3.3 Interpretación geométrica de las soluciones Esto se refiere a la representación en el plano cartesiano de un sistema de n graficas −
ecuaciones, en el cual se grafican las
con con sus sus respe respect ctiv ivas as
n −incognitas .
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. y
x
Dado el resultado que se obtenga de graficar cada una de las ecuaciones en el mismo plano se podrá encontrar que el sistema de ecuaciones lineales: . !o tienen tienen soluci solución. ón. 2. "ienen "ienen infinit infinitas as solucio soluciones nes.. 3. "ienen "ienen una una #nica #nica soluc solución ión.. y
y
x x
y
x
Estas representan los casos que se pueden dar en un sistema de ecuaciones lineales de
2× 2
. En el primero se tiene un punto de intercepción, por lo que se
tiene una solución #nica para el sistema de ecuaciones lineales. $ara el segundo, se tiene un n#mero infinito de soluciones, %a que las dos ecuaciones comparten una recta en el plano, por lo que se interceptan infinito n#mero de veces. En la #ltima, la gráfica de cada ecuación dio como resultado una recta paralela a la otra, por lo que estas no se interceptaran en ning#n punto, por lo que ese sistema no tiene una solución. Cuando se utili&a el m'todo se (auss)*ordán para resolver un sistema de 3 ×3
al obtener la matri& escalonada, se puede tener que:
.
a22 ≠ 0
.
b3 ≠ 0
. En este caso +a% dos posibilidades:
Dos rectas sean paralelas % la otra las corte. as rectas se corten dos a dos -formen un triángulo. y
y
x x
a22 ≠ 0 . b3
0
=
. /parece una ecuación 010 que no influ%e en la resolución del
sistema, que reducido a las dos ecuaciones iniciales tiene solución #nica, es decir, el Sistema es Compatible determinado. Dos rectas son coincidentes % la otra las corta as tres rectas se cortan en un mismo punto. y y
x x
2.
a22=0
a Si
. Entonces +a% 3 posibilidades.
b2 b3 =
0
=
, aparecen dos ecuaciones 010, que no influ%en en la
resolución del sistema, que a+ora tiene infinitas soluciones - ecuación % dos incógnitas Sistema compatible indeterminado. (eom'tricamente, las tres rectas coinciden -son la misma. y
x
b Si
b2 / ¿ 0, b3= 0
. aparece una ecuación 010 -que no influ%e % otra 01
-que es imposible. El sistema es incompatible. (eom'tricamente: Dos rectas son paralelas % la otra las corta. Dos rectas coinciden % la otra es paralela. y
y
x x
c Si
b2 ≠ 0, b 3 ≠ 0
, +a% dos ecuaciones 01 que son imposibles, el sistema es
incompatible. (eom'tricamente, las tres rectas son paralelas o dos son coincidentes % una paralela.
