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Planejamento de Experimentos (DOE)
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1 - Introdução Um experimento é um procedimento no qual as alterações propositais são feitas nas variáveis de entrada de um processo ou sistema, de modo que se possa avaliar as possíveis alterações sofridas pelas variáveis respostas, como também as razões de suas alterações.
2 - Objetivos 1. Determinar que varáveis varáveis têm maior maior influência influência na resposta; 2. Determinar o menor menor valor de x que influencia y, de modo que y esteja próximo do valor desejado; 3. Determinar Determin ar o menor valor de x que influencia y, de modo que a variabilidade de y seja pequena; 4. Determinar o menor valor valor de x que influencia influencia y, de modo que minimize minimize os efeitos das variáveis não controladas.
3 - Princípios básicos do DOE Réplica: as repetições do experimento são feitas sob as mesmas condições experimentais. Aleatorização: refere-se ao fato de que tanto a alocação de material experimental às diversas condições de experimentação quanto a ordem segundo a qual os ensaios individuais do experimento serão realizados, são determinados ao acaso.
Formação de blocos: refere-se a formação de unidades experimentais homogêneos, blocos.
EXEMPLO 1
Proposta: Analisar as diferentes respostas das variáveis do processo e identificar a melhor condição para que se possa ter o melhor aproveitamento.
Problema: Um engenheiro quer conhecer os efeitos das variáveis de entrada de um processo de otimização de calamina para melhorar os resultados em uma plante de beneficiamento de minério, visto que a seqüência aleatória representa melhor o que ocorre na mina.
Dados coletados: Os testes serão realizados com amostras representativas de l kg de finos do minério calamínico. O número de teste =24 = 16, considerando as réplicas, 32 testes. A ordem dos testes será definida por sorteio, de tal maneira que os ensaios possam ser feitos de forma aleatória.
Ferramentas: • • • •
Create Factorial Design Diplay Design Analyse Factorial Design Factorial Plots
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Arquivo de dados: calamina.MPJ
Variável
Níveis +
a b
Sulfeto de sódio Emulsão
3000 300
6000 800
c d
Silicato Hexametafosfato
0 0
3500 3500
COMANDO CREATE FACTORIAL DESIGN 1. Abra calamina.mpj 2. Selecione Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design 3. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo
4. Clique na opção Display Available Designs 5. Selecione o ícone conforme caixa de diálogo abaixo
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6. Clique em OK 7. Clique na opção Designs 8. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo
9. Clique em OK 10. Clique na opção Factors 11. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo
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12. Clique Ok em todas as caixas de diálogo.
INTERPRETANDO OS RESULTADOS Na janela Session exibe um pequeno relatório contendo um resumo do planejamento que está sendo realizado, apresentado a seguir.
Full Factorial Design Factors: Runs: Blocks:
4 32 1
Base Design: Replicates: Center pts (total):
4; 16 2 0
All terms are free from aliasing.
Além deste relatório o Minitab gera a planilha no Worksheet, como mostra a figura abaixo.
Com esta planilha em mãos realizam-se os experimentos e então uma nova coluna de Rendimento é preenchida.
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COMANDO DISPLAY DESIGN Observa-se que os experimentos na planilha anterior estão expostos de maneira aleatória, segundo a primeira coluna StdOrder. E os mínimos e máximos de cada fator estão representados por seus valores, porém estes podem ser representados por –1 e 1. Estas alterações podem ser feitas segundo o comando Display Design. 1. Selecione Stat > DOE > Display Design 3. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo
4. Clique em OK.
INTERPRETANDO OS RESULTADOS Uma nova planilha de dados no Worksheet W orksheet é obtida:
Observa-se, pela primeira coluna StdOrder, que os experimentos estão em ordem crescente. E os mínimos e os máximos estão representados por –1 e 1, respectivamente.
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COMANDO ANALYZE FACTORIAL DESIGN
1. Preencha a coluna Recuperação na planilha anterior, conforme a figura a seguir.
2. Selecione Stat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design 3. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo
4. Clique na opção Graphs 5. Complete a caixa de dialogo conforme mostra a figura
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6. Clique em OK em todas t odas caixas de dialogo.
INTERPRETANDO OS RESULTADOS Na janela Session mostra-se três grupos de relatórios como se segue. Estimated Effects and Coefficients for Recuperação (coded units) Term Constant sulfeto de sódio emulsao silicato hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao sulfeto de sódio*silicato sulfeto de sódio*hexametafosfato emulsao*silicato emulsao*hexametafosfato silicato*hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao*silicato sulfeto de sódio*emulsao* hexametafosfato sulfeto de sódio*silicato* hexametafosfato emulsao*silicato*hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao*silicato* hexametafosfato
S = 1,56566
R-Sq = 99,80%
Effect 0,75 7,29 16,02 22,87 -8,46 -11,20 13,07 7,24 -9,56 -9,34 6,73 -21,74
Coef 45,12 0,37 3,64 8,01 11,44 -4,23 -5,60 6,53 3,62 -4,78 -4,67 3,37 -10,87
SE Coef 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768
T 163,02 1,35 13,17 28,94 41,32 -15,29 -20,23 23,61 13,09 -17,28 -16,87 12,16 -39,28
P 0,000 0,196 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
15,00
7,50
0,2768
27,10
0,000
11,07 -14,00
5,53 -7,00
0,2768 0,2768
19,99 -25,30
0,000 0,000
R-Sq(adj) = 99,62%
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Para saber qual fator ou efeito é significante é necessário avaliar o valor do p-value, visualizado na coluna P, comparando-o ao nível de significância, normalmente considerase o nível de significância α = 0.05 (este nível é utilizado para comparação na tabela). Portanto pode-se observar que o único fator que não é significante, de acordo com o teste “T” é o sulfeto, pois este possui o p-value maior que 0.05. Analysis of Variance for Recuperação (coded units) Source Main Effects 2-Way Interactions 3-Way Interactions 4-Way Interactions Residual Error Pure Error Total
DF 4 6 4 1 16 16 31
Seq SS 6668,3 4791,3 6923,5 1568,8 39,2 39,2 19991,1
Adj SS 6668,25 4791,29 6923,54 6923,54 1568,84 1568,84 39,22 39,22
Adj MS 1667,06 798,55 1730,89 1568,84 2,45 2,45
F 680,07 325,77 706,11 640,00
P 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
A estatística acima foi realizada através do teste “F” e considerando o mesmo nível de significância (α = 0.05) pode-se observar que os principais efeitos, os efeitos com duas interações, três interações e quatro interações possuem o p-value menor que 0.05, ou seja todos são significantes para a recuperação. Estimated Coefficients for Recuperação using data in uncoded units Term Constant sulfeto de sódio emulsao silicato hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao sulfeto de sódio*silicato sulfeto de sódio*hexametafosfato emulsao*silicato emulsao*hexametafosfato silicato*hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao*silicato sulfeto de sódio*emulsao* hexametafosfato sulfeto de sódio*silicato* hexametafosfato emulsao*silicato*hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao*silicato* hexametafosfato
Coef -47,1620 0,0100947 0,0860900 0,0712060 0,00923514 -9,94333E-06 -1,36797E-05 2,87429E-06 -7,54629E-05 2,95429E-06 -2,79358E-05 1,57990E-08 -5,89524E-09 4,98593E-09 3,46620E-08 -6,09687E-12
Neste relatório apresenta-se os coeficientes de cada termo para o interesse em construir um modelo de equação do tipo: y = aX1 + bX2. Os gráficos são exibidos a seguir.
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N ormal Probabili ty Plot of the the Standardized Effects Effects (response is Recuperação, Alpha = ,10) 99
Effect Type Not Significant Significant
D
95 90
Factor Factor A B C D
C
80 70 t n 60 e c 50 r e 40 P 30
B BC ABC
ACD A D BCD
Name sul sulfeto feto de sód sódio em ulsa o silicato hexam examet etaf afos osfa fatto
A B CD BD A C
20
ABCD
10 5
ABD
1
-40
-30
-20
-10 0 10 20 Standar dized Effect Effect
30
40
50
O gráfico de probabilidade normal demonstra que os pontos que estiverem mais afastados da reta são significantes para a recuperação, no caso abaixo é possível visualizar que somente um ponto não é significante que está em preto e todos os demais que estão em vermelho são significantes.
Par eto Chart of the the Standardized Effects (response is Recuperação, Alpha = ,10) 1,75 Factor Factor A B C D
D ABD C ACD
Name sul sulfeto feto de sód sódio em ulsa o silicato hexam examet etaf afos osfa fatto
ABCD A D A C m r BC D e T BD CD A B B BC ABC A
0
10
20 30 Standar dized dized Effect
40
O gráfico de Pareto, abaixo, mostra que todos os efeitos que ultrapassam a linha no valor de 1,75 são significantes, desse modo pode-se confirmar, mais uma vez, que somente o efeito A não é significante para a recuperação.
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Normal P robability robability P lot of the the Residuals (response is Recuperação) 99
95 90 80 70 t n 60 e c 50 r e 40 P 30 20 10 5
1
-3
-2
-1
0 Residual
1
2
3
No gráfico da probabilidade normal versus resíduos a normalidade é identificada quando os dados tendem a uma reta, o que ocorre neste caso.
Resi duals Versus the Fitted Values (response is Recuperação) 2
1 l a u d i s e R
0
-1
-2 0
10
20
30
40 50 Fitted Value
60
70
80
90
O gráfico de dispersão, acima, indica normalidade quando os dados plotados situam-se entre os pontos, no eixo dos resíduos, -2 e 2; neste caso, também se verifica a normalidade dos dados.
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Res iduals Versus the Order of the Data (response is Recuperação) 2
1 l a u d i s e R
0
-1
-2 2
4
6
8
10
12
14 16 18 20 Observ at ion Order Order
22
24
26
28
30
32
O gráfico acima demonstra normalidade quando os dados não ultrapassam os limites –2 e 2, quando não apresentam configurações lineares constantes, crescentes ou decrescentes e quando apresentam boa dispersão dos dados; mais uma vez, observa-se a normalidade dos dados neste caso. COMANDO FACTORIAL PLOTS
1. Selecione Stat > DOE > Factorial > Factorial Plots 2. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo
3. Em todas as opções de Setup, preencher da seguinte maneira.
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4. Clique OK em todas as caixas.
INTERPRETANDO OS RESULTADOS Gera, então, os seguintes gráficos.
Main Effects Pl ot (data means) means) for Recuperação sulfe t o de só dio
e mulsao
55 50 45
o ã ç a 40 r e p 35 u c e R f o n 55 a e M50
-1
1
-1
silic at o
1 he xame t afosfat o
45 40 35 -1
1
-1
1
No gráfico acima, pode-se observar que a quantidade de hexametafosfato tem o maior efeito principal, pois a linha que conecta as respostas médias para o nível baixo e o nível alto tem inclinação íngreme comparada aos demais efeitos efeitos principais. E o sulfeto tem o menor efeito principal quando analisado de maneira análoga ao hexametafosfato.
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Interaction Plot (data means) for Recuperação -1
1
-1
1
-1
1
sulfeto de sódio -1 1
60
40
sulfeto de sódio
20 60
emulsao -1 1
40
emulsao
20
silicato -1 1
60
40
silicato
20
hexametafosfato
No gráfico acima, apresenta-se interações entre dois efeitos. A interação que demonstrou maior recuperação foi entre o sulfeto e o hexametafosfato ( no ponto de aproximadamente 63,75). Quando a recuperação está no nível máximo do hexametafosfato e no máximo do sulfeto. Logo poderia-se dizer que a fim de conseguir maior recuperação para o experimento, deveria utilizar hexametafosfato e sulfeto no nível máximo, considerando as interações acima.
Cube Plot (data means) means) for R ecuperação
55,130
1
28,130
50,625
77,845
34,550
49,385
57,985
36,465
emulsao 76,115
3,580
24,335
79,425
1 silicato 0,000
21,335
-1
47,035 -1
-1
sulfeto de sódio
1 -1
hexametafosfato
1
79,980
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O gráfico do cubo, acima, mostra as demais interações entre os fatores. Pode-se observar que o maior valor apresentado é o 79,980. Esta recuperação é obtida quando se utiliza o máximo de hexametafosfato, o máximo de sulfeto, o mínimo de silicato e o mínimo de emulsão.
CONCLUSÕES Portanto, segundo os dados e gráficos apresentados pelo MINITAB, pode-se dizer que para obter o ótimo da recuperação o melhor efeito é o “ad”, ou seja, quando os fatores são utilizados nos seguintes níveis: sulfeto, nível máximo; emulsão, nível mínimo; silicato, nível mínimo e hexametafosfato, nível máximo.
