Nunung Nurhayati
3.5
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Distribusi t dan Distribusi F
Distribusi t dan distribusi F perlu dipelajari karena merupakan distribusi yang cukup banyak digunakan pada permasalahan statistika inferensi, misalnya pada uji mean , uji variansi, dan analisis variansi.
3.5. 3.5.1 1
Dist Distri ribu busi si t
Misal W variabel acak berdistribusi N (0, (0, 1) dan V variabel acak berdistribusi χ2 (r ). Misalkan pula W dan V independen independen sehingga sehingga pdf gabungannya adalah perkalian dari pdf untuk W dan untuk V, yaitu h(w, v ) = h(w)h(v ) = untuk
√ 12π e
1 r/2−1 −v/2 v r/2 e v/2 , r/2 r/ 2 Γ(r/ Γ(r/2)2 2)2
w2 /2
−
−∞ < w < ∞, 0 < v < ∞, dan h(w, v) = 0 untuk yang lainnya.
Sekarang, definisikan variabel acak baru T =
W V /r
Distribusi dari T dapat dicari dengan teknik perubahan variabel melalui pemisalan t= sehingga inversny inversnyaa
w v/r
dan
√ √
w = t v/ r dengan
u = v,
dan
v = u,
(1)
−∞ < t < ∞ dan 0 < u < ∞.
Dari persamaan (1), dapat diperoleh Jacobi
√ u J = √ . r Akibatnya, Akibatnya, untuk
−∞ < t < ∞ dan 0 < u < ∞, pdf gabungan dari T dan U = V adalah √ t u g (t, u) = h √ , u |J | r √ u 1 u t2 r/2 r/2 1 √ r = √ u exp − 1+ r/ 2 2 r 2π Γ(r/ Γ(r/2)2 2)2r/2
−
=
1 +1)/2 √ 2πr Γ(r/ u(r+1)/ r/2 r/ 2 Γ(r/2)2 2)2
1
−
dan g (t, u) = 0 untuk yang lainnya. 1
− exp
u t2 1+ 2 r
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Sementara itu, pdf marjinal untuk T adalah ∞
g1 (t) =
g(t, u)du
−∞ ∞
=
0
1 u(r+1)/2−1 exp r/2 2πrΓ(r/2)2
√
t2 1+ r
− u 2
du
Jika dimisalkan z = u[1 + (t2 /r)]/2, maka ∞
1 2z g1 (t) = = 2πrΓ(r/2)2r/2 1 + t2 /r 0 Γ[(r + 1)/2] 1 = , πrΓ(r/2) (1 + t2 /r)(r+1)/2
√
√
(r+1)/2−1
e−z
2z 1 + t2 /r
dz
−∞ < t < ∞.
(2)
Jadi, jika W berdistribusi N (0, 1), V berdistribusi χ2 (r), variabel acak V dan W independen maka W T = V /r
mempunyai pdf g1 (t). Selanjutnya, variabel acak T dengan pdf pada persamaan (2) disebut variabel acak berdistribusi Student t, atau secara singkat ditulis berdistribusi t, dengan derajat bebas r, yang dinotasikan dengan t(r). Untuk T yang berdistribusi t(r), nilai-nilai peluang ∞
P (T
≤ t) =
g1 (w) dw
0
untuk derajat bebas r = 1, 2, . . . , 30, ditampilkan pada Lampiran 3. Program statistik R atau S-PLUS juga menyediakan perintah untuk mendapatkan nilai kuantil/persentil dan cdf dari distribusi t. Sebagai contoh, perintah qt(0.975,15) digunakan untuk mendapatkan persentil ke 97,5 dari distribusi t dengan derajat bebas r = 15, perintah pt(2,15) digunakan untuk menentukan nilai P (T 2) jika T berdistribusi t(15), dan perintah dt(2,15) digunakan untuk menentukan nilai pdf di titik t = 2.
≤
Dengan tersedianya perintah-perintah tersebut, kurva distribusi t untuk beberapa nilai derajat bebas dapat diilustrasikan seperti pada Gambar 1. Dari Gambar 1 terlihat bahwa kurva distribusi t mempunyai pola yang serupa dengan distribusi normal standar, yaitu simetris dengan titik puncak terjadi saat t = 0. Titik puncak kurva distribusi t terletak lebih rendah dibanding distribusi N (0, 1), tetapi untuk derajat bebas r > 30, kurva distribusi t hampir dekat ke kurva distribusi N (0, 1). Oleh karena itu, tabel distribusi t umumnya hanya menyediakan nilai-nilai peluangnya untuk derajat bebas r 30, karena untuk r > 30 dapat didekati oleh distribusi normal standar.
≤
2
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Kurva N(0,1)
0.4
0.4 N(0,1) t(30) t(r), r=1,2,3,5,10
0.3
0.3 Kurva t(1)
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
0.0 −4
−2
0
2
4
−4
−2
0
t
2
4
t
Gambar 1: Perbandingan kurva distribusi t(1) dengan kurva normal standar (kiri) dan bentuk kurva distribusi t(r) yang mendekati distribusi N (0, 1) ketika derajat bebas r > 30 (kanan).
Mean dan variansi dari distribusi t. Misal T berdistribusi t dengan derajat bebas r, sehingga T dapat ditulis sebagai T =
W = W (V/r)−1/2 , V /r
dengan V berdistribusi N (0, 1) dan W berdistribusi χ2 (r), dan keduanya independen. Dari sifat independen ini, maka momen ke-k dari T dapat ditulis
k
k
E [T ] = E W
V r
k/2
−
k
= E [W ]E
V r
k/2
−
Selanjutnya karena momen ke-k dari distribusi χ2 (r), adalah 2k Γ( 2r + k) E [X ] = , Γ( r2 ) k
maka
k>
2−k/2 Γ( 2r k2 ) E [T ] = E [W ] , Γ( 2r )r−k/2 k
−
k
− 2r
jika k < r.
Akibatnya untuk k = 1, nilai E [T ] selalu 0 karena mean dari W adalah 0. Sementara itu untuk k = 2, momen ke-2 hanya berlaku untuk derajat bebas r > 2. Karena E [W 2 ] = Var(W ) = 1 maka variansi dari T diberikan oleh Var(T ) = E [T 2 ] =
r
r
− 2.
Jadi dapat disimpulkan bahwa distribusi t dengan derajat bebas r > 2 mempunyai mean 0 dan variansi r/(r 2).
−
3
Nunung Nurhayati
3.5.2
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Distribusi F
Misal U dan V dua variabel acak independen berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas masing-masing r1 dan r2 . Karena bersifat independen, pdf gabungan dari U dan V adalah 1 h(u, v) = h(u)h(v) = ur1 /2−1 v r2 /2−1 e−(u+v)/2 (r +r )/2 1 2 Γ(r1 /2)Γ(r2 /2)2 untuk 0 < u, v <
∞ dan h(u, v) = 0 untuk yang lainnya. Definisikan variabel acak baru W =
U/r 1 V /r2
dan ingin dicari distribusi dari W . Misal
u/r1 v/r2
w=
dan
z = v,
maka u = (r1 /r2 )zw dengan 0 < w, z <
∞, sehingga
Akibatnya untuk 0 < w, z < g(w, z) = h
r1 zw,z r2
| |
dan
v=z
r1 z. r2 , pdf gabungan dari W dan Z = V adalah J =
∞
J
1 = Γ(r1 /2)Γ(r2 /2)2(r1 +r2 )/2
(r1 −2)/2
r1 zw r2
z
(r2 −2)/2
exp
− z 2
r1 w +1 r2
r1 z r2
dan g(w, z) = 0 untuk yang lainnya. Untuk 0 < w <
∞, pdf marjinal dari W adalah ∞
g1 (w) =
g(w, z) dz
−∞ ∞
=
0
(r1 /r2 )r1 /2 (w)r1 /2−1 z (r1 +r2 )/2−1 exp (r +r )/2 1 2 Γ(r1 /2)Γ(r2 /2)2
Jika dimisalkan
z y= 2
maka ∞
g1 (w) =
0
r1 w +1 r2
(r1 +r2 )
Γ(r1 /2)Γ(r2 /2)2
2
r1 w/r2 +1
dz/2
2y r1 w/r2 + 1
Γ[(r1 + r2 )/2](r1 /r2 )r1 /2 (w)r1 /2−1 = Γ(r1 /2)Γ(r2 /2) (r1 w/r2 + 1)(r1 +r2 )/2 4
z 2
r1 w +1 r2
dz
(r1 /r2 )r1 /2 (w)r1 /2−1
−
(r1 +r2 )/2−1
e−y (3)
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
F(10,16) 0.8
0.8
0.6
0.6 F(10,2)
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
F(10,2)
0
1
2
3
4
5
F(10,1)
0
f
1
2
3
4
5
f
Gambar 2: Kurva distribusi F (10, 2) (kiri) dan kurva distribusi F (10, r2 ) untuk r2 = 1, 2, . . . , 16 (kanan).
untuk 0 < w <
∞, dan g1(w) = 0 untuk w lainnya.
Jadi dapat disimpulkan bahwa jika U berdistribusi χ2 (r1 ) dan V berdistribusi χ2 (r2 ), dan keduanya independen maka variabel acak W =
U/r 1 V /r2
mempunyai pdf seperti pada persamaan (3). Selanjutnya, variabel acak W dikatakan berdistribusi F dengan parameter r1 > 0 dan r2 > 0, dinotasikan dengan F (r1 , r2 ). Untuk menyesuaikan dengan nama distribusinya, variabel acak W seringkali ditulis F =
U/r 1 V /r2
Misal variabel acak F berdistribusi F (r1 , r2 ). Untuk mengetahui kuantil ke-95, kuantil ke-97,5, dan kuantil ke-99 dari distribusi F dapat digunakan Tabel Distribusi F pada Lampiran 4. Pada tabel tersebut, derajat bebas yang tersedia adalah r1 = 1, 2, . . . , 16 dan r2 = 1, 2, . . . , 16. Menghitung peluang dari variabel acak berdistribusi F juga dapat dilakukan pada program R atau S-PLUS. Sebagai contoh, perintah qf(0.975,a,b) digunakan untuk menghitung kuantil ke-97,5 dari distribusi F (a, b), perintah pf(x,a,b) untuk menghitung peluang P (F f ), dan perintah pf(x,a,b) untuk menghitung nilai pdf di titik f.
≤
Bentuk kurva distribusi F untuk derajat bebas r1 = 10 dan r2 = 1, 2, . . . , 16, diilustrasikan pada Gambar 2. Gambar tersebut dapat diperoleh dengan perintah R sebagai berikut: 5
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
# Program R untuk Gambar 2 x<-seq(0,5,by=0.02) win.graph(width=4.876,height=5,pointsize=8) plot(x,df(x,10,2),type="l",las=1,ylab="",xlab="f",ylim=c(0,0.85),col="red") text(1,0.5,"F(10,2)") win.graph(width=4.876,height=5,pointsize=8) plot(x,df(x,10,1),type="l",las=1,ylab="",xlab="f",ylim=c(0,0.85)) for(j in 2:16) lines(x,df(x,10,j),col=j) text(1,0.18,"F(10,1)") text(1,0.27,"F(10,2)") text(1,0.84,"F(10,16)")
Momen dari distribusi F. dapat dinyatakan sebagai
Misal variabel acak F berdistribusi F (r1 , r2 ), maka F F =
U/r 1 r2 = U V −1 V /r2 r1
dengan U dan V variabel acak independen yang masing-masing berdistribusi χ2 (r1 ) dan χ2 (r2 ). Dari sifat independen U dan V, momen ke-k dari F dapat ditulis k
E [F ] =
k
r2 r1
E [U k ]E [V −k ],
dengan syarat kedua bentuk ekspektasi di ruas kanan ada. Dengan mengingat kembali momen ke-m dari distribusi χ2 (r) di Subbab 3.4, ekspektasi E [U k ] dijamin ada untuk k > (r1 /2). Sementara itu, E [V −k ] ada hanya jika r2 > k. Dengan kata lain, ekspektasinya ada hanya jika derajat bebas pada bagian penyebut distribusi F tidak melebihi 2k. Karena momen ke-k dari distribusi χ2 (r), adalah
−
2k Γ( 2r + k) E [X ] = , Γ( r2 ) k
k>
− 2r
maka mean dari F atau momen pertama dari F diberikan oleh r2 2−1 Γ( r22 1) r2 E [F ] = r1 = r2 r1 Γ( 2 ) r2 2
−
−
Dari persamaan tersebut terlihat bahwa untuk derajat bebas r2 yang cukup besar, mean dari F atau E [F ] akan mendekati 1.
3.5.3
Teorema Student
Hasil penting dari penemuan distribusi t adalah Teorema Student. Teorema ini mengkarakterisasi sifat-sifat dari rata-rata sampel X dan variansi sampel S 2 yang berasal dari distribusi normal. Dalam hal ini sifat-sifat yang dimaksud berkaitan dengan distribusinya, 6
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
√
sifat independen, dan distribusi dari variabel acak T = (X µ)/(S/ n), yang merupakan transformasi dari variabel acak X dan S 2 .
−
Teorema 1 (Teorema Student) Misal X 1 , . . . , Xn variabel-variabel acak iid berdistribusi N (µ, σ2 ). Misalkan pula didefinisikan variabel acak 1 X = n
n
X i
1
2
S =
dan
i=1
n
n
¯
2
− 1 i=1 (X i − X ) ,
maka (a). X berdistribusi N (µ, σ 2 /n). (b). X dan S 2 independen. (c). (n
− 1)S 2/σ2 berdistribusi χ2(n − 1).
(d). Variabel acak T = berdistribusi t dengan derajat bebas n
X µ , S/ n
−√
− 1.
Bukti. Bagian (a) sudah dibuktikan di Akibat 1 pada Subbab 3.4. Namun, sifat ini juga dapat dibuktikan dengan cara lain seperti akan dijelaskan berikut. Misalkan X = (X 1 , . . . , Xn ) vektor acak dengan X 1 , . . . , Xn variabel-variabel acak iid N (0, 1), maka vektor acak X berdistribusi normal multivariat N (µ1, σ 2 I), dengan 1 menyatakan vektor yang semua komponennya adalah 1. Misalkan pula v = (1/ n , . . . , 1/n) = (1/n)1 . Perhatikan bahwa rata-rata sampel dapat ditulis sebagai X = v X. Definisikan vektor acak Y sebagai Y = (X 1
− X ), . . . , Xn − X ). Pandang transformasi
X Y
W =
v I 1v
=
−
X
Karena W transformasi linier dari vektor acak multivariat normal maka menurut Teorema 3.5.1, W juga berdistribusi multivariat normal dengan mean E [W] =
v I 1v
−
µ1 =
µ 0n
dengan 0n menyatakan vektor yang semua komponennya adalah 0, dan matriks kovariansinya Σ=
=σ
v I 1v
−
2
1 n 0n
2
σ I
0n I 1v
−
7
v I 1v
−
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Karena X komponen pertama dari W maka E [X ] = µ dan karena Σ11 = σ2 /n, maka Var(X ) = σ 2 /n. Jadi, bagian telah terbukti. Selanjutnya, karena Σ12 = Σ21 = 0 maka X dan Y tidak berkorelasi, dan karena W berdistribusi normal multivariat maka X dan Y independen. Dengan demikian bagian (b) sudah dibuktikan. Untuk membuktikan bagian (c), definisikan variabel acak n
V =
X i
−µ
σ
i=1
2
Karena X i berdistribusi N (µ, σ 2 ), maka variabel acak (X i Akibatnya X i µ 2 σ
− µ)/σ2 berdistribusi N (0, 1).
−
berdistribusi χ2 (1) dan total jumlahnya, V berdistribusi χ2 (n). Selanjutnya, karena n
V =
X i
−µ
σ
i=1
n
2
=
i=1 n
=
X i
σ
X i
=
− 1)S 2 + σ2
2
2
2
− −
− X ) σ
i=1
(n
− X ) + (X − µ
(X µ σ
+
X
µ
2
σ
Dari bagian (b) telah diketahui bahwa suku-suku pada ruas kanan adalah independen. Telah diketahui pula bahwa suku kedua di ruas kanan berdistribusi χ2 (1). Dengan menghitung mgf di ruas kiri dan kanan diperoleh (1
− 2t)
n/2
−
{ − 1)S 2/σ2}](1 − 2t)
1/2
−
= E [exp t(n
Selesaikan persamaan tersebut sehingga diperoleh mgf untuk (n 1)S 2 /σ2 maka akan diperoleh bahwa (n 1)S 2 /σ2 berdistribusi χ2 (n 1). Jadi, bagian (c) telah terbukti.
−
−
−
√
Dari bagian (a), telah dibuktikan bahwa (X µ)/σ/ n berdistribusi N (0, 1) dan dari bagian (c) telah dibuktikan (n 1)S 2 /σ2 berdistribusi χ2 (n 1). Berdasarkan definisi distribusi T, maka (X µ)/σ/ n X µ = S/ n (n 1)S 2 /(σ 2 (n 1))
−
−
−
√
−
berdistribusi t dengan derajat bebas n
−
− 1.
8
−
−√
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Latihan
1. Misal T berdistribusi t dengan derajat bebas 10. Tentukan P ( T > 2, 228).
| |
2. Misal T berdistribusi t dengan derajat bebas 14. Tentukan b sehingga P ( b < T < b) = 0, 90
−
3. Misal T berdistribusi t dengan derajat bebas r > 4. Tentukan kurtosis dari T. Petunjuk: Kurtosis = E [(X µ)4 ]/σ4 .
−
4. Misal F berdistribusi F (r1 , r2 ). Dengan mengasumsikan r2 > 2k, tentukan E [F k ] (momen ke-k dari F ). 5. Misal F berdistribusi F (r1 , r2 ). Tentukan kurtosis dari F dengan mengasumsikan r2 > 8. 6. Misal F berdistribusi F (r1 , r2 ). Tunjukkan bahwa 1/F berdistribusi F (r2 , r1 ). 7. Misal F berdistribusi F (5, 10). Tentukan a dan b sehingga P (F P (F b) = 0, 95, atau dengan kata lain P (a < F < b) = 0, 90. Petunjuk: Tulis P (1/F 1/a) = 1 P (1/F 1/a).
≤
≥
−
≤
a) = 0, 05,
≤
8. Misal T = W/ V /r dengan W dan V independen masing-masing berdistribusi N (0, 1) dan χ2 (r). Tunjukkan bahwa T 2 berdistribusi F (1, r). 9. Tunjukkan bahwa jika W berdistribusi F (r1 , r2 ), maka Y =
1 , 1 + (r1 /r2 )W
berdistribusi beta. 10. Misal X 1 dan X 2 independen berdistribusi identik dengan pdf f (x) =
e−x 0 < x < 0 x lainnya
∞
Tunjukkan Z = X 1 /X 2 berdistribusi F. 11. Misal X 1 , X 2 , dan X 3 independen dengan distribusi masing-masing, χ2 (r1 ), χ2 (r2 ), dan χ2 (r3 ), (a) Tunjukkan bahwa Y 1 = X 1 /X 2 dan Y 2 = X 1 + X 2 independen dan Y 2 berdistribusi χ2 (r1 + r2 ). (b) Tunjukkan bahwa X 1 /r1 X 2 /r2
dan
X 3 /r3 (X 1 + X 2 )/(r1 + r2 )
independen dan masing-masing berdistribusi F.
9
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Lampiran 3. Tabel Distribusi t
Pada tabel berikut diberikan kuantil dari distribusi t, yaitu nilai t yang memenuhi t
P (T
≤ t) =
−∞
Γ[(r + 1)/2] dw √ πr Γ(r/2)(1 + w2 /r)(r+1)/2
untuk derajat bebas r = 1, 2, . . . , 30. Untuk distribusi t dengan derajat bebas cukup besar (r > 30), nilai kuantil dapat didekati oleh distribusi normal.
r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
∞
0.900 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.282
0 .950 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1 .645
P (T t) 0.975 0.990 12.706 31.821 4.303 6.965 3.182 4.541 2.776 3.747 2.571 3.365 2.447 3.143 2.365 2.998 2.306 2.896 2.262 2.821 2.228 2.764 2.201 2.718 2.179 2.681 2.160 2.650 2.145 2.624 2.131 2.602 2.120 2.583 2.110 2.567 2.101 2.552 2.093 2.539 2.086 2.528 2.080 2.518 2.074 2.508 2.069 2.500 2.064 2.492 2.060 2.485 2.056 2.479 2.052 2.473 2.048 2.467 2.045 2.462 2.042 2.457 1.960 2.326
≤
10
0.995 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 2.576
0.999 318.309 22.327 10.215 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.610 3.579 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 3.435 3.421 3.408 3.396 3.385 3.090
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Lampiran 4. Tabel Distribusi F (r1 , r2 )
Pada tabel berikut diberikan kuantil dari distribusi F (r1 , r2 ), yaitu nilai x yang memenuhi x
P (X
≤
Γ[(r1 + r2 )/2](r1 /r2 )r1 /2 wr1 /2−1 x) = dw (r1 +r2 )/2 −∞ Γ(r1 /2)Γ(r2 /2)(1 + r1 w/r 2 )
untuk derajat bebas r1 = 1, 2, . . . , 16, dan r2 = 1, 2, . . . , 16. P (X x) 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990
≤
r2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16
1 161.45 647.79 4052.18 18.51 38.51 98.50 10.13 17.44 34.12 7.71 12.22 21.20 6.61 10.01 16.26 5.99 8.81 13.75 5.59 8.07 12.25 5.32 7.57 11.26 5.12 7.21 10.56 4.96 6.94 10.04 4.84 6.72 9.65 4.75 6.55 9.33 4.67 6.41 9.07 4.60 6.30 8.86 4.54 6.20 8.68 4.49 6.12 8.53
2 199.50 799.50 4999.50 19.00 39.00 99.00 9.55 16.04 30.82 6.94 10.65 18.00 5.79 8.43 13.27 5.14 7.26 10.92 4.74 6.54 9.55 4.46 6.06 8.65 4.26 5.71 8.02 4.10 5.46 7.56 3.98 5.26 7.21 3.89 5.10 6.93 3.81 4.97 6.70 3.74 4.86 6.51 3.68 4.77 6.36 3.63 4.69 6.23
3 215.71 864.16 5403.35 19.16 39.17 99.17 9.28 15.44 29.46 6.59 9.98 16.69 5.41 7.76 12.06 4.76 6.60 9.78 4.35 5.89 8.45 4.07 5.42 7.59 3.86 5.08 6.99 3.71 4.83 6.55 3.59 4.63 6.22 3.49 4.47 5.95 3.41 4.35 5.74 3.34 4.24 5.56 3.29 4.15 5.42 3.24 4.08 5.29
r1 4 5 224.58 230.16 899.58 921.85 5624.58 5763.65 19.25 19.30 39.25 39.30 99.25 99.30 9.12 9.01 15.10 14.88 28.71 28.24 6.39 6.26 9.60 9.36 15.98 15.52 5.19 5.05 7.39 7.15 11.39 10.97 4.53 4.39 6.23 5.99 9.15 8.75 4.12 3.97 5.52 5.29 7.85 7.46 3.84 3.69 5.05 4.82 7.01 6.63 3.63 3.48 4.72 4.48 6.42 6.06 3.48 3.33 4.47 4.24 5.99 5.64 3.36 3.20 4.28 4.04 5.67 5.32 3.26 3.11 4.12 3.89 5.41 5.06 3.18 3.03 4.00 3.77 5.21 4.86 3.11 2.96 3.89 3.66 5.04 4.69 3.06 2.90 3.80 3.58 4.89 4.56 3.01 2.85 3.73 3.50 4.77 4.44
11
6 233.99 937.11 5858.99 19.33 39.33 99.33 8.94 14.73 27.91 6.16 9.20 15.21 4.95 6.98 10.67 4.28 5.82 8.47 3.87 5.12 7.19 3.58 4.65 6.37 3.37 4.32 5.80 3.22 4.07 5.39 3.09 3.88 5.07 3.00 3.73 4.82 2.92 3.60 4.62 2.85 3.50 4.46 2.79 3.41 4.32 2.74 3.34 4.20
7 236.77 948.22 5928.36 19.35 39.36 99.36 8.89 14.62 27.67 6.09 9.07 14.98 4.88 6.85 10.46 4.21 5.70 8.26 3.79 4.99 6.99 3.50 4.53 6.18 3.29 4.20 5.61 3.14 3.95 5.20 3.01 3.76 4.89 2.91 3.61 4.64 2.83 3.48 4.44 2.76 3.38 4.28 2.71 3.29 4.14 2.66 3.22 4.03
8 238.88 956.66 5981.07 19.37 39.37 99.37 8.85 14.54 27.49 6.04 8.98 14.80 4.82 6.76 10.29 4.15 5.60 8.10 3.73 4.90 6.84 3.44 4.43 6.03 3.23 4.10 5.47 3.07 3.85 5.06 2.95 3.66 4.74 2.85 3.51 4.50 2.77 3.39 4.30 2.70 3.29 4.14 2.64 3.20 4.00 2.59 3.12 3.89
Nunung Nurhayati
Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Tabel Distribusi F (r1 , r2 )
(lanjutan) P (X x) 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990 0.950 0.975 0.990
≤
r2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 16
9 240.54 963.28 6022.47 19.38 39.39 99.39 8.81 14.47 27.35 6.00 8.90 14.66 4.77 6.68 10.16 4.10 5.52 7.98 3.68 4.82 6.72 3.39 4.36 5.91 3.18 4.03 5.35 3.02 3.78 4.94 2.90 3.59 4.63 2.80 3.44 4.39 2.71 3.31 4.19 2.65 3.21 4.03 2.59 3.12 3.89 2.54 3.05 3.78
10 241.88 968.63 6055.85 19.40 39.40 99.40 8.79 14.42 27.23 5.96 8.84 14.55 4.74 6.62 10.05 4.06 5.46 7.87 3.64 4.76 6.62 3.35 4.30 5.81 3.14 3.96 5.26 2.98 3.72 4.85 2.85 3.53 4.54 2.75 3.37 4.30 2.67 3.25 4.10 2.60 3.15 3.94 2.54 3.06 3.80 2.49 2.99 3.69
11 242.98 973.03 6083.32 19.40 39.41 99.41 8.76 14.37 27.13 5.94 8.79 14.45 4.70 6.57 9.96 4.03 5.41 7.79 3.60 4.71 6.54 3.31 4.24 5.73 3.10 3.91 5.18 2.94 3.66 4.77 2.82 3.47 4.46 2.72 3.32 4.22 2.63 3.20 4.02 2.57 3.09 3.86 2.51 3.01 3.73 2.46 2.93 3.62
r1 12 13 243.91 244.69 976.71 979.84 6106.32 6125.86 19.41 19.42 39.41 39.42 99.42 99.42 8.74 8.73 14.34 14.30 27.05 26.98 5.91 5.89 8.75 8.71 14.37 14.31 4.68 4.66 6.52 6.49 9.89 9.82 4.00 3.98 5.37 5.33 7.72 7.66 3.57 3.55 4.67 4.63 6.47 6.41 3.28 3.26 4.20 4.16 5.67 5.61 3.07 3.05 3.87 3.83 5.11 5.05 2.91 2.89 3.62 3.58 4.71 4.65 2.79 2.76 3.43 3.39 4.40 4.34 2.69 2.66 3.28 3.24 4.16 4.10 2.60 2.58 3.15 3.12 3.96 3.91 2.53 2.51 3.05 3.01 3.80 3.75 2.48 2.45 2.96 2.92 3.67 3.61 2.42 2.40 2.89 2.85 3.55 3.50
12
14 245.36 982.53 6142.67 19.42 39.43 99.43 8.71 14.28 26.92 5.87 8.68 14.25 4.64 6.46 9.77 3.96 5.30 7.60 3.53 4.60 6.36 3.24 4.13 5.56 3.03 3.80 5.01 2.86 3.55 4.60 2.74 3.36 4.29 2.64 3.21 4.05 2.55 3.08 3.86 2.48 2.98 3.70 2.42 2.89 3.56 2.37 2.82 3.45
15 245.95 984.87 6157.28 19.43 39.43 99.43 8.70 14.25 26.87 5.86 8.66 14.20 4.62 6.43 9.72 3.94 5.27 7.56 3.51 4.57 6.31 3.22 4.10 5.52 3.01 3.77 4.96 2.85 3.52 4.56 2.72 3.33 4.25 2.62 3.18 4.01 2.53 3.05 3.82 2.46 2.95 3.66 2.40 2.86 3.52 2.35 2.79 3.41
16 246.46 986.92 6170.10 19.43 39.44 99.44 8.69 14.23 26.83 5.84 8.63 14.15 4.60 6.40 9.68 3.92 5.24 7.52 3.49 4.54 6.28 3.20 4.08 5.48 2.99 3.74 4.92 2.83 3.50 4.52 2.70 3.30 4.21 2.60 3.15 3.97 2.51 3.03 3.78 2.44 2.92 3.62 2.38 2.84 3.49 2.33 2.76 3.37
