Investigación Operativa 2 Capítulo 3: Teoría de colas ro esor:
gue
e a uen e
ÍNDICE 1. 2. . 4. 5. 6. 7. 8. . 10. 11.
Termi ermino nolo logí gíaa par paraa las las líne líneas as de de espe espera ra.. Mode Modela lado do de proce proceso soss de lleg llegad adaa y servi servicio cio.. rocesos e nac m en o y muer e. Mode Modelo lo de cola colass con con pobl poblac ació ión n infi infini nita ta.. Anál Anális isis is econ económ ómic ico o de de los mode modelo loss de de col colaa Mode Modelo lo de de cola colass con con capa capaci cida dad d limi limita tada da.. Mode Modelo lo de cola colass con con servi servido dore ress inf infin init itos. os. Mode Modelo lo de col colas as con con pobl poblac ació ión n fini finita ta.. Modelos Modelos de de colas colas con con distrib distribución ución no exponen exponencial cial Modelo Modeloss de colas colas con discip disciplin linaa de priori prioridad dades es 2
1
1. Terminología Terminología para las las líneas líneas de espera (1) 1.1 Centro emisor 1.2 Servicio 1.3 Proceso de espera 1.4 Leyes de llegada y servicio
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1. Terminología Terminología para las las líneas líneas de espera (2) Las líneas de espera, filas de espera o colas de es era era son son real realid idad ades es cot cotid idia iana nas: s: • Personas Personas esperando esperando para realizar realizar sus transacciones transacciones ante una caja en un banco, • Estudiantes Estudiantes esperan esperando do por obtener obtener copias en la fotocopiadora, • Vehículos Vehículos esperando esperando pagar pagar en una estación estación de peaje o con nuar su cam cam no, en un sem oro oro en ro o, • Máquinas Máquinas dañadas dañadas a la espera espera de ser rehabilitad rehabilitadas. as.
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1. Terminología Terminología para las las líneas líneas de espera (1) 1.1 Centro emisor 1.2 Servicio 1.3 Proceso de espera 1.4 Leyes de llegada y servicio
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1. Terminología Terminología para las las líneas líneas de espera (2) Las líneas de espera, filas de espera o colas de es era era son son real realid idad ades es cot cotid idia iana nas: s: • Personas Personas esperando esperando para realizar realizar sus transacciones transacciones ante una caja en un banco, • Estudiantes Estudiantes esperan esperando do por obtener obtener copias en la fotocopiadora, • Vehículos Vehículos esperando esperando pagar pagar en una estación estación de peaje o con nuar su cam cam no, en un sem oro oro en ro o, • Máquinas Máquinas dañadas dañadas a la espera espera de ser rehabilitad rehabilitadas. as.
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1. Terminología Terminología para las las líneas líneas de espera (3) Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de erv c o. Los Anál Anális isis is de Colas olas rela relaci cion onaan: • la longitud de la línea de espera. • el tiempo pro promedio de espera.
y otros factor ctorees como:
• la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola.
Los Análisis de Colas ayudan a entender el el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de los cajeros de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.). 5
1. Terminología Terminología para las las líneas líneas de espera (4) Desde la perspectiva de la Investigación de O erac eracio ione ness los los acien ciente tess ue es era eran ser ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común. humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente. 6
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1. Terminología para las líneas de espera (5) Situación Espera de clientes en un supermercado Automóviles en un taller
Clientes Clientes que esperan para pagar Automóviles averiados
Servidores Cajas registradoras
Servicio Cobro de la compra
Mecánicos o equipos de mecánicos
Reparación del automóvil
Servicio de Máquinas Unidades o Reparación de la mantenimiento averiadas o en equipos de máquina mantenimiento mantenimiento
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1. Terminología para las líneas de espera (6)
8
4
1. Terminología para las líneas de espera (7) Todas estas situaciones pueden ser analizadas como un mo e o e neas e espera. c o sistema abarca: • Los clientes que están recibiendo servicio en ese momento. • Los clientes que están esperando recibir servicio en la fila. • os serv ores que sum n s ran e serv c o.
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1. Terminología para las líneas de espera (8) Un sistema de líneas de espera se tipifica por: • cen ro em sor e os c en es a serv r. • Las características del servicio. • Las condiciones en las que se desarrolla el proceso de espera en la fila. • Las leyes de llegada y de servicio que gobiernan el sistema de colas.
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5
Centro emisor
• Patrón de llegada o de arribo. • Tamaño de la población. • Comportamiento de las llegadas.
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Centro emisor: patrón de llegada o de arribo (1) Patrón de llegada Estático
Dinámico
Llegadas aleatorias con tasa constante
Llegadas aleatorias con tasa variable
Aceptar/Rechazar
Precio
Control e erc o por el cliente
Control ejercido por el establecimiento
Cita
Abandona
Renuncia 12
6
Centro emisor: patrón de llegada o de arribo (2) Los clientes arriban para ser atendidos de una manera programada o de una manera aleatoria. Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente. recuen emen e e n mero e arr os por un a de tiempo puede ser estimado por medio de la Distribución de Poisson. 13
Centro emisor: patrón de llegada o de arribo (3) La tasa de llegadas aleatoria sigue una ley de , . En ocasiones, puede ser más conveniente definir la ley de llegada por los tiempos entre llegadas. En un caso general, la tasa media de llegadas al encuentran en el interior del sistema y se representa por λn. 14
7
Centro emisor: tamaño de la población (1) Población
Subpoblaciones
Finita
Infinita
Grupos homogéneos
Finita
Infinita
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Centro emisor: tamaño de la población (2) .número de clientes o arribos en un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Ejemplos.clientes de un supermercado.
16
8
Centro emisor: tamaño de la población (3) Población finita o limitada.- cuando se tienen restringido. Ejemplos.pacientes hospitalizados en un pabellón de una clínica; máquinas fotocopiadoras que esperan rec r man en m en o en una empresa.
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Centro emisor: comportamiento de las llegadas La mayoría de los modelos de colas asume que , esperan en la cola hasta ser servidos. En la práctica, la gente se aburre. Aquellas personas que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin iniciar su transacción. Esta situaci n sirve para acentuar la necesidad de estudiar los sistemas de colas y el análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio. 18
9
Servicio En el servicio son importantes: • • El patrón del tiempo de servicio.
.
19
Servicio: configuración del sistema de servicio (1) de: • El número de canales (servidores). • El número de fases (número de paradas que deben hacerse durante el servicio).
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Servicio: configuración del sistema de servicio (2) • Sistema de cola de un solo canal • Sistema de cola multicanal
Según el número de fases • Sistema de cola de una sola fase
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Sistema de un canal, una fase Sistema de servicio Llegadas
Barcos en el mar
Cola
spos vo de servicio
Sistema de descarga de barcos Línea de espera de los barcos
Unidades servidas
Barcos vacíos
Bahía
22
11
Sistema de un canal, varias fases Sistema de servicio Dispositivo de servicio
Coches en el área
Dispositivo de servicio
Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald´s
Coches en cola Pago
Unidades servidas
Coches y comida
Recojo
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Sistema de varios canales, una fase Sistema de servicio
Llegadas
Cola
Dispositivo de servicio
Unidades servidas
Dispositivo de servicio
Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas. 24
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Sistema de varios canales, varias fases Sistema de servicio
Llegadas
Cola
Dispositivo de servicio
Dispositivo de servicio
Dispositivo de servicio
Dispositivo de servicio
Unidades servidas
Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan una de las diferentes lavadoras y después, una de las diferentes secadoras. 25
Servicio: patrón del tiempo de servicio Los patrones de tiempos de servicio son Pueden ser constantes o aleatorios. Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de má uinas. E em lo.- lavadora automática de carros.
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Proceso de espera (1) Filas múltiples
Fila única
Con ticket Entrada
3
4 8
2
6
10 12
5
11
9
7 27
Proceso de espera (2) Los procesos de espera son controlados a través de una atención con una cola o con colas m tip es. También, es común incorporar el uso de ticket . Esta práctica es común, si se desea evitar que el cliente haga cola parado (zona de espera con , clientes, para atenderlos más rápido.
28
14
Proceso de espera (3)
son: • Longitud de la cola. • Disciplina de la cola.
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Proceso de espera: longitud de la cola (1) Cola limitada es aquella que por consideraciones mayores. Ejemplo.- una peluquería que tiene pocos peluqueros y sillas para atender. Cola ilimitada es aquella que tiene un tamaño no restringido. Ejemplo.- una caseta de peaje que atiende a los vehículos que transitan por una carretera. 30
15
Proceso de espera: longitud de la cola (2) representar: • El comportamiento de los clientes que al observar una larga cola abandonan las instalaciones. Ejemplo.- cines. • Negocios con capacidad limitada. Ejemplo.- un taller de reparación de automóviles.
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Proceso de espera: disciplina de la cola (1) Disciplina cola
Estática (PEPS)
Dinámica
Selección basada en el estado de la cola
Selección basada en atributos del cliente
Número de clientes esperando
Turno rotatorio
Prioridad
Preferente
Tiempo de proceso más corto
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Proceso de espera: disciplina de la cola (2) La mayoría de los sistemas usan la regla PEPS (Primero en Entrar Primero en Salir). Ejemplo.las cajas rápidas en los supermercados. No siempre se emplea la regla PEPS. Ejemplo.área de emer encia de un hos ital donde la atención depende de la gravedad de las lesiones de la persona que arribó por auxilio médico. 33
Proceso de espera: disciplina de la cola (3) En muchos sistemas de colas se establece un sistema de prioridades. Ejemplo.- en un aeropuerto internacional, las autorización para el despegue o aterrizaje dependen de la torre de control.
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Proceso de espera: disciplina de la cola (4) Para definir un sistema de prioridades es necesario: • Definir varios grupos de clientes a servir. • Cada cliente que llegue al sistema debe asignarse a uno de los grupos establecidos. • Establecer prioridades.
Existen dos tipos de prioridades: • Sin interrupción. • Con interrupción. 35
Proceso de espera: disciplina de la cola (5) En primer lugar, se atenderán los clientes del primer grupo que tiene la prioridad más alta. Sólo cuando no haya ningún cliente de ese grupo por atender, se pasará a atender a los clientes del se undo ru o así sucesivamente.
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Proceso de espera: disciplina de la cola (6) Prioridad con interrupción o adquirida Si se están atendiendo clientes de grupos de determinadas prioridades y llega un cliente de un grupo de prioridad más alta, se interrumpe el servicio del cliente de baja prioridad para atender a la de alta. Una vez atendida ésta, se , llegan más clientes de prioridad más alta. 37
Leyes de llegada y servicio (1) Se aplica a las leyes de probabilidad que . Dicha propiedad consiste en que la probabilidad de que ocurra un evento (llegada de un evento o finalización de un servicio) es sólo función del , sistema. 38
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Leyes de llegada y servicio (2)
Cuando esto sucede, tenemos que: • La tasa de eventos por unidad de tiempo seguirá una ley de Poisson de media α. • El tiempo transcurrido entre dos eventos seguirá una ley exponencial de media 1/ α.
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Leyes de llegada y servicio (3) Para las llegadas, tendremos que α = λ y para los = . mayoría de los modelos de colas asumen una ley de llegadas de tipo Poisson. Cuando las leyes de probabilidad de las tasas de llegada y de servicio son Poisson, entonces el sistema puede ser representado mediante un proceso de nacimiento y muerte. 40
20
2. Modelado de procesos de llegada y servicio 2.1 Modelado del proceso de llegada. 2.2 Propiedad de la carencia de memoria. 2.3 Relación entre la distribución Poisson y la distribución exponencial. 2.4 Distribución Erlan . 2.5 Modelado del proceso de servicio. 2.6 Notación Kendall-Lee. 41
Modelado del proceso de llegada (1) Definamos ti como el tiempo en el cual llega el iésimo cliente. Al modelar el proceso de llegadas, suponemos que las Ti variables continuas, a eator as e n epen entes escr tas por a variable aleatoria A. La suposición de que cada tiempo entre llegadas está regido por la misma variable aleatoria implica que la distribución de llegadas es independiente . Esta es la suposición de los tiempos estacionarios entre llegadas. 42
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Modelado del proceso de llegada (2) La suposición de los tiempos estacionarios entre llegadas es a menudo irreal, pero podríamos aproximarnos con frecuencia a la realidad descomponiendo la duración del día en segmentos. Un tiempo entre llegadas negativo es imposible. Todo esto nos ermite escribir: ∞
c
P(A ≤ c) = ∫0 a(t)dt y P(A > c) = ∫c a(t)dt Definimos 1/λ como el tiempo medio o
entre llegadas.
1 λ
promedio
∞
= ∫0 ta(t)dt
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Modelado del proceso de llegada (3) Definimos λ como la tasa de llegadas, la cual tiene unidades de llegada por hora. Un aspecto importante es cómo escoger A de tal manera que refleje la realidad y siga siendo manejable desde el punto de vista del cálculo. La elección más común ara A es la distribución exponencial. Una distribución exponencial con parámetro tiene una densidad a(t) = λe-λt.
λ 44
22
Modelado del proceso de llegada (4) Podemos demostrar que el tiempo medio o promedio entre llegadas está dado por: E(A) =
1 λ
Debido al hecho de que var A = E (A2) – E (A)2, podemos demostrar que: var
=
1 λ2
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Propiedad de la carencia de memoria de la distribución exponencial (1) Lema 1: Si A tiene una distribución exponencial, entonces para todos los valores no negativos de t y h, P(A > t + h | A ≥ t) = P(A > h)
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Propiedad de la carencia de memoria de la distribución exponencial (2) Por razones que son naturales, una densidad que sa s ace a ecuac n ene a prop e a e carencia de memoria. La propiedad de carencia de memoria de la distribución exponencial es importante porque mp ca que s queremos conocer a str uc n de probabilidad del tiempo hasta la llegada siguiente, entonces no importa cuánto tiempo ha transcurrido desde la última llegada. 47
Relación entre la distribución Poisson y la distribución exponencial (1) Si os tiempos entre ega as son exponencia es, a distribución de probabilidad de la cantidad de llegadas que suceden en cualquier intervalo de duración t está por el importante teorema siguiente.
48
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Relación entre la distribución Poisson y la distribución exponencial (2) Teorema 1: Los tiempos entre llegadas son exponenciales, con parámetro λ si y sólo si la cantidad de llegadas en un intervalo de duración t sigue una distribución Poisson con .
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Relación entre la distribución Poisson y la distribución exponencial (3) distribución de Poisson con parámetro λ si, para n=0,1,2,… e − λ λn P(N = n) = (n = 0,1,2,...) n!
tiempos entre llegadas sean exponenciales?
50
25
Relación entre la distribución Poisson y la distribución exponencial (4) Considere las dos siguientes suposiciones: • Las ega as e ini as en interva os e tiempos que no se traslapan son independientes. • Para Δt pequeñas, la probabilidad de que se presente una llegada entre los tiempos t y t +Δt es λΔt +o( Δt), donde o( Δt) se refiere a cualquier cantidad que satisfaga
o( Δt) =0 Δt →0 Δt lim
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Relación entre la distribución Poisson y la distribución exponencial (5) Teorema 2: Si las suposiciones 1 y 2 se sostienen, entonces Nt sigue una distribución Poisson con parámetro λt, y los tiempos entre llegadas son exponenciales con parámetro λ; es decir a t = λe-λt.
52
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Relación entre la distribución Poisson y la distribución exponencial (6) Distribución de Poisson para número de llegadas/hora (vista de arriba) Intervalo de 1 Llegada
2
0
Llegada
1
Llegada
una hora
Llegada
62 min. 40 min. 123 min.
Distribución exponencial de tiempo entre llegadas e n minutos (vista de abajo)
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Distribución Erlang (1) Si los tiempos entre llegadas no parecen ser exponenciales, entonces se modelan, con frecuencia, con la distribución Erlang. Una distribución Erlang es una variable aleatoria continua (llámela T) cuya función de densidad f(t) se especifica mediante dos parámetros: un parámetro de proporcionalidad R y un parámetro de forma k (k debe ser un entero positivo). Dados los valores de R k la distribución Erlan tiene la función de densidad de probabilidad siguiente: f(t) =
R(Rt)k −1e−Rt (t ≥ 0) (k − 1)! 54
27
Distribución Erlang (2) , demostrar que si T es una distribución Erlang con parámetro de proporcionalidad R y parámetro de forma k , entonces: ET =
k R
var T =
k R
55
Modelado del proceso de servicio (1) Supongamos que los tiempos de servicio de clientes distintos son variables aleatorias independientes, y que ca a empo e serv c o para ca a uno e os c en es está regido por una variable aleatoria S cuya función de densidad es s(t). Sea 1/µ el tiempo de servicio medio de un cliente. , modo que µ tiene unidades de clientes por hora. Por esta razón, a µ se le llama tasa de servicio. 56
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Modelado del proceso de servicio (2) Infortunadamente, los tiempos de servicio reales podrían no ser consistentes con la propiedad de pérdida de memoria. Por esta razón, suponemos con frecuencia, que s(t) es una distribución Erlang con parámetro de forma k y parámetro de proporcionalidad kµ. A veces os tiempos entre ega as o e servicio se pueden modelar como si tuvieran varianza cero; en este caso los tiempos entre llegadas o de servicio se consideran como deterministas. 57
Notación Kendall-Lee (1) Kendall (1951) propuso una notación para sistemas de colas que ha sido adoptado universalmente. Esta notación está basada en el formato si uiente: (1/2/3:4/5/6)
58
29
Notación Kendall-Lee (2) La primera característica especifica la ley de lle ada el valor medio de la tasa de lle adas cuando hay n clientes en el sistema λn. Los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y regidos por una Distribución exponenc a , e erm n s ca , r ang con parámetro de forma K (Ek) o general (G). 59
Notación Kendall-Lee (3) La segunda característica especifica la ley de servicio y el valor medio de la tasa de servicios cuando hay n clientes en el sistema μn. Los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y regidos por una Distribución , , parámetro de forma K (Ek) o general (G).
60
30
Notación Kendall-Lee (4)
La tercera característica especifica el número de servidores en paralelo (s).
61
Notación Kendall-Lee (5) La cuarta característica describe la disciplina de , , , . PEPS (Primero en Entrar Primero en Salir) UEPS (Último en Entrar Primero en Salir) SOA (Servicio en Orden Aleatorio)
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Notación Kendall-Lee (6)
La quinta característica especifica el tamaño máximo permitido del sistema de colas (c). El tamaño máximo del sistema de colas es infinito (∞) si el modelo es de cola infinita.
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Notación Kendall-Lee (7) a sex a carac er s ca es e ama o e cen ro emisor (k). El tamaño del centro emisor es infinito (∞) si el modelo es de población infinita.
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32
Notación Kendall-Lee (8) ∞ ∞ s gn ca un n co emp o.: servidor, capacidad de cola ilimitada y llegadas de una población infinita. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son distribuidos exponencialmente. La disciplina de la cola es General.
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3. Procesos de nacimiento y muerte (1) 3.1 Leyes de movimiento para los procesos e nac m en o-muer e
66
33
3. Procesos de nacimiento y muerte (2) Definimos el número de clientes presentes en un sistema de líneas de espera como el estado del sistema de líneas de espera en el tiempo t . Denominaremos a P j como estado estable o probabilidad de equilibrio, del estado j. El comportamiento de P ij (t) antes de alcanzar en forma aproximada el estado estable se llama comportamiento transitorio del sistema de líneas de espera. 67
3. Procesos de nacimiento y muerte (3) Un proceso de nacimiento-muerte es un proceso estocástico de tiempo continuo para el cual el estado del sistema, en cualquier momento, es un entero no negativo.
68
34
Leyes de movimiento para los procesos de nacimiento-muerte (1) ., j nacimiento ocurre entre el tiempo t y el tiempo t+Δt. Un nacimiento incrementa el estado del sistema en 1, hasta j+1. La variable λ j es llamada tasa de nacimientos en el estado j. en muchos sistemas de líneas de espera, un nacimiento es simplemente una llegada.
69
Leyes de movimiento para los procesos de nacimiento-muerte (2) ., j ocurre entre el tiempo t y el tiempo t + Δt. Una muerte decrementa el estado del sistema en 1, hasta j-1. La variable µ j es llamada tasa de mortalidad en el estado j. En muchos sistemas de líneas de espera, una muerte es la finalización de un servicio. Obsérvese que debe cumplirse µ0 = o po r a presen arse un es a o nega vo.
70
35
Leyes de movimiento para los procesos de nacimiento-muerte (3)
Ley 3.- Los nacimientos y las muertes son independientes entre sí.
71
Leyes de movimiento para los procesos de nacimiento-muerte (4)
72
36
Relación de la distribución exponencial con los procesos de nacimiento-muerte La mayor parte de los sistemas de líneas de espera con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios exponenciales se podrían modelar como si fueran procesos de nacimientomuerte.
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Derivación de las probabilidades de estado estable (1) Mostraremos como las P j se podrían determinar para un roceso arbitrario de nacimiento-muerte. La clave es relacionar (para Δt pequeñas) Pij (t +Δt ) con Pij (t ). ). P j−1λ j−1 + P j+1 j+1 = P j (λ j + 1
1
=
0
j )
( j = 1,2,...)
0
Las ecuaciones de arriba son llamadas ecuaciones de balance de flujo, o ecuaciones de conservación del flujo, para un proceso nacimiento-muerte. 74
37
Derivación de las probabilidades de estado estable (2) Obtenemos las ecuaciones de balance de flujo para un proc proces eso o e nac nac m en o-mu o-muer er e: ( j = 0)
= P1μ 1 (λ 1 + μ 1 ) P1 = λ 0 P0 + μ 2 P2 (λ 2 + μ 2 ) P2 = λ 1 P1 + μ 3 P3 P0 λ 0
( j = 1) ( j = 2) M
j − ésima ecuac n
j
+ μ j
P j
=
j −1 P j −1
+ μ j +1Pj +1
75
Derivación de las probabilidades de estado estable (3) Sea: C j
=
λ 0 λ 1 λ 2 ... λ j −1 μ 1 μ 2 μ 3 ... μ j
( j
= 1, 2 ,...)
Entonces: P
= P C
= 1 2 ...
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38
Solución de las ecuaciones de balance de flujo (1) Si ∑
j =∞ j =1
C j
es finita, podemos resolver para P0: P
1
=
=
1+
∑ C
j
j =1
Se puede demostrar que si ∑ es infinita, entonces, no existe distribución de estado estable. j =∞ j =1
C j
La razón más común para que no exista el estado estable es que la tasa de llegadas es por lo menos igual a la tasa máxima a la cual los clientes pueden ser atendidos. 77
Solución de las ecuaciones de balance de flujo (2) Una vez obtenidas las probabilidades de los diferentes estados estados odemos odemos calcul calcular: ar: El número promedio de clientes en el sistema: L = Σn=0, ∞ n Pn La longitud promedio de cola: q = n=s, ∞ n El número de servidores s representa el número de clientes que pueden estar en servicio y no en la cola al mismo tiempo. 78
39
Solución de las ecuaciones de balance de flujo (3) Además, usando las fórmulas de Little obtenemos: El tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema: W = L / λp El tiempo promedio que cada cliente permanece en la cola: Wq = Lq / λp
79
Solución de las ecuaciones de balance de flujo (4) Otras fórmulas son: El tiempo promedio de permanencia en el servicio: Ws = Ls / λp La relación entre los tiempos es: W = Wq + Ws (L = Lq + Ls ) ρ = λp /sμ
80
40
Solución de las ecuaciones de balance de flujo (5) El promedio de las tasas de llegada para todos los , r r r estado: λp = Σ j=0, ∞ λ j P j Cuando λ j = λ para todos los estados posibles del sistema, tendremos: λ = λ
81
4. Modelo de colas con población infinita 4.1 Modelo de colas con población infinita y un servidor 4.2 Modelo de colas con población infinita y varios servidores
82
41
Modelo de colas con población infinita y un servidor - M/M/1:DG/∞/∞ (1) Los parámetros del modelo son: n
Servicio Exponencial
=
μn = μ
= , , , ... , para n = 1, 2, 3, ... , ∞
83
Modelo de colas con población infinita y un servidor - M/M/1:DG/∞/∞ (2) El factor de utilización del servidor: ρ = λ/μ Si ρ > 1 entonces se forma una cola infinita. Si ρ < 1 entonces el sistema de colas alcanzará la condición de estado estable. Cn = Πi=1,n (λi-1/μi) = (λ/μ)n = ρn para n = 1, 2, 3, ... , ∞
84
42
Modelo de colas con población infinita y un servidor - M/M/1:DG/∞/∞ (3) a pro a a e a ar e s s ema vac o, es: P0 = [ 1 + Σn=1, ∞ Cn]-1 = [ 1 + Σn=1, ∞ ρn]-1 = [Σn=0, ∞ ρn]-1 = 1 – ρ La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es: Pn = Cn P0 = ( 1 – ρ )ρn para n = 1, 2, 3, ... , ∞ La probabilidad de hallar el sistema ocupado, es: P(n ≥ 1) = 1 – P0 = ρ La probabilidad de hallar k o más clientes en el sistema, es: P(n ≥ k ) = ρk para k = 1, 2, 3, ... , ∞
85
Modelo de colas con población infinita y un servidor - M/M/1:DG/∞/∞ (4) El número promedio de clientes en el sistema, es: L=λ / – λ El número promedio de clientes en la cola, es: Lq = λ2 / [μ (μ – λ)] El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es: W = 1 / ( μ – λ) El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es: Wq = λ / [μ (μ – λ)] 86
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Modelo de colas con población infinita y un servidor - M/M/1:DG/∞/∞ (5) Problema 3.1 La cola rá ida del Su ermercado Don Lucho atiende sólo clientes con 10 artículos o menos, y como resultado, es mucho más veloz para estos clientes que las colas normales. El gerente ha estudiado esta cola y ha determinado que los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 30 por hora y que, el tiempo necesario para que un cliente sea atendido tiene una distribución Exponencial con media de 1 minuto. a a ar os va ores e μ y . b) En promedio, ¿a cuántos clientes se está atendiendo o están esperando? c) En promedio, ¿cuánto debe esperar un cliente antes de poder retirarse? 87
Modelo de colas con población infinita y un servidor - M/M/1:DG/∞/∞ (6) Problema 3.2 En el mostrador de libros de la biblioteca de la Universidad de , , maletines, bolsas, portafolios, etc., para que el vigilante verifique si no hay robos de libros, revistas o documentos. El tiempo que se requiere para hacer esta verificación tiene una distribución Exponencial con media de 1 minuto. Se ha determinado que los estudiantes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 20 por hora. a) Hallar los valores de μ y λ. b) ¿Qué tiempo le llevará a un estudiante pasar por la revisión? c) ¿En promedio, cuántos estudiantes se encuentran esperando en la cola en cualquier momento? d) ¿Durante qué fracción de tiempo estará libre el vigilante que revisa 88 las bolsas para poder dedicarse a estudiar?
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Modelo de colas con población infinita y varios servidores - M/M/s:DG/∞/∞ (1) Los parámetros del modelo son: Lle adas Poisson λ = λ Servicio Exponencial μn = nμ μn = sμ
ara n = 0, 1, 2, ... , ∞ para n = 1, 2, 3, ... , s-1 para n = s, s+1, s+2 , ... ,
∞
89
Modelo de colas con población infinita y varios servidores - M/M/s:DG/∞/∞ (2) El factor de utilización del servidor: ρ = λ/sμ Si ρ > 1 entonces se forma una cola infinita. Si ρ < 1 entonces el sistema de colas alcanzará la condición de estado estable. Cn = (λ/μ)n / n! Cn = (λ/μ)n / (s! sn-s)
para n = 1, 2, 3, ... , s-1 para n = s, s+1, s+2, ... , ∞
90
45
Modelo de colas con población infinita y varios servidores - M/M/s:DG/∞/∞ (3) La probabilidad de hallar el sistema vacío, es: μ n n + μ s s – ρ 0= n=0, s-1
-
La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es: Pn = [(λ/μ)n / n!] P0 para n = 1, 2, 3, ..., s-1 n n-s Pn = [(λ/μ) / (s! s )] P0 para n = s, s+1, s+2, ..., ∞ La probabilidad de hallar el sistema ocupado, es: P(n ≥ s ) = (λ/μ)s P0 / [s!(1 – ρ)]
91
Modelo de colas con población infinita y varios servidores - M/M/s:DG/∞/∞ (4) El número promedio de clientes en la cola, es: – q 0 El número promedio de clientes en el sistema, es: L = Lq + sρ El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es: q= q El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es: W = L / λ 92
46
Modelo de colas con población infinita y varios servidores - M/M/s:DG/∞/∞ (5) Problema 3.3 El autocinema Miramar tiene tres taquillas, cada una de las cuales atiende . proceso Poisson con tasa media de 90 por hora y cada taquilla tiene un tiempo de atención de acuerdo a una distribución Exponencial con media de 1.5 minutos. a) ¿Qué tipo de modelo de colas es éste? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, si consideramos una sola de las taquillas, se encuentre desocupada? ¿Cuál es la probabilidad de que se esté atendiendo a tres automóviles? d) ¿Cuál es el tiempo promedio que un automóvil espera antes de llegar a la taquilla? e) Si el autocinema decide utilizar una sola cola para la venta de todos los boletos en las tres taquillas, ¿qué característica de operación esperaría usted que cambiara más? 93
Modelo de colas con población infinita y varios servidores - M/M/s:DG/∞/∞ (6) Problema 3.4 Un laboratorio de la ciudad está planeando ofrecer un servicio al público en eneral. Este servicio consistirá en dar información médica sobre diversos temas a las personas que marquen el número de información. Las llamadas telefónicas se realizan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 40 por hora. Una operadora de la central telefónica contestará a las personas que llamen e intentará responder sus preguntas. El tiempo de atención de la operadora se ajusta a una distribución Exponencial con media de 6 minutos. El laboratorio desea que la probabilidad de que las , 0.1%. Para ello se ha decidido aumentar el número de las líneas de la central telefónica. Se supone que habrá una operadora por línea telefónica. Calcule el número de líneas telefónicas necesarias para alcanzar el nivel de atención deseado. 94
47
5. Análisis económico de los modelos de cola (1) Debe existir un equilibrio entre el COSTO DE proporcionar un buen SERVICIO y el COSTO del tiempo atendidos. Lo deseable es que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más. Sin embargo, se debe evaluar la longitud en la fila de espera, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO. 95
5. Análisis económico de los modelos de cola (2) Equilibrio entre os os e espera y os os e serv c o Costo COSTO TOTAL ESPERADO
Costo por proporcionar el SERVICIO
Costo Total Mínimo
Costo por TIEMPO DE ESPERA
Nivel Óptimo de Servicio
Nivel de Servicio
96
48
5. Análisis económico de los modelos de cola (3) Los costos de servicios se incrementan si se mejora el . capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas para incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes. • En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario. • n ancos y pun os e c equeo e aeropuer os, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año. 97
5. Análisis económico de los modelos de cola (4) Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo per o en as as e espera. Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los empleados que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy En ciertos servicios el costo de la espera puede ser intolerablemente alto. 98
49
5. Análisis económico de los modelos de cola (5) Costo de servicio = E(CS) Costo horario de un servidor = cs Número de servidores = s = cs s
99
5. Análisis económico de los modelos de cola (6) Costos de espera = E(CE) Costo horario de un cliente espera en la cola = ce Tamaño esperado de la cola = Lq = e q
100
50
5. Análisis económico de los modelos de cola (7) Problema 3.5 La com añía arrendadora de automóviles LimaCar o era su ro ia instalación de lavado y limpieza de automóviles para prepararlos para su renta. Los automóviles llegan a la instalación de limpieza de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 5 por día. La compañía ha determinado que los automóviles pueden limpiarse a un ritmo de 2n por día, en donde n es el número de personas que trabajan en un automóvil. Este procedimiento de lavado se ajusta a la distribución Exponencial. La compañía les paga a sus trabajadores I/.30.00 por día y ha determinado que el costo por un automóvil que no esté disponible para rentarlo es de I/.25.00 por día. a) ¿Calcule el número de empleados que deben contratarse en la instalación de lavado, para que produzca el menor costo? b) Calcule los valores de P0, Pn, L, Lq, W y Wq para el número de empleados que 101 eligió.
5. Análisis económico de los modelos de cola (8) Problema 3.5 (continuación) Ahora LimaCar está considerando añadir un taller de lavado ara incrementar su negocio. La nueva tasa media de llegadas es de 8 automóviles por día, en tanto que la tasa de lavado para cada taller será la misma. La compañía ha determinado que el costo adicional de las nuevas instalaciones es I/.50.00 por día. c) Bajo estas nuevas condiciones, determine si la compañía LimaCar debe añadir la instalación adicional o no. d) Calcule los valores de P0, Pn, L, Lq, W y Wq para el plan que tenga el menor costo.
102
51
6. Modelo de colas con capacidad limitada 6.1 Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y un servidor 6.2 Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y varios servidores 103
Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y un servidor - M/M/1:DG/c/∞ (1) Los parámetros del modelo son:
λn = λ Servicio Exponencial μn = μ L ega as Po sson
para n = 0, 1, 2, ... , c-1 para n = 1, 2, 3, ... , c
104
52
Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y un servidor - M/M/1:DG/c/∞ (2)
p
Si ρ = λ p/μ ≠ 1 entonces el sistema de colas alcanzará la condición de estado estable. Cn = (λ/μ)n = ρn
para n = 1, 2, 3, ... , c
Cn = 0
para n = k+1, k+2, ... , ∞
105
Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y un servidor - M/M/1:DG/c/∞ (3) , P0 = ( 1 – ρ ) / ( 1 – ρ c+1) La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es: Pn = [(1 – ρ ) / ( 1 – ρ c+1)] ρn
para n = 1, 2, 3, ..., c
La tasa media de llegadas al sistema, es:
λ p = λ ( 1 – Pc) 106
53
Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y un servidor - M/M/1:DG/c/∞ (4) El número promedio de clientes en el sistema, es: L= / 1– – c+1 c+1 / 1 – c+1 El número promedio de clientes en la cola, es: Lq = L – (1 – P0) El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es: Wq = Lq / [λ ( 1 – Pc)] El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es: W = L / [λ ( 1 – Pc)] 107
Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y un servidor - M/M/1:DG/c/∞ (5) Para ρ = 1: La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es: Pn = 1 / (c + 1)
para n = 0, 1, 2, 3, ..., c
El número promedio de clientes en el sistema, es: = Las demás fórmulas siguen siendo válidas.
108
54
Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y varios servidores - M/M/s:DG/c/∞ (1) Los parámetros del modelo son: n= Servicio Exponencial μn = cμ μ n = sμ
= , , , ... , para n = 1, 2, 3, ... , s-1 para n = s, s+1, s+2, ..., c
109
Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y varios servidores - M/M/s:DG/c/∞ (2)
p
Si ρ = λ p/sμ ≠ 1 entonces el sistema de colas alcanzará la condición de estado estable. Cn = (λ/μ)n / n!
para n = 1, 2, 3, ... , s-1
Cn = (λ/μ)n / [s! sn-s ]
para n = s, s+1, s+2, ... , c
Cn = 0
para n = c+1, c+2, ... , ∞
110
55
Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y varios servidores - M/M/s:DG/c/∞ (3) La robabilidad de hallar el sistema vacío, es: P0 = { 1 + [Σn=1, s-1 (λ/μ))n / n!] + [(λ/μ))s / s!] Σn=s, c ρ)n-s }-1 La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es: Pn = [(λ/μ)n / n!] P0 para n = 1, 2, 3, ..., s-1 n n-s Pn = [(λ/μ) / (s! s )] P0 para n = s, s+1, s+2, ..., c La tasa media de llegadas al sistema, es: λ p = λ ( 1 – Pc)
111
Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y varios servidores - M/M/s:DG/c/∞ (4) El número promedio de clientes en la cola, es: Lq = [P0(λ/μ)s ρ / [s! (1 – ρ )2]] [1 – ρ c-s – (c – s) ρc-s (1 – ρ)] El número promedio de clientes en el sistema, es: L = ∑n=0,s-1 n Pn + Lq + s(1 – ∑ n=0,s-1 Pn) El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es: = – c El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es: Wq = Lq / [λ ( 1 – Pc)] 112
56
7. Modelo de colas con servidores infinitos - M/M/∞:DG/∞/∞ (1) Los parámetros del modelo son: Llegadas Poisson λn = λ para n = 0, 1, 2, ..., ∞ Servicio Exponencial μn = μ para n = 1, 2, 3, ..., ∞
113
7. Modelo de colas con servidores infinitos - M/M/∞:DG/∞/∞ (2) La robabilidad de hallar n clientes en el sistema es: Pn = (λ /µ)n e-λ /µ / n!
para n = 0, 1, 2, 3, ... , ∞
El número promedio de clientes en el sistema, es: L = λ/μ El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es: W = 1/μ
114
57
8. Modelo de colas con población finita 8.1 Modelo de colas con población finita y un servidor 8.2 Modelo de colas con población finita y varios servidores
115
Modelo de colas con población finita y un servidor - M/M/1:DG/k/k (1) Los parámetros del modelo son: Llegadas Poisson λn = ( k – n ) λ Servicio Exponencial μn = μ
para n = 0, 1, 2, ..., k-1 para n = 1, 2, 3, ..., k
116
58
Modelo de colas con población finita y un servidor - M/M/1:DG/k/k (2) C = k! λ /
n
/ k–n !
ara n = 1, 2, 3, ..., k
La probabilidad de hallar el sistema vacío, es: P0 = [∑n=0,k k! (λ /μ)n / ( k – n ) ! ]-1 La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es: Pn = k ! (λ /μ)n P0 / (k – n)! para n = 1, 2, 3, ..., k La tasa media de llegadas al sistema, es: λ p = λ (k – L) 117
Modelo de colas con población finita y un servidor - M/M/1:DG/k/k (3) El número promedio de clientes en el sistema, es: L = k – μ ( 1 – P0) / λ El número promedio de clientes en la cola, es: Lq = k – (λ + μ) (1 – P0) / λ El tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema, es: = – El tiempo promedio que pasa un cliente en la cola, es: Wq = Lq / [λ (k – L)] 118
59
Modelo de colas con población finita y varios servidores - M/M/s:DG/k/k (1) Los parámetros del modelo son: ega as o sson –n n= Servicio Exponencial μn = nμ μn = s μ
para n = , , , ..., para n = 1, 2, 3, ..., s-1 para n = s, s+1, s+2, ..., k
119
Modelo de colas con población finita y varios servidores - M/M/s:DG/k/k (2) Cn = k ! (λ /μ)n / (k – n)! n! Cn = k ! (λ /μ)n / ( k – n ) ! s ! sn-s
para n = 1, 2, 3, ..., s-1 para n = s, s+1, s+2, ..., k
La probabilidad de hallar el sistema vacío, es: P0 = { ∑n=0,s-1 (λ /μ)n k! / [(k – n)! n!] + ∑n=s,k (λ /μ))n k! / [(k – n)! s! s(n-s)]}-1 La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es: μ 0 – n n para n = , , , ..., sn= Pn = k ! (λ /μ)n P0 / [(k – n)! s! sn-s] para n = s, s+1, s+2, ..., k La tasa media de llegadas al sistema, es: λ p = λ (k – L) 120
60
Modelo de colas con población finita y varios servidores - M/M/s:DG/k/k (3) El número promedio de clientes en el sistema, es: L = ∑n=0,s-1 n Pn + ∑n=s,k ( n – s ) Pn + s (1 – ∑ n=0,s-1 Pn) El número promedio de clientes en la cola, es: Lq = ∑n=s,k ( n – s ) Pn El tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema, es: = – El tiempo promedio que pasa un cliente en la cola, es: Wq = Lq / [λ (k – L)] 121
9. Redes de colas 9.1 Modelo de colas en serie 9.2 Redes abiertas 9.3 Redes cerradas
122
61
Modelo de colas en serie (1) En los modelos de líneas de espera tratados hasta este momento, un tiempo de servicio completo al . En muchas situaciones el servicio no se completa hasta que el cliente ha sido atendido por más de un servidor. Un sistema como este se denomina modelo de colas de k etapas en serie. 123
Modelo de colas en serie (2) Teorema.- Si (1) los tiempos de espera entre llegadas para un sistema de líneas de espera en serie son exponenciales con tasa λ, (2) los tiempos de servicio por cada servidor de la etapa i son exponenciales, y (3) cada etapa tiene una sala de espera de capacidad infinita, entonces los tiempos entre llegadas para las espera son exponenciales con tasa λ. 124
62
Redes abiertas (1) Las redes abiertas de líneas de espera son una generalización de las líneas de espera en serie. j
servidores exponenciales, cada operando a una tasa μ j. Se supone que los clientes llegan a la estación j desde afuera del sistema de colas a una tasa r j. También se supone que estos tiempos entre llegadas se apegan a una distribución exponencial. 125
Redes abiertas (2) Una vez que se completa el servicio de la , estación j con probabilidad pij y termina el servicio con probabilidad j = k
1−
∑ p
ij
=1
126
63
Redes abiertas (3) Definamos λ j, la tasa a la cual los clientes llegan a la estación j. λ1, λ2,… λk
se pueden determinar al resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: λ j = r j +
i = k
∑ p λ ij
i
( j = 1,2,..., k )
i =1
Esto se infiere porque una fracción pij de las i
estación j.
Suponga que siµ j > λ j se cumple para todas las estaciones. 127
Redes abiertas (4) Entonces, se puede demostrar que la distribución de probabilidad del número de clientes presentes en la estación j se puede determinar si se trata a la estación j como un sistema (M/M/s j:DG/∞ /∞) con tasa de llegadas λ j y tasa de servicio µ j. , j j j, distribución de estado estable de los clientes.
128
64
Redes abiertas (5) Observar que la cantidad de clientes presentes en cada estación es una variable aleatoria inde endiente. Es decir, conocer la cantidad de personas en todas las estaciones que no son la estación j no nos dice nada respecto a la distribución del número de personas en la estación j. Este resultado no se cumple en el caso de que no sean exponenciales los tiempos entre llegadas o los tiempos de servicio. 129
Redes abiertas (6) Para determinar L, el número esperado de clientes en el sistema de colas, sume el número espera o e c entes presentes en ca a estac n. Para determinar W, el tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema, aplique la fórmula L = λW a todo el sistema. Aquí λ = r1 + r2 + … + rk porque representa la cantidad promedio de clientes por unidad de tiempo que llega al sistema. 130
65
r 1 = 10
(1 - p12 - p13) λ1 = 0.2λ1 μ1 =
40 s1 = 1
12 1
p13 λ1 = 0.3λ1
= .
p32 λ3 = 0.5λ3 1
r 2 = 15
(1 – p21 – p23) λ2 = 0.5λ2
μ2 =
50 s2 = 1 p23 λ2 = 0.2λ2
p21 λ2 = 0.3λ2
r 3 = 3
μ3 =
30 s3 = 1
(1 – p31 – p32) λ3 = 0.1λ3
p31 λ3 = 0.4λ3
131
Sistema de ecuaciones: λ1 = r 1 + p21 λ 2 + p31 λ 3
= 10 + 0.3 λ2 + 0.4 λ3
λ2 = r 2 + p12 λ 1 + p32 λ 3
= 15 + 0.5 λ1 + 0.5 λ3
λ3 = r 3 + p13 λ 1 + p23 λ 2
= 3 + 0.3 λ1 + 0.2 λ2
Solución: λ1 = 30 clientes / hora λ2 = 40 clientes / hora λ3 = 20 clientes / hora
L1 = 3 clientes L2 = 4 clientes
W = (L1 + L2 + L3) / (r 1 + r 2 + r 3) W = (9 / 28)*60 = 19 minutos
L3 = 2 clientes 132
66
Redes cerradas (1) Para una red de computadoras ocupada, sería conveniente suponer que tan pronto como un trabajo deja el sistema, otro trabajo llega a . Sistemas donde hay una cantidad de trabajos presente, se podría modelar como redes cerradas de líneas de espera. Como la cantidad de trabajos en el sistema siempre es constante, la distribución de trabajos en servidores distintos no puede ser independiente. 133
Redes cerradas (2) El algoritmo de Buzen puede ser usado para determinar probabilidades de estado estable para redes cerradas de líneas de espera. Sea λ j igual a la tasa de llegadas para el servidor j. Como no hay llegadas externas, podríamos hacer to as as r j= y o tener os va ores e j a part r de la ecuación usada en el caso de las redes abiertas. Esto es,
λ j =
i=s
∑ λ P i
i =1
ij
( j
= 1,2,...s)
134
67
Redes cerradas (3) Como los trabajos nunca dejan el sistema, por cada I, ∑ P =1 j = s
=
i
Este hecho causa que la ecuación en la diapositiva anterior no tenga solución única. Por fortuna, podemos usar cualquier solución para obtener las probabilidades de estado estable. Si definimos p = μ λ entonces determinamos, para cualquier estado n su probabilidad de estado estable πN(n) a partir de la siguiente ecuación i
i
i
n
π N (n) =
n
ρ 1 1 ρ 2 2 L ρ n
ns
G ( N )
135
Redes cerradas (4) ,
n1
1
n2
2
L
ns n
n ∋ S N
El algoritmo de Buzen proporciona una manera eficaz para determinar (en una hoja de cálculo) G(N). Una vez que tenemos las probabilidades de estado es a e, ca cu amos con ac a o ros me as e efectividad .
136
68
10. Modelos de colas con distribución de servicio no exponencial 10.1Modelo de colas con distribución de servicio general 10.2 Modelo de colas con distribución de servicio determinística 10.3 Modelo de colas con distribución de servicio Erlang 137
Modelo de colas con distribución de servicio general - M/G/1:DG/∞/∞ (1) Llegadas Poisson con media 1/ λ Servicio con media 1/ μ y varianza σ2 El factor de utilización del servidor: ρ = λ/μ < 1 La probabilidad de hallar el sistema vacío, es: P0 = 1 – ρ
138
69
Modelo de colas con distribución de servicio general - M/G/1:DG/∞/∞ (2) El número promedio de clientes en la cola, es: q
=
2
2+
2
–
El número promedio de clientes en el sistema, es: L = ρ + Lq El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es: Wq = Lq / λ El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es: W = Wq + 1/μ
139
Modelo de colas con distribución de servicio determinística - M/D/1:DG/∞/∞ (1) Lle adas Poisson con media 1 / λ Servicio con media 1/ μ y varianza σ2 = 0 El factor de utilización del servidor: ρ = λ / μ < 1 La probabilidad de hallar el sistema vacío, es: P0 = 1 – ρ
140
70
Modelo de colas con distribución de servicio determinística - M/D/1:DG/∞/∞ (2) El número promedio de clientes en la cola, es: q
=
2
–
El número promedio de clientes en el sistema, es: L = ρ + Lq El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es: Wq = Lq / λ El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es: W = Wq + 1/μ
141
Modelo de colas con distribución de servicio Erlang - M/Ek/1:DG/∞/∞ (1) Llegadas Poisson con media 1 /
λ
Servicio con media 1/ μ y varianza σ2 = 1 / (k μ2) El factor de utilización del servidor: ρ = λ / μ < 1 La probabilidad de hallar el sistema vacío, es: P0 = 1 – ρ
142
71
Modelo de colas con distribución de servicio Erlang - M/Ek/1:DG/∞/∞ (2) El número promedio de clientes en la cola, es: q
=
+
2
–
El número promedio de clientes en el sistema, es: L = ρ + Lq El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es: Wq = Lq / λ El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es: W = Wq + 1/μ
143
Modelo de colas con distribución de servicio Erlang - M/Ek/1:DG/∞/∞ (3) Problema 3.6 , maneja solicitudes de ingreso a la Maestría en Administración de Negocios sobre la base de que el primero que llega es el primero que se atiende. Estas solicitudes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 5 por día. La distribución de probabilidad en los tiempos de servicio es tal que la desviación estándar es 1/10 de día la media es 1/9 de día. Cuál es el tiem o promedio que una solicitud espera para ser procesada? En promedio, ¿cuántas solicitudes están en espera de ser procesadas en cualquier momento? 144
72
11. Modelos de colas con disciplina de prioridades 11.1Modelo de colas con prioridad adquirida 11.2 Modelo de colas sin prioridad adquirida
145
Modelo de colas con prioridad adquirida (1) Llegadas Poisson λi para la prioridad de clase i (i = 1, 2, 3, ..., N) Número de servidores en paralelo
s
λ = Σn=1, N λi
ρ = λ / sμ < 1
146
73
Modelo de colas con prioridad adquirida (2) El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase de prioridad k , Wqk = 1 / (A Bk-1Bk ) para k = 1, 2, 3, ..., N Donde: A = s! [(sμ - λ )/(sρ)s] (∑ j=0,s-1 (sρ ) j / j ! ) + sμ = Bk = 1 - (∑i=1,k λ i) / sμ para k = 1, 2, 3, ..., N
147
Modelo de colas con prioridad adquirida (3) El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase de prioridad k , Wk = Wqk + 1 / μ
para k = 1, 2, 3, ..., N
El número promedio de clientes de la clase de prioridad k en el sistema, es: Lk = λ k Wk
para k = 1, 2, 3, ..., N
El número romedio de clientes de la clase de cola, es: Lqk = λ k Wqk
rioridad k en la
para k = 1, 2, 3, ..., N
148
74
Modelo de colas sin prioridad adquirida (1) Llegadas Poisson λi para la prioridad de clase i (i = 1, 2, 3, ..., N) erv c o xponenc a
μ
Número de servidores en paralelo
s
λ = Σn=1, N λi
ρ = λ / sμ < 1
149
Modelo de colas sin prioridad adquirida (2) en el sistema, es: Wk = 1 / (μ Bk-1Bk )
para k = 1, 2, 3, ..., N
Donde: B0 = 1 Bk = 1 - (∑i=1,k λ i) / sμ para k = 1, 2, 3, ..., N
150
75
