CORPORACIÓN EDUCATIVA
School´s
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Primero Tercero de Secundaria
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Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución solu ción de uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad.
En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.
Nuestra Institución Mentor School’s propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.
Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da también con el esfuerzo de los docentes a través de Guías Didácticas que permitirán un mejor nivel académico y lograr alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:
“Formar líderes con una auténtica educación integral”
Capítulo 1.
Razones y Proporciones ..................................................
9
Capítulo 2.
Promedios ..........................................................................
16
Capítulo 3.
Magnitudes Proporcionales .............................................
23
Capítulo 4.
Reparto Proporcional – Regla de Compañía .................
30
Capítulo 5.
Regla de Tres Simple ........................................................
37
Capítulo 6.
Regla de Tres Compuesta ................................................
43
Capítulo 7.
Porcentaje ...........................................................................
51
Capítulo 8.
Aplicaciones Comerciales ................................................
58
Capítulo 9.
Regla de Interés .................................................................
65
Capítulo 10.
Regla de Descuento ...........................................................
72
Capítulo 11.
Mezclas .................................................................................
80
Capítulo 12.
Aleación ...............................................................................
88
Capítulo 13.
Estadística I .........................................................................
96
Capítulo 14.
Estadística II ....................................................................... 105
Capítulo 15.
Lógica Proposicional .........................................................
114
Capítulo 16.
Serie de Razones ................................................................
124
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
16 1
Razones y Proporciones
RAZONES 1. RAZÓN ARITMÉTICA Es la comparación de 2 cantidades mediante la sustracción de sus números. Partes:
ra = a – b
Razón Aritmética
1.1. Proporción aritmética discreta (PAD) Cuando los términos medios son distintos. * 5 - 3 = 8 - 6 * 9 - 2 = 16 - 9 En general:
Ejemplo 1:
a - b = c - d
Consecuente
d : cuarta diferencial
Antecedente Ejemplo 2:
1. RAZÓN GEOMÉTRICA Es la comparación de 2 cantidades mediante la división indicada (fracción) de sus números. a rg = b
Partes:
Resolución:
Antecedente Consecuente
Razón Geométrica Se dice también :
Calcula la cuarta diferencial de 5 ; 1/2 y 7
* “a es a b” * “a es entre sí con b” * “relación de a y b”
Ejemplo 1:
a - b = b - c b : media diferencial c : tercera diferencial a+c b= 2
.... (1)
a y d: extremos r: razón aritmética b y c: medios de (1) a+d=b+c
Suma de extremos = Suma de medios Formando líderes con una auténtica educación integral
7 7 = - 3 2 2
En general:
1. PROPORCIÓN ARITMÉTICA Se llama así cuando se tienen 2 razones aritméticas iguales, en la forma:
Principio:
* 5 - 3 = 3 - 1 * 4-
Se forma con dos razones iguales.
Donde:
5 Rpta.: x = 2
1.2. Proporción aritmética continua (PAC) Cuando los términos medios son iguales y distintos a los otros.
PROPORCIONES
a - b = c - d = r
1 = 7 - x 2 9 x=72 5-
Ejemplo 2:
Calcula la media diferencial de 1/5 y 1/3. Resolución:
1 1 5+ 3 b= 2
4 Rpta.: b = 15 9
A ritmética - 3ro Sec.
2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Se llama así cuando se tienen dos razones geométricas iguales, en la forma: a c = b d = k
Ejemplo 2:
Calcula la tercera proporcional de 8 y 2. Resolución:
8
.... 2
2
Donde: a , b , c y d ≠ 0 a y d → extremos b y c → medios k → razón geométrica o simplemente "razón" o constante de proporcionalidad
Principio:
2 2 x = 2 . 2 2 x = 2
a c P.1. Si: b = d , se cumple: a c a - c a+c a) b = d = b + d = b - d
Producto de extremos = Producto de medios 2.1. Proporción geométrica discreta (PGD) Cuando los términos medios son distintos. 3 12 Ejemplo 1: * 4 = 16 9 27 * 3 = 9
b)
d)
a c o a:b::c:d b = d d : cuarta proporcional
e)
an bn n n
cn dn
=
a = b
n n
c d
P.2. En una PGC
Ejemplo 2:
Resolución:
P.3. En una PGC Rpta.: x = 3
2.2. Proporción geométrica continua (PGC) Cuando los términos medios son iguales y distintos a los otros. 1 3 Ejemplo 1: * 3 = 9 * 8 = 4 4 2 a b = b c b : media proporcional c : tercera proporcional o media geométrica. b2 = a.c
a b = b c
a) Producto de 4 términos: b) Producto de 3 términos:
Calcula la cuarta proporcional de 12, 4 y 9.
10
a+b c+d = b d
a+b c+d c) a - b = c - d
En general:
En general:
2 x
PROPIEDADES
de (2) a.d=b.c
12 = 9 4 x 12x = 36
=
a . b . b . c = b4 a . b . c = b3
a b = = k b c
* b = ck * a = ck2
P.4. Si: a = c = e = k b d f a) a = bk ; c = dk ; e = fk a+c+e b+d+f a.c.e c) k3 = b . d . f n n n d) kn = an + cn + e n b + d + f
b) k =
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) La razón de 2 números es 3/4. Si el producto de ambos es 48, entonces el mayor de dichos números es: Rpta: ________
4) Las edades de María y Luisa están en la relación de 2 a 5. Dentro de 5 años sus edades sumarán 59 años. Halla la edad de Teresa si hoy la relación de la edad de María y Teresa es de 7 a 10. Rpta: ________
2) La relación geométrica de 2 números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de los números? Rpta: ________
3) En una reunión por los festejos de año nuevo a la cual asisten 140 personas entre varones y damas, por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si llegan “n” parejas, por cada 4 mujeres habrá 5 hombres. Halla “n”. Rpta: ________
5) La razón entre la suma y la diferencia de dos números es 5/3. La razón geométrica entre el mayor y el menor es: Rpta: ________
6) La suma, diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. Determina la suma de dichos números. Rpta: ________
Para Reforzar 1) La razón de 2 números es 3/5. Si el producto de ambos es 60, entonces el mayor de dichos números es: Rpta: ________
4) Las edades de Jorge y Mario están en la relación de 9 a 8. Hace 25 años estaban en la relación de 11 a 7. ¿Cuál es la diferencia de las edades de Jorge y Mario? Rpta: ________
2) Dos números están en la relación de 2 a 3. Si se aumenta a cada uno de los términos en 9 unidades su razón es 3/4, halla el mayor de los números. Rpta: ________
3) En una discoteca se observa que por cada 8 mujeres hay 5 hombres; además, el número de mujeres excede al número de hombres en 21. ¿Cuál es la nueva relación si se retiran 16 parejas? Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
5) La razón entre la suma y la diferencia de dos números es 7/2. La razón geométrica entre el mayor y el menor es: Rpta: ________
6) La suma, diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 6, 2 y 16. Determina la suma de dichos números. Rpta: ________
11
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 1
Para el profesor: 1
Para el alumno:
En un acuario hay peces de colores azul, anaranjado y amarillo. Si el número de peces azules es al número de peces anaranjados como 6 es a 5 y el número de peces amarillos es al número de peces azules como 5 es a 4, ¿cuántos peces azules hay en el acuario, si la razón aritmética entre el número de peces amarillos y anaranjados es 15? a) 30 d) 38
b) 36
1
En una reunión asistieron personas solteras y casadas en la relación de 13 a 5. La razón entre hombres casados y mujeres casadas es de 4/1. Si asistieron 90 personas en total. ¿Cuántas mujeres casadas asistieron a dicha reunión? a) 4 d) 8
c) 32 e) 34
b) 7
c) 5 e) 6
Resolución:
Resolución:
Clave: 2
Clave:
Para elegir los nuevos dirigentes de un club se presentan 2 listas “A” y “B”. Para votos se hacen presentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial, la elección favorece a “B” en la razón de 3 a 2, pero en la votación legal, “A” ganó en una razón de 5 a 3. ¿Cuántos socios cambiaron de opinión?
2
pero al nal es favorable a Alianza en razón de 5 a
1. ¿Cuántos hinchas de la «U» se pasaron a Alianza si en total 30 000 apostaron?
a) 44 d) 64
b) 56
c) 54 e) 144
En un partido de la «U» vs. Alianza inicialmente favorecen las apuestas a la «U» en razón de 3 a 2,
a) 14 000 d) 18 000
b) 12 580
c) 14 500 e) 13 000
Resolución:
Resolución:
Clave: 12
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 3
En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Halla la media proporcional. a) 30 d) 38
b) 36
3
c) 32 e) 34
En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Halla la media proporcional. a) 20 d) 36
Resolución:
b) 27
Resolución:
Clave:
4
En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la misma relación que 4 y 25, y su suma es 116. ¿Cuál es la media proporcional? a) 40 d) 80
c) 25 e) 29
b) 60
Clave:
4
c) 45 e) 50
En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la relación de 4 a 9, siendo su suma 65. Halla la media proporcional a) 30 d) 90
b) 60
c) 45 e) 50
Resolución: Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 13
A ritmética - 3ro Sec. 5
La suma de los 4 términos de una P.G. es 65 y cada uno de los 3 últimos es 2 del anterior. ¿Cuál es 3 el último término?
5
La suma de los 4 términos de una P.G. es 85 y cada 1 uno de los 3 últimos es del anterior. 4 ¿Cuál es el primer término?
a) 16 d) 81
a) 4 d) 16
b) 64
c) 8 e) 27
b) 32
Resolución:
Resolución:
Clave:
6
b) 18
c) 16 e) 14
Resolución:
6
El producto de los 4 términos positivos de una proporción geométrica continua es 1296. Si la suma de los extremos es 13, halla su diferencia. a) 4 d) 2
b) 6
c) 5 e) 3
Resolución:
Clave: 14
Clave:
El producto de los 4 términos positivos de una proporción geométrica continua es 50 625. Si la suma de los extremos es 34, halla su diferencia. a) 10 d) 12
c) 16 e) 64
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 7
La suma de los cuadrados de los 4 términos enteros positivos de una PGC es 7 225. Calcula la media proporcional si la diferencia de extremos es 75. a) 15 d) 20
b) 18
7
c) 16 e) 12
La suma de cuadrados de los 4 términos enteros positivos de una PGC es 3 025. Calcula la media proporcional si la diferencia de extremos es 25. a) 15 d) 35
b) 30
Resolución:
Resolución:
Clave: 8
Si m = p = 5 n q 4 además:
Clave: 8
pq = 1 100 + mn p – m = 25
calcula m + p. a) 35 d) 55
c) 20 e) 25
b) 50
c) 40 e) 45
Resolución:
Si a = c = 3 ; b d 4 además: ab – cd = 780 b–d=4 calcula b + d. a) 260 d) 248
b) 245
c) 254 e) 250
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral
15
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
2
Promedios
INTRODUCCIÓN
1. PROMEDIO ARITMÉTICO
Juan, alumno de 2.º de secundaria, enseña su libreta del colegio a Pedro, ambos alumnos y amigos. Las notas fueron:
Llamado también Media Aritmética (Ma) o simplemente «promedio». Dados 4 números: 4; 13; 12 y 17, la media aritmética es:
Nota
Aritmética Álgebra Geometría Física Raz. Matemático
18 10 08 13 16
Ma =
4 + 13 + 12 + 17 = 11,5 4 Para : a1, a2, a3, ..., a n Ma =
a1 + a2 + a3 + ... +a n n
Promedio : 13
En ese momento, llega el papá de Juan y le pregunta: «Bien hijo,... ¿y? ¿Con cuánto pasas a 3. º de secundaria?», y Juan responde: «Con 18 papi». Pedro le queda mirando y le dice; «Oye, no!, dile el promedio». «Ah... sí, lo olvidé. Con 13, papi». Bien, así es, de un grupo de notas existe uno llamado «promedio» que les representa. Pero esta semana aprenderás que este promedio puede ser de 3 tipos: aritmético, geométrico y armónico. Lo obtenido en las notas es aritmético.
2. PROMEDIO GEOMÉTRICO Llamado también Media Geométrica (Mg). Dados 3 números: 12 ; 3/8 y 6, la media geométrica es: 3 Mg = 3 12 x 8 x 6 = 3 27 = 3 Para : a1, a2, a3, ..., an Mg = n a1. a2 . a3 . ... . a n
16
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. *
3. PROMEDIO ARMÓNICO LLAMADO TAMBIÉN MEDIA ARMÓNICA (MH).
Fecha
DADOS 4 NÚMEROS: 2 ; 5 ; 2/3 Y 1, LA MEDIA ARMÓNICA ES:
1 1 1 + + 2 5 2 3
N.º de días
1 al 5 6 al 20 21 al 30
4
MH =
La temperatura media de una ciudad durante el mes de noviembre fue variante:
1 + 1
Temperatura media
5 15 10
16° C 17° C 22° C
MH = 1,25
La temperatura media en todo el mes fue:
PARA : A1, A2, A3, ..., AN
5 x 16 + 15 x 17 + 10 x 22 5 + 15 + 10
MH =
n
= 18,5ºC
1 1 1 +...+ 1 + + a1 a2 a3 an
5. PARA 2 NÚMEROS A Y B (a) Ma =
PROPIEDADES
Si todos los números son iguales, entonces: Ma = Mg = Mh = mismo número.
Si todos los números son distintos, entonces: a) Número < Promedio < Número Menor Mayor b) Mh < Mg < Ma
4. PROMEDIO DE GRUPOS * El promedio de las aulas es variante.
Aula
N.º Alumnos
Promedio
A
20
17
B
30
12
C
50
10
El promedio de las 3 aulas es: 17 + 12 + 10 = 13 3 Así :
¡No!
20 x 17+30 x 12+50 x 10 = 12 20 + 30 + 50
Formando líderes con una auténtica educación integral
2AB Mg = AB ; Mh = A + B
A+B 2
(b) Mg2 = Ma . Mh
¿Cómo se calcula el cuadrado de un número utilizando promedios?
Se dice que los primeros en aplicar las potencias fueron los sacerdotes mesopotámicos. Así se ha deducido de unas tablillas encontradas en las orillas del río Éufrates. De acuerdo a lo estampado en ellas, los sacerdotes resolvían la multiplicación sin recurrir al ábaco, tan usado en esa época. Para solucionarla empleaban la tabla de cuadrados y se basaban en el siguiente principio: “El producto de dos números es siempre igual al cuadrado de su promedio menos el cuadrado de la mitad de su diferencia”.
Vamos a comprobarlo con 5 y 3. El promedio de los dos es 4 y el cuadrado de 4 es 16. La diferencia entre 5 y 3 es 2, y su mitad corresponde a 1. 16 - 1 = 15 y 3 . 5 = 15 ¡Muy cierto!
17
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Marco calcula el promedio de sus 5 primeras prácticas y resulta 13. Si en las 2 siguientes prácticas obtuvo 14 y 16, ¿cuál es su promedio ahora? Rpta: ________
2) El promedio aritmético de 13 números es 18. Si 3 de ellos suman 34, ¿cuál es el promedio de los demás? Rpta: ________
3) La media geométrica de 3 números enteros positivos distintos es 7. Calcula su media aritmética.
4) La media aritmética de dos números es 25/2. Si la M.G. de los mismos es 12, calcula la media armónica de dichos números. Rpta: ________
5) Hallar 2 números, sabiendo que su media aritmética es 15/2 y su media armónica es 24/5. Rpta: ________
6) En una clase de 40 alumnos, la estatura promedio de los hombres, que son 25, es 1,68 m y el promedio de las mujeres es 1,62m. ¿Cuál es el promedio de la clase?
Rpta: ________
Rpta: ________
1) El promedio de las notas de un alumno en sus tres primeras prácticas es exactamente 12. Si en la cuarta práctica obtiene 08, ¿cuál será el nuevo promedio?
4) La media aritmética de dos números es 27. Si la M.H. de los mismos es 18, calcula la media geométrica de dichos números.
Para Reforzar Rpta: ________
Rpta: ________
2) Si el promedio aritmético de 20 números es 11 y dos de ellos suman 40, ¿cuál es el promedio de los otros 18 números?
5) Halla 2 números, sabiendo que su media aritmética es 5 y su media armónica es 24/5. Rpta: ________
Rpta: ________
3) La media geométrica de 3 enteros positivos distintos es 2. Calcula su media aritmética.
Rpta: ________
18
6) El promedio de 30 alumnos de la clase «A» es 16; de la clase «B», que tiene 40 alumnos, es 14; y de la clase «C», que tiene 50 alumnos, es 12. Halla el promedio de las tres clases. Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 2
Para el profesor: 1
Para el alumno:
En una partida de póquer se encuentran 5 personas cuyo promedio de edades es 32 años. Si ninguno tiene menos de 24 años, ¿cuál es la máxima edad que puede tener uno de ellos? a) 38 años d) 66 años
b) 64 años
c) 48 años e) 56 años
1
La edad promedio de 5 personas es 54 años. Si ninguna de ellas es menor de 50 años, entonces la máxima edad que puede tener cualquiera de ellas es: a) 70 años d) 68 años
b) 69 años
Resolución:
Resolución:
Clave: 2
¿Cuál es el número mayor si la media aritmética de 3 números es 30? Además uno de ellos es 24 y la diferencia de los otros dos es 18. a) 41 d) 40
c) 60 años e) 66 años
b) 46
Clave: 2
c) 44 e) 42
Resolución:
¿Cuál es el número menor si la media aritmética de 3 números es 28? Además uno de ellos es 26 y la diferencia de los otros dos es 14. a) 18 d) 22
b) 19
c) 20 e) 24
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 19
A ritmética - 3ro Sec. 3
El promedio geométrico de 3; 9; 27; ...; 3 n es 243. Halla «n». a) 9 d) 12
b) 11 e) 8
3
c) 10
Halla “n”, sabiendo que el promedio geométrico de los números 2; 4; 8; 16; … (“n” números) es igual a 1 024. a) 6 d) 10
Resolución:
b) 9 e) 7
Resolución:
Clave:
4
d) 26 3
b) 8
c) 9 e)20 3
4
La media geométrica de 3 números pares diferentes es 4, entonces la M.A. de dichos números es: a) 17
3 d) 15 2
b) 6
c) 5 e) 14 3
Resolución:
Resolución:
Clave: 20
Clave:
El promedio geométrico de 3 números pares diferentes es 6, entonces la M.A. de dichos números es: a) 7
c) 8
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 5
¿Cuál es el promedio armónico de 60 números si el promedio armónico de 20 de ellos es 18 y el promedio armónico de los 40 restantes es 54? a) 30,4 d) 32,4
b) 30,2
5
El promedio armónico de 20 números es 36. Calcula el promedio armónico de sus terceras partes. a) 49/120 d) 27/12
c) 31,2 e) 32,2
b) 35/12
Resolución:
Resolución:
Clave:
6
Sean los números A y B. Calcula M.G. si A = 9B. M.H. a) 1/4 d) 5/3
c) 49/240 e) 49/2
b) 3/5
Clave:
6
Sean los números A y B. Calcula M.H. si A = 4B. M.G.
c) 2/5 e) 5/2
a) 2/5 d) 4/5
b) 5/4
c) 5/2 e) 3/5
Resolución:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 21
A ritmética - 3ro Sec. 7
El producto de la M.A. de 2 números por su M.G. y por su M.H. da como resultado 4 096. Calcula la M.G. a) 18 d) 16
b) 6
7
El producto de la M.A. de 2 números por su M.H. da como resultado 1 024. Calcula la M.G. a) 6 2 d) 4
c) 32 e) 8
b) 8
c) 2 2 e) 4 2
Resolución: Resolución:
Clave: 8
Clave:
El promedio de las notas de un curso de 30 alumnos fue 5,2; los primeros 6 obtuvieron un promedio de 8,0 y los 10 últimos sacaron 3,1. Calcular el promedio de los restantes.
8
El promedio de las notas de un curso de 15 alumnos fue 12; los primeros 8 obtuvieron un promedio de 10 y los 5 últimos un promedio de 14. Calcular el promedio de los restantes.
a) 5,5 d) 6,2
a) 10 d) 13,5
b) 6,3
c) 4,9 e) 5,8
b) 12
c) 15 e) 14
Resolución:
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 22
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
16 3
Magnitudes Proporcionales
INTRODUCCIÓN
CLASES DE MAGNITUDES:
Todos alguna vez empleamos un razonamiento inductivo que viene asociado a experiencias vividas, por ejemplo decimos: Mientras más alto es un árbol, su sombra será también mayor; si un automóvil lleva una mayor velocidad podrá recorrer mayor distancia en un mismo tiempo o mientras más obreros trabajan en la construcción de una casa se demorarán menos tiempo en terminarla.
A. Magnitudes directamente proporcionales (D.P.)
Todos los ejemplos nos hablan de cambios o variaciones de las magnitudes (altura, velocidad, distancia, número de personas, días, etc.) que intervienen en una situación. En los dos primeros ejemplos el aumento de una magnitud provocaba el aumento de la otra y en el tercer ejemplo el aumento de una de ellas provocaba la disminución de la otra, cuando ocurren estas situaciones nos encontramos con magnitudes proporcionales.
Ejemplo:
Un alumno llega a una librería pensando comprar seis cuadernos pero consultó por varias opciones y obtuvo los siguientes resultados:
N° Cuadernos Costo (s/.)
3 12
6 24
18 72
9 12 36 48
x3
÷2
Podemos observar: -
El descubrimiento Se organiza una expedición arqueológica al Monte Ararat, donde se supone que descansó el arca de Noé despues del diluvio y excavando, el jefe de la expedición descubre los cadáveres de un hombre y una mujer desnudos y bien conservados puesto que estaban en la nieve. En cuanto los ve grita a sus compañeros "Mirad, son Adán y Eva". ¿Por qué supo que eran precisamente Adán y Eva?
x3
÷2
-
Si se triplica el n°. de cuadernos (6 x 3 = 18) se triplica el costo (24 x 3 = 72). Si se reduce a la mitad el número de cuadernos (6 ÷ 2 = 3) el costo también se reduce a la mitad ( 24÷ 2 = 12). Si dividimos el n°. de cuadernos entre el costo se obtiene una cantidad constante. N° cuadernos costo
3
N
6
9
12
1
= C = 12= 24= 36= 48= 4 constante
MAGNITUD Es todo aquello que experimenta cambios y puede ser medido. Ejemplo: La sombra de un árbol, la velocidad de un auto, los días trabajados, etc.
MAGNITUDES PROPORCIONALES Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas la otra también varía.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Gracando y uniendo puntos:
Costo C 36 24 Aumenta
12
•
•
•
N 3
6 9 N°Cuadernos
Aumenta
23
A ritmética - 3ro Sec. Obtenemos una recta. La gráca nos indica que si el
Gracando y uniendo los puntos:
número de cuadernos aumenta, también el costo aumenta, y si el número de cuadernos disminuye, el costo disminuye. Podemos concluir que el costo y número de cuadernos son magnitudes directamente proporcionales.
N° Días D 30
•
Definición: Dos magnitudes son directamente proporcionales (DP) si al aumentar o disminuir una de ellas, el valor de la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. También se cumple que el cociente entre sus valores correspodientes es una cantidad constante.
Ejemplo:
Un capataz contrata 15 obreros que puede construir un muro en 10 días.Luego de algunos razonamientos elabora la siguiente tabla:
5 30
x2
x3
15 10
30 5
-
-
Definición: Dos magnitudes son inversamente proporcionales (I.P.) si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye en el primer caso o aumenta en el segundo caso en la misma proporción. También se cumple que el producto entre sus valores correspondientes es una cantidad constante. Es decir, dadas las magnitudes "A" y "B".
10 15
A I.P. B
A.B= constante
÷2
Observación
Si duplica el n° de obreros (15x2 = 30), el número de días se reduce a la mitad (10÷2 = 5). Si se reduce a la tercera parte el número de obreros(15 ÷ 3 = 5), el número de días se triplica ( 10 x 3 = 30). El producto del número de obreros y número de días es constante. N° Obreros x N° Días
10 15 N° Obreros
5
Podemos observar: -
N
el número de días disminuye, podemos concluir que el número de obreros y el número de días son magnitudes inversamente proporcionales.
B. Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)
N° Obreros N° Días
•
la gráca podemos ver que si el número de obreros aumenta,
A = constante B
÷3
•
Se forma una curva denominada hipérbola equilátera. Según
Es decir, dadas la magnitudes "A" y "B". A D.P. B
15 10
Si: A D.P. B A I.P. C
A.C =Constante B.D2
A D.P. D2
= 5 x 30 = 15x10 = = 30 x 5 = 150
constante
Isacc Newton Es el más grande de los astrónomos ingleses; se destacó también como gran físico y matemático. Fue en realidad un genio al cual debemos el descubrimiento de la ley de gravitación universal, que es una de las piedras angulares de la ciencia moderna. Fue uno de los inventores del cálculo diferencial e integral. Estableció las leyes de la mecánica clásica, y pa rtiendo de la ley de gravitación universal dedujo las leyes de Kepler en forma más general. Logró construir el primer telescopio de reexión. También son importantes sus contribuci ones al estudio de la luz. Sus obras más importantes publicadas son la Optica, en la que explica sus teorías sobre la luz, y la obra mon umental Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, comúnmente conocida como Principia, en la cual expone los fundamentos matemáticos del universo.
24
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Si "A" es directamente proporcional a "B", halla "m+p". A B
40 m
32 8
4) Si A2 es DP a B , halla B cuando A es 2, sabiendo que A=6 cuando B es 9.
P 15
Rpta: ________ Rpta: ________
5) Si se cumpliera que el cuadrado del precio de un producto es DP a la raíz cuadrada de su peso, halla el peso de un artículo por el cual se pagó 6 dólares sabiendo que por un artículo de 49 gramos se pagó 2 dólares.
2) Si A y B son IP, calcula m + n + a. A 30 12 m a B n 15 10 1 Rpta: ________
Rpta: ________
3) Dado el gráco. Hallar el n° de veltas del engranaje B en 3 minutos. 6)) La velocidad del sonido en el aire es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta del medio ambiente. Si la velocidad del sonido es de 280 m/s a 21°C, ¿cuál será su velocidad a 111°C?
A 30 dientes 45 RPM
B
90 dientes
Rpta: ________
Rpta: ________
1) Si "A" es directamente proporcional al cuadrado de "B", halla "x+y".
4) Sean las magnitudes "A" y "B" donde A I.P. B, y cuando A=25, B=8, halla "B" cuando: A=16.
Para Reforzar A B
100 x
y 8
Rpta: ________
16 2 Rpta: ________
2) Si A y B son IP, calcula m + n + a. A 30 12 B n 15
a 1
5) El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 50 g cuesta 4 000 dólares, ¿cuánto costará otro diamante que pesa 80 g? Rpta: ________
Rpta: ________
2) Dado el gráco. Hallar el n° de vueltas del engranaje B en 5 minutos
20 dientes 60 RPM
A
B
80 dientes
6) El peso de un elefante es D.P. a la raíz cuadrada de su edad. Si un elefante de 36 años pesa 300 kg, ¿qué edad tendrá cuando pese 400 kg?
Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
Rpta: ________
25
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 3
Para el profesor: 1
Luego de construir la gráca de dos magnitudes I.P. se obtuvo la siguiente gráca, halla "p +t"
1
Si la siguiente gráca representa dos magnitudes
inversamente proporcionales, halla "a+b"
B 6
P a
1,5 p
2,4 1,5
t
Para el alumno:
a) 2,5 d) 1,5
4 12
b) 2
A
3 c) 1 e) 0,5
a) 10 d) 15
5
b) 12
Clave:
El precio de venta de un libro es DP al costo unitario de los materiales e IP a la raíz cuadrada de su tiraje. Si para un tiraje de 3600 ejemplares y un costo de S/. 20 el precio de venta fue de S/.42, ¿ cuál será el precio del libro para un tiraje de 2500 ejemplares y un costo de S/. 30? a) S/. 70 d) S/. 80,2
b)S/. 75,6
c) S/. 71,5 e) S/. 72,6
c) 14 e)18
Clave: 2
El tiempo que demora un barco en realizar un viaje es D.P. al cuadrado de su peso e I.P. a su velocidad. Si un barco realiza una travesía en 12 días, ¿qué tiempo demora otro barco que pesa 3 veces más que el primero y lleva una velocidad que es 2 veces más que el anterior? a) 64 días d) 20 días
b) 27 días
c) 36 días e) 72 días
Resolución:
Resolución:
Clave: 26
V
Resolución:
Resolución:
2
b
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 3
La gura muestra la gráca de los valores que
3
toman las magnitudes A y B. Calcular a + b
La gura muestra los valores de las magnitudes A
y B. Hallar m + n
B
B
a 8 b
4 3 n 12 18
a) 12 d) 20
b) 18
36 A
9 m c) 14 e) 16
a) 10 d) 16
b) 12
Clave:
Dos magnitudes "A" y "B" son directamente proporcionales para valores de "B" menores o iguales a 12 y son inversamente proporcionales para valores de "B" mayores o iguales a 12. Si "A" es 8 cuando "B" es 2, halla "A" cuando "B" sea 18. a) 16 d) 36
c) 14 e) 18
Resolución:
Resolución:
4
24 A
b) 32
Clave:
4
c) 24 c) 30
Sean 2 magnitudes A y B, tales que A es IP a B para B ≤ 30, y A es DP a B para B > 30. Si A=6 cuando B=20, halla A cuando B = 60. a) 2 d) 6
b) 3
c) 4 e) 8
Resolución:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 27
A ritmética - 3ro Sec. 5
El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que cuesta 6400 dólares accidentalemente se parte en dos pedazos, uno los 3/5 del otro,¿qué pérdida sufrió el diamante? a) $10 000 d) $12 400
b) $10 240
5
Se tiene un diamante que cuesta $48000. Si éste se parte en 2 pedazos (uno el triple del otro), determina el costo total de ambos si sabiendo que el precio es DP al cuadrado de su peso. a) $30 000 d) $15 000
c) $12 000 e) $9 800
b) $20 000
Resolución:
Resolución:
Clave:
6
La fuerza "F" de atracción entre dos cargas eléctricas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Si cuando están separadas 40 cm la fuerza de atracción es 10 newtons, halla la nueva fuerza de atraccion si ahora están separados 8 cm. a) 200 N d) 100 N
b) 250 N
c) 300 N e) 50 N
Clave:
6
La potencia consumida por un foco es D.P. al cubo de la raíz cuadrada del tiempo que está prendido. Si la potencia de un foco es 200 watts, ¿cuál será la potencia de otro foco si utiliza un tiempo igual al cuádruple del anterior? a) 1200 w d) 2000 w
b) 1500 w
c) 1600 w e) 3000 w
Resolución:
Resolución:
Clave: 28
c) $24 000 e) $16 000
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 7
El precio de una revista varía inversamente proporcional con el número de ejemplares producidos y directamente proporcional con el número de días que toma su edición. Si una revista cuesta 20 soles y se imprieron 3 500 ejemplares demorando su edición 15 días, ¿cual será el precio de otra revista de la que se imprimieron 2 000 ejemplares y su edición demoró 18 días? a) S/. 30 d) S/. 42
b) S/. 35
7
La producción semanal de jeans en una fábrica es directamente proporcional al número de máquinas que tiene e inversamente proporcional a los años de uso de las mismas. Si una fábrica con 12 máquinas de 4 años de uso cada una produce 900 jeans, ¿cuántas máquinas tiene otra fábrica que tiene 5 años de fundada y produce 600 jeans? a) 8 d)12
c) S/. 38 e) S/. 50
b) 9
c) 10 e)15
Resolución: Resolución:
Clave: 8
La potencia de un motor es directamente proporcional a la capacidad del motor e inversamente proporcional a los años de trabajo. Si un motor de 2,5 litros de capacidad y 5 años de uso tiene una potencia de 10 HP, halla la capacidad de otro motor que tiene 6 años de antigüedad y 15 HP de potencia. a) 4 litros e) 5 litros
d) 4,5 litros
Clave: 8
b) 3,5 litros c) 6 litros
La velocidad del agua que atraviesa una tubería es inversamente proporcional a la sección recta de la misma y directamente proporcional al volumen de agua. Si por una tubería de 20 cm 2 de sección recta circulan 120 m 3 a razón de 15 m/s, ¿cuál será la sección de otra tubería por donde circulan 300 m3 a razón de 20 m/s? a) 40 cm2 e) 22,5 cm2
d) 32,5 cm2
b) 30 cm2 c) 37,5 cm2
Resolución:
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral
29
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
4
Reparto Proporcional
INTRODUCCIÓN
- REPARTO DIRECTO
El verano pasado tres amigos iniciaron un negocio de venta de artículos playeros. José aportó un capital de S/.1 200, Gerardo aportó S/.1 500 y Santiago S/.2 100.
Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los índices de proporcionalidad.
Al nalizar la temporada y luego de pagar los gastos de local
Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente:
e impuestos obtuvieron una ganancia de S/.4 800. ¿Cuánto le corresponde a cada uno, de esta ganacia? Nos daremos cuenta que la ganancia no se puede repartir en partes iguales debido a que los capitales impuestos fueron diferentes. Le corresponderá mayor parte de la ganancia a Santiago que impuso un capital mayor. Estamos frente a un caso de reparto directamente proporcional. Así como este ejemplo podemos encontrar otros; piensa y menciona algunos.
1. Se suman los índices. 2. Se divide la cantidad a repartir entre dicha suma, siendo el cociente la "constante" de proporcionalidad (k). 3. Las partes se obtienen multiplicando cada "índice" por la "constante" de proporcionalidad (k). Ejemplo:
Reparte a 750 en forma D.P. a 6; 7 y 12.
La salida
Te encuentras en una habitación con cuatro puertas, una puerta está vigilada por una legión de soldados romanos dispuestos a todo. Otra puerta está custodiada por diez perros Doberman rabiosos. La tercera puerta está custodiada por diez cocodrilos de dos metros de largo cada uno. En la cuarta puerta hay un grupo de veinte leones muertos de hambre. ¿Por qué puerta saldrás de la habitación?
D.P. 6 7 12 25
Paso 1: 750
REPARTO PROPORCIONAL Este capítulo estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores que se llama índices de proporcionalidad.
REPARTO SIMPLE En este caso el reparto puede ser directo o inverso.
30
Paso 2:
6 x 30=180 Paso 3: 7 x 30=210 12x 30=360
k=
750 = 30 25
Partes
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
PROPIEDAD
- REPARTO COMPUESTO
Si a todos los índices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo número, entonces el reparto no se altera. Ejemplo:
En el reparto que se hizo a 750 en forma D.P. a 6; 7; y 12 se obtuvieron como resultados: 180; 210 y 360...¿Qué pasaría si se reparte la misma cantidad D.P. a 6x2; 7x2; y 12x2?...Veamos... 12 → 12x15=180
750
{
14 → 14x15=210 24 → 24x15=360 50
¿son las mismas partes?... "Sí o No"
En este caso, se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera:
1. Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices). 2. Se multiplica los índices de las dos relaciones D.P. 3. Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices. Ejemplo:
Reparte 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9. D.P. I.P. D.P. →
k = 750 =15 50
4 3 648
O sea que si todos los índices se multiplican por un mismo número, el reparto no se altera.
6 9
1 3 1 9
D.P.
→
4 3
x 3 = 4→ 4 x 108 = 432
2 3
x 3 = 2→ 2 x 108 = 216
multiplicamos
k= 648 =108 6
- REPARTO INVERSO Se hace en forma IP a los índices, para ello se invierten los índices y luego se efectúa un reparto directo, como ya se conoce.
Arquímedes 298 a.C. - 212 a.C.
Ejemplo: Repartir 594 en forma I.P. a 2;3;6 y 10.
I.P.→ D.P.
2 3 594
6 10
1 2 1
Se multiplica a todos por el MCM de los denominadores =30
x 30 = 15
→ 15x18=270
x 30 = 10
→ 10x18=180
x 30 = 5
→ 5x18=90
3 1
Partes
6 1 10
x 30 = 3 33
→ 3x18=54
k= 594 =18 33
Fue uno de los matemáticos más grandes de los tiempos antiguos. Nativo de Siracusa, Sicilia, fue asesinado durante su captura por los romanos en la Segunda Guerra Púnica. Cuentos de Plutarco, Livio y Polibio describen máquinas, incluso la catapulta, la polea compuesta, y un ardiente-espejo, inventadas por Arquímedes para la defensa de Siracusa. Pasó algún tiempo en Egipto, donde inventó un aparato ahora conocido como el "tornillo de Arquímedes". Arquímedes hizo muchas contribuciones originales a la Geometría en las áreas de guras planas y las áreas y volúmenes de supercies curvas. Sus métodos anticipaban
el Cálculo integral 2000 años antes de ser «inventado» por el Señor Isaac Newton y Gottfried Wilhelm von Leibniz.
El fue conocido también por la aproximación de pi (entre los valores 310/71 y 31/7) obtenido por circunscribir e inscribir un círculo con polígonos regulares de 96 lados entre otros.
Formando líderes con una auténtica educación integral
31
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Reparte 420 en partes proporcionales a 1/2; 0,3; 2/18 y 0,75. Calcula la parte mayor. Rpta: ________
2) Descompón 1445 en 3 partes enteras IP a 1 n!
y
1 (n+1)!
1 ; (n-1)!
La parte intermedia es: Rpta: ________
4) El comité organizador de la carrera "Los Caminos del Inca" decidió repartir un premio de $ 13500 directamente proporcional a las raíces cuadradas del promedio de las velocidades en todo el recorrido de los 3 primeros. Si las velocidades promedios de los 3 primeros fueron: 200 km/h, 162 km/h y 128 km/h, ¿cuánto recibió el ganador? Rpta: ________
5) Juan tiene 8 manzanas y Pedro 4, y deben repartirlos equitativamente con dos amigos. Para recompensarlo estos entregan 18 soles a Juan y Pedro. ¿Cuánto le tocará a Pedro? Rpta: ________
3) Toño, César y Martín reciben propinas semanales en forma proporcional a sus edades, que son 14; 17 y 21 años, respectivamente, y se observa que los dos menores juntos reciben 4030 unidades monetarias. ¿A cuánto asciende la propina de Martín? Rpta: ________
6) Cinco socios reúnen 32000 dólares. El primero colocó 8000; el segundo, la cuarta parte del primero; el tercero colocó lo que el primero y el segundo juntos; el cuarto, la mitad del tercero y el quinto, lo restante. Explotan una industria durante 2 años, perdiendo en total 24000 dólares. ¿Cuánto perdió el primero y cuánto le queda al quinto?
Rpta: ________
Para Reforzar 4) Reparte 3010 en partes que sean I.P. a los números 375 ; 540 y 1215. Halla la parte mayor.
1) Reparte 445 directamente proporcional a 6/5; 3/2 y 7/4. Halla la parte mayor. Rpta: ________
5) Un agricultor ha sembrado tres parcelas de 400 m2, 600m2 y 500m2 recibiendo un pago total de S/.1200. ¿Cuál fue el pago recibido por la parcela más grande?
2) Divide 2023 en 3 partes DP a 15!, 16! y 17! La parte menor es: Rpta: ________
Rpta: ________
6) Cuatro socios reúnen 20000 dólares, de los cuales el primero pone 4000; el segundo, los 3/4 de lo que puso el primero; el tercero, los 5/3 de lo que puso el segundo y el cuarto lo restante. Explotan una industria 4 años,y la ganancia fue 130000 dólares. ¿Cuánto le toca al cuarto incluido su capital?
3) Luego de repartir una cantidad directamente proporcional a los números 10; 12 y 18 se observa que la dieferencia entre la mayor y menor parte es 920. Halla la cantidad repartida. Rpta: ________
32
Rpta: ________
Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 4
Para el profesor: 1
Para el alumno:
A, B y C deben repartirse cierta cantidad de dinero en forma DP a sus edades. Antes del reparto, se gastan S/.1110 y se reparten el resto como lo acordado; a A le correspondió S/.1200; a B, S/.1000 y a C, S/.1500. ¿Cuánto le hubiera tocado a B si no gastaban nada? a) S/.1300 d) S/.2600
b) S/.1950
1
c) S/.1560 e) S/.1430
Tres individuos deben repartirse una cierta suma de dinero proporcionalmente a sus edades. Gastan S/.560 y se reparten el resto de la manera indicada, correspondiendo al primero S/.2800, al segundo S/.3600 y al tercero S/.4800. ¿Cuánto hubiera correspondido al mayor si no se hubiera gastado los S/.560? a) S/.2940 d) S/.8040
b) S/.4040
Resolución:
Resolución:
Clave: 2
Reparte7680 soles entre Andrés, Beto y Carlos, de modo que la parte de Andrés sea a la de Beto como 4 es a 3 y la de Beto a la de Carlos como 7 es a 5. ¿Cuánto recibió Andrés? a) S/.3360 d) S/.5480
c) S/.6740 e) S/.5040
b) S/.5120
Clave: 2
c) S/.4210 e) S/.4560
La suma de tres partes es 1062; la primera es a la segunda como 4 es a 7 y la segunda es a la tercera como 5 es a 9. Halla la segunda cantidad. a) 315 e) 382
d) 742
b) 180 c) 567
Resolución:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 33
A ritmética - 3ro Sec. 3
Divide el número 15540 en tres partes q sean I.P. a 108, 109 y 1010. Indica la parte mayor. a) 14 400 d) 11 000
b) 12 100
3
c) 14 000 e) 12 500
Reparte 650 en partes que sean inversamente proporcionales a los números 240; 241; 243. Halla la parte mayor. a) 450 d) 500
Resolución:
b) 400
Resolución:
Clave:
4
Tres individuos formaron una empresa, para esto invirtieron 1000; 3000 y 4000 soles; pero el primero estuvo sólo 3 meses; el segundo, 5 meses y el tercero, sólo 8 meses. La empresa dio un benecio total de 6500 soles. ¿Con cuánto se retiró el
primero? a) S/.390 d) S/.1530
b) S/.1910
c) S/.910 e) S/.1390
Clave:
4
Tres personas forman una compañia e invierten 1500; 2000 y 5000 soles. El primero estuvo 8 meses; el segundo, 5 meses y el tercero, un año. Si en total la empresa ganó 123000 soles, ¿cuánto le tocó al segundo? a) S/.18000 d) S/.100000
b) S/.90000
c) S/.15000 e) S/.60000
Resolución:
Resolución:
Clave: 34
c) 360 e) 300
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 5
Fredy empieza un negocio con 36000 dólares. A los 2 meses acepta un socio, llamado Francis, con 12000 dólares y 3 meses después, se liquida la empresa por quiebra, retirándose Francis con solo 10000 dólares. ¿Con cuánto se retiró Fredy? a) $ 18000 d) $ 15000
b) $ 26000
5
Juan empieza un negocio con 24000 dólares. Un mes después se incorpora Pedro con 16000 dólares y 3 meses después de ello el negocio se liquida por quiebra, retirándose Juan sólo con 9000 dólares. ¿Cuánto perdió Pedro? a) $8500 d) $6500
c) $ 19000 e) $ 10000
Resolución:
b) $6000
Resolución:
Clave:
6
Al descomponer 4368 en partes DP a 1,3,9,27,...,3 n, la parte mayor es 2916. Calcula "n". a) 4 d) 8
c) $7500 e) $7200
b) 7
Clave:
6
c) 5 e) 6
Resolución:
Si al dividir 12276 en partes DP a 1, 2, 4 ,8,...2 n la mayor de las partes es 6144. ¿Cuál es el valor de “n”? a) 6 d) 10
b) 9
c) 7 e) 8
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 35
A ritmética - 3ro Sec. 7
Se propone a dos alumnos repartir proporcionalmente un número. Uno lo hace directamente a 3; 4 y 7; el otro lo hace d irectamente a los cuadrados correspondientes encontrándose una diferencia de 480 en lo que corresponde a la primera parte. Halla el número. a) 5185 d) 2590
b) 1554
7
Un padre de familia dejó ordenado hacer el reparto directamente proporcional a las edades de sus hijos que son: 28 y 20 años. El reparto por equivocación se hizo inversamente proporcional a las edades, por lo que el menor recibió 5000 soles más. ¿A cuánto asciende la herencia? a) S/.15000 d) S/.30000
c) 5080 e) 5180
b) S/.36000
Resolución:
Resolución:
Clave: 8
Tres obreros han colocado en un mes 200; 120 y 80 losetas, respectivamente, y han acumulado 4; 6 y 3 inasistencias. Si se debe repartir entre ellos 2900 soles teniendo en cuenta su trabajo y su puntualidad, ¿cuánto recibirá la tercera persona? a) S/.1200 d) S/.500
c) S/.25000 e) S/.32000
b) S/.600
c) S/.1000 e) S/.800
Clave: 8
Tres vecinos quieren pintar las fachadas de sus casas, siendo la longitud de éstas 40, 30 y 26 m y deciden pintarlas trabajando en equipo. Si al nal
el propietario de la primera fachada dio un pago de S/.400 para que se repartan los otros dos, ¿cuánto le corresponde al último? a) S/.150 d) S/.300
b) S/.180
c) S/.200 e) S/.250
Resolución:
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 36
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
16 5
Regla de Tres Simple
Se usan cuando intervienen dos magnitudes y cada una con dos cantidades, en total cuatro, pero una no se conoce.
B. Simple Inversa Cuando las dos magnitudes que se comparan son I.P.
A. Simple Directa Cuando las dos magnitudes que se comparan son D.P.
Ejemplo 1:
12 obreros pueden terminar una obra en 18 días. ¿Cuántos obreros terminarán la misma obra en 27 días?
Ejemplo 1:
Si 60 naranjas cuestan 18 soles, ¿cuánto costarán 40 naranjas?
Resolución: Obreros
Resolución: Naranjas -
-
Soles
60
18
40
x
-
12
18
x
27
+
Son IP: 12 . 18 = (x) (27) Lo acabarán:
60 = 40 18 x
Son DP:
Días
x = 8 obreros
x = 12 soles Ejemplo 2:
Ejemplo 2:
Se necesitan 24 obreros para sembrar 30m 2 de un terreno fértil. ¿Cuántos obreros más se necesitarán para sembrar otro terreno de 35 m 2? Resolución:
Resolución: Obreros
24
+
Son DP:
Una rueda de 24 dientes engrana con otra rueda de 60 dientes. Si la primera da 300 vueltas, ¿cuántas vueltas dará la segunda?
24+x
m2
30 35
Dientes +
24 = 24+x 30 35
Se necesitarán:
x = 4 obreros más
Formando líderes con una auténtica educación integral
+
Son IP:
Vueltas
24
300
60
x
-
(24) (300) = (60) (x) 120 = x dará 120 vueltas
37
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Si 35 velas cuestan 20 soles, ¿cuánto costarán 3 docenas y media?
4) Veinte hombres pueden cavar 88 m de zanja por día. ¿Cuántos trabajadores más se requieren para tener un avance de 110 metros?
Rpta: ________ Rpta: ________
2) Juan y Pedro alquilan una casa. Juan ocupa los 4/13 de la casa y al mes le toca pagar 180 soles. ¿Cuánto le tocará pagar a Pedro?
5) Un barco tiene víveres para 72 tripulantes durante 33 días, pero sólo viajan 66 personas. ¿Cuánto tiempo durarán los víveres?
Rpta: ________ Rpta: ________
3) Si Luis realiza un trabajo en diez días, con 6 h/d. ¿Cuántos días demora en hacer el trabajo 2 h menos cada día?
6) Si 6 monitos comen 12 plátanos en 6 minutos, ¿en qué tiempo 15 monitos comerán 300 plátanos?
Rpta: ________
Rpta: ________
1) 1360 hombres tienen víveres para 8 meses. ¿Cuántos hombres deben retirarse si se desea que los víveres duren 10 meses?
4) 1360 hombres tienen víveres para 8 meses. ¿Cuántos hombres deben retirarse si se desea que los víveres duren 10 meses?
Rpta: ________
Rpta: ________
2) Un barco tiene víveres para 33 días, pero al inicio de la travesía se suman 4 personas más y por ello los víveres sólo alcanzarán para 30 días. ¿Cuántas personas había inicialmente en el barco?
5) Un árbol de 12 m da una sombra de 16 m. A la misma hora una persona de 1,80 m, ¿qué sombra proyecta?
Rpta: ________
Rpta: ________
3) Si 35 velas cuestan 20 soles, ¿cuánto costarán 3 docenas y media?
6) Si 20 hombres demoran 15 días en hacer una obra, ¿cuántos días más demorarán si son 5 hombres menos?
Rpta: ________
Rpta: ________
Para Reforzar
38
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 5
Para el profesor: 1
Para el alumno:
El alquiler de 5 meses de una casa cuesta 800 soles. ¿Cuántos meses más se alquilará la casa si se paga 1120 soles? a) 7 d) 1
b) 2
1
c) 5 e) 3
1800 soldados tienen comida para 5 meses. Por oden del mayor, se retiran 300 soldados, entonces, ¿cuántos meses durará la comida? a) 5 1/2 d) 8
Resolución:
Un árbol de 12 m da una sombra de 16 m. ¿Qué sombra proyecta una persona de 1,80 m a la misma hora? a) 2m d) 2,70m
c) 6 e) 6 1/2
Resolución:
Clave: 2
b) 7
b) 2,40m
Clave: 2
c) 2,50m e) 3,6m
Resolución:
Un automóvil tarda 7h 30min en ir de Lima a Chimbote con una rapidez de 60km/h. Si la velocidad se triplica, ¿cuánto tiempo emplearía? a) 3 h 20 min d) 4 h 30 min
b) 2 h 20 min c) 2 h 30 min e) 3 h 30 min
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 39
A ritmética - 3ro Sec. 3
Si ocho hombres necesitan sesenta días para terminar un trabajo. ¿Cuántos hombres podrán hacerlo en 40 días?
3
Si un vehículo viaja a 80 km/h hace un trayecto en 6 horas, pero si va a 60 km/h, ¿cuánto más tardará en hacer el mismo trayecto?
a) 10 d) 13
a) 2h d) 8h
b) 12
c) 5 e) 14
Resolución:
b) 7h
Resolución:
Clave:
4
Clave:
Un obrero realiza una obra en 28 días trabajando 12 horas diarias. Si hubiese trabajado 6 horas diarias, ¿en cuántos días haría la misma obra? a) 35 días d) 63 días
c) 3h e) 6h
b) 56 días
c) 49 días e) 42 días
4
Si 8 polos tienen un precio de 145 soles, ¿cuál será el precio en soles de 6 docenas de polos? a) 1325 d) 1305
b) 1285
c) 1315 e) 1265
Resolución: Resolución:
Clave: 40
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 5
Si 20 obreros construyen 28m de pared en cada día, ¿cuál será el avance diario si se retiran 5 obreros? a) 13m d) 30m
b) 25m
5
c) 20m e) 21m
Si para pintar 75 m 2 de supercie son necesarios 30 galones de pintura, ¿cuántos galones serán necesarios para pintar 15m 2? a) 6 d) 10
b) 9
c) 7 e) 8
Resolución: Resolución:
Clave:
6
Un reloj se está adelantando hace 1 semana. Si se adelanta 1/4 hora cada 14 h, ¿cuántas horas está adelantado? a) 6 d) 10
b) 12
Clave:
6
c) 9 e) 18
Resolución:
Si un tornillo cuando da 40 vueltas penetra 8mm en una madera, ¿cuántas vueltas más debe dar para que penetre 50mm? a) 200 d) 212
b) 210
c) 250 e) 125
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 41
A ritmética - 3ro Sec. 7
Un cubo de madera cuesta 12 soles. ¿Cuánto costará otro cubo de la misma madera, pero de doble arista? a) S/.24 d) S/.96
b) S/.72
c) S/.48 e) S/.60
7
Resolución:
Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó S/.3 600, ¿cuánto se pagará por un cubo de 15 cm de arista? a) S/.32 400 d) S/.10 800
b) S/.97 200
Resolución:
Clave: 8
Clave:
Tres gatos cazan 6 ratones en 9 minutos. ¿En cuántos minutos 5 gatos cazarán 5 ratones? a) 4,8 d) 8,4
c) S/.30 000 e) S/.52 000
b) 6,8
c) 6,4 e) 4,5
8
Un grupo de jardineros emplean 6 días en cultivar 420 m2. ¿Cuántos días más emplearán para cultivar 560 m2? a) 1 d) 5
b) 4
c) 2 e) 3
Resolución: Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 42
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
Regla de Tres Compuesta
16 6
CONCEPTO
Resolución:
Es una Regla de Tres en la cual se comparan más de dos magnitudes proporcionales.
Método de las Rayas Se consideran: A) Causa.- Son los que hacen: obreros, animales, etc., y sus características: esfuerzo, rendimiento, etc.
Ejemplo :
Una cuadrilla de "a" obreros cuyo esfuerzo está representado por "b" y habilidad "c" puede efectuar una obra de "d" m 2
B) Circunstancia.- Representan todo lo que involucra tiempo como: días, horas diarias, ración por día, revoluciones por minuto, etc.
que posee una dicultad representada por "e" durante "f"
días trabajando "h" horas diarias. ¿Cuántos obreros con esfuerzo doble y habilidad representada por "e" harán otra obra de "f" m2 cuya dificultad está representada por "a" en "h" días y trabajando el doble de horas al día?
C) Efecto.- Es lo que se hace como: obras, zanjas, áreas, pesos, lo pagado (dinero), lo comido (plátanos, etc.), y sus características (dicultad, resistencia, etc.).
Observaciones: * Si no se presenta alguno de estos, se les toma como 1. 1 * Si indican doble, triple, tercera parte, etc., se indicará como 2;3; ; etc., respecto al anterior. 3 Disposición: causa obreros esfuerzo
Fila 1 ⇒ a Fila 2 ⇒ x
b 2b
circunstancia habilidad
c e
días h/d
f h
producto de valores que No están en la raya de x producto de valores que Sí está en la raya de x
x=
a. b. c. f. h. f. a. 2b. e. h. 2h. d. e
m
h 2h
* Siempre se cruzarán entre circunstancia y efecto. x=
efecto d f
Luego
2
dicultad obra
e a (obreros)(tiempo) = Cte. (obras)
En la disposición anterior será: Fila 1 (N.°obreros)(esfuerzo)(habilidad)(N.°días)(h/d) (obra)(dicultad)
Método de la Proporción Sabemos que:
* (N.° obreros) IP (tiempo) * (N.° obreros) DP (obra)
Formando líderes con una auténtica educación integral
Fila 2 (N.°obreros)(esfuerzo)(habilidad)(N.°días)(h/d) (obra)(dicultad)
43
A ritmética - 3ro Sec.
Reemplazando datos: a. b. c. f. h. x. 2b. e. h. 2h = d. e f. a
despejando: X = 14 ∴ Tiempo total es: 14 +8 = 22
Rpta.: 22 días
De donde se despeja x Obras por etapas Se cumple para una obra que fue terminada en 3 etapas (N.°obreros)(tiempo) = (N.°obreros) 1(tiempo)1+(N.°obreros)2(tiempo)2 +(N.°obreros)3(tiempo)3
2) Se sabe que 30 carpinteros en 6 días pueden hacer 90 mesas o 150 sillas. Halla "x" sabiendo que 20 de estos carpinteros en 15 días han hecho 120 mesas y "x" sillas. Resolución:
Ejemplo : Sea la dicultad de hacer:
Doce obreros deben efectuar una obra en 20 días. Al cabo de 6 días mueren 4 obreros, y 4 días después se le indica al capataz que la obra debe culminarse 2 días antes de lo acordado inicialmente. ¿Cuántos obreros más se contratarán para que se cumpla el pedido?
* una mesa = m * una silla = s además, por el método de proporciones se tiene: (N.° carpinteros) (N.° días) = Cte. (obra) (dificultad)
Resolución:
La obra fue hecha en 3 etapas; luego: 12.20 = 12.6 + 8.4 + (8+x).8 x=9 ∴ Se contratará 9 obreros más.
Reemplazando: II 30 x 6 30 x 6 20 x 15 = = 90 x m 150 x s 120m+xs I
1) Siete albañiles realizan los 2/5 de una obra en 8 días. Si se retiran dos albañiles y los que quedan aumentan su rendimiento en 1/5, ¿en qué tiempo se realiza toda la obra? Resolución: Gracando:
8 días 2 obra 5
3 obra 5
7 albañiles 7-2=5 albañiles Rendimiento=1 Rendimiento: 1+ 1 = 6
5
Por el método de la proporción sabemos que: N.°Obreros x rendimiento x N.°días obra
30 x 6 30 x 6 = 90 x m 150 x s 3m = 5 s ⇒ m = 5k s = 3k representan la dicultad de hacer una mesa y una
x días
5
de (I)
= Cte.
silla, respectivamente: Luego de (II) 30 x 6 20 x 15 = 150 x s 120 x m+X x s reemplazamos: m = 5k y s = 3k 30 x 6 20 x 15 = 150 x 3k 120 x 5k+X x 3k
reemplazando datos: 7x1x8 5x6/5xX = 2 3 5 5 44
despejamos "x" X = 50
Rpta.: 50 Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
3) Si 10 máquinas pueden hacer una obra en 12 días, ¿a qué eciencia deben trabajar 15 máquinas para terminar 2/3 de la obra en 3 días?
reemplazando: 10 x 12 10 X +15 (15 - X) = 20 30
Resolución:
despejando: X = 9
Se tiene:
Rpta.: 9 días
N.°máquinas N.°días obra eficiencia
10 15
12 3
1 2/3
100% X%
Por el método de proporciones, se sabe: N.° máquinas N.° días x eficiencia =Cte obra
5) Un terreno de 10 acres pueden alimentar a 12 bueyes por 16 semanas o a 18 bueyes por 8 semanas. ¿Cuántos bueyes podrían alimentarse en un campo de 40 acres durante 6 semanas si el pasto crece regularmente todo el tiempo?
10 x 12x 100 15 x 3x X = 1 2 3 despejando "x" tenemos: x = 177,7%
Rpta.: 177,7% 4) Diez obreros pueden cavar una zanja de 20 m de profundidad en 12 días. Después de cierto tiempo de trabajo se debe aumentar la profundidad en 10 m para lo cual contratan 5 obreros más, acabando toda la obra en 15 días. ¿A los cuántos días se aumenta el personal? Resolución: Gracando según el enunciado:
20 m de profundidad
Luego: X días
Sea "n" el número de bueyes que se encargan de comer el crecimiento diario del pasto, entonces la cantidad de pasto inicial lo pueden comer: N.˚ bueyes (IP) tiempo
12 - n 18 - n
16 8
⇒ (18 - n)x 8 = (12 - n)16
n = 16 Si para 10 acres se requieren 6 bueyes para comer el crecimiento diario del pasto, para 40 acres se va a requerir 24 bueyes. Luego planteamos:
12 días 10 obreros
Resolución:
(15-X)días
10 obreros 10+5=15 obreros 30m de profundidad Aplicando "obra por etapas" se tiene:
N˚acres
10 40
N.˚bueyes Tiempo
12 - 6 X - 24
16 6
por el método de proporciones: (12 - 6)x 16 (X - 24)x 6 = 10 40 despejando:
X = 88
Rpta.: 88 bueyes
(N.° obreros) (N.°días) (obra)1 =
(N.° obreros)(N.°días)+(N.°obreros)(N.°días) (obra)2
Formando líderes con una auténtica educación integral
45
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Si 6 leñadores de 80% de eficiencia pueden construir un alberge en 20 días, ¿cuántos días se demorarán 8 leñadores, de 75% de eficiencia cada uno, para construir el mismo alberge?
4) En una guarnición hay 120 soldados que tienen víveres para 30 días, recibiendo cada uno 3 raciones diarias de comida. Si estos mismos víveres se repartieran a 150 soldados recibiendo cada uno 2 raciones diarias, ¿cuántos días durarán los víveres?
Rpta: ________ Rpta: ________
2) Una empresa posee 4 máquinas de 70% de rendimiento que producen 2 000 artículos cada 8 días. Si se quiere implementar otra sección con 3 máquinas de 80% de rendimiento, ¿cuántos artículos producirá en 14 días?
5) Una empresa constructora puede pavimentar 800 m de una carretera en 25 días empleando 15 obreros. ¿Cuántos días emplearán 20 obreros, de esta misma empresa, para pavimentar 640 m de una carretera en un terreno del doble de dificultad?
Rpta: ________
Rpta: ________
3) Seis monos comen 12 plátanos en 6 minutos. ¿Cuántos plátanos comerán 12 monos en 30 minutos?
6) Seis carpinteros pueden confeccionar 15 sillas o 5 mesas en 7 días. ¿Cuántos días emplearán 14 carpinteros para confeccionar 18 sillas y 4 mesas?
Rpta: ________
Rpta: ________
1) Un edificio puede ser pintado por 16 obreros en cierto tiempo. ¿Cuántos obreros se necesitarán para pintar 1/4 del edificio en un tiempo que es los 2/7 del anterior?
4) Si 36 peones, en 15 días de 8 h/d pueden sembrar rosas en un terreno cuadrado de 240 m de lado, ¿en cuántos días, 24 peones trabajando 10 h/d, podrán sembrar en un terreno cuadrado de 180 m de lado, cuya dureza del terreno es los 4/3 del anterior?
Rpta: ________
Rpta: ________
Para Reforzar
2) Doce obreros se demoran 12 días de 8 horas diarias en sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado. ¿Cuántos días de 6 horas diarias se demorarán 10 obreros doblemente hábiles en sembrar un campo cuadrado de 25 m de lado?
5) Un grupo de 20 obreros se compromete hacer una zanja de 12 m de largo, 9 m de ancho y 4 m de profundidad en 18 días. Si al término del octavo día se le pide que la profundida de la zanja sea de 6 m, ¿con cuántos obreros tendrán que reforzarse para hacer lo que falta de la obra ampliada en el tiempo fijado? Rpta: ________
Rpta: ________
3) Seis obreros han tardado 12 días para cavar la mitad de una zanja. ¿Cuánto tiempo demorarán si se aumenta dos obreros más, de 50% más eficientes para cavar la otra mitad de la zanja?
6) Un constructor contrata 2 cuadrillas de obreros para hacer 12 casas. La primera cuadrilla consta de 10 hombres que trabajan 9 h/d y la segunda cuadrilla de 7 obreros que trabajan 6 h/d. Si las dos cuadrillas juntas terminan las casas en 17 días, ¿cuántos días necesitan 11 obreros trabajando 8,5 h/d para levantar 7 casas?
Rpta: ________
Rpta: ________
46
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 6
Para el profesor:
Para el alumno:
1
En 25 días, 12 obreros han hecho los 3/5 de una obra. Si se retiran dos obreros, ¿cuántos días emplearán, los que quedan, para terminar la obra?
1
Si 40 hombres pueden cavar una zanja de 200 m 3 en 12 días, ¿cuántos hombres se necesitan para cavar otra zanja de 150 m 3 en 10 días?
a) 21 d) 19
a) 36 d) 40
b) 20
c) 18 e) 15
Resolución:
b) 32
Resolución:
Clave: 2
c) 38 e) 45
Clave:
Doce agricultores se demoran 10 días de 8 horas diarias en sembrar 240 plantones. ¿Cuántos plantones podrán sembrar ocho de estos agricultores en 15 días de 9 horas diarias?
2
Cinco carpinteros pueden confeccionar 25 sillas o 10 mesas en 24 días de 8 horas diarias. ¿Cuántos días de 7 horas diarias emplearán 6 carpinteros para confeccionar 15 sillas y 8 mesas?
a) 280 d) 320
a) 18 d) 30
b) 270
c) 300 e) 350
Resolución:
b) 32
c) 24 e) 28
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 47
A ritmética - 3ro Sec. 3
Una compañía industrial posee 8 máquinas que trabajan a un 90% de rendimiento y producen 1 600 envases cada 6 días de 8 horas diarias. Si se desea producir 3 600 envases en 4 días, trabajando 9 horas diarias, a cambio de las que posee, ¿cuántas máquinas de 80% de rendimiento de eficiencia debería tener? a) 21 d) 12
b) 24
3
Diez personas viajan 16 días y gastan 640 nevos sole. ¿cuánto gastarán 15 personas, si viajan 12 días? a) 750 d) 527
c) 16 e) 27
b) 270
c) 720 e) 320
Resolución:
Resolución:
Clave:
4
Clave:
Dieciocho obreros pueden hacer un muro en 24 días trabajando 8 horas diarias con una eficiencia de 60% cada uno. ¿Qué tiempo emplearán 15 obreros en hacer el mismo muro trabajando una hora diaria más con una eficiencia del 48%? a) 32 días d) 50 días
b) 45 días
4
Cuatro sastres pueden confeccionar 12 pantalones en nueve días. Si se desea hacer 16 pantalones en ocho días. ¿cuántos sastres deberán trabajar? a) 5 d) 3
b) 6
c) 4 e) 8
c) 38 días e) 40 días Resolución:
Resolución:
Clave: 48
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 5
Diez pintores demoran 2 días para pintar 5 murales. ¿Cuántos pintores extras es necesario contratar para que en 5 días se pinte 5 murales, cuyo largo es el cuádruple de los primeros? a) 4 d) 2
b) 6
c) 8 e) 10
5
Si un alumno hábil puede resolver 20 ejercicios en 2 horas. ¿Cuántos problemas podrá resolver otro alumno hábil, cuya habilidad es cinco veces mayor y cuyos problemas tienen el doble de dificultad que los primeros en 3 horas?
a) 35 d) 55
Resolución:
b) 45
Resolución:
Clave:
6
Un pozo de 6 m de diámetro y 9 m de profundidad fue hecho por 18 hombres en 20 días. Si se quiere aumentar en 1 m el radio del pozo y el trabajo será hecho por 16 hombres, ¿qué tiempo demandaría? a) 10 días d) 50 días
c) 75 e) 25
b) 40 días
Clave:
6
c) 20 días e) 30 días
Resolución:
Doce obreros hacen una pared de 90m2 en 20 días. Si se retiran dos obreros y la pared es de 120m2. ¿Cuántos demorarán? a) 20 días d) 32 días
b) 42 días
c) 18 días e) 60 días
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 49
A ritmética - 3ro Sec. 7
Cinco obreros trabajando 8 días de 6 horas diarias han asfaltado 200 m de una pista. ¿Cuántos días de 8 horas diarias emplearán 9 obreros para asfaltar 300 m de la misma obra? a) 5 d) 4
b) 6
7
Si con 90 kg de pasto se alimentan 12 caballos en 10 días. ¿Cuántos kg de pasto se necesitará para alimentar a seis caballos durante cuatro días? a) 18 kg d) 9 kg
c) 7 e) 3
Resolución:
b) 10 kg
Resolución:
Clave: 8
Clave:
Para alimentar a nueve leones en 32 días, se necesita 90 kg de carne. ¿Cuántos kg de carne se necesitará para alimentar a seis leones durante cinco días? a) 9,003 d) 0,937
c) 12 kg e) 16 kg
b) 9,037
c) 9,375 e) 3,795
Resolución:
8
Cuatro campesinos de 80% de rendimiento sembraron un terreno en 16 días. ¿Cuántos campesinos de 64% de rendimiento sembrarán el mismo terreno en 8 días? a) 12 d) 6
b) 10
c) 8 e) 9
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 50
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
16 7
Regla del Tanto Por Cuanto
TANTO POR CIENTO DE UN NÚMERO
Conclusión:
Es una o varias de las 100 partes iguales en que se divide un número.
TANTO POR CUANTO DE UN NÚMERO
Ejemplo :
Calcula el 20 por ciento de 800. Resolución:
* Dividiendo:
800 =8 100
* 20 partes será: 20 x 8 = 160.
Según lo anterior: * El 3 por 20 de 1000 es: 3 x 1000 = 150 20 * El 7 por 25 de S/. 200 es:
Luego el 20 por ciento de 800 es 160. En este caso: El porcentaje es 20 por ciento ó 20%. El número es: 800 El “tanto” es: 20
7 x S/. 200 = S/. 56 25
Tanto por mil (%o) * Calcula el 3%o de 7000 3 x 7000 = 21 1000
Para un número N, el a% es: a% N =
100% . N = N N % . 100 = N
a xN 100
donde: % : porcentaje a : tanto Ejemplos:
15 x 80 = 12 100 0,5 1 1 1 * El 0,5% de 2 = 100 x 2 = 400 20 * El 20% de S/.100 = 100 x S/.100=S/. 20 30 * El 30% de S/.100 = x S/.100=S/. 30 300 * El 15% de 80 =
OPERACIONES CON PORCENTAJES Aumenta N en su 40% N + 40% N = 100%N + 40% N = 140% N 140 = 100 x N Disminuye N en su 20% N - 20% N = 100%N - 20% N = 80% N = 80 x N 100
Formando líderes con una auténtica educación integral
51
A ritmética - 3ro Sec. Ejemplos:
* * * * * *
Aumenta x en su 10% = 110%x Recarga n en su 20% = 120%n Disminuye n en su 30% = 70%n Descuenta N en su 20% = 80%N Incrementa N en su x% = (100 + x) % N Disminuye N en su x% = (100 - x) % N
¿QUÉ PORCENTAJE ES A DE B? Usamos la regla de 3: B A
x=
A . 100% B
Ejemplo :
* 2 descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un solo descuento, ¿de qué porcentaje estamos hablando?
100%
80 x 70% = 56% 100
x
4 .100 15 x= 1 5
Descuento: (100 - 56%) = 44% x=
400 % 3
AUMENTOS SUCESIVOS * 2 recargas sucesivas del 10% y 20%, ¿a qué único porcentaje equivalen?
Ejemplo :
¿De qué número 4 es el 10%?
* 2 descuentos sucesivos del 10% y 20% equivalen a descontar un solo porcentaje. ¿De cuánto estamos hablando?
Descuento: (100 - 72)% = 28%
¿Qué tanto por ciento de 1 es 4 ? 5 15
4 x
110 x 90 x 20 000 = 19 800 100 100
90 x 80% = 72% 100
* El “de” representa el 100%.
* Calcula el 10% más del 10% menos de 20 000.
DESCUENTOS SUCESIVOS
100% x
1 5 4 15
3 * Calcula el 0,2% del % de 20 000 4 0,2 x 3 x 20 000 = 0,3 100 400
10% 100%
x = 4 . 100% = 40 10%
110 x 120% = 132% 100 Aumento: (132 - 100)% = 32% * 2 descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un solo porcentaje, ¿de cuánto estamos hablando? 120 x 130% = 156% 100
PORCENTAJE DE PORCENTAJE DE UN NÚMERO
Aumento: (156 - 100)% = 56%
* Calcula el 20% del 8% de 20 000. 20 x 8 x 20 000 = 320 100 100 52
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) ¿De qué número es 390 el 30% más?
4) Al disminuir “x” sucesivamente en 30% y 20%, tendríamos:
Rpta: ________
Rpta: ________
2) Si el lado de un cuadrado aumenta 50%, ¿en qué tanto por ciento aumenta el área?
5) Tres incrementos sucesivos de 50%, 20% y 30%, ¿a qué único incremento equivalen?
Rpta: ________
Rpta: ________
3) Al aumentar “N” sucesivamente en 20% y 30%, tendríamos:
6) El 50% del 40% de “y” es “z”, el 60% de “x” es “3y”. ¿Qué tanto por ciento de “x” es “z”?
Rpta: ________
Rpta: ________
1) Tres incrementos sucesivos de 80%, 20% y 40%, ¿a qué incremento único equivalen?
4) La base de un rectángulo aumenta en su 30% y la altura disminuye en su 30%. Luego: I. El área del rectángulo no varía. II. El área aumenta en su 9%. III. El área disminuye en su 9%. IV. La nueva área es el 91% de la original.
Para Reforzar Rpta: ________
Rpta: ________
2) Dos descuentos sucesivos del 15% y 60%, ¿a qué único descuento equivalen?
5) En la venta de un artículo por 1800 soles se ganó un 20% del precio de venta, ¿cuánto costó?
Rpta: ________ Rpta: ________
3) ¿Qué tanto por ciento de A es B, si 45% A = 75%B?
6) Al venderse un artículo en S/.1980 se perdió un 40% del precio de venta. ¿Cuántos soles costó?
Rpta: ________
Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
53
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 7
Para el profesor: 1
Para el alumno:
Coloca verdadero(V) o falso(F), según corresponda: I. El 40% de 200 es 60. ( ) II. El 5 por 9 de 81 es 45. ( ) a - b III. El 1 % de (a2 - b2) es ( ) 100 a+b
(
( )
a) VVF d) FFF
b) FFV
1
)
Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. El 6% de 300 es 12. ( ) II. El 8 por 12 de 36 es 18. ( ) III. El 1 % de (x2 - y2) es x - y ( ) x+y x - y
( )
c) FFF e) FVV
a) FFV d) VVV
Resolución:
(
b) FVV
)
c) VFF e) FFF
Resolución:
Clave:
Clave:
2
¿Qué tanto por ciento de 1250 es 75?
2
¿Qué tanto por ciento de 144 es 12?
a) 4% d) 6%
a) 9% e) 8,3%
b) 3%
c) 5% e) 10%
Resolución:
b) 10% c) 5%
Resolución:
Clave: 54
d) 8%
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 3
¿De qué número es 276 el 8% menos? a) 320 d) 300
b) 400
3
c) 316 e) 340
¿Qué tanto por ciento es 2 de 24 ? 5 30 a) 46% e) 83,3%
Resolución:
d) 85%
Resolución:
Clave:
4
¿Qué tanto por ciento de 2 es 1 ? 3 2 a) 25% d) 45%
b) 75% c) 80%
b) 75%
Clave:
4
c) 60% e) 80%
Resolución:
¿De qué número el 1 % de 200 es el 40%? 5
a) 4 e) 5
d) 1
b) 6 c) 2
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 55
A ritmética - 3ro Sec. 5
¿De qué número el a) 2 d) 6
1 % de 100 es el 50%? 2
b) 1
5
c) 4 e) 5
Resolución:
Se compró un artículo en 2720 soles. ¿A cuánto se vendió si se ganó un 30%? a) S/.3 524 d) S/.3 574
b) S/.3 536
Resolución:
Clave:
6
Clave:
Si los lados de un triángulo equilátero se duplican, podemos armar que:
I. El perímetro del triángulo se duplica. II. El área aumenta en 200%. III. La nueva área es 400% de la original. IV. La nueva área es 300% más que la original. a) FFVV d) VFVF
c) S/.3 528 e) S/.3 546
b) VFVV
c) FVFV e) VVFF
6
Al venderse un objeto se perdió 60 soles que representa un 10% del costo. ¿Cuál fue el costo? a) S/.600 d) S/.700
b) S/.680
c) S/.800 e) S/.1 000
Resolución:
Resolución:
Clave: 56
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 7
Un artículo costó 1200 soles. ¿A cuántos soles se venderá si se desea ganar el 40% del precio de venta? a) S/. 1 800 d) S/. 2 000
b) S/. 1 980
7
De un rebaño de ovejas mueren 60, que representan un 40%. ¿Cuántas ovejas no murieron? a) 100 d) 50
c) S/. 1 880 e) S/. 1 900
Resolución:
b) 60
c) 90 e) 80
Resolución:
Clave: 8
¿Qué tanto por ciento de 1250 es 75?
a) 4% d) 6%
b) 5%
Clave: 8
c) 3% e) 10%
Un artefacto costó 180 soles. ¿A cuánto se venderá si se desea ganar un 20% del precio de venta? a) S/.225 d) S/.210
b) S/.220
c) S/.235 e) S/.245
Resolución: Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral
57
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
Aplicaciones Comerciales del Tanto por Ciento
INTRODUCCIÓN En las operaciones comerciales se suele expresar las ganancias o pérdidas como un tanto por ciento del costo o de la venta, por eso encontramos expresiones como: - Gané el 30% del costo. - Gané el 20% del precio de venta. - Perdí el 15% del costo. También encontramos las aplicaciones del tanto por ciento a los impuestos, por ejemplo todo trabajador independiente debe pagar el 10% de sus ingresos como impuesto, también toda persona que efectúa una compra paga el 18% de recargo del precio jado, denominándose a esto el I.G.V.
(Impuesto General a las Ventas) y así tendríamos muchos ejemplos de la vida diaria donde el tanto por ciento tiene aplicaciones comerciales. Precio de venta (Pv) Al realizar la venta de un artículo, al precio de costo se le recarga una cantidad a la que denominamos ganancia o utilidad. Tendremos entonces: P.v. = P.c. + G Donde:
8
es $240, éste será el precio de venta del comerciante y sólo él sabe cuál ha sido el precio de costo, el cliente nunca tendrá esta información. Precio jado (Pf ) Es el precio jado para la venta por el comerciante, al cual se le va a realizar un descuento, para nalmente obtener el
precio de venta. Es decir: Pf - descuento = Pv Precio de lista (PL) Si un cliente llega a una tienda donde se anuncia que los precios van a tener un descuento por aniversario, entonces los precios que encuentra se denominan precio de lista menos el descuento y obtendrá el precio de compra del cliente. Es decir: PL - descuento = Pc Como puede deducirse de estas dos relaciones, el precio jado coincide con el precio de lista.
Pérdida (P)
P.v. : Precio de venta P.c. : Precio de costo G : ganancias
Nota: La ganancia puede expresarse de varias maneras, generalmente es un tanto por ciento del precio de costo. En algunos casos se puede expresar como un tanto por ciento del precio de venta o alguna variante.
Si al realizar una venta se realiza a menor precio que el costo, entonces se origina una pérdida (P), que al restarse del precio de costo nos dará el precio de venta. Pv = Pc - P Donde:
Pv : Precio de venta Pc : Precio de costo P : pérdida
En esta primera fórmula debe entenderse que es la que aplica la persona (comerciante) que realiza la venta. Si usted llega a una tienda donde el precio de venta de un televisor 58
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Luego podemos darnos cuenta que el costo es mayor que la venta, por lo tanto hay una pérdida de: $320 - $300 = $20
1) El precio de una calculadora es $40. Si se vende ganando el 10% del costo más el 20% del precio de venta, ¿cuál es su precio de venta? Resolución:
Podemos notar que la ganancia viene dada por la suma de dos cantidades, para lo cual planteamos: Pv = ?; Pc = $40 G = 10% Pc + 20% Pv
Rpta.: Se perdió $20. 3) Al vender una refrigeradora en $600 estoy perdiendo el 20%. ¿A cuánto debo venderla para ganar el 20%? Resolución:
Datos Pv = $600 Pérdida = 20%Pc Entonces: Pv = Pc - Pérdida
Pv = Pc + G Pv = Pc+10% Pc+20%Pv 80% Pv = 110% Pc
Reemplazando: 600 = Pc - 20% Pc 600 = 80% Pc 4 600 = 5 x Pc despejando: Pc = $750 Luego: Piden Ganancia 20% Pc ⇒ Ganancia: 20% (750) = 51 (750) = $150 Lo debe vender en: Pv = Pc + G
80 110 110 Pv = Pc → Pv= Pc 100 100 80 Reemplazando: Pv =
110 (40) ∴ Pv= $55 80
El precio de venta es $55.
Rpta.: $55 2) Dos bicicletas fueron vendidas en $150 cada una, en la primera se ganó el 25% y en la segunda se perdió el 25% del costo. ¿Cuánto se ganó o perdió en esta transacción? Resolución:
Vamos a determinar el precio de costo de cada bicicleta, observa bien: Primera bicicleta:
Pv = 750 + 150 Pv = 900
Rpta.: $900
4) Se venden dos bicicletas en S/.240 cada uno. Si en la primera se gana el 20% y en la segunda se pierde el 20% , ¿se gana o pierde en toda la venta? ¿cuánto?
Pv1 = P.c1 + G 150 = Pc1+25% Pc1 150 = 125% Pc 1 Pc1 = $120... (1) Segunda bicicleta: Pv2 = Pc2 - P 150 = Pc2+25% Pc2 150 = 75% Pc 2 Pc2 = $200... (2) Si sumamos (1) y (2) obtendremos el precio de costo de ambas bicicletas que será: $120 + $200 = $320 Ahora, si sumamos los dos precios de venta se obtiene: $150 + $150 = $300 Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolución:
Venta 1: con ganancia = 20% Pv = Pc + 20% Pc 240= 120% Pc Pc = S/.200 Venta 2: con pérdida = 20% Pv = Pc - pérdida 240= Pc'- 20% Pc' Pc' = S/.300 Entonces la venta total = 2(240) = 480 El costo total 200 + 300 = 500 ∴ se pierde S/.20
Rpta.: pierdo S/.20 59
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) A un artículo cuyo precio de lista es el doble del costo se le hace una rebaja del 25%, ¿cuál es el porcentaje de utilidad con respecto al costo? Rpta: ________
2) Se compra un artículo y luego se vende ganando S/.237. ¿Cuál es el precio de costo del artículo si se vendió en S/.1015? Rpta: ________
4) Indica el precio de costo en cada caso. I. Pv = S/.7800 G = S/.1500
II. Pv = S/.4500 P = S/.1500
III. G = S/.800 D = S/.200 Pf = S/.8000 ¿Cuál es el mayor? Rpta: ________
5) Al vender un objeto en S/.1800 se gana el 20%. ¿Cuánto es en soles esa ganancia? Rpta: ________
3) ¿A cómo se debe vender un artículo que costó $200 para ganar el 30%?
6) Un comerciante vende un artículo en S/.1250 ganando el doble del precio en que ha coprado, más S/.80. ¿En cuánto compró el artículo?
Rpta: ________
Rpta: ________
Para Reforzar 1) Se fija el precio de venta de un cierto artículo en S/.200 más que su precio de compra, pero al venderlo con un descuento del 20% se perdió S/.100 en la venta. ¿Cuál fue nalmente el precio
4) Indica en qué caso el precio de venta es mayor. I. Pc = S/.7528 G = S/.672
II. Pc = S/.8950 P = S/.2000
del artículo? Rpta: ________
III. Pf = S/.7290 D = S/.380 Rpta: ________
2) Se compra una motocicleta en $500. Si se quiere ganar la mitad del costo, ¿a cómo debemos venderla? Rpta: ________
5) ¿Cuánto costó un televisor si al venderlo en $480 deja una ganancia del 20%? Rpta: ________
3) Al vender una refrigeradora en $600 se está ganando la mitad del precio de costo. ¿Cuánto costó la refrigeradora?
6) Si Sandra María compra un pantalón en S/.80 y lo vende a S/.92; ¿qué porcentaje del costo es la ganancia?
Rpta: ________
Rpta: ________
60
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 8
Para el profesor: 1
Para el alumno:
Al vender una cocina en $170 se perdió el 15% del costo. ¿Cuál fue el precio de costo? a) $180 d) $240
b) $200
1
c) $220 e) $250
Si compré un televisor en $240 y lo quiero vender ganando el 30% del costo, ¿cuál es el precio de venta? a) $288 d) $272
b) $312
c) $324 e) $252
Resolución: Resolución:
Clave: 2
¿A qué precio se debe vender un relój que costó S/.255 si se quiere ganar el 15% del precio de venta.? a) S/.320 d) S/.360
b) S/.340
Clave: 2
c) S/.350 e) S/.380
Resolución:
Pedro vendió su bicicleta en $150 ganando el 25% de lo que le costó. ¿Cuánto pagó Pedro por la bicicleta? a) $100 d) $110
b) $120
c) $90 e) $125
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 61
A ritmética - 3ro Sec. 3
Un mayorista vende computadoras en $700, ganando el 20% del precio de venta. ¿Cuál es el precio de costo de cada computadora? a) $560 d) $480
b) $540
3
¿Qué tanto por ciento del costo se pierde cuando se vende en S/.104, lo que había costado S/.160? a) 25% d) 35%
c) $504 e) $490
b) 30%
c) 32% e) 40%
Resolución: Resolución:
Clave:
4
Clave:
Se vendió un artículo en S/.450 ganándose el 25% del costo. ¿Cual sería el precio de venta si se quiere ganar el 40% del costo? a) S/.520 d) S/.480
b) S/.540
c) S/.504 e) S/.490
Resolución:
4
Se venden dos filmadoras en $720 cada una. En una de ellas se gana el 20% del costo y en la otra se pierde el 20%. ¿Cuánto se ganó o perdió en esta venta? a) Se ganó $60 b) Se perdió $60 c) Se ganó $80 d) Se perdió $80 e) No se ganó ni se perdió
Resolución:
Clave: 62
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 5
¿Cuánto costó un televisor que al venderlo en $390 deja una pérdida de $72? a) $318 d) $300
b) $462
5
c) $534 e) N.A.
Al precio de costo de un artículo se le recarga el 25%. ¿Cuál es el mayor tanto por ciento de rebaja que puede hacerse sobre este precio para no perder? a) 15% d) 20%
b) 17%
c) 25% e) 18%
Resolución: Resolución:
Clave:
6
¿Cuánto costó un DVD si al venderlo en $130 se está perdiendo el 35% del precio de costo? a) $100 d) $165
b) $200
Clave:
6
c) $180 e) $185
Si el precio de un producto se rebaja en un 20%, ¿en qué tanto por ciento hay que aumentar el nuevo precio para volverlo al precio original? a) 20% d) 40%
b) 25%
c) 30% e) N.A.
Resolución: Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 63
A ritmética - 3ro Sec. 7
¿Qué precio se fijó a un televisor si al venderlo con un descuento del 30% paga por él $490? a) $500 d) $680
b) $600
7
c) $650 e) $700
Pedro tiene una casa que vale $100 000 y se la vende a Juan con una ganancia del 10%. Juan revende la casa a Pedro con una pérdida del 10%, siendo así: a) Pedro no gana nada b) Pedro gana $11 000 c) Pedro pierde $9 000 d) Pedro gana $10 000 e) Pedro pierde $10 000
Resolución:
Resolución:
Clave: 8
Clave:
Marina del Carmen vende un florero a S/.100 con una pérdida del 27% de su precio de venta. ¿Cuánto le costó a Marina del Carmen el florero ? a) S/.127 d) S/.115
b) S/.120
c) S/.73 e) N.A.
Resolución:
8
Al vender una huerta, gané el 14% de lo que me costó más el 40% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del costo estoy ganando? a) 64% d) 80%
b) 54%
c) 70% e) 90%
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 64
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
16 9
Regla de Interés Simple
Aristóteles y el Interés
Se origina al depositar, prestar, imponer o invertir un capital (C), el cual producirá un benecio o interés en un
determinado tiempo. Para este proceso participan:
(I)
Capital (C): es la cantidad de dinero que producirá un interés.
(II)
Tasa (r%): es el modo como se obtendrá el interés. En este caso si la tasa de préstamo o interés es del 5% mensual, quiere decir que “cada 100 soles ganará 5 soles” al mes.
Interés es el precio pagado en dinero por el uso del ahorro en todas sus formas, entre ellos el propio dinero. En la antigüedad provocó muchas discusiones. Aristóteles desde un punto de vista religioso repudiaba el interés, y llegó a considerar como usura el préstamo a interés. En la Edad Moderna, como consecuencia de la revolución industrial, los préstamos tenían como objeto crear bienes, instrumentos que cooperasen en la producción.
(III) Tiempo (t): es el período que dura el préstamo, para ser devuelto con los intereses. Puede ser años, meses o días. Para tiempos infinitamente pequeños se usa el cálculo del interés continuo, materia que no será considerada en este tema, así como el interés compuesto o a plazos.
(IV) Monto (M): es la cantidad de dinero que se devuelve al nal del préstamo y es igual
al capital más los intereses.
(V)
Interés (I): es el beneficio producido por el capital prestado o depositado.
Formando líderes con una auténtica educación integral
65
A ritmética - 3ro Sec.
En 1 mes:
Fórmulas:
1 x 20 x 5 400 12 100
Algebraicamente se usa: C.r.t (I) I = 100 años 1 200 meses 36 000 días
En 5 meses:
20 5x 1 x x 5 400 = 450 soles 12 100
(II) M = C + I El monto será:
* r : debe ser anual.
5 400 + 450 = 5 850 soles Ejemplos:
1) Se presta 1 200 soles al 5% mensual durante 8 meses. Calcula el interés producido. Resolución aritmética
Resolución algebraica
C = S/. 5 400 r = 20 al año t = 5 meses
En 1 mes se produce: 5 x 1 200 100
I=
C.r.t 1 200
En 8 meses: 8x
5 x 1 200 = 480 soles 100
I=
5 400 . 20 . 5 = 450 soles 1 200
M=C+I M = 5 400 + 450
Resolución algebraica
C = S/. 1 200 r = 5 al mes r = 60 al año t = 8 meses
I=
I=
M = 5 850 soles
C.r.t 1 200 meses
1 200 . 60 . 8 = 480 soles 1 200
2) Jaime impone S/. 5 400 a interés simple del 20% anual. ¿Cuánto ganará en 5 meses y cuánto será el monto? Resolución aritmética
En 1 año = 12 meses el interés será: 20 x 5 400 100
66
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Calcula el interés producido por S/. 3 600 que se ha impuesto al 30% anual durante 5 años.
4) ¿Cuál es el capital que al 5% mensual produce un interés simple de 60 dólares durante 12 meses?
2) Calcula el interés producido por S/. 5 000 que se ha impuesto al 20% mensual durante año y medio.
5) Calcula el interés de S/. 1 500 en 8 meses colocados al 4% trimestral.
3) ¿Cuál es el capital que al 4% mensual ha producido $ 120 de interés simple durante 10 meses?
6) ¿En cuánto se convierte un capital de S/. 6 000 que fue impuesto al 18% anual durante 2 años?
Para Reforzar 1) ¿Durante cuánto tiempo debe imponerse un capital e S/.25 000 al 5%, para que se convierta en S/.30 000?
4) ¿Durante cuántos años se debe imponer un capital de S/.82 000 al 5% para obtener S/.12 3000 de interés?
Rpta: ________
Rpta: ________
2) Se presta S/.45 000 y al cabo de un año, cuatro meses y 20 días se recibe S/.52 5000. Calcula la tasa de interés anual.
5) ¿Cuál es el interés que genera S/.5000, que son prestados al 5% anual, durante dos años?
3) ¿Qué interés se genera al imponer un capital de S/.40 000 al 3% durante un tiempo de seis meses?
6) ¿En cuántos meses debe colocar S/.9 6000 al 21%, paar que el interés obtenido sea S/.840?
Formando líderes con una auténtica educación integral
67
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 9
Para el profesor: 1
Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: * Cuanto mayor es la tasa, mayor es el interés. * A mayor tiempo de préstamo, mayor es el interés. * A menor capital, entonces menor es el interés. a) VVV d) VFV
Para el alumno:
b) FVF
1
c) FFF e) VFF
Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: * Al interés se le denomina también renta. * A la tasa se le denomina también rédito. * En el interés simple el capital inicial se mantiene constante. a) VVV d) VVF
Resolución:
b) FVF
Resolución:
Clave: 2
b) FVF
2
c) FFF e) VFV
Resolución:
Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: * La tasa del 5% trimestral es equivalente al 10% semestral. * La tasa de interés del 60% trianual es equivalente a una tasa del 10% semestral. * Una tasa del 0,01% diario es equivalente a una tasa del 3,6% anual. a) VVV d) FFV
Clave: 68
Clave:
Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: * La tasa del 2% mensual es equivalente a una tasa del 4% bimestral. * Una tasa del 0,6% trimestral es equivalente a una tasa del 0,1% mensual. * Una tasa del 200% bianual es equivalente a una tasa del 25% trimestral. a) VVV d) FVV
c) FFF e) VFV
b) VFV
c) FFF e) FVF
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 3
Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: * El mes comercial tiene 30 días. * El año comercial tiene 360 días. * El año bisiesto tiene 355 días. a) VVV d) VVF
b) VFV
3
c) FVF e) FFF
Resolución:
Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: * El año civil tiene 365 días. * El mes común tiene 30 días. * El año normal tiene 366 días. a) FFF d) FVV
b) VFF
Resolución:
Clave:
4
c) FFV e) VVV
Clave:
Juan tiene un capital de S/.2 000 y lo coloca en un banco al 12% anual durante dos años. Calcula el interés que genera.
4
Evelyn tiene un capital de S/.500 y lo coloca en un banco al 10% anual. Si luego de "t" años recibe un interés de S/.800. Calcular "t".
a) 420 d) 520
a) 92 d) 95
Resolución:
b) 500
c) 480 e) 280
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
b) 192
c) 100 e) 145
Clave: 69
A ritmética - 3ro Sec. 5
María tiene S/.12 000 y desea comprar un auto que cuesta S/.14 000. Si deposita su dinero en un banco luego de 20 meses retira el total del dinero y se compra el auto. ¿A qué tasa de interés lo depositó? a) 20% d) 10%
b) 12%
5
ciera al 15% anual, durante 22 meses, para recibir S/.1 650 de interés? a) S/.1 000 d) S/.6 000
c) 15% e) 9%
¿Qué capital debe colocar Ricardo en una nan-
b) S/.2 000
Resolución:
Resolución:
Clave:
6
b) S/.2 000
6
Resolución:
¿Cuál es la capital que se deposita al 20% anual durante cinco años, para obtener un interés de S/.5 000? a) S/.5 000 d) S/.3 000
c) S/.4 000 e) S/.5 000
Clave: 70
Clave:
Calcula el interés producido por S/.20 000, dinero que ha estado impuesto durante cuatro años al 5% anual. a) S/.1 000 d) S/.3 000
c) S/.4 000 e) S/.8 000
b) S/.500
c) S/.2 000 e) S/.1 000
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 7
¿A qué tiempo ha estado impuesto S/.1 500, que colocado al 8%, ha producido S/.1 2000? a) 8 años d) 5 años
b) 10 años
7
c) 9 años e) 12 años
Resolución:
¿A qué tasa anual fue prestado un capital de S/.9 6000, que produjo un interés de S/.4 800 en diez años? a) 4% anual b) 6% anual d) 5% bimestral
Resolución:
Clave: 8
¿Qué interés produce un capital de S/.5 600, al 3% anual, en seis años? a) S/.1 000 d) S/.200
b) S/.1 008
Clave: 8
c) S/.2 000 e) S/.1 005
Resolución:
c) 5% anual e) 3% anual
Un capital de S/.3 600 es colocado a 5% anual durante dos años. Determina el monto producido. a) S/.3 000 d) S/.9 360
b) S/.3 960
c) S/. 4 590 e) S/.3 060
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral
71
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
10
Regla del Descuento
DEFINICIÓN: En la actividad comercial se usan letras o pagarés, cuando se compra a crédito (plazos), los cuales tienen un vencimiento de pago. Es costumbre, que los bancos compren estas letras antes que se cumplan sus vencimientos. Ejemplo 1: Juan vende un artefacto a plazos y le rman una letra de 360
dólares pagadero a los 3 meses. Esta letra, Juan la vende a un banco, ese mismo día que se rmó, y el banquero le dice:
bueno te la compro, pero ya sabes que te la voy a descontar porque no deseas esperar los 3 meses, bueno si es así, aquí descontamos el 5% anual, es decir: 5 x 360 por 1 año 100 Por mes se descuenta 1 x 5 x 360 12 100 y por los 3 meses 1 5 3x x x360 = 4,5 dólares 12 100
Ejemplo 2:
Una letra de 1200 soles es descontada al 1% trimestral por 5 meses. Halla el valor actual o efectivo. El descuento será: 1 x 1200 por 3 meses 100 Por 1 mes será: 1 x 1 x 1200 3 100 y por 5 meses: 1 1 5x x x 1200 = 20 soles 3 100 72
En resumen, en todo esto, los elementos que participan son:
Valor Nominal (Vn) Es la cantidad de dinero que lleva impresa la letra o pagaré. Tasa de descuento (r) Está dado como porcentaje (r%) anual, trimestral, etc., y es el interés que se cobra a la hora de descontar. Tiempo de vencimiento (t) Es el tiempo que falta desde el día que se vende la letra al banco, hasta el día de vencimiento. Generalmente se presenta en meses. Descuento Comercial (Dc) Es el descuento que realizan los bancos, por lo general sobre el valor nominal y su cálculo es:
Entonces como efectivo o cantidad actual te entrego: 360 - 4,5 = 355,5 dólares
Resolución:
Luego, el valor actual será: 1200 - 20 = 1180 soles
(1) Dc = Vn. r.t años → 100 meses→ 1 200 días → 36 000 Siendo r:% porcentaje de la tasa anual. A este descuento se le llama también externo o abusivo.
Valor actual comercial (Vac) Llamado tambien valor efectivo, es el dinero que se tiene después del descuento. (2) Vac = Vn - Dc
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Aplicando fórmulas a los ejemplos anteriores, tenemos:
Observación
Ejemplo 1:
∴ El descuento es un interés que sirve de ganancia
Vn = S/.360 t= 3 meses r= 5% al año
para el banco. ∴ El descuento es DP al valor nominal, tasa y tiempo.
El descuento será: 360 x 5 x 3 Dc = 1200 =4,5 dólares
∴ Siempre
y el valor actual será:
∴ Dc - DR = VaR - Vac
Dc > DR y VaR > Vac
Vac = 360 - 4,5 = 355,5 dólares
∴ El VaR = Vac = Vn en el día
de vencimiento, es
decir no hay descuento. Ejemplo 2:
Vn = S/.1200 r= 1% en 3 meses → 4% al año t= 5 meses El descuento será: Dc = 1200 x 4 x 5 = 20 1200 y el valor actual será: Vac = 1200 - 20 = 1180 soles
Ejemplo 1:
Una letra de 1830 soles es descontada racionalmente al 4% anual por 5 meses, calcula el valor actual de la letra. Resolución:
Existe otro descuento poco usual, llamado: Descuento Racional (DR )
También se le llama matemático o interno, cuyo cálculo se hace sobre el valor actual que tendrá la letra después de descontarla. Su cálcula está dado por: (3) DR =VaR . r.t años → 100 meses→ 1 200 días → 36 000
Vn = S/.1830 r= 4% al año t= 5 meses El descuento racional será: 1830.4.5 DR = 1200 + (4.5) DR = 30 soles y el valor actual racional será: VaR = 1830 - 30 VaR = 1800 soles Ejemplo 2:
El descuento comercial de una letra es a su valor nominal como 1 es a 5. Si el descuento racional es S/.1500, calcula el valor nominal de la letra.
El valor actual racional será: (4) VaR = Vn - DR
Resolución:
Si esto último se sustituye en lo anterior, se obtiene la fórmula más usada: (5) DR = Vn. r.t años → 100 + rt meses→ 1 200 + rt días → 36 000 + rt
(1) Dc = k Vn = 5k Dc . DR (2) Vn = Dc - DR (3) DR = 1500 En (2)
De las fórmulas (1) y (5) se puede obtener:
300 1 = k - 1 500 k - 1 500 = 300 k = 1 800
Dc . DR (6) Vn = Dc - DR Además:
DR . r.t (7) Dc - DR = 1200
k . 1500 5k = k - 1 500
meses
Formando líderes con una auténtica educación integral
∴ Vn = 5(1 800) = 9 000 73
A ritmética - 3ro Sec.
1) El valor nominal de una letra es S/.4900 descontada racionalmente se obtiene por ella S/.4375 ¿cuánto se obtendría si el descuento fuese comercial y al mismo porcentaje? a) S/.4220 b) S/.4300 c) S/.4324
d) S/.4312 e) S/.4336
3) Una letra pagadera dentro de 2 meses se va a descontar al 3% anual. ¿Cuál es el valor nominal de dicha letra sabiendo que la diferencia de los valores actuales bajo el descuento racional y comercial es de $5? a) $100 000 b) $151 000 c) $197 000
d) $201 000 e) $215 000
Resolución:
Sabemos que: VaR - Vac = Dc - DR
Resolución:
Datos: DR x 2 x3 DR x r x t 5 = 1200 1200
Vn = S/.4900 DR = S/.4900 - S/.4375 = S/.525 Pero: Vn = Dc x DR Dc - DR Hallamos el Descuento comerciales: 4900 = Dc x 525 Dc - 525
⇒ DR = 1000
Dc = 1005 Además recordaremos que: Dc x DR 100 x 1105 Vn = Dc - DR = 5
⇒ Dc = S/.588
Luego, el valor actual comercial 4900 - 588 = S/.4312
Vn = $201000
Rpta.: $201 000
Rpta.: S/.4312 2) El valor nominal de una letra es 3/5 del valor nominal de una segunda letra. Ambas se ha descontado al 25% por un mes y 12 días la primera, y por dos meses la segunda. Si al descuento de la segunda letra ha sido S/.1850, ¿cuál fue el descuento de la primera letra? a) S/.777 b) S/.810 c) S/.102 d) S/.695 e) S/.1150
4) Una letra vence dentro de 2 meses, hoy día tiene un valor actual de S/4050. Si dicha letra se descontara dentro de 10 días, dicho descuento sería de S/.375. Halla el valor nominal de dicha letra. a) S/.4500 b) S/.4800 c) S/.5600
d) S/.5000 e) S/.4200
Resolución:
Resolución:
El valor actual, faltando 2 meses será: Va1 = V - V. 2x = 4050...(1) 1200
Por dato: Vn1 = 3 y Vn2 5 Dc2 = S/.1850 Además sabemos: Vn1 x r x 42 Dc1 = 36000 ÷ Vn2 x r x 60 Dc2 = 36000
dentro de 10 días, faltaría: 2(30) - 10 = 50 días para su vencimiento, luego: D2 =
V.x. 50 = 375 36000
⇒ V.x = 270 000 ... (2)
reemplazando en (1). Dc1 3 42 = x 1850 5 60
V - 2(270 000) = 4050 1200
⇒ Dc1 = S/.777
se obtiene V = 4500
Rpta.: S/.777 74
Rpta.: 4500 Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) ¿Cuál de los siguientes documentos no es utilizado en el comercio? a) Letra b) Factura c) Cheque
4) Una letra de cambio de 1500 soles es aceptada el 10 de mayo y vence el 18 de julio. Si es vendida el 5 de junio, halla el tiempo del descuento.
d) Memorándun e) Boleta Rpta: ________
2) Toda letra de cambio no posee: a) Valor nominal. b) Fecha de aceptación. c) Fecha de negociación. d) Fecha de vencimiento. e) Firma del deudor.
5) ¿A qué descuento único equivale los descuentos sucesivos del 10% y 20%?
Rpta: ________
3) Una letra de cambio de 2400 soles es aceptada el 15 de abril y se vence el 10 de junio. Si se negocia el 15 de abril, el tiempo del descuento será de:
6) Tres descuentos sucesivos del 20%, 50% y 10% equivale a un descuento único de:
Para Reforzar 1) Una letra de 10 000 soles debe ser pagada el 20 de junio, pero el 15 de mayo se canceló con 9 920 soles. La tasa descontable fue:
4) Se dispone de dos letras de S/.36 000 c/u. ¿Cuál es la diferencia de sus valores efectivos si hoy se descuenta una y mañana la otra con una, tasa del 50% anual?
Rpta: ________
Rpta: ________
2) El valor nominal de una letra es 4/5 del valor nominal de otra letra. Se han descontado comercialmente al 4% la primera por un mes y 6 días, mientras la segunda por 3 meses. Si el descuento de esta última fue de S/.2 050, ¿cuál fue el descuento de la otra?
5) ¿Cuántos días faltaba para el vencimiento de una letra, que al ser descontada se recibió por ella sus 23/24, a una tasa del 15%?
Rpta: ________
Rpta: ________
3) Los valores nominales de dos letras son entre sí como 4 es a 9, respectivamente. La primera descontada al 2% trimestral por 5 meses, mientras la segunda se descuenta a la misma tasa por 3 meses. Si el descuento de la segunda letra es 81 dólares, calcula el descuento de la primera letra.
6) Una persona debe pagar una letra de S/.5000 el 13/04/07, pero al analizar su presupuesto decide pagarla el 4/03/07. ¿Cuál fue el porcentaje anual de descuento si paga S/.4950?
Formando líderes con una auténtica educación integral
75
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 10
Para el profesor: 1
¿En qué porcentaje aumenta el área de un cuadrado, cuando su lado aumenta en 20%? a) 20% d) 56%
Para el alumno:
b) 21%
1
c) 44% e) 80%
Una letra de 1000 soles es pagadera a los 10 meses de firmada. Si se negocia a los 3 meses, entonces el tiempo de descuento a considerar será: a) 10 meses d) 3 meses
Resolución:
b) 5 meses
Resolución:
Clave: 2
2
Una letra se negocia 5 meses más tarde de firmada. Si era pagadera a los 8 meses, entonces el tiempo para el descuento respectivo será de: a) 8 meses d) 4 meses
b) 3 meses
c) 13 meses e) 5 meses
Resolución:
Resolución:
Clave: 76
Clave:
Una comerciante disminuye sus precios en un 10% con lo que logra aumentar la cantidad vendida en un 10%. Sus ingresos ¿aumentan o disminuyen? ¿en cuánto? a) aumenta en 2% b) no aumenta ni disminuye c) disminuye en 2% d) aumenta en 1% e) disminuye en 1%
c) 8 meses e) 7 meses
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 3
Calcula el valor efectivo de una letra de 7200 dólares que fue descontada al 4% anual por 9 meses. a) $6 912 d) $6 990
b) $6 970
Una letra de 5 400 dólares es pagadera a los 3 me7) 3 ses, al 5% anual. Calcula el descuento comercial.
c) $6 984 e) $6 996
Resolución:
a) $65 d) $67,5
b) $65,7
Resolución:
Clave:
4
Un pagaré de 6320 soles es descontado matemáticamente 2/3% mensual por 8 meses. Calcula el valor actual de la letra. a) S/.6 000 d) S/.6 070
b) S/.6 060
Clave:
4
Calcula el descuento externo, de un pagaré de 2400 dólares al 5% mensual por 3 meses. a) $480 d) $250
c) S/.6 040 e) S/.6 050
Resolución:
c) $66,5 e) $68
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
b) $360
c) $420 e) $450
Resolución:
Clave: 77
A ritmética - 3ro Sec. 5
Halla el descuento aplicado sobre una letra de 2400 dólares al 5% trimestral por 8 meses. a) $120 e) $320
b) $280
5
c) $180 e) $210
Al ser negociada una letra de $3612 se efectúa un descuento racional por 5 meses al 0,2% trimestral. El descuento fue de: a) $10 d) $13
Resolución:
b) $11
Resolución:
Clave:
6
Resolución:
b) S/.19 420
6
c) S/.19 450 c) S/.19 440
Calcula el descuento interno de un pagaré de 72 540 soles por 45 días al 3% semestral. a) S/.520 d) S/.560
Clave: 78
Clave:
Halla el valor nominal de una letra si los descuentos internos y externos son 243 y 240 nuevos soles a) S/.19 480 d) S/.19 410
c) $12 e) $14
b) S/.540
c) S/.510 e) S/.500
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 7
Calcula el valor nominal de un pagaré por el cuál recibe S/.5174, descontada al 6% por 30 días. a) S/.5100 d) S/.5190
b) S/.5180
7
c) S/.5200 e) S/.5250
Resolución:
La diferencia entre el descuento comercial y racional de una letra de $270 es de $3. ¿Cuál es el descuento racional? a) $18 d) $30
b) $24
Resolución:
Clave: 8
El valor nominal de una letra es 8 veces el descuento racional, ¿cuántas veces el descuento comercial es el valor nominal? a) 6 d) 9
b) 7
Clave: 8
c) 8 e) 11
Resolución:
c) $27 e) $33
Una letra es vendida 15 días antes de su vencimiento en S/.50 000. Calcula el valor nominal de la letra, si el banco le descontó al 8% a) S/.49835,6 d) S/.50167,2
b) S/.49833,3
c) S/.50164,4 e) S/.50160,5
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral
79
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
11 Mezcla
Conceptualmente hablando se llama Mezcla a la unión íntima de varias sustancias, aunque comercialmente se puede armar que mezcla es el procedimiento que tienen por nalidad reunir artículos o sustancias de una misma
En general: Cantidades: C1, C2, ..., Cn Precios unitarios: P1, P2, ..., Pn Precio unitario de la mezcla: P
especie, tratando de obtener varios precios diferentes, uno en común para ellos.
PM =
Comúnmente se presentan dos casos conocidos de la regla de la mezcla:
Es decir:
- PRIMER CASO:
PM =
Consiste en determinar el precio medio (PM) de la mezcla, conociendo los precios unitarios (calidades) y las proporciones (cantidades) de cada uno de los ingredientes. Ejemplo:
¿Cuál es el precio por kilogramos de la mezcla que resulta de combinar 36 kg de té a S/. 15 el kilogramo con 22 kg de té a S/. 12 el kilogramo y con 42 kg de té a S/. 30 el kilogramo?
C1.P1+C2.P2+...+Cn.Pn C1+C2+...+Cn
Costo Total Cantidad Total
- SEGUNDO CASO: Consiste en hallar las cantidades de cada ingrediente, conociendo el precio medio, los precios unitarios y la cantidad total . Ejemplo:
Se mezcla un vino de S/. 43 el litro, con otro del S/. 27 el litro, resultando en total 128 litros a S/. 32 soles el litro. ¿Qué cantidad se tomó de cada uno?
Resolución: Resolución: Cantidad (kg)
36 22 42 100
Precio Unit. Costo Parcial (S/. ) (S/. )
15 12 30
Si: 100 kg cuestan S/. 2064 soles 1kg costará: 2064 = S/. 20,64 100 80
540 264 1260 2064
"a" litros de S/. 43 "b" litros de S/. 27; Por dato: a + b = 128 como: C1.P1+C2.P2 PM = C1+C2 Reemplazando: a.43+b.27 32= a+b 32a+32b=43a+27b→5b=11a Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Pero: 11a a+b=128 → a+ 5 = 128 →
Resolución:
Tenemos:
16a = 128 5
V1 = 18; g 1 = 70º V2 = 24; g 2 = 80º V3 = 8; g3 = 90º
a = 40 litros; b = 88 litros
MÉTODO DEL ASPA Precio Cant. unitario
a → 43
PM ↓
32
b → 27
Relación ↓
como: V .g +V .g +V .g gM= 1 1 2 2 3 3 V1+V2+V3 reemplazando:
32 - 27=5 43 - 32=11
Se cumple:
gM= 18(70)+24(80)+8(90) 18 + 24 + 8 gM= 78º
a 5 a+b 5+11 = → → b 11 a = 5 128 16 a =5
Nota El método del aspa también se puede emplear en mezclas alcohólicas.
Finalmente: a = 40 litros; b = 88 litros
MEZCLAS ALCOHÓLICAS La pureza o fuerza de un alcohol se mide en grados, que equivale al porcentaje de alcohol presente en la mezcla, siendo el resto agua. Por ejemplo: i. Un alcohol de 90º, signica que el 90% es alcohol y el resto es agua. ii. Una mecla alcohólica de 75º, signica que el 75% es alcohol puro y el resto agua. iii. Una mezcla de alcohol puro, tendrá 100º. Si tenemos diferentes volúmenes de alcohol (V 1, V 2, V 3, ...), con diferentes grados de pureza (g 1, g2, g3, ...), el grado de pureza de la mezcla (g M) se determinará de la siguiente manera: gM=
V1.g1+V2.g2+V3.g3+...+Vn.gn V1+V2+V3+...+Vn
Ejemplo:
Si se mezclaron 18 litros de alcohol de 70º, con 24 litros de alcohol de 80º y ocho litros de alcohol de 90º, ¿cuál es el grado de la mezcla?
1) Se tiene 200 centímetros cúbicos de agua salada cuyo peso es 210 gramos. ¿Cuántos centímetros cúbicos de agua pura habrá que agregar para obtener una mezcla que pese 102 gramos por cada 100 centímetros cúbicos? a) 120 b) 210 c) 200
d) 320 e) 300
Resolución:
Se sabe que 200 cm 3 de agua pura pesa 200 g entonces contiene 10 g de impureza. Luego: Se quiere que 2 g de impureza esté en 100 cm 3 de agua Entonces: Los 10 g de impureza se deben disolver en 5 veces 100 cm 3 de agua esto es 500 cm 3, para ello se debe agregar: 500 - 200 = 300 cm 3
Formando líderes con una auténtica educación integral
Rpta.: e 81
A ritmética - 3ro Sec.
2) Deseando formar una mezcla alcohólica de 70º con dos alcoholes cuyos grados son de 80º y 55º. ¿Cuántos litros del segundo deberán añadirse a los 180 litros del primero? a) 60 b) 90 c) 100
d) 120 e) 150
x = 4k y = k Por dato: k + 4k = 30 ∴k=6
Resolución: Volumen
180 x
Grado Grado de la mezcla
80º 55º
x = 24 y = 6
-10
70º
+15
Ganancia = Pérdida 15 x = 10 (180) x = 120
Rpta.: c 5) Se mezclan 40 litros de alcohol de 80 º con 20 litros de alcohol de 60º y para que la mezcla resulte de 40º se agrega cierta cantidad de agua. ¿Qué cantidad de agua se agrega?
Rpta.: d
3) En un bidón hay 40 litros de alcohol al 90% de pureza, en otro hay 60 litros de alcohol cuyo grado de pureza es de 70%. ¿Cuál será el grado de pureza de la mezcla? a) 48% b) 58% c) 68%
d) 78% e) 88%
Volumen
40 60
a) 20 L b) 30 L c) 40 L
d) 50 L e) 70 L
Resolución:
Resolución:
x=
Ganancia = Pérdida 2x = 8y 1.x=4.y
Grado
Grado de la mezcla
90% 70%
x
Volumen
Grado
40 L 20 L (agua) x
80º 60º 0º
Grado de la mezcla
40º
-40 2 -20 1
+40 2
Ganancia = Pérdida 2x = 2(40)+1(20) x = 50
2(90)+3(70) = 78 5
Rpta.: d
Rpta.: d 4) ¿Qué cantidades de café de $50 el kg y $40 el kg harán falta para formar una mezcla de 30 kg de café que se puedan vender a $42 el kg, sin ganar ni perder? a) 5 y 25 kg b) 8 y 22 kg c) 6 y 24 kg
d) 10 y 20 kg e) 14 y 16 kg
Resolución: Cantidad
x y 82
Precio Precio de la mezcla
50 40
42
-8
+2 Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Un comerciante ha mezclado tres tipos de arroz: 80 kg de S/. 2,5 por kilogramo; 120 kg de S/. 1,5 por kilogramo y 50 kg de S/. 2,0 por kilogramo. ¿Cuál es el precio medio de un kilogramo de la mezcla? Rpta: ________
4) Mario mezcla 35 litros de aceite de S/. 5,00 el litro con 20 litros de otro aceite de S/. 4,00 el litro y 25 litros de otro aceite de S/. 3,24. Si la mezcla se está vendiendo a S/. 5,30 por litro, ¿cuánto se está ganando por litro vendido? Rpta: ________
2) En un barril se mezclan 60 litros de vino de S/. 15 el litro, 50 litros de vino de S/. 18 el litro y 40 litros de vino de S/. 12. Si al venderlo se desea ganar S/. 2 por litro, ¿cuál es el precio de venta por litro?
5) Si tenemos una mezcla de 50 litros de agua con 30 litros de vino y se extrae los 3/10 de dicha mezcla. ¿Cuánta agua y vino queda?
Rpta: ________
Rpta: ________
3) Un comerciante compró 120 kg de café a S/. 8 el kilogramo y lo mezcló con 80 kg de café de S/. 10. ¿A cómo debe vender el kilogramo de la mezcla si quiere ganar el 25% del costo?
6) Si tenemos una mezcla de 180 litros, donde 80 litros son de ácidos y el resto agua, si se saca 81 litros de dicha mezcla. ¿Cuánto sale de cada sustancia?
Rpta: ________
Rpta: ________
Para Reforzar 1)
Una mezcla de vino y agua tiene 1800 litros. Si el 80% es vino, ¿cuántos litros de agua se debe añadir para que el vino represente ahora el 75%?
4)
Tenemos 54 litros de alcohol de 90º y se mezclan con 81 litros de otro alcohol de 72º. ¿Cuántos litros de agua deben añadirse a esta mezcla, para obtener una mezcla de 60º de pureza?
Rpta: ________ Rpta: ________
2)
Con dos clases de azúcar de S/. 4,00 y S/. 5,20 el kilogramo, se quiere hacer una mezcla de S/. 4,80 el kilogramo, de tal manera que del más barato se tenga 25 kg menos que del más caro. ¿Cuál es el peso de la mezcla?
5)
Rpta: ________
3)
Se mezcla 90 litros de vino de S/. 20 el litro con vino de S/. 12 el litro con un tercero de S/. 18 el litro, resultando un precio medio de S/. 17. Sabiendo que por cada cinco litros del segundo hay siete litros del tercero, ¿cuánto se recaudará si se vende toda la mezcla?
Se han mezclado 50 litros de alcohol de 96º de pureza, con 46 litros de alcohol de 60º y 54 litros de otro alcohol. ¿Cuál es la pureza de este último alcohol si la mezcla tiene 68,4º de pureza? Rpta: ________
6)
Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
Un comerciante tiene vino de S/. 18 el litro, le agrega cierta cantidad de agua y obtiene una mezcla de 80 litros que la vende en S/. 15. Si en esta venta gana S/. 1,50 por litro, ¿cuántos litros de agua contiene la mezcla? Rpta: ________
83
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 11
Para el profesor: 1
Para el alumno:
En un depósito se colocan 4 litros de lejía y 6 litros de agua, se consume 1/4 de la mezcla y se reempleza con agua. ¿Cuántos litros de agua hay en la
1
mezcla nal?
a) 6 d) 9
b) 7
c) 8 e) 6,5
Se quiere preparar una mezcla de 40 litros de vino que cueste S/. 24 el litro; para esto se disponen de 24 litros de vino de S/. 28 el litro y 16 litros de vino de otra calidad. ¿Cuál es el precio por litro del segundo vino? a) S/. 15 d) S/. 21
b) S/. 20
Resolución:
Resolución:
Clave: 2
Dos clases de vinos están mezclados en tres recipientes. En el primero en la razón 1:1, en el segundo en la razón 1:2, en el tercero en la razón de 1:3; si se seca el mismo volumen de todos los recipientes para formar 39 litros de la primera calidad. ¿Cuántos litros se extrae? a) 24 d) 18
b) 36
c) 72 e) 92
Clave: 2
Al mezclar 20 kg de arroz de S/. 1,20 el kilogramo y 30 kg de arroz de S/. 2,00 el kg, se obtiene una mezcla que se vende a S/. 2,50 el kilogramo. ¿Cuánto se ganará si se vende 40 kg de esta mezcla? a) S/. 37,2 d) S/. 42,7
b) S/. 41,3
c) S/. 35,4 e) S/. 32,8
Resolución:
Resolución:
Clave: 84
c) S/. 16 e) S/. 18
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 3
Un depósito contiene 75 litros de leche pura, luego se extrae 1/3 de su contenido y se reemplaza por agua; enseguida se extrae 1/5 de la mezcla y también se reemplaza por agua y por último se extrae 1/4 de la nueva mezcla y también se reemplaza por agua. ¿Qué relación de lecha pura y agua quedan en el depósito? a) 1/3 d) 2/3
b) 2/9
c) 1/7 e) 1/9
3
Si mezclamos 40 kg de café tostado de S/. 18 el kilo con el doble de cantidad de otro café de S/. 15 el kilo, ¿cuál es el precio por kilo de la mezcla? a) S/. 15 d) S/. 16
b) S/. 12,5
Resolución:
Resolución:
Clave:
4
Dos clases de vinos se han mezclado en los depósitos A y B. En el depósito A la mezcla será en la proporción de 2 a 3 respectivamente y en el depósito B la proporción de la mezcla es de 1 a 5. ¿Qué cantidad de vino debe extraerse de cada depósito para formar otra mezcla que contenga 7 litros de la primera clase y 21 litros d ela otra clase? a) 12 y 16 d) 13 y 15
c) S/. 14 e) S/. 14,5
b) 10 y 18
c) 18 y 10 e) 15 y 13
Clave:
4
¿Cuál es el grado que resulta de mezclar 25 litros de alcohol de 72º; 15 litros de alcohol de 80º y 20 litros de alcohol puro? a) 83,3º d) 87,2º
b) 85,2º
c) 79,4º e) 82,1º
Resolución:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 85
A ritmética - 3ro Sec. 5
¿Cuántos litros de agua debemos agregar a 36L de una mezcla alcohólica de 25° para obtener una nueva mezcla de 10°? a) 30 L d) 4 L
b) 50 L
5
c) 54 L e) 25 L
Se mezcla ron de 10; 8 y 5 soles el litro cuyos volúmenes respectivos son: 60; 25 y 15 litros. Halla el precio de venta por litro si se desea ganar el 20%. a) S/. 10,20 d) S/. 11,50
Resolución:
b) S/. 11,20
Resolución:
Clave:
6
Clave:
Una solución de 35 litros de ácido puro ¿cuántos litros de agua se debe agregar para obtener una solución al 25% de pureza? a) 1 L d) 4 L
b) 2 L
6
c) 3 L e) 5 L
¿En qué relación se debe mezclar dos cantidades de vino cuyos precios unitarios son S/. 20 y S/. 12 para obtener una mezcla con un precio unitario de S/. 14? a) 1 : 2 d) 2 : 5
b) 2 : 3
c) 1 : 3 e) 1 : 4
Resolución:
Clave: 86
c) S/. 10,50 e) S/. 12,50
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 7
Se tiene 540 L de alcohol de 90° y se le mezcla con 810 L de alcohol de 72°. ¿Qué cantidad de agua debe adicionarse para obtener una mecla de 60°? a) 520 d) 342
b) 600
7
c) 432 e) 710
Resolución:
Al mezclar 40 litros de alcohol de 70º con cierta cantidad de alcohol puro se obtiene una mezcla de 75º. Halla la cantidad de alcohol puro. a) 10 litros d) 8 litros
b) 12 litros
Resolución:
Clave: 8
Un bodeguero compró 36 kg de té a S/. 15 el kilogramo; 22 kg de té a S/. 12 el kilogramo y 42 kg de té a S/. 30 el kilogramo. Combinando las tres cantidades, ¿cuál debe ser el precio de venta por kilogramo si se quiere ganar S/. 1,20 por kilogramo? a) S/. 20,64 d) S/. 22,48
b) S/. 22,36
Clave: 8
c) S/. 21,64 e) S/. 21,84
Resolución:
c) 15 litros e) 6 litros
Se ha mezclado 36 kg de café a S/. 12,5 el kilo con cierta cantidad de café a S/. 9 el kilo y se ha vendido el kilo de la mezcla en S/. 11 el kilo ganándose el 10% del precio de venta. Si se vendió toda la mezcla, ¿cuál fue la ganancia? a) S/. 104 d) S/. 154
b) S/. 172
c) S/. 132 e) S/. 126
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral
87
A ritmética ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
12
Aleación
Si conocemos la ley en quilates, bastaría dividirla entre 24 para expresarla en milésimas. Número de quilates L= 24
DEFINICIÓN: Es una mezcla en la cual los ingredientes son dos o más metales. En una aleación siempre intervienen un metal no o precioso (por ejemplo: oro, plata, aluminio, etc.)
y un metal ordinario tambien llamado liga (por ejemplo: cobre, niquel, etc.) •
Ejemplo:
¿Cuál es la ley en milésimos de un dije de 18 quilates?
LEY DE UNA ALEACIÓN (L) Se llama ley a la razón que existe entre el peso del metal
Resolución:
no y el peso total de la aleación. La ley generalmente
L=
se expresa en décimos o en milésimos. F L= T Donde:
18 N.° quilates → L= 24 =0,750 24
La ley de esta aleación es 750 milésimas. Esto significa que cada 1 000 partes 750 partes son de oro puro.
F : Peso del metal no
T : Peso total de la aleación L : Ley de la aleación
Observación - La ley de una aleación es siempre menor o igual a
la unidad.
Ejemplo:
- Un metal no tendrá como ley la unidad. - Una liga tendrá como ley cero.
¿Cuál es la ley de una aleación conformada por 330 gramos de plata y 70 gramos de níquel? Resolución:
Observa que el peso total de la aleación es: 330 + 70 = 400g entonces: F 330 g L = T → L = 400 g =0,825
Problemas fundamentales -
La ley de esta aleación es de 825 milésimos. Esto significa que de cada 1 000 partes de 825 son de plata pura y el resto es de liga. •
88
LEY DEL ORO DE QUILATES La ley del oro suele expresarse en quilates, siendo un quilate 1/24 del peso total de d e la aleación. Por ejemplo si una sortija de oro es de 18 quilates, significa que 18/24 del peso de la sortija es oro puro y el resto, los 6/24 son de liga.
EL PROBLEMA DIRECTO Consiste en calcular la ley resultante al fundir dos o más aleaciones de leyes diferentes. Para el cálculo aplicaremos: Peso total del metal no
L = Peso total de la aleación L=
P1L1+P2L2+P3L3+...+PnLn ...(a) P1+P2+P3+...+Pn
Donde: P1, P2, P3, ..., Pn : son los pesos de cada una de las aleaciones. L1, L2, L3, ..., Ln : son las leyes de cada aleación.
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética ritmética - 3ro Sec. Ejemplo:
Se funden tres lingotes de plata, el primero de 1 500 g y 0,85 de ley; el segundo de 800 g y 0,95 de ley y el último de 700 g y 0,92 de ley. ¿Cuál es la ley de la aleación obtenida?
1)
Resolución:
Datos: P1= 1500g P2= 800g P2= 700g L1= 0,85 L2= 0,95 L3= 0,92 reemplazando en (a): 1500x0,85+800x0,95+700x0,92 L= 1500 + 800 + 700
Se tiene 360 gramos de una aleación al fundir 2 lingotes de leyes 850 y 750 milésimas, se obtiene una aleación de 840 milésimas. ¿Qué peso tiene cada uno de los lingotes? Da como respuesta la diferencia. a) 388 gramos d) 288 gramos Resolución:
2679 L = 3000 = 0,893
-
b) 240 gramos c) 230 gramos e) 300 gramos
Cantidad Ley x 850 y 750
EL PROBLEMA INVERSO Consiste en calcular las cantidades de cada una de d e las aleaciones que se necesitan para formar una aleación cuya ley es conocida. En este caso se puede aplicar el método de aspa y para facilidad de cálculo se puede tomar la ley de milésimos.
Ley de la mezcla 840
- 10
+ 90
Ganancia = Pérdida 9y = 1 x y=k ⇒ x = 9k
Ejemplo:
k + 9k = 360 k = 36
Piden: 9k - k = 8k = 8(36) k - y = 288
Se tiene dos lingotes de plata, uno de ley 0,925 y el otro de ley 0,875. ¿Cuántos kilogramos de cada uno se han de tomar para obtener 2,5 kg de ley 0,915?
Rpta.: e
Resolución: Ley Ley (milésimo) Cantidad (aleación) Relación ↓ 925 40 C 1
875
C2
915
10
2) Un lingote contiene 5kg de plata pura y 3kg de cobre. ¿Qué cantidad de plata pura es preciso agregar a este lingote para fabricar monedas monedas de plata de S/.5 cuya ley es 0,900?
→ C1 + C2 = 2,5 kg →
C1 40 4 = = C2 10 1
Por propiedad de proporciones: 4 C1 = 5 C1 +C2 2,5kg C1= 2kg → C2 = 2,5 -2 = 0,5kg Respuesta: → 2 kg de ley 0,925 → 0,5 kg de ley 0,875
a) 24 d) 23
b) 20 e) 26
c) 22
Resolución:
Sabemos que: Ley =
WAg 5 = =0,625 Wtotal 8
Luego: Ley de Cantidad Ley la mezcla - 0,100 →4 x 1 0,900 8 0,625 +0,275→11 Se cumple: 4 x = 11 (8) x = 22
Rpta.: b Formando líderes con una auténtica educación integral
89
A ritmética ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase d e 18 1) ¿Cuál es la ley en milésimos de un aro de oro de quilates? Rpta: ________
4) Un lingote contiene 3 kg de plata pura y 1 kg de liga. ¿Qué cantidad de plata cuya ley es 0,90 es necesaria fundir para obtener plata con una ley de 0,850? Rpta: ________
2) Un dije de plata que pesa 120 gramos tiene una ley de 0,90. ¿Cuál es la cantidad de plata pura contenida? Rpta: ________
5) Se funden tres barras de oro cuyos pesos están en la misma relación que los números: 3, 5 y 6; los quilates son 20, 22 y 18; respectivamente. Halla los quilates de la aleación resultante. Rpta: ________
3) Se funden dos barras de plata, la primera pesa 400 g su ley es de 0,850 y la segunda pesa 600 g y su ley es de 0,950. ¿Cuál es la ley resultante?
pl ata pura y 6) Una barra de 600 g contiene 400g de plata el resto plata con una ley de 850 milésimos. ¿Cuál es la ley de la barra?
Rpta: ________
Rpta: ________
Para Reforzar 1)) 1
Si fundimos 200 g de oro de 18 quilates con 300 g de oro de 21 quilates y con 400 g de oro de 14 quilates, ¿cuál es la ley de la aleación aleació n en quilates?
4)
Rpta: ________
2)) 2
¿Cuál es la ley de aleación de un vaso que pesa 500 gramos si se ha vendido en $770 al precio de $2200 por kilogramo de plata pura?
Se desea reducir la ley de una barra de oro de 18 quilates a 16 quilates. ¿Qué cantidad de liga debe emplearse por cada kilogramo de dicha barra? Rpta: ________
5)) 5
Para obtener una barra de plata de d e 800 g con una ley 0,850 se emplearon 200 g de plata de ley 0,700 y el resto de plata con ley desconocida. Halla la ley desconocida.
Rpta: ________ Rpta: ________
3)
Un lingote contiene 3 kg de plata pura y 1 kg de liga. ¿Qué cantidad de plata, cuya ley es 0,900; es necesaria fundir para obtener plata con una ley de 0,850? Rpta: ________
90
6)
En la fundición se tiene 25 kg de plata con una ley de 0,930. Si se añaden 5 kg de liga, ¿cuál será la nueva ley? Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA PARA CLASE N° 12
Para el profesor: 1
En una fundición se tienen 25kg de plata con una ley de 0,930. Si se añaden 5kg de liga, ¿cuál será la nueva ley? a) 0,825 d) 0,725
Para el alumno:
b) 0,775
1
c) 0,875 e) 0,850
Resolución:
Una barra de 600 g contiene 400g de plata pura y el resto plata con una ley de 850 milésimos. ¿Cuál es la ley de la barra? a) 0,750 d) 0,950
b) 0,920
Resolución:
Clave: 2
Se funden dos barras de plata, la primera pesa 240 g y tiene una ley de 0,850; 0,850; la segunda segunda pesa 120 g más y su ley es de 0,950. ¿Cuál es la ley de la aleación? a) 0,930 d) 0,900
b) 0,925
Clave: 2
¿Cuántos quilates tiene una aleación que contiene 85 gramos de oro y 15 gramos de cobre? a) 18 d) 20,4
c) 0,915 e) 0,910
Resolución:
c) 0,925 e) 0,976
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
b) 22
c) 16 e) 19
Resolución:
Clave: 91
A ritmética - 3ro Sec. 3
Si fundimos 200 g de oro de 18 quilates con 300 g de oro de 21 quilates y con 400 g de oro de 14 quilates, ¿cuál es la ley de la aleación, en quilates? a) 17,8 d) 17,2
b) 18,5
3
c) 17,5 e) 18,3
Al fundir 20 gramos de oro de 18 quilates; 20 gramos de oro puro y 30 gramos de cobre, ¿de cuántos quilates es la nueva aleación? a) 12 d) 18
Resolución:
b) 14
Resolución:
Clave:
4
Clave:
Una fábrica produce barras de plata de 5 kg rotuladas con una ley de 0,925; pero en realidad la ley es sólo de 0,825. ¿Qué cantidad de plata pura se está dejando de emplear en ocho barras? a) 4 kg d) 6 kg
b) 3 kg
4
b) 0,900
c) 0,850 e) 0,875
Resolución:
Resolución:
Clave: 92
Una barra de plata pesa 250 g y tiene una ley de 0,920. Si se funde con otra barra de 150 g con una ley menor en 0,120; ¿cuál es la ley de la aleación? a) 0,825 d) 0,915
c) 3 kg e) 2,5 kg
c) 11,2 e) 11,86
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 5
Una aleación está formada por 400 gramos de plata y 100 gramos de estaño. Hallar la ley.
a) 0,800 d) 0,008
b) 8
5
c) 0,08 e) 1,8
Una cadena de oro de 18 quilates pesa 80g, se funde con otra cadena que pesa la mitad y se obtiene una aleación de 16 quilates. ¿De cuántos quilates es la segunda cadena? a) 12 d) 16
b) 15
Resolución:
Resolución:
Clave:
6
Halla una ley en milésimos de una joya de 14 quilates. a) 0,500 d) 0,750
b) 0,680
Clave:
6
c) 0,650 e) 0,583
Un lingote que pesa 2 kg tiene 1,8 kg de plata pura y otro lingote que pesa 3 kg tiene 0,5 kg de liga. Si se funden, ¿cuál es la ley en milésimos de la aleación? a) 920 d) 750
c) 13 e) 14
b) 860
c) 900 e) 880
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolución:
Clave: 93
A ritmética - 3ro Sec. 7
Si se mezcla 180 g de oro puro con 60 g de liga, ¿cuál será su ley en quilates? a) 14 d) 16
b) 24
7
c) 18 e) 20
Una barra de oro de 18 quilates pesa 250g, se funde con otra barra que pesa 50 g más y se obtiene oro de 16 quilates. Halla la ley de la segunda barra en quilates. a) 14 d) 14,12
b) 13,85
Resolución:
Resolución:
Clave: 8
Clave:
Se tiene una cadena de plata, cuyo peso es 200 g y su ley es de 0,90. ¿Cuál es el peso de la liga? a) 50 g d) 35 g
b) 20 g
8
c) 40 g e) 30 g
¿Cuál es la cantidad de liga que debe añadirse a un lingote de plata que pesa 4kg y tiene una ley de 850 milésimos, para obtener un lingote de 800 milésimos? a) 150 g d) 400 g
c) 14,33 e) 13,66
b) 300 g
c) 200 g e) 250 g
Resolución:
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 94
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
13 16
Estadística I
DEFINICIÓN Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación e interpretación de datos, lo cual sirve para sacar conclusiones que permitan tomar decisiones y aplicar los correctivos en caso fuera necesario.
POBLACIÓN Es un conjunto de elementos con una característica común. Por ejemplo: todos los alumnos matriculados en los colegios MENTOR.
MUESTRA Es una parte o subconjunto de la población. Generalmente se elige en forma aleatoria (al azar). Por ejemplo: una muestra de 40 alumnos del colegio MENTOR de Las Flores elegidos al azar.
VARIABLE ESTADÍSTICA Es una característica de la población y puede tomar diferentes valores. Se clasican en:
A. CUALITATIVA Son variables cuyos valores son cualidades que representa la población. Por ejemplo: la variable "profesión" puede adoptar las modalidades: Ingeniero, Médico, Profesor, etc. B. CUANTITATIVA Son variables que pueden ser expresadas mediante números. Por ejemplo: número de alumnos matriculados, estatura, peso, edad, etc. Las variables cuantitativas pueden ser a su vez: 1. Discretas Cuando toma valores enteros. Por ejemplo: número de alumnos, número de colegios en el distrito de
2. Continuas Cuando puede tomar cualquier valor numérico enteros o decimales. Por ejemplo: el peso, la talla, el tiempo, el sueldo, etc.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Consideramos una muestra de tamaño "n" (número de elementos de la muestra) y la variable estadística "x" que puede tomar "k" valores diferentes: x 1, x2, x3, ... xk.
FRECUENCIA ABSOLUTA SIMPLE (f 1) También llamada simplemente frecuencias es el número de veces que aparece repetido el valor "x i". Se cumple: f 1+f 2+f 3+...+f k = n k
en notación sigma: Σ f i = n i=1
FRECUENCIA ACUMULADA (F i) Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias absolutas simples. Así tenemos: F1 = f 1 F2 = f 1+f 2 F3 = f 1+f 2+f 3 . . . Fi = f 1+f 2+f 3+...+f i
Miraores, número de hijos, etc.
Formando líderes con una auténtica educación integral
95
A ritmética - 3ro Sec.
FRECUENCIA RELATIVA SIMPLE (hi) Es el cociente de la frecuencia absoluta simple y el número total de datos. Sus valores son números reales que oscilan entre 0 y 1. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1. hi =
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Se pueden representar mediante barras o sectores circulares. Ejemplo 2:
f i 0 ≤ hi ≤ 1 n
Con los datos del ejemplo 1, construimos los siguientes diagramas
FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (Hi) Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias relativas simples. Así tenemos: H1 = h1 H2 = h1+h2 H3 = h1+h2+h3 . . . Hi = h1+h2+h3+...+hi
f i 60 50 40 30 20 10
65 45
38 27
25
14 15 16 17 18
xi
Diagrama de Barras 17 años
Nota Nota
16 años
Las frecuencias relativas también se pueden expresar en tanto por ciento (%), bastará con multiplicar por 100 la frecuencia relativa.
18 años 14 años 15 años
Ejemplos :
0,32 0,07
x100 x100
32% 7%
Sector Circular Ejemplos prácticos:
REPRESENTACIÓN DE DATOS
1) El siguiente gráco nos muestra el número de pacientes
Los datos pueden ser representados por:
TABLAS ESTADÍSTICAS Es un arreglo de las y columnas en los cuales se
atendidos en un centro de salud, en los años 2000; 2001; 2002 y 2003. f i (N.° pacientes)
encuentran distribuidos los datos. Ejemplo 1:
De un grupo de 200 alumnos se obtuvo la siguiente información, respecto a sus edades. xi [edades] 14 15 16 17 18
xi [frecuencia] 25 45 65 38 27 200
700 600 500 400 300 200
xi (años) 2000 2001 2002 2003
xi = Variable estadística f i = Frecuencia absoluta simple 96
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Ahora construimos la tabla de datos estadísticos.
Nota
xi
f i
Fi
hi
Hi
2000 2001 2002 2003
200 500 700 600
200 700
0,1 = 10% 0,25 = 25%
0,10 = 10% 0,35 = 35%
n=2000
Cuando lo variable toma muchos valores, como el caso anterior, imagínese hacer una tabla con cada una de las edades desde los 20 años hasta los 50 años, entonces la variable se agrupa adecuadamente en intervalos.
1=100%
Al punto medio de cada intervalo se denomina Marca de clase, que es un valor representativo para el intervalo.
Cálculo de: F1 = f 1 = 200 F2 = f 1 + f 2 = 200+500 =700 F3 = ........................................... F4 = ...........................................
20+25 2 =22,5 [1.a Marca de clase] [20; 25>:x 1 =
25+30 [25; 30>:x 2 = 2 =27,5 [2.a Marca de clase]
f 1 200 = 0,10 = n 2000 f 500 h2 = n2 = 2000 = 0,25 h3 = ........................................... h4 = ........................................... h1 =
MÉTODO PARA DETERMINAR EL NÚMERO DE INTERVALOS PARA UNA VARIABLE CONTINUA
H1 = h1 = 0,10 H2 = h1 + h2 = 0,10+0,25 =0,35 H3 = ........................................... H4 = ...........................................
A continuación se muestra las notas obtenidas por 40 alumnos de un aula en el último Examen Bimestral de Aritmética. 10 15 11 08 12 10 13 12 17 10 12 11 14 15 10 20 14 13 06 16 06 07 05 12 11 02 04 14
2) A un seminario empresarial asistieron 80 personas y se registró las edades de los participantes en los siguientes intervalos: Intervalos
Conteo
f i
Fi
[20; 25>
IIII III
8
8
[25; 30>
IIII IIII
10
18
[30; 35>
IIII IIII IIII IIII
20
[35; 40>
IIII IIII IIII IIII IIII
24
[40; 45>
IIII IIII II
12
[45; 50]
IIII I
hi
Hi H2
h3 0,775
F4 0,15
6 n=80
Luego de completar el cuadro interpretar los siguientes datos: f 4 = 24; hay 24 personas cuyas edades varían entre 35 y 40 años. F4 = 62; hay 62 personas cuyas edades varían entre 20 y 40 años. h3 = 0,25 = 25%; el 25% de los asistentes tienen entre 30 y 35 años. H2 =0,225 = 22,5%; el 22,5% de los asistentes tienen entre 20 y 30 años.
10 20 06 18
12 10 14 16
10 12 18 17
1. DETERMINACIÓN DEL RANGO (R) Es la diferencia entre el mayor valor y el menor valor de los datos: R = Máximo - Mínimo Del ejemplo: R = 20 - 02 R = 18 2. DETERMINACIÓN DEL NÚMERO DE INTERVALOS (k) Consiste en dividir el rango en un número conveniente de intervalos, llamados también "Intervalos de clase". Estos intervalos son generalmente del mismo tamaño. Podemos aplicar las siguientes alternativas: a) Si "n" es el número de datos, entonces k = n; en el ejemplo: n = 40 → k = n = 40 = 6,3 Puede considerarse 6; 7 y 8 intervalos.
Formando líderes con una auténtica educación integral
97
A ritmética - 3ro Sec.
b) Si "n" es el número de datos, entonces: k = 1 + 3,3logn en el ejemplo: n = 40, entonces k = 1 + 3,3log40 = 6,28; puede considerarse 6; 7 y 8 intervalos. Los dos métodos no dan el posible número de intervalos, la elección es arbitraria. Tomaremos en este caso: k = 6 intervalos, porque el rango es R = 18 y nos daría una cantidad exacta.
3. DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LOS INTERVALOS (C) Dividimos el rango (R) entre el número de intervalos (k). También se le denomina amplitud de clase. R C= k
1) Las notas de un grupo de 400 alumnos fueron: Notas < 0 - 5] < 5 - 10] < 10 - 15] < 15 - 20]
Indica qué porcentaje de alumnos obtuvo una nota comprendida en el intervalo < 10; 16] a) 32% b) 33% c) 34%
d) 35% e) 36%
Resolución:
Del ejemplo:
120 C=
R 18 = =3 k 6
10
4. DETERMINACIÓN DE LOS LÍMITES DE LOS INTERVALOS Generalmente el límite inferior del primer intervalo es el menor de los datos, luego se agrega la amplitud de c lase (C) para obtener el límite superior del intervalo. En el ejemplo:
15 16 x
20
x 60 1 = 5 → x = 12 Me piden: 120 + 12 = 132 Total de alumnos: 100 +120 + 120+ 60=400 400 100% 132 x x = 33%
1.er intervalo: [02; 05> 2.° intervalo: [05; 08>
Rpta.: b
2) En el siguiente histograma N.° de personas
Finalmente tendremos: (Realiza el conteo y completa el siguiente cuadro)
50
Intervalos
35 25 15 10 8 5
Conteo
60
Por proporciones:
Mínimo = 02 [límite inferior] C=3 02 + 03 = 05[límite superior]
f i
Fi
hi
Hi
[02; 05> [05; 08>
10 20 30 40 50 60 70
[08; 11> [11; 14>
Determina el tamaño de la muestra.
[14; 17> [17; 20> n=40
98
Cantidad 100 120 120 6
a) 140 d) 145
b) 143
Edades
c) 141 e) 142
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. Resolución:
Llevamos el histograma a un cuadro estadístico. Intervalos [ 10 - 20> [ 20 - 30> [ 30 - 40> [ 40 - 50> [ 50 - 60> [ 60 - 70>
4) Dado el siguiente cuadro estadístico sobre los ingresos anuales de cierto número de personas. [ Li - Ls> [ 20 - 30> [ 30 - 40> [ 40 - 50> [ 50 - 60>
Frecuencias 8 15 35 50 25 10
xi
f i 10
10
Además: 4 ∑ xi f i i=1
Tamaño de la muestra 8 + 15 + 35 + 50 + 25 +10 = 143
n
Rpta.: b
= 42 ;
f 2 1 f 3 = 3
Calcula el número de familias con ingresos no menos de 30 soles.
3) En el siguiente diagrama escalonado referente a las edades de un grupo de personas.
a) 50 b) 60 c) 70
N.° de personas
d) 80 e) 90
Resolución:
50
Hallando las marcas de clase y completando las frecuencias.
30 22 16 12
[ Li - Ls> [ 20 - 30> [ 30 - 40> [ 40 - 50> [ 50 - 60>
10 20 30 40 50 60 Edades
¿Cuántas personas son mayores de 29 años? a) 32 b) 33 c) 34
d) 36 e) 38
xi 25 35 45 55
Fi 10 k 13 10
xi f i 250 35k 135k 550 800+170k
Por dato:
800 + 170k = 42 20 + 4k k = 20
Resolución:
Llevando el diagrama escalonado a un cuadro estadístico. [ Li - Ls> [ 10 - 20> [ 20 - 30> [ 30 - 40> [ 40 - 50> [ 50 - 60>
f i 12 4 6 8 20
Me piden: k + 3k + 10 = 90
Rpta.: e
Fi 12 16 22 30 50
Me piden: 6 + 8 + 20 = 34
Rpta.: c Formando líderes con una auténtica educación integral
99
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase * Enunciado: Se tomó una evaluación a un grupo de alumnos de cuarto año y los resultados obtenidos fueron:
* Enunciado: Se hizo una encuesta sobre el número de personas acionadas a la lectura y se las clasicó por edades y
se obtuvo el siguiente histograma.
97 80 75 120 92 78 105 82 79 87 82 92 105 81 76 70 84 87 91 84
Número de personas
7 6
1) Determina el rango (R).
5 4
Rpta: ________
2
3
10 20 30 40 50 60 70 Edades
2) El posible número de intervalos es:
4)
Determina el tamaño de la muestra.
Rpta: ________ Rpta: ________
3) Si consideramos como número de intervalos k = 5, ¿cuál será los límites del último intervalo?
5)
¿Cuántas personas que no sean mayores de 60 años ni menores que 30 años son aficionados a la lectura?
Rpta: ________ 6)
Rpta: ________
Determina la cantidad de personas menores de 58 años aficionados a la lectura.
Rpta: ________
Para Reforzar * Enunciado: En una encuesta a 30 alumnos se obtuvo los siguientes datos, respecto a sus pesos en kilogramos:
3)
Si consideramos el número de intervalos k = 6, ¿cuál será los límites del primer intervalo?
Rpta: ________
54 46 45 54 47 1)
42 52 40 52 58
58 62 56 48 52
64 66 55 61 54
70 58 64 63 57
46 47 66 60 56
4)
¿Cuál será los límites del intervalo de mayor frecuencia?
Rpta: ________
Determina el rango (R).
Rpta: ________
5)
¿Cuántos alumnos pesan menos de 55 kg?
Rpta: ________
2)
6)
El posible número de intervalos (k) es:
Rpta: ________
100
¿Qué tanto por ciento de alumnos pesan menos de 55 kilogramos? (Aproximadamente)
Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 13
Para el profesor: 1
Para el alumno:
Indica que variables son cualitativas y cuáles cuantitativas: a) Comida favorita b) Profesión que te gusta c) Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.
1
Indica que variables son cualitativas y cuáles cuantitativas: a) Número de alumnos de tu instituto. b) El color de los ojos de tus compañeros de clase. c) Coeciente intelectual de tus compañeros de
clase.
Resolución:
Resolución:
Clave: 2
De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuáles continuas. a) Número de acciones vendidas cada día en la bolsa. b) Temperaturas registradas cada hora en un observatorio c) Periodo de duración de un automóvil
Clave: 2
De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuáles continuas. a) El dinámetro de las ruedas de varios coches. b) Número de hijos de 50 familias. c) Censo anual de los españoles. Resolución:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 101
A ritmética - 3ro Sec. 3
Clasicar las siguientes variables en cualitativas y
3
Clasicar las siguientes variables en cualitativas y
cuantitativas discretas o continuas. a) La nacionalidad de una persona b) Número de litros de agua continidos en un depósito. c) Número de litros de un estante de librería
cuantitativas discretas o continuas. a) Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de datos. b) La profesión de una persona.
Resolución:
Resolución:
c) El área de las distintas baldosas de un edicio.
Clave:
4
Clave:
Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15; 20; 15; 18; 22; 13; 13; 16; 15; 19; 18; 15; 16; 20; 16; 15; 18; 16; 14; 13 Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias.
Resolución:
4
Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de física. 3 ; 15; 24; 28; 33; 35; 38; 42; 23; 38; 36; 34; 29; 25; 17; 7 ; 34; 36; 39; 44; 31; 26; 20; 11; 13; 22; 27; 47; 39; 37; 34; 32; 35; 28; 38; 41; 48; 15; 32; 13 Construir la tabla de distribución y el polígono de frecuencias.
Resolución:
Clave: 102
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 5
Se ha aplicdo un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla: f i [38 - 44〉 7 [44 - 50〉 8 [50 - 56〉 15 [56 - 62〉 25 [62 - 68〉 18 [62 - 68〉 9 [62 - 68〉 6
5
Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas. Resolución:
Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dado por la siguiente tabla: Peso f i [50 - 60〉 8 [60 - 70〉 10 [70 - 86〉 16 [80 - 90〉 14 [90 - 100〉 10 [100 - 110〉 5 [110 - 120〉 2 a) Construir la tabla de frecuencias. b) Representar el histograma y el polígono de frecuencias Resolución:
Clave:
6
Las calicaciones de 50 alumnos en Matemática
Clave:
6
has sido los siguientes: 5; 2; 4; 9; 7; 4; 5; 6; 5; 7; 7; 5; 5; 2; 10; 5; 6; 5; 4; 5; 8; 8; 4; 0; 8; 4; 8; 6; 6; 3; 6; 7; 6; 6; 7; 6; 7; 3; 5; 6; 9; 6; 1; 4; 6; 3; 5; 5; 6; 7 Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.
El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3; 3; 4; 3; 4; 3; 1; 3; 4; 3; 3; 3; 2; 1; 3; 3; 3; 2; 3; 2; 2; 3; 3; 3; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 2; 1; 1; 1; 2; 2; 4; 1. Contruir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras. Resolución:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 103
A ritmética - 3ro Sec. 7
¿Cuántas de las siguientes variables estadísticas son cualitativas? - Edad - Nacionalidad - Profesión - Años de servicio - Horas trabajadas a) 1 d) 5
b) 4
7
c) 2 e) 3
¿Cuántas de las siguientes variables estadísticas son cuantitativas continuas? - Estatura - Peso - Número de cursos - Número de hijos - Sueldo a) 1 d) 5
Resolución:
b) 4
Resolución:
Clave:
Clave:
Se muestra la distribución de los trabajadores en una empresa de acuerdo a su ocupación: Ocupación f i Abogados 20 Administradores 30 Contadores 12 Ingenieros 8 Secretarias 18 Obreros 32 1) ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a las secretarias? 8
a) 0,15 d) 0,3
c) 2 e) 3
b) 0,2
c) 0,25 e) 0,35
Resolución:
8
Del siguiente histograma, determina el número de personas que tiene un gasto mensual de 350 a 650 soles. N.° de personas 20 15 12 8
Gasto mensual (S/.) 0
150 250 350 450 550 650
a) 30 d) 47
b) 35
c) 42 e) 62
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 104
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
16 14
Estadística II
Medidas de Tendencia Central
Para datos tabulados
1. MODA (Md): Es el valor de la variable que más se repite o el de mayor frecuencia.
1. MEDIA ARITMÉTICA (M.A.) n Σ xi hi M.A. = i=1n Donde: xi: Los valores que puede tomar "x" o la marca de clase en el caso de intervalos. f i: Frecuencia absoluta de intervalo "i". n: Número de datos.
Ejemplos:
Halla la moda en cada caso: a) 21; 30; 18; 21; 15; 20; 21; 15 b) 15; 18; 20; 18; 12; 15; 19 ⇒
⇒ Md=21
Md1=15 Bimodal Md2=18
2. MEDIANA (Me): Cuando tenemos "n" datos ordenados en forma creciente o decreciente, la mediana es el valor central si "n" es impar, y es igual a la semisuma de los valores centrales si "n" es par.
Ejemplo:
Las edades de un grupo de deportistas fue agrupada tal como muestra la tabla. Halla la edad promedio de este grupo de personas. Intervalo (Edades) [ 10 - 14> [ 14 - 18> [ 18 - 22> [ 22 - 26> [ 26 - 30>
Ejemplos:
Halla la mediana en cada caso: a) 17; 20; 21; 23; 26; 32; 35 ⇒ Me=23 b) 21; 25; 16; 19; 28; 31 Ordenando: 16; 19; 21; 25; 28; 31
Ejemplo:
Halla la media aritmética de: 16; 18; 21; 21; 19; 15 16+18+21+21+19+15 →M.A. = 6 M.A. =18,33
f i
12 16 20 24 28
6 10 12 9 3 n=40
xi f i Fi 72 160 240 216 84 772
6 16 28 37 40
5
Σ
21 + 25 ⇒ Me = = 23 2
3. MEDIA ARITMÉTICA (M.A.) O PROMEDIO Es la suma de todos los valores observados de la variable, dividida entre el número total de datos.
xi
M.A. =
xi f i
j=1
n
=
772 = 19,3 40
La media aritmética o promedio de todos los deportistas participantes es 19,3 años.
2. MODA (Md): Para calcular la moda de "n" datos tabulados, primero se ubica el intervalo que tiene la mayor frecuencia denominándose a ésta clase modal y luego utilizamos la siguiente fórmula:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Md = Li +
d1 d1 + d2 C 105
A ritmética - 3ro Sec.
Donde: Li: Límite inferior de la clase modal. d1: Diferencia de frecuencias absolutas entre la clase mod al y premodal. d2: Diferencia de frecuencias absolutas entre la clase modal y postmodal. c: Amplitud de clase. En el cuadro anterior, el intervalo de mayor frecuencia es el tercero [18 - 22>; entonces: - Li : 18 - d1 : 12 - 10 = 2 - d2 : 12 - 9 = 3 - C : 22 - 18 = 4 d1 d1 + d2 C 2 4=19,6 Md=18+ 2+3 Md = Li +
3. MEDIANA (Me): n - Fm-1 2 C Me = Lm + f m Donde: Lm : Límite inferior de la clase mediana. C : Ancho de la clase mediana. Fm-1 : Frecuencia absoluta acumulada de la clase precedente a la clase mediana. f m : Frecuencia absoluta de la clase mediana
Observación La clase mediana es aquella cuya frecuencia absoluta acumulada sea mayor o igual a la mitad de los datos por primera vez. Del cuadro anterior, la mitad de los datos será: n 40 2 = 2 =20 en la columna de la frecuencia acumulada (F i) buscamos aquella frecuencia que es mayor a 20 por primera vez, que será el tercer intervalo [18 - 22> - Lm : 18 - Fm-1 : 16 - f m : 12 - C : 22 - 18 = 4 Me = Lm + C Me = 18 + 4
1) Halla la moda en cada caso: a) 75; 81; 83; 65; 81; 73; 75; 86; 81 Md = ................................... b) 156; 152; 153; 152; 155; 156; 155 Md = ................................... c) 56; 53; 48; 46; 56; 48; 37 Md1 = ................................... Md2 = ................................... 2) Halla la mediana en cada caso:
La moda de todos los deportistas es 19,6.
Luego:
Ejemplos:
a) 63; 64; 73; 78; 79; 79; 81 Me = ................................... b) 15; 21; 18; 27; 31; 33; 25 Me = ................................... c) 34; 28; 25; 32; 41; 37; 26; 43 Me = ................................... 3) Halla la media aritmética en cada caso: a) 15; 21; 28; 32; 18 M.A. = ................................... b) 33; 21; 42; 52; 48; 36 M.A. = ................................... c) 456; 475; 508; 513; 518 M.A. = ................................... 4) Halla la mediana y moda para cada conjunto de datos. a) 23; 18; 20; 18; 15; 22; 26 Me = ................................... Md = ................................... b) 10; 6; 10; 13; 12; 14; 10; 12 Me = ................................... Md = ...................................
n - F 2 m-1 f m 40 - 16 2 = 19,3 12
La mediana de todos los deportistas es 19,3.
106
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética ritmética - 3ro Sec.
1) Dado el siguiente cuadro estadístico con ancho de clase constante igual a 4. yi
[Li - Ls >
Fi yif i 8 24 9 48
f i
10 30
Sabemos que: f 1 + f 2 + f 3 +f 4 = 20 4 6 2 e) 17,2
Resolución:
Empezamos hallando los intervalos de clase y luego las marcas de clase.
→
yi f i 4 3 8 3 12 4 16 5 20 6 24 10
→ →
f 1 = 2 f 2 = 3 f 3 = 4
f 1 = 4 h1 = f 1 → 0,20 = 4 → n = 20 n n 0,20 + h2 = 0,50 → h2 = 0,30
5
Determina la media de los datos. a) 17 b) 17,3 c) 17,1 d) 17,5
4. f 1 = 8 4. f 2 = 24 12. f 3 = 48
Resolución:
f h2 = n2
- 22>
[Li - Ls > [ 2 - 6> [ 6 - 10> [ 10 - 14> [ 14 - 18> [ 18 - 22> [ 22 - 26>
Sabiendo que el ancho de clase es constante, determina la mediana. a) 48 b) 54 c) 50 d) 56 e) 52
Fi 2 5 9 14 20 30
yif i 8 24 48 80 120 240 520
→
Intervalos [ - > [ - > [ - > [ - > [ - 120> [ - >
6
Media =
n
2) Del siguiente cuadro de frecuencias: f i
2
yi
f i
Fi yif i 300 400 23 350 17 440 50
Se pide calcular la mediana. a) 80,42 b) 83,53 c) 82,35 d) 85,42
520 = = 17,3 30
Rpta.: d
Ii [ 30 - > [ - > [ - > [ - > [ - 70>
f 4 = 8
3) Se tiene una distribución de frecuencias de 50 muestras de un análisis clínico de un laboratorio con ancho de clase constante e igual a 20.
También: 2+3+4+5+f 5+10=30→ f 5 = 6 y5 = f 5 =20x6 =120 i=1
→
Completando los intervalos y la respectivas frecuencias. f i Fi Ii [ 30 - 40> 4 4 [ 40 - 50> 6 10 [ 50 - 60> 2 12 [ 60 - 70> 8 20 n 2 =10 → clase mediana: [ 50 - 60> Me = 50 +10 10 - 10 = 50 2 Rpta.: b
y4 = f 4 = 16x5 = 80 y6 = f 6 = 24x10 = 240
Σ yi f i
f 0,30 = 202 → f 2 = 6
Fi h i H i 4 0,20 0,50 70
e) 81,47
Resolución:
Empezamos hallando los intervalos marcas de clase. [Li - Ls > yi f i [ 20 - 40> 30 10 [ 40 - 60> 50 8 [ 60 - 80> 70 5 [ 80 - 100> 90 17 [ 100 - 120> 110 4 [ 120 - 140> 130 6
Formando líderes con una auténtica educación integral
de clase y luego las Fi 10 18 23 40 44 50
yif i 300 400 350 1530 440 780 107
A ritmética ritmética - 3ro Sec.
30. f 1 = 300 → 50. f 2 = 400 → 70. f 3 = 350 → 23 + 17 = F 4 → 110 + f 5 =440 → 40 + 4 = F 5 → 44 + f 6 =50 →
n = 25→ Clase mediana [25 - 30> 2 25 - 23 Me = 25 + 5 17 = 25,58
f 1 = 10 f 2 = 8 f 3 = 5 F4 = 40 f 5 = 4 F5 = 44 f 6 = 6
Rpta.: c 5) En un centro pedíatrico, los niños atendidos fueron clasicados según su edad obteniéndose el siguiente
n = 25→ Clase mediana [80 - 100> 2 25 - 23 Me = 80 + 20 17 = 82,35
cuadro:
Rpta.: b 4) De la siguiente distribución de frecuencias: Ii [ 10 - 15> [ 15 - 20> [ 20 - 25> [ 25 - 30> [ 30 - 35>
f i
hi 0,38
Fi
17 10
d) 27,8
5 12 0,7 20
e) 25,58
f 1 n
→ 0,08 =
f 1 → f 1 = 4 50
h3 = f 3 n
→ 0,06 =
f 3 → f = 3 3 50
f 1 20
→ f 1 = 3
→ 0,3 =
f 5 20 → f 5 = 6
Sabemos que: f 1 + f 2 + f 3 +f 4 + f 5 = 20
Sabemos f 1 + f 2 + f 3 +f 4 + f 5 = 50 que: 4 3 17 10 10 34 + f 2 = 50 → f 2 = 16 f i 4 16 3 17 10
→ 0,15 =
F2 = 3 + 5 = 8 8 + f 3 = 12 → f 3 = 4 0,7 + h5 = 1 → h5 = 0,3 f h5 = n5
10 → 0,2 = → n = 50 n
Ii [ 10 - 15> [ 15 - 20> [ 20 - 25> [ 25 - 30> [ 30 - 35>
f h1 = n1
0,8
H5 = 1 0,8 + h 5 = 1 → h5 = 0,2
108
hi Hi 0,15
¿Cuál es la edad promedio de los niños atendidos? a) 9,2 b) 9,04 c) 8,1 d) 9,3 e) 8,03
0,66
Resolución:
h1 =
Fi
Resolución:
calcula el valor de la mediana. a) 25,3 b) 25,6 c) 25,4
f h5 = 5 n
f i
Edades [ 4 - 6> [ 6 - 8> [ 8 - 10> [ 10 - 12> [ 12 - 14>
Fi 4 20 23 40 50
3 5 4 4+6 y1= 2 = 5 y3= 8 + 10 = 9 2 12 + 14 y5= = 13 2
6
Edades [ 4 - 6> [ 6 - 8> [ 8 - 10> [ 10 - 12> [ 12 - 14>
yi 5 7 9 11 13
5
i=1
n
f 4 = 2
6+8 =7 2 y3= 10 + 12 = 11 2 y2=
Σ yi f i Ma =
→
f i 3 5 4 2 6
yi f i 15 35 36 22 78 186
= 186 = 9,3 20
Rpta.: e Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5; 3; 6; 5; 4; 5; 2; 8; 6; 5; 4; 8; 3; 4; 5; 4; 8; 2; 5; 4
4) Completa el siguiente cuadro y calcula el promedio de los pesos en gramos de un grupo de paquetes. Pesos [ 100 ; 150> [ 150 ; 200> [ 200 ; 250> [ 250 ; 300> [ 300 ; 350>
Rpta: ________
2) Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla. Hallar la moda, mediana y media
[10; 15〉 [15; 20〉 [20; 25〉 [25; 30〉 [30; 35〉
f i 3 5 7 4 2
Altura
N° de jugadas
[170; 175〉 [175; 180〉 [180; 185〉 [185; 190〉 [190; 195〉 [195; 200〉
1 3 4 8 5 2
Rpta: ________
3) Calcular la mediana de las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto que vienen dadas por la tabla: Rpta: ________
*
5)
f i
xi
xi f i 625
225
2700 1100
7
Rpta: ________
2
Enunciado: Las edades de un grupo de personas asistentes a una reunión, tiene la siguiente distribución de frecuencias:
xi (edades) 18 19 20 21 22
f i 11 15 12 10 6
¿Cuál es la moda?
Rpta: ________ 6)
¿Cuál es la media aritmética de las edades?
Rpta: ________
Para Reforzar 1) Hallar la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 3; 5; 2; 6; 5; 9; 5; 2; 8; 6
*
Edades xi f i Fi hi Hi xif i 10 [16 - 19> 0,28 [19 - 22> 0,84 [22- 25> [25 - 28] 50
Rpta: ________
2) Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla. Hallar la moda, mediana y media Rpta: ________
[10; 15〉 [15; 20〉 [20; 25〉 [25; 30〉 [30; 35〉
f i 3 5 7 4 2
Enunciado: La tabla muestra la distribución de las edades de 50 alumnos de una universidad.
Completa el cuadro y responde: 4)
¿Cuál es el promedio de las edades de todos los estudiantes?
Rpta: ________ 3)
Halla la mediana de la siguiente distribución:
Rpta: ________
Ii [2 ; 6> [6 ; 10> [10 ; 14> [14 ; 18> [18 ; 22>
f i 2 6 4 10 18
5)
¿Qué porcentaje de alumnos tiene menos de 22 años?
Rpta: ________ 6)
Formando líderes con una auténtica educación integral
¿Cuál es la moda?
Rpta: ________
109
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 14
Para el profesor: 1
Para el alumno:
Halla la media artimética de las notas obtenidas por un grupo de estudiantes, cuya distribución de frecuencias es: a) 11,2 b) 9,8 c) 11,7 d) 9,2 e) 10,4
Notas [ 04 - 08> [ 08 - 12> [ 12 - 16> [ 16 - 20]
f i 14 12 10 4
1
Las edades de un grupo de profesores está mostrada en el siguiente cuadro de frecuencias. Halla la edad promedios si el ancho de los intervalos son iguales.
xi xi f i a) 33,8 b) 35,9 c) 34,2 d) 36,4 e) 35,2
Resolución:
Resolución:
Edades [ ; 26> [ ; > [ ; > [ 38 ; > [ ; > [ ; 56>
Clave: 2
Resolución:
10 20 30 40 50 60
Clave: 110
2
xi f i
Dado el siguiente histograma, determina la mediana. f i a) 23 b) 20,3 c) 19,4 d) 21,7 e) 20,6
50 40 30 25 15 10
xi
Clave:
En el histograma de frecuencia, halla la mediana aproximadamente. f i a) 37 b) 33 c) 31 d) 42 e) 32
f i 5 16 15 12 8 4
xi Resolución:
12 10 6 4 12 18
Edades 24 30 36
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 3
Halla la mediana de la siguiente gráfica. Fi a) 48,75 b) 47,5 c) 45,25 d) 44,5 e) N.A.
3
De la siguiente ojiva, halla la mediana. Fi a) 31,25 b) 31,50 c) 32,25 d) 33,75 e) N.A.
280 150 70 50 10 20
40 50
60 35 15 10 10 20 30 35 50 60
80 Ii
Resolución:
Ii
Resolución:
Clave:
4
Dado los siguientes datos: 2; 5; 1; 7; 6; 5; 2; 5; 4; 5; 9 halla la suma de la moda, mediana y media.
a) 15 d) 14,6
b) 15,5
Clave:
4
c) 14,2 e) 14,9
Resolución:
Para el siguiente conjunto de datos: 1; 1; 2; 3; 2; 5; 7; 8; 13; 14; 2; 3; 14; 5; 6; 7; 8. determina la semisuma de la mediana y moda. a) 2,5 d) 7
b) 5
c) 3,5 e) N.A.
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 111
A ritmética - 3ro Sec. 5
Del siguiente histograma de barras, determina la media de los datos con aproximación a la unidad. f i a) 6 b) 9 c) 7 d) 8 e) 10
5
15
Dado el siguiente histograma; determina la mediana aproximadamente. f i a) 23,0 b) 20,3 c) 19,4 d) 21,7 e) 20,6
12 10 5 2
4 6
9 12 14
yi
12 10 6 4 12 18 24 30 36
Resolución:
Resolución:
Clave:
6
Clave:
Un grupo de 80 trabajadores de una empresa tiene la siguiente distribución de frecuencias respecto a sus edades (las amplitudes de los intervalos es la misma). Halla la moda de las edades. a) 27,33 b) 28,66 c) 25,42 d) 30,66 e) 29,33
Ii
Edades [ 18 ; 〉 [ ; 〉 [ ; 30〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉
f i
hi 0,05
16 0,3 0,25
6
Determina la moda de la siguiente distribución: Ii [0; 1〉 [1; 2〉 [2; 3〉 [3; 4〉 [4; 5] 10 17 8 5 f i 3 a) 2,43 d) 2,56
b) 2,65
c) 2,35 e) 2,25
Resolución:
12 n=80
Resolución:
Clave: 112
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 7
Dada la siguiente tabla de frecuencias; halla la estatura media. a) 72,15 b) 65,75 c) 67,45 d) 65,15 e) 62,15
7
Estatura (pulg.) Frecuencia 60 - 62 5 63 - 65 18 66 - 68 42 69 - 71 27 72 - 74 8
La tabla de datos que se proporciona corresponde a los pesos de 400 paquetes registrados en la aduana, del cual se pide la media y la mediana. a) 81; 75 y 83, 33 b) 82; 75 y 82, 25 c) 83; 75 y 83, 33 d) 81; 25 y 82, 25 e) 83; 75 y 81, 25
Resolución:
En cierta fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores, obteniéndose la siguiente tabla; ¿Cuántos trabajadores tienen menos de 50 años? a) 25 d) 53 b) 43 c) 45 e) N.A. Resolución:
f i 50 100 100
Resolución:
Clave: 8
Intervalos [64 ; 70> [70 ; 80> [80 ; 90> [90 ; 100>
Edad de los Trabajadores [20 - 29] [30 - 39] [40 - 49] [50 - 59] [60 - 69]
Clave: 8
f i 8 15 30 12 5
Dado el siguiente cuadro de frecuencias. Halla qué fracción de los datos se encuentran entre 12 y 25. f i Ii 0,1 [6 ; 11> a) 0,72 b) 0,71 0,2 [11 ; 16> c) 0,70 0,5 [16 ; 21> d) 0,68 0,05 [21 ; 26> e) N.A. m [26 ; 31> Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral
113
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
15
Lógica Proposicional
1. LÓGICA PROPOSICIONAL
Ejemplos:
Es una parte de la lógica que estudia las proposiciones y las relaciónes existentes entre ellas, así como la función que tienen los conectivos lógicos.
p : 6 es un número par. (V) ∼p : 6 no es un número par. (F)
4. CONECTIVOS LÓGICOS
2. PROPOSICIÓN LÓGICA Es aquella expresión u oración coherente que puede
Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada a veces proposición molecular.
calicarse o bien como verdadero (V) o bien como falso (F)
y sin ambigüedad. Las proposiciones lógicas generalmente se denotan con letras minúsculas, tales como p, q, r, s, etc. Ejemplos:
Ejemplos:
a) Lima es la capital del Perú p
Valor veritativo
y Barcelona es la capital de España. q
p : 5+4=8 (F) q : Todo hombre es mortal. ( V ) r : El libertador Simón Bolívar nació en Lima. (F) s : 14 es un número primo. ( F )
CONECTIVO LÓGICO b) 4 es un número impar p
Ejemplos:
¿Cómo te llamas? Buenos días ¡Haz tu tarea!
o 15 es un número primo. q CONECTIVO LÓGICO
3. NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN Consiste en cambiar el valor de verdad que tiene una proposición. Si la proposición es "p", su negación se denota por "∼p" y se lee: "no p" o "es falso que p". Las diferentes posibilidades las podemos esquematizar en una tabla, denominada Tabla de verdad. p
∼p
V F F V 114
Los concetivos lógicos empleados son:
4.1. DISYUNCIÓN (Se simboliza: "v", se lee: "o" ) Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra "o", para formar una nueva proposición llamada disyunción de ambas. La disyunción de las proposiciones "p o q" se denota: p ∨ q.
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
p
q
p ∨ q
V V F F
V F V F
V V V F
p ∨ q es falsa (F) únicamente cuando "p" y "q" son ambas falsas, en los demás casos es verdadera (V).
4.3. CONDICIONAL (Se simboliza por: "→", se lee: "si ..., entonces..." ) Muchas proposiciones, especialmente matemáticas, son de la forma "si p entonces q". Tales proposiciones se denominan condicionales y se les denota por p → q. A la proposición "p" se le denomina "antecedente" y a "q" "consecuente".
Ejemplos:
p : 4 es menor que 7 q : 4 es igual a 7
(V) (F)
V V F F
La disyunción de ambas será: "4 es menor que 7" ó "4 es igual a 7" ∨ p q Simbólicamente: p ∨ q Su valor de verdad (según la tabla): V∨F=V
4.2. CONJUNCIÓN (Se simboliza: "∧", se lee: "y" )
p q V V F F Ejemplos:
V F V F
p∧q V F F F
p ∧ q e s verdadera (V) únicamente "p"y "q" son a m b a s verdaderas.
V F V F
Ejemplos:
p : 4 es menor que 7. q : 4 es igual a 7.
(V) (F)
La condicional de ambas será: Si:
Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra "y" para formar una nueva proposición llamada conjunción de ambos. La conjunción de las proposiciones "p y q" se denota por p∧q.
p → q p→q es falsa (F), únicamente cuando "p" es V verdadera y "q" es F falsa, en los demás V casos es verdadera V (V).
p q
"4 es menor que 7" , entonces "4 es igual a 7".
p
→
q
Simbólicamente: p → q Su valor de verdad: V → F = F [Según su tabla]
Nota Las palabras "por consiguiente", "de modo que", "por lo tanto", "en consecuencia", "luego", "dado que", equivalen al conectivo condicional.
p : 4 es menor que 7 (V) q : 4 es igual a 7 (F)
La conjunción de ambas será: "4 es menor que 7" y "4 es igual a 7". ∧ p q Simbólicamente: p ∧ q Su valor de verdad: V ∧ F = F [Según su tabla]
4.4. BICONDICIONAL (Se simboliza por: "↔", se lee: "si y sólo si") Es aquel conectivo que al enlazar "p" con "q" se denota "p↔q" y se lee: "p si y sólo si q"
Nota Las palabras "sin embargo", "pero", "además", "también", "incluso", "no obstante", "aunque", "así mismo", "tanto... como", etc., equivalen al conectivo lógico "y".
Formando líderes con una auténtica educación integral
p q V V F F
V F V F
p↔q V F F V
p↔q es verdadera (V), únicamente cuando "p" y "q" tienen el mismo valor de verdad.
115
A ritmética - 3ro Sec.
6 TAUTOLOGÍA CONTRADICCIÓN Y CON TINGENCIA
Ejemplos:
p : 4 es menor que 7 q : 4 es igual a 7
(V) (F)
6.1. TAUTOLOGÍA Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre verdadero (V), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes. Se le denota por "V".
La bicondicional de ambas será: "4 es menor que 7" si y sólo si "4 es igual a 7".
p
q
↔
Ejemplo:
Simbólicamente: p ↔ q Su valor de verdad: V ↔ F = F [Según su tabla]
La proposición: "p→(p∨q)" es una tautología, tal como se puede comprobar en su tabla de verdad.
Nota Las palabras "cuando y sólo cuando", "entonces y sólo entonces", etc., equivalen al conectivo lógico "si y sólo si".
4.5. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA (Se simboliza: "∆", se lee: "o... o ...") p q V V F F
V F V F
p∆q F V V F
p
→ (p∨q)
V V F F
V V F F
V V V V
V F V F
V V V F
Entonces: "p→(p∨q)" = V
6.2. CONTRADICCIÓN
p∆q es falsa (F), úni cam ent e cuando "p" y "q" tienen el mismo valor de verdad.
Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre falso (F), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes. Se le denota por "F". Ejemplo:
La proposición: "(p∧q)∧∼q" es una contradicción, tal como se puede comprobar en su tabla de verdad.
Ejemplos:
p q
p : Marco juega q : Marco estudia
(V) (F)
(p∧q)
p q V V F F
La disyunción exclusiva de ambas será: o bien Marco juega o bien estudia p q ∆
V F F F
V F V F
∧ ∼q
F F F F
F V F V
Entonces: "(p∧q)∧∼q" = F
Simbólicamente: p ∆ q
6.3. CONTINGENCIA
Su valor de verdad: V ∆ F = V [Según su tabla]
Es toda proposición lógica cuyo valor de verdad tiene al menos un verdadero (V) y un falso (F). Ejemplo:
5. PROPOSICIONES COMPUESTAS Utilizando conectivos lógicos se puede combinar cualquier número finito de proposiciones; para obtener otras, denominados proposiciones compuestas. Ejemplos:
I. (p→q)∧(∼r) II. (p∼∧q)∨(∼t∧∼s) 116
La proposición: "(p∨q)→∼p" es una contingencia, tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. p q V V F F
V F V F
(p∨q) → ∼ p V V V F
F F V V
F F V V
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
7. IMPLICACIÓN LÓGICA
8.9. LEY DEL BICONDICIONAL p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼p ∧ ∼q)
Se denomina así a toda condicional "p →q" que sea una tautología y en tal caso la condicional se denota por "p ⇒ q".
7.1. EQUIVALENCIA LÓGICA
8.10. LEY DE ABSORCIÓN p ∧ (p ∨ q) ≡ p p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (∼p ∨ q) ≡ p ∧ q p ∨ (∼p ∧ q) ≡ p ∨ q
Se denomina así a toda bicondicional "p ↔q" que sea una tautología y en tal caso la bicondicional se denota por "p ⇔ q".
8. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Son equivalencias lógicas que nos permiten simplicar
8.11. LEYES DE MORGAN ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q
un problema y expresarlo en forma más sencilla. Las demostraciones se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.
Ejemplos:
Principales leyes:
8.1. LEY DE IDEMPOTENCIA
1) ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una proposición lógica?
p∨p≡p p∧p≡p
a) Todo hombre es imortal. b) Cali es la capital de Colombia. c) Perú clasicará al mundial 2006 de fútbol.
d) Muchas felicidades. e) Viva el Perú. f) 7 es un número primo.
8.2. LEY CONMUTATIVA p∨q≡q∨p p∧q≡q∧p
2) Los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
8.3. LEY ASOCIATIVA
I. (2 + 5 = 7) ∨ (3 - 1 = 4) II. (3 + 5 = 8) ∧ (4 + 2 = 7) III. (4 - 0 = 0) → (6 - 4 > 1) IV. (5 + 4 < 9) ↔ (2 + 5 = 8)
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
8.4. LEY DISTRIBUTIVA
Son respectivamente:
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
8.5. LEY DE LA DOBLE NEGACIÓN ∼(∼ p) ≡ p
Rpta.: 3) Mediante una tabla de verdad comprueba las siguientes equivalencias lógicas: a) p ↔ q ≡ (p∧q)∨(∼p ∧ ∼q) b) ∼ (p∨q)≡ ∼p ∧ ∼q c) p → q ≡ ∼p ∨ q
8.6. LEYES DE IDENTIDAD p ∨ V ≡ V; p ∨ F ≡ p p ∧ V ≡ p; p ∧ F ≡ F
8.7. LEYES DEL COMPLEMENTO p ∨ ∼ p p ∧ ∼ p
≡V ≡F
4) Si los valores veritativos de "p", "q" y "r" son V, F y V; respectivamente, halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
8.8. LEY DEL CONDICIONAL p → q ≡ ∼ p ∨ q Formando líderes con una auténtica educación integral
a) b) c) d)
p∧r q ∨ ∼q q ∧ (r ∨ p) r ∧ ∼ (p ∨ q) 117
A ritmética - 3ro Sec.
5) Si los valores veritativos de "m", "t" y "s" son F, V y V; respectivamente, halla el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) b) c) d)
m→t m ↔ ∼s (t → ∼s)∧ m (s ↔ m)∨ ∼ (t → m)
a) FVF b) FFF c) FVV
d) VFF e) FFV
Resolución:
6) Construye la tabla de verdad de las siguientes fórmulas, indicando si se trata de una tautología, contradicción o contingencia. a) b) c) d)
2) Si la proposición representada por ( ∼p ∧ q)→ r es falsa, determina el valor de p, q y r.
(∼p ∧ q)→ r V F F ... (dato) Luego:
(r ∨ q)∨ ∼ r (p → q)∨p (r ∨ q)∧ (∼p ∨ r) ∼(p → m)↔ (∼p ∨ m)
∼p ∧ q ≡ V
Con lo que: p ≡ F; q ≡ V; r ≡ F
Rpta.: a
3) Se dene:
p q V V F F
1) De las siguientes proposiciones compuestas: I. Si 6+4=8, entonces 8<7. II. 9 es mayor que 5 u 8 es menor que 5. III. 25 = 5 y -32 = 9 IV. 3<7 si sólo si 13+6<5+6
F F V F
Halla: [(p ↓ q) ↓ p]→ (p ↓ q)
indica el valor de verdad correspondiente. a) VVVV b) VVVF c) FVFV
V F V F
p↓q
a) p b) ∼p c) ∼q ∧ p
d) FVVV e) VVFF
d) ∼q ∨ p e) ∼q
Resolución: Resolución:
Hallamos la matriz principal resultante.
Colocamos todas las proposiciones en función de los conectivos lógicos ya conocidos. I. (6+4=8) → (8<7) II. (9>5) ∨ (8<5) III. ( 25=5) ∧ (-32=9) IV. ( 3<7) ↔ (13+6<5+6)
p q [(p ↓ q)
↓
p ] → (p ↓ q)
V V F F
V V F F
V V F F
V F V F
F F V F
F F V V
F F V F
Luego, con la ayuda de las tablas de verdad tenemos: a) b) c) d)
Como: P = V V F F
F→F≡V V∨F ≡ V V∧F≡F V↔F≡F
Rpta.: e 118
entonces ∼p = F F V V
Rpta.: b Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) De las siguientes expresiones, ¿cuáles son proposiciones lógicas? I. Colombia es un país sudamericano. II. 13 es un número primo. III. Me siento bien. IV. ¿Cómo llegaste? Rpta: ________
4) Esquematice la siguiente proposición utilizando el lenguaje lógico. "Si James no trabajara podría estudiar; para que ello le suceda, su hermano Andrés debe trabajar, por ende dejaría de estudiar". Rpta: ________
2) Dadas las premisas. p : Luis es doctor. q : Carlos es abogado. r : Pedro es ingeniero. ¿cuál será la expresión simbólica del enunciado? "Si Carlos es abogado y no es cierto que Luis es doctor, entonces Luis no es doctor o Pedro es ingeniero". Rpta: ________ 3) Si se sabe que p ∧ q ≡ F y q → r ≡ F, dé el valor de verdad de: I. [(p → r) ∧ q] → (r ∨ q) II. (p → q) ∧ (q → ∼q) III. [(p ∧ r) ∨ q] ↔ (p → q)
5) Construye la tabla de verdad de: (∼p → q) ↔ (p ∨ ∼q) e indica de qué se trata. Rpta: ________
6) La siguiente proposición compuesta: ∼(q → p)∨ (p ∧ ∼q) es una:
Para Reforzar 1) Dadas las proposiciones lógicas: p : 12 es un número primo. q : 3 es un número irracional. r : 16 es un cuadrado perfecto. halla los valores de verdad de: I. (∼p → q) ∨ (r ↔ p) II. ∼(p ∨ q) ∧ (q ∆ ∼r) Rpta: ________
4) Reduzca la siguiente proposición: "No es cierto que Luis sea una persona tranquila y un doctor, entonces Luis es maestro o no es una persona tranquila, además Luis es maestro.
2) Dadas las proposiciones: p : Luis es abogado. q : Carlos es biólogo r : Juan es administrador. ¿Cuál es la expresión simbólica de los siguientes enunciados? I. Si Juan es administrador y Luis no es abogado, entonces Carlos no es biólogo. II. Luis es abogado, pero Juan no es administrador.
5) La siguiente proposición compuesta: ∼(p ∨ ∼q) → (p ∧ q) es una:
Rpta: ________
3) Indique cuáles delas siguientes proposiciones son tautológicas I. (p ∧ q) ∨ [(∼p ∨ ∼q) ∨ (∼q ∧ r ∧ s)] II. (p → q) → (p → q) III. (p → q) ∨ ∼(p ↔ q) Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
6) Sabiendo que la proposición "p" es verdadera, ¿en cuál de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de las proposiciones? I. p ∨ ∼q II. (∼q ∨ p) ∨ ∼r III. (∼p ∨ q) ∨ r
Formando líderes con una auténtica educación integral
119
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 15
Para el profesor: 1
Para el alumno:
Al construir la tabla de verdad de: (p ∧ ∼q) ↔ (∼p ∧ ∼q) el número de valores verdaderos en el resultado es: a) 1 d) 2
b) 3
1
c) 4 e) 0
Si la proposición compuesta: (p ∧ ∼q) → ∼t es falsa, halla los valores de verdad de "p", "q" y "t"; respectivamente. a) VVF d) VFV
Resolución:
Clave:
Si la proposición compuesta: (∼p ∧ r) → q es falsa, halla los valores de verdad de "p", "q" y "r"; respectivamente. a) FFV d) FVF
c) FVF e) FFV
Resolución:
Clave: 2
b) VFF
b) VVV
c) FFF e) VVF
Resolución:
2
La siguiente proposición: ∼(p → ∼q) ↔ (q → ∼p) es una: a) Tautología b) Contradicción c) Contingencia d) Equivalencia e) Inducción Resolución:
Clave: 120
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 3
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. (3+7≤10) → (4 x 0 = 4) II. (12+5<15) ∨ (5>–10) III. (7 x 1= 7) ∧ (12≤9 + 3) a) I y II d) Sólo III
b) Sólo II
3
c) II y III e) Sólo I
Dadas las proposiciones compuestas: I. (3 x 0 = 3) → (4+0=4) II. (1 < – 1)∨ (5÷2<2,5) III. (20 = 2)∧ (4+5≥9) IV. (8 x 0 = 0) ↔ (7 x 1 =7) Halla sus valores de verdad. a) VFFF d) VFFV
Resolución:
b) FFFV
Resolución:
Clave:
4
Al construir la tabla de verdad de: (p ∨ ∼q) → (p ∧ ∼q) el número de valores verdaderos en el resultado es: a) 0 d) 4
c) VFVV e) VVFF
b) 3
Clave:
4
c) 1 e) 2
Construye la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta: (∼p ↔ q) ∧ (p ∨ q) y halla el resultado. a) FFVV d) VVFF
b) VVVF
c) FVVV e) FVVF
Resolución: Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 121
A ritmética - 3ro Sec. 5
Construye la tabla de verdad de: (p ∨ ∼q) → (∼p ∆ q) luego indica cuál de las proposiciones siguientes es verdadera. I. Es una contingencia. II. Es una contradicción. III. Hay tres valores de verdad. a) Sólo I d) Sólo III
b) I y III
5
Si la siguiente proposición: (∼q ∆ p) ∧ (∼p ∧ r) es verdadera, halla el valor de: I. (q → ∼r) → p II. (∼p ∧ ∼q) ∆ (p → r)
a) VV d) FV
b) FF
c) VF e) Faltan datos
c) Sólo II e) I y II Resolución:
Resolución:
Clave:
6
De las siguientes proposiciones compuestas: I. Si 5 + 3 = 7, entonces 8 < 7. II. 9 es mayor que 5 ó 4 es menor que 3. III. 25 = 5, sin embargo – 42 = 16 IV. 3 < 4 si y sólo si 13 + 6 < 5 + 6. Indica los valores de verdad, respectivamente.
Clave:
6
¿cuáles de las armaciones son verdaderas?
a) VVVV d) VVFF
b) FVVV
c) VVVF e) FVFV
Sabiendo que: (p → q) ∨ ∼r es falsa y (s ↔ p) ∧ r es verdadera, I. ∼(p ∨ s) es verdadera. II. s ∧ q es falsa III. ∼s es verdadera. a) I y II b) Todos d) sólo una de ellas
c) I y III e) II y III
Resolución: Resolución:
Clave: 122
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 7
Si la proposición compuesta: (p ∧ q) → (r ∨ t) es falsa, indica las proposiciones que son verdaderas. a) p; r d) p; r; t
b) q; t
7
Si: ∼[(p ∨ q)∨(r → q)] ∧ [(∼p ∨ q) → (q ∧ ∼p)]
es verdadera, los valores de verdad de p, q y r son, respectivamente:
c) p; q e) r; t
a) FFV d) VFV
Resolución:
b) VFF
Resolución:
Clave: 8
Se sabe que p∧q es falsa y q →t tambien es falsa, entonces de las proposiciones: I. (∼p∨t)∨∼q II. ∼[p∧(∼q∨∼p)]∧(∼p∨∼q) III. ([p→q)∧∼(q∧t)]↔[(∼p∨(q∧∼t)] son verdaderas: a) I y II d) II y III
c) VVF e) VVV
b) Ninguna
Clave: 8
c) I y III e) Todas
Si tenemos las proposiciones: p: Luis estudia inglés. q: Luis trabaja por las tardes. r: Luis es profesor de física. Simboliza: "Luis es profesor de física y no estudia inglés, por lo tanto trabaja por las tardes; sin embargo, trabajar por las tardes es condición suficiente y necesaria para no ser profesor de física". a) [(r ∧ ∼p) ↔ q] → (p ↔ ∼r) b) [(r ∧ ∼p) → q] ∧ (q → ∼r) c) [(r ∧ ∼p) → ∼q] ∧ (q → ∼r) d) [(r ∧ ∼p) → q] ∧ (q ↔ ∼r) e) [(r ∨ ∼p) → q] ∧ (q → ∼r)
Resolución:
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral
123
A ritmética - 3ro Sec.
Capítulo
Serie de Razones Geométricas Equivalentes
16
OBJETIVOS: *
Reconocer los elementos de una serie de razones geométricas equivalentes.
*
Construir una S.R.G.E. dado un conjunto de números.
*
Aplicar las propiedades adecuadamente.
INTRODUCCIÓN
Ejemplo:
Supongamos que tenemos tres toneles cuyas capacidades son proporcionales a los números 3; 5 y 8. Esto quiere decir que sus capacidades podrían ser:
12 = 1 ; 4 = 1 ; 25 = 1 ; 20 = 1 24 2 8 2 50 2 40 2 Igualando:
3x20 = 60 litros 5x20 = 100 litros 8x20 = 160 litros
12 = 4 = 25 = 20 = 1 24 8 50 40 2
o también
Serie de razones
3x25 = 75 litros 5x25 = 125 litros 8x25 = 200 litros
Valor de la razón
En general, podemos escribir:
Como podemos ver existen muchas opciones, pero los volúmenes siguen guardando la misma proporción. Si “A” es la capacidad del primer tonel, “B” la del segundo y “C” la del tercero, podremos escribir las razones geométricas. A B C = = =K 3 5 8
a1 a2 a3 an ... = = = = c1 c2 c3 cn =K Donde: a1,a2,a3, ........., a n : Antecedentes c1,c2,c3, ........., c n : Consecuentes K : Constante de porporcionalidad o valor de la razón.
PROPIEDADES A la que denominaremos serie de razones geométricas equivalentes (S.R.G.E.)
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Es decir:
Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor. 124
Propiedad 1 Suma de antecedentes = Cte. de proporcionalidad Suma de consecuentes
a1+a2+a3+...+an c1+c2+c3+...+cn =K
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec.
84 =K → K=7 12
Ejemplo:
12 = 4 = 25 = 20 24 8 50 40 12+4+25+20 ⇒ 24+8+50+40 = 61 = 1 122 2
Luego: c =K=7 10 c=70
d =K=7 12 d=84
Ejercicio 2 Si se cumple que: J E S I 4 = = = = =K 972 J E S 1
Propiedad 2 Producto de antecedentes =(Cte. de proporcionalidad)n Producto de consecuentes
halla: “J+E+S+I”
Donde “n” es el número de antecedentes o consecuentes que se multiplican.
Resolución
Es decir: a1. a2. a3. ... an n c1. c2. c3. ... cn =K
Si observamos con cuidado veremos que cada letra aparece como antecedente y consecuente de las diferentes razones, entonces si multiplicamos todos los antecedentes y todos los consecuentes resultará: 5 J.E.S.I.4 =K 972.J.E.S.I
Ejemplo:
12 = 4 = 25 = 20 24 8 50 40 12 x 4 x 25 x 20 1 ⇒ = 24 x 8 x 50 x 40 2
4 =K5 972 4
1 =K5 → K= 1 243 3 Luego podemos escribir :
OBSERVACIÓN:
324
324
Formamos la serie con los datos proporcionados: a b c d = = = =K ; a+b= 84 5 7 10 12 Por el dato que nos dan (suma) aplicamos la propiedad 1: a+b =K 5+7
108
36
12
J + E + S +I=480
Ejercicio 1
Resolución
12
⇒ J + E + S +I=324+108+36+12
Se denomina serie de razones geométricas continuas. En esta serie continua también se cumplen las propiedades mencionadas.
En una serie de razones geométricas, los consecuentes son 5; 7; 10 y 12. Si la suma de los dos primeros antecedentes es 84; halla los otros antecedentes.
36
J = E = S = I = 4 = 1 972 J E S 1 3
Una serie de razones geométricas de la forma: a b c d ... = = = = =K b c d e
108
El saldo de la cuenta de Rogelio Mi amigo Rogelio tiene una gran afición a las matemáticas. Su obsesión son los números. Vive siempre con su mente ocupada al menos por una docena de dígitos. El otro día descubrió una curiosa relación. Comprobó que los núneros de su casa y los de las casas de sus amigas Silvia y Lucía eran primos consecutivos. Si se multiplicaban los tres entre sí, el resultado era el saldo de su cuenta bancaria. La casa de Rogelio está entre las de Silvia y Lucía. El saldo de la cuenta comienza con 6 y tiene un total de cinco cifras. ¿Cuál es el número de la casa de Rogelio y el saldo de su cuenta en el banco?
Formando líderes con una auténtica educación integral
125
A ritmética - 3ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Si se cumple: J E S I 4 = = = = k 972 J E S I halla “J+E+S+I”
4) Si se cumple: K A R Y 2 , = = = = 64 K A R Y halla: “K+A+R+Y”
Rpta: ________
Rpta: ________
5) Dada la serie: J O S E 3 = = = = 96 J O S E halla J + O + S + E.
2) Si se cumple: a = 20 = 18 = 8 15 b 27 c halla “a+b+c” Rpta: ________
3) Dada la serie:
Rpta: ________
6) Dada la serie:
a=b= c 6 8 18 Se cumple: a.b.c=2916, halla “a+b+c”
a b c = = 3 5 7 y a.b+a.c+b.c=639, halla “a.b.c”
Rpta: ________
Rpta: ________
Para Reforzar 1) Si en la serie: a b c d = = = 15 12+n 10-n 7 se cumple: a+b+c-d=120, halla: “a.d” Rpta: ________
Rpta: ________
5) Dada la serie:
2) Si
9 15 33 21 = = = a b c d y además c-a+b-d=6, halla “a . c” Rpta: ________
a b c K = = = 10 15 18
si “b” es el menor número tal que puede ser antecedente en cualquiera de las tres razones y la constante siempre resulte entera, halla: “a+b+c”
Rpta: ________
6) Si:
3) Si
a b c d = = = y 5 6 7 8 a . b . c + b . c . d = 34944; halla "a + b + c +d".
a b c y = = 2 7 9 a2+b2+c2=1206, halla “a+b+c” Rpta: ________
126
4) Dada la serie de razones equivalentes: a 6 c 10 = = = 65 b 35 d se observa que “a”, “d”,“b” y “c” forman una proporción aritmética. Halla “a+b+c+d”
Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 16
Para el profesor: 1
Para el alumno:
Sabiendo que:
1
Si:
a b c d = = = 4 8 7 9 a . c + b . d = 14400, halla la suma de los antecedentes.
a b c d = = = 3 4 6 7 a . c . b + b . c . d = 6480, halla “a+b+c+d”.
a) 252 d) 560
a) 50 d) 80
b) 280
c) 336 e) 672
Resolución:
b) 60
Resolución:
Clave: 2
En una serie de 4 razones geométricas los consecuentes son 5: 7: 10 y 12. Si la suma de los dos primeros antecedentes es 84, hallar los otros antecedentes. a) 90 y 60 d) 24 y 76
c) 70 e) 90
b) 84 y 25
Clave: 2
c) 70 y 84 e) 94; 48
Resolución:
Dada la serie:
a b c = = 15 10 25
y se cumple que: a.b.c= 810, halla “a+b+c”
a) 32 d) 36
b) 35
c) 30 e) 48
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 127
A ritmética - 3ro Sec. 3
Si:
3
a b c d = = = 3 5 8 6 a + b= 48
Hallar "c . d" a) 576 d) 864
b) 1728
c) 288 e) 3456
En la siguiente serie de razones equivalentes: A B C D = = = m n p q se cumple: A+B+C+D= 63; m+n+p+q=175 Halla: E = A.m + B. n + C.p+ D.q a) 105 d) 315
Resolución:
b) 210
Resolución:
Clave:
4
En la serie:
a b c d = = = 5 7 9 10 se cumple: a . c = 405. Halla "b + d" a) d)
b)
c) e)
Resolución:
Clave:
4
Si: a/5 = b/7 = c/11 y a 2 + 2b2 – c2 = 50, calcula: a + b + 30 E= c – 25 a) 1 d) 4
b) 2
c) 3 e) N.A.
Resolución:
Clave: 128
c) 51 e) 21
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
A ritmética - 3ro Sec. 5
En la siguiente serie:
5
Si:
3a+b 34 - b a+b = = 9 7 4 calcula “a+b”
a) 12 d) 20
32 E V 4 = = = E V 4 A
halla “E . V . A”
b) 14
c) 16 e) 18
a) 256 d) 225
Resolución:
b) 196
Resolución:
Clave:
6
Los volúmenes de tres recipientes son proporcionales a los números 4; 5 y 10. Si la suma de los cuadrados de los dos menores volúmenes es 656, halla el volumen mayor. a) 20 d) 40
c) 200 e) 324
b) 30
Clave:
6
c) 32 e) 48
Los antecedentes de una serie de razones geométricas equivalentes son 7; 10; 12 y 15. Si el producto de los dos primeros consecuentes es 1120, halla la diferencia de los dos últimos consecuentes. a) 5 d) 12
b) 9
c) 10 e) 18
Resolución: Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 129