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. Ernesto Ernesto Adán Vizcardo Vizcardo Cornejo. Cornejo.
[email protected] Aceros Chilca
El balance de materia es uno de los métodos más útiles y potentes de evaluar la unidad y las operaciones integradas en una planta metalúrgica. Se utiliza para calcular las recuperaciones y distribuciones valiosas de un determinado componente al final de un periodo mensual o contable, que a la vez son fuertemente influenciadas por la exactitud del muestreo del flujo . Las hojas de cálculos son ideales para estos cálculos partiendo desde balances básicos hasta sistemas más complejos en la etapa de reconciliación. La forma tradicional de desarrollar este tipo de balances cuenta con la metodología de ajuste que es por el método de Multiplicadores de lagrange el cual es un método valido, que es derivar la ecuación de balance general dando así la solución analítica para ello se establecen factores de ajustes para cada punto (alimentos, Concentrados, relaves) y el factor lambda (que es corrector de balance), dando toda una infinidad de ecuaciones las cuales deberán derivarse e igualarse a cero.
Para una solución más reducida y rápida recurrimos a la herramienta SOLVER de Microsoft Excel complemento que resuelve problemas de programación lineal y no lineal. SOLVER es una herramienta con fines de optimización aplicada a diferentes disciplinas y la metalurgia no es ajena a estos procesos.
Solución Analítica – Método de los multiplicadores de Lagrange Cuando quieres maximizar (o minimizar) una función multivariable Sujeta a la restricción de que otra función multivariable sea igual
a una constante, se sigue estas acciones:
Paso 1: introduce una nueva variable λ y define una nueva función L:
Paso 2: el gradiente de L es igual al vector cero.
Sustituye cada una en f. ó más bien, primero quita los componentes λo, después sustitúyela en f, ya que lambda, no es una entrada de f. La que dé el valor más grade (o más chico) es el punto máximo (o mínimo) que está buscando
Esta función se llama el "lagrangiano", y a la nueva variable lambda, se le conoce como "multiplicador de Lagrange".
Ejemplo de Aplicación En las celdas de flotación en todo un circuito ó celda unitaria se establecen 3 puntos de muestreo que son: Feed(A) (Alimento), Concentrado (B) (Conc) y Relaves(C) (Tail, Colas), de acuerdo a la siguiente al siguiente esquema: Para ello se toma la siguiente muestra de análisis de leyes.
pero para este caso nos limitaremos a esa región, dando el ordenamiento respectivo con fines de evaluar las leyes de Fe, S, Cu, FeO e ins. El factor de , no es más que el valor de “b " el cual se obtiene en cada malla en teoría este valor debería ser constante en cada malla cosa que no lo es debido a que las leyes están aún sin balancear.
Ejemplo de Aplicación Para ello estableceremos que la ecuación general donde (SSQ en la suma de cuadrados), se expresa al cuadrado para eliminar los valores negativos que puedan existir. Figura Nro. 2
Derivando con respecto a “ b”, nos muestra la siguiente solución el cual el valor de “b” será el factor de corte óptimo que en función a él deberán
corregirse las leyes. En nuestro caso nuestro valor de b es 0.9055 como factor de enriquecimiento, Si reemplazamos el valor de “b”, en la expresión
Vemos en el cuadro que el valor de delta es distinto de cero, implica que el factor de corte no es suficiente, sino que en función de mismo se deberá corregir las leyes necesariamente.
Ejemplo de Aplicación Entonces aplicaremos los multiplicadores de lagrange y ordenando adecuadamente nos muestra la siguiente forma:
Donde delta a, delta b, delta c al cuadrado son nuestros puntos de muestreo incluyendo en forma ordenada la ecuación Una vez hecha la función objetivos (errores + restricciones), derivamos con respecto a cada punto de muestreo en a, b y c
Y por último derivamos con respecto a lambda (restricción):
Simplificando y ordenando cada expresión se tiene los siguientes términos: los deltas de a, b, c está en función de lambda y b Si reemplazamos:
Ejemplo de Aplicación Al resolver el factor de corte (b ), está ajustando en todas las leyes donde los valores a1, b1, c1 están corregidos.
Esta metodología es la solución analítica el cual se usa con frecuencia, pero se tiene otra forma más corta que es por interacción, que es la que a continuación se va a realizar. Solución por interacción (herramienta solver Microsoft Excel) Para una solución más reducida y rápida recurrimos a la herramienta SOLVER de Microsoft Excel complemento que resuelve problemas de programación lineal y no lineal a través de interacciones en sus celdas. SOLVER es una herramienta con fines de optimización
Ejemplo de Aplicación Celda objetivo: Celda que se desea definir con un valor
determinado o que se desea maximizar o minimizar. Valor de la celda objetivo: Específica si se desea maximizar o minimizar la celda objetivo, o bien definirla con un valor específico el cual se introducirá en el cuadro. Cambiando las celdas: Celdas que pueden ajustarse hasta que se satisfagan las restricciones del problema, pueden especificarse 200 celdas como máximo. Sujeto a las siguientes restricciones: Muestra una lista de las restricciones actuales en el problema, permitiéndose editar dichas restricciones. Resolver: Inicia el proceso de solución del problema definido.
Algunas Aplicaciones de Solver en el Ámbito Metalúrgico
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Planteamiento de la Herramienta SOLVER en el ajuste de leyes.
En la tabla de la figura adjunta que se ve a continuación se establece tres regiones
La región donde están las leyes sin corregir (color verde) y la región donde están las leyes corregidas (color celeste), adicionalmente se establece una tercera región (color blanco), donde estarán los deltas de cada ley elevada al cuadrado (cada una de ellas será la diferencia entre la ley sin ajustar con la ley ajustada). Sumaremos todas las leyes de la tercera región (Celdas blancas), estableciéndolas como error y deberán ser la mínima posible Como celda objetivo.
Como celdas cambiantes serán las leyes corregidas (región azul), y como restricciones establecemos que el valor b , (factor de ajuste) sea constante en cada ley dispuesta en filas.
Como se muestra en la figura el valor de b se estabiliza en 0.90543, resultado similar por el método de multiplicadores de lagrange. y a su vez se corrige las leyes (región azul) dando el mismo resultado Que la metodología anterior.
b Ajustado
Figura Nro. 7
Leyes ajustadas Error ajustado.
CONCLUSIONES. •
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La gran ventaja que se tiene con la herramienta SOLVER, es que todo el cálculo se hace en una única tabla y no se requiere celdas auxiliares para obtener el balance como habitualmente se hace. Nos evitamos escribir engorrosas formulas y largos cálculos de naturaleza derivativa que es el objetivo como solución analítica. •
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BIBLIOGRAFÍA B. Wils, T.J. Naiper. Munn Octubre 2006. A.Gupta and D.S.Yan Mineral Processing Design and Operation. J.Angel Egas Lima-Perú Evaluación de Plantas metalúrgicas.
Gracias!!!!
