PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERÍA Departamento de Ingeniería Estructural y geotecnia ICE3413 – HORMIGÓN HORMIGÓN ARMADO AVANZADO
Tarea N°4
Nombre: María Valentina Woolvett Profesor: Matías Hube Fecha entrega: 30//04/2014
1. La viga de la figura es de hormigón H30, acero A630-420H y tiene un recubrimiento libre a los estribos de 2 cm. Dibuje en forma aproximada la relación momento curvatura considerando los casos que se indican continuación. Para cada uno de esto casos dibuje el diagrama de deformación unitaria, de tensiones, y de fuerzas resultantes. Para obtener la tensión del acero en los casos c) y d) considere el endurecimiento usando el modelo constitutivo Karthik-Mander con E s = 2.100.000 kgf/cm2, fy = 4.600 kgf/cm2, f u = 7.200 kgf/cm2, E sh = 150.000 kgf/cm2, = 0.004 y , = 0.160.
Algunos valores importantes que se usarán: -
Propiedades de los materiales:
√ -
Dimensiones de la viga:
a) Inicio de Agrietamiento Antes de iniciar el agrietamiento se considera que el hormigón si toma tracción aún cuando sea hasta cierto nivel bajo . Además, se considera el momento de inercia de la sección bruta despreciando el accionar de las barras de acero, producto de las pequeñas deformaciones.
Por último, se considera un comportamiento lineal de hormigón y que éste sí resiste tracción.
Con esto se realizan los siguientes cálculos:
√ Como no se considera la acción del acero, se considera una sección simétrica y el eje neutro coincide con el centro de gravedad. Además, las tensiones varían de forma lineal y son elásticas. Recordar que los diagramas siguientes son una aproximación y si se quisiera una solución más exacta, se debiese utilizar la sección transformada como en el ítem b). Esquema que muestra lo que sucede:
b) Inicio de fluencia utilizando el modelo de comportamiento de sección agrietada. Compare la . curvatura de fluencia obtenida con la aproximación dada por
En esta segunda etapa se continúa considerando un comportamiento lineal del hormigón sólo para compresión. Para tracción se considera que el hormigón no soporta (ya que se encuentra agrietado) y por lo tanto se elimina de los cálculos de resistencia. Se utilizará el método de la sección transformada que consiste en “convertir” el acero a
hormigón y trabajar con un momento de inercia I t correspondiente a la sección transformada como se ve en la imagen siguiente.
Con las ecuaciones vistas en clase se tiene que:
Posición del eje neutro: Para fluencia se tiene que llegar a la tensión de fluencia de 4200 kg/cm 2.
Se debe destacar que según el código ACI se puede considerar un comportamiento lineal en compresión del hormigón sólo hasta fc = 0,45 fc. EL momento para el cual sucede lo anterior es 2486907,79 kg*cm, valor menor que el momento considerado de fluencia. Si se compara la curvatura obtenida
con la aproximación dada por se obtiene
, lo que equivale a un 97% de la curvatura calculada, obteniendo
así un 3% de diferencia entre las dos.
Esquema que muestra lo que sucede:
c) Inicio de pérdida de recubrimiento. Para este caso considere una deformación unitaria de compresión en el hormigón de 0.004 y que el hormigón del núcleo y recubrimiento se comportan como hormigón no confinado. Para obtener las dimensiones del bloque rectangular equivalente utilice las curvas de Karthik y Mander. Los gráficos de Karthik y Mander de la diapositiva 11 del capítulo 6 son para 30 Mpa lo que se acerca a los 25 Mpa que se está considerando para la resistencia a la compresión del hormigón. Se considera que el núcleo del hormigón aún no está confinado por lo que se ven los gráficos de la derecha y k =1.
y , luego 2 Viendo los gráficos se obtiene . Si
Para calcular el momento se debe encontrar el valor de c (eje neutro). Como no se tiene una ecuación explícita se debe iterar tal que la sección cumpla con el equilibrio de fuerzas ( ). Teniendo c se calcula el momento haciendo sumatoria de momento de cada sección con respecto al centro de gravedad.
∑
Para las tensiones del acero se utiliza el modelo de Karthik y Mander que se estudió en la tarea 3:
Donde: Y Es = 2.100.000 kgf/cm2, fy = 4.600 kgf/cm2, f u = 7.200 kgf/cm2, Esh = 150.000 kgf/cm2, = 0.004 y = 0.160.
Además, con respecto a las deformaciones y fuerzas se tiene:
Estos valores y su iteración se muestra en la siguiente tabla: c
es
es'
fs [kg/cm2]
fs' [kg/cm2]
Ts [kgf]
Cs' [kgf]
Cc [kgf]
Total [kgf]
1
9
0,02084444
0,00226667
6270,26986
-4523,59872
119176,734
-57555,7833
-72657
-11036,0492
2
8
0,02395
0,00205
6441,17981
-4267,75535
122425,157
-54300,5729
-64584
3540,58429
3
8,22016
0,02320142
0,00210223
6402,76501
-4348,94375
121695,021
-55333,5695
-66361,3517
0,09987217
El valor final del eje neutro que cumple el equilibrio de fuerzas es 8,22 cm, con esto se calcula el momento con respecto al centro de la armadura As así:
Esquema que muestra lo que sucede:
d) Curvatura última. La curvatura última podría estar contralada por la falla en compresión del hormigón confinado o la fractura en tracción de las barras longitudinales. Para obtener las dimensiones del bloque rectangular equivalente utilice las curvas de Karthik y Mander. En este caso, se trabajará con tres tensiones. La primera del hormigón confinado del núcleo, ya que se habrá alcanzado una deformación tal que el confinamiento comienza a trabajar. La segunda del hormigón no confinado correspondiente al recubrimiento y la
tercera será la tensión de la enfierradura calculada según Karthik y Mander con los parámetros propuestos en el enunciado. Cálculo de la tensión de confinamiento: a continuación se muestran los principales parámetros para calcular la resistencia del hormigón confinado. Una mayor explicación del método se estudió en las tareas anteriores.
∑ ∑ Para el cálculo de las parábolas, se debe reconocer que la enfierradura no es simétrica (entre la superior e inferior tienen distinto diámetro) y por lo tanto el área libre w i arriba y abajo serán distintas.
Estos valores son el input para el gráfico de Karthik y Mander que nos entrega la resistencia del hormigón confinado. Entonces:
(ver gráfico siguiente).
La resistencia del confinamiento se necesitaba para poder determinar los parámetros que crean un bloque equivalente confinado y no confinado según Karthik y Mander. Deformaciones asociadas a la resistencia del hormigón confinado son:
() () Para calcular los parámetros y se necesitan los siguientes inputs: Hormigón Confinado: Hormigón No Confinado: Luego, Hormigón Confinado: imagen siguiente) Hormigón No Confinado:
(ver
Ahora, al igual que en c), se debe satisfacer el equilibrio de fuerzas probando distintos valores de c (eje neutro). Esta vez se debe considerar dos bloques de compresión del hormigón: caso confinado para el núcleo dentro de los estribos y caso no confinado para el recubrimiento que aún no se ha desprendido. Para el cálculo de las fuerzas se usaron las siguientes ecuaciones:
La iteración se muestra en la siguiente tabla:
c1
c2
es
es'
fs [kg/cm2]
fs' [kg/cm2]
Ts [kgf]
Cs' [kgf]
1
5
0,957
0,202
0,015
7199,980
5857,209
136847,389
-74523,904
2
7
1,340
0,138
0,017
7200,000
5990,299
136847,775
-76217,273
3
6,7
1,283
0,146
0,017
7200,000
5976,008
136847,776
-76035,443
Cc1[kgf] 44375,000 62125,000 59462,500
Cc2 [kgf]
Total [kgf]
-858,667
17089,819
-1202,133
-2696,631
-1150,613
199,220
Con este valor se obtiene la curvatura y el momento:
Esquema que muestra lo que sucede (sacado de la diapositiva 10, Capítulo 6)
e) Utilizando su planilla Excel de la tarea 1, obtenga el momento último y la curvatura última según el ACI. Coloque este punto en la curva momento curvatura. Recordar que el ACI limita la deformación unitaria del hormigón a 0,003, sin embargo, un hormigón confinado puede obtener deformaciones mucho mayores sin que falle la estructura. El ACI además de no considerar el confinamiento, tampoco considera un modelo de comportamiento del acero que tome en cuenta el aumento de resistencia por endurecimiento (toma un elastoplástico perfecto). Lo que se espera ver en el gráfico de Momento curvatura, es que el ACI predice mejor la resistencia del hormigón armado que la curvatura nominal. Esto, por la misma razón que se dijo antes, que el confinamiento entrega muchísima ductilidad y sólo un poco más de resistencia.
El valor nominal del momento y curvatura se calcula imponiendo una deformación del hormigón máxima de 0,003 y trabajando con un bloque equivalente para la compresión del hormigón en que = 0,85 (ver imagen siguiente).
Las tensiones de los bloques según el método ACI se muestran en la siguiente tabla: ACI d [cm]
55,9
d'[cm]
3,9
c [cm]
6,18143
Ecu
0,003
es'
0,00110723
es'
0,02412964
Cc [kg]
50243,4357
Cs' [kg]
29584,4594
Ts [kg]
-79827,8693
Así los valores que se grafican son: Curvatura
Mn [kg*cm]
ACI
0,00048532
4215003,744
d)
0,00311834
6966543,846
c)
0,00048661
6336014,745
b)
4,9568E-05
4068378,815
a)
4,415E-06
853814,9682
A continuación se muestra la comparación de los distintos valores gráficamente.
Relación Momento Curvatura 8000000 7000000 6000000
] m c * 5000000 g k [ o t 4000000 n e m3000000 o M
MomentoCurvatura Con hormigón confinado
2000000
ACI
1000000 0 0
0.001
0.002
0.003
0.004
Curvatura [1/cm]
Se puede ver que la resistencia que calcula el ACI es aproximadamente 1.7 veces menor que la resistencia que se calcula considerando confinamiento y endurecimiento. Por otro lado, la curvatura del ACI es 6,5 veces menor que la curvatura calculada. Así, la resistencia calculada por ACI se desvía menos del valor calculado en los ítems anteriores que la curvatura.
2. Considere una viga en voladizo que tiene la misma sección del problema anterior. La distancia entre el apoyo y donde se aplica la carga vertical es 4 m. Considere una resistencia del hormigón de f’ c = 250 kgf/cm2 y una tensión de fluencia del acero de f y = 4600 kgf/cm2.
Para calcular el desplazamiento vertical de la viga en todas sus fases, basta conocer el momento y la curvatura para cada caso. Elwood y Eberhard proponen algunas ecuaciones para calcular el desplazamiento de fluencia, ya que se conoce que el momento de inercia cuando la sección comienza a agrietarse va cambiando, disminuyendo la rigidez de la sección. a) Determine el desplazamiento vertical de agrietamiento En esta caso, sólo basta conocer la curvatura y momento de agrietamiento, ya que, trabajando con esfuerzos virtuales se puede determinar el desplazamiento.
Siendo el desplazamiento en la dirección en que se impone una fuerza de 1 unidad se tiene:
̃
En la ecuación anterior se despreciaron los términos que no estaban relacionados con el ejercicio (Temperatura, esfuerzo normal, etc). Además en este caso E = Se creó un diagrama para el momento virtual como se puede ver en el imagen siguiente.
Así:
, ̃, y ̃ ̃
∫ , donde siendo k =factor de corte. Para una sección
rectangular k = 1,2, siempre y cuando el momento de inercia corresponda a la sección bruta (de otra manera se debe calcular mediante algunas integrales).
Como se está calculando el desplazamiento justo antes del agrietamiento, se debe usar el momento de inercia de la sección bruta. Cuando comienzan a aparecer las grietas, se debe usar el momento de inercia efectivo (no es el caso). De 1.a se tiene:
√ Como se debe utilizar el módulo de Young de la sección de hormigón armado, se utilizará el modelo de Voigt para fibras paralelas. Así E ha se puede calcular así:
Para el módulo de corte se supondrá G =0,4E (comúnmente usado). Como la primera grieta aparece en el empotramiento para el Momento máximo se tiene que la Fuerza Pcr de agrietamiento es:
Finalmente el desplazamiento de agrietamiento es:
En la tabla siguiente se puede ver el resumen de los parámetros usados. Pcr [kg] L [cm] E [kg/cm2] Ig [cm4]
2134,5374 400 260625,1337 810000
G [kg/cm2]
104250,0535
A [cm2]
2700
Desplazamiento [cm]
0,219345508
b) Determine el desplazamiento vertical de fluencia asumiendo que parte de la sección está agrietada y parte de la sección no está agrietada. Para calcular este y no considere el efecto de deslizamiento desplazamiento suponga que
por adherencia. La curvatura de fluencia a usar es
, para d = 55,9 cm.
Elwood y Eberhard proponen las siguientes ecuaciones (sin considerar adherencia):
(en este caso se despreciará) Finalmente el desplazamiento a la fluencia es 1,363 cm. c) Determine el desplazamiento vertical de fluencia si agrega el efecto de deslizamiento por adherencia. Para agregar el efecto del deslizamiento por adherencia, se sigue el modelo de Elwood y Eberhard (2006). Aproxima el comportamiento de la barra al de un sólido rígido, en que su desplazamiento queda determinado por el ángulo de rotación.
, en que corresponde al ángulo de rotación. Además,
Con: √ y Para calcular el ángulo de rotación se necesita el diámetro de las barras. Se escoge el diámetro de la enfierradura superior por estar en fluencia y soportar la tracción.
Finalmente, el desplazamiento sería:
d) Determine el desplazamiento último utilizando el método de la rótula plástica con una longitud Lp=0.5h y con la curvatura última que predice el ACI del problema anterior. Siguiendo las aproximaciones del ACI se tiene:
Además de b) se tiene El método de la rótula plástica es un método empírico para simplificar los cálculos cuando las deformaciones sobrepasan la de fluencia. De la diapositiva 29 se tiene:
L p se determina a partir de ensayos, sin embargo, recomiendan que sea 0,5 veces la altura, en este caso 30 cm.
Este desplazamiento está calculado con la curvatura última dada por el código ACI. La curvatura última cuando se considera el confinamiento y el endurecimiento del acero es aún mayor (6,5 veces mayor), lo que lleva a pensar que el desplazamiento último podría ser aún mayor que el calculado en la expresión anterior. e) Muestre los resultados anteriores en un gráfico fuerza-desplazamiento.
