IFG – Instituto Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
APOSTILA TEÓRICA Disciplina: Fenômenos de transporte
PROF. VICTOR RÉGIS BERNARDELI – MSc. MSc.
2014
Fenômenos de Transporte ___________________________________________________________________ __________________________________ ________________________________________________________ _______________________
Agradeço prof. Túlio Carísio de Paula, por ter elaborado esse material acessível aos estudantes de graduação.
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Agradeço prof. Túlio Carísio de Paula, por ter elaborado esse material acessível aos estudantes de graduação.
Fenômenos de Transporte ___________________________________________________________________ __________________________________ ________________________________________________________ _______________________
MODULO 01 – 01 – Dimensões Dimensões e Unidades – Unidades – Teoria: Teoria: 1. Sistema CGS de unidades: Sistema CGS de unidades é um sistema de unidades de medidas físicas, ou sistema dimensional, cujas unidades-base são o centímetro para o comprimento, o grama para a massa e o segundo para o tempo. Foi adotado em 1881 no Congresso Internacional de Eletricidade. Suas unidades básicas ou fundamentais são: Comprimento centímetro (cm)
Massa grama (g)
Tempo segundo (s)
Temperatura Celsius (ºC)
Algumas de suas unidades derivadas são: Aceleração cm/s2
Força dyna (dyn)
Energia Erg
Potência erg/s
Pressão bar
2. Sistema MKS de unidades: Sistema MKS de unidades é um sistema de unidades de medidas físicas, ou sistema dimensional, cujas unidades-base são o metro para o comprimento, o quilograma para a massa e o segundo para o tempo. Transformado em Sistema Internacional (SI) é adotado em quase todo o planeta desde 1960 com a realização da 11ª Conferência Internacional de Pesos e Medidas. Suas unidades básicas ou fundamentais são: Comprimento metro (m)
Massa quilograma (kg)
Tempo segundo (s)
Temperatura Kelvin (K)
Algumas de suas unidades derivadas são: Aceleração m/s2
Força Newton (N)
Energia Joule (J)
Potência Watt (W)
Pressão Pascal (Pa)
3. Sistema FPS de unidades: Sistema FPS de unidades é um sistema de unidades de medidas físicas, ou sistema dimensional, cujas unidades-base são o “feet” (pé) para (pé) para o comprimento, o “poundal” para “poundal” para a força e o segundo para o tempo. A massa é medida em “libra“libra-massa” (lbm). Suas unidades básicas ou fundamentais são: Comprimento pé (ft)
Massa libra (lbm)
Tempo segundo (s)
Temperatura Fahrenheit (ºF)
Algumas de suas unidades derivadas são: Aceleração
Energia Potência Pressão BTU (British hp ft/s2 poundal (pdl) pdl/ft2 Thermal Unit) (horse-power) É importante fazer duas observações pertinentes sobre o Sistema Dimensional Absoluto Inglês (FPS):
Força
Existe o Sistema Técnico Inglês praticamente praticamente se confundindo com o FPS. No Sistema Técnico Inglês, a força (juntamente com o comprimento, o tempo e a temperatura) é definida como Dimensão Fundamental e a massa como Dimensão Derivada. Esta inversão faz com que a força forç a seja medida em “libra -força” (lbf ) e a massa em “slug”. Outra diferença está na unidade de temperatura, sendo graus Fahrenheit (ºF) para o
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FPS e graus Rankine (Ra) para o Sistema Técnico Inglês. Obs.: a escala Rankine é absoluta e 0ºC corresponde a 491,67Ra. Historicamente, a unidade unidade libra libra data de antes do entendimento entendimento da distinção entre força Historicamente, e massa. Uma vez que a distinção se fez mais clara, foi natural que se perguntasse se a libra deveria ser interpretada como uma unidade de massa ou uma unidade de força. Atualmente o sistema FPS não é mais usado na ciência e está gradualmente gradualmente se aproximando da extinção mesmo na Engenharia nos EUA.
4. Conversão entre os Sistemas: Resumidamente podemos apresentar uma tabela com os valores de conversão entre os três tipos de sistemas de unidades:
Grandeza Comprimento Massa Tempo Temperatura Aceleração Força Energia Potência Pressão
FPS 1,0 ft 1,0 lbm 1,0 s 0ºF 1,0 ft/s 1,0 pdl 1,0 BTU 1,0 hp 1,0 pdl/ft2
SI 0,3048 m 0,453592 kg 1,0 s 255,22K 0,3048 m/s² 0,138255 N 1,05506 KJ 745,7 W 1,488164 Pa
CGS 30,48 cm 453,592 g 1,0 s -17,77ºC 30,48 cm/s² 13,8255 Kdy 1,05506 Gerg 745,7 Merg/s 14,88164 bar
5. Notação de Engenharia: No uso da Notação de Engenharia ajustamos a posição da vírgula decimal de tal maneira que a potência de dez seja um múltiplo de três. Este procedimento facilita a escrita dos valores utilizados, pois permite a substituição da potência de dez por um prefixo, que é acrescentado ao símbolo da unidade da grandeza com que se está trabalhando. A tabela a seguir apresenta as potências de dez múltiplas de três, seguidas dos correspondentes nomes e símbolos dos prefixos equivalentes às potências de dez:
Multiplicador 1024 10 10 10 10 10 106 10
Prefixo yotta zetta exa peta tera giga mega kilo
Símbolo Y Z E P T G M K
Multiplicador 10101010-15 101010-6 10-
Prefixo yocto zepto atto femto pico nano micro mili
Símbolo y z a f p n
m
6. Princípio da Homogeneidade Dimensional: Aos três conceitos fundamentais de comprimento, tempo e massa, está associada a noção de dimensão: dimensão de comprimento (L), dimensão de tempo (T) e dimensão de massa (M), respectivamente, pois as grandezas fundamentais podem exprimir-se nas respectivas unidades. As grandezas físicas derivadas obtêm-se combinando grandezas com dimensões distintas. Ex: velocidade: v
ds L => [v] L.T 1 dt T
Surge assim uma nova grandeza derivada com uma nova dimensão e uma unidade de medida derivada a partir das unidades de medida fundamentais. Assim todas as grandezas dimensionais podem ser escritas como combinações lineares das três grandezas independentes ou fundamentais – e analogamente as respectivas unidades. À expressão de uma grandeza física em termos das unidades fundamentais chama-se equação dimensional. É sempre possível multiplicar e dividir grandezas dimensionais. Só podemos somar ou subtrair grandezas com as mesmas dimensões e unidades de
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medida; é o Princípio da Homogeneidade Dimensional . O Princípio da Homogeneidade Dimensional aliado à existência de grandezas fundamentais permite-nos desenvolver uma forma poderosa de testar a correção de qualquer equação física do ponto de vista dimensional. Este princípio exige que ambos os membros da equação tenham as mesmas dimensões; no caso de haver somas ou diferenças, todos os termos de cada membro terão de ter também as mesmas dimensões. Exemplo: s so v.t => [s] [so ] [v].[t] => [s] [s ] L L.T 1.T => [s] [s ] L L => [s] [s ] L A fórmula está correta do ponto de vista dimensional, portanto temos a garantia que está correta do ponto de vista físico. Algumas quantidades são independentes das unidades, isto é, são grandezas adimensionais. Exemplo: o ângulo “” pode ser medido em radianos e escrito por: θ
R
= > como [ ] L e [R] [R] L , então: [ ]
L L
adimensional
Outro aspecto importante da análise dimensional é a Previsão de fórmulas. Por exemplo: Existe uma fórmula que foi descoberta por um cientista, que observou o tempo (t) de oscilação de certo pêndulo simples. Com isso ele pode observar que o tempo de oscilação é totalmente dependente tanto do comprimento do fio ( ), como do módulo da aceleração da gravidade (g). Portanto a fórmula é a seguinte: t K. x .gy Onde K é considerada uma constante adimensional e x e y representam números. Com relação ao princípio da homogeneidade dimensional temos: [t] M0 .L0 .T1 [ ] M0 .L1.T 0 [g] M0 .L1.T -2
x
[t] [ ]x .[g]y M0 .L0 .T1 M0 .L1.T 0 . M0 .L1.T -2
y
T1 Lx .Ly .T-2y Lx y .T-2y 1 1 1 Então: 2.y 1 y e x y 0 x 0 x 2 2 2
Chegamos à expressão final: t K.
g
Observação: A única constante que não pode ser definida através da análise dimensional é a constan te K.
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Exercícios de Fixação: (Resolução em Sala de Aula)
01. Na análise de determinados movimentos, é bastante razoável supor que a força de atrito seja proporcional ao quadrado da velocidade da partícula que se move. Analiticamente f = Kv2. Determine a unidade da constante de proporcionalidade “K” no SI, no CGS e no FPS. ________________________________________________________ ______________________ 02. O quociente da unidade de força dividida pela unidade de velocidade pode ser utilizado para medir qual grandeza, com que unidade no SI, no CGS e no FPS? ___________________________________________________ ___________________________ 03. A intensidade (F) da força que age em uma partícula é dada em função do tempo (t) conforme a expressão F = A + Bt onde A e B são parâmetros constantes. Adotando como fundamentais as grandezas massa (M), comprimento (L) e tempo (T), obtenha as equações dimensionais dos parâmetros A e B. ________________________________________________________ ______________________ 04. Na expressão F = Ax 2, “F” representa força e “x um comprimento. Se “MLT-2” é a fórmula dimensional da força onde “M” é o símbolo da dimensão massa, “L” da dimensão comprimento e “T” da dimensão tempo, determine a fórmula dimensional de A. ________________________________________________________ ______________________ 05. Um físico apresentou uma teoria reformulando alguns conceitos nas leis de Mecânica Newtoniana. Um jornal, pretendendo reproduzir essa teoria, apresentou como expressão da intensidade da força gravitacional (F) entre duas partículas de massas “m1 “ e “m2”, separadas por uma distância r , a relação: ”
F
m1.m2 2
r
. 1 V 2 r.a
onde “V” é a intensidade da velocidade relativa e “a” é a intensidade da aceleração relativa entre os corpos. Faça uma análise dimensional da expressão verificando se está correta ou errada. Para a segunda hipótese determine a causa do erro. ________________________________________________________ ______________________
Respostas dos Exercícios de Fixação: 01.
kg
;
g
m cm
;
lbm ft
dv L m . M. [F] m .a dt T 2 M.L.T M ; kg ; g ; lbm ; vazão de massa 02. L [v] ds T s s s ds L.T 2 dt dt T -2 03. [A] = [F] => [A] = MLT ; [Bt] = [F] => [B] [t] = [F] => [B] T = MLT -2 => [B] = MLT -3 04. ML-1T-2 05. A expressão é dimensionalmente absurda pois só podemos somar parcelas que sejam de mesma grandeza dimensional, além disso, mesmo no caso em que V=0 e a=0, o segundo membro da expressão não apresenta equação dimensional de força.
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MODULO 02 – Estática dos Fluidos – Teoria: 1. Massa Específica ( ) ou Densidade Absoluta ( da): A massa específica é uma característica da substância que constitui o corpo e é obtida pelo quociente entre a massa (m) e o volume do corpo ( V), quando este é maciço e homogêneo. Como em nosso curso estamos interessados no estado fluido das substâncias, não admitiremos corpos ocos, portanto, todo o volume do corpo corresponderá ao volume ocupado. da ρ
m V
As unidades de massa específica nos diversos sistemas já estudados são: Massa Específica ( )
SI Kg/m3
CGS g/cm3
FPS Libm/ft3
1,0 Libm/ft3 = 16,018463 Kg/m3 = 16,018463.10-3 g/cm3 ; 1,0 g/cm3 = 103 kg/m3 Só teremos a densidade absoluta (da) ou massa específica ( ) se o corpo em questão for maciço e homogêneo, como no caso de fluidos, de outra forma, o que estaremos obtendo é uma característica do corpo chamada densidade, aplicável a qualquer corpo, inclusive sólidos.
2. Peso Específico ( ): O Peso Específico ( ) de uma massa fluida é definido como o peso (P) da substância contida numa unidade de volume (V). Assim, podemos criar uma relação entre a massa específica e o peso específico da substância: P m.g m .g ρ.g V V V As unidades de peso específico nos diversos sistemas já estudados são: Peso Específico ( )
SI N/m3
CGS dy/cm3
FPS Pdl/ft3
1,0 Pdl/ft3 = 4,882429 N/m3 = 0,4882429 dy/cm3
3. Pressão (p): Aplicável a qualquer corpo, incluindo os corpos fluidos, é o quociente entre a Força Normal (FN) aplicada e a área (A) onde ela atua. p
FN A
As unidades de pressão nos diversos sistemas já estudados são:
Pressão (p)
SI N/m2
CGS dy/cm2
FPS Pdl/ft2
1,0 Pdl/ft2 = 1,488164 N/m2 (Pa) = 14,88164 dy/cm2 (bar)
4. Fluido Incompressível: Um fluido é considerado incompressível quando sua massa específica ( ) e obviamente seu peso específico ( ) permanecem constantes independentemente da temperatura e pressão ou a profundidade no seu interior. A variação de massa específica dos líquidos normalmente pode ser desprezada
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enquanto que nos vapores e gases ela varia significativamente. De forma simplificada, então, dizemos que os líquidos são incompressíveis enquanto que os vapores e gases são compressíveis.
5. Pressão medida em líquido estático – Teorema de Stevin: Imagine um líquido incompressível, em repouso dentro de um recipiente, representado ao lado. Vários pontos estão assinalados e podemos determinar a pressão exercida pelo líquido sobre cada um deles. A pressão sobre o ponto “ A” (pA) será o quociente do peso (Peso) do líquido acima dele e a área ocupada por ele. pA
Peso A
mliq .g mliq .g.h A ρ.g.hA Vliq Vliq hA
Desenvolvemos a equação de pressão sobre o ponto “A” ( pA) em função da densidade do líquido ( ). É possível escrevê-la em função do peso específico ( ), que é o que nos interessa: p A .hA Desta constatação, podemos fazer inúmeras considerações:
A equação: p A .hA é chamada de pressão efetiva, ou seja, exclusivamente exercida pela coluna de líquido sobre o ponto “ A”; A pressão “ po” mostrada na figura corresponde à pressão atmosférica exercida sobre a superfície livre do líquido; Das duas considerações mostradas anteriormente, podemos definir como pressão absoluta exercida sobre o ponto “ A” a soma das duas pressões: p'A .hA pO ; Logicamente, quanto maior a profundidade ( h) de um ponto de um líquido, maior a pressão exercida sobre ele; Além da profundidade ( h), quanto maior o peso específico do líquido ( ), maior a pressão que ele exerce; Qualquer ponto de um líquido incompressível, em repouso, na mesma horizontal apresentará a mesma pressão: pB pC ; pD pE
6. Pressão Atmosférica ( pO) – Experimento de Torricelli: A pressão atmosférica, logicamente, corresponde a todo peso da coluna de ar sobre a área de um corpo ou a superfície livre de um líquido, dividido pelo valor desta área. Até a época de Galileu (século XVII), a existência da pressão atmosférica era desconhecida pela maioria das pessoas. Torricelli, físico italiano, contemporâneo de Galileu, realizou uma famosa experiência que, além de demonstrar que a pressão existe realmente, permitiu a determinação de seu valor. Torricelli realizou a seguinte experiência:
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Encheu de mercúrio (Hg) um tubo de vidro com mais ou menos 1 metro de comprimento; em seguida fechou a extremidade livre do tubo e o emborcou numa vasilha contendo mercúrio. Quando o dedo que vedava o tubo foi retirado, a coluna de mercúrio desceu, ficando o seu nível aproximadamente 76cm acima do nível do mercúrio dentro da vasilha. Torricelli concluiu que a pressão atmosférica, pO, atuando na superfície livre do líquido no recipiente, conseguia equilibrar a coluna de mercúrio. O espaço vazio sobre o mercúrio, no tubo, constitui a chamada câmara barométrica, onde a pressão é praticamente nula (vácuo). Desta forma, outra unidade para a pressão ( p) é o “cmHg” ou ainda o “mmHg”. Substituindo o mercúrio (Hg) neste experimento por água, a altura da coluna que equilibraria a pressão atmosférica corresponderia a 10,3 metros, chamado de “mca”, metros de coluna de água ou ainda o “ mmca”, milímetros de coluna de água.
Outras unidades de Pressão (p)
atm
cmHg
mmHg
mca
mmca
1,0 atm = 76 cmHg = 760 mmHg = 10,33 mca = 10,33.103 mmca
Apêndice A – Massas específicas de algumas substâncias: Substância
ρ (g/cm3 )
ρ (kg/m3 )
1,0 0,92 0,79 7,8 11,2 13,6
1.000 920 790 7.800 11.200 13.600
Água Gelo Álcool Ferro Chumbo Mercúrio
Apêndice B –
Pressão atmosférica em determinadas altitudes:
Altitude(metros) 0 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Pressão atmosférica (cmHg) 76 72 67 60 53 47 41 36 31 27 24 21
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MODULO 02 – Estática dos Fluidos, Manometria e Forças devidas à Pressão - Tabelas:
Temperatura (ºC) 0 5,0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Ar CO2 He H2 CH4 N2 O2
Densidade, Viscosidade Dinâmica e Viscosidade Cinemática do AR em função da temperatura
Densidade, Viscosidade Dinâmica e Viscosidade Cinemática da ÁGUA em função da temperatura
(kg/m3) 1,290 1,269 1,250 1,200 1,160 1,130 1,090 1,060 1,030 1,000 0,972 0,946
(kg/m3) 1000 1000 1000 998 996 992 988 984 978 971 965 958
(N.s/m2).10-5 1,72 1,73 1,77 1,81 1,86 1,91 1,95 1,99 2,04 2,09 2,19 2,30
(m2 /s).10-5 1,33 1,36 1,41 1,51 1,60 1,69 1,78 1,87 1,98 2,09 2,25 2,43
(N.s/m2).10-4 17,5 15,2 13,0 10,2 8,00 6,51 5,41 4,60 4,02 3,50 3,11 2,82
Densidade e Viscosidade Dinâmica de alguns GASES industriais Temperatura (ºC) (kg/m3) (N.s/m2).10-5 15 1,2300 1,79 20 1,8300 1,47 20 0,1660 1,94 20 0,0838 0,88 20 0,6670 1,10 20 1,1600 1,76 20 1,3300 2,04
Densidade e Viscosidade Dinâmica de alguns LÍQUIDOS industriais Temperatura (ºC) (kg/m3) (N.s/m2) Tetracloreto de Carbono (CCl4) 20,0 1590 9,58.10- Álcool Etílico (C2H5OH) 20,0 789 1,19.10-3 Gasolina 15,6 680 3,10.10-4 Glicerina 20,0 1260 1,50.10- Mercúrio (Hg) 20,0 13600 1,57.10- Óleo SAE 30 15,6 912 3,80.10- Água do mar 15,6 1030 1,20.10-
(m2 /s).10-6 1,7500 1,5200 1,3000 1,0220 0,8032 0,6562 0,5475 0,4674 0,4110 0,3604 0,3222 0,2943
(m2 /s).10-5 1,4553 0,8032 11,686 10,501 1,6491 1,5172 1,5338
(m2 /s) 0,6025.100,1508.10-6 0,4558.10-6 0,1190.101,1544.100,4167.100,1165.10-
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MODULO 02 – Manometria – Teoria: 1. Vasos Comunicantes: Quando dois líquidos que não se misturam (imiscíveis) são colocados num mesmo recipiente, eles se dispõem de modo que o líquido de maior peso específico ( ) ocupe a parte de baixo e o de menor peso específico, a parte de cima. A superfície de separação entre eles é horizontal. Por exemplo, se o óleo e a água forem colocados com cuidado num recipiente, o óleo fica na parte superior porque é menos denso que a água, que permanece na parte inferior (figura ao lado).
Caso os líquidos imiscíveis sejam colocados num sistema constituídos por vasos comunicantes, como um tubo em U (Figura ao lado), eles se dispõem de modo que as alturas das colunas líquidas, medidas a partir da superfície de separação, sejam proporcionais aos respectivos pesos específicos ( ). Sendo “ A” o peso específico do líquido que contém o ponto “ A”, “ B” o peso específico do líquido que contém o ponto “ B”, hA e hB as respectivas alturas das colunas de líquido até a superfície livre, obtemos: A .hA B .hB Conclusão: quanto menor o peso específico do líquido, maior será a altura da coluna e quanto maior o peso específico do líquido, menor será a altura da coluna.
2. Tubo Piezométrico: Consiste num tubo vertical aberto no topo e conectado ao recipiente no qual desejamos conhecer a pressão (figura ao lado). Admitindo o ponto “A” do interior do líquido na mesma horizontal (elevação) do orifício piezométrico, então podemos determinar a pressão no ponto “A” pela altura “h” do líquido e de seu peso específico “ ”: p A .h A utilização do tubo piezométrico é bastante restrita apesar do dispositivo ser muito simples e preciso. Só é adequado nos casos onde a pressão no recipiente é maior do que a pressão atmosférica, senão ocorreria a sucção de ar para o interior do recipiente.
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3. Manômetro com tubo em U: Instrumento muito simples com a função de medir pressão, mostrado na figura ao lado. O ponto “ A” da figura pertence a um fluido do qual desejamos medir a pressão. O fluido manométrico do tubo ligado ao recipiente apresenta pontos de mesma elevação “M” e “N”. Assim, podemos concluir que a pressão no ponto “A” será: p A .h Onde “ ” é o peso específico do fluido manométrico e “ h” a altura dele até a superfície livre. A maior vantagem do manômetro com tubo em U é que o fluido manométrico pode ser diferente do fluido contido no recipiente onde a pressão deve ser determinada. Por exemplo: o fluido do recipiente da figura ao lado pode ser um gás ou um líquido e o fluido manométrico pode ser mercúrio.
4. Manômetro com tubo inclinado: O manômetro com tubo inclinado é sempre utilizado para medir pequenas diferenças de pressão em sistemas que contém gases. Observe a figura ao lado. O que desejamos é determinar a diferença de pressão entre os pontos “ A” e “B”. O primeiro pertence ao fluido do recipiente e o segundo está no tubo inclinado. A elevação “h”, vertical, do ponto “B” em relação ao ponto “A” pode ser escrita como: h L.senθ A pressão no ponto “B” acrescida da pressão do fluido manométrico são equilibradas pela pressão no pB .h p A p A - pB .L.sen ponto “A”. Ou seja:
5. Manômetro de Bourdon: Dispositivo criado com a finalidade de medição de pressões muito altas ou que variam rapidamente com o tempo. Basease no princípio de que todas as estruturas elásticas deformam quando submetidas a uma pressão diferencial e que esta deformação pode ser relacionada com o valor da pressão. O elemento mecânico essencial neste manômetro é o tubo elástico curvado que está conectado à fonte de pressão (figura ao lado). O tubo curvado tende a ficar reto quando a pressão no tubo (interna) aumenta. Apesar da deformação ser pequena, ela pode ser transformada num movimento de um ponteiro localizado num mostrador. Este dispositivo, para funcionar adequadamente precisa ser calibrado.
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MODULO 02 – Forças devidas à Pressão – Teoria: 1. Princípio de Pascal (Prensa Hidráulica): Uma das propriedades mais interessantes de um fluido, e que acaba resultando em aplicações úteis, é que, quando aumentamos a pressão sobre a sua superfície superior, o aumento da pressão se transmite a todos os pontos do fluido. Este fato é conhecido como Princípio de Pascal. “A pressão que se aplica a um fluido se
transmite integralmente a todos os seus pontos bem como às paredes do recipiente que o contém”.
Uma aplicação bastante simples desse princípio é a Prensa Hidráulica mostrada na figura anterior. Imaginemos um tubo em U no qual aplicamos uma pressão “P”, que resulta de uma força aplicada “F1” numa área “A1”. Essa pressão se transmitirá integralmente à outra extremidade, na qual exercerá uma força “F2” sobre uma área “A2”. Como a pressão transmitida é a mesma, tem-se: F1 A1
F2 A2
Tem-se, portanto, um mecanismo eficaz de aumento da força aplicada. Basta construir um dispositivo com área, na outra extremidade, bem maior do que a área original na qual aplicamos a força. Este é o princípio de funcionamento da prensa hidráulica.
2. Princípio de Arquimedes (Empuxo): Os fluidos exercem uma força vertical (para cima) sobre os objetos imersos nele. Essa força é conhecida como Empuxo. Arquimedes entendeu muito bem esse fenômeno e enunciou, em seu livro "Sobre os Corpos Flutuantes", sua famosa lei: “Qualquer objeto sólido imerso num líquido "perde" peso
de tal forma que o "peso perdido" é igual ao peso da quantidade de líquido que ele desloca”. Portanto, a força conhecida como Empuxo (a aparente perda de peso) é tal que:
Empuxo = peso do volume do fluido deslocado Assim, sobre um objeto parcial ou totalmente imerso num f luido devemos considerar mais uma força, que é o Empuxo. Quando um corpo está totalmente imerso em um líquido, por exemplo, podemos ter as seguintes condições:
Se ele permanece parado no ponto onde foi colocado, a intensidade da força de empuxo é igual à intensidade da força peso (E = P);
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________ Se ele afundar, a intensidade da força de empuxo é menor do que a intensidade da força peso
(E < P); Se ele for levado para a superfície, a intensidade da força de empuxo é maior do que a intensidade da força peso (E > P).
Para calcular o valor do Empuxo exercido sobre um corpo parcial ou totalmente imerso em um fluido, basta utilizar a equação: E PesoLd E mLd.g E ρ.VLd.g E .VLd Onde “ ” é o peso específico do fluido e “VLd” é o volume do líquido deslocado, ou seja, o volume de sólido que está imerso no fluido. Algumas observações Importantes:
Quando o corpo está totalmente mergulhado no líquido, o volume do líquido deslocado ( VLd) corresponde a todo o volume do corpo; Quando o corpo está parcialmente mergulhado no líquido, o volume do líquido deslocado (VLd) corresponde ao volume imerso do corpo;
O Empuxo ocorre devido à diferença de pressão que o corpo sólido recebe do fluido quando mergulhado nele. Na figura ao lado, mostramos que a parte superior do sólido recebeu pressão menor que a parte inferior que está mais profundamente mergulhada. Esta diferença de pressão entre a parte superior e inferior provoca uma força resultante, vertical, para cima.
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Exercícios de Fixação: (Resolução em Sala de Aula)
01. Determinar a massa específica e o peso específico da gasolina, no SI, sabendo que 51g da mesma ocupam um volume de 75cm³. Dado: aceleração da gravidade local: g=9,85m/s 2. ________________________________________________________ ______________________ 02. Uma vasilha vazia pesa 3,0kgf. Completamente cheia de água pesa 53kgf e completamente cheia de glicerina 66kgf. Determinar a massa específica da glicerina no CGS. Dados: 1,0kgf=9,81N; massa específica da água=1,0g/cm3; aceleração da gravidade local=9,81m/s2. ___________________________________________ ___________________________________ 03. Um submarino encontra-se a 120m de profundidade. De que pressão relativa e absoluta deve dispor para poder expulsar a água dos tanques de lastro? Dados: A massa específica da água é 1,0.103kg/m3; pressão atmosférica local=1,013.105N/m2; aceleração da gravidade local=9,85m/s2. ________________________________________________________ ______________________ 04. Uma peça de determinada liga pesa 50kgf no ar e pesa 45kgf quando totalmente submersa em água. Determinar o volume da peça e sua massa específica. Dados: aceleração da gravidade local=9,85m/s2; massa específica da água=1,0g/cm3. ________________________________________________________ ______________________ 05. A figura seguinte apresenta os elementos que constituem uma prensa hidráulica. O êmbolo (ou pistão) tem uma área de 1,0in2 e a força F1 é aplicada a ele. Se o pistão de maior dimensão tiver uma área de 150in2, determine a magnitude da força F2 quando se aplica uma força F1 de 30Lb. Nota: despreze a variação da pressão hidrostática.
________________________________________________________ ______________________
Respostas dos Exercícios de Fixação: 04. 01. =0,68.103kg/m3; =6,698.103N/m3. V=5,0.103cm3; =10,0g/cm3=10,0.103kg/m3. 02. =1,26g/cm3. 05. 4500Lb 03. prel=11,82.105Pa; pabs=12,833.105Pa.
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
MODULO 03 – Caracterização dos Fluidos – Teoria I: 1. Definição de Fluido: Fluido é uma substância que não possui forma própria (assume o formato do recipiente que o contém) e quando em repouso não resiste a tensões de cisalhamento (deforma-se continuamente e irreversivelmente). A Tensão de Cisalhamento é a razão entre o módulo da componente tangencial da força e a área da superfície sobre a qual a força está sendo aplicada. A figura ao lado mostra que uma força qualquer “F”, aplicada sobre uma área “A” de um fluido pode gerar duas componentes: a primeira é normal (perpendicular) à superfície do fluido, “FN” e a segunda é tangente à superfície do fluido “Ft”, chamada de força cisalhante. A primeira componente, já estudada na aula 04, dá origem à pressão. A segunda componente dá origem à tensão de cisalhamento, representada pela letra “tau” ( ) e também é o quociente entre a força cisalhante e sua área de atuação. pressão
FN A
Ft A
As unidades de tensão de cisalhamento nos diversos sistemas já estudados são: Tensão de Cisalhamento ( )
SI N/m2
CGS dy/cm2
FPS Pdl/ft2
1,0 Pdl/ft2 = 1,488164 N/m2 (Pa) = 14,88164 dy/cm2 (bar)
2. Experimento das placas: Consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. Suponhamos que a placa superior, em um dado instante, passe a se mover sob a ação de uma foça tangencial, como mostram as figuras seguintes.
A força tangencial “Ft”, no fluido, gera uma tensão de cisalhamento. O fluido adjacente à placa superior adquire a mesma velocidade da placa (princípio da aderência). As camadas inferiores do fluido adquirem velocidades tanto menores quanto maior for a distância à placa superior, surgindo o perfil de velocidades do fluido mostrado na figura 2 ao longo da distância “ dy” entre as placas. Também pelo princípio da aderência, a velocidade do fluido, adjacente à placa inferior, é zero. Como existe uma diferença de velocidade entre as camadas do fluido, ocorrerá então uma deformação contínua “dx” sob a ação da tensão de cisalhamento. O perfil de velocidades apresentará uma inclinação “ d ” e todas as grandezas medidas ocorreram após um tempo de aplicação da força cisalhante “ dt”. Reunindo todas estas informações sobre o movimento do fluido quando submetido a uma força cisalhante podemos enunciar a Lei de Newton:
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
“A tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à variação da velocidade ao longo da direção normal às placas.”
dv dy
(equação 2.1)
3. Viscosidade Absoluta ou Dinâmica ( ): A definição de viscosidade está relacionada com a lei de Newton enunciada no tópico anterior. Quanto maior a força cisalhante, maior o ângulo “ d ” de abertura do perfil de velocidades durante o intervalo de tempo “dt”. Para transformar uma proporção em uma igualdade devemos acrescentar uma constante: dθ dθ (equação 3.1) . dt
dt
A constante “ ” é a viscosidade dinâmica. Seu significado físico é a propriedade do fluido através da qual ele oferece resistência às tensões de cisalhamento. O valor da viscosidade dinâmica varia de fluido para fluido e, para um fluido em particular, esta viscosidade depende muito da temperatura. Os gases e líquidos têm comportamentos diferentes com relação à dependência da temperatura, conforme mostra a tabela seguinte:
Fluido
Comportamento
Líquidos
A viscosidade ( ) diminui com a temperatura.
Gases
A viscosidade ( ) aumenta com a temperatura.
Fenômeno Observa-se um pequeno espaçamento entre as moléculas e ocorre a redução da atração entre elas. Observa-se um grande espaçamento entre as moléculas e ocorre aumento do número de colisões entre elas.
Continuando a tratar da equação de viscosidade, observe o perfil de velocidades da Figura 2. Podemos determinar uma equação simples que relaciona o seu ângulo de abertura “ d ” com as grandezas “dx” e “dy”: para pequenos dx dx tgdθ (equação 3.2) ângulos dθ : dθ dy dy tgdθ dθ Aplicando esta constatação (eq. 3.2) na equação de tensão de cisalhamento (eq 3.1) teremos: .
dθ dx dx dv . como dv . dt dt.dy dt dy
(equação 3.3)
Esta última expressão (eq. 3.3) confirma a Lei de Newton apresentada no tópico 2 (eq. 2.1) desta aula. Podemos, ainda, fazer uma simplificação para a última equação apresentada. Imagine a hipótese da velocidade “dv” variar linearmente com o comprimento “dy”. .
v - v0 dv v-0 v . . . dy y - y0 e-0 e
(equação 3.4)
Onde: “v” é a velocidade da placa superior e “e” é a distância entre as placas. A tabela seguinte apresenta as unidades de viscosidade dinâmica “ ” nos diversos sistemas que já estudamos: Viscosidade Dinâmica ( )
SI N.s/m2 = Pa.s
CGS dy.s/cm2 = poise
1,0 Pdl.s/ft2 = 1,488164 Pa.s = 14,88164 poise
FPS Pdl.s/ft2
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4. Viscosidade Cinemática ( ): Uma outra forma de analisar a viscosidade de um fluido é combinar sua viscosidade dinâmica ( ) com sua massa específica ( ). A grandeza obtida é chamada de viscosidade cinemática ( ).
μ ρ
A tabela seguinte apresenta as unidades de viscosidade Cinemática “ ” nos diversos sistemas que já estudamos: Viscosidade Cinemática ( )
SI m2/s
CGS cm2/s = stoke
FPS ft2/s
1,0 ft2/s = 9,290304.10-2 m2/s = 9,290304.102 stokes
5. Classificação dos Fluidos: A) Fluido Ideal: são aqueles cuja viscosidade é nula ( =0). Por definição, conclui-se que é um fluido que escoa sem perdas de energia por atrito. Nenhum fluido possui essa propriedade, na prática. B) Fluido Newtoniano: são aqueles cujo comportamento pode ser descrito pela Lei da Viscosidade de Newton (eq. 3.3), sua viscosidade é constante e diferente de zero ( =cte≠0). Exemplos: ar, água, gasolina, diesel, álcool etílico, glicerina... C) Fluido Não-Newtoniano: são aqueles que não atendem a Lei de Viscosidade de Newton. Sub-divide-se em várias categorias: C.1) Fluido Pseudoplástico: a viscosidade ( ) diminui à medida que a tensão sobre ele é aumentada. Exemplos: soluções poliméricas, polpa de papel em água, tintas... C.2) Fluido Dilatante: a viscosidade ( ) aumenta à medida que a tensão sobre ele é aumentada. Exemplos: suspensões de amido, suspensões coloidais, suspensão de silicato de potássio... C.3) Fluido de Bingham: a viscosidade ( ) é constante durante todo o escoamento, como se fosse um fluido Newtoniano. A diferença é que para que ele seja posto em movimento, ou seja, comece a escoar, é necessário fornecer uma tensão ( ) superior à tensão inicial ( 0) sem a qual, este fluido comporta-se como se fosse um sólido. Exemplos: creme dental, maionese, catchup, chantilly, clara em neve, lamas de argila e de poços de perfuração de petróleo...
6. Viscosidade Aparente ( ): Os fluidos Não-Newtonianos podem ser matematicamente descritos como: .
dθ dt
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Enquanto nos fluidos Newtonianos, a viscosidade dinâmica ( ) durante o escoamento é constante, nos fluidos não-Newtonianos a viscosidade varia de acordo com a deformação ( d ) sofrida pelo fluido, por esta razão, foi definida a viscosidade aparente ( ). A tabela seguinte apresenta as unidades de viscosidade aparente “ ” nos diversos sistemas que já estudamos e são as mesmas da viscosidade dinâmica: Viscosidade Aparente ( )
SI N.s/m2 = Pa.s
CGS dy.s/cm2 = poise
1,0 Pdl.s/ft2 = 1,488164 Pa.s = 14,88164 poise
FPS Pdl.s/ft2
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MODULO 03 – Caracterização dos Fluidos – Teoria II: 1. Forças que atuam em um fluido em movimento: Existem 5 (cinco) possíveis tipos de forças que podem atuar sobre um fluido em movimento. Cada uma delas apresenta uma origem, uma atuação e uma conseqüência diferente. A tabela seguinte apresenta cada uma das forças mencionadas com a respectiva simbologia.
Simbologia
Nome
FC
Forças de Campo
FV
Forças Viscosas
FP FE F Fi
Forças de Superfície Forças Elásticas Forças de Coesão Força INERCIAL
Descrição Forças de atuam devido ao campo que age no sistema (gravitacional, elétrico e/ou magnético). Forças que atuam devido à deformação do fluido. São originadas pelo atrito que uma molécula desempenha sobre a outra durante o escoamento. Forças que atuam na superfície do sistema, como aquelas devido à pressão. Forças oriundas de sistemas em altas velocidades. Forças oriundas da tensão superficial do fluido, ou seja, forças de coesão intermolecular. Força RESULTANTE que atua sobre o fluido.
Logicamente, a resultante (Fi) das forças atuantes sobre o fluido nada mais é do que a soma de todas as forças, ou seja: Fi = FC + FV + FP + FE + F Dividindo os dois lados da igualdade pela força inercial ( Fi) obteremos:
1
FC Fi
FV Fi
FP Fi
FE Fi
Fσ Fi
As frações do segundo membro desta equação são adimensionais e recebem nomes especiais descritos na tabela seguinte:
Adimensional Fi FC Fi FV Fi FP FP Fi Fi FE Fi Fσ
Símbolo
Nomenclatura
Fr
Froude
Re
Reynolds
Ru
Ruarke
Eu
Euler
Ma
Mach
We
Weber
Aplicação Distinção entre escoamentos rápidos e tranquilos em sistemas que possuem superfícies livres tais como navios e estruturas hidráulicas. Distinção entre regimes de escoamentos laminares, transitórios e turbulentos. Amplamente utilizados em projetos hidráulicos e desempenhos sobre corpos submersos (carros, submarinos e aeronaves). Útil para escoamentos compressíveis e na relação entre pressão estática e dinâmica de sistemas como tubulações e equipamentos. Importante para prever capacidade de um sistema em função do consumo energético, aplicado no projeto de bombas e compressores. Distinção entre regimes de escoamento nos problemas com escoamentos internos e externos compressíveis, tais como o subsônico, o transônico e o hipersônico aplicado à aerodinâmica de aviões, carros, navios e projéteis. Importante no estudo das interfaces líquido-líquido e gáslíquido principalmente para os estudos que envolvem transferência de massa ou perfuração de poços de petróleo.
Todos os números adimensionais apresentados (Fr, Re, Ru, Eu, Ma e We) podem ser expressos em termos de algumas propriedades físicas importantes para o escoamento dos fluidos, tais como: comprimento ou dimensão característica ( D), densidade ( ), velocidade (v), viscosidade dinâmica ( ) e viscosidade cinemática ( ). Em nosso curso não estamos interessados no estudo de todos estes
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adimensionais. Vamos nos concentrar no número de Reynolds ( Re) para determinar o regime de escoamento de um fluido. Para isto, vamos desenvolver a equação de força viscosa ( FV) e de força inercial (Fi) que são os dois termos necessários para calcular o número de Reynolds. Da definição de Tensão de Cisalhamento apresentado na aula 04, podemos determinar a força viscosa (FV): F dv V FV .A FV μ. .A A dy Admitindo-se o perfil de velocidade de escoamento do fluido constante, ao longo do diâmetro da tubulação e chamando este diâmetro de “D”, chegaremos ao seguinte resultado: v FV μ. .D2 FV μ.v.D D A força resultante ou inercial ( Fi) pode ser determinada através das grandezas apresentadas, partindo-se da 2ª lei de Newton: dv v D Fi ρ.D3 . Fi ρ.D2 . .v Fi ρ.D2 .v2 Fi m.a Fi ρ.Vol. dt t t O número de Reynolds será determinado pelo quociente de (Fi) por (FV): F D.v ρ.D2 .v2 ρ.D.v Re i ou Re Re FV μ.v.D μ
2. O experimento de Reynolds: Considere um fluido qualquer escoando numa tubulação em que é possível inserir um corante, conforme ilustra a figura seguinte.
O fluido escoa como se fossem lâminas sobrepostas, ou seja, a parcela de fluido de uma lâmina não se mistura com a de outra durante o escoamento. Nessa situação, as forças viscosas sobressaem em relação às demais. Nesse caso, têm-se baixos Re e o regime de escoamento é dito LAMINAR (figura).
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
A velocidade de escoamento do fluido é aumentada e as lâminas de fluido tendem a se perturbar. Nessa situação, o regime de escoamento é dito TRANSITÓRIO ou DE TRANSIÇÃO (figura).
Aumentando-se ainda mais a velocidade de escoamento, as parcelas de fluido misturam-se aleatoriamente (turbilhões ou vórtices). Nesse caso, têm-se altos Reynolds e o regime de escoamento é dito TURBULENTO (figura).
3. Faixas de valores para o número de Reynolds: Para cada situação contida nas figuras, é possível calcular um número de Reynolds (Re) representativo, determinando o tipo de escoamento, conforme a tabela seguinte.
Tipo de Escoamento Laminar Transitório Turbulento
Nº de Reynolds 0 Re 2000 2000 Re 4000 Re 4000
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MODULO 03 – Caracterização dos Fluidos – Tubulações: 1. Tubulação em Policloreto de Vinila (PVC): As tubulações de PVC apresentam usos variados nas instalações para condução de fluidos e nas instalações elétricas como condutores de fios e cabos. Resiste a uma temperatura de trabalho entre 29ºC e 60ºC sem deformações consideráveis. Suportam pressões de até 200psi a baixas temperaturas e até 30psi a altas temperaturas. São extremamente flexíveis e possuem uma gama imensa de acessórios, curvas, dobras, juntas e adaptadores.
2. Exemplificação de dimensão de tubulação de PVC: A tabela seguinte mostra a relação entre os diâmetros nominais e o valor médio de diâmetro de algumas tubulações de PVC Rígido Soldável, disponível no mercado.
PVC Rígido Soldável Diâmetro Nominal do Projeto Ref (mm) 15 20 25 32 40 50
Ref (in) 1/2 ¾ 1 1.1/4 1.1/2 2
Diâmetro médio DE (mm) 15,0 20,0 25,0 32,0 40,0 50,0
DI (mm) 13,0 17,0 21,6 27,8 35,2 44,0
Ref=Referência; DE=Diâmetro Externo; DI=Diâmetro Interno.
Cotas
DIMENSÕES (mm) 20
25
32
40
50
B
32
32
32
40
50
D
20
25
32
40
50
e
1,5
1,7
2,1
2,4
3,0
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MODULO 03 – Caracterização dos Fluidos – Óleos Lubrificantes: 1. Classificação dos óleos lubrificantes: Os óleos lubrificantes são classificados por três normas: SAE, API e ASTM.
SAE: Society of Automotive Engineers (Associação dos Engenheiros Automotivos) - define a classificação do lubrificante conforme a necessidade, normalmente está relacionada à viscosidade do óleo. API: American Petroleum Institute (Instituto Americano de Petróleo) - desenvolve a linguagem para o consumidor em termos de serviços dos óleos lubrificantes. ASTM: American Society for Testing of Materials (Associação Americana para Prova de Materiais) Define os métodos de ensaios e limites de desempenho do lubrificante. Nos EUA, a SAE, API e ASTM constituem o grupo trino responsável por especificações aceitas pelas indústrias. Solicitações para novas classificações ou revisões das já existentes são enviadas pelo Comitê Técnico de Lubrificantes e Combustíveis do SAE, que estabelece um grupo-tarefa para estudar a proposta. Se o grupo-tarefa concorda que uma nova categoria seja necessária, faz-se uma solicitação oficial à ASTM para desenvolver ou selecionar as técnicas de ensaio necessárias. A tarefa do API é a de desenvolver a linguagem usada para comunicar ao usuário a nova categoria.
2. Classificação quanto à viscosidade: Quando um fluido muda do estado de repouso para o de movimento, ocorre uma resistência ao fluir, devido ao atrito interno do mesmo. A viscosidade é uma medida desse atrito interno. Para se medir a viscosidade do lubrificante, existem diversas técnicas. Sua classificação se dá pela norma SAE seguido por números com dois algarismos (para lubrificantes de motores a explosão). Quanto maior for esse número, maior será a viscosidade do óleo. Assim temos: SAE-5, SAE-10, SAE-20, SAE-30, SAE-40, etc. Esses lubrificantes também são chamados de “monograu” ou “monoviscoso”, pois, independentemente da temperatura, sempre terá seu valor constante, como indicado. Temos também os óleos “multigrau” ou “multiviscoso”. Esses óleos possuem dois números, sendo o primeiro acompanhado pela letra W (winner) que significa inverno em inglês, lembrando baixas temperaturas. Sendo assim, sua viscosidade pode variar de acordo com a temperatura, atendendo melhor o motor. Ex: SAE-20W40, SAE-20W50, etc.
3. Classificação quanto ao serviço: A norma API classifica o óleo lubrificante quanto ao serviço prestado por eles (motores que atendem). Sua classificação se dá sempre pela sigla API seguida da letra S (service) e outra que vai de A até L atualmente. Quanto mais avançado for a segundo letra, melhor é o lubrificante em termos de serviço, ou seja, atendem a todos os motores fabricados até hoje. Ex: API-SA,SB,SC,SD,SE,SF,SG,SH,SI,SJ,SL e SM. Os óleos SA não possuem aditivos e atendem apenas aos motores muito antigos, fabricados antes da década de 1950. Os óleos SM são indicados a todos os motores fabricados até hoje. Lembre-se, quanto maior o avanço da segunda letra, mais caro é o óleo. Se você tem um carro da década de 80, por exemplo, não necessita utilizar óleos SL ou SM. Logicamente não provocarão problemas de lubrificação. Veja abaixo as classificações:
SF: De 1980 a 1989; SG: De 1989 a 1994; SI: De 1996 a 1998; SJ: De 1998 a 2000; SM: De 2005 aos dias atuais.
SH: De 1994 a 1996; SL: De 2000 a 2005;
Muitos dos óleos recomendados para motores até 1996 já não estão mais a venda, sendo necessário substituir pela categoria superior. Essa classificação somente é válida para os motores a álcool e a gasolina. Motores diesel são classificados pela sigla API-CA a CF. Os óleos lubrificantes para motores a gasolina 2 tempos, como os usados em motoserras, abrangem 3 níveis de desempenho: API-TA,TB e TC. 4. Exemplo de lubrificante comercializado: LU BR A X SINTÉTICO
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Óleo lubrificante “multiviscoso” de última geração, totalmente sintético, para os modernos motores que exijam lubrificantes com níveis de desempenho API-SM/CF. Disponível no grau SAE-5W40. Controla a formação de depósitos mesmo sob condições de extrema severidade, reduzindo o desgaste e a corrosão das partes lubrificadas. Sua “aditivação” lhe garante ainda baixa oxidação. Possui “aditivação” que permite melhor desempenho em qualquer temperatura, possibilitando partidas rápidas, mesmo a baixas temperaturas. É recomendado para uso em todos os motores de elevado desempenho com injeção eletrônica, multiválvulas e turboalimentados, sendo compatível com conversores catalíticos. Aditivos: anticorrosivo, antidesgaste, antiespumante, antioxidante, detergente, dispersante, agente de reserva alcalina, melhorador do índice de viscosidade e abaixador do ponto de fluidez.
ANÁLISES TÍPICAS GRAU SAE Densidade absoluta a 20ºC Ponto de Fluidez Viscosidade a 40ºC Viscosidade a 100ºC Índice de Viscosidade *
5W40 0,8546g/cm3 -30ºC 90,10 cSt (centiStokes) 14,61 cSt (centiStokes) 170 (adimensional)
*O índice de viscosidade indica a maior ou menor variação de viscosidade em função da variação de temperatura.
5. Exemplo de lubrificante comercializado: L U B R A X
SL
Óleo “multiviscoso” de elevado desempenho para uso nos modernos motores adaptados para o uso de gás natural. Aprovado no nível de desempenho API-SL/CF. Pode ser usado em substituição aos óleos com nível API-SF,SG,SH e SJ. Disponível no grau SAE-15W-40. Oferece uma maior proteção contra a formação de borras e depósitos, mesmo a altas temperaturas, reduzindo o desgaste e a corrosão das partes lubrificadas. Possui uma elevada resistência à oxidação e “aditivação” que confere ao óleo uma elevada estabilidade térmica. É recomendado para uso em todos os motores de veículos nacionais ou importados com injeção eletrônica e multiválvulas, sendo compatível com os conversores catalíticos.
ANÁLISES TÍPICAS GRAU SAE Densidade absoluta a 20ºC Ponto de Fluidez Viscosidade a 40ºC Viscosidade a 100ºC Índice de Viscosidade
15W40 0,8845g/cm -24ºC 110,0 cSt (centiStokes) 14,70 cSt (centiStokes) 130 (adimensional)
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
Exercícios de Fixação: (Resolução em Sala de Aula)
01. Qual a viscosidade cinemática em “STOKES” de um óleo de densidade absoluta 0,85g/cm 3 e coeficiente de viscosidade dinâmica de 1,03POISE? ________________________________________________________ ______________________ 02. A viscosidade cinemática de um óleo leve é 0,033m2/s e a sua densidade absoluta é 0,86g/cm 3. Determinar a sua viscosidade dinâmica em unidades do Sistema Internacional. ______________________________________________________ ________________________ 03. 1,0litro de óleo SAE-30 “pesa” 900g a 35C. Expressar sua viscosidade dinâmica em “poises”, sabendo-se que sua viscosidade cinemática a esta temperatura é 100 vezes superior a da água a 20C. Dados: viscosidade cinemática da água a 20ºC=1,01cSt. ________________________________________________________ ______________________ 04. O peso de 3,0dm3 de uma substância é 2,7Kgf. A viscosidade cinemática é 10 -5m2/s. Se a aceleração da gravidade local é 10m/s2, determine a viscosidade dinâmica no sistema internacional. ________________________________________________________ ______________________ 05. Duas placas planas paralelas estão situadas a 3,0mm de distância. A placa superior move-se com velocidade de 4,0m/s, enquanto que a inferior está imóvel. Considerando que um óleo (viscosidade cinemática==0,15stokes e massa específica==905kg/m3) ocupa o espaço entre elas, determinar a tensão de cisalhamento que agirá sobre o óleo. ___________________________________________________ ___________________________ 06. Duas placas são lubrificadas e sobrepostas. Considerando que o líquido lubrificante as mantém afastadas de 0,5mm, e que uma força por unidade de área de 0,2Kgf/m 2 aplicada em uma das placas imprime uma velocidade constante de 30cm/s, determine a viscosidade dinâmica do fluído lubrificante no Sistema Internacional de Unidades. Dado: aceleração da gravidade local é 9,81m/s 2. ________________________________________________________ ______________________ 07. Um corpo de 40Kg de massa escorrega sobre um plano lubrificado e inclinado de 30 graus com a horizontal, apoiando-se em uma de suas faces planas de 1800cm 2 de área. Para uma viscosidade dinâmica de 1,0poise e uma velocidade do corpo de 1,0m/s, determine a espessura da película lubrificante. Dado: aceleração da gravidade local=10m/s2. ________________________________________________________ ______________________ 08. Uma placa retangular de 4,0m por 5,0m escorrega sobre o plano inclinado da figura, com velocidade constante, e se apóia sobre uma película de óleo de 1,0mm de espessura e de viscosidade dinâmica==0,01N.s/m2. Se o peso da placa é 100N, quanto tempo levará para que a sua parte dianteira alcance o fim do plano inclinado?
________________________________________________________ ______________________ 09. Calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é laminar ou turbulento sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4,0cm escoa água com uma velocidade de 0,05m/s. Dados: Viscosidade Dinâmica da água=μ=1,0030×10−3N.s/m²; massa específica da água==1,0g/cm3. ________________________________________________________ ______________________ 10. Água escoa por uma tubulação em regime laminar com um número de Reynolds de 1800. Determine a máxima velocidade do escoamento permissível em um tubo com 2,0cm de diâmetro de forma que esse número de Reynolds não seja ultrapassado. Dados: viscosidade cinemática da água a 20ºC==1,0cSt; massa específica da água==1,0g/cm3. ________________________________________________________ ______________________
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
MODULO 04 – Equação de Continuidade – Teoria: 1. Fluidos Ideais: O movimento de um fluido real é muito complexo. Para simplificar sua descrição consideraremos o comportamento de um fluido ideal cujas características são as seguintes.
1. Fluido não viscoso: É desprezada a fricção interna entre as distintas partes do fluido; 2. Fluido incompressível: A densidade absoluta do fluido (massa específica) permanece constante com o tempo; 3. Fluxo estacionário: A velocidade do fluido em um ponto é constante com o tempo; 4. Fluxo irrotacional: Não apresenta turbilhões, logo, não há momentos angulares do fluido relativos a qualquer ponto.
2. Equação de Continuidade: Consideremos uma porção de fluido em movimento destacado na figura seguinte, no instante inicial “ t” e no instante final “t+ t”, ao longo de uma tubulação. A equação de continuidade é o enunciado matemático do fato de que a taxa efetiva do fluxo de massa para dentro de qualquer superfície fechada ( m1) é igual à taxa de acréscimo de massa dentro da superfície ( m2). Para o escoamento estacionário de um fluido incompressível, a equação tem a seguinte forma:
m1 = m2 como: m= .V e V=A.x e x=v. t, então: m= .A.v. t daí poderemos escrever: simplificando:
.A1.v1. t = .A2.v2. t A1.v1 = A2.v2
O produto “A.v” é constante ao longo de qualquer tubo de corrente. Segue -se que, quando a seção transversal de um tubo de corrente decresce, como no estreitamento da figura anterior, a velocidade aumenta. Isto pode ser prontamente verificado, introduzindo-se pequenas partículas no fluido e observando seus movimentos. Outro detalhe fundamental é o fato de que o produto “A.v” nada mais é que a vazão (Q) de fluido através da tubulação. Assim:
Q = A1.v1 = A2.v2 A velocidade do fluido é maior onde as linhas de corrente estão mais próximas.
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
Exercícios de Fixação: (Resolução em Sala de Aula)
01. Em uma cultura irrigada por um cano que tem área de secção reta de 100 cm2, passa água com uma vazão de 7200 litros por hora. Determine a velocidade de escoamento da água nesse cano, em m/s.
__________________________________________________ _____ _______________________ 02. Vaporizadores semelhantes ao da figura são usados em nebulização. Ao pressionar a bexiga do vaporizador, o ar no seu interior é projetado com velocidade constante de módulo “vB>0”, enquanto o líquido permanece em repouso em A. Explique em qual dos pontos A ou B a pressão é maior e porque.
_______________________________________________________ _______________________ 03. Um jardineiro dispõe de mangueiras de dois tipos, porém com a mesma vazão. Na mangueira (A), a água sai com velocidade de módulo 0,1m/s e na mangueira (B) sai com velocidade de módulo 0,4m/s. qual a relação entre os diâmetros internos das duas mangueiras? ________________________________________________________ _____ _________________ 04. A figura representa uma caixa de água ligada a duas torneiras T1 e T2. A superfície livre da água na caixa tem área A=0,8m2 e as vazões nas torneiras são 5,0litros/minuto e 3,0litros/minuto, respectivamente.
Calcule o módulo da velocidade v, com que a superfície da água desce. ________________________________________________________ ______________________ 05. Considere duas regiões distintas do leito de um rio: Uma larga “A”, com 200m2 de área de secção transversal, onde a velocidade escalar média da água é de 1,0m/s e outra estreita “B”, com 40m2 de área de secção transversal. Calcule:
a) A vazão volumétrica do rio; b) A velocidade escalar média da água do rio na região estreita B. ________________________________________________________ ______________________ 06. A figura ao lado ilustra um reservatório contendo água. A 5,0m abaixo da superfície livre existe um pequeno orifício de área igual a 3,0cm². Admitindo a aceleração local da gravidade 9,81m/s², calcule a vazão instantânea através desse orifício.
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
________________________________________________________ ______________________ 07. 50litros/s escoam no interior de uma tubulação de 8”. Esta tubulação, de ferro fundido, sofre uma redução de diâmetro e passa para 6”. Sabendo-se que a parede da tubulação é de ½” , calcule a velocidade nos dois trechos. Dado: 1’’=2,54cm.
_________________________________________ _____________________________________
Respostas dos Exercícios de Fixação: 01. 0,2m/s. 02. P A>PB, porque o princípio da continuidade garante que o aumento da velocidade de escoamento diminui a pressão. 03. D A=2.DB.
04. 1,0cm/min. 05. a) 200m3/s; b) 5,0m/s. 06. 2,9714litros/s. 07. 2,013m/s e 3,947m/s.
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
MODULO 05 – Equação de Bernoulli – Teoria: 1. Considerações Iniciais: O físico suíço Daniel Bernoulli propôs um princípio para o escoamento dos fluidos, que pode ser enunciado da seguinte maneira:
"Se a velocidade de uma partícula de um fluido aumenta enquanto ela escoa ao longo de uma linha de corrente, a pressão do fluido deve diminuir e vice-versa". Esse conhecimento permite-nos entender por que os aviões conseguem voar. Na parte superior da asa a velocidade do ar é maior (as partículas percorrem uma distância maior no mesmo tempo – veja figuras 1,1 e 1,2), logo, a pressão na superfície superior é menor do que na superfície inferior, o que acaba por criar uma força de sustentação de baixo para cima.
(figura 1.1) (figura 1.2)
O princípio de Bernoulli também pode ser aplicado no escoamento de líquido por tubos de diâmetros diferentes: sendo o diâmetro da parte central do tubo menor que nas duas extremidades (figura 1.3), o escoamento é mais rápido na região mais estreita e a pressão menor. (figura 1.3)
2. A Equação de Bernoulli:
(figura 2.1)
Considerando duas seções retas de áreas “A1” e “A2” num tubo de corrente (figura 2.1), sejam “p1” e “p2” as pressões nessas seções. A densidade do fluido é “ ” e as velocidades de escoamento valem, respectivamente, “v1” e “v2”. Sejam “F1” e “F2” as forças de pressão exercidas pelo fluido restante sobre
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o fluido contido no tubo. A soma algébrica dos trabalhos realizados pelas forças “F1” e “F2” é igual à soma das variações das energias cinética e potencial entre as seções (1) e (2): F1 F2 ΔEC ΔEP
m.v2 2 m.v12 m.g.h 2 m.g.h 1 F1.s1 F2 .s2 2 2 Como: F = p.A e m = .Vol , obtemos:
ρ.Vol.v 22 ρ.Vol.v 12 ρ.Vol.g.h 2 ρ.Vol.g.h 1 p1.A1.s1 p2 .A2 .s2 2 2 Como: A1.s1 Vol e A2 .s2 Vol
ρ.Vol.v 2 2 ρ.Vol.v 12 ρ.Vol.g.h 2 ρ.Vol.g.h 1 p1.Vol p2 .Vol 2 2 E dividindo cada termo por “Vol”:
ρ.v 2 2 ρ.v 12 p1 p 2 2 2 ρ.g.h 2 ρ.g.h 1 E finalmente chegamos a Equação de Bernoulli: 2
2
ρ.v 1 ρ.v 2 p1 ρ.g.h 1 p2 ρ.g.h 2 2 2
(figura 2.2)
(eq 2.1)
Os termos p1 e p2 correspondem às pressões termodinâmicas no fluido que escoa. Para medi-las, nós deveríamos nos mover solidariamente ao fluido, ou seja, de um modo estático em relação ao fluido. Por esta razão estas pressões são denominadas pressões estáticas ou absolutas ou totais na linha de corrente. Um modo de medir a pressão estática é utilizando um tubo piezométrico instalado numa superfície plana do modo indicado no ponto “3” da figura 2.2. p1 p 3 ρ.g.h 3 Entretanto: p3 ρ.g.h 4 , assim como:
h1 h3 h4 , então: p1 ρ.g.h 1 .
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2
ρ.v 1 ρ.v 2 Os termos correspondem às pressões e 2 2 dinâmicas na linha de corrente, acarretados pelo movimento das partículas fluidas. Consideremos a pressão na extremidade do pequeno tubo inserido no escoamento (2) (figura 2.2). Ele estará imóvel, ou seja, v2=0. Nestas condições o ponto ( 2) será denominado um ponto de estagnação. Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos ( 1) e ( 2), utilizando v2=0 e admitindo uma horizontal passando por estes pontos, portanto h1=h2, teremos: 2 ρ.v 1 p 2 p1 2 Assim, a pressão no ponto de estagnação (p2) é maior que a pressão estática (p1), de um valor chamado pressão dinâmica. Só existe um ponto de estagnação em qualquer corpo imóvel colocado num escoamento de um fluido. Algum fluido escoa “sobre” e algum “abaixo” do objeto. A linha divisória é denominada “linha de corrente de estagnação”. Para objetos simétricos (figura 2.3) o ponto de estagnação está localizado na frente do objeto. Para objetos não simétricos (figura 2.4) a localização não é óbvia.
(figura 2.3)
(figura 2.4)
Os termos ρ.g.h 1 e ρ.g.h 2 correspondem às elevações ou cotas da linha de corrente, em relação a um nível de referência. Todos os termos da equação de Bernoulli são pressões que atuam sobre o fluido em movimento, levando-se em consideração as condições de densidade, velocidade e posição.
3. Aplicações: 3.1. Orifício – Velocidade de descarga: A figura 3.1.1 representa um tanque com área transversal igual a “ A1”, cheio de um líquido de massa específica ( ) até a profundidade “h”. O espaço acima da superfície do líquido contém ar a uma pressão ( p1=p) e este escoa através de um orifício de área “ A2”. Considere todo o volume do fluido como um simples tubo de corrente, sendo “v1” e “v2” as velocidades nos pontos “1” e “2”, respectivamente. A quantidade “ v2” é chamada velocidade de descarga e a pressão no ponto “ 2” é a atmosférica “p2= p a”. Aplicando-se a Equação de Bernoulli (eq. 2.1) aos pontos “ 1” e “2” e tomando como nível de referência o fundo do tanque, obtém-se: 2
ρ.v 1 ρ.v 2 p ρ.g.h pa 2 2
(figura 3.1.1) 2
ρ.v 1 ρ.v 2 ρ.g.h p - pa 2 2
2
2.p - p a
ρ
2
v12 2.g.h v22
(eq 3.1.1)
Observe que a velocidade de descarga “ v2” depende da pressão dentro do tanque ( p), da pressão atmosférica (pa), do tipo do líquido ( ), da velocidade de movimentação da superfície livre do líquido ( v1) e da altura de líquido no tanque (h). Alguns casos particulares são aceitáveis:
O tanque pode ser aberto, então, a pressão interna (p=pa) e o valor (p-pa=0), reduzindo a 2 2 equação de velocidade de descarga (v2) para: v2 v1 2.g.h ;
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Ainda admitindo o tanque aberto com velocidade de superfície livre (v1=0), ou seja, uma variação 2 muito pequena na velocidade de escoamento, teremos: v 2 2.g.h ou v2 2.g.h que é a equação de Torricelli para queda livre dos corpos apresentada na Equação de Continuidade.
O escoamento de um fluido através de um orifício feito num recipiente provoca um “ empuxo” ou força de reação sobre o resto do sistema. A mecânica do problema é a mesma da que envolve a propulsão de foguetes. Sob condições tais que a equação de Bernoulli possa ser aplicada, o cálculo do empuxo é feito como se segue: A vazão (Q) de fluido através da área ( A) do orifício, no intervalo de tempo “dt”, será: Vol m Q A.v A.v dt .dt A massa de fluido expelida pelo orifício pode ser calculada por: .dt.A.v m Aplicando a equação de variação do momento linear (L) e do impulso (I) poderemos escrever: I ΔL F.dt m.v F.dt .dt.A.v.v F .A.v 2 Da equação de Bernoulli (eq. 3.1.1) teremos:
2.p - pa
F ρ.A.
2
v1 2.g.h ρ Desprezando a velocidade relativamente pequena do fluido (v1=0) dentro do recipiente e elevação (h=0) desprezível em relação à pressão interna do recipiente ( p), chegaremos ao termo final do empuxo (F): 2.p - p a F ρ.A. F 2.A.p - pa (eq 3.1.2) ρ Observe que o empuxo (F) independe do tipo de fluido utilizado e sim da área do orifício de descarga (A), da pressão interna do recipiente (p) que deve ser alta e da pressão externa (pa).
3.2. Tubo Venturi: O tubo de Venturi é um tubo horizontal, dotado de um estrangulamento, conforme indica a figura. Adaptando-se tubos verticais laterais, observa-se que, na parte mais larga, a pressão é maior do que na parte mais estreita. O contrário acontece com a velocidade. As pressões reduzidas no estrangulamento têm inúmeras aplicações técnicas. O vapor de gasolina é conduzido para o coletor de um motor de combustão interna, pela queda de pressão produzida (figura 3.2.1) numa garganta Venturi, que é ligada ao carburador. A bomba aspirante é uma garganta de Venturi, através do qual se força a água. O ar é levado para a água sob baixa pressão que corre através da parte estreita. Na figura 3.2.1 foram utilizados piezômetros com alturas “h1” e “h2” e cuja diferença é “ h”. Então, a diferença de pressão entre os pontos (1) e (2) será:
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p1 p2 1.g.h 1.g.h1 h2 Na figura 3.2.2, foi utilizado um manômetro de tubo em “U”. A altura “h” é a diferença entre as pressões nos pontos (1) e (2), ou seja, o diferencial entre as pressões no tubo Venturi que pode ser expresso da seguinte forma:
p1 p2 2 1 .g.h
(figura 3.2.2)
(eq 3.2.1)
Onde, “ 2” é a massa específica do fluido manométrico e “ 1” é a massa específica do fluido que escoa.
3.3. Sifão: O sifão consiste em um tubo recurvado, de segmentos desiguais, empregado normalmente para transferir líquidos de um recipiente para outro, colocado em nível inferior. Enchendo-se o tubo com líquido e mergulhando o ramo menor no recipiente mais alto, a diferença de pressão sobre o líquido nas extremidades do tubo provoca o fluxo do conteúdo do recipiente superior para o inferior, até que o nível de ambos coincida. Os pontos (2) e (3) apresentam a mesma pressão. Utilizando a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (3): 2
2
ρ.v 3 ρ.v 1 p1 ρ.g.h 1 p3 ρ.g.h 3 2 2 Considerando a altura “h3” nula, as velocidades “ v3” e “v1” iguais e o regime de escoamento permanente, obteremos: p3 p2 p1 ρ.g.h
(eq 3.3.1)
Esta equação mostra que a pressão no ponto “ 1” é menor que a pressão no ponto “2”. O fluxo se dá necessariamente do segmento de (figura 3.3.1) maior pressão para o de menor.
4. Medidores de Pressão: 4.1. Tubo de Pitot:
(figura 4.1.1)
O tubo de Pitot é uma sonda aberta contra a corrente fluida. Esta sonda deve ser suficientemente pequena para que não haja perturbação e de forma adequada para evitar turbulência (figura 4.1.1). Um ponto de estagnação forma-se na abertura, onde a pressão é “p2” e a velocidade é nula. Aplicandose a Equação de Bernoulli entre este ponto e outro distante da sonda, na mesma horizontal, onde a pressão é “ p” e a velocidade é “ v”, obtém-se: ρ.v 2 p2 p 2 ( é a massa específica do fluido que escoa).
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No manômetro de tubo em “U” podemos escrever: p2 p1 ρ.g.h , onde “p1” é a pressão atmosférica medida na outra extremidade da sonda de pitot, e “ .g.h” é a pressão manométrica. Como “ p1” e “ .g.h” são pressões lidas diretamente no manômetro, podemos escrever simplesmente como “pM”. Então:
ρ.v 2 ρ.v 2 pM p pM p 2 2
(eq 4.1.1)
Caso desejemos calcular a velocidade de escoamento “v”, devemos isolar esta grandeza da equação 4.1.1:
v
2.pM p ρ
(eq 4.1.2)
Observe que a velocidade de escoamento do fluido depende exclusivamente das pressões “ pM” lida diretamente num manômetro e a externa “p”, distante da sonda, além da massa específica “ ” do fluido que escoa. Verificamos, então, que uma das aplicações do tubo de Pitot é a determinação da velocidade de escoamento de um fluido.
4.2. Tubo de Prandtl: Algumas vezes o tubo de Prandtl é chamado de tubo de Pitot. A pressão na abertura “ 1” é a estática “p1” e na abertura “2” é: ρ f .v 2 p 2 p1 2 Onde “ f ” é a massa específica do fluido que escoa. A altura manométrica “h” é proporcional à diferença entre estas pressões, ou seja:
ρ f .v 2 ρM .g.h 2
(eq 4.2.1)
(figura 4.2.1)
Onde “ M” é a massa específica do fluido manométrico. Novamente, isolando a velocidade de escoamento do fluido na equação 4.2.1 teremos:
v
2.ρ M .g.h ρ f
(eq 4.2.2)
Este aparelho é autossuficiente e sua leitura não depende da pressão atmosférica. Mantido em repouso, pode ser usado para medir a velocidade de correntes fluidas que passam por ele. Se montado em aviões, indica sua velocidade relativa ao ar e é conhecido como indicador de velocidade do ar.
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
Exercícios de Fixação: (Resolução em Sala de Aula)
01. Através de uma tubulação horizontal de seção reta variável, escoa água, cuja massa específica é 1,0.103kg/m3. Numa seção da tubulação, a pressão estática e o módulo da velocidade valem, respectivamente, 1,5.105N/m2 e 2,0m/s. Determine a pressão estática em outra seção da tubulação, onde o módulo da velocidade vale 8,0m/s. ________________________________________ ______________________________________ 02. A água entra em uma casa através de uma tubulação com diâmetro interno de 2,0cm, com uma pressão absoluta igual a 4,0x105Pa (cerca de 4,0atm). Um tubo com diâmetro interno de 1,0cm se liga ao banheiro do segundo andar a 5,0m de altura conforme a figura abaixo. Sabendo que na tubulação de entrada a velocidade é igual a 1,5m/s, calcule: Dados: massa específica da água=1,0.103kg/m3; aceleração local da gravidade=9,81m/s 2. a) A velocidade do escoamento no banheiro; b) A pressão estática no banheiro, em atm; c) A vazão volumétrica no banheiro, em litros/s. ________________________________________________________ ______________________ 03. Na tubulação horizontal indicada na figura, o líquido escoa com vazão de 400cm 3.s-1 e atinge a altura de 0,5m no tubo vertical. A massa específica do líquido (suposto ideal) é 1,0g.cm-3. Adotar a aceleração da gravidade local=9,81m.s-2 e supor o escoamento permanente. Calcule a pressão efetiva no ponto “1”, em N.m-2: ____________________________________________ __________________________________ 04. Água escoa por uma tubulação que tem diâmetro variável, do ponto “1” para o ponto “2”. No ponto “1” a velocidade é de 2,0m/s e no ponto “2” é de 6,0m/s. A pressão estática no ponto “1” é de 3,0atm e no ponto “2” é de 1,0atm. Calcule o desnível ( h) entre os pontos “1” e “2” tomando como nível de referencia o ponto “1” onde a cota é ''zero''. Dados: 1,0atm=1,0.105Pa; massa específica da água=1g/cm 3. Aceleração da gravidade local=9,81m/s 2. ________________________________________________________ ______________________ 05. Abre-se um buraco circular de 2,0cm de diâmetro no lado de um grande reservatório, a 10m abaixo do nível da água. Encontrar: a) A velocidade de descarga; b) O volume descarregado por unidade de tempo. Dado: Aceleração da gravidade local=9,81m/s 2. Desprezar a contração das linhas de corrente depois que emergem do buraco. ________________________________________________________ ______________________ 06. Em certo ponto de um conduto a velocidade é de 2,0m/s e a pressão manométrica 1,5.10 4Pa acima da atmosférica. Determinar a pressão manométrica, em um segundo ponto da linha de seção reta metade da do primeiro, 68cm abaixo do primeiro. O líquido em escoamento é água cuja massa específica é 1,0g/cm3. Adote a aceleração da gravidade local=9,81m/s2. ________________________________________________________ ______________________
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
07. Enche-se com água um tanque de grande área, até uma profundidade de 30cm. Uma abertura no fundo, de 5,0cm2 de área, permite a água sair em uma corrente contínua. Dado: aceleração da gravidade local=9,81m/s2. a) Qual a vazão, em m3/s? b) A que distância abaixo do fundo a área transversal da corrente é igual à metade da abertura? ____________________________________________ __________________________________ 08. Uma tubulação horizontal tem 0,2m 2 de área transversal que é diminuída para 319cm 2, numa junção. Se água do mar de massa específica 1,03g/cm 3 flui com velocidade de 90cm/s na tubulação mais larga, onde a pressão manométrica é 7,5N/cm 2, qual a pressão manométrica na parte estreita da tubulação em N/cm2? ________________________________________________________ ______________________ 09. Água flui através de um tubo horizontal de área transversal de 10cm2. Em outra seção a área transversal é de 5,0cm 2 e a diferença de pressão entre elas é de 300Pa. Quantos m 3 de água passarão no tubo em 1.0 minuto? Dado: massa específica da água=1g/cm 3. ________________________________________________________ ______________________ 10. Usa-se água como líquido manométrico num tubo de Prandtl, montado num avião, para medir a velocidade do ar. Se a máxima diferença de altura entre as colunas líquidas for de 10cm, qual a máxima velocidade do ar que pode ser medida? Dados: massa específica do ar=1,3.10-3g/cm3; massa específica da água=1g/cm3; aceleração da gravidade local=9,81m/s2. ________________________________________________________ ______________________ 11. Um tanque de grandes proporções, fechado, contendo água a uma altura de 8,0m, também contém ar acima do nível da água, a uma pressão manométrica de 40atm. A água escoa através de um buraco no fundo, cuja área é 20cm 2. Dados: Aceleração local da gravidade=9,81m/s2; massa específica da água=1,0g/cm 3; 1,0atm=1,013.105Pa. Calcular a vazão de descarga da água em litros por segundo; Observação: despreze qualquer tipo de perda de carga no deslocamento do fluido. ________________________________________________________ _ _____________________ 12. Coloca-se uma bomba de potência 50hp e rendimento 90% em um poço artesiano de lençol profundo, onde a velocidade da água é desprezível, a 150m abaixo do nível do solo, “recalcando” a água até uma caixa de água superior a 100m acima do nível do solo. Considerando a massa específica da água de 1.000kg/m3, uma vazão de 12litros/s, 1,0hp=750 W e a aceleração local da gravidade=9,81m/s 2, calcule a velocidade de chegada da água na caixa d’água superior. Observação: admita que o poço artesiano e a caixa d’água superior estão abertos à atmosfera. Observação: despreze qualquer tipo de perda de carga no deslocamento do fluido. ________________________________________________________ ______________________
Respostas dos Exercícios de Fixação: 01. 1,2.10 N/m . 07. a) 1,215.10- m /s ; b) 0,903m. 02. a) 6m/s ; b) 2,34atm ; c) 0,471L/s. 08. 5,9N/cm2. 3 -2 03. 10,905.10 N.m . 09. 0,026832m3 /min. 04. 18,756m. 10. 38,848m/s=139,855km/h. 05. a) 14m/s ; b) 4,4L/s. 11. 178,93 litros/s 4 06. 1,56708.10 Pa. 12. 26,83 m/s
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
MODULO 06 – Perda de Carga Distribuída – Teoria: 1. Definição de Perda de Carga: Denomina-se perda de carga de um sistema, o atrito causado pela resistência da parede interna do tubo quando da passagem do fluído pela mesma. As perdas de carga classificam-se em:
CONTÍNUAS: Causadas pelo movimento do fluido ao longo da tubulação. É uniforme em qualquer trecho da tubulação (desde que de mesmo diâmetro), independente da posição do mesmo; LOCALIZADAS: Causadas pelo movimento do fluido nas paredes internas e emendas das conexões e acessórios da instalação, sendo maiores quando localizadas nos pontos de mudança de direção do fluxo. Estas perdas não são uniformes, mesmo que as conexões e acessórios possuam o mesmo diâmetro.
2. Fatores que influenciam as Perdas de Carga:
Natureza do fluído escoado (peso específico, viscosidade): Os escoamentos reais de um fluido apresentam dissipação de energia mecânica por causa do atrito viscoso devido à aderência do fluido junto às superfícies sólidas; Material empregado na fabricação dos tubos e conexões (PVC, ferro) e tempo de uso: Comercialmente, os tubos e conexões mais utilizados são os de PVC e Ferro Galvanizado, cujas diferenças de fabricação e acabamento interno (rugosidade e área livre) são bem caracterizadas, razão pela qual apresentam coeficientes de perdas diferentes; Diâmetro da tubulação: O diâmetro interno ou área livre de escoamento é fundamental na escolha da canalização já que, quanto maior a vazão a ser bombeada, maior deverá ser o diâmetro interno da tubulação a fim de diminuírem-se as velocidades e, consequentemente, as perdas de carga. São muitas as fórmulas utilizadas para definir-se qual o diâmetro mais indicado para a vazão desejada. Para facilitar os cálculos, todas as perdas já foram tabeladas pelos fabricantes de diferentes tipos de tubos e conexões. No entanto, para efeito de cálculos, a fórmula mais utilizada para chegar-se aos diâmetros de tubos é a Fórmula de Bresse, expressa por:
D K. Q
(Eq. 2.1)
Onde: D=Diâmetro interno do tubo, em metros; K=0,9 - Coeficiente de custo de investimento x custo operacional. Usualmente aplica-se um valor entre 0,8 e 1,0; Q=Vazão, em m³/s; A Fórmula de Bresse calcula o diâmetro da tubulação de recalque, sendo que, na prática, para a tubulação de sucção adota-se um diâmetro comercial imediatamente superior; Comprimento dos tubos e quantidade de conexões e acessórios: Quanto maior o comprimento e o nº de conexões, maior será a perda de carga proporcional do sistema. Portanto, o uso em excesso de conexões e acessórios causará maiores perdas, principalmente em tubulações não muito extensas; Regime de escoamento (laminar ou turbulento): O regime de escoamento do fluído é a forma como ele desloca-se no interior da tubulação do sistema, a qual determinará a sua velocidade, em função do atrito gerado. No regime de escoamento laminar , os filetes líquidos (moléculas do fluído agrupadas umas às outras) são paralelos entre si, sendo que suas velocidades são invariáveis em direção e grandeza, em todos os pontos. O regime laminar é caracterizado quando o nº de Reynolds (Re) for inferior a 2.000.
3. A equação de Bernoulli: Retornando à análise do escoamento de um fluido em uma tubulação (figura 3.1) a Equação de Bernoulli é acrescida de um termo referente às perdas de energia do fluido por atrito ( hC), conforme mostra a Eq. 3.1.
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
(Fig. 3.1) 2 1
2 2
p1 v p v h1 2 h2 hC .g 2.g .g 2.g
(Eq. 3.1)
O termo “hC” é conhecido como perda de carga. A perda de carga é o somatório das perdas de cargas distribuídas (hCD) e localizadas (hCL), conforme mostra a Eq. 3.2.
hC
h
CD
hCL
(Eq. 3.2)
Em nosso curso, neste momento, desejamos apresentar somente as perdas de carga distribuídas ao longo da tubulação, portanto, calcular apenas “hCD”.
4. Fórmula universal de perda de carga: As Perdas de Carga Distribuídas podem ser calculadas pela fórmula empírica de apresentada na Eq. 4.1. L v2 hCD f. . (Eq. 4.1) D 2.g
Darcy-Weisbach ,
onde: “L é o comprimento do duto; “D é o diâmetro do duto; “v é a velocidade média do fluido (razão entre a vazão volumétrica e a área da seção transversal do duto); “f é um fator adimensional de correção denominado “F a t o r d e A t r i t o ou fator de atrito de Darcy . “
“
“
“
”
f Re,
D
onde: “Re é o número de Reynolds; “ “ é a rugosidade absoluta do duto, cuja unidade é comprimento e é determinada experimentalmente; “D é o diâmetro do duto. “
“
Observação: o termo /D é conhecido como rugo sidade
relativa .
O fator de atrito depende das asperezas da parede do tubo e do tipo de regime de escoamento (laminar ou turbulento) e pode ser obtida por equações como a de Swamee, definida pela fórmula: 16 6 64 8 5,74 2500 0,9 f 9,5 ln Re 3,7.D Re Re
0,125
(Eq. 4.2)
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Os valores de “f são levantados experimentalmente e podem ser obtidos, por exemplo, através do diagrama de Moody , desde que conhecidos “Re” e “ /D ” e o duto seja de seção circular. ”
(Fig. 4.1)
Vale mencionar que se o regime de escoamento do fluido for laminar , o fator de atrito “f ” somente depende do Número de Reynolds, dado linearmente pela expressão: 64 (Eq. 4.3) f Re Para condutos de seção não circular, deve-se substituir “D” por “DH” (diâmetro hidráulico), sendo “DH=4.RH”. O Raio Hidráulico (RH) é definido pela relação:
R H
A
(Eq. 4.4)
σ Onde: A=área da seção de escoamento; =perímetro molhado da seção, onde temos contato do fluido com parede sólida. Os diâmetros hidráulicos para dutos quadrangulares, retangulares fechados e abertos e triangulares podem ser obtidos através das informações contidas na Figura 4.2.
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(Fig. 4.2)
Onde: A=Área da seção reta, =perímetro molhado, RH=raio Hidráulico e DH=diâmetro Hidráulico para dutos em geral.
5. Fórmula empírica de Hazen-Williams: É outra equação bastante utilizada para o cálculo da perda de carga distribuída em tubulações, principalmente na prática da engenharia sanitária.
hCD
L Q 10,65. 4,87 . D c
1,85
(Eq. 5.1)
Onde: “L é o comprimento do duto; “D é o diâmetro do duto; “Q é a vazão média do fluido (medida em m3/s); “c” é um coeficiente de rugosidade que depende da natureza das paredes do tubo. “
“
“
Esta fórmula é recomendada para tubulações com diâmetro acima de quatro polegadas (ou 100mm), água com temperatura a 20ºC e escoamento turbulento de transição.
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MODULO 06 – Perda de Carga Distribuída – Outras equações para o fator de atrito: Numerosas fórmulas empíricas, referentes a regiões do diagrama de Moody, podem ser encontradas na literatura. Vamos enumerar algumas para ilustrar as diversas formas de cálculo do fator de atrito( f ). ________________________________________________________ ______________________
1. Fórmula de Blasius:
Adequada para escoamentos turbulentos em tubos lisos ( /D =0) e válida para a faixa Re<105.
0,316 0,316.Re 0,25 (Eq. 01) 1/4 Re ________________________________________________________ ______________________ f
2. Fórmula de Lee:
Adequada para escoamentos turbulentos em tubos lisos ( /D =0) e válida para a faixa Re>105.
f 0,0018 0,152.Re 0,35 (Eq. 02) ________________________________________________________ ______________________
3. Fórmula de Haaland: Esta equação abrange todo o espectro do diagrama de Moody para escoamento não-laminar. Assemelha-se à equação de Colebrook tendo a vantagem de não utilizar iteração para o cálculo do fator de atrito. Seus valores são muito próximos dos lidos no diagrama e determinados pela equação de Colebrook.
6,9 1,11 3,6.log Re 3,71 f
1
(Eq. 03)
________________________________________________________ ______________________
4. Fórmula aproximada de Moody: Esta equação abrange todo o espectro do diagrama de Moody para escoamento não-laminar. É uma tentativa aproximada de representar a curvas de seu diagrama. 1/ 3 1000000 f 0,00551 20000. Re
(Eq. 04)
________________________________________________________ ______________________ É possível encontrar em outras publicações fórmulas específicas para situações específicas abrangendo uma parcela do diagrama de Moody. Assim, este roteiro visa apenas informar que existem inúmeras possibilidades de cálculo do fator de atrito. Em nosso curso utilizaremos a formula universal de DarcyWeisbach em todos os cálculos.
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
MODULO 06 – Perda de Carga Distribuída – O Ábaco de Moody e a Equação de Colebrook: Em nossa aula teórica sobre as perdas de Carga distribuída mostramos a utilização do diagrama ou ábaco de Moody. Conhecidos o número de Reynolds ( Re) e a rugosidade relativa ( /D ) e sendo o duto de seção circular podemos encontrar o fator de atrito (f ).
As seguintes características podem ser observadas a partir da análise da figura anterior. Note que : 64 f (Eq. 01) Re nos escoamentos laminares e que, nestas circunstâncias, “ f ” independe da rugosidade relativa ( /D ). Quando o número de Reynolds é muito grande o fator de atrito é independente dele. Para estes escoamentos, conhecidos como escoamentos completamente turbulentos ou totalmente turbulentos, a subcamada laminar é tão pequena (sua espessura decresce com o aumento de “Re”) que a rugosidade superficial domina completamente a natureza do escoamento na região próxima à parede. Nestes casos, a queda de pressão necessária para promover o escoamento é o resultado de uma tensão de cisalhamento “predominantemente inercial” e não de uma tensão de cisalhamento laminar “predominantemente viscosa” normalmente encontrada na subcamada viscosa. Entretanto, para escoamentos com valores moderados de “Re”, o coeficiente de atrito depende tanto do número de Reynolds como da rugosidade relativa. O intervalo da figura onde não existem valores de “ f ” (a faixa de 2100
/D 2,51 2,0.log 3,7 f Re f
1
(Eq. 02)
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
É um pouco difícil trabalhar com esta equação porque ela apresenta uma dependência implícita de “ f ”. Isto é, para uma dada condição ( Re, /D), não é possível determinar o valor de “ f ” sem a utilização de um procedimento iterativo. Alertamos que a fórmula de Colebrook e o ábaco de Moody não são absolutos. A razão para isto são as imprecisões inerentes aos experimentos envolvidos na determinação das características dos escoamentos em tubos (por exemplo: a incerteza na determinação da rugosidade relativa, os erros intrínsecos nos dados experimentais, etc...). Assim, a utilização de muitas casas decimais nos problemas de escoamentos em tubos não é justificada. Como regra geral, não é possível trabalhar com uma precisão maior que 10%.
Vamos a um exemplo prático: Um escoamento se processa com número de Reynolds ( Re=13700 ou Re=1,37.104) e rugosidade relativa ( /D =0,000375). Levando estes valores ao ábaco de Moody encontraremos para “ f ” aproximadamente 0,028. Utilizando os mesmos valores na equação de Colebrook teremos:
0,000375 2,51 /D 2,51 2,0.log 2,0.log 4 3,7 f 1,37.10 f 3,7 Re f
1
Devemos utilizar um procedimento iterativo para determinar “ f ”, ou seja, atribuir um valor de “ f ” na equação para calculá-lo novamente. Admita “f=0,02”:
0,000375 2,51 f 0,0307 2,0.log 4 3,7 f 1,37.10 0,02
1
O processo iterativo ainda não convergiu porque os dois valores de “ f ” são diferentes. Tentamos novamente, substituindo 0,0307 na equação 02:
0,000375 2,51 f 0,0289 2,0.log 4 f 1,37.10 0,0307 3,7
1
Ainda não é o valor esperado para a convergência. Aplicamos novamente a equação:
0,000375 2,51 f 0,0291 2,0.log 4 f 1,37.10 0,0289 3,7
1
Ainda não é o valor esperado para a convergência. Aplicamos novamente a equação:
0,000375 2,51 f 0,0291 2,0.log 4 f 1,37.10 0,0291 3,7
1
Finalmente encontramos a convergência. Pela equação de Colebrook (f=0,029) e a leitura no ábaco de Moody (f=0,028). Como a leitura carece de uma exatidão maior podemos considerar que os valores lidos estão em uma faixa de precisão de 5%, ou seja, 0,028 0,0014 produzindo valores entre: 0,0266 < f < 0,0294.
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
Exercícios de Fixação: (Resolução em Sala de Aula)
01. Imagine que em uma situação prática seja necessária uma vazão de fluido através de uma canalização de PVC de recalque, para uma determinada finalidade, de 2000litros/h. A tabela seguinte apresenta o diâmetro de tubulações em “ mm”, “in” e a relação de “ custos”. Utilizando a fórmula de Bresse, determine o melhor diâmetro para esta finalidade. Custo investimento x custo operacional 1/2 0,50 15 ¾ 0,55 20 1 0,60 25 1.1/4 0,68 32 1.1/2 0,75 40 -0,82 50-65 -0,90 80-100 -1,00 125 ________________________________________________________ ______________________ 02. Um fluido escoa, em regime permanente e laminar, com número de Reynolds 1800 em uma tubulação de diâmetro interno 100mm, comprimento 12m e velocidade média 2,0m/s. Calcular a perda de carga ao longo da tubulação sabendo que a aceleração local da gravidade é de 9,81m/s 2. ________________________________________________________ ______________________ 03. Determinar a perda de pressão para o escoamento de um óleo de viscosidade dinâmica 0,005Pa.s, massa específica 900kg/m3, velocidade média 4,0m/s em uma tubulação de diâmetro interno 80mm, comprimento 60m e rugosidade absoluta 0,02mm. Utilize o diagrama de Moody para determinar o fator de atrito e adote a aceleração local da gravidade igual a 9,81m/s 2. ________________________________________________________ ______________________ 04. Considere um escoamento de água entre dois pontos de um tubo horizontal, que possui diâmetro constante igual a 5,0mm e se encontra ao nível do mar, onde a aceleração de gravidade é igual a 9,81m/s2. Considere ainda que a velocidade de escoamento nesse tubo é de 5,0m/s e que existe uma variação de pressão entre os dois referidos pontos de 4905N/m2. Nesse caso, sabendo que o fator de fricção é de 0,025 e a densidade da água é de 1,0kg/dm 3, calcule a distância entre os dois pontos considerados. ________________________________________________________ ______________________ 05. Um óleo de viscosidade dinâmica 0,01N.s/m 2 e massa específica 800kg/m 3 escoa através de 100m de tubo de aço galvanizado de 10cm de diâmetro a vazão de 40litros/s. Sabendo que a aceleração da gravidade local é igual a 9,81m/s 2 e o fator de atrito é 0,042, calcule a perda de carga no tubo e o tipo de escoamento. ________________________________________________________ ______________________ 06. Por um tubo de sessão circular, de comprimento 1000m e diâmetro 4”, escoa óleo mineral de massa específica 900kg/m3 e viscosidade cinemática 10-4m2/s. Sabendo-se que a vazão é 10 litros/s determinar a perda de carga no tubo por metro de comprimento. Dados: aceleração da gravidade local igual a 9,81m/s2; 1”=2,54cm. ________________________________________________________ ______________________ 07. Uma tubulação de PVC, com 300m de comprimento e 200mm de diâmetro transporta água de um reservatório para o outro (conforme a figura) com uma vazão de 50litros/s. No conduto desprezam-se as perdas de carga localizada e o fator de atrito da tubulação vale 0,017. Dado: aceleração da gravidade local igual a 9,8m/s2; Calcule: Ref (mm)
Ref (in)
a) A perda de carga distribuída; b) A cota do reservatório de jusante se a cota de montante for de 50m.
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
________________________________________________________ ______________________ 08. Uma tubulação de PVC está conectada a um grande reservatório aberto e possui uma bomba instalada de potência 5,0cv para descarga. Verifica-se que a velocidade de saída da água do reservatório na boca do tubo de descarga é de 5,0m/s, conforme mostra a figura. A área do tubo de descarga é de 10cm2, o rendimento da bomba é de 80%, a massa específica da água é 1,0g/cm3 e a aceleração da gravidade local igual a 9,81m/s 2. Calcule a perda de carga da instalação. Dado: 1,0cv=750W. _________________________________________ _____________________________________ 09. Uma bomba deve recalcar 0,15m 3/s de óleo de massa específica 760kg/m3 do reservatório “A” para o reservatório “C” da figura, através de uma tubulação de cobre de diâmetro constante de 30cm. A superfície livre do fluido em “ A” está a 15m de altura e em “ C” a 60m de altura, ambos medidos em relação a um plano horizontal de referência. Adotando que a perda de carga a montante da bomba igual a 2,5m e a jusante da bomba igual a 6,0m, determinar a potência da bomba, em “cv”, se o rendimento dela é 75%. Dados: 1,0cv=750W e a aceleração da gravidade local igual a 9,81m/s2. ________________________________________________________ ______________________ 10. Uma bomba deve descarregar 25litros/s de água de massa específica 1,0g/cm3 do reservatório da figura, fechado, através de uma tubulação de ferro fundido de área de seção transversal constante de 50cm2. A superfície livre do fluido no reservatório está a 3,0m de altura em relação à bomba. Adotando que a perda de carga total deste sistema seja igual a 3,0m e a potência da bomba, 1,0cv, com rendimento de 80%, calcule a pressão interna do reservatório (p1). Dados: 1,0cv=750W e a aceleração da gravidade local igual a 9,81m/s2 _________________________________________ _____________________________________ , D i a g r am a d e M o o d y
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
Respostas dos Exercícios de Fixação: 01. Tubulação de 15mm ou ½”. 05. 55,46m com escoamento turbulento 02. 0,87m. Re=40744 (aproximadamente). 03. Para fator de atrito 0,022, hCD=13,450m e 06. 0,03876m/m com escoamento laminar. queda de pressão de 1,19.105Pa; 07. a) 3,29m; b) 46,71m. Para fator de atrito 0,023, hCD=14,067m e 08. 64,885m. queda de pressão de 1,24.105Pa. 09. 107cv. 04. 7,848cm. 10. -0,8017.105Pa.
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
MODULO 07 – Perda de Carga Localizada – Teoria: 1. Definição de Perda de Carga: Perdas de cargas localizadas ( hCL) são aquelas geradas em acidentes, tais como, joelhos, curvas, válvulas, equipamentos, restrições, expansões etc. Na Figura 1.1, são apresentados alguns dos principais acidentes/acessórios comumente encontrados nas tubulações industriais. Já na Figura 1.2, são apresentadas algumas das principais modalidades de válvulas utilizadas em tubulações industriais.
Joelho
T
Tampão
União
T-45º
Niple
Redução Concêntrica
Redução
(Fig. 1.1)
Válvula Gaveta
Válvula Esfera
Luva
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
Válvula Globo
Válvula Agulha
Válvula Borboleta
Válvula de Retenção (Fig. 1.2)
As Perdas de Cargas Localizadas podem ser calculadas pela equação universal de Darcy-Weisbach. Para tanto, ela pode ser calculada por duas maneiras:
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
I. II.
Método do Comprimento Equivalente Método do Coeficiente de Resistência
2. Comprimento Equivalente: Pelo Método do Comprimento Equivalente , o usuário, mediante consulta, transforma a perda de carga do acidente em algo equivalente a um trecho reto de tubulação ( Leq) na qual se obteria a mesma perda proporcionada pelo acessório (hCD). Assim, a Equação de Darcy-Weisbach pode ser utilizada normalmente: L eq v 2 (Eq. 2.1) hCL f. . D 2.g As tabelas seguintes apresentam os comprimentos equivalentes (Leq) de alguns dos principais acessórios/acidentes, comumente encontrados em tubulações industriais/residenciais:
Tabela 2.1. Perda de carga em conexões – comprimento equivalente para tubos rugosos (tubos de aço-carbono, galvanizado ou não), em metros: Tipo de Conexão Diâmetro Cotovelo o o nominal Cotovelo “T” passagem “T” passagem o o Curva 90 Curva 45 (mm) direta lateral 90 45 15 0,5 0,2 0,3 0,2 0,1 0,7 20 0,7 0,3 0,5 0,3 0,1 1,0 25 0,9 0,4 0,7 0,4 0,2 1,4 32 1,2 0,5 0,8 0,5 0,2 1,7 40 1,4 0,6 1,0 0,6 0,2 2,1 50 1,9 0,9 1,4 0,8 0,3 2,7 65 2,4 1,1 1,7 1,0 0,4 3,4 80 2,8 1,3 2,0 1,2 0,5 4,1 100 3,8 1,7 2,7 0,7 5,5 125 4,7 2,2 0,8 6,9 150 5,6 2,6 4,0 1,0 8,2 Tabela 2.2. Perda de carga em conexões – comprimento equivalente para tubos rugosos (tubos de plástico, cobre ou liga de cobre), em metros: Tipo de Conexão Diâmetro Cotovelo o o nominal Cotovelo “T” passagem “T” passagem o o Curva 90 Curva 45 (mm) direta lateral 90 45 15 1,1 0,4 0,4 0,2 0,7 2,3 20 1,2 0,5 0,5 0,3 0,8 2,4 25 1,5 0,7 0,6 0,4 0,9 3,1 32 2,0 1,0 0,7 0,5 1,5 4,6 40 3,2 1,0 1,2 0,6 2,2 7,3 50 3,4 1,3 1,3 0,7 2,3 7,6 65 3,7 1,7 1,4 0,8 2,4 7,8 80 3,9 1,8 1,5 0,9 2,5 8,0 100 4,3 1,9 1,6 1,0 2,6 8,3 125 4,9 2,4 1,9 1,1 3,3 10,0 150 5,4 2,6 2,1 1,2 3,8 11,1 Tabela 2.3. Perda de carga em conexões – comprimento equivalente para tubos rugosos (aço galvanizado ou ferro fundido), em metros: Diâmetro m pol m 20 ¾
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0,4
0,6
0,7
0,3
0,3
0,4
0,2
0,2
0,5
0,1
6,7
0,4
1,4
1,4
5,6
0,5
1,6
2,4
25
0,5
0,7
0,8
0,4
0,3
0,5
0,2
0,3
0,7
0,2
8,2
0,5
1,7
1,7
7,3
0,7
2,1
3,2
1
Tipo de Conexão
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________ 0,7 0,9 1,1 0,5 0,4 0,6 0,3 0,4 0,9 0,2 11,3 0,7 2,3 2,3 10,0 0,9 2,7 4,0 32 1¼ 38
1½
0,9
1,1
1,3
0,6
0,5
0,7
0,3
0,5
1,0
0,3
13,4
0,9
2,8
2,8
11,6
1,0
3,2
4,8
50
2
1,1
1,4
1,7
0,8
0,6
0,9
0,4
0,7
1,5
0,4
17,4
1,1
3,5
3,5
14,0
1,5
4,2
6,4
63
2½
1,3
1,7
2,0
0,9
0,8
1,0
0,5
0,9
1,9
0,4
21,0
1,3
4,3
4,3
17,0
1,9
5,2
8,1
75
3
1,6
2,1
2,5
1,2
1,0
1,3
0,6
1,1
2,2
0,5
26,0
1,6
5,2
5,2
20,0
2,2
6,3
9,7
100
4
2,1
2,8
3,4
1,5
1,3
1,6
0,7
1,6
3,2
0,7
34,0
2,1
6,7
6,7
23,0
3,2
8,4
12,9
125
5
2,7
3,7
4,2
1,9
1,6
2,1
0,9
2,0
4,0
0,9
43,0
2,7
8,4
8,4
30,0
4,0
10,4
16,1
150
6
3,4
4,3
4,9
2,3
1,9
2,5
1,1
2,5
5,0
1,1
51,0
3,4
10,0
10,0
39,0
5,0
12,5
19,3
200
8
4,3
5,5
6,4
3,0
2,4
3,3
1,5
3,5
6,0
1,4
67,0
4,3
13,0
13,0
52,0
6,0
16,0
25,0
250
10
5,5
6,7
7,9
3,8
3,0
4,1
1,8
4,5
7,5
1,7
85,0
5,5
16,0
16,0
65,0
7,5
20,0
32,0
300
12
6,1
7,9
9,5
4,6
3,6
4,8
2,2
5,5
9,0
2,1
102
6,1
19,0
19,0
78,0
9,0
24,0
38,0
350
14
7,3
9,5
10,5
5,3
4,4
5,4
2,5
6,2
11,0
2,4
120
7,3
22,0
22,0
90,0
11,0
28,0
45,0
o
01 Cotovelo 90 raio longo;
o
03 Cotovelo 90 raio curto;
o
05 Curva 90 raio longo;
o
o
02 Cotovelo 90 raio médio;
o
04 Cotovelo 45 ;
o
06 Curva 90 raio curto;
07 Curva 45 ;
08 Entrada normal;
09 Entrada de borda;
10 Registro de gaveta aberto;
11 Registro de globo aberto;
12 “T” de passagem direta;
13 “T” de saída de lado;
14 “T” de saída bilateral;
15 Válvula de pé e crivo;
16 Saída da canalização;
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
17 Válvula de retenção leve;
18 Válvula de retenção pesada.
Tabela 2.4. Perda de carga em conexões – comprimento equivalente para tubos rugosos (PVC rígido ou cobre), em metros: Diâmetro
Tipo de Conexão
mm
pol
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
20
¾
1,2
0,5
0,5
0,3
0,8
2,4
2,4
0,4
1,0
0,9
9,5
2,7
4,1
11,4
0,2
6,1
25
1
1,5
0,7
0,6
0,4
0,9
3,1
3,1
0,5
1,2
1,3
13,3
3,8
5,8
15,0
0,3
8,4
32
1¼
2,0
1,0
0,7
0,5
1,5
4,6
4,6
0,6
1,8
1,4
15,5
4,9
7,4
22,0
0,4
10,5
40
1½
3,2
1,3
1,2
0,6
2,2
7,3
7,3
1,0
2,3
3,2
18,3
6,8
9,1
35,8
0,7
17,0
50
2
3,4
1,5
1,3
0,7
2,3
7,6
7,6
1,5
2,8
3,3
23,7
7,1
10,8
37,9
0,8
18,5
60
2½
3,7
1,7
1,4
0,8
2,4
7,8
7,8
1,6
3,3
3,5
25,0
8,2
12,5
38,0
0,9
19,0
75
3
3,9
1,8
1,5
0,9
2,5
8,0
8,0
2,0
3,7
3,7
26,8
9,3
14,2
40,0
0,9
20,0
100
4
4,3
1,9
1,6
1,0
2,6
8,3
8,3
2,2
4,0
3,9
28,6
10,4
16,0
42,3
1,0
22,1
125
5
4,9
2,4
1,9
1,1
3,3
10,0
10,0
2,5
5,0
4,9
37,4
12,5
19,2
50,9
1,1
26,2
150
6
5,4
2,6
2,1
1,2
3,8
11,1
11,1
2,8
5,6
5,5
43,4
13,9
21,4
56,7
1,2
28,9
o
01 Joelho 90 ; o 04 Curva 45 ; 07 “T” de saída bilateral; 10 Saída de canalização; 13 Válvula de retenção pesado; 16 Registro de agulha em ângulo.
o
02 Joelho 45 ; 05 “T” de passagem direta;; 08 Entrada normal; 11 Válvula de pé e crivo; 14 Registro de globo aberto;
o
03 Curva 90 ; 06 “T” de saída de lado; 09 Entrada de borda; 12 Válvula de retenção leve; 15 Registro de gaveta aberto;
3. Coeficiente de Resistência: De forma alternativa, pelo Método do Coeficiente de Resistência, um coeficiente “KS” representa cada um dos acessórios, cujo cálculo da perda de carga localizada é feito pela expressão: v2 hCL K S . (Eq. 3.1) 2.g Assim, para cada tipo de acidente existente na linha pela qual o fluido escoa, há um valor de “KS” fornecido pelo fabricante, obtido experimentalmente ou disponibilizado na literatura, conforme mostram as tabelas seguintes. Tabela 3.1
Singularidade
Alargamento
Esquema
KS A1 1 A 2
2
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
Caso Limite
1
Estreitamento
A 1 A 2
Caso Limite
0,5
Cotovelo a 90º
0,9
Totalmente Aberta
Válvula Gaveta
0,2
Totalmente Aberta
Válvula Tipo Globo
10
Válvula de Retenção
0,5
Nas entradas e saídas de tubulações ocorre, também, perda de carga localizada, dependendo do tipo de estrutura, conforme mostra a tabela 3.2. Tabela 3.2
Entrada com tubo afluente inserido KS=0,78
Entrada com borda nivelada KS=0,50
Entrada com borda ligeiramente arredondada KS=0,23
Entrada com borda muito arredondada KS=0,004
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
Saída saliente KS=1,0
Saída com bordas niveladas KS=1,0
Saída com bordas arredondadas KS=1,0
4. Equação de Bernoulli com perda de carga, bombas e turbinas: Além das perdas de carga presentes no escoamento de um fluido (distribuídas e localizadas), podem existir dispositivos inseridos numa determinada linha a fim de fornecer energia ao fluido (bombas) ou retirá-la (turbinas). Assim, uma vez presentes tais dispositivos, a Equação de Bernoulli pode ser escrita de acordo com a Eq. 4.1.
p1 v12 p2 v22 h1 hB h2 hC hT (Eq. 4.1) .g 2.g .g 2.g onde: “hB” é a altura manométrica fornecida ao fluido pela bomba; “hT” é a altura manométrica fornecida à turbina pelo fluido. Exemplificamos, a seguir, dois tipos de bombas para promover o escoamento de fluidos: I. II.
Bombas Centrífugas; Bombas de Deslocamento Positivo;
Um esquema de ambas pode ser observado nas figuras:
(Fig. 4.1)
Esquema de uma Bomba Centrífuga
(Fig. 4.2)
Esquema de uma Bomba de Deslocamento Positivo – Tipo Helicoidal
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
(Fig. 4.3)
Esquema de uma Bomba de Deslocamento Positivo – Tipo Pistão
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
Exercícios de Fixação: (Resolução em Sala de Aula)
01. Analisar as perdas locais no ramal de 3/4” (A-B) que abastece o chuveiro de uma instalação predial, verificando qual a porcentagem dessas perdas em relação à perda por atrito ao longo do ramal. Aplique o método dos comprimentos equivalentes para tubulação PVC, considerando as seguintes perdas acidentais: 1 - Tê, saída de lado; 2 - Joelho, 90 graus; 3 - Registro de gaveta aberto; 4 - Joelho, 90 graus; 5 - Tê, passagem direta; 6 - Joelho, 90 graus; 7 - Registro de gaveta aberto; 8 e 9 - Joelho, 90 graus; Observação: Utilize as tabelas de perda de carga localizada no material de teoria. ________________________________________________________ ______________________ 02. Determinar a perda de carga total no esquema da figura ao lado, utilizando o método do coeficiente de resistência para o cálculo da perda de carga localizada. A tubulação é de PVC com diâmetro constante de 19mm, vazão constante de 0,4litros/s e fator de atrito 0,02. O coeficiente de resistência para cada conexão está listado a seguir: 1 – 1 entrada de Borda (Ks=0,90); 2 – 2 curvas de 90 raio longo (Ks=0,30); 3 – 2 curvas de 45 (Ks=0,20); 4 – 1 registro de gaveta aberto (Ks=0,20); 5 – 1 saída de tubulação (Ks=1,00). Dado: aceleração local da gravidade: 9,8m/s2. ________________________________________________________ ______________________ 3 03. Água (massa específica=1000kg/m ) é transportada de uma represa para um pequeno reservatório através da canalização de diâmetro constante de 20mm e fator de atrito 0,023, representada na figura. Pretende-se uma vazão de 1,2litros/s.
Calcule a potência da bomba, de rendimento 70%, capaz de recalcar a vazão pretendida. E representa uma entrada de borda (Ks=0,78); C representa duas curvas longas de 180 graus cada (Ks=2,25); S representa a saída da tubulação (Ks=1,00). Dado: aceleração local da gravidade: 9,81m/s 2. ________________________________________________________ ______________________
Fenômenos de Transporte __________________________________________________________________________________________
04. Numa instalação semelhante à da figura, uma bomba hidráulica fornece 400cv de energia à corrente líquida com rendimento de 85%, 3 cuja vazão é de 1,44m /s. Dados: A =0,36m2; 1 A = 0,18m2; 2 Z1=9,15m; Z2=24,4m; P =14m.c.a.; 1 P =7,0m.c.a.; 2 1,0cv=735,5W, Determine a perda de carga. Dados: massa específica da água: 1.103kg/m3; aceleração local da gravidade: 9,81m/s2. ________________________________________________________ ______________________ 05. Estimar a vazão na tubulação esquematizada ao lado, feita de cobre, nova (f=0,033), de diâmetro constante 50mm, utilizando o método dos comprimentos equivalentes para o cálculo da perda de carga localizada. As conexões são:
1 – 1 entrada de Borda; 2 – 3 joelhos de 90 graus; 3 – 2 curvas de 45 graus 4 – 1 registro de gaveta aberto 5 – 1 saída de tubulação Observação: Utilize as tabelas de perda de carga localizada no material de teoria. Dado: aceleração local da gravidade: 9,8m/s2. ________________________________________________________ ______________________ 06. Qual a potência teórica da bomba para a instalação esquematizada a seguir, de ferro fundido, considerando-se que a vazão de água transportada é de 10m 3/h? Dados: massa específica da água: 1,0g/cm3; aceleração local da gravidade: 9,81m/s2. No trecho de sucção: VR é uma válvula de retenção pesada; C é uma curva de 90 graus raio médio. Fator de atrito = 0,0185 e o diâmetro da tubulação = 38,1mm. No trecho de recalque: RG é um registro de gaveta aberto; VR é uma válvula de retenção leve; C é uma curva de 90 graus raio curto; J são dois cotovelos de 90 graus raio médio; S é a saída da tubulação. Fator de atrito = 0,0580 e o diâmetro da tubulação = 50,8mm.