9) Función Lineal

Fatela PREUNIVERSITARIOS

MATEMÁTICA: GUÍA º 9 “Función Lineal” LA FUCIÓ LIEAL O AFÍ: La función más simple en la matemática es la función lineal o de primer grado, donde la incógnita x aparece sólo elevada a la primera potencia. Su forma general es: y= m .x +b Ordenada al origen pendiente La representación gráfica de esta función es una línea recta. Donde “m” es un número constante llamado "pendiente de la recta" y “b” es otro número constante llamado "ordenada al origen".

Significado de la Ordenada al Origen "b": y = f(x) = m. x + b f(0) = m. 0 + b

⇒

La ordenada al origen "b" es el valor que toma la función “y” cuando “x” vale cero

f(0) = b

Gráficamente la ordenada al origen "b" es el punto donde la recta corta al eje "y". O sea que es la ordenada que le corresponde al origen de las abscisas (x = 0).

Significado de la Pendiente Pendiente "m": Si P2 (X2;Y2) ∈ f(x)

⇒

Y2 = m . X2 + b

Si P1 (X1;Y1) ∈ f(x)

⇒

Y1 = m . X1 + b

Y2 − Y1 = m . X2 + b − (m . X1 + b) Y2 − Y1 = m . X2 + b − m . X1 − b Y2 − Y1 = m . (X2 − X1)

⇒

Y2 − Y1 X 2 − X1

=m=

∆y ∆x

La pendiente "m" indica la variación de la función " ∆y" por unidad de variación de la variable independiente "x" Matemática: Función Lineal - 1 -23


La pendiente “m”, como su nombre lo indica refleja la inclinación de la recta.

Representación gráfica de la recta sin hacer tabla de valores. Siempre es posible representar una recta sin necesidad de hacer la tabla de valores. Para ello se procede así: 1) Se ubica la ordenada al origen "b" en el eje “y”, con lo cual se obtiene un punto de la recta. 2) A partir de este punto se “corren” tantas unidades como marca el denominador de la pendiente " ∆x" hacia la derecha y luego se “suben” o “bajan” tantas unidades como marca el numerador de la pen diente "∆y", dependiendo del signo positivo o negativo de la misma. Así se halla un segundo punto de la recta, que al unirse con el primero permite trazar la recta. Por ejemplo: y = 2.x + 1 b = f(0) = 1 m=2=

2 1

=

∆ y ∆ x

Ordenada al Origen b = 1

y

5 4 3 2 1

m=

∆y ∆x

0

∆ =2 ∆x =1

1

x 2

3

4

5

El signo de la pendiente determina si la recta es creciente o decreciente: Si la pendiente es positiva (+) la función es creciente, lo cual significa que si aumentamos la “x” en un cierto " ∆x", la “y” también aumentará en un cierto " ∆y". Si la pendiente es negativa ( −) la función será decreciente y por tanto ante un aumento de la “x” habrá una disminución de la “y”. Algunas rectas son de la forma “y = b”, lo cual implica que la pendiente “m” es cero pues no aparece el término “m.x”. Esta es la llamada función constante y su gráfica es una recta horizontal la cual no es ni creciente ni decreciente sino estacionaria. También hay rectas del tipo “y = m.x” en las cuales la ordenada al origen es cero, “b = 0”. Estas rectas pasan por el origen de coordenadas, o sea por el punto (0,0). Por último se puede considerar a las rectas verticales, si bien no son funciones desde el punto de vista matemático (pues no cumplen las Matemática: Función Lineal - 2 -23


condiciones de existencia y unicidad). Tienen la forma “x = c”, siendo “c” un número constante cualquiera. Todos estos casos particulares de rectas se ejemplifican a continuación: y

=

2 3

x

+1

6

y

=−

3 x + 4 4

y

=

1

x=7

y=2

x

4

y

5 4 3 2 1

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

ÁGULO DE ICLIACIÓ DE UA RECTA : El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo formado entre el eje x (en su sentido de crecimiento) y la recta, medido en sentido antihorario o positivo.

Recta Creciente

“α” es agudo

Recta Decreciente

m > 0 (+)

y

“α” es obtuso m < 0 (−)

y α ∆ α

∆x α

x m = tg (α) =

∆y ∆x

x

La pendiente "m" es igual a la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación. Matemática: Función Lineal - 3 -23


La recta que tiene un ángulo de inclinación de 90º (recta vertical), no es función pues no cumple las condiciones de existencia y unicidad. Correspondería a una recta de pendiente que tiende a infinito. La tangente de 90º no existe, por lo cual a esta recta no puede asociársela con una función (no tiene ni pendiente, ni ordenada al origen). Si se quiere calcular el ángulo de inclinación de una recta con pendiente "m" conocida: tg (α) = m α = arc tg (m)

El ángulo de inclinación de una recta es igual al arco tangente de la pendiente "m"

CEROS DE LA FUCIÓ LIEAL Se llaman ceros de una función a los valores de “x” que hacen cero a la función o sea a la “y”. En una función lineal solo puede haber un cero, pero otras funciones pueden tener más de uno. Gráficamente son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje “x”. Para obtener los ceros de una función, se reemplaza la “y” por cero y se despeja el valor de “x”. En este ejemplo: y = 2.x + 1

y

0 = 2.x + 1

5

−1 = 2.x x1 = −

1 2

4 Cero de la función X1 = − 1 2

3 2 1

Se observa en la gráfica que éste es el valor de "x" donde la recta corta al eje "x" Para Practicar

0

x 1

2

3

4

5

1) Dadas las siguientes funciones lineales



Graficar usando los conceptos de pendiente y ordenada al origen.



Hallar el cero, igualando la función a cero y despejando la “x”. Verificar su ubicación en el gráfico.



Decir si la función es creciente, decreciente o constante. Matemática: Función Lineal - 4 -23


a) y = 3 x – 4

c) y = − 3 x

b) y = −2

3

d) y = 2 + x

4

e) y = 1 − x

2

f) 2 x + 3 y = 6

2) Dadas las siguientes gráficas, hallar la función lineal correspondiente a)

y

b)

y

y

c)

4 3

2

x

x

x 4

5 y

y

d)

y

e)

x

x

4

f)

7

3

3 −2

x

−3

4

Respuestas: 1)

a)

b)

c)

y

y

constante

creciente x

X1 = 4/3

y decreciente x

−2

no tiene cero.

1

x

4

3 −4

3 −3

X1 = 0

Matemática: Función Lineal - 5 -23


y

d) creciente 3

1

y

e)

y 1

decreciente −1

decreciente x

3 2

2 2

−2

x X1 = 1

a) y = − 4 x + 4

b) y = 3

d) y = 2 x − 2

e)

5

3

x

X1 = 3

X1 = −4/3

2)

f)

c)

3 =− x 4

=

1 2

x

f) y = 3 + x

RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si tienen igual pendiente. Recta 1

⇒

y = m1 . x + b1

Recta 2

⇒

y = m2 . x + b2

m1 = m2

Si

⇒

R 1 // R 2

Dos rectas coincidentes también son paralelas Por ejemplo, las rectas:

5

y=2x+1

4

y=2x−2

3

y

2 m=2=

2 1

=

∆y

1

∆x

2

x

1

0

1

Son paralelas

2

2

3

4

5

1



RECTAS PERPEDICULARES Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son opuestas y recíprocas, o sea la pendiente de una de ellas es igual a la otra invertida (dada vuelta) y cambiada de signo. Recta 1

⇒

Recta 2

⇒

y = m1 . x + b1 y = m2 . x + b2

m1 = −

Si

1 ⇒

m2

R 1 ⊥ R 2

Las pendientes de rectas perpendiculares son opuestas y recíprocas: Por ejemplo, las rectas:

y

5 m1

y=2x+1

4

y = -½ x + 4

3

2 −1

2 m2 = −

1 m1

=−

1 2

=

∆y ∆y

2

1

∆x

Son perpendiculares

x

1

0

1

2

3

4

5

HALLAR LA ECUACIÓ DE UA RECTA A) Conocido un punto de la recta P1 (x1;y1) y su pendiente "m": Dado un punto P 1 (x1;y1) que pertenece a una recta de pendiente "m":

y

P1 (x1;y1)

Datos

P

m

y

Para un punto cualquiera de la recta P(x;y) se cumple:

m=

∆y ∆x

⇒

m=

y1

∆y

P1 ∆x

y − y1 x − x1

m ( x − x1 ) = y − y1 y − y1 = m ( x − x1 )

x1

x

x

Ecuación punto-pendiente Matemática: Función Lineal - 7 -23


Por ejemplo, dado un punto P 1 (1;3) que pertenece a una recta de pendiente m = 2, la ecuación de la recta será: x1 y1 y Datos

P1 (1;3)

5

m=2

4

y − y1 = m ( x − x1 )

y1 = 3

2 P1 1

2

y − 3 = 2 ( x − 1) y = 2x − 2 + 3 y=2x+1

1 0

x x1=1 2

3

4

5

Una forma alternativa de solucionar este problema sería: y=mx+b ⇒

Sólo resta hallar la ordenada al origen "b"

y= 2 x+ b

Para ello se reemplaza "x" e "y" por las coordenadas del punto conocido P 1 (x1; y1) y se despeja "b":

3 = 2.1 + b 3−2=b 1=b

⇒

y=2x+1

Armándose así la ecuación de la recta

B) Conocidos dos puntos de la recta P1 (x1;y1) y P2 (x2;y2): Dados dos puntos de la recta P 1 (x1;y1) y P2 (x2;y2): Datos

y

P1 (x1;y1) P2 (x2;y2)

Para un punto cualquiera de la recta P(x;y) se cumple, como vimos en A):

P2

y2 y1

∆x

y − y1 = m ( x − x1 )

y − y1 =

y 2 − y1 x 2 − x1

( x − x1 )

Ecuación punto-punto

∆y

P1

x x2

x1

La pendiente "m" no se conoce pero se puede calcular mediante:

m=

∆y ∆x

⇒

m=

y 2 − y1 x 2 − x1



Por ejemplo, dado los puntos P 1 (1;3) y P2 (3;1) que pertenecen a una recta, la ecuación de la misma será: x1 y1 y Datos

y − y1 = y−3= y−3=

P1 (1;3)

5

P2 (3;1)

4

x2 y2

y1 = 3

y 2 − y1 x 2 − x1 1− 3 3 −1 −2

2

P1

2

( x − x1 )

P2

y2 = 1

x

( x − 1) 0

x1=1 2

x2=3 4

5

( x − 1)

y − 3 = −1( x − 1)

y=−x + 4

y=−x + 1 + 3

Ecuación de la recta que pasa por los puntos dados

Para Practicar

Se puede comprobar los resultados obtenidos mediante el uso de los simuladores digitales: Función Lineal o el Graficador de funciones.

1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P( −2;3) y tiene una pendiente de −1/2. Graficar

(y = −1/2 x + 2)

2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( −3;−1) y B(6;5). Graficar

(y = 2/3 x + 1)

3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(4; −2) y es paralela a la recta de ecuación: x + 4 y − 12 = 0 . Graficar (y = −1/4 x − 1) 4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto R(2; 1) y es perpendicular a la recta que pasa por A(0;1) y B(3;0). Graficar (y = 3 x − 5) 5) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto S( −4;2) y tiene un ángulo de inclinación de 135°. Graficar (y = − x − 2)

6) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto T( −1;3) y es perpendicular a la recta de ecuación y = 4. Graficar

(x = −1)



7) Hallar la ecuación de la recta que tiene un cero en −3 y es perpendicular a la recta que pasa por A(1;2) y B(2; −1). Graficar (y = 1/3 x + 1) 8) Un rectángulo tiene dos vértices en A(0;2) y B(4;5). Los vértices restantes C y D se hallan sobre la recta 3 x − 4 y − 17 = 0; hallar:

a) La ecuación de la recta que contiene al lado AC . b) El vértice C. c) La ecuación de la recta que contiene al lado BD . d) El vértice D. e) El perímetro y la superficie del triángulo. a) y = −4/3 x + 2

b) C(3;−2)

d) D(7; 1)

c) y = −4/3 x + 31/3

e) P = 20; Sup = 25

9) Se sabe que la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene como extremos a los puntos A( −1;2) y B(6; −1). Si el cateto que pasa por B es paralelo a la recta 2 x − 5 y − 5 = 0, hallar:

a) La ecuación de la recta que contiene al otro cateto. b) Las coordenadas del vértice restante C. c) El perímetro y la superficie del triángulo. Graficar a) y = −5/2 x −1/2

b) C(1;−3) c) P =

29 2 + 2 ; Sup = 14,5

(

)

10) Uno de los lados congruentes de un triángulo isósceles tiene como extremos los puntos A(3;1) y B(7;4). Si la recta que contiene al lado desigual tiene ecuación x + 2 y = 5; hallar:

a) La ecuación de la recta que contiene a la altura del triángulo con respecto a la base desigual.

b) Las coordenadas del vértice restante C. c) El perímetro y la superficie del triángulo. Graficar a) y = 2 x − 10

b) C(7;−1)

c) P = 10 + 2 5 ; Sup = 10

11) Uno de los lados congruentes de un triángulo isósceles tiene como extremos los puntos A( −1;1) y B(3;4). Si en el vértice A se unen los dos lados congruentes y el tercer vértice C se halla por encima de B; hallar: a) La ecuación de la recta que contiene al otro lado congruente AC si el ángulo desigual en A mide 16° 15' 36,74''.

b) Las coordenadas de C. c) El perímetro del triángulo. Matemática: Función Lineal - 10 -23


d) La ecuación de la recta que contiene al lado desigual BC . e) La ecuación de la recta que contiene a la altura del triángulo con respecto a la base desigual BC .

f) El punto medio de la base desigual BC . g) La longitud de la altura con respecto a dicha base desigual. h) La superficie del triángulo. Graficar a) y = 4/3 x + 7/3 e) y = x + 2

b) C(2;5)

f) Pm(5/2; 9/2)

c) P = 10 +

2

g) h = 7 2

d) y = − x + 7 h) Sup = 7/2

2

12) Calcular el valor (o los valores) de “k” para que la recta de ecuación 3x – ky + 5 = 0 sea paralela a −kx + 4y − 2 = 0 (k = ± 2 3 ) 13) Calcular el valor (o los valores) de “k” para que la recta de ecuación x + 9ky − 3 = 0 sea perpendicular a 4x − ky − 3 = 0 (k = ± 2/3) FORMAS DE LA ECUACIÓ DE UA RECTA La recta tiene tres formas de expresión:

1) Forma Explícita: Es la forma que ya hemos visto. Cada recta admite una sola forma explícita.

y= m .x +b

Ordenada al origen

pendiente

2) Forma General: Es una forma implícita. Cada recta admite infinitas formas generales de expresión, puesto que multiplicando los dos miembros de la expresión general dada por un mismo número se obtienen expresiones equivalentes. Ax+By+C=0

No confundir a “A” con la pendiente “m”, que es el número que multiplica a “x” sólo en la forma explícita.

También puede haber otras formas implícitas donde quede algún término en el segundo miembro. Se considera implícita cualquier forma de expresión donde la función “y” no esté despejada, o sea cualquier forma que no sea explícita.



Para llevar una expresión implícita de una recta a la forma explícita sólo hay que despejar la “y”, haciendo los traspasos de términos necesarios.

3) Forma Segmentaria: Los parámetros de la recta expresada en forma segmentaria son: 1) La abscisa al origen, cero o raíz “a”. 2) La ordenada al origen “b”.

y x a

+

y b

=1

Q (0; b)

b

P (a; 0)

x

Probaremos que los puntos P y Q pertenecen a la recta dada en forma segmentaria:

a

En P (a; 0):

a a

+

0 b a a

En Q (0;b):

0

=1

a

= 1 (Se prueba)

+

b b b b

=1 = 1 (Se prueba)

Si disponemos de la ecuación explícita de la recta, y queremos obtener la forma segmentaria: 2 = − x+2 3

Partimos de la forma explícita

2 x+y=2 3

Despejamos el término independiente

2x y 2 + = 3.2 2 2

Dividimos ambos miembros por dicho número para asegurar un “1” en el segundo miembro

x y + =1 3 2

Obtenemos la forma segmentaria



y Q (0; 2) b = 2

P (3; 0)

x a=3 Las rectas que pasan por el origen de coordenadas (0;0), no admiten la forma segmentaria de expresión; pues en ese caso “a” y “b” son iguales a cero y no podemos armar la expresión segmentaria con “x” e “y” dividiéndose por cero. El Simulador Digital "Función Lineal" dispone de un simulador adicional "Forma Segmentaria" (que puede llamarse presionando la tecla respectiva) que permite ingresar los parámetros "a" y "b" de la forma segmentaria y muestra las distintas posiciones de la recta que se obtienen. Para Practicar

Se puede comprobar los resultados obtenidos mediante el uso de los simuladores digitales: Función Lineal o el Graficador de funciones.

1) Dadas las siguientes funciones lineales, convertir sus expresiones a las otras dos formas: a) y =

3 5

x−2

(3 x −5 y −10 = 0 ; 2

(y =

x y + =1 −2 5

(y =

d) − 5 x + 2 y = 7

(y =

1 e) y = − x + 2 3

(x + 3 y −6 = 0

c)

3

x −

1

b) 2 x − 3 y − 1 = 0

3

5 x+5 2 5 2

x +

7 2

;

x

10 3 x

+

+

1 2

y

−2 y

1 − 3

= 1)

= 1)

;5 x − 2 y +10 = 0)

;

;

x

7 − 5 x

6

+

+

y

2

y

7 2

= 1)

=1)



f)

x 6

+

y =1 −3

(y =

1 2

x−3

;3 x − 6 y −18 = 0)

PROBLEMAS CO FUCIOES LIEALES Existen problemas dados en lenguaje coloquial (o hablado) que se deben resolver empleando los conocimientos adquiridos de función lineal. Por ejemplo en problemas de orientación económica, el costo total de producir "x" artículos a menudo es una función lineal de "x". Dicha función de costo tiene la forma: Número de unidades fabricadas

Ecuación de Costo

C(x) = Cv . x + Cf

El costo por unidad es igual a la pendiente de la recta y determina un costo variable al multiplicarse por la cantidad "x" de artículos producidos.

El costo fijo de desarrollar una cierta actividad que corresponde a la ordenada al origen de la recta

En los problemas de tipo económicos, también se habla de ingresos de la empresa. A menudo los ingresos se pueden hallar multiplicando el precio de venta del artículo por el número "x" de artículos vendidos. Número de unidades fabricadas

Ecuación de Ingreso

I(x) = p . x

Precio de venta del producto Por último se define la "utilidad", "beneficio" o "ganancia" a la diferencia entre ingresos y costos.



Costo

Ecuación de Utilidad U(x) = I(x) − C(x) Ingreso

Por ejemplo: Una compañía que fabrica botellas de vidrio tiene una estructura de costos lineal. Debe abonar la suma de $ 5 000 mensuales por alquiler de las instalaciones y sueldos; y además $ 0,25 de materia prima por cada botella producida. Si el precio de cada botella de vidrio en el mercado es de $ 0,45, hallar:

a) La funciones de costo, ingreso y utilidad de la compañía en función del número "x" de botellas fabricadas. b) El costo total de producir 30 000 botellas en el mes. c) El ingreso por vender 50 000 botellas. d) El número de botellas a fabricar y vender para llegar a la situación de equilibrio (Ingreso igual al Costo). e) La utilidad por fabricar y vender 75 000 botellas al mes. f) El número de botellas a fabricar y vender para obtener una utilidad de $ 15 000.

_____________________________________________________ a)

C(x) = Cv . x + C f C(x) = 0,25 ($/unidad) . x + $ 5 000 I(x) = p . x I(x) = 0,45 ($/unidad) . x U(x) = I(x) − C(x) U(x) = $ 0,45 x − ($ 0,25 x + $ 5 000) = $ 0,45 x − $ 0,25 x − $ 5 000 U(x) = 0,20 ($/unidad) x − $ 5 000

b) C(x) = 0,25 ($/unidad) . x + $ 5 000 C(x) = 0,25 ($/unidad) . 30 000 (unidades) + $ 5 000 C(x) = $ 12 500

c) I(x) = 0,45 ($/unidad) . x I(x) = 0,45 ($/unidad) . 50 000 (unidades) = $ 22 500 Matemática: Función Lineal - 15 -23


I(x) = $ 22 500

d) I(x) = C(x) 0,45 x = 0,25 x + 5 000 0,45 x − 0,25 x = 5 000 0,20 x = 5 000 x=

5000 0,20

x = 25 000 botellas

e) U(x) = $ 0,20 x − $ 5 000 U(75 000) = $ 0,20 . 75 000 − $ 5 000 U(75 000) = $ 10 000

f) U(x) = $ 0,20 x − $ 5 000 $ 15 000 = $ 0,20 x − $ 5 000 $ 15 000 + $ 5 000 = $ 0,20 x $ 20 000 = $ 0,20 x $ 20 000 $ 0,20 Para Practicar

=

x = 100 000 botellas Resolver los siguientes problemas:

1) Una compañía de telefonía celular ofrece dos planes: 

Un plan con factura, con abono fijo de 80 minutos "libres" a un precio de $ 45 por mes. El costo por cada minuto adicional es de $ 0,85.



Otro plan con tarjeta prepaga, sin costo fijo pero con un costo de $ 1,10 por cada minuto de uso.

a) Hallar la forma analítica de las funciones de costo de ambos planes. b) Representar las funciones de costo de ambos planes en una misma gráfica, en función del número "x" de minutos hablados.

c) Si un cliente usa el servicio un promedio de 120 minutos al mes, ¿Qué plan le conviene más? ¿Con factura o prepago? ¿Cuánto pagaría en ambos casos?



d) Si un cliente usa el servicio un promedio de 30 minutos al mes, ¿Qué plan le conviene más? ¿Con factura o prepago? ¿Cuánto pagaría en ambos casos?

e) ¿Cuál es el tiempo promedio de uso para el cual a un usuario le resultaría indistinto uno u otro plan?

2) Un escalador trepa una montaña en tres etapas: en la primera recorre una cuarta parte de la altura total; en la segunda dos tercios de lo que le queda y aún le faltan 400 m. ¿Cuál era la altura de la montaña? (1 600 m)

3) Diego, Hugo y Luís le compran un regalo a su madre gastando en total $ 165. Si Diego puso el doble de Hugo y Luís una tercera parte de Diego ¿Cuánto dinero puso cada uno? (Diego = $ 90 ; Hugo = $ 45 ; Luís = $ 30)



Trabajo Práctico º 9 : Función Lineal 9.1) Dadas las siguientes funciones lineales   

Graficar usando los conceptos de pendiente y ordenada al origen. Hallar el cero, igualando la función a cero y despejando la “x”. Verificar su ubicación en el gráfico. Decir si la función es creciente, decreciente o constante. 2 4 a) y = − x + 1 b) y = −1 + 2 x c) y = − x 5 3 3 d) = 0 e) 5x − 3y − 6 = 0 f) x = −3

9.2) Dadas las siguientes gráficas, hallar la función lineal c orrespondiente. y

a)

b)

y

y

c)

6 5

4

3

x

4

x

x

3

y

y

d)

y

e)

f)

4 Recta

x

4

x

x

−1

3

−2

−2

9.3) Calcular el valor (o los valores) de “k” para que la recta de ecuación 4x – ky +5 = 0 sea perpendicular a 9x + ky −3 = 0 9.4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( −2;1) y es paralela a la recta de ecuación

x

2

+

y

−3

=1

9.5) Calcular el valor (o los valores) de “k” para que la recta de ecuación 2x – 12ky +5 = 0 sea paralela a −3kx + 2y −2 = 0 9.6) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto S( −3;−2) y tiene un ángulo de inclinación de 45°. Matemática: Función Lineal - 18 -23


9.7) En un triángulo isósceles rectángulo que tiene su base desigual sobre el eje x, y el vértice opuesto a la misma en (0; 5) se halla inscripto un rectángulo de modo que P(x;y) es su vértice superior derecho en el primer cuadrante:

a) Realizar una representación gráfica de la situación planteada. b) Encontrar una expresión para el área del rectángulo A(x) que dependa sólo de "x".

c) Calcular el área del rectángulo si la abscisa del punto P es x = 3. 9.8) Un paralelogramo con un par de lados opuestos horizontales, tiene dos vértices opuestos en P( −3;1) y R(3;4). Los otros dos lados opuestos paralelos entre sí tienen la dirección de la recta: 3x −2y −8 = 0. Hallar:

a) Las coordenadas de los otros dos vértices Q y S. b) El perímetro y la superficie del paralelogramo. c) La amplitud de los ángulos interiores del polígono. d) Graficar. 9.9) Un trapecio tiene sus bases horizontales, con su base mayor de vértices P( −2;4) y Q(5;4) y su base menor sobre el eje de abscisas. Los lados laterales pertenecen a rectas paralelas paralelas a: 4x + y − 2 = 0 y x

1

+

y

4 − 3

= 1 respectivamente a P y Q. Hallar:

a) Las coordenadas de los otros dos vértices R y S. b) El perímetro y la superficie del trapecio. c) La amplitud de los ángulos interiores del polígono. d) Graficar. 9.10) Ana sale de compras y gasta la mitad de su dinero en el supermercado, luego pasa por una tienda de ropas y gasta las dos quintas partes de lo que le queda. Si regresa con 75 $ ¿Cuál era el monto inicial con que disponía?

9.11) Un turista desea alquilar un automóvil por un día. Dos empresas le ofrecen lo siguiente: 

La empresa "A" le cobra $ 50 por día y además $ 1,50 por cada kilómetro recorrido.



La empresa "B" le cobra $ 60 por día, pero sólo $ 1,20 por km. Matemática: Función Lineal - 19 -23


a) Si el turista planea recorrer 75 km. ¿Qué empresa le conviene más contratar?

b) Si en cambio sólo piensa viajar 20 km ¿Cuál le convendría más? c) ¿Cuál es el kilometraje recorrido para el cual sería indistinto contratar una empresa o la otra?

9.12) Una empresa de banquetes ofrece un servicio consistente en el alquiler de un salón de fiestas por $ 200 la noche y un servicio de comida por $ 30 el tenedor.

a) Expresar el costo en función del número de comensales. b) ¿Cuánto costará si se reciben a 25 invitados? c) ¿Cuántos invitados concurrieron si la cuenta final fue de $ 1 340?



Respuestas del Trabajo Práctico º 9: "Función Lineal" 9.1) y

a) decreciente

1

−2

x

−1

c)

X1 = 3/2

5

1

y

b)

y

−1

decreciente 3

2

x

x

3

−4

X1 = 0

creciente X1 = 5/2

y

y

d)

y

e) X1 = 6/5

No es función

creciente

3

f)

∀x/ x∈R : x es cero

x

5

constante

x

x −3

−2

3

9.2) a)

=

2 3

x +3

d) x = 0

3

b) y = − x + 6

c) y = 4

e) y = − x − 1

f)y=2x−2

2 1

4

9.3) k = ± 6 9.4) y =

3 2

9.5) k = ±

x+4

1 3

9.6) y = x + 1



9.7) a)

C

y

5

b) A(x) = −2x2 +10x

4 3

c) A(3) = 12

P(x;y)

2 1 B(−5;0)

A(5;0)

0

1

2

3

4

x

5

9.8) a) Q(−1;4) y S(1;1) b) P = 8 + 2 13 ;

Sup = 12

c) π = 56,31° ; θ = 123,69° ; ρ = 56,31° ; ψ = 123,69° d)

5 Q

4

θ

π

−4 −3 −2

ψ

1 −1

R

ρ

3 2

P

y

S

0

1

2

3

4

5

x

9.9) a) R(2;0) y S(−1;0) b) P = 15 + 17 ;

Sup = 20

c) π = 75,96° ; θ = 53,13° ; ρ = 126,87° ; ψ = 104,04° d)

5 P

y Q

4

π

θ

3 2

S −4 −3 −2

ψ

−1

1

0

ρ 1

2

R 3

4

5

x



9.10) $ 250 9.11) a) La empresa "B" b) La empresa "A" c) 33,33 km

9.12) a) C(x) = $ 200 + $ 30.x b) $ 950 c) 38 comensales


9) Función Lineal

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