Métodos Cuantitativos
Lic . Jos éde Jes ús Ro m ero A .
Tema 1. Programación lineal La programación lineal es una técnica matemática ampliamente ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores, en la planeación y toma de decisiones relativas a la negociación necesaria necesaria para asignar recursos. Algunos ejemplos de problemas en los que la programación lineal ha sido aplicada exitosamente exitosamente en la administración de operaciones son: La selección de la mezcla de productos en una fábrica, para tener el mejor uso de las horas disponibles de la maquinaria y mano de obra, mientras se maximiza la utilidad de la empresa. La selección de diferentes mezclas de materias primas en los molinos de comida para producir combinaciones de alimentos terminados al mínimo costo. La determinación de un sistema de distribución que minimice el costo total de embarque de varios almacenes a varias localizaciones de mercado. El desarrollo de un programa de producción que satisfaga las demandas futuras para un producto de la compañía, y al mismo tiempo minimice los costos totales de producción e inventario.
Requerimientos de un problema de programación lineal. Todos los problemas de programación lineal tienen cuatro componentes en su estructura: 1) Todos los problemas buscan maximizar o minimizar alguna cantidad (normalmente la utilidad o el costo). A este punto se le llama la función objetivo de un problema de programación lineal. El principal objetivo de una empresa típica es la de maximizar las utilidades en pesos a largo plazo. En el caso de un sistema de distribución en camiones camiones o línea aérea, el objetivo puede ser el de minimizar los costos de embarque. 2) La presencia de limitaciones, o restricciones, limita el grado al cual se puede lograr el objetivo. Por ejemplo, la decisión de la cantidad de unidades que se fabriquen por cada producto, en la línea de productos de una empresa, se encuentra restringida por la disponibilidad de mano de obra y maquinaria. Se desea, por lo tanto la maximización o minimización de una cantidad (la función objetivo) sujeta a los recursos limitados (las restricciones). restricciones).
3) Deben existir caminos alternos de acción y opciones o pciones para elección. Por ejemplo si una compañía produce tres productos diferentes, la administración puede utilizar la programación lineal para decidir cómo asignar entre ellos sus limitados recursos de producción (de mano de obra, maquinaria, y así sucesivamente). Si no existieran alternativas de las cuales elegir, no sería necesaria la programación programación lineal.
Además todos los modelos de programación lineal deben tener: I. Variables de decisión: son cantidades desconocidas que deben determinarse determinarse en la solución del modelo. Es lo que queremos conocer. II. Parámetros: son los valores que describen la relación entre las variables de decisión. III. Restricciones: son las limitaciones físicas, económicas o temporales que ocurren en el problema.
Estructura de los modelos de programación lineal. 1) Definición de variables. 2) Definición de función objetivo. 3) Definición de restricciones. restricciones. 4) No negatividad.
Formulación de problemas de programación lineal. Ejemplo: la Shader Electronic Company produce dos "artículos" o dos "equipos": (1) el walkman Shader, un toca cassettes con AM/FM portátil y (2) la watch TV Shader, un televisor blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción es similar para cada uno, ambos necesitan un cierto número de horas de trabajo electrónico y un número de horas en el departamento departamento de ensamble. Cada walkman lleva 4 horas de trabajo electrónico electrónico y dos horas en el taller de ensamble. Cada watch TV requiere de 3 horas de electrónica y una hora de ensamble. Durante el presente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de electrónica y 100 horas del departamento de ensamble. Cada walkman aporta una utilidad de 7 dólares; cada watch TV puede ser vendida para obtener una utilidad de 5 dólares. El problema de Shader es determinar la mejor combinación combinación posible (mezcla de productos) de cantidad de walkman y de watch TV, para fabricarlos de manera que se obtenga la máxima utilidad. Esta situación de mezcla de producción puede ser formulada como un problema de programación lineal.
3) Deben existir caminos alternos de acción y opciones o pciones para elección. Por ejemplo si una compañía produce tres productos diferentes, la administración puede utilizar la programación lineal para decidir cómo asignar entre ellos sus limitados recursos de producción (de mano de obra, maquinaria, y así sucesivamente). Si no existieran alternativas de las cuales elegir, no sería necesaria la programación programación lineal.
Además todos los modelos de programación lineal deben tener: I. Variables de decisión: son cantidades desconocidas que deben determinarse determinarse en la solución del modelo. Es lo que queremos conocer. II. Parámetros: son los valores que describen la relación entre las variables de decisión. III. Restricciones: son las limitaciones físicas, económicas o temporales que ocurren en el problema.
Estructura de los modelos de programación lineal. 1) Definición de variables. 2) Definición de función objetivo. 3) Definición de restricciones. restricciones. 4) No negatividad.
Formulación de problemas de programación lineal. Ejemplo: la Shader Electronic Company produce dos "artículos" o dos "equipos": (1) el walkman Shader, un toca cassettes con AM/FM portátil y (2) la watch TV Shader, un televisor blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción es similar para cada uno, ambos necesitan un cierto número de horas de trabajo electrónico y un número de horas en el departamento departamento de ensamble. Cada walkman lleva 4 horas de trabajo electrónico electrónico y dos horas en el taller de ensamble. Cada watch TV requiere de 3 horas de electrónica y una hora de ensamble. Durante el presente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de electrónica y 100 horas del departamento de ensamble. Cada walkman aporta una utilidad de 7 dólares; cada watch TV puede ser vendida para obtener una utilidad de 5 dólares. El problema de Shader es determinar la mejor combinación combinación posible (mezcla de productos) de cantidad de walkman y de watch TV, para fabricarlos de manera que se obtenga la máxima utilidad. Esta situación de mezcla de producción puede ser formulada como un problema de programación lineal.
Formulación de problemas de programación lineal. PASOS: 1.-Se empieza reuniendo la información necesaria para poder formular y resolver adecuadamente este problema.
Horas requeridas para
Horas requeridas para
DEPARTAMENTO producir una unidad de producir una unidad de walkmans watch TV
Horas disponibles esta semana
Electrónica
4
3
240
Ensamble
2
1
100
Utilidad/unidad Utilidad/un idad
$7
$5
2.-Después se definen las variables de decisión.
3.- Crear la función objetivo en términos de X1 y X2
Maximizar la utilidad = 4.- El siguiente paso es desarrollar las relaciones matemáticas para describir las restricciones del problema. Una relación general general es que la cantidad de recursos usados debe ser menor o igual ≤ a
la cantidad de recursos disponibles. Primera restricción: el tiempo de electrónica utilizado es ≤ al tiempo de electrónica disponible.
(horas de tiempo de electrónica) Segunda restricción: restricción: el tiempo de ensamble utilizado es ≤ al tiempo de ensamble disponible.
(horas de tiempo de ensamble) Por lo tanto el modelo matemático del problema de programación lineal quedaría de la siguiente manera:
Tema 2. Metodologías para la solución de problemas de programación lineal. La programación lineal (PL) utiliza diferentes técnicas para la solución de problemas Método gráfico. Método simplex. Algoritmo de transporte. Algoritmo de asignación, entre otros.
El método gráfico se aplica para solucionar problemas de PL, que incluye solamente dos variables. Además se puede representar el modelo gráficamente y de esta forma visualizar la región básica factible, la cual contendrá la solución óptima. Retomando el ejemplo de la clase pasada, para dar solución a través del método gráfico. Partiremos desde la formulación del modelo:
Formulación de problemas de programación lineal. PASOS: 1.-Se empieza reuniendo la información necesaria para poder formular y resolver adecuadamente este problema. DEPARTAMENTO
Horas requeridas para producir una unidad de walkmans
Horas requeridas para producir una unidad de watch TV
Horas disponibles esta semana
Electrónica
4
3
240
Ensamble
2
1
100
Utilidad/unidad
$7
$5
2.-Después se definen las variables de decisión.
3.- Crear la función objetivo en términos de X1 y X2
4.- El siguiente paso es desarrollar las relaciones matemáticas para describir las restricciones del problema. Una relación general es que la cantidad de recursos usados debe ser menor o igual ≤ a la cantidad de recursos disponibles. Primera restricción: el tiempo de electrónica utilizado es ≤ al tiempo de electrónica
disponible.
Segunda restricción: el tiempo de ensamble utilizado es ≤ al tiempo de ensamble
disponible.
Por lo tanto el modelo matemático del problema de programación lineal quedaría de la siguiente manera:
Solución aplicando el método gráfico. El método gráfico: Se aplica para resolver un problema de programación lineal con sólo dos variables de decisión.
Vamos a trazar las restricciones en el plano cartesiano x y. Para ellos vamos a ver dónde corta cada una de las líneas a los ejes.
También hay que considerar las restricciones , las cuales nos indican que solamente vamos a considerar la gráfica en su primer cuadrante. La gráfica sería la siguiente:
También hay que considerar el signo que aparece en la desigualdad, ya que en este caso los signos son ≤ , eso implica que la región factible son los valores que se
encuentran abajo y sobre las líneas que hemos trazado, la representación gráfica quedaría como:
Se puede observar que las líneas se intersectan en la siguiente región básica factible.
Los puntos óptimos son los que se muestran sobre los extremos de esta región.
Entonces podemos decir que la ganancia máxima será de $410, cuando se produzcan 30 walkmans y 40 watch TV.
Aplicando WinQSB la solución a nuestro problema sería la siguiente: 1º Entrar al apartado de programación lineal y entera, tal y como se presenta en la siguiente pantalla:
2º Abrir una hoja de cálculo para vaciar los datos, para ello puedes dar clic sobre el menú de herramientas en el apartado file en la hoja cuadriculada, tal y como se muestra en la pantalla:
3º Aparece esta pantalla Colocar el nombre del problema, por ejemplo: Problema 1
Colocar el número de restricciones.
Colocar el número de variables.
4º Los datos se vacían tal y como se presentan en la siguiente pantalla. Primero se presentan los coeficientes correspondientes a la función objetivo, en C1 en y C2 se asignan los coeficientes de cada una de las restricciones. Para cambiar la el signo de las desigualdades basta con dar doble click sobre el signo de la desigualdad:
5º Para obtener la solución gráfica del problema damos click en la barra de herramientas sobre el apartado Solve and Analyze, así como se presenta en la
Tema 3. Método Simplex. El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex. A continuación hacemos una descripción de cómo solucionar un problema a través del método simplex, utilizando WinQSB.
Ejemplo: DEPARTAMENTO
Horas requeridas para producir una unidad de walkmans
Horas requeridas para producir una unidad de watch TV
Horas disponibles esta semana
Electrónica
4
3
240
Ensamble
2
1
100
Utilidad/unidad
$7
$5
En el cual su modelo está dado por:
El método Simplex: El método simplex no es más que un enfoque complicado de prueba y error para resolver problemas de PL. Reglas de aumento
Tipo de restricción
=
Ag ré gu ese a la Restricción
fu nc ión Función objetivo
+S
+S
-S+A
Máx: +0*S-MA Mín: +0*S+MA
+A
Máx: -MA Mín: +MA
V.Base
Variables de Decisión
Variables de holgura
Solución
V.Base
Variables de Decisión
Variables de holgura
Solución
V.Base
Variables de Decisión
Variables de holgura
Solución
V.Base
Variables de Decisión
Variables de holgura
Solución
V.Base
Variables de Decisión
Variables de holgura
Solución
Gráficamente encontramos que la solución estaba dada por: Lo que vamos a ver aplicando el método simplex a través de WinQSB es que cada iteración representa la evaluación sobre la función objetivo para obtener el valor óptimo dentro de la región básica factible.
1º Introducir los datos del modelo a la hoja de cálculo del WinQSB.
2º La primera iteración se da sobre el punto A(0,0)
3º La primera segunda iteración y se da sobre el punto D(50,0)
4º La tercera iteración presenta la solución óptima que es sobre el punto C(30,40) Entonces podemos decir que la ganancia máxima será de $410, cuando se produzcan 30 Walkmans y 40 Watch TV.
Observe que el óptimo, si es que existe, se determina avanzando un punto esquina adyacente a la vez y comprobando si aun existe un punto esquina que pueda mejorar el valor de la función objetivo. Esta evaluación se lleva a cabo en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Tema 4. Variantes del método Simplex(Análisis de Sensibilidad) INTERPRETACIÓN DE LAS SOLUCIONES SIMPLEX. Ejemplo 2: Como parte de su proceso estratégico de planeación, Precision Manufacturing Company debe determinar para el siguiente año la mezcla de productos a manufacturar. La empresa produce dos líneas principales de productos para la industria de la construcción comercial: una línea de sierras circulares po rtátiles para uso pesado y una línea de sierras de mesa de precisión. Las dos líneas co mparten una misma capacidad de producción y se venden a través de lo s mismos canales de ventas. Aunque dentro de la línea de productos existe alguna diversidad, la utilidad promedio es de 900 dólares por cada sierra circular y de 600 dólares por cada sierra de mesa. La capacidad de producción está limitada de dos maneras: capacidad de fabricación y capacidad de ensamble. Todos los meses está disponible un máximo de 4000 horas de capacidad de fabricación; cada sierra circular requiere 2 horas y cada sierra de mesa una hora. Hay disponible al mes un máximo de 5,000 horas de capacidad de ensamble y cada sierra circular requiere 1 hora y cada sierra de mesa requiere dos horas. El departamento de comercialización estima que existirá en el mercado para el año que viene una demanda máxima de 3,500 sierras al mes para ambas líneas de productos combinadas. ¿Cuántas sierras circulares y cuántas sierras de mesa deberán producirse mensualmente el próximo año para maximizar la utilidad?
Modelo de PL
Solución. Aplicando WinQSB para solucionar este problema, obtenemos:
La solución se deduce como sigue: X1, X2, S3 son variables básicas porque todas tienen un valor diferente de 0. X1=1,000, X2=2,000, S3=500, S1=0 y S2=0 Por lo tanto, la gerencia debe fabricar 1,000 sierras circulares y 2,000 sierras de mesa por mes para una utilidad mensual de 2,100,000 dólares.
Variables de holgura(Slack or Surplus) Se utilizará toda la capacidad de producción de fabricación y ensamble y quedarían 500 sierras adicionales que pudieran venderse en el mercado. La fabricación de sierras circulares (X1) y de sierras de mesa (X2) ha utilizado todas las horas de fabricación disponibles en el mes, por lo tanto S1 = 0 El ensamble de sierras circulares y de sierras de mesa ha utilizado toda la capacidad de ensamble disponible por mes, por lo que S2 = 0. Las ventas de sierras circulares y de mesa han quedado por debajo en 500 sierras para satisfacer la demanda máxima mensual de sierras, por lo que S3 = 500.
Precios sombra (Shadow Price).
En los problemas de maximización los precios sombra indican cuánto se reduciría a Z (función objetivo) mediante la introducción de una unidad de la variable X en la solución. En los problemas de minimización, los precios sombra indican cuánto se incrementaría Z mediante la introducción de una unidad de la variable X en la solución.
Por ejemplo: Suponga que la gerencia deseaba conocer la siguiente información: 1.¿Cuánto se incrementaría la utilidad mensual (Z) si pudiéramos encontrar u na o más horas mensuales de capacidad de fabricación(4001 en contraste con 4000)? 2.- ¿Cuánto se reducirían las utilidades mensuales (Z) si tuviéramos una hora menos de la capacidad mensual de fabricación (3999 en contraste con 4000)?
La respuesta a ambas preguntas se encuentra en la columna de “Precio sombra” en el renglón S1(C1):$400, por lo tanto
Si consiguiéramos 1 hora más disponible en la capacidad de fabricación, la nueva utilidad sería: $2,100,000+1($400)=2,100,400. Si consiguiéramos 2 hora más disponible en la capacidad de fabricación, la nueva utilidad sería: $2,100,000+2($400)=2,100,800.
Lo mismo es para S2. 1.- ¿Cuánto se incrementaría la utilidad mensual (Z) si pudiéramos encon trar una o más horas mensuales de capacidad de ensamble (5001 en contraste con 5000)? 2.- ¿Cuánto se reducirían las utilidades mensuales (Z) si tuviéramos una hora menos de l a capacidad mensual de ensamble (4999 en contraste con 5000)?
La respuesta a ambas preguntas se encuentra en la columna de “Precio sombra” en el renglón S2(C2):$100, por lo tanto
Si consiguiéramos 1 hora más disponible en la capacidad de ensamble, la nueva utilidad sería: $2,100,000 +1($100)= 2,100,100. Si consiguiéramos 2 hora más disponible en la capacidad de ensamble, la nueva utilidad sería: $2,100,000 +2($100)= 2,100,200.
En el caso de S3, sucede lo siguiente: ¿Cuánto estaríamos dispuestos a pagar para expandir en el mercado nuestras líneas de sierras a través de publicidad y promociones? La respuesta a esta pregunta es: $0 (nada), esto es obvio si desde nuestra solución sabemos que el valor de S3(C3) es: 500 y esto quiere decir que: Las ventas de sierras circulares y de mesa han quedado por debajo en 500 sierras para satisfacer la demanda máxima mensual de sierras. Por lo tanto si podemos vender 500 sierras más de lo que actualmente estamos vendiendo, entonces no pagaríamos nada para más demanda en el mercado.
Análisis de sensibilidad en los coeficientes de la función objetivo El análisis de sensibilidad en los coeficientes de la función objetivo tiene el propósito de ayudarte, como tomador de decisiones, a estar preparado en caso que suceda algún cambio en el entorno y altere la configuración a las tasas de contribución de tu objetivo, como por ejemplo, la utilidad en la empresa. Para ejemplificar esto, imaginemos que se cambia la manera de producir sierras circulares en Precision Manufacturing Company, lo cual provoca que la utilidad proporcionada por unidad producida ahora es de $850 y tú, como tomador de decisiones, te preguntarás ¿producir 1,000 sierras circulares seguirá siendo la mejor opción debido a este cambio? Haciendo uso del reporte arrojado por MS Excel podemos contestar esta pregunta, para ello usaremos los valores que se llaman „ Allowable Min’ y „ Allowable Max’ , es decir, qué tanto puede variar la contribución de utilidad por unidad producida y la e xpresaremos de la siguiente manera:
Primero llamaremos al coeficiente de las sierras circulares de la función objetivo Csc, por lo que la utilidad por unidad producida de mesas para jardín deberá estar en el rango de:
300 Csc 1200 Esto significa que, la contribución de utilidad proporcionada por las sierras circulares para que la solución óptima siga siendo 1000 unidades deberá ser de al menos $300 (asumiendo que la contribución de las sierras de mesa se mantiene igual) por sierra producida. Cualquier valor menor a este rango deberá ser analizado nuevamente para obtener una nueva solución óptima.
450 Csm 1800 Esto significa que, la contribución de utilidad proporcionada por las sierras circulares para que la solución óptima siga siendo 2000 unidades deberá ser de al menos $450 (asumiendo que la contribución de las sierras circulares se mantiene igual) por sierra producida. Cualquier valor menor a este rango deberá ser analizado nuevamente para obtener una nueva solución óptima. Por otra parte también podemos observar que, si decidimos producir sierras de mesa sin cambiar la configuración de nuestro problema de Programación Lineal, nos afectará la utilidad total en $0 por cada sierr a que se producida („ Reduced Cost’ ).
Análisis de sensibilidad en los recursos o valores del lado derecho Habrá ocasiones en donde los cambios a los que nos enfrentemos en el día a día sólo se presenten en los recursos disponibles, para ello al igual que en los anteriores enfoques debemos estar preparados para tomar decisiones, esto es ¿qué sucedería si la cantidad de mano de obra disponible es solo la mitad? o ¿qué pasaría si por algún cambio o adquisición tecnológica se incrementan la cantidad de horas disponibles en un 25% en una máquina dada? Para contestar estas preguntas, usaremos el reporte previamente generado pero ahora nos enfocaremos en la segunda tabla.
Imaginemos que ahora en vez de tener 5000 horas en la etapa de ensamble ahora tenemos 5,500 horas, ¿cuál será la contribución a la utilidad ocasionada por este cambio? Primero, al igual que en la función objetivo necesitamos saber el rango en que podemos actuar, para este caso las horas disponibles para ensamblar las sierras será entre 2000 C 2 6500 en caso que se excedan estos límites, el problema de Programación Lineal deberá ser resuelto nuevamente. Los demás rangos para Las horas de fabricación: 2500
C 1 5500
Y para las horas de mercado: 3000
C 1
.
3
Ejercicio 1: Una fábrica de alimento debe enviar 500 m de alimentos que necesitan
3
refrigeración y 600 m de alimentos que no necesitan ser refrigerados. Para ello va a contratar los servicios de una compañía que renta camiones refrigeradores de dos tipos. El primer tipo de
3
3
camiones tiene un espacio de refrigeración de 10 m , y un espacio sin refrigeración de 15 m y renta $5 por kilómetro, mientras que el camión del segundo tipo tiene un espacio de refrigeración
3
3
de 15 m y un espacio sin refrigeración de 10 m , siendo su renta de $8 por kilómetro. El problema consiste en determinar cuántos camiones de cada tipo debe de contratar la fábrica si requiere de minimizar el costo de enviar los alimentos. Solución:
Defina sus variables: Construya una tabla que resuma la situación anterior
Plante el modelo de programación lineal
Ejercicio 2: Suponga que una compañía que da servicio de limpieza prepara sus propias soluciones
mezclando dos ingredientes. Hace esto para obtener una solución que tiene lo que considera una combinación apropiada de fosfatos y cloruro. Un ingrediente tiene 5% de fosfatos y 3% de cloruro y cuesta 35 centavos/onza. El otro ingrediente tiene 8% de fosfato y 1% de cloruro y cuesta 20 centavos/onza. La firma necesita que la mezcla final tenga no más del 6% de fosfatos y 1.5 % de cloruro.
Solución:
Defina sus variables: Construya una tabla que resuma la situación anterior
Plante el modelo de programación lineal
Ejercicio 3: Una empresa tiene 3 fábricas y 2 tiendas mayoristas. Los datos de producción semanal del bien A en cada fábrica, los requerimientos semanales del bien A en cada tienda y el costo unitario de transporte desde cada fábrica hasta cada tienda son:
Fábrica 1
2
3
Demanda mínima
Tienda 1
15 $/unidad
10 $/unidad
8 $/unidad
500 unidades
Tienda 2
25 $/unidad
50 $/unidad
34 $/unidad
300 unidades
Producción
280 unidades
400 unidades
350 unidades
Plantea como un modelo de programación lineal para minimizar el costo total semanal d e transporte.
Ejercicio Un departamento de publicidad planea para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de un nuevo producto y tiene a consideración 2 medios de difusión: 4. La televisión y el periódico. Los estudios de mercado han mostrado que la publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial, mientras que la publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio. La publicidad en periódico tiene un costo de 450 pesos por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2500 pesos por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad. Usa a. El método gráfico. b. El método Simplex.
UNIVERSIDAD TECMILENIO Métodos Cuantitativos para la toma de decisiones Temas: Método dual y Método de Transporte
CONCEPTOS BASICOS Dual y Primal Uno de los descubrimientos más importantes durante el desarrollo inicial de la programación lineal fue el concepto de dualidad. Este descubrimiento reveló que, asociado a todo problema de programación lineal, existe otro problema lineal llamado dual. Las relaciones entre el problema dual y el original(llamado primal ) son en extremo útiles en una gran variedad de situaciones. Por ejemplo, se verá que de hecho la solución óptima del problema dual es la que proporciona los precios sombra(variables de holgura).
Análisis de Sensibilidad Uno de los aspectos más importantes de la teoría de dualidad es la interpretación y realización del análisis de sensibilidad , el cual constituye una parte esencial en casi todos los estudios de programación lineal. Dado que algunos o todos los valores de los parámetros que se emplean en el modelo original sólo son estimaciones de las condiciones futuras, es necesario investigar el efecto que se tendría sobre la solución óptim a en caso de que prevalecieran otras condiciones. Aún más, ciertos valores de estos parámetros(como la cantidad de recursos) pueden representar decisiones administrativas importantes.
Lic. José de Jesús Romero A.
Modelos Problema primal
Problema dual
n
m
Maximizar Z
c j x j
Minimizar W
j 1
i 1
Sujeta a
Sujeta a
bi yi
m
n
aij x j
bi
, para i=1,2,…,m
aij y i
c j
, para j=1,2,…,n
j 1
j 1
0,
x j
para j=1,2,…,n
Interpretación económica de la dualidad: cada ganancia por disponer de
yi
0
, para j=1,2,…,m
bi yi puede interpretarse como la contribución a la
bi unidades del recurso i en el problema primal. Mientras que yi se
interpreta como la contribución a la ganancia por unidad del recurso i, cuando se usa el conjunto actual de variables básicas para obtener la solución primal.
Reglas
Si el primo es maximizar el dual es minimizar y viceversa. Los coeficientes de la función objetivo del dual son los términos independientes del primo. La matriz de coeficientes del dual es la transpuesta de la matriz del primo. Los términos independientes del dual son los coeficientes de la función objetivo del primo. Las variables del problema primo están asociadas a las restricciones del problema dual y viceversa. Las variables de decisión del primo (Xi) están asociadas a las variables de sobrante del dual (Si). Si Xi es básica Si es no básica y su precio sombra es el valor de Xi. Lo anterior aplica en ambos sentidos.
Ejemplo: Transforme el siguiente modelo de primal a dual
Maximizar
Z 20 X 1 5 X 2 10X 3
Sujeta a:
10 X 1
15 X 2
20 X 1
5 X 2
5 X 1
10 X 2
X 1 , X 2 , X 3
5 X 3 5 X 3 20 X 3
7200 9600 12000
0
Ejercicio: Dado el siguiente problema primal construya su problema dual y construya la tabla simplex. Utilizando WinQsB compruebe las soluciones.
Maximizar
Z 3 X 1
4 X 2
Sujeta a:
X 1 15X 2
750
0.5 X 2
200
X 1
X 2
X 1, X 2
600 0
MÉTODO DE TRANSPORTE Se le llama de esta manera, ya que la mayoría de sus aplicaciones involucran determinar la manera óptima de transportar bienes. Esta técnica representa un caso especial de la programación lineal Dada su frecuencia y sus características se desarrollaron métodos especiales, tales como: 1º Solución inicial
2º Solución inicial
Costo min imo VAM (Vogel Aproximation Method ) Paso de Piedra( Ruta de signos) Método de Multiplicadores
Forma general del método de transporte: Suponer que se tienen
Donde
m Fuentes u Origenes(Oferta) n Destinos(Demanda)
X ij
número de unidades de la fuente i que se llevan al destino j.
C ij
Costos de transportar una unidad de la fuente i al destino j
Oi
Oferta
D j
Demanda
El modelo matemático sería
Minimizar o Máximizar m
n
i 1
j 1
Z
c ij xij
Sujeta a n
xij
Oi , para i=1,2,…,n
j 1
m
xij
D j
, para j=1,2,…,m
i 1 m
n
Oi i 1
D j j 1
Fuentes
D1
D2
D3
D4
F 1
O1 C 11 x11
C 12 x12
C 13
x13
C 14 x14
F 2
O2
C 21 x21
C 22 x22
C 23 x23
C 24
x24 O3
F 3 C 31
x31
C 32 x32
C 33 x33
C 34 x34
F 4
O4
C 41
C 42
C 43
C 44
x41
x42
x43
x44
D1
D2
D3
D4
Nota: Cada celda indica cuanto de la fuente (F) llevamos al destino (D). Utilizando la siguiente tabla ¿Que representa
x32 ?
________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ¿Qué representa
C 12 ?
________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
MÉTODO DE COSTO MÍNIMO Pasos: 1. Seleccionar de todas las casillas disponibles aquella que tenga el mínimo costo(máxima utilidad). 2. Asignar a dicha casilla el valor mínimo entre la oferta y la demanda correspondientes. 3. Eliminar renglón o columna dependiendo de la elección hecha en el paso 2). 4. Ajustar la columna o el renglón de acuerdo a la asignación hecha en el paso 2). 5. Ejecutar pasos 1) y 4) hasta eliminar todas las casillas.
Ejemplo 1. Encuentre el costo mínimo para el siguiente arreglo matricial. Fuentes
1
2
3
4
4
3
6
8
1
20 2 1
4
2
3 65
3 2
5
1
4 15
4 3
10
4
3 40
70
Costo =
45
18
7
140
MÉTODO DE VAM Pasos: 1. Calcular para cada renglón y columna el costo de oportunidad como la diferencia entre el costo mínimo(máximo) y el siguiente mínimo(máximo). 2. Seleccionar el renglón ó columna que tenga el máximo costo de oportunidad. 3. De dicho renglón o columna seleccionar la casilla que tenga el mínimo costo(máxima utilidad). 4. Asignar a dicha casilla la máxima cantidad disponible. 5. Ajustar ofertas y demandas de acuerdo a la asignación hecha. 6. Repetir pasos número 4) hasta eliminar todas las casillas. Ejemplo 1. Encuentre el costo mínimo para el siguiente arreglo matricial. Fuentes
1
2
3
4
4
3
6
8
Co
1
20 2 1
4
2
3 65
3 2
5
1
4 15
4 3
10
4
3 40
70 Co
Costo =
45
18
7
140
Ejercicio 1. Costos en $/semana de Suministrar Pescados y Mariscos a Ciudades Destino Parral
Chihuahua
Jímenez
Suministro
$1
$5
$5
250
$2
$6
$6
250
200
200
50
Almacén 1
Almacén 2
Demanda
Asignación
Costo
ASIGNACIÓN El problema de asignación es un caso especial del problema de transporte. Forma general del método asignación consiste en: Suponer que se tienen
Oi
1
D j
1
m Recursos( Fuentes) n T areas(Destinos)
para i=1,2,…,m
y para j=1,2,…n
CONDICIONES
Ejemplo
Un recurso hace solo una tarea. Una tarea solo puede ser hecha por un recurso
m
n
Oi i 1
m
Recurso podría ser gente (programadores) Tareas podrían ser ejecutar (programas)
D j j 1
La matriz a trabajar debe ser una matriz cuadrada.
n MÉTODO HÚNGARO
Pasos: 1. Identificar el mínimo costo(máxima utilidad) de cada renglón y restarlo a las demás casillas del renglón. 2. Identificar el mínimo costo(máxima utilidad) de cada columna y restarlo a las demás casillas de la columna. 3. Cruzar con el mínimo número de líneas posibles todos los ceros de la matriz resultante del paso 1). 4. Si el número de líneas no es igual al número de columnas esta solución no es óptima. 5. De los elementos no cruzados tomar el mínimo y restárselo a las demás elementos no cruzados (sumárselo a las que están doblemente cruzados) y regresar al paso 2.
