3.3 Cálculo de Volúmenes de Sólidos de Revolución.

Cálculo Integral. Unidad III: Aplicaciones de la Integral.

3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. SUPERFICIE DE REVOLUCION:  REVOLUCION:  Si se hace girar la grafica de una función continua en torno a una recta, la superficie resultante es una superficie de revolución. La fórmula para el área de una superficie de revolución se va a deducir de la fórmula para el área lateral de un tronco de cono. Consideremos el segmento recto de la siguiente figura donde L es la longitud del segmento, r 1 el radio de giro de su extremo izquierdo y r 2 el de su extremo derecho. Al girar alrededor de su eje de revolución, el segmento genera un tronco de cono circular recto, con S  = 2π  rL (Área

Donde

r  =

1 2

lateral del tronco de cono)

(r 1 + r 2 ) (Radio medio del tronco de cono)

Supongamos que la grafica de una función  f  , con derivada continua en [a, b] , gira en torno torno al eje  x , generando generando una superficie de revolución, como se muestra en la siguiente figura.

Ing. Francisco Xavier Yañez Bringas.

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Cálculo Integral. Unidad III: Aplicaciones de la Integral.

Sea ∆ una partición de [a, b] en subintervalos de anchura segmento de Longitud ∆ Li =

∆ xi

. Entonces el

(∆ xi ) + (∆yi )

Genera un tronco de cono. Sea r i su radio medio. Por el teorema del valor intermedio, existe un punto d i (en el i-èsimo subintervalo) tal que r i =  f  (d i ) . El área lateral ∆S i del tronco de cono es  ∆ y    f  ( d i ) (∆ xi ) + (∆ y i ) = 2π   f  (d i ) 1 +  i  ∆S i = 2π  r i ∆ Li = 2π    ∆ xi   2

2

De acuerdo con el teorema del valor medio, existe un punto que  f  ( x i ) −  f  ( xi −1 )

 f  `(ci ) =

 xi

Por tanto,

−  xi −1

∆S i =

ci

2

∆x i

en ( xi 1 , xi ) tal −

∆ y i

=

∆ xi

2π   f  ( d i ) 1 + [ f  `(c i )] ∆xi 2

Y el área total de la superficie puede ser aproximada por

n

∑  f  (d  )

S  ≈ 2π  

i

1 + [ f  `(ci )]

2

∆xi

i =1

Por lo tanto el área exacta está dada por la integral:

b

∫

S  = 2π    f  ( x ) 1 + [ f  `( x ) ] dx 2

a

DEFINICION (Área superficial para rotación alrededor del eje x)

Ing. Francisco Xavier Yañez Bringas.

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Cálculo Integral. Unidad III: Aplicaciones de la Integral.

Si la función  f  ( x) ≥ 0 es continuamente diferenciable en [a, b] , el área de la superficie generada al hacer girar la curva  y =  f  ( x) alrededor del eje x es 2

b

b

 dy  2 S  = ∫ 2π   y 1 +   dx = ∫ 2π   f  ( x) 1 + [ f  `( x)] dx  dx  a a

DEFINICION (Área superficial para rotaciones alrededor del eje y) Si  x = g ( y) ≥ 0 es continuamente diferenciable en [c, d ] , el área de la superficie generada al hacer girar la curva  x = g ( y) alrededor del eje y es 2

d   dx   dy = ∫ 2π  g ( y ) 1 + [g `( y)]2 dy S  = ∫ 2π   x 1 +   dy  c c d 

AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION (FORMA GENERAL) Sea  y =  f  ( x) una función con derivada continua en [a, b] . El área S  de la superficie de revolución generada al girar la grafica de  f  en torno a un eje horizontal o vertical es: b

∫

S  = 2π   r ( x) 1 + [ f  `( x )] dx 2

a

Donde Si  x  =

r ( x) g ( y )

denota la distancia entre la grafica de

f 

y el eje de revolución.

en el intervalo [c, d ] , entonces el área de la superficie generada es d 

∫

S  = 2π   r ( y ) 1 + [g `( y ) ] dy 2

c

Donde

r ( y)

denota la distancia entre la grafica de

Ing. Francisco Xavier Yañez Bringas.

g

y el eje de revolución.

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