MÉTODO DE QUINE McCLUSKEY

Universidad José Carlos Mariátegui

Sistemas Digitales

MÉTODO DE QUINE McCLUSKEY Introducción En matemáticas las expresiones booleanas se simplifican por numerosas razones: - Una expresión más simple es más fácil de entender y tiene menos posibilidades de error a la hora de su interpretación. - Una expresión simplificada suelen ser más eficiente y efectiva cuando se implementan en la práctica, como en el caso de circuitos eléctricos o en determinados algoritmos. El método de Quine-McCluskey es particularmente útil cuando se tienen funciones con un gran número de variables, no es el caso del método de Karnaugh, que se hace impracticable impracticable con más de cinco variables. En nuestro caso, como el el máximo número de variables será cuatro podremos utili zar conjuntamente ambos métodos. Una expresión booleana se compone de variables y términos. Para este método las variables sólo podrán tener un valor numérico de cero (el correspondiente al valor de verdad false) o uno (el correspondiente al valor de verdad true) y se designarán mediante una letra. Como notación se designará x si la variable contiene el valor uno, x¶ en caso de que contenga el valor cero. Por otra parte, las variables se relacionarán entre sí únicamente mediante operaciones lógicas and para formar términos y mediante or para relacionarse con otros términos constituyendo una suma de productos. Ésta debe de ser canónica, es decir: - Cada variable se usa una vez en cada término. A dichos términos se les llama términos canónicos. P.ejemplo f(x,y,j) =

x¶y z +x y¶z

x¶y z se representa con 011, donde x = 0, y = 1, z = 1 x y¶z se representa con 101, donde x = 1, y = 0, z = 1

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Wilber Araujo Quispe


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Metodo de Quine-McCluskey Il metodo di Quine-McCluskey (o metodo degli implicanti primi) è un algoritmo sviluppato da Willard Van Orman Quine ed Edward McCluskey che viene utilizzato nelle reti combinatorie a due livelli di logica per la minimizzazione di una funzione booleana di n variabili. Il metodo è funzionalmente identico alla mappa di Karnaugh, ma la sua forma tabellare lo rende più efficiente per essere realizzato al computer; inoltre fornisce anche un modo deterministico per testare la minimizzazione di una funzione booleana. Il metodo consiste in due passi: 1. Identificare tutti gli implicanti primi pri mi della funzione. 2. Riportare gli implicanti primi trovati in una tabella per ricavare gli implicanti primi essenziali della funzione.

Complessità Sebbene sia più pratico rispetto alle mappe di Karnaugh per funzioni con più di 4

variabili, il metodo di Quine-McCluskey ha comunque un intervallo limitato di utilizzo, poiché il problema che l'algoritmo risolve (la soddisfacibilità booleana) è NP-difficile: il suo runtime cresce esponenzialmente all'aumentare del numero degli ingressi. Si può dimostrare che per una funzione di n variabili il limite superiore sul numero di implicanti primi è 3 n/n. Se n = 32 ci possono essere più di 6.5 * 10 15 implicanti primi. Pertanto, le funzioni con un grande numero di variabili booleane deve essere minimizzato con metodi euristici, come ad esempio es empio il minimizzatore logico Espresso.

Metodo Il metodo consiste in due fasi principali: la ricerca degli implicanti primi e la successiva ricerca della copertura ottimale. Consideriamo la minimizzazione in forma di somma di prodotti (detta anche SOP, dall'acronimo inglese sum of products), ma il tutto è facilmente estendibile alla forma di prodotto di somme (o PO S, product of sums). Nella prima fase si applica sistematica mente la semplificazione del del tipo:

cioè la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, dove P indica un qualsiasi termine prodotto (mintermine). Ovviamente il metodo è estendibile anche a funzioni non completamente specificate e anche a circuiti multiuscita. La prima fase consiste dei passi: 1. tabellare tutti i mintermini della funzione in forma binaria, in ordine crescente come per la tabella della verità; 2. confrontare tra loro tutti i termini esaustivamente: si semplificano i termini che differiscono per un solo bit (distanza di Hamming unitaria) e si marcano, in quanto essi hanno contribuito contribuito alla creazione creazi one di un implicante;

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Metodo de Quine-McCluskey Il metodo di Quine-McCluskey (o metodo degli implicanti primi) è un algoritmo sviluppato da Willard Van Orman Quine ed Edward McCluskey che viene utilizzato nelle reti combinatorie a due livelli di logica per la minimizzazione di una funzione booleana di n variabili. Il metodo è funzionalmente identico alla mappa di Karnaugh, ma la sua forma tabellare lo rende più efficiente per essere realizzato al computer; inoltre fornisce anche un modo deterministico per testare la minimizzazione di una funzione booleana. Il metodo consiste in due passi: 1. Identificare tutti gli implicanti primi pri mi della funzione. 2. Riportare gli implicanti primi trovati in una tabella per ricavare gli implicanti primi essenziali della funzione.

Complessità Sebbene sia più pratico rispetto alle mappe di Karnaugh per funzioni con più di 4

variabili, il metodo di Quine-McCluskey ha comunque un intervallo limitato di utilizzo, poiché il problema che l'algoritmo risolve (la soddisfacibilità booleana) è NP-difficile: il suo runtime cresce esponenzialmente all'aumentare del numero degli ingressi. Si può dimostrare che per una funzione di n variabili il limite superiore sul numero di implicanti primi è 3 n/n. Se n = 32 ci possono essere più di 6.5 * 10 15 implicanti primi. Pertanto, le funzioni con un grande numero di variabili booleane deve essere minimizzato con metodi euristici, come ad esempio es empio il minimizzatore logico Espresso.

Metodo Il metodo consiste in due fasi principali: la ricerca degli implicanti primi e la successiva ricerca della copertura ottimale. Consideriamo la minimizzazione in forma di somma di prodotti (detta anche SOP, dall'acronimo inglese sum of products), ma il tutto è facilmente estendibile alla forma di prodotto di somme (o PO S, product of sums). Nella prima fase si applica sistematica mente la semplificazione del del tipo:

cioè la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, dove P indica un qualsiasi termine prodotto (mintermine). Ovviamente il metodo è estendibile anche a funzioni non completamente specificate e anche a circuiti multiuscita. La prima fase consiste dei passi: 1. tabellare tutti i mintermini della funzione in forma binaria, in ordine crescente come per la tabella della verità; 2. confrontare tra loro tutti i termini esaustivamente: si semplificano i termini che differiscono per un solo bit (distanza di Hamming unitaria) e si marcano, in quanto essi hanno contribuito contribuito alla creazione creazi one di un implicante;

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3. creare quindi una nuova tabella con tutti i termini prodotto marcati che vengono fuori dalla prima tabella e si ripete il passo 2); 4. il processo termina t ermina quando non si possono più fare riduzioni. Al punto della costruzione della tabella è facile vedere che non dobbiamo necessariamente confrontare tutti i termini tra loro, ma effettivamente solo quei termini adiacenti che differiscono per un solo bit 1. Quindi raggruppiamo nella tabella i termini che hanno un numero uguale di 1 nel mintermine.

Esempio seguent e funzione: Sia data la seguente

Passo 1: tabella degli implicanti primi abcd 0001 1001 1011 1100 1101 1110 1111

Pi 1 9 11 12 13 14 15

... ... ... ... ... ... ...

Passo 2): confronto Vediamo dalla tabella che il mintermine 1 va confrontato solo con il mintermine 9, che ha due 1 nel suo prodotto e non con gli altri che differiscono di due bit. Confrontando il mintermine 1 con quello 9 vediamo che differiscono solo per il primo bit: la prima riga della successiva tabella deve quindi essere -001 semplicando per l'appunto il primo bit. Il confronto di 1 con 12 non è compatibile perché i due mintermini non differiscono per un solo bit. Viceversa 9 si confronta con 11 e 13 ma non con 14, e 12 si confronta con 13 e 14 ma non con 11. Infine 11, 13, 14 si confrontano con 15. Il risultato finale è tabellato nella successiva tabella.

abcd 001 10 1 1 01 1 11 110 11 0

3

Pi 1,9 9,11 9,13 11,15 12,13 12,14

... ... ... ... ... ... Wilber Araujo Quispe


11 1 111

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13,15 ... 14,15 ...

Passo 2): ancora riduzione Ovviamente dobbiamo nuovamente ridurre finché è possible. In questo caso possiamo solo confrontare 9,11 con 13,15 che differiscono per il secondo bit e 12,13 con 14,15 che differiscono solo per il terzo bit:

abcd 1 1 11

Pi 9,11,13,15 ... 12,13,14,15 ...

Passo 3): selezione implicanti primi A questo punto non sono possibili altre riduzioni. Gli implicanti primi sono:

P1(9,11,13,15) = ad P2(12,13,14,15) = ab

Copertura La seconda fase riguarda la scelta ottimale degli implicanti. Per fare questo costruiamo una tabella detta tabella di copertura che consiste in una matrice in cui gli indici di riga rappresentano gli implicanti primi identificati, mentre gli indici di colonna rappresentano tutti i mintermini Pi della funzione. Gli elementi della tabella di copertura sono caselle segnate con 1 se l'implicante Pi copre il mintermine j-esimo, altrimenti sono 0. In alternativa si usa semplicemente una "x" per identificare solo gli uno in tabella. 1 9 11 12 13 14 15 ------------------------------P0 | x x | P1 | x x x x | P2 | x x x x| -------------------------------

Esempio ABCD m0 0 0 0 0 m1 0 0 0 1 m2 0 0 1 0 m3 0 0 1 1

4

f 0 0 0 0 Wilber Araujo Quispe

Universidad José Carlos Mariátegui m4 0 1 0 0 m5 0 1 0 1 m6 0 1 1 0 m7 0 1 1 1 m8 1 0 0 0 m9 1 0 0 1 m10 1 0 1 0 m11 1 0 1 1 m12 1 1 0 0 m13 1 1 0 1 m14 1 1 1 0 m15 1 1 1 1

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1 0 0 0 1 1 1 1 0 1

Dalla tabella si può ricavare la forma canonica della funzione sotto forma di somma di prodotti (disgiuntiva) semplicemente sommando i mintermini con uscita "1" (ma tralasciando quelli con uscita don't care "-"):

f A,B,C,D A,B,C,D = A'BC'D' + AB'C'D' + AB'CD' + AB'CD + ABC'D' + ABCD La funzione, funzione, ovviamente, non è in forma minima. Quindi, per minimizzarla, si riportano r iportano su una tabella tutti i mintermini con uscita "1" (comprendendo anche quelli con il don't care come uscita), ordinandoli in classi a seconda del numero di "1" presenti in ciascun mintermine: Numero di "1" Mintermine Rappresentazione binaria -------------------------------------------1 m4 0100 m8 1000 -------------------------------------------2 m9 1001 m10 1010 m12 1100 -------------------------------------------3 m11 1011 m14 1110 -------------------------------------------4 m15 1111

A questo punto, si può iniziare a combinare i mintermini tra di loro. Se due mintermini, appartenenti a classi diverse, hanno una distanza di Hamming pari a 1 (ossia differiscono per una sola variabile), allora possono essere uniti, inserendo nella variabile non in comune un don't care. I mintermini che non possono essere combinati tra di loro sono indicati nell'esempio con un asterisco ("*"). Una volta esauriti tutti gli implicanti del 4º ordine, si passa all'eventuale semplificazione di quelli del 3º ordine, dove in questo caso vanno uniti tra loro i mintermini con distanza di Hamming pari a 2. Alla fine si perviene alla seguente tabella: Implicanti del 4º ordine | Implicanti del 3º ordine | Implicanti del 2º ordine -------------------------------|--------------------------|------------------------ Numero di "1" Mintermine | | -------------------------------|--------------------------|------------------------1 m4 0100 | m(4,12) -100* | m(8,9,10,11) 10 --* m8 1000 | m(8,9) 100 | m(8,10,12,14) 1--0* ------------------------------------------------------------- | m(8,10) 10-0 | -------------------------------------------------

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m9 1001 | m(8,12) 1 -00 | m(10,11,14,15) 1-1-* m10 1010 |--------------------------| m12 1100 | m(9,11) 10-1 | -------------------------------| m(10,11) 101| 3 m11 1011 | m(10,14) 1 -10 | m14 1110 | m(12,14) 11-0 | -------------------------------|--------------------------| 4 m15 1111 | m(11,15) 1-11 | | m(14,15) 111|

Passo 2: tabella degli implicanti primi Una volta terminata la ricerca degli implicanti primi, questi vengono riportati in una tabella apposita, scrivendo sulle righe gli implicanti e sulle colonne i mintermini. 4 8 10 11 12 15 m(4,12)*

X

X

m(8,9,10,11)

XX X

m(8,10,12,14)

XX

m(10,11,14,15)*

X X

-100 10--

X

1--0 X 1-1-

Per poter procedere alla scelta delle coperture si applicano i seguenti criteri: y

Dominanza di riga: La riga i domina la riga j se l'implicante Pi copre tutti i mintermini che copre l'implicante Pj più almeno uno.

y

Dominanza di colonna: La colonna i domina la colonna j se il mintermine mj è coperto dagli stessi implicanti da cui è coperto mi più almeno uno.

y

Scelta dell'implicante essenziale: Un implicante è detto essenziale se una

marcatura presente in una colonna è coperta in una sola riga. Nel qual caso si aggiunge l'implicante all'insieme delle coperture e si elimina la riga e tutte le colonne in cui è presente una marcatura dell'implicante. In questo caso, il secondo implicante primo può essere coperto dal terzo e dal quarto, mentre il terzo implicante primo può essere coperto dal secondo e dal primo, quindi entrambi non sono essenziali. In alcuni casi, "si presentano situazioni di mappe cicliche in cui non sono presenti condizioni di dominanza né di essenzialità, per cui vanno utilizzate altre procedure per la semplificazione. Un modo sistematico ed efficiente è rappresentato dal metodo di Petrick. In quest'esempio, gli implicanti primi essenziali

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non coinvologono tutti i mintermini, quindi si possono combinare gli implicanti essenziali con i due non essenziali, ottenendo le seguenti due equazioni:

Entrambe le equazioni ricavate sono funzionalmente equivalenti all'equazione originaria:

Algoritmo de Quine-McCluskey El algoritmo de Quine-McCluskey del (o el el método de los implicants primeros ) es un método utilizó para la minimización de las funciones boleanas que fue desarrollada por W. Es funcionalmente idéntica al Karnaugh que traza, pero la forma tabular hace más eficiente para el uso en algoritmos de la computadora, y también da una manera determinista de comprobar que la forma mínima de una función boleana se ha alcanzado. Se refiere a veces como el método de la tabulación. El método implica dos pasos: Encontrar todos los implicants de la prima de la función.  Utilizar esos implicants primeros en una carta implicant de la prima del para encontrar los implicants primeros esenciales de la función, así como otros implicants primeros que sean necesarios cubrir la función.

Complejidad Aunque más sea práctico que Karnaugh el trazado al ocuparse de más de cuatro variables, el algoritmo de Quine-McCluskey también tiene una gama limitada de uso puesto que el problema que soluciona es el NP-duro: el tiempo de pasada del algoritmo de Quine-McCluskey crece el exponencial con el tamaño de la entrada. Puede ser demostrado que para una función de las variables del n el límite superior en el número de implicants primeros es 3 el n del n /. Si el n = 32 allí puede estar sobre 6.5 * 1015, implicants primeros. Las funciones con una gran cantidad de variables tienen que ser reducidas al mínimo con métodos heurísticos potencialmente noóptimo, cuyo el minimizer heurístico de la lógica del café express es el estándar de hecho del mundo.

Ejemplo Paso 1: encontrar implicants primeros Reducción al mínimo de una función arbitraria:

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f (A, B, C, D) = \ suma m (4.14) \, A B C D f m0 0 0 0 0 0 m1 0 0 0 1 0 m2 0 0 1 0 0 m3 0 0 1 1 0 m4 0 1 0 0 1 m5 0 1 0 1 0 m6 0 1 1 0 0 m7 0 1 1 1 0 m8 1 0 0 0 1 m9 1 0 0 1 x m10 1 0 1 0 1 m11 1 0 1 1 1 m12 1 1 0 0 1 m13 1 1 0 1 0 m14 1 1 1 0 x m15 1 1 1 1 1 Uno puede formar fácilmente la suma canónica de expresión de los productos de esta tabla, simplemente sumando el Minterms (que deja hacia fuera el no hacer - los términos del cuidado) donde la función evalúa a una: f_ del l {A, B, C, D} = A'BC'D + AB'C'D + AB'CD + AB'CD + ABC'D + ABCD Por supuesto, eso no es ciertamente mínimo. Para optimizar tan, todos los minterms que evalúan a uno primero se ponen en una tabla del minterm. No hacer - los términos del cuidado también se agregan en esta tabla, así que pueden ser combinados con los minterms: Número de representación del binario de 1s Minterm -------------------------------------------- 1 m4 0100 m8 1000 -------------------------------------------- 2 m9 1001 m10 1010 m12 1100 ------------------------------------------- 3 m11 1011 m14 1110 -------------------------------------------- 4 m15 1111 A este punto, uno puede comenzar a combinar minterms con otros minterms. Si dos términos varían por solamente un solo dígito que cambia, ese dígito se puede substituir por una rociada que indica que no importa el dígito. Los términos que no pueden ser combinados más se marcan con un " *". Al ir del tamaño 2 a clasificar 4, tratar ³-´ como tercer valor de pedacito. Ex: -110 y -100 o -11 - se puede combinar, pero no -110 y 011-. (Truco: Emparejar encima de ³-´ primero.) Número de 1s Minterm 0-Cube | Tamaño 2 Implicants | Tamaño 4 Implicants -----------------------------|-------------------|---------------------- 1 m4 0100 | m (4.11) 10--* m8 1000 | m (8.14) 1--0* ------------------------------| m (8.10) 10-0 |---------------------- 2 m9 1001 | m (8.15) 1-1-* m10 1010 |-------------------| m12 1100 | m (9.11) 10-1 | ------------------------------| m (10.11) 101 - | 3 m11 1011 | m (10.14) 1-10 | m14 1110 | m (12.14) 11-0 | ------------------------------|------------------| 4 m15 1111 | m (11.15) 1-11 | | m (14.15) 111 - |

Paso 2: carta implicant primera Ningunos de los términos se pueden combinar más lejos que éste, tan a este punto nosotros construye una tabla implicant primera esencial. A lo largo del lado van los implicants primeros acaban de generarse que, y a lo largo de la tapa van los minterms especificados anterior. No cuidar los términos no se colocan en tapa - se omiten de esta sección porque no son entradas necesarias.

Algoritmo Quine±McCluskey El Algoritmo Quine±McCluskey es un método de simplificación de funciones booleanas desarrollado por Willard Van Orman Quine y Edward J. McCluskey. Es funcionalmente idéntico a la utilización del mapa de Karnaugh, pero su forma tabular lo hace más eficiente para su implementación en lenguajes computacionales, y provee un método determinístico de conseguir la mínima expresión de una función booleana.

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Pasos El método consta de dos pasos: 1. Encontrar todos los implicantes primos de la función. 2. Usar esos implicantes en una tabla de implicantes primos para encontrar los implicantes primos esenciales, los cuales son necesarios y suficientes para generar la función.

Complejidad Aunque es más práctico que el mapa de Karnaugh, cuando se trata de trabajar con más de cuatro variables, el tiempo de resolución del algoritmo Quine-McCluskey crece de forma exponencial con el aumento del número de variables. Se puede demostrar que para una función de n variables el límite superior del número de implicantes primos es 3n/n. Si n = 32 habrá más de 6.5 * 10 15 implicantes primos. Funciones con un número grande de variables tienen que ser minimizadas con otros métodos heurísticos.

Ejemplo Paso 1: Encontrando implicantes primos Minimizando una función arbitraria:

A

B

C

D

f

m0

0

0

0

0

0

m1

0

0

0

1

0

m²

0

0

1

0

0

m

0

0

1

1

0

m4

0

1

0

0

1

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m5

0

1

0

1

0

m6

0

1

1

0

0

m7

0

1

1

1

0

m8

1

0

0

0

1

m9

1

0

0

1

X

m10

1

0

1

0

1

m11

1

0

1

1

1

m12

1

1

0

0

1

m13

1

1

0

1

0

m14

1

1

1

0

X

m15

1

1

1

1

1

Uno fácilmente puede formar la expresión canónica suma de productos de esta tabla, simplemente sumando minitérminos (dejando fuera las redundancias) donde la función se evalúa con 1:

Por supuesto, esta expresión no es mínima. Para optimizarla, primero son colocados todos los minitérminos evaluados en la función como 1 en una tabla. Las redundancias también son agregadas a la tabla, estas pueden combinarse con los minitérminos: N. de 1s Minterm Representación binaria

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1

m4 m8

0100 1000

2

m9 m10 m12

1001 1010 1100

3

m11 m14

1011 1110

4

m15

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En este punto, uno puede empezar a combinar los minitérminos entre sí. Si dos minitérminos sólo varían en un solo dígito, ese dígito debe reemplazarse por un guión "" indicando que ese bit no importa. Los términos que ya no pueden combinarse más son marcados con "*". Cuando van de tamaño 2 a 4, tratamos '-' como un valor de bit. Ejemplo: -110 y -100 o -11- pueden ser combinados, pero no -110 y 011-. (Consejo: agrupar los '-' primero.) Número de 1s Minterm Bin | Implicantes de tamaño 2 | Implicantes de tamaño 4 --------------------------------|-------------------------|-----------------------1 m4 0100 | m(4,12) -100* | m(8,9,10,11) 10--* m8 1000 | m(8,9) 100| m(8,10,12,14) 1--0* --------------------------------| m(8,10) 10-0 |-----------------------2 m9 1001 | m(8,12) 1 -00 | m(10,11,14,15) 1-1-* m10 1010 |-------------------------| m12 1100 | m(9,11) 10 -1 | --------------------------------| m(10,11) 101| 3 m11 1011 | m(10,14) 1 -10 | m14 1110 | m(12,14) 11 -0 | --------------------------------|-------------------------| 4 m15 1111 | m(11,15) 1 -11 | | m(14,15) 111|

Paso 2: tabla de implicantes primos Los términos marcados con "*" ya no pueden combinarse más, en este punto ya tenemos la tabla de implicantes primos. En el costado van los implicantes primos recientemente generados, y en la parte superior los minitérminos utilizados. Los minitérminos correspondientes a las redundancias son omitidos en este paso, no se colocan en la parte superior. 4 8

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10 11 12 15 Wilber Araujo Quispe


X

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X XX X XX X X

- 100 10- -

X

1- - 0 X 1- 1-

En esta tabla vemos los minitérminos que "cubre" cada implicante primo. Ninguno de los implicantes de esta tabla está incluido dentro de otro (esto queda garantizado en el paso uno), pero si puede estar "cubierto" por dos o más implicantes. Es el caso de que está cubierto por y o que está cubierto por y . Por este motivo, cada uno de estos dos implicantes sólo son esenciales en ausencia del otro. Un proceso adicional simple para reducir estos implicantes es prueba y error, pero un proceso más sistemático es el método de Petrick. En el caso que estamos analizando, los dos implicantes primos y no llegan a incluir todos los minitérminos por lo que podemos combinar estos implicantes con cada uno de los implicantes no esenciales para conseguir dos funciones mínimas:

Las dos son equivalentes a esta función original:

MÉTODO TABULAR DE QUINE-MC CLUSKEY Cuando las variables de una función son varias -seis o más- el método de Karnaugh resulta muy engorroso y complicado. En estos casos es más asequible el método de Quine-Mc Cluskey que a pesar de ser más lento, es más sistemático y por lo tanto más seguro. Así mismo puede resultar más idóneo incluso para cinco variables. El método de Quine Mc-Clusquey parte también de la representación de una función en forma canónica (minterms y maxterms). Consiste en ordenar, según el número de ³unos´ que tengan, las combinaciones de las variables que satisfacen la ecuación. A continuación se buscan las combinaciones que comparadas con las de grupos adyacentes, con un bit más o menos difieren sólo en una variable, que en una combinación estará negada y en la otra no, eliminándose la misma. La simplificación se basa en el mismo teorema que Karnaugh; es decir, que

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A

+

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A¶

=

1.

OBSERVACIONES: 1º- Todos los términos de la ecuación deben de contener todas las variables. 2º- Todos los términos de la ecuación que carezcan de alguna o algunas variables, ésta o éstas se incluyen, realizando el producto lógico entre ese o esos términos canónicos y los grupos formados por la suma de la o las variables sin negar y negadas. la ecuación Ejemplo: Sea Y = ABCD¶ + A¶CD Como se puede observar, el segundo término canónico no contiene la variable B; pero como debe tenerla, según la observación segunda, se le introduce y queda: Y = ABCD¶+ A¶CD ( B + B¶ ) = ABCD¶ + A¶BCD+ A¶B¶CD Ya todos los términos contienen todas las variables.

Los pasos a seguir para la simplificación de funciones por éste método son: 1º- Conseguir que todos los términos contengan todas las variables de la función. 2º- Se sustituyen todos los términos por los bits que representan las variables.(Una variable sin negar es un ³uno´ y para una variable negada se pone un ³cero´). 3º- Se determina el índice de cada término, siendo éste el número de ³unos´ que tenga. Así mismo, y para distinguir entre si los distintos términos de igual índice, se designa a cada uno de ellos el valor decimal que su código binario representa. Por ejemplo 10011 es de índice 3 y se le asigna el valor once. 4º- Se hace una primera lista de los términos de la ecuación clasificándolos por su índice. 5º- Se hace una segunda lista combinando los términos anteriores teniendo en cuenta que los términos a combinar no deben diferir entre sí más que en el estado de una variable, la cual se sustituye por un guión´. Si hay dos o más términos repetidos, se eliminan todos menos uno. 6º- Se forma una tercera lista combinando las parejas de términos de acuerdo con la norma anterior. Las nuevas combinaciones dispondrán, por lo tanto, de dos guiones, el anterior y el obtenido ahora. Los términos repetidos se eliminan todos menos uno. 7º- Con los términos no eliminados (después de sustituidos de nuevo por letras) se forma la expresión simplificada. Ejemplo: Sea la ecuación Y = A¶BC¶ + A¶CD + A¶BCD¶ + ACD 1ºPoner a todos los términos todas las variables: Y = A¶BC¶ ( D+D¶) + A¶CD ( B+B¶ ) +A¶BCD¶+ACD ( B+B¶) Y = A¶BC¶D + A¶BC¶D¶ + A¶BCD + A¶B¶CD + A¶BCD¶+ ABCD + AB¶CD 2ºlas letras por bits: Sustituimos Y = 0101 + 0100 + 0111 + 0011 + 0110 + 1111 + 1011 3º- y 4º- Determinación del índice y confección de la primera lista. índice término valor decimal 1 0100 4 2 0011 3 2 0101 5 2 0110 6 3 0111 7 3 1011 11

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4

1111

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15

5º- Confección de una segunda lista:

combinaciones término índice 4,5 0 1 0 _ 1 4,6 0 1 _ 0 1 5,7 0 1 _ 1 2 3,7 0 _ 1 1 2 6,7 0 1 1 _ 2 3,11 _ 0 1 1 2 7,15, _ 1 1 1 3 11,15 1 _ 1 1 3 6º- Tercera lista:

combinaciones término índice 4,5-6,7 01 _ _ 1 4,6-5,7 01 _ _ 1* 3,7-11,15 _ _ 11 2 3,11-7,15 _ _ 11 2*

Se elimina por estar repetido

y

7º- Ecuación simplificada Y = A¶B + CD

Ejercicios 4:

Problemas resueltos

PROBLEMA: Verificar los dos teoremas de DeMorgan mediante el uso de diagramas

14


Uni

rsi

J s

r s

ri t

ui

Si

Di i l subcon juntos.

de Empezaremos por la ver i icaci n del teorema de DeMorgan que dice: A+B

A·B

Un diagrama de subcon juntos nos permite localizar A + B de la siguiente manera :

Por otra par te, de los diagramas de subcon juntos de A y B:

vemos de la intersecci n de los mismos (que viene siendo el producto Boleano deA y

B) que A·B es igual a:

1

Wil

Arau j Qui

Uni

rsi

Esto

J s

comprueba

r s

ri t

el

teorema

Si

ui

de

DeMorgan

que

se

Di i l

deseaba

ver i icar.

Ahora continuamos con el teorema de DeMorgan que dice: A·B=A+B

Un diagrama de subcon juntos nos permite localizar A · B de la siguiente manera :

Por otra par te, de los diagramas de subcon juntos de A y

B que tenemos arr i ba, vemos que la suma de los mismos A+B es igual al diagrama super ior derecho. Es to comprueba teorema el otro de DeMorgan que se deseaba ver i icar.

BLE A: Mostrar todos los t rminos posi bles del doble producto AB usando un diagrama de subcon juntos, escr i biendo dentro de cada celda el t rmino que le AB , AB , corresponda (como etc.)

1

Wil ber Arau jo Quispe

Uni

rsi

J s

r s

ri t

ui

Si

Di i l

Para la resoluci n de es te problema, resu lta conveniente tener a la mano los d iagramas de subcon juntos para cada una de las var iab les cons iderando que el sistema estará formado por tres var iables en total:

Con estos tres diagramas a la mano, resulta fácil elaborar el diagrama de subcon juntos mostrando todos los t rminos pos i bles del doble produc to ABC:

PROBLE

A: Usando diagramas de subcon juntos, diseñar una máqu ina que produzca

las siguient es sa lidas.

1


Uni

rsi

J s

r s

ri t

ui

Si

Di i l

Esta máquina se puede lograr juntando los productos bás icosAB , AB , AB pero

en

te es

problema

se

y AB ,

trata de cons truír una máquina más senc illa.

Un vistazo a l diagrama de subcon juntos producido por la Tabla de Verdad proporcionada demues tra que dicho diagrama se puede descomponer en la suma de otros sub-diagramas que represen tan expres iones más senc illas:

En base a esto, la salida correspondiente a la misma máqu ina pero cons truída de una manera más senc illa será :

li

= AB + AC + BC

Obsérvese que con mera á lgebra Boleana no es pos i ble "ver " fáclimente esta simplif icaci n. Esta máquina puede ser v ista como una máqu ina ana lizadora de votos, puesto que la

B, C sean "1". Y desde luego, el misma puede ser ex tendido a más de tres entradas.

salida será "1" cuando una mayor ía de las entradas A, pr inci pio

1

de

la



Sistemas Digitales

PROBLEMA: Usando diagramas de subconjuntos, diseñar la máquina más sencilla posible cuya Tabla de Verdad sea la siguiente:

Tomando en cuenta las entradas que producen un " 1" a la salida, de la Tabla de Verdad obtenemos el siguiente diagrama de subconjuntos (usando el mismo orden de acomodos que en los problemas previos) que destaca los seis términos A·B·C, ABC, ABC, AB·C, ABC y ABC:

Podemos agrupar los términos ABC', ABC y A·B·C obteniendo la región común a las variables B y C, o sea B+C, y tomando tras esto la intersección de esta región con la región que corresponde a la variable A:

19


Uni

rsi

J s

r s

ri t

ui

Si

Di i l

Podemos agrupar también los términos ABC y AB·C:

Esto de ja a un solo término solitar io, el término ABC:

umando las tres regiones obtenemos la expres i n f inal para la máquina simplif icada : Sali a = A(B + C) + AB + ABC

20


Uni

rsi

PROBLE

J s

r s

ri t

Si

ui

Di i l

A: Dado un circuito cuya Tab la de Verdad es la siguient e:

construír el mapa de Karnaugh que le corresponde, mos trando en el mapa todas las entradas

correspond ientes

tanto

de

los

"unos"

como

de

los

"ceros ".

El contenido de cua lquier Tabla de Verdad se puede vac iar directamente a un mapa de Karnaugh, y viceversa. La Tab la de Verdad y el mapa de Karnaugh son en rea lidad dos formas diferentes de representar exactamente la misma informaci n. Podemos empezar con la construcci n del mapa poniendo un "1" en todos los casilleros del mapa que correspondan a los minterms, por e jemplo ABCD, A·B·CD, etc., y una vez que hayamos vaciado todos los minterms en el mapa podemos s implement e llenar el rest o de los cas illeros con "0". Para la Tabla de Verdad proporc ionada, vac iando los "unos " en los lugares que les corresponden y vac iando los "ceros " en los lugares que les corresponden, el mapa de Karnaugh será :

21



Sistemas Digitales

PROBLEMA: Representar, usando mapas de Karnaugh para cuatro variables, las siguientes expresiones que contienen minterms: 1)

ABCD

+

ABCD

+

ABCD

+

A·B·CD

+

A·B·CD

2)

ABCD

+

AB·C·D

+

ABC·D

+

A·B·CD

+

A·B·C·D

Los mapas de Karnaughg para las expresiones dadas serán como se muestra a continuación: 1)

22



Sistemas Digitales

2)

PROBLEMA: La Tabla de Verdad para un circuito lógico es como se muestra a continuación:

23



Usando

minterms,

dibujar

su

Sistemas Digitales

mapa

de

Karnaugh

correspondiente.

De acuerdo con la Tabla de Verdad proporcionada, trabajando sobre las salidas con valor de "1" la salida Boleana del circuito está dada en función de sus minterms por la siguiente expresión:

Salida = A·B·C + ABC + ABC + ABC + ABC El mapa de Karnaugh que corresponde a esta expresión es el siguiente:

PROBLEMA: Dibujar los mapas de Karnaugh para las siguientes expresiones:

24



__1)

AB

__2)

ABC

Sistemas Digitales

+

A·B·C +

B

+

BC

+

BC

Puesto que ambas expresiones están dadas como sumas-de-productos, la representación apropiada en ambos casos es a través de minterms. Los mapas deseados tendrán el siguiente aspecto: 1)

2)

PROBLEMA: Representar en un mapa de Karnaugh la siguiente expresión: ABCD + AB·C·D + ABD + A·B·CD + A·C

25



Sistemas Digitales

El mapa de Karnaugh para esta expresión Boleana de cuatro variables es el siguiente:

PROBLEMA: Una configuración produce la siguiente salida: f = AB + ABCD + A·B·CD + A·B·D + A·B·CD Simplificar

la

configuración

utilizando

el

mapa

de

Karnaugh.

El mapa de Karnaugh, mostrando un posible agrupamiento simplificador, es el siguiente:

26



Sistemas Digitales

Según se puede observar en el mapa, una primera simplificación se puede llevar a cabo

enrollando el mapa horizontalmente alrededor de un cilindro para que varios cuadros queden cubiertos por la expresión B·C. Sin embargo, esto deja fuera tres "unos". Buscamos a continuación la mejor manera de agrupar los "unos" restantes como se muestra en el siguiente agrupamiento:

27



Sistemas Digitales

Estos dos agrupamientos "cobijan" todos los "unos"faltantes. Vemos que los demás "unos" se pueden agrupar bajo las expresiones AB y B·D. La salida simplificada estará dada entonces por la siguiente relación:

f = AB + B·C + B·D

PROBLEMA: Utilizando el mapa de Karnaugh, simplificar la siguiente expresión: f = ABCD + ABCD + ABC·D + AB·CD + ABCD + ABCD + A·B·CD + A·B·CD El mapa de Karnaugh correspondiente a esta expresión, con una posible simplificación, es el siguiente:

La solución posible indicada en el mapa resulta ser:

f = ABD + ACD + ABC + A·BD Existe, sin embargo, otra solución posible, la cual se indica en el siguiente mapa de Karnaugh (uno de los agrupamientos se obtiene enrollando el mapa horizontalmente uniendo el borde derecho con el borde izquierdo):

28



Sistemas Digitales

Vemos pues que la solución alterna está dada por la relación:

f = ABC + BCD + ACD + B·CD En este problema, el mapa de Karnaugh nos proporciona dos soluciones diferentes para un mismo caso, cualquiera de las cuales es igualmente aceptable y válida. Corresponderá al ingeniero de diseño decidir cuál de las dos soluciones es más económica de construír con los componentes que tenga disponibles a la mano.

PROBLEMA: Representar en mapas de Karnaugh las siguientes expresiones que contienen maxterms: 1) (A + B) · (A + B + C) · (A + B + C + D) · (B + C + D) 2) ( A + B + C) · ( A + C + D ) · (B + C + D ) · ( A + D) Los

mapas

de

Karnaugh

pedidos

son

los

siguientes:

1)

29



Sistemas Digitales

2)

PROBLEMA: Un circuito produce la siguiente Tabla de Verdad. Usando maxterms, encontrar su salida y simplificar dicha expresión usando el mapa de Karnaugh:

30



Sistemas Digitales

Usando maxterms, la salida del circuito está dada por la siguiente relación: (A + B + C + D ) · ( A + B + C + D ) · ( A + B + C + D ) · (A + B + C + D ) · ( A + B + C + D) El mapa de Karnaugh con las agrupaciones simplificadoras posibles es el siguiente:

31



Sistemas Digitales

Del mapa vemos que la expresión de salida simplificada será:

Salida = (B + C + D ) · (A + C + D ) · (A + B +D ) · (A + B + C)

PROBLEMA: Se requiere construír un circuito lógico que produzca las siguientes salidas:

32



Sistemas Digitales

Haciendo uso del mapa de Karnaugh y diseñando alrededor de los minterms, encontrar un circuito minimizado que pueda producir las salidas deseadas. Lo primero que debemos notar es que aunque se trata de un circuito lógico de cuatro variables, no todas las 16 combinaciones posibles de variables están presentes, tales como las combinaciones ABCD=1110, ABCD=1101, etc., lo cual podemos tomar como un indicativo de que tales combinaciones no están presentes por el simple hecho de que no serán utilizadas para los propósitos que persigue el circuito lógico que está siendo diseñado. En otras palabras, son combinaciones redundantes, las cuales no importa que tomen un valor de "1" ó de "0". Y si son redundantes, las podemos meter dentro del mapa de Karnaugh simbolizadas con una "X", dando a entender con esto que pueden tomar un valor de " 1" ó de "0" sin que ello afecte en lo absoluto los requerimientos finales del diseño. El mapa de Karnaugh del circuito, mostrando las simplificaciones posibles que se pueden lograr aprovechando las combinaciones redundantes, es el siguiente:

Enmarcados en un recuadro de color verde, los minterms AB·CD y AB·C·D junto con las redundancias ABC·D, ABCD, ABCD, ABCD, ABCD y ABCD se reducen a la variable A. Enmarcados en un recuadro de color rojo, los minterms ABCD y ABCD junto con las redundancias ABCD y ABCD se reducen al término BC. Y enmarcados en un recuadro de color azul, los minterms A'BCD y A'BC'D junto con las redundancias

33



Sistemas Digitales

ABCD y ABCD se reducen al término BD. La salida del circuito minimizado resulta ser entonces: Salida = A + BC + BD

PROBLEMA: Escribir, mostrando todas las variables Boleanas en forma explícita, las expresiones representadas por la siguiente notación compacta: F(a,b,c)

(1)

=

m(0,2,7)

(2)

F(A,B, C,D)

=

m(0,1,3,4,5,7,12,13,15)

(3)

F(A,B,C,D)

=

m(15,11,7,14,10,12,6,4)

Z

(4)

=

m(0,1,2,4,6)

En el primer caso que involucra a tres variables, la expresión Boleana explícita será: F(a,b,c) = m(000,010,111) F(a,b,c) = a·b·c + abc + abc En el segundo caso, la expresión Boleana explícita será: F(A,B,C,D) = m(0000,0001,0011,0100,0101,0111,1100,1101,1111) F(A,B,C,D) = A·B·C·D + A·B·CD + A·BCD + ABC·D + ABCD + ABCD + ABC·D + ABCD + ABCD En el tercer caso, la expresión Boleana explícita será: F(A,B,C,D) = m(1111,0111,1110,1010,1100,0110,0100) F(A,B,C,D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABC·D + ABCDD + ABC·D

34


Uni

rsi

J s

r s

ri t

ui

Si

Di i l

Y en el cuar to caso que podemos suponer que involucra a tres var iables puesto que el decimal más grande de todos no excede de 7 (111), des ignando a dichas var iables como p, q y r la expres i n Boleana explícita será :

Z

m(000,001,010,100,110)

=

Z = p·q·r+ p·q + pqr + pq ·r + pqr

PROBLE

A:

Mediante el método de Qu ine-McCluskey, s implif icar la siguient e

expresi n.

Z = A·B·C + A·B·C + AB·C + ABC Usaremos la no taci n compacta para s implif icar los listados que se llevarán a cabo, con

la cual:

Z

=

(000,001,100,101)

Z = m(0,1, ,5) Agrupando los términos según sus índices, podemos llevar a cabo una simplif icaci n sucesiva pasando de una pr imera lista a una segunda lista y tras esto a una tercera lista de la manera mostrada :

En la segunda lista podemos ver que la expresi n or iginal ha sido reducida a:

Z = A·B + B·C + BC + AB

35


Uni

rsi

J s

r s

ri t

Si

ui

Di i l

Y en la tercera lista vemos que la expres i n f inal simplif icada es

Z=B

En est e caso, dada la simplicidad de la minimizaci n, no fue necesar io trazar ninguna retícula.

PROBLE

A:

Mediante el método de Quine-McCluskey, s implif icar la siguient e

expresi n.

Z = A·B·CD + A·BCD + ABCD + ABCD' + ABCD + ABCD' + A ·BCD Por comodidad, usaremos la notaci n compacta para simplif icar los listados que se

llevarán a cabo, con lo cual:

Z

m(0000,0010,0100,0101,1000,1001,1100)

=

Z = m(0,2,4,5,8,9,12) Agrupando los términos según sus índices, podemos llevar a cabo una simplif icaci n sucesiva pasando de una pr imera lista a una segunda lista y tras esto a una tercera lista de la manera mostrada :

De la simplif icaci n sucesiva podemos ver que los implicant es pr imar ios de la expresi n

Boleana

or iginal

son

A·B·D,

ABC,

AB·C

y

C·D.

Finalmente, y aunque no es indispensab le en este problema, construímos una retícula con la f inalidad de conf irmar que ninguno de los implicant es pr imar ios ob tenidos es redundan te:

36



Sistemas Digitales

Podemos ver que la solución final de la minimización es entonces:

Z = A·B·D + ABC + AB· C + C·D

PROBLEMA: Mediante el método de Quine-McCluskey, simplificar la siguiente expresión. Z = A·B·C·D + A·B·CD + A·BCD + A·BCD + ABCD + ABCD + AB·C·D + ABCD + ABC·D + ABCD + ABCD Nuevamente, por comodidad usaremos la notación compacta para simplificar los listados que se llevarán a cabo, con lo cual:

Z

=

m(0000,0001,0010,0011,0101,0111,1000,1010,1100,1101,1111)

Z = m(0,1,2,3,5,7,8,10,12,13,15) Agrupando los términos según sus índices, podemos llevar a cabo una simplificación sucesiva pasando de una primera lista a una segunda lista y tras esto a una tercera lista de la manera mostrada:

37


Uni

rsi

J s

r s

ri t

ui

Si

Di i l

De la simplif icaci n sucesiva podemos ver que los implicant es pr imar ios de la expresi n Boleana or iginal son A·B,

B·D, AD, BD, AC· D y ABC. Finalmente, construímos una retícula con la f inalidad de remover a los implicantes pr imar ios redundan tes:

Podemos ver que la soluci n f inal de la minimizaci n, con los implicantes pr imar ios redundan tes ya removidos, es entonces:

Z = B·D + BD + A·B + AC·D

PROBLE

A:

Mediante el método de Qu ine-McCluskey, s implif icar la siguiente

expresi n.

Z = A·B·C·D + A·B·CD + A·BCD + A·BCD + ABC·D + ABCD + ABCD + AB·CD' + AB·CD + ABCD + ABCD

38



Sistemas Digitales

Agrupando los términos según sus índices, podemos llevar a cabo una simplificación sucesiva pasando de la primera lista que aparece en el extremo izquierdo a la segunda lista en donde puede apreciarse que los términos de cuatro variables han sido reducidos a términos de tres variables, pasando finalmente a la tercera lista en el extremo derecho en la cual los términos de tres variables han sido reducidos a términos de dos variables:

Finalmente, construímos la retícula en la cual "graficamos" los implicantes primarios obtenidos en su relación con los minterms de la expresión original:

De la reticula podemos ver que la expresión final simplificada es:

Z = B·C + A·D + CD El método de Quine-McCluskey es superior al mapa de Karnaugh en el sentido de que

39



Sistemas Digitales

el primero se presta a ser programado para ser resuelto de manera automática por una computadora. Repasando los problemas anteriores, cualquiera que tenga conocimientos previos en programación en algún lenguaje como BA SIC ó C++ podrá ir formando ya en su mente un algoritmo ("receta de cocina" generalizada especificando una serie de pasos para la resolución de un problema computacional) para llevar a cabo la minimización de un circuito lógico en forma automatizada mediante el método QuineMcCluskey, el cual siempre garantiza la obtención de la configuración mínima. Sin embargo, el principal problema con el método de Quine-McCluskey, visible ya para alguien con conocimientos de programación que quiera elaborar su programa para generalizar el método hacia cualquier número de variables, es que tiene que llevar a cabo una búsqueda exhaustiva agotando una por una todas las posibilidades, lo cual en la materia clásica de Estructuras de Datos equivale a tener que recorrer todos los nodos de un "árbol" que se va formando al irse acumulando los resultados parciales obtenidos en la búsqueda de la solución óptima. Esto, desde luego, pone al método de Quine-McCluskey dentro de una categoría de problemas matemáticos conocidos como NP-"duros ", lo cual en términos llanos significa que el algoritmo de Quine-McCluskey va creciendo exponencialmente de acuerdo a la cantidad de variables de entrada aumentando enormemente la cantidad de tiempo computacional requerido a medida que aumenta la cantidad de entradas a un circuito lógico, lo cual eventualmente limita el rango de aplicación del método.

PROBLEMA: Así como hay una notación compacta para representar una expresión Boleana puesta en función de sus minterms como una suma de productos, también hay una notación compacta para representar una expresión Boleana puesta en función de sus maxterms como un producto de sumas. Bajo esta notación, la siguiente expresión Boleana escrita empleando maxterms, como un producto de sumas: Salida = (A + B + C)(A + B + C ) puede ser convertida a notación compacta recordando la manera en la cual se definen los maxterms a partir de una Tabla de Verdad (recuérdese que en un maxterm la suma Boleana de las variables debe ser siempre cero, debiéndose complementar aquellas variables que sean "1" para que así haya únicamente "ceros" en la formación del maxterm). Así, la expresión dada arriba queda representada en forma compacta de la siguiente manera:

40



Sistemas Digitales

Salida = M(000,001) o bien, usando la más familiar notación decimal:

Salida = M(0,1) Revirtiendo los pasos, podemos reconstruír la expresión original. Obsérvese que se ha utilizado la letra griega Pi mayúscula () para indicar que se trata de un producto de sumas. El par "M" se lee como "el producto de maxterms". Definido lo anterior, representar en forma compacta las siguientes expresiones: (1)

F(A,B,C)

=

(A

+

B

+

C)

·

(A

+

B

+

C)

(2) F(A,B,C,D) = (A+B+ C+D) · (A+B+C+D) · (A+B+C+D) · (A+B+C+D) (2) Z = (A+B+C+D) · (A+B+C+D) · ( A+B+C+D) · (A+B+ C+D) · ( A+B+C+D) __________· A+B+C+D) ( · ( A+B+C+D) Para la primera expresión, convirtiendo cada maxterm a su equivalente binario de acuerdo con la combinación de "unos" y "ceros" que lo producirían en una Tabla de Verdad: F(A,B,C)

=

M(101,110)

F(A,B,C) = M(5,6) Para la segunda expresión, convirtiendo cada maxterm a su equivalente binario de acuerdo con lo que lo produciría en una Tabla de Verdad: F(A,B,C,D) = M(0101,1000,0011,1001) F(A,B,C,D) = M(5,8,3,9) Reacomodando: F(A,B,C,D) = M(3,5,8,9)

41


Uni

rsi

J s

r s

ri t

Si

ui

Di i l

Para la tercera expres i n, convir tiendo cada maxterm a su equ ivalent e binar io de acuerdo con lo que lo produc ir ía en una Tabla de Verdad:

Z

=

M(0010,0110,1110,1010,1000,1001,1011)

Z = M(2,6,14,10,8,9,11) R eacomodando:

Z = M(2,6,8,9,10,11,14)

PROBLE

A: Encontrar, para un c ircu ito de dos sa lidas con cuatro var iab les de

entrada, cuyos mapas de Karnaugh sean los siguientes:

los agrupamientos comunes que podr ían ser utilizados para formar sub-c ircu itos comunes reduc iendo con ello la cantidad de componen tes y a lambrado requer ido. Con ambos mapas de Karnaugh pues tos lado a lado, podemos cap tar de inmediato las siguientes tres regiones comunes (una encerrada en una línea ro ja, la otra en una línea verde, y la otra en una línea azul) que podr ían ser utilizadas para for mar sub-c ircu itos:

42


Uni

rsi

J s

r s

ri t

Si

ui

Di i l

Obsérvese que no es tamos utilizando aqu í el mapa de Karnaugh en su sen tido "clásico" para minimizar una func i n Boleana dentro del mapa, sino para det ectar las regiones comunes en mapas d iferentes. in embargo, una vez det ectadas las regiones comunes a mapas diferentes, podemos tratar de minimizar dichas regiones comunes den tro de cada mapa (la simplif icaci n en todo caso será la misma para regiones iguales). Esta técnica se puede ext ender a circu itos l gicos con tres, cuatro, cinco o más sa lidas. E l

inconveniente de ir extendiendo este método a una can tidad mayor de var iables de salida es que con muchos mapas de Karnaugh puede ir resultando más dif ícil captar las regiones comunes. 6.

Impli aci

Un i mpli cant e es un mi nt érmi no o un grupo de ést os que formen un sub-cubo.

Una expresi n X i mplica la funci n f , si y so lamen t e si f=1 para cualqu i er combinac i n de val ores para los cual es X=1.

e anot a la impli caci n de la s igui ent e forma:

f

X

X  f

Puede verse que si X  f , con g una funci n bool eana, puede anotarse:

f = X + g .

Es deci r, X es un t érmi no o par t e de f . Tamb i én suel e deci rse que f cubre a X. En una mapa de f , s i X corresponde a un grupo de mi nt érmi nos, g corresponderá al rest o de los mi nt érmi nos de f , no considerados en X.

43



Sistemas Digitales

Se desea ahora definir las componentes de f que sean más primitivas.

Implicantes primos

Un implicante primo es un implicante que no puede ser agrupado con otros implicantes, para formar un sub-cubo de mayor dimensión.

Se dice que X (producto de literales) es un ³implicante primo´ de f si y sólo si: y

X  f

y

No existe y tal que X  y  f , donde el número de literales de y es menor que el número de literales de X. No puede encontrarse un grupo mayor que X. Si existe y; entonces y es un implicante primo. Básicamente, es un producto de literales que no puede ser combinado con otros para obtener un término con menos literales. Se dice primo o primitivo en el sentido de ser componente básica o elemental de una función. Algunas propiedades de un implicante primo:

y

No contiene literales repetidos.

y

No contiene a una variable y a su complemento.

y

No contiene variables redundantes. Es decir, si se descarta un literal del implicante, el resto no será implicante.

y

Si x e y son implicantes primos de f, entonces:

x

no cubre a y; y viceversa.

Encontrar los implicantes primos es determinar los grupos de mintérminos que pueden escribirse con menos literales. Pasar de un implicante a un implicante primo está asociado a un proceso de crecimiento; es decir, a encontrar un grupo de mintérminos que forman el sub-cubo mayor posible.

Implicante primo esencial Es aquél que cubre a lo menos un mintérmino de la función que no es cubierto por otros implicantes primos. Deben estar presentes en la forma mínima. Los mintérminos superfluos pueden emplearse para formar implicantes primos; pero no deben considerarse para los implicantes primos esenciales.

44



Sistemas Digitales

Ejemplo: Para una función de 4 variables se tienen los siguientes implicantes primos:

A'B'D, BC', AC, A'C'D, AB, B'CD De los 6 implicantes primos, sólo AC es esencial. ya que contiene al mintérmino: AB'CD' que no es cubierto por ningún otro implicante primo.

A

0

X

1

0

1

1

1

0

D 1

0

1

1

0

0

1

1

C B

Puede comprobarse que se logra una mínima cobertura de la función con: AC + BC' + A'B 'D Ejemplo: Para una función de 4 variables se tienen los siguientes implicantes primos: BD, ABC', ACD, A'BC, A'C'D

A Sólo BD es no esencial.

0

0

1

0

La función mínima debe contener

1

1

1

0

D

los esenciales, y con éstos se logra cubrir completamente a la función:

f = ABC ' + ACD + A'BC + A'C'D

45

0

1

1

1

0

1

0

0

C B Wilber Araujo Quispe


Sistemas Digitales

Método de Quine Es un método sistemático para encontrar la expresión mínima de una función, que no depende de la habilidad para reconocer agrupaciones en un mapa deKarnaugh.

Básicamente, es una búsqueda exhaustiva de todas las adyacencias entre los mintérminos de la función, mediante la aplicación sistemática de:

a

!

ab  a b

a todos los términos de la forma canónica.

Obtención de implicantes primos

y

Se forma una primera columna con los

y

Se forma la siguiente columna según: 

mintérminos de la función.

Se revisa el primer elemento de la columna con todos los siguientes; si se encuentra

un término que sólo difiera en una variable, se lo anota en la nueva columna, omitiendo el literal correspondiente; se marcan los términos en la columna actual. 

y

Se repite el proceso para todos los elementos de la columna.

Se vuelve a repetir el paso anterior hasta que no se puedan formar nuevas columnas.

Los términos que originan nuevas entradas, en la próxima columna, sólo necesitan marcarse una vez. Pero pueden usarse las veces que sea necesario.

Nótese que la segunda columna lista todos los grupos de dos mintérminos. La tercera, lista grupos de cuatro mintérminos adyacentes, y así sucesivamente. Al finalizar el proceso anterior, los elementos no marcados en las columnas, corresponden a los implicantes primos.

Ejemplo: Obtener los implicantes primos de: f(a, b, c) ! § m(0,2,5,6,7)

46



Sistemas Digitales

Primera columna

Segunda

m

min.

marcas

Grupos Implicantes

0

a'b'c'



(0,2)

a'c'

2

a'bc'



(2,6)

bc'

5

ab'c

(5,7)

ac

6

abc'

(6,7)

ab

7

abc

  

 

columna



No se pueden formar nuevas columnas, por lo tanto los implicantes primos son: a'c', bc', ac, ab

Nótese que en la segunda columna, se han identificado los renglones con los grupos de mintérminos.

Cuando se escribe, en la segunda columna: columna.

a'c', se marcan con  el 0 y el 2 en la primera

Cuando se escribe, en la segunda columna:

bc', se marcan con  los mintérminos 2 y 6.

Tabla de implicantes La tabla de implicantes se forma empleando los implicantes primos en los renglones y los mintérminos de la función en las columnas. Luego, en cada renglón, se efectúa una marca en las columnas de los mintérminos pertenecientes al implicante considerado.

Aquellas columnas que tengan sólo una marca, permiten detectar a los implicantes primos esenciales. En esta tabla puede escogerse el menor número de implicantes primos que cubran todos los mintérminos de la función. Evidentemente, deben estar presentes todos los implicantes primitivos esenciales en la expresión mínima de una función.

Ejemplo: La tabla de implicantes, para el ejemplo anterior:

0

47

2

5

6

7 Wilber Araujo Quispe


a'c'



bc'

Sistemas Digitales  

ac

 

ab

 



La columna 0 permite identificar a: a'c' como implicante primo esencial. Igualmente la columna 5 indica que ac también es esencial.

Se acostumbra encerrar con un círculo las marcas en las columnas que definen los implicantes primos esenciales.

Nótese que sólo resta cubrir el mintérmino 6, lo que puede lograrse eligiendo: bc' ó ab

Finalmente, la forma mínima es: f = a'c' +ac + bc'

o, alternativamente:

f = a'c' + ac + ab

Reducción de tablas En caso de tener tablas complejas, éstas pueden reducirse mediante el siguiente método. Cada vez que se selecciona un implicante para formar la función, se remueve el renglón correspondiente.

Cuando se remueve un renglón, también se eliminan las columnas que tienen marcas en dicho renglón.

Se

comienza eliminando los implicantes primos esenciales. reduciéndose, aplicando las siguientes reglas:

Luego la tabla puede seguir

y

Un renglón cubierto por otro, puede eliminarse (sólo el renglón).

y

Una columna que cubre a otra puede eliminarse (sólo la columna).

48



Sistemas Digitales

Un renglón cubre a otro, si tiene marcas en las columnas marcadas del otro, pudiendo además tener columnas adicionales marcadas. Podría decirse que el renglón eliminado es menos importante, debido a su menor cobertura de la función.

Ejemplo: Implicante primo ipa cubre a implicante primo ipb.

m1

m2

m3

ipa







ipb





Una columna cubre a otra, si contiene marcas en cada renglón que esa otra columna tiene marcas. Ejemplo:

m1 ipa

m2

m3





ipb





ipc





ipd



La columna m2 cubre a la columna m1; puede eliminarse la columna m2. El mintérmino de la columna eliminada tiene asegurada su consideración.

Se

repite la aplicación de las reglas hasta agotar la tabla. Siempre se remueven aquellos renglones que contengan columnas con una sola marca (se tratan en la tabla reducida, en forma similar a los implicantes primos esenciales en la tabla completa).

La función se forma con los implicantes de los renglones removidos por contener columnas con una sola marca.

Excepción a lo anterior la constituyen las tablas reducidas cíclicas, que no pueden reducirse según el método recién planteado. En éstas se elige un implicante en forma arbitraria y se remueve el renglón correspondiente.

49



Sistemas Digitales

Ejemplo: Reducir la tabla de implicantes de la función f.

ipa

1

3





ipb

4

6







ipc

7

9

15

 

ipd

 

ipe

 

ipf 

ipg iph

13









Observar que el implicante primo b es esencial. Removiendo el renglón asociado a b, deben también removerse columnas asociadas a los mintérminos 4 y 6.

Queda la siguiente tabla reducida:

ipa

1

3



 

ipc

7

9

15



ipd



ipe



 

ipf 

ipg iph

13









El renglón ipc cubre a ipd; por lo tanto, puede eliminarse el renglón ipd.

ipa ipc ipe

50

1

3



 

7

9

13

15

 





Sistemas Digitales 

ipf 

ipg iph









La tabla resultante es cíclica. Se escoge arbitrariamente al primitivo ipa para formar la función, esto elimina columnas 1 y 3, quedando:

7 ipc



ipe



9

13

15

 

ipf ipg



iph







Ahora, ipe cubre a ipc; e ipg cubre a iph, queda eliminando a ipc e iph:

7 ipe

9

13



 

ipf ipg

15







ipe e ipg deben formar parte de la función; pues contienen a las columnas 7 y 9, que en la tabla reducida sólo tienen una marca. Luego de esto, la tabla queda vacía.

Finalmente: F

= ipb + ipa + ipe + ipg

Existen otras formas mínimas posibles. Estas se obtienen eliminando otro implicante cuando la tabla resultó cíclica.

Por ejemplo, eliminando ipc, resulta:

51



1 ipa

9

13

15

 

ipe 

ipf 

ipg iph

Sistemas Digitales









ipf cubre a ipe. iph cubre a ipa. Eliminando ipa e ipe, se obtiene:

1

9

ipf 

ipg iph



13

15









En la cual deben escogerse: ipf e iph.

Entonces resulta otra función mínima: f = ipb +ipc + ipf + iph

Cuando se tienen condiciones superfluas, el método es similar, excepto que en la tabla no se consideran las columnas de mintérminos superfluos, debido a que éstos no requieren ser cubiertos.

El método anterior es adecuado para un número reducido de variables. Una variante del método tabular recién descrito es el de Quine-McCluskey. Básicamente, representa en forma digital el método de Quine, y es muy adecuado para ser programado en un computador.

52



Sistemas Digitales

Método de Quine-McCluskey Se

forma la columna de mintérminos, codificada en binario o decimal, en grupos, de acuerdo al número de unos.

Se

comparan los elementos de cada grupo, buscando adyacencias, y se forman las siguientes columnas en forma similar al método de Quine. Notando que en la representación decimal, diferencias de 1, 2, 4, 8 y, en general, de una potencia de 2, indican una diferencia en un bit. También se mantiene la separación en grupos en las nuevas columnas.

Existen tablas con los números decimales y su número de unos en representación binaria. Para facilitar la formación de los grupos.

La segunda columna representa todas las agrupaciones posibles de dos mintérminos. La tercera columna representa grupos de cuatro mintérminos, y así sucesivamente.

El algoritmo permite trabajar con dígitos decimales o binarios. Se anotan en los ejemplos columnas binarias y decimales. En la segunda y siguientes columnas, las variables eliminadas se denotarán con un guión(también es posible anotar la posición del guión con un número decimal potencia de dos).

Pueden combinarse dos términos si ellos difieren solamente en un literal; por esta razón, no podrán combinarse dos términos en un mismo grupo. Los miembros de un grupo de un solo "1", difieren en dos variables por lo menos; lo mismo puede establecerse para los otros grupos. Esta observación organiza la búsqueda de adyacencias, ya que sólo es preciso comparar entre grupos adyacentes. Ejemplo:

Aplicar método de Quine-McCluskey para minimizar la siguiente función:

g(a,b,c,d,e,f) = 7 m(0,2,6,7,8,10,12,14,15,41)

Considerando la equivalencia binaria de los mintérminos decimales, se tienen: m0 = 000000 m2 = 000010 m8 = 001000 m6 = 000110

53



Sistemas Digitales

m10 = 001010 m12 = 001100 m7 = 000111 m14 = 001110 m41 = 101001 m15 = 001111

Formando grupos, de acuerdo al número de unos: Se obtiene la siguiente tabla:

Decimal mintérmino

a

b

c

d

e

f

Número de unos

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

1

0

1

8

0

0

1

0

0

0

6

0

0

0

1

1

0

10

0

0

1

0

1

0

12

0

0

1

1

0

0

7

0

0

0

1

1

1

14

0

0

1

1

1

0

41

1

0

1

0

0

1

15

0

0

1

1

1

1

2

3

4

Los mintérminos del grupo con n unos, se comparan con todos los del grupo con (n+1) unos.

En la representación decimal se buscan diferencias de potencias de dos; en binario, se busca la diferencia en un bit. Puede formarse la siguiente tabla, que contiene los implicantes formados por dos mintérminos:

Decimal Grupo

54

Binario Posición a

b

c

d

e

f

Número de unos



Sistemas Digitales

0,2

2

0

0

0

0

-

0

0.8

8

0

0

-

0

0

0

2,6

4

0

0

0

-

1

0

2,10

8

0

0

-

0

1

0

8,10

2

0

0

1

0

-

0

8,12

4

0

0

1

-

0

0

6,7

1

0

0

0

1

1

-

6,14

8

0

0

-

1

1

0

10,14

4

0

0

1

-

1

0

12,14

2

0

0

1

1

-

0

7,15

8

0

0

-

1

1

1

14,15

1

0

0

1

1

1

-

0

1

2

3

En la notación decimal, se anota la lista de mintérminos y la posición de la variable eleiminada se registra con una potencia de dos entre paréntesis. Nótese que se mantiene el concepto de grupos, mediante líneas horizontales. A medida que se forma la segunda tabla, se van marcando los mintérminos utilizados en la primera tabla.

En el ejemplo no queda marcado el 41, ya que no puede agruparse con ningún otro mintérmino; en este caso el mintérmino 41 es implicante primo esencial. Para formar la tercera tabla, que contendrá grupos de cuatro mintérminos; se buscan diferencias de potencias de dos entre grupos adyacentes, pero además deben tener igual diferencia (o posición de variable eliminada). Por ejemplo la componente del grupo µ0,2¶ es necesario compararla solamente con µ8,10¶ del segundo grupo, debido a la diferencia común (2).

No importa el orden de las listas de mintérminos, sólo se anotan una vez. Por ejemplo, entre los primeros grupos se tiene:

Diferencia:

55

0, 2

(2)

8, 10

(2)

8, 8

generando: 0, 2, 8, 10 (2,8)



Sistemas Digitales

0, 8

(8)

2, 10

(8)

2, 2

generando: 0, 8, 2, 10 (8,2)

Diferencia:

Estas dos agrupaciones se consideran iguales. Desarrollando en forma similar, se genera la siguiente tabla:

Decimal

Binario

Grupo

Posición a

b

c

d

e

f

Número de unos

0, 2, 8, 10

2,8

0

0

-

0

-

0

0

2, 6, 10, 14

4,8

0

0

-

-

1

0

1

8, 10,12,14

2,4

0

0

1

-

-

0

6, 7, 14, 15

1,8

0

0

-

1

1

-

2

De este modo quedan marcados todos los grupos de la segunda lista.

Nótese que, en la tabla anterior, no hay diferencias comunes entre grupos, por lo tanto, no puede formarse una siguiente tabla. Es decir, no hay implicantes formados por 8 mintérminos que estén formando un 3-cubo.

La tabla de implicantes resulta:

Implicantes

0

2

8

6

10

12

7

14

41

15

primos 

41 0, 2, 8, 10 2, 6, 10, 14 8, 10, 12, 14 6, 7, 14, 15









 



 



 

 





Removiendo los implicantes primos esenciales, la función mínima queda:

56



Sistemas Digitales

g = ab'cd'e'f + a'b'd'f' + a'b'cf' + a'b'de

Es conveniente realizar el ejemplo, desarrollando agrupaciones en un mapa de Karnaugh, a medida que se forman las tablas.

Nótese que todo el proceso podría haberse realizado sólo considerando la información binaria, o solamente la información decimal.

La exposición de este método permite elaborar algoritmos para efectuar programas para minimización automática, y también tener las bases para comprender el funcionamiento de las aplicaciones.

El siguiente programa en Abel, permite obtener las ecuaciones minimizadas:

" Ejemplo Quine McKluskey. "g(a,b,c,d,e,f) = Suma(0,2,6,7,8,10,12,14,15,41) MODULE quine " entradas a, b, c, d ,e, f PIN; " salidas g

PIN ISTYPE 'COM';

EQUATIONS truth_table ( [a, b, c, d, e, f ]-> g) 0-> 1; 2-> 1; 6-> 1; 7-> 1; 8-> 1; 10-> 1; 12-> 1; 14-> 1; 15-> 1; 41-> 1;

57


MÉTODO DE QUINE McCLUSKEY

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