4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. Conjunto ortonormal en Rn
Se dice que un conjunto de vectores S= {u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si (1) (2).
Si solo satisface la ecuacin (1), se dice que el conjunto es orto!onal. Si u, v " # en Rn " $ es un n%mero real, entonces (&) (') () () (*).
+ora se se -resenta -resenta otra definicin definicin %til Si vϵ Rn, entonces entonces la lon!itud o norma norma de v, denotada -or -or /v/, est0 dada -or ()
Nota: Si
si!nifica que (4)
entonces vv=
3sto .
5e esta forma se -uede o6tener la ra78 cuadrada en (), " se tiene (19) (11)
es un conjunto orto!onal de vectores !"R!#$: si S= diferentes de cero, entonces S es linealmente inde-endiente.
Su-on!a que 3ntonces, -ara cualquier i=1,2,…,k
:omo v;9 -or i-tesis /v/2<9 " se dice que c=9. 3sto es cierto -ara i=1,2,…,k, lo que com-leta la -rue6a.
%roceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt
Sea un su6es-acio de dimensin m de Rn. 3ntonces tiene una 6ase ortonormal. Sea S= una 6ase de . se -ro6ara el teorema constru"endo una 6ase ortonormal a -artir de vectores en S. antes de dar los -asos -ara esta construccin, se o6serva el eco sencillo de que un conjunto de vectores linealmente inde-endiente no contiene al vector cero.
%aso &: !lección del primer 'ector unitario
Sea (12)
3ntonces
5e manera que /u/=1.
%aso (: !lección de un se)undo 'ector orto)onal a u.
:omo anteriormente se a visto que, en R2, el vector
orto!onal a v. en este caso en la si!uiente fi!ura.
es la
es la -ro"eccin de u so6re v. esto se ilustra
Resulta que el vector # dado es orto!onal a v cuando # " v est0n en Rn -ara cualquier n>2. ?6s@rvese que como u es un vector unitario,
-ara cualquier vector v.
Sea(1&)
entonce
s de manera que vA es orto!onal a u. m0s aun, -or el teorema, u " vB son linealmente inde-endientes.
vA;9 -orque de otra manera la inde-endencia de v1 " v2.
lo que contradice
%aso *: !lección de un se)undo 'ector unitario.
Sea (1')
entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal.
Su-on!a que se an construido los vectores u1, u2,…,uk(kCm) " que forman un conjunto ortonormal. Se mostrara como construir ukD1.
%aso 4: Continuación del proceso.
Sea (1)
entonces -ara
i=1,2,…,k Eero tanto,
+s7, " vBkD1;9.
Eor lo .
es un conjunto linealmente inde-endiente, orto!onal
%aso +
Sea
3ntonces es claro que es un conjunto ortonormal " se -uede continuar de esta manera asta que kD1=m con lo que se com-leta la -rue6a. Nota: :omo cada u es una com6inacin lineal de vectores v,
!en es un su6es-acio de !en es-acio tiene dimensin k, los es-acios son i!uales.
" como cada
