Página 1 de 11
4
ZAPATAS AISLADAS CON TRABES DE LIGA
4.1
Introducción
En este capítulo se efectúa la interacción suelo estructura de una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga, considerando la rigidez de la estructura de cimentación. 4.2
Interacción suelo estructura de cimentación
4.2.1
Ecuación matricial de flexibilidades flexibilidades
La figura 4.1 muestra una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga. Por conveniencia, se denotará a las zapatas de los extremos con las letras a y b; y a las zapatas intermedias con los números 1, 2, 3,…, n (Fig. 4.1 a).
Pa
P1
P2
Pi
Pn
Pb
i
n
b
Ri
Rn
Rb
Pi
Pn
Pb
Wa
(a) (a) 2
a
1
Ra
R1
Pa
P1
2
P2
n
1
i
2
R a0
Rb0
(b) (b)
xi
yi L
d1i
R ai
Fig. 4.1
d2i
dii
R' i =1
dni
(c) (c) Rbi
Cimentación a base de zapatas aisladas aisladas con trabes trabes de liga; liga; a) cimentación cimentación real, b) condición R = 0 y c) condición Ri = 1.
Página 2 de 11
La estructura de cimentación es hiperestática, por lo que para resolverla se utilizará el método de las fuerzas, también llamado de flexibilidades o método de las deflexiones compatibles. Para la utilización del método de las fuerzas, se suprimirán las zapatas intermedias, con lo que se obtiene una estructura estáticamente determinada a la que se llama estructura primaria. A la estructura primaria se aplican las cargas que actúan sobre la estructura de cimentación real, y se calculan los desplazamientos ∆i, en cada uno de los puntos en donde se retiraron las zapatas intermedias (fig. 4.1 b). Después a la estructura primaria se le aplica una fuerza unitaria R 1=1 en el punto 1 y se calculan las deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,..., n, a esta condición se le llama R 1=1. En seguida se aplica a la estructura primaria una carga unitaria R 2=1 en el punto 2 y se calculan las deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,…, n, y se le llama condición R 2=1. Se continua con este procedimiento hasta aplicar una carga unitaria R n=1 en el punto n. Por compatibilidad de deformaciones para la condición R = 0 y las condiciones R 1=1, R 2=1,… y R n=1, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: d 11 R1 + d 12 R2 + ... + d 1n Rn = ∆1 − δ 1
F
d 21 R1 + d 22 R2 + ... + d 2 n Rn = ∆ 2 − δ 2
F
(4 .1) d n1 R1 + d n 2 R2 + ... + d nn Rn = ∆ n − δ n
F
donde: d ji = Desplazamiento en el punto j para la condición Ri = 1.
∆ i = Desplazamiento en el punto i para la condición R = 0. R i = Re acción en la zapata i. δ iF = Desplazamiento relativo de la zapata i con respecto a las zapatas a y b.
A
A
A
a
A
i
2
1
n
1
n F 1
i
2 F 2
F F
n
i
Fig. 4.2 Descomposición del desplazamiento vertical de una cimentación
b
Página 3 de 11
El desplazamiento vertical de la cimentación puede descomponerse, (fig. 4.2) como: δ i = δ i A + δ iF
(4.2)
donde: δ i = Desplazamiento vertical de la zapata i. δ i A = Desplazamiento del punto i por asentamiento de las zapatas a y b, considerando estructura de cimentacion rígida.
δ i = Desplazamiento del punto i por deflexión de la estructura de cimentación. F
Introduciendo la ecuación 4.2 en las ecuaciones 4.1 se tiene: d 11 R1 + d 12 R2 + ... + d 1n Rn = ∆ 1 + δ 1 − δ 1 A
d 21 R1 + d 22 R2 + ... + d 2 n Rn = ∆ 2 + δ 2 − δ 2 A
(4 .3) d n1 R1 + d n 2 R2 + ... + d nn Rn = ∆ n + δ n − δ n A
El sistema de ecuaciones anterior puede escribirse en forma matricial, como se muestra a continuación:
⎡d ⎢ 11 ⎢ ⎢d 21 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢d n1 ⎢⎣
d 12 ... d 1n ⎤ R1
⎥ ⎥ d 22 ... d 2 n ⎥ R2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ... d n 2 d nn ⎥ Rn ⎥⎦
∆1
δ 1 A
δ 1
∆2
δ 2 A
δ 2
=
+ ∆n
− A
δ n
(4.4)
δ n
La ecuación matricial 4.4 relaciona las reacciones R 1, R 2,…, R n con los desplazamientos δ1, de la estructura de cimentación, considerando la rigidez de la cimentación.
δ2,…, δn
A la ecuación 4.4 se le llama Ecuación Matricial de Flexibilidades (EMFLE) y se escribe en forma abreviada de la siguiente forma:
[d ] R ji
donde:
i
= ∆ i + δ i A − δ i
(4.5)
Página 4 de 11
⎡ ⎤ d ji ⎢ ⎥ = Matriz de flexibilid ades. ⎣ ⎦ Ri = Vector de reacciones de contacto suelo cimentación. ∆ i = Vector de deplazamiento para la condición R = 0. δ i A = Vector desplazamiento por asentamiento de los apoyos a y b, considerando estructura de cimentacion rígida. δ i = Vector de desplazamientos verticales.
4.2.2
Ecuación matricial de asentamientos
A partir de la ecuación 2.9 se obtiene la ecuación matricial de asentamientos (EMA), para la cimentación a base de zapatas aisladas unidas con trabe de liga, como se ilustra en la figura 4.1 a); a continuación se muestra la EMA:
⎡δ ⎢ aa ⎢ ⎢δ 1a ⎢ ⎢δ 2a ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ ⎢ na ⎢ ⎢δ ba ⎣
4.2.3
δ a1
δ a 2 ... δ an
δ 11
δ 12 ... δ 1n
δ 21
δ 22 ... δ 2 n
δ n1
δ n 2 ... δ nn
δ b1
δ b 2 ... δ bn
δ ab ⎤ Ra
⎥ ⎥ δ 1b ⎥ R1 ⎥ δ 2b ⎥ R2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ δ nb ⎥ Rn ⎥ ⎥ δ bb ⎥ Rb ⎦
δ a δ 1 δ 2
=
(4.6)
δ n δ b
Ecuación matricial de interacción suelo estructura
Nótese que con las ecuaciones matriciales EMA y EMFLE se tienen 2n + 2 ecuaciones con 2n + 4 incógnitas, por lo que las 2 ecuaciones restantes se obtienen con la sumatoria de momentos igual a cero en las zapatas a y b, con lo que el sistema de ecuaciones puede resolverse y obtenerse R a, R 1, R 2,…, R n, R b y δa, δ1, δ2,…, δn, δ b. A continuación se presenta un algoritmo para la solución de estos sistemas de ecuaciones.
Página 5 de 11
La ecuación EMA tiene n + 2 ecuaciones; mientras que la EMFLE posee n ecuaciones, por lo que para poder trabajar con estas ecuaciones simultáneamente, se debe reducir la ecuación EMA a un sistema de n ecuaciones: Del primer y último renglón de EMA se obtiene: δ a = δ aa Ra + δ a1 R1 + δ a 2 R2 + ... + δ an Rn + δ ab Rb
(4 .7)
δ b = δ ba Ra + δ b1 R1 + δ b 2 R2 + ... + δ bn Rn + δ bb Rb
(4 .8)
De los renglones 1 a n de EMA se tiene:
⎡δ ⎢ 11 ⎢ ⎢δ 21 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ n1 ⎢⎣
δ 12 ... δ 1n ⎤ R1
⎥ ⎥ δ 22 ... δ 2 n ⎥ R2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ δ n 2 ... δ nn ⎥ Rn ⎥⎦
δ 1 δ 2
=
δ n
⎡δ R + δ R 1b b ⎢ 1a a ⎢ ⎢δ 2a Ra + δ 2b Rb − ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na Ra + δ nb Rb ⎢⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(4.9)
Despejando | δ i| de la ecuación anterior: δ 1 δ 2
δ n
⎡δ ⎢ 11 ⎢ ⎢δ 21 = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ n1 ⎢⎣
δ 12 ... δ 1n ⎤ R1
⎥ ⎥ δ 22 ... δ 2 n ⎥ R2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ δ n 2 ... δ nn ⎥ Rn ⎥⎦
⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2a + ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢⎣
δ 1b ⎤
⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ⎥ Ra ⎥ R ⎥ b ⎥ δ nb ⎥ ⎥⎦
(4.10)
Despejando el vector | δ i| de la ecuación (4.4):
δ 1
∆1
δ 1 A
δ 2
∆2
δ 2
=
δ n
A
+ ∆n
A
δ n
⎡d ⎢ 11 ⎢ ⎢d 21 − ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢d n1 ⎢⎣
d 12 ... d 1n ⎤ R1
⎥ ⎥ d 22 ... d 2 n ⎥ R2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ d n 2 ... d nn ⎥ Rn ⎥⎦
(4.11)
Página 6 de 11
Igualando las ecuaciones 4.10 y 4.11 tenemos: ⎡δ ⎢ 11 ⎢ ⎢δ 21 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ n1 ⎢⎣
δ 12 ... δ 1n ⎤ R1
⎥ ⎥ δ 22 ... δ 2 n ⎥ R 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ δ n 2 ... δ nn ⎥ R n ⎥⎦
⎡ ⎡δ ⎢ ⎢ 11 ⎢⎢ ⎢ ⎢δ 21 ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎢δ n1 ⎢ ⎢⎣ ⎣
⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2 a + ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢⎣
δ 12 ... δ 1n ⎤
⎡d ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢ δ 22 ... δ 2 n ⎥ ⎢d 21 ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ δ n 2 ... δ nn ⎥ ⎢d n1 ⎥⎦ ⎢⎣
δ 1b ⎤
∆1
⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ∆2 R ⎥ a = ⎥ R ⎥ b ⎥ δ nb ⎥ ∆n ⎥⎦
d 12 ... d 1n ⎤ ⎤ R1
⎥⎥ ⎥⎥ d 22 ... d 2 n ⎥ ⎥ R 2 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ d n 2 ... d nn ⎥ ⎥ R n ⎥⎦ ⎥⎦
δ 1 A δ 2 A
+ δ n A
⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2a + ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢⎣
⎡d ⎢ 11 ⎢ ⎢d 21 − ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢d n1 ⎢⎣ δ 1b ⎤
d 12 ... d 1n ⎤ R1
⎥ ⎥ d 22 ... d 2 n ⎥ R 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ d n 2 ... d nn ⎥ R n ⎥⎦ ∆1
⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ∆2 R ⎥ a = ⎥ R ⎥ b ⎥ δ nb ⎥ ∆n ⎥⎦
(4.12)
δ 1 A δ A 2
+
(4.13)
δ A n
A continuación se desarrollara cada uno de los siguientes términos:
⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2 a ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢⎣
δ 1b ⎤
⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ⎥ Ra ⎥ R ⎥ b ⎥ δ nb ⎥ ⎥⎦
δ 1 A δ 2 A y
δ n A
Termino:
⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2 a ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢⎣
δ 1b ⎤
⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ⎥ Ra ⎥ R ⎥ b ⎥ δ nb ⎥ ⎥⎦
(4.14)
Página 7 de 11
a
2
1
i
n
b
R a0
R b0
Ra
R1
R2
Ri
Rn
Rb
Fig. 4.3 Sistema equivalente para la obtención de las reacciones R a y R b.
De la figura 4.3 se obtiene: Ra = Ra 0 − (ψ 1 R1 + ψ 2 R2 + ... + ψ n Rn )
(4.15)
Rb = Rb 0 − (ξ 1 R1 + ξ 2 R2 + ... + ξ n Rn )
(4.16)
donde: ψ i = ξ i =
xi
(4.17)
L yi
(4.18)
L
Sustituyendo las ecuaciones 4.15 y 4.16 en la ecuación 4.14 tenemos:
⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2a ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢⎣
δ 1b ⎤
⎡δ ⎥ ⎢ 1a ⎥ ⎢ δ 2b ⎥ ⎢δ 2 a ⎥ Ra = ⎢ ⎥ R ⎢ ⎥ b ⎢ ⎥ ⎢ ⎢δ na δ nb ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣
δ 1b ⎤
⎡δ ⎥ ⎢ 1a ⎥ ⎢ δ 2b ⎥ ⎢δ 2 a ⎥ Ra 0 − ⎢ ⎥ R ⎢ ⎥ b0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢δ na δ nb ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣
δ 1b ⎤
⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ⎡ ψ ⎥⎢ 1 ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ξ 1 ⎥ δ nb ⎥ ⎥⎦
R1 R2 ψ 2 ...ψ n ⎤
⎥ ⎥ ξ 2 ... ξ n ⎥ ⎦
(4.19)
Rn
Termino:
⎡δ A ⎢ 1 ⎢ A ⎢δ 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ n A ⎢⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(4.20)
Página 8 de 11
Sustituyendo la ecuación 4.2 en la ecuación 4.20 obtenemos: A
δ 1
A 2
δ
δ n A
A
δ 1
δ 2 A
δ n A
⎡ψ 1δ a + ξ 1δ b ⎤ ⎢ψ δ + ξ δ ⎥ 2 b⎥ ⎢ 2 a ⎥ =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ψ nδ a + ξ nδ b ⎥ ⎣ ⎦
(4.21)
⎡ψ ⎢ 1 ⎢ ⎢ψ 2 = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ψ n ⎢⎣
(4.22)
ξ 1 ⎤
⎥ ⎥ ξ 2 ⎥ ⎥ δ a ⎥ δ ⎥ b ⎥ ξ n ⎥ ⎥⎦
Sustituyendo las ecuaciones 4.7 y 4.8 en la ecuación 4.22: R a
δ 1 A δ 2 A
δ n A
⎡ψ ⎢ 1 ⎢ ⎢ψ 2 = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ψ n ⎢⎣
ξ 1 ⎤
⎥ ⎥ ξ 2 ⎥ ⎡ δ ⎥ ⎢ aa ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣δ ba ⎥ ξ n ⎥ ⎥⎦
R1
δ a1
δ a 2 ... δ an
δ b1
δ b 2 ... δ bn
δ ab ⎤
R 2
⎥ ⎥ δ bb ⎥ ⎦
(4.23)
R n R b
Página 9 de 11
δ 1 A A
δ 2
A
δ n
ξ 1 ⎤ ⎡
⎡ψ ⎢ 1 ⎢ ⎢ψ 2 = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ψ n ⎢⎣
R1
⎥⎢ ⎥⎢ ξ 2 ⎥ ⎢ ⎡δ aa ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎢δ ⎥ ⎢ ⎣ ba ξ n ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣
δ ab ⎤
⎡δ ⎥ R a1 a ⎥ +⎢ ⎥ R b ⎢δ ⎣⎢ b1 δ bb ⎥ ⎦
δ a 2 ... δ an ⎤
R 2
⎥ ⎥ δ b 2 ... δ bn ⎥ ⎦ R n
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
(4.24)
Sustituyendo las ecuaciones 4.15 y 4.16 en la ecuación 4.24 resulta: A
δ 1
δ 2 A
δ n A
⎡ψ ⎢ 1 ⎢ ⎢ψ 2 = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ψ n ⎢⎣
ξ 1 ⎤ ⎡
⎥⎢ ⎥⎢ ξ 2 ⎥ ⎢ ⎡δ aa ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎢δ ⎥ ⎢ ⎣ ba ξ n ⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣
R1
δ ab ⎤
⎡δ ⎥ R ⎢ aa ⎥ a0 − ⎢ ⎥ Rb 0 ⎢ ⎢δ ba δ bb ⎥ ⎦ ⎣
⎥⎢ ⎥ ⎢ξ 1 δ bb ⎥ ⎢⎣ ⎦
ψ 2 ... ψ n ⎤ ξ 2 ... ξ n
R 2
⎥ ⎥ ⎥⎦
+
R n R1
⎡δ a1 +⎢ ⎢ δ ⎣⎢ b1
δ ab ⎤ ⎡ ⎥ ψ 1
δ a 2 ... δ an ⎤
R 2
⎥ ⎥ δ b 2 ... δ bn ⎥ ⎦ R n
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
(4.25)
Sustituyendo las ecuaciones 4.19 y 4.25 en la ecuación 4.13 y reordenando términos resulta lo siguiente:
⎡ ⎡δ ⎢ ⎢ 11 ⎢⎢ ⎢ ⎢δ 21 ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎢δ n1 ⎢ ⎢⎣ ⎣ donde:
δ 12 ......δ 1n ⎤
⎡d ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢ δ 22 ......δ 2n ⎥ ⎢d 21 ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ δ n 2 ......δ nn ⎥ ⎢d n1 ⎥⎦ ⎢⎣
d 12 ... d 1n ⎤
⎡a ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢ d 22 ... d 2n ⎥ ⎢a 21 ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ d n 2 ... d nn ⎥ ⎢a n1 ⎥⎦ ⎢⎣
a12 ... a1n ⎤ ⎤ R1
⎥⎥ ⎥⎥ a 22 ... a 2 n ⎥ ⎥ R2 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ a n 2 ... ann ⎥ ⎥ Rn ⎥⎦ ⎥⎦
b1
∆1
b2
∆2
=
+
bn
(4.26)
∆n
Página 10 de 11
⎡a ⎢ 11 ⎢ ⎢a21 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢an1 ⎢⎣
a12 ... a1n ⎤
⎡ψ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ a22 ... a2n ⎥ ⎢ψ 2 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ an2 ... ann ⎥ ⎢ψ n ⎥⎦ ⎢⎣
b1 b2
bn
ξ 1 ⎤
⎥ ⎥ ξ 2 ⎥ ⎡δ aa ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣δ ba ξ n ⎥ ⎥⎦
⎡ δ ⎢ 1a ⎢ ⎢ δ 2 a − ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ δ na ⎢⎣
δ 1 b ⎤
⎡ ⎡ψ ⎢⎢ 1 ⎢⎢ ⎢ ⎢ψ 2 ⎢ = ⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎢ψ n ⎢ ⎢⎣ ⎣
ξ 1 ⎤
δ ab ⎤ ⎡ ⎥ ψ 1
⎥⎢ ⎥ ⎢ξ 1 δ bb ⎥ ⎢⎣ ⎦
⎥ ⎥ δ 2 b ⎥ ⎡ ⎥ ⎢ψ 1 ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ξ 1 ⎥ δ nb ⎥ ⎥⎦
⎥ ⎥ ξ 2 ⎥ ⎡ δ aa ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ δ ⎥ ⎣ ba ξ n ⎥ ⎥⎦
⎡ψ ⎢ 1 ⎢ ψ 2 ψ 2 ...ψ n ⎤ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ξ 2 ...ξ n ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ ⎢ψ n ⎢⎣
ξ 1 ⎤
⎥ ⎥ ξ 2 ⎥ ⎡ δ ⎥ ⎢ a1 ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣δ b1 ⎥ ξ n ⎥ ⎥⎦
ψ 2 ... ψ n ⎤ ξ 2 ... ξ n
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ δ ⎢ 1a ⎢ δ ab ⎤ ⎢ δ 2 a ⎥ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ δ bb ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ δ na ⎢⎣
δ a2 ...δ an ⎤
⎥− ⎥ δ b2 ...δ bn ⎥ ⎦
(4.27)
δ 1 b ⎤ ⎤
⎥⎥ ⎥⎥ δ 2 b ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ R a 0 ⎥ ⎥ R ⎥ ⎥ b0 ⎥⎥ δ nb ⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎥⎦
(4.28)
A la ecuación 4.26 se le llama “Ecuación Matricial de Interacción Suelo Estructura” (EMISE), y puede simplificarse de la siguiente forma:
⎡ ⎢[δ ji ] + [d ji ] + [a ji ] ⎣
⎤ ⎥ Ri = bi + ∆i ⎦
(4.29)
La ecuación anterior puede escribirse de la siguiente manera:
⎡ ⎤ ⎢ M ji ⎥ Ri = V i ⎣ ⎦
(4.30)
Página 11 de 11
donde:
⎡ ⎤ M ji ⎢ ⎥ = [δ ji ] + [d ji ] + [a ji ] ⎣ ⎦
(4.31)
V i = bi + ∆ i
(4.32)
Entonces: Ri = [ M ji ] V i −1
(4.33)
donde:
[ M ]−
1
ji
= Matriz inversa de [M ji ]
Con la ecuación matricial 4.33 se obtienen las reacciones R 1, R 2, …, R n. Por sumatoria de momentos en las zapatas b y a se obtienen R a y R b, respectivamente; y de la ecuación matricial de asentamientos EMA se obtienen los desplazamientos δa, δ1, δ2, …, δn y δ b.
