SISTEMAS DIGITALES MÉTODO DE QUINE – Mc Mc Cluskey
Jorge Espín Diego Ríos Kevin Góngora
Ing. Fernando Flores
2017-B
Introducción
Método de Quine-McCluskey El Algoritmo Quine – McCluskey, fue desarrollado por Willard Van Orman Quine y Edward J. McCluskey, para la simplificación de funciones booleanas, similar al mapa de Karnaugh, pero su forma tabular lo hace más eficiente para su implementación en lenguajes computacionales. En matemáticas las expresiones booleanas se simplifican por numerosas razones: - Una expresión más simple es más fácil de entender y tiene menos posibilidades de error a la hora de su interpretación. - Una expresión simplificada suelen ser más eficiente y efectiva cuando se implementan en la práctica, como en el caso de circuitos eléctricos o en determinados algoritmos. El método de Quine-McCluskey es particularmente útil cuando se tienen funciones con un gran número de variables, no es el caso del método de Karnaugh, que se hace impracticable con más de cinco variables. En nuestro caso, como el máximo número de variables será cuatro podremos utilizar conjuntamente ambos métodos. [1]
Historia Willard Van Orman Quine [2]
Nació el 25 de Junio de 1908 en Akron, Ohio, y murió
el
25
de
Diciembre
del
2000
en Boston, Massachusetts
Fue un filósofo estadounidense, reconocido por su
trabajo
en lógica
matemática y
sus
contribuciones al pragmatismo como una teoría del conocimiento.
En sus trabajos se incluye: – "The Ways of Paradox" – "Mathematical Logic" – "Set Theory and Its Logic" – "Quiddities" – "Word and Object".
Edward J. McCluskey
Nació el 16 de octubre de 1929 (88 años), en Orange, Nueva Jersey. Ingeniero estadounidense, es actualmente profesor emérito en la Universidad de Stanford.
Es un pionero en el campo de la Ingeniería Eléctrica.
El profesor McCluskey trabajó en electrónica de conmutación en los laboratorios Bell desde 1955 hasta 1959.
El Profesor McCluskey desarrolló el primer algoritmo para el diseño de circuitos combinacionales como estudiante de doctorado en MIT, conjuntamente con el profesor Quine.
Desarrolló la teoría de transientes (riesgos) en las redes lógicas y formuló el concepto de nodos operativos de circuitos secuenciales.
Método de Quine – Mc Cluskey
Sea K un álgebra de Boole y f una función booleana de orden n sobre K. Denotamos por B = {0, 1}. Para obtener una expresión simplificada de f realizamos los siguientes pasos:
1. Se obtiene la tabla de verdad.
2. Se ordena los valores cuya imagen es 1 en una columna de arriba a abajo en número decreciente de unos. Separamos estos en bloques de forma que los elementos de cada bloque tengan el mismo número de unos.
3. Comparamos cada elemento de cada bloque con cada uno de los elementos del bloque inferior de forma que, si dos de estos elementos difieren en un único valor, les antepondremos una X y escribiremos en una nueva columna, el elemento que se obtiene al sustituir dicho valor por un guion. Separaremos los elementos resultantes por una línea cuando acabemos de comparar dos bloques.
4. Repetimos el proceso anterior con la nueva columna obtenida y así sucesivamente hasta que sólo tengamos una única columna con un único bloque o bien, cuando de los bloques que se tengan, no existan elementos que difieran sólo en un valor de otro elemento del bloque siguiente.
5. Rellenamos una tabla donde escribimos en la primera fila las secuencias de unos y ceros correspondientes a los átomos de f, en la primera columna las secuencias con guiones que no llevan X obtenidas anteriormente, y en cada recuadro interior correspondiente a un átomo y uno con guion, escribiremos un asterisco si todos los valores de ambos, sin contar los elementos con guiones coinciden.
6.
Finalmente, de cada columna elegimos un asterisco de forma que el número de filas donde hayan sido elegidos asteriscos sea el menor posible. La suma de los elementos de la primera columna que contienen asteriscos elegidos junto con los elementos de la primera fila en cuya columna no hay ningún asterisco es una expresión booleana simplificada de f.
Ventajas
Método directo.
Muy mecánico.
Seguro.
No está limitado por el número de variables para encontrar la mínima expresión booleana, se puede utilizar para más variables.
Método ordenado.
Utiliza parte del álgebra de Boole para obtener la ecuación de la variable.
Se reduce una variable automáticamente antes de obtener la ecuación y sin realizar proceso alguno.
Desventajas
Método muy largo con el número de variables que se tenga.
Método que requiere de paciencia.
Mayor tendencia a equivocaciones.
Requiere de mayor tiempo para su elaboración que los mapas K.
Resolver un ejercicio con pocas variables puede resultar muy extenso.
Ejemplo Utilización del método de Quine – Mc Cluskey
Diseñe un circuito combinacional que permita la conversión de un código binario a su equivalente en código de GRAY de cuatro bits. Use el método de Quine – Mc Cluskey.
Conversión de binario a Gray Entradas (binario)
Salidas (Gray)
B
C
D
a
b
c
d
0
A 0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
0
0
0
1
1
3
0
0
1
1
0
0
1
0
4
0
1
0
0
0
1
1
0
5
0
1
0
1
0
1
1
1
6
0
1
1
0
0
1
0
1
7
0
1
1
1
0
1
0
0
8
1
0
0
0
1
1
0
0
9
1
0
0
1
1
1
0
1
10
1
0
1
0
1
1
1
1
11
1
0
1
1
1
1
1
0
12
1
1
0
0
1
0
1
0
13
1
1
0
1
1
0
1
1
14
1
1
1
0
1
0
0
1
15
1
1
1
1
1
0
0
0
#
Salida “a”
F(A, B, C, D)=∑ (8,9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)
Número de unos 1 2
3 4
Mi
A
B
C
D
8 9 10 12 11 13 14 15
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 0 1 1
0 1 0 0 1 1 0 1
Nivel de agrupación
Combinación
A
B
C
D
8-9 8-10 8-12 9-11 9-13 10-11 10-14 12-13 12-14 11-15 13-15 14-15
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 -
1-2
2-3
3-4
1000
1001
100-
X
X
10-0 1-00
X X
1010
1100
1011
1101
1110
1111
X X
10-1 1-01
X X
X
1011-10 110-
X
X X X
11-0 1-11
X
X
X X
11-1 111-
X X X
X X
+ ̅ + = = ̅ + ̅ + ) + ( ̅ + ) = = ( = = + + ) = = ( == Salida “b”
F(A, B, C, D)=∑ (4,5,6,7,8,9,10,11) Número de unos 1
2
3
Mi
A
B
C
D
4 8 5 6 9 10 7 11
0 1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 0 1 1
Nivel de agrupación 1-2
2-3
Combinación
A
B
C
D
4-5 4-6 8-9 8-10 5-7 6-7 9-11 10-11
0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1 -
0100 01001-0 100-
1000
X X
0101
0110
1001
1010
0111
1011
X X X
10-0 01-1
X
X
X X
01110-1
X X
X X
101-
X X
X
̅ + ̅ + = = ̅ ̅ + ̅ + ̅ + )+( ) = = ̅ ( )( ̅ + ) = = ( ̅ + = = ̅ + = = ⨁ Salida “c”
F(A, B, C, D)=∑ (2,3,4,5,10,11,12,13) Número de unos 1
2
3
Mi
A
B
C
D
2 4 3 5 10 12 11 13
0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1
0010 001-010 010-100 -011 -101 101110-
0100
X X
0011
Nivel de agrupación
Combinación
A
B
C
D
2-3 2-10 4-5 4-12 3-11 5-13 10-11 12-13
0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 -
1-2
2-3
0101
1010
1100
1011
1101
X X X X
X X X
X X
X X
X X
̅ + ̅ ̅ + + = = ̅ ̅ ) + ( ̅ ) + + = = ̅ ( ̅ )( ̅ + ) = = ( + ̅ + == = = ⨁
X
Salida “d”
F(A, B, C, D)=∑ (1,2,5,6,9,10,13,14) Número de unos 1
2
3
Mi
A
B
C
D
1 2 5 6 9 10 13 14
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0
0001 0-01
X
-001 0-10
X
-010 -101 -110 1-01 1-10
0010
0101
Nivel de agrupación
Combinación
A
B
C
D
1-5 1-9 2-6 2-10 5-13 6-14 9-13 10-11
0 0 1 1
0 0 1 1 -
0 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0 1 0
1-2
2-3
0110
1001
1010
1101
1110
X X X
X
X
X X
X X
X X
X X
+ ̅ + = = ̅ ̅ + ̅ ̅ + ) + ( ̅ + ) = = ̅ ( ̅ + ) )( = = ( ̅ + = = ̅ + = = ⨁ Diseño del ci rcuito en P roteus
X
Comparación del método Quine-MC Cluskey con los mapas de Karnaugh.
El tiempo en realizar la simplificación de las expresiones mediante el método de Quine-MC Cluskey es mucho mayor, debido que en este método se tiene que realizar varias tablas para llegar a simplificar la expresión, pero este método es más utilizado para facilitar la programación; mientras que con el método de mapa K la simplificación es más rápida y sencilla. En el método de Quine-MC Cluskey es fácil de realizar, pero cuando se trabaja con pocas variables (4 variables máximo), en el caso de que se trabaje con más variable, la resolución por este método va a ser más larga, el tiempo para obtener la expresión ya simplificada va hacer mayor que con la utilización de mapas K. El método de mapas K es un método más rápido y sencillo para realizar la simplificación. Cabe destacar que el método de Quine-MC Cluskey lo utilizan las personas que se dedican a la programación. El método Quine-MC Cluskey al estar orientado hacia la programación por lo general no se puede entender claramente su procedimiento. Para individuos que recién estén aprendiendo la simplificación de funciones lógicas se puede tornar difícil, por lo que los mapas de Karnaugh son la mejor herramienta para personas noveles en tema, una de sus mayores ventajas de los mapas K es ser considerada como un mecanismo de simplificación gráfica, esto quiere decir que la resolución va a estar visible y resulta ser más amigable para la persona que lleve a cabo este método.
El método Quine-MC Cluskey cumple de manera satisfactoria en la simplificación de funciones que contengan una cantidad de variables significativa, evitando cualquier tipo de errores ya sean estos por alguna falla del algoritmo, mala ejecución del programa, entre otros. Motivo por el cual se recomienda usar este método. Sin embargo, cuando se maneja variables entre 2 y 4 lo más aconsejable seria inclinar la balanza hacia los mapas de Karnaugh teniendo en cuenta que una de sus mayores prestaciones es la facilidad de implementación y agilidad con este número bajo de variables, mientras que el método método de Quine-MC Cluskey es
muy extenso en su ejecución y hasta cierto punto tedioso siendo una de sus aristas negativas , además que su puesta en marcha para un numero de variables bajo no es justificable. En resumen, cualquiera de los dos métodos son útiles dependiendo de la acti vidad o el número de variables que se esté manejando, dado que como se ha explicado con antelación, cada uno de ellos posee sus ventajas y su relativas “desventajas”, además sabiendo sacar el mayor provecho de estas herramientas en el ámbito en el cual se desarrollan de mejor forma, se recomienda que no sean utilizadas en los campos en los cuales son vulnerables o no rinden en su máxima expresión (método Quine-MC Cluskey numero de variables bajo y mapas de Karnaugh numero de variables alto). Sin embargo, estos dos mecanismos son en gran manera una forma más sencilla de ver las funciones lógicas permitiendo su correcta simplificación evitando errores que posiblemente se puede llegar a cometer si solo se usaría el Algebra de Boole por el elevado número de términos a simplificar. Sus aplicaciones son muy variadas por lo que existe un catálogo infinito de posibilidades para que sean utilizadas.
Conclusiones
El algoritmo de Quine-McCluskey es muy utilizado cuando se maneja un numero de variables considerable, teniendo en cuenta que por lo general su implementación viene dada por el campo de la programación se puede decir que es muy eficiente y con un margen mínimo de error para llevar a cabo la simplificación de funciones lógicas.
Al realizar la comparación entre los mapas K y el algoritmo de Quine-McCluskey se concluye que cada uno de ellos destaca en relación al otro en ciertos aspectos, específicamente estas prestaciones se evidencian en el número de variables a manejar, siendo el mayor predominante a la hora de elegir que método usar.
Se investigó y aprendió el método de Quine – MC Q Cluskey, además se utilizó el método para resolver en ejercicio de pasar un número binario de 4 bits a su
equivalente en código de Gray. Los resultados mostraron que el método es fácil de usar, pero su elaboración puede tomar más tiempo que elaborar mapas K.
El método de Quine – Mc Cluskey puede aumentar el porcentaje de cometer errores ya que hay que verificar bien cuando se cambia solo un bit de una combinación a otra, es un método mecánico y fácil de realizar. La mayor ventaja que tiene el método es que se puede utilizar para un ejercicio con mayor número de variables.
Bibliografía [1]http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/5139/1/T694.pdf [2] https://es.scribd.com/doc/43388787/METODO-DE-QUINE-McCLUSKEY [3]http://www.ie.itcr.ac.cr/jdiaz/licenciatura/DISENO_LOGICO/MATERIALES/PRESEN TACIONES/McCLUSKEY.pdf
