Profesor: Profesor: Ing. M.I. M. I. José Antonio Magallón Gudiño
6. ANÁLISIS ANÁLISIS ES TR TRUCTUR UCTURAL AL
Profesor: Profesor: Ing. M.I. M. I. José Antonio Magallón Gudiño
Objetivos del Capítulo
Mostrar cómo se determinan las fuerzas en los elementos de una armadura o cercha, por medio del método de nodos y del método de secciones.
Analizar las fuerzas que actúan sobre los elementos de bastidores y máquinas, compuestos por elementos conectados mediante pasadores.
6.1 Cerchas Simples
Cerchas Simples Una Cercha es una estructura compuesta de elementos esbeltos unidos entre sí en sus puntos extremos. Los elementos están formados con perfiles de madera o acero. Se considera que las cerchas planas se sitúan en un solo plano, y se utilizan para soportar entrepisos, techos y puentes. La cercha que se muestra en la figura 6-1a es un ejemplo de una cercha para cargar techos. Los largueros cargan el techo y transmiten a la cercha las cargas en los nudos. Los nudos son los puntos donde se unen los miembros que forman la cercha. Las cargas que transmiten los largueros a la cercha se encuentran en el mismo plano de la cercha, figura 6-1b, el análisis de las fuerzas que actúan en los nudos de la cercha será en dos dimensiones.
En el caso de un puente como el de la figura 6-2ª, las cargas son transmitidas a los largueros, y estos a su vez la transmiten a las vigas de piso, y finalmente éstas las transmiten a las cerchas en sus nodos. Igual que en la cercha de techo, la carga en una cercha de puente es coplanar, figura 6-2b. En las cerchas de puente normalmente se colocan apoyos de rodillo en uno de sus extremos, y en el otro se coloca un apoyo articulado.
Supuestos para el diseño Para diseñar los elementos y las conexiones de una cercha, se necesita primero determinar la fuerza desarrollada en cada elemento cuando la cercha está sometida a una carga dada. Para ello consideraremos dos supuestos importantes.
Todas las cargas se aplican en los nudos. En la mayoría de los casos la carga se aplica en los nudos, el peso propio de los elementos se puede considerar aplicado la mitad en cada extremo del mismo debido a la diferencia grande que puede haber entre las cargas aplicadas y el peso del elemento.
Los elementos están unidos entre sí mediante pasadores lisos. En general las conexiones se pueden realizar soldando los elementos una placa donde convergen los elementos, llamada placa de unión. En algunas otras ocasiones se utilizan pernos en lugar de soldadura para unir los elementos a la placa de unión. Es muy importante que las líneas que pasan por los centroides de los elementos sean concurrentes en el nudo, para que sólo existan fuerzas axiales en los elementos y evitar excentricidades que provoquen flexión en los elementos además de fuerzas axiales.
placa de unión
De acuerdo a estos dos supuestos cada elemento de la cercha actuará como un elemento sometido a dos fuerzas, una fuerza en cada extremo, y actuará en el eje del mismo. Fuerza de Tensión: si la fuerza tiende a alargar el elemento, se considera una fuerza de Tensión (T), figura 64a. Fuerza de Compresión: si la fuerza tiende a acortar el elemento, se considera una fuerza de Compresión, figura 6-4b. Para el diseño de las cerchas es indispensable conocer si el elemento está sometido a una fuerza de tensión o de compresión, debido a que las fuerzas de compresión dan como resultado perfiles con una sección transversal mayor, esto por el efecto de pandeo de columna que se presenta en perfiles a compresión.
Cercha simple Si tres elementos se conectan entre sí mediante pasadores en sus extremos, forman una cercha triangular que será rígida, figura 6-5. Al unir dos elementos más y conectar estos elementos a una nueva junta D se forma una nueva cercha más grande, figura 6-6. Este procedimiento se puede repetir todas las veces que se desee para formar una cercha más grande. Si una cercha se puede construir expandiendo de este modo la cercha triangular básica, se denomina llama cercha simple.
Tipo Warren de cuerdas paralelas
Tipo Pratt de cuerdas paralelas
Pratt
Tipo Warren a dos aguas
Tipo Pratt a dos aguas
Howe
Fink
Fink realzada
Fink en abanico
diagonal
cuerda inferior
cuerda superior
montante o poste
nudo
montante o poste
diagonal nudo
cuerda inferior
cuerda superior
Determinación estática de una cercha La determinación estática de una cercha consiste en evaluar la relación del número de fuerzas desconocidas (incógnitas) y el número de ecuaciones de equilibrio de la estática de que se disponen para realizar el análisis. La determinación estática puede ser externa e interna. Determinación estática externa La determinación estática externa es la relación entre el número de fuerzas desconocidas (incógnitas) que existen en los apoyos o soportes de la cercha y el número de ecuaciones de equilibrio de la estática de que se disponen para realizar el análisis. Número de incógnitas = número de ecuaciones de la estática =>
isostática externamente
Número de incógnitas > número de ecuaciones de la estática =>
hiperestática externamente
Grado de indeterminación = número de incógnitas - número de ecuaciones de la estática Si la cercha es isostática ext ernamente entonces podremos analizar la cercha, en caso de
ser hiperestática externamente, no podremos realizar el análisis y tendríamos que recurrir a otros métodos para llevar a cabo el análisis. En este curso sólo trataremos cerchas que sean isostáticas externamente.
Conceptos Se pueden utilizar varios nombres para la determinación estática de una estructura, aquí pondré algunas de ellas: Determinación estática externa Externamente determinada = isostática externamente Externamente indeterminada = hiperestática externamente
Determinación estática interna Internamente determinada = isostática internamente Internamente indeterminada = hiperestática internamente
Ejemplo de determinación estática externa de una cercha
Número de incógnitas = 3
Ax
Ay
By
Número de ecuaciones de equilibrio de la estática = 3
Σ Fx=0
Σ Fy=0
Σ M=0
Número de incógnitas = Número de ecuaciones de la estática => isostática externamente Grado de indeterminación externa = 3 – 3 = 0
Ejemplo de determinación estática externa de una cercha
Número de incógnitas = 4
Ax
Ay
By
Cy
Número de ecuaciones de equilibrio de la estática = 3
Σ Fx=0
Σ Fy=0
Σ M=0
Número de incógnitas > Número de ecuaciones de la estática => hiperestática externamente Grado de indeterminación externa = 4 – 3 = 1
Determinación estática interna de una cercha La determinación estática interna es la relación entre el número de barras, el de nudos y el de componentes de reacción en los apoyos de una cercha. El número de ecuaciones de equilibrio de la estática que tenemos por cada nudo ( j – joint ) es igual a dos: ΣFx=0 y Σ Fy=0
Si el número de ecuaciones disponibles (2j) es suficiente para obtener las incógnitas, entonces la estructura es estáticamente determinada internamente o isostática internamente, y se cumplirá la siguiente ecuación: 2j = m + r j – número de nudos m – número de barras o miembros r – número de reacciones en los apoyos o soportes también se puede escribir como : En caso de que :
m < 2j – r
m = 2j - r
entonces la cercha es inestable internamente , no cumple con los requisitos para ser cercha
m > 2j – r
entonces la cercha es hiperestática internamente y no se puede resolver con las ecuaciones de la estática.
Para entender mejor la determinación estática interna de una cercha, consideremos la cercha de la figura a, por cada nudo poseemos dos ecuaciones de la estática, entonces se poseen 6 ecuaciones de equilibrio, tres fuerzas desconocidas de los miembros (1, 2 y 3) y tres fuerzas desconocidas de los apoyos (Ax,Ay, By) , figura aa. Se cumple:
m = 2j - r
3 = 2(3)-3 = 3
La cercha es determinada o isostática internamente. Si aumentamos un nudo más (D) y dos barras, figura b, tendremos dos fuerzas más, desconocidas pero también tendremos 2 ecuaciones más, manteniendo la cercha isostática o determinada internamente. Si seguimos aumentando nudos y barras, se mantendrá la cercha determinada o isostática internamente , figura c. En el caso de que aumentemos el número de barras sin aumentar el número de nudos, barra CE de la figura d, entonces aumentaremos las fuerzas desconocidas sin aumentar el número de ecuaciones de equilibrio, lo que producirá una cercha indeterminada internamente o hiperestática internamente.
De cumplirse que la cercha es hiperestática internamente o indeterminada internamente, entonces contaremos el número de barras adicionales a 2j-r , éste número adicional de barras nos indica el grado de indeterminación interna que posee la cercha. También, éste número de barras adicionales nos indica el número de redundantes que posee, redundantes son las barras que están demás a las absolutamente necesarias para mantener el equilibrio estático.
Grado de indeterminación interna = número de barras adicionales a 2j-r Número de redundantes = número de barras adicionales a 2j-r De otra manera : Grado de indeterminación interna = m – (2j – r) Número de redundantes
= m – (2j – r)
