La viga de la figura tiene una rigidez EI constante y de valor 105 kN.m2. Cuando actúan las solicitaciones indicadas en la figura, se pide: a) Valor y signo de las reacciones b) Leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes c) Valor, en mm, de la flecha en M .
20 kN/m
30 kN
50kN.m 10 kN E
A B
6m
M
C
2m
3m
G
F
D
3m
2m
2m
2m 1m
La viga continua es isostática ya que existen cuatro reacciones desconocidas y se pueden plantear cuatro ecuaciones (dos de la estática (suma de fuerzas verticales nula y momento en un punto cualquiera nulo) y dos de momento nulo en las dos rótulas). Si suponemos todas las reacciones en los apoyos con sentido ascendente, se tiene:
R A + R B + R E + RF = 20 ⋅ 8 + 30 + 10 = 200 Tomando momentos en A (sentido positivo el antihorario) e igualando a cero:
6 ⋅ R B + 16 ⋅ R E + 20 ⋅ RF − 20 ⋅ 8 ⋅ 4 − 30 ⋅ 11 + 50 − 10 ⋅ 21 = 0 Tomando momentos en la rótula C de las cargas situadas a la izquierda de la misma:
8 ⋅ R A + 2 ⋅ R B − 20 ⋅ 8 ⋅ 4 = 0 Tomando momentos en la rótula D de las cargas situadas a la derecha de la misma:
6 ⋅ RF + 2 ⋅ R E + 50 − 10 ⋅ 7 = 0
R A = 48,33 kN R B = 126,66 kN R E = 32,5 kN RF = −7,5 kN
Tramo AB: Tomando como abcisa x la distancia al apoyo A y momentos flectores positivos cuando producen compresión en las fibras superiores de la sección y tracción en las inferiores, se tiene para este tramo:
M = 48 ,33 ⋅ x − 20 ⋅
x
2
2
que presenta un máximo de valor 58,39 kN.m para la abcisa de 2,4165 m, se anula para x=4,833 m y alcanza un valor de 70 kN.m en B
Tramo BC: Manteniendo como abcisa x la distancia al apoyo A:
M = 48 ,33 ⋅ x − 20 ⋅
x
2
2
+ 126 ,66 ⋅ ( x − 6)
70 kNm 30 kN.m 45 kN.m M
A B
10 kN.m
G
C
D
E
F 5 kN.m
45 kN.m
71,7 kN 15 kN C
A B 48,33 kN
M
E 15 kN
G
D
F 10 kN
17,5 kN
Para calcular la flecha en M procedemos del siguiente modo: Calcularemos, primero, las flechas en C y D. La flecha en C es la debida al giro de la sección B por la distancia BC más la flecha de C suponiendo que el tramo BC se encontrara empotrado en B. Si aislamos el tramo ABC :
A
A
15 kN B
6m
15+40 kN
20 kN/m
20 kN/m
B
C
15x2+20x2x1=70 kN.m
6m
2m
considerando positivos los giros antihorarios:
B
=
20 ⋅ 6
3
24 EI
−
70 ⋅ 6 3 EI
V C ↑=
= 4 × 10 − 4 rad
−4 × = × 2 8 10 m B
La flecha en C si el tramo BC estuviera empotrado en B sería:
V C ↓=
20 × 2 4 8 EI
+
15 × 23 3 EI
Por tanto, la flecha de la sección C es nula.
= 8 × 10 −4 m
15 kN
15 kN 50kN.m
30 kN.m
10 kN E
F
G
50kN.m E G
10 kN
F
D
2m
2m
2m
E
=
2m
1m
10 ⋅ 4
+
30 ⋅ 4
6 EI
3 EI
V D ↓=
E
−
50 ⋅ 4 24 EI
2m
= 3 ,83 × 10 − 4 rad
× 2 = 7 ,66 ×10 −4 m
La flecha de D (sentido descendente) suponiendo que la ménsula DE se encuentra empotrada en E es: 15 × 2
3
VD
↓=
V D ↓= 7,66 × 10
= 4×10−4 m
3EI −4
+ 4 × 10 −4 = 11,66 × 10 −4 m
10 kN.m
Si no flectara el tramo CD, la flecha del punto M sería:
V M ↓=
V C ↓ +V D ↓
2
= 5 ,83 × 10 − 4 m
Pero la realidad es que el tramo CD flecta y, por tanto, a la flecha anterior calculada para la sección M habrá que sumar la debida a la flexión del tramo CD. Esta última flecha se calcula suponiendo: 30 kN C
D M
3m
V M ↓=
30 ⋅ 32 2 EI
= 13 ,5 ×10 − 4 m
3m
V ↓= 5,83 × 10 M
−4
+ 13,5 × 10 −4 = 19,33 × 10 −4 m = 1,933 mm
