1.4 flotacion

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICA INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA

Ingeniería Civil Manual de Apuntes de HIDRÁULICA BÁSICA

Villahermosa Tabasco México Diciembre 2013

HIDRAULICA BASICA

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CONTENIDO Capítulo I Hidrostática. 1.1. Propiedades de los fluidos 1.1.1 Densidad. 1.1.2 Peso específico. 1.1.3 Tensión superficial. 1.1.4 Viscosidad. 1.1.5 Módulo de elasticidad Volumétrica. 1.1.6 Presión de vaporización. 1.1.7 Capilaridad. 1.2. Presión hidrostática 1.2.1. Ecuaciones básicas de la estática de los fluidos. 1.2.2. Distribución de presión. 1.2.3. Dispositivos de medición. 1.3. Empuje hidrostático. 1.3.1. Resultante de la cuña de presiones. 1.3.2. Centro de presiones. 1.3.3. Empujes en superficies planas y curvas. 1.4. Flotación. 1.4.1. Principio de Arquímedes. 1.4.2. Condiciones de equilibrio de cuerpos en flotación.

Capítulo II Hidrodinámica. 2.1. Cinemática de fluidos. Campos vectoriales. Definición y clasificación de flujos. Línea de corriente. Trayectoria. Vena liquida. 2.2. Conservación de la masa. 2.2.1. Ecuación general de continuidad. 2.2.2. Ecuación del gasto. 2.3. Conservación de la energía. 2.3.1. Ecuación de la energía y solución para una vena líquida. 2.3.2. Gradiente de energía y gradiente hidráulico. 2.4. Conservación del impulso y cantidad de Movimiento.

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Capítulo III Hidráulica Experimental. 3.1. Modelos hidráulicos. 3.1.1. Similitud geométrica cinemática y dinámica. 3.1.2. Leyes de similitud. Condiciones de Froude, Reynolds y Euler. 3.1.3. Planeación y construcción de modelos hidráulicos. 3.2. Flujo en orificios, compuertas y vertedores. 3.2.1. Coeficientes de velocidad, contracción y gasto y sus aplicaciones. 3.3. Dispositivos de medición (tubo de Venturi, tubo de Pitot, rotámetro).

Capítulo IV Flujo en conductos. 4.1. Resistencia al flujo en conductos a presión. 4.1.1. Pérdidas de carga por fricción. 4.1.2. Pérdidas de carga por accesorios. 4.2. Cálculo del flujo en tuberías. 4.2.1. Conductos sencillos. 4.2.2. Tuberías en paralelo. 4.3. Redes de tuberías. 4.3.1. Redes abiertas. 4.3.2. Redes cerradas.

Capítulo V Sistemas de bombeo 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Definición y clasificación de equipos de bombeo. Curvas de funcionamiento. Selección de equipo. Cálculo de fenómenos transitorios. 5.4.1. Golpe de ariete. 5.4.2. Cavitación.


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UNIDAD 1

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Hidrostática.

1.1 Propiedades de los fluidos (densidad, peso específico, tensión superficial, viscosidad, módulo de elasticidad, volumétrica, presión de vaporización y capilaridad).

Densidad. Es una propiedad característica o intensiva de la materia y expresa la masa contenida de una sustancia en la unidad de volumen. Su valor se determina dividiendo la masa de la sustancia entre el volumen que ocupa. La obtenemos de la siguiente forma: ⁄ En el caso del agua la densidad tiene un valor de 1,000 kg/m 3 en el sistema internacional y de 1.94 slug/ft3 en el sistema inglés. Peso específico. Esta propiedad establece la relación que existe entre el peso de una sustancia y su volumen. ⁄ El peso específico del agua, que es la sustancia con la que trabajaremos principalmente en hidráulica, es 9,810 N/m3 en el sistema internacional y 62.4 lb/ft3 en el sistema inglés. Tensión superficial. Esta propiedad en los líquidos hace que la superficie libre de un líquido se comporte como una fina membrana elástica. Este fenómeno se debe a la atracción entre las moléculas del líquido. Cuando un líquido es colocado en un recipiente las moléculas en el fondo se atraen entre sí en todas direcciones por fuerzas iguales que se contrarrestan unas con otras, pero las moléculas de la superficie libre del líquido solo son atraídas por las moléculas interiores y laterales más cercanas. Por tanto, la resultante de las fuerzas de atracción se dirigen al interior creando una tensión en la superficie.


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Viscosidad. Esta propiedad es originada por el rozamiento de unas partículas con otras cuando un líquido fluye. Por lo tanto la viscosidad puede definirse también como una medida de la resistencia que opone un líquido a fluir. Existen dos tipos de viscosidad, la viscosidad absoluta o dinámica y la viscosidad cinemática.

Dispositivo para comparar la viscocidad de diferentes liquidos al llenar el vaso con cada uno de ellos y observar el tiempo que tardan en fluir por el orificio.

Módulo de elasticidad volumétrica. Este expresa la compresibilidad en un líquido, es decir la capacidad de dicho liquido de reducir su volumen ante una fuerza aplicada. Esta siempre estará relacionada con la cantidad de presión actuante. Presión de vaporización. La presión de vapor es la presión de un sistema cuando el sólido o líquido se hallan en equilibrio con su vapor. Los vapores y los gases, tienden a ocupar el mayor volumen posible y ejercen así sobre las paredes de los recintos que los contienen, una presión también llamada, fuerza elástica o tensión. Para determinar un valor sobre esta presión se divide la fuerza total por la superficie en contacto.


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Capilaridad. Esta sucede cuando hay contacto entre un líquido y una pared solida especialmente en un tubo muy delgado, con casi el diámetro de un cabello, llamados por esto capilares. Cuando introducimos estos tubos llamados capilares en un recipiente con agua se observa que el líquido se asciende por el tubo alcanzando una altura mayor que el da la superficie libre del líquido. Debido a la capilaridad es la savia en las plantas puede circular a través de sus

tallos.


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1.3. Empujes hidrostáticos Para empezar a estudiar esta seccion debemos entender que los empujes y las presiones son las solicitaciones en general que actuan sobre las obras hidraulicas; principalmente en presas, tanques, tuberias a presion y canales.

En esta sección, la magnitud de la fuerza resultante (empuje) y su línea de acción (centro de presión) se determinan por integración, por formula y usando el prisma de presión o también llamado resultante de cuñas de presión. 1.3.1 Resultante de cuñas de presiones Veamos el primer enfoque con el problema de la determinación de la resultante y su línea de acción de la fuerza (empuje) sobre una superficie plana, éste está dado por el concepto de un prisma de presión (cuña de presiones). Este es un volumen prismático cuya base es el área (A) superficial dada y cuya altura en cualquier punto de la base está dada por P= γ h, Donde: Fig. 1.1

h 

h: es la distancia vertical a la superficie libre Nota: Se puede utilizar una superficie libre imaginaria para definir h si no existe una superficie libre real Por lo tanto, la fuerza resultante que actúa sobre un área elemental es:

Siendo: Peso específico del agua = Volumen del prisma de presión (cuña de presión)


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Ejemplo 1.1

Tomando como referencia la Figura 1.1 Determine el Empuje hidrostático que actúa sobre la misma h1=1.00 m. h2 = 5.00 m. Ancho de compuerta: b = 1.00 m. Altura de la compuerta: h= 4.00 m. El diagrama de presiones que se define la variación de la presión sobre la compuerta tiene la forma de un trapecio, determinamos su área con la fórmula:

Conocida el área, nos disponemos a encontrar el volumen del prisma de presiones (cuña de presiones) multiplicando el área por el ancho de la compuerta:

Obtenido el volumen, multiplicamos este valor por el peso específico del agua ()  agua = 9810 N / m3

Y es así como obtenemos el empuje hidrostático, a través, de la resultante de la cuña de presiones, el cual pasa por el centro de presiones el cual veremos en la siguiente sección.


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1.3.2 Centro de presiones Para adentrarnos a esta sección primero definiremos Centro de presiones: Se denomina así, al punto geométrico sobre el cual se debe aplicar la resultante de todas las presiones ejercidas sobre ese cuerpo para que el efecto de la resultante sea igual a la suma de los efectos de las presiones. Así entonces, el centro de presiones: es la línea de acción de la fuerza resultante que tiene su punto de incidencia en la superficie con coordenadas (x, y). A diferencia de lo que sucede para una superficie horizontal, el centro de presiones de una superficie inclinada no está en el centroide. Para encontrar la ubicación del centro de presiones tenemos las siguientes fórmulas:

O también podemos utilizar la siguiente fórmula para encontrar

:

Aplicaremos un ejemplo en la siguiente sección. 1.3.3 Empujes en superficies planas y curvas. Cuando tenemos una superficie plana sumergida, sobre ésta va actuar una fuerza (empuje) que será igual al producto del peso específico del fluido por la altura a la que esta el centro de gravedad de dicha superficie respecto del nivel del libre del fluido por el área de la superficie que sufre la fuerza, matemáticamente:

Expresando el peso específico en N/m 3, el área en m2 y la altura ala que esta el centro de masas en metros, obtendremos la fuerza (empuje) en Newtons. En cuanto al punto de aplicación de la fuerza, será en el centro de presiones, para calcularlo, debemos recurrir a la expresión que nos relaciona la coordenada y de dicho centro de presiones con la del centro de masas.es conveniente no confundir las coordenadas h que indican el nivel de un punto respecto a la superficie libre del fluido con las coordenadas y que indican las distancias desde el punto de corte de la superficie libre del fluido con la línea que contiene a la superficie analizad, para ello, se presenta el siguiente esquema:


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P

Hemos de tener en cuenta que el empuje es ejercido en el centro de presiones, que es perpendicular al mismo en dicho punto y que para obtener las coordenadas de dicho centro de presiones usaremos la ecuación vista en la sección anterior:

Ahora veremos un ejemplo: Ejemplo 1:2 Determine el empuje y la ubicación del mismo, sabiendo que la superficie AB es rectangular y de 1.20 m. de longitud y que de la superficie CD sabemos que es un triángulo de vértice C1.80m.X1.20m.

Empezaremos determinando el empuje sobre la compuerta AB que esta vertical para ello usaremos la expresión que nos da el empuje sobre la compuerta plana sumergida, según la cual:


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En donde es el peso específico del fluido, en este caso, agua, que tiene un valor de 9810 N/m3, el es la altura donde se encuentra el centro de gravedad de la compuerta y A es el área de la misma. El centro de gravedad se encontrara en el centro geométrico de la compuerta como se muestra en la siguiente figura:

Teniendo en cuenta todo lo que se expuso anteriormente, el empuje de la compuerta AB será:

En cuanto al punto de aplicación del empuje, este será el centro de presiones que calcularemos a partir de la siguiente expresión:

La ley del centro de gravedad es la distancia que hay desde el corte d e la superficie libre del fluido con la pared que contiene ala compuerta y en este caso, como en cualquier caso que tengamos una pared vertical coincide con la altura h ala que se encuentre el centro de gravedad, por lo tato tendrá un valor de 2.2m. por el otro lado el momento de inercia lo sacamos de la siguiente fomula

Sustituyendo en la expresión nos da un valor de:

Por lo tanto el esquema que tenemos para la compuerta será el siguiente:


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yC P= 2, 35 m

51796. 80N

CP

Por lo tanto la compuerta AB sufrirá un empuje de 51796.8N a una distancia de 2.35 m de la superficie libre de fluido. Ahora tenemos que hacer el mismo calculo con la compuerta triangular, para ello, tendremos en cuenta que a la altura que se encuentra el centro de gravedad de la compuerta está a 1/3 de la altura, ya que la compuerta sabemos que es triangular, por lo tanto:

Por lo tanto el valor del empuje será: (

)

El punto del empuje será en el centro de presiones que esta situada a una distancia y dada por:

Quedando el siguiente esquema para la compuerta:


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Hcp=1.99m ycp=2.82m

E=19494.432N

Cuando la superficie sumergida no es plana, debemos calcular por separado las dos componentes de la fuerza sobre la superficie, que serán la componente horizontal de la fuerza (empuje) y la componente vertical de la misma. La componente horizontal será igual a la fuerza que ejerce un fluido sobre una superficie vertical imaginaria que es la proyección vertical de la superficie curva. El punto de aplicación de la misma es el centro de presiones de dicha pared imaginaria. La componente vertical ser igual al peso (real o imaginario) del líquido que hay encima de la superficie, el punto de su aplicación estará sobre la vertical de la correspondiente coordenada del centro de gravedad de dicha superficie. Ahora hagamos un ejemplo para ver el empuje sobre superficies curvas: Ejemplo 1.3: Determinar y ubicar las componentes de las fuerzas que ejerce el agua por metro de longitud sobre la compuerta que se muestra en la figura , si el radio de la misma es de 2m.:


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La fuerza horizontal será igual al valor que ejerce el agua sobre la proyección vertical de la superficie, es decir, sobre la pared vertical de 2m de altura, por tanto, la fuerza horizontal sera:

En donde hemos tenido en cuenta que el centro de gravedad de la pared vertical imaginaria esta en su punto medio, y por lo tanto, a una altura de 1 m que la longitud de la compuerta es 1m, ya que, el problema nos dice que hagamos el cálculo por metro de longitud. En cuanto al punto de aplicación de dicho empuje, será el mismo que el que tendría la pared vertical imaginaria sobre la que calculamos anteriormente, es decir:

La componente vertical del empuje será igual al peso del volumen del agua que exista encima de la superficie, es decir:


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La componente vertical del empuje está sobre la vertical del centro de gravedad de la superficie, la cual se calcula con la fórmula:

El esquema del centro del empuje que actúa sobre la compuerta será el siguiente:

19620N

30819.023N

El empuje total o resultante se puede calcular con la formula siguiente: √

√


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Para determinar su línea de acción sobre el centro de presiones solo tenemos que encontrar el ángulo que conforma la resultante anterior, es decir:

Así vemos gráficamente lo calculado:

P=36534.32N Eje y Ø=57.52˚

Eje X


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1.4 Flotación. Definición ¿Cómo lo hacen los submarinos y los peces para permanecer quietos a cierta profundidad, sumergirse y emerger? ¿Por qué para los pájaros esto es imposible sin aletear? ¿Cómo funcionan los chalecos salvavidas? ¿Por qué flotan los témpanos de hielo? ¿Por qué las burbujas de aire en el agua, o de gas en las bebidas, siempre ascienden?

La flotación es un fenómeno considerado físico químico que se provoca cuando la densidad de un material es menor a la del líquido o gas en el que se encuentra suspendido.

1.4.1. Principio de Arquímedes. Podemos decir que: “El volumen de un cuerpo está determinado por la cantidad de espacio que dicho cuerpo ocupa al encontrarse dentro de cierto medio o entorno”. El principio de Arquímedes nos plantea entonces: Que todo cuerpo sumergido en un liquido se encuentra en equilibrio, esto debido a que recibe un empuje de abajo hacia arriba (vertical ascendente), proporcional al peso del volumen de líquido desalojado. Este empuje es aplicado en el centro de gravedad del fluido desalojado por el cuerpo y es conocido con el nombre de centro de carena o de gravedad.


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Entonces tenemos que:

Empuje ascendente = Peso del volumen del agua desplazada. Empuje= Masa del agua desalojada * Gravedad (1)

Teniendo en cuenta que la masa desalojada es igual al volumen sumergido del cuerpo multiplicado por la densidad de este. Es decir: Masa del agua desalojada= Volumen sumergido del cuerpo * densidad del agua (2)

Por lo tanto sustituyendo la formula dos en la formula uno tenemos que (3)

Entonces podemos formular el principio de Arquímedes como:

Donde: E = Fuerza de empuje, en Newtons m = Masa del fluido desalojado, en Kg g = Aceleración de la gravedad (9.81 m/s²) ρ = Densidad del fluido, en Kg/m³ V = Volumen del cuerpo sumergido, en m³

De este modo establecemos que: 

El empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente.



El empuje actúa siempre de forma vertical hacia arriba.


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EJEMPLO: Se introduce una pelota de hule de 10 cm de diámetro en una cubeta con agua. Calcular el empuje que se produce en la pelota. La densidad del agua es de 1 g/cm³. Solución: Se sabe que la densidad del agua es de 1 g/cm³, nosotros necesitamos la densidad en kg/cm³. Realizando la conversión: (

)(

)

Si sabemos que la pelota tiene un diámetro de 10 cm debemos proseguir a sacar el volumen del sólido. El volumen de una esfera podemos determinarlo mediante: . Entonces el área de la pelota será de 523.5988 cm³ Datos E=? ρ (agua)= 1,000 kg/m³ g = 9.81 m/s² V = 523.5988 cm³ = 0.0005256 m³ La fórmula del empuje es: Sustituyendo los datos E= (1,000 kg/m³) (9.81 m/s²) (0.0005256 m³) E= 5.1365 kg*m/s² E= 5.1365 N


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EJEMPLO: Un trozo de metal de peso de 9 N se introduce en un recipiente con alcohol. El trozo de metal experimenta un empuje de 28.6 N al ser sumergido. ¿Cuál es el volumen y la densidad del metal? La densidad del alcohol es de 0.82 g/cm³. Solución: Tenemos la densidad del alcohol de 0.82 g/cm³ que realizando la conversión correspondiente es igual a 820 kg/m³. Datos ρ (alcohol)= 820 kg/m³ W (metal)= 9 N E = 28.6 N g = 9.81 m/s² V=? ρ (metal) =? E= ρ g V V= 0.0035553 m³ Con lo cual obtenemos el volumen. El peso de un material se calcula mediante: W = m g Y la masa se calcula considerando:

m = V ρ tengo que:

W= (V ρ) g

9N = V ρ g 9N = (0.0035553 m³) (ρ) (9.81 m/s²)

ρ= 258.028 kg/ m³


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EJEMPLO: En la figura se ilustra un trozo de madera que flota en equilibrio sobre el agua. ¿Qué parte de él sobresale del agua?

Solución: Si consideramos que tenemos que la masa del trozo de madera es: m = ρ V. Como la densidad de la madera es 0.42 g/cm3, tomando en cuenta las medidas dadas en la figura, tenemos que: m = 0.42 g/cm3 · (10 cm) · (10 cm) · (8 cm) m = 336 g Por lo tanto, el peso del bloque de madera es: F= mg = 0.336 kg · (9.81 m/s2) = 3.59 newton. Esta fuerza debe ser igual al empuje que ejerce el agua, dado que la madera está en equilibrio. Luego podemos escribir: 3.36 newton = 1,000 kg/m3 (9.81 m/s2) (0.10 m) (0.10 m) (y) Donde despejando y: y = 0.0342 m = 3.42 cm; Por lo tanto, como x + y = 8 cm, tenemos que: x = 4.58 cm.


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1.4.2. Condiciones de equilibrio de cuerpos en flotación. Un cuerpo parcial o totalmente sumergido presenta su estabilidad de forma vertical y es una relación directa entre el peso del cuerpo y la fuerza de flotación. Estas dos fuerzas se toman verticalmente, una actúa hacia abajo y la otra hacia arriba siguiendo la misma línea. La fuerza de flotación esta aplicada en el centro de flotación (CF) y el peso estará aplicada en el centro de gravedad (CG). La estabilidad puede ser lineal o rotacional.

ESTABILIDAD LINEAL: Es aquella en la cual al desplazar el cuerpo verticalmente hacia arriba se produce una disminución del volumen del fluido desplazado cambiando la magnitud de la fuerza de flotación correspondiente. Al hacer esto se rompe el equilibrio entre la fuerza de flotación y el peso del cuerpo haciendo que se provoque una fuerza de dirección vertical ascendente y un sentido descendente que regrese al cuerpo a su posición original, volviendo a crear otra vez el equilibrio de este. De igual forma si el cuerpo es desplazado verticalmente hacia abajo, volverá a aparecer una fuerza vertical ascendente que regresará el cuerpo a su posición de origen. En este tipo de equilibrio el centro de gravedad y el centro de flotación se encuentran siempre en la misma línea vertical.


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ESTABILIDAD ROTACIONAL: Es aquella en la que el cuerpo es sometido a un desplazamiento de forma angular, debido a que el centro de gravedad y el de flotación no se encuentran en la misma línea vertical, esto nos da a entender que la fuerza de flotación y el peso no son dependientes y provocará la aparición de fuerzas restauradoras. Este par de fuerzas causaran un efecto sobre la posición del cuerpo que determinara el tipo de equilibrio que tiene el sistema:

Equilibrio estable Se produce cuando las fuerzas restauradoras regresan al cuerpo a su posición original. El cuerpo debe tener mayor densidad en la parte inferior, esto para que el centro de gravedad se encuentre por debajo del centro de flotación.

Equilibrio inestable En este tipo de equilibrio se produce un giro brusco del cuerpo produciendo un aumento del desplazamiento angular, posteriormente el cuerpo recupera su posición más o menos estable. El cuerpo debe tener mayor densidad en la parte de arriba para que el centro de gravedad se localice sobre el centro de flotación.

Equilibrio neutro: Es cuando las fuerzas restauradoras que se presentaron en los casos anteriores no se presentan a pesar de que se produjo un desplazamiento angular. Para que este tipo de equilibrio se dé, el centro de gravedad y el de flotación deben coincidir, o sea la distribución de la masa del cuerpo es considerada homogénea.

Ilustración de las condiciones de estabilidad rotacional de cuerpos sumergidos.


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2.1.-Cinematica de fluidos (Campos vectoriales,velocidad, aceleracion y rotacion,definicion y clasificacion de flujos, linea de corriente,trayectoria y vena liquida). La cinemática de los fluidos trata sobre la forma en que se comportaran las particulas de los liquidos esto se da sin tomar en cuenta la masa ni las fuerzas que actuan, ademas, no solo basta conocer la magnitud si no que tambien necesitamos definir en que dirección y en que sentido se comportara dichas particulas,para ello se necesita conocer la forma en que estas se comportan dependiendo de los campos de velocidades, aceleraciones y rotacionales.

Campos vectoriales  Campo de velocidades El campo de velocidades podemos analizarla desde un punto de vista particular como la forma en que una partícula se va desplazando con una gran rapidez y obviamente esta cambia de posición de acuerdo a la velocidad de su desplazamiento. La velocidad, en términos de sus componentes según los tres ejes coordenados elegidos, se puede escribir: k Entonces dichas componentes son funciones de la posición de la partícula y del tiempo, entonces se tiene:

 Campo de aceleraciones El campo de aceleraciones se presenta cuando una particula cambia de velocidad temporalmente y esto se puede considerar como dos efectos de superposición. (

)

Cuando depende del tiempo se puede decir que la partícula cambiara de posición y variara su velocidad a la cual se le llama aceleración convectiva; pero si la partícula no cambia su posición pero esta se ve afectada por el cambio de velocidad cuando transcurre el tiempo la podemos nombrar como aceleración local


(

)

(

)

(

)

Aceleración Aceleración convectiva localconvectiva nos da como resultado la Entonces la suma de la aceleración local y la aceleración

aceleración de una partícula de fluido. Se pueden citar un ejemplo de cómo se presentan estos tipos de aceleraciones; la aceleración local aparece si, por ejemplo, se abre o se cierra una válvula: y la aceleración convectiva ocurre cerca de donde cambia la geometría del tubo, tal como una contracción de un tubo o codo. En ambos ejemplos se puede notar que las partículas del fluido cambian de velocidad, pero por muy diferentes razones.

 Campo rotacional Esto se presenta cuando las partículas experimentan un movimiento ascendente de traslación (movimiento de remolino), partiendo de esto puede decir que el campo de rotación es senoidal; sus líneas de campo son cerradas, no es posible la existencia de manantiales o sumideros, de manera separada unos de otros. (

)

(

)

(

)

Definicion y clasificacion de flujos El movimiento de los fluidos puede clasificarse de muchas maneras, según diferentes criterios y según sus diferentes características, este puede ser:

Flujo Permanente o no permanente 



Flujo permanente: este es un tipo de flujo estacionario en la cual, las condiciones de velocidad de escurrimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo; por ejemplo lo observamos cuando el agua sale de una manguera de jardín o cuando observamos gasolina en la línea de combustible en una autopista. Flujo no permanente: Se le conoce como un flujo no estacionario, en el cual las propiedades del fluido serán diferentes, pero este tipo de flujo es muy difícil de encontrar en la naturaleza, pero podríamos citar un pequeño ejemplo, cuando vemos un líquido descargando por un orificio en un tanque pequeño.


Flujo uniforme o no uniforme 



Flujo uniforme:Este tipo de flujo es poco comun y ocurre cuando el vector velocidad en todos los puntos del escurrimiento es idéntico tanto en magnitud como en dirección para un instante dado; Un ejemplo sería un líquido que se bombea por un largo tubo recto. Flujo no uniforme: este tipo de flujo se encuentra cerca de fronteras sólidas por efecto de la viscosidad ;Un ejemplo sería un líquido que fluye a traves de una sección reducida o de un tubo curvo.

Flujo laminar o turbulento: 



Flujo turbulento:En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven en trayectorias muy irregulares, es decir que a medida que la velocidad y la densidad aumentan surgen remolinos y entre menor sea la viscosidad del fluido mayores serán las probabilidades de que se presente un flujo turbulento. Este tipo de flujos los podemos observar en las grandes corrientes de los ríos o en la caída de agua de una cascada. Flujo laminar: Este tipo de flujo se caracteriza por que el movimiento de las partículas se produce siguiendo trayectorias separadas perfectamente definidas, esto se da en forma de láminas o capas; Este tipo de flujo lo podemos observar en conductos cerrados trabajando a presión como por ejemplo en las tuberías en un conducto abierto como lo es un canal, o cuando llueve se forman pequeñas láminas de agua sobre las banquetas.

Unidimensional, bidimensional o tridimensional   

Flujo tridimencional: lo observamos en un flujo de agua sobre un vertedor ancho de un rio. Flujo bidimencional:lo podemos observar al flujo en la curva de un rio. Flujo unidimencional: un ejemplo simple de este tipo de flujo sería cuando el fluido pasa por una tubería.

Compresible e incompresible  

Flujo compresible: los cambios de densidad de un punto a otro no son despreciables; por ejemplo: en la práctica, solo en los problemas de golpe de ariete es necesario considerar que el flujo de un líquido es compresible. Fluido incompresible: los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables; por ejemplo: los líquidos y gases a bajas velocidades pueden ser considerados como incompresibles.


Flujo rotacional e irrotacional 



Flujo irrotacional: se dice que el flujo es irrotacional cuando el elemento del fluido dado no tiene una velocidad angular neta alrededor de dicho punto; por ejemplo un fluido que pasa a través de una tubería recta de sección uniforme. Flujo rotacional: este se presenta cuando en un flujo el campo rotacional de velocidad adquiere en alguno de sus puntos valores distintos de cero; por ejemplo; en el remolino de un rio se presenta este tipo de flujo.

Línea de corriente y línea de trayectoria Los conceptos de línea de corriente, línea de trayectoria y vena liquida (línea de filamento) se utilizan para representar visual y analíticamente los patrones del flujo.

Línea de corriente: Es por definición la línea envolvente de velocidades de sucesivas partículas en un instante dado. Es evidente que involucra a infinitas partículas en un instante, señaladas cada una por el vector velocidad de la partícula precedente. Es posible visualizarlas utilizando, por ejemplo, colorantes de igual masa específica que la del fluido en estudio

Línea de trayectoria: Para poder determinar una trayectoria, se puede identificar una partícula de fluido, en un instante dado, por ejemplo, mediante el uso de un colorante (tinta) y tomar fotografías de su movimiento con un tiempo de exposición adecuado NOTA: si el flujo es permanente, las líneas de corriente coinciden con las trayectorias.


2.2 Conservación de la masa La ecuación de la conservación de la masa se presenta como una previsión del agregado o pérdida de masa en un punto específico de un fluido, y de ella nos permite derivar la primera ecuación fundamental o la ecuación de la continuidad. La ley de la conservación de la masa es una de las leyes ponderales que surgen a partir del la ley de la conservación de la materia. Este principio nos dice que “la transferencia total de masa hacia o desde el volumen de control es directamente proporcional al cambio de masa que se produce en el interior del mismo” De acuerdo con el principio de la conservación de la materia, de la masa de un fluido que en un periodo de tiempo entra a un volumen especificado dentro de un flujo, una parte de este se queda en su interior y el resto sale del volumen. Esto nos dice que la cantidad total de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen en una cantidad de tiempo y la rapidez de variación de la masa contenida en el volumen es igual a cero.

2.2.1 Ecuación general de continuidad La ecuación de la continuidad define la continuidad de un flujo que se presenta sección a sección en el tubo de corriente. Esto tomando en cuenta un volumen de control y el tiempo especifico en que se llena el volumen. Al introducir un fluido cualquiera a través de un tubo de diámetro no uniforme, la cantidad de masa que ingresa por él, debe ser la misma que se desplaza y sale por el otro extremo a un determinado intervalo de tiempo (Δt), el total del fluido que se introduce por la parte inferior del tubo se desplaza uns distancia dada por:

Donde decimos que es la rapidez del fluido. Si el área de la sección transversal del tubo es , entonces la masa contenida en la parte inferior de la tubería estará dada por:

Y tomamos ρ como la densidad del fluido en el

.

Para la masa del fluido en la parte superior del tubo en el mismo intervalo de tiempo, utilizamos la misma fórmula que utilizamos para la sección inferior solo que con los datos de dicha sección.

Sabemos que la masa del flujo es constante y el flujo estacionarios, es decir: INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

En otras palabras, si tenemos dos secciones transversales a y b de un tubo de corriente, sus superficies son y y sus velocidades y . Si consideramos que no existen fugas ni extensiones que afecten el flujo, decimos que la masa del flujo que entra al tubo de corriente por la sección a debe ser igual a la masa que sale del mismo por la sección b. Estos es:

Los fluidos, especialmente el agua, se consideran incompresibles cuando se estudian por lo que su densidad de masa es la misma. Esto es: (2.1)

La ecuación (2.1) es la expresión analítica que surge del análisis matemático del principio de la conservación de la masa, o sea el producto del área de la sección del tubo y la velocidad del fluido es dicha área de la sección es constante. Esta ecuación nos expresa que en un flujo permanente, el régimen de flujo de masa que atraviesa todas las secciones del espacio de un tubo, es constante, eso quiere decir que tiene el mismo valor en cualquier punto del tubo o conducto de entrada que solo tenga un punto de entrada y uno de salida para el flujo del líquido. De acuerdo a lo anterior podemos deducir que la rapidez es baja en la parte amplia del tubo y la rapidez es alta en la parte más estrecha del tubo.

2.2.2 Ecuación del gasto Debemos tener en cuenta que en la hidrodinámica estudiamos flujos en movimiento y estos presentan una corriente laminar también conocido como flujo aerodinámico que es el movimiento que tiene un fluido en el que las partículas del fluido siguen la misma trayectoria que la anterior, o sea pasan por el mismo punto. El flujo turbulento es cuando se rompe el patrón de las partículas y se generan corrientes turbulentas o remolinos. El gasto tiene una estrecha relación con la ecuación de la continuidad, ya que en ésta está presente el producto del área o la sección transversal por la velocidad del fluido. Esta operación es una de las variantes de la formula que usamos para calcular el gasto y que se explica a continuación. Si consideramos que los fluidos no son compresibles y no presentan fricción interna considerable, entonces podemos predecir el comportamiento o razón de flujo del fluido también conocido como gasto, a lo largo de un recipiente o tubería, este flujo será constante. INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

Decimos que un fluido corre a través de una tubería con una velocidad constante. Las partículas del fluido se desplazarán durante un periodo de tiempo t, una distancia vt. La velocidad del flujo será la relación distancia-tiempo (m/s) De forma matemática decimos que el gasto es:

Donde: Q= Gasto en m³/s V= Velocidad del flujo en m/s A= Área de la sección transversal en m² O bien, se define al gasto como la relación del volumen del fluido que pasa por cierta sección transversal de la tubería o recipiente en un periodo de tiempo en el que tarda en fluir.

Donde: Q= Gasto en m³/s V= Volumen del fluido en m³ t= Tiempo que tarda en fluir el liquido en s Un líquido fluye con mayor rapidez en una sección más estrecha y más lenta en secciones amplias. Como dijimos el flujo es constante, esto quiere decir que si se presenta una variación en la sección transversal de la tubería entonces nos dará como resultado un cambio en la velocidad del liquido, de forma que el gasto permanece constante.


Ejemplo: Un líquido fluye a través de una tubería de 5 cm de diámetro a una velocidad de 5 m/s. ¿Cuál es el gasto en m³/s? Datos: d= 0.05 m V= 5 m/s Q=?

Solución: Si tenemos un diámetro de 5.00 cm y necesitamos un gasto en m³/s, primero convertimos los 5.00 cm en metros.

El área del tubo se calcula:

Sustituyendo en la fórmula del gasto tenemos que:

.


Conservación de la energía La ley de conservación de la energía nos dice: la cantidad de energía en cualquier sistema físico aislado permanece invariable con el tiempo, aunque dicha fuerza pueda transformarse en otra forma de energía. O se podría decir que, la energía que entra a un sistema es la misma que la que sale, o sea, la energía total permanece constante. La ecuación de la energía se puede aplicar cuando se sigue una línea de corriente y en forma general esta expresada:

Dónde:

Donde, aplicando a la figura anterior tenemos que: Z=energía de posición por unidad de peso o carga de posición P/ϒ=energía de presión por unidad de peso o carga de presión o altura piezometrica ϒ=peso específico del fluido. En fluidos líquidos el peso específico se considera constante V2/2g=energía cinética por unidad de peso o carga de velocidad Ʃhp=perdidas por unidad de peso entre dos puntos o perdidas de carga. Ʃhp=Ʃhf+Ʃhl Ʃhf=sumatorias de pérdidas por fricción Ʃhl=sumatoria de perdidas locales.


α=coeficiente de variación de la velocidad de la sección transversal (normalmente es constante si no se tiene perdidas por fricción)

Ecuación de la energía y solución para una vena liquida Las venas liquidas son: Un conjunto de líneas de corriente continuas, las cuales son líneas imaginarias continuas, tangente al vector velocidad de la partícula que en un instante determinado pasa por dicho punto, y estas, forman una superficie cerrada llamada vena liquida o tubo de corriente. La parte de la corriente comprendida en el interior de la vena líquida, se denomina filete.

Fig. 2.3.1- Esquema de una vena líquida. Si la sección del conducto tiende hacia cero, el filete se transforma en una vena líquida. La ecuación de continuidad de una vena liquida es:

Dónde: Q=caudal V=velocidad media del flujo A=área de la sección transversal del flujo Para entonces ver la ecuación de energía de una vena liquida, partiremos de la ecuación de la energía, pero como se sabe esta ecuación toma un velocidad media y esto trae un error con ello así que para comprender mejor esto lo analizaremos en la siguiente figura:


La ecuación general de la energía para una vena liquida, donde de energía

representa la disipación

∫ Dónde: representa la disipación de energía entre las secciones 1 y 2 que además incluye la constante de integración c(t). ∫

Representa la carga correspondiente al cambio local de velocidades.

Gradiente de energía y gradiente hidráulico Las pérdidas de carga se pueden mostrar gráficamente a partir de dos líneas llamadas gradiente hidráulico y gradiente de energía. Se puede definir al gradiente hidráulico como el lugar geométrico de las elevaciones, a las cuales el líquido se levantaría en tubos piezómetros colocados sucesivamente en el tubo, por lo tanto se representa gráficamente con respecto a un plano arbitrario tomado como origen, de la carga de presión más la carga potencial que el líquido posee en todas las secciones del tubo. Esta línea coincide y queda a nivel de la superficie libre para un volumen de líquido en reposo. La definición de gradiente de energía es la línea que está sobre el gradiente hidráulico a una distancia igual a la carga de velocidad en cada sección, su representación gráfica se toma con respecto al plano arbitrario tomado como origen, es la carga total que posee un fluido. Esta línea no puede ser horizontal o con inclinación ascendente en la dirección del escurrimiento, ya que ningún liquido adquiere energía adicional desde el exterior. Ejemplo 2.3.1: INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

Dos tanques de agua están conectados por una tubería de 1220 m de longitud y 0.25 m de diámetro. El nivel en el recipiente superior está a 37 m por encima del nivel en el recipiente del tanque inferior. El gasto que transporta es de .128m 3/s Determinar a) la perdida de carga total (la energía disponible para ser disipada);b) La presión que existe en la sección, ala mitad de la tubería, si dicha sección se encuentra ala misma elevación que el nivel del tanque inferior, siendo que la mitad de la energía disponible se pierde desde el tanque superior hasta dicha sección. c) trazar los gradientes hidráulicos y de energía.

a) Considerando que α=1, se puede aplicar la ecuación de la energía entre los dos tanques con el plano de referencia coincidiendo en la parte superior del tanque inferior: De la ecuación de la energía

Como se tienen los puntos en la superficie libre y en reposo se tiene que la carga de presión y la carga de velocidad son igual a 0 y como el plano de referencia se encuentra en la superficie del tanque inferior esta altura también vale 0. Sustituyendo tenemos que:

Por lo tanto:

Esto es el desnivel total de 37 m se consume en pérdidas de energía. b) Si el área del tubo es de: INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

La velocidad media del tubo vale:

En la misma forma se aplica la ecuación de energía ahora entre el tanque superior y la sección 3 con hr=18.50 ya que la mitad de la energía se disipa en ese punto, esto para calcular P3 de la siguiente formula:

Por lo tanto despejando P3 tenemos que:


Modelos hidráulicos El termino de modelo, aplicado a la hidráulica podemos definirlo como un sistema que simula un objeto real llamado prototipo, mediante el cual podemos procesar información vital para emplearse en el diseño y operación de obras civiles. Es decir, es un modelo físico matemático reducido a escala que representa al objeto real o prototipo. 3.1 Similitud geométrica, cinemática y dinámica Similitud geométrica: es la semejanza que se obtiene cuando la relación entre todas las longitudes correspondientes del modelo y el prototipo es el mismo. Es decir que cualquier longitud del prototipo esta multiplicada por un factor de escala constante . Esto implica que el modelo y el prototipo tengan las mismas formas, es decir, distancias proporcionales y ángulos iguales. Podemos describirlo matemáticamente de la siguiente manera:

Dónde: es el factor de escala constante, Lm es la longitud del modelo, Lp la longitud de prototipo, Am es el área de modelo, Ap es el área de prototipo, Vm el volumen del modelo y Vp el volumen del prototipo. Similitud cinemática: esta similitud depende de la similitud geométrica, pero esa condición no es suficiente para que se dé la similitud cinemática. Esto es porque, la cinemática habla de movimiento y para esto se adiciona la similitud en intervalos de tiempo. Esto es, que también se cumple la siguiente relación:

Dónde: es igual coeficiente de tiempo a escala y siempre constante, Tp y Tm los tiempos que tardan dos elementos de fluidos con similitud geométrica en recorrer dos trayectorias de longitud semejantes. Ya con las ecuaciones de escalas de longitud constante y escala de tiempo constante podemos encontrar las ecuaciones de velocidad, aceleracion y gasto, en en relacion de modelo y prototipo.

Estas ecuaciones son:


Ecuacion de la velocidad ecuacion de aceleracion ecuacion del caudal donde:es igual ala relacion donde:es igual ala relacion donde:es igual ala relacion del coeficiente de escala de del coeficiente de escala de del coeficiente de escala de longitud entre el coeficiente longitud entre el coeficiente longitud al cubo entre el de escala de tiempo de escala de tiempo al cuadrado Coeficiente escala de tiempo

Similitud dinamica: esta se da cuando las fuerzas que actuan sobre una particula (masa) de fluido en el modelo es geometricamente semejante alas fuerzas de la particula (masa)equivalente del prototipo. Es decir, que la relacion entre las fuerzas actuantes en el modelo debe ser igual a la relacion de fuerzas en el prototipo. Este similitud se expresaria de la siguiente manera:

Donde: es igual al coeficiente de escala de la fuerza, Mp y Mm son el momento que producen las fuerzas que actuan sobre una particula en el prototipo equivalente al modelo.


3.2 Leyes de similitud:condicion de Froude, Reynolds y Euler. Estas leyes de similitud tienen mucho que ver con la relacion de fuerzas actuantes sobre las particulas de fluidos de ahí se derivan las siguientes condiciones: Numero de Froude: es un parametro importante, siempre y cuando la gravedad actue en el movimiento del fluido. Por lo tanto, tenemos que: √ Donde: Fr es el numero de Froude, la v es la vecidad y g es la gravedad. Al ser condicion para nuestro modelo, entonces tenemos que:

Es decir, que el coeficiente de Froude es igual a la relacion entre el numero de Fruode del prototipo y el modelo. Numero de Reynolds: debe de ser tomado en cuenta siempre y cuando las fuerzas viscosas influyan en el movimiento de un fluido. Esto es la relacion de la fuerza de inercia entre la fuerza de viscosidad, es decir:

Donde: el numero de reynolds es Re, L es la longitud, v es la velocidad y V es la viscosidad. Aplicando esta condicion a nuestro modelo esto es:

Esto es; el coeficiente de escala de reynolds esta en funcion ala relacion del reynolds del prototipo y el del modelo. Numero de Euler: su importancia radica en aquellos casos donde la presion es la unica responsable del movimiento del fluido.todo esto se resume en:

En donde vemos que el numero de Euler es igual ala relacion de la densidad del fluido y la velocidad elevada al cuadrado y la presion ejercida al fluido. INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

Al apliarlo a nuestro modelo vemos que el coeficiente de escalas del numero de Euler es la relacion de el numero de Euler del prototpo y el numero de Euler del modelo.

Y estas son leyes que se tienen que cumplir para que se garantice la semejanza entre un prototipo y un modelo. Ahora veremos la aplicación de esta de alguna de estas leyes de similitud. Ejemplo1.1 Los coeficientes de valvula K=

para una valvula d 400mm de diametro se determinaran

de pruebas sobre una valvula geometricamente similar de 200mm de diametro usando aire atmosferico a 70°F. los limites los limites de prueba deben de ser para el flujo de agua a 60°Fentre 1 y 2.5 m/s ¿ que limites de flujo de aire se necesitan? Los limites del numero de Reynolds para la valvula del prototipo son:

(

)

Para pruebas con aire a 80°F (

)(

)

Entonces los limites de velocidades de aire seran:


Entonces: (

) (

)

3.3Planeacion y construccion de modelos hidraulicos. Basicamente el uso de modelos hidraulicos consiste en proponer ciertas caracteristicas para poder simular el comportamiento de una obra hidraulica teniendo en cuenta las similitudes anteriores. Estos modelos deben tener las siguientes caracteistica: a) Sencillos, en su estructura, para su utilizacion y para la comprension de su base teorica. b) Reducida necesidad de equipo de computacion y memoria ocupada. c) Rapidos para hacer la simulacion y para hacerle cambios. d) Claros y concisos al presentar resultados. e) Verstiles en su aplicación. Que pueden realizar analisis de obras hidraulicas elementales, o ser utiles en la optimizacion de sistemas de obras hidrulicos complejos.


3.3.- DISPOSITIVOS DE MEDICION (TUBO DE VENTURI, TUBO DE PITOT, ROTAMETRO). Estos aparatos nos sirven para medir el gasto de las tuberías indirectamente (tubo de Venturi, rotámetro) o la velocidad de un fluido (tubo de pitot), esto es para tuberías de mediana a grandes dimensiones como por ejemplo las redes de abastecimientos de agua. A continuación describiremos cada uno de estos dispositivos. TUBO DE VENTURI Este aparato nos sirve para medir el gasto de flujo en una tubería tomando en cuenta la altura piezometrica o la carga, la diferencia de velocidad o de presión en varios puntos de la sección transversal estos valores nos sirve para el cálculo de la descarga. El dispositivo consiste en una reducción brusca de la sección transversal de la tubería esto con el fin de provocar un cambio de presiones el cual al ser medido nos dará como resultado el gasto que deseamos. Para una mejor comprensión sobre este aparato, a continuación se hará mención sobre la forma (geometría) en que está constituido este dispositivo. Generalmente es una pieza fundida que consta de: 1) Una porción aguas arriba, la cual tiene el mismo tamaño que la tubería, tiene un revestimiento en bronce y contiene un anillo piezómetro para medir la presión estática. 2) Tiene una región convergente, es decir que se unen en un punto. 3) Una garganta cilíndrica con un revestimiento en bronce que contiene un anillo piezómetro. 4) Una región cónica gradualmente divergente que desemboca en una sección cilíndrica del tamaño e una tubería.

Expresando esto en una ecuación que nos permita el cálculo del gasto con este dispositivo paso por paso fijándonos de la figura se tiene: Como primer paso se anotan las ecuaciones de Bernoulli y la ecuación de continuidad:


Para obtener la altura (h) en la figura se tiene que esta es la diferencia entre: (

)

(

)

Sustituyendo la h en la ecuación de Bernoulli se tiene:

Ahora sustituimos la ecuación de continuidad (

)

Desarrollando esta expresión nos quedaría como:

Despejamos

de la ecuación y nos resulta: √

(

)

Esta ecuación nos representa una velocidad teórica, pero si la multiplicamos por un coeficiente de velocidad tendríamos la velocidad real

√

(

)

Ahora para hallar la ecuación que represente al gasto tomando en cuenta la deflexión en el manómetro, sabiendo que el Entonces a la ecuación anterior la multiplicamos por A2 , porque estamos trabajando con la V2. √

(

)

Se procede a ahora a relacionar la diferencia manométrica ∆h con la diferencia de presión escribiendo la ecuación del manómetro sabiendo que es la densidad relativa del líquido manométrico y es la densidad relativa del líquido en movimiento y realizando algunos ajustes se llega a obtener la siguiente ecuación: (

)

El coeficiente Cd se calcula como: Donde

que es grado de estrangulamiento o reducción del tubo de Venturi.


Finalmente se obtiene la ecuación del gasto: √ Haciendo referencia que Para el cálculo de

Coeficiente

1

(

)

se utilizaran las siguientes figuras:

cd para un Venturimetro1

Hidráulica General, Vol 1: Fundamentos, Gilberto Sotelo Ávila. Editorial Limusa.


EJEMPLO DEL CÁLCULO DEL TUBO DE VENTURIMETRO: Un venturimetro tiene un diámetro a la entrada D1 =0.2032 m. y un diámetro en el estrangulamiento de D2 =0.1016 m. la deflexión en el manómetro de mercurio es de 0.254 m. Calcular el gasto para una temperatura del agua de 15˚c. SOLUCION: Se sabe que el peso específico del mercurio se obtiene de la multiplicación del peso relativo del mercurio multiplicado por el peso específico del agua, entonces: y la viscosidad cinemática del agua a 15˚c es igual al cociente de la viscosidad dinámica(μ=0.001139 kg/m.s) entre el peso específico del agua ( ) esto resulta como 1.139 x 10-6 m2/s en este caso lo utilizaremos en cm2/s esto es igual a υ=0.01139 cm2/s 1) Como paso siguiente calcularemos las áreas respectivas de cada diámetro del tubo de Venturi.

2) El tercer paso consiste en encontrar el grado de estrangulamiento , que como ya se había mencionado antes, esto es igual a

por lo tanto tenemos:

3) Ahora buscamos este valor en la figura para la obtención del coeficiente del Venturi metro y se tiene que este es igual a 1.009 4) Para hallar el gasto sustituimos los valores encontrados en la ecuación

√

(

) √

(

)

5) La velocidad en la sección 2 seria:

6) Este valor se sustituye en la fórmula de Reynolds para comprobar si coincide el Cd con el valor del Reynolds, en caso de no ser así se tomara el nuevo valor calculado hasta hacer coincidir cada uno de los valores. INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

TUBO DE PITOT Este dispositivo es uno de los aparatos de medición de la velocidad más exactos que existen.se utiliza un tubo de vidrio o una aguja hipodérmica curvada en ángulo recto para medir la velocidad en un canal abierto. Para ello se utilizan dos aberturas, A y B, perpendicular y paralela a la dirección del flujo. Si pC es la presión en el gas sobre el fluido (que puede regularse mediante la llave), claramente se tiene pA = ρg (H + h) + pC pB = ρgH + pC ⇒ pA – pB = ρgh En B, la presión será la presión estática de la corriente fluida, pB, mientras que en A el fluido está estancado con velocidad 0 y la presión es dinámica. Como ambos puntos están a la misma altura, entonces se tiene:

Dicho esto en otras palabras a la hora de calcular la altura total de A ay que tener en cuenta el aumento de altura debido al fluido que intenta entrar y no puede, entonces tendríamos, √ Esto expresándolo en diferencia de alturas tendríamos: √


ROTAMETRO El rotámetro es un medidor de lectura directa de la velocidad que consta de un tubo transparente que se amplía con diámetro variable desde la entrada hasta la salida y un medidor de “flotador” (más pesado que el líquido) el cual se desplaza hacia arriba por el flujo ascendente de un fluido en la tubería. El tubo se encuentra graduado para leer directamente el caudal. Las ranuras en el flotador hacen que rote y, por consiguiente, que mantenga su posición central en el tubo. Entre mayor sea el caudal, mayor es la altura que asume el flotador.

Como sabemos por la ecuación de continuidad, el gasto que entra al tubo es:

Donde seria el área del tubo a la entrada; transparente; y V la velocidad.

seria la velocidad de la misma;A seria el área del tubo


4.1.- RESISTENCIA AL FLUJO EN CONDUCTOS A PRESION Para poder estudiar problemas sobre la resistencia de flujos es necesario que recordemos las clasificaciones iniciales de los fluidos y considerar las grandes diferencias de su comportamiento entre los dos tipos de fluidos mas importante: el laminar y el turbulento. Osborne Reynolds (1883) en base a sus experimentos fue el primero que propuso el criterio para distinguir ambos tipos de flujo mediante el número que lleva su nombre el cual permite evaluar la preponderancia de las fuerzas viscosas sobre las de inercia. En el caso de un conducto cilíndrico a presión el número de Reynolds se define así:2

=numero de Reynolds = viscosidad cinemática del fluido

D=diámetro del conducto V=velocidad media

A continuación se tienen los límites a los cuales se define si un fluido es laminar o turbulento:

Las perdidas se pueden considerar como perdidas por fricción y perdidas locales (de accesorios) 4.1.1- PERDIDAS DE CARGA POR FRICCION Para el calculo de las perdidas de fricción varios investigadores como Darcy, Weisbach entre otros propusieron una formula para el calculo de este tipo de perdidas

=factor de fricción adimensional =perdidas por fricción en m. D=diámetro en m.

=gravedad en m/seg2 V=velocidad media en m/seg L= longitud del tubo en m.

El factor de fricción se calcula de acuerdo a la tabla 1 del anexo tomando en cuenta las observaciones.

2

Hidráulica general, vol 1: fundamentos, Gilberto Sotelo Ávila. editorial limusa.


Los “problemas de tubería simples” se refieren a tuberías en las cuales la fricción es la nica perdida. Los problemas de tuberías pueden tratarse de tres tipos:3 TIPO I. II. III.

DADO Q, L, D, ѵ,ϵ , L, D, ѵ, ϵ ,Q, L, ѵ,ϵ

INCOGNITA . Q D

Para hallar el coeficiente de fricción también podemos emplear la siguiente formula:

*

(

)+

10-6≤ϵ /D≤10-2 5000≤R≤108

A continuación se menciona la solución de cada uno de los tres tipos de problema: EJEMPLO CASO I : determinar la perdida de energía para un caudal de 0.266 m3/seg. De aceite, υ=0.00001 m2/seg. A través de una tubería de fierro galvanizado de 500 mm. De diámetro y 855 m. de longitud. SOLUCION: 1) Como primer paso calcularemos el área para calcular la velocidad para luego proceder a calcular el Reynolds, entonces se tiene:

3

Mecánica de los fluidos. Víctor L. streeter E. Benjamín wylie y Keith w. Bedford.9ª edición. Editorial Mc Graw Hill.Error! Reference source not found.


2) De la tabla 2 del anexo buscamos la rugosidad relativa y por medio de esta buscamos el factor de fricción:

3) Con el valor de ϵ/D entramos al diagrama de moody de este anexo y encontramos que el factor de fricción es: 0.020 o por medio de la fórmula de swamee y jain se tiene:

*

(

)+

[

(

)]

4) Con estos datos ya podemos calcular la incognita que es la perdida por friccion hf. (

)(


)

EJEMPLO CASO I I: determinar el gasto que fluye en un tubo de acero nuevo de 0.60 m. de diámetro que transporta agua a las comunidades con una temperatura de 12ºC si se especifica que la perdida de fricción sea de 2.30 m por cada 300 m. de tubería(Ɛ/D=0.00065) SOLUCION: 1) Como primer paso buscamos el coeficiente de rugosidad

en el diagrama de moody

y suponemos un coeficiente de fricción entonces se tiene que este valor es igual a 0.0175 2) Como siguiente paso notamos que el problema nos pide encontrar el gasto ,sabiendo que : ,nos damos cuenta de que no tenemos como dato a la velocidad por lo tanto tomamos la ecuación general de Darcy –weisbach.

3) Despejamos a la velocidad y obtenemos: √ 4) Sustituyendo datos en la ecuación despejada se tiene lo siguiente: √

5) Ahora calculamos el Reynolds con una viscosidad cinemática de 1.236 x 10 -6 para una temperatura de12 ºc.

6) Volvemos al diagrama de moody con =0.0182


7) Ahora sustituimos este nuevo valor para calcular la nueva siguiente:

velocidad, obtenemos lo

√ 8) Calculamos el nuevo Reynolds

9) observamos que el Reynolds es cercano al que calculamos con anterioridad y ya es posible calcular el gasto con la velocidad encontrada.


EJEMPLO CASO I i I : determinar el diámetro de una tubería de hierro forjado (Ɛ=0.0000655 m.) requerida para transportar 15000 lit/seg de petróleo , υ=0.00001 , para 20000 m. se especifica que la perdida de fricción sea de 85.00 m. SOLUCION: 1) De la fórmula de darcy – weisbach se tiene

2) Sustituyendo la velocidad en hf se tiene lo siguiente: (

)

√

√ √ 3) Calculamos el Reynolds

(

)

4) Como siguiente paso proponemos un valor para f=0.0125 y lo sustituimos en la ecuación 1 del diámetro. √ INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

5) Sustituimos este valor en la ecuación 2 del Reynolds

6) Como siguiente paso sustituimos el diámetro y la rugosidad

7) buscamos en el diagrama de moody o sustituimos en la formula de swame y jain para hallar el coeficiente de fricción nuevo.

[

(

)]

8) Sustituimos el coeficiente de fricción nuevo en la formula del diámetro para obtener el nuevo diámetro √ 9) Notamos que el diámetro anterior es el mismo que encontramos el cual corresponde al diámetro real de la tubería, si en dado caso esta igualdad no fuese posible se continuaría con las iteraciones hasta encontrar la convergencia. Otra forma de calcular directamente el diámetro utilizando relaciones adimensionales y un tratamiento similar al desarrollo de la ecuación de Colebrook, que nos da la siguiente ecuación4: [

(

)

(

)

]

La ecuación es valida para los rangos siguientes:

4

Mecánica de los fluidos. Víctor L. streeter E. Benjamín wylie y Keith w. Bedford.9ª edición. Editorial Mc Graw Hill.


( (

[

)

(

)

(

)

)

]

[

]

Arroja un D con una precisión del 2% del valor obtenido, utilizando el método de la ecuación de Colebrook. 4.1.1- PERDIDAS DE CARGA POR FRICCION Este tipo de pérdidas son las producidas por los accesorios en los tramos rectos y curvos de las tuberías, es decir; a los cambios de sección o dirección de la tubería, su magnitud es expresada en términos de la carga de velocidad. Este tipos de perdidas corresponden a : Secciones de rejilla Ensanchamientos Estrechamientos Codos Válvulas bifurcaciones para poder obtener este tipo de pérdidas se utiliza la formula general de la pérdida local que es:

donde:

=perdida de la energía en m. K=coeficiente adimensional que depende del tipo de perdida de que se trate, del número de Reynolds y de la rugosidad del tubo. =carga de velocidad aguas abajo, de la zona de alteración del flujo en m. PERDIDA POR ENTRADA: por lo general se toma como 0.5

para bordes rectos pero

dependiendo del tipo de entrada de la tubería se dan otros valores a K como los mostrados en el figura 2 del anexo.


PERDIDA POR REJILLAS: se realizan para evitar la entrada de cuerpos solidos a la tubería, dichas rejillas obstaculizan el flujo y producen una perdida en la tubería. cuando están parcialmente sumergidas y sobresalen del nivel de la superficie del agua el coeficiente K puede calcularse para un flujo al plano normal de la rejilla como. ( ) Cuando la pérdida no es normal al plano de rejillas, la pérdida es mayor, el coeficiente K se calcula como:

Donde: =coeficiente que depende de la forma de la reja que se muestran en el anexo. =es el coeficiente de perdida para flujo normal al plano de la reja β=coeficiente que depende de s/b y del ángulo

como se muestra en la figura 4 del anexo.

PERDIDA POR AMPLIACION: Se produce por una ampliación de la sección transversal del tubo. K depende de la brusquedad de la ampliación (

)

Donde: Ca=depende del θ del difusor como se muestra en la figura 5 del ampliaciones bruscas se usa la misma fórmula pero con Ca =1


anexo para

BOMBA Podemos definir a una bomba a una máquina que transforma energía que por lo general suele ser energía mecánica y genera energía hidráulica. Esta se emplea para aumentar la presión de un líquido al añadir energía al sistema hidráulico, con esto logramos transportar el fluido de un zona de menor presión a otra de mayor. Podemos definir a la potencia como la energía neta por unidad de peso que cede o se transmite al líquido por efecto de la maquina tiene signo positivo cuando el líquido cede energía (turbina) o negativo cuando la recibe (bomba); aún más si P n es la potencia nominal de la máquina y ɳ es su eficiencia, entonces se tienen las siguientes ecuaciones: PARA TURBINAS:

PARA BOMBAS: Para calcular la potencia en una bomba hidráulica tenemos para el: 

Sistema Inglés: 1 HP=550 ft.lbf/s 1 pie=304.8 mm.



Sistema internacional: Si el

está en N se utiliza:

Si el

está en KN se utiliza:



1 HP=746 N.m / s

Sistema MKS 1 HP=76 Kg.m / s


EJEMPLO: una bomba de 35 cv de potencia y 85% de eficiencia debe abastecer un gasto de 9 m3/min de agua a 15ºC a un recipiente cuyo nivel se encuentra a 10 m. arriba del carcamo de bombeo. La tuberia de conducción es de fierro fundido nuevo (ϵ=0.25mm.) con una longitud de 210 m. tres curvas de radio R=5D(2 codos de 45º y una de 90º) y una valvula con K=8 DETERMINAR EL DIAMETRO NECESARIO EN LA TUBERIA.

DATOS P=35 HP ɳ=85% Q=9 m3/min=0.15 m3/seg T=15ºC L1=60 m. L2=150 m. Ѵ=1.139 x 10-6 ϵ=0.25mm.=0.00025m.


SOLUCION: 1) Como paso uno calculamos por medio de la potencia la perdida por bombeo y se tiene lo siguiente:

(

)

2) Aplicamos la ecuación de la energía para los puntos 1 y 2 : ∑

∑

∑

∑

∑ 3) Calculamos ∑

que es la suma de todos las perdidas que tiene la tubería

 PERDIDA POR FRICCIÓN:

 PERDIDS LOCALES: 

POR ENTRADA: el valor de K por la figura se nota que es de tipo rectangular por lo tanto su valor es igual a 0.5




POR VALVULA DE COMPUERTA TOTALMENTE ABIERTA: como no contamos con el diámetro se mantiene el coeficiente K



POR CODOS DE 45º CON BRIDAS: como no contamos con el diámetro se mantiene el coeficiente K y lo multiplicamos por dos codos que hay en la tubería.



POR CODOS DE 90º CON BRIDAS: como no contamos con el diámetro se mantiene el coeficiente K



POR SALIDA :como la perdida en el desagüe libre de la tubería es generalmente muy pequeña al no producirse apenas turbulencia a la tubería en ese proceso por lo tanto ese valor equivale por lo general a 1 aunque esto podría variar dependiendo del tipo de accesorio con el que se este trabajando.

4) Ahora sustituimos en la ecuación de Bernoulli que obtuvimos, todas las perdidas. ∑

Despejamos la carga de velocidad de la ecuación [

]

Reduciendo términos tenemos: [

]

Como siguiente paso proponemos un algoritmo para calcular el diámetro y es como sigue: INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

1) Proponemos un diámetro de 25 cm. Que es igual a 0.25 m. 2) Calculamos el Reynolds (

)

3) Calculamos la rugosidad relativa 4) Ahora ya sea por el diagrama de moody o por el método de swamee y jain calcularemos el factor de fricción “f” *

[

(

(

)+

)]

5) Como siguiente paso calculamos la velocidad y las cargas de velocidad.

6) Con el diámetro que se ha propuesto, calculamos las perdidas de fricción y locales de la tubería con las ecuaciones halladas al principio de este problema:


 PERDIDA POR FRICCION

 PERDIDAS LOCALES 

POR ENTRADA: el valor de K por la figura se nota que es de tipo rectangular por lo tanto su valor es igual a 0.5



POR VALVULA DE COMPUERTA TOTALMENTE ABIERTA: como proponemos un diámetro para 25 cm ,localizamos en el anexo la grafica para válvulas totalmente abiertas y leemos que donde se corta la línea con el diámetro nos da l valor de k=0.06



POR CODOS DE 45º CON BRIDAS: localizamos en la grafica de los codos de este anexo y buscamos el diámetro propuesto y por medio de este encontramos que para codos de 45º K vale 0.18 ,como son dos codos en esta tubería lo multiplicamos por dos



POR CODOS DE 90º CON BRIDAS: localizamos en la grafica de los codos de este anexo y buscamos el diámetro propuesto y por medio de este encontramos que para codos de 90º K vale 0.25



POR SALIDA :como la perdida en el desagüe libre de la tubería es generalmente muy pequeña al no producirse apenas turbulencia a la tubería en ese proceso por lo tanto ese valor equivale por lo general a 1 aunque esto podría variar dependiendo del tipo de accesorio con el que se este trabajando.

7) Ahora sustituimos en la ecuación de Bernoulli que obtuvimos, todas las perdidas


∑ Despejamos la carga de velocidad de la ecuación [

]

Reduciendo términos tenemos: *

+ [

]

8) Sustituimos los datos en la ecuación de Bernoulli debiendo converger en 5.08 ∑

9) Como puede notarse no existe convergencia alguna, por lo cual se repetirán los pasos (operaciones) con el nuevo “D” hasta llegar al resultado que será la convergencia de ambos.



5.4 Cálculo de fenómenos transitorios. A los fenómenos transitorios se les conoce también como los fenómenos de variación de cambio de presión que ocurre en conducciones a presión. Este cambio de presiones se da en relación las variaciones proporcionales a la velocidad. Entre los fenómenos transitorios podemos encontrar el golpe de ariete y la cavitación, aquí hablaremos de ellos.

5.4.1 Golpe de ariete. El golpe de ariete, también llamado choque hidráulico, es el fenómeno que ocurre cuando hay una variación brusca en la presión de un fluido que se desplaza dentro de una tubería, esto se produce por el cierre o abertura de válvulas, llaves o grifos, también por un motor o bomba hidráulica. El cambio de presiones llega a provocar deformaciones elásticas en el fluido y en las paredes de la tubería. Este fenómenos es el causante de que las tuberías fallen, provocando roturas ya sea en la tubería o en los accesorios, también provoca que se produzcan sonidos en la tubería cuando abrimos bruscamente un grifo en nuestras casas. Por tal razón se han llegado a diseñar válvulas y mecanismos que nos ayuden a prevenir este fenómeno conocido como golpe de ariete. También puede ser definido como: “El fenómeno del golpe de ariete consiste en la alternancia de depresiones y sobrepresiones debido al movimiento oscilatorio de un fluido en el interior de una tubería, básicamente es una variación de presión y se puede producir tanto en impulsiones como en abastecimientos por gravedad” (Ortega, 2004). Podemos decir que la fuerza con la que se produce el golpe de ariete es proporcional a la longitud de la tubería esto debido a que las ondas de sobrepresión se cargan de más energía. También es inversamente proporcional al tiempo que tarda en que se cierre la llave o grifo. Entre más brusco sea el cierre del paso del fluido, mayor será el golpe. Ahora bien cuando cerramos una válvula la fuerza del agua pasa a convertirse en trabajo, esto produce que se creen presiones mayores a la carga inicial en las paredes de la tubería por el cual fluía el liquido. Calculo del golpe de ariete En si el cálculo se realiza con la finalidad de conocer la sobrepresión que ejercerá el agua en las paredes de la tubería. Cuando cerramos ya sea una válvula o llave que controla el flujo de agua en una tubería se produce una ondulación del líquido en un determinado tiempo, dicha ondulación es conocida como onda de sobrepresión. Esta recorre la tubería de un extremo a otro, primero recorre un camino de ida en cierto tiempo, al regresar la onda recorre la misma distancia en el mismo tiempo solo que en sentido negativo.


El tiempo en que esta onda de sobrepresión recorre la tubería se le conoce como fase o periodo de la tubería.

Donde: T=fase o periodo de la tubería en segundos L= longitud de la tubería en m C= celeridad o velocidad de propagación de la onda en m/s Para el cálculo de la celeridad o velocidad de propagación de la onda aplicamos La fórmula de Allievi: √ Donde: C= celeridad en m/s D= diámetro de los tubos en m e= espesor de los tubos en m k= coeficiente que tiene en cuenta los módulos de elasticidad. Para el cálculo del coeficiente k tenemos la siguiente formula: . Sabemos que E es el modulo de elasticidad que dependerá del material del tubo con el que estemos trabajando. Si el tubo llega a ser de concreto armado tomamos el coeficiente k del acero. Por ejemplo el modulo de elasticidad del acero es de 2100000 kg/cm². Entonces y k=0.5 Para el cálculo de el espesor de los tubos tenemos que

Donde: e = espesor representativo = espesor medio distribuido de los hierros = espesor de los tubos m = coeficiente práctico (aprox. 10)


Tabla 5.1 Valores para el cálculo de la celeridad C D/e Acero k=0.5 Concreto k=5 Fierro fundido k=1 500 574.2 247.5 425.7 400 623.7 277.2 405.3 300 702.9 316.8 524.7 250 752.4 346.8 574.2 200 811.8 386.1 623.7 180 841.6 405.9 653.4 160 871.2 425.7 683.1 140 910.8 455.4 722.7 120 950.4 485.1 762.3 100 999.9 524.7 811.8 80 1049.4 584.1 871.2 60 1118.7 653.4 950.4 50 1158.3 702.9 999.9 40 1197.9 762.3 1049.4 30 1247.1 841.5 1118.7 20 1296.9 950.4 1197.9 10 1356.3 1118.7 1296.9 Regresando a la formula de la fase o periodo de la tubería (T) que es el tiempo que tardan en recorrer la tubería las ondas de sobrepresión, y consideramos t como el tiempo de maniobra, entonces tenemos que: t
como el aumento de la presión.

t>T o sea que el tiempo real en el que se cierra la llave es mayor al de el recorrido de las ondas de expansión, esto significa que al cerrar la llave se produce una maniobra lenta. Cuando se realiza este cierre lento la sobrepresión es calculada Para el cálculo del golpe de ariete tenemos las siguientes fórmulas Michaud, Vensano

Sparre

(

)


√

Teoria inelástica (Johnson) Teoria elástica (Allievi,Gibson,Quick)

Ejemplo: Se instaló una tubería de 210 m por el cual pasa un fluido a una velocidad de 2.5 m/s y una presión inicial de 40 m, la tubería es de acero con 17'' de diámetro, espesor de 1/4''. Esta tubería está conectada a una válvula que regula el paso del agua, el tiempo que tarda en cerrar la válvula es de 3 s. Si tenemos que la relación D/e= 68, calcular la celeridad y la sobrepresión en la tubería. Solución Primero calculamos la celeridad. Si tenemos que la relación D/e=68, vamos a la tabla 5.1 realizamos una interpolación y el valor de la celeridad nos dará 1146.42 m/s A continuación calculamos el periodo = 0.37s t(3 seg) > T(0.37 seg) es una maniobra lenta 1) Calculamos la sobrepresión máxima con Michaud, Vensano (

)

2) Calculamos la sobrepresión con Sparre

(

)

(

(

)

)

3) Calculamos con la teoría inelástica (Johnson)


(

√ (

)

)

(

)

4) Calculamos con Allievi

En el monograma que encontramos en el anexo 5.1 buscamos la intersección de t'=8 y =3.7 se encuentra

hₐ= 40 x 1.6-40= 24 m

5.4.2. Cavitación La cavitación es un fenómeno físico que se presenta en tuberías, bombas, turbinas, etc. La cavitación se produce con la formación de burbujas de gas (cavidades) en el seno liquido y posteriormente su colapso (implosión). El gas puede ser vapor del propio fluido, aire atrapado u otro gas disuelto en el fluido considerado. La cavitación se puede presentar en líquidos en reposo o en movimiento, y su única condición necesaria es el alcanzar el estado de equilibrio liquido-vapor. Cuando un líquido esta en reposo se puede lograr por medio de transferencia de calor, por ejemplo cuando se hierve agua. En cambio cuando un liquido se encuentra en movimiento se produce por medio de una disminución local de presión por aumento en la velocidad produciendo que las burbujas de aire sean transportadas por la corriente hasta el momento que la presión sea más alta, esto produce el colapso de la misma. La cavitación es un efecto hidrodinámico producido cuando un fluido líquido recorre a una velocidad elevada una arista afilada, esto produce una descompresión del fluido debido a la conservación de la constante de Bernoulli. INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

Las burbujas o cavidades se forman cuando se alcanza la presión de vapor del fluido líquido logrando que las moléculas que lo forman cambien a estado de vapor. Las cavidades formadas se desplazan a zonas de mayor presión e implosionan (o sea el vapor retorna a su forma líquida de manera brusca) generando una estela de gas y un desprendimiento de metal de la superficie en la que se produce este fenómeno. Esta implosión genera un grupo de ondas de presión que se desplazan a través del líquido a velocidades casi iguales a las del sonido. Estas pueden disiparse en la corriente del líquido o estrellarse contra una superficie. Si la zona del impacto es la misma, el material tenderá a debilitarse poco a poco generando una erosión con el paso del tiempo que no solo daña a la superficie sino que también hace que esta zona sea una zona de mayor pérdida de presión, esto provocara que sea un punto donde se generen mas burbujas de vapor. Ahora bien cuando la burbuja está localizada cerca o en contacto directo con una pared sólida cuando implosionan, la fuerza producida por el liquido al aplastar la burbuja den lugar a presiones localizadas muy altas. Esto puede producir picaduras sobre la superficie sólida, y dependiendo del material empleado, oxidaciones que pueden debilitar a la estructura del material. La cavitación se presenta con ruidos y vibraciones similares a como sonaría si la grava golpeara la maquina. También genera bloqueos que al aparecer burbujas se hace que la sección de paso del flujo disminuya, esto hace que el flujo se acelere y por lo tanto la presión disminuye aun más. Otro efecto negativo de la cavitación es la perdida de presiones y la inestabilidad (carga parcial). La posibilidad de cavitación puede evaluarse en términos del coeficiente σ de cavitación definido por ̥ Donde p=presión absoluta en el punto de interés pᵥ=presión de vaporización de un liquido ρ= su densidad Vₒ=velocidad de referencia comúnmente en la zona sin disturbios

El coeficiente de cavitación surge a partir del coeficiente de presión de manera que dos sistemas geométricamente similares tendrían las mismas posibilidades o igual grado de cavitación para el mismo valor de σ. Cuando σ es igual a 0, la presión se reduce a la de vaporización y es el caso de la ebullición del líquido.



1.4 flotacion

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