TUGAS KELOMPOK 7 ALJABAR LINIER ELEMENTER
TENTANG BASIS ORTONORMAL; PROSES GRAM-SCHMIDT; DEKOMPOSISI QR
OLEH: NURHALIMAH AULA (NIM F04112055) NURUL HIDAYATIE (NIM F04112075) LISLIANA (NIM F04111044)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS TANJUNGPURA PONTIANAK 2014
DEFINISI:
Suatu himpunan vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam disebut sebagai hi mpunan or togonal togonal (orthogonal set) jika setiap pasangan vektor yang berbeda di dalam
himpunan tersebut adalah ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang vektor-vektornya memiliki norma 1 disebut ortonormal (orthonormal). 3 CONTOH 1 Himpunan Ortogonal pada R
Misalkan
〈 〉 〈 〉 〈 〉 ‖‖ ||‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖ ‖‖
dan asumsikan bahwa R3 memiliki hasilkali dalam Euclidean. Berdasarkan hal ini maka himpunan vektor S = {u1, u2, u3} adalah ortogonal karena
Jika v adalah sebuah vektor taknol pada sebuah ruang hasilkali dalam, maka
berdasarkan Teorema 6.2.2 bagian (c) yaitu
, vektor
memiliki norma 1, karena
Proses mengalikan sebuah vektor taknol v dengan nilai resiprok (kebalikan) dari panjangnya
untuk memperoleh sebuah vektor dengan norma 1 disebut sebagai menor menor mali sasi asi kan v (normalizing v ). Sebuah himpunan ortogonal yang terdiri dari vektor-vektor taknol akan selalu
dapat
dikonversikan
menjadi
sebuah
himpunan
ortonormal
menormalisasikan setiap vektornya. CONTOH 2 Membentuk Membentuk sebuah Himpunan Ortonormal
Norma-norma Euclidean dari vektor-vektor dalam Contoh Contoh 1 adalah
‖‖ ‖‖ √ ‖‖ √
Sebagi konsekuensinya, normalisasi u1, u2, dan u3 akan menghasilkan
dengan
cara
‖‖ ‖‖ (√ √ ) ‖‖ (√ √ )
Buktikan bahwa himpunan S = {v1, v2, v3} adalah ortonormal dengan cara menunjukkan bahwa
〈 〉 〈 〉 〈 〉 ‖‖ ‖‖ ‖‖
Di dalam sebuah ruang hasilkali dalam, sebuah basis yang terdiri dari vektor-vektor ortonormal disebut sebagai basis ortonormal , dan sebuah basis yang terdiri dari vektorvektor ortogonal disebut sebagai basi basi s ortogonal or togonal . Sebuah contoh basis ortonormal yang cukup kita kenal adalah basis standar untuk R untuk R3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = = (0, 0, 1)
Basis ini adalah basis yang diasosiasikan dengan sistem koordinat siku-siku. Secara lebih umum, pada R pada Rn yang memiliki hasilkali dalam Euclidean, basis standar e1 = (1, 0, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . ,
en = (0, 0, 0, . . . , 1)
adalah basis ortonormal. Keinginan
Koordinat-koordinat Koordinat-koordinat Relatif terhadap Basis Ortonormal
untuk
melakukan pencarian basis-basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam sebagian dilandasi oleh teorema berikut ini. Teorema 6.3.1
Jika S = { v , v v1 2 , . . . , v 3 } adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasilkali dalam V, dan u adalah adalah sebuah vektor sebarang pada V, maka
〈 〉 〈 〉 〈 〉
Bukti. Karena S = {v1, v2, . . . , vn} adalah sebuah basis, sebuah vektor u dapat dinyatakan
dalam bentuk = = k 1v u 1 + k 2v 2 + . . . + k nv n Kita akan melengkapi bukti ini dengan menunjukkan bahwa n. Untuk setiap vektor vi di dalam S kita kita memperoleh
〈 〉
untuk untuk i = 1, 2, . . . ,
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 ‖‖ 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉
Karena S = = {v1, v2, . . . , vn} adalah sebuah himpunan ortonormal, kita memperoleh
Oleh karena itu, persamaan di atas untuk
dapat disederhanakan menjadi dapat
Dengan menggunakan terminologi dan notasi, skalar-skalar
di dalam Teorema 6.3.1 adalah koordinat-koordinat dari vektor u relatif terhadap basis ortonormal S = = {v1, v2, . . . , vn} dan
〈 〉 〈 〉 〈 〉
adalah vektor koordinat dari u relatif terhadap basis ini.
CONTOH 3 Vektor Koordinat Relatif terhadap terhadap Basis Ortonormal Ortonormal
Misalkan
( ) ( )
Adalah mudah untuk membuktikan bahwa S = {v1, v2, v3} adalah sebuah basis ortonormal untuk R3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean. Nyatakan vektor u = (1, 1, 1) sebagai sebuah kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam S , dan tentukan vektor koordinat ( u)S . Penyelesaian.
〈 〉 〈 〉 〈 〈 〉
Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 6.3.1 kita memperoleh
yaitu,
( ) ( ) 〈 〉 〈 〉 〈 〉 ( )
Vektor koordinat dari u relatif terhadap S adalah adalah
CATATAN.
Manfaat Teorema 6.3.1 6.3.1 dapat terlihat jelas dari contoh ini apabila apabila kita
mengingat bahwa untuk basis-basis bukan ortonormal, kita selalu harus menyelesaikan sebuah sistem persamaan untuk dapat menyatakan suatu vektor dalam bentuk sebuah basis. Basis ortonormal untuk ruang hasilkali dalam sangat bermanfaat karena sejumlah rumus yang telah kita kenal berlaku untuk basis-basis semacam ini sebagaimana akan diperlihatkan oleh teorema berikut ini. Teorema 6.3.2
Jika S adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasilkali dalam berdimensi n, dan jika
‖‖ 〈 〉
maka: a) b) c)
CATATAN.
Perhatikan bahwa sisi kanan kesamaan pada bagian bagian (a) (a) adalah norma dari
vektor koordinat ( u)S merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada Rn, dan sisi kanan kesamaan pada bagian (c) (c) adalah hasilkali dalam Euclidean dari (u)S dan (v)S . Sehingga, dengan menggunakan basis-basis ortonormal, perhitungan norma dan hasilkali dalam yang umum dapat disederhanakan menjadi perhitungan norma dan hasilkali dalam Euclidean dari vektor-vektor koordinat. CONTOH 4 Menghitung Norma dengan Menggunakan Menggunakan Basis Ortonormal Ortonormal
Jika R Jika R3 memiliki hasilkali dalam Euclidean, maka norma dari vektor u = (1, 1, 1) adalah
‖‖ √
Akan tetapi, jika kita misalkan R3 memiliki basis ortonormal S seperti yang diberikan di dalam contoh sebelum ini, maka kita dapat mengetahui dari contoh itu bahwa vektor
( )
koordinat dari u relatif terhadap S adalah adalah
Norma u juga dapat dihitung dari vektor ini dengan menggunakan bagian (a) Teorema (a) Teorema 6.3.2. Perhitungan ini menghasilkan
‖‖ ( ) () √
Koordinat-koordinat Koordinat-koordinat Relatif terhadap Basis Ortogonal Jika S = = {v1, v2, . . . , vn} adalah
sebuah basis ortogonal untuk sebuah ruang vektor V , maka normalisasi tiap-tiap vektor di
{‖‖ ‖‖ ‖‖} 〈 ‖‖〉 ‖‖ 〈 ‖‖〉 ‖‖ 〈 ‖‖〉 ‖‖ 〈‖‖〉 〈‖‖〉 〈‖‖〉
dalam basis ini akan menghasilkan basis ortonormal
Sehingga, jika u adalah sebuah vektor sebarang di dalam V , berdasarkan Teorema 6.3.1 kita akan memperoleh
yang berdasarkan Teorema 6.1.1 bagian (c) dapat dituliskan kembali sebagai
Rumus ini menyatakan u sebagai sebuah kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam basis ortogonal S . Terbukti dengan sendirinya bahwa jika v1, v2, dan v3 adalah tiga vektor taknol pada R3 yang saling tegak lurus satu sama lainnya, maka tidak satu pun dari ketiga vektor ini yang terletak pada bidang yang sama dengan salah satu dari kedua vektor lainnya; sehingga, vektor-vektor ini bebas linear. Teorema berikut ini merupakan generalisasi dari hal tersebut. Teorema 6.3.3
Jika S = { v , v v1 2 , . . . , v n } adalah suatu himpunan ortogonal vektor-vektor taknol pada sebuah ruang hasilkali dalam, maka S bebas linear. . Asumsikan bahwa Bukti
Untuk menunjukkan bahwa S = = { v1, v2, . . . , vn} bebas linear, kita harus membuktikan bahwa k 1 = k 2 = . . . = k n = 0. 0.
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈〈〉〉 〈 〉 〈 〉
Untuk setiap vi di dalam S , berdasarkan Rumus (2) kita memperoleh
atau secara ekuivalen,
jika j
Dari ortogonalitas S kita memperoleh
≠ i, sehingga persamaan ini dapat
disederhanakan menjadi
Karena vektor-vektor di dalam S diasumsikan sebagai vektor-vektor taknol,
〈 〉
berdasarkan aksioma positivitas untuk hasilkali dalam. Dengan demikian, k i = 0. Karena subskrip i adalah sebarang, kita memperoleh k 1 = k 2 = . . . = k n = 0; 0; sehingga, S bebas bebas linear. CONTOH 5 Menggunakan Menggunakan Teorema 6.3.3
(√ √ ) (√ √ )
Dalam Contoh 2 kita telah tela h menunjukkan bahwa vektor-vektor
Membentuk sebuah himpunan ortonormal dengan merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R pada R3. Melalui Teorema 6.3.3, vektor-vektor ini merupakan himpunan vektor bebas linear, dan karena R3 berdimensi tiga, S = {v1, v2, v3} adalah sebuah basis ortonormal bagi R3 melalui Teorema 5.4.5 yaitu Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n, dan jika S adalah suatu himpunan pada V dengan tepat n vektor, maka S adalah basis untuk V jika salah satu dari hal berikut berlaku, S merentang V atau S bebas linear. Proyeksi Ortogonal Sekarang kita akan mengembangkan beberapa hasil yang dapat
membantu kita menyusun basis-basis ortogonal dan ortonormal untuk ruang hasilkali dalam. Di dalam ruang R2 dan R3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean, secara geometrik dapat dibuktikan bahwa jika W adalah adalah sebuah garis atau sebuah bidang yang melewati titik
asal ruang, maka tiap-tiap vektor u di dalam ruang dapat dinyatakan sebagai jumlah
di mana w1 terletak pada W dan dan w2 tegak lurus terhadap W . Teorema 6.3.4
Teorema Proyeksi
Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V, maka setiap vektor u di di dalam V dapat dinyatakan dengan tepat satu cara sebagai = = w u 1 + w 2 (3) ┴
di mana w 1 terletak pada W dan w 2 terletak pada W .
Vektor w1 pada teorema di atas disebut sebagai proyeksi ortogonal u pada W (orthogonal projection of u on W) dan dinotasikan dengan proj Wu. Vektor w2 disebut sebagai komponen u yang ortogonal terhadap W (component of u orthogonal to W) dan dinotasikan dengan proj W┴ u. Dengan demikian, Rumus (3) di dalam Teorema Proyeksi dapat dinyatakan sebagai u = projWu + projW┴ u (4)
Karena w2 = u – w1, kita memperoleh projW┴ u = u - proj Wu sehingga Rumus (4) juga dapat dituliskan sebagai u = projWu + (u - proj Wu)
(5)
Teorema 6.3.5
Misalkan W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V. a) Jika a) Jika { v , v ortonormal untuk W, dan u adalah adalah sebuah vektor v1 2 , . . . , v r r } adalah sebuah basis ortonormal
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈‖‖〉 〈‖‖〉 〈‖‖〉 〈 〉 〈〉 ( )( ) ( ) ( ) ( )
sebarang pada V, maka maka
(6)
b) Jika b) Jika { v , v } adalah adalah sebuah vektor v1 2 , . . . , v r r adalah sebuah basis ortogonal untuk W, dan u sebarang pada V, maka maka
CONTOH 6 Menghitung Proyeksi
Misalkan R Misalkan R3 memiliki hasilkali dalam Euclidean, dan W adalah adalah subruang yang direntang oleh vektor-vektor ortonormal
dari vektor u = (1, 1, 1) pada W adalah adalah
Komponen u yang ortogonal terhadap W adalah adalah
. Dari (6), proyeksi ortogonal
Perhatikan bahwa proj W┴ u ortogonal terhadap v1 dan v2 sehingga vektor ini ortogonal terhadap setiap vektor di dalam ruang W yang yang direntang oleh v1 dan v2, sebagaimana yang seharusnya. Menentukan Menentukan Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal Ortonormal
Kita telah melihat bahwa basis
ortonormal memiliki berbagai sifat yang berguna. Teorema kita berikutnya, yang merupakan hasil terpenting dari pengkajian kita pada subbab ini, menunjukkan bahwa setiap ruang vektor taknol berdimensi terhingga memiliki basis ortonormal. Pembuktian mengenai hal ini sangatlah penting, karena akan menyediakan sebuah algoritma atau metode, untuk mengkonversikan suatu basis sebarang menjadi sebuah basis ortonormal. Teorema 6.3.6
Setiap ruang hasilkali dalam taknol berdimensi te rhingga memiliki sebuah basis ortonormal.
Bukti. Misalkan V adalah suatu ruang hasilkali dalam taknol berdimensi terhingga sebarang,
dan misalkan {
} adalah basis sebarang untuk V. Akan cukup kiranya
apabila kita dapat menunjukan bahwa V memiliki sebuah basis ortogonal, karena vektorvektor di dalam basis ortogonal itu dapat dinormalisasikan untuk menghasilkan sebuah basis
ortonormal untuk V . . Urutan langkah berikut ini akan menghasilkan sebuah basis ortogonal {
} untuk V.
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Langkah 1. Misalkan
=
Langkah 2. Kita dapat memperoleh sebuah vektor
menghitung komponen
yang ortogonal terhadap
yang ortogonal terhadap ruang
Dengan menggunakan Rumus (7) :
=
Tentu saja, jika
dengan
yang direntang oleh
.
=
= 0, maka
bukan merupakan sebuah vektor basis. Namun tidak
mungkin demikian halnya, karena dari rumus
=
Yang menjelaskan kepada kita bahwa
dengan kebebasan linear dari basis S = {
kita memperoleh
=
adalah kelipatan dari }
, sehingga bertentangan
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ Langkah 3. Untuk membuat sebuah vektor
menghitung komponen
yang ortogonal terhadap
yang ortogonal terhadap ruang
yang direntang oleh
Dari (7)
=
maupun
dan
.
=
Sebagaimana pada langkah (2), kebebasan linear dari {
bahwa
, kita
} memastikan
≠ 0.
Langkah 4. Untuk menentukan sebuah vektor
kita menghitung komponen , dan
yang ortogonal terhadap
yang ortogonal terhadap ruang
, dan
,
yang direntang oleh
. Dari (7) kita memperoleh
=
=
Apabila kita terus melakukan hal ini, setelah langkah ke-n ke-n kita akan memperoleh himpunan
vektor – vektor vektor ortogonal {
}. Karena V berdimensi n berdimensi n dan setiap himpunan
ortogonal bersifat bebas linear, maka himpunan {
} adalah sebuah basis
ortogonal bagi V .
Langkah – langkah langkah diatas yang disusun untuk mengkonversikan suatu basis sebarang menjadi sebuah basis ortogonal disebut sebagai pros pr ose es Gr am-Schmi dt. CONTOH 7. Menggunakan Proses Gram-Schmidt
Perhatikan ruang vektor
yang memiliki hasilkali dalam euclidean. Terapkan proses
Gram-Schmidt untuk untuk mengubah vektor – vektor vektor basis 0, 1) menjadi sebuah basis ortogonal {
= (1, 1, 1),
Penyelesaian :
‖ ‖
Langkah 2.
=
=
= (1, 1, 1)
=
= (0,
}; kemudian normalisasikan vektor – vektor vektor
basis ortogonal untuk memperoleh sebuah sebuah basis ortonormal {
Langakah 1.
= (0, 1, 1),
}.
‖ ‖ ‖ ‖ – = (0, 1, 1)
Langkah 3.
(1, 1, 1) =
=
=
= (0, 0, 1)
=
(1, 1, 1)
Sehingga,
‖‖ √ ‖‖ √ ‖‖ √ ‖‖ √ √ √ ‖‖ √ √ √
= (1, 1, 1),
,
=
. Norma vektor – vektor vektor ini adalah
Membentuk sebuah basis ortogonal untuk
=
Sehingga basis ortonormal untuk
=
=
,
=
,
=
adalah
,
=
=
=
,
=
Catatan : pada contoh di atas kita menggunakan proses Gram-Schmidt untuk menghasilkan sebuah basis ortogonal; kemudian, setelah seluruh basis ortogonal diperoleh, kita menormalisasikannya untuk memperoleh sebuah basis ortonormal. Sebagai alternatif lain, kita bisa saja menormalisasikan setiap vektor basis ortogonal segera setelah kita memperolehnya, sehingga dengan cara ini kita menyusun sebuah basis ortonormal melalui langkah per langkah. Akan tetapi, metode ini memiliki sedikit kelemahan karena akan menghasilkan lebih banyak nilai akar yang harus dimanipulasi.
Proses Gram-Schmidt yang diikuti dengan normalisasi tidak hanya mampu mengkonversikan sebuah
basis
sebarang
{
}
menjadi
sebuah
basis
ortonormal
{
}, namun proses ini melakukan hal itu sedemikian rupa sehingga untuk k
≥ 2 berlaku hubungan – hubungan sebagai berikut :
{
} adalah sebuah basis ortonormal untuk ruang yang direntang
oleh {
}.
ortogonal terhadap ruang yang direntang oleh {
}.
Dekomposisi QR
vektor kolom yang Masalah. Jika A adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vektor – vektor bebas linear, dan jika Q adalah sebuah matriks yang memiliki vektor
– vektor kolom
ortonormal yang dihasilkan dari penerapan proses Gram-Schmidt pada vektor – vektor vektor kolom A, hubungan apa, yang terdapat di antara A dan Q?
| | | | | | 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 Jawab : misalkan vektor – vektor kolom dari A adalah vektor kolom ortonormal dari Q adalah A=
dan vektor –
; sehingga,
dan Q =
Kita mengetahui dari teorema 6.3.1 bahwa
bentuk vektor – vektor vektor
dapat dinyatakan dalam
sebagai
Kita tahu bahwa vektor kolom ke – j j dari sebuah hasilkali matriks adalah sebuah kombinasi
linear dari vektor – vektor kolom faktor pertamanya dengan koefisien
– koefisien yang
diturunkan dari kolom ke – j faktor keduanya, selanjutnya hubungan ini dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai
〈 〈 〉〉 〈〈 〉〉 〈〈 〉〉 | | | | | | 〈 〉 〈 〉 〈 〉 =
Atau secara lebih ringkas sebagai A= QR
(8)
〈 〉 〈〈 〉〉 〈〈 〉〉 〈 〉
Akan tetapi, sifat Gram-Schmidt menggariskan bahwa untuk j terhadap
≥ 2, vektor
ortogonal
; sehingga, semua entri yang terletak di bawah diagonal utama
R adalah R adalah nol,
R = R =
(9)
Dengan demikian (8) adalah faktorisasi matriks A menjadi hasilkali dari matriks Q yang memiliki vektor – vektor kolom ortonormal dengan matriks segitiga atas R yang dapat dekomposii si QR dari A. dibalik. Kita menyebut (8) sebagai dekompos
Teorema 6.3.7
Dekomposisi QR
Jika A adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vektor – vektor vektor kolom yang bebas linear, maka A dapat difaktorkan sebagai A = QR Dimana Q adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vektor – vektor vektor kolom ortonormal, dan R adalah sebuah matriks segitiga atas n x n yang dapat dibalik. Catatan : Teorema 6.2.7 Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka keterbalikan matriks A adalah ekuivalen dengan kebebasan linear vektor – vektor kolom; sehingga, setiap matriks yang dapat dibalik pasti memiliki suatu dekomposisi QR. CONTOH 8 Dekomposisi Dekomposisi QR sebuah Matriks 3 x 3
Tentukan dekomposisi QR dari matriks
A=
Penyelesaian : Vektor – vektor vektor kolom dari A adalah
[ ]
[] [] [] =
,
=
,
=
Dengan menggunakan proses Gram-Schmidt yang diikuti dengan normalisasi pada vektor – vektor kolom ini akan menghasilkan vektor – vektor vektor ortonormal (contoh 7)
√ √ √ √ √ √ √ √ 〈[ 〉 〈〈 〉〉 〈〈 〉〉] √ √ √ √ √ 〈 〉 √ [ ] √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ =
,
=
,
=
dan dari (9) matriks R matriks R adalah adalah
R = R =
= =
Dengan demikian , dekomposisi QR dari matriks A adalah
= =
A
Q
R
– vektor
〈 〉 〈 〉 〈 〉 Bukti teorema 6.3.4 pembuktian ini terdiri dari 2 bagian. Pertama tentukan vektor dan
yang memiliki sifat – sifat sifat yang ditentukan, dan tunjukkan bahwa tidak ada vektor
lain dengan sifat – sifat sifat yang sama selain vektor – vektor vektor tersebut.
Dengan menerapkan proses Gram-Schmidt kita akan memperoleh sebuah basis ortonormal
{
} untuk W. W. Misalkan Misalkan
=
(10)
dan
=
(11)
Dari persamaan di atas kita dapat mengetahui bahwa kemudian tunjukkan bahwa
terletak pada W dan
=
(
) =
,
ortogonal terhadap W . Namun
terletak pada W karena merupakan sebuah kombinasi linear dari vektor – vektor vektor basis untuk
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 W .Untuk membuktikan bahwa
ortogonal terhadap W , kita harus menunjukkan bahwa
= 0 untuk setiap vektor
pada W . Akan tetapi ,jika
adalah sebuah vektor
sebarang pada W , vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear =
dari vektor – vektor vektor basis
,
,
= =
,
Dengan demikian
= =
(12)
Tetapi
= =
=
Berdasarkan teorema 6.3.2 bagian (c) = =
Maka ,
dan dan
adalah sama, sehingga (12) menghasilkan adalah
= = 0.
Untuk mengetahui apakah (10) dan (11) memang benar satu – satunya satunya pasangan vektor yang
memiliki sifat – sifat seperti yang dicantumkan di dalam dalam teorema, misalkan kita juga dapat dapat menuliskan
=
Dimana
terletak pada W
dan
persamaan
(13)
ortogonal terhadap W . Apabila kita mengurangi
=
dari (13) kita akan memperoleh 0=
atau
=
(14)
Karena
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 dan
ortogonal terhadap W , selisih keduanya juga ortogonal terhadap W ,
karena untuk sebuah vektor
sebarang pada W kita dapat menuliskan = = 0 – 0 = 0
= =
Akan tetapi
itu sendiri adalah sebuah vektor pada W , karena dari (14) diperoleh
hasil bahwa vektor itu adalah selisih dari kedua vektor subruang W . Sehingga
dan
yang terletak di dalam
pastilah ortogonal terhadap dirinya sendiri; jelasnya = = 0
Hal ini mengimplikasikan bahwa Sehingga,
=
, dan berdasarkan (14),
= 0 berdasarkan aksioma 4 untuk hasilkali dalam. =
.
LATIHAN
1. Manakah di antara himpunan-himpunan vektor berikut ini yang merupakan himpunan ortogonal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R pada R2? (a) (b)
√ √ √ √
(c)
√ √ √ √
(d) (0, 0), (0, 1)
2. Manakah di antara himpunan-himpunan vektor pada nomor 1 yang merupakan himpunan ortonormal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R pada R2? 3. Manakah di antara himpunan-himpunan vektor berikut ini yang merupakan himpunan ortogonal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R pada R3? (a) (b)
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
(c)
(d)
4. Manakah di antara himpunan-himpunan vektor pada nomor 3 yang merupakan himpunan ortonormal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada R pada R3? 5. Manakah di antara himpunan-himpunan polinomial berikut ini yang merupakan himpunan ortonormal, merujuk pada hasilkali dalam pada P pada P 2? (a) (b)
√ √
6. Manakah di antara himpunan-himpunan matriks berikut ini yang merupakan himpunan ortonormal, merujuk pada hasilkali dalam pada M pada M 22 22? (a)
(b)
* + * + * + * + * +
7. Buktikan bahwa himpunan-himpunan vektor yang diberikan di bawah ini adalah himpunan ortogonal, merujuk pada hasilkali dalam Euclidean, kemudian konversikan setiap himpunan menjadi sebuah himpunan ortonormal dengan menormalisasikan vektorvektornya. (a) (b)
(c)
〈 〉
8. Buktikan bahwa himpunan vektor-vektor [(1, 0), (0, 1)] adalah ortogonal, merujuk pada hasilkali dalam
pada R2; kemudian konversikan himpunan ini
menjadi sebuah himpunan ortonormal dengan menormalisasikan kedua ve ktornya. 9. Buktikan
bahwa
vektor-vektor
membentuk sebuah basis ortonormal untuk R3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean; kemudian gunakan Teorema 6.3.1 untuk menyatakan tiap-tiap vektor di bawah ini sebagai kombinasi linear dari v1, v2, dan v3. (a)
(b)
(c)
