvas: (1)

x

Para determinar el ángulo de intersección , se emplea la

=0

Al resolver el sistema ecuaciones, se obtiene el punto de

x2  4 x  y2

= 4.598

)( 0.4866 ) 1 + (−1.27

m1 = 2 (−1.236 ) −4 = 1.27 2 (−2.54 )

x 2 + y2 = 8

dy

=

Las pendientes para Q, son:

b) x2  4x  y2; x2  y2  8 x 2 = 4 x + y2

m2 − m1 1 + m1m2

θ = arctan (4.5982 ) = 77 °43 ′50 ′′

1 θ = arctan  = 6°20 ′24 ′′  9 

2x = 4 + 2y


dy dx dy

y

dx

2 x 2 + 3 y2 = 5

= 3x 2 =

4 x + 6y

dy dx

3x 2

dy

2y

dx

=0 =−

2x 3y

2 y2 = 8 − 4 x Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtiene el punto de

y2 = 4 − 2 x

intersección entre las dos curvas; Al sustituir el valor en alguna de las ecuaciones se tiene:

x2

+

y2

=8

x2 + 4 − 2x = 8

y2  x 3

(1)

2x2  3y2  5

(2)

Al multiplicar por 3 a (1) y al restar el resultado a(2) se tiene:

x2 − 2 x − 4 = 0 2x2 + 3 2 y32−

x = 1± 5

5= y33−

x

2 x 2 = 5 − 3x 3

x =1

Donde x = 1 − 5 pertenece a ambas curvas.

Sustituyendo el valor en alguna de las ecuaciones se tiene:

Entonces,

y2  x3 y= − 4 21 −( 5 )= −4 2(1− )5 = ± 2.54 y  1 Por lo tanto, las curvas se intersectan en los puntos

Por lo tanto, las curvas se intersectan en los puntos P1,1  y Q1,1

P1.236,2.54  y Q1.236, 2.54 Las pendientes para P, son:

m1 = m1 =

2x − 4

m2 = −

2y 2 (−1.236 ) −4 2 (2.54 )

Las pendientes para P, son:

= −1.27

m2 = −

x

m1 =

y

−1.236 2.54

= 0.4866

14 3

m1 =

3x 2 2y 3 2

m2 = − m2 = −

2x 3y 3 2



Al sustituir el valor en alguna de las ecuaciones se tiene:

siguiente fórmula: 3

tan θ =

2 2 = 12  3  3  5

=

1 + m1m2

 35 − 7 y 2  35 − 7 y  2  2 + = 10  14  + y +  14  y

3

− −

m2 − m1

5

1 +  −   2  2 

4

(9 − 2

)= y + y 210 y =1

12  = 67°22 ′48 ′′  5 

θ = arctan

Al sustituir el valor en la ecuación (3), se tiene: Las pendientes para Q, son:

m1 =

3x 2

m2 = −

2y

m1 = −

3

m2 =

2

x=

2x

35 − 7 14

=2

3y Por lo tanto, las curvas se intersectan en el punto P2,1 

3 2

Las pendientes para P, son: Para determinar el ángulo de intersección , se emplea la siguiente fórmula:

m1 = 3

tan θ =

m2 − m1

=

1 + m1m2

+

3

12 − 2 x

m2 = −

2y − 6

m1 = −2

12 2 2 =−  3  3  5 1 + −    2  2 

m2 = −

5

d) x2  y2  12x  6y  25  0; x2  y2  2x  y  10

tan θ =

m2 − m1 1 + m1m2

− +2 =

2 12 6= x 2 + y− −x + y 25 0

=

12 − 2 x

dy

1 13

e) 4x2  y2  8; 2y2  x2  20

2y − 6

4 x 2 − y2 = 8

10

dy dy 2 x2+ y1 ++ = 0 dx dx dx

=

θ = arctan

dx

x 2 + y2+ 2+ x =y

3

 5 1 + − (− 2)  3 

1 4 23 55 13  = ° ′ ′′

= 0dy dy

3

siguiente fórmula:

θ = 112°37 ′11 ′′

dx

2y +1 5

Para determinar el ángulo de intersecció n, se emplea la

′ ′′ θ = arctan (4.5982 =)−° 67 22 48

2x + 2 y dy −12−6 dx

2x +1

8x − 2 y

=−

dy dx

2x +1

dy

2y +1

dx

=0 =

2 y 2 + x 2 = 20 4y

dy dx

+ 2x = 0

4x

dy

y

dx

=−

x 2y





−x + 6= x 2 + y2− 12 y 25 0 x 2 + y2+ 2+x = y

(1) 10

(2)

4 x 2 − y2 = 8

(1)

2 y 2 + x 2 = 20

(2)

Al restar las dos ecuaciones se ob tiene: Al multiplicar por(2) a (1) y al sumar se tiene:

x 22+ y−

12−x + 6 25 y22− − − x

2−y = −x 10y −14 x−7 = y − 35

x=

2 y 2 +2 x+ 28 − 2x2

35 − 7 y 14

= 20 y +16 9 x 2 = 36

(3)

14 4

x = ±2


Al sustituir el valor en alguna de las ecuaciones se tiene:

Para determinar el ángulo de intersección para los puntos Q y

R, se emplea la siguiente fórmula: 2

2 y +4 = 20 1

y2 = 8 tan θ =

y = ±2 2

m2 − m1 1 + m1m2

Por lo tanto, las curvas se intersectan en los puntos:

 

θ = arctan−

)2(R, P (2,2 Q

2,) 2(−2 ,

) S− (2,2

2 y) − 2, 2 2 .

2

=

+2 2  1    2 

=−

1 + (−2 2 ) 

5 2

5 

 = −74°12 ′24 ′′

2 

θ = 105°47 ′35 ′′ Las pendientes para P, son:

m1 =

4. Se tira una bomba en línea recta desde un avión a 800 pies sobre

4x

m2 = −

y

m1 = 2 2

m2 = −

el nivel del suelo; la velocidad inicial es de 640 pies por segundo,

x

¿cuánto tiempo tarda en llegar al suelo y con qué velocidad lo

2y

hace? La ecuación de movimiento es s  800  640t  16t2.

1 Para calcular el tiempo en llegar al suelo,

2 2

800 = 800 −640 t +16 t 2

Las pendientes para Q, son:

m1 =

4x

y

m1 = −2 2

0 = −640 t + 16 t 2

x

m2 = −

0 = −640 + 16 t

2y

t = 40

1

m2 =

2

La velocidad de un móvil está de nida por la derivada temporal de la posición entonces,

Las pendientes para R, son:

m1 =

4x

m2 = −

y

ds v= = dt

x

d

d

dt

dt

640 −800 +

t 16

d dt

t2

v f − vi= − 640 + 32 t

2y

1

m1 = −2 2

m2 =

Al sustituir el valor del tiempo obtenido se tiene:

2

v f = −640 + 32 (40 )

Las pendientes para S, son:

m1 =

4x

m2 = −

y

m1 = 2 2

m2 = −

v f = 640

x 2y

pies s

5. Un cohete se dispara en forma vertical desde el suelo y su ecua-

1

ción de movimiento es s  128 t  16 t2, con una velocidad de

2

128 m/s, ¿cuánto tiempo requiere para alcanzar su máxima altura y cuál es dicha altura máxima?

Para determinar el ángulo de intersección para los puntos P Para la altura máxima, se considera que la velocidad es cero

y S, se emplea la siguiente fórmula:

entonces,

tan θ =

m2 − m1 1 + m1m2

− =

1 2

−2 2

 1  1 + (2 2 )−   2

=

ds v= = dt

5 2

128 −

dt dt

d 16 = −t 2 128 32 dt

t

0 =128 −32 t

t=4

 5   = 74°12 ′24 ′′  2 

θ = arctan

Para calcular la altura máxima, se sustituye el valor del tiempo, así,

s  1284  1642  256 m

14 5


EJERCICIO 15 I. Contesta las si guientes preguntas.

Por la de nición del número e, se tiene:

1. ¿Cómo se determina el valor del número e?

∆v

1

e = lim (1 + x ) vsi v = El valor del número e está representado por el límite de su

v

v→0

de nición, es decir,

v

 ∆v ∆v  , = e0 = 1 de tal forma que: 1 +  v 

Luego, lim

1

e = lim (1 + x ) x =2.71828182846

∆v→ 0

x →0

∆y

dy

2. ¿Cuál es la base del logaritmo natural?

1

dv = ∆v = v

El logaritmo natural tiene por base el número e. 3. Explica cómo se relacionan los logaritmos naturales y los comunes.

ln e0

1

=v

Recordando que:

dy

=

dv

Los logaritmos naturales y comunes se relacionan de la siguiente

dy dv ⋅

dv dx

forma: El logaritmo natural de un número cualquiera se determina al

Al sustituir el valor de

dy

en la regla de la cadena, resulta:

dv

dividir su logaritmo común por el logaritmo e, es decir: ln N =

d ( ln v)

log N

dx

log e

inversas? 4. ¿Por qué las funciones logarítmicas y exponenciales son Al gra car las funciones logarítmicas y exponenciales se observa que se re ejan entre sí, lo que indica que las funciones corres-

=

1 dv ⋅

v dx

Función exponencial. Si se considera a y  uv como función exponencial general y se toman los logaritmos naturales en ambos miembros se tiene:

pondientes son inversas. ln y  ln uv  v ln u

5. Demuestra las fórmulas fundamentales de derivación para:

Si se considera que ex  N y x  ln N, y se aplica a la ecua-

a) Funciones logarítmicas y exponenciales.

ción anterior resulta:

Función logarítmica.

y = ev ln u Si y  ln v, al derivar por la regla general, se tiene:

dy

= ev ln u

d ( v ln u )

y + ∆y= ln (+ v ∆ v)

dx

y + ∆y= ln (+ v ∆ v)

  1 du  dv  = ev ln u  v  + ln u    u dx  dx dx 

− y = − ln v ∆y= ln (+ v∆ − v) ln v

Si y  e v

 v + ∆v   ∆v  ∆y = ln   =ln1  +   v   v 

anterior, se cumple que:

ln u

y a su vez y  u v, al sustituir en la expresión

du v Al multiplicar por

v v

dx

se tiene:

d dx

 ∆y 1 ∆v  = ln 1 +  ∆v ∆v  v 

d dx

∆y  v  1   ∆v   1  v   ∆v  =    ln 1 +  =    ln 1 +  ∆v  v  ∆v   v   v  ∆v   v  ∆y 1   = ln 1 + ∆v v  v 

dx

dy

  1 du  dv  = u v  v  + ln u    u dx  dx 

uv = v

u v du u dx

u v = vu v−1

+ u v ln u

du dx

dv dx

+ u v ln u

dv dx

b) Funciones trigonométricas directas.

v

∆v ∆v

Dado que y  sen v, al derivar por la regla general, resulta:

y  y  sen v  v

14 6


Al utilizar la fórmula trigonométrica senv  v  sen v cos v  sen v cos v, se tiene:

y + ∆y= sen vcos ∆+ ∆ v sen

vcos v

− y = sen v ∆= y sen vcos ∆+ ∆ v sen− cos v v sen ∆= y ∆ sen v− cos v sen − ∆ v1( c os

v

v)

1 −cos ∆v  ∆y sen∆v = cos v −sen v    ∆v  ∆v ∆v Como el lim  sen∆v  = 1 y el lim 1 −cos ∆v  = 0, ∆v  v →0  ∆v  v→ 0  se tiene que:

∆y =)(1 cos v −sen () v0 , así, ∆v ∆y = cos v ∆v

Al sustituir el valor de

dy

en la regla de la cadena, resulta:

dx

dy dx dy dx

=

dy dv ⋅

dv dx

= cos v

dv ⋅

dx

Dado que y  cos v y como senos y cosenos están desfasados por 90°, entonces:

y = sen (90° − v) dy = d (sen ( 90 − v)) = cos ( 90° − v) d ( 90° − v) = cos ( 90° − v)− dv   dx  dx dx dx dy dx

= −sen v

dv dx

Si y  tan v, entonces:

y = tan v =

dy dx

cos v

dx

− sen v

d cos v dx

2

cos v

= dx

dx

cos v

d sen v

= dv

dy

sen v

(cos2 v + sen2 v)

= sec 2 v

cos2

v

cos v cos v

=

dv

dv dv dv cos2 v + sen v sen v + sen 2 v dx dx = dx dx 2 2 cos v cos v

dv dx = sec 2 v dv cos 2 v dx

=

dv dx

Si y  cot v, entonces: 1 y = cot v = tan v 1

  1  d ( tan v)  1 ) dv = − = − 2 (sec2 v= −   tan v  dx  tan 2 v  dx dx dy

sec2 v dv

= − 2v

tan

dx

2

=cos − 2v sen v 2

cos v

14 7

1

= −2

dv

sen v dx

csc 2 v

dv dx


Si y  sec v, entonces:

Si y  arccos v, es decir, v  co s y , entonces al derivar implícitamente con respecto a de v, resulta:

y = sec v = dy dx

=− =

1 cos v

cos y = v

1

d cos v

cos 2 v

dx

sen v

dv

1 dv ( sen v) − = 2

=

cos v

dx

= sec v tan v

cos v cos v dx

sen v dv

d cos y

cos 2 v dx

dv

dv

−sen y

dx

dy dv dy dv

Si y  csc v, entonces:

y = csc v = dy dx

=− =−

dv dv

=1 =−

1 sen y

Al sustituir en la ecuación de derivación, resulta:

1 sen v

d (sen v)

1

=

1

=−

sen 2 v

dx

1

cos v dv

sen 2 v

=−

cos v

csc v cot v

sen v senv dx

dv

dy

dx

dx

dv

1

=−

1 −cos 2

y dx

=−

1

dv

1− v2

dx

=

dv dx 1− v2

dv Si y  arctan v , es decir, v  tan y , entonces al derivar implícitamente con respecto a v, resulta:

dx

tan = v

c) Funciones trigonométricas inversas.

tan y

dv Si y  arcsen v, es decir, v  sen y, entonces al derivar implícitamente con respecto a v resulta:

sec 2 y

dy dv dy

sen y = u

d (sen v ) dv cos v

=

dv

du

dy

dv

dx

dy =1 dv dy dv

=

=

1

= =

=

dy dx

dv

entonces:

− csc 2 v

dy dv dy

dv

dv

1 −sen 2 y dx

dy dx

Como seny  v, entonces,

sen 2y



dv

1

1 + v2 dx

=

dx 1 + v2

cot y = v

cos v dx

1

=

dv

1

sec 2 y dx

Si y  arccot v, es decir, v  cot y , entonces al derivar implícitamente con respecto a v, resulta:

dv 2 y,

1 sec 2 y

dv dy

cot y Como cos v = 1 −sen

dv

=1

1 cos v

Al sustituir en la regla de la cadena, resulta:

dx

dv

dy 1 dv = dx 1 + tan 2 y dx

dx

dy

=

v2,

así:

=

dv dv

=1 =− =−

1 csc 2 v

dv

1

csc 2 v dx

dy

dv

1

dx = − 1 + cot 2 y dx dy dx

=

dv

1

1 − v dx 2

=

dv

dv dx 1− v2

dy dx

14 8

=−

dv

1

= − dx 2 1 + v dx 1+ v 2


Si y  arcsec v, es decir, v  s ec y , entonces al derivar implícitamente con respecto a v, resulta:

Datos

sec y = v

d sec y dv sec ytan y

dy dv dy dv

=

N9

dx dy dx

Fórmula ln N =

dv

log N log e

Sustitución ln9 = 2.303lo g9

= 2.303 (0.9542 )

dv

ln9 = 2.1976

=1 =

d) 11 1

Datos

sec y tan y

dy 1 dx = sec y tan y dy

c) 9

=

=

N  11

dv

log N log e

ln 11 = 2 .3983

dv

sec y sec

2

1 dx y−

dv

1

v 2 − 1 dx

Sustitución ln 11 = 2. 303 l og 11

= 2.303 (1 .041 )

dx

1

v

Fórmula ln N =

=

v

e) 18 Datos

dv dx v2 − 1

N  18

Fórmula ln N =

log N log e


= 2.303 (1.2552 ) Si y  arccsc v, es decir, v  csc y , entonces al derivar

ln18 = 2.8908

implícitamente con respecto a v, resulta:

f ) 29

csc y = v

d csc y dv

− csc ycot y

dy dv dy dv dy dx dy dx dy dx

=

Datos

dv dv

N



29

Fórmula ln N =

= 1

log N log e


= 2.303 (1 .4623 )

=− =− =−

=−

ln 29 = 3 .3679

1 csc y ycot

g) 34

csc y cot y

v

N



34

ln N = log e

=−

v

ln 34 = 2. 303 l og 34

= 2.303 (1 .5314 )

y− 1 dx

dv

Sustitución

log N

dv 2

v − 1 dx 2

Fórmula

dx

1 csc y csc 1

Datos

dv

1

ln 34 = 3 .5269

dv dx v2 −1

h) 76 Datos N  76

Fórmula log N

ln N =

log e


= 2.303 (1 .8808 )

II. Dertmina el logaritmo natural de los s iguientes números. i) 123

a) 5 Datos

N5

ln 76 = 4 .3315

Fórmula ln N =

log N log e

Datos

Sustitución

N = 123

ln5 = 2.303lo g5

Fórmula ln N =

log N log e

= 2.303 (2.0899 )

= 2.303 (0.6989 )

ln123 = 4.8130

ln5 = 1.609

j) 385

b) 7

Datos Datos

N7


Fórmula log N ln N = log e

Fórmula

Sustitución

N = 385

ln7 = 2.303lo g7

= 2.303 (0.8450 )

ln N =

log N log e


= 2.303 (2.5854 ) ln38 5 = 5.9543

ln7 = 1.9462

14 9


k) 694 Datos

N = 694

g) 7 580 Fórmula ln N =

log N log e

Sustitución

Datos

ln694 = 2.303lo g694

Fórmula

N = 7 580

Sustitución log 7 580 = 0. 4343 ln

log N = ln N log e

= 2.303 (2.8413 )

log 7 580 = 3 .8797

ln69 4 = 6.5436

h) 13 975

l) 1 956 Datos

N = 1 956

Fórmula ln N =

log N log e

Datos

Sustitución

Fórmula

N = 13 975

Sustitución log 13 975 = 0. 4343 ln 13 975

log N = ln N log e

ln 1 956 = 2. 303 log 1 956

= 0.4343 (9 .5450 )

= 2.303(3 .2913 ) ln 1 956 = 7.58

Datos

Fórmula

N = 68 402

log N = ln N log e

N = 48

log N = ln N log e

log 48 = 0. 4343 ln 48

= 0.4343 (3 .8712 )

IV. Encuentra la derivada para las siguientes funciones logarítmicas y exponenciales. 1. y  ln 2x2  3x 5

92

Datos

Fórmula

N = 92

log N = ln N log e

Sustitución

dy

log 92 = 0. 4343 ln 92

dx

= y′ =

= 0.4343 (4 .5217 )

=

log 92 = 1. 963 8

d dx

(ln 2(

)

x2 3 + x5 − )

1

d

2 x 2 + 3 x − 5 dx

(2 x 2 + 3 x − 5 )

4x + 3 y ′ = 2 x 2 + 3x − 5

217 Datos

Fórmula

N = 217

log N = ln N log e

Sustitución log 217 = 0. 4343 ln 217

 4 x   2 + x 2 

2. y = log

= 0.4343 (5 .3798 ) dy

log 217 = 2. 3368

dx

469 Datos

Fórmula

N = 469

log N = ln N log e

= y′ = =

Sustitución log 469 = 0. 4343 l n 469

d   4 x   log  2 + x 2 

dx 

log e d  4 x   4 x dx  2 + x 2  2 + x2

= 0.4343(6 .1506 ) =

log 469 = 2. 6712

e)

6840 2

= 0.4343 (11 .1331 )

Sustitución

log 48 = 1. 681 2

d)

log 68 402 = 0. 4343 ln

log 68 402 = 4 .8351 Fórmula

c)

Sustitución

48 Datos

b)

log 13 975 = 4 .1454

i) 68 402

III. Determina el logaritmo común de los siguientes núm eros. a)

758 0

= 0.4343(8 .9332 )

851

( x 2 +) 2 (log e) 2 + x 24 4−2 x ( x) 2

4x

(2 + x 2 )

( x + 2)log e  8 − 4 x    2 4x (2 + x 2 )  2

Datos

Fórmula

N = 851

log N = ln N log e

=

Sustitución log 851 = 0. 4343 ln 851

y′ =

= 0.4343 (6 .7464 )

2

(2 − x 2 )log e x ( x 2 + 2)

log 851 = 2. 9299

f)

1024

3. y = 5 2 x 3

Datos

Fórmula

N = 1 024

log N = ln N log e

Sustitución log 102 4 = 0. 4343 l n 1 024

= 0.4343 (6 .9314 ) log 1 024 = 3 0103 .

15 0

dy dx

= y′ =

d dx

(5 2 x 3 ) = 5

2 x3

3 = 6 x 2 (5 2 x ) ln 5

5 ln2

d 5 x 356= dx

2 x3

ln

( x2 )


4. y = 2 e x

dy dx

2

= y′ =

d dx

(2 e x 2 ) = 2 e x 2

d ( 2) 2 x = 4 xex

dx

5. y  exx

dy dx

= y′ =

d ( )x (x ) = ex e

dx

x

dx ln e x( ) = x e x dx

x

6. y = ln 4 − x 2

dy dx

= y′ =

7. y = ln

dy dx

d dx

(ln

d

1

4 − x2 ) =

1

4 − x2 =

4 − x 2 dx

4 − x2

(−x) = −

x 4 − x2

a2 − x2 a2 + x 2 d 

2 2 ln a − x a2 + x2

= y′ =

dx 

  =  

d

a2 − x 2

a 2 − x 2 dx

a2 + x 2

1

=

1 a 2 + x 2 ((a 2 + x 2 )(− 2 x ) − ( a 2 − x 2 )( 2 x)) 2 a2 − x2

(a 2 + x 2 )2

a2 + x 2

−2 a 2 x (a 2 − x 2 )(a 2 + x 2 )

y′ =

8. y = ln x 2 − 2 x

dy dx

= y′ =

d dx

(ln

d

1

x2 − 2x ) =

x 2 − 2 x dx

x2 − 2 x =

1 2 ( x 2 − 2 x)

1 ( 2 x − 2) = x − x2 − 2

9. y  lnx2  1

dy

d

d

1

2

2x

2

dx = y′ = dx (ln ( x )+ 1 ) = x 2( +)1 dx x + 1 = x 2 + 1 10. y  ln2x3

dy dx

d

= y′ = 2 ln x 3 = ln x 3

2 ln

=

x3 d

x3

dx

6 ln x 2 6xln3

= x3 dx

x3

x3

x

11. y  lnx2  32

dy dx

= y′ = 2

d ( ( x 23)+ ln dx

) = 2(2 )

d

x + 3 dx

x2 + 3 =

4x

x2 + 3

12. y  l og 5x3

dy dx

d

log e d

dx

5 x 3 dx

= y′ = = (log5 x 3 )

=

2 15 xl og e (= 5x3) 3

5x

3log e

x

13. y = log 2 − x

dy dx

= y′ =

d dx

( log

2 − x)=

log e

d

2 − x dx

(

2 − x)= −

log e 2 ( 2 − x)

 x  14. y = log x 2 + 1 dy dx

= y′ =

 x  log e d  x  log e ( x 2 + 1) − x (2 x) (1 − x 2 )log e   = =  = log  2    x + 1  x  dx  x 2 + 1  x   ( x 2 + 1)2 x ( x 2 + 1)    2  2 x + 1 x + 1

d 

dx 

15 1

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

15. y = log

dy dx

MANUAL

DE SOLUCIONES

a x

= y′ =

  d   alog e d log a e  a log e log   =   = −  = −  x   a  dx  x   a   x 2  x     x x

dx 

16. y = log x x −1

dy dx

= y′ =

d dx

(log( x

x −1

)) =

log e

d

( x x) − 1

dx

x x −1 =

(

)

)  3( x − log e  x 2 log e + x − 1 =   2 x ( x − 1) x x − 1  2 x − 1

17. y  x2log x2

dy dx

= y′ =

d dx

2 2) ( x 2 log = x+

d x 2 (log e) d 2 x +x = +2 x dx x dx

d x 2 log2 = x2 log dx

2 xlog x2 2 log x

e 2 log x

18. y  e5x

dy dx

= y′ =

d ( 5x ) d e = e 5 x ( 5 x ) = 5 e5 x dx

dx

19. y  a3x

dy dx

= y′ =

20. y =

d dx

(a 3 x ) = a 3 x d 3 x =3 al 3nx dx

a

2

e2 x

2 2x y = e2 x = 2 e−

dy dx

= y′ =

21. y =

dy dx

dy dx

22e (−2)d−=

dx

x

2x 2− e= 4 −−

d dx

(

x)

e

x

ex x

= y′ =

22. y =

d ( ) −2 x 2 e =2

dx

d  e x  e x e x   = − 2 dx  x  x x

ln ax

ax

= y′ =

d  ln ax  ln 1ax 1 d ln 1 ax (−ax ) + = = − +  dx  ax  ax 2 ax ax dx ax 2

ax

2

 e x + 1   e x − 1 

24. y = ln 

dy dx

= y′ =

d dx

 e x + 1 1 d  e x + 1 1 (e x − 1e ) ex − (e x + 1)    e x − 1  = e x + 1 dx  e x − 1  = e x + 1 (e x − 1)2 ex − 1 ex − 1

ln 

15 2

x

=

2ex

(e x − 1)(e x + 1)

x2

UNIDAD Derivación de funciones

25. y =

dy dx

2

a

(e 2x − e− 2x )

= y′ =

26. y = x 3e x

dy dx

2 d

a dx

(−e 2x =2 e− x ) −2 2 2d−e x2

d

a  dx

dx

x 2  x d −x  − e 2  = e 2 2  − e  a  dx  2 

x

d  x  x x −  = e + e a

(

dx  2 

x

)

2

= y′ =

d dx

) d e x 2= e x 2 d+x 3 =x 3+ex 2 d x 2 x(3+ dx dx dx

( x)3e=x 2

2 x 2 ex

2

(2 x 4

2 x2 ) ex

2

27. y  a2x

dy dx

= y′ =

28. y = 10− x

dy dx

d dx

(a 2−x ) = a 2−x ln a

2

= y′ =

d dx

x2 ) (10−=

d 2 −xln10 −= − (

10

2

−x x 2 ) 2 10 x ln10

dx

29. y  log1  e2x

dy dx

= y′ =

dx

(log(1 +)e2 x ) =

2x ( ) d 1 + e2 x = log e e2 x d 2 x =2 e log e 2x 2x

log e

1 + e2 x dx

1+ e

1+ e

dx

x2e4x

30. y 

dy

d dx

= y′ =

d ( 24 − 2x ) x e=

4 4− −d

x + e2 dx

dx

x4 2

− = e

d

x

dx

x24 x−+ 4−x −e= −

d dx

( −+44 x2)

xe 4

x

2 x e

x

xe

x

x

31. y = a

dy dx

= y′ =

dy

(a x ) = a

x2 −

ax a 32. y = ln

dx

d dx

= y′ =

d dx

x

d

ln a

x=

dx

x

a

ln a

x

2

2

(ln ax a

2

− x

2

)=

d

1

ax a

2

− x

2

dx

ax a

2

2

− x

=

1 2

ax a

− x2

 ax d ( 2 2 a −x   22 2a − x dx

33. y  ln x2 ex

dy dx

= y′ =

34. y =

d ( x) ln x 2 e=

dx

d ln(+ x 2ln = dx

) =ln d ( + ex+ x=+ x) dx

1 d

x 2 dx

x2

1

2

x

1

e2 x − e−2 x e2 x + e−2 x

(e 2 x +2e−)(−x 2

d  e 2 x − e−2 x 

dy

dx = y′ = dx  e 2 x + e−2 x  =

=

 d (e 2 x) +22e− x e 2x −

dx

d 22 x −e)( − e − 2−)ex( 2e +2x−) dx (e 2 x + e−2 x )2

 2− x d 2 x − e (22x ) 2)2−(− x  − −e 2  dx

(e

2x

2 + e−2 x

)

15 3

x

d e dx

 d e 2x e+x ) (−x  dx

x

e

e

x

x

d dx

 x  

)a+a2 x2

−

  

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

=

DE SOLUCIONES

− 22− x) −e2 e 2x e (+ (2+e ( 22x 2 ) e 2 x e 2)(−e2−+ ex − 2 (e 2 x + e−2 x )2

=2

=2

x)

(e+2 x e 2)(−e2+x e 2 −−)x −e2 2 ex − e2−+ ( ( ex2 ) (e 2 x + e−2 x )2 −2 xe 2

e( ) −

(e 2 x e+

2x

x

x)

x

x

x

2

−2 x )2

−

(e 2 x + e−2 x )2 4 − x 2 2− 4x 2 + ee 2e−e − 4x−+ee 2 x − (e 2 x + ) −2 x 2

4x ee+ y′ = 2

x

x

2

x

=

( e)

8 2x

−2 x 2

+

x

5 35. y =   x dy dx

= y′ =

x x−1 x   =5x   5 5d   +   ln  5  dx  x  dx x  x   x   dx

d  5 

dx  x 

 5 x−1  5   5 x  5  = x   − 2  +   ln    x   x   x  x  5 x  5 x  5  = −  +   ln    x   x  x x

5  5  y′ =   ln − 1 x  x  36. y = e

dy dx

x

ln x

= y′ =

d dx

(e

x

ln x ) = e

x

d ln dx

xln+

1 d

= e+ x y′ =

d

x

dx

d x

x dx

e x ln x e + 2x 2 x

ln =x e

x

x

e 1

+ dx x

e

x

1

x 2 x

x

2

37. y = 10 x log x 2

dy dx

= y′ =

d dx

(10 x 2log x 2 ) =10

= 10 x

2

log e d

2

log e

x2

d log dx

d x 210 dx

x 2log + 2

x 2 + log x 2 10 x ln10

x 2 dx

y′ = 2 x10 x

x2

d dx

x2

x2

2

+ 2 xlog x 2 10 x ln10

38. y  ae2x

dy dx

= y′ =

d dx

()ae (2)x = ae

2x

d ln () 2 x2= ae dx

ln ae

2x

ae

39. y  3xx3

dy dx

= y′ = =

d dx 3x3

3x x 3 = 3x 2

d dx

x 3 + x3

d dx

3x

33 lnx 3

x +x

y′ = 3x+1 x 2 + x33lnx3

15 4

1 ln x e

x

2 x


 x 40. y =    2  dy dx

x



dx  2 

y′ = 2−1−

dy dx

d dx

ln

x d 2 dx

x

x  1    2  2 x 

 

 x    2

2log +

2

ln

a2 + x 2 x

1

a2 + x 2 x

a2 + x 2

d

1

=

a 2 + x 2 dx x

x

=

1

a2 + x 2 x

  x x − a 2 + x 2   2 2   a + x    x2    

ln a 2 − x 2

x

= y′ =

d ln a 2 + x 2 dx

x

ln x

=

d a 2 x+2 a 2 + x 2 dx x2

=

=

x

x

a 2 2+2 x2

a +x x2

2 x ( xa2− y′ =

2+a

d dx

2 2 aln x+

−a2 x2 x

x

)

2x ln2

2 2 −aln x

+

2

+

− ln a 2 + x 2

+

x 2 (a2 + x 2 )

43. y = e x + 1

dy dx

= y′ =

d dx

ex + 1 =

1

d

2 e x + 1 dx

(e x + 1) =

ex 2 ex + 1

44. y  ln xx

dy dx

 d 2 2 x a−2 x2 +  x dx a +  x2  

 x 2 − a 2 − x 2  x −a 2  =  a 2 + x 2  x 2 a 2 + x 2  x ( a 2 + x 2 )

y′ =

dx

−1 + x

x

ln

x

=

dy

x

 x +   2

x

a2 + x 2

= y′ =

42. y =

x

 x  x −1 d x  x  = x   +     2   2 2 dx

x −1

x  x    2  2 

=

41. y = ln

x

d  x   

= y′ =

= y′ =

d dx

(ln)x

x

d ( x)ln x(x−)1 (ln ) l x n= = dx

x

x −1

15 5

d (x) dx

dx   dx 

  

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

45. y  exInx ln y =ln ln x e x =lnx

d dx

ln y =

dy dx

1 dy

=

x

y dx

ln x

= (e x )

d

x

+ln x=+ln x 1 ln

x

dx

(1 + ln x )

46. y = log x

dy dx

= y′ =

d

log x =

dx

d

1

2 log x dx

log x =

log e 2 x log x

x

47. y = 10 e log x

dy dx

= y′ =

dy

x

10 e = log x 10 +e

d d log =x log + x10 dx dx

x

ex

x

10 elo g e

x

x

10 e e x log xl n10 e x

a + bx

48. y = ln

dx

d dx

a − bx

= y′ =

d dx

= y′ =

a − bx

a − bx

= =

a + bx

ln

d

a + bx

a + bx dx

a − bx

1 a − bx  d a + bx 



2 a + bx  dx a − bx  1

1

(a −bx b) +a( bx + b)  a − bx

2 a + bx 

  

ab ( a +bx )a( − bx )

 a − x   a + x 

49. y = ln 

dy dx

= y′ =

d dx

ln

a−x a+x

=

( )1 1 (a + a + x  d  a − x  x )− −a( − x )  =    a − x  dx  a +x a x −  a+x

50. y  1  x2ln x2

dy dx

d

2 (2 ) = y′ = +(1 ) x = ln + x1

dx

y′ =+(1

1 d

2

d

d

dx

dx

+ 2xln 2l (+n)x 2 1 x

x 2 ) 2+ x 2= 2 x ln x 2 x dx

2 (1 + x 2 )

+ 2 x ln x 2

x

15 6

x

−2 a  =  ( a −x a)( x+ )

UNIDAD Derivación de funciones x

 3 51. y =    x  dy

x x −1 x   =3x   3 3d   +   ln  3  dx  x  dx x  x   x   dx

d  3 

= y′ =

dx

dx  x 

 3 x−1  3   3 x  3  = x   − 2  +   ln    x  x   x  x  3 x  3 x  3  = −  +   ln   x x  x x y′ =  3  ln 3 −1 x  x 

3

52. y =

dy dx

2

(e 3x − e− 3x ) d 3

= y′ =

dx 2

(−e x3 e =3 − x +)3e 3e3 (

(

53. y = ln x + 1 − x

dy dx

= y′ =

d

3

x

−x

e +e

3

dx  3 

2

)

ln(+ x −)1 = x

dx

) − x d ( x  =) 1

x

2

1

(

d

)

x + 1− x =

x + 1 − x dx

 1 1  1 −  2 1− x  x + 1 − x 

54. y  ex ln ex

dy dx

= y′ =

d

e x ln= ex

dx

d

d

dx

dx

dx

dx

= xex +x =e x + = e x + xex

ex

ex ( x

1)

55. y = log 2 − 3x 2 + 3x

dy dx

= y′ =

y′ =

56. y =

dy dx

d

log

dx

log e

2 − 3x 2 + 3x

=

log e

d  2 − 3 x 

 =



2 − 3 x dx  2 + 3 x  2 + 3x

(3 )−2(− ( 2 +3 x )− 3 3 )(x)  2 + 3x

2(2 − 3 x ) 

( 2 +3 x )log e d  2 − 3 x    2(2 − 3 x ) dx  2 + 3 x 

6log e  = −  (2 −3 x2)(3 + x )

ln a + bx

a − bx

= y′ =

d  ln a + bx   =  dx  a + bx 

(1− ln =

a + bx

d  a + bx   dx 

a + bx )

a + bx b (1− ln a bx +

y′ =

1 d a +bx − +lna bx a + bx dx a + bx

(1− ln =

a + bx )

b 2 a + bx

a + bx

)

3 2 ( a + bx )

57. y  10nx

dy dx

= y′ =

d dx

nx ln10 10 nx =10

d dx

nx nx =10 n ln10

15 7

d + ( a  dx

 

bx )

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

58. y  ex  ex2

dy dx

= y′ =

d dx

d

2

(e−+x e = ) x (e−+2e ) − (x

x)( ( e−+ )e − ex− e 2 +x) −= e −x + e =

x

dx

e ex

2(

x

2x

2x )

1

59. y = e x2

dy dx

1

1 2

d

1 d 1 e x2 = − dx x 2

= y′ = =e x dx

2

e x2 x3

60. y  ln2 x3

dy dx

= y′ =

d dx

( ln=23 x )

3 d 23ln=x= ln dx

x

x3 d 6 3 x dx

2 ln

x3

x

ln x 3

V. Aplicando la derivación logarítmica, encuentra la derivada de las siguientes funciones y comprueba los resultados por medio de la derivación por fórmula directa. 1. y = ln

2x + 3

x

Solución por fórmula:

dy dx

= y′ = y′ =

d dx

ln

2x + 3

x

=

x

2x + 3

d

2 x + 3 dx

x

=

  x  − 2 x + 3   2 x + 3    2x + 3 x 1

x −2x −3 x +3 =− ) 3 x ( 2) x( + x 2x + 3

Solución por derivación logarítmica:

y = ln dy dx

2x + 3

x

= y′ =

1

ln (2 x 3 ) ln x = ln 2 + x −3 l=n x + − 2

d dx

ln

2x + 3

x

=

d  1

ln  ln (2 x +3 ) − dx  2

 

x =

1

2

2 2x + 3

1

x − 2x− 3

x

)3 x (2)x(+

− =

=−

x+3 x 2x + 3

 x 2 + a 2    x + a 

2. y = log 


dy dx

= y′ =

d dx

 x 2 + a 2  log )( x + a e d  x 2 log + a 2)( 2 e  x + a x −( x 2 + a2 )  = =     x + a  x 2 + a 2 dx  x + a  x 2 + a 2  x+a

log

x 2 +ax2 a − 2 )   y′ = log e  ( x + a)( x 2 + a2 ) Solución por derivación logarítmica: 2 2 y = log x + a =log ( x+2 −a 2 )log − x+a

 x 2 + a 2  dy d = y′ = log  = dx dx  x + a 

(x

d ( +( x−2 log dx

a) 2) log a+ =

(x

a))

15 8

log e

x 22 + a

2x −

log e

x 2 +ax2 a − 2 )   2x 1   = log e −  = log e x + a x + a  ( x + a)( x 2 + a2 )

x + a 22

UNIDAD Derivación de funciones 3. y  lnx2  2 Solución por fórmula:

dy dx

d

= y′ =

ln ( x 2 )+ 2 =

dx

(1 ) d x 2 + 2 = 2 x 2

x 2 + 2 dx

x +2


y = ln ( x 2 + 2) dy dx

d

= y′ =

4. y = x x

ln ( x 2 )+ 2 =

dx

(1 ) d x 2 + 2 = 2 x 2

x 2 + 2 dx

x +2

2


dy dx

d

= y′ = =x x

2

x 2 −1 ) x2 (x +

dx

d dx

2

x ln x = x+ x

d dx

xx

x2

2 +1

2 xx

2 +1

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) 2

ln y =ln x x = xln2

x

Así,

d dx

ln y =

1 dy

y dx dy dx

d dx

2 xln x

d x 2=ln + x2 ln x

= 2 xln+ x

x

x

dx

= 2xx

2 +1

ln x + x x

2 +1

x

5. y = x 2 Solución por fórmula:

dy dx

= y′ =

x

d dx

x2 =

x 

x −1  

x 2 2 

x

d

x

d x

x2

1

x

 = + x 2 ln x x + x 2 ln x  dx 2 2 dx 2

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) x

ln y =ln x 2 =

x 2

ln x

Así,

d dx

ln y =

1 dy

y dx

d x dx 2

ln x

1

x d

1

2

2 dx

2

= ln +x

= ln + x

ln x

1 2

x 1 1 = x 2  ln x +  2 dx 2

dy

15 9

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

6. y  x2 a  bx3 Solución por fórmula:

dy

= y′ =

dx

d

d (+ x)2 +(+ a) bx dx

3

( a) =bx x 2+

dx

2

( )b( + )x = 3bx 2a+

+ x2a b x

2 ax ( a bx )2 (bx =+ + 3 + 2

bx2

3

d

3

a bx

dx

x2

3

2

)

2 y′ = ( a + bx ) (5bx 2 + 2 ax)

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad)

( ) =a ln x 2 ( a + bx= + )3 +ln x 2ln ln y =ln

d

ln y =

dx

1 dy

3

bx + 2 ln( +)3lnx

d

d 2 +ln x 3 + l n =+(a dx dx

=

y dx

bx )

a

bx

2

3b

x

a + bx

Así,

2 3b  2 ( a) =bx 3(+) 2+ (+) 3 =(+)bx2 a =  + x a 3bx x +  x a + bx 

dy d

2

bx + 52

a

2 bx ( bx2

ax)

1+ x 2

7. y = (1 − x 2 )


dy dx

= y′ =

d

)1(d

2

x2

1+ x −(1 )x 2=+ )1− ( 1( x)2 −( + 1− x)(2

dx

x2

1 x−2 )( +)x 22−1 (

( y′ = −2 x1+

)x 2 −1ln

dx

)x( ln1−x2)1+ x

2

+1 ) x(2

1+x 2

x2

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) 1+ x 2

( ) x 2 =+ 1 ( (−ln)1x 2 ) ln yl=n1 −

x2

Así, 1+ x 2

( ) x 2 =+ 1 ( (−ln)1x 2 ) ln yl=n1 − 1 dy

y dx

()1 =+

x2

= −2 x dy dx

1+ x2 1− x2

( = −2 x1+

x2

d (2 2 ) ( )2 1 x ()+ ln − 1 + −xln1 dx

d dx

x

+ 2 xln 1( − x 2 ) x2

1 x−2 )( + x2)−1

x 2 +1

x( )ln1−x2 ( )

x2

8. y  aax Solución por fórmula:

dy dx

= y′ =

d dx

a ax = ax a ln a

d dx

ax a ln +1 ax =

a

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) ln y =ln a ax = ax ln

a

Así,

d dx

ln y =

dy dx

1 dy

y dx

= a ln a

= a ax+1 ln a

16 0

x2

d dx

x2


9. y = 2 x

2


dy dx

d

= y′ =

2

dx

d

2

x 2 2 x =2 ln

dx

x 22 =

2 +1 xln 2

x

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) x2

ln y = l n2

2 = xln 2

Así,

d dx

ln y =

dy dx

1 dy

y dx

= 2x

2 +1

= 2 xln2 xln 2

1 + x2

10. y = ln x


dy dx

= y′ =

d dx

1 + x2 =

ln x

d

1

x 1 + x 2 dx

(x

)

1 + x2 =

x2 x (1) + x 2

+

1 2x2 + 1 1 + x2 = x 1 + x2 x 1 + x2 ()


y = ln x 1+ =x 2 + ln l + xn 1= + ln x 2+ dy

=

1

dx x

d

1

+

2(x1 +

2

) dx

x

1 2

ln (1

x2 )

(1 + x 2 )

dy 1 x 2x 2 + 1 dx = x + 1 + x 2 = x (1 + x 2 ) 11. y = ln 2 − x 2 Solución por fórmula:

dy dx

d

= y′ =

dx

1

ln 2 − x 2 =

d

2 − x 2 dx

2 − x2 = −

x 2 − x2

Solución por derivación logarítmica: 1 y = ln x −2 = x 2 − ln (2 2

dy dx dy dx

=

x2 )

d ( 2− x2)

1

2 (2 − x 2 ) dx

=−

12. y = log

x

(2 − x 2 )

(1 − x 2 ) x2


dy dx

= y′ = y′ =

d dx

log

1− x 2

x2

=

2 xlog e d 1 − x 2  log e  −x 3 − 2 x (1 − x 2 )   =    1 − x 2 dx  x 2  1 − x 2  x2

log e  −2 x  2 log e  =− 1 − x 2  x 2  x (1 − x 2 )

16 1

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES


y = log dy

1− x 2

= log− = x(2−log (1 )−x 2 log ) −1

x2

d

d = y′ = log(1 − x 2 ) −2 log dx dx dx

= =

log e d 1 − x 2 dx

x 22 log

x

x

(1− x 2 ) − 2log e x

−2 x log e 2log e − 1− x 2 x

2 x 2log ) e = −x log e −2 1( − x (1 − x 2 )

y′ = −

13. y =

2log e

x (1 − x 2 )

( x −)(1 ( x) − 2 ) ( x −)( )4 3 x−


dy dx

= y′ = =

)2 ) 4 d  ( x −)( ) 2  1 x− 1 ( x −)( 3 x− 1 x− d ( x −)( =   )4 ) 2 dx ( x −)( ) 4  3 x− 2 ( x −)( 1 x− 3 x− dx ( x −)( ) 4 ( x −)( 1 ( x −)( 3 x− 3 − 3− x 4)(2 − x) (− 1 −)( x22)(−7x )  ) 2  ( x −)(3 2 )x − 4 2 2 ( x −)( 1 x−

x

  

−22 +2 0 x −4 x 2

y′ =

)( 2 1( x −)(2−x − 3

3 x)4( − ) x

3


ln y =ln

( x −)( )2 )2 1 x− 1 ( x −)( 1 x− 1 (− = ln = (ln (−x 1)(− − x2)−ln ( x −)( )4 )4 3 x− 2 ( x −)( 3 x− 2

1

= (ln (− x) (+ 1) ln− −x2( − ln)− (3 − x)ln 2

4

x

3)(x 4) x

)

)

Así,

d dx

ln y =

1 dy

1 d

y dx

2 dx

=

) x2 (− ) (3 x)ln (ln 1 (ln− − l n− −(+ x) −

4

x

)

1 1 1 1 1  =  + − −  2  x − 1 x − 2 x − 3 x − 4  1 −22 +2 0 x −4 x 2 =  2 ( x −)( 1−2− x3 4)( − x)( )x

) 2  1  1 x− −22 +2 0 x −4 x 2  = ( x −)(    ( x − )( ) 4(  2  )(x − 1− )( 3 x− 2− x3 4−)( x ) x 

−22 +2 0 x −4 x 2 y′ = 2 1( x −)(2−x − )( 3

x)4(− 3) x

3

16 2

  


14. y =

( x +)( )4 3 x+ ( x +)( )2 1 x+


dy dx

= y′ =

(+ )4 ) ( 3+)( x42+ )( 3 x ) d ( x +)( 3 x+ x +)( 1 x 2)(2+ 7 − x+ =  )2 ( x +)(1 2 x) + 2 2 dx ( x +)( 1 x+ 

y′ = −

x

22 +2 0 x +4 x 2 ( x +)(1 2 x) + 2 2


ln y =ln

( x +)( ) 4 ( )(x + 3) x + 4 3 x+ (+ +1)(x 2) x = ln = ln (+ x 3)(+ x− 4 ) ln ( x +)( )2 1 x+ 1 x+ ( x +)( )2

ln = ln (− x 3)+( l n− ) − x4 ( l) n− −(1 x)−

2

x

Así,

d dx

ln y =

= 15. y  x

1 dy

d

y dx

dx

=

( l)−n − (1 x)ln (ln −( + x 3) (− l n− ) x4−

−22 −2 0 x −4 x)(

( x −)( )( 1−2− x3 − 4

2

x

)

x2

)x

ax


dy dx

= y′ =

d

x ax = ax axx

dx

−1

(

y′ = a x+ax

a x

d

) dx

x ax +x

ax= ln x+ ax ax 1( ln

ln x

d

ax

dx x)

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) ln y =ln x ax = ax ln

x

Así,

d dx

ln y = ( a)

1 dy

y dx

d dx

ln x

= a lnx +ax

x d ln x dx

= a ln x + a dy dx

= ax ax (1 + ln x)

16. y = ( 7 − 4 x 2 )

5− x 2


dy dx

= y′ =

d ( 7−4x2)

5−x 2

dx

16 3

  

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

5−x 2 −1 d (−7)4 ( ) 7 4 x2 − + dx

=− 5− x 27 (4 ) 8 −x 5 − x72 4(

y′ − =

) + x2

5−x 2 −1

2 ( )ln 74 −x2 5 x−

5−x 2

− ) x ( 7− )4 x 2

(

d

x2

x2

dx

5−x 2

ln7 4 − x 2

5− x2


(4 ) x 2 =5−−x 5 (−ln)7 x42 ln y =ln7−

x2

Así,

d dx

ln y =

1 dy

y dx dy dx

=

d dx

5 − xln27 4( − x 2 )

5− x2 −xln7 (4 − x 2 ) − 8x (7 − 4 x 2 ) 5− x2

) x 2 +5− x

−x72 4(

= −8 x 5−

2 −1

(

− ) x ( 7− )4 x 2

5− x2

5− x 2

ln7 4 − x 2

 x + 1 − x 2      x − 1 − x 2 

17. ln  


dy dx

= y′ =

=

d dx

 x + 1 − x 2    x − 1 − x 2 

 ln 

x − 1− x 2

d  x + 1 − x 2 





=



 x + 1 − x 2 dx  x − 1 − x 2  



 x − 1 − x 2 1 − x  − +  x −1  x − 1 − x 2  1 − x 2 

(

 x + 1 − x 2 

)

(

)

(x −

 

2  x+ 1

2

1− x 2 )

( x − − 1 1 )( x12 − − ()x−2 +1x − 1)(x − +)x2  = x + 1 − x 2  1− x 2 ( x − 1− x2 ) y′ =

x2

2

(1 − 2 x 2 ) 1 − x 2


dy dx

= y′ =

d dx

x

 x + 1 − x 2  d d  = ln (+ x 1− −) (x 2 − −1) x  x − 1 − x 2  dx dx

ln 

x2

1 d 1 d 2 2 y′ = x + 1 − x 2 dx ( x + )1 − x − x − ( 1−)x 2 dx x − 1− x

16 4

   

1 − x 2 

x 

 

UNIDAD Derivación de funciones 1   1   x x −  1 − 2 1 + x + 1 − x 2  1 − x  2 x − 21 − x  1 − x 

=

1− x 2 − x

=

1 − x 2 ( x + 1)− x 2

1 −)x 2 x − 1 − x 2

2) (− x −1−()x 2+ −x )( 1− x+

=

1

x2

x

(1 − 2 x 2 ) 1 − x 2 2

y′ =

18. y =

1− x 2 + x

−

(

(1 − 2 x 2 ) 1 − x 2

a + bx x 3 b + ax


dy dx

= y′ =

a + bx

d

dx x 3 b + ax xb 3 b + ax 2 a + bx

=

  3 + + a bx +  b +ax 

 ax  2   ( ) 3 3 b + ax 

2

x 2 (b + ax) 3 y′ =

a8x 2 b+ 9x ab2 +6 11 x( + 4

6 x 2 (b + ax) 3

2

)

a + bx


a + bx ln= x 3 b + ax

ln y = ln

=

1 2

3 x+b = ax ln + a− bx−ln xln +

+ a − bx ln

1 ln (+a )bx − −lnx (+ ) b lnax 3

Así,

d dx

ln y =

= = = =

1 dy

1 dy

y dx

2 dx

+ ln −(− a ) bx

=

b 2(a + b) x

dy

=

ax

a

1

− − x( ) 3 b + ax

) a2 bx 3bx (b + ax −) (+ 6b )(+ ax − a) bx(+ ax )( a +) bx 6 x ( b + ax 8 ax2 + 9bx a2 b+6 11( x +

2

)

)( a +) bx 6 x ( b + ax a + bx  8 ax2 + 9bx a2 b+6 11( x +



x 3 b + ax  dx

1 dy dy ln+ x( ) ln b 3 dx dx

6 x ( b + ax )( a +) bx

8 ax2 + 9bx a2 b+6 11( x + 4

6 x 2 9 b + ax 3

2

2

)  

)

a + bx

16 5

b ax

3

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

19. y =

MANUAL

DE SOLUCIONES

x a2 − x 2 a2 + x2


dy dx

d x a2 − x 2

= y′ =

dx

a2 + x 2

 

a 2x2+ a2x2 

=

−

x   − x a 2 − x 2    a 2 + x 2 

x2

−

a 2 − x 2  a2 + x 2

a 2x2+ a2 ( x2− 2

)

a2 − x 2

=

 x 2 a 2 − x 2  −    a 2 + x 2 

a2 + x 2

2)(x − 2 x2 )2− a(x+2 2 a − a x2(2

y′ =

3 2 2 a

(a 2 + x

) x

) 2

2

−


x a2 − x2 ln = a2 + x 2

ln y = ln

ln x x a−2 2−

2 2

+ =a ln+ ln x 2−2 −x

2 2ln

+ = a +x ln2 2− a−

Así,

d dx

ln y =

=

d ln+ x dx 1

x

−

dy dx

20. y =

=

ln (a 2 −−

2

2 dx

x

(a2 − x 2 )

( )2 2 = a−x =

1 d

2

2

−

1 2d 2 ln (a 2 dx

x+)

x )

x

(a 2 + x 2 )

2 2

2

(2)2 2

a+( x− )x( a2+ ( x− ) x a−x x a 2− x 2)( a2 + x )

2)( 2 2)2 2( 2 ) (a+2x2 a− x− x − ax x ( a 2 2− x 2)( a2 + x ) 2)( − (a+2x2 a− x2 2x)2− a2(x2

(a 2 + x

)

3 2 2 a

) x 2−

2

x 3 92 + x2 20 − 3x


dy dx

= y′ =

d  x 3 9 2 + x 2 



dx 



 20 − 3x  

=

=

20 − 3 3x  x 281 

+ x2 +

y′ =

3 x )29

2

(20 −3

2

x

+ x2

3 (+ + x 2 (20 −3 x)243 72 ) x232(+ )x 9 2 3 x )29

 − x 3 92 + x 2   

3 x+ (3)2 2)2 x 9

2 (+ + (20 − 3 x )3( x81 x4 )2+

(20 −3

x4

81 + x 2  (20 − 3 x )

+x

x

2

16 6

−3

 

2 2 0 −3 x 

2 2

x +

x

1 2

ln ( a

x )

1 2

ln ( a

x )

UNIDAD Derivación de funciones Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad)

ln y =ln

x 3 92 + x 2

3 2 lnx + 2 ln = ln x 32 29+ − x ln−20 = 3+ −x9 −

20 − 3 x 1

= 3 ln+x

2

ln (− 92 +

1

) x 2−

2

ln (20

ln 20 x 3

3 x)

Así,

d dx

d ln y =3+l n x dx

1 d

+−ln (9 2

x

3

1 d

x−2 )

2 dx

2 dx

ln (20

3 x)

3

= x − (92 + x 2 ) + 2(20 −3 x)

)22 69( +

= =

dy

2 x9(

2

x

2 x9(

2

2 + 3 (x9 )2 )2 x )( 3 − x) + x 220

x

3 (+ + 72 ) x232(+ )x 9 x 2 (20 −3 x )243 2 3 x )29

(20 −3

x

)( 3 − x) + x 220

(20 − 3 6x9)(+( −2 )2+ 2x

=

dx

2) x 20( −3 − 2x (2 − 0 x)3+( )22 3 +9 x

2

+

x

x2

VI. Encuentra la derivada para las siguientes funciones trigonométricas directas. 1. y = sen 1 − x 2

dy dx

=

d dx

d

sen − 1 = x 2 cos −1

−x 2=1−

x

x2

dx

cos 1 − x 2

1− x 2

2. y  cos ax2

dy dx

=

d dx

2 cos ax =2−2 sen ax

d

=− ax

dx

2

2 sen ax

ax

3. y = tan a 2 − x 2

dy dx

=

d dx

tan − a 2= x2

d 2− = 2 −

2− sec a2 x2

a

dx

x sec a2 − x2

x

4. y  cot3x2

dy dx dy dx

=

d dx

= −2 x c ot 2 x2 csc2

5. y = a sec

dy

22 2d 3cot x = cot − x22 dx

cot=32x

=a

dx

2

22

cot

2

csc x

d

x

dx

x

x

x a

d

sec

dx

x

x

x

a

a

= sec tan

a

6. y = csc ax

dy dx

=

d dx

csc = ax

1 2

d

= −csc ax

csc ax dx

acsc ax cot ax 2

csc ax

16 7

2

a2 − x2

x

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

7. y  3 sen 2 x

dy dx

=3

8. y =

dy dx

1 3

=

d d sen 2 x = 3cos 2 x 2 x6=cos 2 dx dx

x

cos 32 x

1 d

d

3 dx

dx

= cos 32 x cos 22 x=cos − 2 x cos 2 2senx 2

d

2x

dx

x

dy = −2cos 22 x sen 2 x dx

9. y =

dy dx

tan ax

=

d

tan ax =

dx

d

1

2 tan ax dx

tan ax =

sec 2 ax 2 tan ax

10. y = 3 csc2 x

dy dx

=

d

3

dx

csc2 = x

d

1

csc2 xcot 2 x

= − csc2 x

3 3 csc 22 x dx

3

=−

3 csc 22 x

d dx

2x

2cs c2 xcot 2 x 3

3 csc 22 x

a

11. y =

cot ax

dy d = dx dx

a

a

=−

cot ax

2 cot

3

d = cot ax ax dx

a 2 csc ax 2

cot 3 ax

12. y  2x tan 2 x

dy dx

=

13. y =

dy dx

d dx

d 2 xt an =2 x 2 + x tan=2 dx

d x2tan 2 +2x = secx 2 +2 2 x 2tan x2 dx

2 4 sec x 2 x 2tan 2x

tan ax

=

ax

d tan ax dx

ax

=

d ax tan dx

axtan −a

ax

a2 x 2

=

2 a − tan a 2x secax ax

a2 x2

14. y  2x2cos x2

dy d d 2 2 2 2 cos dx = dx 2 x cos=x 2 x + dx

2 3x= 4− cos2x

+x 42 sen x

4 cos x

16 8

x

x

x

UNIDAD Derivación de funciones 1 +sen 2 x  15. y = ln    1 −sen 2 x  dy dx

= = =

dy

d dx

1 +sen 2 x  d ( x)  x − sen 2 x  = dx ln+1 sen−2 −

ln 

d

1

1 + sen 2 x dx 2cos2 x 1 + sen 2 x

2cos2 x 1 − sen 2 x

=

1

d

1 − sen 2 x dx

x)

(1 − sen 2 x)

2c os2 x −2 sen 2 cx os2 x +2c os2 x + 2 sen 2 c os x 1 −sen 22 x

cos2 x

=4

dx

+

(1 + sen 2 x) −

d 1 ( sen 2 dx

1 −sen 22 x

16. y  sen 5 x cos 3 x

dy d d d = sen 5 x=cos3 + x sen 5 x cos3 = x cos3 + x sen 5 dx dx dx dx

x3s en 5 s enx3

3cos3 cos5x x

x

17. y = ln sec4 x

dy dx

=

d dx

d

1

ln =sec4 x

=

sec4 x dx

sec4 = x

d

1

2sec4 x dx

sec4 x

2sec4 ta x n4 x sec4 x

2

18. y = e x cos 2 x

dy dx dy dx

=

dx dy dx

2

2

x sen

d

dx

=

(

1

x

2

dx

=

21. y =

1 3

e

x

dx

)

(cos

cos ex 2

x

d dx

x2

x2

+e

x

d dx

x +sen

(

sen= x sen

+x )

d dx

e

1

x

x

2

e

x)

x a

d 

x lncot  = a

dx 

x csc 2 d  x a cot  = − x dx  x  a cot a cot a a 1

cot 3 x −cot x + x

dy = 1 d ( cot −3 x+) dx 3 dx dy

xx 2e sen2

x

= = e x sen x

20. y = ln cot

dy

d d2 2 2 e x + cos 2 x = cos−2 x +e x dx dx

2

e x cos =2 x

= −2 e x sen2 x x +2 cos2 ex

19. y = e

dy

d dx

d( cot =) x dx

= −cot 2 xcsc 2+x csc +

2

d + x cot + () dx

2 xcot d

dx

csc x

1

x1

16 9

2

x

x

cosx e

x xsen

d dx

x

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

1 −sen x

22. y = ln

dy dx

=

DE SOLUCIONES

1 + sen x

d dx

1 −sen x

ln

1 + sen x

1 d

=

2 dx

(ln−(1 sen − +x ) ln 1( sen

x)

 1 1 1 d d (1 −sen x ) − (1 + sen x ) =   2 1 −sen x dx 1 + sen x dx 1 cos x cos x  = − −  2  1 + sen x 1 −sen x  sen cos x = − cos x −sen xcos x +cos 2 x + 2 − 2sen x

dy dx

=−

x

cos2 x 1 −sen 22 x

23. y  ax  cos bx

dy dx

=

24. y =

dy dx

=

25. y =

dy

x 2

d dx

(ax +

d

cos = bx + )a

=−cos bx a sen bx dx

cos x

d  x

 1 +x  cos x  = cos  2

x

dx  2

d

1

x

2 dx

2

2

)x

d cos3 dx

=− cos x

sen x

sen 2 x cos3 x

=

dx

d sen 2 x

d (sen)2 x −sen 2( dx

cos3 x

=

x

=

2

dx cos3 x

2co s3 xco s2 x −3sen 2 xco s3 x 2

cos 3 x

cos 3 x

26. y  10x sen x

dy dx

=

d dx

10 xsen = x 10+x

d d sen =x sen+ x 10 dx dx

x10

x cos

10 x sen x ln10x

27. y  csc3 2x

dy dx

=

d dx

d 2 csc= 2 x 2c sc2 x =csc2 − x dx

4c sc 2 2 cot x2

x

28. y  exsen2x  cos2 x

dy dx dy dx

=

d dx

e x (sen +x2 = x e2 ) cos

= 2 e x (cos− x2

29. y = tan 3 (e x

2

+ sen x e)(2

+

 d  sen2( dx

x

xx e2 sen = )(

x+

cos − x 2

x

 

d

xsen +2

) cos 2

)x

dx

x 2 3cos

d 3tan (= ) 2 e(x)2 tan dx

3tan ( ) e x(2 = )

2

sec ex2

30. y  ln cot ax

dy

=

d dx

x

d dx

ex

sen2

)

dy = d = tan 3 (e)x 2 dx dx

dx

cos x+ 2

lncot = ax

1

d

=(− cot ax )

cot ax dx

a csc 2 ax cot ax

17 0

2

( e)x 2 ( )d

dx

6e x2 extan ex 2 sec2 e

x2

2

x2


31. y =

sen 2 x

a

dy d sen 2 x 2c os2 x = = dx dx a a 32. y  x tan x

dy dx

=

d dx

d x tan = x +t an x =x +tan x t an x sec x dx

2

x

1 sen x 33. y = + 1 −sen x Al aplicar logaritmo a la igualdad, se tiene:





1 +sen 2 x   ln y =ln   x − sen 2 x  Así,

d dx

ln y =

= =

1 dy

y dx

dy

34. y =

d dx

1 +sen 2 x  d ln (1 sen−2 − x)  x − sen 2 x  = dx +

d

1

2cos2 x 1 + sen 2 x

=4

d 1 ( sen 2 dx

ln 

1 + sen 2 x dx

=4

dx

=

+

(1 + sen ) 2x − (

1

)

d

1 − sen 2 x dx

2cos2 x 1 − sen 2 x

=

1 − sen 2 x

2c os2 x −2 sen 2 cos2 x x +2c os2 x + 2sen 2 cos2 x 1 −sen 22 x

cos2 x 1 −sen 22 x

1 + sen x   

cos2 x

1 −sen 22 x  1 −sen x 

1 + tan x 1 − tan x

Al aplicar logaritmo a la igualdad, se tiene: 1 +tan x

ln y =ln

=

1 − tan x

1 2

( ln+(1

tan −) x(− ln 1) tan

x

)

Así,

d dx

1 dy ln y = = y dx

1  d

1 −tan) x (  + ln (−

2  dx

d ln)1 t an dx

 x  

 1 1 1 d d =  tan x + tan x   2 1 + tan x dx 1 − tan x dx 1  sec2 x sec2 x  sec 2 x  = =  + 2 1 + tan x 1 − tan x  1 − tan 2 x

dy dx

=

sec 2 x

1 + tan x

1 tan 2 x

1 tan x

−

x)

−

17 1

x

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

1 + cos x

35. y =

1 −cos x

Al aplicar logaritmo a la igualdad, se tiene: 1 +cos x

ln y =ln

1 (1 cos = (ln+ − x−) ln 1( cos

1 −cos x

x))

2

Así,

d dx

ln y =

1  d

1 dy

1 −cos x )  + ln (−

=

2  dx

y dx

 

d ln 1 ( c os dx

x )

  1 d cos x + 1 d cos x  = 12 1 + cos  x dx 1 − tan x dx 1  −sen x −sen x  sec 2 x =  + =− 2 1 + cos x 1 − cos x  1 −cos 2 x

dy dx

36. y =

=−

sec2 x

1 + cos x

1 −cos 2 x

1 − cos x

cos 2 x 4 + sen 2 x

Al aplicar logaritmo a la igualdad, se tiene: cos 2 x

ln y =ln

4 + sen 2 x

sen 2 x ) = ln (cos 2 x ) −ln 4( +

Así,

d dx

ln y =

=− dy dx

d

1

cos2 x dx

=−

cos2 x −

2 sen 2 x cos2 x

−

d

1

4 + sen 2 x dx

2cos2 x 4 + sen 2 x

8 sen 2 x +2

=−

sen 2 x

8 sen 2 x +2sen 22 x + 2cos

) 2 x cos2 x (4 +sen

cos 2 x

cos2 x (4 +sen 2 x ) 4 + sen 2 x

=−

2

8 sen 2 x +2 x =− ( )cos2 x 4 +sen 2 x

8 sen 2 x +2 (4 + sen 2 x )2

37. y  cos ln x2

dy dx

=

d ( 2) cos ln=x−

dx

38. y = a cos

d sen ln x 2 = ln − ( ) x2 dx

sen ln

− )2(

x2 d

x

dx

2 sen ln x2

x2 x

x

dy d = a cos =x− dx dx

asen

d x =− x dx

a sen x 2 x

39. y  csc 2 x cot 2x

dy dx

=

d dx

d csc2 xc ot =2 x csc2 + x cot 2 dx

d xcot =2− xcsc2 − dx

x 2c sc 2

3

csc2 x cot 2 x

40. y  ln sec3 3x

dy dx

=

d dx

= 3 3 x) ( lnsec

1

=

d ( 3 ) sec=3 x

sec 3 3 x dx

3

d

sec3 x dx

(sec3 x)

17 2

9 tan 3 x

2

x


41. y =

dy dx

tan 2 ax

a2 + x2

=

(a 2) +2 xtan 2d

d  tan 2 ax 

dx

 =  dx  a 2 + x 2 

(a 2 +x

2

a +x

(a 2 + x 2 ) d 2 tan ax − 2 xtan ax dx 2

(a + x 2 ) 2

=

d dx

2

) 2 tan ax

= dy

2 ( 2) 2ax tan ax −

aa( x22 +

2 ) 2 tan ax

dx

sec ax 2x

− 2axt an

(a 2 + x 2 )2

42. y  ax csc ax

dy dx dy dx

=

d dx

( a x )cscax

d

x

a=

dx

d

csc ( )ax )c(+sc ax

dx

ax

=a x1 csc ax cot ax  ax csc ax ln a

43. y  sec2 2x

dy dx

=

d dx

d sec 2 2 x =2s ec 22 x sec2 dx

x= 4s ec 2 3 t an x2

x

44. y = 1 + sec 2 ax

dy dx dy dx

= =

d dx

(

)

1 + sec 2 ax =

d

1 2 1 +sec

2

ax dx

sec ax

(1 + sec 2 ax ) =

d

1 + sec 2 ax dx

(sec ax )

a sec 2ax tanax 1 + sec 2 ax

45. y  csc 3 2x

dy dx

=

d dx

d 32 csc= x 3csc 22 x=csc2 − dx

46. y = x 2 sen

dy dx dy dx

=

x 6c sc 2 3c otx 2

x

1

x

d 

1 1 +  x 2sen  = 2 x sen x x

dx 

= 2 x sen

1

x

− cos

d 1 x 2= sen+ dx x

2 x sen

1

x

x 2 cos

1

d  1  



x dx  x 

1

x

47. y  tanx  3x2

dy dx

=

d dx

2 (x = )(2 3x+) =2x+ tan+ 3 )+ x 2 (sec

d 3 x (+21x)62 sec( dx

3x)

x

x

48. y  x2sen 4 x

dy dx

=

d dx

(x2

sen =4 x) +2 sen x 4

= x

d x2 +sen(4 dx

x2) sen 4x

4 xcos 4x2

x

49. y  sen3 a  bx

dy d 3 (= ) = sen+ a+ bx dx dx

d ( )a2( bx )+( 3 sen )b 3sen += ) sen+ ( a bx dx

17 3

a 2 bxcos a bx

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

VII. Aplicando la derivación logarítmica, encuentra la derivada de las siguientes funciones y comprueba los resultados por medio de la derivación por fórmula directa. 1. y  xcos x Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) ln y =ln x cos x =cos lnx

x

d d d ln y = cos ln x= x cos + x ln dx dx dx dy

= x cos x −1 cos x −cos x

xln

d ln x= − cos x dx xsen

cos x

x

ln x sen x

x

x

dx Solución por fórmula directa:

dy dx dy dx

=

d dx

x cos x = xcos

x1−

= x cos x−1 cos x −cos x

cos x +cosx xln

xsen

lx n x

d cos x dx

x

2. y  sen axx Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) x

( ln y =ln sen ax ) = ln x sen

ax

Así,

d dx

d x =ln sen+ ax ln sen ax = dx

ln y =l n sen + ax

dy

) ax xln sen ax + ( ) cos = (sen ax a x

dx

sen ax

+

x

d

sen ax dx

sen ax

lnsenax

ax cos ax sen ax

x −1

Solución por fórmula directa:

dy dx dy dx

=

d dx

(sen) ax(

) = ax (senax

3. y = ( tan x )e

x

)=x senax

x −1

(

d )sen dx

x −1

x

sen axl n sen ax ax +

x

( ) +sen cos ax ax

ln sen ax

x

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) ex

( ln y =ln tan x)

x tan = eln

x

Así,

d dx

ln y = e x

dy dx

d d ex d ln tan + x l n tan = x e x+ = + tan x tan x dx dx dx e x −1

= e x ( tan x)

xesec x(2 ) + xxtan

exlnt an x

ex

ln tan


dy dx dy dx

=

d dx

( tan ) (x

= e x ( tan x)

ex

x d ) ex tan x e (−1) tan =

dx

e x −1

xsec e x(2 ) + xxtan

x+ tan

ex

lxn tan

x

d dx

ex

ln tan

17 4

ex

e x sec2 x tan x

e x lntan x


4. y = (sen x 2 )tan x

2

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) tan x 2

( ln y =ln sen x2 )

= tan lxn2sen

x2

Así,

d

d 2 2ln sen 2 ln sen x + dx

ln y =tan x 2

dx

=

tan x 2 d

= 2x

tan

sen x 2

x

cos x 2 +2 xlns en2 2x sec

x

= 2 x + 2 xlns en x 2sec dy dx

x

sen x 2 +2 xlns en2 2x sec

sen x 2 dx

x2

d x tan dx

2

x2

tan x 2

= 2 x (sen ) x 2

(+ 2 ) sen x

tan x 2

x2

secx2

ln sen

2

x2


dy dx

=

d ( ) 2 sen x

tan x 2

5. y =

d sen dx

(+ 2 ) sen x

tan x 2

x2

ln sen

tan x 2

+ x 2sen tan x 2

cos ( x)22+ sen x

tan x 2

x2 ln sen secx2

2

x 2 ln sen sec x2

2

tan x2

d dx

x2

x2

x2

2

1− ax cot

ax sec

x2 ( )

tan x 2 −1

( ) x2 = 2 xtan x 2sen = 2 x (sen ) x 2

tan x 2 −1

2 (=)tan xsen

dx

csc 3 ax


ln y =ln

2

1− cot ax

sec ax

2 = lns ec ax 1 −cot ax

csc 3 ax

−3lnc sc ax

Así, 1

= lnsec+ax − − ln (1 c otax2

) 3lncaxsc

2

d dx

ln y =

d ln sec+ax − dx

1 d 2 dx

ln −(1 c ot 2 ax ) 3

ax

3 d ( d sec ax + 1 −cot 2 ax ) − = (csc ax ) sec ax dx csc ax dx 2 (1 −cot 2 ax ) dx 1

d

d lnc sc dx

1

= a tan ax +

2−cot

ax

d

2 (1 −cot 2 ax ) dx

acot ax csc ax 2

= a tan ax + dy dx

(1 −cot 2 ax )

cot ax +3a cot ax

+ 3a cot ax

 sec ax 1 −cot ax  cot axcsc ax a + 3a cot ax a tan ax + (   csc 3 ax 1 −cot 2 ax ) 2

=


dy dx

=

2 d sec ax 1 −cot ax

dx csc 3 ax

=

3

csc ax

csc 3 ax

=

d sec ax12 cot − ax sec − a2 3x 1 cot−ax dx csc 6 ax

d sec ax12 cot − ax sec − a2 3x 1 cot−ax dx csc 6 ax

d csc dx

17 5

ax

d csc dx

ax

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

 

 sec csc 3 ax a a x tan ax = dy dx

=

1 cot − ax

2

sec ax

+

2 1 −cot 2 ax

a (−2cotax )(−cscax2 csc 6

2  sec ax 1 −cot ax

 )a+3 ax sec 

ax

 + 3a cot ax  a tan ax +  (1 −cot 2 ax ) 

csc 3 ax

a cot ax csc ax 2

tan 22 x

6. y =

1 + sec 22 x

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) tan 22 x

ln y =ln

1

1 +sec 22 x

= 2ln tan 2 x − ln (1 +sec 22 x) 2

Así,

d dx

d 1 d lnt an 2 x − ln (1 +sec 22 x) dx 2 dx

ln y = 2

=

d

2

tan 2 x −

tan 2 x dx 2

= dy dx

4sec ax tan 2 x

sec 2 2 x

2

−

4se c 2 x tan 2 x 2 (1 +sec 22 x) 2 2  4sec ax − 2sec 2 x tan 2 x  (1 + sec 22 x ) 

tan 22 x

=

d

1

2 (1 +sec 22 x ) dx

 1 + sec 22 x  tan 2 x


dy dx

=

1 + sec 22 x 4 tan 2 se x c 22 x −

tan 22 x

d

dx 1 + sec 22 x

=

4tan 22 se x c 22 xtan 2 x 2 2 1 +sec 2 x

(1 + sec 22 x)

dy tan 22 x  4sec 2 ax 2sec 2 2 x tan 2 x  dx = 1 + sec 22 x  tan 2 x − (1 + sec 22 x)  1

 1 sec x  csc x 

7. y = 


 1 sec x 1 1 ln y =ln  = ln = cos x lnsen x  csc x  sec x csc x Así,

d ln y dx

d  d =  cos xl nsen x +cos x lns ( en x )  dx  dx = −sen x lnsen x +

cos x sen x

cos x

 cos x cos x  = (sen x ) −sen xlnsen x + cos x    sen x dy

) x = −(sen

cos x1+

cos 1 x −

( ) x +se n x ln sen

cos

2

x

dx Solución por fórmula directa:

dy dx dy dx

=

d dx

(sen ) x

) x = (sen

cos x

cos x

1 x− d (=)cos x sen cos x( ) sen dx

cos( 2)x −sen

cos

x

1 x+

ln sen

cos

x+ sen

x

x ln sen

x

17 6

d cos x dx

x

2 3 1 cot ax− a csc x axcot

UNIDAD Derivación de funciones 8. y  tan 2x2x Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) 2x

ln y = ln (tan 2 x)

= 2 lnt x an 2

x

Así,

d ln y dx

d

= 2l nt an 2 x +2 x lnt an 2 x dx

= 2ln tan 2 x +

2x

d

tan 2 x dx

tan 2 x

2

= 2ln tan 2 x +4 xsec 2 x tan 2 x

dy dx

2x

) 2 x lnt an 2 x + = 2 (tan 4( )s xec 22 tan x 2

x

2 x −1


dy dx dy dx

=

d dx

x − d2 x ( )tan 2 dx

1 2 ( tan)2 x 2( x = )2 xtan 2

= 4 x (tan)2 x

2 x −1

2x

sec (22 )x 2+tan 2

x

tan x +2

xlnt an 2

ln xtan 2

2 x

d

x

dx

x

9. y  ln axcot 2 x Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) cot2 x

ln y =ln ln ( ax )

= cot2 lnxln ( ax)

Así,

d ln y dx

d  d ( ) ax +cot 2 (x)ln ln =  cot 2 xln ln  dx  dx cot 2 x d

= −2cs c 2 2 xln (ln ax) + = −2cs c 2 2 xln (ln ax) + dy dx

= −2 csc 22 xl(n )ax

ln ax dx

ax

ln ax

acot 2 x ax lnax cot 2 xln( ax +

cot2 x

( ln )ln

cot2 x −1

ax) x


dy dx

=

d dx

( ln ) ax

cot2 x

cot2 x −1

= dy dx

cot2 1 x −

) 2 x lnax =(cot

cot 2 x (ln ax)

ax

d dx

()

cot 2 x (ln ax)

x

d dx

cot 2

ln ax +

axln ln

cot2 x ax − 2 (lnax ) ln ln ax ( cscx 2

cot2 x −1

=

ln

cot2 x

− 2 (ln ax)

ln ln( axcsc 2x

x

ax cot2

d dx

)

)

ex

10. y = (sen x )


( ln y =ln sen x)

= elnx sen

x

Así,

d ln y dx

=

d dx

d ) ( e x ) ln+sen x (ex=

dx

ln sen + x

x sen eln () x

ex

d

sen x dx

17 7

sen x

x

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

= e x lnsen x + dy

ex

= e x (sen x)

dx

e x cos x sen x e x −1

ln xesen(x ) + xxsen

cos


dy dx dy dx

=

d dx

(sen ) (x

= e x (sen x)

d ) e x sen x e (−1) sen =

ex

x

e x −1

xecos(x )+

ex

xs+en

dx

lx n sen

x

d dx

ex

ex

xsen x

ln sen

11. y  cot x2x Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) 2x

( ln y = ln cot x)

=2 lnc x ot

x

Así,

d ln y

d

2x

= 2l nc+ot x 2 x =lnc ot+ x 2l nc ot x

dx

dx

2

2 xcsc

= 2lncot x − dy

) x = 2 (cot

dx

d

cot x dx

cot x

x

cot x

2x

lnc ot x −2()csc x

2 cot

x

x

2 x −1


dy dx

=

d dx

( cot) x

2x

dy = −2 x (cot ) x dx x 12. y = ( cos x)

1 2 x − d2 ) =(2 x)cot (x )( cot

dx

2 x −1 csc (2 )x + 2 cot

x

x cot +

xln2 xcot

ln x cot

2x

d dx

x

x

2


( ln y =ln cos x)

x2

= xln2 cos

x

Así,

d ln y dx

d

= 2 xln cos x + x 2 ln cos x dx

= 2 x lnco s x + = 2 x lnco s x − dy dx

x2

d

cos x dx

cos x

x 2sen x cos x

x2

2 ) x lnc os x − ( )xsen = 2 x (cos cxos

x

x 2 −1


dy dx dy dx

=

d dx

2 2 d ( cos ) x x ( =) x 2 cos x (x ) cos xc+os dx

) x = −x 2 ( cos

x2

)2 xcos sen (x +

x2

x lnc os

x2

xln cos

x

x

17 8

d dx

x2

UNIDAD Derivación de funciones ex

13. y = (ln sen x )


ln y = ln (ln sen x )

x = eln lns ( en

x)

Así,

d ln y

d e(x = ln ) ln sen ( + )x dx

= e x ln (ln+sen ) x

dx

ex

= e x ln (lnsen x ) + = e x ln (lnsen x ) + = e x ln (lnsen x ) + dy

d

elnx ln sen

d

lnsen x dx

lnsen x

lnsen x

lnsen x dx ex

d

sen x

sen x lnsen x dx

e x cos x sen x lnsen x e x −1 x cos

ln(sen

ex

x)

= e x ( ln sen x ) ln (lns en x) +

dx

ex

x

e

x

sen x


dy dx dy dx

=

d

x

dx

( ln sen ) x( e )= ex ln sen x(e

d ) lns en dx

x −1

e x −1

=

e x cos x (ln sen x)

ex

xln lns en (

x+ ln sen

x)

d dx

ex

ex

+ e x ( ln sen x ) ln (lns en x)

sen x ecos2 x

14. y = (ln cos ax )

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) ecos ax

ln y =ln ln ( cos ) ax

(= ecos ) lnaxln cos

ax

Así,

d ln y

=

dx

d dx

ax ) e (ecos ax ) ln (ln cos

= ecos ax

d dx

+cos(2

dx

(cos ax )ln (lncos ax ) +

= −aecos axsenax ln (lncos ax ) − dy dx

= −ae

d

) ln ln cos ax

x

ecos ax

cos ax ( ln cos

ax )

ecos ax

lncos ax

aecos axsenax cos ax lnco sax cos ax−1

)e ae

( ax lncos

ln lnc (axos

sen ax

d

lncos ax dx

)−

sencos axax

cos ax


dy dx

=

d dx

=−

ecos ax

( ln cos ) ax

(

cos ax −1

(e )

d ln cos axl+n cos ax dx

sen ax

− ea

cos ax

cos ax ( lnc os

)e

ex

d

ax

lns en x + ln ( sen ) x( ln lns ) en dx

e x cos x (ln sen x) sen x

ax

d

e x −1

=

cos ax ln cos

cos ax −1

cos ax

= e x ( ln sen x )

dx

)e

aecos ax ( ln cos ax e x −1

dy

)e =

x

dx

ex

+ e x ( ln sen x ) ln (lns en x)

17 9

ex

ecos ax

ln ln cos ( ax

ln lnc (ax osax sen )

)

d dx

ecos ax

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

15. y  tan axcot ax Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) cot ax

( ln y =ln tan ax )

cot lax n tan =

ax

Así,

d ln y dx

d d cot ax + cot( ) ax ln tan dx dx

= ln (tan ) ax

cot ax d

= −a ln)(tanax cscax +2 dy dx

ax

= −)(tan ax

a ln+ tanax cscax 2 a

tan ax dx

( cot ) = −a ln (tanax c )sc ax2 tan ax

ax ) a( + ax tan

cot

1 ax

−

axtan +

cot ax

cot

asec x

2 ax

tan ax

2

axcot axsec


dy dx dy dx

=

d dx

( tan ) ax

cot ax

(=cot ) ax tanax cot ax−1

= a cotax ta(an)x

2)

sec ax( a

cot ax 1

( )

− axtan

−

d tan dx axcot

ax ln tan a xcsc

ax ln tan 2

1 −cos x

16. y =

1 + cos x

Solución por derivación logarítmica: (se aplica logaritmo a la igualdad) 1 −cos x

ln y =ln

1 + cos x

1

(1 −cos x+ ) ln 1( cos = (ln−

x))

2

Así,

d ln y = 1  d ln −(1 c−os x+) 2  dx dx

dln 1 ( cos dx

x )



1 

 1 −1 d d =  cos x − cos x   2 1 −cos x dx 1 + cos x dx 1  sen x sen x  sen x =  + = 2 1 −cos x 1 + cos x  (1 −cos x )1( +cos x)

dy dx

=

sen x

(1 −cos x)1( +cos x)3


dy dx

=

=

d

1 −cos x

dx 1 + cos x

=

1 1 + cos x  d  1 −cos x     2 1 −cos x  dx 1 + cos x 

 d )+ (1)+cos x − 1( cos − − )( x 1( cos dx   2 1 − cos x  (1 + cos x)2  1 1 + cos x 

1 1 + cos x (1 +cos x)sen x +1( c−os sen x) = 2 1 − cos x  (1 + cos x)2

d x1 cos dx

x 



 dy 1 + cos x  sen x sen x  =  = dx 1 − cos x (1 + cos x)2  (1 −cos x )1( +cos x)3

18 0

 x     

axcot

d dx

ax

UNIDAD Derivación de funciones VIII. Encuentra la derivada para las siguientes funciones trigonométricas inversas. 1. y  arcsen ax2  bx  c

dy dx

=

d dx

arcsen(ax +2+=bx c

dx

=3

d ( ax 2 +bx c+ dx

)

1 − ( ax +bx) + c

(

2

2. y = 3 arccos

dy

)

d dx

2 ax + b

=

2

2

1)− ax 2 +bx c+

x 4

arccos

x 4

d  x    dx  4 

=−

2

1

=−

 x 1 −    4 

2

1

=

16 − x 2

 x 4 1 −    4 

3. y  x arctan x

dy dx

=

dx x x arctan x = arctan x + x dx 2 = arctan x + dx 1+ x 1 + x2 d

4. y  arctan 2 x  arccot 2 x

dy dx

=

d dx

arctan 2 x +

d dx

d ( ) ( d) 2 x 2x arccot 2 x = dx − dx =0 1+ 4 x2 1 + 4 x2

 ax  1 5. y = a arccot  2 

dy dx

=

1 d

a dx

d  ax    1 1 dx  2  = − 22 x22 a 2 xa 1+ 1+ 4 4

 ax  1  2  = − a

arccot

=−

2 4 + a2 x 2

1 + x 2    1 − x 2 

6. y = arccsc

dy dx

=

d dx

=−

arccsc

1 + x2 1− x2

d 1 + x 2    dx  1 − x 2 

=−

2

1 + x 2 1 + x 2   − 1  1 − x 2  1 − x 2 

(1 − ( x)2 ) 2 x 2 )()1x− + ( 2− (1 − x 2 ) 2

2

=− dy dx

=−

(1 + x 212) +

=−

+ x1 −− x42 +2

2

1 + x 2 1 + x 2   − 1  1 − x 2  1 − x 2 

(− )1x+ − ( 2 ( x)2 ) 1 2 x 2 )(− 2

2  (1 + x 2 ) 1 + x  − 1 2

 −1  2  1 − x  4 x (1 − x 2 ) 2 4

(1 − ( x)2 ) 2 x 2 )()1x− + ( 2− (1 − x 2 )

x

1 + x 2 1 + x 2  1− x

=−

 1 − x  x

x

2 x (1 − x 2 )

x (1 + x 2 )

18 1

x

x

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

7. y  x arccos ax

dy dx

=

d ( ax ) ax x arccos ax = arccos ax − x dx = arccos ax − 2 2 1 dx 1 − 2a 2 x −a x d

8. y = arcsec

dy dx

=

d dx

4 + x2

d (4 + x 2 ) dx

arcsec 4 + x 2 =

=

2

( 4 − x)(2

) − x2 4

−1

2

2x

( 4 − x24 )15 8− x + x

9. y  arcsen cos 2 x

dy dx

=

d ( cos2 x) 2 sen 2 x arcsen (cos2 x) = dx =− =− 2 dx 1 −cos 22 x sen 2 x d

10. y = 4 arcsen

dy dx

=4

=

dy dx

=

x 2

d  arcsen dx 

2

x2 1− 4

4 − x2

+x

x 

d  +  x 2   dx

 

4 − x 2  =

4

d  x    x2 dx  2  + 4 − x 2 − x2 4 − x2 1− 4

x2

+ 4 − x2 −

4 − x2

8 − 2x2 4 − x2 2

x + 1+ 11.y x = x arccos dy dx dy dx

=

dy

d x arccos + x += 1 −x 2 arccos x dx dx x

= arccos x −

12.y x=

dx

d

=

1− x2

d dx

dy

13.yx

2

d dx

dx dy dx

=

d dx

1

x arccot + x+

= arccot x −

(

a2 x − 1

=x arccotx +ln 1 +

dy

1 + x2

a2 + x 2 )

d ( ax ) dx + ax a 2x − 1 2

= arccsc ax −

+ 2

=ln−1

dx

1+ x2

+

x 2

a +x

x 2

a +x

2

d

1

dx x dx + 1− x2 1 + x2

x

+

+

( x arccsc ax) +

= arccsc ax − x

dx

2

arccsc ax a x+

x

x 1 + x2

x 2 arccot

x

= arccot x +

dx 1 d dx + 1 + x2 1 + x2 1 + x 2 dx x −1

1+ x2

18 2


14. y x=a

x

2

2

+ a

 x − 2   + ( x − 2) 4 x − x 2  2 

17. y = 4 arcsen 

x a

2 arccos

+

dy dy dx

=

d dx

d

a2 + x 2 + a2

x

dx

x2

= a2 + x2 +

a2 + x 2

dy dx

a2

=−

x 2 − a2

15. y =

x

2

=

a2 + 2 x 2

+

a2 − x 2

dy dx

1

x

2

a

+ arcsec

dy dx

=

d

x −a

dx

x2 2

=

=

2a − x

2

+

2

x 3 2 x2 − a 2a 2 − x 2

x 3 2 x2 − a

1 d 2 dx

22

x

x

a

a2

1

+

dy dx

dy dx

=

2a 2 − x 2

x3 2 x 2 − a

2x

3

x x −a

x −a

x 16. y = arccsc + 2 2

=

2

2

1

a

22 2

4 a 2 − x2 a2 +x

dx

=

1 d 2 dx

=−

dy dx

=−

arccsc

dy dx

x2 + 4

+

2

d  x    dx  2 

1 2 x

x2

2

4

d

x2 + 4

dx

2

x

x3

+

x2

+4

1

−

dx

+ 2x

4 x − x2

+ 2 ax − x 2

+

x

d

2 ax − x 2

dx

d arccot 2 x − arccot 2 x dx + x

 2   − arccot 2 x  1 + 4 x 2 

x −

x

=−

=

4 x − x2

x

) 2 x + (1 +4 x 2arccot 2

x arccot d dx

x 4

a− x

x

2 ax − x 2

+

a−x 2 ax − x 2

a2 − x

+

x arccot

a− x 2 ax − x 2

+

1 + 4 x2

a− x 2 ax − x 2

x x 4

+

d

a2 − x 2

dx

x

−x 2

x2 + 4

=

x4

−1

x x2 − 4

dy

4 x − x2

( x −)( 2 4 −)2 x 2

d arccot 2 x dx

x2

x

2

+ 4 x − x2 +

2

19. y =

dy

( x )− 2( 4 −)2 x

  d 2 x    − arccot 2 x x − dx =  1 + 4 x 2  + x

x

1

+

x

=

x a2 − 1

=

arccot 2 x

=

4 x − x2

4 x − x2

x

−1

1

2

2

a

( x − 2)

8

x

d  x    dx  a 

1

+

arcsec

d dx

8+ 8 −x2 +2x 2 −8 8+ x2

=

18. y = 2

4 4 x − x2

2

a2 + x 2

+

+ 4 x − x2 +

 x − 2 2 1 −  2 

=

a2 − x 2

2

2

=

a2

−

x−2

d  x − 2    dx  2  + 4 x − x 2 + ( x )− 2( 4 −) 2 x 2 4 x − x2  x − 2 2 1 −   2 

x2

2

a2 + x 2

arcsen

a2

1 − x2 a

x2

= a2 + x2 +

dx

=4

a

−

d

=4

a

d  x    dx  a  1−

x2

= a2 + x2 +

dx

x

arccos

− a2

a2 + x 2

3

1

x

2

arccot

x 4

+ x

d dx

arccot

x 4

+

a2 − x 2

− a2 − x2 x2

 d x    1 x a2  = arccot + x − dx a2  −  x  x 2 a 2 − x 2 4 2 x  1 + a 2 

8 + x2

x 3 4 + x2 dy dx

18 3

=

1 2

x

arccot

x 4

−

a x a2 + x 2

−

a2 x 2 a2 − x2

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

20. y = arccos 2 ax +

dy dx

=

= dy dx

=

21. y =

dy dx

1 4

=

d dx

2ax 1 − 4a 2 x 2

arccos2 ax +

d

2 ax

dx 1 − 4 a 2 x 2

d 2 ax 16 a 3 x 2 2a dx + + (1 − 4 a 2 x 2 )2 1 − 4 a 2 x 2 1 − 4 a2 x 2 2a

2 (a + 4 a 3 x 2 )

+

1 − 4 a2 x 2

(1 − 4 a 2 x 2 )2

1 + x  arctan x +  1 − x  2

ln 

1 d 4 dx

1 + x  d arctan x  1 − x  + dx 2

ln 

1  1 − x  d 1 + x  1  1  =    +   4 1 + x  dx  1 − x  2 1 + x 2  1  1 − x  1 1 + x  1  1   +  =  +   4 1 + x 1 − x (1− x )2  2 1 + x 2 

 2  1  1  1  1 − x   +   =     4 1 + x (1 − x )2  2 1 + x 2  = dy dx

=

1  1  +   2 1 + x 2 

1 2 − 2 x2 1 1 − x4 1− x 2

22. y = x

dy dx

= = =

dy dx

23. xy

=

=x dy dx

=

arcsen x

+

2

d dx

x

2

1− x2 2

+

d arcsen x dx

2

 1 1  +  2  1 − x2  x2 − x4

x − 2x3

1− 2x2 1− x2

 1 1  +  2  1 − x 2 

3 − 4 x2 2 1 − x2 arctan 5 x −

d dx

1 10

ln (1 +25

x arctan 5 x −

= arctan 5 x + x

1 d 10 dx

2

)

ln (1 +25 x 2 )

d 50 x arctan 5 x − dx 10 (1 +25 x 2 )

 5 50 x  − = arctan 5 x + x  1 + 25 x 2  10 (1 +25 x 2 ) dy dx

= arctan 5 x

18 4

UNIDAD Derivación de funciones 24. y  aarcsec 2x

dy dx

=

25. y  x

dy dx

d

a arcsec 2 x = aarcsec 2 x ln a

dx

3arctan

=

d

d dx

arcsec 2 x =

x

4 x2 + 1

2x

3 x 3 2arctan = 2x + 3 xar ctan 2= x

dx

a arcsec 2x ln a

2

d 3 x +arctan 2 dx

x3

arctan x 2

x

 2  1 + 4 x 2 

x 

1

26. y =

arcsen 2 x

dy dx

=

d

−

1

dx arcsen 2 x

=

  2 d  arcsen 2 x − 2  1 − 4 x 2  dx =− = 2 2 arcsen 2 x arcsen 2 x 1 − 4 x 2 arcsen 22 x

27. y  arcsenex

dy dx

=

d

28. y = ln arcsec

dy dx dy dx

= =

29. y

d

x=

ln arcsec

dx

=−

1 − e−2 x

1

e2 x − 1

x

1

d

arcsec

x dx

arcsec

x=

  1     2 x  arcsecsec x  x x 2 − 1  1

1

x 2 −1 arcsec

2x



x

3

arctan 2x

dy

e−x

arcsen(e−x ) = −

dx

  2  6 (arctan 2 x )2 1 + 4 x 2  = 1 + 4 x 2

d

d ) (2 x 3)=3 arctan 2 x( 2 arctan ) = ( arctan 2 x= 3 arctan 2 dx dx dx

30. y =

dy dx

dy dx

x

=

=

x

2 − x 2 +arcsen

2

d dx

2

x2

x4

d

x

2

4

dx

2

−+

1 2 − x2

+

=arcsen

 1   2 +  2 4  x x x2  2 − 1−   2 4 2 x − x3

1− x2 1− x2

x−2 1 a rctan − 3 x 21 31. y = 3− dy dx

=

=

dy dx

=

d dx

3x 2 1 − −

2 x 

d arctan 3 − dx

x 21

3x    2  −  3x 2− 1  3x − 1 1 + 3x − 1   3x 2

3x 2 − 1

x

18 5

      

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

32. y = arccsc

DE SOLUCIONES

x 1

dy dx

=

33. y =

dy dx

d dx

1

2 x =− 2x x x −1

arccsc x = −

x −1

x arcsec 3 x e2 x

=

d dx

sen ax arcsecax a = cos ax

dy = a cosax arcsec ax dx

+sen ax

+ sen ax

a rcsec ax

a   ax a 2x

2

d arcsec dx

ax

d arcsec dx

ax

 − 1 

34. y  sen ax arcsen ax

dy dx dy dx

=

d dx

sen ax arcsecax a = cos ax

= a cosax arcsec ax

+sen ax

ax + sen

a rcsec ax

 a   ax a 2x

   2 −1 

IX. Encuentra la derivada para las siguientes funciones implícitas. 1. arccos 2x  e2x  2y

d dx

−

arccos2 x = 2 1− 4 x 2

dy dx

d dx

e2 x +

= 2 e2 x +

2 dy

dx

2 dy

dx

= −e2 x −

1 1− 4 x2

2. x2 sen y  3x3  arctan y

d 2 d 3 d x sen y +3 x = arctan dx dx dx

y

dy

(1 +) y 22 sen x +( y2+ )21x

dy 9+ x 2 = dx 2 1+ y dx

2 2 xsen y + xsen

y

dy seny+ + 2 2 y9 =1 dx

(

y

22=

2 y− ( 2 )x+

1)y + (1 +) y 22 sen x ( 9+

)x

dy dx dy 1 dx

sen x

y

y

dy dx

+ y2 x 2 dy (1 +) y 2 2 xsen( y)9+1 = 2 dx 1 − x 21( + ysen ) y 3. lnsen 3x2  ex  arccot y

d d x d 2 ln (sen3 x ) = e + arccot dx dx dx

y

 dy    2 d sen 3 x = e x −  dx  sen 3 x dx 1 + y 2  6cos3 x sen3 x

dy dx

 dy    = e x −  dx 2  1  + y   6cos3 x  = e x − (1 + y 2 )  sen 3 x 

18 6

UNIDAD Derivación de funciones 4. arccosx  y  arcsen x

d dx

arccos ( x + y) =

  1 + dy   dx 

−

2

d arcsen x dx 1

=

1− x2

1 − ( x + y)

dy dx

2

=−

1 − ( x + y)

−1

1− x 2

5. 5x  3y  sen x  4 cos y

d dx

5x +

d d 3 y= 2 s en dx dx

d 4x + c os dx

dy 5 +3 =2 cos x − 4sen dx dy dx

=

y

y

dy dx

2c os x −5 3 + 4 sen y

x x 6. sen   +cos   = 0  y   y  x d x d sen   + cos   0=  y  dx  y  dx x d x cos     − sen  y  dx  y    x  sen cos   −   y 

    x  d  x0 =  y  dx  y 

dy    x   y − x dx    0= 2  y  y dy y = dx x

7. x2 sen y  x  arctan y

d dx

x 2sen y +

2 2 xsen y + xcos

(1 +) y 22 sen x + ( y+ ) 1x 2

2 cosy+ =

y 1y

dx dx

=

d arctan y dx

dy dy 1+ = dx 2 dx 1+ y dy

dy

dx

dx x n y +1 dy (1 + y 2 )2 se = 2 dx 1 − x 21( + ycos ) y

8.

e xy x

= x ln ( xy) − a

xy

d e = d x ln xy − d a dx x dx dx x

d dx

e xy + e xy x2

= ln xy +

1 d

y dx

xy

18 7

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

xexy

xexy

MANUAL

DE SOLUCIONES

d xy + e xy 1 d dx = ln xy + xy x2 y dx d dx

xy + e xy = x 2 ln xy + d dx d dx

2

x xy =

dy dx

=

y dx

dy

x2 y 2

x

+y=

dx

xy

xy

lnxy e−

xexy + xy = x

x2 d

xy

lnxy e−

x2 xexy + y

x 2 ln xy − exy y − x3 x x 2 e xy + y

9. 3xy2  cos 2 xy  0

d d xy2 − cos 2 xy0= dx dx

3 3y2 + 6 xy

dy 3 y 2 +6 xy + + 2 sen y2 dx

dy sen +2 dx

d 2xy 0 xy = dx

2xy sen= 2 x

dy

0xy

dx 3 y 2 +2 ysen 2 xy dy =− 6 xy −2 xsen 2 xy dx

10. ey tan x  ey cot x = 0

d

d

) x (=  e y ( tan x −cot

dx



 (x cot e)ytan −x )e

 dx

y

+



d tan dx

cot x−

x

 2  dy = e y ( tan x −cot x ) + e y  = 0 1 + x 2  dx  2    dy 1 + x 2  =− ( tan x −cot x ) dx x (y + =) xln y + 2− 62 11. cos d dx

d 2 ln + x− dx

(

cos( x + = y)

y2

d

)

dx

 dy  −sen ( x + ) y1 +  =sen ( −) ( + x) −sen y +  dx  = 2x

x 2 +2 y

+ 2

2y

dy

x + y dx

2

dy dx

2x

x 2 +2 y

+ 2

( 6)

x= y

2y 2x

=−

2y 2

x +y

2

1

d

x 2 + y2 dx

( x 2 + y2 )

dy

+ y dx

= −sen (+ x) (−)y sen + x sen ( x + y) +

dy dx

y

dy dx

2x

x 2 + y2

=−

− sen ( x + y)

18 8

2 x 2 + ysen

( x + y2) + x

2 2 y − x 2 + ysen

( x + y)

UNIDAD Derivación de funciones 12. arcsec x2y  ax2  y  b

d

d

arcsec x 2 y +

dx

dx

a ( x 2 + y) =

d dx

( b)

dy dx + 2ax + a dy = 0 dx x y −1

2 xy + x 2 2

4 2

x y 2 xy +

dy x 22+

3 41y2 + ax −x

dx

2 4 12ax − 0y

y

dy dx

=x y

dy dy 2 4 y x y− =1− + x 2 dx +2 ax dx dy dx

(2 xy

3 24

−2 ax y 3

=−

2 xy + 2 ax y

x y 4 2

x y −1

2 x 2 + ax y 42 x y − 1

13. exsen y  ln xy  xy

d

e x sen y +

dx

dy

e x sen y e + yxcos

d d ln xy = xy dx dx 1 dy

1

++ = +

dx dy

e x cos y

dx

+

x

y

y

dx

x

1 dy

dy

1

y dx

dx

x

− x = − −y

dy dx

=

dy dx e x sen y

1 y − − e x sen y x 1 e x cos y + − x y

14. ln cosx  y  xy

d dx

lncos ( x − y) = y + x

dy

1

cos( x − y) dx

−

sen ( x − y) cos( x − y)

+

cos( x − y) = y + x

sen ( x − y) dy cos( x − y) dx

sen ( x − y) dy cos( x − y) dx

−x

dy dx

= y+ x = y+

dy dx dy dx dy dx

sen ( x − y) cos( x − y)

sen ( x − y) y+ cos( x − y) dy y cos( x −) y +(sen ) x − y = = sen ( x − y) dx x ) x− y − x sen ( x −) y −(cos cos( x − y)

18 9

1

)

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

x

3y

yy− e 15. x cos

=arcsen

x2 d dx

d

x cos y +

dx

ye x =

3y d arcsen dx x2

x2 dy

dy

+ =e x

cos y − x sen y + dx

x 24 − 9 ycos ( +y24 +yex−)

9x−

2y+ sen dy =

ye x

dx

+x

y

dx (

ex 6 )

dy

+ 6 yx dy dx x2 + 6 yx x4 = dx 9 y2 x 4 − 9 y2 1− x4

x dy dx

dy

yx

dy 2 x 42 − 9 y − ( sen x+ − y= e x ) − 4x2 −6 dx dx

yx+ 9 cos x

dy

4

dx

=

y

( (

2 cos

6 yx − x − 9 y

y

yex )

y + yex )

x 4 − 9−y2 ( xsen + y− ex )

16. x cos y  senx  y

d dx

d sen ( x + y) dx

x cos y =

dy cos y − xsen y = +cos +(+ x) ( )y cos dx cos y −cos (+x =) y cos x (+ ) +

dy dx

y

x

dy senx dx

y

dy dx

y

dy dx

cos y −cos ( x + y)

=

cos ( x + y) + xsen y

17. cos 2 y  tan 3 x

d dx

cos 2 y =

−2c os2 y

dy dx dy dx

d dx

tan 3 x

=3 sec 23 x =−

3sec 23 x 2cos2 y

2

18. x sen y  2x cos y  2 sen y  x

d dx

x 2sen y +

d d 2 xcos y − 2 sen dx dx

dy 2 2 xsen y + xcos + y − 2 cos 2y−sen =x dx

dy y 2 cos dx

y=

dx dx

dy y1 dx dy 1 −2c os y −2 xsen y = 2 dx x cos y −2 xsen y −2c os y

19. cos 2 y  cosx  y  a2

d dx

−2sen2

dy y −sen + dx

cos 2 y −

d d 2 cos ( x + y) = a dx dx

− (+x )sen y = ( ) x

y0

dy dx dy dx

= sen

( x + y) −2 sen 2 y −sen ( x + y)

19 0

x2


20.

3 sec 2 2 y 2 sen 3 x

3

=b d 3 sec 2 2 y dx 2 sen 3 x

sen 3 x

d

d y sen 3 dx

2 sec 2 y+ sec 22 dx sen 23 x

d 2 sen 3 xsec 2 y sec2 dx 4 sen 3 xsec 22 tay n 2

=

d dx

b=0

x

=0

y+ 3sec 22 cos3 y

x0=

y dy 3sec y + 2 2 cos3 dx

x0 = dy dx

=−

3sec 22 y cos3 x 2 4 sen 3 x sec 2 ytan 2 y

EJERCICIO 16 I. Encuentra la segunda derivada para las siguientes funciones. 1. y =

2+x 2−x

Primera derivada.

dy dx

= y′ =

(2− x− ) (+ 2 (2 − ) x

− x )( 1) 2

( )

=

4 2− x

2

Segunda derivada.

−4 y′′ = 2. y =

4+ x

d (2 − x )2 −8 (2 − x )(−1) 8 dx = = 4 4 (2 − x ) (2 − ) x ( ) 2−x

3

2

Primera derivada.

dy dx

1

d

2 )x(2 + = y′ = + (4 =

dx

1

) (4

2

−1 d x+2 )=2( + )4 dx

x2

x 4

x2

1 2

x2

−1 2

Segunda derivada.

y′′ =

y′′ = (+4 3. y =

−1

d dx

(4 )x=2 (+ 2 ) +4 x+ −1 2 2+ x−

)

(

−1

2 2) x(+

3 d − 42= + 4

x− ) 4 ( x 2+)(

2

x

)

dx

d dx

4

x2

−

−(x 2+ )4

−1 2

x2

x2

3 2

5 x2 2+x

Primera derivada.

dy

= y′ =

dx

2+x

d 5x2

=

dx 2 + x

d d (5 x 2 ) − 5 x 2 (2 + x) 2 + x (10 x ) + 5 x 2 20 x +10 x 2 + 5 x2 20 x +15 x 2 dx dx = = = 2 2 2 2 2+ 2+x 2+ x (2)+ x () ( x) ()

Segunda derivada.

d

y′′ =

d

2 )(2 + x 2 20 ( +5x− ()+x20 5))( +x 2 x2 dx dx = dx (2 + x)2 (2 + x )4

d 20 x + 5 x2

19 1

x

2

=

2 (2( ) x + )20−10+ x 20(( +5)x 2 2x2 ) + (2)+ x 4

40 (2 + x ) 40 x = = ( ) ( ) 2+ x 4 2+ x

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

4. y =

MANUAL

DE SOLUCIONES

2x

x +1

Primera derivada.

dy dx dy dx

= y′ = = 2 (+ x

d

1

dx

1 ) 1−− 2( + )x

x= 1

d

−1

( x1)=+( −)2 1 x+ 2 x+ 22

2+ ( 1)

x

dx

2

−3 2

x +1

−

x

d

−1

x

dx

x

2

2 ( x + 1) − x

x+2 = ( x +) 1 3 ( ) x + 1 3

=

( x + 1)3

Segunda derivada.

y′′ =

d

( x )( ) + + 2 1x=

dx

−3

y′′ = (+ x) 1− 2+(

3 2

d 2 (  + 2 () 1 x) dx

 −3 ( 2 + ) 2 x )+(1 + 

−3

)(x+) 2 =x

d

−3

x

dx

2

−4 − x

−3

1

x +

2

5

2 (1 + x )2

5. y2  4 ax

y=2

Eliminando el cuadrado,

ax

Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

1 2

2)(= ax

−1

2ax ( =)

2

d

)= ( ax

a ax

dx

a

−1 2

x

Segunda derivada.

y′′ =

d

1 1 aax () =− 2− () aax 2

dx

d

−3

1 2 a ax 2

()

2 = − ax

dx

−3 2

6. 3x2  2bxy  5y2  a Primera derivada. 3

d dx

x 2 + 2b

6x + 2 + by 2

d dx

xy + 5 y2 =

d dx

a

dy dy + bx10 = 0 y dx dx dy dx

=−

6 x + 2 by 2bx + 10 y

Segunda derivada.

d

y′′ = −

=−

=− y′′ = −

d 6 x + 2 by dx 2bx + 10 y

(2bx1 +0 )(y 6 +2)( x− −6by )(2

 (2bx +10 )y 6 2 b+( 

x+ 2) 1 by0

dx

=−

d dx

bx

y

2

(2bx + 10 y)  dy  )6 2−2 1x − 0by  b +  dx 

dy   dx 

2

(2bx + 10 y) (2bx)+y10 6  2b+ 

− (6 x)+ 2 by  − 6−x 2 by2+ − 10 b   2bx + 10 y  2

(2bx + 10 y) 2) 45 x +2b 15(+b xy + 75 y− bbx + 2 y 5+ (x3 by )( 3

(bx + 5 y)

19 2

)

 6 x + 2 by   2 bx + 10 y 

UNIDAD Derivación de funciones 7. y4  2x2y2  b4 Primera derivada.

d dx 4 y43

dy

y4 + 2

d22 dx

x y4 =

+ 4 xy2 + 0 x 2 y

dx

dy dx dy dx

d dx

b

= = y′ = −

4 xy2 4 y3 + 4 x 2 y

Segunda derivada.

y′′ = −

=−

( 4 y 34+) 2

4 xy2

d

dx 4 y 3 + 4 x 2 y

=−

2

  dy  dy dy  y + 242xy 12  + xy 82 4 y + xy + x    dx  dx dx  2 3 2 (4 y + 4 x y)        4 xy2 4 xy2 4 xy2 2 2 2     4 y 3 + 4 x 2 y  + 4 xy 12 y − 4 y 3 + 4 x 2 y  + 8 xy + 4 x − 4 y 3 + 4 x 2 y 



x 2 y) y2 + xy−



=−

2

( 4 y 3 + 4 x 2 y) 2 4 y 24( 3 y 4+ x 32 y)23−

x y −

=−

8. y = x

y + x y

2

( 4 y + 4 x y) 3

(4 y 3 4+2 42 x y)8

(4 y43 4+8

y′′ = −

d ( 4+ )4xy2 d x 4y 4 2 2 3 xy dx dx

192 x 2 y 4 4 y3 + 4 x 2 y

+ 32 x 2 y 3 −

64 x 4 y 4 4 y3 + 4 x2 y

2

(4 y 3 + 4 x 2 y)

) y ( 4 y ( x 2 + y2 )) 3 4 y 2 ( x 2 + y2 )

22 ( 2 x+) y+ x

(3 −4 x 2 +

2 3

y

2 − 3x

Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

1

( 2) 3 =x(−)2 2 3+ x−

3

1

− (− x) 2 = x 2

2

3x

−1 2

4 − 9x 2 2 − 3x

Segunda derivada.

y′′ =

d (4 − 9 2)(x3 dx

−) x

1 2

2

9 = − (−2 2

1

)3x+− 2(−

9. x2  4xy  32 Primera derivada.

d x 2 + 4 d xy = d 32 dx dx dx dy 2x + 4 x 4 +0 y = dx dy dx

=−

4y + 2x 4x

=−

2y + x 2x

19 3

3 4

)(4−9 )x2 = 3

x

−3 2

3(−8 + 9 x ) 3

4 ( 2 − 3x ) 2

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

Segunda derivada.

y′′ =

4x

d  2 y + x 

−

dx 

2x

 = − 

d d (2 y +) x( + )2 y + x 4x dx dx 4x

 dy   dx 1+ 42+ ( y + x)

4 x2

=−

4x

  2 y + x    + 1 + 4 (2 y + x)    2 x 

4 x 2 −

y′′ = −

4x

=1

10. x2  2xy  y2  5  0 Primera derivada.

d dx

x2 + 2

d dx

+ xy+

d dx

2 y=

d dx

5

0

dy dy 2 x 2+ x 2+ 2+ y 0= y dx dx dy dx

=−

x+y x+y

=1

Segunda derivada.

y′′ =

11. y =

3

d dx

(−1) = 0

4 − x2

Primera derivada.

dy dx

1 2 d ) 1 4 ( )x 2−− 3=d− ( )4− x 2 = y′ = − ( 4) = x 2 (3−

dx

2

dx

3

3

x 4

x2

−2

3

Segunda derivada.

y′′ = −

2 d 3 dx

2 −2 3( − ) 2 4 +(x2 )− 3− 4 x=2 −4 x (− 4 ) x 2= − 3 3

x2

−5

3

2 (12 + x 2 ) 5

9(4 − x 2 )3

12. y  cos1  x2 Primera derivada.

dy d = y′ = cos− 1( =)x−2 dx dx

2)2 sen1 (sen1)2( −)2 x= 1 d ( − − x x

dx

Segunda derivada.

y′′ =

d dx

2 x sen− 1( = )−x 2 2(− sen)1

− x( 4 )2c os x1

2 2

13. y = sen 2 x Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

sen 2 x =

2cos2 x 2 sen 2 x

=

cos2 x sen 2 x

19 4

x

x

UNIDAD Derivación de funciones Segunda derivada. cos 22 x

y′′ =

−2 sen 2 x sen 2 x −

d

cos2 x

dx

sen 2 x

=

sen 2 x

sen 2 x

=−

cos2 2 x 3

− 2 sen 2 x

(sen 2 x )2

14. y  sen32x  3 Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

d ) 2( ) sen 2+) 3 x + 6( sen dx

(3= sen 3 − 2(=x 3 ) + 3sen 22 ( )x+

23 cos 2

x

3

x

Segunda derivada.

y′′ = y 15. y = 4 cos

1 2

d dx

d () 2 x3+( )6(sen 2+ 2 )3 x+ cos dx

)= 2 6 sen 2+ 2( )x 3(cos +

′′ = −12 sen 3 2(+)+

(os ) 24c+

x 3

22 (

)+ x 3 sen 2

x

Primera derivada.

dy dx

= y′ = 4

d dx

cos

1 2

x = −2sen

1 2

x

Segunda derivada.

y′′ = −2

16. y = 9 sec

d dx

sen

1 2

1

= x − cos x 2

x 3

Primera derivada.

dy dx

= y′ = 9

d 

x x x sec  = 3sec tan 3 3 3

dx 

Segunda derivada.

y′′ = 3

 d  sec x tan x  = sec x tan 2 x + sec 3 x dx  3 3 3 3 3 

17. y  log 3x2 Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

log3 x 2 =

log e d 3x 2 dx

3x 2 =

2log e

x

Segunda derivada.

y′′ = 2log e

d  1    = − 2log e dx  x  x2

18. y  lnx  3 Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

ln( x + 3) =

1

x+3

19 5

3x

3+( x)6 cos 2

3

sen x 2

d dx

3

2

x

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

Segunda derivada.

y′′ =

19. y = e 3 x

d  1  =−



dx  x + 3 

1

( x + 3)2

2

Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d

2

d

2

e 3x = e3x

dx

dx

3 x 2 = 6 x e3 x

2

Segunda derivada.

y′′ = 6

d dx

 2 d 2 2 2 x e3x6 =  e3x + x 6 e 3x 6 =e (6+ e631xx   dx

e =2 +3x x) 2

3x 2

20. y  x2ax Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d

x 2 a x = 2 x a x + x2 a x ln a

dx

Segunda derivada.

y′′ =

d dx

(2 x+a x

x 2 2 x 2=aln + a) + a x ln +x2a x lna

y′′ = 2 a x4+ xlna x

ln2 x

2

a+ x a

x x aln

x2 ax

x

a

II. Encuentra la tercera derivada para las siguientes funciones. 1. y = a − bx Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

1

1

b

1

(− ( a )bx ( ) − =b(−−2 )− a bx) = 2− 2

2

Segunda derivada.

y′′ =

d  b

− ( a −) bx

dx  2

−1  

2 ( = −)



b2

a − bx

4

−3 2

Tercera derivada.

y′′′ =

2. y =

d  b 2

−

dx 

4

(a −) bx

 −3 

3b 3

( −) 2=

 

8

a − bx

−5 2

a x+b

Primera derivada.

dy d  a  −a dx = y′ = dx  x + b  = ( x + b)2 Segunda derivada.

y′′ =

d 



−a

 ( )  = − −2 a x + b = 2 a ( x) + b 4( ) x + b

dx ( x + b)2 

3

19 6

a

bx

−1 2

2

(

2

)

UNIDAD Derivación de funciones Tercera derivada.

d

y′′′ =

3. y = x 3 −

2

2a

dx ( x + b)3

6 a ( x + b)

=

6

( x) + ( )b

6a

=

4

x+b

3

x

Primera derivada.

dy

= y′ =

dx

d dx

(x3)− 3

d  1    = 3x 2 + 3 dx  x  x2

Segunda derivada.

y′′ =

d  2 3 6  3x + 2  = 6 x − 3 x x

dx 

Tercera derivada.

d 

y′′′ =

4. y = x

6 

6 x −

= 6 +

x 3 

dx 

18

x4

a2 + x 2

Primera derivada.

dy

= y′ =

dx

d dx

1

1

1

d )x +2 ( = (a x )2 x a2 x2 x )+(a 2 + x ) 2 2+

a+2 =2x+ 2 (+ a2

x

2

2

−1

2

2

dx

Segunda derivada.

y′′ =

d dx

((+a)

2

)

1

− 1− − −

2 − ( )+(xa 2 x x+ 2+(2x)a x2 =2 ( )+ xa2+x +

1

x2a) 2x

2

2

1 2

3

2 ax −

2

2

2

2

3 2

3a 2 x + 2 x 3

=

3

(a + x 2 )2 Tercera derivada.

d  3a 2 x 2+ x 33 6 3a 2 3+ x22

y′′′ =



dx  ( ) ( ) 2  a+x

3 2

 =   a + x2

3 2

−

3x ( a 2 2 x + 2 x3) 5

=

aa(

2

+x

)

5

(a + x 2 )2

(a + x 2 )2

5. y2  4xy  16 Primera derivada. 2y

dy dx

dy 4− x 4 0− y = dx dy dx

=

4y 4x − 2y

=

2y 2x − y

Segunda derivada.

dy

d

y′′ =

x−y =

 2 y   2 y   − 4 y + 2 y    2 x − y   2 x − y 

(2 x − y) 2 

(2 x) − y

2

dy dy 4 − 2 y+ y dx yx 2 (2 x − y)

(2 x − 2y)

( 2 )y dx y′′ = d  2 y  = (2 x)−2y 2 dx − dx  2 x − y  (2 x − y)2

 4 y 2    2 x − y 

8 y − 4 y + 

=

( ) 19 7

2 (x −) y

2

( )

=

8 xy − 4 y2 + 4 y 2 2x − y

3

=

8 xy 2x − y

3

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

Tercera derivada.

y′′′ =

d 3 d (2 x) − y 8 8 xy(2− ) xy d  8 xy  dx dx   3 = 6 dx (2 x − y)  (2 x − y) 3

=

=

 

dy dx

(2)x − y 8  x 8 +24( y)2 − 



y′′′ =



6

(2 x − y)

  2 y  3 (2) x − y 8 x  ()8 y2 −4 2xy  +    2 x − y 

 2 y  2 x −2 y  −     2 x − y 

6

(2 x − y) ( 1xy + − 6 − 8xy − (− 2 x) y 16 24 y2()2− )( xy )4 x4 y 2

( y− 8 − xy 32

(x− 2)y

=

4

dy dy 2 x 2− x 2− 2+ y 0= y dx dx dy dx

=

2y − 2x 2y − 2x

=1

Segunda derivada.

d dx

(1) = 0

Tercera derivada.

y 0 7. y = 3 a − bx Primera derivada.

dy

= y′ =

d

1

dx

(− a )bx= 3−(

b −) a

bx

3

−2

3

Segunda derivada.

y′′ =

d  b

− ( a −) bx

dx  3

 −2 

2b 2

( −) 3=



9

a − bx

−5

3

Tercera derivada.

y′′′ =

8. y =

d  2b 2

−

dx 

9

5

( a − bx )− 3  = −

10 b 3



27

1

Primera derivada.

dy

= y′ =

d  1  = −



dx  x − 3 

−8

(a − bx )

x −3

dx

y

2

2) (− xy 24 x 4y 4

(2 x − y)

Primera derivada.

dx

x

5

( 2 x − y)

6. x2  2xy  y2  b3

y′′ =

3

dy 2 x − y  −   dx 

xy 2

3

=

x−y

1

( x − 3)2

19 8

3

8 y2( x − () y4 ) x −24 (y − 4 )4 xy 4

(2 x − y)

x− y

UNIDAD Derivación de funciones Segunda derivada.

y′′ =

d 

 −2 ( x − 3) 2 = =− ( x) − ( )3 4 x−3

1

−

dx  ( x − 3)2 

3

Tercera derivada.

d 

y′′′ =

 −6 ( x − 3)2 6 =− = (x − ) 3 6 ( ) x−3

2



dx ( x − 3)3 

4

2

9. y  x  4x  8 Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

2 ( x− ) + 4 x8=2 4−

x

Segunda derivada.

y′′ =

d dx

(2 x − 4) = 2

Tercera derivada.

d

y′′′ =

dx

( 2) = 0

10. y  3x2  2x  1 Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

2 2− 1 (3x+ x= 6+)2

x

Segunda derivada.

d

y′′ =

( 6 x + 2) = 6

dx

Tercera derivada.

y′′′ =

d dx

( 6) = 0

11. y  ex ln x Primera derivada.

dy dx

= y′ =

 d x  d ( −x e ln x) =− e− ln  +x  dx 

− e ln x d =−

dx

x ln+e

dx

x

e−x

x

x

Segunda derivada.

y′′ =

d 

−e− x ln x +

dx 

e− x 

−x

 = ln e x 

e− x

e−x

x

x

e− x −ln− e− x x2

−x − − =

x

2 e− x

e−x

x

x2

Tercera derivada.

y′′′ =

d 

e− x ln x −

dx 

2 e−x

x

3e− x y′′′ = −e− x ln+x + + x

−

e− x 

−x

 = −e x2 

3e−x

2 e− x

x2

x3

ln+ x

19 9

e− x

+

x

−2 e x−

+

x322

+

−e 2

+ x

x−

e x

x

2e

x

x

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

12. y  eax sen ax Primera derivada.

dy dx dy dx

= y′ =

  d ( −ax −  daxe− sen e sen ax ) =  +axx e −   dx

d sen =− − dx

dx

= −ae−ax (senax −cos ax

ax ax

+ ae sen ax ax aecos

ax

)

Segunda derivada.

d −ax y′′ =−dx ( ae − (sen= ax

ax2 −

2 −

ax

cos sen ) ax (−a)e − ) ax

+axcosae

ax cosax ( sen

)

y′′ = −2 a 2 e−axcos ax Tercera derivada.

d ( 2ae2=−axcos ax

y ′′′ − =

dx

3 )− +a2e

ax3cos ax−=a

e23

−ax ax + sen

ae 2

ax ax cos

( ax sen

)

13. y = ln 1 − x 2 Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

( ln

d

1

1− x2 ) =

1 − x 2 dx

(

1− x2 ) =

−2 x 1− x2

=

2x

x2 −1

Segunda derivada.

y′′ =

d  2 x  ( x 2 − 1) 2 − 4 x 2 2 x2 + 2 =− =  ( x 2 )− 1 2 ( ) x 2 − 1 2

dx  x 2 − 1

Tercera derivada.

y′′′ =

y′′′ =

d 

−

2 x 2 + 2 

=−

dx  ( x 2 − 1)2 

(− x)2

2

( ) x2 1 1) −4( x4 + 2 x(2−

x2 ) (

( x 2 − 1)4

=−

( x 2(− ) 1)4 x 4−2 x 2x2 + ( x 2 − 1)3

4 x (3 + x 2 ) 3

(−1 + x 2 )

14. y  etan x Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d ( tan x ) d e = e tan x tan xtan =e dx

2xsec

dx

x

Segunda derivada.

y′′ =

d d ( tan x 2 e sec x) =  tan e  dx

dx

  

xsec 2

xtan +e

d2 x sec

tan

x = 4esecx

dx

tan

2 x 2 x +sec e tan

x

x

Tercera derivada.

y′′′ =

d ( tan x 4 x 2 sec e x e +2 tan x xsec dx

d  4 =  etan x  sec x +tane  dx  x sec 6 xt y′′′ = e tan+

x

d 4 sec dx

ane+ xsec 5 + xtan

tan

)

d  x x + tan e 2sec x tan xe  dx  x + tanx2 xtan ( e 4sec

20 0

2

tan

+ x 2secx

) esecx tan x tan xtan

d tan dx 4x

x sece

x

x

UNIDAD Derivación de funciones 15. y  arcsen ex Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d ( arcsen e x ) =

dx

ex 1 − e2 x

Segunda derivada.

d y′′= 

 =   2x dx  1 − e  ex

e x 1 − e2 x −

−2 e2 x

2x

x 3x 3x 1 − e2 x = e − e + e = 3

1− e

(1)−( e)2 x

2

ex 1 − e2 x

3 2

Tercera derivada.

y′′′ =

16. y = log

d 

ex



3

 e x (1e− ) 2 x e 2 + ( e3 )3x 1 −  = (1 − e2 x )3

3 dx ( 1 − e2 x )2 

1

1 2x 2

=

e x (1 − e2 x ) + 3e 3x

(1 − )e2 x

5 2

(

e x − 2 e3x = 5 ) 1 − e2 x 2

Segunda derivada.

x

y′′ =

Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d 

1 d  1    = − log e log  = x log e dx  x dx  x  x

y′′′ =

1

x

1 d  1   = − dx x  x 2

19. y  ax2  bx  c

d  log e  log e = 2 − x  x

dx 

Primera derivada.

Tercera derivada.

dy

y′′′ =

(ln x + 1) =

Tercera derivada.

Segunda derivada.

y′′ =

d dx

d  log e 

2log e  = dx  x 2  x3

= y′ =

dx

d dx

(ax+2 + bx=c + ) ax2 b

Segunda derivada.

17. y  x  log x

y′′ =

Primera derivada.

d dx

(2 ax +b ) =a2

Tercera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

(− x log =− x) 1

log e

y′′′ =

x

Segunda derivada.

d dx

( 2 a) = 0

20. y  x2  3

y′′ =

d  log e  log e = 2 1 − dx  x  x

Primera derivada.

dy

Tercera derivada.

dx y′′′ =

d  log e  2log e =  dx  x 2  x3

= y′ =

d( 2 x − 3) = 2 x

dx

Segunda derivada.

y′′ = d ( 2 x) = 2 dx

18. y  x ln x Primera derivada.

dy dx

Tercera derivada.

= y′ =

d dx

( x ln x) =ln x + x x

y′′′ =

20 1

d dx

( 2) = 0

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

III. Encuentra la cuarta derivada para las siguiente fun ciones. 1. y  5x4  3x2  x Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

2 (5 x+ )+ −6 x13 34 −x= x20

x

Segunda derivada.

y′′ =

d

(20 x+3 − 6 =1x

) 60 +

6x 2

dx Tercera derivada.

y′′′ =

d dx

(60 x 2 +6 ) =120 x

Cuarta derivada.

y(4 ) =

d dx

(120 x ) =120

2. y = 36 − x 2 Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d ( ) ( ) 2 12 36 − =x − − 36 x

dx

x2

−1 2

Segunda derivada.

(

)

1 1 − 3 d − 2 2 (− 2 ) 2 −( + 36 (− −) x−(2− 2) 36 )= y′′ = − −x ( 36 ) x= − − 36 x=2 − − x2 36 − x dx

3 2

(−

2 36 x36 x2 )

x2

Tercera derivada.

(

d y′′′ = − dx

36 −(36 )=x 2

−3 2

) ( 108 −)

− x2

36 x

−5 2

Cuarta derivada.

d y(4) = − dx

(

( 2= ) x− 108−x 36

= −(− 36 ()

−7 x2 2

y(4) = −432 (36 − 3. y = arctan

−5 2

)(− 108) −36

5

2 ( x−2) −540

2504 3− 888 108 − ) x(= −() − x2

2) x(

−7

−29)

36x2

x2

−7 2 x23888

36) −

432

x2

x

Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

(arctan

d x x ) = dx = 1+ x 2

1

x ( x + 1)

Segunda derivada.

y′′ =

d   dx  2

 =  x ( x + 1) 1

 1  ( x + 1) + x  −2   2 x  =− 4 x ( x + 1)

20 2

3x + 1 3

2

4 x 2 ( x + 1)

−7 2

x2

3 2

UNIDAD Derivación de funciones Tercera derivada.

y′′′ =

(

3

1

2 ( x 1− ) 3(+ 3x + 1  12 x 2 + 1)6 x( +)1+ x82 (x+ )1  = − − 3 4 2 16 x 3 ( x + 1)   4 x 2 ( x + 1) 

d 

)

3

2

x2 x

dx 

=−

( +)1(+ 8x 12 x (+ x − 1) ( 3+1 )x6 5

x)

6 +2 0 x +30 x 2 = 5 () 16 x 2 1 + x 3

3

16 x 2 ()x + 1 3 +1 0 x +15 x 2

y′′′ = −

5

3

8 x 2 (1 + x) Cuarta derivada.



y( 4 ) =

=− =



d  3 +1 0 x +15 x 2  −  5 3  dx  8 x 2 (1 + x)  

(8)x1+(( ) 5 2

(

3

)

3

)10 − (x )20 ) x+ 30 + + x3 10( 1 5 + + 1x(2 )+

x224 1 x

5

3

x2

x

2

6

64 x 5 (1 + x)

(8)x12(+())

( x+ 10 30 −+ + x3 ( 10

( )x)+ + 15 20 1x2 ) 7

x24

x2

x

4

64 x 2 (1 + x)

y( 4 ) =

4. y = e x

3(5 2 +1 x + 35

x3 )

x 235 +

7 16 x 2 (1 +

4 x)

2

Primera derivada.

dy dx

= y′ =

d dx

(e x 2 ) = e x 2

d dx

( x 2 ) = 2 x ex

2

Segunda derivada.

y′′ =

d dx

x 2 )2+ (2 x e=

2e x

2

d

2

2 x 2 +2 4x

2

(e

=x 2+(e=x42+) xe 2 exx12x =e dx

) x(

2

2

)

2

Tercera derivada.

y′′′ =

d dx

(ex2 (24+)

x2

) =(  d) 2e4x2 +8  dx

2

2 2 y′′′ = e x (8 +x+4 8= x ) (x 3) +12ex 8

2

+ x 22(e2x=) 4ex x8+ x+ xex



x2

2

x3

x

Cuarta derivada.

y(4 ) =

d dx

d

2 2 ( +x8+ ) (+x 3 ) (12 = (2 xex )12 ex =24

y

(4 )



2 x  (e x2 (12 x + 8 x 3 )) =  dx (ex12 

8)x + e(

3

2

)12x x24 +

+

2

2

24 +x2 + +ex ) 16 x2 12 24x4

x2

x2

= e (12 +4 8 x 2 +16 x 4 )

5. y  e2xcos 3x Primera derivada.

dy dx dy dx

= y′ =

 d 2 x  d ( 2x 2  e cos 3 x ) =  e cos 3 x 2+e dx

dx

= e2 x ( 2co s3 x − 3 sen 3 x)

20 3

d

x 2cos 3

dx

x 2= cos e x3

3x − sen3 e x

x

3

3 UNIDAD CÁLCULO

DIFERENCIA.L

MANUAL

DE SOLUCIONES

Segunda derivada.

y′′ =

d dx

d  (e2 x ( 2 cos 3x −3sen ) 3 ( x ) =  e2)x2cos ( 3x  dx

= 2 e2 x (2 cos x −3

x3esen + () −3

x−

)

2 xx6sen 3

d

3sen −xe)3

+ 22x cos 3 dx

9c os 3

y′′ = e2 x (−5co s3 x −12 sen 3 x) Tercera derivada.

d

y′′′ =

( e2 x (−5co s3 x −12 sen 3 x))

dx  d

 x − 5cxos3 =  e2− (  dx 

12 + xe)− sen (− 3

= 2− e2 x ( −5cxos3 + 12 xe sen 3 x−)

2x

d

)

dx

5c os3

2x (

x15 sen 3

x12 sen 3

36c os3

x

)

y′′′ = e2 x (−46 cos3 x −9 sen 3 x) Cuarta derivada

y(4) =

d dx

(2e x (−46co s3 x − 9sen 3 x))

 d x  ( −3 =  e2− −xos3 +xe)9sen ( 46c  dx 

d − 2 x ) 46c os3 x 9 sen 3

) 3 x− = 2−e2 x ( 46 − cos3 x + xe (9sen

2 x)

y(4) = e2

x

dx

138 x sen 3

(120 sen 3 x −119cos3 x)

20 4

27c os3

x

3sen 3 x−

x

UNIDAD 4 ANÁLISIS DE FUNCIONES

EJERCICIO 17 I. Resuelve los siguientes problemas sobre la dirección de una curva.

θ = arctan m θ = arctan(0.8989)

1. Dada la curva 4 x2  9y2  36  0, determina:

a) La inclinación de  cuando x = 3 2.

θ = 41°57 ′12 ′′ La inclinación de  cuando x = 3 5 , es 41 5712

Si x = 3 2, entonces:

(2 43

c) Los puntos donde la dirección de la curva es perpendicular al eje x.

2

2 ) 9− y36 =

4 (18 ) − 9 y2 = 36 36 −4 (18 )

y= d

−9

=2

Si la dirección de la curva es perpendicular al eje x,   90, es decir:

dy

d

d 4 x 2 9− y2 − 36 0 dx dx dx

=

8x − 18 y

dy 0= dx dy dx

=

m=

dx dy 8x 18 y

=

9y

9y

=

dx

4x

4x

= ∞; por lo tanto,

4x

=∞

9y

Entonces, y  0, de tal forma que: 2 4 x 2 −90( ) 36 −0=

m=

4 (3 2 ) 9 ( 2)

36

x=

Cuando x = 3 2 , se tiene:

4

= ±3

Los puntos donde la dirección de la curva es perpendicular

= 0.9428

θ = arctan m

al eje x son: P13,0  y P23,0  2. Dada la curva y  x3  x2  9x  9, encuentra:

θ = arctan (0.9428 ) θ = 43°18 ′49 ′′

a) La inclinación de  cuando x  2.

La inclinación de  cuando x = 3 2 , es 43 1849

Si x  2, entonces:

b) El ángulo  cuando x = 3 5 . Si m =

4x

y  23  22  92  9 y  15

, cuando x = 3 5 , entonces:

9y

y=

36 −4 3( 5

m=

−9 4 (3 5 ) 9 ( 11)

)2

dy

= 11

dx

d

d

dx

dx

=+− x 3−

x2

= 3x 2 + 2 x − 9 = 0.8989

m = 3x 2 + 2 x − 9

9

d dx

x

d dx

9



Cuando x1 =

m  322  22  9  7

  arctan 7

Cuando x2 =

  815211

4x , cuando x  2, entonces: 9y

Los puntos donde la dirección de la curva tiene un ángulo   45º, son:

P11.5225, 16.85  y P22.189,5.003 

m  322  22  9  1

  arctan m

e) Los puntos donde ladirección de la curva esparalela a larecta 4x  3y  13  0.

  arctan 1   135

Si la dirección de la curva es paralela a la recta 4x  3y  13  0, se tiene:

La inclinación de  cuando x  2, es 135º.

m =−

c) Los puntos donde ladirección de la curvaes paralela alejex. Si la dirección dela curva es paralela aleje x, entonces   0, Así,

es decir:

dy dx

, se tiene:

3

y   5.0033

b) El ángulo  cuando x  2.

dx

−1 − 31

y  (2.18925 3  2.18925 2  92.18925   9

La inclinación de  cuando x  2, es 81 5211

dy

, se tiene:

3

y  (1.52253  1.5225 2  91.5225  9   16.8552

  arctan m

Si m =

−1 + 31

tiene:

dy dx

A B

=−

4 3

4

= − , al sustituir en la derivada de la función se 3

= 0; por lo tanto,

dy dx

= 3x

2+ 2−9

x =0

3x 2 + 2 x −

23 3

4

= 3x 2+ 2−x =9−

3

=0

Entonces, Entonces,

x1  2.097

x1  1.2996 x2  1.966

x2  1.4305 Cuando x2  1.4305, se tiene:

Cuando x1  1.2996, se tiene:

y  (1.4305 3  1.43052  91.4305   9   16.9 Cuando x1  2.097, se tiene:

y  (1.2996 3  1.2996 2  91.2996   9   16.8124 Cuando x2  1.966, se tiene:

y  (2.0973  2.0972  92.097  9   5.049

y  (1.966 3  1.9662  91.966  9  4.9606

Los puntos donde la dirección de la curva es paralela al Los puntos donde la dirección de la curva es paralela a la

eje x son:

recta 4x  3y  13  0, son:

P11.4305, 16.9 y P22.097,5.049 

P11.2996, 16.8124  y P21.966,4.9606 

d) Los puntos donde   45 Si   45, entonces tan 45   1, así

dy dx

dy dx

= 1, por tanto:

3. Dada la curva x3  x  y  0, encuentra:


= 3x 2+ 2−9x =1


y  x3  x

3x 2 +2 x10 − 0=

x1 = x2 =

−1 + 31

dy

3

dx

−1 − 31

=

d dx

x−3 = 2

m = 3x − 1

3

20 6

d dx

x− 3 x 2

1

UNIDAD 4 Análisis de funciones


Cuando x  8, se tiene: 2 −1 1 m = ( 8) 3 = 3 3

m  322  1  11   arctan m   arctan 11   844820

θ = arctan m

1 θ = arctan   3


θ = 18°26 ′5 ′′

b) Los puntos donde   60 Si   60, entonces tan 60 ° = 3 , así

dy dx

dy dx

= 3, por tanto:

La inclinación de  cuando x  8, es 18265.


= 3x 2 − 1 = 3 Si m = 3 +1

x=

2 3

x

−1

3,

cuando x  1, entonces: 1 2 ( 1)−=3 − m= − 3

3

x1 = 0.95429

2 3

θ = arctan m

x 2 = −0.95429

 2 θ = arctan−   3

Cuando x1  0.95429, se tiene:

θ = 146°18 ′35 ′′

y  0.95429 3  0.95429   0.0852

La inclinación de  cuando x  1, es 1461835

Cuando x2   0.95429, se tiene:

c) Los puntos donde   120

y  (0.95429 3  0.95429  0.0852 Los puntos donde la dirección de la curva tiene un ángulo

  45, son:

Si   120 , entonces tan 60 ° = − 3 , así tanto:

dy dx

= − 3, por

P10.95429, 0.0852 y P20.95429, 0.0852  c) La ecuación dela tangente yla normal enel puntoP 2,6 1

m  3x2  1  322  1  13

dy

2 ( = −

dx

3

−1

3 )=3− 1.2

Cuando x1  1.2, se tiene:

Recta tangente:

y + 6= −13 (+ x2

)

El punto donde la dire cción de la curva tiene un ángulo

13x + y +32 = 0

  45, es: P11.2,1.129 

Recta normal: 1

y − y1= − y+6=

−

1

76

13

x+ +y = 13

m 1

13

(−x

d) Los puntos donde la dirección de la curva es paralela a la recta 4x  5y  17  0.

x1 )

( x + 2)

Si la dirección de la curva es paralela a la recta 4x  5y  17  0, se tiene:

0

m =−

4. Dada la curva x  y  0, determina: 2

)2 1.129 =

3 y = (1.2 −

y − y1 = m ( x − x1)

3


=

m=

2

d dx 2 3

x

x3 =

2 3

=−

4

−5

=

4 5

4 = , al sustituir en la derivada de la función se tiene: Así, dx 5 dy 2 − 1 4 x 3= dx = 3 5

y = 3 x2 dy

B

dy


dx

A

x

−1

x

3

−1

−1

3

=

x=

3

20 7

6 5 125 216


Cuando x =

125 216

Entonces, , se tiene:

x  2 Cuando x  2, se tiene:

 125 2 25 y = 3   =  216  36

2

(2 ) −4 (− 2)−1 −−

y= 4x  3y  13  0, es:

=1

3

El punto donde la dirección de la curva es paralela a la recta

El punto donde la dirección de la curva es paralela aleje x es:

 125 25  P1  ,   216 36 

P12, 1  d) Los puntos donde   135

5. Dada la curva x2  4x  3y  1  0, encuentra:

Si   135, entonces tan 135  1, así


dy


y= dy dx

=

dx

−x 2 − 4 x − 1 3

1 2

1

Cuando x1 = − , se tiene: 2

3

1 = (−2 x − 4 ) 3

1 m = (−2 x − 4 ) 3

y=


 1 2  1 −−  − 4 −  − 1  2  2

) Los puntos dondela dirección dela curva es paralela ala recta,

e

x  6y  19  0.


Si la dirección de la curva es paralela a la recta

x  6y  19  0, se tiene:


m =−

1 Si m = (−2 x − 4 ) , cuando x  5, entonces: 3 1 ( 2−( 5−4) = 2) m= − 3

Así,

dy dx

A B

1

−6

=

1 6

= , al sustituir en la derivada de la función se tiene: 6

dy

  arctan 2

dx

  63265

1 = −( −2= x 4) 3

x =−

La inclinación de  cuando x  5, es 63 265

=−

1

  arctan m

1 6

9 4

9

c) Los puntos donde la dirección de la curv a es paralela al eje x. Si la dirección de la curva es paralela al eje x , entonces

Cuando x = − , se tiene: 4

y=

 9 2  9 −−  − 4 −  − 1  4  4 3

  0, es decir:

dx

4

P11.2,1.129 

θ = 146°18 ′35 ′′

dy

1

  45, es:

 2 θ = arctan−   3

dx

=

3

El punto donde la dirección de la curva tiene un ángulo

θ = arctan m

dy

= −1, por tanto:

1

3

x =−

d −x 2 − 4 x − 1 dx

1 ( − = − 2x = 4 )−

dy dx

=

47 48

El punto donde la dirección de la curva es paralela a la recta

= 0; por lo tanto, 1

= −( −2= x 4) 3

x  6y  19  0, es:

 9 47  P1 − ,   4 48 

0

20 8


II. Determina el ángulo de intersección entre las siguientes curvas. 1. x2  y2  2x  2y  14 con x2  6x  y2  0

22 2

x +− y − 2−x+ −y= 6 x

1 −2.073 m1 = = 0.278 −2.85 −1

x14 y

tan θ =

4 x −2 y = 14

x=

3 − 2.073 m2 = = −0.325 −2.85

El ángulo de intersección en P14.726,2.45  es:

Al resolver el sistema de ecuaciones, se tiene: 22

Para P22.073, 2.85, se tiene:

m2 − m1 1 + m1m2

=

−0.704 + 2.569 )( −2.569 ) 1 + (−0.704

= 0.6640

θ = arctan 0.6640 = 33 °35 ′8 ′′

14 + 2 y 4

El ángulo de intersección en P 2.073, 2.85 es: 2

Al sustituir el valor de x en alguna de las ecuaciones se tiene: tan θ =

14 + 2 y 2 1 4 + 2 y  2    4  − 6  4  + y = 0

1 + m1m2

=

−0.325 − 0.278 = −0.6628 )( 0.278 ) 1 + (−0.325

′ ′′ θ = arctan − ( 0.6628 = ° ) 146 27 35

5 y 2 +2 y35 − 0=

2. x2  4x  4y  16  0 con x2  y2  4y  0

( y + )( 7 y− )5 =0 y1 =

m2 − m1

1 5

Al resolver el sistema de ecuaciones, se tiene:

(−1 −4 1 1 )

4 − 16 x 2 − 4−x + y−

20 x2+4 y=

1

y

−y 2− 4+x =16 0

y2 = (−1 +4 1 1 ) 5

x= 4−

y2

Al calcular el valor de x resulta:

4

Al sustituir el valor de x en alguna de las ecuaciones: Para y1  7

x=

1 (−1 −4 1 1 )  5 

14 + 2 

4

2 2   4 − y  + y 2 − 4 y = 0   4

= 2.073

y4

+ y2 =

16 − 4−y Para y2  5

x=

1 (−1 +4 1 1 ) 5 

14 + 2 

4

y2 = 3.0195

= 4.726

Al calcular el valor de x resulta: Para y1  4

Los puntos de intersección son:

x = 4−

P14.726,2.45  y P22.073, 2.85 Al derivar las ecuaciones, se obtienen las pendientes de las cir-

x = 4−

dx

=

=0

( 3.0195)2 4

= 1.72


dy 2x − 6 2 + y0 = dx

dy dx dy

4

x 2 − 6 x + y2 = 0

x 2 + y−2 − 2=x 2 y 14 0=

( 4 )2

Para y2  3.0195

cunferencias, es decir:

dy 2x + 2 y 2 −2− dx

0

16 y1 = 4

1− x

y −1

dy

= m1

dx

=

P10, 4  y P21.72, 3.0195 3− x

y

= m2

Al derivar las ecuaciones, se obtienen las pendientes de las circunferencias, es decir:

Para P 4.726,2.45 , se tiene:

x 2 − 4−x +4=y 16 0

1

1 −4.726

m1 =

2.45 −1

= −2.569

3 − 4.726

m2 =

2.45

= −0.704

dy dx

20 9

x 2 + y2 − 4 y = 0

dy 2x − 4 4− 0 = dx

=

dy dy 2 x 2+ y 4 −0 = dx dx x −2 2

= m1

dy dx

=

x y−2

= m2


Para P20.59,1.64, se tiene:

Para P10,4, se tiene:

m1 =

0−2 2

= −1

m2 =

0 4 −2

) 3 (0.56 − m2 = − = −0.2698 4 (−1.64 )

m1  240.592  8.354

=0

El ángulo de intersección en P10.59,1.64  y P20.59,1.64

Para P21.72,3.0195 , se tiene:

es:

1.72 − 2 m1 = = −0.14 2

m2 =

1.72 3.02 −2

= 1.686 tan θ =

El ángulo de intersección en P10,4 es:

m2 − m1 1 + m1m2

=

−0.2698 − 8.354 )( −0.2698 ) 1 + (8.354

= 6.87

θ = arctan (6.87 ) = 81 °43 ′37 ′′ tan θ =

m2 − m1 0 +1 = =1 1 + m1m2 1 + (0)(−1)

4. 9x2  4y2  36  0 con 16 y2  x  0

θ = arctan 1 = 45 °


El ángulo de intersección en P21.72,3.0195  es: tan θ =

m2 − m1 1 + m1m2

=

2 36 x 2 −16 y− 144 + 16 − =y2

1.687 + 0.14 = 2.39 )( 1.687 ) 1 + (−0.14

0x

36 x 2 − x −144 = 0

′ ′′ θ = arctan (2.39 ) = 67 °18 2

x = 2.014

3. 8x  y  0 con 3 x  4y  12  0 3

2

2

Al sustituir el valor de x en alguna de las ecuaciones se tiene:


16 y 2 −2.014 = 0

2

3 x 2 +48 ( x 3 )12− 0 =

y = ±0.35

256 x 6 +3 x 2 − 12 0=


x1 = 0.59 P12.014,0.35  y P22.014, 0.35

x 2 = −0.59 Al calcular el valor de y resulta:

Al derivar las ecuaciones, se obtienen las pendientes de las circunferencias, es decir:

Para x1  0.59

9 x 2 −4 y236 − 0=

y  80.593  1.64

16 y 2 − x = 0

dy 18 x − 8 y 0= dx

Para x1  0.59

dy

y  80.593  1.64

dx

=

32 y 9x 4y

dy dx

− 1 0= dy

= m1

dx

=

1 32 y

= m2

Los puntos de intersección son: Para P12.014,0.35 , se tiene:

P10.59,1.64  y P20.59,1.64 Al derivar las ecuaciones, se obtienen las pendientes de las circunferencias, es decir: 8x3 − y = 0 24 x 2

−

dy dx dy dx

=0 = 24 x 2 = m1

6x + 8y

dx dy dx

=0 =−

3x 4y

( ) 9 2.014 = −12.97 m1 = 4 (−0.35 )

= m2

1 32 (0.35 )

= 0.0892

m2 =

1 32 (−0.35 )

= −0.0892

El ángulo de intersección en P 2.014,0.35  es: 1

Para P10.59,1.64 , se tiene:

m1  240.592  8.354

m2 =

Para P22.014,0.35 , se tiene:

3x 2 +4 y212 − 0=

dy

( ) 9 2.014 m1 = = 12.97 4 (0.35 )

( ) 3 0.59 m2 = − = − 0.2698 4 (1.64 )

m2 − m1

0.0892 −12.97 tan θ = = = −5.97 )( 1 2.97 ) 1 + m1m2 1 + (0.0892

θ = arctan −( 5.97 = °)

21 0

′ ′′ 99 30 22


El ángulo de intersección en P22.0714, 0.35 es:

Para P20,0 , se tiene:

m2 − m1

−0.0892 + 12.97 tan θ = = = 5.97 )( −12.97 ) 1 + m1m2 1 + (−0.0892 ′ ′′ 80 29 27

θ = arctan −( 0.6628 =° )

m1 =

1

3 2

Para P30.046, 0.07, se tiene:

5. x  y  9y  0 con 3 x  2y  0 4

m2 =

4(0)3 −18(3.04) = 0.0173

2

m1 =


3x  3y4  27y2  3x  2y  0

1

)0.07 () 4 (−

0.07 −18 −

= 0.794

m2 =

= −0.0198

m2 =

3 2

Para P41.97, 2.96, se tiene:

3y 4 − 27 y 22−0 y =

m1 =

y1 = 3.04 y2 = 0

1

)2.96 () 4 (−

3− 18

− 2.96

3 2

El ángulo de intersección en P12.02,3.04  es:

y3 = −0.07 y4 = −2.96

m2 − m1

tan θ =

Al sustituir los valores en alguna de las ecuaciones se tiene: Para y1  3.04

1.5 − 0.0173

=

1 + m1m2

)( 0. 0173 ) 1 + (1.5

= 1.445

θ = arctan (1.336 ) = 53 °11 ′33 ′′ El ángulo de intersección en P20,0  es:

3x − 2 y = 0

x=

3

2 (3.04 ) 3

m2

= 2.02 tan θ =

Para y2  0 3x − 2 y = 0

x=

2 ( 0) 3

m2 − m1 1 + m1m 2

m1 1

=

m1

1.5

−1 =

+ m2

∞ 1

∞

−1 =−

+ 1.5

2 3

 2 θ = arctan −  = 146°18′35′′  3

=0

El ángulo de intersección en P30.046, 0.07 es:

Para y  0.07 3

3x − 2 y = 0

x=

tan θ =

2 (−0.07 ) 3

= −0.046

m2 − m1 1 + m1m2

=

1.5 − 0.794

) 1 + (1.5)( 0. 794

= 0.322

θ = arctan (0.322 ) =17 °51 ′37 ′′

Para y4  2.96

El ángulo de intersección en P41.97, 2.96 es: 3x − 2 y = 0

x=

2 (−2.96 ) 3

tan θ =

= −1.97

m2 − m1 1 + m1m2

1.5 + 0.0198

=

)( −0.0198 ) 1 + (1.5

′ ′′ θ = arctan (1.566 ) = 57 °26 39


P12.02, 3.04, P20, 0, P30.046, 0.07 y P41.97, 2.96 Al derivar las ecuaciones, se obtienen las pendientes de las circunferencias, es decir:

III. Encuentra las ecuaciones de la tangente y la normal; las longitudes de la tangente, normal, subtangente y subnormal para las siguientes curvas en el punto indicado. 1. y2  x3 en P2,2.82 

x − y 4 + 9 y2 = 0 dy 1− 4 y 3 18+ dx

3x − 2 y = 0

dy y0 = dx

3−

dy = dx y 4

1 = m1 3 −y18

2 dy

dx

2y

=0

1

) 4 (3.04

3

( 18) 3.04 −

dy dx

= 3x 2 3x 2

dy = 3 = m 2 dx 2

y′ = 2 y Al evaluar en P2,2.82  resulta:

Para P12.02,3.04 , se tiene:

m1 =

= 1.566

2

= 0.0173

m2 =

3 2

21 1

y′ =

3(2 )

2 (2.82 )

= 2.12


Recta tangente:

Longitud de la subtangente TM:

y − y1 = m ( x − x1)

TM =

y − 2.82 =2. 12 ( x −2 )

−2.12+ x+y = 1.42 0

y1 m1

=

0

∞

=0

Longitud de la subnormal MN:

Recta normal:

MN  m1y1  0  0 1

y − y1= −

m

(−x

x1)

Si TM  0, MN  0 y MP1  y1  1.73 entonces:

1

y − 2.82 = − 2.12−( x 25 53

Longitud de la tangente TP1:

2)

x + y − 3.76 = 0

( )2 +MP TP1 = TM ( 2 ) = ( 0) (+ 1.73

Longitud de la subtangente ( TM):

TM =

y1 m1

2.82

=

2 ) = ( )0 (+ 1.73

MN  m1y1  2.122.82  5.97 Si TM  1.33, MN  5.97 y MP1  y1  2.82 entonces:

=1.73

8x −

)

2

) ( + )2.82 = (1.33

2

)

=1.73

dy dx

=0

y′ = 8 x

2

1

2

1

3. 4x2  y  0 en P2,16 


Al evaluar en P2,16  resulta:

=3.117

y   82  16

Longitud de la normal (P1 N):

( )2 +MP P1 N = MN (

Recta tangente:

2

1

)

) (2 +)2.82 = ( 5.97

2

y − y1 = m ( x − x1 )

=6.6025

y − 16 =16 ( x − 2 )

−16 x+ +y =16 0

2. 4x2  3y2  12  0 en P1.73,0  8x + 6y

2

2 P1 N = (MN ) +MP (

Longitud de la subnormal (MN):

2

)

Longitud de la normal (P1 N):

= 1.33

2.12

( )2 +MP TP1 = TM (

2

1

dy dx

Recta normal:

=0

y′ =

y − y1= −

4x 3y

y − 16= − Al evaluar en P1.73,0  resulta: 1

( ) 4 1.73 y′ = =∞ 3( 0)

16

x + y−

129 8

1

m

(−x

x1 )

(x −

2)

1 16

=0


Recta tangente:

y 16 TM = m1 = 16 = 1 1

x  1.73 Recta normal:


y0

MN  m1y1  1616  256

21 2


Si TM  1, MN  256 y MP1  y1  16 entonces: Longitud de la tangente TP1:

1 18

y= =y1− MP

2 entonces:

1


2

TP1 = TM (

Si TM =72, MN=

2

2 ( )16 = (1) +

2

2

( )2 +MP TP1 = TM (

) +MP ( 1)

1

2 )+ ( ) =2 = ( 72 −

=257

)

2

72.02

Longitud de la normal P1 M:

Longitud de la normal P1N: 2

2 P1 N = (MN ) +MP (

2

( ) +MP P1 N = MN (

1

) 2(+) 16 = (256

2

)

2

1

)

 1 2 =   + (−2)2 = 2.0007 18 

=16 257

5. y2  2x  8y  12  0 en P0,2 

4. 9y2  x  0 en P36,2

18 y

dy dx

2y

−1 0= y′ =

dy dx

2 −8 − 0

dy dx

= 2

y′ =

1

2y − 8

18 y Al evaluar en P0, 2  resulta:

Al evaluar en P36,2 resulta:

2

y′ = y′ =

1 18 (−2 )

=−

2 ( 2) − 8

1

=−

1 2

Recta tangente:

36

y − y1 = m ( x − x1 )

Recta tangente:

1 y − 2 = − ( x) 2

y − y1 = m ( x − x1) 1

y + 2= − 1 36

36

(−x

1 x + y−2 = 0 2

36 ) Recta normal:

x + y +1 = 0

1

y − y1= −

m

(−x

x1 )

y − 2 = 2 ( x)

Recta normal:

y − y1= −

1

m

−2 x+ − y =2

(−x

x1 )

36 ) y + 2 =3 6 ( x −

TM =

−36 + x +y 1298 = 0 Longitud de la subtangente TM:

TM =

y1 m1

−

y1 m1

=

2 = −4 1

−

2


−2

=

0


1

 1 MN = m1y1 = − ( 2) = −1  2

= 72

36 Si TM  4, MN  1 y MP1  y1  2 entonces:



 1  1 =  36  18

( )2 +MP TP1 = TM (

MN = m1y1=−(−2)

2 = −( +4) ( ) =2

21 3

2

2

1

)

2

5


Longitud de la normal P1 N:


2

P1 N = (MN ) +MP ( 2

1

)

2

= −( 1)+ ( ) =2

2

2 P1 N = (MN ) +MP (

1

)

2

5

1016  2 =   + ( 4 ) =9.058  125 

6. 4x2  y2  2y  2 en P2.54,4  7. y2  9x2  18x  8y  2  0 en P1,7 

dy dy 8 x 2− y 2 −0 = dx dx

2y

4x

dy dx

18− x18−8 −

dy

=0

dx

y′ = y + 1 Al evaluar en P2.54,4  resulta:

y′ =

Recta tangente:

254

y−4 = 254

+x+ y 1.1612 =

125

=0

y − 7 = 0 ( x + 1)

( x − 2.54 )

y=

7

Recta normal:

x  1

Recta normal:

y − y1= − y − 4= −

1

m

(−x

125


x1)

(x −

TM =

2.54 )

21 4

7

= =∞ 0


=0

MN  m1y1  07  0


TM =

y1

m1

254

x + y−

7−4

y − y1 = m ( x − x1 )

0

125

254

9 (−1) + 9

Recta tangente:

y − y1 = m ( x − x1 )

125

y−4

Al evaluar en P1,7  resulta:

4 (2.54 ) 254 y′ = = 4 +1 125

−

9x + 9

y′ =

y1 m1

=

Si TM  , MN  0 y MP1  y1  7 entonces:

4 250 = 254 127 125


( )2 +MP TP1 = TM (


2

1

)

( ) +2 ( ) 7=2∞ = ∞

 254  1016 ( 4 ) =  125  125

MN = m1y1 = 

Longitud de la normal P1 N: Si TM =

250 127

MN , =

1016 = MP =y y 1 125

1

4

2 P1N = (MN ) +MP (

entonces:

2 ( )7 = ( 0) +

Longitud de la tangente TP1: 3

( )2 +MP TP1 = TM (

8. x  x  y en P2,6 

2

1

)

3x 2 = 1 +

 254 2 2 =   + ( 4 ) = 4.458  127 

dy dx

y ′ = 3x 2 − 1

21 4

2

2

1

)

=7


Al evaluar en P2,6  se tiene:

Recta normal:

y  322  1  11

1

y − y1= −

m

Recta tangente:

y − y1 = m ( x − x1 )

y + 8= −

y − 6 =11 ( x − 2 )

1

−11x+ +y =16 0

24

Recta normal:

1

y − 6= − 1 11

x + y−

68 11

193

x1)

(+x

1)

24

=0

24


1

y − y= −

x + y+

(−x

1

−x

x

m( 1 (−x 11

1

)

TM =

2)

y1 m1

−8

=

=−

24

1 3


=0

MN  m1y1  248  192 Longitud de la subtangente TM:

TM =

y1 m1

=

1 Si TM = − MN , = −192 y MP =y 1= − 81 3

6



MN  m1y1  611  66 Si TM =

6 11

MN , = 66 y

MP == y1 6

entonces:

11

2

( )2 +MP TP1 = TM (

)

 1 2 = −  + (−8) = 8.0069  3

entonces:

1

1

2

Longitud de la tangente TP1: Longitud de la normal P1 N:

( )2 +MP TP1 = TM (

2

1

)

2

2

P1 N = MN ( ) +MP (

 6 2 2 =   + ( 6) =6.024 11

)

( 192 ) +(− ) =8 = −

Longitud de la normal P1 N:

2

8 577

10. 3x2  3y2  10  0 en P1,1.52 

( )2 +MP P1N = MN (

2

1

)

6x + 6y

) 2+ ( )6 = (66

1

2

2

= 6 122

dy dx

=0

y′ = −

x y

9. 8x3  y  0 en P1,8 Al evaluar en P1,1.52  resulta: 24 x 2 −

dy dx

=0 y′ =

y′ = 24 x 2

1 1.52

=−

25 38

Recta tangente:

Al evaluar en P1,8 resulta:

y − y1 = m ( x − x1 )

y  2412  24

25 y − 1.52 = − 38−( x

Recta tangente:

25

y − y1 = m ( x − x1 )

38

y + 8 =24 ( x 1+ )

−24 x+ −y =16 0

21 5

x + y−

2069 950

1)

=0


Recta normal: 1

y − y1= − y − 1.52 =

−

38 25

m

38 25

(−x

1 444 Si TM = − MN , = −y1 MP =y = 1.51 1 625

x1 )

entonces:

( x − 1)


x+ y=0

( )2 +MP TP1 = TM (

2

1

)

 1444 2 2 = −  + (1.52) = 2.7655  625 


TM = y1 = 1.52 = − 1 44 m1 − 25 625 38

Longitud de la normal P1 N: 2 P1 N = (MN ) +MP (


2

1

2

)

2

= (−1) + (1.52 ) =1.819

 25  (1.52) = −1  38 

MN = m1y1 = −

EJERCICIO 18 I. En las siguientes funciones, determina los intervalos en los que las funciones son crecientes o decrecientes y construye las grá cas correspondientes.

Para 1, en la derivada se toma x  2, entonces:

y  2  22  2 y es negativa, la función es decreciente.

1. y  2x  x2 2. y  x3  3x2

Al gra car la función se tiene:

y2


y

(1,1)

1

−2

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

−1

−2

2

x

−2 −2 −3 −4

y = 2 x − x2

(2,−4)

y′ = 2 − 2 x Así, x1  1.

y = x 3 − 3x 2

Los intervalos a analizar son:

y′ = 3 −x62 = x 3 −x6( x Así, x1  0 y x2  2.

a) ,1 


b) 1,

a) ,0 

Para ,1 en la derivada se toma x  1, entonces:

b) 0,2 y  2  21  4 c) 2, y es positiva, la función es creciente.

21 6

)


Para ,0  en la derivada se toma x  1, entonces:


y  31)2  61  3

y  443  1242  64

y es positiva, la función es creciente.


Para 0,2  en la derivada se toma x  1, entonces:

4. y  x3  2x2  3x

y  312  61  3 Al gra car la función se tiene:

y es negativa, la función es decreciente. y Para 2, en la derivada se toma x  3, entonces:

−20

y  332  63  9 −10

y es positiva, la función es creciente. 3. y  x4  4x3  15 Al gra car la función se tiene:

(0,0)

−2

2

4

x

y 20

15

−4

(0,15)

10

−20 5

−2

−1

1

2

3

4

5

y = x 3 − 2 x2 + 3x

x

y′ = 3 x 2 − 4 x + 3

−5

−10

Para esta derivada no existen valores de x en los números reales (3,−12)

que la satisfagan, por lo tanto, para todo valor de x la derivada siempre es positiva, es decir, creciente.

−15

y = x 4 − 4 x 3 + 15 y′ = 4 − x3 = 12 4x 2 − x 23( x

5. y =

)

Así, x1  0 y x2  3.

x2 x2 − 9



y 20

a) ,0 10

b) 0,3  −x −6

c) 3,

−4

−2

2

4

6

−10

Para ,0  tomamos x  1 en la derivada, entonces: −20

y  413  1212  16

−y

y es negativa, la función es decreciente. y=

Para 0,3  en la derivada se toma x  1, entonces:

x2 x2 − 9

x( y′ =

y  413  1212  8

2

− 9)x2 x − x (x2 − ) 9

2

22

(

−18 x = ) x2 − 9 2

y es negativa, la función es decreciente. La derivada no está de nida para x  3 y x1  0.

21 7

8

2




a) ,3

a) ,0 

b) 3,0  b) 0,

c) 0,3 

Para ,0 en la derivada se toma x  1, entonces:

d) 3, Para ,3 en la derivada se toma x  4, entonces:

−18 (−4 )

y′ =

72

8 (−1) 2

((−1)2 + 4 )

=−

2 9

y′ = (( 4 )2 9)2 = 49 − − y es negativa, la función es decreciente. y es positiva, la función es creciente. Para 3,0  en la derivada se toma x  1, entonces:

y′ =

−18 (−1)

((−1)2 − 9)

2

=


9

y′ =

32


8 (1) 2

((1)2 + 4 )

=

2 9


Para 0,3  se toma x  1 en la derivada, entonces:

y′ =

−18 (1) 2

((1) − 9) 2

=−

7. y  1  x3

9 32


y es negativa, la función es decreciente. y

Para 3, se toma x  4en la derivada, entonces:

4

18 ( 4 ) 72 y′ = − 2 2 =− 49 ((4) − 9)

3

y es negativa, la función es decreciente. 6. y =

2

(0.1)

x2 x2

+4

Al gra car la función se tiene: −2

y 1

−4

−0.5

0.5

1

1.5

2

x

−1

0.5

−6

−1

−2

−2

2

4

6

−3

x

(0.0) −0.5

y = 1− x 3 2

y=

x2 x2 + 4

x( y′ =

2

y ′ = −2 x

+ 4 )x2 x − x

(x2 + )4

2

22

(

=

Así, x1  0.

8x

) x2 + 4

2

Al analizar la función se observa que para todo valor de x, la derivada siempre va a ser negativa, es decir, decreciente.

Así, x1  0.

21 8


8. y =

3

1

x −1

y = x ( x + 1)2 1 = (+ x) ( )1 +2

y′


2 + 3x

1

+x x = 1 − 2

2 1+ x

y 2 La derivada sólo está de nida para x  1, así, x1 = − . 3

2

1

Los intervalos a analizar son: −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x









2 a) −1,−  3  

(1,0)

−1

2 b) − , ∞  3 

1

y = ( x − 1)3 1 −2 y′ = ( x − 1) 3 3

 5 2 Para −1,−  en la derivada, se toma x = − entonces:  3 6

Así, x1  1.

y′ =


a) ,1

 5 2 + 3−  5  6 =− 4 5 2 1− 6

y es negativa, la función es decreciente.

b) 1,

 2  En − , ∞ en la derivada, se toma x  0 entonces: 3

Para ,1  en la derivada, se toma x  0 entonces: 1 1 −2 y′ = (0 − 1) 3 = 3 3

y′ =


y′ =

3

2 (2 − 1)− 3

2 1+ 0

=1


Para 1, en la derivada, se toma x  2 entonces: 1

2 + 3( 0)

=

2

5 10. y = ( x 2 − 4 )

1


3

y


2

(0,1.74)

9. y = x x + 1

1.5


1

y

0.5

3

−4

−3

−2

−1

2

x

1234

−0.5

1

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

x

y = ( x 2 − 4)5

−1 (−0.67,−0.38)

y′ =

−2

21 9

4x 5

3

( x 2 − 4 )− 5


La derivada sólo está de nida para x  2, así, x1  2,

y = x3 −

x2  2 y x3  0.

3x 2 2

y′ = 3 −x32 =3x −1x( x


)

Así x1  0 y x2  1.

a) ,2


b) 2,0

a) ,0 

c) 0,2 

b) 0,1

d) 2,

c) 1,

Para ,2 en la derivada, se toma x  3 entonces: 4 (−3)

y′ =

5

Para ,0 en la derivada, se toma x  1 entonces:

3

((−3)2−4 )−=5 − 0.91

y  312  31  6



Para 2,0  en la derivada, se toma x  1 entonces:

y′ =

4 (−1) 5

−3

((−1)2 −4 )

5

Para 0,1  en la derivada, se toma x =

entonces:

2


Para 0,2  en la derivada, se toma x  1 entonces: 4 (1) 5

2

1  1 3 y′ = 3  − 3  = − 2  2 4


y′ =

1

=0.4138

((1− )2

Para 1, en la derivada, se toma x  2 entonces:

−3

4 =) −5

0.4138

y  322  32  6

y es negativa, la función es decreciente. y es positiva, la función es creciente. Para 2, en la derivada, se toma x  3 entonces:

y′ =

4 ( 3) 5

12. y  3x4  4x3  1

3

(( 3)2 −4 )− 5 =0.91


y y es positiva, la función es creciente. 11. y = x 3 −

10

3x 2

8

2 6

Al gra car la función se tiene: 4

y 2 1

0.5

−1

−0.5

(0,1) 0.5

−2

−1

1

−0.5

1

1.5

2

(1,0)

(0,0) 2

3

x

y = 3x 4 − 4 x 3 + 1

(1,−0.5)

3

2

2

y′ = 12− x 12 = x 12− x (1x

−1

Así x1  0 y x2  1.

22 0

)

x


14. y  2x3  3x2  36x  25


a) ,0


y

b) 0, Para ,0  en la derivada, se toma x  1 entonces:

(−2,69)

100

y  1213  121  0 y es positiva, la función es creciente.

−6

−4

−2

2

4

6

x

8

(3,−56)

Para 0,  en la derivada, se toma x  1 entonces:

−100

y  1213  121  0 y es positiva, la función es creciente.

3 3 y = 2−x− + x 2 36 2x 5

13. y = 2 + ( x − 4)3

2 6− x36 y′ = 6 x− = 6 + 2 (− x 3 )( x


)

Así, x1  2 y x2  3.

y Los intervalos a analizar son: 4

c) ,2

(4,2)

2

d) 2,3  −4

−2

2

4

6

8

x e) 3,

−2

En ,2 en la derivada, se toma x  3 entonces:

y=

1 2 + ( x − 4 )3

y  632  63  36  36

2

y′ = 1 ( x − 4)− 3 3


La derivada de la función es distinta de cero para todo valor de x, excepto para x  4, donde no está de nida. Los intervalos a analizar son:

Para 2,3 en la derivada, se toma x  0 entonces:

y  602  60  36  36 y es negativa, la función es decreciente.

a) ,4


b) 4,

y  642  64  36  36

Para ,4  en la derivada, se toma x  3 entonces:


1 1 −2 y′ = ( 3 − 4 ) 3 = 3 3

15. y  5  2x  x2



y


12

1

−2

y′ = ( 5 − 4 ) 3

3

=

10

1

8

3 (−1,6)


6 4 2

−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 −2

22 1

0.5

1

1.5

4

2.5

x



y = 5 − 2 x − x2 y′ = −2 − 2 x

y′ = Así, x1  1.

1 3



17. y  x  12x  13

a) ,1 b) 1,


Para ,1 en la derivada, se toma x  2 entonces:

y 2

y  2  22  2

(0.2,1.11)

y es positiva, la función es creciente. (−1,0)

Para 1, en la derivada, se toma x  0 entonces:

−2

−1

1

(1,0)

2

x

y  2  20  2 y es negativa, la función es decreciente. 16. y =

x

−2

2 2 3 y = ( x − 1) ( x + 1)

6

y′ = 2 −( x+1)


=− 1 4− x6

y

3 (1x+ ) 3 (− 1)

+4x 2

+5

(1x ) + x3

2

2

x

x4

10 8

Así, x=1 − =1, x2

6

1

=y x3

5

1.


4 2

(0,0)0 −6

−4

−2

a) ,1 0

2

−2

y= y′ =

x

4

6

x  1  b) −1,   5 

2

6





1 c)  ,1  5 

x 3

d) 1,

Así x1  0.

Para ,1 en la derivada, se toma x  2 entonces:


( 22) +5(−2) y′ =1 −4− (2 − 6) ( −2 ) +4−

a) ,0 

3

4

= 33


b) 0, Para ,0 en la derivada, se toma x  1 entonces: 1

 

Para −1,

1   en la derivada, se toma entonces: 5  2

y′ = − 3

3

4

y  1  40  60  40  50  1 y es positiva, la función es creciente.


22 2


1  1 Para  ,1 en la derivada, se toma x = entonces: 5  2


y  632  183  12  12

 1   1 2  1 3  1 4 y ′ = 1 − 4   − 6   + 4   + 5   2  2  2  2


 1   1 2  1 3  1 4 27 = − y′ = 1 − 4   − 6   + 4   + 5   = −  2  2 2 2 16 16 27

19. y  2x3  x2  x  1 Al gra car la función se tiene:

y es negativa, la función es decreciente. Para 1, en la derivada, se toma x  2 entonces:

y 3

y  1  42  622  423  524  81 y es positiva, la función es creciente.

(−0.61,1.53)

18. y  2x3  9x2  12x  3

2

1

(0.27,0.84)

Al gra car la función se tiene: −1.5

y

−1

−0.5

0.5

1

x

4

−1

(1,2) 2

y = 2 x 3+ −x 2 + x (2,1) −1

1

2

3

x

3 9 y = 2−x+ − x 212 3 x 2 y′ = 6 x− + 1x=2 −6 18

1

y′ = 6 x 2 + 2 x − 1 Así, x1  0.607 y x2  0.274. Los intervalos a analizar son:

1(−x )( 2 x)

a) ,0.607

Así, x1  1 y x2  2.

b) 6.07,0.274


c) 0.274,  a) ,1 Para ,0.607 en la derivada, se toma x  1 entonces:

b) 1,2 

y  612  21  1  3

c) 2,


Para ,1  en la derivada, se toma x  0 entonces:

Para 6.07,0.274 en la derivada, se toma x  0 entonces:

y  602  180  12  12

y  602  20  1  1

y es positiva, la función es creciente. Para 1,2  en la derivada, se toma x =

3 2


entonces:

Para 0.274, en la derivada, se toma x  1 entonces:

 3 2  3 3 y′ = 6   − 18   + 12 = −  2 2 2

y  612  21  1  7



22 3


20. x3  xy  y2  4  x

2 1 30 + ( ) 2(+ )− y′ = − ( 0) +(2 )−2


4

2 () 1 3+ 0 ( )2 + y′ = − ( 0) +(2) 2

3

1

1

2

2 ( − ) 1 31+ () 2+ y′ = − (1 ) +(2 − ) 2

x

3

−1

−2


−3

1 3+ 1 ( ) 1 +( ) y′ = − (1) + (2) 1

x 3 + xy +

=

2

2 −4 y=

x

3 4

21. y =

dy

2= y − dx

dy dx

=−

2 3

5 3


Al derivar, 3x 2 + + y x+ dx

=−

Para 0.608,  se toma x  1, entonces, y  1 y y  2

−1

dy

4


2

−2

1


y

−3

=−

x−

1

x

1 Al gra car la función se tiene:

=−

1 + 3x 2 + y

x + 2y

=0

y 3

y = −1 − 3 x 2

2

Al sustituir y en la ecuación srcinal se tiene:

( −1 3 )(x+2− 1−3) x 3 + x− 39+ −2 x6+ 3

2 = 4 x−

x2

=

1

2

x

x4

−0.5

1

2

3

4

5

6

7

x

−1

Así x1  0.5519 y x2  0.608, para las cuales

−2

y1  1.9137 y y2  2.1089.

−3


a) ,0.5519 1

y = x2 − x

b) 0.5519,0.608  c) 0.608, 

y′ =

1 2

x

−1 2

−1 2

+

1 2

x

−3 2

=

=

Así x1  1, dado que la función se de ne parax  0, entonces,

2

el intervalo a analizar es:

3

a) 0,


() 1 3+1 (−)3 2 + y′ = − (−)1 +(2) 3

3

2x 2

Para ,0.5519 se toma x  1, entonces, y  2 y y 3 2 ( )+ 1 3+1 − 2 (−) y′ = − (−)1 +( )2 −2

1+ x

=−


7 5

y′ =

1+1 3

=1

2 (1) 2

y es negativa, la función es decreciente. Para 0.5519,0.608  se toma x  0, entonces, y  2

22 4



23. y  x4  4x

22. y  x5  5x3  20x 2



y

y

8

(−2,46)

6 40 4

20

2

−2 −2.5 −2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

−1.5

−1

−0.5

0.5

x

1

x

−2

−20

y = x4 + 4 x −40

y′ = 4 x 3 + 4 (2,−50)

Así x1  1. Los intervalos a analizar son:

5

y = x− 5−x

3

−20 x

a) ,1

2

y′ = 5 x 4 −15 x 2 20 −

b) 1, Para ,1 en la derivada, se toma x  2 entonces:

Así, x1  2 y x2  2.

y  423  4  28 Los intervalos a analizar son:

y es negativa, la función es decreciente. a) ,2

Para 1, en la derivada, se toma x  0 entonces:

y  403  4  4

b) 2,2 

y es positiva, la función es creciente. c) 2, 24. y = Para ,2 en la derivada, se toma x  3 entonces:

x−2 x+2


y

y  534  1532  20  250

15


10

5

Para 2,2 en la derivada, se toma x  0 entonces: −6

y  534  1532  20  20

−4

−2

2

4

−5 −10


−15


y  534  1532  20  250

y=


y=

22 5

x−2 x+2 x+2−x+2

( x +) 2 2 (

4

= ) x+2

2

x


Esta derivada tiene una discontinuidad para x   2, entonces los intervalos al analizar son:

25. y  2x3  x2  3x  1 Al gra car la función dada se tiene:

y

a) ,2

25 20 15

b) 2,

10 5

En ,2 tomamos x  3 en la derivada, resultando: −2

−1.5

−1

−0.5

0.5

−5

1

1.5

2

x

−10

y′ =

4

(−3 + 2 )2

=4

−15 −20 −25

y es positiva, por lo que la función es creciente. 3 y = 2 x− + x 2 −3 x

En 2, tomamos x  0 en la derivada, resultando:

y′ =

4

(0 + 2)2

1

y′ = 6 x 2 − 2 x + 3 Esta derivada está de nida en el grupo de los números reales,

=1

entonces, al evaluar en cualquier valor resulta: 602  20  3  3

y es positiva, por lo que la función es creciente.

y es positiva, por lo que la f unción es creciente.

EJERCICIO 19 I. Calcula losmáximos ymínimos relativospara las siguientes

En x  1, se tiene un máximo cuyo valor es:

funciones y traza las grá ca correspondientes. 1. y  3  4x  2x

y = 3 − 4 x − 2 x2 y = 3− 4 − 1( −) 2−1( )

2

2

y=5 Primera derivada Cuando x  1, tenemos un máximo en 5.

y  4  4x

Al elaborar la grá ca correspondiente:

y

Al igualar a cero y resolver se tiene x  1.

Máximo (−1,5)

6 4 2

Para x  1 −4

Un valor un poco menor

−3

−2

−1

−2 −4

Un valor un poco mayor

−6 −8

x = −2

x=0

−10

( =)4 y′ = −4−4 2−

)− y′ = −4−40 ( = 4

y′ = +

y′ = −

−12 −14

2. y  x2  8x  10 Primera derivada

y  2x  8

22 6

1

2

x


Al igualar a cero y resolver se tiene x  4.

Al elabrar la grá ca correspondiente:

y

Para x  4

10


Un valor un poco mayor 5

x = −5

x = −3

8) = 2− y′ = 2 (−5 +

(3 8+)2 = y′ = 2 −

y′ = −

y′ = +

−2 −1

x

123456789

−5

−10

En x  4, se tiene un mínimo cuyo valor es:

−15

Mínimo (4,−16)

y = x 2 + 8 x + 10 4. y  x  12x  2

2 ( )4 + (− y =− 8 )+ 4 1 0= −6

Primera derivada Cuando x  4, se tiene un mínimo en 6.

y′ = 2 ( x−1)

( − )1 =2x (2x + +


2

2+4− + x 22 −1 + x

x2

x

= −3 + 3 x 2 y

Al igualar a cero y resolver se tiene x  1.

6 6

Para x  1

4 2

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

x

−2 −4


x=0

−6

Mínimo (−4,−6)


3. y  x2  8x Primera derivada

x=2

2 y′ = −3+30 ( )= 3−

2 y′ = −3+3 2( )=9

y′ = −

y′ = +

En x  1, se tiene un mínimo cuyo valor es:

y  2x  8

y  x  12x  2

Al igualar a cero y resolver se tiene x  4.

 1  121  2  0 Cuando x  1, tenemos un mínimo en 0.

Para x  4 Un valor un poco menor


Para x  1 Un valor un poco menor

x=3

x=5

)8 = − y′ = 23( − 2

y′ = 2 (5 ) − 8 2=

x = −2

y′ = −

y′ = +

y′ = −3+3−2( y′ = +



x=0

)92 =

2

y′ = −3+30 ( )=3− y′ = −


y = x2 − 8 x 2 y = ( x − 1) ( x + 2)

2 y = ( 4) − 8(4) = −16

2 = (− − 1 1 )−(1+2 =4 )

Cuando x  4, se tiene un mínimo en 16.

Cuando x  1, se tiene un máximo en 4.

22 7



Para x  2

y Un valor un poco menor

10

Máximo (−1,4)


5

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 −5

0.5 1 1.5 2 2.5

x

Mínimo (1,0)

x = −3

x = −1

)(3−1 =4) y′ = (− 3+ 2 −

)1( − y′ = (− 1+ 2 − 1 =2)−

y′ = +

y′ = −

−10

En x  2, se tiene un máximo cuyo valor es: 5. y  2x3  3x2  12x  4

y  10  122  322  223  10 Primera derivada Cuando x  2, se tiene un máximo en 10.

y  6x2  6x  12 Al elaborar la grá ca correspondiente: No existe valor real para x, tal que y  0, por lo cual se in ere que la función no tiene máximos ni mínimos relativos.

y 30

y 40

20

Mínimo (1,17)

30 10

20 10

−4 −4 −3 −2 −1 −10

1

2

3

4

−3

−2

−1

x Mínimo (−2,−10)

−20

1

2

x

3

−10

−20

−30 −40

7. y  3x5  5x4 6. y  10  12x  3x2  2x3 Primera derivada Primera derivada

y  15x4  20x3  x315x  20

y  12  6x  6x2  x  2x 1 Al igualar a cero y resolver se tiene x  2 y x  1.

Al igualar a cero y resolver se tiene x = 0 y x =

Para x  1

4 3

.

Para x  0


Un valor un poco mayor Un valor un poco menor

x=0

x=2

)2 y′ = (0+ 2 0)(− 1 =−

( 1= 4) y′ = (2+2 2)−

x = −1

y′ = −

y′ = +

( )1 31[(− y ′ =− 5 )−1 = 20 ]35 y′ = +



x=

1 2

  1 3   1  25 y′ =   15   − 20 = −  2    2   16 y′ = −

y  10  121  31  21  17 2

3

En x  0, se tiene un máximo cuyo valor es: Cuando x  1, se tiene un mínimo en 17.

y  305  504  0

22 8



Cuando x  0, se tiene un máximo en 0.

Para x =

4

x=

3


1 2

 1  1  1  27 y′ = 12   + 1 − 2 = −  2  2  2  2


y′ = − x =1

x=2

y′ = (1) 1[ 5(1) − 20= −] 5

3 y ′ = ( 2) [15( )2

y′ = −

3

y′ = +

En x  0, se tiene un máximo cuyo valor es:

− 20 ] 80 =

4

3

2

y  30  40  120  0 4 En x = , se tiene un mínimo cuyo valor es: 3

Cuando x  0, se tiene un máximo en 0. Para x  1

5

4

4 4 256 y = 3  − 5   = −  3   3  81


4 256 Cuando x = , se tiene un mínimo en − . 3 81

x = −2

(2) −(2+(1 −2)−2 = −96 y′ = 12− y′ = −


y


x =−

2

Máximo (0,0) −1

1

2

1 2

 1  1  1  15 y′ = 12 − − + 1− − 2 =  2  2  2  2

x

−2

y′ = + Mínimo (1.33,−3.16)

−4


−6

y  314  413  1212  5 8. y  3x  4x  12x 4

3

2

Cuando x  1, se tiene un mínimo en 5.

Primera derivada

y′ = 12 x−31 2−x 224 =

Para x  2

( x2 2 + ) 1 x(2x 12 x −− x= x12 −

)( x

Al igualar a cero y resolver se tiene x  0, x1 y x  2.

)


x =1 y′ = 12 ()1 1(+1(−1) )2= − 24

Para x  0

y′ = − Un valor un poco menor Un valor un poco mayor 1 x =−2

x=3

 1  1  1  15 y′ = 12 − − + 1− − 2 =  2  2  2  2

)2 y′ = 12 ()3 3(+ (1 − 3) = y′ = +

y′ = +

22 9

144




y  343  642  15  17

y  32  42  122  32 4

3

2

Cuando x  4, se tiene un minimo en 17.




y y

20

Máximo (0,15)

10

10

Máximo (0,0) −2

−1

1

2

3

x

Mínimo (−1,−5) −4

−10

−2

2

4

−10 −20

Mínimo (4,−17)

−20 −30

Mínimo (2,−32)

10. y = x 2 +

2a3

9. y  x  6x  15 3

2

x

Primera derivada

Primera derivada

y′ = 2 x −

y  3x2  12x  3xx  4 Al igualar a cero y resolver se tiene x  0 y x  4.

2a3

x2

Al igualar a cero y resolver se tiene x  a

Para x  0

Para x  a



x = −1

x =1

( 1) −2 12 (−)1= 15 y′ = 3−

() − 12(1)= − 9 y′ = 31

y′ = +

y′ = −


x = a −1 2

y′ = 2 (a − 1) −

2a 3 (a − 1)2

y′ = − para cualquier valor de a En x  0, se tiene un máximo cuyo valor es: Un valor un poco mayor

y  03  602  15  15 x = a+1 Cuando x  0, se tiene un máximo en 15.

y ′ = 2 ( a + 1)−

Para x  4

2a 3

(a + 1)2

y ′ = + para cualquier valor de a


x = −1


x =1 2

y′ = 3(3) − 12(3)= − 9

y′ = 3(5)

y′ = −

y′ = +

En x  a, se tiene un mínimo cuyo valor es:

y  a2  2a2  3a2. 2

−12( )5

15 = Cuando x  a, se tiene un mínimo en 3 a2

23 0

6

8

x


11. y  x4  x2  1

Al elaborar las grá cas correspondientes tenemos: Para a  0

Primera derivada

y  4x3  2x  2x2x2  1

y 800

Al igualar a cero y resolver se tiene: x = 0 y x = ±

600

a=7

400

1 2

Para x  0

200


Mínimo (7,147) −40

−30

−20

−10

10

20

x

30

x =−

−200

−400

1


x=

2

1 2

 1  1    1 2 y′ = −   4 −  − 2  =  2  2  2

  1    1 2 1 y ′ =    4   − 2  = −  2   2  2  

y′ = +

y′ = −

Para a  0 En x  0, se tiene un máximo cuyo valor es:

y 1800

y  04  02  1  1 1600

Cuando x  0, se tiene un máximo en 1. 1400

a=0

1200

1

Para x =

2

1000



800

x=

600

x =1

1

2   1    1 2 1 y ′ =    4   − 2  = −  2   2  2  

400

200

y′ = (1) 4 1( ) 22− 2 = y′ = +

y′ = − −60

−50

−40

−30

−20

−10

10

−4

20

30

40

x

Mínimo (0,0)

En x =

1 2

, se tiene un mínimo cuyo valor es:

 1 4  1 2  −   + 1 = 3  2   2  4

Para a  0

y =  y 1

Cuando x =

4000

2

, se tiene un mínimo en

3 4

.

3000

Para x = −

2000

a = −18

1 2

1000


Mínimo2 (−18,972) −50

−40

−30

−20

−10

10

20

30

x

y ′ = −1

−1000


x =−

x =1

1 2

 1  1  1 y′ = −   4 −  − 2  =  2   2    2 2

−2000

( )1 4[(−1) −22 = − y′ = − 2]

y′ = −

23 1

y′ = +


En x = −

1 2

 1 4  1 2  −   + 1 = 3  2   2  4

Cuando x = −

2


3 4

3


y = 

1

5

Para x =


.



x =1

x=2

 5 8 y′ = (1 + 3)1 −  = −  3  3

 5 5 y′ = (2 + 3)2 −  =  3 3

y′ = −

y′ = +

En x =

5


3

y

3

2

5 5 5 940 y =   + 2   − 15   − 20 = −  3  3  3 27

2

1.5

Máximo (0,1)

Cuando x = 1

Mínimo (−0.71,0.75)

3

, se tiene un mínimo en −

940 27

.


Mínimo (0.71,0.75)

0.5

5

y Máximo (−3,16) −2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

20

x

10

−4 −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

−10

12. y  x  2x  15x  20 3

2

−20

Primera derivada

−30

 )  x

(

2

y′ = 3 x+ 4 −15 x = + 3 x−

5 

−40

Mínimo (1.67,−34.81)

3 

Al igualar a cero y resolver se tiene: x = −3 y x =

5 . 3

13. y = x 2 +

a4 x2

Primera derivada

Para x  3

y′ = 2 x −


x = −4

2a4

x3

Al igualar a cer y resolver se tiene: x  a.



) −4 y′ = (− 4+ 3− 

5 

=

17

3 

Para x  a

3


y′ = +

x = a −1


y ′ = 2 ( a − 1) −

x = −2



) −2 y′ = (− 2+ 3− 

5 

= −

3 

11

2a 4 ( a − 1)3

y ′ = − para cualquier valor de a

3 Un valor un poco mayor

y′ = −

x = a +1


y ′ = 2 (a + 1) −

y  33  232  153  20 16

2a4

(a + 1)3

y ′ = + para cualquier valor de a


23 2

4

x


14. y =

En x  a, se tiene un mínimo cuyo valor es:

x2 x+a

Primera derivada

y  a2  2a2  3a2

y′ =

Cuando x  a, se tiene un mínimo en 3 a . 2

Para x  a

x( a+ x)x2 −

(x + )a

2

2

= ( )

( x 2 + 2 ax) x+a

2

=

x ( x + 2 a)

( x + a)2

Al igualar a cero y resolver se tiene: x  0 y x  2a. Al analizar el caso para a  0


Para x  0

x = a −1


2a 4

y ′ = 2 (− a − −1)

(−a − 1)3

x = −1

y ′ = − para cualquier valor de a y′ = Un valor un poco mayor

(−1 + 2 a) (−1 + a)2

y ′ = + para cualquier valor negativo de a x = a +1

Un valor un poco mayor 2a 4

y′ = 2 (− + a −1)

x =1

(−a + 1)3

y′ = + para cualquier valor de a

y′ =

En x  a, se tiene un mínimo cuyo valor es:

(1 + 2 a) (1 + a)2

y′ = − para cualquier valor negativo de a En x  0, se tiene un máximo cuyo valor es:

y  a2  2a2  3a2 Cuando x  a, se tiene un mínimo en 3 a2.

y=


a

=0

a Cuando x  a, se tiene un máximo en 2 .

Para x  0

Para x  2a

y


80

a=2

0

70

x = −2 a − 1

60 50

y′ =

40 30 20

y′ = − para cualquier valor negativo de a

10

Mínimo (−2,8)

−( 2a + 1)(−1) (−a + 1)2

Mínimo (2,8)

−8 − 7 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1

1

2

3

4

5

6

7

x

Para a  0


x = 2a + 1 a=0

y

y′ =

40

y′ = + para cualquier valor negativo de a

30

En x  2a, se tiene un mínimo cuyo valor es:

20

10

−6 −5 −4 −3 −2 − 1

(2 a +1)(1 4 +) a (1 + 3a)2

Mínimo (0,0) 1

2

3

4

y= 5

6

7

4 a2

−a

= −4 a

x Cuando x  2a, se tiene un mínimo en 4a.

23 3


En x  2a, se tiene un máximo cuyo valor es:


y

a = −100

2 000

y=

4 a2

−a

= −4 a

1 500

Cuando x  2a, se tiene un máximo en 4a. 1 000

Al elaborar la grá ca correspondiente: Mínimo (200,400) 500

y

a = 100

2 000

Máximo (0,0) −600

−500

−400

−300

−200

−100

−100

−200

−300

−400

x

1 500

−500 1 000

Al analizar el caso para a  0 500

Para x  0

Máximo (0,0)

Un valor un poco menor −600

x = −1

−500

−400

−300

−200

−100

−100

−200

x

Mínimo (−200,−400)

(−1 + 2 a) y′ = (−1 + a)2

−500

y ′ = − para cualquier valor negativo de a

15. y  1  x32  x2


Primera derivada

x =1 y′ =

3 )( x)−2 y′ =12 (−) 2x +( 13 −

(1 + 2 a)

2 2 ( +) x(= 1 )− −2 x( )+

+ x

2

2



4 x  5

(1 + a) y′ = + para cualquier valor negativo de a

Al igualar a cero y resolver se tiene x = 1, x= − 2y =x −

4 5

En x  0, se tiene un mínimo cuyo valor es: Para x  1

y=

0

a

=0


x=0

a Cuando x  a, se tiene un mínimo en . 2

2 (0 y′ = −(− 1 0 )2+

Para x  2a

4 +) 5

0 = −

 

8

4 +) 5

2 = −

 

56

5

y′ = −



x = −2 a − 1

−( 2a + 1)(−1) y′ = (−a + 1)2

x=2 2 (2 y′ = −(− 1 2 )2+

y ′ = + para cualquier valor negativo de a

5

y′ = −


x = 2a + 1 ( 2a +1)(1 4 +) a (1 + 3a)2

En x  1, no existe ni mínimo ni máximo, solo aparece un escalón o meseta y es decreciente.

y′ =

y  1  132  12  0

y ′ = − para cualquier valor negativo de a Cuando x  1, la función toma el valor en 0.

23 4

.

 

x



Para x  2

y


10

Máximo (−0.8,8.4)

x = −3

8

4 −)  5

2

( y′ = −(+ 1 3 2)3−

 176 3 = −  5

6

y′ = −

4


2

Mínimo (−2,0) −2

x = −1 2

( y′ = −(+ 1 1 2)1−

4 ) −  5

1

2

1

3 −) x 16. y = ( x +2) (1


2 3

Primera derivada

y  1  2 2  2  0 2

2 1 1 −2 y′ = (+ x) 2 1 −3 ( −)(+x) 3 2− 1x( )= 3 3

x

−1 − x

−1

3

Al igualar a cero y resolver se tiene x  1. 4 5

Para x  1



x = −1 2 ( y′ = −(+ 1 1 2)1−

x =− 4 ) −  5

 

1 =

4

3 2

5

−1 − y′ =

y′ = +

3 2

1

2

= 1.3663

 3 3  3 3 1 −  2 +  2 2


y′ = + x=0 2 (0 y′ = −(− 1 0 )2+

4 +) 5

 

0 = −


8 5

x=0

y′ = −

−1 − 0

y′ =

1

2

= −0.629

(1 −0 ) 2 3 (0 + ) 3

4

En x = − , se tiene un máximo cuyo valor es: 5

y′ = −

En x  1, existe un máximo con valor:

3 2 y = 1 + 4  2 − 4  = 8.398  5   5

1

2

y  1  231  13  1.5874 4 Cuando x = − , se tiene un máximo en 8.398. 5

Cuando x  1, la función toma el valor en 1.5874.

23 5

1

2

(1 − x ) 3 (2 + x ) 3


Para x = −

x

−2

 4 1 =  5

y′ = +

3

(1,0)

−1


Al igualar a cero y resolver se tiene x =


−2

Para x =

−1

2

a

3


x=


a

x=

3

4a 5

−4 a + 2 a

x+3 17. y = x 2

24 a

1 2 y′ =  3  2a 3 a 3 − a  − a   3  3 

Primera derivada

= y′ =

( )3 x 2 − 2 x ( x) + x

4

=−

x

−2 a 1

y′ =

2

= 23

y′ = +

3

En x =

2 3

a existe un máximo cuyo valor es:

Para x  7

1


Para a  0 se tiene un máximo.

x = −5

3


(− 5 + 6) 1 y′ = − =− 125 (−5)3

(− 7 + 6) 1 = (−7)3 −343

2

2 1  4a 3  2 a 3 1 − a  − a = (−a)3 a 3 3  3  3

y = 


2

−4 a + 5 1 4  4a 3  4 a 3 35 − a  − a  3  5 

y′ = −

−2 3 a

x+6

Al igualar a cero y resolver se tiene: x  6

y′ = −

a.

x

1

−5

x =−

3

Al analizar el caso para a  0

y Máximo (−1,1.59)

−3

2

a0

y′ = −

y′ = +

y

a = 5.1

En x  6 no existe un máximo o mínimo.

4


2

y

Máximo (3.4,1.7)

1

2

3

4

5

6

x

−2 100 80

Para a  0 se tiene un mínimo.

60 40

a0

20

y −6

−5

−4

( 2 x)− ( a 18. y =

−3

1

−2

)3 x − a

−1

1

2

3

4

a = − 5.1

x

5

4

2 3

2

−6

Primera derivada

−5

−4

−3

−2

x

−1 −2

2 2 2 −2 ) x= a y′ = ( 2−x )a( −3 ) + x (a −3 )( −2 3 3

1 3

x

a

1 3

Mínimo (−3.4,−1.7)

−4 a + 6 x 1

1

3( x − a) 3 ( 2 x − a) 3

23 6


19. y =

x 2 + 2 a2

En x  2 existe un mínimo cuyo valor es:

x 2 + a2

y  24  322  4  44

Primera derivada 2x ) x( 2a+ y′ =

2 a)2 2x(x2− 2

(x2 + ) a2

+ 2 2

(

)

=−


a2 x 2

a2 + x 2

y 80

Al igualar a cero y resolver se tiene x  0.

60

Para x  0 40



x = −1 y′ =

x= 2a 2 2

(a 2 + 1)

20

4a

−2

5

y′ = −

y′ = +

2

2

(a 2 + 1)

−40

Mínimo (2,−44)

y′ = − En x  0 existe un máximo cuyo valor es:

y=

0 + 2a2 0+a

2

x

4

−20

2a2

21. y = x +

=2

1

x

Primera derivada


y′ = 1 −

1

x2

y Al igualar a cero y resolver se tiene x  1. 2

Máximo (0,2)

Para x

1

 Un valor un poco menor −10

x

−10

x=

x=2

2

y′ = 1 −

1

y′ = 1 − 20. y  x 4  32x  4


1

2

 1    2

= −3

1

( 2)2

=

3 4

y′ = +

y′ = −

Primera derivada En x  1 existe un mínimo cuyo valor es:

y  4x3  32 y112 Al igualar a cero y resolver se tiene que x  2.

Para x  1

Para x  2



x =1


x=3 3

x = −2 y′ = 1 −

3

( )− 32= − 28 y′ = 4 1

y′ = 4 (3 ) −32 = 76

y′ = −

y′ = +


x =− 1

(−2)2

=

1

5

2

4

y′ = 1 −

y′ = + y′ = −

23 7

1

 2 − 1   2 

= −3



En x  1 existe un máximo cuyo valor es:

y

y  1  1  2 Al elaborar la grá ca correspondiente:

4

y

2

10

−1

5

−0.5

0.5

1

1.5

x

2

Mínimo (1,2) −2 −1

−0.5

0.5

Máximo (−1,−2)

1

x

1.5

Mínimo (1.5,−1.69)

−5

−10

23. y =

) x( a− )( bx − x2

Primera derivada 22. y  x4 2x3

)b( − x 2−( x (a− + x )− xx( a)− b)( 2x −) y′ = x4

Primera derivada

y  4x  6x  x 4x  6 3

2

2

Al igualar a cero y resolver se tiene x = 0 y x =

Al igualar a cero y resolver se tiene x = 3 2

. Para x =

=

2 ab − (a +b x)

2 ab . a+b

2 ab

a+b

Para x  0 Un valor un poco menor Un valor un poco menor


x = ab a+b

x = −1

x =1

( ) 1( )2 4( −1 −6 = −)10 y′ = −

)2 y′ = (1) 4(1( )6− = −

y′ = −

y′ = −

2

y′ =

y′ = +

En x  0 la función no presenta cambio de signo de la pendiente.

Para x =


3 2

x =1


x =1


 3ab   a + b  (a + b)3 =− 3 27 a 2 b 2   3ab   a + b 

2 ab − (a b+ )

y′ =

x=2 2

 ab   a + b  (a + b)3 = 2 2 a b  ab 3   a + b 

2 ab − (a b+ )

)2 y′ = (1) 4 (1( )6− = −

2 y′ = ( 2) 4((2) 6− 8) =

y′ = −

y′ = +

y′ = −

En x =

3

2ab

a+b

existe un máximo cuyo valor es:

En x = 2 existe un mínimo cuyo valor es:

 3 4  3 3 27 y =   − 2   = −  2   2  16

y=

23 8

 2 ab  2 ab  − ab −  2   a+b a + b  ( a − b ) = 4 ab  2 ab 2   a + b 

x3


Lo anterior se cumple para a  0, b  0.

a0yb0 y

Por otra parte al considerar a 0 y b  0.

40

a = 0.3

En x =

2 ab

b = −14

existe un máximo.

a+b

Si se considera a  0 y b  0

20

−3

−2

−1

1

x

2

Mínimo (0.61,−12.17)

−20

En x = 2 ab existe un mínimo. a+b

a0yb0 Si se considera a  0 y b  0

y 40

En x =

2 ab

a+b

a = −0.3

existe un mínimo.

b = 14

20

Al elaborar las grá cas correspondiente tenemos: −3

a0yb0

−2

−1

1

Mínimo (−0.61,−12.17)

x

2

−20

y a = 0.3 60

b = 14

24. y = 40

20

−5

−4

−3

−2

−1

Máximo (0.59,11.17)

1

x2 x2 + 3

Primera derivada

x

2

y′ =

( x 2 + 3)2 x − 2 x 3

−20

−40

2

(x 2 + )3 (

6x

=

) x2 + 3

2

Al igualar a cero y resolver se tiene x  0. Para x  0

a 0 y b  0


x = −1

y

a = −0.3

40

y′ =

b = −14 20

−2

−1

1

x =1 6 (−1) 2

((−1)2 + 3)

=−

3

y′ =

8

y′ = −

Máximo (−0.59,11.17)

−3


2

x

y′ = +

En x  0 existe un máximo cuyo valor es:

−20

2

y=

0 ( 0) ( 0 ) 2 +3 =

−40

Cuando x  0 existe un máximo en 0.

23 9

6 (1)

((1)2 + 3)2

=

3 8



y 1

0.8

0.6

0.4

0.2

−2

−1

1

x

2

Máximo (0,0) −0.2

25. y =

a2 x

+

b2 a−x

Primera derivada

y′ = −

a2 x2

+

b2

( a) − x

2

Al igualar a cero y resolver se tiene x = Para x =

1

a2 − b2

( a 3 + ab42

−+ a4 = () 1

a2 − b 2

− 2a3x a + x22 b22x 2 a − x x 2( )

3x b a2+ −2 (a2 2x

− + a4 =

a−x

2

)

x2

( a 3 ± ab 4 a2 − 2 ).

)

a2 −


x=

y′ =

1 2 (a 2 − b 2 )

(a3 + ab 4 a2 − 2 )

 1 (a3 + ab )4a 2 − b2 a+ ( 2(− 2 ) ) 2 1 2 a3 + ab 4 a2 − −a 4 + 2a 3   2 (a − b )  2 (a 2 − b 2 )  2 2   1 1 3 4) 2 2 ( 3 4 2 2     a −  ( ) a + a b a −   2 a 2 − b 2 a + ab a −    2 (a)2 − b 2 ( ) 

=

(a3 +a 2 (−ab1 + 2 4 16 (a 2 − b 2 ) −a 4 −  4 (a 2 − b 2 )

2)

2

)

a + 2a 3  

2+ab 2 ( 1 a 2a( a+ −5ab 3 −3b 2a 2 −

3

2 (a − b 1+

+ a

2  

   

2 2 ) 

2a 2 − 2b 2 2 2

2

2

))

y′ = + Un valor un poco mayor

x=

y′ =

2

(a 2 − b 2 )

(a3 + ab 4 a2 − 2 )

 2 (a3 + ab )4a 2 − b2 a+ ( (2 − 2 )) 2 2 2 a3 + ab 4 a2 − −a 4 + 2a 3  2 (a − b 2 )  (a − b ) 2 2   2 (a3 + ab 4 )a2 − 2(   2 2) 2 a3 + ab 4 a2 − 2  a − ( 2) 2 ( )   a − b    a −b

=−

(

3 2+ (a 2 − ( a4+ ab5 42+aa3 b 2a) −

(

(

2a )b 2 3((2( 3) −+ b 8 − a 2 (a 1 )a+ 2− 2 +a

)

2

)

2( 1 ) 2 2 4 a3 + a − + ab a ab + +32a( −+) ab2

y′ = −

24 0

2

1

2 2

2 2

2

1

2  

2 2

)


En x =

1

(a 3 + ab42

a2 − b2

)

a2 −

existe un máximo cuyo valor es:

a2

y=

1

a2 − b

1 2

2

( a 3 − ab42

2 2)

(a 2 − b

=

Para x =

( a 3 + ab42 )a2 − ( 2

(a 3 + a2

a

2

b2

+

)1 2

a−

(ab−1 +

a − b2 2 2

2 2 ( 2 ) ( a12b )()ab −+ + a −+ ab

a 3 + ab42 a2 −

)

) 1

)

a2 −

a −b Un valor un poco menor x=

1 2 (a 2 − b 2 )

(a3 − ab 4 a2 − 2 )

 1 (a3 − ab )4a 2 − b2 a+ ( 2(− 2 ) ) 2 1 2 a3 − ab 4 a2 − −a 4 + 2a 3   2 (a − b )  2 (a 2 − b 2 )  y′ = 2   2   1 1 3 − ab 4 )a2 − 2 ( 3 4 2 2  ( )  a   a −  ( )2     2 a 2 − b 2 a − ab a − ( )    2 a − b2 3

=

4 (a−2 b a 2 )

( −a2

2 − 2+

(3 (

3 2 2+ 2 ( 1 a 2a( a+ −5ab 3 + b a 2 − ab

2 2

+5ab 6 + a3 a4

−+ 2 ab 3 +a2 (a 14− a)

2

ab

3

)

2

2

2 2

1

2  

))

2

))

y′ = − Un valor un poco menor

x=

2

(a 2 − b 2 )

(a3 − ab 4 a2 −

2

)

   2 2 4 3 3 4 2 2  2 2 3 4 2 −a + 2a (a 2 − b 2 ) (a − ab ) a − b a+ ( ( − ))(a 2 − b 2 ) a − ab a − y′ = 2      2 2 2 4 )2 2(  a −  ( 3   2 ) 2 a 3 − ab 4 a2 − 2  (a 2) − b 2 a − ab (a − )   a − b   =

(

(a−2 b 2a)3 (−2 (4 5 +42 aa3 − a− ab +2 ab 8+ a2(a() 1−) a 2− +)2 ab 2 3( 2 )3 4

(

a32+ ab

−

(

a2 −+2

(ab 1) a)

)

2−2a−

2

(

+3 ab

)

2

1

2 2 2

2

y′ = +

En x =

1

a2 − b2

(a3 − ab 4 a2 −

2

) existe un mínimo cuyo valor es:

y=

a2 1

a2 − b

=

(a3 − ab 4 )a2 − 2 (a 2 − b

(−a+3

2 2) a

1b )() −2ab a −2+( a +2

Lo anterior se cumple para a  0 y b  0. Si se considera a  0 y b  0, tenemos que: 



En x = En x =

1

a2 − b 2 1

a2 − b2

(a3 + ab42

a2 −

) existe un máximo.

(a3 − ab42

a2 −

) existe un mínimo.

b2

+

2

24 1

( 2

a−

(− ab 1 +

)1 2

a 3 − ab 4 a2 −

a − b2 2 2

a( −2+ )ab )

2

) 1

2 2

2

1

2

2 

2 2

)


Al elaborar las grá cas correspondientes tenemos:


( )0 2 (+) 0 −1 = −1 (0) 2 − ( )0 + 1

a  0, b  0

y= y

Para x  2

a=1

40

b=4

30


20

Máximo (−0.32,9)

−2.5

−2

−1.5

−1

y′ = −

Mínimo (0.19,25.01)

22(− + (1) )( 1) 2 2

(1−(1) +( )1 )

=2

y′ = +

10

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

Un valor un poco mayor 22(− + (3))( 1) 2 =− y′ = − 2 2 49 1 − (3) +( )3

(

−10

)

y′ = −

−20

En x  0 existe un máximo cuyo valor es:

( )2 2 (+) 2 − 1 5 = (2) 2 − ( )2 + 1 3

a  0, b  0

y= y

a = −1


60

b = −4

y −2

50

Máximo (2,1.67)

40

−1 30

20

−2

−1.5

−1

−0.5

2

1

1.5

2

2.5

3

x

10

−1

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

−10

1

Mínimo (0,−1)

x

Mínimo (0.32,−9)

27. y =

−20

Máximo (−0.19,−25.01)

x 2 − 3x − 4 x −2

Primera derivada −30

y′ = 26. y =

x 2 + x −1

x )(2 )− 2 x− − 3 (−

(−x 2 )(3 x

( x) − 2

2

()

10 − 4 x + x 2

x −2

2

cero, por lo tanto, la función dada no tiene mínimos ni máximos. La función es creciente en todo punto excepto para x  2.

x 1)(2+x − 1 )(+ −x2 1)(2 − x (x2 − + y′ = 2 x ( 2 − x + 1)

1)x

=−

2(−2 + )x x


(1− x + x 2 )2

y

Al igualar a cero y resolver se tiene x  0 y x  2.

15

Para x  0

10


y′ = −

=

Para esta derivada no existen valores de x para los cuales se haga

x2 − x +1

Primera derivada

y′ = −

4) 1

2 (− 2 + −( 11 )− () ) 2 2

(1− (−) 1( +) − 1 )

=−

5


2

y′ = −

3

22(− + (1) )( 1 ) 2 2

(1− (1) +( )1 )

=2

y′ = +

−15

−10

−5

5

−5

−10

−15

24 2

10

15

x


28. y =

29. y =

x 2 − 2x +1 x +1

Primera derivada

Primera derivada

y′ =

=

x2 x2 − 9

21 1 x − − (2x+ ( x +)(12) 2− )( x ( x) + 1 2

)

=

()

−3 + 2 x + x 2 x +1

y′ =

2

3 x− ( x + )( )1 ( x + 1)2

( x 2 −)9 (2)(x) − (x 2) 2 (x 2 − 9)

2x

=−

18 x 2

(x 2 − 9)

Al igualar a cero y resolver se tiene x  0. Para x  0

Al igualar a cero y resolver se tiene x  1 y x  3.




x=0

x=2

3 01− (0 + )( ) y′ = (1)2

3 21− (2 + )( ) y′ = (2 + 1)2

= −3

x = −1 y′ = −

=

5 9


x =1 18 (−1) 2

((−1)2 − 9)

=

9

y′ = −

32

y′ = +

18 (1) 2

((1)2 − 9)

=−

9 32

y′ = −

y′ = +

y′ = −

En x  0 existe un máximo cuyo valor es: En x  1 existe un mínimo cuyo valor es:

y=

y=

(1) 2 −(2) 1 + 1 =0 (1) + 1

(0)2 =0 (0)2 − 9


Para x  3

y


x = −4 y′ =

(− 4+ )(3− −4) 1

10

5

=

2

(1 + 4 + 16)

441

y′ = +

Máximo (0,0) −6


−4

−2

2

4

6

x

x = −2 −10

y′ =

3 (− 2+ )(3− −2) 1 =− 49 (1 + 2 + 4)2

y′ = − En x  3 existe un máximo cuyo valor es:

y=

2 − − ( )3 − ( 2) +3 (−3) + 1

1

30. y =

= −8

x x +1

Primera derivada


y′ =

y

1 ( x + 1)()1 − ((x) ) 1 = (x + ) 1 2 ( ) x +1 2

Para esta derivada no existen valores de x para los cuales se haga 10

cero, por lo tanto, la función dada no tiene mínimos ni máximos. La función es creciente en todo punto excepto para x  1.

−10

−5

5

Máximo (−3,−8)

10

Mínimo (1,0)

x

−10

−20

24 3




y 10

y=

8 6 4


2

−4

−3

−2

−1

3 (−) 2( )2+ − +2 4 = 2 (−)2 2+(−2) +24

1

−2

2

4

x

6

y

−4 2

−6 −8

1.5

Máximo (−2,1.5)

31. y =

1

x2 + x + 4 x2 + 2x + 4

Primera derivada

y′ =

−4

( x 2 + 2+x) 42 1(+x)− +) +x422( 2+x) 2 ( x 2 + 2 x + 4)

−2

32. y =

4

x

x −4 2

( x2 + 2 x + 4)

x5 − 5x 5

Primera derivada

y  x4  1

Al evaluar a cero y resolver se tiene x  2.



Para x  1


x =1


x =3

(1)2 − 4

y′

2

x

2

=

Mínimo (2,0.83)

0.5

(3)2 − 4

3

5

y′ = ((3) 2 +(2) 3 + 4)2 = 361

= ((1) 2 +(2) 1 + 4)2 = − 49 y′ = −

y′ = +


1

x=2

2

4

y′ = (2) − 1 = 15

4

1 15 y′ =   − 1 = −  2 16

y′ = +

y′ = −


y=

x=


5 (2) 2 +( )2 + 4 = (2) 2 +(2) 2 + 4 6

y=

(1) 5 −(5) 1 5

=−

4 5

Para x  2 Para x  1 Un valor un poco menor Un valor un poco menor

x = −3 y′ =

2 (−3) − 4

((−)3 2+(2−)3 4+

2

)

=

5

x = −2

49

y′ = (− 2)− =1

4



x = −1

x =− 2

y′ =

15

y′ = +

y′ = +

(−1) − 4

((−)1 +(2−)1 +4 2

2

)

=−

1

1 2

 1 4 15 y′ = −  − 1 = −  2 16

3

y′ = −

y′ = −

24 4




y 5

y=

(−)1 − ( 5) −1 5

=

6

4 5

4

Al elaborar la grá ca correspondiente: 2

y Máximo (−1,0.8)

1

−5 −4 −3 −2 −1

0.5

−2

−1.5

−1

1

2

3

4

5

6

x

−2

−0.5

0.5

1

−4

x

1.5

−0.5

35. y  2x3  6x  5 Mínimo (1,−0.8)

−1

Primera derivada

y  6x2  6 33. y =


1

x −2


Primera derivada

y′ = −

x=

1

( x − 2)2


1

x=2

2

2

y′ = 6 (2) − 6 = 18

2

Para esta derivada no existen valores de x para los cuales se haga cero, por lo tanto, la función dada no tiene mínimos ni máximos. La función es decreciente en todo punto excepto para x  2.

1 9 y′ = 6   − 6 = − 2 2

y′ = +

y′ = − En x  1 existe un mínimo cuyo valor es:

y  213  61  5  1

Al elaborar la grá ca correspondiente: Para x  1

y


6


x = −2

x =−

4

2 y′ = 6−( 2)− =61

8

y′ = + −2

−1

1

2

3

4

5

y′ = −

x

−2

2

 1 2 9 y′ = 6   − 6 = − 2 2

2

−3

1


y  213  61  5  9

−4

Al elaborar la grá ca correspondiente: 34. y =

y

x x −2

Máximo (−1,9)

10

8

Primera derivada

6

y′ = ( x − 2) −2 x = − 2 ( x −) 2 ( ) x − 2

2

4

2

Para esta derivada no existen valores de x para los cuales se haga Mínimo (1,1)

cero, por lo tanto, la función dada no tiene mínimos ni máximos. La función es decreciente en todo punto excepto para x  2.

24 5

−3

−2

−1

1

2

3

x


EJERCICIO 20 I. Determina los puntos de in exión y el sentido de la concavidad para las siguientes funciones y traza las grá cas correspondientes.

2. y  5  3x2  x3 Se encuentra la segunda derivada de la función.

y′ = 6 x − 3 x 2 1. y  x3  9x2  27x  8

y′′ = 6 − 6 x

Se encuentra la segunda derivada de la fun ción.

Al igualar a cero se tiene:

y′ = 3 x 2 − 18 x + 27

6 − 6x = 0

y ′′ = 6 x − 18

x =1

y ′′ = x − 3

Para x  1



x=0

6 x − 18 = 0

y′′ = 66− (0) = 6

x=3

y′′ = +

Para x  3



x=2

x=2

=− y ′′ = 6 (2− ) 18

y′′ = 6− 6 (2=) − 6

6

y′′ = −

y ′′ = −

Al evaluar x en la función se tiene:


y  5  312  13  7

x=4 y ′′ = 6 (4) − 18 = 6

El punto de in exión es 1,7 

y ′′ = + Al elaborar la grá ca correspondiente: Al evaluar x en la función se tiene:

y y  33  932  273  8  19

10


8


6

y

P (1,7)

4

2 30

−1

1

2

3

4

x

20

P (3,19)

La curva es cóncava hacia arriba a la izquierda del punto de 10

in exión y es cóncava hacia abajo a a derecha de dicho punto. 3. y  x3  6x2  12x  8

−1

1

2

3

4

5

x Se encuentra la segunda derivada de la función.

La curva es cóncava hacia abajo a la izquierda del punto de in exión y es cóncava hacia arriba a la derecha de dicho punto.

24 6

y′ = 3 x 2 − 12 x + 12 y′′ = 6 x − 12



Para x  0

6 x − 12 = 0


x=2

x = −1

Para x  2

y′′ = 6 (− 1=) − 6


y′′ = − Un valor un poco mayor

x =1 y ′′ = 6 (1− =− ) 12

x =1

6

y ′′ = −

y ′′ = 6 (1) = 6 y ′′ = +


Al evaluar x en la función se tiene

x=3

y  03  1  1

y ′′ = 6 (3) − 12 = 6 y ′′ = +

El punto de in exión es 0,1 Al elaborar la grá ca correspondiente:


y

y  23  622  122  8  0

10

El punto de in exión es 2,0 5


P (0,1) −2

y

−1

1

2

x

−5

−10 4

La curva es cóncava hacia abajo a la izquierda del punto de inexión y es cóncava hacia arriba a la derecha de dicho punto.

P (2,0) 1

2

3

4

x 5. y  2x4  8x  3 Se encuentra la segunda derivada de la función.

−2

y′ = 8 x 3 − 8 y′′ = 24 x 2 La curva es cóncava hacia abajo a la izquierda del punto de in-


exión y es cóncava hacia arriba a la derecha de dicho punto.

24 x 2 = 0

x=0 4. y  x3  1

Para x  0

Se encuentra la segunda derivada de la función.


x = −1

y′ = 3 x 2

2

y ′′ = 24 (−1) = 24

y′′ = 6 x

y ′′ = + Al igualar a cero se tiene:


x =1

6x = 0

2

y′′ = 24 (1) = 14

x=0

y′′ = +

24 7


La curva no presenta ningún punto de in exión.

La curva es cóncava hacia arriba para x  1, la curva es cóncava hacia abajo para 1  x  1, por último, la curva es cóncava


hacia arriba para x  1.

y

7. y = x

x +1


10

y′ =

5

x

x +1 +

x +1

2

−1

1

2

x

3

y′′ =

= La curva es cóncava hacia arriba.

6. y =

2

x +1 1

2

x +1 5x + 2

=

4 ( x +) 1

x2

3 2

x

x +1 −

2

1

+

x +1

4 ( x + 1)

x+2

+

3

4 ( x + 1)2

=

4 + 3x

( 4) 1 + x

3 2

x 2 −1 Al igualar a cero se tiene:

Se encuentra la segunda derivada de la fun ción. 4 + 3x = 0

x( y′ =

2

x (

y′′ = −

− 1)x2 x −x 2 2 2x =− 2 ( x 2 )− 1 2 ( ) x 2 −1 2

x =−

) 1 2 2(x− 6x 2 + 2 − x 4) x 2 − 1 2 = 3 ( x 2)− 1 4 ( ) x 2 −1

Sin embargo, x = −

4 3

4

no pertenece al dominio de la función, 3 por lo tanto, la curva no tiene punto de in exión.

Al igualar a cero se tiene: Al elaborar la grá ca correspondiente: 6x2  2  0 No existe número real que satisfaga la igualdad anterior.

y 0.8

Al elaborar la grá ca correspondiente: 0.6

y 10

0.4

0.2

5

−1 −0.5 −2

−1

1

2

0.5

x −0.2

−5

−0.4

La curva es cóncava hacia arriba. −10

24 8

1

x


8. y  x2

10. y  12x2  4x4



y′ = 2x

y ′ = 24 x − 16 x 3

y ′′ = 2

y′′ = 24 − 48 x 2

Dado que la segunda derivada no se iguala a cero la función no tiene ningún punto de in exión.



2

24 − 48 x = 0

x =±

y 1.5

Para x =

1

1 2

1 2


0.5

x=0 −1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

x

y′′ = 24 − 48(0) = 24 y′′ = +

La curva es cóncava hacia arriba. Un valor un poco mayor

x =1

9. y  5  2x  x2

2

y′′ = 24 − 4 8 1(=) − 24


y′′ = − y ′ = −2 − 2 x Al evaluar x en la función se tiene:

y ′′ = −2 Dado que la segunda derivada no se iguala a cero la función no

2


4

1 1 11 y = 12   − 4   = 2 2 4

tiene ningún punto de in exión.

 1 11  El punto de inflexión es  , . 2 4  y 6

Para x = − 5

4

1 2



3

x=0

x = −1 2

y ′′ = 24 −

2

48 −( = 1) −

2

y′′ = 24 − 48(0) = 24

24

1

y ′′ = − −3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

x

y′′ = +

Al evaluar x en la función se tiene: 2

4

 1  1 11 y = 12 −  − 4 −  =  2  2 4

La curva es cóncava hacia abajo.

24 9



 1 11 El punto de inflexión es − , .  2 4

1

2

y = (−1) + Al elaborar la grá ca correspondiente:

(−1)

=0

El punto de in exión es 1,0 

y Al elaborar la grá ca correspondiente:

8

6

y

4

Q (−0.5,2.75)

8 6

P (0.5,2.75)

2

4

P (−1,0) −2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

x

−2

−2

−2

−2

−2

2 0.5

−2

1

1.5

2

2.5

3

x

−4 −6 −8 

La curva es cóncava hacia abajo a la izquierda del punto

 1 11 − ,  y cóncava hacia arriba a la derecha de dicho punto. 2 4 

La curva es cóncava hacia arriba a la izquierda del punto  1 , 11  y cóncava hacia abajo a la derecha del punto.  2 4 

11. y = x 2 +

−10

La curva es cóncava hacia arriba a la izquierda del punto y a cóncava hacia abajo a la derecha de dicho punto.

12. y  x3  9x2  24x  7

1

x



y′ = 2 x − y′′ = 2 +

y′ = 3 x 2 − 18 x + 24

1 2

x 2

y′′ = 6 x − 18 Al igualar a cero se tiene:

x3

6 x − 18 = 0

Al igualar a cero se tiene: 2+

2

x3

x=3

=0 Para x  3

x = −1 Un valor un poco menor

Para x  1 Un valor un poco menor

x=4

x=2

x = −2 y′′ = 2 +

y′′ = 6(2− =− ) 18

2

(−2)3

=

7

y′′ = +

y′′ = 6(4) − 18 = 6 y′′ = +



y  33  932  243  7  11

x =1 y ′′ = 2 +

6

y′′ = −

4


El punto de in exión es 3,11  2

 1 3 −  2

= −19

y ′′ = −

25 0



Al igualar a cero se tiene

y

3x 2 − 4 = 0

15

x=±

P (3,11) 10

Para x =

4 3

4 3

5


−2

1

2

3

4

x =1

5

x

2

y′′ = 3(1)− =4 −

La curva es cóncava hacia abajo a la izquierda del punto y

1

y′′ = −

cóncava hacia arriba a la derecha de dicho punto. 13. y = x 2 +


1

x2 x=


5 3 2

y′ = 2 x − y′′ = 2 +

 5 13 y ′′ = 3  − 4 =  3 3

2

x3

y ′′ = +

6 x4


Al igualar a cero se tiene: 6

2+

x4

=0

y=

4  4   3 

4

 4 2 224 − 2   = −  3 81

La función no tiene puntos de in exión.

 4 224  El punto de inflexión es  3 , − 81 .


y Para x = −

30

4 3

25

Un valor un poco menor 20

x =−

15

5

−2

−1

y ′′ = + 1

2

3

x


La curva es cóncava hacia arriba para x  0, la curva es cóncava

x = −1

hacia arriba para x  0.

14.

x4

3

 5 2 13 y ′′ = 3 −  − 4 =  3 3

10

−3

5

2

y′′ = 3−( 1)− =4 −

1

y′′ = −

2

y = 4 − 2x Al evaluar x en la función se tiene:


y′ = x 3 − 4 x y=

y′′ = 3 x 2 − 4

25 1

 4  4   3  4

 4 2 224 − 2   = −  3 81


Para x  2

 4 224  El punto de inflexión es − , − .  3 81 



x =1 y′′ = 12(1) ( 1 )− =2− )

y

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

12

y′′ = −

1

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

−1


x=3

−2 −3

y′′ = 12 (3) (3) − 2

−4

y′′ = +

Q (−1.33,−2.77)

P (1.33,−2.77)

= )36

Al evaluar x en la función se tiene: 

La curva es cóncava hacia arriba a la izquierda del punto Q

y  24  423  2  14

y cóncava hacia abajo a la derecha de dicho punto. 

La curva es cóncava hacia abajo a la izquierda del pun to P y

El punto de in exión es 2,14

cóncava hacia arriba a la derecha de dicho punto.

y 5

15. y  x4  4x3  2 −1.5

−1

−0.5

Se encuentra la segunda deriva de la función.

P (0,2) 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

−5 −10

y ′ = 4 x 3 − 12 x 2

Q (2,−14)

−15

y ′′ = 12 − x 2 =24 x −12 x ( x

2)

−20 −25

Al igualar a cero se tiene: 12 x ( x − 2) = 0



La curva es cóncava hacia arriba a la izquierda del punto P y cóncava abajo de dicho punto.

x1 = 0 x2 = 2



La curva es cóncava hacia abajo a la izquierda del punto Q y cóncava hacia arriba a la derecha de dicho punto.

Para x  0

16. y  3x4  4x3  1



y ′ = 12 x 3 − 12 x 2

x = −1 y′′ = 12− ( 1)(−( − ) 1 = 2)

y′′ = 36− x 2 =24 x − 12 x (3 x

36

y′′ = +

Al igualar a cero se tiene: 123x ( x − 2) = 0


x1 = 0 x =1 y′′ = 12 (1) ((1− ) =2− )

x2 =

12 Para x  0

y′′ = −

Un valor un poco menor Al evaluar x en la función se tiene:

x = −1

y  04  403  2  2

y′′ = 12− ( 1) (−3 − ) 1= 2) y′′ = +


25 2

60

2 3

2)



x=



La curva es cóncava hacia abajo a la izquierda del punto Q y cóncava hacia arriba a la derecha de dicho punto.

1 3

17. y = 2 + 3 x − 4

 1   1   y′′ = 12  3  − 2 = −4  3   3  


y′′ = −

2

3( x − 4) 3

y  304  403  1  1

2

y′′ =

El punto de in exión es 0,1 Para x =

1

y′ =


−1

− 3 ( x − 4) 3( x − 4)

4 3

3

2

=−

5

9 ( x − 4 )3

2 Al igualar a cero se tiene:

3

20


La ecuación no tiene raíces reales, por tanto, no existe un punto

x=

1

de in exión.

3

 1   1   y ′′ = 12 3  − 2 = −4  3   3  


y

y ′′ = − Un valor un poco mayor

3

x =1 2

y′′ = 12(1) (3( )1 − 2) = 12 y′′ = +

1


4

2

3

4

3

5

x

2  2 11 y = 3   − 4   + 1 = 3  3 27 La curva es cóncava hacia arriba en todos sus puntos ya que no

 2 11  El punto de inflexión es  , .  3 27 

tiene punto de in exión. Dada la grá ca se podría pensar que sí existe un punto de in exión; sin embargo, en ese punto la


función es discontinua.

y

18. y  2x3  3x2  36x  25

2

1


y ′ = 6 x 2 − 6 x − 36

P (0,1) Q (0.67,0.41)

−0.6 −0.4

−0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y′′ = 12 x − 6 1.2

1.4

x

Al igualar a cero se tiene: 12 x − 6 = 0



La curva es cóncava hacia arriba a la izquierda del punto P y cóncava hacia abajo a la derecha de dicho punto.

25 3

x=

1 2


Para x =


1 2

x =1


y′′ = 6 (1) = 6 y′′= +

x=0 y′′ = 12 (0− ) =6 −

6


y′′ = −

y  03  120   El punto de in exión es 0,0 


x


1

= y′′ = 12 (1 ) −6 = 6

y 15

y′′ = + 10


3

2

1 1 1 13 y = 2   − 3  − 36   + 25 = 2 2 2 2

P (0,0) −4

−2

 1 13  El punto de inflexión es  , . 2 2 

2

x

4

−5

−10

Al elaborar la grá ca correspondiente: −15

y 60

La función es cóncava hacia abajo a la izquierda del punto P y cóncava a la derecha de dicho punto.

40

20. y =

20

x2 +1

P (0.5,6.5) −4

−2

2

4

6

Se encuentra la segunda derivada de la función. x y′ = x2 +1

x

−20

−40

x2 +1 − y′′ = La función es cóncava hacia abajo a la izquierda del punto P y cóncava a la derecha de dicho punto.

x2

1 x 2 + 1− x 2 x2 +1 = = 3 x2 +1 (x2 + ) 1 (2 ) x 2 + 1

3 2


19. y  x3  12x

10 La ecuación no tiene raíces reales, por lo tanto, no existe un


punto de in exión.

y′ = 3 x 2 − 12


y′′ = 6 x

y

Al igualar a cero se tiene: 6x = 0

20

x=0 10

Para x  0 Un valor un poco menor −10

x = −1

− 5

y′′ = 6(− 1=) − 6 y′′ = −

La curva es cóncava hacia arriba.

25 4

5

10

x


21. y =

x−2 x2 − 4x + 3

Se encuentra la segunda derivada de la función. 2 x x− +43x − x−( )( 2− 2 ) 4 y′ = 2 (x 2 − 4 x + 3)

=−

5 − 4 x + x2 (3 − 4 x + x 2 )2 2 2

2

2

y′′ = − (− 3 xx + 4 ) −+ x ( )− 4 ( 22 xx +)(xx3 −4 + − ) x (−)+5 (3 − 4 x + x 2 )4

4

4

2 ( x − 2)(7 − 4 x + x ) 2

=

(3 − 4 x + x 2 )3

Al igualar a cero se tiene: 2 ( x − 2)(7 − 4 x + x 2

)

3

(3 − 4 x + x 2 )

=0

7 +4 x =x 2 )0 ( x − 2)(−

x=2 Para x  2 Un valor un poco menor

x=

3 2

 3   3 3 2   − 27 − 4   +    2   2 2

2

y′′ =

  

2 3  3 − 4  3  +  3         2 2  

=

208 27

y′′ = + Un valor un poco mayor

x=

5 2

 5   5 5 2   − 27 − 4   +    2   2 2

2

y′′ =

2 3  3 − 4  5  +  5         2 2  

y′′ = −


y=

(2) − 2 =0 (2) 2 −(4) 2 + 3


25 5

  

=−

208 27

2



1 (3 − 3 ) , − 32 . 3 9

El punto de inflexión es 

y

Para x =

6

1 3

(3 +

3)

Un valor un poco menor 4

x= 2

4 3 2

4 4 2 y′′ = 3  − 6   + 2 = − 3  3   3  y′′ = −

P (2,0) −1

1

2

3

4

x

−2


x=2 −4

2

y′′ = 32 2 2 ( ) − 6 2( )+ = y′′ = + 22. y  x4  4x3  4x2  4


Se encuentra la segunda derivada de la fun ción

4 3 2 1 (3 +) 3  (− 4 )1 3 +( 3 ) + 4  1 3 + 3  − 4 = − 32 3  3  3  9

y = 

y ′ = 4 x 3 − 12 x 2 + 8 x y ′′ = 12 x 2 − 24 x + 8

1 (3 + 3 ) , − 32 . 3 9

El punto de inflexión es 


Al elaborar la grá ca correspondiente 3 x 2 − 62x + = 0

y x = 1 (3 ± 3 ) 3 Para

1

x = (3 − 3

6

3) −0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

−1


−2

x=

1

Q (1.58,−3.56)

3

−3

2

 1 1 1 y′′ = 3  − 6   + 2 =  3  3 3

−4

P (0.42,− 3.56)

y′′ = + 23. y =


x=

1

x4 +1 x2


2

y′ = 2 x −

2

1 1 1 y′′ = 3  − 6   + 2 = −  2  2 4

y′′ = 2 + y′′ = −

6 4

x Al igualar a cero se tiene:


2

x3

3

2

1 (3 −) 3  (− 4 )1 3 −( 3 ) + 4  1 3 − 3  − 4 = − 32 3  3  3  9

y = 

25 6

2+

6 =0 x4

x


La ecuación no tiene raíces reales, por lo tanto, no existe un


punto de in exión.

y


y

4

2

10

P (0.22,0.71) 5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

−2 −2

−1

1

2

x

25. y  x5  5x

24. y  3x3  2x2  x  1



y′ = 5 x 4 − 5

y′ = 9 x 2 − 4 x − 1

y′′ = 20 x 3

y′′ = 18 x − 4

Al igualar a cero se tiene: Al igualar a cero se tiene: 20 x 3 = 0 18 x − 4 = 0

x=

x=0

2

Para x  0

9

Un valor un poco menor Para x = 2 9


x =1

x = −1



x=

x=0 y′′ = 18 (0− ) =4 −

4

3

y′′ = 20 (1 ) =20

20

y′′ = −

1 2

1 y′′ = 18   − 4 = 5  2

y′′ = −

3

y′′ = 20− 1) − ( =

y′′ = +

y′′ = +


y  05  50  0 El punto de in exión es 0,0


Al elaborar la grá ca correspondiente: y

3

2

 2  2  2 173 y = 3  − 2   −   + 1 = 9 9  9 243

4

2

 2 173  El punto de inflexión es  , .  9 243 

P (0,0) −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8−0.6−0.4 −0.2 −2

−4

25 7

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2 1.4 1.6 1.8

x


EJERCICIO 21 2. y  x3  2x2  4x  8 I. Determina por el segundo método los máximos y mínimos de las siguientes funciones y traza la gráfica correspondiente. Primera derivada

1. y  x  44x  33

y  3x2  4x  4

Primera derivada 3


4

2

y′ = 4 (− x )(4 + )x+ (3− )( 3+x) =4 ( − x )(3 +) 7 x x

4

3

x

3

2

3 x 2 + 4 x − 4 0=


x1 = 3

7 x ( x −)4 (

x) + 3 = 0 x1 = 0

Segunda derivada

y  6x  4

x 3 = −3

Analizando los puntos críticos en la segunda derivada.

Segunda derivada 2

2

2

y ′′ = 74(−x )( + )+ x 32(− )(1+ x )x+ 4 (−x )( 3+)

= 42− ( +4

2

x−) −( +6

2 x+ 3 x

3

x 2 = −2

x2 = 4

3

2

2

2

x

3

14 x x

4

3

Para x1 =

x

3

2 3

 2 y ′′ = 6   + 4 = 8  3

)

y    Mínimo


2 Cuando x = , se tiene un mínimo, cuyo valor es: 3

Para x1  0 2 (+ 4 0 (− 0 ()30 + y′′ =4 − )− () 0()= − 4 032) ) 6( 2+ 2

2

3

3

2 256 Cuando x = , se tiene un mínimo en − . 3 27

Cuando x  0, se tiene un máximo, cuyo valor es:

() 0(4)+3) =

y = (0(− )4

2

 2  2  2 256 y =   + 2   − 4   − 8 = −  3  3  3 27

y    Máximo

3

Para x2  2

6912

y  62  4  16

Cuando x  0, se tiene un máximo de 6912.

y    Máximo Para x2  4

Cuando x2  2, se tiene un máximo, cuyo valor es:

y′′ = 42−(+ 4

2

(− )4−)

(

+ 6 ()2 + 4() (3= )4

2

4

3

)

0

y  23  222  42  8  0 Cuando x  2, se tiene un máximo en 0.

y  0, el criterio de la segunda derivada no es aplicable.


Para x2  3

y ′′ = 42− 4 − ( )3−) −( −6 ( + )2 −( 3) + ( 3−) 3 = ( + 2

2

3

3

)

y 0 2


Máximo (− 2,0) −3


−2

−1

1

2

−2

y −4

Máximo (0,6912)

−6

5000

−8

−4

−2

2

4

6

25 8

x

−10

Máximo (0.67,−9.48)

x


4. y = 25 − 4 x 2

3. y  x2  42 Primera derivada

Primera derivada

y  4xx2  4  4x3  16x

4x

y′ = −

25 − 4 x 2

Al igualar a cero se tiene: 4 x ( x 2 − 4) = 0


x1 = 0

4x

−

x 2 = ±2

25 − 4 x 2

=0

x=0

Segunda derivada

y  12x2  16

Segunda derivada

Analizando los puntos críticos en la segunda derivada. 100

y ′′ = −

Para x1  0

3

(25 − 4 x 2 )2 y  1202  16  16 Analizando los puntos críticos en la segunda derivada.

y  

 Máximo Para x  0


100

y ′′ = −

=−

3

4

(25 − 40( )2 )2

y  02  42  16 Cuando x  0, se tiene un máximo en 16.

y  

Para x2  2

5

 Máximo


y  1222  16  32 2

y  

y = 25 − 4 (0) = 5

 Mínimo


Cuando x  2, se tiene un mínimo, cuyo valor es:

y  22  42  0


y

Cuando x  2, se tiene un mínimo en 0.

8

Máximo (0,5)


y 16

6

Máximo (0,16) 2

14

12

−3

10

−2

−1

1

2

3

−4

8

6

5. 2x2  4xy  3y2  8x  8y  1  0

4

Primera derivada 2

4 x − 4− y −3

−2

−1

Mínimo2 (−2,0)

1

−2

2

Mínimo1 (2,0)

3

x

dy 4 x+ dx

dy

6 y+ −

dx

=8

8

dy dx y′ =

25 9

0 4y − 4x + 8 6y − 4x + 8

x


Al igualar a cero se tiene: 4y − 4x + 8 6y − 4x + 8

=0

y = x−2 Al sustituir en la función dada: 2 x 2 − 4 x ( x− )+ 2(

3 x − 28+ )− (2 ) −x −8= x 2

1

0

−5− 4+ x = x2

0

x1 = −1 y1 = −3 x2 = 5 y2 = 3 Segunda derivada

y′′ =

=

=

 dy  (648 y − )x + 4( ) − 4 − 448 −y + x  dx  (6 y − 4 x + 8)2

 dy −6  dx

 

4

  4 y − 4 x + 8   (6 y −)4 x + 8 4  ( )  − 4 − 4 y − 4 x + 8   6 y − 4 x + 8   (6 y − 4 x + 8)2 2 (+ 8 2+ x 2 +8 y − 3− y2

8x

  4 y − 4 x + 8    − 4 6    6 y − 4 x + 8  

4 xy)

(−4 + 2 x − 3 y)3

Analizando los puntos críticos en la segunda derivada. Para x1  1 y y1  3

y ′′ =

= y  

(

2

2

2 8 + 21 −( ) + − −)(− ) ( 8333 )+ (− ) −( −) −(8141 3

+ −( −) (− ) (−42131

)

2 3

 Mínimo

Cuando x  1 y y1  3, se tiene un mínimo. Para x2  5 y y2  3

y′′ =

(

2

2 8 + 2 (5)+

=−

8) 3 (− (+ )3 3−(2 ) 8 (5)( ) 4 5 3 ) 3

(−4 + 2 (5) − (3 )3 ) 2 3

y  

 Máximo

Cuando x  5 y y  3, se tiene un máximo.

26 0

3

)



7. y = x 2 +

y

250

x

Máximo (5,3)

3

Primera derivada 2

y′ = 2 x −

1

−2

1

2

3

4

5

6

= x−

x

250

x2

125

x2

−1


−2 −3

Mínimo (−1,−3)

x−

125

x2

=0

x=5 6. y  x4  6x  2 Segunda derivada

Primera derivada

y′ = 4 x 3 − 6

y′′ = 1 +

= 2x3 − 2 Al igualar a cero se tiene:

250

x3


2x 3

−2 = 0

Para x1  5

2x3 = 2

x3 = 1 3

y′′ = 1 +

x3 = 3 1 x =1

y  

Segunda derivada

250

(5)3

=3

 Mínimo

Cuando x  5, se tiene un mínimo, cuyo valor es:

y′′ = 6 x 2 2

y = (5) + Analizando los puntos críticos en la segunda derivada.

250

(5)

= 75

Cuando x  5, se tiene un mínimo en 75.

Para x = 1


6 (1)2 = 6

y y  

 Mínimo

400

Cuando x = 1, se tiene un mínimo, cuyo valor es: 200

4

y = (1) − (6)+1 = 22 Mínimo (5,75) −10

Cuando x = 1, se tiene un mínimo en 2.

26 1

10

20

x


8. y  x4  6x3  12x2  8x


y

Primera derivada

1

y ′ = 4 x− 18 +x − 24 x 3

2

= 2−x 3+ −9 x 2

12 x

8

0.5

4 −2


0.5

1

1.5

2

2.5

x

−0.5

2 2 x 3 − 9 x+ 12 4 − x= −

( x− 2)2  x

1  2

−1

x1 = 2 x2 =

1

−1.5

Mínimo (0.5,−1.69)

2 2

9. y = ( x − 2) 3

Segunda derivada

Primera derivada

y ′′ = 6 x 2 − 18 x + 12

2 −1 y ′ = ( x − 2) 3 3

= x 2 − 3x + 2

Al igualar a cero se tiene: Analizando los puntos críticos en la segunda derivada. 2 3

Para x1  2

1

( x − 2)− 3 = 0 x =∞

Por lo tanto, el criterio de la segunda derivada no es aplicable.

y  2  32  2  0 2



y 10

Para x2 =

1 2 5

2

1 1 3 y′′ =   − 3   + 2 =  2 2 4 y  

−100

 Mínimo

−80

−60

−40

−20

20

40

3

)() x2 + − ( 4 6) 4−x (12 12 (12 = = − 8 x− ) 2 x− +

2

1 1 1 1 27 y =   − 6   + 12   − 8   = −  2  2  2  2 16

Al igualar a cero se tiene: 12 (6 − )( x x− ) 20=

x1 = 6 Cuando x =

2

100

x

Primera derivada 2 )2 y ′ = (12 − 2 x−

= 12 (6 − )( x x− )2

1

80

10. y  x12  2x2

1 Cuando x = , se tiene un mínimo, cuyo valor es: 2

4

60

, se tiene un mínimo en −

27 16

x2 = 2

.

26 2

x x2

x

6


Segunda derivada

Segunda derivada

y  2x  8

y ′′ = 6 x 2 + 6 x − 3


= 2x 2 + 2 x −1

Para x1  6


y  26  8  4 y  

Para x  2

 Mínimo

y  22  22  1  3


y  

y  612  26  0

Cuando x  2, se tiene un mínimo, cuyo valor es:


y  24  223  3  322  42  4  0

Para x2  2

Cuando x  2, se tiene un mínimo en 0.

y  22  8  4 y  

 Mínimo

Para x 2 = −

 Máximo

1 2 2

 1  1 3 y′′ = 2 −  + 2 −  − 1 = −  2  2 2


y  212  222  128

y  


 Máximo

1 Cuando x = − , se tiene un máximo, cuyo valor es: 2


4

y

3

2

 1  1  1  1 81 y = −  + 2 −  − 3 −  − 4 −  + 4 =  2  2  2  2 16

200

Máximo (2,128)

1 81 Cuando x = − , se tiene un máximo en . 2 16

100

−2

2

4

6

8

Mínimo (6,0)

x

Para x3  1

y  212  21  1  3

−100

y   11. y  x4  2x3  3x2  4x  4 Primera derivada 3 6− y′ = 4 x+ x2 − 6 x

 Mínimo


y  14  213  3  312  41  4  0 4

3 = 2 x+ 3− x 2 −3=x +2


 1 (+x ) 2  x( )  x − 1  2


y


40

 1 ( x +) 2  x(+ )  x − 1 = 0  2

30

20

x1 = −2 1 x2 = − 2

Máximo (−0.5,5.06) −3

x3 = 1

−2

Mínimo1 (−2,0)

26 3

−1

10

1

2

Mínimo2 (1,0)

x


12. y  x  4x  2

Para x1  3

y  1

Primera derivada

y′ = 2 x − 4

y  

 Máximo

= x −2 Cuando x  3, se tiene un máximo, cuyo valor es: Al igualar a cero se tiene:

y  63  32  1  8

x −2 = 0 x1 = 2


Segunda derivada


y

y  1

20


10

Máximo (3,8)

Para x  2 −2

2468

x

y  1 −10

y  

 Mínimo −20

Cuando x  2, se tiene un mínimo, cuyo valor es: −30

y  22  42  2  2 Cuando x  2, se tiene un mínimo en 2. 14. y =


x4 +1 x2

y Primera derivada 20

1 x2

y = x2 +

10

y′ = 2 x − −2

2

4

6

x

= x−

Mínimo1 (2,−2)

2

x3

1

x3


13. y  6x  x2  1

x−

Primera derivada

1 =0 x3

x1 = ±1

y′ = 6 − 2x Segunda derivada

= 3− x Al igualar a cero se tiene:

y′′ = 1 +

3

x4

3− x = 0 Analizando los puntos críticos en la segunda derivada.

x1 = 3

Para x  1 1

Segunda derivada

y′′ = 1 +

y  1 Analizando los puntos críticos en la segunda derivada.

26 4

y  

 Mínimo

3

(±1)4

=4



Cuando x  1, se tiene un mínimo, cuyo valor es:

4

y=

(±1)4 + 1 =2 (±1)2

Máximo (1,3) 2

Cuando x  1, tenemos un mínimo en 2. −1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

Al elaborar la grá ca correspondiente: −2

Mínimo (−1,−3)

y 20

Mínimo2 (−1,2)

−4

−4

Mínimo1 (1,2)

10

−2

2

16. y = x 2 −

4

x

4

a x2

Primera derivada

y = x2 − 15. y =

6x x2 +1

y′ = 2 x +

2a 4

x3

a4 = x+ 3 x

Primera derivada

y=

a4 x2

( x 2 + 16 ) − 12 x 2 6 ( x 2 − 1) =− ( x 2 )+ 1 2 ( ) 1 + x 2 2

y′ = −


x+

( x 2 − 1) (1 + x 2 )2

1

x3

=0

4

x = −a 4 No existe ningún número real para x, por lo tanto, no existe un


mínimo relativo.

(x 2 − 1) − =0 2 (1 + x 2 )


y

x1 = ±1 Segunda derivada −4

y ′′ =

−2

2

−100

(1 + x 2 )3


−200

Para x1  1

−300

y′′ =

2 (± )1 − ( +3( )±

2 3

(1 + (±1)2 )

) =±1

2 17. y =

y  

 Mínimo y máximo

Cuando x  1, se tiene un mínimo y un máx imo, cuyo valor es:

y=

4

2 x (−3 + x 2 )

6 (±1) 2

(±1) + 1

ax a2 + x 2

Primera derivada

y′ =

= ±3

Cuando x  1, se tiene un mínimo y máximo en 3.

26 5

x( a2 )−a

y′ = −

2 x − 12( 2 ) a x 2 − a2 =− ( x 2 )+ 1 2 ( ) 1 + x 2 2

a ( x 2 − a2 )

(1 + x 2 )2

x



−

18. y  2x  4ax  a

a ( x 2 − a2 )

(1 + x 2 )2

=0

Primera derivada

x1 = ±a

y = 6 x 2 − 3ax y′ = x 2 − ax

Segunda derivada

y ′′ =

−a6x 3 + ax2 (a 2 + x 2 )3


3

x ( x − a) = 0 x1 = 0


x2 = a

Para x1  a 3

3a + a ± − a6 ± ( ) a (2 )

y′′ =

y  

Segunda derivada

1

=± a

3

(a 2 + (±a)2 )

2

y  2 x  a

 Mínimo y máximo


Cuando x  a, se tiene un mínimo y un máximo, cuyo valor es:

y=

a (±a )

(±a)2 + a 2

=±

Para x1  0

1

y  20  a  a

2

y   1 Cuando x  a, se tiene un mínimo y máximo de ± . 2

 Máximo al considerar a  0


Al elaborar las grá cas correspondientes, tenemos:

y  203  3a02  a3  a3 Para a  0 Cuando x  0, se tiene un máximo en a3.

y a = 16

0.5

Para x2  a

Máximo (16,0.5)

y  2a  a  a −20

−10

10

20

x

−0.5

y  

 Mínimo al considerar a  0

Cuando x  a, se tiene un mínimo, cuyo valor es:

Mínimo (−16,−0.5)

y  2a3  3aa2  a3  0 Para a  0

Cuando x  a, se tiene un mínimo en 0.

y Para a  0 Máximo (−15,0.5) 0.5

−20

−10

Cuando x  0, se tiene un mínimo en a3.

10

20

x

a = −15 −0.5

Mínimo (15,−0.5)

26 6

Cuando x  a, se tiene un máximo en 0.


Al elaborar las grá cas correspondientes, tenemos:


Para a  0

y  02 0  42  0 y


a = 50

Para x2  4

400 000

y  1242  484  32  32 200 000

y  

Máximo (0,125 000)

 Mínimo

Cuando x  4, se tiene un mínimo, cuyo valor es: −20

20

40

60

y  42 4  42  0

x

80

Mínimo (50,0)


−200 000

Para x3  2

y  1222  482  32  16

Para a  0

y  

y

 Máximo


a = −50 400 000

y  22 2 2  16 Cuando x  2, se tiene un máximo en 16.

200 000


Máximo (−50,0) −80

−60

−40

−20

−200 000

20

40

x

y

Mínimo (0,−125 000) 40

19. y  x2x  42

y′ = 2 x (− x 4 )+2

2

Máximo (2,16)

20

Primera derivada 4x)2= 2 x ( 4−4)( −x+x ) (−

x

x −1

= 4 x ( x − )( 4 x− )2

1

2

3

Mínimo1 (0,0)

4

5

Al igualar a cero se tiene: 4x(x − 4 )( − x2 )=32 − 24 x+ 4= x20

x3 20. y  12x  9x2  4x3

x1 = 0

Primera derivada

x2 = 4 x3 = 2

y = 12 + 18 x − 12 x 2

Segunda derivada

= 2 + 3x − 2 x 2 y  12x2  48x  32



y  

1 ( x − 2) = 0 2 

2 + 3 x− 2 = x 2 + x



Para x1  0

x1 = −

y  1202  480  32  32

x2 = 2

 Mínimo

26 7

x

Mínimo2 (4,0)

1 2


Segunda derivada

Segunda derivada

y  2  2x  3x2

y  3  4x


Analizando los puntos críticos en la segunda derivada. Para x1 = −

Para x1  0

1 2

y  2  20  302  2

 1 y ′′ = 3 − 4 −  = 5  2 y  

y  

 Mínimo

1 Cuando x = − , se tiene un mínimo, cuyo valor es: 2

1

( )0 3 ( ) 0

2

y = (+0)− =

 1  1 2  1 3 13 y = 12 −  + 9 −  − 4 −  = −  2  2  2 4

3

4

0

4


13

Para x2  1

Cuando x = − , se tiene un mínimo en − . 2 4

y  2  21  312  3

Para x2  2

y  

y  3  42   5 y  

 Mínimo


 Máximo

Cuando x  1, se tiene un máximo, cuyo valor es:

 Máximo

5 ( )−1 3 ( )−1 4 − =

2


y = (−1) +

3

4

12

y  122  922  423  28 5

Cuando x  1, se tiene un máximo en


12

.

Para x3  2

Al elaborar la grá ca correspondiente

y  2  22  322  6

y y  

40

Máximo (2,28)

 Máximo


20

2

( )2 3 ( ) 2

2)− = y = (+ −1

1

2

Mínimo (−0.5,−3.25)

3

3

4

4

Cuando x  2, se tiene un máximo en

21. y = x 2 +

x3 3

−

8 3

x 8 3

.


x4 4

y

Primera derivada Máximo2 (2,2.67)

3

y = 2 x + x 2 − x3 2 − =2) + x − 1 x = −x ( x − x x ( )( )2

2


1

x ( x +)( 1 x− ) 2 =0

Máximo1 (−1,0.42)

x1 = 0 −2

x 2 = −1

−1

1

Mínimo (0,0)

x3 = 2

26 8

2

3

x


22. y =

23. y  x6  x2

1 x2 − x − 2

Primera derivada

Primera derivada

y′ = −

y  6  x2  2x6  x  36  x2  x

2x − 1 ( x 2 − x − 2)2



−

3 (6 − )( x 2− ) x =0 2 x −1 2

(x 2 − x − 2)

x1 = 2

=0

x2 = 6

x1 =

1

Segunda derivada

2

y′′ = −3 (2− )− x ( 3−) 6

Segunda derivada

x ( −x−) y′′ = − 2

=− =

2

) x− 1 − 2− )(2(− x( 2)x 2x− ( 2

)

2 2

x

= 6 x − 24

1

4

(x 2 − x − 2)


2− x − ( x− 2)()2 − ( 2 2−x)( 1 2) x 1 ( x 2 − x − 2)3

Para x1  2

6 ( x 2 − x + 1) ( x 2 − x − 2)3

y  62  24  12 y  

 Máximo

Analizando los puntos críticos en la segunda derivada. Para x1 =


1 2

 1   1   6   −   + 1  2   2  

y = (2) (6 − () 2

2 ) = 32

2

y′′ =

y   Cuando x =

 1 2  1  3     2  2  −  2  − 

=−


32 81

Para x2  6

y  66  24  12

 Máximo 1 2

y  

, se tiene un máximo, cuyo valor es:

y=

1

 1 2  1    −   − 2  2   2 

=−

 Mínimo


4 9

y = (6) (6 − ()6

4 1 Cuando x = , se tiene un máximo en − . 9 2

2 ) =0




y

y

2

Máximo (2,32)

30

1

20

10

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

Máximo (0.5,−0.44)

−1 −1

1

2

3

4

5

6

Mínimo (6,0) −2

26 9

7

8

x



24. x2  3xy  y2  0

y 10

Primera derivada

dy dy 3+ x =2 y dx dx

2 x + 3+y

5

0

2x + 3y dy =− dx 3x + 2 y −15

−10

−5

5

10

15

x

Al igualar a cero se tiene: −5

−

2x + 3y 3x + 2 y

=0

x=

3y 2

; y=

−10

2x 3 25. x4  8x2  y2  4y  0

Al sustituir en la función resultante:

Primera derivada

3y   3 y 2 2   + 3   y + y = 0 2 2 31y

4 x 3 + 16+x

dy 2− y = dx

4

2

dy

=0

4

dy dx dx

y=0

0

=−

4 x 3 + 16 x 2y − 4


x=0

−

4 x 3 + 16 x 4 x2

x

=−

10 ( x + 3 xy + y

2

)

Segunda derivada

()16 + )4 x 3 (2 y − 4)(12 x+2 − y′′ = −

(3 x + 2 y)3

(2 y − 4 ) (2 y − 4)(


=−

=−

Para y  0 y x  0

10 ((0) + (3 )( 0 ) 0( + ) 0 2

(3(0) + (2) 0

3

)

2

)=0

 dy    dx 

16 x 2

2

()

12+ x 2 − 16+

y′′ = −

)

x=0 y=0

   2 x + 3 y   2 x + 3 y   2 x 33y+ − 2  (3x)+ 22y  + 3− ( )  − +  3 x + 2 y     3 x + 2 y  = 2 (3 x + 2 y ) 2

+16 0=

(

  dy  dy  (32x + ) y 2 +( 3 )  − 23x + y 3 + 2    dx  dx  y′′ = − (3x + 2 y)2

=0

2y − 4

Segunda derivada

(

  4 x 3 + 16 x  3 )4 x−  16 x 2    2 y − 4  (2 y − 4)2

6 − 2 16 x 4 + 2 x+ 4+ ( +2

2

y) − x 2 + (44

12 y

)

3 y2 )

(−2 + y)3

Analizando los puntos críticos en la segunda derivada. Para x  0 y y  0

Por lo tanto, el criterio de la segunda derivada no es aplicable.

y ′′ = −

y  

27 0

(

2 16 ()0

4

(

2

2 + () 2 0 +6 −+4 () 2+() 0 ) − ()0(+ ) 441 2 0 3

(−2 + (0))  Mínimo

3 0

2

))

=4





Para x1 = 2 (−2 − 2 ) y y1 = 2 (−1 − 2 )

y′′ =

y 4

y   3

4

(2(−12 − ()) (− −)2)−

2

3

2

=

1 2

 Mínimo

Cuando x = 2(−2 − 2), se tiene un mínimo en 2 (1− −2 . ) Para x1 = 2 (−2 + 2 ) y y1 = 2 (−1 + 2 )

2

y ′′ = 1

y   −1

1

2

3

)

=−

1 2

 Máximo

Cuando x = 2 (−2 + 2 ), se tiene un máximo en −2 (1 − 2 . )

x

1

4

((2 (−2+ ()) 2(− −)2)+

Mínimo (0,0)

Al elaborar la grá ca correspondiente: 26. x2  2xy  2y2  4x  0

y

Mínimo (−1.17,0.83)

Primera derivada 2 x − 2− y

dy 2 x+ dx

−8

dy 2+y= dx

4

−7

−6

−5

−4

−3

−2

0

1

−1 −2

2 dy y− x−2 = = 1− dx y− x y− x

−3 −4

Al igualar a cero se tiene: 1−

−1

−5

2

y− x

Mínimo (−6.83,4.83)

=0

y− x = 2

27. 3x2  5x2  6x  20y  0

y= x+2 Primera derivada Al sustituir en la función resulta:

x 2 − 2 x (+ x + )2 ( +2)+x

dy dy 6 x + 10 y +− 6 =20 dx dx 2

24 =

x

0

dy

x2 + 8x + 8 = 0

dx

x1 = 2 (−2 − 2 )

0

=− =−

y1 = 2 (−1 − 2 )

6x + 6 10 y − 20

 3 x +1 = −   5 y − 2

3 x +1 5 y−2


x 2 = 2 (−2 + 2 )

x +1

y2 = 2 (−1 + 2 )

y−2

=0

x = −1 Segunda derivada

 2   dy  2 1 − 2 − 1  2   − 1   y − x  y− x  dx    4 ′′ y = = =− = 2 2 2 ( y −) x ( ) y − x( ) ( ) y − x y− x

Al sustituir en la función resulta: 5 y 2 − 3 − 20 y = 0

2 

3

y1 = y2 =

27 1

1 5 1 5

(10 −

115 )

(10 +

115 )

x


Segunda derivada

y′′ = −

3

( y − 2) − ( x + 1) 2

( y − 2)

5

dy dx = − 3 5

 x + 1   ( y − 2) − ( x + 1) 2 2  y − 2  3 ( y − 2) − ( x + 1) =− 2 5 ( y − 2) ( y − 2)3

Analizando los puntos críticos en la segunda derivada. Para x1 = −1 y y1 =

1 5

(10 −

y′′ = −

y  

115 )

 1 ( 2 2 10 − 115 ) − 2 − (−11+ ) 3  5   1 3  (10 − 115 ) − 2 5

5

=

3

5

5

23

 Mínimo

Cuando x  1, se tiene un mínimo en

Para x1 = −1 y y2 =

1 5

(10 +

115

1 5

(10 −

115 ).

) 2

y ′′ = −

y  

 1 (10 + 115 ) − 2 − (−11+ )2 3  5   1 3  (10 + 115 ) − 2 5

5

=−

7 23

 Máximo

Cuando x  1, se tiene un máximo en

1 5

(10 +

115 ).

Al elaborar la grá ca correspondiente: Máximo (−1,4.14)

y 4

3

2

1

−4

−3

−2

−1

1

2

Mínimo (−1,−0.14)

−1

28. 2x2  2xy  5y2  4x  0 Primera derivada 42x + + y

dy 2 x+ dx

dy 10 +y= dx

4

dy dx

0

=−

2x + y + 2

27 2

x + 5y

x



−

2x + y + 2

=0

x + 5y

y = −2 x − 2 Al sustituir en la función resulta: 20 + 40 x + 18 x 2 = 0

x1 =

1 9

(−10 −

10 )

y1 = 2 (1 + 10 ) 9 x2 =

1 9

(−10 +

10 )

2

10 )

y2 = − (− 1+ 9 Segunda derivada

y ′′ = −

=−

  2 x + y + 2  ( x) + 5 y 2 + − ( )  − 2 x+ +y  x + 5 y   ( x + 5 y)2 2 18 x+

182 + x ( + y+)

5 (49



 2 x + y + 2    x + 5 y 

2+1− 5 



y2 )

( x + 5 y)3

Analizando los puntos críticos en la segunda derivada. 1 Para x1 = −(−10 9

) (10= y + y1 )

2 9

1

10

2 2  1 (−10 −) (10  + 18 )1 −(10 −) 10 2 (+ 2 )1 + 10  + 54 + 9  2 1 + 10   9  9   9    9 3  1 (−10 − ) 10 ( + 5) 2 1 + 10     9 9

18 

y ′′ = −

=− y  

2 5

 Máximo

Cuando x =

1 9

(−10 −

1 ( + Para x 2 = − 10 9

)

10 ), se tiene un máximo en

10 = y( y− −)+ 2

2 9

1

2 9

(1 +

10 ).

10

2  1  2 (−10 +) 10 ( + 18) 1 (−10 + ) 10 2 −( 2 −1) + 10  + 549 + − − + 1 9  9    9  9

18 

y′′ = −

3

 1 (−10 +) 10 ( + 5 −) 2− +1  9   9 = y  

2 5

 Mínimo

27 3

10 



  10   2

 


Cuando x =

1 9

(−10 +

10 ) , se tiene un mínimo en −

2 9

(−1 +

10 .)


y

Máximo (−1.46,0.92)

1 0.8 0.6

0.4 0.2 −2

−1.5

−1

−0.5

x

−0.2 −0.4 −0.6

Mínimo (−0.76,−0.48)

29. x3  y3  3xy  0 Primera derivada

dy dy 3 x 2 − 3 y2 + + 3 y =3 x dx dx

0

dy x2 + y =− dx x − y2 Al igualar a cero se tiene:

−

x2 + y x − y2

=0

y = −x 2 Al sustituir en la función resulta:

x 6 − 2x3 = 0 x3

( x 3 − 2) = 0 x1 = 0 y1 = 0 x2 = 3 2 2

y2 = −2 3 Segunda derivada

y ′′ = −

 dy  ( x −) y2 2 x +( )  − 

dx 

 

x 2 + y 1 − 2 y



2

( x − y2 ) 2

 

 x 2 + y 

 

2

( x)− y 2 x + − x( −) y2  − +x =− 2 ( x − y2 ) =

dy 

dx 

(

2 y (1 + xy)(− x +y) (2 + )x 2

y

2

 x 2 + y  x − y2 

y−1 −2 y 

)

y

3

( x − y2 )

27 4


Analizando los puntos críticos en la segunda derivada. Para x1  0 y y1  0

y ′′ =

(

2 (0) (1 + ( )(0 ) 00 ( ) ((− ) + 0)( (+)

2

())0(2 ) 0

2

0

)

2 3

((0) −( )0 )

El criterio de la segunda d erivada no es aplicable. 2

Para x 2 = 3 2 y y2 = −2 3

((

) 2 ( −(2 32) ) −(−23 )(23 +(

2 2−1 23+ 2 y ′′ =

y  

(

(2) 2)() ) 3

2 +− 3 2 −

3

2 3

2

3

2 2 − (−2 3 ) ) 2

 Mínimo 2

3

Cuando x = 2 , se tiene un mínimo en −2 3  Al elaborar la gráfica correspondiente:

y −0.5

0.5

1

1.5

x

−0.5

−1

−1.5

Mínimo (1.26,−1.59)

30. 4 + 2 + xy = 0 x y Primera derivada 4 y + 2 x + x 2 y2 = 0 4

dy dx

++2 + 22xy2

= x2 y

dy dx

0

1 + xy2 dy =− 2 dx x y+2 Al igualar a cero se tiene:

−

1 + xy2

x2 y + 2

=0

x =−

1 y2

Al sustituir en la función resulta: 4y−

1

=0

y2 4 y3

−1 = 0 y= 3

1 4

x = −2 3 2

27 5

2

2 3

)=2


Segunda derivada

y′′ = −

1. y  4x3  x

 

( x 2 y + 2) y2 + 2 xy (

=

Primera derivada



y = 4 x3 − x

)



=−

dy 

dx 

2 x2 y + 2

y ′ = 12 x 2 − 1

 1 + xy2    x 2 y + 2 

( x 2 y + 2) y2 + 2 xy− 

Al resolver x = ±

2

( x 2 y + 2)

y (2 x − 2 y + x 2 y2 )

3

1 4

 3  a) −∞, −  6  

y x = −2 3 2

 3 3   , b) −  6 6 

2  1   1 2 1   3 22(− )3 2 − 2 (3 ) + −2 3 2  3    4   4   4   1 y′′ = =− 2 1  2  1  12 (2)3 2 + (−2 3 2 )  3      4  

y  

.

De tal forma que los intervalos a analizar son:

2

(2 + x 2 y)

Analiza los puntos críticos en la segunda derivada.

Para y =

3 6

 Máximo

 3  , ∞ c)    6  3   tomamos x  1 en la derivada, es decir: En −∞, −  6  y  1212  1  11

3

Cuando x = −2 2 , se tiene un mínimo en

3

1 4

.



 3 3   tomamos x  0 en la derivada, es decir: , En −  6 6 

y 2

y  1202  1  1

Máximo (−2.52,0.63) −10

−8

−6

−4

−2

2

4

x

−2

y es negativa, la función es decreciente

 3  , ∞ tomamos x  1 en la derivada, es decir:   6

En 

−4

y  1212  1  11

−6


II. Determina lo que se pid e para cada una de las func iones:

Para un valor antes de x = −

3 6

la derivada y   y para un

valor después y  .

a) El carácter creciente y decreciente. b) Los máximos y mínimos rel ativos (primer método).

En x = −

3 6

, se tiene un máximo cuyo valor es:

c) Puntos de in exión y sentido de la concavidad. d) Los máximos y mínimos rel ativos (segundo método). e) Las ecuaciones de la tangente y normal; las longitudes de la tangente, normal, subtangente y subnormal en cada valor crítico.

27 6

 

y = 4 −

Cuando x = −

3 6

3 3   − − 3  = 1 6   6  3 3

, se tiene un máximo en

1 3 3

.


3

Para un valor antes de x =

En x =

3 6

la derivada y   y para un

6

valor después y  .


y   por lo tanto, se con rma que existe un mínimo en 3 1 x= en − . 6 3 3

Para x = −

3 6

3

 3   3  1  −  = −  6   6  3 3

y = 4 

 

y′′ = 24 −

3 1 Cuando x = 6 , se tiene un mínimo en − 3 3 .

3   = −4 6 

3

y   por lo tanto, se con rma que existe un máximo en 3 1 . x =− en 6 3 3

Segunda derivada

Al retomar los valores obtenidos de x en la primera d erivada.

y  24x

 


En el punto − 24 x = 0

3 6

x=0

,

1 

 la ecuación de la recta tangente es:

3 3 

y=

1 3

3

Para x  0 La recta normal es: Un valor un poco menor 3

x =−

x = −1

6

y′′ = 24− ( 1= ) − 24 Longitud de la subtangente TM:


y TM = 1= m1

x =1 y′′ = 24 (1) = 24

3

1

=3∞

0


y′′ = +

 1   3 3  = 0

MN = m1 y1 = (0) Al sustituir x en la función:

y  403  0  0

Si TM = ∞ , MN= 0y

El punto de in exión es P0,0 

MP= 1= y

1 1

3

3

, tenemos:


A la izquierda del punto P la curva es cóncava hacia abajo y a

( )2 +MP TP1 = TM (

la derecha es cóncava hacia arriba.

Al sustituir los valores dex =

3 6

,−

3 6

en la segunda derivada

2

1

)

 1 2 = (∞)2 +   =∞  3 3 

se tiene:

Para x =

Longitud de la normal P1N:

3 6

P1 N = (MN )2 +MP (

 3  = 4  6 

y ′′ = 24 

2

1

)

 1 2 1 = (0)2 +   =  3 3  3 3

3

27 7


 3 1   la ecuación de la recta tangente es: ,−  6 3 3 

En el punto 

y =−

1 3

Longitud de la subnormal (MN:

MN  m1y1  10  0 Si TM  MN  0 y MP1  y1  0, tenemos:

3


La recta normal es:

x=

= (0) 2 + ( )0


TM =

y1 m1

− =

2

( )2 +MP TP1 = TM (

3 6

2

1

)

=0


3 3 =∞ 0

= (0) 2 + ( )0


 1   3 3  = 0

2. y =

MN = m1 y1 = (0)−

3

1

)

=0

4 1+ x2

3

, tenemos:

y′ = −


( )2 +MP TP1 = TM (

2

1

Primera derivada

1

Si TM = ∞,MN = 0 MP y = 1y= −1

2

2 P1 N = (MN ) +MP (

8x 2

(1 + x 2 )

Al resolver x1  0.

)2


2

 1  = (∞ + )2 −  =∞  3 3 

a) ,0 


b) 0, En ,0 tomamos x  1 en la derivada, es decir:

2

P1 N = (MN ) +MP ( 2

1

)

 1 2 1 = (0)2 +   =−  3 3  3 3

y′ = −

En el punto 0,0 la ecuación de la recta tangente es:

8 (−1) 2 2

(1 + (−1) )

=2


2

En 0, tomamos x  1 en la derivada, es decir:

y = 12 (0) − 1 = m y − y1 = m ( x − x1 )

y′ = −

y = −x La recta normal es:

8 (1) 2 2

(1 + (1) )

= −2

y es negativa, la función es decreciente. y − y1= −

1

m

(−x

Para un valor antes de x  0, la derivada y  y para un valor

x1 )

después y .

y=x En x  0, se tiene un máximo cuyo valor es: Longitud de la subtangente ( TM:

TM =

y1 m1

=

0

−1

y=

=0

4 2

1 + ( 0)

=4


27 8


Segunda derivada


y ′′ =

8 (−1 + 3 x

2

x =−

)

2 3

(1 + x )

y ′′ =

3

(1 + x 2 )

2

  1   8−1 + 3−    2    2

Al igualar a cero se tiene: 8 (−1 + 3 x 2 )

1

  1 2 3 1 + −     2  

=0

4

y= 1 3


1   3 

=3

 1  El punto de in exión es P − ,3  .  3 

1 2

A la izquierda del punto P la curva es cóncava hacia arriba y a

  1   8−1 + 3    2    2

la derecha es cóncava hacia abajo.

=−

2 3 1 +  1     2    

128

Al sustituir los valores dex  0 en la segunda derivada se tiene:

125

3

(1 + (0)2 )

) = −8

y   por lo tanto, se con rma que existe un máximo en x  0 en 4.


x =1 y′′ =

8 (−1 + 3 (0)

2

y′′ =

y′′ = −

(

2

8 −1 + 3(1) 3

)=2

En el punto 0,4  la ecuación de la recta tangente es:

y4

(1 + (1) ) 2

y′′ = +

La recta normal es:

x0

Al sustituir x en la función: 4

y=

 1 2   3 


=3

1 + 

TM =

 1   El punto de in exión es P   3 ,3  .

y1

4

m1

0

= =∞



MN  m1y1  04  0 Si TM  , MN  0 y MP1  y1  4, tenemos:

la derecha es cóncava hacia arriba. Para x = −

2

 

1 + −

y′′ =

125

Al sustituir x en la función:

3

x=

128

y ′′ = − 1

x=±

Para x =

=−

1


3 2

( )2 +MP TP1 = TM (


x = −1

= ∞ ( )+2

( )=2 (1 + (−1) )

1

)

(4=)2∞

2

y′′ =

8131 − + (− )


2 3

P1 N = (MN )2 +MP (

y′′ = +

2

= (0) + ( )4

27 9

2

2

1

)

=4


 1   En el punto   3 ,3  la ecuación de la recta tangente es:

3

  2 2 1 +  1      3  

=−

y =−

3 3 2

 y − 3= − 3 3− x 2  2

x + y−

9 2

y−3 =

 1  3 −

3 3 2

=0

x+ −y=

1

(−x

m

x1 )

2

9

1    x +  2  3

0

2

+ x −y =

25

2 3 3

0

9

x + y−

25 9

1

m

(−x

x1 )

2  + x

y − 3= −

2  1 y−3 =  x −  3 3  3  3 3

3 3

3 3 

y − y1= − y − y1= −

−

=

La recta normal es:

La recta normal es:

2

3

  2 2   1   1 +      3  

y − y1 = m ( x − x1 )

y − y1 = m ( x − x1 )

3 3

1

−8

1

8

y′ = −

 1  En el punto − ,3 la ecuación de la recta tangente es:  3 

1 



3 3 

3 

=0


TM =


y1 m1

=

3 3 3

=2

3 3

2

TM =

y1 m1

3

= −

3 3

3

= −2


3

 3 3  9 3 MN = m1 y1 =  2 (3) = 2

2

Longitud de la subnormal MN: Si TM = 2

 3 3  9 3 (3) = −  2  2

MN = m1 y1 = −

Si TM = −2

3 MN , =−

3

9 3 MP y =y=1 2

1

3 3

9 3 = MP =y y 1 2

MN , =

( )2 +MP TP1 = TM (

3, tenemos:

1

)2

1

)2


2  3 31 = −2  + (3)2 = 3  3 

2 P1 N = (MN ) +MP (

1

)

3. y  x  3x  22

2

2

2

1

 9 3 2 3 31  + (3)2 = =  2  2 


P1 N = (MN ) +MP (

3, tenemos:

 3 2 31 = 2  + (3)2 = 3  3 


( )2 +MP TP1 = TM (

1


)

Primera derivada

 9 3 2 3 31  + (3)2 = = − 2  2 

y = ( x −)( 3 x+ )2 2

2

y ′ = (+ x +)2− ( 23)( x + =) x(+ 2)( − x ) 2 3 x

28 0

4


Al resolver x1 = −2 y x2 =

4 3

Al igualar a cero se tiene: . 6x + 2 = 0


x =−

a) ,2 Para x = −

 4 b) −2,   3 

3

1 3


4  c)  , ∞ 

1

x = −1



3

y′′ = 6(− 1+) =2 − 4

En ,2 tomamos x  3 en la derivada, es decir:

y′ = − 3 )2( (−)3 −3= 4) ( +

13


y es positiva, la función es creciente:

x=0 y′′ = 6 (0 ) + 2 2=

 4 En −2,  tomamos x  0 en la derivada, es decir:  3

y′′ = +

y  0  230  4  8



2

 1   1   250 y = −  − 3−  + 2 = −  3   3   27

4  En  , ∞ tomamos x  2 en la derivada, es decir: 3 

 1 250  El punto de in exión es P − , − .  3 27 

y  2  232  4  8


y es positiva, la función es creciente. Para un valor antes de x = valor después y  (

4 3

la derecha es cóncava hacia arriba. la derivada y  (  y para un

Al sustituir los valores de x  2 en la segunda derivada:

y  62  2  10

4 En x = , se tiene un mínimo cuyo valor es: 3

y    por lo tanto, se con rma que existe un máximo en x  2 en 0.

2

  4   4  500 y =   − 3  + 2 = −  3   3   27

Al sustituir los valores de x = 4

500

3

27

Cuando x = , se tiene un mínimo en −

3

en la segunda derivada:

.

4 y ′′ = 6   + 2 = 10 3

Para un valor antes de x   2 la derivada y   y para un valor después y  

y   por lo tanto, se con rma que existe un mínimo en x=


y = (− ( )2− )((3−) + 2) = 2

4

2

0

4 3

en −

500 27

.

En el punto 2,0  la ecuación de la recta tangente es:


y0

Segunda derivada

La recta normal es:

y  3x  4  3x  2  6x  2

x  2

28 1




y1

TM =

=

m1

0 0

P1 N = (MN )2 +MP (

=0

1

)2

 500 2 500 = (0)2 + −  =−  27  27


MN  m1y1  00  0

 1 250  En el punto − , −  la ecuación de la recta tangente es:  3 27 

Si TM  0, MN  0 y MP1  y1  0, tenemos:

 1   1   25 y′ = − 3 + 23 − 3  − 4 = − 3


( )2 +MP TP1 = TM (

= (0) 2 +( )0

2

1

y − y1 = m ( x − x1 )

)2

y+

=0 25


3

P1 N = (MN )2 +MP (

= (0) 2 + ( )0

2

1

x + y+

27

+ x 3



3 

=0

1 (−x m

y − y1= −

=0

500

y+

−

3 25

+ x +y

250 27

=

6223

=

x1 )

3

 x + 1  

25 

3

0

675


27

250 − y 10 TM = m1 = 27 25 = 9 1 − 3

La recta normal es:

x=

325

1 



=−

27

La recta normal es:

)2

 4 500  En el punto  , −  la ecuación de la recta tangente es:  3 27 

y=−

25 

250

4 3

Longitud de la subnormal MN: Longitud de la subtangente TM:

TM =

y1 m1

− =

 25  250  6250 − =  3  27  81

MN = m1 y1 = −

500 27 = ∞ 0

Si TM =


10 9

MN , =

6250 81

250

MP y==y− 1

1

27

, tenemos:


 500  = 0  27 

MN = m1 y1 = (0)−

500

Si TM = ∞,MN = 0 MP y = 1y= −1

27

( )2 +MP TP1 = TM (

)2

10 2  250 2 10 634 =   + −  =  9   27  27

, tenemos:



P1 N = (MN )2 +MP (

2

2

TP1 = TM ( ) +MP (

1

1

)

2

1

)

 6250 2  250 2 250 634 =   + −  =  81   27  81

 500 2 = (∞ )+2 −  =∞  27 

28 2


4. y = x 3 − x +

4

2

Para un valor antes de x =

x

3

la derivada y   y para un

valor después y  .

Primera derivada

y′ = 3 x 2 − 1 −

Al resolver x1 = ±

2 3

4

x2

En x =

2 3


.

 2 3  2  4 20  3  −  3  +  2  = 3 3     3 

y = 


 2  a) −∞, −   3 

Cuando x =

 2 2  ,  b) −  3 3 

2 3


20 3 3

.

Segunda derivada

 2  c)   3 , ∞

y ′′ = 6 x +

 2  En −∞, −  tomamos x  2 en la derivada, es decir:  3  2

y′ = 3−( 2)− −1

4

(−2)2

8

x3


6x +

= 10

8

x3

=0

No existe valor real de x que satisfaga la segunda derivada, por


lo tanto, la función no tiene punto de in exión.

 2 2  , En −  tomamos x  2 en la derivada, es decir:  3 3  2

y ′ = 3−( 1)− −1

4

(−1)2

Al sustituir los valores de x =

 2  8  3  +  2 3 = 7 3    3 

y   por lo tanto, se con rma que existe un mínimo en 2 20 en . x= 3 3 3

 2  En   3 , ∞ tomamos x  2 en la derivada, es decir: 10

Al sustituir los valores de x = −


 

y ′′ = 6 − Para un valor antes de x = −

2 3

2 3



Cuando x = −

2 3  2  4 = − 20  − −  + 3   3   2  3 3 −  3 2 3

+

3 

, se tiene un máximo en −

2 3


8

 2 3 −  3

= −7 3

y   por lo tanto, se con rma que existe un máximo en 2 20 x =− en − . 3 3 3


y = −

2 

, la derivada y   y para

un valor después y  . En x = −


3

y ′′ = 6 

= −2


4 2 y′ = 3 (2)−− 1 = 2 (2)

2

20 3 3

En el punto  2 , 20  la ecuación de la recta tangente es:  3 3 3

y= .

28 3

20 3 3



La recta normal es: 2

x=

( )2 +MP TP1 = TM (

3

20


y1

= 3 =3 ∞

m1

0

20 1

3 3

16 − x 2

5. y = x

Primera derivada

y′ = 16 − x 2 −

( ) +MP TP1 = TM (

2

1

)

, tenemos:

Longitud de la tangente TP1: 2

1

 20 2 20 = (0)2 + −  =−  3 3  3 3

 20  MN = m1 y1 = (0)  3 3  = 0 0 MP y == y 1

2

P1 N = (MN )2 +MP (


Si TM = ∞,MN=

)2

 20 2 = (∞ + )2 −  =∞  3 3 


TM =

1

)

 20 2 = (∞)2 +   =∞  3 3 

x2

16 − 2 x 2

=

16 − x 2

16 − x 2

Al resolver x1 = ± 8. De tal forma que los intervalos a analizar son:


P1 N = (MN )2 +MP (

a)

(−∞,−

8)

b)

(−

8)

c)

(

2

1

)

 20 2 20 = (0) +  3 3  = 3 3

8,

2

 2 20  ,− En el punto −  la ecuación de la recta tangente es:  3 3 3 

8, ∞)

En (−∞, − 8 ) tomamos x  3 en la derivada, es decir: 2

y=−

y′ =

20

16 − 2 (−3)

2

=−

2

7

16 − (−3)

3 3

La recta normal es:

y es negativa, la función es decreciente. x=

2

En (− 8, 8 ) tomamos x  0 en la derivada, es decir:

3

2


y′ =

16 − 20( )

2

=4

16 − (0)

TM =

y1 m1

− =

20 3 3 =∞ 0

y es positiva, función es creciente. En


20 3 3

8, ∞) tomamos x  3 en la derivada, es decir: 2

 20   3 3  = 0

y′ =

MN = m1 y1 = (0 )−

Si TM = ∞,MN = 0 MP y = 1y= −1

(

16 − 23( )

2

16 − (3)

=−

2 7


, tenemos:

28 4


Para un valor antes de x = − 8 la derivada y   y para un valor después y  . En x = − 8 , se tiene un mínimo cuyo valor es:

( y =−

2

)8 − ( −) 16

=8−

Al sustituir x en la función: ) y =( 01

Al sustituir los valores de x = 8 en la segunda derivada:

y′′ =

)

(16 −

8

)

y  , por lo tanto, se con rma que existe un máximo en x = 8 en 8.

En x = 8 , se tiene un máximo cuyo valor es: 2

= −4

3 2 2

(

valor después y  .

3

−48 ( 8) +( 2 ) 8

Para un valor antes de x = 8 la derivada y   y para un

(− )8

=0

El punto de in exión es P0,0

8

Cuando x = − 8 , se tiene un mínimo en 8.

y = ( )8 16

2

) 0 6(−

8=

Al sustituir los valores de x = − 8 en la segunda derivada:

Cuando x = 8 , se tiene un máximo en 8.

)8 − ( 2) − 48 −( +

y′′ =

Segunda derivada

(16 − (−

16 − x 2 (−4 x) +

y ′′ =

=

3

8

=4

3 2 2

8)

)

16 x − 2 x 3

+x 4+ x 3− 16 x2 16 − x 2 =− 64 3 (16 − x 2 )2

16 − x 2

x3

y  , por lo tanto, se con rma que existe un mínimo en x = − 8 en

−48 x + 2 x 3 En el punto

3

(16 − x 2 )2

8. −

(

)

8, 8 la ecuación de la recta tangente es:

y8

Al igualar a cero se tiene: La recta normal es: 22x (− 4 + x 2 ) = 0

x= 8

x1 = 0 x 2 = ± 24


(Este valor no se considera ya que esta fuera del dominio de la función).

MN = m1 y1 =( 0)( 8) = 0 Longitud de la subnormal MN:

Para x  0

MN  m1y1  08  0


Si TM  , MN  0 y MP1  y1  8, tenemos:

x = −1

− 48−( +)1− ( 2) 1

y′′ =

3

3

=

(16 − (−1)2 )2

46


15 15

2

2 ) +MP (

TP1 = TM (

y′′ = +

2

1

)

2

= ∞ ( ) + ( ) 8= ∞ Un valor un poco mayor Longitud de la normal P1N:

x = −1 y′′ =

−48(1) + (2)1 3 3

(16 − (1)2 )2

=−

46

P1 N = MN (

2 ) +MP (

2

1

)

15 15 2

= (0) + ( )8

y′′ = −

28 5

2

=8


(

)

En el punto − 8 , −8 la ecuación de la recta tangente es:


MN  m1y1  40  0

y = −8


La recta normal es:

Longitud de la tangente MP1:

x =− 8 Longitud de la subtangente TM:

TM =

y1

=

−8

m1

2

( )2 +MP TP1 = TM (

= (0) 2 + ( )4

=∞

2

1

)

=4

0



MN  m1y1  08  0

P1 N = MN (

Si TM  , MN  0 y MP1  y1  8, tenemos:

2

2 ) +MP (

= (0) + ( )4

2

1

)2

=4

Longitud de la tangente TP1: 6. y  3x  x3  2

TP1 = TM (

)2 +MP ( 2

1

)2

Primera derivada

2

= ∞ ( ) + ( ) 8= ∞

y  3  3 x2


P1 N = MN (

Al resolver x1  1. 2

2 ) +MP (

2

1

)

2

= (0) +(− ) 8= −

De tal forma que los intervalos a analizar son: 8

a) ,1 b) 1,1 

En el punto 0,0 la ecuación de la recta tangente es:

c) 1,

2

y′ =

16 − 20 ( )

2

=4

16 − (0)


y − y1 = m ( x − x1 )

y  3  322  9

y = 4(x)


−4 x + y = 0

En 1,1  tomamos x  0 en la derivada, es decir:

La recta normal es:

y − y1= −

1 4

y  3  302  3

(−x x1 )


1 y = − ( x) 4 1 4

En 1, tomamos x  2 en la derivada, es decir,

x+y=0 y  3  322  9


TM =

y1 m1

=

y es negativa, la función es decreciente. 0 4

Para un valor antes de x   1 la derivada y  (  y para un

=0

valor después y  (.

28 6



En el punto 1,4 la ecuación de la recta tangente es:

y  4

y  31  13  2  4 La recta normal es:


x  1

Para un valor antes de x  1 la derivada y  ( y para un valor después y  (.


En x  1, se tiene un máximo cuyo valor es:

TM = 3

y1

=

m1

−4 0

=∞

y  31  1  2  0 Cuando x  1, se tiene un máximo en 0.


Segunda derivada

MN  m1y1  04  0 y  6x  0

Si TM  , MN  0 y MP1  y1  4, tenemos:



−6 x = 0 x=0

TP1 = (TM )2 +MP (

Para x  0

2

1

)

2

2

= (∞ + ) −( 4=) ∞ Un valor un poco menor Longitud de la normal P1N:

x = −1 y′′ = −6− ( 1= ) 6

2 P1 N = (MN ) +MP (

y′′ = +

2

1

)

2 = (0) 2+(− ) = 4 −

4


x =1


y′′ = −6 (1)= − 6

y0

y′′ = − La recta normal es: Al sustituir x en la función:

x1

y  30  03  2  2


El punto de in exión es P0,2.

TM = Al sustituir los valores de x  1 en la segunda derivada

y1

0

m1

0

= =∞


y  6x 1  6 y  (  por lo tanto, se con rma que existe un mínimo en x  1 en 4.

MN  m1y1  00  0 Si TM  , MN  0 y MP1  y1  0, tenemos:

Sustituyendo los valores de x  1 en la segunda derivada: Longitud de la tangente TP1:

y  6x1  6 y   ( , por lo tanto, se con rma que existe un máximo en x  1 en 0.

28 7

( )2 +MP TP1 = TM ( ( )+2 = ∞

2

1

(0=)2∞

)


Al resolver x1  2 y x2  1.


= (0) 2 + ( )0

2


2

2 P1 N = (MN ) +MP (

1

)

a) ,1

=0

b) 1,2  En el punto 0,2 la ecuación de la recta tangente es:

c) 2, 2

y ′ = 3 − 3( 0) = 3 En ,1 tomamos x  2 en la derivada, es decir:

y − y1 = m ( x − x1 ) y + 2 = 3( x )

2

y ′ = 422 ( )− () ( −) )+ 2= −1 (−

64

2 0 −x+ +y =

y es negativa, la función es decreciente. La recta normal es: En 1,2 tomamos x  0 en la derivada, es decir:

1

y − y1= −

(−x x1 )

m

y′ = 4 ((− 0 )

1 y + 2 = − ( x) 3 1 3

2

0 ) )= )(2 (+

1

16


x + y+ 2 = 0

En 2, tomamos x  3 en la derivada, es decir: Longitud de la subtangente TM:

y ′ = 4 ((− )3 TM =

y1 m1

=

−2 3

=−

2

3 ) )= )(2 (+

1

16

2 3



Para un valor antes de x   1 la derivada y  (  y para un valor después y  (.

MN  m1y1  32  6 2 Si TM = − MN , = y− 6 3

En x  1, se tiene un mínimo cuyo valor es: tenemos:

MP =y1 = 2,−1

y  14  413  161  11



( )2 +MP TP1 = TM (

1

)2

Para un valor antes de x  1 la derivada y  ( y para un valor después y  (.

2

 2 2 10 = −  + (−2)2 =  3 3

En x  1, no se puede concluir hasta este momento. Segunda derivada


P1 N = (MN )2 +MP (

= −( ) 6(+ )2 −

=2

y  4x  22  8x  2x  1  12xx  2

2

1 2

)


2 10

12 x ( x −2 )0= 7. y  x4  4x3  16x

x1 = 0 x2 = 2

Primera derivada

y  4x3  12x2  16  4 x  22x  1

28 8


La recta normal es:

Para x  0

x  1


x = −1 (1 )(−( 1− ) = y′′ = 12− 2


) 36 TM =

y′′ = +

y1 m1

−11

=

=∞

0



x =1 ) 12 y′′ = 12 (1 ) (1 )−2= −

MN  m1y1  011  0 Si TM  , MN  0 y MP1  y1  11, tenemos:

y′′ = −



y  04  403  160  0

( )2 +MP TP1 = TM (

El punto de in exión es P0,0 .

2

1

2

)

2

( ) (+ − ) 11 = ∞ =∞

Para x  2 Longitud de la normal P1N:


x =1

2 P1N = (MN ) +MP (

( ) (1 )−2= − ) 12 y′′ = 121

2

1

2

)

2

) = − 11 = ( 0) +(− 11



x=3

(− ) 2 )(02)+( =1 16) y′ = 4 (0

y′′ = 12 (3) ((3) − 2 )36 =

y − y1 = m ( x − x1 )

y′′ = +

y = 16 ( x ) Al sustituir x en la función:

−16 x + y = 0

y  24  423  162  16

La recta normal es:

El punto de in exión es P2,16 .

1

y − y1= −

16

Al sustituir los valores de x  1 en la segunda derivada:

( 1 )(−( 1− ) = 2) y′′ =1 2 −

y=− 36 1

y   (, por lo tanto, se con rma que existe un mínimo en x  1 en 11. Al sustituir los valores de x  2 en la segunda derivada:

y′′ =12 2( 2) (( ) 2 − 0) =

16

1 16

x1)

( x)

x+y=0


TM =

y1

=

m1 Como y  0, el método de la segunda derivada no es aplicable.

(−x

0

=0

16


En el punto 1,11 la ecuación de la recta tangente es:

MN  m1y1  016  0 y  11

28 9



Al resolver x1  1 y x2  3.



( )2 +MP TP1 = TM ( 2 ( )0 = ( 0) +

a) ,1

2

1

)

b) 1,3 

2

=0 c) 3,



( )2 MP TM

TP 1

2

2

y  32  62  9  15

=

+ ( 1) 2 ( )0 2 = 0 = ( 0) +

( )2 +MP TP1 = TM ( 2 ( )0 = ( 0) +

y es positiva, la función es creciente. En 1,3  tomamos x  0 en la derivada, es decir:

2

1

)

y  302  60  9  9

2

=0 y es negativa, la función es decreciente. 2

( )2 +MP P1 N = MN ( 2 ( )0 = ( 0) +

2

1

)


=0

y  342  64  9  15


y es positiva, la función es creciente. Para un valor antes de x   1 la derivada y  (  y para un

y = 16

valor después y  (.

La recta normal es:


x2 y  13  312  91  5  10 Longitud de la subtangente TM:

TM =


y1

16

m1

0

= =∞

Para un valor antes de x  3 la derivada y  ( y para un valor después y  (.



MN  m1y1  016  0

y  33  332  93  5  22

Si TM  , MN  0 y MP1  y1  0 tenemos que:



Segunda derivada

( )2 +MP TP1 = TM ( 2

( )+ ( )16 = ∞ =

2

1

y  6x  6

)

2


0

6x − 6 = 0


x1 = 1

( )2 +MP P1N = MN ( 2

( )16 = (0) +

2

1

)

Para x  1

2

16 =


x=0

8. y  x3  3x2  9x  5

) = y′′ = 6 (0− 6− 6

Primera derivada

y′′ = − y  3x2  6x 9  4x  1x  3

29 0



La recta normal es:

x=2

x  1

y′′ = 6 (2 ) − 6 6= Longitud de la subtangente TM:

y′′ = +

y1

TM =


y  1  31  91  5  6 3

m1

=

−22

=∞

0

2


El punto de in exión es P1,6 Al sustituir los valores de x  1 en la segunda derivada:

MN  m1y1  022  0 Si TM  , MN  0 y MP1  y1  10, tenemos:

y  61  6  12 y   (, por lo tanto, se con rma que existe un máximo en x  1 en 10. Al sustituir los valores de x  3 en la segunda derivada:


( )2 +MP TP1 = TM (

2

1

)

2 2 = ∞( )+( − ) 22 =∞

y  63  6  12 y   (, por lo tanto, se con rma que existe un mínimo en x  3 en 22. En el punto 1,10  la ecuación de la recta tangente es:

Longitud de la normal P1N: 2 P1N = (MN ) +MP (

2

1

)

2 2 ( )22 = ()0 +− = 1 0

y  10 La recta normal es:

En el punto 1,6 la ecuación de la recta tangente es:

x  1 2 y′ = 31() −61()−9= −12


TM =

y1

10

m1

0

y − y1 = m ( x − x1)

= =∞

y + 6= −12 (−x1

)

12 x + y − 6 0=

Longitud de la subnormal MN: La recta normal es:

MN  m1y1  010  0 Si TM  , MN  0 y MP1  y1  10, tenemos: Longitud de la tangente TP1:

y+6= 2

2

( ) +MP TP1 = TM (

1

)

−

( )+2 ( )10= 2∞ = ∞

1 12

73 x+ +y = 12

m 1

12

(−x

2 P1 N = (MN ) +MP (

2

1

TM =

)

y1

=

m1

0

2

10 = Longitud de la subnormal MN:


MN  m1y1  126  72

y  22

29 1

−6 −12

x1)

( x − 1)



2 ( )10 = ( 0) +

1

y − y1= −

=

1 2


Si TM =

1 2

,MN= 72 y


MP = =y1− 6,1

tenemos que: 2 3


3

=0

2

1

)

Para x  0

 1 2 145 2 =   + (−6) = 2 2


x = −1


4

2 P1 N = (MN ) +MP ( 2 )+ () = = ( 72 − 6

y′′ = 2 (−1)− 3 = 2 3 3

2

1 2

)

y′′ = +

6 145


2 2 x − 3x 3

x =1 2 −4 2 y′′ = (1) 3 = 3 3

Primera derivada

y′ = 2 − 2 x

−4

x1 = 0

( )2 +MP TP1 = TM (

9. y =

x

−1

y′′ = +

3

Al resolver x1  1.

Porlo tanto, no existe punto de in exión.


Al sustituir los valores de x  1 en la segunda derivada:

a) ,1 

2 −4 2 y′′ = (1) 3 = 3 3

b) 1, En ,1  tomamos x =

1

y   (, por lo tanto, se con rma que existe un mín x  1 en 1.

en la derivada, es decir:

2 En el punto 1,1 la ecuación de la recta tangente es:

−1

1 y′ = 2 − 2   2

3

= −0.5198 y  1


La recta normal es:


x1

1

 1 − 3 y ′ = 2 − 2   = 0.4125 2



TM =

Como para un valor antes de x  1 la derivada y  ( y para un valor después y  (.

y1 m1

=

−1 0

=∞



MN  m1y1  01  0

1

− y′ =2 −2 2( ) 3 = 0.4125


Cuando x  1, se tiene un mínimo en 1. Longitud de la tangente TP1: Segunda derivada

( )2 +MP TP1 = TM ( y′′ =

2 3

x

−4

3

2

1

)

2 ) 1=2∞ = (∞) + (−

29 2

imo en




( ) +MP P1N = 9MN ( 2 2 1− = (0) +(− ) =

6 x −12 0=

2

1

)

x1 = 2 1

Para x  2

10. y  x3  6x2  15


Primera derivada

x =1 (− ) 12= −6 y′′ = 61

y  3x3  12x  3xx  4

y′′ = −

Al resolver x1  0 y x2  4. Un valor un poco mayor


x=3

a) ,0

y′′ = 6 (1 ) −12 = 6

b) 0,4 

y′′ = +

c) 4,


En ,0 tomamos x  1 en la derivada, es decir:

y  23  622  15  1

( 1)−4 = 15) y′ =3−( 1 )(−

El punto de in exión es P2,1

y es positiva, por lo que la función es creciente. Al sustituir los valores de x  0 en la segunda derivada: En 0,4  tomamos x  2 en la derivada, es decir:

y  60  12  12

) 12 y′ =3 2( )2(( ) −4 = − y es negativa, por lo que la fun ción es decreciente.

y   , por lo tanto, se con rma que existe un máximo en x 0 en 15.

 En 4, tomamos x  5 en la d erivada, es decir:

Al sustituir los valores de x  4 en la segunda d erivada:

)= y′ =3 5( 5) (( ) 4− 15

y  64  12  12

y es positiva, por lo que la función es creciente. Para un valor antes de x  0 la derivada y  ( y para un valor

y   , por lo tanto, se con rma que existe un mínimo en x  4 en 17.

después y  (. En el punto 0,15  la ecuación de la recta tangente es: En x  0, se tiene un máximo cuyo valor es:

y  15

y  03  602  15  15 Cuando x  0, se tiene un máximo en 15.

La recta normal es:

Para un valor antes de x  4 la derivada y  ( y para un valor después y  (.


En x  4, se tiene un mínimo cuyo valor es: 3

x0

2

y  4  64  15  17

TM = y1= 15 =∞ 0 m1



Segunda derivada

y  6x  12

MN  m1y1  015  0

29 3




( )2(( ) −4 = − ) 12 y′ = 32


y − y1 = m ( x − x1)

( )2 +MP TP1 = TM (

2

1

2

y + 1= −12 (− x2

)

( )+ ( )15= ∞ = ∞

La recta normal es:


2 ( )15 = (0) +

2

1

y +1 =

15 =

y  17

−

1 12

7 x+ +y = 6

TM =

x4 Longitud de la subtangente TM:

=

1

x1 )

12

( x − 2)

0


La recta normal es:

m1

(−x

m

)


TM =

1

y − y1= −

2

P1N = MN ( ) +MP (

y1

)

12 x + y −23 = 0

2

y1 m1

=

−1 1 = −12 12


−17 0

MN  m1y1  121  12

=∞ Si TM =


MN  m1y1  017  0

1 12

MN , = 12 y MP = =y1− 1,1


Si TM  , MN  0 y MP1  y1  17, tenemos:

1

)

2

1 145 2 =   + (−1) = 12  12

2

1)


2 2 ( ) (+ = ∞ − ) 17 =∞

2

2 P1 N = (MN ) +MP (

Longitud de la normal P1N: 2 P1 N = (MN ) +MP (

2

2

TP1 = TM ( ) +MP (


( )2 +MP TP1 = TM (

tenemos:

2 () = = (12) +− 1

2

1

)

2 ) 12 = = ( )0 (+ − 17 7

29 4

1 2

)

145


EJERCICIO 22 Entonces,

I. Resuelve los siguientes problemas. 1. Una lámpara de arco cuelga a la altura de 3 m directamente sobre un camino rectilíneo y horizontal. Si una persona de 1.70 m de

3s =1.7 x +1.7 s 1.3s =1.7 x

alto va alejando de la lámpara a razón de 60 m/min, ¿cuántos metros por minuto se alarga su sombra?

s= ds dt

F C

A1

=

1.7 1.3

x

1.7 dx

=

1.3 dt

1.7 1.3

(60) = 78.46 m s

La sombra se alarga a una razón de 78.46 ms.

A2

2. Un punto se mueve sobre la parábola y2  16x, de manera que la abscisa aumenta 2 cm por segundo, ¿en qué punto aumentan B1

O

B1

la ordenada y la abscisa a la misma razón?

B2

Para saber en qué punto la ordenada y la abscisa aumentan a la misma razón, es necesario observar en que puntos la derivada De la semejanza de los triángulos FA1A2 y A1 1B2B′ ′ se deduce:

dy

2y

B ′B ′

A1 A 2

tiene el valor de 1, entonces:

dx

=1 2

FC

FO

dy dx

Al sustituir se tiene:

= 16 =

16

=

8

2y y

=1

y=8

A1 A2 =1B2 B

FC = 1.2m

Al sustituir en la ecuación de la parábola se tiene:

FO =3m

B ′B ′

B1B2 1.2m

x=

=1 2

3m

Donde B1B2 es la distancia recorrida por el peatón en el mismo tiempo que el extremo de su sombra recorre B1′B2′ .

y2 16

=

82 16

=4

Por lo tanto, el punto en que aumentan en la misma razón es P4,8 3. Una escalera de 16 m se apoya contra un edi cio, encuentra:

Por lo tanto,

a) La velocidad a la que se mueve el extremo superior cuando el inferior se aleja del edi cio a una velocidad de 1 ms y se encuentra a una distancia de él de 10 m.

B12B = vt 12 B ′B ′ = v ′t Al sustituir en la igualdad anterior resulta:

vt 1.2m

=

16

vt ′ 3m

y

Al despejar,

v′ =

( 3) v 1.2

=

( 3)( 60) 1.2

x

= 150 m min

La ecuación que rige el movimiento es:

La velocidad del extremo más lejano de la sombra es 150m min.

y = 16 2 − x 2 Al derivar respecto al tiempo se tiene:

1 1B ′ =1s , OB = 1 x y OB ′ = y . Sea B

Por semejanza de triángulos rectángulos se tiene:

s

dy dt

y x s +

=

1.70 3

=

3

vy = −

29 5

dx dt 256 − x 2 x

=−

xvx 256 − x 2


Al sustituir los valores dados:

Al derivar con respecto al tiempo,

(10 )(1)

vy = −

2

2z

= −0.8m s

256 − (10 )

El extremo superior se mueve a una velocidad de 0.8 ms.

dz dt dz dt

= 2x

dx dt

+ 2y

x

= vz =

dy dt

dx dy +y xv + yvy dt dt = x z x 2 + y2

b) La velocidad a la que disminuye la pendiente. Como m =

dy dx

Al sustituir se tiene: , entonces: ( )(65) ( +320m )( )80 325m

dy m= = dx

d dx

vz =

x

16 − 2= − x2

La variación de la pendiente con respecto al tiempo es:

  dx  d  16 2 2− x   − x2 216 dm d x dt dt =− = −  dt dt 16 2 − x 2 16 2 − x 2

 − x    

16 2

= 102.44 km h

2

Por lo tanto, la distancia entre los trenes a mediodía aumenta en 102.44 kmh. 5. Un barco, cuya cubierta está a una distancia de 15 por debajo de la super cie de un muelle, es arrastrado por medio de un cable unido a la cubierta y que pasa por una argolla situada en

   dx x       dt  16 2 − x 2  dx  − x −    dt   16 2 − x 2   = −  2 2  16 − x =−

(325 ) ( ) 2 + 320

16 2 − x 2

el muelle que cuando el barco se encuentra a una distancia del 5 muelle de 36 m y se aproxima con una velocidad de m s, 4 encuentra la velocidad del extremo del cable.

dx

(16 2 − x 2 )3 dt z

Al sustituir los valores se tiene:

dm dt

=−

16 2

(16 2 −10 2 )3

y = 15 m

(1) = 0.13 m s v1 =

Por lo tanto, la pendiente disminuye a una velocidad de 0.13 ms.

5

x = 36 m m/s

4

Sea la z longitud del cable. 4. Un tren que sale a las 7 horas de la mañana se dirige hacia el Este a una velocidad de 65 kilómetros por hora, mientras que otro, que sale a las 8 horas de la misma estación, se dirige hacia

De acuerdo a la gura, se tiene un triángulo rectángulo aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

el Sur a una velocidad de 80 kilómetros por hora; encuentra la

z 2 = x 2 + y2

velocidad a que se separan ambos trenes al mediodía.

z 2 = x 2 + 225

E

v1 = 65 km/h a medio día ha recorrido x = 325 km


2z

dz dt dz dt

v1 = 80 km/h a medio día ha recorrido y = 320 km

= 2 x =

vz =

dx dt

x dx z dt

d

+225 dt

=

x

dx

x 2 + 225 dt

x x 2 + 225

vx


S

Sea z la distancia que separa a ambos trenes. De acuerdo a la gura, se tiene un triángulo rectángulo aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

z2  x2  y2

vz =

 5 2 36 2  a + b  = 1.18m s (36)2 +225  4

Por lo tanto, la velocidad del extremo del cable es vz  1.18 ms.

29 6


6. El radio de la base de cierto cono aumenta a razón de 5 cm h y la altura disminuye a razón de 6 cmh; calcula cómo varía el área total del cono cu ando el radio mide 12 cm y la altura 36 cm. Si el radio de la base aumenta a razón de 5 cmh, esto signi ca que:

dr = 5 cm h dt Si la altura disminuye en:

dh dt

= 6 cm h

Por lo tanto, el área total del cono es:

At  rg  r Donde, g2  h2  r2 Dado que r y h son variables independientes, la derivada de At respecto al tiempo es:

  dh     h + r dr    dt + dr  + ( h 2 + r 2 + r ) dr  = π r  dt      h 2 + r 2 dt dt dt  

dAt

Al sustituir los valores de las variaciones de altura y radio se tiene:

dAt dt

 (6c m)h ( h + )5cm h = π r    h2 + r 2  

r

  + 5cm h  + (5cm h )( h 2 + r 2 + r )   

Entonces para r  12 cm y h  6 cm

dAt dt

 ) ( +5cm )( 12cm )  (6cm)(6c m = π (12) 2   (6cm ) (2 + 12cm ) 

 ) ( () 6cm ( + 5cm  + (5cm  dAt

Por lo tanto, el área total del cono varía

dt

2

)+12cm ( )

2

+12cm



) 272.94 = 

= 272.94 π cm h .

3 7. El gas contenido en un globo esférico se escapa a razón de 50 cm min, en el instante en que el radio es de 12.5 cm, determina:

a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio? b) ¿Con qué rapidez disminuye el área de la super cie?

r = 12.5 m

El volumen de una esfera es v = 4 πr 3. 3 Al derivar con respecto al tiempo,

dv dt

=

4 3

π 3r 2

dr dt

29 7

cm π h


Al despejar y sustituir la variación del radio en el tiempo se tiene:

dr

=

dt dr dt

=

1 2

4 π (12.5 )

1

dv

4 πr 2 dt

(50 ) = 0.025 cm min

El radio disminuye con una rapidez de 0.025 cmmin. La super cie de una esfera es A  4r2. Al derivar con respecto al tiempo se tiene:

dA dt

= 8 πr

dr td


dA dt

) ( 0.025 ) =7.85cm 2 min = 8 π (12.5

Por lo tanto, el área de la super cie disminuye con una rapidez de 7.85 cm2min. 8. Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 30 ; una locomotora se encuentra 320 m del cruce y se aleja de él a una velocidad de 150 km h; un automóvil se encuentra a 320 m del cruce y se acerca a él a la velocidad de 75 km

h, ¿a qué

razón se altera la distancia entre los dos?

T1

r2 r1 60°

A2

A1 r4 r3

T2

Existen cuatro posibilidades, como se observa en la gura. En todas ellas el módulo de la velocidad con que se aproximan o se alejan uno respecto al otro, es la derivada del módulo del vector de posición de cualesquiera de ellos con respecto al otro.

29 8


Nota: Se ha tomado como referencia al automóvil.

Caso I El modulo del vector de posición del tren T1 respecto al automóvil A1 es:

r1 = x y2 + 2xy− 2

cos120


dr1 dt Donde,

dx dt

=

dx dy  dy dx  x dt + y dt −  x dt + y dt  cos120 x 2 + y2 − 2 xycos120

= v= − A 1

dy 75 km h y = = dt

vT 150 km h. 1

El signo negativo de vA1 es debido a que la distancia del auto al cruce disminuye con el tiempo. Al sustituir los valores se tiene:

dr1 dt

=

(320 ) ( − )( )150 ( +)( (320 −)( + 75 320 −) (150)(

) 320

) 75 cos120

(320 ) ( )2 + 320 (2)−2( 320 ) 3 20 cos120

= 64.95 km h

Por lo tanto, la distancia que se altera entre ellos es 64.95 km h.

Caso II El modulo del vector de posición del tren T1 respecto al automóvil A2 es:

r1 = x y2 + 2xy− 2

cos60

Al derivar respecto al tiempo,

dr1 dt dx Donde = =v−A 2 dt

x

=

dx dy  dy dx  + y −  x + y  cos60 dt dt  dt dt  x 2 + y2 − 2 xycos6 0

75 km = h y=

dy dt

vT 150 km h. 1

El signo negativo de vA1 se debe a que la distancia del auto al cruce disminuye con el tiempo. Al sustituir los valores, se tiene:

dr1 dt

=

(320 ) ( − )( )150 ( +)( (320 −)( + 75 320 −) (150)(

) 320

) 75 cos60

(320 ) ( )2 + 320 (2)−2( 320 ) 320 cos60

= 37.5 km h

Por lo tanto, la distancia que se altera entre ellos es 37.5 km h. Las combinaciones A1  T2 y A2  T2, son las mismas respectivamente que A2  T1 y A1  T1.

29 9


9. Una placa circular de metal se dilata por el calor, de manera que

La distancia r de la cometa al niño en un instante cualquiera es:

su radio aumenta con una rapidez de 0.1 mm por segundo, ¿con

r = s 2 + 250 2

qué rapidez aumenta el área cuando el radio es de 25 mm?

Al derivar con respecto al tiempo se tiene:

r dr dt

El área de una placa circular es:

A  r2 La derivada Al derivar con respecto al tiempo,

dA dt

= 2πr

ds

es la velocidad del papalote, la cual, es positiva.

dt

Dado que la distancia s aumenta con el tiempo, tenemos:

dr

ds

dt

dt


dA dt

Al sustituir los valores:

v=

10. Un tanque cilíndrico vertical de 8 m de radio, se llena de agua nivel de agua con respecto al tiempo.

s = 400

El volumen de un cilindro es:

v=

Al derivar con respecto al tiempo y sustituir, se tiene:

dh dt

=

dt

s ( 40 )

=

s 2 + 250 2

2

− 250

2

= 312.25 m

Al sustituir en la ecuación de velocidad,

v = πhr 2

= πr 2

dr

Al calcular la distancia s cuando r  400 m tenemos:

a razón de 12 m 3min. Encuentra la variación de la altura del

dt

= 40 m s

= 2π (25mm )(0.1mm s ) =15.7 mm 2s

Por lo tanto, la rapidez con que aumenta el área es 15.7 mm2s.

dv

ds dt s 2 + 250 2 s

=

dr dt

=

(312.25 )( )40

400

= 31.225 m s

Por lo tanto, la velocidad es de 31.225 ms.

dh dt

3 1 dv 12m ( min

πr 2 dt

=

(8m )2 π

)=

3 16 π

12. Un foco de luz está situado en la cúspide de una torre de 80 m de altura; desde un punto situado a 20 m del foco y a su misma

m min

altura se deja caer una piedra, suponiendo que cae según la ley s  16t2, determina la velocidad a la que se mueve la sombra de la piedra sobre el suelo un segundo después de empezar a caer.

Por lo tanto, la variación de la altura del nivel del agua con res3 pecto al tiempo es m min. 16 π

piedra

20

11. Un niño eleva un papalote a una altura de 250 m, si se sabe que

16t2

el papalote se aleja del niño a una velocidad de 40 m s, determina la velocidad a la que suelta el hilo cuando el papalote se encuentra a 400 m de distancia del niño.

250 m

80 40 m/s

s

r = 400 m

En el instante t la pelota está en 20,80  16t2 La sombra en el suelo es la intersección de la recta foco-piedra con el eje x suelo La velocidad en ms a la que el niño deberá soltar la cuerda es la velocidad del papalote respecto al niño, es decir:

v=

La ecuación de dicha recta es:

y − y0 = m ( x − x0 )

dr

m=

dt

30 0

y1 − y0 x1 − x0



La velocidad es positiva en los intervalos:

80 − 16 t 2 − 80  ( x ) y − 80 =    20

0,3  y 8, La velocidad es negativa en el intervalo:

4 y − 80 = − t 2 x 5

3,8 

El corte con el eje x sucede cuando y  0, es decir:

Este último es el intervalo en el que el automóvil marcha en sentido contrario.

4

0 = − t 2 x + 80 5

14. Una partícula se mueve a lo largo de una línea horizontal de acuerdo con la ley s  2t4  4t3  6t2  12t determina:

Al despejar x se tiene:

x=

a) ¿Cuándo aumenta la velocidad y cuándo disminuye?

100

t2 Al calcular la velocidad y la aceleración:

Al derivar con respecto al tiempo tenemos:

dx dt

=

ds v = = −8 t 3 12 + t 2−12 1t 2 dt

200

t

3

Se tiene que t  1.2563

Al evaluar en t  1.

dx dt

Un valor antes

= 20 0m s t =1 v = 8−1 2+1 2− 1 2 =− 4

Por lo tanto, la velocidad es de 200 ms.

Un valor después

13. El espacio recorrido por un automóvil sobre una carretera horizontal, con respecto a un punto jo, está dado en función 3t 4 del tiempo t, por la ecuación s = − 22t 3 +72 t 2. Calcula 2 el intervalo de tiempo en el que el automóvil marcha en sentido contrario al inicial.

2

(12 )− 2= 12 28

Para el intervalo 0,1.2563  la velocidad disminuye y para

1.25632  la velocidad aumenta.

Se calcula la derivada de la función posición:

ds v= = − 6t 3 66 +t dt

t=2 3 ()2+ v = 8 (2) − 12

= 144 t tt 6− t + (11 =2 tt 24 −t −6

2

b) ¿En qué instante cambia el sentido del mo vimiento?

) 3 ( 8 )(

)

Cuando t  1.25632 se encuentra en el instante en que el movimiento cambia de sentido.

Se observa que tiene raíces en:

c) El espacio total recorrido en los tres primeros segundos del movimiento es:

t1 = 0 t2 = 3

4

()+ −4(= ) s =2−3 3

t3 = 8 El valor t1  0 no se considera, ya que es el momento inicial.

(36)3

2

() 3 12

72

15. Una partícula se mueve de acuerdo con la ley s  2t2  12t  10 a lo largo de una recta donde s se mide en pies yt en segundos, calcula:

Al evaluar la velocidad en un punto antes de 3,

a) Su velocidad cuando t  2 s.

v  622  32  8  75 Al evaluar en un punto después de 3,

v

ds

= dt =

v  644  34  8  96

4t

12

−

En t  2 s

Al evaluar en un punto después de 8,

ds v= = dt

v  699  39  8  324

30 1

4 (2−) 12 = − 4m s


En t  2 s la partícula tiene una velocidad de 4 ms.

v=

b) Su velocidad cuando t  4 s.

=

ds v = = 4 (− 4 ) =12 dt

4m s

ds

a=

c) ¿Cuándo es la velocidad igual a cero? ds v = dt= −4 t =12 t=

12

2

dt

2 8

m s

8

dv

=3

9

=−

3

4 ( 2 + 3t )2 9

0

9

= − 4 (2 +3 2( ))32 = − 64 2

=3

4

2 3t + 2

3 2 3 2( ) + 2

=3 En t  4 s la partícula tiene una velocidad de 4 ms.

3

=

dt

=−

9

m s2

64 2

En t  3 s la partícula tiene una velocidad de 0 ms.

d) s = t + 5 para t =4 16. Dadas las siguientes ecuaciones de movimiento rectilíneo, calcula el espacio recorrido, la velocidad y la aceleración en el instante indicado.

s = 4+5 = 3

=3m

a) s  3t2  t, para t  3

v= 2

() − (3) 24 s = 33 =

=

= 24 m v=

ds dt

= 6t − 1

=

= 6 (3 ) −1 = 17

dv dt

dt

2 t+5 3

=

2 3 2( ) + 2 1

1 6

m s

6

1 a = dt = − 4 (5 + t )32

=6

1

=−

3

=−

4 (5 + 4 ) 2

= 6 m s2 =−

2

b) s  8t  4t para t  5

4 (5 ) s = 8 (5) −

1

=

dv

= 17 m s a=

ds

1 108

m s2

e) s  3t2  9t  4 para t  1

2

60 =

= −60 m v=

ds dt

= 8 − 8t

2

2 s = 31( ) −91( )+4 = −

= −2 m

= 8 − 8 (5) = −32 m s a=

dv dt

v=

= −8

dt

= 6t − 9

)9 = − = 61( − 3

= −3 m s

= −8 m s2 c) s =

ds

a = dv = 6 dt

3t + 2 para t = 2

= 6 m s2 s = 32( )2+ 2 =2

=2

2m

30 2

1 108


f) s =

2 3t + 3

i) s  16t2  20t  4 para t  2

para t = 3

2

s=

= v=

3(3) + 3 1 3

ds

=

v=

3

(3 + 3t ) 2 3

a=

8 3

dv

17. Dadas las siguientes ecuaciones del movimiento rectilíneo, calcula el espacio recorrido y la aceleración en el instante en

27 5

27 3

=

2 (3 +3 3( ))2 3 64

que la velocidad se anula por primera vez.

2 (3 + 3t ) 2

=

=

a = dv = 32 dt

= −8 3

m s

=

dt

= 32t −20

= 32 m s 2

1

=−

dt

= 44 m s 1

(3 + 3(3))2

ds

= 32 (2 ) −20 =44

3

3

=−

28

= 28 m

3

m

=−

dt

2

2= 4 s = 16 (2) − 20( )+

1

a) s  t3  3t2  9t  4

3 64

v=

m s2

ds

0)( − ) =

= 3+ t62 t−9= t + 3t (1

dt

t1 = −3 s t2 = 1 s

g) s  100  4t  8t2 para t  3

Para t  1 2

s = 100 − −4 3( ) 8=(3 )

3 2 )+ s = (1 3(1) −91() + 4 =− 1

16

= 16 m v=

= −1 m

ds

4 16 t =− − dt = −4−1 6 3( =) −52

a=

dv dt

= 6t + 6

dt

= 6 (1 ) +6 = 12

= −52 m s a=

dv

= 12 m s 2

= −16

b) s =

t 1+ t2

= −16 m s 2 v=

h) s  6t2  2t3 para t  1

ds dt

=

(1 + t 2 ) − 2t 2 (1 +)t 2 2 (

=

1− t 2

) 1+ t2

t1 = −1 s 2

21() s = 61() −

3

t2 = 1 s

4=

= 4m v=

ds dt

Para t  1

= 12 t − 6t 2

= 12 (1) −6 (1)

2

s=

6=

=

=6m s dv

1

=

2

1 + (1) 1

1 2

m

2

dv 2t (t 2 − 3) a = dt = (1 + t 2 )3

a = dt = 12 −12 t

= 12 −12 1( ) =0

21( )1(( ) 3− 2

=

= 0 m s2

=−

30 3

3

(1 + (1)2 ) 1 2

m s

2

)

=−

1 2

2


c) s  16t2  64t  64 v=

ds

= 32 t −64

dt

t1 = 2 s Para t  2 2

)2 = 64 s = 16 (2)− 64(+

0

=0m dv a=

32 dt =

= 32 m s 2 d) s  3t3  3t2  12t  8 ds v= = dt t1 =

Para

t=

1 3

(1 +

1 3

9− t2 − 6 t1 2

(1 ±

13 )

13 )

3 2 1 1  (1 +1 )3(  3− ) 1 1 +( 13 ) − 12  1 + 13  +8 = 6.638 − 3  3  3 

s = 3

= −6.638 m a=

dv dt

= 18 t − 6

1  = 18  3 (1 + 13 )6− = 21.63 m s 2 e) s =

t +1 t2 + 4 v=

ds dt

=

(t 2 + 4) − (t + 1)(2t ) (t 2 )+ 4

2

=−

−4 + 2 t + t 2

( )

4 + t2

2

t1 = −1 − 5 t 2 = −1 + 5 Para

t = −1 + 5

s=

(−1 + 5 ) + 1 = 0.4045 2 (−1 + 5 ) + 4

= 0.4045 m 2 2

2

2

a = dv = − (+ 4 ) t 2+(2 − (t −+4) 2+ tt()t42 4)4t+ dt (4 + t )

=

(

2

2−4 − 12 1−( +5 3 )+(1− 5+ ) ( + 1 −)5 +

(4 + (−1 +

2 3

5)

)

= −0.1463 m s 2

30 4

2

= 2− (4 1− 2 +t 3 2 +3t (4 + t ) 3

) = −0.1463

3

t )


f)

s = 3t +

Tardará 6.6971 s en llegar al suelo.

12 1+ t

v=

ds dt

= 3−

ds v = == dt

12

(1 + t )2

(9.81)(=6.6 971 )

gt

65.69 m s

La moneda va hacia abajo, por lo tanto, la velocidad es negativa v  65.69 ms.

t1 = 1 s Para t  1

20. Una pelota se deja caer desde lo alto de un edi cio que tiene 555 pies de altura, ¿cuánto tiempo le tomará a la pelota llegar al suelo y con qué rapidez llegará? (tomar la gravedad terrestre

12

s = 3(1) +

como 32 piess2).

=9

1 + (1)

=9m a=

=

dv dt

Se sabe que:

=

24

(1 + t )3

24

(1 + 1)3

s=

=3

1 2

gt 2

Entonces,

= 3 m s2 t=

18. Una pelota se lanza hacia arriba en forma vertical siguiendo la ley s  25t  5t2, si s se mide en metros yt en segundos, encuentra:

2s

g

=

( ) 2 555

32

= 5.889 s

Tardará 5.889 s en llegar al suelo.

a) Su posición y velocidad a los 3 s. ds v = = = gt dt

Para t  3 s

() − 5 (3) s =2 5 3

2

(32)(=5. 889 )

188.46 pies s

La pelota va hacia abajo, por lo tanto, la velocidad es negativa

30 =

v  188.46 piess.

= 30 m 21. Si deja caer una piedra de una torre de 220 pies con una velocidad

b) ¿Cuál es su máx ima altura?

inicial de 22 piess, encuentra:

La altura máxima se alcanzará cuando v  0, es decir:

ds

v== dt t=

Para t =

a) ¿Cuál es su velocidad después de 3 s? Se sabe que:

− 25 1=0 t 0

5

1 s =vt 0 +gt 2

2

2

Entonces,

5 2

ds v= = dt

 5   5 2 125 s = 25   − 5   =  2   2  4

)= (− − v0 =gt − −(22 ) (32 3)

118

La velocidad después de 3 s es 74 m s.

19. Se deja caer una moneda desde una altura de 220 m, determina

b) ¿Cuál es su velocidad tras caer 108 pies?

la velocidad instantánea de la moneda cuando alcanza el suelo. Se sabe que: Se sabe que:

g=

1 s = 2 gt 2

v 2f − vi2 2d

Entonces,

Entonces,

t=

2s

g

=

( ) 2 220

9.81

v f = dg 2 + v=

= 6.6971 s

30 5

2 i

( + 2 108 −)( 32 )=

( 22

)288.17m s


22. Se arroja una moneda a una alberca desde una altura de 100 m;

b) ¿Cuál es su velocidad máxima?

un segundo más tarde se lanza otra moneda desde una altura de

ds v= = dt

75 m, ¿cuál de las dos choca primero con la super cie del agua? Se sabe que:

a= s=

1 2

gt 2

dv dt

36 −t 2 +36 t 9

= 72 t −36

Cuando a  0, se tiene: 72t  36  0

Entonces, Tiempo crítico, 2s g

t=

t=

Para s  100m

1 2

Valor un p oco menor

t=

2 (100 ) 9.81

t=0

= 4.51 s

dv 6 a = = 72 (− 0)= 3− dt

Para s  75m

36

Valor un p oco menor 2 ( 75)

t=

9.81

t =1

= 3.91 s

tT = 1 + t =491.

dv a= = dt

s

La moneda que se deja caer desde la altura de 100 m llegará primero a la super cie del agua.

(1 )=36 72−

36

Por lo tanto, el automóvil nunca alcanza la velocidad máxima.

c) ¿Qué distancia ha recorrido el automóvil cuando alcanza su velocidad máxima?

23. Para calcular la altura de una torre, una persona deja caer una piedra la cúspide de la torre sobre una piscina en el suelo, ¿cuál es la altura de la torre si el impacto con el agua se observa los 6.8 s después de arrojar la piedra?

No se puede calcular ya que el automóvil nunca alcanza su velocidad máxima. 25. Dos móviles tienen a lo largo del eje x las siguientes posiciones:

s1  6t  t2 y s2  t2  4t, determina:

Se sabe que:

s=

1 2

a) ¿En qué instante tendrán igual posición? gt 2 Para saber en qué instante tendrán igual posición se tienen que igualar las leyes de movimiento, entonces:

Al sustituir resulta: 6t − tt 1 )( . 6) 8 s = ( 9.81 2

2

= . 226 m 80

2

= t2 − 4

2t 2 − 10= t2 t

−5( = 0 )

Se tiene que: Por lo tanto, la torre tiene una altura de 226.80 m. 24. Un automóvil hace un recorrido en 54 min, moviéndose de acuer3 3 do a s = t12 − , midiendo (s) en kilómetros y (t) t t18+ 2−9 2 en horas, encuentra:

t1 = 0 s t2 = 5 s Por lo tanto, los móviles tendrán la misma posición a los 5 s.

b) ¿En qué instante tendrán la misma velocidad? a) ¿Qué distancia recorre el automóvil? 3

2

( )54 ( ) 9=54 s =12 (54)− 18 +−

3 2

Al derivar respecto al tiempo se tiene: 1 837 564.5 m

Por lo tanto, el automóvil recorre 1837.5 km en 54 min.

30 6

v1 = v2 =

ds1 dt ds2 dt

= 6 − 2t = 2t − 4


Al igualar expresiones se tiene:

Cuando sea t  3

2t −4 6 = 2 − t

2 s1 = 63( ) − 3( ) 9 =

4 t = 10

t=

5 2

ds2

s

= 2t − 4

d

Por lo tanto, los móviles tendrán la misma velocidad a los

Cuando sea t  2

2.5 s.

s2  22  42  4

c) ¿Cuál será la velocidad de cada móvil en el instante t  2 s?

Por lo tanto, los móviles se moverán en la misma dirección cuando t1  3 y t2  2.

v1 = 6−2= t 6 −2 2 =(2 ) v2 =

ds2

(2 = )4 0 = 2−

dt

d) ¿Cuándo se mueven en la misma dirección? Los objetos se moverán en la misma dirección justo en el momento en que estén en sus puntos críticos.

s1 = 6t − t 2 s2 = t 2 − 4 t ds1 dt

= 6 − 2t

EJERCICIO 23 I. Al aplicar el primer método para calcular máximos y mínimos, resuelve los siguientes problemas.

De la ecuación de una parábola se tiene:

y= 4− x 4

2

1. Determina el área del mayor rectángulo, con los lados paralelos a los ejes coordenados, que puede inscribirse en la gura limitada por las dos parábolas 4y  16  x2 y 8y  x2  16.

Entonces,

 

A = 3x  4 −

y 4

x 2 

3x 3  = 12 x − 4 4

Al derivar con respecto a x:

3

dA C

A

2

dx

1

−4

−3

D

−2

9

= 12 − x 2 4

Entonces:

−1

1

2

−1

3

4

5

x

x =±

4 3

B

−2

Al analizar x =

4 3

, se tiene:


El área del rectángulo se determina por:

x=2

A = (largo)(ancho)

dA

 3 y  = 3 xy  2 

A = 2 x 

dx

30 7

2

= 12−

9 ( 2) 4

3 = =+


Al derivar respecto a x se tiene:


dA

x=3 dA dx

2

= 12−

9 ( 3)

33

4

4

dx

x2

= 4 2−

+

3

=− =−

 2  8 (−3 + x 2 ) − x  = − 3 6 − x2 x2  3  2 2− 3 4x

Entonces, En x =

4 3


x=± 3 Al analizar x = 3, se tiene:

 4 3 3    4  32 A = 12   −  43  = 3 3


x =1 Cuando x =

4 3

se tiene un máximo en

32 3

dA

.

=−

dx

Al calcular las dimensiones del rectángulo, se tiene:

8 (−3 + 12 ) 2

=

3 6 − (1)

16

=+

15


 4  8 =  3  3

Largo: 2 x = 2 

x=2 dA

 4 2             34 −  3     4   Ancho:   = 4 2

dx

=−

8 (−3 + 2 2 ) 2

2

= −4

=−

3

3 6 − ( 2)

En x = 3 se tiene un máximo cuyo valor es:

2. Encuentra las dimensiones del mayor rectángulo que pueda insx2 y2 cribirse en la elipse + = 1. 6 2

A = 4 ( 3) 2 − Cuando x =

y

(

2

3) 3

=4

3

3 se tiene un máximo en 4 3.

Al calcular las dimensiones del rectángulo, se tiene: A

−2

B

C

1

−1

1

2

Largo: 2 x = 2

Ancho: 2 y = 2 2 −

x

3 3

=2

2 3. Elabora los puntos de la grá ca de y  8  x y determina los puntos que quedan más próximos a P0,4 .

D

−1

3

y El área del rectángulo se determina por:

8

A = (largo)(ancho) A = 2 x (2 y) = 4 xy

6

De la ecuación de la elipse se tiene:

y = 2−

A

d

B

d 4

x2

p

3

Entonces,

2

A = 4x 2 −

x2 3 −2

30 8

2

x


La distancia entre dos puntos es:

7

En x = 2

+ y y− d = x( x− 2 ) 1(

)

se tiene un mínimo cuyo valor es:

2

2 2

1

 7 2  7 4 15     2  +  2  = 2

d = 16 − 7 

Al sustituir el valor para cualquier punto de la parábola: 2

2 d= x (− +0x) −8(−

)16 7+ = 42 xx−

2

4

Al sustituir los valores de los mínimos en la ecuación de la parábola.

Al derivar respecto a x resulta: 7

Para x = ±

dd 2x3 − 7x = dx 16 − 7 x 2 + x 4 7

x = 0, −

2

2

 7 2 9  = 2  2 

y = 8 − 

7

,

2 Por lo tanto, los puntos que quedan más próximos a P son:

7

Al analizar x = −

se tiene con:

2

 15 9  ± ,   2 2 


4. Una página rectangular ha de contener 36 cm 2 de impresión; los

x = −2 dd dx

márgenes superior e inferior de la página tienen una anchur a de 1 1 cm; los márgenes laterales tienen 1 cm, ¿cuáles deberán 2 de ser las dimensiones de la página de modo que la cantidad de

3

2 (− 2)

=

( 2) − 7− 2

4

( ) ( )+ − 16 −7 −2 2

=− 1=−


papel a emplear sea mínima?

x = −1

El área que se va a m inimizar es: 3

dd = 2 (− 1) 7− ( 1) − 2 dx 16 −7 −(1 ) ( )+ − 1

4

=

5 =+ 2

A  x  3y  2 El área impresa es:

En x = −

7 2


2

 

d = 16 − 7 −

7

Al analizar x =

2

36 = xy  → y=

4

2 

 36  + 2 =36 + 2 +x  x 

A = ( x + 3)

, se tiene:

108

+ = +6 x

Al derivar respecto a x resulta:


dA dx

=−

108

x2

+2

x =1 dd dx

3

2 (1) −7(1)

=

2

16 − 7 1( ) + 1( )

4

=−

5 2

x = ±3 6

=− Al analizar x = 3 6, se tiene:



x=2 dd dx

=

x=7 2 (2)

3

7(2) − 2

16 − 7 2( ) + 2( )

4

x

Entonces,

   + − 7  = 15  2  2

7 

36

dA

= 1= +

dx

30 9

=−

108 72

+ 2= − 0.2 =−

42 +

108

x

2x


6. Determina dos números cuya suma sea 120 y que el producto


de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

x=8 dA dx

Se tiene:

= 450 − 2 (226 = )= 0.31 +

x + y= 120→ y =120 − x

El mínimo lo alcanza cuando x = 3

6, entonces el papel tiene

C = x2 y

las siguientes dimensiones: Así, Ancho: 9.34 cm

C x=

2 (120 x− =

x) x− 120

2

3

dC = 240 x −3 x 2 dx

Alto: 10.34 cm 5. Un rectángulo tiene un perímetro de 900 m, ¿cuáles deberán ser sus dimensiones para que su área sea máxima?

x = 0, 80 y = 120 −80 =40

El perímetro de un rectángulo es: Al analizar x  80, se tiene con: 2x  y  900 Un valor un poco menor El área esta dada por:

x = 79 A  xy  x450  x  450 x  x2

dC dx


) (3 79 ) = 2=237 = 240 (79− +


dA dx

= 450 −2 x x = 81

x = 225

dC dx

Al analizar x  225, se tiene con:

Cuando x  80 se tiene un máximo cuyo valor es:


C  120802  803  256000

x = 224 dA dx

Cuando x  80 se tiene un máximo igual a 256 000.

= 450 − 2 (224= )= 2+

Los dos números que cumplen las condiciones dadas son 80


y 40.

x = 226 dA dx

2 ) =− = 240 (81)− (3 81 243 =−

7. Encuentra dos números positivos cuya suma sea 220 y cuyo producto sea máximo.

( =)− =2 − = 450− 2 226

Se tiene: Cuando x  225 se tiene un máximo cuyo valor es:

x + y= 220 → y =220 − x C = xy

C  450225  2252  50 625 Así,

Cuando x  225 se tiene un máximo igual a 50 625.

C= x ( 220 x− = )x x−220 El rectángulo tiene las siguientes dimensiones:

dC

Ancho: 225 m

dx

2

= 220 −2 x

x = 110 Alto: 225 m

− =x − 220 =110 1 10 y = 220

31 0


Al analizar x  110, se tiene:

Cuando x  24 se tiene un mínimo cuyo valor es:


192  C = 24 + 3  = 48  24 

x = 109 dC dx

( = )=2+ = 220 − 2 109

Cuando x  24 se tiene un máximo igual a 48. Los dos números que cumplen las condiciones dadas son


8 y 24.

x = 111 dC

( =)− =2 − = 200− 2 111

9. Se ha de construir una caja abierta por arriba a partir de una pieza

dx

cuadrada de latón de 12 pulg de lado, cortando cuadros iguales de cada esquina y doblando los lados; determina el volumen


máximo de la caja qu e se pueda construir.

C  220110  1102  12100 Cuando x  110 se tiene un máximo igual a 12100.

x

x

Los números que cumplen con las condiciones dadas son 110 y 110. 12 pulg

8. El producto de dos números positivos es 192, ¿qué números se habrían de elegir para que la suma del primero con tres veces el

x

segundo fuera mínimo? x

Se tiene:

xy = 192  → y=

x

192

x

El volumen de la caja es:

C = x + 3y

V  12  2x2x

Al derivar respecto a x: Al derivar respecto a x:

192  C = x + 3   x  dC dx

= 1−

dV dx

576

2 = (12 − −2)−x ( 412 ) = 2( −x )( 12 x −2 )1 2 x6

x2

x

x1 = 6

x = ±24

x2 = 2

Entonces,

y=

192

x

=

192 24


=8 Un valor un poco menor


x=5


dV

x = 23

dx

dC dx

= 1−

576

=−

( 23)2

) 1 2− 6()5) = − 36 = (12 − 2 5()( =−


0.088 =−

x=7 Un valor un poco mayor

dV = (12 ) 12 − 2 7()( − 6())7= =60 + dx

x = 25 dC dx

1 =−

576

=

( 25)2

0.078 =+

Este resultado implica un mínimo, por lo tanto, n o nos interesa.

31 1



Al analizar x =

5 2



x =1 dV dx

, se tiene:

() 12 = (12 − 2 1)( − 6())= 1 =60 +

x=3 dA


dx

=

2 50 −4 (3 ) 2

25 − ( 3)

=

7 2

=+

x=3 dV dx = (12 ) 1 2− 6()3) = − 36 − 2 3()( =−


x=4

En x  2 se tiene un máximo cuyo valor es:

dA

V  12  2222  128

dx

=

2 50 −4 (4 ) 2

=−

25 − ( 4 )

14 3

=−

El volumen máximo que se puede obtener con el material dado es 128 pulg3.

En x =

10. Un rectángulo está definido por el eje

x y el semicírculo y = 25 − x 2 , ¿qué longitud y ancho debe de tener el rectángulo para que su área sea máxima?

5 2

se tiene un máximo cuyo valor es:

 5   5 2 25 −  = 25  2   2 

A = 2 

y 5

5

Cuando x =

2

se tiene un máximo en 25.

4

Al calcular las dimensiones del rectángulo, se tiene: 3

Largo: 2 x = 5

2

2 2

1

Ancho: y = 25 − 5 = 5 2 2 −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

11. Un triángulo rectángulo en el primer cuadrante del sistema coordenado, está formado por el eje x, eje y y la recta que pasa por

El área del rectángulo se determina por:

el punto A2,3 ; determina los vértices del triángulo para que su área sea mínima.

A = (largo)(ancho) y

A = 2 x ( y) = 2 xy

4

De la ecuación del semicírculo:

A

3

y = 25 − x 2

2

Entonces,

1

A = 2 x 25 − x 2 Al derivar respecto a x:

dA dx

1

2

= 2 25 − x −

2x2 2

25 − x

=

2

x

3456789

50 − 4 x 2 2

25 − x

El área del triángulo es:

Entonces,

A= x=±

5 2

31 2

xy 2


Además, la ecuación de la recta es:


y  3  mx  2

x =1

Cuando y  0

dA dx

−3 = m ( x − 2) x =− m=−

3

) () ) 3(− 4 + 5( 5

5

=

2

2 (−2 + ( 5))

6

=+

En x  4 se tiene un mínimo cuyo valor es:

+2

m

=

3

A=

x−2

Cuando x  0

4  6



2  4 − 2

 + 3 = 12 

Cuando x  4 se tiene un mínimo de 12.

y − 3 = m (−2)

Los vértices se encuentran en los puntos: 6

3 y = −2 m+ =

x−2

+3

0,4  y 6,0

Al sustituir en el área se tiene: 2 12. El área de una super cie rectangular es de 18 m , se sabe que

x  6

 A =  + 3  2x−2

en su interior hay otra de forma que los márgenes superior e 1 m y que los márgenes laterales son de m, 4 2 determina las dimensiones de la super cie exterior para que el inferior son de

Al derivar respecto a x:

dA dx

1 6  3x 3(−4 + x) x =  3 + = − 2 −2 + x  (−2 + x )2 2 (−2 + x )2

3

área comprendida entre los márgenes sea mínima. El área que se va a m inimizar es:

Los valores de x son:

 3 A =  x − ( y − 1)  2

x1 = 0 x =4 2

El área impresa es:

Al analizar x  0, se tiene: Un valor un poco menor

18 = xy  → y=

18

x

x = −1 dA

=

dx

() ) 3(−4 + − 1( 1 )− 2

2 (−2 + (−1))

=

5 6

Entonces,

=+

  3 18 A =  x −  − 1 = 18− −x   2  x


x =1 dA dx

=

27

3

x

2

+ =

39

−− 2

x

27

x


3(4− + 1 ( 1) )( ) 2

2 (−2 + (1))

9

=− =− 2

dA dx

= −1 +

27

x2

Se tiene es un valor máximo, sin embargo, para este caso no

x = ±3 3

es de interés. Al analizar x  4

El mínimo lo alcanza cuando x = 3 3, entonces la super cie rectangular tiene las siguientes dimensiones:


x=3 dA dx

=

Ancho: 3 3 m

) () ) 3(− 4 +3 ( 3 2

2 (−2 + ( 3))

9

=− =−

Alto: 2 3 m

2

31 3


13. Se desea construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular y de 125 cm3 de volumen; determina las dimensiones que

Cuando r = 3

125

debe tener para que la cantidad de metal (área total) sea mínima,

se tiene un mínimo en 109.84.

π

en el caso en que: 125

h=

a) El recipiente sea abierto

125

π3

2

= 3.413

π

El volumen es: El recipiente tiene un radio de 3.413 cm y una altura 2

V =rhπ

 h → =

V

de 3.413 cm.

πr 2

b) El recipiente sea cerrado El área es: El volumen es:

A  área de la base  área lateral  r2  2rh V =rhπ

Al sustituir el valor de h:

V V 2 πr= + π= r 2 +2 πr 2 r

A = πr+2

πr 2

250

2

 h → =

V πr 2

El área es:

r A = área de la base + área lateral + área de la tapa

Al derivar respecto a r se tiene:

dA dr

= 2 πr −

2πr =

r=

Al analizar

r=3

125

π

= 2πr 2 + 2πrh 250 Al sustituir el valor de h:

r2

250

r2 3

V πr =2 2+2 = 2πr 2+ ππr

A = 2 π+ r 22

125

π

, se tiene:

dA dr

x=3 dr

r=

) = − = 2 π ( 3− ( 3)2

Al analizar

r=3

250

= 2 π ( 4−)

=

( 4 )2

En r =

125

π

r2 3

125 2π

125 2π

, se tiene:

x=2

= 9.507 +

dA dr

3

r2

250


x =1 dr

250

8.928 =−


dA

= 4 πr −

4 πr =

250

250

) = − = 4 π ( 2− ( 2)2

37.36 =−

se tiene un mínimo cuyo valor es: Un valor un poco mayor

 25 1 A = π  3 

r

Al derivar respecto a r se tiene:


dA

V

2

 250 = 109.84  + π   125 

x=5 dA

  3  π 

dr

31 4

250

= 4 π ( 3−) = =2 ( 3)

9.92 +

πr 2

250

r


En r =

3

125 2π

Se sabe que 0  x  24.


Entonces, 4 πr −

250

dA

r2

dx

 125 2 250   2 π  +  125  = 138.39   3   2 π 

A = 2 π  3

x=

Al analizar x = Cuando r = 3

125 2π

=−

se tiene un mínimo en 138.39.

24 − x 2π

+

x 8

96 4+π

96 , se tiene: 4+π

Un valor un poco menor h=

125

π3

125

2

x = 13

= 5.41

dA

2π

=−

dx

)() 24 − (13 2π

+

13 8

= − 0.125 =−

El recipiente tiene un radio de 2.71 cm y una altura de 5.41 cm. Un valor un poco mayor 14. El perímetro conjunto de un círculo y un cuadrado es 24 pies; determina las dimensiones del círculo y del cuadrado que dan

x=5

un área mínima.

dA x 4

dx

r=

24

x

En x =

2

x

96 4+π

=−

)() 24 − (14

14

2π

8

+ =

0.158 =+


4

A=

 

por lo tanto, cada lado Una parte dex es el perímetro del cuadrado tiene una longitud igual a

x 

 y 24  x es el perímetro del círcu4 

lo, de tal forma que su radio es r =

24 − x 2π

 96 2   4 + π  16

2  24 −  96    4 + π  3 + π   = 20.16 pies  2π

Por lo tanto, el cuadrado tiene una longitud de lado igual a 3.36 pies y el círculo tiene un radio de 1.68 pies.

15. El perímetro conjunto de un triángulo equilátero y un cuadrado

.

es 40 cm; determina las dimensiones del triángulo y del

cua-

drado que dan el área mínima. El área del cuadrado es:

x A1 =

x2

4

16

El área del círculo es:

x 4

2

 24 − x  A2 = π    2 π 

3

40 − x 6

El área que se desea minimizar es:

x2 A = A+ =A2 + 1 16

40 − x

h

 24 − x 2   2 π 

La parte x del perímetro se usa para el cuadrado, por lo tanto,cada

π 

x lado tiene longitud . La parte 40 x del perímetro corresponde 4

31 5


al triángulo equilátero, por lo tanto, cada lado tiene una longitud igual a

40 − x

. Así, la altura corresponde a:

3

Cuadrado

Triángulo

lado 4.98 cm

Base 6.68 cm Altura 0.7477 cm

 40 − x 2  40 − x 2 5 (40 − x ) h =   +  =  3   6  6

16. Encuentra dos números positivos tales que la suma del primero con el doble del segundo sea 200 y cuyo producto sea máximo.

El área del cuadrado es:

A1 =

Por lo tanto,

Se tiene:

x2

x

16

x + 2 y= 200→  y 100 = El área del triángulo es:

−2

C = xy Entonces,

 40 − x   3 

5

(40 − x )

6

A2 =

2

=

5 36

(40 − x )2

 x x2 C = x 100 −  = 100 x −  2 2

El área que se desea minimizar es:

dC dx

A = A+ =A2 + 1

x2

5

− ( 40

16

36

x y = 100− = 2

Se debe recordar que 0  x  40. Entonces,

dA

=−

dx

x=

Al analizar x =

5 18

( 40 − +x)

= 100 − x

x = 100

2

x)

100= 50 −

50


x 8


160 5 9+ 4 5

160 5 9+4 5

x = 99 dC = 100− 99 = =1 + dx

≈ 19.937, se tiene:

Un valor un poco mayor Un valor un poco menor

x = 101

x = 19

dC dA dx

=−

5 18

19

( 40− 19 +) = − 8

dx

=0.23 −



C =100 (100 ) −

x = 20 dA dx

=−

= 100− 1 01= − = 1−

5 18

( 40 − 20 + )=

20 8

=+ 0.0154

(100 )2

2

= 5000

Cuando x  100 se tiene un máximo en 5000.

En x  19.937 se tiene un mínimo cuyo valor es:

y = 100 −

100 2

= 50

2

A=

 160 5  9 + 4 5  16

+

5 

40 −

36 

160 5

2  = 49.844 cm 3

9 + 4 5 

31 6

Los dos números que cumplen con las condiciones dadas son 100 y 50.


17. Un ganadero dispone de 2 000 m de malla para cercar dos co-

18. Se construye una caja con una pieza rectangular de cartón de 16

rrales rectangulares adyacentes, ¿cuáles habrían de ser las di-

pies por 6 pies, cortando cuatro cuadrados iguales para formar

mensiones para que el área encerrada fuera máxima?

las esquinas y doblando las cajas, ¿qué longitud por lado deben tener los cuadrados para que la caja tenga un volumen máximo?

y

16 pies X

X

x 6 pies

X

Se tiene;

El volumen de la caja es:

4 y +3 x =2 000

y = 500 −

3x

V  16  2x6  2xx

4

 

 A = 2 xy =2 x500 − dA dx

X

3 x 

3x  = 1000 x − 4  2

= 1000−  3 x→  x =

2


1000

dV

3

dx

= 96 −8 8 x +12 x 2

Así, Al analizar x =

1000 3

, se tiene:

x1 = 6 x2 =


x = 333 dA dx

4

Al analizar x =

x =1

x = 334

Cuando x =

1000 3

dx

( =)− =2− = 1000− 3 334

1000

2 ) = = 96 − 88+ 1() 12(1= 20 +


x=7 se tiene un máximo cuyo valor es:

dV dx

C = 1000 x −

Cuando x =

, se tiene:


dV

dx

3

3

) + = 1000 − 3 (333 == 1


dA

4

1000 2  3 

3

2

=

se tiene un máximo en

3

En x =

500000

4 3

2 = 96 − 8 8 2(+) 12(2)= − = 32−


3

500000

  4   4  4  1600 V = 16 − 2  6 − 2    =   3   3  3  27

.

3 El volumen máximo que se puede obtener con el material dado es

Entonces, las dimensiones son: 1600

x=

1000 3

27

; y =250

31 7

pies3. Los cuadrados tienen una longitud dex =

4 3

pies.


19. Se tiene que cercar dos terrenos, uno es un rectángulo con la

Al analizar

x  120, se tiene:

longitud del doble del ancho; el otro un cuadrado. El rectángulo 2

debe contener por lo menos 1764 m y el cuadrado por lo menos 800 m2; se tienen 136 0 m disponibles de cerca.


x = 119

a) Si x es el ancho del terreno rectangular, ¿cuáles son los posibles valores máximos y mínimos de x?

dA dx

= −1020+

17 (119 )

17

2

2

=− =−

Dado que los terrenos deben tener un mínimo de tamaño, Un valor un poco mayor

tenemos:

x = 121

Para el rectángulo

dA

Ar  1 764

dx

Ya que el rectángulo tiene de largo el doble del ancho entonces:

= −1020 +

17 (121 )

17

2

2

= =+


2x2  1764  x  29.69 m () A = 2 120

El valor mínimo de x es 29.69 m

2

 2 3 +340  ( )− 120  = 544 00 2

Por lo tanto, cuando x  120 se construye la mínima área

El área mínima del cuadrado es:

posible igual a 54400 m.

Ac  800  sus lados miden 28.28 m Al calcular el área en los extremos del dominio calculado en Entonces, para el terreno cuadrado se necesitan al menos

el inciso anterior, tenemos:

113.12 m. Para x  29.68 De tal forma que para el terreno rectangular,quedan 1 246.88 m disponibles. 2

( ) A = 2 29.68

Por lo tanto, el valor máximo de x es:

 2 3 +340  ( )− 2 29.68  = 8907 0.23

Para x  207.81

6 x = 1246.88

x = 207.81 ( ) A = 2207.81

2

b) ¿Cuál es el área total máxima posible? Dado que

x es el ancho d el terreno rectangular, entonces éste

tiene un perímetro de 6x, por lo tanto, el cuadrado tendrá una 3 longitud de lado de 340 − x. 2

 2 3 ( )− 207.81  = 87170 +340   2

Entonces, el área máxima posible es 89 070.2 m 2, que ocurre cuando x  29.68 m. 20. Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un 2 vecino, debe tener un área de 10800 m ; si el vecino paga la mitad de la cerca medianera, ¿cuáles son las dimensiones de la huerta

El área de ambos es:

para que el costo de cercarla sea para el dueño de la huerta el

A = área del rectángulo + área del cuadrado

mínimo?

2

 3  = 2 x 2 + 340 − x   2 

Se sabe:

A = 10800= xy→  y = 10800 x

Al derivar el área se tiene:

dA dx

 3  17 x = 4 x −3 340 − x = −1020 +  2  2

Donde b es el largo del terreno yh el ancho, al considerarx como el costo por metro de la cerca. El costo total para el dueño del terreno será el perímetro del terreno.

x = 120

31 8


Al derivar respecto a r:

El perímetro que el dueño tiene que pagar es:

dc dx

 2

=+ 2

2

= 2−

dA

3 10 800 

3

c x=y2 + x

dr

 

x

= 2 πr −

2πr =

16200

r2 3

0.1

Entonces, Al analizar

x = ±90 y=

108 00

x

=

108 00 90

= 120

r=

0.1

3

π

r2

0.2

x2 r=

0.2

π

, se tiene:


x=


1 5

 1  0.2 = 2 π   − = −3.7433= −  5   1 2 dr    5 

dA Un valor un poco menor

x = 89 dC dx

= 2−


=2 −

(89)

0.045 =−

x=

x = 121 dx

2 =−

2

 1  0.2 = 2 π   − = 2.34 = +  2   1 2 dr    2 

dA


dC

1

16200

=

(91)2

0.043 =+

En r = 3

0.1


π

Se tiene un mínimo. Por lo tanto, basta que el lado que colinda

 .1 0 A = π  3

con el vecino sea igual a 120 m.



21. Determina el diámetro de un bote cilíndrico de hojalata de un litro de capacidad para que en su construcción entre la menor Cuando r =

cantidad de hojalata:

3

0.1

π

2

 0.2  + = 0.94  0.1  π   3   π 

se tiene un mínimo de 0.94.

 0.1  Entonces el diámetro necesario es 2  3 .  π 

a) Si el bote es abierto por arriba. El volumen es:

b) Si el bote es cerrado. El volumen es:

V =rhπ

2

 h → =

V πr 2

V =rhπ

2

 h → =

V πr 2

El área es: El área de es:

A  área de la base  área lateral  r2  2rh A  área2 de la base  área lateral  área de la tapa  2r  2rh Al sustituir el valor de h: Al sustituir el valor de h:

A = πr+2

V

V

2 πr= + π= r 2 +2 πr 2 r

πr 2

0.2

r

31 9

A = 2 π+ r 22

V πr =2 +2 =2πr 2+ ππr 2

V r

πr 2

0.2

r



Además como es una elipse,

dA dr

= 4 πr −

4 πr =

r=

Al analizar

r=3

0.1 2π

0.2

x2

r2

a2

La viga tendrá un resistencia máxima cuando la función sea

r2 3

igual a f x  xy2.

0.1 2π

Entonces,

 

f ( x) = x1 −

, se tiene:

x 2 

b 2 = b 2 x −

a 2 

f ′( x ) = b 2 − 3

5

 1  0.2 = 4 π   − = −2.48= −  5   1 2 dr    5 

x=±

x =1

x=

dA

0.2 = 4 π (1−) = =2 dr (1)

0.1

x=

 0.1 2 0.2 A = 2π  3 2π  +  0.1  = 1.192  3   2π  0.1 2π

a2

x2

a 3

a 3


a 2

3 2

df

Cuando r = 3

b2

12.3 +


2π

x3

a2

Al considerar el valor crítico positivo se tiene:


3

b2

Al derivar la función, se tiene:

1

dA

En r =

=1

b2

0.2


x=

y2

+

= b2

dx

−3

 1 3 b 2  a   = b 2 1 −  = b 2 = +   4 4 a 2  2 3 


x=

se tiene un mínimo de 1.192.

df

 0.1  . Por lo tanto, el diámetro necesario es 2  3  2π 

dx

22. La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto del ancho por el cuadrado de su espesor; calcula las dimen-

2a2 3 2

2

=b −3

Cuando x =

a 3

b 2  2 a 

(1 =4− ) = b 2−



a 2  3 

=3b−2


siones de la viga más resistente que puede cortarse de un tronco cuya sección transversal es una elipse de semiejes a (mayor) y b (menor).

 a  1  2 2 1− b = ab 2  3  3  3 3

f ( x ) =  Entonces,

d

x=

y

a 3

a 2    2  y = 1 − 32 b = b   a

3

Sean x el ancho y y la profundidad, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:

2a 2 Por lo tanto, la viga tendrá un largo de y un ancho de 2b . 3 3

d 2  x 2  y2

32 0


23. Dada una esfera de 9 cm de radio, calcula la altura de cada uno

b) Cilindro circular recto inscrito de área tot al máxima.

de los sólidos siguientes: El área del cilindro es:

a) Cilindro circular recto inscrito de volumen máximo. A  área de la base  área lateral  área de la tapa  2r2  2rh Al sustituir el valor de r:

 324 − h 2   + 2 π   4

324 − h 2

A = 2 π 

4

h

a

h 2

Al derivar respecto a h: r

dA dh

La relación entre el radio de la esfera, el radio de la base del cilindro r y la altura h, esta dada por:

4 h = − 162 +

162 5

El volumen del cilindro esta dado por:

324 − h 2 h 4

V = πr 2h = π

d

V=

2 5

(5 −

,

9−

2 5

(5

5)

5 ) , se tiene:


π(

4

x=9

3 2 4 − 3h 2 )

dA

 = π −9 −

dh

Entonces, h=

h=9

Al analizar

Al derivar respecto a h:

dh

    

  h2 = π −h − + 324 − h 2    324 − h 2

h2

81 = r 2 +

 h 324 − h 2 h2 = 2 π − + −  2 4 324 − h 2 2   4

324 =6 3 3



 2 + 324 − (9 )  =1.392 π = + 324 − (9 )  ( 9)2

2


x =1 Al analizar

h=

6

3, se tiene:

dA dh


= −1.714 π= −

x = 10 dV dh

2

= 3−2 4 3 (1 0=) =2+4

En


dh

h=9

2 5

(5 −

5 ) se tiene un máximo cuyo valor es:

  2 2   (5 − 5 )   324 − 9  5    A = 2π    4

x =1 dV

  (10)2 = π −10 − + 324 − (10 )2  2   324 −(10 )

)2 − = = 3 2 4− 3 (1 1= 3 9−

 

324 − 9 En

h=

6 3 se tiene un máximo cuyo valor es:

+ 2π 3 2 4 −6( 3 V =π 4

2

)

(6

3

) =3 24

2 5

(5 −

4

2  

5 )

 2 ( ) 9 5 5 − 5 

= 262.12 π π3 Cuando

Cuando h = 6 3 se tiene un máximo de 3 2 4π 3 .

32 1

h=9

2 5

(5 −

5 ) se tiene un máximo de 262.12 .


c) Cono recto circunscrito de volumen mínimo.

Un valor un poco mayor x =1

a

dV dy

1  8 1(2 8 − 2 7 )(2 8 +9 ) 999  = = π  π=+  361 3  ( 28 − 9)2

En y  27 se tiene un mínimo cuyo valor es: e 2

1 8 1(9 + 2 7 ) V= π = 1944π 3 27 − 9

d

c

b

Cuando y  27 se tiene un mínimo de 1944 . Por lo tanto, la altura es:

Sea bc  x y ad  y.

h  y  r  27  9  36

El volumen del cono es:

1 3

π V = rh

2 24. Determina el punto de la curva 2 y  x más cercano del punto A4,1 .

1 3

2

= xy π

2(

y

+ 9)

Como los triángulos aed y abc son semejantes, se tiene:

x

9

=

x=

4

y+9 2

y 2 − 81

A

9 y + 81 y 2 − 81

−2

2

x

4

Entonces,

2

V=

2

1  9 y + 81  1 81( 9 + y) π  ( y + 9) = π 3  y 2 − 81  3 y−9

La distancia entre dos puntos es: 2

d = x( x− 2 +) y 1( y−

)

2 2

1

Al derivar respecto a y: Al sustituir el valor del punto y el valor de y para cualquier punto

1 1 6 2− y )9+ ( y +9)( − ( 81 ) 9y = π  dy 3  ( y − 9)2

dV

1  8 1( y −2 7)( y + )9 = π  3  ( y − 9)2

2

de la parábola se tiene:

  

  

d = (− x



2

x 2 4 ) −  + 2

2 

1 = 1 7 8 − x+

y = 27 y − 9

Al derivar respecto a x: Al analizar

y  27, se tiene:

dd dx

=

−8 + x 3 x4

17 − 8x + 4

Un valor un poco menor x = 26

Entonces,

1  8 1(2 6 −2 7 )(2 6 +9 ) 945  = − = π  π= −  3  289 dy ( 26 − 9)2

dV

32 2

x2

x4

4


El tiempo empleado es:

Al analizar x  2, se tiene: Un valor un poco menor x =1 dd dx

El espacio que ha de recorrer andando por la costa es: 3 −8 + (1)

=

64 + x 2 3

t1 =

17 − 8x +

7

=−

x4

=−

CB  9  x

37

4 El tiempo empleado es:

Un valor un poco mayor t2 = 9 − x

6

x=3 dd dx

2 (− 1)

=

3

( 1) − 7−

2 )1 1 6 −7 −(1) +(−

4

=

19 53

Para el tiempo total se tiene:

=+

64 + x 2

t = t1 + t 2 =

3


+

9− x 6


( 2)4

d = 1− 7 +8 (2 ) =

y=

( 2)2 2

4

5

dt dx

=2

x

3 64 + x 2 x2

Por lo tanto, el punto más próximo al punto A es (2,2).

9 ( 64 + x 2 ) 25. Una persona sobre un bote de remos está situado en un punto

= =

x

3 64 + x 2

−

1 6

1 6 1 36

4 x 2 = 64 + x 2

M a una distancia de 8 km de un punto de A la costa (rectilínea) y desea llegar a un punto B de la costa a 9 km de A en el menor tiempo posible. Determina el camino que debe seguir si se sabe que puede remar a una velocidad 3 km h de y andar a una velocidad de 6 kmh.

3x 2 = 64 x=

Al analizar x = M

=

8 3

8 3

, se tiene:

Un valor un poco menor x=4 dt dx

8

=

4 3 6 4 +4

2

= −17.5= −

Un valor un poco mayor x=5 A

x

C

9−x

B

dt dx

=

5 3 6 4 +5

2

= 0.009 = +

8

Sea C el punto situado entre A y B al que se dirige el hombre y llamemos x a las distancia AC.

En x =

El espacio que ha de recorrer en bote es:

Por lo tanto, la persona tiene que remar al punto que está a 8 una distancia de del punto A para minimizar su tiempo 3 de recorrido.

MC = 64 + x 2

32 3

3 se tiene un mínimo.


26. Determina las dimensiones del cono recto circular de volumen

En y  12 se tiene un mínimo cuyo valor es:

mínimo que se puede circunscribir a una esfera de 8 pulg de 2

1 1 6(4 +1 2 ) V= π = 170.6 π 3 12 − 4

diámetro. Sea bc  x y ad  y.

Cuando y  12 se tiene un mínimo de 1944 .

a

Por lo tanto,

h  y  r  12  4  16 e

El radio del cono es:

d

x=

4 1(2 ) +1 6

(1 2)2 −1 6

c

b

=4 2

27. Se quiere apuntalar la pared de un edi cio por medio de una viga apoyada sobre una pared paralela de 15 m de altura, situada a El volumen del cono es:

12 m una distancia de la primera; determina la longitud L de la viga más corta que se pueda emplear.

1 3

V = rh π

1 3

2

= xy π

2(

+ 4)

La ecuación que nos indica el tamaño de la viga es:

Como los triángulos y son semejantes, se tiene: x

4

y+ 4

=

x=

2

 15  ) x (  )+ 12 + x y = (12 +  x

y 2 − 16


4 y + 16 y 2 − 16

dy dx

=

Entonces, 2

V=

2

2 1  4 y + 16  1 16( 4 + y) π   ( y + 4) = π 3  y 2 − 16  3 y−4

=

Al derivar respecto a y:

1 2 )y + 4 1 1(6 y − )( = π  2 3  dy ( y + 4)

dV

=

  

( + x )  d  225 12   (12 + x )2 +  x2 2

1 2  15 ) x (  )+ 12 + x (12 + x

2

dx 

4 5(0 )1(2) + x 4 5 0 1 2 2 (12 + x ) + − 2 x

+x

2

x3

2 15 (12 + ) x (  )+ 12 + x  x

2

2 (1 2 + x )(−2 7 0 0 + x 3 ) 2 x 2 (1 2 + x) (2 2 5 + x 2 )

x1 = 12 x 2 = 13.92

y = 12 y − 4

Al analizar y  12, se tiene:

Al analizar y  13.92, se tiene:



x = 11

1 1 6(1 1 −1 2 )(11 + 4 ) 16  = − π= − = π  2  3  45 dy 3(1 1 + 4 )

dV

dy dx


2 (1 2 +1 3 )(−27 0 0 + (1 3 )

3

=

)(1 3

2

(1 2 +1 3 ))2((2 2 5 +1 3

) )

2

= −0.29= −

Un valor un poco mayor x = 14

x =1

1 1 6(1 3 −1 2 )(13 + 4 ) 16 = π   = π = + 2  51 3  dy 3(1 3 + 4 )

dy

dV

dx

32 4

=

3 2 (1 2 +1 4 )(−27 0 0 + (1 4 ) )

)(1 4

2

(1 2 +1 4 ))2((2 2 5 +1 4

)

2

= 0.021 = +



En y  13.92 se tiene un mínimo cuyo valor es:

x=

2

 

15 

( ) (+ ) .9 2 y = 12 13 

 + 12 + 13 .9 2 13.92

2

dV dr

Cuando y  13.92 se tiene un mínimo en 38.1. 28. En un cono circular recto r, se inscribe un cilindro circular recto;

=

R

3

 R   R  H π  2 R − 3   3 

 3 

R

 R = H π   = +  3


hallar el determina R del cilindro para que;

x=R dV = H π ( )R (2 R − ( ) 3 R ) = −H π  R  = −  3  dr R

a) Su volumen sea máx imo.

B

En r =

H−h D

r

2R 3


 2 R   4  2 R 2   H 1 − 3  = π R 2 H  3  R  27

C

V = πr 2 h = π  h

Cuando r = O

R

2R 4 π R2 H . se tieneun mínimo de 3 27

A

Así,

2 R    H  h = H 1 − 3  =  R  3

Sea r y h la altura y radio del cilindro, de acuerdo a la gura se tiene:

b) Su área lateral sea máxima H −h

r R=

El área lateral del cilindro es:

H

A  2rh

Entonces, Del inciso anterior

 

h = H 1 −

r 



 

R 

A = 2 πrH 1−

El volumen del cilindro es:

2

dA

1 − r   R 

dr

dr

2 π H ( R − 2r ) R

r=

H πr ( 2 R − 3r ) R

Al analizar Por lo tanto,

r=

1 2

1 2

R

R , se tiene:

Un valor un poco menor r=

Al analizar

=

Entonces,


=




V =π rh 2 r=H π

dV

r 

R 

r=

2R 3

x=

2R , se tiene: 3

dA dr

32 5

=

R

3

 

2 π H  R − R

2 R   3  = H π  1  = +   3



En

h = 12

2 se tiene un máximo con valor:

x= R dA dr

En r =

R

2 π H ( R − 2 R)

=

R

A = 2 π1( 2 2

= H= − 2 π H =−

r = 144 −


2

A=

2π R

Cuando r =

2

2

se tiene un mínimo de

2

2

(12

2) 4

= 288π

2

(12

2) 4

=6 2

cilindro circular

recto que se puede inscribir en un cono circular con un radio de



2 R

1 44 −

30. Determina las dimensiones del volumen del

 1  π RH H 1 −  = 

)

5 cm y una altura de 12 cm.

π RH

2

.

Del ejercicio 28 inciso A se tiene:

29. Determina las dimensiones del cilindro circular recto de área

V=

lateral máxima que se puede inscribir en una esfera de 12 cm

4 27

π R2 H

de radio. Al sustituir:

Del ejercicio 23 se tiene que:

144 = r 2 +

h2

4 400 2 ) π ( 5) ( 12 π 27 9

V=

4

El área lateral de un cilindro es:

II. Aplica el primer método paracalcular máximos ymínimos, en problemas de economía.

A  2rh

1. Un fabricante puede tener una utilidad de 40

Entonces,

dólares en cada

artículo si se producen semanalmente más de 1 600 artículos; la A = 2 πh 1 4 4 −

h2

utilidad decrece 4 centavos por artículo que sobrepase los 1 600,

4

¿cuántos artículos deben fabricarse a la semana para obtener la utilidad máxima?

Al derivar respecto a h: dA dh

= 2π 144 −

h2

4

2 πh

+

2 14 4 −

4 (x − 1 600 ) x 100

P = 40 x −

 h  2 π (−2 8 8 + h 2 ) −  = − h2  2  576 − h 2

dP

4

dx

= 40 +

1 600 − x x 2x − = 10 04 − 25 25 25

x = 1 300

Entonces, h = 12

Al analizar

h = 12

Al analizar x  1 300, se tiene

2

2, se tiene:



x = 1 299

h = 16 dA dh

=−

dP

( 6 )2 ) 2 π (−2 8 8 + 1 2 5 7 6 − (1 6)

=

8π 5

dx

Un valor un poco mayor x = 1 299

h = 17

dh

=−

2 (1 299) 2 = =+ 25 25

=+


dA

= 104 −

dP

( 7 )2 ) 2 π (−2 8 8 + 1 2

5 7 6 − (1 7)

=−

2π

dx

= 104 −

2 (1 301) 2 =− =− 25 25

=−

287

Entonces en x  1300 se tiene un máximo.

32 6


2. El costo de combustible que consume una locomotora es pro-

3. Una entidad bancaria tiene las siguientes tarifas: 30 pesos por

porcional al cuadrado de la velocidad y vale 3 200 pesos por

cada mil para operaciones de hasta 50 000 pesos; para la can-

hora cuando la velocidad es de 80 kmh, independientemente

tidad que sobrepase esta tarifa, disminuye la tasa anterior en

de la velocidad, el costo por hora se incrementa, por las causas

0.375 pesos por cada mil; hallar la operación máxima óptima

en 7 200 pesos por hora. Calcula la velocidad a la que debe ir la

de manera que el bene cio de banco sea máximo.

locomotora para que el costo por kilómetro sea mínimo.

 

0 . 3 7 5 ( x −5 000 0 )   1000

P = ( x − 5000 0)  30−

Sea v la velocidad y C el costo total por km de tal forma que:

=−( x

500−00)( 3 0 +0. 00 03 75x

18 .7 )5

El costo de combustible por hora es Kv2, K una constante que se

= ( x − 50000 )(48.7 5− 0. 000 375x )

puede determinar, es decir:

= 4 8.−7 5−x

v = 80 2 kv 2 = 3 2 0k0 = (8 0 ) k=6 4 0 0

Cuando k =

243 75 0 0+ 0 . 0 00 3 75x 2

= −0 . 00 0 37 5+ x2

− 6 7 .5x

1 8 .7x5

243 75 0 0

Al derivar respecto a x: dP

1 , se tiene: 2

dx

= −0. 00 07 5x + 67 .5

Al analizar x  90 000, se tiene : C=

costo velocidad

=

v 2 + 7 200 v

=v+

7 200 v



dP dC dv

= 1−

dx

7 200

= −0. 00 07 5( 8999+9) =67 .5 = + 0. 00 07

v2

Un valor un poco mayor Entonces, x = 90001 dP

v =60 2 km /h

dx

Al analizar v = 60 2 , se tiene:

4. El costo total de producción de x unidades diarias de un producto



= 1−

7200

1

(84)2

49



2

x es de  + 3 5 x +2 5  dólares y el precio de venta de una de 4   x ellas es de 50 −  dólares. Hallar el número de unidades que   2 se deben vender diariamente para que el beneficio sea máximo.

v = 84

dv

=0.−00 07

Siendo x  90 000 un máximo.


dC

= −0. 00 07 5( 900 01 +) =67−.5

=− = −


El bene cio de la venta de x unidades diarias es:

v = 17

 1  1 P x= 50x − x  −x 

dC = − 1 7200 = (85)2 dv

2  4

2

 + 2 5 + 3 5  

=1+ 289

Al derivar respecto a x: Así, v = 60 2 un mínimo, por lo tanto, esta es la velocidad

dP

más económica.

dx

32 7

= 15 −

3x =0 2


Por lo tanto,

Entonces,

x  10

25312.5 = 129km h 1.5

x=


Entonces el autobús debe viajar a una velocidad de 100 km/h.


7. Una compañía puede vender x calculadoras por semana si cobra

x = 84 dC dv

= 15−

3(11)

63

2

2

100  0.1 x dólares por calculadora; su coste de producción es

= =+

30x  500 dólares cuando se producen x calculadoras por semana, ¿cuántas calculadoras se deberán producir para maximizar


la utilidad y cuál sería el precio de venta por calculadora? El bene cio de la venta de x calculadoras es:

x = 17

3(13) 9 = 15− =− =− 2 2 dv

dC

Px= (1 0 −0x−x 0 . 1 )+ (3 0

50 )

2 − 70 x 50 = −0 . 1x+

Entonces x  10 es un máximo. Al derivar respecto a x: Por lo tanto, deben venderse 10 unidades para obtener un bene cio máximo.

dP

5. Un fabricante vende cada una de sus radiograbadoras en 90 dólares; el costo de fabricación y venta de x aparatos por semana es C  2000  15x  0.0010x2, ¿si se pueden produc ir 12 000

dx

= −0 . 2x + 7 0

Entonces,

radiograbadoras por semana, cuántos aparatos deben fabricarse

x  350

y venderse para que la utilidad semanal sea máxima? P= x 9 0−

20 − −x 1 x5 =0 . 0−0 1 2x− 7 5 x 00

20 0 0 0 . 0 0 1

2

Al analizar x  350, se tiene: Un valor un poco menor

Al derivar respecto a x: dP dx

x = 349

= 75 − 0. 00 2x

dP dx

1 ) = 70 = + = −0 . 2( 34 9+ 5

Entonces, Un valor un poco mayor

x  37500

x = 17

Si no existieran restricciones de producción se venderían 37 500 grabadoras.

dP dx

Al analizar bene cio, se observa que es creciente en todo punto, por lo tanto, si se fabrican y venden 12 000 unidades, estos valores darían la máxima utilidad.

Azul, Veracruz es de 675 km.Al conductor del autobús se le paga 37.50 pesos la hora, mientras que los costos para llevar al autobús a una velocidad estable de x kilómetros por hora haciende a 270  1.5 x centavos por kilómetro; las velocidades mínima y máxima legales en la ruta del autobús son 80 y 100 kmh, ¿a qué velocidad ja se debe conducirel autobús para que el coste total sea mínimo?

Entonces x  350 es un máximo y es la cantidad que se deben

8. Un viaje turístico cuesta por persona 250 dólares para cualquier número de turistas por arriba de 100; el viaje se cancela si hay menos de 50 turistas; sin embargo, por cada turista por arriba de 100, el precio por persona disminuye un dólar; el número máximo de turistas es de 255, ¿cuántos turistas producirán el máximo ingreso? El ingreso total está de nido por:

 675 CT = 37.50  + 27 0 + 1. 5x  x  dx

5

de producir, las cuales tendrán un precio de 65 dólares.

6. La distancia en autobús desde Reynosa, Tamaulipas hasta Cerro

dCT

1

) 70 = −0 . 2( 3 5 1+ =− =−

=−

25312.5 x2

I T = (1 0 0 + x)(2 5 0 − x) dI T

+ 1.5

dx

32 8

0 + = −(1 0 + x ) (2−5 0= x)− 1 5 0 2 x


40. Una empresa estima que el coste para producir x unidades de un

Entonces,

cierto producto viene dado por C  800  0.4 x  0.0002 x2 dólares; determina el nivel de producción que minimiza el coste

x  75

medio por unidad; compara este costo medio mínimo con el costo medio cuando se producen 400 unidades.


La función de coste medio es:


C=

8 0 0 +0 . 4 x + 0 . 0 0 0 2x 2

dI T

=

x

x = 74

8 00 x

+ 0. 4 + 0. 00 02x


0 2 (7 = 4 )= 2+ = 1 5−

dx

dC dx


=−

800 x2

+ 0.0002

Entonces x  2 000

x = 76 Al analizar x  2 000, se tiene:

dI T

= 1 5 0− 2 (7 6=) − = 2−

dx


Por lo tanto, el máximo ingreso se producirá con 175 turistas.

x = 1999 dC

9. A una compañía le cuesta 0.1 x2  4 x  3 dólares producir “x”

dx

=−

800

0−7 + 0 . 0 0=0 2−× 2 =1− (1999)2

toneladas de cemento; si se producen más de 10 toneladas, la mano de obra adicional eleva el coste 2x  10 en dólares. Si el precio por tonelada es de 9 dólares, sin importar el nivel de producción y si la capacidad máxima de producción es de 20 toneladas, ¿qué producción maximizaría la utilidad?

)7 3 4 − 3 −2 = P= x 9 −x x0 . 1 −2 x− x( 1 0+ x 1 −

0 .1

Un valor un poco mayor x = 2001 dC dx

=−

800

+ 0. 00 =02× 1. =9 +10−7 (2001)2

2

Entonces x  2000 es un mínimo cuyo valor es:

80 0 +0. 4 (20)00 + 0.(00)02 20 00 2 C= = 1.2 2000

Al derivar respecto a x: dP dx

= −0 . 2 x + 3

Al analizar para x  400, se tiene:

( )02 40 0 80 0 +0. 4 (40) 0 +0. 00 C= 400

Entonces,

x  15

2

= 2.48

Resulta que para x  400 se tiene el doble del costo medio comparado con x  2000.


11. Un comerciante, en la promoción de cierto artículo descubre que


la demanda del artículo se presenta por: x = 14 dP dx

x=

1 ) =3 = + = −0 . 2(1 4+ 5

2500 p2

Suponiendo que el ingreso total R está dado por R  xp y que el coste de producción de x artículos está dado por


C  0 .5 x  500, determina el precio por unidad que da un bene cio máximo.

x = 76 dP dx

1

El bene cio de vender una cantidad x de artículos es (se usará B

5

para no confundir con la literal p que está inmerso en los datos

= −0 . 2(1 6)+ = 3 − =−

dados la cual es el precio del artículo) Por lo tanto, el máximo ingreso se producirá con 15 toneladas.

32 9

B  xp  0.5x  500


Como:

Entonces p  1 es un máximo. x=

2500

Por lo tanto, el precio p  1 de es el que maximiza el bene cio

p2

máximo. 12. Una empresa publicitaria gasta x cantidad en cientos de dólares y sea P el bene cio, es decir:

Entonces,

B=

250 0 p

12 50

−

p2

+ 500 P = 23 0 + 20 x −

dp

2

, ¿qué cantidad de publicidad da el bene cio

máximo?

Al derivar respecto a p: dB

x2

250 0

=−

2

p

+


2500 3

p

dP dx

= 20 − x

p1 x  20 Al analizar P  1, se tiene:



p= dB

1

x = 19

2

dP

=−

dp


2500

 1 2    2

+

2500

dx

= 10000 = +

 1 3    2

Un valor un poco mayor x = 21


dP p=

= 2 0− 1 9= =1 +

3

dx

= 2 0−2 1= − 1= −

2 dB

=−

dp

2500

 3 2    2

+

2500

 3 3    2

=−

10000 27

Entonces x  20 es un máximo.

=−

Por lo tanto, la empresa debe gastar 2000 dólares para que el bene cio sea máximo.

EJERCICIO 24 I. Demuestra los siguientes límites que presentan las formas      0   ∞

indeterminadas 0 ,  ∞,0 ( )(,∞) ( ∞−∞ ,0),

lim

aplicando la regla de L’Hopital. 1. lim x →2

x2 − 4 x−2

Al aplicar nuevamente la regla:

( )0∞( ) 0 , y (1) x →0

2cos2 x sen x sen2 xcos x

= lim x →0

=

=4

lim x →2

x2 − 4 x−2

= lim

2x

x →2

1

=

2 ( 2) 1

=4

2 cos 2 xcos x − 4 sen

2 cos 0 cos 0 −4 sen 0 sen 0 2 cos 0 cos 0 −sen 0 sen 0

x→ π 2

limsec x − tan x =lim

x→ π 2

x→ π 2

2cos 2 x lim

ln sen 2 x ln sen x

2cos2 x sen x 0 = lim sen 2 x = lim = x →0

cos x

x →0

sen 2 x cos x

=1

3. lim sec x −tan x =0

2. lim ln sen 2 x = 1 x → 0 ln sen x

x →0

sen x 2

0

sen x

33 0

x

2 cos x cos 2 x −sen xsen 2 x

1 − sen x cos x = lim − cos x sen x x→ π

cos

=− sen

2

π 0 2= − = π 1 2

0


2 ) x= 4. limπ (π −2 xtan x→

2

lim ( π − 2 x ) tan x =lim

x→ π 2

x→ π 2

(π − 2 x ) sen x −2 sen x + (π − 2 x) cos x = lim cos x −sen x x→ π 2

−2 sen =

π

+ (π − π ) cos

2

−sen

5. lim

sen 2 x

x

x →0

π

π 2 =− 2 = 2 −1

2

=2

lim

sen 2 x

x

x →0

= lim

2cos2 x

= 2cos0 = 2

1

x →0

 1 x  − 6. lim   = −1  x →1  ln x ln x   1 1 − x  x  lim  −  = lim   = lim x1 x →1  ln → x1  x x →1  ln x ln →

7. lim x →1

x 3 − 3x + 2 x 3 − x2 − x + 1

lim x →1

=

 −1  lim =  1  x   x

( = − x)1−

3 2

x 3 − 3x + 2 x 3 − x2 − x + 1

= lim x →1

3x 2 − 3 3x 2 − 2 x − 1

= lim x →1

6x 6x − 2

=

6 4

=

3 2

 z 1  1 − 8. lim  =  ln z  2 z →1  z − 1   z  ln z + − 1  z ln z − z + 1  = lim z lim  = lim     z−  ( z − 1)→ ln1 z  z →1 ln z →1  → 11  z  z +   z 

 ln z  = lim   1  z  ln z + 1 −   z

 1     z   1 1   + 2  z z

 z  1 = lim   = 2 z →1  z + 1

9. lim x →1

ln x

x −1

=1 1 lim x →1

ln x

x −1

1 = lim x = lim = 1 x →1

1

x →1

x

 1 1 1 −  =  sen 2 x x 2  3

10. lim  x→ 0

 1 1 −  = lim  sen 2 x x 2  x → 0

lim 

x→0

 x 2 − sen 2 x  ( x − en s )(x xsen +)  2 2  = lim   x sen x  x → 0  x 2sen 2 x

 x − sen x  x + sen x  = lim  2   x → 0  x sen x  sen x 

33 1

x 

 


Al analizar el producto por separado, se tiene:

 1 cos    x − sen x  − x sen x  = lim   = lim   x 2sen x  x → 0  2 x sen x + x 2cos x  x → 0  2 sen x +4 cos x x − sen x2

lim 

x →0

 cos x = lim  2 6 xsen x → 0  6 cos x − x cos x −

 

x 

 = 1

x 

6

 x + sen x  1 +cos x   = lim  = 2  sen x  x → 0  cos x 

lim 

x→0

Entonces,

 1 1 1 1 −  = (2 )  =  sen 2 x x 2  6 3

lim 

x →0

11. lim x→4

x 2 − 16

=

x 2 + x − 20

8 9

lim x→ 4

tan x

12. limπ (sen x ) x→

x 2 − 16 x 2 + x − 20

= lim x→ 4

2x 2x +1

=

2( 4) 2 ( 4) + 1

=

8 9

=1

2

Al emplear logaritmos se tiene:

(sen x )tan x =tan ln x sen x

ln y = ln

lim ln y = lim tan ln x sen x lim = x→

π 2

x→

π

x→

2

π 2

cos x cos x lnsen x l = im sen x = lim sen x = lim − sen xcos x = 0 2 2 π π π cotx x→ − csc x x → − csc x x→ 2

2

2

Al sustituir este valor en el límite del log aritmo natural, se tiene:

tanx

lim ln y =0, es decir, lim sen ( x→

13. lim x→0

x − arcsen x sen 3 x

=−

π 2

= e01=

1 6

x − arcsen x xlim →0

x)

x→ π 2

sen3 x

1

1−

−

x 3

(1 − x 2 )2 1− x2 = xlim → 0 3 sen 2 x cos x = xlim → 0 6 sen xcos 2 x −3 sen

−1 − 2 x 2 5

= lim x →0

(1 − x 2 )2 1 =− 6c os x −21cos xsen 2 x 6 3

33 2

3x


1

14. lim (e x + x )x = e2 x →0

Al emplear logaritmos se tiene: ln y =ln +(e x )=x

1 x

1

( + )ln e x

) x limln y =limln (+e x= x →0 →

→

0

x

x

x

1 x

1 lim ( +=) ln e x → x 0 x

ex + 1

lim

x

x

0

ex + x

=2

Al sustituir este valor en el límite del logaritmo natural, se tiene: 1

lim ln y = 2, esde cir, lim (e x + x ) x = e2 x →0

15. limπ x→

4

sec 2 x − 2 tan x 1 + cos 4 x

lim x→

=

1 2

sec 2 x − 2 tan x 1 + cos 4 x

π

x →0

= lim x→

4

1

16. lim x 1−x = x →1

−4 sen 4 x

4

= lim x→

2 sec 2 ta x an x − 2 sec2 x

π

4 sec2 x tan 2 x + 2 sec 4 x − 4sec

2

x tan x

−16 cos 4 x

π

=

8 16

=

4

1 e

Al emplear logaritmos se tiene: 1 ln x ln y =ln ( x )(1−x) = 1 − x

1 ln x

1

lim ln y =lim ln ( x)(1− x) lim = x →1

x →1

x →1

1− x

1 = lim x = lim− = − 1 x x →1 −1 x →1


lim ln y = − 1 , es decir, lim ( x )(1−x) = e−1 = x →1

17. lim x→

π

tan 3 x tan x

=

x →1

1 e

1 3

2

lim x→

π 2

tan 3 x tan x

sen 3 x  cos x  = lim    π  cos3 x   senx  x→ 2

sen 3 x  cos x  = lim    π  sen x   cos3 x  x→ 2

 sen 3 x   cos x  lim  lim  =  x → π  sen x  x → π  cos3 x  2 2  cos x  = − lim   = − limπ π  cos3 x   x→ x→ 2

2

 π    −sen  −senx  2  = 1   = − −3sen 3 x  −3sen 3π  3   2 

33 3

1 2


1

18. lim (1 +5 x ) x = e5 x→0

Al emplear logaritmos se tiene: ln (1 + 5 x )

1

ln y =ln (1 + 5 x ) x =

x

5 1

lim ln y = lim ln (1 + 5 x) x = lim x→0

x→ 0

ln (1 + 5 x ) x

x →0

= lim 1 + 5 x =lim 1

x→ 0

x→ 0

5 1+ 5x

=5


lim ln y =5 , es decir, lim (1 +5 x ) x = e5 x →0

x →0

19. lim x ln sen x =0 x →0

cos x 2 ln senx nx = lim− x cos x = lim sen 1 1 sen x x →0 x →0 x→ 0

lim x ln senx =lim x→ 0

−

x

= lim−

2cos x

x →0

x2

x −s x 2 sen x cos x

0

=− = 0 1

x

 a 20. lim 1 +  = ea x x →∞ Al emplear logaritmos se tiene:

x



a ln y =ln 1 +  =lnx  x

 a 1 +  x −

x



a lim ln y = lim ln 1 +  = lim lnx  x  →∞x x →∞ → x∞

  a ln 1 +  1 +    x x 1 + a  = lim  = lim   1 1 x  x→∞ x →∞ − 2 x

ax

= lim x→∞

a+x

a x2 a 

x

= lim a = a x →∞

Al sustituir este valor en el límite del log aritmo natural, se tiene: x

 a lim ln y = a, es decir, lim 1 +   x x →∞ 

x →∞

21. lim x sen x →∞

4

x

=4

lim x sen x →∞

4

x

 4  4 4 −  cos x x = lim  x 2  =lim 4 cos 1 →∞ x 1 − 2 →∞ x x x

sen

= lim →∞ x

33 4

4

x

= 4c os0 = 4


 ln x 1  − 22. lim   = 0  x x →∞  x

 ln x 1  = lim  x − x →∞ x

lim 

x →∞

   −1 + ln x + 1  2 x x  = lim   x→∞  x  3   2

 x ln x − x   = lim   x x→∞  x

2 −2  

 1 1 +  − x x  = 0 = 0 = lim   3 3 x →∞ 

23. lim x→

π 2

csc 6 x csc 2 x

=

1 3

1 lim

x→ π 2

csc 6 x csc 2 x

sen 2 x 2 cos 2 x 2 1 = lim sen 6 x =l im =lim = = x→ π 2

1

sen 6 x

x→ π 2

sen 2 x

x→ π 2

6 cos 6 x

6

3

24. lim x x =1 x →0

Al emplear logaritmos, se tiene: ln y = l n x x = ln x

x

1 ln x

lim ln y =lim = ln x x lim= l nx =x lim x →0

→0 x

→0

0x →

0 →

1 x

x→

x

lim

lim =

− 12

x

x

− x0= 0

x

Al sustituir este valor en el límite del logaritmo natural, se tiene: lim ln y =0 , es decir, lim x x = e0 = 1 x→0

x →0

25. lim xc sc x =1 x →0

lim xc sc x =lim

26. limπ x→

2

sec2 x sec 23 x

x

x → 0 sen

x →0

x

= lim x →0

1 cos x

=1

=9

1 sec2 x

lim

x→

2

2

cos 23 x

lim cos x = lim lim sec 23→x = x → → 1 cos2 x = x x 2 2 2 2

cos 3 x

= lim

x→ π 2

−9 sen 32 x + 9c os 32 x =9 cos 2 x −sen 2 x

33 5

3cos 3 x sen 3 x cos x sen x

x+ ln( ) x  3x

 


27. lim x →∞

e x + 3x 3

4e x + 2 x 2

e x + 3x 3

lim

x →∞ 4 e

x

1

=

+ 2x 2

4

= lim →∞ x

ex + 9x 2

= lim

4e x + 4 x→∞

x

e x + 18 x

4e x + 4 →∞

= lim

e x + 18

x

4e →∞

= lim

x

→∞ x

ex

4e x

= lim x

1 4

=

1 4

28. lim (1 + x )cot x = e x →0


cot x ( ln ) x1 ln y =ln+ 1( ) = x cot+

limln y =limln + 1 ( ) =x x →0 →

x

0

cot x

→

x

−sen x ln (1 + x ) +

cos x (= ) lim + ln 1 x→ 0 sen x

lim

x

x

cos x 1+ x

cos x

0

=1

Al sustituir este valor en el límite del log aritmo natural, se tiene: cot x lim ln y =1 , es decir, lim (1 + x ) = e1 x→ 0

x →0

4  2 1 29. lim  −  2 1 −cos x  = − 3 x →0  x

 4 sen x4− x  − os x 2− x 2  4 2   = lim 4 4c  = lim  −  2  x 2 1 −cos x  x → 0  x 2 (1 −cos x  ) x  ( x → 0)  2 x 1 −co s x + xsen

lim 

x →0

4c os 42x − = lim  + x4 sen x x →0   2 (1 −cos+ x ) + xcos

 4− sen x = lim  x2 x → 0  6 xcos x +6 sen x − sen

x2 + 2

x →∞

x

 

x 

 −4cos x = lim  2 8 xsen x → 0  12c os x − x cos x −

30. lim



x 

 = − 4 = − 1

x 

12

3

=1

lim x →∞

x2 + 2 x

= lim x →∞

x2

2

x

x 2→∞

+2 =

+lim = 1 x

2

x2

1

II. Aplicando la regla de L’Hopital, determina los siguientes límites que presentan las formas  0  ∞ , −∞) ( 0 0 ) , (∞)0 (y) 1∞ . indeterminadas  ,  ,  ( 0,)(∞ ) (0∞  0  ∞

2 1. lim x x x →∞ e

lim x →∞

x2 ex

= lim →∞ x

2x ex

= lim →∞ x

2 ex

33 6

=0


2. lim x →0

tan x 6. limπ (se n x −cos x )

ex −1

x→

tan 2 x

2

Al emplear logaritmos se tiene: ex −1 cos 2 x (e x 1− ) = lim sen 2 x x → 0 sen 2 x x →0

lim

( − x cos )= x tan ( x) tan ln y =ln sen − lnxsen

cos2 x x (e x 1

− )+

2sen 2

= lim

cos ex 2

x

2cos 2 x

x →0

=

cos x

x

cos x +sen x

1

( lim ln y = lim tan lxn sen

2

x→ π 2

cos lim

= x → π2

1

3. lim x x

2

( xcos x+ sen

sen x −cos x sec2 x

x) = lim

x cos −

x→ π 2

x→ π 2

x)

− cos x +sen x

0

=

x →∞

Al sustituir este valor en el límite del logaritmo natural, se tiene: Al emplear logaritmos se tiene: tan x

( lim ln y =0 , es decir, lim sen xc−os

1 xx

ln y =ln

lim ln y = lim x →∞

=

x)

x→ π 2

= e01=

x

ln x

= lim

x

→∞ x

x→ π 2

ln x

→∞ x

1 x

ln x

7. lim ( x +1 )

=0

x →0

Al emplear logaritmos se tiene: Al sustituir este valor en el límite del logaritmo natural, se tiene: ln x

( x )1 = ln y =ln + 1 xx

lim ln y =0 , es decir, lim x →∞

=

e0

= 1

ln (ln + )x 1 x

lim ln y =lim ln ln 1 )= lim x (x +

x →∞

x→0

x →0

x →0

ln ( x + 1) 1 ln x

4. lim

1

ln x

x ln 2 x = lim x + 1 = lim 1 x →0 x →0 x + 1

x

x →∞

lim

ln x

x

x →∞

= lim

2

x

→∞ x

x ln 2 x

=0

2 ln x

= lim x →0

5. lim (cos x →0

ln 2 x = lim x + 1 x→0 x

1 x )x2

= lim − x →0

−

2 ln x = − lim 1 x →0 x


x =lim −2 ln x x 1 x →0 x2

2 ln x 1 x

2 1

ln y = ln (cos x ) x 2 =

lim ln y = lim x →0

x →0

= lim x →0

1 x2

1 x2

− lnc os x = lim

−sen x 2 x cos x

= lim − x =lim 2 x = 0 1 x →0 − 2 x →0

lncos x

x →0

= lim x →0

x

sen x Al sustituir este valor en el límite del logaritmo natural, se tiene:

cos x 2x

− cos x 2cos x −2 xsen x

=−

ln x lim ln y =0 , es decir, lim ( x + 1 ) = e10 =

1

x →0

2

x→ 0

8. limcs c π xln x x →1

Al sustituir este valor en el límite del logaritmo natural, se tiene: 1 1 1 −1 lim ln y = − , es decir, lim (cos x ) x2 = e 2 = 2 x →0 e

x→ 0

33 7

1 limc sc π xln x =lim x →1

ln x

=

x →1 sen

x

x lim = − x →1 cos x

1


Al sustituir este valor en el límite del logaritmo natural, se tiene:

1

9. lim (1 +2 x ) x x →0

lim ln y =0 , es decir, lim x senx = e0 = 1 x→ 0


14. lim x 2 ln x

1

1 x

( = ln y =ln 1 + 2) x

x →0

(+ )ln 1 2 x x

1 2

lim ln y = lim x →0

→0

x

1

→0

→ 0

x


ln x = lim → 0 →1 x 0

2

lim x 2ln x =lim

2 1 + 2x = lim =2 1 1 + 2x x

ln (1 +2 x ) =lim

x

x →0

x →0

→

x

x2

−

x = lim − x = 0 2 2 x 0 x3

x2

 1  15. lim 1 +  2 x  x →∞ 

lim ln y =1 , es decir, lim (1 +2 x) x = e2 x →0

x→ 0

Al emplear logaritmos se tiene: 8x − 2x

10. lim

8 x − 2x

lim

x2

 

ln y =ln 1 +

4x

x →0

4x

x →0

= lim

8 xl n8 −2 lxn2

=

4

x →0

1 4

ln

8 2

=

1 4

1  

2 x 

 1 = x 2 ln 1 +   2x 

 

lim ln y = lim x 2ln 1 +

ln 4

x →∞

→∞ x

 

ln 1 +

1 

 = lim  x 2 x →∞

1 



2 x 

1 x2

−

11. lim arcsen x csc x x →0

lim arcsen x cs c x = lim x →0

= lim

sen x

x →0

x →0

2x2 1

1+

1 arcsen x

1

= lim x →∞

1− x2 =1 cos x

−

2 2 x = lim x =0 2 2 + 4x x →∞ x3

Al sustituir este valor en el límite del logaritmo natural, se tiene: sen x

12. lim



x −π

x →π

lim ln y =0 , es decir, lim 1 + 

x →∞

sen x

lim

x−π

x →π

= lim x →π

cos x 1

= lim2

x − πcos x = 0

x →π

16. lim x →0

2 x−π

lim x →0

x

=sen lnx

x

= lim x →0

→0

cos x x

0 x →

= lim x →0

x − sen 2 x

= lim

1 +2cos2 x

x → 0 1 − 2cos2

x

= −3

tan x − sen x 17. lim sen 3 x x →0 1

→0

x +sen 2 x

x

lim ln y = lim sen xln x =lim x →0

= e0 = 1

x − sen 2 x

x →0

ln y =ln x sen



x +sen 2 x

13. lim x sen x


x →∞

x2

1 

2 x 

ln x csc x

−sen x 1

= lim x

x − csc x tan x

tan x −sen x sec x − 1 sec xtan x lim = lim = lim 2 sen3 x x → 0 sen x x → 0 2cos x sen x

x →0

= lim 1 sec3 x = 1

=0

x →0

33 8

2

2


18. lim x →2

x2 − 4 x2

 π x    4 

21. lim (s ec 5 x −tan x )

tan 

x→ π 2

1 −sen x     cos x 

lim s( ec 5 x −tan x ) =lim

lim x →2

x2 − 4 x2

 π x   = lim  4  x → 2

x→ π 2

πx − 4)sen 4 π x x 2 cos 4

(x 2

tan 

 − cos x  = lim   = 0 x → π  −sen x  2

πx π ( 2 πx 2 x sen + x − 4)cos 4 4 4 =−4 = lim 2 π x π x π x π x →2 2 x cos − sen 4 4 4 2 x sen

πx

= lim

4

x →2

2 x cos

4

4

−

22. lim (1 + x )cot x x →0


π πx + ( x 2 − 4)cos

πx

x→ π 2

4

πx2 4

sen

πx

ln y =ln+ 1( ) = x

cot x

( ln ) 1 cot+ x

x

4

ln (1 + x )

lim ln y =lim cot ln x 1 ( + x ) lim = x →0

x →0

x →0

tan x

1 19. lim x csc 2 x

= lim 1 +2 x = lim

x →0

x

lim x csc 2 x =lim

x → 0 sen

x →0

= lim

2x

x →0

1 2cos2 x

=

x →0

1

1

x → 0 (1

sec x

+ x )sec 2 x

=1

2 Al sustituir este valor en el límite del logaritmo natural, se tiene:



x

2 20. lim cos  x x →∞ 

2

cot x lim ln y =1 , es decir, lim (1 + x ) = e1 x →0

x →0

ln x

23. lim ( x +1 )


x2



2

ln y = ln cos

x 

x →0


 2 = x 2 ln cos x 

 2   lim ln y = lim x 2ln cos  = lim  x →∞ x x →∞ →∞ x

 

ln cos

ln x

( x )1 = ln y =ln +

2 

ln (ln + )x 1 x



x 

lim ln y =lim ln ln x (x + 1 )= lim

1

x→0

x →0

x →0

ln ( x + 1) 1

x2

2 x2

sen

cos x →∞

− −

= lim x →∞

x

2

x 2

= lim

ln x 1

2

= lim

 2    = lim x → x 0

−tan x

→∞ x

 2 tan   x 1

x3

2 x2

sec2 1 x

−

x

x ln 2 x = lim x + 1 = lim 1 x →0 x →0 x + 1 x ln 2 x

2 ln x ln 2 x = lim x →0 x + 1 x→0

= lim

2 2 x = 3 − lim −2sec = x →∞ x

x

2

2

= lim − x →0

2 ln x = − lim 1 x →0 x

Al sustituir este valor en el límite del logaritmo natural, se tiene:

x →∞

x →∞

x2



1 



2 x 

lim ln y = , es decir, lim 1 +

= e−2 =

1 e2

33 9

−

x =lim −2 ln x x 1 x →0 x2

2 ln x 1 x

2 0 = lim − x =lim 2 x = 1 x →0 − 2 x →0 x


Al sustituir este valor en el límite del log aritmo natural, se tiene: ln x lim ln y =0 , es decir, lim ( x + 1 ) = e10 = x →0

24. lim x →0

x→ 0

cot 2 x cot 3 x

lim x →0

cot 2 x cot 3 x

= lim x →0

cos 2 x sen 3 x sen 2 x cos 3 x

= lim x →0

3cos 2 x cos 3 x −sen 2 xsen 3 x 2cos 2 x cos 3 x −3 sen 2 xsen 3 x

=

 1 1 −   log ( x +1 ) x   

25. lim  x →0

 1 1 −  = lim  log ( x +1 ) x  x →0

lim  x→0

 x log − ( x1+ )   = lim  x log ( x +1 )  x→ 0

  log e  1−    x +1    log ( x +1 ) + x log e    x +1  

  log e      1  1 ( x + 1)2   = lim  = = lim  log 1  x→ 0  2 + x  2 e x →0 + log e    x + 1 ( x + 1)2 

EJERCICIO 25 I. Calcula la diferencial para las siguientes funciones para el valor dado de la variable independiente y su incremento. 1. y  3x2  8x  5, cuando x  1 y dx  0.4

4 5

. 4− dy = ( 6x− 8)dx= (− 6 )(8 )0=

2. y =

1

x+

x

cuando, x  4 y dx  0.002

 1  1 1  1  − − ( 0.0 02) = 0. 000 375  dx =   2 x 2 x 3   2 4 2 4 3 

dy = 

3. y  x2 cuando, x  1 y dx  0.25 )(= dy = 2xd x= −2 ( 1 0 . 2 5− )

0 .5

3 4. y  2x cuando, x  2 y dx  0.5

2

2 = 6 ( 0 . 5)− 1 2 dy = 6x dx − (− 2) =

5. y =

1 3

x

dy = −

cuando, x  2 y dx  0.1

1 4

3x 3

=− dx

1 4

( 0=. 1− )

0. 013

3( 2) 3

34 0

3 2


1 − x 2 cuando, x  0.75 y dx  0.001

6. y = x

 

dy = −

x2

1− x 2

2  1− 2x 2 1 − 2 (0. 7 5) ( 0. 00 1) = − 0. 00 01 88 + 1 − x 2  dx = dx =  2 1− x 2 ( ) 1 − 0.75

7. y  tan x cuando, x  45 y dx  0.03528 rad

= sec 2 4 5 (0 . 0 3 5 2 8) = 0 . 1 2 7

dy = se c2xdx

8. y  cos x cuando, x  30 y dx  0.02139 rad (se n−3 )(0

dy = −se nxdx= −

0 .= 0)2 1 3 9

0.01 0695

9. y  arc sen 2x cuando, x  3 y dx  0.045

2

dy =

1 − 4x 2

2

dx =

1 − 36

( 0.045)

10. y  In x2 cuando, x  5 y dx  0.0083

dy =

2 x

dx =

2 5

( 0. 008 3) = 0.0 03 3

II. Resuelve los siguientes probl emas, empleando diferenciales. 1. Un disco metálico se dilata por la acción del calor de manera que su radio aumenta desde 12 a 12.03 cm; determinar el valor aproximado del incremento del área. A = πr 2 r = 12 dA = 2 πr dr dA = 2 π (12)( 0. 0)3 = 2 .2 6 1 9 A = π= r2

(1= π+ 2)

2

. 3893 dA + 4 5 2=

2.2 619

4 54 .651 2

2

A1 = πr 2 = π (12 .0 3) = 45 4. 65 41

2. Si A es el área de un cuadrado de lado 8 cm, determina dA y construye una grá ca correspondiente a dA y A

A = l2 dA = 2ld l = 2 (7 . 8)( 0 . 2) =3 . 1 2 A = 7. 82 =

60 −.8 4= 3. 13

63 .9 6

A1 = 64

34 1


3. Encuentra el volume n aproximado de un tubo de cobre de 35 cm de longitud, 2 cm de diámetro interno y 1.5 mm de espesor.

3.

4

83

Sea y = 4 x la función representativa de

V = 2 πrh dV = 2 πh dr =2 π (3 5) (0 . 3) = 65.9 7 V = 2 πrh += dV

+ 1 0 9 . 9 5=5 6 5 . 0 7 3 1 7 5 . 9 2 7

x  81

Valor próximo al dado que tiene raíz cuarta exacta.

dx  x  2

Incremento de x para tener 83.

4. Determina un valor aproximado del volumen de un a cáscara

y= 4 x

esférica de 300 mm de diámetro externo y 1.5 mm de espesor. dy

V = 4 πr 3

3

2

4 1(−5 0)(= 1) . 5 π 1 3 5 0 0 0 πm m

3

1.

4. 3

x la función representativa de

3

1 1 ( ) = 4 ( 81) 43 2 = 54 4

81 = 3

3.01

1 3

65.

Se elige:

63 1

Sea y =

x 64

dx

1 83 = y+ dy = +3 ≈ 54

4

65

Sea y =

1

= 4 x 43

Si y = 4 x =

III. Aplicando diferenciales, determina los valores para las siguientes expresiones. 3

83.

Se elige:

V1 = 2 π (1. 3)( 3)5 = 1 85 . 8 25

2= dV = 4 πr dr

4

3

la función representativa de

x

1 3

63

.

Valor próximo al dado que tiene raíz cubica

dx  x  1

exacta.

Se elige:


x 64

Valor próximo al dado que tiene raíz cúbica exacta.

y=

3

x

dx  x  1 Incremento de x para tener 63. −2

1

1

1

2

− dy = x d3x = (64) 3 ( 1) =

3 Si y =

3 3

x=

3

1

y

48

=3x 1

dy = −

64 = 4

4

3

2.

1 65 = y+ dy = +4 ≈ 48

4.02

37

1 3

Sea y =


37.

Se elige:

5.

x 36

1

Si y =

63

3

( 1) −4 =

3( 64) 3

=

x

1

dx =−

3x 3 1 3

64

= y+ =dy +

=

1 768

1 4

1 1 ≈ 4 768

0.251

1 50

Valor próximo al dado que tiene raíz cuadrada exacta.

dx  x  1 y=

Sea y =

1 2

Si y =

la función representativa de

x

1 50

.

Se elige:

x

dy =

1


1

dx =

(1) =

x

2

36

x=

36 = 6 1

37 = y+ dy = +6 ≈ 12

x 49

1

Valor próximo al dado que tiene raíz cuadrada exacta.

12

dx  x  1 y=

6.08

dy = −

x

1 3

2x 2

34 2


1

dx =−

1

) =(1−

3

2 ( 49) 2

1 686


1

Si y =

1 50

1

=

x

49

= y+ =dy −

se elige:

1

=

7

x 60

1 1 ≈ 7 686

0.141

dx  x  1  0.0 1745 rad

3 . 2 17 . 81

Incremento de x para tener

y = sen x

78

6.

Valor próximo al dado ya que sen 60° =

Sea y =


co s6 0 (=0 .0 1 7 45 r a d)

dy = cosx=dx °

78.

0 . 00 8 7 2

3 Si y =sen 60 ° = 2

Se elige:

x 81

Valor próximo al dado y que tiene raíz cuadrada exacta.

3 sen 61° = + 2

dx  x  3 Incremento de x para tener 78.

0.00≈ 872

0.87 47 rad

9. cos 44  y= dy =

x

1 2

x

Si y =

1

dx =

x=

2

Sea y  cos x la función representativa de cos 44 .

1 6

−=(− 3) 81

Se elige:

x 4 5

81 = 9

Valor próximo al dado ya que sen 45° =

dx  x  1  0.01745 rad

78 = y+ dy = −9≈

1 6

8.83

4

17 81

2

cos 44° = + 2

Sea y = 4 x la función representativa de 4 17.

se− n 4 5( 0 . 0 1= 7 4 5 r ad)

Valor próximo al dado que tiene raíz cuarta exacta.

dx  x  1

Incremento de x para tener

17 81

0.71 94 rad

Se elige:

x  45

.

Valor próximo al dado ya que tan 45°  1.

dx  x  1  0. 01745 rad

y= 4 x

Incremento de x para tener 46°.

y = tan x

1 3

4x4

dx =

1 3

(1) =

4 (16) 4

1

dy = sec2x dx = se c

32

tan 4 6° = 1 + 0 .0 3 4≈9

Si y = 4 x = 4 16 = 2

1 17 = y+ dy = +2 ≈ 32

2

45 . (0 0 1 7 4 5 rad.) = 0 0 3 4 9

10 . 3 4r9ad

11. cot 29 Sea y  cot x la función representativa de cot 29

4.03

Se elige:

Entonces,

4

0.0 1233 ≈ 9

0 .012 339

Sea y  tan x la función representativa de tan 46

x  16

4


10. tan 46

Se elige:

dy =

.

y = cos x dy = −senx dx =−

7.

2 2

x 3 0

17 ≈ 2.03 = 0.676 81 3

Valor próximo al dado ya que cot 30° =

dx  x  1  0.01745 rad

3 3

Incrementodex para tener 29.

y = cot x

8. sen 61

dy = − csc2x dx =−

cot 29° =

Sea y  sen x la función representativa de sen 61 .

34 3

3 + 3

0.06≈98

.

cs− c 23 0 ( 0 . 0 1= 7 4 5 r ad) 1.80 18 rad

0 .069 8


12. sec 59 

y = ex dy = e xdx = 7.389 (0. 2 ) =1.4 778

Sea y  sec x la función representativa de sec 59  Se elige:

Si y  e2  7.389

x 60

Valor próximo al dado ya que sec 60   2.

dx  x  1  0.01745 rad

16. e5.1

y = sec x

. 604 dy = se cx t axndx = se°c −6°0 t a n 6 0 (. 0 01 744 5 rad) = 0 0 se c 5 9° = 2− .0 0 60≈4. 1 9 39 6 rad

Sea y  ln x la función representativa de ln 5.83.

Valorpróximoaldado.

dx  x 0 .1

Incrementode x para tener 5.1.

dy = e xdx =14 8.4 13 (0. 1) = 14. 84 13

x 5 .8


dx  x  0 .03

Incremento de x para tener 5.83.

Si y  e5  148.413 ln 36.4  y  dx  148.413  14.8413  163.25

y = ln x

x

x 5

y = ex

Se elige:

dy =

Sea y  ex la función representativa de e5.1. Se elige:

13. ln 5.83

1

ln 36.4  y  dy  7.389  1.4778  8.8669

Incrementode x para tener 59°.

dx =

1 5.8

( 0.03) = 0.0051

IV. Determina la diferencial para las siguientes funciones 4 3 2 1. y  x  2x  5x  2x

Si y  ln 5.8  1.62531

dy  4x3  6x2  5x  2dx

ln 5.83  y  dy  1.75785  0.0051  1.7629

2. y = 14. ln 36.4

x

2

−

2 x

1 2  dy =  +  dx  2 x2 

Sea y  ln x la función representativa de ln 36.4. Se elige:

3. y = 1 − 3x 2

x 3 6


dx  x 0 .4

Incrementode x para tener 36.4.

dy = −

3 x dx 1 − 3x 2

y = ln x dy =

1 x

dx =

1 36

4. y = a 2 + x 2

( 0.4 ) = 0.0111 x dx

dy =

a2 + x 2

Si y  ln 36  3.5835

3 5. y = 4 − 2x 2

ln 36.4  y  dy  3.5835  0.0111  3.5946 2.2 15. e

dy = x

2.2

4 x dx (3) 3 ( 4 − 2x 2 )

2

Sea y  e la función representativa de e . Se elige:

x 2

6. y = 3x Valorpróximoaldado.

 3x 2  6( 2 + x 2 ) 2   4 + x 2 + 3 4 + x  dx = 4 + x 2 dx

dy = 

dx  x 0 .2

Es el incremento de x para tener 2.2.

34 4

x2 + 4


19. y  x csc x

7. y = (1 + x 2 ) 1− x 2



dy = x2

2

1x−



8. y = 102 x

dy  csc x  x csc x cot xdx

x (1 + x 2 )

3  dx = x − 3 x dx 1− x2

−

 1 − x 2 

x 20. y = arcsen 2

2

dx

dy =

2 dy = (x4 )(10 2 x )ln10 dx

2 1−

x2

4

mx

9. y  5

2

21. arctanx  1

dy  m 5mx ln 5 dx dy =

10. y  ebx

dy  bebxdx 11. y = e

2 x dx 2

1 + (1 − x 2 )

22. y  arcsec x2

x

2 dx

dy = dy =

1 2

x

−3 4 − 3x

23. y =

dy =

dx

13. y = ln 1 + x 2

dy =

 

1

24. y =

 x dx  dx = 1+ x 2

x

1 + x 2  1+ x 2 

2cos2 x sen 2x

− 5 sen 5x 2

co s 5 x

dy =

ax + b

x

4 − x2 + x

= 2cot 2x dx 25. y =

4 − x2

dy =

dx

log e 

−

 4 − x 2 

4 dx 3

( 4 − x 2 )2

a2 − x2

2 x ( a 2 − x 2)

2x

− 2 a +x2 a xdx 2 2 (a 2 + x 2)2 dx = − 2 2x − 2 a 2)( x 2 + a −x2 ( a 2 2 a + x2

)3

2 26. y  e xcos 3x

x

 dx = − x log e 4 − x2

dy−= ( e3

4 − x 2 

−2− xsexn 3e

2

− xdx c2=xo s−3e

)

+ x

−32s x en 3 ( xdx

27. 3x2  2xy  5y2  24

17. y  2cos 2 x

6x + 2 x dy +2 +1 0y = 0y dy

dy   4sen 2x dx 18. y =

x

4 − x 2 dx =

a2 + x 2

−

16. y = log 4 − x 2

dy =

dx

4 − x2

15. y  logax  b a log e

x3

cos 5x

dy =

14. y  ln sen 2 x dy =

x4

x dx

e

12. y  ln4  3x dy =

1

1−

dx

dx

dy

tan 4x

dx

4

=−

dy = −

dy  sec2 4x dx

34 5

6 x + 2x 3x + x =− 2 x + 10y x + 5y 3x + x dx x + 5y

2 co s 3

)


3 2 3 28. x  6xy  2y  10

dy

3x + 6 + y122

+ xy6

dx

2 2 33. 2x  x y  6y  1

= 0y 2

dy dy dx

=−

3x + 6 y 2 12 xy + 6y2

dy = −

29. x 2 + 4

x + 2 y2

4 xy + 2y 2

=−

x + 2 y2

dy dx

dx

2 x2+

2+

dy

y dx

dx

2+ = 0

x

dy dx

=−

x

dy = −

x y

y

y

−

x

35. y  arccos3x  4x3

y

dy = −

dy dx

+1

−−

+y

1 1 −3 y2x 2 2 1 1−−dy 2x 2

dx

dy

0 − 1

=x

=

dy =

31.

2 3

+

−1 x 3

+

= 2 3

−1 3

dy dx

x y

1−

dy dx dy dx

−1 −1 2y 2

1 −3 x2y 2

y x

dx

=0

dy =

32. x  y  ex

x

1 2y 2

2 r3

y

−1 3

−1

3

dx = 3

y x

dx

y

 dy  dy = e x + y 1 +  = e x + y + e x + y  dx  dx =

dy =

1 − e x+ y 1 + ex+ y 1 − e x+ y 1 + ex+ y

3 + 12x 2 2

1 − ( 3x + 4x 3 )

x dx

dx

2 y3

dx

5 − x2

x

+1

1 − 21 − 1 dy y+ x =2 2 dx 1 −3 x2y 2

2 x3

6 − 2xy

 2x 5 − x 2  5 + 10x + x 2  dx = − dx 2  5 + x − (5 + ) x 2  ( ) 5+ x

=C

1 − 1 − 1 1 1 − 3 dy 2 x 2 y 2 − x2 y − 2 2 dx

y2 − 4 x

dy = −

y

x+

x+

x

y2 − 4 x 6 − 2xy

5+ x

y

30.

=

dy =

34. y = x dy

dy dx

4 xy + 2y 2

xy + 2 y = a y

dy xy + 6 =0 dx

4 x − y−22

dx

dx

34 6

1

+ y2 x

3 2

1 −3 2

+ y2 x

−1 −1

+y

2x 2

=

y x

dx

Ms Calculo-diferencial Garza

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