UNIDAD 3: TAREA 4 - DESARROLLAR EJERCICIOS UNIDAD 3
PRESENTADO POR: NATALY ALEXANDRA RODRIGUEZ
GRUPO DE TRABAJO: 301301_165
PRESENTADO A: ING. WILSON INGNACIO CEPEDA CEPEDA TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA FECHA 301301_165 COLOMBIA
INTRODUCCIÓN En el mundo actual, el aprendizaje autónomo y centrado en la autogestión formativa está obteniendo una gran acogida por la flexibilidad que le ofrece al estudiante, y la reducción de costos en plantas físicas para el ente educador. Para lograr los objetivos que se requieren se debe escoger 2 ejercicios de las 5 fases propuestas por el tutor y realizar la sustentación de un ejercicio vía Skype. En el siguiente trabajo colaborativo se desarrollarán 10 ejercicios teniendo en cuenta los temas Geometría Analítica, Sumatoria, Productoria, con su respectiva prueba en la herramienta Geogebra.
Ejercicio 1: La Recta 1. El administrador de una planta encuentra que el costo total necesario para manufacturar 50 unidades de cierto producto es de $500 y de 100 unidades es de $900. Suponiendo que la relación entre ambas variables es lineal, encontrar la ecuación que relaciona el costo y la producción.
Rt: 50 unidades $500 100 unidades $900
() = + x v
() → Si x=50 entonces f(x)=500 Si x=100 entonces f(x)=900 Si x=50 (50) = (40) +500 = 50 + Si x=100 (100) = (100) + 900 = 100 + = 900 − 100
Igualando b=b
500 − 50 = 900 − 100 50 = 400
=
400 50
= 8
Encontrar b con a=8
= 500 − 50 = 500 − 50(8) = 500 − 400 = 100
Reemplazar a y b en la ecuación lineal
() = + () = 8 + 100
2. Supongamos que para vender $10,000 el costo total de una empresa es de $14,200 y para vender $40,000 es de $23,200. Suponiendo que la relación es lineal, encontrar la ecuación que relaciona ambas variables.
Rt: 1 = 10.000
1 = 14.200
2 = 40.000
2 = 23.200
= =
2 − 1 23.200 − 14.200 9.000 = = 2 − 1 40.000 − 10.000 30.000 3 10
() = + = 10.000 () = 14.200 3 14.200 = ( ) (10.000) + 10 14.200 =
30.000 10
+
14.200 = 3.000 +
= 14.200 − 3.000 = 11.200
Reemplazar m y b
() =
3 10
+
Ejercicio 2: Circunferencia y Elipse 3. 5. Un servicio sismológico de Cali detectó un sismo con origen en el municipio de Pradera a 5km este y 3km sur del centro de la ciudad, con un radio de 4km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del área afectada? ¿Utilizando esta ecuación, indica si afectó al municipio de Pradera?
Rt: 2 = ( − )2 + ( − )2 y
Norte
a
x
oeste d b
sur
este
= = = (0,0) → (5, −3) →
=4
=5
= −3
2 = ( − )2 + ( − )2 (4)2 = ( − 5)2 + ( − (−3))2 16 = ( − 5)2 + ( + 3)2
ó ∶ ( − 5)2 + ( + 3)2 = 16 Encontrar d:
= √(5 − 0)2 + (−3 − 0)2 = √ 52 + −32 = √25 + 9 = √34 = 5,83 El radio del sismo es de 4km y el pueblo está a más de 5,83 km por lo cual no ha sido afectado.
Pradera
Límite del área afectada
Sismo
4. 6. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148,5 millones de kilómetros y que la excentricidad vale 0,017. ¿Hallar la máxima y mínima distancia de la tierra al sol?
Rt: → (ó )
→ → á → → → →
d
c o
f
a
D
El semieje mayor de la elipse es 148,5x106km
= 148,5106 La excentricidad es 0,017
= 0,017
= ∗ =
= (0,017)(148,5106) = 2,5245106 Se calcula la distancia menor
= − = 148,5106 − 2,5245106 = 145,9755 ∗ 106 Se calcula la distancia mayor
= + = 148,5106 + 2,5245106 = 151,0245106 Ejercicio 3: Hipérbola y Parábola 5. 9. La estación guardacostas B se encuentra situada 400 km, al este de la estación A. Un barco navega 100 km al norte de la línea que une A y B. Desde ambas estaciones se envían señales de radio simultáneamente a una velocidad de 290.000 km/seg. Si la señal enviada desde A llega al barco 0’001 segundo antes que la enviada desde B, localiza la posición del barco. ¿A qué distancia está de cada una de las estaciones?
Rt:
P(x,y)
∆
→ → ó ∆→ ó ∆ → ó ∆→ ó ∆ → ó ∆→ ó ∆ → ó → ñ ∆ ∆ ∆ ∆=
= − Δ = − Δ 0,001 = =
=
− Δ = 0,001 − Δ = 0,001(290.000) − Δ = 290 − Δ = 2ª 2 = 290
=
290 2
= 145 2 = (145)2 2 = 21.025 2c=400
=
400 2
= 200 2 = 2 − 2 2 = (200)2 − (145)2 2 = 40.000 − 21.025 2 = 18.975 Ecuación de hipérbole
− 0 − 0 =1 − 2 2 0 = 0 0 = 0 2 2 − =1 2 2 2 − 2
21.025
18.975
2
(100)2
21.025
2 21.025
2 21.025
2 21.025
2 21.025
− −
=1
18.975 10.000 18.975
=1
− 0.527 = 1 = 1 + 0.527 = 1.527
2 = (1,527)(21.025) 2 = 32105.175 2 = ±179.18 Como P está al lado negativo entonces:
= −179.18 El barco está en las coordenadas
(−179.18 , 100) P
dB d∆ 100
∆
B
x∆ xb
200
1 = 200 − 179,18 1 = 20,82 = 200 + 179,18 = 379,18 ∆ = √ 2∆ + 2 ∆ = √ 20,822 + 1002 ∆ = √ 433,47 + 100002 ∆ = √10433,47 ∆ = 102,14437 = √ 2 + 2 = √ 379,182 + 1002 = 143777,47 + 10000
200
= √153777,47 = 392,1447 El barco está a 102,14437 km de la estación ∆ y a 392,1447km de la estación B. 6. 11. El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua?
Rt:
p(h,k)
= 2 + + 2 − 10 + 20 − 15 = 0 20 = −2 + 10 + 15
−1
10 15 + 20 20 20 1 3 −1 = 2 + + 20 2 4 1 3 −1 = = = 20 2 4
=
2 +
= ( − ℎ)2 + = (2 − 2ℎ + ℎ2) + = 2 − 2ℎ + ℎ2 + = 2 + (−2ℎ) + (ℎ2 + ) = −2ℎ Se despeja h
ℎ =
− 2
= ℎ2 +
= ( − ℎ)2 +
ℎ
1 − (2) = −1 2( ) 20
−1 ℎ= 2 −1 ℎ=
10 10 2
ℎ=5 Se encuentra k
= ℎ2 + = − ℎ2 = 3 −1 4 3
− (
20
2
)5
−1 = − ( ) 25 4
=
3 4
20
− (
−25 20
)
3
5 ( ) − = 4 4 3
5
4
4
= + =
8 4
= 2 El vértice de la parábola se encuentra en
(ℎ, ) → (5,2) (5,2) 2
Manguera
5
La altura máxima alcanzada por el chorro de agua es de 2 metros arriba de la altura del inicio del chorro de agua.
Ejercicio 4: Sumatoria 7.
13. Una empresa tiene 6 sedes en cada una de 5 ciudades, la producción se realiza en una única ciudad y todas las sedes piden su producto estrella desde esta ciudad. En la tabla se muestran los productos pedidos por cada sede para un mes.
a) El número total de productos solicitados en la ciudad 4, se representa por:
Utilice la definición de sumatoria para calcular este número d e productos. b) Según los resultados de un estudio, las sedes número 1 son las que más venden entre todas las ciudades. Represente en notación de sumatorias, el número de productos solicitados por todas las sucursales número 1. b
Rt:
a
6 A) ∑ =1 4 = 62 + 72 + 52 + 82 + 62 + 51 = 381
4 381 B) ∑5= 1 = 63 + 50 + 111 + 61 + 115 = 401 1 401
8. 15. En una institución educativa hay 6 cursos, denominados del 1 al 6. Para cada uno de los cuales hay 5 secciones de estudiantes.
a
a) Usando la notación de sumatorias, el número total de estudiantes del curso 2 es:
Encuentre el número total de estudiantes para este curso, aplicando la definición de sumatoria. b) Identifique la notación de sumatorias que representa al número total de estudiantes que pertenecen a la sección 4. Rt:
a. ∑
b
5 =1
2 = 31 + 23 + 36 + 20 + 37 = 147 2 147
b. ∑ 6=1 4 = 42 + 20 + 31 + 20 + 36 + 39 = 188
ó 4 188
Ejercicio 5: Productoria 9. 17. Una fábrica de juguetes, la cual es responsable de producir la muñeca de moda, ha diseñado un kit de guardarropa para esta muñeca, el cual está compuesto de tres vestidos: un azul, un gris y un negro; así como también de dos pares de zapatos: un par de color rojo y un par de color amarillo. ¿Cuántas formas de organizar la ropa para esta muñeca se puede lograr con este kit de guardarropa?
Rt: Vestido azul Vestido gris Vestido negro Zapatos rojos Zapatos amarillos Hay 3 vestidos y 2 pares de zapatos El número de combinaciones se obtiene multiplicando el número de vestidos y el número de zapatos.
3∗2=6 Vestido Zapatos Combinación
Azul Rojos V. azul Z. rojos
Gris Amarillos Rojos V. Azul V Gris Z. Z rojos amarillos
Negro Amarillos Rojos Amarillos V. Gris V Negro V. Negro Z. Z Rojos Z. amarillos Amarillos
10. 18. Una permutación es un arreglo donde los elementos que lo integran y su orden no importa. Considere el siguiente conjunto: {a,b,c,d}. ¿Cuántas permutaciones de tres elementos pueden obtenerse de este conjunto?
Rt: {a,b,c,d}4 elementos n 3 elementos para permutaciones r
=4
= 3 ! = ( − )! 43 =
4! (4 − 3)!
43 = 43 = 43 =
4! 1!
4∗3∗2∗1 1 24 1
43 = 24
Se obtienen 24 permutaciones de 3 elementos del conjunto {a,b,c,d}
CONCLUSIONES
Los problemas con productoria, sumatoria e Hipérbola e parábola, circunferencia y elipse y la recta tienen diferentes alternativas de solución, sin embargo, tener la destreza de poder plantear cada una de ellas es indispensable para lograr el objetivo de la actividad.
BIBLIOGRAFIA
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=115&docID =10751153&tm=1487191476956 http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=10&docID= 10624529&tm=1488213400370
