Parte 3 Teoría de Colas ESTRUCTURA BÁSICA DE LOS MODELOS DE COLAS El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren un servicio se generan a través del tiempo en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas. En la siguiente figura se da un esquema de este proceso. •
Fuente de entrada (población potencial)
Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número total de clientes potenciales distintos. Esta población a partir de la cual surgen las unidades que llegan se conoce como población de entrada. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito (de modo que también se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada). Como los cálculos son mucho más sencillos para el caso infinito, esta suposición se hace muy seguido aun cuando el tamaño real sea un número fijo relativamente grande, y deberá tomarse como una suposición implícita en cualquier modelo que no establezca otra cosa. El caso finito es más difícil analíticamente, pues el número de clientes en la cola afecta el número potencial de clientes fuera del sistema en cualquier tiempo; pero debe hacerse esta suposición finita se la tasa a la que la fuente de entrada genera clientes nuevos queda afectada en forma significativa por el número de clientes en el sistema de líneas de espera. También se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se generan de acuerdo a un proceso Poisson, es decir, el número de clientes que llegan hasta un tiempo específico
tiene una distribución Poisson. En nuestro caso corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria pero con cierta tasa media fija y sin importar cuántos clientes están ya ahí (por lo que el tamaño de la fuente de entrada es infinito). Una suposición equivalente es que la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas. •
Cola
Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas, según si este numero es finito o infinito. La suposición de una cola infinita es la estándar para la mayor parte de los modelos, incluso en situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente grande) sobre el número permitido de clientes, ya que manejar una cota así puede ser un factor complicado para el análisis. Los sistemas de colas en los que la cota superior es tan pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia, necesitan suponer una cola finita. •
Disciplina de la cola
La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser: primero en entrar, primero en salir, aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden. La que suponen como normal los modelos de colas es la primero en entrar, primero en salir, a menos que se establezca otra cosa. •
Mecanismo de servicio
El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existe más de una instalación de servicio, puede ser que sirva al cliente a través de una secuencia de ellas (canales de servicio en serie). En una instalación dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de colas debe
especificar el arreglo de las instalaciones y el número de servidores (canales paralelos) en cada una. Los modelos más elementales suponen una instalación, ya sea con un servidor o con un número finito de servidores. El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una instalación se llama tiempo de servicio (o duración del servicio). Un modelo de un sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor (y tal vez para los distintos tipos de clientes), aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores. •
Un proceso de colas elemental
Como ya se ha sugerido, la teoría de colas se aplica a muchos tipos diferentes de situaciones. El tipo que más prevalece es el siguiente: una sola línea de espera (que puede estar vacía en ciertos lapsos de tiempos) se forma frente a una instalación de servicio, dentro de la cual se encuentran uno o más servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada recibe servicio de uno de los servidores, quizá después de esperar un poco en la cola (línea de espera). En la figura se da un esquema del sistema de colas elemental del que se habla (cada cliente se indica por una C y cada servidor por una S ). Observe que el proceso que ilustramos en el ejemplo al inicio es de este tipo. La fuente de entrada genera clientes en la forma de casos de emergencia que requieren cuidado médico. La sala de emergencia es la instalación de servicio y los doctores son los servidores. Un servidor no tiene que ser un solo individuo; puede ser un grupo de personas, por ejemplo, una cuadrilla de reparación que combina fuerzas para realizar, de manera simultánea, el servicio que solicita el cliente. Aún más, los servidores ni siquiera tienen que ser personas. En muchos casos puede ser una máquina o una pieza de equipo, como un cargador frontal que presta el servicio cuando se requiere (tal vez con la ayuda de un operador). Con esta misma línea de ideas, los clientes en la cola no tienen
que ser personas. Por ejemplo, pueden ser unidades que esperan ser procesadas en una cierta máquina, o pueden ser carros que esperan pasar por una caseta de cobro. No es necesario que de hecho se forme físicamente una línea de espera delante de una estructura física que constituye la instalación de servicio; es decir, los miembros de la cola pueden estar dispersos en un área mientras esperan que el servidor venga a ellos, como las máquinas que esperan reparación. El servidor o grupo de servidores asignados a un área constituyen la instalación de servicio para esa área. De todas maneras, la teoría de colas da un número promedio de clientes en espera, el tiempo promedio de espera, etc. pues es irrelevante si los clientes esperan agrupados o no. El único requisito esencial para poder aplicar la teoría de colas es que los cambios en el número de clientes que esperan un servicio ocurran como si prevaleciera la situación física que se describe en la figura anterior (o una contraparte valida). Muchos de los modelos para la teoría de colas hacen la suposición de que todos los tiempos entre llegadas y todos los tiempos de servicio son independientes e idénticamente distribuidos. Por ejemplo, el modelo M/M/s supone que tanto los tiempos entre llegadas como los de servicio tienen una distribución exponencial y que el número de servidores es s (cualquier entero positivo). El modelo M/G/1 supone que los tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial pero no pone restricciones sobre la distribución de los tiempos de servicio, mientras que el número de servidores está restringido a exactamente 1. EJEMPLOS DE SISTEMAS DE COLAS REALES Puede parecer que la descripción de los sistemas de colas pueden parecer más o menos abstracta y sólo es aplicables en situaciones prácticas bastante especiales. Por el contrario, los sistemas de colas ocurren con sorprendente frecuencia en una amplia variedad de contextos. Para ampliar el horizonte sobre la aplicabilidad de la teoría de colas, se mencionarán brevemente varios ejemplos reales de sistemas de colas. Una clase importante de sistemas de colas que se encuentran en la vida es el sistema de servicio comercial, en donde los clientes externos reciben un servicio de una
organización comercial. Muchos de estos sistemas incluyen un servicio de persona a persona en una localidad fija, como una peluquería (los peluqueros son los servidores), es servicio de una cajera de banco, las cajas de cobro en un supermercado y una cola en una cafetería (canales de servicio en serie). Muchos otros sistemas son de tipo diferente, como la reparación de aparatos domésticos (el servidor va hacia el cliente), una maquina de monedas (el servidor es una máquina) y una gasolinera (los clientes son automóviles). Otra clase importante es la de sistemas de servicio de transporte. Para algunos de estos sistemas los vehículos son los clientes, como los automóviles que esperan pasar por una caseta de cobro o un semáforo (el servidor), un camión de carga o un barco que esperan que una cuadrilla les dé el servicio de carga o descarga y un avión que espera aterrizar o despegar en una pista (el servidor). (Un estacionamiento es un ejemplo poco usual de este tipo, en el que los carros son los clientes y los espacios son los servidores, pero no existe una cola porque si el estacionamiento está lleno, los clientes se van a otro lado a estacionarse). En otros casos, los vehículos son los servidores, como los taxis, los camiones de bomberos y los elevadores. En los últimos años, tal vez la teoría de colas se ha aplicado más a los sistemas de servicio interno en la industria y en los negocios, en donde los clientes que reciben el servicio son internos o parte de la organización. Los ejemplos incluyen sistemas de manejo de materiales, en donde las unidades de manejo de materiales (los servidores) mueven cargas (los clientes); sistemas de mantenimiento, en donde las brigadas de mantenimiento (los servidores) reparan máquinas (los clientes) y puestos de inspección en los que los inspectores de control de calidad (los servidores) inspeccionan artículos (los clientes). Las instalaciones para empleados y los departamentos que dan servicio a empleados también entran en esta categoría. Además, las máquinas se pueden ver como servidores cuyos clientes son los trabajos que se están procesando. Un ejemplo relacionado muy importante es un centro de cómputo en el que la computadora se puede ver como el servidor.
Es del reconocimiento general que la teoría de colas también se puede aplicar a sistemas de servicio social. Por ejemplo, un sistema judicial es una red de colas, en donde las cortes son las instalaciones de servicio, los jueces (o los jurados) son los servidores y los casos que esperan el proceso son los clientes. Un sistema legislativo es una red de colas parecida, en el que los clientes son los asuntos que el congreso va a tratar. Algunos sistemas de salud pública son sistemas de colas. Al inicio se vio un ejemplo (la sala de emergencia de un hospital), pero también las ambulancias, las máquinas de rayos X y las camas del hospital pueden jugar el papel de servidores en sus propios sistemas de colas. En forma parecida, las familias en espera de viviendas de interés social u otros servicios sociales se pueden concebir como clientes de un sistema de colas. Aun cuando éstas son cuatro clases amplias de sistemas de colas, la lista todavía no se agota. De hecho, la teoría de colas comenzó a principios de siglo con aplicaciones a ingeniería telefónica (el fundador de la teoría de colas, A.K. Erlang, era un empleado de la Danish Telephone Company en Copenhague), y la ingeniería telefónica constituye todavía una importante aplicación. Lo que es más, cada individuo tiene sus propias líneas de espera personales: tareas, libros que leer, etc. Estos ejemplos son suficientes para sugerir que los sistemas de colas sin duda ocurren con toda frecuencia en muchas áreas de la sociedad. PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embrago en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y
muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes: SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0,1,2,….). SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….). SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. Como consecuencia de las suposiciones 1 y 2, el proceso de nacimiento y muerte es un tipo especial de cadena de Markov de tiempo continuo. Los modelos de colas que se pueden representar por una cadena de Markov de tiempo continuo son mucho más manejables analíticamente que cualquier otro. Excepto por algunos casos especiales, el análisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condición transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre esta distribución de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener un buen uso práctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribución después de que el sistema ha alcanzado la condición de estado estable (en caso de que pueda alcanzarla). Los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuación de estos sistemas pueden tener un efecto importante sobre la calidad de vida y la productividad. Para estudiar estos sistemas, la teoría de colas formula modelos matemáticos que representan su operación y después usa estos modelos para obtener medidas de desempeño. Este análisis proporciona información vital para diseñar de manera
efectiva sistemas de colas que logren un balance apropiado entre el costo de proporcionar el servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio. En este informe se realizo un resumen de algunos modelos básicos de teoría de colas para los que se tienen resultados particularmente útiles. Se hubiera podido considerar muchos otros modelos interesantes si el espacio lo hubiera permitido. De hecho, han aparecido en la literatura técnica varios miles de artículos de investigación que formulan y/o analizan modelos de colas, y ¡cada año se publican mucho más! La distribución exponencial juega un papel fundamental en la teoría de las colas para representar la distribución de los tiempos entre llegadas y de servicio, ya que esta suposición permite representar un sistema de colas como una cadena de Markov de tiempo continuo. Por la misma razón, son de gran utilidad las distribuciones tipo fase como la distribución Erlang, en donde se desglosa el tiempo total en fases individuales que tienen distribuciones exponenciales. Haciendo algunas suposiciones adicionales, se han obtenido importantes resultados analíticos sólo para un pequeño número de modelos de colas. Los modelos de disciplina de prioridades son útiles para la situación común en la que se da prioridad a algunas categorías de clientes sobre otras para recibir el servicio. En otra situación común los clientes deben recibir servicio en distintas estaciones o instalaciones. Los modelos de redes de colas se usan cada vez más en estas situaciones. Esta es una área especialmente activa en la investigación actual. Cuando no se dispone de un modelo manejable que proporcione una representación razonable del sistema bajo estudio, un enfoque usual es obtener los datos de desempeño pertinentes mediante el desarrollo de un programa de computadora para simular la operación del sistema. La teoría de colas ha demostrado ser una herramienta muy útil y se pronostica que su uso seguirá ampliándose conforme crezca el reconocimiento de los beneficios de los sistemas de colas.
1.
El modelo simple de teoría de colas que se ha definido en la literatura, se basa
en las siguientes suposiciones: a).
Un solo prestador del servicio y una sola fase.
b).
Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas.
c).
Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio.
d).
Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.
A partir de estas suposiciones se pueden derivar las siguientes estadísticas de desempeño: r=l/m P0 = 1- l / m Pn = P0(l / m)n l2
Lq =
m(m-l) Ls = l / ( m - l )
Wq =
l
m(m-l) Ws = 1 / ( m - l ) Ejemplo: Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora ( m = 10 ). Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora ( l = 7 ). Se considera que las llegadas siguen la distribución exponencial. En la condición uniforme el sistema de colas tendrá las siguientes características de desempeño. r = 7 / 10, el prestador del servicio trabajara el 70% del tiempo. P0 = 1- 7 / 10 = 0.3; 30% del tiempo no habrá clientes en el sistema ( ni en la cola, ni Recibiendo servicio). Pn = 0.3 ( 7 / 10 )n, una formula para descubrir la posibilidad de que n se encuentre en el sistema en cualquier momento dado: n = 1,2,3,.......; P1 = 0.21, P2 = 0.147; P3 = 0.1029; etc. Lq =
72
= 1.63; en promedio 1.63 clientes
estarán en la cola. 10 ( 10 - 7 ) Ls = 7 / ( 10 - 7 ) = 2.33; en promedio 2.33 clientes estarán en el sistema (en la cola y en servicio) Wq = esperando en la
7
= 0.233; el cliente pasa un promedio de 0.233 horas 10 ( 10 - 7 )
cola.
Ws = 1 / ( 10 - 7 ) = 0.333; el cliente pasa un promedio de 0.333 horas en el sistema (en la cola en servicio). Si los clientes se alejan del cajero siempre que existan 3 o más clientes antes que ellos en el sistema, la proporción de clientes perdida es: 1- (P0 - P1 - P2 - P3 ). = 1- ( 0.3 - 0.21 - 0.147 - 0.1029 ) = 0.2401 En este caso se perderá el 24% de los clientes debido a que la espera es demasiado larga. Ahora es posible evaluar el desempeño del sistema de colas. El administrador tendrá que tomar en consideración el tiempo perdido del prestador del servicio ( 30% ), el tiempo que espera el cliente ( 0.233 horas ) y la longitud de la línea que se forma ( 1.63 clientes). Si este rendimiento es inaceptable se puede colocar un segundo prestador del servicio o hacer otros cambios en las características de las llegadas, de la cola o del portador de los servicios.
PROBLEMA PROPUESTO 2.
Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar
herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez mecánicos por hora buscando partes. En la actualidad el almacén esta a cargo de un empleado a quien se le paga 6 dólares / hora y gasta un promedio de 5 min. Para entregar las herramientas de cada solicitud. Como a los mecánicos se les paga 10 dólares / hora, cada hora que un mecánico pasa en el almacén de herramientas le cuesta 10 dólares a la empresa. Esta ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares / hora, un ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante, el almacenista solo tardara un promedio de 4 min. Para atender las solicitudes de herramientas. Supóngase que son exponenciales tanto los tiempo de servicio como el tiempo entre llegadas.
Se debe contratar al ayudante?
EJEMPLO 1 M/M/8/PLPS/10/∞ puede representar una clínica con 8 doctores (/8/)con tiempos exponenciales de llegada y servicio (M/M/), la disciplina en la cola es el primero que llega es el primero en ser servido (/PLPS/), y una capacidad de 10 pacientes (/10/) con una población infinita (/∞).
SISTEMA DE COLAS M/M/1/DG/∞ /∞ En este sistema la tasa de llegada y servicio son exponenciales con 1 servidor, disciplina general en la cola con infinitos clientes en el sistema, que se obtienen de una población infinita. λ = número promedio de llegas que entran por unidad de tiempo µ = número de clientes que se atienden por unidad de tiempo Lq = número promedio de clientes que esperan en la cola Ls = número promedio de clientes en el sistema Wq = tiempo promedio que pasa un cliente en la cola Ws = tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema ρ = factor de utilización En estas definiciones, todos los promedios son para estado estable donde ρ =λ /µ <1, si ρ >1 es fácil ver porqué no puede existir distribución de estado estable. Supongamos λ =6 clientes por hora y que µ =4 clientes por hora. Aun si el despachador estuviera trabajando todo el tiempo, sólo podría atender a 4 clientes por hora. Así, el número promedio de clientes en el sistema crecería al menos en 6-4=2 clientes por hora. Esto significa que después de mucho tiempo, el número de clientes que hay “explotaría” y no podría existir distribución de estado estable. Entonces para cualquier sistema de colas en el que exista una distribución de estado estable, se cumplen las siguientes ecuaciones L=λ W; Lq=λ Wq; Ls=λ Ws EJEMPLO 2
A un cajero sólo llega un promedio de 10 vehículos por hora. Suponga que el tiempo promedio de servicio para cada clientes es de 4 minutos, y que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales. Conteste las siguientes preguntas. a) b)
¿ Cuál es la probabilidad de que el cajero se encuentre vacío? ¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en la cola su turno?, se considera que un vehículo que está ocupando el cajero , no está en la cola esperando. c) ¿ Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, incluyendo el tiempo en el servicio? d) En promedio, ¿Cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero automático? Solución: Identificamos el modelo M/M/1/DG/∞/∞, ya que no especifica la cantidad de clientes en el sistema ni la población asumimos infinito, y se coloca una disciplina general. Identificamos λ = 10 vehículos/hora y µ =4 minutos/hora, lo primero que hay que fijarse es que no estan en las misma unidades entonces µ la colocamos en vehículos por hora si atiende 1 vehiculo en 4 minutos entonces atenderá 15 en una hora por lo tanto µ =15 vehiculos/hora. RECORDARSE SIEMPRE EN LAS MISMA UNIDADES.
a) La probabilidad de que el cajero se encuentre vació es Po = 1- ρ ; ρ = λ /µ =10/15=2/3=0.667, entonces Po=1-0.667 = 0.33, por lo tanto el cajero estará vació el 33% del tiempo. b) Lq=ρ 2/(1-ρ )=.6672/(1-.667)= 1.33 clientes c) Ahora buscamos W que es el tiempo total de todo el sistema. L=ρ /(1/ρ )=0.667/(1-0.667)=2 clientes. W=L/λ = 2/10 = 1/5 hora = 12 minutos. e) Si el cajero estuviera ocupado siempre, podría atender 15 clientes por hora. Pero sabemos que solo se esta ocupado 0.67 del tiempo. Así que durante cada hora llegaran 0.67(15)=10 clientes. El valor de 0.67 se obtiene de 1-Po, que es el tiempo que esta ocupado. EJEMPLO 3. Supongamos que todos los propietarios de automóviles llenan sus tanques de gasolina cuando están exactamente a la mitad, En la actualidad, llega un promedio de 7.5 clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se necesita un promedio
de 4 minutos para atender un automóvil. Suponga que tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de servicio son exponenciales. a) Para el caso actual, calcule L y W b) Suponga que se presenta escasez de gasolina y que hay compras de pánico. Para modelar este fenómeno, suponga que todos los propietarios de automóvil compran gasolina cuando sus tanques les falta exactamente ¾ partes. Como cada conductor pone menos gasolina al tanque durante cada visita a la gasolinera, suponga que el tiempo promedio de servicio se ha reducido a 3.33 minutos ¿Cómo afecto la compra de pánico a L y a W?
a)
b)
Solución: Al identificar el sistema observamos que es M/M/1/DG/∞/∞ conλ =7.5 vehículos /hora y µ =15 vehículos por hora. Primero encontramos ρ =7.5/15=0.50, nótese que aquí se hace conversión porque µ tiene diferentes unidades. Teniendo ρ logramos obtener L=ρ /(1/ρ ) = 0.50/(10.5)=1, luego obtenemos W=L/λ =1/7.5=0.13 horas. Con estos resultados podemos observar que todo está bajo control y son improbables las largas colas. Con la segunda opción tenemos el mismo sistema M/M/1/DG/∞/∞con λ =2(7.5)=15 vehículos por hora, se preguntar porque por 2 y es dado que el cliente llenará con doble de frecuencia su tanque porque ahora no estar a la mitad sino que ¾, y visitara la gasolinera cada vez que se haya gastado ¼ de tanque. Y µ es igual a 60/3.33 = 18 vehiculos por hora donde ρ =15/18=5/6. Con los datos utilizamos las ecuaciones: L=(5/6)/(1-5/6)=5 automóviles y W=5/15=1/3 horas = 20minutos. Ya comparando se ve que las compras de pánico han originado colas mas largas y tiempos más largos en el sistema.
EJEMPLO 4 Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez mecánicos por hora buscando partes. En la actualidad el almacén está a cargo de un empleado a quien se les pagan 6 dólares/h y
gasta un promedio de 5 min. Para entregar las herramientas de cada solicitud. Como a los mecánicos se les paga 10 dólares/h, cada hora que un mecánico pasa en el almacén de herramientas le cuesta 10 dólares a la empresa. Esta ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares/h, un ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante, el almacenista sólo tardará un promedio de 4 min para atender las solicitudes de herramientas. Suponga que son exponenciales tanto los tiempos de servicio como el tiempo entre llegadas. ¿Se debe de contratar al ayudante? Solución. Con 1 empleado. λ =10mecanico/hora µ =5min/mecanico lo coloco en las misma unidades µ =12mecanicos/hora El costo total por hora será el sueldo del empleado que atiende ($6), mas el Tiempo que pasa el mecánico en el almacén por lo que se le paga ($10), colocando esto en formula tenemos. Costo Total = 6 +10L L=λ W W=1/(µ -λ ) =1/(12-10)=0.5 horas
Costo Total = $6/hora + ($10/mec-hora)(10mec/hora)(0.5horas)=$56/hora
En el enunciado se menciona que se le pagan $10/hora al mecánico, y dice también que cada hora que pasa en el almacén de herramientas le cuesta $10 a la empresa, pero al leerse detenidamente se da cuenta que están hablando de los mismo $10/hora. Análisis para 1 empleado con 1 ayudante que gana $4/hora $4 del ayudante por hora $6 del empleado por hora λ =10mec/hora µ =4min/mec = 15mec/hora W=1/(15-10)=0.2 horas CT=$4+$6+$10λ W CT=$4+$6+$10(10)(0.2) = $30/hora. Conclusión: La mejor opción es contratar al ayudante porque el costo será menor y se estaría ahorrando $50-$20=$30 por concepto de demoras, y con este ahorro alcanza para pagarle al ayudante y hasta sobra. EJEMPLO 5. En una aerolinea se debe revisar cada pasajero, así como su equipaje, para ve si trae armas. Suponga que al aeropuerto Internacional La Aurora llega un promedio de 10 pasajeros/minuto. Los tiempos entre llegas son exponenciales. Para revisar a los pasajeros, el aeropuerto debe tener una estación que consiste en un detector de metales y una máquina de rayos X para el equipaje . Cuando está trabajando la estación se necesitan dos empleados. Una estación puede revisar un promedio de 12 pasajeros/min. Con la hipótesis que el aeropuerto sólo tiene una estación de verificación, responda las siguientes preguntas. a)¿ Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser revisado? c) En promedio, ¿Cuántos pasajeros esperan en la cola para entrar a la estación?
d)
En promedio, ¿Cuánto tiempo pasará el pasajero en la estación de verificación. Solución: Primero identificamos el modelo M/M/1/DG/∞/∞ donde existe un servidor, en el problema puede confundirse pensando que son dos servidores porque hay dos empleados trabajando, pero NO es así ya que un servidor aquí se considera una estación independientemente que se realice en ella y cuantos la atiendan. a) λ =10 pasajeros/minuto µ =12 pasajeros/minuto ρ =λ /µ =10/12=0.833 Po=1-0.833=0.17 (probabilidad de que este vacio) entonces estar ocupado 1-0.17= 0.833 =83.33% del tiempo esto es igual a ρ .
b) Lq=λ Wq=λ 2/(µ (µ -λ )) = 102/(12(12-10))=4.17 personas en la cola. c) Ws=1/(µ -λ )=1/(12-10)=0.5 minutos.
MODELO M/M/1/DG/m/∞ Este sistema es parecido al anterior con la variante que tiene una capacidad total de “m” clientes, y cuando existen estos “m” clientes, todas las llegadas se regresan y el sistema las pierde para siempre. Este número máximo de clientes es una constante y varia según el libro que se utiliza c,m, etc. En este modelo de capacidad finita, llega un promedio de λ Pm, de esas llegadas encuentran al sistema lleno a toda capacidad y se van. Por lo tanto, en realidad entrará al sistema un promedio de λ =λ (1-Pm) llegadas por unidad de tiempo. En este modelo existirá estado estable aún si λ >µ Esto se debe que aun cuando λ >µ ,la capacidad finita de “m” en el sistema evita que “explote” el número de gentes en la cola. EJEMPLO 6 En una peluquería hay un peluquero y un total de 10 asientos. Los tiempos de llegada tienen distribución exponencial, y llega un promedio de 20 clientes posibles por hora. Los que llegan cuando la peluquería esta llena no entran. El peluquero tarda un promedio e 12 minutos en atender a cada cliente. Los tiempos de corte de pelo tienen distribución exponencial. a) En promedio ¿Cuántos cortes de pelo hará el peluquero? b) En promedio ¿Cuánto tiempo pasará un cliente en la peluquería, cuando entra? Solución Identificación del modelo M/M/1/DG/10/∞ a) Una fracción de P10 de las llegas encuentra que la peluquería esta llena. Por lo tanto, entrará a ella un promedio de λ (1-P10) por hora. Todos los clientes que desean que se les corte el cabello, y por lo tanto, el peluquero hará un promedio de λ (1-P10) cortes por hora. m=10 , λ =20 clientes por hora y µ =5 clientes/hora . Entonces ρ =20/5=4
donde n=1,2,....m Sustituyendo datos P10=0.75 Asi, los cortes de pelo son en promedio 20(1-0.75)=5 cortes/hora. b) Para calcular W=L/(λ (1-Pm))
W=9.67/(20(1-0.75))=1.93 horas. EJEMPLO 7 Una instalación de servicio consiste de una persona que puede atender un promedio de 2 clientes/h . Los tiempos de servicio son exponenciales. Llega un promedio de 3 clientes por hora, y se supone que los tiempos entre llegadas son exponenciales. La capacidad del sistema es de 3 clientes. a) En promedio, ¿Cuántos clientes potenciales entran al sistema cada hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de quien atiende esté ocupado? Solución λ =3clientes/hora. µ =2clientes/hora a) ρ =3/2=1.5
capacidad máxima del sistema=m=3
λ =λ (1-Pm)= λ (1-P3)=3(1-0.4154)=1.75 clientes por hora. b)
la probabilidad que este ocupado es Pocupado=1-Po
por lo tanto que este ocupado es 1-0.123=0.876 estará ocupado el 87.6% del tiempo. PROBLEMA 1. Propuesto Una estación de llenado de cilindros de gas trabaja a una tasa promeido de 15 cilindros por hora. Los cilindros llegan a recibir servicio a una tasa promedio de 10 por hora. De acuerdo a las normas de seguridad de la empresa no se permite más de 4 cilindros en espera cuando uno esta siendo llenado para la información anterior calcule. a) El número de cilindros que se encuentran simultáneamente en la estación. b) El tiempo total de permanencia en el sistema
c)
La tasa promedio de perdida de clientes por aquellos cilindros que no pueden ingresar al sistema. a) 1.53 cilindros b) 0.16 horas c)0.48 cilindros/hora.
MODELO M/M/k/DG/∞ /∞ Se suponen tiempos de llegadas exponenciales, con rapidez λ , que los tiempos de servicio son exponenciales con rapidez µ , y que hay una sola cola de clientes esperando ser atendido por una de las k ventanillas. EJEMPLO 8. Un banco tiene dos cajeros. Llegan al banco con un promedio de 80 clientes por hora y esperan en una sola cola para que los atiendan. El tiempo promedio que se necesita para atender a un cliente es 1.2 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales. Calcular. a) Número esperado de clientes en el banco. b) Tiempo esperado que pasa un cliente en el banco c) La fracción del tiempo que determinado cajero está desocupado. Solución. Identificando modelo M/M/2/*/∞/∞ , un modelo con llegadas y atención exponencial, con 2 servidores y capacidad ilimitada. k: número de servidores k =2 cajeros λ =80 clientes / hora µ = 1.2 minutos / cliente al realizar la conversión µ = 50 clientes/minuto cajero 1 ∞OOOOO K = 2 cajeros (servidores) cajero 2 a)
El número esperado de clientes en el sistema es Ls
para encontrar Ls hay tener primero
esta ecuación puede ser dividida en dos partes
teniendo Po buscar Ls
Ls= 4.44 clientes. Esta cantidad de clientes se encuentran en el banco en promedio. b)
El tiempo esperado que pasa el cliente en el banco seria Ws
Un cliente pasa en el banco un promedio de Ws=3.33 minutos. c)
El tiempo que el cajero esta desocupado se define como la probabilidad de 0. Po = 0.1111 = 11.11% del tiempo estará desocupado. EJEMPLO 9 El gerente de un banco debe determinar cuántos cajeros deben trabajar los viernes. Por cada minuto que un cliente espera en la cola, el gerente supone que se incurre en un costo de 5 centavos de dólar. Al banco llegan un promedio de 2 clientes por minuto. En promedio, un cajero se tarda 2 minutos en tramitar la transacción de un cliente. Al banco le cuesta 9 dólares por hora la contratación de un cajero. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales. Para reducir al mínimo la suma de los costos de servicio y los de demora, ¿Cuántos cajeros deben trabajar el banco los viernes? Solución: Por cada minuto que el cliente espera en la cola cuesta $0.05/min Un cajero gana $9 /hora k=?
λ =2 clientes / minuto
µ = 2 minutos / cliente
Pongo todo en las mismas unidades Cliente en la cola $3/hora Cajero $9/hora λ =120 clientes / hora µ = 0.5 clientes / minuto = 30 clientes / hora Costo Total = Costo esperado de servicio / min + costo esperado de demora / min Costo esperado de demora / min =(clientes esperados/min)(costo esperado de demora / cliente) La anterior es para casos generales. En especifico en este problema seria CT=9k + Wq(3)(120) ρ =λ / kµ = 120/(30k)= 4/k<1 tiene que ser menor de 1 para que sea estado estable de lo contrario el sistema explotaría, por lo tanto nuestros servidores han de ser mayor que 5 K>=5. Nótese que si fueran 4 servidores ρ =120/(4*30)=1 y esto no es menor que 1. Al usar 5 servidores ρ =120/(5*30)<1 y si se cumpleρ =0.8 Para determinar si este es el menor costo se probaran con k=5 servidores.
Wq=2.22/120=0.018488 horas Ahora ya se puede determinar el costo total porque solo faltaba Wq CT = 9(5)+0.018488(3)(120)=$51.66 / hora. Al comparar con k=6 CT = 9(6)+0.0047(3)(120) = $55.69/hora.
PROBLEMA 10. Hay dos peluquerías con un peluquero cada una, y los establecimientos están en la misma calle. Cada peluquería puede tener un máximo de 4 personas, y todo cliente potencial que encuentre que está llena no esperará. El peluquero 1 cobra 11 dólares por corte y se tarda un
promedio de 12 minutos para atender a un cliente. El peluquero 2 cobra 5 dólares por corte y se tarda un promedio de 6 minutos para terminar un corte. A cada peluquería llega un promedio de 10 clientes posibles por hora. Naturalmente, un cliente posible se transforma en un cliente real sólo si encuentra que la peluquería no esta llena. Si se supone que los tiempos entre llegadas son exponenciales, así como los tiempos de corte de pelo. ¿Cuál peluquero gana más? Solución: Identificar modelo: M/M/1/*/4/∞/∞ Para el peluquero 1. µ =12 min/cliente = 5 clientes / hora λ =10 clientes /hora K= 1 peluquero m= 4 clientes
Gana $ 11 por corte
Ganancia = $11(1-Po) µ (1-Po) = probabilidad que no este ocupado o sea que este realizando un corte.
Ganancia = $11(1-0.032)(5) = $53.24 El peluquero 1 gana $53.24 cada hora. Para el peluquero 2. µ = 6 min/cliente = 10 clientes /hora λ =10 clientes /hora
m= 4 clientes k= 1 peluquero
Ganancia = $5(1-Po) µ ρ =10/10 = 1 Si utilizamos la formula
, por lo tanto hay que apoyarse en el siguiente concepto. Cuando λ =µ las probabilidades del estado estable del sistema M/M/1/*/m/∞ son donde n=0,1,2,.... m y todas la Pn deben ser iguales
Ganancia = $5(1-0.2)(10)=$40 El peluquero 2 ganara $40 por hora. Conclusión: Por lo tanto el peluquero 1 ganara $13.24 mas por hora que el peluquero 2. (peluquero 1 = $53.24 , peluquero 2 = $40)
SISTEMA DE COLAS M/M/k/DG/m/∞ PROBLEMA 11
Una compañía de tractores que arenda sus vehículos para la agricultura y envía sus unidades al taller de mantenimiento de rutina cada 5,000 kilómetros, las instalaciones de mantenimiento están abiertas las 24 horas del día y son atendidos por tres cuadrillas de 3 hombres cada una. El tiempo que toma en dar el servicio a un tractor se distribuye exponencialmente con una media de 5 horas, los tractores llegan a las instalaciones siguiendo un proceso poisoniano con una tasa media de 12 por día sin embargo los conductores tienen instrucciones de no entrar a la instalación si ya hay 5 tractores en cuyo caso llegaran con el despachador para recibir nuevas instrucciones determine a) El tiempo esperado que un tractor permanece específicamente en el proceso de mantenimiento solo cuando esta en servicio. b) El costo total diario para la compañía si el costo improductivo es de Q5 por tractor por hora, y cada mecánico gana Q3.00 por hora . c) La perdida diaria para la compañía si el costo de enviar a un tractor a las instalaciones y que regrese sin un servicio es de Q50. Solución. Identificación del modelo M/M/3/*/5/∞ k=3 µ =5 horas /tractor λ =12 tractores /hora Todo en las misma unidades k=3 µ =4.8 tractores/hora
λ =12 tractores /hora
m = 5 tractores
m = 5 tractores
a) Ws –Wq b) (Q5/hora)(24horas)Ls + (Q3/hora)(24horas)(9mecanicos) c) 50(λ - λ ) Como ya se determinó como se obtiene cada respuesta que me piden solo falta encontrar los datos como Ws, Wq, λ , Ls.
0
n>m
Ws=Ls/ λ
Wq=Lq/ λ
Como vemos según las formulas hay que encontrar varios valores antes de las respuestas que buscamos. Buscando las probabilidades
Con 0 < n < k (0 < n < 3) Con k ≤ n ≤ m
3≤ n≤ 5
como la suma de todas la probabilidades ha de ser 1 tenemos Po + 2.5Po + 3.125Po + 2.6Po + 2.17Po + 1.81Po = 1 13.205Po=1 Po=0.076 Por lo tanto al tener Po se puede obtener el resto de probabilidades. Po=0.076 P1=2.5Po=2.5(0.076)=0.19 P2=3.125Po=2.5(0.076)=0.2375 P3=2.6Po=2.6(0.076)=0.1976 P4=2.17Po=2.17(0.076)=0.1649 P5=1.81Po=1.81(0.076)=0.1376 Y la suma de todo esto da 1 Cálculo de Lq
Lq= 0.44 tractores Cálculo de Ls
Ls = 2.59 tractores λ =12(1-0.1376)=10.35 tractores al día. Ws=2.59/10.35 = 0.25 días = 6 horas Wq=0.44/10.35 = 0.0425 días = 1.02 horas Ahora ya se tienen las respuestas a las preguntas. a) Ws –Wq = 0.25 día – 0.042 día = 0.2075 día = 4.98 horas Tiempo en servicio exclusivamente = 4.98 horas. b) CT=(Q5/h)(24h/día)(2.59tractores) + (Q3/h)(24h/dia)(9mecanicos) CT=310.8 + 648 = Q 526.8/día CT=Q526.8 al día. c) 50(12-10.35)=82.5
Referencias: Presentacióon en Power Point: file:///C:/Documents%20and%20Settings/Walter%20Lopez/Local %20Settings/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/VSJWUQND/L%25EDneas %2520de%2520Espera%5B1%5D.ppt#256,1,Líneas de Espera: Teoría de Colas Repaso y definiciones: http://www.gestiopolis.com/recursos4/docs/mkt/teoriacola.htm
Formulas: http://exa.unne.edu.ar/depar/areas/informatica/SistemasOperativos/MonogSO/MODAN ALITICO01.htm