GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS)
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA METODOS NUMERICOS GAUSS (SUSTITUCION HACIA TRAS) BENAVIDES FAJARDO J. HUGO 201!02"#$ PEREA HERNANDE% RUBEN 201!01!&" MONTES MEDINA JOSUE OMAR 201!0122# PROF' MAD.SILVIANO ESCAMILLA GARCIA !EV2
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) INDICE Gauss simple(sustitución hacia atrás)………………………………..pag.3
Ejemplo propuesto………..………………………………..pag.6
Diagrama de flujo………………………………………………………..pag.9 Eliminación hacia adelante…………………………………pag.9
ustitución hacia atrás…..…………………………….…..pag.!"
#rograma en $………………………………………………………….pag.!!
Ejercicios propuestos ………………...………………………………..pag.!3 Ejemplo !…………………………………………………..pag.!3
Ejemplo %…………………………………………………..pag.!&
Ejemplo 3…………………………………………………..pag.!6
''*#G+,-,………………………………………………………..pag.!9
G** S+,-/ (**++3 4+ 56*) 3EV2
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) Esta tcnica /ásica puede e0tenderse a sistemas grandes de ecuaciones desarrollando un es1uema sistemático o algor2tmico para eliminar incógnitas sustituir hacia atrás. a eliminación de Gauss es el más /ásico de dichos es1uemas. ,1u2 se presentan las tcnicas sistemáticas para la eliminación hacia adelante la sustitución hacia atrás 1ue la eliminación gaussiana comprende. Dado 1ue stas tcnicas son mu adecuadas para utili4arse en computadoras5 se re1uieren algunas modificaciones para o/tener un algoritmo confia/le. En particular5 el programa de/e eitar la diisión entre cero. ,l siguiente mtodo se le llama eliminación gaussiana simple5 a 1ue no eita este pro/lema. El mtodo está ideado para resoler un sistema general de n ecuaciones7 a!!0!8a!%0%8a!3038….8a!n0n/!
(Ec. !.!a)
a%!0!8a%%0%8a%3038….8a%n0n/%
(Ec. !.!/)
an!0!8an%0%8an3038….8ann0n/n
(Ec. !.!c)
$omo en el caso de dos ecuaciones5 la tcnica para resoler ecuaciones consiste en dos fases7 la eliminación de las incógnitas su solución mediante sustitució hacia atrás.
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS)
as dos fases de la eliminación de Gauss7 eliminación hacia adelante sustitución hacia atrás. os super2ndices prima indican el n:mero de eces 1ue se han modificado los coeficientes constantes. El procedimiento se repite despus con las ecuaciones restantes. #or ejemplo5 la ecuación (Ec. !.!) se puede multiplicar por a3!;a!! el resultado se resta de la tercera ecuación. e repite el procedimiento con las ecuaciones restantes da como resultado el siguiente sistema modificado7
a!!0!8a!%0%8a!3038….8a!n0n/!
(Ec. !.3a)
a<%%0%8a<%3038….8a<%n0n/<%
(Ec. !.3/)
a<3%0%8a<33038….8a<3n0n/<3
(Ec. !.3c)
a
(Ec. !.3d)
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) En los pasos anteriores5 la ecuación (Ec. !.!a) se llama la ecuación piote5 a!! se denomina el coeficiente o elemento piote. */sere 1ue el proceso de multiplicación del primer renglón por a!!;a!!es e1uialente a diidirla entre a!! multiplicarla por a%!. ,lgunas eces la operación de diisión es referida a la normali4ación. e hace esta distinción por1ue un elemento piote cero llega a interferir con la normali4ación al causar una diisión entre cero. =ás adelante se regresará a este punto importante5 una e4 1ue se complete la descripción de la eliminación de Gauss simple. ,hora se repite el procedimiento antes descrito para eliminar la segunda incógnita en las ecuaciones (Ec. !.3c) hasta (Ec. !.3d). #ara reali4ar esto5 multipli1ue la ecuación (Ec. !.3/) por a>3%;a>%% reste el resultado de la ecuación (Ec. !.3c). e reali4a la eliminación en forma similar en las ecuaciones restantes para o/tener. a!!0!8a!%0%8a!3038….8a!n0n/! a<%%0%8a<%3038….8a<%n0n/<%
a<<33038….8a<<3n0n/<<3 a<
Donde el super2ndice /iprima indica 1ue los elementos se han modificado dos eces. El procedimiento puede continuar usando las ecuaciones piote restantes. a :ltima manipulación en esta secuencia es el uso de la (n?!) sima ecuación para eliminar el trmino x n−1 de la n?sima ecuación. ,1u2 el sistema se ha/rá transformado en un sistema triangular superior
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS)
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS)
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS)
D+75, 8/ 9:; 3EV2
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) Diagrama de -lujo Gauss imple eliminación hacia adelante
Diagrama de Flujo Gauss Simple sustitución hacia atrás
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P5;75,* /3 C (G** *+,-/) @include Amath.h B @include Astdio.h B ;Cpara printf()5scanf()C;
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) @include Aconio.h B ;Cpara getch()5clrscr()C; ;; @include Astdli/.h B ;Cpara e0it()C; ;; @include Ados.h B @define =E %" @define FE+,* " float ,H%IJH%IJ5 'H%IJ5 H%IJ5KH%IJL printf(MNn =EF*D* DE G, =#EM)L printf(MNn umero de Ecuaciones M)L scanf(MOdM5Pn)L printf(MNn nserte cada uno de los coeficientesNnM)L for(i!LiAnLi88) Q printf(MNn -ila Od NnM5i)L for(j!LjAnLj88) Q printf(M ngrese ,(Od5Od) M5i5j)L scanf(MOfM5P,HiJHjJ)L RR printf(MNn nserte cada uno de los terminos independientesNnM)L for(i!LiAnLi88) QQ printf(M ngrese '(Od) M5i)L scanf(MOfM5P'HiJ)L RR printf(MNn Folerancia para el calculo M)L scanf(MOfM5Ptol)L Gauss( n5tol5 Per )L printf(MNnNn +,$E DE FE=,Nn M)L for(i!LiAnLi88) Q printf(MNn K(Od) O6.&fM5i5KHiJ)L
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) R printf(MNnNn -in del programaM)L getch()L R oid Gauss( int n5 float tol5 int Cer) Q int i5jL ;; =#+E* DE * $*E-$EFE +E$'D* ;C printf(MNn =#+E* DE $*E-$EFENnM)L for(i!LiAnLi88) Q printf(MNn -ila Od NnM5i)L for(j!LjAnLj88) Q printf(M ,(Od5Od) OfM5i5j5 ,HiJHjJ)L R printf(MNnM)L R getch()L C; Cer "L for (i!LiAnLi88) Q HiJ a/s(,HiJH!J)L for(j%LjAnLj88) if( a/s(,HiJHjJBHiJ)) HiJ ,HiJHjJL R
E:/5++;* -5;-/*;* =EF*D* DE G, El mtodo de Gauss resuele un sistema de ecuaciones lineales de forma simultánea. El mtodo consiste de dos fases. a primera fase se le conoce
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) como Seliminación hacia adelanteT5 de/ido a 1ue reali4a una eliminación de coeficientes comen4ando de arri/a hacia a/ajo5 hasta dejar una matri4 de coeficientes del tipo triangular superior. a segunda se le conoce como Ssustitución hacia atrásT5 por 1ue se parte de la :ltima ecuación del sistema5 para despejar la incógnita5 la cual5 a se puede resoler de/ido a 1ue en esa :ltima ecuación :nicamente se desconoce una incógnita5 por el hecho de tener un sistema de ecuaciones de tipo matri4 triangular superior. !.?+esoler un sistema lineal por Gauss (sustitución hacia atrás) %0 83 U4 I &0 8& U34 3 U%0 83 U4 ! Vacemos ceros por de/ajo del piote % en la primera columna. f 1 f 2 f 3
[
2
3
−1 5
4
4
−3 3
−2
3
−1 1
]
f ´ 1 =f 1 f ´ 2= f 2− f ´ 3= f 3 −
4 2
f 1
−2 2
f 1
Vacemos ceros por de/ajo del piote U% en la segunda columna f ' 1 f ' 2 f ' 3
[
2
3
−1 5
0
−2
−1−7
0
6
−2 6
]
f ´ 1 =f ´ 1 f ´ 2 =f ´ 2 f ´ 3 = f 3 −
6
−2
f 1
W a tenemos una matri4 triangular superior (con ceros por de/ajo de la diagonal principal). f ' ' 1 f ' ' 2 f ' ' 3
[
2
3
0
−2
0
0
−1 5 −1 −7 −5 15
]
SUSTITUCI
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) UI4 U!I Empe4amos por la 4 4 U!I;(UI) 3 (UX 8 4);(U%) (UX 8 3);(U%) % 0 (I U 3 8 4);% (I U 3(%) 8 (3));% !
%.?+esoler un sistema lineal por Gauss con piote 0 8 U4 " %0 8 84 X 30 U% U4 U& En este primer paso /uscamos el piote en la primera columna. $ogemos como piote el elemento de maor alor a/soluto. Vacemos ceros por de/ajo del piote.
[
1
1
−1 0
2
1
1 7
0
6
−2 6
]
f 1 <−−¿ f 2 f 3
[
3
−2
2
1
1
1
1 −4 1
7
−1 0
]
f ´ 1 =f 1 2
f ´ 2 =f 2− f 1 3 1
f ´ 3 =f 3 − f 1 3
,hora el má0imo alor5 el piote X;3 está en la segunda columna por lo 1ue no hace falta intercam/iar filas.
[ ] 3
f ' 1 f ' 2 f ' 3
0
0
−2
−1 −4
7
5
29
3
3
3
5
3
−2 4 3
3
f ' ' 1 =f ´ 1 f ' ' 2 =f ´ 2 5
f ' ' 3 = f 3 −
3 7
f ' 2
3
W a tenemos una matri4 triangular superior (con ceros por de/ajo de la diagonal principal)
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) f ' 1 f ' 2 f ' 3
[
3
−2
0
0
−1 − 4
7
5
29
3
3
3
0
−13
39
7
7
]
SUSTITUCI
5
8
3
29
4
13
U
7
3
39
4 U
7
Despejamos las incógnitas empe4ando por la ecuación de a/ajo progresamos hacia arri/a. 30 U% U4 U& 7 3
5
8
3
13
U
7
29
4
3
39
4 U
7
Empe4amos con la 4 4 U(39;X);(U!3;X) 3 ((%9;3) U (I;3)4);(X;3) % 0 (U& 8 % 8 4);3 !
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) 3.?+esoler el siguiente sistema de ecuaciones7 30! Y ".!0% Y ".%03 X.ZI Ec.! ".!0! 8 X0% ?".30 3 ?!9.3 Ec.% ".30! ?".%0% 8 !"03 X!.& Ec.3 E=,$* V,$, ,DE,FE Ecuación piote Ec.! Elemento piote 0 ! (incógnita a eliminar de las ecuaciones restantes) e normali4a la ecuación ! para restarla en Ec.%7 " ".!#
Ec .! Ec .!( factor ) 5 donde factor
$
3
%
".!0! Y ".""33330% Y ".""666603 ".%6!666
Ec.![
#ara o/tener la nuea Ec.%5 se restan las ecuaciones Ec.% Ec.% Y Ec.![ "0! 8 X.""33330% ?".%9333&03 ?!9.I6!666
e normali4a la ecuación ! para restarla en Ec.37
Ec .!\
Ec .!( factor ) 5 donde factor
" ".3 # & ' $
".30!
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3
%
Y "."!0% Y "."%03 ".XZI Ec.![
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Ec.%
GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) #ara o/tener la nuea Ec.35 e restan las ecuaciones Ec.3 Ec.3 Y Ec.![ "0! ?".!90% 8!"."%0 3 X".6!I Ec.3 El nueo sistema de ecuaciones despus de eliminar 0 ! de las ecuaciones % 35 1ueda7 30! Y ".! 8 ?
Y ".%03 X.ZI ?".%9333&0 3 8!"."%03 X".6!I
Ec E E
uea ecuación piote Ec.% Elemento piote 0 % (incógnita a eliminar de las ecuaciones restantes) e normali4a la ecuación % para restarla en Ec.37 Ec .%\
"
# ' $ X.""3333 % U ".!9
Ec .%( factor ) 5 donde factor &
Y ".!90% 8 ".""X9IZ0 3 ".I3"X"X
Ec.%[
#ara o/tener la nuea Ec.35 se restan las ecuaciones Ec.3 Ec.3 Y Ec.%[ !"."!%"&%0 3 X"."Z&%93 Ec.3
El nueo sistema de ecuaciones despus de eliminar 0 % de la ecuación 35 1ueda7 3
Y ".! 0% Y ".%03 X.ZI X.""33330 % ?".%9333&03 !"."!%"&!0 3
SUSTITUCION HACIA ATRAS' 3EV2
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Ec Ec E
GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) Despejando 0 3 de la Ec.37
Despejando 0 % de la Ec.%7
Despejando 0 3 de la Ec.!7
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GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS) BIBLIOGRAFIA' S=todos umricos para ingenierosT $hapra . $anale +. =cGra]?Vill. $hapra . $anale +.
URL' 4-'==>>>.3+;?+/8;./*=;,-3,=/@-;*++?=P5/*/3+;3/*>/ =T"*+*+3//*.-89 4-'==>>>.75+8,;5/;*./,.,@=,5==5*;*=,3=7**.-89 4-'==8+7+.?.,@=+*5/,=12!"$#&=2"21=1=B8+;R+;*O5+ 8/L.-89 4-'==.,.+/*,.,@=,1010=,/5+/*=,101002.-89
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