Viga sobre fundación elástica 1. Introducción En el análisis convencional de vigas se supone que la viga está unida a la sustentación en una serie de puntos de apoyo discretos, y que todo el tramo de viga situado entre los apoyos puede deformarse libremente en dirección lateral, sin sufrir interacción exterior alguna, y estando sometido únicamente a las cargas exteriores, que son de magnitud conocida.
Existe sin embargo otra situación distinta, en la que la viga está apoyada en toda su longitud en algún medio material deformable que interacciona con ella, ejerciendo una fuerza de reacción lateral sobre la viga y oponiéndose en cierta medida a su deformación lateral. En consecuencia la deformación y las solicitaciones en la viga son diferentes de las que habría si estuviese libre lateralmente. A esta forma de trabajo en que la viga está en contacto con un medio material deformable se le llama viga sobre fundación sobre fundación elástica. elástica . Ya este nombre indica que para el medio material en que se apoya la viga se supone un comportamiento elástico, es decir que una vez eliminadas las cargas el medio de apoyo recupera su estado de deformación inicial nula. Esto es suficientemente aproximado para las aplicaciones prácticas en ingeniería, aunque hay otros modelos de comportamiento de la fundación más complejos. Otra forma de interpretar las vigas en fundación elástica es suponer una viga apoyada sobre una familia de muelles discretos, y que la distancia entre éstos se hace infinitamente pequeña, con lo que la viga queda apoyada sobre los muelles de una manera continua.
1.1 Comportamiento del terreno Como ya se ha indicado el comportamiento del terreno se supone elástico, es decir que recupera su estado inicial cuando se eliminan las cargas, aunque existen modelos distintos para caracterizar esta respuesta elástica. elás tica. Se supone también que el terreno responde de manera bidireccional, es decir que la reacción del terreno se produce tanto si la viga se acerca a él como si se aleja. Esto no es cierto si la viga está simplemente apoyada, y requiere que la viga esté muy bien unida al terreno o enterrada en él. En todo caso el error introducido por esta suposición es pequeño en las Página 1 de 17
aplicaciones prácticas, en las que la naturaleza de las cargas siempre tiende a acercar la viga al terreno. Además, estudiar el problema considerando un terreno con comportamiento unidireccional es extraordinariamente complejo.
1.2 Modelo Lineal En este modelo se supone que el terreno tiene un comportamiento lineal: la deformación vertical v que se produce en el terreno es proporcional a la presión p ejercida sobre él (figura 11.2). Se denomina coeficiente de balasto del terreno K t t a la constante de proporcionalidad entre la presión aplicada y la deformación:
Kt =
p v
(1)
El coeficiente de balasto del terreno representa por lo tanto la presión que hay que aplicar sobre el terreno para imponerle una deformación de valor unidad. Sus unidades son F/L 3 y habitualmente se utilizan kg/cm3. Los valores de K t t dependen fuertemente de la naturaleza del terreno. La tabla siguiente contiene algunos valores típicos.
Se define el coeficiente de balasto de la viga k viga k como: como: k = b K b K t t, donde b es el ancho de la viga 2 en contacto con el suelo. Las unidades de k, son F/L .
2. Ecuación diferencial que gobierna el problema. Consideremos la viga con el criterio de signos indicado en la figura, recordemos que en este caso:
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θ=
dv dx
(2)
2.1 Hipótesis: 1) Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje baricéntrico de la viga. 2) El desplazamiento lateral (según el eje y de la figura) es nulo. 3) Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas y normales a la deformada de dicho eje, después de la deformación. deformación.
B B = u = -A - A B θ = - AB θ = -y -y
dv dx
(3)
2.2 Campo de desplazamientos De las hipótesis anteriores se concluye que el campo de desplazamientos de un punto genérico de coordenadas (x,y,z) de la viga es:
u(x u(x,y,z)= -yθ(x) v(x,y,z v(x,y,z)) = v(x) v(x)
(4)
w(x,y,z)=0 Página 3 de 17
Podemos calcular las componentes de los tensores de deformaciones y tensiones como: dθ(x) d2 v(x) du = -y -y ε x = , ε y ε z xy xz yz 0 2 dx dx dx (5) d2v(x) E ε x -E y , 0 x y z xy xz yz 2 dx
2.3 Energía Potencial La energía potencial de la viga columna, es igual a la diferencia entre su energía de deformación y el trabajo de las fuerzas externas. (6) Π = U - W ext A partir de estos resultados, podemos calcular la energía de deformación de la viga como: U=
=
1
1 2
L
ε dAdx =
x x 0
L
20
Ev
2
y 2dAdx =
L
1
2 x
Eε dAdx =
2
0
1
2
1
2
L
Ev
2
y 2dAdx =
0
(7)
L 2
EIz v dx dx 0
La energía potencial de la fundación elástica es:
f(x) f(x) = -kv(x) -kv(x),,
k
= -Wk =
1 2
Wk =
1 2
L
f(x)v x)v(x)dx = 0
L
1 2
L
kv 2 (x)dx, 0
(8)
kv 2 (x)dx 0
Por lo cual, la energía potencial total es:
1) Trabajo de la carga transversal q:
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L ext q
W
= q(x) v(x) dx
(9)
0
2) Trabajo de los momentos extremos M A y M B :
WMext = MA v (0) - MB v (L)
(10)
3) Trabajo de las fuerzas extremas Q A y Q B
WRext = -QA (0 (0) v(0)+QB (L (L) v(L)
(11)
Sustituyendo las formulas anteriores en la ecuación (2), se obtiene la expresión de la energía potencial de la viga: L
1 EIz v 20
2
dx +
1
L
20
L 2
kv (x)dx - qv q vdx 0
(12)
-M A v (0) (0) +MB v (L)+ (L)+ QA (0)v (0)v(0 (0)) - QB (L)v (L)v(L (L))
2.4 Ecuaciones de Euler Lagrange. Utilizando las ecuaciones de Euler Lagrange, desarrolladas por el cálculo de variaciones se tienen que se deben verificar las siguientes ecuaciones: 1) ecuación de campo: C1) EIz vIV + kv kv - q 0
x
0,L
(13)
y 2) una de las condiciones de borde siguientes en los extremos A y B : B1) EI z v
M
(14)
B2) EI z v
Q
(15)
2.5 Resumiendo Las ecuaciones que gobiernan el problema son: Ecuación de campo:
EIz vIV + kv kv - q 0
x
0,L
Condiciones de contorno en los dos extremos de la viga: 1) -EIz v =M 2) -EIz v = Q Página 5 de 17
Observación La ecuación de campo que gobierna el problema se puede hallar también con aplicando las ecuaciones de equilibrio a un diferencial de viga. 2
d M
dQ
2
dx
dx 2
d v dx
(q kv )
q
M
2
M
M+dM Q+dQ
Q
E I 4
E I
d v
kv
4
q
kv
0
dx
2.6 Solución de la ecuación homogénea La ecuación homogénea que gobierna el problema será:
vIV + 4
k 4EIz
v
0
Llamando: β =
4
(17)
k
IV
4EIz
4
v + 4β v
0
Buscando soluciones de la forma:
λ1 = 1+ i v = e λx
λ 4 + 4β4 = 0
λ = 4 -4 β
λ2 = 1- i λ3 = - 1+ i
(18)
λ 4 = -1- i v(x) = Aeβxcosβx Beβx senβx Ce -βxcosβx De -βxsenβx A esta solución hay que agregarle una solución particular que se determinará para cada problema particular. Para simplificar los cálculos se consideran modelos aproximados como los de las vigas infinita y finita que vamos a estudiar a continuación:
2.7 Solución particular para carga uniformemente distribuida Cuando q es constante se buscan soluciones particulares de forma polinómica que satisfaga la siguiente ecuación: i v
E I v
kv
q
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Para cualquier polinomio de grado 3 o menor se cumple que v i v de campo se reduce a k v
q
q , entonces v part
k
0 , por lo que la ecuación
.
2.8 Modelo de viga semi-infinita El modelo de la viga semi-infinita, cuando se puede aplicar, simplifica notoriamente los cálculos analíticos debido a que las constantes a determinar se reducen a solamente dos, por este motivo vamos a presentarlo a continuación junto con la deducción de su rango de validez. El campo de desplazamiento viene dado por la ecuación (18), para que el desplazamiento sea acotado cuando x →∞, debe ser A=B=0, y la solución será de la forma:
v(x v(x) = Ce-βxcosβx De-βxse s enβx
(19)
Falta determinar las constantes C y D, para facilitar el desarrollo vamos a definir cuatro funciones: f1 (x) (x) = e-x cos cos x, f2 (x (x) = e-x sen sen x, f3 (x) = e-x cos x + sen x , f4 (x) = e -x cos x - s en en x Se verifica verif ica que : f1 = df1 dx
1 2
f 3 f4 , f3 ,
f2 = -
df2 dx
1 2
(20) f3 - f4 ,
d f 3
f4 ,
f3
2 f2 ,
dx
f1
f2 ,
d f 4 dx
f4
2 f1 ,
f1
f2
Utilizando éstas funciones, se puede escribir: v(x)=Cf 1 βx Df2 βx θ(x) =
dv dx
M (x) = -EI z
Cβf3 βx
Dβf4 βx
d2 v
Ck
2
2
dx
d3 v Q(x) = -EI z dx3
2β
f2 βx
Ck f4 βx 2β
Dk
2β Dk
2β
f βx
(21)
2 1
f3 βx
En la gráfica adjunta, está representada la variación de las funciones f 1, f 2, f 3 y f 4 en función de la variable χ=βx
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De la gráfica anterior se deduce que los puntos situados a una distancia x del punto de aplicación de las cargas, tal que χ =βx sea mayor que 4, no serán afectados por el efecto de dichas cargas. Este resultado de amortiguamiento de los efectos de las cargas, es una propiedad característica del modelo de viga semi-infinita.
2.8.1 Aplicación: viga semi-infinita cargada en su extremo.
La solución será la dada por las ecuaciones ecuaci ones (21), falta determinar las constantes consta ntes C y D. 2 Dk 2β Mo = D M o 2 k 2β (22) Ck Dk 2β 2β 2 C Po = Po M o k k 2β 2β
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2.8.2 Aplicación: viga infinita con una carga concentrada.
Este problema, se puede resolver utilizando su simetría:
Por simetría se verifica: v(x) = v(-x), θ (x) = -θ (-x)
θ(0) = -θ(0)
2θ(0) 0
(23)
Imponiendo la condición del giro en la viga semi-infinita de la derecha, podemos determinar Mo, y estamos en el caso estudiado en el numeral 2.7.1 v(x)=Cf 1 βx 2β
θ (0)=0
C
β k
k
Po ,
v(x) =
β k
θ (x) =
M (x) = Q(x) =
Df2 βx
D
2
β k
k
P o
1
2β 1
2
k
Po
2β
2
k
Mo
Mo
1 2β
Po
P 0
P o f1 βx
β2
2β
Mo
f2 βx
f3 βx
P o f2 βx βx
P o f4 β βx x
(24)
f4 βx βx f1 βx βx f3 βx βx
La solución del problema se puede graficar como:
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La deformada es una función oscilante de amplitud decreciente, por lo que se pude observar que la viga se levanta en una serie de tramos. Cuando el terreno no es bidireccional, el error cometido es del orden del 4%.
2.8.3 Aplicación: viga infinita con dos cargas puntuales iguales.
La solución de este problema se puede hallar utilizando la solución de la aplicación anterior 2.7.2 y el principio de superposición: v(x) = vA(x) + vB(x-7,5)
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2.8.4 Aplicación: viga semi-infinita con carga en el tramo.
La solución de este problema se puede hallar superponiendo los siguientes tres casos:
2.9 Viga finita. En este caso es conveniente escribir la solución general del problema homogéneo a partir de funciones en seno, coseno, seno hiperbólico y coseno hiperbólico como se plantea a continuación: v(x)= v(x)= Ag1(βx) Bg 2(βx) Cg3(βx) Dg4 (βx), donde g1 (x (x) = cosh cosh x.co .cos x, g2 (x) (x) = senh senh x.sen sen x
(25)
g3 (x (x) = cosh x.sen x, g4 (x) (x) = senh x.cos x
Observar que la elección de estas funciones fue hecha porque g 1 y g2 son funciones pares, mientras que g3 y g4 son funciones impares, por lo que que en problemas simétricos o
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antisimétricos si tomamos los ejes coordenadas en el centro de la viga, las constantes a determinar se reducen a dos. Las derivadas de estas funciones satisfacen las relaciones: dg1
g4
dx
g3 ,
2
g4
dx
2g2 ,
2
2g1 ,
2
dx
g1 - g2
dx
(26)
2
d g3 dx
d g4
g1 g2 ,
2
d g2 dx
d g3
g3 ,
2
d g1 dx
dg2
d g4
2g4 ,
2
dx
2
2g3
Utilizando éstas relaciones se puede escribir la solución general: v(x v(x) = Ag1 (βx) Bg2 (βx) Cg3 (βx) Dg4 (βx) θ(x)=Aβ (x)=Aβ g4 (βx) g3 (βx)
C + D βg1 (βx) M(x) = Q(x) =
Ak 2β
2
C - D βg2 (βx) Bk
g2 (βx)
2β
2
g1(βx)
Ak g4 (βx) g3 (βx) 2β
C-D
Bβ g4 (βx) g3 (βx)
k g1 (βx) 2β
C +D
Bk
2β
Ck 2β
2
g4 (βx) +
Dk
2β2
g3 (βx)
(27)
β g4 (βx) - g3 (βx)
k g2 (βx) 2β
3. Matriz de Rigidez de una viga sobre fundación elástica Consideremos una viga finita, Igualando los valores en el nodo 1 con el desplazamiento, giro, momento flector y cortante se tiene: I
=v(0)=A
I
= θ (0)= β C
M I = M( M(0) = Q I = Q(0) =
D
D+C
I
β
(28)
k B 2β2
k D-C 2β
D-C
2β QI k
Sustituyendo los valores de A, B, C, D hallados en la ecuación (24): 2β 2 I v(x) v(x) = I g1(β ( βx) M I g2 (βx) g3 (βx) + g4 (βx) k 2β
β QI g4 (βx) - g3 (βx) k
2β3 M I g4 (βx) g3 (βx) k k k M(x) = I 2 g2 (βx) M I g1 (βx) g4 (βx) - g3 (βx) I 2β 4β3 θ (x) (x) =
(x) = Q(x)
g3 (βx) I β g4 (βx)
k g4 (βx) g3 (βx) 2β I
β2 M I g4 (βx) - g3 (βx)
1 2
I g1 (βx)
2β2 QI g2 (βx) k
1 QI g3 (βx) + g4 (βx) 2β g1 (βx)QI
k g2 (βx) 2β2
(29)
I
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Trabajando con las funciones de Krilov que se definen a partir de nuestras funciones g como: F1(βx) βx) = g1(βx) (βx),, F2 (βx (βx) =
g3 (βx) g 4(βx)
g (βx) F3(β ( βx) = 2 , F4 (βx) = 2
, 2 g3 (βx) βx) g4 (βx (βx)
(30)
4
La ecuación (24), se escribe como: v(x) =
F (β (βx)
I 1
4β2 k
M I F3 (β (βx)
I
β
F2 (βx)
4β k
QI F4 (βx)
4β3 4β2 θ (x) M I F2 (βx) I F1 (βx) QI F3 (β (x) = -4 I βF4 (βx) (βx) k k k k 1 M(x) = I 2 F3(β ( βx) M I F1(βx) F (βx) I QI F2 (βx) 3 4 β β β Q(x) =
k
I
β
F2 (βx) - 4β2 M I F4 (βx)
1 2
F1 (β (βx)QI
k β2
F3 (β ( βx)
(31)
I
La ecuación de rigidez:
Q1 F
M1
K U
k11
k12
k13
k 14
1
k 22
k 23
k 24
1
k 33
k 34
2
k 44
2
Q2 M2
muestra
M1
que
k12 , Q 2
cuando
k 13. M 2
se
toma
1
1,
1
0,
(32)
2
0,
2
0
Q1
k11 ,
k 1 4 . Si para x=L, sustituimos estos valores en la ecuación (25)
podemos conocer las entradas de la primer fila de la matriz de Rigidez. k g1 (βL) (βL) F4 (βL) (βL)k k11 βF3 (βL) (βL)k k12 4β -
k F4 (βL (βL)) F3 (βL)k L)k11 βF2 (βL)k L)k12 2β
k14 =
k 1 F3 (βL) F2 (βL)k11 +F(βL +F(β L)k12 1 2 β β
(33)
1 k k13 = F2 (βL) F1(β ( βL)k11 4β2F4 (βL)k12 2 β
Resolviendo el sistema de las dos primeras ecuaciones se tiene:
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k 4β
F1 (βL) F4 (βL) (βL)k k11 βF3 (βL) (βL)k k12
k - F4(β ( βL) βF3 (βL) (βL)k k11 β2F2 (βL)k L)k12 2 (βL)F1 (βL) k 2F4 (βL)F3 (βL)+ F2 (βL)F k11 2 4β F3(βL) (βL) - F2 (βL)F (βL)F4 (βL) (βL)
(34)
2F4 (βL (βL)F(βL)+ )F(βL)+ (βL))2 k F3(βL 1 4β2 F3(βL) (βL)2 -F2 (βL)F (βL)F4 (βL) (βL)
k12
Conociendo estos valores podemos calcular los dos restantes. Análogamente, para θ1=1, se tiene: k 22 =
k g3 (βL)+g 4(βL) 4β
3
g2 (βL)
k 24 = k22g1 (βL)
k 4β
3
1
2β
k12
g4 (βL)(βL)- g3 (βL) (βL) g2 (βL)
g4 (βL) - g3 (βL)
k 23 = β2k 22 g4 (βL) - g3 (βL)
1 2
1 2β
g3 (βL) +g + g4 (βL) k12 k
g1 (βL)k12 12
2β2
(35)
g2 (βL)
Estos valores se calculan en función de los que conocemos Para δ2=1, se tiene: k 34 = k23g1 (βx) k13 2
1 2β
g3 (βx) + g4 (βx)
k 33 = β k 23 g4 (βx) - g 3 (βx)
1 2
(36) g1 (βx)k13
Estos valores se calculan en función de los que conocemos Para θ2=1, se tiene: k 44 = k24g1 (βx) k14
1 g3 (βx) + g4 (βx) 2β
(37)
Con lo cual quedan determinados todos los términos de la matriz de rigidez de la viga sobre fundación elástica. En la gráfica siguiente se representa la variación de los coeficientes
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Se concluye que: 1) Si βL=0, la matriz de rigidez coincide con l a matriz de rigidez de la viga clásica. 2) Si βL<1, todas las entradas de la matriz de rigidez están próximos a los de la viga convencional, ya que los coeficientes aij son cercanos a uno. Para estos problemas consideraremos en modelo de viga corta donde aproximamos la viga sobre fundación elástica por una viga clásica. 3) Si βL>8, los términos de rigidez cruzada son de spreciables y se puede utilizar el modelo de viga infinita ya que se reproduce el efecto de amortiguamiento de las cargas característico de la viga infinita. 4) Si 1< βL<8, se debe modelar como una viga finita. En la práctica tomando un valor de 5 en lugar de 8, y de 0,6 en lugar de 1 se tienen resultados aceptables.
La expresión de la ecuación de rigidez con la convención de signos representada en la figura es la que se escribe a continuación:
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3.1 Matriz de Rigidez aproximada. Considerando λ=βL pequeño, se pueden sustituir las funciones que aparecen en la matriz de rigidez exacta por sus desarrollos de Taylor y despreciar los infinitésimos de ma yor grado.
Las entradas de la matriz de rigidez son entonces:
Observemos que como λ debe ser pequeño se deben tomar varios elementos para que el resultado obtenido converja a la solución del problema.
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3.2
Viga apoyada en un gran número de apoyos elásticos equidistantes.
Hasta ahora consideramos a la viga en fundación elástica de modo continuo, pero los resultados obtenidos se pueden aplicar a casos en que la viga está apoyada en un gran número de apoyos elásticos equidistantes.
Como ejemplo, podemos considerar el caso de la viga horizontal AB representada en la figura, la cual sirve de apoyo a un sistema de vigas verticales equidistante, cargada uniformemente por una carga de q kg/cm.
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