Facultad de Estudios Superiores Acatlán Licenciatura en Filosofía Curso de Lógica II
Método de resolució resolución n de esquema esquemas s proposicio proposicionales nales A continuación expondré un par de ejemplos de cómo aplicar las nueve reglas que propone Willard Van Orman Quine en su libro Los métodos de la lógica[1]. lógica [1]. Las reglas son las siguientes:
Conectivo
Regla (i) Si ‘1’ aparece como componente de una conjunción suprímalo. (ii) Si ‘0’ aparece como componente de una disyunción suprímalo. (iii) Redúzcase toda conjunción que tenga un ‘0’ como componente a ‘0’. (iv) Redúzcase toda disyunción que tenga un ‘1’ como componente a ‘1’. (v) Elimínese a ‘1’ como antecedente de cualquier condicional. (vi) Redúzcase todo condicional que tenga a ‘0’ como antecedente o ‘1’ como consecuente a ‘1’. (vii) Si un condicional tiene a ‘0’ como consecuente, redúzcase todo el esquema a la negación del antecedente. (viii) Elimínese a ‘1’ como componente de cualquier bicondicional. (ix) Si un bicondicional tiene ti ene a ‘0’ como componente, suprímalo y niegue el otro lado.
Primero utilizaremos las reglas en el caso más sencillo: aplicar sólo una asignación de valores de verdad a un esquema proposicional. Tomemos el siguiente esquema: (r
s)
(s
(p
r))
En las tablas de verdad es recomendable identificar primero el conectivo principal y después comenzar a hacer las evaluaciones “de adentro hacia afuera”. Utilizando las reglas de Quine más importante que identificar el conectivo principal es ir reduciendo la fórmula hasta que quede un solo valor de verdad. Dada una asignación de valores de verdad debemos sustituir las variables proposicionales por estos valores en el esquema. Para este ejemplo sencillo elegiremos una asignación completa, esto es, una interpretación para cada variable. Asignación: [p:1, r:0, s:0]
Sustitución:
(0
0)
(0
(1
0))
Aplicación: Por regla (vi) al condicional ‘(0
(0
0)
(1
(1)
Por regla (viii) al elemento derecho ‘ (0
(0 Por regla (ii) a ‘(0
0))’:
0)
(1)’:
0)
0)’:
0 Por lo tanto, bajo la asignación [p:1, r:0, s:0], el esquema ‘(r s) (s (p r))’ es falso. Note que no fue necesario evaluar ciertas partes de la fórmula. Note también que pudo haber utilizado otras reglas en otro orden y habría llegado a la misma conclusión. En esta ocasión realizamos la evaluación para una asignación particular de valores de verdad para cada variable. Sin embargo, el método muestra su verdadera utilidad cuando lo usamos para evaluar un esquema bajo todas las posibles asignaciones para sus variables (es decir, todos los renglones de la tabla de verdad).
A continuación, evaluaremos un esquema proposicional para todas sus posibles asignaciones para decidir si es consistente, válido o inconsistente. (1)
(r
s)
(p
(r
(p
s
r)))
La fórmula tiene tres variables proposicionales y por lo tanto 8 posibles asignaciones de valores de verdad. Una técnica útil para resolver el esquema más rápido es asignar un valor de verdad a la variable que aparece en más ocasiones, en este caso es ‘r’, así que comenzaremos asignando [r:0].
(0
s)
(p
Por regla (vi) a ‘(0
(0
(p
(0
s
s)
Por regla (iv) a ‘ (p
(0
(p
0))’:
(p
(1)
Por uso de la negación:
(0
1)
1)’:
s)
s
s) 0
0)))
Por regla (iii) a ‘(0
s) 0’:
0 Con lo que concluimos que el esquema (1) es falso siem pre que ‘r’ es falso. Falta la otra mitad de la tabla, cuando [r:1].
(1
s)
(p
Por regla (v) a ‘(1
(1
(1
(p
s)
Por regla (i) a ‘(p
(1
s)
s
s
(p
s
Por regla (viii) a ‘(1
(p
1)))
1))’:
(p
s
1))
1)’:
(p
s
(p
s))
s)’:
(p
(p
s))
Hasta aquí podemos llegar con la asignación [r:1], así que ahora hay que escoger otra variable y darle una asignación. Como tanto ‘p’ como ‘s’ aparecen dos veces cada una parece no haber un criterio que le dé ventaja a una respecto a la otra. Así que elegiremos [s:1]. A continuación no detallaré a qué parte de la fórmula aplico la regla, el lector debe estar atento:
1
(p
(p
1))
Por uso de la negación:
0
(p
(p
1))
Por regla (iii):
0 Por lo que podemos concluir que cuando [r: 1, s:1] el esquema (1) es falso (cómo lo era en el caso de [r: 0]). En este punto ya sabemos que el esquema no puede ser válido (tautológico). Pero aún quedan casos por analizar para saber si es consistente o inconsistente. Así que ahora tomamos [s: 0].
0
(p
(p
0))
Por regla (iii) y uso de la negación:
1
(p
0)
Por reglas (i) y (ii):
(p) Concluimos que cuando [r: 1, s: 0] el valor del esquema (1) es el mismo que el del esquema ‘ p’. Con esta información reconstruir la tabla de verdad del esquema (1):
podemos
r
s
p
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
(r
s)
(p
(r
(p
s
r)))
0 0 0 0 1 0 0 0
Los renglones resaltados en azul los obtuvimos con la asignación [r: 0], donde de hecho nos fue indiferente el valor de las otras variables por lo que podríamos expresar la asignación así: [r:0, s:x, p:x], donde la ‘x’ expresa esa indiferencia. Los renglones rosas los obtuvimos con la siguiente asignación: [r:1, s:1, p:x]. Finalmente obtuvimos los renglones en verde al establecer que bajo la asignación [r:1, s:0] el valor de (1) era el mismo que el de ‘p’. Al final obtuvimos un esquema consistente pero no válido. Esta herramienta la podemos utilizar entonces para verificar si un esquema implica a otro. Supongamos que queremos saber si el esquema α implica al esquema β. Entonces basta con aplicar el método recién explicado al esquema ‘α β’. En el momento que obtengamos un ‘0’ sabremos que el esquema no es válido y por lo tanto que α no implica a β. Si por el contrario, agotamos el análisis y al final la reducción siempre dio ‘1’, entonces sabremos que el esquema α sí implica tautológicamente al esquema β. Veamos un ejemplo. Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. a) ‘((p
q) r)’ implica a ‘((s
p)
(p
r))’
[( (p
q)
r)]
[((s
p)
( p
r))]
[( (0
q)
r)]
[((s
0)
( 0
r))]
[p:0]
Aplicando negación:
[( (0
q)
r)]
[((s
0)
(1
Aplicando reglas (ii) y (iv):
[(
q
r)]
[s
1]
Aplicando regla (viii):
(
q
r)
s
r))]
Hasta aquí debe ser evidente que el esquema no es válido ya que el condicional que quedó al final puede ser falso. Para comprobarlo evalúe la asignación [q:1, r:x, s:0]:
(
1 (0
r) r)
0 0
Por regla (vii):
(0
r)
Por regla (vi):
(1)
Es conveniente que para ejercitarse el lector haga est e ejercicio u otro de su invención paso por paso aplicando cada regla individualmente hasta que las domine y pueda resumir ciertos pasos. Desarrollará la habilidad para encontrar las asignaciones más convenientes para sus propósitos.
Elaboró: Larry Fielding Jagüey Camarena
[1] W.V.O. Quine, Los métodos de la lógica , capítulo 5: “Análisis veritativo funcional”.
